«Бунина Елена Игоревна Автоморфизмы и элементарная эквивалентность групп Шевалле и других производных структур 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел Диссертация на соискание ученой степени доктора ...»

Структуры бесконечных рангов и логика второго порядка В [102] Фелгнер предложил изучить проблему элементарной эквивалентности бесконечномерных общих линейных групп и других классических групп над полями. В [169] В. Толстых решает эту проблему для бесконечномерных групп типов GL, PGL, L, P L для достаточно широкого класса тел. Предмет изучения статьи [169] может быть описан как исследование выразительности языка логики первого порядка для бесконечномерных классических групп и близких структур. Похожие проблемы изучались во многих статьях, например, в [149], [150] Шелахом для бесконечномерных симметрических групп, в его статье [169], посвященной полугруппам эндоморфизмов свободных алгебр, в серии статей об автоморфизмах групп булевых алгебр (Рубин и Шелах, [146]), в работе [125] Магидора, Розенталя, Рубина и Срура о решетках замкнутых подмножеств систем Штейница.

Другая работа В. Толстых [168] посвящена исследованию теории группы автоморфизмов бесконечно порожденной свободной группы. Пусть Fk — свободная группа бесконечного ранга k. В работе [168] доказано, что теория второго порядка множества k и элементарная теория группы Aut Fk интерпретируются друг в друге равномерно по Fk, а следовательно, группы автоморфизмов Aut Fk и Aut F элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда k и эквивалентны в логике второго порядка.

Связь между совпадением теорий первого порядка одних структур и совпадением теорий второго порядка некоторых других структур была установлена в ряде работ А. Г. Пинусом.

Например, работа [50] посвящена элементарной эквивалентности решеток разбиений. В ней показано, что выразительные возможности решеток разбиений в логике первого порядка совпадают с выразительными возможностями логики второго порядка. Именно, пусть L(A) — решетка разбиений на множестве A, T h(L(A)) — теория первого порядка решетки L(A), T h2 (A) — теория множества A (с пустой сигнатурой) в полной логике второго порядка. Доказано, что для любых множеств A, B теории T h(L(A)) и T h(L(B)) совпадают тогда и только тогда, когда T h2 (A) = T h2 (B).

Результаты, полученные в 2000 г. в [49] А. Г. Пинусом и Г. Роузом, посвящены элементарной эквивалентности решеток подалгебр свободных алгебр.

В силу элементарной эквивалентности любых двух бесконечно порожденных V -свободных алгебр понятен интерес к вопросу об элементарной эквивалентности производных структур от свободных алгебр многообразий, обзор по этому поводу см. [142]. В частности, там доказано, что для любого нормального многообразия V, решетка конгруэнций алгебры FV () элементарно определима в классе всех подобных решеток тогда и только тогда, когда кардинал определим в полной логике второго порядка. Возникает вопрос об элементарной эквивалентности структур, связанных с понятием подалгебры, для V -свободных алгебр с различным числом порождающих.

В четвертой главе данной диссертации рассмотрена связь свойств второго порядка ассоциативных колец и свойств первого порядка категорий модулей, колец эндоморфизмов, групп автоморфизмов и проективных пространств модулей бесконечного ранга над этими кольцами (данные результаты опубликованы в [184]).

Также в четвертой главе доказываются теоремы, аналогичные теореме Бэра–Капланского о кольцах эндоморфизмов абелевых p-групп (абелева p-группа определяется своим кольцом эндоморфизмов), но для элементарной эквивалентности. Показано, что элементарная теория кольца эндоморфизмов абелевой p-группы определяет полную теорию второго порядка (в некоторых случаях ее счетное ограничение) самой абелевой группы.

Данный результат опубликован в работе [186].

В работах [193] и [201] Е.И. Буниной и А.В. Михалева (не вошедших в данную диссертационную работу) рассматривались категории полигонов над моноидами, а также моноиды эндоморфизмов свободных полигонов над моноидами. Было показано, что при определенных условиях на исходные моноиды моноиды эндоморфизмов свободных полигонов над ними элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда сами моноиды эквивалентны в логике второго порядка.

Элементарная эквивалентность других структур и производных конструкций В работе [99] приводится пример двух групп G и H, таких, что G H, но G H, где G, H — коммутанты групп G и H.

Для модулей существует достаточно простой критерий элементарной эквивалентности.

Именно: два модуля M и N над кольцом R элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда для любых двух 1-позитивно-примитивных формул (т. е. формул вида x, где — конъюнкция атомных формул), таких, что, мощности абелевых групп (M )/(M ) и (N )/(N ) либо бесконечны, либо конечны и совпадают.

В ряде работ изучался вопрос о сохранении элементарной эквивалентности для различных теоретико-групповых конструкций. Например, в работе [80] доказано, что 1) для модулей над вполне приводимым кольцом тензорное произведение, рассматриваемое как абелева группа, сохраняет элементарную эквивалентность;

2) для счетного свободного булевого кольца R существуют R-модули A, B, C, D такие, В [28] (стр. 392) доказано, что фильтрованные произведения, фильтрованные степени, прямые произведения сохраняют элементарную эквивалентность.

Проблема элементарной эквивалентности свободных произведений H1 G1 и H2 G2, где G1, G2, H1, H2 — группы и при этом H1 H2, G1 G2, остается открытой в настоящее время (сообщено автору В.Н. Ремесленниковым).

Не сохраняют элементарной эквивалентности: а) операция сплетения групп [59], [60], [61], б) нильпотентные произведения групп [141].

Работа [44] рассматривает элементарную эквивалентность свободных произведений групп.

Большое число работ посвящено проблеме элементарной эквивалентности расширенных теорий абелевых групп (см. библиографию и обзор [31]).

Уилер [180] установил, что кольца верхних треугольных матриц порядка 3 над полями P и P элементарно эквивалентны в том и только том случае, когда элементарно эквивалентны поля P и P.

Общая характеристика работы

Цель работы и основные задачи Цель данной работы состоит в создании новых универсальных методов исследования автоморфизмов, изоморфизмов и элементарной эквивалентности различных важнейших производных алгебраических структур таких, как кольца эндоморфизмов, группы автоморфизмов, проективные геометрии, категории модулей, матричные группы (в первую очередь, группы Шевалле), в установлении связи между изоморфизмами или элементарной эквивалентностью производных структур и условиями, которым должны отвечать базисные структуры, в точном описании автоморфизмов различных алгебраических структур, таких, как группы Шевалле над коммутативными кольцами, полугруппы неотрицательных обратимых матриц над упорядоченными кольцами. Основными задачами

диссертации являются: описание (доказательство стандартности) автоморфизмов групп Шевалле над локальными кольцами; нахождение необходимых и достаточных условий того, что (элементарные) группы Шевалле над полями или локальными кольцами элементарно эквивалентны; описание автоморфизмов и элементарной эквивалентности полугрупп неотрицательных обратимых матриц над линейно упорядоченными кольцами; нахождение необходимых и достаточных условий того, чтобы две категории модулей над кольцами, два кольца эндоморфизмов, две группы автоморфизмов, две проективные геометрии модулей бесконечного ранга над кольцами были элементарно эквивалентны; продолжение теоремы Бэра–Капланского об изоморфизмах колец эндоморфизмов абелевых p-групп на случай элементарной эквивалентности.

Основные методы исследования В работе используются классические методы структурной теории колец, линейной алгебры, теории линейных групп, теории моделей и математической логики, в том числе методы А.И. Мальцева, К.И. Бейдара, А.В. Михалева, И.З. Голубчика, В.М. Петечука, метод инволюций, переработанный автором в кандидатской диссертации, а также новые методы, в том числе метод перевода задач об автоморфизмах матричных групп над локальными кольцами к системам целочисленных линейных уравнений, метод интерпретации теорий второго порядка алгебраических систем в их производных структурах.

Научная новизна Основные результаты работы являются новыми. Среди них:

• Разработка новых методов описания автоморфизмов и изоморфизмов групп Шевалле с помощью линейных уравнений над локальными кольцами. Получение полного описания (доказательство стандартности) автоморфизмов групп Шевалле следующих типов:

— типов Al, Dl, El, Bl, Cl, F4, l > 1, над локальными кольцами с обратимой двойкой;

— типа G2 над локальными кольцами с обратимыми двойкой и тройкой;

— типов Al, Dl, El, l > 2, над локальными кольцами с необратимой двойкой (теорема 1.1).

• Описание элементарных свойств и элементарной эквивалентности групп Шевалле над полями и локальными кольцами с обратимой двойкой с использованием метода инволюций (доработанного автором для случая групп Шевалле), методов А.И. Мальцева и метода ультрастепеней К.И. Бейдара и А.В. Михалева. Сведение элементарной эквивалентности групп Шевалле описанных типов к элементарной эквивалентности базисных полей или колец (теоремы 2.1 и 2.2).

• Описание автоморфизмов и элементарной эквивалентности полугруппы неотрицательных обратимых матриц над линейно упорядоченными кольцами с обратимой двойкой, что является продолжением описания аналогичных полугрупп над линейно упорядоченными телами, полученного А.В. Михалевым и А.М. Шаталовой (теоремы 3.1 и 3.2).

• Получение связи между элементарной эквивалентностью — категорий модулей над кольцами, — колец эндоморфизмов свободных модулей над кольцами бесконечных рангов, — групп автоморфизмов свободных модулей над кольцами бесконечных рангов, — проективных геометрий свободных модулей над кольцами и эквивалентности в логике второго порядка структур, связанных с кольцами (теоремы 4.7, 4.13, 4.15 и 4.19).

• Разработка методов работы с логикой второго порядка, построение интерпретации теории второго порядка кольца в теории первого порядка его производной структуры (категории модулей над ним, кольца эндоморфизмов, группы автоморфизмов, проективной геометрии модулей над ним).

• Получение в качестве следствий полного описания элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов и групп автоморфизмов модулей бесконечного ранга над — телами;

— областями главным идеалов;

— коммутативными кольцами;

— локальными кольцами;

— артиновыми кольцами;

— полупростыми кольцами (следствия из теорем 4.13 и 4.19).

• Получение аналога теорема Бэра–Капланского об изоморфизме колец эндоморфизмов абелевых p-групп для элементарной эквивалентности. Интерпретация логики второго порядка абелевой p-группы в кольце ее эндоморфизмов, разработка методов кодирования элементов абелевой группы в кольце ее эндоморфизмов (теоремы 4.33, 4.34, 4.35).

Краткое содержание работы Глава 1 посвящена изучению автоморфизмов групп Шевалле над локальными кольцами. Автоморфизмы групп Шевалле над полями были полностью описаны в 1970-е годы Стейнбергом и Хамфри, в 1993 году появилась работа Э. Абе, описывающая автоморфизмы групп Шевалле над нетеровыми кольцами с обратимой двойкой. В этой работе для случая системы корней E8 имело место ошибка, неустранимая методами самой работы. В главе 1 данной диссертации проблема автоморфизмов групп Шевалле решена для групп Шевалле различных типов над локальными кольцами с обратимой двойкой, а также для групп Шевалле типов Al, Dl, El, l 3, над локальными кольцами с необратимой двойкой. Для доказательства объединены различные методы, использованные ранее для описания автоморфизмов групп GL и SL над локальными кольцами, методы линейной алгебры, а также их специфическое объединение, придуманное автором диссертации.

Для доказательства приходилось проводить очень много различных матричных подсчетов, они выполнялись как вручную, так и на компьютере, не все из них приведены в тексте диссертации. Особенно сложными подсчетами отличается случай необратимой двойки, в процессе вычислений неоднократно возникали матрицы размера, большего чем 20 20.

Основными объектами, рассматриваемыми в первой главе, являются группа Шевалле G (, R) с системой корней ранга, большего единицы, над локальным кольцом R (с обратимой или необратимой двойкой) и ее элементарная подгруппа E (, R), порожденная элементарными корневыми унипотентами x (t),, t R.

В первом параграфе приводятся основные определения групп Шевалле, их свойства, определяются четыре типа автоморфизмов группы Шевалле G (, R), называемые стандартными:

Центральные автоморфизмы. Пусть CG (R) — центр группы G (, R), : G (, R) CG (R) — гомоморфизм групп. Тогда отображение x (x)x из G (, R) на себя является автоморфизмом группы G (, R), который обозначается буквой и называется центральным автоморфизмом группы G (, R).

Кольцевые автоморфизмы. Пусть : R R — автоморфизм кольца R. Отображение (xi,j ) ((xi,j )) из G (, R) на себя является автоморфизмом группы G (, R), который обозначается той же буквой и называется кольцевым автоморфизмом группы G (, R). Заметим, что для всех и t R элемент x (t) отображается в x ((t)).

Внутренние автоморфизмы. Пусть S — некоторое кольцо, содержащее R, g — элемент группы G (, S), нормализующий подгруппу G (, R). Тогда отображение x gxg 1 является автоморфизмом группы G (, R), который обозначается ig и называется внутренним автоморфизмом, индуцированным элементом g G (, S). Если g G (, R), то назовем ig строго внутренним автоморфизмом.

Диаграммные (графовые) автоморфизмы. Пусть — автоморфизм системы корней такой, что =. Тогда существует единственный автоморфизм группы G (, R) (будем обозначать его той же буквой ) такой, что для любого и t R элемент x (t) переходит в x() (()t), где () = ±1 для всех и () = 1 для всех.

Автоморфизм группы G (, R) (или E (, R)) называется стандартным, если он является композицией автоморфизмов введенных четырех типов.

Наряду со стандартными автоморфизмами автором вводится следующий “временный” тип автоморфизмов элементарной присоединенной группы Шевалле:

Автоморфизмы-сопряжения. Пусть V — пространство представления группы E ad (, R), C GL (V ) — матрица, оставляющая группу Шевалле на месте:

Тогда отображение x CxC 1 из E (, R) на себя является автоморфизмом группы Шевалле, который обозначается i и называется автоморфизмом-сопряжением группы E(R), индуцированным элементом C группы GL (V ).

Далее в первом параграфе формулируется следующая основная теорема:

Теорема 1 (теорема 1.1). Пусть G = G (, R) (E (, R)) — (элементарная) группа Шевалле со следующими условиями:

1) если рассматривается система корней Al, Dl или El, l 3, то R — произвольное локальное коммутативное кольцо;

2) если рассматривается система корней A2, F4, Bl, Cl, l 2, то R — произвольное локальное коммутативное кольцо с 1/2;

3) если рассматривается система корней G2, то R — произвольное локальное коммутативное кольцо с 1/2 и 1/3.

Тогда любой автоморфизм группы G стандартен. Если группа Шевалле при этом присоединенная, то внутренний автоморфизм в композиции является строго внутренним.

Этот основной результат получается с помощью применения двух следующих теорем:

Теорема 2 (теорема 1.2). Каждый автоморфизм элементарной присоединенной группы Шевалле рассматриваемого выше типа является композицией кольцевого, диаграммного автоморфизмов и автоморфизма–сопряжения.

Теорема 3 (теорема 1.3). Каждый автоморфизм–сопряжение элементарной присоединенной группы Шевалле рассматриваемого типа является композицией строго внутреннего (сопряжения с помощью элемента соответствующей группы Шевалле) и диаграммного автоморфизмов.

Во втором, третьем, четвертом и пятом параграфах доказывается теорема 2 для колец с обратимой двойкой: во втором параграфе по произвольному автоморфизмы элементарной присоединенной групп Шевалле G строится (с помощью замены базиса в пространстве представления группы G) изоморфизм группы G на некоторую подгруппу GL n (R), с тем свойством, что ее образ при факторизации R по радикалу совпадает с кольцевым автоморфизмом. В третьем параграфе с помощью еще одной замены базиса мы приходим к изоморфизму G на подгруппу в GL n (R) со всеми свойствами предыдущего и такому, что все элементы w (1) переходят сами в себя. В четвертом параграфе проводится еще одна дополнительная замена базиса такая, что рассматриваемый изоморфизм начинает обладать дополнительным свойством: все элементы x (1),, также переходят в себя. Доказано, что при этом элементы h (t) переходят в элементы h (s). В пятом параграфе показано, что соответствие t s продолжается до автоморфизма кольца R, после чего получается, что композиция изначального автоморфизма и некоторой замены базиса (т. е. внутреннего автоморфизма) является кольцевым автоморфизмом группы Шевалле G. Таким образом, в параграфе 5 теорема 2 доказана для локальных колец с обратимой двойкой.

В шестом и седьмом параграфах доказывается теорема 3. В шестом параграфе первой главы показано, как свести доказательство к линейным уравнениям над локальными кольцами, а в седьмом параграфе показано, как найти нужное решение этих уравнений для различных систем корней. В конце седьмого параграфа полностью доказывается теорема 3. Наконец, восьмой параграф первой главы посвящен доказательству теоремы 1.

Для присоединенных элементарных групп Шевалле эта теорема является прямым следствием теорем 2 и 3, теорему 1 остается доказать для всех других элементарных групп Шевалле, а далее для самих групп Шевалле.

Девятый параграф посвящен рассмотрению групп Шевалле типов Al, Dl, El над локальными кольцами с необратимой двойкой. Требуется только доказать теорему 2, так как теорема 3 доказывается сразу и для колец с обратимой двойкой, и для колец с необратимой двойкой. Для этого случая все основные идеи и методы остаются теми же, но приходится рассматривать более сложные матрицы (матрицы порядка три вида w (1) · x (1)), которые требуется на первом этапе переводить в себя заменой базиса. Все вычисления усложняются из-за того, что нет возможности делить на два.

Глава 2 посвящена элементарной эквивалентности групп Шевалле над полями и локальными кольцами. Теоремы об элементарной эквивалентности линейных групп восходят к А.И. Мальцеву, доказавшему в 1961 году, что линейные ( GL, SL ) и проективные линейные ( PGL, PSL ) группы над полями элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда их размеры совпадают, а поля элементарно эквивалентны. Подобные теоремы получены и для групп Шевалле:

Теорема 4 (теорема 2.1). Пусть G = G (, K) и G = G (, K ) (или E (, K) и E (, K )) — две (элементарные) группы Шевалле над бесконечными полями K и K характеристики, отличной от двух, с решетками весов и соответственно. Тогда группы G и G элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда системы корней и изоморфны, поля K и K элементарно эквивалентны, решетки и совпадают.

Теорема 5 (теорема 2.2). Пусть G = G (, R) и G = G (, R ) (или E (, R) и E (, R )) — две (элементарные) группы Шевалле над локальными кольцами R и R с обратимой двойкой (в случае системы корней G2 еще и с обратимой тройкой), в одной из систем корней, присутствует простая подсистема корней, отличная от A1. Пусть решетки весов групп G и G обозначены через и соответственно. Тогда группы G и G элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда системы корней и изоморфны, кольца R и R элементарно эквивалентны, решетки и совпадают.

В первом параграфе доказываются более простые импликации, а именно, следующие две теоремы:

Теорема 6 (теорема 2.3). Если две группы Шевалле G = G (, R) и G = G (, R ) построены с помощью одной и той же комплексной алгебры Ли типа и одного и того же ее представления, а также с помощью элементарно эквивалентных колец R и R, Теорема 7 (теорема 2.4). Если две элементарные группы Шевалле E = E (R, ) и E = E (R, ) построены с помощью одной и той же комплексной алгебры Ли типа и одного и того же ее представления, а также с помощью элементарно эквивалентных полулокальных колец R и R с 1/2, то E E.

Во втором параграфе доказано, что если две (элементарные) группы Шевалле элементарно эквивалентны, то их системы корней совпадают, а исходные кольца элементарно эквивалентны, решетки весов изоморфны. Далее имея две элементарно эквивалентные элементарные группы Шевалле E и E, мы также имеем две элементарно эквивалентные элементарные присоединенные группы Шевалле E ad и E ad, являющиеся факторами по центру исходных групп.

В параграфах 3–12 рассматриваются группы Шевалле над полями, доказывается теорема 4. Можно считать, что поле имеет характеристику, отличную от двух, и бесконечно (для конечных полей элементарная эквивалентность совпадает с изоморфизмом, поэтому результат будет следовать из теорем Стейнберга и Хамфриса).

В § 3 классические элементарные присоединенные группы Шевалле над полями отождествляются с некоторыми подгруппами группы GL n (K).

В § 4 описывается, как устроены инволюции (элемента порядка два) в классических группах Шевалле над полями.

В пятом параграфе второй главы доказано, что для любых двух классических групп Шевалле с неизоморфными системами корней существует предложение первого порядка, истинное в одной группе и ложное во второй. Делается это с помощью рассмотрения инволюций, максимальных множеств коммутирующих инволюций, коммутантов централизаторов инволюций.

В параграфах 6–10 рассматриваются по отдельности исключительные системы корней.

Например, в § 6 рассматриваются группы Шевалле типа G2 и доказывается следующая лемма:

Лемма 8 (лемма 2.10). Существует предложение G2 первого порядка, истинное в любой присоединенной группе типа G2 и ложное во всех классических присоединенных группах Шевалле.

В § 7 рассматриваются группы Шевалле типа F4, а в § 8,9,10 соответственно группы типа E6, E7, E8. Наконец, в конце десятого параграфа доказано следующее Предложение 9 (предложение 2.3). Если две (элементарные) группы Шевалле над бесконечными полями характеристики, не равной 2, элементарно эквивалентны, то соответствующие системы корней совпадают.

Параграф 11 посвящен доказательству того, что если две группы Шевалле одинакового типа элементарно эквивалентны, то поля, по которым они построены, элементарно эквивалентны. Для этого сначала данный результат доказывается для самой “маленькой” системы корней — A1 :

Лемма 10 (лемма 2.15). Если группы PSL 2 (K) и PSL 2 (K ) (K, K — бесконечные поля характеристики = 2) элементарно эквивалентны, то поля K, K элементарно эквивалентны.

Этот результат, в том числе, является дополнением к теореме А.И. Мальцева об элементарной эквивалентности линейных групп над полями, так как в работе Мальцева для групп SL и PSL рассматривался размер, больший двух.

Далее в § 11 для произвольной системы корней берется фактор по центру коммутанта централизатора подходящей инволюции, который является прямым произведением двух групп Шевалле, одна из них есть PSL 2 (K) (в предыдущих параграфах показано, что такая инволюция всегда найдется). После этого достаточно воспользоваться леммой 10. В результате получается Предложение 11 (предложение 2.4). Если две присоединенные элементарные группы Шевалле G(, K) и G(, K ) (K, K — бесконечные поля характеристики, отличной от двух ) элементарно эквивалентны, то поля K, K элементарно эквивалентны.

В § 12 остается рассмотреть решетки весов групп Шевалле. Доказывается Предложение 12 (предложение 2.5). Если две (элементарные) группы Шевалле элементарно эквивалентны, то их решетки весов совпадают.

Таким образом, к концу § 12 полностью доказывается теорема 4. Остальные параграфы второй главы посвящены доказательству теоремы 5.

В § 13 сначала доказывается, что подгруппа EJ = E ad (, R, J) определима в группе E = E ad (, R), т. е. если две элементарные присоединенные группы Шевалле над локальными кольцами элементарно эквивалентны, то и соответствующие элементарные присоединенные группы Шевалле над вычетными полями элементарно эквивалентны. Таким образом, в § 12 доказано, что если две группы Шевалле над локальными кольцами элементарно эквивалентны, то их системы корней совпадают.

В § 14 второй главы доказывается, что известное разложение Гаусса для элементов групп Шевалле над локальными кольцами можно задавать в виде формул:

Предложение 13 (предложение 2.7). (1) Любой элемент x группы Шевалле G (E) над локальным кольцом R представляется в виде где u, u U (R), v V (R), t T (R), h H(R);

(2) Для разложений x1 = u1 t1 v1 u1 и x2 = u2 t2 v2 u2, где существует формула первого порядка кольцевого языка истинная тогда и только тогда, когда (3) Аналогично, для разложений x1 = u1 t1 v1 u1, x2 = u2 t2 v2 u2 и x3 = u3 t3 v3 u3, где существует формула первого порядка кольцевого языка истинная тогда и только тогда, когда В параграфе § 14 с помощью перехода к ультрастепеням и теореме Кейслера-Шелаха об изоморфизме (методы, впервые использованные К.И. Бейдаром и А.В. Михалевым для линейных групп над кольцами показано, что если две рассматриваемые группы Шевалле элементарно эквивалентны, то элементарно эквивалентны и базисные кольца, по которым они построены.

В последнем параграфе все результаты сводятся воедино и доказывается теорема 5.

Третья глава диссертации посвящена автоморфизмам и элементарной эквивалентности полугрупп неотрицательных обратимых матриц над упорядоченными кольцами. В первом параграфе вводятся основные определения. Определяется полугруппа Gn (R), состоящая из обратимых в группе GL n (R) матриц, все коэффициенты которых неотрицательны.

Далее вводятся следующие важные подполугруппы и подмножества полугруппы Gn (R):

Определение 14 (определение 3.4). Пусть I = In, n (R) — группа, состоящая из всех обратимых матриц из Gn (R), n — симметрическая группа порядка n, S — матрица перестановки n ( т. е. матрица (i(j) ), где i(j) — символ Кронекера), Sn = {S | n }, diag [d1,..., dn ] — диагональная матрица с элементами d1,..., dn на диагонали, d1,..., dn R+. Через Dn (R) обозначим группу всех обратимых диагональных матриц из Gn (R), через Dn (R) — центр группы Dn (R).

Определение 15 (определение 3.8). Через Bij (x) обозначим матрицу I + xEij. Пусть P обозначает подполугруппу в Gn (R), порожденную всеми матрицами S ( n ), Bij (x) Определение 16 (определение 3.9). Две матрицы A, B Gn (R) называются P-эквивалентными, если существуют матрицы Aj Gn (R), j = 0,..., k, A = A0, B = Ak, и матрицы Pi, Pi, Qi, Qi P, i = 0,..., k 1 такие, что Pi Ai Pi = Qi Ai+1 Qi.

Определение 17 (определение 3.10). Через GE + (R) обозначим подполугруппу в Gn (R), порожденную всеми матрицами, P-эквивалентными матрицам из P.

Второй параграф посвящен описанию автоморфизмов полугруппы неотрицательных обратимых матриц над линейно упорядоченными кольцами с обратимой двойкой. Основным результатом этого параграфа является следующая Теорема 18 (определение 3.1). Пусть — автоморфизм полугруппы Gn (R), n 3, 1/2 R, кольцо R линейно упорядочено. Тогда на полугруппе GE + (R) = M c, где M — внутренний автоморфизм с помощью матрицы M n (R), c — кольцевой автоморфизм при помощи автоморфизма c(·) Aut (R+ ), (·) — центральная гомотетия полугруппы GE + (R).

В третьем параграфе рассматривается элементарная эквивалентность полугрупп Gn (R), автоморфизмы которых были найдены в §,2. Параграф посвящен доказательству следующей теоремы:

Теорема 19 (теорема 3.2). Полугруппы Gn (R), Gm (S) (n, m кольца R и S линейно упорядочены) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда n = m и полукольца R+ и S+ элементарно эквивалентны.

В четвертой главе диссертации рассматриваются элементарные свойства категорий модулей над кольцом, колец эндоморфизмов свободных модулей бесконечного ранга над кольцами и групп автоморфизмов свободных модулей бесконечного ранга над кольцами, а также колец эндоморфизмов абелевых p-групп. Выясняется, что элементарная эквивалентность таких структур равносильна эквивалентности базисных структур, по которым они строятся, в логике второго порядка (или какой-то ее части). Таким образом, требуются строгие определения логики второго порядка (языках и теориях второго порядка, их моделях, формулах, выполнимости), которые приводятся в первом параграфе.

Второй параграф посвящен элементарным свойствам и элементарной эквивалентности категорий модулей над кольцом.

В первом пункте второго параграфа приводятся некоторые дополнительные сведения о категории mod-R.

Во втором пункте показано, что в категории mod-R понятие прообразующего объекта определимо без параметров, т. е. существует формула в языке первого порядка теории категорий с одной свободной объектной переменной, истинная в категории mod-R для прообразующих модулей этой категории, и только для них.

В пункте 2.3 показано, что для данного прообразующего модуля P на полугруппе M or(P, P ) можно ввести операции сложения и умножения так, чтобы эта полугруппа превратилась в кольцо, изоморфное кольцу End R (P ).

В пункте 2.4 рассматривается случай конечных колец и доказывается теорема о том, что категории mod-R и mod-S, где R — конечное кольцо, элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они Морита-эквивалентны.

В пункте 2.5 мы формулируем, как распространить результаты С. Шелаха из работы [6] об интерпретации теории множеств в категории на случай категории mod-R.

В пункте 2.6 результаты п. 2.5 используются для того, чтобы в категории mod-R для некоторых фиксированных модулей X и Y выделить элементарными средствами множество линейно независимых проекторов из X на Y.

В пункте 2.7 описывается структура Cn, ring, состоящая из класса Cn всех кардинальных чисел, который состоит из множеств мощности для каждого Cn, и кольца ring с отношениями суммы и произведения, а также логика второго порядка такой структуры (мы обозначаем ее через L2 (Cn, ring)), позволяющая в формулах использовать произвольные предикатные символы вида где 1,..., k — фиксированные кардинальные числа, c1,... ck — переменные для элементов из 1,..., k соответственно, v1,..., vn — переменные для элементов кольца. Кроме того, доказана следующая теорема Теорема 20 (теорема 4.5). Пусть даны кольца R и S и существует предложение языка L2 (Cn, ring), истинное в кольце R и ложное во всех кольцах, ему подобных и не эквивалентных ему в языке L2 (Cn, ring). Пусть, кроме того, категории mod-R и mod-S элементарно эквивалентны. Тогда существует кольцо S, подобное кольцу S и такое, что структуры Cn, R и Cn, S эквивалентны в логике L2.

Пункт 2.8 посвящен доказательству “обратной” теоремы:

Теорема 21 (теорема 4.6). Для произвольных колец с единицей R и S если структуры Cn, R и Cn, S эквивалентны в логике второго порядка L2, то категории mod-R и mod-S элементарно эквивалентны.

В результате в п. 2.9 из двух предыдущих теорем выводится теорема, являющаяся аналогом теоремы Мориты для элементарной эквивалентности, и несколько полезных следствий из нее:

Теорема 22 (теорема 4.7). Пусть даны кольца R и S и существует предложение языка L2 (Cn, ring), истинное в кольце R и ложное во всех кольцах, ему подобных и не эквивалентных ему в языке L2 (Cn, ring). Тогда категории mod-R и mod-S элементарно эквивалентны в том и только том случае, когда существует кольцо S, подобное кольцу S и такое, что структуры Cn, R и Cn, S эквивалентны в логике L2.

Следствие 1. Для произвольных тел F1 и F2 категории mod-F1 и mod-F2 элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда структуры Cn, F1 и Cn, F2 эквивалентны в логике второго порядка L2.

Следствие 2. Для произвольных коммутативных колец R1 и R2 категории mod-R и mod-R2 элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда структуры Cn, R и Cn, R2 эквивалентны в логике второго порядка L2.

Следствие 3. Для произвольных локальных колец R1 и R2 категории mod-R1 и mod-R элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда структуры Cn, R1 и Cn, R эквивалентны в логике второго порядка L2.

Следствие 4. Для произвольных областей главных идеалов R1 и R2 категории mod-R и mod-R2 элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда структуры Cn, R и Cn, R2 эквивалентны в логике L2.

Следствие 5. Для произвольных артиновых колец R1 и R2 категории mod-R1 и mod-R2 элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют кольца S1 и S2, подобные кольцам R1 и R2 соответственно, такие, что структуры Cn, S1 и Cn, S2 эквивалентны в логике L2.

Третий параграф посвящен рассмотрению тех же вопросов для колец эндоморфизмов модулей бесконечных рангов.

На протяжении всего параграфа предполагается, что кольцо R и бесконечное кардинальное число таковы, что в кольце R существует максимальный идеал, порожденный не более чем элементами (например, это всегда так, когда |R| или кольцо R полупросто или является кольцом главных идеалов).

В первом пункте этого параграфа для каждого свободного модуля V бесконечного ранга над кольцом вводится некоторая специальная категория CM (V ) такая, что элементарная эквивалентность колец эндоморфизмов двух свободных модулей бесконечных рангов над кольцами равносильна элементарной эквивалентности соответствующих категорий.

Второй пункт третьего параграфа посвящен изучению элементарной эквивалентности категорий вида CM (V ), в результате чего в третьем пункте доказаны следующая основная теорема и следствие из нее:

Теорема 23 (теорема 4.13). Пусть V1 и V2 — свободные модули бесконечных рангов 1 и 2 над кольцами R1 и R2 соответственно, и существует предложение T2 1 (1, R1 ), ложное во всех кольцах, подобных кольцу R1 и имеющих другую теорию T h1. Тогда кольца End R1 (V1 ) и End R2 (V2 ) элементарно эквивалентны в том и только в том случае, когда существует кольцо S, подобное кольцу R2 и такое, что теории T h1 1, R1 и T h2 2, S совпадают.

Следствие 1. Для пространств V1 и V2 бесконечных размерностей 1 и 2 над произвольными телами (областями главных идеалов) F1 и F2 кольца End F1 V1 и End F2 V2 элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда теории T h1 (1, F1 ) и T h2 (2, F2 ) совпадают.

Следствие 2. Предположим, что 1 и 2 — бесконечные кардинальные числа, R1 и R2 — коммутативные (локальные) кольца, и каждый максимальный идеал кольца R1 порожден не более, чем 1 элементами кольца. Тогда для свободных модулей V1 и V2 рангов 1 и 2 над кольцами R1 и R2 соответственно, кольца End R1 V1 и End R2 V2 элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда теории T h1 (1, R1 ) и T h2 (2, R2 ) совпадают.

Следствие 3. Предположим, что 1 и 2 — бесконечные кардинальные числа, R и R2 — артиновы кольца, и каждый максимальный идеал кольца R1 порожден не более, чем 1 элементами кольца. Тогда для свободных модулей V1 и V2 рангов 1 и 2 над кольцами R1 и R2 соответственно, кольца End R1 V1 и End R2 V2 элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют кольца S1 и S2, подобные кольцам R1 и R соответственно, такие, что теории T h1 (1, S1 ) и T h2 (2, S2 ) совпадают.

Следствие 4. Для свободных модулей V1 и V2 бесконечных рангов 1 и 2 над полупростыми кольцами R1 и R2 соответственно, кольца End R1 (V1 ) и End R2 (V2 ) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют кольца S1 и S2, подобные кольцам R1 и R2 соответственно, такие, что теории T h1 1, S1 ) и T h2 (2, S2 ) совпадают.

В четвертом параграфе рассматриваются проективные пространства модулей бесконечных рангов.

В первом пункте этого параграфа описывается язык проективной геометрии над кольцом (т. е. решетки подмодулей модуля на кольцом) и основные понятия, выразимые в этом языке.

Во втором пункте показано, как в проективной геометрии модуля бесконечного ранга интерпретировать кольцо, изоморфное кольцу End R P для некоторого прообразующего модуля P.

В третьем пункте четвертого параграфа показано, как в проективной геометрии модуля V интерпретировать кольцо End R V.

В результате в этом пункте доказана следующая теорема:

Теорема 24 (теорема 4.14). Для свободных модулей V1 и V2 бесконечных рангов над произвольными кольцами R1 и R2 соответственно из элементарной эквивалентности решеток подмодулей P (V1 ) и P (V2 ) следует элементарная эквивалентность колец эндоморфизмов End R1 (V1 ) и End R2 (V2 ).

В четвертом пункте доказывается “обратная” теорема:

Теорема 25 (теорема 4.15). Предположим, что V1 и V2 — свободные модули бесконечных рангов 1 и 2 над кольцами R1 и R2 соответственно, и каждый подмодуль модуля V1 (V2 ) имеет не более 1 (2 ) порождающих элементов (например, это так, если 1 |R1 | и 2 R2 или если R1, R2 — полупростые кольца или кольца главных идеалов). Тогда из следует В пятом параграфе рассматриваются группы автоморфизмов модулей бесконечных рангов над кольцами.

В пункте 5.1 по аналогии с работой [15] доказывается, что если кольца R и S с 1/ не содержат центральных идемпотентов, отличных от 0 и 1, V и V — свободные модули бесконечных рангов над кольцами R и S соответственно, то группы Aut R (V ) и Aut S (V ) изоморфны тогда и только тогда, когда End R (V ) End S (V ).

В пункте 5.2 результаты п. 5.1 распространяются на элементарную эквивалентность.

Это делается с помощью перехода к ультрастепеням, аналогично работе [81] К. И. Бейдара и А. В. Михалева. Доказана следующая теорема:

Теорема 26 (теорема 4.17). Предположим, что кольца R, S содержат 1/2 и не содержат центральных идемпотентов, отличных от 1 и 0. Тогда группы Aut R (V ) и Aut S (V ) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда кольца End R (V ) и End S (V ) элементарно эквивалентны.

В пункте 5.3 мы считаем, что кардинальное число 1 таково, что существует максимальный идеал кольца R1, порожденный не более чем 1 элементами.

Доказана следующая теорема и следствия из нее:

Теорема 27. (теорема 4.19). Предположим, что кольца R1 и R2 содержат 1/2 и не содержат центральных идемпотентов, отличных от 1 и 0. Пусть, кроме того, V1 и V — свободные модули бесконечных рангов 1 и 2 над кольцами R1 и R2 соответственно, и пусть существует предложение T h1 (1, R1 ), ложное во всех кольцах, подобных кольцу R1 и имеющих другую теорию T h1. Тогда группы Aut R1 (V1 ) и Aut R2 (V2 ) элементарно эквивалентны в том и только том случае, когда существует кольцо S, подобное кольцу R2 и такое, что T h1 (1, R1 ) = T h2 (2, S).

Следствие 1. Для свободных модулей V1 и V2 бесконечных рангов 1 и 2 над телами (коммутативными или локальными кольцами, не содержащими центральных идемпотентов, отличных от 1 или 0, областями целостности) F1 и F2, содержащими 1/2, соответственно, группы Aut F1 (V1 ) и Aut F2 (V2 ) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда T h1 (1, F1 ) = T h2 (2, F2 ).

Следствие 2. Для свободных модулей V1 и V2 бесконечных рангов 1 и 2 над артиновыми кольцами R1 и R2, не содержащими центральных идемпотентов, отличных от 0 или 1, содержащими 1/2, соответственно, группы Aut R1 (V1 ) и Aut R2 (V2 ) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют кольца S1 и S2, подобные кольцам R1 и R2 соответственно, такие, что T h1 (1, S1 ) = T h2 (2, S2 ).

В шестом параграфе четвертой главы устанавливается связь между свойствами второго порядка абелевой p-группы и свойствами первого порядка ее кольца эндоморфизмов.

В первом пункте приведены все нужные н для дальнейших построений сведения об абелевых группах, взятые в основном из книги [63], а также сформулировано, как распространить результаты С. Шелаха из работы [148] об интерпретации теории множеств в категории на случай кольца эндоморфизмов специальной абелевой p-группы, являющейся прямой суммой циклических групп одного порядка.

В пункте 6.2 еще раз описан групповой язык второго порядка L2, а также его ограничение L некоторым кардинальным числом, после чего в п. 4.2 вводим выразимый ранг rexp абелевой группы A, представленной в виде прямой суммы D G своих делимой и редуцированных частей как максимум мощностей группы D и базисной подгруппы B группы A. В п. 6.2 мы сформулирована основная теорема этого параграфа:

Если A1 и A2 — абелевы p-группы, 1 = rexp (A1 ), 2 = rexp (A2 ), то из элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов End (A1 ) и End (A2 ) следует Заметим, что rexp (A) = |A| во всех случаях, кроме случая, когда |D| < |G|, базисная подгруппа группы A счетна, а группа G несчетна. В этом случае rexp (A) =.

В том же пункте мы доказываем две “обратных импликации” основной теоремы:

1. Для любых абелевых групп A1 и A2 если группы A1 и A2 эквивалентны в логике второго порядка L2, то кольца End (A1 ) и End (A2 ) элементарно эквивалентны.

2. Если абелевы группы A1 и A2 редуцированны и их базисные подгруппы счетны, то из T h (A1 ) = T h (A2 ) следует End (A1 ) End (A2 ).

Таким образом, для всех абелевых групп, за исключением случая A = D G, D = 0, |D| < |G|, |G| >, базисная подгруппа в A счетна, элементарная эквивалентность колец End (A1 ) и End (A2 ) равносильна соотношению В конце п. 6.2 доказательство основной теоремы разделено на три случая:

1) группы A1 и A2 ограниченны;

2) A1 = D1 G1, A2 = D2 G2, группы D1 и D2 делимы, группы G1 и G2 ограниченны;

3) группы A1 и A2 обладают неограниченными базисными подгруппами.

В следующих трех пунктах шестого параграфа эти три случая рассматриваются по отдельности. В последнем пункте шестого параграфе окончательно доказана основная теорему.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту 1. Доказано, что любой автоморфизм группы Шевалле ранга, большего одного, над локальным кольцом с обратимой двойкой (в случае системы корней G2 — с обратимой тройкой) стандартен, т. е. является композицией диаграммного, кольцевого, внутреннего и центрального автоморфизмов. Таким образом, решена проблема описания автоморфизмов групп Шевалле над локальными кольцами с обратимой двойкой, что дает возможность с помощью методов локализации описать автоморфизмы групп Шевалле над произвольными кольцами с обратимой двойкой (теорема 1.1).

2. Доказано, что любой автоморфизм группы Шевалле ранга, большего двух, типов Al, Dl, El, над локальным кольцом с необратимой двойкой стандартен, что открывает описание автоморфизмов и изоморфизмов групп Шевалле над коммутативными кольцами с необратимой двойкой (теоремы 1.3, 1.2, 1.1).

3. Доказано, что две (элементарные) группы Шевалле над бесконечными полями характеристики, не равной двум, элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда их системы корней и решетки весов совпадают, а поля элементарно эквивалентны. После этого показано, что (элементарные) группы Шевалле над локальными кольцами с обратимой двойкой (в случае системы корней G2 еще и с обратимой тройкой) ранга, большего одного, элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда их системы корней и решетки весов совпадают, а кольца элементарно эквивалентны (теоремы 2.1 и 2.2).

4. Описаны все автоморфизмы полугрупп неотрицательных обратимых матриц размера, большего двух, над линейно упорядоченными кольцами с обратимой двойкой, доказано, что на специальной (достаточно большой) подполугруппе такие автоморфизмы стандартны, т. е. являются композицией внутреннего, полукольцевого и центрального автоморфизмов (теорема 3.1).

5. Доказано, что полугруппы неотрицательных обратимых матриц размера, большего двух, над линейно упорядоченными кольцами с обратимой двойкой, элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда их размеры совпадают, а полукольца неотрицательных элементов элементарно эквивалентны (теорема 3.2).

6. Доказано, что две категории модулей над кольцами (при некоторых условиях на кольца) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда специальные структуры, построенные на кольцах, эквивалентны в логике второго порядка (теоремы 4.5, 4.6, 4.7 и следствия из нее).

7. Доказано, что кольца эндоморфизмов модулей бесконечных рангов над кольцами (при некоторых условиях на кольца) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда специальные структуры, построенные на кольцах, эквивалентны в логике второго порядка или ее ограничении на некоторое кардинальное число (теорема 4.13 и следствия из нее).

8. Доказано, что проективные пространства модулей бесконечных рангов над кольцами (с некоторым условием на кольца) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда кольца эндоморфизмов этих модулей элементарно эквивалентны (теоремы 4.14 и 4.15).

9. Описана связь элементарной эквивалентности групп автоморфизмов модулей бесконечного ранга над кольцами с эквивалентностью в логике второго порядка этих колец (теоремы 4.18, 4.19 и следствия из нее).

10. Описана связь элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов абелевых pгрупп и эквивалентности в логике второго порядка этих абелевых групп, что продолжает известную теорему Бэра–Капланского об изоморфизмах периодических абелевых групп на случай элементарной эквивалентности (теоремы 4.33, 4.34 и 4.35).

Глава Автоморфизмы групп Шевалле над локальными кольцами Введение Пусть G — это схема Шевалле-Демазюра, ассоциированная с неприводимой системой корней ранга, большего одного, G (, R) — множество точек G со значениями в R;

E (, R) — элементарная подгруппа в G (, R), где R — коммутативное кольцо с единицей.

В данной главе мы описываем автоморфизмы групп E (, R) и G (, R) над локальными коммутативными кольцами с 1/2 для произвольных систем корней, а также над локальными кольцами с необратимой двойкой для систем корней с простыми связями. Подобные результаты для групп Шевалле над полями были доказаны Р. Стейнбергом [158] для конечного случая и Дж. Хамфри [111] для бесконечного. Описанию автоморфизмов групп Шевалле над различными коммутативными кольцами были посвящены работы многих авторов, среди которых стоит отметить работы Бореля–Титса [83], Картера–Ю Чена [86], Ю Чена [88]–[92], Э. Абе [69], А.Клячко [121].

Э. Абе [69] доказал стандартность автоморфизмов для нетеровых колец, что полностью могло бы закрыть вопрос об автоморфизмах групп Шевалле над произвольными коммутативными кольцами (для случая системы корней ранга 2 и колец с обратимой двойкой), однако в рассмотрении случая присоединенных элементарных групп в работе [69] содержится ошибка, которую не удается устранить методами этой статьи. Именно, в доказательстве леммы 11 используется то, что ad (x )2 = 0 для всех длинных корней, что неверно в присоединенном представлении. Главной проблемой здесь является случай групп типа E8, так как во всех остальных случаях группы Шевалле допускают представление, обладающие свойством ad (x )2 = 0 для всех длинных корней, а в случае E8 таких представлений нет.

Для доказательства основной теоремы обобщаются некоторые методы из работы В. М. Петечука [47].

Заметим, что случай Al был полностью закрыт работами В. Уотерхауза [176], В.М. Петечука [46], Ли Фу-аня и Ли-Дзун-сяна [114], причем даже без условия обратимости двойки в кольце. Статья И.З. Голубчика и А.В. Михалева [15] охватывает случай системы корней Cl, который в этой работе не рассматривается.

Сначала будет показано, что автоморфизмы присоединенных элементарных групп Шевалле (с рассматриваемыми нами условиями и над локальными кольцами) представляются в виде композиции кольцевого автоморфизма и автоморфизма–сопряжения, где автоморфизмом–сопряжением мы называем сопряжение элементов группы Шевалле в присоединенном представлении с помощью некоторой матрицы из нормализатора этой группы в GL (V ).

Далее, используя этот результат, мы сможем описать (доказать стандартность) автоморфизмы (элементарных) групп Шевалле ранга, большего одного, над произвольными коммутативными локальными кольцами с обратимой двойкой (и с необратимой двойкой для систем корней с простыми связями). Под стандартным автоморфизмом мы здесь будем иметь в виду композицию внутреннего, кольцевого, диаграммного и центрального автоморфизмов.

Для доказательства основной теоремы будут описаны нормализаторы присоединенных элементарных групп Шевалле в присоединенном представлении. Заметим, что нормализатор односвязанной группы Шевалле типа E6 в 27-мерном представлении описан Вавиловым и Лузгаревым в [12].

Результаты для систем корней Al, l 2, Dl, l 4, El, l = 6, 7, 8, над локальными кольцами с обратимой двойкой, опубликованы в работах [196] и [204]. Для систем корней F4 теоремы полностью доказаны в работе [198]. Системы корней B2 и G2 рассматривались в работе [195], в ней была доказана промежуточная теорема о том, что любой автоморфизм группы Шевалле рассматриваемого типа (для системы корней B2 над коммутативным кольцом с обратимой двойкой, для системы корней G2 — с обратимыми двойкой и тройкой) есть композиция кольцевого автоморфизма и автоморфизма–сопряжения.

В работе [205] полностью описаны автоморфизмы групп Шевалле типов Bl, l 2, над локальными кольцами с обратимой двойкой.

В работе [206] доказана стандартность автоморфизмов групп Шевалле в случае систем корней Al, l 2, Dl, l 4, El, l = 6, 7, 8, над локальными кольцами с необратимой двойкой.

Окончательные результаты для системы корней G2 (кольцо по-прежнему содержит 1/ и 1/3) опубликованы в работе [?]. В этой работе рассматриваются не автоморфизмы одной группы Шевалле, а изоморфизмы между двумя группами Шевалле. Показано, что такая задача абсолютно аналогична задаче об автоморфизмах, нужно поменять только несколько объектов, поэтому можно считать, что все теоремы доказаны и для изоморфизмов групп Шевалле рассматриваемых типов.

1.1 Определения и формулировки основных теорем Мы фиксируем систему корней ранга, большего одного. Подробные сведения о системах корней и их свойствах можно найти в книгах [64], [8]. То, как выглядят корни в системах разных типов, мы будем выписывать непосредственно в тех параграфах, где будем вести подсчеты для них. Предположим теперь, что у нас имеется полупростая комплексная алгебра Ли L типа с картановской подалгеброй H (подробную информацию о полупростых алгебрах Ли можно найти в книге [64]).

Можно выбрать базис {h1,..., hl } в H и для каждого элементы x L так, что {hi ; x } образуют базис в L и для любых двух элементов этого базиса их коммутатор является целочисленной линейной комбинацией элементов того же базиса.

Введем элементарные группы Шевалле (см., например, [56]).

Пусть L — полупростая алгебра Ли (над C) с системой корней, : L gl(V ) — ее конечномерное точное представление (размерности n). Если H — картановская подалгебра алгебры L, то функционал H называется весом данного представления, если существует ненулевой вектор v V (который называется весовым вектором) такой, что для любых h H (h)v = (h)v.

В пространстве V существует базис из весовых векторов такой, что все операторы (x )k /k! для k N записываются целочисленными (нильпотентными) матрицами. Этот базис называется базисом Шевалле. Целочисленная матрица также может рассматриваться как матрица над произвольным коммутативным кольцом с единицей. Пусть R — такое кольцо. Рассмотрим матрицы размера n n над R, матрицы (x )k /k! при, k N вложим в Mn (R).

Теперь рассмотрим автоморфизмы свободного модуля Rn вида Так как все матрицы (x ) нильпотентны, этот ряд конечен. Автоморфизмы x (t) называются элементарными корневыми элементами. Подгруппа в Aut (Rn ), порожденная всеми автоморфизмами x (t),, t R, называется элементарной группой Шевалле (обозначение: E (, R)).

Действие элементов x (t) на базисе Шевалле описано в работах [85], [173].

Все веса данного представления (по сложению) порождают решетку (свободную абелеву группу, в которой любой Z-базис также является C-базисом в H ), называемую решеткой весов.

Элементарные группы Шевалле определяются даже не представлением соответствующей алгебры Ли, а просто ее решеткой весов. Именно, с точностью до абстрактного изоморфизма элементарная группа Шевалле полностью определяется системой корней, коммутативным кольцом R с единицей и решеткой весов.

Среди всех решеток выделим решетку, соответствующую присоединенному представлению: она порождается всеми корнями (решетка корней ad ). Соответствующая элементарная группа Шевалле называется присоединенной.

Введем теперь группы Шевалле (см. [56], [93], [3], [85], [96], [171], [173], а также дальнейшие ссылки в этих работах).

Рассмотрим полупростые алгебраические группы над алгебраически замкнутыми полями. Это в точности элементарные группы Шевалле E (, K) (см. [56], § 5).

Все эти группы можно определить в группе SL n (K) как множество общих нулей полиномов от матричных коэффициентов aij с целочисленными коэффициентами (например, в случае системы корней Cl и универсального представления имеем n = 2l и полиномы, соответствующие условию (aij )Q(aji ) Q = 0). Ясно, что умножение и взятие обратного элемента также описываются полиномами с целыми коэффициентами. Таким образом, эти полиномы можно рассматривать как полиномы над произвольным коммутативным кольцом с единицей. Пусть некоторая элементарная группа Шевалле E над C определена в SL n (C) полиномами p1 (aij ),..., pm (aij ). Для коммутативного кольца R с единицей рассмотрим группу где p1 (... ),... pm (... ) — полиномы, имеющие те же коэффициенты, что и p1 (... ),..., pm (... ), но рассматриваемые над R.

Эта группа называется группой Шевалле G (, R) типа над кольцом R, и для любого алгебраически замкнутого поля K она совпадает с элементарной группой Шевалле.

Подгруппа диагональных (в стандартном базисе из весовых векторов) матриц в группе Шевалле G (, R) называется стандартным максимальным тором группы G (, R) и обозначается через T (, R). Эта группа изоморфна группе Hom (, R ).

Обозначим через h() элементы тора T (, R), соответствующие гомоморфизму Hom (, R ).

В частности, h (u) = h(,u ) (u R, ), где Заметим, что условие не выполняется даже в случае полей, не являющихся алгебраически замкнутыми. Покажем различие между группами Шевалле и их элементарными подгруппами в случае, когда кольцо R полулокально. В этом случае G (, R) = E (, R)T (, R) (см., например, [70]), а элементы h() связаны с элементарными порождающими формулой В случае полулокальных колец из формулы (1.1) видно, что показать, что Определим четыре типа автоморфизмов группы Шевалле G (, R), мы назовем их стандартными.

Центральные автоморфизмы. Пусть CG (R) — центр группы G (, R), : G (, R) CG (R) — гомоморфизм групп. Тогда отображение x (x)x из G (, R) на себя является автоморфизмом группы G (, R), который обозначается буквой и называется центральным автоморфизмом группы G (, R).

Кольцевые автоморфизмы. Пусть : R R — автоморфизм кольца R. Отображение (xi,j ) ((xi,j )) из G (, R) на себя является автоморфизмом группы G (, R), который обозначается той же буквой и называется кольцевым автоморфизмом группы G (, R). Заметим, что для всех и t R элемент x (t) отображается в x ((t)).

Внутренние автоморфизмы. Пусть S — некоторое кольцо, содержащее R, g — элемент группы G (, S), нормализующий подгруппу G (, R). Тогда отображение x gxg 1 является автоморфизмом группы G (, R), который обозначается ig и называется внутренним автоморфизмом, индуцированным элементом g G (, S). Если g G (, R), то назовем ig строго внутренним автоморфизмом.

Диаграммные (графовые) автоморфизмы. Пусть — автоморфизм системы корней такой, что =. Тогда существует единственный автоморфизм группы G (, R) (будем обозначать его той же буквой ) такой, что для любого и t R элемент x (t) переходит в x() (()t), где () = ±1 для всех и () = 1 для всех.

Аналогично мы можем определить четыре типа автоморфизмов элементарной подгруппы E(R). Автоморфизм группы G (, R) (или E (, R)) называется стандартным, если он является композицией автоморфизмов введенных четырех типов.

Наряду со стандартными автоморфизмами мы будем использовать следующий “временный” тип автоморфизмов элементарной присоединенной группы Шевалле:

Автоморфизмы-сопряжения. Пусть V — пространство представления группы E ad (, R), C GL (V ) — матрица, оставляющая группу Шевалле на месте:

Тогда отображение x CxC 1 из E (, R) на себя является автоморфизмом группы Шевалле, который обозначается i и называется автоморфизмом-сопряжением группы E(R), индуцированным элементом C группы GL (V ).

Главная наша цель — доказательство следующей основной теоремы:

Теорема 1.1. Пусть G = G (, R) (E (, R)) — (элементарная) группа Шевалле со следующими условиями:

1) если рассматривается система корней Al, Dl или El, l 3, то R — произвольное локальное коммутативное кольцо;

2) если рассматривается система корней A2, F4, Bl, Cl, l 2, то R — произвольное локальное коммутативное кольцо с 1/2;

3) если рассматривается система корней G2, то R — произвольное локальное коммутативное кольцо с 1/2 и 1/3.

Тогда любой автоморфизм группы G стандартен. Если группа Шевалле при этом присоединенная, то внутренний автоморфизм в композиции является строго внутренним.

Основной результат будет непосредственно следовать из следующих двух следующих теорем, доказательству которых посвящены все оставшиеся параграфы этой главы. Случай колец с необратимой двойкой будет рассмотрен полностью отдельно, так как для него приходится строить другое доказательство.

Теорема 1.2. Каждый автоморфизм элементарной присоединенной группы Шевалле рассматриваемого выше типа является композицией кольцевого, диаграммного автоморфизмов и автоморфизма–сопряжения.

Теорема 1.3. Каждый автоморфизм–сопряжение элементарной присоединенной группы Шевалле рассматриваемого типа является композицией строго внутреннего (сопряжения с помощью элемента соответствующей группы Шевалле) и диаграммного автоморфизмов.

Пример группы Шевалле типа A2 над локальными кольцами с необратимой двойкой, для которых существуют нестандартные автоморфизмы, можно найти в работе [48].

1.2 Замена изначального автоморфизма на специальный изоморфизм Несколько ближайших параграфов посвящены доказательству теоремы 1.2 для локальных колец с обратимой двойкой.

В этом параграфе система корней произвольная. В этом параграфе мы используем некоторые соображения из работы [47].

Пусть J — максимальный идеал (радикал) кольца R, k — поле вычетов R/J. Тогда EJ = E ad (, R, J) — наибольшая нормальная собственная подгруппа в E ad (, R) (см. [70]).

Таким образом, подгруппа EJ инвариантна относительно действия автоморфизма.

Значит, автоморфизм индуцирует автоморфизм Группа E ad (, k) является присоединенной группой Шевалле над полем, значит, автоморфизм стандартен (см. [56]), т. е. имеет вид где — кольцевой автоморфизм, индуцированный некоторым автоморфизмом поля k.

Ясно, что существует матрица g GL n (R) такая, что ее образ при факторизации R по J совпадает с g. Мы не можем быть уверены, что g N (E ad (, R)).

Рассмотрим отображение = ig1. Это изоморфизм группы E ad (, R) GL n (R) на некоторую подгруппу GL n (R), с тем свойством, что ее образ при факторизации R по J совпадает с автоморфизмом.

Проведенные рассуждения доказывают Предложение 1.1. Любая матрица A E ad (, R) с элементами из подкольца R в R, порожденного единицей, отображается при изоморфизме в матрицу из множества Пусть a E ad (, R), a2 = 1. Тогда элемент e = 1 (1 + a) является идемпотентом в кольце Mn (R). Этот идемпотент e определяет разложение свободного R-модуля V Rn :

(модули V0, V1 свободны, так как любой проективный модуль над локальным кольцом свободен [128]). Пусть V = V 0 V 1 — разложение k-модуля (линейного пространства) V k n по отношению к a, и e = 1 (1 + a).

Тогда имеем Предложение 1.2. Модули (подпространства) V 0, V 1 являются образами модулей V0, V1 при факторизации по J.

Доказательство. Обозначим образы модулей V0, V1 при факторизации по J через V0, V1, соответственно. Так как V0 = {x V |ex = x}, V1 = {x V |ex = 0}, то e(x) = 1 (1 + a)(x) = (1 + a(x)) = 1 (1 + a(x)) = e(x). Тогда V0 V 0, V1 V 1.

x = x0.

Пусть b = (a). Тогда b2 = 1 и b сравнимо с a по модулю J.

Предложение 1.3. Предположим, что a, b E (, R), a2 = b2 = 1, a — матрица с элементами из подкольца R R, порожденного единицей, b и a сравнимы по модулю J, V = V0 V1 — разложение V по отношению к a, V = V0 V1 — разложение V по отношению к b. Тогда dim V0 = dim V0, dim V1 = dim V1.

Доказательство. Мы имеем R-базис модуля V {e1,..., en } такой, что {e1,..., ek } V0, {ek+1,..., en } V1. Ясно, что Пусть V = V 0 V 1, V = V 0 V 1 — разложения k-модуля (пространства) V по отношению к a и b. Ясно, что V 0 = V 0, V 1 = V 1. Таким образом, по предложению 1.2 образы модулей V0 и V0, V1 и V1 при факторизации J совпадают. Возьмем такие {f1,..., fk } V0, {fk+1,..., fn } V1, что f i = ei, i = 1,..., n. Так как матрица перехода от {e1,..., en } к {f1,..., fn } обратима (сравнима с единичной матрицей по модулю J), то {f1,..., fn } — это R-базис в V. Ясно, что {f1,..., fk } является R-базисом в V0, {vk+1,..., vn } — R-базисом в V1.

1.3 Образы элементов wi Рассмотрим некоторую фиксированную присоединенную группу Шевалле E = E ad (, R) с системой корней ранга, большего двух, ее присоединенное представление в группе GL n (R) (n = l+2m, где m — число положительных корней системы ), с базисом из весовых векторов v1 = x1, v1 = x1,..., vn = xn, vn = xn, V1 = h1,..., Vl = hl, соответствующему базису Шевалле системы.

У нас также есть изоморфизм, описанный в параграфе 2.

Рассмотрим матрицы h1 (1),..., hl (1) в нашем базисе. Они имеют вид на (2j 1)-м и (2j)-м местах стоят 1 тогда и только тогда, когда i, j = 1. Как мы видим, для всех i hi (1)2 = 1.

В соответствии с предложением 1.3 мы знаем, что любая матрица hi = (hi (1)) в некотором базисе диагональна с ±1 на диагонали, и число 1 и 1 совпадает с их числом для матрицы hi (1). Так как все матрицы hi коммутируют, то существует базис, в котором все hi имеют тот же вид, что и hi (1) в изначальном базисе из весовых векторов. Предположим, что мы перешли к этому базису с помощью матрицы g1. Ясно, что g1 GL n (R, J). Рассмотрим отображение 1 = i1. Оно также является изоморфизмом группы E на некоторую подгруппу GL n (R) таким, что его образ при факторизации R по J есть, и 1 (hi (1)) = hi (1) для всех i = 1,..., l.

Вместо изоморфизма будем теперь рассматривать изоморфизм 1.

Любой элемент wi = wi (1) переводит сопряжением hi друг в друга, поэтому его образ должен иметь блочно-мономиальный вид. В частности, этот образ можно записать как блочно-диагональную матрицу, где первый блок имеет размер 2m 2m, а второй — l l.

Рассмотрим первый вектор базиса, к которому мы перешли в результате последней замены. Обозначим его через e. Группа Вейля W транзитивно действует на множестве корней одной длины, поэтому для каждого корня i той же длины, что и первый корень, существует такой w(i ) W, что w(i ) 1 = i. Аналогично, все корни второй длины также сопряжены под действием группы Вейля. Пусть k — первый корень длины, отличной от длины корня 1, и пусть f — k-ый вектор базиса, к которому мы перешли в результате последней замены. Если j — корень, сопряженный с k, то обозначим через w(j ) элемент группы Вейля такой, что w(j ) k = j. Рассмотрим теперь базис e1,..., e2m, e2m+1,..., e2m+l, где e1 = e, ek = f, при 1 < i 2m либо ei = 1 (w(i ) )e, либо ei = 1 (w(i ) )f в зависимости от того, какую длину имеет корень k ; при 2m < i 2m + оставим ei прежним. Понятно, что матрица для такой замены базиса сравнима с единицей по модулю радикала. Отсюда следует, что полученный набор векторов снова будет базисом.

Очевидно, что матрица для 1 (wi ) (i = 1,..., l) в части базиса {e1,..., e2m } совпадает с матрицей для wi в исходном базисе из весовых векторов. Так как hi (1) — это квадраты wi, то их образы также не изменяются в новом базисе.

Кроме того, мы знаем, что матрица 1 (wi ) блочно-диагональна относительно разделения базиса на первые 2m и последние l элементов. Таким образом, последнюю часть базиса, состоящую из l элементов, мы можем заменять независимо.

Будем обозначать сами элементы и их образы на этой части базиса через wi и wi, соответственно. Это матрицы размера l l. Значит, последнюю часть базиса, состоящую из l элементов, можно менять независимо.

Обозначим матрицы wi и 1 (wi ) на этой части базиса через wi и 1 (wi ), соответственно.

Все эти матрицы являются инволюциями, при этом у них ровно одна 1 в диагональной форме. Пусть V = V0i V1i — разложение матрицы 1 (wi ).

Лемма 1.1. Матрицы 1 (wi ) и 1 (wj ), при i = j, коммутируют тогда и только тогда, когда V1i V0j и V1j V0i.

Доказательство. Если 1 (wi ) и 1 (wj ) коммутируют, то (свободный одномерный) подмодуль V1i является собственным для 1 (wj ) и (свободный одномерный) подмодуль V1j является собственным для 1 (wi ). Таким образом, либо V1i V1j, либо V1i V0j. Если V1i V1j, то V1i = V1j. Так как модуль V0i инвариантен для 1 (wj ), то V0i V0j, следовательно, V0i = V0j, и, значит, 1 (wi ) = 1 (wj ) и мы приходим к противоречию. Следовательно, V1i V0j, и, аналогично, V1j V0i.

Теперь по отдельности рассмотрим случаи различных систем корней.

1.3.1 Системы корней Al, Dl, El Лемма 1.2. Для любой рассматриваемой системы корней существует такой базис в V, что матрица 1 (w1 ) в этом базисе имеет тот же вид, что и w1, т.е. равна Доказательство. Так как w1 — инволюция, а V11 имеет размерность 1, то существует базис {e1, e2,..., el }, в котором 1 (w1 ) имеет вид diag [1, 1,..., 1]. В базисе {e1, e 1/2e1, e3,..., el } матрица 1 (w1 ) имеет искомую форму.

Лемма 1.3. Для системы корней A2 существует такой базис, что 1 (w1 ) и 1 (w2 ) в этом базисе имеют тот же вид, что w1 и w2, т.е. равны соответственно.

Доказательство. По лемме 1.2 можно найти базис в V такой, что матрица 1 (w1 ) в этом базисе имеет тот же вид, что и w1. Пусть матрица 1 (w2 ) в этом базисе — это Произведем замену базису с помощью матрицы (эта замена корректна, так как c 1 mod J). При этой замене базиса матрица 1 (w1 ) не меняет вид, а матрица 1 (w2 ) становится Так как эта матрица имеет порядок два, то a + d = 0, a 2 + b = 1. Значит, d = a. Теперь используем условие Это условие дает (вторая строка, первый столбец) 1 2a = 1, следовательно, a = 1. Из a 2 + b = 1 следует b = 0.

Лемма 1.4. Для любой системы корней = A2 можно выбрать базис в V такой, что матрицы 1 (w1 ) и 1 (w2 ) в этом базисе имеют тот же вид, что и w1 и w2, соответственно.

Доказательство. Пересечение модулей V01 и V02 — это свободный модуль размерности Кроме того, по лемме 1.2 мы можем считать, что 1 (w1 ) имеет тот же вид, что и w1. Мы теперь можем рассматривать не весь модуль V, а его ограничение на первые три базисных Проведем замену базису с помощью матрицы при этом не поменяется 1 (w1 ), но 1 (w2 ) перейдет в Теперь используем те же условия, что и в предыдущей лемме. Первое — это 1 (w2 ) 1 = 0 (соотн. 1), второе — (1 (w1 )1 (w2 ))2 1 (w2 )1 (w1 ) = 0 (соотн. 2). Если вычесть соотношение 1 из соотношения 2, мы получим (строка 2, столбец 1) a1 = 1, (строка 2, столбец 2) a2 = 0, то из соотн. 1, строка 1, столбец 3, мы получим a3 (1 + c3 ) = 0. Так как c3 1 mod J, то a3 = 0. То же соотношение (строка 2, столбец 3) дает b3 (b2 + c3 ) = 0, а так как b3 R, то c3 = b2.

Снова взяв замену базиса, но с помощью матрицы мы не меняем 1 (w1 ), а 1 (w2 ) переходит в Тогда прямо из соотношения 1 получаем b = 1, c = 0, и последняя замена базиса с помощью матрицы diag [1, 1, b ] дает нам требуемую форму для 1 (w1 ) и 1 (w2 ).

Лемма 1.5. Для системы корней D4 существует такой базис, что 1 (w1 ), 1 (w2 ), 1 (w3 ) и 1 (w4 ) в этом базисе имеют тот же вид, что и w1, w2, w3, и w4, т.е. равны соответственно.

Доказательство. Сначала возьмем такой базис, что 1 (w1 ), 1 (w3 ), 1 (w4 ) имеют тот же вид, что и изначальные w1, w3, w4. Мы это можем сделать, так как w1, w3, w4 являются коммутирующими инволюциями, существует базис, в котором 1 (w1 ), 1 (w3 ), 1 (w4 ) имеют вид diag [1, 1, 1, 1], diag [1, 1, 1, 1], diag [1, 1, 1, 1], соответственно. Далее, сопрягая мы переходим к требуемому базису. Теперь посмотрим на 1 (w2 ). Имеем следующие соотношения: w2 = 1 (соотн. 1), (w1 w2 )2 = w2 w1 (соотн. 2), (w3 w2 )2 = w2 w3 (соотн. 3), (w4 w2 ) = w2 w4 (соотн. 4). Пусть Рассмотрим теперь замену базиса с помощью матрицы мы тогда не поменяем 1 (w1 ), 1 (w3 ), 1 (w4 ), а 1 (w2 ) становится (для краткости мы не ставим штрихи).

Теперь из 4-ой строки разности соотношений 1 и 2 следует d2 = d3 = 0, d4 = 1.

Строка 2, столбец 4 разности соотношений 1 и 4 дает b4 (b4 1) = 0. Так как b4 R, получаем b4 = 1.

Теперь, взяв замену базиса с помощью матрицы мы не меняем 1 (w1 ), 1 (w3 ), 1 (w4 ), а 1 (w2 ) становится (мы снова не ставим штрихи для краткости).

Теперь строка 1, столбец 3 соотношения 1 дает a2 b3 = 0 a2 = 0, строка 1, столбец соотношения 1 дает a2 = 1 a1 = 1, строка 1, столбец 4 дает 2a4 = 0 a4 = 0. Строка 2, столбец 4 разности соотношений 1 и 2 дает b1 = 1, строка 3, столбец 4 дает c4 = c1. Строка 2, столбец 3 соотношения 1 дает c3 = b2.

Наконец, взяв замену базиса с помощью матрицы мы не поменяем 1 (w1 ), 1 (w3 ), 1 (w4 ), а 1 (w2 ) станет равной После этого строка 2, столбец 3 соотношения 3 дает b2 = 1, и тогда соотн. 1 дает c1 = c2 = 0.

Лемма 1.6. Предположим, что у нас есть некоторая система корней и элементы 1 (wi1 ) = wi1,..., 1 (wik ) = wik, и также 1 (wik+1 ), где выполнен один и следующих случаев:

Тогда можно выбрать такой базис в V, что 1 (wi1 ) = wi1,..., 1 (wik+1 ) = wik+1.

Доказательство. Во всех случаях 1 (wik+1 ) коммутирует со всеми 1 (wi1 ) = wi1,..., 1 (wik1 ) = wik1, следовательно (см. лемму 1.1), для всех j = i1,..., ik1 V1j V0 k+1. Так как V1i · · · V1 k1 = ei1,..., eik1, мы получаем, что 1 (wik+1 ) тождественна на первых k базисных векторах. Как и в лемме 1.4, мы получаем, что 1 (wik+1 ) тождественна на последних l k 2 базисных векторах. Таким образом, мы можем ограничить 1 (wik+1 ) на часть базиса {ek, ek+1, ek+2 } (без потери общности). Теперь доказательство становится полностью аналогичным доказательству леммы 1.4.

Предложение 1.4. Для любой из систем корней = Al, Dl, El мы можем выбрать базис в V такой, что матрицы 1 (w1 ),..., 1 (wl ) в этом базисе имеют вид w1,..., wl, соответственно.

Доказательство. В случае системы корней A2 мы можем использовать лемму 1.3. Если = Al, l 3, то применим лемму 1.4, после этого лемму 1.6 l 3 раз, и, наконец, те же рассуждения, что и в лемме 1.3, для элемента 1 (wl ).

Если = Dl, то применим лемму 1.5 для корней l3,..., l, затем лемму 1.6 l раз к корням l4,..., 2, и, наконец, те же аргументы, что и в лемме 1.3, для элемента 1 (w1 ).

Если = El, то применим лемму 1.5 к корням 2,..., 5, затем лемму 1.6 к корням 6,..., l1, и, наконец, те же рассуждения, что и в лемме 1.3, к элементам 1 (w1 ) и 1 (wl ).

1.3.2 Системы корней Bl Матрица w1 единична на позициях 3,..., l, на позициях 1, 2 она имеет вид Матрицы wi, i = 2,..., l 1, единичны на позициях 1,..., i 2, i + 2,..., l, а на позициях Матрица wl единична на позициях 1,..., l 2, а на позициях l 1, l имеет вид Пусть V = V0i V1i — разложение матрицы wi.

Лемма 1.7. Для системы корней Bl существует такой базис в V, что матрица w1 в этом базисе имеет тот же вид, что и w1, т.е. равна Доказательство. Так как w1 — инволюция, а V11 имеет размерность 1, то существует базис {e1, e2,..., el }, в котором w1 имеет вид diag [1, 1,..., 1]. В базисе {e1, e2 1/2e1, e3,..., el } матрица w1 имеет искомую форму.