«Громов Александр Николаевич ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ ПЕРЕСТРАХОВАНИЯ И ИНВЕСТИРОВАНИЯ В СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ РИСКА 01.01.05 теория вероятностей и математическая статистика Диссертация на соискание ученой степени ...»

Множество всех таких стратегий обозначим V. Пусть далее перестраховщик рассчитывает свою премию, исходя из принципа среднего с положительной нагрузкой > 0. При этом предполагается, что так как в противном случае цедент мог бы перестраховать весь свой риск и при этом получить прибыль. Обозначим := (1 + ). Капитал Rt страховой компании при использовании некоторой допустимой стратегии перестрахования V = (Vt )t0 = (bt, Mt )t равен где s > 0 начальный капитал. Наша задача состоит в минимизации вероятности разорения страховой компании, что эквивалентно задаче максимизации вероятности неразоV рая нас и будет интересовать) как V (s) = P {V = |R0 = s} = 1 V (s). Рассмотрим величину Определение 1.2. Допустимая стратегия V = (Vt )t0 V оптимальна, если (s) = V (s).

Основная задача данного параграфа установить существование оптимальной стратегии V = (Vt )t0. Будет доказано, что оптимальная стратегия существует и может быть задана следующим образом:

1.1.1 Уравнение Беллмана–Гамильтона–Якоби заметим, что для случая отсутствия перестрахования в [28] показано, что вероятность неразорения 0 (s) удовлетворяет следующему интегро–дифференциальному уравнению Зафиксируем произвольное > 0; из (1.3) по определению супремума следует, что для всякого s 0 найдется такая стратегия V = (Vt )t0, что (s) > (s). Для достаточно малого промежутка времени h > 0 рассмотрим стратегию V = (Vt )t0, заданную для t следующим образом где b > 0, M > 0 произвольные постоянные из множества Заметим, что последнее условие обеспечивает положительный приток премий в страховую компанию.

Пусть K(b, M ) := c E min[M, max(0, Y b)]. Тогда по формуле полной вероятности получаем следующее:

Поскольку произвольно, можем взять сколь угодно близко к 0, делим все на h и получаем:

В последнем неравенстве устремим h к 0 и получим, что Следовательно, С другой стороны, переходя в (1.7) к пределу по b при фиксированном M (то есть рассмотрев случай отсутствия перестрахования), получим следующее выражение под знаком sup:

которое, как следует из уравнения (1.4) (для производной вероятности неразорения при отсутствии перестрахования), равно нулю. Значит, оптимальная вероятность неразорения (s) удовлетворяет следующему уравнению Заметим, что для всех (b, M ) D по определению выполнено K(b, M ) > 0. В таком случае уравнение (1.8) равносильно следующему Поскольку sup[f (x)] = inf f (x), то окончательно получим следующее уравнение:

1.1.2 Существование решения уравнения Беллмана–Гамильтона– В данном разделе будет доказано существование решения уравнения (1.9). Однако, прежде чем формулировать основную теорему докажем полезное вспомогательное утверждение.

Лемма 1.1. Пусть функция (s) непрерывна при s 0, непрерывно дифференцируема при s > 0 и (s) = 0 при s < 0. Тогда инфимум функции по всем (b, M ), удовлетворяющим (1.5), и при фиксированном s 0, достигается (ii) либо при b = b s, M = M, где (b, M ) суть решение системы Доказательство. Прежде всего, проведем некоторые вспомогательные преобразования.

Введем обозначения для числителя и знаменателя дроби в определении H(s, b, M ):

Преобразуем числитель:

E(s, b, M ) := ((s) E[(s min{Y, b} max{0, Y b M })]) = Откуда получаем, что E(s, b, M ) равен:

учитывая что (s) = 0 при s < 0. Аналогичным образом поступим со знаменателем:

D(s, b, M ) := c E min{M, max(0, Y b)} = c + E[max(0, Y b M ) max(0, Y b)] = Наконец, можем найти частные производные функции H(s, b, M ):

Рассмотрим задачу Лагранжа классического вариационного исчисления с ограничениями типа неравенств: Запишем функцию Лагранжа для данной задачи и систему уравнений Лагранжа Произведем привычный в подобных задачах разбор случаев:

1. 1 = 0. Тогда из первого и второго выражения системы (1.12) получаем:

Отсюда, в силу неотрицательности i имеем:

b) либо Q(b + M ) = Q(b) и Q(b + M ) = 1. Формально такая система конечных решений не имеет и окончательно, заключаем, что в случае 1 решений нет.

Замечание 1.1. Однако, оба равенства справедливы, если рассмотреть b при фиксированном M (что соответствует случаю отсутствия перестрахования). При этом, значение функции H(s, b, M ), как несложно видеть, равно:

2. 1 = 0. Без ограничения общности, считаем 1 = 1. Нетрудно видеть, что 2 = 3 = 4 = 0.

a) Пусть b s. Получаем простую систему:

из которой, используя выражения для частных производных, непосредственно получаем систему уравнений для нахождения стационарных точек задачи Лагранжа b) Пусть b > s. Получаем систему Q(b + M ) = Q(b) и Q(b + M ) = 1, которая, как уже отмечено выше, конечных решений не имеет.

Собрав воедино все разобранные случаи, мы получаем утверждение леммы.

Теперь, мы можем доказать основную теорему о существовании решения.

Теорема 1.1 (О существовании). Существует неубывающее решение (s) уравнения (1.9), непрерывное на [0, +) и непрерывно дифференцируемое на (0, +); кроме того, Доказательство. Определим последовательность функций n (s) следующим образом:

0 (s) = 0 (s) вероятность неразорения при отсутствии перестрахования, и для n = 0, 1, 2,....

Докажем по индукции, что n+1 (s) n (s). Действительно, при n = 0 имеем, с одной стороны, согласно уравнению (1.4) для вероятности неразорения при отсутствии перестрахования:

с другой стороны, согласно (1.14) получаем:

Нетрудно видеть, что 1 (s) 0 (s), поскольку выражение, от которого берется точная нижняя грань, при b = совпадает с 0 (s). Предположим теперь, что n (s) n1 (s), покажем n+1 n (s). Действительно, для любых (b, M ):

n+1 (s)(cE min{M, max(0, Y b)}) n (s)E[n (smin{Y, b}max{0, Y bM })] = Соответственно, Далее, нетрудно показать, что n (s) = 0 при s < 0. Действительно, для 0 (s) = 0 (s) это очевидно, а для n (s) легко получается по индукции: для этого достаточно обратиться к выражению (1.14).

Докажем теперь, что n (s) > 0. Рассмотрим функцию двух переменных вию (1.5), положителен. Снова применяем метод математической индукции. При n = утверждение очевидно. Допустим, что неравенство выполнено для n (s). Cогласно лемме 1.1, точная нижняя грань в выражении (1.14) может принимать одно из двух значений:

так как в силу предположения индукции n (s) > 0 и, следовательно, n (s) строго возрастает.

(ii) по предположению индукции.

Таким образом, n (s) убывающая последовательность непрерывных функций, причем n (s) > 0. Значит, существует предел последовательности функций lim n (s) = (s), приn чем (s) 0. Положим (s) = 1 (u)du, тогда функция (s) удовлетворяет уравнению:

Необходимо показать непрерывность функции (s). Пусть s1 > s2, имеем Из этой оценки и будет следовать непрерывность.

Наконец, покажем, что (s) > 0 для s 0, то есть (s) строго возрастает. Действительно, согласно лемме 1.1, (s) может принимать следующие значения:

Допустим, что s0 = inf{s : (s) = 0} <. Тогда найдется s s0 :

что противоречит определению s0.

противного. Допустим, что s0 = inf{s : (s) = 0} <. Тогда s0 :

что противоречит определению s0.

1.1.3 Существование оптимальной стратегии перестрахования Прежде чем перейти к формулировке и доказательству основной теоремы данного параграфа, нам понадобятся несколько вспомогательных утверждений.

В работе М. Шэля [40] доказана следующая лемма для композиции двух абсолютно непрерывных функций.

Лемма 1.2. Пусть H абсолютно непрерывная функция, заданная на интервале I, т.е.

для некоторой локально интегрируемой функции h на I. Пусть функция G : [x0, ) I также абсолютно непрерывна, т.е.

для некоторой локально интегрируемой функции g на [x0, ). Тогда, если функция g строго положительна, то композиция H G абсолютно непрерывна и имеет место равенство В работе [40] приводится следующее утверждение.

Лемма 1.3. Пусть n := ((T1, Y1 ), (T2, Y2 ), · · ·, (Tn, Yn )), где {Tn } пуассоновский поток, а {Yn } н.о.р. случайные величины c функцией распределения Q; тогда для любой измеримой ограниченной снизу функции : R2n R имеет место следующее равенство Мы воспользуемся леммой 1.3 для доказательства следующего утверждения.

Доказательство. Распишем искомое математическое ожидание E[Kt ] = E[(Xt )] следующим образом и рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

Первое слагаемое в (1.17) соответствует случаю, когда до момента t не было ни одного убытка. В таком случае, капитал компании в момент t равен в (1.17) равно Теперь рассмотрим второе слагаемое в сумме (1.17), оно соответствует случаю, когда к моменту времени t произошел хотя бы один убыток. Распишем это слагаемое следующим образом E[(Xt )] = E[(Xt ) (XTNt 1 )] +... + E[(XTn+1 (XTn )] +... + E[(XT1 ) (X0 )].

Рассмотрим моменты Tn и Tn+1, и применим утверждение леммы 1.3 к функции (XTn+1 ) (XTn ), приняв T0 := 0:

E[(XTn+1 )(XTn )] = E Тогда второе слагаемое равно Сложив эти величины и учитывая (1.18), получим утверждение леммы.

Наконец, нам еще понадобится теорема об измеримом выборе. В [7] приводится следующая формулировка Лемма 1.5 (Теорема об измеримом выборе). Пусть X метрическое пространство, компактное метрическое пространство, D полунепрерывна снизу. Рассмотрим функцию f (x) = min f (x, z). Тогда существует измеримая функция : DX Z, такая что f (x, (x)) = f (x).

Теперь мы можем перейти к доказательству основной теоремы данного параграфа теоремы о верификации.

Теорема 1.2 (О верификации). Существует измеримая функция V (s) = (b (s), M (s)), такая что точная нижняя грань в уравнении (1.9) для всякого s 0 достигается в точке (b (s), M (s)). Кроме того, стратегия V = (Vt )t0 = (b, Mt )t0, заданная по правилу b = b (Rt ), Mt = M (Rt ), t 0, оптимальна, т.е. V (s) V (s) для любой допустимой стратегии V V.

Доказательство. Доказательство этой теоремы разобьем на две части. В первой мы докажем существование измеримой функции V (s), а во второй покажем оптимальность определяемой ею стратегии.

1. Существование измеримой функции V (s) мы докажем, основываясь на общей теореме об измеримом выборе 1.5. В нашем случае, в качестве пространства X мы рассмотрим вещественную прямую R, в качестве U с конечной метрикой некоторая метрика на плоскости R2 (например, можно взять евклидово расгде d2 (x, u) стояние). Нетрудно понять, что в таком случае U компактное метрическое пространство.

Далее, рассмотрим функцию H(s, b, M ), определенную в лемме 1.1:

где (s) решение уравнения (1.9), построенное в доказательстве теоремы 1.3, а функция H определена на множестве R D, где Нетрудно показать, что функция f непрерывна на R D как композиция непрерывных функций (например, это можно сделать, расписав все математические ожидания в (1.19) через интегралы, как это делается в доказательстве леммы 1.1). Далее, заметим, что при таком определении пространств X и U имеем Непосредственно к множеству RD применить указанную выше теорему мы не можем, т.к.

оно не является замкнутым. Поэтому рассмотрим для любого натурально го n множество Dn := {(b, m)|b 1/n, M 1/n, cE min{M, max(Y b, 0)} 1/n} и применим теорему об измеримом выборе к множеству [0, n] Dn. В результате, мы получим, что для любого n N существует измеримая функция n (s), определенная на отрезке [0, n], со значениями в Dn и такая, что H[s, n (s)] = H (s). Тогда предел таких функций есть измеримая функция limn n := : [0, +) D и такая, что f [s; (s)] = f (s). Окончательно, обозначив V (s) := (s) мы получаем утверждение первой части теоремы.

2. Пусть (s) решение уравнения (1.9), существование которого доказано в предыдущей главе; напомним, что согласно теореме 1.1 это решение обладает следующими свойствами: 0 (s) 1, (s) = 0 при s < 0 и lim (s) = 1. Положим (s) = (s); мы покажем, что эта функция есть искомый супремум в (1.3).

Более строго, мы докажем, что стратегия V = (Vt )t0 = (b, Mt )t0 = (b (Rt ), M (Rt ))t0, которая определяется измеримой функцией V (s) = ( (s), M (s)), такова, что (s) = V (s) (то есть вероятность неразорения компании при использовании стратегии V равна (s)); более того, для любой предсказуемой стратегии V имеем V (s) V (s).

Пусть Rt и Rt это капитал страховой компании в момент t при использовании стратегии Vt и некоторой произвольной допустимой стратегии Vt соответственно; также пусть и соответствующие моменты разорения. Введем обозначения Xt и Xt соответственно для остановленных (в момент разорения) процессов Rt и Rt, а Kt и Kt для преобразованных процессов, а именно:

Далее, в лемме 1.4 установлено, что для математического ожидания E[Kt ] (ровно как и для E[Kt ]) справедлива следующая формула Заметим теперь, что для любой стратегии Vt = (bt, Mt ) из уравнения Беллмана–Гамильтона– Якоби (1.9) следует, что для всякого t причем для стратегии Vt достигается равенство. Сложив (1.20) и (1.21) получаем, что причем для стратегии Vt достигается равенство. Наконец, устремляя t 0, мы получаем, что (s) = V (s) и V (s) V (s) для любой другой стратегии Vt.

1.1.4 Численные примеры Пример 1.1 (Случай экспоненциального распределения убытков). Итак, рассмотрим для начала случай, когда поступающие требования Yi exp(l), i 1. Даже в этом, на первый взгляд простом, случае невозможно найти решение уравнения Беллмана–Гамильтона– Якоби (1.9) аналитически. Для построения функции (s) решения уравнения (1.9) был использован метод построения последовательных приближений искомого решения функциями n (s), описанный в доказательстве теоремы 1.1. Случай экспоненциально распределенных убытков замечателен тем, что для первого шага приближений (т.е. функции 0 (s) = 0 (s) вероятности неразорения при отсутствии перестрахования) найдено (см., например, [28]) явное выражение, а именно:

В данном примере в расчете использованы следующие значения параметров: c = 1.5, = 1.6, = 1, l = 1. В качестве начального значения возьмем (0) = 0 (0), затем нормируем (s), поделив на (s0 ), где s0 достаточно велико. На рис. 1.1 (верхний график) показано решение (s) уравнения (1.9), то есть вероятность неразорения компании, которая использует оптимальную стратегию перестрахования; легко видеть, что эта вероятность существенно больше вероятности неразорения при отсутствии перестрахования (нижний график). На рис. 1.2 показаны функции b (s) и M (s) для s [0, 10], определяРис. 1.2: Функции b (s) и M (s) в случае экспоненциального распределения ющие оптимальную стратегию. Для малых s оптимальной стратегией будет пара (, 0), т.е. отсутствие перестрахования вообще. Начиная с s 0.3 до s 2.2, величина b (s) s и в то же время ширина полосы перестрахования M (s) убывает.

Для того, чтобы пояснить вид графиков функций b (s) и M (s), изображенных на рис.

1.2, мы рассмотрим функцию и продемонстрируем ее поведение, в зависимости от параметров (b, M ) при различных значениях s. Так, на рис. 1.3 показана функция H(s, b, M ) как функция от b при достаточно малых s и M = {0.1, 0.2, 0.3}. Нетрудно видеть, что в минимальное значение эта функция принимает при b.

Далее, рассмотрим рис. 1.4. На нем изображены графики функции H(s, b, M ) для s = 2.1 (верхний график), 2.2 (средний график) и 2.5 (нижний график) и M = 0.1 (т.е. мы фиксируем оптимальное M = 0.1, для того, чтобы показать выбор оптимального b ). Из рисунка видно, что при для s = 2.1 минимальное значение достигается при b = 2.1, т.е.

в точке до скачка, а при больших s минимум функции H(s, b, M ) достигается уже при b 0.8. Заметим, что скачок во всех случаях обуславливается видом числителя функции H(s, b, M ). Действительно, указанный числитель, расписанный через интегралы, имеет Рис. 1.3: Графики функции H(s; b, M ) при Рис. 1.4: Графики функции H(s, b, M ) при вид и нетрудно видеть, что при b > s последние два слагаемых равны 0.

Пример 1.2 (Случай убытков распределенных по Парето). Наконец, рассмотрим еще случай распределения Парето с параметрами и, другими словами пусть убытки Yi имеют плотность распределения В данном примере используем следующие значения параметров: = 1 и = 2, также, как и в случае экспоненциального распределения выбираем = 1, c = 1.5 и = 1.7.

В точке s = 0 при отсутствии перестрахования имеем 0 (s) = 1 c1 ( 1)1. На рис.

1.5 показаны графики функций b (s) и M (s), определяющих оптимальную стратегию, в описанной ситуации. В отличие от первого примера, в данном случае не существует s, такого что b (s) = s, т.е. мы всегда выбираем b (s) < s.

Рис. 1.5: Функции b (s) и M (s) в случае распределения Парето §1.2 Оптимальная стратегия перестрахования и инвестирования Внесем некоторые изменения в модель, рассмотренную в предыдущем параграфе: кроме возможности отдать часть рисков в перестрахование, компания также имеет возможность вложить часть средств в некий рисковый актив.

Для облегчения технических выкладок, в данном параграфе рассматривается неограниченное перестрахование эксцедента убытка, а именно, при поступлении убытка Yi, i страховая компания выплачивает min{Yi, b}, а перестраховщик c(b) часть страховой премии, оставшаяся у страховой компании после выплаты перестраховочной премии; предполагается, что функция c(·) возрастает (иначе получилось бы, что чем больше перестраховочное покрытие, тем оно дешевле), непрерывна и c() = c. В случае использования стратегии перестрахования b = (bt )t0, предсказуемой относительно фильтрации F, капитал страховой компании равен и удовлетворяет следующему стохастическому дифференциальному уравнению (СДУ) где Ut = Кроме того, мы предполагаем, что страховая компания имеет возможность вкладывать средства в некий рисковый актив. При этом считаем, что рассматриваемая ситуация идеальна в том смысле, что компания имеет возможность вложить больше средств, чем у нее имеется на настоящий момент, взяв для этого беспроцентный кредит. Рыночная стоимость Zt этого рискового актива (или стоимость акции), как в стандартной модели Блэка–Шоулса, представляет собой геометрическое броуновское движение и, соответственно, удовлетворяет следующему СДУ где Wt стандартное броуновское движение, а параметры, µ > 0. Таким образом, Zt это стоимость в момент t одной денежной единицы, инвестированной в начальный момент.

Страховая компания определяет размер At средств, инвестируемых в актив в момент t, или, другими словами, компания в момент t является держателем t = At /Zt акций.

(Ft )t0, где F t наименьшая –алгебра, относительно которой измеримы Ru, заданный в (1.1), и Wu для u t.

По аналогии с первым параграфом дадим следующее Определение 1.3. Назовем стратегией перестрахования и инвестирования случайный процесс V = (Vt )t0 = (At, bt )t0 такой, что процессы (At )t0 и (bt )t0 предсказуемы относительно фильтрации F. Стратегия V допустимая, если At 0, bt > 0 п.н. для t 0.

Множество допустимых стратегий перестрахования и инвестирования обозначим V1.

Нетрудно видеть, что капитал страховой компании Rt при использовании стратегии V V1 удовлетворяет следующему стохастическому дифференциальному уравнению где Rt капитал компании, при использовании только стратегии перестрахования эксцеNt для следующего выражения Для того, чтобы интеграл Ито в правой части верхнего равенства был определен корректно, мы полагаем процесс At локально ограниченным. Напомним, что случайный процесс At называется локально ограниченным, если найдется последовательность n моментов остановки (относительно естественной фильтрации) и числовая последовательность cn такие, что n и |An I{n > 0}| cn п.н. для любого n N.

Пусть V это момент разорения страховой компании, использующей стратегию V, V = inf{t 0 : Rt < 0}. Тогда вероятность неразорения компании с начальным капитаV лом s > 0 равна Оптимальность стратегии состоит в том, что она максимизирует вероятность неразорения.

А именно, как и в предыдущем параграфе, мы будем рассматривать величину и нашей основной задачей будет выяснить существование оптимальной стратегии V = (Vt )t0, то есть такой, при которой (s) = V (s).

1.2.1 Уравнение Беллмана–Гамильтона–Якоби Будем предполагать, что функция (s) дважды непрерывно дифференцируемая, стохастические интегралы по броуновскому движению являются мартингалами, а также, что все пределы и математические ожидания перестановочны.

Далее мы выведем уравнение Беллмана–Гамильтона–Якоби для оптимальной вероятности неразорения:

с граничными условиями () = 1 и (s) = 0 при s < 0.

Для удобства дальнейших рассуждений мы рассмотрим процесс XtV, заданный следующим образом где процесс риска Rt соответствующий стратегии V V1 определен в (1.24).

Зафиксируем произвольное > 0; по определению супремума для всякого s 0 найдется такая допустимая стратегия V 0 = (Vt0 )t0 = (A0, b0 )t0, что V (s) > (s). Расtt смотрим достаточно малый промежуток времени [0, dt] и стратегию V V1 такую, что на промежутке [0, dt] она не меняется, а дальше совпадает с V Заметим, что для компании, использующей стратегию V возможны два случая:

1. за время [0, dt] происходит один убыток Y с вероятностью dt + o(dt);

2. за время [0, dt] не происходит убытков с вероятностью 1 dt + o(dt).

Поэтому, по формуле полной вероятности Вычислим второе слагаемое в выражении выше. Имеем Используя лемму Ито, находим выражение для d(XtV ):

Далее, подставив выражение выше и формулу (1.28) в выражение (1.27), учитывая что произвольно (а значит его можно взять сколь угодно близким к 0), получим +(1 dt)E (s) + (s)(c(b) + µA)dt + (s) 2 A2 dt + (s)AdWt + o(dt).

Преобразуем выражение выше, раскрыв скобки и сгруппировав должным образом слагаемые, с учетом того, что E[ (s)AdWt ] = (s)AE[dWt ] = 0. Разделив обе части на dt, перейдя к пределу при dt 0 и максимизируя по (A, b), получаем искомое уравнение (1.26).

Далее, заметим, что функция в левой части уравнения (1.26) достигает максимума по A 0 либо в точке либо, если A (s) < 0 или не определена, на концах отрезка [0, +]. Покажем, что последний случай невозможен. Cправедлива следующая Лемма 1.6. Пусть дважды непрерывно дифференцируемая функция (s) является решением уравнения Беллмана–Гамильтона–Якоби (1.26). Тогда 1. функция (s) строго возрастает при s 0;

2. функция (s) строго вогнутая, т.е. (s) < 0 при s 0.

Доказательство. Установим первое свойство. Пусть 0 < x < y произвольные вещественные числа, а V V1 произвольная допустимая стратегия. Обозначим x, y моменты разорения компании, использующей стратегию V с начальным капиталом x и y соответственно; капитал компании в момент времени t обозначим Rt и Rt соответственно.

Тогда, справедливо следующая цепочка В силу произвольности стратегии V получается, что при 0 < x < y имеем (x) < (y).

Докажем строгую вогнутость. Предположим сначала, что (x) > 0 в некоторой точке x. В силу непрерывности это свойства будет выполнено и в некоторой окрестности точки x. Но в таком случае максимум по A левой части (1.26) на этом интервале достигается при A + и равен +, что противоречит тому, что (s) решение (1.26). Далее, пусть теперь (x) = 0 на некотором интервале. Тогда, поскольку в силу строгого возрастания, (x) > 0 на этом интервале, то максимум левой части (1.26) снова достигается при A = и равен +. Полученное противоречие доказывает, что (s) < 0.

Заметим, что если (s) решение (1.26) с граничным условием () = 1, то для всякого вещественного k функция (s) = k(s) также является решением (1.26), но с граничным условием () = k. Поэтому мы можем ограничиться поиском дважды непрерывно дифференцируемой строго возрастающей вогнутой функции (s) удовлетворяющей уравнению с граничными условиями (0) = 1 и (s) = 0 при s < 0.

Как уже было доказано выше, максимум по A 0 левой части (1.29) достигается в точке Подставив это выражение в (1.29), получаем Поскольку функция в левой части уравнения (1.31) непрерывна по s и b, то согласно теореме об измеримом выборе найдется измеримая функция b (s), в которой достигается максимум в (1.31) и соответственно в исходном уравнении (1.29).

Прежде чем двигаться дальше, сделаем несколько полезных замечаний. Во-первых, ясно что A(0) = 0. Действительно, в случае A(0) = 0 в силу неограниченности вариаций винеровского процесса, вероятность неразорения равно 0 и, очевидно, не является оптимальной, поскольку, например, при отсутствии инвестиций и перестрахования (т.е. A = 0, b = ), вероятность неразорения (0) = 1 EY /c > 0. Во-вторых, равенство A(0) = влечет, согласно формуле (1.30) и лемме 1.6, lim (s) =.

Наконец, заметим, что для достаточно малых s максимум в (1.31) достигается в точке b (s) =, иными словами, при достаточно малом начальном капитале оптимальной стратегией будет чистое инвестирование без перестрахования. Более строго, справедлива Лемма 1.7. Пусть (s) решение (1.31) на интервале [0, h) для достаточно малого h > 0.

Тогда существует > 0 такое, что b (s) = при s <.

Доказательство. Прежде всего заметим, что b(0) =. Действительно, при подстановке в (1.31) значения s = 0, воспользовавшись замечанием выше, получаем уравнение Выражение слева представляет собой линейную функцию, которая при b > 0 неограниченно возрастает, поэтому супремум достигается при b. Далее, рассмотрим функцию от двух переменных Ясно, что H(0, ) = limb H(0, b) = 0. Рассмотрим относительное приращение на бесконечности, а именно, следующую величину Преобразуем математическое ожидание в правой части, расписав его через интегралы Ясно, что для всякого достаточно большого b найдется 0 < < h такое, что для всех s [0, ] это математическое ожидание меньше произвольно взятой величины. Таким образом, второе слагаемое в правой части (1.33) сколь угодно мало при достаточно малых s. При этом первое слагаемое в (1.33) отрицательно, т.к. c(b) < c для всех b, а значит, функция H(s, b) при достаточно больших b и малых s строго убывает.

Докажем от противного. Предположим, что существует s0 [0, ] такое, что инфимум функции H(s, b) по b достигается в точке b (s0 ) <. Но в таком случае lim b (s) = b < и при этом H(s0, b (s0 )) = 0. Переходя в последнем равенстве к верхнему пределу, получаем limu0 H(u, b (u)) = H(0, b), причем b <. Таким образом, H(0, b) = 0 = H(0, ).

Однако, выше было доказано, что H(s, b) строго убывает при достаточно больших b. Полученное противоречие доказывает лемму.

Далее, преобразуем уравнение (1.31) к виду и проинтегрируем от 0 до s Наконец, положим (s) = (s) и перепишем (1.35) следующим образом Поскольку нас интересуют только строго возрастающие и вогнутые решения (s), т.е.

(s) < 0, то выражение в знаменателе (1.34) должно быть положительным:

1.2.2 Существование решения уравнения Беллмана–Гамильтона– Прежде всего заметим, что из формулы (1.32) вытекает, что (0) = (0) =. Для доказательства основной теоремы нам понадобится дополнительная лемма. Мы покажем, что решение уравнения Беллмана–Гамильтона–Якоби (1.26) (соответственно (1.31), (1.36)) существует в некоторой -окрестности нуля.

Согласно лемме 1.7 существует > 0 такое, что оптимальное удержание b (s) = при s [0, ]. Подставим в уравнение (1.29) оптимальное b (s) = и выражение (1.30) для оптимального A и приведем его к виду Разделим обе части равенства на величину µ2 / 2 и обозначим выражения 2 /µ2 и c 2 /µ соответственно как 1 и c1 :

Проинтегрируем по частям интеграл в левой части равенства где Q(s) = 1 Q(s). Затем сделаем замену = и получим следующее уравнение Лемма 1.8. Существует решение C 1 (0, ) C[0, ) уравнения (1.39) и такое, что (s) > 0, (s) < 0 при s [0, ), (0) = /c = 1 /c1 и Доказательство. Сделаем в уравнении (1.39) замену (s) = (s2 ) и получим следующее равенство Произведя в интеграле в левой части равенства замену переменной интегрирования y = s2 (1 t), приведем (1.40) к виду где Заметим, что (0) = (0) = (0) = /c = 1 /c1. Кроме того, переходя к пределу при s 0+ в равенстве (1.41) получаем Поскольку (s)|s=0 = ( (s2 ) + 2s (s2 ))|s=0 = (0) < 0, надо взять (0) = 1 /c1.

оператор G, заданный следующим образом Заметим, что оператор G отображает D на себя и является сжимающим. Действительно, приведем основные оценки. Итак, пусть h(s) D. Тогда, поскольку по правилу Лопиталя Далее, заметим, что, если h D, то для достаточно малого и достаточно большого M > 0 справедливы оценки Используя эти оценки, получаем чается аналогично.

Таким образом, G : D D при определенном выборе параметров M,. Покажем теперь, что G сжимающий оператор. Пусть h1, h2 D. Поскольку, ясно, что |G[h1 ] (0) G[h2 ] (0)| = 0, то ||G[h1 ]G[h2 ]|| = max(||G[h1 ]G[h2 ||, (G[h1 ]G[h2 ])). Далее, используя оценки (1.42), получаем где 0 < < 1 для достаточно больших M > 0. Оценка (U [h1 ] U [h2 ]) ||h1 h2 || устанавливается аналогично. Окончательно имеем Таким образом G сжимающий оператор на D. Тогда по теореме Банаха о неподвижной точке сжимающего оператора существует D такое, что U [](s) = (s), иными словарешение (1.41) на [0, ]. Кроме того, (s) = 1 /c1 1 c Далее мы покажем существование решения (s) уравнения (1.36) на [0, ). Для простоты выкладок будем считать (без ограничения общности), что = c = 1. Действительно, если c = 1, то всегда можно перейти, например, к другой валюте. Если же = 1, то можно сделать замену времени.

Теорема 1.3 (О существовании). Существует строго возрастающее решение (s) уравнения (1.36) на [0, ).

Доказательство. Пусть [0, s0 ] наибольший интервал, на котором выполнено (1.36) и (1.37). Из леммы 1.8 следует, что s0 > 0. Предположим, что s0 <. Покажем, что решение может быть продолжено на [0, s0 +) для некоторого > 0, что приведет к противоречию.

Определим постоянные K и L следующим образом:

Заметим, что L > 0 в силу (1.37). Рассмотрим оператор на пространстве H положительных непрерывных убывающих функций h(s) на [s0, ) таких, что h(s0 ) = 1/K и h(s) = (s) при s < s0 (соответственно h(s) = 0 при s < 0):

Пусть hi (s) H и обозначим bi (s), i = 1, 2 точки, в которых достигается инфимум в (1.43) при подстановке вместо h(s) соответственно функций h1 (s) и h2 (s) (заметим, что такой точкой может быть и ). Пусть также Тогда Интеграл оценим следующим образом где b(s) = b2 (s), если I1 (s) I2 (s) и b(s) = b1 (s) иначе. Предположим теперь, что s s0 + для некоторого > 0 (выбор уточним ниже) и пусть C := maxss0 + |c(b(s))|. Тогда Выберем теперь > 0 такое, что C + (s0 + ) = (2L2 2 )/µ2 (заметим, что положительность дискриминанта и отрицательность свободного члена гарантирует существование положительного корня). При таком выборе имеем что означает, что оператор сжимающий на (s0, s0 + ) и значит существует функция h(s) такая, что [h](s) = h(s). Итак, мы показали, что существует решение (s) уравнения (1.36) на (0, s0 + ). Полученное противоречие доказывает теорему.

1.2.3 Существование оптимальной стратегии Прежде чем переходить к основной теореме верификации, выведем полезную формулу для математического ожидания остановленного процесса риска.

Справедлива следующая формула для математического ожидания E(Rtn ) Доказательство. Действительно, сначала распишем E(Rtn ) по формуле полной вероятности Первое слагаемое соответствует случаю, когда до момента t отсутствуют убытки, преобразуем его, используя формулу Ито, чен на [0, ]. Следовательно, все стохастические интегралы в (1.46) определены корректно и, кроме того, последнее математическое ожидание равно нулю. Перейдем ко второму слагаемому в (1.45). Распишем его следующим образом Применив лемму 1.3 к разностям вида (RTi ) (RTi1 ), составляющим сумму (1.47), получим, что второе слагаемое в (1.45) равно Окончательно, сложив оба слагаемых, получаем формулу (1.44).

Перейдем к основной теореме данного раздела.

Теорема 1.4 (О верификации). Пусть (s) строго возрастающее, дважды непрерывно дифференцируемое решение уравнения Беллмана–Гамильтона–Якоби (1.29) и, соответственно, уравнения (1.31). Тогда (s) ограничена, а оптимальная вероятность неразорения (s) = (s)/(). Кроме того, существуют измеримые функции A (s) и b (s) такие, что при каждом s 0 супремум в уравнении (1.29) достигается в точках (A (s), b (s)).

При этом стратегия V = (Vt )t0 = (A, b )t0 такая, что A = A (Rt ), b = b (Rt ), t 0, оптимальна.

Доказательство. Существование измеримой функции b (s) вытекает из теоремы об измеримом выборе (лемма 1.5), примененной к уравнению (1.31). Измеримая функция A (s) находится затем по формуле (1.30).

Далее, рассмотрим произвольную допустимую стратегию V V1. Пусть Rt и Rt капитал страховой компании, использующей соответственно стратегию V и V. Пусть и соответствующие моменты разорения. Рассмотрим остановленные процессы (Rt ) Заметим, что из уравнения Беллмана–Гамильтона–Якоби (1.29) следует, что для страV тегии V и капитала Rt выполнено следующее неравенство причем для стратегии V и капитала Rt достигается равенство. Далее, используя это неравенство и переходя к пределу 0, n в (1.44), по теореме о монотонной сходимости заключаем причем для Rt достигается равенство.

В работе Шмидли доказано (см. [45], лемма 2.9), что для произвольной стратегии V капитал Rt при t на { V = }. По лемме Фату при t, примененной к последовательности E[(Rt )] получаем Но поскольку существует такая допустимая стратегия, для которой выполнено P [ = ] > 0 (например, при отсутствии перестрахования и инвестиций, т.е. A = 0, b = ), то из (1.49) заключаем, что () <. Далее, из (1.49) следует, что V (s) = P [ = ] (s)/(), причем для V (s) = P [ = ] достигается равенство. Действительно, из формулы (1.48) при t следует, что E(R ) (s) с равенством для R. Иными словами, E(R ) = ()P [ = ] = (s).

Итак, мы доказали, что для произвольной допустимой стратегии V V1 имеем V (s) V (s), что и означает что стратегия V оптимальная.

1.2.4 Численные примеры Рис. 1.6: Оптимальный уровень собственного удержания b (s) в случае экспоненциального распределения Мы рассмотрим два частных случая описываемой выше модели, а именно, случаи, когда размеры выплат имеют распределение с легкими хвостами (экспоненциальное) и с тяжелыми (Парето). В обоих случаях будем полагать = 1, а параметры в модели Блэка– Шоулса соответственно µ = 0, 04 и = 0, 01. Также, будем считать, что перестраховочная премия рассчитывается, исходя из принципа среднего с нагрузкой безопасности, то есть часть премии, остающаяся у цедента равна c(b) = c (1 + )E[Y min{b, Y }]. Для получения численного решения уравнения Беллмана –Гамильтона–Якоби (1.26), найдем решение (s) = (s) уравнения (1.36). Точнее, перепишем уравнение (1.36) следующим образом и найдем решение этого уравнения методом Эйлера. Вид функции (s) для s близких к 0 определяется по лемме 1.8. Затем решение находим методом последовательных приближения с шагом Рис. 1.7: Оптимальный объем инвестиций A (s) в случае экспоненциального распределения Пример 1.3 (Экспоненциальное распределение). Пусть поступающие требования имеют экспоненциальное распределение со средним равным единице, то есть Q(y) = 1 ey.

Возьмем параметры c = 1 и = 0, 2.

На рис. 1.6 изображен график функции b (s), определяющей оптимальный уровень собственного удержания, для s [0, 8]. Заметим, что как и следует из леммы 1.7, для достаточно близких к 0 значений s оптимальной стратегией будет не перестраховывать вообще, то есть b (s) =. При s 0, 5 происходит скачок уровня собственного удержания b (x) до значения 0, 1 и затем функция возрастает до значения 0, 4. Для s > 0, оптимальное удержание b (s) 0, 4. На рис. 1.7 показан график функции A (s), определяющей оптимальный объем инвестиций. Заметим, что при достаточно малом начальном капитале s оптимально инвестировать больше, чем есть на данный момент, то есть брать кредит. Для достаточно больших значений s на графике A (s) 8, 9.

Рис. 1.8: Оптимальный уровень собственного удержания b (s) в случае распределения Парето Пример 1.4 (Распределение Парето). Пусть поступающие требования имеют распределение Парето с параметром равным 2, то есть Q(y) = 1 (1 + y)2. В данном примере были взяты следующие значения параметров: c = 1, 2 и = 1, 4.

На рис. 1.8 и 1.9 показаны графики функций b (s) и A (s), определяющих соответственно оптимальный уровень собственного удержания и оптимальный объем инвестиций, для данного сулчая. Подобно предыдущему примеру для достаточно малого начального капитала оптимальным будет отказаться от перестрахования. Заметим еще, что вблизи нуля оптимальный объем инвестиций, функция A (s), ведет себя как функция c s, затем убывает и терпит скачок в том значении начального капитала, когда необходимо брать перестрахование. Наконец, функция A (s) приближается к значению 5, 5. Заметим, что Рис. 1.9: Оптимальный объем инвестиций A (s) в случае распределения Парето в случае распределения Парето, сходимость метода Эйлера достаточно медленная, полученные графики для оптимальных b (s) и A (s) построены на основе 20 приближения функции (s).

Глава Оптимальные стратегии в модели с возможностью дополнительного вливания капитала В данной главе исследуется модель работы страховой компании с дискретным временем, модифицированная по Диксону и Уотерсу. Предполагается, что собственник компании, для того чтобы избежать ее разорения, имеет возможность инвестировать дополнительные средства, если капитал компании по итогам года опустился ниже некоторого фиксированного уровня. В такой ситуации целью руководства компании становится минимизация потенциальных вливаний. В первом параграфе рассмотрен случай, когда страховая компания, для минимизации этих издержек, вкладывает средства в некий рисковый актив. В данном случае требуется определить оптимальный размер инвестируемых в рыночный актив средств, позволяющий минимизировать дополнительные вливания капитала. Рассматриваются случаи конечного и бесконечного горизонта планирования. Во втором параграфе рассмотрен случай, когда страховая компания, для минимизации этих издержек, прибегает к услугам перестраховщика. В такой ситуации, требуется определить оптимальные параметры договора перестрахования, позволяющие минимизировать дополнительные вливания капитала. Рассматриваются случаи пропорционального перестрахования, на примере квотного договора, и непропорционального, на примере договора эксцедента убытка. Приведены численные примеры для случая экспоненциального распределения требований.

§2.1 Оптимальное инвестирование Исследуемая в данном параграфе модель состоит в следующем. Страховая компания работает n лет (или иных промежутков времени). Пусть c > 0 суммарный размер страховый премий, поступивших в компанию за год, а Yk совокупный размер требований или убытков, поступивших в компанию в k-ом году, 1 k n. Предполагается, что Y1,... Yk,..., Yn н.о.р. неотрицательные с.в. с абсолютно непрерывной функцией распределения Q(y), имеющей непрерывную плотность q(y). Кроме того, страховая компания имеет возможность вкладывать средства в некий рыночный актив. Пусть последовательность с.в. Z1,..., Zn определяет результат вложения средств в этот актив, то есть, если в (k 1)-ый момент времени была вложена одна денежная единица, то в k-ый момент мы получим (1 + Zk ) денежных единиц. Мы считаем, что рынок, на котором оборачивается данный актив, безарбитражный, то есть P (Zk 0) (0, 1), и, следовательно, от вложения в рисковый актив возможен как доход, так и убыток. Кроме того, пусть средняя доходность актива EZ1 > 0, иначе нет никакого смысла вкладывать средства в этот актив.

Предполагается, что с.в. Z1,..., Zn н.о.р. с функцией распределения H(z) и независимы от Y1,..., Yn. Более того, в каждый момент времени k принимается решение о размере Ak+1 денежных средств, инвестируемый в рыночный актив в (k + 1)-ом году. Иными словами, рассматриваются стратегии инвестирования A = (A0,..., An1 ). Пусть фильтрация Finv = (Fk )k=1,n, где Fk и Zm для m k. Дадим следующее Определение 2.1. Стратегия инвестирования это согласованная с фильтрацией Finv последовательность с.в. A := {A0,..., An1 }, где A0 = const. Стратегия A допустимая, если Ai 0 п.н. для всех i = 0,..., n 1.

Множество допустимых стратегий инвестирования обозначим An. Кроме того, как уже было сказано в начале главы, владелец страховой компании вкладывает дополнительные средства в компанию, как только капитал компании опускается ниже некоторого заданного уровня L 0, и восстанавливает тем самым капитал компании до этого уровня. Размер этих вложений в k-ом году обозначим Jk. С учетом описанных выше условий, капитал компании Rk на конец k-го года при использовании допустимой стратегии A равен где s 0 начальный капитал. При этом размер дополнительных вложений Jk в k-ом году равен Пусть v ставка годового дисконта, тогда суммарный приведенный объем дополнительных вложений капитала равен В такой ситуации задача состоит в минимизации таких вложений по всем допустимым стратегиям Стратегию A, при которой достигается инфимум в (2.3), и будем назвать оптимальной.

2.1.1 Уравнение Беллмана и оптимальная стратегия Лемма 2.1. Функция Wn (s) для всякого n 1 удовлетворяет следующему уравнению Wn (s) = inf {E max(0, LscZ+Y )+vEWn1 (max(L, s+c+ZY ))}, W0 (s) = 0, (2.4) где случайные величины Y и Z независимы и имеют соответственно функции распределения Q(y) и H(z).

Доказательство данного утверждения в целом следует общей логике для подобных моделей (см., например, [47]).

Доказательство. Пусть A An произвольная допустимая стратегия. Имеем по определению Возьмем от обеих частей условное математическое ожидание по R1. По телескопическому свойству имеем Wn (s) =E max(0, LscA0 Z1 +Y1 )+vEWn1 (R1 ) Следовательно, так как стратегия A произвольная допустимая, С другой стороны, из (2.3) по определению инфимума следует, что для > 0 найдется стратегия A An такая, что Wn1 (s + c + 0 Z1 Y1 ) > Wn1 (s + c + 0 Z1 Y1 ) п.н., где 0 0 постоянная. Пусть A стратегия, определенная по правилу A0 = 0, Ak+1 = Ak, В силу произвольности получаем, что Замечание 2.1. В дальнейшем будет доказано, что для любого s 0 существует единственная точка (s) <, в которой достигается инфимум в уравнении (2.4), и, значит, корректно будет это уравнение записывать в виде Wn (s) = min{E max(0, L s c Z + Y ) + vEWn1 (max(L, s + c + Z Y )}, W0 (s) = 0.

Перейдем теперь к оптимальной стратегии. Справедлива следующая Лемма 2.2. Пусть для любого k = 1,..., n существует k (s) измеримая функция, доставляющая инфимум в уравнении (2.4) при n = k. Тогда допустимая стратегия A = (A,..., A ) инвестирования в n-шаговой модели, где A = ni (Ri ), i = 0,..., n 1, оптимальная.

Замечание 2.2. Для доказательства данного утверждения достаточно существования измеримой функции k (s). Однако, в дальнейшем, будет доказано, что существует не только измеримая, но и непрерывная функция k (s), доставляющая минимум в (2.4).

Доказательство. Рассмотрим произвольную допустимую стратегию A = (Ai )n An.

Доказательство по индукции. При n = 1 имеем:

Шаг индукции: пусть для k < n утверждение верно и Wk (s) = Wk (s), покажем, что Wk+1 (s) Wk+1 (s), где A = (Ai )k Wk+1 (s) = E[Wk+1 (s)|R1 ] = E max(0, L s c k+1 (s)Z1 + Y1 ) + vE[Wk (max(L, s + c + k+1 (s)Z1 Y1 ))] = W A (s).

Замечание 2.3. Итак, из леммы 2.2 следует, что для построения оптимальной стратегии в n-шаговой модели достаточно найти функцию n (s) такую, что при каждом s 0, инфимум в уравнении Беллмана (2.4) достигается в точке n (s). При этом сама по себе величина n (s) = A оптимальный размер инвестиций на первом шаге n-шагового процесса.

2.1.2 Оптимальное инвестирование в одношаговой модели При n = 1 уравнение (2.4) принимает следующий вид Распишем математическое ожидание в правой части уравнения через интегралы и преобразуем, учитывая, что Q(y) = 0 при y 0 в силу неотрицательности Y. Имеем W1 (s) = inf Прежде чем переходить к основной теореме данной части, докажем вспомогательную лемму, которая понадобится нам и в дальнейшем. Пусть Лемма 2.3. Минимальное значение 1 (s, ) по для любого s 0 достигается в точке = (s), являющейся единственным корнем уравнения Кроме того, (s) непрерывная функция.

Доказательство. Вычислим первую и вторую производную 1 (s, ) по. Имеем Вторая производная равна Заметим сразу, что поскольку q(y) 0, то 1 (s, ) 0, иными словами, 1 (s, ) не убывает по. Далее, имеем при = поскольку по условию EZ > 0. Найдем lim 1 (s, ). При > 0 имеем (т.к. Q(y) = при y 0 в силу неотрицательности с.в. Yi ) Пусть сначала L s + c. Поскольку предел при + второго слагаемого в выражении выше равен нулю получаем, что так как P (Z 0) > 0 по условию. Аналогично при L < s + c, получаем Таким образом, непрерывная неубывающая по функция 1 (s, ) такова, что (s, 0) < 0, а 1 (s, +) > 0. Значит, уравнение 1 (s, ) = EZ(1 Q(s + c + Z L) = 0 имеет единственное решение при 0. Обозначим это решение (s). Заметим, что по теореме о неявной функции (s) непрерывная функция при s R. Кроме того, из доказанных свойств производной следует, что сама функция 1 (s, ) имеет минимум в этой точке.

Покажем еще, что функция 1 (s, ) дважды дифференцируема по s. Вычисляем 1 (s, )s := Наконец, заметим, что 1 (s, )s 0, а 1 (s, )ss 0 при s 0.

Перейдем к основному утверждению.

Теорема 2.1. 1) Функция W1 (s) дважды дифференцируема. Кроме того, для всех s справедливы следующие неравенства:

2) Оптимальный размер инвестиций в одношаговой модели равен (s), где (s) единственный корень уравнения (2.6) Доказательство. Действительно, пусть функция (s) решение уравнения (2.6) для всех s 0. Существование такой функции, следует из леммы 2.3 и теоремы о неявной функции. Тогда, по правилу дифференцирования, имеем (s, (s)) = 1 (s, (s)) = 0 по определению (s). При этом, согласно (2.7), Следовательно, W1 (s) [1, 0]. Далее, найдем W1 (s):

где 1 (s, )s := (s, ). По теореме о неявной функции Найдем 1 (s, (s))s и 1 (s, (s))ss. С учетом найденного в лемме 2.3 имеем Итак, мы знаем все компоненты правой части выражения (2.9), находим:

так как по неравенству Коши–Буняковского числитель неотрицателен:

[E(Z Итак, пункт 1) доказан полностью; пункт 2) следует из леммы 2.3.

2.1.3 Оптимальное инвестирование в мношаговой модели Пусть теперь 2 n <. Напомним, уравнение Беллмана имеет вид Рассмотрим Введем обозначения Теорема 2.2. 1) Функция Wn (s) дважды дифференцируема. Кроме того, для всех s справедливы следующие неравенства 2) Оптимальный объем инвестиций n (s) на первом шаге n-шагового процесса определяется как единственное решение уравнения причем функция n (s) непрерывная.

Доказательство. Для доказательства утверждения вычислим первые частные производные функции n (s, ), учитывая результаты леммы 2.3:

Аналогично вычислим вторые частные производные и введем дополнительные обозначения для их компонент:

Установим свойства 1a и 1b по индукции. При n = 1 утверждение следует из теоремы 2.1. Пусть для n = k утверждение верно, т.е. Wk (s) [1, 0], Wk (s) 0. Установим справедливость теоремы при n = k + 1. Сначала заметим, что k+1 (s, ) 0 при фиксированном s для всех 0. Действительно, поскольку по предположению индукции Wk (s) 0, находим, что А, значит, функция k+1 (s, ) не убывает как функция от 0. При этом, при = поскольку EZ > 0 по условию. Покажем, что lim k+1 (s, ) > 0. Действительно, учитывая, что Wk (s) 1, получаем, что Тогда lim k+1 (s, ) = lim [1 (s, ) + vE(ZWk (s + c + Z Y ))] поскольку v (0, 1), в лемме 2.3 установлено, что lim 1 (s, ) 0, а H(z) > 0 при z < по условию. Следовательно, функция k+1 (s, ) не убывает и принимает отрицательное значение при = 0 и положительное при. Значит, существует единственное решение k+1 (s) уравнения k+1 (s, ) = 0, причем k+1 (s) непрерывна по теореме о неявной функции. Кроме того, функция k+1 (s, ) убывает по при [0, k+1 (s)] и возрастает при > k+1 (s), следовательно, в точке k+1 (s) достигается минимум функции k+1 (s, ).

Таким образом, второе утверждение теоремы доказано.

Пусть k+1 (s) точка, в которой достигается минимум k+1 (s, ) по. Тогда по правилу дифференцирования имеем Wk+1 (s) = k+1 (s, k+1 (s)) = k+1 (s, k+1 (s))s +k+1 (s, k+1 (s)) = k+1 (s, k+1 (s))s < 0, поскольку k+1 (s, k+1 (s)) = 0 по определению k+1 (s) и доказанному выше. Далее, Следовательно, Wk+1 (s) [1, 0]. Теперь найдем вторую производную. По теореме о неявной функции, имеем Тогда Оценим числитель, используя неравенство Коши–Буняковского, например:

Ess E = E[q(s+c+k+1 (s)Z L)(1+vWk (L))]E[Z 2 q(s+c+k+1 (s)Z L)(1+vWk (L))] Аналогично поступим с остальными парными произведениями в числителе (2.11) и получим, что Значит, Wk+1 (s) 0 и теорема доказана.

2.1.4 Численная реализация Рассмотрим частный случай одношаговой модели из параграфа 2.1.2. Пусть совокупный годовой убыток Y exp(1/), а размер страховой премии вычисляется по принципу среднего с нагрузкой безопасности > 0, т.е. c = (1 + ). Предположим также, что годовая доходность Z рискового актива, в который страховщик вкладывает средства, имеет нормальной распределение Z N (µ, ), µ > 0, > 0. Пусть W1 (s) = min E max(0, L s c Z + Y ) минимальное дополнительное вливание капитала в конце первого года. Заметим, что в данном случае уравнение (2.6) примет вид Пусть (s) решение уравнения выше. По доказанному в этой точке достигается минимум W1 (s). Обозначим V (s) := E max(0, L s c + Y ), величину вливаемого капитала при отсутствии инвестиций.

Рассмотрим следующие значения параметров: = 1, = 0, 1, µ = 1, = 0, 5. В таблице на рис. 2.1 приведены значения функций W1 (s) и V (s) при различных значениях начального капитала s и при L = 2. На рис. 2.1 также приведены графики этих функций.

Все расчеты выполнены с помощью приложения Wolfram Mathematica 8 с точностью до 105. Как нетрудно видеть, обе функции убывают, причем для начального капитала s < 4, функция V (s) существенно больше W1 (s).

На рис. 2.2 приводится численное приближение оптимального уровня инвестиций (s) для s [0, 10] и для различных значений параметра L. Заметим, что в данном случае видно, что функция (s) не возрастает и увеличивается с ростом L.

2.1.5 Оптимальное инвестирование в случае бесконечного горизонта планирования Пусть теперь временной горизонт не ограничен. Введем следующие обозначения: пусть совокупные годовые убытки Y1, Y2,... н.о.р. неотрицательные с.в. с абсолютно непрерывной функцией распределения Q(y) и плотностью q(y), c поступаемая за год страховая премия. Имеется некий рыночный актив, последовательность н.о.р. и независимых от Y1, Y2,... с.в. Z1, Z2,... определяет доход (или убыток) по данному активу за год. Кроме того, в конце каждого года собственник инвестирует дополнительные средства в страховую компанию, если ее капитал по итогам года опустился ниже заранее заданного уровня L 0. Рассматривается естественная фильтрация F = F (Y,Z), порожденная последовательностью (Yn, Zn ). По аналогии с предыдущим параграфом дадим следующее Определение 2.2. Стратегия инвестирования это согласованная с фильтрацией F бесконечная последовательность с.в. A = {A0, A1,...}, где A0 = const. Стратегия A допустимая, если Ai 0 п.н. для всех i 0.

Множество допустимых стратегий инвестирования обозначим A. В данном случае капитал компании, использующей стратегию A, также равен где s 0 начальный капитал. При этом размер дополнительных вложений Jk в k-ом году равен Пусть v коэффициент дисконтирования, тогда суммарный приведенный объем дополнительных вложений капитала при использовании стратегии инвестирования A равен В такой ситуации задача состоит в минимизации таких вложений среди всех допустимых стратегий Допустимую стратегию инвестирования A будем называть оптимальной, если W (s) = W A (s).

Замечание 2.4. Заметим, что функция W A (s) ограничена сверху. Действительно, рассмотрим нулевую стратегию A0 = {A0 = 0}. Тогда (здесь Es [·] := E[·|R0 = s]) Кроме того, для любой допустимой стратегии A A: Es (v i1 JiA ) Es (v i1 JiA ) и, значит, W A (s) также ограничено сверху.

Аналогично случаю конечного горизонта планирования выводится уравнение Беллмана для данной ситуации. А именно, справедлива Лемма 2.4. Функция W (s) для всех s 0 удовлетворяет следующему уравнению динамического программирования:

где Y и Z независимые случайные величины, имеющие функции распределения Q(y) и H(z) соответственно.

Доказательство. Доказательство данного утверждения полностью повторяет доказательn рых вытекает из замечания 2.4.

Докажем существование решения уравнения (2.15).

Теорема 2.3. Существует единственное решение W (s) уравнения (2.15). Кроме того, функция W (s) дважды дифференцируемая, а инфимум в правой части (2.15) достигается в точке, где это единственный корень уравнения Доказательство. Рассмотрим последовательность функций Wn (s), n 0, определенных по правилу Wn (s) = inf {E max(0, LscZ +Y )+vEWn1 (max(L, s+c+Z Y )}, W0 (s) = 0, n 1.

Заметим, что в предыдущем параграфе установлено, что для любого n 0 Wn (s) 0, то есть {Wn } последовательность невозрастающих функций. Покажем еще, что Wn+1 (s) Wn (s) для всех s 0. Действительно, для n = 0 утверждение очевидно. Пусть утверждение верно для n и пусть n+1 (s) точка, в которой достигается инфимум в выражении (2.17) для функции Wn+1 (s) (n+1 (s) существует по теореме 2.2). Тогда Wn+1 (s) = E max(0, L s c n+1 (s)Z + Y ) + vEWn (max(L, s + c + n+1 (s)Z Y ) Кроме того, поскольку Wn (s) W (s) для всех n = 1, 2,..., то согласно (2.14) все Wn (s) ограничены сверху. Следовательно, существует предел lim Wn (s) = W (s). Далее, поn скольку последовательность {Wn (s)} возрастает по n и ограничена сверху, то по теоn= реме Леви о монотонной сходимости W (s) = lim Wn+1 (s) = lim min{E max(0, LscZ+Y )+vEWn (max(L, s+c+ZY )} = И, значит, W (s) искомое решение уравнения (2.15). Далее, согласно теореме 2.2 все Wn (s) C [0, ). Кроме того, Wn (s) [1, 0] и Wn (s) 0. Таким образом, {Wn (s)} последовательность неубыващих функций, ограниченная сверху нулем. Следовательно, существует предельная функция lim Wn (s) =: V (s). Но поскольку, lim Wn (s) = W (s), то диффференцируема и V (s) = W (s) и W (s) [1, 0]. Обозначим W (s) и найдем производную по :

Аналогично теореме 2.2 устанавливаем, что при = Кроме того, вторая производная (s, ) неотрицательна:

поскольку W (s) [1, 0], W (s) 0. Значит, как и в случае конечного горизонта планирования, уравнение (2.16) имеет ровно одно решение.

Наконец, установим существование оптимальной стратегии инвестирования. Справедлива следующая Теорема 2.4. Пусть для всех s 0 инфимум в уравнении (2.15) достигается в точке (s). Тогда стратегия A = {A }, где A := (Rn ), n 1, Доказательство данного утверждения следует подходу, предложенному в книге [45].

Доказательство. Сначала рассмотрим подможество допустимых стратегий An := {A A : Ak = (Rk ), k = 0, n} и докажем, что W (s) = inf W A (s).

Воспользуемся методом математической индукции. Пусть n = 0, а стратегия A A\A произвольная. По определению инфимума для всякого > 0 найдется такая стратегия A, что W (s + c + (s)Z1 Y1 ) > W A (s + c + (s)Z1 Y1 ). Определим стратегию A A0 по правилу A0 = (s), Ak = A k1, k = 1,. Тогда В силу произвольности получаем, что W A (s) W A (s). Пусть теперь W (s) = inf W A (s).

фимума для всякого > 0 найдется такая стратегия A An, что W (Rn+1 ) > W A (Rn+1 ). Определим стратегию A An+1 по следующему правилу: Ak = (Rk ), k = 0, n, An + k = A k1, k = 1,. С помощью аналогичного случаю n = 0 рассуждению, несложно установить, что W A (s) W A (s).

Итак, мы показали, что n W (s) = inf W A (s) или, другими словами, Следовательно, поскольку множество оптимальной.

§2.2 Оптимальное перестрахование Изучаемая в данном параграфе модель состоит в следующем. Пусть страховая компания работает n лет, Yk совокупный размер убытков за k-ый год, а c > 0 суммарный размер страховых премий, поступивших в компанию за год. Кроме того, собственник компании вкладывает в нее дополнительные средства, как только капитал компании опускается ниже некоторого уровня. Однако, в отличие от первого параграфе, в данном параграфе мы будем считать, что страховая компания имеет возможность заключать договора перестрахования вместо вложения средств в рисковый актив. Предполагается, что любой договор перестрахования характеризуется некоторым параметром b, который может принимать значения из некоторого подмножества Dr R+. Пусть функция r(b, y) такова, что, если заключен договор перестрахования с параметром b и Y величина поступившего требования, то цедент оплачивает часть r(b, Y ) убытка, а перестраховщик Y r(b, Y ).

Ясно, что r(b, Y ) Y п.н. Приведем примеры функции r(b, y):

1) пропорциональное перестрахование, r(b, y) = bY, Dr = (0, 1];

2) перестрахование эксцедента убытка, r(b, y) = min(b, Y ), Dr = (0, +].

Кроме того, пусть функция c(b) задает величину премии, оставшейся у страховой компании после выплаты перестраховочной премии. Предполагается, что функция c(b) непрерывна и монотонна. Например, если перестраховщик рассчитывает свою премию по принципу среднего с нагрузкой безопасности, то c(b) = c E[Y r(b, Y )]. Обозначим D := {b Dr : c(b) > 0}. Мы будем предполагать, что страховщик имеет возможность менять параметр договора перестрахования каждый год, исходя из истории убытков. Пусть FY = (Fk )n фильтрация, порожденная последовательностью убытков Y1, Y2,..., Yn, т.е. Fk = {Yl, l k}. Дадим следующее Определение 2.3. Стратегия перестрахования это согласованная с фильтрацией FY последовательность с.в. B := (b0, b1,..., bn1 ), где b0 = const, а bk, k = 1,..., n1 Y bk D п.н.

Множество допустимых стратегий перестрахования обозначим Bn. Кроме того, как уже было сказано в начале параграфа, владелец страховой компании вкладывает дополнительные средства, как только капитал компании опускается ниже некоторого заданного уровня L 0. Размер этих вложений в k-ом году обозначим Jk. С учетом описанных выше услоB вий, капитал компании Rk на конец k-го года при использовании допустимой стратегии B равен где s 0 начальный капитал. При этом размер дополнительных вложений Jk в k-ом году равен Пусть v коэффициент дисконтирования, тогда суммарный приведенный объем дополнительных вложений капитала равен Задача состоит в минимизации таких вложений, то есть требуется найти допустимую страB тегию перестрахования, минимизирующую Wn (s):

Соответственно допустимую стратегию, при которой достигается инфимум, будем называть оптимальной стратегией перестрахования.

Аналогично лемме 2.1, устанавливается, что функция Wn (s) удовлетворяет уравнению Беллмана. А именно, справедлива следующая Лемма 2.5. Функция Wn (s) для всякого n удовлетворяет следующему уравнению Wn (s) = inf {E max(0, L s c() + r(, Y )) + vEWn1 (max(L, s + c() r(, Y ))}, W (s) = inf {E max(0, Lsc()+r(, Y ))+vEW (max(L, s+c()r(, Y ))}, W0 (s) = 0, где инфимум в правых частях равенства берется по вещественным D.

Замечание 2.5. В уравнении Беллмана (2.21) и (2.22) в отличие от уравнения (2.20) инфимум берется по вещественным числам Dr.

Кроме того, как и в случае оптимального инвестирования, оптимальная стратегия перестрахования определяется минимизатором правой части уравнений (2.21) и (2.22). Точнее, справедлива следующая Лемма 2.6. 1) Пусть n < и для любого m = 1,..., n существует такая измеримая функция m (s), что инфимум в уравнении (2.21) для n = m достигается в точке m (s).

Тогда допустимая стратегия B = (b,..., b ) перестрахования в n-шаговой модели, где b = ni (Ri ), i = 0,..., n 1, оптимальная.

2) Пусть n = и для всех s 0 инфимум в уравнении (2.22) достигается в точке (s).

Тогда стратегия перестрахования B = {b }, где b := (Rn ), Данная лемма доказывается аналогично теоремам 2.2 и 2.4 из параграфа 2.1.

Замечание 2.6. Утверждение леммы 2.6 показывает, что для определения оптимальной стратегии перестрахования достаточно для всякого k = 1,..., n найти измеримую функцию k (s), доставляющую инфимум в уравнении Беллмана.

2.2.1 Случай пропорционального перестрахования В данном параграфе будет рассмотрен случай пропорционального перестрахования на примере квотного договора. Кроме того, будем предполагать, что перестраховочная премия рассчитывается по принципу среднего с нагрузкой безопасности. Иными словами, если (0, 1] доля убытка или квота, выплачиваемая цедентом, то При этом будем предполагать, что c < EY. В противном случае, цедент мог бы перестраховать весь свой риск и при этом заработать. Заметим, что c() возрастает по и c () = EY. Кроме того, причем 0 < 0 < 1. Тогда в данном случае множество D = { Dr : c() > 0} = [0, 1].

Случай конечного горизонта планирования При n = 1 уравнение (2.21) примет вид Обозначим, Теорема 2.5. 1) Функция W1 (s) дважды дифференцируема. Кроме того, W1 (s) [1, 0] и W1 (s) 0.

2) Оптимальная квота (s) в одношаговой модели равна где (s) единственное решение уравнения Доказательство. Введем обозначение Вычислим первую и вторую частные производные 1 (s, ) по. При u(s, ) 0 имеем Заметим, что в данном случае 1 (s, ) < 0 и, значит, функция 1 (s, ) убывает. При u(s, ) 0 соответственно находим Вторая производная равна Заметим, что 1 (s, ) 0 и, следовательно, функция 1 (s, ) не убывает. Рассмотрим несколько случаев.

1. Пусть s + c L EY 0. Тогда из (2.25) следует, что u(s, ) > EY > 0 для всех [0, 1]. Тогда Следовательно, функция 1 (s, ) возрастает при [0, 1] и достигает минимальное значение на отрезке [0, 1] в точке 0. Итак, при s L c + EY оптимальное (s) = 0.

2. Пусть s + c L EY 0. В таком случае функция u(s, ) возрастает по при [0, 1]. Рассмотрим функцию µ(w), заданную для всех w 0 следующим образом Заметим, что µ (w) = (w EY )q(w), т.е. µ(w) возрастает при 0 w EY и убывает при w EY. Кроме того, µ(0) = (1 )EY < 0, а lim µ(w) = 0. Вид графика функции µ(w) для w 0 изображен на рис. 2.3. Нетрудно видеть, что существует единственная точка w такая, что µ(w) = 0. Кроме того, при w w функция µ(w) неположительна, а при w w неотрицательна.

Далее, из формулы (2.25) несложно вывести, что при фиксированном s Заметим, что 1 (s) = 0 (s L)/EY. Рассмотрим три возможных случая расположения точки 1 (s).

a) Пусть 1 (s) 1. Это выполнено при s + c L 0. В совокупности с предыдущим условием s + c L EY 0 получаем ограничение s L c, поскольку c < EY по условию. В таком случае, u(s, ) 0 для всех [0, 1] и, в соответствии с (2.26), функция 1 (s, ) убывает на отрезке [0, 1]. Следовательно, минимальное значение достигается в точке 1. Итак, при s L c оптимальное (s) = 1.

b) Пусть 1 (s) [0, 1]. Получаем три условия на s:

так как c < EY по условию. В данном случае, u(s, ) 0 при [0, 1 (s)], u(s, ) 0 при [1 (s), 1]. Тогда, согласно (2.26), функция 1 (s, ) убывает при [0, 1 (s)]. Кроме того, при = 1 (s) Тогда, если 1 (s, 1) = µ(u(s, 1)) < 0, то при [1 (s), 1] функция µ(u(s, )) = 1 (s, ) < 0 и, следовательно, функция 1 (s, ) убывает при [0, 1] и достигает минимального значения при = 1. Если же, 1 (s, 1) > 0, то µ(u(s, )) = 1 (s, ) отрицательна при [1 (s), (s)] и положительна при [(s), 1], где (s) [1 (s), 1] единственное решение уравнения которое существует, поскольку u(s, ) положительная возрастающая функция при [1 (s), 1] и, как доказано выше, существует единственное w > 0 такое, что µ(w) = 0. Значит, минимум функции 1 (s, ) достигается при = (s) < 1. Итак, при c) Пусть 1 (s) 0. Это выполнено при s [L, L c + EY ]. Проведя рассуждения аналогичные пункту b) выше, несложно установить, что в данном случае оптимальное (s) = max(0, (s)), где (s) решение уравнения µ(u(s, )) = 0.

Собрав воедино все случаи, получаем второе утверждение теоремы.

Далее, если (s) точка, в которой достигается минимум 1 (s, ) по, то по определению имеем поскольку при (s) = (s) по определению 1 (s, (s)) = 0, а при (s) = 0 и (s) = производная (s) = 0. Далее, найдем частную производную 1 (s, )s. Имеем В случае n = 1 мы можем выписать явный вид W1 (s), воспользовавшись приведенными выше выкладками (см. 1)-2) выше). А именно где w решение уравнения µ(w) = 0, существование которого установлено выше. Заметим, что w не зависит от s. Нетрудно видеть, что W1 (s) [0, 1]. Кроме того, W1 (s) непрерывная функция.

Далее, ясно, что W1 (s) либо равна тождественно нулю, либо пропорциональна плотности q с положительным коэффициентом. Таким образом, W1 (s) 0 и теорема 2.5 доказана полностью.

Замечание 2.7. Найденное выражение (2.23) для (s) может быть также получено другим способом в более удобном для практического применения виде. Действительно, заметим, Было доказано, что уравнение µ(w) = 0 имеет единственный корень w при w 0, причем из равенства u(s, (s)) = w однозначно определяется Соответственно минимальное значение функции 1 (s, ) по достигается либо на границах отрезка [0, 1] либо в точке (s), если (s) [0, 1]. Решая неравенства (s) 0 и (s) 1 получаем следующее выражение для (s) Пусть теперь 2 n <. Уравнение Беллмана имеет следующий вид Введем обозначение Заметим, что где u(s, ) определено в (2.25). Тогда n (s, ) = u(s,) (L s c() + y)dQ(y)+ Справедлива следующая Теорема 2.6. 1) Функция Wn (s) дважды дифференцируема по s. Кроме того, Wn (s) [1, 0], Wn (s) 0.

2) Оптимальная квота n (s) на первом шаге n-шагового процесса определяется следующим образом где а (s) единственное решение уравнения Доказательство. Сначала найдем частные производные n (s, ) по. При u(s, ) имеем Соответственно при u(s, ) 0 получаем где u(s, ) = u(s, ). Найдем вторую частную производную и введем дополнительные обозначения для ее компонент n (s, ) = u(s, ) (u(s, )EY )q(u(s, ))+v Заметим, что, если Wn1 (s) 1 и Wn1 (s) 0, то n (s, ) 0. Иными словами, функция n (s, ) не убывает по при фиксированном s.

Утверждение теоремы мы установим с помощью метода математической индукции по n. Для n = 1 утверждение следует из теоремы 2.5. Пусть утверждение верно для n 1, то есть Wn1 (s) [1, 0], Wn1 (s) 0. Покажем, что оно справедливо для Wn (s).

По аналогии с доказательством теоремы 2.5 произведем разбор случаев.

1. Пусть s L c + EY. Тогда u(s, ) > EY для всех [0, 1]. Обозначим Далее, заметим, что при u(s, ) 0 согласно (2.34) и предположению индукции, n (s, ) неотрицательна при [0, 1], причем оба слагаемых в выражении (2.34) не равны нулю одновременно и, значит, n (s, ) > 0. Следовательно, функция n (s, ) возрастает при [0, 1]. Тогда, если p1 (s) 0, то p0 (s) < 0 и, значит, функция n (s, ) 0 для всех [0, 1]. При этом функция n (s, ) не возрастает по при фиксированном s и достигает минимального значения в точке = 1. Аналогично, при p0 (s) 0, автоматически p1 (s) > и функция n (s, ) 0 для всех [0, 1]. Следовательно, в таком случае n (s, ) не убывает по и достигает минимального значения при = 0. В случае же pn (s) < 0, pn (s) > 0 в силу возрастания функции n (s, ) по существует единственное решение уравнения n (s, ) = 0. Обозначим его (s). В таком случае, минимум функции n (s, ) достигается в точке (s). Наконец, заметим, что случай p0 (s) > 0, p1 (s) < 0 ровно как и случай p0 (s) = p1 (s) = 0 невозможен в силу возрастания n (s, ).

2. Пусть s L c + EY. Тогда, как было показано при доказательстве теоремы 2.5, Рассмотрим три случая.

a) Пусть 1 (s) 1. Это выполнено при s Lc. Тогда u(s, ) 0 для всякого [0, 1].

Следовательно, согласно (2.31), n (s, ) = (1)EY < 0 и, значит, функция n (s, ) убывает. Поэтому минимальное значение функции n (s, ) достигается в точке 1.

Итак, при s L c оптимальное n (s) = 1.

b) Пусть 1 (s) [0, 1]. Это выполнено при s [L c, L]. В таком случае при [0, 1 (s)] аналогично предыдущему пункту имеем n (s, ) = (1 )EY < 0 и, значит, функция n (s, ) убывает. Кроме того, как несложно видеть из (2.33) n (s, 1 (s)) = (1 )EY < 0. Соответственно, если p1 (s) < 0, то n (s, ) < 0 при [1 (s), 1] и функция n (s, ) убывает. Следовательно, минимум этой функции достигается при = 1. Если же p1 (s) 0, то существует единственное решение (s) [1 (s), 1] уравn нения n (s, ) = 0 и минимум функции n (s, ) достигается в точке (s). Таким образом, при s [L c, L] оптимальное (s) = 1 при p1 (s) < 0 и (s) = (s) при остальных s.

c) Пусть 1 (s) 0. Это выполнено при s [L, L c + EY ]. В таком случае u(s, ) для всех [0, 1] и этот случай рассматривается аналогично случаю 1.

Собрав воедино все рассмотренные случаи, мы получаем второе утверждение теоремы.

Докажем теперь первый пункт теоремы: Wn (s) [1, 0], Wn (s) 0. Для начала найдем частные производные n (s, ) по s, а также смешанную производную по s и. При u(s, ) 0 имеем Соответственно при u(s, ) 0 получаем, что первая производная равна Вычислим вторую частную производную и введем дополнительные обозначения для ее компонент Смешанная производная равна n (s, )s = q(u(s, ))u(s, ) + v Далее, пусть n (s) точка, в которой достигается минимум в уравнении Беллмана для Wn (s). Сначала заметим, что согласно рассмотренным выше случаям (см. 1)-2)) для всех s, кроме случая s L c (см. 2а)), при = n (s) имеем u(s, n (s)) 0. При этом для s L c в 2а) показано, что (s) = 1. Рассмотрим два случая I. Пусть s L c, подставим значение n (s) = 1 в уравнение Беллмана для Wn (s).

Имеем откуда Wn (s) = 1, Wn (s) = 0.

II. Пусть s L c и, следовательно, u(s, (s)) 0. По определению имеем Нетрудно видеть, что n (s, )s [1, 0]. Действительно, согласно (2.38) и предположению индукции Wn1 (s) 1 справедлива следующая оценка Далее, найдем Wn (s). Во-первых, заметим, что из формул (2.36) и (2.37) вытекает, что при u(s, ) 0 или s L c производная Wn (s) = 0. Далее, пусть s L c. По правилу дифференцирования имеем Как доказано ранее, знаменатель дроби (2.41) положителен. Докажем неотрицательность числителя. В введенных ранее обозначениях числитель дроби (2.41) равен (Kss + Kss )(K + K ) (Ks + Ks )2 = Докажем, что Ks Ks Kss K для i, j = 1, 2. Заметим, что по определению Kss K = (Ks )2. Покажем, что Kss K (Ks )2. Действительно, согласно неравенству Коши– Буняковского Кроме того, по определению и предположению индукции Kss 0, Kss 0, K 0 и K 0. С помощью приведенных выше сравнений находим Следовательно, все компоненты числителя дроби (2.41) неотрицательны.

Таким образом, Wn (s) 0 при s L c и все утверждения теоремы доказаны.

Случай бесконечного горизонта планирования Перейдем теперь к случаю n =. Во-первых, заметим, что функция W (s) ограничена сверху. Действительно, рассмотрим стратегию отсутствия перестрахования B 1 := (b1, b1,...), определенную по правилу b1 = 1 п.н. для всех k 1. В таком случае, по определению W (s) W B (s). В параграфе 2.1 было доказано, что в случае отсутствия перестрахования (и инвестиций) справедлива оценка (см. замечание 2.4 и формулу (2.14)) Покажем, что существует решение уравнения (2.22). Рассмотрим последовательность функций {Wn (s)}, определенных по правилу Wn (s) = min {E max(0, L s c() + r(, Y )) + vEWn1 (max(L, s + c() r(, Y ))}, n 0, где W0 (s) = 0. Справедлива Лемма 2.7. Существует поточечный предел W (s) := limn Wn (s) последовательности функций Wn (s). Кроме того, предельная функция W (s) удовлетворяет уравнению Беллмана (2.22).

Доказательство. Докажем, что последовательность {Wn (s)} возрастает по n. Установим это свойство по индукции. При n = 0 утверждение тривиально. Пусть Wn (s) Wn1 (s) для всех s, а n+1 (s) точка, в которой достигается минимум в уравнении (2.43) для Wn+1 (s). Тогда Wn+1 (s) = = E max(0, L s c(n+1 (s)) + n+1 (s)Y ) + vEWn (max(L, s + c(n+1 (s)) n+1 (s)Y ) E max(0, L s c(n+1 (s)) + n+1 (s)Y ) + vEWn1 (max(L, s + c(n+1 (s)) n+1 (s)Y ) Следовательно, так как Wn (s) Wn+1 (s) W (s) для всех s и n 0, то согласно (2.42) все функции Wn (s) ограничены сверху. Тогда по теореме о монотонной сходимости существует поточечный предел W := limn Wn (s). Далее, аналогично теореме 2.3 из первого параграфе устанавливается, что W (s) удовлетворяет уравнению Белммана и W (s) = W (s).

Далее, справедлива Теорема 2.7. 1) Функция W (s) дважды дифференцируема. Кроме того, W (s) [1, 0], W (s) 0.

2) Оптимальная квота (s) на первом шаге определяется следующим образом а (s) единственное решение уравнения Доказательство. Заметим, что последовательность {Wn (s)} согласно теореме 2.6 есть последовательность ограниченных неубывающих дифференцируемых функций. Следовательно, существует поточечный предел limn Wn (s) = G(s). Но поскольку в силу леммы 2.7 существует limn Wn (s) = W (s), то W (s) дифференцируема и W (s) = G(s). Следовательно, поскольку все функции Wn (s) не убывают и дифференцируемы, то W (s) 0.