[ «ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ В ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ С ПРИМЕНЕНИЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УНИТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ...»
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
«Поволжский государственный университет
телекоммуникаций и информатики»
На правах рукописи
Григоров Игорь Вячеславович
ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
В ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ
С ПРИМЕНЕНИЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ
УНИТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Специальность 05.12.13 Системы, сети и устройства телекоммуникаций Диссертация на соискание учёной степени доктора технических наук
Научный консультант:
доктор технических наук, профессор Бурдин Владимир Александрович Самара – ОГЛАВЛЕНИЕ……………………………………………………………………… СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ………………………………………… ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………..
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УНИТАРНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ, ИХ СВОЙСТВА И ПРИМЕНЕНИЕ В
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ………………………………… 1.1 Обработка сигналов в телекоммуникационных системах с применением линейных унитарных преобразований……………………………………….. 1.2 Унитарные преобразования сигналов в задачах селекции сигналов и помех в системах телекоммуникаций………………………………………... 1.3 Методы компенсации дисперсии сигналов в волоконно-оптических системах передачи и их описание с применением линейных унитарных преобразований………………………………………………………………… 1.4 Выводы и задачи исследования………….………………………………..ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ИХ
РЕАЛИЗАЦИЯ В ВИДЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ФИЛЬТРОВ ШРЁДИНГЕРА (НФШ),
ОБЩИЕ СВОЙСТВА НФШ………………………………………………………. 2.1 Нелинейные унитарные преобразования и их реализация на основе метода расщепления по физическим факторам. Нелинейный фильтр Шрёдингера (НФШ)…………………………………………………………… 2.2 Компрессионные свойства НФШ, детерминированная оптимизация его параметров, преобразование детерминированных сигналов в НФШ……… 2.3 Преобразование спектральных характеристик детерминированных сигналов в НФШ………………………………………………………………. 2.4 Преобразование функций распределения случайных процессов в НФШ…………………………………………………………….. 2.5 Выводы…………………………………………………………………….ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ФИЛЬТРОВ ШРЁДИНГЕРА В
ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПЕРЕДАЧИ…………………… 3.1 Додетекторная обработка сигналов в ВОСП с использованием аналоговых НФШ…………………………………………………………….. 3.2 Электронная компенсация нелинейной межсимвольной интерференции (НМСИ) в одноканальных ВОСП с применением НФШ………………….. 3.3 Применение многоканальных НФШ в высокоскоростных волоконнооптических системах передачи со спектральным уплотнением (WDMсистемах)……………………………………………………………………… 3.4 Исследование алгоритмов обработки сигналов с применением НФШ в когерентных многопозиционных ВОСП…………………………………… 3.5 Выводы…………………………………………………………………….ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ФИЛЬТРОВ ШРЁДИНГЕРА ДЛЯ
ПОДАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫХ ВИДОВ ПОМЕХ В
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ……………………………….. 4.1 Селекция сигналов и импульсных помех (ИП) с применением НФШ.. 4.2 Оптимизация алгоритмов обработки сигналов при подавлении негауссовских ИП с применением НФШ…………………………………… 4.3. Анализ вероятностных характеристик потока негауссовских импульсных помех…………………………………………………………… 4.4 Преобразование вероятностных, корреляционных и спектральных характеристик негауссовских импульсных помех в звеньях НФШ и блоках селекции………………………………………………………………………. 4.5 Сравнительный анализ помехоустойчивости различных алгоритмов приема дискретных сообщений на фоне негауссовских помех…………… 4.6 Результаты статистического моделирования алгоритмов подавления негауссовских ИП с использованием НФШ………………………………... 4.7 Выводы…………………………………………………………………….ГЛАВА 5. ПРИМЕНЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ФИЛЬТРОВ
ШРЁДИНГЕРА ДЛЯ УЛУЧШЕНИЯ ФОКУСИРОВКИ
РАДИОЛОКАЦИОННЫХ И ОПТИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ……………... 5.1 Двумерная реализация нелинейных фильтров Шрёдингера в задаче улучшения резкости изображений…………………………………………... 5.2 Оптимизация параметров двумерных НФШ в задаче улучшения фокусировки точечных изображений……………………………………….. 5.3 Моделирование алгоритмов обработки изображений с применением двумерных НФШ……………………………………………………………... 5.4 Выводы……………………………………………………………………. ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………...…. СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………. ПРИЛОЖЕНИЯ…………………………………………………………………...СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
СПДС – система передачи дискретных сообщений КС – канал связи ВОЛП – волоконно-оптическая линия передачи ВОСП – волоконно-оптическая система передачи НДК – нелинейный дисперсионный канал НУШ – нелинейное уравнение Шрёдингера ОНУШ – обобщенное нелинейное уравнение Шрёдингера МНУШ – модифицированное нелинейное уравнение Шрёдингера ОВ – оптическое волокно ХД – хроматическая дисперсия ПМД – поляризационная модовая дисперсия ДГС – дисперсия групповых скоростей ФСМ – фазовая самомодуляция ФКМ – фазовая кросс-модуляция ЧВС – четырехволновое смешение НФШ – нелинейный фильтр Шрёдингера НФФ – нелинейный фазовый фильтр ОНФШ – обратный нелинейный фильтр Шрёдингера ВНФШ – восстанавливающий нелинейный фильтр Шрёдингера ДНФШ – двумерный нелинейный фильтр Шрёдингера НЗ – нелинейное звено ЛЗ – линейное звено СФ – согласованный фильтр ФНЧ – фильтр нижних частот РФ – режекторный фильтр ФМ – фазовая модуляция ОФМ – относительная фазовая модуляция АМ – амплитудная модуляция ЧМ – частотная модуляция ЛЧМ – линейная частотная модуляция ФД – фотодетектор КФД – квадратурный фотодетектор АЦП – аналого-цифровой преобразователь БОС – блок обработки сигнала КИХ – конечная импульсная характеристика АЧХ – амплитудно-частотная характеристика ФЧХ – фазочастотная характеристика МСИ – межсимвольная интерференция НМСИ – нелинейная межсимвольная интерференция МСП – многоканальная система передачи ДПФ – дискретное преобразования Фурье БПФ – быстрое преобразования Фурье БНП – безынерционное нелинейное преобразование ФКВ – фильтр Колмогорова-Винера СКО – среднеквадратическая ошибка КМО – квадрат максимальной ошибки ОП – отношение правдоподобия ДДО – додетекторная обработка ФДДО – фильтр додетекторной обработки ПДО – последетекторная обработка ДМ – демодулятор КДМ – корреляционный демодулятор ПОМ – передающий оптический модуль ПРОМ – приёмный оптический модуль ИП – импульсная помеха СП – сосредоточенная помеха БГШ – белый гауссовский шум БС – блок селекции АО – амплитудный ограничитель БУ – бланкирующее устройство ЛИ – линейный интерполятор ПП – преселектирующее преобразование КФ – корреляционная функция ФРТ – функция рассеяния точки SMF – Single Mode Fiber (одномодовое оптическое волокно) DCF – Dispersion Compensating Fiber (оптическое волокно, компенсирующее дисперсию) CD – Chromatic Dispersion (хроматическая дисперсия) PMD – Polarization Mode Dispersion (поляризационная модовая дисперсия) EDC – Electronic Dispersion Compensation (электронная компенсация дисперсии) WDM – Wavelength Division Multiplexing (волновое спектральное уплотнение) FBG – Fiber Bragg Grating (волоконная брэгговская решетка) BER – bit error rate (коэффициент ошибки на бит) PSK – phase-shift keying (фазовая модуляция) FEC – Forward Error Correction (помехоустойчивое кодирование) NRZ – Non Return of Zero (линейный код с возвратом к нулю)ВВЕДЕНИЕ
Представленная диссертационная работа основана на ряде многолетних исследований и разработок, проводимых на кафедре Линий связи и измерений в технике связи ФГОБУ ВПО ПГУТИ по руководством ректора, заслуженного деятеля науки РФ, д.т.н. профессора В.А. Андреева, а также на кафедре Теоретических основ радиотехники и связи (ранее кафедра Теории передачи сигналов) под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н.профессора Д.Д. Кловского, а затем д.т.н., члена-корреспондента Российской академии космонавтики им. К.Э. Циолковского О.В. Горячкина.
В процессе своей работы автор опирался на труды В.А. Андреева [1,2], В.А. Бурдина [2-4], С.М. Широкова [5,6], И.И.Гроднева [7], Д.Д. Кловского [8], О.В. Горячкина [9], О.Е. Нания [10-13], О.Г. Морозова [14], В.Г. Карташевского [15,16], Д.В. Мишина [16], Б.И. Николаева [17], А.В. Бурдина [1,18] и др.
Особое внимание необходимо уделить работам Сергея Михайловича Широкова. С 1984 года им успешно развивалось новое научное направление в теории связи, касающееся использования нелинейных волновых процессов для телекоммуникационных системах, в частности в волоконно-оптических системах передачи (ВОСП). Им были разработаны математические методы описания, моделирования и расчета нового класса высокоскоростных ВОСП, использующих солитоны в качестве носителей информации. В 1998 г. Сергей Михайлович успешно защитил в ПГУТИ докторскую диссертацию на тему «Теория и моделирование передачи дискретных сообщений с применением нелинейных волновых процессов», посвященную солитонным ВОСП, которые в настоящее время созданы и успешно функционируют во многих странах.
Материалы диссертации С.М.Широкова изложены в монографии [5].
Автор данной диссертационной работы является учеником и первым аспирантом С.М. Широкова, а многие идеи, изложенные здесь, изначально выдвинуты им. Поэтому автор выражает глубокую признательность доктору технических наук, профессору Сергею Михайловичу Широкову, безвременно ушедшему из жизни в 2004 году.
Кроме того, необходимо отметить многих других отечественных учёных, работы которых также использовались автором в процессе работы: В.П. Маслов [19], А.М. Прохоров [20,23], И.Н. Сисакян [21], А.Б. Шварцбург [21,22], Е.М. Дианов [23], Мамышев П.В. [23], С.А. Ахманов [24,25], В.А. Выслоух [24], Ю.Е. Дьяков [25], А.С. Чиркин [24,25], Ю.В. Гуляев [26], М.Я. Меш [26], В.В. Проклов [26]. М.Ф. Федорук [27-30], С.К. Турицын [28,30,31], Ю.И. Шокин [28], Е.Г. Шапиро [29], О.В. Штырина [28,30], В.А. Неганов [32], А.Г. Глущенко [33], Р.Л. Стратонович [34], Л.М. Финк [35,36], В.И. Коржик [36], К.Н. Щелкунов [36], Б.Р. Левин [37], Ю.С. Шинаков [38], А.П. Трифонов [38], И.А. Цикин [39], С.Б. Макаров [39], А.А. Сикарев [40], А.И. Фалько [40], В.А. Виттих [41], В.А. Сойфер [41], В.В. Сергеев [41], Л.П. Ярославский [42], Г.И. Василенко [43], Е.Ф. Камнев [71], Н.Е. Кириллов [71], Н.И. Кобин [71], А.А.Парамонов [71] и др.
Из зарубежных исследователей следует отметить таких учёных как G. Agraval [44,45], Y. Kivshar [45], A. Нasegawa [46], Y. Kodama [47], Nozaki K.
[47], D. Yevick [48], B. Hermansson [48], F. Favre [49], D. Le Guen [49], I. Gabitov [50,51], F. Calogero [52], A. Degasperis [52], T. Merker [53], N. Hahnenkamp [53], P. Meissner [53], Le Nguyen Binh [54], Adrew C. Singer [55], Naresh R. Shanbhag [55], Hyeon-Min Bae [55], Faerbert A. [56], Killey R. I. [57], Watts P. M. [57], Glick M. [57], Bayvel P. [57], Proakis J.G. [58], Bello P.A. [59], Esposito R. [59], Conte E.
[60], Corti E. [60], Pescotori L. [60] и др.
Предлагаемая диссертационная работа посвящена проблемам обработки сигналов в волоконно-оптических линиях передачи (ВОЛП) с целью повышения скорости и дальности передачи информации, а также повышения помехоустойчивости приема оптических сигналов в условиях совместного действия помех, дисперсионных и нелинейных искажений. Кроме того, в ней рассматриваются задачи повышения помехоустойчивости приема сигналов в телекоммуникационных системах в условиях действия сложных негауссовских помех, а также задачи улучшения фокусировки точечных изображений.
Актуальность темы исследования. В высокоскоростных цифровых ВОЛП обычно применяются одномодовые оптические волокна (ОВ). В них наблюдается два вида дисперсии – хроматическая (ХД) и поляризационная модовая (ПМД). Причиной возникновения ХД является зависимость показателя преломления кварцевого стекла от длины световой волны, а причины возникновения ПМД – неидеальность геометрии сердцевины и оболочки ОВ, посторонние включения, механические напряжения и т.д. Любая дисперсия является причиной возникновения межсимвольной интерференции (МСИ), которая заключается во временном перекрытии сигнальных элементов, передаваемых последовательно по линии, что, в свою очередь, ведет к увеличению вероятности ошибочного приема символов дискретного сообщения. Для уменьшения влияния МСИ используют различные способы линейной компенсации дисперсии, применяют малочувствительные к МСИ форматы модуляции, помехоустойчивое кодирование («Forward Error Correction» – FEC), коррекцию, прием вцелом и т.д. [8,10-13,15-18,49-51].
В ВОЛП кроме дисперсионных заметно проявляются нелинейные искажения, порождаемые такими нелинейными эффектами, как фазовая самомодуляция (ФСМ), фазовая кроссмодуляция (ФКМ), четырехволновое смешение (ЧВС) и т.д. Все перечисленные эффекты обусловлены зависимостью показателя преломления кварца не только от частоты света, но и от его амплитуды (мощности). Действие нелинейных эффектов наиболее сильно проявляется в многоканальных ВОСП с уплотнением по длине волны («Wavelength Division multiplexing» – WDM) с большим числом спектральных каналов, т.к. с увеличением их числа растет мощность передаваемого полезного сигнала. Проблемы распространения сигналов как в одноканальных, так и многоканальных ВОСП широко освещены во многих публикациях [1-7,10и др.] и не требуют специального рассмотрения в рамках данной работы.
дисперсионных и нелинейных эффектов в линии характер межсимвольной интерференции существенно усложняется. Это обусловлено тем, что в нелинейной системе передачи не соблюдается принцип суперпозиции, т.к. ее реакция на сумму передаваемых сигналов не может быть представлена суммой реакций на каждый из них. Такое явление предлагается назвать нелинейной межсимвольной интерференцией (НМСИ). Это приводит к дальнейшему увеличению вероятности ошибки. В отличие от линейного канала связи, указанный рост не может быть скомпенсирован увеличением мощности передаваемого сигнала, т.к. это, в свою очередь, приведет к усилению действия нелинейных эффектов.
нелинейных искажений – поддержание уровня передаваемого сигнала в заданных пределах, избыточное кодирование [10-12], использование специальных форматов модуляции, малочувствительных к такого рода искажениям [29,30] и т.д. В последнее время для совместной борьбы с дисперсионными и нелинейными искажениями применяются известные методы приема сигналов, применяемые в линейных каналах с МСИ. Наиболее недостатками являются большие вычислительные затраты и большая задержка.
В монографии [5] рассматриваются задачи построения оптимальных и субоптимальных демодуляторов для нелинейных дисперсионных каналов (НДК), к которым относятся волоконно-оптические линии передачи. При этом рассматриваются в основном режимы передачи близкие к солитонным, при которых дисперсионное уширение оптических импульсов почти полностью компенсируется нелинейными эффектами, что очень трудно реализовать в реальных ВОЛП. Кроме того, здесь не учитываются многие особенности реальных магистральных ВОСП – многоканальность, зависимость параметров передачи от продольной координаты, наличие усилителей и т.д.
совместного подавления нелинейных и дисперсионных искажений, а также задачи оптимизации соответствующих алгоритмов обработки сигналов при наличии помех с целью увеличения скорости и дальности передачи информации в волоконно-оптических линиях передачи, является актуальной.
Другой важной задачей данной диссертационной работы является задача повышения помехоустойчивости приема сообщений в каналах связи при наличии негауссовских импульсных помех большой длительности. Задачи синтеза оптимальных алгоритмов демодуляции сигналов в линейных каналах на фоне флуктуационных гауссовских помех решены и реализованы на основе корреляторов или согласованных фильтров [8,9,15-17,35-40]. В условиях оптимальными и решение задачи существенно усложняется. В настоящее время общая задача оптимального приема дискретных и непрерывных сообщений в каналах связи при наличии негауссовских помех не решена. Поэтому задача повышения помехоустойчивости приема сигналов в каналах с такими помехами, также является актуальной.
Объект исследования. Объектом исследования данной диссертационной работающие, в первую очередь, в существенно нелинейном режиме. Другим объектом исследования являются любые каналы связи (радиоканалы, проводные, тропосферные и т.д.), в которых действуют негауссовские длительности, при наличии флуктуационных и сосредоточенных помех.
Цели и задачи диссертации. Целью диссертационной работы является разработка и исследование нелинейных алгоритмов додетекторной и последетекторной обработки сигналов в ВОСП, предназначенных для увеличения помехоустойчивости, скорости и дальности передачи дискретных сообщений. Кроме того, целью работы является разработка нелинейных телекоммуникационных системах.
Задачами диссертационной работы являются:
• анализ существующих линейных и нелинейных методов обработки преобразований, предназначенных для компенсации дисперсионных искажений, подавления аддитивных помех и т.д.;
• разработка и исследование общих свойств нелинейных фильтров преобразований, в первую очередь, на основе ряда нелинейных эволюционных уравнений шрёдингеровского типа;
• разработка и исследование алгоритмов додетекторной обработки использованием аналоговых НФШ, предназначенных для повышения помехоустойчивости приема оптических сигналов;
нелинейной межсимвольной интерференции (НМСИ) в одноканальных ВОСП, а также ВОСП со спектральным уплотнением с применением НФШ;
• разработка и исследование алгоритмов обработки сигналов, в том числе и субоптимальных, с применением НФШ, в когерентных многопозиционных ВОСП;
• разработка, оптимизация и исследование эффективности алгоритмов нелинейной обработки сигналов с применением НФШ, предназначенных для подавления негауссовских импульсных помех.
нелинейных волновых процессов, теории оптических волноводов, теории вероятностей, линейной алгебры, теории случайных процессов, теории оптимального приёма дискретных сообщений. Проверка результатов исследования осуществлялась путём имитационного моделирования на компьютере с использованием математических пакетов «MatLab» и «MathCad», а также языка программирования С++.
Обоснованность полученных результатов обеспечивается корректной постановкой задач, решаемых в диссертационной работе, на основе известных линейных и нелинейных моделей каналов связи, в математическом смысле адекватных реальным каналам связи.
Достоверность полученных результатов подтверждается корректностью использования соответствующего математического аппарата, сопоставлением с аналогичными результатами, полученными другими исследователями, а также сопоставимостью результатов, полученных путём аналитического расчёта и имитационного моделирования, в том числе, соответствием вероятностностатистических характеристик помехоустойчивости.
диссертационной работы состоит в следующем:
1. Предложен новый класс нелинейных фильтров, предназначенных как для аналоговой, так и для цифровой обработки сигналов – нелинейные фильтры Шрёдингера (НФШ); исследованы компрессионные, унитарные и другие общие свойства НФШ.
оптических сигналов в линейной ВОСП с использованием аналоговых НФШ, предназначенный для повышения помехоустойчивости приема.
3. Предложен и исследован алгоритм электронной компенсации нелинейной межсимвольной интерференции (НМСИ) в одноканальных ВОСП, работающих в существенно нелинейном режиме, построенный на основе цифрового НФШ.
4. Предложен и исследован многоканальный вариант алгоритма спектральным уплотнением (WDM-систем), с применением цифрового многоканального НФШ.
5. Предложен и исследован алгоритм когерентной обработки сигналов в многопозиционных ВОСП со спектральным и пространственным уплотнением каналов, с применением цифровых НФШ; решена задача оптимизации алгоритма в гауссовском приближении.
оптимизированный с учетом действия в линии случайной поляризационной модовой дисперсии (ПМД).
7. Предложены и исследованы алгоритмы подавления негауссовских импульсных помех большой длительности при наличии флуктуационных и сосредоточенных помех, построенные на основе цифровых НФШ, предназначенные для использования как в системах передачи дискретных, так и непрерывных сообщений.
Научные положения, выносимые на защиту 1. Предложен новый алгоритм додетекторной обработки оптических сигналов в линейной волоконно-оптической системе передачи с использованием аналогового (оптического) НФШ и демодулятора стробирующего типа. Такое приёмное устройство обеспечивает повышение помехоустойчивости приема по сравнению со стробирующим демодулятором.
Выигрыш в отношении сигнал-шум от применения НФШ практически не зависит от уровня вероятности ошибки и составляет 8-12 дБ в зависимости от полосы пропускания входного фильтра.
2. Предложен новый алгоритм электронной компенсации нелинейной межсимвольной интерференции (НМСИ) в одноканальной ВОЛП, построенный на основе цифрового восстанавливающего НФШ (ВНФШ) и демодулятора стробирующего типа. Это приёмное устройство также обеспечивает повышение качества демодуляции: по отношению к демодулятору с оптическим линейным компенсатором хроматической дисперсии, использующим компенсирующее волокно DCF, выигрыш в отношении сигнал-шум на линии длиной 120 км составляет приблизительно 7,5 дБ, что обусловлено эффективной компенсацией хроматической дисперсии и нелинейных искажений, вызванных фазовой самомодуляцией (ФСМ). При учете поляризационной модовой дисперсии (ПМД) выигрыш от применения ВНФШ возрастает до 8,5 дБ, что обусловлено повышенным коэффициентом ПМД волокна DCF.
3. Предложен новый алгоритм электронной компенсации НМСИ, с использованием многоканальных ВНФШ, предназначенный для ВОСП со спектральным уплотнением (WDM-систем). Такой демодулятор обеспечивает больший выигрыш, по отношению к линейному – около 12-13 дБ, что обусловлено компенсацией нелинейных искажений, вызванных совместным действием ФСМ и фазовой кроссмодуляции (ФКМ). При этом, выигрыш растет при увеличении уровня входного сигнала. Например, его увеличение на 6 дБм повышает выигрыш до 14-15 дБ. При увеличении длины линии эффект от применения ВНФШ возрастает, особенно при большом уровне входного сигнала.
4. Предложен новый алгоритм когерентной обработки сигналов в многопозиционных ВОСП со спектральным и пространственным уплотнением каналов, построенный на основе ВНФШ и корреляционного демодулятора. Он также обеспечивает выигрыш по сравнению с линейным алгоритмом: на уровне коэффициента ошибки 10-6 – 10-7 при уровне мощности входного сигнала + дБм он составляет около 12 дБ. При повышении мощности входного сигнала нелинейный алгоритм обеспечивает приемлемое качество демодуляции, в то время как линейный полностью перестает работать. При дальнейшем повышении уровня сигнала на передаче (вплоть до +18 дБм) алгоритм с ВНФШ также обеспечивает приемлемое качество демодуляции. При этом, проигрыш по отношению к кривой потенциальной помехоустойчивости растет, что обусловлено нелинейным взаимодействием сигнала и шума. Использование заведомо повышенных уровней передаваемых сигналов и нелинейных режимов передачи совместно с процедурой восстановления сигналов с помощью ВНФШ, позволяет увеличить как длину усилительного участка при фиксированной скорости, так и повысить скорость передачи (при заданной длине и коэффициенте ошибок) за счет применения многопозиционных сигналов.
Кроме того, данный способ повышения информационной скорости без увеличения канальной, эффективен при наличии поляризационной модовой дисперсии.
5. Предложены новые алгоритмы подавления негауссовских импульсных предназначенные для использования как в системах передачи дискретных (СПДС), так и непрерывных сообщений (СПНС), обеспечивают существенное повышение качества демодуляции. Наилучшие результаты как для СПДС, так и для СПНС, показал алгоритм с прямым и восстанавливающим НФШ совместно с линейным интерполятором. Энергетический выигрыш от применения НФШ составляет 8,5-9 дБ.
Личный вклад автора. Все результаты, составляющие содержание данной диссертационной работы, получены автором самостоятельно, и соответствуют пунктам 3, 8 и 11 паспорта специальности 05.12.13.
Практическая значимость и область применения результатов.
Представленные в данной диссертационной работе нелинейные алгоритмы негауссовских импульсных помех могут быть использованы при разработке высокоскоростных волоконно-оптических систем передачи, предназначенных для работы совместно с одномодовыми оптическими волокнами, с целью повышения помехоустойчивости, скорости и дальности передачи информации.
многопозиционных когерентных ВОСП с повышенным уровнем мощности передаваемых сигналов.
диссертации, использовались в следующих хоздоговорных НИР:
• в рамках составной части НИР «Дантист-П» и составной части ОКР «Равнодушие-П», выполненных по договорам № 15/08 от 01.04.2008 г. и № 35/07 от 31.05.2007 г. между ОАО «НИИ ВЕКТОР» (г. Санкт-Петербург) и
ФГОБУ ВПО ПГУТИ;
• в рамках НИР «Разработка математических и вычислительных методов «слепой» обработки сигналов и изображений в системах радиотехники, связи и ДЗЗ» (шифр «СОС»), проводимой с 2009 г. по 2010 г.ГНПРКЦ «ЦСКБ-Прогресс», выполненной по договору с ГОУВПО ПГУТИ;
• в рамках НИР «Разработка технических предложений по созданию перспективных радиолокационных систем космического базирования для применения в составе КС разработки ГНПРКЦ «ЦСКБ-Прогресс» (шифр «Поиск»), проводимой с 2007 г. по 2013 г., выполненной по договору с ФГОБУ ВПО ПГУТИ;
• в ООО «Самарское конструкторское бюро-Связь» (г. Самара) при разработке модульного синхронного транспортного оборудования;
• в учебный процесс в ФГОБУ ВПО ПГУТИ.
Использование результатов данной диссертационной работы в указанных выше НИР и ОКР подтверждается соответствующими актами внедрения.
Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы прошли апробацию на 59 научно-технических конференциях, в том числе:
• на L, LI, LIII и LIV научных сессиях НТОРЭС им А.С. Попова;
• на V, VI, XII МНТК «Радиолокация, навигация и связь»;
• на III, IV,VI МНТК «Физика и технические приложения волновых процессов»;
• на III, IV,VI, VI, VII, XI МНТК «Проблемы техники и технологии телекоммуникаций»;
• на МНТК «Нигматуллинсикие чтения-2013»;
• на VI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике;
• на IV РНТК «Всероссийская конференция по волоконной оптике».
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений.
Основная часть работы содержит 323 страницы текста, в том числе рисунков. В список литературы внесено 220 наименований.
В первой главе диссертационной работы, которая носит обзорный характер, рассматриваются различные линейные унитарные преобразования сигналов, как непрерывные, так и дискретные – преобразования Фурье, Уолша, Хаара, Виленкина-Крестенсона, Сэлфриджа, Френеля, вейвлет-преобразования и другие. Рассматриваются их общие свойства и применение в телекоммуникационных системах, в том числе, в волоконно-оптических системах передачи, для решения задач компенсации линейных искажений различных видов, фильтрации, подавления помех, обработки изображений и т.д. Линейная обработка основана на представлении сигналов в виде разложения в некотором обобщенном базисе и служит для разделения сигналов или их спектральных составляющих (в обобщенном базисном смысле), связанных между собой операцией суммы или, в общем случае, линейной комбинации.
В данной главе рассматривается также нелинейная обработка сигналов – ограничение, бланкирование, интерполяция различного порядка и т.д.
Рассматриваются также их свойства и применение, в первую очередь, к задачам подавления импульсных помех. Большинство рассмотренных линейных преобразований обладают свойством унитарности (ортогональности). При этом, описанные нелинейные преобразования таким свойством не обладают.
Единственным исключением из ряда указанных нелинейных преобразований, которое обладает свойством, аналогичным свойству унитарности, является гомоморфная обработка речевых сигналов и изображений, называемая также обобщенной линейной фильтрацией. Такая обработка используется для разделения сигналов (или их спектральных составляющих), связанных операциями произведения или линейной свертки. В последующих главах рассматриваются другие нелинейные преобразования сигналов, обладающие свойством унитарности, рассматриваются их свойства, способы реализации и некоторые технические приложения.
Во второй главе диссертационной работы, а также в последующих главах, рассматриваются нелинейные унитарные преобразования, называемые также операторами с унитарной нелинейностью [19], порожденные различными нелинейными эволюционными уравнениями (а также системами таких уравнений) шрёдингеровского типа [5,10-11,20-31,44-47]. Они используются, в частности, для описания нелинейной эволюции оптических импульсов, распространяющихся по оптическим волокнам (ОВ). В этой главе подробно рассматривается классическое нелинейное уравнение Шрёдингера (НУШ) с кубической нелинейностью, в котором учитываются только дисперсионные эффекты второго порядка, а затем результаты обобщаются на случай наличия дисперсионных эффектов высших порядков.
Аналитические методы решения нелинейных эволюционных уравнений, в первую очередь, метод обратной задачи рассеяния [24,52,101,102,130-135], достаточно сложны. Поэтому при их исследовании обычно применяются методы численного решения (моделирования). При этом чаще всего используется метод расщепления по физическим факторам [44,48].
Последовательность нелинейных и линейных операторов, используемых при таком решении, предлагается рассматривать как некоторый многозвенный фильтр – нелинейный фильтр Шрёдингера (НФШ). Его можно реализовать как в аналоговой, так и в цифровой формах. В последнем случае НФШ является электрическим аналогом ОВ, который можно использовать для обработки сигналов, предварительно преобразованных квадратурным расщепителем [37,58,77], в две квадратурные компоненты (обработка сигналов по комплексной огибающей). В отличие от обычного линейного фильтра, НФШ является нелинейным фильтром с распределенными параметрами.
В частном случае, НФШ может содержать только два звена – нелинейное и линейное (НЗ и ЛЗ). Такие устройства, реализованные в оптическом диапазоне длин волн, известны и называются волоконно-оптическими компрессорами [24]. Они применяется для получения мощных оптических импульсов сверхмалой длительности. Простейший двухзвенный НФШ является электрическим аналогом такого компрессора, причем нелинейность НЗ, в отличие от квадратичной (керровской), реализуемой в оптических средах, может быть произвольной. В данной главе выводятся аналитически характеристики звеньев, подробно исследуются свойства различных вариантов НФШ, в том числе, и многозвенных. Здесь, в первую очередь, рассматриваются компрессионные свойства НФШ для произвольного вида нелинейности НЗ, решается задача оптимизации звена, т.е. определения оптимального вида нелинейности с целью наилучшего сжатия импульсных сигналов различных форм. Обсуждается также ряд свойств двух- и трехзвенных НФШ с оптимальной и квадратичной нелинейностью, в частности, аналитически доказывается, что трехзвенный фильтр с оптимальной нелинейностью реализует «временне» преобразование Фурье. Исследуется механизм рассматриваются вопросы влияния амплитуды импульса на степень его сжатия в НФШ.
спектральных характеристик детерминированных сигналов различных форм в НФШ как аналитически, так и с применением численных методов. Например, преобразованного в НФШ с оптимальной нелинейностью, совпадает по форме с входным импульсом. Некоторые результаты анализа преобразования квадратичной нелинейностью, совпадают с известными результатами, приведенными, например, в [24].
Кроме преобразования характеристик детерминированных сигналов, во второй главе рассматриваются также вопросы анализа преобразований некоторых характеристик случайных процессов в НФШ. При этом используется аппарат характеристических функций и метод условных вероятностей [37,77,86]. В частности показывается, что одномерная плотность вероятности огибающей смеси сигнала и шума на выходе нелинейного звена НФШ не изменяется при любом виде нелинейности. Например, показано, что если шум имеет гауссовское распределение, то огибающая смеси сигнала и шума как на входе, так и на выходе НЗ, будет распределена по закону Райса. Показано, что мгновенная начальная фаза смеси на выходе НЗ будет иметь более сложное распределение, которое трудно получить аналитически, но при больших отношениях сигнал-шум оно близко по форме к гауссовскому; при этом при сильной нелинейности НЗ дисперсия фазы смеси на его выходе сильно возрастает.
Третья глава занимает центральное место в диссертационной работе и посвящена вопросам повышения помехоустойчивости приема сигналов в волоконно-оптических системах передачи (ВОСП), а также увеличения рассматривается додетекторная обработка сигналов в ВОСП, не содержащей оптических усилителей, с использованием аналоговых двухзвенных НФШ, реализованных аналогично волоконно-оптическим компрессорам [24]. Здесь предлагается использовать компрессирующие свойства НФШ с квадратичной нелинейностью для повышения отношения сигнал-шум на входе приемного оптического модуля. Расчеты и моделирование показывают, что в линии со скоростью 10Гбит/с за счет такой обработки сигналов можно получить выигрыш в отношении сигнал-шум до 12 дБ. В этом параграфе приводятся результаты аналитического расчета вероятности ошибочного приема демодулятора с использованием аппаратов характеристических функций и условных вероятностей с применением численных методов. Здесь также обсуждаются вопросы реализации аналоговых НФШ на оптическом уровне.
В последующих параграфах третьей главы рассматриваются вопросы последетекторной обработки (ПДО) сигналов на приемной стороне ВОСП с целью совместной компенсации хроматической дисперсии и нелинейных эффектов, в первую очередь, фазовой самомодуляции (ФСМ), с применением цифровых НФШ. Если до недавнего времени в волоконной оптике отдавалось предпочтение оптическим методам компенсации дисперсии, то с внедрением систем передачи со скоростью 100 Гбит/с и выше (в расчете на один спектральный канал) большие значения затухания и коэффициента поляризационной модовой дисперсии (ПМД) оптических компенсаторов, в частности, волокон, компенсирующих дисперсию («dispersion compensating fiber» – DCF), ограничили возможности их применения. Вместе с тем, с освоением промышленностью сверхбыстродействующих оптоэлектронных устройств цифровой обработки сигналов появилась возможность реализации сложных алгоритмов ПДО и существенного повышения эффективности электронной компенсации дисперсии [76]. Рассматриваемые в третьей главе алгоритмы ПДО ориентированы именно на такую элементную базу.
В отличие от известных линейных методов компенсации дисперсии, здесь рассматриваются нелинейные методы обработки сигналов. Это обусловлено тем, что при наличии нелинейных эффектов характер межсимвольной интерференции (МСИ) в ОВ существенно усложняется. За счет нарушения принципа суперпозиции сигнал на выходе ВОЛП не может быть представлен суммой откликов на каждый из входных. Такое явление предлагается называть нелинейной МСИ (НМСИ).
Для компенсации НМСИ предлагается использовать многозвенные НФШ, характеристики которых являются обратными (унитарными), по отношению к характеристикам ВОЛП. Такой фильтр предлагается назвать обратным или восстанавливающим (ВНФШ). В отличие от второй главы, здесь в качестве исходных моделей ВОЛП рассматриваются нелинейные эволюционные уравнения шрёдингеровского типа более общего вида, в частности, обобщенное НУШ. Оно учитывает многие особенности реальных ВОЛП – зависимость нелинейных и дисперсионных параметров от продольной координаты, наличие в линии затухания и усиления как сосредоточенного, так и распределенного типа [45]. Такое уравнение, строго говоря, порождает нелинейный оператор, не обладающий свойством унитарности. Несморя на это, обратный оператор для него найти достаточно просто. Кроме того, при необходимости, его можно привести к унитарному виду несложной подстановкой, а полученное уравнение называется модифицированным нелинейным уравнением Шрёдингера (МНУШ), или уравнением ГабитоваТурицына [31]. В данной главе выводятся характеристики звеньев ВНФШ для ОНУШ и МНУШ.
Затем приводятся результаты моделирования и сравнительной оценки качества восстановления импульсных сигналов нелинейным методом с помощью ВНФШ с линейным методом компенсации дисперсии с помощью ОВ типа DCF. При этом моделировались ВОЛП длиной 120 км и скоростью передачи 10 Гбит/с, а также длиной 1000 км и скоростью 100 Гбит/с. Качество восстановления сигналов нелинейным методом оказалось существенно лучшим. Кроме того, здесь приводятся результаты статистического моделирования линейного и нелинейного методов обработки сигналов совместно с простейшим демодулятором стробирующего типа (одноотсчетный алгоритм приема) в ВОЛП без ПМД, так и при ее наличии. Из полученных результатов можно сделать следующие выводы:
1) Даже при относительно короткой линии (120 км), из-за дисперсии и ФСМ одноотсчетный алгоритм не обеспечивает приемлемого качества приема сигналов – за счет НМСИ коэффициент ошибки даже при больших отношениях сигнал-шум остается приблизительно постоянным близким к 0,5. Применение ВНФШ обеспечивает приемлемое качество приема.
2) Эффективность работы одноотсчетного алгоритма повышается при наличии на входе фотодетектора компенсатора хроматической дисперсии. Но эффективность работы ВНФШ при этом выше – выигрыш составляет приблизительно 7,5 дБ.
поляризационной модовой дисперсии, но, как и следовало ожидать, их эффективность снижается приблизительно на 0,8 – 1 дБ. Выигрыш от применения ВНФШ немного возрастает (приблизительно до 8,5 дБ), что обусловлено более высоким коэффициентом ПМД волокна DCF по сравнению с SMF.
Кроме того, в третьей главе обсуждаются вопросы применения уплотнением (WDM-системах). Для описания процесса распространения сигналов по линии с несколькими спектральными каналами используется система нелинейных уравнений шрёдингеровского типа более общего вида.
Такая модель ВОЛП является наиболее общей и учитывает, по сравнению с ОНУШ и МНУШ ряд других факторов: различие групповых скоростей оптических несущих разных спектральных каналов, возможность организации в каждом спектральном канале двух пространственных каналов, с линейно поляризованными оптическими несущими, а также другой нелинейный эффект, возникающий в WDM-системе – фазовую кроссмодуляцию (ФКМ). Известно, что ФКМ приблизительно в два раза превосходит по своему действию ФСМ [11,44]. Поэтому за счет ФКМ нелинейное взаимодействие сигналов (НМСИ) существенно усиливается.
Для совместного подавления хроматической дисперсии, ФСМ и ФКМ предлагается использовать многоканальный ВНФШ, каждый канал которого предназначен для обработки отдельного спектрального или спектральнопространственного канала. Несмотря на то, что каждое из уравнений системы порождает оператор, не являющийся унитарным, характеристики звеньев такого ВНФШ также достаточно просто получены аналитически.
Далее приводятся результаты моделирования алгоритмов компенсации многоканальный алгоритм обработки сигналов был смоделирован аналогично одноканальному. Для простоты моделировалась двухканальная WDM-система.
При этом рассматривались два значения длины линии – 120 и 600 км. Также, как и в случае одноканальной ВОСП, нелинейный алгоритм с ВНФШ показал существенно лучшие результаты. Из результатов статистического моделирования можно сделать следующие выводы:
1) При отсутствии компенсатора дисперсии в линии относительно небольшой протяженности (120 км) одноотсчетный алгоритм приема практически не работает даже при больших отношениях сигнал-шум, что обусловлено дисперсией и нелинейными эффектами (ФСМ и ФКМ).
2) ВНФШ в этой ситуации обеспечивает хорошее восстановление сигнала и, как следствие, приемлемое качество приема.
3) Включение на выходе ВОЛП линейного компенсатора дисперсии существенно повышает качество приема при использовании одноотсчетного алгоритма, но использование ВНФШ более эффективно (энергетический выигрыш от его применения составляет примерно 12 – 13 дБ). При увеличении уровня входного сигнала до +6 дБм этот выигрыш возрастает до 14 – 15 дБ, что обусловлено эффективной компенсацией ФСМ и ФКМ с помощью ВНФШ.
4) При увеличении длины линии эффект от применения ВНФШ возрастает, особенно при большом уровне входного сигнала.
Последний параграф третьей главы посвящен исследованию алгоритмов обработки сигналов с применением НФШ в когерентных многопозиционных ВОСП. До недавнего времени в высокоскоростных ВОСП применялись простые методы модуляции, обеспечивающие относительно низкую помехоустойчивость, например, амплитудная модуляция («amplitude-shift keying» – ASK). Кроме того, на приемной стороне ВОСП использовался простейший алгоритм демодуляции стробирующего типа, который также не обеспечивает высокое качество демодуляции по сравнению с оптимальными алгоритмами.
Современные технологии формирования и приема сигналов в ВОСП позволяют применять не только помехоустойчивые виды модуляции, как двоичную, так и многопозиционную, но и позволяют реализовать алгоритмы оптимального когерентного приема. Это дает возможность существенно повысить скорость и дальность передачи информации. Например, хорошие результаты дает применение четырехпозиционной фазовой модуляции (ФМ-4), в сочетании с пространственным уплотнением по плоскости поляризации, и позволяет реализовать информационную скорость 100 Гбит/с при канальной скорости 25 Гбод [76]. Компенсация дисперсии в описанной системе осуществлялась в цифровой форме с помощью линейных алгоритмов, а затем осуществлялся когерентный прием.
Аналогичный алгоритм предлагается реализовать для приема оптических сигналов в условиях действия дисперсии, ФСМ и ФКМ. При этом решается задача оптимизации алгоритма приема в гауссовском приближении аналогично алгоритму, предложенного С.М.Широковым [5,6] для простой модели ВОЛП в виде НУШ, в котором учитывается только дисперсия второго порядка, кубическая нелинейность и постоянное затухание. Предлагаемый алгоритм является более общим, т.к. учитывает описанные выше особенности восстановлению с помощью ВНФШ и последующей демодуляции с помощью корреляционного алгоритма. Кроме того, получен вариант алгоритма приема на основе байесовского подхода [37,58,77], учитывающий случайный характер некоторых параметров ВОЛП, в первую очередь, ПМД.
Приводятся результаты качественного сравнительного моделирования предлагаемого алгоритма с линейным алгоритмом, в сочетании с демодулятором корреляционного типа, при приеме сигналов ФМ-4. При моделировании была реализована информационная скорость 100 Гбит/с в линии длиной 4200 км (35 усилительных участков по 120 км). Нелинейный алгоритм приема показал существенно лучшие результаты.
Кроме того, также было проведено статистическое моделирование на более короткой линии (120 км) при той же скорости передачи. По результатам моделирования можно сделать выводы:
1) При отсутствии компенсаторов дисперсии даже в линии относительно небольшой протяженности (120 км) корреляционный алгоритм, оптимальный в канале с белым гауссовским шумом, практически не работает: даже при больших отношениях сигнал-шум имеет место несократимая вероятность ошибки на уровне 10-2 … 10-3, что не приемлемо для ВОСП.
2) При относительно низком уровне сигнала на передаче (0 дБм и ниже) как линейный, так и нелинейный алгоритм с ВНФШ обеспечивают практически потенциальной помехоустойчивости составляет приблизительно 0,5 – 1 дБ на уровне коэффициента ошибки 10-10 … 10-12.
3) При повышении уровня сигнала на передаче до +6дБм алгоритм с ВНФШ обеспечивает выигрыш по сравнению с линейным алгоритмом: на уровне коэффициента ошибки 10-6 – 10-7 он составляет около 12 дБ.
4) При дальнейшем повышении уровня сигнала на передаче линейный алгоритм перестает работать, а алгоритм с ВНФШ обеспечивает приемлемое качество демодуляции. При этом, проигрыш по отношению к кривой потенциальной помехоустойчивости растет, что обусловлено нелинейным взаимодействием сигнала и шума.
5) Использование заведомо повышенных уровней передаваемых сигналов и нелинейных режимов передачи совместно с процедурой восстановления сигналов с помощью ВНФШ, позволяет увеличить как длину усилительного участка при фиксированной скорости, так и повысить скорость передачи (при многопозиционных сигналов. Кроме того, данный способ повышения информационной скорости без увеличения канальной, эффективен при наличии поляризационной модовой дисперсии.
В четвертой главе приводятся результаты исследования нелинейной обработки сигналов (фильтрации) для телекоммуникационных систем с негауссовскими импульсными помехами (ИП). Известно, что преобразование смеси сигнала и помех, подобранное соответствующим образом, позволяет повысить эффективность последующей селекции сигнальной и шумовой компонент (преселектирующее преобразование [5]). В результате анализа эффективности использования известных ортогональных преобразований для амплитудной селекции сигналов на фоне ИП и близких к ним помех промежуточных видов показано, что наиболее подходящим из них является преобразование Френеля, но его параметры должны быть поставлены в зависимость от реализаций преобразуемой смеси сигнала и помех, то есть преселектирующее преобразование (оператор) в целом должно быть нелинейным. В качестве преселектирующего нелинейного преобразования предлагается использовать простейший двухзвенный НФШ, обладающий компрессионными свойствами, описанными во второй главе. Особенностью такого преобразования является избирательное действие только на импульсы достаточно большой амплитуды, что приводит к сжатию импульсов помехи и увеличении их амплитуды без существенных изменений полезного сигнала, шума и сосредоточенных помех (СП), что обеспечивает повышение эффективности последующей амплитудной селекции с помощью блока селекции (БС). В качестве последнего предлагается использовать амплитудный ограничитель, бланкирующее устройство или интерполятор [59,60,71-73].
Незначительные искажения, внесенные в сигнал, устраняются обратным, т.е.
восстанавливающим фильтром (ВНФШ). В частном случае, при приеме дискретных сообщений, если в смеси отсутствует СП, необходимость в использовании ВНФШ отпадает.
В четвертой главе выполнен подробный анализ преобразований смеси сигнала с ИП и СП при описанной выше обработке, в результате которого получены аналитические выражения для расчета преобразований плотностей вероятностей мгновенных значений и параметров указанной смеси, корреляционных и спектральных характеристик. Полученные соотношения подтверждают эффективность предложенного метода при подавлении ИП и особенно помех промежуточных видов. Кроме того, здесь была решена задача оптимизации предложенных алгоритмов нелинейной фильтрации и селекции негауссовских помех по критерию минимума среднего квадрата ошибки (СКО) [35-40,77]. Установлено, что оптимальным является такое нелинейное звено НФШ, при котором импульсы приобретают линейную частотную модуляцию, а линейное звено должно быть согласовано с ними по фазе. Найдены зависимости пиковой мощности импульсов на выходе НФШ от его параметров при различных видах нелинейности. Наиболее эффективное сжатие и, соответственно, рост пиковой мощности достигаются для импульсов колокольной (гауссовской) формы в НФШ с логарифмической нелинейностью, но зато НФШ с нелинейностью, близкой к квадратической, менее критичен к форме входного импульса. Сформулированы рекомендации по оптимальному выбору вида и параметров блоков селекции (БС). Показано, что в большинстве реальных каналов наилучшим из БС является интерполятор первого порядка.
Далее в четвертой главе решается аналитическая задача оценки помехоустойчивости разработанных алгоритмов приема дискретных и непрерывных сообщений в каналах со сложными видами негауссовских помех.
Получено общее аналитическое выражение для средней вероятности флуктуационным гауссовским шумом, ИП и СП при реализации различных оптимизированной с учетом только ФГШ.
Для более детального количественного анализа был выполнен численный расчет (с помощью пакета «Mathcad») зависимостей вероятностей ошибок от отношения средних мощностей сигнала и ИП для различных алгоритмов. В качестве БС использовались амплитудный ограничитель (АО) и бланкирующее устройство (БУ). Последующая демодуляция осуществлялась корреляционным демодулятором (КДМ). Из полученных зависимостей можно сделать вывод, что наиболее эффективным из известных алгоритмов, использующих БНП, является бланкирование. Энергетический выигрыш от его использования в корреляционном ДМ составил около 38 дБ, что на 4 дБ эффективнее, чем при использовании АО (34 дБ). При использовании НФШ совместно с АО и БУ выигрыш увеличивается дополнительно на 2,5 - 3 дБ, в зависимости от значения вероятности ошибки. Выигрыш по вероятности ошибки при этом (для последних двух алгоритмов при отношении сигнал-ИП порядка –30 дБ) составил полтора порядка, что также довольно существенно.
При наличии ИП в каналах связи и использовании корреляционного демодулятора качество приема резко падает при достижении отношением сигнал-ИП некоторого порогового значения, когда площадь ИП в среднем начинает превышать площадь элемента сигнала. Этот пороговый эффект проявляется тем заметнее, чем меньше флуктуируют параметры ИП и чем слабее шум и СП в канале. При превышении отношением сигнал-ИП некоторого другого порогового значения вероятность ошибки практически не изменяется, что можно объяснить влиянием шума и СП.
Кроме того, были исследованы зависимости вероятностей ошибок указанных демодуляторов от параметров БС и НФШ. Их анализ позволяет сделать вывод о слабой чувствительности к этим параметрам алгоритмов с НФШ (по сравнению с алгоритмами, использующими только БС), что также говорит об их преимуществе.
Поскольку аналитическими методами разрешимы лишь задачи частной оптимизации отдельных преобразований (блоков), входящих в предлагаемый алгоритм подавления ИП, было проведено их прямое статистическое моделирование в условиях действия ИП двух форм – колокольной и осциллирующей. Его результаты согласуются с результатами теоретического расчета и подтверждают сделанные выше выводы о преимуществах алгоритмов подавления ИП с применением НФШ. Наибольший выигрыш при подавлении ИП в каналах связи без СП достигается при использовании алгоритма НФШ с последующей линейной интерполяцией (ЛИ), а при наличии СП – НФШ с ЛИ и ВНФШ. Выигрыш за счет применения НФШ особенно заметен (до 9 дБ) в условиях действия относительно длительных импульсов колокольной формы.
Качество приема непрерывных сигналов на фоне ИП, СП и ФГШ также было исследовано путем статистического моделирования. Сравнение алгоритмов осуществлялось не только по СКО фильтрации, но и по величине квадрата максимальной ошибки (КМО) [77]. Из проведенных исследований также очевидны преимущества алгоритмов обработки, в которых использованы преселектирующие преобразования с применением НФШ. Наилучшим из исследовавшихся является метод НФШ в сочетании с ЛИ и обратным НФШ.
Выигрыш по СКО этого алгоритма (по сравнению с ЛИ без НФШ) составляет порядка 2-2,5 дБ, а по КМО – 4-6 дБ.
Пятая глава посвящена вопросам реализации двумерных нелинейных фильтров Шрёдингера (ДНФШ) и их применению для улучшения фокусировки радиолокационных и оптических изображений. Принцип улучшения фокусировки основан на пространственном сжатии точечного изображения, расфокусированного по одной или двум координатам, по аналогии с процессом временного сжатия импульсных сигналов, который описан в главах 2 и 4. Здесь получены аналитические выражения характеристик ДНФШ на основании двумерного варианта НУШ [5,98,202]. Решена задача детерминированной оптимизации ДНФШ при гауссовской функции рассеяния точки (ФРТ) [42,43] рассматривался параметрический метод статистической оптимизации НФШ для сжатия расфокусированных точечных изображений со случайными параметрами. Задача решалась на основе апроксимации нелинейной фазовой характеристики НФШ степенным полиномом. В линейном приближении получены алгебраические уравнения для определения оптимальных параметров НФШ и применен градиентный алгоритм их уточнения. Проверка полученного логарифмической не только при детерминированной ФРТ, но и при наличии случайных флуктуаций ее параметров.
Рассмотренные алгоритмы были реализованы на основе математического пакета «MatLab». Приводятся результаты обработки черно-белых изображений, содержащих только точечные элементы, размытых как по одной, так и по двум координатам. В первом случае для обработки применялись алгоритмы с одномерным НФШ, и обработка велась по строкам, а во втором – использовались алгоритмы с двумерным НФШ. Качественный анализ восстановленных изображений показывает, что при сильно размытых изображениях точечные объекты, расположенные близко, становятся практически неразличимыми, а после нелинейной обработки НФШ, совместно с пороговой обработкой, их различимость улучшается.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ, ИХ СВОЙСТВА И
ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ
СИСТЕМАХ
1.1 Обработка сигналов в телекоммуникационных системах с применением линейных унитарных преобразований В современных телекоммуникационных системах широко применяется обработка сигналов, как линейная, так и нелинейная. Эта процедура осуществляется как на передающей и приемной сторонах системы, так и на помехоустойчивости, коррекции искажений, разделения канальных сигналов в многоканальных системах передачи (МСП) и т.д.Наиболее распространенным видом линейной обработки сигналов является обычная линейная фильтрация [41-43,61-64]. Как известно, обрабатываемого сигнала (или смеси сигнала и шума) на передаточную функцию фильтра. В аналоговых фильтрах физически этого не происходит, а описанный процесс умножения является лишь математической моделью, в которой входной сигнал представляется в виде совокупности спектральных составляющих. Основано такое представление на принципе суперпозиции, который заключается в том, что реакция линейной системы на сумму воздействий может быть представлена суммой реакций на каждое из них.
Указанное линейное отображение сигнала в частотную область (базис Фурье) относится к классу унитарных (ортогональных в комплексном пространстве) и является удобным, в первую очередь, для анализа процесса его преобразований в линейных электрических цепях или других линейных динамических системах. Кроме того, унитарное преобразование удобно с точки зрения практической реализации обратного преобразования, т.к. ядро последнего совпадает с сопряженным по отношению к исходному.
использующих алгоритм быстрой свертки [41-43,62,63], описанная процедура умножения спектральных отсчетов дискретного сигнала осуществляется физически программным способом. Такой алгоритм цифровой обработки сигналов сводится к преобразованию временных отсчетов сигнала в спектральную область путем вычисления отсчетов спектра с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ) (обычно на основе алгоритма быстрого преобразования Фурье – БПФ), умножения отсчетов спектра на отсчеты комплексного коэффициента передачи фильтра, а затем производится возврат в частотную область с помощью обратного ДПФ (также с использованием алгоритма обратного БПФ). Разумеется, ДПФ также является унитарным, т.к. матрица обратного ДПФ является сопряженной матрице ДПФ.
При решении многих задач линейной фильтрации (обработки сигналов) используются и другие базисные представления, отличные от гармонического, которые будут описаны ниже. Соответствующие линейные преобразования также обладают свойством унитарности. В основе синтеза и реализации многих обобщенную спектральную область с помощью некоторого линейного оператора Ф, затем производится селекция спектральных компонент некоторым оператором К и возврат к исходному представлению сигнала с помощью обратного оператора Ф1. Соответствующая структурная схема системы обработки сигналов показана на рисунке 1.1, где – переменная в указанной области отображений.
Рис. 1.1. Структурная схема алгоритма обработки сигналов Таким образом, вектор сигнала на выходе описанной системы (линейного фильтра) можно представить в виде где – оператор фильтрации, – вектор входного сигнала (как элемент функционального пространства).
Кроме частотных представлений, описанных выше, при обработке сигналов используются ортогональные (унитарные) базисные представления, относящиеся к частотно-временным – Уолша, Хаара, Виленкина-Крестенсона, Сэлфриджа, Френеля и многие другие [63-65,72,75].
базируется на представлении Фурье и связано с понятием мгновенного или текущего спектра. Мгновенный комплексный спектр периодического сигнала z (t ) с периодом Т может быть записан в виде:
где k = 2k/T, k = 1,2..., или а для непериодического сигнала z(t) на интервале [t0, t]:
Для решения многих задач вводится понятие переходного спектра характеризуют «переходный процесс» установления частотного спектра:
Как было сказано выше, типичными примерами ортогональных частотновременных базисов, отличных от гармонического, являются базисы Уолша и Хаара, которые часто применяется в задачах цифровой обработки сигналов [63Существует несколько систем функций Уолша, которые могут быть выражены одна через другую и отличаются друг от друга способом упорядочения – функции, упорядоченные по Уолшу wal(i, ), по Адамару had(h,) и по Пэли pal(p,), здесь i, h, p – номера функций, – временной аргумент. Существуют также различные способы определения функций Уолша, например способ, основанный на взаимосвязи функций Уолша с функциями Радемахера [63,64]. Наиболее распространенным на практике является способ, использующий матрицы Адамара [64].
Функции Хаара могут быть получены в соответствии с соотношением:
является нормальной, а если 2 < 0 – аномальной.
Рассмотрим способ построения НФШ на основе уравнения (2.37) с целью повышения эффективности временной компрессии импульсных сигналов. Эта модель также не учитывает нелинейные эффекты высших порядков, такие как дисперсия нелинейности и запаздывание нелинейного отклика [44]. Но из-за трудности их учета при реализации НФШ, ограничимся только указанной моделью. Запишем выражение (2.38) в развернутом виде:
При этом, обобщенное НУШ (2.37) примет вид:
или Очевидно, что характеристика преобразования мгновенных значений нелинейного звена при этом не изменится:
Для вычисления характеристик линейного звена удобно рассмотреть линеаризованное уравнение Шредингера, полученное из (2.43) при условии Найдем преобразование Фурье левой и правой частей (2.47):
здесь = (,i) – преобразование Фурье огибающей (, ). Приравнивая правые части (2.48) и (2.49) получим обыкновенное дифференциальное уравнение или которое легко интегрируется:
Постоянную интегрирования C определяем из начального условия:
Подставляя (2.53) в (2.52) получим Следовательно Таким образом, искомая передаточная функция линейного звена НФШ с произвольным пространственным параметром определится выражением Передаточная функция линейного звена, входящего в НФШ, должна иметь достаточно малый пространственный параметр = [5]. Для такого звена функция (2.56) примет вид В частном случае, когда R = 2 выражение (2.57) будет иметь вид Это выражение совпадает с (2.29) при условии = 2.
В общем случае при R > 2 (2.57) можно записать в развернутой форме:
где Таким образом, простейший НФШ, основанный на модели вида (2.37), можно реализовать в виде одного нелинейного звена с характеристикой преобразования мгновенных значений вида (2.17), а также r последовательно соединённых линейных звеньев с передаточными функциями вида (2.60).
Ввиду сложности такого линейного звена, а также с целью уменьшения задержки сигнала в нем (которая будет расти с увеличением R) целесообразнее реализовать линейное звено в виде одного фазового звена с полиномиальной фазочастотной характеристикой (ФЧХ):
Для примера на рисунках 2.7 и 2.8 приводятся графики зависимости (2.61) при R = 4 и R = 5.
Рис. 2.7 Полиномиальная ФЧХ линейного звена НФШ при R = 4.
Рис. 2.8 Полиномиальная ФЧХ линейного звена НФШ при R = 5.
Такое звено легко может быть реализовано в цифровой форме с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье [62,63], аналогично простейшему линейному звену с передаточной функцией (2.58), имеющему квадратичную ФЧХ.
2.2 Компрессионные свойства НФШ, детерминированная детерминированных сигналов в НФШ В оптических волокнах, работающих в нелинейном режиме, наблюдаются нелинейные эффекты – фазовая самомодуляция, фазовая кроссмодуляция, четырехволновое смешение, формирование солитонов и т.д. [44,78,100-102,104Поскольку НФШ является аналогом нелинейного оптического волокна, указанные нелинейные явления можно получить и с помощью НФШ. Рассмотрим один из этих эффектов – компрессирование, вызванное фазовой самомодуляцией. Он заключается во временном сжатии импульса и одновременном увеличении его амплитуды. Решим задачу импульсного сигнала на его выходе. Как будет показано в последующих главах, это необходимо для решения многих задач обработки сигналов – компенсация негауссовских помех и т.д.
Пусть на вход НЗ НФШ поступает узкополосный импульсный сигнал, представленный в квазигармонической форме где Z (t ) – действительная огибающая импульса, 0 – центральная частота его спектра, (t ) – мгновенная начальная фаза. Его комплексная огибающая будет иметь вид:
Запишем комплексную огибающую отклика НЗ на воздействие (2.62):
Комплексную огибающую отклика ЛЗ на воздействие с огибающей (2.64) найдем через свертку Для упрощения аналитического решения задачи рассмотрим НФШ с прямоугольным окном Огибающая отклика ЛЗ будет иметь вид Звенья НФШ имеют единичный коэффициент передачи по амплитуде.
Поэтому задачу минимизации длительности импульса на выходе НФШ можно свести к задаче максимизации его пиковой мощности. Ей будет соответствовать максимум модуля отклика (2.67) в момент t = t0 :
Найдем максимум функционала (2.68) на множестве функций f ( Z ) :
Для любой комплексной функции справедливо неравенство которое переходит в равенство при условии Этот максимум достигается при условии внутриимпульсной частотной модуляции (ЧМ), т.е. (t ) = 0 и пусть, для простоты, 0 = 2 n. При этом условие (2.73) можно записать в виде где – функция, обратная функции Z (t ).
Таким образом, выражение (2.74) определяет искомую оптимальную функцию Ее можно найти для любого импульсного сигнала с огибающей Z (t ), для которой существует обратная функция (2.75) (или несколько таких функций).
Выражение (2.73) описывает механизм сжатия сигналов во временной области с помощью НФШ: НЗ развивает внутриимпульсную ЧМ без изменения формы огибающей, а ЛЗ выступает в качестве фильтра, согласованного по фазе по отношению к сигналу на выходе НЗ.
Найдем для примера оптимальную нелинейную функцию (2.76) для импульса с гауссовской огибающей где U – амплитуда импульса, u – его среднеквадратическая полуширина.
Функция (2.77) имеет две обратные а искомая оптимальная функция имеет вид Нетрудно показать, что величина (2.72) при этом будет иметь значение Аналогично можно решить задачу оптимизации и для импульсов других форм. Например, для супергауссовского импульса где q – показатель супергауссовости (при q = 1 импульс переходит в гауссовский вида (2.77)), оптимальная функция имеет вид Для описания огибающей оптического импульса, передаваемого по волоконно-оптической линии передачи, часто используется функция вида гиперболический секанс:
Для таких импульсов оптимальная нелинейная функция имеет вид Рассмотренные импульсные сигналы не являются строго финитными во времени. Аналогичную задачу можно решить и для финитных импульсов, для косинусоидального импульса с амплитудой U и длительностью u вида а для импульса с треугольной огибающей и такими же параметрами Функцию вида (2.88) можно назвать условно нелинейностью вида «смещенный квадрат». Она напоминает квадратичную функцию, которая описывает зависимость показателя преломления нелинейных оптических волокон от напряженности электрического поля и входящую в нелинейное уравнение Шрёдингера с кубической нелинейностью [44,45]. Такая функция имеет вид где – коэффициент нелинейности.
Решим обратную задачу и найдем тем же методом форму огибающей импульса Z (t ), для которой нелинейность вида (2.89) была бы оптимальной.
Найдем Z (t ) из уравнения Отсюда где коэффициент К сожалению, функция вида (2.91) представляет собой линейно нарастающую или убывающую функцию в зависимости от знака перед коэффициентом (2.92) и не соответствует никакому реальному импульсному сигналу. Несмотря на это, как будет описано ниже, нелинейность вида (2.89) часто используется для решения практических задач.
Рассмотрим подробнее механизм сжатия импульсных сигналов в НФШ на примере гауссовского импульса с огибающей вида (2.77). Найдем комплексную огибающую сигнала на выходе НЗ с оптимальной (логарифмической) нелинейностью (2.79):
Таким образом, огибающая сигнала на выходе нелинейного звена НФШ не изменяется по отношению к огибающей входного сигнала а изменяется его мгновенная начальная фаза и переменная составляющая его мгновенной частоты Таким образом, нелинейное звено развивает у гауссовского импульса идеальную внутриимпульсную линейную частотную модуляцию (ЛЧМ) с сохранением формы его огибающей, при этом параметр ЛЗ а равен коэффициенту ЛЧМ, взятому с обратным знаком.
Можно показать, что для импульсов других форм, как финитных, так и не финитных, НЗ с оптимальной нелинейностью (2.76) также развивает идеальную ЛЧМ с сохранением формы огибающей. Для нефинитных по длительности сигналов зависимость (2.97) не ограничена во времени, а для финитных – имеет локальный характер в пределах длительности импульса.
Очевидно, что закон изменения мгновенной частоты импульсной характеристики ЛЗ вида (2.30) также является линейным и отличается от (2.96) только знаком. Это означает, что ЛЗ по отношению к выходному сигналу НЗ, является фильтром, согласованным с ним по фазе. В отличие от обычного согласованного фильтра ЛЗ имеет в простейшем случае прямоугольного окна (2.30) единичный коэффициент передачи Следует отметить, что выбором другого окна g 0 (t ), можно изменять и вид функций G (i) и G (). Передаточная функция при этом будет определяться как свертка где F [...] – знак преобразования Фурье. В этом случае ЛЗ не будет иметь постоянную АЧХ, т.е. не будет фазовым. Например, если выбрать гауссовское окно, совпадающее по форме с огибающей (2.77) то ЛЗ с импульсной характеристикой вида будет представлять собой фильтр, согласованный с выходным сигналом НЗ.
Это свойство звеньев НФШ может оказаться полезным при компенсации дисперсионных искажений сигналов на фоне помех. Но очевидно, что при наличии пренебрежимо малых помех эффективность сжатия сигнала НФШ с таким ЛЗ будет меньшей.
внутриимпульсной частотной модуляцией, в частности с ЛЧМ-сигналов, в согласованных фильтрах известны давно, и используются, в частности, для повышения разрешающей способности радиолокаторов [70]. В отличие от них, в описываемом здесь методе ЛЧМ-сигнал формируется с помощью НЗ НФШ из относительно узкополосного сигнала, прошедшего канал связи.
Аналитический расчет отклика НФШ с произвольной нелинейностью на сигнал произвольной формы затруднителен, поскольку фильтр является нелинейным. Но для некоторых частных случаев эту задачу можно решить точно, в частности для оптимальной нелинейности (2.76). Пусть на вход НФШ поступает произвольный импульсный сигнал с комплексной огибающей (2.63).
При этом огибающая отклика НЗ будет иметь вид:
Если нелинейность НЗ соответствует выражению (2.76), то Сигнал на выходе ЛЗ найдем через свертку, полагая для простоты, что условие физической реализуемости на ЛЗ не накладывается, т.е. его импульсная характеристика описывается выражением (2.30):
где S z (iat ) – преобразование Фурье комплексной огибающей Z (t ).
Найдем действительную огибающую, мгновенную начальную фазу и переменную составляющую мгновенной частоты сигнала (2.105):
Таким образом, сигнал на выходе НФШ с оптимальной нелинейностью (2.76) имеет огибающую, совпадающую по форме с амплитудным спектром входного сигнала; его мгновенная начальная фаза содержит две составляющие – первая совпадает с фазовым спектром входного сигнала, а вторая – квадратичная; переменная составляющая мгновенной частоты также имеет две составляющие – первая совпадает с производной фазового спектра входного сигнала, а вторая – линейная с положительным коэффициентом ЛЧМ.
Для сравнительного анализа эффективности временного сжатия сигнала с помощью НФШ найдем отклик линейного звена на тот же сигнал с огибающей (2.63). Вычисляя свертку, аналогичную выражению (2.105) получим:
где S z ' (iat ) – преобразование Фурье комплексной огибающей вида:
Как было сказано выше, ЛЗ реализует преобразование Френеля. Его, в свою очередь, можно трактовать как преобразование Фурье на временной оси комплексного сигнала вида (2.63), у которого «до» и «после» преобразования Фурье развивается ЛЧМ. Если перед ЛЗ располагается НЗ с оптимальной нелинейностью (2.76), то ЛЧМ «до» преобразования Фурье устраняется. При необходимости ЛЧМ «после» преобразования Фурье также можно устранить, включив на выходе ЛЗ второе НЗ, т.е. используя трехзвенный НФШ:
Рис. 2.9 Структурная схема трехзвенного НФШ «временне» преобразование Фурье комплексного сигнала (2.63):
Следует отметить, что указанная связь преобразований Френеля и Фурье известна в оптике и используется при описании преобразований изображений тонкими линзами [79].
Рассмотрим снова преобразование импульса с гауссовской огибающей (2.77) в двух- и трехзвенном НФШ. Спектр такого импульса также будет гауссовским:
Отклик двухзвенного НФШ будет иметь гауссовскую комплексную огибающую и внутриимпульсную ЛЧМ:
где Отклик трехзвенного НФШ будет отличаться от (2.113) отсутствием последнего сомножителя:
Из (2.114) и (2.115) видно, что если выбрать коэффициент ЛЧМ то импульс после НФШ будет расти по амплитуде и сжиматься по длительности, т.е.
Количественно степень сжатия импульса в НФШ можно оценить коэффициентом сжатия на уровне его среднеквадратической полуширины.
Если НФШ имеет оптимальную нелинейность (2.76), то его можно найти следующим образом В частности, для гауссовского импульса этот коэффициент имеет значение дисперсионным параметром линейного звена a. Он, в свою очередь, определяет скорость и диапазон изменения мгновенной частоты сигнала на выходе НЗ и дискретизации сигнала на входе НФШ и длительностью входного сигнала. Для примера на рисунке 2.10, изображены гауссовские импульсы на входе и выходе характеристикой, изображенной на рисунке 2.5. Коэффициент kc при этом имеет значение приблизительно 5,5 и может быть существенно увеличен путем увеличения коэффициента ЛЧМ a.
Рис. 2.10 Сигналы на входе (штриховая линия) и выходе НФШ Амплитуда и длительность реальных сигналов, передаваемых по каналам связи, изменяются во времени. Как показывает моделирование, при больших значениях коэффициента ЛЧМ a небольшие изменения параметров входного импульса приводят к существенному изменению kc. Этот факт не позволяет получить очень большие значения коэффициента сжатия. Для количественной оценки степени влияния флуктуаций параметров импульса на kc нужно решать более сложную задачу статистической оптимизации НФШ, которая будет рассмотрена ниже.
Кроме того, в процессе передачи реальных сигналов по каналу может изменяться их форма. В этом случае необходимо адаптировать НФШ путем изменения вида нелинейности, что существенно усложнит работу устройства за счет введения в схему дополнительных элементов. При этом выгоднее использовать НФШ с такой нелинейностью, которая была бы в наименьшей степени чувствительной к изменению формы и параметров входных сигналов, но при этом обеспечивала достаточно эффективное сжатие сигнала. Как нелинейностью вида (2.89). Например, при прохождении импульса с гауссовской огибающей через такой НФШ, закон изменения переменной составляющей мгновенной частоты сигнала на выходе НЗ будет следующим:
График зависимости (2.120) изображен сплошной линией на рисунке 2.11.
Здесь же для сравнения приведен график зависимости (2.97) для НЗ с логарифмической нелинейностью (2.79).
Рис. 2.11 Зависимости частоты сигнала на выходе НЗ с квадратичной (сплошная линия) и логарифмической (штриховая линия) нелинейностью.
Как видно из рисунка, квадратичная нелинейность НЗ, в отличие от логарифмической, обеспечивает локальную ЛЧМ в центре импульса. Можно показать, что для обеспечения равенства коэффициента наклона касательной к функции (2.120) в центре импульса и коэффициента ЛЧМ a, необходимо выбрать параметр нелинейности При этом ЛЗ сжимает импульс в пределах интервала На рисунке 2.12 показаны диаграммы гауссовского импульса на входе (штриховая линия) и выходе НФШ с квадратичной нелинейностью.
Рис. 2.12 Сигналы на входе (штриховая линия) и выходе НФШ Очевидно, что такой НФШ обеспечивает меньший коэффициент сжатия импульса на уровне среднеквадратической полуширины, чем НФШ с логарифмической нелинейностью – на рисунке он имеет значение kc 2.
Несмотря на это, такая нелинейность является более предпочтительной, т.к. изза своего локального характера НФШ оказывается менее чувствительным к изменениям параметров и формы входных импульсов.
на степень его сжатия в НФШ. Пусть на его вход поступает гауссовский импульс без ЛЧМ, амплитуда которого имеет произвольное значение:
где kU – коэффициент изменения амплитуды импульса. Кроме того, пусть нелинейная функция f ( Z ) оптимизирована к параметрам импульса, то есть является логарифмической. Найдем комплексную огибающую сигнала на выходе НЗ:
где – действительная огибающая, – мгновенная начальная фаза сигнала на выходе НЗ.
пропорционально коэффициенту изменения амплитуды kU, фаза изменяется по квадратичному закону (аналогично (2.124)) и приобретает дополнительный сдвиг а мгновенная частота не зависит от kU что соответствует (2.96).
Рассмотрим прохождение сигнала (2.124) через ЛЗ. Найдем отклик звена через свертку:
Можно показать, что его выражение будет иметь вид:
Из (2.130) можно сделать следующие выводы:
1. Огибающая отклика линейного звена также не изменяется по форме (аналогично (2.123)), то есть в данном случае остается гауссовской.
пропорционально коэффициенту kU :
3. Длительность не будет зависеть от kU :
4. Переменная составляющая фазы будет обратной по знаку по отношению к (2.126), а постоянный сдвиг, зависящий от kU будет аналогичен (2.127):
где 5. Закон изменения частоты изменит знак на противоположный:
Рассмотрим диапазон изменения фазы и частоты выходного сигнала V (t ) вида (2.130) в пределах длительности импульса Пусть центру импульса соответствует момент t = 0. При этом будем считать для простоты, что ЛЗ имеет нулевую задержку и физически не реализуем. Найдем значения фазы и частоты выходного импульса в начале и в конце интервала (2.136):
среднеквадратической полуширине гауссовского импульса а коэффициент ЛЧМ а выбран таким, чтобы выходной импульс сжимается в K с раз:
Следовательно, коэффициент ЛЧМ Если коэффициент изменения амплитуды входного импульса kU = 1, то Из (2.144) следует, что с ростом коэффициента сжатия отклонение фазы в начале и в конце импульса от нулевого значения (которое соответствует центру импульса) уменьшается. Например, если K c = 100, При дальнейшем увеличении K c, то есть выходной импульс приблизительно можно считать действительным с параметрами:
При изменении kU фаза выходного сигнала V (t ) будет изменяться, оставаясь приблизительно постоянной:
приблизительно действительным из условия:
что соответствует дискретному ряду значений:
Найдем отношение двух соседних значений коэффициента kU из ряда (2.148):
При увеличении коэффициента сжатия K c это отношение уменьшается.
Например, при K c = постоянной начальной фазой v :
где Очевидно, что с увеличением коэффициента сжатия K c приближение в (2.150) будет точнее.
Рассмотрим, как будут изменяться действительная и мнимая части сигнала V (t ) при изменении kU при постоянных коэффициенте сжатия K c и коэффициенте ЛЧМ a:
Оба сигнала имеют гауссовскую форму и являются знакопеременными.
Их «амплитуды» будут зависеть от kU следующим образом:
На рисунке 2.13 приведены зависимости (2.156) и (2.157) от kU при U = и K c = 9, 065.
Рис. 2.13 Зависимости амплитуд действительной (сплошная линия) и мнимой частей (штриховая линия) сигнала на выходе НФШ от коэффициента знакопеременный характер и находятся по отношению друг к другу в максимумы и минимумы амплитуд чередуются. Каждый следующий максимум (и минимум) наблюдается при удвоении амплитуды входного сигнала.
детерминированных сигналов в НФШ Представляет интерес задача анализа преобразования амплитудного и фазового спектров (в первую очередь, амплитудного) простейших сигналов в нелинейном звене и в НФШ в целом. Представим входной комплексный сигнал через действительную и мнимую части:
здесь – его квадратурные компоненты. Такой сигнал соответствует узкополосному квазигармоническому сигналу, преобразованному квадратурным расщепителем [58]:
Рис. 2.14 Сигналы на входе и выходе квадратурного расщепителя Найдем комплексную огибающую сигнала на выходе НЗ:
– квадратурные компоненты выходного сигнала.
Рассмотрим простейшие частные случаи.
действительной гармонической:
Рассмотрим преобразование этого сигнала в НЗ с квадратичной нелинейностью:
Квадратурные компоненты выходного сигнала имеют вид Найдем амплитудный спектр компоненты xU (t ) методом кратных углов:
Обозначим U 2 = M и воспользуемся известными разложениями косинуса и синуса по функциям Бесселя [81]:
= 2 J1 ( M ) cos2t 2 J 3 ( M ) cos6t + 2 J 5 ( M ) cos10t 2 J 7 ( M ) cos14t +… (2.171) Обозначим:
бесконечный ряд гармоник с нечетными номерами, амплитуда которых зависят от амплитуды входного сигнала U и параметра нелинейности. Выпишем значения их частот и соответствующих амплитуд:
1) : AJ 0 ( M ) BJ1 ( M ) – амплитуда 1 гармоники;
2) 3: AJ 2 ( M ) BJ1 ( M ) – амплитуда 3 гармоники;
3) 5: AJ 2 ( M ) + BJ 3 ( M ) – амплитуда 5 гармоники;
4) 7: AJ 4 ( M ) + BJ 3 ( M ) – амплитуда 7 гармоники;
5) 9: AJ 4 ( M ) BJ 5 ( M ) – амплитуда 9 гармоники;
6) 11: AJ 6 ( M ) BJ 5 ( M ) – амплитуда 11 гармоники;
и т.д.
Аналогично можно показать, что спектр квадратурной компоненты yU (t ) также содержит бесконечный ряд гармоник с нечетными номерами: и т.д.
Очевидно, что фазы гармоник квадратурных компонент или равны нулю, или равны ±, в зависимости от знаков перед коэффициентами А и В и знаков значений функций Бесселя.
Зная амплитуды гармоник квадратурных компонент, можно найти амплитуды гармоник действительной огибающей U (t ) :
Поскольку искомая амплитуда первой гармоники огибающей:
Аналогично можно найти амплитуды высших гармоник:
и т.д.
Амплитуды и фазы гармоник комплексной огибающей U (t ) можно найти сразу без разложения на квадратурные компоненты используя разложение комплексной экспоненты в ряд по функциям Бесселя [82]:
=U exp(iM) J0 ( M) cost + i J1 ( M) cos( t ) + i J1 ( M) cos( 3t ) J2 ( M) cos( 3t ) J2 ( M) cos( 5t )...
Таким образом, амплитудный спектр комплексной огибающей U (t ) содержит гармоники с частотами и амплитудами:
а ее фазовый спектр:
На рисунках 2.15 – 2.18 показаны соответственно гармонический сигнал на входе НЗ с квадратичной нелинейностью, действительная часть сигнала на выходе НЗ и амплитудные спектр огибающей этого отклика при разных коэффициентах нелинейности.
Рис. 2.15 Гармонический сигнал на входе НЗ Рис. 2.16 Действительная часть сигнала, преобразованного в НЗ Рис. 2.17 Амплитудный спектр огибающей сигнала, преобразованного Рис. 2.18 Амплитудный спектр огибающей сигнала, преобразованного На рисунках 2.19 – 2.21 показаны аналогичные сигналы и спектры для НЗ с логарифмической нелинейностью при разных коэффициентах ЛЧМ a.
Рис. 2.19 Действительная часть сигнала, преобразованного в НЗ с логарифмической нелинейностью (коэффициент ЛЧМ a = 1) Рис. 2.20 Амплитудный спектр огибающей сигнала, преобразованного в НЗ с логарифмической нелинейностью (коэффициент ЛЧМ a = 1) Рис. 2.21 Амплитудный спектр огибающей сигнала, преобразованного в НЗ с логарифмической нелинейностью (коэффициент ЛЧМ a = 2) Приведенные результаты описывают преобразование спектра гармонического сигнала только в нелинейном звене НФШ. Но, поскольку линейное звено является фазовым, то амплитудный спектр сигнала на его выходе будет таким же, как и на выходе НЗ, а изменится только фазовый спектр.
Пример 2: рассмотрим теперь преобразование спектров непериодических импульсных сигналов в НФШ. Как было отмечено выше, отклик НЗ с оптимальной нелинейностью на произвольный сигнал имеет вид:
Найдем комплексный спектр этого сигнала:
После приведения выражения в квадратных скобках к полному квадрату суммы получим:
Интеграл, входящий в полученное выражение, совпадает по форме с преобразованием Френеля функции Z (t ). Аналитически этот интеграл вычислить сложно. Поэтому для анализа спектров различных сигналов его проще вычислить численно. На рисунке 2.22 приведена временная диаграмма супергауссовского импульса на входе НЗ, на рисунке 2.23 – диаграмма нелинейностью, а на рисунке 2.24 приведен амплитудный спектр этого сигнала.
Очевидно, что этот спектр совпадает по форме с входным импульсом, что обусловлено известным свойством преобразования Френеля [63]. Как уже было отмечено, амплитудный спектр сигнала на выходе НФШ будет таким же, как и на выходе НЗ, так как линейное звено НФШ является фазовым.
На рисунках 2.25 – 2.27 приведены аналогичные графики для треугольного импульса.
Рис. 2.22 Супергауссовский импульс (показатель супергауссовости q = 4) Рис. 2.23 Действительная часть супергауссовского импульса на выходе Рис. 2.24 Амплитудный спектр супергауссовского импульса на выходе Рис. 2.25 Треугольный импульс на входе НФШ Рис. 2.26 Действительная часть треугольного импульса на выходе НЗ с Рис. 2.27 Амплитудный спектр треугольного импульса на выходе НФШ с Для нелинейности НЗ другого вида задача спектрального анализа отклика НФШ решается сложнее. Поэтому здесь также целесообразнее использовать численные методы. На рисунках 2.28 – 2.30 приведены аналогичные графики для гауссовского импульса, преобразованного в НФШ с квадратичной нелинейностью.
Рис. 2.28 Гауссовский импульс на входе НЗ с квадратичной Рис. 2.29 Действительная часть гауссовского импульса на выходе НЗ с Рис. 2.30 Амплитудный спектр гауссовского импульса на выходе НФШ с Как и следовало ожидать, последний график аналогичен спектру оптического импульса, преобразованного оптическим волокном, работающем в нелинейном режиме [24].
2.4 Преобразование функций распределения случайных процессов в НФШ Для решения многих радиотехнических задач представляет интерес анализ преобразований случайных процессов в линейных и нелинейных звеньях каналов связи. Поэтому рассмотрим задачу анализа преобразования характеристик случайных процессов в звеньях НФШ. Наиболее просто решается задача анализа преобразования одномерной функции распределения случайного процесса в нелинейном звене НФШ, т.к. оно является безынерционным по отношению к комплексной огибающей.
Рассмотрим сначала наиболее простую задачу преобразования одномерной плотности вероятности стационарного случайного процесса в нелинейном звене. Пусть z (t ) – узкополосный, стационарный в широком смысле случайный процесс на входе. Представим его аналогично детерминированным сигналам, рассмотренным в предыдущем параграфе, в квазигармонической форме:
Запишем его комплексную огибающую:
где – квадратурные компоненты z (t ).
Найдем комплексную огибающую случайного процесса на выходе НЗ:
Очевидно, что действительная огибающая процесса не изменяется в НЗ поэтому её одномерное распределение также не изменяется. Мгновенная начальная фаза выходного процесса имеет вид:
где – приращение фазы, зависящее нелинейно от огибающей входного процесса.
Распределение квадратурных компонент выходного процесса также изменяется из-за наличия приращения (2.187):
Рассмотрим вначале простейший частный случай. Пусть случайный процесс на входе НФШ представляет собой узкополосный стационарный квазигармонической форме:
Известно [77], что огибающая шума N (t ) распределена по закону Релея:
а мгновенная начальная фаза n (t ) имеет нулевое математическое ожидание и равномерное распределение:
В силу (2.185) огибающая шума на выходе НЗ не изменяется, следовательно, закон её распределения также остается релеевским с той же дисперсией:
Мгновенная начальная фаза процесса на выходе звена будет иметь вид:
а её матожидание будет равно сумме матожиданий слагаемых:
здесь черта сверху – знак математического ожидания. Второе слагаемое в (2.196) будет отличным от нуля. Несмотря на это, распределение фазы Y (t ) останется равномерным в пределах круга, и поэтому, фазу также можно считать центрированной.
Таким образом, одномерное распределение гауссовского шума при подчеркнуть, что речь идет только об одномерном распределении шума, проходящего через НЗ. Вопрос об изменении многомерного совместного распределения многих сечений шума требует отдельного исследования. Из интуитивных соображений ясно, что шум на выходе звена становится менее коррелированным, т.е. быстрее изменяющимся во времени, из-за случайного характера второго слагаемого в (2.195). Корреляционная функция шума на выходе звена будет же, т.е. интервал корреляции меньше, следовательно, нелинейностью звена. Многомерная плотность вероятности при этом также будет изменяться, так как для гауссовских процессов она однозначно определяется корреляционной функцией и математическим ожиданием.
Рассмотрим теперь более общий случай. Пусть процесс на входе НЗ представляет собой смесь детерминированного сигнала s(t ) и гауссовского шума n(t ) с дисперсией 2 :
где центрированы:
следовательно, матожидания компонент (2.198):
Матожидание смеси (2.197) равно сигналу s(t ) :
где – огибающая сигнала s(t ), которая в некоторый фиксированный момент времени t имеет значение S (t ) = S.
Огибающая смеси (2.197) распределена по закону Райса (обобщенное распределение Релея) [77]:
где 2 – дисперсия шума n(t ), I 0 (...) – модифицированная функция Бесселя распределена по закону [37,77]:
где – функция Лапласа, – значение фазы сигнала s(t ) в фиксированный момент времени t, причём Как показано выше, действительная огибающая случайного процесса в нелинейном звене НФШ не изменяется. Следовательно, закон распределения огибающей начальной фазы Y (t ) будет существенно изменяться по сравнению с (2.203) из-за наличия второго слагаемого в выражении:
распределение w(), а находя ее характеристическую функцию:
Характеристическую функцию первого слагаемого в (2.205) найдем через распределение (2.203):
Искомое распределение фазы найдем через обратное преобразование Фурье от функции (2.208):
Распределение w(Y ) можно найти и по-другому, используя метод условных вероятностей. Для этого сначала нужно найти распределение w().
Для этого можно воспользоваться как методом характеристических функций, так и известным выражением [77], позволяющим найти плотность вероятности случайной величины, преобразованной безынерционным нелинейным звеном:
где Z k () = f 1 () – функции, обратные функции = f (Z ), n – число обратных функций.
Для вычисления искомого распределения фазы w(Y ) будем сначала считать, что случайная величина в некоторый фиксированный момент времени t также фиксирована: = const. Найдем распределение фазы Y при этом условии – составляющей матожидания случайной величины Y. При этом условии её распределение будет аналогично (2.203), при условии замены аргумента распределения Z на разность ( Z ) (при этом график функции (2.203) сдвинется вправо или влево, в зависимости от знака ):
Безусловное распределение фазы Y найдем путем усреднения полученного условного распределения с учетом распределения вида (2.210):
После этого можно найти распределения квадратурных компонент xY (t ) и yY (t ), а также самого сигнала y (t ) на выходе нелинейного звена, учитывая:
где Сначала найдем распределение квадратурных компонент. Для этого найдем распределение функций (2.216) в фиксированный момент времени t (случайных величин) с помощью характеристических функций, вычисляя затем обратное преобразование Фурье от этих функций:
фиксированный момент времени с помощью условных вероятностей, используя выражения (2.220) – (2.222), выполнив в них замену переменной:
Искомые безусловные распределения найдем, усредняя (2.223) – (2.225), с учетом распределения огибающей Y (t ) :
где w(Y ) – распределение Райса, аналогичное (2.203).
Аналитическое вычисление рассмотренных интегралов выполнить достаточно сложно. Поэтому для этого необходимо использовать численные методы. На последующих рисунках приведены распределения наиболее важных параметров смеси сигнала и шума на входе и выходе НЗ. На рисунке 2.31 показано распределение пика огибающей смеси гауссовского импульса с единичной амплитудой и шума с дисперсией 2 = 0.01 на выходе НЗ. Как было отмечено выше, эта величина, также как и аналогичная на входе НЗ, описывается законом Райса (2.203), который при относительно большой сигнальной составляющей близок по форме к гауссовскому. На рисунке 2. приведено распределение фазы смеси импульса и шума на входе НЗ, описываемое выражением (2.204). На рисунке 2.33 приведены действительная и мнимая части характеристической функции распределения фазы смеси на выходе НЗ с логарифмической нелинейностью; при этом степень нелинейности НЗ задавалась достаточно сильной – параметр ЛЧМ a = 2.5. На рисунке 2. приведена плотность вероятности отсчета смеси гауссовского импульса и шума на выходе НЗ с той же логарифмической нелинейностью.
Рис. 2.31 Распределение огибающей смеси гауссовского импульса Рис. 2.32 Распределение фазы смеси гауссовского импульса Рис. 2.33 Действительная и мнимая (штриховая линия) части характеристической функции распределения фазы смеси на выходе НЗ с логарифмической нелинейностью (параметр ЛЧМ a = 2.5) Рис. 2.34 Распределение смеси гауссовского импульса Из результатов исследований, полученных в главе 2, можно сделать следующие выводы:
1. Нелинейный фильтр Шрёдингера (НФШ) является цифровым аналогом оптического волокна, описываемого различными вариантами уравнений шрёдингеровского типа. Этот фильтр обладает компрессионными и унитарными свойствами, которые предполагается использовать для решения ряда задач обработки сигналов в телекоммуникационных системах.
2. Нелинейное звено и НФШ в целом при любых видах нелинейности непериодического.
3. При увеличении степени нелинейности, т.е. параметров или a, ширина спектра сигнала на выходе НФШ увеличивается.
4. НФШ с логарифмической нелинейностью при прочих равных условиях сильнее расширяет спектр, но при квадратичной нелинейности спектр преобразованного сигнала становится более равномерным.
5. Свойство нелинейного звена НФШ с оптимальной нелинейностью, заключающееся в том, что амплитудный спектр выходного сигнала совпадает по форме с входным сигналом, может быть использовано на практике для формирования сигналов с заданной формой спектра.
6. Распределение огибающей смеси сигнала и шума на выходе НЗ НФШ не изменяется при любом виде нелинейности. Например, если шум имеет гауссовское распределение, то огибающая смеси сигнала и шума как на входе, так и на выходе НЗ, будет распределена по закону Райса.
7. Фаза смеси на выходе НЗ будет иметь более сложное распределение, которое трудно получить аналитически (при больших отношениях сигнал-шум распределение близко по форме к гауссовскому). Поэтому распределение мгновенных значений случайного процесса и его квадратурных компонент на выходе НЗ будет негауссовским.
8. Из приведенных графиков видно, что при сильной нелинейности НЗ дисперсия фазы смеси на его выходе возрастает.
«