«НАУЧНЫЕ ОСНОВЫ ИНЕРЦИОННЫХБЕССТУПЕНЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ ПОВЫШЕННОЙ НАГРУЗОЧНОЙ СПОСОБНОСТИ ...»

Основная идея рассматриваемого метода заключается в том, что переход от участка к участку можно рассматривать с точки зрения ступенчатого изменения значений моментов инерции реактора, ведомого звена и действующего момента сопротивления. Так переход от участка разгона реактора к участку совместного движения с ведомым звеном можно рассматривать как ступенчатое изменение момента инерции реактора за счет добавления момента инерции ведомого звена со ступенчатым изменением момента сопротивления. На участке разгона реактора момент сопротивления, действующий на реактор, равен нулю. При переходе на участок совместного движения реактор и ведомое звено можно рассматривать как одно целое с действующим значением момента сопротивления. Стоповый режим реактора можно рассматривать с позиций участков разгона и торможения реактора при бесконечном значении его момента инерции. На практике бесконечное значение момента инерции реактора можно смоделировать, задав достаточно большое конкретное значение J Б этого момента. Дифференциальные уравнения движения ведомого звена также можно рассматривать как единые в течение всего цикла работы трансформатора со ступенчатым изменением момента инерции ведомого звена и действующего на звено момента сопротивления, а также с учетом равенства угловых скоростей и ускорений при совместном движении реактора и ведомого звена.

Для упрощения иллюстрации применения рассматриваемого метода примем допущение о неизменности угловой скорости ведущего звена ( const ) [28].

Это допущение основано на том, что обычно момент инерции ведущего звена значительно превышает моменты инерции остальных звеньев инерционного трансформатора. При этом ведущее звено выполняет функции маховика, обеспечивая стабильность своей угловой скорости.

Данное допущение не является обязательным для применения рассматриваемого метода сжатия математической модели трансформатора в одну систему дифференциальных уравнений, но позволяет с большей наглядностью продемонстрировать идею предложенного метода.

При условии постоянства угловой скорости ведущего звена можно понизить порядок систем (2.7) – (2.10), которые соответственно примут вид (2.18) – (2.21):

На стоповом режиме инерционный момент M И, действующий на реактор, найдется по выражению M И ( А5 А6 ) 2.

Ступенчатое изменение параметров инерционного трансформатора можно описать с помощью функции Хевисайда[159]. Так, например, изменение момента инерции реактора в пограничных состояниях между режимами разгона, торможения и стоповым можно описать добавлением к моменту инерции реактора двух слагаемых J Б ( ) J 4( ), где ( x) - обозначение функции Хевисайда.

Обозначим эту сумму через добавленный приведенный момент инерции реактора J 2пр. График этого момента инерции изображен на рис.2.47а. Значения переменных по осям соответствуют индексному представлению этих переменных в программе MathCAD.

Приведенный момент сопротивления М СПР, действующий на реактор, может быть описан с помощью выражения М С ( ). График этого момента в зависимости от переменных и представлен на рис. 2.47б.

Более сложно описать правую часть уравнения, соответствующего движению ведомого звена, так как приходится учитывать переход от самостоятельного движения ведомого звена к совместному движению ведомого звена и реактора, при котором законы движения ведомого звена и реактора совпадают. Описание этого перехода можно сделать с помощью приведенного момента сопротивления М С1, определяемого выражением вида М С ( ) J 4 ( ). График этого момента в зависимости от разности и углового ускорения изображен на рис.

2.47в.

Рис.2.47. Графики добавленного приведенного момента инерции Применяя введенные выражения, системы (2.18) - (2.21), можно заменить одной системой двух дифференциальных уравнений:

Разрешая уравнения системы (2.22) относительно старших производных, получим систему вида:

Произведя замены z и g, систему (2.23) запишем в виде системы дифференциальных уравнений четвертого порядка пригодной для решения по методу Рунге-Кутта с помощью компьютерной программы MathCAD:

Пример решения системы дифференциальных уравнений (2.24), выполненного по методу Рунге-Кутта с использованием компьютерной программы MathCADProfessional, приводится в Приложении 4.

Графики угловых скоростей реактора и ведомого звена в зависимости от времени t в течение цикла представлены на рис.2.48.

Фазовые траектории в пространствах, и, изображены на рис. 2.49.

Проверка построения решения с помощью предложенной модели, состоящей всего лишь из одной системы дифференциальных уравнений, и решения, полученного традиционным методом с помощью сшивания по границам участков решений нескольких систем, показывает высокую сходимость результатов (рис. 2.50). Реализация сравнения решений с помощью компьютерной программы приводится в Приложении 4.

Рис. 2.49. Фазовые траектории в пространствах На рис. 2.50 изображены графики угловых скоростей реактора импульсного механизма (а) и ведомого звена (б) в течение цикла, полученные с помощью предложенной модели (сплошная линия) и традиционным методом (пунктирная линия) с построением систем дифференциальных уравнений и их решением по участкам и с последующим сшиванием решений на границах участков. Как видим, результаты практически не отличаются. При этом предложенная модель состоит лишь из одной системы, для которой начальные условия требуются лишь в начальный момент времени, что является большим преимуществом при построении периодических решений.

';

Рис. 2.50. Сравнение решений для угловых скоростей реактора Вместо функции Хевисайда в системах (2.22) – (2.24) можно использовать численного решения, выполненного с помощью компьютерной программы MathCAD, показывает, что результаты расчетов при этом полностью совпадают с результатами, полученными с применением функции Хевисайда.

Функции Хевисайда и сигнум являются кусчно-линейными и не позволяют построить математическую модель инерционного трансформатора лишь на основе аналитических функций. Такую возможность представляет аппроксимация функции Хевисайда с помощью непрерывной функции ( x) 0,5(1 th( kx)), где th(kx) - гиперболический тангенс, при достаe2 kx точно большом значении коэффициента k. В качестве этого коэффициента можно использовать величину J Б, что позволит избежать введения новых величин. В этом случае система (2.22) примет вид:

Переход к системе дифференциальных уравнений лишь на основе аналитических функций в ряде случаев приводит к более удобному проведению анализа и построению решений, в том числе и периодических.

Функцию Хевисайда можно также заменить непрерывной функцией, используя соотношение ( x) lim arctg (kx).

Переход к системе дифференциальных уравнений лишь на основе аналитических функций в ряде случаев приводит к более удобному проведению анализа и построению решений, в том числе и периодических.

На рис. 2.51 изображены графики зависимостей угловых скоростей реактора и ведомого звена от времени в течение цикла, полученные численными методами с помощью программы MathCAD (Приложение 4). Математическая модель представляет собой лишь одну систему дифференциальных уравнений.

Сплошная линия соответствует применению функции Хевисайда (или функции сигнум), пунктирная линия аппроксимации посредством гиперболического тангенса.

Как видим на рис. 2.51, аппроксимация с помощью гиперболического тангенса практически точно соответствует решению математической модели с применением функции Хевисайда. Решение на основе аппроксимации с помощью арктангенса имеет относительно большую погрешность, которую можно уменьшить, увеличив значение J Б.

Рис. 2.51. Графики зависимостей угловых скоростей реактора Для приближения функции Хевисайда непрерывной функцией можно исx пользовать функцию ошибок erf ( x) exp(- x )dx. Приближение в этом случае имеет вид P( x) 0,5lim(1 erf (kx)).

Для аппроксимации кусочно-линейных функций непрерывными функциями можно также воспользоваться процедурой, предложенной автором, A( A( A( A( x)))), где A( x) sin x. Эта функция приближает функf ( x) цию Хевисайда, причем точность приближения увеличивается с увеличением числа вложенных функций A( x).

Для сравнения применяемого ранее и разработанного автором методов рассмотрим системы уравнений(2.7)-(2.10), составленные по участкам с помощью уравнений Лагранжа второго рода для общей схемы инерционной передачи (рис.

2.1). В отличие от рассмотренных ранее в этом параграфе случаев, усложним задачу: будем считать угловую скорость ведущего вала переменной.

По предложенному методу совокупность систем (2.7)-(2.10) можно заменить лишь одной системой где Ф( x) функция Хевисайда.

На рис.2.52 изображены графики угловых скоростей реактора импульсного механизма (а) и ведомого вала (б) в течение цикла, полученные с помощью предложенной модели (сплошная линия) и традиционным методом (пунктирная линия) с построением систем дифференциальных уравнений и их решением по участкам и с последующим сшиванием решений на границах участков.

Как видим, учет неравномерности вращения ведущего вала не повлиял на хорошую сходимость математической модели инерционной передачи, построенной по участкам, и предложенной автором математической модели. Результаты практически не отличаются. При этом предложенная модель состоит лишь из одной системы, для которой начальные условия требуются лишь в начальный момент времени, что является большим преимуществом при использовании аналитических методов исследований и построении периодических решений.

С использованием разработанных методов были составлены математические модели других схем инерционных бесступенчатых передач, в частности, упругой схемы, в которой для снижения динамических усилий введены упругие звенья, инерционной передачи лишь с одним выходным механизмом свободного хода, инерционной передачи без механизмов свободного хода, а также математическая модель механизма свободного хода релейного типа. В каждом из этих случаев математическая модель представляет собой лишь одну систему дифференциальных уравнений, несмотря на переменную структуру описываемых передач и механизмов.

Особый интерес представляет применение указанного подхода по совершенствованию математической модели к упругой схеме инерционнойбесступенчатой передачи.В случае упругой схемы контраст традиционной математической модели инерционной передачи в виде совокупности систем и предложенной математической модели в виде лишь одной системы дифференциальных уравнений особенно разителен с точки зрения рациональности записи последней. Кроме того, сжатие математической модели не только для инерционных передач, выполненных по жесткой схеме, но и для передач, выполненных по упругой схеме, показывает универсальность подхода, рассмотренного в данной статье, возможность его применения для самых разнообразных схем и моделей автоматических бесступенчатых передач переменной структуры.

Традиционная модель инерционной передачи, выполненной по упругой схеме, представляет собой совокупность систем дифференциальных уравнений, записанных по участкам (2.11)-(2.14). Причем, следует иметь в виду, что цикл установившегося движения передачи может описываться совокупностью с гораздо большим числом систем дифференциальных уравнений, т.к. некоторые участки в цикле могут повторяться по нескольку раз.

Применяя предложенный подход для совершенствования математических моделей и используя аналитическую функцию H ( x) 0,5(1 th(kx)), системы (2.11) - (2.14) можно свести лишь к одной системе дифференциальных уравнений, включающих только аналитические функции:

При допущении const система (2.27) преобразуется к виду:

Разрешая систему (2.28) относительно старших производных и проводя замены z, p, q и g, эту системуприведем к виду, допускающему MathCADProfessional (Приложение 5):

Графики решений последней системы с помощью метода Рунге-Кутта изображены на рис. 2.53.

Рис. 2.53. Зависимости угловых скоростей звеньев упругой модели Все зависимости на рис. 2.53 являются функциями времени t. Сплошной утолщенной линией изображена зависимость угловой скорости реактора, сплошной тонкой линией – угловой скорости наружной обоймы корпусного механизма свободного хода, штриховой – угловой скорости наружной обоймы выходного механизма свободного хода и пунктирной – ведомого звена.

Фазовые траектории в фазовом пространстве (зависимости угловых скоростей от углов поворота) для каждого звена упругой модели инерционного трансформатора изображены на рис.2.54. Здесь а) соответствует фазовой траектории реактора, б) – наружной обоймы корпусного механизма свободного хода, в) – наружной обоймы выходного механизма свободного хода, г) – ведомого звена.

Рис. 2.54. Фазовые траектории звеньев упругой модели Устойчивое движение звеньев инерционного трансформатора, выполненного по упругой модели, является квазипериодическим. Вследствие наличия упругих элементов абсолютно точное совпадение значений угловых скоростей и циклических составляющих углов поворота звеньев инерционного трансформатора в начале и конце цикла практически невозможно. Эти значения хоть и на относительно небольшую величину, но будут отличаться. На рис. 2.53 данные отличия значений хорошо прослеживаются по графикам угловых скоростей наружных обойм корпусного и выходного механизмов свободного хода.

Аттракторы для упругой модели инерционного трансформатора имеют форму деформированного тора.

Рассмотренный в статье подход к совершенствованию математических моделей является достаточно универсальным. Его можно применить к широкому классу машин и механизмов с переменной структурой. Этот подход можно использовать для сжатия математических моделей не только инерционных трансформаторов вращающего момента, но и импульсных вариаторов, различных устройств, конструкции которых содержат механизмы свободного хода. Даже для описания динамики таких машин и механизмов, как, например, двигатели внутреннего сгорания, можно применить рассмотренный в статье подход.

Главное преимущество такого подхода заключается в возможности описания динамического процесса не по участкам, а в целом в течение цикла или даже нескольких циклов, несмотря на то, что динамический процесс имеет ярко выраженные участки с различными динамическими характеристиками. При этом весь цикл можно описать лишь одной системой дифференциальных уравнений с помощью разрывных функций с возможностью аппроксимации этих функций аналитическими зависимостями.

3 НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ИНЕРЦИОННЫХ

БЕССТУПЕНЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ

Как следует из предыдущей главы, движение инерционных бесступенчатых передач описывается сложными системами существенно нелинейных дифференциальных уравнений. Для таких уравнений в общем случае не существует точных методов решения, поэтому на практике приходится применять приближенные аналитические и численные методы, решение которых предполагает использование специальных приближенных методов, согласования решений по участкам, введения специальных функций. Различные приближенные методы решения обладает своими преимуществами и недостатками, поэтому для решения вопроса о наиболее подходящем методе для исследования динамики инерционно-импульсных передач, изучения нелинейных колебаний звеньев этих передач, построения периодических решений и анализа их устойчивости, изучения резонансных режимов необходимо провести сравнение этих методов.

3.1 Сравнительный анализ приближенных методов решения дифференциальных уравнений движения инерционных бесступенчатых передач Основными аналитическими методами являются методы последовательных приближений, малого параметра и разложения в степенные ряды [160].

За обобщенные координаты при составлении уравнений (2.6) примем углы поворота ведущего вала и ведомого вала импульсного механизма, являющегося основой многих конструкций инерционно-импульсных машин и механизмов.

Для определения крутящего момента М Д, действующего на ведущий вал импульсного механизма, воспользуемся динамической характеристикой асинхронного электродвигателя [161], учитывающей влияние электромагнитных переходных процессов

M Д МН Т M Д

Применяя уравнения (2.6), получим математическую модель инерционноимпульсного привода, представляющую собой систему нелинейных дифференциальных уравнений пятого порядка В случае, когда приведенный момент сопротивления М С ( ) является кусочной функцией, либо непрерывной на своей области определения, либо с конечным числом точек разрыва первого рода, для записи этого момента в виде одного выражения можно применить прием, предложенный автором. Этот прием основан на применении функции Хевисайда и заключается в следующем.

Пусть точки i, i 1,, n являются границами промежутков, на каждом из которых приведенный момент является аналитической функцией М С i ( ). Тогда этот момент можно записать в виде где функция X ( x) является функцией Хевисайда, при условии, что X (0) 0,5.

Если же функция Хевисайда определена так, что X (0) 1, тогда запись приведенного момента будет иметь вид Для проведения сравнительного анализа решим полученную систему (3.1) несколькими приближенными аналитическими методами.

3.1.1 Решение уравнений методом малого параметра Задачи, решаемые с помощью метода малого параметра, бывают двух типов. Первый тип изначально включает в себя малый параметр естественным образом в виде, например, исходных физических параметров исследуемой системы с относительно небольшими значениями в рамках рассматриваемого подмножества области определения аргументов. Второй тип в исходной своей постановке такого параметра не содержит и его приходится вводить дополнительно для того, чтобы организовать процедуру нахождения решения по степеням этого параметра. Алгоритм введения параметра четко не определен, хотя часто предполагается, что такой параметр должен быть установлен у слагаемых с небольшими значениями относительно других членов.

Наша задача относится ко второму типу и для решения требует дополнительного введения малого параметра. Построим искомое решение.

Систему (3.1) перепишем в виде где Коэффициенты B1, B2, B3 содержат моменты инерции J1, J 2, J 3 звеньев инерционно-импульсной передачи и по величине значительно превышают другие коэффициенты. Это обстоятельство позволяет ввести в систему (3.2) так называемый малый параметр [162]. Система при этом примет вид

М Д М Н М Д

Нетрудно видеть, что система (3.2) получается из системы (3.3) при 1.

При выполнении многих технологических процессов приведенный момент сопротивления имеет характеристику сухого трения. Для определенности рассмотрим участок этой характеристики, соответствующий положительным значениям скорости ведомого вала, для которых в идеализированном варианте имеем М С М const, М 0. Для участка с отрицательными значениями скорости результаты аналогичны полученным в данной статье.

Основываясь на основной идее метода малого параметра, решение системы будем искать в виде рядов При подстановке рядов (3.4) в систему (3.3) первое уравнение системы примет вид Второе уравнение системы (3.3) запишется так Для третьего уравнения системы (3.3) получим Полагая в уравнениях (3.5) - (3.7) 0, получим порождающую систему При начальных условиях порождающая система имеет решение Функции sin и cos разложим в окрестности порождающего решения Оставляя в уравнениях (3.5) (3.7) лишь члены, содержащие параметр в первой степени и учитывая разложение в ряды тригонометрических функций, получим систему для нахождения функций 1 (t ), 1 (t ), М Д 1 (t ) Решая систему (3.9) при нулевых начальных условиях, получим решение для функций 1 (t ) и 1 (t ) где Решение для М Д 1 (t ) запишется так где

BM B M BM B M BM

Ограничиваясь в разложениях (3.4) двумя первыми членами и полагая 1, запишем окончательное решение системы (3.1) по методу малого параметра 3.1.2 Решение уравнений методом последовательных приближений Первое приближение получим, основываясь на начальных условиях Используя запись системы (3.1) в виде (3.2), составим систему дифференциальных уравнений для последовательных приближений искомого решения В частности, с учетом полученного первого приближения и учитывая, что 1 1 0, получим систему дифференциальных уравнений для второго приближения Решая систему (3.10) при заданных начальных условиях, получим второе приближение решения системы дифференциальных уравнений (3.1). Для момента двигателя второе приближение имеет вид М Д 2 М 3t М Д 01, где Для угла поворота ведущего вала второе приближение запишется так где Для угла поворота ведомого вала второе приближение найдется по выражению где Ограничиваясь для углов поворота и вторым приближением, найдем третье приближение для момента двигателя 3.1.3 Решение уравнений методом разложения в степенные ряды По методу разложения в степенные ряды решение системы (3.1) будем искать в виде Значения (0), (0), М Д (0), (0), (0) найдем из начальных условий Значения вторых производных углов поворота и, а также первой производной момента двигателя в момент времени t 0 найдем, разрешив уравнения системы (2) относительно старших производных где Найдем значения производных переменных коэффициентов Аi (i 1,,6) в момент времени t Продифференцировав систему (3.1) и разрешив ее относительно старших производных, найдем значения третьих производных углов поворота и и второй производной момента двигателя в нулевой момент времени где Дифференцируя уравнение для момента двигателя еще раз, найдем значение третьей производной этого момента в нуле Подставляя найденные значения производных в разложения (3.11) и ограничиваясь слагаемыми, содержащими значения третьих производных включительно, получим окончательное решение системы (3.1).

3.1.4 Сравнение приближенных аналитических методов Построенные аналитические решения являются приближенными, поэтому неизбежно возникает вопрос о точности приближения. Использовать для решения этого вопроса аналитические оценки крайне затруднительно, так как теория таких оценок часто строится на использовании мажорантных рядов и, как правило, дает завышенные (часто значительно) значения погрешностей. Поэтому на практике для оценки точности метода применяют другие возможности, например, сравнивают последовательные приближения друг с другом. Часто сравнение нулевого, первого и второго приближений (а иногда нулевого и первого) дает хорошее представление о качестве приближения. Погрешность метода можно также оценить, сравнивая решение с решением, полученным другим методом, либо с результатами эксперимента. Такие сравнения не решают полностью вопрос о точности того или иного метода, но позволяют на практике обрести достаточную уверенность в результатах исследований.

Сравним рассмотренные в предыдущем параграфе аналитические методы с результатами расчетов, полученных численными методами решений нелинейных дифференциальных уравнений[163-165]. Численные методы позволяют находить практически точные решения, так как погрешность задается изначально и может быть сколь угодно малой. При этом итерационный процесс производится необходимо количество раз до достижения заданной точности.

Для проведения сравнительного анализа в качестве численного метода выберем широко известный метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

На рис. 3.1 показаны графики решений системы (3.1), полученных приближенными аналитическими методами и численными методами по методу Рунге-Кутта с помощью компьютерной программы MathCADProfessional при следующих параметрах инерционно-импульсной передачи Начальные условия были приняты следующими Сплошной утолщенной линией выделено решение, полученное по методу Рунге-Кутта, сплошная тонкая линия соответствует методу разложения в степенные ряды, пунктирная линия – методу малого параметра, штриховая – методу последовательных приближений. На рис. 3.1а изображены графики угла поворота ведущего вала за вычетом трендовой составляющей Н t в зависимости от времени t. Трендовую составляющую приходится исключать, так как в противном случае, учитывая, что ведущий вал вращается с большой угловой скоростью при малой неравномерности его вращения, графики угла поворота практически сливаются для некоторых методов решения. На рис.3.1б и 3.1в соответственно изображены графики угла поворота ведомого вала и момента двигателя М Д в зависимости от времени.

Анализ графиков показывает, что метод разложения в степенные ряды имеет приемлемую сходимость лишь в достаточно небольшой окрестности начального момента времени. Учитывая, что по сложности структуры коэффициентов в решении системы (3.1) этот метод не проще других аналитических методов, делаем вывод, что метод разложения в степенные ряды наименее приемлем для исследования математических моделей инерционно-импульсных передач.

Рис. 3.1. Графики зависимостей угла поворота ведущего вала, угла поворота ведомого вала и момента двигателя от времени Методы малого параметра и последовательных решений дают достаточно близкие решения, хорошо приближающие точные решения. Хотя, как следует из рис. 3.1, метод малого параметра дает несколько лучшие результаты по сравнению с методом последовательных приближений. Установлению более явных различий между этими методами на рис. 3.1 мешают графики, полученные с помощью метода разложения в степенные ряды, так как эти графики сильно отличаются от других, нивелируя различия между другими графиками.

Поэтому для дальнейшего проведения сравнительного анализа оставим только графики, соответствующие методам Рунге-Кутта, малого параметра и последовательных приближений (рис. 3.2). Заметим, что исключение результатов, полученных с помощью разложения в степенные ряды, позволяет значительно расширить рассматриваемый временной промежуток. Виды изображений графических линий на рис. 3.2 соответствуют рис. 3.1.

Из рис. 3.2 следует, что для момента двигателя метод малого параметра гораздо лучше приближает точное решение, чем метод последовательных приближений. Для угла поворота ведущего вала различие не такое большое, но, тем не менее, также в пользу метода малого параметра. Для угла поворота ведомого вала инерционно-импульсной передачи метод последовательных приближений в некоторых областях изменения времени дает более точные результаты по сравнению с методом малого параметра, но в других областях картина прямо противоположная. Сделать однозначное суждение в пользу одного метода в такой ситуации сложно, хотя в малой окрестности начального момента времени явное преимущество имеет метод малого параметра.

В целом, можно сделать вывод, что для аналитического решения и исследования нелинейных уравнений движения инерционно-импульсных передач на основе импульсного механизма с двумя степенями свободы наиболее подходящим оказывается метод малого параметра. Метод последовательных приближений дает неплохие результаты, и на некоторых множествах иногда даже превосходит метод малого параметра, но в целом, несомненно, уступает методу малого параметра.

Рис. 3.2. Графики зависимостей угла поворота ведущего вала, угла поворота ведомого вала и момента двигателя от времени Метод разложения в степенные ряды является наиболее слабым, для достижения той же точности, что и другие сравниваемые методы, требует гораздо более трудоемких и громоздких преобразований. В дальнейшем для аналитического исследования динамики инерционно-импульсных передач нет необходимости применять различные методы решения дифференциальных уравнений движения, а можно ограничиться лишь методом малого параметра.

3.2 Механизмы свободного хода релейного типа.

Как уже отмечалось, существующие конструкции механизмов свободного хода отличаются недостаточной надежностью и долговечностью, что во многих случаях лимитирует надежность всего привода в целом. Именно недостаточная долговечность механизмов свободного хода сдерживает, например, широкое применение инерционных автоматических бесступенчатых механических передач, обладающих целым рядом преимуществ по сравнению с передачами других типов.

В механизмах свободного хода фрикционного типа, работающих на основе сил трения, контакт заклинивающих элементов с ведущей и ведомой обоймами часто происходит по линии, что приводит к большим контактным напряжениям и, как следствие, к быстрой потере работоспособности механизмов. Поэтому были разработаны конструкции механизмов свободного хода, которых передача вращающего момента происходит по поверхности. Например, автором были разработаны конструкции механизма свободного хода [166], в которых крутящий момент передается по фрикционным торцевым плоскостям ведущего и ведомого валов. Одна из модификаций таких механизмов свободного хода изображена на рис.3.3.

В этом механизме свободного хода гайка 3 навинчена на резьбовую часть ведущего вала 4 и установлена в корпусе 2 с некоторым натягом, но с возможностью проворота при приложении некоторой величины крутящего момента.

При вращении ведущего вала 4 в направлении рабочего хода происходит осевое перемещение вала 4 в сторону ведомого вала 1. При этом гайка 3 неподвижна относительно корпуса 2, так как установлена с гарантированным натягом. Соединение «винт – гайка» работает как винтовая передача, происходит выборка зазора между торцевыми плоскостями ведущего вала 4 и ведомого вала 1. Осевое перемещение происходит до тех пор, пока торцевая плоскость вала 4 не упрется в торцевую плоскость вала 1. Так как вал 1 не допускает осевого перемещения, то дальнейшее осевое перемещение становится невозможным.

Поэтому вращающий момент, действующий на валу 4, преодолеет момент трения, образованный натягом гайки 3, и вызовет вращение гайки 3 в корпусе 2.

При этом вал 4, гайка 3 и ведомый вал 1 будут вращаться как одно целое. Происходит передача вращающего момента с ведущего вала на ведомый вал.

Рис. 3.3. Схема механизма свободного хода с торцевой При изменении направления вращения ведущего вала 4 гайка 3 остается в корпусе 2 неподвижной за счет величины гарантированного натяга. Соединение вала 4 с гайкой 3 работает как винтовая передача. Ведущий вал отходит от ведомого вала 1. Между торцевыми фрикционными поверхностями валов образуется зазор. Вращающий момент с ведущего вала на ведомый передаваться не будет. Осевое перемещение вала 4 происходит до тех пор, пока не произойдет выборка резьбовой части этого вала. Дальнейшее осевое перемещение вала становится невозможным, поэтому вращающий момент, действующий на ведущий вал 4, преодолеет момент сопротивления вращению гайки 3 от натяга.

Гайка 3 начнет вращаться вместе с валом 4 в корпусе 2 как одно целое. Так осуществляется свободный ход.

Механизмы свободного хода предложенной конструкции отличаются чрезвычайно низкими габаритами и могут быть использованы при разработке микро и нанотехники.

Главным недостатком конструкции [165] механизма свободного хода является пробуксовка некоторых элементов в моменты прямого и обратного хода и все отрицательные моменты, связанные с этой пробуксовкой. Для устранения этого недостатка автор разработал конструкции механизмов свободного хода [128], работающих по релейному принципу, а именно: через заклинивающие элементы свободного хода передается только часть нагрузки. Основная часть крутящего момента (нагрузки) передается, минуя заклинивающие элементы.

Такое конструктивное решение позволяет разгрузить механизмы свободного хода в десятки и сотни раз. Принцип действия разработанного механизма свободного хода аналогичен работе электрического реле, когда через слабую электрическую схему передается лишь ток малой мощности, но это приводит к срабатыванию основной электрической цепи, способной надежно передавать главный поток электрической энергии. На рис. 3.4 изображена одна из предложенных схем механизмов свободного хода релейного типа.

На ведущем валу 1, установленном с помощью передачи «винт – гайка» во внутренней обойме 2 механизма свободного хода, закреплен фрикционный диск 3. Заклинивающие элементы 4 взаимодействуют с наружной обоймой механизма свободного хода, связанной с ведомым валом.

Передача «винт – гайка» может быть выполнена в виде винтовой передачи любого типа, например, в виде винтовой передачи скольжения, шариковой винтовой передачи, планетарной винтовой передачи. Но более эффективным представляется использование шариковой винтовой передачи, которая имеет высокую нагрузочную способность, большую долговечность, высокую осевую жёсткость, плавность хода, высокий коэффициент полезного действия (0.85 надёжность при работе на высоких скоростях.

Рис. 3.4. Схема механизма свободного хода релейного типа Заклинивающие элементы также могут соответствовать любой известной схеме механизма свободного хода (ролики, храповые собачки, клиновые элементы, пружины и т.д.).

Работает механизм свободного хода релейного типа следующим образом.

В случае вращения ведущего вала 1 с угловой скоростью меньшей угловой скорости ведомого вала (или в противоположных направлениях) ведущий и ведомый валы вращаются независимо друг от друга. При этом крутящий момент с ведущего вала на ведомый не передается. При достижении ведущим валом угловой скорости ведомого вала происходит заклинивание элементов 4. При этом крутящий момент начинает передаваться с ведущего вала 1 через внутреннюю обойму 2, заклинивающие элементы 4, наружную обойму 5 на выходной вал.

Момент сопротивления на внутренней обойме 2 вызовет вращение ведущего вала относительно внутренней обоймы. Так как ведущий вал и внутренняя обойма взаимодействуют друг с другом посредством передачи «винт – гайка», то относительное вращение ведущего вала вызовет осевое перемещение ведущего вала в сторону внутренней торцевой поверхности наружной обоймы 5.

Осевое перемещение ведущего вала будет происходить до тех пор, пока фрикционный диск 3 не упрется во фрикционную торцевую внутреннюю поверхность наружной обоймы. При этом крутящий момент от ведущего вала на ведомый будет передаваться не только через заклинивающие элементы 4, но и через фрикционные поверхности диска 3 и наружной обоймы 5. Произойдет перераспределение крутящего момента. За счет соответствующего выбора параметров винтовой передачи можно обеспечить передачу основной величины крутящего момента через фрикционные поверхности, значительно разгрузив при этом заклинивающие элементы 4.

Если угловая скорость ведущего вала станет меньше угловой скорости наружной обоймы, то элементы 4 расклинятся, и крутящий момент через эти элементы передаваться не будет. При этом прекратится действие осевой силы на ведущий вал со стороны внутренней обоймы 2. Фрикционный диск 3 отойдет от внутренней торцевой поверхности наружной обоймы 5. Крутящий момент через фрикционные поверхности передаваться не будет. Механизм свободного хода полностью разомкнется. Ведущий и ведомый валы в этом случае будут вращаться независимо друг от друга.

Следует заметить, что, несмотря на наличие фрикционного контакта поверхностей диска 3 и наружной обоймы 5, рассмотренный механизм свободного хода релейного типа лишен главного недостатка фрикционной сцепной муфты – больших потерь мощности при пробуксовке фрикционных дисков и связанных с этим нагревом и короблением дисков. Действительно, контакт фрикционной поверхности диска 3 и внутренней торцевой поверхности наружной обоймы 5 может происходить лишь при выровненных угловых скоростях внутренней и наружной обойм механизма свободного хода релейного типа. Лишь при заклинивании механизма свободного хода появляется осевая сила, действующая на ведущий вал. При этом разница в угловых скоростях фрикционного диска 3 и наружной обоймы 5 определится лишь величиной зазора между торцевыми фрикционными поверхностями диска 3 и наружной обоймы 5 в начальный момент осевого перемещения ведущего вала по направлению к ведомому валу. Величину же зазора всегда можно конструктивно свести к минимуму. Поэтому разницу в угловых скоростях фрикционного диска 3 и наружной обоймы 5 можно привести практически к нулю. Конечно, при этом мы пренебрегаем податливостью звеньев, упругостью заклинивающих элементов, наличием зазоров в других соединениях конструкции. Впрочем, все эти допущения широко применяются при исследовании статики и динамики механических систем.

Преимущества же фрикционной дисковой муфты, например, способность передавать большие величины крутящего момента за счет поверхностного контакта, а, следовательно, при низких удельных давлениях, проявляются в механизмах свободного хода релейного типа в полной мере.Интересными в этом плане представляются конструкции механизмов свободного хода, разработанные Благонравовым А.А. и учеными его школы из Кургана.

В полной мере также проявляются преимущества винтовой передачи, например, ее способность создавать значительную осевую силу при небольшой величине окружного усилия. Это позволяет разгрузить заклинивающие элементы механизма свободного хода, а основную величину потока мощности передавать через фрикционные дисковые поверхности.

Разработанные конструктивные решения, при которых основная величина крутящего момента передается вне заклинивающих элементов, а момент, передаваемый через эти элементы, имеет небольшую величину и служит лишь для срабатывания надежной основной силовой цепи, позволяют резко разгрузить заклинивающие элементы свободного хода и в конечном итоге создать конструкции надежных и долговечных механизмов свободного хода.

Следует также отметить, что разработанные надежные механизмы свободного хода характеризуются также простотой и технологичностью конструкции, высоким коэффициентом полезного действия и имеют ряд других преимуществ.

Проведем более подробное исследование перераспределения величины крутящего момента, передаваемого через заклинивающие элементы и фрикционную дисковую поверхность.

На рис. 3.5 изображена схема действия сил в винтовой паре.

Рис. 3.5. Схема действия сил в винтовой паре механизма Здесь 1 – ведущий вал, 2 – внутренняя обойма механизма свободного хода.

Крутящий момент M1, передаваемый через заклинивающие элементы механизма свободного хода, определится по соотношению Момент M 2, передаваемый через фрикционные поверхности звеньев 3,5, найдется по выражению Полный крутящий момент M, передаваемый с ведущего вала на ведомый, найдется в виде суммы M M1 M 2.

Нетрудно получить зависимость между модулями сил P и Q (рис. 3.5) Нас интересует соотношение между составляющими M 1 и M 2 полного момента M, поэтому, учитывая соотношения (3.12), (3.13), (3.14), запишем отношение Разделив числитель и знаменатель правой части выражения (3.15) на R1R2 0 и обозначив k, после преобразований найдем Пусть k 2 k p. Тогда выражение (3.16) можно привести к виду Очевидно, что R1 R2, поэтому k 1, а p 2. С учетом этих соотношений сделаем оценку 1 1. Тогда, используя выражение ( 3.17), можно оценить отношение моментов :

Как следует из оценки (3.18), распределение крутящего момента на составляющие, передаваемые заклинивающими элементами и фрикционной парой, определяется величиной A. Эта величина линейно зависит от коэффициента трения скольжения f и радиуса наружной окружности R1 фрикционного контакта. Зависимость величины A от угла подъема винтовой линии и среднего радиуса r винтовой нарезки не является линейной (хотя является монотонно убывающей в реальной области изменения аргументов) и представляет бльший интерес для дальнейшего исследования.

На рис.3.6 представлены зависимости отношения составляющих момента от угла подъема винтовой линии. Кривые 1 соответствуют нижней (пункM тирная линия) и верхней (сплошная линия) границам оценки (3.18) при значениях параметров f 0,3, R1 0,2 м, r 0,02 м. Для кривых 2 радиус R1 0,1м.

Все остальные значения параметров приняты такими же, как и для кривых 1.

Рис. 3.6. Зависимости отношения составляющих момента от угла Из выражения (3.17) следует, что отношение составляющих крутящего момента неограниченно возрастает при выполнении одного из условий (или совокупности этих условий): R1, r 0, 0. Следовательно, при этих условиях можно разгрузить заклинивающие элементы механизма свободного хода на сколь угодно значительную величину. Случай f не рассматриваем из-за ограниченности коэффициента трения скольжения (обычно f [0,1 0,4] ). Хотя понятно, что при увеличении параметра f отношение моментов (3.17) увеличивается, что также приводит к разгрузке заклинивающих элементов. Величина момента, передаваемого через заклинивающие элементы механизма свободного хода, может быть меньше величины момента, передаваемого через фрикционные поверхности, более чем в сотни раз. Естественно, что при этом подавляющая величина крутящего момента передается с ведущего вала на ведомый через фрикционные поверхности. Заклинивающие элементы механизма свободного хода в этом случае разгружены практически полностью, что позволяет резко повысить надежность и долговечность механизма свободного хода в целом. Вместе с тем заметим, что даже если момент, передаваемый через фрикционные поверхности, больше момента, передаваемого через заклинивающие элементы, лишь в несколько раз (а не десятки и сотни раз), тем не менее, это может привести к значительному увеличению надежности и долговечности механизма свободного хода по сравнению с обычной роликовой обгонной муфтой.

Недостаток конструкции механизма свободного хода, изображенного на рис. 3.6, заключается в возникновении осевой силы, действующей на ведущий вал 1 и на внутреннюю обойму 2. При этом появляется необходимость в компенсации этой силы, например, с помощью упорных или радиально-упорных подшипников. Для устранения этого недостатка предложена конструкция механизма свободного хода, изображенная на рис. 3.7.

На ведущем валу 1 имеются две части, на которых выполнены винтовые нарезки с противоположным направлением резьбы. На этих частях установлены фрикционные диски 2 и 3. Внутренняя обойма 4 механизма свободного хода установлена на втулках дисков 2 и 3 с помощью шлицевого соединения с возможностью свободного осевого перемещения. Наружная обойма 5 механизма свободного хода установлена также с помощью шлицевого соединения с возможностью осевого перемещения во внутренней части цилиндрической втулки 6, соединенной с ведомым валом.

Рис. 3.7. Схема механизма свободного хода релейного типа Принцип действия этого механизма свободного хода подобен работе механических винтовых тисков. Наличие винтовой нарезки с противоположным направлением резьбы позволяет компенсировать осевые силы, действующие на фрикционные диски 2 и 3.

Предложенная схема механизма свободного хода также является конструкцией релейного типа, так как предполагает наличие обычной обгонной муфты с заклинивающими элементами, необходимой для срабатывания фрикционной связи, через которую передается основная часть крутящего момента.

Рассмотрим динамику работы механизма свободного хода релейного типа [167, 168].

Учитывая переменность структуры, математическую модель такого механизма можно рассматривать как совокупность систем дифференциальных уравнений, записанных по участкам.

На участке совместного вращения ведущего вала и внутренней обоймы со скоростью меньшей угловой скорости наружной обоймы система дифференциальных уравнений движения имеет вид где,, соответственно углы поворота ведущего вала, внутренней и наружной обойм механизма свободного хода;

J1, J 2, J 3 соответственно моменты инерции ведущего вала, внутренней и наружной обойм с приведенными к ним моментам инерции заклинивающих элементов;

M C момент сопротивления, действующий на наружную обойму.

При равенстве угловых скоростей ведущего вала и наружной обоймы происходит переход на второй участок, при котором ведущий вал совершает осевое перемещение до упора с торцевой поверхностью наружной обоймы.

Уравнения движения при этом примут вид где m масса ведущего вала;

F1 возвращающая осевая сила, действующая на ведущий вал.

При упоре торцевых поверхностей ведущего вала и наружной обоймы происходит переход системы на следующий участок, при котором все звенья механизма свободного хода вращаются как единое целое. Уравнения движения на этом участке запишутся так Решение полученных по участкам систем дифференциальных уравнений не вызывает каких-либо проблем. Проблема появляется при построении периодических решений и заключается в необходимости отслеживания моментов перехода с участка на участок, так как рассматриваемые механизмы свободного хода являются техническими системами переменной структуры. Решение проблемы заключается в сведении полученных систем дифференциальных уравнений к одной системе. Действительно, величину осевого зазора между торцевыми поверхностями ведущего вала и наружной обоймы можно свести к минимуму. При этом, применяя функцию Хевисайда ( x) и ее аналитическую аппрокarctg ( Nx) число, уравнения движения механизма свободного хода можно записать в виде одной системы дифференциальных уравнений:

Запись уравнений движения в виде системы (3.19) позволяет избежать необходимости отслеживать моменты изменения законов движения механизма при переходе с участка на участок. Достаточно задать лишь начальные условия, что значительно упрощает исследование динамики механизма свободного хода и построение периодических решений (Приложение 6).

На рис. 3.8 изображены графики решений системы (3.19), полученных M M д1 M д 2 sin( t ), где M д1, M д 2 - постоянные коэффициенты, - циклическая частота. Сплошной линией изображен график зависимости угловой скорости ведущего вала, пунктирной наружной обоймы от времени t. Параметры системы были приняты следующими:

Начальные условия имели вид Рис. 3.8. Графики угловых скоростей ведущего вала и наружной обоймы Для построения периодического решения с принятыми параметрами учтем, что, в силу полной симметрии конструкции механизма свободного хода, значения углов поворота его звеньев можно в любой момент времени взять произвольно. Поэтому для определения предельного цикла достаточно следить за равенством угловых скоростей в начале и конце цикла. Принимая во внимание это замечание, циклические траектории можно рассматривать в пространстве угловых скоростей ведущего вала и наружной обоймы (рис. 3.9). Предельный цикл выделен утолщенной линией. Как видим, выход на предельный цикл происходит достаточно быстро.

Рис. 3.9. График циклических траекторий с выходом В заключение отметим, что наряду с рассмотренной возможны и другие конструкции механизмов свободного хода релейного типа. Все эти конструкции содержат ведущий и ведомый валы, внутреннюю и наружную обоймы, заклинивающие элементы. Ведущий вал взаимодействует с внутренней обоймой посредством кинематической связи, обеспечивающей создание осевой силы при передаче крутящего момента через заклинивающие элементы, а взаимодействие ведущего вала с наружной обоймой (или ведомым валом) осуществляется не только через заклинивающие элементы, но и посредством фрикционной связи. Кинематическая связь между ведущим валом и внутренней обоймой, обеспечивающая создание осевой силы, может быть выполнена в виде винтовой передачи, в виде шестеренной передачи с косозубым зубчатым зацеплением и другими конструктивными способами. Для увеличения нагрузочной способности фрикционная связь ведущего вала и наружной обоймы (или ведомого вала) может осуществляться посредством пакета фрикционных пластин.

Заметим, что использование винтового соединения может быть применено не только в механизмах свободного ходя, но и в предохранительных фрикционных муфтах с целью повышения их чувствительности, что приводит к повышению точности их срабатывания. Так автором была изобретена предохранительная фрикционная муфта повышенной чувствительности[169], схема которой изображена на рис. 3.10.

Предохранительная фрикционная муфта повышенной чувствительности содержит ведущую 1 и ведомую 2 полумуфты. На ведомой полумуфте закреплен упорный диск 3. На ведущей полумуфте установлен нажимной диск 4, подпружиненный упругим элементом 5. Усилие упругого элемента изменяется с помощью механизма регулирования 6. Между нажимным и упорным дисками установлены с возможностью осевого перемещения фрикционные диски 7.

Предохранительная муфта содержит также отжимное устройство, состоящее из косозубой солнечной шестерни 8, закрепленной на ведущей полумуфте и входящей в зацепление с косозубыми сателлитами 9, закрепленными на нажимном диске.

Рис. 3.10. Предохранительная фрикционная муфта Предохранительная фрикционная муфта работает следующим образом.

При вращении ведущей полумуфты 1 крутящий момент передается через солнечную шестерню 8, сателлиты 9 на нажимной диск 4, затем через фрикционные диски 7, упорный диск 3 на ведомую полумуфту 2. Так как солнечная шестерня и сателлиты косозубые, то пропорционально величине передаваемого крутящего момента в зацеплении создается осевая сила, действующая на нажимной диск 4 и направленная против усилия упругого элемента 5.

При возрастании крутящего момента выше допустимой величины, осевая сила отводит нажимной диск от дисков 7, при этом происходит их размыкание, что позволяет предохранять узлы и детали привода от перегрузки и поломки.

Выполнение элементов винтовой пары в виде элементов косозубого зацепления, которые расположены на косозубых сателлитах и солнечной шестерне, позволяет повысить долговечность муфты путем перестановки сателлитов с фазовым сдвигом по мере их износа.

Технико-экономический эффект от изобретения заключается в повышении эксплуатационных качеств путем повышения точности срабатывания муфты.

3.3Нелинейные колебания инерционно-импульсных передач Аналитическое решение системы (2.15) без учета упругости можно построить с помощью приближенных методов [163-165], учитывая переменность угловой скорости ведущего вала. При этом решения системы (2.15) имеют сравнительно громоздкий вид. Поэтому используем допущение о неизменности угловой скорости ведущего вала ( const ), что позволит понизить порядок системы дифференциальных уравнений движения трансформатора.

Выясним правомерность такого допущения для рассматриваемых в данной работе инерционно-импульсных передач. Вопрос является важным, так как в случае подтверждения правомерности можно значительно снизить порядок системы дифференциальных уравнений движения, сводя систему (2.15) лишь к одному дифференциальному уравнению второго порядка где переменные коэффициенты А3, А5, А6 те же, что и в уравнениях системы (2.15), а угол определяется выражением q( t 01 ). Здесь 01, 01, 01 - соответственно значения угловой скорости и угла поворота ведущего вала в начальный момент времени t 0.

Уравнения (2.15) и (3.20) являются существенно нелинейными. Учитывая сложность их структуры, сделать аналитическую оценку правомерности допущения о постоянстве скорости ведущего вала не представляется возможным.

Поэтому данную оценку сделаем на основе сравнения численных решений системы (2.15) и уравнения (3.20), полученных с помощью метода Рунге-Кутта в компьютерной среде MathCAD. Момент сопротивления определим соотношением M C M 0 M1 sign( ),где М 0, M1 const (M 0, M1 0).

Известно [170], что при регуляризации некорректных задач предпочтительнее использовать регуляризующие алгоритмы, сходимость которых эквивалентна существованию решения данной некорректной задачи. Если для данного регуляризующего алгоритма такая эквивалентность установлена, то это означает, что наш процесс сходится, и это может быть видно уже из численного решения. Такая компьютерная проверка на основе численных решений очень важна для практических задач. Поведение численного решения может служить для исследователя одним из интуитивных признаков благополучия вычислительного процесса.

На рис.3.11 показаны графики решений системы (2.15) и уравнения (3.20), полученные по методу Рунге-Кутта с помощью компьютерной программы MathCADProfessional[171] при следующих параметрах инерционно-импульсной передачи Начальные условия были приняты следующими Утолщенная линия соответствует случаю с переменной угловой скоростью ведущего вала, тонкая линия соответствует допущению о постоянстве угловой скорости этого вала.

Рис.3.11. Зависимость угла поворота выходного вала от времени Как видим на рис.3.11, различие в решениях достаточно небольшое. Однако если мы рассмотрим полученные решения на более длительном промежутке времени, то получим решения, графики которых изображены на рис.3.12. Здесь, по-прежнему, утолщенная линия соответствует углу поворота выходного вала при переменной скорости ведущего вала, тонкая линия при допущении о постоянстве угловой скорости этого вала. Видим, что погрешность в решениях накапливается, и с течением времени разница в решениях оказывается существенной.

На основании проведенного сравнения можно сделать вывод, что использовать допущение о постоянстве угловой скорости ведущего вала при решении дифференциальных уравнений движения можно на небольших интервалах изменения времени.

Рис.3.12. Зависимость угла поворота выходного вала от времени Что касается исследования долгосрочных процессов, данное допущение может быть применено лишь с большой осторожностью. Например, при построении устойчивых периодических решений с использованием этого допущения, мы можем получить результат, не совпадающий с периодическим решением, найденным с учетом переменности угловой скорости ведущего вала.

Хотя, если начальные условия заданы в области достаточно близких значений к устойчивым периодическим решениям, результаты исследований при постоянстве и переменности угловой скорости ведущего вала будут характеризоваться хорошей сходимостью[172]. В частности, возможно отыскание периодических решений в предположении постоянства угловой скорости ведущего вала, так как решение с учетом переменности угловой скорости этого вала при начальных условиях, близких к найденному периодическому решению, даст примерно такой же результат. Например, на рис. 3.13 изображены фазовые траектории в области близкой к периодическому решению. Сплошной утолщенной линией изображены траектории, полученные с учетом варьирования угловой скорости ведущего вала, пунктирной – с использованием допущения о постоянстве этой угловой скорости. Как видим, результаты хорошо сходятся.

Рис.3.13. Фазовые траектории с выходом на предельный цикл Параметры инерционно-импульсной передачи были выбраны следующими:

Начальные условия соответствовали значениям Рассмотрим режим одностороннего вращения выходного вала с наложенными высокочастотными колебаниями.

Схеме инерционно-импульсной передачи, изображенной на рис. 2.14а, соответствует цилиндрическое фазовое пространство [173]. Для такой схемы возможны периодические движения, при которых выходной вал совершает однонаправленное вращение с наложенными высокочастотными колебаниями.

Фрагмент графика периодического решения с наложенными колебаниями в качестве примера такого движения приводится на рис.3.14. При этом параметры инерционно-импульсной передачи были выбраны следующими:

Рис.3.14. Фрагмент графика периодического решения Существование устойчивых однонаправленных вращений с наложенными высокочастотными колебаниями позволяет создать схемы инерционноимпульсных передач, рабочие органы которых совершают вращательное движение. При этом наложенные высокочастотные колебания могут способствовать интенсификации выполнения технологических процессов, таких как, резка, сверление, распиловка, дробление материалов, шлифование и полирование поверхностей и целого ряда других.

Для осуществления лишь колебательных движений выходного вала можно применить схему (рис. 2.14б), при которой ведомое звено импульсного механизма связано с корпусом упругой связью. Упругая связь исключает возможность однонаправленного вращения.

На примере исследования динамики инерционно-импульсной бесступенчатой передачи без механизмов свободного хода проведем численную проверку предложенной аппроксимирующей процедуры (2.2). Используем динамическое уравнение (3.20). Момент сопротивления, действующий на ведомый вал, определим соотношением M C M1 sign( ) M 0, где M 0, M1 const.

Единичная функция sign( ) является существенно нелинейной, что затрудняет проведение аналитических исследований динамики инерционноимпульсной передачи. Кроме того, эта функция не является периодической. С помощью предложенных методов (2.2) аппроксимируем единичную функцию, например, аналитической функцией вида sign( ) f 4 ( /10). Заметим, что для аппроксимации мы берем относительно небольшое n 4, оставляя значительные возможности для уменьшения погрешности аппроксимации.

С целью сравнения проведем численное решение дифференциального уравнения движения с единичной и аппроксимирующей функциями для конкретных параметров передачи по методу Рунге-Кутта (Приложение 7). Фазовые траектории на фазовой плоскости (, ) с выходом на периодическое решение изображены на рис. 3.15.

Рис.3.15. Фазовые траектории при использовании Здесь сплошной линией изображено решение, полученное при использовании в математической модели передачи единичной разрывной функции, пунктирной линией – при использовании аналитической аппроксимации. Утолщенная линия на рис. 3.15 соответствует периодическому решению.

Как видим на рисунке, погрешность результатов является невысокой, что говорит о хорошей сходимости предложенных аппроксимирующих процедур.

Более того, погрешность аппроксимации можно уменьшить до сколь угодно малой величины, увеличивая число вложенных функций.

Как показали численные решения системы дифференциальных уравнений (2.15) по методу Рунге-Кутта при различных параметрах передачи и различных начальных условиях, динамическая картина инерционной передачи без механизма свободного хода отличается большим разнообразием. На рис.3.16 изображены некоторые из полученных фазовых траекторий и периодических решений. Приведенные примеры говорят о больших возможностях инерционноимпульсной передачи без механизмов свободного хода и с упругой связью реактора импульсного механизма с корпусом реализовать различные типы периодических движений и режимов работы.

Рис.3.16. Примеры фазовых траекторий и периодических решений 3.4 Построение периодического решения на холостомрежимеработы Уравнение движения инерционной передачи без механизмов свободного хода при допущении о постоянстве угловой скорости ведущего вала будет иметь вид Сначала построим периодическое решение нелинейного дифференциального уравнения (3.22) на холостом режиме работы ( M C 0 ) при отсутствии резонанса. Интерес к холостому режиму вызван тем, что на этом режиме можно определить максимальную амплитуду колебаний ведомого вала и, тем самым, установить потенциальную способность передачи к выполнению заданного технологического процесса. Например, в процессе пиления необходимо обеспечить движение пильного полотна с амплитудой, превышающей величину одного зуба.

В статье [163] показано, что при построении решения нелинейного дифференциального уравнения предпочтительно использовать метод малого параметра.

Коэффициенты A3, A5, A6 представим в виде где Вводя малый параметр, уравнение (3.22) можно записать так Функции sin и cos разложим в ряды вида Периодическое решение будем искать в виде ряда по степеням малого параметра Порождающее уравнение получим из уравнения (4), положив которое имеет единственное периодическое решение с циклической частотой где D Оставляя в уравнении (3.23) лишь слагаемые, содержащие малый параметр в первой степени и учитывая разложение (3.24), получим уравнение для решая которое, найдем периодическое решение с циклической частотой q где Оставляя в разложении (3.24) два первых слагаемых и полагая 1, получим искомое периодическое решение с периодом 2 / q Как следует из решения (3.25), начальные условия, соответствующие периодическому решению с периодом 2 / q, имеют значения На рисунке 3.17 изображены предельные циклы, полученные с помощью аналитического решения (3.25), численного решения с учетом допущения о постоянстве угловой скорости ведущего вала и численного решения при переменной угловой скорости ведущего вала.

При построении графика параметры инерционно-импульсной передачи были выбраны следующими:

Графики предельных циклов, полученные с помощью аналитического решения (3.25) и численного решения при допущении о постоянстве угловой скорости ведущего вала, на рисунке 3.17 полностью сливаются, что свидетельствует о высокой точности аналитического решения. Этим графикам соответствует сплошная утолщенная линия. Численному решению при переменной угловой скорости ведущего вала соответствует сплошная тонкая линия. Отклонение сплошной тонкой линии от утолщенной достаточно небольшое, что подтверждает утверждение о возможности отыскания периодических решений при допущении о постоянстве угловой скорости ведущего вала.

Решение (3.25) имеет три гармоники, поэтому в зависимости от значений коэффициентов при этих гармониках возможны и другие виды фазовых портретов периодических решений (см. рис.3.18 а, b), отличные от изображенных на рисунке 3.17.

На рис.3.18 а, b графики, полученные аналитическим и численными методами при постоянной и переменной угловой скорости ведущего вала полностью сливаются, что говорит о хорошей сходимости результатов.

3.5 Построение периодического решения на рабочем режиме работы Построим периодическое решение дифференциальных уравнений движения на рабочем режиме работы.

Рассмотрим уравнение (3.22) при условии M C 0. Сигнум-функцию аппроксимируем аналитической функцией sin sin sin( p ) sign( ) [114] при достаточно малых значениях p : p [ / 2, / 2]. Раскладывая аппроксимирующую функцию в степенной ряд, отбрасывая высшие гармоники и применяя формулы понижения степени, зависимость для момента сопротивления можно записать в виде где M 3 M1 (1/ 24)( / 2)2 p3 (( / 2)4 ( / 2)2 1)D0 sin 3qt.

Записав дифференциальное уравнение (3.22) в виде найдем периодическое решение на рабочем режиме работы с точностью до константы, как это было сделано в случае холостого хода где 3.6 Устойчивость решения. Резонансные режимы Проверим устойчивость найденных периодических решений на холостом и рабочем режимах работы.

В уравнение (3.23) введем диссипативный момент M M 0 M1 sign( ). В случае холостого режима в качестве диссипативного момента может выступать момент трения с характеристикой сухого трения, в случае рабочего режима момент сопротивления М С. Сигнум-функцию sign( ) аппроксимируем аналитической функцией (2/ )arctg ( N ) при достаточно большом значении параметра N.

Перепишем уравнение 3.23 в виде Так как f (t,, ), что следует из уравнения (3.23), то уравнение (3.27) можно представить, учитывая разложения функций sin и cos, так где определенного интеграла. Поэтому найденные периодические решения при достаточно малых членах с малым параметром являются асимптотически устойчивыми.

Заметим, что уравнение (3.22) можно привести к виду (3.28), используя разложение Выводы относительно устойчивости найденных периодических решений при этом не изменятся.

В заключение этого параграфа проведем исследование резонансных режимов.

Как следует из анализа структуры коэффициентов полученного периодического решения (2.25), главному резонансу соответствует условие с B3q 2 2.

График зависимости угла поворота реактора от времени для передачи с параметрами (3.26) в случае главного резонанса изображен на рисунке 3.19. График получен с помощью численного метода при постоянстве угловой скорости ведущего звена.

Из решения (2.25) также следует, что, наряду с главным резонансом, могут возникать и резонансы других типов, для которых с 4B3q 2 2, с 9B3q2 2, Рис.3.19. График зависимости угла поворота реактора от времени 3.7 Нелинейные колебания инерционной бесступенчатой передачи лишьс одним выходным механизмом свободного хода Важно заметить, что замена корпусного механизма свободного хода на упругую связь не только позволяет сократить число механизмов свободного хода, лимитирующих надежность передачи, но и снизить нагрузки на оставшийся выходной механизм свободного хода. Снижение нагрузки происходит за счет накопления потенциальной энергии в упругой связи при действии обратного импульса. Рассмотрим, например, режим заторможенного ведомого вала, являющийся наиболее нагруженным режимом работы передачи. Средние моменты, действующие на ведомый вал в общей жесткой схеме инерционной передачи и в передаче с упругой связью вместо корпусного механизма свободного хода, определяются соответственно выражениями M ср A sin xdx 2 A и М ср В (1 sin x)dx 2 B, где A и B коэффициенты, зависящие от параметров импульсного механизма. Приравнивая средние моменты, получим B A /. Нетрудно определить, что максимальный момент, действующий при этом на ведомый вал передачи во втором случае, снижается в / 2 раз.

Рассмотренный пример иллюстрируется графиками, изображенными на рис. 3.20. Здесь утолщенной линией изображен график момента, действующего на ведомый вал передачи для общей жесткой схемы, тонкой линией для предложенной передачи.

Более того, в случае установки двух импульсных механизмов, действующих в противофазе, в предложенной схеме инерционной передача снижение максимального момента, действующего на заторможенный ведомый вал, по сравнению с общей жесткой схемой составит раз. При том на ведомый вал передачи будет действовать постоянный момент. Аналогичная возможность по стабилизации момента применительно к импульсным вариаторам отмечается в статье [175].

Рис. 3.20. Графики моментов, действующих на ведомый вал Воспользовавшись допущением о постоянстве угловой скорости ведущего вала const, можно значительно упростить математическую модель передачи, понизив порядок систем дифференциальных уравнений, приведенных в разделе 2.5.4, которые соответственно примут вид (3.29) и (3.30) С помощью функции Хевисайда Ф( x) можно свести системы (3.29) и (3.30) к одной системе[176] Численное решение системы (3.31) методом Рунге-Кутта было построено с помощью компьютерной программы MathCAD (Приложение 8). Параметры передачи при этом принимались следующими:

Графики зависимостей угловых скоростей выходного вала импульсного механизма (тонкая линия) и ведомого вала (утолщенная линия) от времени изображены на рис.3.21. Как видим, с начала движения достаточно быстро ведомый вал передачи выходит на установившийся режим движения с незначительной неравномерностью вращения, что полностью подтверждает преимущество предложенной передачи по отношению к передаче Хоббса.

Рис.3.21. Зависимости углов поворота выходного вала импульсного На рис. 3.22 изображена траектория движения выходного вала импульсного механизма с выходом на периодическое движение в фазовом пространстве.

Одним из преимуществ инерционной бесступенчатой передачи является возможность ее работы в режиме прямой передачи в качестве динамической муфты. Предложенная схема передачи также может работать в режиме прямой передачи. Для этого достаточно обеспечить конструктивную связь упругого звена с корпусом через тормоз (или муфту). В режиме прямой передачи тормоз выключается, обеспечивая вращение реактора импульсного механизма совместно с ведомым валом передачи.

Рис. 3.22. Фазовые траектории движения выходного вала Полученные результаты были использованы при проектировании инерционно-импульсного привода (приложение 9), кинематическая схема которого изображена на рис. 3.23.

Рис. 3.23. Кинематическая схема инерционно-импульсного привода цилиндрическиепазы, 5 цилиндры, 6 торцевыекрышки, 7 валмельницы, дебалансы, 9 электродвигатель, 10 инерционно-импульсныйпривод, 11 забрасыватель.

4 ДИНАМИКА ИНЕРЦИОННОЙ ПЕРЕДАЧИ С РЫЧАЖНЫМ

МЕХАНИЗМОМ НА ВЫХОДЕ

4.1Построение периодического решения для инерционной передачи с рычажным механизмом. Случай односторонней силы сопротивления Как было отмечено ранее, трансформация момента в инерционных передачах без механизмов свободного хода возможна в случае, когда момент сопротивления M C на выходном валу импульсного механизма меняет знак в течение цикла. Поставим вопрос: меняет ли знак момент сопротивления M C при действии на ползун односторонней силы сопротивления PC в инерционной передаче, схема которой представлена на рис. 2.15? Вопрос является важным, потому что положительное его решение позволило бы надеяться на значительное расширение области возможного применения предложенных передач, так как на рабочие органы многих современных машин и механизмов действует одностороннее рабочее сопротивление. Заметим, что в машине для сварки трением, например, трансформация момента возможна лишь при двустороннем (знакопеременном) внешнем сопротивлении.

Используя приближенную зависимость (2.16), с помощью выражения для элементарной работы получим выражение для момента сопротивления на выходном валу импульсного механизма от действия силы PC :

Пусть составляющая P2 силы сопротивления PC равна нулю. В этом случае режим заторможенного выходного вала импульсного механизма возможен лишь при 0. В противном случае, ползун имеет возможность без сопротивления двигаться до тех пор, пока не займет крайнее положение, для которого Учитывая непрерывность функции ( P ), запишем где sup, L1 множество значений, принимаемых углом поворота за цикл установившегося режима работы передачи.

Основываясь на результатах экспериментальных исследований, естественно считать, что цикл работы передачи определяется одним полным оборотом грузовых звеньев в относительном движении. Нетрудно найти выражение для времени цикла установившегося движения Для случая 2 0 получим Как следует из выражения (4.3), частота колебаний выходных звеньев передачи является постоянной величиной. С учетом условия (4.2), запишем где sup, L2 множество значений, принимаемых угловой скоростью за цикл установившегося режима работы передачи.

Обозначив N max{N1, N 2}, условия (4.2) и (4.4) объединим в одно То есть, всегда можно подобрать значение односторонней составляющей P силы сопротивления PC так, что выходной вал импульсного механизма будет совершать колебания, характеризующимися сколь угодно малыми нормами и Нас интересует принципиальная возможность действия знакопеременного момента сопротивления M C при одностороннем сопротивлении PC, поэтому можно сделать упрощение, положив const. При сделанном упрощении движение передачи можно описать лишь вторым уравнением системы (2.17), которое в этом случае при отсутствии упругого элемента примет вид Функции sin i и cosi (i {1, 2, 3, 4}) представим в виде степенных рядов.

Ограничиваясь в разложениях sin i и cosi первым членом ввиду малости угла, получим Уравнение (4.6) преобразуем с принятыми допущениями и сделанными преобразованиями В уравнении (4.7) A3 B3 b3 cos ; Ai ai sin (i 1, 2); A8 a8 ; ; параметр, вводимый при малых членах.

При 1 уравнение (4.7) обращается в уравнение (4.6).

Функции sin и cos разложим в ряды вида где 01 значение угла в момент времени t 0.

В силу быстрой сходимости рядов (4.8), сохраним в разложениях sin и cos только первый член.

Из условия (4.5) следует, что всегда можно подобрать такое значение P, при котором слагаемые в уравнении (4.7), содержащие параметр, будут сколь угодно малы. Третье слагаемое этого уравнения, несмотря на то, что включает сомножителем малый угол, может оказаться значительным, так как для обеспечения колебаний с малой амплитудой может потребоваться большое значение силы сопротивления P.

Уравнение (4.7) является существенно нелинейным, так как содержит кусочно-линейную функцию PC. Поэтому интегрирование этого уравнения проведем по участкам с помощью малого параметра. Согласно основной идее этого метода, решение уравнения (4.7) будем искать в виде ряда по степеням параметра :

Отбрасывая в уравнении (4.7) члены, содержащие параметр, получим порождающее уравнение Решение порождающего уравнения имеет вид здесь D Используя начальные условия t 0; 01; 01, находим постоянные интегрирования C1 и C2 :

Уравнение для 1 получаем, оставляя в уравнении (4.7) слагаемые, содержащие параметр в первой степени:

Интегрируя уравнение (4.10), находим:

где Постоянные C3 и C4 определим при нулевых начальных условиях:

Сохраняя в разложении (4.9) два первых члена, запишем решение для угла поворота на первом участке Проверка найденного аналитического решения (4.11) численными методами показала приемлемость аналитического решения для инженерных расчетов.

На рис. 4.1 представлены графики угла поворота выходного вала импульсного механизма для инерционной бесступенчатой передачи, имеющей следующие параметры:

Рис. 4.1. Графики угла поворота выходного вала импульсного На рис.4.1 сплошные линии соответствуют аналитическим решениям, штриховые численным решениям, выполненным на компьютере.

Аналогично, как и для первого участка, найдем выражение для угла на втором участке:

где На рис. 4.2 показаны графики угла поворота выходного вала импульсного механизма на втором участке для инерционной передачи с параметрами:

На рис.4.2 сплошные линии соответствуют аналитическим решениям, штриховые численным решениям.

Рассмотрим лишь случай, когда 0, поскольку в любом другом случае время протекания третьего участка равно нулю.

Подставляя нулевые значения производных и в уравнение (4.7), после небольших преобразований получим:

Для построения периодического решения используем метод припасовывания найденных решений посредством согласования значений координаты и скорости на границах участков [142, 143, 145, 146].

Пусть ni номера рассмотренных участков, причем среди чисел ni могут быть и равные. Тогда вектор R(n1, n2,, nk ) с составляющими ni определит тип периодического решения, то есть последовательность участков, описывающих установившийся процесс в течение цикла.

Как показали исследования Ю.И. Неймарка [177], в уравнениях с кусочнолинейной функцией в общем случае могут существовать периодические режимы сколь угодно сложных типов со сколь угодно большим числом переключений за период. Исследования фазовых портретов для инерционных бесступенчатых передач без механизмов свободного хода, проведенные автором [171], полностью подтвердили этот тезис.

При практическом применении метода припасовывания необходимо задаться предполагаемым типом искомого периодического режима. В большей части случаев задача о выборе типа периодического режима решается интуитивно, причем обычно ограничиваются отысканием периодических режимов простых типов [145].Основываясь на физических соображениях, будем считать, что для исследуемого установившегося процесса R R(2,1, 3, 2,1, 3).

Задавшись типом периодического режима и имея решения уравнения (4.6) по участкам, мы можем свести задачу определения искомого периодического движения к решению системы трансцендентных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных начальных условий и временных моментов переключения [145]. В исследуемом случае такая система имеет вид:

Здесь функции fi (i {3, 4, 7, 8}) соответствуют решению уравнения (4.6) на первом участке, функции f j ( j {1, 2, 5, 6}) на втором участке, ti моменты переключения за время цикла ( ti 0 ).

Для периодического режима, описываемого системой (4.14), должны выполняться условия нормальности переключения со второго на первый участок:

Уравнения системы (4.14) не являются дифференциальными, но являются трансцендентными. Громоздкость системы этих уравнений затрудняет нахождение неизвестных начальных условий и моментов переключений, что еще раз подтверждает правильность подхода по совершенствованию математических моделей, изложенного в параграфе 2.6. С другой стороны, периодическое движение можно определить по движению изображающей точки в фазовом пространстве, последовательно просчитывая несколько циклов до тех пор, пока значения координат и скоростей в начале и конце цикла не совпадут с заданной погрешностью. При этом изображающая точка выходит на замкнутую траекторию, соответствующую периодическому движению.

Исследуемая динамическая система, как система с угловыми координатами, имеет цилиндрическое фазовое пространство [141, 173].

Поверхности переключения в нашем случае представляют собой плоскости, уравнения которых определяются решением уравнения s 0 :

Обычно с целью уменьшения углов давления принимают p 5, поэтому Плоскости переключения делят развертку цилиндрической поверхностина четыре области (рис. 4.3). Цифры на рисунке отмечают номера соответствующих участков. Третий участок определяет скользящие движения системы по плоскости переключения 0.

Рис.4.3. Развертка цилиндрической фазовой поверхности Важно отметить, что точка пересечения траектории изображающей точки в координатах (, ) может и не являться особой, что не противоречит основной идее метода фазовых траекторий для систем высших порядков [178]. Для того, чтобы точка пересечения была особой, необходимо выполнение дополнительi где 1, 2 значения угла поворота в точке пересечения.

Построим, например, периодическое решение системы (2.17) в отсутствие упругого звена для инерционной передачи с параметрами:

Проекция траектории изображающей точки на координатную плоскость (, ) для этой передачи представлена на рис. 4.4. Утолщенной линией изображена проекция предельного цикла, указывающего на существование периодического движения [179].

Рис. 4.4. Проекция траектории изображающей точки Различия между аналитическим и численным решением на диаграмме не прослеживается. Для сравнения в табл.4.1 приведены значения и на втором участке периодического движения, полученные аналитическим и численным методами.

Как видно из рис. 4.4, предельный цикл является устойчивым и, следовательно, предельный цикл является устойчивым и, следовательно, отвечает автоколебанию динамической системы [146].

Время цикла, подсчитанное по формуле (4.3) и вычисленное с помощью суммирования моментов переключения по участкам, составляет соответственно 0,0209439 с и 0,0209436 с. Высокая сходимость результатов косвенно позволяет судить о правильности аналитических расчетов.

Для предельного цикла построены графики зависимостей,,, PC, M C от времени t (рис. 4.5, 4.6, 4.7). Различия между аналитическими и численными решениями на графиках не прослеживаются.

Анализ графиков (рис. 4.6 и 4.7) показывает, что для инерционной передачи с рычажным механизмом существуют периодические решения, которые являются устойчивыми, и для которых момент сопротивления на выходном валу меняет знак в течение цикла при действии односторонней силы внешнего сопротивления.

Рис. 4.5. Графики зависимостей угла поворота, скорости и ускорения выходного вала импульсного механизма от времени Рис. 4.6. Зависимость силы сопротивления от времени Рис.4.7. Зависимость момента сопротивления от времени На рис. 4.8 представлена проекция траектории изображающей точки для инерционной передачи с параметрами (4.16), но сила сопротивления P была принята равной 106 H. При этом амплитуда колебаний угла поворота увеличилась примерно в двадцать раз. Предельный цикл также является устойчивым.

Рис.4.8. Проекция траектории изображающей точки Возможно существование периодического режима, для которого R=R(2, 1, 3, 1, 3, 2, 1, 3, 1, 3). Примерный вид предельного цикла для такого режима показан на рис. 4.9.

Рис. 4.9. Предельный цикл для периодического режима Как следует из предварительных рассуждений, смена знака момента сопротивления M C при одностороннем внешнем сопротивлении возможна и в передачах, выполненных и по другим схемам инерционных передач с рычажным механизмом. Действительно, например, для передач с кривошипнокоромысловым механизмом в положении, когда звенья 3 и 4 расположены по одной прямой (рис.4.10), поворот звена 3 как в одну, так и в другую сторону вызовет движение ведомого звена 5 в одном направлении (на рис. 4.10 против часовой стрелки). При этом звено 5 преодолевает одностороннее внешнее сопротивление M C.

Смена знака момента сопротивления на выходном валу импульсного механизма позволяет сделать важный вывод о принципиальной способности инерционных передач предложенного семейства трансформировать момент при действии одностороннего сопротивления на рабочем органе. Сделанный вывод позволяет значительно расширить область применения предложенных инерционных передач без механизмов свободного хода, но с рычажным или эксцентриковым механизмом на выходе. Способность инерционных передач с рычажным механизмом трансформировать момент при действии одностороннего внешнего сопротивления, наряду с тем, что позволяет значительно расширить область применения этих передач, является и основой для создания инерционных бесступенчатых передач с одним выходным механизмом свободного хода.

Одним из примеров может служить инерционная передача, схема которой изображена на рис. 2.9.

Рис. 4.10. Предельное положение инерционной передачи 4.2 Построение периодического решения для инерционной передачи с рычажным механизмом. Случай двусторонней силы сопротивления В этом случае условие (4.5) может и не выполняться. Достаточно рассмотреть, например, стоповый режим промежуточного вала в точке / 2. Такой режим возможен, так как сила сопротивления PC двусторонняя. Тогда имеем мента на заторможенном промежуточном валу от инерционных сил грузовых звеньев, получим Условия (4.5) и (4.17) взаимоисключающиеся, поэтому введение параметра в уравнения движения при двустороннем сопротивлении осуществим несколько по-иному [180].

Усилим задачу: будем полагать, что const. Это предположение затрудняет построение периодического решения, но позволяет судить о неравномерности вращения вала приводного двигателя, повысить соответствие с реальными процессами.

При const систему уравнений (2.17) удобнее записать в координатах, с тем, чтобы определять периодический режим по целому числу оборотов грузового звена в относительном движении. Используя соотношение q( - ), получим Для определения момента двигателя воспользуемся динамической характеристикой асинхронного электродвигателя, описанной в параграфе 3.1.

Решение системы (4.18), так же как и в случае односторонней силы сопротивления, проведем по участкам:

Участок 1: s 0, PC P. Запишем уравнения (3.48) с введенными при малых членах параметром где Ai Bi bi cos (i {1,2,3}; Aj a j sin ( j {4,5,6}.

Решение системы (4.19) будем искать в виде рядов Момент двигателя также представим в виде ряда по параметру Подставляя ряды (4.20) и (4.21) в уравнения (4.19) и полагая 0, получим порождающую систему Функции sin, sin i (i 1, 2, 3,4 ) представим в виде рядов Оставляя в уравнениях (4.19) лишь члены, содержащие параметр в первой степени, получим систему для определения 1, в которой Выражение для M 0 найдется из уравнения После несложных преобразований уравнение (4.23) запишем в виде Уравнение (4.24) является линейным с постоянными коэффициентами. Решая его и учитывая начальные условия t 0, M 0 M 01, находим Интегрируя с учетом (4.25), запишем решение системы (4.22) где D1 B1B3 B2 ;

При начальных условиях t 0, 1 0, 1 0, 1 0, 1 0 постоянные интегрирования составляют Здесь Ограничиваясь в рядах (4.20) двумя первыми членами, запишем приближенное решение системы (4.18) Полученное решение имеет смысл при 01 0. При 01 0 решение порождающей системы примет вид 0 01 t 01; 0 01.

Тогда система уравнений для 1 и 1 запишется так Решая систему уравнений (4.26), получаем где D12 B Приближенное решение системы уравнений (4.17) при этом примет вид Проверка найденного аналитического решения с помощью численных методов показала высокую сходимость результатов. Так, например, для инерционной передачи с параметрами результаты расчетов для значения P1 10 H приведены в табл. 4.2.

Участок 2: s 0, PC P2. Приближенное решение системы (4.18) на втором участке получим, положив в решении системы на первом участке вместо P значение силы сопротивления P2.

Результаты аналитических и численных расчетов значений угла поворота грузового звена при P2 10Н на втором участке для передачи с теми же параметрами, что и на первом участке, за исключением лишь значения 01, приведены в табл.4.3. Было принято, что 01. Как видим, имеем высокую сходимость аналитических и численных расчетов.

Участок 3: s 0. Полагаем, что 0, так как при других значениях и время протекания третьего участка равно нулю.

Подставляя 0 в систему (3.49), получаем где Приближенное решение системы (4.27) также находим с помощью метода малого параметра где Из второго уравнения системы (4.27) получаем Сравнение аналитического и численного решения также показывает высокую сходимость результатов.

Зная решения дифференциальных уравнений (4.18) по участкам и используя метод припасовывания и метод проецирования траектории изображающей точки, построим периодическое решение уравнений для инерционной передачи с параметрами Задавшись произвольными начальными условиями м просчитывая несколько циклов, выходим на замкнутую траекторию, соответствующую устойчивому периодическому решению.

Так как исследуемая система является фазовой системой, имеющей цилиндрическое фазовое пространство, то рассматриваем поведение системы по проекциям траектории изображающей точки на цилиндрические поверхности (рис.

4.11). Утолщенной линией выделены проекции предельного цикла.

Отметим интересную особенность построенного периодического решения.

Если для координаты проекция предельного цикла представляет собой замкнутую траекторию гомотопную нулю, сохраняющую замкнутость при развертке цилиндрической поверхности, то для координаты проекция предельного цикла охватывает цилиндрическую поверхность и при ее развертке на плоскость переходит в незамкнутую кривую. Кроме того, заметим, что, наряду с построенным, возможны и более сложные периодические процессы, которые определяются несколькими оборотами грузовых звеньев в относительном движении. Задача построения всех возможных периодических решений чрезвычайно сложна [176] и в данной работе не рассматривается.

Рис. 4.11. Проекции траектории изображающей точки При построении периодического решения с учетом динамической характеристики двигателя следует дополнительно проверить совпадение значений момента двигателя в начале и конце цикла.

Точка пересечения проекций фазовой траектории в какой-либо одной координатной системе может и не являться особой. Для определения особой точки следует убедиться, что и в другой координатной системе фазовая траектория имеет пересечение с собой в тот же момент времени t и дополнительно проверить совпадение значений момента двигателя.

В инженерных расчетах, не требующих высокой точности, целесообразно пользоваться упрощенными решениями, полученными при условии постоянства угловой скорости ведущего вала импульсного механизма.

Рассмотрим второе уравнение системы (2.17). Полагая const, получим Вводя малый параметр, после несложных преобразований уравнение перепишем в виде Решение по методу малого параметра на первом участке ( PC P1 ) имеет вид где Постоянные интегрирования C1 и C2 определяются по выражениям где Полученное решение имеет смысл лишь при 01 0. Если же 01 0, имеем где Решение на втором участке ( PC P2 ) получим из решения на первом участке, положив вместо P значение силы сопротивления P2.

Для третьего участка ( s 0 ) из условий 0 найдем выражение для силы сопротивления PC Расчеты различных вариантов инерционных передач без механизмов свободного хода, полученные в предположении const и при допущении постоянства угловой скорости ведущего маховика, показали хорошую сходимость результатов.

При допущении const рассматриваем лишь второе уравнение системы (4.18), которое не содержит момента двигателя M Д. Следовательно, с учетом хорошей сходимости результатов, можно сделать вывод, что характеристика двигателя не оказывает существенного влияния на законы движения звеньев инерционной передачи в течение цикла. Справедливость этого вывода подтверждается экспериментально. Как показано в третьем параграфе четвертой главы данной работы, влияние параметров кривошипно-ползунного механизма на неравномерность вращения ведущего маховика незначительно, поэтому использование в данной работе допущения const представляется правомерным.

4.3 Вопросы кинематической работоспособности инерционной передачи с кривошипно-ползунным механизмом на выходе При исследовании инерционной передачи с рычажным механизмом важно определить условия для принципиальной возможности машины или механизма выполнять требуемую функцию. Например, в приводе пилы часто требуется исключить движение пильного полотна в пределах одного зуба. В некоторых случаях требуется исключить возможность заклинивания рабочего органа и т.д.

Рассмотрим эти вопросы более подробно.

4.3.1 Нелинейные колебания инерционного привода с кривошипноползунным механизмом на холостом режиме работы При проектировании инерционного привода лобзикового станка (рис. 2.18) прежде всего необходимо исключить колебания пильного полотна в пределах одного зуба при работе на холостом режиме ( PC 0 ). В противном случае нарушается работоспособность станка.

Полагая PC 0, const, запишем второе уравнение системы (2.17):

С помощью метода последовательных приближений найдем периодическое решение уравнения (4.28).

Перейдем к безразмерному времени qt. После несложных преобразований уравнение (4.28) перепишем так:

При начальных условиях 0, 01, 01 первое приближение имеет вид: 1 01 01.

По условиям периодичности 01 0. Тогда получим Неизвестное пока значение 01 найдется из условия периодичности для второго приближения 2.

Подставляя значения (4.30) в уравнение (4.29), получим уравнение для второго приближения 2 :

где Решение уравнение (4.31) имеет вид:

Запишем условия периодичности:

С учетом условий периодичности решение уравнения (4.31) преобразуем к виду Рассмотрим первое из уравнений (4.32). После преобразований получим Найдем решение уравнения (4.34) Проведем замену переменной:

Подставляя выражение (4.37) в уравнение (4.36), запишем после приведения подобных членов:

Из уравнения (4.38) найдем:

а) x 0. тогда с учетом выражения (3.68) получим: cos 01 p. Так как обычно p 5, то при любых значениях 01 cos 01 p.

Для нормального функционирования лобзикового станка требуется предварительное натяжение пильного полотна, т.е. P0 0. Поэтому выполняется неравенство x 1 p. Используя выражение (4.37) и полученную оценку для x, оценим cos 01 : cos 01 x p 1 p p 1. Таким образом, имеем cos 01 1, что не выполняется ни при каких значениях 01.

Принимая во внимание решение (4.35), окончательно запишем Подставив найденное значение 01 в выражение (4.33), получим:

Величина 01 влияет лишь на не интересующую нас фазу колебаний, поэтому начало отсчета времени выберем так, чтобы избежать q 01 под знаком синуса в выражении (4.40). Положим, что при 0, 01 0. Тогда имеем Постоянная интегрирования С2 найдется из условий периодичности для третьего приближения 3. Уравнение для 3 имеет вид:

Функции sin i 2 и cosi 2 ( i 1,2,3,4 ) разложим в ряды в окрестности первого приближения 1 :

Ограничиваясь в разложениях четырьмя первыми членами и учитывая выражения (4.30), (4.39) и (4.41), найдем Тогда переменные коэффициенты A71, A81, A91, 1 примут вид Функции sin 1 и cos 1 разложим в ряды вида Ограничиваясь четырьмя первыми членами разложений и используя (4.41), получим С учетом полученных зависимостей уравнение для третьего приближения 3 примет вид где Коэффициенты Fi, N1, N 2 определяются по выражениям F5 D1 C2 a5 ;

F6 0;

Интегрируя уравнение (4.42), найдем Запишем условия периодичности для третьего приближения:

Из условий периодичности найдем выражение для постоянной интегрироN Учитывая условия периодичности, получим Постоянная интегрирования C4 может быть найдена из условий периодичности для четвертого приближения 4. Громоздкость выражений для нахождения C4 затрудняет вычисления, поэтому ограничимся третьим приближением и примем С4 С3.

стью в соотношение (4.1).

Эта функция является всюду непрерывной вместе со своей производной на множестве { }, нечетной, периодической с периодом 2.

Нетрудно составить уравнение для определения точек, в которых функция имеет экстремум. Уравнение имеет вид Отсюда находим Так как cos 1 и обычно p 5, то решение (4.43), определяемое знаком «минус» перед квадратным корнем, отбрасываем. При этом получаем Тогда максимальное по модулю значение функции f ( ) определится так Учитывая, что максимальное за цикл значение момента от инерционных сил грузовых звеньев на заторможенном валу импульсного механизма находится по формуле и используя соотношение (4.1), найдем отношение и обозначим это отношение через P :

Достаточное условие движения ползуна запишется так Т.е. для движения ползуна, а следовательно, и для совершения работы достаточно, чтобы хотя бы одно из значений P, P2 по модулю было меньше значения P. Другими словами, если выполняется условие (4.44), то полностью затормозить движение ползуна невозможно и поэтому машина сохраняет свою способность выполнять требуемую технологическую операцию.

В случае односторонней силы сопротивления условие (4.44), как нетрудно видеть, выполняется автоматически.

Подчеркнем, что условие (4.44) является лишь достаточным, но не необходимым. Так при определенных условиях возможно движение ползуна и если 4.4 Исследование нагрузок в инерционной передаче В оценке работоспособности инерционной передачи важное место занимает определение реакций в кинематических парах. Лишь только после определения реакций можно судить о работоспособности исследуемой конструкции.

Нагрузки в инерционной передаче определяются действием нормальных и тангенциальных составляющих сил инерции, пропорциональных квадратам угловых скоростей и ускорений звеньев. Проведем оценку угловых ускорений и для рассматриваемой инерционной передачи с рычажным механизмом (рис. 2.15).