«НАУЧНЫЕ ОСНОВЫ ИНЕРЦИОННЫХБЕССТУПЕНЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ ПОВЫШЕННОЙ НАГРУЗОЧНОЙ СПОСОБНОСТИ ...»

С центрального вала 1 через солнечную шестерню 2 вращение одновременно передается двумя потоками:

первый планетарным шестерням 5, установленным на осях 6, на водило 7, от которого на центральную шестерню 8 и далее к планетарным шестерням 9, установленным на осях 10 и с последних на солнечную шестерню 4 и центральный вал 3;

второй планетарным шестерням 5, на центральную шестерню 12, с которого передается водилу 11 и далее к планетарным шестерням 9, установленным на осях 10 и с последних на солнечную шестерню 4 и центральный вал 3.

Таким образом, два потока движения сходятся на планетарных шестернях 9 и солнечной шестерне 4 и находятся во временном «силовом равновесии», зависящем от нагрузки на ведомом валу 3. А изменение «силового равновесия»

ведет к изменению режима работы с перераспределением положения передающих звеньев и изменения передаточного отношения, при этом планетарные шестерни 5, водило 7, центральная шестерня 8, планетарные шестерни 9, могут менять направления вращения и скорость вращения от различия до совпадения.

При работе зубчатой передачи и увеличении нагрузки на (ведомом) центральном валу 3 при неизменном вращении центрального вала 1 происходит перераспределение сбалансированного ранее соотношения потоков движения, а именно - снижение скорости вращения вала 3, соответственно снижение вращения планетарных шестерней 9, вращения водила 11 и центральной шестерни 8 и, соответственно, сопряженных с нимицентральной шестерни 12 и водила 7.

Изменение вращения двух последних инициирует изменение положения двухвенцовой шестерни 5 относительно центральной шестерни 12 и солнечной (ведущей) шестерни 2, с обкатыванием двухвенцовой шестерни 5 вокруг последних и перераспределение передаваемой нагрузки по первому и второму потокам в соответствии вышеприведенному описанию. При этом происходит перераспределение сил и крутящих моментов с изменением передаточного отношения.

Увеличение нагрузки на солнечной (ведомой) шестерне 4 ведет к снижению оборотов всех составляющих звеньев, в том числе центральной шестерни 12. При этом, солнечная (ведущая) шестерня 2 сохраняет постоянные обороты, а разница оборотов воспринимается двухвенцовой шестерней 5, что приводит к компенсации разницы оборотов за счет изменения скорости обкатки вокруг солнечной шестерни 2 и центральной 12, инициируя изменение оборотов между центральной шестерней 12 и водилом 7. Таким образом, изменяется передаточное отношение и перераспределяется нагрузка.

Доказанное Леоновым А.И. утверждение о невозможности трансформации момента в соосных конструкциях без опоры на корпус сразу позволяет определить ошибочность таких рассуждений.

Отметим, что на описанное устройство получен также европейский патент ЕР 2348231, а недавно в Красноярске состоялась II городская ассамблея инноваций и выставка инновационных проектов. Как сообщается, «жюри конкурса изобретений по достоинству оценило изобретение автора: он получил высший приз грант на 500 тыс. руб. для налаживания производства зубчатого вариатора». Ну что же, деньги выброшены на ветер.

Приведенные примеры далеко не исчерпывают список ошибочных конструкций бесступенчатых передач без механизмов свободного хода, защищенных российскими и зарубежными патентами. Многие из этих конструкций предложены недавно. Тем более, этот факт подчеркивает необходимость учета ошибочного опыта при создании новых схем инерционных бесступенчатых передач повышенной нагрузочной способности. Учет такого опыта, несомненно, поможет в экономии ресурсов и времени в процессе создания надежных бесступенчатых передач.

1.4 Постановка задачи. Пути повышения нагрузочной способности С целью создания надежных и долговечных инерционных бесступенчатых передач необходимо сформулировать и наметить основные направления научных исследований, направленных на повышение нагрузочной способности этих передач [110]. В данной диссертации были выделены следующие основные направления перспективных научных исследований:

1. Совершенствование математических моделей, методов исследований и расчета различных схем и конструкций инерционных бесступенчатых передач.

Несмотря на относительную простоту конструкции, движение инерционных передач описывается сложными системами дифференциальных уравнений.

Эти дифференциальные уравнения являются существенно нелинейными и не допускают точных методов решения. Переменность структуры таких передач заставляет исследователей строить системы дифференциальных уравнений по участкам. Поэтому на практике эти уравнения решаются с помощью приближенных методов по участкам, а затем с помощью, например, метода припасовывания сшиваются по границам участков. Конечные значения переменных для каждого участка являются начальными значениями для следующего участка. При этом процедура решения дифференциальных уравнений является громоздкой, что препятствует получению решения для всего цикла работы трансформатора, построению периодических решений, применению численных методов на компьютерной основе, затрудняет интерпретацию результатов. Отмеченные трудности заставляют исследователей искать возможности по совершенствованию математических моделей инерционных передач, пути для более эффективного анализа их работы.

Автором диссертации предложены методы, разработаны специальные функции [111, 112], дающие возможность объединить системы дифференциальных уравнений по участкам в одну систему, описать цикл работы инерционной передачи с помощью лишь одной системы, что позволяет резко сжать математическую модель передачи, значительно упростить решение уравнений ее движения и анализ этого решения. При построении периодических решений с помощью компьютерных программ на основе разработанных новых математических моделей не требуется, как было ранее, отслеживать переходы от участка к участку, использовать логические операторы, а достаточно задать лишь начальные условия. Кроме того, автором разработаны новые методы аппроксимации кусочно-линейных и обобщенных функций [113-119], лишенные недостатков известных аппроксимационных методов таких функций. Разработанные новые математические модели инерционных бесступенчатых передач и методы их исследований позволили резко упростить изучение динамики инерционных передач, построение численных и аналитических периодических решений и изучение их устойчивости.

2. Разработка новых конструкций механизмов свободного хода.

Механизмы свободного хода являются устройствами для передачи вращательного движения лишь в одном направлении. Эти механизмы широко используются в машиностроении, например, в гидротрансформаторах, импульсных бесступенчатых передачах, инерционных автоматических трансформаторах вращающего момента, электростартерных системах запуска двигателей, приводе различных металло- и деревообрабатывающих станков и других подобных механизмах, где передача вращающего момента осуществляется только в одном направлении.

Существует множество различных конструкций механизмов свободного хода [120], например, роликовые, эксцентриковые, храповые, пружинные и т.д.

Но, несмотря на такое разнообразие конструкций и большие усилия по созданию надежных механизмов свободного хода [46,88,121-127], эти механизмы попрежнему остаются самыми слабыми звеньями во многих приводных системах.

Поэтому создание надежного механизма свободного хода является актуальной проблемой машиностроения.

Основная причина недостаточной долговечности механизмов свободного хода, по мнению автора, заключается в том, что во всех существующих конструкциях этих механизмов весь крутящий момент передается через рабочие тела (заклинивающие элементы), что приводит к большим напряжениям в этих телах. Для решения поставленной задачи и устранения указанного недостатка автором были разработаны конструкции механизмов свободного хода [128], работающих по релейному принципу, а именно: через заклинивающие элементы свободного хода передается только часть нагрузки. Основная часть крутящего момента (нагрузки) передается, минуя заклинивающие элементы.

В разработанных конструкциях основная величина крутящего момента передается вне заклинивающих элементов, а момент, передаваемый через эти элементы, имеет небольшую величину и служит лишь для срабатывания надежной основной силовой цепи. Такое конструктивное решение позволяют резко разгрузить рабочие тела (в десятки и сотни раз) [129] и, в конечном итоге, создать конструкции надежных и долговечных механизмов свободного хода.

3. Разработка конструкций инерционных бесступенчатых передач лишь с одним механизмом свободного хода.

Создание новых конструкций инерционных бесступенчатых передач не с двумя механизмами свободного хода, как в общей схеме, а лишь с одним позволило бы сократить количество слабых звеньев, повысить вероятность надежной работы инерционных передач. Известные конструкции инерционных бесступенчатых передач лишь с одним корпусным механизмом свободного хода [66] отличаются неравномерностью вращения выходного вала, так как выходной вал непосредственно связан с промежуточным валом импульсного механизма, а промежуточный вал совершает однонаправленное вращение с периодическими остановками. Этот недостаток резко ограничивает возможности применения таких передач.

Автором разработаны конструкции инерционных передач лишь с одним выходным механизмом свободного хода[130]. В таких передачах выходной вал вращается достаточно равномерно, поэтому эти передачи имеют широкие возможности применения на практике.

4. Разработка конструкций инерционных бесступенчатых передач без механизмов свободного хода.

Если не удается повысить долговечность механизмов свободного хода до должного уровня, то перспективным направлением исследования может служить разработка схем инерционных бесступенчатых передач, в которых механизмы свободного хода отсутствуют вообще. Несколько лет назад автором диссертациибыли предложены схемы некоторых из таких передач [1, 131], рабочие органы которых совершают знакопеременное движение. В настоящее время автором разработаны и другие конструкции инерционных бесступенчатых передач без механизмов свободного хода в приводе реверсивного инструмента, а также в приводе дорожных и строительных машин и механизмов [132]. Вибрационный характер подачи крутящего момента на рабочие органы этих машин способствуют интенсификации выполнения технологического процесса и повышает их эффективность.

Исследования инерционных бесступенчатых передач проводились автором по всем сформулированным направлениям. Результаты исследований отражены в данной диссертации.

Как было уже отмечено, основная цель данной работы повышение нагрузочной способности инерционных бесступенчатых передач. Необходимо сформулировать критерий для оценки решения поставленной проблемы.

Нас интересуют, в первую очередь, инерционные бесступенчатые передачи общего назначения, ведомый вал которых совершает однонаправленное вращение. Все известные конструкции таких передач имеют как минимум один механизм свободного хода. Если импульсные механизмы достаточно отработаны в настоящее время и их работоспособность не вызывает проблем, то недостаточная надежность механизмов свободного хода лимитирует работоспособность всей конструкции инерционной передачи в целом. Наиболее слабыми элементами механизмов свободного хода являются рабочие тела, работающие в условиях высокочастотного заклинивания и больших пиковых нагрузок. Как известно, самое слабое звено конструкции определяет ее надежность в целом. Поэтому в качестве критерия решения проблемы повышения нагрузочной способности инерционных бесступенчатых передач возьмем величину нагрузки, действующей на рабочие тела механизма свободного хода, а именно, максимальную величину крутящего момента, передаваемого через рабочие тела механизмов свободного хода в процессе работы инерционной бесступенчатой передачи.

Несомненно, чем меньше величина крутящего момента, передаваемого через рабочие тела механизмов свободного хода, тем более высокой нагрузочной способностью характеризуются инерционные передачи. Но в некоторых случаях для значительного повышения нагрузочной способности этих передач достаточно незначительного снижения нагрузки, действующей на рабочие тела. Как известно [133], кривая усталости (кривая Веллера) практически представляет собой гиперболу в логарифмическом масштабе оси абсцисс и поэтому при снижении уровня напряжений, например, на 10% можно получить увеличение количества циклов до разрушения на 2-3 порядка, а в некоторых случаях и больше. В этом отношении для повышения нагрузочной способности инерционных передач может оказаться полезным предложение автора [134] использовать в конструкции инерционной передачи полигармонический импульсный механизм, позволяющий формировать инерционный момент на ведомом валу, приближенный к ступенчатой форме. Так на рис. 1.23 изображены графики приведенного момента M пр на заторможенном промежуточном валу гармонического импульсного механизма (кривая 1), полигармонического импульсного механизма (кривая 2) и предельный график момента (ступенчатый график 3).

Рис. 1.23. Графики приведенного крутящего момента Для всех этих графиков средняя величина крутящего момента остается неизменной. При таком условии аналитические записи функций 1 и 2 соответственно имеют вид Методами дифференциального исчисления можно установить, что снижение максимального момента для кривой 2 составляет примерно 19% по сравнению с кривой 1. Полученное снижение относительно небольшое, но, учитывая ранее сделанное замечание, касающееся кривой усталости, это снижение может привести к значительному увеличению долговечности инерционной передачи.

Заметим, что зависимость приведенного момента, соответствующая кривой 2, может быть достаточно просто реализована в полигармоническом планетарном импульсном механизме с тремя рядами неуравновешенных сателлитов с соотношение числа зубьев в пропорции 5:3:1 и с обратной пропорцией 1:3:5 выражения nmkhq 1- q для этих рядов.

В предельном случае, соответствующему ступенчатому графику 3, снижение максимального момента по сравнению с гармонической кривой 1 составит приблизительно 36%. При этом можно ожидать дальнейшее повышение долговечности инерционной передачи.

2 ОБОБЩЕННЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

МОДЕЛИ ИНЕРЦИОННЫХ БЕССТУПЕНЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ

2.1 Обобщенные физические модели инерционных бесступенчатых передач В этом параграфе рассматриваются общие и обобщенные модели и схемы инерционных бесступенчатых передач. Понятия «общие» и «обобщенные» в данной работе различаются по степени охвата различных конструкций передач. Общие схемы характеризуются более широким охватом. Они описывают общие свойства передач, связаны с общими принципами их работы. Обобщенные схемы описывают более конкретные классы инерционных передач. Они интересны с точки зрения изучения более детальных характерных особенностей и положительных свойств тех или иных видов инерционных передач.

Как было показано в первой главе диссертации, в настоящее время существует большое количество различных конструкций инерционных бесступенчатых передач. Однако, несмотря на такое разнообразие, практически все эти конструкции можно достаточно полно описать несколькими обобщенными кинематическими схемами [135-137].

Наиболее общую схему представляют инерционные передачи, содержащие импульсный механизм и два механизма свободного хода (корпусной и выходной).

2.1.1 Общая жесткая схема инерционной бесступенчатой передачи В основе жесткой схемы лежит передача Балжи [24] (рис. 1.4). Напомним, схема называется жесткой, так как она не содержит специально введенных упругих звеньев и при составлении ее математической модели упругости звеньев не учитываются. Жесткая схема изображена на рис. 2.1. Она содержит ведущий вал 1, импульсный механизм 2, промежуточный вал 3, на котором находятся корпусной 4 и выходной 5 механизмы свободного хода, а также ведомый вал 6.

Уже первые теоретические исследования жесткой схемы [25] показали, что, несмотря на относительную простоту конструкции, движение инерционных передач описывается сложными системами существенно нелинейных дифференциальных уравнений.

Частным случаем жесткой схемы может служить инерционная передача, в которой обратные импульсы через дополнительную шестеренчатую передачу так же, как и прямые импульсы, передаются на ведомый вал [56] (рис. 1.3). Такую передачу можно рассматривать как инерционную передачу с двумя выходными механизмами свободного хода.К передаче с двумя выходными механизмами свободного хода можно отнести и схемы с раздельным использованием импульсов для привода различных рабочих органов, как, например, в приводе валковой дробилки [63] (рис. 1.4).

2.1.2 Общая упругая схема инерционной бесступенчатой передачи Исследования жесткой схемы инерционной бесступенчатой передачи показали, что при работе передачи возникают высокие динамические нагрузки, обусловленные резким торможением промежуточного вала в моменты включения корпусного и выходного механизмов свободного хода, что приводит к низкой надежности и долговечности передачи. Поэтому естественным было появление упругой схемы инерционной бесступенчатой передачи [42] (рис. 2.2). Упругая схема содержит ведущий вал 1, импульсный механизм 2, промежуточный вал 3, корпусной 4 и выходной 5 механизмы свободного хода с введенными упругими звеньями 7 и ведомый вал 6. Упругие звенья 7 на рис. 2.2 показаны условно и характеризуют подпружинивание механизмов свободного хода не в радиальном, а окружном направлении.

Движение передачи, выполненной по упругой схеме, описывается гораздо более сложными системами существенно нелинейных дифференциальных уравнений по сравнению с жесткой схемой. Упругой схеме соответствуют большее число степеней свободы, различные законы движения промежуточного и ведомого валов при включенном выходном механизме свободного хода, движение промежуточного вала при включенном корпусном механизме свободного хода, нелинейные колебания промежуточного вала при стоповом режиме и другие особенности [43].

Несмотря на снижение динамическое напряженности, упругая схема не привела к созданию надежной и долговечной конструкции инерционной бесступенчатой передачи. Основная причина этого заключается, по-прежнему, в достаточно высоких пиковых нагрузках, действующих на элементы механизмов свободного хода, и высокой частоте включений и выключений этих механизмов. Частичным решением проблемы явилось создание схем и конструкций инерционных бесступенчатых передач лишь с одним корпусным механизмом свободного хода.

2.1.3 Обобщенная схема инерционной бесступенчатой передачи лишь с одним корпусным механизмом свободного хода Недостаточная долговечность механизмов свободного хода и безуспешность попыток значительного увеличения их долговечности в конструкциях инерционных бесступенчатых передач вынудили исследователей пойти по пути снижения числа механизмов свободного хода. Были разработаны конструкции передач лишь с одним корпусным механизмом свободного хода. Первой такой конструкцией явилась передача Хоббса [66] (рис. 1.5).В дальнейшем появились и другие передачи такого типа, некоторые из которых описаны в первой главе, например, автоматический инерционно-импульсный привод камнефрезерного станка [69] с полигармоническим импульсным механизмом, привод инерционного автоматического гайковерта [72] и другие. Все эти конструкции можно достаточно полно описать схемой, изображенной на рис. 2.3. Здесь 1 ведущий вал, 2 импульсный механизм, 3 промежуточный вал, который одновременно является ведомым валом, корпусной механизм свободного хода, 5 рабочее звено.

В такой схеме промежуточный вал совершает прерывистое одностороннее или квази-односторонее (если корпусной механизм свободного хода выполнен по упругой схеме) вращение. В некоторых случаях такой вид движения может является полезным для интенсификации технологического процесса за счет вибрации, но в общем случае является негативной стороной привода в силу слишком большой неравномерности вращения ведомого вала.

Рис. 2.3. Обобщенная физическая модель передачи лишь с одним Для снижения неравномерности вращения рабочего звена промежуточный вал может быть выполненным упругим, например, торсионным, как показано на рис. 2.3. Тем не менее, даже использование упругого промежуточного вала не позволяет устранить главный недостаток такой схемы значительную неравномерность движения ведомого вала. Рабочее звено в такой схеме непосредственно связано с промежуточным валом, совершающим прерывистое вращение, что принципиально не позволяет обеспечить достаточно высокую равномерность вращения рабочего звена. Более того, выполнение промежуточного вала упругим может в некоторых случаях не только не снизить неравномерность вращения рабочего органа, но и привести к вращению рабочего органа в противоположном направлении. Этот недостаток может быть устранен в обобщенной схеме инерционной бесступенчатой передачи лишь с одним выходным механизмом свободного хода.

2.1.4 Обобщенная схема инерционной бесступенчатой передачи лишь с одним выходным механизмом свободного хода Привлекательность идеи создания инерционной бесступенчатой передачи лишь с одним выходным механизмом свободного хода не вызывает сомнений, так как в случае её реализации сокращается число механизмов свободного хода по сравнению с общей схемой, но при этом вращение ведомого вала остается достаточно равномерным. Однако такая привлекательность может привести к ошибочным конструктивным решениям. Примером может служить рассмотренная в параграфе 1.3 (рис. 1.19), как ошибочная конструкция, бесступенчатая механическая импульсная передача, патент на которую [107] получен в 2010 году, т.е.совсем недавно.

Данная конструкция может работать только лишь как динамическая муфта, но не может работать как бесступенчатая передача. Ошибка заключается в том, что не обеспечена необходимая для трансформации момента опора на корпус.

Движение промежуточного вала в прямом направлении осуществляться не будет, поэтому бессмысленно говорить о передаче крутящего момента с промежуточного вала на ведомый вал.

Для трансформации момента в подобной схеме необходимо осуществить сопротивление движению промежуточного вала в обратном направлении. Такое сопротивление может оказать дополнительно установленное упругое звено, связывающее промежуточный вал с корпусом в окружном направлении. Например, автором разработана схема инерционной передачи (рис. 2.4), реализующая данное предложение [130, 137].

Рис. 2.4. Схема инерционной передачи с упором на корпус Эта схема представляется перспективной, так как она сохраняет практически все преимущества общей схемы, но, в отличие от общей схемы, не содержит тяжелонагруженного корпусного механизма свободного хода, а следовательно, характеризуется повышенной надежностью. Поэтому остановимся на этой схеме более подробно.

Инерционная передача (рис.2.4) содержит корпус 1, ведущий вал 2, импульсный механизм 3, упругое звено 4, промежуточный вал 5, выходной механизм свободного хода 6 и ведомый вал 7. Упругое звено 4, выполненное, например, в виде пружины, связывает в окружном направлении промежуточный вал 5 с корпусом 1.

Инерционная передача работает следующим образом.

При вращении ведущего вала 2 импульсный механизм 3 создает знакопеременные импульсы крутящего момента, действующие на промежуточный вал 5. Промежуточный вал 5 связан в окружном направлении посредством упругого звена 4 с корпусом 1 и под воздействием знакопеременных импульсов совершает колебания. Прямые импульсы с помощью выходного механизма свободного хода 6 передаются на ведомый вал 7. При действии обратных импульсов промежуточный вал 5 начинает вращаться в обратном направлении. Выходной механизм свободного хода 6 размыкается, промежуточный вал 5, вращаясь в обратном направлении, сжимает упругое звено 4, накапливая потенциальную энергию. При этом промежуточный вал 5 через упругое звено 4 опирается на корпус 1. Сжимаясь, упругое звено 4 ограничивает движение промежуточного вала, поэтому промежуточный вал 5 замедляет свое вращение в обратном направлении до полной остановки. В момент остановки промежуточного вала упругое звено 4 является максимально сжатым с максимальной величиной накопленной потенциальной энергии. Затем промежуточный вал под действием прямого импульса и сжатой пружины опять начинает вращаться в прямом направлении. Выходной механизм свободного хода 6 замыкается и передает положительный импульс и накопленную потенциальную энергию упругого звена на ведомый вал 7. Таким образом, промежуточный вал совершает колебательное движение, передавая в прямом направлении крутящий момент через выходной механизм свободного хода на ведомый вал и опираясь на корпус через упругое звено при движении в обратном направлении, при этом накапливая потенциальную энергию упругого звена и отдавая ее при действии прямых импульсов.

При изменении момента сопротивления на ведомом валу 7 изменяется его скорость вращения, амплитуда колебаний промежуточного вала меняется, меняется величина импульсов, генерируемых импульсным механизмом, и величина накопленной потенциальной энергии пружины. Происходит автоматическое и бесступенчатое регулирование передаваемого на ведомый вал крутящего момента.

В предложенной конструкциидля совершения полезной работы используются не только прямые, но и обратные импульсы, так как энергия обратных импульсов накапливается в упругом звене и отдается упругим звеном на ведомый вал при действии прямых импульсов. Использование для совершения полезной работы обратных импульсов повышает коэффициент полезного действия передачи, приводит к расширению диапазона трансформации момента и, кроме того, позволяет снизить габариты и материалоемкость передачи, так как позволяет применить в конструкции передачи импульсный механизм с меньшими размерами при обеспечении одинаковых силовых характеристик на выходе передачи.

Вместе с тем, положительная особенностьпередачи, а именно, отсутствие ненадежного корпусного механизма свободного хода, в предложенной конструкции проявляется в полной мере. Функцию по ограничению движения промежуточного вала в обратном направлении выполняет не корпусной механизм свободного хода, а упругое звено, например, выполненное в виде обычной пружины. Пружины давно доказали на практике свою высокую работоспособность и надежность, отлично работая в тяжелонагруженных подвесках различных транспортных средств, включая танки и вагоны, в конструкциях отбойных молотков и т.д. В предложенной конструкции передачи упругое звено не подвергается, в отличие от корпусного механизма свободного хода, высокочастотному включению и выключению, а работает постоянно, что также способствует надежной работе передачи. В качестве упругого звена может выступать торсионный вал, резина и другие упругие элементы, также доказавшие на практике свою высокую работоспособность и надежность.

В конструкции бесступенчатой механической импульсной передачи, изображенной на рис. 2.4, дополнительное упругое звено 4 связано с корпусом 1 и промежуточным валом 5, позволяя промежуточному валу совершать колебания, но препятствуя ему совершать одностороннее вращение на режиме прямой передачи. Для обеспечения работы передачи не только на режиме трансформации момента, но и на режиме прямой передачи, упругое звено 4 может быть снабжено элементом отключения 7 промежуточного вала 3 от корпуса (рис. 2.5) или корпуса от промежуточного вала 3 (рис. 2.6).

Рис. 2.5. Схема отключения промежуточного вала от корпуса Рис. 2.6. Схема отключения корпуса от промежуточного вала Элемент отключения 7 может быть выполнен, например, в виде тормоза или муфты. При этом на режиме трансформации момента промежуточный вал через упругое звено связан в окружном направлении с корпусом, работая, как было описано ранее, а на режиме прямой передачи промежуточный вал отключается с помощью тормоза или муфты от корпуса, имея при этом возможность вместе с ведомым валом вращаться в одном направлении.

Обобщенной схемой инерционных передач лишь с одним выходным механизмом свободного хода может служить модель, изображенная на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Обобщенная физическая модель передачи лишь с одним Во всех приведенных схемах в качестве импульсного механизма может выступать не только планетарный механизм с неуравновешенными сателлитами, но и другие известные конструкции. Обобщенная модель импульсного механизма [42], представлена на рис. 2.8. Звено 1 обозначает ведущее звено импульсного механизма, 2 неуравновешенные грузовые звенья, центр тяжести С которых не совпадает с их геометрическим центром О 2, 3 – ведомое звено.

Рис. 2.8. Обобщенная модель импульсного механизма Разновидностью схемы инерционной передачи лишь с одним выходным механизмом свободного хода может быть схема, предложенная автором [120], включающая импульсный механизм, на выходном валу которого установлен кулачковый механизм (рис. 2.9а). Здесь 1, 2, 3 соответствуют тем же обозначениям, что и на рис. 2.8. На выходном валу импульсного механизма закреплен кулачок (эксцентрик) 6, взаимодействующий с коромыслом 5, которое, в свою очередь, связано с наружной обоймой выходного механизма свободного хода 4. В этой передачи знакопеременное вращение выходного вала импульсного механизма преобразуется в однонаправленное вращение ведомого вала выходного механизма свободного хода.

Интересной особенностью такой передачи является теоретически неограниченный коэффициент трансформации момента. Действительно, при одностороннем сопротивлении на выходе передачи эксцентрик 6 всегда имеет возможность занять положение (рис. 2.9б), при котором расстояние от точки касания эксцентрика и коромысла до оси вращения эксцентрика минимально. В этом положении реакция, действующая со стороны коромысла, не создает момент сопротивления вращению эксцентрика. Так как импульсный механизм может обеспечить колебания эксцентрика со сколь угодно малой амплитудой, то установится режим движения передачи, обеспечивающий преодоление момента сопротивления на выходе передачи теоретически любой величины. На практике, конечно же, недостатки кулачкового механизма и выходного механизма свободного хода ограничивают применение рассмотренной передачи.

Рис. 2.9. Инерционная передача с эксцентриковым механизмом В положении, изображенном на рис. 2.9б, независимо от направления вращения эксцентрика, коромысло будет вращаться по часовой стрелке, преодолевая односторонний момент сопротивления. Таким образом, обеспечивается смена знака момента сопротивления на выходном валу импульсного механизма при одностороннем сопротивлении на ведомом валу всей передачи, а, следовательно, обеспечивается трансформация крутящего момента.

Схема инерционной передачи лишь с одним выходным механизмом свободного хода (рис. 2.7), несомненно, явилась шагом вперед по созданию инерционных передач повышенной нагрузочной способности. Тем не менее, наличие в ней выходного механизма свободного хода, в свою очередь, лимитирует надежность передачи.Поэтому были предприняты большие усилия для создания инерционных бесступенчатых передач без механизмов свободного хода вообще. Но, как было показано в первой главе диссертации, в подавляющем большинстве эти передачи оказывались не работоспособными. Они не позволяли трансформировать крутящий момент, так как не обеспечивали необходимую для трансформации момента опору на корпус. В лучшем случае предложенные конструкции работали как динамические муфты. Тем не менее, некоторые из этих конструкций оказались удачными. Они позволяли трансформировать крутящий момент, но, выполняя лишь узкие технологические задачи, не позволяя создать передачу общего назначения. Эти удачные конструкции легли в основу схемы инерционной бесступенчатой передачи без механизмов свободного хода.

2.1.5 Схема инерционной бесступенчатой передачи Эта схема основана лишь на импульсном механизме и не включает механизмы свободного хода вообще (рис. 2.10). Она содержит ведущий вал 1, импульсный механизм 2, промежуточный вал 3, который одновременно является ведомым валом и непосредственно связан с рабочим органом машины. На рабочий орган, а следовательно, на промежуточный вал действует знакопеременный момент сопротивления, что позволяет трансформировать крутящий момент.

Примером может служить машина для сварки трением [74] (рис. 1.10). В этой машине энергия и прямых и обратных импульсов расходуется на нагрев свариваемых деталей.

К этой схеме (рис.2.10) могут быть отнесены и импульсные нагружатели, работающие в динамических стендах и позволяющие моделировать нагрузочные режимы при проведении усталостных испытаний.

Рис. 2.10. Обобщенная физическая модель инерционной передачи По аналогичной схеме могут быть выполнены приводы пил, некоторых строительных и дорожных машин, например, предназначенных для выравнивания, шлифования и полирования поверхностей, дробления материала и других машин, для которых технологический процесс выполняется при любом направлении вращения рабочего органа, причем нет жестких условий на амплитуду колебаний рабочего органа. Например, данную схему инерционной передачи можно использовать в приводе реверсивной дисковой пилы [138] (рис. 2.11), позволяющей выполнять процесс распиловки древесины независимо от направления вращения диска.

Зубья пилы изображены утолщенными линиями.

Подобная схема инерционной бесступенчатой передачи может быть использована в приводе станков, инструменты которых могут работать без какихлибо переделок в любом направлении движения: шлифовальные и абразивные круги и бруски, алмазные сверла, напильники, шаберы, иглофрезы и щетки и другие. Более того, в настоящее время быстроразвивающимся направлением в станкостроении является создание реверсивных лезвийных инструментов, имеющих симметричные зубья. Практически все инструменты могут быть реверсивными. Примерами могут служить многочисленные изобретения, выполненные под руководством д.т.н. Ермакова Ю.М.: сверло (патент РФ № 2214318, а.с. № 476099), фреза (патенты РФ №№2261157, 228813), ранее рассмотренная дисковая пила, ножовочное полотно, зенкер (а.с. №1117145) и другие реверсивные инструменты (рис. 2.12), получившие многочисленные награды на российских и международных выставках и конкурсах.

Реверсивные инструменты отличаются повышенной прочностью и стойкостью, способствует дроблению стружки и улучшает вывод ее из отверстия, особенно при обработке вязких и пластичных материалов. Вибрационный характер резания повышает эффективность выполнения технологического процесса. При достаточно высокой частоте реверсирования возможна безынерционная работа, что особенно важно, например, при работе в невесомости.

Для таких инструментов инерционные бесступенчатые передачи, выполненные лишь на основе импульсного механизма, являются практически идеальным приводом, обладающим всеми преимуществами автоматических бесступенчатых передач, но не имеющим их недостатка невысокой надежности механизмов свободного хода.

Инерционные передачи, выполненные по этой схеме, могут менять момент лишь при знакопеременном моменте сопротивления, действующем на рабочем органе. Это условие ограничивает возможные области применения таких передач, так как рабочие органы подавляющего большинства существующих машин и механизмов испытывают односторонние нагрузки. Поэтому для расширения возможной области передачи в качестве физической модели инерционной передачи может быть предложена схема, изображенная на рис. 2.13. Здесь 1 ведущий вал, 2 импульсный механизм, 3 промежуточный вал, являющийся одновременно ведомым валом, связанным с рабочим органом, 4 упругое звено, связывающее промежуточный вал с корпусом в окружном направлении.

Рис. 2.13. Обобщенная физическая модель инерционной передачи Отличие от предыдущей схемы заключается в связи промежуточного вала с корпусом посредством упругого звена. Промежуточный вал в такой передаче совершает колебания и не обладает возможностью неограниченного поворота в одном направлении. Упругое звено 4 на рис. 2.13, так же как и на предыдущих схемах, изображено условно, подразумевая связь промежуточного вала с корпусом в окружном направлении.

Наличие в конструкции упругого звена позволяет обеспечить необходимую для трансформации момента опору на корпус даже при одностороннем действии момента сопротивления. Такая схема также позволяет использовать энергию отрицательных импульсов для выполнения полезной работы, позволяя снизить физические и геометрические параметры импульсного механизма и всей передачи в целом.

Используя обобщенную схему импульсного механизма, схемы инерционных передач без механизмов свободного хода по рис. 2.10 и 2.13 можно изобразить так (рис. 2.14).

Рис. 2.14. Физические модели инерционных бесступенчатых передач На основе схем, изображенных на рис. 2.14а и 2.14б, могут быть выполнены смесители различных вязких и сыпучих материалов с оптимальным использованием мощности приводного двигателя и характеризующимися надежностью и высокой производительностью. Эти же схемы описывают данный способ трансформации момента, применяемый и в других машинах, рабочие органы которых совершают знакопеременное вращение. Причем преимущество имеют машины с небольшими моментами инерции рабочих органов, потому что периодические разгоны и остановки больших инерционных масс за короткие промежутки времени вызовут значительные нагрузки, действующие на детали и узлы передачи. Эти схемы описывают принцип работы гидропередачи, скомпонованной с импульсным механизмом [76], инерционно-импульсной виброустановки для бучардирования прочного гранита [81] и некоторых других машин и механизмов.

2.1.6 Схема инерционной бесступенчатой передачи Обеспечить работоспособность инерционной передачи без механизмов свободного хода при односторонней нагрузке можно не только с помощью введения упругого звена, но и установкой на выходе импульсного механизмарычажного механизма. Автором предложено семейство таких инерционных передач [1]. Например, на рис. 2.15 представлена схема[139], которая содержитимпульсный механизм (звенья 1, 2, 3), на ведомом звене 3 которого установлен кривошипно-ползунный механизм, содержащий кривошип 4, шатун 5, ползун 6.

Рис. 2.15. Физическая модель инерционной передачи Ползун 6 связан с рабочим органом (на рисунке не показан) и может быть подпружинен с помощью упругого звена 7. Возможны и другие варианты выполнения инерционных передач, в которых вместо кривошипно-ползунного механизма может быть использован шарнирно-рычажный механизм другого типа.

Возвратно-поступательное движение выходного звена рычажного механизма не является необходимым. В конструкциях инерционных передач могут быть использованы и рычажные механизмы, выходные звенья которых совершают другие виды движений, например, сложное. Кроме того, предложенное семейство передач может быть расширено за счет использования пространственных рычажных и кулачковых механизмов.

Физической модели (рис. 2.15) соответствует, например, инерционный привод лобзикового станкаАЖС-5(рис. 2.16).

Станокпредназначен для выпиливания криволинейных контуров со значительным количеством кривых малого радиуса на деревянных или пластмассовых изделиях и применяется при производстве мебели, музыкальных инструментов, в авиа-, судо-, вагоностроении и других отраслях промышленности [140].

Кинематическая схема станка АЖС-5 представлена на рис. 2.17.

Рис. 2.17. Кинематическая схема лобзикового станка АЖС- Схема включает двухскоростной электродвигатель 1, который с помощью фланца соединен со станиной станка. На валу двигателя расположен маховик 2 с кривошипом 3 и штоком 5. В верхней части штока 5, перемещающегося в кронштейне 6, закреплена державка 7 пильного полотна 8. Поршень 13 воздуходувки жестко соединен со штоком 10, на нижнем конце которого установлена державка 9. Шток 10, являющийся одновременно направляющей пружины 12, перемещается в направляющей втулке 11. На поршень снизу воздействует пружина 12, которая обеспечивает натяжение пильного полотна.

Вращение вала двухскоростного электродвигателя преобразуется кривошипно-ползунным механизмом в возвратно-поступательное движение пильного полотна.

Приведем некоторые технические данные и характеристики станка АЖС-5.

Наибольшая длина пильного полотна 0,28 м, наименьший радиус выпиливания 0,02 м, наибольшая высота пропила 0,08 м, ход пильного полотна 0,04 м, число двойных ходов пилки в минуту 750/1000, мощность электродвигателя привода пильного полотна 0,8/1,5 кВт, габаритные размеры станка (длина xширинаxвысота) 1,265 x 0,8 x 1,85 м.

Недостатком описанной схемы лобзикового станка является нерациональное использование мощности приводного двигателя. Действительно, на лобзиковом станке производится распиловка как изделий из тонкой фанеры, так и изделий из крепких пород древесины (бук, дуб, ясень) толщиной до 0,08 м. В соответствии с усилием сопротивления должна меняться и скорость движения пильного полотна.

В некоторой, но далеко не полной мере, вопрос решается использованием двухскоростного двигателя Т 42/8-6. Количество обмоток этого двигателя в два раза больше по сравнению с обычным асинхронным двигателем, что приводит к увеличению стоимости двигателя, снижению КПД (на 15-20%), увеличению габаритов (примерно на 30%). Для переключения скоростей двухскоростного электродвигателя дополнительно используется относительно сложная электрическая схема. В лобзиковых станках, выпускаемых американскими и японскими фирмами с целью рационального использования мощности двигателя устанавливают вариаторы, что также не является оптимальным решением, так как требует высокой квалификации рабочего для изменения скорости в нужные моменты времени.

Автором была разработана схема инерционного привода лобзикового станка (рис. 2.18), основанная на использовании инерционного трансформатора вращающего момента без механизмов свободного хода.

Рис. 2.18. Схема инерционного автоматического привода На валу односкоростного асинхронного электродвигателя 1 установлен ведущий маховик 2 импульсного механизма, приводящий в движение уравновешенные сателлиты 3, входящие в зацепление с солнечной шестерней 4. Солнечная шестерня закреплена на выходном валу 5 импульсного механизма. На выходном валу установлен также кривошип 6, соединенный шарнирно с шатуном 7. Верхняя головка шатуна шарнирно связана со штоком 8, на котором помещена державка пильного полотна 10. Державка 11 пильного полотна установлена на штоке 12, соединенном с поршнем 14. Натяжение пильного полотна обеспечивается пружиной 13.

В основе разработанного привода лобзикового станка лежит схема инерционной передачи с плоским рычажным механизмом, выполненным в виде центрального кривошипно-ползунного механизма.

Инерционный привод лобзикового станка позволяет автоматически и бесступенчато изменять вращающий момент на выходном валу импульсного механизма в зависимости от усилия сопротивления, действующего на пильное полотно. Таким образом, обеспечиваются оптимальные силовые м скоростные режимы лобзикового станка в течение всего технологического процесса, осуществляется рациональное использование мощности приводного двигателя, что приводит к увеличению производительности станка, повышению экономичности, улучшению удобства управления.

Инерционная передача без механизмов свободного хода удачно подходит для привода лобзикового станка. Звенья этого станка, совершающие возвратнопоступательное движение, имеют небольшие массы, например, масса пильного полотна составляет 0,016 кг. Поэтому даже при большой частоте колебаний полотна на звенья инерционной передачи действуют небольшие инерционные нагрузки, что способствует высокой долговечности инерционного привода.

Опытная партия инерционных бесступенчатых передач в приводе лобзикового станка в количестве 6 штук внедрена на Рыбинском заводе деревообрабатывающих станков[1].

Заметим, что при отсутствии упругого звена 7 описанная модель (рис. 2.15) может соответствовать инерционному приводу долбежного, протяжного, прошивочного станков, а также некоторым станкам для выполнения строительных и дорожных работ.

2.2 Новые методы аппроксимации кусочно-линейных функций в задачах математического моделирования инерционных бесступенчатых передач В этом параграфе рассматриваются новые методы аппроксимации кусочнолинейных, в частности, ступенчатых функций, разработанные автором [113-116, 118].Эти методы являются универсальными и находят широкое применение для решения самых разнообразных задач, связанных с математическим моделированием систем, процессов и явлений, описываемых с помощью кусочно-линейных функций, имеющих переменную структуру, в частности, в задачах моделирования инерционных бесступенчатых передач. Проводится сравнительный анализ предложенных и существующих методов аппроксимации таких функций аналитическими зависимостями на основе рядов Фурье. Кроме того, изучаются вопросы сходимости и погрешности предложенных методов, рассматриваются примеры и приложения.

Кусочно-линейные функции широко применяются в различных областях научных исследований. Традиционными областями их применения являются технические и математические дисциплины, например, теория автоматического управления, электротехника, радиотехника, теория информации и передачи сигналов, уравнения математической физики, теория колебаний, дифференциальные уравнения и многие другие [141-145]. С помощью таких функций, например, описывают ударные воздействия, динамику механических систем с нелинейными упругостями, упруго-диссипативные характеристики подвесок транспортных средств, системы с нагрузками типа «сухое трение» и другие процессы.

Широкое применение кусочно-линейных функций объясняется простотой их структуры, особенно по участкам. На каждом участке эти функции представляют собой прямые линии и их отрезки, что позволяет во многих случаях получать решения, пользуясь методами теории линейных систем. Вместе с тем, часто возникают проблемы при построении решений на всей области определения кусочно-линейной функций, увязки решений по участкам с необходимостью применения специальных математических методов.Системы с кусочнолинейными характеристиками и функциями относят к существеннонелинейным структурам, подчеркивая сложность получения решений для таких структур. Несмотря на простоту кусочно-линейных функций по участкам, построение решений в задачах с кусочно-линейными функциями на всей области определения требует применения специальных математических методов, например, метода припасовывания [146] с необходимостью согласования решений по участкам и поверхностям переключений. Так при построении периодических решений необходимо следить за выполнением условий перехода системы с участка на участок, фиксируя значения переменных в конце предыдущего участка и принимая эти значения за начальные условия для следующего участка. При этом значения переменных в конце всего цикла исследуемого процесса должны совпадать со значениями тех же переменных в начале цикла. Необходимость согласования значений переменных по участкам и в начале и конце цикла приводит к громоздкой системе трансцендентных уравнений. Поэтому применение метода припасовывания, как правило, требует преодоления значительных математических трудностей, причем, даже если периодическое решение и удается найти в аналитической форме, оно, как правило, получается в виде сложных выражений.

Для упрощения расчетов, работая с кусочно-линейными функциями, во многих случаях прибегают к методам аппроксимации. Замена кусочнолинейных функций аналитическими зависимостями позволяет не заботиться об отслеживании и согласовании значений переменных процесса на границах участков, что значительно упрощает расчеты. Одним из наиболее широко используемых методов аппроксимации кусочно-линейных функций является разf сkk,,,,, - ортогональная система функций в функциональном гильn бертовом пространстве L2[, ], f L2[, ], ck ( f k ) / k. В качестве ортогональной системы часто берут тригонометрическую систему 2 периодических функций 1, sin nx, cos nx; n N.

Однако, наряду с положительными свойствами, применение рядов Фурье имеет и определенные недостатки. Например, при относительно небольшом числе слагаемых в ряде Фурье, используемых для разложения кусочнолинейных функций, аппроксимирующая функция имеет ярко выраженный волнообразный характер даже в пределах одного прямолинейного участка кусочно-линейной функции, что приводит к достаточно большой погрешности аппроксимации. На рис. 2.19 кривые 1 и 2 иллюстрируют этот недостаток.

Более того, и при большом числе слагаемых в разложении с помощью ряда Фурье существуют характерные скачки аппроксимирующей функции в окрестности точек разрыва O ( x0 ) исходной функции. Для таких точек xO ( x0 ) /{ x0 } [147]. Например, для функции Sn ( f 0, / m) dt 1,17898. То есть величина абсолютной поt грешности f0 ( / m) lim Sn ( f0, / m) 0,178, а относительная погрешность соn ставляет более 17% независимо от числа слагаемых в частичной сумме ряда Фурье. Заметим, что x / m 0 0.

На рис. 2.19 кривая 3 соответствует графику аппроксимирующей функции f n ( x) сnn и иллюстрирует повышенную погрешность аппроксимации в окрестности точек разрыва исходной функции (2.1). В этом проявляется так называемый эффект Гиббса, причем с ростом числа гармоник эффект Гиббса не исчезает, что ведет к крайне негативным последствиям использования аппроксимирующей функции. На рис.2.20 изображен график частичной суммы S20 ( f 0 ) тригонометрического ряда на отрезке [, ], иллюстрирующий проявление эффекта Гиббса.

Самое неприятное заключается в том, что эффект Гиббса носит общий характер, проявляется для любой функции f L2[a, b], имеющей ограниченную вариацию на отрезке [a, b], с изолированной точкой разрыва x0 (a, b). Для таких функций выполняется условие [147] Покажем, что абсолютная ( x) и условная ( x) погрешности аппроксимации в окрестности точек разрыва могут быть сколь угодно большими.

Действительно, стве d часть числа A.

Для относительной погрешности ( x) ( x) / f ( x) доказательство аналогично. Более того, даже при фиксированном значении d R для любого M ( x0 0, d ) ( x0 0, d ) / f ( x0 0) M. В качестве такой функции, например, можно взять функцию, у которой f ( x0 0) ( x0 0, d ) / M, f ( x0 0) 0.

Заметим, что даже на множестве непрерывных функций С [, ] ряд Фурье, как известно, еще не обязан сходиться в каждой точке.

Существование эффекта Гиббса приводит к крайне негативным последствиям использования частичной суммы тригонометрического ряда в качестве аппроксимирующей функции для решения задач математического моделирования, например, при исследовании периодических движений технических систем, искажений при передаче сигналов и т.д.

Для устранения отмеченных недостатков автором предложены новые методы аппроксимации кусочно-линейных функций, основанные так же, как и ряды Фурье, на использовании тригонометрических выражений, но в виде рекурсивных функций.

Для пояснения этих методов рассмотрим, например, более подробно ступенчатую функцию (2.1). Эта функция часто используется для примера применения рядов Фурье и поэтому данную функцию удобно взять для сравнительного анализа традиционного разложения в ряд Фурье и предложенного метода.

Разложение функции (2.1) в ряд Фурье имеет все вышеописанные недостатки. Для их устранения предлагается аппроксимировать исходную ступенчатую функцию последовательностью рекурсивных периодических функций Графики исходной функции (утолщенная линия) и пяти ее последовательных приближений в этом случае имеют вид (рис. 2.21).

Как видим, даже при относительно небольших значениях n при использовании итерационной процедуры (2.2) график аппроксимирующей функции достаточно хорошо приближает исходную функцию (2.1). При этом аппроксимирующие функции, полученные с помощью предложенного метода, лишены недостатков разложения в ряды Фурье. Эффект Гиббса полностью отсутствует.

Рис. 2.21. Графики исходной функции и пяти ее последовательных Отметим некоторые особенности предложенной аппроксимирующей итерационной процедуры.

Заметим, что функции f n ( x) и f 0 ( x) являются нечетными и периодическими с периодом 2. Функции f n ( x / 2) и f 0 ( x / 2) периодические четные. Поэтому достаточно рассмотреть последовательность аппроксимирующих функций (2.2) на отрезке 0, / 2.

sup sup nN x[0, / 2] supVar f n 1 (в силу монотонности функций f n ( x) на отрезке [0, / 2] ), то последовательность, сходящуюся в каждой точке [0, / 2] к некоторой функции f, причем Var f limVar f n. Покажем, что в качестве такой функции f может выступать исходная функция f 0 ( x).

Теорема 1.Последовательность функций fn ( x ) сходится к исходной функции f 0 ( x), причем сходимость является поточечной, но не является равномерной.

Доказательство.

этих точках f n ( x) f 0 ( x) так как Можно взять, например, n 1.

следовательность fn ( x), x (0, / 2) является положительной, возрастающей и ограниченной, а, следовательно, имеет конечный предел, который обозначим откуда найдем, что А 0 или А 1. Так как последовательность является знакоположительной и возрастающей, то А 1 f0 ( x). Тогда на рассматриваемом интервале f n ( x) f 0 ( x). Учитывая ранее сделанный вывод о сходимости f n ( x) f 0 ( x), x [0, / 2]. Эта сходимость является лишь поточечной и не является равномерной, так как функция f 0 ( x) не является непрерывной на отрезке 0, / 2.

Теорема 2.В пространстве измеримых функций L1[0, / 2] и функциональном гильбертовом пространстве L2 [0, / 2] последовательность аппроксимирующих функций fn ( x ) сходится по норме к исходной функции f 0 ( x).

Доказательство.

Введем последовательность минорантных относительно последовательности f n ( x) функций f n ( x) n ( x), n N, x [0, / 2]. Заметим, что мера множества точек разрыва функции f 0 ( x) равна нулю. Тогда, учитывая знаконеотрицательность и ограниченность функций f n ( x) и n ( x) на рассматриваемом отрезке, в пространстве L1[0, / 2] получим В качестве последовательности минорантных относительно последовательности f n ( x) функций можно взять для которых f n ( x) n ( x), n N, x [0, / 2]. Заметим, что мера множества точек разрыва функции f 0 ( x) равна нулю. Тогда, учитывая знаконеотрицательность и ограниченность функций f n ( x) и n ( x) на рассматриваемом отрезке, в пространстве L1[0, / 2] получим В функциональном гильбертовом пространстве L2 [0, / 2] с метрикой сходится в среднем к исходной функции (1).

Таким образом, последовательность аппроксимирующих функций f n ( x) (2.2) в пространствах L1[, ] и L2[, ] является фундаментальной. В пространстве C[, ] последовательность f n ( x) фундаментальной не является.

Функцию f1 ( x) назовем начальной (или угловой). В качестве начальной функции вместо синуса мы можем использовать и другую (не обязательно периодическую) функцию. Отметим, что при использовании итерационной процедуры (2.2) и при условии f1( x ) 2 мы получим lim fn ( x) sign( f1( x)). При этом можно аппроксимировать любую ступенчатую функцию. Действительно, для ступенчатой функции возьмем начальную функцию в виде f1 ( x) exp(1 (ax b)2 ) 1. Из условия f1 ( x1 ) f1 ( x2 ) 0 найдем a 2/( x1 x2 ); b ( x1 x2 ) /( x2 x1 ). При этих значениях коэффициентов a и b последовательность функции f ( x). Тогда любую ступенчатую функцию со значениями hi на промежутках ( x1i, x2i ) можно аппроксимировать суммой аналогичных последоваk Доказанная теорема 2 носит общий характер, справедлива для произвольной ступенчатой функции. Так, например, произвольную периодическую ступенчатую функцию можно представить в виде линейной комбинации f ( x) hi f 0i ( x), hi R сдвинутых по фазе и по оси ординат сигнум-функций f0i ( x) sign(sin(li x xi )), li, xi R. Согласно доказанной теореме, в пространствах L1[, ] и L2[, ] существует сходимость f0i ( x) fni ( x) 0 i, поэтому функция f n ( x) hi f ni ( x) сходится по норме к функции f ( x), так как Для оценки погрешности аппроксимации (2.2) воспользуемся соотношением Функции n ( x) и n ( x) построены из условия равенства производных в нуле n (0) n (0) f n(0), что позволяет получить узкий интервал для оценки погрешности аппроксимации.

В пространстве L1[0, / 2] оценки для абсолютной и относительной погрешности соответственно равны Для пространства L2 [0, / 2] эти оценки принимают соответственно вид Графики верхних и нижних оценок относительной погрешности в зависимости от n N для пространства L1[0, / 2] (кривые 1) и пространства L2[0, / 2] (кривые 2) изображены на рис. 2.23.

Рассматривая аппроксимацию ступенчатой функции f ( x) (2.3), мы предполагали, что ее положение и высота точно известны. В реальных задачах параметры, как правило, заданы приближенно. Пусть, например, исходные параметры заданы с абсолютными погрешностями где x1 sup x1, x2 sup x2, h sup h, x1, x2, h -приближенные значения параметров. Рассмотрим ступенчатую функцию (2.3) на отрезке [c, d ], для коx1 x1, x2 x2 ] [c, d ].

L1[c, d ], L2[c, d ], M [c, d ], где M [c, d ] – множество ограниченных на отрезке [c, d ] функций с метрикой ( f (1) ( x), f (2) ( x)) sup f (1) ( x) f (2) ( x), для абсоx[ c,d ] лютной погрешности аппроксимации по норме получим соответственно оценки Рис. 2.23. Графики оценок относительной погрешности Как видим из полученных оценок, погрешность аппроксимации не накапливается, что является положительной стороной предложенного метода.

Так как на практике, как правило, нам известны лишь приближенные значения параметров и погрешности измерений, то верхние оценки для абсолютной погрешности аппроксимации лучше выразить в виде Вернемся к функции (2.1) и ее аппроксимации с помощью последовательности (2.2) в пространстве ограниченных функций М [0, ].

Пусть f0 ( x) f n ( x) [0,1] - абсолютная погрешность аппроксимации.

мальных метрик. Из уравнения fn ( x) 1 получим, что данную последовательность можно представить в виде Можно доказать аналогично доказательству теоремы 1, что последовательность r n () r () является поточечной, но не является равномерной. Важно заметить, что последовательность {rn } также сходится к ступенчатой функции.

Графики нескольких первых функций в последовательности rn () приведены на рис. 2.24.

Рис. 2.24. Длины промежутков с погрешностью аппроксимации, Как видим на рис. 2.24, длина промежутка, на котором погрешность аппроксимации не превышает, резко возрастает с увеличением n в области достаточно малых значений погрешности. Этот факт говорит о быстрой сходимости предложенного метода и является его положительной особенностью.

Для количественной оценки изменения длины этого промежутка выведем приближенную зависимость для функции r (n, ) r r. С этой целью arcsin((2 / ) xn1) в ряд Маклорена и учитывая достаточную малость значений Укажем некоторые свойства предложенной аппроксимации (2.2).

Свойство 1.Максимальная величина разности длин промежутков rn rn не зависит от n и находится по соотношению:

Доказательство.

rn rn1 2( xn1 arcsin((2 / ) xn1)), n -1 N, найдем производную Точки xn1 xn2 x1 / 2 являются точками минимума, в которых [0,1] Для справки укажем, что max ( rn rn1) 0, 661.

fn ( x) fn1( x) не зависит от n и находится по соотношению:

Доказательство аналогично доказательству свойства 1.

Свойство 2 показывает, что последовательность аппроксимирующих функций f n ( x) (2) не сходится по Коши, то есть не является фундаментальной, но взять, например, число 0,1, положив m n 1, n n 2.

Полученные соотношения можно использовать для оценки погрешности аппроксимации в решении прикладных задач.

2.3 Аппроксимации других типов кусочно-линейных функций.

В последовательности аппроксимирующих функций (2.2) в качестве постоянного множителя использовалось число / 2, но возможно взять и другой множитель, который может быть и переменным. Вместо синуса в предложенном методе аппроксимации может быть использован косинус и другие тригонометрические функции, а также их комбинации. Например, используя последовательность рекурсивных функций можно аппроксимировать кратковременные импульсы. График одной функции из такой последовательности представлен на рис. 2.25.

Рис. 2.25. График аналитической функции, аппроксимирующей Эти функции могут быть использованы для математических моделей, описывающих передачу кратковременных сигналов, механические системы с ударными взаимодействиями и т.д. Заметим, что, несмотря на импульсный (существенно нелинейный) вид графиков таких функций, они являются непрерывными аналитическими функциями и допускают применение аналитических методов. Погрешность приближения при этом в пространствах L1[, ] и L2[, ] может быть сколь угодно малой.

Предложенные методы аппроксимации позволяют также аппроксимировать ступенчатые функции с разной длиной промежутков, соответствующих положительным и отрицательным значениям исходной ступенчатой зависимости. Например, если в качестве начальной функции мы возьмем f1 ( x) 0,7 sin x, то, используя аппроксимирующую процедуру (2.2), мы поучим последовательность функций, графики которых изображены на рис. 2.26.

Заметим при этом, что можно построить аппроксимации для ступенчатых функций с любым соотношением промежутков, соответствующих положительным и отрицательным значениям исходной ступенчатой функции.

Рис. 2.26. Аппроксимация периодической ступенчатой функции с различной длиной промежутков знакопостоянства функции На рис. 2.27 приводится примеры аппроксимации непериодических ступенчатых функции с помощью предложенной процедуры.

В некоторых случаях для более точной аппроксимации исходной функции с помощью предложенных методов нет смысла доводить аппроксимирующую функцию до положения близкого к предельному. Оптимальной аппроксимацией может оказаться зависимость, занимающая промежуточное положение между двумя соседними членами f n ( x) и f n1 ( x) последовательности рекурсивных функций (2.2). В таких случаях аппроксимирующую функцию можно представить в виде f ( x) f n ( x) f n1 ( x), где 1. Иллюстрацией к подобным случаям могут служить графики, изображенные на рис. 2.28. Здесь кривая 1 соответствует функции f3 ( x) sin(( / 2) sin(( / 2) sin( x))). Пунктирная линия 3 соответствует промежуточной функции f ( x) 0,4 f 2 ( x) 0,6 f3 ( x).

Рис. 2.28. Построение промежуточных аппроксимирующих функций достаточно больших значениях параметра P можно использовать для аппроксимации ступенчатых функций. На рис. 2.29 изображен график этой функции при P 10000.

Рис. 2.29. Пример аппроксимации ступенчатой функции Предложенные методы аппроксимации с помощью последовательности рекурсивных функций вида (2.2) могут быть использованы не только для ступенчатых, но и для кусочно-линейных функций общего вида, что значительно расширяет область применения рассмотренных аппроксимирующих процедур.

Рассмотрим, например, кусочно-линейную функцию вида Здесь a1, a2, b1, b2, x1, x2 R, 0 x1 x2.

0,20,4.

Введем обозначения A( x) sin( ( x x1 )), B sin(( / 2) x). Тогда аппроксимирующую функцию для кусочно-линейной функции (2.4) можно построить так ция примет вид функций, построенные с помощью компьютерной программы, изображены на рис. 2.30. График исходной функции построен с помощью логического оператора if ( x x1, a1x b1, a2 x b2 ), который в случае нашей конкретной функции приобретает вид if ( x 2/3, 2 x, 4 x 4). Как видим, графики исходной кусочно-линейной функции и ее аппроксимации в заданном масштабе полностью сливаются.

Рис. 2.30. Графики кусочно-линейной функции и ее аппроксимации Для более точной детализации погрешности аппроксимации построим графики исходной функции и ее аппроксимации в окрестности угловой точки в большем масштабе (рис. 2.31). Здесь утолщенная линия соответствует исходной кусочно-линейной функции, тонкая линия аппроксимации исходной функции. Как видим погрешность аппроксимации относительно небольшая. Кроме того, погрешность аппроксимации можно снизить до сколь угодно малой величины, увеличивая в аппроксимирующей зависимости число вложенных функций.

Рис. 2.31. Графики кусочно-линейной функции и ее аппроксимации Более того, с помощью предложенной процедуры можно аппроксимировать не только кусочно-линейные непрерывные функции, но и кусочнолинейные функции с неустранимыми разрывами первого рода. Например, на линия) и ее аппроксимации A( x) sin( ( x 0,4)), B sin(( / 2) x).

Рис. 2.32. Пример аппроксимации разрывной кусочно-линейной функции Как и в предыдущем примере, погрешность аппроксимации может быть сколь угодно малой при увеличении числа вложенных тригонометрических функций в аппроксимирующей зависимости.

Заметим, что число точек разрывов кусочно-линейных функций принципиально не влияет на возможность аппроксимации этих функций предложенными методами.

Для аппроксимации кусочно-линейных функций в данном параграфе предлагаются, наряду с рассмотренными, и другие аналитические зависимости. Так, например, аналитические функции: f1 ( x) (2/ )arcsin 1 (1/ P) sin ( / 2) x использовать для аппроксимации пилообразных кусочно-линейной функций при достаточно больших значениях параметра P. График первой из этих функций при P 10000 изображен на рис. 2.33, график второй функции при том же значении P на рис. 2.34.

Рис. 2.33. Пример аппроксимации пилообразной функции Рис. 2.34. Пример аппроксимации пилообразной функции Для аппроксимации функции f ( x) x можно использовать такие аналитические функции, как f ( x) ( B2 ( x) 2P) / 2PB( x) и f ( x) x 2/ B( x), где B( x) Px (( Px)2 2P)1/ 2.

Механическим аналогом предложенных аппроксимаций может выступать последовательность синусных механизмов [149]. Например, на рис. 2.35 изображена последовательность синусных механизмов в положении, соответствующем аппроксимации (2.2).

Здесь 1 обозначает ведущий вал, 2 – кривошип, 3 – ползун, 4 – кулиса, 5 – зубчатая рейка, 6 – зубчатое колесо. Далее последовательность звеньев повторяется (может повторяться несколько раз). Звено 7 соответствует выходному звену, которое через зубчатую шестерню может быть связано с ведомым валом.

Механизм, изображенный на рис. 2.35, преобразует равномерное вращательное движение ведущего вала 1 в прерывистое (с любой степенью точности) возвратно-поступательное или колебательное движение выходного звена. Причем различные взаимные положения кривошипов и различные соотношения размеров кривошипов и зубчатых колес позволяют моделировать различные законы движений выходного звена, соответствующие рассмотренным аппроксимациям ступенчатых функций (движения с остановками, импульсные движения и т.д.). Подобный механизм можно применить, например, как механизм протяжки в лентопротяжной аппаратуре для обеспечения более качественного выполнения процесса. Также возможно применение подобного механизма в импульсных вариаторах для достижения более равномерного движения выходного вала, так как колебательные процессы происходят не по синусоиде, а по кривым с приближенным к постоянной величине участкам.

Предложенный метод аппроксимации позволяет получать функции, которые можно применить, например, при проектировании и изготовлении зубчатых колес и шлицевых соединений. На рис. 2.36 приводится результат построения зубчатого профиля в компьютерной программе MathCAD. За основу построения профиля была взята функция r ( ) A a sin(( / 2) sin(n )), где A – радиус делительной окружности, а – высота головки зуба, n – число зубьев, r и - соответственно полярный радиус и полярный угол.

Пример компьютерной программы для построения зубчатого профиля с помощью предложенной аппроксимирующей процедуры приводится в Приложении 1.

Изменяя число вложенных тригонометрических функций, используемых для аппроксимации, и варьируя их параметры можно получать зубчатые профили и шлицевые соединения повышенной надежности по сравнению с эвольвентными и, в отличие, например, от прямоугольных шлицов, не имеющими значительных концентраторов напряжений.

Отметим возможность использования разработанных методов и для аппроксимации непериодических ступенчатых функций. В этом случае период аппроксимирующих функций должен быть достаточно большим, покрывающим область возможных значений аргумента аппроксимируемой функции исследуемого реального процесса.

Рис. 2.36. Построение зубчатого профиля с помощью Численную проверку предложенных методов аппроксимации кусочнолинейных функций в данном параграфе проведем на примере нелинейной характеристики адаптивной подвески автомобиля. В дальнейших параграфах диссертации будет проведена численная проверка этих методов на примерах инерционно-бесступенчатых передач и механизмов свободного хода.

В современных автомобилях, как правило, устанавливают активную (адаптивную) подвеску, в которой упругие элементы имеют кусочно-линейную характеристику жесткости. Такие подвески могут автоматически подстраиваться под неровности дороги и режимы движения автомобиля, что позволяет значительно повысить его удобство управления и комфортность движения. Нелинейная характеристика жесткости подвески может обеспечиваться, например, установкой нескольких пружин различной жесткости или установкой одной пружины с переменным шагом навивки (рис. 2.37). Возможны и другие варианты осуществления нелинейной характеристики подвески.

Кусочно-линейная зависимость усилия деформации от ее величины затрудняет теоретические исследования таких подвесок, так как требует проводить исследования по участкам с последующим согласованием участков [150].

Выходом из положения может служить аппроксимация кусочно-линейной характеристики жесткости подвески аналитической зависимостью.

Рис. 2.37. Примеры выполнения пружинных подвесок автомобиля Рассмотрим, например, характеристику жесткости подвески, которая описывается кусочно-линейной зависимостью, состоящую из двух участков:

В этом параграфе было показано, что функцию такого вида можно аппроксимировать предложенной зависимостью (2.5), которая в нашем случае будет иметь вид В Приложении 2 приводится пример компьютерной программы для численного построения графиков исследуемой характеристики жесткости подвески и ее аппроксимации. Построенные графики представлены на рис. 2.38.

Рис. 2.38. Пример аппроксимации кусочно-линейной характеристики Как видим, какие-либо различия между исходной функцией и ее аппроксимацией на графиках не просматриваются вообще, что может свидетельствовать о хорошей сходимости предложенных методов.

Заметим, что в Приложении 2также приводится пример аппроксимации разрывной кусочно-линейной функции.

Как показали проведенные исследования, разработанные методы аппроксимации периодических и непериодических кусочно-линейных функций несомненно являются перспективными и обладают целым рядом преимуществ. Эти методы отличаются быстрой сходимостью и низкой погрешностью аппроксимации. Как и ряды Фурье, эти методы могут быть основаны на использовании хорошо изученных тригонометрических функций, имеющих хорошую реализацию в прикладных компьютерных программах. Сохраняя в этом отношении положительные качества рядов Фурье, новые методы лишены их недостатков и могут найти широкое применение в решении прикладных задач. Разработанные методы характеризуются полным отсутствием отрицательных последствий эффекта Гиббса. Отсутствует также волнообразный характер приближения на прямолинейных участках исходной кусочно-линейной функции даже при небольшом числе используемых для аппроксимации вложенных функций. Доказанные теоремы и свойства, касающиеся вопросов сходимости и погрешности разработанных методов аппроксимации подтвердили все положительные стороны этих методов.

Разработанные методы в данной диссертации используются для математического моделирования и изучения динамики инерционных бесступенчатых передач и механизмов свободного хода. Но возможные приложения разработанных методов значительно выходят за рамки данной диссертации. В работах [113-115] приводятся примеры их применения для решения медикобиологических проблем, восстановления изношенных и поврежденных профилей звуконосителей различных типов, передачи электро- и радиосигналов и во многих других областях. Поэтому можно с уверенностью говорить об универсальности этих методов.

Заметим также, что предложенные аппроксимирующие функции являются непрерывными и аналитическими и даже в большей степени, чем ступенчатые функции, отвечают реальным процессам, так как в действительности даже скачкообразные процессы происходят хоть и за короткие, но не нулевые промежутки времени. Так, например, мгновенное изменение скорости материального объекта требует бесконечной энергии, что невозможно реализовать на практике. Заметим, что широко распространенные аппроксимирующие функции на основе сплайнов [151] аналитическими не являются. Сглаживая скачкообразные изменения функции, предложенные методы аппроксимации приближают математические модели к реальности, способствуя более глубокому пониманию закономерностей окружающего нас мира.

2.4 Обобщенные функции в задачах математического моделирования Обобщенные функции были введены в связи с задачами физики и математики, появившимися в двадцатом столетии и потребовавшими нового осознания понятия функции. К таким задачам относятся задачи по определению плотности точечной массы, интенсивности точечного заряда и точечного диполя, задачи квантовой теории поля и многие другие. В настоящее время обобщенные функции широко применяются в самых разнообразных областях исследований [152]. В рамках данной работы обобщенные функции могут быть применены для описания динамических систем с импульсными характеристиками и ударными воздействиями.

Обобщенные сингулярные функции значительно отличаются от обычных функций. Примером сингулярной обобщенной функции может служить дельтафункция или функция Дирака. Во многих практических приложениях эти необычные функции используют в качестве чисто абстрактных математических построений, полностью оторванных от их физического понимания и реального содержания. Такой подход представляется не верным. Формальное применение обобщенных функций, как чисто математических абстракций, лишает исследователя опоры на реальность, отрывает исследователя от сущностной основы изучаемых процессов и явлений.

Для преодоления такой негативной тенденции необходимо выработать подходы, помогающие установить связи между абстрактными математическими понятиями, в частности, обобщенными функциями, и реальным смыслом описываемых ими объектов. Для лучшего понимания обобщенных функций и осознанного решения на их основе практических задач можно воспользоваться аппроксимациями этих функций. Приведем, например, следующее высказывание [153]: «Ясно, что, определяя дельта-функцию, мы вводим в рассмотрение совсем новый объект, не похожий ни на один из тех, с которыми нам ранее приходилось встречаться (вот уж когда нашу функцию никак нельзя назвать «аналитической»). Однако описание этого нового объекта не выглядит сложно и оно не должно нас смущать. Ведь, скажем, и число 2, с которым математикам столь часто приходится иметь дело, с точки зрения арифметики настоящим числом не является: оно задается не точным своим значением, а лишь совокупностью приближений 1; 1.4; 1.41; 1.414; 1.4142; … к этому числу (которые, впрочем, характеризуют 2 достаточно полно для того, чтобы мы могли свободно этим числом пользоваться). Аналогично и функция ( x) задается не точными своими значениями, а лишь приближениями к ней”.

В данной работе предлагаются новые методы аппроксимации обобщенных функций и их производных, в частности, дельта-функции аналитическими функциями[113, 117, 119]. Предложенные методы позволяют понять внутреннюю структуру обобщенных функций и их производных, получить осознанное представление о природе обобщенных функций и особенностей их поведения.

Осознанное понимание обобщенных функций и их производных позволит решать теоретические и прикладные задачи на более качественном уровне. При решении этих задач могут быть применены разработанные методы аппроксимации.

Известно, что дельта-функция не является функцией в обычном смысле этого слова, она часто определяется функционалам, а в некоторых случаях выражением причем Схематичный график дельта-функции изображен на рис. 2.39a.

Для удобства применения аналитических методов исследований дельтафункцию раскладывают в ряд Фурье.

Введем последовательность ступенчатых функций вида Нетрудно видеть, что для любого n площадь фигуры под графиком такой ступенчатой функции равна единице.

Найдем значения коэффициентов ряда Фурье на отрезке [, ] ak 0, в силу четности функции;

x [1/n,1/n], в силу теоремы о среднем значении определенного интеграла.

Так как дельта-функция ( x) lim n ( x) и, замечая, что x 0, найдем [, ] имеет вид Для конечного ряда имеем приближенное соотношение График приближения дельта-функции рядом Фурье при n 1000 изображен на рис. 2.40.

Понятно, что выбранный отрезок [, ] не снижает общности наших рассуждений. С помощью замены переменной мы всегда можем обобщить наши результаты на произвольный отрезок.

Сравнение графиков (рис. 2.39a и 2.40) показывает, что даже при значительном числе гармоник (в нашем случае n 1000) погрешность аппроксимации очень велика. В этом проявляется эффект Гиббса. Например, заметим, что дельта-функция является неотрицательной. Минимальное же значение построенной аппроксимации (рис. 2.40) является отрицательным и составляет 69,182. Более того, при бесконечном увеличении числа слагаемых в аппроксимирующем ряде Фурье минимальное значение его суммы стремиться к (рис. 2.39b), что соответствует доказанному в статьях [113-115] утверждению о возможной бесконечно большой погрешности при аппроксимации с помощью ряда Фурье. Другими словами, аппроксимация рядами Фурье даже при бесконечном числе слагаемых (рис. 2.39b) совершенно не отвечает исходной дельтафункции (рис. 2.39a).

Эффекта Гиббса приводит к крайне негативным последствиям использования частичной суммы тригонометрического ряда в качестве аппроксимирующей функции для решения задач математического моделирования, например, при исследовании периодических движений технических систем, импульсных систем, искажений при передаче сигналов, решении задач квантовой теории поля, и т.д.

Существование эффекта Гиббса при аппроксимации функций тригонометрическими выражениями также заставляет критически относиться к доказательству некоторых важных теорем. В частности, при доказательстве теоремы Найквиста [154] для аппроксимации функций применяется так называемый инx тегральный синус, определяемый выражением Si( x) dt.

На основе интегрального синуса для доказательства теоремы строят функцию Si(T ( 1 )) Si(T ( 1 )), где аргумент, T, 1 некоторые параметры. При этом утверждается, что с увеличением T эта функция стремится к пределам, изображенным на рис. 2.41а, то есть, цитируем дословно, равна нулю На самом деле это не так. График предельной функции будет иметь вид, изображенный на рис. 2.41b). То есть при любых, даже сколь угодно больших, но конечных значениях параметра T всегда найдутся такие 1, для которых значения построенной функции будут отличны от, и всегда найдутся такие 1, для которых ее значения будут отличны от нуля. Причем важно заметить, что указанная разница с увеличением T не стремиться к нулю, а стремиться к некоторому числу, отличному от нуля, приближенно равному 0,281, то есть составляющему достаточно большую величину. Поэтому теорема требует внимательного пересмотра.

Рис. 2.41. Графики предельной функции в теореме Найквиста В практике использования обобщенных функций и их аппроксимаций рядами Фурье отмеченные погрешности приводят к искажениям в отражении реальных процессов, которые могут быть значительным.

Смысл сингулярных обобщенных функций можно понять, основываясь на их приближениях, воспринимая обобщенную функцию как предел некоторой аппроксимирующей последовательности обычных функций. Например, как отмечалось, дельта-функцию можно рассматривать как предел последовательности ступенчатых функций. Однако использование последовательности ступенчатых функций не позволяет в должной мере осуществить представление производных дельта-функции, которые, в свою очередь, также являются обобщенными функциями. Проблема заключается в том, что ступенчатые функции имеют точки разрывов, в которых они не являются дифференцируемыми в математическом смысле. Поэтому для представления производных дельтафункции нужно воспользоваться аппроксимирующей последовательностью аналитических функций, имеющих производные любого порядка.

Для построения такой последовательности воспользуемся тем фактом, что дельта-функция является производной функции Хевисайда или функции едиx 0;

ничного скачка, которая определяется так H ( x) Автором предложено аппроксимировать функцию Хевисайда последовательностью функций вида H n ( x) 0,5(1 f n ( x)), где последовательность рекурсивных функций f n ( x) определяется соотношением Например, на рис. 2.42 показаны графики трех последовательных приближений Толщина графика на рис. 2.42 увеличивается по мере увеличения номера аппроксимирующей зависимости.

Находя первые производные приближений функции Хевисайда, мы полуdH 9 ( x ) dH10 ( x) dH11 ( x) функции. Их графики изображены на рис. 2.43.

Рис. 2.43. Графики аппроксимаций дельта-функции При достаточно большом количестве вложенных функций получим апdH18 ( x ) компьютерной программы MathCAD и изображен на рис. 2.44.

Сравнивая графики на рис. 2.39a, 2.39b, 2.40, 2.43 и 2.44, замечаем, что предложенные методы аппроксимации дают гораздо более точное приближение дельта-функции, чем ряды Фурье. Причем, точность аппроксимации можно повысить до сколь угодно большой степени, увеличивая число вложенных функций. Высоту пика аппроксимации (амплитуду) можно определить по интегральному условию в определении дельта-функции.

Дифференцируя аппроксимирующие функции рассмотренной последовательности H n ( x) 0,5(1 f n ( x)), получим Рис. 2.44. График приближения дельта-функции Подставляя в полученное выражение для производных x 0, с учетом четности функции, найдем значение для высоты пика Аn аппроксимирующих функций H n ( x) Так как мы аппроксимировали обобщенные функции аналитическим функциями, то мы можем продифференцировать эти аппроксимирующие функции и найти их производные любого порядка. Тем самым мы можем получить приближения производных обобщенных функций с любой степенью точности. Например, аналогично с тем, как это было сделано для аппроксимации дельта-функции, мы можем построить графики приближений ее производных.

На рис. 2.45 изображены графики последовательных аппроксимаций первой, второй и третьей производных дельта-функции.

Рис. 2.45. Графики аппроксимаций производных дельта-функции Таким же образом можно найти и производные более высоких порядков.

Например, на рис. 2.46 изображены графики функций, аппроксимирующих четвертую производную дельта-функции.

Известно, что можно аппроксимировать дельта-функцию и другими непрерывно дифференцируемыми функциями, например, такими для которых lim ( x, ) 0 ( x 0) и lim выдерживает никакой критики, так как эта функций имеет не только положительные, но и отрицательные значения. Причем последовательность отрицательных значений не ограничена снизу, то есть погрешность может быть сколь угодно большой. Предельное положение такой функции соответствуют графику, изображенному на рис. 2.39b.

Что касается аппроксимации с помощью первых двух функций, то они позволяют аппроксимировать периодическую дельта-функции лишь в виде суммы ( x) ( x 2 k ), что может быть неудобным для практического использования, тогда как аппроксимирующие функции по предложенному методу являются периодическими по своей природе и позволяют аппроксимировать периодическую дельта-функцию без каких-либо дополнительных построений.

В некоторых случаях для более точной аппроксимации исходной функции с помощью предложенных методов нет смысла доводить аппроксимирующую функцию до положения близкого к предельному. Может оказаться, что одна из функций в последовательности аппроксимирующих функций наиболее точно соответствует реальному процессу. Выбирая подходящую из построенных функций с точки зрения наиболее точного отражения реальности, выполняем требуемую аппроксимацию.

Следует заметить, что, несмотря на то, что рассмотренные методы аппроксимации обобщенных функций были разработаны для целей изучения динамики инерционных передач, предложенные методы являются универсальными.

Они могут быть применены для аппроксимации обобщенных функций и их производных в самых разнообразных областях исследований: теории управлений, квантовой теории, теории импульсных воздействий, для передачи и преобразования сигналов, описания сосредоточенных сил, для решения самых разнообразных задач теоретической и экспериментальной физики. Примеры компьютерных программ для реализации предложенных методов аппроксимации функции Хевисайда, -функции и ее производных приводятся в Приложении 3.

2.5 Математические модели инерционных бесступенчатых передач Математические модели инерционных бесступенчатых передач представляют собой системы дифференциальных уравнений, построенных на основе уравнений Лагранжа второго рода[155]:

где L L(qi, qi ) T - П –лагранжиан;

Т, П – соответственно кинетическая и потенциальная энергия системы;

qi, qi – обобщенные координаты и скорости соответственно;

Qi –обобщенные силы.

За обобщенные координаты при составлении уравнений (2.6) обычно принимают углы поворота ведущего звена, промежуточного вала и ведомого вала. Такой выбор обусловлен тем, что в подавляющем большинстве случаев нас интересуют входные и выходные кинематические и динамические параметры системы и составляющих её механизмов.

Кинетическая энергия одного из основных механизмов инерционной бесступенчатой передачи –импульсного механизма,находится по выражению [42]:

где Кинетическая энергия всей передачи в целом включает также кинетическую энергию других звеньев и механизмов конкретной схемы передачи.

Потенциальная энергия находится для каждой схемы отдельно в зависимости от места расположения введенных в конструкцию упругих звеньев.

Инерционные бесступенчатые передачи представляют собой технические системы переменной структуры с существенно-нелинейными характеристиками, для которыхзначения некоторых физических величин меняются ступенчато в течение цикла работы передач. Поэтому при составлении математической моделидифференциальные уравнения движения трансформатора обычно строят по участкам[42,156].

2.5.1 Математическая модель общей жесткой схемы Для жесткой схемы различают участки разгона промежуточного вала, совместного движения промежуточного и ведомого валов, торможения промежуточного вала, стопового режимапромежуточного вала [42].

На участке разгона промежуточного валасистема дифференциальных уравнений имеет вид:

где Условием перехода на участок совместного движения промежуточного и ведомого валов является достижение промежуточным валом угловой скорости ведомого вала.

Участок совместного движения промежуточного и ведомого валов описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

Условием перехода на участок торможения промежуточного вала является достижение углом поворота значения.

Система дифференциальных уравнений движения передачи на участке торможения промежуточного вала запишется так:

Условием перехода на стоповый режим является остановка промежуточного вала.

Участок стопового режима промежуточного вала описывается системой:

Условием перехода на участок разгона промежуточного вала является достижение углом поворота значения 2.

2.5.2 Математическая модель общей упругой схемы Упругой модели в отличие от жесткой свойственны нелинейные колебания промежуточного вала на режиме заторможенного ведомого вала, участки накопления и отдачи потенциальной энергии упругими элементами на режиме трансформации момента, различные законы движения промежуточного и ведомого валов на участке их совместного движения, большее число степеней свободы и другие особенности [42].

На участке накопления энергии упругими элементами корпусного механизма свободного хода и отдаче её при разгоне промежуточного вала уравнения движения имеют вид:

На участках разгона и торможения промежуточного вала уравнения движения запишутся так:

На участке совместного движения промежуточного и ведомого валов и на режиме динамической муфты уравнения движения примут вид:

На участке совместного движения промежуточного и ведомого валов при действии корпусных упругих элементов уравнения движения представляют собой систему:

В системах (2.11), (2.13) и (2.14) в правой части второго уравнения, определяющего совместное движение реактора с наружными обоймами механизмов свободного хода, отсутствуют слагаемые, характеризующие сопротивление движению наружных обойм. Данное допущение объясняется тем, что при раздельном от реактора движении наружных обойм, действующее сопротивление оказывает значительное влияние на кинематику и динамику обойм в силу относительно небольшой величины их моментов инерций. В этом случае требуется учёт действия сопротивления движению обойм. В случае же совместного движения обойм с реактором импульсного механизма, сопротивление движению наружных обойм оказывает незначительное влияние на характеристики движения, так как к моментам инерции обойм добавляется момент инерции реактора, как правило, имеющего достаточно большое значение. Поэтому действие сопротивления движению обойм можно в этом случае не учитывать. Следует отметить, что данное допущение не является принципиальным с точки зрения рассматриваемого подхода к сжатию математической модели инерционного трансформатора, а лишь в некоторой степени снижает громоздкость выражений.

2.5.3 Математическая модель инерционной передачи лишь с одним В случае жесткого промежуточного вала на участке включенного корпусного механизма свободного хода имеем На участке выключенного корпусного механизма свободного хода уравнения движения запишутся так В случае упругого промежуточного вала для упрощения составления математической модели этот вал (рис. 2.3) разобьем на две жесткие части, связав их упругим звеном, и разнесем по концам этого вала. Моменты инерции этих частей обозначим J 21 и J 22. Жесткость упругого звена обозначим U.

На участке включенного корпусного механизма свободного хода уравнения движения передачи запишутся так На участке выключенного корпусного механизма свободного хода уравнения движения передачи имеют вид 2.5.4 Математическая модель инерционной передачи лишь с одним На участке раздельного движения промежуточного вала импульсного механизма и ведомого вала передачи система дифференциальных уравнений имеет вид На участке совместного движения промежуточного вала импульсного механизма и ведомого вала передачи система дифференциальных уравнений имеет вид 2.5.5 Математическая модель инерционной передачи Для инерционной передачи без механизмов свободного хода с упругим звеном (рис. 2.14б) дифференциальные уравнения движения, полученные на основе уравнений Лагранжа, запишутся в виде:

Для передачи без упругого звена (рис. 2.14а) система уравнений движения будет точно такой же, за исключением того, что во втором уравнении системы будет отсутствовать слагаемое с.

2.5.6 Математическая модель инерционной передачи Для инерционной передачи, схема которой изображена на рис. 2.15, массу шатуна заменим условными массами m1 и m2, сосредоточенными на концах шатуна. Такая замена приводит к небольшой ошибке, но значительно упрощает расчет. Замена шатуна двумя условными массами широко используется в научной литературе, в частности, при исследовании динамики кривошипно-шатунного механизма автомобильных и тракторных двигателей [157].

Перемещение ползуна s с достаточной степенью точности можно определить по приближенной зависимости [158] С учетом принятых допущений, математическая модель передачи может быть записана в виде системы[1]:

где При отсутствии упругого элемента (пружины) коэффициент A9 в системе (2.17) будет равняться нулю и предварительное натяжение пружины отсутствует.

2.6 Совершенствование математических моделей Дифференциальные уравнения, описывающие движение инерционных бесступенчатых передач, являются нелинейными и не допускают точных методов решения. Переменность структуры таких передач заставляет исследователей строить системы дифференциальных уравнений по участкам. Поэтому на практике эти уравнения решаются с помощью приближенных методов по участкам, а затем с помощью, например, метода припасовывания сшиваются по границам участков. Конечные значения переменных для каждого участка являются начальными значениями для следующего участка. При этом процедура решения дифференциальных уравнений является громоздкой, что препятствует получению решения для всего цикла работы трансформатора, построению периодических решений, применению численных методов на компьютерной основе, затрудняет интерпретацию результатов.Отмеченные трудности заставляют исследователей искать возможности по совершенствованию математических моделей трансформатора, пути для более эффективного анализа его работы.

В данном параграфе рассматривается метод, дающий возможность объединить системы дифференциальных уравнений по участкам в одну систему, описать цикл работы трансформатора с помощью лишь одной системы, что позволяет резко сжать математическую модель жесткой схемы, значительно упростить решение уравнений движения инерционного трансформатора и анализ этого решения.