«МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАНОСА АВТОМОБИЛЯ ...»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи

Смирнов Илья Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАНОСА АВТОМОБИЛЯ

Специальность 01.02.01 – теоретическая механика

Диссертация на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Научные руководители д.ф.-м.н., проф. Новожилов И.В.

к.ф.-м.н., с.н.с. Влахова А.В.

Москва 2011 2 Содержание Введение

§ 1. Анализ подходов к математическому и численному моделированию движения автомобиля

1.1. О применении "велосипедной" модели движения колесных транспортных средств

1.2. Модели взаимодействия колеса с опорной поверхностью................ 1.3. Четырехколесные модели автомобиля для различных режимов движения

§ 2. Аппарат фракционного анализа

Глава 1. Постановка задачи. Оценка области применимости "велосипедной" модели

§ 1.1. Описание исследуемой системы и постановка задачи

§ 1.2. Сравнение "велосипедной" и четырехколесной моделей движения автомобиля

1.2.1. Описание четырехколесной модели автомобиля

1.2.2. Численное исследование "велосипедной" и четырехколесной моделей

Глава 2. Математические модели движения автомобиля без потери сцепления колес с дорогой

§ 2.1. Асимптотическая модель движения

2.1.1. Построение модели

2.1.2. Доказательство корректности модели

§ 2.2. Анализ упрощенных моделей движения автомобиля без потери сцепления колес с дорогой

2.2.1. Сравнение асимптотических моделей

2.2.2. Исследование неголономной модели движения автомобиля......... 2.2.3. Численное исследование упрощенных моделей

§ 2.3. Выводы к главе 2

Глава 3. Математическая модель переменной структуры для описания заноса автомобиля

§ 3.1. Асимптотическая модель движения в случае потери сцепления передних колес с дорогой

3.1.1. Построение модели

3.1.2. Доказательство корректности модели

§ 3.2. Асимптотическая модель движения в случае потери сцепления задних колес с дорогой

3.2.1. Построение модели

3.2.2. Доказательство корректности модели

§ 3.3. Асимптотическая модель движения в случае потери сцепления с дорогой колес обеих осей

3.3.1. Построение модели

3.3.2. Доказательство корректности модели

§ 3.4. Численное исследование модели переменной структуры................. § 3.5. Выводы к главе 3

Заключение

Литература

Введение Современная автомобильная промышленность является достаточно развитой, высокотехнологичной отраслью. Законы рынка заставляют автопроизводителей всесторонне повышать качество выпускаемой ими продукции, уделяя внимание как дизайну автомобилей, так и их комфорту, надежности и практичности. Особое внимание привлекается к вопросам безопасности движения, в частности, к проблемам предотвращения ситуаций, приводящих к заносу автомобиля.

Разработка надежного и безопасного автомобиля предполагает построение и анализ соответствующих математических моделей на начальном этапе проектирования. Статические математические модели дают возможность исследования эффективности так называемых пассивных средств безопасности, предназначенных для защиты жизни и здоровья водителя и пассажиров автомобиля в случае аварии. К ним относятся инерционные ремни, подушки безопасности, мягкие элементы передней панели, безопасные стекла, энергопоглощающие бамперы, различные элементы, усиливающие жесткость корпуса автомобиля.

конструктивных параметров автомобиля на его движение, разработать эффективные алгоритмы управления автомобилем и реализовать их в виде так называемых средств активной безопасности. В отличие от пассивных, средства активной безопасности контролируют движение и вмешиваются в процесс управления автомобилем, помогая снизить вероятность возникновения аварийных ситуаций и минимизировать их негативные последствия. К ним относятся антиблокировочная и антипробуксовочная системы, система курсовой устойчивости, электронная система блокировки дифференциала и проч.

Динамические модели используются также при разработке программного обеспечения для различных тестовых стендов и тренажеров, позволяющих сформировать у водителей необходимые навыки управления автомобилем.

По статистике большинство автомобильных аварий происходит вследствие потери сцепления колес с дорогой, приводящей к возникновению заноса. В диссертационной работе описывается движение автомобиля в различных ситуациях, возникающих при разгоне, торможении, прохождении поворота.

Проводится построение динамической модели переменной структуры, позволяющей исследовать влияние на возникновение и развитие заноса ряда параметров, задающих конструкцию автомобиля, а также управляющих воздействий: угла поворота передних колес, разгонных и тормозных моментов.

Определим используемое в данной работе понятие заноса. Рассмотрим движение автомобиля на конечных интервалах времени T ~ T0, в течение которых развиваются процессы разгона, торможения, поворота. Зададимся программным, невозмущенным, движением, например, движением по средней линии дорожной полосы с требуемой путевой (продольной) скоростью. Будем предполагать, что соответствующие программные значения угла поворота передних колес, разгонных и тормозных моментов не превосходят ограничений, определяемых нормами безопасности движения. Зададимся начальными невозмущенных, программных, значений. Если за рассматриваемое конечное время T0 эти отклонения возрастают до неприемлемых по требованиям безопасности движения значений 0, то будем называть режим движения заносом.

неустойчивости на конечном интервале времени [1]. Приведенное определение, с одной стороны, включает в себя традиционную трактовку заноса как потери сцепления с дорогой колес задней оси автомобиля и возникновения "большой" существенному отклонению параметров в случае программного прямолинейного движения. С другой стороны, данное определение позволяет рассматривать в качестве заноса и другие ситуации отклонения от программного движения, например, случай прямолинейного движения вместо программного движения в повороте. Подобный режим движения чаще всего возникает при потере сцепления передних управляемых колес в сложных погодных условиях.

Изучение динамики автомобиля связано с рассмотрением нелинейных систем дифференциальных уравнений высокого порядка. Их качественный анализ, как правило, сложен. Численный анализ подобных систем в реальном времени затруднен сильным разнесением характерных постоянных времени движения, в связи с чем приходится проводить интегрирование уравнений системы на больших характерных временах с малым шагом в долях малого характерного интервала времени. Вместе с тем для реализации цели исследования изучаемые уравнения часто получаются описательно избыточными. Поэтому оказывается актуальным приближенное моделирование движения.

В настоящей работе рассматривается динамика автомобиля, движущегося с небольшими боковыми наклонами при малых различиях характеристик сцепления правых и левых колес одной оси с дорогой, в предположении недеформируемости деталей кузова, рулевого управления, крепления колес и проч. В рамках такой постановки постоянные времени движения автомобиля могут быть разбиты на три группы:

– "медленное" время траекторных движений, имеющее порядок 1 с;

– "среднее" время боковых движений точек контакта колес с дорогой, имеющее порядок 0,1 с;

– "быстрое" время продольных движений точек контакта колес с дорогой, имеющее порядок 0,01 с.

При движении с потерей сцепления с дорогой колес обеих осей "быстрым" является характерное время вращения колес, имеющее порядок 0,1 с.

Методы фракционного анализа, объединяющего методы теории размерности и подобия [29] и методы теории сингулярных возмущений [5, 6, 39], позволяют упростить исходную модель автомобиля, составленную в соответствии с законами классической механики. При помощи нормализации на классе "медленных" траекторных движений исходная, размерная, система приводится к сингулярно возмущенной форме с малыми параметрами, отражающими малость отношения указанных выше малых и больших характерных времен. Методы теории сингулярных возмущений позволяют, далее, разделить "быстрые" и "медленные" движения автомобиля, т.е. построить приближенные модели его движения на каждом из временных интервалов, и оценить погрешность и область применимости указанных моделей. Основное внимание в работе уделено изучению траекторных движений, описывающих процессы разгона, торможения, прохождение поворота и заноса автомобиля.

В настоящей работе впервые построена динамическая модель переменной структуры, которая образована набором приближенных математических моделей, описывающих "медленные", траекторные, движения автомобиля в процессе заноса при различных вариантах потери сцепления колес с дорогой.

Результаты работы получены путем упрощения широко используемой в практических задачах "велосипедной" модели движения автомобиля. Проведено численное сравнение рассматриваемой "велосипедной" модели с известной в литературе четырехколесной моделью автомобиля, достоверность которой подтверждена большим числом испытаний реального автомобиля. При построении приближенных моделей движения автомобиля в работе использованы подходы, основанные на строгих математических методах.

Теоретическая ценность работы заключается в развитии подходов фракционного анализа, ориентированных на создание упрощенных математических моделей движения колесных транспортных средств для различных режимов движения. Предложены методика введения в уравнения движения колесных транспортных средств иерархической структуры малых параметров и подходы к исследованию корректности предельных переходов по введенным малым параметрам. Построенные в диссертационной работе приближенные модели движения автомобиля могут быть использованы для верификации более сложных моделей автомобиля, а также для формирования алгоритмов, используемых в программном обеспечении тренажерных комплексов водителя и приобретающих в последнее время все большую актуальность средств активной безопасности автомобиля, работающих в режиме реального времени.

Настоящая работа состоит из введения и трех глав. Во введении анализируются подходы к проблеме математического моделирования динамики фракционного анализа, используемых в дальнейшем при решении задачи. В первой главе формируется исходная, "велосипедная", математическая модель, описывающая движения автомобиля с малыми боковыми наклонами и малыми различиями характеристик сцепления колес одной оси с дорогой. Используемая модель контактных сил учитывает явление псевдоскольжения при малых скоростях точек пятна контакта колеса относительно дороги. С применением численных методов проводится количественная оценка области применимости моделирования "быстрых" и "медленных" составляющих движения автомобиля.

Вторая глава посвящена приближенному моделированию движения автомобиля математическая модель переменной структуры, позволяющая описывать занос автомобиля. Указанная модель образована приближенными моделями движения автомобиля при различных вариантах потери сцепления колес с дорогой и условиями перехода от одной модели к другой.

И.В. Новожилову и старшему научному сотруднику лаборатории управления и навигации к.ф.–м.н. А.В. Влаховой за постановку задачи и помощь в работе, а также профессору кафедры прикладной механики и управления д.ф.–м.н.

М.Х. Магомедову и ученому секретарю кафедры прикладной механики и управления, к.ф.–м.н. П.А. Кручинину за всестороннюю поддержку.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 04–01– 00759, 06–01–00517) и аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы 2006–2008 г."

Основные результаты работы опубликованы в статьях [13–17, 37, 38].

§ 1. Анализ подходов к математическому и численному 1.1. О применении "велосипедной" модели движения колесных транспортных средств В работах, посвященных математическому и численному моделированию движения колесных транспортных средств, в частности автомобилей, часто используется "велосипедная" модель движения. Данная модель применяется при описании движений колесных транспортных средств с малыми боковыми наклонами в случаях, когда можно пренебречь различиями между характеристиками сцепления правых и левых колес одной оси с дорогой. В рамках этой модели передние колеса заменяются одним эквивалентным передним колесом, задние – одним задним. Движением переднего колеса управляет водитель или адаптивная система управления, ось вращения заднего колеса фиксирована в корпусе. Предполагается, что корпус и колеса являются абсолютно жесткими, и аппарат не имеет боковых наклонов. Такая модель использовалась при математическом моделировании траекторных движений и формировании алгоритмов управления транспортными и робототехническими системами [12, 30, 32, 34, 52, 62, 66, 70, 77], в том числе в специализированных средах моделирования Modelica, Dymola, Adams, Spacar, Simpack, Carsim [46, 49, 59, 61] и проч.

Применительно к автомобилю указанные выше режимы движения характерны, прежде всего, для неэкстремальных условий вождения [60]. К ним относятся движения без проскальзывания колес относительно дороги, движения с невысокой путевой скоростью, малым углом поворота управляемых колес и, как следствие, малыми углами увода [32, 64, 65]. В [58] отмечено, что "велосипедная" модель достаточно хорошо описывает динамику автомобиля в случаях, когда величина бокового ускорения не превосходит 0,3–0,4 g. Помимо этого, велосипедная модель может применяться и для случаев движения автомобиля по скользкой поверхности с достаточно большой путевой и угловой скоростью, когда коэффициент сцепления колес с дорогой мал, следовательно, на колеса автомобиля действуют сравнительно малые по абсолютной величине контактные силы [55, 64]. Это позволяет пренебрегать перераспределением нагрузки между колесами одной оси и использовать "велосипедную" модель для описания заноса автомобиля [12, 71].

Разумеется, "велосипедная" модель не позволяет описывать движения автомобиля, при которых различие между характеристиками сцепления колес одной оси с дорогой велико. К таким режимам относятся движение на "миксте" (движение по поверхности с различными коэффициентами сцепления для правых и левых колес одной оси), движение с неравномерным сопротивлением качению, а также неравномерным распределением тяговых и тормозных сил и моментов между колесами одной оси. Подобные режимы движения могут возникать при наличии в автомобиле технических неисправностей, таких, как неравномерное или неодновременное срабатывание тормозных механизмов, могут быть следствием конструктивных особенностей, например, наличия приводов различной длины или работы дифференциалов, а также влиянием внешних факторов. При использовании "велосипедной" модели для описания движения автомобиля необходимо учитывать подобные ограничения и заранее оговаривать класс рассматриваемого движения.

В [54] точность "велосипедной" модели оценивается путем анализа экспериментальных данных. Проводится серия заездов, в ходе которых используются автомобили, оборудованные датчиками продольной скорости, угла поворота управляемого переднего колеса и GPS. В каждом из заездов автомобиль движется с постоянной скоростью и углом поворота управляемого колеса. На основании полученных данных строятся усредненные оценки вектора состояния и других параметров движения автомобиля в зависимости от продольной скорости и угла поворота управляемых колес, которые сравниваются с результатами, полученными при помощи "велосипедной" модели. Показано, что "велосипедная" модель достаточно точно описывает движения автомобиля с постоянной скоростью и переменным углом поворота, а также с постоянным углом поворота и постоянной или незначительно изменяющейся продольной демонстрирует в ситуации сильного изменения продольной скорости, что характерно, например, для начального этапа интенсивного разгона в повороте.

Как отмечено в [61], "велосипедная" модель часто используется 1) как объект исследования при изучении общих свойств сложных неголономных систем; 2) при качественном исследовании влияния конструктивных параметров на движение автомобиля; 3) при построении управлений с обратной связью.

Упомянутые выше работы относятся к первым двум группам. Работы, относящиеся к третьей группе, посвящены формированию и отладке алгоритмов, составляющих основу программного обеспечения тренажерных комплексов и предназначенных для повышения уровня безопасности при управлении автомобилем. Остановимся на некоторых из них.

В [30] на основе "велосипедной" модели построена динамическая модель, позволяющая в реальном времени описывать составляющие движения автомобиля, развивающиеся в различных временных масштабах. Модель учитывает "медленные" движения на временах порядка нескольких секунд, характеризующие процессы разгона, торможения, поворота, заноса автомобиля, а также "быстрые" движения на временах порядка секунды и долей секунды, описывающие вертикальные и угловые колебания кузова за счет деформаций рессор и изменения скоростей вращения составляющих конструкции двигателя, трансмиссии и колес. Полученная модель использовалась при разработке программного обеспечения для тренажерного комплекса водителя. Обучающие программы тренажерного комплекса позволяют оценить имеющиеся у водителя навыки, повысить скорость и эффективность обучения начинающих водителей, а также контролировать процесс обучения.

В [51] разработан вспомогательный контроллер обратной связи, который позволяет водителю сохранить безопасную угловую скорость поворота автомобиля за счет управления углом поворота задних колес по информации об угле поворота передних колес. При построении алгоритма работы контроллера используется "велосипедная" модель автомобиля, движущегося с постоянной путевой скоростью. Углом поворота передних колес управляет водитель.

При построении управлений с обратной связью в большинстве работ используется линейная по углам увода и поворота переднего колеса "велосипедная" модель. Рассматривается движение транспортного средства с фиксированным центром масс, движущегося без боковых наклонов по горизонтальной ровной поверхности. Влияние аэродинамических сил и деформации пневматика на движение автомобиля не учитывается.

Предполагается, что контактные силы линейно зависят от углов увода и угла поворота переднего управляемого колеса [62].

В [55] используется "велосипедная" модель автомобиля, учитывающая малое боковое смещение поверхностей колес в пятне контакта относительно дороги. Осуществляется робастное управление углом поворота переднего колеса на основе информации, полученной от датчика угловой скорости корпуса автомобиля. При построении используется модель боковой контактной силы, линейная по малому углу поворота переднего управляемого колеса.

В [48] для проверки работы алгоритма вспомогательного робастного управления используется тест на выполнение маневра с двойным перестроением, одобренный Международной организацией по стандартам (ISO) (рис. В.1). По условиям теста автомобиль, разогнанный до достаточно высокой скорости, на ограниченном участке дороги перестраивается с занимаемой полосы движения, а затем возвращается обратно. Имитируемый подобным образом экстренный объезд препятствия выполняется только при помощи управления рулем.

Указанный тест используется для оценки безопасности движения автомобиля в экстремальных условиях: тест считается успешно пройденным, если в процессе маневрирования автомобиль не выкатывается за пределы ограниченного участка, т.е. согласно приведенному выше определению не входит в занос.

Рис. В.1. Прохождение стандартного теста на выполнение маневра с двойным В [74] с применением "велосипедной" модели проводится формирование и тестирование алгоритмов работы системы круиз-контроль, предназначенной для оценки скорости, положения автомобиля и осуществления робастного управления, позволяющего сохранять заданную скорость и направление движения без участия водителя.

В [56] рассматривается управление автомобилем при помощи технологии steer-by-wire. (В системе steer-by-wire в конструкции рулевого управления отсутствует механическая связь между рулевым и управляемыми колесами автомобиля, поворот колес происходит за счет работы электродвигателей и вспомогательной электроники.) Известно, что в автомобилях, оснащенных возмущающий момент, который мешает работе двигателей, управляющих поворотом колес. Для устранения указанного недостатка проводилась корректировка алгоритма steer-by-wire. При формировании модифицированного алгоритма использовалась "велосипедная" модель движения автомобиля.

Испытания реального автомобиля показали, что скорректированный алгоритм позволяет устранить часть погрешностей и повысить точность оценки состояния системы.

1.2. Модели взаимодействия колеса с опорной поверхностью Задачи о качении колеса по шероховатой поверхности в теоретической механике часто решаются в предположении, что колесо – абсолютно твердое тело, взаимодействующее с поверхностью посредством трения качения. Для пневматических деформируемых колес или для транспортных средств, имеющих более одной колесной пары, неголономная модель нередко имеет сильное отклонение от данных эксперимента, либо приводит к переопределенной системе деформируемость колеса, т.е. конечномерность пятна контакта колеса и опорной поверхности. Указанные модели позволяют тем или иным образом сформировать соотношения между касательными и нормальными напряжениями в области равнодействующей и главного момента контактных сил (так называемого момента верчения) в области взаимодействия в зависимости от скорости центра этой области. В ряде случаев при составлении уравнений движения транспортного средства от предположения о деформируемости колес отказываются и используют следующую гипотезу. Колесо предполагается абсолютно твердым, а к силам и моментам, приложенным к нему, добавляются полученные выражения для равнодействующей и главного момента контактных сил. Обоснование указанной гипотезы приведено в [24]. В транспортной деформируемыми колесами, основанные на описании явления бокового увода [24, 43, 45, 58, 67]. Модели, используемые в предположении деформируемости колес [50, 67, 77], в основном применяются в задачах, где требуется высокая точность результатов. Как правило, такие задачи решаются с применением численных методов. Модели с жесткими колесами в ряде случаев допускают качественное исследование. Большое число моделей контактного взаимодействия колеса с опорной поверхностью можно найти в работах [8, 24, 28, 26, 42, 44]. Остановимся на некоторых из них, часто используемых в приложениях.

В рамках гипотезы увода Рокара [24, 35] рассматривается колесо с пневматиком, испытывающим упругую деформацию под действием боковой силы, приложенной к оси колеса. При этом колесо начинает двигаться в направлении, образующем некий угол (угол увода) с геометрической плоскостью недеформируемого колеса. Угол увода считается пропорциональным величине боковой деформации пневматика, которая, в свою очередь, пропорциональна величине боковой силы. Вместо деформации пневматика может рассматриваться боковой увод абсолютно жесткого колеса, при этом в уравнения добавляется боковая сила, пропорциональная углу увода.

В теории Грейдануса [28], помимо боковой деформации, учитывается также деформация скручивания пневматика. Рассматривается центральная окружность, образованная пересечением центральной плоскости колеса с внешним контуром. Боковая деформация задается как расстояние от точки пятна контакта колеса, принадлежащей центральной окружности, до проекции основной, недеформированной, части центральной окружности на опорную плоскость. Скручивание задается углом между указанной проекцией и касательной к кривой, образованной деформированной частью центральной окружности, в рассматриваемой точке.

Модель Келдыша [21], помимо деформаций в пятне контакта, учитывает боковое отклонение колеса. Деформация колеса характеризуется тремя параметрами: расстоянием от центра пятна контакта до линии пересечения диаметральной плоскости обода колеса с опорной поверхностью, углом между вышеуказанной линией и средней линией пятна контакта, а также углом наклона обода колеса, отсчитываемым от вертикали до диаметральной плоскости.

В [43] выводятся уравнения движения колеса, деформируемого в радиальном, тангенциальном и боковом направлениях. Деформации колеса в радиальном и тангенциальном направлениях записываются с учетом переменного радиуса колеса, проведенного к центру области контакта с дорогой, боковые деформации определяются углом бокового увода. Рассматриваются движения колеса в различных режимах под действием вертикальной и боковой нагрузки, тягового и тормозного моментов, а также сил и моментов сопротивления. Точка приложения равнодействующей контактных сил предполагается смещенной относительно вертикали, проходящей через центр колеса. Приводятся результаты эксперимента по определению зависимости радиуса качения колеса от приложенного к колесу разгонного или тормозного момента, а также давления воздуха в пневматике.

В [19] рассмотрена задача о качении абсолютно твердого тела по горизонтальной ровной поверхности. Для описания контакта применяется модель комбинированного сухого трения Контенсу [23], согласно которой тело и поверхность имеют общую малую площадку контакта, внутри которой происходит взаимодействие в соответствии с законом сухого трения Кулона; для описания распределения контактных сил по поверхности пятна контакта используется теория Герца. В работе решена задача определения касательных составляющих контактных сил и момента верчения путем интегрирования касательных напряжений по площадке контакта, получены зависимости указанных величин от коэффициента кулонова трения скольжения, нормальной реакции, радиуса пятна контакта, поступательной и угловой скоростей движущегося тела. Показано, что в данной двумерной модели, в отличие от одномерной модели кулонова трения, отсутствует понятие трения трогания, а трения скольжения и верчения являются взаимозависимыми. В качестве примера рассматривается задача о качении с сухим трением однородного тяжелого шара по горизонтальной поверхности. Отмечено, что можно упростить аналитическое решение задачи, воспользовавшись малостью параметра, характеризующего отношение радиуса пятна контакта к радиусу шара.

В [3] для описания контактно взаимодействия колеса с дорогой используется модель сухого трения Кулона, учитывающая так называемый Штрибек-эффект [47]: в модель включается падающий участок зависимости контактной силы от скорости центра области контакта, отражающий различие между силой трения трогания и максимальным значением силы трения скольжения.

Рис. В.2. Зависимости продольной компоненты контактной силы Px от величины продольного проскальзывания Ex (a), боковой компоненты контактной силы Py (б) и момента верчения Mz (в) от угла увода при различных значениях нормальной реакции N При решении вычислительных задач транспортной динамики часто используется так называемая Magic Formula Пацейки [66, 67]. Magic Formula позволяет в реальном времени с высокой степенью точности вычислять значения продольной, боковой контактных сил и момента верчения в пятне контакта в зависимости от нормальной реакции, величины продольного проскальзывания E x = U x R ( U x – продольная компонента скорости центра пятна контакта;, R – угловая скорость осевого вращения и радиус колеса), угла увода и других динамических параметров (рис. В.2). Она представляет собой набор алгебраических уравнений, состоящих из комбинации нескольких тригонометрических функций и набора коэффициентов, определяющих характеристики контактной силы. Основной проблемой при использовании Magic Formula является необходимость экспериментального определения значений указанных коэффициентов в зависимости от типа пневматика и состояния дорожного покрытия. Несмотря на это, главными достоинствами Magic Formula являются ее высокая точность и простота использования, что позволяет с успехом применять ее при решении вычислительных задач динамики колесных транспортных средств как крупнейшим мировым производителям автомобильной резины, так и разработчикам автомобильных симуляторов. Magic Formula часто используется для решения различных прикладных задач, в том числе тех, где описывается движение автомобиля в процессе заноса.

В работе [73] предложен метод нахождения коэффициентов Magic Formula при наличии ограниченного объема измерений боковой компоненты контактной силы и момента сопротивления в пятне контакта колеса. Полученные коэффициенты позволяют построить полный спектр характеристик продольной и боковой компонент контактной силы, а также момента верчения в зависимости от нормальной реакции, продольного проскальзывания, углов увода и развала колес (угол развала – угол между плоскостью вращения колеса и вертикалью).

В [45] при помощи Magic Formula построена трехмерная диаграмма зависимости боковой компоненты контактной силы от угла бокового увода и продольного проскальзывания центра пятна контакта колеса. Полученная зависимость использована для оценки предельных значений боковой контактной силы при анализе движения автомобиля в различных режимах управляемого заноса. Показано, что для небольших по величине продольных проскальзываний допустимо использование линейной зависимости между боковой контактной силой и углом увода.

представляет собой расширение Magic Formula, позволяющее описывать высокочастотные составляющие движения транспортного средства при перемещении по неровным поверхностям с малой протяженностью препятствий (от 20 см) и средней частотой наезда на них (до 60 Гц) при различных значениях проскальзывания колеса относительно дороги. Рассматривается модель колеса, в которой жесткий инерционный внешний обод соединен с основной частью колеса при помощи упругих и демпфирующих элементов. Касательные деформации колеса в области пятна контакта задаются в рамках "brush-модели" П. Фромма [68]: контур покрыт бесконечно малыми упругими безынерционными не взаимодействующими друг с другом элементами, так называемыми "щетинками", которые одним концом прикреплены к контуру колеса. При контакте с дорогой опорные концы "щетинок" взаимодействует с ней по закону Кулона. Для описания нелинейного характера зависимости контактной силы и момента верчения от величины проскальзывания центра пятна контакта колеса относительно дороги применяется Magic Formula.

В [72] Magic Formula и SWIFT-модель были уточнены за счет учета изменения давления в колесе. Достоверность полученных результатов подтверждена экспериментальными данными.

Большой объем экспериментальных данных для решения задач динамики колесных транспортных средств представлен в работах [53, 77]. Отчет [53] посвящен сравнительному анализу характеристик нескольких десятков типов колесных шин. Приводятся экспериментальные данные, полученные при изучении движения транспортных средств в повороте в режимах, близких к заносу, в процессе заноса, движения по поверхностям с различными характеристиками сцепления и проч. Определяются максимальные значения продольной и боковой компонент контактной силы, предельный тормозной момент, при котором колесо блокируется, максимальная величина контактной силы при фиксированном угле увода, тормозной путь.

В работе [77] приводятся данные о коэффициенте сопротивления качению.

Исследуется влияние на него качества поверхности, давления в шине, диаметра колеса, моментов разгона или торможения и проч. Получены также зависимости боковой жесткости шины от нормальной реакции, момента верчения от угла увода при различных значениях нормальных реакций, коэффициенты вертикальной жесткости и вертикального демпфирования пневматика, приводятся значения коэффициентов Magic Formula для различных типов шин.

Рассмотренные выше модели контактного взаимодействия колеса с опорной поверхностью можно разделить на две группы. К первой относятся модели, в которых предполагается, что колесо не теряет сцепления с опорной поверхностью, т.е. в пятне контакта присутствуют области, в которых поверхность колеса неподвижна относительно опорной поверхности (области сцепления). Данное обстоятельство запрещает использование этих моделей для описания режимов блокировки, пробуксовки и заноса, при которых колеса автомобиля скользят по дороге. Вторая группа моделей пригодна для описания указанных режимов движения, однако, в виду достаточной сложности, практически не допускает качественного исследования и численного исследования в реальном времени.

деформируемого колеса из [29, 31]. Указанная модель обобщает классические представления о нелинейных моделях увода и позволяет описывать как движение колеса без потери сцепления с абсолютно жесткой горизонтальной поверхностью (при этом указанная модель может быть сведена к классическим моделям Рокара, Келдыша, Фромма), так и движение в случае потери сцепления с поверхностью. (В последнем случае в пятне контакта отсутствуют области сцепления, т.е. колесо скользит относительно опорной поверхности.) В рамках указанной модели колесо считается телом вращения с осью вращения, параллельной опорной поверхности. В ненагруженном состоянии колесо имеет единственную точку контакта с этой опорной поверхностью. При нагружении колеса в окрестности точки контакта происходят радиальные деформации, и точка контакта становится центром симметричной площадки контакта, при этом основная часть внешнего контура колеса остается неизменной. Внешний контур колеса предполагается нерастяжимым в касательном направлении. Модель объединяет гипотезу Келдыша и гипотезу brush-модели Фромма.

Моделирование качения без потери сцепления с поверхностью проводится в предположении, что опорные концы всех "щетинок" пятна контакта неподвижны. Упругая контактная сила в этом случае прямо пропорциональна величине суммарной деформации "щетинок" и не превосходит силы кулонова трения трогания. Выражения для касательных компонент контактных сил учитывают так называемое явление "псевдоскольжения", связанное с тем, что при малых скоростях движения колес относительно опорной поверхности внутри микропроскальзывания, что влечет за собой уменьшение величины касательных максимальными значениями, когда имеет место скольжение пятна контакта. При моделировании скольжения пятна контакта предполагается, что опорные концы всех "щетинок" площадки контакта проскальзывают, контактная сила кулонова трения скольжения считается постоянной, не зависящей от скоростей точек контакта и равной силе кулонова трения трогания. В рамках указанной модели пренебрегают моментом верчения в пятне контакта.

Выражения для продольной и боковой компонент контактной силы могут быть записаны в виде где x, y – коэффициенты кулонова трения скольжения в продольном и нормальная реакция;

– проскальзывания поверхностей колес относительно опорной поверхности в продольном и боковом направлениях, = 2 + 2 ; U x, U y – проекции вектора скорости центра пятна контакта на продольное и боковое направления;

, R – угловая скорость осевого вращения и радиус колеса. Зависимость p(E ) в (1.1) определяется из эксперимента. На рис. В.3 показан типичный график этой зависимости, отвечающий рис. В.2. Величины E x, E y, отвечающие небольшим значениям относительных проскальзываний E 0,1, когда зависимость p(E ) близка к линейной, получили название псевдоскольжений. Как правило, график зависимости p(E ) на падающем участке близок к горизонтальной прямой.

Указанная модель позволяет описывать установившиеся движения автомобиля, движение автомобиля при переходе из режима чистого качения в режим слабого проскальзывания колес, а также движение в режиме заноса.

Достаточная простота модели дает возможность использовать ее для аналитических исследований и приближенного моделирования.

1.3. Четырехколесные модели автомобиля для различных режимов движения Как указывалось выше, под заносом автомобиля в литературе обычно понимают наличие бокового скольжения хотя бы одной из его осей. В работе [36] отмечено, что боковое скольжение оси возникает, когда контактная сила достигает своего предельного значения, равного силе трения трогания. Это может происходить в двух случаях: при воздействии на автомобиль достаточно больших боковых сил; в ситуациях, когда продольные компоненты контактных сил велики, при этом для возникновения бокового скольжения оси достаточно относительно малых боковых сил. Возникновение первой ситуации наиболее вероятно при движении автомобиля с большим углом поворота передних колес и большой путевой скоростью, а также при движении по поверхности с большим углом бокового наклона; вторая ситуация бокового скольжения оси автомобиля чаще всего возникает при интенсивном торможении или разгоне.

Как правило, бльшую угрозу для безопасности движения представляет боковое скольжение задней оси. Для оценки степени устойчивости движения оси автомобиля применяют различные критерии. Их многообразие обусловлено не только числом возможных комбинаций, в которых одно или несколько колес автомобиля теряют сцепление с дорогой, но и многообразием моделей контактного взаимодействия колеса с опорной поверхностью.

В [43] рассматриваются модели движения автомобиля с эластичными и, как частные случаи, с жесткими в одном или нескольких направлениях колесами под действием сил инерции, сил сопротивления качению и аэродинамических сил. Определяются зависимости продольных и боковых компонент контактных сил, действующих на колеса автомобиля, от параметров системы, при этом рассматриваются так называемые суммарные боковые реакции – суммы боковых компонент контактных сил, действующих на оба колеса каждой оси. Показано, что на суммарную боковую реакцию и, как следствие, на возможность входа автомобиля в занос, наибольшее влияние оказывают продольная скорость и угловое ускорение автомобиля, величина радиуса поворота, скорость поворота управляемых колес, различие между сопротивлениями качению внутренних (по отношению к повороту) и внешних колес, а также, в случае заднеприводного автомобиля, неравномерность распределения тяговой силы по ведущим колесам и величина тяговой силы.

В качестве критериев, характеризующих потерю устойчивости движения задней ведущей оси автомобиля, применяются: для автомобиля с жесткими колесами – начало пробуксовывания внутреннего колеса, начало бокового скольжения оси в случае пробуксовывания ее внутреннего колеса при движении в повороте или начало бокового скольжения оси без предварительного пробуксовывания ее внутреннего колеса; для автомобиля с колесами, обладающими боковой эластичностью – начало пробуксовывания и бокового скольжения внутреннего колеса оси, начало бокового скольжения оси при наличии пробуксовывания и бокового скольжения внутреннего колеса.

Для количественной оценки устойчивости ведущей оси рассматривают соотношения между коэффициентами боковой устойчивости и тяговой (тормозной) силы или соотношения между величиной продольной скорости и радиусом поворота автомобиля. (Под коэффициентом боковой устойчивости понимается отношение суммарной боковой реакции оси к весу, приходящемуся на эту ось; коэффициент тяговой (тормозной) силы определяется как отношение силы, создаваемой разгонным (тормозным) моментом, к весу автомобиля.) Для каждого из рассмотренных выше критериев потери устойчивости движения оси автомобиля находятся предельные значения указанных соотношений в зависимости от параметров системы, приводятся результаты численных расчетов для конкретных типов автомобилей. Рассматриваются способы управления, позволяющие прекратить начавшийся занос.

В работе [22] проводится определение реакций дорожной поверхности при неустановившемся движении автомобиля в повороте с постоянной путевой скоростью. Дорожная поверхность считается горизонтальной и шероховатой;

колеса – абсолютно жесткими и катящимися без проскальзывания. Для колес одной оси продольные и боковые компоненты контактных сил заменяются равнодействующими силами, нормальные компоненты контактных сил на всех колесах считаются одинаковыми и постоянными. Рассматривается кинематика движения переднее- и заднеприводного автомобиля, находятся зависимости контактных сил от геометрических параметров автомобиля, угла поворота управляемых колес, линейных и угловых скоростей и ускорений корпуса.

Показано, что значения контактных сил на входе в поворот превосходят соответствующие значения на выходе из поворота; при линеаризации уравнений модели в случае движения с малым углом поворота передних колес теряются различия между моделями с передним и задним приводами; при движении с большими углами поворота передних колес наибольшие боковые контактные силы действуют на автомобиль с задним приводом, поэтому на крутых поворотах и при недостаточном сцеплении колес с дорогой такой автомобиль в наибольшей степени подвержен боковым заносам; при входе в поворот больший запас устойчивости против заноса имеет автомобиль с задним приводом, при выходе – с передним.

Большое число работ посвящено численному моделированию движения колесных систем. В [3] рассматривается движение колесных роботов с различной, в том числе и автомобильной, компоновкой колес. Используется алгоритмическая модель качения колеса, позволяющая одновременно описывать псевдоскольжение и полное проскальзывание (блокировка, пробуксовка, боковое скольжение). Для заданного закона управления, соответствующего (в неголономной постановке) движению робота по модельной гладкой траектории, состоящей из участков прямых и окружностей, проводится численное моделирование движения робота в режиме проскальзывания с различными коэффициентами сцепления колес с дорогой. Полученные экспериментальные траектории движения и графики изменения параметров системы сравниваются с модельными. Оцениваются постоянные времени переходных процессов между режимами движения с псевдоскольжением и полным проскальзыванием.

Работы [27, 33] посвящены математическому моделированию движения колесных мобильных роботов. Для построения моделей используется векторноматричный формализм неголономной механики. Исследуются свойства свободных движений трех- и четырехколесных мобильных роботов при различных управляющих воздействиях на переднюю ось: свободное движение по инерции, движение при наличии упругого и периодического моментов, приложенных к передней оси робота. Обсуждаются вопросы формирования алгоритмов управления, обеспечивающих реализацию программных движений.

В [58] рассматривается четырехколесная модель движения автомобиля.

Предполагается, что автомобиль является симметричным относительно продольной оси; ширина передней и задней колеи совпадают; путевая скорость постоянна по величине; колеса одной оси имеют одинаковый угол увода; в используемой нелинейной модели контактных сил отсутствует момент верчения;

влияние подвески и запаздывание в рулевом механизме пренебрежимо малы.

При помощи численного интегрирования уравнений в среде Matlab на примере автомобилей трех различных типов исследуется влияние геометрических и инерционных параметров конструкции автомобиля на устойчивость его движения. К исследуемым параметрам относятся распределение массы между передней и задней осями, масса автомобиля и его момент инерции относительно вертикальной оси, коэффициент устойчивости (отношение ширины колеи к рассматривается в рамках отдельной задачи, при этом исследуемый параметр является варьируемым, оставшиеся параметры считаются постоянными. Во всех задачах используются одинаковые начальные условия. Показано, что наибольшее влияние на характер движения оказывает распределение массы между передней и задней осями.

В статье [48] разрабатывается методика оценки безопасности движения автомобиля при прохождении стандартного теста на объезд препятствия при постоянной скорости движения. Предложен численный алгоритм нахождения безаварийного управления и максимально возможной скорости выполнения маневра: строится дерево состояний системы (вершиной дерева является начальное состояние системы); далее, варьируя часть параметров, получают возможные состояния системы по истечении некоторого малого промежутка времени; часть из этих состояний, не удовлетворяющих наложенным на систему ограничениям, отбрасывается (к отбрасываемым относятся, например, состояния, при которых автомобиль достигает края дороги или наезжает на препятствие), а оставшиеся состояния участвуют в следующей итерации. После достижения системой заранее заданного конечного состояния получают возможные траектории движения и соответствующие им безопасные управления.

Максимальной скоростью выполнения маневра считается скорость, при которой возможно выполнение маневра с использованием хотя бы одного из найденных управлений. Приводятся результаты численного эксперимента, полученные в среде Matlab/Simulink при помощи встроенной модели автомобиля 24-го порядка, в качестве варьируемого параметра выбирается угол поворота руля.

Получены зависимости максимальной скорости выполнения маневра от коэффициентов сцепления колес с дорогой и боковой жесткости колес.

Результаты испытаний, позволяющие оценить навыки управления автомобилем при прохождении стандартного теста на объезд препятствия с участием нескольких десятков водителей, можно найти в работе [71].

Большое проскальзывание колес автомобиля относительно дороги не всегда приводит к потере водителем контроля над управлением. Более того, управляемый занос является основным типом движения в некоторых классах автомобильных гонок, например, в так называемом дрифте (DRIFT), наиболее популярном в США и Японии (рис. В.4).

Рис. В.4. Прохождение поворота в режиме управляемого заноса Работа [45] посвящена экспериментальному моделированию управляемого заноса с применением двумерной (плоской) четырехколесной модели движения заднеприводного автомобиля. Находятся управления, обеспечивающие устойчивое движения автомобиля при сильном боковом заносе. Для оценки предельных значений контактных сил, при которых занос становится неуправляемым, используется один из частных случаев Magic Formula (см. раздел 1.2). На тестовый автомобиль устанавливаются гироскоп, набор акселерометров, датчики углов поворота управляемых колес и положения педалей, позволяющие получить поле векторов ускорений корпуса автомобиля.

После экспериментального заезда по информации от датчиков, обработанной при помощи нейронной сети, находят основные характеристики движения автомобиля: продольную и угловую скорости корпуса, его угловое ускорение, величину бокового увода и связь его с боковой компонентной контактной силы, – и получают управления, позволяющие максимально эффективно проходить поворот с заносом. Используемая в работе методика позволяет изучать влияние изменения конфигурации автомобиля на процесс заноса.

Отметим несколько работ, посвященных построению управлений с обратной связью. В работе [63] разрабатывается алгоритм робастного управления, способствующего предотвращению опрокидывания транспортного средства. Выделяют два вида опрокидывания: опрокидывание на ровной поверхности и опрокидывание при ударе о препятствие в процессе заноса.

Показано, что на возможность опрокидывания автомобиля в наибольшей степени влияют ширина колесной базы и высота центра масс, поэтому данная работа в большей степени актуальна для грузовых автомобилей. Для синтеза и анализа управления передними колесами и тормозными механизмами используется линейная модель транспортного средства. Построенное управление включает в себя три механизма обратной связи: линейное безаварийное управление рулем, аварийное управление рулем и аварийное управление тормозами. В безаварийном режиме угол и угловая скорость крена корпуса автомобиля замыкаются на управление углом поворота передних колес. Для аварийного режима вводится коэффициент опрокидывания, зависящий, главным образом, от бокового ускорения центра неподрессоренной массы транспортного средства.

При достижении им некоторого критического значения последовательно активизируются механизмы нелинейного управления рулем и тормозными устройствами. Для демонстрации работоспособности построенного алгоритма управления проводится численный эксперимент с использованием нелинейной модели движения автомобиля.

Работа [76] посвящена созданию алгоритма работы рулевого управления, позволяющего избежать опрокидывания, для автомобиля с высоким центром масс и управляемыми передними колесами на основе технологии steer-by-wire (см. раздел 1.1). Построен алгоритм работы контроллера, управляющего углом поворота передних колес на основе показаний датчика положения рулевого колеса, а также датчиков, позволяющих в реальном времени оценивать вектор состояния автомобиля. При безопасном движении управление автомобилем целиком осуществляется водителем, в случае возникновения потенциально опасной ситуации, критерием которой служит превышение коэффициентом опрокидывания некоторого критического значения, включается автоматическое управление, компенсирующее ошибочные действия водителя. На основе полученного алгоритма реализован автомобильный симулятор.

В работе [25] сформирована математическая модель движения колесного транспортного средства как нелинейной динамической системы высокого порядка с неопределенными параметрами. Модель образована уравнениями движения основных элементов: корпуса, неподрессоренных элементов, вращательного движения колеса с учетом высокочастотных колебаний пневматика, уравнениями движения двигателя. Проведена оценка касательных составляющих сил взаимодействия колес с опорной поверхностью. Указанная модель применялась для разработки алгоритмов работы антиблокировочной системы для колесных транспортных средств. Результаты работы были использованы на ряде отечественных предприятий и внедрены в автомобильной корпорации DAEWOO (Южная Корея). Указанная модель рассматривается в § 1.2 при определении области применимости модели автомобиля, используемой в настоящей диссертации.

Как было указано выше, изучение динамики движения колесных транспортных средств связано с анализом систем дифференциальных уравнений, содержащих как медленно, так и быстро изменяющиеся переменные. В связи с этим численные расчеты подобных систем в реальном времени представляют сложности. Для упрощения исследования часто используют [36] дополнительные допущения, начиная от пренебрежения рядом малых величин [28], например, углом поворота передних колес [43] при движении по близкой к прямолинейной траектории или слагаемыми, содержащими большие знаменатели [28], и заканчивая использованием линеаризованной по углам бокового увода и углу подавляющем большинстве работ подобные упрощения проводятся формально и не содержат математического обоснования их корректности и указаний на точность и пределы применимости приближенных моделей. Помимо этого для формирования качественных выводов авторы, нередко, ограничиваются лишь изучением стационарных состояний и исследованием их устойчивости в зависимости от различных параметров [69] или изучением частных случаев движения, таких, как движение с постоянной путевой скоростью или постоянным углом поворота управляемых колес [61].

Применение аппарата фракционного анализа [6, 29, 39] позволяет избежать недостатков указанных выше подходов: корректность построенных приближенных моделей получает строгое математическое обоснование, составляющие движения приближенных моделей развиваются на соизмеримых интервалах времени, что позволяет использовать их в реальном времени.

Примеры приближенного моделирования в задачах транспортной механики с использованием аппарата фракционного анализа можно найти в работах [7,9– 12, 29, 30, 32, 34].

Фракционный анализ объединяет методы теории размерности и подобия и методы теории возмущений. Изложим подходы фракционного анализа [29], используемые в настоящей работе.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в форме Коши, описывающую движение исследуемой динамической системы:

Здесь T – размерное время; X1,…, X n – фазовые переменные; F1,…, Fn – рассматриваемой системы. Будем считать, что уравнения (2.1) являются описательно избыточными по отношению к указанной совокупности свойств.

Зададим характерные значения T*, X1*,…, X n*, A*, B*,… всех постоянных исследования. Характерное время T* определяется протяженностью интервала времени, на котором рассматривается движение системы. Характерные значения фазовых переменных обычно оцениваются максимальными значениями их X1* = max X1,…, X n* = max X n. Как правило, характерные значения фазовых переменных и времени связаны. За характерное значение коэффициентов одинаковой размерности принимается наибольшая из абсолютных величин этих коэффициентов: A* = max A j, B* = max B j,… Набор характерных значений определяет класс движения динамической системы, отвечающий исследуемой совокупности свойств.

Запишем уравнения (2.1) в новой системе размерностей, за единицы которой примем выбранные характерные величины. Этот прием называется безразмерными аналогами:

соответствующих величин. Благодаря проведенной нормализации значения t, x1,…, x n, a1,…, b1,… не превосходят величин порядка единицы.

После подстановки (2.2) в (2.1) в правых частях каждого из уравнений характерные значения этих правых частей. Деление на них приводит систему к виду называются парциальными постоянными времени системы по переменным X1,…, X n. Величина Tk (k = 1,K, n ) может служить оценкой интервала времени, в течение которого переменная X k изменяется на величину порядка своего характерного значения. Безразмерные параметры 1, 2,… выражаются через характерные значения из (2.2). Некоторые из параметров T1 T*,…, Tn T*, 1, 2,… могут оказаться малыми по сравнению с единицей. Они принимаются за малые параметры, соответствующие выбранному классу движения.

Составляющие движения транспортного средства обычно развиваются в сильно разнесенных временных масштабах. Рассмотрим возможные варианты упрощения системы (2.3).

Рассмотрим сначала ситуацию, когда фазовые переменные исходной системы могут быть разбиты на две группы, одна из которых объединяет "медленные" переменные, парциальные постоянные времени которых являются величинами порядка T1, вторая – "быстрые" переменные с парциальными постоянными времени порядка T2 > T1. Обозначим через T ~ T соответственно, "медленными" и "быстрыми" переменными, через Y и Z – соответствующие векторы правых частей. Изучая движение системы на больших временах T ~ T1, положим T* = T1. Будем считать, что зависимости правых частей системы (2.3) от своих аргументов таковы, что после проведенных преобразований эта система может быть записана в виде Тем самым, на временах t ~ µ, существенно меньших характерного времени t ~ движения центра масс автомобиля, произойдет "быстрое" возрастание 1, в результате чего получим u x1 0. Аналогично, при u x1 < 0 величина 1 будет "быстро" убывать, т.е. u x1 0. Тем самым, первое условие (3.1.7), реализующее рассматриваемое движение автомобиля в случае потери сцепления переднего колеса с дорогой, будет нарушено. Это требует перехода от рассматриваемой модели (3.1.5) к асимптотической модели (2.1.11), (2.1.12) или безразмерному аналогу модели (2.2.3), (2.2.4) движения автомобиля без потери сцепления колес с дорогой из §§ 2.1, 2.2.

переднего колеса, второе уравнение в (3.1.19) отсутствует, а первое, с учетом (2.1.41), имеет вид Здесь многоточием обозначены слагаемые, не зависящие от "быстрой" переменной u y 2 ;

блокировке и 1 = 1 – при пробуксовке.

Уравнение (3.1.32) имеет единственную точку покоя, поскольку его правая следовательно точка покоя системы (3.1.32) асимптотически устойчива по первому приближению, и область ее влияния совпадает с областью допустимых значений переменной u y 2, определяемой по (3.1.7) с учетом (3.1.33).

рассматриваться в качестве приближенной модели движения автомобиля в случае заноса передней оси. Согласно теореме 2 из § 2 Введения, выполнение условий (2.1.28), (3.1.29) или (2.1.28), (3.1.30), гарантирует, что рассогласование между решениями исходной (3.1.5), (3.1.6) и вырожденной систем является "медленных" переменных v x, z,,,, x, y данная оценка справедлива на всем указанном интервале времени, для "быстрых" переменных u x 2, u y 2, 1 – вне пограничного слоя малой ширины. Полученные результаты будут справедливы, если в качестве исходной рассматривать безразмерный аналог системы (1.1.3), (1.1.5)–(1.1.7).

§ 3.2. Асимптотическая модель движения в случае потери 3.2.1. Построение модели Будем считать, что начальные условия, возмущения и управления обеспечивают выполнение неравенств 1 <, 2. С учетом (1.1.9)–(1.1.11) необходимые и достаточные условия реализации данного режима движения запишутся в виде В рассматриваемом случае, в соответствии с (1.1.5), (3.2.1), касательные компоненты контактной силы на заднем колесе заменяются кулоновой силой трения скольжения.

Для построения асимптотической модели, как и ранее, перейдем в (1.1.5)– (1.1.7), (1.1.12) к новому набору переменных Vx, z, U x1, U y1, 2,,,, неоднозначности выбора независимых переменных вместо угловой скорости корпуса z в качестве независимой переменной можно было бы оставить боковую скорость центра масс автомобиля Vy. В новых переменных система примет вид Здесь, как и в (2.1.1), В случаях блокировки или пробуксовки заднего колеса пятое уравнение в (3.2.2) не выписывается. Математическая модель движения автомобиля в этих случаях получается подстановкой в выражение для U x 2, соответственно, равенств 2 = 0 или 2 = 0, где 0 = const – угловая скорость пробуксовки заднего колеса. Выражение для 0 определяется из уравнения где значение находится по характеристике двигателя, определяемой приведенным положением педали газа [18, 20, 36]; через N 0, U 0 2, U переменных Vx, z, вычисляемых в момент начала разгона.

При движении в режиме отсутствия блокировки или пробуксовки будем считать 1 ~ 2.

Проведем нормализацию системы (3.2.2), (3.2.3). На выбранном классе движения справедливы оценки 1* =, 2* = 1, откуда, согласно (1.1.6), следует U x1* = U y1* = 1*R, U x 2* = U y 2* = 2*R. Для характерных значений оставшихся переменных примем те же оценки, что и в § 3.1.

Из второго уравнения системы (3.2.2) следует оценка i2T1 ~ T1 парциальной постоянной времени углового движения автомобиля, из третьего и четвертого уравнений – оценки постоянных времени продольного T4 и бокового T движений переднего колеса, из пятого – оценка µi 2 T1 ~ T3 постоянной времени изменения угловой скорости заднего колеса, из шестого и восьмого – оценка постоянной времени T2 работы механизма рулевого управления. Как и ранее, T1, T2, T3, T4 определены в (2.1.3), i2, i 2 – в (2.1.6). Положим T* = T1.

Нормализованным аналогом системы (3.2.2), (3.2.3) будет Выражения (3.2.3) примут вид Как и ранее, запишем выражения, связывающие n1, n 2 с переменными системы (3.2.5), (3.2.6). Подставив выражения для p x1, p x 2, p y1 в формулы для n1, n 2 из (3.2.5), получим Необходимые и достаточные условия (3.2.1) реализации режима движения при потере сцепления с дорогой заднего колеса после нормализации примут вид Система (3.2.5), (3.2.6) имеет вид (2.9). Здесь µ1 = ~ µ, µ1µ 2 = µ, отвечают векторам правых частей соответствующих уравнений для y, z1, z 2.

Будем рассматривать систему (3.2.5), (3.2.6) как сингулярно возмущенную систему тихоновского вида с иерархией малых параметров: µ 0. С учетом соотношения S11 S21 < 0 последнее неравенство справедливо при выполнении условия (2.1.53) или условия Второе из неравенств p y 2 sin 0 требует, чтобы передние колеса были повернуты в сторону бокового скольжения задней оси автомобиля, т.е. наружу поворота. Подобный режим движения возникает, например, в ситуации, когда водитель пытается предотвратить занос на начальной стадии и не допустить разворота автомобиля. Условие (2.1.53) выполняется в большинстве случаев движения автомобиля в повороте с проскальзывающими задними колесами.

Подобное движение, при котором имеет место снос задней оси автомобиля и при поворачиваемостью" [36, 57, 67].

Рассмотрим коэффициент при первой степени из (3.2.25). С учетом (3.2.20), (3.2.21), (3.2.23), (3.2.24) получим Множитель перед фигурными скобками в правой части (3.2.28) положителен при выполнении условия (2.1.32). В рассматриваемом случае (3.2.7) с учетом выражений для контактных сил из (3.2.5) имеем p xj n j xj, p yj n j yj что все выражения, стоящие в правой части (3.2.28) в круглых скобках, положительны. Таким образом, при учете неравенства S21 < 0 достаточным условием положительности правой части (3.2.28) является (2.1.53).

устойчивости по первому приближению точки покоя присоединенной системы (3.2.19) достаточно одновременного выполнения условий (2.1.32), (2.1.53) или более жестких условий (2.1.36), (2.1.53). Справедливость этих условий, согласно критерию Бендиксона, также гарантирует отсутствие в системе предельных циклов, а следовательно, корректность перехода от однократно к двукратно вырожденной системе во всей области (3.2.7).

Для случая отсутствия блокировки или пробуксовки заднего колеса при p y 2 = 0 рассуждения, аналогичные проведенным в разделе 2.1.2, показывают, что на временах t ~ µ нарушается второе из условий (3.2.7), реализующее режим движения при потере сцепления с дорогой заднего колеса. Как и ранее, в этом случае требуется переход к одной из асимптотических моделей (2.1.11), (2.1.12) или безразмерному аналогу модели (2.2.3), (2.2.4) движения без потери сцепления колес с дорогой из §§ 2.1, 2.2.

В случае l2 > x2n 2, когда происходит блокировка или пробуксовка заднего колеса, второе уравнение в (3.2.19) отсутствует, а первое уравнение, с учетом (2.1.44), имеет вид Здесь многоточию отвечают слагаемые, не зависящие от "быстрой" переменной u y1 ;

2 = 0 при блокировке заднего колеса, 2 = 0 – при пробуксовке.

Точка покоя уравнения (3.2.29) является единственной, поскольку совпадает с выражением для корня u y1 = u o1 четвертого, конечного, уравнения системы (3.2.8) при подстановке в него равенств p y 2 = 0, ~ y 2 = 0. В результате линеаризации вблизи точки покоя уравнение (3.2.29) примет вид Здесь u y1 – малое отклонение от точки покоя;

выражения для p y1 u y1, n1 u y1 определены в (3.2.23), (3.2.24).

Преобразуем выражение для коэффициента перед u y1 в правой части (3.2.31) с учетом (2.1.44), (3.2.23), (3.2.24), (3.2.30), (3.2.32):

Как и в (3.2.28), выражения, стоящие в правой части (3.2.33) в круглых скобках, положительны, поэтому, при выполнении условия (2.1.32), правая часть выражения (3.2.33) отрицательна, т.е. точка покоя (3.2.29) асимптотически устойчива по первому приближению и область ее влияния совпадает с областью допустимых значений переменной u y1, определяемой по (3.2.7) с учетом (3.2.30).

(3.2.9), (3.2.10) может рассматриваться в качестве приближенной модели движения автомобиля в случае заноса его задней оси. Согласно теореме 2 из § Введения, выполнение условий (2.1.28), (2.1.32), (2.1.53) или более жестких условий (2.1.29), (2.1.36), (2.1.53), гарантирует, что рассогласование между решениями приближенной модели и исходной системы (3.2.5), (3.2.6) является "медленных" переменных v x, z,,,, x, y эта оценка справедлива на всем указанном интервале времени, для "быстрых" переменных u x1, u y1, 2 – вне пограничного слоя малой ширины. Полученные результаты будут справедливы, если в качестве исходной рассматривать безразмерный аналог системы (1.1.3), (1.1.5)–(1.1.7).

§ 3.3. Асимптотическая модель движения в случае потери 3.3.1. Построение модели Будем считать, что начальные условия, возмущения и управления обеспечивают выполнение неравенств являющихся, в соответствии с (1.1.9), необходимыми и достаточными для реализации данного режима движения.

Как и ранее, в качестве исходной рассматривается система (1.1.5)– (1.1.7), (1.1.12). В случаях блокировки или пробуксовки L j > xj N j R переднего или заднего колеса, соответственно, шестое или седьмое уравнения автомобиля в этих случаях получается подстановкой в выражения для U xj равенств j = 0 для случая блокировки и j = 0 для случая пробуксовки, где 0 = const – угловая скорость пробуксовки колеса. Выражения для находятся из уравнений (3.1.4), (3.2.4).

При движении в режиме отсутствия блокировки или пробуксовки будем считать 1 ~ 2.

Построим приближенную модель движения автомобиля для этого случая.

Приведем систему (1.1.5)–(1.1.7), (1.1.12) к нормализованной безразмерной форме. Как и ранее, будем рассматривать движение с произвольными (конечными) углами поворота передних колес и положим * = 1. Будем считать, что продольная и боковая скорость являются величинами одного порядка, т.е.

Vx * = Vy* = V*. С учетом (3.3.1) примем 1* = 1, 2* = 1, тогда из (1.1.6) следует U x1* = U y1* = 1*R, U x 2* = U y 2* = 2*R, 1* = 2* = *. Из соотношений (1.1.7) получаем оценки оставшихся переменных примем те же оценки, что и в § 2.1. Из (1.1.5)– (1.1.7), (3.3.1) следует, что на рассматриваемом классе движений переменные U xj, U yj ( j = 1,2 ) не являются "быстрыми", поэтому замена переменных исходной системы не требуется.

Из второго и пятого уравнений системы (1.1.12) следуют, соответственно, оценки T1 и i 2 T1 ~ T1 для постоянных времени бокового и углового движений автомобиля, из шестого и седьмого – оценка µi 2 T1 ~ T3 постоянных времени изменения угловых скоростей обоих колес, из восьмого и десятого – оценка постоянной времени T2 работы механизма рулевого управления.

Нормализованным аналогом системы (1.1.5)–(1.1.7), (1.1.12) будет Подставив выражения для p x1, p x 2, p y1 в формулы для n1, n 2 из (3.3.2), получим выражения для n1, n 2 через переменные системы (3.3.2):

Необходимые и достаточные условия (3.3.1) реализации режима движения при потере сцепления с дорогой обоих колес после нормализации примут вид соответствующих уравнений для y, z. Будем рассматривать (3.3.2) как сингулярно возмущенную систему тихоновского вида с малым параметром µ.

Полагая µ = 0, получим вырожденную для (3.3.2) систему Четвертое и пятое уравнения системы (3.3.5) дают выражения для продольных компонент контактных сил При движении колеса в режиме блокировки или пробуксовки равенство p xj = l j отбрасывается, и для описания p xj используются выражения из (3.3.5), при этом соответствующего колеса.

Условия реализации рассматриваемого режима движения имеют вид (3.3.4), при этом величины 1, 2 следует вычислять в силу (3.3.5).

3.3.2. Доказательство корректности модели Исследуем корректность перехода от исходной системы (3.3.2) к вырожденной системе (3.3.5). Начнем со случая, когда отсутствуют блокировка или пробуксовка одного из колес. Проверим выполнение условий теоремы 1 из § 2 Введения. Как и ранее, требования гладкости управлений l1, l2, m и возмущений f x, f y, m z обеспечивают выполнение условий аналитичности и правых частей исходной системы (3.3.2). Для проверки условия затухания "быстрых" движений перейдем в системе (3.3.2) к "быстрому" времени 2 = t / µ и, положив "быстрые" движения по переменным 1, 2 на характерных временах T ~ T3 из (2.1.3):

Здесь многоточиями обозначены слагаемые, зависящие от "медленных" по отношению к 1, 2 переменных системы (3.3.2) и времени t, которые при исследовании присоединенной системы считаются постоянными; выражения для контактных сил и нормальных реакций определяются согласно (3.3.2) и (3.3.3) соответственно.

Точка покоя 1 = 1, 2 = o системы (3.3.7) совпадает с корнем четвертого и пятого, конечных, уравнений (3.3.5) и находится из уравнений (3.3.6) с точностью до обозначений u x1 = u x1, u y1 = u y1. Система первого приближения для (3.3.7) имеет вид где 1, 2 – малые отклонения от точки покоя. В силу (3.3.2), (3.3.3) выражениями для частных производных проекций контактных сил будут Характеристический полином системы (3.3.8) имеет вид Найдем условия положительности коэффициентов полинома (3.3.11). В соответствии с (3.3.7) значения коэффициентов вычисляются при 1 = 1, Сначала рассмотрим случай p y1 0, p y 2 0. Преобразуем выражение для свободного члена из (3.3.11) с учетом (3.3.2), (3.3.3), (3.3.9), (3.3.10):

Так как для большинства автомобилей выполнено условие (2.1.28) или более жесткое условие (2.1.29), будем считать положительным коэффициент перед фигурными скобками в (3.3.12). Тогда правая часть (3.3.12) будет положительна при условии p y1 p y1 2 n1h sin > 0, что эквивалентно выполнению одного из условий (3.1.29), (3.1.30).

Преобразуем коэффициент при первой степени из (3.3.11). С учетом (3.3.2), (3.3.3), (3.3.9), (3.3.10) получим Из (2.1.28) с учетом неравенств 0 < b < 1, 0 < n 2 < 1 имеем n 2 p x 2 h > 0, выражения в правой части (3.3.13) будет Поскольку выполнено соотношение p x2 n 2 x2, можно заменить (3.3.14) более жестким достаточным условием, не требующим вычисления отношения p x 2 n 2 :

Неравенство (3.3.15) справедливо при выполнении одного из условий: (3.1.29) или Сравнение (3.1.30) и (3.3.16) показывает, что для асимптотической одновременного выполнения условий (2.1.28), (3.1.29) или (2.1.28), (3.3.16), где условие (2.1.28) можно заменить более жестким (2.1.29). Согласно критерию Бендиксона, выполнение этих условий гарантирует отсутствие в системе предельных циклов, что обеспечивает корректность перехода к вырожденной системе во всей области (3.3.4).

Рассмотрим ситуации, когда выполняется хотя бы одно из равенств p yj = ( j = 1,2). В этом случае свободный член (3.3.12) характеристического полинома (3.3.11) обращается в нуль, следовательно, точка покоя присоединенной системы (3.3.7) не является асимптотически устойчивой по первому приближению, тем самым, теорема 1 из § 2 Введения здесь неприменима.

Если равенство p yj = 0 выполнено и при этом j-е колесо не блокируется и не скользит, то рассуждения, аналогичные проведенным в разделе 2.1.2, показывают, что на временах реализующее режим движения при потере сцепления обоих колес с дорогой. Как и ранее, в этом случае необходим переход к одной из асимптотических моделей движения из §§ 2.1, 2.2, 3.1, 3.2. Выбор модели производится по результатам проверки условий (1.1.8), (1.1.9) и оценки величины угла поворота переднего колеса.

Рассмотрим значения l1 > x1n1, при которых происходит блокировка или пробуксовка переднего колеса в случае p y 2 0. Присоединенная система имеет вид Здесь многоточию отвечают слагаемые, не зависящие от 2 ; p x 2 вычисляется в силу (3.3.2); при p y1 0 выражения для нормальных реакции имеют вид (3.3.3), при p y1 = 0 (p x1 = x1n1sign u x1 ) – вид Точка покоя 2 = 0 уравнения (3.3.17) находится из (3.3.6) при j = 2 с точностью до обозначений u x 2 = u x 2, u y 2 = u y 2 и является единственной.

Результатом линеаризации (3.3.17) вблизи точки покоя будет Здесь, как и ранее, 2 – малое отклонение от точки покоя; выражения для p x 2 2, n1 2 определены в (3.3.9), (3.3.10).

С учетом (3.3.2), (3.3.9), (3.3.10), (3.3.18) множитель при 2 в правой части (3.3.19) примет вид При выполнении (2.1.28) правая часть (3.3.20) будет отрицательна, точка покоя (3.3.17) асимптотически устойчива по первому приближению, и область ее влияния будет совпадать с областью допустимых значений переменной 2, определяемой вторым из условий (3.3.4) с учетом (3.3.2).

Рассмотрим случай l2 > x2n 2 блокировки или пробуксовки заднего колеса при p y1 0. Присоединенная система имеет вид Здесь многоточию отвечают слагаемые, не зависящие от 1 ; p x1 вычисляется в силу (3.3.2); при p y 2 0 выражения для нормальных реакций имеют вид (3.3.3), Точка покоя 1 = 1 уравнения (3.3.21) находится из (3.3.6) при j = 1 с точностью до обозначений u x1 = u x1, u y1 = u y1 и является единственной.

Результатом линеаризации (3.3.21) вблизи точки покоя служит Здесь, как и ранее, 1 – малое отклонение от точки покоя; выражения для p x1 1, n1 1 определены в (3.3.9), (3.3.10).

С учетом (3.3.2), (3.3.9), (3.3.10), (3.3.22) множитель при 1 в правой части (3.3.23) примет вид Правая часть (3.3.24) отрицательна при выполнении условия (3.3.14) или одного из более жестких условий (3.1.29), (3.3.16). В этом случае точка покоя (3.3.21) асимптотически устойчива по первому приближению, и область ее влияния будет совпадать областью допустимых значений переменной 1, определяемой первым из условий (3.3.4) с учетом (3.3.2).

Если выполнены неравенства то движение автомобиля описывается системой, полученной из исходной системы (3.3.2) игнорированием четвертого и пятого уравнений. В этом случае система не содержит уравнений, описывающих "быстрые" движения, и использованная в работе методика не позволяет получить асимптотическую модель движения автомобиля.

Таким образом, за исключением ситуации (3.3.25), вырожденная система (3.3.5) может рассматриваться в качестве приближенной модели движения автомобиля в случае потери сцепления с дорогой колес обеих осей. Согласно теореме 1 из § 2 Введения, выполнение условий (2.1.28), (3.1.29) или (2.1.28), (3.3.16), где условие (2.1.28) можно заменить более жестким условием (2.1.29), гарантирует, что рассогласование между решениями исходной (3.3.2) и вырожденной систем является величиной O( + µ ) ~ 20% на конечном интервале времени t ~ 1. Для "медленных" переменных v x, v y, z,,,, x, y эта оценка справедлива на всем указанном интервале времени, для "быстрых" переменных 1, 2 – вне пограничного слоя малой ширины. Полученные результаты будут справедливы, если в качестве исходной рассматривать безразмерный аналог системы (1.1.3), (1.1.5)–(1.1.7).

§ 3.4. Численное исследование модели переменной структуры Для анализа полученных в §§ 3.1–3.3 асимптотических моделей движения автомобиля удобно записать их уравнения в размерных переменных.

Размерным аналогом модели (3.1.9), (3.1.10) движения автомобиля при потере сцепления с дорогой переднего колеса будет В случае блокировки или пробуксовки переднего колеса равенство Px1 = L1 R опускается. Необходимыми и достаточными условиями реализации данного режима движения служат Приближенная модель (3.2.9), (3.2.10) движения автомобиля при потере сцепления с дорогой заднего колеса в размерных переменных запишется в виде В случае блокировки или пробуксовки заднего колеса равенство Px 2 = L 2 R опускается. Необходимыми и достаточными условиями реализации данного режима движения служат Приближенная модель (3.3.5), (3.3.6) движения автомобиля при потере сцепления с дорогой обоих колес в размерных переменных примет вид В случаях блокировки или пробуксовки колес равенства Pxj = L j R опускаются. Необходимыми и достаточными условиями реализации данного режима движения служат Приведенные в этом разделе приближенные математические модели (3.4.1), (3.4.3), (3.4.5) движения автомобиля при различных вариантах потери сцепления колес с дорогой совместно с моделями (2.2.1), (2.2.2) и (2.2.3), (2.2.4) движения автомобиля без потери сцепления колес с дорогой образуют динамическую модель переменной структуры. Выражения (3.4.2), (3.4.4), (3.4.6) и (1.1.10) служат, соответственно, условиями перехода от одной приближенной модели к другой.

Численный анализ построенной динамической системы проводился при типовых значениях параметров легкового автомобиля из § 1.2: M = 1000 кг, = µ = 0,1. Как и ранее, предполагалось, что на систему не действуют внешние возмущения. За исключением ситуаций, оговоренных непосредственно в ходе решения, численное интегрирование прерывалось по истечении заранее заданного временного интервала или при достижении автомобилем близкой к нулевой путевой скорости в задачах о торможении.

В случае, когда теряет сцепление переднее колесо, было принято периферийных точек переднего колеса в случае его пробуксовки считалась равной 20 м/с.

На рис. 3.1, 3.2 изображены последовательные положения продольной оси автомобиля для случаев потери сцепления переднего колеса при блокировке Vx (0) = 1 м / с соответственно.

На рис. 3.3 представлен график изменения в зависимости от T для случая пробуксовки переднего колеса.

Рис. 3.1. Последовательные положения продольной оси автомобиля при торможении с блокировкой передних колес и фиксированным (нулевым) углом поворота передних колес.

Рис. 3.2. Последовательные положения продольной оси переднеприводного автомобиля при разгоне с пробуксовкой передних колес и фиксированным (нулевым) углом поворота Рис. 3.3. Зависимость угла курса переднеприводного автомобиля от времени при разгоне с пробуксовкой передних колес и фиксированным (нулевым) углом поворота передних колес.

Анализ графиков показывает благоприятное с точки зрения безопасности движение автомобиля. Причина быстрой стабилизации угла может быть объяснена при помощи приближенной модели (3.4.1). В силу этой модели автомобиль вращается вокруг непроскальзывающей точки контакта заднего колеса с дорогой. Подставив выражение для Py 2 во второе уравнение системы (3.4.1), получим:

Знак слагаемого относительно точки контакта заднего колеса, противоположен знаку z, следовательно, указанный момент имеет стабилизирующий характер.

Рис. 3.4. Последовательные положения продольной оси автомобиля при торможении с блокировкой задних колес, фиксированным (нулевым) углом поворота передних колес и различными начальными угловыми скоростями z корпуса. Vx(0) = 10 м/с Рис. 3.5. Зависимость боковой координаты Y0 центра масс и угла курса 0 автомобиля в момент остановки от начальной угловой скорости корпуса при торможении с блокировкой задних колес и фиксированным (нулевым) углом поворота передних колес. Vx(0) = 10 м/с На рис. 3.4 показаны последовательные положения продольной оси автомобиля для случая блокировки заднего колеса при торможении. Было принято Vx (0) = 10 м / с, L1 0.

На рис. 3.5 приведены графики отвечающие зависимостям от z (0) бокового отклонения Y0 и угла поворота корпуса 0 в момент T = T0 остановки автомобиля. Видно, что в этом случае потери сцепления колеса с дорогой движения. Графики позволяют установить связь между величинами 0 = z (0), 0 = 0, Y0 и T0, фигурирующими в определении заноса из Введения. Резкое возрастание угла объясняется при помощи приближенной модели (3.4.3).

Подставив выражение для Py1 во второе уравнение этой модели, получим Правая часть уравнения содержит слагаемое MVx z A, определяемое моментом инерционных сил относительно точки контакта непроскальзывающего переднего колеса. Поскольку знак указанного момента совпадает со знаком z, он имеет дестабилизирующий характер.

Рис. 3.6. Зависимость угловой скорости от продольной скорости автомобиля при торможении с блокировкой задних колес и с фиксированным (нулевым) углом поворота передних колес.

Оценка погрешности построенной с применением асимптотических методов динамической модели переменной структуры имеет асимптотический характер и, строго говоря, справедлива при 0, µ 0. Для числовой оценки погрешности асимптотической модели при фиксированных значениях малых зависимости от Vx для случая блокировки заднего колеса при торможении.

Сплошная линия отвечает исходной системе (1.1.5)–(1.1.7), (1.1.12), пунктирная – асимптотической модели (3.4.3). Значения параметров систем и начальные условия взяты одинаковыми. Сравнение графиков указывает на совпадение числовой оценки погрешности с ожидаемой согласно § 2 Введения величиной На рис. 3.7 приведен график, аналогичный графикам на рис. 3.1, 3.2, 3.4, для случая пробуксовки заднего колеса при разгоне. Было принято Vx (0) = 1 м / с, z (0) = 0,1 1 / с, L1 0, окружная скорость пробуксовки периферийных точек колеса полагалась равной 15 м/с. Численное интегрирование прекращалось в момент восстановления сцепления заднего колеса с дорогой. На рис. 3.8 показан график изменения угловой скорости корпуса z от времени. Как и в случае блокировки, момент инерционных сил относительно непроскальзывающего переднего колеса имеет дестабилизирующий характер, что приводит к возрастанию z (T ) при T < T1. Момент времени T = T1 соответствует потере сцепления с дорогой обоих колес автомобиля, т.е. изменению структуры модели его движения.

Рис. 3.7. Последовательные положения продольной оси заднеприводного автомобиля при разгоне с пробуксовкой задних колес и фиксированным (нулевым) углом поворота передних Рис. 3.8. Зависимость угловой скорости корпуса заднеприводного автомобиля от времени при разгоне с пробуксовкой задних колес и фиксированным (нулевым) углом поворота передних В соответствии с моделью (3.4.5), автомобиль вращается вокруг центра масс, относительно которого силы кулонова трения на обоих колесах создают момент противоположного к z знака. Поэтому при T > T1 скорость возрастания z уменьшается до нуля, после чего z начинает убывать.

Сопоставление полученных результатов показывает, что потеря сцепления с дорогой заднего колеса опаснее с точки зрения безопасности движения по сравнению с потерей сцепления переднего колеса.

Рис. 3.9. Последовательные положения продольной оси полноприводного автомобиля при разгоне с пробуксовкой колес обеих осей и фиксированным (нулевым) углом поворота Рис. 3.10. Зависимость угла курса полноприводного автомобиля от времени при разгоне с пробуксовкой колес обеих осей и фиксированным (нулевым) углом поворота передних На рис. 3.9 приведен график, аналогичный графикам на рис. 2.5, 3.1, 3.2, 3.4, для случая движения автомобиля с пробуксовкой колес обеих осей. Было периферийных точек колес считалась равной 20 м/с. На рис. 3.10 представлен график (T ) для этого случая. Численное интегрирование прекращалось в момент, когда одно из колес обретало сцепление с дорогой. Видно, что в процессе движения угол достаточно быстро стабилизируется. Поэтому занос автомобиля в случае потери сцепления обоих колес менее опасен, чем занос в случае потери сцепления заднего колеса.

Рассмотренное качественное поведение динамической системы под действием приложенных к колесам разгонных и тормозных моментов хорошо согласуется с традиционными способами прекращения начавшегося заноса автомобиля [43]: при заносе с сильным боковым проскальзыванием колес одной из осей следует уменьшить величину управляющего момента и восстановить сцепление для колес скользящей оси, либо добиться потери сцепления для колес противоположной оси, увеличив величину приложенного к ним момента.

Например, в случае заноса при разгоне с потерей сцепления с дорогой колес задней оси при движении на заднеприводном автомобиле рекомендуется отпустить педаль газа или выключить сцепление, на переднеприводном автомобиле педаль газа следует нажать или применить торможение двигателем.

Оценим влияние на занос управления рулем. На рис. 3.11 сопоставляются график для z (0) = 0,03 1 / с, показанный на рис. 3.4, с аналогичным графиком, построенным для тех же начальных условий и отличном от нуля значении угла поворота передних колес = 0,05. Знак величины определен в соответствии с традиционными рекомендациями по вождению [43]: поворачивать руль в сторону заноса задней оси автомобиля. Видно, что такое управление дает существенное уменьшение значений Y = Y0, = 0 в момент остановки автомобиля. Если при данном режиме движения поворачивать руль в противоположную сторону, то значения Y0, 0 увеличатся.

Рис. 3.11. Последовательные положения продольной оси автомобиля при торможении с блокировкой задних колес и фиксированном (нулевом) и повернутом в сторону заноса задней оси угле поворота передних колес. z(0) = 0,03 1/c, Vx(0) = 10 м/с Расчеты показали, что при значениях параметров четырехколесной модели движения автомобиля (см. § 1.2), согласованных с используемыми в данном разделе параметрами "велосипедной" модели, качественное поведение решений указанных моделей совпадает. Проведенный анализ асимптотических моделей позволяет сформировать качественные оценки влияния тех или иных факторов управления автомобилем на его занос. Разработанная приближенная модель переменной структуры может быть использована для формирования алгоритмов, управляющих системами активной безопасности.

различных вариантах потери сцепления колес с дорогой дало возможность разработать алгоритм разделения движений колесных транспортных средств, движущихся с малыми боковыми наклонами, в случае малых различий между характеристиками сцепления правых и левых колес одной оси с дорогой. При помощи методов фракционного анализа построены приближенные математические модели движения автомобиля при потере сцепления с дорогой переднего, заднего или обоих колес; получены аналитические и численные оценки точности и пределов применимости моделей.

Сформированный алгоритм позволил разделить составляющие движения системы на группу "медленных" переменных, изменяющихся на временах порядка нескольких секунд, в течение которых происходят движения центра масс и угловые движения автомобиля в ходе заноса; группы "быстрых" переменных первой и второй очереди, описывающих, соответственно, движение точек контакта не потерявших сцепление колес с дорогой в продольном и боковом направлениях, происходящих на временах порядка 10 2 10 1 с. (При движении с потерей сцепления обоих колес "быстрыми" являются угловые скорости вращения колес.) Моделями "медленных" переменных являются безразмерные аналоги из §§ 3.1–3.3. "Быстрые" переменные описываются соответствующими присоединенными системами из §§ 3.1–3.3.

Сформирована приближенная динамическая модель переменной структуры, описывающая возможные движения автомобиля в ходе заноса.

Указанная модель образована асимптотическими моделями движения автомобиля при различных вариантах потери сцепления колес с дорогой и условиями (3.4.2), (3.4.4), (3.4.6) перехода от одной модели к другой.

Разработанная модель совместно с уравнениями "быстрых" переменных может быть использована для формирования алгоритмов антизаносного управления.

Проведен численный анализ динамической модели переменной структуры, позволивший подтвердить ее достоверность на основании тестовых расчетов (в частности, показано, что потеря сцепления с дорогой задних колес опаснее с точки зрения безопасности движения по сравнению с потерей сцепления передних или колес обеих осей автомобиля); рассмотрено влияние на ход заноса управляющих параметров – разгонных, тормозных моментов и угла поворота передних колес.

В диссертационной работе были разработаны подходы, позволяющие сформировать простые математические модели движения колесных транспортных средств при различных вариантах потери сцепления колес с дорогой. Класс исследуемых движений автомобиля ограничивался движением с малыми боковыми наклонами и малыми различиями характеристик сцепления каждого из колес одной оси с дорогой. Поэтому в качестве исходной (полной) модели рассматривалась "велосипедная" модель движения автомобиля, т.е.

модель, в которой отсутствуют боковые наклоны и каждое из колес одной оси заменено одним эквивалентными колесом. Модель касательных составляющих контактных сил в точках взаимодействия колес с дорогой, в отличие от неголономной модели, учитывала возможность малых проскальзываний колес относительно дороги. Для случая малых проскальзываний используемые выражения для контактных сил обобщали классические представления о нелинейных моделях увода. В случае потери сцепления колеса с дорогой моделью контактных сил служила модель кулонова трения.

Для приближенного математического моделирования движения автомобиля в работе использовалась методика фракционного анализа, объединяющая методы теории размерности и подобия и методы теории возмущений. Применение указанных методов к рассматриваемой системе позволило упростить "велосипедную" модель движения автомобиля и получить оценки возможного развития заноса. Построенные модели могут применяться для верификации более сложных численных моделей движения автомобиля.

Поскольку приближенные модели учитывают малые проскальзывания колес, не потерявших сцепление с дорогой, они, в отличие от их неголономных аналогов, могут быть рекомендованы для формирования алгоритмов антизаносного управления, позволяющих предотвратить развитие или парировать уже начавшийся занос. Указанное направление может служить одним из возможных перспективных направлений исследований в области математического моделирования заноса.

Перечислим коротко основные результаты работы.

учитывающая псевдоскольжения колес. При помощи методов фракционного анализа, включающего методы теории размерности и подобия и методы теории возмущений, построены асимптотические модели движения автомобиля для случая произвольных углов поворота передних управляемых колес. Указанные модели описывают порознь "медленные" движения на временах порядка нескольких секунд, в течение которых происходят траекторные движения автомобиля, и "быстрые" изменения скоростей точек контакта колес.

2. Рассмотрена неголономная модель движения автомобиля, имеющая тот же порядок дифференциальных уравнений, что и асимптотическая модель "медленных" составляющих движения для случая псевдоскольжения колес.

Проведено аналитическое и численное сравнение неголономной модели и моделей, полученных асимптотическими методами.

3. При помощи методов фракционного анализа построены приближенные математические модели движения автомобиля при различных вариантах потери сцепления колес с дорогой. Получены оценки точности и условия корректности моделей. На основании указанных моделей построена динамическая модель переменной структуры, описывающая движение автомобиля в различных дорожных ситуациях.

4. Проведен численный анализ динамической модели переменной структуры, позволивший подтвердить ее достоверность на основании тестовых расчетов; рассмотрено влияние на ход заноса управляющих параметров – разгонных, тормозных моментов и углов поворота передних колес.

[1]. Абгарян К.А. Введение в теорию устойчивости движения на конечном интервале времени. М.: "Наука", 1992. 160 с.

[2]. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. – 916 с.

[3]. Бурдаков С.Ф., Мирошник И.В., Стельмаков Р.Э. Системы управления движением колесных роботов. Спб.: Наука, 2001. – 227 с.

[4]. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Ч. 1. Кинематика, статика, динамика материальной точки. М.: Наука, 1965. – 467 с.

[5]. Васильева А.Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных производных. // Ж. выч. матем. и мат. физ. 1963. Т. 3, № 4. С. 611–642.

[6]. Васильева А.Б, Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990. – 208 с.

антиблокировочной системы автомобиля. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М.: 2006. – 123 с.

[8]. Вильке В.Г. О качении вязкоупругого колеса. // Изв. РАН. МТТ. 1993. №6. С.

11-15.

[9]. Влахова А.В. К оценке пределов применимости модели Н. Е. Жуковского для планирующего полёта. // Фундамент. и прикл. матем., 2005. Т. 11, вып. 7. С. 21Влахова А.В. Математические модели движения железнодорожного вагона конечной жесткости. // Изв. РАН, МТТ, 2000, №4. С. 30-38.

[11]. Влахова А.В. Разделение движений механических систем без явного разбиения переменных на «быстрые» и «медленные». // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М.: 2000. – 122 с.

[12]. Влахова А.В., Новожилов И.В. О заносе колесного экипажа при «блокировке» и «пробуксовке» одного из колес. // Фундаментальная и прикладная математика, 2005. Т.11, вып.7. С. 11-20.

[13]. Влахова А.В., Новожилов И.В., Смирнов И.А. Математическое моделирование заноса автомобиля.// Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика. Механика, №6, 2007. С. 44–50.

[14]. Влахова А.В., Смирнов И.А. Письмо в редакцию. // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика. Механика, №???, 20??. С. ???.

[15]. Влахова А.В., Смирнов И.А. Занос колесного экипажа на вираже. // Труды XII международного научно-технического семинара "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации". Сентябрь 2003 г, Алушта. – М.: Изд-во МЭИ, 2003. С.330-331.

[16]. Влахова А.В., Смирнов И.А. Методы приближенного математического моделирования движения автомобиля. // Материалы 49-ой международной научно-технической конференции ААИ "Приоритеты развития отечественного автотракторостроения и подготовки инженерных и научных кадров". Секция 4.

"Математические методы моделирования и оптимизации автотранспортных средств". Часть 1. М.: МАМИ, 2005. С.37-40.

[17]. Влахова А.В., Смирнов И.А. Описание движения автомобиля при помощи модели переменной структуры. // Труды XIV международного научнотехнического семинара "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации". Сентябрь 2005 г., Алушта. - Самара:

Самарский государственный аэрокосмический университет, 2005. С. 90.

[18]. Драгунов С.С., Катанаев Н.Т., Размыслова Ю.Е. Идентификация внешней и частичных скоростных характеристик двигателя. // Матер. 49-й международной.

научно-технической конференции ААИ "Приоритеты развития отечественного автотракторостроения и подготовки инженерных и научных кадров". Секц. 4. Ч.

1. М.: МАМИ, 2005. С. 39–40.

[19]. Журавлев В.Ф. О модели сухого трения в задаче качения твердых тел. // Прикладная математика и механика. Т. 62. Вып. 5, 1998. С. 762–767.

[20]. Карабцев В.С. Улучшение топливной экономичности и тягово-скоростных свойств магистрального автопоезда совершенствованием методов и комплексного критерия оценки эксплуатационной эффективности на стадии проектирования и доводки. //

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. Набережные Челны, 2009. – 18 с.

[21]. Келдыш М.В. Избранные труды. Механика. М.: Наука, 1985. – 567 с.

[22]. Кондратьев В.Ф. О динамике автомобиля на поворотах. // Сборник научных трудов. Серия "Естественнонаучная" №1 (7) СевКавГТУ. Ставрополь, 2004.

[23]. Контенсу П. Связь между трением скольжения и трением верчения и ее учет в теории волчка. // Проблемы гироскопии. 1967. С. 60–77.

[24]. Левин М.А., Фуфаев Н.А. Теория качения деформируемого колеса. М.:

Наука, 1989. – 269 с.