«РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ И МЕТОДОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КООРДИНАТ НАЗЕМНЫХ ПУНКТОВ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ТРАЕКТОРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ СПУТНИКОВ ...»

3.5 Условия наблюдаемости при определении ЭВО по ГНСС измерениям Одной из задач космической геодезии является задача оценивания по результатам радиодальномерных траекторных измерений спутников ЭВО, связывающих различные геодезические системы координат. Одним из актуальных вопросов здесь является получение единственного и устойчивого к ошибкам исходных данных вектора решения, то есть вопрос регулярной и корректной постановки такой задачи оценивания. В этом подразделе рассмотрим качественные и количественные условия наблюдаемости ЭВО для некоторых геометрических схем взаимного расположения НП [41, 52, 57].

При определении пространственного положения НП с помощью ГНССтехнологий потребитель вычисляет его геоцентрический радиус-вектор RG в общеземной системе координат (OXYZ )G, под которой в этом подразделе будем понимать систему WGS-84. Чтобы найти пространственное положение НП (геоцентрический радиус-вектор RГ) в какой-либо референцной системе (OXYZ)Г, необходимо выполнить матричное преобразование (1.52) вектора R G, в котором поправку к масштабу примем k=0, Видно, что для определения координат НП по ГНСС-измерениям абсолютным методом, необходимо знать все шесть ЭВО – три угла поворота и три компоненты вектора смещения dR.

При определении координат НП относительным методом спутниковые приемники устанавливаются на двух и более пунктах (НП-1, НП-2 и т.д.).

Приемники синхронно выполняют радиодальномерные траекторные измерения нескольких навигационных КА. После математической обработки этих измерений Z ]T. Если пространственное положение НП-1 известно (опорный пункт), то положение определяемого пункта НП-2 находится как Обычно пространственное положение НП требуется определять в геодезической системе координат. В этой же системе задаются и пространственные положения (геоцентрические радиус-векторы RГ) одного или нескольких опорных относительного положения пунктов в геодезической системе, то легко находится пространственное положение определяемого НП этой же системе координат Вектор R Г может быть найден следующим образом [57] Откуда получается простое матричное выражение в котором вектор R G будет вычислен в системе (OXYZ )G в процессе обработки ГНСС-измерений. Получается, если известны углы, то можно определить вектор R, а затем по формуле (3.21) – и пространственное геодезической системе координат по ГНСС-измерениям относительным методом необходимо знать углы, но не требуется информации о векторе dR.

Задача определения шести ЭВО решается следующим образом. На нескольких опорных НП, заданных в геодезической системе, выполняются ГНССизмерения абсолютным методом. После обработки измерений получаются пространственные положения этих НП в общеземной системе координат. Затем углы поворотов и вектор смещения находятся из решения СЛАУ [111], записанных в таком виде где m – число опорных пунктов;

E – единичная матрица;

R G – трехмерный вектор-столбец RG [ XYZ ]T вычисленных (составлен из результатов абсолютных ГНСС-измерений) прямоугольных координат опорных НП в системе (OXYZ )G.

В уравнениях (3.24) матрица D1 составлена из прямоугольных координат опорного пункта в системе (OXYZ )Г и определяется по формуле (1.56). Зная углы поворотов, вектор смещения dR и результаты абсолютных ГНСС-измерений определяемых НП в геодезической системе.

В случае относительных ГНСС-измерений решение задачи определения ЭВО сводится к следующему. На нескольких опорных НП, заданных в геодезической системе координат радиус-векторами RГ1, RГ2,..., RГm (m – число опорных НП), выполняются относительные ГНСС-измерения. После их математической обработки вычисляются векторы относительного положения НП (базовые координат. Их численные значения выбираются из протоколов работы утилиты “Baseline” программного комплекса “GPSurvey”, либо “Trimble Geomatics Office”.

Ниже эти векторы будут рассматриваются как измеренные. По формуле (3.21) между этими же пунктами вычисляются векторы R относительного положения НП в геодезической системе.

равенством После простых матричных преобразований равенства (3.25), получим Здесь матрица D3 составлена из компонент вектора R и имеет вид Для k относительных ГНСС-измерений формируется СЛАУ [57] после решения которой находятся углы малых поворотов. При наличии этих определяются векторы (3.23). Затем по формуле (3.21) осуществляется передача координат с опорных пунктов на определяемые. Так решаются задачи определения пространственных координат НП и ЭВО по результатам абсолютных и относительных ГНСС-измерений.

Ниже получим условия глобальной ненаблюдаемости ЭВО для абсолютных и относительных ГНСС-измерений, предварительно отметив следующий факт. По относительным ГНСС-измерениям вектор смещения не определяется, а по абсолютным измерениям этот вектор определяется по любому числу измерений, так как в выражении (3.24) матрица коэффициентов перед вектором dR является ортогональной матрицей.

Из анализа матриц D1 и D3 следует, что углы не определяются из результатов абсолютных и относительных ГНСС-измерений в случаях, когда [57]:

а) выполнено только одно измерение (здесь определители |D1|=|D3|=0);

б) измерения выполнены на пунктах, расположенных на полюсах (здесь определители |D1|=|D3|=0);

в) измерения выполнены на пунктах, расположенных на экваторе (здесь определители |D1|=|D3|=0).

При проведении ГНСС-измерений абсолютным методом углы поворотов не определяются, если:

а) НП расположены на одном меридиане (в этом случае будут линейно зависимы первый и второй столбцы матрицы D1);

б) НП расположены в точках с координатами B= L= 45, 125, 225, 315.

Для получения и последующего анализа количественных условий наблюдаемости ЭВО и ошибок их определения применительно к различным геометрическим схемам взаимного расположения опорных НП в данной работе применялись следующие авторские методика и технология.

Разработан математический алгоритм и составлена вычислительная программа, моделирующая задачу оценивания ЭВО для различных геометрических схем взаимного расположения опорных НП. В ней анализируется качество геометрии взаимного расположения НП, которое выражается в виде числа обусловленности матрицы коэффициентов СЛАУ (3.24) и (3.28), а также абсолютных ошибок определения ЭВО. В программе задаются пространственные координаты НП (взятые из каталогов либо с карты прямоугольные или эллипсоидальные), на которых в дальнейшем планируется выполнить абсолютные или относительные ГНСС-измерения с целью определения ЭВО на заданном участке работ. Задаются и примерные значения ЭВО тех координатных систем, в которых будет выполняться исследовательская либо производственная работа (кроме референцной и общеземной систем координат могут использоваться другие системы, например, местные). На данном этапе эти примерные ЭВО будут считаться точными параметрами. Ниже для проведения экспериментов будут рассмотрены только две наиболее часто используемые системы координат: CК-42 и WGS-84.

В программе пространственные координаты опорных пунктов, представленные в виде радиус-векторов RГ, по формуле (1.54) трансформируются из референцной системы в общеземную, т. е. формируются радиус-векторы RG. Затем эти радиус-векторы случайным образом искажаются ошибками, численные значения которых отражают уровень точности определения пространственных координат по планируемым ГНСС-измерениям. В итоге получаются пространственные положения R пунктов в геодезической и искаженные ошибками положения R G этих же пунктов в общеземной системах координат. Эти векторы могут быть использованы для получения и последующего анализа количественных условий наблюдаемости ЭВО по результатам абсолютных ГНСС-измерений. Для решения поставленной задачи по результатам относительных ГНСС-измерений на основе известных R и R G по формулам (3.20) и (3.21) формируются базовые векторы Rи R G. Эти векторы вычисляются для тех линий между НП, по которым планируется выполнять относительные ГНСС-измерения.

Затем составляются СЛАУ (3.24) или (3.28), которые решаются по МНК с применением процедуры сингулярного разложения сформированных прямоугольных матриц коэффициентов с последующим расчетом числа обусловленности (A) и определением полного либо эффективного рангов этих матриц (см. приложение Б). В процессе решения СЛАУ находятся ЭВО для заданной (смоделированной) геометрической схемы взаимного расположения опорных НП. Далее, эти ЭВО сравниваются с заданными изначально (примерными ЭВО) и определяются их абсолютные ошибки. Если точность определения ЭВО по данному взаимному расположению опорных НП и методу ГНСС-измерений удовлетворительна, то эти пункты используются для определения ЭВО по реальным абсолютным или относительным ГНССизмерениям. Если эта точность не удовлетворительна, то выбирается и анализируется другая геометрическая схема взаимного расположения опорных пунктов. Заметим, что эта же программа применяется и для определения ЭВО по результатам реальных ГНСС-измерений. Она хорошо зарекомендовала себя при проведении производственных геодезических работ по развитию геодезических сетей сгущения с помощью относительных ГНСС-измерений.

применительно к абсолютным и относительным ГНСС-измрениям были получены по описанной выше методике и технологии ее реализации для следующих геометрических построений: треугольник, четырехугольник, четырехугольник с одной и двумя диагоналями, трех и четырех лучевые построения. Средние длины линий фигур изменялись от 2,5 до 80 км. При проведении эксперимента брались ЭВО для систем координат WGS-84 и СК-42, а абсолютные ошибки координат опорных НП не превышали 10 см.

В результате экспериментальных исследований установлено следующее [52, 57]. При использовании абсолютных измерений задача оценивания ЭВО по указанным выше геометрическим построениям характеризуется плохой обусловленностью (рисунок 3.1), приводящей к большим ошибкам.

1 – три луча; 2 – четырехугольник; 3 – треугольник; 4 – четыре луча Здесь эффективный ранг матрицы коэффициентов СЛАУ (3.24) всегда равен 4, а абсолютные ошибки ЭВО практически одинаковы (таблица Л.1) (приложение Л).

Наиболее предпочтительными для определения ЭВО являются относительные ГНСС-измерения и геометрические фигуры – четырехугольники с одной и двумя диагоналями, четырех лучевые построения. Здесь обусловленность матрицы коэффициентов СЛАУ (3.28) значительно меньше, чем при абсолютных ГНССизмерениях. Значения числа обусловленности находятся в пределах от 1,4 до 3, (рисунок 3.2), а абсолютных ошибок углов – от 0,000" до 0,003" (таблица Л.2) (приложение Л). Кроме этого, численные значения этих величин практически не изменяются при увеличении средней длины линии геометрических построений.

Менее предпочтительными для определения ЭВО относительным методом являются четырехугольник и трех лучевое построения. Здесь при средних длинах линий фигур до 20 км число обусловленности быстро уменьшается и после 20 км практически стабилизируется (рисунок 3.2). Отсюда следует, что в случае возникшей необходимости эти построения желательно применять только при средних длинах линий более 20 км.

1 – четыре луча; 2 – четырехугольник с одной диагональю; 3 – четырехугольник с двумя Из всех рассмотренных геометрических построений треугольник является наиболее плохой фигурой для определения ЭВО как по абсолютным, так и по относительным ГНСС-измерениям (рисунки 3.1 и 3.3). В обоих случаях матрицы коэффициентов соответствующих СЛАУ характеризуются очень большими числами обусловленности и ошибками решения (таблицы Л.1 и Л.2) (приложение Л).

Рисунок 3.3 – Относительные определения (треугольник) Из полученных результатов проведенных экспериментов следует, что при развитии различных ГСС относительными ГНСС-измерениями эти сети должны опираться не менее чем на четыре исходных пункта. В этом случае будет образовываться не менее шести векторных ходов (замыкающих векторов) между исходными пунктами и определение ЭВО при этом будет происходить по схеме четырехугольника с двумя диагоналями.

Если требуется определить шесть ЭВО, то лучше решать эту задачу следующим образом. Между исходными НП нужно выполнить относительные ГНСС-измерения, при этом одновременно на этих же пунктах будут получены и абсолютные измерения. По результатам относительных ГНСС-измерений определяется вектор малых углов, затем радиус-векторы R исходных НП трансформируются в общеземную систему координат и вычисляется вектор смещения dR по формуле В подтверждение сказанному приведем результаты двух вариантов численного эксперимента по определению ЭВО.

В первом варианте имитировались абсолютные ГНСС-измерениия, выполненные на исходных НП, образующих треугольник. Средняя длина стороны треугольника 10 км, а пространственные координаты исходных НП заданы с погрешностью порядка 10 см. По этим измерениям были определены углы малых поворотов и вектор смещения dR со следующими значениями абсолютных ошибок: X=1,73", Y=0,68", Z=0,56", dX=27,2 м, dY=42,9 м, dZ=32,0 м (таблица Л.1) (приложение Л). Полученный результат можно считать неудовлетворительным.

Во втором варианте между исходными НП имитировались относительные ГНСС-измерения, выполненные по схеме четырехугольника с двумя диагоналями.

Средняя длина стороны этой фигуры и погрешность пространственных координат исходных НП составляли 10 км и 10 см соответственно. Сначала по относительным ГНСС-измерениям из решения СЛАУ (3.28) были определены углы малых поворотов с абсолютной ошибкой =0,000" (таблица Л.2) (приложение Л). Затем с использованием этих углов и результатов абсолютных ГНСС-измерений, взятых из первого варианта, по формуле (3.29) был определен вектор смещения dR со следующими значениями абсолютных ошибок: dX=0, м, dY=0,027 м, dZ=0,059 м. Полученный результат можно считать вполне удовлетворительным.

В заключение отметим, что использование на этапе планирования проведения геодезических работ такого подхода и методики для определения ЭВО и координат НП по абсолютным или относительным ГНСС-измерениям делает постановку задачи оценивания регулярной и корректной с выполнением заданного критерия точности оцениваемых параметров.

3.6 Методика оценки влияния ошибок расчета матрицы коэффициентов и вектора правой части на решение СЛАУ в некоторых задачах космической геодезии Рассмотрим методику планирования оптимального измерительного процесса и технологию ее реализации, обеспечивающую определение ЭВО с заранее заданными точностными характеристиками на примере оценивания ЭВО геодезических систем координат по результатам относительных радиодальномерных траекторных измерений спутников.

Как уже отмечалось ранее, задачи космической геодезии относятся к нелинейным задачам оценивания по результатам траекторных измерений КА расширенного вектора оцениваемых параметров, состоящего из различных геодезических, геодинамических и мешающих параметров, а также параметров движения КА [38, 72, 78]. Такие задачи, как правило, решаются по МНК.

Нелинейная задача МНК сводится к последовательному решению ряда линейных задач, представленных несовместной СЛАУ (1.119). При наличии в ней возмущений и F матрицы коэффициентов и вектора правой части фактически решается система уравнений (1.129). Верхний предел относительной ошибки X вектора решения X этой системы определяется неравенством (1.131).

Выполним расчет ожидаемой точности решения в задаче оценивания ЭВО геодезических систем координат по результатам относительных ГНСС-измерений [59]. Из анализа системы уравнений (3.28) следует, что ошибки вектора правой части значительно превышают ошибки матрицы коэффициентов. Поэтому ниже при расчете ожидаемой точности решения задачи оценивания ЭВО будем использовать только относительную ошибку вектора правой части формируемых СЛАУ.

В предыдущем подразделе для различных геометрических фигур, образованных наземными пунктами и подобранных для оценивания ЭВО, получены числа обусловленности в зависимости только от средних длин сторон этих фигур. Используя эти числа обусловленности и значения ошибок F в неравенстве (1.131), можно рассчитать значения относительной ошибки X решения СЛАУ (3.28) для различных средних длин сторон любой из рассмотренных выше фигур. Затем можно построить графики изменения этой ошибки в зависимости от средней длины стороны выбранной фигуры. Ниже, в качестве примера, к решению поставленной задачи будет применен именно такой подход для четырех геометрических построений.

На рисунке 3.4 представлены два графика изменения ошибки F для F величиной 10-6 и 10-7, построенных для произвольного треугольника. Видно, что с увеличением средней длины стороны треугольника линейно увеличивается и ожидаемая ошибка решения.

Рисунок 3.4 – Треугольник (относительные определения) На рисунке 3.5 представлены также два графика изменения X для F величиной 10-4 и 10-5, построенных для произвольного четырехугольника.

Графики показывают, что с увеличением средней длины стороны этой фигуры ожидаемая относительная ошибка определения ЭВО уменьшается.

Рисунок 3.5 – Четырехугольник (относительные определения) На рисунке 3.6 показаны графики изменения X при F =10-2 для четырехугольников с одной и двумя диагоналями. Графики наглядно показывают, что для более точного определения ЭВО предпочтительнее использовать четырехугольник с двумя диагоналями. Кроме этого, для таких построений ожидаемая ошибка решения практически не изменяется в зависимости от увеличения или уменьшения средней длины линий таких геометрических фигур.

Рисунок 3.6 – Четырехугольник с диагоналями (относительные В заключение отметим следующее: применяя описанную выше методику, уже на этапе постановки задачи оценивания геодезических и геодинамических параметров можно спланировать и выбрать оптимальный измерительный эксперимент, обеспечивающий получение оцениваемых геодезических и геодинамических параметров с заранее заданными точностными характеристиками.

3.7 Точность определения высот пунктов по результатам ГНСС измерений В данном подразделе рассмотрим один из важных вопросов, связанных с навигационными определениями высотных отметок НП [50, 56]. Известно, что после обработки результатов спутниковых навигационных измерений высоты НП, как правило, определяются с большей ошибкой, чем две другие его координаты.

Этот факт в большей степени обусловлен геометрией выбираемого навигационным приемником рабочего созвездия КА. Из всех КА, находящихся в зоне видимости наблюдателя, приемником отбираются только четыре спутника, отвечающих следующему требованию. Они должны образовывать тетраэдр, составленный из топоцентрических векторов по линиям НП-КА. Очевидно, что тетраэдр будет иметь максимальный объем при расположении одного КА в зените НП и трех других вблизи плоскости горизонта, образующих при этом треугольник максимальной площади [114]. Из анализа условий наблюдаемости следует, что при близзенитных прохождениях КА во время позиционирования хорошо определяется высота НП. Если же КА находятся вблизи плоскости горизонта, то хорошо определяются широта и долгота НП.

В основном навигационные измерения выполняются при высотах спутников над горизонтом (углах отсечки) в пределах от 10 до 15. Это обусловлено тем, что при меньших высотах на точность навигационных определений свое большое отрицательное влияние оказывают не учитываемые погрешности моделей атмосферной рефракции. При таких условиях измерений получаются хорошие, на первый взгляд, статистические оценки высот и их прогнозируемый критерий ожидаемой точности – VDOP.

Для выявления оптимального угла отсечки был проведен следующий эксперимент (первая работа, посвященная этой проблеме, с которой встретился автор – это работа авторов [195]). На двух наземных пунктах, пространственные положения которых заданны в системе WGS-84 с субсантиметровой точностью, абсолютным методом с помощью геодезической аппаратуры Wild GPS SystemДолгановым И. М. были выполнены навигационные определения координат.

В процессе обработки результатов измерений по каждому сеансу наблюдений для углов отсечек, заданных с дискретностью в 2, автором диссертационной работы находились абсолютные ошибки вычисленных высот. Затем для каждого угла отсечки по всем сеансам навигационных определений вычислялось среднее значение абсолютной ошибки как среднее арифметическое из абсолютных ошибок высоты, определенных из отдельных сеансов. Эти данные для наземного пункта сведены в таблице М.1 (приложение М), для наземного пункта 2 – в таблице М. (приложение М). Для большей наглядности распределение средних значений абсолютной ошибки высоты по углам отсечки для пунктов 1 и 2 отражено с помощью графиков на рисунке 3.7.

Рисунок 3.7 – Распределение средних значений абсолютных ошибок Результаты экспериментальных исследований показали, что для повышения точности определения высот НП абсолютным методом, угол отсечки должен находиться в пределах от 20 до 40. При этом абсолютная ошибка высоты существенно меньше, чем при углах отсечки от 10 до 15. Вместе с тем становится очевидным, что абсолютные ошибки высоты уменьшаются с увеличением угла отсечки примерно до 40. Затем ошибки начинают увеличиваться. Это явление объясняется тем, что число остающихся КА уменьшается и, как следствие, ухудшается геометрия взаимного расположения навигационных определений высот.

4 МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ И УРАВНИВАНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

СЕТЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ГНСС-ТЕХНОЛОГИЙ

4.1 Использование ГН СС-измерений для решения геодезических Развернутые в околоземном пространстве ГНСС позволили решать геодезические и геодинамические задачи гораздо точнее и оперативнее классических методов геодезии. Использование этих систем дает возможность реализовать два метода ГНСС-измерений: абсолютный и относительный. Абсолютный метод позволяет определять пространственные координаты НП с ошибкой до 15 м, поэтому он применяется для решения задач топографии. Второй метод при соблюдении благоприятных условий измерений позволяет определять относительные положения НП на сантиметровом уровне точности и даже выше. По этой причине он применяется для решения геодезических и геодинамических задач. С помощью ГНСС можно определять не только пространственные координаты НП, но и развивать геодезические сети различного назначения, выполнять топографическую съемку земной поверхности. По причине своей высокой точности для решения этих задач используется только относительный метод.

При выполнении с 1998 г. производственных топографо-геодезических работ с использованием ГНСС-технологий в различных природно-климатических районах России автор сталкивался с определенными трудностями при: а) развитии сплошных и протяженных (до нескольких сотен километров) планово-высотных геодезических сетей; б) развитии высотных сетей; в) определении пространствен-ных координат отдельных НП; г) вычислении аномалии высоты и целом ряде дру-гих задач при выполнении топографических съемок разных масштабов. Решению таких задач уделено внимание российских ученых: А. П. Герасимова [25], В. М. Зимина, М. Г. Годжаманова [9], Ю. И. Маркузе, Е. Г. Бойко, В. В. Голубева, А. В. Антипова [106–109], Г. А. Панаева [124], С. Б. Приказчикова [128], В. З. Остроумова, Г. А. Шанурова [123, 158] и др. Здесь особого внимания заслуживает работа Ю. И. Маркузе и W. M. Welsh [108], в которой представлена система линейных уравнений поправок для уравнивания геодезических сетей по результатам относительных ГНСС-измерений. В этих уравнениях матрица коэффициентов формируется на основе прямоугольных координат исходных НП, заданных в референцной системе. Как следует из выражения (1.131) для плохо обусловленных СЛАУ, порождаемых плохой геометрией измерений, матрицу коэффициентов и вектор правой части необходимо вычислять с наибольшей точностью. Отсюда следует, что матрицу коэффициентов лучше формировать на основе базовых векторов, получаемых непосредственно из выполненных относительных ГНСС-измерений. Этот подход будет реализован в 4.3.

Другая причина, заставившая автора заняться решением отмеченных выше проблем, была обусловлена следующим фактом. Для обработки ГНСС-измерений используются программные комплексы, например: “GPSurvey”, “Trimble Geomatics Office”, “Ski” и др. В руководствах по их применению не описывается математический алгоритм обработки этих измерений, что существенно усложняет осмысление получаемых с их помощью результатов. Кроме этого, подобные зарубежные программные продукты не позволяют активно влиять на ход вычислительного процесса.

В этом разделе приводятся теория и методы развития геодезических сетей, проведения топографических съемок отдельных участков земной поверхности с использованием ГНСС-измерений. Разработанные теория и методы применялись для выполнения большого объема производственных топографо-геодезических работ. На основе математических алгоритмов были разработаны программные продукты, которые позволили автору влиять на ход вычислительного процесса по обработке ГНСС-измерений и оперативно вносить в них соответствующие изменения и дополнения по мере их совершенствования.

4.2 Развитие геодезических сетей пространственными векторными построениями В последние несколько лет значительная часть геодезических работ связана с построением ГСС и геодезических съемочных сетей с использованием ГНССизмерений. Часто такие сети создаются в труднопроходимых регионах, в которых плотность пунктов ГГС довольно низкая, например: горные участки местности, районы Крайнего севера и т.д. Один из примеров такой территории, расположенной за Полярным кругом (в 150 км к северу от г. Новый Уренгой), приведен в приложении Н. Кроме того, приходится выполнять геодезические работы на узких и протяженных (от нескольких десятков до нескольких сотен километров) участках местности, на которых выполняется топографическая съемка надземных и подземных линейных объектов (автомобильных и железных дорог, линий электропередач, трубопроводов различного назначения на нефтяных и газовых месторождениях и т. д.). Расстояние между определяемыми НП здесь, как правило, колеблется от сотен метров до 20 км. В таких случаях целесообразно развивать ГСС пространственными векторными ходами (далее по тексту векторными ходами) с применением относительного метода [62, 63, 67, 68, 79]. В векторном ходе в качестве исходных достаточно иметь два пункта ГГС (рисунок 4.1, а). Если на участке работ требуется определять ЭВО геодезических систем координат, то в число исходных необходимо включать один или два дополнительных пункта ГГС (рисунок 4.1, б и 4.1, в).

– исходный пункт; – дополнительный пункт; – определяемый пункт Рисунок 4.1 – Некоторые варианты схем построения векторных ходов:

Для определения координат отдельных НП можно применять пространственную векторную засечку [62, 66, 79]. Эта засечка представляет собой пространственную фигуру, в общем случае многоугольную пирамиду, у которой боковые ребра образованы базовыми векторами, полученными после выполненных относительных ГНСС-измерений в режиме “Static”. В ее основании располагаются исходные НП, а в вершине – определяемый пункт (рисунок 4.2). При построении засечек в число исходных желательно также включать один или два дополнительных НП.

– исходный пункт; – дополнительный пункт; – определяемый пункт Рисунок 4.2 – Вариант построения пространственной векторной засечки RGi = [X Gi YGi ZGi ] (i = 1, 2, …, n, n – число базовых векторов) между пунктами хода. Эти векторы, как правило, представлены в общеземной системе координат (OXYZ)G. На этапе математической обработки измерений плоские прямоугольные координаты и нормальные высоты исходных НП преобразуются в пространственные, т.е. вычисляются их радиус-векторы R0 = [X Гk YГk Z Гk ]T (k = 1, 2, …, L, L – число исходных НП) в референцной системе координат (OXYZ)Г (см. 4.4).

Далее, по каждой из координатных осей системы (OXYZ)Г находятся векторстолбец W=[WX WY WZ]Т невязок координат и вектор-столбец поправок Vi = [VXi VYi VZi]T к измеренным значениям базовых векторов где R 0 и R 0 – радиус-векторы первого и последнего по ходу исходных пунктов;

R Gi – сумма измеренных базовых векторов;

S – сумма длин базовых векторов хода (общая длина хода).

вычисляются в системе координат (OXYZ)Г по формуле Радиус-векторы НП векторного хода RГj = [XГj YГj ZГj]T (j = 1, 2, …, m; m – число определяемых НП) в референцной системе координат определяются как Вектор-столбец f = [1/fX 1/fY 1/fZ]T относительных ошибок пространственных координат пунктов векторного хода находится по формуле В конце уравнительных вычислений пространственные координаты пунктов векторного хода пересчитываются в систему плоских прямоугольных координат и нормальных высот.

Для оценки точности координат определяемых НП в системе плоских прямоугольных координат и нормальных высот вычисляется радиус-вектор R0 [X Г2 YГ2 ZГ2 ]T конечного НП векторного хода (рисунок 4.1, а) и выполняется переход от пространственных координат X Г2, YГ2 и Z Г2 к плоским F = [1/FX 1/FY 1/FH]T относительных ошибок координат НП векторного хода где X 2, Y20 и H 2 – взятые из каталога плоские прямоугольные координаты и нормальная высота конечного НП в векторном ходе;

В пространственной векторной засечке для определения базовых векторов R Gi между определяемым и исходными пунктами применяется относительный метод ГНСС-измерений. Здесь геоцентрический радиус-вектор Rp = [Xp Yp Zp]T определяемого пункта вычисляется в референцной системе координат по каждому базовому вектору отдельно (здесь число базовых векторов совпадает с числом исходных НП) как Окончательно пространственное положение определяемого НП при равноточных ГНСС-измерениях базовых векторов находится по формуле где n – число измеренных базовых векторов.

Средняя квадратическая ошибка единицы веса координат определяемого НП вычисляется как Здесь вектор-столбец вероятных поправок Vi = [VXiVYiVZi ]T к измеренным базовым векторам определяется по формуле На заключительном этапе вычисленные пространственные координаты определяемого НП преобразуются в систему плоских прямоугольных координат и нормальных высот.

Представленные алгоритмы уравнивания векторных построений просты и при их использовании координаты определяемых НП получаются в системе координат исходных НП. Для выполнения уравнительных вычислений значения базовых векторов выбираются из электронного протокола работы утилиты “Baselines” программного комплекса “GPSurvey”, либо “Trimble Geomatics Office” и других. В качестве примера в приложении П представлен вид одного из протоколов обработки реальных измерений, выполненных автором на Самбургском газоконденсатном месторождении в 2003 году. Здесь компоненты базовых векторов (Baseline Components) представлены в системе координат WGS-84.

Точность определения координат определяемых НП можно повысить, если измеренные значения системы координат в референцную, то есть получить радиус-векторы R Гi. Такое преобразование выполняется по формуле в которой матрица вращения R() координатных осей системы (OXYZ)Г относительно одноименных осей системы (OXYZ)G определяется по формуле (1.53). После выполненного преобразования (4.14) в уравнительных вычислениях вместо базовых векторов R Gi следует использовать базовые векторы R Гi.

Чтобы определить численные значения углов для района работ, нужно измеренных базовых векторов) между исходными пунктами ГГС. Например, в векторном ходе (рисунок 4.1, б) и в векторной засечке (рисунок 4.2) измеряются векторов формируется система линейных уравнений системе по пространственным координатам тех исходных пунктов ГГС, между которыми были выполнены относительные ГНСС-измерения имеют вид Из решения системы уравнений (4.15) находится вектор-столбец.

Углы лучше определять по пяти или шести базовым векторам, измеренным между исходными НП. Если эти углы определять по трем или четырем базовым векторам, то система уравнений (4.15) будет плохо обусловлена, что приведет к обусловленности этой системы уравнений требуется дополнительно измерить диагональ в четырехугольнике, например: 1–3 (рисунок 4.1, б и в). Лучшие результаты получаются тогда, когда в четырехугольнике дополнительно измерены две диагонали (см. 3.6), например: 1–3 и 2–4 (рисунок 4.1, б и в) [52, 57].

Для уменьшения затрат на производство полевых работ можно не измерять базовые векторы между исходными НП, а использовать замыкающие векторы. В зависимости от сложности района работ применение такого приема может обеспечить значительный экономический эффект. Значения замыкающих векторов определяются путем суммирования измеренных базовых векторов (с учетом их направленности) между исходными и определяемыми НП. Например, для построения векторного хода по схеме 3 (рисунок 4.1, в) где R Gn – дополнительно измеренные базовые векторы в общеземной системе координат.

и 2–4 четырехугольника вычисляются как В построении по схеме 2 (рисунок 4.1, б) можно измерить только базовые между исходными пунктами 1 и 3 могут быть вычислены как Если в векторной засечке (рисунок 4.2) измерены базовые векторы только между определяемым и исходными НП, то базовые векторы между исходными НП по ее случаях.

зарекомендовали себя с 1998 года при проведении автором топографогеодезических работ (паспортизация автомобильных и железных дорог, создание ГСС на нефтяных и газовых месторождениях и т.д.). Например, в 2003 г. на Самбургском месторождении газа была создана ГСС, состоящая из 20 пунктов.

Относительные ГНСС-измерения выполнялись двухчастотными спутниковыми приемниками. В качестве рабочего созвездия использовались спутники ГНСС NAVSTAR. Перед началом проведения основных полевых работ проводился анализ исходных геодезических пунктов на предмет их морозного выпирания (см.

подраздел 4.5). Всего на этом месторождении было проложено четыре основных векторных хода, опирающихся на четыре пункта ГГС. Длины векторных ходов находились в пределах от 12 до 39 км. Пространственные положения пунктов ГСС были определены в системе координат СК-42. Характеристика точности полученных координат пунктов этой ГСС представлена в таблице 4.1 [79].

Таблица 4.1 – Точности определения координат пунктов в векторных ходах Из таблицы 4.1 видно, что высотные отметки пунктов векторных ходов под номерами 1, 3 и 4 по точности соответствуют требованиям нивелирования IV класса, а хода под номером 2 – III класса.

Процесс обработки результатов измерений полностью автоматизирован. Для соответствующие программы обработки ГНСС-измерений. Описанные выше алгоритмы обработки пространственных векторного хода и векторной засечки реализованы в вычислительной среде “Microsoft Excel” (см. приложения Р и С).

Алгоритмы уравнивания в “Microsoft Excel” отличаются своей простотой реализации и наглядностью уравнительных вычислений, а также возможностью оперативного влияния на ход вычислений.

4.3 Уравнивание геодезичес ких сетей по результатам относительных ГНСС -измерений Как уже отмечалось выше, определение координат пунктов с использованием ГНСС-технологий может выполняться либо абсолютным, либо относительным методами. При использовании абсолютного метода спутниковый приемник устанавливается на определяемом НП и выполняет синхронные ГНСС-измерения нескольких КА (не менее четырех). В процессе математической обработки этих измерений вычисляется радиус-вектор определяемого пункта RG в той общеземной системе координат (OXYZ)G, в которой задаются пространственные положения навигационных КА используемой для работы ГНСС. В настоящее время для пространственно-временного обеспечения проводимых навигационных и топографо-геодезических работ наиболее активно используется ГНСС NAVSTAR.

Пространственное положение спутников этой ГНСС задается в общеземной системе координат WGS-84. Поэтому под общеземной системой в этом подразделе будем понимать систему координат WGS-84. Чтобы получить пространственные координаты НП (радиус-вектор RГ) в некоторой референцной системе (OXYZ)Г (обычно СК-42), необходимо выполнить матричное преобразование (1.52) геоцентрического радиус-вектора RG НП из общеземной системы координат в референцную. Для чего необходимо знать ЭВО референцной системы координат относительно общеземной.

При использовании относительного метода один спутниковый приемник устанавливается на исходном НП, второй – на определяемом. При этом, как правило, пространственное положение исходного НП задается (известно) в референцной системе координат. Если во время одного сеанса относительных ГНСС-измерений одновременно задействовано три и более спутниковых приемника, то время выполнения полевых работ существенно сокращается [63]. В процессе работы приемники синхронно отслеживают несколько спутников ГНСС. После относительного положения (базовый вектор) определяемого НП к исходному НП в системе координат (OXYZ)G. Если бы было известно пространственное положение RGi исходного НП в общеземной системе координат, то пространственное положение RGi+1 определяемого НП в этой же системе можно определить по формуле Если будет известно пространственное положение RГi исходного НП и системе координат, то пространственное положение RГi+1 определяемого НП в этой же системе можно найти как Здесь вектор определяется из равенства (3.23), которое можно представить также и в таком виде Перемножив матрицы RT() на вектор RGi,i +1 в формуле (4.23) и выделив при этом вектор, запишем следующее матричное выражение вида (3.25) [31, 57] В выражении (4.24) матрица D4 составлена из компонент вектора RG и имеет вид аналогичный матрице D3 в равенстве (3.27) С учетом выражения (4.22) равенство (4.24) можно записать как При формировании матрицы D4 следует учитывать направление вектора RG, оно должно совпадать с направлением вектора RГ из выражения (4.22).

измерений (1.5) и может быть представлено в общем виде Применим к нему процедуру, изложенную в 1.1, то есть разложим его правую часть в ряд Тейлора в малой окрестности априорных значений векторов, RГi и RГi+1, ограничившись при этом первыми членами разложения. В итоге имеем

RG RG RG

RGi,i + где ', R'Гi и R'Гi+1 – априорные значения векторов, RГi и RГi+1.

Величины, Ri и Ri+1 являются поправками к априорным значениям векторов ', R'Гi и R'Гi+1 и определяются как Для нахождения частных производных в выражении (4.28) воспользуемся равенством (4.26). Можно записать

RG RG RG

где Е – единичная матрица размерности 3x3.

Подставив зависимости (4.30) в разложение (4.28), получим В равенстве (4.31) матрица D'4 вычисляется c использованием априорных (приближенных) значений векторов R'Г и ' по формулам:

Теперь аналогично системе уравнений (1.92) для одного измерения равенство (4.31) можно записать как где R Gi,i +1 – трехмерный вектор-столбец результатов относительных ГНССизмерений в общеземной системе координат (измеренный базовый вектор, проекции которого выбираются из протокола работы утилиты “Baselines” программного комплекса “GPSurvey” или “Trimble Geomatics Office” и т. п.);

R 'Gi,i +1 – трехмерный вектор-столбец (вычисленный базовый вектор), определяемый по формуле (4.33) с использованием приближенных значений векторов ' и Выражение (4.35) является уравнением поправок, в котором матрицы D'4 и Е будут матрицами коэффициентов, векторы, R i и R i +1 – неизвестными поправками к приближенным (вычисленным) значениям векторов ', R ' i и R ' i +1, а разность Матрицу D'4 в формуле (4.32) предпочтительнее формировать из компонент измеренного базового вектора R G. Это имеет большое значение, так как при решении систем нелинейных уравнений итерационными методами (см. 1.4) более точное значение матрицы коэффициентов линеаризованной системы уравнений согласно выражению (1.131) дает более точное ее решение и приводит к известен точнее, чем пространственные положения исходных НП.

Для n относительных ГНСС-измерений уравнение (4.35) образует систему линейных уравнений поправок [81] где p – число определяемых пунктов.

Систему уравнений поправок (4.36) можно представить как СЛАУ (3.1) В ней матрица коэффициентов A является блочной матрицей и в общем случае может быть записана как где 0 – нулевая 3x3 матрица;

Е – единичная 3x3 матрица.

Вектор-столбец неизвестных X в СЛАУ (4.37) составлен из поправок к приближенным значениям малых углов поворота ', координатам определяемых НП R ' i, R ' i +1 и имеет вид Поправки к приближенным значениям малых углов поворота здесь выступают только в роли согласующих параметров. Вектор правой части F является вектором-столбцом размерности 3xn и определяется как разность измеренных базовых векторов Если за приближенные значения малых углов поворота принять нулевые значения '=0, то в равенстве (4.29) будет =. Тогда вектор неизвестных (4.39) примет вид Решение системы линейных уравнений поправок (4.36) выполняется методом последовательных приближений (см. 1.4) до достижения критерия (1.117) для определяемых параметров. Пример формирования системы линейных уравнений поправок при уравнивании геодезических сетей по результатам относительных ГНСС-измерений представлен в приложении Т.

Решение задачи, рассмотренное выше, можно выполнить иначе [81]. Сначала из СЛАУ (3.28) определить малые углы поворота, а затем уже после решения системы уравнений поправок (4.36) – пространственные положения определяемых НП. При таком подходе данная система уравнений упрощается, так как из нее исключается вектор неизвестных. Для определения вектора в СЛАУ (3.28) можно применить один из двух приемов. Первый – измерить базовые векторы Т.1) (приложение Т). Но такой подход приводит к увеличению затрат на выполнение полевых работ. Второй – вместо непосредственно измеренных базовых векторов между опорными НП взять замыкающие векторы, полученные из суммы измеренных базовых векторов по векторным ходам, проложенными R G 2,3 и R G 3,1 (см. рисунок Т.1) (приложение Т) могут быть найдены как R G 3, Следует иметь в виду, что в равенствах (4.42) алгебраическое сложение векторов нужно выполнять с учетом их направленности. На основе измеренных либо вычисленных (как замыкающие векторы) значений базовых векторов формируется СЛАУ (3.28). После ее решения находится вектор.

Представленный метод уравнивания дает высокие точности определения использованием ГНСС-технологий. Он может применяться при развитии локальных и региональных геодезических сетей сгущения. Для достижения хороших результатов желательно, чтобы геодезические построения содержали в себе не менее 4 исходных НП (см. 3.5) [41, 52, 57]. Соблюдение этого условия приводит к тому, что система линейных уравнений (4.36) будет хорошо обусловлена и мало чувствительна к ошибкам исходных данных: к ошибкам координат исходных пунктов и результатов измерений [51, 59].

С целью уменьшения численных значений поправок V к измеренным значениям базовых векторов можно по формуле (4.23) измеренные базовые векторы R i,i +1 преобразовать из общеземной системы координат в референцную и получить базовые векторы R Гi,i + Затем эти векторы использовать в формулах (4.35), (4.36), (4.38), (4.40) и (Т.1 – Т.3) (приложение Т) в качестве измеренных, то есть вместо векторов R Gi,i +1 [81].

В этом случае необходимо предварительно определить вектор-столбец малых углов поворота координатных осей, как это было сказано выше. Здесь следует иметь в виду, что определение вектора по трем исходным НП дает плохие результаты. Лучше решать эту задачу по четырем исходным НП [51, 59].

В заключение следует отметить, что рассмотренный метод был реализован на основе параметрического способа уравнивания с учетом ошибок исходных данных [106] и хорошо зарекомендовал себя при проведении производственных и научноисследовательских работ.

4.4 Расчет аномалии высоты при ГНСС -определениях пространственных координат точек земной поверхности При определении пространственных положений точек с помощью ГНССтехнологий вопрос пересчета координат из одной системы в другую вызывает некоторые трудности. Это связано с тем, что при преобразовании геодезических координат в пространственные прямоугольные и обратно необходимо знать аномалию высоты. Последнее обусловлено тем, что в каталогах высотные отметки точек земной поверхности заданы в системе нормальных высот, а для получения прямоугольных координат требуется геодезическая высота. Связь между ними описывается простым выражением где НГ – геодезическая высота;

Н – нормальная высота;

– аномалия высоты.

Вопросу определения аномалии высоты посвящен целый ряд работ, среди которых в плане их практического применения можно выделить [25, 123, 124, 128]. Методы, рассматриваемые в них, достаточно точны, но отличаются своей громоздкостью и большим объемом подготовительных и вычислительных работ:

требуют построения так называемого “локального геоида” или интерполирования аномалии высоты между исходными НП. Кроме того, эти методы, как правило, ориентированы на значительные по площади территории. При производстве топографо-геодезических работ (создание съемочных сетей и выполнение топографических съемок отдельных участков земной поверхности с использованием ГНСС-технологий на небольших территориях) исполнителю требуется оперативное определение аномалии высоты в отдельных точках на земной поверхности. Здесь координатные определения осуществляются относительным методом. В этом случае лучше использовать прямые методы расчета аномалии высоты в определяемых точках относительно исходных. Такой метод определения можно рассматривать как относительный, так как здесь фактически определяется разность аномалий высот в двух точках, что по точности на один-два порядка выше их абсолютных методов расчета [25].

Во многих практических случаях аномалию высоты можно получить по формуле Стокса [30], с использованием модели ГПЗ EGM-96 (а также последующих ее модификаций), которая получена в США применительно к ОЗЭ WGS-84 по результатам совместной обработки наземных геодезических и спутниковых измерений. Эта модель представлена коэффициентами разложения в ряд по сферическим функциям возмущающего потенциала Земли до 360 порядка и степени.

Она хорошо зарекомендовала себя и уже много лет используется в задаче прогнозирования полета спутников ГНСС NAVSTAR и при расчете аномалии высоты относительно ОЗЭ WGS-84 в программных комплексах, нацеленных на обработку ГНСС-измерений. Ниже рассмотрим один из возможных способов определения аномалии высоты 42 относительно РЭ Красовского (СК-42) [70].

Отметим, что рассмотренный ниже математический алгоритм может применяться для определения аномалии высоты относительно любых других РЭ.

использованием модели EGM-96 (либо EGM-08) рассчитывается аномалия высоты 84 относительно ОЗЭ WGS-84. Затем уже определяется аномалия высоты относительно РЭ Красовского как [62, 65 – 68] где HГ84 – геодезическая высота точки относительно ОЗЭ WGS-84;

HГ42 – геодезическая высота точки относительно РЭ Красовского;

dH – разность геодезических высот между ОЗЭ и РЭ в заданном НП.

Для определения dH можно воспользоваться формулой [111] dH = (-Y ·ZГ + Z ·YГ + dX)·cosB·cosL + (X ·ZГ - Z ·XГ + dY)·cosB·sinL + + (-X ·YГ + Y ·XГ + dZ)· sinB - a·N-1·da + 0.5·N·sin2B·de2, (4.47) где dX, dY, dZ – компоненты вектора смещения начала референцной системы координат (OXYZ)г относительно начала общеземной системы;

B, L – геодезические широта и долгота точки в системе РЭ;

X, Y, Z – малые углы вращения координатных осей референцной системы координат относительно осей общеземной системы;

N – радиус кривизны РЭ в плоскости первого вертикала;

da – разность больших полуосей ОЗЭ и РЭ;

de2 – разность квадратов эксцентриситетов ОЗЭ и РЭ.

Это выражение получено на основе матричных преобразований (1.54) и (1.60). Радиус кривизны РЭ в нем определяется как где a42 – большая полуось РЭ Красовского;

e42 – эксцентриситет РЭ Красовского.

Разложив знаменатель равенства (4.48) в ряд и подставив полученное выражение для определения N в формулу (4.47), запишем зависимость для вычисления разности геодезических высот dH dH = (-Y ·ZГ + Z ·YГ + dX)·cosB·cosL+ (X ·ZГ - Z ·XГ + dY)·cosB·sinL + + (-X ·YГ + Y ·XГ + dZ)· sinB - (1- 0.5·e242 ·sin2B)·(a84 - a42) + + 0.5·a42·(1+ 0.5·e242 ·sin2B)1/2 ·(e284 - e242)·sin2B, (4.49) где a84, e84 – большая полуось и эксцентриситет ОЗЭ WGS-84.

Когда таким образом будет вычислена аномалия высоты 42, можно найти геодезическую высоту НГ42 точки относительно РЭ как где H42 – нормальная высота точки, взятая из каталога координат;

НГ42 – геодезическая высота точки, определенная относительно РЭ.

Пространственные прямоугольные координаты XГ, YГ, ZГ точки относительно РЭ можно вычислить по известным формулам:

Описанный метод применяется автором с 1998 г. при выполнении различных практических геодезических работ, в которых пространственные координаты точек определяются с применением ГНСС-технологий. Кроме этого, описанная методика преобразования высот точек из геодезической системы в нормальную и обратно вошла в ГОСТ Р 51794–2008 [28].

4.5 Методика выявления эффекта морозного выпирания пунктов В процессе развития геодезических сетей различного назначения одним из важных моментов является оперативный выбор надежных пунктов ГГС, которые будут приняты в качестве исходных (опорных). За время проведения полевых топографо-геодезических работ в северных регионах автору встречались пункты ГГС, подвергнутые воздействию морозного выпирания (пучения). Это явление отмечалось только у центров трубчатого типа. Зафиксированное морозное выпирание центров по высоте в основном составляло величину от одного до нескольких дециметров. Однако были встречены два пункта триангуляции также с центрами трубчатого типа, у которых марки возвышались над поверхностью земли на 140 см и 205 см. Отметим, что нормальной можно считать высоту марки над землей около 30 см (согласно требованию по закладке центров типов 5 – 8).

При морозном выпирании высотная отметка геодезических центров изменяется значительно сильнее, чем их плановые координаты. Ниже НП, на которые было оказано воздействие морозного выпирания, будем называть мобильными. Пункты, на которые не было оказано воздействие морозного выпирания, будем называть стабильными. Только их и следует принимать в качестве опорных при развитии геодезических сетей различного назначения. В принятых здесь условных определениях не принимается во внимание проявление каких–либо геотектонических процессов. Заметим, что задача выявления стабильных и мобильных НП в основном решается одновременно с выполнением основных геодезических работ на объекте. Она составляет важный этап работы при создании геодезических сетей и позволяет исключить их искажения, обусловленные эффектом морозного выпирания центров [65, 68].

Во время проведения топографо-геодезических работ для выявления стабильных и мобильных центров желательно применять не одночастотные, а двухчастотные геодезические спутниковые приемники. При этом поставленная задача в конкретных случаях может решаться по-разному. Если НП расположены друг от друга на расстоянии до 15 км, то на каждом из них устанавливаются спутниковые приемники, которые выполняют ГНСС-измерения в режиме “статика”. После обработки этих измерений, например, по программе GPSurvey, вычисляется базовый вектор RG=[X Y Z]TG, заданный в общеземной системе координат WGS-84. Затем по координатам этих НП, численные значения которых выбираются из каталогов, рассчитывается этот же базовый вектор RГ=[X Y Z]TГ, но в системе координат СК-42. При этом переход от нормальных высот к геодезическим выполняется по формуле (4.50).

Далее, с использованием ЭВО (только углов ) координатных систем WGS-84 и СК-42, по формуле (3.25) делается преобразование вычисленного вектора RГ в систему координат WGS-84. Обозначим его как R'G=[X'Y'Z']TG.

Затем векторы RG и R'G сравниваются. Причем сравниваются не только их координаты, но также и их модули (так как длина любого вектора не зависит от выбранной системы координат). Если различия в этих величинах не превышают заданных пределов (обычно точности выполняемых топографо-геодезических работ в данном районе), то эти НП можно считать стабильными.

Если окажется, что различия между рассматриваемыми векторами превышают допустимые значения, значит один из двух геодезических центров либо они оба подверглись влиянию морозного выпирания. В этом случае подбирается третий НП, расположенный на расстоянии до 15 км от двух предыдущих. Между ним и двумя ранее рассматриваемыми центрами измеряются два дополнительных базовых вектора. После чего, по описанной выше методике, эти базовые векторы вычисляются, преобразуются в систему координат WGS-84 и сравниваются с их измеренными значениями. Если не удается подобрать один дополнительный НП, удаленный от двух ранее рассматриваемых на приемлемом расстоянии, то к ним следует подобрать два дополнительных НП по одному для каждого. Такая геометрия порождает также два новых базовых вектора, которые подвергаются анализу. Как показывает практика, только у одного из двух добавленных базовых векторов различия между его вычисленными и измеренными величинами будут превышать установленные допустимые пределы.

Этот вектор и определяет мобильный пункт. В реальных условиях проведения геодезических работ для определения мобильных и стабильных центров могут применяться и другие более сложные геометрические построения, состоящие из исходных НП. Заметим, что все эти измерения (не содержащие мобильных НП) могут быть использованы для определения или уточнения ЭВО геодезических систем координат в данном районе.

Автору известны также случаи, когда в каталогах координаты некоторых пунктов ГГС представлены с ошибками (опечатки, многократно проводимый в течение нескольких лет пересчет координат из одной координатной системы в другую и обратно нередко по разным каждый раз программам и др.). Такие пункты также можно отнести к разряду мобильных. Они тоже могут быть выявлены в результате проведения описанного выше анализа.

4.6 Некоторые приемы и особенности применения ГНСС технологий при выполнении топографо-геодезических работ В последние годы ГНСС-технологии стали активно использоваться не только для создания различных геодезических сетей, но и при выполнении топографических съемок участков земной поверхности. В этом случае процесс создания планов различных масштабов значительно ускоряется. При выполнении крупномасштабных топографических съемок должны выдерживаться жесткие требования к точности определения плановых координат и высотных отметок съемочных точек (пикетов). Поэтому для надежного и качественного выполнения таких съемок исполнителю следует соблюдать определенные технологические приемы и правила производства полевых работ с использованием спутниковых приемников. Ниже приведем некоторые из них, отработанные и применяемые автором в течение ряда лет при выполнении производственных работ в различных географических регионах и климатических условиях [61, 63, 64].

Точные топографо-геодезические работы желательно производить с помощью геодезической (фазовой) аппаратуры, лучше двухчастотной. Соблюдение последнего условия во многих случаях значительно ослабляет влияние на результаты измерений ионосферной рефракции, приводящей к большим ошибкам определения пространственного положения (особенно значений высот) приемных антенн подвижного (роверного) и неподвижного (базового) приемников (см. 2.6).

Здесь уместно отметить, что при выполнении топографо-геодезических работ одночастотными приемниками в Ямало-Ненецком автономном округе автором отмечались ошибки величиной до 3,5 м при определении высотных отметок НП.

Во время работы базовый приемник необходимо устанавливать, по возможности, на открытых местах.

На открытых площадях подвижным приемником можно выполнять съемку практически в любых интервалах времени в течение суток. На закрытых участках местности работа осуществляются в такие интервалы времени, в течение которых обеспечивается устойчивый прием сигналов как минимум с 6 навигационных спутников равномерно расположенных над горизонтом. При этом высоты спутников над местным горизонтом должны быть не менее 10 (этот предел устанавливается на стадии настроек приемников), геометрический фактор PDOP6, отношение сигнал/шум не меньше 15. Для экономии памяти приемников и увеличения времени их непрерывной работы в сеансе следует разумно подходить к выбору дискретности записи измерений в подвижный и неподвиж-ный приемники.

Обычно эта дискретность составляет величину от 5 до 20 с.

Если пикеты расположены у основания каких-либо строений, сооружений или иных объектов, исполнителю необходимо следить за тем, чтобы не было срыва радиосигнала от навигационных спутников. Для этого при подходе к таким сооружениям следует постепенно поднимать антенну спутникового приемника и устанавливать ее над пикетом выше этих объектов.

При передвижении от пикета к пикету необходимо следить за тем, чтобы не было срывов радиосигналов. Для этого следует прокладывать маршруты передвижения так, чтобы обеспечивалась устойчивая связь как минимум с четырьмя спутниками. Бывают случаи, когда исполнителю необходимо пронести антенну роверного приемника под такими сооружениями, как узкие мосты, воздушные петли трубопроводов и т.п. В таких ситуациях антенна приемника медленно подносится к объекту с последующей остановкой под ним на несколько секунд. После чего возобновляется медленное движение дальше по маршруту на безопасное расстояние от препятствия. В этом случае приемник успевает восстановить утраченные каналы радиосвязи с навигационными спутниками.

Если пикет расположен у основания объекта (узкие высокие сооружения типа деревянных или железобетонных столбов и т.п.), над которым нельзя приподнять антенну, то она не доводится до этого объекта на расстояние, не превышающее половины значения допустимой ошибки выполнения съемки заданного масштаба. В противном случае будет получена смещенная оценка определяемых координат пикета. Нередко величина такого смещения значительно превосходит заданную ошибку определения координат, хотя на этапе математической обработки ГНССизмерений среднеквадратическая ошибка находится в допустимых пределах.

В зависимости от сложности участка работы, требуемой точности определения координат и погодных условий топографическая съемка участка местности может выполняться как в режимах “непрерывная кинематика” или “stop-and-go”, так и в режиме “статика”.

Общий процесс создания съемочных сетей складывался из тщательной проработки отдельных этапов работы - рекогносцировка и подготовка имеющихся пунктов ГГС, планирование полевых измерений, закрепление на местности определяемых пунктов для установки на них спутниковых приемников, выполнение ГНСС-измерений, статистическая обработка полученных результатов измерений.

На этапе планирования работ создается общий проект сети, учитывающий топографию местности, наличие сохранившихся пунктов ГГС и грунтовых реперов и их взаимное расположение, а также возможность подъезда или подхода к ним и их пригодность к работе. Местоположение определяемых НП выбирается таким образом, чтобы они располагались как можно ближе к снимаемым объектам и находились от пунктов ГГС на удалении не более 15 км. При этом определяемые НП должны закрепляться на достаточном удалении от возвышающихся над землей инженерных сооружений, линий электропередач, крутых холмов, деревьев и т.д. При наличии грунтовых в районе работ нивелирных реперов их желательно включать в создаваемую съемочную сеть. Это позволит более точно получать высотные отметки определяемых пунктов, так как значительное число высотных отметок пунктов ГГС получено из тригонометрического нивелирования. Для повышения жесткости съемочной сети и сокращения сроков ее создания на исходных и определяемых пунктах следует спланировать одновременную работу двух, трех и более спутниковых приемников (при их наличии). Для этого рассчитывается время переездов и переходов, подготовки пунктов и приборов для выполнения ГНССизмерений. Должны также учитываться рекомендации утилиты Plan программы GPSurvey и др. о времени появления в данном районе наилучшей геометрии созвездия навигационных спутников. В итоге составляется временной график синхронной работы приемников. Заметим, что для выполнения относительных ГНСС-измерений требуется всего два приемника. В этом случае из одного сеанса будет определен только один базовый вектор. Если же измерения выполняются тремя и более приемниками, то из одного сеанса может быть получено сразу не менее трех базовых векторов, образующих пространственные треугольники. Помимо повышения жесткости сети здесь получаются дополнительные измерения, что позволяет на этапе уравнивания сети осуществить качественную отбраковку плохих векторов.

При подготовке геодезических пунктов к ГНСС-измерениям помимо прочих работ вокруг них вырубается поросль на высоту, не превышающую высоту устанавливаемой приемной антенны. Причем с удалением от нее поросль убирается с учетом угла “отсечки” спутников, который обычно находится в пределах от 10 до 20. Все это делается для того, чтобы для измерений как можно больше расширить видимый горизонт и ослабить отрицательное влияние отраженных радионавигационных сигналов. Перед началом работы спутниковых приемников необходимо позаботиться о неподвижности установленного на пункте штатива (вешки и т.п.) с приемной антенной. В весенний период ножки штатива нагреваются солнцем, поэтому из-за подтаивания снега за время сеанса фазовый центр антенны смещается относительно своего изначального положения до нескольких сантиметров в плане и по высоте. В летний период смещение антенны обусловлено перенасыщенным водой грунтом, мягким слоем из растений и их остатков.

Продолжительность сеанса ГНСС-измерений зависит от геометрии созвездия навигационных спутников, степени открытости горизонта, типа приемников, заданной точности определения координат НП сети. Его величина лежит в пределах от десятков минут до нескольких часов. Лучше всего измерения выполнять двухчастотной фазовой аппаратурой относительным методом в режиме СТАТИКА.

Дискретность записи измерений в память приемника обычно составляет от 10 до с. Уменьшение дискретности не повышает точность определений, а только зря занимает память приемника. Последнее обстоятельство приводит к сокращению общего времени работы приемника до момента очистки его памяти.

Для получения оптимальных статистических оценок определяемых базовых векторов на этапе математической обработки ГНСС-измерений следует подбирать рабочие созвездия спутников путем варьирования их минимальных высот над горизонтом. Иногда возникают такие ситуации, когда два спутника находятся в одном направлении. При этом нередко статистическая оценка базового вектора получается неудовлетворительной. В таком случае на этапе обработки измерений следует исключить один из спутников, статистическая оценка базового вектора при этом, как правило, существенно улучшается.

Соблюдение известных правил выполнения ГНСС-измерений и приведенных выше рекомендаций позволит надежно, в короткие сроки и с минимальными затратами создавать геодезические сети в заданном районе.

При проведении полевых работ нередко бывает так, что определяемый объект находится в труднодоступном или недоступном месте. Например, опоры линий электропередач, расположенные в озерах или болотах, а также около трансформаторных площадок или электроподстанций. В последних двух случаях ГНСС-определения лучше не выполнять из-за электромагнитного поля, которое сильно искажает радионавигационные сигналы. В подобных случаях следует применять методики, изложенные ниже.

Пространственные координаты не доступных или труднодоступных точек определяются прямыми угловыми засечками или створными промерами (см.

рисунок 4.3). В случае использования прямой угловой засечки в местах прямой видимости на пункт (пикет) Р рядом с ним разбивается временный базис, состоящий из трех базисных точек Т1, Т2 и Т3, не лежащих на одной прямой. Их плоские прямоугольные координаты Xi, Yi и высотная отметка Hi (i = 1, 2, 3) определяются после соответствующей обработки ГНСС-измерений. Здесь измерения проводятся либо в статическом, либо в кинематическом режиме в зависимости от требуемой точности топографической съемки. Между сторонами базиса и направлениями на точку Р теодолитом измеряются горизонтальные углы j (j = 1, 2, 3, 4).

Рисунок 4.3 – Примеры прямой угловой засечки и створного промера Координаты Xp и Yp определяемого пункта Р вычисляются по формулам Юнга [110]:

Координаты точки Р вычисляются дважды – из одного и другого треугольников.

В качестве окончательных значений координат принимаются их средние значения.

Чтобы получить высотную отметку Нр определяемой точки, с пунктов временного базиса необходимо измерить на нее вертикальные углы i (i = 1, 2, 3) и по каждому направлению вычислить отметки Hpi Здесь расстояния Si (i = 1, 2, 3) между пунктами временного базиса и точкой P вычисляются по уже известным координатам базисных точек и пикета За окончательную высотную отметку принимается среднее значение из вычисленных отметок Нрi.

В случае створных промеров на местности также разбивается временный базис, у которого базисные точки Т1, Т2 и определяемый пункт Р находятся на одной прямой (см. рисунок 4.3). При этом пункт Р может находиться не только внутри базиса, но и за его пределами. Здесь координаты базисных точек Т1 и Т определяются подвижным приемником, а рулеткой или дальномером измеряется длина либо линии S1, либо S2. В зависимости от ситуации длины этих линий можно измерять как непосредственно в створе Т1Т2, так и рядом с ним между перпендикулярами, опущенными к этой линии в базисных точках и пикету. Из решения обратной геодезической задачи находится значение дирекционного угла базисной линии. Затем из решения прямой геодезической задачи – плоские координаты Xp и Yp. Для определения высотной отметки пикета с базисных точек на пикет измеряются вертикальные углы и для вычислений применяется формула (4.53).

Координаты центров оснований таких сооружений, как металлические опоры линий электропередач, заводские трубы и т.п. определяются следующим образом.

Как и в предыдущем случае на местности разбивается линейный базис с базисными точками Т1 и Т2, но находящимися на одинаковом удалении от центра основания таких сооружений. Подвижным приемником определяют их координаты. Из решения задачи линейного интерполирования координат этих базисных точек находятся координаты центров оснований сооружения. При работе у опор линий электропередач необходимо следить за тем, чтобы базисные точки не находились под проводами.

Другой способ определения координат недоступных объектов при проведении топографических съемок спутниковыми приемниками заключается в следующем. На одной прямой линии с точкой Р в удобных местах располагаются два базисных пункта Т1 и Т2, на которых проводятся ГНСС-измерения (рисунок 4.4).

Пункт Р может находиться как внутри отрезка Т1Т2, так и за его пределами. В некотором удалении от базиса Т1Т2 между перпендикулярами к нему измеряется расстояние S.

Рисунок 4.4 – Схемы съемки недоступных объектов По известным координатам Xк и Yк (к = 1, 2) базисных пунктов, можно вычислить дирекционный угол линии Т1Т Теперь координаты точки Р для схем 1 и 2 (см. рисунок 4.4) находятся по формулам (4.56) и (4.57) соответственно Если измерен вертикальный угол хотя бы по одному из направлений Т1Р или Т2Р, то высотная отметка определяемого пункта находится по формуле (4.53).

При использовании прямой угловой засечки (рисунок 4.3) необходимо иметь в виду следующий факт. Если горизонтальные углы измерены теодолитом малой точности, то при вычислении координат точки Р по формулам Юнга в мантиссах чисел, характеризующих координаты пунктов временного базиса, в зависимости от удаленности точки Р, следует удерживать только 3 или 4 цифры слева от запятой. Это означает, что необходимо перейти в новую прямоугольную систему координат (O'X'Y'), у которой оси параллельны одноименным осям исходной системы (OXY), но с перемещенным их началом. После того, как по формулам Юнга будут получены координаты точки Р в системе (O'X'Y'), их следует преобразовать в исходную систему. Если этого не сделать, произойдет существенное снижение точности вычисленных координат определяемого НП.

В качестве примера приведем реальные данные, полученные в ходе выполнения производственных работ. Здесь координаты пунктов временного базиса (таблица 4.2) определены спутниковым приемником 4700 фирмы Trimble Navigation в режиме быстрой статики, а горизонтальные углы измерены теодолитом Т30 и имеют следующие значения: 1=5342', 2=8715', 3=3853', 4=9424' (см. рисунок 4.3). Приведем два варианта вычисления координат определяемого пункта Р: с укороченными (вариант 1) и полными (вариант 2) мантиссами чисел, характеризующими плоские прямоугольные координаты пунктов временного базиса (таблица 4.3).

Таблица 4.2 – Координаты пунктов временного базиса Таблица 4.3 – Вычисление координат определяемого пункта Вариант Вычисленные координаты Средние значения координат Здесь начало O' новой системы координат (O'X'Y') было смещено на 7081000,00 м и по оси ординат на 430000,00 м. При этом для работы с формулами Юнга за исходные принимались преобразованные координаты пунктов временного базиса, например, для пункта T1: X'=326,63 м, Y'=219,35 м. В новой системе для варианта 1 с точек Т1 и Т2 были получены следующие координаты пункта Р: X'р=350,49 м и Y'р=196,12 м. С точек Т2 и Т3: X'р=350,32 м и Y'р=196,11 м. После осреднения и преобразования в исходную систему (OXY) они приняли такие значения: Xр=7081350,40 м, Yр=430196,12 м (таблица 4.3). Из этого примера видно, что без преобразования координат ошибка в вычислениях может достигать нескольких десятков метров.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные и практические результаты, полученные в диссертации, заключаются в следующем:

– дано теоретическое обоснование регулярной постановки задачи оценивания параметров состояния нелинейной динамической системы по результатам беззапросных радиотехнических траекторных измерений спутников. Раскрыта сущность сингулярных ошибок и показано, что различие между измеряемыми параметрами и псевдопараметрами обусловлено наличием этих ошибок в результатах измерений. Это позволило сформировать общий вид нелинейных и линеаризованных моделей измерений для первичных и вторичных измеряемых псевдопараметров в задаче оценки параметров состояния рассматриваемой нелинейной динамической системы;

– разработаны нелинейные математические модели беззапросных импульсных и фазовых радиодальномерных, интегральных (в локальной и спутниковой шкалах времени) и дифференциальных доплеровских траекторных измерений спутников, которые отвечают уровню точности современных радиотехнических систем;

– получены уравнения поправок для определения расширенного вектора оцениваемых параметров по результатам беззапросных радиотехнических траекторных измерений спутников, что позволяет получать оценки заданного набора определяемых орбитальных и геодезических параметров при различной геометрии взаимного расположения спутника и наземного пункта с точностью, соответствующей точности выполняемых измерений;

– разработана теория и получены экспериментальные значения различий между длиной траектории распространения радиосигнала в тропосфере Земли и прямой наклонной дальностью до спутника. Развиты теория и методика учета влияния тропосферной и ионосферной рефракции в результатах беззапросных радиодальномерных и доплеровских измерениях спутников. Учет этих эффектов в математических моделях измерений позволил повысить степень их адекватности;

– разработана теория учета влияния изменения гравитационного поля Земли на движение спутника по орбите, которая позволяет повысить точность определения параметров движения спутника, и имеет существенное преимущество перед численным методом по эффективности, быстродействию машинных алгоритмов и надежности получаемых результатов;

– выполнены теоретические и экспериментальные исследования качественных условий наблюдаемости параметров движения спутника, пространственных положений наземных пунктов и параметров вращения Земли, а также количественных условий наблюдаемости элементов взаимного ориентирования в случае радиотехнических траекторных измерений спутников, что повышает степень регулярной постановки измерительной задачи и способствует созданию оптимальных алгоритмов ее решения;

– на основе выполненных экспериментальных исследований определены оптимальные значения высот спутника над горизонтом, при которых в процессе абсолютных спутниковых наблюдений значение высоты наземного пункта находится с максимальной точностью;

– развитая в диссертации теория уравнивания и методы создания плановых и высотных геодезических построений по результатам относительных ГНССизмерений для определения пространственных положений наземных пунктов в системе координат исходных пунктов, а также экспериментально доказанное положение о том, что эти построения должны содержать в себе не менее четырех исходных геодезических пунктов, позволяет расширить область применения ГНСС-технологий в геодезии и повысить точность определения координат наземных пунктов;

– разработана методика оперативного выявления геодезических пунктов, испытавших влияние эффекта морозного выпирания, которая позволяет сократить производственные затраты на выполнение работ и повысить надежность создаваемых геодезических построений;

– разработан оптимальный математический алгоритм и методика преобразования высот точек из геодезической системы высот в нормальную и обратно, что существенно повышает эффективность и производительность определения пространственных координат НП с использованием ГНСС-технологий.

Таким образом, цель диссертационной работы достигнута, поставленные задачи решены. Совокупность теоретических и практических положений, имеющих важное научно-практическое значение, позволяет считать проблему разработки теории и методов определения пространственных координат наземных пунктов по результатам траекторных измерений спутников решенной, что способствует расширению области применения спутниковых технологий в геодезии.

Эффективность теоретических и практических результатов исследований подтверждена в процессе проведения в СГГА фундаментальных НИР и производственных работ. Разработанные в диссертации математические алгоритмы и созданные на их основе алгоритмические программы доведены до практического применения и используются при проведении различных топографогеодезических работ с помощью ГНСС-технологий. Применение ряда разработанных методов и технологических решений при выполнении этих работ позволило повысить как их качество, так и производительность, что обусловило значительный экономический эффект при их выполнении. Результаты исследований внедрены в производство и в учебный процесс.

Автор считает своим приятным долгом поблагодарить старшего научного сотрудника СГГА А.И. Каленицкого и профессора МИИГАиК Х.К. Ямбаева за оказанную ими помощь при подготовке диссертации.

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ГГС – Государственная геодезическая сеть ГНСС – геодезическая навигационная спутниковая система ГПЗ – гравитационное поле Земли ГСС – геодезическая сеть сгущения ДС – динамическая система КА – космический аппарат ЛСВ – локальная система времени МНК – метод наименьших квадратов НИР – научно-исследовательская работа НП – наземный пункт ОЗЭ – общий земной эллипсоид ПВЗ – параметры вращения Земли РТС – радиотехнические системы РЭ – референц-эллипсоид СРНС – спутниковая радионавигационная система СЛАУ – система линейных алгебраических уравнений ССВ – спутниковая система времени ФЦА – фазовый центр антенны ЭВО – элементы взаимного ориентирования ЭМВ – электромагнитная волна

CПИCOK ЛИТЕРАТУРЫ

1 Абалакин, В. К. Основы эфемеридной астрономии [Текст] / В. К. Абалакин.

– М. : Наука, 1979. – 448 с.

2 Аксенов, Е. П. Теория движения искусственных спутников Земли [Текст] / Е. П. Аксенов. – М. : Наука, 1977. – 360 с.

3 Баняй, Л. Моделирование ошибок доплеровских наблюдений [Текст] / Л. Баняй, Г. Фелше // Наблюдения искусственных спутников Земли: докл.

Междунар. науч. конф. / Болгар. Акад. Наук. – София, 1982. – № 20. – С. 358–364.

4 Бахшиян, Б. Ц. Определение и коррекция движения. Гарантирующий подход [Текст] / Б. Ц. Бахшиян, Р. Р. Назиров, П. Е. Эльясберг. – М. : Наука, 1980. – 360с.

5 Беклемишев, Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры [Текст] / Д. В. Беклемишев. – М. : Наука,1983. – 336 с.

6 Бовшин, Н. А. Аналитический способ вычисления изохронных производных в орбитальной методе спутниковой геодезии [Текст] / Н. А. Бовшин. – Томск :

ТГУ, 1982. – 12 с. – Деп. в ОНТИ ЦНИИГАиК 15.02.82, № 70–гд 82.

7 Бовшин, Н. А. Аналитический способ вычисления приближённых интегралов орбиты ИСЗ и изохронных производных [Текст] / Н. А. Бовшин// Астрономия и геодезия: сб. науч. тр. – Томск : ТГУ, 1984. – Вып.12. – С. 73– 79.

8 Бойко, Е. Г. Использование искусственных спутников Земли для построения геодезических сетей [Текст] / Е. Г. Бойко, Б. П. Кленицкий, И. М. Ландис, Г. А. Устинов. – М. : Недра, 1977. – 376 с.

9 Бойко, Е. Г. Методы совместной обработки локальных наземных и спутниковых геодезических сетей [Текст] / Е. Г. Бойко, В. М. Зимин, М. Г. Годжаманов // Геодезия и картография. – 2000. – № 8. – С. 11–18.

10 Бойков, В. В. Определение координат пунктов космической геодезической сети орбитальным методом [Текст] / В. В. Бойков, Г. А. Устинов // Известия ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъёмка. – 1969. – № 4. – С. 52–58.

11 Бойков, В. В. О точности определения координат наблюдательных станций по радиальной скорости спутника [Текст] / В. В. Бойков, К. В. Малец // Геодезия и картография. – 1975. – № 9. – С. 17–24.

12 Бойков, В. В. О точности определения координат наблюдательных станций и орбит спутников по измерениям расстояний до ИСЗ [Текст] / В. В. Бойков, И. А. Лутфуллин // Геодезия и картография. – 1975. – № 12. – С. 11–22.

13 Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики [Текст] / В. Н. Брандин, А. А. Васильев, С. Т. Худяков. – М. : Машиностроение, 1974. – 340 с.

14 Брандин, В. Н. Определение траекторий космических аппаратов.

Постановка и анализ задач [Текст] / В. Н. Брандин, Г. Н. Разорёнов. – М. :

Машиностроение, 1978. – 216 с.

15 Брандин, В. Н. Экспериментальная баллистика космических аппаратов [Текст] / В. Н. Брандин, А. А. Васильев, А. А.Куницкий. – М. : Машиностроение, 1984. – 264 с.

16 Бузук, В. В. Детальные, локальные и региональные вариации гравитационного потенциала и его характеристики в районах Токтогульского и СаяноШушенского водохранилища [Текст] / В. В. Бузук, В. Ф. Канушин, Р. 3. Ковалев, И. Г. Ганагина, В. И. Дударев // Исследования в области геодезии, фотограмметрии и картографии: сб. науч. тр. – М. : ЦНИИГАиК, 1994. – С. 55–58.

17 Бузук, В. В. Оценка влияния на результаты высокоточного нивелирования вариаций гравитационного потенциала в районе озера Байкал, обусловленных изменением его уровня [Текст] / В. В. Бузук, И. Г. Ганагина, В. И. Дударев // Итоги 43 научно - техн. конф. СГТА, 1994: сб. науч. тр. – Новосибирск :

НИИГАиК, 1995. – Т. 56 (96), ч. 1. – С. 93–98.

18 Бузук, В. В. Технология определения возмущающих полей аномалий высот и силы тяжести в районах крупных водохранилищ и озер, обусловленных динамикой их водных масс [Текст] / В. В. Бузук, В. И. Дударев, В. Ф. Канушин, И. Г. Ганагина, Р. 3. Ковалев // Вестник СГГА. – 1997. – Вып.2. – С. 89–91.

19 Булыгина, О. М. Использование метода коротких дуг в спутниковой геодезии [Текст] / О. М. Булыгина, Г. Н. Разорёнов // Научные информации: сб.

ст. – М. : Астрон. Совет АН СССР, 1978. – № 40. – С. 120–124.

20 Булыгина, О. М. Средства и методы решения геодезических задач по данным доплеровских наблюдений ИСЗ [Текст] / О. М. Булыгина, В. Т. 3алуцкий // Научные информации: сб. ст. – М. : Астрон. Совет АН СССР, 1987. – № 62. – С. 18–55.

21 Бурша, М. Основы космической геодезии. Ч.2: Динамическая космическая геодезия [Текст] / М. Бурша. – М. : Недра, 1975. – 280 с.

22 Вейс, Г. Геодезическое использование искусственных спутников Земли [Текст] / Г. Вейс. – М. : Недра, 1967. – 115 с.

23 Воеводин, В. В. Матрицы и вычисления [Текст] / В. В. Воеводин, Ю. А. Кузнецов. – М. : Наука, 1984. – 320 с.

24 Волынкин, А. И. Спутниковые радионавигационные системы [Текст] / А. И. Волынкин, П. С. Волосов, И. Н. Мищенко // Зарубежная радиоэлектроника.

– 1977. – № 3. – С. 87–127.

25 Герасимов, А. П. Определение высот спутниковыми методами [Текст] / А. П. Герасимов, В. В. Тюлькин // Геодезия и картография. – 2005. – № 4. – С. 20–26.

26 Глобальная навигационная спутниковая система ГЛОНАСС. Интерфейсный контрольный документ (редакция 5.0) [Текст]. – М. : КНИЦ, 2002. – 57 с.

27 Голубев, А. И. В погоне за точностью: единый эталон времени – частоты – длины [Текст] / А. И. Голубев // Наука и жизнь. – 2009. – № 12. – С. 93 – 99.

28 ГОСТ Р 51794–2008. Системы координат. Методы преобразований координат определяемых точек [Текст]: нац. стандарт РФ. – Введ. 18.12.2008 – Стандартинформ, 2009. – 16 с. – (Глобальные навигационные спутниковые системы).

29 Грудинская, Г. П. Распространение радиоволн [Текст] / Г. П. Грудинская. – М. : Высшая школа, 1975. – 280 с.

30 Грушинский, Н. П. Теория фигуры Земли [Текст] / Н. П. Грушинский. – М.

: Наука, 1976. – 512 с.

31 Дементьев, Ю. В. К вопросу развития опорных геодезических сетей спутниковыми методами [Текст] / Ю. В. Дементьев // 46 научно-техн. конф.

Преподавателей СГГА: тез. докл. – Новосибирск: СГГА, 1996. – Ч.1. – С. 114.

32 Дударев, В. И. Учёт влияния атмосферы Земли в доплеровских траекторных измерениях космических аппаратов [Текст] / В. И. Дударев. – Новосибирск : НИИГАиК, 1989. – 18 с. – Деп. в ОНИПР ЦНИИГАиК 18.04.89, № 374 – гд 89.

33 Дударев, В. И. Уравнения поправок для обработки результатов доплеровских траекторных измерений космических аппаратов [Текст] / В. И. Дударев. – Новосибирск : НИИГАиК, 1989. – 28 с. – Деп. в ОНИПР ЦНИИГАиК 26.06.89, № 392 – гд 89.

34 Дударев, В. И. Уравнения поправок для обработки результатов радиодальномерных траекторных измерений космических аппаратов [Текст] / В. И. Дударев. – Новосибирск : НИИГАиК, 1989. – Деп. в ОНИПР ЦНИИГАиК 01.08.89, № 397 – гд 89.

35 Дударев, В. И. Анализ чувствительности систем линейных уравнений поправок к методическим ошибкам матрицы коэффициентов в орбитальном методе космической геодезии [Текст] / В. И. Дударев // Алгоритмическое и программное обеспечение теорий движения ИСЗ: тез. докл. – Л. : ИТА АН СССР, 1990. – С. 41–42.

36. Дударев, В. И. Вопросы наблюдаемости в космической геодезии [Текст] / В. И. Дударев // 9 съезд ВАГО при АН СССР, 24 – 28 сентября 1990 г.: тез. докл. – Новосибирск : НИИГАиК, 1990. – С. 35–36.

37 Дударев, В. И. Математические модели радиотехнических траекторных измерений ИСЗ [Текст] / В. И. Дударев // 9 съезд ВАГО при АН СССР, 24 – сентября 1990 г.: тез. докл. – Новосибирск : НИИГАиК, 1990. – С. 36–37.

38 Дударев, В. И. Постановка задачи оценивания состояния динамической системы [Текст] / В. И. Дударев // Математическая обработка результатов геодезических наблюдений: сб. науч. тр. – Новосибирск : НИИГАиК, 1993. – Т. (91). – С. 19–30.

39 Дударев, В. И. Высокоточные математические модели радиотехнических траекторных измерений спутников [Текст] / В. И. Дударев // 46 научно-техн.

конф. преподавателей СГГА, 15 – 18 апреля 1996 г.: тез. докл. – Новосибирск :

СГГА, 1996. – Ч. 1. – С. 101–102.

40 Дударев, В. И. Влияние методической ошибки расчета матрицы коэффициентов на вектор решения СЛАУ в задаче дифференциального уточнения орбит спутников [Текст] / В. И. Дударев // 46 научно-техн. конф. преподавателей СГГА, 15 – 18 апреля 1996 г.: тез. докл. – Новосибирск : СГГА, 1996. – Ч. 1. – С. 102–103.

41 Дударев, В. И. Некоторые аспекты наблюдаемости элементов взаимного ориентирования геодезических систем координат [Текст] / В. И. Дударев // 46 научно-техн. конф. преподавателей СГГА, 15 – 18 апреля 1996 г.: тез. докл. – Новосибирск : СГГА, 1996. – Ч. 1. – С. 107–108.

42 Дударев, В. И. Условия наблюдаемости в задаче определения параметров вращения Земли по спутниковым данным [Текст] / В. И. Дударев // Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98), Институт математики СО РАН, 22 – 27 июня 1998 г.: тез. докл. – Новосибирск :

ИМ СО РАН, 1998. – Ч.3. – С. 107.

43 Дударев, В. И. Математические модели радиодальномерных траекторных измерений ИСЗ [Текст] / В. И. Дударев // Вестник СГГА. – 1998. – Вып.3. – С. 46–48.

44 Дударев, В. И. Вопросы наблюдаемости в космической геодезии [Текст] / В. И. Дударев // Вестник СГГА. – 1998. – Вып.3. – С. 33–39.

45 Дударев, В. И. Оценивание влияний вариаций гравитационного поля Земли на движение космического аппарата [Текст] / В. И. Дударев // 48 научно-техн.

конф. преподавателей СГГА, 13 –24 апреля 1998 г.: тез. докл. – Новосибирск :

СГГА, 1998. – С. 21.

46 Дударев, В. И. Условия наблюдаемости в задаче определения параметров вращения Земли по спутниковым данным [Текст] / В. И. Дударев // Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98):

сб. ст. – Новосибирск : СГГА, 1999. – С. 18–24.

47 Дударев, В. И. Математические модели доплеровских методов спутниковой радионавигации [Текст] / В. И. Дударев // Судовождение: управляемость, управление, навигация, обучение: cб. науч. тр. – Новосибирск : НГАВТ, 1999. – С. 21–26.

48 Дударев, В. И. Методика учета влияния атмосферной рефракции в радиотехнических траекторных измерениях спутников [Текст] / В. И. Дударев // Междунар. научно-техн. конф., посвященная 220-летию со дня основания МИИГАиК. 220 лет геодезическому образованию в России, 24 – 29 мая, 1999 г.:

тез. докл. – М. : МИИГАиК, 1999. – С. 38.

49 Дударев, В. И. Определение некоторых геодезических и геодинамических параметров по результатам радиотехнических траекторных измерений космических аппаратов [Текст] / В. И. Дударев // Междунар. научно-техн. конф., посвященная 220-летию со дня основания МИИГАиК. 220 лет геодезическому образованию в России, 24 – 29 мая, 1999 г.: тез. докл. – М. : МИИГАиК, 1999. – С. 65–66.

50 Дударев, В. И. К вопросу повышения точности определения высот по спутниковым навигационным измерениям [Текст] / В. И. Дударев, И. М. Долганов // 50 научно-техн. конф. преподавателей СГГА, 24 – 28 апреля 2000 г.: тез. докл. – Новосибирск : СГГА, 2000. – С. 29.

51 Дударев, В. И. Влияние ошибок расчета матрицы коэффициентов и вектора правой части на решение СЛАУ в некоторых задачах космической геодезии [Текст] / В. И. Дударев // Четвертый Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000), посвященный памяти М. А. Лаврентьева (1900 – 1980), Институт математики СО РАН: тез. докл. – Новосибирск : ИМ СО РАН, 2000. – Ч. 4. – С. 60.

52 Дударев, В. И. Планирование задач оценивания элементов ориентирования геодезических систем координат [Текст] / В. И. Дударев // Четвертый Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000), посвященный памяти М. А. Лаврентьева (1900 – 1980), Институт математики СО РАН: тез. докл. – Новосибирск : ИМ СО РАН, 2000. – Ч. 4. – С. 60–61.

53 Дударев, В. И. Определение некоторых геодезических и геодинамических параметров по результатам радиотехнических траекторных измерений космических аппаратов [Текст] / В. И. Дударев // Междунар. научно-техн. конф., посвящ. 220–летию со дня основания Московского государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК): cб. ст. – М. : МГУГиК, 2000. – С. 3–9.

54 Дударев, В. И. Методика учета влияния атмосферной рефракции в радиотехнических траекторных измерениях спутников [Текст] / В. И. Дударев // Междунар. Научно-техн. конф., посвяще. 220-летию со дня основания Московского государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК): cб.

ст. – М. : МГУГиК, 2000. – С. 9–17.

55 Дударев, В. И. Математический алгоритм расчета переходной матрицы в задаче определения орбит космических аппаратов [Текст] / В. И. Дударев // научно-техн. конф. преподавателей СГГА, 16 – 19 апреля 2001 г.: тез. докл. – Новосибирск : СГГА, 2001. – С. 55.

56 Дударев, В. И. К вопросу повышения точности определения высот по спутниковым навигационным измерениям [Текст] / В. И. Дударев, И. М. Долганов // Вестник СГГА. – 2001. – Вып.3. – С. 38–40.

57 Дударев, В. И. Планирование задач оценивания элементов ориентирования геодезических систем координат [Текст] / В. И. Дударев // Четвертый Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000): сб. ст.

– Новосибирск : СГГА, 2001. – С. 3–11.

58 Дударев, В. И. Матрица изохронных производных в регулярных элементах [Текст] / В. И. Дударев // Четвертый Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000): сб. ст. – Новосибирск : СГГА, 2001. – С. 12–15.

59 Дударев, В. И. Влияние ошибок расчета матрицы коэффициентов и вектора правой части на решение СЛАУ в некоторых задачах космической геодезии [Текст] / В. И. Дударев // Вестник СГГА. – 2002.– Вып.7. – С. 21–25.

60 Дударев, В. И. Математический алгоритм расчета переходной матрицы в задаче определения орбит космических аппаратов [Текст] / В. И. Дударев // Вестник СГГА. – 2002. – С. 17–21.

61 Дударев, В. И. Опыт выполнения топографических съемок с применением спутниковых приемников [Текст] / В. И. Дударев // Сб. материалов 53 Междунар.

научно-техн. конф. – Новосибирск : СГГА, 2003. – Ч. 3. – С. 265–267.

62 Дударев, В. И. Некоторые аспекты построения и уравнивания геодезических сетей сгущения с использованием GPS-технологий [Текст] / В. И. Дударев // Сб. материалов 53 Междунар. научно-техн. конф. – Новосибирск : СГГА, 2003. – Ч. 3. – С. 268–269.

63 Дударев, В. И. Построение геодезических съемочных сетей в районах Крайнего Севера с использованием спутниковых приемников [Текст] / В. И. Дударев, В. А. Середович // Вестник СГГА. – 2005. – Вып. 10. – С. 58–61.

64 Дударев, В. И. Определение местоположения недоступных объектов при проведении топографических съемок с помощью GPS-технологий [Текст] / В. И. Дударев // Вестник СГГА. – 2005. – Вып.10. – С. 66–69.

65 Дударев, В. И. Выявление стабильных и мобильных пунктов Государственной геодезической сети в северных регионах [Текст] / В. И. Дударев // Вестник СГГА. – 2005. – Вып.10. – С. 70–72.

66 Дударев, В. И. Построение пространственной векторной засечки [Текст] / В. И. Дударев // ГЕО-Сибирь-2006: сб. материалов Междунар. науч. конгр. – Новосибирск : СГГА, 2006. – Т.1, ч. 1. – С. 119–120.

67 Дударев, В. И. Уравнивание пространственного векторного хода [Текст] / В. И. Дударев // Геодезия, картография, кадастр в освоении природных ресурсов Байкальского региона: материалы 2-й региональной научно-произв. конф. – Иркутск : ИрГТУ, 2006. – С. 41–44.

68 Дударев, В. И. Создание геодезической сети сгущения на территории Самбургского газового месторождения с использованием GPS-технологий [Текст] / В. И. Дударев // ГЕО-Сибирь-2007: сб. материалов III Междунар. науч. конгр. – Новосибирск : СГГА, 2007 – Т.1, ч. 1. – С. 139– 141.

69 Дударев, В. И. Математические модели доплеровских траекторных измерений спутников [Текст] / В. И. Дударев // Геодезия и картография. – 2008. – № 2. – С. 76–77.

GPS-определениях пространственных координат точек [Текст] / В. И. Дударев, Г. А. Панаев / Геодезия и картография. – 2008. – № 2. – С. 78.

71 Дударев, В. И. Математические модели беззапросных радиодальномерных траекторных измерений спутников [Текст] / В. И. Дударев // Геодезия и картография. – 2008. – № 6. – С. 53–54.

72 Дударев, В. И. Оценка состояния динамической системы по результатам радиодальномерных траекторных измерений спутников [Текст] / В. И. Дударев // Известия ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка. – 2009. –№ 5. – С. 17–21.

73 Дударев, В. И. Поправка в дальность за кривизну траектории распространения радиосигнала в тропосфере Земли [Текст] / В. И. Дударев // Известия ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка. – 2009. – № 6. – С. 37–39.

74 Дударев, В. И. Формирование вектора правой части уравнений поправок для обработки результатов радиотехнических траекторных измерений спутников [Текст] / В. И. Дударев // Известия ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка. – 2010. – № 3. – С. 46–48.

75 Дударев, В. И. Классификация систем координат, применяемых в космической геодезии [Текст] / В. И. Дударев // ГЕО-Сибирь-2010: сб. материалов VI Междунар. науч. конгр. – Новосибирск : СГГА, 2010. – Т. 1, ч. 1. – С. 145–150.

76 Дударев, В. И. Преобразование основных систем координат, применяемых в космической геодезии [Текст] / В. И. Дударев // ГЕО-Сибирь-2010: сб.

материалов VI Междунар. науч. конгр. – Новосибирск : СГГА, 2010. – Т. 1, ч. 1. – С.135–144.

77 Дударев, В. И. Дифференциальный и интегральный методы доплеровских спутниковых наблюдений [Текст] / В. И. Дударев // Геодезия и картография. – 2010. – № 6. – С. 12–16.

78 Дударев, В. И. Оценка состояния динамической системы по результатам доплеровских траекторных измерений спутников [Текст] / В. И. Дударев // Геодезия и картография. – 2010. – № 7. – С. 6–10.

79 Дударев, В. И. Развитие геодезических сетей пространственными векторными построениями [Текст] / В. И. Дударев // Геодезия и картография. – 2010. – № 8. – С. 4–8.

80 Дударев, В. И. Сингулярный анализ решения некоторых задач спутниковой геодезии [Текст] / В. И. Дударев // Вестник СГГА. – 2010. – Вып. 1 (12). – С. 35–43.

81 Дударев, В. И. Уравнивание геодезических сетей по результатам относительных GPS-измерений [Текст] / В. И. Дударев // ГЕО-Сибирь-2011: сб.

материалов VII Междунар. науч. конгр. – Новосибирск : СГГА, 2011. – Т. 1, ч. 1.

– С. 108–116.