«РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ И МЕТОДОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КООРДИНАТ НАЗЕМНЫХ ПУНКТОВ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ТРАЕКТОРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ СПУТНИКОВ ...»

82 Дударев, В. И. Оценка относительной ошибки матрицы изохронных производных [Текст] / В. И. Дударев // Вестник СГГА. – 2011. – Вып.1 (14). – С. 7–16.

83 Дударев, В. И. Оценка влияния изменения гравитационного поля Земли на движение спутника [Текст] / В. И. Дударев // Известия ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка. – 2012. – № 2. – С. 8–13.

84 Дударев, В. И. Поправка за кривизну траектории радиосигнала в тропосфере [Текст] / В. И. Дударев // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2012: сб. материалов VIII Междунар. науч. конгр. – Новосибирск : СГГА, 2012. – Т. 4 – С. 187–191.

85 Дударев, В. И. Оценка параметров состояния нелинейных динамических систем в спутниковой геодезии [Текст] / В. И. Дударев // Известия ВУЗов.

Геодезия и аэрофотосъемка. – 2013. – № 4/С. – С. 8–13.

86 Дударев, В. И. Уравнения поправок для определения геодезических параметров по результатам радиотехнических траекторных измерений спутников [Текст] / В. И. Дударев // Известия ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка. – 2013. – № 4/С. – С. 13–18.

87 Дэннис, Д. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений [Текст] / Д. Дэннис, Р. Шнабель. – М. : Мир, 1988. – 440 с.

88 Жданюк, Б. Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений [Текст] / Б. Ф. Жданюк. – М. : Советское радио, 1978. – 384 с.

89 Изотов, А. А. Основы спутниковой геодезии [Текст] / А. А. Изотов, В. И. Зубинский, Н. Л. Макаренко, А. М. Микиша. – М. : Недра, 1974. – 320 с.

90 Использование искусственных спутников для геодезии [Текст] / Под ред.

С. Хенриксена, А. Манчини, Б. Човица. – М. : Мир, 1975. – 432 с.

91 Исследование точности определения координат наземных пунктов орбитальным методом. Построение траектории ИСЗ [Рукопись]: отчёт о НИР / НИИГАиК; рук. Ю. В. Сурнин; исполн. Ю. В. Сурнин [и др.]. – Новосибирск, 1974. – 154 с. – № ГP 73042373. – Инв. № Б412260.

92 Исследование динамической составляющей гравитационного потенциала Земли и его характеристик, построение их математических моделей [Рукопись]:

отчет о НИР (промежуточный) / СГГА; рук. В. В. Бузук; исполн. Н. П. Артемьева [и др.]. – Новосибирск, 1996. – 48 с. – № ГP 0196.0005075. – Инв. № 0297.0000884.

93 Исследование динамической составляющей гравитационного потенциала Земли и его характеристик, построение их математических моделей [Рукопись]:

отчет о НИР (заключительный) / СГГА; рук. В. В. Бузук; исполн. Н. П. Артемьева [и др.]. – Новосибирск, 1997. – 107 с. – № ГP 0196.0005075.

94 Капустин, В. А. Об оценках качества построения геодезических сетей [Текст] / В. А. Капустин // Известия ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъёмка. – 1986. – № 3. – С. 14–18.

95 Карский, Г. К обработке разнородных наблюдений спутников в локальной сети [Текст] / Г. Карский // Наблюдения искусственных небесных тел: публикации науч. рез. сотрудн. ИНТЕРКОСМОС. – М. : Астрон. Совет АН СССР, 1976. – № 15. – С. 294–304.

96 Каула, У. Спутниковая геодезия [Текст] / У. Каула. – М. : Мир, I970. – 172 с.

97 Колосов, М. A. Рефракция электромагнитных волн в атмосферах Земли, Венеры и Марса [Текст] / М. А. Колосов, А. В. Шабельников. – М. : Советское радио, 1976. – 220 с.

И. И. Краснорылов, М. М. Машимов и др. – М. : Недра, 1986. – 407 с.

И. И. Краснорылов, И. В. Плахов. – М. : Недра, 1976. – 216 с.

100 Кужелев, С. В. Вычисление частных производных регулярных элементов эллиптической орбиты ИСЗ по параметрам правых частей уравнений движения на основе экстраполяционного метода численного интегрирования [Текст] / С. В. Кужелев. – Новосибирск : НИИГАиК, 1982. – 30 с. – Деп. в ОНТИ ЦНИИГАиК 28.08.82, № 91 – гд 82.

101 Ланцош, К. Практические методы прикладного анализа [Текст] / К. Ланцош ; пер. с англ. М.З. Кайнера. – М. : Физматлит, 1961. – 524 с.

102 Лоусон, Ч. Численное решение задач метода наименьших квадратов [Текст] / Ч. Лоусон, Р. Хенсон; пер. с англ. X. Д. Икрамова. – М. : Наука, 1986. – 232 с.

доплеровских наблюдениях [Текст] / Я. Лямпарски // Наблюдения искусственных спутников Земли: труды Междунар. симпоз. – Варшава : Польская АН, 1979. – № 18. – С. 429–434.

104 Малец, К. В. Оптимизация наблюдений искусственных спутников Земли для повышения точности определения положения наблюдательной станции [Текст] К. В. Малец, А. А. Бовшин // Известия ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъёмка.

– 1979. – № 5. – С. 40–43.

105 Маррей, К. Э. Векторная астрометрия [Текст] / К. Э. Маррей // Пер. с англ. Я. С. Яцкива. – Киев : Наукова думка, 1986. – 328 с.

106 Маркузе, Ю. И. Алгоритмы для уравнивания геодезических сетей на ЭВМ [Текст] / Ю. И Маркузе. – М. : Недра, 1989. – 248 с.

107 Маркузе, Ю. И. Вычисление и уравнивание геодезических сетей [Текст] / Ю. И. Маркузе, Е. Г. Бойко, В. В. Голубев. – М. : Геодезиздат, 1994. – 426 с.

108 Маркузе, Ю. И. Два алгоритма объединения наземных и спутниковых геодезических сетей [Текст] / Ю. И. Маркузе, Welsch Walter Maria // Известия ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка. – 1995. – № 2. – С. 45–64.

109 Маркузе, Ю. И. Возможности улучшения алгоритма объединения спутниковых и наземных сетей [Текст] / Ю. И. Маркузе, А. В. Антипов // Геодезия и картография. – 2004. – № 4. – С. 16–21.

110 Маслов, А. В. Геодезия [Текст] / А. В. Маслов, А. В. Гордеев, Н. Н. Александров. – М. : Недра, 1972. – 528 с.

111 Машимов, М. М. Уравнивание геодезических сетей [Текст] / М. М. Машимов. – М. : Недра, 1979. – 367 с.

112 Медведев, П. П. Методы и результаты спутниковой геодезии [Текст] / П. П. Медведев // Итоги науки и техники. Геодезия и аэрофотосъёмка. – М. :

ВИНИТИ, 1980. – Т. 16. – 112 с.

113 Михай, С. Точность уравнений ошибок доплеровских наблюдений [Текст] / С. Михай // Наблюдения искусственных спутников Земли: труды Междунар.

симпоз. – Варшава : Польская АН, 1979. – № 18. – С. 395–410.

114 Мищенко, И. Н. Глобальная навигационная система НАВСТАР [Текст] / И. Н. Мищенко, А. И. Волынкин, П. С. Волосов // Зарубежная радиоэлектроника.

– 1980. – № 8. – С. 52–83.

115 Молчанов, И. Н. Машинные методы решения прикладных задач. Алгебра, приближение функций [Текст] / И. Н. Молчанов. – Киев : Наукова думка, 1987. – 288 с.

116 Назиров, P. P. К вопросу использования априорной информации при обработке данных высокоточных наблюдений ИСЗ [Текст] / Р. Р. Назиров, П. Е. Эльясберг // Препринт. – М. : ИКИ АН СССР, 1983. – № 795. – 24 с.

117 Назиров, P. P. Методика совместной обработки результатов определений движения ИСЗ по почти круговым орбитам [Текст] / Р. Р. Назиров, А. А. Тихонов // Препринт. – М. : ИКИ АН СССР, 1983. – № 796. – 36 с.

118 Насретдинов, К. К. Оценка точности положения и скорости спутника [Текст] / К. К. Насретдинов // Геодезия и картография. – 1982. – № 11. – С. 15–18.

119 Неволько, М. П. Методы повышения точности навигационных определений приземных объектов при использовании спутниковой навигационной системы [Текст] / М. П. Неволько, С. Д. Сильвестров, В. А. Архангельский // Космические исследования. – 1985. – Т. 23, вып. 6. – С. 820–828.

искусственного спутника планеты по измерениям радиальной скорости [Текст] / И. В. Оньков // Известия ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъёмка. – 1981. – № 3. – С. 50–54.

121 Оньков, И. В. Наблюдаемость начальных условий движения искусственного спутника Земли по измерениям дальности [Текст] / И. В. Оньков // Известия ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъёмка. – 1981. – № 4. – С. 64–68.

потенциальной точности космических измерительных комплексов [Текст] / П. В. Олянюк. – М. : Советское радио, 1973. – 184 с.

123 Остроумов, В. З. Высотная основа уровенных постов: геодезический аспект [Текст] / В.З. Остроумов, Г. А. Шануров, В. И. Епишин // Геодезия и картография. – 2006. – № 11. – С. 37–39.

геодезических спутниковых технологий и нивелирования [Текст] / Г. А. Панаев // Геодезия и картография. – 1998. – № 1. – С. 17–21.

125 Панкрушин, В. К. Системный подход к автоматизации обработки и интерпретации результатов наблюдений [Текст] / В. К. Панкрушин // Системные исследования в геодезии: сб. науч. тр. – Новосибирск : НИИГАиК, 1984. – Т. (63). – С. 5–15.

126 Петрова, Н. Вывод начальных условий орбиты ИСЗ при помощи наблюдений в коротких интервалах времени посредством уравнивания по методу наименьших квадратов [Текст] / Н. Петрова, И. Тренков // Наблюдения искусственных спутников Земли: доклады Междунар. науч. конф. – София :

Польская АН, 1982. – № 20. – С. 58–67.

В. В. Нестеров. – М. : Наука, 1975. – 552 с.

128 Приказчиков, С. Б. О необходимости создания региональных карт высотных аномалий [Текст] / С. Б. Приказчиков // Геодезия и картография. – 2004. – № 9. – С. 26–27.

129 Разработка методов изучения динамики гравитационного поля и фигуры Земли планетарного, регионального и локального характера [Рукопись]: отчет о НИР (промежуточный) / НИИГАиК; рук. В. В. Бузук; исполн. В. В. Бузук [и др.]. – Новосибирск, 1990. – 89 с. – № ГР 0186.0036274. – Инв. № 0291.0038442.

130 Разработка методов изучения динамики гравитационного поля и фигуры Земли планетарного, регионального и локального характера [Рукопись]: отчет о НИР (промежуточный) / НИИГАиК; рук. В. В. Бузук; исполн. И. Г. Ганагина [и др.]. – Новосибирск, 1992. – 155 с. – № ГР 0186.0036274; Инв. № 0293.0005083.

131 Разработка методов изучения динамики гравитационного поля и фигуры Земли планетарного, регионального и локального характера. Атлас картосхем возмущающих полей аномалий высот и силы тяжести в районах крупных водоемов Европы, обусловленных динамикой их водных масс [Рукопись]: отчет о НИР / СГГА; рук. В. В. Бузук; исполн. Н. П. Артемьева [и др.]. – Новосибирск, 1995. – 229 с. – № ГР 0186.0036274. – Инв. № 0296.0003477.

геодинамических параметров по результатам спутниковых радиотехнических траекторных измерений [Рукопись]: отчет о НИР / СГГА; рук. В. И Дударев;

исполн. В. И Дударев. – Новосибирск, 2010. – 69 с. – № ГР 012008.03158. – Инв. № 02201154312.

133 Разработка теории и методологии формирования уравнений измерений применительно к современным методам радиотехнических траекторных наблюдений космических аппаратов при оценке состояния нелинейных динамических систем [Рукопись]: отчет о НИР (заключительный) / СГГА; рук. В. И Дударев;

исполн. В. И Дударев. – Новосибирск, 2011. – 56 с. – № ГР 012011.51296. – Инв. № 02201256726.

134 Селиханович, В. Г. Геодезия [Текст]: учебник / В. Г. Селиханович. – 2-е изд., стереотипное. – М. : Альянс, 2006. – 544 с.

135 Справочное руководство по небесной механике и астродинамике [Текст] / В. К. Абалакин, Е.П.Аксёнов, Е. А. Гребеников и др. – М. : Наука, 1976. – 864 с.

136 Стандартная Земля [Текст] / Под ред. К. Лунквиста., Г. Вейса. – М. : Мир, 1969. – 277 с.

137 Сурнин, Ю. В. Программа прогнозирования движения геодезических искусственных спутников Земли [Текст] / Ю. В. Сурнин, С. В. Кужелев, В. А. Ащеулов // Наблюдения искусственных спутников Земли: сб. науч. тр. – София : Польская АН, 1979. – № 16. – C. 157–174.

138 Сурнин, Ю. В. Оценка сравнительной эффективности численных алгоритмов построения спутниковых траекторий [Текст] / Ю. В. Сурнин, С. В. Кужелев // Астрономия и геодезия: сб. науч. тр. – Томск : ТГУ, 1984. – №12.

– С. 18–26.

139 Сурнин, Ю. В. Задача определения орбит геодезических ИСЗ и методы расчёта изохронных производных [Текст] / Ю. В. Сурнин, С. В. Кужелев, В. И. Дударев. – Новосибирск : НИИГАиК, 1986. – 22 с. – Деп. в ОНТИ ЦНИИГАиК 24.03.86, № 203 – гд 86.

140 Cypнин, Ю. В. Математическая модель движения геодезических спутников Земли [Текст] / Ю. В. Сурин, С. В. Кужелев, А. М. Токарев. – Новосибирск : НИИГАиК, 1988. – 44 с. – Деп. в ОНИПР ЦНИИГАиК 18.01.88, № 297 – гд 88.

141 Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач [Текст] / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. – М. : Наука, 1979. – 288 с.

142 Тихонов, А. Н. Дифференциальные уравнения [Текст] / А. Н. Тихонов, А. Б. Васильев, А. Г. Свешников. – М. : Наука, 1980. – 232 с.

143 Тищенко, А. П. Геометрические методы космической геодезии [Текст] / А. П. Тищенко. – М. : Наука, 1971. – 112 с.

144 Урмаев, М. С. Орбитальные методы космической геодезии [Текст] / М. С. Урмаев. – М. : Недра,1981. – 256 с.

145 Урмаев, М. С. Космическая фотограмметрия. [Текст] / М. С. Урмаев. – М. : Недра, 1989. – 279 с.

146 Устинов, Г. А. Использование коротких дуг в космической триангуляции [Текст] / Г. А. Устинов, Д. И. Капилевич // Геодезия и картография. – 1981. – № 4.

– С. 30–32.

147 Фалькович, С. Е. О наблюдаемости в задаче взаимной геодезической привязки разнесённых пунктов многопозиционных измерительных комплексов [Текст] / С. Е. Фалькович, Л. Н. Коновалов, А. А. Жалило // Космические исследования. – 1985. – Т. 23, вып.4. – С. 587–597.

148 Форсайт, Д. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений [Текст] / Д. Форсайт, К. Молер; пер. с англ. В. П. Ильина, Ю. И. Кузнецова.

– М. : Мир, 1969. – 166 с.

149 Форсайт, Д. Машинные методы математических вычислений [Текст] / Д. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер; пер.с англ. X. Д. Икрамова. – М. : Мир, 1980. – 279 с.

150 Халмлош, Ф. Применение радиотехнических (доплеровских) методов наблюдения ИСЗ для решения геометрических и динамических задач космической геодезии [Текст] / Ф. Халмлош, Н. Адам, И. Фейеш // Наблюдения искусственных небесных тел: публикации науч. рез. сотрудн. ИНТЕРКОСМОС. – М. : Астрон. Совет АН СССР, 1976. – № 15. – С. 85–134.

151 Хорошавцев, В. Г. Расчёт частных производных от характеристик движения по начальным условиям [Текст] / В. Г. Хорошавцев / Космические исследования. – 1965. – Т. 3, вып. 4. – С. 374–380.

152 Хорн, Р. Матричный анализ [Текст] / Р. Хорн, Ч. Джонсон; пер. с англ.

Х. Д. Икрамова, А. В. Князева, Е. Е. Тырышникова. – М. : Мир, 1989. – 655 с.

153 Цюпак, И. М. Об использовании метода вариаций при дифференциальном уточнении орбит ИСЗ [Текст] / И. М. Цюпак. – Львов : ЛПИ, 1984. – 15 с. – Деп.

в УкрНИИНТИ 12.04.84, № 659 – Ук 84.

154 Чарный, В. И. Об изохронных производных [Текст] / В. И. Чарный // Искусственные спутники Земли: сб. науч. тр. – М. : АН СССР, 1963. – № 16. – С. 65–79.

155 Черницов, А. М. Об эффективности применения аналогов метода Ньютона при уточнении параметров орбит [Текст] / А. М. Черницов, С. С. Краев // Бюллетень института теоретической астрономии: сб. науч. тр. – М. : ИТА АН СССР, 1984. – Т. 15, 6(169). – С. 342–346.

156 Чернявский, Г. М. Орбиты спутников связи [Текст] / Г. М. Чернявский, В. А. Бартенев. – М. : Связь, 1978. – 240 с.

157 Чуров, Е. П. Спутниковые системы радионавигации [Текст] / Е. П. Чуров. – М. : Советское радио, 1977. – 392 с.

158 Шануров, Г. А. Об оценке точности геодезических сети, созданной сочетанием космических и наземных методов измерений [Текст] / Г. А. Шануров // Известия ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка. – 2002. – № 4. – С. 12–21.

159 Шебшаевич, B. C. Сетевые спутниковые радионавигационные системы [Текст] / В. С. Шебшаевич, П. П. Дмитриев, Н. В. Иванцевич. – М. : Радио и связь, 1982. – 272 с.

160 Эберт, Г. Краткий справочник по физике [Текст] / Г. Эберт; пер. с англ.

К. П. Яковлева. – М. : Физматгиз, 1963. – 552 с.

161 Эльясберг, П. Е. Введение в теорию полёта искусственных спутников Земли [Текст] / П. Е. Эльясберг. – М. : Наука, 1965. – 539 с.

162 Эльясберг, П. Е. Определение движения по результатам измерений [Текст] / П. Е. Эльясберг. – М. :Наука, 1976. – 416 с.

163 Эскобал, П. Методы определения орбит [Текст] / П. Эскобал. – М. : Мир, 1970. – 471 с.

164 Вълев, Г. Оптимальни конфигурации при доплерови определения на единични положения чрез спътници [Текст] / Г. Вълев, Д. Жеков // Геодезия, землеустройство: годишник. – София : ВИАС, 1983. – Т. 31, св.3. – С. 27–37.

165 Георгиев, И. Аналитичен начин за пресмятане матрицата н изохронните производни при орбитален метод чрез степенни редове по регуляризирано време [Текст] / И. Георгиев, В. Коцев // Висша геодезия. – 1986. – № 12. – С. 24–29.

166 Baldi, P. Geodetic positioning by satellite Doppler observations [Текст] / P. Baldi, P. Gasperini, S. Zerbini // Bollettino di Geofisica Teorica ed Applicata. – 1985.

– V. 27. – № 108. – P. 295–301.

167 Beck, N. Preliminary results on the use of differential GPS positioning for geodetic applications [Текст] / N. Beck, D. Delikaraoglou, K. Lochhead, D. J. Mc Arthur, G. Lachapelle // IEEE. Position location and navigation symposium, San Diego, November 26 – 29, 1984. – 1984. – P. 163–168.

168 Black, H. D. An easily implemented algorithm for tropospheric range correction [Текст] / H. D. Black / Journal of Geophysical Research. – 1978. – V. 83 (В4). – Р.

1825–1828.

169 Brogan, W. L. Improvements and extension of the geometrical dilution of precision concept for selecting navigation measurements [Текст] / W. L Brogan // IEEE. Position location and navigation symposium. – 1982. – P. 27–32.

170 Cassini, J. D. Ephemerides novissimae motium coelestium marchionis cornelii malvasiae ab A. 1661 ad 1666. Additis epheridibus solis et tabulis refractionum ex hypothesibus [Текст] / J. D. Cassini. – Mutinae, 1662.

171 Cefola, P. On the formulation of the gravitational potential in terms of equinoctial variables [Текст] / P. Cefola, R. Broucke // AIAA Pap. – 1975. – № 9. – P. 1–25.

172 Chen, J. Y. Geodetic datum and Doppler positioning [Текст] / J. Y. Chen // Mitt. geod. Inst. Techn. Univ. Graz. – 1982. – № 39. – 255 p.

173 Collins, S. К. Computationally efficient modelling for long term prediction of Global Positioning System orbits [Текст] / S. К.Collins, P. J Cefola // The Journal of the Astronautical Sciences. – 1978. – V. 26. – № 4. – P. 293–314.

174 Czobor, A. Preliminary results of Finnish-Hungarian Doppler observation compaign [Текст] / A. Czobor, J. Adam, S. Mihaly, T. Vass // Publ. Astron. Inst.

Czchehosl. Acad. Scin. – 1984. – N 58. – P. 529–548.

175 Fejes, I. Interferometric approach in the NNSS date processing [Текст] / I. Fejes, S. Mihaly // Acta Astronautica. – 1985. – V. 12. – № 6. – Р. 447–453.

176 Ferencz, C. Refraction problems and wave propagation in Doppler geodetical measurements [Текст] / C. Ferencz, I. Ferencz, G. Tarcsai // Наблюдения искусственных спутников Земли: доклады Междунар. науч. конф. / Польская АН. – Варшава, 1970. – № 9. – С. 361–374.

177 Frits, J. J. On the principles, ssumptions and methods of geodetic very long baseline interferometry [Текст] / J. J. Frits // Netherlands Geodeti Commission:

Publications on geodesy. – 1985. – V. 7. – № 4. – 180 p.

178 Gendt, G. The program system POTSDAM-4 for differential improvement of orbital elements and other parameters [Текст] / G. Gendt, H. Montag // 23 Plenary Meeting of COSPAR Technical Panel on Dynamics of Artificial Satellites and Space Problems, Budapest, June 1980/Akademie der Wissenschaften der DDR. – Potsdam. – 1980. – 22 p.

179 Grafarend, E. Rank defect analysis of satellite geodetic Networks 2. Dynamic mode [Текст] / E. Grafarend, K. Heinz // Manuscripta geodaetica. – 1978. – V. 3. – № 2 – 3. – P. 135–156.

180 Hopfieldt, H. S. Tropospheric effects on electromagnetically measured range:

predietion from surface weather date [Текст] / H. S. Hopfieldt // Radio Science. – 1971. – V.6. – № 3. – P. 357–367.

181 Hopfieldt, H. S. Tropospheric refraction effects on satellite range measurements [Текст] / H. S. Hopfieldt // APL Tech. Dig. – 1972. – V. 11 (4). – P. 11 – 19.

182 Hothem, L. D. Doppler satellite surveying system [Текст] / L. D. Hothem, W. E. Strange, M. White // Journal the surveying and mapping division. – 1978. – V. 104. – № 1. – P. 79–91.

183 Kepler, J. Ad vitellionen paralipomena, quibus astronomiae pars optica traditur.

[Текст] / J. Kepler // Francofurt, 1604.

184 Kouba, J. A. A review of geodetic and geodinamic satellite doppler positioning [Текст] / J. A. Kouba // Reviaws of Geophysics and Space Physics. – 1983. – V. 21. – № 1. – P. 27–40.

185 Mader, G. L. Dynamic positioning using GPS carrier phas measurements [Текст] / G. L. Mader // Manuscripta geodaetica. – 1986. – № 11. – P. 272–277.

186 Munck, J. C. Ionospheric correction for (pseude) range measurement to satellites [Текст] / J. C. Munck // Proceedings of the General Meeting of the IAG, Tokyo, May 7 – 15, 1982. – Kyoto, 1982. – P. 553–561.

187 Newton, R. Mesures de la frequence doppler dans les transmissions satellite et leurs emplois en geodesie geometrique [Текст] / R. Newton // Symposium sur organisation d un Resean Geodesique Europeen par Observation des Satellites Artificiels, Paris, December 14 – 16, 1964. – Paris, 1965. – P. 178–185.

188 Saastamoinen, J. J. Contribution to the theory of atmospherio refraction [Текст] / J. J. Saastamoinen // Bulletin Geodesique. – 1973. – № 107. – P. 13–34.

189 Schluter, W. Mathematisches modell zur auswertung von auywertung von dopplermessungen [Текст] / W. Schluter, P. Pesec // Veroffentlichungen Deutache geodatische Kommision bei der Bagerischen Akademie der Wiasenachaften. – 1982. – № 210 (В). – Р. 37–54.

190 Stansell, T. A. The continuing evalution of satellite-based geodetic positioning and survey navigation capabilities [Текст] / T. A. Stansell // Offshore Technology Conference, Houston, May 4 – 7, 1981. – Dallas, 1981. – V. 4. – Р. 405–416.

191 Tarcsai, G. Relativistic effects and optimalization in doppler geodetical measurements [Текст] / G. Tarcsai, P. Horvath // Haблюдения искусственных спутников Земли. Сб. науч. тр. / Польская АН. – Варшава, 1969. – № 9. – С. 375–383.

192 Teunissen, P. J. G. GPS for geodesy [Текст] / P. J. G. Teunissen, Y. Bock, G. Beutler. – Berlin: Springer, 1998. – 650 p.

193 Velez, C. E. Calculation of precision satellite orbits with nonsingular elements (VOP formulation) [Текст] / C. E. Velez, P. J. Cefola, A. C. Long, K. S. Nimitz // Lacture Notes in Math., Springer Verlag. – 1974. – V. 362. – P. 183–205.

194 Wells, D. E. Doppler satellite control [Текст] / D. E. Wells // Department of Surveying Engineering, University of New Brunswick, Fredericton, September, 1974. – New Brunswick, 1974. – № 29.

195 Smith, C. A. Senivity of GPS acquisition to initial data uncertainties [Текст] / C. A. Smith, K.W. Graves // Navigation: Journal of the Institute of Navigation. – 2001. – V. 31. – № 3. – P. 220–232.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

КЛАССИФИКАЦИЯ КООРДИНАТНЫХ СИСТЕМ

Таблица А.1 – Название и классификационные признаки координатных систем Классификационный Наименование Описание классификационного Пример координат Расположение Геоцентрическая Начало координат расположено в x, y, z Ориентировка Экваториальная За основную координатную плос- x, y, z Продолжение таблицы А. координат Ориентировка Земная Ось абсцисс направлена в точку G XG,YG,Z G

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

СИНГУЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

Мощным средством вычислительной алгебры совместно с линейной задачей МНК является сингулярное разложение [23, 87, 115, 149, 152]. Сингулярным разложением прямоугольной mxn матрицы A называется разложение вида где U и V – левая mxm и правая nxn ортогональные матрицы;

– прямоугольная mxn матрица с элементами ji 0 при i j и ii i 0 (i = 1,..., n, j = 1,..., m).

Здесь величины i являются сингулярными числами матрицы A.

устойчивости вектора решения к изменению исходных данных. С этой целью применяются зависимости (1.130) – (1.133), для которых число обусловленности следует вычислять по формуле [23] где max, min – максимальное и минимальное сингулярные числа.

Сингулярное разложение сводит общее решение линейной задачи МНК к задаче с диагональной матрицей, что позволяет достаточно просто определить ранг матрицы коэффициентов и получить единственное решение СЛАУ. Кратко изложим суть этого вопроса, основываясь на работах [87, 102, 149, 152].

Применив к матрице коэффициентов A в СЛАУ (1.123) сингулярное разложение, получим преобразованную систему В ней n-мерный вектор-столбец преобразованных неизвестных Z и m-мерный вектор-столбец правой части G находятся из равенств Определив псевдообратную матрицу как получим оценку Z вектора Z в (Б.3):

Теперь обобщенное решение СЛАУ (1.123) находится из равенства Сингулярное разложение без привлечения других методов линейной алгебры позволяет вычислить псевдообратную матрицу A после чего обобщенное решение можно найти по формуле (1.128).

В вычислительной практике наиболее приемлемым с точки зрения затрат времени на вычисления и занимаемой памяти компьютера является экономичный вариант сингулярного разложения. Суть его заключается в следующем. Так как то удобно представить где g1, g2 – векторы-столбцы размерности n и n-m соответственно.

Тогда вместо (Б.7) рациональнее вычислять вектор Z по формуле в которой Затем, уже обобщенное решение определяется из равенства (Б.8). Очевидно, что эффективность процедуры (Б.12) возрастает с ростом числа m уравнений относительно числа n неизвестных.

подстановкой выражений (Б.1), (Б.3), (Б.5), (Б.10) – (Б.12) в (1.124):

Евклидова норма этого вектора равна Если матрица A неполного ранга r < n (r = rankA), то псевдообратная матрица рассчитывается следующим образом:

Параметр отражает точность задания матрицы A и точность представления чисел в памяти конкретной вычислительной машины [5, 87, 149]:

Отбрасывание сингулярных чисел, меньших, приводит к уменьшению числа обусловленности, значение которого находится как [149] С введением величины вводится также понятие эффективного ранга, равного количеству сингулярных чисел, больших [149].

Если псевдообратная матрица вычисляется по формуле (Б.16), то вектор решения Z в выражении (Б.7) лучше представить состоящим из векторовстолбцов Z1 и Z 2 размерности r и n-r соответственно. Матрицу G будут составлять векторы-столбцы g1 и g2 размерности r и m-r. Очевидно, что преобразованной системе уравнений (Б.3) удовлетворяет единственный вектор Z и произвольный вектор Z 2. Такой выбор вектора решений не увеличивает евклидовой нормы вектора невязок. Отмеченная множественность решений для преобразованной системы обусловливает множественность решений в равенстве (Б.8) исходной СЛАУ. Единственным решением задачи является решение с минимальной евклидовой нормой (1.122). Очевидно, что в этом случае вектор должен содержать нулевые компоненты. Поэтому нормальное обобщенное решение будет иметь вид Для решения линейной системы уравнений с матрицей коэффициентов неполного ранга r n также применима экономичная схема вычислений. При этом решение СЛАУ (Б.3) осуществляется с использованием формулы (Б.12), в которой матрица состоит из r обратных сингулярных чисел, больших величины. Для нормального обобщенного решения, определяемого выражением (Б.19), евклидова норма вектора невязок (Б.15) также будет минимальной.

Заметим, что нормальное обобщенное решение может быть получено из выражения (1.128), в котором эффективная псевдообратная матрица рассчитывается по формуле (Б.9) с использованием псевдообратной матрицы из выражения (Б.16) [149].

В работе [102] отмечается, что при соотношении в СЛАУ числа строк и столбцов p = m/n больше 2 целесообразнее к матрице коэффициентов применять ортогональное разложение Хаусхолдера. А затем уже полученную треугольную матрицу подвергать сингулярному разложению. Тогда при значении p экономия времени при вычислениях может достигать 50 %.

Применение сингулярного анализа показывает, что решение СЛАУ с прямоугольной матрицей гораздо предпочтительнее, чем решение этих же систем с использованием нормальной матрицы коэффициентов [80]. Для доказательства этого утверждения выполним сингулярное разложение (Б.1) нормальной матрицы коэффициентов в (1.126). Можно записать Здесь матрица T будет состоять из квадратов сингулярных чисел матрицы.

Отсюда имеем т.е. число обусловленности нормальной матрицы коэффициентов AT A в квадрат раз больше числа обусловленности прямоугольной матрицы А.

Возвращаясь к оценке относительной ошибки решения СЛАУ, подчеркнем, что вектор V не может служить надежной мерой ее решения. Анализ формулы приведенной в работе [152], позволяет сделать следующий вывод: сильно отличающийся от своего точного значения вектор решения может давать весьма малые невязки. Это отличие увеличивается с ростом числа обусловленности (А) матрицы коэффициентов СЛАУ [80].

ПРИЛОЖЕНИЕ В

ВЫВОД АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕМЕНТОВ

Введем следующие обозначения:

Для получения матрицы С необходимо установить функциональную зависимость компонент вектора X прямоугольных координат положения и скорости спутника от регулярных элементов Y его орбиты. Здесь G является нелинейной шестимерной вектор-функцией от вектора Y.

Инерциальную орбитальную систему координат (o) (см. рисунок 1.4) образует ортонормированный базис e, определяемый равенством (1.73), каждый единичный вектор которого можно представить в виде проекций на оси звездной системы координат (oxyz) Компоненты единичных векторов в равенствах (В.3) выражаются через регулярные элементы Y орбиты спутника, представленных выражением (1.135) [171, 193] Здесь параметр k определяется по формуле (1.138).

геоцентрического расстояния r до спутника позволяет получить выражение для расчета модуля вектора скорости r спутника Подставив формулы (1.137) и (В.5) для определения величин l и r в (1.77) и, сделав простые преобразования, получим следующие равенства [171]:

где – гравитационный параметр Земли;

p – фокальный параметр орбиты.

Теперь функциональная зависимость (В.2) установлена – это формулы (1.76), (1.80), (1.81), (В.4) и (В.6). Ниже получим аналитические выражения для расчета элементов матрицы C [60]. Для этого представим ее в виде произведения двух матриц В нем является пятнадцати мерным вектором-столбцом, состоящим из компонент векторов положения и скорости спутника в инерциальной орбитальной системе ортонормированный базис этой системы. В развернутой форме произведение матриц (В.7) имеет вид

Y Y Y Y Y Y Y Y Y

Чтобы получить аналитические выражения производных в матрицахсомножителях (В.9), необходимо для дифференцирования воспользоваться формулами (1.76), (1.80), (1.81), (1.137), (1.138), (В.4) и (В.6). Определение производных в равенстве (В.9) не представляет большой сложности, поэтому можно сразу записать:

где E – единичная 3x3 матрица;

0 – нулевая квадратная матрица размерности 3х3;

0 – нулевая матрица-столбец размерности 3x1.

Матрицу частных производных C в выражении (В.1) найдем, выполнив перемножение матриц-сомножителей (В.10) и (В.11). Пропустив простые преобразования, можно записать В формулах (В.12) и (В.13) векторы S1, S2, S3 и S4 имеют вид Наряду с аналитическим методом для вычисления элементов матрицы C используются численные методы: односторонних и двусторонних конечных разностей [15, 88, 144, 162]. В методе односторонних конечных разностей частная (j = 1, 2,..., 6) компоненте вектора Y рассчитывается по формуле а в методе двусторонних конечных разностей – по формуле где Gi – i-я функция в зависимости (В.2);

Yj – приращение j-й компоненты вектора Y.

Процесс вычислений по формуле (В.16) в сравнении с формулой (В.15) более сложен и трудоемок. Однако использование формулы (В.16) предпочтительнее, так как в этом случае обеспечивается более высокая точность вычислений.

Достоверность полученных выражений (В.12) и (В.13) проверялась автором численным методом двусторонних конечных разностей по формуле (В.16). При этом различие одноименных производных, полученных аналитическим и численным методами, не превысило 10-6. Этот результат является более чем достаточным.

ПРИЛОЖЕНИЕ Г

ВЫВОД АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕМЕНТОВ

МАТРИЦАНТА

Для расчета элементов матрицы изохронных производных (матрицантa) (1.145) могут применяться численные и аналитические методы. К численным методам относятся методы односторонних и двусторонних конечных разностей, а также метод вариаций [88, 139, 144, 153, 162].

Метод односторонних конечных разностей предусматривает семикратное невозмущенных и возмущенных малыми приращениями q0j (j = 1, 2,..., 6) НУ движения КА. Численное значение производной, находящейся на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицанта, можно определить по формуле qi Fi (q01,...,q0j +q0j,...,q06,t ) - Fi (q01,...,q 0j,...,q 06,t ) где Fi – i-я функция вектор-функции F вида (1.2).

В методе двусторонних конечных разностей выполняется 12-кратное интегрирование дифференциальных уравнений движения. Численное значение производной рассчитывается по формуле qi Fi (q01,...,q0j +q0j,...,q06,t ) - Fi (q01,...,q 0j -q 0j,...,q 06,t ) Как уже отмечалось выше, метод двусторонних конечных разностей более Применительно к изохронным производным он используется в том случае, когда сильно выражена нелинейность вектор-функции F. К достоинствам описанных численных методов следует отнести их универсальность и точность, а к недостаткам – значительные трудоемкость и затраты времени вычислительных машин.

При использовании метода вариации наряду с системой дифференциальных уравнений движения (1.3) рассматривается система дифференциальных уравнений в вариациях. Если для системы уравнений движения выбрать расчетные НУ движения спутника, а для системы уравнений в вариациях в качестве НУ использовать последовательно строки единичной матрицы, то в результате совместного интегрирования этих систем непосредственно получаются значения искомых частных производных. Расход машинного времени при применении этого метода в 1,5–2 раза меньше, чем в методе конечных разностей [154], однако метод вариаций требует большого объема оперативной памяти вычислительных машин.

Аналитические методы расчета матрицанта подразделяются на точные и приближенные. Точные методы основываются на возможности получения модели движения КА в замкнутой форме. При этом предполагается, что спутник движется по кеплеровой орбите [144]. Методы формирования матрицанта для различных систем элементов орбиты описаны в работах П. Е. Эльясберга [161], П. Эскобала [163], Б. Ф. Жданюка [88], Р. Р. Назирова и А. А. Тихонова [117], В. М. Каула [96], И. Георгиева и В. Коцева [165] и в других. Аналитические выражения элементов матрицы изохронных производных в прямоугольных координатах получены, например, В. Н. Брандиным [15], К. К. Насретдиновым [118]. Один из методов представлен автором в работах [55, 60]. Следует отметить, что в изохронных производных, представленных в работе [118], имеются особенности для круговых и экваториальных орбит. Для уменьшения методической погрешности производных на длинных орбитальных дугах В. М. Каулой [96], Н. А. Бовшиным [6, 7], Г. А. Устиновым и В. В. Бойковым [10] получены аналитические выражения в кеплеровых элементах. В этих выражениях учитывается влияние второй зональной гармоники геопотенциала. Преимущество точных аналитических методов перед численными состоит в том, что элементы матрицанта рассчитываются по конечным зависимостям с известным числом арифметических операций. Это приводит к значительному сокращению времени вычислений и памяти вычислительных машин.

К недостаткам следует отнести: а) быстрое нарастание вычислительной погрешности с увеличением длины орбитальной дуги; б) громоздкость формул при учете влияния основных возмущений.

Приближенные аналитические методы базируются на разложении в ряд Тейлора с удержанием квадратичных членов интегралов обычной [151] или линеаризованной [154] модели движения КА. Как показывают исследования [8], для спутников с высотами от 1000 км до 1500км вычисление изохронных производных данным методом возможно на интервале времени продолжительностью не более 5 – 7 минут, при дальнейшем увеличении этого интервала резко возрастает методическая погрешность расчета производных. Учет квадратичных членов разложения уже приводит к громоздким выражениям для элементов матрицанта, поэтому удержание кубических членов разложения нецелесообразно. Для орбитальных дуг большой протяженности В. Г. Хорошавцев [151] предлагает делить мерный интервал T на несколько коротких интервалов [t0, t1], [t0, t2],..., [tk-1, tk] и для каждого из них вычислять изохронные производные. Матрицант на интервале T получается перемножением матрицантов, рассчитанных для каждого элементарного интервала времени. Отметим, что данный метод приводит к значительным затратам машинного времени в тех случаях, когда между участками (сеансами) измерений орбитальной дуги имеются большие промежутки времени. Обзор численных и аналитических методов расчета изохронных производных достаточно подробно изложен в монографиях [8, 13, 142].

Ниже будут получены аналитические выражения для вычисления изохронных производных вида (1.145) в регулярных элементах Y орбиты в предложении, что спутник движется по невозмущенной кеплеровой орбите [58]. Для этого в качестве исходных примем зависимости, приведенные в работах [89, 171]:

где E, M – эксцентрическая и средняя аномалии;

F, – эксцентрическая и средняя долгота спутника;

n – среднее движение;

a – большая полуось орбиты;

– гравитационный параметр Земли;

p – фокальный параметр орбиты;

e – эксцентриситет орбиты;

– сумма аргумента широты спутника и долготы восходящего узла орбиты (формула (1.134)).

Здесь и далее подстрочный индекс "0" означает, что параметр задан на начальный момент времени t0 T. Матрицант C0 имеет вид:

Дифференцируя зависимости (Г.3), (Г.4), (Г.7), (Г.10) – (Г.13), полагая при этом p=p0 (здесь принимается невозмущенная орбита), запишем общий вид производной Частные производные в равенстве (Г.15) просто определяются и имеют вид Подставив выражения (Г.16) – (Г.20) в формулу (Г.15) и сделав необходимые преобразования, можно записать Здесь параметр d определяется по формуле Общий вид производной l можно получить, дифференцируя зависимости (Г.3), (Г.4), (Г.7), (Г.12) и (Г.13), применимые как для текущего, так и начального моментов времени:

Частные производные в зависимости (Г.13) просто определяются и имеют вид Подставив равенства (Г.16) – (Г.18), (Г.24), (Г.25) в равенство (Г.23) и сделав при этом необходимые преобразования, получим зависимостей (Г.3), (Г.4), (Г.6) – (Г.8), (Г.10) – (Г.13), применимых как для текущего, так и начального моментов времени:

Частные производные в равенстве (Г.27) просто определяются и имеют вид Подставим формулы (Г.28) – (Г.30) в выражение (Г.27), учитывая при этом равенства (Г.16), (Г.24) и вид производных можно записать Здесь частная производная g0 имеет вид Здесь частная производная h0 имеет вид Аналитические выражения для расчета производных, являющихся сомножителями в зависимостях (Г.32) – (Г.35), легко определяются и имеют вид:

Подставив производные из выражений (Г.36), (Г.17), (Г.19) и (Г.25) в равенства (Г.32) – (Г.35) и сделав при этом необходимые преобразования, можно записать В этих равенствах параметры a, b, 0 и c имеют вид а величины и d определяются по формулам (1.134) и (Г.22) соответственно.

Сведя все выражения вместе, запишем [58] Достоверность полученных выражений (Г.41) для расчета изохронных производных проверялась автором численным методом двусторонних конечных подтвердили правильность полученных формул.

ПРИЛОЖЕНИЕ Д

ОЦЕНКА ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ОШИБКИ МАТРИЦАНТА

При решении системы линейных уравнений поправок (см. 1.4) на число итераций существенное влияние оказывает точность вычисления матрицы коэффициентов. Она состоит из градиентной матрицы и матрицы изохронных производных (матрицанта). Относительная ошибка расчета элементов градиентной матрицы находится в пределах от 3·10-7 до 7·10-5 (см. 2.7). Величина относительной ошибки матрицы изохронных производных зависит от метода расчета элементов этой матрицы. Далее такую относительную ошибку будем называть относительной методической ошибкой. Ниже изложим методику оценки относительной методической ошибки матрицанта, а также приведем ее численные значения для некоторых типов орбит, характерных для геодезических спутников.

Для анализа выберем матрицант M в прямоугольных координатах где X – шестимерный вектор-столбец фазовых координат КА на текущий момент времени tT;

X0 – шестимерный вектор-столбец фазовых координат КА на начальный момент времени t0T.

Этот матрицант универсален в применении. Например, в случае оценивания другого набора S элементов орбиты КА, матрица коэффициентов / S системы линейных уравнениях поправок может быть получена по формуле [88] где – измеряемая функция;

S0 – вектор других элементов орбиты КА в момент времени t0.

В современных алгоритмах дифференциального уточнения орбит спутников используются как аналитические, так и численные методы расчета матрицанта M.

Аналитические методы, даже учитывающие вековые возмущения первого порядка от второй зональной гармоники геопотенциала, являются приближенными [8, 144]. Они подвержены ошибкам, обусловленным отличием возмущенного движения КА от невозмущенного. Но затраты машинного времени при реализации аналитических методов расчета матрицантов минимальны. Численные методы, основанные на численном интегрировании дифференциальных уравнений движения КА, требуют больших затрат машинного времени, занимающих иногда до 80 % от общего времени решения измерительной задачи [15].

В целях экономии времени при интегрировании дифференциальных уравнений движения учитывают не все возмущения, что приводит к методическим ошибкам расчета матрицы изохронных производных. Такого рода ошибки возрастают с увеличением отрезка времени T. В результате можно получить смещенные оценки вектора параметров состояния динамической системы, возрастание числа итераций в задаче оценивания и даже отсутствие сходимости итерационного процесса. Для плохо наблюдаемых динамических систем эти явления получают более выраженный характер. По этим причинам на этапе постановки задачи оценивания желательно иметь представление о величине таких ошибок, чтобы для конкретной обрабатываемой орбитальной дуги выбрать наиболее подходящий (в смысле точности и затрат машинного времени) метод расчета матрицанта.

Для оценивания относительных методических ошибок матрицанта на отрезке времени T необходимо иметь его точные значения в моменты tiT (i = 1, 2,..., n;

n – число моментов). Точные значения матрицантов, которые будем называть эталонами Э (т.е. точность расчета эталонного матрицанта на один-два порядка выше точности расчета матрицанта M.), будем получать методом односторонних конечных разностей по формуле (Г.1) с учетом возмущений от несферичности Земли (все гармоники до 16 порядка), притяжения Луной, Солнцем и прямого светового давления. Для получения фазовых координат X на текущие моменты времени будет выполняться численное интегрирование дифференциальных уравнений движения КА. Элементы матрицанта M, полученные по формуле (Д.1) на те же моменты времени каким-либо другим методом, можно сравнить с соответствующими элементами эталонного матрицанта. После чего можно оценить методическую относительную ошибку расчета каждого элемента матрицы M.

Матрица изохронных производных имеет размерность 6х6 и содержит элементов. С точки зрения технической реализации этот факт усложняет анализ изменения во времени методической относительной ошибки каждого элемента характеристику ошибок расчета всех элементов матрицы.

За такую оценку примем отношение евклидовых норм двух матриц [82, 132] где mkj и эkj – элементы матриц M и Э.

Параметр, определяемый отношением (Д.3), будем называть относительной методической ошибкой расчета матрицы изохронных производных M. Если же M будет сравниваться с матрицантом, полученным другим методом, то параметр будем называть относительной разностью двух матрицантов.

Для вычисления параметра для заданной последовательности моментов ti выполнялось численное интегрирование методом Эверхарта дифференциальных уравнений движения. На эти же моменты времени методом односторонних производных. Численные значения элементов матрицанта M на моменты ti определялись аналитическим методом.

Для исследований выбраны четыре модельные орбиты "С", "Т", "Л" и "И", которые по своим параметрам близки к орбитам геодезических КА. Их начальные условия, заданные в виде кеплеровых элементов, а также период обращения р представлены в таблице Д.1.

Таблица Д.1 – Начальные условия модельных орбит КА Моменты времени ti, на которые рассчитывались матрицанты, подбирались так, чтобы на одном обороте КА было десять точек с интервалом в 0,1·р. В этом случае два исходных положения КА в пределах одного оборота находятся на угловом расстоянии примерно в 36. Кроме того, моменты времени вычислялись не на каждом обороте, а с некоторым пропуском целого числа оборотов. Время полета КА, длина дуги орбиты, число пропускаемых оборотов и общее число n моментов времени для каждой исследуемой орбиты приведены в таблице Д.2.

Таблица Д.2 – Характеристика модельных орбитальных дуг Эталонные значения матрицантов были получены дважды: со значениями приращений X к начальным условиям движения X0, равными X= X0·10-8 и X=X0·10-9. При этом интегрирование уравнений движения выполнялось с относительной ошибкой 10-10 и с учетом указанных выше возмущений.

Относительная разность этих двух эталонов принята в качестве относительной ошибки расчета эталона Э, полученного с приращениями к начальным условиям X = X0·10-9. Значения этой ошибки приведены в таблице Д.3.

Таблица Д.3 – Относительная ошибка эталонных матрицантов (x10-6) Матрицы изохронных производных M для каждой модельной орбиты КА рассчитывались на заданные моменты времени ti различными методами и с учетом различных возмущений. В таблицах Д.4 и Д.5 приведено описание условий формирования исследуемых матрицантов. В качестве аналитического метода реализован метод, который основан на соотношениях невозмущенного движения.

Вариационный метод основан на численном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений в вариациях. Матрицант варианта 1 в таблице Д. принят за эталон Э.

Таблица Д.4 – Численные методы расчёта матрицантов (эталон) разностей несферичности Земли (все гармоники до 16 порядка), притяжения Луной, Солнцем и прямого светового давления. Относительная разностей зональной гармоники геопотенциала. Относительная точность разностей геопотенциала второго порядка. Относительная точность численного вариаций С учётом возмущений только от второй зональной гармоники геопотенциала в основной и вариационной системах дифференциальных уравнений.

Таблица Д.5 – Аналитический метод расчёта матрицантов По траектории, в которой учтены возмущения от несферичности Земли (все гармоники до 16 порядка), притяжения Луной, Солнцем и прямого светового давления.

По траектории, в которой учтено влияние всех гармоник геопотенциала второго По траектории, возмущённой только второй зональной гармоникой геопотенциала.

По невозмущённой траектории.

В таблице Д.6 представлены значения ошибки для сравниваемых с эталоном Э (вариант 1) различных вариантов расчета матрицанта M на интервалах времени полета КА в 48, 120 и 240 часов. В таблице Д.7 приведены значения относительной разности между некоторыми матрицантами.

Таблица Д.6 – Значения относительной методической ошибки (x10-4) расчёта матрицанта M для модельных орбит графиками (рисунки Д.1 – Д.12). На этих рисунках показано изменение относительных методических ошибок матрицантов во времени. Обозначение варианта у каждого графика состоит из буквы, соответствующей названий модельной орбиты, и цифр в скобках – номеров сравниваемых вариантов.

Из результатов, представленных в таблице Д.6, видно, что с увеличением высоты полета КА уменьшается относительная методическая ошибка матрицантов. Это объясняется тем, что с ростом высоты полета КА уменьшается возмущающее действие не учитываемых гармоник геопотенциала. Однако в варианте (1–2) таблицы Д.6 ошибка для орбиты "И" примерно в два раза больше, чем для орбиты "Л". Это обусловлено тем, что при расчете матрицантов M (таблица Д.4, вариант 2) для орбит "Л" и "И" не учитывалось притяжение КА Луной и Солнцем, которое растет с увеличением высоты полета.

Из сравнения вариантов (1–2) и (1–3) таблицы Д.6 следует, что учет кроме второй зональной гармоники еще тессеральных и секториальных гармоник второго порядка повышает точность вычисления матриц изохронных производных примерно в два раза.

Данные вариантов (1–4) таблицы Д.6 и (2–4) таблицы Д.7 показывают, что вариационный метод [100] расчета матрицантов с учетом влияния второй зональной гармоники в основной и вариационной системах дифференциальных уравнений совпадает по точности с методом конечных разностей, также учитывающим только влияние второй зональной гармоники. Но вариационный метод предпочтительнее разностного, так как требует значительно меньших затрат машинного времени.

Как показывают данные таблицы Д.6, при расчете матрицантов аналитическим методом, основанном на зависимостях кеплерова движения, целесообразно применять элементы орбиты, полученные из интегрирования дифференциальных уравнений движения с учетом полного набора возмущений.

При этом аналитический метод сопоставим по точности разностному методу, учитывающему влияние второй зональной гармоники. Здесь ошибка 5·10-3.

Этот вывод следует из сравнения вариантов (1–2) и (1–5) таблицы Д.6.

Наибольшую относительную методическую погрешность имеют матрицанты, вычисленные по параметрам невозмущенной орбиты. Это следует из анализа результатов варианта (1–8) таблицы Д.6. Отметим, что во всех вариантах относительная методическая ошибка матрицантов растет вековым образом при увеличении длины орбитальной дуги. Это хорошо видно на представленных графиках изменения ошибки.

Обобщая результаты выполненных исследований, можно сделать следующие выводы [82, 132]:

– при реализации аналитического метода, основанного на зависимостях кеплерова движения, необходимо использовать элементы орбиты, полученные из интегрирования дифференциальных уравнений движения с полным набором возмущений;

– аналитический метод расчета матрицанта, основанный на зависимостях невозмущенного движения и использующий элементы орбиты, полученные из интегрирования дифференциальных уравнений движения с полным набором возмущений, совпадает по точности с разностным методом, учитывающим влияние только второй зональной гармоники;

– относительная методическая ошибка матрицантов уменьшается примерно в два раза, если при их расчете учитывать влияние не только второй зональной гармоники геопотенциала, но также тессеральной и секториальной гармоник второго порядка.

– относительная методическая ошибка матрицантов с увеличением длины орбитальной дуги растет вековым образом. Чтобы уменьшить величину этой ошибки, следует начальную эпоху t0 при дифференциальном уточнении орбит выбирать в середине мерного интервала T.

Рисунок Д.1 – Вариант С(1–2) Рисунок Д.2 – Вариант T(1–2) Рисунок Д.3 – Вариант Л(1–2) Рисунок Д.4 – Вариант И(1–2) Рисунок Д.5 – Вариант С(1–5) Рисунок Д.6 – Вариант Т(1–5) Рисунок Д.7 – Вариант Л(1–5) Рисунок Д.8 – Вариант И(1–5) Рисунок Д.9 – Вариант С(1–8) Рисунок Д.10 – Вариант Т(1–8) Рисунок Д.11 – Вариант Л(1–8) Рисунок Д.12 – Вариант И(1–8)

ПРИЛОЖЕНИЕ Е

ВИД И АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ТРАЕКТОРНЫХ

ИЗМЕРЕНИЙ

В приложении приведены характерные математические модели беззапросных радиотехнических траекторных измерений КА. Эти модели представлены в том виде, обозначениях и пояснениями, в котором они записаны в оригинальных работах. Выполнен анализ моделей на предмет их достоверности.

Модель 1. Модель интегральных доплеровских измерений, приведена в обзоре О. М. Булыгиной и В. Т. Залуцкого [20]. Моделируется число колебаний разностной частоты.

Здесь – поправка за аппроксимацию;

– две релятивистские коррекции согласно специальной и общей теориям относительности;

– поправка за вращение Земли (аберрационный эффект).

В формулах (Е.1 – Е.5) обозначено: – вектор угловой скорости вращения Земли; R и r – геоцентрические радиус-векторы НП и КА; k-j – длина интервала интегрирования; d – временная задержка приёмника; T3j,k – временные домеры;

и – топоцентрическая дальность и радиальная скорость в моменты границ интервалов интегрирования; Ri = 1i + 2i – суммарная релятивистская коррекция;

nj – представляет остаточные инструментальные и атмосферные эффекты, которые могут моделироваться как случайные; fS – частота сигнала, излучаемого с борта КА; fG – частота опорного генератора приёмника; tk, tj – моменты передачи временных меток со спутника; C – скорость света в вакууме; * – начало подсчёта числа колебаний в приёмнике; – гравитационный параметр Земли.

Предполагается, что измеренное число циклов на этапе предварительной обработки исправляется поправками, учитывающими влияние тропосферной и ионосферной рефракций. Представленная модель записана в ЛСВ.

Модель 2. Модель доплеровских измерений, приведена в работе J. Kouba [184]. Моделируется число колебаний разностной частоты.

Здесь – расстояние между наземной станцией с радиус-вектором rg в момент i начала (окончания) накопления циклов в ЛСВ и положением спутника rS в момент ti передачи временной марки в ССВ;

– поправка за вращение Земли;

– релятивистская поправка.

В формулах (Е.6 – Е.9) обозначено: d – средняя задержка приёмника в прохождении; Si – производная по времени от Si; f0 – частота опорного генератора приемника; fS – частота сигнала, излучаемого с КА; – вектор вращения Земли; i – инструментальные и атмосферные погрешности, которые могут моделироваться как случайные.

На этапе предварительной обработки измеренное число циклов исправляется поправками, учитывающими влияние тропосферной и ионосферной рефракций.

Представленная модель записана в ССВ.

Модель 3. Модель доплеровских измерений, приведена в работе W. Schluner и Р. Рesec [189]. Моделируется число колебаний разностной частоты.

Здесь – наклонная дальность до КА с координатами XS, YS, ZS в момент Ti посылки временной марки;

– координаты НП на момент ti начала (окончания) накопления циклов приёмником;

– угол поворота Земли за период времени ti -T.

В формулах (Е.10 – E.13) обозначено: – средняя угловая скорость вращения Земли; Ntr – тропосферная коррекция; dk – процентная тропосферная коррекция;

dt – ошибка синхронизации; dr – орбитальная коррекция; fS, fg – частоты колебаний генераторов КА и НП соответственно.

На этапе предварительной обработки измеренное число циклов исправляется поправкой за влияние ионосферной рефракции и релятивистской поправкой где rS и rA – геоцентрические расстояния до КА и НП соответственно;

VS – относительная скорость движения КА.

Представленная модель записана в шкале времени КА.

Модель 4. Модель доплеровских измерений, приведена в работе E. Grafarend и K. Heinz [179]. Моделируется число колебаний разностной частоты.

Здесь – текущее значение частоты КА в момент t посылки временной метки, оно является функцией частоты fS(t0) опорного генератора спутника и скорости её ухода f S (t0 ) в момент синхронизации t0;

– текущее значение частоты приёмника в момент t посылки временной метки, оно является функцией частоты fg(t0) опорного генератора приёмника и скорости её ухода в момент t0;

– поправка, учитывающая нестабильность опорных генераторов КА и приёмника;

– поправка, учитывающая дробную часть колебания разностной частоты;

– поправка, учитывающая влияние ионосферной рефракции;

– поправка, учитывающая влияние тропосферной рефракции.

В формулах (Е.15 – Е.21) обозначено: TS – интервал времени между двумя последовательными посылками временных меток с КА; S – наклонная дальность между КА и НП; a1, a2, b1,..., b4 – неизвестные коэффициенты, численные значения которых находятся после математической обработки измерений; S – поправка в наклонную дальность, обусловленная влиянием тропосферной рефракции.

Представленная модель записана в шкале времени КА.

Модель 5. Модель фазовых радиодальномерных измерений, приведена в работе G. L. Mader [185]. Моделируется разность фаз P колебаний, порождаемых опорными генераторами передатчика КА и приёмника НП.

где R(t, tG ) – лучевая скорость КА в момент времени tG.;

tГ – момент излучения электромагнитных колебаний частоты fi с КА (в ССВ);

tG – момент приёма сигнала аппаратурой НП (в ЛСВ);

fi – частота колебаний опорного генератора приёмника;

– различие показаний часов в шкалах времени спутника и приёмника;

RTR – тропосферная поправка в наклонную дальность НП-КА.

Наклонная дальность R(t, tG ) до КА есть модуль вектора где r (tG ), r (tG ), R(tG ) – геоцентрические радиус-векторы положения и скорости КА, а также положения НП в общеземной системе координат в момент tG.

Модель 6. Модель фазовых радиодальномерных измерений, приведена в работе М. Весk и др. [167]. Моделируется разность фаз колебаний, порождаемых опорными генераторами передатчика КА и приёмника НП.

где in, TR – ионосферная и тропосферная поправки в наклонную дальность до КА;

f – номинальное значение частоты колебаний опорного генератора спутника;

t, T – поправки часов КА и НП, обусловленные уходом частот их опорных генераторов.

Модель 7. Модель импульсных радиодальномерных измерений, приведена в работе Е. П. Чурова [157]. Моделируется интервал времени t между опорным импульсом и импульсом радиосигнала КА.

где t1, t2 – временные задержки радиоимпульса в передатчике КА относительно модулирующего импульса и в приёмнике НП;

– наклонная дальность до спутника;

tC – интервал времени между моментами запуска развёртки бортового индикатора и появления модулирующего импульса, посланного с борта КА.

Результаты анализа моделей доплеровских измерений:

– ни в одном описании не оговаривается точность модели;

– в однотипных моделях учитываются различные поправки, наличие которых не обосновано и вызывает сомнение:

1) релятивистская поправка присутствует в моделях 1, 2 и 3, в модели отсутствует. Эта же поправка имеется в моделях 2 и 3, где события разворачиваются в ССВ, а в модели 1 – в ЛСВ. Как будет показано в разделе 2, релятивистская поправка присутствует в моделях, записанных только в ЛСВ;

2) аберрационная поправка, учитывающая вращение Земли за время распространения ЭМВ по линии КА-НП, присутствует в моделях 1, 2 и 3, в модели 4 отсутствует. Как будет показано в разделе 2, эта поправка должна учитываться в моделях, записанных только в ССВ. Если модель записана в ЛСВ, то должна учитываться аберрационная поправка, обусловленная движением КА. Отсюда следует, что наличие поправки за вращение Земли в модели 1 ошибочно;

3) поправка за аппроксимацию есть только в модели 1;

4) временная задержка приемника в моделях 1 и 2 присутствует, а в моделях 3 и 4 отсутствует. Только в модели 4 имеется поправка за синхронизацию часов;

5) только в модели 4 учитывается нестабильность опорных генераторов передатчика и приемника;

6) только в моделях 1 и 4 есть поправки, учитывающие дробную часть колебаний, причем вид поправок различен;

– отмечается разночтение моделей:

1) в моделях 1, 2 и 3 различные знаки у релятивистской поправки;

2) различен вид поправок за аберрацию в моделях 1, 2 и 3;

3) в моделях 1 и 2 различается вид поправок, учитывающих временную задержку приемника (в модели 1 опущен коэффициент fs/С);

4) в модели 1 у поправки за аппроксимацию опущена вторая степень скорости света;

5) в моделях 1 и 2 различен вид поправок, учитывающих дробную часть колебаний (в модели 1 отсутствует коэффициент fs/С);

6) в модели 2 переменная S является длиной траектории ЭМВ, следовательно, поправка за аберрацию здесь не нужна;

– имеются некоторые неудобства и неясности при использовании моделей:

1) в модели 2 положения КА и НП вычисляются на различные моменты времени, что приведет к дополнительным сложностям в составлении машинных алгоритмов;

2) в модели 1 нет пояснения о различии между моментами времени и, не понятно также на какой (какие) момент времени вычисляются векторы r , R и скорость V в аберрационной и релятивистской поправках;

3) в моделях 2 и 3 нет пояснения на какие моменты времени задаются величины rg, rS, rA и VS в аберрационной и релятивистской поправках.

Результаты анализа моделей радиодальномерных измерений:

– в моделях 5, 6 и 7 не учитывается релятивистская поправка;

– в описаниях не оговаривается точность моделей;

– в моделях 5 и 6 отсутствуют внутренние временные задержки приемника и передатчика, в модели 7 они присутствуют;

– в моделях 5 и 7 не учитывается нестабильность опорных генераторов приемной и передающей аппаратуры;

– в моделях 6 и 7 не сказано как определяется дальность. Если это дальность на какой-то единый момент времени, то почему нет поправки за аберрацию. Если это длина траектории ЭМВ, то не указано как она вычисляется;

– не установлено в какой шкале времени записаны модели 6 и 7.

ПРИЛОЖЕНИЕ Ж

ИНТЕГРАЛ КВАДРАТА СКОРОСТИ ИЗМЕНЕНИЯ ДЛИНЫ ФАЗОВОГО

ПУТИ ЭМВ

Представим скорость S в выражении под интегралом (2.71) как где 0 – начальный момент времени;

– текущий момент времени.

Коэффициент а является ускорением и определяется по формуле Теперь можно записать Подставив равенство (Ж.2) под интеграл выражения (2.71), получим Интеграл в выражении (Ж.3) можно представить как Положив 0 =, можно записать Подставив интеграл из равенства (Ж.5) в выражение (Ж.3), имеем Теперь с учетом переменной “а” из формулы (Ж.1) интеграл в выражении (Ж.6) определится как

ПРИЛОЖЕНИЕ И

ЧИСЛЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИОНОСФЕРНОЙ И ТРОПОСФЕРНОЙ ПОПРАВОК

Таблица И.1 – Максимальные значения ионосферных поправок первого и второго порядков Высота КА Ионосферная поправка первого порядка Ионосферная поправка над (метры) для различных значений частот fS (ГГц) второго порядка (метры) для горизонтом fS =0,15 fS =0,40 fS =2,3 fS =5,0 частоты fS=400 МГц Приме ча ние – Таблица составлена по данным работ [175, 184] Таблица И.2 – Значения тропосферных поправок в наклонную дальность и лучевую скорость КА Высота КА Метеоданные: Т=293°, Р=1013 мбар, е=11 мбар Таблица И.3 – Значения тропосферных поправок в наклонную дальность и лучевую скорость КА Высота КА Метеоданные: Т=273°, Р=1013 мбар, е=11 мбар над Поправка в дальность (м) Поправка в лучевую скорость (см/с) В таблицах И.2 и И.3 символ “С” означает, что в расчетах использовались формулы (2.189) и (2.203), а символ “Х” означает, что в расчетах использовались формулы (2.190) и (2.198).

Таблица И.4 – Значения тропосферной поправки TR в разность дальностей Высота КА Поправка в дальность T Поправка в разность дальностей TR а символы “С” и “Х” в ней означают, что в расчетах использовались формулы (2.189) и (2.190) соответственно

ПРИЛОЖЕНИЕ К

ВИД НЕКОТОРЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ В УРАВНЕНИЯХ ПОПРАВОК

В этом приложении приведем вывод аналитических выражений наиболее проблемных производных в уравнениях поправок, рассматриваемых в 2.7.

и ES (2.221) в выражениях (2.131) и (2.132), определяющих сингулярные ошибки G и S, вместо ухода частоты fG приемника согласно равенству (2.68) примем выполнить замену согласно равенству (2.136). Теперь можно записать и (2.147) следует выполнить замену Тогда получим воспользуемся зависимостями (2.146), (2.147) для сингулярных ошибок, и (2.38) для временной задержки C. Теперь можно записать Дифференцируя выражения (2.146) и (2.147) по параметру C, используя при этом формулу (2.55) для масштабирующего коэффициента m, получим Откуда следует, что воспользуемся следующими зависимостями:

где V() – лучевая скорость КА в момент времени ;

() – топоцентрическое расстояние до КА;

() – топоцентрический радиус-вектор КА;

() – вектор топоцентрической скорости КА;

r() – геоцентрический радиус-вектор КА;

R() – геоцентрический радиус-вектор НП;

r () – вектор геоцентрической скорости КА;

R () – вектор геоцентрической скорости НП.

Продифференцируем лучевую скорость КА и разность дальностей по векторам r() и r () Здесь частные производные имеют вид:

где Е – единичная матрица размерности 3x3.

Теперь можно записать

ПРИЛОЖЕНИЕ Л

(обязательное)

ОШИБКИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭВО

ПРИЛОЖЕНИЕ М

ОШИБКИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫСОТ НАЗЕМНЫХ ПУНКТОВ

Таблица М.1 – Распределение абсолютных ошибок высоты по сеансам измерений для наземного пункта Таблица М.2 – Распределение абсолютных ошибок высоты по сеансам измерений для наземного пункта

ПРИЛОЖЕНИЕ Н

РАЙОН САМБУРГСКОГО МЕСТОРОЖДЕНИЯ ГАЗА

ПРИЛОЖЕНИЕ П

Antenna Height (meters): 1.320 True Vertical Antenna Height (meters): 1.181 True Vertical Occupation Time Meas. Interval (seconds): 01:21:30,00 15. Solution Acceptability: Passed ratio test

ПРИЛОЖЕНИЕ Р

ПРИМЕР УРАВНИВАНИЯ ВЕКТОРНОГО ХОДА

ПРИЛОЖЕНИЕ С

ПРИМЕР УРАВНИВАНИЯ ВЕКТОРНОЙ ЗАСЕЧКИ

ПРИЛОЖЕНИЕ Т

ПРИМЕР ФОРМИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ПОПРАВОК

В качестве примера на простой схеме геодезической сети (рисунок Т.1) рассмотрим последовательность формирования системы линейных уравнений поправок вида (4.36). Будем полагать, что в этой сети измерены базовые векторы Для этой сети система линейных уравнений поправок будет иметь вид:

Приближенные значения измеренных значений базовых векторов для данной сети можно получить следующим образом. Сначала вычисляются приближенные значения пространственных координат определяемых НП (геоцентрические радиус-векторы R'Г4, R'Г5 и R'Г6 в референцной системе) по известным базовых векторов (с учетом их направленности) по формулам матрицы D'41, …, D'45, D' После решения системы линейных уравнений (Т.1) по формулам (4.29) находятся уточненные численные значения радиус-векторов RГi определяемых НП, то есть