«РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ И МЕТОДОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КООРДИНАТ НАЗЕМНЫХ ПУНКТОВ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ТРАЕКТОРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ СПУТНИКОВ ...»

Матрица L всегда имеет 3 строки, а число ее столбцов определяется размером матрицы G. С вычислительной точки зрения иногда удобно представлять ее в виде Теперь матрицу B в выражении (1.166) можно представить в виде:

В нем матрица G состоит из изменения коэффициентов модели ГПЗ и имеет вид Оскулирующие элементы Э орбиты спутника на текущий момент времени t можно определить выражением или, с учетом равенства (1.166), как где Э0 – вектор начальных условий движения КА на начальный момент времени t0.

В выражении (1.193) второе слагаемое есть возмущения элементов орбиты спутника, обусловленные влиянием стационарного ГПЗ, третье – возмущения элементов орбиты спутника, вызванные изменением ГПЗ (либо ошибками его представления).

Рассмотренный аналитический метод оценивания влияния изменения ГПЗ на движение КА предпочтительнее численного, так как для решения поставленной выше задачи требуется высокая точность интегрирования дифференциальных уравнений движения. Численный метод будет характеризоваться гораздо большей трудоемкостью. Аналитический метод выигрывает за счет своего быстродействия, так как достаточно прост и имеет конечное число операций. Для расчета третьего слагаемого в выражении (1.193) можно применять простые численные методы интегрирования (вплоть до аналитического по невозмущенной орбите). Это обусловлено тем, что вычисления выполняются с числами, имеющими всего от двух до трех значащих цифр. Кроме того, этот метод легко и быстро позволяет оценивать влияние на орбиту одного или нескольких коэффициентов ГПЗ.

2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И УРАВНЕНИЯ ПОПРАВОК ДЛЯ

ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ТРАЕКТОРНЫХ

ИЗМЕРЕНИЙ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ

2.1 Краткая характеристика современных методов и математических моделей радиотехнических измерений Радиотехнические методы траекторных измерений КА нашли большое применение в геодезической практике. Они с высокой точностью позволяют определять пространственные положения НП, ПВЗ, ЭВО геодезических систем координат, а также решать целый ряд других задач. Эти методы всепогодны, доступны для использования в любой точке на земной поверхности и в околоземном пространстве, имеют высокую точность, оперативность и дальность действия. Процесс измерений и их последующей обработки практически автоматизирован. Наземная приемная радиотехническая аппаратура компактна, имеет сравнительно небольшой вес и малую энергоемкость. По этим причинам радиотехнические методы траекторных измерений КА активно используются при выполнении различных научных и практических работ.

Радиотехнические методы измерений основаны на предположении о постоянстве скорости ЭМВ в свободном пространстве и прямолинейности их траекторий распространения, а также на использовании свойств изменения характеристик радиосигнала, обусловленных изменением взаимного положения НП и КА. В настоящее время применяются три принципа формирования сигналов, несущих полезную информацию о вторичных измеряемых параметрах, к которым относятся: дальность и разность дальностей по линии НП-КА, а также скорость относительного перемещения КА и НП.

Первый принцип заключается в использовании отражения радиоволн от спутника, излучаемых передатчиком НП. Достоинством такого принципа является простота конструкции КА и как следствие – его высокая надежность. К недостаткам следует отнести малую интенсивность отраженного радиосигнала и возникновение взаимных помех при одновременном облучении спутника с нескольких передатчиков. Все это ограничивает возможности получения измерительной информации в подобных РТС.

Второй принцип основан на ретрансляции (переизлучении) бортовой аппаратурой КА радиосигнала, излученного передатчиком НП. РТС, реализующие данный принцип измерения, называются запросными. К их достоинствам следует отнести большую дальность действия, к недостаткам – малую пропускную способность.

Третий принцип основан на формировании и излучении радиосигнала передатчиком КА. РТС, реализующие такой принцип измерения, называются беззапросными. К их достоинствам относятся большая дальность действия, неограниченная пропускная способность, возможность проведения синхронных измерений с нескольких НП. К недостаткам следует отнести сложность радиоэлектронной аппаратуры спутника.

Наиболее простым в смысле технической реализации и последующей математической обработки измерений, выполненных для решения геодезических задач, является запросный метод. Техническая же реализация беззапросного метода сложнее, и на этапе математической обработки результатов его измерений приходится учитывать ряд физических эффектов, не свойственных запросному методу. К ним относятся нестабильность опорных генераторов передатчика и приемника, релятивистские эффекты и др. Эти эффекты вносят в измерения значительные погрешности систематического характера, которые в той или иной степени можно учесть.

К измеряемым характеристикам радиосигнала, так называемым первичным измеряемым параметрам, относятся время распространения, частота, фаза, и амплитуда радиосигнала. В связи с этим различают импульсные, частотные, фазовые и амплитудные методы радиотехнических траекторных измерений КА.

Импульсные методы используются для определения расстояний между НП и КА. Принцип действия основан на измерении времени распространения радиоимпульса между фазовыми центрами антенн передающей (установленной на борту КА) и приемной (используемой потребителем) аппаратуры.

В беззапросных импульсных дальномерных РТС аппаратурой НП вырабатывается опорный импульс в момент генерации такого же радиоимпульса передатчиком спутника. Этот радиоимпульс, пройдя расстояние КА-НП, поступает в регистрирующее устройство наземного приемника. Здесь непосредственно измеряется промежуток времени ( - t) между моментом приема радиоимпульса (в шкале времени НП) и моментом t генерации (в шкале времени КА) опорного импульса. В общем случае расстояние S по линии КА-НП находится по формуле где С – скорость света в вакууме.

Частотные методы получили распространение при определении радиальной (лучевой) скорости V перемещения КА относительно НП, а также для определения разности дальностей по линии КА-НП. Эти методы основаны на измерении доплеровского сдвига частоты, поэтому они называются доплеровскими методами траекторных измерений спутников.

Прямое определение доплеровского сдвига частоты заключается в наложении колебаний частоты fR принятого со спутника электромагнитного сигнала на имитирующие их колебания частоты fG, созданные генератором наземного приемника. В итоге получается результирующая частота fG - fR, равная разности частот этих двух сигналов. Такая частота называется разностной частотой (частотой биений). Приемником измеряется число колебаний (циклов) этой частоты биений. Если бы опорная частота fG совпадала с частотой fS генератора передатчика, то частота биений равнялась бы доплеровскому сдвигу частоты переданного сигнала. При этом он может иметь как положительное, так и отрицательное значение. Чтобы доплеровский сдвиг частоты всегда имел положительное значение, опорную частоту fG делают несколько больше частоты fS излучаемых электромагнитных колебаний.

Существуют два вида доплеровских измерений – дифференциальный и интегральный. В первом случае приемником измеряется частота биений fG - fR, во втором случае приемником производится подсчет числа циклов Ni,i+1 разностной частоты по моментам i (i = 1, 2, …, n-1; n – число принятых временных меток в текущем сеансе) приема временных меток на некотором интервале времени T=[i, i+1] как интеграл [150] Длительность интервала времени T с высокой точностью измеряется часами приемника в так называемой шкале времени приемника. Подсчет числа циклов частоты биений может также производиться и в шкале времени спутника на отрезке времени TS = [ti, ti+1] по моментам ti (i = 1, 2, …, n-1; n – число переданных временных меток в текущем сеансе) генерации временных меток передатчиком КА. В этом случае продолжительность временного интервала TS определяется длительностью передачи аппаратурой КА строки либо группы строк служебной измерениях лучевая скорость определяется по известной формуле определяется по формуле Фазовые методы применяются для измерения расстояния от НП до КА и углов, определяющих направление на спутник. Здесь выполняется измерение разности фаз между принятыми с КА и сформированными аппаратурой НП гармоническими колебаниями. Для определения углов требуется измерять разность фаз радиосигнала, передаваемого со спутника двумя разнесенными между собой приемными антеннами НП. При этом разность фаз будет пропорциональна разности наклонных дальностей между КА и НП.

В беззапросных фазовых дальномерных РТС непосредственно измеряемой величиной является выделенная в приемнике на момент времени разность фаз G() - S(t). Откуда расстояние S между КА и НП определяется по формуле где G() – фаза образованного генератором наземного приемника в момент времени радионавигационного сигнала частоты fG;

S(t) – фаза образованного генератором передатчика в момент времени t радионавигационного сигнала частоты fS.

Амплитудные методы применяются для определения направлений на движущийся объект. Изменение амплитуды зависит от многих факторов (мощность бортового передатчика, затухание ЭМВ в атмосфере, коэффициент направленного действия антенн передатчика и приемника и т. п.), действие которых непрерывно меняется. В связи с этим данный метод измерений используется только в тех случаях, когда не требуется большой точности.

Для геодезических целей нашли применение частотный, фазовый и импульсный методы измерения расстояний, лучевой скорости, разности дальностей между НП и КА беззапросными РТС. В околоземном пространстве работают КА, большинство из которых оснащены радиотехнической аппаратурой для определения параметров их орбит. Кроме этого для оперативного и точного определения пространственных положений НП развернут ряд зарубежных и отечественных СРНС, представляющих совокупность взаимодействующих между собой ракетнокосмических, радиотехнических и радиоэлектронных комплексов и устройств, где основными объектами для использования являются космические аппараты.

Для обработки результатов наблюдений КА зарубежными и отечественными исследователями разработан ряд математических моделей радиотехнических траекторных измерений вида (1.5). В случае доплеровских наблюдений широко используются модели, описанные в работах [20, 179, 184, 189], в случае радиодальномерных – [157, 167, 185, 192]. В них учитываются влияния таких факторов, как тропосферная и ионосферная рефракции, релятивистские эффекты, нестабильность опорных генераторов передатчика и приемника, временные задержки приемной и передающей аппаратуры.

При детальном анализе этих моделей обнаружилось (см. приложение Е), что в них присутствуют существенные ошибки и не учитываются проявления некоторых эффектов (аберрация, нестабильность опорных генераторов и т.д.). По этим причинам величина ошибок моделей в случае радиодальномерных измерений находится на уровне 3 м, в случае интегральных доплеровских измерений – нескольких циклов, в случае дифференциальных доплеровских измерений – нескольких герц. Точность моделей измерений, представленных в предыдущих работах автора [39, 43, 47], составляет следующие величины: для радиодальномерных и интегральных доплеровских измерений – на уровне 10 см, для дифференциальных доплеровских измерений – 3,3·10-2 Гц.

Дальнейшее совершенствование математических моделей беззапросных радиотехнических траекторных измерений спутников в направлении повышения их точности обусловлено двумя основными причинами: первая – точность моделей должна соответствовать точности современной измерительной информации; вторая – обеспечение регулярного и корректного решения задачи оценивания при плохой геометрии наблюдений, что на этапе решения СЛАУ требует соблюдения условия (1.131). К разрабатываемым моделям предъявлялись следующие требования: они должны достаточно точно описывать физические процессы и закономерности, связанные с функционированием приемной и передающей радиотехнической аппаратуры, движением КА по своей орбите, а также распространением ЭМВ в атмосфере Земли. Одновременно модели измерений должны быть простыми и удобными для их дальнейшего использования.

2.2 Влияние рефракции земной атмосферы на траекторию радиосигнала Рассмотрим влияние атмосферы Земли на распространение ЭМВ, чтобы получить формулу общего вида для определения длины траектории (фазового пути) прохождения радиосигнала от ФЦА спутника до ФЦА приемника.

Известно, что атмосферная рефракция оказывает существенное влияние на характер распространения ЭМВ. Рефракция изменяет траекторию распространения ЭМВ в зависимости от электрических свойств неоднородных сред (в частности, атмосферы Земли и других планет). Искривление траектории ЭМВ в неоднородной атмосфере вызывает отклонение наблюдаемого положения источников излучения от их истинного положения, что приводит к изменению измеряемых до них расстояний. Помимо этого, атмосферная рефракция изменяет скорость распространения ЭМВ. В вакууме ее скорость равна скорости света. В атмосфере Земли скорость света и, следовательно, скорость распространения ЭМВ являются функциями показателя преломления среды, который возрастает при возрастании ее плотности. По этой причине скорость света и, соответственно, ЭМВ в атмосфере не постоянна. Примечательно, что развитие теории рефракции имеет большую историю. Связана она, в основном, с развитием морской навигации и наблюдательной астрономии. К первым исследователям астрономической рефракции можно смело отнести И. Коперника [183] и И. Кассини [170].

Условно атмосферу Земли можно разделить на два слоя, существенно отличающихся друг от друга по своим электрическим свойствам [97]. Нижний слой – тропосфера простирается до высоты ~ 60 км. В основном он состоит из азота и кислорода, а также водяного пара, количество которого в единице объема меняется в зависимости от высоты, географии расположения района, времени суток и времени года. Верхний слой – ионосфера простирается до высоты ~ 20 000 км. Он состоит из частично ионизированной плазмы, концентрация заряженных частиц которой и их химический состав значительно меняются в зависимости от удаления от Земли, от времени суток (ночью плотность электронной концентрации больше, днем меньше), а также от солнечной активности. Поэтому различают и два вида рефракции: тропосферную и ионосферную. Как будет показано в 2.6, тропосферная рефракция удлиняет измеряемое расстояние, ионосферная – укорачивает его.

Фазовый путь ЭМВ между ФЦА спутника и ФЦА приемника является функцией показателя преломления n среды и определяется интегралом [3, 97] Введя приведенный показатель преломления N (индекс рефракции) [97, 184] получим, что Откуда где S – криволинейное расстояние между ФЦА приемника и ФЦА передатчика.

Второе слагаемое в формуле (2.1) будет поправкой к криволинейному расстоянию, которая обусловлена изменением скорости распространения ЭМВ в двухслойной атмосфере Земли. В свою очередь расстояние S может быть представлено суммой прямой наклонной дальности от ФЦА приемника до ФЦА передатчика и поправки за кривизну траектории распространения радиосигнала в тропосфере Земли [105] Приняв в качестве рабочей двухслойную модель атмосферы Земли и заменив криволинейный путь интегрирования S на прямолинейный, формулу (2.1) запишем в виде:

где NTR – индекс рефракции тропосферы;

NIR – индекс рефракции ионосферы;

T – наклонная дальность до верхней границы тропосферы;

S – наклонная дальность до спутника.

В формуле (2.3) третье и четвертое слагаемые описывают влияние атмосферы Земли на скорость распространения электромагнитной волны, а второе слагаемое – на траекторию ее распространения (искривление траектории).

В работе [105, с.171] говорится, что величина поправки пренебрежимо мала и ее можно не учитывать. В других работах, связанных с получением математических моделей радиотехнических траекторных измерений КА, она также не учитывается. С этим стоит не согласиться. Оценим величину поправки за кривизну траектории распространения радиосигнала в тропосфере Земли.

Для определения величины поправки в формуле (2.2) найдем выражение для расчета длины S траектории распространения радиосигнала в тропосфере [73].

Радиус кривизны (см. рисунок 2.1) этой траектории можно оценить по формулам [105] где Z – зенитное расстояние КА;

n – показатель преломления среды;

T – абсолютная температура;

Р – атмосферное давление;

е – парциальное давление водяных паров.

В формуле (2.4) градиент показателя преломления dn/dr = - 410-8 м-1, а в формуле (2.5) параметры тропосферы относятся к месту расположения НП.

М – положение НП на поверхности Земли; О – начало геоцентрической системы координат;

R – геоцентрический радиус-вектор НП; Т – топоцентрическое расстояние до верхней точки тропосферы (точка А) в направлении КА; rТ – геоцентрическое расстояние до верхней точки тропосферы; – центральный угол для дуги S окружности радиуса ; Z – зенитное расстояние КА Рисунок 2.1 – Геометрическая интерпретация определения поправки Центральный угол для дуги S можно определить как Из треугольника ВМА следует, что Отсюда Приравняв правые части равенств (2.6) и (2.8), можно записать Зенитное расстояние Z найдем, применив правило скалярного произведения к вектору R=[X Y Z]T и топоцентрическому радиус-вектору = [x y z ]T КА, как где – топоцентрическое расстояние до КА;

R – геоцентрическое расстояние до НП.

Применив теорему синусов для треугольника ОМА, запишем Откуда получим угол Теперь можно найти значение угла Снова применив теорему синусов для треугольника ОМА, получим топоцентрическое расстояние T до верхней точки тропосферы Значение поправки за кривизну траектории распространения ЭМВ в тропосфере Земли определим как Геоцентрическое расстояние rТ до верхней точки А тропосферы можно найти из равенства где N – радиус кривизны первого вертикала в точке расположения НП.

Результаты определения значений в зависимости от величины Z представлены в таблице 2.1.

Таблица 2.1 – Значение поправки в тропосфере Зенитное Радиус кривизны Длина дуги Длина спрямленной Значение расстояние Z траектории траектории траектории поправки Значения поправки в таблице 2.1 получены для НП, имеющего широту В=55 и геодезическую высоту HГ = 100 м относительно РЭ Красовского, и параметров тропосферы Т = 293К, Р = 1013 мбар, е = 11 мбар. Из представленных в таблице 2.1 данных видно, что величина поправки для зенитных расстояний больших 60 достаточно большая. Следовательно, эту поправку необходимо учитывать в математических моделях радиотехнических траекторных измерений спутников при решении задачи оценивания геодезических и орбитальных параметров.

Для вычисления радиуса кривизны первого вертикала N в точке расположения НП необходимо знать его геодезическую высоту. Проведенные автором экспериментальные исследования показывают, что численное значение этой высоты достаточно знать с точностью до нескольких десятков метров [84]. Отсюда следует, что нет необходимости определять аномалию высоты в месте нахождения НП.

Вместо геодезической высоты можно использовать нормальную высоту.

В ионосфере значение не превышает 0,8 см для зенитных расстояний Z (см. таблицу 2.2, которая составлена по данным, взятым из работы [180]).

Поэтому значение для ионосферы можно не учитывать, а для тропосферы следует учитывать.

Таблица 2.2 – Значение поправки (метры) в ионосфере В формуле (2.3) интеграл есть поправка TR за влияние тропосферной рефракции (тропосферная поправка) в измеряемое расстояние, а интеграл есть поправка IR за влияние ионосферной рефракции (ионосферная поправка) [29]. Если КА находится за пределами ионосферы, то предел интегрирования S в формуле (2.18) заменяется значением наклонной дальности до верхней границы ионосферы. С учетом изложенного выше, фазовый путь ЭМВ определяется выражением Для расчета поправки TR используются различные модели тропосферы, лучшие из них допускают погрешность при вычислении TR около 1 (2 см – 30 см) от значения поправки [90, 172, 184]. Кроме того, погрешность расчета тропосферной поправки возрастает до 15 при прохождении метеорологического фронта в радиусе 30 км от станции наблюдения [187]. По этим причинам необходимо вводить поправочный коэффициент KТ (масштабный множитель), который учитывает остаточные погрешности моделей тропосферы [20, 174]. Этот коэффициент включается в число мешающих параметров в уравнениях поправок, составленных для обработки траекторных измерений КА. С учетом сказанного, выражение (2.19) можно записать в таком виде:

Влияние ионосферной рефракции на измеряемое расстояние исключается проведением измерений на двух и более частотах [3, 186]. Методика учета ионосферной рефракции в доплеровских и радиодальномерных траекторных измерениях КА будет подробно изложена в 2.6.

2.3 Принцип доплеровских методов определения местоположения Использование доплеровских методов определения пространственного положения точек, расположенных как на физической поверхности Земли, так и в околоземном пространстве, явилось значительным технологическим прорывом в области проведения различных геодезических работ. Эти методы основаны на использовании специальных КА, наземной службы их навигационного обеспечения и радиотехнической приемной аппаратуры потребителя. Доплеровский метод успешно применяется при решении различных задач космической геодезии, при проведении специальных геодезических съемок отдельных участков поверхности и определении пространственных координат точек не только Земли, но и некоторых планет Солнечной системы.

Эффект Допплера проявляется при наличии относительной (лучевой) скорости перемещения источника сигнала и приемника. Величина возрастания или уменьшения частоты сигнала, обусловленная изменением лучевой скорости, известна в науке как доплеровский сдвиг частоты и описывается следующей формулой:

где fд – доплеровский сдвиг частоты;

fS – частота излучаемого сигнала (частота опорного генератора передатчика);

С – скорость света в вакууме;

d/dt – лучевая скорость перемещения КА и НП.

Удобный метод для прямого определения доплеровского сдвига частоты заключается в наложении колебаний принятого сигнала на имитирующие их колебания генератором приемной аппаратуры. В результате получается результирующая частота, равная разности частот двух сигналов. Такая частота называется разностной частотой или частотой биений.

Приемником непосредственно измеряется число колебаний (циклов) частоты биений fG - fR, образованной смешением частоты fR принятого сигнала и частоты fG (опорной частоты) колебаний опорного генератора приемника (см. рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 – Образование разностной частоты fG - fR Если бы опорная частота совпадала с частотой fS опорного генератора передатчика, то частота биений равнялась бы доплеровскому сдвигу частоты переданного сигнала. Биения проявляют себя в возрастании напряжения U, которое измеряется регистрирующей аппаратурой НП. Такой подход дает точный и удобный способ определения доплеровского сдвига частоты.

При прохождении спутником точки траверза (точки на орбите КА, находящейся на минимальном удалении от НП) происходит смена знака доплеровского сдвига частоты, что значительно усложняет обработку измерительной информации. Чтобы избежать этого явления, опорным генератором приемника вырабатываются колебания с частотой fG несколько большей, чем частота fS опорного генератора передатчика. Тогда частота подставки и доплеровский сдвиг частоты fд будут всегда положительными. В этом случае разностная частота, поступающая в измерительное устройство приемника, будет также иметь положительное значение. Например, для СРНС TRANZIT частота подставки равна 32000 Гц.

радионавигационных сигнала с когерентными несущими частотами fSI и fSII, модулированными по фазе временной, эфемеридной и другой служебной информацией. Вследствие взаимного перемещения передатчика и приемника в пространстве частоты fRI и fRII принятых колебаний будут отличаться от частот fSI и fSII на величину доплеровского сдвига (влияние атмосферной рефракции и прочих факторов здесь пока не учитывается). В режиме автокоррекции сигнал частоты fRI исправляется поправкой, учитывающей влияние ионосферной рефракции (см. 2.6) [48, 54]. Затем исправленный сигнал с частотой fR смешивается с колебаниями опорной частоты fG приемника.

Существуют два вида доплеровских измерений – дифференциальный и интегральный. В первом случае приемником непосредственно измеряется доплеровский сдвиг частоты, во втором – число колебаний разностной частоты в течение некоторого определенного интервала времени. Общая схема дифференциальных доплеровских измерений приведена в начале этого подраздела. Поэтому рассмотрим принцип интегральных доплеровских измерений.

Для интегральных доплеровских измерений зависимость частоты fR принятого сигнала от различных положений спутника на орбите показана на рисунке 2.3. Здесь пересечение кривых fS и fR соответствуют моменту, когда спутник проходит точку траверза. Здесь лучевая скорость равна нулю. В моменты tГ1, tГ2,..., tГi генерации временной метки передатчиком КА ФЦА приемника и передатчика удалены друг от друга на расстояния 1,…, i. Эти расстояния ЭМВ проходит соответственно за промежутки времени t1,…, ti, определяемые отношением где C – скорость света в вакууме.

Рисунок 2.3 – Принцип интегральных доплеровских измерений В интегральном методе доплеровских измерений современные геодезические приемники производят подсчет числа циклов Nij разностной частоты по моментам tГ + tS + t приема временных меток на интервале времени TG=[tГi + tS + ti, tГj + tS + tj] (i = 1, 2, …, L-1; j = i +1; L - число принятых временных меток в текущем сеансе) в так называемой шкале времени приемника (локальной системе времени - ЛСВ) как интеграл [24, 150, 184, 189] Подсчет числа циклов частоты биений может также производиться и в шкале времени спутника (спутниковой системе времени – ССВ) на отрезке времени TS = [tГi, tГj] по моментам tГ. Продолжительность временного интервала TS определяется длительностью передачи аппаратурой КА строки либо группы строк служебной информации навигационного кадра.

Накопленное в течение интервала времени [tГi+ti, tГj+tj] число циклов Nij, определяемое интегралом (2.24), соответствует площади криволинейной трапеции АВСД (рисунок 2.3).

Более детально процесс доплеровских измерений выглядит следующим образом [77, 132]. Радионавигационный сигнал частоты fS, модулированный по фазе временной меткой в момент tГ, претерпевает внутреннюю временную задержку tS передатчика и начинает распространяться от его ФЦА по криволинейному пути в момент tГ + tS (рисунок 2.4, позиция 1) и достигает ФЦА приемника с временной задержкой t (2.23), имея уже частоту fR (рисунок 2.4, позиция 2). После этого сигнал не подвергается влиянию доплеровского сдвига частоты.

Рисунок 2.4 – Принципиальная схема временных событий процесса От фазового центра приемной антенны сигнал по антенному кабелю и внутренним цепям распространяется до счетного устройства приемника за промежуток времени G, после чего выполняется декодирование временной метки (рисунок 2.4, позиция 3). На декодирование в приемнике временной метки затра-чивается промежуток времени g (рисунок 2.4, позиция 4). Поэтому декодирование этой метки заканчивается в момент i = tГi +tS + ti + G + g (рисунок 2.4, позиция 4). С этого момента начинается подсчет числа циклов Nij разностной частоты на интервале TG = [i, j], длительность которого с высокой точностью может быть измерена часами приемника. Современная доплеровская аппаратура позволяет на интервале интегрирования производить подсчет дробного числа циклов. Технология этого процесса достаточно подробно описана в обзоре [20].

Длительности интервалов G и g не измеряются, их средние значения могут быть определены при эталонировании прибора в лабораторных условиях.

Временная задержка g изменяется в пределах 500 мкс - 1500 мкс [20, 113], а интервал G много меньше, чем g.

Рассмотрим подробнее временные события, сопутствующие процессу измерений (рисунок 2.5). При этом предположим, что центр масс спутника и ФЦА его передатчика совпадают.

Рисунок 2.5 – Графическая иллюстрация временных событий После генерации (в ССВ – момент tГ, в ЛСВ – момент Г) метка времени претерпевает внутреннюю временную задержку ts передатчика и распространяется в пространстве между фазовыми центрами антенн передатчика и приемника в течение интервала времени t. Этот интервал содержит дополнительные временные задержки, обусловленные влиянием на распространение ЭМВ в пространстве ионосферной и тропосферной рефракций, а также релятивистскими и аберрационными эффектами. Метка времени, достигаемая ФЦА приемника НП в момент времени tГ+tS+t, испытывает внутреннюю задержку G приемника и попадает в счетное устройство (рисунок 2.4, позиция 3). Подсчет колебаний разностной частоты начинается в момент t после декодирования временной метки (рисунок 2.4, позиция 4):

В шкале времени приемника этому событию соответствует момент, который точно фиксируется относительно шкалы Атомного времени.

Вследствие релятивистских эффектов время на движущемся спутнике изменяется медленнее, чем на Земле. Это вызвано, с одной стороны, относительным движением КА и НП, с другой – изменением течения времени под влиянием гравитационного поля Земли. Поэтому соотношение между интервалами времени -Г и t-tГ, полученными путем разности моментов генерации Г, tГ и приема, t метки времени (в ЛСВ и ССВ соответственно), следующее Величина релятивистской поправки tp определяется по формуле [105] где – топоцентричеcкая скорость спутника;

µ – гравитационный параметр Земли;

R и r – геоцентрические расстояния ФЦА приемника и передатчика соответственно в момент начала измерений;

C – скорость света в вакууме.

Прибавив к левой и правой частям равенства (2.26) разность Г - tГ, с учетом формулы (2.25) получим выражение для промежутка времени, образованного разностью моментов начала измерений и генерации метки времени Если шкалы часов передатчика и приемника синхронизированы, то моменты времени Г и tГ в равенстве (2.28) совпадают, то есть Г - tГ = 0. В противном случае нестабильностью работы опорных генераторов приемника и передатчика Подставив C в формулу (2.28), получим зависимость для вычисления промежутка времени - tГ:

где t – время распространения ЭМВ от ФЦА передатчика до ФЦА приемника;

C – временная задержка сигнала, вызванная нестабильностью работы опорных генераторов передатчика и приемника;

tp – релятивистская поправка;

tS – внутренняя временная задержка сигнала в передатчике;

G – внутренняя временная задержка сигнала в приемнике;

g – промежуток времени декодирования временной метки в приемнике.

Временные задержки С, tS, G и g не изменяют величины доплеровского сдвига частоты. Задержки G и g образуют общую временную задержку Шкалы времени приемника и передатчика задаются путем деления частот высокостабильных опорных генераторов, поэтому эти генераторы выступают и в роли высокоточных хранителей времени. Нестабильность частоты опорных генераторов обусловливает неравномерное течение этого времени. Последнее обстоятельство сказывается на измеренной продолжительности распространения сигнала от ФЦА передатчика до ФЦА приемника.

передатчика KS, определяется соотношениями [159] где fG и fS – текущие значения частот;

fG0 и fS0 – номинальные значения частот.

В настоящее время в СРНС используются водородные стандарты частоты с относительной нестабильностью частоты за сутки от 5·10-14 до 1·10-14 [26].

Чтобы получить аналитическое выражение для расчета временной задержки С, запишем следующее равенство на момент генерации временной метки в неравномерной шкале времени:

где 0 – момент синхронизации часов приемника по первой временной метке в прохождении;

– текущее время в неравномерной шкале часов приемника.

Теперь с учетом выражений (2.29) и (2.33) можно записать Текущие значения частот опорных генераторов fG и fS на некоторый момент времени в ЛСВ с достаточной точностью описываются моделями [113] где fG0 и fS0 – номинальные значения частот;

fG и fS – уходы частот;

fG и f S – скорости ухода частот.

Принимая во внимание зависимости (2.32), (2.35) и (2.36), временную задержку С в выражении (2.34) представим в виде [77, 132] В некоторых радиотехнических системах частоты f G0 и f S0 совпадают [89].

Тогда задержка C может быть определена как определяются как 2.4 Математические модели доплеровских траекторных измерений Число циклов Nij в интегральном методе может быть отнесено к интервалу времени TS = [tГi, tГj] (в ССВ), либо к интервалу TG = [i, j] (в ЛСВ). Если точно известны моменты i и j, то обработку измерений следует проводить в локальной системе времени, если известны моменты tГi и tГj – то в спутниковой системе времени. Сначала получим математическую модель интегральных доплеровских траекторных измерений КА в шкале времени приемника, а затем в шкале времени спутника. Точность моделей определим в 0,01 колебания, так как современные геодезические доплеровские приемники осуществляют подсчет числа циклов именно с такой ошибкой [20].

Длина фазового пути ЭМВ описывается выражением (2.20) В нем под понимается прямая наклонная дальность между ФЦА передатчика в момент tГ + tS и приемника в момент - G - g = - (рисунок 2.6).

(tГ), (-) и () – прямые наклонные дальности до спутника в моменты времени tГ, - и соответственно; – общая внутренняя временная задержка формула (2.31) доплеровского Рисунок 2.6 – Геометрия корректировки дальности КА-НП на один Так как дальность определяется между положениями КА и НП, находящимися в пространстве в разные моменты времени, а начало подсчета числа колебаний разностной частоты происходит в момент, то необходимо выполнить корректировку этой дальности на один физический момент времени. В качестве такого момента примем момент числа циклов разностной частоты (см. рисунок 2.6).

Расстояние (-) отличается от на величину, обусловленную аберрационным эффектом, вызванным перемещением КА относительно “неподвижного” НП.

Поэтому с точностью до членов первого порядка малости можно записать Сомножитель (-) из формулы (2.41) разложим в ряд Тейлора Отбросив члены второго порядка малости, примем (-) = (). Переменная () является проекцией вектора r () геоцентрической скорости КА на орт его топоцентрического радиус-вектора = [ x y Вектор () в равенстве (2.43) определяется как разность геоцентрических радиусвекторов r() спутника и R() наблюдателя в момент приема сигнала Принимая во внимание зависимость (2.30), можно записать Разложив (-) равенства (2.41) в ряд Тейлора, ограничившись при этом первыми членами разложения, получим В разложении (2.46) V () = () есть лучевая скорость КА в момент, которая рассчитывается по формуле Здесь есть вектор геоцентрической скорости НП. Теперь равенство (2.41) с учетом зависимостей (2.45) - (2.47) можно записать так незначительно (см. 2.2). Поэтому с ошибкой, не превышающей 10-10 секунды, время t распространения сигнала в формуле (2.23) можно определить так Теперь, принимая выражение (2.49) можно представить как Отсюда получим время t распространения временной метки между ФЦА передатчика и приемника Подставив его значение в формулу (2.49), сделав при этом допущение C = C + (), получим выражение для расстояния в котором масштабирующий коэффициент m рассчитывается по формуле Теперь выражение (2.40) в ЛСВ для фазового пути S ЭМВ примет вид Измеренное приемником число циклов N ij разностной частоты на интервале времени TG есть разность интегралов Чтобы раскрыть второй интеграл в равенстве (2.57), воспользуемся выражением, определяющим значение частоты fR радионавигационного сигнала, принятого аппаратурой НП [113, 191]:

где – гравитационный параметр Земли.

В формуле (2.58) – геоцентрические расстояния ФЦА приемника и передатчика соответственно;

– топоцентрическая скорость спутника.

Разложив второй и третий сомножители выражения (2.58) в ряд Тейлора, отбросив при этом члены второго порядка малости, получим Подставив эти равенства в формулу (2.58), отбросив члены второго порядка малости, получим следующее выражение для определения частоты принятого сигнала Здесь обозначено Подставив значение частоты fR принятого сигнала из формулы (2.64) в выражение (2.57), с учетом равенства (2.22) для частоты подставки Ф, запишем На основании зависимостей (2.35) и (2.36) частоту подставки можно представить в виде Здесь обозначено где Ф0 – номинальное значение частоты подставки;

Ф – уход частоты подставки;

– скорость ухода частоты подставки.

Теперь первое слагаемое в равенстве (2.66) примет вид где TG = j - i – интервал времени подсчета циклов разностной частоты в ЛСВ.

Далее получим аналитическое выражение для второго слагаемого в равенстве (2.66):

Второе слагаемое в выражении (2.70) не превышает 0,01 цикла, поэтому можно записать Здесь поправка в разность дальностей за релятивистский эффект.

Тогда с учетом зависимостей (2.71), (2.72) и (Ж.7) (приложение Ж) имеем В выражениях (2.72) и (2.73) переменные, R и r рассчитываются на средний момент интервала интегрирования TG, то есть на момент 0.5 (i + j ).

Подставив зависимости (2.69) и (2.73) в равенство (2.66) получим формулу для подсчета числа циклов N ij разностной частоты в ЛСВ При обработке доплеровских измерений в шкале времени приемника момент окончания декодирования очередной временной метки в прохождении известен с высокой точностью. Поэтому число циклов N ij следует выразить в виде функции от наклонной дальности () между фазовыми центрами антенн передатчика и приемника, занимавшими свое пространственное положение в определяемого зависимостью рассчитывается по формуле (2.37). В результате получим В выражении (2.75) – разность поправок, учитывающих кривизну траектории распространения радиосигнала в тропосфере Земли и рассчитанных по формуле (2.15) на моменты времени j и i соответственно;

– разность топоцентрических дальностей до спутника;

– поправки, учитывающие влияние тропосферной и ионосферной рефракций;

– поправка за аберрационный эффект, обусловленный перемещением КА относительно “неподвижного” НП;

– поправка за аппроксимацию;

– общая внутренняя временная задержка приемника.

В выражении (2.75) отбросим те слагаемые, величина которых не превышает 0,01 колебания разностной частоты. В результате запишем аналитическую модель интегральных доплеровских траекторных измерений в шкале времени приемника, ошибка которой не превышает 0,01 колебания разностной частоты для широкого тропосферной и ионосферной поправок такого же порядка) [69]:

доплеровских траекторных измерений КА следует проводить в спутниковой системе времени. Как правило, моменты посылки меток времени с высокой точностью задаются в шкале атомного времени, хранителем которого служит бортовой опорный генератор. Например, в СРНС TRANZIT ошибка передачи временной метки составляет от 10 мкс до20 мкс [126].

измерений в шкале времени спутника. Для этого текущие значения частот опорных генераторов представим в ССВ, то есть запишем где t0 – момент посылки с КА первой в прохождении метки времени, по которой производится синхронизация часов приемника;

t – текущее время в неравномерной шкале спутника.

генераторов, определим как Выполним редуцирование дальности на момент t генерации временной метки (см. рисунок 2.6). Расстояние (tГ+tS) отличается от на величину, обусловленную аберрационным эффектом, вызванным перемещением НП относительно “неподвижного” КА. Поэтому с точностью до членов первого порядка малости можно записать Сомножитель (t +tS ) из формулы (2.86) разложим в ряд Тейлора Отбросив члены второго порядка малости, примем (t + tS ) = (t ). Переменная (t ) является проекцией вектора R (t ) геоцентрической скорости НП на орт топоцентрического радиус-вектора (t ) КА в момент tГ, то есть Радиус-вектор (tГ) в формуле (2.88) определяется как разность геоцентрических радиус-векторов r(tГ) спутника и R(tГ) наблюдателя в момент tГ генерации временной метки Принимая во внимание зависимость (2.30), можно записать Разложив (tГ + tS) равенства (2.86) в ряд Тейлора, ограничившись при этом первыми членами разложения, получим В разложении (2.91) V (t ) = (t ) t есть лучевая скорость КА в момент tГ, которая рассчитывается по формуле Теперь равенство (2.86) с учетом формул (2.90) – (2.92) можно записать так Подставив значение из равенства (2.51) в левую часть выражения (2.93), можно записать Откуда получим время t распространения временной метки между ФЦА передатчика и приемника Подставив его значение в формулу (2.93), сделав при этом допущение C = C + (), получим выражение для расстояния в котором масштабирующий коэффициент n рассчитывается по формуле Теперь выражение (2.40) в ССВ для фазового пути S ЭМВ примет вид Число колебаний сигнала частоты fR, поступившего в приемник за интервал времени TG, равно числу колебаний сигнала частоты fS, излученного КА за интервал времени TS [89, 184], то есть Тогда выражение (2.57) может быть записано в таком виде:

Проинтегрировав зависимость (2.83) с учетом формул (2.23) и (2.30), получим значение первого интеграла в равенстве (2.100):

Здесь При этом полагалось, что временные задержки, обусловленные аппаратурными влияниями и релятивистским эффектом, в течение малого промежутка времени TS постоянны. Поэтому в выражении (2.101) принято, что Интегрируя зависимость (2.84), получим значение второго интеграла в формуле (2.100):

Далее, подставив формулы (2.101), (2.104) в (2.100) и с учетом равенств (2.68), можно записать При формировании выражения (2.105) были отброшены те слагаемые, численные значения которых не превышали 0,01 цикла. Так как fG = f S0 + (fG - f S0 ), то выражение (2.105) примет вид результате получим формулу для расчета N ij на интервале времени TS:

Nij = TS [0 +2 +2 ((ti + tj ) 2- t0 )] + C -1 fG [ S + +(1+KT ) TR+IRS + В формуле (2.107) – разность топоцентрических дальностей до спутника;

– ионосферная поправка в разность топоцентрических дальностей;

– поправка за аберрационный эффект, обусловленный вращением Земли.

В модели измерений (2.107) поправка рассчитывается по формуле (2.76), в которой поправки за кривизну траектории распространения ЭМВ в тропосфере Земли определяются на моменты времени tГi и tГj соответственно.

В выражении (2.107) отбросим слагаемые, величина которых не превышает 0,01 колебания разностной частоты. В результате запишем аналитическую модель интегральных доплеровских траекторных измерений в ССВ, ошибка которой не превышает 0,01 колебания разностной частоты для широкого класса спутниковых орбит (предполагается, что погрешность расчета тропосферной и ионосферной поправок такого же порядка) [69]:

Ниже рассмотрим формирование математической модели дифференциальных доплеровских измерений. В дифференциальном методе доплеровских наблюдений приемником измеряется доплеровский сдвиг частоты, обусловленный взаимным перемещением приемника и передатчика. Непосредственно измеряемой величиной является разностная частота.

Дифференциальные доплеровские приемники производят подсчет числа циклов Nij биений на интервале интегрирования TG небольшой продолжительности: от 0,5 до 3 с. Разностная частота определяется отношением накопленных циклов к длительности этого интервала Перед выводом математической модели дифференциальных доплеровских измерений обоснуем точность, с которой ее нужно получить. Абсолютная ошибка S измерения скорости S может быть рассчитана по формуле где (fG - f R ) – абсолютная ошибка измерения разностной частоты.

Эту ошибку определим, воспользовавшись соотношением (2.112):

где N – абсолютная ошибка отсчитывания колебаний разностной частоты.

рассмотренных выше моделей интегральных доплеровских измерений. Так как точность отсчитывания составляет N=0,01 цикла, то для TG= 3 с и fS= 4·108 Гц (для спутников СРНС TRANZIT), получим (fG - f R ) =3,310-3 Гц и S = 2,5 мм/с.

Для спутников СРНС NAVSTAR fS = 15·108 Гц. Следовательно, абсолютная ошибка S измерения скорости составит S =0,7 мм/с.

Из формулы (2.64) следует, что частота принятого радионавигационного сигнала зависит от скорости S. Так как измерения выполняется в ЛСВ, то для определения этой скорости продифференцируем по времени выражение (2.56):

+m [V ()-() (C +tP )-() C -V () ]+ V +(1+ T ) TR + IR, (2.115) где V – поправка к лучевой скорости, обусловленная кривизной траектории распространения ЭМВ;

VTR – поправка к лучевой скорости, обусловленная влиянием тропосферной рефракции (см. 2.6);

VIR – поправка к лучевой скорости, обусловленная влиянием ионосферной рефракции (см. 2.6).

Ускорение (), обусловленное аберрационным эффектом движения КА относительно НП, скорость изменения временной задержки с и поправка к лучевой скорости V, обусловленная кривизной траектории распространения ЭМВ, определяются по формулам:

Выполнив некоторые преобразования равенства (2.115), получим S = m V ()+ V +(1+KT ) VTR +VIR -C -1 () ()-(2 m-1) () (C +tP +)m () ((fG / fG - f S / f S0 )+(fG / fG - f S / f S0 ) (-0 )), зависимости (2.43):

Здесь где r () – геоцентрический вектор ускорения КА в момент ;

() – вектор топоцентрической скорости спутника.

Применив формулу (2.64) для частоты f R принятого сигнала, получим выражение для определения значения разностной частоты в котором – релятивистская поправка в лучевую скорость КА.

В равенстве (2.122) слагаемые не учтены, так как их численные значения много меньше 3.3·10-3 Гц.

В формулу (2.122) вместо скорости S подставим его выражение (2.119).

Отбросив слагаемые, вклад которых не превышает 3,3·10-3 Гц, запишем аналитическую модель дифференциальных доплеровских измерений [69]:

fG - f R = 0 ++ (-0 )+C -1 f S0 (V ()+ V +(1+KT ) VTR + VIR +VAB +VA + где – общая внутренняя временная задержка приемника, определяемая по формуле (2.81);

– поправка в лучевую скорость за аберрационный эффект;

– поправка за аппроксимацию.

В зависимостях (2.119) – (2.121), (2.124) – (2.126) за момент принимается середина интервала времени TG, т.е.

Рассмотренные аналитические модели интегральных и дифференциальных методов доплеровских траекторных измерений КА по точности соответствуют инструментальным возможностям современной доплеровской аппаратуры. В этих моделях учитываются уход и скорость ухода частот опорных генераторов приемника и передатчика, аберрационный и релятивистский эффекты, внутренние аппаратурные временные задержки, влияние ионосферной и тропосферной рефракций. Введен также и масштабный множитель, учитывающий погрешность расчета тропосферной поправки в разность дальностей и лучевую скорость.

Абсолютная ошибка моделей интегральных доплеровских измерений не превышает 0,01 цикла, дифференциальных измерений 3,3·10-3Гц (погрешность расчета поправок за влияние атмосферной рефракции и релятивистского эффекта здесь не учитываются).

Модели измерений (2.82), (2.111) и (2.124) запишем в виде функциональной зависимости (1.33) [47, 69, 132]. В этом случае Здесь G =(+ ((i + j ) / 2-0 )) TG С/f S0 + +(1+KT ) TR+IRG +G +Ап + p АB - (m j V ( j )-mi V (i )) -(-0 fG / fG0 ) (m j ( j ) ( j -0 )-mi (i ) (i -0 ))/f S0 + +(n j V (tj )-ni V (ti )) tS - (-0 f S / f S0 ) (n j (tj ) (tj -t0 )-ni (ti ) (ti -t0 ))/fG0 + V = (+ (-0 )) С/f S0 + V +(1+KT ) VTR +VIR +VAB +VA +VP - измеренных значений разностей дальностей и лучевой скорости соответственно. В подтверждение сказанному в подразделе 1.1 заметим, что эти ошибки зависят от времени и обусловлены следующими факторами: нестабильностью частот опорных генераторов аппаратуры НП и КА, изменением условий прохождения ЭМВ в атмосфере Земли, аберрационным и релятивистским эффектами, а также внутренними временными задержками приемника и передатчика.Значения (G +G ), (S +S ) будем называть измеряемыми разностями псевдодальностей, а (V () +V ) – измеряемой лучевой псевдоскоростью (см. 1.1).

В заключение отметим, что представленные модели записаны для широкого класса спутниковой и наземной доплеровской аппаратуры с различными точностными характеристиками. Поэтому они могут в различной степени упрощаться в зависимости от решения конкретной поставленной задачи. Важно отметить, что представленные модели получены при условии совпадения фазового центра передающей антенны и центра массы спутника.

2.5 Математические модели радиодальномерных траекторных измерений Радиотехническую дальность до спутника можно определить, измеряя амплитуду либо фазовый сдвиг принятого аппаратурой НП радионавигационного сигнала, а также время распространения радиоимпульса по линии НП-КА.

Наибольшее применение в космической геодезии нашли фазовый и импульсный методы измерения расстояний [157].

Как уже было сказано в 2.1, в настоящее время возможны два принципа измерений – запросный и беззапросный. Наиболее простым в смысле технической реализации и последующей математической обработки измерений, выполненных для решения геодезических задач, является запросный метод. Техническая реализация беззапросного метода сложнее и на этапе математической обработки результатов его измерений приходится учитывать ряд физических эффектов, не свойственных запросному методу (нестабильность опорных генераторов, релятивистские эффекты и др.). Они вносят в измерения значительные погрешности систематического характера.

По причине своей сложности специального рассмотрения требуют вопросы формирования математических моделей беззапросных импульсного и фазового методов измерения дальности до спутника. Соответствующие модели для запросных РТС весьма просты и хорошо проработаны.

передатчиком спутника. Этот радиоимпульс, пройдя расстояние КА-НП, непосредственно измеряется промежуток времени - tГ между моментом приема (в ЛСВ) радиоимпульса и моментом tГ генерации (в ССВ) опорного импульса (см.

рисунок 2.5). Такова общая схема процесса измерений. При формировании математических моделей радиодальномерных измерений будем считать, что центр масс КА и ФЦА его передатчика совпадают. Заметим, что все временные события и задержки, свойственные процессу доплеровских измерений (за исключением задержки G), присущи и для радиодальномерных измерений.

В современных радиодальномерных приборах разность фаз измеряется с ошибкой до 2 [134], что соответствует 0,006 длины волны радиосигнала.

Математические модели радиодальномерных измерений получим с точностью до 0,01 фазы. При этом, например, для несущей частоты 1,5 ГГц сигнала спутников ГНСС NAVSTAR и ГЛОНАСС ошибка измерения псевдодальности составит величину около 2 мм (без учета погрешностей моделей, учитывающих влияние релятивистского эффекта и атмосферной рефракции), а для СРНС TRANZIT и ЦИКАДА (частота сигнала 400 МГц) соответственно около 8 мм.

На основании зависимостей (2.30), (2.51) и (2.56), в которых примем g = 0, запишем выражение для расчета промежутка времени - tГ:

Формулы для расчета поправки за кривизну траектории распространения ЭМВ в тропосфере Земли представлены в 2.2.

Выполнив некоторые преобразования, получим математическую модель беззапросных импульсных радиодальномерных измерений [71] где – общая внутренняя временная задержка аппаратуры КА и НП.

В модели (2.135) временная задержка определяется по формуле В беззапросных фазовых дальномерных РТС непосредственно измеряемой величиной является выделенная в момент времени в приемнике НП разность фаз S ( ) между фазами S (t ) и G () [167, 185] где S (t ) – фаза образованных в момент времени tГ колебаний частоты f SM, модулирующих несущий радионавигационный сигнал частоты fS опорного генератора КА;

G () – фаза в момент времени колебаний, модулирующих опорный сигнал частоты fG (сигнал частоты fG генерируется опорным генератором наземного приемника).

Выразив из формулы (2.30) момент времени tГ и подставив его в равенство (2.137), получим где – общая внутренняя временная задержка аппаратуры КА и НП, определяемая по формуле (2.136).

Так как задержка С уже учтена во времени распространения сигнала, то S () = G (). Принимая во внимание зависимость (2.51) и соотношение между частотой f SM и фазой S () модулирующего колебания [185] запишем Частоту f SM выразим через частоту fS несущего колебания опорного генератора КА где К – коэффициент пропорциональности.

Тогда с учетом формулы (2.56), в которой g = 0, и формулы (2.141), выражение (2.140) для разности фаз примет вид Подставим частоту fS из равенства (2.36) в равенство (2.142) и выполним некоторые преобразования. После этих преобразований отбросим те слагаемые, численные значения которых не превышают 0,01 фазы. В итоге запишем математическую модель беззапросных фазовых радиодальномерных траекторных измерений [71, 132] Модели измерений (2.135) и (2.143) могут быть представлены в виде функциональной зависимости (1.33) [71, 132]:

Здесь величины и определяются как При использовании выражения (2.147) в формуле (2.146) под параметром () подразумевается параметр ().

Величины и представляют собой сингулярные ошибки вида (1.35) измеренных значений дальностей до КА. Эти ошибки зависят от времени и генераторов передатчика и приемника, изменением условий прохождения ЭМВ в атмосфере Земли, аберрационным и релятивистским эффектами, внутренними задержками аппаратуры НП и КА. Суммы ( ()+ ), ( ()+ ) будем называть измеряемыми псевдодальностями (см. 1.1).

В заключение отметим, что приведенные модели измерений могут в различной степени упрощаться в зависимости от требуемой точности решения задачи оценивания. Модель фазовых измерений (2.143) можно применять и при выполнении измерений только на несущей частоте fS радиосигнала. При этом коэффициент пропорциональности K=1. Влияние ионосферной рефракции первого порядка на измеряемое расстояние учитывается довольно просто, так как в основном радиодальномерные измерения проводятся на двух частотах (см. 2.6).

Важно отметить, что представленные модели получены при условии совпадения фазового центра передающей антенны и центра масс КА.

2.6 Методика учета влияния атмосферной рефракции в радиотехнических траекторных измерениях спутников В этом подразделе опишем методику и приведем необходимые формулы, учитывающие влияние тропосферной и ионосферной рефракции на результаты доплеровских и радиодальномерных траекторных измерений КА. Формулы для расчета тропосферных и ионосферных поправок в лучевую скорость, разность дальностей и дальность до спутника будут представлены в виде, удобном для практического применения [32, 48, 54].

Напомним, что в интегральном методе доплеровских измерений современные геодезические приемники производят подсчет колебаний Nij разностной частоты fG-fR, образованной смешением частот двух высокостабильных колебаний принятого радионавигационного сигнала fR и опорной частоты fG приемника. Этот факт описывается формулой (2.24). Накопление циклов происходит либо на отрезке времени TG = [i, j] в ЛСВ, либо на отрезке TS = [tГi, tГj] в ССВ.

Продолжительность TG определяется длительностью приема аппаратурой НП строки либо группы строк служебной информации навигационного кадра, а TS – длительностью передачи аппаратурой КА этой же информации.

Результатом дифференциального метода измерений является искаженный атмосферной рефракцией доплеровский сдвиг частоты f d, возникающий вследствие взаимного перемещения передатчика и приемника [24, 150]:

где C – скорость света в вакууме;

S – длина траектории (фазового пути) ЭМВ.

Непосредственно измеряемой величиной при этом служит разностная частота, численное значение которой определяется из равенства (2.112). Без учета аппаратурных задержек частота fR может быть получена как На основании зависимостей (2.24), (2.148) и (2.149) число циклов может быть представлено соотношениями [24, 103, 184] В дифференциальном методе доплеровских измерений разностная частота на основании формул (2.65), (2.112), (2.148) и (2.149) описывается выражением В беззапросных фазовом и импульсном методах промежуток времени - t распространения радиоимпульса и разность фаз () принятого и опорного колебаний (без учета аппаратурных задержек) определяются как Из приведенных зависимостей видно, что число циклов, разностная частота, время распространения радиоимпульса и разность фаз являются функциями криволинейного расстояния S.

Продифференцировав по времени равенство (2.19) и подставив полученный результат в выражение (2.148), запишем соотношение для доплеровского сдвига частоты в котором – "чистый" доплеровский сдвиг частоты;

– поправка в частоту, обусловленная влиянием тропосферной рефракции (тропосферная поправка в частоту);

– поправка в частоту, обусловленная влиянием ионосферной рефракции (ионосферная поправка в частоту).

Подставив значения S из формулы (2.19) и f d из формулы (2.155) в правую часть уравнений (2.150) – (2.154), запишем аналитические модели доплеровских и аппаратурные задержки, релятивистский и аберрационный эффекты Поправки за тропосферную TR и ионосферную IR рефракции в разности дальностей G и S рассчитываются по формулам (2.78) и (2.109).

Наибольшее влияние на распространение электромагнитных колебаний с частотами менее 450 МГц оказывает ионосфера (см. таблицы И.1 и И.2) (приложение И). Ее показатель преломления nIR зависит от электронной концентрации N и частоты fS сигнала [29, 97] Разложив правую часть равенства (2.164) в биномиальный ряд, запишем [3, 184] С учетом того, что показатель преломления nIR и индекс рефракции NIR связаны соотношением а также на основании зависимостей (2.18) и (2.165) можно записать Откуда значение ионосферной поправки в расстояние определится как [3, 184] В разложении (2.168) коэффициенты B1 и B2 вычисляются по формулам где TR – наклонная дальность до верхней границы тропосферы;

S – наклонная дальность до спутника.

В разложении (2.168) первое слагаемое – так называемая ионосферная поправка первого порядка в расстояние, второе – ионосферная поправка второго порядка в расстояние. Представление о величине этих поправок дает таблица И. (приложение И), в которой приведены их численные значения для различных высот КА над горизонтом.

Из разложения (2.168) следует важный вывод: с увеличением частоты fS радионавигационного сигнала уменьшается действие ионосферной рефракции и для fS I0 ГГц ее влияние практически не проявляется [97]. По этой причине ГНСС последнего поколения относительно предыдущих СРНС работают на более высоких частотах.

После подстановки IR из разложения (2.168) в формулу (2.158), можно получить зависимость для расчета ионосферной поправки в частоту [24, 189] В разложении (2.170) величины 1 и 2 являются коэффициентами, зависящими от времени суток (электронная концентрация изменяется в течение суток) и взаимного положения передатчика и приемника и не зависящие от частоты fS. В нем первое слагаемое будет ионосферной поправкой первого порядка в частоту, второе слагаемое – ионосферной поправкой второго порядка в частоту.

Разложение (2.170) не используется в геодезических измерениях, так как в настоящее время закон изменения электронной концентрации в зависимости от высоты и солнечной активности плохо изучен.

Навигационные спутники излучают два сигнала с когерентными частотами f SI и f SII, например: СРНС TRANZIT f SI = 400 МГц, f SII = 150 МГц [3, 24, 103, осуществлять обработку принятых сигналов с частотами f RI и f RII. Двухчастотный прием позволяет учесть влияние ионосферной рефракции первого порядка. Для этого решается система из двух уравнений относительно неизвестного f IR = 1/f SI, являющегося ионосферной поправкой первого порядка в частоту. Затем определяется ионосферная поправка к частоте f RI и разностной частоте fG -f RI в доплеровских измерениях [24] В формуле (2.172) коэффициент К определяется отношением частот В зависимости (2.158) производная является ионосферной поправкой в лучевую скорость и используется в модели дифференциальных доплеровских измерений (2.124). Эту поправку можно определить, подставив поправку f IR из формулы (2.172) в формулу (2.158) Подставив выражение для основной частоты f RI в равенство (2.24), получим где I – частота подставки, определяемая по формуле (2.22) для основной частоты.

Из сравнения выражений (2.159) и (2.177) следует, что Подставив f IR из формулы (2.172) в (2.178), запишем Учитывая отношение (2.173) в последнем равенстве, запишем выражение для расчета ионосферной поправки в разность дальностей для модели интегральных доплеровских измерений (2.159) в ЛСВ [32] где Nij I и Nij II – интегральные доплеровские отсчеты при работе на частотах f RI и f RII.

Проделав аналогичные действия, найдем выражение для расчета ионосферной поправки в разность дальностей для модели измерений (2.160) [32]:

Формулы (2.175), (2.180) и (2.181) используются для расчета ионосферных поправок в математических моделях доплеровских траекторных измерений КА (см. 2.4).

Некоторые двухканальные доплеровские приемники в режиме автокоррекции этом частота f RI корректируется ионосферной поправкой f IR, определяемой по формуле (2.172), где f RI – свободное от ионосферной рефракции первого порядка значение частоты принятого радионавигационного сигнала [24].

Для импульсных и фазовых радиодальномерных измерений в целях исключения ионосферной рефракции первого порядка измерения выполняются также на двух частотах. В этом случае измеренное расстояние, исправленное поправкой за ионосферную рефракцию, определяется из выражения [184, 186] где S I и S II – измеренные на частотах f SI и f SII значения расстояний.

Эти расстояния можно определить как – для импульсных РТС;

– для фазовых РТС.

Формула (2.183) используется в практических работах. Заметим, что выражения (2.175), (2.180), (2.181) и (2.183) учитывают влияние ионосферной рефракции только первого порядка. Чтобы исключить из результатов радиотехнических измерений влияние ионосферной рефракции первого и второго порядков, необходимо выполнять измерения на трех частотах [176]. Это, в свою очередь, приводит к значительному усложнению приемной и передающей аппаратуры.

Для расчета тропосферной поправки TR в измеренную дальность до КА наиболее приемлемы аппроксимирующие модели тропосферной рефракции Саастамойнена [90, 172, 179, 188], Хопфилдт [172, 180, 181, 184, 189], Блэка [168, 172]. Эти модели позволяют оценить значение тропосферной рефракции по измеренным на земной поверхности метеорологическим данным: атмосферному давлению P (мбар), температуре воздуха T°К, парциальному давлению водяных паров e (мбар).

Согласно модели, предложенной Саастамойненом, тропосферная поправка в измеренную наклонную дальность до КА рассчитывается как TR = 22,77 10-4 sin -1E0 [ P + (1255/T + 0,05) e - H ctg 2E0 ] +, (2.186) где H – ортометрическая высота приемника;

– табличная поправка для высот спутника над горизонтом, лежащих в пределах от 10° до 30°;

E0 – приведенная высота КА над горизонтом.

Угол E0 определяется как где E – реальная высота КА над горизонтом.

Поправка E в угловых секундах вычисляется по формуле Числовые значения параметров H и выбираются из таблиц, составленных Саастамойненом. В вычислительном аспекте удобна упрощенная модель:

TR = 22,77 10-4 sin-1E [P + ( 0,05 + 1255/ ) e - 1,16 ctg 2E ]. (2.189) Погрешность этой модели не превышает 10 см при E10° [90].

Для расчета тропосферной поправки в измеренную наклонную дальность при обработке радиотехнических измерений часто используется формула Хопфилдт.

Различия поправок, полученных по этой формуле и по аэрологическим данным, не превышают 1% при E >5° [194]. Модель Хопфилдт имеет вид В этой модели Модель Блэка для расчета тропосферной поправки в измеренную наклонную дальность до КА дает хорошее согласие с результатами, полученными по аэрологическим данным: различия не превышают 0,1 % при E3° [180]. Эта модель имеет вид В этой модели lC = 0,833 + (0,076 + 15 10-6 (T - 273))0,3 E, b( E ) = 1,92 (E 2 + 0,6)-1, где R – геоцентрическое расстояние приемника.

Если на поверхности Земли относительная влажность воздуха r измерена в процентах, то парциальное давление водяных паров может быть вычислено по формуле [105] тропосферную поправку VTR в лучевую скорость определим как Здесь скорость dE/d изменения высоты КА над горизонтом обозначим как E.

Дифференцирование зависимостей (2.189) и (2.190) по времени позволяет получить соотношения, определяющие значение тропосферной поправки в лучевую скорость КА [48, 54]:

Чтобы найти угол E и скорость его изменения E, запишем скалярное произведение геоцентрического радиус-вектора R приемника и топоцентрического радиус-вектора КА Так как угол между векторами R и равен (90° - Е), то можно записать где R – геоцентрическое расстояние приемника (2.59);

– топоцентрическое расстояние спутника.

Продифференцировав по времени равенство (2.199), запишем где – вектор топоцентрической скорости КА;

R – вектор геоцентрической скорости КА, определяемый формулой (2.48);

V – лучевая скорость, определяемая по формуле (2.47).

Теперь из выражения (2.201), в котором R= dR/d = 0, выразим параметр E.

В результате получим Чтобы избавиться от функции cos E, находящейся в знаменателе, подставим E из равенства (2.202) в формулу (2.197) и получим выражение для расчета тропосферной поправки в лучевую скорость спутника [48, 54] Формулы Саастамойнена (2.189) и Хопфилдт (2.190) и, полученные на их основе, формулы (2.198), (2.203) дают хорошо согласующиеся между собой результаты. В таблицах И.2 и И.3 (приложение И) приведены некоторые числовые значения тропосферных поправок в дальность и лучевую скорость КА для различных высот спутника над горизонтом. При E10° различия между тропосферными поправками в наклонную дальность, вычисленными по формулам (2.189) и (2.190), не превышают 14 см, в лучевую скорость (формулы (2.198) и (2.203)) – 7,2 мм/с. Если Е15°, то эти различия поправок в наклонную дальность не превосходят уже 5 см, а в лучевую скорость 1,4мм/с.

В таблице И.4 (приложение И) представлены численные значения тропосферных поправок в разность дальностей, вычисленных по формулам Саастамойнена и Хопфилдт, для различных высот КА над горизонтом. Видно, что различия этих поправок существенно меньше, чем различия тропосферных поправок в дальность:

при E10° расхождения не превышают 8 см, а при E>15° – 2 см.

В вычислительном аспекте для расчета тропосферных поправок в разность дальностей и в лучевую скорость предпочтительнее выражения (2.189) и (2.203).

Они компактнее и содержат меньшее число арифметических операций, что весьма существенно при обработке больших массивов измерительной информации. По точности же эти формулы сопоставимы с формулами (2.190), (2.198) и могут успешно применяться на этапе обработки результатов радиотехнических траекторных измерений КА.

2.7 Уравнения поправок для определения геодезических параметров по результатам радиотехнических траекторных измерений спутников При решении обратной задачи космической геодезии с целью оценивания геодезических и геодинамических параметров по результатам обработки радиотехнических траекторных измерений КА необходимо иметь соответствующие уравнения поправок (см. 1.4). В них левая часть представляет собой линеаризованную нелинейную вектор-функцию конкретного измеряемого параметра относительно приближенных значений вектора оцениваемых параметров. Правая часть получается как разность измеренных и вычисленных значений измеряемых параметров с добавлением неизвестных поправок к результатам измерений. Для обработки дифференциальных и интегральных доплеровских, а также беззапросных импульсных и фазовых радиодальномерных траекторных измерений КА были получены соответствующие математические модели (см. 2.4 и 2.5), отвечающие определенным критериям адекватности. В этом подразделе рассмотрим порядок формирования вектора правой части и матриц коэффициентов уравнений поправок вида (1.100) и (1.101) для математической обработки этих видов радиотехнических измерений. Часть матриц коэффициентов была представлена в 1.5 и 1.6.

Для математических моделей (2.128) – (2.130), (2.144) и (2.145) рассматриваемых радиотехнических траекторных измерений спутников функциональную зависимость (1.33) между векторами-столбцами первичных и вторичных измеряемых псевдопараметров можно записать как Здесь под параметром f понимается разностная частота, образованная смешением частот принятых колебаний fG и колебаний опорного генератора приемника fR. Она находится по формуле Вектор-функции, необходимые для расчета компонент вектора Z в зависимости (2.204), определяются следующими величинами: Ф0 – номинальным значением частоты подставки; f G0, f S0 – номинальными значениями частот опорных генераторов приемника и передатчика; С – скоростью света в вакууме; TG, TS – отрезками времени накопления колебаний разностной частоты в ЛСВ и ССВ соответственно; (V()+v) – лучевой псевдоскоростью КА; (G+G), (S+S) – разностями топоцентрическими псевдодальностями, измеряемыми импульсными и фазовыми РТС; K – отношением частот модулирующего и несущего колебаний электромагнитного сигнала.

Вектор-столбец Z результатов измерений первичных параметров будет иметь вид где f – измеренная приемной аппаратурой разностная частота;

N ij и N ij – измеренное число циклов разностной частоты в шкалах времени ЛСВ и ССВ соответственно;

– измеренное время распространения радиоимпульса;

– измеренная разность фаз принятого и опорного колебаний.

За вектор вторичных измеряемых параметров примем пятимерный векторстолбец где V() – лучевая скорость КА;

G и S – разности дальностей, определяемые интегральным доплеровским методом в ЛСВ и ССВ соответственно;

() – топоцентрическая дальность до КА, определяемая импульсной РТС;

() – топоцентрическая дальность КА, определяемая фазовой РТС.

Под вектором вторичных измеряемых псевдопараметров, определяемых выражениями (1.28) и (1.30), будем понимать вектор-столбец где V ()+V – лучевая псевдоскорость КА;

G +G – разность псевдодальностей, измеряемых интегральным доплеровским методом в ЛСВ;

S +S – разность псевдодальностей, измеряемых интегральным доплеровским методом в CСВ;

()+ – топоцентрическая псевдодальность, измеряемая импульсной РТС;

()+ – топоцентрическая псевдодальность, измеряемая фазовой РТС.

выражением (1.34), служат сингулярные ошибки измеряемых лучевой скорости V, разностей дальностей G и S, наклонных дальностей и. Эти ошибки обусловлены аппаратурными, атмосферными, аберрационными, релятивистскими и прочими влияниями на результаты радиотехнических траекторных измерений КА.

На этапе предварительной обработки результатов доплеровских измерений исключается номинальное значение частоты подставки Ф0, поэтому векторстолбец Z первичных измеряемых псевдопараметров и вектор-столбец Z результатов измерений первичных параметров будут иметь вид:

где f – текущее значение частоты биений;

– текущее значение частоты подставки;

f S – текущее значение частоты опорного генератора передатчика;

f G – текущее значение частоты опорного генератора приемника;

V () – реальное значение лучевой скорости КА;

G – реальное значение разности дальностей при измерении в ЛСВ;

S – реальное значение разности дальностей при измерении в ССВ;

() – реальное значение дальности до КА при измерении импульсными РТС;

() – реальное значение дальности до КА при измерении фазовыми РТС.

Вектор-столбец измеренных значений вторичных параметров представим как Обозначив вектор вторичных измеряемых псевдопараметров в равенстве (2.208) как запишем общее выражение для расчета элементов диагональной матрицы в системах уравнений поправок (1.98) и (1.99) Матрицу W(, t ) получим, продифференцировав функциональную зависимость (2.204) по компонентам вектора из равенства (2.208). В итоге имеем Перемножив матрицу W(, t ) (2.211), получим аналитические выражения для расчета компонент векторов и (см. 1.4). Выполнив перемножение, можем записать [132] Зависимости (2.216) поясняют физическую природу формирования измеренных значений лучевой псевдоскорости V (), разности псевдодальностей G и S, а также псевдодальностей () и () до спутника. Численные же значения этих величин найдем из аналитических выражений, которые получим перемножением матрицы W(, t ) (2.211):

Теперь компоненты вектора-столбца F [ f V f G f S f f ]T правых частей системы уравнений поправок определим как разность векторов и [74, 132]:

Ниже получим матрицу коэффициентов E, определяемую выражением (1.32), перед вектором мешающих параметров Г. За оцениваемый вектор мешающих параметров для одного прохождения спутника в зоне видимости НП примем пятимерный вектор-столбец компоненты которого независимы между собой. Будем полагать, что они не изменяют своих значений в пределах одного прохождения КА зоны радиовидимости наблюдателя (см. 1.1). Отметим, что здесь временная задержка имеет следующий смысл: = G + g – для дифференциальных и интегральных в ЛСВ доплеровских измерений; = tS – для интегральных в ССВ доплеровских измерений;

= G + tS – для импульсных и фазовых радиодальномерных измерений. При обработке результатов радиодальномерных измерений, полученных импульсными РТС, параметр f S исключается из вектора Г, то есть f S = 0.

Для определения аналитических выражений элементов прямоугольной матрицы E воспользуемся формулой (1.41) и получим Продифференцировав правые части зависимостей (2.131) – (2.133), (2.146) и (2.147) по компонентам вектора Г из равенства (2.219), запишем (см. приложение К) В зависимости от решаемой задачи и класса точности приемной аппаратуры элементы матриц (2.221) в различной степени могут упрощаться. Но, учитывая быстродействие вычислительных операций в современных компьютерных системах, вид этих коэффициентов можно не менять.

Матрицу частных производных Y в системах уравнений поправок (1.100) и (1.101) представим в виде произведения двух матриц где X – шестимерный вектор-столбец прямоугольных координат векторов положения r и скорости r спутника в звездной системе координат;

Y – шестимерный вектор-столбец регулярных элементов (1.135);

– вектор-функция вида (1.30).

Аналитические выражения для расчета элементов матрицы X Y вида (1.144) уже получены – это зависимости (В.12) и (В.13) (приложение В). Матрицу частных производных X в равенстве (1.141) на текущий момент времени t T также представим в виде произведения двух матриц Здесь матрицы-сомножители имеют вид:

Так как вектор вторичных измеряемых псевдопараметров в выражении (2.208) определяется суммой вектора вторичных измеряемых параметров равенства (2.207) и вектора сингулярных ошибок равенства (2.209) (см. 1.1) то матрица частных производных (2.224) выражается в виде суммы двух матриц где I – единичная 5х5 матрица.

правых частей равенств (2.131) – (2.133), (2.146) и (2.147) по компонентам вектора. В результате получим Для большинства спутниковых орбит и оснащения КА современной радиотехнической аппаратурой элементы этой матрицы имеют следующую величину:

Проведенные исследования показали (см. приложение Д), что относительная ошибка расчета матрицы изохронных производных составляет величину примерно 5·10-3. Это значительно превышает величины ошибок вычисления элементов матрицы /'. Поэтому в дальнейшем будем считать заданную на текущий момент времени, получим (см. приложение К) дифференцированием правых частей равенств (2.44), (2.47), (2.77), (2.108) и (2.61) по компонентам вектора X [8, 95, 144]:

Здесь вектор V() лучевой скорости КА в звездной системе координат вычисляется по формуле Далее для уравнений поправок (1.100) и (1.101) получим матрицу которая в общем случае имеет вид Справедливо следующее важное равенство [8] Отсюда следует, что матрица в рассматриваемых уравнениях поправок рассчитывается по формулам (2.231), то есть Дифференцирование правой части выражения (1.61), посредством которого осуществляется преобразование геоцентрического радиус-вектора RG НП из компонентам геоцентрического радиус-вектора позволяет в общем виде получить следующее матичное равенство Здесь для принятых в данной работе систем координат матрицы преобразования имеют вид (1.62) и (1.71).

Чтобы найти аналитический вид коэффициентов перед вектором поправок в уравнениях (1.100) и (1.101) к приближенным значениям вектора оцениваемых параметров 0 вида (1.94) кинематической модели ПВЗ, следует продифференцировать правую часть матричного выражения (1.61) по текущим значениям компонент вектора ПВЗ в выражении (1.86). В итоге можно записать [49, 53, 72, 78] где Матрицу P размерности 3х3 с учетом функциональной зависимости поправки UT от Всемирного времени UT1 (1.48) и допущениях вносящих в расчеты относительную ошибку, не превышающую величины 10-8, получим как Выполнив дифференцирование элементов матрицы P в выражении (1.71) и правой части равенства (1.48) по переменным UT1 и UT соответственно, получим где Прямоугольную матрицу частных производных К от текущих значений ПВЗ по оцениваемым параметрам 0 кинематической модели ПВЗ найдем, дифференцируя модели (1.69) и (1.70) по компонентам вектора 0 вида (1.94) [49, 53]:

Здесь моменты t и t0 заданы в равномерной шкале времени RT.

С учетом зависимостей (1.159), (2.220) – (2.222), (2.230), (2.231), (2.233), (2.236), (2.237), (2.239) и (2.245) окончательно запишем систему уравнений поправок вида (1.100) для совместного оценивания начальных условий движения КА, ПВЗ и положения НП [33, 34, 49, 53, 72, 78]:

– по результатам дифференциальных доплеровских измерений;

– по результатам интегральных доплеровских измерении в ЛСВ;

– по результатам интегральных доплеровских измерений в ССВ;

– по результатам импульсных беззапросных радиодальномерных измерений;

– по результатам фазовых беззапросных радиодальномерных измерений.

В случае оценивания начальных условий движения спутника, ПВЗ и элементов ориентирования референцной системы координат (OXYZ)Г относительно общеземной (OXYZ)G, следует воспользоваться системой уравнений поправок вида (1.101). Для этого в уравнениях (2.247) – (2.251) достаточно заменить трехмерный вектор-столбец RG матричным выражением (1.96) и оценивать элементы векторов dR, и параметр k [33, 34].

3 ВОПРОСЫ НАБЛЮДАЕМОСТИ В ЗАДАЧЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ

3.1 Вопросы наблюдаемости в космической геодезии Под наблюдаемостью динамической системы понимается свойство взаимно однозначного соответствия между множеством измеряемых и множеством оцениваемых параметров. Как уже отмечалось в 1.1, наблюдаемость является одним из условий регулярной постановки измерительной задачи. Нарушение этого условия приводит к нерегулярной ее постановке, что на этапе численных экспериментов выражается в повышенной чувствительности решения задачи к ошибкам задания исходных данных или в неоднозначности получаемого решения, а также в слабой сходимости итерационного процесса (1.114) при решении системы нелинейных уравнений (1.112).

Впервые понятие наблюдаемости динамических систем введено Р. Калманом в I960 году на 1-м конгрессе ИФАК в г. Москве. Им же разработаны критерии наблюдаемости для линейных систем, основанные на определении ранга функциональной матрицы (1.113). Дальнейшее развитие вопросы ранговой наблюдаемости получили в работах В. Н. Брандина, Б. Ф. Жданюка, Г. Н. Разоренова, И. В. Онькова, П. Е. Эльясберга и ряда других авторов [4, 14, 88, 120, 121, 147]. Ими же определены качественные (геометрические) условия глобальной и локальной наблюдаемости, глобальной ненаблюдаемости для различных параметров орбит КА и видов измерений. Обобщая отмеченные выше работы, запишем следующее определение. Система называется наблюдаемой, если имеется возможность однозначно определить ее состояние по имеющейся выборке результатов измерений.

Понятие плохой наблюдаемости, основанное на теории собственных значений функциональной матрицы, введено Г. Н. Разореновым [14], Р. Р. Назировым и П. Е. Эльясбергом [116] и использовано в дальнейшем при анализе решения геодезических задач [94, 164, 169]. Это понятие возникло в связи с тем, что в реальных задачах приходится иметь дело с такими системами, которые теоретически наблюдаемы, но в ходе проведения численного эксперимента проявляют признаки ненаблюдаемых систем. Этот факт соответствует некорректной либо нерегулярной постановке задачи. По этой причине для выявления случаев плохой наблюдаемости ранговые критерии не пригодны. Здесь применимы количественные критерии: число обусловленности, след, квадратный корень из следа, определитель, максимальное собственное значение ковариационной матрицы [11, 12, 104, 159].

Появление нерегулярной (глобальная ненаблюдаемость) либо некорректной (плохая наблюдаемость) измерительной задачи обусловлено тем, что имеющейся измерительной информации недостаточно для определения всех компонент вектора оцениваемых параметров (1.93). На этапе решения СЛАУ глобальная ненаблюдаемость проявляется в том, что матрица коэффициентов в уравнении (1.119) неполного ранга. Поэтому все компоненты вектора оцениваемых параметров определить невозможно. Плохая наблюдаемость проявляется в том, что эта матрица плохо обусловлена и решение СЛАУ становится неустойчивым (см. 1.4). На этапе постановки измерительной задачи желательно знать качественные условия наблюдаемости. Это позволит перед началом численного эксперимента более достоверно определить состав вектора оцениваемых параметров либо доопределить задачу путем добавления информативных измерений (увеличивая число опорных НП в задаче определения орбит или число прохождений КА в зоне видимости наблюда-теля при определении координат НП, а также подключая другие виды измерений).

За количественную характеристику наблюдаемости в задаче оценивания параметров состояния нелинейных динамических систем удобно принять число обусловленности, рассчитываемое по формуле (Б.18) (приложение Б) в отдельности для каждой группы базисных векторов равенства (1.125), соответствующих определенной группе компонент вектора оцениваемых параметров равенства (1.93) [44]. В формуле (Б.18) (приложение Б) в качестве величин max и выбирается максимальное сингулярное число и точность формирования коэффициентов по группам оцениваемых параметров, например:

элементы орбиты КА – первая группа, координаты НП – вторая и т.д. Такой подход позволяет более достоверно установить причину появления плохой обусловленности полной матрицы коэффициентов (состоящей из отдельных групп базисных векторов) в системе уравнений поправок и, соответственно, принять правильное решение по улучшению наблюдаемости (обусловленности СЛАУ) исследуемой нелинейной динамической системы. Если невозможно улучшить обусловленность матрицы добавлением информативных измерений (улучшить геометрию наблюдений), то можно прибегнуть к сокращению числа компонент вектора оцениваемых параметров. Последний прием в вычислительных программах может осуществляться без вмешательства исследователя: согласно методике, описанной в приложении Б, определяется эффективный ранг матрицы коэффициентов, после чего находится нормальное обобщенное решение (Б.19) (приложение Б).

3.2 Условия наблюдаемости параметров движения спутника при измерении его наклонной дальности и лучевой скорости Получим качественные условия наблюдаемости в задаче уточнения регулярных элементов (1.136) орбиты спутника по результатам измерений наклонной дальности и лучевой скорости V КА [44]. Для этого получим аналитические выражения для расчета матрицы коэффициентов / Y0 вида (1.139) перед вектором поправок Y0 к приближенным значениям регулярных элементов орбиты в уравнениях (2.247) – (2.251).

Перемножив градиентную (2.231) и фундаментальную матрицы (1.159) (в силу своей относительной простоты сам процесс перемножения матриц не приводится), запишем формулы для вычисления элементов матрицы коэффициентов А системы линейных уравнений поправок вида (1.119):

Разность U векторов топоцентрической и лучевой Vскоростей КА в текущий момент времени t определяется по формуле а параметры K и L – по формулам (1.160).

В задаче оценивания регулярных элементов орбиты КА по результатам измерений наклонной дальности и лучевой скорости спутника на интервале T соотношения (3.1) и (3.2) образуют m строк матрицы коэффициентов А в СЛАУ вида (1.119). Если базисные векторы ai (i = 1,..., n; n – размерность расширенного вектора оцениваемых параметров) этой матрицы практически линейно зависимы, либо длина хотя бы одного из них близка к нулю (предполагается, что предварительно базисные векторы нормированы до единицы), то это обязательно приведет к увеличению числа обусловленности (ухудшению обусловленности) матрицы коэффициентов, что непременно проявится в множественности решения СЛАУ. Последнее обстоятельство является проявлением факта плохой наблюдаемости и соответствует случаю некорректной постановки задачи оценивания. Нерегулярная постановка задачи оценивания объясняется наличием факта глобальной ненаблюдаемости. На стадии математической обработки измерительной информации это обязательно проявится в том, что число обусловленности сформированной матрицы коэффициентов будет стремиться к бесконечности (матрица коэффициентов неполного ранга) и часть компонентов вектора оцениваемых параметров станет невозможно определить.

Выполнив описанный выше анализ выражений (3.1) и (3.2), запишем условия, при выполнении которых матрица коэффициентов будет плохо обусловлена.

Общие случаи:

– если наклонные дальности до КА измерены вблизи точек траверса в течение одного или более сеансов, проведенных с одного или нескольких НП, то – если лучевые скорости и наклонные дальности до КА, находящегося на экваториальной орбите, измерены в течение одного или более сеансов, проведенных с одного или нескольких НП, расположенных в экваториальной зоне, Частные случаи:

а) наклонные дальности до КА, находящегося на экваториальной орбите, измерены в течение одного или более коротких сеансов, проведенных с одного или нескольких НП:

1) f0 0, если спутник находился вблизи координатной оси 2) q0 0, если спутник находился вблизи координатной оси диаметрально противоположных участках орбиты;

б) наклонные дальности до КА, имеющего круговую орбиту, измерены в течение одного или более коротких сеансов, проведенных с одного или нескольких НП, находящихся, примерно, на одной широте:

1) g0 0, если в моменты измерений спутник имел координаты 0 и 2) h0 0, если в моменты измерений спутник имел координаты 0 и вблизи координатной оси (l 0°, 180°);

вблизи координатной оси (l 90°, 270°);

произвольных орбит в течение одного или более коротких сеансов, проведенных с одного или нескольких НП:

1) g0 0, если в моменты измерений спутник находился вблизи координатной оси (l 0°, 180°);

2) h0 0, если в моменты измерений спутник находился вблизи координатной оси (l 90°, 270°).

Более редкие случаи появления равных нулю либо зависимых между собой базисных векторов функциональной матрицы здесь опущены.

3.3 Условия наблюдаемости пространственного положения наземного пункта при измерении наклонной дальности и лучевой скорости спутника В данном подразделе определим качественные условия наблюдаемости в задаче определения пространственных положений НП по результатам радиотехнических траекторных измерений спутников [44]. Для этого получим аналитические выражения расчета коэффициентов перед вектором поправок RG к приближенным прямоугольным координатам НП. Из уравнений (2.247), (2.250) и (2.251) имеем Так как столбцы матрицы P P3 в формуле (1.62) относительно осей звездной системы координат образуют ортонормированный базис общеземной системы (см. 1.3), то выражение означает преобразование топоцентрического радиус-вектора спутника из звездной системы координат в общеземную, то есть в вектор G x y z G.

Перейдя от топоцентрических векторов положения и скорости КА к геоцентрическим векторам положения и скорости НП и спутника, зависимость (3.5) с учетом выражений (3.3) и (2.232) запишем как Используя матричное преобразование (1.61) радиус-вектора RG положения НП из общеземной системы координат в звездную, можно записать где rG, rG – геоцентрические радиус-векторы положения и скорости КА в общеземной системе координат.

Если учитывать только суточное вращение Земли, то

PT P PT P

Отсюда следует, что С учетом зависимостей (3.6), (3.9) и (3.11), преобразуем выражения (3.4) и (3.7). В итоге запишем формулы для расчета коэффициентов перед вектором поправок к приближенным координатам НП, причем для удобства последующего анализа все векторы в этих формулах заданы в общеземной системе координат:

В координатной форме последнее равенство имеет вид:

В задаче оценивания прямоугольных геоцентрических координат положения НП по результатам измерений наклонной дальности и лучевой скорости спутника на интервале времени T соотношения (3.12) – (3.14) образуют m строк матрицы коэффициентов A в СЛАУ вида (1.119). Выполнив описанный в 3.2 анализ выражений (3.12) – (3.14), запишем условия, при выполнении которых матрица коэффициентов будет плохо обусловлена.

Общие случаи:

– если лучевые скорости и наклонные дальности до одного или нескольких КА, находящихся на экваториальных орбитах, измерены в течение одного или более сеансов с НП, расположенного в экваториальной зоне, то ZG 0и – если лучевые скорости одного или нескольких КА, находящихся на экваториальных орбитах, измерены вблизи точек траверса в течение одного или – если наклонные дальности измерены до одного или нескольких КА, имеющих полярную орбиту, в течение одного или более сеансов и вблизи зенита НП, находящего на полюсе, то X G YG 0.

Частные случаи:

а) лучевые скорости одного или нескольких КА измерены вблизи точек траверза и зенита места в течение одного или более сеансов, проведенных с НП, расположенного в окрестности полюса:

1) V X G 0 и V ZG 0, если в моменты измерений плоскость орбиты спутника примерно совпадает с плоскостью YG 0ZG меридиана Гринвича;

2) V YG 0 и V ZG 0, если в моменты измерений плоскость орбиты спутника примерно совпадает с координатной плоскостью X G 0ZG ;

б) наклонные дальности до одного или нескольких КА измерены с НП в течение одного или более сеансов:

1) X G 0, если в моменты измерений спутник пересекает координатную плоскость YG 0ZG ;

2) YG 0, если в моменты измерений спутник пересекает координатную 3) ZG 0, если в моменты измерений спутник пересекает плоскость, параллельную плоскости экватора и проходящую через НП.

Более редкие случаи появления равных нулю либо зависимых между собой базисных векторов функциональной матрицы здесь опущены.

3.4 Условия наблюдаемости в задаче определения параметров вращения Земли по спутниковым данным Одной из актуальных задач геодезии является задача изучения проявления геодинамических эффектов на вращение Земли, то есть на параметры вращения Земли. Эти параметры описывают неравномерность вращения Земли вокруг своей оси, а также периодические колебания этой оси в теле Земли. По своей сути эта задача относится к задачам оценивания. Чтобы она имела решение и это решение было единственным, исследователю необходимо стремиться к тому, чтобы ее требованиям регулярности и корректности.

В вычислительном аспекте уравнения (2.247) – (2.251) удобны для выполнения задачи оценивания, но не удобны для проведения анализа с целью выявления условий наблюдаемости ПВЗ. По этой причине их следует привести к такому виду, в котором векторы положений и скоростей НП и КА были бы заданы в одной системе координат – земной. Такой подход позволяет существенно коэффициенты перед вектором поправок в уравнениях (2.247) – (2.251) примут вид [46]:

или где G, rG – трехмерные векторы-столбцы топоцентрических и геоцентрических координат КА в земной системе;

G и VG – векторы топоцентрической и лучевой скоростей КА в земной системе координат.

Отметим, что в некоторых случаях решения задачи оценивания формулы (3.15) – (3.17) более предпочтительны, так как имеют простой вид и требуют меньшего числа операций для их вычисления.

В задаче оценивания ПВЗ по результатам радиотехнических траекторных измерений КА на интервале времени Т выражения (3.15) – (3.17) также образуют m строк матрицы коэффициентов A в СЛАУ (1.119). Выполнив описанный в 3. анализ этих выражений, приведем условия, при которых рассматриваемая динамическая система будет плохо наблюдаема и глобально не наблюдаема [42, 46]:

– НП расположен на экваторе или в области экватора, тогда – НП расположен на экваторе или в области экватора и орбита КА экваториальная (либо КА пересекает плоскость экватора), тогда – НП расположен на полюсе или в области полюса, тогда где xG и yG – топоцентрические координаты КА в земной системе;

– КА находится в зените или области зенита НП, тогда – КА и НП находятся в плоскости одного меридиана, тогда = 0;

– орбита КА экваториальная (либо КА пересекает плоскость экватора), тогда где xG и yG – геоцентрические координаты КА в земной системе;

– КА находится в области земных полюсов, тогда В заключение отметим, что в случае оценивания ПВЗ дифференциальные доплеровские измерения предпочтительнее прочих, так как при решении этой задачи они более информативны.