«Что такое математика? (Элементарный очерк идей и методов) Перевод с английского под редакцией А. Н. Колмогорова МЦНМО, 2000 УДК 51(07) К93 What is ББК 22.1 Mathematics? AN ELEMENTARY APPROACH TO IDEAS AND METHODS by ...»

Заметим прежде всего, что простейшие алгебраические операции соответствуют элементарным геометрическим построениям. Если даны два отрезка, длины которых равны a и b (измерение производится посредством «единичного» отрезка), то очень легко построить a + b, a b, ra (где r — рациональное число), и ab.

Чтобы построить a + b (рис. 27), мы проводим прямую линию и на ней откладываем циркулем отрезки OA = a и AB = b. Тогда OB = a + b.

Точно так же в случае a b мы откладываем OA = a и AB = b, но на этот раз откладываем b в сторону, противоположную той, в которую отложили a. Тогда OB = a b. Чтобы построить 3a, мы просто строим a + a + a;

аналогично поступаем, если нужно построить pa, где p — целое число.

Отрезок строится следующим приемом (рис. 28): на произвольной прямой откладываем OA = a и затем проводим другую прямую через точку O. На этой прямой откладываем произвольный отрезок OC = c и строим OD = 3c. Соединяем A и D прямой линией и проводим через точку C прямую, параллельную AD; пусть эта прямая пересекает OA = и OB =. Таким же образом можно вообще построить, где q — целое. Совершая эту операцию над отрезком pa, мы построим ra, где r = — какое угодно рациональное число.

Чтобы построить (рис. 29), откладываем OB = b и OA = a на стоb ронах произвольного угла с вершиной O и на стороне OB откладываем отрезок OD = 1. Через D проводим прямую, параллельную AB; пусть она пересекает OA в точке C. Тогда будем иметь: OC =. Построеb ние ab показано на рис. 30; здесь AD — прямая, проходящая через A и параллельная BC.

Из этих соображений вытекает, что «рациональные» алгебраические операции — сложение, вычитание, умножение и деление, — производимые над заданными величинами, могут быть выполнены посредством геометрических построений. Исходя из данных отрезков, измеряемых действительными числами a, b, c,..., мы можем, последовательно выполняя эти простые построения, построить любую величину, которая через a, b, c,... выражается рационально, т. е. с помощью лишь перечисленных выше четырех основных действий. Совокупность всех величин, которые таким образом могут быть получены из a, b, c,..., образует то, что называется числовым полем — множество чисел, обладающее тем свойством, что любая рациональная операция, совершенная над двумя (или более) элементами этого множества, приводит снова к элементу этого же множества. Мы напоминаем, что совокупность всех рациональных чисел, совокупность всех действительных чисел, совокупность всех комплексных Рис. 31. Построение a На произвольной прямой мы откладываем OA = a и AB = 1 (рис. 31).

Проводим, далее, окружность с диаметром OB и из точки A восставляем перпендикуляр к OB; пусть он пересекает окружность в точке C.

Угол C в треугольнике OBC прямой (согласно теореме, известной из элементарной геометрии: угол, вписанный в полуокружность, прямой).

§1 ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ

Значит, OCA = ABC, прямоугольные треугольники OAC и CAB подобны, и, полагая AC = x, мы получаем 2. Правильные многоугольники. Рассмотрим теперь несколько более сложные конструктивные задачи. Начнем с построения правильного десятиугольника. Предположим, что правильный десятиугольник вписан в круг радиуса 1 (рис. 32); обозначим его сторону через x. Так как центральный угол, под которым эта сторона x видна из центра круга, содержит 36, то остальные каждый по 72, и значит, пунктирная лиB треугольник OAB на два равнобедренных треугольника с равными боковыми сторонами длины x. Радиус круга, таким образом, составляется из отрезков x и 1 x.

Так как треугольник OAB подобен меньшему из двух треугольников, на которые Рис. 32. Правильный десятиугольник он разбивается, то мы получаем =.

Эта пропорция приводит к квадратному уравнению x2 + x 1 = 0, решение которого имеет вид x =. (Другое решение нас не интересует, так как оно соответствует отрицательному значению x.) Из полученной формулы ясно, что отрезок x может быть построен геометрически. Имея же отрезок x, мы сможем построить правильный десятиугольник, откладывая по окружности десять раз хорду x. Отсюда уже легко получить и правильный пятиугольник, соединяя вершины десятиугольника через одну.

Вместо того чтобы строить 5 тем методом, который указан на рис. 31, мы можем построить гипотенузу прямоугольного треугольника со сторонами и 2. Затем нужно отнять единичный отрезок и то, что получится, разделить пополам.

Отношение в рассмотренной задаче было названо «золотым», так как, по мнению греческих математиков, прямоугольник, стороны которого находятся в этом отношении, эстетически особенно приятен для глаза. Значение отношения приблизительно равно 1,62.

Из всех правильных многоугольников легче всего построить шестиугольник. Так как длина стороны такого шестиугольника, вписанного в круг, равна радиусу круга, то сам шестиугольник строится без заГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ гл. III труднений, если мы отложим шесть раз по окружности отрезок, равный радиусу.

Имея правильный n-угольник, можно сейчас же получить и правильный 2n-угольник, деля пополам дуги между соседними вершинами n-угольника. Начиная с диаметра круга (правильного вписанного «двуугольника»), мы построим последовательно 4, 8, 16,..., 2n -угольники. Таким же образом, начиная с шестиугольника, мы получим 12, 24, 48,...-угольники, а начиная с десятиугольника, — 20, 40,... -угольники.

Рис. 33. Правильный шести- Рис. 34. Удвоение числа сторон Если sn обозначает длину стороны правильного n-угольника, вписанного в единичный круг (т. е. круг с радиусом 1), то сторона правильного вписанного 2n-угольника будет иметь длину Доказывается это следующим образом (рис. 34): пусть sn = DE = 2DC, s2n = DB и AB = 2. Площадь прямоугольного треугольника ABD равна BD · AD, или, с другой стороны, AB · CD. Так как AD = AB 2 DB 2, то, подставляя AB = 2, BD = s2n, CD = sn и сравнивая между собой два выражения для площади, мы получаем Остается решить квадратное уравнение относительно x = s2 и при выборе корня принять во внимание, что x должно быть меньше 2. Из этой формулы, так как длина s4 (сторона квадрата) равна 2, следует, что

§1 ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ

В качестве общей формулы мы получаем (при n > 2) причем в правой части должно быть всего n 1 радикалов. Периметр 2n -угольника, вписанного в круг радиуса 1, равен 2n s2n. Когда n стремится к бесконечности, этот периметр в пределе переходит в длину окружности, по определению равную 2p:

Деля на два и подставляя m вместо n 1, мы получаем следующую формулу для p:

Упражнение. Пользуясь тем, что 2m, докажите, как следствие, что Резюмируем полученные здесь результаты таким образом: стороны вписанных в единичный круг правильных 2n -угольников, 5 · 2n -угольников и 3 · 2n -угольников вычисляются посредством рациональных операций — сложения, вычитания, умножения, деления — и операции извлечения квадратного корня; следовательно, они могут быть построены с помощью только циркуля и линейки.

3. Проблема Аполлония. Другая конструктивная проблема, решающаяся весьма просто, если подойти к ней с алгебраической точки зрения, — это знаменитая и уже упомянутая выше проблема Аполлония о проведении окружности, касательной к трем данным окружностям.

В настоящем контексте нам не представляется необходимым искать ее особенно элегантное решение. Нам существенно лишь установить принципиально важное положение: проблема Аполлония решается с помощью циркуля и линейки. Мы вкратце приведем соответствующее доказательство; вопрос же о наиболее элегантном построении будет разобран ниже (см. стр. 181).

Пусть центры трех данных окружностей имеют соответственно координаты (x1, y1 ), (x2, y2 ) и (x3, y3 ), а радиусы равны r1, r2 и r3. Обозначим координаты центра искомой окружности через (x, y), а радиус через r.

Легко написать условие касания двух окружностей, если учесть, что расстояние между центрами должно равняться сумме или разности радиусов, смотря по тому, имеет ли место внешнее или внутреннее касание.

Записывая в алгебраической форме три условия задачи, мы получаем три уравнения которые после преобразований принимают вид и т. п.

В каждом из уравнений нужно брать знак плюс или минус, в зависимости от того, каково касание — внешнее или внутреннее (рис. 35). Все уравнения (1), (2), (3) — второй степени относительно неизвестных x, y, r, но они обладают тем свойством, что члены второй степени входят в одинаковой комбинации, как видно из развернутой формы (1a). Таким образом, вычитая (2) из (1), мы получаем уравнение, линейное относительно x, y, r:

где a = 2(x2 x1 ) и т. д. Точно так же, вычитая (3) из (1), будем иметь другое линейное уравнение Решая уравнения (4) и (5) относительно неизвестных x и y, которые, таким образом, выразятся линейно через r, и затем подставляя в (1), придем к уравнению, квадратному относительно r, каковое может быть решено с помощью рациональных операций и извлечения корня (см. стр. 143). Это уравнение, вообще говоря, будет иметь два решения, из которых лишь одно будет положительным. Определив r, найдем дальше значения x и y, подставляя r в ранее полученные формулы.

Окружность с центром (x, y) и радиусом r должна быть касательной к трем данным окружностям. Во всей процедуре решения участвуют только рациональные операции и извлечение квадратного корня. Отсюда следует, что построение x, y и r может быть выполнено с помощью только циркуля и линейки.

В общем случае будет иметься 8 решений проблемы Аполлония в соответствии с возможными 2 · 2 · 2 = 8 комбинациями в выборе знаков + и в уравнениях (1), (2) и (3); выбор же знаков надлежит делать в зависимости от того, какого рода касание — внешнее или внутреннее — желательно иметь по отношению к каждой из данных окружностей.

Вполне возможно, что наша алгебраическая процедура не приведет к действительным значениям x, y и r. Таков будет, например, случай, когда все три данные окружности — концентрические; тогда, очевидно, наша геометрическая задача не будет иметь ни одного решения. Следует также предвидеть возможность и случаев «вырождения»; например, если все три окружности «вырождаются» в точки, лежащие на одной прямой, тогда аполлониева окружность тоже «вырождается» в эту самую прямую. Мы не видим необходимости рассматривать вопрос во всех подробностях: это сделает сам читатель, если обладает некоторыми алгебраическими навыками.

§ 2. Числа, допускающие построение, 1. Общая теория. В предыдущем изложении мы постарались охарактеризовать общий, так сказать, алгебраический фон геометрических построений. Каждое геометрическое построение представляет ряд последовательных этапов из числа следующих: 1) проведение прямой линии через две точки, 2) нахождение точки пересечения двух прямых, 3) проведение окружности с данным центром и радиусом, 4) нахождение точки пересечения окружности с другой окружностью или прямой линией. Элемент (точка, прямая, окружность) считается известным в том случае, если он задается условием задачи или если он построен на предыдущей стадии задачи. Проводя теоретический анализ задачи, мы относим всю рассматриваемую конструкцию к некоторой координатной системе x, y (см. стр. 92). Тогда заданные элементы изображаются в виде точек или отрезков в плоскости x, y. Если задан только один отрезок, его можно принять в качестве единичного, в результате чего фиксируется точка x = 1, y = 0. Иногда в процессе построения возникают произвольные элементы: проводятся произвольные прямые, строятся произвольные точки или круги. (Пример произвольного элемента мы имеем при нахождении середины отрезка: мы проводим два круга с центрами в концах отрезка и с одинаковыми, но произвольными радиусами, затем соединяем точки их пересечения.) В подобных случаях всегда можно считать произвольный элемент рациональным: произвольную точку можно выбрать так, чтобы у нее были рациональные координаты, произвольную прямую ax + by + c = 0 так, чтобы у нее были рациональные коэффициенты a, b, c, произвольный круг — так, чтобы рациональными были координаты центра и радиус. Мы условимся, что если в построении участвуют произвольные элементы, мы будем выбирать их рациональными: раз эти элементы в самом деле произвольны, такой выбор не повлияет на результат построения.

Ради простоты допустим в ближайшем рассуждении, что в условии задачи задается только один элемент — отрезок длины 1. Тогда в соответствии с результатами § 1 мы можем построить с помощью циркуля и линейки все числа, получающиеся из единицы посредством рациональных операций, т. е. рациональные числа, где r и s — целые числа. Система рациональных чисел «замкнута» по отношению к рациональным операциям: сумма, разность, произведение, частное (исключая, как всегда, деление на 0) двух рациональных чисел снова являются рациональными числами. Всякое множество чисел, обладающее таким свойством замкнутости по отношению к четырем рациональным операциям, мы назвали числовым полем (стр. 75).

Упражнение. Покажите, что каждое числовое поле во всяком случае содержит все рациональные числа. (Указание: если a есть какое-нибудь не равное нулю число из поля F, то = 1 также принадлежит к F, а из 1 можно получить все рациональные числа посредством рациональных операций.) Отправляясь от единицы, можно построить все рациональное числовое поле и, следовательно, все рациональные точки (т. е. точки, у которых обе координаты рациональны) в плоскости x, y. Дальше, с помощью циркуля можно построить новые, иррациональные числа вроде числа 2, которое, как мы знаем из главы II, § 2, находится уже за пределами рационального поля. Но построив 2, можно еще дальше с помощью «рациональных» построений (§ 1) получить все числа вида где a и b рациональные и, следовательно, сами допускают построение.

Можно также построить и числа вида где a, b, c, d — рациональные. Однако эти числа всегда можно написать в форме (1). В самом деле, где p и q рациональные. (Знаменатель c 2d2 отличен от нуля, так как из c2 2d2 0 следовало бы 2 =, что противоречит факту иррациоd нальности 2.) Точно так же гдеr и s рациональные. Итак, все, что мы можем построить исходя из 2, это числа вида (1), где a и b — произвольные рациональные числа.

Упражнение. Напишите в форме (1) числа Как показывает предшествующее рассуждение, числа (1) снова образуют поле. Это поле обширнее, чем поле рациональных чисел, и включает его как часть («подполе»). Но, конечно, новое поле менее обширно, чем поле всех действительных чисел. Обозначим через F0 поле рациональных чисел, а через F1 — поле чисел вида (1). Мы установили возможность построения каждого числа из «расширенного» поля F1.

Можно и дальше расширять область чисел, допускающих построение, например, таким образом: выберем число из поля F1, скажем k = 1 + 2, и, извлекая из него корень, получим новое допускающее построение Это число, в свою очередь, порождает (§ 1) поле, состоящее из всех чисел вида где p и q теперь уже числа из поля F1, т. е. вида a + b 2, где a, b из F0, т. е. рациональные.

Упражнение. Представьте числа в форме (2).

Все эти числа были построены в предположении, что первоначально был задан только один отрезок. Если задано два отрезка, то один из них можно принять за единичный. Предположим, что второй отрезок выражается через первый в виде числа a. Тогда можно построить поле G, состоящее из всех чисел вида где a0,..., am и b0,..., bn — рациональные, a m и n — произвольные целые положительные числа.

Упражнение. Считая заданными отрезки 1 и a, выполните построения для Будем исходить теперь из более общего предположения, что мы умеем строить все числа некоторого числового поля F. Убедимся, что применение одной линейки не выведет нас за пределы поля F. Уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами a1, b1 и a2, b2 из поля F, имеет вид (b1 b2 )x + (a2 a1 )y + (a1 b2 a2 b1 ) = 0 (см. стр. и далее); коэффициенты в этом уравнении рационально зависят от чисел из поля F и, следовательно, сами принадлежат полю F. Далее, если у нас имеются две прямые ax + by + g = 0 и a x + b y + g = 0 с коэффициентами из F, то координаты точки пересечения, получающиеся при решении системы этих уравнений, суть Так как и они тоже являются числами из F, то ясно, что применение одной только линейки не выведет нас за пределы F.

Упражнение. Прямые x + 2 y 1 = 0, 2x y + 2 = 0 имеют коэффициенты, принадлежащие полю (1). Вычислите коэффициенты точкиих пересечения и проверьте, что они также вида (1); соедините точки (1, 2) и ( 2, 1 2) прямой линией ax + by + c = 0 и проверьте, что коэффициенты a, b, c имеют вид (1). То же сделйте по отношению к полю (2) для прямых Но с помощью циркуля можно выбраться за пределы поля F. Для этой цели выберем в поле F такое число k, что число k уже не будет принадлежать F. Число k можно построить с помощью циркуля, так же как и все числа вида где a, b — произвольные числа из F. Сумма и разность двух таких чисел их произведение и их отношение — снова числа вида p + q k, где p и q принадлежат F. (Знаменатель c kd2 не обращается в нуль, так как c и d одновременно не обращаются в нуль: иначе мы получили бы k =, что противоречит допущению, что k не принадлежит F.) Итак, множество чисел вида a + b k образует некоторое поле F. Поле F включает поле F как «подполе»

(достаточно положить b = 0). Будем называть F «расширенным» полем.

В качестве примера рассмотрим поле F чисел вида a + b 2, где a, b рациональные: возьмем k = 2. Тогда числа расширенного поля F имеют вид p + q 4 2, где p и q принадлежат F, p = a + b 2, q = a + b 2, a числа a, b, a, b — рациональные. Всякое число из F может быть записано в этой форме, например, Упражнение. Пусть F есть поле p + q 2 + 2, где p, q — вида a + b 2, а числа a, b рациональные. Представьте в таком же виде.

Мы убедились, что, отправляясь от некоторого поля F чисел, допускающих построение, и выбрав произвольное число k из этого поля, мы можем с помощью циркуля и линейки построить число k, а значит, и все числа вида a + b k, где a, b принадлежат F.

Покажем теперь, обратно, что, пользуясь только циркулем, мы можем получить числа только указанного вида. В самом деле, в результате однократного применения циркуля можно сделать только одно из двух:

или найти точку пересечения окружности и прямой, или найти точку пересечения двух окружностей (то и другое равносильно построению координат точки пересечения). Окружность с центром (x, h) и радиусом r имеет уравнение (x x)2 + (y h)2 = r2 ; поэтому, если x, h, r принадлежат F, то уравнение окружности, записанное в виде будет иметь коэффициенты a, b, g, принадлежащие также F. Прямая линия соединяющая две точки с координатами F, имеет также коэффициенты из F (см. стр. 150). Исключая y из этих двух уравнений, мы получаем для координаты x точки пересечения окружности и прямой квадратное уравнение вида с коэффициентами A, B, C из F (именно, A = a2 + b2, B = 2(ac + b2 a abb), C = c2 2bcb + b2 g). Решение дается формулой которая имеет вид p + q k, где p, q, k принадлежат F. Такая же формула получается и для координаты y точки пересечения.

С другой стороны, если речь идет о двух окружностях то, вычитая одно уравнение из другого, мы получим линейное уравнение которое можно решить совместно с одним из уравнений двух окружностей.

В обоих случаях построение дает нам обе координаты одной или двух новых точек, и эти новые величины имеют вид p + q k, причем p, q, k принадлежат F. В частности, k может сам оказаться принадлежащим F, например, если k = 4. Но, вообще говоря, этого не будет.

Упражнение. Рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом 2 2 и прямую, соединяющую точки, 0, (4 2, 2). Определите поле F, порождаемое точками пересечения окружности и прямой. Сделайте то же по отношению к точкам пересечения данной окружности с окружностью, у которой радиус равен, а центр есть (0, 2 2).

Подведем еще раз итоги. Отправляясь от некоторых заданных величин (отрезков или чисел), с помощью одной только линейки мы можем построить все величины из поля F, порождаемого данными величинами с помощью рациональных операций, но не выйдем за пределы этого поля. Воспользовавшись циркулем, мы расширяем поле величин, допускающих построение, и получаем новое расширенное поле F, состоящее из чисел вида a + b k, где a, b, k принадлежат F. Поле F есть подполе поля F всякое число из F принадлежит также F, так как в формуле a + b k можно положить b = 0. (Предполагается, что k есть новое число, не принадлежащее F ; иначе F совпало бы с F.) Мы убедились, что в результате каждого геометрического построения (т. е.

проведения прямой через две известные точки; проведения окружности, имеющей известный центр и известный радиус; нахождения пересечения двух известных прямых или окружностей) или получаются величины, принадлежащие первоначальному полю, или же, при построении квадратного корня, открывается новое, расширенное поле величин, допускающих построение.

Мы теперь в состоянии точно охарактеризовать совокупность всех величин, допускающих построение с помощью только циркуля и линейки.

Будем исходить из некоторого поля F0, определяемого величинами, входящими в условие задачи; например, это будет поле рациональных чисел, если задан только один отрезок, выбираемый в качестве единичного.

Далее, «присоединяя» к полю величину k0, (где k0 принадлежит F0, но k0 ему не принадлежит), строим новое поле F1 чисел, допускающих построение вида a0 + b0 k0, где a0, b0 принадлежат F0. Еще дальше, посредством «присоединения» k1 (где k1 принадлежит F1, но k1 не принадлежит), получается новое поле F2 чисел вида a1 + b1 k1, где a и b1 принадлежат F1. Повторяя эту процедуру, приходим вообще к полю Fn после «присоединения» n квадратных корней. С помощью только циркуля и линейки допускают построение те и только те числа, которые после конечного числа «присоединений» описанного выше типа включаются в расширенное поле Fn. Число n необходимых «присоединений» не имеет особенно большого значения; но оно до некоторой степени характеризует, насколько сложна рассматриваемая проблема.

Иллюстрируем описанную процедуру следующим примером. Нужно построить число Пусть F0 — поле рациональных чисел. Полагая k0 = 2, получаем поле F1, содержащее число 1 + 2. Возьмем затем k1 = 1 + 2 и k2 = 3.

Число 3 содержится уже в начальном поле F0, значит, и подавно в поле F2, так что положить k2 = 3 вполне допустимо. Потом возьмем после этого поле F5 уже содержит интересующее нас число, так как 6 в нем содержится: действительно, 2 и 3, а следовательно, и их произведение, содержатся уже в F3, значит, и подавно — в F5.

Упражнение. Отправляясь от рационального поля, проверьте, что сторона правильного 2m -угольника (см. стр. 145) допускает построение (n = m 1). Проследите за тем, какова последовательность постепенно расширяемых полей. Сделайте то же самое с числами 2. Все числа, допускающие построение — алгебраические. Если начальное поле F0 есть рациональное поле (порождаемое единственным отрезком), то все числа, допускающие построение, принадлежат к числу алгебраических. (Определение алгебраических чисел было дано на стр. 123.) Именно, числа поля F1 являются корнями квадратных уравнений, числа поля F2 — корнями уравнений четвертой степени, и вообще, числа поля Fk — корнями уравнений степени 2k с рациональными коэффициентами. Докажем это сначала для поля 2, причем 1) — квадратное уравнение с коэффициентами из F1. Возведение в квадрат приводит к уравнению четвертой степени с рациональными коэффициентами.

В общем случае любое число поля F2 имеет вид где p, q, w принадлежат полю F1 и, значит, имеют вид p = a + b s, q = c + d s, w = e + f s, где a, b, c, d, e, f, s — рациональные числа. Из равенства (4) мы получаем причем все коэффициенты принадлежат полю F1, порождаемому величиной s. Поэтому последнее равенство можно переписать в виде где коэффициенты r, s, t, u, v — рациональные. Возводя в квадрат, получим уравнение четвертой степени с рациональными коэффициентами, как и требовалось.

Упражнения. 1) Постройте уравнения с рациональными коэффициентами для чисел 2) Постройте таким же образом уравнения восьмой степени для чисел Чтобы закончить доказательство теоремы в общем случае, когда x принадлежит полю Fk с произвольным индексом k, достаточно установить, как выше, что x удовлетворяет квадратному уравнению с коэффициентами из поля Fk1.

Затем, повторяя процедуру доказательства, убеждаемся, что x удовлетворяет уравнению степени 22 = 4 с коэффициентами из поля Fk2, и т. д.

Упражнение. Закончите это общее доказательство, применяя метод математической индукции: докажите, что x удовлетворяет уравнению степени 2l с коэффициентами из поля Fkl, 0 < l k. При l = k получается окончательный результат.

§3 НЕРАЗРЕШИМОСТЬ ТРЕХ КЛАССИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ

§ 3. Неразрешимость трех классических проблем 1. Удвоение куба. Теперь мы уже достаточно подготовлены к исследованию известных еще с древности проблем трисекции угла, удвоения куба и построения правильного семиугольника. Рассмотрим прежде всего проблему удвоения куба.

Если данный куб имеет ребро, равное единице, его объем будет равен кубической единице; требуется найти ребро x куба, объем которого вдвое больше. Итак, искомое ребро удовлетворяет простому кубическому уравнению Наше доказательство невозможности построения числа x с помощью только циркуля и линейки будет носить «косвенный» характер.

Допустим, что такое построение возможно. Тогда, согласно полученным выше результатам, число x должно принадлежать некоторому полю Fk, полученному так, как было объяснено раньше, — из рационального поля посредством последовательного «присоединения» квадратных корней.

Мы сейчас убедимся в том, что такое допущение приведет к противоречию.

Мы уже знаем, число x не может принадлежать рациональному полю F0, так как 3 2 есть число иррациональное (см. упражнение 1 на стр. 80). Значит, придется допустить, что оно принадлежит одному из расширенных полей Fk, где k — целое положительное число. Мы имеем право допустить, что k есть наименьшее из таких целых чисел, т. е. что x принадлежит Fk, но не принадлежат Fk1. Это значит, что x имеет вид где p, q и w принадлежат какому-то полю Fk1, но w ему не принадлежит. Основываясь, далее, на довольно простом алгебраическом рассуждении (подобные рассуждения приходится применять нередко), мы убедимся, что если p + q w есть решение уравнения (1), то y = p q w есть также его решение. Так как x принадлежит полю Fk, то x3 и x тоже принадлежат Fk и, значит, где a и b принадлежат Fk1. Нетрудно подсчитать, что a = p3 + 3pq 2 w 2, b = 3p2 q + q 3 w. Если положим Так как мы предположили, что x есть корень уравнения (1), то Но из последнего равенства следует (это основной момент рассуждения!), что оба числа a и b равны нулю. Действительно, если бы b было отлично от нуля, то из (3) получилось бы равенство w =, это проb тиворечит допущению, что w не принадлежит полю Fk1. Итак, b = 0, и тогда из (3) следует, что a = 0. Но раз мы установили, что a = b = 0, то уже из равенства (2 ) немедленно вытекает, что y = p q w есть решение уравнения (1), так как y 2 = 0. Далее y = x, т. е. x y = 0, так как число x y = 2q w могло бы обращаться в нуль только при q = 0, Мы установили, что если x = p + q w есть корень кубического уравнения (1), то y = p q w есть другой, не равный ему, корень того же уравнения. Но это немедленно приводят к противоречию: = p q w есть, очевидно, действительное число, так как числа p, q, w действительные, уравнение же (1) имеет только один действительный корень, а два — мнимых (см. стр. 119).

Наше первоначальное допущение привело к противоречию, значит, оно ошибочно; поэтому корень уравнения (1) не может принадлежать никакому полю Fk. Итак, удвоение куба с помощью только циркуля и линейки невозможно.

2. Одна теорема о кубических уравнениях. Заключительная часть только что приведенного алгебраического рассуждения была приспособлена к специальному уравнению, которым мы занимались. Но если мы хотим исследовать две другие проблемы древности, то желательно основываться на некоторой теореме общего характера. С алгебраической точки зрения все три проблемы связаны с решением кубического уравнения. Отлично известно, что если x1, x2, x3 — три корня кубического уравнения то они связаны между собой соотношением Рассмотрим кубическое уравнение (4), в котором коэффициенты a, b, c пусть будут рациональными числами. Может, конечно, случиться, что 1 Многочлен z 3 + az 2 + bz + c можно представить в виде произведения трех множителей (z x1 )(z x2 )(z x3 ), где x1, x2, x3 — корни уравнения (4) (см. стр. 122). Отсюда следует тождество и так как коэффициенты при одинаковых степенях должны быть равны между

§3 НЕРАЗРЕШИМОСТЬ ТРЕХ КЛАССИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ

один из корней уравнения есть рациональное число: например, уравнение x3 1 = 0 имеет один корень 1 — рациональный, тогда как два других, удовлетворяющих квадратному уравнению x2 + x + 1 = 0, — мнимые. Но мы сейчас докажем такую общую теорему: если кубическое уравнение с рациональными коэффициентами не имеет рациональных корней, то ни один из его корней не может быть построен с помощью циркуля и линейки, исходя из рационального поля F0.

Доказательство будем вести, как раньше, косвенным методом. Допустим, что число x, являющееся корнем уравнения (4), допускает построение. Тогда x должно принадлежать некоторому полю Fk, последнему в цепи постепенно расширяемых полей F0, F1,..., Fk.

Мы, как раньше, имеем право допустить, что никакой корень уравнения (4) не принадлежит полю Fk1. (Что k не есть нуль, следует как раз из условия теоремы: x не может быть рациональным числом.) Итак, x может быть записано в виде причем p, q, w принадлежат полю Fk1, но w не принадлежит Fk1. Такое же самое рассуждение, какое было проведено в предыдущем пункте, приводит к заключению, что число также принадлежащее Fk, является корнем уравнения (4). Мы видим, как раньше, что q = 0; значит, x = y.

Из равенства (5) мы теперь заключаем, что третий корень уравнения (4) дается формулой u = a x y. Но так как x + y = 2p, то, значит, Радикал w здесь исчез, так что оказывается, что u принадлежит полю Fk1. Это противоречит сделанному допущению, согласно которому k есть наименьшее целое число такое, что некоторое поле Fk содержит корень уравнения (4). Придется отвергнуть сделанное допущение, раз оно привело к противоречию, и признать, что ни один из корней уравнения (4) не принадлежит никакому полю Fk. Теорема доказана. На основании этой теоремы можно утверждать, что некоторое число не может быть построено с помощью только циркуля и линейки, как только установлено, что это число является корнем кубического уравнения с рациональными коэффициентами, не имеющего рациональных корней.

Теперь мы можем перейти к рассмотрению двух других проблем древности; заметим, что каждая из них облекается в алгебраическую форму не столь непосредственно, как уже рассмотренная.

3. Трисекция угла. Покажем, что трисекция угла с помощью только циркуля и линейки в общем случае невозможна. Конечно, существуют углы, например углы в 90 или в 180, для которых трисекция выполняется. Но мы должны показать, что не существует процедуры построения, пригодной для всякого угла. Так как общий метод должен был бы относиться ко всем углам, то наша цель будет достигнута, если мы укажем хотя бы один какой-нибудь угол, для которого трисекция невозможна. Итак, несуществование общего метода трисекции будет установлено, если мы убедимся, что, например, угол в 60 не может быть разделен на три равные части с помощью только циркуля и линейки.

Алгебраический эквивалент рассматриваемой проблемы можно получить разными способами; самый простой способ — считать, что угол j задан своим косинусом: cos j = g. Тогда проблема сводится к вычислеj нию величины x = cos. Интересующие нас косинусы связаны между собой простой тригонометрической формулой (см. стр. 118) Другими словами, проблема трисекции угла j (такого, что cos j = g) равносильна построению корня кубического уравнения Так как по предыдущему мы имеем право положить j = 60, g = cos 60 = =, то уравнение (6) принимает вид В силу теоремы, доказанной в предыдущем пункте, для нашей цели достаточно показать, что это уравнение не имеет рациональных корней.

Положим v = 2z; уравнение примет еще более простой вид Если бы существовало рациональное число v =, удовлетворяющее этоs му уравнению, где r и s — целые числа без общего множителя (> 1), то мы должны были бы иметь равенство r3 3s2 r = s3. Отсюда следовало бы, что число s3 r(r2 3s2 ) делится на r, и тогда получилось бы, что r и s имеют общий множитель, если только r не равно ±1. Совершенно так же мы заключили бы, что число r3 = s2 (s + 3r) делится на s2, а это значило бы, что r и s имеют общий множитель, если только s не равно ±1.

Но так как дробь по предположению несократима, то, значит, остается заключить, что числа r и s равны ±1, т. е. v = ±1. Но подставляя v = + и v = 1 в уравнение (8), мы видим, что в обоих случаях уравнение не

§3 НЕРАЗРЕШИМОСТЬ ТРЕХ КЛАССИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ

удовлетворяется. Итак, уравнение (8), а следовательно, и уравнение (7) не имеют рациональных корней; тем самым невозможность трисекции угла доказана.

Эта теорема доказана в предположении, что линейка рассматривается как инструмент, служащий для проведения прямой через две данные точки, и никак иначе. В самом деле, когда мы давали общую характеристику чисел, которые допускают построение, имелось в виду только такое употребление линейки. Если допустить иные приемы пользования линейкой, то совокупность выполнимых построений чрезвычайно расширяется. Хорошим примером является следующий метод трисекции угла, указываемый в сочинениях Архимеда.

Рис. 36. Прием трисекции угла, указанный Архимедом Пусть дан угол x (рис. 36). Продолжим горизонтальную сторону угла влево и затем проведем полукруг с центром O и произвольным радиусом r. Отметим на самой линейке такие точки A и B, что AB = r. Затем приведем линейку в такое положение, чтобы точка A линейки была на продолженной стороне угла, точка B на проведенном полукруге и вместе с тем линейка прошла бы через точку пересечения второй стороны угла с полукругом. В этом положении линейки проведем по ней прямую линию, образующую с продолженной стороной данного угла угол, который обозначим через y.

4. Правильный семиугольник. Перейдем теперь к проблеме построения стороны x правильного семиугольника, вписанного в единичный круг. Проще всего справиться с этой проблемой, если прибегнуть к комплексным числам (см. главу II, § 5). Мы знаем, что вершины правильного семиугольника служат корнями уравнения причем координаты x, y каждой вершины являются действительной и мнимой частями комплексного числа z = x + iy. Один из корней есть z = 1, а остальные удовлетворяют уравнению (см. стр. 120). Деля на z 3, получаем новое уравнение Простые алгебраические преобразования приводят его к виду Положив теперь мы приходим окончательно к уравнению третьей степени Мы знаем, что z, корень седьмой степени из единицы, дается формулой где f = есть угол, под которым из центра круга видна сторона семиугольника; кроме того, из упражнения 2 на стр. 118 следует, что = cos f i sin f, так что Если мы сумеем построить y, то сумеем построить и cos f, и обратно.

Итак, раз будет установлено, что величина y не может быть построена, то тем самым будет установлено, что не могут быть построены ни величина cos f, ни величина z; следовательно, невозможно будет построение семиугольника.

Таким образом, в силу теоремы пункта 2, остается показать, что уравнение (13) не имеет рациональных корней. Это тоже доказывается косвенным методом. Допустим, что уравнение (13) имеет рациональный корень, где r и s — целые числа без общих множителей. В таком случае должно удовлетворяться равенство отсюда ясно, что r делится на s, a s — на r. Так как r и s — взаимно простые числа, то отсюда следует, что каждое из них равно ±1. Значит, и y, если только это число рациональное, должно равняться или + или 1. Но подстановка в уравнение (13) показывает, что ни +1, ни не являются корнями уравнения. Итак, нельзя построить величины y, а следовательно, и стороны семиугольника.

5. Замечания по поводу квадратуры круга. Сравнительно элементарные методы позволили нам довести до конца исследование проблем удвоения куба, трисекции угла и построения правильного семиугольника. Но проблема квадратуры круга гораздо сложнее и требует

§4 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ИНВЕРСИЯ

техники математического анализа. Так как круг радиуса r имеет площадь pr2, то проблема построения квадрата, площадь которого равна площади круга с радиусом 1, равносильна построению числа p, равного стороне искомого квадрата. Число p допускает построение в том и только том случае, если допускает построение число p. Исходя из данной нами общей характеристики чисел, допускающих построение, мы установили бы неразрешимость проблемы квадратуры круга, если бы показали, что p не содержится ни в каком поле Fk, возникающем из поля рациональных чисел посредством последовательных присоединений квадратных корней. Так как все числа, принадлежащие таким полям, являются алгебраическими, т. е. удовлетворяющими алгебраическим уравнениям с целыми коэффициентами, то неразрешимость квадратуры круга была бы доказана, если бы было установлено, что число p не алгебраическое, а трансцендентное (см. стр. 124).

Технический аппарат, необходимый для доказательства трансцендентности числа p, был создан Шарлем Эрмитом (1822–1905), который доказал вместе с тем трансцендентность числа e. Несколько усовершенствовав метод Эрмита, Ф. Линдеман (в 1882 г.) сумел доказать трансцендентность числа p и тем самым окончательно исчерпал вопрос, остававшийся без ответа на протяжении тысячелетий. Доказательство Линдемана — вне пределов, намеченных для этой книги, хотя оно и по плечу учащемуся, несколько знакомому с математическим анализом.

Различные методы выполнения построений § 4. Геометрические преобразования. Инверсия 1. Общие замечания. В настоящей, второй части этой главы мы систематически рассмотрим некоторые общие принципы, которые могут быть приложены к конструктивным проблемам. Многие из этих проблем обозреваются гораздо легче, если смотреть на них с общей точки зрения «геометрических преобразований». Вместо того чтобы изучать отдельное построение, мы займемся сразу целым классом проблем, связанных между собой теми или иными процедурами преобразований. Способность бросать яркий свет на существо вещей, присущая идее класса геометрических преобразований, никоим образом не ограничена конструктивными проблемами, но имеет ближайшее отношение ко всей геометрии в целом. В главах IV новенного зеркального отражения отноРис. 37. Отражение точки от- сительно прямой линии.

носительно прямой Говоря о преобразовании (отображении) плоскости самой в себя, мы имеем в виду некоторое правило, сопоставляющее каждой точке P плоскости некоторую другую точку P той же плоскости. Точка P называется образом точки P, точка P — прообразом точки P. Простейший пример такого преобразования — зеркальное отражение (осевая симметрия) плоскости относительно данной прямой линии L: точка P по одну сторону L имеет своим образом ну L таким образом, что L является перпендикуляром к отрезку P P, восставленным из его середины. Преобразование может оставлять некоторые точки плоскости неподвижными; в нашем примере таковы точки самой O прямой L.

Дальнейшими примерами преобразоваC ний являются вращения плоскости относительно неподвижной точки O, затем параллельные переносы, перемещающие каждую Рис. 38. Инверсия точки точку в данном направлении на одно и то относительно окружности же расстояние (это преобразование не имеет неподвижных точек), и, наконец, в качестве несколько более общего примера следует назвать движения плоскости, которые можно представлять себе составленными из вращений и параллельных переносов.

Но в данный момент нас интересует иной, частный класс преобразований, — именно, инверсии относительно окружностей. (Иногда их называют круговыми отражениями, вследствие наличия приблизительного сходства с отражением в сферическом зеркале.) Пусть в неподвижной плоскости задана некоторая окружность C с центром O (называемым центром, или полюсом, инверсии) и радиусом r. Образ точки P опреГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ИНВЕРСИЯ деляется как точка P, лежащая на прямой OP по ту же сторону от O, что и P, и такая, что Из этого определения следует, что если P есть образ P, то и P есть (в данном преобразовании) образ P. Это дает право называть точки P и P взаимно обратными относительно окружности C. Инверсия превращает внутреннюю область окружности во внешнюю, и обратно: в самом деле, из неравенства OP < r следует неравенство OP > r и, напротив, из неравенства OP > r — неравенство OP < r. Неподвижными точками плоскости являются точки самой окружности C.

Правило (1) не определяет никакого образа для центра O. Но ясно, что когда движущаяся точка P приближается к O, ее образ P уходит неограниченно далеко. По этой причине иногда говорят, что при инверсии образом центра является бесконечно удаленная точка. Полезность этой терминологии вытекает из того обстоятельства, что она дает нам право утверждать, что инверсия устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми точками плоскости без исключения и их образами: каждая точка плоскости имеет один и только один образ и сама является образом одной и только одной точки. Отметим, что это последнее свойство принадлежит также и раньше приведенным примерам геометрических преобразований.

2. Свойства инверсии. Самое важное свойство инверсии заключается в том, что она преобразует прямые линии и окружности в прямые линии и окружности. Точнее, мы сейчас обнаружим, что в результате инверсии а) прямая, проходящая через O, становится прямой, проходящей через O, б) прямая, не проходящая через O, становится окружностью, проходящей через O, в) окружность, проходящая через O, становится прямой, не проходящей через O, г) окружность, не проходящая через O, становится окружностью, не проходящей через O.

Утверждение а) не требует доказательства, так как из самого определения инверсии ясно, что каждая точка на рассматриваемой прямой имеет в качестве образа другую точку на той же прямой, так что хотя отдельные точки на прямой перемещаются, но прямая в целом остается неизменной.

Докажем утверждение б). Из O опустим перпендикуляр на данную прямую L (рис. 39). Пусть A — основание этого перпендикуляра, A — точка, обратная точке A. Возьмем произвольную точку P на L окружность и является, следовательРис. 39. Инверсия прямой отно- но, образом прямой L. Итак, утверждение б) доказано. Утверждение в) слесительно окружности Остается доказать утверждение г). Пусть K — окружность, не проходящая через O, с центром M и радиусом k (рис. 40). Чтобы получить ее образ, проведем через O прямую, пересекающую K в точках A и B, и затем посмотрим, как изменяются образы A и B, когда направление прямой изменяется и она пересекает K самыми разнообразными споB собами. Обозначим расстояния OA, OB, OA, OB, OM через a, b, a, b, m, и пусть t есть длина касательной к K, проведенной из точки O.

По определению инверсии, мы имеем aa = bb = r2, а по элементарному геометрическому свойству окружности ab = t2. Если разделим первые равенства на второе, то получим

§4 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ИНВЕРСИЯ

где c2 зависит только от r и t и, значит, не зависит от положения точек A и B. Теперь проведем через A прямую, параллельную BM ; пусть Q есть точка ее пересечения с OM. Положим OQ = q, A Q = r. Тогда или же Это означает, что при всевозможных положениях A и B точка Q на прямой OM всегда будет одна и та же и что расстояние A Q также не будет меняться. Точно так же B Q = r, так как =. Итак, образаb a ми точек A и B на K будут точки, расстояния которых от Q равны постоянной величине r, т. е. образ K есть окружность. Утверждение г) доказано.

3. Геометрическое построеR ние обратных точек. Следующая теорема будет полезна в пункте 4 этого параграфа: точка P, быть построена геометрически с O помощью одного только циркуля.

Рассмотрим сначала тот случай, когда точка P находится вне окружS ности C. Радиусом OP опишем круговую дугу с центром P, пересекаРис. 41. Инверсия точки, внешющую C в точках R и S. Затем ней относительно окружности из этих точек как центров опишем круговые дуги радиусом r, равным радиусу круга C; эти дуги пересекутся в O и еще в точке P на прямой OP. В равнобедренных треугольниках ORP и ORP так что треугольники подобны, и потому Значит, P есть искомая точка P.

Если данная точка P лежит внутри C, то построение и доказательство остаются в силе, лишь бы окружность радиуса OP с центром P пересекала окружность C в двух точках. Если же пересечений не получается, то можно редуцировать построение к предыдущему случаю посредством следующего простого приема.

Прежде всего заметим, что на прямой, соединяющей две данные точки A и O, можно с помощью одного циркуля построить такую точку C, что AO = OC. Для этого достаточно провести окружность с центром O и радиусом r = AO. Затем, начиная от точки A, отметить последовательно на этой окружности такие точки P, Q, C, что AP = P Q = QC = r.

Тогда C есть как раз искомая точка: это ясно из того, что треугольники AOP, OP Q, OQC — равносторонние, так что угол между OA и OC содержит 180 и OC = OQ = AO. Повторяя указанную процедуру, мы имеем возможность отложить отрезок AO по прямой сколько угодно раз.

Кстати, так как длина отрезка AO равна r 3 (как читатель проверит без всякого труда), то нам удалось построить 3, исходя из единичного отрезка, не пользуясь линейкой.

Рис. 42. Удвоение отрезка Рис. 43. Инверсия точки, внутренней Теперь мы можем построить точку, обратную точке P относительно окружности C, как бы точка P ни была расположена внутри C. Прежде всего на прямой OP найдем такую точку R, что OR есть кратное OP, и вместе с тем R лежит уже вне C:

Для этого достаточно последовательно откладывать расстояние OP посредством циркуля, пока мы не выберемся из круга C. Затем с помощью уже известного построения найдем точку R, обратную точке R. Тогда будем иметь Останется построить точку P по условию OP = n · OR, и задача будет закончена.

4. Как разделить отрезок пополам и как найти центр данной окружности с помощью одного циркуля. После того как мы научились находить точку, обратную данной, можно с помощью одного циркуля выполнить дальнейшие интересные построения. Например, сейчас мы найдем середину отрезка, концы которого A и B заданы, с помощью

§5 ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ДРУГИХ ИНСТРУМЕНТОВ

одного циркуля — не проводя самого отрезка. Вот решение этой задачи.

Опишем окружность радиусом AB с центром B и на нем, отправляясь от A, как раньше, отмерим последовательно три дуги радиусом AB.

Последняя точка C будет лежать на прямой AB, причем мы будем иметь: AB = BC. Затем опишем окружность радиуса AB с центром A и построим точку C, чим:

Значит, C есть искомая середина Другое построение с помощью одного циркуля, также использующее обратные точки, заключается в нахождении центра данной окружности, когда начерчена только сама окружность, а центр неизвестен. Берем произвольную точку P на окружности и около нее как центра Рис. 45. Нахождение центра мы видели, построена с помощью одного циркуля.

§ 5. Построения с помощью других инструментов.

Построения Маскерони с помощью *1. Классическая конструкция, служащая для удвоения куба. Мы рассматривали до сих пор только проблемы геометрических построений без использования иных инструментов, кроме циркуля и линейки. Если допускаются и другие инструменты, то, разумеется, разнообраГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ гл. III зие возможных построений сильно увеличивается. Следующий пример может служить образцом того, как греки решали проблему удвоения куба. Рассмотрим (рис. 46) жесткий прямой угол M ZN и подвижной прямоугольный крест V W, P Q. Двум дополнительным стержням RS и T U предоставлена возможность скользить, оставаясь перпендикулярными к сторонам прямого угла. На кресте пусть выбраны фиксированные точки E и G, причем расстояния GB = a и BE = f заданы. Располагая крест таким образом, чтобы точки E и G соответственно лежали на N Z и M Z, и перемещая стержни T U и RS, можно весь аппарат привести в такое положение, чтобы лучевые перекладины креста BW, BQ, BV проходили через вершины A, D, E прямоугольника ADEZ. Указанное на чертеже расположение всегда возможно при условии f > a. Мы видим сразу, что a : x = x : y = y : f, откуда, в частности, если положено f = 2a, получается x3 = 2a3. Значит, x есть ребро куба, объем которого вдвое больше, чем объем куба с ребром a. Таким образом, поставленная задача

§5 ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ДРУГИХ ИНСТРУМЕНТОВ

решена.

2. Построения с помощью одного циркуля. Если вполне естественно, что с допущением большего разнообразия инструментов оказывается возможным решать более обширное множество задач на построение, то можно было бы предвидеть, что, напротив, при ограничениях, налагаемых на инструменты, класс разрешимых задач будет суживаться. Тем более замечательным нужно считать открытие, сделанное итальянцем Маскерони (1750–1800): все геометрические построения, выполнимые с помощью циркуля и линейки, могут быть выполнены с помощью одного только циркуля. Следует, конечно, оговорить, что провести на самом деле прямую линию через две данные точки без линейки невозможно, так что это основное построение не покрывается теорией Маскерони. Вместо того приходится считать, что прямая задана, если заданы две ее точки. Но с помощью одного лишь циркуля удается найти точку пересечения двух прямых, заданных таким образом, или точку пересечения прямой с окружностью.

Вероятно, простейшим примером построения Маскерони является удвоение данного отрезка AB. Решение было уже дано на стр. 166. Далее, на стр. 167 мы научились делить данный отрезок пополам. Посмотрим теперь, как разделить пополам дугу окружности AB с центром O.

Вот описание этого построения (рис. 47).

Радиусом AO проводим две дуги с центрами A и B. От точки O откладываем на этих дугах две такие дуги OP и OQ, что OP = OQ = AB. За- тем находим точку R пересечения дуB ги с центром P и радиусом P B и дуги с центром Q и радиусом QA. Наконец, опишем дугу с центром P или Q до пересечения с дугой AB — точка пеРис. 47. Нахождение середины дуресечения и является искомой сред- ги без линейки ней точкой дуги AB. Доказательство предоставляем читателю в качестве упражнения.

Было бы невозможно доказать основное утверждение Маскерони, указывая для каждого построения, выполнимого с помощью циркуля и линейки, как его можно выполнить с помощью одного циркуля: ведь возможных построений бесчисленное множество. Но мы достигнем той же цели, если установим, что каждое из следующих основных построений выполнимо с помощью одного циркуля:

1. Провести окружность, если заданы центр и радиус.

2. Найти точки пересечения двух окружностей.

3. Найти точки пересечения прямой и окружности.

4. Найти точку пересечения двух прямых.

Любое геометрическое построение (в обычном смысле, с допущением циркуля и линейки) составляется из выполнения конечной последовательности этих элементарных построений. Что первые два из них выполнимы с помощью одного циркуля, ясно непосредственно. Более трудные построения 3 и 4 выполняются с использованием свойств инверсии, рассмотренных в предыдущем пункте.

Рис. 48. Пересечение окружности Рис. 49. Пересечение окружнои прямой, не проходящей через сти и прямой, проходящей через Обратимся к построению 3: найдем точки пересечения данной окружности C с прямой, проходящей через данные точки A и B. Проведем дуги с центрами A и B и радиусами, соответственно равными AO и BO;

кроме точки O, они пересекутся в точке P. Затем построим точку Q, обратную точке P относительно окружности C (см. построение, описанное на стр. 167). Наконец, проведем окружность с центром Q и радиусом QO (она непременно пересечется с C): ее точки пересечения X и X с окружностью C и будут искомыми. Для доказательства достаточно установить, что каждая из точек X и X находится на одинаковых расстояниях от O и P (что касается точек A и B, то аналогичное их свойство сразу вытекает из построения). Действительно, достаточно сослаться на то обстоятельство, что точка, обратная точке Q, отстоит от точек X и X на расстояние, равное радиусу окружности C (см. стр. 165). Стоит отметить, что окружность, проходящая через точки X, X и O, является обратной прямой AB в инверсии относительно круга C, так как эта окружность и прямая AB пересекаются с C в одних и тех же точках.

(При инверсии точки основной окружности остаются неподвижными.)

§5 ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ДРУГИХ ИНСТРУМЕНТОВ

Указанное построение невыполнимо только в том случае, если прямая AB проходит через центр C. Но тогда точки пересечения могут быть найдены посредством построения, описанного на стр. 169, как середины дуг C, получающихся, когда мы проводим произвольную окружность с центром B, пересекающуюся с C в точках B1 и B2.

Метод проведения окружности, обратной прямой, соединяющей две данные точки, немедленно дает и построение, решающее задачу 4. Пусть прямые даны точками A, B и A, B (рис. 50). Проведем произвольную окружность C и с помощью указанного выше метода построим окружности, обратные прямым AB и A B. Эти окружности пересекаются в точке O и еще в одной точке Y. Точка X, обратная точке Y, и есть искомая точка пересечения: как ее построить — уже было разъяснено выше. Что X есть искомая точка, это ясно из того факта, что Y есть единственная принадлежащей обеим прямым AB и A B ; следовательно, точка X, обратная Y, должна лежать одновре- X   Этими двумя построениями заканчивается доказательство эквива- Рис. 50. Пересечение двух прямых лентности между построениями Маскерони, при которых разрешается пользоваться только циркулем, и обыкновенными геометрическими построениями с циркулем и линейкой.

Мы не заботились об изяществе решения отдельных проблем, нами здесь рассмотренных, так как нашей целью было выяснить внутренний точке F, являющейся серединой дуги BC (см. стр. 169). Затем радиусом, равным радиусу K, опишем дуги с центром F, пересекающиеся с K в точках G и H. Пусть Y есть точка, расстояния которой от точек G и H равны OX и которая отделена от X центром O. В таком случае отрезок AY как раз и есть сторона искомого пятиугольника. Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения. Интересно отметить, что при построении используются только три различных радиуса.

В 1928 г. датский математик Ельмслев нашел в книжной лавке в Копенгагене экземпляр книги под названием Euclides Danicus, опубликованной в 1672 г. никому не известным автором Г. Мором. По титульному листу можно было сделать заключение, что это — просто один из вариантов евклидовых «Начал», снабженный, может быть, редакторским комментарием. Но при внимательном рассмотрении оказалось, что в ней содержится полное решение проблемы Маскерони, найденное задолго до Маскерони.

Упражнения. В дальнейшем дается описание построений Мора. Проверьте их правильность. Почему можно утверждать, что они решают проблему Маскерони?

1) К отрезку AB длины p восставите перпендикуляр BC. (Указание: продолжите AB до точки D таким образом, что AB = BD. Проведите произвольным радиусом дуги с центрами A и D и таким образом определите C.) 2) В плоскости даны как угодно расположенные отрезки длины p и q, причем p > q. Постройте с помощью 1) отрезок длины x = p2 q 2.

3) По заданному отрезку a постройте отрезок a 2. (Указание: обратите внимание, что (a 2) = (a 3) a 4) По данным отрезкам p и q постройте отрезок x = p2 + q 2. (Указание:

примите во внимание, что x2 = 2p2 (p2 q 2 ).) Придумайте сами аналогичные построения.

5) Пользуясь предыдущими результатами, постройте отрезки p + q и p q, предполагая, что отрезки длины p и q заданы как-то на плоскости.

6) Проверьте и постарайтесь обосновать следующее построение середины M данного отрезка AB длины a. На продолжении отрезка AB найдем такие точки C и D, что CA = AB = BD. Построим равносторонний треугольник ECD согласно условию EC = ED = 2a и определим M как пересечение окружностей с диаметрами EC и ED.

7) Найдите прямоугольную проекцию точки A на отрезок BC.

8) Найдите x по условию x : a = p : q, где a, p и q — данные отрезки.

9) Найдите x = ab, где a и b — данные отрезки.

Вдохновляясь результатами Маскерони, Якоб Штейнер (1796–1863) предпринял попытку исследования построений, выполнимых с помощью одной только линейки. Конечно, одна только линейка не выводит за

§5 ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ДРУГИХ ИНСТРУМЕНТОВ

пределы данного числового поля, и потому она недостаточна для выполнения всех геометрических построений в классическом их понимании.

Но тем более замечательны результаты, полученные Штейнером при введенном им ограничении — пользоваться циркулем только один раз.

Он доказал, что все построения на плоскости, выполнимые с помощью циркуля и линейки, выполнимы также с помощью одной линейки при условии, что задан единственный неподвижный круг вместе с центром.

Эти построения подразумевают применение проективных методов и будут описаны позднее (см. стр. 217).

* Без круга, и притом с центром, обойтись нельзя. Например, если дан круг, но не указан его центр, то найти центр с помощью одной линейки невозможно. Мы сейчас докажем это, ссылаясь, однако, на факт, который будет установлен позднее (см. стр. 240): существует такое преобразование плоскости самой в себя, что а) заданная окружность остается неподвижной, б) всякая прямая линия переходит в прямую, в) центр неподвижной окружности не остается неподвижным, а смещается. Само существование такого преобразования свидетельствует о невозможности построить центр данной окружности, пользуясь одной линейкой. В самом деле, какова бы ни была процедура построения, она сводится к ряду отдельных этапов, заключающихся в проведении прямых линий и нахождении их пересечений друг с другом или с данной окружностью.

Представим себе теперь, что вся фигура в целом — окружность и все прямые, проведенные по линейке при выполнении построения центра — подвергнута преобразованию, существование которого мы здесь допустили. Тогда ясно, что фигура, полученная после преобразования, также удовлетворяла бы всем требованиям построения; но указываемое этой фигурой построение приводило бы к точке, отличной от центра данной окружности. Значит, построение, о котором идет речь, невозможно.

3. Черчение с помощью различных механических приспособлений. Механические кривые. Циклоиды. Изобретение различных механизмов, предназначенных для того, чтобы чертить различные кривые, помимо окружности и прямой линии, чрезвычайно расширяет область фигур, допускающих построение. Например, если имеется инструмент, позволяющий чертить гиперболы xy = k, и другой инструмент, вычерчивающий параболы y = ax2 + bx + c, то любая проблема, приводящая к кубическому уравнению может быть решена конструктивно, с помощью только этих инструментов. В самом деле, решение уравнения (1) равносильно решению системы точнее, корни уравнения (1) являются x-координатами точек пересечения гиперболы и параболы, представляемых уравнениями (2). Таким Рис. 52. Графическое решение кубического уравнения образом, решения уравнения (1) допускают построение, если разрешается пользоваться инструментами, с помощью которых можно начертить Уже математикам древности были известны многие интересные кривые, которые могут быть определены и начерчены с помощью простых механических приспособлений. Среди таких «механических»

кривых особенно видное место занимают циклоиды. Птолемей (около года до нашей эры), обнаруживая необычайную проницательность, сумел использовать эти кривые для описания планетных движений.

Циклоида самого простого вида представляет собой траекторию движения точки P, фиксированной на окружности диска, катящегося без скольжения по прямой линии. На рис. 53 изображены четыре положения точки P в различные моменты времени. По форме циклоида напоминает ряд арок, опирающихся на горизонтальную прямую.

Разновидности этой кривой получаются, если возьмем точку P или внутри диска (как на спице колеса), или на продолжении радиуса за пределы диска.

§5 ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ДРУГИХ ИНСТРУМЕНТОВ

Эти две кривые показаны на рис. 54.

Дальнейшие разновидности циклоиды возникают, когда наш диск катится не по прямой, а по дуге окружности. Если при этом катящийся диск с радиусом r остается все время касающимся изнутри той большой окружности C радиуса R, по которой он катится, то траектория точки, фиксированной на окружности диска, называется гипоциклоидой.

Рис. 55. Трехрогая гипоциклои- Рис. 56. Прямолинейное двида жение при качении круга по Когда диск прокатывается по всей окружности C ровно один раз, то точка P возвращается в исходное положение только в том случае, если радиус C является кратным радиуса c. На рис. 55 изображена замкнутая гипоциклоида, соответствующая предположению R = 3r. В более общем случае, если R = r, то гипоциклоида замкнется после того, как диск c прокатится по окружности C ровно n раз, и будет состоять из m арок.

Заслуживает особого упоминания случай R = 2r. Любая точка P на окружности диска будет описывать в этом случае один из диаметров большой окружности C (рис. 56). Предоставляем читателю доказать это в качестве задачи.

Еще один тип циклоид получается, когда диск c катится по окружности C, касаясь ее все время извне. Получающиеся при этом кривые носят название эпициклоид.

*4. Шарнирные механизмы. Инверсоры Поселье и Гарта.

Оставим на время в стороне вопрос о циклоидах (они появятся еще раз в этой книге — довольно неожиданно) и обратимся к иным методам механического воспроизведения кривых линий. Мы займемся сейчас шарнирными механизмами.

Механизм этого типа представляет собой систему сочлененных между собой твердых стержней, обладающих такой степенью свободы, чтобы каждая его точка была способна описывать определенную кривую. Циркуль также является простейшим шарнирным механизмом, по существу состоящим из одного стержня с закрепленным концом.

Рис. 57. Преобразование прямолинейного движения во вращательное Шарнирные механизмы издавна находят себе применение как составные части машин. Одним из самых знаменитых (в историческом отношении) примеров является так называемый «параллелограмм Уатта». Это приспособление было изобретено Джемсом Уаттом при решении следующей проблемы: как связать поршень с точкой махового колеса таким образом, чтобы вращение колеса сообщало поршню прямолинейное движение? Решение, данное Уаттом, было лишь приближенным, и, несмотря на усилия многих первоклассных математиков, проблема конструирования механизма, сообщающего точке в точности прямолинейПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ДРУГИХ ИНСТРУМЕНТОВ ное движение, долгое время оставалась нерешенной. Было даже сделано предположение, что такой механизм неосуществим: это было как раз тогда, когда всякого рода «доказательства невозможности» привлекли к себе всеобщее внимание. Тем большее изумление было вызвано в кругах математиков, когда французский морской офицер Поселье (в 1864 г.) все же изобрел несложный механизм, действительно разрешающий проблему в положительном смысле. В связи с введением в употребление хорошо действующих смазочных веществ техническая проблема потеряла свое значение для паровых машин.

Рис. 58. Инверсор Поселье, преобразующий вращательное движение Назначение механизма Поселье заключается в том, чтобы превращать круговое движение в прямолинейное. В основе этого механизма лежит теория инверсии, изложенная в § 4. Как видно из рис. 58, механизм состоит из семи жестких стержней, два из них — длины t, четыре — длины s и один — произвольной длины. Точки O и R закреплены и расположены таким образом, что OR = P R. Весь аппарат может быть приведен в движение, будучи подчинен указанным условиям. Мы сейчас убедимся, что, когда точка P описывает дугу окружности с центром R и радиусом RP, точка Q описывает прямолинейный отрезок. Обозначая основание перпендикуляра, опущенного из точки S на прямую OP Q, через T, мы замечаем, что Величина t2 s2 постоянная; положим t2 s2 = r2. Так как OP · OQ = r2, то точки P и Q взаимно обратные относительно окружности с центром O и радиусом r. В то время как P описывает дугу окружности, проходящей через O, Q описывает кривую, обратную этой дуге. Но кривая, обратная окружности, проходящей через O, есть, как мы видели, не что иное, как прямая линия. Итак, траектория точки Q есть прямая, и инверсор Поселье чертит эту прямую без линейки.

Другой механизм, решающий ту же проблему, есть инверсор Гарта.

Он состоит всего лишь из пяти стержней, сочленение которых показано на рис. 59. Здесь AB = CD, BC = AD. Через O, P и Q обозначены точки, соответственно зафиксированные на стержнях AB, AD и CB, притом на плоскости неподвижно, с соблюдением условия OS = P S. Больше связей нет, и механизм способен двигаться. Очевидно, прямая AC всегда параллельна прямой BD. В таком случае точки O, P и Q лежат на одной прямой, и прямая OP параллельна прямой AC. Проведем перпендикуляры AE и CF к прямой BD. Мы имеем Но ED2 + AE 2 = AD2 и EB 2 + AE 2 = AB 2. Значит, ED2 EB 2 = AD2 AB 2. Далее, Следовательно, Последняя полученная величина не изменяется при движении механизма. Поэтому точки P и Q являются взаимно обратными относительно некоторого круга с центром O. При движении механизма точка P описывает окружность с центром S, проходящую через O; значит, обратная точка Q описывает прямую линию.

Можно построить — по крайней мере теоретически — другие шарнирные механизмы, которые будут чертить эллипсы, гиперболы и даже любую наперед заданную алгебраическую кривую f (x, y) = 0, какова бы ни была ее степень.

§ 6. Еще об инверсии и ее применениях 1. Инвариантность углов. Семейства окружностей. Хотя круговая инверсия есть преобразование, довольно резко меняющее внешний вид геометрических фигур, все же весьма замечательным является то обстоятельство, что вновь получаемые фигуры сохраняют некоторые свойства первоначальных фигур. Эти свойства, не теряющиеся при преобразовании, называются инвариантными. Мы уже знаем, что при инверсии окружность или прямая переходит в окружность или прямую. Прибавим теперь еще одно важное свойство инверсии: угол между двумя прямыми или кривыми при инверсии не изменяется.

Говоря подробнее, это означает, что инверсия преобразовывает две пересекающиеся кривые в две другие кривые, которые пересекаются под тем же углом. Под углом между кривыми подразумевается угол между их касательными.

Рис. 60. Инвариантность углов при инверсии Доказательство получается при рассмотрении рис. 60, где имеется в виду частный случай пересечения в точке P произвольной кривой C с прямолинейным отрезком OL, проведенным из центра инверсии O.

Кривая C, обратная кривой C, пересекается с OL в точке P, обратной P, так как P, так же как и P, лежит на OL. Покажем, что угол x между OL и касательной к C в точке P по величине равен углу y между OL и касательной к C в точке P. Для этого возьмем точку A на кривой C вблизи P и проведем секущую AP.

Точка, обратная A, есть A ; так как она находится на прямой OA и на кривой C, то является их точкой пересечения. Проведем также секущую A P. По определению инверсии, r2 = OP · OP = OA · OA, или т. е. треугольники OAP и OA P подобны. Значит, угол x равен углу OA P, который мы обозначим через y. Последний шаг в нашем рассуждении заключается в том, чтобы заставить точку A приближаться по кривой C к точке P. При этом секущая AP переходит в касательную к кривой C в точке P, и угол x стремится к x0. В то же время A будет приближаться к P и прямая A P перейдет в касательную к кривой C в точке P, а угол y будет стремиться к y0. Так как при всяком положении точки A мы имеем равенство x = y, то оно сохранится и в пределе x0 = y0.

Наше доказательство еще не закончено, так как мы рассмотрели пока только случай пересечения кривой C с прямой, проходящей через центр O. Но рассмотреть общий случай пересечения двух произвольных кривых C и C теперь уже совсем легко. Пусть эти кривые пересекаются в точке P и образуют между собой угол z. Тогда прямая OP P делит этот угол на два угла, из которых каждый в отдельности не изменяется при инверсии.

Следовало бы оговорить, что, хотя инверсия не изменяет величины угла, она, однако, изменяет направление его отсчета: если вообразим, что при постоянном увеличении угла x0 одна сторона его неподвижна, а другая вращается против часовой стрелки, то подвижная сторона соответствующего «обратного» угла вращается по часовой стрелке.

Частным следствием инвариантности углов при инверсии является то, что две ортогональные (т. е. пересекающиеся под прямым углом) окружности или прямые после инверсии сохраняют это свойство, и если две окружности взаимно касаются («пересекаются под углом, равным нулю»), то касаются и обратные им окружности.

Рассмотрим семейство окружностей, проходящих через центр инверсии O и еще через одну и ту же неподвижную точку плоскости A. Мы знаем (§ 4, пункт 2), что это семейство преобразуется в семейство прямых, проходящих через точку A, являющуюся образом A. В то же время семейство окружностей, ортогональных первоначальному семейству, превращается в семейство окружностей, ортогональных упомянутому семейству прямых. (На рис. 61 ортогональные семейства изображены пунктиром.) Внешне семейство прямых, проходящих через одну и ту же точку, мало напоминает семейство окружностей, но эти семейства связаны теснейшим образом — с точки зрения теории инверсии они, так сказать, вполне эквивалентны.

Вот другой пример того, к каким результатам приводит инверсия.

Пусть дано семейство окружностей, проходящих через центр инверсии и имеющих в этой точке общую касательную. После инверсии получается семейство параллельных прямых. Действительно, так как окружности проходят через O, то они превращаются в прямые, и так как окружности не имеют точек пересечения кроме O, то получаемые прямые параллельны.

Рис. 61. Преобразование двух систем ортогональных окружностей с помощью инверсии Рис. 62. Преобразование касающихся окружностей в 2. Применение к проблеме Аполлония. Прекрасной иллюстрацией того, насколько полезна теория инверсии, является следующее простое геометрическое решение проблемы Аполлония. При инверсии отноГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ гл. III сительно какого бы то ни было центра проблема Аполлония для трех данных окружностей трансформируется в соответствующую проблему для трех других окружностей: пусть читатель внимательно продумает, почему это так.

Отсюда легко понять, что если проблема решена для некоторой тройки окружностей, то тем самым ее можно считать решенной и для всякой тройки окружностей, которая из первой тройки может быть получена путем инверсии. Мы сумеем использовать это обстоятельство, выбирая из всевозможных «эквивалентных» троек такую, для которой проблема решается особенно просто.

Рис. 63. Подготовка построения, решающего проблему Аполлония Предположим для определенности, что три данные окружности с центрами A, B, C взаимно не пересекаются и лежат каждая вне двух других, и допустим, что речь идет о нахождении окружности U с центром O и радиусом r, касающейся трех данных окружностей внешним произведем инверсию всей фигуры относительно какой-нибудь окружности с центром K. Окружности с центрами B и C станут параллельными прямыми b и c, а третья окружность превратится в некоторую окружность a (рис. 64). Мы уже знаем, что a, b, c могут быть построены с помощью циркуля и линейки. Что касается искомой окружности U, то она преобразуется в окружность u, касающуюся прямых b, c и окружности a. Ее радиус r, очевидно, должен равняться половине расстояния между прямыми b и c; центр же ее O должен совпадать с одной из точек пересечения средней линии между b и c с окруж-       имеющей радиус на r больший. Остается применить обратную инверсию к окружности u, и тогда получим искомую аполлониеву окружность U.

из нас приходилось наблюдать странные явления отражения, возникающие, если имеется более одного зеркала. Если четыре стены Рис. 65. Повторное отрапрямоугольной комнаты представляют собой жение относительно прямолинейных стен идеальные зеркала, ни в малой степени не поглощающие света, то находящаяся в этой комнате освещенная точка создает бесконечное множество отражений, по одному на каждую из прямоугольных комнат, возникающих из первой посредством отражений (рис. 65). При менее правильной форме соединения зеркал, например при трех зеркалах, создается более сложная система отражений. Получающуюся Рис. 66. Правильные системы треугольных зеркал конфигурацию легко описать только в том случае, если отраженные треугольники, не перекрывая друг друга, полностью покрывают плоскость.

Таким свойством обладают только прямоугольный равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник и прямоугольный треугольник, представляющий собою половину равностороннего (рис. 66).

Еще более курьезные обстоятельства возникают, если мы станем рассматривать повторные инверсии относительно пары окружностей.

Поместившись между двумя концентрическими сферическими зерГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ гл. III калами, мы увидали бы бесчисленное множество концентрических центра. Случай двух окружностей, расположенных одна вне другой, несколько сложнее: окружности и их отражения последовательно отражаются одна отражения и теснясь к двум предельным точкам, по одной в каждой из данных окружностей. (Эти точки обладают Рис. 67. Повторное отраже- свойством взаимной обратности относиние относительно двух сферительно каждой из данных окружностей.) взглянув на узор, изображенный на рис. 68.

Рис. 68. Отражение относительно трех сферических зеркал

ГЛАВА IV

Проективная геометрия. Аксиоматика.

1. Классификация геометрических свойств. Инвариантность при преобразованиях. В геометрии рассматриваются свойства фигур на плоскости и в пространстве. Эти свойства столь многочисленны и столь разнообразны, что необходим какой-то принцип классификации для того, чтобы внести порядок в обширное собрание накопленных знаний. Можно было бы, например, положить в основу классификации метод, применяемый при выводе получаемых утверждений. С этой точки зрения обыкновенно различаются «синтетические»

и «аналитические» процедуры. Синтетические доказательства существенно связаны с классическим аксиоматическим методом, идущим от Евклида: рассуждение строится на чисто геометрической основе, независимо от средств алгебры и концепции числового континуума, и все теоремы выводятся формально логическим путем, исходя из некоторого числа начальных положений, называемых аксиомами или постулатами.

Другой метод подразумевает введение числовой координатной системы и использует технический аппарат алгебры. Этот метод произвел глубокие изменения в самой математической науке, слив в одно органическое целое геометрию, анализ и алгебру.

В этой главе, однако, нас будет интересовать не столько классификация методов, сколько классификации содержания, т. е. сами по себе утверждения теорем, а не способы их доказательства. В элементарной геометрии плоскости резко различаются две группы теорем; в одних идет речь о равенстве фигур, об измерении отрезков и углов, в других — о подобии фигур, для которого существенно измерение углов, но не отрезков. Указанное различие не столь уж существенно, так как длины отрезков и величины углов довольно тесно связаны между собой и разделять их — несколько искусственно. (Изучение этой связи составляет главным образом предмет тригонометрии.) Отметим иную сторону дела. В элементарной геометрии мы имеем дело с величинами:

отрезками, углами, площадями. Две фигуры там считаются эквивалентПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА гл. IV ными, если они конгруэнтны, т. е. могут быть переведены одна в другую посредством движения — преобразования, меняющего только положение фигуры, но не числовые значения величин, с ней связанных. Возникает вопрос: является ли значение величин — и вместе с тем конгруэнтность или подобие фигур — чем-то существенно неизменным в геометрии? Или же имеются иные, более глубоко лежащие свойства геометрических фигур, которые сохраняются также и при преобразованиях более общего типа, чем движения? Мы увидим, что такие свойства существуют.

Представим себе, что на прямоугольной доске, изготовленной из мягкого эластичного материала, нарисован круг с парой взаимно перпендикулярных диаметров (рис. 69). Если мы положим эту доску в тиски и сожмем до половины ее первоначальной ширины, то окружность превратится в эллипс и углы между диаметрами уже не будут прямыми.

Окружность обладает тем свойством, что все ее точки находятся на одном и том же расстоянии от центра, но эллипс таким свойством не обладает. Могло бы показаться, что сжатие уничтожает все геометрические свойства первоначальной конфигурации. Но и это предположение далеко от истины: например, утверждение, что центр делит диаметры пополам, одинаково справедливо и для окружности, и для эллипса; в данном случае мы встречаемся с таким свойством фигуры, которое сохраняется при весьма резком изменении в размерах ее отдельных элементов. Сделанные замечания наводят на мысль о возможности классифицировать теоремы, относящиеся к той или иной геометрической фигуре, в зависимости от того, сохраняют ли они силу или теряют ее при равномерном сжатии (или растяжении). Можно поставить и более общий вопрос, исходя из некоторого данного класса преобразований фигуры (такого рода классы, например, порождаются совокупностью всех движений, или сжатий, или, скажем, круговых инверсий и т. д.); можно поинтересоваться тем, какие свойства фигуры остаются неизменными, когда фигура подвергается различным преобразованиям данного класса.

Система теорем, утверждающих такие свойства, составляет геометрию рассматриваемого класса преобразований. Идея классификации различных отраслей геометрии в соответствии с классами преобразований принадлежит Феликсу Клейну (1849–1925); она была высказана им в 1872 г.

в его знаменитом выступлении, получившем широкую известность под названием «Эрлангенской программы». С тех пор эта идея оказала решающее влияние на направление многих геометрических исследований.

В главе V нам представится случай установить весьма удивительное обстоятельство, заключающееся в том, что некоторые свойства геометрических фигур заложены настолько глубоко, что не исчезают даже после совершенно произвольных деформаций: так, фигуры, нарисованные на куске резины, не потеряют кое-каких характеристических черт при самых разнообразных и самых резких деформациях. Но в настоящей главе мы займемся теми свойствами, которые сохраняются, «инвариантны» при некотором специальном классе преобразований, более широком, чем весьма ограниченный класс движений, но более узком, чем самый общий класс произвольных деформаций. Мы говорим о классе «проективных преобразований».

2. Проективные преобразования. Изучение относящихся сюда геометрических свойств было выдвинуто перед математиками в давнее время проблемами перспективы, которые изучались художниками, в том числе Леонардо да Винчи и Альбрехтом Дюрером. Изображение, создаваемое художником, следует рассматривать как проекцию оригинала на плоскость картины, причем центр проекции помещается в глазу художника. При проектировании — в зависимости от относительных положений различных изображаемых объектов — длины отрезков и углы неизбежно подвергаются искажениям. И тем не менее на картине обычно не представляет труда распознать геометрическую структуру оригинала. Как объяснить это обстоятельство? Нельзя объяснить иначе, как указав на наличие геометрических свойств, «инвариантных относительно проектирования»,— свойств, сохраняющихся на картине и делающих возможным узнавание нарисованного оригинала. Отыскание и анализ этих свойств составляют предмет проективной геометрии.

Совершенно ясно, что в этой отрасли геометрии не содержится положительных утверждений, относящихся к длинам отдельных отрезков или к величинам отдельных углов; не идет речь и о равенстве фигур.

Некоторые изолированные факты, касающиеся проективных свойств, были известны уже в XVII в., а иногда, как в случае «теоремы Менелая», даже в древности. Но систематические исследования в области проективной геометрии развернулись впервые лишь к концу XVIII столетия, когда знаменитая Ecole Polytechnique в Париже открыла новую страницу в истории математики, в частности геометрии. Эта школа, созданПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА гл. IV ная Французской революцией, подготовила большое число офицеров, оказавших на военной службе выдающиеся услуги своей республике.

В числе ее питомцев был Жан-Виктор Понселе (1788–1867), написавший свой «Трактат о проективных свойствах фигур» в 1813 г., будучи в плену в России.

В XIX в. под влиянием Штейнера, Штаудта, Шаля и других проективная геометрия стала одним из излюбленных предметов математических исследований. Своей популярностью она обязана отчасти присущей ей особенной эстетической привлекательности, отчасти же способности проливать свет на геометрическую науку в целом, а также глубокой внутренней связи с неевклидовой геометрией и с алгеброй.

§ 2. Основные понятия 1. Группа проективных преобразований. Прежде всего определим класс, или «группу»1, проективных преобразований. Пусть в пространстве заданы две плоскости p и p, параллельные или непараллельные между собой. Мы выполняем центральную проекцию p на p с данным центром O, не лежащим ни на p, ни на p, сопоставляя каждой точке P плоскости p такую точку P плоскости p, что P и P лежат на одной и той же прямой, проходящей через O. Аналогично мы выполняем подобным же образом параллельную проекцию, предполагая, что проектирующие прямые параллельны между собой. Точно так же определяется проекция прямой или кривой линии l в плоскости p на некоторую линию l в плоскости p, причем и в этом случае проекция может быть центральной или параллельной.

Всякое отображение одной фигуры на другую, получающееся посредством проектирования (центрального или параллельного) или же посредством конечной последовательности таких проектирований, называется проективным преобразованием 2. Проективная геометрия плоскости или прямой составляется из системы геометрических теорем, сохраняТермин «группа» в применении к классу преобразований подразумевает, что последовательное выполнение двух преобразований из рассматриваемого класса есть также преобразование этого класса и что преобразование, «обратное» по отношению к преобразованию из рассматриваемого класса, также принадлежит этому классу. Групповые свойства математических операций играли и продолжают играть очень большую роль во многих областях, однако по отношению к геометрии значение понятия «группы» в свое время, возможно, было несколько преувеличено.

2 Если две фигуры связаны только одним проектированием, то говорят обычно, что они перспективны. Таким образом, если сказано, что фигура F в результате проективного преобразования переходит в фигуру F, то это значит, что или фигуры F и F перспективны, или же можно указать последовательность таких фигур F, F1, F2,..., Fn, F, что любые две рядом стоящие в ней фигуры перспективны.

Рис. 70. Центральная проекция Рис. 71. Параллельная проекция ющихся при произвольных проективных преобразованиях соответствующих фигур. Проективной геометрии противопоставляется метрическая геометрия, которая понимается как система теорем, устанавливающих связи между величинами в рассматриваемых фигурах, инвариантные только относительно класса движений.

Некоторые проективные свойства можно формулировать непосредственно. Точка, разумеется, проектируется в точку. Далее, прямая линия проектируется в прямую: в самом деле, если прямая l в плоскости p проектируется на плоскость p, то линия пересечения l плоскости p с плоскостью, проходящей через O и l, — обязательно прямая1. Если точка A и прямая l инцидентны2, то точка A и прямая l, возникающие из них при проективном преобразовании, также инцидентны. Другими словами, инцидентность точки и прямой есть свойство, инвариантное относительно группы проективных преобразований. Из этого обстоятельства вытекает ряд простых, но весьма важных следствий.

Если три точки (или более трех точек) коллинеарны, т. е. инцидентны с одной и той же прямой, то их отображения также коллинеарны.

Аналогично, если в плоскости p три прямые (или более трех прямых) конкуррентны, т. е. инцидентны с одной и той же точкой, то их отображения — также конкуррентные прямые. В то время как эти простые свойства — инцидентность, коллинеарность, конкуррентность — являются проективными свойствами (т. е. свойствами, инвариантными относительно проективных преобразований), величины отрезков и углов, а также и отношения этих величин, вообще говоря, изменяются при проектировании. Равнобедренные или равносторонние треугольники могут, например, спроектироваться на треугольники с тремя различными сторонами. Отсюда следует, что хотя понятие «треугольник» принадлежит проективной геометрии, понятие «равносторонний треугольник» ей не принадлежит, а принадлежит только метрической геометрии.

2. Теорема Дезарга. Одним из самых ранних открытий в области проективной геометрии является замечательная теорема Дезарга (1593– 1662): если на плоскости два треугольника ABC и A B C расположены таким образом, что прямые, соединяющие соответственные вершины, конкуррентны, то три точки, в которых пересекаются, будучи продолжены, три соответственные стороны, коллинеарны. Эта теорема здесь иллюстрируется чертежом (рис. 72), но пусть читатель проверит ее справедливость, экспериментируя на самостоятельно построенных 1 За исключением того случая, когда прямая OP (или плоскость, проходящая через O и l) оказывается параллельной плоскости p. Такие исключения будут 2 Точка и прямая называются инцидентными, если прямая проходит через точку или точка лежит на прямой. Этот «нейтральный» термин подчеркивает взаимность рассматриваемого отношения.

чертежах. Доказательство теоремы не является тривиальным, несмотря на всю простоту чертежа, состоящего только из прямых линий. Теорема явственно принадлежит проективной геометрии, так как при проектировании рассматриваемый чертеж не теряет свойств, упомянутых в теореме. В дальнейшем мы еще вернемся к этой теореме (стр. 207). В наC Рис. 72. Конфигурация Дезарга на плоскости стоящий же момент мы хотели бы привлечь внимание читателя к тому любопытному обстоятельству, что теорема Дезарга справедлива также и в том предположении, что рассматриваемые треугольники расположены в двух различных (непараллельных) плоскостях и что подобного рода «трехмерная», или «пространственная» теорема Дезарга доказывается без малейших затруднений. По предположению, прямые AA, BB и CC пересекаются в одной и той же точке O (рис. 73). В таком случае прямые AB и A B лежат в одной плоскости и, значит, пересекаются в некоторой точке R; пусть, таким же образом, AC и A C пересекаются в точке Q, а BC и B C — в точке P. Так как точки P, Q и R находятся на продолжениях сторон треугольников ABC и A B C, то все они лежат в плоскости каждого из этих треугольников и потому — на прямой пересечения этих двух плоскостей. Значит P, Q и R коллинеарны, что и требовалось доказать.

Это простое доказательство наводит на мысль, что можно попытаться доказать «двумерную» теорему Дезарга, так сказать, с помощью перехода к пределу, постепенно сплющивая всю пространственную конструкцию таким образом, чтобы две плоскости в пределе совпали в одну, и в этой последней, вместе с другими, оказалась и точка O. Выполнить, однако, указанный предельный переход не так просто, так как прямая пересечения P QR при совмещении плоскостей не определяется Рис. 73. Конфигурация Дезарга в пространстве однозначно.

Тем не менее конфигурация, изображенная на рис. 72, может быть истолкована как перспективное изображение пространственной конфигурации рис. 73, и это обстоятельство можно использовать при доказательстве «плоской» теоремы.

Есть существенное различие между теоремой Дезарга на плоскости и в пространстве. Наше доказательство, относящееся к случаю трех измерений, опиралось только на геометрические соображения, относящиеся к инцидентности точек, прямых и плоскостей. Можно показать, что доказательство двумерной теоремы — при дополнительном требовании не выходить из данной плоскости — неизбежно должно опираться на некоторые свойства подобных фигур, принадлежащих уже не проективной, а метрической геометрии.

Теорема, обратная теореме Дезарга, утверждает, что если три точки, в которых пересекаются соответственные стороны, коллинеарны, то прямые, соединяющие соответственные вершины, конкуррентны. Доказательство этой теоремы — в случае, когда треугольники лежат в непараллельных плоскостях, — предоставляется читателю в качестве упражнения.

§ 3. Двойное отношение 1. Определение и доказательство инвариантности. Если длина отрезка прямой представляет собой своего рода ключ к метрической геометрии, то существует и в проективной геометрии одно основное понятие, с помощью которого могут быть выражены все отличительные проективные свойства фигур.

Предположим, что три точки A, B и C расположены на одной прямой. Проектирование, вообще говоря, изменяет не только расстояния AB и BC, но и их отношение. В самом деле, любые три точки A, B, C на прямой l могут быть переведены в любые три точки A, B, C на прямой l посредством двух последовательно производимых проектирований. Чтобы в этом убедиться, станем вращать прямую l около точки C, пока она не примет положения l, параллельного l (рис. 74).

Затем, проектируя l на l параллельно прямой CC, получим три точки A, B и C ( C ). Прямые A A и B B пересекутся в точке O, которую мы изберем в качестве центра второй проекции. Последовательно выполненные указанные две проекции дают требуемый результат1.

Из доказанного вытекает, что никакая величина, определяемая только тремя точками на прямой, не может быть инвариантной при проектировании. Но — в этом заключается решающее открытие в проективной геометрии — если на прямой дано четыре точки A, B, C, D, которые при проектировании переходят в точки A, B, C, D другой прямой, то некоторая величина, называемая двойным отношением этих четырех точек, при проектировании не изменяет числового значения. В этом заключено математическое свойство системы четырех точек на прямой, которое носит инвариантный характер и которое можно обнаружить во всякой проекции рассматриваемой прямой. Двойное отношение не есть ни расстояние, ни отношение расстояний, а отношение двух таких отношений: если мы составим отношения по определению есть двойное отношение четырех точек A, B, C, D, взятых в указанном выше порядке.

Убедимся теперь, что двойное отношение четырех точек инвариантно при проектировании, т. е. что если A, B, C, D и A, B, C, D —

CA DA CA DA

CB DB CB DB

Рис. 75. Инвариантность двойного отсторон на синус заключенного ношения при центральном проектиромежду ними угла. Тогда получим (рис. 75):

Отсюда следует:

CA DA CA DB

CB DB CB DA

Таким образом, двойное отношение точек A, B, C, D зависит только от углов, образованных в точке O отрезками OA, OB, OC, OD. Так как эти углы — одни и те же, каковы бы ни были четыре точки A, B, C, D, в которые при проектировании переходят A, B, C, D, то ясно, что двойное отношение не изменяется при проектировании.

Что двойное отношение не изменяется при параллельном проектировании, следует из элементарных свойств подобных треугольников. Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения (рис. 76).

До сих пор, говоря о двойном отношении четырех точек A, B, C, D, расположенных на прямой l, мы предполагали, что это отношение составлено из положительных отрезков. Целесообразно видоизменить это определение следующим образом. Примем одно из двух направлений прямой l за положительное и условимся, что все отрезки, отсчитываемые в этом направлении, будут считаться D (взятых в указанном порядке) соглас- но формуле причем знаки чисел CA, CB, DA, DB нии направления на прямой l, принятоРис. 76. Инвариантность двойго за положительное, меняются только чение (ABCD) не зависит от выбора направления. Легко понять, что (ABCD) имеет отрицательный или положительный знак, смотря по тому, разделена ли пара точек A, B парой точек C, D или не разделена. Так как свойство «разделяться» инвариантно относительно проектирования, то понимаемое в новом смысле Рис. 77. Знак двойного отноше- координаты A, B, C, D соответственно отрезок AB внутренне и внешне в одном и том же отношении. В этом случае принято говорить, что C и D делят отрезок AB гармонически, и каждая из точек C и D считается гармонически сопряженной с другой точкой относительно пары точек A, B. Если (ABCD) = 1, то точки C и D (или A и B) совпадают.