«Что такое математика? (Элементарный очерк идей и методов) Перевод с английского под редакцией А. Н. Колмогорова МЦНМО, 2000 УДК 51(07) К93 What is ББК 22.1 Mathematics? AN ELEMENTARY APPROACH TO IDEAS AND METHODS by ...»

A) Первое правило вытекает из формулы дифференцирования сложной функции где функции предполагаются взаимно обратными в рассматриваемой области.

В таком случае мы имеем Полагая мы можем написать и также а это вследствие предыдущей формулы для H (u) равносильно Итак, принимая во внимание, что H(u) = G(x), мы получаем Будучи записано в обозначениях Лейбница (см. стр. 457), это правило принимает практически очень удобный вид волом du — так, как будто бы dx и du были числами, а — их отношением.

Проиллюстрируем полезность формулы (I) несколькими примерами.

a) J = du. Станем читать формулу (I) справа налево, полагая в ней x = ln u = y(u). Тогда получим y (u) =, f (x) =, так что или Результат можно проверить посредством дифференцирования; мы получаем откуда следует или И этот результат проверяется дифференцированием.

в) Допустим, что задан интеграл более общего вида положив x = y(u), f (x) = x, мы найдем:

В следующих примерах мы используем формулу (I), считая ее слева направо.

ж) С помощью подстановки x = au, где a — постоянная, получаем Принимая во внимание, что приходим к формуле Вычислите следующие интегралы и проверьте результаты посредством дифференцирования:

129. Докажите, что (Сравните с примерами ж), з).) Б) Правило дифференцирования произведения (стр. 451) в интегральной форме записывается следующим образом:

или же В этой форме оно называется правилом интегрирования по частям.

Это правило бывает полезно в тех случаях, когда функция, стоящая под интегралом, имеет вид p(x) q (x), причем неопределенный интеграл q(x) от функции q (x) известен. Формула (II) сводит проблему неопределенного интегрирования функции p(x) q (x) к проблеме интегрирования функции p (x) q(x), что часто оказывается более простым.

Тогда формула (II) нам дает получим Вычислите по частям следующие интегралы:

(Указание: примените (II) дважды.) (Указание: воспользуйтесь упражнением 130.) мулу для числа p в виде бесконечного произведения. Напишем функцию sinm x в виде sinm1 x · sin x и проинтегрируем по частям в пределах так как первый член в правой части (II), pq, обращается в нуль при x = 0иx=. Применяя повторно последнюю формулу, найдем следующие мости от четности n):

Так как 0 < sin x < 1 при 0 < x <, то sin2n1 x > sin2n x > sin2n+1 x, и следовательно, (см. стр. 437), или Подставляя в эти неравенства вычисленные значения интегралов, мы получаем Остается положить n ; тогда, убедившись, что средняя часть неравенства стремится к 1, мы получаем следующее принадлежащее Уоллису представление для числа :

Вклейка «От издательства» в первое издание книги на русском языке* Существует большой разрыв между математикой, которая преподается в средней школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки. Наиболее существенной стороной этого разрыва является отсутствие в курсе средней школы элементов математического анализа, которые совершенно необходимы для понимания основных идей физики и многих разделов техники.

Курсы высшей математики для техников, химиков, биологов и специалистов по сельскому хозяйству в наших вузах содержат достаточно солидное изложение элементов классического анализа, но оставляют совершенно в стороне ряд более общих и новых идей математики, относящихся, например, к проективной геометрии, топологии, более высоким разделам вариационного исчисления и т. п. Между тем, эти идеи становятся все более существенными для всей совокупности точных и технических наук.

Наконец, молодежь, избирающая своей специальностью математику или те разделы естественных наук (механику, астрономию, физику), изучение которых в высшей школе связано с прохождением вполне современного большого курса математики, часто нуждается в том, чтобы еще на стадии перехода из средней школы в высшую в более легкой и наглядной форме познакомиться с различными разделами математики вплоть до наиболее высоких и современных.

Выпускаемая в русском переводе книга Р. Куранта и Г. Роббинса может в некоторой мере заполнить указанные выше разрывы между систематическими учебными курсами математики и естественными запросами различных категорий читателей в направлении общего ознакомления с более высокими разделами математики.

Отдельные главы этой книги в значительной мере независимы друг от друга (см. указания автора «Как пользоваться книгой») и могут предО причинах, вызвавших появление этой вклейки, см. предисловие В. М. Тихомирова, с. 5. — Прим. ред. наст. изд.

ВКЛЕЙКА В ПЕРВОЕ ИЗДАНИЕ КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ

ставить интерес в первую очередь для следующих категорий читателей.

1. Главы VI–VIII позволяют читателям с подготовкой в размере курса средней школы в сравнительно легкой форме познакомиться с основными идеями высшей математики (дифференциальное и интегральное исчисления, дифференциальные уравнения, вариационное исчисление).

2. Читателям, прошедшим краткий курс высшей математики, — инженерам, химикам, многим преподавателям математики в средней школе — будут по преимуществу интересны главы I–V, вводящие их в менее знакомые им разделы математики, и некоторый дополнительный материал в последних главах. Главы I–V будут интересны также тем выпускникам средней школы, которые пожелают, в связи с выбором специальности, познакомиться с современной математикой.

3. Наконец, многие разделы книги могут быть использованы в школьных кружках любителей математики и в кружках и семинарах для студентов младших курсов физико-математических факультетов университетов, педагогических и учительских институтов.

Наша отечественная литература, обслуживающая перечисленные потребности, еще недостаточна. Поэтому Издательству представлялось весьма желательным ее пополнение хорошо написанной переводной книгой, хотя бы и содержащей некоторые недостатки и ошибки.

Первый из авторов книги, ответственный за ее общий замысел,— Р. Курант является крупным математиком, имеющим заслуги по преимуществу в областях математического анализа, близких к вопросам математической физики. §§ 7–11 отражают в элементарных рамках данной книги собственные исследования Р. Куранта.

Теория чисел, геометрия и топология более далеки от личных интересов Р. Куранта. Выбор вопросов из этих областей иногда имеет несколько случайный характер, а их изложение в отдельных случаях не вполне точно. Однако подход к этим вопросам с точки зрения математика, привыкшего работать в области математического естествознания, иногда интересен и своеобразен.

Не ставя своей специальной целью излагать историю идей и методов математики, Курант, однако, не может избежать замечаний исторического характера. Последние крайне немногочисленны и явно неполны.

Так, например, отмечая выдающихся математиков, внесших вклад в теорию чисел, Курант совершенно не упоминает великого русского аналитика П. Л. Чебышёва; говоря о развитии современной топологии, проходит мимо достижений школы советских топологов. В исторических ссылках Куранта имеются и прямые ошибки. Приоритет открытия неевклидовой геометрии бесспорно принадлежит великому русскому геометру Н. И. Лобачевскому; Курант этого не подчеркивает, и у читателя создается впечатление, что автор отдает предпочтение в этом вопросе Гауссу, который, владея лишь замыслом неевклидовой геометрии, не только не дал этому замыслу достаточного развития, не только не опубликовал своих взглядов на этот вопрос, но и не позволял опубликовывать их тем, кому они были известны. Неправильно распределяет Курант заслуги между Зигелем и Гельфондом: решение общей проблемы Гильберта (доказательство трансцендентности чисел вида ab, где a — алгебраическое, а b — алгебраическое иррациональное число) целиком принадлежит А. О. Гельфонду. Тенденциозно и умаление заслуг И. М. Виноградова.

Наконец, в принципиальных философских вопросах математики Р. Курант является эклектиком. Поэтому Издательство предпочло сократить авторское введение «Что такое математика». Советскому читателю излишне пояснять, что пожелания автора относительно будущего математики, которые заканчивают это введение, не могут быть осуществлены буржуазной наукой. Это — задача советской математики.

О создании книги «Что такое математика?»* Со времени своего приезда в США в 1934 г. Курант обдумывал научные нужды своей новой родины. Он рассматривал их гораздо шире, чем возможности одного отдельно взятого университета. В США надо было создать национальный научный центр — подобный Ecole Polytechnique во Франции — который выпускал бы хорошо подготовленную научную элиту, достаточно подготовленную для работы в условиях надвигающейся войны и последующих трудных лет.

Первые два варианта заметки «О национальном Институте для изучения фундаментальных и прикладных наук» не имеют даты, а третий вариант помечен зимой 1940–41 гг.

С первых же абзацев этого текста слышен голос Феликса Клейна, который восхищался программой и подходом к образованию в Ecole Polytechnique и всегда жалел, что ее идеалы (тесная связь чистой и прикладной науки, сочетание учебы и исследований, личный контакт преподавателя со студентами) «никогда не имели крепких корней на германской почве»...

Курант в своей записке подчеркивает своеобразие исторической обстановки, в которой во Франции родилась Ecole Polytechnique. После революции Франция была «экономически разорена, интеллектуально и морально неустойчива».

После войны со всей Европой образовательные учреждения были дезорганизованы. Ученые, «понимавшие ситуацию и обладавшие инициативой», выработали план института высшего образования «на чрезвычайно высоком, по сравнению с прежним, уровне». Предполагалось, что студенты будут демократично, но тщательно отбираться, а преподавателями станут лучшие ученые страны. Новое учреждение вскоре оправдало «высочайшие надежды» своих основателей. Менее чем через два года армия, флот, промышленность и правительство уже стали получать в свои ряды людей, чье образование было лучшим в мире...

В 1940 г. Курант несколько раз переделывал свою заметку — правда, * Воспроизводится по книге: Reid C. Courant in Gttingen and New York. The Story of an Improbable Mathematician. — New York: Springer-Verlag, 1976. Перевод Е. А. Коноваленко. — Прим. ред. наст. изд.

изменения касались скорее слов, чем содержания,— наконец, в начале 1941 года он решил (став к тому времени гражданином США) обнародовать свои предложения. Он считал, что планируемый им Институт может начать работать довольно скоро, если его начать пока с курсов математики и физики. В конце записки, датированной зимой 1940–41 гг., он оптимистично указал время открытия Института — сентябрь 41 г.

В продолжение учебного 1940–41 учебного года Курант занимался еще одним проектом, который он также считал частью патриотического служения своей новой родине,— книгой «What is Mathematics?». Он работал над ней уже почти 5 лет и привлек к этой работе некоторых студентов.

Давид Гильбарг писал конспекты его лекций, а еще семеро молодых людей, включая сына Куранта, Эрнста, помогали (как сказано в предисловии) «в бесконечной работе по написанию и переписыванию этого труда».

Весной 1939 г. Курант решил, что предмет книги будет слишком узок, если ограничиваться только его собственными интересами. Во время поездки в Принстон он советовался с разными людьми, и Марстон Морс порекомендовал ему в помощники своего ассистента Герберта Роббинса, молодого тополога из Гарварда. Курант встретился с Роббинсом в его офисе.

Когда я [К. Рид ] разговаривала с Роббинсом в 1975 г. в его квартире возле Колумбийского Университета, он не помнил уже хорошо, в первую ли встречу, или в одну из следующих, Курант предложил ему работать над книгой «What is Mathematics?». Роббинс рассказывал, что приехав в Нью-Йоркский университет в конце 1939 г., он преподавал там элементарные предметы днем и читал более сложные лекции по вечерам.

Курант передал ему все, что уже сделали его прежние помощники, поговорил о концепции книги в целом; и попросил прочесть весь труд, улучшив и дополнив его.

Я спросила Роббинса, как они с Курантом работали над книгой.

«Трудно сказать, — отвечал Роббинс.— У него были мимеографические записки одного курса лекций, который он читал когда-то прежде, эти лекции были записаны кем-то из студентов — и это составляло примерно четверть или треть того материала, который в конечном итоге вошел в книгу. Некоторые главы были там в окончательной форме, других не было вовсе.

Например, одну из глав книги мы хотели посвятить топологии, и обсуждали, что в этой главе должно быть. О некоторых вещах у него были очень четкие понятия, о некоторых у меня. Два года я работал и показывал ему, что получилось — он комментировал и критиковал, и я переделывал заново... Иногда он придумывал интересные решения, иногда я... Я бы не сказал, что было что-то особенное в способе нашей совместной работы. Это было довольно тесное сотрудничество, хотя мы никогда не садились писать вместе.

Роббинс говорил, что не слушал ни этого курса лекций Куранта, ни какого-либо другого.

Сперва, по словам Куранта, от молодого Роббинса было немного помощи. «Он даже был мне помехой, так как работал не очень-то много.

Но потом, после доверительного разговора между ними, Роббинс был весьма полезен». В конце концов, как вспоминает Роббинс, Курант сказал ему, что очень доволен его работой. Деньги из фонда Рокфеллера ($1500), из которых Курант выплачивал Роббинсу за работу, подошли к концу. (Кроме этого Роббинс получал $2500 в год как преподаватель университета.) По словам Роббинса, Курант предложил ему быть соавтором, так как их сотрудничество оказалось более продуктивным, чем это задумывалось в начале работы...

Роббинс рассказывал, что поначалу он принял участие в этой работе главным образом потому, что хотел подзаработать. «Сперва мне не очень нравилось заниматься этой книгой, потому что это отнимало довольно много времени, а вы понимаете, что молодому человеку, только что получившему степень (Ph. D), для создания научной репутации необходимо больше заниматься исследованиями, нежели популяризаторством. Так что я колебался, стоит ли тратить еще года полтора на то, что я считал отвлечением от занятий, которые меня действительно интересовали...

Я не ожидал, что стану соавтором. Но когда он предложил мне это, я согласился. Я уже был довольно сильно увлечен этим делом к тому времени»...

Проскауэр посоветовал Куранту обратиться по поводу издания книги не к столь специальному издательству, каким было InterScience, — чтобы у книги был более широкий круг читателей. И в начале 1941 г. Курант провел переговоры с из издательством Macgrow-Hill, которое ранее уже проявляло интерес к книге «What is Mathematics?». Ему пришло в голову, что эта книга должна послужить еще и своего рода зацепкой — чтобы заинтересовать большое, солидное американское издательство и в некоторых других имевшихся у Куранта идеях. Едва подписав контракт, Курант начал набрасывать план серии учебников по математике — по образцу его серии в издательстве Springer.

Во время совместной с Роббинсом работы над книгой Курант заботился и о научном будущем своего молодого соавтора... Он поручил Роббинсу читать в университете курс лекций по вероятности и статистике.

«Я узнал об этом всего за несколько недель до начала лекций, — вспоминает Роббинс. — А до этого у меня не было ни интереса, ни даже слабого знакомства ни с теорией вероятностей, ни со статистикой.»

Работа Роббинса над этим курсом произвела на Куранта большое впечатление. Он считал, что молодому человеку было бы желательно изучить статистику и теорию вероятностей «из источника». Источником, по мнению Куранта, был Джерси Нейман, знаменитый польский ученый в этой области, который как раз недавно приехал в Беркли.

Ранней весной 1941 г. Курант обратился с письмом к Гриффиту Эвансу, возглавлявшему математический факультет в Калифорнийском университете. Предложение Куранта состояло в том, чтобы оказать Роббинсу финансовую помощь (тот был довольно беден, да к тому же содержал мать и младшую сестру) для занятий с Нейманом в течение лета...

Теперь Роббинс — один из выдающихся специалистов в теории вероятностей и статистики, и я спросила его, действительно ли у него была возможность поехать летом 41 г. в Беркли для занятий с Нейманом.

«Нет,— сказал он. Он даже не знал, что Курант предлагал это Эвансу. — Если бы это произошло, уверен, моя жизнь могла сложиться иначе, ведь мне удалось встретиться с Нейманом намного позже».

Всю весну 1941 г. Курант был очень занят. Он старался закончить свою книгу, заинтересовать людей в своей идее национального научного института, а также пытался ввести в Нью-Йоркском университете ряд летних математических курсов, ориентированных на нужды армии. Поэтому он был очень расстроен, когда люди из Macgrow-Hill выразили сомнения по поводу коммерческой выгоды от издания «What is Mathematics?», хотя и настаивали на своей готовности ее издать. Он решил, что книга должна быть в печати к концу 1941 г., и не хотел идти ни на какие уступки касающиеся этой книги.

У Куранта уже был опыт издания книг со своим участием в прибыли.

Теперь он решил сам стать своим издателем. Летом 41 г. он занял денег у обеспеченных друзей и договорился с Waverly-Press о напечатании своей книги. Затем он подписал контракт с Oxford-Press о распространении книги...

Летом 1941 г. большая часть книги была уже в печати, и Курант собрался написать предисловие. В 30-е годы на английском языке уже вышло в свет несколько популярных книг по математике. Но Курант чувствовал, что у него получилась книга, совсем не похожая на них.

По мнению Куранта, у всех них был серьезный недостаток. Они были написаны, исходя из неверных позиций. Понимания математики нельзя достичь путем легких развлечений, равно как никакое, даже самое блестящее описание, не сможет передать понимание музыки тому, кто никогда внимательно в музыку не вслушивался. Чтобы понять математику, надо ею заниматься. И Курант в своей книге хотел дать читателю возможность «действительно прикоснуться к содержанию живой математики»...

Некоторую озабоченность у Куранта вызывало название книги. Оно казалось ему «слегка нечестным». Однажды на вечеринке у Г. Вейля он спросил совета у Томаса Манна. Должна ли книга называться «Что такое математика?», или ее следует назвать примерно так: «Математические дискуссии по поводу основных элементарных задач для широкой публики»,— это название более точно соответствует содержанию, но «немного скучнее». «Манн сказал, что не может дать мне совета, но может поделиться собственным опытом», — вспоминал Курант. — «Среди его книг, переведенных на английский, была Лотта в Веймаре“.

Незадолго до выхода этой книги в свет к нему пришел м-р Кнопф и сказал: Теперь нам надо выбрать название; вот моя жена, которая знает толк в этих вещах, считает, что можно озаглавить книгу «Возвращение любимого»“. Манну это не слишком понравилось: в конце концов, Лотта в Веймаре“ одинаково хорошо звучит, что по-английски, что по-немецки.

Но м-р Кнопф сказал, что у него есть одно замечание: Если мы напечатаем «Лотту в Веймаре», то мы сможем продать 10 или 20 тысяч экземпляров, а если мы напечатаем «Возвращение любимого», то можно продать и 100 тысяч — и авторский гонорар будет соответствующим.“ Манн сказал, что он согласен, пусть будет Возвращение любимого“.»

Курант поблагодарил Манна — и позвонил в издательство...

Хотя Роббинс читал гранки книги и несколько раз ездил в издательство в Балтимор, он еще не видел титульного листа. И вот, в августе 41 г., он увидел его: «Рихард Курант. Что такое математика?»

«Когда я это первый раз увидел, я вдруг сказал: Боже мой, этот человек — обманщик“. Это было вроде холодного душа. В тот момент я пожалел не столько о том, что не увижу своего имени на обложке книги (потому что сразу решил, что все-таки увижу), сколько о том, что это был конец моего отношения к Куранту как к приличному, достойному человеку, который хотел способствовать труду своего молодого коллеги, не заботясь о собственном престиже, etc... Позднее, конечно, мне приходилось не раз слышать о нем: Грязный Дик“. Люди не удивлялись, что такое могло случиться, потому что слышали и другие подобные истории.

Я же тогда еще ничего не слышал, и знал о Куранте только хорошее...

Я даже любил его.»

Роббинс посоветовался с некоторыми людьми в Washington Square, что ему делать. «Они говорили: Ну, ты понимаешь, в Германии такое случается довольно часто. Многие книги знаменитых профессоров на самом деле написаны кем-то из их студентов, в качестве части общения“.

Я сказал, что, во-первых, я не студент Куранта; во-вторых, здесь не Германия; и в-третьих, мне это просто не нравится.»

Теперь уже невозможно установить точную последовательность событий тех дней, не нашедших отражения в переписке Куранта и Роббинса. Но в некоторый момент, как рассказывал мне Роббинс, он поговорил с Хаслером Уитни, под чьим руководством он работал в Гарварде.

«Когда я обо всем рассказал Уитни, это привело его в большое негоДОБАВЛЕНИЕ дование, и он сказал: Хорошо, скажите Куранту, что если он будет продолжать в том же духе, то на следующем заседании Американского Математического общества я подниму этот вопрос — и мы исключим его из членов Математического общества“.»

Как вспоминает Роббинс, он «пообещал или даже пригрозил» в письме Куранту от 17 августа 41 г. высказать все свои чувства и мысли по поводу того, что было написано на обложке книги. Он отложил это на некоторое время, потому что его переживания по этому поводу были слишком сильны, и он не надеялся на спокойную беседу с Курантом, а «жаркий спор мог иметь плохие последствия для самой книги и для даты ее выхода в свет».

В своем письме от 17 августа 41 г. Роббинс утверждал, что хотя он понимает, что эта книга является, в основном, детищем Куранта, все же и сам он отдал ей так много сил и так сильно был эмоционально вовлечен в написание книги, что увидеть свое имя на обложке рядом с именем Куранта — очень важно для него. Кроме того, хотя в Европе другие обычаи, в Америке принято решать эти вопросы именно так: все признают, что первое имя на обложке — это имя настоящего автора книги; но указывают и второе имя — его молодого помощника, коллеги. Что касается до финансовых вопросов, он (Роббинс) предпочитает оставить их целиком на усмотрение Куранта. Он только просит, чтобы на обложке было написано «Р. Курант и Г. Роббинс».

В письме Роббинса не упомянуты ни угроза Уитни, ни намерения Роббинса действовать в защиту своих прав. Роббинс считает, что Курант прослышал об этом от других людей. Как бы то ни было, после получения этого письма Курант согласился изменить титульный лист.

Роббинс объяснял мне, что он старался написать это письмо так, чтобы сделать идею соавторства более приемлемой для Куранта. Ему это удалось. Когда Курант показывал мне это письмо, он сказал, что, по его ощущениям, оно очень точно отражает ситуацию, возникшую в то время между ним и Роббинсом.

В течение следующих нескольких недель осенью 41 г. Курант постепенно пришел к осознанию того, что роль Роббинса в написании книги действительно заслуживает названия соавторства. И 28 сентября 41 г. он написал молодому человеку длинное строгое письмо. «У меня создалось впечатление, что Вы позволили себе занять (или кто-то Вас к этому подтолкнул) очень неловкую психологическую позицию. Я думаю, что Вам необходимо отдавать себе отчет в том, как в действительности обстоят дела. Дело не в том, сколько сил, времени, энергии, усердия Вы потратили на эту работу. Эта книга — мое детище по замыслу, по планированию, по содержанию, по ее математическим идеям, — и она выражает именно мои личные взгляды и цели в большей степени, чем любая другая из моих публикаций. Вы достаточно индивидуальны, чтобы иметь свои собственные взгляды, которые вовсе не обязаны совпадать с моими, и было бы вполне естественно, чтобы Ваши взгляды заметно отличались от моих,... чтобы развиться в будущем. По этой причине я был и остаюсь озабочен тем, чтобы вопрос об авторстве ясно понимался всеми, и в первую очередь Вами. Дело не в амбициях, а в сущности научной ответственности. Конечно, я нуждался в помощнике... Ваш вклад в эту работу далеко превзошел все, что я мог ожидать от грамотного математика. Я нисколько не хочу лишать Вас похвалы и общественного признания. И когда Вы, в письме от 17 августа, настаивали на том, чтобы обеспечить Вам такое признание, поместив Ваше имя на обложку, я немедленно согласился. Ваше письмо снова уверило меня в том, что между нами не было и никогда не могло быть существенного непонимания по вопросам обоснования авторства, и что ни у кого не было намерений произвести на публику неверное впечатление по этому поводу... »

Книга Рихарда Куранта и Герберта Роббинса «Что такое математика?» имела гораздо больший успех, чем кто бы то ни было (кроме, возможно, Куранта) мог предполагать. Со времени своего выхода в свет она была переведена на несколько языков и разошлась более чем в экземплярах. Ее часто называют «математическим бестселлером»...

Сам же Курант, несмотря на весь успех, был «слегка разочарован» в этой книге. Успех все же не достиг того уровня, чтобы заметно повлиять на широкий круг «образованных любителей», которых Курант надеялся приобщить к некоторым красотам математики.

С момента выхода последнего издания книги «Что такое математика?»

прошло много лет. С тех пор по элементарной математике и ее связям с современной наукой вышло множество изданий. Ниже мы перечисляем некоторые книги, посвященные этой тематике. Они предназначены для широкого круга читателей: от школьников 6–7 классов до студентов 1–2 курсов и преподавателей математики. (Мы не включили в этот список различные сборники задач.) Прежде всего, нам хочется порекомендовать для чтения журнал «Квант», где опубликовано огромное количество статей по самым разным вопросам.

Отметим также ряд книжных серий (как правило, мы не включили книги из этих серий в наш указатель), доступных по своему уровню школьникам:

«Популярные лекции по математике», «Библиотека математического кружка», «Библиотечка Квант“ » (издательство «Наука»); «Современная математика. Вводные курсы» (издательство «Мир»).

Следует также отметить как ранние выпуски журнала «Математическое просвещение», так и возобновившиеся с 1997 г. выпуски, публикуемые Московским Центром непрерывного математического образования (к настоящему моменту вышло 10 выпусков).

Для любителей истории науки рекомендуем сборники «Историко-математические исследования», публикуемые сектором математики Института истории естествознания и техники.

Ниже мы приводим книги по различным разделам математики. Однако при этом не следует забывать о единстве математики и помнить об условности любых перегородок в науке.

[1] Адамар Ж. Психология процесса изобретения в области математики. — М.: МЦНМО, 2001.

[2] Вейль Г. Симметрия. — М.: Наука, 1968.

[3] Вейль Г. Математическое мышление. — М.: Наука, 1990.

[4] Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: Физматгиз, 1966.

[5] Варга Б., Димень Ю., Лопариц Э. Язык, музыка, математика. — М.:

Мир, 1981.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

[6] Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. — М.: МЦНМО, 2001.

[7] Кириллов А. А. Что такое число? — М.: Наука, 1993.

[8] Клайн М. Математика. Утрата определенности. — М.: Мир, 1984.

[9] Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. — М.: Наука, 1989.

[10] Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1, 2. — М.: Наука, 1987.

[11] Клини С. К. Введение в метаматематику. — М.: ИЛ, 1957.

[12] Колмогоров А. Н. Математика — наука и профессия. — М.: Наука, 1987.

[13] Кымпан Ф. История числа p. — М.: Наука, 1971.

[14] Литлвуд Дж. Математическая смесь. — М.: Наука, 1990.

[15] Марков А. А. Конструктивное направление (в математике и логике) // Философская энциклопедия, т. 3, М., 1964.

[16] Пидоу Д. Геометрия и искусство. — М.: Мир, 1979.

[17] Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — М.: Наука, 1975.

[18] Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. — М.: Наука, 1976.

[19] Прасолов В. В. Рассказы о числах, многочленах и фигурах. — М.:

Фазис, [20] Пуанкаре А. О науке. — М.: Наука, 1990.

[21] Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. Опыт математического мышления. — М.: Физматгиз, 1966.

[22] Рассказы о математике и математиках. — М.: МЦНМО, 2000.

[23] Розенфельд Б. А. История неевклидовой геометрии. — М.: Наука, 1976.

[24] Сингх С. Великая теорема Ферма. История загадки, которая занимала лучшие умы мира на протяжении 358 лет. — М.: МЦНМО, 2000.

[25] Сойер У. У. Прелюдия к математике. — М.: Просвещение, 1972.

[26] Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. — М.: Наука, 1984.

[27] Фрейденталь Г. Математика в науке и вокруг нас. — М.: Мир, 1977.

[28] Энциклопедия элементарной математики. Т. 1–5. Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. — М.: ГТТИ, 1952–1966.

Принцип математической индукции, теория множеств, [29] Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов: в 3-х ч. М.: МЦНМО. Ч. 1. Начала теории множеств, 1999; Ч. 2.

Языки и исчисления, 2000; Ч. 3. Вычислимые функции, 1999.

[30] Виленкин Н. Я. Комбинаторика. — М.: Наука, 1969.

[31] Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах. — М.: Наука, 1969.

[32] Гжегорчик А. Популярная логика. Общедоступный очерк логики предложений. — М.: Наука, 1979.

[33] Градштейн И. С. Прямая и обратная теоремы. — М.: Наука, 1973.

552 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

[34] Кац М., Улам С. Математика и логика. Ретроспектива и перспектива. — М.: Мир, 1971.

[35] Манин Ю. И. Вычислимое и невычислимое. — М.: Сов. радио, 1980.

[36] Манин Ю. И. Доказуемое и недоказуемое. — М.: Сов. радио, 1978.

[37] Мендельсон Э. Введение в математическую логику. — М.: Наука, 1984.

[38] Новиков П. С. Элементы математической логики. М.: Физматгиз, 1959.

[39] Соминский И. С., Головина Л. И., Яглом И. М. О математической индукции. — М.: Наука, 1977.

[40] Успенский В. А. Треугольник Паскаля. — М.: Наука, 1979.

[41] Успенский В. А. Теорема Гёделя о неполноте. — М.: Наука, 1982.

[42] Успенский В. А. Машина Поста. — М.: Наука, 1988.

[43] Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ. — М.: Наука, 1987.

[44] Айерланд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987.

[45] Александров П. С. Введение в теорию групп. — М.: Наука, 1980.

[46] Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. — М.: МЦНМО, 2001.

[47] Аршинов М. Н., Садовский Л. Е. Коды и математика. Рассказы о кодировании. — М.: Наука, 1983.

[48] Берман Г. Н. Число и наука о нем. — М.: ГТТИ, 1949.

[49] Болтянский В. Г., Виленкин Н. Я. Симметрия в алгебре. — М.: Наука, 1967.

[50] Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2001.

[51] Коблиц Н. p-адические функции, p-адический анализ и дзета-функции.

М.: Мир, 1982.

[52] Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1975.

[53] Литцман В. Великаны и карлики в мире чисел. — М.: Физматгиз, 1959.

[54] Понтрягин Л. С. Знакомство с высшей математикой: Алгебра. — М.:

Наука, 1987.

[55] Постников М. М. Теория Галуа. — М.: Физматгиз, 1963.

[56] Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2000.

[56] Прасолов В. В., Соловьев Ю. П. Эллиптические функции и алгебраические уравнения. — М.: Факториал, 1997.

[57] Проскуряков И. В. Числа и многочлены. — М.: Просвещение, 1965.

[58] Рид М. Алгебраическая геометрия для всех. — М.: Мир, 1991.

[59] Серпинский В. 250 задач по элементарной теории чисел. — М.: Просвещение, 1968.

[60] Солодовников А. С. Ведение в линейную алгебру и линейное программирование. — М.: Просвещение, 1966.

[61] Трост Э. Простые числа. — М.: Физматгиз, 1959.

[62] Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. — М.: Мир, 1979.

[63] Хассе Г. Лекции по теории чисел. — М.: ИЛ, 1953.

[64] Шафаревич И. Р. Основные понятия алгебры. — Итоги науки и техРЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА ники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.

Т. 11. М.: ВИНИТИ, 1986.

[65] Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. — М.: Мир, 1980.

[66] Адамар Ж. Элементарная геометрия. Т. 1, 2. — М.: Учпедгиз, 1948–51.

[67] Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1979.

[68] Берже М. Геометрия. Т. 1, 2. — М.: Мир, 1984.

[69] Берман Г. Н. Циклоида. Об одной замечательной кривой линии и некоторых других, с ней связанных. — М.: Наука, 1980.

[70] Балк М. Б., Болтянский В. Г. Геометрия масс. — М.: Наука, 1987.

[71] Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982.

[72] Борисович Ю. Г., Близняков Н. М., Израилевич Я. А. и др. Введение в топологию. — М.: Физматлит, 1995.

[73] Васильев Н. Б., Гутенмахер В. Л. Прямые и кривые. — М.: МЦНМО, 2000.

[74] Веннинджер М. Модели многогранников. — М.: Мир, 1974.

[75] Гальперин Г. А., Земляков А. Н. Математические биллиарды. — М.:

Наука, 1990.

[76] Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998.

[77] Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. — М.: Наука, 1981.

[78] Глаголев Н. А. Проективная геометрия. — М.–Л.: ОНТИ, 1936.

[79] Кокстер Х. С. М. Введение в геометрию. — М.: Наука, 1966.

[80] Кокстер Г. С., Грейтцер С. Л. Новые встречи с геометрией. — М.: Мир, 1978.

[81] Косневски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. — М.: Мир, 1983.

[82] Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов. — М.: Мир, 1967.

[83] Клейн Ф. Неевклидова геометрия. — М.–Л.: ОНТИ, 1936.

[84] Литцман В. Старое и новое о круге. — М.: Физматгиз, 1960.

[85] Литцман В. Теорема Пифагора. — М.: Физматгиз, 1960.

[86] Никулин В. В., Шафаревич И. Р. Геометрии и группы. — М.: Наука, 1983.

[87] Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальные главы. — М.: Мир, 1972.

[88] Прасолов В. В., Тихомиров В. М. Геометрия. — М.: МЦНМО, 1997.

[89] Прасолов В. В. Геометрические задачи Древнего мира. — М.: Фазис, 1997.

[90] Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — М.: Наука, 1995.

[91] Прасолов В. В. Геометрия Лобачевского. — М.: МЦНМО, 2000.

[92] Торп Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии. — М.: Мир, 1982.

554 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

[93] Тужилин А. А., Фоменко А. Т. Элементы геометрии и топологии минимальных поверхностей. — М.: Наука, 1991.

[94] Уокер Р. Алгебраические кривые. — М.: ИЛ, 1952.

[95] Яглом И. М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. — М.: Наука, 1969.

[96] Арнольд В. И. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук — первые шаги математического анализа и теории катастроф от эвольвент до квазикристаллов.

[97] Берс Л. Математический анализ. Т. 1, 2. — М.: Высшая школа, 1975.

[98] Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А. Метод координат. — М.: Наука, 1973.

[99] Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Шноль Э. Э. Функции и графики. — М.: МЦНМО, 2001.

[100] Зельдович Я. Б. Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике. — М.: Наука, 1970.

[101] Зорич В. А. Математический анализ.: в 2-х т. — М.: МЦНМО. Т. 1.

2001; Т. 2. 1998.

[102] Кириллов А. А. Пределы. — М.: Наука, 1968.

[103] Маркушевич А. И. Ряды. Элементарный очерк. — М.: Наука, 1979.

[104] Маркушевич А. И. Целые функции. Элементарный очерк. — М.: Наука, 1975.

[105] Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций. — М.: Наука, 1966.

[106] Маркушевич А. И. Замечательные синусы. Введение в теорию эллиптических функций. — М.: Наука, 1965.

[107] Понтрягин Л. С. Знакомство с высшей математикой: Метод координат. — М.: Наука, 1987.

[108] Понтрягин Л. С. Знакомство с высшей математикой: Дифференциальные уравнения и их приложения. — М.: Наука, 1988.

[109] Понтрягин Л. С. Математический анализ для школьников. — М.: Наука, 1988.

[110] Спивак М. Математический анализ на многообразиях. — М.: Мир, 1968.

[111] Тихомиров В. М. Рассказы о максимумах и минимумах. — М.: Наука, 1986.

Нам хотелось бы также отметить несколько книг по такому нетрадиционному для элементарной математики разделу, как теория особенностей.

[112] Арнольд В. И. Теория катастроф. — М.: Наука, 1990.

[113] Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности. — М.: Мир, [114] Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. — М.: Мир, [115] Стюарт И. Тайны катастрофы. — М.: Мир, 1987.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

[116] Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. — М.: Наука, 1982.

[117] Колмогоров А. Н., Журбенко И. Г., Прохоров А. В. Введение в теорию вероятностей. — М.: Наука, 1982.

[118] Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. — М.: Наука, 1985.

Абсолютная величина Аксиоматика Аксиомы Алгебра, основная теорема 127, — булева — множеств — числовых полей Алгебраические уравнения — числа Алгоритм Евклида Анализ математический — —, основная теорема Аналитическая геометрия Аполлония проблема 151 Вариационное исчисление Аргумент комплексного числа 122 Вейерштрасса теорема об экстреАрифметика, законы 26 мальных значениях Арифметические прогрессии 37 Вероятность — —, простые числа в а. п. 51 Взаимная непрерывность (соответАрифметическое значение корня 308 ствия, отображения) Архимеда метод трисекции угла 165 — однозначность (соответствия, Асимптота гиперболы Асимптотически равно 54, Ассоциативные законы для мноВычеты квадратические — — для натуральных чисел — — для рациональных чисел Бесконечно удаленная плоскость 211 Геодезическая Геометрические построения, теория Двойственности принцип в алгебре — — квадратичных корней — — Маскерони — — правильных многоугольников — — рациональных чисел 147 Декартовы координаты — — с помощью одного циркуля 174 Деление на нуль — — — — одной линейки — — — — различных инструментов — — числовых полей — преобразования Геометрия, аксиомы — аналитическая — гиперболическая — комбинаторная — метрическая — неевклидова — n-мерная — проективная — Римана — синтетическая —, теория построений — элементарная, экстремальные Герона теорема Гипербола, свойство касательных —, уравнение Гиперболические функции Гиперболический параболид Гиперболоид Граничные условия в задачах на —, иррациональность Двенадцатеричная система Движение эргодическое Движения (преобразования) Двойное отношение 198 Жордана теорема 270, Зависимое (-ая) переменное (-ая) 302 Затухающие колебания 488 Квадратные уравнения Идеальные элементы в проективной Квадратура круга Извлечение квадратного корня (в Классификация (топологическая) Изопериметрические проблемы 401 — модель — углов при инверсии 185 Коллинеарные точки Индукция математическая — эмпирическая Интеграл 426, Интервал Интуиционизм Инцидентность (принадлежность) Иррациональные числа как бескотригонометрическое представнечные десятичные дроби — —, определяемые последовательКонгруэнтность — — — сечениями — — — стягивающимися отрезками Исключенного третьего закон Исчерпания метод Исчисление вариационное Итерация, пределы при и. Канторова теория (бесконечных) множеств Канторово множество Кардинальное число (мощность) Карта регулярная Касательная Касательные к эллипсу и гиперболе, Кратность корней алгебраического Н Кривая, длина —, уравнение Кривизна Кросс-кэп Лейбница формула для p 469 Независимое (-ая) переменное (-ая) Линии уровня Лиувилля теорема Логарифм натуральный Логика математическая Логическая сумма Логическое произведение Максимумы и минимумы 357, Маскерони построения Математическая индукция — логика Математический анализ — —, основная теорема Метрическая геометрия Механические инструменты, построения с их помощью 179 О Мёбиуса лента (лист) 286 Область изменения переменной Многогранники n-мерные 258 Обратные операции —, эйлерова характеритика 285 Множеств алгебра 134 Однозначность разложения на Множество 104, 134 Однородные координаты —, дополнение к м. 138 Односвязность Множители простые 47 Опыты с мыльными пленками Модуль комплексного числа 121 Оси конических сечений Монотонная последовательность 322 — координат Морса соотношения 373 Основная теорема алгебры 127, Отображение (преобразование) 168 Полный четырехсторонник Отражение в общих экстремальных Поля числовые, алгебра — относительно одной или несколь- Порядок возрастания — — системы окружностей 189 Последовательность 94, 107, Отрезки вложенные 94 — сходящаяся, расходящяяся, Отрицательные числа 80 Построения геометрические Паппа теорема Парабола Парадоксы бесконечного — Зенона Паралльность и бесконечность Паскаля теорема 215, — треугольник Первообразные (примитивные) функции Переменное (-ая) — действительное (-ая) — зависимое (-ая) — комплексное (-ая) — независимое (-ая) Пересечение множеств Пересчет Перспектива Пифагоровы числа Плато проблема Плотность множества рациональных Площадь Поверхности односторонние Подмножество Подполе Позиционная система Показательная (экспоненциальная) функция — — —, дифференциальное уравнеПроизведение логическое — — —, порядок возрастания 499 Производная Прообраз (при отображении) 168 Семиугольник правильный, невозвоПростая замкнутая кривая 271 можность построения Простой многогранник 262 Сечение (множества действительных — —, распределение 52, 512 Символ Прямой линий уравнение 101 Синтетическая геометрия Прямые компланарные 202 Скорость — конкуррентные 196 Сложение действительных чисел Пустое множество 135 — комплексных чисел Пятиугольник правильный, построе- — натуральных чисел Радиоактивный распад 484 Сопряженные комплексные числа Разложение на простые множители, Разрешимость проблем 144 Среднее арифметическое Разрыв со скачком 311 — геометрическое Разрывность функции 311 Стационарные точки Разрывные функции как пределы Сумма логическая Расходимость последовательностей —, доказательство Рациональные операции, Счетность множества рациональных геометрическое построение 146 чисел — числа — —, операции с р.ч. — —, плотность — —, счетность Решето Эратосфена Риманова геометрия Род поверхности Ряды бесконечные Световые лучи 358 Топологическое преобразование Точки коллинеарные Трансцендентность числа p 167 Ц Трансцендентные числа Треугольники, образованные световыми лучами —, экстремальные свойства Тригонометрические функции Трисекция угла Удвоение куба Узлы Уличной сети проблема Уоллиса формула 328, Уравнение гиперболы — деления окружности — диофантово — квадратное —, корни —, кратность корней Уравнения движения 487 Числовая система Ускорение Ферма великая теорема 67 Штейнера построения — теорема — числа Фокус конического сечения Функция — (кривая) вогнутая, выпуклая 453, —, график — комплексного переменного — многих переменных — монотонная — непрерывная — обратная Экстремумы и неравенства 389 Эллиптическая геометрия Эксцентриситет (конического Эллиптические точки Эллипс, свойство касательных 361 Эратосфена решето

ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИКА?

непрерывного математического образования Подписано в печать 30.03.2001 г. Формат 60 90 1/16. Бумага офсетная №1.

Печать офсетная. Печ. л. 35,5. Тираж 3000 экз. Заказ № 121002, Москва, Большой Власьевский пер., Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО «Типография Новости“ »

107005, Москва, ул. Фридриха Энгельса, Книги издательства МЦНМО можно приобрести в «Математическом библиоклубе», Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (095) 241–72–85. E-mail: [email protected]