«Что такое математика? (Элементарный очерк идей и методов) Перевод с английского под редакцией А. Н. Колмогорова МЦНМО, 2000 УДК 51(07) К93 What is ББК 22.1 Mathematics? AN ELEMENTARY APPROACH TO IDEAS AND METHODS by ...»

2. Распределение простых чисел. Можно составить список всех простых чисел, не превышающих какого-то данного числа N, следующим образом. Напишем подряд все натуральные числа от 2 до N, затем вычеркнем все числа, являющиеся кратными 2 (не считая самого числа 2), все числа, являющиеся кратными 3 (не считая 3), и т. д., пока не будут вычеркнуты все составные числа. Эта процедура, известная под названием «решета Эратосфена», позволит выловить все простые числа в пределах от 2 до N. Усовершенствования этого метода мало-помалу привели к тому, что в настоящее время составлены вполне надежные таблицы простых чисел примерно до 10 000 000. Они предоставляют в наше распоряжение обширнейший эмпирический материал, позволяющий судить о распределении и свойствах простых чисел. Основываясь на этих таблицах, мы можем высказать ряд в высшей степени правдоподобных гипотез — совершенно так, как будто бы теория чисел была экспериментальной наукой. Часто доказательство этих гипотез оказывается необычайно затруднительным.

Были сделаны попытки найти элементарные арифметические формулы, которые давали бы только простые числа, хотя бы без требования, чтобы они давали все простые числа. Ферма высказал предположение (не выставляя его в качестве положительного утверждения), что все являются простыми. В самом деле, при n = 1, 2, 3, 4 мы получаем — всё простые числа. Но в 1732 г. Эйлер разложил на множители число 22 + 1 = 641 · 6 700 417; таким образом, число F (5) — уже не простое.

Позднее среди этих «чисел Ферма» удалось обнаружить другие составные числа, причем ввиду непреодолимых трудностей, с которыми были связаны непосредственные пробы, в каждом случае были выработаны более глубокие теоретико-числовые методы. В настоящее время остается неизвестным даже то, дает ли формула Ферма бесконечное множество Вот другое простое и замечательное выражение, дающее много простых чисел:

При n = 1, 2, 3,..., 40 f (n) есть простое число; но уже при n = простого числа не получается:

Выражение дает простые числа до n = 79 включительно; при n = 80 получается составное число.

В итоге можно сказать, что поиски элементарных формул, дающих только простые числа, оказались тщетными. Еще менее обнадеживающей следует считать задачу нахождения такой формулы, которая давала бы только простые числа и притом все простые числа.

б. Простые числа в арифметических прогрессиях Если доказательство того, что в последовательности всех натуральных чисел n = 1, 2, 3, 4,... содержится бесконечное множество простых чисел, носит вполне элементарный характер, то следующий шаг в сторону таких последовательностей, как, например, 1, 4, 7, 10, 13,... или 3, 7, 11, 15, 19,..., или, вообще говоря, в сторону произвольной арифметической прогрессии a, a + d, a + 2d,..., a + nd,... (где a и d не имеют общих множителей), оказался связанным с гораздо бльшими трудноо стями. Все наблюдения только подтверждали тот факт, что в каждой такой прогрессии содержится бесконечное число простых чисел, как и в простейшей из них 1, 2, 3,... Но понадобились величайшие усилия для того, чтобы доказать эту общую теорему. Успех был достигнут Лежёном Дирихле (1805–1859), одним из ведущих математиков прошлого столетия, который применил при доказательстве самые усовершенствованные средства математического анализа из известных в то время. Его замечательные работы в этой области даже для настоящего времени остаются непревзойденными; прошло около ста лет, но доказательства Дирихле все еще не упрощены настолько, чтобы они могли быть поняты теми, кто не овладел полностью техникой математического анализа и теорией функций.

Мы не будем здесь пытаться привести доказательство общей теоремы Дирихле, а ограничимся рассмотрением более легкой задачи: обобщим евклидово доказательство о существовании бесконечного множества простых чисел таким образом, чтобы оно охватило некоторые специальные прогрессии, например 4n + 3 или 6n + 5. Рассмотрим первую из этих прогрессий. Заметим прежде всего, что всякое простое число, большее 2, — непременно нечетное (иначе оно делилось бы на 2) и, следовательно, имеет вид 4n + 1 или 4n + 3 (при целом n). Далее, произведение двух чисел вида 4n + 1 также есть число того же вида, так как Допустим теперь, что существует лишь конечное число простых чисел вида 4n + 3; обозначим их p1, p2,..., pn и рассмотрим число Одно из двух: либо число N — простое, либо оно разлагается в произведение простых чисел, среди которых, однако, не может быть ни одного из чисел p1, p2,..., pn, так как эти числа делят N с остатком 1.

Заметим далее, что все множители, входящие в N, не могут быть вида 4n + 1, так как само N не этого вида, а мы видели, что произведение чисел вида 4n + 1 является числом того же вида. Итак, хоть один из множителей, входящих в N, должен быть вида 4n + 3, а это невозможно, так как ни одно из чисел p не входит множителем в N, а числами p все простые числа вида 4n + 3 по предположению исчерпываются. Таким образом, допуская, что существует лишь конечное число простых чисел вида 4n + 3, мы приходим к противоречию, и значит, таких чисел бесконечно много.

Упражнение. Докажите соответствующую теорему для прогрессии 6n + в. Теорема о распределении простых чисел В исследованиях, связанных с законом распределения простых чисел, решительный шаг был сделан тогда, когда математики отказались от тщетных попыток найти элементарную математическую формулу, которая давала бы все простые числа или же точное число простых чисел, содержащихся среди n первых натуральных чисел, и сосредоточили вместо того внимание на распределении в среднем простых чисел среди всех натуральных.

При всяком целом n обозначим через An число простых чисел среди чисел 1, 2, 3,..., n. Если мы выделим среди первых чисел натурального ряда те, которые являются простыми, то не составит труда подсчитать ряд значений An :

Возьмем теперь какую-нибудь неограниченно возрастающую последовательность значений n, например тогда соответствующие значения An также будут возрастать безгранично (хотя и более медленно). Действительно, множество простых чисел, как мы уже знаем, бесконечно, и потому значения An рано или поздно станут больше любого назначенного числа. «Плотность» распределения простых чисел среди n первых чиA сел натурального ряда дается отношением n ; не представляет особого труда с помощью таблиц простых чисел подсчитать значения n при достаточно больших значениях n:

Последняя, скажем, из выписанных строчек в приведенной табличке дает вероятность того, что число, случайно выхваченное из 109 первых чисел натурального ряда, окажется простым: всего имеется 109 возможных выборов, из них A109 соответствуют простым числам.

Распределение отдельных простых чисел отличается чрезвычайно неправильным характером. Но эта неправильность «в малом» исчезает, если мы направим внимание к распределению «в среднем», находящему свое выражение в изменениях отношения n при неограниченно растуn щем n. Простой закон, которому подчиняется поведение этого отношения, следует отнести к числу самых замечательных открытий, сделанных во всей математике. Для того чтобы сформулировать теорему о распределении простых чисел, к которой мы теперь подходим, необходимо предваритель- y но разъяснить, что такое «натуральный логарифм» числа n. Для этой цеxy ли возьмем в плоскости две взаимно перпендикулярные оси и рассмотрим геометрическое место таких точек на плоскости, для которых произведение расстояний x и y от двух осей равно единице. В терминах координат x и y это геометрическое место есть равносторонняя гипербола, уравнение которой имеет вид xy = 1. Мы определим ln n как площадь (рис. 5) фигуры, ограниченной гиперболой и двумя вертикальными прямыми x = 1 и x = n. (Более детально логарифм и его свойства будут рассмотрены в главе VIII.) Чисто случайно, в связи с изучением таблицы простых чисел, Гаусс заметил, что отношение приблизительно равn но и что точность этого приближения, по-видимому, улучшается при возрастании n. Насколько удовлетворительно приближение, можно суA дить по отношению n :, значения которого при n = 1000, 1 000 000, 1 000 000 000 показаны в следующей табличке:

Основываясь на такого рода эмпирической очевидности, Гаусс высказал в качестве предположения, что отношение n «асимптотически равn но». Смысл этого утверждения заключается в следующем: если возьмем последовательность значений n, становящихся все больше и больше, например, (как мы делали и раньше), то отношение вычисляемое для этих последовательно рассматриваемых значений n, будет становиться все более и более близким к числу 1, а именно, разность между указанным отношением и единицей будет делаться столь малой, сколь будет назначено, лишь бы только мы рассматривали достаточно большие значения n. Такого рода соотношение символически тании n стремится к 1. Что знак не может быть заменен знаком обыкновенного равенства (=), ясно хотя бы из того факта, что An — непременно целое число, тогда как не является таковым.

То обстоятельство, что распределение простых чисел хорошо описывается с помощью логарифмической функции, нельзя не признать поистине поразительным, так как здесь вступают в тесное соприкосновение два математических понятия, казалось бы не имеющие друг к другу никакого отношения.

Хотя схватить содержание высказанного Гауссом предположения не представляет особой трудности, однако его строгое математическое доказательство во времена Гаусса было за пределами возможностей математической науки. Для того чтобы доказать теорему о распределении простых чисел, говорящую лишь о самых элементарных математических понятиях, неизбежно нужно прибегнуть к самым мощным методам современной математики. Пришлось ждать почти сто лет, пока анализ получил достаточное развитие для того, чтобы Адамар (1896) в Париже и Валле-Пуссен (1896) в Лувэне смогли дать исчерпывающее доказательство теоремы о распределении простых чисел. Упрощения и важные дополнения были затем внесены Мангольдтом и Э. Ландау. Задолго до Адамара значительное продвижение в этой области было сделано Риманом (1826–1866) в его знаменитой работе, намечающей основные стратегические линии предстоящей атаки. Совсем недавно американский математик Норберт Винер сумел видоизменить доказательство таким образом, чтобы избежать применения комплексных чисел в узловых моментах проводимых рассуждений. Но все же доказательство теоремы о распределении простых чисел остается слишком сложным для того, чтобы его можно было предложить начинающему. Мы вернемся к этому вопросу на стр. 507 и следующих.

г. Две еще не решенные задачи о простых числах Если проблема распределения простых чисел («в среднем») была разрешена удовлетворительно, то справедливость ряда других гипотез, эмпирически совершенно несомненная, все еще не доказана.

Сюда относится прежде всего знаменитая гипотеза Гольдбаха.

Гольдбах (1690–1764) сам по себе не оставил никакого следа в истории математики: он прославился только проблемой, которую предложил Эйлеру в письме, относящемся к 1742 г. Он обратил внимание на тот факт, что ему всегда удавалось представить любое четное число (кроме 2, которое само есть простое число) в виде суммы двух простых. Например, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7, и т. д.

Гольдбах спрашивал у Эйлера, может ли тот доказать, что такого рода представление возможно для всякого четного числа, или же, напротив, сможет указать пример, опровергающий такое предположение. Эйлер так и не дал ответа; не дал его никто и в дальнейшем.

Эмпирическая очевидность гипотезы Гольдбаха, как легко проверить, вполне убедительна. Источник же возникающих затруднений — в том, что понятие простого числа определяется в терминах умножения, тогда как сама проблема касается сложения. Вообще, находить связи между мультипликативными и аддитивными свойствами чисел очень трудно.

До недавнего времени доказательство гипотезы Гольдбаха казалось задачей совершенно неприступной. Сегодня дело обстоит уже не так.

Очень значительный успех, оказавшийся неожиданным и поразительным для всех специалистов по данному вопросу, был достигнут в 1931 г.

неизвестным в то время молодым русским математиком Шнирельманом (1905–1938), который доказал, что всякое целое положительное число может быть представлено в виде суммы не более чем 800 000 простых.

Хотя этот результат и производит несколько комическое впечатление (по сравнению с первоначально поставленной целью доказать гипотезу Гольдбаха), тем не менее он стал первым шагом в должном направлении. Доказательство Шнирельмана — прямое и носит конструктивный характер, хотя и не обеспечивает практического метода для представления произвольного целого числа в виде суммы простых. Еще позднее русский же математик Виноградов, пользуясь методами Харди, Литтлвуда и их поистине великого сотрудника по работе индуса Рамануджана, сумел понизить число слагаемых в формулировке Шнирельмана с 800 000 до 4. Это уже гораздо ближе к решению проблемы Гольдбаха.

Но между результатами Шнирельмана и Виноградова имеется очень резкое различие более резкое, чем различие между числами 800 000 и 4.

Теорема Виноградова была доказана им лишь для всех «достаточно больших» чисел; точнее говоря, Виноградов установил существование такого числа N, что всякое целое число n > N может быть представлено в виде суммы четырех простых чисел. Метод Виноградова не позволяет никак судить о величине N ; в противоположность методу Шнирельмана, он — существенно «косвенный» и неконструктивный. По существу, Виноградов доказал следующее: допуская, что существует бесконечное множество чисел, не представимых в виде суммы четырех (или менее того) простых чисел, можно получить противоречие. Здесь перед нами прекрасный пример, показывающий глубокое различие между двумя типами доказательств — прямым и косвенным (см. общее обсуждение этого вопроса на стр. 40)1.

1 Основной результат И. М. Виноградова (1937) устанавливает существование такого натурального N, что всякое нечетное n > N представимо в виде суммы трех простых чисел:

из чего, разумеется, вытекает уже представимость любого натурального n > N + 2 в виде суммы четырех простых чисел. Результат Виноградова о нечетных числах окончателен — число слагаемых (три) в его формулировке уменьшить нельзя. Что же касается четных чисел, то из представимости их в виде () Следующая проблема, еще более любопытная, чем проблема Гольдбаха, нисколько не приблизилась к своему разрешению. Было подмечено, что простые числа нередко встречаются парами в виде p и p + 2.

Таковы 3 и 5, 11 и 13, 29 и 31 и т. д. Предположение о существовании бесконечного множества таких «близнецов» кажется весьма правдоподобным, но до сих пор не удалось даже приблизиться к его доказательству.

1. Общие понятия. Всякий раз, когда приходится говорить о делимости целых чисел на некоторое определенное целое число d, все рассуждения становятся яснее и проще, если пользоваться отношением сравнения, введенным Гауссом, и соответствующими обозначениями.

Чтобы ввести понятие сравнения, рассмотрим остатки, получающиеся при делении различных чисел, например, на 5. Мы получаем:

Заметим, что остатком при делении на 5 может быть только одно из чисел 0, 1, 2, 3, 4. Говорят, что два числа a и b сравнимы по модулю 5, если при делении на 5 они дают один и тот же остаток. Так, все числа 2, 7, 12, 17, 22,..., 3, 8, 13, 18,... сравнимы по модулю 5, так как при делении на 5 все они дают остаток 2. Вообще, говорят, что два числа a и b сравнимы по модулю d (где d — некоторое целое число), если при делении на d они дают один и тот же остаток; другими словами, если существует такое целое число n (положительное, отрицательное или вытекала бы сразу и представимость любого четного n в виде суммы двух простых слагаемых (т. к. в этом случае одно из слагаемых равно 2). Однако при всей правдоподобности гипотезы о представимости в таком виде любого четного n > 3, проблема ее доказательства чрезвычайно трудна и превышает, по-видимому, еще возможности математиков.

Неэффективный характер теоремы Виноградова устранен в 1939 г. К. Г. Борозe41, диным, показавшим, что в виде () представимо любое нечетное n > C = ee ;

в 1956 г. ему же удалось снизить эту оценку до C = ee. Конечно, уменьшение константы C до разумных пределов позволило бы решить гипотезу о представимости в виде () нечетных n, 6 < n < C, — и тем самым любого нечетного n > 6 — посредством прямой вычислительной проверки. — Прим. А. Н. Колмогорова.

нуль), что a b = nd. Например, 27 и 15 сравнимы по модулю 4, так как Для отношения сравнения введено специальное обозначение — если a и b сравнимы по модулю d, то пишут: a b (mod d). [Если же a не сравнимо с b по модулю d, то пишут a b (mod d).] Если ясно, какой модуль имеется в виду, то приписку «mod d» опускают.

Сравнения часто встречаются в повседневной жизни. Например, часовая стрелка указывает время по модулю 12; автомобильный счетчик отмечает пройденные расстояния по модулю 100 000 (миль или километров).

Прежде чем перейти к более детальному рассмотрению сравнений и их свойств, пусть читатель проверит, что следующие утверждения в точности эквивалентны:

1) a сравнимо с b по модулю d.

Введенные Гауссом обозначения для сравнений подчеркивают то обстоятельство, что сравнения обладают многими свойствами обычных равенств. Напомним эти свойства:

Кроме того, если a = a и b = b, то Эти же свойства сохраняются, если соотношение равенства a = b заменяется соотношением сравнения a b (mod d). Именно:

(Проверьте! — это нетрудно.) Точно так же, если a a (mod d) и b b (mod d), то Таким образом, сравнения по одному и тому же модулю можно складывать, вычитать и умножать. В самом деле, из вытекает что и приводит к нужным заключениям.

Сравнения допускают великолепное геометрическое представление. Если хотят дать геометрическое представление целым числам, то обыкновенно выбирают прямолинейный отрезок единичной длины и затем откладывают кратные отрезки в обе стороны. Таким образом, для каждого целого числа получается соответствующая ему точка на прямой — числовой оси (рис. 6). Но если приходится иметь Рис. 6. Геометрическое представление целых чисел дело с числами по данному модулю d, два сравнимых числа — поскольку речь идет о делимости на d — рассматриваются как нечто неразличимое, так как дают одни и те же остатки. Чтобы изобразить все это геометрически, возьмем окружность, разделенную на d равных частей. Всякое целое число при делении на d дает в качестве остатка одно из чисел 0, 1, 2,..., d 1; эти числа мы и расставим по окружности на равных расстояниях. Каждое число сравнимо с одним из этих чисел по модулю d и, следовательно, представляется соответствующей точкой; два числа сравнимы, если изоб- может также служить моделью.

степеней числа 10. Так как 10 = 1 + 11, то на себя, получаем дальше Отсюда можно заключить, что всякое целое число, запись по десятичной системе которого имеет вид дает тот же остаток при делении на 11, что и сумма его цифр, взятая с чередующимися знаками:

В самом деле, мы имеем Так как все выражения 102 1, 103 + 1,... сравнимы с нулем по модулю 11, то z t также сравнимо с нулем, и потому z при делении на дает тот же остаток, что и t. В частности, число делится на 11, т. е. дает остаток 0 при делении, в том и только том случае, если знакочередующаяся сумма его цифр делится на 11. Например, число z = 3 162 819 делится на 11, так как 3 1 + 6 2 + 8 1 + 9 = 22 делится на 11. Найти таким же образом правило делимости на 3 или на 9 еще проще, так как (mod 3 и 9), и потому 10n 1 (mod 3 и 9) при любом n. Отсюда следует, что число z делится на 3 и на 9 в том и только том случае, если сумма его цифр делится соответственно на 3 и на 9.

Если в качестве модуля возьмем 7, то получим Далее остатки повторяются. Таким образом, z делится на 7 в том и только том случае, если выражение делится на 7.

Упражнение. Найдите подобный же признак делимости на 13.

Складывая и умножая сравнения по определенному модулю, скажем d = 5, можно всегда обеспечить то, чтобы входящие числа не становились слишком большими, заменяя всякий раз встречающееся число одним из чисел а именно тем, с которым оно сравнимо. Так, вычисляя суммы и произведения различных чисел по модулю 5, нужно только пользоваться следующими таблицами сложения и умножения:

Из второй таблицы видно, что произведение ab сравнимо с нулем по модулю 5 только в том случае, если a или b 0 (mod 5). Это наводит на мысль о существовании следующего общего закона:

7) ab 0 (mod d) только в том случае, если a 0 или b 0 (mod d), что является распространением хорошо известного свойства обыкновенного умножения:

ab = 0 только в том случае, если a = 0 или b = 0.

Но закон 7) действителен только при том условии, что модуль d есть простое число. Действительно, сравнение означает, что ab делится на d, а мы уже видели, что произведение ab делится на простое d в том и только том случае, если один из множителей a или b делится на d, т. е. если С другой стороны, закон теряет силу при d составном: можно тогда написать d = r · s, где оба множителя r и s меньше чем d, так что и, однако, Например, 2 0 (mod 6) и 3 0 (mod 6), но 2 · 3 = 6 0 (mod 6).

Упражнения. 1) Покажите, что для сравнений по простому модулю имеет место следующее правило сокращения: если ab ac и a 0, то b c.

2) С каким числом в пределах от 0 до 6 включительно сравнимо число 11 · 18 2322 · 13 · 19 по модулю 7?

3) С каким числом в пределах от 0 до 12 включительно сравнимо число 3 · 7 11 · 17 · 19 · 23 · 29 · 113 по модулю 13?

4) С каким числом в пределах от 0 до 4 включительно сравнима сумма 1 + 2 + 22 +... + 219 по модулю 5?

2. Теорема Ферма. В XVII столетии Ферма, основатель современной теории чисел, открыл чрезвычайно важную теорему. Если p — простое число, не делящее целого числа a, то Другими словами, (p 1)-я степень a при делении на p дает остаток 1.

Некоторые из ранее произведенных нами вычислений подтверждают эту теорему: так, мы видим, что 106 1 (mod 7), 102 1 (mod 3) и 1010 1 (mod 11). Таким же образом легко проверить, что (mod 13) и 510 1 (mod 11). Для этой цели нет необходимости на самом деле вычислять столь высокие степени данных чисел; достаточно использовать мультипликативное свойство сравнений:

Обращаясь к доказательству теоремы Ферма, рассмотрим числа, кратные a:

Никакие два из этих чисел не могут быть между собой сравнимы по модулю p. В противном случае p должно было бы делить разность mr ms = (r s)a, где r, s была бы пара целых чисел, подчиненных ограничению 1 r < s (p 1). Но из закона 7) следует, что этого не может случиться: так как s r меньше чем p, то p не делит s r; с другой стороны, по предположению, p не делит и a. Таким же образом мы убеждаемся, что ни одно из чисел m не сравнимо с нулем. Отсюда следует, что числа m1, m2,..., mp1 соответственно сравнимы с числами 1, 2,..., p 1, взятыми в некоторой их перестановке. Дальше заключаем:

или же, полагая ради краткости K = 1 · 2 · 3... (p 1), Число K не делится на p, так как ни один из входящих в него множителей не делится на p; значит, согласно закону 7) (ap1 1) должно делиться на p, т. е.

Это и есть теорема Ферма.

Проверим эту теорему еще раз. Возьмем p = 23 и a = 5; тогда получаем по модулю Если возьмем a = 4 вместо 5, то будем иметь, опять-таки по модулю 23, В примере, где было взято a = 4, p = 23 (как и во многих иных), можно заметить, что не только (p 1)-я степень, но и более низкая степень a уже оказывается сравнимой с единицей. Наименьшая такая степень — в нашем примере степень 11 — непременно есть делитель числа p (см. ниже, упражнение 3).

Упражнения. 1) С помощью подобных же вычислений проверьте, что 2) Проверьте теорему Ферма, взяв p = 5, 7, 11, 17 и 23 и придавая числу a различные значения.

3) Докажите общую теорему: наименьшее число e, для которого ae (mod p), должно быть делителем p 1. [Указание: произведите деление p на e, получая где 0 r < e, и дальше воспользуйтесь тем обстоятельством, что ap1 ae (mod p).] 3. Квадратические вычеты. Обращаясь снова к примерам, иллюстрирующим теорему Ферма, мы можем подметить, что не только всегда справедливо сравнение ap1 1 (mod p), но (предположим, что p есть простое число, отличное от 2, значит, — нечетное, p = 2p + 1) при некоторых значениях a справедливо также сравнение ap = a (mod p). Это обстоятельство вызывает ряд заслуживающих внимания соображений. Теорему Ферма можно записать в следующем виде:

Так как произведение делится на p только в том случае, если один из множителей делится на p, то, значит, одно из чисел ap 1 или ap + должно делиться на p; поэтому, каково бы ни было простое число p > и каково бы ни было число a, не делящееся на p, непременно должно иметь место одно из двух сравнений Начиная с самого возникновения современной теории чисел, математики были заинтересованы выяснением вопроса: для каких чисел a оправдывается первое сравнение, а для каких — второе? Предположим, что a сравнимо по модулю p с квадратом некоторого числа x, x, и согласно теореме Ферма правая, а следовательно, и левая части сравнения должны быть сравнимы с 1 по модулю p. Такое число a (не являющееся кратным p), которое по модулю p сравнимо с квадратом некоторого числа, называется квадратическим вычетом p;

напротив, число b, не кратное p, которое не сравнимо ни с каким квадратом по модулю p, называется квадратическим невычетом p. Мы только что видели, что всякий квадратический вычет a числа p удовлетворяет сравнению a невычет b числа p удовлетворяет сравнению b 2 1 (mod p). Кроме того, мы покажем (несколько дальше), что среди чисел 1, 2, 3,..., p имеется в точности квадратических вычетов и невычетов.

Хотя с помощью прямых подсчетов можно было собрать немало эмпирических данных, но открыть сразу общие законы, регулирующие распределение квадратических вычетов, было нелегко. Первое глубоко лежащее свойство этих вычетов было подмечено Лежандром (1752– 1833); позднее Гаусс назвал его законом взаимности. Этот закон касается взаимоотношения между двумя различными простыми числами p и q. Он заключается в следующем:

1) Предположим, что произведение четное. Тогда q есть вычет p в том и только том случае, если p есть вычет q.

2) Предположим, напротив, что указанное произведение — нечетное.

Тогда ситуация резко меняется: q есть вычет p, если p есть невычет q, и наоборот.

Первое строгое доказательство закона взаимности, долгое время остававшегося гипотезой, данное Гауссом еще в молодости, явилось одним из крупных его достижений. Доказательство Гаусса никоим образом нельзя назвать простым, и в наше время провести доказательство закона взаимности стоит известного труда, хотя количество различных опубликованных доказательств очень велико. Истинный смысл закона взаимности вскрылся лишь в недавнее время — в связи с новейшим развитием алгебраической теории чисел.

В качестве примера, иллюстрирующего распределение квадратических вычетов, возьмем p = 7. Так как по модулю и так как дальнейшие квадраты повторяют эту последовательность, то квадратическими вычетами числа 7 являются числа, сравнимые с 1, и 4, а невычетами — числа, сравнимые с 3, 5 и 6. В общем случае квадратические вычеты p составляются из чисел, сравнимых с числами 12, 22,..., (p 1)2. Но эти последние попарно сравнимы, так как Действительно, (p x)2 = p2 2px + x2 x2 (mod p). Значит, половина чисел 1, 2,..., p 1 представляет собою квадратические вычеты числа p, а другая половина — невычеты.

Чтобы дать иллюстрацию также и закону взаимности, положим p = 5, q = 11. Так как 11 12 (mod 5), то 11 есть квадратический вычет по модулю 5, и так как, кроме того, произведение

§3 ПИФАГОРОВЫ ЧИСЛА И БОЛЬШАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА

четное, то согласно закону взаимности 5 должно быть также квадратическим вычетом по модулю 11; и в самом деле, мы видим, что 5 42 (mod 11). С другой стороны, положим p = 7, q = 11. Тогда произведение нечетно, и в этом случае 11 есть вычет по модулю 7 (так как 11 22 (mod 7)), а 7 — невычет по модулю 11.

Упражнения. 1) 62 = 36 13 (mod 23). Является ли 23 квадратическим вычетом по модулю 13?

2) Мы видели, что x2 (p x)2 (mod p). Покажите, что иного вида сравнений между числами 12, 22, 32,..., (p 1)2 быть не может.

§ 3. Пифагоровы числа и большая теорема Ферма Интересный вопрос из области теории чисел связан с теоремой Пифагора. Теорема эта, как известно, алгебраически выражается равенством где a и b — длины катетов, а c — длина гипотенузы. Проблема разыскания всех прямоугольных треугольников, стороны которых выражаются целыми числами, таким образом, эквивалентна проблеме нахождения всех решений (a, b, c) в целых числах уравнения (1). Каждая тройка целых чисел (a, b, c), удовлетворяющих этому уравнению, носит название пифагоровой тройки.

Все пифагоровы тройки могут быть найдены довольно просто. Пусть целые числа a, b и c образуют пифагорову тройку, т. е. связаны соотноa b шением a2 + b2 = c2. Положим ради краткости = x, = y. Тогда x и y — рациональные числа, связанные равенством x2 + y 2 = 1. Из поx следнего следует: y 2 = (1 x)(1 + x) или =. Общее значение двух отношений в полученной пропорции есть число t, которое может быть представлено как отношение двух целых чисел. Можно, далее, написать: y = t(1 + x) и (1 x) = ty, или же Из полученной системы уравнений немедленно следует, что Подставляя и вместо x и y и вместо t, будем иметь где r — некоторый рациональный множитель пропорциональности.

Итак, если числа (a, b, c) образуют пифагорову тройку, то они соответственно пропорциональны числам вида v 2 u2, 2uv, u2 + v 2. Обратно, легко проверить, что всякие три числа (a, b, c), определенные равенствами вида (2), образуют пифагорову тройку, так как из равенств (2) следует так что a2 + b2 = c2.

Этот результат можно несколько упростить. Из некоторой пифагоровой тройки (a, b, c) легко выводится бесконечное множество других пифагоровых троек (sa, sb, sc), каково бы ни было целое положительное s.

Так, из (3, 4, 5) получаются (6, 8, 10), (9, 12, 15) и т. д. Такие тройки не являются существенно различными, так как соответствуют подобным треугольникам. Мы условимся говорить о примитивной пифагоровой тройке, если числа a, b и c не имеют общего множителя. Можно показать, что формулы где u, v — произвольные целые положительные числа (v > u), не имеющие общих множителей и не являющиеся одновременно нечетными, дают нам все примитивные пифагоровы тройки.

* Упражнение. Докажите последнее утверждение.

Вот примеры примитивных пифагоровых троек:

В связи с рассмотрением пифагоровых чисел более или менее естественно возникает вопрос о возможности следующего обобщения задачи:

можно ли найти такие целые положительные числа a, b, c, которые удовлетворяли бы уравнению a3 + b3 = c3, или уравнению a4 + b4 = c4, или, вообще говоря, уравнению где показатель n — целое число, большее 2? Ответ был дан Ферма, который пришел к нему умозрительным путем. Ферма изучал одно сочинение Диофанта, известного математика древности, занимавшегося теорией чисел, и имел обыкновение делать примечания на полях книги.

Хотя он не затруднял себя тем, чтобы приводить тут же доказательства многих высказанных им теорем, но все они постепенно в дальнейшем были доказаны — за одним весьма значительным исключением. По поводу пифагоровых чисел Ферма сделал пометку, что уравнение (3) неразрешимо в целых числах, если n > 2, но что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было поместить на полях книги, с которой он работал.

Это утверждение Ферма в его общей форме никогда и никем впоследствии не было ни доказано, ни опровергнуто, несмотря на усилия целого ряда крупнейших математиков.1 Правда, теорема была доказана для очень многих значений n, в частности, для всех n < 619, но не для всех возможных значений n; вместе с тем не было указано и примера, опровергающего теорему. Хотя сама по себе теорема и не имеет очень большого значения в математическом смысле, но попытки доказать ее положили начало многим важнейшим исследованиям в области теории чисел. Проблема вызвала большой интерес и в более широких кругах — отчасти благодаря премии размером в 100 000 марок, предназначенной для лица, которое впервые даст решение, причем присуждение премии было поручено Геттингенской Академии. Пока послевоенная инфляция в Германии не свела на нет денежную ценность этой премии, ежегодно представлялось громадное число «решений», содержащих ошибки.

Даже специалисты-математики не раз были введены в заблуждение и представляли или публиковали доказательства, которые затем отпадали после обнаружения в них иной раз каких-нибудь поверхностных недосмотров. Со времени падения курса марки ажиотаж вокруг проблемы Ферма несколько приутих; и все же пресса не перестает время от времени осведомлять нас о том, что решение найдено каким-нибудь новоявленным «гением».

§ 4. Алгоритм Евклида 1. Общая теория. Читатель прекрасно знаком с обыкновенной процедурой «длинного» деления одного целого числа a на другое число b и знает, что эту процедуру можно продолжать до тех пор, пока остаток не станет меньше, чем делитель. Так, если a = 648 и b = 7, то мы получаем частное q = 92 и остаток r = 4.

1 Теорема Ферма была доказана в 1995 г. Подробную историю доказательства этой теоремы можно найти в книге: Сингх С. Великая теорема Ферма. — М.: МЦНМО, 2000. — Прим. ред. наст. изд.

По этому поводу можно сформулировать следующую общую теорему:

если a и b — целые числа, причем b отлично от нуля, то можно всегда найти такое целое число q, что где r есть целое число, удовлетворяющее неравенству 0 r < b.

Докажем эту теорему независимо от процедуры длинного деления. Достаточно заметить, что число a или само есть кратное числа b, или же лежит между двумя последовательными кратными b, В первом случае равенство (1) оправдывается, причем r = 0. Во втором случае из первого неравенства вытекает, что а из второго — что так что число r в этом случае удовлетворяет условию 0 < r < b.

Из указанного обстоятельства можно вывести большое число различных важных следствий. Первое из них — это метод для нахождения общего наибольшего делителя двух целых чисел.

Пусть a и b — два каких-то целых числа, не равных одновременно нулю; рассмотрим совокупность всех чисел, на которые делятся и a и b. Эта совокупность, несомненно, конечная, так как если, например, a = 0, то никакое число, большее чем a, не может быть делителем a.

Отсюда следует, что число общих делителей a и b конечно; пусть через d обозначен наибольший из них. Число d называется общим наибольшим делителем a и b, и мы условимся обозначать его d = (a, b). Так, если a = 8, b = 12, то непосредственная проверка показывает, что (8, 12) = 4; если a = 5, b = 9, то мы точно так же получаем (5, 9) = 1. Если a и b — достаточно большие числа, например a = 1804, b = 328, то попытки найти общий наибольший делитель с помощью непосредственных проб довольно утомительны. Короткий и вполне надежный метод вытекает из алгоритма Евклида. (Алгоритмом называют всякий систематизированный прием вычисления.) Он основан на том обстоятельстве, что из соотношения вида необходимо следует, что В самом деле, всякое число u, которое одновременно делит и a и b, делит также и r, так как r = a bq = su qtu = (s qt)u; и обратно, всякое число v, которое одновременно делит b и r, делит также и a, так как a = bq + r = s vq + t v = (s q + t )v. Значит, каждый общий делитель a и b есть вместе с тем общий делитель b и r, и обратно. Но раз совокупность всех общих делителей a и b совпадает с совокупностью всех общих делителей b и r, то ясно, что общий наибольший делитель a и b должен совпадать с общим наибольшим делителем b и r. А это и выражено равенством (3). Мы сейчас убедимся в полезности установленного обстоятельства.

Для этого вернемся к примеру нахождения общего наибольшего делителя чисел 1804 и 328. Обыкновенное «длинное» деление приводит нас к заключению, что Отсюда в силу (3) следует, что Заметим, что задача вычисления общего наибольшего делителя (1804, 328) заменена теперь аналогичной задачей, но для меньших чисел. Можно продолжать эту процедуру. Так как то мы получаем дальше 328 = 2 · 164 + 0, так что (328, 164) = (164, 0) = = 164. Значит, (1804, 328) = (328, 164) = (164, 0) = 164, и общий наибольший делитель найден.

Эта самая процедура нахождения общего наибольшего делителя двух чисел в геометрической форме описана в «Началах» Евклида. Мы дадим ее общее описание в арифметической форме, исходя из произвольных целых чисел a и b, которые оба одновременно не равны нулю.

Так как сразу ясно, что (a, 0) = a, то можно допустить, что b = 0.

Последовательные деления приводят нас к цепи равенств Деление продолжается, пока какой-нибудь из остатков r1, r2, r3,... не обратится в нуль. Рассматривая неравенства, выписанные справа, мы видим, что последовательно получаемые остатки образуют убывающую последовательность положительных чисел:

Отсюда ясно, что после конечного числа делений (нужно сделать не более b операций, но часто гораздо меньше, так как разности между соседними r обыкновенно превышают единицу) должен получиться остаток 0:

Как только это получилось, мы можем утверждать, что другими словами, общий наибольший делитель (a, b) равен последнему остатку в последовательности (5). Это следует из многократного применения равенства (3) к соотношениям (4); в самом деле, из этих соотношений следует:

Упражнение. Выполните алгоритм Евклида с цепью нахождения общего наибольшего делителя чисел: а) 187, 77; б) 105, 385; в) 245, 193.

Из равенств (4) можно вывести одно чрезвычайно важное свойство общего наибольшего делителя (a, b): если d = (a, b), то можно найти такие целые положительные или отрицательные числа k и l, что Чтобы убедиться в этом, рассмотрим последовательные остатки (5).

Первое из равенств (4) нам дает так что r1 может быть записано в форме k1 a + l1 b (в данном случае k1 = 1, l1 = q1 ). Из следующего равенства получается Очевидно, такое же рассуждение можно по очереди применить ко всем остаткам r3, r4,..., пока мы не придем к представлению которое и желали получить.

В качестве примера рассмотрим алгоритм Евклида в применении к нахождению (61, 24): общий наибольший делитель есть 1, и интересующее нас представление числа 1 получается из равенств Первое из этих равенств дает второе — третье — и, наконец, четвертое — 2. Применение к основной теореме арифметики. Тот факт, что d = (a, b) всегда может быть записано в форме d = ka + lb, позволит нам привести доказательство основной теоремы арифметики, отличное от того, которое было изложено на стр. 42. Сначала в качестве леммы мы докажем следствие, приведенное на стр. 43, а затем уже из него выведем теорему. Таким образом, ход мыслей будет теперь противоположен прежнему.

Лемма. Если произведение ab делится на простое число p, то или a, или b делится на p.

Предположим, что a не делится на p; тогда (a, p) = 1, так как p имеет лишь два делителя: p и 1. В таком случае можно найти такие целые числа k и l, что Умножая обе части равенства на b, получим:

Так как ab делится на p, то можно написать так что и отсюда ясно, что b делится на p. Таким образом, мы установили, что если ab делится на p, но a не делится, то b непременно делится на p;

значит, во всяком случае, или a, или b делится на p, раз ab делится на p.

Обобщение на случай произведения трех или большего числа множителей не представляет труда. Например, если abc делится на p, то достаточно дважды применить лемму, чтобы получить заключение, что по меньшей мере один из трех множителей ab и c делится на p. В самом деле, если p не делит ни a, ни b, ни c, то не делит ab и, следовательно, не делит (ab)c = abc.

Упражнение. Обобщение этого рассуждения на случай произведения из произвольного числа n множителей требует явного или неявного применения принципа математической индукции. Воспроизведите все детали соответствующих рассуждений.

Из полученного результата немедленно получается основная теорема арифметики. Предположим, что имеются два разложения целого числа N на простые множители:

Так как p1 делит левую часть равенства, то должно делить и правую и, значит (см. предыдущее упражнение), должно делить один из множителей qk. Но qk — простое число; значит, p1 должно равняться qk. Сократив равенство на общий множитель p1 = qk, обратимся к множителю p2 и установим таким же образом, что он равен некоторому qt. Сократив на p2 = qt, переходим, далее, к множителю p3, и т. д. В конце концов сократятся все множители p, и слева останется 1. Так как q — целые положительные числа, то и справа не может остаться ничего, кроме 1.

Итак, числа p и числа q будут попарно равны, независимо от порядка;

значит, оба разложения тождественны.

3. Функция Эйлера f(n). Еще раз о теореме Ферма. Говорят, что два целых числа a и b взаимно простые, если их общий наибольший делитель равен 1:

Например, числа 24 и 35 взаимно простые, но числа 12 и 18 не взаимно простые.

Если a и b взаимно простые, то можно подобрать такие целые числа k и l, что Это следует из свойства (a, b), отмеченного на стр. 64.

Упражнение. Докажите теорему: если произведение ab делится на r, причем r и a взаимно простые, то b делится на r. (Указание: если r и a взаимно простые, то можно найти такие целые числа k и l, что Затем умножьте обе части равенства на b). Эта теорема обобщает лемму со стр. 65, так как простое число p в том и только в том случае является взаимно простым с a, если a не делится на p.

Пусть n — произвольное целое положительное число; обозначим через f(n) количество таких целых чисел в пределах от 1 до n, которые являются взаимно простыми с числом n. Выражение f(n), впервые введенное Эйлером, представляет собой очень важную теоретико-числовую функцию. Легко подсчитать значения f(n) для нескольких первых знаАЛГОРИТМ ЕВКЛИДА чений n:

и т. д.

Заметим, что f(p) = p 1, если p — простое число; в самом деле, у числа p нет делителей, кроме 1 и p, и потому все числа 1, 2,..., p являются взаимно простыми с p. Если n составное и его разложение на простые множители имеет вид где числа p обозначают различные простые множители, каждый из которых возводится в некоторую степень, то тогда Например, из разложения 12 = 22 · 3 следует что легко проверить и непосредственно. Доказательство приведенной теоремы совершенно элементарно, но мы его не приводим.

Упражнение. Пользуясь функцией Эйлера f(n), обобщите теорему Ферма, приведенную на стр. 55. Обобщенная теорема формулируется следующим образом: если n — целое число и a взаимно просто с n, то 4. Непрерывные дроби. Диофантовы уравнения. Алгоритм Евклида, служащий для нахождения общего наибольшего делителя двух целых чисел, сразу же приводит к очень важному методу представления отношения двух целых чисел в виде некоторой сложной дроби особого вида.

Например, в применении к числам 840 и 611 алгоритм Евклида дает ряд равенств которые, между прочим, показывают, что (840, 611) = 1. Но из этих равенств, с другой стороны, получаются следующие:

Комбинируя последние равенства, мы приходим к следующему разложению числа :

Выражение вида где все числа a целые положительные, называется непрерывной дробью.

Алгоритм Евклида дает метод для представления всякого рационального числа в виде такой непрерывной дроби.

Упражнение. Разложите в непрерывные дроби рациональные числа * Непрерывные дроби играют важную роль в той области высшей арифметики, которую иногда называют диофантовым анализом. Диофантово уравнение — это алгебраическое уравнение с одним или с несколькими неизвестными, все коэффициенты которого — целые числа, причем ставится задача отыскания лишь целых его корней. Такое уравнение может или вовсе не иметь решений, или иметь их конечное число, или, наконец, иметь бесконечное множество решений. Простейшее диофантово уравнение — линейное, с двумя неизвестными:

где a, b, c — данные целые числа, и требуется найти целые решения x, y. Полное решение уравнения этого типа может быть найдено посредством алгоритма Евклида.

Прежде всего этот алгоритм позволит нам определить d = (a, b); затем, как мы знаем, при надлежащем выборе целых чисел k и l выполняется равенство Итак, уравнение (8) имеет частное решение x = k, y = l в том случае, если c = d.

Вообще, если c есть кратное d, то из равенства (9) мы выводим так что в этом случае уравнение (8) имеет частное решение x = x = kq, y = y = lq. Обратно, если уравнение (8) имеет при данном c хоть одно решение x, y, то c должно быть кратным d = (a, b): действительно, d делит и a и b, следовательно, должно делить c. Мы доказали, таким образом, что уравнение (8) имеет (хоть одно) решение в том и только том случае, если c кратно (a, b).

Посмотрим теперь, как, зная одно решение x = x, y = y уравнения (8), определить все прочие решения. Пусть x = x, y = y есть какое-либо иное решение; тогда x = x x, y = y y есть решение «однородного» уравнения Действительно, из равенств посредством вычитания получаем Обращаясь теперь к уравнению (10), мы видим, что общее его решение имеет доказательство читателю в качестве упражнения. Указание: разделите на (a, b) и воспользуйтесь упражнением на стр. 66.) Затем окончательно будем иметь общее решение уравнения (8):

Подведем итоги. Линейное диофантово уравнение ax + by = c, где a, b и c — целые числа, имеет целые решения в том и только том случае, если c кратно (a, b). В этом случае частное решение x = x, y = y может быть найдено посредством алгоритма Евклида, а самое общее имеет вид где r — произвольное целое число.

Примеры. Уравнение 3x + 6y = 22 не имеет целых решений, так как (3, 6) = 3 не делит 22.

Уравнение 7x + 11y = 13 имеет частное решение x = 39, y = 26, которое находится с помощью следующих вычислений:

Отсюда следует:

Остальные решения даются формулами где r — произвольное целое число.

Упражнение. Решите диофантовы уравнения:

ГЛАВА II

Математическая числовая система В дальнейшем мы должны в очень значительной степени расширить понятие числа, связываемое первоначально с натуральным рядом, для того чтобы сконструировать мощный инструмент, способный удовлетворять потребностям и практики, и теории. Исторически — в процессе долгой и неуверенно протекавшей эволюции — нуль, целые отрицательные числа и рациональные дроби приобрели постепенно те же права, что и числа натурального ряда, и в наши дни правилами действий со всеми этими числами прекрасно овладевает средний ребенок школьного возраста. Но для того чтобы обеспечить полную свободу в алгебраических операциях, нужно идти и дальше и охватить расширенным понятием также иррациональные и комплексные числа. Хотя эти обобщения понятия числа употреблялись уже столетия тому назад и на них базируется вся современная математика, но на прочный логический фундамент они были поставлены лишь в недавнее время. В настоящей главе мы дадим очерк основных этапов этого развития.

§ 1. Рациональные числа 1. Рациональные числа как средство измерения. Натуральные числа возникают как абстракция в процессе счета объектов, образующих конечные совокупности. Но в повседневной жизни нам приходится не только считать объекты, индивидуально отделенные один от другого, но и измерять величины, например такие, как длина, площадь, вес, время. Если мы хотим обеспечить свободу операций с результатами измерения таких величин, могущих неограниченно делиться на части, нам необходимо, не ограничиваясь натуральным рядом, расширить пределы арифметики и создать новый мир чисел. Первый шаг заключается в том, чтобы проблему измерения свести к проблеме счета. Мы выбираем сначала совершенно произвольно единицу измерения — фут, ярд, дюйм, фунт, грамм — смотря по случаю, и этой единице приписываем меру 1.

Затем мы считаем число таких единиц, входящих в измеряемую величину. Может случиться, что данный кусок свинца весит ровно 54 фунта.

78 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II

Но в общем случае, как мы замечаем, процесс счета «не сходится»:

данная величина не измеряется абсолютно точно выбранной единицей, не оказывается ей кратной. Самое большее, что мы можем сказать в этом случае, — это то, что она заключена между двумя последовательными кратными этой единицы, допустим, между 53 и 54 фунтами. Если так действительно происходит, то мы делаем следующий шаг и вводим новые подъединицы, получающиеся от подразделения первоначальной единицы на некоторое число n равных частей. На обыкновенном языке эти новые подъединицы могут иметь те или иные названия; например, фут подразделяется на 12 дюймов, метр — на 100 сантиметров, фунт — на 16 унций, час — на 60 минут, минута — на 60 секунд, и т. д. Однако в общей математической символике подъединица, получаемая при подразделении первоначальной единицы на n частей, обозначается символом, и если рассматриваемая величина содержит ровно m таких подъединиц, то ее мера тогда есть. Этот символ называется дробью или отношеn нием (иногда пишут m : n). Последний, и самый существенный, шаг был совершен уже осознанно, после многих столетий накопления отдельных усилий: символ был освобожден от его конкретной связи с процессом измерения и самими измеряемыми величинами и стал рассматриваться как отвлеченное число, самостоятельная сущность, уравненная в своих правах с натуральным числом. Если m и n — натуральные числа, то символ называется рациональным числом.

Употребление термина «число» (первоначально под «числами» понимали только натуральные числа) применительно к новым символам оправдывается тем обстоятельством, что сложение и умножение этих символов подчиняются тем же законам, что и соответствующие операции над натуральными числами. Чтобы в этом убедиться, нужно сначала определить, в чем заключаются сложение и умножение рациональных чисел, а также определить, какие рациональные числа признаются равными между собой. Эти определения, как всем известно, таковы:

где a, b, c, d — произвольные натуральные числа. Например, Эти самые определения мы вынуждены принять, если имеем в виду использовать рациональные числа для измерения длин, площадей и т. п.

Но с более строгой логической точки зрения эти правила сложения и умножения и это толкование равенства по отношению ко вновь вводимым символам устанавливаются независимо по определению, не будучи обусловлены какой-либо иной необходимостью, кроме взаимной совместимости (непротиворечивости) и пригодности к практическим приложениям. Исходя из определений (1), можно показать, что основные законы арифметики натуральных чисел продолжают сохраняться и в области всех рациональных чисел:

p + (q + r) = (p + q) + r (ассоциативный закон сложения), p(qr) = (pq)r (ассоциативный закон умножения), p(q + r) = pq + pr (дистрибутивный закон).

Так, например, доказательство коммутативного закона сложения в случае дробей ясно из следующих равенств:

здесь первое и последнее равенства оправдываются определением сложения (1), а среднее есть следствие коммутативных законов сложения и умножения в области натуральных чисел. Читатель сможет, если пожелает, проверить таким же образом четыре остальных закона.

2. Возникновение надобности в рациональных числах внутри самой математики. Принцип обобщения. Независимо от «практического» основания для введения рациональных чисел существует основание более глубокое и носящее в известном смысле еще более принудительный характер. Эту сторону дела мы рассмотрим здесь совершенно независимо от приведенных выше рассуждений. В обычной арифметике натуральных чисел мы всегда можем выполнять основные прямые операции — сложение и умножение. Но обратные операции — вычитание и деление — не всегда выполнимы. Разность b a двух натуральных чисел a и b есть по определению такое натуральное число c, что a + c = b, т. е. это есть решение уравнения a + x = b. Но в области натуральных чисел символ b a имеет смысл лишь при ограничении b > a, так как только при этом условии уравнение a + x = b имеет решением натуральное число. На пути к снятию этого ограничения серьезный шаг был сделан уже тогда, когда был введен символ 0 для обозначения a a. Но еще более значительным успехом было введение символов 1, 2, 3,... и вместе с тем определения для случая b < a: после этого можно было утверждать, что и вычитание обладает свойством неограниченной выполнимости в области всех целых — положительных и отрицательных — чисел. Вводя новые симМАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II волы 1, 2, 3,... и тем самым расширяя числовую область, мы обязаны, конечно, определить операции со вновь вводимыми числами таким образом, чтобы первоначальные правила арифметических операций не были нарушены. Так, например, правило которое лежит в основе умножения отрицательных чисел, есть следствие нашего желания сохранить дистрибутивный закон a(b + c) = ab + ac.

Действительно, если бы мы, скажем, декларировали, что (1) · (1) = 1, то, полагая a = 1, b = 1, c = 1, получили бы (1) · (1 1) = 1 1 = 2, тогда как на самом деле (1) · (1 1) = (1) · 0 = 0.

Понадобилось немало времени, чтобы среди математиков было хорошо осознано, что «правило знаков» (3) и вместе с ним все прочие определения, относящиеся как к отрицательным числам, так и к дробям, никак не могут быть «доказаны». Они создаются, или декларируются, нами самими с целью обеспечить свободу операций и притом без нарушения основных арифметических законов. Что может — и должно — быть доказываемо, так это только то, что если эти определения приняты, то тем самым сохранены основные законы арифметики: коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный. Даже великий Эйлер пользовался совершенно неубедительной аргументацией, желая показать, что (1) · (1) «должно» равняться +1. Он говорил: «Рассматриваемое произведение может быть только или +1, или 1; но 1 быть не может, так как 1 = (+1) · (1).»

Совершенно подобно тому, как введение отрицательных целых чисел и нуля расчищает путь для неограниченной выполнимости вычитания, введение дробных чисел устраняет арифметические препятствия, мешаb ющие выполнять деление. Отношение, или частное, x = двух целых чисел определяется как решение уравнения и существует как целое число только в том случае, если a есть делитель b. Но если это не так (например, при a = 2, b = 3), то мы просто вводим новый символ, называемый дробью и подчиненный условию, выражающемуся равенством a · = b, так что есть решение (4) «по определению». Изобретение дробей как новых числовых символов обеспечивает неограниченную выполнимость деления, за исключением деления на нуль, которое исключается раз навсегда.

Выражения вроде,, и т. п. останутся для нас символами, лишенными смысла. Если бы мы допустили деление на 0, то из верного равенства 0 · 1 = 0 · 2 вывели бы неверное следствие 1 = 2. Иногда бывает целесообразно обозначать такие выражения символом «бесконечность», однако с условием, чтобы не делалось даже попытки оперировать этим символом так, как будто бы он подчинялся обычным законам арифметики.

Теперь нам ясны принципы, согласно которым сконструирована система всех рациональных чисел — целых и дробных, положительных и отрицательных. В этой расширенной области не только полностью оправдываются формальные законы — ассоциативный, коммутативный и дистрибутивный, — но и уравнения a + x = b и ax = b всегда имеют решеb ния x = b a и x = с единственной оговоркой, что в случае второго уравнения a не должно равняться нулю. Иными словами, в области рациональных чисел так называемые рациональные операции — сложение, вычитание, умножение и деление — выполнимы неограниченно и не выводят за пределы области. Такие замкнутые числовые области называются полями. Мы повстречаемся с дальнейшими примерами полей ниже, в этой же главе, а также в главе III.

Расширение области посредством введения новых символов, совершаемое таким образом, что законы, которые имели место в первоначальной области, сохраняются и в расширенной, является типичным примером характерного для математики принципа обобщения. Переход путем обобщения от натуральных чисел к рациональным удовлетворяет одновременно и теоретической потребности в снятии ограничений, которые наложены на вычитание и деление, и вместе с тем — практической потребности в числах, пригодных для фиксации результатов измерений. Именно тот факт, что рациональные числа идут навстречу сразу теоретической и практической потребностям, придает им особую важность. Как мы видели, расширение понятия числа совершилось путем введения новых абстрактных символов вроде 0, 2 или.

В наше время мы оперируем этими символами бегло и уверенно, не вдумываясь в их природу, и трудно даже себе представить, что еще в XVII столетии они пользовались доверием гораздо в меньшей степени, чем натуральные числа, что ими если и пользовались, то с известным сомнением и трепетом. Свойственное человеческому сознанию стремление цепляться за «конкретное» — воплощаемое в ряде натуральных чисел — обусловливает ту медленность, с которой протекала неизбежная эволюция. Логически безупречная арифметическая система может быть сконструирована не иначе, как в отвлечении от действительности.

3. Геометрическое представление рациональных чисел. Выразительное геометрическое представление системы рациональных чисел может быть получено следующим образом.

82 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II

На некоторой прямой линии, «числовой оси», отметим отрезок от до 1 (рис. 8). Тем самым устанавливается длина единичного отрезка, которая, вообще говоря, может быть выбрана произвольно. Положительные и отрицательные целые числа тогда изображаются совокупностью равноотстоящих точек на числовой оси, именно, положительные числа отмечаются вправо, а отрицательные — влево от точки 0. Чтобы изобразить числа со знаменателем n, разделим каждый из полученных отрезков единичной длины на n равных частей; точки деления будут изображать дроби со знаменателем n. Если сделать так для значений n, соответствующих всем натуральным числам, то каждое рациональное число будет изображено некоторой точкой числовой оси. Эти точки мы условимся называть «рациональными»; вообще, термины «рациональное число» и «рациональная точка» будем употреблять как синонимы.

В главе I, § 1 было определено соотношение неравенства A < B для натуральных чисел. На числовой оси это соотношение отражено следующим образом: если натуральное число A меньше, чем натуральное число B, то точка A лежит левее точки B. Так как указанное геометрическое соотношение устанавливается для любой пары рациональных точек, то естественно пытаться обобщить арифметическое отношение неравенства таким образом, чтобы сохранить этот геометрический порядок для рассматриваемых точек. Это удается, если принять следующее определение: говорят, что рациональное число A меньше, чем рациональное число B (A < B), или что число B больше, чем число A (B > A), если разность B A положительна. Отсюда следует (при A < B), что точки (числа) между A и B — это те, которые одновременно > A и < B. Каждая такая пара точек A и B, вместе со всеми точками между ними, называется сегментом (или отрезком) и обозначается [A, B] (а множество одних только промежуточных точек — интервалом (или промежутком), обозначаемым (A, B)).

Расстояние произвольной точки A от начала 0, рассматриваемое как положительное число, называется абсолютной величиной A и обозначается символом Понятие «абсолютная величина» определяется следующим образом: если A 0, то |A| = A; если A < 0, то |A| = A. Ясно, что если числа A и B имеют один и тот же знак, то справедливо равенство |A + B| = |A| + |B|;

если же A и B имеют разные знаки, то |A + B| < |A| + |B|. Соединяя эти

§ 2НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПРЕДЕЛЫ

два результата вместе, мы приходим к общему неравенству которое справедливо независимо от знаков A и B.

Факт фундаментальной важности выражается следующим предложением: рациональные точки расположены на числовой прямой всюду плотно. Смысл этого утверждения тот, что внутри всякого интервала, как бы он ни был мал, содержатся рациональные точки. Чтобы убедиться в справедливости высказанного утверждения, достаточно взять число n настолько большое, что интервал 0, будет меньше, чем данный интервал (A, B); тогда по меньшей мере одна из точек вида окажется внутри данного интервала. Итак, не существует такого интервала на числовой оси (даже самого маленького, какой только можно вообразить), внутри которого не было бы рациональных точек. Отсюда вытекает дальнейшее следствие: во всяком интервале содержится бесконечное множество рациональных точек. Действительно, если бы в некотором интервале содержалось лишь конечное число рациональных точек, то внутри интервала, образованного двумя соседними такими точками, рациональных точек уже не было бы, а это противоречит тому, что только что было доказано.

§ 2. Несоизмеримые отрезки.

Иррациональные числа, пределы 1. Введение. Если мы станем сравнивать по величине два прямолинейных отрезка a и b, то не исключена возможность, что a содержится в b в точности целое число раз r. В таком случае длина отрезка b очень просто выражается через длину отрезка a: длина b в r раз больше, чем длина a. Может случиться и так, что целого числа r, которое обладало бы указанным свойством, не существует; но при этом возможно, что, разделив отрезок a на некоторое число, скажем n, равных частей каждая длины и взяв целое число m таких частей, мы в точности получим отрезок b:

Если осуществляется соотношение вида (1), то говорят, что два отрезка a и b соизмеримы, так как они обладают некоторой «общей мерой»:

таковой является отрезок длины, который содержится в отрезке a ровно n раз, а в отрезке b ровно m раз. Некоторый отрезок b соизмерим или несоизмерим с отрезком a в зависимости от того, можно или нельзя подобрать два таких натуральных числа m и n (n = 0), что имеет

84 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II

место равенство (1). Обращаясь к рис. 9, предположим, что в качестве отрезка a избран единичный отрезок [0, 1], и рассмотрим всевозможные отрезки, у которых один из концов совпадает с 0. Тогда из этих отрезков те и только те будут соизмеримы с единичным отрезком, у которых второй конец совпадает с некоторой рациональной точкой.

Для практической цели измерения рациональных чисел всегда совершенно достаточно. Даже с точки зрения теоретической, поскольку рациональные точки расположены всюду плотно, могло бы показаться, что все точки на числовой оси — рациональные. Если бы дело обстояло именно так, то всякий отрезок был бы соизмерим с единичным.

Но дело обстоит не так просто, и в установлении этого обстоятельства заключается одно из самых поразительных открытий в математике: оно было сделано уже в древнейшие времена (в школе Пифагора). Существуют несоизмеримые отрезки, или иначе (если мы допустим, что каждому отрезку соответствует некоторое число, выражающее его длину), существуют иррациональные числа. Осознание этого факта было научным событием величайшей значимости, почти откровением. Весьма возможно, что именно оно положило начало тому, что мы теперь считаем строгим математическим методом и рассматриваем как вклад в науку, сделанный древними греческими математиками. Без сомнения, это замечательное открытие глубоко повлияло на всю математику и даже философию от древних времен и до наших дней.

Евдоксова теория несоизмеримых величин, изложенная в геометрической форме в «Началах» Евклида, представляет собой тончайшее достижение греческой математики (ее изложение обыкновенно пропускается в разжиженных пересказах Евклида, предназначенных для школьного обучения). Эта теория получила подобающую ей высокую оценку лишь в конце XIX столетия — после того как усилиями Дедекинда, Кантора и Вейерштрасса была создана строгая теория иррациональных чисел. Мы изложим в дальнейшем эту теорию в ее современном арифметическом аспекте.

Прежде всего установим: диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Предположим, что сторона квадрата избрана в качестве единицы длины, длину же диагонали обозначим через x. Тогда, согласно теореме Пифагора, мы получаем:

(Такое число x обозначают символом 2.) Если бы x было соизмеримо с единицей, то можно было бы найти два таких целых числа p и q,

§ 2НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПРЕДЕЛЫ

что x =, и тогда мы пришли бы к равенству Можно допустить, что дробь несократима, иначе мы с самого начала сократили бы ее на общий наибольший делитель чисел p и q. С правой стороны имеется 2 в качестве множителя, и потому p2 есть четное число, и, значит, само p — также четное, так как квадрат нечетного числа есть нечетное число. В таком случае можно положить p = 2r. Тогда равенство (2) принимает вид:

Так как с левой стороны теперь имеется 2 в качестве множителя, значит, q 2, а следовательно, и q — четное. Итак, и p и q — четные числа, т. е.

делятся на 2, а это противоречит допущению, что дробь несократиq ма. Итак, равенство (2) невозможно, и x не может быть рациональным Иначе этот результат можно сформулировать, утверждая, что есть число иррациональное.

Только что приведенное рассуждение показывает, что иной раз самое простейшее геометрическое построение приводит к отрезку, несоизмеримому с единицей. Если такой отрезок будет отложен с помощью циркуля на числовой оси от точки 0, то построенная таким образом точка (конец отрезка) не совпадает ни с какой рациональной точкой. Итак, система рациональных точек (хотя и всюду плотная) не покрывает всей числовой оси. Наивному сознанию, парадоксальным, что всюду плотное множество рациональных точек не покрывает Рис. 10. Построение числа всей прямой. Никакая наша «интуиция»

не поможет нам «увидеть» иррациональные точки или отличить их от рациональных. Нет ничего удивительного в том, что открытие несоизмеримого потрясло греческих математиков и мыслителей и что его существование и в наши дни продолжает производить впечатление на людей, склонных к углубленным размышлениям.

Не представило бы труда сконструировать столько отрезков, несоизмеримых с единицей, сколько бы мы пожелали. Концы всех таких отрезков — при условии, что их начала совпадают с точкой 0,— образуют совокупность иррациональных точек. Заметим теперь, что нашим руководящим принципом уже при введении рациональных дробей было желание обеспечить возможность измерения длин отрезков посредством чисел, и тот же принцип продолжает руководить нами и тогда,

86 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II

когда речь идет о несоизмеримых отрезках. Если мы требуем, чтобы существовало взаимное соответствие между числами, с одной стороны, и точками на прямой линии — с другой, то неизбежно приходится ввести в рассмотрение иррациональные числа.

Подводя итоги до сих пор сказанному, мы констатируем, что иррациональное число обозначает длину отрезка, несоизмеримого с единицей. В следующих разделах мы должны будем уточнить это несколько смутное и всецело геометрическое определение и в результате придем к определению, более удовлетворительному с точки зрения логической строгости. Рассматривая этот вопрос, мы будем вначале исходить из десятичных дробей.

Упражнения. 1) Докажите, что числа 3 2, 3, 5, 3 3 иррациональные.

(Указание: воспользуйтесь леммой на стр. 65.) 2) Докажите, что числа 2 + 3 и 2 + 3 2 иррациональные. (Указание:

если бы, например, первое из этих чисел было рациональным числом r, то, написав 3 = r 2 и возведя в квадрат, мы заключили бы, что 2 есть 3) Докажите, что число 2 + 3 + 5 иррациональное. Попробуйте придумать еще подобные и более общие примеры.

2. Десятичные дроби: конечные и бесконечные. Чтобы покрыть числовую ось везде плотным множеством точек, нет необходимости использовать всю совокупность рациональных чисел: достаточно, например, ограничиться только теми числами, которые возникают при подразделении единичного отрезка на 10, потом на 100, 1000 и т. д.

равных частей. Получающиеся при этом точки деления соответствуют «десятичным дробям». Так, числу 0,12 = + соответствует точка, расположенная в первом единичном интервале, во втором «подынтервале» длины 101, и именно она есть начальная точка третьего «подподынтервала» длины 102 an означает n. Если такого рода десятичная дробь содержит n знаков после запятой, то она имеет вид где z — целое число, а коэффициенты a — цифры 0, 1, 2,..., 9, обозначающие число десятых, сотых и т. д. Сокращенно число f записывается в десятичной системе следующим образом: z,a1 a2 a3... an. Мы убеждаемся непосредственно, что такого рода десятичные дроби могут представлены виде обыкновенных дробей, где q = 10n ; так, например, Если окажется, что p и q имеют общий множитель, то дробь можно сократить, и тогда знаменатель будет некоторым делителем числа 10n.

§ 2НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПРЕДЕЛЫ

С другой стороны, несократимая дробь, у которой знаменатель не есть делитель некоторой степени 10, не может быть представлена в виде десятичной дроби указанного типа. Например, = = 0,2; = = 0,004; но не может быть написана как десятичная дробь с конечным числом n десятичных знаков, как бы ни было велико n: в самом деле, из равенства вида следовало бы а последнее равенство невозможно, так как 3 не входит множителем ни в какую степень числа 10.

Возьмем теперь на числовой оси какую-нибудь точку P, которая не соответствует никакой конечной десятичной дроби; можно, например, взять рациональную точку или иррациональную точку 2. Тогда в процессе последовательного подразделения единичного интервала на равных частей точка P никогда не окажется в числе точек деления:

она будет находиться внутри десятичных интервалов, длина которых будет неограниченно уменьшаться; концы этих интервалов соответствуют конечным десятичным дробям и приближают точку P с какой угодно степенью точности. Рассмотрим несколько подробнее этот процесс приближения.

Предположим, что точка P лежит в первом единичном интервале.

Сделаем подразделение этого интервала на 10 равных частей, каждая длины 101, и предположим, что точка P попадает, скажем, в третий из этих интервалов. На этой стадии мы можем утверждать, что P заключена между десятичными дробями 0,2 и 0,3. Подразделяем снова интервал от 0,2 до 0,3 на 10 равных частей, каждая длины 102, и обнаружим, что P попадает, допустим, в четвертый из этих интервалов.

Подразделяя его, как раньше, видим, что точка P попадает в первый интервал длины 103. Теперь можно сказать, что точка P заключена между 0,230 и 0,231. Этот процесс может быть продолжен до бесконечности и приводит к бесконечной последовательности цифр a1, a2, a3,..., an,..., обладающей таким свойством: каково бы ни было n, точка P заключена в интервале In, у которого начальная точка есть 0,a1 a2 a3... an1 an, а конечная — 0,a1 a2 a3... an1 (an + 1), причем длина In равна 10n. Если станем полагать по порядку n = 1, 2, 3, 4,..., то увидим, что каждый из интервалов I1, I2, I3,... содержится в предыдущем, причем их длины 101, 102, 103,... неограниченно уменьшаются. Мы скажем, более кратко, что точка P заключена в стягивающуюся последовательность десятичных интервалов. Например, если точка P есть, то все

88 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II

цифры a1, a2, a3,... равны 3, и P заключена в любом интервале In от 0,333... 33 до 0,333... 34, т. е. больше чем 0,333... 33 и меньше чем 0,333... 34, сколько бы ни взять цифр после запятой. Мы скажем в этих обстоятельствах, что n-значная десятичная дробь 0,333... 33 «стремится к », когда число цифр n неограниченно возрастает. И мы условимся писать причем точки обозначают, что десятичная дробь может быть продлена «до бесконечности». Иррациональная точка 2, которая была рассмотрена в пункте 1, также приводит к бесконечной десятичной дроби. Но закон, которому подчиняются последовательные цифры десятичного разложения, на этот раз далеко не очевиден. Мы затрудняемся указать формулу, которая давала бы цифру, стоящую на n-м месте, хотя можно вычислить столько цифр, сколько мы пожелали бы себе заранее назначить:

(1,4142)2 = 1,99996164 < 2 < (1,4143)2 = 2,00024449 и т. д.

В качестве общего определения мы скажем, что точка P, которая не может быть представлена в виде десятичной дроби с конечным числом десятичных знаков, представляется в виде бесконечной десятичной дроби z,a1 a2 a3..., если, каково бы ни было n, точка P лежит в интервале длины 10n с начальной точкой z,a1 a2 a3... an.

Таким образом, мы устанавливаем соответствие между всеми точками числовой оси и всеми (конечными или бесконечными) десятичными дробями. Теперь мы попытаемся ввести предварительное определение: «число» есть конечная или бесконечная десятичная дробь. Те бесконечные десятичные дроби, которые не представляют рационального числа, называются иррациональными числами. До середины XIX столетия соображения, подобные приведенным выше, казались достаточными для объяснения того, как устроена система рациональных и иррациональных чисел — числовой континуум. Необычайные успехи математики, достигнутые начиная с XVII столетия, в частности, развитие аналитической геометрии и дифференциального и интегрального исчислений, твердо базировались именно на таком представлении о системе чисел. Однако в период критического пересмотра принципов и консолидации результатов стало ощущаться все более и более явственно, что понятие иррационального числа должно быть подвергнуто

§ 2НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПРЕДЕЛЫ

более точному и глубокому анализу. Но, прежде чем перейти к очерку современной теории числового континуума, нам придется рассмотреть и разобрать — на более или менее интуитивной основе — одно из математических понятий капитальной значимости — понятие предела.

шающей 102.

3. Пределы. Бесконечные геометрические прогрессии. Как мы видели в предыдущем пункте, иногда случается, что некоторое рациональное число s приближается последовательностью других рациональных чисел sn, причем индекс n принимает последовательно все значения 1, 2, 3,... Так, например, можно взять: s =, тогда s1 = 0,3, s2 = 0,33, s3 = 0,333 и т. д. Вот еще пример. Разобьем единичный интервал на две равные части, вторую половину — снова на две равные части, вторую из полученных двух частей — снова на две равные части и т. д., пока наименьший из полученных таким образом интервалов не станет равным 2n, где n — сколь угодно большое наперед заданное число, например, n = 100, n = 100 000 и т. д. Затем, складывая вместе все интервалы, кроме самого последнего, мы получаем общую длину Легко понять, что sn отличается от 1 на и что эта разность становится сколь угодно малой, или «стремится к нулю», при неограниченном возрастании n. Говорить, что эта разность равна нулю, когда n равно «бесконечности», не имеет никакого смысла. Бесконечное в математике связывается с некоторым процессом, не имеющим конца, и никогда не связывается с актуальной величиной. Желая описать поведение sn, мы говорим, что сумма sn стремится к пределу 1, когда n стремится к бесконечности, и пишем причем то, что возникает справа, есть бесконечный ряд. Последнее «равенство» не следует понимать в том смысле, что имеется в виду сложить вместе бесконечное число слагаемых: это только сокращенная запись того факта, что 1 есть предел конечных сумм sn, получающийся, когда n стремится к бесконечности (и ни в коем случае не равно бесконечности). Итак, равенство (4), заканчивающееся неопределенным символом «+... », как бы стенографирует некоторую точную мысль, выражаемую, по неизбежности, длинным рядом слов:

«1 равна пределу (при n, стремящемся к бесконечности) выражения

90 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II

Еще более кратко и более выразительно пишут следующим образом:

Говоря о пределах, рассмотрим еще пример. Пусть перед нами имеется бесконечная последовательность различных степеней числа q:

Если 1 < q < 1, например, q = или q =, то q n стремится к нулю при неограниченном возрастании n. При этом если q — отрицательное число, то знаки q n чередуются: за + следует, и обратно; таким образом, q n стремится к нулю «с двух сторон». Так, если q =, то q 2 =, Мы утверждаем, что предел q n, когда n стремится к бесконечности, равен нулю, или, символически, (Между прочим, если q > 1 или q < 1, то q уже не стремится к нулю, а неограниченно возрастает по абсолютной величине.) Приведем строгое доказательство утверждения (7). Мы видели на стр. 34, что при любом целом положительном значении n и при условии p > 1 имеет место неравенство (1 + p)n 1 + np. Пусть q — какое-то положительное число, меньшее единицы, например, q =. Тогда можно положить q =, где p > 0. Отсюда следует или же (см. определение (4) на стр. 74) Значит, q n заключено между постоянным числом 0 и числом ·, коpn торое стремится к нулю при неограниченном возрастании n (так как p — постоянное). После этого ясно, что q n 0. Если q — отрицательное чиси тогда q n будет заключено между число, то мы положим q = лами · и · ; рассуждение заканчивается так же, как раньше.

Рассмотрим теперь геометрическую прогрессию (Частный случай q = был рассмотрен выше.) Как уже было показано (см. стр. 32), сумма sn может быть представлена в более простой и

§ 2НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПРЕДЕЛЫ

сжатой форме. Умножая sn на q, мы получаем и, вычитая (8а) из (8), убеждаемся, что все члены, кроме 1 и q n+1, взаимно уничтожаются. В результате будем иметь или же, деля на 1 q, С понятием предела мы встретимся, если заставим n неограниченно возрастать. Мы видели только что, что q n+1 = q · q n стремится к нулю, если 1 < q < 1, и отсюда можем заключить:

Тот же результат можно записать, пользуясь бесконечным рядом Например, в полном соответствии с равенством (4); подобным же образом или, иначе, 0,9999... = 1. Совершенно так же конечная дробь 0,2374 и бесконечная дробь 0,23739999... представляют одно и то же число.

В главе VI мы вернемся к общему обсуждению понятия предела, рассматривая вопрос с современной, логически более строгой точки зрения.

Упражнения. 1) Докажите, что 2) Каков предел последовательности a1, a2, a3,..., где an = ? (Укаn+ ние на то, что вычитаемое стремится к нулю.) ние в виде

92 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II

4) Предполагая q по абсолютной величине меньшим чем 1, докажите, что 1 + 2q + 3q 2 + 4q 3 +... = 2. (Указание: воспользуйтесь результатом упражнения 3 на стр. 36.) 5) Каков предел бесконечного ряда 6) Вычислите пределы выражений (Указание: воспользуйтесь результатами, полученными на стр. 31–33.) 4. Рациональные числа и периодические десятичные дроби.

Такие рациональные числа, которые не могут быть представлены в виде конечных десятичных дробей, разлагаются в бесконечные десятичные дроби посредством обыкновенного приема «длинного» деления. На каждой ступени этого процесса возникает остаток, не равный нулю, иначе дробь оказалась бы конечной. Различные возникающие остатки могут быть только целыми числами от 1 до q 1, так что имеется всего q возможностей для значений этих остатков. Это значит, что после q делений некоторый остаток k появится во второй раз. Но тогда все следующие остатки также будут повторяться в том же порядке, в каком они уже появлялись после первого возникновения остатка k. Таким образом, десятичное разложение всякого рационального числа обладает свойством периодичности; после некоторого числа десятичных знаков одна и та же группа десятичных знаков начинает повторяться бесконечное число раз. Например, = 0,166666666... ; = 0,142857142857142857... ;

(Заметим по поводу тех рациональных чисел, которые представляются в виде конечной десятичной дроби, что у этой конечной дроби можно вообразить после последнего ее десятичного знака бесконечно повторяющуюся цифру 0, и, таким образом, рассматриваемые рациональные числа не исключаются из данной выше общей формулировки.) Из приведенных примеров видно, что у некоторых из десятичных разложений, соответствующих рациональным числам, периодическому «хвосту»

предшествует непериодическая «голова».

Обратно, можно показать, что все периодические дроби представляют собой рациональные числа. Рассмотрим, например, бесконечную периодическую дробь Можно написать: p =

§ 2НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПРЕДЕЛЫ

скобках есть бесконечная геометрическая прогрессия:

Значит, В общем случае доказательство строится таким же образом, но затруднено необходимостью вводить несколько громоздкие обозначения.

Рассмотрим периодическую дробь общего вида Обозначим через B = 0,b1 b2 b3... bn периодическую часть нашего разложения. Тогда можно написать Выражение в скобках — бесконечная геометрическая прогрессия, для которой q = 10n. Сумма этой прогрессии, согласно формуле (10) предыдущего пункта, равна, и потому Упражнения. 1) Разложите в десятичные дроби следующие рациональные числа:,,,,,, и определите периоды разложений.

2) Число 142 857 обладает тем свойством, что при умножении его на 2, 3, 4, 5 или 6 в нем совершаются только перестановки цифр. Объясните это свойство, исходя из разложения числа в десятичную дробь.

3) Разложите числа, приведенные в упражнении 1, в бесконечные дроби с основаниями 5, 7 и 12.

4) Разложите число в двоичную дробь.

5) Напишите разложение 0,11212121... Установите, какое число оно представляет при основаниях 3 или 5.

5. Общее определение иррациональных чисел посредством стягивающихся отрезков. На стр. 82 мы ввели предварительное определение: «число» есть конечная или бесконечная десятичная дробь.

Мы условились вместе с тем десятичные дроби, не представляющие рационального числа, называть иррациональными числами. На основе результатов, полученных в предыдущем пункте, мы можем теперь предложить следующую формулировку: «числовой континуум, или система действительных чисел («действительные» числа противопоставляются здесь «мнимым», или «комплексным», см. § 5), есть совокупность всевозможных бесконечных десятичных дробей». (Приписывая нули,

94 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II

можно, как уже было отмечено, конечную десятичную дробь написать в виде бесконечной, или есть другой способ: последнюю цифру дроби a заменить на a 1 и к ней приписать бесчисленное множество девяток.

Так, мы видели, например, что 0,999... = 1, — см. п. 3.) Рациональные числа суть периодические дроби; иррациональные числа суть непериодические дроби. Но и такое определение не представляется вполне удовлетворительным: действительно, мы видели в главе I, что самой природой вещей десятичная система ничем особым не выделяется из других возможных; таким же образом можно было бы оперировать, например, двоичной системой. По этой причине является чрезвычайно желательным дать более общее определение числового континуума, независимое от специального выбора основания 10 или любого иного. Вероятно, простейший метод для введения такого обобщения заключается в следующем.

Рассмотрим на числовой оси некоторую последовательность I1, I2, I3,..., In,... отрезков с рациональными концами; предположим, что каждый следующий отрезок содержится в предыдущем и что длина n-го отрезка In стремится к нулю при неограниченном возрастании n. Такую последовательность «вложенных» друг в друга отрезков мы будем называть последовательностью стягивающихся отрезков. В случае десятичных отрезков длина In равна 10n, но с таким же успехом она могла бы равняться, скажем, 2n, или можно ограничиться хотя бы тем требованием, чтобы она была меньше. Дадим теперь следующую формулировку, которую будем рассматривать как основной геометрический постулат: какова бы ни была последовательность стягивающихся отрезков, существует одна и только одна точка числовой оси, которая одновременно содержится во всех отрезках. (Совершенно ясно, что существует не более одной такой точки, так как длины отрезков стремятся к нулю, а две различные точки не могли бы содержаться в отрезке, длина которого была бы меньше, чем расстояние между точками.) Эта точка, по определению, и называется действительным числом; если она не является рациональной, то называется иррациональным числом.

С помощью такого определения мы устанавливаем полное соответствие между точками и числами. Здесь не прибавлено ничего существенно нового: всего лишь определению числа как бесконечной десятичной дроби придана более общая форма.

Все же читателя в этом месте могут охватить известные сомнения, которые следует признать вполне обоснованными. Что же на самом деле представляет собой та «точка» на числовой оси, которая, как мы допускаем, содержится одновременно во всех стягивающихся отрезках последовательности в случае, если она не соответствует рациональному числу? Наш ответ таков: существование на числовой оси

§ 2НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПРЕДЕЛЫ

Рис. 11. Стягивающиеся отрезки. Пределы последовательностей (рассматриваемой как геометрический образ) точки, содержащейся во всех стягивающихся отрезках с рациональными концами, есть основной геометрический постулат. Нет надобности делать редукцию, приводя его к иным математическим предложениям. Мы принимаем его, как принимаем в математике другие аксиомы или постулаты, основываясь на его интуитивной правдоподобности и на его полезности, обнаруживающейся при построении логически последовательной системы математических предложений. Чисто формально мы могли бы исходить из числовой прямой, которую мыслили бы как совокупность одних только рациональных точек, и затем определили бы иррациональную точку как символ, обозначающий некоторую последовательность стягивающихся отрезков. Иррациональная точка полностью определяется последовательностью стягивающихся рациональных отрезков, длины которых стремятся к нулю. Значит, наш основной постулат на самом деле способен служить определением. Принять такое определение, после того как мы были приведены к последовательности стягивающихся отрезков интуитивным ощущением, утверждающим «существование» иррациональной точки, — значит отбросить «костыли интуиции», на которые опиралось наше рассуждение, и осознать, что все математические свойства иррациональных точек могут быть понимаемы и представляемы как свойства последовательностей стягивающихся отрезков.

С чисто математической точки зрения в данном случае важно то обстоятельство, что, приняв определение иррационального числа как

96 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II

последовательности стягивающихся отрезков, мы приобретаем возможность дать определения сложения, умножения и т. д., а также отношений неравенства, являющихся непосредственным обобщением соответствующих определений в поле рациональных чисел, и притом с сохранением всех основных законов, действующих в поле рациональных чисел. Так, например, чтобы определить сумму двух иррациональных чисел a и b исходя из двух последовательностей стягивающихся отрезков, определяющих числа a и b, построим новую последовательность стягивающихся отрезков, складывая соответственно начальные и конечные точки отрезков, входящих в состав данных последовательностей. То же можно сделать с произведением ab, разностью a b и частным a/b. И можно показать на основе этих определений, что арифметические законы, рассмотренные в § 1 этой главы, при переходе к иррациональным числам не нарушаются. Подробности, сюда относящиеся, мы опускаем.

Проверка всех этих законов проста и производится непосредственно без особых затруднений, но могла бы показаться несколько скучноватой начинающему читателю, который, естественно, интересуется скорее тем, что можно сделать с помощью математики, чем анализом ее логических основ. Нередко случается, что новейшие учебники математики отталкивают читателя именно тем, что с первых же страниц дают педантическое обоснование системы действительных чисел. Читатель, спокойно игнорирующий эти страницы, пусть успокоит свою совесть сознанием того факта, что вплоть до конца XIX столетия все великие математики делали свои открытия на основе «наивной» концепции числового континуума, доставляемой непосредственно интуицией.

Наконец, с физической точки зрения, определение иррационального числа посредством последовательности стягивающихся отрезков естественно уподобляется определению числового значения некоторой доступной наблюдению величины — путем ряда измерений, производимых последовательно со все возрастающей точностью. Всякая операция, совершаемая, скажем, с целью определения длины некоторого отрезка, практически осмыслена лишь в пределах некоторой возможной погрешности, величину которой определяет точность инструмента. Так как рациональные числа расположены на прямой всюду плотно, то никакая физическая операция, как бы точна она ни была, не позволит различить, является ли данная длина рациональной или же иррациональной. Таким образом, могло бы показаться, что в иррациональных числах нет никакой необходимости для адекватного описания физических явлений. Но, как мы увидим в главе VI, при математическом описании физических явлений истинное преимущество, приобретаемое посредством привлечения иррациональных чисел, заключается в чрезвычайном упрощении этого описания — именно благодаря свободному использованию понятия предела, основой которого является числовой континуум.

§ 2НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПРЕДЕЛЫ

*6. Иные методы определения иррациональных чисел. Дедекиндовы сечения. Несколько иной путь для определения иррациональных чисел был избран Рихардом Дедекиндом (1831–1916), одним из самых выдающихся основоположников логического и философского анализа основ математики. Его статьи — «Stetigkeit und irrationale Zahlen»1 (1872) и «Was sind und was sollen die Zahlen?»2 (1887) — оказали глубокое влияние на исследование основных принципов математики. Дедекинд предпочитал общие абстрактные концепции конкретным построениям вроде последовательностей стягивающихся отрезков. Его процедура базируется на идее «сечения»; мы сейчас опишем, что это такое.

Предположим, что каким-то способом удалось разбить совокупность всех рациональных чисел на два класса A и B таким образом, что всякое число b класса B больше, чем всякое число a класса A. Всякое разбиение такого рода называется сечением в области рациональных чисел. Если произведено сечение, то должна осуществиться одна из следующих трех логически мыслимых возможностей.

1) Существует наибольший элемент a в классе A. Такое положение вещей имеет место, например, в том случае, если к классу A отнесены все рациональные числа 1, к классу B — все рациональные числа > 1.

2) Существует наименьший элемент b в классе B. Это происходит, например, в том случае, если к классу A отнесены все рациональные числа < 1, к классу B — все рациональные числа 1.

3) Нет ни наибольшего элемента в классе A, ни наименьшего в классе B. Сечение этого рода получится, например, в том случае, если к классу A отнесены все рациональные числа, квадрат которых меньше чем 2, а к классу B — все рациональные числа, квадрат которых больше чем 2. Классами A и B исчерпываются все рациональные числа, так как было показано, что такого рационального числа, квадрат которого равен 2, не существует.

Такой случай, когда в классе A есть наибольший элемент a и вместе с тем в классе B — наименьший элемент b, логически немыслим, так как тогда рациональное число и b, было бы больше, чем наибольший элемент в A, и меньше, чем наименьший элемент в B, и, значит, не могло бы принадлежать ни к A, ни к B.

В третьем случае, когда нет ни наибольшего рационального числа в классе A, ни наименьшего в классе B, тогда, по Дедекинду, сечение определяет, или, лучше, представляет собой, некоторое иррациональНепрерывность и иррациональные числа». — Прим. ред.

2 «Что такое числа и чем они должны быть?» — Прим. ред.

98 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II

ное число. Не составит труда проверить, что определение Дедекинда согласуется с определением, в основе которого находятся вложенные отрезки: из всякой последовательности вложенных отрезков I1, I2, I3,... мы получаем сечение, если отнесем к классу A все те рациональные числа, которые меньше, чем левый конец хотя бы одного интервала In, к классу B — все прочие рациональные числа.