[ «Что такое математика? (Элементарный очерк идей и методов) Перевод с английского под редакцией А. Н. Колмогорова МЦНМО, 2000 УДК 51(07) К93 What is ББК 22.1 Mathematics? AN ELEMENTARY APPROACH TO IDEAS AND METHODS by ...»
Р. КУРАНТ Г. РОББИНС
Что такое математика?
(Элементарный очерк идей и методов)
Перевод с английского
под редакцией А. Н. Колмогорова
МЦНМО, 2000
УДК 51(07)
К93 What is
ББК 22.1 Mathematics?
AN ELEMENTARY APPROACH TO
IDEAS AND METHODS
byRICHARD COURANT
andHERBERT ROBBINS
Oxford University Press London – New York – Toronto Федеральная Программа Книгоиздания России Р. Курант, Г. Роббинс К93 Что такое математика? — 3-e изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2001. — 568 с.ISBN 5–900916–45– Книга написана крупным математиком Рихардом Курантом в соавторстве с Гербертом Роббинсом. Она призвана сократить разрыв между математикой, которая преподается в школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки.
Начиная с элементарных понятий, читатель движется к важным областям современной науки. Книга написана доступным языком и является классикой популярного жанра в математике.
Книга предназначена для школьников, студентов, преподавателей, а также для всех интересующихся развитием математики и ее структурой.
ББК 22. c МЦНМО, ISBN 5–900916–45– Оглавление Предисловие к изданию на русском языке................. К русскому читателю............................. Предисловие.................................. Как пользоваться книгой.......................... Что такое математика?............................ Г л а в а I. Натуральные числа Введение................................... § 1. Операции над целыми числами................... 1. Законы арифметики. 2. Представление целых чисел с помощью письменных знаков (нумерация). 3. Арифметические действия в недесятичных системах счисления.
§ 2. Бесконечность системы натуральных чисел. Математическая индукция................................. 1. Принцип математической индукции. 2. Арифметическая прогрессия. 3. Геометрическая прогрессия. 4. Сумма n первых квадратов. *5. Одно важное неравенство. *6. Биномиальная теорема.
7. Дальнейшие замечания по поводу метода математической индукции.
Дополнение к главе I. Теория чисел Введение................................... § 1. Простые числа............................. 1. Основные факты. 2. Распределение простых чисел. а. Формулы, дающие простые числа. б. Простые числа в арифметических прогрессиях. в. Теорема о распределении простых чисел. г. Две еще не решенные задачи о простых числах.
§ 2. Сравнения................................ 1. Общие понятия. 2. Теорема Ферма. 3. Квадратические вычеты.
§ 3. Пифагоровы числа и большая теорема Ферма........... § 4. Алгоритм Евклида........................... 1. Общая теория. 2. Применение к основной теореме арифметики.
3. Функция Эйлера f(n). Еще раз о теореме Ферма. 4. Непрерывные дроби. Диофантовы уравнения.
Г л а в а II. Математическая числовая система Введение................................... § 1. Рациональные числа.......................... 1. Рациональные числа как средство измерения. 2. Возникновение надобности в рациональных числах внутри самой математики. Принцип обобщения. 3. Геометрическое представление рациональных чисел.
§ 2. Несоизмеримые отрезки. Иррациональные числа, пределы... 4 ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение. 2. Десятичные дроби: конечные и бесконечные.
3. Пределы. Бесконечные геометрические прогрессии. 4. Рациональные числа и периодические десятичные дроби. 5. Общее определение иррациональных чисел посредством стягивающихся отрезков. *6. Иные методы определения иррациональных чисел.
Дедекиндовы сечения.
§ 3. Замечания из области аналитической геометрии......... 1. Основной принцип. 2. Уравнения прямых и кривых линий.
1. Основные понятия. 2. Счетность множества рациональных чисел и несчетность континуума. 3. «Кардинальные числа» Кантора. 4. Косвенный метод доказательства. 5. Парадоксы бесконечного. 6. Основания математики.
1. Возникновение комплексных чисел. 2. Геометрическое представление комплексных чисел. 3. Формула Муавра и корни из единицы. *4. Основная теорема алгебры.
1. Определение и вопросы существования. **2. Теорема Лиувилля и конструирование трансцендентных чисел.
1. Общая теория. 2. Применение к математической логике. 3. Одно из применений к теории вероятностей.
§ 1. Основные геометрические построения............... 1. Построение полей и извлечение квадратных корней. 2. Правильные многоугольники. 3. Проблема Аполлония.
§ 2. Числа, допускающие построение, и числовые поля........ 1. Общая теория. 2. Все числа, допускающие построение — алгебраические.
§ 3. Неразрешимость трех классических проблем........... 1. Удвоение куба. 2. Одна теорема о кубических уравнениях.
3. Трисекция угла. 4. Правильный семиугольник. 5. Замечания по поводу квадратуры круга.
§ 4. Геометрические преобразования. Инверсия............ 1. Общие замечания. 2. Свойства инверсии. 3. Геометрическое построение обратных точек. 4. Как разделить отрезок пополам и как найти центр данной окружности с помощью одного циркуля.
§ 5. Построения с помощью других инструментов. Построения Маскерони с помощью одного циркуля.................. *1. Классическая конструкция, служащая для удвоения куба.
2. Построения с помощью одного циркуля. 3. Черчение с помощью различных механических приспособлений. Механические кривые. Циклоиды. *4. Шарнирные механизмы. Инверсоры Поселье и Гарта.
1. Инвариантность углов. Семейства окружностей. 2. Применение к проблеме Аполлония. 3. Повторные отражения.
Г л а в а IV. Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы 1. Классификация геометрических свойств. Инвариантность при преобразованиях. 2. Проективные преобразования.
1. Группа проективных преобразований. 2. Теорема Дезарга.
1. Определение и доказательство инвариантности. 2. Применение к полному четырехстороннику.
1. «Идеальные» бесконечно удаленные точки. 2. Идеальные элементы и проектирование. 3. Двойное отношение с бесконечно удаленными элементами.
1. Предварительные замечания. 2. Двумерное доказательство теоремы Дезарга. 3. Теорема Паскаля. 4. Теорема Брианшона.
5. Замечание по поводу двойственности.
1. Вводные замечания. *2. Однородные координаты. Алгебраические основы двойственности.
1. Элементарная метрическая геометрия конических сечений.
2. Проективные свойства конических сечений. 3. Конические сечения как «линейчатые кривые». 4. Теоремы Паскаля и Брианшона для общего случая произвольных конических сечений.
1. Аксиоматический метод. 2. Гиперболическая неевклидова геометрия. 3. Геометрия и реальность. 4. Модель Пуанкаре. 5. Эллиптическая, или риманова, геометрия.
1. Введение. 2. Аналитический подход. *3. Геометрический, или комбинаторный, подход.
1. Топологические свойства. 2. Свойства связности.
1. Теорема Жордана о замкнутой кривой. 2. Проблема четырех красок. *3. Понятие размерности. 4. Теорема о неподвижной точке. 5. Узлы.
1. Род поверхности. *2. Эйлерова характеристика поверхности.
3. Односторонние поверхности.
*1. Проблема пяти красок. 2. Теорема Жордана для случая многоугольников. *3. Основная теорема алгебры.
1. Определения и примеры. 2. Радианная мера углов. 3. График функции. Обратные функции. 4. Сложные функции. 5. Непрерывность. *6. Функции нескольких переменных. *7. Функции и преобразования.
1. Предел последовательности an. 2. Монотонные последовательности. 3. Число Эйлера e. 4. Число p. *5. Непрерывные дроби.
1. Введение. Общие определения. 2. Замечания по поводу понятия предела. 3. Предел 1. Теорема Больцано. *2. Доказательство теоремы Больцано.
3. Теорема Вейерштрасса об экстремальных значениях. *4. Теорема о последовательностях. Компактные множества.
1. Геометрические применения. *2. Применение к одной механической проблеме.
1. Общие замечания. 2. Предел q n. 3. Предел n p. 4. Разрывные функции как предел непрерывных. *5. Пределы при итерации.
§ 2. Пример, относящийся к непрерывности.............. 1. Треугольник наибольшей площади при двух заданных сторонах. 2. Теорема Герона. Экстремальное свойство световых лучей.
3. Применения к задачам о треугольниках. 4. Свойства касательных к эллипсу и гиперболе. Соответствующие экстремальные свойства. *5. Экстремальные расстояния точки от данной кривой.
§ 2. Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи.. 1. Принцип. 2. Примеры.
§ 3. Стационарные точки и дифференциальное исчисление...... 1. Экстремальные и стационарные точки. 2. Максимумы и минимумы функций нескольких переменных. Седловые точки. 3. Точки минимакса и топология. 4. Расстояние точки от поверхности.
1. Доказательство, предложенное Шварцем. 2. Другое доказательство. 3. Тупоугольные треугольники. 4. Треугольники, образованные световыми лучами. *5. Замечания, касающиеся задач на отражение и эргодическое движение.
1. Проблема и ее решение. 2. Анализ возникающих возможностей. 3. Дополнительная проблема. 4. Замечания и упражнения.
5. Обобщение: проблема уличной сети.
1. Среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных величин. 2. Обобщение на случай n переменных.
3. Метод наименьших квадратов.
1. Общие замечания. 2. Примеры. 3. Экстремальные проблемы элементарного содержания. 4. Трудности, возникающие в более сложных случаях.
*§ 9. Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между 1. Введение. 2. Вариационное исчисление. Принцип Ферма в оптике. 3. Решение задачи о брахистохроне, принадлежащее Якобу Бернулли. 4. Геодезические линии на сфере. Минимаксы.
§ 11. Экспериментальные решения задач на минимум. Опыты с мыльными пленками............................ 1. Введение. 2. Опыты с мыльными пленками. 3. Новые опыты, относящиеся к проблеме Плато. 4. Экспериментальные решения других математических проблем.
1. Площадь как предел. 2. Интеграл. 3. Общие замечания о понятии интеграла. Общее определение. 4. Примеры интегрирования.
Интегрирование функции xr. 5. Правила «интегрального исчисОГЛАВЛЕНИЕ 1. Производная как наклон. 2. Производная как предел. 3. Примеры. 4. Производные от тригонометрических функций. *5. Дифференцируемость и непрерывность. 6. Производная и скорость.
Вторая производная и ускорение. 7. Геометрический смысл второй производной. 8. Максимумы и минимумы.
1. Основная теорема. 2. Первые применения. Интегрирование функций xr, cos x, sin x. Функция arctg x. 3. Формула Лейбница 1. Определение и свойства логарифма. Эйлерово число e. 2. Показательная (экспоненциальная) функция. 3. Формулы дифференцирования функций ex, ax, xs. 4. Явные выражения числа e и функций ex и ln x в виде пределов. 5. Бесконечный ряд для логарифма. Вычисление логарифмов.
1. Определения. 2. Дифференциальное уравнение экспоненциальной функции. Радиоактивный распад. Закон роста. Сложные проценты. 3. Другие примеры. Простые колебания. 4. Закон движения Ньютона.
1. Дифференцируемость. 2. Интеграл. 3. Другие приложения понятия интеграла. Работа. Длина кривой.
1. Показательная функция и степени переменного x. 2. Порядок возрастания функции ln(n!).
1. Бесконечные ряды функций. 2. Формула Эйлера cos x + i sin x = eix. 3. Гармонический ряд и дзета-функция. Формула Эйлера, выражающая sin x в виде бесконечного произведения.
Приложение. Дополнительные замечания. Задачи и упражнения Дифференциальное и интегральное исчисления............ Предисловие к третьему изданию на русском языке Книга, которую держит в руках читатель,— одно из самых замечательных введений в математику в ряду тех, что обращены к широкой читательской аудитории. Ее замысел выражен в предисловии: «Нет ничего невозможного в том, чтобы, начиная от первооснов и следуя по прямому пути, добраться до таких возвышенных точек, с которых можно ясно обозреть самую сущность и движущие силы современной математики.»
Первый из авторов книги — Рихард Курант (1888–1972) — один из ведущих математиков XX века, ученик Д. Гильберта, иностранный член Академии Наук СССР. Книги Куранта неоднократно издавались на русском языке. На них выросло не одно поколение математиков. Его книги «Уравнения математической физики», «Теория функций», «Уравнения в частных производных», и «Принцип Дирихле» до сих пор остаются основополагающими при изучении математики.
Данную книгу Курант задумал написать в драматический период истории, осенью 1939 г., когда разразилась вторая мировая война. Пятью годами раньше он оказался в Соединенных Штатах Америки, изгнанный фашистами со своей родины — Германии, где он работал в математическом интституте Гёттингенского университета. Нельзя не отметить огромную заслугу Куранта как организатора в том, что этот институт стал мировым математическим центром. Собственно говоря, Курант, воплотив давнюю мечту Феликса Клейна, основал этот институт. В США Курант создал еще один выдающийся институт (ныне известный как «курантовский институт»), который играл и играет важную роль в развитии прикладной математики во всем мире.
Для осуществления своего замысла — написать книгу, читая которую можно было бы «войти в соприкосновение с самим содержанием живой математической науки»,— Курант привлек молодого двадцатичетырехлетнего тополога Герберта Роббинса. Курант, используя свой талант организатора, сумел добыть в те трудные годы немалые материальные средства для издания такого объемного труда. Он долго колебался, выбирая название для своей книги, и окончательно утвердился в нем, лишь поговорив с великим немецким писателем, также лишенным родины, Томасом Манном.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ
Книга Куранта и Роббинса была переведена на русский язык и подготовлена к печати в 1947 г. Это было очень трудное время для нашей страны. Только что закончилась Великая Отечественная война, потребовавшая немыслимого напряжения. Но, несмотря на это, целесообразность издания труда Куранта и Роббинса была совершенно несомненной для проницательных ученых, думавших о будущем страны.Однако для того, чтобы книга вышла в свет, потребовалось преодолеть существенные препятствия: у нас началась борьба с космополитизмом, когда русская культура противопоставлялась мировой, а значение последней принижалось. Для выхода книги потребовалось предисловие «От издательства». Оно было вклеено в каждый экземпляр отпечатанного тиража (15 000 экземпляров), между десятой и одиннадцатой страницами, без номеров страниц и без указания о нем в оглавлении.
Требовались особые аргументы для того, чтобы уже напечатанный тираж не был уничтожен. Предисловие было написано Андреем Николаевичем Колмогоровым — одним из величайших математиков уходящего века, хотя и не было подписано им.
Это предисловие — примечательный исторический документ, в котором отражены драматические перипетии того времени. Оно напечатано в добавлении к этому изданию, но мне хочется привести здесь некоторые фрагменты из него о значении книги Куранта и Роббинса. Они актуальны и в наше время, когда живо обсуждаются проблемы математического образования.
Первые три абзаца предисловия обращены к тем основным группам молодежи, для которых, по мнению Колмогорова, книга может быть наиболее полезна. Прежде всего, это школьники, ибо «существует большой разрыв между математикой, которая преподается в средней школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки». Затем, это студенты инженерных, химических, биологических и сельскохозяйственных вузов, в которых «оставляют совершенно в стороне ряд более общих и новых идей математики... Между тем, эти идеи становятся все более существенными для всей совокупности точных и технических наук».
Наконец, это «молодежь, избравшая своей специальностью математику или те разделы естественных наук (механика, астрономия, физика), изучение которых связано с прохождением вполне современного курса математики... [и которая] часто нуждается в том, чтобы еще на стадии перехода из средней школы в высшую в более легкой и наглядной форме познакомиться с различными разделами математики, вплоть до самых важных и современных».
Труд Куранта и Роббинса удовлетворяет потребности этих групп молодежи. Но не только. Эта книга интересна всякому человеку, которому небезразлична судьба научного знания. Вне всякого сомнения, она вхоПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ дит в золотой фонд литературы по математике. Книга была переведена на многие языки и сразу же после ее издания стала математическим бестселлером.
Эта книга была написана шестьдесят лет назад. С тех пор во всем мире и в математической науке произошли весьма значительные изменения. Структура книги Куранта и Роббинса во многом соответствует структуре математики, сложившейся в начале века. Представление об этой структуре дает список основных секций на Втором математическом конгрессе (Париж, 1900 г.): арифметики и алгебры, геометрии, анализа, механики и математической физики. Ныне, в дополнение к этим четырем секциям, на современных конгрессах работают секции математической логики и оснований математики, топологии, алгебраической геометрии, комплексного анализа, теории групп Ли и теории представлений, теории функций и функционального анализа, дифференциальных уравнений с частными производными, обыкновенных дифференциальных уравнений, численных методов, дискретной математики и комбинаторики, теории информации и приложений математики к нефизическим наукам.
Масштаб произошедших изменений не даёт возможности в коротких редакторских примечаниях отразить содержательно достижения в математике за последние две трети века. Поэтому мы ограничились лишь самыми необходимыми комментариями к тексту книги, но при этом значительно пересмотрели и расширили список литературы, включив в него наиболее интересные книги, ориентированные на школьников, вышедшие за последние тридцать лет, В добавлении помещен также фрагмент книги К. Рид «Курант в Гёттингене и Нью-Йорке», посвященный истории создания книги Куранта и Роббинса.
Предисловие ко второму изданию на русском языке Книга Р. Куранта и Г. Роббинса уже издавалась в СССР в 1947 г. Она пользуется большим успехом у любителей математики самых различных возрастов и уровней подготовки, но давно уже стала библиографической редкостью. В серии «Математическое просвещение» она займет свое почетное место.
Перевод, выполненный для первого издания под редакций покойного проф. В. Л. Гончарова, был выправлен и пополнен по последним английскому (1948) и немецкому (1962) изданиям. Восстановлен также предметный указатель. Список «рекомендованной литературы» следует
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ
оригиналу лишь в части книг, переведенных на русский язык; редакторы русского издания дополнили его рядом книг, имеющихся на русском языке.Примечания редакторов русского издания немногочисленны (они помечены цифрами, в то время как примечания авторов обозначены звездочками1.) Редакторы, не желая нарушать цельный и впечатляющий стиль книги, не стремились исправлять и дополнять довольно случайный выбор их указаний на историю вопроса и принадлженость отдельных результатов определенным лицам.
Мы рады поблагодарить проф. Р. Куранта за любезное внимание, оказанное им новому изданию книги на русском языке. В своем коротком обращении к русскому читателю он еще раз подчеркивает руководящую идею своей педагогической деятельности: пропаганду органического единства математики и ее неразрывной связи с естествознанием и техникой. При этом имеется в виду не нравоучения об обязанности математиков быть полезными, а наглядная демонстрация того, что живые источники математического творчества неотделимы от интереса к познанию природы и задачам управления природными явлениями.
В новом издании использованы замечания проф. К. Л. Зигеля и проф.
Отто Нейгебауэра, которым мы вместе с авторами выражаем искреннюю признательность.
12 ноября 1966 г.
1 В настоящем издании не сохранилось. — Прим. ред. наст. изд.
Выход в свет второго русского издания нашей книги — весьма приятное для меня событие. Я всегда с глубоким восхищением относился к замечательному вкладу в нашу науку, сделанному многими выдающимися математиками Советского Союза. Пожалуй, в большей степени, чем в некоторых странах Запада, русская математическая традиция сохранила идеал единства науки и способствовала упрочению роли математики в научных и технических приложениях. На меня также производит сильнейшее впечатление активное участие, которое принимают крупные математики Советской России в деле подъема математического образования. Я рад, что свое место в русской научно-педагогической литературе по математике заняла и наша книга.
Настоящее издание отличается от предыдущих английских и немецких изданий небольшими исправлениями и уточнениями, которыми мы обязаны, в частности, профессору К. Л. Зигелю, Отто Нейгенбауэру и другим своим коллегам.
9 мая 1966 г.
ПОСВЯЩАЕТСЯ
Эрнсту, Гертруде, Гансу и Леоноре Курант На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики являлось необходимой составной частью интеллектуального багажа каждого образованного человека. В наши дни установленному традицией воспитательному значению математики угрожает серьезная опасность.К сожалению, профессиональные представители математической науки в данном случае не свободны от ответственности. Обучение математике нередко приобретало характер стереотипных упражнений в решении задач шаблонного содержания, что, может быть, и вело к развитию кое-каких формальных навыков, но не призывало к глубокому проникновению в изучаемый предмет и не способствовало развитию подлинной свободы мысли. Научные исследования обнаруживали тенденцию в сторону чрезмерной абстракции и специализации. Приложениям и взаимоотношениям с иными областями не уделялось достаточно внимания.
И все же эти малоблагоприятные предпосылки ни в какой мере не могут послужить оправданием для политики сдачи позиций. Напротив, те, кто умеют понимать значение умственной культуры, не могут не выступить — и уже выступают — на ее защиту. Преподаватели, учащиеся — все, хотя бы и не связанные со школой, образованные люди — требуют не идти по линии наименьшего сопротивления, не складывать оружия, а приступить к конструктивной реформе преподавания. Целью является подлинное понимание существа математики как органического целого и как основы научного мышления и действования.
Несколько блестящих книг биографического и исторического содержания и кое-какие публицистические выступления разбудили в широких кругах, казалось бы, безразличных к математике, на самом деле никогда не угасавший к ней интерес. Но знание не может быть достигнуто с помощью одних лишь косвенных средств. Понимание математики не приобретается только безболезненно развлекательными способами — так же как, например, вы не сможете приобрести музыкальной культуры путем чтения журнальных статей (как бы ярко они ни были написаны), если не научитесь слушать внимательно и сосредоточенно. Нельзя обойтись без действенного соприкосновения с самим содержанием живой
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
математической науки. С другой стороны, следовало бы избегать всего слишком технического или искусственного, делая изложение математики в одинаковой степени свободным от духа школьной рутины и от мертвящего догматизма, отказывающегося от мотивировок и указания целей, — того самого догматизма, который представляет собой столь неприятное препятствие для честного усилия. Нет ничего невозможного в том, чтобы, начиная от первооснов и следуя по прямому пути, добраться до таких возвышенных точек, с которых можно ясно обозреть самую сущность и движущие силы современной математики.Настоящая книга делает такую именно попытку. Поскольку она не предполагает иных сведений, кроме тех, которые сообщаются в хорошем школьном курсе, ее можно было бы назвать популярной. Но она — не уступка опасной тенденции устранить всякое напряжение мысли и упражнение. Она предполагает известный уровень умственной зрелости и готовность усваивать предлагаемое рассуждение. Книга написана для начинающих и для научных работников, для учащихся и для учителей, для философов и для инженеров; она может быть использована как учебное пособие в учебных заведениях и в библиотеках. Может быть, намерение обратиться к такому широкому кругу читателей является чересчур смелым и самонадеянным. Нужно признать, что под давлением иной работы мы вынуждены были при публикации этой книги искать компромиссы: подготовка велась многие годы, но так и не была понастоящему закончена. Мы будем рады критике и готовы выслушать пожелания.
Если ответственность за план и философское содержание этой публикации ложится на нижеподписавшегося, то воздаяние ее достоинствам (если таковые имеются) мне подобает разделить с Гербертом Роббинсом. С самого момента присоединения к задуманной работе он отдался ей с увлечением, как своей собственной, и его сотрудничество сыграло решающую роль в окончательном придании книге ее настоящей формы.
Я должен выразить свою глубокую благодарность за помощь многочисленным друзьям. Беседы с Нильсом Бором, Куртом Фридрихом и Отто Нейгебауэром оказали влияние на мои позиции в вопросах философского и исторического характера. Большое количество конструктивных критических замечаний с точки зрения педагога высказала Эдна Крамер. Давид Гильбарг записал лекции, положенные затем в основу книги. Эрнест Курант, Норман Девидс, Чарльз де Прима, Альфред Горн, Герберт Минтцер, Вольфганг Вазов и другие помогли в поистине бесконечной работе по перепечатке рукописи и внесли в нее множество улучшений. Доналд Флендерс внес много ценных предложений и тщательно выверил рукопись к печати. Джон Кнудсен, Герта фон Гумпенберг, Ирвинг Риттер и Отто Нейгебауэр изготовили чертежи. Часть упражнений для приложения в конце книги исходит от Г. Уитни. КурПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ, ТРЕТЬЕМУ И ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЯМ сы лекций и статьи, положенные в основу книги, были осуществлены благодаря щедрой поддержке Отдела народного образования Рокфеллеровского фонда. Я должен также поблагодарить издательство Waverly Press, особенно г-на Гровера К. Орта, за чрезвычайно квалифицированную работу и издательство Oxford University Press, особенно г-на Филипа Водрена и г-на У. Омана, за инициативу и поддержку.
22 августа 1941 г.
Предисловие ко второму, третьему и четвертому В последний год, под воздействием совершающихся событий, возник усиленный спрос на математическую информацию и соответствующий инструктивный материал. Сейчас больше чем когда-либо существует опасность выхолащивания и разочарований, если только учащиеся (и учителя) не сумеют увидеть и схватить то, что лежит за формулами и преобразованиями, — истинное существо и содержание математики.
Именно для тех, кто видит глубже, была написана эта книга, и отклики на первое издание поддерживают в авторах надежду, что она принесет пользу.
Благодарим читателей, чей критические замечания позволили внести в новые издания многочисленные поправки и улучшения. За большую помощь в подготовке четвертого издания сердечно благодарим г-жу Наташу Артин.
18 марта 1943 г.
10 октября 1945 г.
28 октября 1947 г.
Порядок изложения в книге — систематический, но это не значит никоим образом, что читатель обязан читать ее подряд — страницу за страницей, главу за главой. Главы в значительной степени независимы одна от другой. Часто начало раздела покажется легкодоступным, но потом дорога постепенно пойдет вверх, становясь круче в конце главы и в дополнениях к ней. Поэтому читатель, нуждающийся скорее в общей информации, чем в приобретении специальных знаний, поступит правильно, если удовлетворится таким отбором материала, который может быть осуществлен по принципу избегания более детализированных рассмотрений.
Учащийся с ограниченной математической подготовкой пусть выбирает по своему вкусу. Звездочками и мелким шрифтом отмечено то, что может быть опущено при первом чтении без серьезного ущерба для понимания последующего. Больше того, беды не будет, если при изучении книги читатель ограничится теми разделами или главами, которые представляют для него наибольший интерес. Большинство упражнений не носит чисто формального характера; более трудные отмечены звездочкой. Не надо слишком огорчаться, если вы не сумеете выполнить некоторые из них.
Преподаватели школ найдут в главах, посвященных геометрическим построениям и максимумам и минимумам, материал, подходящий для кружковых занятий или для отдельных групп учащихся.
Мы надеемся, что книга сможет послужить и учащимся разных классов колледжей и лицам тех или иных профессий, действительно интересующимся проблемами точного знания. Она может быть положена в основу «свободных» курсов в колледжах по основным понятиям математики. Главы III, IV и V подходят для курса геометрии, тогда как главы VI и VIII, вместе взятые, образуют законченное изложение основ анализа с опорой скорее на понимание, чем на достижение технического совершенства. Они могут быть использованы в качестве вводного текста преподавателем, который пожелал бы дополнить учебный курс в соответствии с теми или иными специфическими потребностями, и в особенности — обогатить его более разнообразными примерами. Многочисленные упражнения разбросаны по всей книге; дополнительное собрание упражнений в конце могло бы, как мы полагаем, облегчить ее использование в школьной обстановке.
Мы надеемся, что и специалист обнаружит кое-что интересное в деталях и в иных элементарных рассуждениях, содержащих в себе зерно более широких идей.
Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству. Ее основные и взаимно противоположные элементы — логика и интуиция, анализ и конструкция, общность и конкретность. Как бы ни были различны точки зрения, питаемые теми или иными традициями, только совместное действие этих полярных начал и борьба за их синтез обеспечивают жизненность, полезность и высокую ценность математической науки.
Без сомнения, движение вперед в области математики обусловлено возникновением потребностей, в большей или меньшей мере носящих практический характер. Но раз возникшее, оно неизбежно приобретает внутренний размах и выходит за границы непосредственной полезности. Совершающееся таким образом превращение прикладной науки в теоретическую наблюдается в истории древности, но не в меньшей степени также и в наши дни: достаточно принять во внимание тот вклад, который сделан в современную математику инженерами и физиками.
Самые ранние из дошедших до нас образцов математической мысли появились на Востоке: около двух тысячелетий до нашей эры вавилоняне собрали обширный материал, который мы склонны были бы в настоящее время отнести к элементарной алгебре. Но как наука в современном смысле слова математика возникает позднее на греческой почве, в пятом и четвертом столетиях до нашей эры. Все усиливающееся соприкосновение между Востоком и Грецией, начавшееся во времена Персидской империи и достигшее апогея в период, непосредственно следующий за экспедициями Александра Македонского, обеспечило грекам возможность перенять достижения вавилонян в области математики и астрономии. Математика не замедлила стать объектом философских дискуссий, обычных в греческих городах-государствах. Таким образом, греческие мыслители осознали значительные трудности, связанные с основными математическими концепциями — непрерывностью, движением, бесконечностью — и с проблемой измерения произвольных величин данными заранее единицами. Но обнаружилась и решимость преодолеть препятствия: возникшая в результате великолепного усилия мысли евдоксова теория геометрического континуума представляет собой такое достижение, которое можно поставить в один ряд только с современной теорией иррациональных чисел. От Евдокса идет аксиоматико-дедуктивное напрвление в математике, проявившееся вполне отчетливо в «Началах» Евклида.
Хотя теоретико-постулативная тенденция незыблемо остается одной из самых ярких особенностей греческой математики и, как таковая, оказала беспримерное влияние на дальнейшее развитие науки, тем не менее необходимо со всей энергией указать, что практические потребности и связь с физической реальностью участвовали никак не в меньшей мере в создании античной математики и что изложению, свободному от евклидовой строгости, очень часто отдавалось предпочтение.
Не исключено, что именно слишком раннее открытие трудностей, связанных с «несоизмеримыми» величинами, помешало грекам развить искусство численных операций, сделавшее в предшествовавшие эпохи значительные успехи на Востоке. Вместо этого они стали искать пути в дебрях чистой аксиоматической геометрии. Так началось одно из странных блужданий в истории науки, и, может быть, были при этом упущены блестящие возможности. Почти на два тысячелетия авторитет греческой геометрической традиции задержал неизбежную эволюцию идеи числа и буквенного исчисления, положенных впоследстии в основу точных наук.
После периода медленного накопления сил — с возникновением в XVII столетии аналитической геометрии и дифференциального и интегрального исчислений — открылась бурная революционная фаза в развитии математики и физики. В XVII и XVIII вв. греческий идеал аксиоматической кристаллизации и систематической дедукции потускнел и утерял свое влияние, хотя античная геометрия продолжала высоко расцениваться. Логически безупречное мышление, отправляющееся от отчетливых определений и «очевидных», взаимно не противоречащих аксиом, перестало импонировать новым пионерам математического знания. Предавшись подлинной оргии интуитивных догадок, перемешивая неоспоримые заключения с бессмысленными полумистическими утверждениями, слепо доверяясь сверхчеловеческой силе формальных процедур, они открыли новый математический мир, полный несметных богатств. Но мало-помалу экстатическое состояние мысли, упоенной головокружительными успехами, уступило место духу сдержанности и критицизма. В XIX столетии осознание необходимости консолидировать науку, особенно в связи с нуждами высшего образования, после Французской революции получившего широкое распространение, повело к ревизии основ новой математики; в частности, внимание было направлено к дифференциальному и интегральному исчислениям и к уяснению подразумеваемого анализом понятия предела. Таким образом, XIX век не только стал эпохой новых успехов, но и был ознаменован плодотворным возвратом к классическому идеалу точности и строгости доказательств. В этом отношении греческий образец был даже превзойден. Еще один раз маятник качнулся в сторону логической безупречности и отвлеченности. В настоящее время мы еще, по-видимому, не вышли из этого периода, хотя позволительно надеяться, что установившийся прискорбный разрыв между чистой математикой и ее жизненными приложениями, неизбежный, по-видимому, во времена критических ревизий, сменится эрой более тесного единения. ПриобреЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИКА?
тенный запас внутренних сил и, помимо всего прочего, чрезвычайное упрощение, достигаемое на основе ясного понимания, позволяют сегодня манипулировать математической теорией таким образом, чтобы приложения не упускались из виду. Установить еще раз органическую связь между чистым и прикладным знанием, здоровое равновесие между абстрактной общностью и полнокровной конкретностью — вот как нам представляется задача математики в непосредственно обозримом будущем.
Здесь не место входить в подробный философский или психологический анализ математики. Хочется отметить все же некоторые моменты. Чрезмерное подчеркивание аксиоматико-дедуктивного характера математики представляется мне весьма опасным. Конечно, начало конструктивного творчества, интуитивное начало, являющееся источником наших идей и доводов в их пользу, с трудом укладываются в простые философские формулировки; и тем не менее именно это начало есть подлинная суть любого математического открытия, даже если оно относится к самым абстрактным областям. Если целью и является четкая дедуктивная форма, то движущая сила математики — это интуиция и конструкции. В допущении, что математика есть не более чем система следствий, извлекаемых из определений и постулатов, которые должны быть только совместимы между собой, а в остальном являются продуктом свободной фантазии математиков, таится серьезная угроза для самого существования науки. Если бы это было действительно так, математика была бы занятием, недостойным мыслящего человека. Она была бы просто игрой с определениями, правилами и силлогизмами, не имеющей ни причины, ни цели. Представление, согласно которому человеческий интеллект может творить лишенные какого бы то ни было смысла системы постулатов, есть обман, точнее, полуправда.
Получать результаты, имеющие научную ценность, свободный разум может, только подчиняясь суровой ответственности перед природой, только следуя некоей внутренней необходимости.
Хотя созерцательное направление логического анализа и не представляет всей математики, оно способствовало более глубокому пониманию математических фактов и их взаимозависимости и более ясному овладению существом математических понятий. Именно из этого направления выросла современная точка зрения на математику как на образец универсально приложимого научного метода.
Каких бы философских позиций мы ни придерживались, все задачи научного исследования сводятся к нашему отношению к воспринимаемым объектам и инструментам исследования. Конечно, восприятие само по себе еще не есть ни знание, ни понимание; нужно еще согласовать их между собой и истолковать в терминах некоторых лежащих за ними сущностей, «вещей в себе», не являющихся предметами непосредственно физического изучения, а принадлежащими к метафизической сфере. Но для научного метода существенным является отказ от метафизических умозрений и, в конечном счете, представление всех наблюдаемых фактов в форме понятий и конструкций. Отказ от претензии понимания природы «вещей в себе», от постижения «окончательной истины», от разгадки внутренней сущности мира, быть может, будет психологически тягостен для наивных энтузиастов, но на самом-то деле этот отказ оказался в высшей степени плодотворным для развития современной научной мысли.
Некоторым из величайших открытий физики мы обязаны смелому следованию принципу устранения метафизики. Когда Эйнштейн попытался свести понятие «одновременных событий, происходящих в разных местах» к наблюдаемым явлениям, когда он понял, что вера в то, что это понятие само по себе непременно должно иметь какой-то точный смысл, есть попросту метафизический предрассудок, в этом открытии уже было заключено ядро его теории относительности. Когда Нильс Бор и его ученики вдумались в тот факт, что любое физическое наблюдение связано с взаимодействием между прибором и наблюдаемым объектом, то им стало ясно, что точное одновременное определение положения и скорости частицы в том смысле, в каком это понимается в физике, невозможно. Далеко идущие следствия этого открытия, составившие современную систему квантовой механики, хорошо известны ныне каждому физику. В XIX столетии господствовала идея, согласно которой механические силы и передвижения частиц в пространстве суть вещи в себе, а электричество, свет и магнетизм можно свести к механическим явлениям (или «объяснить» в механических терминах), подобно тому как это было сделано с теорией теплоты. Была выдвинута концепция гипотетической среды — так называемого «эфира»,— способной к не вполне понятным механическим передвижениям, представляющимся нам в качестве света или электричества. Постепенно выяснилось, что этот эфир принципиально ненаблюдаем, т. е. что это понятие принадлежит скорее метафизике, нежели физике. Вначале с сожалением, а затем с облегчением идея механического объяснения световых и электрических явлений — а вместе с ней и понятие эфира — была окончательно отброшена.
Подобная же ситуация, и даже еще более отчетливая, создалась и в математике. В течение столетий математики рассматривали интересующие их объекты — числа, прямые и т. д. — как некие субстанции, вещи в себе. Поскольку, однако, эти «сущности» упорно не поддавались попыткам точного описания их природы, математики девятнадцатого столетия стали понемногу укрепляться в мысли, что вопрос о значении этих понятий как субстанциальных объектов в рамках математики (да и где бы то ни было) просто не имеет смысла. Математические утверждения, в которые входят эти термины, относятся вовсе не к физической реЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИКА?
альности; они лишь устанавливают взаимосвязи между математически «неопределимыми объектами» и правила оперирования с ними. Вопрос о том, чем «на самом деле» являются точки, прямые и числа, не может и не должна обсуждать математическая наука. Действительно существенными и имеющими непосредственное касательство к «проверяемым» фактам являются структура и взаимосвязи между этими объектами: что две точки определяют прямую, что из чисел по определенным правилам получаются другие числа, и т. п. Ясное осознание необходимости отказа от представления об основных математических понятиях как о реально существующих предметах явилось одним из самых важных и плодотворных завоеваний современного аксиоматического развития математики.
К счастью, творческая мысль забывает о догматических философских верованиях, как только привязанность к ним становится на пути конструктивных открытий. И для специалистов, и для любителей не философия, а именно активные занятия самой математикой смогут дать ответ на вопрос: Что такое математика?
ГЛАВА I
Число — это основное понятие современной математики. Но что такое число? Если мы говорим, что + = 1, · = или что (1) · (1) = = 1, то какой смысл вкладывается в эти утверждения? В школе мы изучаем технику действий с дробями и с отрицательными числами, но, чтобы приобрести подлинное понимание того, как устроена система чисел, недостаточно ограничиваться элементарными сведениями и нужно пойти несколько дальше. Греки в древнее время в основу созданной ими математики положили геометрические концепции точки и прямой;руководящим принципом современной математики стало сведение в конечном счете всех утверждений к утверждениям, касающимся натуральных чисел 1, 2, 3,... «Бог создал натуральные числа, все прочее — дело рук человека». Этими словами Леопольд Кронекер (1823–1891) определил тот прочный фундамент, на котором может быть построено здание математики.
Числа служат для того, чтобы считать объекты, входящие в состав тех или иных объединений или собраний. Числа решительно никак не связаны с индивидуальной характеристикой считаемых объектов. Так, число «шесть» есть результат абстрагирования, производимого при рассмотрении всевозможных совокупностей, состоящих из шести предметов: оно нисколько не зависит ни от специфических свойств этих объектов, ни от употребляемых символов (обозначений). Но абстрактный характер идеи числа становится ясным только на очень высокой ступени интеллектуального развития. В глазах детей числа всегда остаются соединенными с самими осязаемыми объектами — допустим, пальцами или камешками; в языках народов числа также трактуются конкретно:
для обозначения предметов различных типов употребляются различные сочетания числительных.
Мы воспользуемся тем, что математик (как таковой) не обязан заниматься философской проблемой перехода от совокупностей конкретных предметов к абстрактному понятию числа. Мы примем поэтому натуральные числа как данные вместе с двумя основными операциями, над ними совершаемыми: сложением и умножением.
§ 1. Операции над целыми числами 1. Законы арифметики. Математическую теорию натуральных (иначе, целых положительных ) чисел называют арифметикой. Эта теория основана на том факте, что сложение и умножение целых чисел подчинены некоторым законам. Чтобы сформулировать эти законы во всей их общности, нельзя воспользоваться символами вроде 1, 2, 3, относящимися к определенным, конкретным числам. Утверждение есть только частный случай общего закона, содержание которого заключается в том, что сумма двух чисел не зависит от порядка, в котором мы рассматриваем эти числа. Если мы хотим выразить ту мысль, что некоторое соотношение между целыми числами имеет место (оправдывается, осуществляется), каковы бы ни были рассматриваемые числа, то будем обозначать их символически, т. е. условно, буквами a, b, c,... Раз такого рода соглашение принято, сформулировать пять основных законов арифметики — очевидно, близко знакомых читателю — не представит труда:
Два первых закона — коммутативный (переместительный) закон сложения и коммутативный закон умножения — говорят, что при сложении и при умножении можно менять порядок чисел, над которыми совершается действие. Третий — ассоциативный (сочетательный) закон сложения — гласит, что при сложении трех чисел получается один и тот же результат независимо от того, прибавим ли мы к первому числу сумму второго и третьего, или прибавим третье к сумме первого и второго.
Четвертый закон есть ассоциативный закон умножения. Последний — дистрибутивный (распределительный) закон — устанавливает то обстоятельство, что при умножении суммы на некоторое целое число можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Эти арифметические законы совсем просты и, пожалуй, могут показаться очевидными. Но следует все же заметить, что к иного рода объектам — не к целым числам — они могут оказаться и неприменимыми. Например, если a и b обозначают не числа, а химические вещества и если «сложение» понимается в смысле обычной речи, то легко понять, что коммутативный закон сложения не всегда оправдывается.
В самом деле, если, скажем, к воде будем прибавлять серную кислоту, то получится разбавленный раствор, тогда как прибавление воды к чистой серной кислоте может закончиться неблагополучно для экспериментатора. С помощью таких же иллюстраций можно показать, что в химической «арифметике» иногда нарушаются и ассоциативный, и дистрибутивный законы сложения. Итак, можно вообразить и такие типы арифметических систем, в которых один или несколько законов 1)–5) теряют силу. Такие системы действительно изучались современной математикой. Основа, на которой покоятся законы 1)–5), дается конкретной моделью для абстрактного понятия целого числа. Вместо того чтобы пользоваться обыкновенными знаками 1, 2, 3 и т. д., станем обозначать число предметов в данной совокупности (например, яблок на данном дереве) системой точек в четырехугольном «ящичке» — таким образом, чтобы каждому предмету соответствовало по одной точке. Оперируя этими ящичками, мы сможем исследовать законы арифметики целых чисел. Чтобы сложить два целых числа a и b, мы сдвигаем вместе соответствующие ящички и затем уничтожаем перегородку. Чтобы умножить a на b, мы выстроим точки в двух ящичках в ряд и затем устроим новый ящичек, в котором точки будут расположены так, что образуют a горизонтальных и b вертикальных рядов. И тогда ясно видно, что правила 1)–5) выражают интуитивно очевидные свойства введенных операций с ящичками.
На основе определения сложения двух целых чисел можно теперь дать определение неравенства. Каждое из двух эквивалентных утверждений, именно a < b («a меньше, чем b») и b > a («b больше, чем a»), обозначает, что ящичек b может быть получен из ящичка a посредством прибавления надлежащим образом выбранного третьего ящичка c таким образом, что b = a + c. Если это так, то мы напишем чем и определяется операция вычитания.
Сложение и вычитание называют обратными операциями, так как если, например, к числу a прибавить число d, а затем из того, что получится, отнять d, то получится снова исходное число a:
Нужно заметить, что число b a было определено только при условии b > a. Значение символа b a как отрицательного целого числа при условии b < a будет рассмотрено далее (стр. 73 и след.). Часто бывает удобно пользоваться обозначением b a («b больше или равно a») или a b («a меньше или равно b», «a не превосходит b»), понимая под этим не что иное, как отрицание того, что a > b. Таким образом, можно написать 2 2, и можно также написать 3 2.
Мы можем еще несколько расширить область положительных целых чисел, которые мы изображаем ящичками с точками. Введем целое число нуль, изображаемое совершенно пустым ящичком; условимся обозначать такой пустой ящичек обычным символом 0. Тогда, согласно нашему определению сложения и умножения, каково бы ни было целое число a, получаются соотношения Действительно, a + 0 обозначает прибавление пустого ящичка к ящичку a, а a · 0 обозначает ящичек, в котором вовсе нет вертикальных рядов, т. е. пустой ящичек. Тогда уже вполне естественно расширить определение вычитания, полагая при любом a. Таковы характерные арифметические свойства нуля.
Геометрические модели вроде ящичков с точками (сюда относится древний абак) широко применялись при арифметических вычислениях вплоть до конца средневековья и только мало-помалу уступили место гораздо более совершенным символическим методам, основанным на десятичной системе.
2. Представление целых чисел с помощью письменных знаков (нумерация). Необходимо очень тщательно делать различие между целым числом и тем символом (например, 5, V и т. п.), которым пользуются для его письменного воспроизведения. В нашей десятичной системе нуль и девять целых натуральных чисел обозначаются цифрами 0, 1, 2, 3,..., 9. Числа большей величины, как, скажем, «триста семьдесят два», представляются в виде и в десятичной системе записываются символом 372. Существенно в данном случае то, что смысл каждой из цифр 3, 7, 2 зависит от ее положения — от того, стоит ли она на месте единиц, десятков или сотен.
Используя «поместное значение» цифр (позиционный принцип), мы имеем возможность изобразить любое натуральное число с помощью всего лишь десяти цифр в их различных комбинациях. Общее правило такого изображения дается схемой, которая иллюстрируется примером где a, b, c, d представляют собой целые числа в пределах от нуля до девяти. Число z в этом случае сокращенно обозначается символом Заметим, между прочим, что коэффициенты d, c, b, a являются не чем иным, как остатками при последовательном делении числа z на 10. Так, например, С помощью написанного выше выражения для числа z можно изображать только те числа, которые меньше десяти тысяч, так как числа большие, чем десять тысяч, требуют пяти или большего числа цифр.
Если z есть число, заключенное между десятью тысячами и ста тысячами, то его можно представить в виде и записать символически как abcde. Подобное же утверждение справедливо относительно чисел, заключенных между ста тысячами и одним миллионом, и т. д. Чрезвычайно важно располагать способом, позволяющим высказать результат, к которому мы приходим, во всей его общности посредством одной-единственной формулы. Мы можем добиться этой цели, если обозначим различные коэффициенты e, d, c,... одной и той же буквой a с различными значками (индексами) a0, a1, a2,..., а то обстоятельство, что степени числа 10 могут быть сколь угодно большими, выразим тем, что высшую степень числа 10 обозначим не или 104, как в предыдущих примерах, а станем писать 10n, понимая под n совершенно произвольное натуральное число. В таком случае любое целое число z в десятичной системе может быть представлено в виде и записано посредством символа Как и в рассмотренном выше частном примере, мы обнаруживаем, что a0, a1, a2,..., an являются остатками при последовательном делении z В десятичной системе число «десять» играет особую роль как «основание» системы. Тот, кому приходится встречаться лишь с практическими вычислениями, может не отдавать себе отчета в том, что такое выделение числа десять не является существенным и что роль основания способно было бы играть любое целое число, большее единицы. Например, была бы вполне возможна семеричная система с основанием семь.
В такой системе целое число представлялось бы в виде где коэффициенты b обозначают числа в пределах от нуля до шести, и оно записывалось бы посредством символа Так, число «сто девять» в семеричной системе обозначалось бы символом 214, потому что В качестве упражнения читатель может вывести общее правило для перехода от основания 10 к любому основанию B: нужно выполнять последовательные деления на B, начиная с данного числа z; остатки и будут «цифрами» при записи числа в системе с основанием B. Например, 109 (в десятичной системе) = 214 (в семеричной системе).
Естественно, возникает вопрос: не был ли бы особенно желательным выбор какого-либо специального числа в качестве основания системы счисления? Мы увидим дальше, что слишком маленькое основание должно было бы вызвать кое-какие неудобства; с другой стороны, слишком большое основание потребовало бы заучивания многих цифр и знания расширенной таблицы умножения. Высказывались соображения в пользу системы с основанием 12 («двенадцатиричной»): указывалось, что 12 делится без остатка на два, на три, на четыре и на шесть, и потому вычисления, связанные с делениями и дробями, при основании 12 были бы несколько проще. Чтобы написать произвольное число в двенадцатиричной системе, понадобились бы две лишние цифры — для обозначения чисел «десять» и «одиннадцать». Пусть a обозначало бы десять, а b — одиннадцать. Тогда в двенадцатиричной системе «двенадцать»
пришлось бы написать в виде 10, «двадцать два» — в виде 1a, «двадцать три» — в виде 1b, а «сто тридцать один» — в виде ab.
Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерийцам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. Более древние системы нумерации были построены исключительно на аддитивном принципе.1 Так, в римской нумерации CXVII обозначает «сто + десять + пять + один + один + один».
Египетская, еврейская и греческая системы были на том же уровне.
Неудобством чисто аддитивной системы является то обстоятельство, что с увеличением изображаемых чисел требуется неограниченное число новых символов. Но главнейшим недостатком древних систем (вроде римской) было то, что сама процедура счета была очень трудна: даже самые простые задачи могли решать только специалисты-профессионалы. Совсем иначе обстоит дело с распространенной в наше время индусской «позиционной» системой. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших ее у мусульман.
Позиционная система обладает тем чрезвычайно выгодным свойством, что все числа, и малые и большие, могут быть записаны с помощью небольшого числа различных символов; в десятичной системе таковыми являются «арабские цифры» 0, 1, 2,..., 9. Не меньшее значение имеет и легкость счета в этой системе. Правила действий с числами, записываемыми по позиционному принципу, могут быть резюмированы в виде таблиц сложения и умножения и могут быть раз навсегда выучены на память. Старинному методу счета, которым раньше владели лишь немногие избранные, теперь обучают разве лишь в начальных школах.
В истории культуры найдется немного примеров того, чтобы научный прогресс оказал на практическую жизнь столь глубокое, столь облегчающее влияние.
3. Арифметические действия в недесятичных системах счисления. Исключительная роль десятка восходит к истокам цивилизации и без всякого сомнения связана со счетом по пальцам на двух руках.
Но наименования числительных в разных языках указывают и на 1 На самом деле элементы «позиционности» есть и в римской нумерации, во всяком случае, порядок расположения «разрядов» играет роль; так, VI = V + I, но IV = наличие (в былые времена) иных систем счисления, именно с основаниями двадцать и двенадцать. В английском и немецком языках слова, обозначающие 11 и 12, построены не по десятичному принципу, сочетающему десятки с единицами: они лингвистически независимы от слов, обозначающих число 10. Во французском языке слова, обозначающие 20 и 80, позволяют предполагать первоначальное существование системы с основанием 20, используемой для тех или иных надобностей.
В датском языке слово halvfirsinds-tyve, обозначающее 70, буквально переводится «полпути от трижды двадцать до четырежды двадцать».
Вавилонские астрономы пользовались системой, являвшейся отчасти шестидесятеричной (с основанием 60), и именно в этом обстоятельстве следует искать объяснение того факта, что час и угловой градус подразделены на 60 минут.
В недесятичных системах счисления правила арифметики, конечно, те же самые, но таблицы сложения и умножения однозначных чисел отличны от наших десятичных. Будучи приучены к десятичной системе и связаны наименованиями числительных в нашем языке, мы, если попытаемся считать по иным системам, сначала испытаем известное неудобство. Попробуем поупражняться в умножении по семеричной системе. Прежде чем приступить к этому, рекомендуется выписать две таблички, которыми придется пользоваться.
Станем теперь умножать 265 на 24, причем эти числа предполагаются написанными в семеричной системе. (Если написать числа по десятичной системе, то речь идет об умножении 145 на 18.) Начнем с умножения 5 на 4, что, как показывает таблица умножения, дает 26.
Мы пишем 6 на месте единицы, затем переносим двойку в следующий разряд. Далее, находим, что 4 · 6 = 33 и что 33 + 2 = 35. Пишем в произведении 5 и продолжаем таким же образом, пока умножение не закончится. При сложении чисел 1456 и 5630 на месте единиц получаем 6 + 0 = 6, затем на месте семерок 5 + 3 = 11. Пишем 1 и 1 переносим на место «сорокадевяток», где получается 1 + 6 + 4 = 14. Окончательный результат: 265 · 24 = 10416.
Для проверки проделаем то же действие в десятичной системе. Чтобы переписать число 10 416 по десятичной системе, придется найти степени 7 вплоть до четвертой: 72 = 49, 73 = 343, 74 = 2401. Отсюда следует, что 10416 = 2401 + 4 · 49 + 7 + 6, причем правая часть равенства записана уже по десятичной системе. Складывая числа, мы находим, что число 10 416, записанное по семеричной системе, равно числу 2610, записанному по десятичной. Умножим теперь 145 на 18 в десятичной системе: получается как раз 2610.
Упражнения. 1) Составьте таблицы сложения и умножения в двенадцатеричной системе и проделайте несколько примеров вроде приведенного выше.
2) Напишите «тридцать» и «сто тридцать три» в системах с основаниями 7, 11, 12.
3) Что обозначают символы 11111 и 21212 в этих системах?
4) Составьте таблицы сложения и умножения для систем с основаниями 5, 11, 13.
С теоретической точки зрения система, построенная по позиционному принципу с основанием 2, выделяется в том смысле, что это основание — наименьшее возможное. В этой двоичной (диадической, бинарной) системе имеются лишь две цифры: 0 и 1; всякое иное число записывается как комбинация этих символов. Таблицы сложения и умножения сводятся к двум правилам: 1 + 1 = 10 и 1 · 1 = 1. Но непрактичность такой системы достаточно очевидна1 : чтобы изобразить уже небольшие числа, нужны длинные выражения. Так, число «семьдесят девять», которое представляется в виде 1 · 26 + 0 · 25 + 0 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 1 · 2 + 1, записывается в двоичной системе как 1 001 111.
Чтобы проиллюстрировать, насколько просто производится умножение в двоичной системе, перемножим числа семь и пять, которые записываются соответственно в виде 111 и 101. Принимая во внимание, 1 Со времени написания книги (1941 г.; последнее английское издание, которым мы располагали, вышло в 1948 г.) столь «непрактичная» для обычного счета двоичная система получила широкие и общеизвестные применения в машинной математике (идея которых — «кодирование» любого текста с помощью алфавита из двух знаков — предугадывается в приводимой ниже фразе Лапласа о Лейбнице). — Прим. ред.
что в этой системе 1 + 1 = 10, мы пишем:
и в итоге, как и следовало ожидать, получается тридцать пять.
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716), один из величайших умов своего времени, расценивал двоичную систему чрезвычайно высоко. Вот что говорит по этому поводу Лаплас: «В своей бинарной арифметике Лейбниц видел прообраз творения. Ему представлялось, что единица представляет божественное начало, а нуль — небытие, и что Высшее Существо создает все сущее из небытия точно таким же образом, как единица и нуль в его системе выражают все числа».
Упражнение. Исследуйте в общем виде вопрос о представлении чисел в системе с основанием a. Чтобы называть числа в этой системе, нужны наименования для однозначных чисел 0, 1,..., a 1 и для различных степеней a: a, a2, a3,... Сколько именно числительных потребуется, чтобы назвать все числа до одной тысячи в системах с основанием a = 2, 3, 4, 5,..., 15?
Каково должно быть основание a, чтобы число этих имен числительных было наименьшим? (Примеры: если a = 10, то нужно десять числительных для однозначных чисел. Затем еще три числительных, обозначающих 10, 100 и 1000, всего — 13. При a = 20 нужно двадцать числительных для однозначных чисел и еще числительные для 20 и 400; всего — 22. При a = 100 понадобится числительное.) § 2. Бесконечность системы натуральных чисел.
Математическая индукция 1. Принцип математической индукции. Последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4,... не имеет конца: действительно, как только достигается некоторое число n, вслед за ним сейчас же можно написать ближайшее к нему натуральное число n + 1. Желая какнибудь назвать эти свойства последовательности натуральных чисел, мы говорим, что этих чисел существует бесконечное множество.
Последовательность натуральных чисел представляет простейший и самый естественный пример бесконечного (в математическом смысле), играющего господствующую роль в современной математике. Не раз в этой книге нам придется иметь дело с совокупностями, содержащими бесконечное множество объектов; такова, например, совокупность всех точек на прямой линии или совокупность всех треугольников на плоскости. Но бесконечная последовательность натуральных чисел безусловно представляет простейший пример бесконечной совокупности.
§2 БЕСКОНЕЧНОСТЬ СИСТЕМЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Последовательный, шаг за шагом, переход от n к n + 1, порождающий бесконечную последовательность натуральных чисел, вместе с тем лежит в основе одного из важнейших и типичных для математики рассуждений, именно принципа математической индукции. «Эмпирическая индукция», применяемая в естественных науках, исходит из частного ряда наблюдений некоторого явления и приходит к констатации общего закона, которому подчиняется явление в его различных формах. Степень уверенности, с которой закон таким образом устанавливается, зависит от числа отдельных наблюдений и выводимых из них заключений. Часто подобного рода индуктивные рассуждения бывают вполне убедительными; утверждение, что солнце взойдет завтра с востока, столь несомненно, насколько это вообще возможно; и все же характер констатации в данном случае совсем иной, чем в случае теоремы, доказываемой на основе строгого логического, т. е. математического, рассуждения.Что касается математической индукции, то она применяется иным, отличным способом с целью установления истинности математической теоремы в бесконечной последовательности случаев (первого, второго, третьего и так далее — без всякого исключения). Обозначим через A некоторое утверждение, относящееся к произвольному натуральному числу n. Пусть A будет хотя бы такое утверждение: «Сумма углов в выпуклом многоугольнике с n + 2 сторонами равна 180 · n». Или еще:
обозначим через A утверждение: «проводя n прямых на плоскости, нельзя разбить ее больше чем на 2n частей». Чтобы доказать подобного рода теорему для произвольного значения n, недостаточно доказать ее отдельно для первых 10, или 100, или даже 1000 значений n. Это как раз соответствовало бы принципу эмпирической индукции. Вместо того нам приходится воспользоваться строго математическим и отнюдь не эмпирическим рассуждением; мы уясним себе его характер на частных примерах доказательства предложений, которые мы обозначили через A и A. Остановимся на предложении A. Если n = 1, то речь идет о треугольнике, и мы знаем из элементарной геометрии, что сумма углов такового равна 180 · 1. В случае четырехугольника, (n = 2) мы проводим диагональ, разделяющую четырехугольник на два треугольника, и тогда сейчас же становится ясно, что сумма углов четырехугольника равна сумме углов в двух треугольниках, именно равна 180 + 180 = 180 · 2. Обращаясь к случаю пятиугольника (n = 3), мы разбиваем его таким же образом на четырехугольник и треугольник. Так как первый из названных многоугольников по доказанному имеет сумму углов 180 · 2, а второй — 180 · 1, то всего в случае пятиугольника мы получаем сумму углов 180 · 3. И теперь нам уже становится ясно, что рассуждение может быть продолжено совершенно таким же образом неограниченно. Мы докажем теорему для случая n = 4, затем для случая n = 5, и т. д. Как и раньше, каждое следующее заключение неизбежно вытекает из предыдущего, и теорема A оказывается установленной при произвольном значении n.
Так же обстоит дело и с предложением A. При n = 1 оно, очевидно, справедливо, так как всякая прямая делит плоскость на 2 части. Проведем вторую прямую. Каждая из двух прежних частей разобьется в свою очередь на две части — при условии, что вторая прямая непараллельна первой. Но, как бы то ни было, в случае n = 2 всего окажется не более 4 = 22 частей. Добавим еще третью прямую. Каждая из уже имеющихся частей или будет разбита на две части, или останется нетронутой. Таким образом, число вновь полученных частей не превысит 22 · 2 = 23. Считая это установленным, мы точно так же перейдем к следующему случаю и т. д. — без конца.
Сущность предыдущего рассуждения заключается в том, что, желая установить справедливость некоторой общей теоремы A при любых значениях n, мы доказываем эту теорему последовательно для бесконечного ряда специальных случаев A1, A2,... Возможность этого рассуждения покоится на двух предпосылках: а) имеется общий метод доказательства того, что если справедливо утверждение Ar, то следующее по порядку утверждение Ar+1 также справедливо; б) известно, что первое утверждение A1 справедливо. В том, что эти два условия достаточны для того, чтобы справедливость всех утверждений A1, A2, A3,... была установлена, заключается некоторый логический принцип, имеющий в математике столь же фундаментальное значение, как и классические правила аристотелевой логики.
Сформулируем этот принцип следующим образом. Предположим, что требуется установить справедливость бесконечной последовательности математических предложений которые все, совместно взятые, образуют некоторое общее предложение A. Допустим, что а) проведено математическое рассуждение, показывающее, что если верно Ar, то верно и Ar+1, каково бы ни было натуральное число r, и б ) установлено, что A1 верно. Тогда все предложения нашей последовательности верны и, следовательно, предложение A доказано.
Мы примем принцип индукции без колебаний (так же как мы принимаем все правила обыкновенной логики) и будем его рассматривать как основной принцип, на котором строится математическое доказательство. В самом деле, мы можем установить справедливость каждого утверждения An, исходя из допущения б) о том, что A1 справедливо, и, многократно пользуясь допущением а), последовательно установим справедливость утверждений A2, A3, A4, и т. д., пока не достигнем утверждения An. Принцип математической индукции вытекает, таким
§2 БЕСКОНЕЧНОСТЬ СИСТЕМЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
образом, из того факта, что за каждым натуральным числом r следует (непосредственно) другое натуральное число r + 1 и что, отправляясь от натурального числа 1, можно после конечного числа таких переходов достигнуть любого натурального числа n.Часто принцип математической индукции применяют без явного о том упоминания или же просто он скрывается за формулой «и так далее». Такая скрытая форма применения принципа индукции в особенности свойственна преподаванию элементарной математики. Но при доказательстве иных, более тонких и более глубоких теорем этим принципом неизбежно приходится пользоваться явно. Мы приведем далее некоторое число относящихся сюда простых и все же не совсем тривиальных примеров.
2. Арифметическая прогрессия. Каково бы ни было значение n, сумма 1 + 2 + 3 +... + n первых n натуральных чисел равна.
Чтобы доказать эту теорему по принципу математической индукции, мы должны для произвольного значения n установить справедливость соотношения An :
а) Если r — некоторое натуральное число и если известно, что утверждение Ar справедливо, т. е. если известно, что то, прибавляя к обеим частям последнего равенства по r + 1, мы получаем:
а это как раз и есть утверждение Ar+1.
б) Утверждение A1, очевидно, справедливо, так как 1 =. Итак, по принципу математической индукции утверждение An справедливо при любом n, что и требовалось доказать.
Обыкновенно эту теорему доказывают иным способом. Пишут сумму Складывая, мы видим, что числа, стоящие на одной вертикали, вместе составляют n + 1, и так как вертикалей всего имеется n, то отсюда следует, что и остается еще разделить на 2.
Из формулы (1) сразу же вытекает общая формула для суммы (n + 1) первых членов любой арифметической прогрессии:
В самом деле, В случае, когда a = 0, d = 1, последнее соотношение превращается в соотношение (1).
3. Геометрическая прогрессия. Таким же образом можно рассуждать и по поводу геометрической прогрессии (в общем виде). Мы покажем, что, каково бы ни было n, (Мы предполагаем, что q = 1: иначе правая часть (3) лишена смысла.) Наше утверждение, несомненно, справедливо при n = 1, так как в этом случае И если мы допустим, что то, как следствие, отсюда немедленно вытекает:
Но это как раз и есть утверждение (3) при n = r + 1. Доказательство закончено.
В элементарных учебниках дается другое доказательство. Положим Умножая обе части на q, получим
§2 БЕСКОНЕЧНОСТЬ СИСТЕМЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Вычитая затем последнее равенство из предпоследнего, получаем далее 4. Сумма n первых квадратов. Следующее интересное применение принципа математической индукции относится к сумме n первых квадратов. Путем проб мы устанавливаем (по крайней мере для нескольких небольших значений n), что после чего естественно высказать в виде догадки утверждение, что эта замечательная формула справедлива при всех целых положительных значениях n. Чтобы доказать это, воспользуемся опять методом математической индукции. Заметим прежде всего, что если утверждение An, которое заключается как раз в соотношении (4), справедливо при n = r, так что то, прибавляя к обеим частям по (r + 1), мы получаем а это и есть утверждение Ar+1, так как оно получается из соотношения (4) посредством подстановки r + 1 вместо n. Чтобы закончить доказательство, достаточно обратить внимание на то, что утверждение A1, которое сводится к равенству справедливо. Итак, соотношение (4) верно при всех значениях n.Подобного же рода формулы можно написать для сумм третьих и четвертых степеней, вообще для сумм вида 1k + 2k + 3k +... + nk, где k — произвольное целое положительное число. В качестве упражнения читатель может доказать с помощью математической индукции формулу Необходимо заметить в заключение, что, хотя принципа математической индукции совершенно достаточно для того, чтобы доказать формулу (5) — раз она уже написана, однако доказательство не дает решительно никаких указаний, как прийти к самой этой формуле: почему именно нужно догадываться, что сумма n первых кубов равна выражеn(n + 1) доказательство теоремы заключается в применении таких-то простых логических правил, не оказывает ни малейшего влияния на творческое начало в математике, роль которого — делать выбор из бесконечного множества возникающих возможностей. Вопрос о том, как возникает гипотеза (5), принадлежит к той области, в которой нет никаких общих правил; здесь делают свое дело эксперимент, аналогия, конструктивная индукция. Раз только правильная гипотеза сформулирована, принципа математической индукции часто бывает достаточно, чтобы теорема была доказана. Но так как само такое доказательство никак не указывает пути к открытию, то его лучше было бы называть проверкой.
*5. Одно важное неравенство. В следующей главе нам понадобится неравенство имеющее место при всяком p, удовлетворяющем условию p > 1, и при любом целом положительном значении n. (Ради общности мы предвосхищаем здесь применение отрицательных и нецелых чисел, предполагая, что p может быть любым числом, большим чем 1. Доказательство неравенства одно и то же, независимо от того, каково число p.) Мы воспользуемся и на этот раз математической индукцией.
а) Если верно, что (1 + p)r 1 + rp, то, умножая обе части неравенства на положительное число 1 + p, мы получаем:
Отбрасывая вовсе положительный член rp2, мы только усилим это неравенство; итак, Полученный результат показывает, что неравенство (6) имеет место и при n = r + 1.
б) Совершенно очевидно, что (1 + p)1 1 + p. Таким образом, доказательство закончено.
Ограничение, заключающееся в условии p > 1, существенно. Если p < 1, то 1 + p отрицательно, и рассуждение а) отпадает, так как при умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак
§2 БЕСКОНЕЧНОСТЬ СИСТЕМЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
неравенства должен измениться. (Например, умножая обе части неравенства 3 > 2 на 1, мы получили бы 3 > 2, а это неверно.) *6. Биномиальная теорема. Часто бывает нужно написать в раскрытом виде выражение для n-й степени бинома (a + b)n. Непосредственное вычисление показывает, что и так далее. Но какой общий закон скрывается за словами «и так далее»? Проанализируем процесс вычисления (a + b)2. Так как (a + b)2 = = (a + b)(a + b), то мы получили выражение для (a + b)2, умножая каждый член выражения a + b на a, затем на b и складывая то, что получилось. Ту же процедуру пришлось применить при вычислении (a + b)3 = = (a + b)(a + b)2. Так же точно вычисляются (a + b)4, (a + b)5 и так далее до бесконечности. Выражение для (a + b)n мы получим, умножая выражение (a + b)n1 сначала на a, потом на b, затем складывая то, что получится. Это приводит к следующей диаграмме:позволяющей сразу разобраться в общем законе составления коэффициентов в разложении (a + b)n. Мы строим треугольную схему из натуральных чисел, начиная с коэффициентов 1, 1 двучлена a + b таким образом, что каждое число в треугольнике является суммой двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке (слева и справа). Такая схема известна под названием треугольника Паскаля.
Коэффициенты в разложении (a + b)n по убывающим степеням a и возрастающим степеням b стоят в n-й строке этой схемы.
Так, например, С помощью очень сжатых обозначений, использующих нижние и верхние значки (индексы), запишем числа, стоящие в n-й строке треугольника Паскаля, следующим образом:
Тогда общей формуле для разложения (a + b)n можно придать вид Согласно закону, лежащему в основе построения треугольника Паскаля, мы имеем соотношение В качестве упражнения читатель, имеющий уже некоторый опыт в применении математической индукции, может воспользоваться этим принципом (и очевидными равенствами C0 = C1 = 1) для доказательства общей формулы (При любом целом положительном значении n символ n! (читается «n-факториал») обозначает произведение n первых натуральных чисел:
n! = 1 · 2 · 4 ·... · n. Удобно положить по определению 0! = 1, чтобы формула (9) оправдывалась также и при i, равном 0 или n.) Выводу этой раскрытой формулы для коэффициентов биномиального разложения иногда дается наименование биномиальной теоремы (см. также стр. 500).
Упражнения. Докажите с помощью метода математической индукции следующие равенства:
Найдите сумму следующих геометрических прогрессий:
§2 БЕСКОНЕЧНОСТЬ СИСТЕМЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Пользуясь формулами (4) и (5), докажите равенства:10) То же самое докажите непосредственно методом математической индукции.
7. Дальнейшие замечания по поводу метода математической индукции. Принцип математической индукции может быть слегка обобщен следующим образом: если имеется последовательность утверждений As, As+1, As+2,..., где s — некоторое положительное число, и если а) при всяком значении r s справедливость Ar+1 следует из справедливости Ar, и б) известно, что As справедливо, то все утверждения As, As+1, As+2,... справедливы. Иначе говоря, An «справедливо при любом n s». То же самое рассуждение, которое привело нас к обыкновенному принципу математической индукции, пригодно и в данном случае, только последовательность 1, 2, 3,... заменяется на этот раз подобной ей последовательностью s, s + 1, s + 2, s + 3,...
Пользуясь принципом индукции в этой форме, мы можем усилить неравенство (6) на стр. 34, исключая возможность знака равенства. Именно: каково бы ни было p = 0 и > 1 и каково бы ни было целое число n 2, имеет место неравенство Доказательство предоставляется читателю.
С принципом математической индукции тесно связан «принцип наименьшего целого числа», утверждающий, что во всяком непустом множестве C натуральных чисел имеется наименьшее число. Множество C может быть конечным, как, например, множество 1, 2, 3, 4, 5, или бесконечным, как, например множество всех четных чисел 2, 4, 6, 8, 10,... Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента; примером пустого множества может служить множество всех кругов, одновременно являющихся прямыми линиями, или множество натуральных чисел n, удовлетворяющих соотношению n > n. По понятным причинам мы оговариваем в формулировке «принципа наименьшего целого числа», что пустые множества исключаются.
Всякое непустое множество C целых чисел непременно содержит хоть одно число, например n, и тогда наименьшее из чисел 1, 2, 3,..., n, принадлежащее множеству C, есть наименьшее целое число множества.
Чтобы уяснить значение этого принципа, следует указать на то, что он, вообще говоря, неверен для множеств, состоящих из нецелых чисел; например, С чисто логической точки зрения небезынтересно отметить то обстоятельство, что с помощью принципа наименьшего целого числа принцип математической индукции доказывается как теорема. В самом деле, пусть имеется последовательность таких утверждений A1, A2, A3,..., что а) при любом r справедливость Ar+1 вытекает из справедливости Ar, б) известно, что A1 справедливо.
Мы докажем, что предположение о том, что хоть одно из утверждений A несправедливо, придется отбросить. Действительно, если бы хоть одно из утверждений A было неверным, то множество всех натуральных чисел n, для которых An неверно, не было бы пустым. Тогда согласно принципу наименьшего целого числа оно содержало бы наименьшее число p, которое вследствие б) должно было бы быть больше чем 1. Но тогда Ap было бы неверно, а Ap1 верно. Это противоречит условию а).
Подчеркнем еще раз, что принцип математической индукции резко отличается от эмпирической индукции, свойственной естественным наукам. Подтверждение общего закона на конечном числе случаев (как бы это число ни было велико) никоим образом не представляет собой доказательства в математическом смысле, даже если неизвестно ни одного исключения. При таких обстоятельствах рассматриваемое утверждение, или «закон», есть не что иное, как вполне разумная гипотеза, которую могут видоизменить результаты будущих экспериментов.
В математике «закон» может считаться доказанным только тогда, когда он выведен как неизбежное логическое следствие из предпосылок, признаваемых справедливыми. Существует немало примеров математических утверждений, которые были проверены и оправдывались во всех до настоящего времени рассмотренных частных случаях, но для которых еще не было найдено общего доказательства (см. пример на стр. 49).
Можно подозревать, что теорема справедлива во всей общности, если она подтверждается на большом числе примеров, и тогда есть основание пытаться доказать ее с помощью математической индукции. Если попытка удается, то тем самым справедливость теоремы устанавливается;
в противном случае вопрос о том, верна или неверна теорема, остается открытым, и она может быть доказана или опровергнута когда-нибудь в будущем уже иными методами.
Применяя принцип математической индукции, необходимо всегда тщательно следить за тем, чтобы условия а) и б) были действительно выполнены.
Иначе можно иной раз прийти и к абсурду. Мы предлагаем читателю разобраться в следующем софизме. Мы «докажем» сейчас, что любые два целых положительных числа равны между собой; например, 5 = 10. Начнем с определения. Если a и b — два неравных между собой целых положительных числа, то через max(a, b) будем обозначать a или b, смотря по тому, какое из чисел больше: a или b; если же a = b, то положим max(a, b) = a = b. Так, max(3, 5) = max(5, 3) = 5, тогда как max(4, 4) = 4. Далее, через An обозначим следующее утверждение: «Если a и b — два таких целых положительных числа, что max(a, b) = n, то a = b».
тельных числа, что max(a, b) = r + 1. Рассмотрим числа тогда max(a, b) = r. В таком случае a = b, так как Ar верно. Но отсюда следует, что a = b; значит, верно и Ar+1.
б) A1, очевидно, верно, так как если max(a, b) = 1, то a и b (по предположению — целые положительные числа) должны быть каждое в отдельности равны 1.
Итак, по принципу математической индукции An верно при любом n.
Пусть теперь a и b — два произвольных целых положительных числа;
положим max(a, b) = r. Было показано, что An верно при любом n; значит, в частности, верно Ar. Следовательно, a = b.
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ I
Мистические и суеверные представления, связывавшиеся первоначально с целыми числами, мало-помалу изгладились, но среди математиков интерес к числам не ослабевал никогда. Евклид (около 300 г.до нашей эры), громкая слава которого объясняется той частью его «Начал», которая посвящена основам геометрии (изучаемым в школе), по-видимому, сделал оригинальные открытия в области теории чисел, тогда как его геометрия в значительной степени представляет собой компиляцию ранее полученных результатов. Диофант Александрийский (около 275 г. нашей эры), один из первых алгебраистов, оставил также след в теории чисел. Пьер Ферма (1601–1665), живший в Тулузе, по специальности юрист, вместе с тем замечательнейший математик своей эпохи, положил начало современным теоретико-числовым изысканиям.
Эйлер (1707–1783), наиболее изумительный из математиков в смысле богатства продукции, в своих исследованиях весьма часто углублялся в область теории чисел. Сюда же следует прибавить ряд иных имен, знаменитых в анналах математики: Лежандр, Дирихле, Риман. Гаусс (1777–1855), виднейший из математиков более близкой к нам эпохи, в равной степени отдававший себя различным отраслям математики, следующими словами определил свое отношение к теории чисел: «Математика — царица наук, теория чисел — царица математики».
§ 1. Простые числа 1. Основные факты. Многие утверждения в области теории чисел, как и математики вообще, относятся не к отдельным объектам, скажем, к числу 5 или числу 32, а к целому классу объектов, имеющих какое-то общее свойство; примерами могут служить класс всех четных чисел или класс чисел, делящихся на 3, или класс квадратов целых чисел и так далее.
В теории чисел особенно важную роль играет класс всех простых чисел. Очень многие числа могут быть разложены на меньшие множители: 10 = 2 · 5, 111 = 3 · 37, 144 = 3 · 3 · 2 · 2 · 2 · 2, и т. п. Числа, которые таким образом не разлагаются, носят название простых. Точнее, простым называется такое целое число p, большее единицы, которое не имеет иных множителей, кроме единицы и самого себя. (Число a есть множитель, или делитель, числа b или делит число b, если существует такое целое число c, что b = ac.) Числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, — простые, тогда как, например, число 12 не является простым, так как 12 = 3 · 4.
Значение класса простых чисел заключается в том, что каждое число может быть представлено как произведение простых : если данное число не простое, то его можно последовательно разлагать на множители до тех пор, пока все множители не окажутся простыми; так, например, 360 = 3 · 120 = 3 · 30 · 4 = 3 · 3 · 10 · 2 · 2 = 3 · 3 · 5 · 2 · 2 · 2 = 23 · 32 · 5.
Число, отличное от 0 и 1 и не являющееся простым, называется составным.
Один из первых вопросов, возникающих по поводу класса простых чисел, заключается в том, существует ли только конечное число различных простых чисел или же класс простых чисел содержит бесконечное число членов подобно классу всех целых чисел, частью которого он является. Ответ таков: простых чисел существует бесконечное множество.
Данное Евклидом доказательство существования бесконечного множества простых чисел представляет собой типичный образец математического рассуждения. В основе его лежит «косвенный метод» (доказательство от противного, приведение к абсурду). Сделаем попытку допустить, что рассматриваемое предложение неверно. Это означало бы, что существует лишь конечное число простых чисел, хотя, может быть, и очень много — скажем, около миллиарда; тогда допустим, что это число, представленное в «общей» или «неопределенной» форме, будет n.
Пользуясь знаками, мы можем обозначить все простые числа через p1, p2,..., pn. Всякое иное число тем самым составное и должно делиться по меньшей мере на одно из простых чисел p1, p2,..., pn. А теперь мы придем к противоречию, а именно, построим число A, которое будет отлично от каждого из чисел p1, p2,..., pn, так как будет больше их всех и тем не менее не будет делиться ни на одно из них. Вот это число:
Как видно, оно равно единице плюс произведение тех чисел, которые образуют совокупность всех простых чисел. Число A больше, чем любое из чисел p, и потому должно быть составным. Но при делении на p1, на p2 и т. д. A дает всякий раз остаток 1, таким образом, A не делится ни на одно из чисел p. Сделанное нами допущение, что существует лишь конечное число простых чисел, приводит, таким образом, к противоречию, так что приходится заключить, что это допущение ошибочно, а следовательно, истинным может быть только противоположное ему.
Итак, теорема доказана.
Хотя это доказательство и «косвенного» характера, все же небольшое его видоизменение приводит, по крайней мере теоретически, к методу построения бесконечной последовательности простых чисел. Предположим, что, исходя из некоторого простого числа, скажем p1 = 2, мы уже нашли n простых чисел p1, p2,..., pn ; заметим, далее, что число p1 p2... pn + 1 или простое, или содержит множителем простое число, отличное от тех, которые уже найдены. Так как такой множитель всегда может быть найден (хотя бы непосредственными пробами), то в обоих названных случаях мы в итоге получаем новое простое число pn+1 ; продолжая таким же образом дальше, убеждаемся, что последовательность простых чисел, которые мы действительно можем построить, не имеет конца.
Упражнение. Выполните намеченное построение, начиная с простых чисел p1 = 2, p2 = 3; найдите еще пять простых чисел.
Если какое-нибудь число представлено в виде произведения простых множителей, то эти множители можно, конечно, располагать в каком угодно порядке. Занимаясь разложением чисел на простые множители, мы очень скоро приходим к заключению, что с точностью до порядка сомножителей разложение любого числа N на простые множители обладает свойством единственности: каждое натуральное число N, большее единицы, может быть разложено на простые множители только одним способом. Это утверждение кажется на первый взгляд таким очевидным, что неспециалист склонен обыкновенно отвергать необходимость его доказательства. Все же рассматриваемое предложение отнюдь не тривиально; с другой стороны, его доказательство, хотя и совсем элементарного содержания, требует более или менее тонких рассуждений. Классическое доказательство этой «основной теоремы арифметиТЕОРИЯ ЧИСЕЛ гл. I ки», данное Евклидом, базируется на методе («алгоритме») нахождения общего наибольшего делителя двух чисел. Этот метод будет нами рассмотрен на стр. 61. Здесь же мы приведем доказательство менее почтенной давности, которое несколько короче, чем доказательство Евклида, и вместе с тем выглядит несколько более «софистическим». Оно также является типичным образцом «косвенного» рассуждения. Мы допустим, что существует такое число, которое может быть разложено на простые множители двумя существенно различными способами, и это допущение приведет нас к противоречию. Возникновение противоречия будет свидетельствовать о том, что гипотеза о существовании числа, допускающего два существенно различных разложения на простые множители, несостоятельна; и отсюда мы заключим, что разложение чисел на простые множители обладает свойством единственности.
* Если существует хоть одно число, допускающее два существенно различных разложения на простые множители, то существует непременно и наименьшее число, обладающее таким свойством (см. стр. 37), где через p и q обозначены простые числа. Меняя, если потребуется, порядок этих множителей, мы можем допустить, что Заметим, что p1 отлично от q1 : иначе, деля равенство (1) на общий простой множитель, мы получили бы два существенно различных разложения на простые множители числа, которое было бы меньше, чем m, и это противоречило бы предложению о том, что m — наименьшее число, обладающее таким свойством. Следовательно, одно из двух: или p1 < q1, или q1 < p1. Пусть p1 < q1. (Если бы оказалось q1 < p1, то в дальнейшем рассуждении достаточно было бы поменять местами буквы p и q.) Рассмотрим целое число Подставляя вместо m два его выражения, взятые из равенства (1), мы можем представить число m в любом из двух видов:
Из равенства (4) следует, что m — положительное число, так как p1 < q1 ;
из равенства (2) следует, с другой стороны, что m меньше чем m. Но раз так, то разложение m на множители должно быть единственным (с точностью до порядка сомножителей). Из равенства (3) далее видно, что p1 входит множителем в m ; значит, из равенства (4) можно в таком случае заключить, что p1 входит множителем или в q1 p1, или в q2 q3... qs. (Это вытекает из единственности разложения m на простые множители; см. рассуждение в следующем абзаце.) Но последнее невозможно, так как все q больше чем p1. Поэтому p1 должно входить множителем в q1 p1, т. е. q1 p1 должно делиться на p1. Другими словами, существует такое целое число h, что Но это значит, что q1 делится на p1, чего, однако, быть не может, так как, по предположению, q1 — число простое. Противоречие, к которому мы пришли, показывает несостоятельность первоначально сделанного допущения, чем и заканчивается доказательство основной теоремы арифметики.
Вот одно важное следствие основной теоремы. Если простое число p входит множителем в произведение ab, то оно непременно входит множителем или в a, или в b. В самом деле, если бы p не входило множителем ни в a, ни в b, то, перемножая разложения на простые множители чисел a и b, мы получили бы разложение на простые множители числа ab, не содержащее множителя p. С другой стороны, так как предполагается, что p входит множителем в произведение ab, то это значит, что существует такое целое число t, что Поэтому, перемножая p и разложение на простые множители числа t, мы получим разложение на простые множители числа ab, содержащее множитель p. Таким образом, приходится признать, что существует два различных разложения числа ab на простые множители, а это противоречит основной теореме.
Примеры. Если установлено, что 2652 делится на 13 и что 2652 = = 6 · 442, то отсюда можно сделать заключение, что 442 делится на 13.
С другой стороны, 240 делится на 6 и притом 240 = 15 · 16, но ни 15, ни не делятся на 6. Этот пример показывает, что условие основной теоремы относительно того, что число p — простое, является существенным.
Упражнение. Чтобы найти все делители числа a, достаточно разложить a в произведение где все множители p — простые и различные, причем каждый из них возводится в некоторую степень. Все делители числа a имеют вид где показатели b — произвольные целые числа, подчиненные условиям Докажите это утверждение. В качестве следствия установите, что число всех делителей a (включая 1 и само a) равно произведению Так, например, имеет 5 · 3 делителей. Вот они: 1, 2, 4, 8, 16, 3, 6, 12, 24, 48, 9, 18, 36, 72, 144.
«