«Что такое математика? (Элементарный очерк идей и методов) Перевод с английского под редакцией А. Н. Колмогорова МЦНМО, 2000 УДК 51(07) К93 What is ББК 22.1 Mathematics? AN ELEMENTARY APPROACH TO IDEAS AND METHODS by ...»

Необходимо не упустить из виду, что при определении двойного отношения (ABCD) существенную роль играет порядок, в котором берутся точки A, B, C, D. Например, если (ABCD) = l, то двойное отношение (BACD) равно, тогда как (DACB) = 1 l, в чем читатель убедитl ся без труда. Четыре точки A, B, C, D могут быть переставлены между собой 4 · 3 · 2 · 1 = 24 различными способами, и каждой перестановке соответствует некоторое значение двойного отношения. Некоторым перестановкам соответствует то же числовое значение двойного отношения, что и начальной перестановке A, B, C, D; например, (ABCD) = (BADC). Читателю предоставляется в качестве упражнения доказать, что при 24 возможных перестановках четырех точек получается всего лишь шесть различных значений двойного отношения, а именно Эти шесть величин, вообще говоря, различны, но при некоторых значениях l могут и совпадать по две, например при значении l = 1 в случае гармонического деления.

Рис. 78. Координатное выражение для двойного отношения Мы можем также определить двойные отношения четырех компланарных (т. е. лежащих в одной плоскости) и конкуррентных прямых 1, 2, 3, 4, как двойное отношение четырех точек пересечения этих прямых с некоторой прямой, лежащей в той же плоскости. Положение этой пятой прямой несущественно вследствие инвариантности двойного отношения при проектировании. Эквивалентным этому определению является следующее:

где нужно взять знак плюс, если пара прямых 1, 2 не разделяется парой 3, 4, и знак минус, если разделяется. (В этой формуле (1, 3), например, обозначает угол между прямыми 1 и 3.) Наконец, можно определить двойное отношение четырех коаксиальных плоскостей (четырех плоскостей, пересекающихся по одной прямой, или «оси»). Если некоторая прямая пересекает плоскости в четырех точках, то двойное отношение этих точек всегда будет иметь одно и то же значение, независимо от выбора прямой (доказательство предлагается в качестве упражнения).

Таким образом, полученное значение можно назвать двойным отношением рассматриваемых четырех плоскостей. Иначе, можно назвать двойным отношением четырех коаксиальных плоскостей двойное отношение четырех прямых, по которым они пересекаются произвольной пятой плоскостью (рис. 79).

Рис. 79. Двойное отношение четырех плоскостей Понятие двойного отношения четырех плоскостей побуждает поставить вопрос о том, нельзя ли дать определение проективного преобразования трехмерного пространства самого на себя. Определение с помощью центральной проекции, очевидно, не обобщается непосредственно от случая двух измерений на случай трех измерений. Но можно доказать, что каждое непрерывное преобразование плоскости самой на себя, взаимно однозначно переводящее точки в точки и прямые в прямые, есть проективное. Это обстоятельство наводит на мысль ввести следующее определение для случая трех измерений: проективным преобразованием пространства называется непрерывное взаимно однозначное преобразование, переводящее прямые линии в прямые линии. Можно показать, что такие преобразования оставляют значения двойных отношений неизменными.

Добавим к предыдущему еще кое-какие замечания. Пусть на прямой даны три различные точки A, B, C с координатами x1, x2, x3. Требуется найти четвертую точку D таким образом, чтобы удовлетворялось равенство (ABCD) = l, где l задано. (Частный случай, когда l = и задача заключается в построении четвертой гармонической точки, будет подробно рассмотрен в следующем пункте.) Вообще говоря, задача имеет одно и только одно решение; действительно, если x — координата искомой точки D, то уравнение имеет ровно одно решение. Считая x1, x2 и x3 заданными и полагая ради краткости 3 = k, мы придадим решению вид Например, если точки A, B, C находятся на равных расстояниях друг от друга и имеют соответственно координаты x1 = 0, x2 = d, x3 = 2d, то Рис. 80. Проективное соответствие между точками двух прямых Если прямая l спроектирована из двух различных центров O и O на две различные прямые l и l, то получается соответствие P P между точками прямых l и l и соответствие P P между точками прямых l и l. Этим устанавливается соответствие P P между точками прямых l и l, и притом такое, что каждые четыре точки A, B, C, D на l имеют то же самое двойное отношение, что и соответствующие точки A, B, C, D на l. Всякое взаимно однозначное соответствие между точками двух прямых, обладающее этим свойством, называется проективным соответствием, независимо от того, каким способом это соответствие установлено.

Упражнения. 1) Докажите, что если даны две прямые вместе с проективным соответствием, установленным между ними, то можно подвергнуть одну из прямых такому параллельному перенесению, что заданное соответствие будет получаться посредством простой проекции. (Указание: совместите какую-нибудь пару взаимно соответствующих точек на данных прямых.) 2) Пользуясь предыдущим результатом, покажите, что если между точками двух прямых l и l установлено соответствие посредством конечного числа последовательных проектирований на различные промежуточные прямые при произвольных центрах проекций, то тот же результат может быть получен посредством всего лишь двух проектирований.

2. Применение к полному четырехстороннику. В качестве интересного применения инвариантности двойного отношения мы докажем одну простую, но важную теорему проективной геометрии. Речь идет о полном четырехстороннике — фигуре, образованной произвольными четырьмя прямыми, из которых никакие три не являются конкуррентными, и шестью точками их пересечения. На рис. 81 названные четыре прямые суть AE, BE, BI, AF. Прямые AB, EG и IF являются диагоналями четырехсторонника. Рассмотрим одну из диагоналей, например AB, и отметим на ней точки C и D, где она пересекается с двумя другими диагоналями. Тогда теорема утверждает существование равенства (ABCD) = 1; словами это выражается так: точки пересечения одной диагонали с двумя другими делят отрезок между вершинами четырехсторонника гармонически. Для доказательства достаточно обПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА гл. IV ратить внимание на то, что Как нам известно, таким образом, x =, x2 = 1, x = ±1. Но так как C, D разделяют A, B, то двойное отношение x отрицательно и потому оно должно быть равно именно 1, что мы и хотели доказать.

Полученное замечательное свойство полного четырехсторонника дает нам возможность с помощью одной лишь линейки построить точку, гармонически сопряженную с точкой C относительно пары A, B (если A, B, C коллинеарны). Нужно только, выбрав произвольную точку E вне данной прямой, провести прямые EA, EB, EC; затем, взяв произвольно точку G на EC, провести прямые AD и BD, пересекающие EB и EA, скажем, в точках F и I; провести, наконец, прямую IF, которая и пересечет исходную прямую в искомой точке D.

Рис. 82. Проведение прямой через препятствие Задача. На плоскости задан отрезок AB и область R, как показано на рис. 82. Желательно продолжить прямую AB вправо от R. Как это можно сделать с помощью одной линейки и при условии, чтобы в процессе построения не покрывать линейкой никакой части области R? (Указание: выберите на отрезке AB две произвольные точки C и C, затем постройте сопряженные с ними гармонические D и D относительно пары точек A, B; при построении воспользуйтесь четыре раза теоремой о полном четырехстороннике.) § 4. Параллельность и бесконечность 1. «Идеальные» бесконечно удаленные точки. Внимательное рассмотрение изложенного в предыдущем параграфе обнаруживает, что во многих случаях приведенная аргументация теряет силу — именно, тогда, когда прямые, точка пересечения которых нужна для построения, оказываются параллельными. Например, построение четвертой гармонической точки D становится невыполнимым, если прямая IF параллельна AB. Геометрические рассуждения на каждом шагу затруднены тем обстоятельством, что параллельные прямые не имеют общей точки, и потому всякий раз, когда речь идет о пересечении прямых, приходится отдельно рассматривать и особо оговаривать случай параллелизма.

С другой стороны, если производится проектирование, мы вынуждены различать и трактовать независимо рядом с центральной также и параллельную проекцию. Если бы из такого положения не было выхода, то проективная геометрия, будучи вынуждена вникать в детальное исследование каждого встречающегося исключения и особого случая, неизбежно была бы чрезвычайно усложнена. Все это побуждает искать выхода в ином направлении, именно, на пути такого обобщения основных понятий, которое устраняло бы возможные исключения.

Тут нам поможет геометрическая интерпретация; мы видим, что если прямая, пересекающая другую прямую, медленно вращается, приближаясь к положению параллельности, то точка пересечения двух прямых неограниченно удаляется. Это дает повод к наивному утверждению: две прямые пересекаются «в бесконечно удаленной точке». Подобного рода формулировке существенно придать точный смысл с таким расчетом, чтобы с «бесконечно удаленными», или, как иногда говорят, с «идеальными» точками можно было проводить точные и надежные рассуждения, как с обыкновенными точками на плоскости или в пространстве.

Иными словами, мы желали бы, чтобы все правила поведения точек, прямых, плоскостей оставались в силе и для «идеальных» геометрических элементов.

В математическом смысле существование «бесконечно удаленных точек» обеспечено, если отчетливо и без взаимных противоречий установлены математические свойства этих вновь вводимых элементов, т. е. их взаимоотношения с «обыкновенными» точками и между собой. Обыкновенно система геометрических аксиом (например, в евклидовой геометрии) вытекает путем абстракции из наблюдений над физическими объектами: таковы следы прикосновения карандаша к бумаге или мела к доске, натянутые нити, световые лучи, твердые стержни и т. п. Свойства, приписываемые аксиомами математическим точкам и прямым, представляют собой в высшей степени упрощенные и идеализированные описания поведения соответствующих им физических «двойников». Через любые два карандашных пятнышка можно провести не одну, а много карандашных «прямых». Если пятнышки становятся все меньше по диаметру, то все такие «прямые» станут трудно отличимыми одна от другой. Вот что мы, собственно говоря, имеем в виду, высказывая в качестве геометрической аксиомы, что «через любые две точки можно провести одну и только одну прямую»: мы при этом говорим об «абстрактных», чисто умозрительных, геометрических точках и прямых. Геометрические точки и прямые обладают гораздо более простыми свойствами, чем какие бы то ни было физические объекты. Упрощение является существенным условием, позволяющим строить геометрию как дедуктивную дисциплину.

Как уже было отмечено, обыкновенная геометрия точек и прямых весьма осложнена тем обстоятельством, что две параллельные прямые не имеют точки пересечения. Это побуждает нас сделать дальнейшее упрощение в структуре геометрии, расширяя понятие геометрической точки таким образом, чтобы устранить указанное исключение — совершенно так же, как мы расширяли понятие числа с целью устранения ограничений при вычитании и делении. В геометрии, как и в арифметике, мы озабочены неукоснительно сохранением в расширенной области тех законов, какие регулировали отношения в первоначальной области.

Итак, мы уславливаемся в том, что к обыкновенным точкам всякой прямой добавляем еще одну, «идеальную», точку и будем считать эту точку принадлежащей одновременно всем прямым, параллельным данной, и никаким другим. Следствием такого условия является то, что всякая пара прямых на плоскости теперь уже пересекается в единственной точке: если прямые не параллельны, то в «обыкновенной» точке;

если параллельны, то в им обеим принадлежащей «идеальной» точке.

По причинам интуитивного порядка эта идеальная точка на прямой называется бесконечно удаленной точкой на этой прямой.

Интуитивное представление о точке, удаляющейся в бесконечность по прямой линии, могло бы навести на мысль, что следует добавить две идеальные точки на каждой прямой — по одной для каждого направления. Если мы добавляем только одну, то лишь потому, что мы заинтересованы в сохранении закона: через каждые две точки проходит одна и только одна прямая. Если бы прямая содержала две бесконечно удаленные точки вместе со всеми, ей параллельными, то вышло бы, что через две такие «точки» проходит бесконечное множество прямых.

Мы уславливаемся также в том, что к обыкновенным прямым на плоскости добавляем еще одну «идеальную», так называемую «бесконечно удаленную» прямую, содержащую все бесконечно удаленные точки плоскости и никаких других. Мы вынуждены принять именно такое условие, если хотим сохранить первоначальный закон — «через всякие две точки проходит одна прямая» и вновь утвержденный закон — «всякие две прямые пересекаются в одной точке». В самом деле, возьмем две какие-нибудь идеальные точки. Единственная прямая, которая должна проходить через эти точки, не может быть обыкновенной прямой, так как по принятому условию каждая обыкновенная прямая содержит только одну идеальную точку. С другой стороны, эта прямая не может содержать обыкновенных точек, так как через обыкновенную точку и одну из идеальных точек непременно прошла бы обыкновенная прямая.

Наконец, рассматриваемая прямая непременно содержит все идеальные точки, так как мы хотим, чтобы она имела одну общую точку со всякой обыкновенной прямой. Итак, прямая, о которой идет речь, неизбежно должна обладать как раз всеми теми свойствами, которыми мы наделили идеальную прямую в нашей плоскости.

Согласно принятым условиям, каждая бесконечно удаленная точка определяется или представляется семейством параллельных прямых, точно так же как иррациональное число определяется последовательностью «вложенных» рациональных отрезков. Такого рода условный способ описывать параллельность с помощью терминов, первоначально предназначенных для интуитивно отличных объектов, единственной своей целью имеет сделать излишним перечисление исключительных случаев; эти последние теперь автоматически покрываются теми же терминами (и оборотами речи), которые первоначально употреблялись для «обыкновенных» случаев.

Резюмируем: наши условия, касающиеся бесконечно удаленных элементов, были выбраны таким образом, чтобы законы, регулирующие отношение инцидентности между обыкновенными точками и прямыми, сохранялись и в расширенной области, чтобы операция нахождения точки пересечения двух прямых, ранее возможная только в случае непараллельности, могла быть выполнена без ограничений. Соображения, которые привели нас к формальному упрощению в отношениях инцидентности, способны показаться несколько абстрактными. Но читатель убедится на следующих страницах, что они будут вполне оправданы результатами.

2. Идеальные элементы и проектирование. Введение бесконечно удаленных точек и бесконечно удаленной прямой на плоскости позволит нам гораздо более удовлетворительным образом рассмотреть проектирование одной плоскости на другую. Пусть плоскость p проектируется на плоскость p из центра O (рис. 83). Эта проекция устанавливает соответствие между точками и прямыми p и точками и прямыми p. Каждой точке A на p соответствует единственная точка A на p со следующими исключениями: если выходящий из O проектирующий луч параллелен плоскости p, то он пересекает p в точке A, которой не соответствует никакая обыкновенная точка плоскости p.

Такие исключительные точки плоскости p расположены на прямой l, которой не соответствует никакая обыкновенная прямая плоскости p.

Но оговаривать эти исключения становится излишним, если мы условимся точке A сопоставлять бесконечно удаленную точку на плоскости p, взятую в направлении прямой OA, а прямой l — сопоставлять бесконечно удаленную прямую в плоскости p. Аналогично, некоторую бесконечно удаленную точку в плоскости p мы сопоставляем каждой точке B на такой прямой m в плоскости p, через которую проходят все лучи, выходящие из O и параллельные плоскости p. Самой прямой m соответствует бесконечно удаленная прямая плоскости p. Таким образом, посредством введения в плоскости бесконечно удаленных точек и прямой достигается то, что проекция одной плоскости на другую устанавливает такое соответствие между точками и прямыми двух плоскостей, которое взаимно однозначно без всяких исключений. (Так устраняются исключения, упомянутые в сноске на стр. 193.) Далее, легко понять, что из принятых соглашений вытекает следствие: точка лежит на прямой, если проекция точки лежит на проекции прямой. Отсюда видно, что все теоремы, относящиеся к коллинеарным точкам, конкуррентным прямым и т. д. и говорящие только о точках, прямых и отношениях инцидентности, инвариантны относительно проектирования в расширенном смысле. Это дает возможность оперировать с бесконечно удаленными точками плоскости p, заменяя их соответствующими получающимися при проектировании обыкновенными точками плоскости p.

Рис. 83. Возникновение бесконечно удаленных элементов при проектировании * Можно воспользоваться интерпретацией бесконечно удаленных точек плоскости p с помощью проектирования из внешней точки O на обыкновенные точки другой плоскости p, чтобы получить конкретную евклидову «модель» расширенной плоскости. Для этого не будем обращать внимания на плоскость p, а сосредоточимся на плоскости p и прямых, проходящих через O. Каждой обыкновенной точке p соответствует прямая, проходящая через O, непараллельная p; каждой бесконечно удаленной точке p — прямая, проходящая через O, параллельная p. Итак, совокупности всех точек p, обыкновенных и идеальных, соответствует совокупность прямых, проходящих через O, и это соответПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И БЕСКОНЕЧНОСТЬ ствие взаимно однозначно без всяких исключений. Точки на некоторой прямой в плоскости p переходят в прямые на плоскости, проходящей через O. Точка и прямая в плоскости p инцидентны в том и только в том случае, если инцидентны соответствующие прямая и плоскость, проходящие через O. Другими словами, геометрия инцидентности точек и прямых в расширенной плоскости совершенно равносильна геометрии инцидентности обыкновенных прямых и плоскостей, проходящих через фиксированную точку пространства.

Положение вещей в трехмерном пространстве вполне аналогично, хотя отпадает возможность пользоваться наглядным аппаратом проектирования. Здесь тоже мы вводим особую бесконечно удаленную точку, связанную с каждым семейством параллельных прямых. В каждой плоскости имеется бесконечно удаленная прямая. Затем вводится новый элемент — бесконечно удаленная плоскость, состоящая из всех бесконечно удаленных точек пространства и содержащая все бесконечно удаленные прямые. С бесконечно удаленной плоскостью каждая обыкновенная плоскость пересекается по своей собственной бесконечно удаленной прямой.

3. Двойное отношение с бесконечно удаленными элементами. Еще одно замечание следует сделать по поводу двойных отношений с бесконечно удаленными элементами. Будем обозначать символом Рис. 84. Двойное отношение с участием бесконечно удаленной точки ется символ (ABC), если A, B, C — три обыкновенные точки на l.

Пусть P — некоторая точка на l; тогда (ABC) рассматривается как предел (ABCP ), когда P удаляется в бесконечность по l. Но и, когда P неограниченно удаляется, стремится к 1. Отсюда вытеPB кает определение:

В частности, если (ABC) = 1, то C есть середина отрезка AB: средняя точка отрезка и бесконечно удаленная точка, взятая в направлении отрезка, делят отрезок гармонически.

Упражнение. Что представляет собой двойное отношение четырех прямых l1, l2, l3, l4, если они параллельны? Что получится, в частности, с этим двойным отношением, если в качестве l4 будет взята бесконечно удаленная прямая?

1. Предварительные замечания. После введения бесконечно удаленных элементов уже нет необходимости явно оговаривать все исключительные случаи параллельности, возникающие при построениях и доказательствах теорем. Достаточно помнить, что если точка является бесконечно удаленной, то все проходящие через нее прямые параллельны. Отпадает и необходимость делать различие между центральной и параллельной проекциями, так как параллельная проекция есть не Рис. 85. Дезаргова конфигурация с центром в бесконечности что иное, как проекция из бесконечно удаленной точки. На рис. точка O или прямая P QR могут оказаться бесконечно удаленными (рис. 85 изображает первый из упомянутых случаев); мы предоставляем читателю в качестве упражнения сформулировать в «финитных» (т. е. не содержащих упоминания о бесконечности) терминах соответствующие утверждения дезарговой теоремы.

Не только формулировка, но и доказательство теоремы, принадлежащей проективной геометрии, нередко упрощаются в результате введения бесконечно удаленных элементов. Общий принцип заключается в следующем. Условимся под «проективным классом» некоторой геометрической фигуры F понимать класс всех фигур, в которые F может быть переведена проективными преобразованиями. Проективные свойства F ничем не отличаются от проективных свойств любой фигуры ее проекПРИМЕНЕНИЯ тивного класса, так как по самому определению проективные свойства сохраняются при проектировании. Таким образом, любая проективная теорема (т. е. теорема, говорящая только о проективных свойствах), которая верна для фигуры F, будет также верна для любого «представителя» проективного класса этой фигуры, и обратно. Поэтому, чтобы доказать такую теорему для F, достаточно доказать ее для некоторого «представителя» проективного класса F. Мы можем воспользоваться указанным обстоятельством и выбрать такого «представителя», для которого доказательство проще, чем для самой фигуры F. Например, произвольные две точки A, B плоскости p могут быть спроектированы в бесконечность из данного центра O, если проектировать на плоскость, параллельную плоскости, проходящей через точки O, A, B; прямые, проходящие через A или через B, при этом превратятся в семейства параллельных прямых. Именно такое предварительное преобразование мы выполним при доказательстве проективных теорем, которыми займемся в этом параграфе.

Рис. 86. Подобие треугольников, образованных параллельными прямыми В дальнейшем нам придется воспользоваться следующим обстоятельством, относящимся к параллельным прямым. Пусть две прямые, проходящие через точку O, пересекаются прямыми l1 и l2 в точках A, B, C, D, как показано на рис. 86. Если прямые l1 и l2 параллельны, то = ; и обратно, если выполнено последнее соотношение, то пряOC OD мые l1 и l2 параллельны. Доказательство, вытекающее из элементарных свойств подобных треугольников, предоставляется читателю.

2. Двумерное доказательство теоремы Дезарга. Докажем теперь, не прибегая к пространственному проектированию, что если два треугольника ABC и A B C расположены на плоскости так, как изображено на рис. 72, т. е. если прямые, соединяющие соответствующие вершины, встречаются в одной и той же точке, то точки пересечения соответствующих сторон P, Q, R лежат на одной прямой. Для этого прежде всего спроектируем чертеж таким образом, чтобы точки Q и R ушли в бесконечность. После такого проектирования прямая A B станет параллельна прямой AB, а прямая A C — прямой AC (рис. 87).

Как было отмечено в пункте 1 настоящего параграфа, чтобы доказать теорему Дезарга в общем случае, достаточно доказать ее только для случая рассматриваемой здесь частной конфигурации. Именно, достаточно показать, что точка P пересечения сторон BC и B C также уйдет в бесконечность, т. е. что прямая B C параллельна прямой BC: тогда точки P, Q, R будут коллинеарны (так как все три будут лежать на бесконечно удаленной прямой). Обратим внимание на то, что Поэтому =, а отсюда следует BC B C, что и требовалось докаv y зать.

Следует отметить, что приведенное доказательство теоремы Дезарга опирается на математическое понятие длины отрезка. Таким образом, проективная теорема доказана в данном случае метрическими средствами. Другое заслуживающее внимания обстоятельство заключается в следующем. Мы указывали раньше (стр. 198), что понятию проективного преобразования может быть дано «внутреннее» определение («проективное преобразование плоскости — такое, которое оставляет инвариантными все двойные отношения»): отсюда вытекает, что теорема Дезарга способна быть сформулирована и доказана без выхода в пространство, т. е. без использования трехмерных представлений и построений.

Упражнение. Докажите подобным же образом теорему, обратную дезарговой: если треугольники ABC и A B C таковы, что P, Q, R коллинеарны, то прямые AA, BB, CC конкуррентны.

3. Теорема Паскаля 1. Эта теорема формулируется так: если вершины шестиугольника лежат поочередно на двух пересекающихся прямых, то точки P, Q, R пересечения противоположных сторон этого шестиугольника коллинеарны (рис. 88). (Контур шестиугольника может быть самопересекающимся.

Что такое «противоположные»

стороны, можно легко понять из Выполняя предварительное про- ектирование, можно допустить, что P и Q ушли в бесконечность. Остается показать, что R также уйдет в бесконечность. Ситуация иллюстрируется рис. 90, где 23 56 и 45. Нужно показать, что 16 34. Мы имеем Поэтому так что 16 34, что и требовалось доказать.

Рис. 89. Нумерация вер- Рис. 90. Доказательство теоремы Паскаля шин шестиугольника 1 На стр. 230 будет рассмотрена более общая теорема этого же типа. Настоящий частный случай связывается также с именем Паппа Александрийского (III столетие до нашей эры).

4. Теорема Брианшона. Эта теорема формулируется так: если стороны шестиугольника проходят поочередно через две данные точки P и Q, то три диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, конкуррентны (рис. 91).

Посредством предварительного проектирования можно отправить в бесконечность точку P и точку, в которой пересекаются две какиенибудь диагонали, например 14 и 36. Полученная ситуация изображена =. Значит, = и поэтому 36 25, так что все три диагонали параллельны и, следовательно, конкуррентны. Этого достаточно, чтобы считать теорему доказанной и в общем случае.

5. Замечание по поводу двойственности. Читатель, вероятно, уже заметил замечательное сходство теорем Паскаля (1623–1662) и Брианшона (1785–1864). Это сходство особенно бросается в глаза, если обе формулировки поставить рядом:

Если вершины шестиугольни- Если стороны шестиугольника лежат поочередно на двух ка проходят поочередно через прямых, то точки пересечения две точки, то прямые, соединяпротивоположных сторон кол- ющие противоположные вершилинеарны. ны, конкуррентны.

Не только теоремы Паскаля и Брианшона, но все вообще теоремы проективной геометрии группируются попарно таким образом, что две теоремы одной и той же пары сходны между собой и, так сказать, идентичны по своей структуре. Это явление носит название двойственности.

В геометрии плоскости точка и прямая представляют собой взаимно двойственные элементы. Провести прямую через точку и отметить точку на прямой — операции взаимно двойственные. Две фигуры взаимно двойственны, если одна может быть получена из другой посредством замены каждого элемента и каждой операции двойственным элементом и двойственной операцией. Две теоремы взаимно ется в другую при замене каждого элемента и каждой операции двойственным элементом и двойственной операцией. Например, теоремы Паскаля и Брианшона взаимно двойственны, тогда как теоремой, двойx 3y ственной теореме Дезарга, является теорема, ей обратная. Явление двойственности резко отличает проv ективную геометрию от элементарной (метрической), в которой никаa b кой двойственности не наблюдаетu r ся. (Например, было бы бессмысленно искать какое-нибудь «двойственное» утверждение по отношению к 4 тому факту, что данный угол содержит 37 или что данный отре- Рис. 92. Доказательство теоремы Брианшона зок равен 2 линейным единицам.) Принцип двойственности, согласно которому каждой верной теореме проективной геометрии сопоставляется двойственная ей, также верная теорема, во многих учебниках подчеркивается тем, что формулировки взаимно двойственных теорем, вместе со взаимно двойственными их доказательствами, приводятся рядом, как мы это сделали выше. Внутренняя причина явления двойственности будет изучена в следующем параграфе (см. также стр. 228).

§ 6. Аналитическое представление 1. Вводные замечания. В раннем периоде развития проективной геометрии существовала настойчиво проводимая тенденция выполнять все построения на синтетической или, как говорилось, «чисто геометрической» основе, вовсе избегая применения чисел и алгебраических методов. Выполнение этой программы встретило на своем пути большие затруднения, так как всегда оставались какие-то пункты, в которых алгебраические формулировки казались неизбежными. Полный успех в построении чисто синтетической проективной геометрии был достигнут только к концу XIX в. и только ценой значительных осложнений.

В этом отношении методы аналитической геометрии оказались гораздо более плодотворными. Для современной математики характерна иная тенденция — положить в основу построения понятие числа, и в геометрии эта тенденция, идущая от Ферма и Декарта, возымела решительный триумф. Аналитическая геометрия перестала быть подсобным аппаратом, играющим служебную роль в геометрических рассуждениях, и стала самостоятельной областью, в которой интуитивная геометрическая интерпретация операций и результатов уже не является последней и окончательной целью, а принимает на себя функцию руководящего принципа, помогающего угадывать и понимать аналитические факты.

Такое изменение значения геометрии есть последствие постепенного развития геометрии в историческом плане — развития, широко раздвинувшего рамки классических концепций; оно же обусловило вместе с тем почти органическое слияние геометрии и анализа.

В аналитической геометрии под «координатами» геометрического объекта понимается какая угодно совокупность чисел, позволяющая определить этот объект однозначно. Так, точка определяется своими прямоугольными координатами x, y или своими полярными координатами r, j; с другой стороны, например, треугольник определяется координатами трех вершин, что в целом составляет шесть координат.

Мы знаем, что прямая линия в плоскости x, y представляет собой геометрическое место всех точек P (x, y) (об обозначениях см. стр. 92), координаты которых удовлетворяют некоторому линейному уравнению Поэтому можно три числа a, b, c назвать «координатами» этой прямой.

Например, a = 0, b = 1, c = 0 определяют прямую y = 0, т. е. ось x;

a = 1, b = 1, c = 0 определяют прямую x = y, которая делит пополам угол между положительной осью x и положительной осью y. Таким же образом следующие уравнения определяют «конические сечения»:

x2 + y 2 = r2 — окружность радиуса r с центром в начале координат, (x a)2 + (y b)2 = r2 — окружность радиуса r с центром (a, b), + Более или менее наивный подход к аналитической геометрии заключается в том, чтобы, отправляясь от чисто «геометрических» представлений — точка, прямая и т. д., — переводить их затем на язык чисел.

Современная точка зрения противоположна. Мы отправляемся от множества всевозможных пар чисел x, y и называем каждую такую пару точкой, так как можем, если пожелаем, наглядно интерпретировать такую пару чисел с помощью общедоступного понятия геометрической точки. Точно так же прямая линия является геометрическим представлением или интерпретацией линейного уравнения, связывающего x и y.

Указанный перенос акцента от интуитивного понимания геометрии к аналитическому открывает возможность, в частности, простой и вполне строгой трактовки бесконечно удаленных точек в проективной геометрии; он же необходим для более глубокого проникновения в эту область.

Для тех читателей, которые обладают достаточной предварительной математической подготовкой, мы дадим теперь некоторый очерк применения аналитических методов в проективной геометрии.

*2. Однородные координаты. Алгебраические основы двойственности. В обыкновенной аналитической геометрии прямоугольными координатами точки на плоскости являются снабженные знаками расстояния точки от двух взаимно перпендикулярных осей. Но в такой системе координат не находится места для бесконечно удаленных точек расширенной проективной плоскости. Поэтому, если мы хотим пользоваться аналитическими методами в проективной геометрии, то необходимо найти такую координатную систему, которая смогла бы включить идеальные точки наравне с обыкновенными. Легче всего дать описание такой координатной системы, если представить себе данную плоскость X, Y (которую будем обозначать через p) расположенной в трехмерном пространстве с прямоугольными координатами x, y, z (эти буквы обозначают снабженные знаками расстояния точки от трех координатных плоскостей, образованных осями x, y и z). Представим себе, что плоскость p параллельна координатной плоскости x, y и находится на расстоянии 1 от нее, так что трехмерные координаты точки P в плоскости p будут (X, Y, 1). Принимая начало O координатной системы за центр проектирования, заметим, что всякой точке P взаимно однозначно соответствует некоторая прямая OP, проходящая через начало координат (см. стр. 98). В частности, бесконечно удаленным точкам плоскости p соответствуют прямые, проходящие через O и параллельные p.

Посмотрим теперь, что же представляет собой система однородных координат для точек плоскости p. Чтобы найти однородные координаты обыкновенной точки P в этой плоскости, возьмем прямую OP и на ней выберем произвольную точку Q, отличную от O (рис. 93). Обыкновенные трехмерные координаты x, y, z точки Q считаются однородными координатами точки P в плоскости p. В частности, координаты (X, Y, 1) самой точки P являются ее однородными координатами. Но вместе с тем ее же однородными координатами явятся любые числа (tX, tY, t), где t = 0, так как координаты всех точек прямой OP (кроме O) имеют как раз такой вид. (Мы исключаем точку (0, 0, 0), потому что она лежит на всех прямых, проходящих через O, и не может служить для их различения.) Система однородных координат, конечно, представляет известное неудобство в том отношении, что нужны три числа вместо двух для определения точки, и, самое главное, координаты точки определяются не однозначно, а с точностью до постоянного множителя. Но она имеет то безусловное преимущество, что она охватывает и идеальные, бесконечно удаленные точки плоскости p. Действительно, такой идеальной точке P соответствует некоторая прямая, проходящая через O и параллельная p;

всякая точка Q на такой прямой имеет координаты вида (x, y, 0); таким образом, однородные координаты идеальных точек плоскости p имеют вид (x, y, 0). Нетрудно написать в однородных координатах уравнение прямой линии на плоскости p. Для этого достаточно заметить, что прямые, соединяющие O с точками этой прямой, лежат в плоскости, проходящей через O. В аналитической геометрии доказывается, что уравнение такой плоскости имеет вид Это же есть и уравнение данной прямой в однородных координатах.

Теперь, когда геометрическая модель, изображающая точки плоскости p в виде прямых, проходящих через O, отслужила свою службу, можно ее отбросить и дать следующее чисто аналитическое определение расширенной плоскости:

Точка есть не что иное, как тройка действительных чисел (x, y, z), из которых не все равны нулю. Две такие тройки (x1, y1, z1 ) и (x2, y2, z2 ) определяют одну и ту же точку, если существует такое число t = 0, что Другими словами, можно, не меняя самой точки, умножать ее координаты на произвольный множитель, отличный от нуля. (Потому эти координаты и называются однородными.) Точка (x, y, z) обыкновенная, если z отлично от нуля, и идеальная, если z равно нулю.

Прямая линия в плоскости p состоит из всех точек (x, y, z), удовлетворяющих линейному уравнению вида где a, b, c — постоянные числа, не все равные нулю. В частности, бесконечно удаленные точки плоскости p удовлетворяют уравнению согласно определению, это — также уравнение прямой, именно — бесконечно удаленной прямой плоскости p. Так как прямая определяется уравнением вида (1 ), то тройка чисел (a, b, c) может быть рассматриваема как однородные координаты прямой (1 ). Далее следует, что при произвольном t = 0 тройка чисел (ta, tb, tc) представляет собой координаты той же прямой, так как уравнение удовлетворяется в точности теми же координатными тройками (x, y, z), что и уравнение (1 ).

В этих определениях обнаруживается полная симметрия между точкой и прямой: и та и другая определяются тройкой чисел — однородными координатами (u, v, w). Условие того, что точка (x, y, z) лежит на прямой (a, b, c), выражается равенством и это же есть вместе с тем условие того, что точка с координатами (a, b, c) лежит на прямой с координатами (x, y, z). Например, арифметическое тождество означает, что точка (3, 4, 2) лежит на прямой (2, 1, 5), и в равной мере, что точка (2, 1, 5) лежит на прямой (3, 4, 2). Эта симметрия и представляет собой основу двойственности между точкой и прямой в проективной геометрии, так как всякое соотношение между точками и прямыми становится некоторым соотношением между прямыми и точками, если координаты точек считать координатами прямых, а координаты прямых — координатами точек. Толкуя по-новому те же алгебраические операции и результаты, мы получаем теоремы, соответствующие первоначальным в смысле двойственности. Необходимо заметить, с другой стороны, что в обыкновенной плоскости X, Y ни о какой двойственности не может быть речи, так как уравнение прямой в обыкновенных координатах несимметрично относительно X, Y и a, b, c. Только включение в рассмотрение бесконечно удаленных элементов (точек и прямой) обеспечивает применимость принципа двойственности.

Чтобы перейти от однородных координат x, y, z обыкновенной точки P в плоскости p к обыкновенным прямоугольным координатам, мы просто поy лагаем X =, Y =. Тогда X, Y обозначают расстояния точки P от двух перпендикулярных осей в плоскости p, параллельной x- и y-осям, как показано на рис. 93. Мы знаем, что уравнение представляет прямую в плоскости p. Полагая X =, Y = и умножая на z, мы найдем, что уравнение той же прямой в однородных координатах будет как это уже было указано на стр. 214. Так, уравнение прямой 2x 3y + z = 0 в обыкновенных прямоугольных координатах X, Y примет вид 2X 3Y + 1 = 0.

Разумеется, последнему уравнению бесконечно удаленная точка рассматриваемой прямой с однородными координатами (3, 2, 0) уже не отвечает.

Остается сказать еще одно. Нам удалось получить чисто аналитическое определение точки и прямой; но что можно сказать о важном понятии проективного преобразования? Можно установить, что проективное преобразование, понимаемое в том смысле, как это было разъяснено на стр. 197, задается аналитически системой линейных уравнений связывающих однородные координаты x, y, z точек в плоскости p с однородными координатами x, y, z точек в плоскости p. С аналогичной точки зрения можно определить проективное преобразование как такое, которое задается системой уравнений вида (4). Теоремы проективной геометрии тогда становятся теоремами, говорящими о поведении числовых троек (x, y, z) при таких преобразованиях. Например, доказательство инвариантности двойного отношения при проективных преобразованиях превращается в легкое упражнение из области алгебры линейных преобразований. Не будем вникать в детали этой аналитической процедуры и вернемся вместо того назад — к проективной геометрии в ее более наглядном аспекте.

§7 ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ОДНОЙ ЛИНЕЙКИ

на построение с помощью одной линейки В следующих построениях предполагается, что единственным инструментом служит линейка.

Задачи 1–18 заимствованы из одной работы Я. Штейнера, в которой он доказывает, что при геометрических построениях можно обойтись без циркуля, если задан фиксированный круг с центром (см. главу III, стр. 173). Читателю рекомендуется проделать эти задачи в указанном порядке.

Четверка прямых a, b, c, d, проходящих через точку P, называется гармонической, если двойное отношение (abcd) равно 1. В этом случае говорят, что c, d гармонически сопряжены с a, b и обратно.

1) Докажите, что если в гармонической четверке a, b, c, d прямая a делит пополам угол между c и d, то прямая b перпендикулярна к прямой a.

2) Постройте четвертую гармоническую к трем данным прямым, проходящим через одну точку. (Указание: воспользуйтесь теоремой о полном четырехстороннике.) 3) Постройте четвертую гармоническую к трем данным точкам на одной прямой.

4) Даны прямой угол и произвольный угол с общей вершиной и одной общей стороной. Удвойте данный произвольный угол.

5) Дан угол и его биссектриса b. Постройте перпендикуляр к b в вершине данного угла.

6) Докажите, что если проходящие через точку P прямые l1, l2,..., ln пересекают прямую a в точках A1, A2,..., An и прямую b в точках B1, B2,..., Bn, то все точки пересечения пар прямых Ai Bk и Ak Bi (i = k; k = 1, 2,..., n) лежат на одной прямой.

7) Докажите, что если в треугольнике ABC прямая, параллельная стороне BC, пересекает AB в точке B и AC в точке C, то прямая, соединяющая точку A с точкой D пересечения прямых B C и C B, делит пополам BC.

7а) Сформулируйте и докажите теорему, обратную 7.

8) На прямой l даны три такие точки P, Q, R, что Q есть середина отрезка P R. Постройте прямую, параллельную l и проходящую через данную точку S.

9) Даны две параллельные прямые l1 и l2 ; разделите пополам данный отрезок AB на прямой l1.

10) Через данную точку P провести прямую, параллельную двум данным параллельным между собой прямым l1 и l2. (Указание: используйте 7.) 11) Штейнер предлагает следующее решение задачи об удвоении данного отрезка AB при условии, что задана прямая l, параллельная AB: через точку C, не лежащую ни на прямой l, ни на прямой AB, провести прямые CA и CB; пусть A1 и B1 — соответственно точки их пересечения с прямой l.

Затем (см. 10) провести через C прямую, параллельную l; пусть D — точка ее пересечения с BA1. Если E — точка пересечения AB и DB1, то AE = 2 · AB.

Докажите последнее утверждение.

12) Разделите отрезок AB на n равных частей, если задана прямая l, параллельная AB. (Указание: пользуясь 11, отложите сначала n раз данный отрезок на прямой l.) 13) Дан параллелограмм ABCD. Через данную точку P проведите прямую, параллельную данной прямой l. (Указание: примените 10 к центру параллелограмма и воспользуйтесь 8.) 14) Дан параллелограмм; увеличьте данный отрезок в n раз. (Указание:

примените 13 и 11.) 15) Дан параллелограмм; разделите данный отрезок на n равных частей.

16) Дан неподвижный круг с центром. Проведите через данную точку прямую, параллельную данной прямой. (Указание: примените 13.) 17) Дан неподвижный круг с центром. Увеличьте и уменьшите данный отрезок в n раз. (Указание: примените 13.) 18) Дан неподвижный круг с центром. Проведите через данную точку перпендикуляр к данной прямой. (Указание: воспользуйтесь прямоугольником, вписанным в данный круг, с двумя сторонами, параллельными данной прямой, и сведите к предшествующим задачам.) 19) Пересмотрев задачи 1–18, перечислите, какие основные задачи на построение можно выполнить с помощью двусторонней линейки (с двумя параллельными сторонами).

20) Две данные прямые l1 и l2 пересекаются в точке P, находящейся за пределами чертежа. Постройте прямую, соединяющую данную точку Q с точкой P. (Указание: дополните заданные элементы таким образом, чтобы получилась конфигурация плоскостной теоремы Дезарга, причем P и Q стали бы точками пересечения взаимно соответствующих сторон двух треугольников.) 21) Проведите прямую через две точки, между которыми расстояние больше, чем длина линейки. (Указание: примените 20.) 22) Прямые l1 и l2 пересекаются в точке P ; прямые m1 и m2 — в точке Q;

обе точки P и Q — за пределами чертежа. Постройте ту часть прямой P Q, которая находится в пределах чертежа. (Указание: чтобы получить точку прямой P Q, постройте конфигурацию Дезарга таким образом, чтобы две стороны одного треугольника лежали соответственно на l1 и m1, две стороны другого — соответственно на l2 и m2 ).

23) Решите 20 с помощью теоремы Паскаля (стр. 209). (Указание: достройте конфигурацию Паскаля, рассматривая l1 и l2 как пару противоположных сторон шестиугольника, а Q — как точку пересечения другой пары противоположных сторон.) *24) Каждая из двух прямых, целиком лежащих за пределами чертежа, задана двумя парами прямых линий, пересекающихся за пределами чертежа в точках соответствующей прямой. Определите точку их пересечения с помощью двух прямых, пересекающихся за пределами чертежа.

§ 8. Конические сечения и квадрики 1. Элементарная метрическая геометрия конических сечений. До сих пор мы занимались только точками, прямыми, плоскостями и фигурами, составленными из конечного числа этих элементов. Если бы проективная геометрия ограничивалась рассмотрением таких «лиКОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ И КВАДРИКИ нейных» фигур, она была бы сравнительно малоинтересна. Но фактом первостепенного значения является то обстоятельство, что проективная геометрия этим не ограничивается, а включает также обширную область конических сечений и их многомерных обобщений. Аполлониева метрическая трактовка конических сечений — эллипсов, гипербол и парабол — была одним из выдающихся успехов античной математики. Едва ли можно переоценить значение конических сечений как для чистой, так и для прикладной математики (например, орбиты планет и орбиты электронов в атоме водорода являются коническими сечениями). Не приходится удивляться тому, что классическая, возникшая в Древней Греции, теория конических сечений и в наши дни составляет необходимую часть математического образования. Но греческая геометрия никоим образом не сказала последнего слова. Через две тысячи лет были открыты замечательные проективные свойства конических сечений. Несмотря на простоту и изящество этих свойств, академическая инерция до настоящего времени служит препятствием их проникновению в школьное преподавание.

Начнем с того, что напомним метрические определения конических течений. Таких определений несколько, и их эквивалентность доказывается в элементарной геометрии. Наиболее распространенные определения связаны с фокусами кривых. Эллипс определяется как геометрическое место таких точек P на плоскости, что сумма их расстояний r и r2 от двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, имеет постоянное значение. (Если фокусы совпадают, кривая превращается в окружность.) Гипербола определяется как геометрическое место таких точек P на плоскости, что абсолютная величина разности r1 r2 равно одной и той же постоянной величине. Парабола определяется как геометрическое место точек P, расстояние которых r от данной точки F равно расстоянию от данной прямой l.

В аналитической геометрии эти кривые представляются уравнениями второй степени относительно прямоугольных координат x, y. Нетрудно доказать, обратно, что всякая кривая, представляемая уравнением второго порядка есть или одно из трех названных выше конических сечений, или прямая линия, или пара прямых, или сводится к одной точке, или носит чисто мнимый характер. Как показывается во всяком курсе аналитической геометрии, для доказательства достаточно сделать надлежащим образом подобранную замену координатной системы.

Указанные выше определения конических сечений — существенно метрические, так как пользуются понятием расстояния. Но вот другое определение, устанавливающее место конических сечений в проективной геометрии: конические сечения суть не что иное, как проекции окружности на плоскость. Если мы станем проектировать окружность C из некоторой точки O, то проектирующие прямые образуют бесконечный двойной конус, и пересечение этого конуса с плоскостью p будет проекцией окружности C. Кривая пересечения будет эллипсом или гиперболой, конуса с плоскостью получается кривая, уравнение которой — второй степени; и обратно, всякая кривая второго порядка может быть получена из окружности посредством проектирования. По этой именно причине криРис. 94. Конические сечения пересечение E представляет собой эллипс. Нетрудно установить, что кривая E удовлетворяет обыкновенному фокальному определению эллипса, которое было сформулировано выше. Приведем очень простое и изящное доказательство, данное в 1822 г. бельгийским математиком Данделеном.

Представим себе две сферы S1 и S2 (рис. 95), которые касаются плоскости сечения p соответственно в точках F1 и F2 и, кроме того, касаются конуса вдоль параллельных окружностей K1 и K2. Взяв произвольную точку P кривой E, проведем отрезки P F1 и P F2. Затем рассмотрим отрезок P O, соединяющий точку P с вершиной конуса O; этот отрезок целиком лежит на поверхности конуса; обозначим через Q1 и Q2 точки его пересечения с окружностями K1 и K2. Так как P F1 и P Q1 — две касательные, проведенные из точки P к одной и той же сфере S1, то Точно так же Складывая эти равенства, мы получаем:

Но P Q1 + P Q2 = Q1 Q2 есть расстояние между параллельными окружностями K1 и K2 на поверхности конуса: оно не зависит от выбора точки P на кривой E. Отсюда следует, что, какова бы ни была точка P на E, имеет место равенство а это и есть фокальное определение эллипса. Итак, E есть эллипс, a F1 и F2 — его фокусы.

Упражнение. Если плоскость пересекает обе «полости» конуса, то кривая пересечения — гипербола. Докажите это утверждение, помещая по одной сфере в каждой из «полостей» конуса.

2. Проективные свойства конических сечений. Основываясь на положениях, установленных в предыдущем пункте, примем теперь временно следующее определение: коническое сечение есть проекция окружности на плоскость. Это определение в большей степени отвечает духу проективной геометрии, чем общепринятые фокальные определения, так как эти последние всецело опираются на метрическое понятие расстояния. Новое определение тоже не вполне свободно от этого недостатка, поскольку «окружность» — также метрическое понятие. Но через мгновение мы придем к чисто проективному определению конических сечений.

Раз мы приняли, что коническое сечение есть не что иное, как проекция окружности (другими словами, под термином «коническое сечение» мы понимаем любую кривую, принадлежащую проективному классу окружности; см. стр. 206), то отсюда сейчас же следует, что всякое свойство окружности, инвариантное относительно проективных D. Четыре прямые a, b, c, d, соединяющие эти точки с точкой O на окружности, имеют двойное отношение (a, b, c, d), зависящее только от углов, опирающихся на дуги CA, CB, DA, DB. Соединяя A, B, C, D с какой-нибудь другой точкой O на окружности, получим прямые a, b, c, d. Из отмеченного ранее свойства окружности вытекает, что две четверки прямых «конгруэнтны»1. Поэтому у них будет одно и то же двойное отношение: (a b c d ) = (abcd). Спроектируем окружность на некоторое коническое сечение K: тогда на K получится четверка точек, которые мы снова обозначим через A, B, C, D, две точки O и O и две четверки прямых a, b, c, d и a, b, c, d. Эти две четверки прямых уже не будут конгруэнтны, так как углы при проектировании, вообще говоря, не сохраняются. Но так как двойное отношение при проектировании не изменяется, то равенство (abcd) = (a b c d ) по-прежнему имеет место.

Мы пришли, таким образом, к следующей основной теореме: если четыре точки конического сечения K, например A, B, C, D, соединены с пятой точкой O того же сечения прямыми a, b, c, d, то двойное отношение (abcd) не зависит от положения O на кривой K (рис. 97).

Это — замечательный результат. Как нам уже известно, если четыре точки A, B, C, D взяты на прямой, то двойное отношение, составленное из соединяющих эти точки с пятой точкой O прямых, не зависит от 1 Четверка прямых a, b, c, d считается конгруэнтной другой четверке a, b, c, d, если углы между каждой парой прямых в первой четверке равны как по величине, так и по направлению отсчета углам между соответствующими прямыми второй четверки.

выбора этой пятой точки. Это — исходное положение, лежащее в основе проективной геометрии. Теперь мы узнали, что аналогичное утверждение справедливо и относительно четырех точек, взятых на некотором коническом сечении K, однако с существенным ограничением: пятая точка O уже не может свободно двигаться по всей плоскости, а может только перемещаться по коническому сечению K.

Не представляет особого труда доказать и обратную теорему в следующей форме: если на кривой K имеются две точки O и O, обладающие тем свойством, что какова бы ни была четверка точек A, B, C, D на кривой K, двойные отношения, составленные из прямых, соединяющих эти точки с O, и из прямых, соединяющих эти точки с O, равны между собой, то кривая K есть коническое сечение (а уж тогда, по прямой теореме, двойное отношение, составленное из прямых, соединяющих четыре данные точки с произвольной точкой O на K, будет иметь одно и то же постоянное значение). Но доказательства мы здесь приводить не будем.

Изложенные проективные свойства конических сечений наводят на мысль об общем методе точечного построения этих кривых. Условимся под пучком прямых понимать совокупность всех прямых плоскости, и O, расположенные на кониa мыми пучка O и прямыми пучка O можно установить взаимно однозначное соответствие, со- A поставляя прямой a из первого кий раз, как a и a встречаются в некоторой точке A кривой K. Рис. 97. Двойное отношение на эллипсе Тогда любая четверка прямых a, b, c, d из пучка O будет иметь то же двойное отношение, что и соответствующая четверка a, b, c, d из пучка O. Всякое взаимно однозначное соответствие между двумя пучками прямых, обладающее этим последним свойством, называется проективным соответствием.

(Это определение двойственно по отношению к определению проективного соответствия между точками на двух прямых, см. стр. 198–198.) Пользуясь этим определением, можно теперь утверждать: коническое сечение K есть геометрическое место точек пересечения взаимно соответствующих прямых из двух пучков, находящихся в проективном соответствии. Полученная теорема подводит фундамент под следующее чисто проективное определение конических сечений: коническим сечением называется геометрическое место точек пересечения взаимно соответствующих прямых из двух пучков, находящихся в проективном соответствии1. Как ни соблазнительно проникнуть в глубь теории конических сечений, строящейся на таком определении, однако мы вынуждены ограничиться немногими замечаниями по этому поводу.

Пары пучков, находящихся в проективном соответствии, можно получить следующим образом. Спроектируем все точки P прямой линии l из двух разных центров O и O и установим между проектирующими пучками взаимно однозначное соответствие, сопоставляя друг другу те прямые, которые пересекаются на прямой l. Этого достаточно, чтобы полученные пучки находились в проективном соответствии. Затем возьмем пучок O и перенесем его «как нечто твердое» в произвольное положение O. Что новый пучок O будет находиться в проективном соответствии с пучком O, это совершенно очевидно. Но замечательно то, что любое проективное соответствие между двумя пучками можно Рис. 98. К построению проективных пучков прямых получить именно таким образом. (Это обстоятельство двойственно по отношению к упражнению 1 на стр. 199.) Если пучки O и O конгруэнтны, получается окружность. Если углы между соответствующими лучами в двух пучках равны, но отсчитываются в противоположных направлениях, то получается равносторонняя гипербола (рис. 99).

Следует еще заметить, что указанное определение конического сечения может, в частности, дать и прямую линию, как это показано на рис. 98. В этом случае прямая OO соответствует сама себе, и все ее точки должны быть рассматриваемы как принадлежащие искомому геометрическому месту. Таким образом, коническое сечение вырождается в 1 Это геометрическое место, при известных обстоятельствах, может вырождаться в прямую линию; см. рис. 98.

пару прямых: это обстоятельство вполне согласуется с тем фактом, что существуют сечения конуса, состоящие из двух прямых (если секущая плоскость проходит через вершину конуса).

Рис. 99. Образование окружности и равносторонней гиперболы с помощью проективных Упражнения. 1) Вычертите эллипсы, гиперболы и параболы с помощью проективных пучков. (Читателю настойчиво рекомендуется экспериментировать с подобного рода построениями. Это в высшей степени способствует пониманию сути дела.) 2) Дано пять точек O, O, A, B, C некоторого конического сечения K.

Найдите точки пересечения D произвольной прямой d пучка O с кривой K.

(Указание: через O проведите прямые OA, OB, OC и назовите их a, b, c.

Через O проведите прямые O A, O B, O C и назовите их a, b, c. Проведите через O прямую d и постройте такую прямую d пучка O, что (abcd) = (a b c d ). Тогда точка пересечения d и d принадлежит кривой K.) 3. Конические сечения как «линейчатые кривые». Понятие касательной к коническому сечению принадлежит проективной геометрии, так как касательная к коническому сечению есть прямая, имеющая с самой кривой только одну общую точку, а это — свойство, сохраняющееся при проектировании. Проективные свойства касательных к коническим сечениям основываются на следующей теореме:

Двойное отношение точек пересечения четырех фиксированных касательных к коническому сечению с произвольной пятой касательной не зависит от выбора этой пятой касательной.

Доказательство этой теоремы весьма просто. Так как любое коническое сечение есть проекция окружности и так как в теореме идет речь только о таких свойствах, которые инвариантны относительно проектирования, то, чтобы доказать теорему в общем случае, достаточно доказать ее для частного случая окружности.

Для этого же частного случая теорема доказывается средствами элементарной геометрии. Пусть P, Q, R, S — четыре точки на окружности K; a, b, c, d — касательные в этих точках; T — еще какая- Рис. 100. Окружность как совокупность касательных нибудь точка на окружности, o — касательная в ней; пусть, далее, A, B, C, D — точки пересечения касательной o с касательными a, b, c, d. Если M — центр окружности, то, очевидно, T M A = T M P, и последнее выражение представляет угол, вписанный в K, опирающийся на дугу T P.

Таким же образом T M B представляет угол, вписанный в K и опирающийся на дугу T Q. Следовательно, где P Q обозначает угол, вписанный в K и опирающийся на дугу P Q. Отсюда видно, что A, B, C, D проектируются из M четырьмя прямыми, углы между которыми имеют величины, зависящие только от положения точек P, Q, R, S. Ho тогда двойное отношение (ABCD) зависит только от четырех касательных a, b, c, d, но не от касательной o.

Как раз это и нужно было установить.

Рис. 101. Свойство касательной к окружности В предыдущем пункте мы имели случай убедиться, что коническое сечение может быть построено «по точкам», если станем отмечать точки пересечения взаимно соответствующих прямых двух пучков, между которыми установлено проективное соответствие. Только что доказанная теорема дает нам возможность сформулировать двойственную теорему.

Возьмем две касательные a и a к коническому сечению K. Третья касательная t пусть пересекает a и a соответственно в точках A и A. Если t будет перемещаться вдоль кривой, то установится соответствие между точками a и точками a. Это соответствие будет проективным, так как по доказанной теореме произвольная четверка точек на a будет непременно иметь то же двойное отношение, что и соответствующая четверка точек на a. Отсюда следует, что коническое сечение K, расD Рис. 102. Проективные ряды точек на двух касательных к эллипсу сматриваемое как «совокупность своих касательных», «состоит» из прямых, соединяющих взаимно соответствующие точки двух точечных рядов1 на a и на a, находящихся в проективном соответствии. Указанное обстоятельство позволяет ввести новое определение конических сечений, рассматриваемых на этот раз как «линейчатые кривые». Сравним это определение с прежним проективным определением конического сечеСовокупность точек на прямой называется точечным рядом. Это понятие двойственно по отношению к пучку прямых.

ния, данным в предыдущем пункте:

Коническое сечение, рассмат- Коническое сечение, рассматриваемое как совокупность то- риваемое как «совокупность прячек, состоит из точек пересе- мых », состоит из прямых, соедичения взаимно соответствую- няющих взаимно соответствующих прямых в двух проективных щие точки в двух проективных Если мы станем считать касательную к коническому сечению в некоторой его точке двойственным элементом по отношению к самой точке и условимся, кроме того, «линейчатую кривую» (образованную совокупностью касательных) на основе двойственности сопоставлять «точечной кривой» (образованной совокупностью точек), то предыдущие формулировки будут безупречны с точки зрения принципа двойственности. При «переводе» одной формулировки в другую с заменой всех понятий соответствующими двойственными понятиями, «коническое сечение» остается неизменным; но в одном случае оно мыслится как «точечная кривая», определяемая своими точками, в другом — как «линейчатая кривая», определяемая своими касательными.

Из предыдущего вытекает важное следствие: принцип двойственности, первоначально установленный в проективной геометрии плоскости только для точек и прямых, оказывается, может быть распространен и на конические сечения. Если в формулировке любой теоремы, касающейся точек, прямых и конических сечений, заменить каждый элемент ему двойственным (не упуская из виду, что точке конического сечения должна быть сопоставляема касательная к этому коническому сечению), то в результате также получится справедливая теорема. Пример действия этого принципа мы встретим в пункте 4 настоящего параграфа.

Построение конических сечений, понимаемых как «линейчатые кривые», показано на рис. 103–104. В частности, если в двух проективных точечных рядах бесконечно удаленные точки соответствуют взаимно одна другой (так будет непременно, если точечные ряды конгруэнтны или подобны1 ), то коническое сечение будет параболой; справедливо и обратное утверждение.

Упражнение. Докажите обратную теорему: на двух неподвижных касательных к параболе движущаяся касательная к параболе определяет два подобных точечных ряда.

4. Теоремы Паскаля и Брианшона для общего случая произвольных конических сечений. Одной из лучших иллюстраций 1 Что такое «конгруэнтные» и «подобные» точечные ряды, достаточно понятно без объяснений.

Рис. 103. Парабола, определенная конгруэнтными точечными рядами Рис. 104. Парабола, определенная подобными точечными рядами принципа двойственности применительно к коническим сечениям является взаимоотношение между общими теоремами Паскаля и Брианшона.

Первая из них была открыта в 1640 г., вторая — в 1806 г. И, однако, каждая из них есть непосредственное следствие другой, так как всякая теорема, формулировка которой упоминает только конические сечения, прямые и точки, непременно остается справедливой при изменении формулировки по принципу двойственности.

Теоремы, доказанные в § 5 под теми же наименованиями, представляют собой «случаи вырождения» следующих более общих теорем.

Теорема Паскаля. Противоположные стороны шестиугольника, вписанного в коническое сечение, пересекаются в трех коллинеарных точках.

Рис. 105. Общая конфигурация Паскаля. Показаны два случая: один для шестиугольника 1, 2, 3, 4, 5, 6, другой для шестиугольника 1, 3, 5, 2, 6, Теорема Брианшона. Три диагонали, соединяющее противоположные вершины шестиугольника, описанного около конического сечения, конкуррентны.

Обе теоремы имеют очевидное проективное содержание. Их двойственность бросается в глаза, если сформулировать их следующим образом:

Теорема Паскаля. Дано шесть точек 1, 2, 3, 4, 5, 6 на коническом сечении. Соединим последовательные точки прямыми (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 1). Отметим точки пересечения прямых (1, 2) и (4, 5), (2, 3) и (5, 6), (3, 4) и (6, 1). Эти три точки лежат на одной прямой.

Теорема Брианшона. Дано шесть касательных 1, 2, 3, 4, 5, 6 к коническому сечению. Последовательные касательные пересекаются в точках (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 1). Проведем прямые, соединяющие точки (1, 2) и (4, 5), (2, 3) и (5, 6), (3, 4) и (6, 1). Эти три прямые проходят через одну точку.

Рис. 106. Общая конфигурация Брианшо- Рис. 107. Доказательство теорена. Показаны только два случая мы Паскаля Доказательства проводятся с помощью специализации такого же рода, как и в рассмотренных раньше случаях вырождения. Докажем теорему Паскаля. Пусть A, B, C, D, E, F — вершины шестиугольника, вписанного в коническое сечение K. Посредством проектирования можно сделать параллельными прямые AB и ED, F A и CD (и тогда получится конфигурация, изображенная на рис. 107; ради удобства шестиугольник на чертеже взят самопересекающимся, хотя в этом нет никакой необходимости.) Нам нужно теперь доказать только одно: что прямая CB параллельна прямой F E; другими словами, что противоположные стороны пересекаются на бесконечно удаленной прямой. Для доказательства рассмотрим четверку точек F, A, B, D, которая, как мы знаем, при проектировании из любой точки K сохраняет одно и то же двойное отношение, скажем, k. Станем проектировать из точки C на прямую AF ;

получим четверку точек F, A, Y,, причем (см. стр. 205).

Станем теперь проектировать из точки E на прямую BA; получим Рис. 108. Построение прямых, пересекающих три данные четверку точек X, A, B,, причем Итак, что как раз и означает, что Y B F X. Доказательство теоремы Паскаля закончено.

Теорема Брианшона, как было указано, следует из теоремы Паскаля по принципу двойственности. Но ее можно доказать и непосредственно — путем рассуждения, двойственного относительно только что приведенного. Провести это рассуждение во всех деталях будет прекрасным упражнением для читателя.

5. Гиперболоид. В трехмерном пространстве мы встречаемся с так называемыми квадриками (поверхностями второго порядка), которые в данном случае играют ту же роль, что «конические сечения» (кривые второго порядка) на плоскости.

Простейшими из них являются сфера и эллипсоид. Квадрики более разнообразны, чем конические сечения, и изучение их связано с бльшими трудностями. Мы рассмотрим бегло и без доказательств одну из самых интересных поверхностей этого типа: так называемый связный (или однополостный) гиперболоид.

Эта поверхность может быть получена следующим образом. Возьмем в пространстве три прямые l1, l2, l3, находящиеся в общем положении.

Последнее означает, что никакие две из них не параллельны и все три не являются параллельными одной и той же плоскости. Может показаться удивительным, что существует бесконечное множество прямых в пространстве, из которых каждая пересекается со всеми тремя данными прямыми. Убедимся в этом.

Пусть p — произвольная плоскость, содержащая прямую l1 ; эта плоскость пересекает прямые l2 и l3 в двух точках, и прямая m, проведенная через эти две точки, очевидно, пересекается со всеми прямыми l1, l2 и l3. Когда плоскость p вращается около прямой l1, прямая m будет изменять свое положение, однако все время продолжая пересекаться с тремя данными прямыми. При движении m возникает поверхность, неограниченно уходящая в бесконечность, которая и называется однополостным гиперболоидом. Она содержит бесконечное множество прямых типа m. Любые три такие прямые, скажем m1, m2 и m3, также будут находиться в общем положении, и те прямые в пространстве, которые будут пересекаться с тремя прямыми m1, m2 и m3 одновременно, также будут лежать на рассматриваемой поверхности. Отсюда следует основное свойство гиперболоида: он составляется из двух различных семейств прямых линий; каждые три линии одного и того же семейства находятся в общем положении и каждая прямая одного семейства пересекается со всеми прямыми другого.

Важное проективное свойство гиперболоида заключается в том, что двойное отношение тех четырех точек, в которых данная четверка прямых одного семейства пересекается с некоторой прямой второго семейства, не зависит от выбора этой последней. Это утверждение вытекает из метода построения гиперболоида с помощью вращающейся плоскости, и читатель может убедиться в его справедливости и качестве упражнения.

Отметим еще одно замечательное свойство гиперболоида: хотя он содержит два семейства прямых линий, но существование этих прямых не препятствует изгибанию поверхности — не делает ее жесткой.

Если устроить модель гиперболоида из стержней, способных свободно вращаться около точек взаимных пересечений, то поверхность в целом может быть непрерывно деформируема, пробегая бесконечное множество различных состояний.

§ 9. Аксиоматика и нееклидова геометрия 1. Аксиоматический метод. Аксиоматический метод в математике берет свое начало по меньшей мере от Евклида. Было бы совершенно ошибочно полагать, что античная математика развивалась или излагалась исключительно в строго постулативной форме, свойственной «Началам». Но впечатление, произведенное этим сочинением на последующие поколения, было столь велико, что в нем стали искать образцов для всякого строгого доказательства в математике. Иной раз даже философы (например, Спиноза в его «Ethica, more geometrico demonstrata») пытались излагать свои рассуждения в форме теорем, выводимых из определений и аксиом. В современной математике, после периода отхода от евклидовой традиции, продолжавшегося на протяжении XVII и XVIII вв., снова обнаружилось все усиливающееся проникновение аксиоматического метода в различные области. Одним из самых недавних продуктов подобного рода устремления мысли явилось возникновение новой дисциплины — математической логики.

В общих чертах аксиоматическая точка зрения может быть охарактеризована следующим образом. Доказать теорему в некоторой дедуктивной системе — значит установить, что эта теорема есть необходимое логическое следствие из тех или иных ранее доказанных предложений;

последние в свою очередь должны быть доказаны и т. д. Процесс математического обоснования сводился бы, таким образом, к невыполнимой задаче «бесконечного спуска», если только в каком-нибудь месте нельзя было бы остановиться. Но в таком случае должно существовать некоторое число утверждений — постулатов, или аксиом, которые принимаются в качестве истинных и доказательство которых не требуется. Из них можно пытаться вывести все другие теоремы путем чисто логической аргументации. Если все факты некоторой научной области приведены в подобного рода логический порядок, а именно такой, что любой из них «выводится» из нескольких отобранных предложений (предпочтительно, чтобы таковые были немногочисленны, просты и легко усваивались), то тогда есть основание сказать, что область представима в «аксиоматической форме» или «допускает аксиоматизацию». Выбор предложений-аксиом в широкой степени произволен. Однако мало пользы, если наши постулаты недостаточно просты или если их слишком много. Далее, система постулатов должна быть совместимой (непротиворечивой) в том смысле, что никакие две теоремы, которые из них могут быть выведены, не должны содержать взаимных противоречий, и полной в том смысле, что всякая теорема, имеющая место в рассматАКСИОМАТИКА И НЕЕКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ риваемой области, из них может быть выведена. Желательно также, чтобы система постулатов была независимой, т. е. чтобы ни один из них не был логическим следствием остальных. Вопрос о непротиворечивости и полноте системы аксиом был предметом больших дискуссий.

Различные философские взгляды на источники человеческого знания обусловили различные, подчас несовместимые точки зрения на основания математики. Если математические понятия рассматриваются как субстанциальные объекты в сфере «чистой интуиции», независимые от определений и отдельных актов мыслительной деятельности человека, тогда, конечно, в математических результатах не может быть никаких противоречий, поскольку они представляют собой объективно истинные предложения, описывающие реальный мир. Если исходить из такой «кантианской» точки зрения, то никакой проблемы непротиворечивости вообще нет. Но, к сожалению, действительное содержание математики не удается уложить в столь простые философские рамки. Представители современного математического интуиционизма не полагаются на чистую интуицию в ее полном кантовском понимании. Они признают счетную бесконечность в качестве законного детища интуиции, но допускают использование лишь конструктивных свойств. Такие же фундаментальные понятия, как числовой континуум, следует, с их точки зрения, исключить из употребления, пожертвовав при этом важными разделами существующей математики (а то, что после этого остается, оказывается чрезвычайно сложным, причем без особой надежды на упрощение).

Совершенно другую позицию заняли «формалисты». Они не приписывают математическим понятиям никакой интуитивной реальности и не утверждают, что аксиомы выражают какие-то объективные истины, относящиеся к объектам чистой интуиции; они (формалисты) заботятся лишь о формальной логической правильности процесса рассуждений, базирующихся на постулатах. Позиция эта обладает безусловными преимуществами по сравнению с интуиционистской, так как она предоставляет математике полную свободу действий, нужную как для теории, так и для приложений. Но она вместе с тем вынуждает формалистов доказывать, что принятые ими аксиомы, выступающие теперь в качестве продукта свободного творчества человеческого интеллекта, не могут привести к противоречию. На протяжении последних двадцати лет1 предпринимались многочисленные и напряженные попытки поиска такого рода доказательств непротиворечивости, особенно по отношению к аксиомам арифметики и алгебры и к понятию числового континуума. Результаты, 1 Написано в 1941 г. О дальнейших работах в этой области, а также по поводу всей обширной проблематики оснований математики и характеристики различных направлений, см. [11], [15], [38]. — Прим. ред.

полученные в этом направлении, имеют исключительную важность, но задача в целом еще далеко не выполнена2. Более того, полученные в последние годы результаты свидетельствуют о том, что такого рода попытки и не могут привести к полному успеху — выяснилось, что для некоторых строго определенных и замкнутых систем понятий вообще нельзя доказать, что они непротиворечивы и в то же время полны. Особенно замечательно то обстоятельство, что все такого рода рассуждения, касающиеся проблем обоснования, проводятся полностью конструктивными и интуитивно убедительными методами.

Спор между интуиционистами и формалистами, особенно обострившийся в связи с парадоксами теории множеств (см. стр. 108–109), породил массу страстных выступлений убежденных сторонников обеих школ.

Математический мир потрясали возгласы о «кризисе основ». Но эти сигналы тревоги не воспринимались — да и не следовало их воспринимать — слишком уж всерьез. При всем уважении к достижениям, завоеванным в борьбе за полную ясность основ, вывод, что эти расхождения во взглядах или же парадоксы, вызванные спокойным и привычным использованием понятий неограниченной общности, таят в себе серьезную угрозу для самого существования математики, представляется совершенно необоснованным.

Совершенно независимо от каких бы то ни было философских рассмотрений и интереса к проблемам оснований аксиоматический подход к предмету математики — самый естественный способ разобраться во всех хитросплетениях взаимосвязей между различными фактами и выяснить закономерности логического строения объединяющих их теорий.

Не раз случалось, что такое сосредоточение внимания на формальной структуре, а не на интуитивном смысле понятий, облегчало отыскание обобщений и применений, которые легко было бы упустить при более интуитивном подходе к делу. Но выдающиеся открытия и подлинное понимание лишь в исключительных случаях оказывались результатом применения чисто аксиоматических методов. Подлинный источник развития математики — это творческая мысль, поддерживаемая интуицией.

И если даже считать аксиоматизацию тем идеалом, к которому стремится математика, было бы непростительной ошибкой уверовать в то, что аксиоматика сама по себе является сутью математики. Творческая, конструктивная интуиция математика привносит в математику недедуктивные и иррациональные моменты, уподобляющие ее музыке или живописи.

Со времен Евклида геометрия неизменно была прототипом аксиоматизированной дисциплины. На протяжении столетий система евклидовых постулатов была предметом напряженного изучения. Но только 2 См. предыдущее примечание. — Прим. ред.

§9 АКСИОМАТИКА И НЕЕКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

сравнительно недавно стало совершенно ясно, что эти постулаты должны быть изменены и дополнены, для того чтобы из них могла быть выведена дедуктивно совокупность предложений элементарной геометрии. Например, в конце прошлого столетия Паш обнаружил, что при рассмотрении порядка расположения точек на прямой, т. е. соотношений, характеризуемых словом «между», требуется особый постулат. Паш выдвинул в качестве постулата следующее предложение: если прямая пересекает сторону треугольника в точке, не являющейся вершиной, то она пересекается и еще с одной стороной треугольника. (Невнимательное отношение к этой детали приводит к ряду явных парадоксов:

абсурдные следствия — например, общеизвестное «доказательство» того, что все треугольники равнобедренные — как будто бы строго «выводятся» из евклидовых аксиом. Этот «вывод» основывается на неточном выполнении чертежа, причем некоторые прямые пересекаются вне треугольника или круга, тогда как на самом деле должны пересечься внутри.) В своей знаменитой книге «Grundlagen der Geometrie» (первое издание ее появилось в 1899 г.) Гильберт дал вполне удовлетворительно построенную систему аксиом геометрии и вместе с тем произвел исчерпывающий анализ их взаимной независимости, их непротиворечивости и полноты.

Во всякую систему аксиом неизбежно входят некоторые неопределимые понятия, например, «точка» или «прямая» в геометрии. Их «значение» (или связь с объектами реального мира) для математики несущественно. Эти понятия должны быть принимаемы чисто абстрактно, и их математические свойства в пределах дедуктивной системы всецело вытекают из тех соотношений между ними, которые утверждаются в аксиомах. Так, в проективной геометрии естественно начать с основных понятий «точка» и «прямая» и отношения «инцидентности» и сформулировать две двойственные аксиомы: «каждые две различные точки инцидентны с одной и только одной прямой» и «каждые две различные прямые инцидентны с одной и только одной точкой». В аксиоматической системе проективной геометрии двойственность в формулировке аксиом обусловливает двойственность в самом построении. Всякой теореме, содержащей в своей формулировке и в доказательстве только двойственные элементы, непременно соответствует двойственная теорема. В самом деле, доказательство исходной теоремы заключается в последовательном применении некоторых аксиом, и применение в том же порядке двойственных аксиом составит доказательство двойственной теоремы.

Совокупность аксиом геометрии составляет неявное определение всех «неопределяемых» геометрических понятий: «точка», «прямая», «инцидентность» и т. д. Для применений геометрии важно, чтобы основные понятия и аксиомы геометрии находились в хорошем соответствии с доступными физической проверке утверждениями, касающимися «реальных», осязаемых предметов. Физическая реальность, стоящая за понятием «точки», есть какой-то очень маленький объект, вроде небольшого пятнышка, получаемого на бумаге при прикосновении карандаша, и таким же образом «прямая» представляет собой абстракцию туго натянутой нити или светового луча. Свойства этих физических точек и прямых, как можно установить путем проверки, более или менее соответствуют формальным аксиомам геометрии. Легко себе представить, что более точно поставленные эксперименты могут вызвать необходимость в изменении аксиом, если мы хотим, чтобы они давали адекватное описание физических явлений. Напротив, если бы существовало заметное отклонение формальных аксиом от физических свойств предметов, то геометрия, построенная на этих аксиомах, представляла бы ограниченный интерес. Таким образом, даже с точки зрения формалиста, есть нечто, что оказывает большее влияние на направления математической мысли, нежели человеческий разум.

2. Гиперболическая неевклидова геометрия. В системе Евклида имеется одна аксиома, относительно которой — на основе сопоставления с эмпирическими данными, с привлечением туго натянутых нитей или световых лучей, — никак нельзя сказать, является ли она «истинной». Это знаменитый постулат о параллельных, утверждающий, что через данную точку, расположенную вне данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной. Своеобразной особенностью этой аксиомы является то, что содержащееся в ней утверждение касается свойств прямой на всем ее протяжении, причем прямая предполагается неограниченно продолженной в обе стороны:

сказать, что две прямые параллельны, — значит утверждать, что у них нельзя обнаружить общей точки, как бы далеко их ни продолжать.

Вполне очевидно, что в пределах некоторой ограниченной части плоскости, как бы эта часть ни была обширна, напротив, можно провести через данную точку множество прямых, не пересекающихся с данной прямой. Так как максимально возможная длина линейки, нити, даже светового луча, изучаемого с помощью телескопа, непременно конечна, и так как внутри круга конечного радиуса существует много прямых, проходящих через данную точку и в пределах круга не встречающихся с данной прямой, то отсюда следует, что постулат Евклида никогда не может быть проверен экспериментально. Все прочие аксиомы Евклида имеют конечный характер, т. е. касаются конечных отрезков прямых или конечных частей рассматриваемых плоских фигур. Тот факт, что аксиома параллельности не допускает эмпирической проверки, выдвигает на первый план вопрос о том, является ли она независимой от прочих аксиом. Если бы она была неизбежным логическим следствием других

§9 АКСИОМАТИКА И НЕЕКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

аксиом, то тогда нужно было бы просто вычеркнуть ее из списка аксиом и доказывать как теорему с помощью иных евклидовых аксиом. Много столетий математики пытались найти такое доказательство; этому способствовало широко распространенное среди всех, кто занимался геометрией, смутное сознание того, что аксиома параллельности по своему характеру существенно отличается от остальных, что ей недостает той убеждающей наглядности, которой, казалось бы, должно было обладать всякое геометрическое предложение, возводимое в ранг аксиомы.

Одна из первых попыток в указанном направлении была сделана в IV столетии н. э. комментатором Евклида Проклом, который, чтобы избежать необходимости вводить специальный постулат о параллельных прямых, ввел определение, согласно которому прямая, параллельная данной прямой, есть геометрическое место точек, расположенных от нее на одном и том же заданном расстоянии. При этом Прокл упустил из виду, что таким образом трудность не устраняется, а только перемещается, так как при его ходе мыслей остается недоказанным, что названное геометрическое место действительно есть прямая линия.

Так как последнего Прокл доказать не мог, то именно это предложение ему пришлось бы принять в качестве аксиомы параллельности, и ничто не было бы выиграно, так как мы можем легко установить, что обе упомянутые аксиомы эквивалентны между собой. Саккери (1667–1733), а затем Ламберт (1728–1777) делали попытки доказать аксиому параллельности косвенным путем, допуская противоположное утверждение и выводя из него абсурдные следствия. Но выведенные ими следствия оказались далеко не абсурдными: это были теоремы неевклидовой геометрии, получившей позднее дальнейшее развитие. Если бы названные лица рассматривали свои результаты не как нелепости, а как утверждения, свободные от внутренних противоречий, то не кому иному, как им, принадлежала бы заслуга открытия неевклидовой геометрии.

Но в те времена любую геометрическую систему, не находящуюся в абсолютном согласии с евклидовой, непременно стали бы рассматривать как очевидную нелепость. Кант, наиболее влиятельный философ той эпохи, выразил свое отношение к вопросу, утверждая, что аксиомы Евклида — не что иное, как неизбежные формы человеческого мышления, чем, по его мнению, и объясняется их объективная значимость по отношению к «реальному» пространству. Эта вера в аксиомы Евклида, как в незыблемые истины, существующие в сфере чистой интуиции, была одним из главных догматов кантовой философии. Однако с течением времени ни привычные навыки мышления, ни влияние философских авторитетов не смогли подавить растущего убеждения, что неизменные неудачи в поисках доказательства аксиомы параллельности имели своей причиной не столько недостаток изобретательности со стороны геометров, сколько тот основной факт, что этот постулат на самом деле независим от других. (Подобным же образом неудачи в решении при помощи радикалов общего уравнения пятой степени мало-помалу привели к подозрению, позднее оправдавшемуся, что такое решение невозможно.) Венгерский математик Бойяи (1802–1860) и русский математик Лобачевский (1793–1856) положили конец сомнениям, построив во всех деталях геометрическую систему, в которой аксиома параллельности была отвергнута. Когда молодой гениальный энтузиаст Бойяи послал свою работу «королю математики» Гауссу, от которого с нетерпением ждал поддержки, то получил в ответ уведомление, что самим Гауссом открытие было сделано раньше, но он воздержался в свое время от публикации результатов, опасаясь слишком шумных обсуждений.

Посмотрим, что же означает независимость аксиомы параллельности. Эту независимость следует понимать в том смысле, что возможно свободное от внутренних противоречий построение «геометрических»

предложений о точках, прямых и т. д., исходя из системы аксиом, в которой аксиома параллельности заменена противоположной. Такое построение называется неевклидовой геометрией. Нужно было интеллектуальное бесстрашие Гаусса, Бойяи и Лобачевского, чтобы осознать, что геометрия, основанная не на евклидовой системе аксиом, может быть абсолютно непротиворечивой.

Чтобы убедиться в непротиворечивости новой геометрии, нет надобности развивать во всех подробностях многочисленные теоремы неевклидовой геометрии, как это делали Бойяи и Лобачевский. Мы умеем теперь строить простые «модели» такой геометрии, удовлетворяющие всем аксиомам Евклида, кроме аксиомы параллельности. Простейшая модель была указана Феликсом Клейном, работы которого в этой области стимулировались идеями английского геометра Кэли (1821–1895).

В такой модели через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести бесчисленное множество «прямых», «параллельных» данной прямой. Подобного рода геометрия называется геометрией Бойяи— Лобачевского, или «гиперболической» геометрией. (Основание для последнего наименования будет приведено на стр. 246.) При построении модели Клейна сначала рассматриваются объекты обыкновенной евклидовой геометрии; и затем некоторые из объектов и отношений между ними переименовываются таким образом, что для их описания оказывается пригодной уже неевклидова геометрия. Эта последняя, тем самым, не в меньшей мере непротиворечива, чем первоначальная евклидова геометрия, так как излагается (если посмотреть с другой точки зрения и описывать другими словами) как совокупность фактов обыкновенной евклидовой геометрии. С этой моделью можно легко освоиться, привлекая кое-какие понятия из проективной геометрии.

При проективном преобразовании одной плоскости на другую или на

§9 АКСИОМАТИКА И НЕЕКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

саму себя (можно после отображения совместить обе плоскости) окружность, вообще говоря, переходит в некоторое коническое сечение. Но можно легко показать (доказательства мы не приводим), что существует бесчисленное множество таких проективных преобразований плоскости на саму себя, при которых данный круг, вместе со всеми заключенными внутри точками, переходит сам в себя. При таких преобразованиях внутренние точки, как и точки контура, меняют, вообще говоря, свои места, но внутренние точки остаются внутренними, а точки контура остаются на контуре. (Центр круга, как легко убедиться, можно перевести в любую наперед заданную внутреннюю точку.) Рассмотрим совокупность всех таких преобразований. Конечно, они не будут оставлять очертания фигур неизменными и потому не являются движениями в обычном смысле. Но мы теперь сделаем решающий шаг и назовем их «неевклидовыми движениями» в той геометрии, которую строим. Посредством этих «движений» можно дальше определить и «равенство»: две фигуры называются равными, если существует «неевклидово движение», переводящее одну фигуру в другую.

Перейдем теперь к описанию упомянутой выше клейновой модели гиперболической геометрии. «Плоскость» состоит только из внутренних точек круга, внешние точки просто отбрасываются. Каждая внутренняя точка называется неевклидовой «точкой», каждая хорда круга называется неевклидовой «прямой»; «движения» и «равенства» уже определены выше; проведение «прямой» через две «точки» и нахождение «точки» пересечения двух «прямых» совершаются, как в евклидовой геометрии. Легко убедиться, что новая конструкция удовлетворяет всем постулатам евклидовой геометрии, с единственным исключением — постулатом о параллельных прямых. Что этот постулат здесь не выполня- Рис. 110. Модель ется, ясно видно из того, что через «точку», неевклидовой плоскости не лежащую на «прямой», можно провести Клейна бесчисленное множество «прямых», не имеющих общей «точки» с данной прямой. Данная «прямая» есть евклидова хорда, тогда как в качестве второй «прямой» может быть взята любая из хорд, проходящих через данную «точку» и не пересекающих первой «прямой» внутри круга. Описанная простая модель совершенно достаточна для того, чтобы покончить с основным вопросом, породившим неевклидову геометрию: она показывает, что аксиома параллельности не выводится из остальных аксиом евклидовой геометрии. Действительно, если бы она выводилась из них, то тогда была бы верной теоремой и по отношению к модели Клейна, а мы видим, что это не так.

Строго говоря, предыдущая аргументация построена на допущении, что модель Клейна непротиворечива, т. е. что нельзя доказать вместе с некоторым утверждением также и противоположного утверждения. Но, во всяком случае, геометрия модели Клейна непротиворечива в такой же степени, как и обыкновенная евклидова геометрия, так как теоремы о «точках» и «прямых» и т. д.

модели Клейна представляют собой только своеобразно сформулированные теоремы евклидовой геометрии. Удовлетворительного доказательства непротиворечивости аксиом евклидовой геометрии дано не было, если не считать сведения к аналитической геометрии и в конечном счете к числовому континууму; а непротиворечивость концепции континуума — также вопрос открытый1.

* Мы привлечем внимание читателя еще к одной детали (впрочем, стоящей за пределами непосредственно поставленных нами задач) — именно, к определению неевклидова «расстояния» в модели Клейна. Это «расстояние» должно быть инвариантно относительно неевклидовых «движений», так как обыкновенное движение не изменяет обыкновенного расстояния. Мы знаем, что двойное отношение есть инвариант проективS ного преобразования. Естественно возникает мысль о том, чтобы при определении «расстояния» между двумя различными точками P Неевклидово предположении, что три точки P, Q, R лежат на одной прямой, мы должны были бы иметь равенство P Q + QR = P R, но, вообще говоря, Напротив, справедливо несколько иное равенство в самом деле,

QO P O RO QO RO P O

QS P S RS QS RS P S

1 Подробнее об исследованиях в этой области см. упомянутую на стр. 109 книгу А. Френкеля и И. Бар-Хиллела, содержащую также обширную библиографию. —

§9 АКСИОМАТИКА И НЕЕКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

Свойство (1) позволяет определить «расстояние» P Q как логарифм двойного отношения (а не как само двойное отношение), с таким расчетом, чтобы обеспечить аддитивность расстояния: P Q = неевклидово «расстояние» P Q = log(OSQP ). Это «расстояние» есть положительное число, так как (OSQP ) > 1 при P = Q.

Из основного свойства логарифма (см. стр. 467) следует, в силу (1), что P Q + QR = P R. По какому основанию брать логарифмы — несущественно, так как при изменении основания меняется лишь единица измерения. Между прочим, если одна из точек, скажем Q, приближается к окружности, то неевклидово расстояние P Q неограниченно возрастает.

Это означает, что «прямая» нашей неевклидовой модели имеет бесконечную неевклидову «длину», хотя в евклидовом смысле представляет собой конечный отрезок.