«В. Н. Романов Основы системного анализа УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС Санкт-Петербург Издательство СЗТУ 2011 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего ...»

– однородность, что означает выбор элементов, имеющих одинаковую важность (общность) для данного уровня (цели анализа);

– независимость, что означает взаимную независимость элементов одного уровня.

Проверка однородности элементов данного уровня может быть проведена на последующих нижних уровнях анализа, при этом число элементов на более низком уровне, замыкающихся на элемент более высокого уровня, должно не сильно различаться для всех элементов более высокого уровня.

При определении числа уровней и их проверке на достаточность существенным является то, насколько возрастает полезная информация об объекте, необходимая для достижения цели анализа, и насколько она точна и достоверна. Число уровней определяется компромиссом между полнотой достижения цели анализа и требуемыми для этого ресурсами. Обычно дерево используется для определения допустимых вариантов решений, поэтому степень детализации должна быть такой, чтобы можно было сформировать допустимые решения при определенных ресурсных ограничениях. При анализе проектов в промышленности и экономике часто применяются критерии эффективности, качества, затрат, времени, чтобы из их сопоставления получить приемлемые решения. В общем случае могут учитываться разные группы критериев, например, политические, экономические, социальные, технологические, психологические, эстетические и т.п., что зависит от природы объекта анализа. Дерево считается построенным при достижении так называемого элементарного уровня, который нет смысла подвергать дальнейшему разложению (декомпозиции). В математических задачах понятие элементарности может быть определено формально (в алгебраической теории систем имеются соответствующие теоремы). В слабоформализованных задачах «элементарность» проверяется экспертом.

Декомпозиция заканчивается проверкой схемы на пригодность для достижения цели анализа. Процесс построения дерева в силу недостаточности знаний, неполноты информации об объекте является итеративной процедурой.

Проверка позволяет оценить работоспособность схемы, и если она не вполне адекватна цели анализа, то повторить процедуру анализа, используя новые данные.

Декомпозиция является основой так называемого метода дерева целей, который применяется при проведении экспертиз, разработке прогнозов, поиске решения проблем. Он получил развитие в работах академика В.М. Глушкова с сотрудниками. При этом оценивается вероятность наступления событий за определенное время, приводящих к решению исходной проблемы. Целью построения дерева может быть также выяснение причин проблемы, определение способов достижения результата, оценка последствий события и т.п. Обобщение этого метода основано на использовании нечетких моделей.

В заключение рассмотрим пример построения дерева решений для проблемы «ошибка в измерении». Объектом анализа здесь является процесс измерения, а целью – выяснение причин ошибки в измерении. В качестве интеграторов используем следующие понятия: основные элементы, определяющие проблему (главные причины ошибки), состояния элементов (подпричины), характеристики состояний (влияющие факторы). Главными причинами ошибки могут быть оператор (измеритель), средство измерений (прибор), условия измерений, объект измерений, организация процесса измерения. Затем каждая из главных причин разбивается на подпричины, а каждая из подпричин, в свою очередь, на влияющие факторы. Ниже приведена совокупность элементов (причин, подпричин и влияющих факторов), образующих дерево решения проблемы. При этом главные причины обозначены индексом, состоящим из одной цифры; подпричины – индексом из двух цифр, а влияющие факторы – индексом из трех цифр. На рис. представлено итоговое дерево решений.

1 – оператор (измеритель):

11 – квалификация (111 – опыт, 112 – образование, 113 – подготовка);

12 – умственное состояние (121 – концентрация внимания, 122 – умственная усталость);

13 – физическое состояние (131 – зрение, 132 – физическая усталость).

2 – средство измерений:

21 – поддержание в работоспособном состоянии (211 – ремонты, 212 – обслуживание, 213 – поверки);

22 – условия применения (221 – точность, 222 – диапазон, 223 – влияющие величины);

23 – расположение (231 – высота, 232 – расстояние до оператора).

3 – условия измерений:

31 – освещение (311 – яркость, 312 – цвет, 313 – расположение источника, 314 – тип источника);

32 – перерывы (321 – частота измерений, 322 – другие работы);

33 – шум (331 – разговоры, 332 – телефонные звонки, 333 –производственные помехи);

4 – объект измерений:

41 – условия задачи (421 – тип измерительной задачи, 422 – вид объекта, 423 – требования к качеству решения).

42 – вид сигнала (411 – стабильность, 412 – форма, 413 – помехи, 414 – интенсивность и т.п.);

5 – организация процесса измерений:

51 – алгоритм измерений (511 – метод, 512 – методика);

52 – алгоритм обработки (521– сложность расчетов, 522 – автоматизация расчетов).

Проблема Проектирование рассматривается как система, порядковая структура которой состоит из трех этапов. В процессе проектирования используются основные идеи системного подхода и в полной мере проявляются его преимущества по сравнению с методом улучшения.

Этап 1. Формирование множества допустимых вариантов решений. На этом этапе определяются внешние системы, влияющие на решение, а также системы, учитываемые при формировании допустимых решений; определяются цели, требования, условия и ограничения со стороны внешних систем;

осуществляется конкретизация задачи и ее осмысление; происходит согласование целей проектировщика с целями внешних систем; определяется множество допустимых решений (вариантов проекта), удовлетворяющих условиям и ограничениям внешних систем.

Этап 2. Выбор наилучшего варианта. На этом этапе определяются критерии оценки степени достижения целей и составляется дерево оценок;

определяется измерительная шкала для каждого критерия; определяются модели принятия решений; проводится оценка вариантов и ожидаемых последствий; осуществляется выбор наилучшего (предпочтительного) варианта.

Этап 3. Выполнение проекта и оценка результатов. На этом этапе осуществляется выбранный вариант (проект) системы; оцениваются реальные последствия; проводится оценка степени достижения целей; сопоставляются полученные результаты с ожидаемыми.

Рассмотрим этапы проектирования более подробно.

Этап 1. Формирование множества допустимых вариантов решений.

Шаг 1. Определение системы в целом. Определяется круг систем, которые могут влиять на результат и на которые влияет проект. Определяются внешние системы, которые следует учитывать при формировании допустимых вариантов. Определяются цели участников (внешних систем), требования, условия и ограничения, предъявляемые к проекту. Составляется общий список условий и ограничений.

Шаг 2. Конкретизация задачи. Конкретизация задачи предусматривает, прежде всего, уяснение смысла задачи и конкретизацию целей, которые должны быть достигнуты. При этом следует принять во внимание различие в стиле мышления систем и характере их предпочтений. Это непосредственно влияет на функцию выбора каждой системы и общую функцию выбора, учитывающую интересы всех систем.

Шаг 3. Согласование целей. Происходит согласование целей проектировщика с целями внешних систем. Особенно важно учитывать нравственные проблемы, связанные с возможным изменением условий функционирования систем, вызываемых проектом (см. § 4.3). Внешними системами оцениваются ожидаемые полезность и эффективность работы проектировщика. Строится дерево целей, учитывающее взаимное соотношение и соподчиненность различных уровней. Определяются подсистемы и функциональная схема (облик системы). Определяются ожидаемые последствия на каждом уровне дерева целей (внешние системы – проектируемая система – подсистемы). В общем случае на уровне внешних систем должны учитываться политические, экономические, социальные, экологические последствия и т.п. Определяются составляющие прямых и косвенных издержек для каждой системы.

Шаг 4. Определение исходного множества допустимых вариантов решений.

Определяется расширенное множество, состоящее из вариантов, которые удовлетворяют, по крайней мере, одному требованию хотя бы одной внешней системы. Определяется множество Парето, состоящее из вариантов, которые хотя бы по одному требованию имеют наилучшую оценку. Нужно учитывать, что требования противоречивы, поэтому следует использовать интервальные оценки или нечеткие градации, иначе множество вариантов может оказаться пустым. Проводится ранжирование вариантов в порядковой шкале с использованием балльных и словесных (нечетких) оценок. Определяется множество допустимых вариантов решений, включающее разнотипные решения, удовлетворяющие всем или большей части требований внешних систем.

Этап 2. Выбор наилучшего варианта.

Шаг 1. Проверка полноты и достоверности исходных данных. Оценивается надежность источников информации. Оценивается неопределенность (доверительная ошибка) используемых данных. Оценивается согласованность данных, полученных из разных источников. Следует иметь в виду, что информация является разнородной, может включать количественные и качественные данные, статистические и экспертные оценки. Кроме того, как правило, используются справочные данные, константы и т.п., которые часто считаются абсолютно надежными, хотя это может не соответствовать действительности.

Шаг 2. Определение измерительной шкалы. Определяются критерии, позволяющие оценить пригодность вариантов для достижения целей.

Детализируется дерево оценок, нижний уровень которого должен состоять из измеряемых величин и параметров. Определяется измерительная шкала для критериев, позволяющая адекватно оценить каждый критерий. Например, для экономических критериев, основанных на экспертных данных, следует использовать порядковую шкалу, для физических величин – интервальную или отношений.

Шаг 3. Оценивание вариантов. Определяется значение критериев для каждого варианта из допустимого множества, как правило, на этом этапе используется порядковая шкала. Оцениваются прямые и косвенные затраты (издержки) для каждого варианта. Оцениваются ожидаемые последствия для каждого варианта, при этом учитываются масщтаб, время и возможность наступления последствия.

Шаг 4. Определение наилучшего варианта. Определяется модель выбора (принятия решений), адекватная исходным данным. Таких моделей может быть несколько с учетом стратегии принятия решений. Следует иметь в виду зависимость модели от предпочтений ЛПР, поэтому вид модели должен обсуждаться всеми заинтересованными сторонами. Например, вряд ли оправдано использование для больших систем модели выбора по главному критерию или по наилучшему критерию. Проводится оценка каждого варианта по совокупности критериев, исходя из принятой модели (моделей).

Определяется наилучший (предпочтительный) вариант решения. При разумном выборе моделей, обусловленном имеющимися данными, результат, как правило, не зависит от вида модели (см. § 5.3).

Этап 3. Выполнение проекта и оценка результатов.

Шаг 1. Составление сетевого графика. Определяется сетевой график выполнения проекта. Решается задача составления расписаний. Определяется продолжительность работ и затраты. Рассчитывается критический путь для наименьших затрат. Оценивается изменение расходов из-за сокращения времени выполнения проекта. Определяется оптимальная продолжительность выполнения проекта с учетом прямых и косвенных затрат (см. § 3.2).

Выполняется проект по принятому графику с учетом имеющихся возможностей.

Шаг 2. Определение последствий и результатов. Оцениваются реальные последствия (положительные и отрицательные) для внешних систем.

Оценивается степень достижения целей внешними системами. Оценивается полезность и эффективность работы проектировщика. Сопоставляются полученные результаты с ожидаемыми.

Шаг 3. Корректировка. Процедура корректировки имеет ограниченную применимость и предполагает использование метода улучшения (см. главу 1).

При проектировании технических систем, в принципе, может быть создан опытный образец, проведены его испытания и внесены улучшения в исходный проект, так что процесс носит итеративный характер. При проектировании больших систем итеративная процедура корректировки может быть применена только перед выполнением проекта путем моделирования на ЭВМ или на начальных шагах выполнения проекта. После выполнения проекта корректировка не имеет смысла, может идти речь лишь о смягчении отрицательных последствий. Применение системного подхода к проектированию позволяет избежать непредвиденных результатов. Рецепт здесь простой – учет как можно большего числа систем и их требований, что и позволяет получить надежное решение на длительную перспективу.

Таким образом, процесс проектирования системы охватывает различные аспекты: технологический, организационный, социальный, этический.

Наиболее важный вклад системного подхода к проектированию состоит в учете общественной потребности наряду с технологической, а также в акцентировании внимания на этических критериях оценки проекта.

4.2.1. Нравственные проблемы проектирования Нравственные проблемы при проектировании возникают в связи с тем, что выполнение проекта затрагивает интересы многих систем. Они существенны в той мере, в какой влияют на изменение сложившихся условий функционирования этих систем.

Состав критериев ценности проекта должен определяться на основе условий и ограничений со стороны внешних по отношению к проекту систем:

экономической, политической, технологической, социальной, природной (физической) и т.п., учитывать все срезы большой системы, в которой предполагается осуществление проекта.

Критерии полезности и их измерение. Основная этическая проблема состоит в определении критериев ценности и способов их измерения. Определение критериев полезности (ценности) зависит от уровня развития и культуры общества, мировоззрения, нравов, обычаев, традиций и привычек. Их состав должен быть полным и учитывать требования всех участников проекта, интересы которых он затрагивает. Критерии должны объединять всех участников в единую систему. Улучшение оценок критериев может быть достигнуто посредством учета как можно большего числа внешних систем, что повышает точность и достоверность оценок.

Побочные эффекты связаны с влиянием проектируемой системы (проекта) на другие системы. Необходимо учитывать как положительные, так и отрицательные последствия, в том числе и в отдаленной перспективе. Основная задача состоит в минимизации отрицательных последствий проекта.

Системный подход предусматривает, по крайней мере, три возможности:

продолжение данного проекта, переход к альтернативному проекту с той же целью, смена цели (направления) и переход к проблемам более общей системы.

Производимые изменения. Люди крайне чувствительны к своей функции выбора и противятся «навязыванию» им чужого мнения. Поэтому крайне важен баланс «силы управляющего воздействия» и «свободы обсуждения». Если использовать администрирование, то возрастает сопротивление проекту. Если же не заниматься убеждением заинтересованных систем, не обсуждать с ними достоинства и недостатки проекта для каждой конкретной системы (и других систем), то снижается заинтересованность. И в том, и в другом случае возникает отчуждение между системами, и большая система оказывается расчлененной на отдельные несвязные части. В итоге проект может быть поставлен под угрозу или реализуется не в полной мере. Помочь в решении этой этической проблемы может искренность проектировщиков, предоставление объективной информации о проекте, информирование о скрытых недостатках проекта, альтернативных возможностях достижения цели.

Поставленные цели. Обсудим этические проблемы, которые возникают при целеполагании. Необходимо иметь в виду, что все начинания людей, какими бы благими они ни казались на первый взгляд, имеют изъяны. Происходит это потому, что человек привык мыслить и действовать в рамках привычных усвоенных им моделей (идей). Реальность же часто не укладывается в рамки моделей. Возникает конфликт между тем, что есть (реальность) и тем, что должно быть (идея). Этот конфликт и создает этические проблемы. Он сам является основной этической проблемой, так как первоначально благие цели приводят к совершенно иным результатам. Наблюдаются две крайности. Одну можно назвать прожектерством, когда модели (идеи), положенные в основу проекта, выходят за рамки возможного. Вторую крайность можно назвать филистерством (узкий, ханжеский, обывательский взгляд на реальность), когда те же модели (идеи) являются «чересчур односторонними», «узколобыми» и не выходят за рамки трюизмов (избитых истин). Здесь подтверждается известное изречение, что «крайности сходятся», так как обе они обусловлены слабой связью с реальностью, определяемой условиями и ограничениями со стороны внешних систем. Первая из них соответствует заниженной самооценке, а вторая – завышенной.

Руководители. Этическая проблема здесь состоит в ответственности руководителя и солидарной ответственности проектирующей системы перед другими системами. Она включает следующие аспекты: ответственность за результат проектирования; ответственность перед обществом; ответственность за использование ресурсов; ответственность за охрану интересов потребителей.

Ответственность за результат. Здесь опасность состоит в возникновении у руководителя разрыва между словом и делом, имеющего в своей основе расхождение принятой модели (идеи) с реальностью (тем, что есть в действительности). Постепенно нарастая, такое расхождение приводит к подмене первоначальной (благородной) цели и появлению скрытых (теневых) целей (получение дополнительного финансирования, односторонних преимуществ, поддержание престижа системы и т.п.). Другая опасность состоит в сговоре руководителя и подчиненных для реализации теневых целей.

Она имеет в основе непонимание (ложное понимание) проектирующей системой своего места в общей системе, придание работе по проектированию самостоятельной, самодовлеющей значимости вместо подчиненной, обеспечивающей роли, выполняемой для удовлетворения требований внешних систем.

Ответственность перед обществом. Основная опасность здесь состоит в ложном понимании пользы, как «получения выгоды, прибыли для проектирующей системы». Тем самым долгосрочные интересы приносятся в жертву краткосрочным. Подоплека этого состоит в различии жизненных циклов системы и общества, поэтому создается иллюзия, что система может существовать сама по себе, и ей нет необходимости «заглядывать далеко вперед», достаточно успеть решить свои корпоративные задачи.

Использование ресурсов. Этическая проблема связана с разумным использованием всех типов ресурсов: материальных, энергетических, людских (физических и интеллектуальных), информационных, природных, космических.

Существует опасность двоякого рода: с одной стороны – нехватка ресурсов, которая стимулирует расхождение первоначально принятой модели (идеи) с реальностью, с другой – избыток ресурсов и их расточительство, что приводит к неэффективным, некачественным решениям, т.е. опять к расхождению идеи с реальностью. Подоплека этой проблемы состоит в том, что сообщество людей является открытой системой, которая может существовать только за счет окружающей среды (природной, космической).

Ответственность за охрану интересов потребителей. Собственно, проблема здесь созвучна проблеме ответственности перед обществом, так как потребители – его неотъемлемая часть. Специфика связана с ответственностью проектирующей системы в кратко- и долгосрочной перспективе за ненанесение ущерба потребителям.

В виде примера этических проблем рассмотрим побочные эффекты строительства кольцевой дороги вблизи крупного города. Исходные положительные цели проекта предполагают:

– разгрузить центральные районы города от потоков автотранспорта;

– улучшить экологическую ситуацию в центральных районах города;

– сократить время доставки продукции;

– повысить доходы автотранспортных компаний, предприятий-поставщиков и предприятий-получателей продукции;

– повысить деловую активность в сфере строительства дорог, повысить занятость, создать новые рабочие места;

– повысить доходы города за счет отчислений предприятий, связанных с использованием дороги;

– создать дополнительные удобства владельцам автотранспорта;

К отрицательным последствиям проекта следует отнести:

– загрязнение среды обитания горожан (воздуха, почвы и т.д.) и создание смога вокруг и внутри города;

– увеличение транспортной нагрузки на периферийные районы города;

– создание неудобств жителям вблизи кольцевой дороги, повышение уровня шума, загрязнение, ухудшение ландшафта и его видовых характеристик;

– выведение значительных территорий из сферы полезного землепользования (отдых, строительство домов и коттеджей, сельхозугодия);

– создание «пробок» в городе за счет концентрации потока машин по нескольким магистралям и их недостаточной пропускной способности;

– затраты на рекультивацию земель после строительства, защитные мероприятия по ликвидации неудобств жителям; уборку дороги, территории вблизи дороги и в городе; эксплуатационные расходы;

– повышение социальной напряженности из-за неудобств жителям (переселение, ухудшение обстановки, дискомфорт);

– увеличение времени доставки и удорожание товаров из-за загруженности и пробок на кольцевой дороге и магистралях въезда в город;

– дополнительные затраты на создание жилья и условий работы и быта строителей, необходимость строительства терминалов и складских помещений;

– урбанизация периферийных районов города из-за повышения плотности населения.

Планирующие организации и проектировщики должны оценить с учетом побочных эффектов насколько удастся реализовать заявленные цели. Для этого при обсуждении целесообразности строительства и самого проекта необходимо учитывать следующие системы:

– заказчики (муниципальные власти);

– исполнители (строительные фирмы и субподрядчики);

– обеспечивающая система (научно-исследовательские институты, фирмы, производящие оборудование и технологии);

– фирмы-производители и получатели перевозимой продукции;

– потребители дороги (автомобилисты, транспортные предприятия);

– население города и области;

– природная среда.

4.3. Информационный аспект изучения систем Информация, понимаемая как сведения о состоянии окружающей среды, крайне важна для поведения (функционирования) систем, их изучения и управления ими. Естественно, что, имея полную информацию, легче изучать систему и производить в ней необходимые изменения, так как можно заранее предвидеть последствия манипуляций. Этим объясняется стремление сделать систему закрытой, т.е. обеспечить замыкание системы и рассматривать ее как замкнутую. Неживые системы можно изучать в стационарных или квазистационарных условиях, в которых характерные свойства системы определены. Для высокоорганизованных систем (живых, социальных) такой подход неприемлем, так как не позволяет определить характерные свойства системы. Эти системы являются динамическими, развивающимися, и понятие стационарного состояния малопригодно для их изучения и управления ими.

Большинство систем являются открытыми, поэтому для обеспечения «замыкания» следует рассматривать их как часть более общей системы «объект–среда», где под объектом понимается изучаемая система, а под средой – внешние системы, взаимодействующие с данной. Такая общая система является замкнутой или, точнее, относительно замкнутой, так как мы не в состоянии учесть все связи, а только те, которые наиболее важны для достижения заданных целей. Изучение поведения такой общей системы позволяет установить существенные отношения между ее частями и разумно управлять объектом. Для неживых систем средой являются природные процессы, происходящие на Земле и в атмосфере, внешние условия. Для технических систем – физическая среда, условия эксплуатации. Для живых систем – среда обитания, т.е. природная среда, условия жизни. Деятельность людей оказывает влияние на все типы систем: для неживых и технических систем это связано с их использованием, для живых систем с изменением среды обитания, климата не только в локальном, но и в глобальном масштабе. Для социальных систем средой являются в основном другие социальные системы, их связь с природной средой проявляется опосредованно. Таким образом, в сложных системах поведение определяется эволюцией системы под влиянием общих закономерностей, присущих данному типу систем, и действиями (решениями) людей. Правильно понятые тенденции, присущие природе изучаемой системы, способствуют ее развитию в нужном направлении и снижению отрицательных последствий. Поэтому недостаточная или неправильная информация может привести к изменению свойств системы, нарушить ее функционирование. Основоположник кибернетики Н.Винер осуществил математическую разработку теории, которая показала, что управление в системе зависит от имеющейся информации.

Объем информации, необходимый для изучения системы, характеризуется четырьмя основными ситуациями: определенность, риск, неопределенность, нечеткость (неясность). Значение перечисленных понятий в данном случае определяется тем, какие данные имеет в своем распоряжении ЛПР, и тем, как он воспринимает реальность. В условиях определенности ЛПР имеет полную информацию о множестве допустимых альтернатив (исходах, результатах, решениях) и о состояниях окружающей среды. В условиях риска известны результаты и относительная вероятность возможных состояний среды. В условиях неопределенности результаты также известны, но нет сведений о вероятности состояний среды. Мы имеем дело с четко определенным явлением, но не знаем, произойдет оно или нет. В условиях неясности событие определено нечетко и его трудно классифицировать.

Рассмотрим первые три ситуации на примере. Возьмем простой случай, когда ЛПР делает выбор между А1 (брать плащ) и А2 (не брать плащ), если известны два состояния среды (природы), например, S1 и S2 – дождь или без осадков соответственно. Допустим, что ЛПР может приписать значения полезности (ценности) каждому результату, например, в десятибалльной шкале.

Могут возникнуть четыре ситуации: A1, S1 – дождь и плащ (оценка 6); A1, S2 – без осадков и плащ (оценка 1); A2, S1 – дождь и без плаща (оценка 0); A2, S2 – без осадков и без плаща (оценка 9). Этим ситуациям приписаны относительные значения полезности 6, 1, 0 и 9, где 0 – означает худший результат.

В условиях определенности состояния среды (природы) известны, т. е. ЛПР знает, идет дождь или нет, и действует соответствующим образом. В условиях риска известна вероятность того или иного состояния. Допустим, что вероятность дождя – 0,6, а того, что его не будет – 0,4. В этом случае ЛПР стремится выбрать решение, которое максимизирует «ожидаемую выгоду»

(выигрыш). Как показывает простое вычисление, ожидаемая полезность А больше чем А2. Действительно, ожидаемая выгода в условиях риска для A равна 0,66+0,41=4, а для А2 она составит 0,60+0,49=3,6.

В условиях неопределенности вероятности состояний неизвестны и ЛПР должен использовать различные правила или критерии. Причем выбор связан во многом со стилем мышления ЛПР. К таким критериям относятся:

– критерий равного правдоподобия (т. е. всем событиям приписывается одинаковая вероятность);

– критерий минимакса (ЛПР минимизирует свои максимальные потери);

– среднее взвешенное всех выигрышей;

– критерий Гурвица (приписывает субъективные веса «оптимизм» и «пессимизм» максимальному и минимальному результатам каждого выбора) и т. п. Например, для критерия равного правдоподобия каждому состоянию приписываются значения вероятности 0,5. Ожидаемая выгода от выбора А равна 3,5, а от выбора А2 равна 4,5, т.е. выбор А2 более предпочтителен.

Рассмотрим отдельно четвертую ситуацию – неясности (нечеткости). Во всех предыдущих случаях мы предполагали, что множество исходов четко разделено на два непересекающихся множества, объединение которых обеспечивает замыкание. Могут существовать лишь две возможности: есть дождь или нет. Другие промежуточные состояния исключаются, т. е. действует принцип исключенного третьего. Иными словами, мы заменили неопределенные высказывания точными. Предположим, что прогноз сформулирован менее определенно «Утром возможен кратковременный дождь»

или «В течение дня временами слабый дождь» и т.д. Эти высказывания содержат неясные (нечеткие) понятия: «утром», «кратковременный», «в течение дня», «слабый», « временами», «возможен». Отметим, что нечеткость может относиться и к оценке вероятности состояния среды, например «вероятность дождя высокая» или «дождь маловероятен» и т.д. Примерами нечетких понятий могут служить также понятия «молодой», «высокий», «богатый» и т.д. В реальных ситуациях мы часто пользуемся такими понятиями, которые имеют смысл нечетких словесных оценок (высказываний).

Для их формализованного представления американский математик Л.Заде разработал теорию нечетких множеств.

Таким образом, уровень информации о системе и окружающей среде весьма важен при исследовании системы, управлении и принятии обоснованных решений. Информацию принято характеризировать с количественной и качественной сторон. К количественным характеристикам относятся объем входных данных, размерность данных, функция сложности, количество информации. Количество информации определяется как мера уменьшения неопределенности некоторой ситуации вследствие того, что становится известным исход другой ситуации. Качество информации характеризуется такими свойствами, как точность, полнота, достоверность (надежность), однозначность, согласованность и т.п. В сложных больших системах приходится сталкиваться с ситуацией, когда имеющаяся информация недостаточна либо неточна (недостоверна). В этом случае говорят о ее неполноте или нечеткости.

Энтропия и информация. Понятие информации оказывается тесно связанным с такими понятиями, как энтропия, разнообразие, ограничения.

Энтропия определяется как мера неопределенности случайной ситуации, т. е.

энтропия и количество информации являются взаимодополнительными понятиями. Н.Винер выразил это следующими словами: «Как количество информации в системе есть мера организованности системы, точно так же энтропия – мера дезорганизованности системы. Одно равно другому, взятому с обратным знаком».

Разнообразие можно определить, как количество различных возможностей или элементов в некотором множестве. Очевидно, чем больше разнообразие, тем шире выбор элементов и тем меньше вероятность (возможность) выбора каждого из них. Энтропия, неопределенность и дезорганизованность увеличиваются с ростом разнообразия, но с увеличением степени организации разнообразие уменьшается.

Ограничения. Мир без ограничений был бы всеобщим хаосом. Ограничения устанавливаются действующими в данной предметной области (части мира) законами. Множество элементов со связями всегда подчинено определенным закономерностям, вытекающим из характера отношений между элементами.

Хаотические скопления элементов с течением времени развиваются так, что уменьшается разнообразие и проявляется тенденция к связности и кооперативному поведению. Эти процессы изучает синэргетика – наука о кооперативном поведении систем и их элементов (от греческого глагола – сотрудничать, содействовать, соединять). Организация и наложение ограничений, таким образом, уменьшают хаос и разнообразие. Использование информации выполняет «избирательную функцию» среди допустимых вариантов системы путем уменьшения числа ее степеней свободы, т.е. в конечном счете сокращает пространство поиска и уменьшает время выбора.

Количество информации. Под информацией понимают сведения любого рода. Информация состоит из сообщений, а сообщения из сигналов. Сообщение определяется как форма представления информации (текст, речь, изображение, цифровые данные, электрические колебания и т.п.). Сигналом называется форма представления информации для передачи по каналу. Обычно на множестве сигналов задано распределение информации, которое можно использовать для передачи сообщений. Каждый сигнал может содержаться в сообщении с определенной вероятностью, которая зависит от структуры используемого языка. Неопределенность в этом случае характеризуется энтропией распределения вероятностей, которая определяется как мера неопределенности распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Обратные связи. В общих системах «объект – среда» механизмы поддержания динамического равновесия осуществляются посредством обратных связей. Обратные связи отражают и поддерживают, с одной стороны, эволюционные изменения, обусловленные внутренней логикой развития системы и опытом предшествующих поколений, а с другой – «директивные»

изменения, определяемые условиями и ограничениями со стороны внешних систем. Это верно как для компонентов внутри общей системы, так и для самих общих систем при рассмотрении их поведения и взаимодействия. В системах используются два типа обратной связи – отрицательная и положительная.

Отрицательная связь уменьшает выходной сигнал при увеличении сигнала на входе, положительная – увеличивает. Отрицательная связь выполняет функцию саморегулирования системы и способствует ее адаптации к внешним возмущениям. Положительная связь выполняет функцию распространения возмущений и способствует переходу системы в возбужденное состояние (в новое качество).

На действие обратной связи оказывают влияние характерные свойства систем, из которых следует отметить наличие «предыстории», т.е. зависимость настоящего системы от прошлого, и возникновение нелинейностей, обусловленных разного рода запаздываниями, задержками, порогами и ограничениями сигналов в системе. Когда эти факторы действуют совместно, то могут привести к необратимым последствиям и потере устойчивости.

Перечисленные особенности проявляются в общих системах для всех типов объектов (неживые, биологические, социальные), но конечно в разной мере и разными способами. Неживые системы, например, обладают специфической памятью, так как воздействия внешних полей (тепловых, электромагнитных и т.п.) оставляют след в системе. Неживые системы подвержены эволюционным изменениям, но последние следует относить к классу систем данного рода. Для живых и социальных систем эти особенности характеризуют не только род, но и каждую отдельную систему. Зависимость настоящего от прошлого для неживых систем проявляется в форме необратимых, неравновесных процессов, происходящих скачкообразно в течение больших интервалов времени и ведущих к разрушению системы. Для живых и социальных систем эти процессы протекают непрерывно и составляют содержание жизни, основу их существования.

Для описания динамического равновесия в общих системах используется понятие гомеостаза (термин из биологии) и гомеостатического равновесия (набор правил поведения для поддержания системы в устойчивом состоянии).

При воздействии на сложную систему необходимо учитывать ряд факторов:

– хрупкое равновесие, сбалансированность (внутреннюю и внешнюю) системы, нарушение которых делает ее уязвимой;

– последействие, обусловленное пространственной и временной памятью системы, которые увеличивают риск непредвиденных последствий (так называемый накопленный эффект);

– подвижность границ области устойчивости системы и невозможность точно предсказать последствия воздействий на живучесть системы.

В свете сказанного при проведении изменений в сложных системах основное внимание нужно уделять минимизации неожиданных и пагубных последствий от возможных действий, а не достижению результата любой ценой, что смещает приоритеты от увеличения эффективности к обеспечению (поддержанию) живучести системы.

Выбор управляющих воздействий. С понятием динамического (квазидинамического) равновесия связано представление о том, что управление системой должно состоять в поддержании ее в определенных границах устойчивого равновесия на гомеокинетическом плато. Для каждой системы существует некоторая область допустимых управляющих воздействий.

Как недостаточное, так и чрезмерное управление может вывести систему из состояния равновесия в нестабильное состояние. При недостаточном управлении ослабевают основные отношения (связи) между частями системы, и она распадается на несвязные части, перестает существовать как целое. При чрезмерном управляющем воздействии на систему возрастает сопротивление системы управлению, что приводит к нарушению связей со средой и в конечном счете к разрушению системы.

Информационный аспект управления определяется законом необходимого разнообразия Эшби, который основан на математической теории связи К.

Шеннона. Данный закон постулирует необходимость соответствия информации, поступающей от изучаемой системы, возможностям управляющей системы (например, ЛПР) по ее обработке, и ограничить многообразие в поведении системы, вне зависимости от внешних помех можно, только увеличив многообразие управлений.

Вопросы, изложенные в этом разделе, рассмотрены в [1, 2, 3, 5, 7, 11, 12, 13].

1. Что такое декомпозиция систем и для чего она используется?

2. Как строится дерево целей?

3. Какие критерии используются при определении размеров дерева?

4. Из каких шагов состоит алгоритм декомпозиции?

5. Какие уровни выделяют при декомпозиции?

6. Объясните на примере, как строится дерево решений?

7. Из каких шагов состоит процесс проектирования систем?

8. Какие проблемы относятся к нравственным проблемам проектирования?

9. Чем обусловлены побочные эффекты при проектировании?

10. Какие модели выбора используются в различной информационной среде?

11. Какие количественные и качественные характеристики информации важны для системы?

12. Какую пользу дает информация при функционировании системы?

13. Что такое живучесть системы?

14. Какие механизмы использует система, чтобы остаться в области устойчивости с окружающей средой?

15. Какие факторы нужно учитывать при управлении системой и определении управляющих воздействий?

16. Объясните, как используется в управлении системой закон необходимого разнообразия Эшби?

5.1. Классификация задач принятия решений.

Под принятием решения понимается выбор одного или нескольких вариантов решения проблемы из некоторого исходного множества допустимых вариантов. Это множество будем называть множеством альтернатив X, а любое решение x из него – альтернативой, x X. Поэтому часто задачу принятия решений называют задачей выбора. Исходное множество альтернатив может быть правильно сформировано только на основе условий и ограничений со стороны внешних систем, которые затрагивает решаемая проблема. Если ЛПР не учитывает требования внешних систем, то множество альтернатив оказывается неполным, а выбор ограниченным, и хорошего решения получить не удается. Последствием принятия решения назовем событие (исход), необходимость или возможность появления которого определяется данным решением. Соответственно говорят о необходимых или возможных последствиях. Под возможными последствиями, как правило, подразумеваются часто повторяющиеся и не противоречащие логике последствия. Полезно оценивать и случайные (неопределенные) последствия. В этом случае для оценки вероятности (возможности) их наступления используется теория вероятностей (например, распределение Пуассона для определения вероятности наступления редкого события) или теория нечетких множеств. Последствия должны определяться для всех систем, которые затрагивает данное решение.

Необходимо учитывать, что любое решение вызывает как положительные, так и отрицательные последствия.

На принятие решения влияет система предпочтений, определяемая как совокупность правил, устанавливающих приоритеты при выборе из множества альтернатив. Решением называется подмножество множества альтернатив, образованное на основе системы предпочтений. Это подмножество может содержать одну или несколько альтернатив или может быть пустым, если не удается выполнить все требования. Лицо, принимающее решение (ЛПР) – субъект, задающий приоритеты, в интересах которого принимается решение.

Как правило, ЛПР стремится получить наилучшее (оптимальное, удовлетворительное), с его точки зрения, решение. Под наилучшим решением мы будем понимать решение, множество отрицательных последствий которого минимально по сравнению с другими альтернативами. Выбор решения зависит от информации, имеющейся у ЛПР о данной предметной области, т.е. о множестве альтернатив и состоянии окружающей среды, а также от того, как он устанавливает приоритеты, т.е. от его стиля мышления, стратегии поведения.

Например, один любит рисковать, другой чрезмерно осторожничает, третий предпочитает “золотую середину” и т.п. Таким образом, ЛПР обладает некоторой свободой выбора. Однако если он не учитывает особенности решаемой проблемы, ее влияние на внешние системы, то полученное решение может сильно расходиться с реальностью и привести к значительным отрицательным последствиям.

Задачи принятия решений могут различаться типом исхода, структурой предпочтений, количеством оценочных критериев, моделью оптимизации и т.п.

В общем случае задача принятия решения представима кортежем следующего вида:

где X – множество альтернатив; I – уровень информации; S – метод получения решения; K – множество критериев оценки альтернатив.

Множество альтернатив зависит от имеющейся базы знаний, новизны задачи, типа проблемной ситуации. Метод получения решения зависит от имеющейся информации о задаче и включает способ выбора альтернатив, определяемый структурой предпочтений ЛПР, и метод принятия решений, обусловливающий способ агрегирования критериев. В частности, способ выбора альтернатив может предусматривать поиск наилучшего решения, удовлетворительного решения, наиболее предпочтительной альтернативы, эффективной (недоминируемой) альтернативы, возможной альтернативы, наиболее типичной альтернативы и т.п. Метод принятия решений включает такие подходы, как векторная оптимизация, использование функции полезности, интерактивное программирование и т.п. Множество критериев определяется требованиями внешних систем, степенью детализации задачи и требуемым качеством ее решения. Наиболее существенным фактором является информационная среда задачи.

В зависимости от уровня исходной информации в теории принятия решений применяются традиционно два подхода: классический и поведенческий. При классическом подходе каждый вариант решения х оценивается некоторой неотрицательной действительнозначной функцией выигрыша g(x).

Оптимальный вариант выбирается по максимуму функции g(x): x arg max g ( x).

Этот подход хорошо работает в детерминированной среде и условиях риска. В условиях неопределенности и нечеткости более предпочтителен поведенческий подход, при котором множество последствий каждого варианта s(x) сравнивается с множеством допустимых последствий при решении данной проблемы s0(x). Выбираются такие решения, для которых множество их последствий принадлежит множеству допустимых последствий:

x {x : s ( x ) s0 ( x )}. Множество допустимых последствий формирует ЛПР, исходя из условий и ограничений задачи.

Процесс принятия решений целесообразно рассматривать как систему, состоящую из некоторого набора типовых подсистем (этапов) и их элементов (процедур, действий, операций), взаимодействующих между собой, число и состав которых может варьироваться в зависимости от условий и типа решаемой задачи (класса задач). Входным элементов системы принятия решений (СПР) является информация о проблемной области (исходная информация), выходным – множество допустимых (оптимальных) решений (их реализаций). В дальнейшем мы будем отождествлять принятие решения и его реализацию.

Основными неформальными элементами СПР являются формирование множества альтернатив, оценивание альтернатив и выбор оптимальных (в определенном смысле) вариантов решения. Эти элементы рассмотрены в последующих разделах.

Под моделью принятия решений понимается процедура оценивания, помогающая делать выбор между вариантами. Основная трудность при этом возникает из-за наличия большого числа противоречивых критериев, а также их несоизмеримости. Классификация моделей может быть проведена по ряду признаков. По числу целей (способу описания объекта) различают одно- и многоцелевые модели, в зависимости от проблемной ситуации (области применения) возможны следующие типы моделей: модели компромиссов, оптимизационные модели, диагностические модели и т.п.

К одноцелевым (однокритериальным) моделям относятся модели “прибыль – издержки” и “эффективность – затраты”. К многоцелевым (многокритериальным) моделям – многомерные функции полезности и априорные модели сравнения вариантов, основанные на обработке экспертной информации, которые различаются схемами агрегирования исходных (локальных, частных) целей и критериев.

Модели компромиссов описывают способы взвешивания и оценки замен в средствах и целях и особенно существенны для сложных систем, содержащих взаимозависимые подсистемы. Обычно выделяется два типа моделей: модели, описывающие компромиссы между взаимно замещающими системами, когда одна система может быть замещена другой с точки зрения достижения целей общей системы; модели, относящиеся к компромиссам между взаимно дополнительными системами, когда одна из них дополняет (усиливает или ослабляет) другую. Оптимизационные модели в зависимости от постановки задачи и степени ее формализации включают дифференциальное исчисление, метод множителей Лагранжа, методы линейного программирования, целевое программирование, динамическое программирование, квадратичное и нелинейное программирование и т.п. Диагностические модели устанавливают способы систематического поиска неисправностей при нарушении нормальной работы системы и базируются на использовании методов распознавания образов, таксономии и классификации.

Одноцелевые модели. В этих моделях каждая альтернатива оценивается одним критерием, поэтому их называют также однокритериальными. Из одноцелевых моделей наиболее часто используются модели двух типов:

“прибыль – издержки” и “эффективность – затраты”. Применение модели ”прибыль – издержки” связано с расчетом одного экономического критерия, так называемого коэффициента стоимости c, выражающего разность или отношение между прибылью и издержками, эффективностью и затратами, входом и выходом системы и т.д. В общем случае модель “прибыль – издержки” имеет вид где с(x) – коэффициент стоимости альтернативы x ; первая сумма учитывает общую прибыль для данного варианта по всем элементам положительного воздействия; вторая сумма учитывает общие издержки по всем элементам отрицательного воздействия на достижение заданной цели. В (5.2.1) коэффициент стоимости равен разности прибыли и издержек; в некоторых случаях удобно определять его как отношение прибыли к издержкам, при этом первая сумма делится на вторую. Наилучшее решение определяется выражением т.е. наилучшим считается решение, для которого коэффициент стоимости максимален на множестве альтернатив (читается « x равно аргмаксимум по x из X c( x) »).

При использовании модели “эффективность – затраты” сравнение проводится между степенью достижения целей и затратами. Эта модель может быть представлена в виде где I (x) – индекс эффективности затрат для альтернативы (варианта решения) x, (a ( x) a 0 ) – разность между результатами (степенью достижения цели) после и до осуществления варианта x; b(x) - суммарные затраты на вариант x.

Наилучшее решение определяется выражением т.е. наилучшим считается решение, для которого индекс эффективности затрат максимален на множестве альтернатив.

Для того, чтобы расчеты по этим моделям были надежными (достоверными), нужно учитывать как можно больше составляющих прибыли и издержек для первой модели или эффекта и затрат для второй модели. Рассмотренные модели, хотя и являются упрощенными, обладают большой степенью общности и применимы к решению разнотипных задач выбора. Кроме того, они используются для нахождения компромиссов, когда решение формируется под воздействием конкурирующих факторов. Проиллюстрируем их применение на двух примерах.

Пример 1. Пусть имеется производственное предприятие (фирма, завод, фабрика и т.п.), выпускающее продукцию. Требуется определить оптимальный уровень затрат на контроль продукции. Выберем в качестве меры эффективности – точность (качество) контроля (ось абсцисс на рис. 3). По оси ординат будем откладывать затраты (издержки). Тогда если точность контроля сделать очень высокой, то возрастут прямые издержки, связанные с затратами на контроль (кривая 1); если же точность контроля сделать чересчур низкой, то возрастут косвенные издержки, связанные с возвратом продукции, гарантийным ремонтом, потерей престижа и т.п. (кривая 2). Сложение кривых и 2 дает кривую 3. Наилучшее решение по точности контроля соответствует абсциссе минимума кривой 3, а наилучшее решение по суммарным затратам – ординате минимума этой кривой.

Пример 2. Пусть имеется предприятие сферы массового обслуживания (мастерская, комбинат бытового обслуживания, магазин и т.п.). Требуется определить оптимальный уровень качества обслуживания. Отложим по оси ординат затраты, а по оси абсцисс – критерий качества обслуживания, например время обслуживания. Рассуждения проводятся аналогично. Если качество сделать очень высоким (малое время обслуживания), то сильно увеличатся прямые издержки, связанные с затратами на обслуживание (кривая 1), если же сделать его слишком низким (большое время обслуживания), то возрастут косвенные издержки, связанные с рекламациями, потерей времени клиентами и соответственно снижением дохода (кривая 2). Наилучшие решения по качеству обслуживания и суммарным затратам соответствуют координатам минимума кривой 3.

Таким образом, если учитывать только прямые издержки или только косвенные, то разумного решения получить не удается, и лишь учет обоих типов издержек приводит к правильному решению. Пример использования этой модели для определения компромиссов рассмотрен в разделе 3.5.2..

Многоцелевые модели. В этих моделях каждая альтернатива оценивается множеством критериев, поэтому они называются также многокритериальными.

К наиболее известным многокритериальным моделям относятся многомерные функции полезности, модели многомерного шкалирования, метод анализа иерархий (метод собственных значений).

Из многомерных моделей наиболее часто используются аддитивные и мультипликативные многомерные функции полезности. Функцией полезности (ценности) называется скалярная функция U, устанавливающая отношение порядка на множестве вариантов где – символ “более предпочтителен, чем”; (K1,…,Kn) – точка пространства последствий (критериального пространства). Обобщенная форма аддитивной модели полезности имеет вид где U a ( x) – функция полезности варианта x ; pi – вес фактора (критерия) i; U i ( x) – оценка полезности варианта x по критерию i.

Обобщенная форма мультипликативной функции полезности имеет вид Оценки U i ( x), как правило, получаются экспертным путем, но могут задаваться и аналитически применением подходящей аппроксимирующей функции.

Аддитивная функция слабо чувствительна к изменению свойств с малыми весами (малыми оценками полезности); мультипликативная, наоборот, сильно зависит от изменения свойств с малыми значениями оценок полезности. В теории принятия решений доказывается, что функция полезности имеет аддитивный вид, если факторы, входящие в модель, аддитивно независимы.

Функция полезности имеет мультипликативную форму, если факторы взаимно независимы по полезности. Первое требование означает фактически уверенность эксперта в том, что модель является линейной по факторам, а второе – что модель содержит взаимодействия факторов различных порядков.

На практике обычно веса pi нормализуют так, что обе формы представления оказываются эквивалентными (могут быть преобразованы друг в друга).

Многомерные модели сравнения вариантов различаются подходами к установлению весов факторов и подфакторов и схемами их агрегирования.

Стандартная процедура сравнения вариантов по многим факторам включает формулирование задачи, выбор факторов и подфакторов, построение дерева решений, назначение весов факторам и их нормализацию, назначение весов подфакторам и нормализацию весов, подсчет показателей (баллов) по всем факторам для каждого варианта, получение взвешенных оценок и суммарного числового выражения полезности для каждого варианта решения. Основные неформальные шаги в этом алгоритме – выбор факторов и подфакторов, построение дерева решений и назначение весов факторам и подфакторам.

5.3. Методы решения многокритериальных задач выбора Многокритериальная задача выбора формулируется в следующем виде. Дано множество допустимых альтернатив, каждая из которых оценивается множеством критериев. Требуется определить наилучшую альтернативу. При ее решении основная трудность состоит в неоднозначности выбора наилучшего решения. Для ее устранения используются две группы методов. В методах первой группы стремятся сократить число критериев, для чего вводят дополнительные предположения, относящиеся к процедуре ранжирования критериев и сравнения альтернатив. В методах второй группы стремятся сократить число альтернатив в исходном множестве, исключив заведомо плохие альтернативы.

К методам первой группы относятся метод свертки, метод главного критерия, метод пороговых критериев, метод расстояния. Следует отметить, что строгое обоснование этих методов отсутствует и их применение определяется условиями задачи и предпочтением ЛПР.

Метод свертки состоит в замене исходных критериев (их называют также локальными или частными) Kj одним общим критерием K. Эта операция называется сверткой или агрегированием частных критериев. Метод целесообразно применять, если по условиям задачи частные критерии можно расположить по убыванию важности так, что важность каждой пары соседних критериев различается не сильно, либо, если альтернативы имеют существенно различающиеся оценки по разным критериям. Наиболее часто используются аддитивная, мультипликативная и максминная свертки.

Аддитивная свертка (от англ. addition – сложение) имеет вид где K (x) – общий критерий для альтернативы x X, показывающий ее пригодность для достижения цели; K j x 1 – набор исходных критериев; n – число исходных критериев; a j – относительный вес (важность) частного критерия K j. Для весов выполняется условие нормировки j необходимо, чтобы результаты, полученные в разных условиях, были сопоставимы. Наилучшее решение определяется выражением т.е. наилучшим считается решение, которому соответствует максимум общего критерия на множестве альтернатив.

Мультипликативная свертка (от англ. multiplication – умножение) применяется в двух формах:

или где – знак произведения. Первая из этих форм используется гораздо чаще, чем вторая. Наилучшее решение определяется выражением Максминная свертка (выбор по наихудшему критерию) имеет вид Эта свертка учитывает критерий, имеющий наименьшее значение. Иногда при ее применении полагают, что веса критериев близки друг к другу, либо все критерии имеют одинаковую важность, т.е. a j const ( j ) 1/ n. В этом случае она называется сверткой без учета веса критериев и принимает вид причем множитель 1/ n не имеет значения, так как сравнение альтернатив выполняется в шкале порядка. Наилучшее решение определяется выражением (5.3.5). Подставив в (5.3.5) выражение (5.3.6), получим поэтому эту свертку называют по основным операциям максминной.

Использование того или иного типа свертки отражает представление ЛПР о стратегии (способе достижения целей).

Метод пороговых критериев часто применяется в задачах обеспечения (удовлетворения), например при планировании и проектировании, когда ограничения задаются в виде где K j 0 x – пороговые значения критериев. Их совокупность обычно характеризует некоторый аналог (базовый уровень). Образуем свертку тогда наилучшее решение определяется выражением вида (5.3.5).

Метод главного критерия. Если исходной информации достаточно, чтобы из множества исходных критериев K j x выделить главный (основной) K 0 ( x), т.е. такой, который значительно превосходит по важности все другие критерии (на практике в три и более раз), то наилучшее решение определяется в виде при дополнительных условиях K j ( x) K jпорог для всех остальных критериев, т.е.

их значения должны быть не меньше некоторых пороговых значений.

Метод расстояния состоит во введении метрики (расстояния) в пространстве критериев. Пусть исходной информации достаточно, чтобы определить “идеальное” (эталонное) решение, соответствующее точке абсолютного максимума в пространстве критериев. Обозначим ее, как x0 ( K 01,..., K 0 n ). Отметим, что идеальное решение на практике не достижимо и определяется лишь теоретически. Введем для каждой альтернативы x X расстояние до точки абсолютного максимума d (x ). Наилучшее решение определяется как наиболее близкое к идеальному В качестве меры расстояния используются различные функции, например, Махалобиса, Минковского. При использовании функции Минковского или с учетом веса критериев При p 1 получаем расстояние Хемминга, при p 2 – евклидово расстояние, при p – расстояние по максимальному различию, при p – расстояние по минимальному различию. Выбор параметра p зависит от условий задачи и предпочтений ЛПР. Отметим, что если в качестве идеального решения использовать не абсолютный максимум, а абсолютный минимум, то в выражении (5.3.12) операция min изменится на операцию max. Обзор методов многокритериальной оптимизации можно найти в [1, 2, 6, 11, 12].

Построение множества Парето. Наряду с методами первой группы, использующими свертку в пространстве критериев, применяются методы второй группы, основанные на сужении множества альтернатив, в которых пытаются уменьшить число возможных вариантов решений, исключив заведомо плохие. Один из подходов, обладающий большой общностью, был предложен итальянским экономистом В.Парето в 1904 г. и называется методом, основанным на принципе Парето или, коротко, методом Парето. (Имеется и еще один метод Парето для оценки качества, но путаницы здесь не возникнет, так как мы его касаться не будем). Он применяется, когда число альтернатив велико и альтернативы имеют противоречивые оценки по разным критериям. В этом случае применение методов первой группы может привести к ненадежным решениям и необходим неформальный анализ множества альтернатив. Для уменьшения числа альтернатив исходного множества строят множество Парето, являющееся подмножеством исходного. Определим множество Парето в виде т.е. альтернатива принадлежит множеству Парето, если она не хуже других по всем критериям и хотя бы по одному критерию лучше. Альтернативы из множества Парето называются парето-решениями, эффективными или недоминируемыми (непревосходимыми) альтернативами. При решении многокритериальных задач используется принцип Парето, заключающийся в том, что наилучшее решение следует выбирать среди альтернатив, принадлежащих множеству Парето. Этот принцип выполняется в большинстве практических ситуаций, когда альтернативы оцениваются по противоречивым критериям. Он позволяет сузить исходное множество альтернатив, причем окончательный выбор остается за ЛПР. Альтернативы, входящие в множество Парето, попарно не сравнимы друг с другом, т.е. по одним критериям лучше одна альтернатива, по другим другая и т.д., и их невозможно улучшить одновременно по всем критериям. Поэтому анализ множества Парето позволяет найти компромисс между противоречивыми требованиями и дает ЛПР возможность судить о том, какова “цена” увеличения одного из критериев и как это скажется на ухудшении остальных. Построение множества Парето является необходимым при решении многокритериальных задач выбора в системах (управление, проектирование промышленных и транспортных объектов и т.п.).

Отметим еще одну важную особенность альтернатив из множества Парето:

каждая из них представляет целый класс (группу) решений, превосходящих остальные по одному или нескольким критериям. Поясним это примером.

Пусть имеется учебная группа (множество альтернатив), требуется выбрать наилучшего студента (альтернативу) по ряду критериев, например сообразительность, успеваемость, манера поведения, внешний вид, умение выражать свои мысли и т.п. Предположим, что студент x1 – самый сообразительный, а по остальным критериям не выделяется. Студенты x2, x3, x4, x5 имеют высокие значения остальных критериев, так, что они в среднем превосходят x1, причем x2 лучше всех по успеваемости, а по остальным критериям не хуже других студентов. Тогда x1 обязательно попадает в множество Парето, так как он уникальный (единственный) по первому критерию, а от группы студентов x2 … x5 в Парето попадает один представитель – x2, хотя остальные студенты превосходят x1 по нескольким критериям (число критериев здесь не имеет значения).

После того, как построено множество Парето, для определения наилучшего решения из оставшихся применяются в зависимости от условий задачи методы первой группы: метод свертки, метод главного критерия и т.п. либо графические методы, например метод диаграмм.

Решение многокритериальных задач выбора еще более усложняется, если изучаемая система взаимодействует с окружающей средой. В этом случае решение зависит от так называемых неконтролируемых параметров. Например, для измерительных систем это могут быть влияющие величины (температура, влажность, давление и т.п.), для транспортных – погода, состояние дороги и т.п.

Неконтролируемые изменения состояния окружающей среды являются дополнительным источником неоднозначности выбора наилучшего решения.

Рассмотрим две полярные стратегии выбора наилучшего решения, позволяющие получить обоснованные решения.

Стратегия, основанная на принципе наихудшей реакции окружающей среды (метод гарантированного результата). Метод применяется, когда среда ведет себя непредсказуемо или враждебно (природная среда, противник). В этом случае определить наилучшее решение не представляется возможным, так как неизвестно поведение среды, но можно определить так называемое гарантированное решение, которое справедливо при любом состоянии среды.

Обозначим – неконтролируемый параметр, характеризующий состояние окружающей среды (он может быть векторным), G, где G – некоторое множество, например интервал значений. Тогда, частные критерии K j и общий критерий K будут зависеть от параметра, т.е. K j K j ( x, ), K K x,.

Принцип наихудшей реакции среды распространяет схему выбора по наихудшему критерию (максминную свертку) на случай влияния окружающей среды. Альтернатива выбирается из условия где K ( x, ) – общий критерий, получаемый сверткой по исходным (частным) критериям. Решение, даваемое (5.3.16), называется гарантированным результатом, так как при любом значении параметра гарантируется получение критерия не меньшее, чем min K(x,). Надежность такого решения равна 1, т.е. ЛПР не рискует, принимая его. Полученный результат может быть улучшен, если исходная информация позволяет сделать предположение о значении параметра (состоянии среды), что связано с определенным риском, так как предположение может не оправдаться.

Подход, основанный на принципе равновесия (принципе Нэша). Часто действия окружающей среды являются целенаправленными, например, это имеет место для систем, включающих субъектов, причем каждая из систем стремится достичь своей цели. Случай несогласованности целей субъектов называется конфликтом. Такая ситуация характерна для теории игр. При анализе конфликтов со многими субъектами одна из важных проблем – это проблема коллективных решений, или компромисса. Для принятия решений в таких системах сохраняет свое значение принцип Парето. Эффективные альтернативы, принадлежащие множеству Парето, обладают тем свойством, что улучшить значение целевой функции (критерия) какого-либо субъекта можно только за счет других субъектов. Наряду с принципом Парето широко используется принцип равновесия, называемый также принципом устойчивости, или принципом Нэша. Этот принцип позволяет сузить множество альтернатив, когда речь идет о коллективном решении, принимаемом всеми взаимодействующими субъектами по договоренности, при этом каждый поступается частью своих интересов. Определим равновесное решение как такое, которое принимается всеми субъектами одновременно, по договоренности. Пусть имеется N субъектов, каждый из которых может выбирать свое решение (стратегию) x l X l так, чтобы максимизировать свой критерий K l. Значение критерия при этом зависит от выбора других субъектов, т.е. K l K l ( x (1),..., x (l ),..., x ( N ) ). Решение x0 x0 (1),..., x0 (l ),..., x0 ( N ) называется равновесным, если для любого l выполняется условие Равновесное решение можно назвать устойчивым, так как если субъект l отступит от своего равновесного решения, т.е. выберет стратегию x (l ) x0, то при условии, что остальные субъекты сохранят свой выбор, он проиграет.

Принцип Нэша как раз и состоит в том, что наилучшие решения принадлежат множеству равновесных решений. Однако следует отметить, что равновесные решения в общем случае не являются эффективными и наоборот. Например, если решение принимается всеми субъектами независимо, то их выбор вряд ли будет устойчивым. Кроме того, и при одновременном решении часть субъектов может выбрать иное решение (например, эффективное), что даст им преимущество перед остальными. Таким образом, метод равновесия эффективен при сужении множества альтернатив в закрытых системах, когда равновесные решения одновременно принадлежат множеству Парето. Это бывает весьма редко, так как большинство систем являются открытыми и для них эффективные альтернативы являются неустойчивыми, а устойчивые – неэффективными.

Рассмотренные выше методы основаны на критериальном описании задачи выбора, при котором каждая альтернатива представлена точкой в пространстве критериев. Помимо критериального описания оптимизационной задачи используется также теоретико-множественное описание, оперирующее понятиями функции выбора и бинарного отношения. Функцией выбора на множестве альтернатив X называется оператор C, т.е. функция c областью определения X и областью значений 2X, устанавливающая соответствие между множеством X и множеством всех его подмножеств 2X, удовлетворяющий соотношению C ( X ) X. Отсюда следует, что функция выбора не расширяет множество альтернатив.

Рассмотрим примеры функций выбора, у которых X R n, где R n – n мерное критериальное пространство. Предполагается, что множеству альтернатив соответствует эквивалентное описание в критериальном (факторном) пространстве.

Функция выбора по Парето определяется в виде т.е. альтернатива x выбирается, если любая другая альтернатива y из множества X имеет хотя бы по одному критерию значение меньше чем x.

Функция локально-экстремального выбора записывается в виде т.е. альтернатива x выбирается, если она имеет максимальное значение хотя бы по одному критерию. Очевидно, что C ЛЭ ( X ) С ( X ).

Функция оптимального выбора имеет вид где u : x R1 интерпретируется как функция полезности. Если X R n ; u (x) – Обычно выбор осуществляется на основании информации о попарных сравнениях объектов (альтернатив), формализуемой введением понятия бинарного отношения. Пусть X – исходное множество. Подмножество R X X называется бинарным отношением и записывается в виде ( x, y ) R или xRy, где При решении задачи выбора используется аппроксимация отношения на исходном множестве альтернатив другим отношением, основанным на ряде предположений о характере предпочтений. При этом аппроксимирующее отношение может быть как менее сильным (когда исходное множество недостаточно представительно), так и более сильным (когда исходное множество слишком велико). В первом случае ряд ограничений снимается, во втором случае – вводятся дополнительные ограничения. Наиболее типичный случай сильной аппроксимации, когда отношение задается изотонной функцией, т.е. сохраняющей расстояние. В этом случае задача выбора сводится к задаче поиска экстремума функции.

Существенное значение при решении многокритериальной задачи имеет обеспечение необходимых свойств аппроксимирующего отношения, что связано с выбором меры различия в факторном пространстве. Обычно используются такие свойства бинарных отношений как транзитивность, рефлексивность, симметричность, что позволяет ввести меру расстояния.

Бинарное отношение транзитивно, если из xRy и yRz следует, что xRz.

Примерами транзитивных отношений являются отношения строгого порядка (больше, меньше, хуже и т.п.); примером нетранзитивных отношений являются отношения сходства или несходства. Отношение R рефлексивно, если для всякого x X : xRx. Если же ни для одного x это не выполняется, то отношение называется антирефлексивным. Примерами рефлексивного отношения являются отношения нестрогого порядка (не больше, чем; не меньше, чем; не лучше, чем и т.п.), подобия, сходства, а примером антирефлексивного отношения – строгий порядок. Если для x, y X : xRy yRx, то бинарное отношение называется симметричным. Если условие не выполняется ни для какой пары ( x, y ), x y, то отношение антисимметрично. Примерами симметричного отношения являются отношения подобия, сходства, а несимметричного – строгий порядок. Отношение Парето, определенное выше, транзитивное, антирефлексивное и антисимметричное. Полезным свойством отношения является цикличность, облегчающая построение транзитивного замыкания отношения, которое само не является транзитивным, и введение подходящей меры расстояния. Отношение R называется k-циклическим, если Человеко-машинные методы принятия решений. Эти методы, называемые также интерактивными ЧМ-процедурами, не требуют изначально фиксированного определения схемы выбора наилучшего решения и применяются, когда важно сохранить всю имеющуюся информацию, например, если неизвестно явное выражение для функции полезности, имеется большое число критериев, схема агрегирования которых не ясна, и т.п. В ЧМпроцедурах ЛПР может непосредственно влиять на поиск решения в режиме диалога с ЭВМ. Они используют метод направленного перебора и различаются способом последовательной свертки информации в процессе получения удовлетворительного (субоптимального) решения. Различают процедуры, основанные на сужении множества допустимых решений, сужении множества весовых векторов, сужении множества критериев и методы одномерного поиска. Большинство ЧМ-процедур разработано для решения задач линейного программирования.

Существует значительное число модификаций ЧМ-процедур. Основными условиями при выборе той или иной процедуры являются имеющаяся у ЛПР информация о задаче и требования к точности решения. Обзор этих методов можно найти в 1, 2, 3, 4, 7.

Если решение задачи неизвестно или неоднозначно, например, отсутствуют аналоги или его трудно определить в явном виде, то применяются методы поиска (вывода) решения. Большинство этих методов основано на стратегиях полного перебора, имплицитного (неявного, неполного) перебора или сокращенного (направленного) перебора на основе эвристик (эвристический поиск). Стратегия полного перебора используется при отсутствии достаточной априорной информации о задаче и сравнительно небольшой мощности множества альтернатив (до 103 элементов при ручном счете и до 109 – на ЭВМ).

Имплицитный перебор включает большую группу градиентных методов, например симплекс-метод, метод минимальной стоимости (“жадный” алгоритм), динамическое программирование, ( ) -метод, метод ветвей и границ и т.п. Все они основаны на рассмотрении на каждом шаге поиска не всего пространства задачи, а некоторого его фрагмента, определяемого симметрией задачи. Эвристические методы основаны на моделировании эвристик – качественно-ситуационных способов решения задач. Эвристики – это пошаговые процедуры, которые за конечное число шагов обеспечивают удовлетворительное решение задачи путем сокращения возможных вариантов при поиске решения и использования направленного перебора. Эвристические методы применяются для решения слабо структурированных, плохо формализуемых задач, которые не могут быть описаны числовой моделью и характеризуются неточностью, неполнотой, неоднозначностью, неясностью информации. Их применение также целесообразно при жестких ресурсных ограничениях (действия в экстремальных или неизвестных ситуациях).

Эвристический поиск включает системный анализ задачи; выявление ограничений, влияющих на результат (как внешних, так и внутренних); анализ возможности получения результата простыми средствами; определение особенностей, ограничений и “узких мест”, требующих использования дополнительных средств, и путей их уменьшения; моделирование задачи и возможных ситуаций для получения наилучшего решения. Эвристический поиск базируется на использовании ряда общих подходов, применяемых человеком в процессе решения задач при генерировании вариантов решений, их сравнении и выборе оптимального решения. Метод аналогии (прецедента) является наиболее общим и может предусматривать аналогию в целях и критериях, структуре и функциях, условиях функционирования, в результатах и их оценке, способах описания и моделях. Метод упрощения применяется, когда прямая аналогия затруднена из-за сложности проблемы и заключается в снятии ряда условий и ограничений, повышении “симметрии” задачи. Метод агрегирования (ассоциации, погружения) дополняет предыдущий и предусматривает применение концептуального аппарата более высокого уровня, что позволяет рассматривать решаемую задачу как часть более общей (такой подход характерен для решения так называемых некорректных задач).

Основные методы поиска решения можно разделить на три группы. Первую группу составляют стратегии поиска по состояниям. Исходная информация представляется в виде пространства ситуаций, описываемого как состояние системы и окружающей среды. Алгоритм поиска состоит в поиске пути l, ведущего из начального состояния в одно из конечных (целевых состояний) S0 Sk. К этой группе относятся методы поиска “в ширину”, поиска “в глубину”, ( ) -метод, метод ветвей и границ, метод кратчайшего пути, методы прямого и обратного поиска, а также градиентные методы, например, метод минимальной стоимости, метод динамического программирования, метод векторной оптимизации, интерактивные ЧМ-методы.

Вторую группу составляют стратегии поиска по задачам. Исходная информация представляется как задача и множество элементов решения (подзадач) ij, где j – число уровней решения; i – число элементов на j-м уровне. Алгоритм поиска состоит в сведении исходной задачи к более простым задачам, пока не будут получены элементарные задачи ij. К этой группе относятся метод ключевых операторов, метод общего решателя задач и другие.

Третью группу составляют методы, использующие логический вывод.

Исходная информация представляется в виде описания состояний в рамках некоторой формальной системы, включающей алфавит, аксиомы и правила вывода. Путем логического вывода проверяется, можно ли получить конечное состояние k из начального состояния 0. К этой группе относятся дедуктивный метод, метод продукций и ряд других.

Разработаны различные модификации методов поиска с целью повышения их эффективности, а также комплексные целевые стратегии поиска общего характера, моделирующие процесс рассуждения человека. Рассмотренные схемы допускают обобщение на нечеткий случай путем объединения стратегий поиска по состояниям и по задачам, что повышает гибкость стратегии поиска в различной информационной среде. Обзор этих методов можно найти, например, в 12.

В заключение рассмотрим применение некоторых из перечисленных методов поиска решения. Методы перебора не требуют особого комментария.

Из множества допустимых альтернатив выбирается произвольная альтернатива.

Если она удовлетворяет критериям, то решение получено, если же нет, то берется следующая альтернатива и т.д. Решением считается альтернатива, которая удовлетворяет критериям задачи. Если же таких альтернатив несколько, то выбирается та из них, которая имеет наилучшие значения критериев.

Среди градиентных методов широкое распространение получил так называемый «жадный» алгоритм, в котором решения выбираются в соответствии со значением оценочной функции (функции стоимости). Он приводит к решению в тех случаях, когда задачу можно свести к определению пересечения двух семейств подмножеств, принадлежащих к не зависящим друг от друга частям одного и того же множества.

Рассмотрим пример. Имеется схема автотранспортных перевозок между пунктами, представленная в виде графа, где пункты пронумерованы цифрами от 1 до 10 (рис.4). Требуется найти дерево, имеющее минимальную сумму расстояний. В качестве оценочной функции использована стоимость перевозки, пропорциональная расстоянию (на графе указаны расстояния в километрах).

Рис.4. Граф системы автотранспортных перевозок Для решения задачи расположим ребра-пути в порядке возрастания стоимости. Имеем 1-3, 6-7, 5-6, 5-8, 9-10, 3-4, 7-10, 1-4, 4-7, 2-3, 3-6, 6-9, 8-9, 1Алгоритм работает следующим образом. Начиная с наименьшего пути, включаем последовательно ребра, имеющие меньшую стоимость из оставшихся и не образующие цикла с уже включенными ребрами.

Получаем решение 1-3, 6-7, 5-6, 5-8, 9-10, 3-4 и 7-10. Следующее по стоимости ребро 1-4 исключается, так как оно образует цикл с уже включенными ребрами 1-3 и 3-4. Далее добавляются ребра 4-7 и 2-3. Видно, что все вершины достигнуты и дерево минимальной стоимости построено. Этот же метод применим и при другой интерпретации величин и отношений между ними, например аналогично можно рассмотреть схему телефонных соединений, каналов связи и т.п.

Из эвристических методов рассмотрим генетический алгоритм, который моделируют законы развития живых систем: отбор наиболее приспособленного, наследование полезных признаков и изменчивость. Этот алгоритм был предложен Дж. Холландом в его теории адаптации и состоит из следующих шагов:

случайным образом создать начальную популяцию из N объектов (структур, вариантов решения и т.п.);

вычислить для каждого объекта показатель его работы. Если их среднее значение достаточно высокое, то прервать вычисления и считать эти объекты итоговым результатом;

для каждого объекта подсчитать вероятность его выбора вероятность применяя генетические операторы, создать следующую популяцию объектов в соответствии с вычисленной вероятностью выбора;

повторить процедуру, начиная со второго шага.

В качестве генетических операторов используются кроссинговер (перекрест, переход), изменение (мутация) и перестановка (инверсия). Оператор кроссинговера (перекреста) является основным для создания новых структур.

Он берет две структуры, случайным образом выбирает точку разрыва (место разделения компонент) на этих структурах и меняет местами последовательности компонент, находящиеся справа от точки разрыва.

Например, если две структуры a1, a2, a3, a4 и a1, a2, a3, a4 перекрещиваются между второй и третьей позициями, то новыми структурами будут a1, a2, a3, a4 и a1, a2, a3, a4. Оператор кроссинговера работает с имеющимися в текущей момент структурными популяциями. Для учета и внесения новой информации в имеющуюся популяцию используется оператор мутации, который произвольным образом изменяет одну или несколько компонент выбранной структуры. Вероятность его применения очень мала, и его наличие обеспечивает достижимость всех точек в пространстве поиска. Оператор инверсии изменяет характер связи между компонентами структуры. Он берет одну структуру, случайным образом выбирает на ней две точки разрыва и располагает в обратном порядке элементы, находящиеся между этими точками.

Например, инверсия структуры a1, a2, a3, a4 с точками разрыва между первым и вторым и между третьим и четвертым элементами дает новую структуру a1, a3, a2, a4. Оператор мутации не влияет на выбор структур и применяется, когда не удается построить хорошую популяцию. Оператор кроссинговера эффективно влияет на структуры, содержащие большое число элементов, оператор мутации наоборот более эффективен для малых структур.

Рассмотрим в качестве примера, иллюстрирующего действие генетического алгоритма, задачу синтеза. Пусть требуется разработать новую перспективную модель, например автомобиль повышенной проходимости. Модель конструируется из, примерно, N = 1000 элементов, т.е. множество разнотипных элементов конструктора состоит из 1000 единиц. Каждый вариант оценивается по n критериям, например, n 100. Общая база знаний о предметной области насчитывает около 10000 вариантов, которые могут отличаться числом и составом элементов. Будем считать, что критерии предварительно ранжированы по важности, причем самыми важными являются функциональные критерии (группа 1), затем идут технико-экономические критерии (группа 2), эргономические (группа 3) и специальные (группа 4).

Внутри групп предварительное ранжирование не проводится. Эти же группы критериев применяются и для оценки отдельных элементов конструктора.

Таким образом, каждый вариант (и элемент) представлен упорядоченным набором критериев (показателей) < K1, K2,…, Kn >, где n 100. В этом наборе могут быть пропуски (нулевые позиции), т.е. не обязательно все критерии используются для оценки всех вариантов (элементов). Примем, что вес каждого варианта (элемента) определяется отношением числа критериев с максимальным значением к общему числу критериев. Элементы конструктора могут варьироваться (добавляться и удаляться). Нужно определить наилучшее решение. Конечно, такая задача может быть решена методом перебора, однако это потребует больших затрат времени. Кроме того, если учесть, что множество элементов конструктора может пополняться, то трудоемкость задачи еще более возрастает. Выбор решения зависит также от соответствия (адекватности) условий задачи применяемому методу выбора. Влияет на результат соотношение весов критериев и пополнение множества альтернатив (элементов).

Применим для поиска решения генетический алгоритм. Необходимо определить конкретный механизм отбора наилучшего, а также способы накопления полезных признаков применительно к решаемой задаче. Правила игры здесь задает ЛПР, устанавливая приоритеты, определяющие необходимость применения генетических операций кроссинговера, изменения и перестановки. Сделаем пояснения относительно этих операций.

Операция кроссинговера в основном будет применяться при отборе вариантов. Наряду с традиционным перекрещиванием дополним ее операциями пересечения и объединения множеств-популяций, как предельными случаями операции кроссинговера.

Операция пересечения применяется к двум вариантам неодинаковой размерности, когда у одного из них отсутствует часть элементов (неполная размерность), причем заполненные позиции совпадают. Операция объединения применяется, когда оба варианта имеют неполную размерность (часть позиций – нулевые позиции), причем заполненные позиции дополняют друг друга.

Операция изменения в основном будет применяться для отбора методов получения решения. Ее использование связано с непригодностью рассматриваемого метода и необходимостью его модификации. Операция перестановки (инверсии) будет применяться при изменении предпочтений ЛПР в оценке вариантов (элементов), например, если критерий (элемент), стоящий на первой позиции, перестал играть доминирующую роль и его нужно заменить.

В данной задаче, говоря языком биологии, популяция состоит из вариантов решений, каждый из которых оценивается по n критериям, например, n = 100. В действительности на элементном уровне приходится решать несколько задач разной размерности: на уровне подсистем N 10, на уровне составляющих подсистем – модулей N 100 и на уровне элементов N 1000, но в нашем случае это не имеет значения.

Для отбора вариантов используем метод Парето. Определяются варианты, имеющие максимальные оценки хотя бы по одному критерию. Затем они сравниваются между собой. Варианты, которые не сравнимы друг с другом, остаются, остальные отбрасываются. Образуется новая популяция с оставшимися вариантами (множество 1). Это множество пополняется за счет операций кроссинговера и изменения, применяемых к элементам структуры вариантов. Пополненное множество принимается за исходное, и из его вариантов выделяется множество Парето (множество 2). После этого сравниваются варианты множеств 1 и 2. Если возможно сокращение то оно выполняется, и оставшиеся варианты образуют новое множество 3. Оно опять пополняется, и процедура повторяется до тех пор, пока не перестанет улучшаться (расширяться) множество Парето. Для выбора наилучшего решения необходимо к полученному множеству Парето применить методы первой группы, например метод свертки, метод главного критерия, метод пороговых критериев, метод расстояния и т.п.

Для отбора методов к популяции, элементами которой являются разновидности методов, применяется генетический алгоритм. Метод считается применимым, если его информационные запросы IM соответствуют условиям задачи I0, т.е. IM I0. Выделяются элементы метода и элементы условий задачи.

У каждого метода имеются особые запросы (условия применимости), которые должны содержаться в условиях задачи. Операция кроссинговера при отборе методов мало пригодна, хотя и может использоваться для получения комбинаций методов. Так как «популяция» методов малочисленна (несколько десятков методов), то основной для их трансформации и выбора является операция изменения (мутации), которая применяется, если не выполнены информационные запросы метода. Тогда этот метод отбрасывается (трансформируется) и заменяется другим, пока условия применимости какогото метода не совпадут с условиями задачи. При этом метод представляется в виде совокупности элементов, составляющих информационный запрос метода (условия применимости). Если имеется много методов, для которых выполнены условия применимости, то исследуется структура методов, и они трансформируются с помощью операций изменения и кроссинговера.

Определяется пересечение методов по элементам информационного запроса. Те условия, которые являются общими для методов, образуют типовые элементы (ядро) запроса. Ядро запроса проверяется на соответствие условиям задачи.

Если соответствие отсутствует, то применяется операция изменения и происходит их замена другими. Методы ранжируются по их соответствию условиям задачи, точнее, по числу особых условий их применения (по типовым элементам запроса). Например, для метода аддитивной свертки важность критериев должна плавно убывать, для применения метода главного критерия один из критериев должен быть значительно важнее остальных, для метода пороговых критериев должны быть заданы пороговые значения критериев, для метода расстояния должно быть известно «идеальное» решение и т.п.

Предварительное ранжирование методов осуществляет ЛПР по ряду критериев, которые учитывают предпочтения ЛПР, степень соответствия условиям задачи (информационный запрос), точность, сложность, надежность, время и т.п.

(общее число критериев n 10). Вес метода определяется отношением числа критериев с максимальным (наилучшим) значением к общему числу критериев при прочих равных условиях, т.е. при соответствии информационного запроса метода условиям задачи (этот критерий является основным). Остальная процедура выбора предпочтительного метода осуществляется аналогично отбору вариантов, изложенному выше. Для повышения достоверности расчетов часто целесообразно применять несколько методов с близкими оценками, поэтому наряду с кроссинговером, изменением и перестановкой следует использовать операцию объединения, которая позволяет получать комбинированные методы выбора вариантов. Об использовании операции пересечения было сказано выше.

Проведенное рассмотрение позволяет определить принципиальные условия применения генетического алгоритма к решению задачи синтеза, конкретные расчеты, хотя и трудоемки, не представляют особых затруднений.

Вопросы, изложенные в этом разделе, рассмотрены в 1, 2, 3, 4, 7, 9, 10, 11, 12, 13.

1. Что понимается под принятием решений?

2. От каких факторов зависит принятие решений?

3. Что такое альтернатива, множество альтернатив, система предпочтений?

4. Из каких этапов состоит процесс принятия решений?

5. Какие признаки используются при классификации задач принятия решений?

6. В чем отличие одноцелевых и многоцелевых моделей?

7. Как строится модель «прибыль-издержки»?

8. Как строится модель «эффективность-затраты»?

9. Объясните на примере, как используются одноцелевые модели для получения наилучшего решения?

10. Чем отличаются аддитивные и мультипликативные функции полезности?

11. Как определяется вес факторов в методе А.Кли?

12. Какие методы многомерного шкалирования используются при принятии решений?

13. Чем обусловлена неоднозначность при решении многокритериальной задачи 14. Какие группы методов используются при решении задачи выбора?

15. В чем состоит метод свертки?

16. Какие типы сверток наиболее часто используются на практике?

17. В чем состоит метод пороговых критериев?

18. При каких условиях используется метод «расстояния»?

19. В чем состоит метод главного критерия?

20. Для чего используется метод Парето?

21. Какие альтернативы называются эффективными?

22. Как формулируется принцип Парето?

23. Как строится множество Парето?

24. Какие стратегии принятия решений используются при взаимодействии системы с окружающей средой?

25. Объясните, как действует метод гарантированного результата?

26. В каких системах используется принцип равновесия?

27. Как действует метод Нэша?

28. Какие типы функций выбора используются при принятии решений?

29. Какими свойствами характеризуются бинарные отношения?

30. В чем состоят особенности применения человеко-машинных (ЧМ) процедур принятия решений?

31. Какие методы поиска решения используются при решении задач выбора?

32. Объясните на примере, как действует метод стоимости?

33. Приведите пример использования эвристических методов?

34. Чем отличаются полный перебор и имплицитный перебор?

6. Математические методы анализа систем 6.1. Математическое описание систем и их свойств Существенными свойствами систем являются наличие связей между элементами и процесс преобразования, происходящий в системе. Система считается полностью определенной, если известны элементы, связи между ними и наблюдаемые величины, используемые для описания системы.

Определение системы должно учитывать ее существенные свойства. В качестве элементов могут выбираться объекты, их свойства, величины и значения величин. Следует различать элементы исходного множества, на котором строится система, и элементы системы, которые сами могут быть множествами.

При формальном описании системы в качестве ее элементов обычно используются свойства и величины. Необходимо иметь в виду, что любая формализация основана на упрощениях и учитывает лишь некоторые аспекты понятия. В символьном виде система определяется как множество элементов с отношениями где X, Y, Z … – множества элементов, а R, P, Q …– отношения, определяющие связи элементов одного или нескольких множеств, причем элементами здесь являются объекты. Вводя обозначения элементов, имеем где индексы i, j, k, l, m, n независимо пробегают некоторое множество I.

Приведем два определения, оперирующие величинами. В первом из них система рассматривается, как подмножество, задаваемое в пространстве величин, при этом отношение не определяется в явном виде. Второе определение рассматривает систему, как преобразователь входных величин в выходные, т.е. с точки зрения процессов, происходящих в системе. Это определение характерно для класса автоматов.

Определение 1. Системой называется отношение на непустых множествах где – символ декартова произведения; I – множество индексов; Vi – элементы системы. Если I конечно, то (6.1.3) принимает вид Пусть множества I X I, I Y I образуют разбиение множества элементов V, при этом выполняются соотношения I X I Y и I X I Y I. Множество X Vi : i I X называется входным элементом (входом), а Y Vi : i I Y – выходным элементом (выходом) системы. Тогда система S X Y называется системой “вход – выход”. Если S является функцией, то соответствующая система называется функциональной. Связь между входом и выходом системы может задаваться в виде обычной функции, оператора или матрицы.

Определение 2 (для системы с конечным числом состояний). Система определяется в виде кортежа (упорядоченного набора элементов) где X – множество допустимых входов; Y – множество допустимых выходов;

– множество допустимых состояний, f : X – функция перехода из одного состояния в другое, g : X Y – функция выхода.