«В. Н. Романов Основы системного анализа УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС Санкт-Петербург Издательство СЗТУ 2011 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего ...»

Меры эффективности (критерии) показывают, в какой степени достигаются цели системы, и дают представление о количественной величине проявления признаков системы. Для этого строится так называемое дерево оценок, состоящее из трех уровней. К критериям первого уровня относятся критерии полноты, качества и эффективности достижения цели. Например, для транспортной системы города – это полнота, качество и эффективность выполнения перевозок. К критериям второго уровня относятся показатели (факторы), к критериям третьего уровня – непосредственно измеряемые величины и параметры. Для больших систем используются все три уровня критериев, для технических систем, как правило, 2-й, и 3-й. Для больших систем критерии 2-го уровня включают политические, социальные, экономические, технологические факторы и т.п. Для технических систем, как правило, используются функциональные, технико-экономические, эргономические показатели. Иногда используются также специальные показатели, определяемые спецификой задачи. Например, для автомобиля к функциональным критериям относятся вместимость (грузоподъемность), мощность двигателя, максимальная скорость и т.п. К технико-экономическим критериям – надежность, экономичность, долговечность, стоимость и т.п. К эргономическим: безопасность, удобство, комфорт, простота ухода и обслуживания и т.п. К специальным можно отнести массу, габариты и т.п.

Компоненты, программы, задания (работы). В целенаправленных системах процесс преобразования организуется с привлечением компонентов, программ и заданий (работ), которые состоят из совместимых элементов, объединенных для достижения определенной цели. В большинстве случаев границы компонентов не совпадают с границами организационной структуры, и это очень важно при системном подходе. Программа это множество состояний переменных и характерных переходов между ними для достижения конкретной цели. Для больших систем используются три уровня: программы, подпрограммы, задания (работы); для технических систем – только уровень работ, связанных с различными режимами функционирования системы.

Например, для автомобиля: движение по расписанию; доставка грузов за наименьшее время; перевозка грузов на дальнее расстояние и т.п.

Принятие решений. Действия и решения в системе являются прерогативой лица, принимающего решения (ЛПР). Каждое решение должно направлять систему на достижение поставленных целей (результатов), которые можно измерить.

Структура. Понятие структуры связано с упорядоченностью отношений, связывающих элементы системы. Структура может быть простой или сложной в зависимости от числа и типа взаимосвязей между частями системы. В сложных системах должна существовать иерархия, т е. упорядоченность уровней подсистемы, частей и элементов. От типа и упорядоченности взаимоотношений между компонентами системы в значительной степени зависят функции системы и эффективность их выполнения. Различают линейную структуру, циклическую, иерархическую (древовидную), матричную и сетевую. Линейную структуру имеют, например, простые измерительные устройства, измерительные каналы, производственные линии. Циклическую структуру имеют измерительные приборы и системы с обратной связью, биологические системы, технологические циклы, многие процессы в живой и неживой природе. Иерархическая структура характерна для высокоорганизованных систем: социальных и организационно-технических (политическая система, экономика, отрасль, фирма). Матричной структурой обладают кристаллические решетки, интегральные схемы, некоторые технологические системы (в металлургии, полиграфии и т.п.). Сетевую структуру имеют информационно-вычислительные системы (сети), телекоммуникационные системы и системы связи.

Состояния и потоки. Состояние характеризуется значениями признаков системы в данный момент времени. Переходы части элементов системы из одного состояния в другое вызывают потоки, определяемые как скорость изменения значений признаков системы. Поведением системы называется изменение состояний системы во времени. При теоретико-множественном подходе поведение определяется как некоторое множество инвариантных во времени отношений между величинами системы (в частности, между входами и выходами).

Уровень анализа: перечисление значений всех наблюдаемых или заданных величин вместе с перечислением интервалов времени, в течение которых они нас интересуют, либо точность, с которой мы хотим измерять эти величины и время (если величины изменяются непрерывно). Совокупность изменений всех рассматриваемых величин на данном уровне анализа называется деятельностью системы. Свойства системы (при определенном поведении) называют организацией системы. Организация меняется с поведением. Постоянная часть организации называется структурой, переменная - программой.

Системный подход с точки зрения управления. При использовании системного подхода особого внимания заслуживают четыре важные проблемы:

1) определение границ системы в целом, границ окружающей среды, или окружения;

2) установление целей системы;

3) определение структуры программы и построение матрицы "программы элементы";

4) описание управления системой.

Определение границ системы в целом и окружающей среды. Окружающая среда системы, не учитывает и не контролирует ЛПР. Границы, отделяющие систему от ее окружения, не совпадают с установленными организационными границами. Рассматриваемая система не завершается совокупностью всех элементов организации. Чтобы лучше уяснить это, напомним, что системный анализ применяется, когда нужно решить какую-то проблему. Система в целом включает все системы, которые, как полагают, будут влиять на рассматриваемую проблему или будут подвергаться ее влиянию, независимо от того, к какой организации они относятся. Методом исключения мы относим к окружающей среде все системы из системы в целом, не входящие в нее при решении данной проблемы. Если в систему в целом включить мало систем, то это приведет к упрощению и неверным решениям; если же много, то усложнится описание, не хватит ресурсов, и мы не сможем найти решение.

Таким образом, установление границ системы вопрос целей анализа, требуемой точности результата и имеющихся в наличии ресурсов. Например, при рассмотрении движения тела вблизи поверхности Земли в первом приближении можно считать систему "тело Земля" закрытой (так как все тела падают с ускорением свободного падения). Если мы хотим уточнить результат (например, при рассмотрении движения парашюта), то необходимо учесть сопротивление воздуха, т.е. включить в систему физическую среду. Наконец, при рассмотрении траектории движения космического корабля нужно учесть влияние Луны, других планет, т.е. включить их в систему.

В качестве примера, как определение границ влияет на принятие решений, рассмотрим деятельность фирмы. Например, как определить систему, когда рассматриваются затруднения со сбытом продукции? Система может включать или одну данную фирму, или все аналогичные фирмы, или даже всю экономику, т.е. нужно учесть состояние дел на других фирмах, в экономике (возможно причина проблемы – в неправильной стратегии или в нестабильности финансовой ситуации).

Обсуждая вопрос об увеличении дивидендов, администрация должна учесть не только уровень доходов фирмы и ее финансовое положение, но и изучить, какое влияние окажут эти факторы на стоимость акций компании, возможность продажи ценных бумаг, получения займов и т.д. Увеличение дивидендов обеспечит выгоду держателям акций за счет компонентов системы (фирмы), таких, как служащие, поставщики или потребители. Выгода для одной группы лиц может означать ущерб для другой. Каждый участник системы оценивает работу фирмы по разным критериям. Для держателей акций таким критерием является стоимость ценных бумаг, для служащих уровень зарплаты и гарантия рабочего места. Поставщик считает критерием своевременность оплаты поставок, а потребитель качество продукции фирмы. Одно и то же решение не может быть выгодно для всех. Улучшение качества удовлетворит потребителя, но повысит себестоимость, что повлияет на прибыль (если не удается изменить цену). Уменьшение прибыли влияет на стоимость акций и может повредить интересам их держателей. Согласование всех требований к системе обязанность администрации. Она должна удовлетворить противоречивые требования участников: держателей акций, кредиторов, служащих, потребителей, поставщиков, правительства, профсоюзов, конкурентов, местного населения, общества в целом. Из-за этого работа руководителя особенно сложна. Он обязан следить, чтобы подсистемы, работая относительно независимо, не отклонялись от того, что считается оптимальным на уровне всей системы.

Приведенный пример показывает, как установление целей связано с установлением границ системы и выбором критериев эффективности системы.

Если принимаются во внимание новые системы и их интересы, то цели меняются. Каждое решение влияет на другие системы.

Определение структуры программы и построение матрицы "программыэлементы". После того, как установлены границы, сформулированы цели данной системы, выполнение связанных с ними функций можно организовать в программы. Структура программы это представление отношений всех элементов системы в соответствии с теми функциями, которые они выполняют независимо от их территориальных, юридических и формальноорганизационных границ. Можно представить структуру программы как блоксхему, указывающую зависимости между различными формами деятельности организации в соответствии с их функциями и целями, или как возможные пути достижения некоторого множества целей. Матрица "программы-элементы соотносит элементы с различными программами. Сгруппированные в соответствии с данной программой (функцией), они образуют то, что называется компонентом системы. Компоненты характеризуются двумя свойствами: а) направлены на достижение одной и той же цели; б) для них не обязательно удовлетворять традиционным границам.

Описание управления системой Управление включает все действия и всех ЛПР, которые входят в процессы планирования, оценки, реализации проекта и контроля. Весьма трудно разделять роли планировщика системы и того, кто ею управляет. Принимая решения, планировщик влияет на работу системы, а ЛПР выполняет функции планировщика, когда определяет цели, ресурсы и принимает решения, изменяющие структуру системы и результаты ее работы.

Поэтому при системном подходе различия их ролей стремятся свести к минимуму, чтобы совместить оптимизацию системы и оперативные решения.

Суммируя сказанное, отметим основные особенности системы:

1. Система рассматривается как своеобразный преобразователь, взаимодействующий с окружающей средой, который преобразует входы, ресурсы и затраты в выходы, результаты и прибыль.

2. Система имеет собственные нетривиальные структуру и поведение и действует по программе (программам), направленной на достижение определенной цели (целей), задаваемой ЛПР.

3. При выполнении программы в системе протекают процессы, изменяющие состояния подсистем (элементов). В каждом состоянии происходит дифференциация (разделение) внешних систем, влияющих на достижение цели.

При этом системы, которые учитываются при достижении цели, образуют систему в целом; системы, которые не учитываются, относятся к окружающей среде. Тем самым устанавливаются границы, в рамках которых действует система.

4. Степень достижения цели (целей) оценивается по критериям (мерам эффективности), число и состав которых зависят от границ системы.

Схема системного анализа представляет собой пошаговое описание систем определенного типа (класса) с целью формирования множества допустимых решений некоторой задачи, проектирования системы или ее изучения. При выполнении схемы исследуются все характеристики и понятия, введенные в этом параграфе, применительно к изучаемой системе.

В качестве примера рассмотрим применение схемы системного анализа при решении задачи проектирования автомобиля. Обычный подход, основанный на методе улучшения, состоит в том, что выбирается некоторый базовый образец, вносятся определенные изменения и создается новая модификация. Системный подход рассматривает решение частной задачи через призму достижения общих целей системы верхнего уровня (например, фирмы). Он применяется, когда нужно кардинально изменить имидж фирмы, расширить сегмент рынка, сделать продукцию привлекательной для новых групп потенциальных покупателей и т.д. Схема системного анализа начинается с выделения трех уровней системы:

внешнего – система в целом, собственно объектного – полная система (проект автомобиля) и внутреннего – подсистемы автомобиля. Критерии оценки проекта определяются условиями и ограничениями со стороны внешних систем. Необходимо учитывать следующие системы, внешние по отношению к фирме-проектировщику: водители, объекты перевозки (грузы, пассажиры), потребители, экономическая система (поставщики комплектующих, фирмыконкуренты, торгующие организации и т.п.), технологическая система, природная среда, система обеспечения и обслуживания и т.д. Каждая из этих систем накладывает ограничения на выбор проекта. В частности, водители предъявляют эргономические ограничения (удобство управления, безопасность, условия в кабине), объекты перевозки определяют эргономические и специальные ограничения (удобство размещения, погрузочно-разгрузочные работы, габариты, меры обеспечения сохранности и безопасности).

Экономическая система определяет технико-экономические ограничения (стоимость, затраты, эксплуатационные расходы), Потребители определяют функциональные и технико-экономические ограничения (мощность двигателя, вместимость, максимальную скорость, надежность, экономичность, долговечность и т.п.). Технологическая система определяет функциональные, эргономические и технико-экономические ограничения (предельно достижимые мощность двигателя, вместимость, скорость, надежность, безопасность и т.п.). Система обеспечения и обслуживания определяет ограничения по типу топлива, возможности ремонта и профилактики, взаимозаменяемости частей и т.п. Природная среда определяет ограничения по качеству дорог, условиям эксплуатации, загрязнению почвы, воды, воздуха и т.п. Учет совокупности ограничений позволяет выбрать функциональную схему, а затем сформулировать и решить задачу параметрической оптимизации, т.е. выбора оптимальных параметров подсистем и всей системы.

На втором уровне проект автомобиля рассматривается как полная система (совокупность функциональных подсистем), предназначенная для достижения определенных целей системами верхнего уровня (фирма, потребители). При этом критериями оценки являются полнота, качество и эффективность достижения целей за счет использования проектируемого автомобиля.

На третьем уровне определяются подсистемы автомобиля, их цели и параметры, удовлетворяющие ограничениям со стороны внешних систем и способствующие достижению целей систем верхнего уровня. Студентам предлагается продолжить рассмотрение этого примера самостоятельно в качестве упражнения.

Свойства систем можно условно разделить на общие свойства, характеризующие тип системы; структурные, характеризующие особенности организации системы; динамические, характеризующие поведение системы и особенности взаимодействия с окружающей средой; отдельную группу составляют свойства, характеризующие описание и управление в системе.

Перечисленные группы свойств для организационно-технических (больших) систем представлены в табл. 2. Общие свойства были рассмотрены в 3.2.2.2. К основным структурным свойствам относятся: иерархическая упорядоченность, централизация, а также вертикальная целостность и горизонтальная обособленность. К основным динамическим свойствам относятся систематизация, изоляция, стабильность, адаптивность, инерционность и ряд других. Иерархическая упорядоченность заключается в возможности разделения системы на подсистемы и отражает тот факт, что поведение подсистемы не может быть полностью аналогичным поведению системы.

Большинство систем иерархически упорядочены. Для технических систем, в частности, это проявляется в модульном принципе построения. Целостность системы проявляется в том, что изменение в некоторой ее части вызывает изменения в других частях и в системе в целом. В этом случае говорят о связном образовании. Обособленность проявляется в том, что система, может быть представлена в виде совокупности несвязных частей. Изменение в каждой части зависит только от самой этой части. Изменение в системе в целом есть физическая сумма изменений в ее отдельных частях. В этом случае говорят об обособлении или физически суммативном поведении. Следует отметить, что целостность и обособленность могут проявляться в одной и той же системе в разной степени.

Свойство прогрессирующей изоляции. Большинство неабстрактных систем изменяется во времени. Если эти изменения приводят к постепенному переходу от целостности к суммативности, то говорят, что такая система подвержена прогрессирующей изоляции. Изоляция может проявляться в виде распада, имеющего место при разрушении системы, и роста, заключающегося в возрастании деления на подсистемы; при этом возрастает дифференциация функций (процесс творчества, эволюция, развитие).

Свойство прогрессирующей систематизации является обратным к предыдущему и заключается в усилении прежних отношений между частями и развитии отношений между частями, не связанными между собой (унификация системы в целом). Изоляция и систематизация могут происходить в одной системе одновременно и в течение длительного времени (говорят, что система находится в равновесном состоянии) или последовательно.

Основные свойства организационно-технических (больших) систем Искусственная Иерархическая Систематизация и Неполнота Дискретная Горизонтальная (импульсная) обособленность Инерционность Неоднозначность Динамическая Централизация Совместимость оптимальности Централизация. Централизованная система это такая, в которой один элемент или подсистема играет главную (доминирующую) роль в функционировании всей системы. Эта часть системы называется ведущей или центром системы. При этом малые изменения в ведущей части вызывают значительные изменения в системе. Существуют как централизованные, так и децентрализованные (распределенные) системы. При этом речь идет о функциональном влиянии центра, определяющем назначение системы.

Например, в измерительном приборе центр – датчик, в автомобиле – двигатель, в компьютере центр отсутствует (одинаково важны и процессор, и память).

Высокоорганизованные системы также могут не быть централизованными.

Например, человек имеет осевую симметрию (одинаково важны сердце и мозг).

Отметим, что центр не следует отождествлять с системой управления.

Например, в вузе центром является преподавательский состав, в институте – специалисты, в интегрированных производствах – техника и т.п. Целостность и систематизация могут сопровождаться прогрессирующей централизацией.

Адаптивность системы заключается в способности системы сохранять свои функции при воздействии окружающей среды, т.е. реагировать на среду так, чтобы получить благоприятные последствия для деятельности системы (обучение, эволюция в больших системах). Подчеркнем, что речь идет о функциональной адаптивности. Все системы в той или иной степени адаптивны: наименее адаптивны неживые системы; более адаптивны – биологические (живые системы) и технические системы; наиболее адаптивны социальные и организационно-технические системы. Свойство адаптивности тесно связано с живучестью систем, которая состоит в способности сохранять равновесие со средой.

О стабильности системы можно говорить относительно некоторых ее свойств (величин, переменных), если они стремятся сохраниться в определенных пределах. Система может быть стабильной в одном отношении и нестабильной в другом.

Так как наибольший практический интерес представляют организационнотехнические системы, то остановимся на их особенностях. Организационнотехнические системы являются динамическими и обладают свойствами адаптивности, стабильности, совместимости, а также в известной мере свойством оптимизации, заключающейся в приспособлении к среде. В силу существующих ограничений на развитие таких систем имеется тенденция к усилению оптимизации, что проявляется в необходимости оптимизации структуры, функций, минимизации затрат на развитие, в возрастании эффективности систем и т.д.

Важным свойством больших, сложных систем, типа организационнотехнических, является инерционность, связанная со скоростью изменения функций. Она определяется временем отклика системы в ответ на внешнее возмущение, т.е. промежутком времени от начала возмущающего воздействия до изменения деятельности системы в нужном направлении, и зависит от возмущающего воздействия ( = 1 + 2, где 1 – время отклика управляющей подсистемы; 2 – время прохождения возмущения через все уровни системы). В связи с этим системы такого типа следует рассматривать как обладающие относительными свойствами, т.е. как относительно открытые, относительно адаптивные и т.д.

Динамические свойства проявляются в полной мере, если промежуток времени, в течение которого изучается система, превышает время отклика, и если возмущающее воздействие превышает некоторый порог.

Свойство инерционности тесно связано с такими свойствами систем и их элементов, как быстродействие, жесткость, адаптируемость, стабильность и другие. Изменение свойств организационно-технических систем обусловлено объективными изменениями, происходящими в процессе развития (эволюция), и субъективными, т.е. планируемыми людьми (директивными). В силу этого существенное значение имеет полнота информации о системах. Неполнота (нечеткость) информации о системе может привести к существенному изменению ее динамических свойств (например, увеличить инерционность, замедлить рост, снизить адаптивность и т. д.). Решающим обстоятельством, оказывающим влияние на развитие таких систем, является установление оптимальных пропорций, в том числе временных, между эволюционными и директивными изменениями.

Сложность является определяющим свойством систем и поэтому заслуживает отдельного рассмотрения. Сложность в применении к системам имеет разный смысл – структурная сложность, динамическая сложность, вычислительная. Обычно степень сложности оценивается количеством информации, необходимой для описания реальной системы. При таком подходе сложность ставится в зависимость от наблюдателя. Например, для нейрофизиолога мозг сложен и его адекватное описание требует много информации, для мясника мозг прост, так как ему нужно только отличить его от других сортов мяса, для чего он использует сравнительно мало информации (log230 5 бит). Мы будем различать сложность как свойство систем и сложность самих задач, соответственно будем говорить о сложности систем и сложности задач, последнюю называют также вычислительной сложностью.

Вне зависимости от типа сложности можно выделить два принципа оценки сложности систем.

Первый принцип связан с понятием количества информации и состоит в том, что сложность системы должна быть пропорциональна объему информации, необходимой для описания этой системы (так называемая дескриптивная сложность). Одним из способов оценки дескриптивной (описательной) сложности является оценка числа элементов, входящих в систему (переменных, состояний, компонентов), и разнообразия взаимозависимостей между ними.

Второй принцип связан с понятием энтропии (мера неопределенности или неясности) и состоит в том, что сложность системы должна быть пропорциональна объему информации, необходимому для разрешения (уменьшения) неопределенности (неясности) в системе (так называемая сложность познания). Оба принципа дополняют друг друга в том смысле, что для изучаемой системы при увеличении одной сложности уменьшается другая и наоборот (именно так соотносятся между собой количество информации и энтропия). Отметим, что при переходе от более простой системы к более сложной обе сложности – описательная и сложность познания – возрастают.

Структурная сложность включает такие составляющие, как схема связности, многообразие компонентов, число связей, сила взаимодействия.

Динамическая сложность – это сложность предсказания поведения системы.

Система со сложной структурой имеет сложное поведение, но обратное, вообще говоря, неверно. Вычислительная сложность определяется сложностью алгоритма, используемого для решения системных задач.

Предел Бреммерманна. Американский ученый Ханс Бреммерманн в 1962 г.

получил следующий результат: "Не существует системы обработки данных, искусственной или естественной, которая могла бы обрабатывать более чем 21047 бит в секунду на грамм своей массы". Этот результат может быть выведен из соотношения неопределенностей Гейзенберга.

Полученное соотношение является очень большим и не может быть достигнуто имеющимися средствами. Так при энергии лазера Е = 10 Дж, воздействующей на атомную систему с частотой перехода Е 109 Гц (сверхтонкая структура ядерных переходов щелочно-земельных элементов) для N имеем N 1026. Соотношение реализуется для атомных пучков со скоростью, близкой к скорости света.

Используя полученный предел для обработки информации граммом массы за 1 с процессорного времени, Бреммерманн вычислил число бит, которые могла бы обработать гипотетическая компьютерная система, имеющая массу, равную массе Земли, за период, равный примерному возрасту Земли (Это вся информация, которой располагает человечество). Так как т3 61027 г, а возраст 1010 лет, т.е. 3,14·1017 с, то такой компьютер мог бы обработать 2,56·1092 бит или 1093 бит. Это число называют пределом Бреммерманна, а задачи, требующие обработки более чем 1093 бит информации, называют трансвычислительными задачами.

Предел Бреммерманна является весьма строгим ограничением. Решение многих задач для систем даже небольшого размера требует большего объема информации. Например, если имеется система из n переменных с k состояниями каждая, то задача классификации системы на множестве подмножеств систем может быть трансвычислительной. Действительно, для этого необходимо обработать kn бит информации, т е. задача становится трансвычислительной при kn > 1093, что выполняется при k = 2 и п = 308; k = и п = 194 т.д.

Аналогичной является задача распознавания образов, решаемая на массиве qq типа шахматной доски, причем каждая клетка может быть одного из k цветов. Всего может быть kn шаблонов раскраски, где п = q2. Тогда задача поиска наилучшей классификации шаблонов является трансвычислительной при q = 18, k = 2 или q = 10, k = 9.

Сетчатка состоит примерно из миллиона светочувствительных колбочек.

Если даже считать, что каждая имеет только два состояния, то исследование сетчатки потребует 210 = 10300000 бит. Та же проблема возникает при решении задачи тестирования СБИС (сверхбольших интегральных схем), например, для схемы с 308 входами и 1 выходом (тестирующий сигнал имеет два состояния).

Если задача является трансвычислительной, то чтобы ее можно было решить, она должна быть переформулирована. Наиболее распространенный способ состоит в использовании эвристик, ослаблении условий. Например, поиск приближенного (а не точного) решения, агрегирование вариантов. Одно из наиболее важных следствий из существования предела Бреммерманна состоит в том, что прежде чем решать задачу (изучать систему), надо оценить информационные запросы. Если нужно 2·103 бит, то все в порядке, если же оценка дает 10300 бит, то следует применять эвристические методы либо отказаться от решения такой задачи, если эффективный алгоритм отсутствует.

Вычислительная сложность. Конкретные вычислительные средства накладывают, конечно, более строгие ограничения на сложность задач, чем предел Бреммерманна – 1093 бит. Вычислительная сложность связана с поиском алгоритма, т. е. набора команд, описывающих план действий по решению задачи определенного типа за конечное число шагов. При рассмотрении алгоритмов используется понятие машины Тьюринга, которая представляет собой устройство, состоящее из автомата (блока управления) с конечным числом состояний и ленты. Автомат обладает памятью, что позволяет ему находиться в одном из состояний, принадлежащих конечному множеству состояний, например Z = {z1, z2, …, zn}. Потенциально бесконечная в обоих направлениях лента разбита на отрезки одинаковой длины – ячейки. В каждой ячейке записана буква из конечного набора букв алфавита. Одна из букв, например x0, интерпретируется как пробел (пустая ячейка). Связь между автоматом и лентой осуществляется с помощью читающей-пишущей головки, которая может считать букву с ленты или записать ее на ленту. Одновременно головке доступна только одна ячейка. Машина Тьюринга реализует некоторый алгоритм, принимаемый за исходный при сравнении. Автомат на каждом шаге изменяет свое состояние и выполняет одно из следующих действий: а) записывает на ленту вместо текущей буквы новую; б) сдвигается по ленте на одну ячейку влево или вправо; в) прекращает вычисление (операция остановки). Машина называется детерминированной, если запрещается, чтобы любые две четверки из этого множества начинались с одной и той же пары zc, xr, в противном случае машина Тьюринга называется недетерминированной.

Общепринятая гипотеза, известная как тезис Черча, утверждает, что если функцию можно вычислить на детерминированной машине Тьюринга, то она считается вычислимой. Таким образом, машины Тьюринга дают аппарат, позволяющий формально определить существование алгоритмов решения различных задач. Задача считается неразрешимой, если не существует алгоритма ее решения. Для доказательства неразрешимости задачи достаточно доказать, что ее нельзя решить на машине Тьюринга. Неразрешимые задачи образуют один из трех классов задач. Во второй класс входят задачи, про которые не доказано, что они неразрешимы, но для которых не найдены решающие алгоритмы. Остальные задачи образуют класс разрешимых, т. е. они в принципе разрешимы. Однако их решение может потребовать больших затрат времени, поэтому вычислительная сложность изучается с позиций этого ресурса. На практике разрешимость задачи зависит от применяемого алгоритма, конкретной системы, имеющихся вычислительных мощностей. При заданном алгоритме время ее решения удобно представлять как переменную, зависящую от размера рассматриваемых систем. Эта переменная, называемая размерностью варианта задачи, определяет объем входной информации, необходимый для описания этих систем. Так как любой метод (алгоритм) позволяет решать несколько однотипных задач с различными исходными данными, то критерием качества метода в целом является решение наихудшего возможного случая из всех, допускающих применение данного алгоритма. При этом определяющим является общее число элементарных операций (время) как функция размерности входных данных. Таким образом, сложностью алгоритма называется выраженная в виде функции от размерности входных данных верхняя граница числа операций (времени), необходимого для выполнения алгоритма, решающего вариант задачи. Функция называется временной функцией сложности (). Выделяют три класса задач, отличающихся скоростью роста их функций сложности.

К первому классу (классу P) относятся полиномиальные алгоритмы Задача называется "хорошей", или принадлежащей классу Р, если для нее известен алгоритм, сложность которого составляет полином заданной постоянной степени, не зависящей от размерности входной величины п. К задачам этого класса относятся деление, извлечение корня, решение квадратного уравнения и т.п.

Ко второму классу (классу Е) относятся экспоненциальные алгоритмы.

Экспоненциальной считается задача, сложность которой порядка не менее п (где – константа или полином от п), например, в случае, когда число ожидаемых ответов уже само по себе экспоненциально. Сложность соответствующих алгоритмов превосходит сложность o(nk) при любом k.

Например, к этому классу относятся задачи, в которых требуется построить все подмножества некоторого множества, все клики (полные подграфы) некоторого графа; задача распознавания правильных выражений на языках с несложными алфавитами и правилами построения единиц (ее сложность превышает 22, где п – размерность входных данных).

При небольших п экспоненциальный алгоритм может быть более быстрым, чем полиномиальный, однако различие между этими классами задач всегда велико и проявляется при больших п. Поэтому полиномиальные алгоритмы считаются эффективными, экспоненциальные – неэффективными, а соответствующие задачи – поддающимися и неподдающимися решению.

Задачи, не попадающие ни в класс Р, ни в класс Е. К ним относятся:

– решение систем уравнений с целочисленными переменными;

– существование среди заданных подмножеств покрытия;

– составление расписаний (раскрасок), учитывающих определенные условия (бинарные отношения);

– существование множества значений логических переменных, которые позволяют сделать значение произвольного заданного логического выражения истинным;

– оптимизация пути коммивояжера через сеть городов;

– отбор файлов при запросе в информационный банк данных для получения информации с наименьшей стоимостью;

– размещение обслуживающих центров (телефон и т.п.) для максимального числа клиентов при минимальном числе центров;

– оптимальная загрузка емкости (рюкзак, поезд, корабль, самолет) при наименьшей стоимости;

– оптимальный раскрой (бумага, картон, стальной прокат);

– оптимизация маршрутов в воздушном пространстве, инвестиций, станочного парка;

– диагностика (болезни, поломки, дефекты печатных схем).

Все эти задачи эквивалентны по сложности. Класс хороших задач мал, остальные задачи являются трудными и решаются методами искусственного интеллекта.

Класс NР: недетерминированные полиномиальные задачи. Для большинства практических задач неизвестно, существует ли полиномиальный алгоритм их решения, но и не доказано, что они не поддаются решению. Общим для них является то, что они могут быть решены за полиномиальное время на недетерминированных машинах Тьюринга (НДМТ). Такие задачи и называют NР-задачами. Под решением здесь понимается, что машина может проверить правильность предложенного решения за полиномиальное время. К NР-задачам относятся:

– разрешимость логического выражения;

– трехцветная раскраска графа;

– построение покрытия или разбиения множества;

– построение клики (полного подграфа) из k вершин на неориентированном графе;

– задача о рюкзаке;

– разбиение числового множества на две непересекающиеся части такие, что сумма чисел в одной равна сумме чисел в другой;

– существование на ориентированном графе такого циклического маршрута коммивояжера, общая стоимость которого меньше заданного числа k.

Кроме времени важно бывает оценить также и необходимый объем памяти компьютера. Это можно сделать с помощью пространственной функции сложности. Любая задача, решаемая за полиномиальное время, решается в полиномиальном пространстве, так как за конечное время автомат использует конечное пространство (число ячеек), не большее числа шагов вычисления.

Обратное неверно.

Вопросы, изложенные в этом разделе, рассмотрены в [1, 2, 3, 7, 11, 12, 13].

1. Что называется системой?

2. От чего зависит, считать объект системой или нет?

3. Какие признаки наиболее часто используют для определения системы?

4. Как различаются системы по числу элементов?

5. По каким признакам классифицируют системы?

6. В чем отличие абстрактных и физических систем?

7. Какие системы называются техническими?

8. Какие системы называются социальными?

9. Каковы особенности больших технических систем?

10. Чем различаются дискретные, непрерывные и импульсные системы?

11. В чем сходство и различие классификаций систем по С.Биру и К.Боулдингу?

12. Каковы особенности классификации систем по Дж.Миллеру?

13. Что такое элемент системы?

14. Что называется подсистемой?

15. В чем состоит процесс преобразования, происходящий в системе?

16. Что называется входным и выходным элементом системы?

17. Что является входным и выходным элементом банка, магазина, производственного предприятия, страховой компании, автотранспортного предприятия, холодильника, стиральной машины, учебного института?

18. Входами какой другой системы могут быть выходы автомобиля, банка, магазина, холодильника, производственного предприятия, учебного института? Выходы каких систем оказывают влияние на данные системы?

19. В чем состоит основное отличие входных элементов от ресурсов?

20. Что относится к ресурсам банка, учебного института, стиральной машины, магазина, автотранспортного предприятия, страховой компании, производственного предприятия, холодильника?

21. Как определяются результаты функционирования системы?

22. Что является результатом функционирования учебного института, банка, автомобиля, производственного предприятия, страховой компании, холодильника, стиральной машины, автотранспортного предприятия?

23. Как оцениваются затраты, результаты и прибыль системы?

24. Какие системы относятся к окружающей среде?

25. Объясните, что такое назначение и функция системы?

26. Какими признаками обладают системы и их элементы?

27. Как устанавливаются цели системы?

28. Объясните, для чего нужно формулировать конкретную цель при проектировании системы?

29. Какие критерии (меры эффективности) используются для оценки степени достижения цели системы?

30. Для чего в системе используются работы, задания, программы и компоненты?

31. Как определяются структура, организация, деятельность и поведение системы?

32. В чем отличие структуры системы от программы?

33. Какие системы относятся к классу автоматов?

34. Какие типы поведения характерны для автоматов?

35. Относятся ли к классу автоматов автомобиль, станок, стиральная машина, предприятие, банк, человек, институт?

36. Что такое система в целом?

37. Как и для чего определяются границы системы и окружающей среды?

38. Какие проблемы являются наиболее важными при использовании системного подхода для управления системой?

39. Как влияет установление целей на определение границ системы?

40. Как строится матрица «программы-элементы»?

41. Объясните на примере, как осуществляется управление системой?

42. В чем состоят роли планировщика и лица, принимающего решения?

43. Какие свойства систем относятся к структурным, а какие к динамическим?

44. Какие факторы влияют на свойства системы?

45. Какие свойства характерны для организационно-технических систем?

46. Как можно оценить свойства системы?

47. Для чего используется схема системного анализа, из каких шагов она состоит?

48. Как определяется сложность системы?

49. Какие типы сложности имеет система?

50. Что такое предел Бреммерманна?

51. Как классифицируются системные задачи по сложности?

52. Как работает машина Тьюринга?

53. Как определяется временная функция сложности?

54. Какие классы задач можно выделить по их функции сложности?

Термин системное моделирование используется в связи с построением моделей систем, а также в связи с решением проблем и задач, относящихся к сложным объектам, на основе принципов теории систем.

В зависимости от того, что является неизвестным, проблемы делятся на четыре класса: проблема анализа, проблема синтеза, проблема оценки внешней (окружающей) среды и проблема «черного ящика».

Проблема анализа. Заданы системы. Требуется определить, какие характеристики (неизвестные) они имеют в условиях заданной внешней среды.

Эта задача допускает эквивалентную формулировку: какое поведение соответствует данной структуре. Как правило, задача разрешима, если ее можно решить однозначно.

Алгоритм решения проблемы анализа включает следующие шаги:

составление модели объекта, наиболее подходящей с позиций получения требуемых функций (характеристик);

написание программы оценки характеристик модели;

определение характеристик объекта из его модельного представления с помощью программы оценки.

Таким образом, процесс анализа состоит из двух стадий: составление и исполнение программы. Трудность анализа состоит в том, что не существует формального метода, который позволил бы строить наиболее подходящую для заданной проблемы модель. Отыскание подходящего метода оценки включает эвристические (интуитивные) элементы и относится к проблеме синтеза.

Например, проблема анализа возникает при исследовании характеристик двигателя (автомобиля, самолета) в различных режимах эксплуатации.

Проблема синтеза. Заданы требуемые характеристики, надо определить системы, которые в условиях заданной среды обеспечивают получение этих характеристик. Или в эквивалентной формулировке: дано поведение системы (иногда только ее деятельность) и множество типов ее элементов (тип – это совокупность элементов, у которых постоянное поведение одинаково). Надо найти такую структуру, которая реализует данное поведение (или поведение, вытекающее из данной деятельности) и включает лишь допустимые типы элементов.

Если данное множество типов недостаточно, то синтез системы неосуществим (на данном множестве). Множество решений может быть пустым и в случае, если число характеристик велико и они противоречат друг другу. Поэтому характеристики рекомендуется задавать в мягкой форме (в виде интервалов, словесных высказываний и т.п.) Во всех других случаях решение не однозначно, так как обычно в реальном мире существует большое количество объектов с одинаковыми функциями (характеристиками), и среди них надо выбрать такой, который бы обладал всей совокупностью заданных для него характеристик. Поэтому выдвигаются другие, дополнительные требования к допустимым решениям, например минимальные затраты, максимальная надежность системы и т. д. Проанализировав структуру, можно выяснить, правильно ли проведен синтез. Практически задача синтеза не может быть сформулирована без заданного разделения величин на входные и выходные, т.

е. мы имеем дело с синтезом автоматов. Синтез более сложен, чем анализ.

Последний может быть выполнен интуитивно, а синтез требует применения эффективных методических средств, т. е. совершенно другого подхода.

Алгоритм синтеза состоит из следующих шагов:

– создание исследовательской модели;

– анализ этой модели как решение проблемы анализа и определение ее функций;

– сравнение полученных результатов с заданными требованиями и прекращение поиска решения, если результаты и требования совпадают, или же возврат к первому шагу, если совпадение не получено.

Этот процесс имеет итерационный характер и является более сложным, чем анализ, так как включает в себя саму проблему анализа. Особенностью процесса синтеза является необходимость поиска для достижения цели, причем результаты вычислений на стадии анализа влияют на весь последующий процесс: модель проблемы синтеза корректируется, и вновь изменяется получаемое при анализе решение. В один и тот же цикл решения проблемы синтеза включается как стадия определения алгоритма, так и стадия его выполнения. Например, проблема синтеза возникает при проектировании двигателя (автомобиля, самолета), пригодного для заданных условий эксплуатации.

Проблема оценки внешней среды. Заданы системы и их характеристики, надо получить такую среду (неизвестную), в условиях которой системы проявляют заданные характеристики. Алгоритм решения проблемы такой же, как и в случае проблемы синтеза, где в качестве объекта исследования выступает окружающая (внешняя) среда.

Проблема «черного ящика». Исследуется система с неизвестной организацией и неизвестным поведением («черный ящик»), с которой можно проводить эксперименты и регистрировать ее деятельность. Таким образом, «черный ящик» определяется множеством величин и соответствующим уровнем анализа. Сложность проблемы в том, что пока не известна организация, мы можем определить только относительно постоянное поведение, соответствующее деятельности системы, а затем гипотетическую структуру. Эксперимент с «черным ящиком» включает следующие шаги:

– изоляцию его от других воздействий;

– контролируемое воздействие на «черный ящик» в ходе эксперимента;

– запись всех пар «вход (стимул) – выход (реакция)».

Затем проводится моделирование зависимости реакции от входного воздействия (стимула) и определяются модели поведения и программы.

Совпадение с экспериментом проверяется по критериям согласия. По известному поведению решением задачи синтеза определяется структура системы. Процесс детализации структуры ограничен точностью измерения (оценки) параметров модели поведения.

Наряду с рассмотренными типами проблем имеется класс задач, связанных с оптимальным распределением ресурсов в системах, которые изучаются в теории исследования операций. Приведенные ниже традиционные формулировки задач соответствуют полной информационной определенности.

Реальные задачи приходится решать в условиях риска, неопределенности и неясности, что изменяет их информационное содержание и результаты (см.

главу 5). Системный подход играет важную роль при постановке задач и их неформальном анализе.

Задача планирования производства. Некоторое предприятие производит n типов продукции, затрачивая при этом m типов ресурсов. Известны следующие параметры: аij – количество i-го ресурса, необходимого для производства единичного количества j-й продукции; аij0 (i=1,…,m; j=1,…,n); bi – запас i-го ресурса на предприятии, bi>0; cj – цена единичного количества j-й продукции, cj>0. Предполагается, что затраты ресурсов растут пропорционально объему производства. Пусть xj – планируемый объем производства j-й продукции.

Тогда допустимым является только такой набор производимой продукции x=(x1,x2,…,xn), при котором суммарные затраты каждого вида i-го ресурса не превосходят его запаса:

Кроме того, имеем следующее естественное ограничение:

планирования состоит в том, чтобы среди всех векторов x, удовлетворяющих ограничениям (3.2.1), (3.2.2), найти такой, при котором стоимость набора продукции принимает наибольшее значение Реальные задачи планирования редко представимы в столь идеальном виде, обычно приходится действовать в условиях риска или неопределенности. Для формализации задачи требуется затратить немало усилий, точнее, как говорил известный персонаж Эркюль Пуаро, понадобится «включить серые мозговые клеточки». В частности, определение параметров aij, bi, cj связано с используемой технологией, а последняя, в свою очередь, зависит от стратегии фирмы. На установление цены влияют цель и стратегия фирмы, ее положение на рынке и другие факторы. Появляются вмененные издержки (так называемые теневые цены), связанные с ослаблением или ужесточением ресурсных ограничений задачи. Эти издержки могут быть определены решением двойственной задачи линейного программирования. В реальных условиях невозможно получить точное оптимальное решение и определить истинное значение вмененных издержек.

Транспортная задача. Некоторая продукция хранится на m складах и потребляется в n пунктах. Известны следующие величины: аi – запас продукции на i-м складе, аi>0 (i=1,…,m); bj – потребность в продукте на j-м пункте, bj>0 (j=1,…, n); сij – стоимость перевозки единичного количества продукции с i-го склада в j-й пункт, сij>0. При этом предполагается, что суммарные запасы равны суммарным потребностям:

Транспортная задача сводится к задаче линейного программирования следующего вида:

где xij – количество продукции, перевозимой с i-го склада в j-й пункт.

Таким образом, надо организовать перевозки продукции со складов в пункты потребления, чтобы при полном удовлетворении потребностей минимизировать суммарные транспортные потери. При этом условие (3.2.4) является необходимым и достаточным для существования, по крайней мере, одной матрицы перевозок {xij}, удовлетворяющей ограничениям задачи (3.2.5).

Сказанное выше о задаче планирования в равной мере относится к транспортной задаче. Здесь неформальными параметрами являются cij.

Определение стоимости перевозки cij зависит от ряда факторов, в частности от парка автомобилей, положения автотранспортного предприятия на рынке услуг, стратегии предприятия, государственных субсидий и т.п. На нее влияет также наличие приоритетов потребностей на разных пунктах, выбор маршрутов и т.д.

Кроме того, условие (3.2.4) является скорее гипотетическим, чем реально выполняемым на практике, так как запасы и потребности определяются разными системами (разными ЛПР). Здесь также имеют место вмененные издержки, связанные с работой в условиях риска.

Задача планирования и транспортная задача решаются методами линейного программирования, например симплекс-методом. К этому же классу относится так называемая задача о рационе. Мы рассмотрим ее в более общей постановке.

Задача обеспечения потребностей. Для функционирования системы необходимы m ресурсов, получаемых из n типов сырья. Известны следующие величины: aij – количество i-го ресурса, которое может быть получено из единичного количества j-го типа сырья, aij >0 (i=1,…,m; j=1,…, n); bi – минимальное количество i-го ресурса, необходимое для работы системы в течение определенного времени, bi>0; cj – цена единичного количества j-го типа сырья, cj>0. Задача состоит в том, чтобы минимизировать затраты на сырье, требуемое для нормальной работы системы:

где xj – искомое количество j-го типа сырья, необходимое для обеспечения нормальной работы системы в течение определенного времени при минимальных затратах на сырье.

Сказанное выше о задаче планирования относится и к этой задаче, так как величины aij, bi, cj зависят от технологий, стратегии обеспечения, приоритетов потребностей и т.п. Могут появляться также вмененные издержки, связанные с отклонением спроса от предложения и неопределенностью информационной среды задачи.

Задача составления расписаний. Такая задача возникает при планировании работ, составлении проектов сложных технических или экономических систем.

Задача заключается в следующем: найти такое распределение ресурсов и такое назначение очередности работ, при которых совокупность работ, составляющих проект, будет выполнена за минимальное время. При этом предполагаются известными: а) перечень работ p1, p2,…, pn; б) ресурс (люди, оборудование, сырье, деньги и т. п.), необходимый для выполнения работы pi (i=1,…, n).

Неформальный характер задачи составления расписаний обусловлен установлением приоритетов в выполнении работ и расходовании ресурсов на реализацию проекта, что, в свою очередь, зависит от значимости проекта, согласованности целей заказчиков и проектировщиков, эффективности используемых технологий, работы смежных (субподрядных) организаций, объема имеющихся ресурсов по сравнению с требуемыми и т.п. Здесь также имеют место вмененные издержки.

В заключение отметим, что более сложные постановки приведенных задач должны учитывать характер взаимосвязей систем в рамках общей системы. В литературе наиболее продвинутым является случай систем с жесткой централизацией [7].

В качестве примера рассмотрим задачу сетевого планирования и распределения ресурсов. В некотором проекте заданы работы, их взаимозависимость (рис.1) и продолжительность (табл. 3). Нужно найти такую последовательность работ в сети, которая потребует наибольшего времени для своего выполнения, и определить возможность сокращения сроков выполнения проекта.

Продолжительность работ и затраты на разработку проекта продолжительность, продолжительность и продолжительность, Количество Затраты, Количество Затраты, Количество Затраты, затраты Рис. 1. Сетевой график проекта. Работы S4 и S9 называются фиктивными, время их выполнения равно 0. Они показывают, что работы S5 и S10 могут начаться только после завершения работ S1, S3 и S7, S8 соответственно.

При решении задачи используется метод критического пути PERT (Program Evaluation Review Technique). При этом рассчитываются:

1. t0 – самое раннее время, когда работа может быть начата;

2. t1 – самое раннее время, когда работа может быть завершена; t1 t0 t, где t – продолжительность выполнения работы;

3. t3 – самое позднее время, к которому работа может быть завершена без угрозы срыва плана. Это время может совпадать с плановой датой завершения всего проекта;

4. t2 – самое позднее время, когда работа может быть начата без угрозы нарушения графика завершения проекта: t2 t3 t, где t – продолжительность выполнения работы;

5. t4 – суммарное время задержек (запаздывания или отклонения от графика) без угрозы невыполнения проекта в срок: t4 t2 t0 t3 t1.

Суммарные запаздывания в ходе работ можно рассматривать как меру эффективности сетевого графика проекта. Определим те работы, для которых t минимально или равно нулю, т.е. находящиеся на критическом пути. Будем считать, что продолжительность работ может быть сокращена за счет увеличения прямых расходов. Критический путь рассчитывается вначале для работ с наибольшей продолжительностью и наименьшими затратами.

Начиная слева направо, подсчитаем для каждой работы в сети ее самое раннее время начала (t0) и самое раннее время окончания (t1). Эти значения приведены в табл. 4.

Расчет критического пути для наименьших затрат на работы в Примечание: * – критические значения.

Самое раннее время окончания работы S5 равно 18 недель. Если принять его в качестве плановой даты завершения всего проекта, то самым поздним временем завершения t3 для работ S5, S6 и S10 также будет 18 недель. Двигаясь теперь в обратном направлении по сетевому графику, т.е. справа налево, найдем соответствующие значения t2 для каждой работы. Затем определяем полное время задержек t4. Значения t2, t3 и t4 также приведены в табл. 4.

Время суммарной задержки для работ S2 и S5 равно нулю, и критический путь определяется так S2 S4 S5. Длина критического пути составляет недель. Прямые затраты на самом продолжительном пути составляют 106 млн.

руб. Для того, чтобы минимизировать полные затраты за счет снижения косвенных затрат, нужно сократить указанные отрезки времени, т.е.

длительность выполнения работ S2 и S5. В соответствии с данными табл. продолжительность некоторых работ может быть сокращена за счет увеличения затрат на них. В рассматриваемом примере можно уменьшить продолжительность работ S2, S5, S6, S10 путем увеличения затрат на их выполнение.

Продолжительность работы S2 можно сократить на два дня вложением дополнительно 12 млн руб.; продолжительность работы S5 можно также сократить на два дня путем вложения 6 млн. руб. После этого работы S6 и S становятся критическими.

В табл. 5 приведены данные о продолжительности выполнения проекта и изменении его стоимости в связи с сокращением продолжительности выполнения. Оптимальная общая стоимость проекта составляет 224 млн. руб.

при продолжительности 16 недель.

Данные таблицы показывают, как достигается компромисс при учете прямых и косвенных издержек. С одной стороны, с уменьшением времени выполнения проекта растут прямые расходы. С другой стороны, косвенные расходы уменьшаются.

Изменение расходов из-за сокращения времени выполнения проекта В этом подразделе будут рассмотрены методы анализа структуры систем.

Любой объект (элемент, подсистема, компонент), как уже неоднократно отмечалось, является частью более общей системы, в рамках которой он связан отношениями с другими объектами. При анализе и моделировании структуры системы мы должны определить тип отношения (отношений), которое важно для достижения цели или выполнения функции системой. Например, если мы рассматриваем технологический процесс с точки зрения его организации, то нас, прежде всего, интересует последовательность его элементов (операций).

Если мы рассматриваем тот же процесс с точки зрения трудоемкости или качества продукции, то нас интересуют уже другие отношения, например, какая операция лучше или менее трудоемкая и т.д. Точно так же, если мы рассматриваем проблему диагностики, то нас интересует отношение между причинами неисправностей. Расположение объектов по степени выполнения некоторого отношения (отношений) называется ранжированием объектов или расположением по уровням порядка.

Рассмотрим процедуру ранжирования более подробно на языке отношений.

В соответствии с определением система представима в виде множества элементов с отношениями (мы ограничимся бинарными отношениями) где X – множество элементов, а R1, …, Rn – отношения (бинарные), заданные на элементах множества и определяющие связи между ними. Чем больше известно отношений между элементами, тем сложнее структура системы. В простейшем случае, когда известно (задано) одно отношение, система принимает вид Отношение R сопоставляет некоторому элементу xi множества X другой элемент xj из этого же множества, так что образуется упорядоченная пара.

Записывают ( xi, x j ) R или xi Rx j. Многие отношения не являются симметричными, т.е. если xi Rx j, то необязательно, что x j Rxi. Более подробно свойства отношений обсуждаются в § 5.3., так как для нашего рассмотрения это не имеет значения. Наиболее часто используются на практике следующие типы отношений:

а) порядок (например, один элемент больше либо меньше другого, лучше или хуже другого и т.д.);

б) предпочтение (один элемент не больше либо не меньше другого, не лучше или не хуже другого и т.п.);

в) эквивалентность (один элемент подобен другому по какому-либо свойству, например, по назначению);

г) причина–следствие (один элемент является причиной или следствием другого, например, как причина и признак неисправности).

Существуют и другие типы отношений, например, сходство, различие, тождество и т.п. Отметим, что не любое множество элементов образует систему, а лишь такое, на элементах которого задано некоторое отношение. Мы хотим определить порядковую структуру системы, соответствующую данному отношению. Эта процедура, как отмечалось выше, называется ранжированием элементов или расположением элементов в порядке очередности по заданному отношению. Рассмотрим сначала систему, не содержащую циклов. Пусть X – конечное множество, на элементах которого задано отношение порядка R «Существует путь из элемента xi в элемент xj, или xi предшествует xj». Пусть для определенности элементы xi – это этапы выполнения некоторого инвестиционного проекта. Отношение R принято задавать матрицей инциденций, которая получается на основе изучения реального объекта, в нашем случае инвестиционного проекта. Эта матрица представляет собой булеву матрицу, состоящую из нулей и единиц, в которой единица означает, что между соответствующими элементами выполняется отношение R, а нуль – что не выполняется. Для нашего случая определим матрицу инциденций в виде:

Примечание. Единица в скобках может быть опущена, так как ее наличие определяется свойством транзитивности.

В этой матрице пустые места означают нули. Единица, например, в ячейке (x1, x4) означает, что x1 предшествует x4 и т.д. Таким образом, мы получили систему. Назовем ее условно «инвестиционной системой», так как каждому этапу проекта соответствует определенная доля инвестиций. Требуется разбить множество этапов на группы по степени проявления отношения R, т.е. по порядку следования. Для выделения уровней порядка применяется алгоритм ранжирования.

Шаг 1. Определим вектор-строку A0, равную сумме строк исходной матрицы. Напомним, что матрица является объединением своих строквекторов, поэтому сложение строк осуществляется покомпонентно. Имеем Нули в строке А0 соответствуют элементам, которым не предшествуют никакие другие элементы. В нашем случае это элементы x1, x2. Они образуют первый порядковый уровень: {x1, x2} – N0 (1-й порядковый уровень).

Шаг 2. Преобразуем строку А0 следующим образом:

а) нули заменим знаком «крест» ;

б) исключим из строки значения, соответствующие «нулевым» операциям, выделенным на шаге 1, т.е. в нашем случае операциям x1 и x2.

В итоге преобразования получим строку А1:

Новые нули в строке А1 соответствуют элементам x3, x4, x5, x7, которые образуют 2-й порядковый уровень: {x3, x4, x5, x7} – N1 (2-й порядковый уровень).

Шаг 3. Действуя аналогично шагу 2, преобразуем строку А1 и получаем строку А2:

Аналогично запишем {x6, x8} – N2 (3-й порядковый уровень).

Шаг 4. Повторяя шаг 2, получаем {x9} – N3 (4-й порядковый уровень).

{x10, x11, x12, x13} – N4 (5-й порядковый уровень).

{x14} – N5 (6-й порядковый уровень).

Таким образом, структура системы состоит из отдельных элементов и шести порядковых уровней, объединяющих группы элементов по степени проявления отношения R, т.е. по порядку следования.

Рассмотрим теперь систему с циклами, имеющую более сложную структуру.

Отметим, что для использования алгоритма ранжирования, изложенного выше, необходимо появление новых нулей на каждом шаге. Если нули отсутствуют в первой или какой-то из последующих строк, то это является свидетельством, что система содержит циклы, т.е. циклические связи некоторых элементов между собой. Говорят, что два элемента xi и xj связаны циклом, если существует путь из xi в xj и обратно. Путь понимается здесь как связь элементов через отношение R между ними. Цикл может быть простым xixjxi, составным xixkxm…xnxi или автоциклом xixixi. Простой цикл будем обозначать xi xj, составной xi xj, автоцикл xi xi.

Определим систему. Пусть для определенности элементами множества Х являются дефекты продукции Х = {х1, х2,..., х8}. Зададим отношение R «Дефект xi не менее значим, чем дефект xj». Назовем полученную систему условно «диагностической системой». Задача состоит в разбиении множества Х на группы по степени проявления отношения R, т.е. по степени значимости. На основе информации о дефектах, полученной по результатам контроля продукции, составлена матрица инциденций:

Так как отношение R является отношением предпочтения, то на главной диагонали стоят единицы. Легко видеть, что вектор-строка А0, равная сумме строк исходной матрицы, не содержит нулей, следовательно, алгоритм предыдущего примера не применим. Рассматриваемая система содержит циклы, и, чтобы свести задачу к более простой, их нужно исключить.

Применим алгоритм ранжирования.

Шаг 1. Проведем анализ исходной матрицы с целью выявления циклов в системе. Анализ проводится построчно сверху вниз, начиная с первой строки. В первой строке исходным является элемент х1. Нам нужно выявить все пути, ведущие из х1, в том числе и через другие элементы, обратно в х1. Анализ показывает, что элементы х1, х4, х7 образуют класс эквивалентности C1, содержащий составной цикл и простой цикл, а также три автоцикла. Исходным во второй строке является элемент х2. Получаем аналогично, что элементы х2, х образуют класс эквивалентности С2, содержащий простой цикл и два автоцикла. В третьей строке с исходным элементом х3 элементы х3, х8 образуют класс С3, состоящий из простого цикла и двух автоциклов. Четвертая строка не анализируется, так как элемент х4 уже входит в класс С1. В пятой строке исходный элемент х5 изолированный и образует класс С4, состоящий из автоцикла. Шестая строка не анализируется, так как элемент х6 входит в класс С2. По той же причине не анализируются элементы х7 и х8, входящие в классы С1 и С3 соответственно. Таким образом, исходная система содержит четыре класса эквивалентности, объединяющих элементы, связанные циклами.

Шаг 2. Используем результат предыдущего шага для исключения циклов в матрице. С этой целью заменим в матрице единицы, соответствующие связям элементов, попавших в один и тот же класс эквивалентности, нулями.

Получаем преобразованную матрицу, в которой нули показаны только в ячейках с замененными единицами. Преобразованная матрица циклов уже не содержит, и к ней применим алгоритм предыдущего примера.

Шаг 3. Образуем вектор-строку А0, равную сумме строк преобразованной матрицы: А0 = (0 0 0 0 1 1 0 3). Выпишем нулевые элементы (х1, х2, х3, х4, х7).

Отдельные элементы нивелированы (устранены), и мы должны оперировать классами эквивалентности. Элементы х1, х4 и х7 образуют класс C1, который и показывается на первом порядковом уровне C1 – N0 (1-й порядковый уровень). Элементы х2, х3 самостоятельно класс не образуют, так как им не хватает «партнеров» – элементов х6 и х8 соответственно. Поэтому элементы х2 и х3 на этом уровне не показываются.

Шаг 4. Преобразуем строку А0 так же как в предыдущем примере, заменяя нули крестами и исключая значения, соответствующие всем нулевым элементам (х1 х2 х3 х4 х7). Получаем строку А1 = ( 0 0 1). Выписываем нулевые элементы (х5 х6). Элемент х6 с ранее выделенным элементом х2 образует класс С2. Элемент х5 образует класс С4. Имеем С2, С4 – N1 (2-й порядковый уровень).

Шаг 5. Наконец, преобразуя А1 аналогично предыдущему, получаем строку А2 = ( 0). Нулевой элемент х8 с ранее выделенным элементом х образует класс С3, который показывается на этом уровне. Имеем С3 – N (3-й порядковый уровень).

Таким образом, структура системы является более сложной, чем в предыдущем примере, так как в ней имеется два типа отношений (предпочтения и эквивалентности) между элементами. Структура системы состоит из трех порядковых уровней, четырех классов эквивалентности и отдельных элементов.

В заключение отметим, что методы ранжирования позволяют моделировать структуру системы, определяемую отношениями между элементами. Сами же отношения отражают цели, для которых используется система.

В этом разделе рассматриваются общие закономерности моделирования поведения систем. Интерес представляет, прежде всего, математическое моделирование, т.е. возможность формализованного описания систем.

Применительно к системам модели могут быть качественными декларативными и носить характер описания свойств. Такие модели полезны, так как способствуют пониманию, но если мы хотим что-то точно предсказать, проверить, рассчитать или сделать, то необходимы формальные количественные модели. Построение модели определяется целью исследования или, иными словами, чтобы получать разумные ответы, нужно задавать разумные вопросы. Основными требованиями к модели являются удобство и адекватность. Удобство модели определяется степенью ее детализации и формой представления, возможностью интерпретации ее параметров.

Адекватность модели характеризует ее пригодность для описания системы и достижения цели исследования. В первом случае модель должна быть достаточно простой, во втором – достаточно сложной. Эти критерии противоречивы или, лучше сказать, взаимно дополнительны, как если бы некто, разглядывая объект в микроскоп, пытался сохранить и детали, и поле зрения.

Еще одним критерием является полнота, или универсальность модели.

Применительно к сложным системам это требование редко выполняется.

Скорее имеет место множественность моделей, фиксирующая уровень нашего незнания и ограниченные возможности экспериментирования и проверки истинности (верификации) моделей, а без наличия новых фактов, требующих объяснения, процесс моделирования лишен необходимой основы. Мы вынуждены по части судить о целом, что почти всегда приводит к неоднозначности построения (синтеза) модели. Проблема синтеза не решается однозначно без дополнительных ограничений, выдвигаемых самим исследователем. Конечно, играет роль и феноменология, т.е. умозрительные построения, но это часто не устраняет неоднозначности. Эмпирические модели строятся на основе обобщения экспериментальных фактов, относящихся ко всем системам данного типа, методом индукции. К этому классу относятся, например, регрессионные модели, параметры которых определяются из экспериментальных данных. Теоретические модели строятся методом доказательства из исходных общих посылок (предположений), которые сами принимаются без доказательства и не противоречат опыту. К этому классу относятся, например, формальные логические модели.

Основная трудность при моделировании системы, если мы хотим определить причины поведения, состоит в выборе существенных переменных (параметров) и установлении инвариантов – функций параметров, остающихся неизменными при некоторых (допустимых) преобразованиях переменных, определяемых симметрией системы. Мы рассмотрим три уровня организации:

неживые системы, биологические (живые) системы и социальные системы (человек, общество), что обусловлено качественно различными уровнями абстракции при моделировании и выборе существенных переменных.

Неживые системы. Общим для них является то, что основную роль играют здесь физические законы, устанавливающие физические ограничения на выбор существенных переменных и допустимых преобразований. В свою очередь, физические законы являются следствием свойств симметрии пространства – времени (однородность, изотропность), что приводит к инвариантности законов относительно трансляций, вращений и т.п. Любой закон сохранения (вещества, энергии и т.п.) является следствием инвариантности некоторой функции существенных переменных относительно группы допустимых преобразований для данной системы, например относительно перестановки правого и левого, пространственного отражения в начале координат, малых вращений в произвольной точке, инвариантность относительно произвольного бесконечно малого преобразования координат, калибровочная инвариантность уравнений вещества и поля и т.п. Общим для систем этого уровня является механизм поддержания равновесия с окружающей средой – энтропийный механизм. Он состоит в том, что система может сохранять равновесие со средой только путем увеличения энтропии или, иными словами, при возрастании неопределенности в системе и ее разрушении.

Из сказанного отнюдь не следует, что уровень неживых систем является однородным с точки зрения моделирования. Здесь используются модели разной степени общности в зависимости от цели исследования. Наиболее характерными из них являются причинные модели, статистические модели, квантовомеханические модели.

Биологические системы. Для живых систем также выполняются физические законы и физические ограничения. Нас может интересовать перемещение системы в пространстве или физические процессы в организме на клеточном уровне. Однако сущность живых систем иная. Основное их свойство состоит в наличии ощущений, и этим обусловлены выбор существенных переменных, а также все закономерности и модели поведения живых систем. Основная задача для биологических макросистем состоит в изучении поведения системы во взаимоотношении с окружающей средой, которое определяется в терминах существования сообществ биологических видов, трофических связей (кто кого ест). Развитие биологических видов обусловлено такими законами, как естественный отбор, выживание наиболее приспособленного, борьба за существование, модификация видов посредством вариации, вымирание и дивергенция (расхождение) признаков и т.п. Для живых систем характерны целесообразные действия, поэтому их модели в качестве существенных переменных содержат такие величины, как вход (стимул), выход (реакция), обратная связь, информация, цель, функция. В основном, используются эмпирические модели в виде зависимостей выхода от входа, включающие линейную комбинацию переменных и взаимодействия разных порядков с неизвестными коэффициентами, которые определяются на основе опытных фактов.

Общим для взаимоотношения живых систем с окружающей средой является то, что наряду с энтропийным механизмом поддержания равновесия, появляются новые: гомеостатический и морфогенетический. Гомеостатический механизм основан на поддержании стабильности (гомеостазиса), т. е. той области значений внешних параметров (параметров среды), внутри которой возможно существование организма. Достигается это или изменением функций в ответ на внешнее воздействие, или изменением окружающей среды. Любая живая система обладает рецепторами (датчиками, сенсорами), позволяющими ей оценивать свое положение относительно границы гомеостазиса (x) и способностью к определённым действиям (u). Получая информацию (сигнал) из окружающей среды, она формирует свои действия в зависимости от характера информации с помощью обратной связи так, чтобы остаться в области гомеостазиса u f ( x). Морфогенетический механизм связан с перестройкой структуры системы и новым ростом и проявляется, когда возможности гомеостатического механизма исчерпаны.

Биологические системы относятся к классу самоуправляемых систем рефлексивного типа.

Искусственные технические системы с точки зрения моделирования поведения можно отнести к живым системам, так как они являются копиями живых систем, созданными людьми для выполнения заданных функций (достижения заданных целей). Для живых систем наряду с физическими ограничениями (ограничениями условий) важными становятся целевые (критериальные) ограничения, которые система устанавливает сама для поддержания равновесия со средой. Для технических систем целевые (критериальные) ограничения устанавливаются людьми при проектировании и использовании этих систем. При этом физические ограничения влияют на целевые и должны ими учитываться.

Социальные системы. Для социальных систем также имеют место физические ограничения, на них накладываются биологические ограничения.

Нас может интересовать перемещение систем в пространстве, ощущения и инстинкты людей и т.п. Однако сущность социальных систем иная. Основное их свойство состоит в разумности, и этим свойством обусловлены выбор существенных параметров и все закономерности и модели поведения социальных систем. Поведение этих систем реализуется в форме разумной деятельности, направленной на достижение определенных целей. Закрепление и передача опыта происходит не путем эволюции, естественного отбора и накопления полезных признаков (хотя и это имеет место), а главным образом, посредством обучения на основе накопления знаний, обмена знаниями и их распространения в масштабах человеческого общества. Модели поведения социальных систем в качестве существенных переменных содержат такие величины, как затраты, ресурсы, продукция, эффект, результат, польза и т.п., понимаемые в широком смысле.

Обратные связи, возникающие в социальных системах, не могут быть описаны с помощью функций поведения рефлексивного типа. При моделировании таких систем необходимо учитывать процедуры обработки информации из-за их сложности, длительности, запаздывания, вносимых искажений, но главное, из-за изменения характера поведения, которое зависит от мировосприятия и описывается в терминах принятия решений на основе получаемой информации. Решение зависит от информации сложным образом, при этом зависимость не является однозначной. Кроме того, сложность связана с тем, что любая группа, любой отдельный человек в рамках социальной системы имеют свои цели и средства их достижения. Основными системными целями являются сохранение (улучшение) условий функционирования, расширение деятельности системы, минимизация усилий, получение пользы и т.п.

Гомеостатический механизм проявляется специфическим образом в форме выработки, принятия и реализации решений. Когда возможности системы в рамках гомеостатического механизма исчерпаны, используется морфогенетический механизм (перестройка, реорганизация системы).

Рассмотрим некоторые наиболее характерные классы моделей, применяемые для описания поведения систем.

Модели «вход – выход» являются наиболее распространенными. Их можно условно разделить на четыре группы: структурно-параметрические, функционально-операторные, информационные и модели целевого управления.

С каждым типом модели связан определенный «удобный» способ описания.

В моделях первой группы результат функционирования (выход) системы y представляется в виде функции, зависящей от элементов системы (их характеристик, переменных) xi и отношений между ними Rik :

y f ( xi Rik ), i 1,..., m; k 1,..., n Этот тип модели характерен для замкнутых и относительно замкнутых систем и соответствует «микроописанию» системы, когда может детально рассматриваться структура системы. Наиболее известная модификация (3. 3.1) представляется как линейная комбинация аргументов и их взаимодействий разного порядка. Тогда (3.3.1) принимает вид Выражение (3.3.2) в простейшем случае может быть записано в виде разложения в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки, тогда оно описывает изменение величины y.

В моделях второй группы результат функционирования (выход) системы представляется в виде преобразования входного элемента x под действием последовательности операторов:

где R1, R2,…, Rn – операторы, описывающие процесс преобразования входного элемента. Эта модель соответствует алгоритмическому описанию поведения системы.

Модели третьей группы имеют вид где I1, I2 – информация на входе и выходе системы, соответственно; F1, F2 – функции (функционалы); n – порядок итерации; K – критерии, характеризующие условия «останова» процедуры. Эта модель соответствует схеме имитационного моделирования поведения системы.

Для модели четвертого типа результат функционирования (выход) системы представляется в виде y F (Ci, Y j, Ok ), i 1,..., m; j 1,..., l ; k 1,..., n, где Ci – набор целей, Yj – набор условий, Оk – набор ограничений, определяемые как самой системой, так и внешними системами. Этот тип модели соответствует макроописанию системы.

Отметим, что в рассмотренных моделях выход может неявно зависеть от времени через аргументы. При необходимости может быть установлена аналогия между группами моделей, заключающаяся в определении соответствия между множествами переменных (первая модель), операторов (вторая модель), информации (третья модель), векторов, описывающих внешние взаимосвязи системы (четвертая модель).

Динамические модели. Эти модели имеют вид дифференциальных уравнений первого порядка. Они получили распространение в задачах управления движением макрообъектов, а затем были перенесены на более широкую область. Трудность их применения связана с возможностью содержательной интерпретации величин, характеризующих систему. Выделяют несколько видов таких моделей: модели без управления, одноцелевые и многоцелевые модели с управлением.

Модели без управления не содержат свободных параметров или функций.

Они записываются в виде где x – фазовые переменные системы, t – время, – случайные величины, характеризующие внешние условия. В этом случае определяются не отдельные траектории, а их статистики, например, математические ожидания и дисперсии.

Одноцелевые модели. Они имеют вид где u(t) – управление, выбор которого осуществляется системой из условия достижения заданной цели. Часто используется дополнительное условие минимизации или максимизации некоторого функционала качества, например, в виде при переходе системы за время T из состояния x0 в состояние xТ.

Многоцелевые модели. Пусть поведение изучаемой системы определяется действиями нескольких систем, в распоряжении которых имеются управления u, v, w…. Тогда модель имеет вид причём управления выбираются так, чтобы удовлетворить дополнительным условиям F1 ( x, t, u, v, w,..., ) dt min, F ( x, t, u, v, w,..., ) dt min,...., которые отражают определенные интересы соответственно первой, второй и других систем. Если системы состоят из субъектов, то эти модели описывают класс систем, называемых многоцелевыми (кибернетическими), которые являются обобщением управляемых систем и имеют более сложное поведение.

Методы решения перечисленных задач при различных упрощающих предположениях хорошо известны, и мы не будем на них останавливаться.

Интерпретация фазовых переменных зависит от природы системы и целей исследования.

Логические модели. Эти модели основаны на формальной или нечеткой логике и содержат сигнатуру (область определения аргументов) и правила вывода. Сигнатура включает задание некоторого набора логических переменных, например, объединение, пересечение, дополнение, импликация и т.п., выбираемого в зависимости от предметной области. Вывод строится на основе общих правил, связывающих условие (основание) и следствие, и известных фактов о поведении системы. В качестве примера такой модели можно привести вывод на основе правил «модус поненс»1 и «модус толленс»2.

Первое правило имеет вид ( A, A B ) B, второе ( A B, B) A. Здесь A – основание, B – следствие, A, B, A, B – факты, причем во втором правиле отрицательные. Логические модели могут применяться для описания поведения живых, технических и социальных систем. Использование нечеткого вывода расширяет возможности этих моделей.

В заключение обсудим соотношение между моделями поведения, моделями программы и моделями структуры. В случае моделей поведения эквивалентно лишь поведение, программы и структуры могут быть различны. В случае моделей программ из подобия программ вытекает подобие поведения, так как программа задает поведение. В случае моделей структуры из подобия структур вытекает подобие поведения и подобие программ.

Модус поненс (от лат. Modus ponens) – заключение от истинности основания к истинности следствия.

Модус толленс (от лат. Modus tollens) – заключение от отрицания следствия к отрицанию основания.

Основу для установления соответствия моделей систем дает отношение изоморфизма. Пусть имеются две системы S1 и S2, возможно, разной природы.

Поведение S2 является моделью поведения S1, тогда и только тогда, если:

существует взаимно-однозначное соответствие между наблюдаемыми величинами систем S1 и S2;

можно установить взаимно-однозначное отображение между величинами S1 и величинами S2, в рамках которого все отношения между наблюдаемыми величинами S1 эквивалентны отношениям между соответствующими величинами S2. Тогда говорят об изоморфизме между системами с точки зрения эквивалентного поведения. Отношение изоморфизма является рефлексивным, симметричным и транзитивным, т. е. представляет собой обобщенную эквивалентность (подобие).

Этот подраздел является частью предыдущего раздела и имеет ознакомительную цель. Модели системной динамики были предложены Дж.

Форрестером2, разработавший специальный язык программирования dynamo для описания динамики предприятия. Впоследствии этот язык был усовершенствован, а сами модели применены и к другим более общим системам. В настоящее время совокупность таких моделей получила название «индустриальной динамики». Модели системной динамики описывают зависимости между состояниями и потоками изучаемой системы. Они являются разновидностью моделей принятия решений, так как их можно использовать для изучения изменений выходов системы, происходящих за счет изменений (флуктуаций) на входах этой системы. Основными компонентами моделей системной динамики являются:

- уровни, или состояния, соответствующие значениям переменных, которые будут подвергаться флуктуациям;

- потоки между уровнями, или состояниями;

- задержка, вызывающая сдвиги во времени между флуктуациями переменных;

- обратные связи между различными уровнями, или состояниями, используя которые можно осуществлять действия по управлению, основанные на результатах предыдущих действий.

Уровни и потоки связаны обобщенными разностными уровнями, в которых задержки представлены как обратные величины сглаживающих ограничений.

Разностные уравнения записываются в терминах экспоненциально сглаженных средних, что позволяет избежать необходимости вести записи по предыдущим периодам. Такая модель является замкнутой системой взаимозависимых Форрестер Дж. Основы кибернетики предприятия. – М.: Прогесс,1971;

Форрестер Дж. Динамика развития города. – М.: Прогресс, 1974;

Форрестер Дж. Мировая динамика. – М.: Наука, 1978.

уравнений (функций), связывающих различные переменные. Модель дает возможность лицу, принимающему решения (ЛПР), изучать влияние изменений параметров системы на ее стабильность. В частности, динамическая модель позволяет определить отклики на изменения входов, которые могут настолько превысить отклик на начальный сигнал, что в конечном итоге переведут систему в новое состояние равновесия. Задержки в откликах системы происходят вследствие запаздывания передачи информации между уровнями или из-за отставания физических потоков в системе. К недостаткам моделей системной диагностики относится сильная зависимость поведения системы от структуры выделенных в модели уровней. Следует также иметь в виду, что эти модели применимы к замкнутым системам. Получаемые результаты, вообще говоря, не основываются не эмпирических данных, и зависят от структуры и параметров модельной системы. Эти модели не позволяют прогнозировать зависимости между переменными, которые еще не наблюдались, и проводить проверку адекватности модели путем сравнения теоретических зависимостей с наблюдаемыми в действительности. Однако моделирование структуры системы в рамках «индустриальной динамики» является полезным для определения динамической взаимозависимости между переменными системы и позволяет понять, как связаны ее характеристики. Рассмотрим иллюстративный пример.

Пусть входы системы описываются переменными x0i, а выходы системы – переменными y0 j. Обозначим x01 – затраты, x04 – спрос. Затраты x01 включают финансовые, энергетические и трудовые компоненты. Обозначим y01 – объём выпускаемой продукции, который поступает в продажу, а частично хранится в виде запасов. Составим уравнения, связывающие изменения этих величин (потоки). Мы имеем систему уравнений Величины x0i, y0 j имеют характер средних за определенный интервал времени, который выбирается в зависимости от целей исследования, например, неделя, месяц и т.п. Уравнения (3.3.1.1) не учитывают явно задержек. Задержки связаны с запаздыванием продажи по сравнению с выпуском продукции и соответствующих изменений этих величин, а также с запаздыванием поставок продукции потребителю по сравнению с заявками. Мы не будем учитывать эти задержки, так как наша цель – вывод предельных соотношений, связывающих характеристические величины. Кроме уравнений (3.3.1.1а – 3.3.1.1в) запишем очевидные ограничения Решая систему уравнений (3.3.1.1) с учетом ограничений (3.3.1.2), получаем условие стабильности системы, точнее, стабильности ее функционирования в виде Из (3.3.1.3) следует, что система заведомо нестабильна, если K11 имеет разные знаки с K 24 и K34, а знаки K 24 и K 31 одинаковые, где мы обозначили K ij – коэффициенты чувствительности, показывающие изменение выходных величин y0 j при изменении входных величин на x0i. Ясно, что учет задержек скажется на изменении коэффициентов чувствительности в сторону их уменьшения.

Поскольку материал данного параграфа является ознакомительным, мы не будем рассматривать динамические модели более сложных систем, включающих производство и сбыт, учитывающих запаздывание производства для возмещения запасов и запаздывание производства по заказам покупателей.

В полной модели должны учитываться также обратные связи между различными факторами системы: выполнение заказов; заказы на возмещение запасов; производство; заказы на основные материалы; рабочая сила; оценка запаздывания поставок; заказы покупателей; потоки денежных средств;

прибыль и дивиденды (мы здесь не разделяем полную прибыль и чистую прибыль с учетом уплаты налогов). В целом модель включает около переменных и 40 уравнений, характеризующих исходные условия. Система характеризуется примерно 40 постоянными. Более подробно с моделями системной динамики и их применением к системам разного уровня можно ознакомиться по приведенным ссылкам на работы Дж.Форрестера.

Вопросы, изложенные в этом разделе, рассмотрены в [1, 2, 5, 6, 7, 10, 11, 12].

1. Что такое проблема анализа?

2. Как решается проблема синтеза?

3. В чем состоит особенность проблемы оценки внешней среды?

4. Как решается проблема «черного ящика»?

5. Как строится порядковая функция системы без циклов?

6. Что такое ранжирование систем и их элементов?

7. Как построить порядковую функцию для системы с циклами?

8. Какие принципы используются при моделировании систем на разных уровнях:

неживые, биологические, социальные системы?

9. Какие системы относятся к классу управляемых рефлексивных систем?

10. Какие механизмы поддержания равновесия характерны для систем разного уровня:

неживые, биологические, социальные системы?

11. Как проявляют себя физические и критериальные ограничения при моделировании поведения систем?

12. Какова область применения моделей без управления, оптимизационных моделей и моделей для анализа конфликтных ситуаций?

13. Как связаны модели структуры, модели поведения и модели программы системы?

14. Объясните, что такое изоморфизм между системами?

15. Какие типы моделей используются для описания поведения систем?

16. Каковы особенности применения моделей системной динамики?

Разложение системы на части называется декомпозицией. Обратная ей процедура составления системы из отдельных частей называется агрегированием. Декомпозиция используется при анализе системы сверху вниз, т.е. от сложного к простому, от целого к части. Агрегирование – при анализе снизу вверх, т.е. от простого к сложному, от части к целому.

При декомпозиции совокупность составных частей образует так называемое декомпозиционное дерево (иерархическое дерево, дерево целей, решений), состоящее из элементов, распределенных по соподчиненным уровням. С одной стороны, дерево должно быть достаточно полным, детальным для достижения цели анализа, с другой – легко обозримым и удобным для использования. Под полнотой дерева понимается его размерность, определяемая числом элементов на каждом уровне и общим числом уровней. Полнота дерева зависит от цели анализа, точнее, от того, какой объем информации нужен исследователю для решения задачи. Например, при диагностировании системы полнота дерева должна быть выше, чем при построении функциональной схемы. Процесс декомпозиции является неформальной процедурой, требующей глубокого изучения системы. Алгоритм декомпозиции включает следующие шаги:

– определение объекта анализа и его изучение;

– определение цели (целей) анализа;

– построение модели системы в виде фрейма;

– проверка элементов уровня по критериям однородности, существенности, независимости;

– проверка числа уровней на достаточность;

– проверка схемы на пригодность для достижения цели анализа.

Рассмотрим алгоритм декомпозиции более подробно. В качестве объекта анализа может выступать любая система: процесс, проблема, факт, событие, ситуация, понятие, класс, группа, категория и т.п. Общим здесь является их зависимость от многих факторов. Изучение объекта анализа позволяет выявить существенные, а не случайные связи элементов, необходимых для детализации объекта. Определение цели (целей) анализа влияет на состав и структуру дерева, степень его детализации. Сложные системы, как правило, приходится рассматривать на нескольких срезах и строить несколько деревьев, чтобы получить достаточно полное, «объемное» представление объекта. Например, такая система, как человек, может быть рассмотрена на разных уровнях:

анатомическом, физиологическом, соматическом, психическом и т. п., при этом будут получаться разные схемы декомпозиции. Наиболее важным этапом декомпозиции является построение модели объекта, например, в виде фрейма.

Под фреймом понимается модель (структура), представляющая данный объект (ситуацию, понятие) и учитывающая его существенные свойства. Например, если произнести слово «лаборатория» или «библиотека», то в памяти возникает соответствующее представление, отражающее характерные свойства понятий, которое образует фрейм. Человек представляет информацию в виде фреймов, что дает выигрыш в быстроте восприятия. Из области человеческого мышления это понятие было перенесено в инженерию знаний и является одной из моделей представления знаний в экспертных системах. При его построении используются следующие отношения между частями системы: являться (быть) элементом класса; составлять часть, иметь свойство, иметь, быть причиной, являться следствием и т.п. Анализ модели позволяет учесть необходимое, исключив случайное, что достигается отбором элементов на каждом уровне дерева, а также определением числа уровней. При выделении элементов одного уровня используются следующие критерии:

– существенность, что означает выбор существенных (необходимых) для данного уровня (цели анализа) элементов;