«В. Н. Романов Основы системного анализа УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС Санкт-Петербург Издательство СЗТУ 2011 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего ...»

При определении подсистем типичная ошибка состоит в том, что набор подсистем оказывается неполным и слабо связанным с назначением автомобиля (например, кузов, кабина, колеса, карбюратор) либо, наоборот, избыточным, включающим большое число разнородных (структурных) частей.

При выделении подсистем нужно учитывать назначение (функцию) автомобиля – перевозка (доставка) грузов (пассажиров). Рассуждать можно так:

перевозимый объект нужно где-то разместить, значит должна быть PS1 – система загрузки (например, кузов и приспособления); нужно перевезти объект на некоторое расстояние, значит, должна быть PS2 – приводная система (например, двигатель и трансмиссия); движение должно быть упорядоченным, значит, должна быть PS3 – система управления (например, рулевое управление и тормозы); управляющее воздействие нужно передать, значит, должна быть PS4 – исполнительная система (ходовая часть). В скобках указаны структурные части, хотя они могут иметь и другой вид.

2.Окружающая среда включает наряду с перечисленными выше внешними системами S1 … S5 также ряд других систем, которые могут в первом приближении не учитываться при решении нашей задачи, например S6 – природная среда, S7 – система обучения водителей, S8 – экономическая система (заводы изготовители, торгующие организации), S9 – технологическая система и т.п.

3.Цели и назначение системы и подсистем. Назначение автомобиля – перевозка (доставка) грузов, пассажиров. Назначение подсистем вытекает из их названий и обсуждения в п.1 схемы. Цель формулируется, исходя из решаемой задачи, определяемой целями, условиями и ограничениями внешних систем.

Например, грузовой автомобиль может использоваться для перевозки мебели, для перевозки крупногабаритных грузов, для обеспечения строительных площадок материалами и т.п. В зависимости от цели требования к автомобилю изменяются. Например, они могут включать следующие показатели:

- тип груза (например, твердые строительные материалы);

- масса груза (например, 3…5 тонн);

- расстояние (например, 60…80 км);

- время доставки (например, не более 1…1,5 часа);

- характеристика местности (например, город и ближайшие окрестности);

- сохранность груза (например, потери не более 0,1%) и т.п.

4.Входы, ресурсы и затраты. Входом является объект перевозки (груз, пассажир). К ресурсам относятся: горючесмазочные материалы, а также деньги, время и усилия на перевозку. Затраты определяются как расход ресурсов на перевозку при достижении цели, например, расход бензина – 20 л, расход денег – 20 у.е., расход времени (трудозатраты) – 3 часа, расход усилий – 4000 Ккал (приведены для простоты точные оценки, хотя на практике они должны быть интервальными).

5.Выходы, результаты и прибыль. Выходом является объект перевозки (груз, пассажир), доставленный к месту назначения. К результатам относятся перевезенный груз, а также экономия денег, времени и усилий за счет перевозки при достижении целей внешних систем. Прибыль – это количественная оценка результатов в принятых единицах, например, экономия денег – 30 у.е., экономия времени – 1 час, экономия усилий - 4000 Ккал.

Результаты и прибыль оцениваются по отношению к целям системы более высокого уровня (технологический процесс, выполнение проекта, выполнение заказа и т.п.) в виде влияния на уменьшение простоев, обеспечения непрерывности технологического цикла, уменьшения рекламаций и штрафных санкций и т.п.

6.Программы, подпрограммы и работы. Для технической системы выделяется уровень работ. Например, если это грузовой автомобиль, то возможны следующие виды работ:

- перевозка грузов различного назначения (твердых, сыпучих и т.п.);

- работа по графику;

- срочная доставка груза;

- перевозка груза на дальнее расстояние и т.п.

7.Исполнители, ЛПР и руководители. Исполнитель – водитель (водительский состав); ЛПР – прораб, диспетчер, начальник участка работ;

руководитель – начальник работ, проекта, для которых выполняются перевозки.

8.Варианты системы для достижения цели определяются условиями и ограничениями п.3 схемы. Для приведенного примера это марки автомобилей, пригодные для достижения цели, например ГАЗ 53А, ГАЗ 5203, ЗИЛ 130, КАМАЗ 5410 и т.п.

9.Критерии для оценки достижения целей включают функциональные, технико-экономические, эргономические, а также специальные показатели, например грузоподъемность, максимальная скорость, мощность двигателя, проходимость, а также надежность, экономичность, эксплуатационные расходы, комфорт, удобство управления, простота ухода и обслуживания и т.п., необходимые для достижения целей внешних систем.

10. Модели принятия решений. Для автомобиля следует использовать модель 2-го типа (модель выбора), так как модель 1-го типа не применима. При этом выполняются расчеты, позволяющие выбрать вариант системы, наиболее пригодный для достижения целей внешних систем (см. пример 1).

11.Тип системы. Автомобиль – это техническая, относительно закрытая, статическая система; по преобразовательным возможностям относится к первому типу (отсутствует преобразование входного элемента).

12.Свойства системы. Автомобиль обладает свойством иерархической упорядоченности, так как может быть разложен на подсистемы (см. п.1 схемы);

автомобиль обладает свойством централизации, так как центром является двигатель; свойством инерционности, так как имеет конечное время разгона и торможения; автомобиль является адаптивной системой, так как сохраняет свою функцию при возмущающих воздействиях среды, например при изменении квалификации водителя, качества топлива, качества ухода и обслуживания, качества дороги, изменении погодных условий и т.п.

13. Принятие решения. Ответ на этот вопрос составляется аналогично примеру 1. При определении внешних систем, влияющих на принятие решения, следует дополнительно учесть природную среду.

Задача Имеется система, заданная как множество элементов с отношением.

Требуется разбить множество элементов на группы по степени проявления отношения.

Методические указания Цель задачи состоит в освоении методов формализованного описания систем и анализа их структуры с использованием методов ранжирования. В этой задаче система представлена простым графом без контуров (циклов).

Рассмотрим конкретные примеры.

Пример 1. В лаборатории имеется парк измерительных приборов. Требуется оценить пригодность приборов для решения измерительной задачи, например для измерения постоянного электрического напряжения в диапазоне (1…10) V с погрешностью не более 1%, затраты времени на измерение – не более 30 сек;

условия измерения – нормальные. Число приборов (вольтметров) равно 5.

Решение Определим систему в виде S = {X,R}, где Х – множество элементов (приборов); R – отношение порядка “Прибор ИПi лучше прибора ИПj для решения задачи”, где ИПi, ИПj Є Х. В нашем примере для простоты будем учитывать три показателя: точность, диапазон, быстродействие. Прибор ИПi считается лучше, чем прибор ИПj, если он хотя бы по одной характеристике лучше, а по остальным не хуже. Определим для отношения R матрицу инциденций, которая устроена так: если прибор ИПi лучше прибора ИПj, т.е.

отношение R выполняется, то в клетку (i,j) записывается 1; если же ИПi не лучше ИПj (хуже или равен), т.е. отношение R не выполняется, то в клетку (i,j) записывается 0. Матрица инциденций состоит, следовательно, из нулей и единиц (см.табл.1). Матрица в табл.1 построена на основе информации о приборах, имеющихся в лаборатории. Алгоритм решения строится так же, как в разделе 3.2.3 опорного конспекта.

Шаг 1. Составляем вектор-строку А0, равную сумме строк исходной матрицы А0 = (3 2 0 4 0). Нули в строке А0 дают элементы, которые лучше всех остальных по данному отношению. Эти элементы образуют порядковый уровень N0. В нашем примере это ИП3, ИП5. Делается формальная запись { ИП, ИП5.} – N0.

Шаг 2. Преобразуем строку А0, а именно а) нули заменим знаком креста ;

б) исключим из строки А0 значения, соответствующие “нулевым” элементам, т.е. ИП3 и ИП5 (рекомендуется в матрице зачеркнуть их волнистой линией). В итоге получим строку А1 = (1 0 2 ). Новые нули в строке А1 дают элементы, которые лучше остальных по заданному отношению (кроме уже выделенных элементов ИП3, ИП5). В нашем случае это элемент ИП2. Он образует порядковый уровень N1, т.е. {ИП2} – N1.

Шаг 3. Преобразуем строку А1 аналогично шагу 2 (пунктирная линия), в итоге получим строку А2 = (0 1 ). Появившийся новый нуль соответствует элементу ИП1, образующему порядковый уровень N2: {ИП1} – N2.

Шаг 4. Преобразуем строку А2, исключая значения, соответствующие “нулевому” элементу (две параллельные), и заменяя предыдущие нули крестом.

В итоге получим строку А3 = ( 0 ). Новый нуль соответствует элементу ИП4. Делаем запись: {ИП4} – N3.

Результаты показывают, что элементы множества располагаются по уровням порядка следующим образом: {ИП3, ИП5} – N0, {ИП2} – N1, {ИП1} – N2, {ИП4} – N3. Представим итоговый результат в виде порядкового графа, в котором на уровни порядка накладываются внутренние связи элементов (см.

рис. 2) Матрица инциденций для примера 1 задачи Таким образом, система разбивается на 4 порядковых уровня. Элементы (приборы) уровня N0 {ИП3, ИП5} лучше всех других по отношению R, т.е.

лучше всех подходят для решения измерительной задачи; элементы уровня N хуже всех для решения задачи.

Пример 2. Процесс сборки изделия (автомобиля, прибора и т.п.) можно рассматривать как систему, элементами которой являются отдельные операции.

Их взаимосвязь представлена матрицей инциденций, приведенной в табл. 2. По данным таблицы постройте уровни порядка следования операций по очередности. Итоговый результат представьте в виде порядкового графа.

Решение Определим систему S = {X, R}, Х – множество технологических операций, состоящее, например, из 5 операций: Х = (О1, О2, О3, О4, О5); R – отношение порядка «операция Оi предшествует операции Оj”. Матрица инциденций, представленная в табл.2, получена на основе анализа технологического процесса (она намеренно взята такой же, как в примере 1, чтобы показать, что метод решения не зависит от интерпретации множества элементов и отношения R).

Этот пример решается так же, как пример 1. На первом шаге выделяются операции О3,О5, образующие порядковый уровень N0:{О3,О5} – N0. Эти операции выполняются раньше всех других (им не предшествует никакая другая операция). На втором шаге после преобразования строки А0 выделяется операция О2: {О2} – N1, которая выполняется раньше всех других, кроме уже выделенных. На третьем шаге – операция О1: {О1} – N2 и на четвертом – операция О4: {О4} – N3. Элементы множества операций располагаются по уровням порядка следующим образом: {О3,О5} – N0, {О2} – N1, {О1} – N2, {О4} – N3. Итоговый граф имеет такой же вид, как в примере 1, только элементами в нем являются не приборы, а операции.

Таким образом, система разбивается на 4 порядковых уровня. Первыми выполняются операции уровня N0 (О3,О5), а последними – операции уровня N (О4).

Задача Любая сложная система содержит обратные связи, т.е. циклы. Дана система с циклами, отношения между элементами которой представлены матрицей инциденций. Требуется определить порядковую структуру системы.

Методические указания Цель этой задачи аналогична задаче 2, но ее особенность состоит в том, что анализируемая система является более сложной и представлена графом с циклами. Алгоритм предыдущей задачи здесь не применим, так как в системе с циклами вектор-строка А0, либо одна из последующих строк не содержит нулей. Поэтому для ее решения сначала нужно объединить элементы, связанные циклом, в группы (в классы эквивалентности). Элементы хi и хj связаны циклом, если существует путь из элемента хi в элемент хj и обратно.

Путь может быть прямым (рис.3, а) или опосредованным, т.е. через другие элементы (рис.3, б). В частности, при i=j элемент хi может замыкаться на себя, т.е. является циклическим элементом (рис.3, в).

Рис.3. Представление циклов между элементами хi и хj В матрице инциденций цикл между элементами хi и хj представляется последовательностью единиц в соответствующих ячейках, которая связывает хi и хj, например, если (i, j)=1 и (j, i)=1, то хi, хj связаны простым циклом (этому случаю соответствует рис.3, а), если (i, j)=1 и (j, k)=1, (k, i)=1, то хi и хj связаны сложным циклом (см.рис.3, б) и т.д. Циклическому элементу в матрице инциденций соответствует единица в ячейке на главной диагонали, например, если (i, i)=1, то элемент хi циклический. После выполнения указанной операции объединения все множество элементов оказывается разбитым на несколько классов эквивалентности, например: С1= (х1, х5, х6), С2 = (х3, х4), С3= (х2, х7, х10), С4= (х8) и т.д. Элементы в каждом классе связаны между собой циклами, т.е.

считаются неразличимыми. Затем алгоритм решения задачи 2 применяется уже не к отдельным элементам, а к классам С1, С2, С3, С4, так как эти классы образуют простой граф без контуров. Для построения уровней порядка на классах в исходной матрице все единицы в ячейках матрицы, связывающих элементы из одного класса, заменяются нулями. После этого выделяются уровни порядка так же, как в задаче 2. Итоговый порядковый граф будет содержать не отдельные элементы, а классы.

Рассмотрим пример.

Пример 1. По результатам испытаний приборостроительной продукции были выявлены типовые неисправности и проведено их ранжирование по ряду признаков. Соответствующая матрица инциденций дана в табл. 3. Постройте уровни порядка на множестве неисправностей по отношению предпочтения («не менее важен, чем»). Итоговый результат представьте в виде порядкового графа.

Решение Из табл.3 видно, что вектор-строка А0, равная сумме строк исходной матрицы, не содержит нулей, т.е. алгоритм задачи 2 применить невозможно.

Решение строится по алгоритму, рассмотренному в § 3.3. Он представлен ниже более подробно.

Шаг 1. Проводим анализ исходной матрицы с целью выявления циклов.

Анализ проводится последовательно сверху вниз, начиная с первой строки.

Каждый элемент должен входить в один и только в один класс эквивалентности. Если какой-то элемент, например х1, уже проанализирован и включен в класс эквивалентности, то к нему уже не возвращаются при дальнейшем анализе. Класс эквивалентности может содержать цикл, а может состоять из отдельных изолированных элементов.

1-я строка: исходный элемент х1. Выявляем его связи с другими элементами:

х1 связан с х3 и х5. Смотрим строку х3. Наша цель – установить, есть ли обратный путь из х3 в х1. Элемент х3 связан с х5 и х7; х5 связан с х4 (возврат), т.е.

пути к х1 нет. Смотрим строку х7 : х7 связан с х1 (получаем цикл). Отмечаем также, что элемент х7 – циклический. Возвращаемся к строке х1 и рассматриваем вторую ветвь: х1–х5. Элемент х5 связан с х4, т.е. этот путь к х1 не ведет. Наш анализ графически можно представить в виде рис. 4 (знаком отмечены пустые ветви).

Окончательно имеем класс эквивалентности С1, представленный на рис. 5.

2-я строка: исходный элемент х2. х2 связан с самим собой, т.е. он циклический; х2 связан с х6. Смотрим строку х6: х6 связан с х3 (возврат), т.е. к х пути нет, и это пустая ветвь. Окончательно класс эквивалентности С представлен на рис. 6.

3-я строка: исходный элемент х3. Он уже вошел в класс С1, т.е. анализировать его связи не нужно.

4-я строка: исходный элемент х4. Он связан с самим собой, т.е. он циклический, а также с х5. Смотрим строку х5: элемент х5 связан с х4, т.е. имеем цикл. Окончательно получаем класс С3, представленный на рис. 7.

5-я строка: исходный элемент х5. Он уже вошел в класс С3, т.е.

анализировать не нужно.

6-я строка: исходный элемент х6. Он связан с х3 (возврат), т.е. цикла нет.

Элемент х6 – изолированный и образует отдельный класс эквивалентности С4 ( см. рис. 8).

7-я строка: исходный элемент х7. Он уже включен в класс С1, т.е.

анализировать не нужно.

8-я строка: исходный элемент х8. Он не связан ни с каким другим элементом, поэтому является изолированным и образует отдельный класс эквивалентности С5 (см. рис. 9).

Таким образом, система содержит 5 классов эквивалентности.

Шаг 2. Проводится преобразование (зануление) исходной матрицы, состоящее в том, что для элементов, входящих в один класс (связанных одним циклом), единицы, соответствующие связи между ними, заменяются нулями.

1-я строка: х1 и х3 связаны циклом, поэтому в ячейке (1, 3) 1 заменяется на 0;

х1 и х5 циклом не связаны, поэтому в ячейке (1, 5) остается 1.

2-я строка: х2 –циклический элемент, поэтому в ячейке (2, 2) 1 заменяется на 0; х2 и х6; х2 и х8 циклом не связаны, поэтому в ячейках (2, 6) и (2, 8) остаётся 1.

3-я строка: х3 и х5 циклом не связаны – остается 1; х3 и х7 связаны циклом, поэтому 1 заменяется на 0.

4-я строка: х4 – циклический элемент – в ячейке (4, 4) 1 заменяется на 0; х4 и х5 связаны циклом – в ячейке (4, 5) 1 заменяется на 0.

5-я строка: х5 связан циклом с х4 – в ячейке (5, 4) 1 заменяется на 0.

6-я строка: х6 и х3 циклом не связаны – в ячейке (6, 3) остается 1.

7-я строка: х7 связан циклом с х1 – в ячейке (7, 1) 1 заменяется на 0. х7 – циклический элемент – в ячейке (7, 7) 1 заменяется на 0.

8-я строка пустая.

Отметим, что занулением мы нивелировали (устранили) различие между элементами, связанными циклом, т.е. они стали неразличимы между собой и матрица теперь циклов не содержит. Преобразованная матрица представлена в табл.4.

Шаг 3. К преобразованной матрице применим алгоритм задачи 2. Образуем вектор-строку А0, равную сумме строк исходной матрицы А0 = (0 0 1 0 2 1 0 1).

“Нулевые” элементы (х1, х2, х4, х7). Порядковый уровень образуют классы эквивалентности, а не отдельные элементы, т.е. пока не соберутся все элементы, входящие в один класс, они на данном уровне не показываются. В нашем случае элементы х1 и х7 не составляют класса (не хватает х3);

аналогично х4 не образует класса (не хватает х5); а вот элемент х2 образует класс эквивалентности С2, поэтому он составляет порядковый уровень N0:

{{C2}} – N0. Преобразуем строку А0 аналогично задаче 2, получим строку A = ( 1 1 0 0). “Нулевые” элементы: (х6, х8). Каждый из них образует отдельный класс, поэтому они выделяются на этом порядковом уровне N1:

{{C4},{C5}} – N1. Преобразуем строку А1, получим строку A2 = ( 0 ). “Нулевой” элемент х3. Он вместе с ранее выделенными элементами х1, х образует класс эквивалентности С1, который и составляет порядковый уровень N2: {{C1}} – N2. Преобразуем строку А2, получим строку А3 = ( 0 ).

“Нулевой” элемент х5. Он вместе с ранее выделенным элементом х4 образует класс С3, который и составляет порядковый уровень N3: {{C3}} – N3.

Окончательный результат имеет вид {{C2}} – N0, {{C4}, {C5}}– N1, {{C1}}– N2, {{C3}}– N3. Представим его в виде порядкового графа, в котором на уровни порядка (порядковую структуру) накладываются внутренние связи элементов (см. рис. 10).

Таким образом, система разбивается на 4 порядковых уровня. Наиболее предпочтительны (важны) классы неисправностей порядкового уровня N (класс С2), а наименее предпочтительны (важны) классы уровня N3 (класс С3).

Задача 4.

Дана проблема и возможные варианты ее решения (множество допустимых альтернатив) B1, B2, …, Bk. Каждая альтернатива оценивается множеством (списком) критериев K1, K2, …, Kn. Требуется выбрать наилучший вариант решения (наилучшую альтернативу) и оценить последствия выбора (положительные и отрицательные).

Методические указания Цель задачи – освоение методов получения оптимального решения по многим критериям. Особенность этой задачи, характерная для практических задач управления и оптимизации, состоит в том, что исходная информация представлена в виде количественных и качественных экспертных оценок.

Будем считать, что множество Парето построено (см. задачу 6). Используем для нахождения наилучшего решения метод анализа иерархий (метод собственных значений), основанный на аддитивной свертке, который позволяет найти наилучшее решение и оценить его достоверность. Название метода связано с тем, что решения принимаются на нескольких уровнях: сначала на уровне критериев, затем на уровне альтернатив. Преимуществом метода является также его применимость в нечетких ситуациях. Обычно метод применяется, когда число критериев n 10; если n 10, то используются обобщенные критерии, так чтобы их общее число не превышало 10, затем они подвергаются декомпозиции. Ниже приводится алгоритм решения.

Проводится предварительное ранжирование критериев, и они располагаются в порядке убывания важности K1 K2 … Kn (K1 важнее K2 и т.д.).

Проводится попарное сравнение критериев по важности по девятибалльной шкале и составляется соответствующая матрица (таблица) размера (n n):

равная важность – 1; умеренное превосходство – 3; значительное превосходство – 5; сильное превосходство – 7; очень сильное превосходство – 9. В промежуточных случаях ставятся четные оценки 2, 4, 6, 8. Например, если Ki умеренно превосходит Kj, то в клетку (i, j) таблицы ставится 3 (i – строка, j – столбец), а в клетку (j, i) – 1/3 (обратная величина). Форма таблицы приведена ниже.

Определяется нормализованный вектор приоритетов (НВП) по следующей схеме:

а) рассчитывается среднее геометрическое элементов в каждой строке матрицы 1 n произведение элементов первой строки, 2 n произведение элементов второй строки,..., n n произведение элементов n ой строки ;

где n – число критериев;

б) рассчитывается сумма средних геометрических: 1 2... n ;

компонентов равна единице. Каждый компонент НВП представляет собой оценку важности соответствующего критерия (1-й – первого, 2-й – второго и т.д.). Обратите внимание на то, что оценки важности критериев в таблице должны соответствовать предварительному ранжированию (см. п.1).

Проверяется согласованность оценок в матрице. Для этого подсчитываются три характеристики:

а) собственное значение матрицы max = сумма элементов 1го столбца 1й компонент НВП + сумма элементов 2го столбца 2й компонент НВП + … + сумма элементов nго столбца nй компонент НВП, где – знак умножения.

где ПСС – показатель случайной согласованности, определяемый теоретически для случая, когда оценки в матрице проставлены случайным образом, и зависящий только от размера матрицы (см. табл.5).

Размер Оценки в матрице считаются согласованными, если ОС 10-15%, в противном случае их надо пересматривать и корректировать.

Проводится попарное сравнение пригодности (ценности) вариантов по каждому критерию по той же шкале, что для критериев, и заполняются соответствующие таблицы (форма таблиц дана ниже). Подсчитываются i max, ИСi,ОСi для каждой таблицы.

Определяется общий критерий (приоритет) для каждого варианта: K(B1) = оценка B1 по первому критерию 1й компонент НВП + оценка B1 по второму критерию 2й компонент НВП + … + оценка B1 по nму критерию nй компонент НВП. Аналогично подсчитываются K(B2), K(B3) и т.д., при этом в приведенном выражении B1 заменяется соответственно на B2, B3 и т.д.

Определяется наилучшее решение, для которого значение общего критерия K максимально.

Проверяется достоверность решения, для чего подсчитываются обобщенный индекс согласования ОИС = ИС1 1й компонент НВП + ИС2 2й компонент НВП + … + ИСn согласованности ООС =, где ОПСС=ПСС для матриц сравнения вариантов по критериям. Решение считается достоверным, если ООС 10-15%, в противном случае нужно корректировать матрицы сравнения вариантов по критериям.

Следует иметь в виду, что для принятия обоснованного решения обычно приходится использовать несколько методов. Поэтому результат, полученный методом анализа иерархий, проверяется другими методами. После этого оцениваются последствия принятия решения, как положительные, так и отрицательные, имея в виду экономию (или дополнительные затраты) денег, времени, усилий и т.п., связанные с выполнением функции (достижением цели).

Рассмотрим конкретный пример.

Пример 1. Пусть проблема состоит в выборе средства измерений для решения некоторой измерительной задачи (класса задач). Число альтернатив (вариантов) равно 3. Множество альтернатив включает вариант 1 (В1) – высокоточный аналоговый прибор с визуальным отсчетом; вариант 2 (В2) – цифровой прибор;

вариант 3 (В3) – многофункциональная полуавтоматическая установка с выводом информации на экран. Каждая альтернатива оценивается по множеству критериев: точность (К1), диапазон (К2) быстродействие (К3), универсальность (К4), интенсивность эксплуатации (К5), стоимость (K6), простота и удобство эксплуатации (K7), габариты (К8) (критерии расположены в порядке убывания важности). Требуется выбрать наилучший вариант решения.

Решение Применим метод анализа иерархий. Решение строится в соответствии с методическими указаниями к этой задаче. Составляется матрица попарных сравнений критериев по важности (см. табл. 6).

Заполнение матрицы происходит следующим образом: если элемент i важнее элемента j, то клетка (i, j), соответствующая строке i и столбцу j, заполняется целым числом, а клетка (j, i), соответствующая строке j и столбцу i, заполняется обратным числом (дробью). Если же элемент j более важен, чем элемент i, то целое число ставится в клетку (j, i), а обратная величина — в клетку (i, j). Если считается, что элементы i, j одинаковы, то в обе клетки ставится единица. Сравнение элементов по относительной важности проводится по девятибалльной шкале (см. выше). При заполнении матрицы рекомендуется придерживаться следующих правил. Сначала расположите все критерии в порядке убывания их важности и пронумеруйте, т.е. тому критерию, который вы считаете в целом более важным, чем остальные, присвойте индекс К1, следующему по важности — индекс К2 и т.д. (При этом не бойтесь ошибиться, так как эта оценка предварительная и ошибку можно будет в дальнейшем исправить). При предварительном ранжировании по важности на первые места ставятся функциональные критерии, на последующие – техникоэкономические, затем эргономические и специальные (прочие). Хотя индивидуальные предпочтения могут быть разными, но нам важно получить типовое решение, основанное на системном (функциональном) подходе. Затем сформируйте таблицу. Ее заполнение проводится построчно, начиная с первой строки, т.е. с наиболее важного критерия (в нашем примере это К1). Сначала следует проставить целочисленные оценки, тогда соответственные им дробные оценки получаются из них автоматически (как обратные к целым числам). При этом учтите, что, если какой-то критерий вы предварительно сочли в целом более важным, чем остальные, то это не означает, что при попарном сравнении с другими, он обязательно будет превосходить каждый из них в отдельности.

Однако, чем важнее критерий, тем больше целочисленных оценок будет в соответствующей ему строке матрицы и сами оценки имеют большие значения.

Так как каждый критерий равен себе по важности, то главная диагональ матрицы всегда будет состоять из единиц. При назначении оценок надо обращать внимание на их взаимную согласованность. Например, если превосходство К1 над К2 значительное (оценка 5), а над К3 – между значительным и умеренным (оценка 4), то отсюда следует, что К3 будет немного превосходить К2. Поэтому при заполнении строки К3 в клетку (К3, К2) нельзя ставить произвольную оценку; она должна быть равна 2 либо 3, т.е.

показывать незначительное превосходство К3 над К2, в противном случае это приведет к рассогласованию оценок в матрице и низкой достоверности результатов. Отметим, что в рассматриваемом примере умышленно введено рассогласование оценок в табл.6, чтобы показать возможности метода. Когда заполнение матрицы закончено, все оценки проставлены и проверены на взаимную согласованность, переходят ко второму этапу.

Рассчитываются компоненты нормализованного вектора приоритетов. Для каждой строки все элементы перемножаются, и из произведения извлекается корень n-й степени (где п — число элементов). Полученные числа 1, 2, …, п суммируются = 1+ 2+ …+ п. Затем каждое из чисел делится на полученную сумму (), что дает компоненты вектора приоритетов. Так, для табл. приоритетов: a1=1/ = 0,277; второй компонент: a2= 2/ = 0,238 и т.д.

Компоненты вектора дают численную оценку относительной важности (приоритета) критериев. Из табл. 6 следует, что наиболее важным является критерий К1, а наименее важным K8. Отметим, что сумма компонентов вектора приоритетов равна единице, т.е. он нормализован.

На следующем шаге проверяется согласованность оценок в матрице. Для этого рассчитывается max, определяется индекс согласования и отношение согласованности (см. табл. 6). Вычисления выполняются в соответствии с методическими указаниями. В нашей задаче для табл. 6 n = 8, поэтому показатель случайной согласованности по табл. 5 для матрицы соответствующего порядка ПСС=1,41. Теперь находим отношение согласованности ОС = 0,1408/1,41 = 0,0999. Рекомендуется, чтобы значение ОС было не более 10…15%. Если ОС сильно выходит за эти пределы (превышает 20%), то нужно пересмотреть матрицу и проверить свои оценки. Значения max, ИС и ОС являются характеристиками матрицы и выписываются справа внизу таблицы (см. табл.6). Они позволяют оценить качество работы эксперта (степень доверия к его оценкам). В частности, чем выше значение ОС, тем меньше степень доверия к оценкам эксперта. Обратный случай, когда ОС слишком мало, например меньше 4%, говорит о слабой дифференциации критериев. Оптимально, когда ОС примерно равно размеру матрицы (в нашем случае должно быть ОС = 8…10).

На следующем этапе проводится попарное сравнение пригодности вариантов по каждому критерию. Результаты представлены в табл. 7. Матрицы составляются аналогично матрице сравнения критериев. Рекомендуется для получения осмысленных результатов предварительно проранжировать варианты по каждому критерию, а затем уже заполнять таблицу, придерживаясь предварительной ранжировки. Например, по критерию К (точность) имеем В2> В3> В1 (т.е. В2 лучше В3 лучше В1); по критерию К (диапазон) В3> В1> В2 (т.е. В3 лучше В1 лучше В2) и т. д. Соответственно при проставлении оценок в табл. 7 по критерию К1, В2 будет значительно превосходить В1 (оценка от 5 до 9) и умеренно В3 (оценка от 2 до 4); по критерию К2 уже В3 будет значительно превосходить В2 (оценка от 5 до 9) и умеренно В1 (оценка от 2 до 4) и т.п.

Сравнение пригодности вариантов по критериям Подсчитывается значение общего критерия для каждого варианта. Для этого значение компонента вектора приоритетов данного варианта по первому критерию (из табл. 7) умножаем на значение приоритета первого критерия (из табл. 6), затем значение компонента вектора приоритетов данного варианта по второму критерию умножаем на значение приоритета второго критерия и т.д.

по всем критериям. Полученные произведения суммируем и получаем значение общего критерия для первого варианта решения. В нашем примере оно равно K(B1) = 0,097 • 0,277 + 0,229 • 0,238 + …+0,559 • 0,019 = 0,334. Аналогично проводится подсчет для второго и третьего вариантов К(В2) = 0,570 • 0,277 + 0,075 • 0,238 + …+ 0,352 • 0,019 = 0,269; К(В3) = 0,333 • 0,277 + 0,696 • 0,238 + … + 0,089 • 0,019 = 0,397.

Наибольшее значение критерия имеет третий вариант, который является предпочтительным перед остальными.

Подсчитывается обобщенный индекс согласования ОИС = 0,0123 • 0,277 + 0,0382 • 0,238 + … + 0,0268 • 0,019 = 0,0289.

Определяется обобщенный показатель случайной согласованности (ОПСС) для всей матрицы. Он подсчитывается так же, как ОИС, с той разницей, что вместо ИС1, ИС2 и т.д. из табл. 7 подставляются показатели случайной согласованности, соответствующие размеру матриц сравнения вариантов, из табл. 5. В нашей задаче все эти матрицы имеют размер 3 (см. табл. 7), поэтому обобщенный показатель случайной согласованности равен ОПСС = 0,58 • 0, + 0,58 • 0,238 +... + 0,58 • 0,019 = 0,58, так как вектор приоритетов для критериев является нормализованным.

Определяется обобщенное отношение согласованности ООС = ОИС/ОПСС = 5 %, т.е. отношение согласованности приемлемое и решение является достоверным.

В заключение оценим положительные и отрицательные последствия решения. К положительным можно отнести, например, возможность решения новых измерительных задач и уменьшение потерь времени, денег и усилий на это; возможность выполнения заказов и связанный с этим доход;

удовлетворение от проделанной работы; возможность поощрения за выполненную работу; повышение престижа; уменьшение беспокойства и дополнительных эмоциональных нагрузок, связанных с необходимостью выполнения работы на стороне и т.п. К отрицательным последствиям относятся, например, увеличение рабочей нагрузки; дополнительные затраты времени на эксплуатацию и обслуживание; дополнительные затраты денег и усилий на ремонт и обслуживание; дополнительные эмоциональные нагрузки, связанные с работой; возможность понижения престижа; возможность выговора за неправильные результаты и т.п.

Следует отметить, что любой выбор сопровождается положительными и отрицательными последствиями.

Задача По данным предыдущей задачи найдите наилучшее решение, используя следующие методы: а) свертку по наихудшему критерию (с учетом важности критериев и без учета), б) метод главного критерия, в) мультипликативную свертку, г) свертку по наилучшему критерию, д) аддитивную свертку (с использованием функции полезности), е) метод расстояния. Обоснуйте применимость каждого метода, объясните полученные результаты и сделайте выводы.

Методические указания Цель задачи – освоение и правильное применение методов оптимального выбора по многим критериям в практически важных случаях. Следует иметь в виду, что возможны две постановки задачи. В первой постановке известны вес (важность) критериев и значения критериев, представляющие собой оценки пригодности вариантов по критериям. В этом случае расчеты проводятся непосредственно по соотношениям раздела 5.3 опорного конспекта с учетом приведенных ниже рекомендаций. Во второй постановке вес критериев и оценки пригодности вариантов должны устанавливаться в процессе решения задачи. Ниже рассмотрен второй тип задачи с использованием данных табл. 6, предыдущего примера..

Свертка по наихудшему критерию соответствует стратегии «пессимизма», при которой решение принимается по критерию, имеющему наименьшее значение. При учете веса критериев нужно подсчитать для каждого варианта решения значение произведения аjKj, где аj - вес критерия j, который берется из табл.6 (или из исходных данных); Kj – его значение для данного варианта решения, которое берется из табл. 7 (или из исходных данных). Сначала проводим расчет для 1-го варианта (B1): а1K1(B1), a2К2(В1), а3К3(В1) и т.д., и из полученных значений выбирается наименьшее. Затем то же самое делается для второго варианта (В2): а1K1(B2), а2K2(B2), и т.д., и из полученных значений выбирается наименьшее. Затем для 3-го варианта (В3) и т.д. для всех вариантов решений. Пусть для определенности множество альтернатив состоит из трех вариантов решений (В 1, В2, В3). Для 1-го варианта наименьшим оказалось, например, значение a2K2 (B1), для 2-го варианта – a4К4(В2), для 3-го варианта – a1К1(В3). Теперь из этих наименьших значений выбираем наибольшее, например, им оказалось a4К4(В2); тогда вариант, которому оно соответствует (в нашем случае В2), и является наилучшим.

При выполнении этой же свертки без учета веса критериев все веса аj полагаются равными обратному числу критериев, а в остальном все расчеты делаются аналогично.

Метод главного критерия применяется, когда один из критериев значительно превосходит по важности все остальные, на практике, в три и более раз (если это условие не выполняется, то метод применять не рекомендуется). Тогда решение принимается по этому критерию. Например, пусть это критерий K1. Подсчитаем его значение для каждого варианта (вес критерия учитывать не нужно, так как остальные критерии не принимаются во внимание): K1(B1), K1(B2), К1(В3) и т.д. Тот вариант, для которого значение главного критерия максимально, является наилучшим.

Мультипликативная свертка позволяет учесть критерии, имеющие малые (по модулю) значения. Расчеты выполняются следующим образом (пусть для определенности множество альтернатив опять состоит из трех вариантов).

Сначала для каждого варианта подсчитывается взвешенное произведение. Для 1-го варианта имеем K(B1 ) K a1 (B1 )K a 2 (B1 )K 3 3 (B1 )....; для 2-го варианта K(B2 ) K1 1 (B2 )K a 2 (B2 )K 3 3 (B2 )....; для 3-го варианта K(B3 ) K1 1 (B3 )K a 2 (B3 )K 3 3 (B3 )...., где К – общий критерий, а число сомножителей равно числу частных критериев. Получаем три значения K(B1), К(В2), К(В3) (по числу вариантов).

Выбираем из них наибольшее, например, это оказалось К(В2), тогда В2 – наилучшее решение.

Свертка по наилучшему критерию соответствует стратегии «оптимизма».

Подсчитываем для 1-го варианта значения произведений a1K1(B1), a2К2(В1), а3К3(В1),…, anKn(B1) и из полученных значений выбираем наибольшее, например, это оказалось а3К3(В1); для 2-го варианта имеем a1K1(B2), a2К2(В2),..., anKn(B2) и выбирается наибольшее, например, это оказалось a1К1(В2); для 3-го варианта a1K1(B3), a2К2(В3),…, anKn(B3), и выбирается наибольшее значение, например, это оказалось a5K5(B3). Теперь из трех наибольших значений a3K3(B1), a1К1(В2), а5К5(В3) выбираем опять наибольшее, например, это оказалось а1К1(В2). Вариант, которому оно соответствует, является наилучшим (в нашем случае В2).

Аддитивная свертка позволяет учесть критерии, имеющие большие (по модулю) значения. Эта свертка используется в методе анализа иерархий (см.

задачу 4). Можно действовать иначе, используя функцию полезности. Оценим по 10-ти балльной шкале полезность (ценность) каждого варианта по каждому критерию. Важно учесть, что оценка полезности варианта зависит от цели, а та, в свою очередь, от условий и ограничений внешних систем. Например, если автомобиль будет использоваться для личных поездок в черте города, то это приводит к одним оценкам, если же для доставки мелких грузов, то оценки полезности по некоторым критериям изменятся; если он будет использоваться в сельской местности, то оценки опять изменятся и т.п. Поэтому при оценке полезности вариантов по каждому критерию необходимо определить цель и затем проводить оценки. Оценку полезности по каждому критерию рекомендуется проводить одновременно для всех вариантов, используя сравнительную шкалу. Например, если принять, что оценка варианта B1 по критерию K1 умеренно превосходит оценку варианта В2, то значение K1(B1) должно быть больше значения K1(B2) на 2...4 балла. Если оценка В2 сильно превосходит оценку В3 по тому же критерию, то K1(B2) должно быть больше К1(В3) уже на 6...7 баллов и т.д. Затем задается абсолютная оценка для В3, т.е.

для варианта, имеющего минимальную относительную оценку по рассматриваемому критерию. Обычно эта оценка принимается равной 1, т.е.

К1(В3) = 1 балл, тогда К1(В2) = 7...8 баллов, K1(B1) = 9...10 баллов (оценки не должны выходить за пределы 10-ти балльной шкалы). Для 1-го варианта получим значения оценок полезности K1(B1), K2(B1), К3(В1),...., Kn(B1).

Умножим каждое значение на вес соответствующего критерия, получим a1K1(B1), a2К2(В1),…, anKn(B1). Веса критериев могут быть взяты из примера задачи 4 либо определены другим способом (см. главу 5). Аналогично для 2-го варианта имеем a1K1(B2), a2К2(В2), а3К3(В2),…, anKn(B2). Для 3-го варианта имеем a1K1(B3), a2К2(В3), …, anKn(B3). Теперь подсчитаем оценку общей полезности (ценность) для каждого варианта. Для B1 получаем К(В1) = a1K1(B1)+ a2К2(В1)+ …+ an Kn(B1), для В2 имеем К(В2) = a1K1(B2) + a2К2(В2) + …+ anKn(B2), для В3 аналогично К(В3) = a1K1(B3) + a2 К2(В3) + …+ an Kn(B3).

Таким образом, имеем три значения: K(B1), К(В2), К(В3). Наилучшим считается вариант, для которого значение К максимально. Пусть, например, наибольшим является значение К(В2), тогда В2 – наилучший вариант решения.

Метод метрики (расстояния) применяется, когда по условиям задачи можно определить «идеальное» решение (Вид), имеющее абсолютный максимум сразу по всем критериям. Обозначим координаты точки максимума (K1(Вид), K2(Вид),…., Kn(Вид)). Они могут определяться по исходным данным в виде K j ( Bид ) max{K j ( B1 ), K j ( B2 ),..., K j ( Bm )}, где j 1,..., n, n – число критериев, m – число вариантов решения. В частности, если n 8, m 3, то имеем В качестве меры расстояния до идеального решения используем функцию Минковского. Подсчитывается значение этой функции для каждого варианта решения d(B1), d(В2), d (В3) и т.д. Тот вариант, для которого расстояние наименьшее, является наилучшим.

Метод пороговых критериев применяется, когда условия заданы в виде системы неравенств (см. раздел 5.3 опорного конспекта). Если пороговые значения критериев не заданы, то их можно определить по исходным данным в подсчитывается значение общего критерия по (5.3.10) для каждого варианта, как минимальное из значений K j / K j 0 для данного варианта. Получаем три значения K(B1), К(В2), К(В3). Наилучшим считается вариант, для которого значение общего критерия К максимально. Пусть, например, наибольшим (из трех наименьших!) является значение К(В1), тогда В1 – наилучший вариант решения.

Рассмотрим пример.

Пример 1. Используем результаты, полученные в примере 1 задачи 4.

Результаты по аддитивной свертке даны в этом примере, поэтому рассмотрим остальные методы.

Максминная свертка (свертка по наихудшему критерию) с учетом веса критериев. Расчеты дают (см. табл. 6, 7) K(В1) = 0,0105, K(В2) = 0,0066, K(В3) = 0,0017. Наилучшим является вариант В1.

Максминная свертка (свертка по наихудшему критерию) без учета веса критериев. В этом случае, чтобы вес критериев не учитывался, нужно в табл. все оценки сделать равными 1, тогда вес каждого критерия равен 1/n =1/ =0,125. Табл. 7 остаются без изменения. Расчеты дают К(В1) = 0,0806, К(В2) = 0,0073, К(В3) = 0,0371. Наилучшим является вариант В1.

Метод главного критерия. По данным табл. 6 критерий К1 можно считать главным лишь с оговоркой, так как он не превосходит все остальные в 3 и более раз. Расчеты дают К(В1) = 0,0270, К(В2) = 0,1580, К(В3) = 0,0924. Наилучшим является вариант В2.

Мультипликативная свертка. Расчеты дают К(В1) = 0,2640, К(В2) = 0,1625, К(В3) = 0,3453. Наилучший вариант В3.

Свертка по наилучшему критерию. Расчеты дают К(В1) = 0,055, К(В2) = 0,166, К(В3) = 0,018. Наилучшим является вариант В2.

Аддитивная свертка, использующая функцию полезности. Оценки полезности получены на основе данных табл. 7. Из табл.7 сравнения вариантов по критерию К1 следует, что их ценности относятся друг к другу как 1:6: (последний столбец таблицы). Результаты расчетов для вариантов В1, В2, В3 в относительных единицах даны в табл. 8.

Из табл. 8 получаем, что В1 соответствует оценка полезности в баллах 1/(1+6+3) 10 =1 балл; оценка для В2 составляет 6/(1+6+3) 10 = 6 баллов;

оценка для В3: 3/(1+6+3) 10 =3 балла. Аналогично получены оценки полезности вариантов по другим критериям. Используя данные из табл. 8 и K(В1)=0,2771+0,2382+0,2036+0,1316+…=3,247, K(В2)=0,2776+0,2381+0,2031+0,1311+…=2,777, K(В3)=0,2773+0,2387+0,2034+0,1313+…=3,852.

Следовательно, вариант В3 наилучший, как имеющий наибольшее значение критерия.

Метод расстояния. Определим идеальное решение, используя данные табл.

7. В качестве координат абсолютного максимума выбираются наибольшие значения НВП по каждому критерию, а именно, К1(Вид)=0,570, К2(Вид)=0,696, К3(Вид)=0,574, К4(Вид)=0,645, К5(Вид)=0,333, К6(Вид)=0,645, К7(Вид)=0.635, К8(Вид)=0,559.

Расстояние Хемминга (p = 1). Подсчитаем значение меры расстояния для d ХЕМ ( B1 ) 0, 267 ; d ХЕМ ( B2 ) 0,332 ; d ХЕМ ( B3 ) 0, 204. Наилучший вариант В3, так как ему соответствует наименьшее значение меры.

Расстояние Евклида (p = 2). Для меры расстояния имеем в этом случае вариантов дает d Е ( B1 ) 0,173 ; d Е ( B2 ) 0,196 ; d Е ( B3 ) 0, 096. Наилучший вариант В3.

Расстояние по максимальному различию (p = ). В этом случае имеем для меры расстояния d max ( Bi ) max a j K j ( Bi ) K j ( Bид ), что дает d max ( B1 ) 0,131 ;

d max ( B2 ) 0,148 ; d max ( B3 ) 0, 0656, т.е. наилучший вариант В3.

Расстояние по минимальному различию (p = ). Для меры расстояния имеем выражение d min ( Bi ) min a j K j ( Bi ) K j ( Bид ), и расчеты дают d min ( B1 ) 0 ;

d min ( B2 ) 0 ; d min ( B3 ) 0. В данном случае значение меры расстояния для всех вариантов равно нулю, поэтому можно считать все решения равнозначными.

Их можно различить, если подсчитать число нулей для каждого варианта и учесть вес «нулевых» критериев. Вариант В1 имеет четыре нуля, вариант В2 – четыре нуля, вариант В3 – два нуля. С учетом веса «нулевых» критериев предпочтение следует отдать варианту В1, как наиболее близкому к идеальному решению.

Метод пороговых критериев. Используем соотношения (5.3.9), (5.3.10). Так как пороговые значения критериев не заданы, то определяем их непосредственно из табл. 7. В качестве пороговых значений выбираются наименьшие значения НВП для каждого критерия (сравните с методом расстояния!), а именно K10=0,097; K20=0,075; K30=0,065; K40=0,058; K50=0,333;

K60=0,058; K70=0,078; K80=0,089. По (5.3.10) определяем значение общего критерия для каждого варианта. Используя первые строки табл. 7 имеем K ( B1 ) min(0, 097 / 0, 097, 0, 229 / 0, 075,..., 0,333 / 0,333,..., 0,559 / 0, 089) 1. Аналогично, K ( B2 ) min(0,570 / 0, 097,..., 0,333 / 0,333,..., 0,352 / 0, 089) 1. Наконец, используя третьи строки табл. 7, находим K ( B3 ) min(0,333 / 0, 097,..., 0, 089 / 0, 089) 1. Поскольку для всех трех вариантов значение общего критерия одинаково и равно единице, то все варианты равноценны. Решения можно дифференцировать (различить), если подсчитать число единиц для каждого варианта. Наилучшим является вариант, имеющий наименьшее число совпадений с пороговыми значениями, т.е. имеющий наименьшее число единиц. В нашем случае это вариант В1 (две единицы).

Таким образом, по аддитивной, мультипликативной сверткам, а также методу расстояния при р=1, р=2, р = предпочтительным вариантом является В3; по методу главного критерия и свертке по наилучшему критерию – В2; по максминной свертке с учётом и без учёта веса критериев, методу пороговых критериев, методу расстояния при p = предпочтителен вариант В1. Так как в примере выполняются условия применения аддитивной свертки (плавное убывание весов критериев), то наилучшим (предпочтительным) следует считать вариант В3, полученный по этой свертке.

Задача По результатам опроса экспертов составлена таблица оценок m вариантов решения некоторой проблемы по n критериям. Использованы балльные оценки в пятибалльной шкале и словесные оценки, причем большей оценке соответствует лучшее значение критерия. По данным таблицы, считая все критерии одинаково важными, требуется выделить множество Пареторешений, определить наилучшее решение и оценить достоверность выбора.

Методические указания Цель задачи состоит в освоении методов построения множества Парето и методов выбора наилучшего решения. В реальных задачах выбора всегда приходится сокращать число исходных альтернатив путем построения множества Парето. Это множество состоит из попарно несравнимых альтернатив.

Рассмотрим пример.

Пример 1. По результатам опроса экспертов составлена таблица оценок пяти вариантов плана застройки территории по восьми критериям (см. табл. 9).

Использованы балльные оценки в пятибалльной шкале и словесные оценки, причем большей оценке соответствует лучшее значение критерия. По данным таблицы, считая все критерии одинаково важными, требуется а) построить множество Парето-решений; б) представить результаты сравнения оставшихся вариантов в виде диаграммы в полярных координатах (каждая координата отдельный критерий); в) используя диаграмму, определить, какой вариант (варианты) решения является предпочтительным; г) проверить результат выбора, используя подходящую свертку критериев; д) оценить ошибку выбора, если ошибка оценок таблицы составляет, например, 1,2 балла.

решения Решение Пользуясь данными табл.9, выделим множество Парето. По определению множество Парето состоит из вариантов решений, которые по всем критериям не хуже остальных и хотя бы по одному критерию лучше остальных. Один из способов построения множества Парето заключается в попарном сравнении вариантов. Сравнение осуществляется последовательно, начиная с варианта В1, т.е. он сравнивается с вариантами В2, В3 и т.д. Затем В2 сравнивается с вариантами В3, В4 и т.д., причем дальнейшие действия на каждом шаге зависят от результата сравнения. При сравнении произвольной пары вариантов, i и j (например, i=1 j=2) возможны три случая:

– вариант i не хуже варианта j по всем критериям и хотя бы по одному критерию лучше; тогда вариант j исключается из дальнейшего рассмотрения, а вариант i сравнивается с оставшимися вариантами;

– вариант j не хуже варианта i по всем критериям и хотя бы по одному критерию лучше; тогда вариант i исключается из дальнейшего рассмотрения, а вариант j сравнивается с оcтавшимися вариантами;

– по одним критериям вариант i лучше варианта j, а по другим – вариант j лучше варианта i; тогда варианты i и j считаются несравнимыми и оба должны сравниваться с оставшимися вариантами.

Поясним эти случаи примером, позволяющим действовать формально.

Случай 1 представлен ниже в виде таблицы.

Варианты Значения критериев ОВ – очень высокое значение, В – высокое, С – среднее, Н – низкое.

Условимся, что если i > j по какому-то критерию, например по К3, то ставится знак “+” в столбце К3 в строке i; если j > i по какому-то критерию, то знак “+” ставится в строке j в столбце данного критерия; если же j = i, то ничего не ставится. Проведем сравнение: по К1: i > j – ставим “+” в клетке (i, К1); по К2: i = j – ничего не ставим; по К3: i > j – ставим “+” в клетке (i, К3); по К4: i > j – ставим “+” в клетке (i, К4); по К5: i > j – ставим “+” в клетке (i, К5); по К6,К7,К8: i = j – ничего не ставим. Таким образом, имеем таблицу сравнения вариантов, приведенную ниже.

Варианты Значения критериев Так как все “+” сосредоточены в строке i, то вариант j отбрасывается.

Делается запись: i и j j отбросить.

Случай 2 (i и j меняются местами) представлен ниже в виде таблицы.

Варианты Значения критериев Действуя по правилу, изложенному выше, представим результаты сравнения вариантов в виде таблицы.

Варианты Значения критериев Так как все “+” находятся в строке j (в строке i нет ни одного “+”), то вариант i отбрасывается и исключается из рассмотрения. Делается запись:

i и j i отбросить.

Случай 3 представлен ниже в виде таблицы.

Варианты Значения критериев Действуя как и выше, представим результаты сравнения вариантов в виде таблицы Варианты Значения критериев Так знак “+” есть и в строке I, и в строке j (неважно сколько их в той и в другой строке), то варианты i и j не сравнимы (ни один из них отбросить нельзя). Делается запись: i и j не сравнимы.

Те варианты решения, которые останутся после завершения процедуры сравнения, образуют множество Парето. В нашем примере множество Парето состоит из вариантов В1, В2. Следовательно, варианты 3, 4, 5 можно исключить из дальнейшего рассмотрения.

Если исходное множество состоит из большого числа вариантов, то их непосредственное сравнение по всем критериям может оказаться утомительным. Рекомендуется следующая процедура.

Для каждого критерия выписываются все варианты решения, имеющие по нему наивысшую оценку. Результаты сводятся в таблицу. Для нашего примера имеем К1: В1, К5: В К2: В1, К6: В К3: В1, К7: В1, В2, В3, В К4: В2, К8: В1, Определяется наиболее часто повторяющийся вариант, т.е. встречающийся в наибольшем числе критериев (если таких вариантов несколько и они встречаются в разных критериях, то выбирается любой из них; если же они встречаются только в одних и тех же критериях, то их надо сравнить попарно по оставшимся критериям, пользуясь схемой, изложенной выше). Этот вариант включается в множество Парето. В нашем примере это В1.

Анализируются варианты решений (для каждого критерия в отдельности) для тех критериев, в которые не входит выбранный наиболее часто повторяющийся вариант. В нашем примере это критерии К4 и К5, каждому из которых соответствует всего один вариант В2. Этот вариант можно сразу же включить в множество Парето. Если какому-то критерию соответствует несколько вариантов решений, то они сравниваются попарно между собой (сравнение проводится только для вариантов, соответствующих одному и тому же критерию). При сравнении двух вариантов, например i и j, возможны рассмотренные выше три случая, в каждом из которых делается соответствующий вывод. Те варианты решений, которые останутся после завершения изложенной процедуры сравнения, включаются в множество Парето.

После того как построено множество Парето, оно записывается в окончательном виде. В нашем примере = {B1, В2}. Остальные варианты оказались исключенными из дальнейшего рассмотрения. Если сравнить между собой оставшиеся варианты (в нашем примере B1 и В2), то они окажутся несравнимыми. Если же сравнить их с отброшенными альтернативами (в нашем примере В3, В4, В5), то обязательно один из оставшихся вариантов (в нашем примере или B1, или В2) не хуже их (или одного из них) по всем критериям и хотя бы по одному критерию лучше.

Для выбора наилучшего решения к оставшимся альтернативам применяется в зависимости от условий задачи один из методов первой группы (метод свертки, метод главного критерия, метод пороговых критериев, метод расстояния и т.д.) либо графические методы, например метод диаграмм.

В нашем примере для определения наилучшего варианта из двух оставшихся построим диаграмму в полярных координатах. Диаграмма строится следующим образом. Нарисуем круг и в нем восемь равномерных шкал (по числу критериев), на которые нанесем числовые и словесные оценки для каждого варианта таким образом, что лучшие значения располагаются дальше от центра, а худшие ближе к нему (см. рис.11). В принципе, не имеет значения, как проградуированы шкалы, главное, чтобы было видно постепенное изменение критериев, отражающее тенденцию к ухудшению при движении от периферии к центру. После нанесения оценок по критериям на соответствующих шкалах соединяем точки на осях для каждого варианта замкнутой ломаной линией (полигоном). На рис.11 получились два многоугольника: первому варианту соответствует сплошная линия, а второму пунктирная. Теперь сравниваем на глаз площади многоугольников. Большей площади соответствует лучший вариант решения, причем это различие должно быть явно заметным, так как метод является приближенным. Если площади примерно одинаковы, то оба варианта практически эквивалентны. В нашем случае предпочтительным (наилучшим) является В1, так как соответствующий ему многоугольник явно превышает по площади многоугольник для В2.

Рис.11. Сравнение вариантов с помощью диаграммы Для уточнения решения в данной задаче рекомендуется использовать аддитивную свертку. Так как все критерии считаются одинаково важными, то общий критерий равен среднему значений частных критериев для каждого варианта. Подсчитаем для каждого из оставшихся вариантов величину K 1/ 8 K j. Чтобы провести расчеты, преобразуем словесные оценки в балльные по следующему правилу: очень высокое значение (очень большое) 5; высокое (большое) 4; среднее 3; низкое 2; очень низкое 1. Тогда первый вариант, что совпадает с результатом по диаграмме.

Может возникнуть вопрос, зачем применять метод диаграмм, если проще использовать аддитивную свертку. Метод диаграмм это – приближенный метод, что является его преимуществом, так как позволяет нивелировать (сгладить) ошибки в оценках вариантов по критериям, приведенных в табл. 9.

Подсчитаем ошибку выбора. Обозначим ошибку оценок таблицы s. Тогда среднеквадратичная ошибка определения общего критерия составит S K s / n, где n – число исходных критериев (в нашем примере n=8), а доверительная ошибка равна (при вероятности Р=0.95) K 2S K. На такую величину могут отличатся друг от друга значения K(B1), К(В2), К(В3) и т.д. по случайным причинам. Следовательно, если для какой-то пары вариантов разность значений общего критерия K меньше K, то эти варианты равноправны между собой (равноценны). Поэтому нет необходимости очень точно рассчитывать значение общего критерия для каждого варианта решения. Если же разность значений общего критерия K больше K, то варианты различаются значимо, и лучше тот, у которого значение критерия больше. Проведем расчеты. В нашем случае ошибка оценок таблицы составляет s = 1,2, поэтому доверительная ошибка K 0,7s 0,8 (n=8). Сравним разность К(B1) – К(B2) с ошибкой (сравнивать нужно по модулю, чтобы разность была всегда положительной). Так как разность меньше ошибки, то решения B1 и B2 являются равноправными с учетом ошибки. Хотя точный расчет дает, что B1 лучше B2, однако достоверность такого вывода сомнительна, так как значения общего критерия для этих вариантов различаются незначимо.

Задача В таблице даны два множества X и Y, а также тип отношения R. По данным таблицы выберите из множеств X и Y элементы, связанные отношением R;

определите систему, состоящую из элементов множеств X и Y, с заданным отношением R; проведите топологический анализ системы, а именно определите первый структурный вектор и вектор препятствий комплекса KX (Y,R) либо KY (X,R), число несвязных компонентов комплекса, степень связности и эксцентриситет каждого симплекса, входящего в комплекс;

укажите, какой из симплексов является наиболее адаптированным; насколько сильно связан комплекс.

Методические указания Цель этой задачи – освоение метода анализа многомерной структуры систем (многомерных связей в системах). Основную трудность может вызвать даже не сама техника анализа, а уяснение задачи, связанное с правильной интерпретацией (указанием смысла) отношения и определением системы.

Следует учитывать, что интерпретация может быть различной.

Рассмотрим конкретный пример.

Пример 1. Постройте матрицу инциденций для двух множеств объектов по отношению соответствия. Проведите топологический анализ системы по этому отношению. Первое множество Х – измерительные приборы (ИП), а второе Y – решаемые измерительные задачи (ИЗ); X = {ИП1, ИП2,..., ИП6,}; Y = {ИЗ1, ИЗ2,..., ИЗ7}. Матрица инциденций дана в табл. 10. Она соответствует отношению соответствия “Прибор ИПi соответствует задаче ИЗk, если последнюю можно решить этим прибором” (в клетке (i, k) матрицы стоит 1, если отношение выполняется, и 0 – если нет).

ИП Решение Топологический анализ проводится по алгоритму, изложенному в главе 6.

Выберем для анализа комплекс приборов. Комплекс KX (Y, R) включает симплексов, имеющих разную связность. Анализ начинается с наибольшей связности, а заканчивается связностью, равной нулю. По матрице инциденций определяем наибольшую связность, для чего находим строку с наибольшим числом единиц. Это строка ИП1, содержащая пять единиц, следовательно, наибольшая связность комплекса q = 5 1 = 4. На этом уровне связности имеется один компонент {ИП1}, т.е. 4 = 1. Понижаем уровень связности на единицу. На уровне связности q = 3 имеем два симплекса ИП1 и ИП3, так как им в матрице инциденций соответствуют строки с не менее чем четырьмя единицами. Теперь надо определить можно ли эти симплексы объединить в один компонент либо нет, т.е. различимы они по своим связям или нет. В соответствии с определением, чтобы на уровне связности q = 3 симплексы ИП и ИП3 были неразличимы, т.е. их можно было объединить в один компонент, они должны иметь по 3 + 1 = 4 общих столбца с единицами. В нашем примере таких столбцов всего два ИЗ2 и ИЗ3, т.е. симплексы объединить нельзя.

Следовательно, на уровне q = 3 имеем два различных компонента {ИП1}, {ИП3}, т.е. 3 = 2. Опять понижаем размерность на единицу. На уровне q = имеем три симплекса ИП1, ИП3, ИП2 (им в матрице инциденций соответствуют строки с не менее чем q + 1=3 единицами). Проверяем для каждой пары симплексов условия объединения в один компонент. Для этого они должны иметь по q +1 =3 общих столбца с единицами, что не выполняется.

Следовательно, на уровне q = 2 имеем три компонента {ИП1}, {ИП3}, {ИП2} и 2 = 3. На следующем уровне связности q = 1 имеем четыре симплекса ИП1, ИП2, ИП3, ИП4 (им соответствуют строки с q+1=2 единицами). Проверим условие объединения. Для объединения какой-то пары симплексов на этом уровне в один компонент достаточно, чтобы было 2 общих столбца с единицами. Условия выполняются. Так, например, симплексы ИП1 и ИП имеют общие столбцы ИЗ3, И34; симплексы ИП2 и ИП3 имеют общие столбцы ИЗ3, И36; симплексы ИП2 и ИП4 имеют общие столбцы ИЗ3, И34.

Следовательно, все симплексы связаны двумя общими столбцами, т.е. их все можно объединить в один компонент {ИП1, ИП2, ИП3, ИП4} и 1 = 1. Наконец, на уровне q = 0 аналогично определяем, что все симплексы можно объединить в один компонент (кроме симплекса ИП5, которому соответствует нулевая строка). Результаты анализа имеют вид Первый структурный вектор комплекса = (1 2 3 1 1). Вид вектора показывает, что относительно приборов комплекс сильно связан для больших и малых значений q, а для промежуточных значений q=3 и q=2 он распадается на несколько несвязных компонентов. Определим вектор препятствий D = I = (0 1 2 0 0). Он показывает, что имеется препятствие в обмене измеряемыми величинами на уровнях связности q=3 и q=2.

Для оценки степени интегрированности симплексов в комплексе рассчитаем эксцентриситет. Результаты сведены в табл. 11.

Результаты расчетов показывают, что наиболее интегрированным является ИП1, т.е. этот прибор наиболее адаптирован к решению совокупности измерительных задач.

Задача Дана проблема. Требуется построить для нее дерево решений.

Методические указания Цель задачи – освоение техники построения дерева решений. Рекомендуется сначала выбирать для анализа сравнительно простые проблемы, которые не требуют специального изучения. Эта задача вызывает наибольшую трудность, так как является неформальной. Трудность связана с правильным выбором элементов на каждом уровне дерева решений, чтобы их упорядоченная совокупность давала возможность сравнения и отбора вариантов решений.

Наиболее распространенная ошибка связана с произвольным (хаотическим) выбором элементов разной степени общности на каждом уровне.

Рассмотрим конкретный пример.

Пример 1. Требуется построить дерево решений для проблемы «дорожнотранспортное происшествие».

Решение Речь идет о построение типовой структуры для описания проблемы. На первом уровне нужно выделить наиболее общие элементы, совокупность которых определяет проблему. Выделим следующие элементы: 1 – субъект (пешеход, водитель), 2 – техническое средство (автомобиль или другой транспорт), 3 – внешние условия (условия движения).

На втором уровне определяются состояния элементов первого уровня. Для субъекта выделим 11 – физическое состояние, 12 – умственное состояние, 13 – эмоциональное состояние; для водителя следует добавить элемент 14 – квалификация. Для технического средства выделим 21 – исправность, 22 – условия в кабине (комфортность). Условия движения состоят из элементов: – дорога, 32 – погода.

На третьем уровне выделяются характеристики элементов (состояний) второго уровня. Для физического состояния выделим элементы 111 – здоровье, 112 – физическая усталость, 113 – зрение и т. п. Для умственного состояния выделим 121 – умственная усталость, 122 – невнимательность и т.п.

Для эмоционального состояния: 131 – возбуждение, 132 – нервозность и т.п.

Для квалификации: 141 – опыт, 142 – подготовка, 143 – техника вождения.

Для элемента 21 на третьем уровне выделим 211 – ремонт, 212 – текущее обслуживание (профилактика). Для элемента 22: 221 – удобство управления, 222 – освещение, 223 – шум в кабине (музыка, разговоры и т.п.). Для элемента 31 выделим 311 – качество покрытия, 312 – интенсивность движения, 313 – наличие указателей, 314 – видимость и т.п. Для элемента 32 выделим: 321 – осадки, 322 – гололед, 323 – туман и т.п.

При составлении дерева решений следует учесть, что элементы второго уровня, замыкающиеся на один элемент первого уровня, равноправны и располагаются параллельно друг другу, это же правило относится и к элементам третьего уровня, замыкающимся на один и тот же элемент второго уровня. Приведенное решение является в определенной степени типовым и может быть использовано с некоторой модификацией для других проблем.

Отметим, что мы не рассматривали здесь экстремальные факторы, которые могут быть выделены на каждом уровне, например алкогольное опьянение или сердечный приступ для субъекта, отказ системы управления для автомобиля, стихийное бедствие для окружающей среды и т.п.

Задача Эту задачу можно назвать задачей о вложении капитала. Некий предприниматель вкладывает деньги в производство или закупку товаров, которые затем продает на рынке. Требуется определить наилучшую стратегию действий предпринимателя в условиях, когда информация о спросе неполная, т.е. в условиях риска или неопределенности.

Методические указания Цель задачи состоит в применении одноцелевых моделей для поиска наилучшего решения. В условиях риска информация о спросе представлена в виде вероятности спроса. В условиях неопределенности задача усложняется, так как сведения о вероятности спроса отсутствуют. Из-за информационной неопределенности образуются издержки, связанные с перепроизводством (предложение превышает спрос) или с недопроизводством (спрос превышает предложение). Конечно, предполагается, что имеется общая информация о возможном диапазоне спроса. Рассмотрим пример, иллюстрирующий возможности одноцелевых моделей.

Пример 1. Оцените суммарные вмененные издержки для продавца молока на рынке при объеме заказа 40; 50; 60; 70 литров. Стоимость одного литра молока при оптовой закупке составляет 10 рублей, стоимость продажи 15 рублей. За заказанное, но непроданное молоко продавец ничего не получает. Составьте платежную матрицу и матрицу потерь и определите вмененные издержки из-за заниженной и завышенной величины заказа, если информация о среднем числе продаж выражается в форме распределения вероятностей требований и имеет вид, приведенный в таблице. Определите оптимальный объем заказа, минимизирующий вмененные издержки. Как изменится стратегия продавца в условиях неопределенности?

Решение Решение этой задачи зависит от имеющейся информации. В условиях определенности объем заказа в точности равен объему закупки, поэтому вмененные издержки не возникают. В условиях риска имеется информация о вероятности объема продаж, что соответствует рассматриваемому случаю.

Составим платежную матрицу чистого дохода продавца для различных значений вероятности (см. табл.13).

Составим матрицу потерь (см. табл. 14) и определим величину вмененных издержек (см. табл. 15), возникающих из-за отличия объема заказа от оптимального для данного объема продаж (потери равны нулю). В матрице потерь значения выше главной диагонали соответствуют потерям из-за заниженной величины заказа, а ниже диагонали из-за завышенной. При объеме продаж 40 литров издержки образуются только из-за завышенной величины заказа, а при объеме продаж 70 литров – только из-за заниженной.

Для получения значений издержек, приведенных в табл. 15, нужно значения величины потерь из матрицы потерь умножить на соответствующие значения вероятности. Например, 95=500,2+1000,4+1500,3 и т.д.

Объем заказа, л Ожидаемая величина вмененных издержек Ожидаемая В условиях неопределенности отсутствует информация о вероятности требований. В этом случае мы вступаем в область предположений и вынуждены делать различные допущения. Рассмотрим наиболее часто используемые подходы к назначению критериев. Самым простым является предположение о равновероятности требований, когда каждому из них приписывается вероятность 0,25. Используя матрицу потерь, найдем ожидаемую величину вмененных издержек (см. табл. 16).

Объем заказа, л объема заказа, руб. завышенного объема Из табл. 16 следует, что ожидаемые издержки возрастают при отклонении объема заказа от оптимального, а наилучшее решение сместилось в сторону меньшего объема заказа. Теперь сделаем иное предположение, а именно будем минимизировать максимальные потери продавца. Используя матрицу потерь получим, считая все требования равновероятными, следующие результаты (см.табл. 17).

заказа, л объема заказа, руб. завышенного объема Как видно из табл.17, в условиях неопределенности при разумных предположениях результаты получаются такие же, как в условиях риска, хотя ожидаемые издержки возрастают с увеличением неопределенности. Следует иметь в виду, что оптимальная стратегия зависит от предположений о вероятности требований. Этим объясняется ее смещение в сторону меньшего объема заказа при равной вероятности требований. Кроме того на нее оказывает влияние соотношение между ценой закупки и ценой продажи.

Задача Дана структурная схема системы, требуется определить ее надежность и показатель качества функционирования.

Методические указания Цель задачи состоит в применении нечетких моделей для оценки надежности и показателя качества функционирования системы, если известна ее структурная схема. При решении задачи используются соотношения, приведенные в разделе 6.2.1 опорного конспекта.

Рассмотрим конкретный пример, позволяющий освоить процедуру расчетов.

Пример 1. Схема системы состоит из трех последовательно соединенных компонентов. Первый компонент содержит два последовательных элемента, причем вероятность, что первый элемент функциональный – p1, а что второй элемент функциональный – p2. Второй компонент состоит из трех параллельных ветвей: в первой ветви содержится два последовательных элемента с вероятностями, что они функциональные p3 и p4, во второй ветви один элемент p5 последовательно соединен с двумя параллельными элементами p6 и p7, третья ветвь состоит из двух последовательных элементов p8 и p9.

Третий компонент содержит три последовательных элемента p10, p11 и p12.

Требуется определить структурную функцию системы и оценить надежность и качество функционирования системы, если известно, что качество функционирования элементов первого компонента очень высокое или высокое, элементов второго компонента – высокое или среднее, элементов третьего компонента – среднее или низкое.. Как изменится оценка надежности системы, если положить p1= p2, p3= p4= p5= p6=p7=p8=p9, p10= p11= p12. Как изменится показатель качества функционирования, если качество функционирования элементов третьего компонента довольно высокое.

Используя выражения (6.2.1.1), (6.2.1.2), выражение для структурной функции системы можно записать в виде где f1 – структурная функция первого компонента, f 2 – структурная функция второго компонента, f3 – структурная функция третьего компонента, причем f1 x1 x2, f 2 x3 x4 x5 ( x6 x7 ) x8 x9, f3 x10 x11 x12. Структурная функция не поддается сокращениям, так как все элементы ее различны. Заменяя x1 на p1, x2 на p2 и т.д. и переходя к простому сложению, получим выражение для надежности системы в виде упрощается, и мы получаем Теперь определим показатель качества функционирования системы (см.

раздел 6.2.1 опорного конспекта). Имеем так как g1 В, g 2 ОВ, g3 Н, т.е. качество функционирования низкое. Если g3 ДВ, то g S ДВ, т.е. качество функционирования довольно высокое.

4.1.Задание на контрольную работу и методические указания к ее Задания на контрольную работу охватывают основные разделы курса.

Контрольная работа состоит из 4 задач. Задания направлены на закрепление и проверку навыков анализа систем, в том числе с использованием математических методов, а также применения методов принятия решений в системах. Условия задач варьируются в зависимости от последней (i) и предпоследней (j) цифры шифра студента. При выполнении контрольной работы необходимо соблюдать следующие правила: выполнять работу аккуратно, этапы решения задачи обосновывать, в конце работы привести список использованной литературы. На титульном листе следует указать название дисциплины, фамилию преподавателя, свои фамилию, имя, отчество, номер шифра и домашний адрес. Работы, выполненные небрежно, с большим количеством зачеркиваний и исправлений к проверке не принимаются.

Перед решением задач контрольной работы следует ознакомиться с методическими указаниями и изучить теоретический материал. Затем необходимо внимательно прочитать условия задачи, понять ее содержание (смысл) и правильно выбрать вариант. В задаче № 1 вариант выбирается студентом в соответствии с условиями задачи и методическими рекомендациями или по согласованию с преподавателем, а в задачах №№ 2, 3 и 4 – самостоятельно по последней и предпоследней цифрам шифра. При выполнении «не своего» варианта, какими бы причинами это не было вызвано, решение задачи не засчитывается, и задача считается не решенной. Самостоятельное решение задачи – это маленькое открытие, которое значительно продвигает студента на пути освоения изучаемой дисциплины.

Если решение задачи все же вызывает затруднения, то можно посмотреть разбор аналогичной задачи в разделе 3.5.2. При этом следует иметь в виду, что каждая задача контрольной работы содержит «подводные камни», и ее нельзя решать чисто «механически», действуя по шаблону.

Задача № 1. Выберите хорошо известный Вам объект и проведите его системный анализ (например, это может быть измерительный или бытовой Студенты, занимающиеся в дистанционном режиме, выполняют контрольную работу в системе moodle.

прибор, транспортное средство, производственное оборудование). При анализе определите применительно к выбранной системе следующее: 1) систему в целом, полную систему и подсистемы; 2) окружающую среду; 3) цели и назначение системы и подсистемы; 4) входы, ресурсы и (или) затраты; 5) выходы, результаты и (или) прибыль; 6) программы, подпрограммы и работы;

7) исполнителей, лиц, принимающих решения (ЛПР) и руководителей; 8) варианты системы, при использовании которых могут быть достигнуты поставленные цели; 9) критерии (меры эффективности), по которым можно оценить достижение целей; 10) модели принятия решения, с помощью которых можно оценить процесс преобразования входов в выходы или осуществить выбор вариантов; 11) тип системы; 12) обладает ли анализируемая система свойствами иерархической упорядоченности, централизации, инерционности, адаптивности, в чем они состоят; 13) предположим, что фирма хочет повысить качество выпускаемой системы. Какие другие системы, кроме анализируемой, необходимо при этом учитывать. Объясните, почему на решение этой проблемы влияет то, как устанавливаются границы системы и окружающей среды.

Задача № 2. Процесс сборки изделия (автомобиля, прибора и т.п.) можно рассматривать как систему, элементами которой являются отдельные операции.

Их взаимосвязь представлена матрицей инциденций, приведенной в таблице.

По данным таблицы (см. табл. к задаче №2) постройте уровни порядка следования операций по очередности. Итоговый результат представьте в виде порядкового графа. Вариант задания выбирается в соответствии с примечанием 2 к таблице.

Примечание 1. Значение 1 в клетке (0i, 0j) таблицы (где i - строка, j - столбец) означает, что операция 0i предшествует операции 0j.

Примечание 2. Для получения варианта задания следует вычеркнуть i-ю строку и i-й столбец, а также j-ю строку и j-й столбец из исходной матрицы (оставшиеся строки и столбцы не перенумеровываются); для i = 0 и (или) j = вычеркиваются 10-я строка и 10-й столбец.

Задача № 3. По результатам испытаний приборостроительной продукции были выявлены типовые неисправности и проведено их ранжирование по ряду признаков. Соответствующая матрица инциденций дана в таблице (см. табл. к задаче №3). Постройте уровни порядка на множестве неисправностей по отношению предпочтения («не менее важен, чем»). Итоговый результат представьте в виде порядкового графа. Вариант задания выбирается аналогично задаче №2 (см. примечание 2).

Задача № 4. Дана проблема, множество альтернатив и список критериев, по которым оцениваются альтернативы (см. таблицу). Требуется определить наилучшее решение, используя следующие методы:

а) свертку по наихудшему критерию (с учетом важности критериев и без учета), б) метод главного критерия, в) мультипликативную свертку, г) свертку по наилучшему критерию, д) аддитивную свертку, е) метод пороговых критериев, ж) метод расстояния. Обоснуйте применимость каждого метода, объясните полученные результаты и сделайте выводы.

Примечание 1. Для получения варианта задания следует вычеркнуть в списке критериев, соответствующем выбранной проблеме, j-й критерий (в порядке следования); для j = 0 используется весь список критериев, где j – предпоследняя цифра шифра.

Последняя Проблема; варианты ее Список критериев цифра шифра решения (множество студента, i альтернатив) 0 Покупка автомобиля; Вместимость, мощность двигателя, варианты: престижная комфорт, обеспеченность иномарка, экономичная запчастями, цена, год выпуска, 1 Выбор измерительного Стоимость, уровень варианты: цифровой производительность (время на многофункциональный надежность, удобство продукции (например, личная безопасность, стиральной машины); экономичность, надежность, западно-европейская, обеспеченность запчастями 3 Выбор места работы; Оклад, самостоятельность, предприятие, учебный нагрузки, дополнительные выгоды, деревне, дом на юге финансовые условия покупки, 5 Отбор на должность; Деловая квалификация, опыт варианты: молодой работы, пол, возраст, чувство специалист, опытный ответственности, образование, работник среднего место жительства кандидата, возраста, бывший организаторские способности, офицер, прошедший психологическая совместимость переобучение 6 Внедрение нового Стоимость, безопасность, степень технологического автоматизации, метода (оборудования); производительность, варианты: очень новая эксплуатационные расходы, зарубежная разработка, универсальность, надежность, последняя технологическая совместимость, отечественная обеспеченность сырьем разработка, апробированная отечественная разработка 7 Выбор вида транспорта Стоимость билета, надежность, для поездки; комфортабельность, время в пути, варианты: самолет, безопасность, трудность поезд, автобус приобретения билета, удобство 8 Выбор принтера для Стоимость, качество печати, персонального скорость печати, возможность компьютера; варианты: цветной печати, простота и матричный, струйный, удобство ухода и обслуживания, 9 Оценка качества Общественная безопасность, жизни; варианты: состояние окружающей среды, промышленный центр, развлечений, возможности провинциальный повышения квалификации и малый город, пригород получения работы, медицинское столичного города обслуживание, стоимость жизни, 4.1.3. Методические указания к решению задач Задача № 1. Цель задачи состоит в освоении основных понятий и схемы системного анализа. Строго говоря, схему системного анализа целесообразно применять к открытым системам (транспортным, экономическим, технологическим, социальным и т.п.), ее применение к техническим системам носит скорее иллюстративный характер. Однако в дидактических целях рекомендуется выбрать для анализа именно техническую систему из следующего ряда (измерительный прибор, телевизор, магнитофон, холодильник, стиральную машину, транспортное средство, компьютер, производственное оборудование и т.п.). Решение этой задачи для некоторых объектов дано в [1], с. 111…114, [2], с. 129…136. Ответы на позиции схемы анализа должны быть краткими и конкретными.

Наибольшую сложность для студентов представляет определение системы в целом и функциональных подсистем. Состав системы в целом зависит от задачи, для решения которой проводится анализ. Чтобы объектом анализа являлся выбранный объект, нужно корректно сформулировать задачу, например обеспечение нормального функционирования данного объекта. Если задачу сформулировать по-другому, например проектирование или диагностирование, то объектом анализа будет уже другая система (система проектирования, система диагностирования и т.п.).

Для рассматриваемой задачи применительно к технической системе типовой набор внешних систем, составляющих систему в целом, включает:

систему исполнителя (оператор, пользователь), систему объектов, связанных с назначением данной системы (систему заказчика), например, для автомобиля это - система грузов, для компьютера - система задач и т.п., систему питания, систему обеспечения и обслуживания и т.п.

При определении функциональных подсистем следует учитывать назначение системы и ее преобразовательные возможности, а также входные элементы системы.

По преобразовательным возможностям целесообразно различать три типа систем: а) системы, в которых отсутствует преобразование входного элемента;

б) системы, в которых изменяются отдельные характеристики входного элемента (точность, форма, размеры, физические, технико-экономические параметры); в) системы, в которых изменяется назначение входного элемента.

К первому типу относятся распределительные системы, причем распределение может быть пространственным, временным и (или) на элементах некоторого множества, например, транспортные системы (распределяют в пространстве), системы распределения энергетических и водных ресурсов, системы социального обеспечения и т.п. Ко второму типу относится большинство технических систем (измерительные и вычислительные системы, бытовые приборы и т.п.). К третьему типу относятся так называемые большие системы (промышленные, технологические, экономические (на входе – сырье и комплектующие, на выходе – продукт, имеющий новое назначение).

Состав функциональных подсистем зависит также от вида входного элемента. Например, для систем, связанных с обработкой информации (измерительных, вычислительных), состав подсистем практически однотипен:

система ввода информации, система преобразования информации, система управления, система вывода, резервная система, система обеспечения условий и т.п. Для технических систем, связанных с материальными объектами, состав подсистем несколько иной, например система загрузки, приводная система, система управления, исполнительная система, вспомогательная система обеспечения и т.п.

Задача № 2. Цель задачи - в освоении методов формализованного описания систем и анализа их структуры. Алгоритм ее решения с конкретным примером дан в [1], с. 114…115, [2], с. 136…137. В этой задаче система представлена простым графом без контуров (циклов).

Задача № 3. Цель этой задачи аналогична задаче № 2, но ее особенность состоит в том, что анализируемая система является более сложной и представлена графом с циклами. Поэтому для ее решения сначала нужно объединить элементы, связанные циклом, в группы (в классы эквивалентности).

Итоговый порядковый граф будет содержать не отдельные элементы, а классы.

Следует иметь в виду, что не всякая система может быть разложена на уровни порядка. Поэтому необходим неформальный анализ результатов. В частности, в итоговом графе соединения между элементами разных классов должны быть направлены в ту же сторону, что и соединения между уровнями порядка.

Алгоритм решения задачи и примеры даны в [1], с. 46…50, [2], с. 56…60.

Задача № 4. Цель задачи - освоение и правильное применение методов принятия решения по многим критериям. Особенность этой задачи, характерная для практических задач управления и оптимизации, состоит в том, что ее решение нельзя задать в формульном виде, так как исходная информация представлена в виде качественных экспертных оценок. Методы решения этой задачи с примерами приведены в [1], с. 119…125, в [2], с.143…150. При решении этой задачи рекомендуется изучить материал в [1], с. 88…91, [2], с.

103…107.

1. Что является предметом системного анализа?

2. Каковы основные идеи системного подхода?

3. Какие задачи решает системный анализ?

4. Что означает термин «системный анализ»?

5. Из каких научных направлений сложился системный анализ?

6. Чем отличаются термины «системный подход», «системный анализ», «системология»?

7. Каковы основные причины распространения системного подхода?

8. Объясните, почему сложные системы организованы иерархически?

9. Какие ученые внесли наибольший вклад в развитие системного анализа?

10. В чем основное преимущество методологии системного проектирования по сравнению с методом улучшения систем?

11. Что такое системная парадигма?

12. На чем основан метод улучшения систем?

13. Чем отличается метод улучшения систем от системного проектирования?

14. Какие принципы обеспечивают плодотворность применения системного подхода в различных областях?

15. Что называется системой?

16. От чего зависит считать объект системой или нет?

17. Какие признаки наиболее часто используют для определения системы?

18. Как различаются системы по числу элементов?

19. По каким признакам классифицируют системы?

20. В чем отличие абстрактных и физических систем?

21. Какие системы называются техническими?

22. Какие системы называются социальными?

23. Каковы особенности больших технических систем?

24. Чем различаются дискретные, непрерывные и импульсные системы?

25. Какие признаки положены в основу классификации систем по С. Биру?

26. Как построена классификация систем по К. Боулдингу?

27. Каковы особенности классификации Дж. Миллера?

28. Что такое элемент системы?

29. Что называется подсистемой?

30. В чем состоит процесс преобразования, происходящий в системе?

31. Что называется входным и выходным элементом системы?

32. Что является входным и выходным элементом банка, магазина, производственного предприятия, страховой компании, автотранспортного предприятия, холодильника, стиральной машины, учебного института?

33. Входами какой другой системы могут быть выходы автомобиля, банка, магазина, холодильника, производственного предприятия, учебного института?

Выходы каких систем оказывают влияние на данные системы?

34. В чем состоит основное отличие входных элементов от ресурсов?

35. Что относится к ресурсам банка, учебного института, стиральной машины, магазина, автотранспортного предприятия, страховой компании, производственного предприятия, холодильника?

36. Как определяются результаты функционирования системы?

37. Что является результатом функционирования учебного института, банка, автомобиля, производственного предприятия, страховой компании, холодильника, стиральной машины, автотранспортного предприятия?

38. Как оцениваются затраты, результаты и прибыль системы?

39. Какие системы относятся к окружающей среде?

40. Объясните, что такое назначение и функция системы?

41. Какими признаками обладают системы и их элементы?

42. Как устанавливаются цели системы?

43. Объясните, для чего нужно формулировать конкретную цель при проектировании системы?

44. Какие критерии (меры эффективности) используются для оценки степени достижения цели системы?

45. Для чего в системе используются работы, задания, программы и компоненты?

46. Как определяются структура, организация, деятельность и поведение системы?

47. В чем отличие структуры системы от программы?

48. Какие системы относятся к классу автоматов?

49. Какие типы поведения характерны для автоматов?

50. Относятся ли к классу автоматов автомобиль, станок, стиральная машина, предприятие, банк, человек, институт?

51. Что такое система в целом?

52. Как и для чего определяются границы системы и окружающей среды?

53. Какие проблемы являются наиболее важными при использовании системного подхода для управления системой?

54. Как влияет установление целей на определение границ системы?

55. Как строится матрица «программы-элементы»?

56. Объясните на примере, как осуществляется управление системой?

57. В чем состоят роли планировщика и лица, принимающего решения?

58. Какие свойства систем относятся к структурным и какие к динамическим?

59. Какие факторы влияют на свойства системы?

60. Какие свойства характерны для организационно-технических систем?

61. Как можно оценить свойства системы?

62. Для чего используется схема системного анализа, из каких шагов она состоит?

63. Как определяется сложность системы?

64. Какие типы сложности имеет система?

65. Что такое предел Бреммерманна?

66. Как классифицируются системные задачи по сложности?

67. Как работает машина Тьюринга?

68. Как определяется временная функция сложности?

69. Какие классы задач можно выделить по их функции сложности?

70. Что такое проблема анализа?

71. Как решается проблема синтеза?

72. В чем состоит особенность проблемы оценки внешней среды?

73. Как решается проблема «черного ящика»?

74. Как строится порядковая функция системы без циклов?

75. Что такое ранжирование систем и их элементов?

76. Как построить порядковую функцию для системы с циклами?

77. Какие принципы используются при моделировании систем на разных уровнях: неживые, биологические, социальные системы?

78. Какие системы относятся к классу управляемых рефлексивных систем?

79. Какие механизмы поддержания равновесия характерны для систем разного уровня: неживые, биологические, социальные системы?

80. Как проявляют себя физические и критериальные ограничения при моделировании поведения систем?

81. Какова область применения моделей без управления, оптимизационных моделей и моделей для анализа конфликтных ситуаций?

82. Как связаны модели структуры, модели поведения и модели программы системы?

83. Объясните, что такое изоморфизм между системами?

84. Какие типы моделей используются для описания поведения систем?

85. Как строятся модели системной динамики?

86. Что такое декомпозиция систем и для чего она используется?

87. Как строится дерево целей?

88. Какие критерии используются при определении размеров дерева?

89. Из каких шагов состоит алгоритм декомпозиции?

90. Какие уровни выделяют при декомпозиции?

91. Объясните на примере, как строится дерево решений?

92. Из каких шагов состоит процесс проектирования систем?

93. Какие проблемы относятся к нравственным проблемам проектирования?

94. Чем обусловлены побочные эффекты при проектировании?

95. Какие модели выбора используются в различной информационной среде?

96. Какие количественные и качественные характеристики информации важны для системы?

97. Какую пользу дает информация при функционировании системы?

98. Что такое живучесть системы?

99. Какие механизмы использует система, чтобы остаться в области устойчивости с окружающей средой?

100. Какие факторы нужно учитывать при управлении системой и определении управляющих воздействий?

101. Объясните, как используется в управлении системой закон необходимого разнообразия Эшби?

102. Что понимается под принятием решений?

103. От каких факторов зависит принятие решений?

104. Что такое альтернатива, множество альтернатив, система предпочтений?

105. Из каких этапов состоит процесс принятия решений?

106. Какие признаки используются при классификации задач принятия решений?

107. В чем отличие одноцелевых и многоцелевых моделей?

108. Как строится модель «прибыль-издержки»?

109. Как строится модель «эффективность-затраты»?

110. Объясните на примере, как используются одноцелевые модели для получения наилучшего решения?

111. Чем отличаются аддитивные и мультипликативные функции полезности?

112. Как определяется вес факторов в методе А.Кли?