«Экспериментальное и теоретическое исследование дифракции акустических волн на конусах специального вида и препятствиях типа полосы ...»

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова,

физический факультет

На правах рукописи

УДК 534.26; 517.958

Валяев Валерий Юрьевич

Экспериментальное и теоретическое

исследование дифракции акустических волн на

конусах специального вида и препятствиях

типа полосы

Специальность: 01.04.06 – акустика

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н., доцент Шанин Андрей Владимирович МОСКВА – Содержание Введение................................... Обзор литературы............................. Глава 1. Экспериментальное исследование дифракционных задач методом М-последовательностей.............. §1.1. Описание методики......................... §1.2. Проверка методики......................... §1.3. Экспериментальное изучение дифракции на угле куба..... §1.4. Основные результаты главы.................... Глава 2. Численная реализация метода спектрального уравнения для двумерных задач дифракции.......... §2.1. Введение............................... §2.2. Постановка задачи.......................... §2.3. Метод спектрального уравнения.................. §2.4. Свойства спектрального уравнения................ §2.5. Численный алгоритм........................ §2.6. Результаты моделирования. Анализ точности и эффективности §2.7. Реализация алгоритма для задачи дифракции на двух полосах §2.8. Реализация алгоритма для задачи дифракции на полубесконечном экране со щелью............... §2.9. Основные результаты главы.................... Глава 3. Аналитический расчет дифракционных коэффициентов четверти плоскости и угла куба........ §3.1. Введение............................... §3.2. Основные соотношения....................... §3.3. Трехмерные формулы расщепления................ §3.4. Модифицированное представление Конторовича–Лебедева... §3.5. Формулы расщепления на сфере с разрезом........... §3.6. Пример численных расчетов.................... §3.7. Задача дифракции на трехгранном конусе............ §3.8. Основные результаты главы.................... Заключение.................................. Приложение А. Вывод соотношений, используемых при решении задач дифракции на конусах.............. §А.1. Собственные значения сферических задач............ §А.2. Представления полей в виде рядов и их асимптотики...... §А.3. Представление полей в виде контурных интегралов....... §А.4. Вывод модифицированных формул Смышляева......... Литература.................................. Введение Цели и задачи работы. В данной работе рассмотрены некоторые ска­ лярные (акустические) задачи дифракции, а именно двумерные задачи о ди­ фракции плоской волны на одной полосе, на двух полосах и на полубесконеч­ ном экране со щелью, а также трехмерные задачи дифракции на плоском и на трехгранном конусах.

Общим свойством рассматриваемых задач является то, что они отно­ сятся к классу зоммерфельдовых задач, то есть допускают сведение с помо­ щью метода отражений [1, 2] к задачам распространения на многолистных поверхностях. В работах [3–19], собранных в [20], были получены новые ана­ литические соотношения для полей в таких задачах. Эти результаты, помимо фундаментальной ценности, представляют интерес тем, что потенциально мо­ гут быть положены в основу эффективных численных методов. Однако связь между новыми соотношениями и численными методами оказывается нетри­ виальной. Данная работа ставит одной из своих целей отчасти заполнить этот пробел.

Основным результатом работы [20] для двумерных зоммерфельдовых за­ дач дифракции является метод спектрального уравнения. Этот метод заклю­ чается в том, что после ряда упрощений исходная дифракционная задача сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению. Процедуры чис­ ленного решения таких уравнений, как правило, весьма эффективны. Слож­ ность состоит в том, что коэффициенты спектрального уравнения зависят от нескольких параметров, значения которых неизвестны. Однако известны оценки роста решений, соответствующих физической постановке задачи, в особых точках этого уравнения. Целью данной работы является разработка численных алгоритмов поиска коэффициентов с помощью указанных оценок роста.

Задачи дифракции на конусах в настоящее время являются развиваю­ щейся областью теории дифракции. Основная цель при решении конической задачи — отыскание дифракционного коэффициента, т.е. зависимости ампли­ туды сферической волны, рассеянной вершиной конуса, от направлений па­ дения и рассеяния. Современный общий подход к решению конических задач был развит в работах [21–24]. Этот подход основан на отделении радиальной переменной и численном решении возникающих при этом задач для опера­ тора Лапласа–Бельтрами на части единичной сферы. В результате дифрак­ ционный коэффициент выражается через контурный интеграл по парамет­ ру разделения переменных. Подынтегральное выражение включает в себя функцию Грина оператора Лапласа–Бельтрами на части единичной сферы, которая может быть вычислена как решение интегрального уравнения Фред­ гольма на сечении поверхности конуса единичной сферой.

В работе [20] было предложено улучшение этого метода для задачи о дифракции на плоском конусе. Дифракционный коэффициент был выражен через диаграммы направленности источников специального вида, располо­ женных на ребрах рассеивателя. Эти выражения были названы трехмерны­ ми формулами расщепления. С их помощью были обоснованы новые выра­ жения для дифракционного коэффициента в виде контурных интегралов по параметру разделения переменных, подынтегральные выражения которых конструируются из сферических краевых функций Грина — предельных зна­ чений сферической функции Грина при стремлении положения источника к краю рассеивателя, сопровождающемся ростом силы источника. Было пока­ зано, что интегралы в новых формулах удобнее для вычислений, чем инте­ грал в общей формуле для конических задач.

Однако тщательный анализ показывает, что одна из трехмерных формул расщепления содержит расходящиеся интегралы, что ставит под сомнение ее справедливость и справедливость соответствующего ей выражения дифрак­ ционного коэффициента в виде контурного интеграла. Кроме того, не было предложено конструктивного способа вывода новых выражений в виде кон­ турных интегралов: они были «угаданы», а затем обоснованы с помощью трудоемкой процедуры. Необходимость угадывания формул осложняет при­ менение развитых методов к более сложным задачам, в частности, к задаче дифракции на трехгранном конусе. Кроме того, осталась невыявленной связь между новым и общим методами. Данная работа ставит своей целью запол­ нить указанные пробелы и применить новые методы к задаче дифракции на трехгранном конусе.

При решении сложных задач достоверность теоретического исследова­ ния часто подтверждается экспериментальными измерениями. Эксперимен­ тальные исследования задач дифракции на конусах в акустическом случае сопряжены с рядом трудностей. Величина дифракционного коэффициента, как правило, невелика, поэтому для его измерения необходима методика, обеспечивающая хорошее отношение сигнал/шум. Для этого можно использо­ вать метод М-последовательностей (MLS). Он давно и успешно применяется к изучению акустики помещений, однако его использование для исследования дифракционных задач представлено в литературе крайне слабо. Этот метод позволяет измерять импульсные отклики линейных стационарных систем. В случае акустических измерений система включает в себя неидеальные излу­ чающий и приемный тракты, влияние которых требуется учитывать. Целью данной работы является усовершенствование метода М-последовательностей, позволяющее выделять часть импульсного отклика, связанного только с ди­ фракционным процессом, а также измерение дифракционного коэффициента трехгранного конуса.

Кратко сформулируем основные цели работы:

1. Разработать численные алгоритмы решения двумерных зоммерфельдо­ вых задач методом спектрального уравнения. Проанализировать их точ­ ность и эффективность.

2. Построить физически обоснованную процедуру регуляризации расходя­ щихся интегралов, входящих в трехмерные формулы расщепления.

3. Построить технику конструктивного преобразования трехмерных фор­ мул расщепления в однократные контурные интегралы по параметру разделения переменных.

4. Найти связь между новыми выражениями дифракционного коэффици­ ента четверти плоскости в виде контурных интегралов и общей форму­ лой для конических задач.

5. Применить построенные методы к задаче дифракции на трехгранном 6. Провести эксперимент по измерению дифракционного коэффициента трехгранного конуса.

Актуальность работы. Задачи о полосе и двух полосах хорошо под­ даются численному решению традиционными методами, например, методом граничных интегральных уравнений. Однако применение этих методов к за­ даче дифракции на полубесконечном экране со щелью затруднительно в свя­ зи с тем, что рассеиватель не является компактным. С точки зрения метода спектрального уравнения указанное обстоятельство не является трудностью.

Возможность использовать для задач с компактными рассеивателями тради­ ционные методы позволяет проверять правильность получаемых результатов.

Задача о четверти плоскости может быть решена аналитически. Для это­ го четверть плоскости представляется как вырожденный конус эллиптическо­ го сечения и применяется разделение переменных в соответствующих коорди­ натах. Однако такое решение мало что дает в плане практических вычисле­ ний, поскольку поле представляется в виде ряда по собственным функциям сферической задачи, а этот ряд медленно сходится. Поэтому, несмотря на наличие точного решения, попытки построить более удобное решение этой задачи являются актуальными.

Применение к задачам о четверти плоскости и о трехгранном конусе об­ щего метода сопряжено с рядом трудностей, обусловленных наличием у рас­ сеивателей острых ребер. Кроме того, в ряде случаев общий метод становится крайне неэффективными с вычислительной точки зрения.

Представленные в литературе экспериментальные исследования дифрак­ ции на конусах немногочисленны и, как правило, относятся к электромаг­ нитному случаю. Использование М-последовательностей для исследования акустических дифракционных задач также крайне слабо представлено в ли­ тературе. Кроме того, авторы имеющихся работ, как правило, используют коммерческие MLS-системы, работающие по принципу «черного ящика», и не описывают методику проведения эксперимента.

Таким образом, в работе рассматриваются задачи, применение к кото­ рым существующих методов затруднительно или неэффективно, что позво­ ляет считать ее актуальной.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Применение теории Вайнштейна об излучении из открытого конца вол­ новода для модификации методики дифракционного акустического экс­ перимента, использующей в качестве входного сигнала М-последова­ тельность и включающей в себя процедуру восстановления дифракци­ онной части импульсного отклика методом двух микрофонов, позволя­ ет измерить дифракционный коэффициент конического препятствия с точностью 10%.

2. Построенные алгоритмы численного решения двумерных задач дифрак­ ции на препятствиях типа полосы методом спектрального уравнения позволяют достичь любой наперед заданной точности решения. Для задачи о полосе эффективность алгоритма превосходит эффективность метода граничных интегральных уравнений, если требуемая относитель­ ная точность вычисления дифракционного коэффициента превышает 104 или если произведение волнового числа на полуширину полосы больше единицы.

3. Для задач дифракции на четверти плоскости и на трехгранном кону­ се справедливы регуляризованные трехмерные формулы расщепления, выражающие дифракционный коэффициент через диаграммы направ­ ленности источников специального вида, помещенных вблизи ребер рас­ сеивателей.

4. Для модифицированного преобразования Конторовича–Лебедева, выра­ жающего поля в трехмерном пространстве через контурные интегралы по параметру разделения переменных, справедливы интегральные соот­ ношения, представляющие собой аналоги формул Планшереля и сверт­ ки для преобразования Фурье.

5. Для дифракционного коэффициента трехгранного конуса справедливо выражение в виде контурного интеграла по параметру разделения пе­ ременных от комбинации сферических краевых функций Грина.

6. Справедливы сферические формулы расщепления, выражающие нетри­ виальные связи между собственными функциями, сферической функци­ ей Грина и сферическими краевыми функциями Грина оператора Ла­ пласа–Бельтрами на единичной сфере с разрезом.

Научная новизна. Новым является проведенный эксперимент по изме­ рению дифракционного коэффициента трехгранного конуса в акустическом случае. Также новым в контексте MLS-эксперимента является использование теории Вайнштейна об излучении из открытого конца волновода для обработ­ ки экспериментальных данных.

Соотношения метода спектрального уравнения (формула расщепления, спектральное уравнение, задача об отыскании коэффициентов) для задачи о двух полосах были получены в работе [20]. В данной работе эти соотно­ шения были переформулированы для задач дифракции на одной полосе и на полубесконечном экране со щелью. Новым является численный алгоритм отыскания коэффициентов спектрального уравнения по известным оценкам роста решений.

Трехмерные формулы расщепления для задачи дифракции на четверти плоскости были получены в работе [20]. Однако одна из этих формул содер­ жала расходящиеся интегралы. В данной работе получен регуляризованный вид этой формулы.

Выражения для дифракционного коэффициента четверти плоскости, в виде контурных интегралов от сферических краевых функций Грина были получены в работе [20]. Однако одно из них было обосновано с помощью трех­ мерной формулы расщепления, содержащей расходящиеся интегралы. Кроме того все эти выражения были сначала угаданы, а затем обоснованы. В данной работе они получаются конструктивным образом с помощью модифицирован­ ного преобразования Конторовича–Лебедева.

Указанное преобразование является новым и отличается от классическо­ го выбором цилиндрической функции в ядре и контуром интегрирования.

В результате удается избежать проблем со сходимостью интегралов, однако функции, участвующие в преобразовании, перестают быть ортогональными.

Тем не менее, для введенного преобразования удается доказать справедли­ вость формул Планшереля и свертки без использования ортогональности.

Сферические формулы расщепления являются новыми и позволяют уста­ новить связь между общим выражением для дифракционных коэффициентов конических препятствий и новыми выражениями для дифракционного коэф­ фициента четверти плоскости.

Все вышесказанное о задаче дифракции на четверти плоскости отраже­ но на рис. 1. Пунктирными стрелками показаны предыдущие результаты, сплошными — новые.

Трехмерная формула расщепления и выражение дифракционного коэф­ фициента трехгранного конуса в виде контурного интеграла от комбинации сферических краевых функций Грина являются новыми.

Достоверность Достоверность экспериментальных результатов обеспе­ чивается тестированием методики на простых случаях (распространение в пустом полупространстве, дифракция на торце цилиндра), при котором по­ лученные результаты сравнивались с точным решением и результатами чис­ Проблема:

расходящиеся интегралы Рис. 1. Различные подходы к решению задачи о четверти плоскости. Пунктирными стрел­ ками показаны предыдущие результаты, сплошными — новые.

ленного моделирования. Кроме того, измеренные значения дифракционного коэффициента сравниваются с вычисленными по общей формуле для дифрак­ ционного коэффициента конических препятствий.

Достоверность результатов, относящихся к плоским задачам дифрак­ ции обеспечивается сравнением с решениями соответствующих интегральных уравнений для задач об одной и о двух полосах и проверкой выполнения граничных условий для восстановленного поля в случае полубесконечного экрана со щелью.

Достоверность аналитических результатов, относящихся к коническим задачам, обеспечивается корректным использованием математического аппа­ рата при их обосновании.

Практическая значимость. Описанная в работе методика эксперимен­ та может быть использована для исследования дифракции на препятствиях сложной формы. Такие измерения могут быть полезны, например, для кон­ троля результатов численного моделирования. Кроме того, данная методи­ ка позволяет измерять дифракционные коэффициенты конических препят­ ствий.

Построенные алгоритмы численного решения плоских задач дифракции могут быть использованы для эффективного вычисления полей, рассеянных протяженными препятствиями типа полосы.

Решения задач дифракции на плоском и на треугольном конусах пред­ ставляют большой интерес для практически важных задач радио- и гидроло­ кации и для моделирования распространения волн в городских условиях (ди­ фракция на углах зданий). Новые выражения для дифракционных коэффи­ циентов конических препятствий могут быть использованы для их эффектив­ ного вычисления. Результаты вычислений можно применить для приближен­ ного решения задач дифракции на препятствиях сложной формы, имеющих особенности в виде плоских или трехгранных углов, с помощью геометриче­ ской теории дифракции Келлера [25, 26] или физической теории дифракции Уфимцева [27].

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. Дни дифракции’09, 26 – 29 мая 2009, Санкт-Петербург;

2. XII Всероссийская школа-семинар «Волновые явления в неоднородных средах» («Волны 2010»), 24 – 29 мая 2010, Звенигород, Московская об­ ласть, пансионат «Университетский»;

3. Дни дифракции’10, 8 – 11 июня 2010, Санкт-Петербург;

4. XXII Сессия Российского акустического общества, 15 – 17 июня 2010, 5. Дни дифракции’11, 30 мая – 3 июня 2011, Санкт-Петербург, а также на семинарах Санкт-Петербургского отделения математического ин­ ститута им. Стеклова РАН (руководитель В.М. Бабич) и Восточно-Европей­ ской ассоциации акустиков (институт проблем машиноведения РАН, руково­ дитель Д.П. Коузов).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 10 печатных ра­ ботах, из них 5 статей в рецензируемых журналах, 3 статьи в сборниках тру­ дов конференций и 2 в тезисах докладов.

Личный вклад автора Содержание диссертации и основные положе­ ния, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубли­ кованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов прово­ дилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяю­ щим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором или при его непосредственном участии.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, обзора литературы, трех глав, заключения, приложения и библиографии. Об­ щий объем диссертации 160 страниц, включающих 61 рисунок. Библиогра­ фия включает 195 наименований на 15 страницах.

Задача о дифракции на полосе (или на щели) привлекает внимание ис­ следователей с начала прошлого века [38] и до наших дней [39] и поэтому хорошо изучена. Данная задача часто используется для проверки работоспо­ собности более общих методов. Разработано большое количество методов ее решения. Рассмотрим некоторые из них.

Задача может быть точно решена методом разделения переменных в эл­ липтических координатах. Решение представляет собой ряд по функциям Ма­ тье [40, 41]. Следует отметить, что вычисление функций Матье само по себе является сложной задачей. В работе [42] данное решение было проанализиро­ вано, и были выделены выражения, соответствующие краевым волнам. Ин­ тересное обобщение этого метода предложено в работе [43]. В ней получены уравнения типа Матье для задачи дифракции на наборе полос.

Прозрачные с физической точки зрения результаты для коротковолно­ вого случая могут быть получены из рассмотрения ряда последовательных актов дифракции на краях рассеивателя. Такой ряд для задачи о дифракции на щели изучался Шварцшильдом [38] и другими исследователями [44–48].

Приближенные результаты могут быть получены при использовании подхо­ да, основанного на геометрической теории дифракции Келлера (ГТД) [49].

Были разработаны многочисленные итерационные и приближенные алгорит­ мы для решения соответствующего данной задаче интегрального уравнения [44, 50, 51].

К задаче о полосе может быть применен метод Винера–Хопфа [52]. В этом случае функциональное уравнение Винера–Хопфа в явном виде не ре­ шается, но сводится к интегральному уравнению, для которого строятся при­ ближенные решения. В этом же ряду стоят результаты работ П.Я. Уфимцева [53–57], собранные в монографии [58], а также работы [59–61].

В работе [62] ряд Шварцшильда строится для поверхностных токов. Чле­ ны ряда получаются итерированием выражающегося в элементарных функ­ циях ядра интегрального уравнения, которому удовлетворяет сумма ряда.

Неизвестные теневые токи быстро спадают при удалении от ребер рассеи­ вателя, что позволяет приближенно просуммировать ряд. Дифракционный коэффициент затем выражается в квадратурах.

Работа [63] обобщает дан­ ный метод на другие задачи. В работе [51] строится асимптотическое реше­ ние уравнения для тока для случая большого волнового размера рассеивате­ ля. Интегральное уравнение, полученное в [62], исследуется также в работах [64, 65].

Одной из важнейших работ, посвященных задаче о дифракции на поло­ се, является работа [50]. В ней с помощью метода Винера–Хопфа строится интегральное уравнение для суммы ряда Шварцшильда и утверждается су­ ществование псевдодифференциального оператора, переводящего его в инте­ гральное уравнение с разностным ядром. Показывается, что при скользящих углах падения последовательные члены ряда Шварцшильда для дифракци­ онного коэффициента имеют одинаковый порядок величины. Таким образом, этот ряд не является асимптотическим по волновому размеру рассеивателя.

Также утверждается, что в задаче о щели не могут проявляться резонанс­ ные свойства. Строится простая приближенная формула для дифракционно­ го коэффициента, удовлетворяющая принципу взаимности и анализируется формула, полученная в [53]. Развитые в [50] методы, использовались также в [66, 67].

В работах [68, 69] рассмотрена нестационарная задача о дифракции на полосе волны, имеющей профиль ступеньки. Этот подход позволяет получить в замкнутом виде решение для любого дифракционного порядка, однако пе­ реход к стационарному случаю требует суммирования бесконечного числа членов. Произведенное асимптотическое исследование позволило найти рас­ сеянное поле в дальней зоне с точностью до любой заданной отрицательной степени волнового размера полосы. Схожий метод использовался в [70]. Про­ хождение импульса через щель рассматривалось также в работах [71, 72].

Ряд математических вопросов (существование, единственность, допусти­ мые классы правых частей) для задачи о полосе подробно рассмотрены в [73]. Также в этой работе строятся длинно- и коротковолновые асимптотики для поверхностных токов. Длинноволновое приближение для задачи о щели также построено в более ранней работе [74]. Математические аспекты элек­ тромагнитной задачи рассмотрены в [75].

Существует несколько работ, посвященных сравнению различных под­ ходов к задаче о дифракции на полосе. В работе [76] сравниваются точное решение в виде ряда по функциям Матье, приближение Кирхгофа и прибли­ жение геометрической теории дифракции. В работе [77] сравнивались под­ ходы П.Я. Уфимцева и Дж. Келлера. В работе [78] точное решение численно сравнивается с приближением Кирхгофа. В работе [79] строится приближение Кирхгофа для случая скользящего падения волны и производится сравнение полученных результатов с экспериментальными данными.

В работах [80–82] решение задачи о полосе строится с помощью разло­ жения падающего поля в ряд по системе функций, для которых известно решение граничного интегрального уравнения. Этот метод во многом схож с традиционным преобразованием Фурье.

Большое количество работ посвящено попыткам обобщить метод Зоммер­ фельда [1] на случай задачи о полосе, однако ни в одной из них успех не был достигнут. Критическому обзору таких попыток посвящена работа [83]. Ос­ новными работами в этой области данный обзор называет [84] и [85, 86].

Все сказанное выше относилось к задаче с идеальными граничными усло­ виями (Дирихле или Неймана). Существует множество работ, в которых по­ хожие приближенные методы применяются к задаче о дифракции на полосе с импедансными граничными условиями, например, [87–93] или с различными граничными условиями на двух сторонах поверхности [94].

Для дифракции на системах полос существует значительно меньше ана­ литических результатов, чем для задачи о полосе.

В ряде работ построено решение задачи дифракции на бесконечной ре­ шетке, составленной из идеальных компланарных полос, в случае, когда ши­ рина проемов между полосами равна ширине самих полос. К данной задаче применялся матричный метод Винера–Хопфа [95–99], в частности, задача сво­ дилась к скалярной факторизации или к матричной факторизации по Храп­ кову [100]. В работе [101] данная задача сводится к точно решаемой задаче Римана–Гильберта. В общем случае, когда проемы и полосы имеют разную ширину задача оказывается гораздо сложнее. В работах [102–104] к задачам о дифракции на периодических решетках применялись полуаналитические ме­ тоды. Обзор работ по периодическим дифракционным решеткам содержится в монографии [105]. В работе [106] анализировалось граничное интегральное уравнение, соответствующее задаче дифракции на периодической решетке.

Путем выделения части ядра, отвечающей дифракции на одном элементе, была построена равномерная коротковолновая асимптотика решения.

Математические аспекты задач дифракции на конечных решетках рас­ смотрены в работах [107, 108]. Задача рассматривалась в весьма общем виде, а именно не делалось предположений о прямолинейности рассеивателей. До­ казаны теоремы существования и единственности, а также построены инте­ гральные уравнения для потенциалов.

Существенное развитие теории двумерных задач с кусочно-плоскими рас­ сеивателями было достигнуто в работах [3–5, 7–11, 14–18], собранных в [20].

Для этих задач в ней были построены формулы расщепления, выражающие решение через набор «эталонных» функций. Эти функции называются кра­ евыми функциями Грина и представляют собой поля источников специаль­ ного вида, расположенных на краях рассеивателей. Было доказано, что Фу­ рье-образы этих полей удовлетворяют обыкновенному дифференциальному уравнению, называемому спектральным уравнением, в котором независимой переменной выступает спектральный параметр. К сожалению, коэффициен­ ты этого уравнения оказываются зависящими от набора неизвестных пара­ метров.

В случае задачи о полосе спектральное уравнение представляет собой уравнение Гойна. С точки зрения общей теории дифференциальных уравне­ ний уравнение Гойна рассматривалось, например, в работах [109, 110].

Наиболее близкие к работе [20] результаты были получены в работах [111, 112] и особенно [113]. В них изучалось интегральное уравнение, соответ­ ствующее дифракционной задаче, и было найдено, что вследствие некоторых свойств ядра интегральное уравнение может быть сведено к дифференциаль­ ному уравнению с запаздывающим аргументом. Независимой переменной в этом уравнении является пространственная координата задачи.

Формулы расщепления для задачи о дифракции на полосе были впервые предложены в работе [113]. Позднее эта идея изучалась в работах [114–117].

Перейдем к рассмотрению работ, посвященных задачам дифракции на конусах.

Заметим, что с точки зрения математической физики даже корректная постановка таких задач является непростым делом. Существует ряд работ, посвященных этим вопросам. Например, в работе [118] была доказана тео­ рема существования для электромагнитной задачи дифракции на идеально проводящем конусе. В работах [119, 120] изучались теоремы единственности для электромагнитной и акустических задач соответственно.

В работах [121] и [122] задача дифракции на конусе рассматривалась в наиболее общей постановке, а именно как задача для оператора Гельмголь­ ца на многообразии с конической особенностью (декартовом произведении риманова многообразия на полупрямую).

Рассматриваемая в данной работе задача дифракции на четверти плос­ кости представляет собой частный случай задачи дифракции на эллиптиче­ ском конусе. Эта задача может быть решена методом разделения перемен­ ных в сферо-конических координатах. Решение представляется в виде ряда по функциям Ламэ.

Решение скалярной (акустической) задачи об эллиптическом конусе, по­ лученное с помощью разделения переменных, содержится в работах [123, 124].

Решение векторной (электромагнитной) задачи может быть получено из ре­ шения скалярной задачи при помощи метода дебаевских потенциалов [69, 125, 126]. Задача о дифракции на четверти плоскости рассмотрена с помощью раз­ деления переменных в работах [127, 128].

В работах [129–131] предложено преобразование ряда, ускоряющее его сходимость. Преобразованный ряд использован для вычислений. В работе [132] использован схожий подход, отличающийся видом преобразования ряда.

Значительный выигрыш при численном анализе дает переход с помощью преобразования Ватсона [133] от ряда по собственным функциям к контурно­ му интегралу по параметру разделения переменных. Применение этой проце­ дуры к коническим задачам дифракции описано в работах [134–137].

Итак, задача о дифракции на плоском конусе с идеальными граничными условиями имеет точное решение. Однако это не уменьшает интерес к данной задаче, так как точным решением неудобно пользоваться с практической точ­ ки зрения. Структура решения не отражает структуры рассеянного поля: из него затруднительно выделить выражения для геометрически отраженных и рассеянных ребрами волн. Контурный интеграл, к которому ряд приводится с помощью преобразования Ватсона, также не слишком удобен для вычис­ лений. Поэтому предпринималось большое число попыток построить более удобное решение.

В большом числе работ для этой цели использовался метод Винера–Хопфа [52], однако успех не был достигнут. Причина этого заключается, в первую очередь, в том, что теория функций двух комплексных переменных слож­ нее теории функций одной переменной. Существует несколько, по-видимому, неверных работ на эту тему, например [138]. Указание на то, что работа [138] неверна, содержится в [139] и [140]. Некоторый прогресс был достигнут с помощью операторных методов в работах [139, 141–144], однако явного реше­ ния в компактной форме построено не было. Приближенные формулы для дифракции на четверти плоскости построены в [128, 145, 146].

Интересный подход к решению задачи о дифракции на плоском секторе предлагается в работе [147]. В ней решение дифракционной задачи сводится к отысканию математического ожидания некоторого функционала на траек­ ториях случайных блужданий.

В работе [69] была рассмотрена нестационарная задача дифракции плос­ кой волны на произвольном конусе. Рассматривая плоские волны специаль­ ного вида, автору удалось свести исходную задачу к краевой задаче для урав­ нения Лапласа в части единичного шара. В работе [148], являющейся изло­ жением неопубликованного доклада авторов на 6-м Всесоюзном симпозиуме по вопросам дифракции и распространения волн (1973), на основании этого подхода были получены равномерные дальние асимптотики решения. Было показано, что в полутеневых областях поле описывается с помощью функ­ ций параболического цилиндра. В работе [149] асимптотики такого вида бы­ ли получены с помощью альтернативного подхода, развитого Смышляевым и соавторами (см. ниже). В работе [150] дальние асимптотики полей были построены с помощью дифракционного ряда на части единичной сферы.

В работах [21–24, 151–155] В.П. Смышляевым и соавторами были разви­ ты методы численного решения задач дифракции на произвольных конусах.

Эти методы основаны на отделении радиальной переменной и использова­ нии преобразования Ватсона. Основным результатом является выражение дифракционного коэффициента в виде контурного интеграла по параметру разделения переменных. В подынтегральное выражение входит функция Гри­ на соответствующей сферической задачи. Эта функция ищется как решение интегрального уравнения на сечении конуса единичной сферой. В работах [154, 155], в частности, обсуждаются особенности решения такого уравнения, связанные с наличием у сечения угловых точек (случай многогранного кону­ са).

В работе [12] к задаче о дифракции на четверти плоскости был приме­ нен метод формул расщепления. В результате удалось получить выражения для дифракционного коэффициента в виде контурных интегралов с лучши­ ми свойствами сходимости, чем у интеграла Смышляева. Другим преимуще­ ством полученного результата является то, что подынтегральное выражение конструируется из функций, являющихся решениями системы дифференци­ альных уравнений с многомерным временем (координатных уравнений), до­ пускающей эффективное численное решение [13]. Работа [156] посвящена ис­ пользованию результатов [12, 13] для вычислений.

В ряде работ рассматривались задачи дифракции на конусах со щеля­ ми [157, 158], в частности, на системе компланарных плоских конусов с об­ щей вершиной [159]. Задачи решались с помощью преобразования Конторо­ вича–Лебедева и интегральных уравнений.

Все вышесказанное относилось к задачам дифракции на конусах с иде­ альными граничными условиями. Задачи дифракции на конусах с импеданс­ ными граничными условиями долгое время оставались малоизученными, од­ нако в последнее время было опубликовано значительное число посвященных им работ [160–171].

Кратко рассмотрим некоторые работы по использованию корреляцион­ ных методов в акустическом эксперименте. Эти методы применяются для повышения разрешающей способности и отношения сигнал/шум. В них ис­ пользуются различные виды сигналов, например, частотно модулированные [172]. Используемый в данной работе метод последовательностей максималь­ ной длины (МLS) также относится к корреляционным методам. Этот метод давно и успешно используется для решения разнообразных эксперименталь­ ных задач [173–175]. Из приложений этого метода, близких к тематике данной работы, выделяются приложения к изучению акустики помещений [176–178].

Однако результаты применения МLS к экспериментальному изучению ди­ фракции представлены в литературе относительно слабо. Например, в рабо­ те [179] MLS-метод применяется для исследования дифракции акустической волны на боковой поверхности цилиндра, расположенного над импедансной поверхностью. В работе [180] описывается экспериментальное исследование распространения акустических волн над вогнутыми поверхностями. В этих работах использовались коммерческие MLS-системы, и в них отсутствует по­ дробное описание методики проведения эксперимента. Экспериментальные исследования дифракции на конусах немногочисленны и, как правило, отно­ сятся к электромагнитному случаю [181, 182].

Экспериментальное исследование В данной главе подробно описывается применение M-последовательно­ стей к акустическому дифракционному эксперименту. В ней, кроме того, предлагается метод восстановления импульсного отклика, относящегося к ди­ фракционному процессу и не связанного со структурой источника. Метод использует измерение объемной скорости источника с помощью двух микро­ фонов. Построенная методика применяется для измерения дифракционного коэффициента трехгранного конуса (угла куба).

§1.1. Описание методики 1.1.1. Последовательности максимальной длины Последовательность максимальной длины (Maximum Length Sequence, MLS) представляет собой псевдослучайную периодическую двоичную после­ довательность, автокорреляционная функция которой очень близка к перио­ дически повторяющемуся единичному импульсу [183]. Говоря точнее, после­ довательность { = ±1} порядка имеет период = 2 1, а ее автокор­ реляционная функция { } имеет вид Это свойство MLS позволяет использовать ее для измерения импульс­ ного отклика линейных стационарных систем. Если подать на вход системы сигнал в виде М-последовательности и вычислить взаимнокорреляционную функцию выходного и входного сигналов, получится сигнал, представляю­ щий собой отклик системы на автокорреляционную функцию М-последова­ тельности. То есть сигнал, близкий к импульсному отклику системы.

Действительно, пусть { } — отклик системы на М-последовательность { }, а { } — импульсный отклик системы. Тогда { } есть свертка { } и { }:

а взаимная корреляция { } последовательностей { } и { } есть отклик системы на { }:

1.1.2. Схема эксперимента Общая схема эксперимента представлена на рис. 1.1. На вход системы подается М-последовательность { }. Этот сигнал через ЦАП и усилитель подается на источник акустических волн. Микрофон располагается вблизи рассеивателя или на его поверхности. Сигнал с микрофона усиливается и преобразуется в цифровой вид. После этого вычисляется взаимнокорреляци­ онная функция { } выходного и входного сигналов:

Следует отметить, что для такой постановки эксперимента не требуется использовать безэховые помещения, поскольку полезный сигнал от рассеива­ теля появляется в импульсном отклике системы раньше помех, приходящих от акустического окружения. Для надежного разделения полезного и пара­ зитного сигналов следует располагать рассеиватель на достаточном удалении от пола и прочих предметов, а затем применять окно во временной области, отсекая паразитные сигналы. Сигнал { } — отклик системы на { }. Он близок к импульсному отклику всей системы и включает в себя, помимо чисто волновой части, еще и отклики источника и электрических трактов. Вопрос выделения из него полезной части рассматривается ниже.

1.1.3. Оборудование и параметры эксперимента В данной работе в качестве входного сигнала использовалась М-последовательность порядка = 17. Частота дискретизации ЦАП и АЦП состав­ ляла = 32768 Гц. Такие параметры дают длительность входного сигнала = (2 1)/ 4 c. Источником служил Bruel&Kjaer 4295 OmniSource с адаптером, позволяющим измерять объемную скорость источника ( Volume Velocity Adaptor). Схема источника с адаптером приведена на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Схема источника с адаптером для измерения объемной скорости.

Источник представляет собой электродинамическую головку, помещен­ ную в продолговатый пластиковый корпус с узким отверстием ( 3,75 см).

Такая конструкция позволяет создавать акустическое поле, близкое к полю точечного монопольного источника. Адаптер представляет собой пластико­ вую трубку кругового сечения, плотно пригнанную к выходному отверстию источника. Внутрь трубки помещены два микрофона, сигналы с которых используются для восстановления объемной скорости источника. Для реги­ страции рассеянного сигнала использовался Bruel&Kjaer 4957 1/4 inch Array Microphone, характеристики которого близки к характеристикам микрофо­ нов в адаптере.

1.1.4. Выделение импульсного отклика, связанного только с дифракционным процессом Как уже было сказано, сигнал { } необходимо очистить, выделив им­ пульсный отклик дифракционного процесса. Заметим, что основные помехи вносятся источником звука OmniSource, в котором происходят многочислен­ ные переотражения.

Для простоты будем рассматривать дискретные сигналы { } и { } как непрерывные сигналы () и (). При этом будем помнить, что Фурье­ образы таких сигналов определены для дискретного набора частот. Введем следующие функции:

() — производная объемной скорости источника по времени при по­ даче на вход системы сигнала ().

() — импульсный отклик, описывающий распространение волны от источника до микрофона (именно он нас и интересует), определяе­ мый соотношением где () — давление в точке наблюдения при подаче на вход системы сигнала (), 0 — плотность воздуха.

() — импульсный отклик приемной части (микрофона, усилителя и АЦП), определяемый соотношением Нормировочный множитель 0 /4 в формуле, определяющей, введен из следующих соображений. Хорошо известно [184], что в свободном простран­ стве точечный монопольный источник создает давление, пропорциональное производной его объемной скорости по времени:

где — расстояние от источника до точки наблюдения. Таким образом, в этом случае импульсный отклик представляет собой дельта-функцию (в дискретном случае — одиночный импульс):

Амплитуда дельта-функции обратно пропорциональна расстоянию до источ­ ника и обращается в единицу при = 1 м, что удобно.

Будем обозначать Фурье-образ сигнала () как. Тогда для наших сигналов будем иметь:

Если удастся измерить производную по времени объемной скорости источни­ ка (), то можно будет восстановить дифракционную часть импульсного отклика:

Заметим, что предложенная процедура выделения части импульсного отклика, связанной только с дифракционным процессом никак не использу­ ет преимуществ метода М-последовательностей. Действительно, и и пропорциональны спектру входного сигнала, а значит, при любом достаточно широкополосном входном сигнале формула (1.11) дает возможность восстано­ вить функцию (). Тем не менее, использование М-последовательностей позволяет повысить качество восстановления.

Длительность используемого в эксперименте сигнала (4 с) соответствует более чем 1 км пути, проходимого волной. При этом нас интересуют только первые несколько метров импульсного отклика, а вся остальная его часть яв­ ляется помехой. Чтобы ослабить влияние этой помехи, используем для вычис­ ления Фурье-образов только начальную часть сигналов () и (). Длитель­ ность этой части следует взять такой, чтобы в нее попала вся существенно ненулевая часть сигнала (). В описываемых ниже экспериментах исполь­ зовались первые 50 м сигналов () и (), что соответствует примерно переотражениям в корпусе источника.

1.1.5. Измерение производной объемной скорости источника Как было сказано ранее, для измерения объемной скорости источника может быть применен адаптер с двумя микрофонами. Схема используемого адаптера приведена на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Схема адаптера для измерения объемной скорости источника.

Пусть при подаче на вход системы М-последовательности { } с микро­ фонов адаптера после усиления и ЦАП приходят сигналы { } и { }.

Пусть { } — взаимные корреляции этих сигналов с входным сигналом { }. Обозначим через 1,2 начальные части (первые 50 м) сигналов 1,2.

Для вычисления объемной скорости предположим, что внутри адаптера распространяются только поршневые моды. Обоснованность этого предполо­ жения обсуждается ниже. При таком предположении для каждой частоты давление в трубке может быть представлено в следующем виде:

где и — амплитуды волн, распространяющихся в положительном и отри­ цательном направлении оси соответственно. Здесь предполагается гармони­ ческая зависимость от времени вида. Измеряются давления 1 () и 2 () в точках = и = соответственно. Для их Фурье-образов можно записать:

откуда:

Пользуясь уравнением Эйлера, для производной колебательной скорости Для производной по времени объемной скорости источника имеем:

где — радиус трубки адаптера. Полученная формула дает относительно неплохие результаты, однако вносит заметные фазовые искажения. Причиной этих искажений служит то, что трубка не является достаточно тонкой, а значит, ее конец нельзя считать точечным источником. Используя теорию Вайнштейна об излучении волн из открытого конца волновода [96], можно получить формулу, подходящую для данного случая. Для этого в (1.16) надо заменить на, то есть Вычисленная таким образом объемная скорость будет содержать в се­ бе также АЧХ приемных трактов адаптера. В действительности микрофоны в адаптере близки по своим характеристикам к микрофону, используемому для регистрации поля вблизи рассеивателя, а АЧХ усилителей в приемных трактах близки к идеальным в интересующем нас диапазоне частот (можно считать, что = 1). Формула (1.11) может быть переписана следующим образом:

Рассмотрим ограничения предлагаемого метода. Очевидной трудностью яв­ ляется то, что формулы (1.14) имеют смысл только для частот <, где граничная частота определяется расстоянием между микрофонами:

= 0 /(2( )). Это частота, при которой знаменатель в (1.14) обращает­ ся в нуль. В нашем случае = 8,57 кГц. Таким образом, все сигналы при обработке должны быть пропущены через ФНЧ.

Другие трудности связаны с модами высших порядков, распространя­ ющимися в трубке адаптера. Эти моды могут влиять на результат двумя способами. Во-первых, они могут излучать звук вовне. Во-вторых, они мо­ гут создавать сигнал на микрофонах адаптера, внося ошибки в измерение объемной скорости. Моды высших порядков имеют следующую структуру:

где (,, ) — цилиндрические координаты с осью, совпадающей с осью труб­ ки адаптера, — функции Бесселя,, — корни уравнения (, ) = 0, а = 2 /2,. Если точка наблюдения расположена вблизи оси си­ стемы, что соответствует нашему случаю, то, в силу ортогональности, мо­ ды высших порядков не будут давать вклада в излучаемое поле. Все моды, кроме поршневой, имеют свои частоты отсечки, что позволяет оценить их постоянные затухания. Моды с номером = 0 не будут влиять на сигналы микрофонов адаптера, поскольку микрофоны расположены на оси трубки, а (0) = 0 при = 0. Поэтому наиболее «опасной»модой будет мода с 0 (1,0 ). Простой анализ показывает, что частота отсечки этой моды близ­ ка к 11.1 кГц. Для частоты сигнала 5 кГц это соответствует чисто мнимому значению = 180 м1. При такой постоянной распространения волна быст­ ро затухает. Таким образом, для частот ниже 5 кГц моды высших порядков можно не рассматривать.

1.1.6. Фильтрация Все представленные ниже дифракционные импульсные отклики подвер­ гались фильтрации. Использовалась комбинация фильтров высоких и низких частот со следующими частотными характеристиками. Для ФНЧ:

для ФВЧ:

При этом для фильтра низких частот параметры 0 и имели значения а для фильтра высоких частот Нормировочный коэффициент 0 выбирался таким образом, чтобы значение импульсной характеристики результирующего фильтра в нуле было едини­ цей. Импульсная характеристика представлена на рис. 1.4.

Рис. 1.4. Импульсная характеристика используемого фильтра.

§1.2. Проверка методики 1.2.1. Измерения в пустом полупространстве Простейшим акустическим окружением, легко реализуемым в экспери­ менте, является пустое полупространство с жесткой границей. Давление в точке наблюдения в этом случае создается прямой полной и волной, отра­ женной от границы полупространства. Импульсный отклик имеет вид где и — расстояния от точки наблюдения до источника и до отражения источника в границе полупространства соответственно.

Для проверки работоспособности методики был проведен эксперимент, схема которого показана на рис. 1.5.

Рис. 1.5. Схема измерений в пустом полупространстве.

Все окружающие предметы были удалены на такое расстояние, чтобы от­ раженные от них волны приходили на микрофон позже прямой и отраженной от пола волн. Указанное на рис. 1.5 расположение источника и микрофона соответствует значениям = 1 м и 4,5 м.

В соответствии с (1.24) в импульсном отклике мы должны увидеть две копии импульсной характеристики использованного фильтра (см. рис. 1.4), сдвинутые в положения = 1 м и = 4,5 м. При этом амплитуда первого пика должна быть равна единице, а второго 1/4,5 0,22. На рис. 1.6 показан наблюдаемый в эксперименте импульсный отклик пустого полупространства.

Рис. 1.6. Измеренный импульсный отклик пустого полупространства.

Хорошо видно, что пики имеют правильные положения и что высота пер­ вого пика также верна. Высота второго пика несколько ниже предсказанной теоретически, что, по видимому, объясняется неравномерностью диаграммы направленности использованного источника.

Для иллюстрации роли всех этапов обработки сигнала рассмотрим пока­ занный на рис. 1.7 импульсный отклик, восстановленный без использо­ вания вайнштейновской поправки (1.17) и импульсный отклик всей системы (рис. 1.8).

Рис. 1.7. Отклик, восстановленный без использования вайнштейновской поправки.

Рис. 1.8. Импульсный отклик всей системы при измерении в пустом полупространстве.

Хорошо видно, что без использования вайнштейновской поправки в вос­ станавливаемый импульсный отклик вносятся заметные амплитудные и фа­ зовые искажения. В полном импульсном отклике видны многократные пе­ реотражения внутри источника, делающие сигнал непригодным для анализа.

1.2.2. Дифракция на торце цилиндра Для проверки методики в более сложной ситуации был проведен экспе­ римент, схема которого приведена на рис. 1.9. Изучалась дифракция волны на торце цилиндра. В качестве цилиндра использовалась пластиковая бочка с плотно пригнанной крышкой. Диаметр бочки составлял 65 см. Бочка бы­ ла подвешена в корсете из тонкой проволоки. Микрофон был расположен на поверхности торца в центре.

В описанных условиях на начальном участке времени поле на торце ци­ линдра формируется прямой волной, волной отраженной от пола и краевой волной, рассеянной на краях цилиндра (рис. 1.10).

Рис. 1.9. Схема эксперимента по изучению дифракции на торце цилиндра.

На рис. 1.11 показан импульсный отклик. Также на этом рисунке приведен сигнал, полученный в результате численного моделирования мето­ дом конечных элементов. Видно хорошее согласие результатов моделирова­ ния и эксперимента. В сигнале четко различимы показанные на рис. 1.10 вол­ ны. Таким образом, предлагаемая методика дифракционного акустического эксперимента демонстрирует свою работоспособность.

Рис. 1.11. Измеренная импульсная функция () в сравнении с результатами числен­ ного моделирования.

Рис. 1.12. Схема эксперимента по изучению дифракции на угле куба.

§1.3. Экспериментальное изучение дифракции на угле 1.3.1. Схема эксперимента Построенная методика была использована для измерения дифракцион­ ного коэффициента жесткого трехгранного конуса (угла куба). Схема изме­ рений показана на рис. 1.12. Куб со стороной 1 м был собран из фанеры толщиной 10 мм. Источник помещался в фиксированную точку, лежащую на биссектрисе верхней грани куба. Микрофон помещался в различные положе­ ния, задаваемые углами и.

Из-за того, что сигнал, рассеянный вершиной куба, оказывается очень слабым, приходится применять следующий подход. В первом измерении за­ писывается импульсный отклик при наличии куба, а затем куб убирается и производится второе измерение. При этом положения источника и микро­ фона остаются неизменными. Разность двух сигналов позволяет наблюдать сигнал, рассеянный на вершине куба.

Типичный вид получаемых сигналов показан на рис. 1.13. Вопрос о тео­ ретическом виде наблюдаемого сигнала рассматривается ниже.

H prop Рис. 1.13. Типичные наблюдаемые сигналы. Слева показаны импульсные отклики при наличии и в отсутствии куба. Справа — их разность, то есть сигнал, рассеянный вершиной куба.

1.3.2. Теоретический вид импульсного отклика Пусть на бесконечный трехгранный конус падает с направления 0 гар­ моническая плоская волна частоты с единичной амплитудой:

Рассеянное поле формируется плоскими волнами, отраженными от гра­ ней, цилиндрическими волнами, рассеянными ребрами, и сферической вол­ ной, рассеянной вершиной. Также, при некоторых направлениях падения, ци­ линдрические волны от одного ребра могут рассеиваться на других ребрах, формируя вторичные, третичные и т.д. дифрагированные волны. В области направлений, в которую попадает только сферическая волна, рассеянное поле вдали от вершины имеет вид Зависящую от направлений падения и рассеяния амплитуду сферической вол­ ны (, 0 ) называют дифракционным коэффициентом. Рассматриваемая область направлений представляет особый интерес, поскольку в ней дифрак­ ционный коэффициент может быть достаточно эффективно вычислен. Этот вопрос подробно обсуждается в главе 3.

При падении на конус плоской волны в виде дельта-функции сигнал в рассеянной сферической волне находится с помощью преобразова­ ния Фурье:

Рис. 1.14. Замыкание контура интегрирования при вычислении интеграла (1.29).

Здесь () = 1 — Фурье-образ дельта-функции. Пользуясь соотношением 0 = /, приведем это выражение к виду Будем считать, что в среде имеется бесконечно слабое поглощение, то есть 0 = / + · 0. Тогда полюс = 0 подынтегрального выражения следу­ ет обходить сверху. При / < 0 экспоненциальный множитель убыва­ ет в верхней полуплоскости, что позволяет замкнуть контур (см. рис. 1.14).

Внутри полученного контура подынтегральное выражение регулярно, поэто­ му интеграл равен нулю. При / > 0 контур следует замыкать в нижней полуплоскости. При этом внутри контура подынтегральное выражение будет иметь единственный полюс = 0. Вычисляя интеграл с помощью теоремы о вычетах, окончательно получаем где — функция Хевисайда. Заметим, что из полученного выражения сле­ дует, что дифракционный коэффициент должен быть чисто мнимым, так как падающая волна чисто действительная, а значит, и рассеянная волна должна быть чисто действительной. С учетом этого выражение для рассеянного поля принимает вид Ясно, что при падении на конус плоской волны с произвольной зависи­ мостью от времени, рассеянный сигнал будет сверткой сигнала падающей волны с откликом (1.31):

Пусть теперь на конус падает из точки 0 = 0 0 гармоническая сферическая волна Если источник достаточно удален от вершины, т.е. при 0, падающую волну можно приближенно считать плоской:

Повторяя вышеизложенные рассуждения, находим, что отклик на падающую сферическую волну с произвольной зависимостью от времени, имеет вид В нашем случае функция () представляет собой импульсный отклик ис­ пользуемого фильтра (см. рис. 1.4). Соответствующий ей сигнал, рассеянный вершиной куба показан на рис. 1.15.

Рис. 1.15. Теоретический вид сигнала, рассеянного вершиной куба, в условиях рассматри­ ваемого эксперимента.

Видно, что форма сигнала сильно отличается от наблюдаемой эксперимен­ тально (рис. 1.13).

1.3.3. Обработка сигналов и результаты Причиной значительного отличия форм экспериментального и теорети­ ческого сигналов являются сделанные при выводе формулы (1.37) предполо­ жения о большой удаленности источника и точки наблюдения от вершины куба, которые, очевидно, не выполняются для низких частот, присутствую­ щих в сигнале. Чтобы сделать построенную теорию применимой, поступим следующим образом. Наложим на экспериментальный сигнал окно, выделя­ ющее часть сигнала, формируемую рассеянием на вершине куба. Затем про­ пустим полученный и теоретический сигналы через фильтр верхних частот, задаваемый формулой (1.21). Параметры фильтра выберем из следующих соображений. С одной стороны, более высокое значение частоты среза долж­ но давать лучшее согласие между теорией и экспериментом. С другой сто­ роны, при первоначальной обработке сигналы пропускаются через фильтр низких частот (1.20) с частотой среза 4 кГц. Поэтому увеличение частоты среза дополнительного фильтра верхних частот может привести к значитель­ ному уменьшению энергии полезного сигнала. Исходя из сказанного, были выбраны следующие параметры фильтра На рис. 1.16 показаны экспериментальный и теоретический сигналы по­ сле применения к ним описанной процедуры. Для удобства сравнения сигна­ лы нормированы на максимальное значение.

Рис. 1.16. Нормированные экспериментальный и теоретический сигналы после дополни­ тельной обработки.

Видно хорошее совпадение сигналов в области их максимальных значений.

Таким образом, дифракционный коэффициент может быть определен по формуле где () — экспериментальный сигнал, () — результат применения допол­ нительного фильтра верхних частот к сигналу, показанному на рис. 1.15. По­ грешность предлагаемого метода можно оценить снизу следующим образом.

Эксперимент проводился в помещении с менявшейся температурой. Величи­ на ее изменения соответствует относительному изменению скорости звука порядка 3%. Расстояния и 0 измерялись с точностью 1 см, что составля­ ет 2% относительной погрешности на каждое из расстояний. Таким образом, нижняя оценка относительной погрешности составляет 7%.

На рис. 1.17 показаны измеренные значения дифракционного коэффици­ ента в сравнении с теоретическими значениями, вычисленными по формуле Смышляева (3.1). Метод расчета описан в работе [154] (см. также раздел 3.6).

Рис. 1.17. Экспериментальная оценка дифракционного коэффициента в сравнении с тео­ ретическими значениями. Координаты и показаны на рис. 1.12.

Видно хорошее согласие теории с экспериментом.

§1.4. Основные результаты главы 1. Предложена методика экспериментального исследования акустических дифракционных задач с помощью М-последовательностей. Основу ме­ тодики составляет процедура восстановления объемной скорости источ­ ника акустических волн с помощью метода двух микрофонов и теории Вайнштейна об излучении из открытого конца волновода.

2. Предложенная методика была проверена на случаях распространения в «пустом» полупространстве и дифракции на торце цилиндра. Показана хорошая работоспособность методики.

3. На основании предложенной методики была построена процедура экс­ периментального измерения дифракционного коэффициента трехгран­ ного конуса (угла куба).

4. Произведено сравнение измеренных значений дифракционного коэффи­ циента с вычисленными по формуле Смышляева. Показано, что резуль­ таты измерений и вычислений хорошо согласуются друг с другом.

Численная реализация метода спектрального уравнения для двумерных задач дифракции §2.1. Введение В данной главе описывается применение метода спектрального уравне­ ния к акустическим задачам дифракции плоской плоской волны на одной и на двух полосах, а также к задаче дифракции на полубесконечном экране со ще­ лью. Все построения подробно описываются на примере простейшей задачи из этого множества — задачи о дифракции на одиночной полосе. В двумер­ ном сечении она представляет собой задачу о дифракции на идеально тонком отрезке. Несмотря на то, что для нее известно точное решение [40], вычисле­ ния с помощью него сложны с точки зрения численных методов (особенно в средне- и высокочастотном случаях). Поэтому для проверки полученных результатов используется метод граничного интегрального уравнения [185].

Описываемый ниже метод весьма сложен с теоретической точки зрения.

В связи с этим следует с самого начала подчеркнуть его преимущества пе­ ред традиционными методами. Главным из них является то, что дифракци­ онная задача сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению (в противоположность уравнению в частных производных или интегральному уравнению). Численное решение обыкновенного дифференциального уравне­ ния может быть осуществлено за ( ) операций, где — число точек на контуре интегрирования. Рассматриваемый алгоритм включает в себя чис­ ленное определение коэффициентов дифференциального уравнения гради­ ентным методом. Этот метод достаточно эффективен, и его общие затраты составляют порядка 10 – 20 актов решения обыкновенного дифференциально­ го уравнения. Таким образом, метод имеет высокий потенциал к сокращению машинного времени, требуемого для численного решения определенных за­ дач дифракции. Несмотря на то, что математическая природа метода тесно связана с формулировкой задач на разветвленных поверхностях, в данной работе для большей ясности эта формулировка не применяется.

Рассмотрение дифракционных задач методом спектрального уравнения основано на ряде упрощений. Во-первых, строится формула расщепления, сводящая исходную дифракционную задачу к задачам для так называемых краевых функций Грина. Эти функции являются решениями вспомогатель­ ных дифракционных задач, в которых нет падающих волн, но зато есть ис­ точники специального вида, лежащие на краях рассеивателя.

Затем для краевых функций Грина формулируются функциональные за­ дачи типа Винера-Хопфа. Для этого вводятся спектральные функции, пред­ ставляющие собой Фурье-образы полей и их нормальных производных на частях оси. Функциональные задачи задают условия регулярности и ро­ ста спектральных функций в верхней и нижней плоскостях их комплексного аргумента.

На следующем шаге доказывается, что решение функциональной задачи удовлетворяет так называемому спектральному уравнению, представляюще­ му собой обыкновенное дифференциальное уравнение конфлюэнтного Фук­ сового типа. К сожалению, коэффициенты этого уравнения известны только с точностью до нескольких параметров, = 1... ( = 2 для случая одной полосы, = 8 для двух полос, = 4 для полубесконечного экрана со щелью), которые требуется как-либо найти. В то же время функциональ­ ная задача полностью задает данные монодромии спектрального уравнения.

Неизвестные параметры должны иметь такие значения, чтобы все ограниче­ ния на данные монодромии были выполнены.

Все предыдущие шаги были аналитическими. Однако с этого момента возможно применение только численных методов. Ограничения на данные монодромии формулируются как система уравнений где функции выражаются через решения спектрального уравнения вдоль некоторых контуров. Для решения этой системы используется градиентная процедура, представляющая собой вариант метода Ньютона. Численные экс­ перименты показывают, что эта процедура быстро сходится для всего диапа­ зона значений параметров. В результате решения системы (2.1) также нахо­ дятся и начальные данные для спектрального уравнения.

На практике решение дифракционной задачи (т.е. табулирование значе­ ний дифракционного коэффициента) происходит в обратном направлении.

Сначала численно решается система (2.1). В результате находятся значения неизвестных параметров и начальные данные для спектрального уравнения.

Затем спектральное уравнение решается для значений угла рассеяния, при­ надлежащих интервалу (0, ), что дает диаграммы направленности краевых функций Грина. В конце концов эти диаграммы подставляются в формулу расщепления, что дает значение дифракционного коэффициента исходной за­ дачи.

Данная глава организована следующим образом. Основное ее содержа­ ние посвящено задаче дифракции на одной полосе. В §2.2 описывается поста­ новка задачи с точки зрения математической физики. В §2.3 и §2.4 перечис­ ляются основные аналитические результаты, составляющие метод спектраль­ ного уравнения, что, в основном, является переложением результатов работ [20] и [7] на случай одной полосы. В них вводится спектральное уравнение (обыкновенное дифференциальное уравнение конфлюэнтного Фуксового ти­ па), коэффициенты которого известны с точностью до двух неизвестных па­ раметров. Кроме того, формулируются ограничения на поведение решений в особых точках. Таким образом, задача отыскания неизвестных парамет­ ров сводится к решению системы двух достаточно сложных трансцендентных уравнений относительно двух неизвестных. В §2.5 описывается численных ал­ горитм решения этой системы. В §2.6 рассматриваются вопросы точности и эффективности. Производится сравнение с результатами, полученными мето­ дом граничных интегральных уравнений. В §2.7 кратко излагаются соотноше­ ния метода спектрального уравнения для задачи о двух полосах и описывает­ ся процедура его численного решения. В §2.8 метод спектрального уравнения применяется к задаче дифракции на полубесконечном экране со щелью.

Новые результаты излагаются в §2.5, §2.6, §2.8 и в части §2.7, посвящен­ ной численной реализации алгоритма.

§2.2. Постановка задачи Рассматривается двумерная стационарная акустическая задача, то есть ищется решение уравнения Гельмгольца в плоскости (, ). Здесь и далее опускается временная зависимость вида и предполагается, что 0 имеет малую положительную мнимую часть.

Рассеиватель представляет собой отрезок [, ] оси. (см. рис. 2.1). На обеих сторонах отрезка выполняются однородные граничные условия Дири­ хле На рассеиватель падает с направления in плоская волна вида Полное поле представляется в виде суммы падающей волны и рассеянного поля:

Для рассеянного поля справедливы следующие граничные условия:

Задачу можно симметризовать. Представим полное поле в виде суммы чет­ ной и нечетной функций :

Четная и нечетная части соответствуют падающим волнам вида соответственно. Решение нечетной задачи тривиально: падающее поле удовле­ творяет однородным условиям Дирихле на всей оси, а значит рассеянное поле отсутствует. Таким образом, нас интересует только четная часть поля. В дальнейшем рассматривается только она, а индекс опускается. Рассмотрен­ ная симметризация не меняет граничного условия (2.6) и позволяет наложить на рассеянное поле условие при || > :

Также рассеянное поле должно удовлетворять условиям излучения Зо­ ммерфельда. Для нашей задачи это означает, что соотношение должно выполняться равномерно относительно, где и – стандартные полярные координаты в плоскости (, ).

Вблизи краев рассеивателя (точек (±, 0)) должны быть поставлены кра­ евые условия. С физической точки зрения эти условия заключаются в тре­ бовании конечности энергии в любой конечной области, содержащей края.

Используя ряд Мейкснера [186], можно показать, что условия являются достаточными. Здесь (, ), = 1, 2 – локальные полярные коор­ динаты (см. рис. 2.2).

Нашей основной задачей будет являться отыскание дифракционного ко­ эффициента (, in ), определяемого следующим образом. Хорошо известно, что в дальней зоне рассеянное поле имеет вид цилиндрической волны [187].

Дифракционный коэффициент — это функция, описывающая зависимость амплитуды этой волны от угла рассеяния :

Он зависит также от угла падения in как от параметра.

§2.3. Метод спектрального уравнения В этом разделе описываются математические факты, лежащие в основе метода спектрального уравнения. Главным образом, изложение следует ра­ боте [7]. Несмотря на то, что она посвящена задаче о дифракции на двух полосах, все результаты могут быть легко переформулированы для случая одиночной полосы.

2.3.1. Краевые функции Грина Краевые функции Грина вводятся как волновые поля источников специ­ ального вида, лежащих, грубо говоря, на краях рассеивателя. Поскольку на рассеивателе заданы граничные условия Дирихле, расположить источник на самом краю полосы невозможно. Вместо этого используется следующая пре­ дельная процедура. Источник, имеющий силу /, помещается на рассто­ янии от края. После этого рассматривается предел поля такого источника при 0.

Говоря подробнее, строится пара краевых функций Грина 1 и 2. Пер­ вая из них порождается источником, лежащим вблизи точки (, 0), а вторая – вблизи точки (, 0). Для каждого малого решаются неоднородные урав­ нения Гельмгольца с теми же граничными и краевыми условиями, а также условиями излучения, что и для основного искомого поля. Здесь обозначает дельта-функцию Дирака. Положение источников полей 1,2 показано на рис. 2.3.

Затем рассматриваются пределы при 0:

Заметим, что зависимость силы источников от выбрана таким образом, что поля имеют конечные ненулевые предельные значения. Поля, = 1, 2, и есть краевые функции Грина нашей задачи.

Предел (2.15) не является равномерным вблизи краев рассеивателя. Для каждого ненулевого поле удовлетворяет краевым условиям, но предель­ ное поле им не удовлетворяет. Детальное рассмотрение показывает, что краевые функции Грина имеют следующие локальные асимптотики вблизи краев рассеивателя:

Здесь, — символ Кронекера.

Действительно, главный член краевой асимптотики поля определяет­ ся решением уравнения Пуассона на плоскости, разрезанной по лучу = 0, с граничными условиями Это уравнение легко решается методом конформных отображений, что дает Подставляя сюда =, = и пользуясь (2.15), получаем (2.16).

Первый член в (2.16) условиями Мейкснера запрещен. С физической точ­ ки зрения это достаточно ясно. Условия Мейкснера выражают отсутствие источников на краях, а мы поместили источник именно туда.

Определим диаграммы направленности краевых функций Грина схожим с (2.12) образом. А именно, в дальней зоне асимптотики краевых функций Грина имеют вид Заметим, что диаграммы направленности зависят только от одной пере­ менной, что упрощает задачу их табуляции.

2.3.2. Формула расщепления Большим преимуществом введения краевых функций Грина является возможность использовать формулу расщепления, т.е. выразить дифракци­ онный коэффициент исходной задачи через диаграммы направленности кра­ евых функций Грина.

Теорема 2.1. Полное поле (, ) связано с краевыми функциями Грина соотношением Как следствие этого, дифракционный коэффициент (, in ) и диаграммы направленности краевых функций Грина () связаны соотношением Доказательство. Рассмотрим поле [], где Очевидным образом [] удовлетворяет уравнению Гельмгольца и однород­ ным граничным условиям Дирихле на полосе. Так как аннулирует пада­ ющую волну, оно также удовлетворяет условиям излучения. Однако оно не удовлетворяет краевым условиям.

Действительно, пусть поле имеет следующие Мейкснеровские асимпто­ тики у краев полосы:

Действуя на них оператором, получаем краевые асимптотики поля []:

Следовательно, комбинация []1 1 +2 2 удовлетворяет краевым усло­ виям. В силу сказанного выше она также удовлетворяет уравнению Гельм­ гольца, однородным условиям Дирихле и условиям излучения. По теореме единственности, эта комбинация тождественно равна нулю, или Оказывается, что коэффициенты краевых асимптотик поля связаны с диаграммами направленности краевых функций Грина. Рассмотрим поле точечного источника единичной силы, расположенного в точке со стандарт­ ными полярными координатами (, in ). При больших вблизи рассеивателя такой источник создает падающее поле в виде плоской волны с амплитудой 0 3/4 / 80. Следовательно, в соответствии с (2.24) полное поле в точке с локальными полярными координатами =, = имеет вид Рассмотрим теперь поле точечного источника единичной силы, расположен­ ного в точке с локальными полярными координатами =, =. В соответствии с (2.20) в точке с координатами (, in ) этот источник создает По теореме взаимности, поля (2.27) и (2.28) должны совпадать. Значит, Подставляя эти равенства в (2.26), получаем (2.21).

Чтобы получить формулу (2.22), заметим, что оператор действует на дифракционный коэффициент как умножение на 0 (cos + cos in ).

Изложенное доказательство совершенно аналогично доказательству для случая двух полос, приведенному в работе [20].

Формула (2.22) является точной, т.е. при ее выводе не делается никаких предположений о соотношении длины волны и размера рассеивателя. Пре­ имущества, которые дает эта формула очевидны: функция двух переменных простым образом выражается через две функции одной переменной. В даль­ нейшем основные усилия концентрируются на отыскании (). Формула расщепления используется на последнем шаге вычислений.

2.3.3. Формулировка функциональных задач Задача отыскания sc принадлежит к классу задач со смешанными кра­ евыми условиями. Это означает, что ось разбивается на три части (отрезок и две полупрямых), на которых заданы различные граничные условия. На полупрямых заданы однородные условия Неймана (2.9), а на отрезке — неод­ нородные условия Дирихле (2.6). Этим же свойством обладают задачи для краевых функций Грина, но в этом случае условия Дирихле на отрезке являются однородными, а на краях отрезка присутствуют сингулярности.

Следуя методике Винера – Хопфа, введем спектральные функции, = 1, 2, = 0, 1, 2, следующим образом:

Спектральные функции представляют собой Фурье-образы полей и их нор­ мальных производных взятых на разных частях оси. Из-за сингулярности на краю интегралы (2.31) расходятся, но их можно регуляризовать физически обоснованным образом так, что все обсуждаемые ниже свойства спектраль­ ных функций будут выполнены. Регуляризация основана на применении тео­ ремы Грина к контуру, специальным образом обходящему особенности. Про­ цедура подробно описана в работе [20].

Изначально спектральные функции вводятся для действительных. Их аналитические продолжения на всю комплексную плоскость изучаются далее.

Введенные спектральные функции обладают рядом важных свойств. Во­ первых, они непосредственно связаны с диаграммами направленности :

где Для доказательства заметим, что угловой спектр поля (его диаграмма направ­ ленности) может быть выражен через преобразование Фурье его нормальной производной на оси.

Во-вторых, справедливы следующие уравнения:

Их справедливость усматривается из того, что в силу граничных условий выполняются равенства а в силу условий излучения выполняется Подробное доказательство приведено в работах [7, 20]. Уравнение (2.35) сход­ но с функциональными уравнениями Винера–Хопфа [188].

В-третьих, определения спектральных функций могут быть использова­ ны для изучения их поведения в комплексной плоскости. А именно, функ­ ции 0 2 1 () являются целыми, 0 () голоморфны в нижней полу­ плоскости, а 2 () — в верхней. Напомним, что точка 0 принадлежит верх­ ней полуплоскости, а 0 лежит в нижней.

В-четвертых, из краевых асимптотик (2.16) вытекают следующие асимп­ тотики. В верхней полуплоскости, т.е. при Im[] > 0, справедливы оценки для || :

Подобным же образом, в нижней полуплоскости, т.е. при Im[] < 0, ||, справедливы оценки:

Доказательство этих асимптотик основывается на лемме Ватсона [189].

Теорема 2.2. Пусть существуют функции (), = 1, 2, = 0, 1, 2, удовлетворяющие функциональным уравнениям (2.34), перечисленным вы­ ше условиям регулярности и асимптотикам (2.39)–(2.42). Тогда краевые функции Грина 1,2, введенные в §2.3.1, выражаются через () форму­ лой Для доказательства покажем, что выражения (2.43) удовлетворяют урав­ нению Гельмгольца (2.2) везде, кроме отрезка (, ) оси, условиям излуче­ ния на бесконечности, однородным условиям Дирихле на отрезке и что они имеют асимптотики (2.16) у краев отрезка. Тогда из теоремы единственно­ сти будет следовать, что эти выражения действительно являются краевыми функциями Грина, введенными в §2.3.1.

Соблюдение уравнения Гельмгольца в полуплоскостях > 0 и < следует из вида выражений (2.43). По построению, поля являются четными функциями, а Фурье-образ (, +0) равен 0 2 1 (). В силу ограничений роста (2.39) и (2.42) и леммы Жордана функция (, +0) равна нулю вне отрезка (, ). Следовательно, поля являются гладкими функциями на полупрямых = 0, < и = 0, >. А значит, уравнение Гельмгольца удовлетворяется на этих полупрямых.

В силу функциональных уравнений (2.34) поля на оси выражаются следующим образом:

где В силу ограничений роста (2.40) и (2.41) и леммы Жордана = 0 при >, а = 0 при <. Следовательно, поля удовлетворяют условиям Дирихле.

Краевые асимптотики полей и их производных на оси могут быть по­ лучены с помощью леммы Жордана из ограничений роста. Эти асимптотики могут быть продолжены в области вблизи краев рассеивателя при = 0 с помощью ряда Мейкснера, что даст (2.16).

Таким образом, если функциональная задача решена, т.е. найдены функ­ ции (), обладающие всеми нужными свойствами, то краевые функции Грина (, ) и их диаграммы направленности () могут быть получены из них. Это позволит найти дифракционный коэффициент исходной задачи по формуле расщепления (2.22) и восстановить полное поле с помощью формулы (2.21). Действительно, рассмотрим функцию (), заданную сле­ дующим образом:

С помощью формулы (2.21) легко показать, что Ясно также, что Рассеянное поле может быть восстановлено по формуле что доказывается так же, как и теорема 2.2.

2.3.4. Спектральное уравнение Займемся теперь решением поставленной функциональной задачи. Клю­ чом к ее решению является следующая теорема.

Теорема 2.3. Для заданных значений 0 и существуют матрицы K+ и K размерности 2 2, не зависящие от, такие, что каждый из трех удовлетворяет уравнению Доказательство. Рассмотрим равенство как систему линейных уравнений относительно элементов матрицы K(). Ре­ шая ее с помощью формул Крамера, получаем а каждый из определителей, получается и заменой -го столбца про­ изводной -го столбца, например, Рассмотрим определитель. Из свойств регулярности и оценок роста (2.39), (2.40) находим, что произведение 0 2 () регулярно в верхней полуплоскости и имеет асимптотику С помощью функциональных уравнений (2.35) определитель можно запи­ Это представление вместе со свойствами регулярности и оценками (2.42), (2.41) позволяет заключить, что произведение 0 2 () регулярно в нижней полуплоскости и имеет асимптотику Применяя теорему Лиувилля, находим, что Аналогичным образом рассматривая определители,, получаем (2.52).

Изложенное доказательство совершенно аналогично доказательству для случая двух полос, приведенному в работах [20] и [7].

Уравнение (2.52) и есть спектральное уравнение для нашей задачи. С помощью формул (2.33) и (2.34) уравнение для U1 может быть преобразовано в уравнение для диаграмм направленности краевых функций Грина:

Несмотря на то, что вид уравнения (2.61) более «физичен», уравнение (2.52) удобнее для анализа. Важным является то, что коэффициенты спектрально­ го уравнения представляют собой рациональные функции переменной, т.е.

(2.52) принадлежит к классу конфлюэнтных фуксовых уравнений.

Заметим, что уравнения (2.52) и (2.61) выражают замечательные ана­ литические свойства, однако ни матрицы K±, ни начальные условия не из­ вестны. В дальнейшем основные усилия будут направлены на отыскание этих данных. После этого уравнение (2.52) может быть решено численно, и с по­ мощью (2.33) результаты могут быть подставлены в формулу расщепления (2.22), давая значение дифракционного коэффициента.

§2.4. Свойства спектрального уравнения 2.4.1. Локальные свойства Уравнение (2.52) имеет три особых точки: 0, 0 и. Первые две ре­ гулярные, а третья иррегулярная ранга 1. Свойства столбцов U, перечис­ ленные выше, позволяют сделать некоторые утверждения о коэффициентах спектрального уравнения.

Геометрия задачи инвариантна относительно преобразования, которому соответствует преобразование спектрального параметра.

Поскольку это преобразование меняет местами края, под его действием верх­ ние индексы у меняются как 3. В результате получаются сле­ дующие соотношения между элементами матриц K± :

Поэтому достаточно найти только матрицу K+. Кроме того, эта симметрия приводит к соотношению ( 1 ) ( ) где — неизвестный параметр. Это равенство важно, поскольку точка = будет использоваться как опорная точка для вычислений, а значения неиз­ вестных столбцов в этой точке играют роль начальных условий.

Напомним, что 0 имеет малую положительную мнимую часть и, сле­ довательно, принадлежит верхней полуплоскости. Аналитические свойства столбцов U () в точках 0 и 0 позволяют сделать заключения о показате­ лях этих особых точек. Рассмотрим точку 0. Столбец U2 в этой точке регу­ лярен, а U1 представляет собой регулярную функцию, деленную на 0.

Поэтому столбцы U1,2 могут рассматриваться как фундаментальные решения в точке = 0, и показатели этой точки равны 0 и 1/2. Эти показатели, будучи различными, совпадают с собственными значениями матрицы K+. В общем случае матрица с такими собственными значениями имеет вид Таким образом, матрица K+ известна с точностью до двух скалярных ком­ плексных параметров 1 и 2.

Исследуем уравнение (2.52) с коэффициентами, подчиняющимися соот­ ношениям (2.62), (2.64) и (2.65), при произвольных значениях 1 и 2. Реше­ ния такого уравнения локально ведут себя как функции U. А именно, для каждой особой точки можно среди решений (2.52) найти набор столбцов, ве­ дущих себя как U0,1,2. Однако эти наборы могут быть различными в каждой особой точке, т.е. может не существовать набора решений, имеющих нужное поведение одновременно во всех особых точках. Для отыскания глобально­ го решения функциональной задачи необходим правильный выбор значений параметров 1,2.

Пусть параметры 1 и 2 принимают произвольные значения, не обяза­ тельно удовлетворяющие сформулированному выше условию. Из вида коэф­ фициентов спектрального уравнения следует, что его фундаментальные ре­ шения в точке 0, обозначаемые как Z1,2 (), должны иметь вид Решения Z1,2 воспроизводят поведение U1,2 с точностью до неизвестных по­ стоянных множителей.

Заметим, что Используя это свойство, рассмотрим поведение решений уравнения (2.52) на бесконечности. Детальное рассмотрение показывает, что всегда существуют решения, имеющие асимптотики (2.39), (2.40), (2.41) и (2.42). Говоря точнее, при любом выборе значений 1 и 2 существуют два столбца W0 и W2, ком­ поненты которых ведут себя следующим образом:

Эти столбцы являются кандидатами в решения U0 и U2 при правильном выборе 1 и 2.

Отметим, что нижние индексы у столбцов Z и W выбраны таким обра­ зом, что Z или W воспроизводит поведение столбца U в соответствующей особой точке (возможно, с точностью до постоянного множителя).

2.4.2. Глобальные свойства Пусть коэффициенты спектрального уравнения удовлетворяют соотно­ шениям (2.62), (2.64) и (2.65) при произвольных 1 и 2. Тогда в окрестности каждой особой точки существует пара фундаментальных решений, обладаю­ щих заданными асимптотиками, характерными для соответствующих столб­ цов U. Однако в общем случае эти решения не соответствуют друг другу, например, решение, ведущее себя как U2 в точке 0, при продолжении в бес­ конечность может иметь асимптотику отличную от (2.40). Параметры 1 и 2 должны быть выбраны таким образом, чтобы существовали глобальные решения с нужными асимптотиками сразу во всех особых точках.

Выберем = 0 в качестве опорной точки. Зададим базисные решения (E1 (), E2 ()) с помощью соотношений Построим матрицы M+ и M, связывающие базисные решения в опор­ ной точке с базисными решениями в особых точках +0 и соответственно (матрицы связи). Для нахождения элементов этих матриц продолжим реше­ ния E1 и E2 вдоль путей, показанных на рис. 2.4, и разложим их в окрест­ ностях особых точек по соответствующим базисам, т.е. представим их в виде Рис. 2.4. Пути, связывающие опорную точку с особыми точками спектрального уравнения.

линейных комбинаций соответствующих фундаментальных решений. Элемен­ ты матриц связи — коэффициенты этих разложений.

Поскольку фундаментальные решения Z1 и Z2 определены с точностью до по­ стоянных множителей, матрица M+ может быть нормализована следующим образом:

Заметим, что матрица M задана единственным образом, поскольку поведе­ ние решений W0 и W2 на бесконечности задано точно, будучи предписанным условием функциональной задачи. Введем также матрицу имеющую свойство т.е. связывающую особые точки и 0.

Напомним, что матрицы связи определены для произвольных значений параметров 1,2 и на самом деле являются функциями этих параметров. Дока­ жем теорему, устанавливающую связь между этими матрицами и условиями сформулированной выше функциональной задачи.

Теорема 2.4. Пусть выполнены равенства Тогда среди решений уравнения (2.52) существуют столбцы U (), удовле­ творяющие функциональной задаче, сформулированной в теореме 2.2.

Доказательство. Выберем U2 как фундаментальное решение W2. Как следует из (2.76), эта функция голоморфна в точке 0 и во всей верхней полуплоскости, так как там нет других особых точек. Обозначим компоненты этого столбца как 2 (). Затем выберем U0 следующим образом:

В силу симметрии эта функция также удовлетворяет спектральному уравне­ нию. Кроме того, в нижней полуплоскости она голоморфна и имеет асимпто­ тику вида (2.41). Таким образом, она действительно удовлетворяет условиям, налагаемым на U0. Окончательно, возьмем в качестве U1 столбец В силу линейности спектрального уравнения U1 является его решением. В силу (2.77), функция U1 имеет заданное поведение в 0 и, в силу симметрии, в 0. Асимптотики U1 на бесконечности определяются общими свойствами уравнения (2.52), и, следовательно, имеют нужный вид.

Из (2.72) следует, что параметр в (2.63) выражается следующим обра­ что вместе с (2.63) задает начальные условия для спектрального уравнения.

2.4.3. Краткий обзор метода спектрального уравнения На этом аналитическая часть описания метода заканчивается. Дальней­ шая цель — использовать эту теорию на практике. Кратко очертим приме­ нение сформулированных выше теорем к решению исходной дифракционной задачи.

Соотношения (2.76) и (2.77) могут быть записаны в виде (2.1). Функции представляют собой невязки данных монодромии. Практическую часть начнем с построения процедуры приближенного вычисления этих функ­ После этого будет описана процедура численного решения системы (2.1) двух уравнений с двумя неизвестными. В результате для фиксирован­ ных значений и 0 получим значения 1,2. Вычисленная матрица M и формула (2.80) дадут начальные значения для спектрального уравне­ Зная значения 1,2 и начальные условия, численно решим спектральное уравнение на отрезке (0, 0 ). В силу соотношения (2.34), этот отрезок соответствует углам рассеяния (0, ). Используя (2.33), получим диаграммы направленности краевых функций Грина для этих углов.

Полученные диаграммы направленности подставим в формулу расщеп­ ления (2.22) и найдем таким образом искомый дифракционный коэффи­ циент (, in ). Рассеянное поле может быть восстановлено по формуле §2.5. Численный алгоритм 2.5.1. «Наивный» подход к вычислению M+ и M Для того, чтобы численно решить систему уравнений (2.1), необходимо найти способ вычисления функций (2.81) и (2.82). Очевидная трудность за­ ключается в том, что решение спектрального уравнения (2.52) в явном виде не известно. Поэтому нельзя явно построить матрицы связи для контуров, соединяющих опорную точку = 0 с особыми точками (±0 или ).

Для преодоления этой трудности можно воспользоваться следующим ме­ тодом. Обозначим особую точку, выберем точку в некотором смысле близкую к, а именно: для = 0 должна быть малой величина | |, а для = должна быть малой величина |1/ |. Вместо решения уравне­ ния (2.52) вдоль контура (0, ), решим его вдоль (0, ), используя (2.70) как начальные условия. В результате получим матрицу Построим также матрицу F() фундаментальных решений в окрестности в виде асимптотического ряда. Для = это будет матрица (W0 (), W2 ()), а для окрестности 0 это будет матрица (Z1 (), Z2 ()). Матрицу M (т.е. M или M+ ) можно найти по формуле Описанный подход корректен с аналитической точки зрения, но его приме­ нение к численным расчетам связано с рядом трудностей. Выражение для F может быть построено в виде асимптотического ряда, как правило, являю­ щегося расходящимся для =. Следовательно, точность аппроксимации F не может быть обеспечена увеличением числа используемых членов ряда.

Вместо этого следует выбирать ближе к. В то же время, матрица F мо­ жет становиться плохо обусловленной при, что также представляет трудность с точки зрения вычислений.

Используем следующий подход. Для точки = применим описанный выше метод, но при этом осмотрительно зададим положение точки. А именно, выберем в виде где — некоторое «большое»положительное действительное число. Такой выбор объясняется тем фактом, что положительная и отрицательная дей­ ствительные полуоси плоскости являются стоксовыми линиями спектраль­ ного уравнения, т.е. они разделяют секторы доминирования W0 и W2. Легко показать, что выбор на одной из стоксовых линий приводит к хорошо обу­ словленной матрице F. В деталях структура матрицы F на бесконечности обсуждается ниже.

Для точки = 0 нет способа выбрать точку так, чтобы матрица F была хорошо обусловленной, но можно воспользоваться тем, что эта особая точка является регулярной. Ниже описывается метод вычисления матрицы M+, основанный на обходе точки 0 по контуру, не проходящему вблизи нее.

2.5.2. Асимптотический ряд для фундаментальных решений на бесконечности Пусть F = (W0, W2 ). Перепишем спектральное уравнение (2.52) в виде и разложим K() в ряд где Будем искать асимптотический ряд для столбцов матрицы F, т.е. коэффици­ енты ряда Подставим (2.88) в уравнение (2.86):

Приравняем коэффициенты степенного ряда к нулю:

где I — единичная матрица размерности 2 2, и Из уравнения (2.89) находим, что и f есть собственное значение и соб­ ственный вектор матрицы K(1), т.е., как и предполагалось, В силу альтернативы Фредгольма, уравнение (2.90) имеет решение, если Вследствие (2.62) и (2.67) это условие выполняется, если = 1/2, что, опять же согласуется с нашим априорным знанием поведения решений на бесконечности. Из (2.90) можно найти только одну компоненту столбца f :

Оставшуюся компоненту столбца f можно найти из условия разрешимости следующего уравнения цепочки:

Аналогично, одна компонента каждого из столбцов f (), = 3, 4..., может быть найдена из уравнения (2.91) с индексом :

Оставшаяся компонента находится из условия разрешимости уравнения с ин­ дексом + 1:

Таким образом можно последовательно найти коэффициенты f () ряда (2.88), представляющего фундаментальное решение F() на бесконечности.

Обрывая полученный ряд на -м члене, получаем приближенное выражение для F() при «больших». Как известно, ошибка аппроксимации в данном случае имеет порядок первого отброшенного члена. После вычисления F мат­ рица M может быть найдена из (2.84). Заметим, что вследствие (2.95) вне­ диагональные компоненты ряда (2.88) имеют факториальный рост, поэтому данный ряд расходится. Значит, для достижения высокой точности в вычис­ лениях с ним требуется брать относительно большое значение в (2.85).

2.5.3. Альтернативный способ вычисления M+ Рассмотрим обход точки = 0 по контуру, показанному на рис. 2.5.

После такого обхода решение Z1 меняет знак, а решение Z2 не меняется.

Пусть решения (E1, E2 ) принимают после обхода значения (E1, E2 ).

В соответствии с (2.71) можно записать Матрицы (Z1 (0), Z2 (0)) и M+ не известны, матрицу (E1, E2 ) можно найти численно, решая уравнение (2.52) вдоль показанного на рис. 2.5 контура. При этом в качестве начальных условий берется матрица I. Заметим, что анали­ тический результат не зависит от формы контура, но для улучшения точно­ сти численных расчетов следует выбирать путь обхода, проходящий не очень близко от 0 и при этом не сильно отходящий от действительной оси. Как следует из (2.97) и (2.98), столбцы матрицы (M+ )1 являются собственными векторами матрицы (E1, E2 ). Собственные векторы определены с точностью до постоянного множителя, но эта неопределенность устраняется нормиров­ кой M+ в соответствии с (2.73).

Преимуществом описанного подхода перед «наивным»является то, что не приходится обращать плохо обусловленную матрицу фундаментальных решений F, что позволяет ожидать повышения точности вычисления невязок (2.81) и (2.82).

2.5.4. Краткий обзор метода вычисления матриц связи Выше построены процедуры вычисления матриц M+ и M для любых заданных значений 1 и 2. Приведем здесь их краткое описание.

Численно решим уравнение (2.52) вдоль показанного на рис. 2.4 конту­ ра, взяв вместо бесконечности точку = + 0 · для некоторого достаточно большого. При этом в качестве начальных условий выбе­ рем матрицу I. В результате получим матрицу E().

Найдем значения фундаментальных решений W0 () и W2 () по фор­ мулам (2.88) и (2.92)–(2.96).

Вычислим матрицу M по формуле M = (W0 (), W2 ())1 E().

Численно решим уравнение (2.52) вдоль показанного на рис. 2.5 кон­ тура, выбирая в качестве начальных условий матрицу I. В результате получим матрицу E.

Столбцы матрицы (M+ )1 являются собственными векторами матрицы E, нормированными в соответствии с (2.73).

Вычислим матрицу M+ по формуле (2.74).

2.5.5. Градиентный алгоритм поиска 1 и Мы построили процедуру вычисления матриц M+ и M+ для любых заданных значений 1 и 2. Поскольку невязки 1,2 (1, 2 ) выражаются через элементы этих матриц, мы приходим к задаче (2.1) отыскания общего нуля двух функций двух комплексных переменных.

Для решения системы (2.1) используем метод Ньютона, относящийся к итерационным методам. Начальное приближение для неизвестных парамет­ ров выбирается в виде 1 = 2 = 0, что соответствует дифракции на двух невзаимодействующих полуплоскостях. Предполагая, что функции 1,2 (1, 2 ) являются достаточно гладкими, вычислим разностные аппроксимации част­ ных производных := /. Поправки 1,2 находятся из линейной си­ стемы Величины 1 + 1 и 2 + 2 выбираются в качестве новых приближений для параметров 1 и 2. Здесь 0 < 1 некоторый параметр, значение которого подбирается для обеспечения сходимости процедуры. На этом одна итерация завершается. Итерации повторяются до тех пор, пока невязки 1, не станут достаточно малыми. Численные эксперименты показывают, что для задачи об одной полосе процедура сходится для 0 100 при = 1.

§2.6. Результаты моделирования. Анализ точности и эффективности Одним из основных результатов работы нашей процедуры являются зна­ чения неизвестных параметров 1 и 2. На рис. 2.6 приведены графики зависи­ мостей этих параметров от величины 0. Отметим, что оба параметра имеют значения порядка единицы при 0 1. Их значения осциллируют, что объ­ ясняется интерференцией волн, рассеянных краями полосы. Также следует отметить, что значения 1,2 стремятся к нулю при 0, что объясняется ослаблением взаимного влияния краев с уменьшением длины волны.