«Аткарская Агата Сергеевна Изоморфизмы линейных групп над ассоциативными кольцами. 01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук ...»

Московский государственный университет

имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи

Аткарская Агата Сергеевна

Изоморфизмы линейных групп над

ассоциативными кольцами.

01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Научные руководители:

д. ф.-м. н.

Бунина Елена Игоревна д. ф.-м. н., профессор Михалв Александр Васильевич е Москва Оглавление Введение 1 Основные понятия 1.1 Основные понятия теории линейных групп............ 1.2 Предварительные сведения об унитарных группах........ 1.3 Предварительные сведения о градуированных кольцах и модулях 2 Изоморфизмы общих линейных групп над ассоциативными кольцами 2.1 Вспомогательные определения и утверждения.......... 2.2 Доказательство основной теоремы (теоремы 3)........... 2.3 Доказательство вспомогательных предложений 3 и 4....... 2.4 Обобщение основной теоремы на случай градуированного кольца R.................................. 3 Изоморфизмы стабильных линейных групп 3.1 Вспомогательные результаты.................... 3.2 Построение изоморфизма между кольцами E (S) и E (S1 ), где S1 = f11 Mat (S)f11....................... 3.3 Доказательство основной теоремы................. 4 Изоморфизмы стабильных унитарных групп 4.1 Обозначения и соглашения..................... 4.2 Предварительные результаты.................... 4.3 Построение изоморфизма между кольцами U (S) и U (S1 ), где S1 = z11 Mat 2, (S)z11...................... 4.4 Доказательство основной теоремы................. Введение

Работа посвящена изучению изоморфизмов между линейными группами над ассоциативными кольцами. Кроме классической полной линейной группы GL n (R), рассматриваются также группы над ассоциативными градуированными кольцами, стабильные линейные группы и стабильные унитарные группы. Описывается действие изоморфизма между данными группами на соответствующих элементарных подгруппах.

Изучение автоморфизмов линейных групп началось с работы Шрайера и Ван-дер-Вардена [29], в которой были описаны автоморфизмы группы PSL n, n 3, над произвольным полем. Затем примененный в этой работе метод был обобщен в работе [16], и с его помощью Хуа были описаны автоморфизмы симплектических групп над полем характеристики, не равной 2. Далее в 1950х Дьдонне и Риккартом был введен метод инволюций. С его помощью в е работах [14], [26] и [27] были исследованы автоморфизмы группы GL n, n 3, а также унитарных и симплектических групп над телами характеристики, не равной 2.

Затем Хуа и Райнером [17] было получено описание автоморфизмов группы GL n (Z). В работах [19](Лэндин, Райнер) и [30](Вань Чжесянь) их результат был обобщен на некоммутативные области главных идеалов.

В 1960х О’Мирой был разработан метод вычетных пространств. При помощи данного метода были изучены автоморфизмы GL n, n 3, над областями целостности, [24], и автоморфизмы симплектических групп специального вида над полями (так называемые группы, богатые трансвекциями), [25].

Независимо с помощью метода инволюций Янь Щицзянем [28] также были описаны автоморфизмы группы E n (R), n 3, где R область целостности характеристики = 2.

В работе [21] Макдональдом и Помфрэ были исследованы автоморфизмы 3, над коммутативным локальным кольцом с 1. Далее, УотерхаGL n, n узом [31] было получено описание автоморфизмов группы GL n, n 3, над произвольными коммутативными кольцами с 1. Затем В.М. Петечуком [8] изучены автоморфизмы GL n, n 3, над коммутативным локальным кольцом с 1. После этого при помощи разработанного им метода локализации В.М. Петечук [9] получил описание автоморфизмов GL n, n 4, над произвольным коммутативным кольцом. Изучались также группы автоморфизмов свободных модулей бесконечного ранга. В работе [20] Ли Фуанем был описан вид автоморфизмов стабильных линейных групп над произвольными коммутативными кольцами.

Макквин и Макдональд в [22] получили описание автоморфизмов групп Sp n размерности 6 над коммутативным локальным кольцом, содержащим 2. Продолжая работу в этом направлении, в 1980 году В.М Петечуком [10] были исследованы автоморфизмы симплектических групп над произвольным коммутативным локальным кольцом. А затем, в 1983 году, применив метод локализации, В.М Петечук в [11] обобщил результаты работ [22] и [10] на случай Sp n (R), n 6 над произвольным коммутативным кольцом R.

И.З. Голубчиком и А.В Михалвым было дано описание изоморфизмов группы GL n (R) в случае ассоциативного кольца R с 1 (без предположения о коммутативности) при n 3 в работе [3], и независимо в то же время подобные результаты (другими методами) были получены Е.И. Зельмановым в работе [5]. В этих работах доказана следующая Теорема 1. Пусть R и S ассоциативные кольца, содержащие 1, n, m 3 E + reij, diag [a1, a2,...] | i = j, r R, ak R. Тогда существуют центральные идемпотенты e и f колец Mat n (R) и Mat m (S) соответственно, кольцевой изоморфизм кольцевой антиизоморфизм и групповой гомоморфизм такие, что для всех A GE n (R).

Далее, в 1997 году в работе [2] И.З. Голубчиком описание изоморфизмов GL n (R) было продолжено на случай произвольного ассоциативного кольца при n 4.

В 1983 году И.З. Голубчиком и А.В. Михалвым в работе [4] были исслее дованы изоморфизмы унитарных групп над произвольными ассоциативными кольцами, содержащими 1, с некоторыми ограничениями на размерность группы и ранг формы. Пусть на кольце Mat n (R) задана невырожденная форма (на пустых местах в матрице предполагаются нулевые элементы).

Пусть на кольце R задана инволюция (антиавтоморфизм порядка 2). Тогда на кольце Mat n (R) можно определить инволюция по правилу A = Q1 (a )Q. Тогда U n (R,, Q) = {A GLn (R) | A A = E}. Определим униji тарную элементарную подгруппу следующим равенством (e11 A(E e11 ))(e11 A(E e11 )), E + (E e11 )Ae11 ((E e11 )Ae11 )) Результат, полученный в [4], может быть сформулирован следующим образом.

Теорема 2. Пусть R и S ассоциативные кольца с 2, инволюция на R, инволюция на S. Пусть U n (R,, Q), t 2, U m (S,, Q1 ) соответU n (R,, Q) U m (S,, Q) ствующие унитарные группы, n, m изоморфизм унитарных групп. Пусть также существует обратимый элемент Z(R), для которого 1 обратим. Тогда Mat m (S) = S1 S2 и существует изоморфизм колец такой, что Если E EU n (R), тогда (E) = E, то есть (A) = (A) для всех A EU n (R).

Если n = 2k и гиперболический ранг формы Q максимален (то есть равен k), то автоморфизмы группы U n (R,, Q), k 3 были описаны в 1985 году другими методами Е.И Зельмановым, [5].

Таким образом, данная работа продолжает начатое в конце XX в. изучение изоморфизмов и автоморфизмов линейных групп над некоммутативными кольцами.

Целью данной работы является описание изоморфизмов классических линейных групп, а также стабильных линейных групп над различными классами ассоциативных колец.

Основными в представленной работе являются следующие результаты:

• модифицированное доказательство теоремы И.З. Голубчика об изоморфизме между полными линейными группами над ассоциативными кольцами;

• продолжение теоремы И.З. Голубчика об изоморфизме между полными линейными группами на случай линейных групп над ассоциативными градуированными кольцами;

• описание действия изоморфизмов между стабильными линейными группами над кольцами, содержащими 2, на стабильной элементарной подгруппе;

• описание действия изоморфизмов между стабильными унитарными группами над кольцами, содержащими 1, на стабильной унитарной элементарной подгруппе.

В диссертации используются методы классической теории колец и модулей над кольцами, а также специальные методы, разработанные для описания действия изоморфизмов между линейными группами, в том числе метод инволюций.

Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты вносят вклад в решение задачи описания изоморфизмов линейных групп над кольцами.

Результаты диссертации докладывались автором на следующих конференциях:

VII международная алгебраическая конференция на Украине (Харьков, 2009);

международный алгебраический симпозиум, посвященный 80-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ и 70летию профессора А.В. Михалва (Москва, 2010);

а также на следующих семинарах кафедры высшей алгебры механикоматематического факультета МГУ:

научно-исследовательский семинар по алгебре;

семинар "Алгебра и теория моделей";

семинар "Теория групп".

Результаты диссертации опубликованы в работах [32] [36].

Работа состоит из четырех глав. Глава 1 имеет вспомогательный характер, в ней вводятся необходимые для работы базовые понятия и обозначения.

В разделе 1.1 мы вводим обозначения для используемых матричных колец, определяем понятия системы матричных единиц и элементарной подгруппы.

Мы называем Mat (R) множество матриц со счетным числом строк и столбцов, у которых вне главной диагонали есть лишь конечное число ненулевых элементов, а также существует такой номер n, что для любого i n элементы матрицы rii = a, a R. Вводится следующее определение.

Определение. Если A GL n (R), то можно отождествить A с элементом из Mat (R) по следующему правилу: матрицу A запишем в левый верхний угол, начиная с позиции (n, n), на диагонали запишем 1, а на всех остальных местах запишем 0. Положим GL (R) = Это подгруппа группы обратимых элементов кольца Mat (R). Назовем ее стабильной линейной группой.

Аналогичным образом определяется стабильная элементарная подгруппа.

В разделе 1.2 даются необходимые сведения об унитарных группах. Мы обозначаем через Mat 2, (R) кольцо Mat 2 (Mat (R)), через E единичXY ную матрицу счетного размера. Если A = принадлежит U 2n (R), X, Y, V, W Mat n (R), то ее можно отождествить с элементом из Mat 2, (R) Вводится следующее определение.

Определение. Положим U (R) = подгруппа группы обратимых элементов кольца Mat 2, (R). Назовем ее стабильной унитарной группой.

Затем стандартным способом определяется стабильная унитарная элементарная подгруппа.

Раздел 1.3 посвящен необходимым сведениям из теории градуированных колец и модулей. Даются определения градуированного кольца, градуированного модуля, градуированного морфизма. Вводится понятие градуированного кольца эндоморфизмов градуированного модуля и понятие хорошей градуировки на кольце матриц.

В главе 2 дается модифицированное автором доказательство следующей теоремы И.З Голубчика [2] об изоморфизме между линейными группами над ассоциативными кольцами.

Теорема (теорема 3). Пусть R и S ассоциативные кольца с 1, n 4, m 2 и : GL n (R) GL m (S) изоморфизм групп. Тогда существуют центральные идемпотенты e и f колец Mat n (R) и Mat m (S) соответственно, кольцевой изоморфизм и кольцевой антиизоморфизм такие, что для всех A E n (R).

В разделе 2.1 вводится определения кольца частных и канонического гомоморфизма и доказываются вспомогательные утверждения. Раздел 2.2 посвящен доказательству основного результата. Также в этом разделе автором сформулирована и доказана теорема, описывающая действие изоморфизма линейных групп на подгруппе GE n (R). При доказательстве используются методы работы [3]. В разделе 2.3 приводится подробное доказательство вспомогательных технически сложных предложений, которые использовались при доказательстве основного результата. Раздел 2.4 посвящен изучению изоморфизма линейных групп над асооциативными градуированными кольцами.

Автором вводится следующее определение ативные градуированные кольца с 1, Mat n (R), Mat m (S) - градуированные кольца матриц с хорошей градуировкой. Изоморфизм групп : GL n (R) GL m (S) назовем изоморфизмом, согласованным с градуировкой, если и выполнено свойство:

Доказана теорема Теорема (теорема 5). Пусть G группа с нейтральным элементом e, R= Rg, S = Sg ассоциативные градуированные кольца с единиgG gG цей, Mat n (R), Mat m (S) градуированные кольца матриц с хорошей градуи : GL n (R) GL m (S) согласованный с градуировкой. Пусть изоморфизм тоже согласован с градуировкой. Тогда существуют центральные идемпотенты q и f колец Mat n (R) и Mat m (S) соответственно, q Mat n (R)e, f Mat m (S)e, кольцевой изоморфизм и кольцевой антиизоморфизм сохраняющие градуировку, такие, что для всех A E n (R).

Глава 3 посвящена описанию изоморфизма между стабильными линейными группами над ассоциативными кольцами, содержащими 2. Основной результат этой главы продолжает описание изоморфизма линейных групп, полученный И.З. Голубчиком и А.В. Михалвым, [3]. Доказана следующая Теорема (теорема 6). Пусть R и S ассоциативные кольца с 1, : GL (R) GL (S) изоморфизм стабильных групп. Тогда существуют центральные идемпотенты h и e колец Mat (R) и Mat (S) соответственно, кольцевой изоморфизм и кольцевой антиизоморфизм такие, что для всех A E (R).

Доказательство теоремы ведется с использованием модифицированного метода инволюций. В разделе 3.1 приводятся необходимые для дальнейшего доказательства вспомогательные утверждения, а также строится система матричных единиц {fij, i, j N} кольца Mat (S), обладающая свойством (E 2eii ) = E 2fii, i N. Далее в разделе 3.2 строится изоморфизм между кольцами E (S) и E (S1 ), S1 = f11 Mat (S)f11, что позволяет нам в дальнейшем записывать элементы GL (S) удобным способом. Затем в разделе 3.3 мы описываем образы элементов из E (R) при изоморфизме и строим кольцевые отображения 1 и 2, обладающие необходимыми свойствами. Это завершает доказательство теоремы.

В главе 4 описывается действие изоморфизма между стабильными унитарными группами над ассоциативными кольцами, содержащими 2, на стабильной элементарной подгруппе. Результат этой главы продолжает описание изоморфизма унитарных групп, полученное И.З. Голубчиком и А.В. Михалвым, [4]. Основным результатом является следующая инволюция (антиавтоморфизм порядка два) на R, инволюция на S, : U (R) U (S) изоморфизм стабильных унитарных групп. Пусть также существует обратимый элемент Z(R), такой, что обратим. Тогда существует кольцевой изоморфизм такой, что При доказательстве теоремы используется модифицированный метод инволюций. Раздел 4.1 посвящен введению необходимых для доказательства дополнительных обозначений и соглашений. В разделе 4.2 даются необходимые вспомогательные результаты и производятся предварительные вычисления.

Также вводится система матричных единиц {zij, i, j N N }, обладающая свойством (E 2(eii + ei i )) = E 2(zii + zi i ). Затем в разделе 4.3 строится изоморфизм между кольцами U (S) и U (S1 ), S1 = z11 Mat 2, (S)z11, что позволяем нам далее записывать элементы из U (S) в удобном виде. В разделе 4.4 мы описываем образы элементов из EU (R) и строим кольцевой изоморфизм, удовлетворяющий условию теоремы. Это завершает рассмотрение в главе 4.

Автор выражает глубокую благодарность своим научным научным руководителям Александру Васильевичу Михалву и Елене Игоревне Буниной за постановку задач, руководство работой и поддержку.

Глава Основные понятия 1.1 Основные понятия теории линейных групп Все кольца в работе предполагаются ассоциативными с нейтральным элементом 1. Основные сведения о стабильных группах могут быть найдены в книге [15] и статье [1]. Через Mat n (R) будем обозначать кольцо матриц размера n n над кольцом R, через GL n (R) будем обозначать группу обратимых элементов этого кольца. Определения, касающиеся колец матриц бесконечной размерности и стабильных линейных групп, могут быть найдены в работах [15] и [13].

Подгруппу, порожденную элементами E +reij, r R, будем называть элементарной подгруппой и обозначать через E n (R). Через D n (R) будем обозначать подгруппу GL n (R), порожденную диагональными матрицами, через GE n (R) будем обозначать группу, порожденную группами E n (R) и D n (R).

Обозначим через Mat (R) матрицы со счетным числом строк и столбцов, такие, что в каждом столбце содержится лишь конечное число ненулевых элементов (кольцо эндоморфизмов свободного правого R-модуля V счетного ранга при фиксации базиса).

Назовем Mat (R) множество матриц со счетным числом строк и столбцов, у которых вне главной диагонали есть лишь конечное число ненулевых элементов, а также существует такой номер n, что для любого i n элементы матрицы rii = a, a R. Ясно, что Mat (R) это кольцо.

Будем обозначать через FCRMat (R) подкольцо кольца Mat (R), состоящее из матриц, имеющих конечное число ненулевых элементов в каждой строке и в каждом столбце. Через FMat (R) будем обозначать подкольцо кольца Mat (R), состоящее из матриц, имеющих конечное число ненулевых элементов.

Подмножество {fij }, i, j N, кольца Mat n (R) (кольца Mat (R)) называется системой матричных единиц, если fij fst = js fit (js символ Кронекера). Простой пример системы матричных единиц можно получить, если положить элемент fij равным матрице, у которой стоит 1 на месте (i, j) и на всех остальных местах. В дальнейшем такую систему матричных единиц мы будем называть стандартной.

Пусть A GL n (R). Мы можем отождествить A с элементом из Mat (R) по следующему правилу: матрицу A запишем в левый верхний угол, начиная с позиции (n, n), на диагонали запишем 1, а на всех остальных местах запишем 0.

Сохраним обозначение GL n (R) для получившихся подмножеств Mat (R).

Ясно, что GL n (R) подгруппы группы обратимых элементов кольца Mat (R), а также, что для m n мы имеем, что GL n (R) GL m (R).

Определение 1. Положим GL (R) = Это подгруппа группы обратимых элементов кольца Mat (R). Назовем ее стабильной линейной группой.

Аналогично группам GL n (R) в Mat (R) можно вложить подгруппы элементарных матриц E n (R).

Определение 2. Положим E (R) = подгруппа группы обратимых элементов кольца Mat (R). Назовем ее стабильной элементарной группой.

Операцию транспонирования матриц будем обозначать через t. Отметим, что операция транспонирования определена не только для элементов кольца Mat n (R), но и для элементов колец Mat (R), FMat (R) и FCRMat (R).

1.2 Предварительные сведения об унитарных группах Основные определения, касающиеся унитарных групп, могут быть найдены в работах [15] и [6].

Инволюцией на кольце R называется антиавтоморфизм порядка 2. Пусть R кольцо с инволюцией и Инволюция индуцирует инволюцию на кольце Mat 2n (R) по правилу Будем обозначать это отображения также через.

Унитарной группой U 2n (R) над кольцом R с инволюцией называется группа матриц A Mat 2n (R) таких, что A A = E2n.

Обозначим через Mat 2, (R) кольцо Mat 2 (Mat (R)), через E единичXY ную матрицу счетного размера. Пусть A = принадлежит U 2n (R), Сохраним обозначение U 2n (R) для получившихся подмножеств Mat 2, (R).

Ясно, что U 2n (R) подгруппы группы обратимых элементов кольца Mat 2, (R), а также, что для m n мы имеем U 2n (R) U 2m (R).

Определение 3. Положим U (R) = подгруппа группы обратимых элементов кольца Mat 2, (R). Назовем ее стабильной унитарной группой.

На кольце Mat 2, определим инволюцию по правилу Это отображение будем обозначать также через. Несложно видеть, что для любого элемента A U (R) мы получаем Определение 4. Пусть {Eij | i, j N} стандартная система матричных единиц кольца Mat (R). Подгруппу в группе U (R), порожденную матрицами будем обозначать через EU (R) и называть стабильной элементарной подгруппой.

1.3 Предварительные сведения о градуированных кольцах и модулях Основные определения, касающиеся градуированных колец и градуированных колец эндоморфизмов, могут быть найдены в работах [23] и [1]. Предполагается, что фиксирована некоторая группа G.

Определение 5. Кольцо R называется G-градуированным (или градуироRg, где {Rg | g G} семейство аддиванным по группе G), если R = тивных подгрупп кольца R и Rg Rh Rgh для всех g, h G. Если при этом Rs Rh = Rsh для всех s, h G, то кольцо называется строго градуированным.

Пример 1.1. Примером градуированного кольца является кольцо многочленов k[x]. На нем можно ввести градуировку группой Z следующим образом:

Пример 1.2. Еще один пример градуированного кольца это групповое кольцо RG. Для него можно ввести градуировку группой G такую, что однородные компоненты имеют вид Два G-градуированных кольца R и S называются gr-изоморфными, если существует такой изоморфизм колец f : R S, что f (Rg ) Sg для всех g G. Изоморфизм f в данном случае называется gr-изоморфизмом, градуированным изоморфизмом или изоморфизмом, сохраняющим градуировку.

Заметим, что изоморфизм градуированнных колец не обязан быть gr-изоморфизмом.

Пример 1.3. Рассмотрим кольцо многочленов k[x] с градуировкой, описанной в примере 1. Рассмотрим отображение : k[x] k[x], определенное по правилу (xj ) = (1 + x)j. Ясно, что изоморфизм колец, но также понятно, что оно не является gr-изоморфизмом колец.

Определение 6. Правый R-модуль M называется G-градуированным, если Mg, где {Mg | g G} семейство аддитивных подгрупп в M таких, что Mh Rg Mhg для всех h, g G.

Определение 7. R-линейное отображение f : M N правых G-градуированных R-модулей называется градуированным морфизмом степени g, если f (Mh ) Ngh для всех h G. Градуированные морфизмы степени g образуют аддитивную подгруппу HOM R (M, N )g группы Hom R (M, N ).

рованное кольцо называется градуированным кольцом эндоморфизмов градуированного R-модуля M.

Градуированный правый R-модуль M называется gr-свободным, если он обладает базисом, состоящим из однородных элементов.

Известно (см., например, [23]), что если R = Rg градуированное кольцо, то градуированное кольцо эндоморфизмов END R (M ) конечно порожденного gr-свободного правого R-модуля M с базисом, состоящим из однородных элементов v1, v2,..., vn с vi Mgi (i = 1,..., n), изоморфно градуированному кольцу матриц Назовем G-градуировку на кольце матриц Mat n (R) хорошей,если существует такой конечно порождённый gr-свободный правый R-модуль M, что (как градуированные кольца).

Глава Изоморфизмы общих линейных групп над ассоциативными кольцами Данная глава посвящена описанию изоморфизмов общих линейных групп над ассоциативными кольцами. В разделах 2.1–2.3 приводится дополненное доказательство следующей теоремы, доказанной И.З. Голубчиком в его работе [2]:

и : GL n (R) GL m (S) изоморфизм групп. Тогда существуют центральные идемпотенты e и f колец Mat n (R) и Mat m (S), соответственно, кольцевой изоморфизм и кольцевой антиизоморфизм такие, что для всех A E n (R).

В разделе 2.4 будет доказано продолжение этой теоремы на случай общих линейных групп над ассоциативными градуированными кольцами.

2.1 Вспомогательные определения и утверждения Пусть A подмножество кольца R. Тогда A называется мультипликативным, если ab A для всех a A, b A.

Определение 9. Пусть : R S гомоморфизм колец и A мультипликативное подмножество кольца R. Тогда S называется правым кольцом частных кольца R относительно A, если выполнены следующие условия:

1. если (r) = 0, то найдется a A, такой, что ra = 0, 2. (A) состоит из обратимых элементов кольца S, 3. кольцо S состоит из элементов вида (r)(a)1, где r R, a A.

Отображение в данном случае называется каноническим гомомрфизмом.

Пусть также [A, B] = A1 B 1 AB, [A, B, C] = [[A, B], C].

R Mat n (R).

Доказательство. Пусть r R. Тогда Очевидно, что гомоморфизм колец, потому что R коммутирует с fij.

Отображение сюръективно, потому что, как показано выше, для всех r R имеет место представление r = инъективно. Значит, изоморфизм. Лемма 2.1 доказана.

для всех различных i, j, s, t от 1 до n и k = j. Тогда существует система матричных единиц {fij | 1 i, j n} кольца S и идемпотент e кольца { fi1 rf1i |r S}, такие, что aij = efij (1 e)fji для всех i, j от 1 до n, i = j.

для всех i, j, s, t от 1 до n.

Сначала покажем, что из (2.1) и (2.2) можно получить для всех различных i, k, j, m от 1 до n.

Действительно, имеют место равенства aik aki aij = aik (akj +aij aki ) = aik akj, aik aki aim amk = aik (akm +aim aki )amk = aik akm amk = (aim +akm aik )amk = aim amk.

Из (2.4) aim amj = aik akj для i = j, так как выполнены равенства aik akj = aik aki aij = aik aki (aim amj amj aim ) = aik aki aim amj = aim amj.

Положим gij = aik akj, hij = aki ajk, gii = gij gji, hii = hij hji, 1 i = j n. Элементы gij, hij корректно определены в силу последнего доказанного равенства и соотношений (2.4).

Прямым вычислением с использованием равенств (2.1), (2.2), (2.4) получаем, что равенства (2.3) выполнены для всех i, j, s, t от 1 до n.

Положим Тогда {fij | 1 i, j n} система матричных единиц кольца S. Положим Кроме того, получаем efij (1e)fji = efij +efji fji = gij +gji gji hji = gij hji = aij. Предложение доказано.

1, : E n (R) GL m (S) гомоморфизм групп и для всех r, s R и всех i, j, k, p таких, что i = j, j = k, k = p, p = i.

Тогда существуют идемпотент f Mat m (S), кольцевой гомоморфизм и кольцевой антигомоморфизм такие, что для всех A E n (R).

Доказательство. Положим (E+reij ) = E+xij (r), r R, 1 i = j n.

Из равенства E + rseij = [E + reik, E + sekj ], i = j, k = i, j = k и условия (2.6) получаем, что Соотношения (2.7) выводятся следующим образом. Выполнены равенства:

(E + sekj )(E + reik )(E + rseij ) = (E + reik )(E + sekj ), (E + xkj (s)(E + xik (r))(E + xij (rs)) = (E + xik (r))(E + xkj (s)), (E + xkj (s) + xik (r) + xkj (s)xik (r))(E + xij (rs)) = E + xik (r) + xkj (s) + xik (r)xkj (s).

Из условия (2.6) получаем, что xij (r)xkp (s) = 0 при i = j, j = k, k = p, p = i.

Значит, E + xkj (s) + xik (r) + xkj (s)xik (r) + xij (rs) = E + xik (r) + xkj (s) + xik (r)xkj (s), откуда следует равенство (2.7).

Положим aij = xij (1). Из (2.6), (2.7) и предложения 2.2 получаем, что в S существуют fij система матричных единиц и идемпотент f, такие, что В силу равенств (2.6) и (2.7) получаем xij (r) = xik (r)xkj (1) xkj (1)xik (r) = = xik (r)(xkm (1)xmj (1)xmj (1)xkm (1))xkj (1)(xim (1)xmk (r)xmk (r)xim (1)) = = xik (r)xkm (1)xmj (1)+xkj xmk (r)xim (1) = (xim (1)xmk (r)xmk (r)xim (1))xkm xmj + + (xkm (1)xmj (1) xmj (1)xkm (1))xmk (r)xim (1) = xim (1)xmk (r)xkm (1)xmj (1) xmj (1)xkm (1)xmk (r)xim (1) = (xik (1)xkm (1)xkm (1)xik (1))xmk (r)xkm (1)xmj (1) xmj (1)xkm (1)xmk (r)(xik (1)xkm (1) xkm (1)xik (1)) = = xik (1)xkm (1)xmk (r)xkm (1)xmj (1) + xmj (1)xkm (1)xmk (r)xkm (1)xik (1) = (i, j, k, m различны) в обозначениях предыдущей леммы. Значит, имеет место Из равенств (2.6) и (2.7) следует, что коэффициенты перед fij и fji в последней сумме не зависят от выбора m и k. Тогда выполнены соотношения xij (r) = b(r)fij c(r)fji, b(r) = f b(r)f, c(r) = (E f )c(r)(E f ), Из равенства (2.7) получаем, что b : R f Mat (S)m f гомоморфизм колец, c : R (E f )Mat (S)m (E f ) антигомоморфизм колец.

Положим Тогда 1 : Mat n (R) f Mat m (S)f гомоморфизм колец, 2 : Mat n (R) (E f )Mat m (S)(E f ) антигомоморфизм колец.

Далее, (E + rij ) = E + xij (r) = E + b(r)fij c(r)fji = E + 1 (reij ) 2 (reij ) = Значит, Предложение доказано.

Имеют место следующие утверждения, которые мы докажем в разделе 2:

Предложение 2.3. Пусть R, S ассоциативные кольца с 1, n 4, m 2, Mat m (S)1 кольцо частных относительно мультипликативной системы, : Mat m (S) S 1 канонический гомоморфизм. Тогда для всех i, p от 1 до 2, j, q от 3 до 4, r, s R.

Предложение 2.4. Пусть R, S ассоциативные кольца с 1, n 4, m Mat m (S)T 1 кольцо частных относительно мультипликативной системы, : Mat m (S) S 2 канонический гомоморфизм. Тогда для всех i, p от 1 до 2, j, q от 3 до 4, r, s R.

2.2 Доказательство основной теоремы (теоремы 3).

Из предложений 2.3 и 2. Если x ker ker, то 2k1 x = 3k2 x = 0 для некоторых k1 и k2 N, и, следовательно, x = 0 (т. к. 2k1 и 3k2 взаимно просты). Значит, для всех i, p от 1 до 2, j, q от 3 до 4, r, s R.

Сопрягая равенство (2.12) матрицами соответствующих транспозиций, получаем, что оно выполнено для всех i, j, p, q от 1 до n таких, что i = j, j = p, p = q, q = i. Тогда по предложению 3 существует идемпотент f кольца Mat m (S), кольцевой гомоморфизм 1 : Mat n (R) f Mat m (S)f, и кольцевой антигомоморфизм 2 : Mat n (R) (E f )Mat m (S)(E f ) такие что Легко видеть, что Покажем, что h центральный идемпотент кольца Mat m (S). Действительно, (E +eij ) = 1 (E +eij )+2 (E eij )+E 1 (E)2 (E) = 1 (eij )1 (eij )+E = E + 1 (E)1 (eij ) 2 (E)2 (eij ) = E + 1 (E)(1 (eij ) 2 (eji )) 2 (E)(1 (eji ) 2 (eij )) = E + h1 fij h2 fji. Таким образом, Из представления (2.13) для (E +e12 ), (E +eij ), 2 i = j n получаем, что r Mat m (S) элемент E +h1 f11 r(E h) коммутирует с (E +e12 ), (E + eij ), 2 i = j n. Но централизатор множества {E + e12, E + eij |2 i = j n} коммутирует c E + e21 (устанавливается прямым подсчетом). Значит, из (2.13) следует (h1 f21 h2 f12 )(h1 f11 r(E h)) = (h1 f11 r(E h))(h1 f21 h2 f12 ).

Отсюда h1 f21 r(E h) = 0. Умножая это равенство слева на f12, получаем, что Аналогично элемент E+h2 f11 r(Eh) коммутирует с (E+e21 ), (E+eij ), Так как (h1 + h2 )f11 = f11, то f11 r(E h) = 0. Таким же образом получаем Аналогично получаем, что (E h)rh = 0. Значит, Из (2.14) Для всех A E n (R) выполнены равенства (A) = 1 (A)+2 (A1 )+Eh = По определению Тогда поэтому E m (tS) коммутирует с (E n (R)). Следовательно, 1 (E m (tS)) коммутирует с E n (R). Значит, 1 (E m (tS)) Z(GL n (R)), откуда E m (tS) Z(GL m (S)). Из равенства получаем t2 = 0. Следовательно, из (2.15) t = 0 и Тогда получаем, что {fij | 1 i, j n} полная система матричных единиц кольца Mat m (S).

Пусть S = { fi1 rf1i | r Mat m (S)}. Аналогично (2.16) получаем для обратного отображения 1 : GL n (S) GL n (R), где Mat n (S) Mat m (S) (по лемме 2.1), что существует идемпотент e кольца Mat n (R), кольцевой гомоморфизм 3 : Mat n (S) eMat n (R)e и кольцевой антигомоморфизм 4 : Mat n (S) (E e)Mat n (R)(E e), такие, что Покажем, что 4 1 = 3 2 = 0. Действительно, из (2.16), (2.17), учитывая, что (E + eij ) = 1 (E + eij ) + 2 (E eij ) E n (S), получаем при i = j.

Из этих равенств следует, что Аналогично выполнено равенство где k = i, k = j. Перемножая два последних равенства, получаем, что 0 = = (3 2 + 4 1 )(ejj ). Такое равенство можно получить для любого j, значит, 3 2 + 4 1 = 0 и, следовательно, По (2.10), (2.11), (2.16) и (2.18) имеем Покажем, что e и f центральные идемпотенты в Mat n (R) и Mat m (S) соответственно. Пусть A En (R), тогда A = 1 ((A)) = 1 (B) = 3 (B) + 4 (B 1 ), где B = 1 (A) + 2 (A1 ) E n (S). Следовательно, eA = Ae, то есть e коммутирует с E n (R). Значит, e центральный идемпотент кольца Mat n (R).

По (2.8), (2.17), (2.19) имеем Отсюда следует, что 3 (f fij ) = eeij, 4 ((E f )fji ) = (E e)eij. Тогда получаем, учитывая (2.19), Следовательно, система матричных единиц кольца Mat n (R), построенная по формулам (2.3) и (2.5), где aij = 1 (E + fij ), совпадает со стандартной системой матричных единиц данного кольца. Это означает, что Тогда B = (1 (B)) = 1 (A) + 2 (A1 ), где B E n (S), A = 3 (B) + 4 (B 1 ) E n (R). Следовательно, f B = Bf, то есть f коммутирует с E n (S).

Значит, f центральный идемпотент кольца Mat m (S).

Учитывая (2.20), аналогично соотношениям 4 1 = 3 2 = 0 несложно вывести равенства 1 4 = 2 3 = 0. Отсюда в свою очередь следует, что В силу (2.16), (2.20) и (2.21) имеем 1 ((E + ereij )) = 1 (E + 1 (ereij )) = следовательно, 3 1 (ereij ) = ereij. Аналогично в силу (2.17), (2.20) и (2.21) (1 (E + f sfij )) = (E + 3 (f sfij )) = следовательно, 1 3 (f sfij ) = f sfij. Значит, 1 : eMat n (R) f Mat m (S) биективное отображение, то есть изоморфизм колец. Аналогично 2 : ( e)Mat n (R) (1 f )Mat m (S) является биективным отображением, то есть антиизоморфизмом колец. А в силу (2.16) имеем (A) = 1 (eA) + 2 (( e)A1 ) для всех A E n (R). Теорема доказана.

Также имеет место следующая теорема:

и : GL n (R) GL m (S) изоморфизм групп. Тогда существуют центральные идемпотенты e и f колец Mat n (R) и Mat m (S) соответственно, кольцевой изоморфизм кольцевой антиизоморфизм и групповой гомоморфизм такие, что для всех A GE n (R).

Доказательство. Уже доказано, что существуют требуемые 1, 2, такие, что (A) = 1 (eA) + 2 ((1 e)A1 ) для всех A E n (R).

Положим для всех B GL n (R). Тогда 1 (A) = A для всех A E n (R).

Пусть B GE n (R), A E n (R). Тогда BAB 1 E n (R). Следовательно, Значит, B 1 1 (B) лежит в централизаторе подгруппы E n (R) в GL n (R), то есть B 1 1 (B) Z(GL n (R)). Тогда = (B 1 1 (B)) Z(GL m (S)) и (B) = 1 (B) = (1 (1 (eB)+2 ((1e)B 1 ))) = (1 (eB)+2 ((1e)B 1 ), откуда Из последнего равенства легко вывести, что отображение, при котором B 1, является гомоморфизмом групп. Теорема доказана.

2.3 Доказательство вспомогательных предложений 3 и 4.

Лемма 2.2. Пусть R ассоциативное кольцо с 1, M не содержащая коммутативная мультипликативная система, M Z(R), R1 = RM кольцо частных относительно мультипликативной системы M, : R R1 канонический гомоморфизм. Пусть a R1, a2 = 0. Тогда существует h M, такой, что найдется b R со свойством (b) = 1 + (h)a. Причем такой элемент будет существовать для всех 1 + (hh1 )a, h1 M.

Доказательство. По свойству канонического гомоморфизма По условию Возьмем b = lc + 1, тогда Элемент b обратим, так как (lc)2 = 0. Если взять b = lch1 + 1, то b останется обратимым и (b) = 1 + (lsh1 )a.

Лемма 2.2 доказана.

Лемма 2.3. Пусть R ассоциативное кольцо с 1, M не содержащая коммутативная мультипликативная система, M Z(R), R1 = RM кольцо частных относительно мультипликативной системы M, : R R1 канонический гомоморфизм. Пусть a, b R1, a = (d), ab = ba. Тогда существует h M, такой, что у элемента (h)b при отображении найдется прообраз t со свойством td = dt, причем такой t будет существовать для всех (hh1 )b, h1 M.

Доказательство. Пусть b = (s)1 (c), s M, тогда a(c) = (c)a.

Пусть cd dc = p, тогда (p) = 0 l M : lp = 0. Рассмотрим элемент lc. Выполнены равенства lcd = dlc, (lc) = (l)(s)b = (ls)b. Если взять t = lh1 c, h1 M, то получим, что lh1 cd = dlh1 c и (lh1 c) = (lsh1 )b.

Лемма 2.3 доказана.

Лемма 2.4. Пусть R ассоциативное кольцо с 1, M не содержащая коммутативная мультипликативная система, M Z(R), R1 = RM кольцо частных относительно мультипликативной системы M, :

R R1 канонический гомоморфизм. Пусть a, b1, b2 R1, a2 = 0, b1 = (d1 ), b2 = (d2 ), ab1 = b1 a, ab2 = b2 a. Тогда существует h M, такой, что найдется t R со свойствами td1 = d1 t, td2 = d2 t, (t) = (h)a + 1, причем такой t будет существовать для всех (hw)a + 1, w M.

Доказательство. Так как ab1 = b1 a, ab2 = b2 a, то по лемме 3 получаем, что найдется q1 R : dq1 = q1 d, (q1 ) = (h1 )a, также существует q2 R, такой, что dq2 = q2 d, (q2 ) = (h2 )a. По лемме 2.3 у элемента (h1 h2 )a также существуют прообразы q1, q2, такие, что q1 d1 = d1 q1, q2 d2 = d2 q2. Тогда (q q2 ) = 0. Значит, найдется l M : lq1 = lq2 = q (по свойству канонического гомоморфизма). Тогда q коммутирует с d1 и с d2, (q) = (lq1 ) = (lh1 h2 )a.

По условию a2 = 0, значит, (q 2 ) = 0, следовательно, найдется h3 M, такой, что h3 q 2 = 0 (по свойству канонического гомоморфизма). Тогда элемент 1 + h3 q обратим. Положим t = 1 + h3 q, тогда t коммутирует с d1 и с d2, t R, и (t) = (1 + h3 q) = 1 + (h3 )(q) = 1 + (lh2 h1 h3 )a. Для (hw)a + 1, w M положим t = 1 + wh3 q. Лемма 2.4 доказана.

Предложение 2.5. Пусть R, S i, j 4} стандартная система матричных единиц Mat 4 (R), T подкольцо S, Z централизатор T в S, z = 1R, Пусть : G GL 2 (S) гомоморфизм групп, причем и существует a G1, такой, что (a) = является делителем 0 в S. Тогда для всех i, k от 1 до 2, j, m от 3 до 4 и r, s R.

Доказательство. Если g G2, h G1, то так как a элемент из условия. Тогда Ar перестановочна с As, так как (E + r(e13 + e24 ))(E + s(e13 + e24 )) = Матрица Ar перестановочна с так как в прообразе этот элемент имеет вид и выполнены равенства Тогда ar as + br cs = as ar + bs cr (так как Ar и As перестановочны), ar as + br cs = as ar + bs cr (так как Ar и As перестановочны, и, перестановочны с T ). Вычтем одно равенство из другого, получим:

Также выполнено 1 (1 1 )(bs cr + 1 br cs ) = 0, следовательно, bs cr = 1 br cs (т. к. 1 1 не является делителем нуля в S).

(аналогично предыдущему).

(( 1 )2 1)br cs = 0 br cs = 0, т. к. ( 1 )2 1 не является делителем нуля Также выполнены импликации Таким образом, выполнено для всех r, s R.

в силу (2.23), того что, µ коммутируют с T и (Ar )1 = Ar.

Пусть В силу выражения, полученного для [Ar, (h)], имеем где h, h1, h, h G1, d, d G2. Тогда в силу (2.23) и (2.24) получаем то из (2.25) получаем (2.22). Предложение доказано.

такие, что кольца S, такая, что b = f12 + f21, a = f11 f21 + f12.

Доказательство. Положим f11 = 2 3 b 2 ba, f22 = 1 f11, f12 = f11 b, f21 = bf11. Предложение доказано.

Доказательство предложения 2.3. Положим Тогда где 1 i, j 2.

где 1 i, j 2.

Из (2.28), (2.29) по предложению 2.1 существует полная система матричных единиц {fij | 1 i, j 2} в e1 S 1 e1, существует полная система матричных единиц {fst | 3 s, t 3} в e2 S 1 e2 и выполнены свойства:

(из (2.26), (2.27) и определения fij, fst ), (из предложения 2.6 и того, что a1 = e1 a1 + E e1 ), (из предложения 2.6 и того, что a2 = e2 a2 + E e2 ), (из (2.26), (2.27), (2.29) и определения fij ), где 1 k {3, 4}4.

Пункт 1. Докажем, что Положим gij = fij f33, gij+2 = fij f34, gij = fi+2j f43, gi+2j+2 = fij f44, i, j 2.

Из (2.30) {gst | 3 s, t 3} полная система матричных единиц кольца e1 e2 S 1 e1 e2.

Элементы e1 e2 S 1 e1 e2 будем отождествлять с их образами при изоморфизме из леммы 2.1.

Из (2.31), (2.32) получаем потому что e1 e2 a1 = (f33 + f44 )(f11 f21 + f12 ) = g11 g21 + g12 g22 g43 + g34, e1 e2 a2 = (f11 + f22 )(f33 f43 + f34 ) = g11 g22 g31 + g13 g42 + g24, (получается аналогичными вычислениями), (т. к. e1 e2 c1, e1 e2 c2 коммутируют с gij, e1 e2 b1 и с e1 e2 b2 ).

Далее, если h коммутирует с (из перестановочности с данной матрицей, воспользовавшись тем, что 3 S 1, получим, что h =, для нее очевидно выполнено утверждение про коммутатор).

Тогда если d GL m (S) коммутирует с (E 2e33 e44 + e34 e43 ), то Применяя к последнему равенству, получаем Легко проверить, что Значит, по лемме 2.2 существует k со следующим свойством: найдется d GL m (S), такое, что Тогда получаем, что Далее, a2 коммутирует с (d) (в силу равенств (d) = E + 3k (g12 + g g32 ) = 1+3k f12 (f33 +f34 f43 ), a2 = f33 f43 +f34 +Ee2 ), значит, по лемме найдется l с тем свойством, что 3l d коммутирует с (E 2e33 e44 + e34 e43 ).

Поэтому [3l (d), b1, b2 ] = [ (d), b1, b2 ] = E и e1 e2 [ (d), b1, b2 ] = e1 e2.

Т. к. (d), b1, b2 коммутируют с e1 e2 и (e1 e2 )2 = e1 e2, то из последнего равенства получаем Обозначим Тогда Приравнивая элементы на месте (1,4), видим, что g14 = 0. Следовательно, g14 = 0, т. к. 1 = (3k )1 S 1. Тогда gii = 0 для всех i = 1, 2, 3, 4, значит, Положим Тогда Положим f33 = c3 f11 c3, f44 = c3 f22 c3. Из (2.33) f11, f22, f33, f44 ортогональные идемпотенты. Значит, система {fij | 1 i, j 4}, где fi,j+2 = fij c3, fi+2,j = c3 fij, 1 i, j 2, это полная система матричных единиц кольца (e1 + e2 )S (e1 + e2 ), причем Пункт 2. Пусть Z =< 1R > и Покажем, что (G1 ) коммутирует с e1 и e2.

Группа G1 коммутирует с E2e33 e44 +e34 e43, значит, a2 перестановочен с (G1 ) (по определению a2 ). Тогда по определению e2 получаем, что (G1 ) коммутирует с e2.

Тогда централизатор G3 в GL n (R) совпадает с централизатором множества e33 e44 + e34 + e43 } (прямым подсчетом получаем, что централизатор имеет вид a(e11 + e22 ) + b(e13 + e24 ) + c(e31 + e42 ) + t(e33 + e44 )). Таким образом, если d GL m (S) и (d) коммутирует с a1 a2, b1 b2, то (d) коммутирует с (G3 ) (по лемме 3 найдется l со свойством, что 3l d коммутирует с (E 2e11 e22 + +e12 e21 2e33 e44 +e34 e43 ), (E e11 e22 +e12 +e21 e33 e44 +e34 +e43 ), значит, сам d также с ними коммутирует). Следовательно, для d1 = E + 3k (f13 + f24 ), d2 = E + 3k (f31 + f42 ) получаем, что d1 и d2 коммутируют с (G3 ) ((f13 + f24 )2 = (f31 + f42 )2 = 0; значит, по лемме 2.2 найдется k, такой, что d1, d2 (GL m (S))).

Поэтому (G3 ) коммутирует с d1 d2 и, следовательно, с (f31 + f42 )(f13 + f24 ) = f33 + f44 = e2. Тогда для a G1 (a)c3 (a)c3 коммутирует с e2, т. к.

(h) = c3. Из определения e1, e2 и равенств c3 a2 c3 = a1, c2 = 1 следует, что c3 e2 c3 = e1. Далее, выполнены равенства Следовательно, (a)e1 = e1 (a). Пункт 2 завершен.

Пункт 3. Покажем, что e2 (G1 ) лежит в центре кольца e2 S 1 e2, где G из (2.35).

Рассмотрим матрицы Прямым подсчетом получаем, что если A коммутирует с этими матрицами, то A коммутирует с e11 + e22 и, значит, имеет вид Тогда элементы коммутируют с G1.

Рассмотрим матрицу Элемент f33 rf44 коммутирует с a1 в силу (2.31) и с в силу (2.31) и пункта 2. Также выполнено равенство (f33 rf44 )2 = 0, значит, по лемме 2.4 найдется k, такой, что существует обратимый прообраз E+3k f33 rf при отображении, который коммутирует с где qr коммутирует с и qr GL m (S). Тогда коммутируют с G1 и, значит, [dr, a2 ], [dr, b2 ] коммутируют с (G1 ), а [E + + f33 rf44, a2 ], [E + f33 rf44, b2 ] коммутируют с (G1 ). Кроме того, a2, b2 коммутируют с (G1 ), т. к. их прообразы коммутируют. Следовательно, коммутирует с (G1 ).

Кольцо, порожденное элементами зано, что (G1 ) коммутирует с Mr. Тогда e2 (G1 ) тоже коммутирует Mr, следовательно, e2 (G1 ) Z(e2 S 1 e2 ), что и требовалось. Пункт 3 завершен.

Пункт 4. Пусть Покажем, что Элемент (E + (e13 + e24 )), R, коммутирует с a1 a2 (потому что (E 2e11 e22 + e12 e21 )(E 2e33 e44 + e34 e43 ) и E + (e13 + e24 ) коммутируют). Далее, из (2.31), (2.32), (2.33) следует, что a1 + a2 = a1 a2 + E, a2 + a2 = (a1 a2 )2 + E. Тогда из определения e1 и e2 получаем равенство e1 + e2 = 3 ((a1 a2 )2 a1 a2 + 2E). Значит, (E + (e13 + e24 )) коммутирует с e1 + e2.

Если d = (E + (e13 + e24 )) и g (G1 ), то gdg 1 коммутирует с e1 + e (так как в пункте 2 мы показали, что 2 (G1 ) коммутирует с e1 и с e2 ). Если элемент коммутирует с e1 + e2, то он принадлежит (e1 + e2 )S 1 (e1 + e2 ) + (E e1 e2 )S 1 (E e1 e2 ). Значит, получаем, что для g1 (G1 ) и Из (2.31) Значит, получаем, что где g1 G1.

Элемент [gdg 1, a1 ] при отображении имеет в прообразе матрицу Элемент g1 [gdg 1, a1 ]g1 при отображении имеет в прообразе матрицу Целочисленными элементарными преобразованиями строк и столбцов матрицы и сложением возникающих матриц можно получить Значит, все G4 порождается матрицами, образами которых при отображении являются [gdg 1, a1 ] и g1 [gdg 1, a1 ]g1.

Все G4 порождается матрицами, образы которых принадлежат (e1 +e2 )S 1 (e1 + завершен.

Теперь положим h11 = e1, h22 = e2, h12 = f13 + f24, h21 = f31 + f42, S = = { hi1 rh1i | r S 1 }. Тогда (e1 + e2 )S 1 (e1 + e2 ) Mat 2 (S).

e1 e2 )g(E e1 e2 ). Из пункта 3 вытекает, что e2 µ = e2 µ для всех S, а отсюда, домножая равенство на соответствующие матричные единицы, получаем e1 µ = e1 µ для всех S. Из этих равенств следует, что µ лежит в центре S.

Выполнены равенства c3 gc3 g = где c3 из (2.34). Элемент c3 gc3 g коммутирует с (E + r(e13 + e24 )), и, значит, µ коммутирует с ar, br, cr, dr, следовательно, коммутирует с ar, br, cr, dr.

= f11 f12 + f21 2f22 не является делителем нуля в S т. к. это обратимый элемент (из-за того, что 1 S 1 ).

гомоморфизм групп, т. к. (e1 + e2 )2 = e1 + e2 и (G1 ), (G4 ) коммутируют с e1 + e2. Значит, по предложению 5 имеем (e1 + e2 )( (E + reij ) E)( (E + (из пункта 4), то (e1 + e2 )( (E + reij ) E)( (E + sepq ) E) = ( (E + reij ) E)( (E + sepq ) E) = 0. Предложение доказано.

S, такая, что где b1, c1 (1 f11 f22 )S(1 f11 f22 ).

Доказательство. Пусть f13 = 2 (1 a), f23 = 2 (1 b). Положим f11 = f13 f13 f23, f22 = f23 f13 f23, f12 = f11 c, f21 = cf11. Прямым подсчетом можно проверить, что построенные матричные единицы удовлетворяю условию.

Предложение доказано.

Предложение 2.8. Пусть S всех r S и H подгруппа в GL 2 (S), порожденная элементами e12 + e21, [E + 2 re12, e12 + e21 ] для всех r S. Тогда централизатор группы H в кольце матриц Mat 2 (S) совпадает с центром кольца Mat 2 (S).

гда откуда a = d, b = c. Далее, значит, Приравнивая элементы на месте (1, 2), получаем, что Из (2.36) при r = 1 следует, что 22k(1) b = 0 и b = 0. Тогда 2k(r) (ar) = лежит в центре Mat 2 (S). Предложение доказано.

Предложение 2.9. Пусть R ассоциативное кольцо с 1, n GL n (R), CG (a) централизатор a в GL n (R). Тогда группа [CG ((E + e12 )(E + e13 )), E + e13 ] коммутативна.

Доказательство. Пусть h CG (E + e12 + e13 ). Тогда Значит, h1 e13 h = e13 h.

К тому же (e12 + e13 )h = h(e12 + e13 ) и e13 h(e12 + e31 )e31 = e13 (e12 + e13 )he31, то есть e13 he11 = 0. Значит, Матрицы из E + e11 Mat n (R)(E e11 ) имеют вид Такие матрицы перемножаются по правилу Поэтому группа E + e11 Mat n (R)(E e11 ) коммутативна, а, следовательно, группа [CG ((E + e12 )(E + e13 )), E + e13 ] также коммутативна. Предложение доказано.

Доказательство предложения 2.4. В предложении 2.7 положим a = (E 2e11 2e33 ), b = (E 2e22 2e33 ), c = (E e11 e22 + e12 + e21 ).

Тогда в S 2 существует система матричных единиц {fij | 1 i, j 2}, такая, что В предложении 2.7 положим a = (E 2e11 2e33 ), b = (E 2e 2e44 ), c = (E e33 e44 + e34 + e43 ). Тогда в S 2 существует система матричных единиц {fst | 3 s, t 4}, такая, что Пункт 1. Покажем, что Пусть Имеем (так как b1 (E f11 f22 )S 2 (E f11 f22 )), 4f11 = 2((E2(f11 +f22 ))E)4f22, f12 = (f12 +f21 +c1 )f22, f21 = f22 (f12 +f21 +c1 ) (так как c1 (E f11 f22 )S 2 (E f11 f22 )). Кроме того, элементы (E 2(e11 + e22 )), (E 2(e22 + e33 )), (E e11 e22 + e12 + e21 ) коммутируют с элементами (E 2(e11 +e22 )), (E 2(e33 +e44 )). Значит, элемент f11 +f коммутирует с f33 +f44, элемент E 2f22 +b1 коммутирует с f33 +f44 и f11 +f22, элемент f12 + f21 + c1 коммутирует с f33 + f44 и f11 + f22.

Тогда получаем:

f f22 = (f11 + f22 )(f33 + f44 ) ((E 2f22 + b1 ) E)(E 2(f11 + f22 ) E) = f f11 = (f11 + f22 )(f33 + f44 ) (2(E 2(f11 + f22 ) E) 4f22 ) = f11 f, f f12 = (f11 + f22 )(f33 + f44 )(f12 + f21 + c1 )f22 = = (f12 + f21 + c1 )(f11 + f22 )(f33 + f44 )f22 = (f12 + f21 + c1 )f22 f = f12 f, Значит, для всех i, j от 1 до 2.

Положим gij = f fij, где i, j от 1 до 2. Тогда из (2.41) система {gij | 2} является полной системой матричных единиц кольца f S 2 f. При этом выполнены равенства:

Элементы aij gij будем записывать в виде матриц (aij ).

Выполнены равенства (Ee33 e44 +e34 +e43 )f = (f34 +f43 +c2 )f = (f34 +f43 +c2 )(f11 +f22 )(f33 +f44 ) = = (f11 + f22 )(f33 + f44 )(f34 + f43 + c2 ) = f (E e33 e44 + e34 + e43 ).

Элемент (E e33 e44 + e34 + e43 ) коммутирует с (E 2(e11 + e22 )).

Следовательно, f34 + f43 + c2 коммутирует с f11 + f22. Тогда Значит, из (2.42), (2.44) Следовательно, 2a = 2d = 0, откуда a = d = 0.

Кроме того, имеем [Ee33 e44 +e34 +e43, Ee11 e22 +e12 +e21 ] = 1, значит, Таким образом, Пусть A GL n (R) и A коммутирует с E 2(e11 +e22 ). Тогда [A, E 2(e22 + e33 )] коммутирует с e11 +e22 (так как A коммутирует с e11 +e22, и E2(e22 +e33 ) коммутирует с e11 + e22 ), значит, [A, E 2(e22 + e33 ), E e33 e44 + e34 + e43 ] E + (E e11 e22 )Mat n (R)(E e11 e22 ) и [[A, E 2(e22 +e33 ), E e33 e44 +e34 +e43 ], E e11 e22 +e12 +e21 ] = E. (2.45) По лемме 2.4 существует B GL m (S), такой, что B коммутирует с (E 2(e11 + e22 )) и (B) = E + 2k g12 для некоторого k N, так как (g12 )2 = 0.

Из (2.45) получаем, что:

Также выполнены равенства:

Значит, из (2.46) получаем, что откуда (1 22k+2 )f = f, следовательно 22k+2 f = 0, то есть f = 0, так как 2 S. Пункт 1 завершен.

Положим Тогда c2 = E и из (2.37), (2.38), (2.39), (2.40) мы получаем c(E2(f11 +f22 ))c = E 2(f33 + f44 ), откуда c(f11 + f22 )c = f33 + f44.

Из определения матричных единиц в предложении 2.7 видно, что cf11 c = f33, cf22 c = f44. Из пункта 1 следует равенство fii fjj = 0, i = j. Значит, систему {fij | 1 i, j 2} {fst | 3 s, t 4} можно дополнить до системы матричных единиц {fpq | 1 p, q 4} кольца S 2, причем Пункт 2. Положим f = f11 + f22 + f33 + f44. Покажем, что (E + reij ) E + f S 2 f для всех различных i, j от 1 до 4, r R.

Выполнено равенство [E + reij, E 2(e11 + e22 + e33 + e44 )] = E, следовательно, (E + reij )(E 2(f11 + f22 ))(E 2(f33 + f44 )) = (из (2.37), (2.39)). Значит, (E + reij )(E 2f ) = (E 2f )(E + reij ) и f (E + reij ) = (E + reij )f. Тогда получаем, что Далее, выполнены равенства Значит, откуда Нормальная подгруппа в E 4 (R), порожденная элементами E + 2re13, содержит все элементы вида E + 2reij, где 1 i=j 4 (доказывается с помощью равенства E + rseij = [E + reik, E + sekj ]).

Легко проверить, что aij (r)2 + bij (r)2 = (E + reij )2 = (E + 2reij ) = aij (2r) + bij (2r), следовательно, bij (2r) = bij (r)2.

Из (2.47), (2.48) получаем (E + 2reij ) E + f S 2 f, 1 i = j 4, откуда Аналогично (2.47) выводится (E e22 e33 + e23 + e32 ) = d + c, где d f S 2 f, c (E f )S 2 (E f ). Положим a = b12 (1), b = b13 (1).

Выполнено равенство Из него следует, что (d + c)b12 (1)(d + c) = b13 (1), откуда (d + c)a(d + c) = b.

Значит, cac = b.

Из равенства (2.49) Выполнены условия предложения 2.7, значит, существует такая система матричных единиц {fij | 1 i, j Существуют k > 0 и элементы g и h из GL m (S), коммутирующие с ((E + e12 )(E +e13 )) и обладающие свойствами (g) = E +2k f21, (h) = E +2k f21 (по лемме 2.4). Тогда по предложению 2.9 элементы [E + 2k f12, (E + e13 )], [E + 2k f21, (E + e13 )] перестановочны.

Выполнены равенства:

[E + 2k f12, (E + e13 )] = (E + 2k f12 )1 b (E + 2k f12 )b + (E + 2k f12 )1 a (E + 2k f12 )a, [E + 2k f21, (E + e13 )] = (E + 2k f21 )1 b (E + 2k f21 )b + (E + 2k f21 )1 a (E + 2k f21 )a, элемент к a в кольце f S f (так как f коммутирует с E + 2 f12 и с E + 2k f21 ).

Значит, коммутируют (E + 2k f12 )1 b (E + 2k f12 )b и (E + 2k f21 )1 b (E + 2k f21 )b. Тогда, так как f11 + f22 коммутирует с элементами E + 2k f12, E + 2k f21, b, получаем, что [f11 +f22 +2k f12, f11 +f22 2f22 ] и [f11 +f22 +2k f12, f11 + f22 2f22 ] перестановочны (коммутаторы написаны для мультипликативной группы кольца (f11 + f22 )S 2 (f11 + f22 )).

Следовательно, Приравнивая элементы на месте (1, 1), видим, что откуда поэтому f11 + f22 = 0.

Тогда ab = E. Также имеем ((E + e12 )(E + e13 )) = a12 (1)a13 (1) + b12 (1)b13 (1) = a12 (1)a13 (1) + E, откуда видно, что Нормальная подгруппа в группе E 4 (R), порожденная (E + e12 )(E + e13 ), равенство [(E + e12 )(E + e13 ), E + se32 ] = E + se12, далее все получается с помощью соотношения E + rseij = [E + reik, E + sekj ]).

Значит, из (2.47) и (2.50) следует, что Пункт 2 завершен.

Пусть Z подкольцо в R, порожденное 1 и Тогда G1 коммутирует с E 2(e11 + e22 ), E 2(e33 + e44 ), и из (2.37), (2.38), (2.39) и (2.40) мы выводим, что (G1 ) коммутирует с f11 + f22 и f33 + f44.

Пункт 3. Покажем, что (f33 + f44 )(G1 ) лежит в центре кольца (f33 + f44 )S 2 (f33 + f44 ).

Если b GL n (R) и коммутирует с E 2(e11 +e22 ), то b коммутирует с e11 + e22, значит, [b, E 2(e11 +e44 ), E e33 e44 +e43 +e34 ] коммутирует с G1. Также с G1 коммутирует Ee33 e44 +e43 +e34. Тогда [(b), E2f44 +b2, f34 +f43 +c2 ] коммутирует с (G1 ) (в силу равенств (2.39) и (2.40)). Подберем элемент b таким, чтобы он был не только перестановочен с указанными матрицами, но еще обладал свойством (это возможно по лемме 2.4, так как (f33 rf44 )2 = 0). Умножив элемент [(b), E 2f44 + b2, f34 + f43 + c2 ] на f33 + f44, получим, что [f33 + f44 + 2k(r) f33 rf44, f33 + f44 2f44, f34 + f43 ] коммутирует с (f33 + f44 )(G1 ) (коммутатор записан для мультипликативной группы кольца (f33 + f44 )S 2 (f33 + f44 )).

Аналогично устанавливаем, что f34 + f43 коммутирует с (f33 + f44 )(G1 ).

Выполнено равенство [f33 + f44 + 2k(r) f33 rf44, f33 + f44 2f44 ] = f33 + f44 2k(r)+1 f33 + f44.

Значит, (f33 +f44 )(G1 ) лежит в централизаторе группы [f33 +f44 2k(r)+1 f33 + f44, f33 + f44 ], f34 + f43 (централизатор в кольце (f33 + f44 )S 2 (f33 + f44 )). Тогда по предложению 2.8 (f33 +f44 )(G1 ) лежит в центре кольца (f33 +f44 )S 2 (f33 + f44 ). Пункт 3 завершен.

Положим h11 = f11 +f22, h22 = f33 +f44, h12 = f13 +f24, h21 = f31 +f42, S = hi1 rh1i | r S 2 }. Тогда (h11 + h22 )S 2 (h11 + h22 ) Mat 2 (S).

i,j= Из пункта 2 (E + r(e31 + e24 )) E + f S 2 f = E + (h11 + h22 )S 2 (h11 + h22 ).

Значит, Элемент g коммутирует с h11 и с h22, поэтому Выполнены соотношения h22 g = µh22, h22 S 2 h22 = Sh22.

Пусть a S, тогда µh22 ah22 = ah22 µh22 (h22 g лежит в центре кольца h22 S 2 h22 по пункту 3), µah22 = aµh22 и µah11 = aµh11. Таким образом, µa = aµ, следовательно, µ Z(S).

Элемент cgcg коммутирует с (E + r(e13 + e24 )) (так как их прообразы коммутируют). Легко видеть, что cgcg = (h11 + h22 )cgcg(h11 + h22 ) + (E h11 h22 )cgcg(E h11 h22 ) = Значит, µ коммутирует с ar, br, cr, dr, следовательно, коммутирует с ar, br, cr, dr, так как существует обратный элемент к µ в кольце S.

Положим a1 = (E e11 e22 + e12 e21 ). Тогда a1 (G1 ), потому что E e11 e22 + e12 e21 = (E + e12 )(E e21 )(E + e12 ).

Так как (G1 ) коммутирует с h11 + h22, то, аналогично предствалению g, получим выражение причем Z(S).

Выполнены равенства: a2 = (E 2(e11 + e22 )) = E 2(f11 + f22 ) = неделитель нуля в S.

групп, так как h11 + h22 = f комутирует с (E 4 (R)). Тогда из предложения 2.5 мы получаем требуемое утверждение. Предложение доказано.

Таким образом, мы установили справедливость предложений 2.3 и 2.4. Тем самым, учитывая рассуждения в разделе 2.2, полностью доказана теорема 3.

2.4 Обобщение основной теоремы на случай градуированного кольца R Автором введено следующее определение:

ированные кольца с 1, Mat n (R), Mat m (S) - градуированные кольца матриц с хорошей градуировкой. Изоморфизм групп : GL n (R) GL m (S) назовем изоморфизмом, согласованным с градуировкой, если (GL n (R) Mat n (R)e ) GL m (S)e и выполнено свойство:

Докажем следующее продолжение теоремы И.З. Голубчика (теоремы 3) на градуированный случай:

S= Sg ассоциативные градуированные кольца с единицей, Mat n (R), Mat m (S) градуированные кольца матриц с хорошей градуировкой, n 4, m изоморфизм групп, согласованный с градуировкой. Пусть изоморфизм тоже согласован с градуировкой. Тогда существуют центральные идемпотенты q и f колец Mat n (R) и Mat m (S) соответственно, q Mat n (R)e, f Mat m (S)e, кольцевой изоморфизм и кольцевой антиизоморфизм сохраняющие градуировку, такие, что для всех A E n (R).

Из анализа доказательства теоремы 3 видно, что для доказательства теоремы 5 достаточно того, чтобы было выполнено следующее предложение:

Предложение 2.10. Пусть R и S ассоциативные G-градуированные согласованный с градуировкой, и для всех r, s R и всех i, j, k, p таких, что i = j, j = k, k = p, p = i.

Тогда существует идемпотент f Mat m (S)e, кольцевой гомоморфизм 1 : Mat n (R) f Mat m (S)f и кольцевой антигомоморфизм 2 : Mat n (R) (E f )Mat m (S)(E f ), сохраняющие градуировку, такие, что для всех A E n (R).

Доказательство. Доказательство этого предложения практически полностью повторяет доказательство предложения 2.2. Поэтому не будем повторять подробных вычислений, которые приведены в доказательстве предложения 2.2.

E + rseij = [E + reik, E + sekj ], i = j, k = i, j = k и условия (2.6) получаем, что:

Если элемент r однороден, то элемент reij также однороден. Пусть reij Mat n (R)g, тогда, в силу того что cогласован с градуировкой, xij (r) Mat m (S)g.

Положим aij = xij (1). Из (2.6), (2.7) и предложения 2.1 следует, что в Mat m (S) существует fij система матричных единиц и идемпотент f, причем:

Напомним, что матричные единицы fij в предложении 2.1 строятся следующим образом:

gij = aik akj, hij = aki ajk, gii = gij gji, hii = hij hji, 1 i=j n, fij = gij +hij.

Так как сохраняет градуировку, то aij Mat m (S) однороден и лежит в той же компоненте, в которой лежит eij Mat n (R), i = j. Тогда легко видно из определения, что то же самое выполнено для gij при i = j, а gii Mat m (S)e. В силу равенства (2.51) мы получаем, что hji = gij xij (1).

Следовательно, hji Mat m (S) при j = i лежит в той же компоненте, в которой лежит матрица eij Mat n (R), а hii Mat m (S)e.

Идемпотент f = gii (см. предложение 2.1). Из его определения ясно, что f Mat m (S)e.

Выполнены равенства xij (r) = b(r)fij c(r)fji, b(r) = f b(r)f, c(r) = (E f )c(r)(E f ), Пусть r Rg. Покажем, что тогда b(r) Mat m (S)g. Элемент xij (r) обладает свойством: xij (r) = b(r)gij c(r)hji по определению f и в силу равенств (2.52). Умножим получившееся равенство на gji. Получим, что Пусть eij Mat n (R)h, тогда eji Mat n (R)h1, так как eij eji = eii Mat n (R)e.

Следовательно, xij (r) Mat m (S)gh, так как согласован с градуировкой.

Значит, xij (r)gji Mat m (S)g. Отсюда Пусть r Rg. Покажем, что тогда c(r) Mat m (S)g. Пусть eij Mat n (R)h.

В силу (2.52) и определения f получаем c(r)hji = b(r)gij xij (r). Умножим это равенство на hij. Получим, что Имеем xij (r) Mat m (S)gh, так как согласован с градуировкой. Так как hij Mat m (S)h1, то xij hij Mat m (S)g. Значит, c(r)hii Mat m (S)g. Следовательно, Положим Тогда 1 : Mat n (R) f Mat m (S)f гомоморфизм колец, 2 : Mat n (R) (E f )Mat m (S)(E f ) антигомоморфизм колец, и выполнено равенство Осталось показать, что 1 и 2 сохраняют градуировку. В силу линейности отображений достаточно проверить, что если eij Mat n (R)h, r Rg, то 1 (reij ) Mat m (S)gh, 2 (reij ) Mat m (S)gh. Используя доказанные выше свойства отображений b и c, легко видеть, что 1 (reij ) = b(r)fij = b(r)gij Mat m (S)gh, 2 (reij ) = c(r)fji = c(r)hji Mat m (S)gh. Предложение доказано.

Чтобы завершить доказательство теоремы, нам требуется показать, что идемпотент q также принадлежит Mat n (R)e. Мы имеем (элементы gij определены в предложении 2.2). В предложении 2.10 было доказано, что элемент gij Mat m (S) лежит в той же компоненте, в которой лежит eij Mat n (R). Следовательно, так как отображение 1 согласовано с градуировкой, то элемент qeij содержится в той же компоненте, в которой содержится eij. Тогда матрица qeii = qeij eji лежит в Mat n (R)e. Значит, Замечание. Так как построенные в теореме идемпотенты q и f удовлетворяют условию e Mat n (R)e, f Mat m (S)e, то градуировка колец R и S естественным образом переносится на кольца qR и f S соответственно. Очевидно, что градуировка колец матриц Mat (R) и Mat (S) также естественно переносится на кольца Mat (qR) и Mat (f S) соответственно. Мы показали, что кольца Mat (qR) и Mat (f S) gr-изоморфны. Следовательно, выполнены условия теоремы 4 из работы [1]. То есть мы получаем, что кольца qR и f S gr-Морита-эквиалентны.

Глава Изоморфизмы стабильных линейных групп В данной главе мы опишем действие изоморфизма между стабильными линейными группами на стабильной элементарной подгруппе.

Пусть {eij | 1 i, j n} стандартная система матричных единиц кольца Mat (R). Пусть I идеал кольца R; обозначим через E(R, I) подгруппу группы GL (R), порожденную матрицами E + eij, где I, i = j N, GL (R, I) ядро канонического гомоморфизма I : GL (R) GL (R/I).

Через A будем обозначать кольцо, полученное путем сложения и умножения элементов A, а также взятия их обратных элементов в случае, когда такие элементы существуют. Пусть, кроме того, [A, B] A1 B 1 AB.

Целью данной главы диссертации является доказательство следующей теоремы:

Теорема 6. Пусть R и S ассоциативные кольца с 2, : GL (R) GL (S) изоморфизм групп. Тогда существуют центральные идемпотенты h и e колец Mat (R) и Mat (S) соответственно, кольцевой изоморфизм и кольцевой антиизоморфизм такие, что для всех A E (R).

3.1 Вспомогательные результаты подгруппы в GL (R), такие, что M N = {1} и M N = GL (R). Тогда найдутся I, J R, такие, что R = I J и M = GL (R, I), N = GL (R, J).

Доказательство. Воспользуемся следующей теоремой о структуре нормальных подгрупп стабильной группы (см [15]):

Теорема 7. Пусть H подгруппа GL (R), нормализуемая E (R). Тогда существует однозначно определенный I R, для которого Более того, всякая подгруппа, удовлетворяющая данному условию, является нормальной в GL (R).

Подгруппы M и N являются нормальными в GL (R), следовательно, удовлетворяют условию теоремы. Значит, существуют такие I, J R, что E (R, I) M GL (R, I) и E (R, J) N GL (R, J). Так как M N = {1}, то E (R, I) E (R, J) = {1}, откуда I J = {0}. Также GL (R) = M N, следовательно, GL (R) = GL (R, I)GL (R, J). А это означает, что R = I J. Так как I J = {0}, то GL (R, I) GL (R, J) = {1}. Сравнивая последнее с тем, что M GL (R, I), N GL (R, J), получаем M = GL (R, I), N = GL (R, J).

Лемма доказана.

Предложение 3.1. Пусть R, S ассоциативные кольца с 2, : GL (R) изоморфизм групп, {eij | i, j 1} GL (S) стандартная система матричных единиц. Тогда существует такая система матричных единиц {fij | i, j 1} кольца Mat (S), что Доказательство. Положим тогда fii = fii. Положим E 2e = 1 (E 2f11 f22 ), тогда e2 = e. Так как E 2fii коммутирует с E 2f11 f22, то E 2e коммутирует с E 2eii.

Следовательно, E 2e является диагональной матрицей. Если [a, E 2eii ] = E, то [(a), E 2fii ] = E, i = 1, 2, то есть a коммутирует с E 2e. Таким образом, E 2e коммутирует со всеми обратимыми диагональными матрицами из GL (R). (3.2) Теперь пусть a обладает свойством Тогда a(E 2e)a1 = 1 ((a)(E 2f11 f22 )(a)1 ) = Следовательно, Значит, по (3.1), (3.3) и по определению группы GL (R) мы получаем, что Положим = E 2e1. Тогда e2 = e1 и по (3.2) элемент e1 коммутирует со всеми обратимыми элементами кольца R. Значит, e1 центральный идемпотент.

Положим M = (GL (R, e1 R)), N = (GL (R, (1e1 )R)). Так как GL (R) = GL (R, e1 R)GL (R, (1e1 )R), то по лемме 3.1 найдутся такие I, J S, что S = I J, M = GL (S, I), N = GL (S, J). Тогда мы можем положить Mat (I) = (1 q)Mat (S), Mat (J) = qMat (S), где q центральный идемпотент кольца Mat (S).

Из (3.4) получаем, что E 2e коммутирует с GL (R, (1 e1 )R). Следовательно, E 2f11 f22 коммутирует с Mat (J). Также (E 2e)(E 2e11 )(E 2e22 ) коммутирует с GL (R, e1 R). Значит, (E 2f11 f22 )(E 2f11 )(E 2f22 ) коммутирует с Mat (I). Положим E 2f11 f22 = a + b, где a M at(I), b Mat (J).

Тогда в силу предыдущего замечания получаем, что a(E 2f11 )(E 2f22 ) центральный элемент Mat (I), а b центральный элемент Mat (J). Также (E 2f11 f22 )2 = E, следовательно, a2 = b2 = 1. То есть a(E 2f11 )(E 2f22 ) и b являются инволюциями колец Mat (I) и Mat (J) соответственно. Это в свою очередь означает, что где q1 и q2 центральные идемпотенты в соответствующих кольцах.

Покажем, что q1 = 0, а q2 = E q. Имеем Умножим равенство (3.5) слева на q1. Получим, что q1 (E 2f11 f22 ) = q1, то есть Умножим последнее равенство справа на f11. Получим, что q1 f11 f22 = q1 f11, значит, Аналогично выводим Отсюда следует, что q1 (E 2f11 )(E 2f22 ) = q1, значит, Нормальная подгруппа группы GL (R), порожденная матрицей E2e11 2e22, содержит подгруппу E (R). Учитывая равенство (3.6), получаем, что Так как q1 центральный идемпотент кольца qMat (S), то q1 также центральный идемпотент кольца Mat (S). Тогда по лемме 3. Но, пользуясь (3.7), мы получаем, что 1 (GL (S, q1 S)) E (R) = {1}. Следовательно, I1 = 0 и q1 S = 0, откуда q1 = 0.

Умножив равенство (3.5) на q3 = E q1 q2, получаем Отсюда (E f11 )f22 q3 = 0 и f22 q3 = f11 f22 q3. Аналогично f11 q3 = f11 f22 q3.

Тогда из (3.8) f11 q3 = f22 q3 = f11 f22 q3 = 0. Значит, q3 (E 2f11 )(E 2f22 ) = q3, следовательно, А это в свою очередь означает (аналогично предыдущему), что q3 = 0, то есть q2 = E q.

Итак, мы получили, учитывая (3.5), что E 2f11 f22 = a+b = (E q)(E 2f22 )(E 2f22 ) + q. Матрицы E 2f11 f22 и (E 2f22 )(E 2f22 ) являются элементами стабильной группы GL (S), значит, 2q E = E, откуда q = E. То есть видим, что f11 f22 = 0. Сопрягая последнее равенство образами соответствующих матриц sij, получаем Следовательно, {fii | i 1} система сопряженных между собой ортогональных идемпотентов. Тогда ее можно дополнить до системы матричных единиц {fij | i, j 1} кольца Mat (S). Предложение доказано.

Отметим два свойства построенной системы матричных единиц.

Доказательство. Обозначим матрицу diag [1, 1, · · · 1, 1,... ], где встречается на диагонали ровно k раз, через 11...k. Найдется такое n, что для (11...k ) при k n. Имеем Свойство 3.2. Для любого A GL (S) найдется n (зависящее от A), такое, что A коммутирует со всеми fii и 1 (A)eii = eii 1 (A) = eii при Доказательство аналогично доказательству свойства 3.1.

3.2 Построение изоморфизма между кольцами E (S) и Нам потребуется следующая вспомогательная лемма Лемма 3.2. Пусть {fij | i, j 1} система матричных единиц из предложения 3.1. Тогда если A GL (S) коммутирует со всеми fij, то A = E.

Доказательство. Так как A коммутирует с E 2fii, i коммутирует с E 2eii. Следовательно, 1 (A) = diag [a1, a2,... ].

Рассмотрим элементы sij = E fii fjj + fij + fji. Из определения fij легко видеть, что fij FMat (S). Значит, sij GL (S). Опишем 1 (s12 ). Так как s12 коммутирует с fii при i 3, то Также s12 (E 2f11 ) = (E 2f22 )s12. Значит, откуда b11 = b22 = 0. А так как s12 2 = 1, то b2 = 1, b12 = b1. Проводя аналогичные рассуждения, получаем, что Легко видеть, что если диагональная матрица коммутирует со всеми матрицами 1 (si,i+1 ), то элементы на ее диагонали сопряжены. Следовательно, элементы ai, i GL (R), то существует n, такое, что ai = 1 при i n. Значит, A является единичной матрицей. Лемма доказана.

Лемма 3.3. Пусть {fij | i, j 1} система матричных единиц из предложения 3.1. Пусть S1 = f11 Mat (S)f11 = f11 Mat (S)f11. Если a центральный элемент кольца S, то можно определить отображение : E (S), a · 1 Mat (S1 ) со следующими свойствами:

1. инъективный кольцевой гомоморфизм;

2. ( E (S) ) = E (S1 ), (GL (S)) = GL (S1 ), (FMat (S)) = FMat (S1 );

3. если e центральный идемпотент кольца S1, то найдется e центральный идемпотент кольца S, такой, что (e E (S) ) = e E (S1 ) (элемент e выступает в качестве центрального элемента a при определении отображения );

Доказательство. Так как a Z(S), то a · 1 коммутирует со всеми fii, i 1. Следовательно, по свойству 3.2 системы {fij } для любого A E (S), a · существует n1, такое, что A коммутирует со всеми fii при i n1. В силу свойства 3.1 системы {fij } для любого A E (S), a · 1 существует n2, такое, Пусть A = (aij ) произвольный элемент из E (S), a · 1. Определим отображение по правилу (A) = (f1i Afj1 ). В силу доказанных выше свойств получаем, что (f1i Afj1 ) Mat (S1 ) и что построенное отображение является гомоморфизмом колец. Покажем инъективность. Пусть (A) = 0. Тогда fii A fii = 0 для любого n. Значит, в силу доказанного выше для любых при всех n k. Значит, E + apl e12 коммутирует со всеми fij, i, j 1, тогда по лемме 3.2 получаем, что E + apl e12 = 1 и apl = 0. Следовательно, инъективное отображение.

Пусть B GL (S), покажем, что (B) GL (S1 ). Так как 1 (B) для некоторого k N. Значит, B коммутирует с fjj при j k, следовательно, Аналогично доказательству леммы 3.2 можно показать, что B коммутирует со всеми E fll fpp + flp + fpl при l, p k. Следовательно, Покажем, что b центральный элемент кольца S1. Рассмотрим матрицу C = E+fi1 cf1,i+1, c f11 Mat (S)f11, i k. Легко видеть, что C коммутирует с E 2fjj, E fj1,j1 fj,j + fj1,j + fj,j1 при 1 j < i и j > i + 1, а также с E fi1,i1 fi+2,i+2 + fi1,i+2 + fi+2,i1. Следовательно, аналогично лемме 3. получаем на пустых местах в матрице предполагаются нулевые элементы).

Учитывая (3.10) получаем, что 1 (C) коммутирует с 1 (B). Значит, C коммутирует с B, следовательно, b коммутирует с c. То есть b Z(S1 ). А это в свою очередь означает, что diag [b, b,... ] является центральным элементом Mat (S1 ).

Имеем Следовательно, diag [b, b,... ] GL (S1 ). Но так как diag [b, b,... ] Z(Mat (S1 )), а Z(GL (S1 )) = {E}, то diag [b, b,... ] = E. Значит, b = 1 и матрица (B) GL (S1 ).

Очевидно, что FMat (S1 ) (FMat (S)). А так как (GL (S)) GL (S1 ), то (FMat (S)) FMat (S1 ). Следовательно, FMat (S1 ) = (FMat (S)). Пусть D GL (S1 ). Тогда D1 FMat (S1 ). Имеем D = DE+E = (D )+(1) = (D + 1), где D FMat (S). Также имеем D1 = D1 E + E = (D ) + (1) = (D + 1). Значит, 1 = DD1 = D1 D = ((D + 1)(D + 1)) = ((D + 1)(D + 1)). Учитывая инъективность, получаем, что D + обратимый элемент, следовательно, D + 1 GL (S). Учитывая включение (GL (S)) GL (S1 ), получаем, что (GL (S)) = GL (S1 ). Отсюда следует, что ( E (S) ) = E (S1 ).

Пусть e центральный идемпотент S1. Тогда Следовательно, 1 (GL (S1 )) = 1 (GL (S1, e S1 )) 1 (GL (S1, (1 e )S1 )).

Значит, по лемме 3.1 существует e центральный идемпотент кольца S, такой, что Получаем, что : e·E, E (S) Mat (S1 ) кольцевой мономорфизм, (e·E) центральный идемпотент кольца Mat (S1 ). Легко видеть, что (FMat (eS)) = FMat (e1 S), (FMat ((1e)S)) = FMat ((1e1 )S). Так как eA1 = A1, eA2 = для всех A1 FMat (eS), A2 FMat ((1e)S), то (e·1)B1 = B1, (e·1)B2 = 0 для всех B1 FMat (e S1 ), B2 FMat ((1e )S1 ). Следовательно, (e·E) = e · E. Значит, (e E (S) ) = e E (S1 ). Лемма доказана.

Далее под матричной записью элементов из E (S) мы будем подразумезапись их вать образов при отображении. Ясно, что элемент (fii afjj ) = 0... 0...

0... 0..., где aij = f1i afj1. Для наглядности элементы fii afjj будем записывать как aij fij.

3.3 Доказательство основной теоремы Теперь мы можем доказать основной результат данной главы: теорему 6. Доказательство будет состоять из пяти шагов.

Пункт 1. Пусть {fij } система матричных единиц из предложения 3.1.

Пусть {eii } такая система матричных единиц {eij } кольца Mat (R), что eii = eii для i 3. Покажем, что Доказательство. Несложно проверить, что для системы матричных единиц {eij } выполнено предложение 3.1. По предложению 3.1 имеем причем fii = fii при i следовательно, ((E 2eii )), i = 1, 2, коммутируют с (f11 + f22 ). Но тогда (E 2eii ), i = 1, 2, также коммутируют с f11 + f22, значит, (E 2eii ) = E + ei + di, ei (f11 + f22 )Mat (S)(f11 + f22 ), В силу (3.11) и (3.12) получаем, что С другой стороны Значит, di fjj = fjj di = 0 для всех j 3, i = 1, 2. Но тогда в силу (3.13) получаем, что di = 0. Пункт 1 доказан.

Пункт 2. Покажем, что в предложении 3.1 матричные единицы fij можно выбрать так, что Доказательство. Рассмотрим систему матричных единиц Тогда в силу пункта (E 2e11 ) = (s12 ) = E + x, x (f11 + f22 )Mat (S)(f11 + f22 ), (3.15) Так как s12 (E 2e11 ) = (E 2e22 )s12, то следовательно, А так как s2 = 1, то значит, имеем Сопрягая равенство (3.15) образами матриц s1i и s2j и проводя аналогичные рассуждения, мы получим, что В частности, при j = i + 1 получаем Положим C = diag [c1, c2,... ], где c1 = 1, ci+1 = a1... a1, fij = 1 (C(fij )C 1 ).

Тогда легко видеть, что Следовательно, откуда так как любую транспозицию можно представить в виде произведения транспозиций вида (i, i + 1). Пункт 2 доказан.

Далее всюду в качестве матричных единиц {fij } мы будем рассматривать матричные единицы, полученные в пункте 2.

Пункт 3. Докажем, что Положим Значит, в силу пункта 1 мы получаем, что (E 2e11 ) = (E 2e11 + re12 ) = E + x, x (f11 + f22 )Mat (S)(f11 + f22 ).

Следовательно, Так как s23 (E + re12 )s23 = E + re13, то Аналогично, так как s12 (E + re13 )s12 = E + re23, то Далее, имеем (E + re12 )(E + se13 ) = (E + se13 )(E + re12 ), следовательно, Приравнивая элементы на соответствующих местах, мы видим, что Аналогично из (E + re13 )(E + se23 ) = (E + se23 )(E + re13 ) получаем откуда Имеем (E + re12 )1 = E re12 = (E 2e11 )(E + re12 )(E 2e11 ), значит, Из (E + re12 )(E re12 ) = E получаем, что То есть из (3.18) и (3.19) следует, что Выполнено равенство E + rseij = [E + reik, E + sekj ] для попарно не равных i, j, k.

В частности, E + re13 = [E + re12, E + se23 ] и (E + e13 ) = [(E + e12 ), (E + se23 )]. Запишем последнее равенство подробнее, пользуясь соотношениями (3.18), (3.19) и (3.21). Итак, Приравнивая элементы матриц на соответствующих местах, видим, что ar = 1 br a1 cr, dr = 1 c1 dr b1. Значит, учитывая соотношения (3.18), (3.19), (3.21), получаем 1 = a2 = ar br a1 cr ar = ar br a1 cr, откуда ar = 1+br a1 cr. Сравнивая с предыдущим равенством, видим, что ar = 1. Аналогично dr = 1. Пункт доказан.

Пункт 4. Покажем, что Выполнено равенство 1 + e13 = [1 + e12, 1 + e23 ]. Следовательно, Приравнивая соответствующие элементы, получаем, что b2 = b1, c2 = c1.

Поставим в равенство (3.22) ar = a1 = 1, dr = d1 = 1, тогда значит, br = br b1. Аналогично из равенства 1+re13 = [1+e12, 1+re23 ] выводим br = b1 br. Пункт 4 доказан.

Завершение доказательства теоремы.

Рассмотрим элемент e = diag [b1, b1,... ] и элементы ek = diag [b1,..., b1, 0... ], где b1 повторяется на диагонали k раз. Тогда элемент E 2ek содержится в GL (S) и коммутирует с E 2fii, E ftt fjj +ftj +fjt при i 1, 1 t, j k и t, j > k. Тогда 1 (E2ek ) коммутирует с E2eii и с stj при i 1, 1 t, j k и t, j > k. Следовательно, 1 (E 2ek ) имеет вид diag [k,..., k, 1... ], где k повторяется на диагонали k раз. Выполнено равенство Это означает, что 1 (E2ek ) = diag [k,..., k, 1... ] коммутирует с E+re кольца R.

Покажем, что e центральный идемпотент кольца Mat (S1 ), S1 = f11 Mat (S)f11.

Пусть A GL (S), тогда По определению группы GL (R) матрица Положим k0 = max{k1, k2 }, тогда 1 (1 2ek0 ) коммутирует с 1 (A) и, следовательно, 12ek0 коммутирует с (A). Но последнее означает, что E2e коммутирует с (A), то есть e центральный идемпотент кольца Mat (S1 ), а b1 центральный идемпотент кольца S1.

Имеем Определим отображения 3 : R b1 S1 и 4 : R (1 b1 )S1 по правилу 3 (r) = br, 4 (r) = cr (здесь 1 единичный элемент кольца S1, равный f11 ).

Из равенства 1 + (r + s)e12 = (1 + re12 )(1 + se12 ) ясно, что 3 и 4 сохраняют сложение. С помощью равенства 1 + rse13 = [1 + re12, 1 + se23 ] получаем (как Следовательно, 3 гомоморфизм колец, а 4 антигомоморфизм колец, причем в силу равенства (3.16) Покажем, что b1 c1 = 1. Рассмотрим матрицу A = E + (1 (b1 c1 ))f12, легко видеть, что 1 (A) GL (S). В силу равенств (3.16), (3.17), (3.18), (3.19) и (3.23) мы получаем, что A коммутирует с (E (R)). Следовательно, A Z(GL (S1 )), откуда 1 (b1 c1 ) = 0.

по правилу Тогда 1 гомоморфизм колец, 2 антигомоморфизм колец. Также в силу (3.24) и того, что b1 c1 = 1, имеем ((A)) = 1 (A) + 2 (A1 ) для всех A E (R).

В силу леммы 3.3 найдется e центральный идемпотент кольца Mat (S), такой, что Ясно, что Тогда также будут являться кольцевыми гомоморфизмом и антигомоморфизмом соответственно. Обозначим эти отображения через 1 и 2 соответственно.

Тогда будет выполнено равенство Пусть I, J S, такие, что Mat (I) = eMat (S), Mat (J) = (1 e)Mat (S).

Тогда I J = S. Положим M1 = 1 (GL (S, I)), N1 = 1 (GL (S, J). По лемме 3.1 получаем, что M1 = GL (R, hR), N1 = GL (R, (1 h)R), где h центральный идемпотент кольца R. Пусть B = E + hreij E (R, hR), тогда (B)E Mat (I). Имеем (B)E = 1 (BE)+2 (B 1 E), следовательно, 2 (B 1 E) = 0. Это означает, что hr ker 4, то есть Аналогично Покажем, что Действительно, пусть r ker 3 ker 4. Рассмотрим матрицу A = E + re12.

Имеем (A) = E + 3 (r)f12 4 (r)f21 = E, откуда A = E, то есть r = 0.

Из соотношений (3.27), (3.28) и (3.29) мы получаем, что ker 3 = (1 h)R, ker 4 = hR, то есть Легко видеть, что 4 (1 h) = 1 b1, значит, 2 ((1 h) GL (R) ) ( e ) GL (S1 ) (отображение 2 как раньше определяется по формуле (3.25)).

Следовательно, можно определить отображение В силу (3.30) построенное отображение 2 инъективно. Рассуждая аналогично, мы можем определить отображение которое также будет являться инъективным.

Заметим, что для доказательства включения (E n (R)) E n (S1 ) мы пользовались только следующими свойствами системы {fij | i, j N}:

Следовательно, рассматривая отображение 1 1 : GL (S1 ) GL (R) и проводя аналогичные рассуждения, можно показать, что 1 (E + sfij ) E (R), s S1. Следовательно, 1, 2 сюръективны, то есть являются изоморфизмом и антиизоморфизмом колец, соответственно. А в силу соотношений (3.26), (3.28) и (3.29) выполнено равенство Теорема доказана.

Замечание. Заметим, что fij FMat (R), i, j N. Следовательно, по определению отображений 1 и 2 мы получаем 1 (ee11 ) = f f11 FMat (S), 2 ((1 e)e11 ) = (1 f )f11 FMat (S).

Также по определению 1 и 2 и свойству 2 из леммы 3.3 имеем Легко видеть, что Следовательно, отображения 1 и 2 t удовлетворяют условию 3 теоремы 2.5, [13]. Значит, кольца eR и f S Морита-эквивалентны и кольца (1 e)R и (1 f )S также Морита-эквивалентны.

Глава Изоморфизмы стабильных унитарных групп 4.1 Обозначения и соглашения Будем обозначать через Eij стандартные матричные единицы кольца Mat (R).

Также введем два счетных набора индексов из N и N. Пусть тогда индексы i N будут применяться для нумерации строк и столбцов матрицы X, строк матрицы Y и столбцов V, а индексы j N для нумерации строк и столбцов матрицы W, строк матрицы V и столбцов Y. Также будем считать, что (i ) = i, i N.

Обозначим через eij, i, j NN, стандартные матричные единицы кольца Mat 2, (R). Согласно введенным обозначениям hij U (R).

A}). Через A mul будем обозначать подгруппу, порожденную элементами из A. Через A будем обозначать кольцо, полученное путем сложения и умножения элементов A, а также взятия их обратных элементов в случае, когда такие элементы существуют.

Кроме того, мы будем опускать нулевые элементы при записи матриц в случае, когда это не приводит к неоднозначности.

Целью данной главы является доказательство следующей теоремы:

Теорема 8. Пусть R и S ассоциативные кольца с 2, инволюция на R, инволюция на S, : U (R) U (S) изоморфизм стабильных унитарных групп. Пусть также существует обратимый элемент Z(R), для которого 1 обратим. Тогда существует кольцевой изоморфизм такой, что 4.2 Предварительные результаты В этом разделе мы построим систему матричных единиц кольца Mat 2, (S), удовлетворяющую специальным свойствам.

Пункт 1. Для доказательства нам потребуется следующее утверждение из работы [6].

идемпотенты кольца Mat 2, (R), такие, что E 21 H, E Тогда 1 2 = 0 и H (1 + 2 )Mat 2, (R)(1 + 2 ) + E.

Пусть Hij, i = j, i, j N, подгруппа U (R), порожденная элементами Пусть Так как элементы E + reii, E + rejj, E + rei i, E + rej j, hij содержатся в St {E 2(eii + ei i ), E 2(ejj + ej j )}, то A коммутирует с ними. Значит, Отсюда следует, что A C (Hij ), то есть Для любого sr {E+reij rj i, E+rej,i rei j, E+reij +reji, E+rei j +rej i } имеем Следовательно, В силу равенств [E + eij ej i, E + reij + reji ] = E + 2reii, E 2(ekk + ek k ) = ((E + ekk )(E 2ek k ))2, k = i, j, получаем Положим Тогда в силу равенств (4.1), (4.2), (4.3), (4.4) для fi, fj и Hij выполнены условия предложения 4.1. Cледовательно, Пункт 1 завершен.

Пункт 2. Положим Тогда Hi, Hj Hij. Покажем, что Доказательство. Положим Nk = {A U (S) | A = fk Afk + E fk }, k = i, j. Тогда В силу того, что элементы групп (Hi ), (Hj ) коммутируют с fk, k = i, j, мы получаем, что Следовательно, для всех r T существуют k (r), k (r) Nk, для которых Положим где центральный элемент кольца R,,, 1 обратимы в R. Тогда получаем, что d U (R) и коммутирует с E 2(ekk + ek k ), k = i, j, следовательно, группа, и с помощью (4.5) получаем Несложно показать, что [C (F ), d] F, откуда в силу (4.6) [E + reii, d] = i (r)j (r)dj (r)1 i (r)d1 = Имеем [k (r), d] F, следовательно, в силу обратимости 1 можно считать, что k (r) F, k = i, j, и для каждого r T существует tr, такой, что Аналогично для каждого r T найдется элемент sr, для которого Из (4.5), (4.7), (4.8) получаем, что Следовательно, В том числе 0 = t1 (1 s1 ) = (1 t1 )s1, откуда t1 = s1 = s2 = r1. Тогда в силу (4.7), (4.8) и аналогично Так как то из (4.5) выводим E 2(1 t1 )(eii + ei i ) = E. Следовательно, t1 = s1 = 0, откуда, учитывая (4.9), вытекает, что r = tr = sr. То есть в силу (4.10) и (4.11) получаем Следовательно, (Hi ) Ni fi Mat 2, (S)fi + E. Аналогично (Hj ) Nj fj Mat 2, (S)fj + E. Пункт 2 завершен.

Пункт 3. Положим (E + reii ) = E + xr,i, (E + rei i ) = E + yr,i, где gr = E + (xr,i + xr,i (hi,i+1 ) (hi,i+1 )x + (hi,i+1 )x (hi,i+1 )).

Покажем, что Из определения xr,i получаем Доказательство. Пусть = (eii + ei+1,i+1 ) + (ei i + e(i+1) (i+1) ) + E eii ei+1,i+1 ei i e(i+1) (i+1).

Тогда hi,i+1 = hi,i+1, reii 1 = reii, следовательно, Легко видеть, что xr,i = (xr,i ) и gr U (S). Так как элементы E + reii и E + seii коммутируют, то xr,i xs,i = xs,i xr,i. Также ясно, что Значит, [gr, (E + xs,i )(hi,i+1 )(E + xs,i )(hi,i+1 )] = E. Следовательно, Из определения gr легко видеть, что (4.16), получаем (на пустых местах в матрице предполагаются нулевые элементы).

При этом, так как матрица 1 (gr ) обратима, то A2 также обратима. Тогда элемент 1 (gr ) может быть представлен в виде (на пустых местах в матрицах предполагаются нулевые элементы). (4.17) Легко видеть, что G2 коммутирует с. Имеем Отсюда следует, учитывая вид G1 из (4.17), что [1 (gr ), ] коммутирует с E + seii. Значит, [gr, ()]xs,i = xs,i [gr, ()]. Тогда, используя (4.14), (4.15), получаем 0 = [gr, ()]xs,i fi+1 = xs,i [gr, ()]fi+1 = xs,i gr ()gr ()1 fi+1 = = xs,i (E + (xr,i + xr,i (hi,i+1 ) (hi,i+1 )x + (hi,i+1 )x (hi,i+1 ))() (E + (x xr,i (hi,i+1 ) + (hi,i+1 )x + (hi,i+1 )xr,i (hi,i+1 ))()1 fi+1 = = xs,i (fi + xr,i + xr,i (hi,i+1 ))(E + (xr2,i xr1,i (hi,i+1 ) + (hi,i+1 )xr2,i + +(hi,i+1 )xr1,i (hi,i+1 ))fi+1 = xs,i (fi + xr,i + xr,i (hi,i+1 ))(fi+1 xr1,i (hi,i+1 )+ Следовательно, с помощью (4.13), 0 = xs,i (xr,i xr1,i ) = xs,i (xr,i + x1,i + xr1,i x1,i ) = = xs,i (xr,i + xr1,i + xr1,i xr1,i ) = xs,i (xrr1,i + (xr1,i xr,i )xr1,i ) = xr,i xrr1,i.

Так как r r1 = (1 )r пробегает все элементы T, то получаем, что xr,i xs,i = 0. Аналогично выводим равенство yr,i ys,i = 0. Пункт 3 завершен.

Пункт 4. Положим Выполнено равенство ((E +eii )(E ei i ))3 = E 2(eii +ei i ). Значит, E 2fi = ((E x1,i )(E y1,i ))3, следовательно, учитывая (4.15), Умножая полученное равенство слева на x1,i и справа на y1,i, получаем, что (x1,i y1,i )2 = x1,i y1,i. Аналогично, умножая (4.19) слева на y1,i и справа на x1,i, получаем (y1,i x1,i )2 = y1,i x1,i. Значит, элементы zii и zi i являются идемпотентами.

Преобразовав (4.19), видим, что Отсюда выводим, учитывая (4.18) и (4.15), Аналогично получается y1,i = zi i y1,i. Следовательно, из (4.19) и (4.15) Легко видеть, что элементы zii, i N сопряжены между собой, и элементы zi i, i N сопряжены между собой (например, при помощи матриц (hij )).

Покажем, что zii и zi i, i N также сопряжены. Рассмотрим матрицу Прямым подсчетом убеждаемся, что H 1 = (E 2(e11 + e1 1 ))H = H(E 2(e11 + e1 1 )), и что H U (R). Имеем H(E + re11 )H 1 = E + re1 1, значит, (H)z11 (H)1 = z1 1. Положим Заметим, что Tij U (R). Тогда получаем Имеем Tij = (hj,j1... h12 )H 1 (h21... hi,i1 ) = Итак, {zii, zi i | i N} система ортогональных сопряженных между собой идемпотентов. Положим Из соотношения (hij )zii (hij ) = zjj, i, j N N, и равенства (4.21) легко вывести, что zµ z = zµ, µ,,, N N. Также получаем (E + x1,i ) = (E + eii ) = (E + eii )1 = E x1,i, откуда x = x1,i. Аналогично y1,i = y1,i. Значит, Далее, из (4.22) следует, что zij = zj j (Tji ) zii = zjj (Tji )zi i = zjj (E 2(zjj + zj j ))(Tij )zi i = zji.

Аналогично Пункт 4 завершен.

Отметим два свойства построенной системы матричных единиц.

Свойство 4.1. Для любого A U (S) найдется n (зависящее от A), такое, Доказательство. По определению U (R) найдется такое n, что для всех коммутирует и с E 2(eii + ei i ). В силу равенства (4.20) Свойство 4.2. Для любого A U (S) найдется n (зависящее от A), такое, что A коммутирует со всеми zii + zi i и 1 (A)(eii + ei i ) = (eii + ei i )1 (A) = eii + ei i при i n.

Доказательство аналогично доказательству свойства 4.1.

4.3 Построение изоморфизма между кольцами U (S) и U (S1), где S1 = z11Mat 2,(S)z Пункт 5. Для всех матриц из U (S) определим отображение по формуле Лемма 4.1. Построенное отображение является изоморфизмом между кольцами U (S) и U (S1 ), S1 = z11 Mat 2 (Mat (S))z11 = z11 Mat 2, (S)z11.

Для доказательства нам потребуется следующая Лемма 4.2. Если матрица коммутирует с E + eii, то Eii Z = ZEii = 0, Eii W = XEii.

Если матрица коммутирует с E + ei i, то Eii Y = Y Eii = 0, W Eii = Eii X.

Доказательство. Проверяется прямым подсчетом.

Также нам потребуется Лемма 4.3. Если A U (S) коммутирует со всеми zii, zi i, x1,i, y1,i, то A = Доказательство. Так как A коммутирует с E 2(zii + zi i ), то 1 (A) коммутирует с E 2(eii + ei i ). Следовательно, В силу того, что A коммутирует с E + x1,i, E + y1,i, получаем, что (A) коммутирует с E + eii, E + ei i. Значит, по лемме 4.2 bi = ci = 0, ai = di.

Положим Легко видеть, что hij U (S). Рассмотрим матрицу h12. Элемент 1 (h12 ) коммутирует с E 2(eii + ei i ), E + eii, E + ei i, i = 1, 2. Значит, Имеем следовательно, откуда rj = gj = 0. По определению zij, учитывая равенства x1,i = zii x1,i, y1,i = zi i y1,i, получаем, что h12 x1,1 = x1,2 h12, h12 y1,1 = y1,2 h12. Следовательно, s2 = t2 = s3 = t3 = 0. Имеем (h12 )2 = E, значит, то есть t1 = s1. Так же получаем, что t4 = s1. Аналогичным способом можно установить, что 1 (hij ) = aij eij + a1 eji + bij ei j + b1 ej i + X, По условию матрица A перестановочна со всеми zij, следовательно, 1 (A) коммутирует с 1 (hij ). Значит, из (4.26), ai и di сопряжены между собой, и в силу того, что 1 (A) U (R), получаем ai = di = 1. Лемма 4.3 доказана.

Докажем теперь лемму 4.1. В силу свойства 4.2 системы {zij | i, j NN } получаем, что (A) Mat 2 (Mat (S1 )). В силу свойства 4.1 получаем, что кольцевой гомоморфизм.

Докажем инъективность отображения. Пусть (A) = 0, A U (S), это означает, что zij Azkl = 0, zij A zkl = 0 для любых i, j, k, l N N. Отсюда для любых n n, такое, что Значит, Следовательно, матрица E +aij e12 a e2 1 удовлетворяет условию леммы 4.3.

Тогда aij = 0, i, j N. Аналогично можно показать, что aij = 0 для всех Очевидно, что Mat 2 (FMat (S1 )) Im, (Mat 2 (FMat (S)) = Mat 2 (FMat (S1 ).

Так как для любой A U (S1 ) имеем A E Mat 2 (FMat (S)), то U (S1 ) Пусть (A) = B, A U (S). Покажем, что B U (S1 ). В силу свойства 4. найдется n, такое, что A коммутирует с zii + zi i, i n. Значит, Можно выбрать такое n, что 1 (A) также будет коммутировать с E+ei i, E+ eii при i n. Значит, можно считать, что yi = vi = 0, xi = wi. Элемент B коммутирует с hij, i, j n, следовательно, xi = wi = a. Покажем, что a Z(S1 ). Пусть Так как элемент C перестановочен с E 2(zjj + zj j ), E + x1,j, E + y1,j, j = Тогда 1 (C) коммутирует с 1 (B) и C коммутирует с B. Следовательно, a перестановочен с c, то есть a Z(S1 ).

Имеем Ясно, что 1 (B ) FMat (S). Следовательно, Отсюда получаем, что a = 1 в силу тривиальности Z(U (S)). Значит, (U (S)) = U (S1 ), откуда Im = U (S1 ). Лемма 4.1 доказана.

Далее при записи элементов из Mat 2, (S) в виде матриц, мы будем подразумевать их образы при отображении.

Для обозначения матрицы из Mat 2, (S1 ), содержащей единственный ненулевой элемент a S1 на месте (i, j), мы будем использовать запись azij.

Определим отображение 1 : S1 S1 по формуле (z11 Az11 )1 = z11 A z1 1.

Ясно, что 1 инволюция на кольце S1. Имеем Аналогично получаем (z1i Azj 1 )1 = z1j A zi1, (z1i Azj1 )1 = z1j A zi1, (z1i Azj 1 )1 = z1j A zi 1.

Положим, как раньше, Тогда из (4.27), (4.28) 4.4 Доказательство основной теоремы Теперь мы можем завершить доказательство основной теоремы.

Пункт 6. Покажем, что Доказательство. Аналогично описанию 1 (hij ) можно установить, что ((hij )) = aij zij + a1 zji + dij zi j + d1 zj i + Y, Так как hij и hkl коммутируют при различных индексах, то yn сопряжены друг с другом. Значит, в силу стабильности матриц ((hij )), получаем, что yn = 1. А в силу унитарности матриц hij получаем dij = a1. Обозначим элементы ai,i+1 через ai.

Пункт 7. Ясно, что Выполнено равенство hi,i+1 (E + eii )hi,i+1 = (E + ei+1,(i+1) ), следовательно, Пусть Положим Тогда zii = zii, zi i = zi i, zi,i+1 = ai zi,i+1, а в силу (4.30) zii = x1,i, zi i = y1,i.

Следовательно, Заметим, что для построенных матричных единиц по-прежнему выполнены равенства (4.23) и (4.24). Далее всюду в качестве матричных единиц {zij } мы будем рассматривать матричные единицы, полученные при помощи формулы (4.31).

Пункт 8. Вычислим вид образов элементов, которые порождают элементарную подгруппу. Ясно, что (E+reii ) = E+szi1, (E+rei i ) = E+s1 zi i, r T. Покажем, что w12 = E + re12 r e2 1 переходит в E + az21 a1 z2 1. Так как w12 коммутирует с E 2(eii + ei i ), E + eii, E + ei i при i = 1, 2, то В силу того, что w коммутирует также с E + e11 и с E + e2 2, получаем, что c1 = b4 = a3 = c3 = b3 = c2 = d2 = b2 = 0, a1 = a4, d1 = d4. Имеем (E 2(e11 + e1 1 )w(E 2(e11 + e1 1 ) = w1, откуда Следовательно, a2 = d2 = s2 = s2 = 1, откуда a1 = d1 = si = 1, так как (w12 ) = w12 и 2 R. А значит, a2 = 0, d3 = 0. В силу унитарности w получаем c4 = b1. Теперь рассмотрим v12 = E + re12 + r e21. Так как v12 коммутирует с E 2(eii + ei i ), E + ei i, i = 1, 2, и с E + ejj, то аналогично описанию образующей w12 получаем, что А так как (E 2(e11 + e1 1 )v12 (E 2(e11 + e1 1 ) = (v12 )1, то также, как выше, a1 = d1 = si, a2 = d2 = 0. В силу унитарности v12 получаем c2 = b1. Пункт доказан.

(vij ) = E + br zij + b1 zji, (pr ) = E + cr zii причем ar, br, cr зависят только от элемента r. Покажем, что ar = br = cr.

Имеем [E + re12 + r e21, E + e1 1 ](E + r re22 ) = E + r e21 re1 2. Следовательно, [E + br z12 + b1 z21, E + z11 ](E + dz11 ) = откуда ar = br.

e21 + e1 2 )(E e21 + e1 2 ))2 = E 2(e11 + e22 + e1 1 + e2 2 ). Значит, ((E + az12 a1 z2 1 )(E + 2az21 2a1 z1 2 ))2 = E 2(z11 + z22 + z1 1 + z2 2 ).

Следовательно, a2 = 1. Также имеем E + e13 e3 1 = [E + e12 e2 1, E + e e3 2 ]. Тогда откуда a2 = a. Значит, a = 1.

Имеем [E + e12 e2 1, E + re12 + re21 ] = E + 2re11, r = r. Следовательно, [E + z12 z2 1, E + ar z12 ar z21 ] = E + 2cr z11. Отсюда ar = cr. Пункт завершен.

Определим отображение : R S1 по правилу (r) = ar. Отображение гомоморфизм колец, так как [E + ae12 a e2 1, E + be23 b e3 2 ] = (h12 )((E + re12 + r e21 ))(h12 ) = E + (r)1 z12 + (r)z21, то (r ) = (r)1.

Заметим, что так как выполнены равенства (E +eii ) = E +zii = E +(r)zii, то (1) = 1.

Определим отображение : U (R) U (S1 ) по формуле (A) = ((aij )), i, j N N. Тогда очевидно, что кольцевой гомоморфизм, причем в силу результата пункта Пусть (A) = 0, то есть (aij ) = 0, i, j N N. Пусть r некоторый элемент из матрицы A. Тогда Так как изоморфизм, то r = 0, следовательно, инъективное отображение.

Заметим, что для доказательства включения (EU (R)) EU (S1 ) мы пользовались только свойством (4.12) и следующими свойствами системы Следовательно, рассматривая отображение 1 1 : U (S1 ) U (R) и проводя аналогичные рассуждения, можно показать, что 1 1 (EU (S1 )) EU (R). То есть мы получаем, что EU (S1 ) содержится в Im. Следовательно, сюръективное отображение, так как EU (S1 ) = U (S1 ). Значит, является кольцевым изоморфизмом. Отсюда получаем, что отображение 1 : U (R) U (S) также является кольцевым изоморфизмом и удовлетворяет условию теоремы. Теорема доказана.

Замечание. Если U 2n (R) U 2m (S), то из теоремы 2, [4], легко можно вывести, что кольца R и S Морита-эквивалентны. Установим этот факт для рассматриваемого нами случая U (R) U (S).

Кольцо U (R) можно рассматривать как подкольцо в кольце End (V ), V = V1 V2, где V1 свободный модуль счетного ранга с базисом e1, e2..., V2 свободный модуль счетного ранга с базисом e1, e2.... Если в модуле V сделать замену базиса e1 = e1, e2 = e1, e3 = e2, e4 = e2..., то матрице будет соответствовать матрица Следовательно, U (R) можно рассматривать, как подкольцо в FCRMat (R), причем FMat (R) U (R). Аналогично можно считать, что FMat (S) U (S) FCRMat (S).

Из определения и леммы 4.1 следует, что Значит, отображение удовлетворяют условию 3 теоремы 2.5, [13], откуда следует, что кольца R и S Морита-эквивалентны. Значит, мы получаем, что изоморфность групп U (R) U (S) влечет Морита-эквивалентность колец R и S, также, как в и случае, когда U 2n (R) U 2m (S).

Литература [1] Балаба И.Н. Изоморфизмы градуированных колец эндоморфизмов прообразующих. Фундамент. и прикл. матем. 2007. 13, №1. 3–10.

[2] Голубчик И.З. Линейные группы над ассоциативными кольцами. Докт.

дис. Уфа. 1997.

[3] Голубчик И.З., Михалв А.В. Изоморфизмы полной линейной группы над ассоциативным кольцом. Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1983.

№3. 61–72.

[4] Голубчик И.З., Михалв А.В. Изоморфизм унитарных групп над ассое циативными кольцами. Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. 1983. 132. 97–109.

[5] Зельманов Е.И. Изоморфизмы линейных групп над ассоциативным кольцом. Сиб. мат. журн. 1985. 26, №4. 49–67.

[6] Клейн И.С., Михалв А.В. Ортогональная группа Стейнберга над колье цом с инволюцией. Алгебра и Логика. 1970. 9, №2. 145–166.

[7] Клейн И.С., Михалв А.В. Унитарная группа Стейнберга над кольцом с инволюцией. Алгебра и Логика. 1970. 9, №5. 510–519.

[8] Петечук В.М. Автоморфизмы групп SL n, GL n над некоторыми локальными кольцами. Матем. заметки. 1980. 28, №2. 187–206.

[9] Петечук В.М. Автоморфизмы матричных групп над коммутативными кольцами. Матем. сборник. 1982. 117, №4. 534–547.

[10] Петечук В.М. Автоморфизмы симплектической группы Sp n (R) над некоторыми локальными кольцами. Деп. ВИНИТИ. №2224-80.