«ИНВАРИАНТЫ СЛОЕНИЙ В СИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ И ПУАССОНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ ...»

ФГБОУ ВПО “МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА”

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

Козлов Иван Константинович

ИНВАРИАНТЫ СЛОЕНИЙ В

СИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ И ПУАССОНОВОЙ

ГЕОМЕТРИИ

01.01.04 - геометрия и топология Диссертация на соискание учной степени е кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

д.ф.-м.н., профессор А. А. Ошемков Москва - Оглавление Введение 1 Основные определения 1.1 Интегрируемые гамильтоновы системы............... 1.2 Примеры симплектических и пуассоновых многообразий.... 1.3 Невырожденные особенности..................... 1.4 Круговые молекулы........................... 1.5 Бигамильтоновы структуры...................... 2 Классификация лагранжевых расслоений 2.1 Основные результаты главы 2.................... 2.2 Инварианты лагранжевых расслоений............... 2.2.1 Пуассоново действие...................... 2.2.2 Решетка в кокасательном расслоении............ 2.2.3 Препятствие к построению сечения............. 2.3 Доказательство теорем классификации............... 2.3.1 Аффинные расслоения..................... 2.3.2 Эквивалентность аффинных и почти лагранжевых расслоений............................ 2.3.3 Доказательство теорем 9 и 10................ 2.3.4 Реализация инвариантов................... 2.4 Классификация лагранжевых расслоений над двумерными поверхностями...................... 2.4.1 Целочисленные аффинные многообразия......... 2.4.2 Фундаментальная группа бутылки Клейна........ 2.4.3 Полные целочисленные аффинные поверхности..... 2.4.4 Остальные инварианты.................... 2.5 Примеры лагранжевых и почти лагранжевых расслоений................................ 2.6 Классификация при помощи теории пучков............ 3 Инвариантные слоения невырожденных бигамильтоновых структур 3.1 Основные результаты главы 3.................... 3.2 Доказательство теоремы Жордана-Кронекера.......... 3.2.1 Самосопряжённые операторы в симплектическом пространстве........................... 3.2.2 Доказательство теоремы Жордана-Кронекера.

Общий случай.......................... 3.2.3 Вещественная теорема Жордана–Кронекера....... 3.2.4 Единственность формы Жордана–Кронекера....... 3.3 Линейные инвариантные подпространства............. 3.4 Локальное устройство невырожденных бигамильтоновых структур...................... 3.5 Доказательство основных теорем................... 4 Топология слоения Лиувилля для интегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли so(4) 4.1 Постановка задачи........................... 4.2 Основные результаты главы 4.................... 4.2.1 Случай > 0, = 0....................... 4.3 Доказательство основных утверждений............... Критические точки ранга 1..........

4.3.1........ 0) 4.3.2 Типы бифуркационных диаграмм. (Случай.... 4.3.3 Критические точки ранга 0.................. 4.3.4 Доказательство теорем 42, 43 и 44............. 4.4 Классический случай Ковалевской ( = 0)............. Введение Актуальность темы В диссертации изучаются различные инварианты слоений, естественным образом возникающие в симплектической и пуассоновой геометрии. А именно, рассмотрены следующие три типа слоений и связанные с ними задачи:

1. Лагранжевы расслоения. Локально тривиальное расслоение называется лагранжевым, если его тотальное пространство является симплектическим многообразием, и все его слои являются лагранжевыми подмногообразиями этого симплектического многообразия. В диссертации изучается вопрос, когда два лагранжевых расслоения послойно симплектоморфны, и проведена классификация лагранжевых расслоений с компактным тотальным пространством над двумерными поверхностями.

2. Инвариантные слоения невырожденных бигамильтоновых структур. В диссертации изучается некоторый класс распределений, естественным образом возникающих на многообразии, на котором заданы две согласованные невырожденные скобки Пуассона, и исследован вопрос, какие из этих распределений являются интегрируемыми, то есть какие из них задают слоение на данном многообразии.

3. Слоение Лиувилля для интегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли so(4). В диссертации исследуются топологические свойства интегрируемого случая для уравнений Эйлера на алгебре Ли so(4), являющегося аналогом классического случая Ковалевской в динамике твёрдого Хорошо известно, что симплектическая геометрия возникла из гамильтонова формализма классической механики. Рассматриваемые в диссертации объекты и вопросы также связаны с изучением гамильтоновых систем в механике и физике. Рассматриваются слоения и их инварианты, которые могут быть полезны при исследовании различных интегрируемых гамильтоновых и бигамильтоновых систем.

Изучение первого типа слоений — лагранжевых расслоений — можно рассматривать как изучение глобальных инвариантов слоений Лиувилля интегрируемых гамильтоновых систем. Из классической теоремы Лиувилля о существовании координат действие-угол следует, что отображение момента любой интегрируемой гамильтоновой системы задаёт лагранжево расслоение с особенностями. В диссертации изучается глобальное устройство лагранжевых расслоений без особенностей.

Имеется много работ, посвящённых изучению лагранжевых расслоений с особенностями, а также исследованию свойств различных классов особенностей лагранжевых расслоений. Среди этих работ следует отметить работы М. Ф. Атьи [34], В. Гийемина, С. Стернберга [41] и Т. Дельзанта [39], в которых подробно изучены торические многообразия, т.е. многообразия с заданными на них гамильтоновыми действиями тора. Также имеется много работ, посвящённых изучению особенностей слоений Лиувилля интегрируемых гамильтоновых систем. Ссылки на эти работы, а также изложение общей теории о топологических свойствах слоений Лиувилля можно найти в книге А. B. Болсинова, А. Т. Фоменко [6] и обзоре А. B. Болсинова, А. А. Ошемкова [37].

В работе [40] Х. Дюистермаат предложил классифицировать лагранжевы расслоения при помощи теории пучков. В частности, он ввел инварианты, полностью определяющие лагранжевы расслоения –– решётку на базе лагранжева расслоения и лагранжев класс Черна. Однако даже в случае малой размерности получение полного списка лагранжевых расслоений (например, для данной базы) с помощью инвариантов, описанных Дюистермаатом является, как правило, нетривиальной задачей. Тем не менее, К. Н. Мишачёву в работе [49] удалось получить такой список для лагранжевых расслоений над ориентируемыми двумерными поверхностями. Там же Мишачёв показал, что среди двумерных поверхностей только двумерный тор и бутылка Клейна могут быть базой лагранжева расслоения.

В дальнейшем Нгуен Тьен Зунг в работе [61] обобщил понятие лагранжева класса Черна на случай, когда лагранжево расслоение содержит некоторые определённые классы особенностей, а Н. К. Леунг и М. Симингтон в работах [45] и [55] классифицировали тотальные пространства лагранжевых расслоений с невырожденными негиперболическими особенностями с точностью до диффеоморфизма.

В диссертации описана классификация лагранжевых расслоений над бутылкой Клейна, и тем самым завершена классификация лагранжевых расслоений над двумерными поверхностями. При этом был введён новый, более широкий класс почти лагранжевых расслоений, отличный от класса лагранжевых расслоений тем, что форма на тотальном пространстве не обязательно замкнута. Для этого нового класса почти лагранжевых расслоений найдены классифицирующие инварианты, и приведён пример нетривиального почти лагранжева расслоения, не являющегося лагранжевым.

Лагранжевы расслоения над бутылкой Клейна были независимо (и практически одновременно) классифицированы Д. Сепе [54].

Изучение второго типа слоений — инвариантных слоений невырожденных бигамильтоновых структур — связано с исследованием топологических свойств бигамильтоновых систем и локального строения согласованных скобок Пуассона. Хорошо известно, что интегрируемость многих гамильтоновых систем в математике, механике и физике связана с наличием в них бигамильтоновой структуры. Оказывается, что многие гамильтоновы системы являются гамильтоновыми сразу относительно двух скобок Пуассона и любой их линейной комбинации, которая также является скобкой Пуассона.

После работы Ф. Магри [46], в которой было впервые показано, как бигамильтонова структура может быть использована для нахождения первых интегралов системы, была установлена бигамильтоновость многих классических задач механики и физики. Метод сдвига аргумента, предложенный А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко в работах [14, 15] и использованный ими при интегрировании многомерных аналогов интегрируемых систем, описывающих динамику твёрдого тела, на алгебрах Ли, также может быть переформулирован в бигамильтоновых терминах. Критерий полноты семейства функций, построенных с помощью бигамильтонова подхода, был получен в работах А. В. Болсинова [1,2]. Некоторые методы изучения особенностей интегрируемых систем с помощью бигамильтоновой техники были предложены в работах [36] и [38].

Недавно, используя теорему Жордана–Кронекера о нормальной форме пары кососимметрических билинейных форм на конечномерном линейном пространстве, И. С. Захаревичем [60], А. Панасюком [52] и Ф. Туриэлем [57–59] был получен ряд результатов о локальном устройстве пары согласованных скобок Пуассона. Несмотря на эти важные результаты, до сих пор остаются открытыми некоторые вопросы о локальном и глобальном устройстве бигамильтоновых структур. В частности, с точки зрения поиска новых методов интегрирования гамильтоновых систем представляет интерес вопрос о поиске слоений Лиувилля, которые можно описать в терминах самой бигамильтоновой структуры, или, более общо, о поиске интегрируемых распределений, естественным образом связанных с бигамильтоновой структурой.

В диссертации исследована интегрируемость инвариантных распределений, которые определяются тем, что каждый их слой является подпространством, инвариантным относительно группы автоморфизмов соответствующего касательного пространства, сохраняющих билинейные формы, заданные согласованными скобками Пуассона. Задача об интегрируемости инвариантных распределений была поставлена ранее в работе [3].

Наконец изучение третьего типа рассматриваемых слоений — слоения Лиувилля для интегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли so(4) — связано с исследованием топологических инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем и с исследованием классического случая Ковалевской в динамике твёрдого тела.

На сегодняшний день вычисление глобальных топологических инвариантов слоений Лиувилля для известных случаев интегрируемости является одним из важных направлений исследований в механике твёрдого тела.

Начиная с 80-x годов XX века было написано множество работ по исследованию топологии фазового пространства интегрируемых систем, классификации особенностей, построению бифуркационных диаграмм и определению типов бифуркаций, вычислению локальных и глобальных инвариантов слоения Лиувилля и траекторных инвариантов. В диссертации используются методы теории топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем, основы которой были заложены в работах А. Т. Фоменко, Х. Цишанга [27] и А. В. Болсинова, С. В. Матвеева, А. Т. Фоменко [4]. Подробное изложение этой теории содержится в книге А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко [6]. Одной из предпосылок к созданию этой теории послужили работы М. П. Харламова [29–31], в которых была подробно исследована топология наиболее сложных случаев (Ковалевской и Горячева–Чаплыгина) в динамике твердого тела. В дальнейшем было написано множество работ, посвященных топологическому анализу, а также вычислению инвариантов для интегрируемых систем классической механики, среди которых следует отметить работы A. А. Ошемкова [21, 51], О. Е. Орёл [19], П. И. Топалова [25], О. Е. Орёл, П. Е. Рябова [50], А. В. Болсинова, П. Х. Рихтера, А. Т. Фоменко [5], П. В. Морозова [16, 17] и П. Е. Рябова, М. П. Харламова [24].

Волчок Ковалевской — одна из самых известных интегрируемых гамильтоновых систем классической механики. В работе [43] Софьей Ковалевской было показано, что кроме случаев Эйлера, Лагранжа и открытого ею ранее в работе [44] интегрируемого случая в динамике твёрдого тела не существует никаких других систем, которые были бы аналогичным образом интегрируемы при каждом значении постоянной площадей. Волчок Ковалевской сложнее для изучения, чем волчки Эйлера и Лагранжа, поэтому представляют интерес различные методы, которые позволили бы каким-нибудь образом упростить работу с этим волчком. В диссертации рассмотрено однопараметрическое семейство интегрируемых гамильтоновых систем, заданных на пучке алгебр Ли so(4) e(3) so(3, 1), найденное в работе [12], и показано, что некоторая информация о классическом случае Ковалевской, являющимся интегрируемой гамильтоновой системой на алгебре Ли e(3), может быть получена из изучения интегрируемых гамильтоновых систем на алгебре Ли so(4).

Идея рассмотрения интегрируемых гамильтоновых систем на компактных алгебрах Ли может оказаться плодотворной — орбиты коприсоединённого представления компактной алгебры Ли компактны, что значительно упрощает анализ заданных на них интегрируемых гамильтоновых систем.

Ранее интегрируемые гамильтоновы системы на алгебре Ли so(4) изучались в работах [20] (компактный аналог случая Клебша), [28] (случай Соколова) и [32] (компактный аналог случая Стеклова).

Детальный топологический анализ классического случая Ковалевской содержится в книге М. П. Харламова [31] (см. также [29] и [30]). В частности, там описаны бифуркационные диаграммы отображения момента и исследованы перестройки торов Лиувилля при критических значениях отображения момента. Тонкий лиувиллев анализ, а также описание круговых молекул для классического случая Ковалевской содержатся в работе [5] (метод круговых молекул, используемый в диссертации, был предложен А. В. Болсиновым [35]). Все необходимые результаты о классическом случае Ковалевской в удобной для нас форме собраны в книге [6].

В диссертации для рассматриваемых интегрируемых случаев на алгебре Ли so(4) сделано следующее: построены бифуркационные диаграммы отображения момента, проверена невырожденность особых точек ранга 0 и 1, классифицированы невырожденные положения равновесия, определены перестройки торов Лиувилля и описаны круговые молекулы для особых точек бифуркационных диаграмм.

Цель диссертации Диссертационная работа преследует следующие цели:

1. Завершение классификации лагранжевых расслоений с компактными тотальными пространствами над двумерными поверхностями.

2. Описание всех инвариантных слоений невырожденных бигамильтоновых структур в окрестности регулярной точки.

3. Топологический анализ интегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли so(4).

Методы исследования В диссертации используются методы дифференциальной геометрии, топологии и линейной алгебры. При исследовании топологии слоения Лиувилля случая Ковалевской на алгебре Ли so(4) используются методы теории топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.

Научная новизна Результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно и заключаются в следующем:

1. Классифицированы все лагранжевы расслоения с компактными тотальными пространствами над бутылкой Клейна.

2. Введён класс почти лагранжевых расслоений, обобщающих понятие лагранжева расслоения. Построен набор классифицирующих инвариантов для почти лагранжевых расслоений. Также построено нетривиальное почти лагранжево расслоение, не являющееся лагранжевым (доказано, что не любые решётка и препятствие к построению сечения могут быть реализованы лагранжевым расслоением).

3. Описаны все инвариантные распределения невырожденной бигамильтоновой структуры в окрестности регулярной точки, и установлено, какие из них являются интегрируемыми.

4. Для интегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли so(4) построены бифуркационные диаграммы отображения момента, проверена невырожденность особых точек ранга 0 и 1, классифицированы невырожденные положения равновесия, вычислены перестройки торов Лиувилля и круговые молекулы особых точек бифуркационных диаграмм.

Теоретическая и практическая ценность Диссертация имеет теоретический характер.

Полученные результаты могут быть использованы при исследовании интегрируемых гамильтоновых систем, в частности, при исследовании лиувиллевых слоений и возмущений интегрируемых систем, а также при исследовании бигамильтоновых систем и согласованных скобок Пуассона.

Полученные результаты о лагранжевых расслоениях могут быть использованы при изучении глобальных топологических инвариантов интегрируемых систем, а также при изучении лагранжевых слоений на симплектических многообразиях.

Полученные результаты об интегрируемости инвариантных распределений невырожденных бигамильтоновых структур могут быть использованы при изучении различных бигамильтоновых систем и при изучении локального устройства согласованных скобок Пуассона.

Полученные результаты о топологии слоения Лиувилля для интегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли so(4) могут быть использованы при исследовании слоений Лиувилля различных интегрируемых систем.

Апробация диссертации Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях:

международная конференция «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященная 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садовничего (Москва, 30 марта – 2 апреля 2009 г.);

вторая международная конференция «Geometry, Dynamics, Integrable Systems – GDIS 2010», (Белград, Сербия, 7–13 сентября 2010 г.);

XVIII международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (Москва, 11–15 апреля 2011 г.);

международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (23-я сессия), посвящённая 110-ой годовщине со дня рождения выдающегося математика И. Г. Петровского (Москва, 29 мая – июня 2011 г.);

XIX международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (Москва, 9–13 апреля 2012 г.);

международная топологическая конференция «Александровские Чтения», (Москва, 21–25 мая 2012 г.);

XVII Geometrical Seminar (Златибор, Сербия, 3–8 сентября 2012 г.);

XX международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (Москва, 8–13 апреля 2013 г.);

четвёртая международная конференция «Geometry, Dynamics, Integrable Systems – GDIS 2013» (Ижевск, 10–14 июня 2013 г.).

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях следующих научных семинаров:

на семинаре «Современные геометрические методы» под руководством акад. А.Т. Фоменко и проф. А.С. Мищенко (неоднократно: 2008 – на семинаре «Динамические системы» под руководством проф. А.М.

Стёпина в 2010 г.;

на семинаре «Некоммутативная геометрия и топология» под руководством проф. А.С. Мищенко в 2010 г.;

на семинаре «Геометрия, топология и математическая физика» под руководством акад. С.П. Новикова, чл.-корр. В.М. Бухштабера и проф.

Б.А. Дубровина (неоднократно: 2011–2013 гг.);

на семинаре «Геометрия в целом» под руководством проф. И.Х. Сабитова в 2012 г.;

на семинаре «Геометрия и топология» под руководством проф. Т.Е. Панова и доц. А.В. Пенского в 2013 г.;

на семинаре «Группы Ли и теория инвариантов» под руководством проф. Э.Б. Винберга в 2013 г.;

на семинаре «Oberseminar Differentialgeometrie» под руководством проф. Г. Книпера (совместный семинар Рурского университета в Бохуме и Технического университета в Дортмунде, Германия, 2009);

на семинаре «Hamiltonian Dynamics Seminar» под руководством проф.

Т.C. Ратью (Федеральная политехническая школа Лозанны, Лозанна, Швейцария, 2012).

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах [62–73], список которых приведен в конце диссертации.

Структура и объём Диссертация состоит из введения и четырёх глав. Текст диссертации изложен на 193 страницах и содержит 7 таблиц и 34 рисунка. Список литературы содержит 73 наименования.

Содержание работы Во введении описывается структура диссертации и история рассматриваемых вопросов; обосновывается актуальность темы и научная новизна полученных результатов; описываются основные результаты диссертации.

В первой главе приводятся необходимые определения и классические результаты о симплектических и пуассоновых многообразиях, а также об интегрируемых гамильтоновых и бигамильтоновых системах, используемые в настоящей диссертации.

Во второй главе изучаются глобальные инварианты лагранжевых расслоений и проведена классификация лагранжевых расслоений над бутылкой Клейна (теоремы 13 и 14). Также в этой главе введено понятие почти лагранжевых расслоений, обобщающее понятие лагранжевых расслоений (Определение 15), и описаны классифицирующие инварианты для почти лагранжевых расслоений. Показано, что почти лагранжево расслоение полностью определяется, с точностью до лагранжевой эквивалентности (т.е. с точностью до послойного диффеоморфизма, тождественно действующего на базе и переводящего одну форму в другую) и поднятия 2-формы с базы, двумя своими инвариантами: решеткой на базе и первым препятствием к построению сечения (теорема 9). Решетка на базе лагражева расслоения введена в работе Х. Дюистермаата [40]. Первое препятствие к построению сечения является известным инвариантом, используемым в алгебраической топологии.

Также установлено, когда поднятие 2-формы с базы не меняет почти лагранжево расслоение (а именно, доказано, что поднятие 2-формы с базы почти лагранжева расслоения с решеткой не меняет расслоение тогда и только тогда, когда = для некоторого сечения, теорема 10). Для лагранжевых расслоений аналогичное утверждение было доказано К. Н. Мишачёвым [49].

Кроме того, доказана теорема реализации о том, что любые решетка и препятствие к построению сечения могут быть реализованы некоторым почти лагранжевым расслоением (теорема 11) и построен пример решетки и препятствия к построению сечения, которые не могут быть реализованы лагранжевым расслоением (пример 7). Тем самым построен пример нетривиального почти лагранжева расслоения, не являющегося лагранжевым.

В третьей главе описаны все инвариантные слоения невырожденных бигамильтоновых структур в окрестности регулярных точек (теоремы 28 и 29). Кроме того, в разделе 3.2 этой главы приведено доказательство теоремы Жордана-Кронекера, которая используется при описании локального устройства пары согласованных невырожденных скобок Пуассона, и дано описание всех подпространств линейного пространства с заданными на нём двумя симплектическими формами, инвариантных относительно автоморфизмов этого линейного пространства, сохраняющих формы (теоремы 32 и 33).

Наконец в четвёртой главе изучается топология слоения Лиувилля для интегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли so(4), который был открыт И. B. Комаровым в работе [12]. В диссертации для рассматриваемого интегрируемого случая на алгебре Ли so(4) сделано следующее: построены бифуркационные диаграммы отображения момента (теоремы 42 и 45), проверена невырожденность особых точек ранга 0 и 1 (леммы 20, 21, и 23), классифицированы невырожденные положения равновесия (леммы 20 и 23), определены перестройки торов Лиувилля (теорема 43) и описаны круговые молекулы для особых точек бифуркационных диаграмм (теорема 44).

Благодарности Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Андрею Александровичу Ошемкову за постановку задач и за неоценимую помощь на всех этапах написания работы. Автор благодарен профессору А. В. Болсинову за плодотворные дискуссии и ценные замечания к работе и профессору Т. С. Ратью за обсуждения задач. Автор благодарен всем сотрудникам кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико–математического факультета МГУ и, в особенности, заведующему кафедрой академику РАН А. Т. Фоменко за творческую атмосферу и поддержку.

Глава Основные определения В этом разделе приводятся необходимые сведения о симплектических и пуассоновых многообразиях, а также об интегрируемых гамильтоновых и бигамильтоновых системах, используемые в этой работе.

Все необходимые сведения о симплектических многообразиях и интегрируемых гамильтоновых системах можно найти в [6], а также в обзоре [37].

Излагаемые в этом разделе факты о бигамильтоновых системах и пуассоновых многообразиях можно найти в работе [3].

1.1 Интегрируемые гамильтоновы системы Прежде всего дадим определения симплектических и пуассоновых многообразий.

Определение 1. Симплектическое многообразие ( 2, ) — это многообразие с заданной на нём невырожденной замкнутой 2-формой.

Определение 2. Скобкой Пуассона на многообразии называется кососимметричное билинейное отображение удовлетворяющее тождеству Лейбница и тождеству Якоби Скобку Пуассона также иногда называют пуассоновой структурой на многообразии, а многообразие со скобкой Пуассона называют пуассоновым многообразием. Любое симплектическое многообразие является пуассоновым (но не наоборот) — скобка Пуассона двух функций и на симплектическом многообразии ( 2, ) определяется по формуле Условия кососимметричности, билинейности и тождество Лейбница гарантируют, что любая скобка Пуассона на многообразии может быть задана при помощи бивекторного поля ( 2 ) (то есть при помощи кососимметричного тензорного поля (2, 0)) по формуле Тождество Якоби при этом эквивалентно выполнению следующей системы уравнений на компоненты бивекторного поля :

Любую симплектическую структуру на многообразии можно расАналогично, любую скобку сматривать как отображение Любая функция на симплектическом многообразии ( 2, ) задаёт векторное поле называемое гамильтоновым векторным полем с гамильтонианом. Аналогично, гамильтоновы векторные поля можно определить на произвольном пуассоновом многообразии (, ) по формуле Гамильтоново векторное поле также иногда обозначают через sgrad и называют косым градиентом функции.

Отметим, что в других работах могут использоваться различные соглашения о знаках: в определении гамильтоновых векторных полей или скобки Пуассона на симплектическом многообразии может ставится знак минус.

Утверждение 1. Для любых функций и на симплектическом многообразии ( 2, ) выполнены следующие тождества:

Как следствие, отображение Доказательство. Нужно воспользоваться тождеством Якоби.

Две функции и на пуассоновом многообразии (, ) называются коммутирующими, если {, } = 0. Функция называется функцией Казимира скобки Пуассона, если она коммутирует с любой другой функцией на многообразии относительно этой скобки.

Функцию на фазовом пространстве называют первым интегралом гамильтоновой системы с гамильтонианом, если она постоянна на всех траекториях системы. Иными словами, функция является первым интегралом системы = тогда и только тогда, когда ( ) = 0 или, что эквивалентно, {, } = 0.

Определение 3. Динамическая система = на ( 2, ) называется интегрируемой, если существует набор первых интегралов 1,..., такой, что эти интегралы функционально независимы почти всюду функции попарно коммутируют (относительно соответствующей скобки Пуассона):

все гамильтоновы векторные поля полны.

Отметим, что последнее условие автоматически выполнено, если фазовое пространство ( 2, ) компактно (все векторные поля на компактных многообразиях полны).

Также отметим, что, так как векторные поля полны и коммутируют между собой, любая интегрируемая гамильтонова система задаёт гамильтоново действие группы R на фазовом пространстве ( 2, ): это действие сопоставляет элементу = (1,..., ) R сдвиг за единичное время вдоль гамильтонова векторного поля с гамильтонианом = 1 1 + +.

Определение 4. Разбиение фазового пространства интегрируемой гамильтоновой системы на связные компоненты поверхностей уровня { = const, = 1,..., } называется слоением Лиувилля этой системы.

Два слоения Лиувилля называются лиувиллево эквивалентными, если существует диффеоморфизм, переводящий слои первого слоения Лиувилля в слои второго слоения Лиувилля.

Отображение ( 2, ) / R, которое сопоставляет точке фазового пространства интегрируемой гамильтоновой системы ( 2,, 1,..., ) точку (1 (),..., ()) R называется отображением момента этой интегрируемой гамильтоновой системы.

Следующая классическая теорема гарантирует, что окрестности всех (связных) компактных регулярных слоёв отображения момента устроены одинаково.

Теорема 1 (Теорема Лиувилля). Рассмотрим произвольную интегрируемую гамильтонову систему ( 2,, = 1,..., ).

1. Любая связная компактная компонента регулярной поверхности уровня первых интегралов { = const, = 1,..., } диффеоморфна мерному тору T.

2. Слоение Лиувилля в некоторой окрестности тора Лиувилля тривиально — оно диффеоморфно прямому произведению тора T на 3. В окрестности = T существует система координат (1,...,, 1,..., ), называемых переменными действие-угол, со следующими свойствами:

(a) 1,..., — координаты на базе, 1,..., — стандартные угловые координаты на торе T, R2Z.

(b) Симплектическая структура имеет вид =.

(c) Переменные действия являются функциями от интегралов (d) В переменных действие-угол поток гамильтонова векторного поля выпрямляется, т.е. гамильтоновы уравнения принимают Теорема Лиувилля обосновывает введение следующих определений.

Определение 5. Подмногообразие симплектического многообразия ( 2, ) называется лагранжевым, если Определение 6. Локально тривиальное расслоение ( 2, ) / называется лагранжевым расслоением, если тотальное пространство ( 2, ) является симплектическим многообразием, каждый слой которого является лагранжевым подмногообразием.

1.2 Примеры симплектических и пуассоновых многообразий Пример 1. Классический пример симплектического многообразия (а также лагранжева расслоения) — это кокасательное расслоение 0 / к любому гладкому многообразию, симплектическая структура на котором определяется следующим образом.

На тотальном пространстве кокасательного расслоения / существует каноническая 1-форма 0, заданная формулой для любого вектора (,) ( ) в точке. Здесь через, обозначено значение ковектора на векторе. Форму 0 иногда ещё называют 1-формой Лиувилля.

Дифференциал этой 1-формы 0 = 0 — это каноническая 2-форма на. Форма 0 замкнута и невырождена (т.е. является канонической симплектической структурой). Легче всего проверить это в координатах.

В канонических координатах,, где — координаты на базе, а — двойственные координаты в слое (координаты ковектора в базисе ), каноническая 1-форма имеет вид Поэтому в канонических координатах, каноническая 2-форма 0 задаётся формулой По теореме Дарбу любое симплектическое многообразие локально симплектоморфно кокасательному расслоению. Сразу сформулируем более общую теорему Дарбу-Вейнстейна о локальном устройстве пуассоновых многообразий.

Теорема 2 (Теорема Дарбу-Вейнстейна). В окрестности произвольной точки пуассонова многообразия существуют локальные координаты в которых скобка Пуассона имеет вид где все функции обращаются в ноль в точке. Все остальные попарные скобки координатных функций при этом равны нулю.

Пример 2. Ещё один хорошо известный пример симплектических многообразий — это орбиты коприсоединённого представления алгебр Ли. Рассмотрим алгебру Ли g произвольной (вещественной) группы Ли. Хорошо известно, что для любого элемента g двойственного пространства к алгебре Ли g соответствующая орбита коприсоединённого представления является гладким (погруженным) многообразием. Симплектическая структура на орбите коприсоединённого представления определяется по следующей формуле: паре касательных векторов ad1 () и ad2 () в точке () форма сопоставляет число Можно проверить, что определённая таким образом форма (она также называется формой Кириллова) корректно определена, невырождена и замкнута (см., например, [47]).

На самом деле, орбиты коприсоединенного представления являются частным случаем следующего более общего примера симплектических многообразий.

Пример 3. Любое пуассоново многообразие можно рассматривать как набор симплектических многообразий: любое пуассоново многообразие распадается в дизъюнкное объединение своих симплектических листов, каждый из которых является симплектическим многообразием. Две точки принадлежат одному симплектическому листу тогда и только тогда, когда одну из них можно перевести в другую при помощи последовательных сдвигов вдоль гамильтоновых векторных полей. По-другому симплектические листы можно определить как слои характеристического распределения, которое сопоставляет точке многообразия (, ) образ бивектора Пуассона в этой точке Каждый симплектический лист наделяется естественной структурой гладкого многообразия, погруженного в исходное пуассоново многообразие.

Пуассонова структура задаёт симплектическую структуру на каждом симплектическом листе по формуле:

Пример 4. На двойственном пространстве g к любой конечномерной алгебре Ли g существует естественная линейная скобка Пуассона, заданная формулой Здесь через, обозначено значение ковектора из g на векторе из g, а через (, обозначен коммутатор в алгебре Ли g. В формуле (1.2.1) мы воспользовались каноническим отождествлением (g ) = g. Скобка (1.2.1) называется также скобкой Ли-Пуассона.

1.3 Невырожденные особенности Определение 7. Точка ( 2, ) называется особой (или критической) точкой отображения момента, если rk <. Число rk называется рангом особой точки, а число rk называется корангом точки. Образ объединения всех особых точек отображения момента называется бифуркационной диаграммой.

Дадим определение невырожденной особой точки отображения момента ( 2, ) / R. Начнём со случая особой точки ранга 0.

тической точке (т.е. в точке, в которой = 0) линейный оператор Утверждение 2. Построенный оператор = 1 2 является элементом симплектической алгебры Ли ( 2, ).

Напомним, что симплектическая алгебра Ли (2, R) состоит из ( 2)-матриц (с вещественными коэффициентами), удовлетворяющих уравнению где — это кососимметрическая матрица (Здесь — это единичная ( )-матрица.) Доказательство. Утверждение несложно доказать, воспользовавшись теоремой Дарбу, и явно проверив в симплектических координатах, что матрица оператора имеет требуемый вид. По-другому это утверждение также можно доказать следующим образом.

Векторное поле порождает однопараметрическую группу симплектоморфизмов ( 2, ) / ( 2, ), оставляющих точку неподвижной.

Соответствующие дифференциалы (, ) / (, ) задают однопараметрическую группу линейных симплектоморфизмов ( ), т.е. задают кривую в симплектической группе Ли ( ). Соответствующий элемент касательной алгебры ( ) — касательный вектор к кривой в единице ( ) — и есть оператор = 1 2 (это можно проверить явными вычислениями в локальных координатах).

Отображение = 0, то Доказанное утверждение позволяет отождествить симплектическую алгебру Ли (2, R) и алгебру Ли квадратичных форм на линейном симплектическом пространстве (R2, ).

Лемма 1. Рассмотрим вещественное линейное симплектическое пространство ( 2, ). Симплектическая алгебра Ли ( 2, R) канонически изоморфна алгебре Ли квадратичных форм = 2, ( = ) на пространстве 2. Оператору ( 2 ) соответствует форма () = 2 (, ). Коммутатору двух элементов, ( ) соответствует скобка Пуассона двух функций, Доказательство. Матрица принадлежит алгебре Ли (2, R) тогда и только тогда, когда матрица симметрична = (), т. е. является матрицей квадратичной формы.

Рассмотрим особую точку ( 2, ) ранга 0 отображения момента = (1,..., ) (т.е. = 0 для всех = 1,..., ). Функции 1,..., коммутируют, поэтому соответствующие операторы 1,... порождают некоторую коммутативную подалгебру h sp( ).

Определение 8. Особая точка ( 2, ) ранга 0 называется невырожденной особой точкой (ранга 0), если соответствующая подалгебра h ( ) является подалгеброй Картана.

Теорема Уильямсона классифицирует все подалгебры Картана алгебры (2, R) с точностью до сопряжения. При формулировке следующей теоремы мы используем представление симплектической алгебры Ли при помощи алгебры Ли квадратичных форм (см. лемму 1).

Теорема 3 (Теорема Уильямсона). Для любой подалгебры Картана h (2, R) существуют линейные координаты 1,...,, 1,... линейного симплектического пространства (R2, ) такие, что =, и следующие квадратичных полиномов образуют базис в h:

Подалгебры, соответствующие разным тройкам (,, ) не сопряжены.

В общем случае, особая точка ( 2, ) ранга называется невырожденной, если она переходит в невырожденную особую точку ранга 0 после редукции по гамильтонову действию. Это означает следующее. Пусть 2 — это подпространство, порожденное векторами 1,..., (это касательное пространство к орбите гамильтонова действия = ), — косоортогональное дополнение к. Так как функции коммутируют, форма индуцирует на пространстве симплектическую структуру. (Форма корректно определена, так как пространство изотропно.) Любая линейная комбинация = 1 1 + + ( R), которая оставляет точку на месте (т.е. если функция принадлежит стабилизатору точки относительно гамильтонова действия: ), определяет линейный оператор (, ) / (, ). Действительно, функция коммутирует со всеми функциями, поэтому соответствующее действие поля сохраняет пространство, а, следовательно, и. гебру h ( ).

Определение 9. Особая точка ( 2, ) ранга называется невырожденной особой точкой (ранга ), если соответствующая подалгебра h ( ) является подалгеброй Картана.

Типом невырожденной особой точки отображения момента называется тип соответствующей картановской подалгебры (т.е. соответствующая тройка чисел (,, )). Очевидно, что ранг невырожденной особой точки типа Теорема Элиассона утверждает, что слоение Лиувилля в окрестности невырожденной особой точки полностью определяется рангом и типом соответствующей картановской подалгебры. А именно, слоение Лиувилля в окрестности невырожденной особенности распадается в прямое произведение следующих 4 типов слоения:

1. Слоение ell — это слоение в окрестности нуля в (R2, ), порождённое функцией 2 + 2.

2. Слоение hyp — это слоение в окрестности нуля в (R2, ), порождённое функцией 2 2.

3. Слоение foc — это слоение в окрестности нуля в (R4, 1 1 +2 2 ), порождённое двумя коммутирующими функциями 1 1 +2 2, 1 2 1 2.

4. Слоение reg — это слоение в окрестности нуля в (R2, ), порождённое функцией.

Теорема 4 (Теорема Элиассона). Всякое слоение Лиувилля в окрестности невырожденной особой точки типа (,, ) и ранга локально симплектоморфно прямому произведению экземпляров слоения ell, экземпляров слоения hyp, экземпляров слоения foc и экземпляров слоения reg.

В двумерном и четырёхмерном случаях ситуация значительно упрощается. В двумерном случае (для систем с одной степенью свободы) существуют только две невырожденные особенности. Любая гамильтонова система = на двумерном многообразии ( 2, ) (с полными полями почти нигде не обращающимися в ноль) автоматически является интегрируемой — гамильтониан системы является её первым интегралом. Невырожденные особенности такой интегрируемой системы при этом в точности совпадают с невырожденными особенностями функции в смысле теории Морса.

Лемма 2 (Лемма Дарбу-Морса). Для любой невырожденной критической точки функции на двумерном симплектическом многообразии ( 2, ) существуют такие локальные симплектические координаты,, что функция зависит либо только от 2 + 2, либо только от :

В четырёхмерном случае (для систем с двумя степенями свободы) существуют четыре типа невырожденных особенностей ранга 0.

Теорема 5. Пусть — невырожденная особая точка ранга 0 интегрируемой гамильтоновой системы ( 4,,, ). Пусть многообразие 4, симплектическая структура и обе функции и являются вещественноаналитическими. Тогда в окрестности точки 4 существуют координаты (1, 1, 2, 2 ), в которых симплектическая структура имеет вид = 1 1 +2 2, а функции и одновременно приводятся к одному из следующих видов:

1. случай центр-центр:

2. случай центр-седло:

3. случай седло-седло:

4. случай фокус-фокус:

Также в этой работе нам потребуются следующие факты о полулокальном устройстве особенностей (т.е. об устройстве слоения Лиувилля в окрестности особого слоя отображения момента). Для простоты мы ограничимся случаем систем с одной и двумя степенями свободы (т.е. для интегрируемых гамильтоновых систем на двумерном и четырехмерном многообразиях соответственно).

Начнём с систем с одной степенью свободы. Пусть далее все особенности интегрируемой гамильтоновой системы ( 2,, ) являются невырожденными (иными словами, — функция Морса на 2 ).

Определение 10. Атом (или 2-атом в терминологии [6]) — это росток слоения Лиувилля на особом слое. Иными словами, две особенности (рассматриваемые с полулокальной точки зрения) соответствуют одному и тому же атому тогда и только тогда, когда некоторые их окрестности лиувиллево эквивалентны. Количество особых точек в особом слое называется сложностью атома.

Следующая теорема является известным фактом из теории Морса.

Утверждение 3. Существует ровно два атома сложности 1 — эллиптический (атом ) и гипебролический (атом ). Все атомы большей сложности — гиперболические, т.е. все их особые точки являются гиперболическими особыми точками.

Все гиперболические особенности малой сложности описаны. Единственные 2-атомы, которые встречаются в этой работе — это атомы, и (см. рис. 1.1). Все эти особенности подробно описаны в книге [6].

Рассмотрим теперь системы с 2 степенями свободы. Следующее утверждение хорошо известно (см., например, [6]).

Утверждение 4. В размерности 4 существует только одна, с точностью до лиувиллевой эквивалентности, эллиптическая особенность ранга 1, и она является прямым произведением эллиптического атома ell и регулярного слоения reg (т.е. просто прямого произведения 1 1 ).

Классификация гиперболических особенностей ранга 1 была описана А. Т. Фоменко и Х. Цишангом в их работе [27]. Мы сформулируем полученный ими результат, переформулировав его в терминах почти прямых произведений.

Теорема 6. В размерности 4 любая гиперболическая особенность ранга лиувиллево эквивалентна особенности одного из следующих двух видов:

1. прямое произведение hyp reg ;

2. фактор прямого произведения hyp reg по действию группы Z2 определённого формулой где hyp, (, ) — координаты действие-угол на reg, а — это инволюция hyp / hyp, неподвижные точки которой — это некоторые вершины гиперболического атома hyp.

В этой работе, при анализе случая Ковалевской на алгебре Ли so(4) нам встретятся только 3 типа гиперболических точек ранга 1. Два из них — это прямые произведения регулярного слоения и атомов и 2. Соответствующие перестройки мы будем обозначать той же буквой, что и исходный атом.

Третья перестройка, которая обозначается через — это почти прямое произведение ( reg )Z2, где инволюция на атоме — это центральная симметрия. Все эти перестройки подробно описаны в [6] (впервые они были обнаружены М. П. Харламовым в [29, 30]).

1.4 Круговые молекулы Вкратце напомним понятия меченых и круговых молекул (подробнее о круговых молекулах и инвариантах Фоменко-Цишанга см.,например, [6]).

Определение 11. Особые точки бифуркационной диаграммы — это образы особых точек ранга 0 и вырожденных точек ранга 1, а также точки пересечения (или самопересечения) гладких дуг, из которых состоит бифуркационная диаграмма.

Определение 12. Гладкая параметризованная кривая без самопересечений в плоскости R2 (, ) называется допустимой, если она пересекает бифуркационную диаграмму трансверсально и не проходит через особые точки бифуркационной диаграммы.

Прообраз любой допустимой кривой — это трёхмерное многообразие с заданным на нём слоением Лиувилля. Возникает естественный инвариант этого слоения — меченая молекула, которая представляет из себя граф, ребра которого соответствуют однопараметрическим семействам торов Лиувилля, а вершины — критическим слоям, в которых происходят бифуркации. При этом в вершинах графа помещают символы, которые обозначают типы бифуркаций (эти перестройки обозначаются той же буквой, что и соответствующие особенности ранга 1:,, 2, и т.д.). Также графу приписывают определённый набор меток трёх типов (, и ), которые указывают, как связаны между собой различные бифуркации. Меченая молекула также называется инвариантом Фоменко-Цишанга и тонким лиувиллевым инвариантом. Молекула без меток называется грубой молекулой.

Меченая молекула — это полный инвариант слоения Лиувилля на трёхмерном многообразии 3, являющимся прообразом допустимой кривой при отображении момента.

Теорема 7 (А. Т. Фоменко, Х. Цишанг [6, т. 1, гл. 4] ). Два слоения Лиувилля на (31 ) и (32 ) лиувиллево эквивалентны в том и только том случае, когда их меченые молекулы совпадают.

Круговая молекула особой точки бифуркационной диаграммы — это меченая молекула, которая описывает слоение Лиувилля в полном прообразе достаточно малой замкнутой допустимой кривой, обходящей вокруг точки. В этой работе для простоты мы укажем только -метки круговых молекул. Знание круговых молекул позволяет многое узнать о молекулах, соответствующих различным допустимым кривым (например, иногда молекулу кривой можно “склеить” из частей круговых молекул). Примеры круговых молекул приведены в таблицах 4.4 и 4.5.

При анализе случая Ковалевской на алгебре Ли so(4) мы воспользуемся следующими известными фактами о локальном устройстве и круговых молекулах особых точек ранга 0 для систем с двумя степенями свободы (см.,например, [6]).

Теорема 8. Особые точки типа центр-центр, центр-седло и седло-седло сложности 1 любой интегрируемой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы ( 4,,, ) устроены следующим образом.

1. Существует ровно одна, с точностью до лиувиллевой эквивалентности, особенность типа центр-центр. Бифуркационная диаграмма в окрестности точки типа центр-центр является объединением двух кривых, выходящих из этой точки. Круговая молекула особенности имеет вид, при этом метка равна 0.

2. Любая особенность типа центр-седло лиувиллево эквивалентна прямому произведению седлового атома и эллиптического атома. В окрестности точки, являющейся образом точки типа центр-седло, бифуркационная диаграмма является объединением кривой, проходящей через эту точку, и другой кривой, выходящей из этой точки.

Круговая молекула получается добавлением атома на конце каждого ребра соответствующего седлового атома, все метки равны.

3. Существует ровно 4 особенности типа седло-седло сложности 1 (т.е.

содержащие ровно одну особую точку на слое). Эти особенности полностью различаются своими круговыми молекулами.

При анализе случая Ковалевской на алгебре Ли so(4) возникает только две особенности типа седло-седло — особенность типа прямого произведения и особенность типа почти прямого произведения ( 2 )Z2. В этом полупрямом произведении группа Z2 действует на каждом из сомножителей как центральная симметрия. Это те же особенности, что возникают при анализе классического случая Ковалевской. Две другие особенности типа седло-седло (вида ( 1 )Z2 и (2 2 )Z2 Z2 ) в классическом случае Ковалевской и в случае Ковалевской на алгебре Ли so(4) не возникают.

1.5 Бигамильтоновы структуры Определение 13. Две скобки Пуассона, на многообразии называются согласованными, если любая их линейная комбинация с постоянными коэффициентами + тоже является скобкой Пуассона.

Пару согласованных скобок Пуассона на многообразии также называют бигамильтоновой структурой. Динамическую систему = на многообразии, на котором заданы две согласованные скобки Пуассона и, называют бигамильтоновой, если она является гамильтоновой сразу относительно обеих скобок Пуассона и любой их нетривиальной линейной комбинации.

Если одна из скобок Пуассона является невырожденной, то вместо пары, состоящей из двух скобок Пуассона (, ), можно рассмотреть пару, состоящую из скобки Пуассона и поля эндоморфизмов = 1, связывающего эти две скобки. Этот оператор называется оператором рекурсии. Известно, как можно описать согласованность двух скобок в терминах оператора (см., например, [3]).

Определение 14. Тензор Нийенхейса поля эндоморфизмов задаётся формулой для любых векторных полей и.

Утверждение 5. Пусть скобка Пуассона на многообразии невырождена. Тогда другая скобка Пуассона на согласована со скобкой тогда и только тогда, когда равен нулю тензор Нийенхейса поля эндоморфизмов = 1.

Глава Классификация лагранжевых расслоений 2.1 Основные результаты главы Лагранжево расслоение — это локально тривиальное расслоение ( 2, ) /, тотальное пространство ( 2, ) которого является симплектическим многообразием, и все слои которого являются лагранжевыми подмногообразиями этого симплектического многообразия.

В этом разделе описана классификация всех лагранжевых расслоений с компактными и связными слоями над двумерными поверхностями с точностью до послойного симплектоморфизма, тождественного на базе (т.е. с точностью до лагранжевой эквивалентности).

Ранее Х. Дюистермаатом в работе [40] были введены инварианты, полностью определяющие лагранжевы расслоения –– решетка на базе лагранжева расслоения и лагранжев класс Черна. Эти инварианты достаточно сложны для вычисления, тем не менее К. Н. Мишачёву, используя результаты, полученные Дюистермаатом, в работе [49] удалось классифицировать все лагранжевы расслоения над ориентируемыми двумерными поверхностями.

При этом Мишачёв показал, что среди двумерных поверхностей только двумерный тор и бутылка Клейна могут быть базой лагранжева расслоения.

В главе 2 диссертации классифицированы все лагранжевы расслоения над бутылкой Клейна (см. теоремы 13 и 14), и тем самым полностью решена задача классификации лагранжевых расслоений над двумерными поверхностями.

При этом мы используем несколько другой набор инвариантов, чем тот, что был использован в работе Мишачёва [49]. А именно, показано, что лагранжево расслоение определяется с точностью до лагранжевой эквивалентности и поднятия 2-формы с базы своей решеткой на базе и первым препятствием к построению сечения (см. теорему 9 и замечание 2). Тем не менее, не все решетки и препятствия к построению сечения могут быть реализованы лагранжевыми расслоениями (см. пример 7). Поэтому в этой работе введён более широкий класс почти лагранжевых расслоений. Показано, что так же, как и лагранжевы расслоения, почти лагранжевы расслоения определяются этими двумя инвариантами с точностью до лагранжевой эквивалентности и поднятия 2-формы с базы (см. теорему 9); установлено, когда поднятие 2-формы с базы не меняет почти лагранжево расслоение (см.

теорему 10) и доказано, что любые решетка и препятствия к построению сечения могут быть реализованы некоторым почти лагранжевым расслоением (см. теорему 11).

Результаты этой главы опубликованы в работе [62].

Сформулируем теперь основные полученные результаты. Прежде всего дадим определение почти лагранжевых расслоений. Они отличаются от лагранжевых тем, что форма на тотальном пространстве не обязательно замкнута.

Определение 15. Локально тривиальное расслоение ( 2, ) мы будем называть почти лагранжевым расслоением, если на тотальном пространстве 2 задана 2-форма, удовлетворяющая следующим трем условиям:

1. Форма невырождена.

2. Ограничение формы на каждый слой тождественно равно нулю:

3. = для некоторой 3-формы на базе.

Почти лагранжево расслоение является лагранжевым тогда и только тогда, когда = 0.

Пример 5. Важный способ получения новых почти лагранжевых расслоений — поднятие 2-формы с базы. Для любого почти лагранжева расслоения ( 2, ) / и для любой 2-формы на базе подкрученное расслоение также является почти лагранжевым. Подкрученное лагранжево расслоение является лагранжевым тогда и только тогда, когда подкручивающая 2-форма замкнута: = 0.

В этой работе мы будем рассматривать (почти) лагранжевы расслоения с точностью до следующего отношения эквивалентности.

Определение 16. Пусть (2, ) / — два почти лагранжевых расслоения над одной и той же базой. Послойный диффеоморфизм (1, 1 ) / (2, 2 ), тождественно действующий на базе и переводящий одну форму в другую ( 2 = 1 ), называется лагранжевой эквивалентностью.

лагранжевой эквивалентностью тогда и только тогда, когда следующая диаграмма коммутативна:

Кратко опишем теперь два инварианта почти лагранжевых расслоений, которые потребуются нам при формулировке основных теорем. Первый инвариант — решетка на базе — был введён для лагранжевых расслоений Х. Дюистермаатом в работе [40].

Определение 17. Решеткой ранга на многообразии мы будем называть подрасслоение кокасательного расслоения такое, что 1. Каждый слой решетки является подгруппой по сложению.

2. Для любой точки существуют такие локальные координаты 1,...,, что решетка порождается (в каждом кокасательном пространстве как подгруппа по сложению) ковекторами 1,...,.

Замечание 1. В работе [40] рассматривались только решетки ранга и они назывались решетками в. В работах [49] и [62] решетками ранга назывались подрасслоения, пересечение которых с каждым слоем кокасательного расслоения является дискретной подгруппой ранга :

Решетки в смысле определения 17 назывались замкнутыми решетками ранга, потому что любое их (локальное) сечение является замкнутой 1-формой.

Тем не менее, все рассматриваемые в этой работе (а также в работах [49] и [62]) решетки являются замкнутыми, поэтому мы будем для краткости называть их просто решетками.

Две решетки на и изоморфны тогда и только тогда, когда существует диффеоморфизм, дифференциал которого переводит одну решетку в другую.

Утверждение 6. Любому (почти) лагранжеву расслоению ( 2, ) / с компактными и связными слоями соответствует решетка ранга на базе.

В разделе 2.2.2 доказано утверждение 6 и описаны основные свойства решеток, которые потребуются в этой работе.

Договоренность 1. В этой работе мы будем рассматривать только те лагранжевы и почти лагранжевы расслоения, для которых выполняются следующие два условия:

1. все слои рассматриваемых расслоений связны, 2. решетка на базе корректна определена.

Оба условия автоматически выполнены, если слои связны и компактны.

Второй инвариант — первое препятствие к построению сечения — является известным инвариантом, используемым в алгебраической топологии. Подробное описание этого инварианта дано в разделе 2.2.3. Для почти лагранжевых расслоений это препятствие — это некоторый класс вторых когомологий с локальными коэффициентами 2 (, {1 ( )}), который равен нулю тогда и только тогда, когда существует сечение над 2-остовом базы.

Существует естественное взаимно-однозначное соответствие между точками решетки и элементами локальных коэффициентов 1 ({ }) (см. замечание 4). Поэтому мы обозначаем группу первых препятствий к построению сечений через 2 (, ), а не через 2 (, {1 ( )}).

Теорема 9. Для любых двух почти лагранжевых расслоений (2, ) ( = 1, 2) с одинаковыми соответствующими решетками и препятствиями к построению сечения 2 (, ) существует такая 2-форма на базе, что расслоение 1 (1, 1 + 1 ) лагранжево эквивалентно второму расслоению 2 (2, 2 ).

Другими словами, следующая диаграмма коммутативна:

В частности, если препятствие к построению сечения тривиально, то есть, если расслоение допускает сечение, мы получаем следующее важное следствие из теоремы 9.

Следствие 1. Если почти лагранжево расслоение ( 2, ) / с во эквивалентно подкрученному факторкокасательному расслоению Для лагранжевых расслоений утверждение аналогичное теореме 9 в терминах теории пучков доказано Х. Дюистермаатом [40] (см. также краткое описание этих результатов в разделе 2.6).

Теорема 10. Два почти лагранжевых расслоения ( 2, + ) ( = 1, 2) с соответствующей решеткой лагранжево эквивалентны тогда и только тогда, когда 1 2 = для некоторого сечения Для лагранжевых расслоений это утверждение было доказано К. Н. Мишачёвым в работе [49].

Доказательство теорем 9 и 10 см. в разделе 2.3.3.

формой на многообразии. Подгруппу 2 (, R), порожденную дифференциалами решетчатых 1-форм, мы будем обозначать через (). Элементы факторгруппы 2 (, R) () мы будем называть нетривиальными подкручиваниями.

Замечание 2. Теоремы 9 и 10 верны как для почти лагранжевых, так и лагранжевых расслоений. Формулировки соответствующих теорем для лагранжевых расслоений дословно такие же, нужно просто заменить слова “почти лагранжевы” на “лагранжевы”.

Теорема 11. Любые решетка и препятствие 2 (, ) могут быть реализованы некоторым почти лагранжевым расслоением Доказательство теоремы 11 см. в разделе 2.3.4.

Однако существует естественное препятствие, которое мешает реализовать решетки и препятствия к построению сечения при помощи лагранжевых расслоений.

Определение 19. Пусть ( 2, ) / — почти лагранжево расслоение такое, что =. Класс ( 3 (, R) мы будем называть препятствием к построению симплектической структуры.

Следующее утверждение немедленно следует из теоремы 9.

Лемма 3. У любых двух почти лагранжевых расслоений, реализующих одни и те же решетку и препятствие 2 (, ) препятствия к построению симплектической структуры ( 3 (, R) совпадают. Решетку и препятствие к построению сечения можно реализовать лагранжевым расслоением тогда и только тогда, когда соответствующее препятствие к построению симплектической структуры тривиально ( = 0.

Пример 7 (см. раздел 2.5) доказывает, что препятствие ( 3 (, R) не всегда тривиально.

В двумерном случае лагранжевы и почти лагранжевы расслоения суть одно и тоже. Следующее утверждение является частным случаем теоремы 11.

Следствие 2. Для любой решетки на двумерной поверхности 2 и для любого препятствия 2 ( 2, ) существует лагранжево расслоение ( 4, ) 2 с решеткой и первым препятствием.

Поэтому для классификации всех лагранжевых расслоений с компактными тотальными пространствами над двумерными поверхностями нам остатся сделать следующее:

1. Классифицировать все решетки ранга 2 на двумерных поверхностях 2. Для каждой решетки на двумерной поверхности 2 найти нетривиальные подкручивания 2 (, R) () и вычислить пространство препятствий к построению сечений 2 (, ).

Лемма 4 (К. Н. Мишачёв, [49]). Среди замкнутых двумерных поверхностей только тор T2 и бутылка Клейна K2 могут быть базой лагранжева расслоения ( 4, ) / 2 с компактным тотальным пространством ( 4, ).

Лагранжевы расслоения над тором T2 были классифицированы Мишачёвым в [49] (см. также теоремы 12 и 14). В этой работе разобран случай 2 = K2. Вначале мы классифицируем все решетки ранга 2 на бутылке Клейна K2 (см. теорему 13). Затем мы вычисляем все остальные инварианты (см. теорему 14).

Замечание 3. Лагранжевы расслоения над бутылкой Клейна были независимо (и практически одновременно) классифицированы Д. Сепе (см. [54]).

Ответы совпали.

В этом разделе через (, ) мы будем обозначать аффинное преобразование +.

Теорема 12 (К. Н. Мишачёв, [49]). 1. Любая решетка (ранга 2) на торе T2 изоморфна одной из следующих решеток.

Серия T2. Тор (T2, ) снова является фактором плоскости R2. Теперь образы порождающих фундаментальной группы, 2. Решетки из разных серий попарно неизоморфны.

3. Две решетки T2 1,1 ;1,1 и T2 2,2 ;2,2 изоморфны тогда и только тогда, когда существуют такие матрицы, GL(2, Z), что 2 22 = 4. Решетки из серии T В разделе 2.4.3 этой работе классифицированы все решетки на бутылке Клейна K2.

Напомним, что фундаментальная группа бутылки Клейна K2 — это группа с двумя порождающими, и одним соотношением 1 = :

Это несложно доказать, внимательно посмотрев на фундаментальный четырёхугольник бутылки Клейна (см. рис. 2.1).

Теорема 13. 1. Любая решетка (ранга 2) на бутылке Клейна K2 изоморфна одной из следующих решеток.

морфна фактору плоскости R2 по действию группы 1 (K2 ). Образы порождающих фундаментальной группы, 1 (K2 ) суть Порождающие удовлетворяют единственному соотношению 1 = 2. Описанные решетки на бутылке Клейна попарно неизоморфны.

Следующая теорема доказана в разделе 2.4.4 (в случае тора утверждения этой теоремы доказаны К. Н. Мишачёвым в работе [49]).

Теорема 14. Пусть — решетка ранга 2 на двумерной поверхности 2.

Тогда 2 (T2, ) изоморфно Z Z. Группа (T2 ) является подгруппой 2 (T2, R) R, порождённой числами,,,.

изоморфно ZZ. Группа (T2 ) является подгруппой 2 (T2, R) R, порождённой числами и.

пятствий 2 (K2, ) изоморфно Z2 Z (где Z0 формально полагается равным Z). Группа (K2 ) тривиальна.

ствий 2 (K2, ) изоморфно Z4 (где Z0 = Z). Группа (K2 ) тривиальна.

Информация об инвариантах тора и бутылки Клейна собрана воедино в таблице 2.1.

В частности, было доказано следующее утверждение.

Следствие 3. Для решетки из серии K,;,, где > 0, существует ровно 2 лагранжевых расслоений ( 4, ) K2 с решеткой. Для решетки из серии K0,;, число лагранжевых расслоений с решеткой счетно.

Решетка лежит в серии K0,;, тогда и только тогда, когда монодромия соответствующей решетки на торе T2, двулистно накрывающем бутылку Клейна, тривиальна.

2.2 Инварианты лагранжевых расслоений В этом разделе описаны два ключевых инварианта почти лагранжевых расслоений, которые используются в этой работе — в разделе 2.2.2 дано определение решетки на базе почти лагранжева расслоения, а в разделе 2.2.3 — первого препятствия к построению сечения. Кроме того, в разделе 2.2.1 мы опишем ещё одно важное понятие, связанное с (почти) лагранжевыми расслоениями — пуассоново действие (естественное послойное действие кокасательного расслоения к базе на тотальном пространстве почти лагранжева расслоения). Все основные теоремы о почти лагранжевых расслоениях удается доказать именно благодаря наличию этого действия.

2.2.1 Пуассоново действие Любому ковектору на базе (почти) лагранжева расслоения ( 2, ) / соответствует векторное поле на слое = 1 (), а именно векторное поле двойственное к 1-форме относительно 2-формы. Это векторное поле задается формулой для любого вектора в точке.

Утверждение 7. Рассмотрим произвольное почти лагранжево расслоение 2. Векторные поля коммутируют между собой.

чение формы на каждый слой равно нулю.

Отображение / изоморфно отображает на ( ), так как размерности этих пространств совпадают, и у отображения / нет ядра. Векторные поля не имеют нулей, т.е. () 0, так как форма невырождена.

2. Вначале докажем утверждение для случая, когда расслоение лагранжево, то есть когда = 0. Векторные поля и коммутируют, так Здесь через обозначено векторное поле 1. Первое равенство следует из тождества для коммутатора гамильтоновых векторных полей (см. тождество (1.1.2)). Последнее равенство выполнено, так как слой лагранжев. Утверждение для лагранжевых расслоений доказано.

Докажем теперь утверждение в общем случае, когда =. Тогда = 0, так как 2 = 0, а следовательно, локально = для некоторой 2-формы на базе. Но векторные поля не меняются при поднятии 2-формы с базы. Следовательно, они коммутируют.

Если все векторные поля полны, то корректно определено естественное послойное действие кокасательного расслоения на тотальном пространстве ( 2, ) почти лагранжева расслоения. Действие ковектора — это сдвиг за единичное время вдоль векторного поля.

Определение 20. Это послойное действие на ( 2, ) мы будем называть пуассоновым действием.

Отметим, что все векторные поля заведомо полны, если тотальное пространство ( 2, ) компактно.

Утверждение 8. Пусть — это 1-форма на базе почти лагранжева расслоения ( 2, ) /. Обозначим через сдвиг за единичное время вдоль поля = 1 ( ). Тогда если сдвиг корректно определен.

Доказательство. Производная Ли формы вдоль векторного поля по формуле Картана равна Первое слагаемое равно нулю, так как =, а ( ) = 0. Второе же равно ( ) по построению.

Пуассоново действие позволяет построить локальные координаты действие-угол в окрестности любой точки лагранжева расслоения и тем самым доказать, что лагранжево расслоение локально лагранжево эквивалентно кокасательному расслоению. Докажем сразу более общее утверждение о том, что почти лагранжевы расслоения локально лагранжево эквивалентны подкрученному кокасательному расслоению.

Утверждение 9. В окрестности любой точки ( 2, ) почти лагранжева расслоения ( 2, ) / существуют такие локальные координаты 1,...,, 1,..., что 1. координаты постоянны на слоях, 2. матрица формы имеет вид где — это единичная ( )-матрица, а — матрица, зависящая Доказательство. Возьмём локальные координаты 1,..., на базе и поднимем их до локальных координат в окрестности точки.

Фиксируем произвольное (локальное) сечение. В качестве возьмём время сдвига точек сечения вдоль векторных полей.

В построенных координатах (, ) матрица формы имеет вид 0, так как = по построению.

Остаётся лишь заметить, что матрица не зависит от координат, так Следствие 4. В окрестности любой точки ( 2, ) тотального пространства лагранжева расслоения ( 2, ) / существуют локальные координаты 1,...,, 1,... такие, что 1. координаты постоянны вдоль слоёв лагранжева расслоения, 2. симплектическая структура имеет вид =.

Доказательство. Так как = 0, сечение в доказательстве утверждения может быть выбрано лагранжевым (в некоторой окрестности точки ).

2.2.2 Решетка в кокасательном расслоении Первый инвариант (почти) лагранжева расслоения ( 2, ) / — это решетка на базе расслоения. Эта решетка — ядро изотропии пуассонова действия на ( 2, ), то есть решетка состоит из всех ковекторов, тождественно действующих на соответствующем слое.

Утверждение 10. Рассмотрим почти лагранжево расслоение ( 2, ) /, для которого пуассоново действие корректно определено (все векторные поля полны). Группа изотропии пуассонова действия (т.е. множество ковекторов, которые задают тождественное действие на соответствующем слое) является решеткой в кокасательном расслоении.

При доказательстве утверждения 10 мы воспользуемся следующим очевидным утверждением.

Утверждение 11. Подмногообразие является решеткой ранга на многообразии тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. подмногообразие трансверсально пересекает каждый слой по дискретной подгруппе ранга :

2. любое локальное сечение является замкнутой 1-формой.

Доказательство утверждения 10. Действие является транзитивным в каждом слое, так как векторные поля порождают все касательное пространство ( ) в каждой точке. Поэтому слой диффеоморфен фактору группы R по стабилизатору произвольной точки.

(Стабилизатор не зависит от точки, так как группа R абелева, а действие транзитивно.) Слой является -мерным многообразием, поэтому стабилизатор должен быть дискретной подгруппой в.

При помощи теоремы о неявной функции несложно показать, что стабилизаторы гладко зависят от точки. Поэтому множество ковекторов, тождественно действующих на соответствующем слое, действительно является решеткой в кокасательном расслоении.

Любое (локальное) сечение решетки замкнуто, так как = + (), а сдвиг вдоль сечения решетки переводит (почти) лагранжево расслоение в себя.

Следствие 5. Если слой (почти) лагранжева расслоения компактен, то он диффеоморфен тору T. Более общо, если все векторные поля полны, то слой расслоения диффеоморфен R T.

В этой работе мы часто будем использовать следующее несложное утверждение.

Утверждение 12. Пусть — это решетка на многообразии. Тогда 1. Факторкокасательное расслоение 0 (, 0 ) является корректно определенным лагранжевым расслоением. Симплектическая структура 0 индуцируется канонической 2-формой на кокасательном расслоении.

2. Для любого сечения / дифференциал является корректно определенной 2-формой на (дифференциал не зависит от выбора локального представителя формы ).

2.2.3 Препятствие к построению сечения Напомним вкратце понятие препятствия к построению сечения. Подробнее о теории препятствий можно прочитать в [33] или в [26].

Рассмотрим клеточное пространство. В этом разделе через обозначена -я -мерная клетка пространства, а соответствующее характеристическое отображение обозначено через /.

Пусть — это локально тривиальное расслоение над клеточным комплексом с гомотопически -простым слоем (здесь гомотопическая -простота означает, что гомотопические группы (, 0 ) канонически изоморфны для разных точек 0 ).

Пусть над -остовом задано сечение. Тогда каждой клетке +1 соответствует элемент ( ) гомотопической группы слоя над этой клеткой. Действительно, индуцированное расслоение (+1 ) + над каждой клеткой +1 тривиально (локально тривиальное расслоение над диском тривиально), поэтому для каждой (+1)-мерной клетки отображение порождает отображение +1.

Говорят, что на многообразии задана система локальных коэффициентов, если каждой точке сопоставлена группа, и каждому пути из в, рассматриваемому с точностью до гомотопии с фиксированными концами, соответствует гомоморфизм. Композиции путей, там где эта операция определена, при этом должна соответствовать композиция гомоморфизмов.

Если слой гомотопически -прост, то обозначим через { ( )} локальные коэффициенты, соответствующие -й гомотопической группе слоя. Так как клетки односвязны (и даже стягиваемы), то группы ( ) над каждой клеткой могут быть канонически отождествлены. Следовательно, набор задает ( + 1)-мерную клеточную коцепь +1 (, { ( )}), называемую препятствующей коцепью.

Каждая препятствующая коцепь — коцикл. Класс ( +1 (, { ( )}) называется препятствием к распространению сечения на ( + 1)-остов.

Отметим, что прибавление любой кограницы может быть реализовано сменой сечения на -остове без изменения его на ( 1)-остове. А именно, верно следующее утверждение.

Утверждение 13. Пусть заданы локально тривиальное расслоение, и сечение, которому соответствует препятствующая коцепь +1 (, { ( )}). Тогда для любой коцепи когомологичной препятствующей коцепи (т. е. =, где (, { ( )})) существует такое сечение, совпадающее с на ( 1)-остове 1, что является препятствующей коцепью для сечения. решеткой.

Замечание 4. Как множество, решетка находится в естественном взаимно-однозначном соответствии с локальными коэффициентами {1 ( )}. В разделе 2.2.1 показано, что каждый слой кокасательного расслоения R транзитивно действует на соответствующем слое (почти) лагранжева расслоения. Поэтому группа изотропии этого действия находится в естественном взаимно-однозначном соответствии с фундаментальной группой 1 ( ). Поэтому группу первых препятствий к построению сечений 2 (, {1 ( )}) мы обозначаем через 2 (, ).

В частности, если (2, ) / ( = 1, 2) — два почти лагранжевых расслоения с решеткой, то их препятствия лежат в одной и той же группе 2 (, ), а следовательно их можно сравнивать.

Замечание 5. Отметим, что слой рассматриваемых (почти) лагранжевых расслоений диффеоморфен R T, а следовательно, он гомотопически -прост для любого.

2.3 Доказательство теорем классификации В этом разделе доказаны теоремы 9, 10 и 11, которые описывают классифицирующие инварианты для почти лагранжевых расслоений. Ключевым фактом при доказательстве этих теорем становится наличие пуассонова действия — послойного действия кокасательного расслоения к базе на тотальном пространстве (почти) лагранжева расслоения. Чтобы подчеркнуть это, мы вначале в разделе 2.3.1 формализуем понятие расслоения с послойным действием на нём другого расслоения, а затем в разделе 2.3.2 покажем, что пуассоново действие определяет почти лагранжево расслоение с точностью до поднятия 2-формы с базы. После этого в разделах 2.3.3 мы докажем теоремы 9 и 10, а затем в разделе 2.3.4 — теорему 11.

2.3.1 Аффинные расслоения Пусть — решетка на многообразии. Мы будем говорить, что расслоение послойно действует на расслоении /, если каждый слой действует на соответствующем слое = 1 () расслоения (Естественно, действие должно гладко зависеть от точки ).

Определение 21. Локально тривиальное расслоение / мы будем называть аффинным расслоение с присоединенным расслоением, если на / задано послойное действие, которое является свободным и транзитивным в каждом слое.

Действие элемента на точке будем обозначать через Пример 6. Для любого почти лагранжева расслоения с решеткой пуассоново действие задает на тотальном пространстве структуру аффинного расслоения с присоединенным расслоением.

Линейное аффинное пространство с фиксированной точкой канонически эквивалентно присоединенному векторному пространству. Для аффинных расслоений ситуация аналогична.

Утверждение 14. Любое аффинное расслоение / канонически эквивалентно своему присоединенному расслоению. Точке при этом соответствует точка ().

2.3.2 Эквивалентность аффинных и почти лагранжевых Покажем, что пуассоново действие определяет почти лагранжево расслоение однозначно с точностью до поднятия 2-формы с базы.

Теорема 15. Любое аффинное расслоение с присоединенным расслоением может быть реализовано некоторым почти лагранжевым расслоением ( 2, ) с решеткой.

Доказательство. Рассмотрим покрытие { } базы, над каждым элеКаждое расслоение ментом которого существует сечение 1 ( ) / канонически эквивалентно факторкокасательному расслоению. Обозначим через 2-форму на 1 ( ), индуцированную канонической 2-формой на. Рассмотрим разбиение единицы, согласованное с покрытием { }, и положим =.

Расслоение (, ) / является почти лагранжевым расслоением с решеткой, для которого пуассоново действие совпадает с исходным действием присоединенного расслоения. Явно проверим это в координатах. Для любой точки в координатах (, ), где координаты 1,..., постоянны на слоях, а координаты 1,...,, соответствуют ковекторам, матрица формы имеет вид 0, где — некоторая ( )-матрица, зависящая только от 1,...,. Значит, в этих координатах Теорема 16. Два почти лагранжевых расслоения лагранжево эквивалентны с точностью до подкручивания тогда и только тогда, когда им соответствуют эквивалентные аффинные расслоения.

Доказательство. () Подкручивание не меняет структуру аффинного расслоения (поля = 1 ( ) одни и те же для обоих расслоений).

() Пусть ( 2, ) ( = 1, 2) — два почти лагранжевых расслоения, которым соответствует одно и то же аффинное расслоение. Покажем, что 1 2 =. Индуцируем эту форму при помощи (локальных) сечений. Из утверждения 8 следует, что формы 1 и 2 одинаково изменятся при переходе к другому сечению, поэтому форма корректно определена.

2.3.3 Доказательство теорем 9 и Доказательство теоремы 10. Теорема легко следует из доказанных ранее утверждений, а именно из теоремы 16 и утверждения 8. Достаточно заметить, что послойный автоморфизм почти лагранжева расслоения ( 2, ), сохраняющий пуассоново действие — это сдвиг на решетчатую 1-форму /.

Докажем теперь теорему 9. Для этого удобно “забыть” о симплектической структуре, оставив только пуассоново действие — перейдём от почти лагранжевых расслоений к аффинным (см. раздел 2.3.2).

Фиксируем клеточное разбиение пространства. Так же, как и в разделе 2.2.3, через мы будем обозначать -ю -мерную клетку пространства, / обозначено соответствующее характеристическое отоба через ражение. Для любого расслоения / через / обозначено индуцированное расслоение над -остовом.

Теорема 17. Два аффинных расслоения ( = 1, 2) с присоединенным расслоением 0, где — решетка на, эквивалентны тогда и только тогда, когда им соответствует одно и то же первое препятствие к построению сечения 1 = 2 2 (, ).

Доказательство. В одну сторону очевидно — у эквивалентных расслоений препятствия совпадают. В другую сторону — пусть у расслоений препятствия совпадают. Построим эквивалентность расслоений поостовно, а для каждого остова — поклеточно.

Пусть над ( 1)-остовом 1 уже построена эквивалентность:

Построим эквивалентность над -клеткой. Аффинное расслоение с фиксированным сечением канонически эквивалентно соответствующему присоединенному (см. утверждение 14). Поэтому для построения эквивалентности над клеткой достаточно задать два сечения ( ) ( = 1, 2) так, чтобы эквивалентность, переводящая их друг в друга, совпала с эквивалентностью 1 на ( 1)-остовах.

Таким образом, для построения эквивалентности над клеткой доста- ющее ему относительно 1 сечение ( ) 2 будет стягиваемым (сечение над границей клетки будем называть стягиваемым, если оно продолжается на всю клетку над клетками друг в друга.

Рассмотрим три случая.

Случай = 1. Над 1-остовом у обоих аффинных расслоений существуют сечения 1 1 1. Более того, используя утверждение 13, эти 1 можно выбрать так, чтобы их препятствующие коцепи совпали.

сечения Случай = 2. Пусть эквивалентность 1 над 1-остовом определяется сечениями 1 1 ( = 1, 2) над 1-остовом 1 такими, что их препятствующие коцепи совпадают. Покажем, что тогда эквивалентность 1 может быть продолжена на 2-остов.

Рассмотрим произвольную 2-клетку 2. Выберем произвольное сечение 2 (2 ) над этой клеткой 2. Требуется доказать, что сечение 1 (2 ), соответствующее сечению 2 1 (1 ) 1 относительно эквивалентности 1, будет стягиваемым. Отождествим аффинные расслоения (2 ) 2 с соответствующими присоединенными расслоеБез ограничения общности можно считать, что ниями ( сечение 1 2 1 переходит в нулевое сечение.

( = 1, 2) соответствующие сечения расслоений ( над 2. Эти сечения задают один и тот же элемент группы 1 ((2 ) ( ))(этим сечениям соответствуют равные препятствия). Поэтому разности 2 1 соответствует нулевой элемент группы 1 ((2 ) ( )).

То есть сечение 2 1 будет стягиваемым. Поэтому сечение 2 стягиваемо, что и требовалось доказать.

Случай > 2. Для локально тривиальных расслоений ( ) ствительно, препятствие к продолжению этого сечения лежит в группе 1 ( ) = 1 (T R ), которая тривиальна при > 2.

2.3.4 Реализация инвариантов Докажем теперь теорему 11. Для этого достаточно доказать, что аффинными расслоениями могут быть реализованы все возможные препятствия (см.

раздел 2.3.2).

Теорема 18. Пусть — решетка на многообразии. Для любого класса 2 (, ) существует аффинное расслоение с присоединенным расслоением и препятствием к построению сечения.

Доказательство. Возьмём произвольный представитель. Явно построим расслоение, реализующее препятствующую коцепь 2 (, ). Строить расслоение будем поостовно, а для одного остова поклеточно.

Заметим, что устройство расслоения над каждой клеткой определено однозначно. А именно, пусть — некоторое аффинное расслоение с присоединенным расслоением. Тогда индуцированное расслоение ( ) для каждой клетки тривиально (локально тривиальное расслоение над диском тривиально). Любое тривиальное расслоение над диском допускает сечение. Поэтому индуцированное расслоение ( ) эквивалентно ( Пусть уже построено аффинное расслоение 1 1 1 с присоединенным расслоением ( )1. Остаётся лишь показать, как “приклеить” клетку с заданным на ней расслоением ( ) ( ) к расслоеДля этого достаточно задать сечение над границей рассматриваемой клетки Рассмотрим четыре случая.

Случай = 1. Сечение над 1 существует, так как слои связны.

Случай = 2. Требуется построить расслоение над 2-остовом 2 с препятствующей коцепью. Выберем на границе каждой двумерной клетки 2 по точке. Коцепь 2 (, ) сопоставляет каждой точке элемент решетки.

Нужно найти сечение которое задает над клеткой 2 элемент.

Заметим, что расслоение 1 1 1 эквивалентно ( )1, так как аффинное расслоение 1 1 1 допускает сечение 1 1 1. Расслоение ( )1 можно представить как фактор ( )1 по 1.

дествленными концами (соответствующими точке 2 ). Обозначим через ( ) расслоение, индуцированное над отрезком кокасательным расслоением. Расслоение ( ) тривиально, поэтому существует сечение ( ) такое, что (1 ) = 0 и (2 ) = (значения над концами отрезка отличаются на ). Сечение ( ) индуцирует искомое сечение 1 ( )1.

Случай = 3. Покажем, что расслоение 2 2 2 может быть продолжено с 2 на клетку 3 (т. е. что у расслоения (3 3 ) 2 2 существует сечение). Нужно воспользоваться тем, что препятствующая коцепь является коциклом.

Случай, когда образ сферы 3 (3 ) не пересекается с 1-остовом 1 тривиален. В этом случае образ 3 (3 ) содержится в какой-то открытой клетке ществует, так как расслоение над диском тривиально). Без ограничения общности можно считать, что на 3 существует такая точка 0, что 3 (0 ) 1.

в точку границей. Другими словами, фиксируем произвольное отображение пар пространств (2, 2 ) (3, 0 ), которое диффеоморфно отображает внутренность диска Int 2 = 2 2 на 3 0. Обозначим через ( 2, 2 ) ( 2, 1 ) соответствующее отображение диска в 2-остов.

Покажем теперь, что любое сечение 1 1 2 продолжается с точки 0 на всю сферу 2. Для этого рассмотрим следующую коммутативную диаграмму:

В этой диаграмме через обозначена препятствующая коцепь, соответствующая сечению 1 ; через 2 — гомоморфизм Гуревича; через 1 — композиция изоморфизма с гомоморфизмом Гуревича Гомоморфизмы 1 и 2 на самом деле являются изоморфизмами, так как в данном случае гомоморфизмы Гуревича являются изоморфизмами. Сечение 1 продолжается с 0 на 3 тогда и только тогда, когда отображение 2 ( 2, 2 ) { ( )} тривиально. Рассмотрим нижнюю строчку диаграммы (2.3.1). Легко видеть, что отображение есть в точности ограничение клеточной коцепи 3 (, Z) {1 ( )} на подпространство По построению = 0, поэтому композиция гомоморфизмов в нижней строчке тривиальна. Но отображение является изоморфизмом, поэтому отображение 2 (2, 2 ) {1 ( )} тривиально. Значит, над сферой существует сечение.

Случай > 3. Для того, чтобы построить сечение над 1, разобьем сферу 1 на два полушария ( = 1, 2). Над каждым из полушарий сечение существует (расслоение над тривиально). Кроме того, над “экватором” 1 2 разность сечений задает элемент гомотопической группы 2 ( ), которая тривиальна ( T R ). Поэтому сечения над полушариями можно склеить воедино, изменив их в малой окрестности “экватора” 1 2.

Теорема 18 полностью доказана. Тем самым доказана и теорема 11.

2.4 Классификация лагранжевых расслоений над двумерными поверхностями В этом разделе доказаны теоремы 13 и 14 о классификации лагранжевых расслоений с компактными тотальными пространствами над бутылкой Клейна с точностью до лагранжевой эквивалентности.

Теорема 13, которая описывает решетки на бутылке Клейна, доказана в разделе 2.4.3. Кроме того, в разделе 2.4.3 классифицированы все полные целочисленные аффинные поверхности. В разделе 2.4.1 показано, что понятие решетки максимального ранга эквивалентно понятию целочисленной аффинной структуры, и что любая целочисленная аффинная структура на замкнутой двумерной поверхности полна. В разделе 2.4.2 описаны свойства фундаментальной группы бутылки Клейна, которые потребуются нам при доказательстве теоремы 13.

Теорема 14, которая описывает остальные инварианты почти лагранжевых расслоений (нетривиальные подкручивания и препятствия к построению сечения), доказана в разделе 2.4.4. В этом разделе используются следующие обозначения:

Через (, ) обозначено аффинное преобразование / +.

Через Aff обозначена группа аффинных преобразований -мерного пространства R.

Через AGL(2, Z) обозначена группа аффинных преобразований (, ) с целочисленной матрицей.

2.4.1 Целочисленные аффинные многообразия Говорят, что на многообразии задана аффинная структура, если существует атлас (, ), у которого все функции склейки 1 являются аффинными преобразованиями. Аффинная структура называется целочисленной, если все функции склейки 1 являются аффинными преобразос целочисленной матрицей (т. е. все функции склейки ваниями 1 лежат в группе GL (Z) R Aff ).

Определение 22. Многообразие с аффинной структурой называется аффинным многообразием. Многообразие с целочисленной аффинной структурой называется целочисленным аффинным многообразием. Аффинный диффеоморфизм называется изоморфизмом.

Любое многообразие может служить базой лагранжева расслоения (кокасательное расслоение является лагранжевым расслоением). Если предположить, что тотальное пространство компактно, то ситуация изменится.

Лемма 5. Многообразие может служить базой лагранжева расслоения ( 2, ) / с компактным тотальным пространством ( 2, ) тогда и только тогда, когда является целочисленным аффинным многообразием.

Причина проста: целочисленная аффинная структура и решетка (максимального ранга) — это одно и то же.

Утверждение 15. Существует естественное взаимно-однозначное соответствие между целочисленными аффинными структурами и решетками (максимального ранга).

Доказательство. Решетка порождается дифференциалами локальных целочисленных аффинных координат.

В [48] Дж. Милнор получил результат, который может быть переформулирован следующим образом.

Теорема 19. Среди компактных ориентируемых двумерных поверхностей только на торе T2 существует аффинная структура.

Следствие 6. Компактное целочисленное аффинное многообразие — это либо тор T2, либо бутылка Клейна K2.

Аффинную структуру на многообразии можно естественным образом индуцировать на произвольное накрывающее пространство. Если аффинное многообразие односвязно, то его можно изоморфно погрузить в аффинное пространство R — достаточно изоморфно отобразить окрестность произвольной точки в окрестность произвольной точки R, а затем продолжить отображение вдоль путей. Локальный изоморR между односвязным аффинным многообразием и аффинным пространством R называется отображением развертки. Отображение развертки определено однозначно с точностью до аффинного преобразования пространства R.

Определение 23. Аффинное многообразие называется полным, если его тотальное пространство изоморфно R.

Из [42] несложно вывести следующее утверждение.

Лемма 6. Любая целочисленная аффинная структура на торе T полна.

Следствие 7. Любая целочисленная аффинная структура на компактной двумерной поверхности полна.

Доказательство. Целочисленная аффинная поверхность — это либо тор T2, либо бутылка Клейна K2. Бутылка Клейна двулистно накрывается тором.

2.4.2 Фундаментальная группа бутылки Клейна В разделе 2.4 используется ряд простых утверждений про фундаментальную группу бутылки Клейна.

Утверждение 16. Фундаментальная группа 1 (K2 ) — это группа с двумя порождающими, и одним соотношением Доказательство. Напомним, что для любого клеточного комплекса с одной 0-мерной клеткой 1-мерные клетки задают порождающие элементы фундаментальной группы, а 2-мерные клетки – связывающие их соотношения (см., например, [22]). Бутылка Клейна может быть реализована как четырёхугольник со сторонами, склеенными как на рисунке 2.1.

Определение 24. Порождающие, 1 ( 2 ), связанные единственным соотношением (2.4.1) мы будем называть стандартными порождающими.

Утверждение 17. Пусть, — стандартные порождающие 1 (K2 ). Тогда любой элемент 1 (K2 ) единственным образом представляется в виде. Отображение (, ) устанавливает изоморфизм между 1 (K2 ) и полупрямым произведением Z Z со следующей групповой операцией:

Доказательство. Из соотношения (2.4.1) вытекает, что = (1) где, Z. Поэтому отображение (, ) является гомоморфизмом. Остаётся доказать, что у отображения нет ядра, т. е. что.

Достаточно доказать, что, так как в соотношении (2.4.1) суммарная степень равна 0. Сошлемся на следующий факт [13, теорема 4.10]: в группе, порождённой элементами 1,...,, связанными единственным циклически несократимым соотношением, содержащим, каждое нетривиальное соотношение должно содержать. (Слово называется несократимым, если в нем не встречается подряд символов и 1, и называется циклически несократимым, если оно несократимо, и первый и последний символ не являются обратными друг к другу.) Опишем всевозможные пары стандартных порождающих.

Утверждение 18. Пусть, — стандартные порождающие 1 (K2 ). Другая пара элементов 1, 1 1 ( 2 ) является стандартными порождающими 1 (K2 ) тогда и только тогда, когда 1 = 1, 1 = 2, где Доказательство. () Несложно проверить, что 1 1 1 1 =, и что пара 1, 1 порождает всю группу 1 (K2 ) (элементы и выражаются через и 1 ).

() Пусть 1 = (1, 1 ), 1 = (2, 2 ). Из соотношения (2.4.1) следует, что 1 = 0. Наконец, 1 = ±1 и 2 = ±1, так как любой элемент должен представляться в виде 1.

Выясним теперь, какие элементы 1 (K2 ) сохраняют ориентацию.

Утверждение 19. Если, — стандартные порождающие 1 (K2 ), то элемент не сохраняет ориентацию, а элемент сохраняет.

Доказательство. Заметим, что при склейке сторон четырёхугольника, как на рисунке 2.1, элемент 1 (K2 ) не сохраняет ориентацию, а сохраняет.

Утверждение 19 теперь легко следует из утверждения 18.

2.4.3 Полные целочисленные аффинные поверхности В этом разделе классифицированы все полные целочисленные аффинные поверхности с точностью до изоморфизма.

Теорема 20. Любая полная целочисленная аффинная поверхность диффеоморфна одной из следующих: плоскость R2, цилиндр T1 R1, лист Мёбиуса M2, тор T2 и бутылка Клейна K2.

Теорему 20 несложно вывести из теоремы 19, однако для полноты изложения мы приведем независимое доказательство этого факта.

Целочисленные аффинные структуры на торе T2 и бутылке Клейна K описаны соответственно в теоремах 12 и 13. Полные целочисленные аффинные структуры на остальных поверхностях описаны в следующей теореме (каждая полная целочисленная аффинная поверхность 2 представлена как фактор плоскости R2 по действию фундаментальной группы 1 ( 2 ).) Теорема 21. 1. Существует только одна полная целочисленная аффинная плоскость R2 (это плоскость с естественной аффинной структурой).

2. Любой полный целочисленный аффинный цилиндр T1 R1 изоморфен одному из следующих:

Серия,. Образ порождающей фундаментальной группы 1 (T Серия,. Образ порождающей фундаментальной группы 1 (T Две аффинные структуры 1,1 и 2,2 изоморфны тогда и только тогда, когда существует матрица GL(2, Z) такая, что 2 = Остальные целочисленные аффинные цилиндры попарно неизоморфны.

3. Любой полный целочисленный аффинный лист Мёбиуса M2 изоморфен одному из следующих:

Серия M2. Образ порождающей фундаментальной группы Все эти листы Мёбиусы попарно неизоморфны.

Результаты собрано воедино в таблице 2.2.

Замечание 6. Для неориентируемых поверхностей 2 = 2, т. е. элементы в трех правых столбцах порождают ориентируемое двулистное накрытие поверхности.

Таблица 2.2: Полные целочисленный аффинные поверхности Оставшаяся часть раздела 2.4.3 посвящена доказательству теорем 12, 13, 20 и 21.

Схема доказательства теоремы 20. Любое полное целочисленное аффинное многообразие — это фактор R по действию фундаментальной группы 1 ( ). Действие 1 ( ) свободно, и каждый элемент действует как аффинное преобразование (, ) с целочисленной матрицей.

Так как действие свободно, у любого элемента 1 ( ) существует собственный вектор с собственным значением 1. Несложно показать, что в размерности = 2 у всех элементов 1 ( ) есть общий собственный вектор с собственным значением 1. Дальше задача решается простым перебором.

Вспомогательные утверждения. В этом разделе мы часто будем использовать следующие простые утверждения.

Утверждение 20. Подгруппа Aff GL (R) R действует свободно на R тогда и только тогда, когда для любого элемента (, ) уравнение ( ) = не имеет решений.

Доказательство. Утверждение равносильно тому, что + для любых Следствие 8. Если группа Aff действует свободно, то линейные части всех элементов (, ) имеют собственное значение 1.

Также нам понадобится следующее утверждение.

Предложение 1. Любой -мерный вектор = (1,..., ) с целочисленными координатами взаимно-простыми в совокупности (т. е. для которых не существует целого числа отличного от ±1, делящего все координаты вектора) можно включить в целочисленный базис.

Доказательство. Доказательство легко проводится индукцией по размерности.

База. = 2. Дан вектор = (1, 2 ) такой, что НОД(1, 2 ) = 1. При помощи алгоритма Евклида можно найти такие, Z, что 1 +2 = Шаг. Пусть Z — наибольшее число делящие первые компонент вектора = (1,..., +1 ). По предположению индукции можно так заменить первые базисных векторов, что в новом базисе = (, 0,..., 0, +1 ). Задача сведена к уже разобранному случаю = 2.