«МЕСТО МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА КАК НАУКИ В ПОДГОТОВКЕ СПЕЦИАЛИСТОВ НА ММФ ТГУ Томск — 2008 УДК 517 Рекомендовано к печати Советом механико-математического факультета ТГУ Декан ММФ В.Н.Берцун МЕСТО МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ...»

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

МЕСТО МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

КАК НАУКИ В ПОДГОТОВКЕ

СПЕЦИАЛИСТОВ НА ММФ ТГУ

Томск — 2008

УДК 517

Рекомендовано к печати

Советом механико-математического факультета ТГУ Декан ММФ В.Н.Берцун

МЕСТО МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

КАК НАУКИ В ПОДГОТОВКЕ

СПЕЦИАЛИСТОВ НА ММФ ТГУ

Одобрено и рекомендовано к печати на заседании кафедры математического анализа, протокол № 10 от 23.05.2008 г.

Заведующий кафедрой И.А. Александров Ответственные за выпуск:

И.А. Александров, С.А. Копанев, Э.Н. Кривякова, Г.В. Сибиряков Для студентов первого курса механико-математического факультета Томского государственного университета.

Книга содержит краткие исторические сведения о преподавании математического анализа в Томске, программу и учебный план курса “Математический анализ”, список литературы и путеводитель по нему, информацию о кафедре математического анализа ТГУ, статьи известнейших математиков и другую полезную информацию.

В обсуждении содержания и подготовке материала книги принимали участие все сотрудники кафедры математического анализа.

Содержание Дорогие первокурсники................................ Дорогие студенты!...................................... О кафедре............................................ Приступающему к изучению математики................... О курсе “Математический анализ”.......................... Программа по математическому анализу..................... Рабочий план курса “Математический анализ”................ Литература............................................. Путеводитель по литературе.............................. Курсовая работа......................................... Г.В. Сибиряков “Аксиоматическая теория вещественного числа”.... П.К. Рашевский “О догмате натурального ряда”.............. О математике........................................... Н. Бурбаки “Архитектура математики”...................... Е. Вигнер “Непостижимая эффективность математики в естественных науках”................................... Приложение 1......................................... Приложение 2........................................... Приложение 3........................................... Приложение 4........................................... Приложение 5........................................... Для заметок............................................ Дорогие первокурсники!

Сотрудники кафедры математического анализа рады приветствовать вас, пришедших на механикоматематический факультет, и поздравить с началом трудного и интересного пути, ведущего в самую замечательную науку – математику!

Книга, которую вы держите в руках, даст вам возможность подробнее познакомиться и с миром математики, и с нашей кафедрой. По замыслу сотрудников кафедры, она может надолго стать вашим помощником в путешествии по лабиринтам математической науки и, прежде всего, по одному из основных ее разделов – математическому анализу.

Она познакомит вас с фундаментальными проблемами, стоящими перед учеными, с оригинальными мнениями о самой математике, поможет ориентироваться в большом количестве математической литературы. В книге вы найдете подробное содержание курса математического анализа, который вам предстоит изучать в течение четырех семестров, и познакомиться с аналогичными программами двух предыдущих потоков. Перечитывая материалы книги, по мере приобретения знаний вы каждый раз будете видеть в ее советах что-то новое, а также находить подсказки по выбору специализации и тем для исследований на старших курсах.

Мы надеемся на вашу заинтересованность в получении знаний, готовность преодолеть все препятствия на этом пути, на ваше трудолюбие и терпение.

Желаем никогда не пожалеть о сделанном выборе, оставаться верными ему всегда.

Каждый из нас приложит все усилия, чтобы помочь вам стать хорошими специалистами, показать вам красоту и строгость математических понятий, теорем, теорий, проникнуться духом лучших представителей математической науки.

Вам продолжать и развивать математическую науку России!

Успехов вам в этом трудном и почетном деле!

И.А. Александров Е.П. Кузнецова Ю.А. Мартынов Т.В. Емельянова Э.Н. Кривякова Г.В. Сибиряков Т.В. Касаткина С.А. Копанев Л.С. Копанева Б.В. Соколов Вы приступаете к изучению курса математического анализа, самого продолжительного и самого объемного курса в вашем учебном плане. Вы выбрали наш факультет, значит, согласны с тем, что мир математики по-настоящему красив. Порой эта красота видна сразу, порой нужны титанические усилия, чтобы увидеть её. Современная математика похожа на дерево с хорошо развитой кроной, опирающейся на мощный ствол. Этот ствол (или, по крайней мере, одна из самых толстых ветвей дерева) и есть математический анализ.

Основные объекты, рассматриваемые в математическом анализе в разных аспектах со всей тщательностью, – ОТОБРАЖЕНИЕ (ФУНКЦИЯ) И ПРЕДЕЛ. В одной популярной книге для школьников функцию называют спящей красавицей. Нам кажется, что правильнее было бы сравнить её с прекрасной принцессой, которой поклоняются интегралы, дифференциалы и многие другие математические объекты, и благодаря которым, она становится всё прекрасней и прекрасней. Как и остальные понятия математики, понятие отображения прошло долгий и сложный путь, складываясь постепенно, совершенствуясь вплоть до сегодняшнего дня одновременно с развитием математики.

Существует много направлений изучения отображения. Почти все они основаны на понятии предельного перехода. Большинство из них со временем выделилось из математического анализа в качестве самостоятельных дисциплин: теория обыкновенных дифференциальных уравнений, теория функций комплексного переменного, функциональный анализ, теория вероятностей, дифференциальная геометрия, вариационное исчисление и другие. Но все эти дисциплины предполагают основательное знание математического анализа, который вам предстоит изучать в течение четырех (!) семестров.

Надеемся, вам небезынтересно узнать, кем и как развивалось преподавание этого курса для студентов нашего факультета. В том или ином виде математический анализ читают в томских вузах более ста лет. Вначале этот курс слушали лишь студенты Технологического института (прародитель Политехнического университета), затем, после открытия в 1917 году в Университете физикоматематического факультета, – студенты университета. Сегодня его слушают студенты всех вузов нашего города.

Первым профессором математики в Сибири был Фёдор Эдуардович Молин (1861–1941), чей портрет смотрит на вас, когда находитесь на кафедре математического анализа. Он не только разработал программы математической подготовки инженеров в открывшемся в 1900 году Технологическом институте, не только читал лекции, но и написал в течение нескольких лет 12 учебников по математическому анализу.

Отметим, что первым учебником по математическому анализу принято считать книгу “Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий”, написанную французским математиком Гийомом Франсуа Антуаном де Лопиталем (1661–1704), вышедшую в 1696 году (имеется русский перевод: Г.Ф. де Лопиталь. Анализ бесконечно малых. – Москва; Ленинград. Гостехиздат, 1935).

С первых шагов математического образования в Томске математический анализ преподавал и выпускник Казанского университета Владимир Леонидович Некрасов (1864–1922), также написавший несколько учебников по математическому анализу. В составе открывшегося в Университете физико-математического факультета были кафедра чистой математики, кафедра теоретической и практической механики, кафедра астрономии и геодезии, а также кафедры физики с физической географией и метеорологией, минералогии с геологией и палеонтологией, ботаники и зоологии со сравнительной анатомией, технологии и технической химии. Для работы на математических кафедрах в первую очередь были приглашены профессора Ф.Э. Молин и В.Л. Некрасов.

В 1921 году среди немногочисленных первых выпускников физикоматематического факультета была Евстолия Николаевна Аравийская (1898–1993). Её оставили при университете для подготовки к преподавательской деятельности. Через два года она начала работать на нашем факультете и проработала пятьдесят пять лет. Е.Н. Аравийская долгие годы читала курс математического анализа, всегда стараясь внести в чтение современные идеи и методы.

государственный университет приехал по окончании аспирантуры выпускник Ленинградского университета Захар Иванович Клементьев предметам. Одним из итогов его многогранной преподавательской и научной деятельности явилось создание учебных пособий по математическому анализу и теории функций действительного переменного. По инициативе благодарных учеников, бывших студентов З.И. Клементьева, в 1995 году Международный Астрономический Совет присвоил одной из новых открытых малых планет имя КЛЕМЕНТЬЕВ.

Но шло время, на факультете вырастали новые и новые поколения ученых, влюбленных в математику, отдающих свою энергию и знания подготовке молодых исследователей. С 1977/78 учебного года и до сегодняшнего дня чтение курса математического анализа осуществляют доценты Г.Г. Пестов, С.А. Копанев, Г.В. Сибиряков.

Все они выпускники нашего факультета, изучавшие математический анализ у З.И. Клементьева и Е.Н. Аравийской. Лекторы работают в тесном контакте со своими помощниками Т.В. Емельяновой, Н.А. Исаевой, Т.В. Касаткиной, Л.С. Копаневой, Э.Н. Кривяковой, Ю.А. Мартыновым, Б.В. Соколовым, ведущими практические занятия, на которых студенты обсуждают определения и теоремы лекционного материала и упражняются в приобретении навыков их применения. Первым в России практические занятия по математическим дисциплинам ввел Ф.Э. Молин. Представители многих вузов России приезжали к томичам, чтобы перенять опыт проведения практических занятий.

В середине прошлого века физико-математический факультет разделился на несколько факультетов. Развивать математическую науку и готовить специалистов в области математики и механики было поручено вновь образованному механико-математическому факультету.

Сотрудники кафедры математического анализа, как и все сотрудники механико-математического факультета, гордятся тем, что работают в классическом университете, на факультете, славном своими традициями. На кафедре немало тех, кто помнит замечательные лекции Е.Н. Аравийской, артистичные лекции З.И. Клементьева и других, использует их опыт в своей работе. Но время неумолимо, а человеческая память несовершенна. Пытаясь передать дух прошлых поколений, их опыт новым поколениям, инициативная группа организовала написание серии брошюр (с биографиями, портретами, краткими характеристиками научных результатов и полными указателями научных трудов) об основоположниках математического образования в Томске. Ниже приведен полный список вышедших брошюр этой серии. При желании на факультете можно подробно познакомиться с содержанием каждой брошюры.

Евстолия Николаевна Аравийская (Биография, указатель трудов) (Томск, 1998).

Исаак Хаимович Беккер (Биография, указатель трудов) (Томск, 1998).

Лев Александрович Вишневский (Биография, указатель трудов) (Томск, 1999).

Захар Иванович Клементьев (Биография, указатель трудов) (Томск, 1997).

Борис Павлович Куфарев (Библиографический сборник) (Томск, 2005).

Павел Парфеньевич Куфарев (Биография, указатель трудов) (Томск, 1997).

Роза Михайловна Малаховская (Биография, указатель трудов) (Томск, 1999).

Федор Эдуардович Молин (Биография, указатель трудов) (Томск, 1998).

Вадим Васильевич Слухаев (Биография, указатель трудов) (Томск, 2001).

Георгий Дмитриевич Суворов (Биография, указатель трудов) (Томск, 1998).

Евгений Дмитриевич Томилов (Биография, указатель трудов) (Томск, 1997).

Василий Васильевич Черников (Биография, указатель трудов) (Томск, 1998).

Роман Николаевич Щербаков (Биография, указатель трудов) (Томск, 1997).

Портреты большинства из этих ученых вы можете увидеть на кафедрах факультета, а портреты Ф.Э. Молина и П.П. Куфарева украшают также портретную галерею профессоров в главном корпусе университета.

Основной курс, который студенты механико-математического факультета изучают два полных учебных года, это курс математического анализа, осуществляемый сотрудниками нашей кафедры. Кафедра также является выпускающей кафедрой, её сотрудники руководят дипломными работами студентов. При кафедре имеется аспирантура, работает лаборатория математического анализа.

Кафедра математического анализа существует в университете с 1938 года. Первоначально кафедра была в составе физико-математического факультета, затем в 1948 году вошла в состав организованного тогда же механико-математического факультета. Как правило, сотрудниками кафедры становятся лучшие выпускники факультета. В частности, все заведующие кафедрой математического анализа являются питомцами университета.

За 70-лет существования кафедры ею заведовали:

с 08.08.1938 г. по 28.08.1940 г. – Евстолия Николаевна Аравийская (выпускница 1921 года), с 28.08.1940 г. по 24.06.1964 г. – Павел Парфеньевич Куфарев (выпускник 1931 года), с 24.06.1964 г. по 01.09.1969 г – Игорь Александрович Александров (выпускник 1954 года), с 01.09.1969 г. по 15.02.1974 г. – Герман Гаврилович Пестов (выпускник 1955 года), с 15.02.1974 г. по 01.05.1975 г. – Вильгельм Генрихович Фаст (выпускник 1959 года), с 01.05.1975 г. по 30.06 1976 г. – Сергей Анатольевич Копанев (выпускник 1964 года), с 30.06.1976 г. по 01.09.1981 г. – Г.Г. Пестов, с 01.09.1981 г. по 31.05.1982 г. – С.А. Копанев, с 01.06.1982 г. по настоящее время – И.А. Александров.

В настоящее время на кафедре математического анализа работают:

заведующий кафедрой, доктор физико-математических наук, членкорреспондент Российской академии образования, п р о ф е с с о р с т а р ш и й п р е п о д а в а т е л ь Татьяна Вениаминовна Емельянова старший преподаватель доцент, кандидат физико-математических наук доцент, кандидат физико-математических наук доцент, кандидат физико-математических наук доцент, кандидат физико-математических наук старший лаборант старший преподаватель Юрий Алексеевич Мартынов профессор, доктор физико-математических наук доцент, кандидат физико-математических наук доцент, кандидат физико-математических наук Все сотрудники кафедры – высокообразованные специалисты с базовым университетским образованием.

Кроме курса математического анализа, давшего название кафедре, сотрудники кафедры осуществляют чтение лекций и проведение практических и семинарских занятий по другим курсам учебного плана специальностей 01.01.00 (математика) и 01.09.00 (механика). В ежегодные постоянные обязанности кафедры входит чтение лекций и ведение практических занятий, прием экзаменов по следующим основным курсам:

Математический анализ (01.01.00, 01.09.00), 1 – 4 семестры, (лекции – 280 часов, практические занятия – 280 часов, самостоятельная работа – 250 часов, общий объем – 810 часов).

Обыкновенные дифференциальные уравнения (01.01.00), 3 – семестры, (лекции – 70 часов, практические занятия – 70 часов, самостоятельная работа – 80 часов, общий объем – 220 часов).

Обыкновенные дифференциальные уравнения (01.09.00), 3 – семестры, (лекции – 70 часов, практические занятия – 70 часов, самостоятельная работа – 80 часов, общий объем – 220 часов).

Теория функций комплексного переменного (01.01.00), 4 – семестры, (лекции – 52 часа, практические занятия – 70 часов, самостоятельная работа – 43 часа, общий объем – 165 часов).

Комплексный анализ (01.09.00), 5 семестр, (лекции – 54 часа, практические занятия – 36 часов, самостоятельная работа – 74 часа, общий объем – 164 часа).

Теория вероятностей (01.01.00), 5 семестр, (лекции – 36 часов, практические занятия – 36 часов, самостоятельная работа – 38 часов, общий объем – 110 часов).

Математическая статистика (01.01.00), 6 семестр, (лекции – 34 часа, практические занятия – 34 часа, самостоятельная работа – 42 часа, общий объем – 110 часов).

Случайные процессы (01.01.00), 8 семестр, (лекции – 34 часа, самостоятельная работа – 20 часов, общий объем – 54 часа).

Теория вероятностей и математическая статистика (01.09.00), 7 семестр, (лекции – 54 часа, практические занятия – 36 часов, самостоятельная работа – 74 часа, общий объем – 164 часа).

Теория случайных процессов (01.09.00), 8 семестр, (лекции – 18 часов, практические занятия – 16 часов, самостоятельная работа – 20 часов, общий объем – 54 часа).

Теория множеств (01.01.00), 2 семестр, (34 часа лекций).

Дополнительные главы современного естествознания (01.01.00), 3 семестр, (36 часов лекций).

Обзорные лекции для студентов пятого курса по программе государственного экзамена по специальностям 01.01.00 и 01.09.00.

Кафедра математического анализа обеспечивает математическую подготовку всех студентов механико-математического факультета, обучающихся по специальностям 01.01.00 (математика), 01.09.00 (механика), и осуществляет специализацию студентов по теории функций комплексного переменного и специализацию “Математика экономического профиля”. В настоящее время на факультете наряду с традиционной подготовкой специалистов ведется подготовка бакалавров в области математики и механики. Кафедра принимает в этом активное участие. В 2008 году по кафедре впервые защищены выпускные квалификационные работы по направлению “бакалавр математики”. Кафедра осуществляет также подготовку аспирантов.

Кроме лекций и практических занятий кафедрой осуществляются другие обязательные формы обучения: УИРС, различные виды практики, курсовые работы, дипломная работа. И здесь многие из студентов вновь встречаются с сотрудниками кафедры математического анализа для совместной работы.

При желании студенты младших курсов могут под руководством сотрудников кафедры заниматься в научных кружках 1) по математическому анализу, 2) по теории вероятностей и математической статистике, 3) по теории функций комплексного переменного, 4) по теории дифференциальных уравнений. Хотя кружки и не являются обязательными, их роль в понимании математики трудно переоценить.

Начиная с шестого семестра, студенты механикоматематического факультета наряду с общими курсами, должны слушать специальные курсы и заниматься исследовательской работой по выбранному научному направлению. Надеемся, что ознакомясь с краткой характеристикой научных школ кафедры математического анализа, вы сможете лучше сориентироваться в выборе направления для специализации.

Теория функций комплексного переменного Интерес к теории функций комплексного переменного зародился в Томске в среде участников научного семинара, организованного в тридцатых годах прошлого века при участии приехавшего в научно-исследовательский институт Прикладной математики и механики при ТГУ профессора С.Б. Бергмана, выпускников ТГУ Е.Н. Аравийской, П.П. Куфарева, а также Б.А. Фукса, А.А. Темлякова и других. Сформировались два направления: теория функций многих комплексных переменных, вариационные методы и экстремальные задачи геометрической теории функций. Первое из них развивалось в Томске Е.Н. Аравийской и ее учениками.

методам в теории однолистных функций. Кандидатские диссертации защитили: И.А. Александров, В.В. Черников, Томская школа по геометрической теории функций расширялась и за счет получивших аспирантскую подготовку под руководством И.А. Александрова (защитившего докторскую диссертацию в 1963 г.) В.Я. Гутлянского, В.В. Барановой, С.А. Копанева, Р.С. Поломошновой, В.И. Попова (выпускников ММФ ТГУ), В.И. Кана, А.С. Сорокина, Б.Г. Цветкова (выпускников других вузов) и других молодых исследователей.

Исследовательская работа по геометрической теории функций, тесно связанной с вариационными задачами и оптимальным управлением, успешно ведется на кафедре без каких-либо перерывов на протяжении шестидесяти лет. Ее результаты отражены в монографиях, учебных пособиях, в многочисленных статьях в “Докладах Академии наук СССР (России)”, в “Сибирском математическом журнале”, в “Успехах математических наук”, в “Украинском математическом журнале”, в “Известиях вузов”, в “Математических заметках”, в Трудах ТГУ и “Вестнике ТГУ”, в других периодических журналах, а также в Материалах международных математических съездов, международных и региональных научных конференций.

Воспитанники школы по теории функций стали авторами докторских и кандидатских диссертаций, ведущими специалистами в коллективах по месту своей работы в вузах Томска, в университетах России, а также за рубежом. Все они поддерживают научные связи со своим томским базовым коллективом.

Многие результаты, полученные в Томской школе, были в свое время, а некоторые остаются и сейчас, наиболее сильными в соответствующем круге задач. Были решены конкретные экстремальные задачи с указанием экстремальных или граничных функций на различных классах однолистных функций. Дано объединение вариационного метода и метода площадей, приведшее к приближенному (численному) методу решения некоторых экстремальных задач. Развиты методы качественного исследования средствами аналитической теории дифференциальных уравнений и теории отображений экстремальных функций относительно широкого класса функционалов.

Введены в рассмотрение и изучены новые классы однолистных отображений, например, отображения с симметрией переноса. На протяжении нескольких лет исследования проводились по гранту РФФИ “Ведущие научные школы России”, отмечались президентским грантом по подготовке молодых кандидатов наук.

Среди преподавателей кафедры математического анализа в настоящее время научную работу в области геометрической теории функций комплексного переменного ведут: профессор И.А. Александров, доценты Т.В. Касаткина, С.А. Копанев, Л.С. Копанева, аспиранты и дипломники.

Работает научный семинар (руководитель И.А. Александров).

Осуществляется специализация по теории функций комплексного переменного.

Теория вероятностей, математическая статистика и математика экономического профиля Явления, происходящие в природе и обществе, условно можно разделить на детерминированные и случайные. Случайные явления и математические модели эксперимента изучает теория вероятностей и основанные на ней многочисленные вероятностно-статистические дисциплины. Современная теория вероятностей представляет собой развитую математическую теорию. В теории вероятностей изучаются свойства событий, случайные величины и их свойства, теория пределов последовательностей случайных величин, элементы стохастического анализа. В математической статистике развитая теория применяется для исследования вероятностной природы случайных явлений по результатам их наблюдений. Знания по теории вероятностей и математической статистике необходимы при исследовании задач физики, химии, техники, экономики и других областей человеческого знания. Всякая статистическая обработка данных полностью основана на теории вероятностей и математической статистике. В настоящее время теория вероятностей широко применяется и в исследовании финансового рынка, например, при анализе экономических задач, построении оптимальной стратегии в рамках выбранной модели использования денежных средств, определении условий, обеспечивающих жизнеспособность выбранной модели. В этом направлении коллектив сотрудников кафедры работает в содружестве с Руанским университетом (Франция). Студенты имеют возможность слушать курсы лекций и участвовать в семинарах регулярно проводимых кафедрой при участии профессоров Руанского университета.

Сотрудниками кафедры получены некоторые результаты по теории случайных полей, теории марковских процессов и их обобщений. В математической статистике решены многие задачи учета дополнительной информации в статистических процедурах, решены некоторые прикладные задачи. Построена вероятностная модель образования запасов полезных ископаемых, которая используется в качестве основы теории и практики прогностических расчетов в геологии. Получили широкую известность исследования по статистической структуре поля вывала леса в районе падения Тунгусского метеорита, а также исследования статистической природы кратерообразования на Луне и строения лунного грунта. Выполнены исследования по теории оптимального резервирования. Получены результаты о свойствах оптимальных стратегий резервирования (в модели Райкова–Герцбаха), что позволило упростить алгоритм разыскания оптимальной стратегии.

Работает научный семинар.

По этому научному направлению осуществляется специализация. В осуществлении специализации участвуют Т.В. Емельянова, Н.А. Исаева, Э.Н. Кривякова, Г.Г. Пестов, И.Г. Устинова и другие сотрудники факультета.

Успешно продолжаются исследования по теории упорядоченных полей и групп. Получены необходимые и достаточные условия циклической упорядочиваемости группы, построена теория упорядоченных множеств и 2-упорядоченных полей и тел. С построением теории сечений в упорядоченном поле стало возможным охарактеризовать вещественно замкнутые поля, поля Хана и некоторые другие в терминах сечений. В нестандартном анализе получено необходимое и достаточное условие справедливости теоремы направленности. Сформулировано понятие локально внутреннего множества и исследована продолжимость некоторых внешних функций до локально внутренних функций.

Работает научный семинар (руководитель Г.Г. Пестов).

По этому научному направлению осуществляется специализация под научным руководством Г.Г. Пестова, Н.Ю. Галановой и других сотрудников факультета.

Завершая рассказ о кафедре, приведем некоторые сведения о других аспектах работы кафедры.

Сотрудниками кафедры написаны монографии, учебники и учебные пособия:

1. И.А. Александров. “Конформные отображения односвязных и многосвязных областей”. – Томск: Изд-во ТГУ, 1976. – 156 с.

2. И.А. Александров. “Параметрические продолжения в теории однолистных функций”. – Москва: Наука, 1976. – 320 с.

3. Г.В. Сибиряков. “Введение в теорию пространств Банаха”. – Томск: Изд-во ТГУ, 1982. – 81 с.

4. Г.Г. Пестов. “Дифференцируемые отображения в конечномерных пространствах”. – Томск: Изд-во ТГУ, 1983. 74 с.

5. И.А. Александров, В.В. Соболев. “Аналитические функции комплексного переменного”. – Москва: Высшая школа, 1984. – 192 с.

6. Ю.К. Устинов, Ю.Г. Дмитриев, “Статистическое оценивание распределений вероятностей с использованием дополнительной информации”, – Томск: Изд-во ТГУ,. 1988. – 195 с.

7. Ю.К. Устинов, “Математика для экономистов”. Ч.1. – Томск: Изд-во НТЛ, 1997. – 228 с.

8. И.А. Александров, С.Я. Александрова, Ф.Г. Унгер, А.В. Цыро. “Задачник и руководство к практическим работам по физической и коллоидной химии”. – Томск: Изд-во ТГУ, 2000. – 44 с.

9. С.А. Копанев, Э.Н. Кривякова, Г.В. Сибиряков. “Математический анализ”. Томск: Изд-во ТГУ, 2001. – 108 с.

10. И.А. Александров. “Методы геометрической теории аналитических функций”. – Томск: Изд-во ТГУ, 2001. – 220 с.

11. И.А. Александров. “Теория функций комплексного переменного”. – Томск: Изд-во ТГУ, 2002. – 510 с.

12. И.А. Александров, С.Я. Александрова, Л.Я. Цыро. “Учебные материалы по курсу физической и коллоидной химии”. – Томск:

Изд-во ТГУ, –2003. – 104 с.

13. Г.Г. Пестов. “Двумерно упорядоченные поля”. – Томск: Изд-во ТГУ. –2003. – 128 с.

14. Б.В. Соколов. “Задачи с параметрами”. – Томск: Изд-во ТГУ, 2003. – 72 с.

15. И.А. Александров. “Эволюционные процессы и обыкновенные дифференциальные уравнения”. – Томск: Изд-во ТГУ, 2004. – 94 с.

16. И.А. Александров, С.А. Копанев, Э.Н. Кривякова. “Место математического анализа как науки в подготовке специалистов на ММФ ТГУ”. Томск: ТГУ. 2004. – 98 с.

17. И.А. Александров. “Комплексные числа и элементарные функции комплексного переменного”. – Томск. – 2005. – 116 с.

18. И.А. Александров, С.А. Копанев, Э.Н. Кривякова, Г.В. Сибиряков.

“Место математического анализа как науки в подготовке специалистов на ММФ ТГУ”. Томск. – 2005. – 152 с.

19. И.А. Александров, С.А. Копанев, Э.Н. Кривякова, Г.В. Сибиряков.

“Место математического анализа как науки в подготовке специалистов на ММФ ТГУ”. Томск. – 2007. – 147 с.

20. С.А. Копанев, Л.С. Копанева, Э.Н. Кривякова. “Язык математического анализа”. Томск. – 2008. – 76 с.

Наряду с преподавательской деятельностью, сотрудники кафедры ведут активную научную работу. За 2007-й календарный год опубликовано более 20 научных и научно-методических работ, сделано 12 докладов на научных конференциях разного уровня.

При кафедре работает лаборатория математического анализа (НИЧ ТГУ, зав. лабораторией – доцент Александра Николаевна Малютина, научный руководитель – И.А. Александров).

Все сотрудники кафедры прилагают большие усилия, направленные на развитие у студентов и школьников интереса к изучению математики, на воспитание у них вкуса к исследовательской работе.

Кафедра организует работу секции математического анализа и секции теории вероятностей и математической статистики ежегодных научных студенческих конференций ММФ.

В прошедшем учебном году под председательством И.А. Александрова проведена Х межрегиональная молодежная конференция студентов и школьников “Математика, её содержание, методы и значение” и Х областная научная конференция школьников «Математическое и физическое моделирование задач естествознания, сопредседателем которой был И.А. Александров. Сотрудники кафедры ведут большую работу со школьниками и учителями математики города Томска, области и региона: ведут занятия в физико-математической школе (ФМШ) при ТГУ, участвуют в работе летних ФМШ, работают на подготовительных курсах, проводят занятия и консультации в центрах довузовской подготовки региона, участвуют в работе курсов и семинаров для учителей, проводимых Томским областным институтом повышения квалификации работников образования и Томским государственным педагогическим университетом, участвуют в создании учебно-методических пособий и учебников для школьников и учителей.

Дополнительные сведения о научно-педагогической работе кафедры и её сотрудниках можно получить по электронному адресу:

http://www.math.tsu.ru.

В заключение заведующий кафедрой Игорь Александрович Александров делится с вами размышлениями о том, как с наибольшей пользой использовать время учебы на механикоматематическом факультете.

Приступающему к изучению математики на ММФ В своё время все мы, преподаватели кафедры математического анализа, будучи в вашем возрасте, начали путь, который выбрали теперь и вы. У нас были, в основном, очень хорошие учителя, советами которых с некоторыми добавлениями, почерпнутыми из своего опыта профессиональной деятельности и постоянной продолжающейся всю жизнь учёбы, хотелось бы поделиться. Мы думаем, что в чужом опыте можно найти дополнительный источник сил, побуждающий к активной собственной деятельности.

Каждый поступающий в университет мотивирует своё намерение стать студентом желанием иметь высшее образование. Оно легко не даётся, особенно на факультетах, подобно механикоматематическому, принадлежащих к весьма трудным. Вы уже прошли процедуру экзаменационного отбора и показали свой интерес к математике, склонность овладевать её содержанием и методами.

Необходимые условия для успешной студенческой работы, таким образом, имеются. Но этого мало, очень мало для достижения поставленной цели, поскольку существует множество препятствий на пути к ней. Нет смысла все их пытаться здесь назвать. Некоторые заслуживают упоминания. Это, прежде всего, часто встречающаяся инертность ума, отвлечение от дел, которыми следует заниматься, слабость воли.

Есть злые вещи, отвлекающие человека от дела, которому он предназначен, сбивающие с выбранной дороги.

В поле бес нас водит, видно, И кружит по сторонам.

Нередко для самоуспокоения ставится вопрос: “А зачем всё это мне надо?”, подразумевающий непременный ответ: “И так обойдётся, проскочим”. Если в каких-то житейских ситуациях такой подход к делу бывает оправданным и даже полезным, то при изучении математики он часто приводит к катастрофическим последствиям.

Школа, которую все вы успешно окончили, не даёт правильного представления о науках, изучаемых в университетах. Она и не обязана это делать. Совместная деятельность университетов и школ предоставляет возможность школьникам познакомиться с начальными идеями современной математики, с её простейшими алгоритмами и технологиями. Это помогает интересующимся понять свои склонности, увлечься математикой, найти себя в ней, пробудить желание заняться математическим творчеством.

Формы обучения студентов на механико-математическом факультете многообразнее школьных уроков по математике, само обучение значительно интереснее!

Центральное место в первых пяти семестрах обучения отводится лекциям по обязательным курсам. В них сообщается слушателям определённый объём научных знаний. Важнейшей задачей становится изучение языка науки. Для многих студентов, желающих быстрее иметь практические результаты обучения, эта часть работы кажется скучной и излишне трудоёмкой. Надо своевременно преодолевать возникающие препятствия, запоминать и буквально выучивать определения, формулировки теорем, запоминать формулы.

Всё это сопровождается необходимостью разбираться в доказательствах трудных теорем, в выводах формул и т.д., добиваться понимания абстракций. Здесь необходимы собственные усилия, и надо просто верить в то, что это необходимый этап обучения.

Не нужно жалеть своего труда и усилий на усвоение математического языка, развитие математического мышления, поскольку они являются основным инструментом научного осмысливания явлений природы, что в свою очередь является целью любой теоретической науки. Подробный конспект лекций по обязательному курсу основа для его изучения. Лектор тратит много часов квалифицированного и напряжённого труда, готовясь к каждой лекции. Пропуск вами лекции (даже если перепишете в свою тетрадь конспект, составленный вашим сокурсником, слушавшим лекцию), создаст вам дополнительные трудности. Иногда пропуск одной лекции приводит к полному непониманию излагаемого на следующих лекциях.

Практические занятия по математическим курсам очень важны.

На них отрабатывается техника решения стандартных упражнений и приобретаются соответствующие навыки. Особую ценность имеют задачи, требующие самостоятельного, иногда длительного, домашнего размышления. Именно они позволяют глубже раскрыть для себя содержание понятий, их связи, выражаемые соответствующими теоремами, побуждают познакомиться с изложением одного и того же материала в разных учебниках и руководствах.

Не упускайте случая познакомиться с историей математики.

Имена её творцов должны стать чем-то большим, чем составная часть названий важнейших теорем и формул. Можно ли освоить предмет, оставаясь равнодушным к нему, ограничившись только заучиванием? Узнавая, кем, при каких обстоятельствах он создавался, понимая его итог как итог усилий многих человеческих жизней, каждый студент обретает восприятие математических результатов как часть общечеловеческих культурных ценностей, лучше понимая их.

Математику изучают студенты многих факультетов университетов. В некоторых технических университетах перечень математических дисциплин бывает большим, чем на механико-математическом факультете. В педагогических вузах он почти равен университетскому. Чем же отличаются выпускники-математики от выпускников других вузов?

Как те, так и другие должны многое знать. Одни должны уметь применять знания к решению интересных задач, другие должны квалифицированно преподавать математику в средней школе. Выпускникиматематики не только должны знать, но и многое уметь. Они должны уметь разрабатывать новые математические средства, создавать новые алгоритмы, которые будут использовать все, нуждающиеся в математических методах исследователи. Иными словами, для выпускниковматематиков знания должны стать основой и средством для исследовательской работы, а не самоцелью.

Обратим внимание ещё на одно обстоятельство: необходимость вдумчивого самоконтроля. Единообразная и детальная регламентация времени для всех студентов-математиков совершенно нецелесообразна, ибо успех в математике всегда связывается с большим трудом и глубокими индивидуальными качествами молодых людей, которые в некоторых смыслах различны. Но всех должно объединять умение трудиться и ценить время. Если цели стали казаться недостижимыми, то следует посмотреть на тех, у кого главное получается лучше, и спросить себя, что же не сделал вовремя, что надо сделать, чтобы стать не слабее других?

Вы студенты механико-математического факультета. Начинается реализация вашего желания стать математиками. Впереди много сложной работы, которая станет тем радостней, чем больших успехов сумеете достичь. Математик не может родиться как математик вне математического коллектива, вне математической школы, без умного руководителя. Нам пока не известны примеры, когда талантливый математик родился бы сам по себе. Постарайтесь найти себе научный коллектив по своим склонностям и доказать право на работу в нём своими успехами. Научитесь пользоваться своими умственными способностями, развивайте интерес к делу, укрепляйте свою волю и трудитесь. Только так можно достигнуть многого.

О курсе “Математический анализ” Курс математического анализа является одним из основных в программе обучения студентов ММФ и изучается, начиная с первого семестра, в течение двух лет. Предлагаемый далее материал об этом курсе, по нашему мнению, поможет вам в его освоении.

Рабочий план знакомит вас с распределением материала по семестрам. Программа достаточно подробно описывает содержание курса математического анализа. Программа курса и рабочий план составлены на основе государственного стандарта (см. Приложение № 1) лектором вашего потока кандидатом физико-математических наук доцентом кафедры Геннадием Васильевичем Сибиряковым. Вы можете сравнить эту программу с программами, предлагаемыми другим потокам (см. Приложения № 2 и № 3).

Приведенный список литературы, не претендуя на полноту, познакомит вас с обширной литературой по математическому анализу, изданной на русском языке. Список и путеводитель к нему помогут сориентироваться в выборе книг для изучения интересующих вас вопросов и будут полезны как при освоении курса математического анализа, так и на протяжении всего периода обучения в университете, включая время подготовки к государственному экзамену по математике.

Список тем учебной курсовой работы, дополненный выдержками из “Положения об учебной курсовой работе”, ознакомит вас с характером и порядком выполнения обязательной составляющей учебного плана четвертого семестра – написанием и защитой учебной курсовой работы, и даст возможность совместить свой интерес к более глубокому изучению отдельных вопросов математического анализа с её выполнением.

Вещественное число относится к основным объектам математического анализа. В школьной математике уделяется большое внимание работе с рациональными числами, хотя само понятие множества вещественных чисел в школьной программе отсутствует. В учебниках по математическому анализу излагаются разные версии теории множества вещественных чисел, но, как правило, сжато и с отсутствием полных доказательств. Один из способов введения действительных чисел с подробными доказательствами изложен в книге [257].

С аксиоматическим подходом к определению понятия числа вы также можете познакомиться, прочитав помещенную в этой книге статью Г.В. Сибирякова «Аксиоматическая теория вещественного числа».

Интересные идеи, относящиеся к понятию вещественного числа, вы найдете в статье П.К. Рашевского «О догмате натурального ряда» (журнал “Успехи математических наук”. 1973. Т. 28, вып. 4(172)), имеющейся также и в этой книге. Петр Константинович Рашевский (1907 – 1985) с 1938 г. работал в Московском университете в должности профессора, его научная деятельность была посвящена развитию различных направлений в геометрии: римановой, аффинной, созданной им полиметрической геометрии, аксиоматике проективной геометрии и других.

Все приведенные материалы также могут помочь вам уже на первом курсе сделать первые шаги на пути к самостоятельным исследованиям.

Программа по математическому анализу 1.1. Множества. Способы задания. Объединение, пересечение, разность, произведение двух множеств. Семейство множеств. Объединение и пересечение семейства множеств. Формулы двойственности и другие свойства операций. Логическая символика. Кванторы.

1.2. Вещественные числа. Аксиомы упорядоченного поля. Аксиома непрерывности. Множество вещественных чисел. Его единственность. Обзор других способов введения вещественных чисел (сечения Дедекинда, 10-е дроби). Ограниченные множества A.

Верхние и нижние грани множества. Максимум и минимум множества. Принцип Архимеда. Плотность в. Математическая индукция. Бином Ньютона. Супремум и инфимум ограниченного множества A. Супремум и инфимум неограниченного множества.

1.3. Отображения или функции. Определение отображения (функции) по Лобачевскому–Дирихле. Определение отображения, опирающееся на понятие графика. Область задания и область значений. Способы задания функции. Сужение и продолжение. Образы и прообразы точек и множеств. Композиция. Инъекция, сюръекция, биекция. Обратное отображение. Ограниченные вещественные функции. Супремум и инфимум вещественной функции.

1.4. Числовые последовательности. Понятие числовой последовательности. Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности. Арифметические и порядковые свойства. Важные примеры: пределы последовательностей (q n ) и (nq n ), где | q | 1, ( n n ) и ( n a ). Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их сравнение. Неопределенности. Теорема Вейерштрасса о монотонной последовательности. Число e. Теорема Кантора о вложенных сегментах. Принцип Больцано–Вейерштрасса.

Фундаментальные последовательности. Критерий Коши.

1.5. Числовые ряды. Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимое условие сходимости. Геометрический и гармонический ряды. Простейшие свойства сходящихся рядов. Критерий Коши. Признаки сравнения. Обобщенный гармонически ряд. Ряд log n. Признаки Даламбера, Коши и Раабе.

Абсолютно сходящиеся ряды. Теорема о перестановке. Теорема о произведении. Повторные и двойные ряды. Условно сходящиеся ряды. Теорема Римана. Признаки Дирихле, Абеля и Лейбница.

1.6. Предел функции. Наводящие примеры. Определение предела вещественной функции вещественного переменного при x x0 по Коши. Первый замечательный предел. Другие примеры.

Единственность предела. Критерий Гейне. Критерий Коши. Арифметические и порядковые свойства. Односторонние пределы. Предел при x ±. Бесконечные пределы. Предел монотонной функции. Замена переменного под знаком предела (предел композиции).

1.7. Непрерывные функции. Функция, непрерывная в точке.

Связь с понятием предела. Критерий Гейне. Арифметические свойства. Непрерывность сужения и композиции. Переход к пределу под знаком непрерывной функции. Непрерывность рациональных и тригонометрических функций. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва. Теоремы Вейерштрасса о непрерывной функции на сегменте. Теорема Коши о промежуточных значениях. Непрерывный образ промежутка. Непрерывность монотонной биекции промежутка на промежуток. Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной функции на сегменте. Теорема о непрерывности обратной функции.

1.8. Элементарные функции. Корни четной и нечетной степени. Степень с рациональным показателем. Экспонента и натуральный логарифм. Показательная, логарифмическая и степенная функции. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Гиперболические и обратные гиперболические функции. Элементарные функции. Непрерывность элементарных функций. Второй замечательный предел. Пределы функций x, a x при x ± и log a (1 + x ) 1.9. Асимптотика. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Неопределенности. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Шкала бесконечно малых и бесконечно больших функций. Асимптотически эквивалентные функции.

2. Дифференциальное исчисление функций на 2.1. Дифференцируемые функции. Линейное приближение приращения функции в окрестности точки. Дифференциал функции в точке. Производная функции в точке. Связь производной с дифференциалом. Единственность дифференциала. Непрерывность дифференцируемой функции. Геометрический и физический смысл производной и дифференциала. Дифференцирование суммы, произведения, дроби и композиции. Инвариантность1-го дифференциала. Дифференцирование обратной функции. Таблица дифференциалов и производных. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

2.2. Основные теоремы. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Теорема Дарбу. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей вида 0 или. Другие типы неопределенностей. Производные высших порядков. Многочлен Тейлора. Формула Тейлора. Остаточный член формулы Тейлора. Форма Пеано. Формула Тейлора– Маклорена для функций e x, cos x, sin x, ch x, sh x, ln (1 x ), (1 x ) и arctg x.

2.3. Исследование функций. Условия монотонности. Точки локального экстремума. Условия выпуклости. Точки перегиба.

Асимптоты. Построение эскиза графика.

2.4. Первообразные. Задача восстановления пути по скорости и ускорению. Первообразная на промежутке. Неопределенный интеграл. Его линейность. Табличные интегралы. Два варианта замены переменного под знаком интеграла. Интегрирование по частям. Неэлементарные интегралы. Интегрирование рациональных функций.

Метод Остроградского. Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.

3.1. Метрические пространства. Пространства 2,, n.

Свойства евклидовой метрики. Неравенство Коши. Аксиомы метрики. Метрическое пространство. Его подпространства. Изометрия.

Примеры метрических пространств: прямая, плоскость 2, пространство n, расширенная прямая -, + с arctg - метрикой, пространства C a, b, m ( S ), c, c0, l1, l2 и s, пространство Бэра.

Шары. Открытые и замкнутые множества. Предельные точки.. Замыкание, внутренность и граница множества. Сходящиеся последовательности. Критерии сходимости в пространствах n и.

3.2. Предел и непрерывность. Предел отображения при x x0. Критерий Гейне. Предел по множеству. Предел по базе множеств. Свойства предела отображения. Предел композиции. Непрерывные отображения. Критерий Гейне. Непрерывность сужения и композиции. Переход к пределу под знаком непрерывного отображения. Критерий непрерывности через прообразы открытых и замкнутых множеств. Гомеоморфизм.

3.3. Полнота и компактность. Фундаментальные последовательности. Полные пространства. Замкнутость полного подпространства.

Полнота замкнутого подпространства полного пространства. Полнота,, n, C a, b и m ( S ). Примеры неполных пространств. Критерий Коши для существования предела отображения. Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра о категориях. Принцип неподвижной точки. Принцип продолжения по непрерывности. Определение компактности множества на языке последовательностей. Замкнутость, ограниченность и полнота компакта. Компактность замкнутого подмножества компакта. Критерий компактности в n. Компактность пространства. Компактность непрерывного образа компакта.

Непрерывные вещественные функции на компакте. Теоремы Вейерштрасса и Дини. Теорема о непрерывности обратного отображения.

Теорема Кантора о равномерной непрерывности. Теорема Хаусдорфа об - сетях. Критерий компактности на языке открытых покрытий.

Пространство C ( K ) непрерывных функций на компакте. Его полнота.

3.4. Связность. Связные множества и пространства. Открытозамкнутые множества. Непрерывный образ связного множества.

Непрерывные кривые. Спрямляемые кривые. Линейная связность.

4.1. Введение. Интуитивное содержание понятия интеграла (геометрия: площадь, физика: длина пути). Определение интеграла по Лейбницу, Коши и Риману. Интеграл Римана на сегменте. Суммы Дарбу. Существование интеграла Римана от непрерывной функции. Основные недостатки интеграла Римана. Идея определения интеграла по Лебегу. Необходимость теории меры.

4.2. Мера Лебега в пространстве n. Брусы. Мера открытого множества G n. Внешняя мера. Измеримые множества. Измеримость открытого множества. Объединение последовательности измеримых множеств. Компакты. Замкнутые множества. Дополнение измеримого множества. Пересечение последовательности измеримых множеств. Разность измеримых множеств. Критерий измеримости множества на языке замкнутых множеств. Мера измеримого множества A n. Аддитивность, счетная аддитивность, полнота и регулярность меры Лебега. Инвариантность относительно изометрии. Структура измеримого множества. Мера некоторых конкретных множеств. Совершенное множество Кантора. Существование множеств, неизмеримых в смысле Лебега.

4.3. Введение в общую теорию меры. Алгебры и - алгебры подмножеств произвольного множества S. Примеры: - алгебра 2 S всех подмножеств A S ; - алгебра L ( n ) всех множеств A n, измеримых в смысле Лебега; - алгебра L ( ) всех множеств окружности, измеримых в смысле Лебега; - алгебра B ( M ) борелевских подмножеств метрического пространства M, - алгебра K ( M ) подмножеств пространства M, порожденная компактами. Общее понятие меры на - алгебре 2 S. Неотрицательные меры. Пространство с мерой. Примеры пространств с мерой. Простейшие свойства мер. Теорема о непрерывности меры.

Разложение в смысле Жордана. Разложение в смысле Хана. Теорема Каратеодори о продолжении меры.

4.4. Измеримые функции. Эквивалентные определения. Измеримость супремума и инфимума последовательности измеримых функций. Измеримость поточечного предела последовательности измеримых функций. Измеримость композиции непрерывной функции с измеримым отображением. Арифметические свойства измеримых функций.

4.5. Интегрирование по неотрицательной мере. Интегрирование простых функций. Интегрирование неотрицательных измеримых функций. Теорема Б. Леви о монотонной сходимости. Суммируемые функции. Монотонность интеграла. Измеримая функция суммируема тогда и только тогда, когда суммируем ее модуль. Линейность, счетная аддитивность и абсолютная непрерывность интеграла. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости. Понятие “почти всюду”. Уточнение основных свойств интеграла. Пространства L1() и L2 (). В частности, пространства L1(a, b) и L2 ( a, b). Теорема Радона–Никодима.

4.6. Интеграл Лебега на. Эквивалентность различных определений интеграла Лебега. Суммируемость непрерывной функции на сегменте. Суммируемость функции, интегрируемой по Риману.

Критерий Лебега интегрируемости по Риману. Интеграл по ориентированному промежутку. Его аддитивность и линейность. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по верхнему пределу.

Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменного в интеграле по сегменту (для непрерывной функции; для суммируемой функции).

Интегрирование по частям. 1-я и 2-я теоремы о среднем.

4.7. Приложения интеграла в анализе. Интегральная форма остаточного члена формулы Тейлора для функции на интервале.

Формы Лагранжа, Коши, Шлемильха–Роша, Зорича. Интегральный признак сходимости числового ряда.

4.8. Приложения интеграла в геометрии и физике. Непрерывная кривая. Спрямляемая кривая. Вычисление длины кусочногладкой кривой. Площади плоских множеств. Площадь поверхности вращения. Приложения интеграла в механике и физике.

4.9. Квадратурные формулы. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона, Гаусса. Метод Монте-Карло.

4.10. Теорема Фубини в n. Двойные, тройные, кратные и повторные интегралы. Теорема о сечениях измеримого множества. Мера произведения измеримого множества на полуинтервал. Теорема о подграфике. Измеримость по параметру интеграла, зависящего о параметра. Теорема Фубини для функции f : n k и для функции f : A, где A n k. Раздельная измеримость измеримой функции нескольких переменных. Мера произведения двух измеримых множеств. Произведение - алгебр и неотрицательных мер. Теорема Фубини для произведения двух пространств с мерой.

5. Функциональные последовательности и ряды 5.1. Функциональные последовательности и ряды. Простая (поточечная) сходимость не сохраняет непрерывность. Понятие равномерной сходимости. Она сохраняет непрерывность. Критерий Коши для равномерной сходимости. Мажорантный признак Вейерштрасса для равномерной сходимости. Признаки Дирихле и Абеля.

Примеры Вейерштрасса и ван дер Вардена. Сходимость в пространствах C a, b и m ( S ). Почленное интегрирование и дифференцирование функционального ряда.

5.2. Степенные ряды. Комплексные числа. 1-я теорема Абеля о степенных рядах. Круг и радиус сходимости. Теорема Абеля о равномерной сходимости степенного ряда. Теорема Коши–Адамара. 2-я теорема Абеля. Почленное интегрирование и дифференцирование степенного ряда. Ряд Тейлора. Аналитические функции. Важнейшие примеры разложений в ряд Тейлора–Маклорена.

6. Дифференциальное исчисление на n 6.1. Пространство n. Векторная структура, метрика, норма и скалярное произведение. Функции нескольких переменных. Координатные функции отображения из M в p. Покоординатность предела и непрерывности отображения в p. Арифметические свойства предела и непрерывности отображений в p. Линейные операторы A : n p. Геометрический смысл линейности оператора A : 2 2. Пространство L ( n, p ). Ограниченность, непрерывность, норма и матричное представление оператора A L ( n, p ).

6.2. Дифференцируемые отображения. Локальное приближение линейными операторами приращения отображения f из n в p.

Дифференциал Фреше df ( x0 ) : n p отображения f в точке x0 int dom f. Единственность дифференциала. Непрерывность дифференцируемого отображения. Простейшие примеры дифференциалов. Геометрический смысл дифференциала. Дифференцирование композиции. Инвариантность формы 1-го дифференциала. Покоординатность операции дифференцирования. Основные средства дифференцирования. Дифференциалы линейных и билинейных операторов.

6.3. Частные производные 1-го порядка. Выражение дифференциала через частные производные. Производная вдоль вектора (дифференциал Гато). Достаточное условие дифференцируемости отображения. Цепное правило. Понятие о полной производной. Матрица Якоби.

Ее связь дифференциалом Фреше. Якобиан отображения из n в n.

Градиент вещественной функции. Его геометрический смысл.

6.4. Теоремы о конечных приращениях.

6.5. Частные производные высших порядков. Теорема о смешанных производных. Классы непрерывно дифференцируемых функций. Дифференциал 2-го порядка. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для вещественных и векторных функций нескольких переменных. Форма Пеано, интегральная форма и форма Лагранжа для ее остаточного члена. Ряд Тейлора для бесконечно дифференцируемой функции нескольких переменных. Примеры.

6.6. Локальные экстремумы функции нескольких переменных.

Необходимые условия. Стационарные точки. Достаточные условия:

Квадратичная форма d 2 f ( x0, h ). Критерий Сильвестра. Примеры.

6.7. Неявные функции. Неявная функция, определяемая одним уравнением. Геометрический смысл неявной функции. Существование и непрерывности неявной функции. Дифференцирование неявной функции. Примеры.. Теорема о локальной обратимости. Диффеоморфизмы. Примеры. Открытость регулярного отображения. Неявное отображение, определяемое системой уравнений. Теорема о существовании, непрерывности и дифференцируемости неявного отображения. Теорема о ранге. Понятие зависимости функций. Необходимое условие зависимости. Достаточное условие зависимости. Примеры.

6.8. Теория условного экстремума. Понятие условного экстремума.

Метод множителей Лагранжа. Геометрический смысл метода Лагранжа.

Достаточные условия для точек условного экстремума. Примеры.

6.9. Замена переменного в кратном интеграле. Разложение диффеоморфизма. Допустимые диффеоморфизмы. Разложение единицы.

Образ множества меры 0 относительно диффеоморфизма. Теорема о замене переменного для функций с компактным носителем. Общая теорема о замене переменного в интеграле Лебега по мере Лебега. Мера образа измеримого множества относительно диффеоморфизма. Геометрический смысл якобиана. Мера параллелепипеда размерности n.

Мера параллелепипеда размерности меньше n.

7. Интегралы, зависящие от параметра 7.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Условия непрерывности. Дифференцирование интеграла по параметру (правило Лейбница). Обобщенное правило Лейбница. Интегрирование по параметру. Примеры. Кратные интегралы, зависящие от параметра.

7.2. Несобственные интегралы. Несобственные интегралы Римана и Лебега. Суммируемость функции с абсолютно сходящимся несобственным интегралом. Линейность и аддитивность несобственного интеграла. Замена переменного. Интегрирование по частям. Формула Ньютона – Лейбница. Критерий Коши и другие признаки сходимости. Аналогия с теорией числовых рядов. Кратные несобственные интегралы.

7.3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.

Понятие о равномерной сходимости. Условие непрерывности. Интегрирование по параметру. Дифференцирование по параметру.

Критерий Коши и другие признаки равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра. Интеграл Дирихле, интеграл Эйлера – Пуассона и другие примеры. Кратные несобственные интегралы, зависящие от параметра.

7.4. Эйлеровы интегралы. Бета-функция (область определения, симметрия, формула понижения). Гамма-функция (область определения, производные, формула понижения, продолжение на отрицательную полуось, формула Эйлера–Гаусса, формула дополнения). Выражение бетафункции через гамма-функцию. Приложения эйлеровых интегралов.

7.5. Свертка. Свертка функций на. Условия существования свертки. Ее коммутативность и ассоциативность. Свертка и преобразование сдвига. Дифференцирование свертки. Приложения свертки. Свертка функций на n.

8.1. Многообразия в n. Многообразие без края. Многообразие с краем. Примеры. Локальные карты и атласы. Локальные координаты. Полярные координаты на плоскости. Сферические координаты на сфере. Сферические и цилиндрические координаты в 3. Естественные координаты на торе.

8.2. Гладкие многообразия в n. Гладкие карты и атласы.

Гладкие многообразия S n. Теорема о гладкой деформации.

Функция перехода. Примеры. Теорема о функции перехода. Касательное пространство. Первая теорема о крае.

8.3. Общие методы введения гладких многообразий. График непрерывно дифференцируемого отображения. График его сужения на многообразие. Поверхность уровня непрерывно дифференцируемого отображения. Описание касательных пространств.

8.4. Мера Лебега на гладком многообразии. Длина спрямляемой кривой. Проблема определения понятия площади двумерной поверхности. Сапог Шварца. Определение меры открытого множества G на многообразии S через приближение касательными брусами.

Общее определение меры на многообразии. Длина гладкой кривой.

Площадь графика функции двух переменных. Площадь гладкого двумерного многообразия в n. Площадь поверхности вращения.

Площадь множества A 2 в полярных координатах. Площадь множества на сфере в сферических координатах. Объем множества A 3 в сферических и цилиндрических координатах. Интеграл 1-го рода по многообразию. Вычисление интеграла 1-го рода. Криволинейный и поверхностный интегралы 1-го рода. Геометрические и физические приложения интеграла 1-го рода.

8.5. Ориентируемые многообразия. Задание ориентации прямой, плоскости 2 и пространства 3. Базисы разной ориентации. Ориентированное пространство n. Ориентация одномерного многообразия. Внешняя и внутренняя стороны сферы. Перевод на язык ориентации касательных пространств. Согласованные карты.

Ориентирующий атлас. Примеры. Согласованность полярных и декартовых координат на плоскости. Согласованность сферических, цилиндрических и декартовых координат в 3. Ориентируемое многообразие. Введение ориентации ориентируемого линейно связного многообразия. Нормали к (n - 1) - мерному многообразию в n. Задание ориентации многообразия непрерывным полем нормалей. Примеры. Задание ориентации графика и поверхности уровня непрерывно дифференцируемой функции. Неориентируемые многообразия (лист Мебиуса, бутылка Клейна). Вторая теорема о крае. Ориентация края, согласованная с ориентацией многообразия. Примеры.

8.6. Дифференциальные формы. Внешнее произведение линейных функционалов. Геометрический смысл внешнего произведения функционалов dx j : n. Функционалы dx dy, dy dz и dz dx на 3 3. Кососимметрические формы : n n. Пространство Л p ( n ). Общий вид формы Л p ( n ). Частные случаи. Дифференциальная форма : G Л p ( n ) степени p, 1 p n, на открытом множестве G n. Дифференциальная форма степени p 0. Канонический вид дифференциальной формы степени p. Частные случаи.

Дифференциал вещественной функции как дифференциальная форма степени 1. Скалярные и векторные поля. Дифференциальные формы работы и потока векторного поля. Их физический смысл. Потенциал векторного поля. Дифференциальные формы, соответствующие скалярному полю.

8.7. Операции над дифференциальными формами. Сложение дифференциальных форм. Умножение на функцию. Внешнее дифференцирование. Свойства внешнего дифференциала. Дифференциальные операции grad, rot и div над скалярными и векторными полями. Их физический смысл и связь с операцией внешнего дифференцирования дифференциальных форм. Дифференциальные операции 2-го порядка. Внешнее умножение дифференциальных форм. Связь между внешним произведением дифференциальных форм и операциями над векторными полями. Замена переменных в дифференциальной форме. Свойства операции замены переменных.

8.8. Интегрирование дифференциальных форм. Поток векторного поля через ориентированную поверхность. Сведeние к интегралу Лебега. Определение интеграла от дифференциальной формы потока по ориентированной поверхности. Общее определение интеграла 2-го рода от дифференциальной формы степени k по ориентированному многообразию размерности k. Кусочно гладкие кривые и поверхности. Введение ориентации на кусочно гладкой поверхности. Интеграл 2-го рода по ориентированной k - мерной кусочно гладкой поверхности от дифференциальной формы степени k.

8.9. Основные интегральные формулы анализа. Формула Ньютона–Лейбница как свойство интеграла 2-го рода. Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл. Формула Ньютона– Лейбница для криволинейного интеграла 2-го рода. Свойства работы потенциального поля. Условия потенциальности поля. Формула Грина. Геометрический смысл интегралов 2-го рода от дифференциальных форм xdy и ydx. Формула Гаусса–Остроградского. Геометрический смысл интегралов 2-го рода от дифференциальных форм x dy dz, y dz dx и z dx dy. Соленоидальные векторные поля. Классическая и общая формулы Стокса.

8.10. Приложения в физике. Гравитационное, электростатическое, магнитное и электромагнитное поля. Уравнения Максвелла и другие приложения.

9. Введение в гармонический анализ 9.1. Тригонометрические ряды Фурье. Тригонометрическая система. Ее ортогональность. Коэффициенты Фурье. Основные проблемы рядов Фурье. Комплексная форма ряда Фурье. Теорема Римана–Лебега. Ядра Дирихле. Условие сходимости ряда Фурье в данной точке. Принцип локализации. Признак Дини. Признак Липшица.

Признак равномерной сходимости ряда Фурье. Метод средних арифметических и другие методы суммирования числовых рядов. Суммы и ядра Фейера. Теоремы Фейера. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывных функций многочленами.

9.2. Преобразование Фурье. Преобразование Фурье для функции f L1 ( ). Его важнейшие свойства. Суммирование расходящихся интегралов. Преобразование Фурье функций f L2 ( ). Теория Планшереля. Преобразование Лапласа. Основы операционного исчисления.

СЕМЕСТР 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 1.4. Числовые последовательности 5 12 6

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НА

СЕМЕСТР

3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

4. МЕРА И ИНТЕГРАЛ 4.5. Интеграл по неотрицательной мере 5 25 4.8. Приложения в геометрии и физике 3 сем СЕМЕСТР 4.8. Приложения в геометрии и физике 2 сем

5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ

5.1. Функциональные посл-ти и ряды 24

6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НА n

6.2. Дифференцируемые отображения 3 11 6.3. Частные производные 1-го пор. 1 12 6.4. Теоремы о конечных приращениях 1 13 нет 6.5. Частные производные в. п. 3 16 6.9. Замена переменного в кратном интеграле

7. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА

7.2-3. Несобственные интегралы 3 31 4 сем СЕМЕСТР 7.3. Несобственные интегралы 3 сем

8. АНАЛИЗ НА МНОГООБРАЗИЯХ В n

9. ОСНОВЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Отчетность:

Экзамен в каждом семестре. По результатам четырех экзаменов выставляется итоговая оценка, идущая в приложение к диплому.

Самостоятельные и контрольные работы (в домашнем или аудиторном варианте) по отдельным темам.

Архимед. Сочинения. М.: Физматгиз, 1962.

Бернулли Д. Гидродинамика, или Записки о силах и движениях жидкостей. Л.: АН СССР, 1959.

Бернулли И. Избранные сочинения по механике. М.;Л.: ГТТИ, 1937.

Коши О.Л. Алгебраический анализ. Лейпциг, 1864.

Коши О.Л. Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении. СПб., 1831.

Лейбниц Г.В. Избранные отрывки из математических сочинений.

Успехи математических наук. 1948. Т. III, вып.1. С. 165–205.

де Лопиталь Г.Ф. Анализ бесконечно малых. М.;Л.: ГТТИ, 1935.

Ньютон И. Математические начала натуральной философии.

М.: Наука, 1989.

Ньютон И. Математические работы. М.;Л.: ОНТИ, 1937.

10. Чезаро Э. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых. М.;Л.: ОНТИ, гл. ред. общетехн. лит., 1936.

11. Эйлер Л. Введение в анализ бесконечно малых. Т. 1–2. М.: Физматгиз, 1961.

12. Эйлер Л. Дифференциальное исчисление. М.;Л.: ГТТИ, 1949.

13. Эйлер Л. Интегральное исчисление. Т. 1–3. М.: ГТТИ, 1956-1958.

Эрмит Ш. Курс анализа. М.;Л.: ОНТИ, гл. ред. общетехн. лит., 1936.

14.

15. Валле-Пуссен Ш.-Ж. Курс анализа бесконечно малых. Т. 1–2.

М.;Л.: ГТТИ, 1933.

16. Гильберт Д. Избранные труды. Т. 1–2. М.: Факториал, 1998.

17. Гурса Э. Курс математического анализа. Т. 1–3. М.;Л.: ГТТИ, 1932–1936.

18. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления.

Т. 1–2. М.: Наука, 1967–1970.

19. Лебег А. Интегрирование и отыскание примитивных функций.

М.;Л.: ГТТИ, 1934.

Лузин Н.Н. Дифференциальное исчисление. М.: Высшая школа, 1961.

20.

21. Лузин Н.Н. Интегральное исчисление. М.: Советская наука, 1949.

22. Лузин Н.Н. Лекции об аналитических множествах и их приложениях.

М.: Гос. изд. техн.-теорет. лит., 1953.

23. Лузин Н.Н. Собрание сочинений. М.: Физматгиз, 1958.

24. Лузин Н.Н. Теория функций действительного переменного. М.:

Учпедгиз, 1948.

25. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 1–2. М.: Наука, 1990.

26. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 1–5. М.: Физматгиз – Наука, 1959–1974.

27. Халмош П. Теория меры. М.: ИЛ, 1953.

28. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.;Л.: ГТТИ, 1937.

29. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1–3. М.: Физматлит, 2002–2003.

Основные учебники и сборники задач 30. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967.

31. Дьедоне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964.

Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 1–2. М.: МЦНМО, 1998–2001.

32.

33. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 1– 2. М.: Наука, 1971–1982.

34. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Т. 1–2. М.: МГУ, 1985.

35. Камынин Л.И. Курс математического анализа. Т. 1–2. М.: МГУ, 1993–1995.

36. Клементьев З.И. Курс лекции по теории функций действительного переменного. Томск: ТГУ, 1970.

37. Клементьев З.И. Лекции по математическому анализу. Вып. 1–5.

Томск: ТГУ, 1975–1987.

38. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1–3. М.: Высшая школа, 1988–1989.

39. Шварц Л. Анализ. Т. 1–2. М.: Мир, 1972.

40. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного.

Ч. 1–3. М.: Наука, 1969–1970.

41. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции нескольких переменных. Ч. 1–2. М.: Наука, 1972.

42. Демидович Б.Н. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: АСТ, 2002.

43. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И.

Сборник задач по математическому анализу: Предел. Непрерывность.

Дифференцируемость. М.: Наука, 1984.

44. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу: Интегралы. Ряды. М.: Наука, 1986.

45. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И.

Сборник задач по математическому анализу: Функции нескольких переменных. М.: Дрофа, 2003.

46. Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу. М.: Просвещение, 1981.

47. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 2000.

48. Берс Л. Математический анализ. Т. 1–2. М.: Высшая школа, 1975.

49. Грауэрт Г., Либ И., Фишер В. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Мир, 1971.

50. Дороговцев А.Я. Математический анализ. Киев: Вища школа, 1987.

51. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. М.: Наука, 1979.

52. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Математический анализ.

М.: Наука, 1984.

53. Куваев М.Р. Дифференциальное и интегральное исчисление. Ч. 1– 3. Томск: ТГУ, 1967–1977.

Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1989.

54.

55. Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Калайда А.Ф. Математический анализ. Ч. 1–2. Киев: Вища школа, 1985.

56. Пизо Ш., Заманский М. Курс математики. Алгебра и анализ. М.:

Наука, 1971.

57. Райков Д.А. Одномерный математический анализ. М.: Высшая школа, 1982.

58. Рудин У. Основы математического анализа, СПб.: Лань, 2002.

59. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. М.: Наука, 1988.

60. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Ч.

1–2. М.: Физматгиз, 1963.

61. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1–2.

СПб.: Лань, 2001.

62. Хинчин А.Я. Краткий курс математического анализа. М.:

ГТТИ, 1955.

63. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч.. Медведев Г.Н., Шишкин А.А.

Математический анализ в вопросах и задачах. М.: Высшая школа, 1993.

64. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч.. Медведев Г.Н., Шишкин А.А.

Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных. М.: Высшая школа, 1988.

65. Виноградов И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Кн. 1–2. М.: Высшая школа, 2000.

66. Дингельдей Ф. Сборник упражнений и практических задач по интегральному исчислению. М.;Л.: Гос. изд. техн.-теорет. лит., 1932.

67. Жегалкин И.И., Слудская М.И. Сборник задач по интегральному исчислению. М.: Учпедгиз, 1937.

68. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. М.: Наука, 1988.

69. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). М.: Высшая школа, 1983.

70. Леонтьева Т.А., Панферов В.С., Серов В.С. Задачи по теории функций действительного переменного. М.: МГУ, 1997.

71. Лефор Г. Алгебра и анализ. Задачи. М.: Наука, 1973.

72. Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Математический анализ в примерах и задачах. Ч. 1–2. Киев: Выща школа, 1977.

73. Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Справочное пособие по математическому анализу. Введение в анализ, производная, интеграл. Киев: Вища школа, 1984.

74. Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н.

Избранные задачи по вещественному анализу. М.: Наука, 1992.

Полиа Г., Сегё Г. Задачи и теоремы анализа. Т. 1–2. М.: Наука, 1978.

75.

76. Ривкинд Я.И. Дифференциальное и интегральное исчисление в задачах. Минск: “Вышэйшая школа”, 1971.

77. Теляковский С.А. Сборник задач по теории функций действительного переменного. М.: Наука, 1980.

78. Шмелев П.А. Теория рядов в задачах и упражнениях. М.: Высшая школа, 1983.

79. Бевз Г.П., Фильчаков П.Ф., Швецов К.И., Яремчук Ф.П. Справочник по элементарной математике для поступающих в вузы. Киев: Наукова думка, 1972.

80. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1–3.

М.: Наука, 1969-1974.

81. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986.

82. Воднев В.Г., Наумович А.Ф., Наумович М.Ф. Основные математические формулы. Минск: Вышэйшая школа, 1988.

83. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. М.:

Наука, 1986.

Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1972.

84.

85. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971.

86. Гутер Р.С., Кудрявцев Л.Д., Левитан Б.М. Элементы теории функций (СМБ). М.: Изд-во физ.-мат. лит., 1949.

87. Двайт Б.Г. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1973.

88. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965.

89. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.

90. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. М.: Русский язык, 1989.

91. Маделунг Э. Математический аппарат физики. Справочное руководство. М.: Наука, 1968.

92. Мантуров О.В., Солнцев Ю.К., Соркин Ю.И., Федин Н.Г. Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч. 1–2. М.: Просвещение, 1978–1982.

93. Мантуров О.В., Солнцев Ю.К., Соркин Ю.И., Федин Н.Г. Толковый словарь математических терминов. М.: Просвещение, 1965.

94. Математическая энциклопедия. Т. 1–5. М.: Советская энциклопедия, 1977–1985.

95. Математический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1988.

96. Микиша А.М., Орлов В.Б. Толковый математический словарь. М.:

Русский язык, 1989.

97. Прудников А.П., Брычков Ю.А.. Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981.

98. Прудников А.П., Брычков Ю.А.. Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983.

99. Прудников А.П., Брычков Ю.А.. Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука, 1986.

100. Смолянский М.Л. Таблицы неопределенных интегралов. М.: Наука, 1967.

101. Справочник по специальным функциям, Под ред. Абрамовица М.

и Стиган И.. М.: Наука, 1979.

102. Фильчаков И.Ф. Справочник по высшей математике. Киев: Наукова думка, 1973.

103. Цыпкин А.Г., Цыпкин Г.Г. Математические формулы. М.: Наука, 1985.

104. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. М.: Наука, 1977.

105. Александрова Н.В. Из истории векторного исчисления. М.: МАИ, 1992.

106. Арнольд В.И. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук. М.: Наука, 1989.

107. Боголюбов А.Н. Математики. Механики. Киев: Наукова думка, 1983.

108. Бородин А.Е., Бугай А.С. Биографический словарь деятелей в области математики. Киев: Радянська школа, 1979.

109. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: ИЛ, 1963.

110. Бюлер В. Гаусс. Биографическое исследование. М.: Наука, 1989.

111. Вавилов С.И. Исаак Ньютон. М.: Наука, 1989.

112. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука: Математики древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: Физматгиз, 1959.

113. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М.: Физматгиз, 1963.

114. Виленкин Н.Я. В поисках бесконечности. М.: Наука, 1983.

115. Винер Н. Я – математик. М.: Наука, 1967.

116. Воронцов-Вельяминов Б.А. Лаплас. М.: Наука, 1985.

117. Глейзер Г.И. История математики в школе. IX-X классы. М.: Просвещение, 1983.

118. Гнеденко Б.В. Очерки истории математики в России. М.: ГТТИ, 1946.

119. Григорьян А.Т., Ковалев Б.Д. Даниил Бернулли. М.: Наука, 1981.

120. История естествознания в России. Т. 1. Ч. 1. Гл. ред. Фигуровкий Н.А.. М.: изд. АН СССР, 1957.

121. История математики. Т. 1–3. Под ред. Юшкевича А.П.. М.: Наука, 1970–1972.

122. История механики с древнейших времен до конца XVIII века.

М.:Наука,1971.

123. История отечественной математики. Т. 1–4. Киев: Наукова думка, 1966–1970.

124. Канунов Н.Ф. Федор Эдуардович Молин. М.: Наука, 1983.

125. Клайн М. Математика. Утрата определенности. М.: Мир, 1984.

126. Клайн М. Математика. Поиск истины. М.: Мир, 1988.

127. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Т. 1–2.

М.: Наука, 1989.

128. Коваль С. От развлечения к знаниям. Математическая смесь, Варшава: Научно-техн. изд., 1972.

129. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. М.:

Наука, 1991.

130. Кольман Э. История математики в древности. М.: Изд-во физ.мат. лит., 1961.

131. Круликовский Н.Н. Из истории развития математики в Томске.

Томск: ТГУ, 2006.

132. Лишевский В.П. Рассказы об ученых. М.: Наука, 1986.

133. Лурье С.Я. Архимед. М.;Л.: АН СССР, 1945.

134. Люди русской науки (очерки о выдающихся деятелях естествознания и техники). М.;Л.: ОГИЗ, 1948.

135. Медведев Ф.А. Очерки истории теории функций действительного переменного. М.: Наука, 1975.

136. Медведев Ф.А. Развитие понятия интеграла. М.: Наука, 1974.

137. Медведев Ф.А. Развитие теории множеств в XIX веке. М.: Наука, 1965.

138. Медведев Ф.А. Ранняя история аксиомы выбора. М.: Наука, 1982.

139. Медведев Ф.А. Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX-XX вв.. М.: Наука, 1976.

140. Никифоровский В.А. Великие математики Бернулли. М.: Наука,1984.

141. Никифоровский В.А. Из истории алгебры XVI-XVII вв.. М.: Наука, 1979.

142. Никифоровский В.А. Путь к интегралу. М.: Наука, 1985.

143. Никифоровский В.А., Фрейман Л.С. Рождение новой математики.

М.: Наука, 1976.

144. Ожигова Е.П. Шарль Эрмит. М.: Наука, 1967.

145. Очерки развития математики в СССР. Киев: Наукова думка, 1983.

146. Песин И.Н. Развитие понятия интеграла. М.: Наука, 1966.

147. Полищук Е.М. Вито Вольтера. Л.: Наука, 1977.

148. Полищук Е.М. Эмиль Борель. Л.: Наука, 1980.

149. Полищук Е.М., Шапошникова Т.О. Жак Адамар. Л.: Наука, 1990.

150. Проблемы Гильберта, Под ред. Александрова П.С.. М.: Наука, 1969.

151. Прудников В.Е. Русские педагоги-математики XVIII-XIX веков. М.:

Учпедгиз, 1956.

152. Рид К. Гильберт. М.: Наука, 1977.

153. Сингх С. Великая теорема Ферма. М.: МЦНМО, 2000.

154. Сойер У.У. Прелюдия к математике. М.: Просвещение, 1972.

155. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1984.

156. Тумаков И.М. Анри Леон Лебег. М.: Наука, 1975.

157. Тюлина И.А. Жозеф Луи Лагранж. М.: Наука, 1977.

158. Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей, Под ред. Юшкевича А.П.. М.: Наука, 1977.

159. Цейтен Г. История математики в древности и средние века. М.;Л.:

ГТТИ, 1932.

160. Цейтен Г. История математики в XVI и XVII веках. М.;Л.: ГТТИ, 1933.

161. Адамар Ж. Исследование психологии процессе изобретения в области математики. М.: Советское радио, 1970.

162. Александров А.Д. Проблемы науки и позиция ученого. Л.: Наука, 1988.

163. Александров П.С. О призвании ученого. М.: МГУ, 1970.

164. Бурова И.Н. Парадоксы теории множеств и диалектика. М.: Наука, 1976.

165. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989.

166. Гнеденко Б.В. Введение в специальность математика. М.: Наука, 1991.

167. Киселева Н.А. Математика и действительность. М.: МГУ, 1967.

168. Колмогоров А.Н. Математика – наука и профессия. (Библиотечка “Квант”, Вып. 64). М.: Наука, 1988.

169. Методологический анализ оснований математики. М.: Наука, 1988.

170. Молодший В.Н. Очерки по философским вопросам математики.

М.: Просвещение, 1969.

171. Петров Ю.А. Логические проблемы абстракций бесконечности и осуществимости. М.: Наука, 1967.

172. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука, 1975.

173. Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1970.

174. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1990.

175. Реньи А. Трилогия о математике. М.: Мир, 1980.

176. Рузавин Г.И. О природе математического знания. М.: Мысль1968.

177. Свидерский В.И., Кармин А.С. Конечное и бесконечное. М.: Наука, 1966.

178. Сойер У. Путь в современную математику. М.: Мир, 1972.

179. Суворов Г.Д. Об искусстве математического исследования. Донецк: ТЕАН, 1999.

180. Сухотин А.К. Философия в математическом познании. Томск:

ТГУ, 1977.

181. Акилов Г.П., Дятлов В.Н. Основы математического анализа. Новосибирск: Наука, 1980.

182. Акилов Г.П.. Макаров Б.М., Хавин В.П. Элементарное введение в теорию интеграла. Л.: ЛГУ, 1969.

183. Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций.

М.: ГТТИ, 1957.

184. Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977.

185. Александров П.С., Колмогоров А.Н. Введение в теорию функций действительного переменного. М.: ГТТИ, 1938.

186. Александрян Р.А.. Мирзаханян Э.А. Общая топология. М.: Высшая школа, 1979.

187. Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М.: ИЛ, 1963.

188. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.:

Наука, 1989.

189. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990.

190. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Т. 1–2. М.: Наука, 1982–1984.

191. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1984.

192. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965.

193. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961.

194. Билибин А.Я. Курс математического анализа. Л.: Кубуч, 1933.

195. Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 1–2. М.;Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2003.

196. Борисович Ю.Г., Близняков Р.Б., Израилевич Я.Ф., Фоменко Т.Н. Введение в топологию. М.: Высшая школа, 1980.

197. Бохнер С. Лекции об интегралах Фурье. М.: Физматгиз, 1962.

198. Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы.

М.: Мир, 1977.

199. Брудно А.Л. Теория функций действительного переменного. М.:

Наука, 1971.

200. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1984.

201. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1981.

202. Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука, 1965.

203. Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия.

Сводка результатов. М.: Мир, 1975.

204. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры, интегрирование мер. М.: Наука, 1967.

205. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Физматгиз, 1968.

206. Бурбаки Н. Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства. М.: Физматгиз, 1969.

207. Бурбаки Н. Спектральная теория. М.: Мир, 1972.

208. Бурбаки Н. Функции действительного переменного. М.: Наука, 1965.

209. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных. уравнений. М.: Наука, 1972.

210. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.

211. Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах. М.: Наука, 1984.

212. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. М.: Физматгиз, 1963.

213. Воробьев Н.Н. Теория рядов. М.: Наука, 1979.

214. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967.

215. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной.

М.: Наука, 1965.

216. Геронимус Я.Л. Многочлены, ортогональные на окружности и на отрезке. М.: Физматгиз, 1958.

217. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. Т. 1–2. М.: Мир, 1984.

218. Гихман И.И. Введение в общую теорию меры и интеграла. Донецк: ДГУ, 1971.

219. Гливенко В.И. Интеграл Стилтьеса. М.;Л.: ГТТИ, 1936.

220. Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности. М.: Мир, 1977.

221. Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. Теория и применения. М.: Наука, 1987.

222. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.:

ИЛ, 1963.

223. Гохман Э.Х. Интеграл Стилтьеса и его применения. М.: Физматгиз, 1958.

224. Гребенча М.К., Новоселов С.И. Курс математического анализа.

Ч.1. Функции одного переменного. М.: Учпедгиз, 1941, Ч.2. Учпедгиз, 1953.

225. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория.

М.: ИЛ, 1962.

226. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. М.: ИЛ, 1948.

227. Джилмор Р. Теория катастроф для ученых и инженеров. М.: Мир, 1983.

228. Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла. Киев:

Вища школа, 1989.

229. Дубровин Г.И., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.

230. Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл. М.: Факториал, 1998.

231. Ефимов А.В. Математический анализ (Специальные разделы). Ч. 1.

Общие функциональные ряды и их приложение. М.: Высшая школа, 1980.

232. Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г., Терпигорева В.М. Математический анализ (Специальные разделы). Ч. 2. Применение некоторых методов математического и функционального анализа. М.: Высшая школа, 1980.

233. Заманский М. Введение в современную алгебру и анализ. М.:

Наука, 1974.

234. Зельдович Я.Б.. Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики.

М.: Наука, 1967.

235. Зельдович Я.Б., Яглом И.М. Высшая математика для начинающих физиков и техников. М.: Наука, 1982.

236. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1–2. М.: Мир, 1965.

237. Иванов В.В. Топология арифметического пространства и непрерывные отображения. Новосибирск: НГУ, 1987.

238. Иванов В.В. Элементарное введение в теорию степени. Ч. I-IV, Новосибирск: НГУ, 1982.

239. Камке Е. Интеграл Лебега–Стилтьеса. М.: Физматгиз, 1959.

240. Кан В.И., Куваев М.Р., Невидимова М.И., Поломошнова Р.С. Избранные главы методики преподавания математики в вузе. Томск: ТГУ, 1981.

241. Кан В.И., Куваев М.Р., Невидимова М.И., Поломошнова Р.С.

Множества и функции. Томск: ТГУ, 1981.

242. Канторович Л.В. Определенные интегралы и ряды Фурье. Л.:

ЛГУ, 1940.

243. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971.

244. Кахан Ж.-П. Абсолютно сходящиеся ряды Фурье. М.: Мир, 1976.

245. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.:

Физматгиз, 1958.

246. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1971.

247. Келли Дж.Л. Общая топология. М.: Наука, 1981.

248. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. М.: Наука, 1988.

249. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1.

Арифметика. Алгебра. Анализ. М.: Наука, 1987.