Pages: | 1 | 2 |

| 4 | 5 | ... | 7 |

«А.И. Слободянюк Физическая олимпиада: экспериментальный тур 0 Каждый школьник, выучивший две-три (или два-три десятка) формулы из учебника, считает себя достойным участником физической олимпиады любого уровня от ...»

-- [ Страница 3 ] --

Соберите установку, схема которой показана на фотографии и на рис.1. В качестве вертикальной стойки используйте штатив, который поднимите как можно выше – на стол поставьте стул, а на него уже штатив. Длина вертикальной нити до точки крепления груза известной массы m0 должна быть как можно больше (не менее 100 см). В положении равновесия горизонтальная нить должна располагаться вдоль края стола, один конец этой нити прикрепите к грузу известной массы, второй закрепите на торце стола с помощью кнопки. Длина этой нити тоже должна быть как можно длиннее (не менее 120 см). На торце стола прикрепите с помощью скотча линейку длиной 40 см для измерения отклонения вертикальной нити x. Вдоль края стола разверните мерную ленту для измерения положения ( a - расстояние до точки крепления) измеряемых грузов m, в качестве которых используйте канцелярские скрепки.

Часть 1. Оптимальное положение точки подвеса.

1.1 Измерьте зависимость величины смещения x от положения точки подвеса измеряемого груза a, при постоянной массе этого груза. Число подвешенных скрепок задайте самостоятельно, свой выбор обоснуйте.

1.2 Постройте график полученной зависимости.

1.3 Укажите оптимальное положение точки подвеса грузов для дальнейших измерений.

Часть 2. Градуировка.

2.1 Измерьте зависимость отклонения нити x от числа скрепок N, подвешенных в оптимальном положении.

2.2 Постройте график полученной зависимости.

Теоретический анализ показывает, что при не очень больших углах отклонения нити от вертикали величина отклонения x связана с отношением масс грузов приближенным законом «трех вторых»:

где C - постоянный коэффициент, зависящий только от геометрических размеров установки и точки крепления грузов.

Примечания.

1. Не старайтесь получить эту формулу, потому что, во-первых, это не будет оцениваться, во-вторых, потратите много драгоценного времени, в-третьих, все равно не получите.

2. Справка для экспериментаторов x 2.2 На основании полученных экспериментальных данных проверьте, выполняется ли закон (1) для вашей установки.

2.3 Определите массу одной скрепки.

Часть 3. Проверка закона Архимеда.

Прикрепите к нити в оптимальной точке подвеса пластмассовую линейку, так чтобы ее нижний конец находился у дна сосуда. Доливая воду в сосуд легко добиться, чтобы часть линейки оказалась погруженной в воду.

3.1 Измерьте зависимость отклонения нити от длины погруженной в воду части линейки.

3.2 На основании полученных данных докажите справедливость закона Архимеда:

выталкивающая сила пропорциональна весу вытесненной жидкости.

3.3 Определите экспериментально плотность сырого картофеля.

Комментарии к условию задачи.

1. Подготовка и выполнение данной задачи не вызывает особых затруднений. Результаты измерений стабильны, достаточно точны и не обычны. Поэтому эту задачу можно рекомендовать учащимся 9 класса.

2. Пластмассовая линейка, входящая в перечень оборудования, необходима для проверки закона Архимеда – ее надо будет опускать в сосуд с водой. Поэтому диаметр сосуда должен быть таким, чтобы линейка входила в него вертикально. Удобно использовать обычную мензурку.

Решение и обсуждение.

В данной задаче предложена оригинальная конструкция весов. Главное ее достоинство – отсутствие трущихся деталей. Правда это достоинство достигается ценой усложнения градуировки – шкала весов, судя по формулам, приведенным в условии не линейна. Первые две части работы предназначены для настройки «прибора»: выбора оптимального режима и градуировки. В данном случае оптимальным, будет такой выбор параметров, при котором достигается максимальная точность измерений.

Непосредственно измеряемой величиной является отклонение, измеряемое линейкой.

Абсолютная погрешность измерения линейки является приблизительно постоянной, поэтому относительная погрешность будет минимальна при максимальном отклонении нити от вертикали. Скорее всего, приведенная формула (1) является приближенной, справедливой при небольших отклонениях. Поэтому необходимо искать некий компромисс: очень малые отклонения сложно измерять, при больших отклонениях может оказаться неприменимой приведенная формула. Именно поэтому требуется предварительная градуировка весов. В последней части работы предлагается проверить закон Архимеда (как будто у кого-то есть сомнения в его справедливости), а затем измерить плотность картофеля. Идея этого измерения была реализована еще самим Архимедом – гидростатическое взвешивание. Поэтому методика измерения хорошо известна. Можно приступать к выполнению работы31.

Часть 1.

1.1 Для измерений следует взять максимальное число скрепок N = 10, так как в этом случае отклонения максимальны, что облегчает измерения и повышает их точность.

Результаты измерений зависимости отклонения грузов x от положения точки подвеса a приведены в Таблице 1.

Таблица 1.

а, см х, см График полученной зависимости представлен на рис. 1.

Из полученных результатов следует, что максимальное отклонение достигается, когда точка подвеса находится в центре горизонтальной нити, поэтому эта точка подвеса является оптимальной для дальнейших измерений.

Очевидный результат!

Все экспериментальные данные приведены для установки с параметрами m0 = 15 г, погрешностями этих величин будем пренебрегать.

Часть 2. Градуировка.

Результаты проведенных измерений зависимости отклонения нити x от 2.1 -2. числа подвешенных скрепок N представлены в таблице 2.

Таблица 2.

х, см График полученной зависимости изображен на Рис. 2. Как видно из графика полученная зависимость является нелинейной. Для проверки выполнимости закона «трех вторых» предпочтительнее построить график зависимости x 2 от числа подвешенных скрепок32 (Рис. 3). Прекрасно видно, что эта зависимость является прямо пропорциональной, что однозначно подтверждает справедливость приведенной в условии формулы в исследованном диапазоне отклонений. Таким образом, установлена связь между массой подвешенного груза (единица измерения – масса одной скрепки) и отклонением груза. Эту зависимость можно использовать в качестве градуировочной, позволяющей по измеренному отклонению определять массу груза. Удобнее, конечно пользоваться подтвержденной функциональной зависимостью. Если бы оказалось, что закон «трех вторых» не выполняется, то в дальнейшем можно было бы использовать непосредственно график 2.

Подчеркнем, диапазон дальнейших измерений не должен выходить за пределы диапазона проведенной градуировки, так как вне этого предела полученные значения будут не обоснованными (хотя, и могут быть верными).

2.3. Для оценки массы одной скрепки необходимо знать коэффициент пропорциональности в формуле (1). Найти его значение по проведенным измерениям нельзя: нам не известно отношение масс грузов, известно только как изменяется это отношение – пропорционально числу скрепок. Поэтому для определения этого коэффициента можно воспользоваться скрепками: так если в качестве груза m0 взять скрепок, а в качестве груза m две скрепки, то отношение их масс известно точно При таких грузах отклонение нити при оптимальной точке подвеса составило Можно также использовать и более надежный метод: построить данную зависимость в логарифмическом масштабе и с помощью МНК определить: является ли полученная зависимость степенной; найти показатель степени и оценить его погрешность. Но… не все знают, что такое логарифм.

x0, 25 = (12,0 ± 0,1) см. В качестве погрешности мы выбрали цену деления линейки. Теперь коэффициент пропорциональности легко находится из формулы (1) В принципе, для определения массы скрепки (и для выполнения условия задачи), рассчитывать этот коэффициент необязательно, но, найдя его, мы закончили построение градуировочной функции.

Теперь можно воспользоваться полученными ранее данными: при m0 = 15 г и m = 10m1 ( m1 - масса одной скрепки) величина отклонения нити составила x = (13,0 ± 0,1) см. Используя очередной раз формулу (1), находим Возможно, что погрешность полученного результата занижена.

Чтобы каждый раз не заниматься решением уравнения (1), можно представить градуировочную функцию в более удобном виде. Для этого обозначим С = 4A 2, где A = x0, 25 = (12,0 ± 0,1) см и выразим значение массы и формулы (1):

В этой записи присутствует отношение отклонений, поэтому можно их измерять в любых единицах (например, в единицах длины скрепки). Относительная погрешность измерения массы в таком случае запишется в виде Часть 3. Проверка закона Архимеда.

Как и на любых весах, на данной установке реально измеряется вес тела (сила натяжения нити), который в обычно пропорционален массе. Если же тело частично погрузить в жидкость, то его вес уменьшится на величину силы Архимеда. Поэтому для проверки этого закона можно исследовать, как зависит вес тела от глубины его погружения. При вертикальном погружении пластмассовой линейки в воду, объем погруженной части (поэтому и сила Архимеда) пропорционален глубине погружения.

Следовательно, линейное уменьшение веса линейки с ростом глубины погружения подтверждает справедливость закона Архимеда.

В свою очередь, нами доказано, отклонение нити в степени «три вторых»

пропорционально весу тела. Для проверки закона Архимеда можно измерить зависимость величины отклонения x от глубины погружения линейки z. Тогда линейное убывание при увеличении z в очередной раз подтвердит правоту Архимеда.

Результаты измерения величины отклонения нити x от глубины погружения линейки z (при измерениях использовалась линейка длиной L = 10см ) даны в Таблице 3, а график этой зависимости показан на рис. 4. На рис. 5 построен линеаризованный график этой же зависимости.

Таблица 2.

z, см х, см Эта зависимость практически линейна, что подтверждает справедливость закона Архимеда.

Теоретики, вынужденные заниматься экспериментом, могут облечь эти простые рассуждения в алгебраическую форму, а затем обработать результаты измерений более изящно.

Так вес линейки, частично погруженной в воду равен С помощью градуировочной функции можно получить где x0 - отклонение нити для не погруженной в воду линейки. График 5 лучше строить в «нормированных» координатах x, L, тогда коэффициент наклона прямой будет равен отношению плотностей воды и пластмассы (график 6) 3.3 Так как закон Архимеда выполняется в наших условиях, то им можно воспользоваться для определения плотности сырого картофеля. Подвесим на нити в точке оптимального подвеса кусочек сырого картофеля, при этом отклонение нити равно x0 = 11,3 см.

Поднесем к кусочку картофеля стакан с водой так, чтобы он полностью погрузился в воду, при этом отклонение нити составляет всего x1 = 3,2 см. Используя закон Архимеда, можно доказать, что плотность тела рассчитывается по формуле где P0 - вес тела в воздухе, P1 - вес тела в воде 0 - известная плотность воды. Так как в нашей установке вес тела пропорционален отклонению в степени три вторых, то последнюю формулу можно преобразовать к «расчетному виду»:

Расчет погрешности этого результата проводится следующим образом:

Небольшое дополнение.

Использованный в данной задаче закон «трех вторых» может быть получен теоретически, на основании законов динамики. Действительно оказывается, что он справедлив при малых отклонениях. Проведенные измерения, подтвердившие экспериментально этот закон, подтверждают, что в использованном диапазоне измерений приближение малых углов вполне применимо.

Дополнение.

Все обозначения приведены на Рис. 1. Отметим, что длина l рассматриваемой установке равна расстоянию между точкой крепления опущенной из верхней точки подвеса A, а длина h «вертикальной» нити AB равна высоте точки подвеса AO.

То есть при отсутствии груза m нить занимает положение AOD.

Найдем зависимость отклонения x точки B от масс подвешенных грузов.

Положению равновесия соответствует минимум потенциальной энергии.

Потенциальная энергия системы грузов выражается формулой Понятно, что положение грузов однозначно определяется одним углом, в качестве такого «определяющего» угла выберем угол отклонения нити AB от вертикали.

Двигаясь по нити, перейдем от точки A до точки D, тогда проекции таких смещений на горизонталь равны а на вертикаль В ходе измерений угол отклонения нити достаточно мал, поэтому и здесь будем считать его малым, так что можно считать, что sin, cos 1, в дальнейшем также будем оставлять члены только первого порядка по. Используя это приближение, перепишем выражения (2)-(3) в виде (здесь обозначено h sin = x - измеряемое отклонение, имеющее первый порядок малости). Далее возводим эти выражения (4) в квадрат и складываем Раскрывая скобки и пренебрегая малым слагаемым x 2, выразим значение косинуса угла с точность до первого порядка Синус этого угла равен Теперь потенциальная энергия системы может быть выражена через величину отклонения нити Вычисляя производную и приравнивая ее к нулю, получим формулу, определяющую положение равновесия системы Получен «третий закон Кеплера» - куб смещения пропорционален квадрату отношения масс. Фактически эта формула является теоретической основой данного экспериментального задания. Отметим, что при постоянных массах грузов максимальное смещение нити достигается при a =, то есть измеряемый груз следует располагать по середине горизонтальной нити.

экспериментальных исследований достаточно часто ситуации, проведенному теоретическому анализу, но и законам физики. Вполне возможно, что причиной такого казуса является некий побочный фактор (хорошо, если один), не учтенный при разработке методики эксперимента. Иногда ситуацию спасает введение поправок в результаты уже проведенных измерений. Подчеркнем, что введение каждой поправки должно быть оправдано, описано и обосновано. Один пример на эту тему представлен в данном параграфе.

При столкновениях пластичных тел (например, шариков из пластилина) происходит неупругий удар – удар, при котором часть кинетической энергии шариков переходит во внутреннюю энергию. В данной задаче предлагается исследовать столкновения именно в случае неупругого удара.

Приборы и оборудование:

1. Штатив.

2. Линейка 40 см.

3. Пластилин (на одного участника один целый брусок) 4. Нитки.

5. Две скрепки.

Соберите установку, показанную на фотографии и на схеме. Линейку удобно закрепить на краю стола. Чтобы уменьшить закручивание нитей каждый шарик удобно подвешивать на двух расходящихся нитях (бифилярный подвес). Длина повеса должна быть не менее 60 см. К нижней части подвеса привяжите скрепку, к которой удобно прикреплять пластилиновые шарики. Для измерения отношения масс шариков можете использовать линейку как рычажные весы.

Рекомендация: удобно изготавливать шарики, массы которых относятся как целые числа: 1:2, 2:1, 3:4 и т.д.

Вам предстоит исследовать столкновения шариков, один из которых изначально неподвижен – желательно, чтобы после столкновения шарики двигались вместе.

Обозначим массу движущегося (ударяющего) шарика m0, а массу неподвижного - m1, а их отношение 0 =. Начальное отклонение нити от вертикали, измеренное по линейке обозначим x0, а максимальное отклонение после удара - x1.

Часть 1 – Теоретическая.

1.1 Рассмотрите неупругий удар при котором один шарик массой m1 покоится, а второй массой m0 налетает на него со скоростью v0. Покажите, что скорость слипшихся шариков после удара определяется формулой 1.2 Покажите, что отношение количества теплоты, выделившейся при неупругом ударе, к начальной кинетической энергии шарика определяется формулой 1.3 Покажите, что при малых углах отклонения (а в данной задаче их можно считать малыми, если длина подвеса значительно превышает величины отклонений) потенциальная энергия шарика пропорциональна квадрату отклонения нити x и массе шарика m где A - постоянный коэффициент, зависящий только от геометрических параметров установки;

а скорость шарика в нижней точке пропорциональна максимальному отклонению где B - постоянный коэффициент, зависящий только от геометрических параметров установки.

Часть 2. Отношение скоростей.

2.1 Измерьте зависимости отклонения слипшихся шариков после удара x1 от начального отклонения ударяющего шарика x0 при отношении их масс равных 0 = 1 и 0 = 2.

Постройте графики полученных зависимостей.

2.2 На основании полученных экспериментальных данных проверьте, можно ли считать, что отношение скорости шариков после удара к скорости ударяющего шарика является постоянной величиной. Проверьте выполнимость формулы (1) в вашем случае.

Часть 3. Потери энергии.

3.1 Измерьте зависимость отношения скорости шариков после удара к скорости шарика до удара от отношения их масс при неизменном начальном отклонении x0. Постройте график этой зависимости.

3.2 Постройте график зависимости относительных потерь механической энергии при неупругом ударе = 3.3 Сравните полученные графики с теоретическими зависимостями. Объясните полученные результаты.

При необходимости внесите корректировки и поправки в ваши расчеты.

Комментарии к условию задачи.

1. Подготовка оборудования не представляет никаких сложностей. Единственное пожелание – длины нитей должны быть порядка 1 метра. При этом их крепление должно быть проведено предельно аккуратно: в нижнем положении шарики должны быть на одной высоте, движение шариков должно происходить в одной вертикальной плоскости.

2. Для изготовления пластилиновых шариков известного отношения масс можно кусок пластилина разделить на несколько равных частей (например на 5) с помощью линейки, из которых потом лепить нужные шарики. Можно добавить в перечень оборудования весы с разновесами.

3. К сожалению, точность измерений в данной задаче не слишком высока, поэтому можно рекомендовать все измерения проводить 3-5 раз (авторы ограничились двумя), а в дальнейших расчетах использовать средние значения отклонений.

Решение и обсуждение.

Законы удара (в том числе неупругого) настолько подробно изучаются в курсе физике средней школы, что условие задачи и порядок ее выполнения очевидны и не требуют предварительного обсуждения.

Часть 1 – Теоретическая.

1.1 – 1.2 приведенные формулы следуют из законов сохранения импульса и энергии при ударе, более подробный вывод можете провести самостоятельно.

1.3 Из закона сохранения механической энергии следует, что при движении шарика от верхней точки до момента столкновения изменение его потенциальной энергии U = mgl (1 cos ) равно приобретенной кинетической энергии E = начального отклонения при малости последних выражается через измеряемое отклонение x следующим образом:

Следовательно, изменение его потенциальной энергии равно что подтверждает формулу (3). Приравнивая это выражение к кинетической энергии в нижней точке, получим, что его скорость что совпадает с формулой (4).

Часть 2. Отношение скоростей.

Из формулы (1) следует, что отношение скорости шариков после удара, к скорости ударяющего шарика есть величина постоянная, зависящая от отношения масс. Так как скорость шарика в нижней точке пропорциональна величине отклонения, то постоянство отношения скоростей должно приводить к постоянству отношения отклонений до и после удара. Поэтому и необходимо измерить зависимость, указную в п.2.1. Результаты измерений приведены в таблице 1 и на графиках рис. 1. (для каждого угла отклонения проведено два измерения) Таблица 1.

2.2 Полученные результаты неожиданны: связь между отклонениями линейная, но не прямо пропорциональная (прямые, не проходят через начало координат). Этот результат требует осмысления и объяснения33. Скорее всего, выявленное постоянное смещение связано с неправильным измерением величины отклонения после удара. Подтверждением этой гипотезы служит то обстоятельство, что обе прямые пересекают ось ординат практически в одной точке. Причиной этой систематической ошибки может служить, например, то, что шарики имеют конечные размеры, приводя конечности размеров шарика, приводящее к тому, что в положении равновесия нити не вертикальны. Эта Отклонения после столкновения (а следовательно, и скорости) превышают теоретические значения, поэтому обвинить виноватым сопротивление воздуха нельзя.

выявленная систематическая ошибка может быть исправлена введением поправки. По графикам можно определить, что прямые пересекают ось ординат в точке, координата которой примерно равна x1 13 мм. Поэтому в качестве величины отклонения после удара следует взять «исправленную» величину ~1 = x1 x1. С учетом поправки, величины отклонений (и скоростей) оказываются прямо пропорциональны друг другу, как того требует формула (1). По графикам также можно определить коэффициенты наклона (они не зависят от постоянной поправки) которые близки к теоретическим значениям 0,50 и 0,67, соответственно. Следовательно, можно считать, что формула (1) подтверждается экспериментально.

Полученные зависимости при наличии времени могут быть обработаны по МНК.

В результате расчетов коэффициентов линейной зависимости x1 = ax0 + b оказались равными:

Эти результаты более надежно подтверждают сделанный вывод о справедливости формулы (1).

Часть 3. Потери энергии.

Найденная поправка к измерению смещения после столкновения должна проявиться и в изучении потерь энергии при неупругом ударе.

Для проведения измерений необходимо подвешивать шарики различных масс. При этом для каждой пары разных шариков можно (и нужно) получить два результата: первый раз отклонять один шарик, а второй – другой.

Результаты измерений приведены в таблице 2. (Все измерения проведены при начальном отклонении x0 = 120 мм ).

Таблица 2.

Для построения требуемых зависимостей следует по экспериментальным данным рассчитать необходимые величины: отношение скоростей и относительные потери механической энергии. Так отношение скоростей, как и ранее, равно отношению отклонений Долю энергии перешедшей в тепло по экспериментальным данным следует рассчитывать следующим образом:

Графики этих зависимостей построены на рис. 2 и 3.

Выведенные в первой части задачи формулы позволяют найти теоретический вид этих зависимостей.

Так теоретическое значение отношения скоростей следует из формулы (1) условия:

Теоретическое значение относительных потерь энергии находится из формулы (2) условия задачи34:

.На рис. 2, 3 построены теоретические кривые, рассчитанные по формулам(3) и (4). Видно, что экспериментальные и теоретические зависимости различаются существенно и систематически. Более того, в некоторых случаях получен абсурдный результат – потери энергии отрицательны?

Здесь фактически приведен вывод этой формулы.

Причина подобных расхождений заключается в том, что не учтена поправка на отклонение нитей в положении равновесия. Эту поправку можно учесть, уменьшив величину конечного отклонения x1, мм на поправку x1 13 мм, найденную во второй части данной работы. То есть при обработке экспериментальных данных следует везде заменить x1 на исправленное значение ~1 = x1 x1. Учет этой поправки приводит к хорошему соответствию, которое продемонстрировано на рис. 3,4.

Дополнения.

1. Еще более впечатляющим и разумным способом проверки зависимости (4) посредством очевидного преобразования На рис. 6 приведена данная зависимость (с учетом поправки) и приведено ее уравнение – очень экспериментальных данных и теоретической зависимости.

зависимость обработать по МНК.

Вот уж действительно одна поправка (которая могла быть учтена при измерениях) спасла фундаментальные физические законы сохранения импульса и энергии.

3.8 Не все так просто!

Мы рассматриваем экспериментальные задачи олимпиад, а не просто отчеты о проведенной исследовательской работе. В некотором смысле, олимпиада это не только соревнование участников олимпиады между собой с целью выявления лучшего, но и соревнование разработчиков заданий с талантливыми школьниками. Авторы стремятся сделать задачу: физически корректной, выполняемой в отведенное время, красивой и оригинальной. Если задание выполнено практически полностью всеми участниками – то это плохое задание (как же тогда определить лучших?); если задание не выполнил никто – то это очень плохое задание (и в этом случае победителя определить невозможно). Часто красота задачи определяется неожиданностью, парадоксальностью результата, дающей возможность ученику проявить себя, свой характер – надо проявить силу духа35, что бы не усомниться в своих результатах, а дать объяснение (хотя бы словесное), или просто честно представить их в своей работе! Это рискованно, а вдруг, в расчеты или измерения закралась элементарная ошибка. Приходится решать, решаться или «опустить крылья».

В этом параграфе мы рассмотрим несколько примеров задач такого типа. В описании поиска подходов к их решению мы опять воспользуемся услугами молодого, но очень талантливого физика, от лица которого поведем изложение. Как известно, любимым словом участников олимпиад является «очевидно», даже в тех случаях, когда ничего очевидного нет. Поэтому это слово, мы будем выделять в рассуждениях нашего героя.

Интересно, в каких единицах она измеряется?

Механические свойства паст отличаются громадным разнообразием – познакомьтесь и изучите одно из этих свойств – способность оказывать Приборы и оборудование: тюбик зубной пасты, с продетой ниткой и гайкой внутри (1); набор грузов (2), штатив (3), линейка (4), секундомер (5), весы с разновесами.

Через тюбик с пастой протянута нить, на которой закреплена металлическая гайка (она находится внутри тюбика).

К нижнему концу нити можно подвешивать различные грузы, за верхний конец нити гайку можно вытягивать вверх. Если к нижнему концу нити подвесить груз достаточной массы, то он начнет медленно опускаться, протягивая гайку через пасту.

1. Измерьте законы движения подвешенных грузов для различных значений их масс.

Определите, можно ли считать это движение равномерным.

2. Используя полученные данные, рассчитайте средние скорости движения грузов в каждом случае.

3. Постройте график зависимости средней скорости движения гайки внутри пасты от массы повешенных грузов. Объясните полученную зависимость.

Комментарии к условию задачи.

1. Сорт зубной пасты принципиальной роли не играет.

2. Для проведения эксперимента следует срезать заднюю часть тюбика, проделать в пробке малое отверстие, через которое пропустить нить. Для того, что бы пропустить нить через весь тюбик с пастой можно воспользоваться куском тонкой проволоки.

3. Со временем паста начинает затвердевать на воздухе, поэтому эксперимент следует проводить быстро, сразу проводя все измерения. Можно добавить в верхнюю часть тюбика немного воды.

4. Набор грузов должен давать возможность подбирать наборы от 20 до 50 г.

5. При выполнении работы исполнитель постоянно перемазывается пастой, поэтому надо дать ему несколько салфеток.

Обсуждение и решение.

На первый взгляд задача выглядит не сложной, а простой и очевидной. Сила вязкого трения зависит от скорости, поэтому движение гайки будет равномерным (если пропустить небольшой начальный участок разгона). Будем надеяться, что движение не слишком быстрое – поэтому будет возможным измерить закон движения. Понятно, что для увеличения точности следует измерять времена, за которые грузик проходит фиксированные расстояния – так измерять удобнее. Какая там длина тюбика? сантиметров, значит можно снять 9 точек (через каждый сантиметр, меньше нельзя – лучше потом выбросить), достаточно, чтобы построить графики и убедится, что они являются прямыми. Это является доказательством того, что движение является равномерным (а каким еще?) Затем, по наклону прямых (или по МНК) можно будет найти скорости при каждой массе груза. Наконец, построить график зависимости скорости движения от массы грузов. Что может получиться? Очевидно, что сила сопротивления при движении гайки в пасте пропорциональна ее скорости (гайка ползет очень медленно), поэтому скорость должна быть пропорциональная массе груза. Ну может быть, что маловероятно, что сила пропорциональна квадрату скорости – тогда скорость должна быть пропорциональна корню квадратному из массы груза. Посмотрим.

Так, перемазался в пасту, но результаты получены и нарисованы в Таблице 1.

Таблица 1.

Скорость v, По этим данным строим графики зависимости времени движения от пройденного пути. Прекрасно, все точки почти идеально ложатся на прямые: движение, действительно, является равномерным. Не случайно, я построил зависимость времени от пути – случайная погрешность измерения времени больше, чем погрешность задания координаты. Что-то уже конец работы виден – осталось один график построить. Поэтому скорости можно подсчитать по МНК, да еще с погрешностями. Итак, представляем зависимость в виде параметр b должен быть приблизительно равен нулю. Коэффициент a - величина обратная скорости – время, за которое тело проходит единицу пути. Поэтому скорость и ее погрешность рассчитаем по формулам Промежуточные арифметические выкладки можно опустить, а значения скорости добавляю в таблицу. Прекрасные результаты:

процентов. Теперь график. Да, назвать эту зависимость линейной затруднительно. Но это и не корневая зависимость! А если плавно продлить кривую, то и нуль не попадешь. Действительно, не при всякой масса груза гайка начинает двигаться.

Так, мои предсказания не оправдались. Правы авторы, свойства пасты не обычны – это не вязкая жидкость. Искать вид зависимости по четырем точкам – работа бессмысленная, особенно, если вид зависимости не известен.

Какой же вывод? С ростом массы груза скорость гайки в пасте увеличивается. Эта скорость растет быстрее, чем при прямо пропорциональной зависимости. Возможно, что паста разжижается при увеличении давления на нее36.

Прекрасный вывод – оценивается высшим баллом. Действительно, паста – это неньютоновская жидкость, сила сопротивления которой зависит не только от скорости, но и от давления. Определить, вид зависимости также не представляется возможным. Авторы задач и ожидали, что будут честно проведены измерения, без подгонки под «очевидный» результат.

Задача 15. «Сопротивление электролита».

Известно, что растворы электролитов проводят электрический ток. Вам предлагается исследовать электрические свойства раствора поваренной соли в воде. Для этого используйте банку с раствором поваренной соли, в которую опустите два электрода.

Расстояния между электродами изменяйте, переставляя их в другие отверстия.

Старайтесь, чтобы во время измерений электроды располагались параллельно друг другу.

Задание 1.1. Измерьте зависимость напряжения между электродами от силы тока в растворе. Постойте график полученной зависимости. Попытайтесь объяснить полученные результаты.

Задание 1.2. Исследуйте зависимость сопротивления раствора от расстояния между электродами. Поясните, что вы понимаете под сопротивлением раствора. Постойте график полученной зависимости. Качественно объясните полученную зависимость.

Оборудование: Источник постоянного тока ЛИП-90; реостат лабораторный;

вольтметр лабораторный; амперметр лабораторный; банка стеклянная с крышкой капроновой с отверстиями; два алюминиевых электрода; соединительные провода, ключ электрический.

Примечания к условию задачи.

1. В качестве электродов рекомендуется использовать куски алюминиевой проволоки без изоляции диаметром около 1 мм, длина электродов должна немного превышать высоту банки (достаточно взять полулитровую банку). К электродам следует заранее подсоединить провода.

2. В капроновой крышке необходимо просверлить в один ряд, на расстоянии 1 см друг от друга, для того, чтобы в них вставлять электроды.

3. При проведении измерений раствор необходимо время от времени заменять на свежий, так как при протекании электрического тока его электрические свойства изменяются. С этой же цель рекомендуется включать ток только на время проведения измерений, для чего цепь должна содержать ключ.

Размышления и решение.

Простенькая задачка – проверить закон Ома, какая разница через что течет ток.

Внимательно, не перепутать: зависимость напряжения от силы тока37 (U - вверх, I - в сторону), иначе пару баллов снимут. Должна получиться прямая, что же еще? Потом U разделить на I, получится сопротивление. Лучше конечно, подсчитать по МНК, если успею, а нет, то и по графику можно будет снять. А как изменять напряжение (или силу тока) – хорошо, дали реостат. Потом переставить электроды (и поменять раствор) и все повторить. Сколько там дырок насверлили? Шесть – значит, получим пять прямых. Для каждой надо посчитать сопротивление и построить график зависимости сопротивления от расстояния. Тоже не сложно – очевидно, что сопротивление пропорционально расстоянию («ро – эль – на эс» - песня!).

Небось радиофизик писал, всякий нормальный физик знает, что ток зависит от напряжения, а не наоборот!

Приступим. Не забыть нарисовать схему. Собираем, подключаем, ток есть, напряжение есть, двигаем реостат – изменяется, больше ток – больше напряжение, как я и говорил. Теперь проводим измерения (подгоняем стрелку вольтметра под деление шкалы, снимаем силу тока – конечно, можно только с точностью пол деления, но я «на глазок», поточнее) результаты записываю в аккуратную табличку 1, движок реостата от одного края, до другого!

Таблица 1. Зависимость напряжения между электродами от силы тока.

Строим график, оси координат, разметка (начну с нуля – надо же показать прямую пропорциональность), подписать оси, название графика, нанести точки, провести прямую.

Стоп, почему не проходит через нуль? Проверяю: оси с нуля, значения тока и напряжения из таблицы – все верно. Плохо измерил? Проверю – еще раз включаю, смотрю – вроде все верно, конечно, сотые можно и немного другие записать, но это не принципиально! Так две точки поточнее. Изменяем ток в два раза: 0,3 ампера, напряжение – 2,4 вольта; ток 0, ампера, напряжение всего 3,6 вольта (а должно быть почти пять - 4,8). Поменять раствор?

А что изменится? Но все-таки поменяю, все равно, для следующих измерений менять надо! Все напрасно, данные те же. Что делать? Может провести прямую через начало?

Нет, как-то уж очень некрасиво получается! Этот график надо оставлять.

Появилось две проблемы: первая - объяснить, почему не проходит через нуль;

вторая – как тут считать сопротивление. Подумаем, что, значит, не проходит через нуль?

Тока нет, а напряжение есть? Батарейка какая-то! А может действительно батарейка?

Электроды, электролит – гальванический элемент! Попробую напрямую измерить напряжение, не пропуская тока. Отключаю – напряжение нуль! Откуда ему взяться – электроды одинаковые, где плюс, где минус? А когда проходит ток появляется и плюс и минус – но тогда и электрода становятся разными. Может быть. Так и напишем: «при пропускании тока банка становится похожей на гальванический элемент, поэтому появляется дополнительная ЭДС» - другого объяснения не вижу38.

Теперь о сопротивлении – не случайно этот вопрос поставлен в условии! Если просто делить напряжение на силу тока, то результат будет различным для разных экспериментальных значений тока и напряжения. Так делать нельзя. А как? Если есть дополнительное напряжение, то его надо вычесть! Отнять один вольт, можно! А лучше взять отношение изменения напряжения к изменению силы тока оно то будет постоянным. Но это же коэффициент наклона. Значит, лучше воспользоваться МНК, тогда еще и дополнительное напряжение (или ЭДС) получу.

Ладно, проведу измерения для остальных значений расстояния между электродами, а потом все обработаю. Табличку, измерения, результаты!

Таблица 2. Зависимость напряжения между электродами от силы тока, при различных расстояниях r между электродами.

зависит от расстояния. Понятно, сопротивление изменяется. Теперь графики. Здесь можно оси начинать не с нуля, через него прямые не проходят. Разметка, подписи, точки, прямые. Ну не совсем точно ложатся на прямые – а что они хотят с такими приборами?

Готово, подписать прямые: укажу значения расстояния.

И он оказался прав: при пропускании электрического тока через раствор электролита вблизи электродов собираются ионы разных знаков, этот эффект называется поляризацией электродов – благодаря этому и возникает дополнительная ЭДС. Ученик не обязан знать об этом явлении, но выдвинуть идею об этом обязан. Объяснение, приведенное нашим «молодым, но талантливым», достаточно для того, чтобы получить за него высший балл.

Что же получилось? Наклон изменяется, но прямые 2 и 3 почти параллельны. По графику сопротивления не очень то и снимешь: где-то в районе 4-6 Ом. Надо считать по МНК. Итак, напряжение между электродами зависит от силы тока по закону:

Параметры линейной зависимости между U и I равны коэффициент наклона - R сопротивление, свободный член U 0 - дополнительное напряжение (или ЭДС). Считаю – нужна еще одна Таблица 3. (Расчеты в черновике). И график – с погрешностями.

Таблица 3. Параметры линейных зависимостей между напряжением и силой тока при разных значениях расстояния между электродами.

Что радует - U 0 для всех прямых примерно одинаково (как это пишут – в пределах погрешности) – точно батарейка!

Сопротивление между электродами возрастает с ростом расстояния между ними, но не пропорционально этому расстоянию, а почему это должно быть пропорционально – между электродами не кусок провода! Отсутствие пропорциональности связано с тем, что происходит сложное растекание тока между электродами. Объяснить полученную зависимость сложно: теоретически необходимо искать распределение токов;

экспериментально – не хватает данных, и те не точны39.

И здесь он прав – в авторском решении сказано: большие погрешности результатов измерения сопротивления не позволяют установить вид зависимости.

Приборы и оборудование :

Сосуд для воды, 2 термометра, штатив с двумя лапками, стаканчики пластмассовые штуки, секундомер, мензурка, горячая и холодная вода.

Процесс передачи теплоты через перегородку подчиняется закону Фурье:

плотность потока теплоты q (количество теплоты, протекающее через площадку единичной площади в единицу времени) пропорциональна разности температур и обратно пропорционален толщине перегородки h где k - коэффициент теплопроводности материала перегородки.

Вам предстоит изучить процесс передачи теплоты от горячей воды (находящейся в сосуде) через пластмассовый стаканчик к холодной воде, находящейся в этом же стаканчике. Из закона Фурье следует, что поток теплоты (количество теплоты перетекающей от одного тела к другому за единицу времени40) пропорционален разности температур в этой формуле коэффициент K - называется коэффициентом теплопередачи. Этот коэффициент зависит от материала перегородки, ее толщины, площади и т.д.

Ваша задача проверить выполнимость закона Фурье (точнее следствие из него – формулу (2)) и определить коэффициент теплопередачи для одноразового пластмассового стаканчика.

Поместите стаканчик в банке (большом сосуде). Укрепите один термометр в штативе и опустите его измерительную часть в стаканчик, так чтобы она не касалась ни его дна, ни его стенок. Второй термометр поместите в банку. Во всех экспериментах заливайте в стаканчик 150 г холодной воды, в банку заливайте горячую воду. Уровни воды в банке и стаканчике должны совпадать.

Все измерения проведите для одного стаканчика и для «двойного стаканчика», (двух стаканчиков, вставленных «один в один»).

Несколько советов:

Рекомендуем начинать измерения с «двойного» стаканчика – они выполняются проще.

Не стремитесь заливать слишком горячую воду – температура будет изменяться слишком быстро, поэтому точно измерять крайне сложно. А еще - сильно горячая воды «жжется»!

Точность секундомера выше точности термометров – подумайте, как рационально использовать этот научный факт.

Будем обозначать время символом, чтобы не путать с температурами, за которыми оставим обозначение t.

В течение отводимых на выполнение этой задачи 2,5 часов измерения можно провести неоднократно.

Наконец, задания:

1. Измерьте зависимости температуры воды в стаканчике (напоминаем, один раз одинарный, второй раз двойной) и банке от времени.

2. Постройте графики полученных зависимостей.

3. На основании полученных данных проверьте справедливость закона Фурье в данных случаях.

4. Определите коэффициенты теплопередачи для одинарного и «двойного» стаканчиков.

5. Сравните полученные значения коэффициентов теплопередачи. Дайте объяснение полученных результатов.

Комментарии к условию задачи.

1. Для проведения измерений удобно использовать одноразовые пластиковые стаканчики.

Сосуд для горячей воды должен иметь широкое горлышко, чтобы в него помещался стакан и термометр. Нами использовался небольшой глиняный горшок. Стакан следует закрепить в лапке штатива. Во второй лапке штатива следует закрепить термометр.

2. Два термометра в данной работе необходимы, так как требуется одновременно измерять температуры остывающей горячей воды в сосуде и нагревающейся воды в стакане.

Следует стремиться к тому, чтобы измерительные части термометров находились внутри воды не слишком близко к стенкам.

Обсуждение и решение.

Условие задачи понятно и не блещет оригинальностью: при погружении стаканчика с холодной водой в горячую воду, холодная вода начнет нагреваться. Какая-то часть теплоты от горячей воды будет уходить в окружающую среду. Скорее всего, что потерями теплоты от воды в стаканчике можно пренебречь, так как, во-первых, он полностью погружен в горячую воду (теплопередачи со стенок нет); во-вторых, температура воды в нем не будет слишком большой. Кроме того, температура воды в стаканчике будет изменяться в больших пределах (воды в нем меньше, чем в горшочке).

Все это намекает на то, что надо наиболее тщательно измерять именно температуру воды в стаканчике. Следующее обычное правило: секундомер точнее термометра, поэтому буду измерять времена, когда столбик термометра будет достигать определенного значения (фиксируем температуру – измеряем время). Кстати, какая там цена деления? Два градуса, значит и будем измерять через два градуса.

Итак, вырисовывается следующая процедура измерения зависимости температуры от времени:

- собираю установку;

- заливаю воду (не перепутать: горячую в горшок, холодную в стакан);

- дожидаюсь момента времени, когда температура холодной воды достигла некоторой фиксируемой по риске термометра температуры t хол. 0 ; пускаю секундомер и одновременно замеряю температуру горячей воды t гор. 0 (она должна изменяться гораздо медленнее и в меньших пределах);

- жду, когда столбик термометра в стакане достигнет очередной риски t хол. k, и измеряю времени k, в этот же момент измеряю температуру горячей воды t гор. k (смотрю на холодный термометр, потом быстро на секундомер, а затем на холодный термометр:

два числа можно запомнить; пока вода нагреется до следующей риски, успею записать);

- продолжаю измерения до тех пор, пока разность температур не станет малой (два – три градуса).

Так, с измерениями разобрался. Теперь, что делать с результатами? Читаю еще раз задание: построить графики – не проблема. Проверить закон Фурье! Знать бы, что это такое! Ладно, формула (2) есть, опять пожалели бедного школьника, а могли бы и производную нарисовать. Внимательно разбираюсь с формулой: Q - количество перетекающей теплоты, надо понимать: от горячей к холодной за время, пропорционально разности температур T, Каких? Горячей и холодной воды. Логично! И еще коэффициент (надо полагать постоянный), который надо будет определить. Значит, для проверки закона надо знать три «дельты». А что я получу в эксперименте (если получу): набор времен к и температуры в эти моменты времени: горячей t гор. k и холодной t хол. k. Теперь «дельты» надо выразить через эти результаты:

- проще всего с интервалом времени k = k k 1 (эти интервалы будут разными);

- количество переданной теплоты пойдет на нагревание холодной воды (про потери пока забудем) на t = t хол. k t хол. k 1 градусов (эта величина фиксирована и равна t = 2°C ), поэтому количество полученной теплоты можно посчитать, как учили: Qk = сmt.

Удельная теплоемкость воды задана, масса воды задана – считается! Теперь можно будет посчитать и поток теплоты (надо точнее выразиться – средний поток):

Такая важная формула, что надо ее занумеровать – да, считать придется долго! Нет, числитель то постоянный – раз подсчитал и записал (а еще лучше на cm в самом конце домножить, по ходу буду считать, что теплота это разность температур – такая у меня система единиц!). Поэтому два разделил на разность времен (можно в уме) и получил поток – просто! С левой частью разобрался. Теперь разность температур – но они же изменяются, какие брать в начале промежутка, или в его конце?

Конечно, лучше среднюю по этому интервалу (тоже можно в уме посчитать):

Ну вот и все: все переменные в уравнении Красиво, надо даже нарисовать, что бы проверяющий понял.

Дальше построил график зависимости потока от разности температур, получил прямую, нашел ее наклон по МНК и получил коэффициент теплопередачи. Вывод даже сейчас могу написать:

«так как график прямая линия, то закон Фурье выполняется». Все аналогично для одного стаканчика: измерения, таблица, график, расчеты, еще один график, коэффициент наклона, получите: «для одинарного стаканчика коэффициент теплопередачи в два раза меньше, чем для двойного!». Наоборот, в два раза больше – он же тоньше.

Все – можно измерять. Результаты измерений зависимости температур холодной и горячей воды от времени представлены в таблице 1. Для результатов расчетов – еще две колонки (поток теплоты по формуле (1) без теплоемкости), средняя разность температур по формуле (2)) – для их расчетов нужны две строчки, поэтому первая в таблице будет пустой.

Таблица 1.

дальнейшего не нужный – опять проверяют, как умеем графики строить).

сглаживающую кривую нарисовать) – гладкие монотонные зависимости.

Полностью ожидаемые: холодная вода нагревается быстрее, чем остывает горячая. Диапазоны изменения также разумны – холодная нагревается на градусов, горячая остывает на 10, но ее примерно в три раза больше.

Так, что можно ожидать хорошего основного графика – зависимости потока теплоты от разности температур.

Рассчитываю, строю … Да, не очень. Особенно хвост какой-то из последних двух точек. Правда, это первые точки (по измерениям) – плохо измерял? Возможно, там и температуры изменялись быстрее, еле успевал записывать. Возможна и другая, физическая причина. Эти измерения проводил непосредственно после того, как залил воду – не установился еще тепловой режим41: конвекция, перераспределение температур и т.д.

и т.п.

Надо согласиться, вполне возможные причины, только можно было бы, и назвать какой режим не установился – квазистационарный.

Ладно – эти точки при расчетах отбросим, остальные то легли примерно на прямую.

Нарисуем ее. Еще одна проблема: она не походит через нуль. Может быть, погрешности измерений повлияли? Надо рассчитывать параметры линейной зависимости y = ax + b конечно, по МНК:

Сравним с графиком: похоже на правду и наклон, и отсечение на оси. Правдоподобно? А с чем сравнивать? Какой смысл имеет параметр a ? Размерность обратная времени, значит, время нагревания холодной воды на 1 градус при разности температур тоже 1 градус. И сколько же это получается 360 c - немало (6 минут). Но у меня разность температур гораздо выше: возьмем 20° - время нагревания на 1 градус в двадцать раз меньше:

получаем – 18 секунд. А по моим данным от 34° до 36° нагрелась примерно за тридцать секунд: по порядку величины сходится – грубой ошибки в расчетах нет. Ну, и конечно, погрешность этого коэффициента (около 7%) тоже может свою роль сыграть.

Разберемся с b. Что это такое? Жаль, что не нуль! Какой смысл этого: разность температур нуль, а поток теплоты идет!? Интересно, в какую сторону, по инерции, что ли?

Формально, при какой разности температур поток станет равным нулю?

(t )q =0 = b 8°. Невероятно, может я на столько ошибся при расчете разностей температур? Не может быть! Точно объяснить не могу, причин много: погрешности измерений (одна погрешность b около 20%); точнее надо было находить среднюю разность; да и метод расчета, честно скажем, не очень хорош: опять приходится считать разности. Оставлю, как есть, без комментариев. Все-таки коэффициент теплопередачи найден с неплохой точностью. Кстати, чуть не забыл. Найти значение этого коэффициента: надо умножить a на теплоемкость воды в стакане:

Относительная погрешность 6%. Неплохо, для таких приборов!

Теперь все то же для одного стаканчика. Измеряю, результаты в таблицу 2.

Таблица 2.

Рассчитываю потоки теплоты и средние разности и туда же в таблицу. Теперь два графика, для одного стаканчика.

Еще хуже – не зря рекомендовано сначала провести измерения для двойного, там и измерять было легче (медленнее нагревался) и результаты приличнее. Что сейчас делать?

Семь первых точек надо отбрасывать! Кстати, по времени, почти, как и в первой серии – первую минуту можно не измерять. Ничего не поделаешь. Осталось 6 точек, по ним провожу прямую и рассчитываю параметры линейной зависимости:

Погрешности под 20% - и точек меньше, и пляшут больше. Все те же проблемы с параметром b. По этим данным поток должен прекратиться при разности температур (t )q =0 = b 7°. Интересно, что почти такое же значение. Но это секретные данные.

Не забыть: коэффициент теплопередачи Но этот коэффициент больше чем в два раза превышает коэффициент теплопередачи для двойного стакана! А может все в пределах погрешности? Найду их отношение:

два раза (в пределах погрешности).

Осталось сделать выводы:

- Закон Фурье выполняется;

- значения коэффициентов теплопередачи равны и отличаются примерно в два раза, хотя, возможно, что большее уменьшение этого коэффициента для двойного стаканчика объясняется неплотным прилеганием стенок стаканов друг к другу и наличием малой прослойки воздуха между ними.

Вот выдал, а что? Рамы оконные тоже двойными делают!

А все-таки интересно, в два раза уменьшается теплопередача или больше? При такой точности измерений ответить точно нельзя. Все дало в методе – вечные проблемы с этими разностями! Можно ли результаты обрабатывать по-другому, не считая отношения разностей. Это же фактически я так производную рассчитывал. Недавно читал, что операция численного дифференцирования незаконна (точнее, не корректна). Как бы экспериментальную кривую, без пересчета, обрабатывать? Надо будет обдумать дома. Но не сегодня – устал. И не завтра – надо же будет за дипломом с медалью идти!

Дополнение к задаче. Домашняя работа42.

Вот я и дома, теперь загоню свои данные в Excel – смогу этих графиков настроить, этих коэффициентов насчитать по МНК – сколько душе угодно. Важно только сообразить, что считать, что строить – этого мне никакой компьютер не подскажет. Начну с результатов по двойному стаканчику: точек больше, Итак, основная идея – целиком обрабатывать экспериментальные графики. Что мне необходимо сделать? Проверить выполнение закона Фурье, раз; найти коэффициенты теплопередачи, два! Что я делал? – анализировал поток, как функцию разности температур, на основании зависимости температуры (двух температур) от времени.

Значит, надо от потока перейти к температуре. А что такое уравнение закона Фурье, как не связь между скоростью изменения температуры с температурой: как в механике, известна зависимость скорости от координаты, надо найти зависимость координаты от времени! Эта же задача решается! Конечно, я анализировал производную, а надо анализировать саму функцию, но тогда надо знать ее вид! Эх, если бы я знал вид этой функции, я бы и на олимпиаде ее проверял и искал ее параметры! Жаль, не умею я решать такие уравнения. А если подумать? Производная пропорциональна самой функции. Где-то я уже такое встречал, и не раз: разрядка конденсатора – сила тока (производная от заряда) пропорциональна заряду; торможение тела в вязкой жидкости – ускорение (производная В очередной раз восхитимся нашим учеником – действительно, у него появилась блестящая идея исследовать не производную от экспериментальной функции, а саму функцию. Посмотрим, что у него получится!

от скорости) пропорциональная скорости. Здесь то же самое: скорость изменения температуры линейно зависит от температуры. Ура, решение будет экспонентой с параметрами разберусь потом. Надо логарифмировать. То есть логарифм температуры должен линейно зависеть от времени:

Проверить элементарно – времена есть, температуры есть, строим.

Столбец для логарифма ln t хол. k, столбец для логарифма ln t гор. k, мастер диаграмм, готово. И это прямые? Нет, конечно!

Проверяю – можно пару точек и «вручную» проверить, что я глупее Excel’я? Все правильно. Может, потери теплоты в воздух виноваты? Но в моем решении они не проявились, или я не заметил? За что же тогда медаль дали? Что-то я напутал. Посмотрю еще раз на свою функцию (1). Конечно, кто такое придумал? Разве температура должна стремиться к нулю, как эта функция? Нет, функция должна быть другой. Что у нас должно стремиться к нулю – разность температур. Похоже, что разность температур надо логарифмировать (а логарифм разности не равен разности логарифмов!). Попробую: еще один столбец для разности температур (t гор. k t хол.k ) (и не надо никаких средних), еще один столбец для логарифма разности ln (t гор. k t хол. k )и на график: Здорово, конечно не идеальная прямая, но очень близко, особенно если несколько первых точек отбросить! Я на верном пути. Что с эти графиком делать? Нужно знать страшного!), но используются (измерены хорошо), и горячей пошедшей на нагревание холодной воды, равно количеству теплоты, полученной от горячей):

все, что относится к холодной пойдет с индексом 1 t1 - температура (зависит от времени);

C1 - теплоемкость (полная, а не удельная); все, что относится к горячей - с индексом 2.

Хорошее уравнение, только решить его нельзя – две неизвестных (температура горячей тоже изменяется). Надо записать такое же уравнение для горячей (только она отдает теплоту) Уравнений два, неизвестных две, но как их найти? Справа в обоих уравнениях разность температур, надо сделать ту же разность А вот это уже совсем знакомо: постоянный коэффициент при разности и есть показатель экспоненты.

Обозначу его, как и раньше:

Как его находить по экспериментальным данным известно: это коэффициент наклона графика в полулогарифмическом масштабе. Даже если я его найду, то чтобы найти коэффициент теплопередачи надо знать теплоемкости. Теплоемкость холодной воды известна: C1 = cm, а для горячей? Измерить объем горячей воды? А теплоемкость горшка, наверное, не маленькая. Надо тоже рассчитывать по экспериментальным данным. Не сложно – знаю изменение температуры холодной, знаю изменение температуры горячей – легко найти отношение теплоемкостей, да, именно отношение! Еще одно обозначение:

=, тогда показатель экспоненты имеет вид:

Теперь «теоретическая» модель построена: разность температур горячей и холодной воды зависит от времени по закону:

где (t 2 t1 )0 - начальная разность температур, которую мне знать и необязательно, в логарифмическом масштабе она уйдет в свободный член. Ну и хорошо, мне же надо будет отбрасывать плохо измеренные начальные точки!

А как же зависят от времени сами температуры? Должны содержать такие же экспоненты - иначе их разность не будет иметь вид (5). А что будет стоять перед экспонентами: тоже должна быть какая-то разность, причем, стремящаяся к нулю. Ну конечно, отклонение от конечной (стационарной) температуры, которую обозначу.

Как это я сразу не догадался: всегда по экспоненте убывает отклонение от стационарного значения: и заряд при зарядке конденсатора, и скорость лодки при разгоне! Поэтому температуры воды должны зависеть от времени по законам Оказывается, теоретиком быть не сложно, если думать, как физик, а не как математик!

Теперь у меня есть целы три способа определения показателя экспоненты (а через него и коэффициента теплопередачи): «по холодной воде», «по горячей воде», по разности температур! Интересно, а совпадут ли эти показатели? Хорошо бы! Теперь последнее: а как мне построить зависимости (6)-(7) в логарифмическом масштабе, если неизвестна конечная температура? Просто логарифмировать температуры я уже пробовал, теперь понятно, почему ничего хорошего не получилось! Надо искать поточнее конечную температуру и, чуть не забыл, отношение теплоемкостей. Все эти величины входят в уравнение теплового баланса, надо его записать:

а если использовать отношение теплоемкостей 1 =, то еще проще Так оно же линейное: строй зависимость t1 от t 2, получай прямую (если получится!), обрабатывай ее по МНК (тогда лучше t 2 от t1, температура холодной измерена точнее) и находи, что тебе надо: два параметра линейной зависимости, две неизвестных. Еще одна мысль: использовать разность температур t = (t 2 t1 ), построить ее зависимость от t (или от t 2 ), и смотри при какой температуре разность станет равной нулю! А эти зависимости тоже должны быть линейными. Какой способ лучше; наверно, разность как функция температуры холодной (она точнее!). Хотя лучше попробовать все три способа и сравнить. Последнее теоретическое усилие: привести все три зависимости к явному линейному виду, выразить параметры зависимостей через конечную температуру и отношение теплоемкости, наконец, выразить неизвестные (и их погрешности, иначе как сравнивать) через параметры линейных зависимостей– с этим даже экспериментатор справится. Проделаю эту работу в табличке (я же все-таки больше экспериментатор, а какой экспериментатор без таблицы). Ну вот и готово: Таблица 1.

Теперь можно построить графики:

Здорово и красиво! Если бы потери теплоты были существенны, то прямые бы не получились. А хорошо видно, что в начале точки явно отходят от прямой – то ли плохо измерял, то ли, действительно, заметно нагревание воздуха. Поэтому первый график можно назвать проверка закона сохранения теплоты. Вывод: почти сохраняется! По второму графику сразу можно определить конечную температуру: продолжаю прямые до пресечения с осью и получаю значение конечной температуры (когда разность равна нулю) – странно, совпадает! А на первом графике надо провести прямую с уравнением t 2 = t1 ( в самом уголочке поместилась) и найти точку ее пересечения с построенной прямой – то же приблизительно 49°. Действительно здорово, первые точки отбросил, а конечную температуру нашел по усреднению всех остальных точек. Имеет смысл повозиться с методом наименьших квадратов для всех прямых. Считаю, результаты в таблицу 2.

Таблица 1. Теоретические результаты.

Уравнение теплового баланса Замена переменных Теоретическая зависимость Вид линейной зависимости Обозначения переменных зависимости линейной зависимости Погрешность определения конечной температуры отношения теплоемкостей Погрешность определения отношения теплоемкостей Таблица 2. Результаты расчетов.

Параметр a (К/c) погрешность погрешность температура, °C погрешность теплоемкостей погрешность Прекрасное соответствие результатов, полученных тремя методами! Как и ожидалось, наибольшая погрешность получилась в третьем методе («по горячей воде») – но и здесь погрешность не высока 3-4%.

Немного странно, что в первом методе относительная погрешность конечной температуры оказалась меньше чем, относительная погрешность расчета коэффициента наклона. Хотя в формулу (и в погрешность) входит (1 a ), поэтому этот параметр не сильно влияет на конечный результат.

Итог: потерями теплоты в окружающую среду можно пренебречь. Конечная температура воды должна стать равной отношение теплоемкостей воды в стакане и сосуда с горячей водой равно Еще один парадокс: точность рассчитанного значения температуры выше точности термометра? Можно объяснить так: если у термометра есть приборная систематическая погрешность (сдвиг шкалы), то она вошла в конечный результат, но в дальнейшем надо использовать разности показаний, поэтому постоянный сдвиг не существенен; результат получен по усреднению большого числа данных со случайными ошибками (ошибка округления то же случайная), поэтому результат усреднения может иметь более высокую точность, чем точность отдельного значения (или я не прав?).

Полученное значение конечной температуры позволяет построить временные зависимости температур (5)-(7) в логарифмическом масштабе – строим.

Получилось не плохо – если отбросить несколько первых точек, то остальные добросовестно ложатся на прямые; проводим их – замечательно, «на глаз» они параллельны!

А что покажут расчеты по МНК коэффициентов наклона:

- «по холодной воде»:

a = (6,50 ± 0,45) 10 3 c 1 ;

- «по горячей воде»:

a = (6,23 ± 0,38) 10 3 c 1 ;

- по разности температур:

a = (6,43 ± 0,36 ) 10 3 c 1.

Результаты согласуются между собой (и погрешности близки), поэтому можно их усреднить и принять где погрешность примерно в 3 раз меньше погрешности одного результата1. Наконец, рассчитываем коэффициент теплопередачи с помощью формулы (4):

что в полтора раза отличается от полученного ранее. А погрешность:

что составляет всего 3%. Конечно, этому результату следует доверять гораздо больше.

Что провести расчеты для одинарного стаканчика достаточно в Exсel загнать таблицу результатов измерений температур для него. Не буду выписывать все промежуточные выкладки, приведу только графики и конечный результат.

Качественно, все то же самое, только разброс больше, особенно для начальных точек – их надо отбрасывать!

Расчет конечной температуры и отношения теплоемкостей приводит к стыкующимся результатам только с заметно большей погрешностью, которая минимальна для зависимости (2) – «по холодной воде»:

Несущественная неточность – скорее надо делить на серии.

как и следовало ожидать, совпадает с данными по двойному стаканчику.

логарифмическом масштабе) также дают более заметный разброс. Здесь пришлось отбросить не только начальных точек, но и одну последнюю – больно далеко она оставшимся точкам прямые получились примерно параллельными. Усредненное значение показателя экспоненты оказалось равным Соответственно, значение коэффициента теплопередачи равно с относительной погрешностью 3% ( а не 15%, как было раньше). Таким образом, отношение полученных коэффициентов очень близко к двум (хотя и чуть-чуть выше, но в пределах погрешностей), поэтому нет необходимости приписывать нарушение здравого смысла (и физических законов, что почти одно и то же) пагубному влиянию воздуха!

Вот такая замечательная работа получилась – неожиданно. Конечно, выполнить ее в отведенное время, да еще вручную, на олимпиаде невозможно. Но не жаль потраченного времени. Если бы в условии дали формулы для временных зависимостей и подсказали, что с ними делать, то по одной из трех методик можно было бы и посчитать, особенно с компьютером! Ведь будут когда-нибудь на олимпиаде в качестве оборудования (и маленького сувенира) выдавать ноутбук, тогда на физической олимпиаде можно будет заниматься физикой, а не арифметикой2!

И опять надо соглашаться с этой, увы, утопической идеей.

Приборы и оборудование: Лампочка накаливания 2,5 В; батарейка 4,5 В; реостат;

проволочный резистор; амперметр школьный; мультиметр; ключ электрический;

соединительные провода; термометр.

Часть 1. Сопротивление резистора.

1.1 Проверьте выполнимость закона Ома для проволочного резистора.

1.2 Определите с максимально возможной точностью сопротивление проволочного резистора.

Часть 2. Вольтамперная характеристика (ВАХ) лампочки накаливания.

Подсказка – рекомендация: В дальнейших измерениях не используйте амперметр, так как его точность не достаточна для получения надежных результатов.

2.1 Измерьте ВАХ лампочки накаливания. Постройте ее график.

2.2 Определите сопротивление нити накала лампочки при комнатной температуре с максимально возможной точностью.

2.3 Постройте график зависимости сопротивления нити накала от силы тока через лампочку.

2.4 Дайте качественное объяснение полученных зависимостей.

Часть 3. Механизмы теплоотдачи.

Подсказки:

1. Сопротивление металлических проводников R возрастает при возрастании температуры T по закону где T = T T0 превышение температуры проводника над комнатной температурой T0 ;

R0 - сопротивление проводника при комнатной температуре; - температурный коэффициент сопротивления.

Для вольфрама, из которого изготовлена нить накала, = 4,50 10 3 К 1.

2. Мощность теплового излучения нагретых металлов пропорциональная четвертой степени абсолютной температуры (закон Стефана – Больцмана3) Строго говоря, этот закон справедлив для абсолютно черного тела. Металлы таковыми не являются, однако с хорошей точностью коэффициент поглощения металлов постоянен. Тела, обладающие таким свойством, называются серыми. Формула (2) справедлива и для них, но при этом коэффициент в законе Стефана – Больцмана отличается от постоянной Стефана – Больцмана.

где Pрад. - энергия, испускаемая нагретым телом в единицу времени (далее называемая мощностью радиационных потерь); a - постоянный коэффициент, зависящий от размеров и материала металлического тела.

3. Передача теплоты (тепловые потери) от нити накала в окружающую среду осуществляется посредством различных механизмов.

3.1 Постройте график зависимости тепловых потерь нити накала от ее абсолютной температуры.

3.2 На основании экспериментальных данных определите, применим ли закон Стефана – Больцмана к излучению нити накала лампочки.

3.3 Определите, какая доля теплоты, отдаваемая лампочкой в окружающую среду, передается посредством излучения. Постройте график зависимости этой доли от температуры нити накала.

Комментарии к условию задачи.

1. Для выполнения данной задачи нужна высокая точность измерений. Поэтому необходимо использовать цифровой мультиметр, работающий в режиме вольтметра.

2. В работе используется стандартный проволочный резистор сопротивлением 1 Ом.

3. Термометр необходим только для измерения комнатной температуры (можно один на всех).

4. В качестве источника тока можно использовать и ЛИП.

5. В качестве реостата используется школьный переменный резистор сопротивление 6 Ом, к которому следует подключить третий вывод, что бы включать его по схеме реостата.

Размышления и решение.

Условие не очень длинное и понятное. Ожидаемые результаты очевидны. Для проволочного резистора закон Ома (для участка цепи – забыли?) выполняется – это мы еще на заре изучения физики проверяли. Для лампочки связь между силой тока и напряжением должна быть нелинейной: при увеличении силы тока нить будет разогреваться и ее сопротивление возрастать. Следовательно, сила тока будет возрастать медленнее. Очевидно, что когда лампочка начнет светиться, то основные потери теплоты будут (как это назвали?) радиационными, надо понимать – излучением. В чем это должно проявляться? Мощность общих потерь теплоты должна быть пропорциональна четвертой степени температуры. Проверить это элементарно – построить график зависимости мощности потерь от температуры в логарифмическом масштабе и убедится, что коэффициент его наклона примерно равен четырем! Кстати, а как найти мощность потерь?

Энергию излучения измерить нечем! Да это же просто энергия, выделяющаяся на лампочке – ее мощность равна произведению силы тока на напряжение – куда еще этой энергии деваться! Интересно, а сопротивление равно отношению напряжения и силы тока.

Красивая зависимость: произведения от частного.

Теперь о температуре. Термометр в лампочку не засунешь! Но температура входит в формулу для сопротивления: сопротивление рассчитаю, а затем с помощью формулы (1) найду температуру. Комнатная температура известна – сколько там на термометре? Как обычно - 20°С (один результат измерения уже есть!). Хорошо, фактически нужно поточнее измерить ВАХ - какую характеристику. А дальше все рассчитывается.

Последнее – как измерять? Понятно, что реостат нужен для того, чтобы изменять напряжение (молодцы – третий вывод подключили). Амперметр надо будет подключить последовательно, мультиметр (как вольтметр) - параллельно резистору, без фокусов. Для измерения вольтамперной характеристики лампочки настоятельно не рекомендуют использовать амперметр (и правильно – сколько можно пользоваться этим старьем). А как тогда измерять силу тока? Понятно теперь зачем нужна первая часть – включу проволочный резистор (так по внешнему виду сопротивление пара Ом) и лампочку последовательно и буду измерять напряжение на лампочке, так приказано, а на резисторе для измерения силы тока. Все понятно, осталось сделать.

Часть 1.

Собираем схему. Нет, сначала ее нарисуем.

Красивые ступеньки получились, и ключ на месте!

Собираем, полярность приборов не попутать, включаем ток есть, напряжение есть. На каком диапазоне лучше измерять – похоже, что 2000 mV. Двигаю движок реостата, сила тока изменяется, напряжение тоже – можно измерять.

Как обычно: буду подгонять стрелку амперметра к делению шкалы, а затем снимать показания вольтметра – так точнее. Результаты измерений (через каждое деление и весь диапазон) в таблицу 1.

Таблица 1. Зависимость напряжения на резисторе от силы тока.

Строю график (так как измерял: напряжение от силы тока – это тоже ВАХ). Ну, что я говорил – практически идеальная прямая! Так как сопротивление надо определить с максимально возможной точностью (и погрешность считать надо), то надо обрабатывать по МНК. Записываем Очевидно, что здесь коэффициент a есть сопротивление резистора a = R (хорошо, меньше считать), а b - должно быть равно нулю. Считаем, получаем:

С сопротивлением просто замечательно – один Ом, поэтому напряжение на нем численно равно силе тока (можно будет и не делить!). Кроме того, очевидно, что вольтметр можно считать идеальным – его сопротивление намного больше сопротивления резистора, будем надеяться, что и лампочки.

А вот с b «неувязочка вышла» - не равно нулю. Чуть-чуть, но не нуль. Будем считать, что закон Ома выполняется, а шкала амперметра чуть сбита – вполне правдоподобно! Посмотрю – похоже, что стрелка не на нуле при выключенной цепи.

Хотя это и не принципиально – все равно этот амперметр теперь можно выбросить!

Часть 2.

Новую схему надо нарисовать: амперметр заменить на лампочку. Как это показать, что одним вольтметром измеряю два напряжения?

Нарисую стрелочки в местах подключения (неужели жюри будет придираться?).

Проверяю, включаю – работает! Измеряю, результаты (сила тока I – в миллиамперах, то же, что напряжение на резисторе U в милливольтах;

напряжение на лампочке, тоже в милливольтах) в Таблицу 2. Так, что мне еще надо будет строить? Сопротивление: R = («мили» сокращаются, получаются Омы).

Таблица 2. ВАХ лампочки.

I, мА U, мВ R, Ом Так, теперь строим график вольтамперной характеристики (пусть теперь будет физическим: сила тока от напряжения). Если бы подгонял, то нарисовал бы его более плавным – так он похож на два отрезка прямых. Кстати, излом как раз в том месте, где лампочка начинает светиться (при токе около 200 мА).

график зависимости сопротивления от силы тока? Строю. Тоже наугад не угадаешь!

Качественное объяснение (я так понимаю, что без формул) очевидно: при малых токах температура нити приблизительно равна комнатной, когда нить начинает светиться, ее температура возрастает, поэтому возрастает ее сопротивление, как написано в формуле (1) и как видно на графике зависимости сопротивления от температуры.

На вольтамперной характеристике лампочки зависимость тока от напряжения становится более пологой.

Вроде понятно, но эти изломы являются «какой-то характерной особенностью», в области которой густота точек должна быть больше (так учили!).

Хорошо, что дали одну задачу на 5 часов. Время есть – надо в области излома получить побольше точек (еще промерить, это не долго, а жюри не придерется4). Результаты в таблице 3 и на графиках.

Таблица 3. Дополнение Таблицы 2.

I, мА U, мВ R, Ом Конечно, при таком малом интервале никаких изломов не видно, они превратились в изгибы, достаточно плавные переходы, что по-хорошему радует!

Похоже, что с первыми двумя частями управился и не плохо. Чуть не забыл, а сопротивление холодной нити? Может взять минимальное значение сопротивления из Таблицы 2? Нет, надо же «с максимально возможной точностью»! Лучше еще измерить в Правильные рассуждения, правильный подход! Только в данном случае эти дополнительные измерения не обязательны (можно было добавить несколько точек на предыдущие графики), так как основной интерес представляют измерения в предельных областях малых и больших токов.

области малых токов5. Здесь можно прейти и в другой диапазон измерения напряжения 200 мВ, точнее будет. Вот только реостатом труднее регулировать малые токи. Тем не менее - результаты в очередной Таблице 4.

Таблица 4. ВАХ холодной лампочки.

Рисуем график: оси, подписал, оцифровал, точки нанес. Вроде все на прямой. А если приложить линейку – заметно, что немного уходят вверх. И тут нить немного нагревается!

Проведу через первые точки – сколько их легло на прямую? Шесть штук, по ним и рассчитаю (опять МНК), вот и результат:

Замечательно, погрешность сопротивления меньше одного процента! И с b все в порядке – это нуль; во-первых, меньше погрешности расчета, во-вторых, на порядок меньше цены деления. Прав Георг Симон Ом, если пользоваться нормальным прибором!

Продолжаем.

Часть 3.

Сначала надо немного поразмыслить. Здесь надо искать зависимости мощностей от абсолютной температуры. С суммарной мощностью понятно: P = UI (если и то и другое в «мили», то уже получится «мили в квадрате» - это «микро», но числа получаются слишком большие, поэтому перемножу, а потом в уме разделю на тысячу – получаться милливатты).

Радиационные потери надо считать по-другому. Хорошо бы найти коэффициент пропорциональности в формуле (2). Может по крайней точке – считать, что при максимальном токе вся теплота уходит от нити благодаря излучению? Тоже выход, на крайний случай. А если «Степа Больцманов» тут не применим? Надо же сначала это проверить. Температуру найдем: из формулы следует, что абсолютную температуру нити надо рассчитывать по формуле А вот эти измерения необходимы – значение сопротивления холодной нити нужно для дальнейших расчетов!

здесь T0 = 20°C + 273°C = 293° K - абсолютная комнатная температура (плюс-минус градус, или пара градусов).

Напряглись: результаты расчетов в таблице 5.

Таблица 5. Расчет температуры и мощности.

Все как предсказано: мощность резко возрастает с ростом температуры. На степенную функцию очень похоже, но какой степени? Проверять формулу (2) «в лоб», построив зависимость мощности от четвертой степени температуры – работа для начинающих талантов! Я же сразу могу определить показатель степени в зависимости с помощью логарифмирования этой логарифмическом масштабе. Что-то зависимости. Хотя через последние точек пять-шесть прямую провести коэффициент наклона (он же показатель степени):

Но это же, увы, сильно отличается от ожидаемой четверки!

Почему? Погрешности измерений? Но сопротивления были хорошо измерены, поэтому и температуры и мощности, должно быть, рассчитаны хорошо.

Закон Стефана-Больцмана здесь не применим? Сомнительный вывод. А что в условии подсказывали про него? Внимательно, пункт третий – разные механизмы теплопередачи!

Действительно, сама лампочка нагревается, поэтому есть теплопередача в воздух (теплопроводность, конвекция). Она тоже зависит от температуры? Возможно, пропорционально температуре, или разности температур лампочки и воздуха? Не будем шарахаться от одной крайности в другую: все-таки, когда нить светится, основные потери должны быть за счет излучения. Поэтому остальные потери составляют небольшую добавку, которую приближенно можно считать пропорциональной температуре (не очень даже важно в Кельвинах, или Цельсиях). Попробуем.

Итак, представим потери теплоты в виде суммы6 радиационных (пропорциональных четвертой степени температуры) и остальных (пропорциональных температуре):

Эту зависимость линеаризуем:

Построим теперь график зависимости отношения мощности к температуре от куба температуры. Температура в кубе – слишком большое число, для упрощения буду делить температуру на тысячу (потом этот множитель учту). Расчеты закончены, строю график и … ура!

Получилось! Гораздо лучше, чем было! Несколько начальных точек (от них никто ничего хорошего не ждал) выпали, но оставшийся десяток то очень точно легли на прямую, параметры которой равны (опять по МНК):

Проведу еще одну проверку. Построю зависимость мощности радиационных потерь от температуры в логарифмическом масштабе (для последних десяти точек) и соответствии с формулами Здорово, почти идеально. А показатель степени? Считаю:

Замечательная экспериментальная идея, не обоснованная, но вполне разумная. А обоснование может быть дано на основе полученных результатов. Но все-таки, предположение о разности температур лучше, хотя приводит к более громоздким расчетам.

Просто замечательно, и без подгонки! Молодцы Стефан с Больцманом – закон выполняется!

Теперь можно завершать, найти долю теплоты, уносимой радиацией. Теоретически (в рамках моих предположений) эта доля равна:

Все известно (только, увы, опять считать надо!).

График: непрерывная кривая и экспериментальные точки – все рассчитывается по этой формуле!

Последний вывод: при максимальном (в данном эксперименте) накале излучение уносит около 80% теплоты, выделяющейся на нити при прохождении электрического тока.

Все-таки математика – мощная наука, а метод наименьших квадратов – тонкий инструмент, позволяющий даже среди небольшого объема экспериментальных данных выявить физически важные следствия.

Домашняя работа.

В выполненной работе все получилось просто замечательно, что не может не вызывать сомнений. Самое странное, что ничем необоснованное предположение о том, что нерадиационные потери пропорциональны абсолютной температуре (просто ничего лучшего в голову не пришло!). Надо еще раз проверить в спокойной обстановке, без спешки, аккуратно, и последовательно. Прежде всего, о единицах измерения – чтобы не возиться с большими и малыми порядками буду все время измерять мощности в милливаттах, а температуру в тысячных долях градуса (и дальше никаких единиц – все «безразмерное»).

компьютер); мне нужны температура Т и суммарная мощность Р, выделяющаяся на лампочке. Сомнений в определении этих величин нет. Все расчеты можно провести в этой же таблице: для линеаризации нужен куб температуры Т 3 = x и отношение мощности к температуре P = y.

Теперь легко строим график линеаризованной зависимости: действительно десять точек ложатся на прямую. Пусть компьютер построит эту линию тренда и укажет ее параметры y = ax + b, просто замечательно - минутное дело!

пропорциональны абсолютной температуре? График, параметры линейной зависимости – невероятно! Если отбросить начальные точки, то график прямая линия, да еще проходящая через нуль!

Итак, никаких сомнений – все расчеты и выводы верны! Последний график подтверждает гипотезу о том, что нерадиационные потери пропорциональны абсолютной температуре.

Но как объяснить эту пропорциональность с точки зрения физических законов?

Механизм радиационных потерь понятен – нагретая нить испускает свет (в том числе и в инфракрасной области), это излучение и уносит часть энергии, выделяющейся при прохождении тока. Для черных и серых тел суммарная мощность излучения пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры – этот закон доказан экспериментально, выведен теоретически, что послужило одним из источников квантовой физики!

Какими могут быть другие механизмы передачи теплоты от нити накала к окружающей среде? Внутри лампочки находится газ (кажется, аргон), он тоже может переносить теплоту! Но скорость такого переноса должна быть пропорциональна разности температур! Может проверить и эту модель: есть радиационные потери, есть потери пропорциональные разности температур нити и окружающей среды. Провести разделение этих потоков можно аналогичным способом. Попробую! Немножко математики:

записываю выражение для суммарного потока (кстати, можно учесть и обратный радиационный поток от воздуха к лампочке – мелочь, но пусть машина считает):

Линеаризация понятна:

Все остальные выкладки аналогичны предыдущим расчетам. Сначала большую таблицу с расчетами:

Теперь график линеаризованной зависимости. Конечно, не прямая, но последние 8 точек вполне прилично себя повели – выстроились в шеренгу! Проводим линию тренда, определяем ее уравнение. Его параметры используем для того, чтобы построить зависимость радиационных потерь от температуры (естественно в логарифмическом масштабе); а остальных потерь от разностей температур. Готово! Как и ранее, на несколько первых точек не обращаем внимание, а по остальным определяем уравнения линейных зависимостей.

Опять все сходится: радиационные потери пропорциональны четвертой степени температуры, остальные – пропорциональны разности температур нити и воздуха!

Конечно, здорово, но как же эти результаты согласовать с предыдущими?

Сначала гляну на цифры: радует, что параметры уравнения для радиационных потерь очень близки: показатели степени одинаковы, свободные члены очень близки:

4,4762 в первом случае и 4,3544 – во втором. Различие меньше 3%! Хотя это же в логарифмической зависимости. А если привести к «человеческому виду»: это надо найти разность и вычислить экспоненту – получится отношение мощностей излучения в первой и второй модели: exp(4,4762 4,3544) 1,13. Уже 13%, но это не слишком принципиально. Похоже, что в первой модели больше точек подчиняются нужным законам, зато вторую модель легче обосновать физически!

Идея: кажется понял – небольшой математический фокус: когда лампочка светится, основные потери радиационные. Остальные малы, кроме того, в этой области и температура уже не маленькая. Поэтому можно подгонять эти потери как пропорциональной, так и смещенной линейной зависимостями. Но если так, то зачем мучаться? А что если остальные потери считать примерно постоянными, не зависящими от температуры? Попробую, тем более, что это минутное дело, когда компьютер под рукой! В этом случае линеаризация очевидна y = P, x = T 4. Табличку (первые ряды уже можно выбросить – все равно ни в какую зависимость не укладываются!) и график линеаризации:

Как все знакомо – точки низких температур отклоняются, а при видимом накале нити ровненько укладываются на ожидаемую прямую, параметры которой рассчитываются с помощью двух клавиш! Какой показатель степени в радиационных потерях получается в этом приближении? Логарифмический масштаб, параметры линейной зависимости, готово! Показатель – чуть больше четырех (думаю в пределах погрешности – четыре);

свободный член – близок к полученным ранее.

Значит, радиационные потери описываются практически той же функцией! А остальные?

Примерно постоянны!

С одной стороны эти результаты малости нерадиационных потерях. А с другой – становится очень интересно!

Третья модель потерь – и во всех разумные результаты, хорошее соответствие экспериментальных данных с теоретическими рассуждениями. Это очень странно – привычнее, когда ничего не сходится, а тут все сходится?

Возникает странная и навязчивая мысль – а может и показатель степени в законе Стефана-Больцмана может быть другим? В конце концов, эту пресловутую четвертую степень я закладывал уже в методе линеаризации! А если заложить другую – например шестую! Надо попробовать обязательно. Итак, мощность излучения – пропорциональна шестой степени абсолютной температуры, а мощность остальных потерь пропорциональна первой степени (все-таки, в этом случае кривые были самыми прямыми): P = aT 6 + bT. Линеаризация: y =, x = T 5. Таблицу опускаю, сразу графики:

Конечно, похуже – надо оставлять только 5 последних точек! Но показатель степени 6,16 – можно признать равным шести, при необходимости можно было бы и погрешность посчитать и закон в полтора Стефана-Больцмана обосновать!

А если совсем уж экзотическую степень придумать – например, ! А что, мощность излучения пропорциональна абсолютной температуре в степени - тоже красиво! А получится? Пробую:

Ничем не хуже предыдущих: есть линейные участки, показатель степени в законе для мощности излучения равен 3,16 – очень близко к числу. Таким образом, доказано, что мощность теплового излучения пропорциональна абсолютной температуре в степени !

А точнее – мощность теплового излучения пропорциональна абсолютной температуре в любой, нужной вам степени – необузданная демократия!

Все-таки математика в физике без физики – беспринципная служанка, а метод наименьших квадратов – грубая кувалда, позволяющая на основании экспериментальных данных обосновать любые теоретические измышления.

Нельзя полностью согласиться с окончательным выводом нашего героя! Хотя, в чем-то он прав – бездумное применение мощных математических методов ничего не обосновывает, а чаще просто запутывает, хорошо, если только членов жюри олимпиады. В данном случае нашему школьнику-отличнику не повезло7 – он столкнулся еще с одной некорректной математической задачей. Фактически он разработал методику определения параметров зависимости вида Некорректность этой задачи заключается в том, что на относительно небольшом интервале изменения аргумента x, экспериментальные точки могут быть аппроксимированы функциями с различными наборами показателей степеней, причем погрешности такой аппроксимации могут быть совсем небольшими. В рассматриваемой методике изначально задавались показатели степеней, а далее методом наименьших квадратов подбирались значения коэффициентов. Громадная проделанная работа показала, неоднозначность выводов. Какие же возможны выходы из этой ситуации?

Во-первых, необходимо иметь гораздо больший объем экспериментальных данных; во-вторых, следует четко формулировать критерии оптимальности аппроксимации; в-третьих, использовать более совершенные математические методы8;

наконец, самое главное – больше думать, тогда придется меньше считать. В заключение этого печального раздела, можно привести еще один аналогичный пример. Так, если убывающая функция является суммой двух экспонент то определение двух времен затухания представляет очень сложную, а может и неразрешимую задачу, особенно если эти времена близки, а экспериментальные данные содержат значительные погрешности!

Скорее, наоборот, повезло: чужие ошибки дешевле обходятся, зато свои лучше усваиваются!

В настоящее время продолжает активно развиваться такой экзотический раздел математики, как «методы решения некорректных задач».

Внимание: время проведения измерений – около одного часа!

Приборы и оборудование: штатив с лапкой; иголка или гвоздик; линейка 40 см с отверстием; секундомер; груз известной массы; нитки; 2 кусочка льда; кусочек пластилина; стакан.

Соберите экспериментальную установку, показанную на фотографии. Линейку с отверстием следует использовать как коромысло рычажных весов. В качестве оси используйте иголку или гвоздик, который закрепите горизонтально в лапке штатива. Используя кусочек пластилина, уравновесьте весы. К одному из концов линейки привяжите кусочек льда. С другого края с помощью петли, которая может передвигаться по линейке, прикрепите грузик.

Подвешенный кусочек льда будет медленно таять, при этом с него время от времени срываются капли. Капли должны попадать в стакан, а не на вашу тетрадь!

1. Наблюдая за плавлением льда, зафиксируйте (запишите!) моменты времени отрыва каждой капли. Постройте график этой зависимости, качественно объясните ее.

2. Исследуйте зависимость массы льда от времени. (Измерять массу льда после отрыва каждой капли очень трудно – и не обязательно!).

3. Постройте график зависимости массы льда от числа упавших капель. Определите среднюю массу капли. На основании ваших экспериментальных данных установите, можно ли считать размер капель постоянным, или он зависит он размера кусочка тающего льда.

4. Постройте зависимость времени образования капли от массы кусочка льда m.

Предположим, что эта зависимость на отдельных временных участках имеет вид где C, - постоянные величины.

Предложите теоретическую модель, в рамках которой укажите показатель степени.

Проверьте соответствие вашей модели полученным экспериментальным данным.

Примечания к условию задачи.

1. Желательно при замораживании кубиков льда в каждый из них вложить кусочек нитки, за которую потом очень удобно привязывать образовавшийся кусочек льда.

2. Масса грузика должна быть примерно равна массе кусочка льда – так маленький кусочек льда весит примерно 5-6 грамм.

3. Необходимо заранее просверлить небольшое отверстие в линейке на середине длины, но ближе к оцифрованной стороне, так, чтобы центр тяжести линейки находился чуть ниже отверстия.

Размышления и решение.

Спасибо авторам задач: во-первых, условие всего на одну страницу; во-вторых, полно подсказок, особая благодарность за то, что указано: «лед будет таять», а то сам бы не догадался; в-третьих, все знакомо – опять теплопередача, опять степенная функция!

Для расчетов понадобятся: времена отрыва капель, раз; масса кусочка льда в этот момент, два. Что еще? Конечно же, число капель (эта физическая величина измеряется точно, без погрешностей). Для измерения времени есть секундомер.

Измерение массы подвешенного груза с помощью уравновешенных весов не представляет труда: отношение масс обратно пропорционально отношению плеч. Масса грузика известна хорошо – это же пятиграммовая гирька.

Порядок расчетов почти очевиден: по измеренным данным нужно будет построить зависимость времени образования капли от массы кубика, а там посмотрим!

Теперь измерения. Результаты в таблицу: n - номер капли, t n - время отрыва капли;

n = t n t n 1 - время образования капли; m - масса льдинки после падения очередной капли. Рядом сразу пару графиков.

Таблица результатов измерений.

Судя по первому графику, капли падают регулярно – красивая гладкая, но нелинейная функция. Второй график, мягко говоря, оставляет желать лучшего!

времени образования капли от массы льдинки будет не лучше – попробую.

Понятно, что по этому графику можно сделать единственный обоснованный вывод – чем больше кусочек льда, тем быстрее образуется капля. С такими результатами я уже сталкивался и причина такой свистопляски уже понятна – время образования капли рассчитана как разность между измеренными значениями времен отрыва. По этому графику получить решение последнего (как я понимаю – основного) пункта задачи не удастся.

Не надо было сразу прыгать в конец задачи: пункты 2-3 вставлены не только для удлинения задачи. Теперь понятно – надо найти зависимость массы льдинки от числа упавших капель, аппроксимировать ее и дальше использовать массу льдинки, рассчитанную по этой усредненной зависимости9. Построю эту зависимость – масса льдинки от числа упавших капель.

Так природу не обманешь – после седьмой капли я отвлекся, при этом, наверно, ошибся в подсчете капель (вот тебе и без погрешностей). Но дальше – практически идеальная линейная зависимость. Что это означает? Все капли одинаковы! Заранее не очевидно, но правдоподобно – капля висит на своей шейке и ее размер практически не зависит от размера льдинки.

Поэтому первые семь измерений отброшу, и буду считать восьмую каплю первой. Надо перестроить график, и по методу наименьших квадратов определить параметры линейной зависимости.

Проделанная дома самостоятельная работа не прошла напрасно – стремление избежать использования разностей похвально!

Прекрасная зависимость (если бы все были такими). Параметры этой зависимости начальная масса льдинки m0 = (4,07 ± 0,05)г ;

средняя масса капли µ = (0,104 ± 0,004)г.

Кстати, вывод к п.3: так как зависимость массы льдинки от числа упавших капель линейна, то массы капель можно считать одинаковыми.

Теперь можно построить зависимость времени образования капли от массы льдинки, только сейчас использую рассчитанную по формуле (1) массу льдинки! Еще одно преимущество – будут использованы все измеренные времена отрыва капель. Как обычно – сначала табличку, рядом график.

Таблица 2.

Pages: | 1 | 2 |

| 4 | 5 | ... | 7 |

Главная >> Программы

[ СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ ДОКУМЕНТА .pdf ]

Похожие работы:

«муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа с углублённым изучением отдельных предметов №10 ИННОВАЦИОННЫЙ ПРОЕКТ МОДЕЛЬ ИНТЕГРАТИВНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА В УСЛОВИЯХ РЕАЛИЗАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА НАЧАЛЬНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ Нефтеюганск 2014 год Паспорт проекта Наименование про- Модель интегративного образовательного пространства в условиях екта реализации Федерального государственного образовательного...»

«Итоги и достижения Учебная работа Учебная работа на кафедре Строительная механика и прочность занимала и занимает центральное место. Являясь итогом индивидуального и коллективного творчества всех преподавателей, она традиционно слагается из непосредственной работы со студентами - аудиторных занятий и учебно-методической работы. С момента основания кафедры аудиторные занятия проводятся в форме лекций, практических занятий и консультаций по самостоятельно выполняемым студентами курсовым и...»

«МОСКОВСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ПРОГРАММА КУРСА ПРАВОВОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ РЫНКА ЦЕННЫХ БУМАГ по специальности 030501.65 Юриспруденция Учебная программа Тематический план Планы семинарских занятий Вопросы для подготовки к зачету Москва 2010 Белова Т. В., Ижендеев С. А. Программа курса Правовое регулирование рынка ценных бумаг. – М. : МГЭИ, 2010. – 20 с. Одобрено кафедрой гражданского и уголовного права и процесса. Протокол заседания кафедры от 26 января 2010 г. № 1. Для студентов...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Филиал ФГБОУ ВПО Кемеровский государственный университет в г. Анжеро-Судженске Факультет информатики, экономики и математики 02 сентября 2013 г. Рабочая программа дисциплины Анализ и диагностика финансово-хозяйственной деятельности предприятия Направление подготовки 080100.62 Экономика Профиль подготовки Квалификация (степень) выпускника Бакалавр Форма обучения очная Анжеро-Судженск 2013 1. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины...»

«Проблемы и перспективы современной науки Минский институт управления III Республиканский научно-практический семинар молодых ученых 23 ноября 2012 года УДК 304.9+37.01 ЧЕЛОВЕКОВЕДЧЕСКИЕ ДИСЦИПЛИНЫ В ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЕ В.В. Батураa Аннотация Анализируется необходимость ввода в образовательную программу личностно-, человекоориентированных дисциплин. Ключевые слова: развитие человеческого потенциала, гуманитарная экспертиза, развитие человека, образование, личность. DISCIPLINES OF HUMAN...»

«Научная программа V Всероссийского Национального Конгресса лучевых диагностов и терапевтов Радиология 2011 25–27 мая Москва V Всероссийский Национальный конгресс лучевых диагностов и терапевтов Организаторы: • Первый МГМУ им. И. М. Сеченова • Московский государственный медикостоматологический университет • Министерство здравоохранения Московской области • Общество специалистов по лучевой диагностике • Московское объединение медицинских радиологов • Общество интервенционных онкорадиологов •...»

«РАЗРАБОТКА ПРОГРАММЫ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТРАНСПОРТНЫХ УСЛУГ (НА ПРИМЕРЕ РАБОТЫ ТРАНСФЕРМЕНОМ В ТУРЦИИ) Свяжина В.Е., руководитель Горелкина Е.В. ГБОУ СПО СО Уральский колледж бизнеса управления и технологии красоты Екатеринбург, Россия DEVELOPMENT OF THE PROGRAM OF IMPROVEMENT OF TRANSPORT SERVICES (ON THE EXAMPLE OF WORK AS TRANSFERMEN IN TURKEY) Svyazhina V.E., Gorelkina E.V. Ural college of business of management and technology of beauty Yekaterinburg, Russia Настоящее время - это период...»

«Известия ТулГУ. Серия Физика. Вып. 6. 2006 УДК 539.1:539.9:502.55:551.510 Никитин А.Н., Ермакова Е.В. (Дубна, ОИЯИ, ЛНФ) ШЛАМОВЫЕ ОТХОДЫ ТЕПЛОВЫХ ЭЛЕКТРОСТАНЦИЙ – ИСТОЧНИКИ ЗАГРЯЗНЕНИЯ АТМОСФЕРНОГО ВОЗДУХА И ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ РЕСУРСЫ МИНЕРАЛЬНОГО СЫРЬЯ С использованием различных физических методов элементного и фазового анализа (нейтронной физики, рентгенографического, оптикоимерсионного, ИК-спектроскопии и др.) установлен фазовый состав шламовых отходов мазутных тепловых электростанций и...»

«3 ОГЛАВЛЕНИЕ Раздел 1. Общие положения 4 стр. Раздел 2. Содержание государственного экзамена 7 стр. Вопросы для подготовки к государственному экзамену по дисциплине Теория государства и права 20 стр. Список рекомендуемой литературы 23 стр. 4 РАЗДЕЛ 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ Программа подготовлена в соответствии с Федеральным законом от 29 декабря 2012 г. № 273-ФЗ Об образовании в Российской Федерации; Приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 4 мая 2010 г. № 464 Об утверждении...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ Декан факультета ветеринарной медицины, профессор Лысенко 2013 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины Б1.Б.4 Экономика, организация основы маркетинга в перерабатывающей промышленности для специальности 111900.62 ветерно-санитарная экспертиза Ведущая кафедра Организации производства и инновационной...»

«Интенсивное устойчивое лесное хозяйство: барьеры и перспективы развития Интенсивное устойчивое лесное хозяйство: барьеры и перспективы развития Москва 2013 лесная программа Лесная программа WWF России — это часть глобальной международной лесной программы WWF. WWF россИИ Программа направлена на сохранение лесов путем их охраны и восстановления, а также устойчивого управления ими там, где это необходимо. Задачи Лесной программы WWF России: • продвижение концепции устойчивого лесоуправления,...»

«УТВЕРЖДАЮ Проректор по научной работе ГБОУ ВПО Саратовский ГМУ им. В.И. Разумовского Минздравсоцразвития России Ю.В. Черненков 20 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ОБЯЗАТЕЛЬНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (ОД.А.03) Фтизиатрия _ наименование дисциплины по учебному плану подготовки аспиранта Научная специальность 14.01.16 фтизиатрия Шифр наименование научной специальности Лекции _72 часов Практические занятия_72 часов Самостоятельная внеаудиторная работа 324_часов. Всего 468 часов. Рабочая программа дисциплины составлена в...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ Декан факультета ветеринарной медицины профессор_А.А.Лысенко _ 2013 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины Психология и педагогика для специальности 111201 Ветеринария факультет ветеринарной медицины Ведущая кафедра – кафедра психологии Вид учебной Дневная форма обучения Заочная форма...»

«Изобразительное искусство 1.Пояснительная записка Программа по предмету Изобразительное искусство в начальной школе составлена на основе федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования, примерной программы по изобразительному искусству, в соответствии с планируемыми результатами начального общего образования, на основе авторской программы В.С.Кузина Изобразительное искусство. Преподавание изобразительного искусства в начальной школе направлено на развитие...»

«Согласовано на заседании Утверждаю. Совета школы Директор МОБУ СОШ № 30 (протокол №4 от 28.04.2011) Г.Ф.Ленда _20_г. Программа Духовно – нравственное воспитание учащихся школы Воспитание – должно действовать не на одно увеличение знаний, но и на убеждения человека. К.Д.Ушинский 1. Историческая справка Россия выросла на духовных основаниях православного верования. Исторические вехи ее становления связаны с именем святого князя Владимира, со Словом о законе и благодати митрополита Киевского...»

«Белорусский государственный университет УТВЕРЖДАЮ Декан экономического факультета М.М.Ковалев (подпись) 25 июня 2009 г. (дата утверждения) Регистрационный № УД-80 /р. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебная программа для специальности: 1-25 01 02 Экономика Факультет _экономический (название факультета) Кафедра экономической информатики и математической экономикии (название кафедры) Курс (курсы) 2_ Семестр (семестры) _3_ Лекции _54 Экзамен 3_ (количество часов) (семестр)...»

«Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Северо-Западная академия государственной службы Рекомендовано для использования в учебном процессе Социальная геронтология [Электронный ресурс]: учебно-методический комплекс / ФГОУ ВПО Северо-Западная академия государственной службы; авт. С. Ю. Молчанова. — Электронные текстовые данные (1 файл: 1,2 Мб = 4,0 уч.-изд. л.). — СПб.: Изд-во СЗАГС, 2010. — Режим доступа:...»

«Аннотация примерной программы дисциплины Биотехника воспроизводства с основами акушерства подготовки бакалавра по направлению Зоотехния профиль Технология производства продуктов животноводства ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ Цель дисциплины состоит в том, чтобы передать студентам теоретические знания и практические навыки по биотехнике воспроизводства, акушерству и гинекологии в объеме, необходимом для зооинженерного специалиста. Задача дисциплины заключается в овладении знаниями: 1. О физиологических...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЛЕСА Факультет Механической и химической технологии древесины Кафедра Химической технологии древесины и полимеров ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА В АСПИРАНТУРУ Дисциплина Химия и химическая технология древесины и синтетических полимеров Кафедра Химической технологии древесины и полимеров ведет...»

«ПРИЛОЖЕНИЕ Н.7 Программа профессионального модуля сетевой образовательной программы подготовки специалистов для энергетики по виду профессиональной деятельности Применение САПР в модернизации отраслевого электрического и электромеханического оборудования Межрегиональный отраслевой ресурсный центр Министерство образования и науки Российской Федерации Бюджетное образовательное учреждение Чувашской Республики среднего профессионального образования Чебоксарский электромеханический колледж...»

наверх

<< ГЛАВНАЯ | КОНТАКТЫ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА (Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)