«А.И. Слободянюк Физическая олимпиада: экспериментальный тур 0 Каждый школьник, выучивший две-три (или два-три десятка) формулы из учебника, считает себя достойным участником физической олимпиады любого уровня от ...»

Таблица 1.

Так как коробок старый и помятый, то нет ничего удивительного, что результаты измерений его размеров (проведенные, конечно с разных сторон, и в разных местах) различны. Правила расчета погрешностей рассмотрим позднее, здесь обратим внимание на следующие детали составления таблице:

1) Все графы таблицы подписаны;

2) Для физических величин указаны размерности;

3) Измерения проведены с максимально возможной точностью (половина цены деления), одинаковой для всех результатов;

4) В той же таблице приведены результаты обработки результатов прямых измерений (среднее и погрешности - формулы для их расчета должны быть указаны в тексте).

Несколько забегая вперед, отметим, что значений объема (и тем более, нескольких значений объемов) коробка в таблице нет, эта величина есть результат косвенного измерения, поэтому рассчитывается по средним значениям результатов прямых измерений.

Надеемся, что ваши таблицы будут оформлены не хуже.

Задача: Построить зависимость высоты уровня воды в вазе от количества налитой в нее воды.

Результаты измерений приведены в Таблице 2 (V - объем налитой воды, h высота уровня).

Таблица 2.

V 10 2, (см 3 ) 0,40 0,80 1,20 1,60 2,00 2,40 2,80 3,20 3,60 4, V 10 2, (см 3 ) 4,40 4,80 5,20 5,60 6,00 6,40 6,80 7,20 7,60 8, Заметьте, что для экономии места, никто не запрещает расположить таблицу горизонтально, кроме того, общий десятичный множитель вынесен в заголовок строки (допустима также запись V, (10 2 см 3 ) ) в остальном требования остаются прежними.

Теперь можно приступить к построению графика полученной зависимости. Возможная последовательность выполнения этой задачи следующая:

1) Выбираем кусок листа миллиметровой бумаги, размеры которого не меньше, чем половина стандартного тетрадного листа (иначе ваши экспериментальные точки трудно будет найти);

2) Рисуем оси координат, подписываем их и размечаем (не обязательно каждую ось начинать с нуля, масштаб подбирают так, чтобы график занимал большую часть отведенного ему места, а не шел параллельно одной из осей);

3) Наносим экспериментальные точки, каждую из них помечаем (например, обводим кружком), при возможности отмечаем размер погрешности измерений в виде вертикального отрезка прямой;

4) Проводим линию зависимости, которая, по вашему мнению, отражает ход полученной зависимости; если это должна быть прямая, то и рисуйте ее прямой; совсем не обязательно, чтобы линия проходила через все экспериментальные точки - они же известны с некоторой погрешностью.

Пример выполнения этих требований для рассматриваемой задачи показан на рисунке.

Что можно сделать с этими данными? Если надо, то можно попытаться восстановить форму сосуда, с которым проводились измерения. Действительно, изменение высоты уровня жидкости в сосуде (осесимметричном) связано с объемом налитой воды очевидным соотношением V = r 2 h, где r - радиус сосуда на данной высоте. Из этой формулы можно приблизительно рассчитать значения радиусов на различных высотах, то есть восстановить форму сосуда.

Результат таких расчетов показан на следующем рисунке. Может на самом деле форма сосуда несколько отличается от приведенной, но полученный рисунок реально получен из построенного ранее графика. Разве не очевидно?

содержит: численное значение, погрешность, размерность. Конечно, числа, фигурирующие в ответе, должны быть правильно округлены. Простые правила округления:

погрешность округляется до одной значащей цифры (если эта цифра единица, то следует округлять до двух значащих цифр), численное значение результата округляется так, чтобы последний его разряд совпадал с последним разрядом округленной погрешности.

Приведем несколько примеров.

1) В результате расчетов получены следующие значения объема сосуда V = 234,3666см 3, с погрешностью V = 3,235см 3. Грамотная запись окончательного результата V = ( 234 ± 3) см 3.

2) Значение резонансной частоты колебательного контура = 12645Гц, ее погрешность = 200Гц. Правильно записанное значение погрешности с одной значащей цифрой имеет вид = 0,2 10 3 Гц (не запрещено = 2 10 2 Гц ), поэтому запись результата должна быть в виде = (12,6 ± 0,2) 103 Гц.

Обращайте внимание на запись результатов в тех задачах, которые приводятся в этой книге, при наличии ошибок - сообщите о них авторам, вознаграждение гарантируется!

Теперь мы можем закончить выполнение Задачи 1:

Рассчитываем объем коробка по полученной ранее формуле (обратите внимание – используем только средние значения измеренных длин сторон):

(Это промежуточный результат, поэтому округляем с одной запасной цифрой).

Рассчитываем погрешность косвенного измерения Записываем окончательный результат с учетом правил округления:

Для большего «блеска» можно также привести относительную погрешность полученного результата вестись по правилам действий с приближенными числами. Эти правила изучают в школе на уроках арифметики, они подробно описываются в специальной литературе. Поэтому здесь мы их приведем без доказательств, позволив их себе только проиллюстрировать несколькими примерами.

округляют так, чтобы последний разряд результата совпадал с последним разрядом наименее точного слагаемого. Примеры:

2) 259 + 12,3 = 271 ;

3) 6,02 1023 5,3645 1015 = 6,02 1023 ;

4) 100,3 100 = Заметим, что с точки зрения действия над приближенными числами операция вычитания является самой неблагополучной - разность двух больших и близких чисел может иметь очень большую относительную погрешность, поэтому, по возможности, таких действий следует избегать.

При умножении (делении) в результате оставляют столько значащих цифр, сколько их в наименее точном сомножителе. Примеры:

3) 245 71 = 3,5 ;

4) 15643 107 / 2,3098 10 3 = 0,6772 1010.

При вычислении простейших функций (степенных, тригонометрических, логарифмических, показательных) в результате оставляют столько же значащих цифр, как и у аргумента функции. Это правило является приближенным, при необходимости, в каждом конкретном случае можно разумно оценить погрешность функции, если известна погрешность аргумента. Так при малых относительных погрешностях аргумента можно воспользоваться приближенной экспериментальный результат имеет нулевую ценность. Однако расчеты погрешностей должны разумно дополнять основную работу - проведение измерений и получение окончательного результата. Здесь мы приведем только краткую сводку порядка и правил расчета погрешностей, а с некоторыми замечаниями по их обоснованию вы можете познакомиться в специальной литературе (если это вам интересно), более того, можете быть уверены в том, что теория погрешностей является настоящей научной теорией, со своими аксиомами, правилами математических выводов, экспериментальным подтверждением и т.д.

Отметим, что приводимая вами погрешность измерений (как и любое иное число, фигурирующее в физике) должна иметь явный смысл. Так, например, записывая длину стола в виде l = (135 ± 6) см, мы ни в коем случае не утверждаем, что длина стола изменяется в пределах от 129 до 141 сантиметра!

Смысл погрешности заключается в том, что с некоторой вероятностью (которая называется доверительной) истинное значение длины стола лежит в указанном интервале. Заметьте, не точно лежит в этом интервале, а с некоторой доверительной вероятностью. Иными словами экспериментатор при правильном использовании теории погрешностей оставляет за собой право на ошибку. В серьезных научных исследованиях доверительная вероятность принимается равной 99,5%, в учебных лабораториях принимается доверительная вероятность в 95%. Заметим, что интервал ошибки рассчитывается исходя из заданной доверительной вероятности, а не наоборот.

Приводимые ниже правила и позволяют получить величину ошибки для указанной доверительной вероятности.

Если результат измерения снимается непосредственно с измерительного прибора, то такое измерение называется прямым. На результат такого измерения влияет множество факторов: посмотрел на стрелку под другим углом, досталась искривленная линейка, рядом с лабораторией проехал трамвай, сама изменяемая величина по некоторым причинам немного изменилась (например, при измерении диаметра шарика длины разных диаметров могут быть различными) и т.д. Все эти факторы приводят к тому, что результаты измерений различаются, наличие такого разброса требует проведения нескольких измерений, результаты которых обозначим x1, x 2,... x N.

В качестве окончательного результата прямого измерения принимается среднее арифметическое всех измерений При прямых измерениях, как правило, учитывают три типа ошибок:

приборную, округления, случайную.

Приборная ошибка возникает вследствие несовершенства любого прибора - изготовитель не может (и не обязан) гарантировать абсолютную точность. Поэтому каждый тип прибора имеет гарантированную заводом изготовителем максимальную погрешность. Эти предельные приборные погрешности задается во всевозможных справочниках, краткую выдержку из которых мы и приводим в Приложении 1. Если приборная погрешность не задана в условии задачи (или в описании прибора), то допускается в качестве приборной погрешности использовать половину цены наименьшего деления.

Итак, расчет приборной погрешности x пр. сводится к тому, чтобы вспомнить таблицу, или внимательно посмотреть на шкалу прибора.

В ходе измерений по разным причинам приходится проводить округление результата, в связи с чем, неизбежно появление ошибки округления xокр.. Величина этой ошибки принимается равной половине интервала округления. Например, если показания амперметра вы округляете до 0,1 А, то погрешность округления принимается равной 0,05А.

Случайная ошибка рассчитывается по формуле (здесь приведены два равносильных выражения, – по какому из них проводить расчеты зависит от индивидуального вкуса) где обозначено x 2 = k = формуле t коэффициент (он называется коэффициент Стьюдента), зависящий от числа измерений и от требуемой доверительной вероятности - вам нет необходимости запоминать значения этих коэффициентов - Вы не сильно ошибетесь, полагая t = 2, если число ваших измерений больше 5. Вторая часть формулы более удобна для расчетов на калькуляторе. Обратите внимание, что при N = 1 погрешность стремится к бесконечности – вот вам математическое обоснование правила – «единичные измерения недопустимы»! Отметим также, что увеличение числа измерений приводит к уменьшению случайной (но не полной!) ошибки, причем при больших N ошибка убывает примерно обратно пропорционально квадратному корню из N : xсл.. Поэтому для уменьшения ошибки в 10 раз, число измерений следует увеличить в 100 раз.

Правда, при выполнении экспериментальных заданий олимпиад вам этот пример не поможет – хватило бы времени на проведение 10 измерений (или хотя бы одного, которое не допустимо).

Полная погрешность прямого измерения (объединяющая все три типа ошибок) имеет вид На первый взгляд расчет полной погрешности прямого измерения требует значительного времени, однако, при небольшой тренировке и наличии калькулятора1 эта процедура занимает не более одной минуты. Все эти правила сведены в таблице Приложения 2.

Так как погрешность округляется до одной значащей цифры, в громоздкой формуле (3) можно смело отбрасывать некоторые слагаемые. Так если одна из ошибок более чем в три раза меньше остальных, то ее можно отбрасывать. В конце концов, если вы измерили три раза и результаты отличаются меньше чем на цену деления, то можете смело в качестве полной погрешности принимать половину цены деления! Если же ситуация противоположная – результаты различных измерений отличаются на несколько делений шкалы, то считайте случайную погрешность и принимайте ее за полную. Можно дать и более общее правило: при расчете погрешностей надо больше думать, тогда считать придется меньше!

Если окончательный экспериментальный результат получается в ходе вычислений над результатами прямых измерений, то такое измерение называется косвенным. Так, например, для определения объема шарика можно измерить с помощью штангенциркуля его диаметр (прямое измерение) и затем по известной формуле рассчитать его объем (косвенное измерение). Если же для измерения объема использовать мензурку с водой, то такое измерение объема будет прямым.

Итак, в общем случае, результат косвенного измерения y является некоторой функцией a ± a, b ± b.... В качестве окончательного результата используется значение функции, вычисленное при средних значениях результатов прямых измерений Еще раз подчеркнем - результат косвенного измерения вычисляется один раз!

Если вы по 5 раз измерили длину, ширину и высоту коробка, то не имеет смысла вычислять 5 значений объема, тем более что возможных комбинаций произведения может быть 53 = 125 вариантов.

Погрешность измерения каждой из величин a,b... вносит некоторую погрешность в расчет величины y, причем величина этой погрешности зависит от вида функции y = F (a,b...). Будем считать, что результаты прямых измерений не зависят друг от друга, тогда можно считать независимыми вклады погрешностей этих величин в результат косвенного измерения. Так как обычно погрешности прямых измерений не слишком велики, то изменение функции y при изменении ее аргумента, например, a, можно рассчитать по формуле Мы имеем в виду простейший «базарный» калькулятор, выполняющий четыре арифметических действия, операцию извлечения квадратного корня, и имеющий одну ячейку памяти. Более сложные калькуляторы могут автоматически проводить статистическую обработку введенных данных: подсчитывать среднее и выборочную дисперсию (чаще всего обозначается символом ) на основании которых можно рассчитать все погрешности.

(y )a= a, где в скобках стоит частная производная функции F по параметру a. Не пугайтесь такого «страшилища» как частная производная, она вычисляется по тем же правилам, что и обычные производные, только все остальные параметры надо считать постоянными. Для вычисления полной погрешности необходимо сложить «по теореме Пифагора» погрешности, возникающие из-за погрешностей прямых измерений всех параметров распространенном случае вычисление полной погрешности упрощается Вывод этой формулы предоставляем читателям в качестве упражнения.

1. Выбирайте для исследования тот вид зависимости, который наиболее просто и надежно описан теоретически (если, конечно, в условии четко не указано, какие зависимости необходимо получить).

2. Стремитесь провести измерения в максимальном диапазоне варьируемых параметров - полностью используйте возможности вашей экспериментальной установки (если, конечно, в условии четко не указано, в каком диапазоне необходимо провести измерения). Кстати, увеличение диапазона изменения варьируемых величин приводит к уменьшению погрешностей рассчитываемых параметров.

3. Число измерений должно быть достаточно для построения зависимости, даже для построения линейной зависимости необходимо получить 8- экспериментальных точек (если, конечно, в условии четко не указано, с каким шагом проводить измерения). Чем больше погрешность отдельного измерения, тем больше экспериментальных точек должно быть получено.

4. Если ваша зависимость имеет какие-либо особенности (максимумы, минимумы, перегибы, точки разрыва и т.д.), в районе этих особенностей «густота» экспериментальных точек должна быть больше.

Наиболее просто обрабатываются линейные зависимости - даже «на глаз» легко отличить прямую от «кривой», а попробуйте отличить участок параболы от какой-нибудь лемнискаты Бернулли. Поэтому даже в том случае, если ваша зависимость нелинейная, постарайтесь соответствующим преобразованием переменных привести ее к линейному виду.

Пусть в рамках своих теоретических построений вы пришли к выводу, что некоторые физические величины связаны функциональной зависимостью y = F ( x ), причем эта функция содержит набор постоянных параметров p, q..., либо подлежащих определению, либо просто неизвестных (следовательно, вид зависимости следует записать в более общем виде y = F ( x, p, q...).

Практически всегда можно найти такие преобразования к новым переменным Y ( y ), X ( x ), так что зависимость между ними линейна. Подчеркнем, что эти преобразования не должны содержать неизвестных параметров. Возможные варианты таких преобразований мы будем встречать при рассмотрении В более общем случае каждая из новых переменных Y, X может зависеть от обеих исходных рассматриваемого здесь.

конкретных задач. Краткая сводка наиболее популярных преобразований приведена в Приложении 2.

В некоторых случаях требуется определить не все параметры, а только некоторые из них (возможно, что некоторые из них и определить то невозможно). В такой ситуации следует руководствоваться известными правилами экспериментатора:

1. Чем проще модель, тем лучше.

2. Измеряй как можно меньше величин 3. Не можешь измерить, то хотя бы не изменяй (а вдруг сократится).

Итак, будем считать, что преобразования к линейному виду найдены, проведены измерения в нужном количестве, в нужном диапазоне, получены данные ( xi, yi ), i = 1,2,... N, и на их основании подсчитаны величины ( X i,Yi ), для которых ваша теория предсказывает линейную зависимость3 Y = aX + b.

Следующий шаг - построение графика (в полном соответствии с рассмотренными ранее правилами: выбор масштаба, разметка осей, нанесение экспериментальных точек...). Ниже, на рисунке показано такое построение для некоторой «придуманной» зависимости. Воспользуемся этим рисунком, чтобы продемонстрировать порядок обработки результатов, целью которого является оценка параметров зависимости и их погрешностей.

Затем очень быстро можно провести определение параметров зависимости «на глаз». Для этого следует провести прямую, которая «ближе всего» лежит к экспериментальным точкам (на нашем рисунке это AB ). Что ее построить, можно воспользоваться следующими рекомендациями: выберите «центр масс»

имеющихся экспериментальных точек (приближенно ее координаты равны средним между крайними значениями соответствующих координат), на Конечно, после проведенных преобразований коэффициенты полученной зависимости должны выражаться через параметры исходной зависимости p, q...

рисунке это точка C ; через эту точку проведите прямую так, чтобы по разные стороны от нее лежало примерно одинаковое число экспериментальных точек.

Сразу же определите приближенные значения параметров зависимости:

- величина b есть величина отрезка AO (на рисунке b 0,25 );

- коэффициент a равен отношению a, причем величину X можно выбрать произвольно (но не слишком малой), так чтобы можно было вычислить отношение «в уме» (на рисунке X = 20, Y 185, поэтому Для оценки погрешностей параметров зависимости нужно провести две «граничные» прямые (примерные): обе проходят через «центр масс», а область между прямыми должна захватывать большинство экспериментальных точек (ближайшие к центру точки могут выходить за выделяемую область). На нашем рисунке это прямые A1 B1 и A2 B2. Так же как и для основной, для этих прямых можно определить параметры, которые и будут являться нижними и верхними границами величин a,b.

предварительную обработку (хотя бы без оценки погрешностей) - времени на это требуется не много, зато вы будете иметь данные, которые не позволят вам грубо ошибиться при более точной аналитической обработке.

модифицировался, получил строгое математическое обоснование.

Цель этого метода - получить наилучшие в некотором смысле оценки параметров известной зависимости по экспериментальным данным, содержащим оценки измерений. Пусть известно, что две переменных величины y и x связаны функциональной зависимостью y = F ( x, p,q...), включающей неизвестные параметры p, q..., оценки которых следует получить. При этом в нашем распоряжении имеется набор экспериментальных данных (x, y )i = 1,2... N. Основная идея метода получения таких оценок заключается в таком выборе параметров зависимости, при котором сумма квадратов отклонений экспериментальных значений yi от «теоретических» F ( xi, p, q...) была минимальна. Иными словами, речь идет о поиске минимума суммы которая является функцией от неизвестных параметров p, q... Методы поиска минимума функций хорошо известны. Однако, в общем случае, получающиеся уравнения являются нелинейными, и их решение не всегда может быть получено аналитически.

Заметим, что метод наименьших квадратов в приведенной форме строго обоснован при выполнении следующих условий:

1. Значения xi известны точно.

2. Абсолютные погрешности величин yi одинаковы для всех измерений.

Заметим, что этот метод широко используется и в том случае, когда эти условия не выполняются. Однако, по возможности, следует стремиться к тому, что бы погрешности xi были меньше погрешностей величин yi.

Кстати, это требование является одним из основных при выборе вида преобразований к линейному виду.

Мы не в состоянии рассказать об его разновидностях и, тем более об его строгом обосновании, поэтому ограничимся набором рекомендаций по его применению в простейшем случае анализе линейной зависимости Y = aX + b.

В этом случае функция (1) имеет вид а уравнения для определения минимума этой функции следуют из обычных условий равенства нулю всех производных Эта система легко преобразуется к линейному виду Заметьте, что «ужасные» суммы, стоящие в этих уравнениях, являются коэффициентами и могут быть подсчитаны. Решение линейной системы уравнений хорошо знакомо старшеклассникам:

Рассчитывать по этим формулам считать очень неудобно - лучше запомнить формулы пригодные для быстрого расчета неизвестных параметров a и b. Удобнее расчеты разбить на ряд последовательных этапов расчетов параметров, которые к тому же имеют наглядный и легко запоминаемый смысл:

- средние значения, которые определяют центр экспериментальных точек:

- дисперсии (средний квадрат минус квадрат среднего), корень из дисперсии (называемый стандартным отклонением и считать его не обязательно) определяет разброс переменных - коэффициент ковариации (среднее произведение минус произведение средних):

- искомые коэффициенты выражаются через рассчитанные характеристики по формулам, которые эквивалентны формулам (4):

Это мудреное слово запоминать не обязательно, но при случае можно блеснуть эрудицией - погрешности этих величин рассчитываются по формулам5 (которые здесь даются без вывода):

Процедура расчета параметров линейной зависимости и их погрешностей изложена в Приложении 4.

Конкретные примеры применения метода наименьших квадратов будут рассмотрены при решении большинства экспериментальных задач.

Отметим еще одну весьма полезную характеристику: коэффициент корреляции, который дает численную характеристику близости экспериментальных точек к линейной зависимости:

Эта безразмерная величина может принимать значения от минус до плюс единицы r [ 1, + 1]. Если экспериментальные точки точно ложатся на прямую, то коэффициент корреляции равен ± 1 (положительные значения коэффициента корреляции свидетельствуют о возрастании линейной функции, отрицательные – об ее убывании). Чем меньше модуль коэффициента корреляции, тем дальше экспериментальные точки от прямой. Если линеаризация может быть проведена несколькими способами, то следует отдать предпочтение той, для которой коэффициент корреляции выше.

Строго говоря, в формуле для погрешности вместо двойки должен стоять коэффициент Стьюдента, который не слишком заметно отличается от 2, поэтому для школьников допускается использовать это значение.

Часть 3. Основные приемы выполнения экспериментальных заданий.

Продолжим военную аналогию. Если предыдущая глава была посвящена вопросам технического обеспечения победы, то сейчас перейдем к изучению тактических вопросов - методам выполнения небольших экспериментальных задач, которые регулярно являются составной частью настоящих олимпиадных заданий.

Некоторые из этих задач вам должны быть знакомы, возможно, вы даже их выполняли как лабораторные работы школьного курса физики, однако мы постараемся подойти к ним с несколько иной точки зрения - проиллюстрировать общую методику выполнения задания, сформулировать некоторые общие подходы, продемонстрировать методы обработки результатов.

Начиная с этой главы, мы вводим сплошную нумерацию задач, их полный список приводится в Приложении 3. В конце условия каждой задачи даны некоторые комментарии и рекомендации по подготовке оборудования к работе. Начало «официального» условия каждой задачи, отмечается логотипом белорусских физических олимпиад.

3.1 Планирование эксперимента.

Бессмысленно проводить измерения, не имея плана эксперимента. Очевидно, что в большинстве случаев работу следует начинать с разработки теоретической части, на основании которой и строится план проведения эксперимента.

Проиллюстрируем выполнение этой части решения экспериментальных задач на примерах достаточно простых задач. Причем начнем с одной широко распространенной темы – гидростатическое взвешивание.

Задача 1. Гидростатическое взвешивание.

Иногда приходится сталкиваться с необходимостью измерения массы некоторых предметов, а весов под руками нет. Сейчас вам предлагается решить подобную проблему, используя подручные средства, имеющиеся в каждом доме.

Оборудование: линейка деревянная длиной 40 см, пластилин, кусок мела, мерный стакан с водой, нитки, лезвие бритвы, штатив с держателем.

Задание. Измерьте а) плотность пластилина;

б) плотность мела;

в) массу деревянной линейки.

Примечания:

1. Кусок мела желательно не мочить - может развалиться.

2. Плотность воды считать равной 0 = 1,0 10 3 3.

Комментарии к условию.

1. Гидростатическое взвешивание со времен Архимеда является одной из самых популярных тем физических олимпиад.

2. Задача допускает множество вариантов решения и последовательностей измерения. Предпочтение надо отдавать тем методам, в которых проводится измерения наименьшего числа величин.

3. Кусок пластилина не должен быть слишком малым, чтобы измерение его объема с помощью мерного стакана было достаточно точным.

4. В качестве усложнения условия линейку можно заменить неоднородным стержнем, а в качестве измерительного инструмента предложить использовать миллиметровую бумагу.

Если исключить измерение массы линейки, то решение не требует измерения объема пластилина, поэтому вместо мерного стакана можно использовать обычный, без шкалы.

Для измерения объема пластилина можно также пользоваться линейкой, если из пластилина слепить тело известной формы (кубик, шарик). Однако в этом случае точность измерений существенно уменьшится; правда, опять же, можно обойтись без мерного стакана.

Поиск решения.

Очевидно, что для определения плотностей и масс необходимо воспользоваться законом Архимеда, так как единственная известная величина, имеющая отношение к массе - плотность воды. Линейку следует использовать как коромысло весов, к концам которой с помощью ниток можно прикреплять кусочки пластилина. Лезвие можно использовать в качестве упора, на котором уравновешивается линейка. Вариантов решения данной задачи может быть несколько, рассмотрим один из них.

Прикрепим к одному из концов линейки нитку, на которую в последствии будем прикреплять грузы. Удобно нить прикрепить к началу отсчета шкалы линейки.

Уравновешивая линейку без грузов, можно определить положение ее центра масс точка C на рис.. Отметим, что нет никакой гарантии, что центр масс реальной линейки находится точно в ее центре – линейку изготовляли люди из реального дерева, поэтому центр масс может быть незначительно смещен от центра. Обозначим a - расстояние от точки крепления нити до центра масс. Конечно, для однородной линейки эта величина близка к половине длине линейки. С помощью нити прикрепим к линейке кусок пластилина и уравновесим линейку. Обозначим расстояние от точки подвеса до упора l1 (см. рис.). Опустим этот же кусок пластилина в воду и опять уравновесим линейку. Обозначим расстояние от точки подвеса до упора в этом случае l2.

Условия равновесия линейки в обоих случаях имеют вид где, 0 - плотности пластилина и воды, соответственно, m - масса линейки, V объем куска пластилина.

Из этих уравнений можно выразить плотность пластилина Таким образом, для измерения плотности пластилина необходимо измерить:

1) a - расстояние от точки подвеса до центра масс;

2) l1 - расстояние от упора до центра масс, при подвешенном пластилине;

3) l 2 - расстояние от упора до центра масс, при погружении пластилина в воду.

Все величины, входящие в эту формулу легко измеряемы.

Массу линейки также можно выразить из системы (1) Объем пластилина измеряется с помощью мерного стакана. Использование полученной формулы для расчета массы линейки не требует дополнительных измерений. Для увеличения точности измерения объема пластилина повышение уровня воды в мерном стакане можно использовать линейку, прикладывая ее к шкале стакана.

Имеет смысл провести несколько серий измерений для различных кусков пластилина. Понятно, что для каждого куска пластилина измерения всех требуемых величин следует провести несколько раз.

Для измерения плотности мела его следует полностью «завернуть» в пластилин. Затем с помощью мерного стакана можно измерить объем получившегося тела, а его массу легко измерить с помощью линейки известной массы и с известным положением центра масс. Для уменьшения числа измерений можно использовать тот же кусок пластилина, что и в первой части работы.

Дальнейший ход выполнения работы не вызывает никаких сложностей, поэтому здесь не приводится.

Следующий пример иллюстрирует основное правило «чистых экспериментаторов»: не все нужно измерять, и не все можно измерить – иногда можно чем-то и пренебречь.

Задача 2. Удельная теплота растворения гипосульфита.

При растворении гипосульфита в воде температура раствора сильно понижается.

Измерьте удельную теплоту растворения данного вещества.

Под удельной теплотой растворения понимают количество теплоты, необходимое для растворения единицы массы вещества.

Удельная теплоемкость воды с = 4,2 Оборудование: калориметр; мензурка или мерный стакан; весы с разновесами;

термометр; гипосульфит кристаллический; теплая вода.

Комментарии к условию.

1. Современное развитие электроники усложнило подготовку оборудования для этой задачи. Действительно, цифровые фотоаппараты практически вытеснили традиционную «мокрую» фотографию, в которой гипосульфит использовался в качестве закрепителя и в изобилии водился в магазинах.

2. Измерения в данной задаче надо проводить быстро, чтобы вода не успела остынуть из-за потерь теплоты в окружающую среду.

3. Удельная теплота растворения не изучается в средней школе, поэтому в условии задачи приведено ее определение (которое понятно и очевидно).

Решение и обсуждение.

Основная идея эксперимента ясна: необходимо известное количество гипосульфита засыпать в известное количество воды и измерить понижение температуры. Для строгих расчетов удельной теплоты растворения необходимо знать (или измерить) теплоемкость калориметра, знать удельную теплоемкость гипосульфита, каким-то образом учесть потери теплоты в окружающую среду. Эти величины определить не просто. Поэтому для начала попробуем ими пренебречь, а затем оценим правомочность подобного допущения.

Итак, пренебрегая теплоемкостями калориметра и гипосульфита, а также потерями теплоты, уравнение теплового баланса при растворении можно записать в виде где c - удельная теплоемкость воды, m - ее масса, m0 -масса гипосульфита, искомая удельная теплота растворения, t 0 -температура воды в калориметре до растворения, t1 - температура раствора после полного растворения. Из уравнения (1) следует расчетная формула из которой видно, какие величины необходимо измерить: массу воды можно определить с помощью мензурки и известной плотности, массу гипосульфита с помощью весов. Начальную и конечную температуру жидкости следует измерить термометром.

Приведем также формулу для расчета погрешности (удельную теплоемкость воды будем считать известной точно):

Так как эксперимент будет проводиться однократно (из-за дефицита гипосульфита), то все погрешности прямых измерений являются приборными. Кроме того, при записи последнего слагаемого в формуле (3) учтено, что измерения начальной и конечной температур проводятся одним термометром.

Интересно, сколько же воды заливать в калориметр? С одной стороны, чем больше воды, тем обоснование можно пренебречь теплоемкостями калориметра и гипосульфита. С другой стороны – чем больше воды, тем меньше изменение ее температуры, поэтому тем больше погрешность измерения. В условии сказано, что температура изменяется «сильно», поэтому воды следует взять побольше, но так, чтобы гипосульфит поместился в стакан.

Проведенные измерения дали следующие результаты:

Вычисления по формулам (2)-(3) приводят к результату:

с относительной погрешностью = 10%.

Теперь следует оценить допустимость сделанных допущений.

Теплоемкостями калориметра и гипосульфита действительно можно пренебречь, так как их величина на порядок меньше теплоемкости воды. Кроме того, в уравнение теплового баланса они входят с противоположными знаками. Нами проведены оценки - так количество теплоты, отданное калориметром, приблизительно равно Дж, а количество теплоты, полученное кристаллическим гипосульфитом, приблизительно равно 480 Дж. Вода отдала примерно 5,7 кДж. Таким образом, пренебрежение этими количествами теплоты вносит погрешность, что составляет менее 1%.

Таким образом, в данном случае основное правило экспериментаторов применимо.

В-третьих, повышает точность результатов.

В-четвертых, позволяет иногда исключить измерения «трудно измеряемых»

величин;

В-пятых, оценивается жюри большим числом баллов.

Проведение эксперимента по изучение зависимостей предполагает контролируемое изменение одной физической величины и измерение другое зависимой величины. Иногда, приходится изменять (возможно, и неконтролируемо) условия эксперимента и измерять две зависящие друг от друга величины. В любом случае, результатом такого эксперимента является набор пар взаимосвязанных физических величин ( xi, yi ), i = 1,2,..N. Эти результаты могут обрабатываться различными способами, но построенный по этим данным график зависимости y ( x ) (или x( y ) ) никогда не помешает. Даже внешний вид этого графика может быть весьма информативен, а при наличии добросовестной математической обработки дает наилучшее решение поставленной задачи.

Важной проблемой (в том числе и с точки зрения схемы оценивания) является разумное определение числа N точек, в которых проводятся измерения. Если этих точек мало, то вид зависимости «не вырисовывается», а если слишком много, то не хватает отведенного времени на проведение измерений. Поэтому при выборе числа точек следует руководствоваться следующими правилами:

1. Диапазон изменения исследуемых величин должен быть максимально возможным. Пределы изменения обычно ограничиваются - чисто физическими причинами (как правило, не удается нагреть воду до температуры выше 100°С );

- геометрическими размерами установки (трудно в лаборатории провести измерение времени падение с высоты более 5 метров);

- диапазонами измерения используемых приборов (ручным секундомером не измеришь сотые доли секунды);

- правилами техники безопасности (не следует подключать скрученную руками электрическую цепь к сети);

- временем проведения эксперимента (за пять отведенных часов не измеришь скорость роста ногтей);

- другими причинами.

2. Шаг изменения физической величины должен приводить к надежно регистрируемым изменениям измеряемой зависимой величины. Так при измерении силы тока в цепи школьным амперметром, изменение ее параметров должно приводить к изменению силы тока не менее чем на 0,2А.

3. При наличии особенностей (максимумов, минимумов, точек разрыва и т.д.) густота точек вблизи этих особенностей должна быть увеличена.

4. Если случайные погрешности являются преобладающими, то увеличение числа точек (даже повторяющихся) увеличивает точность окончательного результата, поэтому в такой ситуации число экспериментальных точек, во многом, определяется требуемой точностью измерений.

Продемонстрируем преимущества совокупных измерений на простых примерах.

Задача 3. Математический маятник и ускорение свободного Оборудование: штатив с лапкой, секундомер, кусок пластилина, линейка, нить.

Задание: измерить ускорение свободного падения с помощью математического маятника.

Комментарии к условию.

1. Изготовить математический маятник не представляет труда, в качестве груза можно использовать любой груз – пластилин, шарик (лучше металлический), гайку.

2. Длина нити должна быть не менее 0,5 метра, причем нить должна наматываться на стержень.

Решение.

Создание экспериментальной установки и проведение измерений и в этой задаче очевидны - небольшой кусок пластилина надо прикрепить к нити, которую можно подвесить к лапке штатива, отклонить от вертикали и с помощью секундомера измерить время нескольких колебаний. Поэтому начнем с теоретического описания и разработки методики проведения эксперимента. Формула для периода T малых колебаний математического маятника длины L хорошо известна На первый взгляд, достаточно измерить длину маятника, период колебаний и затем из этой формулы выразить ускорение свободного падения. Однако для повышения точности измерений проведем исследование зависимости периода колебаний от длины нити. Для упрощения измерений длину нити можно изменять, наматывая ее на поддерживающий стержень. При этом длина свободного участка нити после n оборотов вокруг стержня выражается формулой где L0 - начальная длина нити, S - длина одного витка (понятно, что S равна периметру стержня и, если его сечение является окружностью, то S = D, где D диаметр). Таким образом, появляется возможность исследовать зависимость периода колебаний от целого (!) числа оборотов, а ошибиться в подсчете сделанных оборотов гораздо сложнее, чем в измерении набора длин нитей. Используя выражение (2), приведем зависимость (1) к линейному виду (для этого достаточно возвести ее в квадрат) Итак, мы получили линейную зависимость, идеально приспособленную для измерений. Обратите внимание, что нас даже не интересует начальная длина нити (а с ее измерением могут возникнуть проблемы – особенно, если подвешенный груз не является материальной точкой1).

Удобно также применить графические методы обработки результатов – коэффициент непосредственно из графика, так и с помощью метода наименьших квадратов. Зная этот коэффициент наклона (и его погрешность) можно рассчитать ускорение свободного падения. Правда, для этого необходимо знать уменьшение длины нити S (периметра стержня), однако измерить ее не представляет труда. Достаточно саму нить несколько раз намотать на стержень (не забудьте точно измерить число этих оборотов), размотать и измерить длину полученного куска.

После этого ускорение свободного падения и его погрешность можно рассчитать по формулам:

Приведем результаты измерений ( t - время 10 колебаний, T - период) и проведем их обработку.

Таблица результатов измерений.

А когда он ею является?

Как и ожидалось, зависимость квадрата периода от числа сделанных витков в пределах погрешности измерений близка к линейной. Коэффициент наклона, рассчитанный по МНК, оказывается равным Для определения параметра S, было намотано 10 витков нити на стержень и затем измерена длина этого куска нити. В итоге получено значение S = (4,90 ± 0,05)см.

Расчет по этим данным значения ускорения свободного падения дает следующий результат не очень точно, но близко к известному табличному значению.

Следующий пример также достаточно часто встречается, как составная часть «длинных» экспериментальных задач.

Задача 4. Показатель преломления материала линзы.

Задание: измерьте показатель преломления стекла, из которого Оборудование: двояковыпуклая линза на подставке, источник света (лампочка на подставке с источником тока и соединительными проводами), экран на подставке, штангенциркуль, линейка.

Комментарии к условию.

1. Оборудование является стандартным, да и условие таковым же, поэтому … без комментариев.

Разработка методики измерений.

Показатель преломления материала линзы n входит в формулу для фокусного расстояния F :

поэтому может быть рассчитан, если измерить фокусное расстояние линзы, а также радиусы кривизны R1, R2 поверхностей линз.

Наибольшую сложность вызывает измерение именно этих радиусов. На рисунке показан профиль двояковыпуклой линзы. Из рисунка следует, что радиус кривизны поверхности удовлетворяет уравнению (теорема Пифагора для треугольника AC1O ) из которого следует где r - радиус линзы, h1 - толщина выпуклости задней поверхности. Радиус линзы легко измерить с помощью штангенциркуля. А как измерить толщину выпуклости? А может ее и не надо измерять! Сделаем еще один шаг. Подставим выражения для радиусов кривизны (для второго радиуса формула аналогична формуле (2)):

а теперь, внимание, Если в знаменателях пренебречь квадратами толщин выпуклостей, то эта формула приобретает вид:

в котором отсутствуют отдельные значения толщин выпуклостей, а только их сумма (h1 + h2 ) = h, то есть толщина линзы, которая легко измеряется штангенциркулем.

Итак, с одной стороны мы огрубили расчетную формулу, но с другой существенно упростили требуемые измерения. Можно «на глаз» оценить погрешность, которую мы допустили при использовании указанного приближения. Радиус линзы r более чем в 10 раз больше ее толщины, поэтому сделанное приближение приводит к погрешности менее 1%, так как 2. Невысокая цена за существенное экспериментальное упрощение, тем более, что суммарная погрешность, скорее всего, превысит это значение. Поэтому с точки зрения экспериментатора переход к формуле (3) является громадным теоретическим достижением.

Обсудим теперь методику измерения фокусного расстояния линзы2. Понятно, что идея измерений должна основываться на известной формуле линзы где a - расстояние от предмета до линзы, b расстояние от линзы до изображения.

Таким образом, необходимо с помощью линзы получить четкое изображение светящейся лампочки и измерить нужные расстояния. Однако сложно точно определить положение экрана, при котором изображение является «четким». Поэтому единственный выход повышения точности окончательного результата – увеличение числа измерений. Причем здесь необходимо вспомнить и воспользоваться замечательным правилом экспериментатора:3 изучай зависимость! Иными словами, необходимо провести измерения нескольких пар значений расстояний (a, b ), причем В условиях спешки и нервного напряжения весьма вероятны грубые ошибки, поэтому всегда полезно знать примерное значение той величины, которую собираешься измерять. Поэтому допустимо (об этом можно не писать в своей работе) провести грубые, оценочные измерения. Так в данном случае можно с помощью линзы можно получить изображение удаленного светящегося предмета (окна, ламп на потолке) на экране (или на ладони) и измерить расстояние между линзой и изображением – оно примерно равно фокусному расстоянию линзы.

Здесь может торжествовать теоретик – ему достаточно одной пары значений.

заметно изменяя эти параметры. Эти измерения удобно проводить следующим образом: установить экран и лампочку на некотором расстоянии друг от друга, затем найти два положения линзы между ними, при которых на экране получается четкое изображение, провести эту процедуру несколько раз.

Обратимся к формуле линзы (4), которая допускает красивую геометрическую интерпретацию. Если по осям координат отложить величины и, то уравнение (4) определяет в этих координатах отрезок прямой, отсекающий на осях величину обратную фокусному расстоянию.

Итак, окончательная последовательность измерений и обработки их результатов должна быть следующей:

- измерить толщину и радиус линзы h, r (не забывая об оценке погрешностей h, r );

- провести серию измерений расстояний (a, b ), при которых на экране получается четкое изображение лампочки; эти измерения удобно проводить следующим образом: установить экран и лампочку на некотором расстоянии друг от друга, затем найти два положения линзы между ними, при которых на экране получается четкое изображение, провести эту процедуру несколько раз;

- далее следует построить зависимость величины Y = от величины X = и убедится, что она линейна и проходит под равными углами 45° к осям;

- с помощью МНК (или графически) определить коэффициенты линейной зависимости - убедиться, что параметр K этой зависимости в пределах погрешности равен 1, определить значение параметра C и его погрешность C ;

- согласно формулам (3)-(4) этот параметр равен поэтому значение показателя преломления рассчитывается по формуле - погрешность показателя преломления рассчитывается по формуле Работа проста и хорошо знакома – рекомендую самостоятельно провести измерения и обработку результатов самостоятельно.

экспериментальная проверка затруднительна, особенно в тех зависимостей, такие как экстремумы (максимумы и минимумы), точки разрыва и т.д.

Как уже отмечалось, вблизи этих особенностей густота экспериментальных точек должна быть выше. Наличие указанных особенностей позволяет экспериментально проверить физическую модель рассматриваемого явления, точное (по возможности) определение параметров особенности, как правило, позволяет найти некоторые численные характеристики изучаемой системы.

Иными словами, «сложные» зависимости встречаются в физике и их надо уметь исследовать.

В качестве примера исследования приведем экспериментальную задачу, основная цель которой – изучение колебаний физического маятника.

Оборудование, необходимое для выполнения этого задания, примитивно, поэтому работа может быть выполнена не только в любом кабинете физики, но и дома, на кухне. Собственно экспериментальная часть задания также не слишком сложна, хотя и требует известной аккуратности в проведении измерений. Наиболее важной частью в данном изложении является анализ возможностей сравнения теоретических и экспериментальных данных, в том случае, когда явная линеаризация зависимости не очевидна. Поэтому здесь рассмотрено несколько возможных вариантов такого сравнения.

Оборудование:

1. Штатив с лапкой.

2. Секундомер.

3. Спица вязальная 4. Ластик 5 Иголка 6. Линейка 7. Пробка пластиковая от пластиковой бутылки.

вы сумеете ее измерить), а длину ее верхней части (над иголкой) - x. Период колебаний такого маятника (если спица однородная) определяется формулой Вам предстоит проверить выполнимость этой формулы.

1. Исследуйте зависимость периода колебаний получившегося физического маятника от длины верхней части спицы. Постройте график полученной зависимости.

Проверьте выполнимость формулы (1) в вашем случае.

2. Определите с максимально возможной точностью минимальный период колебаний полученного маятника.

3. Определите значение ускорения свободного падения.

Если к нижнему концу спицы прикрепить небольшой груз массы m (половинку ластика), то период колебаний такого маятника будет определяться формулой 4. Выполните задание пункта 1. для этого маятника.

Анализ и решение.

Формулы, приведенные в условии, громоздки, значения некоторых параметров, входящих в них неизвестны, поэтому сначала попытаемся их упростить и привести к виду, удобному для проверки.

Обозначим z = x - расстояние от центра подвеса до центра масс = a 2. Тогда формулу (1) из условия можно переписать в виде стержня;

Функция, стоящая под вторым корнем F ( z ) = + минимальное значение Fmin = 2, при z* = a. Поэтому минимальный период равен Теперь формулу (1) можно представить в эквивалентном виде Эта формула уже не столь пугающая, как исходная. Правда, для ее экспериментальной проверки требуется определить с максимально возможной точностью значение минимального периода колебаний4.

Теперь можно приступать к проведению измерений. Длина спицы равна В таблице 1. приведены результаты измерений периода колебаний стержня без груза при различных положениях оси. Обратите внимание, что время колебаний измерено дважды для каждого положения точки повеса. Это проделано для того, чтобы исключить грубые промахи и иметь представление о порядке Именно поэтому этот пункт выделен отдельно в условии задания.

погрешности измерений – погрешность измерения времени 20 колебаний по порядку величины составляет 0,1 секунды. Период колебаний рассчитан как сумма времен, деленная на 40 (так как всего 40 колебаний). Погрешность определения периода (опять по порядку величины) оценивается как рассчитывать период с точностью до 10 3 с (хотя последняя цифра очень сомнительная).

Таблица 1. Колебания стержня без груза внизу.

X, мм На рис. 1 построен график этой зависимости, «на глаз» проведена сглаживающая кривая.

Естественно, что экспериментальные значения периодов колебаний получены с некоторой погрешностью, особенно заметен разброс значений вблизи минимума, где точные значения периода изменяются незначительно.

Проверка выполнимости формулы может быть проведена несколькими способами.

Способ 1.

Прямое построение графика теоретической зависимости (1). Правда, при этом надо знать значение ускорения свободного падения (пусть g = 9,81 2 ). На Рис. представлены результаты таких расчетов.

К сожалению, наблюдается систематическое отклонение экспериментальных точек от теоретической зависимости. Для объяснения этого отклонения можно привлечь несколько гипотез: приведенная формула (1) справедлива для идеального стержня и не учитывает влияния узла подвеса; неверно выбрано значение ускорения свободного падения (что сомнительно). В любом случае, во время экспериментального тура думать об этом некогда.

Способ 2.

Провести нормировку на минимальное значение периода. Из формул (1), (3) следует, что Эта формула допускает прямую проверку, так величина a = 0,101м известна с «хорошей» точностью, важно также отметить, что значение g в этом случае не требуется. Но для проведения расчетов необходимо знать значение минимального периода, в качестве которого возьмем непосредственное минимальное значение из результатов измерений Tmin = 0,906c. На рис. 3 построен график теоретической зависимости с нанесенными экспериментальными точками – здесь соответствие практически полное.

Способ 3.

Провести линеаризацию зависимости (1), для чего представить ее в виде и построить график зависимости T 2 от параметра = линеаризованной зависимости представлен на рис. 4.

Этот вид является оптимальным, так как позволяет найти значение ускорение свободного падения. Так из формулы (5) следует, что коэффициент наклона данной прямой равен К = =. Найденный с помощью графика 4 по методу данным находим g = 2. Для определения минимального периода колебаний можно провести дополнительные измерения вблизи точки минимума: по нашим данным Tmin 0,906c.

3. Один раз ускорение свободного падения уже определено. Вторым способом определения ускорения является использование теоретической формулы для минимального периода (3). Из этой формулы можно определить g = 9,7 2.

Здесь результат получен более привычный, кроме того, получен с меньшими временными затратами.

Часть 2.

Вторая формула, приведенная в условии еще более страшная, да и неизвестных величин в ней больше. Для приведения ее к виду, допускающему экспериментальную проверку, заметим, что величина приведенную в условии, можно привести к виду Если теперь обозначить формулу, полностью совпадающую с «симметричной» формулой (2). Поэтому ее экспериментальная проверка может быть проведена теми же методами, рассмотренными выше. Положение центра масс и отношение масс груза и спицы легко определить, уравновесив маятник на упоре.

Рассмотрим пример более сложного исследования, включающий несколько принципиально различных экспериментальных методов. В этой задаче основные сложности связаны с теоретической разработкой методики проведения измерений и обработки их результатов, именно с этим и связано название очередной задачи5.

Обратите также внимание на длину условия этой задачи – олимпиадные экспериментальные задания последних лет обычно имеют именно такую длину.

Оборудование: полоска прозрачной пленки, лист миллиметровой бумаги, два коробка спичек, источник света, подставка, 2 кнопки Деформации тел не всегда поддаются точному теоретическому описанию. Даже такой простой вид деформации как изгиб тонкой полоски рассчитать не просто. Поэтому экспериментальное исследование этих проблем чрезвычайно важно.

Полоска пленки располагается между двумя упорами (в качестве которых используйте коробки) на листе миллиметровой бумаги. Используйте следующие обозначения (Рис. 1):

- длина недеформированной полоски L ;

- расстояние между упорами l ;

- величина прогиба h.

Используете систему координат, в которой форма деформированной полоски симметрична относительно оси Oy. Форма профиля изогнутой полоски описывается уравнением y ( x ).

Форма деформированной полоски существенно зависит от способа закрепления концов. Вам необходимо исследовать форму полоски в двух случаях, которые описаны далее. Конечной целью работы является установление приближенного уравнения изогнутой пленки y ( x ).

геометрических измерений оптическими методами можно измерять радиус кривизны изогнутой полоски. Для этого полоску следует осветить параллельным потоком света, так чтобы на миллиметровой бумаге были видны как падающие, так и отраженные от пленки лучи (для этого подставку с пленкой можно слегка наклонить). При этом на бумаге можно наблюдать освещенный участок с резким пиком (каустика), вершина которого является фокусом отражающей поверхности (см.

Фото). Возможно, что вам не удастся увидеть такие яркие картинки отраженных лучей (на фотографиях это отражение от лампывспышки), но фокус можно найти всегда!

Выполнение данной работы требует предельной аккуратности. Следите, чтобы полоска располагалась симметрично между упорами – при этом форма освещенной поверхности также должна быть симметричной.

Наконец, последняя подсказка: при поиске точного положения фокуса, образованного центральной частью полоски полезно перекрывать падающий пучок узким препятствием (карандашом или пальцем, наконец) при этом среди отраженных лучей можно увидеть отраженную тень (законы отражения для света и тени одинаковы).

Часть 1. Свободные концы.

Расположите полоску пленки между двумя упорами (в качестве которых используйте коробки), концы пленки должны свободно опираться на стенки коробков, но не скользить по ним.

Для упрощения задачи выдвинем две гипотезы:

А) профиль изогнутой поверхности является участком параболы;

Б) профиль изогнутой поверхности является участком синусоиды.

Вам необходимо отдать предпочтение одной из этих гипотез.

1.1 Прямое измерение профиля.

1.1.1 Запишите уравнения профиля поверхности пленки y ( x ) для каждой гипотезы, считая известными расстояние между упорами l и величину прогиба h.

1.1.2 Установите пленку на миллиметровой бумаге так, чтобы расстояние между упорами составляло три четверти от длины пленки l = 0,75 L. Измерьте форму профиля пленки y эксп. ( x ). Постройте график этой функции. Сравните полученные экспериментальные данные с теоретическими предсказаниями пункта 1.1.

1.1.3 Какая из высказанных гипотез ближе к результатам эксперимента?

Что значит, по вашему мнению, «ближе»?

1.2 Изменение прогиба.

1.2.1 Покажите, что для обеих гипотез справедливо следующее утверждение:

фокусное расстояние центральной части изогнутой пленки линейно зависит от параметра z =.

Установите теоретический вид этой зависимости для обеих гипотез.

Подсказка: если кривая задана уравнением y ( x ), то ее радиус кривизны в точке экстремума обратно пропорционален второй производной от этой функции в этой точке R = y.

1.2.2 Измерьте зависимости величины прогиба h(l ) и фокусного F (l ) изогнутой пленки от расстояния между упорами. Постройте графики полученных зависимостей.

1.2.3 Проверьте выполнение теоретического утверждения п.1.2.1.

Совет: сильно не удивляетесь – непонятная постоянная составляющая может появиться по многим причинам (например, не идеальна параллельность падающего потока) 1.2.4 На основании данных этого раздела 1.2 ответьте на вопрос: «Какая из высказанных гипотез ближе к результатам эксперимента?»

Часть 2. Закрепленные концы.

Проведите аналогичные исследования крепления находятся на одной прямой) – см.

Фото.

2.1 Выскажите самостоятельно гипотезу о форме профиля, приведете ее уравнение, выразите фокусное расстояние через измеряемые параметры (расстояние между закрепленными краями и величину прогиба).

2.2 Измерьте профиль прогиба (при l = 0,75 L ) и сравните его с теоретическим предсказанием.

2.3 Измерьте зависимости величины прогиба и фокусного расстояния от расстояния между упорами.

2.4 Проверьте теоретическое утверждение п.1.2.1.

2.5 Обоснуйте высказанную гипотезу.

Комментарии к условию.

1. Не смотря на название, успех в выполнении данной работы во многом связан с тщательностью и точностью измерений. При проведении измерений необходимо следить, чтобы коробки надежно держались на поверхности. При изменении расстояния между коробками нужно слегка поколебать пленку, чтобы она расположилась симметрично. В качестве источника света лучше использовать диапроектор, так как света от лампочки может не хватать, особенно в незатемненной комнате.

Решение и обсуждение.

Часть 1. Свободные концы.

1.1.1 «Гипотетические» функции имеют вид:

В этой Части задания длина свободной части полоски равнялась L = 210 мм.

1.1.2 Результаты измерения формы профиля (для l = 150 мм ) приведены ниже.

Таблица 1.

Построенный по этим данным профиль показан на Рис. «На глаз» определить, является ли данная кривая параболой или синусоидой невозможно, нужно сравнивать точнее. Один из вариантов – построить здесь же теоретические кривые, однако параметры этих функций абсолютно точно неизвестны, поэтому такое сравнение не совсем достоверно. Предпочтительнее «линеаризовать» эти зависимости: для этого можно построить графики зависимости прогиба y от = 1 в случае параболы; и от = cos x в случае синусоиды. Значения этих переменных также представлены в Таблице 1.

Линеаризованные графики этих зависимостей показаны на Рис.2.

Как следует из этих графиков, обе функции приблизительно с одинаковой точностью приближаются к линейной зависимости (но обе от нее отличаются). Но, повидимому, парабола все-таки ближе.

1.2 Изменение прогиба.

1.2.1 Как известно фокусное расстояние изогнутой сферической поверхности равно половине ее радиуса. Это правило справедливо и для любой искривленной поверхности вблизи ее вершины, только в качестве радиуса следует брать радиус кривизны, формула для которого любезно приведена в условии. Поэтому фокусное расстояние Действительно в обоих случаях фокусное расстояние пропорционально параметру z= (прямая пропорциональность – частный случай линейной зависимости). Более того, коэффициенты пропорциональности очень близки, поэтому надежды увидеть различия тают. Но... тем не менее!

1.2.2 Результаты измерений величины прогиба и фокусного расстояния приведены в Таблице 2 и на Рис.3.

Таблица 2.

1.2.3 Для проверки теоретического положения, построим график (Рис 4) зависимости фокусного расстояния от указанного параметра z - его значения также приведены в таблице 2.

Как видно экспериментальные точки лежат очень близко к прямой, что подтверждает высказанное положение. Значение коэффициента наклона этой прямой 0,053, что лежит между теоретическими коэффициентами для примерно равно параболы точного ответа следует считать погрешность определения экспериментального коэффициента наклона прямой на Рис. 4.

1.2.4 Таким образом, можно считать, что обе гипотезы достаточно хорошо (для оптимистов), или достаточно плохо пессимистов) описывают экспериментальные данные.

По измерениям фокального расстояния точнее – синусоида.

Часть 2. Закрепленные концы.

2.1 Если в предыдущем случае синусоида достаточно хорошо описывала профиль изгиба, то разумно предположить, что и данной ситуации эта функция будет удовлетворительна.

Только сейчас участок синусоиды должен быть длиной в период, и сдвинут относительно середины (Рис. 5) Представленная функция имеет вид Для нее фокусное расстояние равно Эта формула аналогична полученным ранее, поэтому для ее проверки можно использовать те же методики, что и в части 1.

В этой Части задания длина свободной части полоски равнялась L = 180 мм.

2.2 В таблице 3 и на рис.6 приведены результаты измерения профиля изгиба в рассматриваемом случае для расстояния между упорами l = 135 мм. Для сравнения с теоретической формулой на этом же рисунке (для разнообразия) построена теоретическая кривая, рассчитанная по формуле (5). Как видно, соответствие вполне удовлетворительное.

Таблица 3.

2.3. Результаты измерений величины прогиба и фокусного расстояния приведены в Таблице 4 и на Рис.7.

Таблица 4.

2.4 Для проверки теоретического положения, построим график (Рис 8) зависимости фокусного расстояния от указанного параметра z - его значения приведены в Таблице 4. И данном случае полученная зависимость является линейной с коэффициентом наклона равным значению 2.5 Таким образом высказанная гипотеза о форме профиля изгиба полоски подтверждается, что обосновывается результатами как прямого измерения профиля, так и исследования зависимости фокусного расстояния от величины изгиба.

основным методом является линеаризация с последующей обработкой (графической, или по МНК). Если же вид зависимости заранее не известен, то можно, во-первых, попытаться получить его теоретически; во-вторых, постараться угадать его по виду экспериментального графика. Но даже если вам удалось подобрать функцию, график которой проходит через все экспериментальные точки, необходимо осознать и качественно объяснить (хотя бы себе) полученный результат: подумать никогда не вредно. Тем более что часто полученные зависимости требуют обоснования.

Приборы и оборудование: Линейка ученическая длиной 40 см (2шт), нить, штатив с муфтой, секундомер, магниты керамические.

Закрепите в муфте штатива горизонтально расположенную линейку. С помощью двух нитей привяжите к ней вторую линейку, так, чтобы она также располагалась горизонтально. Линейка, подвешенная на двух параллельных нитях, может совершать крутильные колебания вокруг своей оси и маятником. Чтобы колебания меньше затухали, прикрепите к нижней линейке керамические магниты, расположив их симметрично относительно середины линейки. Обозначим:

R - расстояние между нитями;

L - длины нитей; S расстояние между центрами магнитов.

Вам необходимо исследовать зависимость периода крутильных колебаний данного маятника от его параметров.

Небольшая подсказка: зависимость периода колебаний от указанных параметров имеет вид где C - постоянный коэффициент,, - неизвестные показатель степеней; f (S ) неизвестная функция зависящая от S и не зависящая от R и L.

Задания.

1. Исследуйте зависимость периода колебаний от расстояния между нитями.

Определите показатель степени.

2. Исследуйте зависимость периода колебаний от длины нитей. Определите показатель степени.

3. Исследуйте зависимость периода колебаний от расстояния между центрами магнитов. Установите вид функции f (S ).

4. Качественно объясните полученные зависимости.

Комментарии к условию.

1. Не сложно подобрать оборудование для выполнения этой достаточно интересной задачи: вместо линеек можно использовать любые достаточно тяжелые стержни, магниты можно заменить кусками пластилина.

Обсуждение и решение.

Будем считать, что задача является чисто экспериментальной, и попытаемся определить требуемые зависимости на основании экспериментальных данных.

1. Проведем измерения зависимости периода крутильных колебаний от расстояния между нитями (не изменяя при этом длины нитей и положения магнитов).

Результаты измерений приведены в Таблице 1.

Таблица Построим по этим данным график.

Хорошо видно, что при увеличении расстояния между нитями период колебаний убывает, поэтому показатель степени отрицательный. Но чему он равен? Можно конечно попытаться угадать. Предположим, что = 1, то есть зависимость между периодом колебаний и расстоянием между нитями обратно пропорциональная. Для проверки этой гипотезы, линеаризуем ее, то есть построим график зависимости периода колебаний от величины обратной расстоянию T.

Кажется, нам сразу повезло, потому что полученная зависимость близка к линейной, что подтверждает сделанное предположение. Однако, где гарантия того, что при другом показателе степени зависимость будет еще «более линейной».

Можно, конечно, попробовать6 и построить «корневую» T или «квадратичную» T 2 зависимости – они заметно хуже, так как дальше от прямой.

Чтобы не заниматься подбором, надо запомнить, что показатель степени проще всего определяется по графику в логарифмическом масштабе («log-log»

scale). Действительно, если известно, что функциональная зависимость имеет вид прологарифмировать :

и построить график зависимости ln T (ln R ).

График этой зависимости должен быть линейным, а коэффициент его наклона определяет искомый показатель степени.

Поэтом он может быть найден либо непосредственно по графику, либо по методу наименьших квадратов. График исследуемой зависимости в логарифмическом масштабе подтверждает зависимость, Только, где взять время? Или компьютер!

Может быть кого-то пугает логарифм от размерной величины (а кого-то и просто логарифм). Не следует возмущаться – требуемый коэффициент наклона не зависит от выбора единиц измерения:

действительно, переход к другим единицам (кратным, дольным) приведет к изменению значения свободного члена ln C1, но не изменит наклона графика. Поэтому указанная процедура законна и используется повсеместно.

приведенную в условии, так как экспериментальные точки хорошо ложатся на прямую. Кроме того, непосредственно из графика следует, что коэффициент наклона то есть период крутильных колебаний обратно пропорционален расстоянию между нитями. Для завершения обработки можно с помощью МНК определить коэффициенты линейной зависимости (1). Расчет этих параметров привел к результату = 1,04 ± 0,03.Таким образом, вывод об обратной зависимости между T и R можно считать обоснованным экспериментально. Строго говоря, -1 чуть-чуть не попадает в указанный диапазон. Но, «природа не терпит сложностей», поэтому лучше признать незначительную ошибку в измерениях, и в качестве окончательного значения признать = 1.

2. Теперь проведем измерения периодов крутильных колебаний при различных значениях длин нитей (при неизменных остальных параметрах).

Таблица 2.

Нанесем полученные точки на график - опять получена нелинейная зависимость.

Не занимаясь подбором и подгонкой, сразу построим эту зависимость в логарифмическом масштабе. Линейность этого графика подтверждает степенную зависимость между периодом колебаний и длиной нитей. Коэффициент наклона данной прямой близок к 0,5, то есть период колебаний пропорционален квадратному корню из длины нитей. Обработка по МНК дает следующее значение коэффициента степени) незначительное отклонение, будем считать, что период колебаний квадратному из длины нитей T = C 2 L, тем более, что такая же зависимость справедлива для периода колебаний математического маятника.

3. Наконец, измерим периоды колебаний при различных положениях грузов – магнитов.

Таблица 3.

Построим график полученной зависимости.

Может быть и неожиданно, но данная зависимость очень близка к линейной.

Анализ по МНК приводит к следующим значениям коэффициентов линейной зависимости T = aS + b :

зависимость близка к линейной, но не является прямо пропорциональной.

Действительно, значение свободного члена b значимо отлично от нуля.

отсутствии пропорциональной зависимости подтверждается и графиком в логарифмическом масштабе, который заметно и систематически отклоняется от прямой линии. Кроме аппроксимирующей прямой заметно отличается от +1 (рассчитано по МНК):

a = 0,81 ± 0,04.

Этот дополнительный расчет показывает, что степенная зависимость не является универсальной, а только для нее удобен логарифмический масштаб. Поэтому не ленитесь, хотя бы примерно, построить график непосредственно по экспериментальным данным.

4. Итак, на основании экспериментальных данных мы построили следующую формулу для периода крутильных колебаний значения параметров определены выше (2).

Попытаемся объяснить полученную формулу8. Зависимость от длины нитей, такая же, как и для математического маятника – в данном случае в процессе колебаний нити также отклоняются от вертикали. Поэтому полученный результат понятен.

При уменьшении расстояния между нитями уменьшается высота подъема линейки при ее повороте, иными словами, чем больше расстояние между нитями, тем труднее повернуть линейку – увеличивается «жесткость» маятника, что и должно приводить к уменьшению периода. Также можно отметить, что при расстоянии, между нитями стремящемся к нулю, период должен возрастать до бесконечности (крутильная «жесткость» одной нити стремиться к нулю). Поэтому и зависимость периода от расстояния между нитями качественно понятна.

Сложнее объяснить зависимость периода колебаний от расстояния между грузами. Изменение этого расстояния приводит к увеличению момента инерции маятника. Однако, момент инерции грузов пропорционален квадрату расстояния между ними. Если массы грузов значительно превышают массу линейки (точнее, если можно пренебречь моментом инерции линейки по сравнению с моментом инерции грузов), то период должен быть прямо пропорционален расстоянию между грузами, при условии, что период пропорционален корню из момента инерции: