«Новочеркасск НОК 2011 1 УДК 512 ББК 87.21:72 М 73 Рецензенты: Галушкин Н.Е., доктор техн. наук, профессор; Кравченко П.Д., доктор техн. наук, профессор. М 73 Коротков А.В., Мешков В.Е., Чураков В.С., Бабкина Т.А., ...»

Ну здесь я вынужден несколько повториться… Повторить многое из вышесказанного, но уже в отношении заданного вопроса… вариации на заданную тему, короче говоря… ну и в дополнение к данной теме… Представляется интересным результат по многомерным алгебрам. В этих алгебрах после внимательного анализа, пожалуй, следовало бы говорить не о многомерности, а о многоразрядности.

Но это несовпадающие понятия (у них и значения разные): многоразрядным числом мы могли бы называть число, например целое число, связанное с телефонными кодами. Т.е. телефонный номер характеризует многозначное число. Таких чисел может быть сколько угодно много даже при ограниченной разрядности. Это касается целых чисел. Но это не касается алгебр.

Многоразрядные алгебры могут обеспечивать выполнение алгебраических операций, например операций сложения и умножения в каждом разряде в каждом разряде независимо друг от друга. Т.е.

можно было бы обеспечивать операции сложения и умножения в каждом разряде независимо друг от друга для многоразрядных целочисленных алгебр. Можно пойти дальше: строится цепь чисел, подобно телефонным номерам, но не из целых чисел, а из действительных чисел. Т.е. она включает в себя не только целые числа, причём положительные числа, но и целые отрицательные числа, числа рациональные и числа иррациональные, любые действительные числа. Конечно, пока ещё довольно трудно себе представить, где можно использовать такие алгебры, но то, что они найдут применение со временем в определённых областях, это однозначно.

Т.е. многоразрядная алгебра действительных чисел представляет собой многоразрядное число, вернее многоразрядную цепочку действительных чисел: пять, шесть, семь, миллион какого угодно числа разрядов. Причём в каждом разряде выполняются свои операции умножения и сложения. Т.е. получается, что можно построить не только известную одноразрядную алгебру действительных чисел, всеми нами признаваемую, но и можно строить по аналогии многоразрядные алгебры действительных чисел.

Если идти дальше, то можно строить многоразрядные алгебры целых чисел, т.е. с целыми числами в каждом из разрядов алгебр с операциями умножения и сложения результат будет целочисленным. Т.о. это уже не алгебра над полями действительных чисел, а алгебра над кольцами целых чисел.

Очередным шагом будет алгебра вычетов по модулю N, но не одноразрядная, как принято, а многоразрядная алгебра по модулю N. Т.е. результат алгебраических операций свёртывается по конкретному модулю в каждом из разрядов многоразрядного числа.

Следующей ступенькой, если ограничить себя модулем два, то получается многоразрядная алгебра вычетов по модулю два небулевого типа. Это уже алгебра логики. Если изменить операцию сложения в этой алгебре, то это будет многоразрядная алгебра логики булевого характера, т.е. появляется цепочка многоразрядных алгебраических систем действительных чисел многоразрядных, целых чисел, вычетов по модулю, вычетов по модулю два, булевых алгебр логики многоразрядных.

Поэтому, видимо принятое мною обозначение многомерных алгебр логики вычетов по модулю два либо булевой алгебры логики, не очень удачно, лучше было бы говорить о многоразрядных. Но это несовпадающие значения. Дело в том, что в многоразрядной алгебре нужно ограничивать результаты операций в каждом разряде только над числами этого разряда. Это характеризуется прямой суммой в прямом произведении величин. Т.е. частным случаем получения многоразрядного числа многомерностей многоразрядных чисел. Поэтому не стоило бы путать понятие многоразрядного числа и многомерного числа. В многоразрядном числе в каждом разряде действуют операнды, связанные только с этим разрядом. Например, шестым разрядом многомерного пятнадцати разрядного числа такое пятнадцати разрядное число уже другое и будет давать результат в пятом разряде, связанным с двумя числами пятого разряда и только ими.

В многомерных числах, видимо стоит ограничиться числами, в которых результаты операций связаны не с одним и тем же разрядом, даже простейшее комплексное число следовало бы считать двухмерным числом не двух разрядным, а двухмерным. Потому что, хотя операция сложения выполняется также, как и в многоразрядном числе, операция умножения выполняется иначе. Например, для двух чисел а1 а2 и b1b2 двух комплексных чисел результат операций произведения двух чисел даёт: а1 на b1 минус а2b2. Т.о. задействованы числа, как первого разряда, так и второго разряда. Т.е. в многомерных числах задействованы числа различных разрядов.

Точно так же и для второго разряда: а1b2+b1а2. Т.е. задействованы числа, как из первого, так и из второго разряда. Поэтому комплексные числа стоит относить к многоразрядным числам, вернее к многомерным числам. В данном случае к двухмерным числам.

Аналогичным образом получаются многомерными четырехмерные кватернионы, восьмимерные октанионы, трёхмерные векторные алгебры, семимерные векторные алгебры. Всё это одноразрядные многомерные числа. Двухмерные, четырёх-, восьмимерные, трёх-, семимерные но одноразрядные. Поэтому, если проводить аналогию с телефонными номерами, то многомерные алгебры следовало бы назвать многоразрядными. Т.е. можно получить цепочку комплексных чисел произвольной разрядности, естественно, что двухмерных, и считать это многоразрядным комплексным числом.

Насколько я понимаю, такая задача в математике ещё не ставилась и не изучалась. Но, в этом случае, можно было бы анализировать результаты взаимодействия комплексных чисел не только в одном разряде, а одновременно в большом числе разрядов. Что это может дать? Вот один из возможных аспектов использования таких чисел: для простоты одномерных многоразрядных тех же действительных чисел, т.е. первые из рассмотренных чисел это перечень, например, табличных значений предположим, стоимости акций различных предприятий. Если под первым предприятием поставить завод «Гидропривод», а под вторым банк «Сбербанк», под третьим предприятием ещё что-то, и т.д., то появляется цепочка действительных чисел как телефонный код, только не целых чисел, а действительных чисел. Текущие результаты будут всё время меняться, т.е.

все эти цепочки действительных чисел дают непрерывную цепь изменений, вернее сказать динамику этих цепочек и в результате получается набор действительных чисел, как для завода «Гидропривод», так и для «Сбербанка», так и для остальных предприятий. Полагаю, что это может дать такие же полезные результаты, в частности, в экономике. Хотя экономика это сугубо частный случай.

Я считаю, что следует разделить понятия многоразрядности и многомерности: чётко их определить и с многоразрядными числами связать числа действительные, целые, числа вычетов по модулю, числа алгебры логики по модулю два, булевы алгебры логики это в одномерном многоразрядном варианте, а многомерном многоразрядном варианте будут фигурировать: алгебры комплексных чисел, двойных, дуальных (например, алгебры кватернионов, псевдокватернионов, алгебры октанионов и псевдооктанионов), многомерные трёхмерные в многоразрядном варианте трёхмерные векторные алгебры, т.е. многоразрядные трёхмерные векторные алгебры, многоразрядные семимерные векторные алгебры, вообще многоразрядные алгебры произвольного типа.

Т.е. принятие многоразрядности может дать новые свойства чисел и их практических приложений, в частности, в экономике. Хотя можно рассматривать многоразрядные одномерные числа, это, например температура, давление. Температура меняется непрерывно в различных точках. Если брать географические пункты для Москвы, Ростова-на-Дону, Калининграда, Омска и Томска то это многоразрядность, но одномерная, потому что температура характеризуется одним числом. Точно так же по давлению воздуха, например, ну и т.д. Прикладных применений может быть множество.

Анатолий Васильевич, а как получить семимерные Изучение таких разделов знания, как математические основы кибернетики, алгебры логики, теория класса, теория множеств, затем топология базируется на булевой алгебре. Но эти чрезвычайно важные разделы знания могут иметь альтернативный вариант по сравнению с булевым вариантом. На варианте булевой алгебры построены все эти разделы наук. Появление небулевой алгебры даёт совершенно новый способ определения этих разделов знания. Это связано с изменением процедуры логического сложения т.е. логического объединения в конечном счёте.

В моей работе «Элементы семимерного векторного исчисления» это определяется так: берётся область значения (логического сложения), равного единице (внутри, а за пределами равного нуль) одной переменной и второй переменной имеется область значения, внутри которой имеется значение единицы, а за её пределами равная нулю.

Логическое сложение даёт следующее: как и логическое объединение, единица в результате логического сложения определяет область, полностью заполняющую область «один» и область «два».

В том числе, область объединения «один» и «два»: пересечение.

А в небулевом варианте область пересечения выбрасывается из рассмотрения и результаты сложения в этой области равны нулю, а не единице. Вот отличие. Т.е. получается ущербный диск типа как солнечное затмение Луной: диск Солнца или Луны меняется, накрываясь тенью.

По крайней мере, процедуры логическое сложение и логическое объединение видоизменяются, и все результаты вышеперечисленных наук тоже будут изменяться, будут другими. Это очень важно для перечисленных областей знания. В том числе и для нейрокибернетики, нейроинформатики, нейроматематики и когнитологиии в целом. А также алгебры логики, математических основ кибернетики всё меняется.

Но всё-таки как, каким образом получаются Для этого следует использовать семимерную векторную алгебру.

Семимерная векторная алгебра определяет операции сложения и умножения, в том числе умножения не просто на скаляр, а умножение двух векторных величин. Векторное произведение двух векторов.

Векторное произведение двух векторов в семимерном варианте определяется формулой, приведенной на с.17 моей монографии «Элементы семимерного векторного исчисления» за 1996 год. Даже простой взгляд на эту формулу позволяет сделать вывод о том, что векторное произведение двух векторов определяется суммой семи однотипных в математическом отношении определителей третьего порядка. Вот: первый, второй, третий, четвёртый, пятый, шестой, седьмой семь определителей третьего порядка. А сам определитель третьего порядка является векторным произведением двух трёхмерных векторов. И в результате даёт значение, например, ротор вектора трёхмерного векторного поля вихреобразного.

Вот эта как раз схема и позволяет говорить, что семимерное пространство может рассматриваться как совокупность семи трёхмерных векторных пространств. В теории поля это означает, что семимерное векторное поле может рассматриваться как совокупность семи трёхмерных векторных полей. Вот и всё в отношении векторного произведения двух векторов абсолютно всё. Необходимо помнить, что в семимерном варианте кроме векторного произведения двух векторов есть векторные произведения трёх векторов.

Там же на с. 20, 21, 22 векторное произведение четырёх векторов.

Векторное произведение четырёх, пяти, шести векторов это дополнительные функции как аналоги построения полей из комбинации более сложных конфигураций векторов, но уже не двух векторов, а трёх, четырёх, пяти, шести. Но даже если рассмотреть векторное произведение трёх векторов на с.22, то векторное произведение трёх векторов так же определяется совокупностью семи однотипных определителей четвёртого порядка. Т.е. векторное поле, составленное из совокупности трёх семимерных векторных полей, распадается на совокупность семи полей, определяемых определителем четвёртого порядка. Но в трёхмерном варианте совокупность четырёх векторов разлагается по трём векторам, так что векторное произведение трёх векторов семимерных векторов при рассмотрении трёхмерных векторов, т.е. когда четыре любые координаты полагаются равными нулю, то уже определяется нулём (обращается в нуль).

Т.е. векторное произведение трёх векторов в трёхмерном случае равно нулю, а в семимерном случае это достаточно сложная функция семи определителей четырёх векторов. Точно так для определителей четвёртого, пятого, шестого порядка. Четвёртый порядок рассмотрен в частности, на с. 27, результаты для пяти векторов на с. 34, для шести векторов векторное произведение определяется на с. 49 и уже не распадается на сумму семи определителей, а определяется одним определителем седьмого порядка. Векторное произведение шести векторов, как и векторное произведение двух векторов в трёхмерном пространстве является определителем третьего порядка, так и в случае векторного произведения шести векторов в семимерном пространстве оно определяется одним определителем седьмого порядка.

Это всё новые функции: в трёхмерии они обращаются в нуль.

В трёхмерии это простейший случай: частный случай семимерных преобразований. Это функции, с которыми связаны законы сохранения векторных величин точно так, как и с векторным произведением двух векторов в трёхмерном пространстве связан момент импульса. Так и здесь: это новые векторные функции, которые в трёхмерии не имеют места, обращаются в нуль, а в семимерии вовсе не нули это новые законы сохранения векторных величин.

Уже не момента импульса, а более сложных векторных функций.

В отношении закрытой тематики: можно ли применить к боевым разработкам?

Я инженер-электрик, кандидат технических наук в отличие от кандидатов и докторов физико-математических наук, учёныхфизиков мне пришлось в институте (НПИ–Новчоеркасском политехническом институте) досконально изучать трёхмерное векторное исчисление в координатной записи, а не в тензорном виде и не в обобщённом виде, а в координатном виде, с тем, чтобы подставлять числа в соответствующие координаты векторов и получать результаты опять-таки в виде чисел, а не в виде каких-нибудь математических символов другого типа, но только в виде чисел. Конечно, мне пришлось работать в ОКТБ «Старт» и «Орбита».

А эти ОКТБ были организациями закрытого типа. Приходилось заниматься техническими науками и только ними на работе и технической проблематикой соответственно. Это было в те времена…в советское время, короче, когда каждый занимался своим делом… «Поразительные успехи» т.н. суверенной/суеверной сувенирной демократии» в кошмарном сне никому не могли бы присниться… Напомню наиболее значимые из них за последнее время: путинские ракеты не летают (из тринадцати запусков семь или восемь неудачных, а путинские шпионы не шпионят [Чем они вообще занимались в USA? Закладывали логические бомбы в критические точки инфраструктуры USA? Нет, для этой простой работы у этих «тёщиных сынков» ума нет. Следовательно, это стадо орангутангов находилось в USA на откорме]. Раз так, то можно было бы отдать производство ракет товарищам китайцам на аутсорсинг напомню, что они преуспели в производстве одноразовых вещей, коими являются и ракеты… Шпионаж тоже можно отдать им на аутсорсинг… Впрочем, разведка дело тонкое: то, чем занимались шпионы, которые не шпионы и примкнувшая к ним милкасексапилка, с успехом и гораздо эффективнее занимается небезызвестный Андрей Масалович. И называется это «корпоративная разведка»).

В частности, моя кандидатская диссертация была посвящена техническим вопросам. В открытом варианте она называлась бы примерно так: «Исследования и разработка системы управления быстродействующими электромагнитными механизмами бортовых систем».

Борт понятие растяжимое… (Борт это: самолёт, ракета, подлодка, космический корабль, космический спутник… Борт это автономная управляемая система, иначе говоря). Алгебрами тут не пахнет. Применяется только трёхмерная векторная алгебра. И только она могла быть задействована.

1975 году я представлял к защите кандидатскую диссертацию на соискание ученой степени кандидата технических наук. Ведущей организацией мне был назначен научно-исследовательский институт приборостроения в г. Москве. Я сделал доклад по диссертационной работе в этом институте, и по окончании доклада начальник одного из отделов института Семён Абрамович Франштейн задал вопрос: „Анатолий Васильевич, не могли бы Вы объяснить такое явление: общепризнано, что трёхмерное векторное исчисление дало теорию гироскопических систем, и эта теория говорит о том, что с повышением скорости вращения гироскопов увеличивается точность сохранения положения оси гироскопа. Однако наши инженеры столкнулись с такой проблемой: когда скорость гироскопа оказалась чрезвычайно большой, то стали появляться дополнительные ошибки, непонятно откуда возникающие и из теории не следующие.

Гироскоп с большой скоростью оказался менее точен по сохранению положения оси, нежели гироскопы с низкими скоростями“.

Этот вопрос заставил меня задуматься о том, чем могли быть вызваны дополнительные ошибки… И я пришел к выводу, что дополнительные ошибки могут быть связаны с более высокими производными от радиуса вектора по времени, начиная не только от скорости и ускорения, то есть первой и второй производной, но и третьей производной, четвёртой и т.д.

Мы их не учитываем в теории трёхмерных систем, в то же время, эти ошибки при больших скоростях и больших скоростях изменения величин, могут быть весьма существенными и давать серьёзную погрешность в плане получения высокоточных гироскопических систем. Это явилось основой для начала исследования многомерных алгебр, в которых могут иметь принципиальное значение высокие производные, высокие в порядке от векторных величин.

Я, изучив соответствующую литературу по гироскопам, случайно оказался на проходившей в Москве научной конференции, где с докладом по экспериментам с гироскопами выступал пулковский астроном Николай Александрович Козырев. Консультации с Н.А.Козыревым и монография А.В.Павлова «Оптикоэлектронные приборы» (1974 года издания), посвященная измерению температуры планет Солнечной системы на базе спутниковых технологий, привели меня к созданию теории гравитационно-гироскопного поля. Моя «Теория гравитационно-гироскопного поля» совершенно не совпадает, а просто воспринимает как частный случай теорию тяготения И.Ньютона и сильно бы изменила теорию тяготения А.Эйнштейна.

Очень сильно. Потому, что теория тяготения Эйнштейна рассмотрена в криволинейных координатах, в то время как теория в прямолинейных пространствах до сих пор не изучена. Не был получен ответ на вопрос: какова сила взаимодействия двух движущихся гравитирующих масс? Для неподвижных масс – это теория тяготения И.Ньютона, для движущихся в криволинейном пространстве – теория А.Эйнштейна. А для движущихся в прямолинейных инерциальных системах координат вопрос до сих пор открытый.

Я хочу сказать, что моя семимерная парадигма и все её приложения берут начало в 1975 году и имеют самое непосредственное отношение к Советской Космической Программе (КСП).

На конференции в БАУМАНКЕ в 2004 году интересовался один учёный товарищ: как можно использовать семимерные разработки в прикладных целях? Можно ли их использовать для отслеживания целей? Для идентификации целей?

Трёхмерные векторные вычисления используются не только для описания движений, но и для создания различного рода систем изображения. В частности, голограммы. Голограмма это уже не реальный объект, это точная копия реального объекта. Но визуальное изображение не связано с реальным объектом, т.е. можно пальцем проткнуть голограмму и при этом мы не наткнемся на бюст Владимира Ильича Ленина (Поясню про бюст В.И.Ленина: это была одна из первых советских голограмм для открытого показа. Она демонстрировалась в одном из павильонов ВДНХ в конце 60-х годов прошлого века).

Это изображение, это фантом, не существующий реально, а являющийся изображением реального объекта. Трёхмерие используется для создания голограмм. Точно так же семимерие можно использовать для создания голограмм более сложного типа как совокупность голограмм трёхмерных т.е. это изображение физического объекта более сложного типа семимерного объекта. Это изображение, относящееся к фантому совсем другого случая, совсем другого способа образования (получения) фантома. В частности, совокупность семи векторных произведений формируют одно векторное произведение семимерных векторов. Т.е. совокупность семи голограмм трёх мерных даёт характеристику одной семимерной голограммы. Она распадается на семь трёхмерных голограмм, на семь фантомов, а сама является одним сложным фантомом.

Вот собственно для построения большого числа фантомов можно использовать семимерное векторное исчисление, которое вдруг неожиданным (неопределенным, непостижимым) образом складываются и дают один семимерный фантом (для примера: семь голографических бюстов В.И.Ленина, успешно преодолевающих противоракетную систему (ПРО) USA).

Анатолий Васильевич, а как, по-Вашему, семимерие можно использовать для описания аномальных Ну, ответить на этот вопрос можно так: с аномальностями мы связываем ненормальное поведение объектов, которые ведут себя не так как все известные объекты, но а-нормально, ненормально.

Точно так же, как и семимерные объекты, семимерная алгебра может восприниматься как аномальная алгебра в трёхмерии. Но это не трёхмерная алгебра, известная, изученная и описанная, нет – в данном случае, это аномальная алгебра по отношению к алгебре трёхмерной.

И уж если мы говорим, что существуют аномальные физические объекты, то можно попытаться использовать аномальные математические объекты и алгебры для описания поведения этих аномальных физических объектов и физических явлений. Математика семимерия есть, и из неё можно взять очень много полезного, которое в трёхмерии никем никогда не рассматривалось.

Как можно смоделировать экстраординарные (К примеру, описать биения детали в станке при обработке на высоких оборотах?) Трёхмерная алгебра строится на понятиях обобщённых координат и к обобщённым координатам в трёхмерии относят три величины: радиус-векторы, скорости и ускорения. Всё! Обобщённых координат более высокого порядка не рассматривают, считают их пренебрежимо малыми, равными нулю. Поэтому уравнения динамики трёхмерного объекта описывают с помощью применения этих величин: радиус-вектора, скорости и ускорения. Это применяется в классической механике Ньютона и в электродинамике. Более высокие порядки величин не рассматривают, пренебрегают ими.

Однако мы знаем, что ускорение может изменяться по величине и по направлению. Т.е. третья координата, вернее, третья производная радиуса-вектора, не равная нулю. Например, вот минский коллега по пифагоровым числам В.И. Сяхович рассматривает задачи изменения ускорения при взлёте самолета и при разбеге самолёта. При разбеге самолёта третья производная радиуса – вектора по времени уже не равна нулю. Т.е. это реальный физический трёхмерный объект, которым уравнения динамики Ньютона пренебрегают. Так вот в обобщённые координаты семимерного векторного пространства, семимерной векторной алгебры будут входить уже не три координаты радиус – вектор, скорость и ускорение, а семь: радиус-вектор, скорость, ускорение, вторая производная радиус-вектора по времени, третья производная, четвёртая производная, пятая производная, шестая производная и только седьмой производной в семимерном пространстве придется пренебрегать.

Т.е. семимерный случай физического объекта уже не пренебрегает высокими производными: третьей, четвертой, пятой, шестой не обращает их в нуль. Т.о. это более точное описание поведения физического тела (физического объекта или явления). И мы им не пренебрегаем. А поэтому математика, конечно же, усложняется. Но зато она при этом даёт ряд замечательных результатов в отношении законов сохранения величин (новых величин) наряду с общеизвестными и общеупотребительными трёхмерными законами сохранения: энергии, импульса, момента импульса. И это, прежде всего, имеет значение при точном описании поведения физического объекта. При грубом описании можно пренебрегать этими величинами, а при точном нет. Вот почему гироскоп (механический гироскоп) на высокой скорости даёт большие ошибки высокой скорости соответствует высокое ускорение, и незначительные изменения ускорения приведут к третьей производной, которая внесёт свой вклад в изменение измеряемой величины, пренебрегать которой уже не следует (поскольку она приводит к ошибке). Вот собственно, что даёт семимерие. Оно даёт очень много. Но повторяю: физики наши забыли о координатной записи величин, которые нужны инженерам и техникам для получения значений точек и чисел. Физики преимущественно работают с абстрактными величинами и объектами.

Увлечение абстрактной математикой привело к появлению абстрактной физики, физики, в которой напрочь отсутствует собственно физическое содержание, физический смысл, физическая реальность, но зато доминирует абстракция.

Как лучше всего в искусственном интеллекте (ИИ) ИИ, его математическое описание сейчас преимущественно связывают с алгебрами логики. А алгебры логики Булевы. Булева алгебра логики определяет две операции: логического сложения и логического умножения булевого типа. Третья операция дополнение элемента. Вот на базе этих операций строятся все процедуры по изучению поведения физических, биологических, описания нейрокибернетики, нейроинформатики и социальных объектов. Мне хотелось бы отметить, что одномерный булевый вариант даёт очень много, но далеко не всё. Можно рассмотреть многомерные случаи булевы. В частности, с операциями сложениями и умножения построенными по способу прямой суммы и прямого произведения.

Такие булевы алгебры, мною как показано в одной из работ, могут быть и двумерными и вообще говоря, n-мерными.

Т.е. многомерный случай булевых алгебр это более сложное описание физических, биологических и социальных объектов. Требуется отметить, что булевый вариант даёт описание математических основ кибернетики, алгебры классов, теории множеств, топологии, и ряда других разделов математики. Чрезвычайно важных разделов математики.

Топология используется для описания физических объектов.

Анатолий Васильевич, а что Вы можете сказать о Могу только сказать, что это вопрос многоплановый, а сама тема всё ещё далека от завершения. То, что широко используется булева алгебра – это замечательно, но это не единственный вариант.

Булева алгебра всё-таки избыточна. Избыточна в том плане, что требует для записи информации в двоичном варианте в двоичном коде большое число разрядов. Большое число разрядов это очень неудобно с одной стороны представлять так числа, а с другой стороны скорость обработки информации за счёт этого получается недостаточно высокой. Конечно, ЭВМ (компьютеры) работают с большими скоростями, но всегда есть желание и необходимость иметь ещё более скоростные и более эффективные и высокопроизводительные машины. Что же можно предложить более эффективное (лучшее)?

Был рассмотрен целый ряд алгебр и способов представления информации, т.е. записи чисел в кодах. Запись чисел в двоичном коде, как уже отмечалось выше, на самом деле не очень удачна.

Например, даже десятичный код такой же позиционный, как и двоичный код, но в нём в одном разряде записываются числа от нуля до девяти. Т.е. десять чисел, а не два как в двоичном коде один-нуль и всё! Т.о. десятичные коды наиболее интересны не только для вычислительной техники, но и вообще повсеместно используются в повседневной человеческой практике.

Дело в том, что это очень компактная запись информации, а с другой стороны очень удобна в восприятии. В ней разряды разнятся только позицией числа, а само число представляется удобно и легко обрабатывается самыми простыми и примитивными методами и средствами. Например, ЭВМ в двоичном коде произведут обработку информации, но выдачу результата полученной информации всё равно обеспечат в десятичном коде. Применяются для этого двоично-десятичные коды. И для записи информации машины преобразуют двоичную запись информации в десятичную: машина выдаёт информацию оператору ЭВМ в десятичном коде.

Т.е. уже здесь появляется некоторая избыточность: нужны устройства для преобразования двоичного кода в десятичный и обратно из десятичного кода в двоичный. Так вот: это уже избыток, это время, это средства… В общем, всё это не очень-то удачно. Но, тем не менее, двоично-десятичные коды как пример задействования различных кодов довольно удобен и используется в вычислительной практике. Это довольно хороший способ представления информации, однако, это не единственная возможность.

Так, в советское время строились вычислительные машины на совершенно иной арифметике, нежели арифметика двоичная. В частности, использовались числа Фиббоначи. Этот код тоже позиционный, но он относится к позиционным кодам с изменяемым весом разряда. Числа Фиббоначи это, например, последовательность чисел: 1, 1, 2, 3,5, 8, 13, 21, 34 и т.д.

Т.е. идёт суммирование предыдущих двух чисел для очередного разряда, для третьего разряда и реккурентный код определяется в этом случае только началом чисел: если первыми стоят 1 и 1, то следующее число 2. Началом могли бы быть и 1 и 2, то в этом случае следующее число было бы 3. Т.е. определено начало и определён набор весов разрядов.

Такие числа Фиббоначи, конечно, сложны для восприятия и для запоминания. Конечно, это и на практике не очень-то удобно, потому что меняется вес разряда: то 3, то 5, то 8 и т.д. Но с другой стороны, эти числа позволяют записывать довольно компактно информацию большого формата, большой размерности. Большие числа требуются, вообще-то говоря, для запоминания больших рядов разрядов. Ни двоичные, ни двоично- десятичные коды этого не обеспечивают.

Очень интересен вопрос о построении вычислительных устройств на таких принципах и такие устройства были созданы в своё время в Советском Союзе это ЭВМ Н.П. Брусенцова и ЭВМ И.Я. Акушского. ЭВМ И.Я. Акушского использовала числа в остаточных классах. Это числа по модулю N, числа алгебры сравнения по модулю N. Здесь разрядность числа определяется модулем, а модуль произволен. Он может быть: 3, 4, 29 и вообще любым числом. А модуль определяет вес разряда. Такие машины были построены и очень успешно работали. Особенно удобно использовать такие машины при вычислениях в реальном масштабе времени, причём больших массивов информации, когда информация записывается в виде больших чисел. Очень больших чисел. В этом случае этот вариант предпочтителен даже при сравнении с двоичным кодом. Он не избыточен с одной стороны, а с другой стороны представляет собою плотную запись информации. Было выпущено значительное количество таких ЭВМ (они применялись на подводных лодках, в авиации и космонавтике… Устанавливались на «бортах», короче… В наших организациях ОКТБ «Старт» и «Орбита» они тоже имелись…). Короче, такие машины были созданы и успешно работали… И сейчас всё чаще и чаще при обработке больших массивов информации используют те или иные специальные (специфические) коды. Что можно в заключение ещё сказать?.. Вопрос не завершён. Т.е. даже нет такого понятия как семимерная физика.

Можно считать, что с трёхмерной физикой вопрос решенный. А в отношении физики семимерной вопрос всё ещё пока открытый. Т.е.

способы кодирования информации с одной стороны, и способы приёма, хранения, переработки, выдачи информации с другой стороны тоже ещё не завершены, не изучены окончательно и здесь ещё всё впереди. Возможно, что появятся десятичные ЭВМ, работающие в десятичных кодах (не обязательно работать всё время исключительно в двоичных кодах).

Спасибо, Вам Анатолий Васильевич. Но тут возникает вот какой вопрос: а Ваши алгебры логики многозначные и многомерные, булевы и не-булевы они относятся к машинным арифметикам или представляют собою самостоятельное явление, лишь местами частично пересекающееся с машинными арифметиками? Или они идут вообще как-то отдельно сами по себе? Можно ли их отнести к машинным арифметикам или они представляют собой что-то Небулевы алгебры… Самая близкая к булевой алгебре это алгебра вычетов по модулю два, алгебра сравнений по модулю два.

Она также двоичная как и булева алгебра, но обладает другим набором свойств. Набором свойств каких? В алгебрах вычетов по модулю два, в алгебрах сравнения по модулю два в принципе можно рассматривать даже отрицательные числа и операцию вычитания совершать. В алгебре сравнений по любому модулю используются числа как положительные, так и отрицательные. Это один нюанс.

Это позитивный нюанс, который может дать положительные решения. Оптимальные. Второй нюанс. Алгебра вычетов по модулю два симметрична. Т.е. операция сложения в алгебре по модулю два отличается от булевой алгебры. В булевой алгебре нет симметрии в выражениях для операции сложения. Это исключается в алгебре сравнений по модулю два. Наконец, алгебра сравнений по модулю два это рассмотрение своего рода алгебры действительных чисел, но только если взять два класса чисел: чётные и нечётные.

Т.е. это алгебра действительных чисел, вообще говоря, чётных либо нечётных действительных чисел. Это говорит о том, что такие алгебры можно строить на основе алгебр действительных чисел. И это тоже очень полезный вариант. Потому что свойства этой алгебры будут совпадать со свойствами алгебры действительных чисел, а это самые приличные свойства в вычислительной математике. Такие числа имеют следующие свойства: ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность, умножение, сложение, вычитание… Наличие единицы, наличие нуля… противоположные элементы это элементы отрицательного характера. Т.е. всё это может дать дополнительные результаты, эффекты и так далее. Более того. Эта алгебра является подалгеброй более широких алгебр. Например, кроме алгебры действительных чисел используются алгебры комплексных чисел, алгебры кватернионов, алгебры октанионов. Это алгебры самостоятельные, многомерные.

Аналогичным путём можно пытаться идти и при построении машинных арифметик. Т.е. арифметик действительных чисел. Итак, получается: алгебры действительных комплексных октанионов, кватернионов. Вслед за ними идут алгебры дискретных чисел, т.е.

это когда числа принимают только дискретные значения, например, только целые или натуральные. Это решения уравнения в целых числах того же уравнения Пифагора, это возможность построения многомерных целочисленных алгебр, где вместо действительного числа А используется набор натуральных чисел (вернее сказать натуральных отрицательных чисел), т.е. целых чисел.

На основе алгебры действительных чисел можно построить алгебры многомерные, в том числе дискретные. В том числе принимающие значения исключительно 0 и 1. Это небулева алгебра сравнения по модулю два. Это один из самых простых вариантов. Следующие варианты развития этих алгебр это алгебры по модулю три, по модулю четыре, по любому простому модулю это уже многомерные случаи алгебр, алгебр большой размерности.

Булева алгебра всего этого создать не может. Т.е. что я хочу сказать? Вопрос о рассмотрении алгебраических систем ещё не завершён.

Могут найтись более предпочтительные схемы, нежели булева схема и тогда вычислительные машины будут строиться не обязательно на основе булевой алгебры, но и на не булевых алгебрах, в том числе. В частности, в советское время, как было сказано выше, были созданы ЭВМ не булевого типа. Вовсе не булевого типа. В них использовались машинные арифметики опять-таки не булевого типа.

Руководители-ренегаты советской державы уничтожили отечественную вычислительную технику. Она была не хуже, а может быть и многократно лучше по своим свойствам, чем западная.

…Но всё ещё впереди. Полагаю, что найдутся технические решения, в которых будет применяться не двоичная булева алгебра.

Анатолий Васильевич, что бы Вы хотели сказать в Во-первых, я недавно узнал из телепередачи по ТВЦ, что в Институте высоких температур РАН в результате исследований шаровой молнии удалось установить, что в её ядре находится многомерный объект… И планируется использовать искусственно образованную шаровую молнию на носу высокоскоростного самолёта для улучшения лётно-технических характеристик путём воздействия на окружающую среду.

Во-вторых, я хотел бы сказать кое-что о некоторых свих работах… Прежде всего в моей работе под названием «Нахождение решений полиноминальных уравнений второй степени целых чисел»

показан следующий интересный нюанс. А именно: таблица 1 позволяет построить системы чисел пифагоровых троек, классифицируемых по определенному признаку, например, по модулю разности двух катетов. Оказывается, что модуль разности двух катетов принимает строго определенные значения, например, один, семь, семнадцать и т.д. В статье об этом говорится. Так вот, если построить цепочку чисел соответствующей, например, модулю разницы между катетами, равными единице, то получается последовательность: 1, 5, 29, 169, 985, 5741 и т.д.– для гипотенуз прямоугольного треугольника с целочисленными значениями сторон, всех трех сторон.

Эта последовательность строгая и оказывается, что она связана следующим реккурентным соотношением – тройкой последовательных чисел. Третье число тройки равняется величине 6, второго числа тройки без первого числа, последовательных чисел гипотенузы в прямоугольных треугольниках. Например, 169 равняется 29 на 6 отнять 5. Эта последовательность выполняется для всех прямоугольных треугольников с разницей модуля – с модулем разницы катетов, равным единице. Но не только единице, но и 7, 17, 23 и т.д.

Что это даёт?

Необходимо отметить, что гипотенузы прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами определяются нечетными числами класса 1 с вычетом по модулю 4. (Выше уже было сказано, что это означает). То есть 5, 29, 169 отличаются от числа делимого на четыре только одной единицей. Поэтому это класс один по модулю четыре.

Но самое главное, среди этих чисел очень много простых чисел. Практически значительная часть чисел, определяющих гипотенузу простые числа.

В-третьих, последовательность реккурентно настолько быстро возрастает, что уже где-то 18-ое число последовательности характеризуется, по крайней мере, 20-ю разрядами. Тридцатое число в этой последовательности содержит 24 разряда и число простое. Я его перечислил: 68480406462161287469. Вот такое число и оно уже возникает на тридцатом шагу. Таких чисел очень много в этих системах. А, как известно, в криптографии используют простые числа, т.е. произведение двух простых чисел даёт возможность свободной публикации кода – и только тот, кто знает, как разложить эти числа на два множителя, может расшифровать эти коды (это шифры с открытым ключом). Т.е. эти последовательности могут найти применение в криптографии и в криптологических устройствах (криптотехнике).

Необходимо отметить следующее: что эта закономерность z2 k+1=6z2 k- z2 k-1, имеет прямое отношение к теореме Пифагора и более того, следовательно, к евклидовой геометрии. Поскольку евклидова геометрия является геометрией классической физики, то это уравнение должно иметь прямое отношение к теоретической физике. Трудно найти процессы, которые описывались бы этой последовательностью. Число последовательности бесконечно велико, но, тем не менее, необходимо полагать, что в физических задачах эти последовательности найдут самое прямое применение. Прежде всего, там, где числа меняются по определенному, строго заданному закону и имеют значения целочисленных величин. Естественно с коэффициентом пропорциональности, которой может быть целочисленным.

Например, целый ряд величин меняются по строго определенному закону. Так, мы знаем, что цикличность в природе имеет самое прямое значение для физических явлений, прежде всего сутки (24 часа) – то есть период обращения Земли вокруг своей оси. Вовторых, земной год – 365, 25 оборотов вокруг своей оси создает прохождение полностью по орбите начальную точку. Потом сутки – 4 года, которые включают 3 не високосных и 1 високосный год. Наконец, цикличность, определяемая солнечной активностью.

Эта величина, близкая к 11-ти годам. То есть величины в природе имеют циклические изменяемые значения и к тому же строго определенные. Среди них могут быть такие, которые меняются по закону z2 k+1=6z2 k- z2 k-1, Если это так, то пифагорова система чисел и евклидова геометрия получат дополнительный стимул развития как геометрических воззрений, так и чисто физических исследований.

Число 161. Если 10 и 3 десятых умножить на 365, то это число простое, оно ни на что не делится. Но оно входит в определенную последовательность. Если считать z2 k+1=6z2 k- z2 k-1, – то вот эта последовательность. 37616571081429 – это в сутках – то есть вот тут уже суток тысяча лет, то есть можно прогнозировать периодические изменения в семь лет, поэтому очень важно знать все эти значения периода для колебаний земной коры: это минуты, часы.

Значения для земной коры: четырнадцать минут, двадцать восемь минут (всё это приводится в соответствующей литературе), 57 минут, 87 минут. Чилийское землетрясение зафиксировали в полуторачасовой период. То есть, они находятся в периодической зависимости. Если это так, то они должны соответствовать евклидовой геометрии.

А Вы знаете, Анатолий Васильевич, что ещё отметили:

вот делается запуск Шатла, запускают Шатл в USA, а гденибудь в Китае происходит землетрясение. Знаете об этом? Нет?

Не знаете?

Я не знаю, но усилия возникают довольно серьезные: как на оболочку Земли, так и на атмосферу давление очень сильное… поэтому вполне возможно, что где-то давление вызывает перенапряжения...

Так ведь они действительно вызывают перенапряжения на другой стороне Земли.

Ну и что?.. Для Земли длина гравитационной волны, равная радиусу Земли, не в счёт.

У Вас получается, что расчёт периодичности природных явлений даёт одни значения, а искусственные накладки дают совсем другое. Понимаете?

Я понимаю. Но есть природные явления… Вы проанализировали природные явления… выявили их естественную периодичность… Ну да. Например, вот тут где-то в литературе (да вот хотя бы это книги: Гордиец Б.Ф. «Солнечная активность и Земля»; Жарков В.Н. «Внутреннее строение Земли и планет» ну и прочие той же направленности) я встретил значение, практически равное столетнему циклу. Это десятилетний цикл, но, в общем, есть значения, которые совпадают с планетными явлениями. Один год, четыре года, десять лет, сто лет. Эти цифры зафиксированы. По движению планет Солнечной системы. И по солнечной активности. Вот эти цифры всегда следует знать при анализе подобного рода природных явлений. Если оно, это явление, спровоцировано техническим фактором, то оно уже будет выделяться на общем колебательном фоне с уже выявленной периодичностью.

Но самое главное, о чем уже было сказано выше – то, что цепочку чисел, соответствующую модулю разницы между катетами, равными единице, даёт последовательность: 1, 5, 29, 169, 985, и т.д.– для гипотенуз прямоугольного треугольника – есть не что иное, как целочисленные варианты евклидовой геометрии, а наша физика базируется на евклидовой геометрии. Теоретическая физика евклидова. Если брать классический вариант – общую теорию относительности или специальную теорию относительности – то природа должна использовать эти ряды, поскольку они возникают в евклидовой геометрии и в числах Пифагора. То есть эти числа могут дать не только пользу криптографическому анализу, но и найти чисто физическое применение.

Например, были зафиксированы двух- и четырех часовые циклы Луны, а также – четырехлетний цикл Земли: за четыре года Земля проходит четыре колебания оси, вокруг плоскости орбиты.

Зафиксированы также длиннопериодные колебания (больше суток), и короткопериодные (земные, вернее – внутри земные: колебания ядра Земли), потому что длительность прохождения гравитационных волн относительно короткое. Гравитационная волна проходит от одной стороны оболочки Земли до другой, отражается и возвращается в обратном направлении, создавая колебательные процессы.

Бессмысленно повторять опыты Джозефа Вебера, хотя бы по той причине, что техника поиска гравитационных волн Вебера не подтверждается теоретическими изысканиями (недавно я прочитал «работу» его последователя К.Торна «Черные дыры и складки времени». Давно я так не смеялся! Ну и мошенник! Вот кому место в Осколково! А сколько у него пустопорожней болтовни! Так, на стр.

538 написано: "Сахаров, Андрей Дмитриевич (1921-1989) советский физик-теоретик, «отец» водородной бомбы (глава 6), ближайший друг, соратник и соперник Зельдовича (главы 6 и 7), впоследствии стал диссидентом, реабилитирован в период гласности".

Из указанной главы шестой это никак не следует. История создания советского ядерного оружия написана и напечатана в журнальных публикациях и книгах, как на русском, так и на английском языках.

Если бы, К. Торн, был действительно учёным, а не пустопорожним болтуном, то не преминул бы проконсультироваться у специалистов по истории советской науки хотя бы у Лорена Р. Грэхема, к примеру. Так вот, если б он это сделал, то Л.Р. Грэхем обязательно довёл бы до его сведения такую вот небольшую выдержку из работы Ю.Б.Харитона.

Ю.Б. Харитон с 1946-го по 1992 годы был бессменным научным руководителем ядерного оружейного центра в Арзамасе-16.

Просто процитирую патриарха:

«В 1946 г. Гуревич, Зельдович, Померанчук и Харитон передали Курчатову... оценки возможности осуществления термоядерного взрыва. В июне 1948 г....под руководством Тамма была создана специальная группа, в которую был включен Сахаров и в задачу которой входило выяснить возможности создания водородной бомбы.... 12 августа 1953 г. в СССР по схеме, предложенной Сахаровым и названной у нас «слойкой», был успешно испытан первый в мире реальный водородный заряд. В этом заряде в качестве термоядерного горючего был использован, по предложению Гинзбурга, литий в виде твёрдого химического соединения.... своей громоздкостью эта конструкция вызывала чувство неудовлетворённости.... поиски сконцентрировались на использовании в полной мере энергии атомного взрыва... чего ни «слойка», ни тем более «труба» не обеспечивали.... Мысль об использовании атомного взрыва для сжатия термоядерного горючего и его поджига настойчиво пропагандировал Виктор Александрович Давиденко, руководитель экспериментального ядерно-физического подразделения института... обращаясь к теоретикам, в первую очередь к Зельдовичу и Сахарову, требовал, чтобы они вплотную занялись тем, что у нас получило название «атомного обжатия» (АО). В связи с этим 14 января 1954 г. Зельдович написал записку Харитону, сопроводив её поясняющей схемой: «В настоящей записке сообщаются предварительная схема устройства для АО сверхъизделия и оценочные расчёты её действия. Применение АО было предложено В.А.

Давиденко»... толчком для перехода от платонических рассуждений о сжатии термоядерного горючего атомным взрывом к конкретной работе послужило высказывание замминистра среднего машиностроения Завенягина, который был в курсе идей, обсуждавшихся у теоретиков... Руководителями работ были определены Забабахин, Зельдович, Романов, Сахаров и Франк-Каменецкий.

...Вскоре в Челябинске-70 была создана конструкция термоядерной бомбы, которую можно было ставить на вооружение. Её основными разработчиками были Забабахин, Романов и Феоктистов. А несколько позднее Бабаевым и Трутневым было внесено существенное усовершенствование в конструкцию водородного заряда, которое было успешно отработано в 1958 г. и предопределило современный облик отечественных водородных зарядов».

Я привел такой значительный отрывок из воспоминаний отца ядерного оружия Харитона, чтобы без пересказов, из первых уст сказать о подлинных создателях советского ядерного оружия, одним из которых был и физик-теоретик Сахаров. Одним из. Да, «из первой десятки». Но никак не «отцом водородной бомбы».

Ю.Б. Харитон, В. Б. Адамский, Ю.Н. Смирнов «О создании советской водородной (термоядерной) бомбы»

http://wsyachina.narod.ru/history/thermonuclear_bomb_1.html Ну это – мошенник К.Торн. Ну а редактор перевода В.Б. Брагинский куда смотрел? Неужто на старости лет тоже записался в «славную» когорту дебилов-антисоветчиков? Кстати, в USA существует т.н. «Ассоциация ученых-патриотов». Ну да, та самая, «патриоты» которой в прошлом году предложили заменить ядерный удар по нашим городам на ядерные удары по нашим военным объектам и нашей инфраструктуре. Вы представляете, если бы да кабы была принята на вооружение бомба-слоёнка Андрея свет Дмитриевича Сахарова, то как бы смеялись все эти ученые-агрессоры? Что, не представляете? Ну так я помогу… Примерно вот так: Гы-гыгы… Вы слыхали, Смит, Советы приняли на вооружение сахаровскую бомбу – слоёнку… Ха-ха-ха… Так вот, они грозятся сбросить её на Нью-Йорк, Лос-Анджелес, Чикаго и Сан-Франциско: слоёв много на всех хватит! Что, так и сказали? Да?.. Ха-ха-ха… Ой не могу! Ну щас со смеху лопну! Гы-гы-гы… Кстати, вспомнилось по случаю: во времена операции «Перестройка» издали в пропагандистских целях безумным многомиллионным тиражом шизофренические писания Сахарова. Никто их, разумеется, не покупал, кому нужна такая галиматья?... Тогда весь тираж пустили на туалетную бумагу по прямому назначению, так сказать. Да, из сахаровского тиража вышла прекраснейшая советская туалетная бумага… Да разве могло быть иначе?.. Ведь не зря же Ленка Боннэр от всей души и от всего сердца лупила его сковородкою по бестолковке! По бестолковке!.. Вот и причина его глюков!

А ещё, читая К.Торна, почему-то вспомнились америкосские президенты – презики, как я их называю, забавные, юморные, шухарные такие ребята, я вам скажу… Вот старина Рейган, к примеру… тот в детстве своем сопливом играя в ковбоя, набросил лассо на шею своей мамочки да и удушил её, весело смеясь… или вот, их сегодняшний поджаристый и с красивыми белыми зубами, что нефть из Мексиканского залива стаканам пил ну прям как те тебе французы пьют одно стаканом красное вино…Так вот, узнал он о смерти горячо любимой бабушки в далёкой знойной Африке, в центральной её части, на исторической стало быть родине, и сразу прыг в самолёт! да и в Африку! Прилетел, отрезал уши ужасно горячо любимой бабушки, в соль да и засушил их на солнышке… Всё правильно сделал по обычаю предков… У них так: у кого сушёные уши бабушки тот и хозяин клана…).

Анатолий Васильевич, это всё называется дискурс. Один очень прогрессивный иудей (И.Шамир) даже книжку такую специально написал… «Хозяева дискурса» она называется… Хозяева это USA и Израиль… а у нас их холуи-шестёрки из вконец распоясавшейся «пятой колонны»… Ну, вот ещё… Да мы этих «хозяев» и их холуёв из «пятой колонны» всегда в состоянии «опустить», оттянутся на них в полный рост и по полной программе, спокойно вытереть о них ноги… все эти млечино-свинидзе-злобины-пивоваровы и прочая компашка придурковатых антисоветчиков – энтвэшников эт сеттера пугала огородные. Ими только ворон пугать… Ну да это я немножечко отвлёкся…Итак, возвращаюсь к нашей теме… Дело в том, что электромагнитные колебания были открыты сразу же, как только появилась теория электромагнитного поля – и Герц моментально создал технику, реализующую приём и излучение электромагнитных волн настолько быстро пошло развитие техники, что уже через двадцать лет появилось радио Попова.

Дж. Вебер и компания будут долго-долго искать гравитационные волны без соответствующей теории. А теория такова необходимо ответить на вопрос: какова сила взаимодействия между двумя движущимися массами? Дело в том, что в природе колебаний должны быть задействованы вынужденные колебания и так называемые резонансы волн. Создавать резонанс волн, не зная, что такое изучаемая волна (какой она природы) и как её создать – это бессмысленное мероприятие. Так вот, повторю ещё раз: следует ответить на вопрос: какова сила взаимодействия между двумя движущимися массами? Тогда опыты по поиску гравитационных волн будут поставлены должным образом и дадут нужный результат.

Ну и совсем кратко в отношении работы «Представление натуральных чисел в виде суммы восьми квадратов» это тоже касается тематики чисел, тоже показывается незавершенность системы построения числовых систем.

Числа могут быть могут быть рассмотрены совершенно с иными свойствами нежели, те которые сейчас широко задействованы.

Итак, речь идёт о представлении натуральных чисел в виде суммы восьми квадратов. Со времён Лагранжа и Эйлера известны принципиальные решения в области теории чисел, теории простых чисел в частности, характеризуемое тем, что Эйлер рассмотрел не только числа двумерные для решения уравнений второго порядка с несколькими переменными (с двумя переменными в частности).

Которые уже были рассмотрены и изучены и была построена система представления действительных чисел отдельных классов с помощью этих двумерных систем. В частности, было показано, что числа нечётные числа, которые получаются путём сравнения по модулю четыре, причём числа типа 4n+1 принимают любое значение, и совпадают с числами, которые могут быть использованы для построения прямоугольных треугольников.

В частности, их гипотенуз. Т.е. все гипотенузы прямоугольных треугольников, построенных на взаимно-простых катетах, дают значения числа, которое соответствует классификации чисел по модулю четыре и тип числа 4n+1. Т.е. эти числа используются для классификации натуральных чисел. Вслед за этим простых и так далее. Эйлер развил эту тему. Он получил тождество, которое носит его имя (тождество Эйлера): произведение двух чисел, представленных суммой квадратов четырёх координат равняется числу, представляемому как сумма четырёх квадратов.

Акушский И.Я., Юдицкий Д.И. Машинная арифметика в остаточных классах. М.: Издательство «Советское радио», 1968.

Воловик Г.Е., Минеев В.П. Физика и топология. М.: Знание, Гордиец Б.Ф., Марков В.Н., Шелепин Л.А. Солнечная активность и Земля. М: Знание, 1980. №5. 64с.

Жарков В.Н. Внутреннее строение Земли и планет. 2-е изд. М.:

Наука. Глав.ред. физико-мат. литературы, 1983. – 416с.

Коротков А.В., Чураков В.С. Семимерная парадигма: новый подход к реальному изучению гравитации и её связи со временем//Время и человек (Человек в пространстве концептуальных времён): сборник научных трудов/Под научн. ред. В.С.Чуракова.

Новочеркасск: «НОК», 2008. – 316 с. (Библиотека времени.

Вып. 5). – (с.177-186).

Монтенья Росарио Н., Стенли Г. Юджин. Введение в эконофизику: Корреляции и сложность в финансах. Пер. с англ./Под ред.

В.Я.Габескерия. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. – Поспелов Д.А. Арифметические основы вычислительных машин дискретного действия. Учеб. Пособие для втузов. М.:

«Высш. Школа», 1970. 308с. с илл.

Сяхович В.И. Пифагоровы точки. Минск: БГУ, 2007. 288с.

Труды семинара «Время, хаос и математические проблемы».

Вып. 3/Сост. А.С. Печенцов, В.Б. Султанов. М.: КДУ, 2004.

посвященных трех- и семимерному пространствам Коротков А.В. Векторная алгебра и поля семимерного псевдоевклидового пространства. Деп. рук. ВИНИТИ, № 5527-В90.

Коротков А.В. Свойства двумерных псевдоевклидовых числовых систем. Деп. рук. ВИНИТИ, № 3429-В90.

Коротков А.В. Элементы семимерного векторного исчисления.

Алгебра. Геометрия. Теория поля. – Новочеркасск: Набла, 1996.

Коротков А.В., Коротков В.А. Восьмимерное псевдоевклидово пространство-время. Деп. рук. ВИНИТИ, № 1577-В91.

Коротков А.В., Коротков В.А. Заряд в гравитационногироскопном поле четырехмерного псевдоевклидового пространствавремени. Деп. рук. ВИНИТИ, № 3775-В91.

Коротков А.В., Коротков В.А. Заряд в поле восьмимерного псевдоевклидового пространства-времени. Деп. рук. ВИНИТИ, Коротков А.В., Коротков В.А. Постоянное гравитационногироскопное поле и волны в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве-времени. Деп. рук. ВИНИТИ, № 3773-В91.

Коротков А.В., Коротков В.А. Постоянное поле и волны в восьмимерном псевдоевклидовом пространстве-времени. Деп. рук.

ВИНИТИ, № 1579-В91.

Коротков А.В., Коротков В.А. Теория восьмимерного псевдоевклидового пространства-времени. – Новочеркасск: Новочеркасский политехнический институт, 1991.– 46 с.

Коротков А.В., Коротков В.А. Теория гравитационногироскопного поля. – Новочеркасск: Новочеркасский политехнический институт, 1991. – 42 с.

Коротков А.В., Коротков В.А. Уравнения гравитационногироскопного поля четырехмерного псевдоевклидового пространства-времени. Деп. рук. ВИНИТИ, № 3774-В91.

Коротков А.В., Коротков В.А. Уравнения поля восьмимерного 12.

псевдоевклидового пространства-времени. Деп. рук. ВИНИТИ, Коротков А.В., Коротков В.А. Элементы семимерного векторного исчисления. – Новочеркасск: Новочеркасский политехнический институт, 1991. 66 с.

Коротков А.В. Семимерное спинорное и векторное исчисления 14.

в задачах теории поля.– Новочеркасск: Набла, 1997. 45с.

15. Коротков А.В. Элементы трех и семимерного изовекторного и спинорого исчисления.– Новочеркасск: Набла, 1999.

16. Коротков А.В. Мы живем в семимерном мире//Материалы 2-ой Международной научно-технической конференции ‹‹Новые технологии управления движением технических объектов››.

Том 2. Новочеркасск: НГТУ, 1999.

17. Коротков А.В.Гиперкомплексные числа//Проблемы экономики, науки и образования в сервисе: Сб. научн. Трудов/ Под ред.

П.Д. Кравченко.– Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2004.– 251с.

(с.236-241).

18. Коротков А.В.Представление группы преобразований вращения трехмерного псевдоевклидового пространства индекса два//Проблемы экономики, науки и образования в сервисе: Сб.

научн. Трудов/под ред. П.Д. Кравченко.– Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2005.– 285с. (с.200-201).

19. Коротков А.В.Вращения в трехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса два// Изучение времени: концепции, модели, подходы, гипотезы и идеи: Сб. научн. тр./ под ред.

В.С.Чуракова.(Библиотека времени. Вып 2).– Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2005.– 262с. (с.222-230).

20. Коротков А.В.Векторы в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса три: Сб. научн.тр./под ред. В.С.Чуракова.

(Библиотека времени. Вып 2).– Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2005.– 262с. (с.231-238).

21. Коротков А.В., Чураков В.С. Введение в философию семимерия (анализ пространственной размерности, постановка проблемы, целей и задач исследования) // Интеграл культуры: журнал волгодонских философов и гуманитариев.2005.№3. – (с.38-55).

22. Коротков А.В., Чураков В.С. Многомерные концепции пространства и времени (пространства-времени) // Проблема времени в культуре, философии и науке: Сб.научн. тр./ под ред.

В.С.Чуракова.(Библиотека времени. Вып 3).– Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2006.– 155с. (с.15-20).

23. Коротков А.В. Элементы составного семимерного векторного исчисления.– Новочеркасск: Изд-во ‹‹Набла››, 2004.– 39с.

24. Коротков А.В. Семимерные полилинейные скалярные функции и формы. – Новочеркасск: Изд-во ‹‹Набла››, 2004.– 67с.

25. Коротков А.В. Элементы псевдоевклидового трех – и семимерного векторных исчислений. Новочеркасск: Изд-во ‹‹Набла››, 2004.– 79с.

26. Коротков А.В. Элементы трёх- и семимерных изовекторных и спинорных псевдоеклидовых исчислений. Новочеркасск:

УПЦ «Набла» ЮРГТУ (НПИ), 2008. 60 с.

27. Коротков А.В., Чураков В.С. Теоретико-филосфские аспекты трехмерного и семимерного пространств (собственно евклидова и псевдоевклидова). Новочеркасск: УПЦ «Набла» ЮРГТУ (НПИ), 2007. 194с.; Коротков А.В., Чураков В.С. Теоретикофилосфские аспекты трехмерного и семимерного пространств (собственно евклидова и псевдоевклидова). Изд 2-е, испр. и доп. Новочеркасск: УПЦ «Набла» ЮРГТУ (НПИ), 2010.266с.

28. Коротков А.В. Товарно-денежное поле в экономике. Новочеркасск, 2009.; Коротков А.В. Товарно-денежное поле в экономике//Формы и смыслы времени (философский, теоретический и практический аспекты изучения времени): сб. научн. трудов под ред. В.С.Чуракова (серия «Библиотека времени». Вып. 7). Новочеркасск, 2010.

29. Korotkov A.V. Elements of heptadimensional vector and spinor calculus. – Novocherkassk, NOK, 2000.

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

НЕЧЕТКИХ ЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Современное состояние информационных систем и технологий характеризуется рядом проблем концептуального характера. Прежде всего, это настоятельная потребность резкого повышения производительности вычислительных систем, обусловленная следующими причинами:

лавинообразный рост доступных распределенно электронных документов в глобальных сетях;

высокая и постоянно растущая сложность больших систем, требующих новых подходов к моделированию (например, глобальные сети, социальные системы, глобальные экономические системы и т.д.).

Положение усугубляется отсутствием новых парадигм в области архитектуры вычислительных систем и логики представления и обработки данных [3].

На этом фоне растет число различных подходов к построению логических базисов, отличных от классического двоичного. С одной стороны, это говорит о насущной потребности построения новых логических систем, а с другой – большое количество и разнообразие логик и, как следствие, практических их применений, явно указывает на кризис в области построения систем обработки данных. Наблюдается явная тенденция специализации с учетом прикладных задач и областей применения. В тоже время актуальной становится задача выбора и-или построения нового универсума, способного в новых условиях заменить двоичную логику (и двоичную систему счисления).

Пожалуй, наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных рассуждений человека и использование их в компьютерных системах будущих поколений представляет сегодня одну из важнейших проблем науки.

Значительное продвижение в этом направлении сделано 30 лет тому назад профессором Калифорнийского университета (Беркли) Лотфи А. Заде (Lotfi A. Zadeh). Его работа «Fuzzy Sets», появившаяся в 1965 г. в журнале Information and Control, № 8, заложила основы моделирования интеллектуальной деятельности человека и явилась начальным толчком к развитию новой математической теории.

Что же предложил Заде? Во-первых, он расширил классическое канторовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале (0;1), а не только значения 0 либо 1. Такие множества были названы им нечеткими (fuzzy). Л. Заде определил также ряд операций над нечеткими множествами и предложил обобщение известных методов логического вывода modus ponens и modus tollens.

Введя затем понятие лингвистической переменной и допустив, что в качестве ее значений (термов) выступают нечеткие множества, Л. Заде создал аппарат для описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений.

Первые применения нечетких систем управления состоялись в Европе, наиболее интенсивно внедряются такие системы в Японии.

Спектр приложений их широк: от управления процессом отправления и остановки поезда метрополитена, управления грузовыми лифтами и доменной печью до вычислительных устройств, стиральных машин и СВЧ-печей. При этом нечеткие системы позволяют повысить качество продукции при уменьшении ресурсо- и энергозатрат и обеспечивают более высокую устойчивость к воздействию мешающих факторов по сравнению с традиционными системами автоматического управления.

Другими словами, новые подходы позволяют расширить сферу приложения систем автоматизации за пределы применимости классической теории.

Смещение центра исследований нечетких систем в сторону практических приложений привело к постановке целого ряда проблем таких, как новые архитектуры компьютеров для нечетких вычислений, элементная база нечетких компьютеров и контроллеров, инструментальные средства разработки, инженерные методы расчета и разработки нечетких систем управления и мн. др.

Анализ нечетких логических систем Проанализируем подробно сравнительный анализ основных операций различных систем нечетких логик с точки зрения возможности построения новых архитектурных решений в области вычислительных систем.

Со времени опубликования работ Заде в области нечетких логик появилось несколько принципиально различных, а также сходных между собой логических нечетких систем, в т.ч. двузначная логика, трехзначная логика Лукасевича, трехзначная логика Шестакова, n-значная логика Россета, -значная логика МакНатона, семимерная логика Короткова и т.п. И тут появляется еще один вопрос – какая логическая система является наиболее подходящей для решения конкретной задачи в области нечетких логик, например, в области построения вычислительных устройств.

Для этих целей проанализируем несколько существующих подходов к нечеткости по следующим критериям:

1. высказывания;

2. границы множества;

3. центр множества.

Результаты анализа представим таблично.

Трехзначная И – истина (Лукасевич) Л – ложно Трехзначная И – истина n-значная (Россет) 1945 г. (n-2) – не ПИ, не ПЛ (МакНатон) – множество (Коротков) Теперь определим и проанализируем для данных нечетких логик основные операции:

1) дизъюнкция;

2) конъюнкция;

3) отрицание.

Двузначная ло- (p q)=max[ (p), (q)] (p q)=min[ (p), (q)] (¬p)=1- (p) гика Трехзначная (Лукасевич) Трехзначная (Шестаков) n-значная логика (Россет) 1945 г.

-значная логика (МакНатон) R-функция Рва- X Y=1/(1+)[(X+Y)+ X Y=1/(1+)[(X+Y)- ¬X=-X шестнадцатеричная), для которых S0=S1Ч2m1, S1=S2Ч2m2,..., Sn=Sn-1Ч2mn на уровне представления являются безызбыточными.

Если данное условие не выполняется, система избыточна (например, двоично-кодированная десятичная).

Позиционно-остаточная система счисления При конструировании иерархических систем счисления большой интерес представляет сочетание систем различных типов. Рассмотрим систему вида A[B], для которой A – позиционная система счисления с основанием S, а B – система счисления в остаточных классах с базовыми модулями P1, P2,..., Pr, такими, что PіS, P=P1ЧP2Ч...ЧPr. Такую систему называют позиционно-остаточной системой счисления. Неравенство PіS – необходимое и достаточное условие однозначного представления цифр 0,1,...,S-1 позиционной системы наборами вычетов по модулямP1, P2,..., Pr. Однако учитывая необходимость корректной реализации арифметических операций в системе A[B] (например, формирование переноса и т.п.), можно поставить более жесткое условие P=P1ЧP2Ч...ЧPrі2S.

Весьма важен выбор величины основания S позиционной системы счисления и модулей системы счисления в остаточных классах. Отдавая дань двоичной системе счисления, можно выбирать Sі2m. В этом случае модули СОК и их произведение должны удовлетворять условию Pі2m+1. Для человека же наиболее удобны основания, кратные 10 (100, 1000 и т.д.).

Двоично-кодированная десятичная система – в известной мере компромисс между человеком и компьютером. Но ее относительная избыточность – 26,5%. Чтобы преодолеть данный недостаток, ряд исследователей предлагают для арифметики с плавающей запятой вместо основания 10 использовать 100 [7]. Тогда для хранения двух десятичных цифр достаточно иметь семь двоичных разрядов вместо восьми (избыточность представления – 22,7%). Переход к основанию 1000 позволяет размещать три десятичные цифры в 10 двоичных разрядах вместо 12 (избыточность представления – 2,35%).

Расплата за экономичное представление чисел при переходе к основаниям вида 10n – более сложные алгоритмы кодирования и декодирования таких чисел. Однако на уровне машинного представления арифметика все равно остается двоичной. Арифметические операции в позиционно-остаточной системе счисления выполняются отдельно над цифрами внешней и внутренней системы. Такая ступенчатая реализация операций позволяет практически без изменений переносить алгоритмы внешней системы счисления на операции в системе A[B]. При этом “цифровые” операции системы счисления А заменяются процедурами системы счисления B.

Знако-разрядная позиционно-остаточная система счисления Еще один пример иерархической системы счисления – знакоразрядная система с основанием S, цифры которой представляются в системе остаточных классов с базовыми модулями P=P1, P2,...,Pr [8]. Достоинство данной системы счисления – высокая скорость выполнения арифметических операций над разрядными цифрами и минимальная длина пути распространения переноса между Sичными разрядами (не далее соседнего разряда). Высокое быстродействие достигается за счет того, что при суммировании в каждом S-ичном разряде (S>2) одновременно формируются три величины:

xi+yi, xi+yi-1, xi+yi+1. Затем одна из них выбирается в качестве результата в зависимости от значения сигнала переноса ti, принимающего значения –1, 0, +1.

Таким образом, появляется возможность параллельной обработки на нескольких компьютерах больших чисел с основаниями S=2m.

Обрабатывать большие числа в “реальном времени” способны даже двоичные персональные компьютеры, работающие по алгоритмам знако-разрядной позиционно-остаточной системы счисления.

Новейшие западные технологии, появляющиеся на российском рынке, в совокупности с отечественными разработками в области недвоичных компьютерных арифметик и синтеза новых способов и алгоритмов ускорения вычислений открывают перед разработчиками вычислительных систем новые возможности. Автор будет рад любым контактам со специалистами, заинтересовавшимися изложенными в статье идеями.

1. Стахов А.П. Введение в алгоритмическую теорию измерений.

– М.: Сов.радио, 1997.

2. Евстигнеев В.Г. Недвоичная машинная арифметика и специализированные процессоры. – М.: МИФИ СЕРВИС и АО “ИНСОФТ”, 1992. (Отсутствует в библиотеках страны. Ссылка автора на неё недействительна).

3. Поспелов Д.А. Арифметические основы вычислительных машин дискретного действия. – М.: Высшая школа, 1970.

4. Акушский И.Д., Юдицкий Д.И. Машинная арифметика в остаточных классах. – М.: Сов. радио, 1968.

5. Евстигнев В.Г. S-ичный сумматор. – Электронная техника.

Сер. 10, 1986, вып. 5(59), с.17–19.

6. Евстигнеев В.Г. S-ичный сумматор. Авт. свид. №1273925.

7. Schoichet S.R. The LISP Machine. Mini-Micro System, 1978, №11(5), р. 68–74.

8. Евстигнеев В.Г., Евстигнеева О.В. Устройство для сложения nразрядных чисел в избыточной системе счисления. Авт. свид №. 1188731.

НЕДВОИЧНЫЕ КОМПЬЮТЕРНЫЕ АРИФМЕТИКИ**

В статье с позиций сегодняшнего дня делается попытка оценить вклад Советских ученых прошлого столетия в развитие вычислительной техники Советского Союза и показать диапазон научных исследований в этой области и в частности в разработке новых компьютерных арифметик и их внедрении в создание принципиально новых вычислительных систем, намного опережавших достижения западных и в первую очередь американских специалистов в этой области. И только постепенное технологическое отставание Советской микроэлектронной промышленности не позволило сбыться смелым и много обещающим идеям Советских ученых того времени. Автор статьи сумел внести свой скромный вклад в общую копилку прогресса вычислительной техники того времени.

В 70 – 80 годы двадцатого столетия усилиями советских ученых С.А. Лебедева, В.М. Глушкова, М.А. Карцева, И.Я. Акушского, Д.И.

Юдицкого, Г.Я. Гуськова, В.С. Семенихина, И.В. Прангишвили, Н.Я. Матюхина и многих других были созданы образцы вычислительной техники, превосходящие по своим параметрам, новизне идей и архитектуре все мировые достижения. В качестве примера назову лишь некоторые из вычислительных машин тех лет: серия ЭВМ класса БЭСМ И «Эльбрус», ЭВМ «Стрела», серии ЭВМ М-20, М-220, 5Э76, «Мир», ПС и др. и лишь после того, как СССР стал воспроизводить ЭВМ класса IBM-360 (ЕС ЭВМ) и копировать, а не разрабатывать микроэлектронную элементную базу, судьба советской вычислительной техники была предрешена. Ответственность за это лежит не на ученых и разработчиках, а на руководстве страны.

В те же годы в СССР коллективы ученых исследовали и разрабатывали различные арифметики, позволявшие создавать ЭВМ с более высокой скоростью обработки данных по сравнению с широко распространенной двоичной системой счисления. Так, под рукоТекст печатается по изданию: Евстигнеев В.Г. Недвоичная компьютерная арифметика // housea.ru>index.php/computer/ водством И. Я. Акушского и Д. И. Юдицкого была создана ЭВМ Кна основе системы счисления в остаточных классах, которая длительное время выпускалась нашей промышленностью и отличалась высокой производительностью и надежностью. Коллективом специалистов во главе с В. М. Глушковым были созданы и запущены в производство ЭВМ серии «Мир» с новой архитектурой и системой программирования, позволявшие производить вычисления с переменной (регулируемой) разрядностью. Тогда же под руководством И.В. Прангишвили разрабатываются и производятся ЭВМ серии ПС на основе ассоциативных процессоров с параллельной архитектурой, а под руководством М.А. Карцева – высокопроизводительные, высоконадежные вычислительные комплексы большой разрядности (до 512 двоичных разрядов) для специальных применений.

В начале 80-х годов появились первые публикации советских ученых о Фибоначчиевой системе счисления [1] и иерархической системе счисления, которые позволяли создавать более высокопроизводительные и надежные вычислительные средства на основе новых элементов микроэлектроники, в том числе и многозначных.

Одновременно разрабатываются и алгоритмы выполнения арифметических операций в ЭВМ, основанные на новых арифметиках.

Кратко опишем наиболее интересные системы счисления для вычислительных устройств, быстродействие и надежность которых превосходят аналоги, основанные на двоичной арифметике.

Знако-разрядная система счисления Число в знако-разрядной системе счисления [2], как и в любой позиционной системе, можно записать в виде Сложение двух чисел в знако-разрядной системе счисления выполняется в два такта. В первом такте формируются поцифровые промежуточные суммы и цифры поразрядных переносов, которые могут принимать значения -1, 0 и +1, т.е..

Во втором такте формируется окончательная сумма путем сложения цифр промежуточных разрядных сумм и соответствующим им цифр поразрядных переносов, т.е.

Умножение чисел в знако-разрядной системе счисления выполняется последовательным сложением (вычитанием) и сдвигом вправо результатов умножения множимого на S-ичные цифры множителя, начиная с младшего S-ичного разряда. Деление чисел подчиняется общим правилам деления в S-ичной системе счисления.

Основным достоинством знако-разрядной системы счисления является то, что сигнал переноса при выполнении операции сложения распространяется не далее соседнего разряда, а время выполнения операции не зависит от разрядности операндов. То есть любая операция сложения выполняется за два такта (под тактом здесь понимается время вычисления разрядной суммы.

Фибоначчиева система счисления Среди позиционных весомозначных систем счисления есть системы, в которых веса разрядов выражаются не известным соотношением, а другими, например числами ряда Фибоначчи, т.е.

. в этом случае система счисления называется Фибоначчиевой. Другой пример позиционной весомозначной системы счисления с нетрадиционным законом формирования весов разрядов – так называемая полиадическая система счисления. Веса разрядов в ней определяются выражением Остановимся на Фибоначчиевой системе счисления. В работе [1] показано, что любое натуральное число N может быть представлено в двоичной р-системе счисления при, весами разрядов в которой являются числа Фибоначчи. При этом после каждой единицы слева направо следует не менее р нулей. Так, например, при р=1 число 75 в двоичной 1-системе счисления можно записать как Отметим две особенности сложения значащих разрядов в двоичной 1-системе счисления. Во-первых, при суммировании единиц возникает перенос не одной единицы (как в классической двоичной системе счисления), а нескольких одновременно. Во-вторых, единицы можно складывать двумя способами. В первом способе при сложении i-х разрядов чисел в i-м разряде промежуточной суммы записывается 1 и возникают переносы двух единиц одновременно – в ( -1)йив( -1)-й разряды. При втором способе сложения единиц в соответствующем ( -м) разряде промежуточной суммы записывается 0 (как и в классической двоичной арифметике) и возникает перенос р+1 единиц (одна единица – в старший ( +1)-й и р единиц – в младшие ( -р-1), (i-р-2),...,( 2р) разряды).

Наиболее рациональный способ умножения двоичных Фибоначчиевых чисел в 1-системе счисления аналогичен умножению в классической двоичной, хотя и обладает своей спецификой [1].

Основной способ деления чисел (Z=X/Y) в Фибоначчиевой системе счисления: накапливаются кратные числам Фибоначчи значения делителя, т.е. N=Y-Kj (Kj=1,2,3,5,...). Кратные делителя сравниваются с делимым, начиная с максимального кратного. В зависимости от результата сравнения формируется частное, т.е.

Несмотря на очевидную непрактичность Фибоначчиевой системы счисления для конструирования цифровых вычислительных устройств, работы создателя системы и его учеников представляют собой значительный научный результат, который показывает неисследованность разнообразия систем счисления и необходимость поиска систем с новыми качествами.

Система остаточных классов (СОК) – это непозиционная система счисления, числа в которой представляются остатками от деления на выбранную систему оснований Р1, Р2,...,Рn и являются взаимнопростыми числами. Операции сложения, вычитания и умножения над числами в СОК производятся независимо по каждому основанию без переносов между разрядами (основаниями). Диапазон представимых чисел P= Р1, Р2,...,Рn [3].

Если задан ряд положительных взаимнопростых чисел Р1, Р2,...,Рn, то целое положительное число А на выбранные основания Р1, Р2,...,Рn, можно записать в виде А=( a1, a2,...,an), где [] – целочисленное деление. Это и есть запись числа в СОК.

Если исходные числа А, В, их сумма А+В и их произведение А В находятся в диапазоне (0,Р), то результаты операций сложения А+В и умножения А В могут быть однозначно представлены соответственно остатками иpi по тем же основаниям Pi, т.е.

где [ ] – целочисленное деление. Это и есть запись числа в СОК.

Такие операции, как деление, сравнение и др., требующие информации о величине всего числа, в СОК выполняются по более сложным алгоритмам. И в этом заключается существенный недостаток данной системы счисления, сдерживающий ее широкое применение в качестве компьютерной арифметики. Однако сегодня даже в самых современных компьютерах при работе с большими и супербольшими числами используют СОК, ибо только эта арифметика позволяет получать результаты вычислений в реальном времени. В таких случаях в качестве оснований СОК применяют величины, близкие 2m (m-двоичная разрядность компьютера), например 2mm-1, 2m-1+1 и т.д. Компьютер вычисляет результат по одному из модулей за один проход. Другие области применения СОК – помехоустойчивое кодирование, криптография и т. п.

Начиная с 1952 года специалисты многих стран мира, включая и СССР, занимались проблемой повышения скорости выполнения «неудобных» операций в СОК. Особую роль в решении данной проблемы сыграл И.Я. Акушский. Немалый вклад в эту область науки внесли также Д.И. Юдицкий, В.М. Амербаев, А.А. Коляда.

Иерархические системы счисления В конце 80-х – начале 90-х годов родилась идея соединения позиционных и непозиционных систем счисления, т. е. конструирования иерархических систем, которые должны сочетать в себе положительные стороны включенных в них систем счисления и быть свободными от их недостатков [4, 5]. Принцип построения иерархических систем в целом прост. Выбирается некоторая внешняя система счисления, где -алфавит системы, а – ее сигнатура. Сигнатура состоит из двух частей: операционной ( ), содержащей символы операций системы, и реляционной ( ), содержащей символы отношений. Цифры, т.е. элементы алфавита А этой системы, записываются в виде слов (кодов) другой (внутренней) системы счисления. Такую систему обозначают A[B].

Рассмотрим пример. Пусть А – десятичная позиционная система, а В – двоичная система. Тогда (десятичной) производится, например, тетрадами:

Тогда число 23 (десятичное) запишется в иерархической системе счисления в виде двух тетрад (0010, 0011). Система A[B] в нашем примере – хорошо известная двоично-кодированная десятичная система, применяемая для представления десятичных чисел в современных ЭВМ.

Очевидно, что степень вложенности иерархической системы может быть и более двух. Иначе говоря, существуют иерархические системы счисления A0[A1[A2...[An]...] c основаниями S0, S1,..., Sn, причем S,> S1>...> Sn. Система счисления (двоичная, восьмеричная, шестнадцатиричная), для которых на уровне представления являются безъизбыточными. Если данное условие не выполняется, система избыточна (например, двоично-кодированная десятичная) [4].

Позиционно-остаточная система счисления При конструировании иерархических систем счисления большой интерес представляет сочетание систем различных типов. Рассмотрим систему вида A[B], для которой А – позиционная система счисления с основанием S, а В – система счисления в остаточных классах с базовыми модулями Р1, Р2,..., Рr, такими, что Р= Р1, Р2,..., Рr. Такую систему называют позиционно-остаточной системой счисления [6].

Неравенство P S – необходимое и достаточное условие однозначного представления цифр 0, 1,..., S-1 позиционной системы наборами вычетов по модулям Р1: Р2,..., Pr. Однако учитывая необходимость корректной реализации арифметических операций в системе A[B] (например, формирование переноса и т.п.), можно поставить более жесткое условие Р= Р1, Р2,..., Рr 2S.

Весьма важен выбор величины основания S позиционной системы счисления в статочных классах. Отдавая дань двоичной сиm. В этом случае модули стеме счисления, можно выбирать S СОК и их произведение должны удовлетворять условию Р 2m+1.

Для человека же наиболее удобны основания, кратные 10 (100, и т. д.).

Двоично-кодированная десятичная система – в известной мере компромисс между человеком и компьютером. Но ее относительная избыточность – 26,5%. Чтобы преодолеть данный недостаток, ряд исследователей предлагают для арифметики с плавающей запятой вместо основания 10 использовать 100 [5]. Тогда для хранения двух десятичных цифр достаточно иметь семь двоичных разрядов вместо восьми (избыточность представления -22,7%). Переход к основанию 1000 позволяет размещать три десятичные цифры в 10 двоичных разрядах вместо 12 (избыточность представления – 2,35%).

Расплата за экономическое представление чисел при переходе к основаниям в вида 10n – более сложные алгоритмы кодирования и декодирования таких чисел. Однако на уровне машинного представления арифметика все равно остается двоичной.

Арифметические операции в позиционно-остаточной системе счисления выполняются отдельно над цифрами внешней и внутренней системы. Такая ступенчатая реализация операций позволяет практически без изменений переносить алгоритмы внешней системы счисления на операции в системе A[B]. При этом «цифровые»

операции системы счисления А заменяются процедурами системы счисления В. [5] Знако-разрядная позиционно-остаточная система Еще один пример иерархической системы счисления – знакоразрядная система с основанием S, цифры которой представляются в системе остаточных классов с базовыми модулями Р=Р1, Р2,...,Рr.

Достоинство данной системы счисления -высокая скорость выполнения арифметических операций над разрядными цифрами и минимальная длина пути распространения переноса между S-ичными разрядами (не далее соседнего разряда). Высокое быстродействие достигается за счет того, что при суммировании в каждом S-ичном разряде (S>2) одновременно формируются три величины:

xi+yi, xi+yi-1, xi+yi+1.

Затем одна из них выбирается в качестве результата в зависимости от значения сигнала переноса ti, принимающего значения -1, 0, +1. [7,8,9,10] Таким образом, появляется возможность параллельной обработки на нескольких компьютерах больших чисел с основаниями S=2m. Обрабатывать большие числа в «реальном времени» способны даже двоичные персональные компьютеры, работающие по алгоритмам знако-разрядной позиционно-остаточной системы счисления.

Новейшие западные технологии, появляющиеся на российском рынке, в совокупности с отечественными разработками в области недвоичных компьютерных арифметик и синтеза новых способов и алгоритмов ускорения вычислений открывают перед разработчиками вычислительных систем новые возможности.

Стахов А.П. Введение в алгоритмическую теорию измерений. – М.: Сов. Радио, 1997.

2. Поспелов Д.А. Арифметические основы вычислительных машин дискретного действия. – М. Высшая школа, 1970.

3. Акушский И.Я., Юдицкий Д.И. Машинная арифметика в остаточных классах. М. Сов. Радио, 1968.

4. Schoichet S.R. The LISP Machine. Mini-Micro System, 1978, №11(5).( р. 68-74).

5. Евстигнеев В.Г. S-ичный сумматор. – Электронная техника. Сер. 10, 1986, вып. 5(59). – (с.17-19).

6. Евстигнеев В.Г. Недвоичная машинная арифметика и специализированные процессоры. – М. МИФИ СЕРВИС и АО «ИНСОФТ», 1992. (Отсутсвует в библиотеках страны. Ссылка автора на неё недействительна).

7. Евстигнеев В.Г. Евстигнеева О.В. Устройство для сложения многоразрядных q-ичных чисел. Авторское свидетельство № 1163321.

8. Евстигнеев В.Г. S-ичный сумматор. – Авторское свидетельство № 1273925.

9. Евстигнеев В.Г. Евстигнеева О.В. Устройство для сложения nразрядных чисел в избыточной системе счисления. – Авторское свидетельство № 1188731.

10. Евстигнеев В.Г. Сумматор в знакоразрядной позиционноостаточной системе счисления. – Авторское свидетельство № 1383349.

БРУСЕНЦОВ Н.П., ВЛАДИМИРОВА Ю.С.

ТРОИЧНОЕ КОНСТРУКТНОЕ КОДИРОВАНИЕ

БУЛЕВЫХ ВЫРАЖЕНИЙ*

Булева алгебра – первооснова, или начало, всякой науки, исследующей взаимосвязи, будь то логика, математика, информатика или, скажем, структурная лингвистика. Ввиду же фундаментальности наук этого рода не будет преувеличением усмотреть в ней и начало науки вообще – способности рассуждать, умозаключать, доказывать.

Компьютерная информатика также "произрастает" из булевой алгебры, что наиболее очевидно. Однако дальнейшее развитие способности компьютера, становление "искусственного интеллекта", оставляет желать лучшего. Впрочем, при нынешнем засилии формализма и естественный человеческий интеллект оказывается под угрозой – поневоле превращаемся в роботов.

Пора бы придать компьютерной информатике здравый диалектический характер.

В этой статье речь пойдет об усовершенствованной конструктной реализации булевой алгебры в диалоговой системе структурированного программирования ДССП [1-3].

Конструктами в ДССП называются нестандартные, определяемые (конструируемые) пользователем типы данных, введением которых достигается высокоуровневая специализация этой системы в заданном классе приложений. Комплекс программ, обеспечивающий возможность декларирования конструктных переменных и реализующий базисный набор операций конструкта, называется, поддерживающим этот конструкт конструктивом [4]. Специализация и развитие ДССП в нужном направлении осуществляется дозагрузкой соответствующих конструктивов.

Конструкты типа "булево выражение" предоставляют возможность оперирования переменными, принимающими в качестве значений n-арные выражения булевой алгебры, и функционально полный набор базисных операций, позволяющих в сочетании с штатТекст печатается по изданию: Брусенцов Н. П., Владимирова Ю. С. Троичное конструктное кодирование булевых выражений // computer – museum.ru>histussr/trilog22.hrm ными средствами конструирования программ в ДССП эффективно реализовать логико-алгебраические процедуры [5].

Функционально конструкт определяется форматом принимаемых переменными значений и набором интерпретирующих эти значения базисных операций. Формат характеризуется структурой, информационной емкостью и способами доступа. Например, формат "вектор битов" с параметром n – длина вектора предоставляет доступ к отдельным битам по их номерам, а также к вектору в целом. Вектор битов надлежащим выбором базисных операций можно интерпретировать как двоичное число без знака, либо со знаком, как целое, либо дробное и т. п. Но тот же вектор битов можно интерпретировать как n-арную элементарную конъюнкцию (либо дизъюнкцию), приняв в качестве базисных операций побитные инверсию, конъюнкцию и дизъюнкцию.

Принцип отображения булевых выражений конструктами в простейших случаях заключается во взаимно однозначном сопоставлении входящих в выражение букв-переменных (следуя Аристотелю, будем называть их терминами) последовательно пронумерованным компонентам-битам в формате конструкта. Другими словами, каждая переменная представлена в формате конструкта собственным битом. Значение же, принимаемое битом, указывает статус его переменной в отображаемом выражении. Например, элементарная конъюнкция xyz'u отображается вектором 1101 при условии, что неинвертированному термину сопоставлена цифра 1, а инвертированному – цифра 0.

Заметим, что всевозможные 2n n-арные элементарные конъюнкции пронумерованы значениями отображающего n-битного вектора, интерпретируемыми как двоичные натуральные числа. В приведенном примере номера последовательно убывают от 1111 для xyzu до 0000 для x'y'z'u'.

Эта нумерация использована в конструкте, отображающем булевы выражения в совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ). Его формат – 2n-компонентный вектор битов, пронумерованных n-битными числами от 11…1 до 00…0, и таким образом однозначно сопоставленных n-арным элементарным конъюнкциям.

Биты, соответствующие входящим в отображаемое СДНФвыражение конъюнкциям, принимают значение 1, а все прочие – значение 0. Например, при n = 2 отображающий вектор состоит из 4-х битов, пронумерованных числами 11, 10, 01, 00, которым соответствуют элементарные конъюнкции xy, xy', x'y, x'y', так что выражение xy v x'y отобразится в 1010, а выражение xy' v x'y v x'y' отобразится в 0111.

Конструкт описанного типа, названный двоичной ДК-шкалой, позволяет эффективно компьютеризовать алгебру n-арных СДНФвыражений. Очевидно, что операции конъюнкции и дизъюнкции над такими выражениями сводятся к побитным конъюнкциям и дизъюнкциям ДК-шкал, а операция отрицания-дополнения СДНФвыражения – к побитной инверсии его ДК-шкалы. Существенное достоинство ДК-шкалы – ее экономность: произвольная n-арная булева функция кодируется 2n битами.

Выражения в совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ-выражения) аналогично отображаются n-арной двоичной КД-шкалой. Вернее, вектор допускает ДКинтерпретацию и КД-интерпретацию: ДК – это дизъюнкция элементарных конъюнкций (СДНФ), а КД – конъюнкция элементарных дизъюнкций (СКНФ).

Наряду с ДК- и КД-шкалами не лишены смысла и менее экономные конструкты на основе формата цепь элементарных конъюнкций либо дизъюнкций. Цепь – это совокупность n-арных векторов, допускающая добавление, удаление, а также перестановку отдельных ее членов. В отличие от шкалы, где членам СНФвыражения сопоставлены позиции битов-компонент отображающего вектора, так что номера позиций кодируют соответствующие члены, в цепи коды членов СНФ-выражения содержатся непосредственно и могут располагаться в любой последовательности, в частности, упорядочиваться по тому или иному критерию, что способствует дальнейшему развитию конструктной алгебры.

Шкалы и цепи, основанные на отображении элементарных конъюнкций и дизъюнкций векторами битов (двоичные конструкты), позволяют компьютеризовать алгебру совершенных нормальных форм, СДНФ- и СКНФ-выражений. В системе с двоичными конструктами эффективно реализуются процедуры синтеза и преобразования СНФ-выражений, такие как тождественное преобразование выражения в двойственную форму, инвертирование, получение дополнения, получение дуала (выражения, двойственного данному), получение единого выражения из нескольких заданных по предписанным взаимосвязям, выявление и доказательство отношений, в которых состоят сопоставляемые выражения, решение булевых уравнений [5, 6].

Компьютеризация булевой алгебры в полном объеме достигнута применением конструктов, в основу которых положен вектор трехзначных элементов (тритов). Конструкты этого рода естественно называть троичными. О том, что в троичном коде успешно преодолевается несовершенство двоичного кодирования, убедительно свидетельствует троичный симметричный код чисел, в котором три значения трита интерпретируются как 1, 0, -1 т. е. к двоичным 1 и 0 добавлена отрицательная единица. Не имеющих удовлетворительного решения в двоичном коде проблем представления чисел со знаком и округления чисел в симметричном троичном коде просто нет.

Точно так же компенсируется неполноценность отображения вектором битов элементарных конъюнкции и дизъюнкции, оказывающаяся причиной того, что двоичные конструкты отображают булевы выражения только в совершенных нормальных формах. Используемые в них для представления элементарных конъюнкций и дизъюнкций n-битные векторы способны кодировать только индивидные конъюнкции и предполные дизъюнкции, но не могут отобразить элементарную конъюнкцию или дизъюнкцию, в которой некоторые термины умалчиваются ("элиминированы" по Булю-Порецкому), т. е.

в которой статус терминов трехзначен: неинвертированное вхождение, вхождение под знаком инверсии, невхождение.