Pages: | 1 | 2 |

| 4 | 5 | ... | 6 |

«Новочеркасск НОК 2011 1 УДК 512 ББК 87.21:72 М 73 Рецензенты: Галушкин Н.Е., доктор техн. наук, профессор; Кравченко П.Д., доктор техн. наук, профессор. М 73 Коротков А.В., Мешков В.Е., Чураков В.С., Бабкина Т.А., ...»

-- [ Страница 3 ] --

Отметим также, что последовательности величин n и m определяются рекуррентными соотношениями nk+1=2nk+nk-1, mk+1=2mk+mk-1, что определяет их значения таблицами 8.1-8.8 и 9.1-9.8. Характерной особенностью этих таблиц является чередование рядов z и p, а также c и t, так что в этих таблицах представлены последовательно одни и те же вертикальные ряды чисел. В результате эти последовательности можно характеризовать двумя начальными цифрами рядов n и m (например, 1.3, 1.11,… или 1.2, 5.6,…). Это позволяет осуществить достаточно простой способ классификации числовых последовательностей, указанный в таблицах 5.1-5.8. Более того, ряды n и m взаимосвязаны, так что, например, ряд n можно получить путем суммирования двух соседних строк из ряда m (таблица 2). В таблицах 6 и 8 указаны способы нахождения значений бесконечно большого числа рядов n и m из бесконечно большого числа значений рядов z и c, если начальные значения рядов z и c для данного d известны (см. таблицы 3.1-3.8). При этом принципиально важно знать начальные значения рядов. Как уже отмечалось использование значений катетов x и y менее удобно нежели значений c и d. По этой причине пифагоровы тройки лучше формировать в виде чисел d, c и z. Это осуществлено в таблице 9, в которой также вместо параметров m и n задействованы параметры g и h [4], (где они обозначены как g и p). Тождество для определения g и h имеет вид (2h2+2hg+g2)2=(2hg+g2)2+(2h2+2hg)2, где h=0,1,2,…, – числа натурального ряда;

g=1,3,5,…, – нечетные числа натурального ряда, при этом g и h взаимно простые числа.

Рассмотренное выше позволяет сформировать ряды чисел h, g, m, n, x, y, z, c, p и t бесконечной длины в обоих направлениях. При этом ряды x и y имеют вспомогательное значение и определяются через d и c. Пятерки начальных значений чисел h, g, m, n, z, c, p и t для d от 1 до 438 приведены в таблицах 10.1-10.9. Характерно, что для чисел этих рядов действуют соотношения (2hk *hk-1 )2+( hk2 -hk-12 )2=( hk2 +hk -12 )2, (2gk *gk-1 )2+( gk2 -gk-12 )2=( gk2 +gk-12 )2, (2mk*mk-1)2+(mk2-mk-12)2=(mk2+mk -12)2, (2nk *nk-1)2+( nk2 -nk-12 )2=( nk2 +nk -12 )2, (2xk *xk-1)2+( xk2 -xk-12)2 =( xk2 +xk -12 )2, (2yk *yk-1)2+(yk2 -yk-12)2 =( yk2 +yk -12)2, (2zk *zk-1)2+( zk2 -zk-12 )2=( zk2 +zk -12 )2, (2ck *ck-1)2+( ck2 -ck-12 )2 =( ck2 +ck -12)2, (2pk *pk-1)2+(pk2 -pk-12 )2=( pk2 +pk -12 )2, (2tk *tk-1 )2+( tk2-tk-12 )2=( tk2 +tk-12 )2, h =1, 3, 7, 17,…,hk+1 =2 hk + hk-1, g =0, 1, 2, 5,…,gk+1 =2 gk + gk-1, m=0, 1, 2, 5,…,mk+1=2 mk+mk-1, n =1, 3, 7, 17,…,nk+1 =2 nk + nk-1, x =0, 4,20,120,…,xk+1 =5(xk+xk-1)-xk-2, y =1, 3,21,119,...,yk+1 = 5(yk+yk-1)-yk-2, z =1, 5,29,169,…,zk+1 =6 zk – zk-1, c =1, 7,41,239,…,ck+1 =6 ck – ck-1, p=2,12,70,408,…,pk+1 =6 pk- pk-1, t =3,17,99,577,…,tk+1 =6 tk – tk-1, nk2- 2mk2=±d2, (x+ y)2-2(x2+y2)=-x2+2xy-y2=-(x-y)2=-d (c+2z)2-2(c+z)2=c2+4cz+4z2-2c2-4cz-2z2=-(x+y)2+2(x2+y2)=x2xy+y2=d2.

Напомним, что x-y=±d, x+y=c, x+y+z=p, x+y+2z=t.

Необходимо отметить, что принципиальное значение имеют последовательности чисел в рядах zk+1, c k+1, p k+1 и t k+1 для данной величины d. Четверки чисел этих последовательностей повторяют предыдущие четверки чисел zk, c k, p k и t k, так что формируются ряды бесконечной длины. Это показано в таблицах 12.1для d=1,7,17,23,31,41,47,49. Характерно, что все ряды при различных d могут быть определены четырьмя последовательностями чисел как показано в таблице 11.

Таким образом, можно говорить о принципиальном родстве последовательностей z, c, p и t, т. е. о числах z, c, p и t-типов. Отметим также, что в пределе при возрастании k имеют место одни и те же отношения этих чисел между собой. Так, например, отношения чисел рядов c и z, а также t и p стремится к величине (2+21/2)/2=1,707106781…, а отношения чисел рядов p и c, а также z и t стремится к величине 21/2=1,414213562…, так что для этих рядов принципиален параметр 21/2.

Отношения соседних чисел одного и того же типа в рядах z, c, p и t стремятся к величине 3+2*21/2. Отношения соседних чисел одного и того же типа в рядах m и n стремятся к величине 1+21/2, так что для этих рядов принципиален параметр 21/2, причем это дает способ определения рациональных приближений величины 21/2.

В таблице 13 приведена классификация бесконечных последовательностей целых чисел h и g. Она вытекает из рассмотрения таблицы 9.

Вопрос классификации пифагоровых чисел, по-видимому, связан с классификацией физических величин. В одной из моих работ отмечалось, что числа x и y имеют прямое отношение к классификации волновых чисел излучения атомов. Отметим к тому же, что четверки чисел также фигурируют в трехмерном спинорном исчислении при классификации элементарных частиц с полуединичным спином. Эти четверки чисел характеризуют две пары частиц, так что имеется прямая аналогия с парами чисел z и c, p и t определяемых уравнением Диофанта из четверки чисел z, c, p и t. Это, между прочим, говорит о возможном бесконечном числе элементарных частиц с полуединичным спином.

70 99 234 331 736 1041 900 1273 1518 2147 1218 1723 2184 3089 29 41 97 137 305 431 373 527 629 889 505 713 905 1279 12 17 40 57 126 179 154 219 260 369 208 297 374 531 29 41 97 137 305 431 373 527 629 889 505 713 905 1279 5 -7 73 - 137 -193 205 -289 221 -311 481 -679 353 -497 325 - 70 99 234 331 736 1041 900 1273 1518 2147 1218 1723 2184 3089 12 17 40 57 126 179 154 219 260 369 208 297 374 531 m1(0.-4) m7(0.8) m17(0.-8) m23(0.4) m31(0.-40) m41(0.76) m47(0.-42) m49(0.-88) h\g h391 g z391 c 5629 Николенко С. Проблемы 2000 года: Гипотеза БерчаСвиннертон-Дайера// Компьютерра.№ 47-48 [619-620].20 декабря 2005. (с.72-74).

Коротков А.В., Чураков В. С. Теоретико-философские аспекты трехмерного и семимерного пространств (собственно евклидова и псевдоевклидова) (Приложение III). Новочеркасск: УПЦ «Набла» ЮРГТУ (НПИ), 2007. – 194 с.

Начала Евклида. Книги I-VI. М.-Л.: Гос. изд. техн.-теор. лит., 4.Сяхович В. И. Пифагоровы точки. Минск: Изд. центр БГУ,

К НАХОЖДЕНИЮ РЕШЕНИЙ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ

С БОЛЬШИМ КОЛИЧЕСТВОМ ПЕРЕМЕННЫХ

В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Общим направлением задач алгебраической геометрии является выяснение числа решений полиномиального уравнения в рациональных числах. Это, прежде всего так называемая задача о конгруэнтных числах: т.е. выяснение того, какие рациональные числа могут быть площадями прямоугольных треугольников с рациональными длинами сторон.

Ответ таков: n-конгруэнтное число тогда и только тогда, когда число рациональных решений уравнения S2=t2=m3-p2m бесконечно. Это уравнение относится к классу эллиптических кривых, заданных одним из уравнений Вейерштрасса [1] t2= m3+am+b.

Такие уравнения сейчас находят применение в криптологии (криптографии и криптоанализе).

Вместе с тем не менее важным направлением задач алгебраической геометрии является выяснение числа решений полиномиального уравнения в целых числах, т.е. выяснение того, какие целые числа могут быть площадями прямоугольных треугольников с целыми длинами сторон. Для выяснения этого вопроса необходимо найти способ определения целочисленных сторон прямоугольных треугольников.

Из [2] известно, что x2= m2-n2, y2=2mn, z2=m2+n2, где m, n – взаимно простые числа, а x2, y2, z2 – соответственно катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника.

В этом случае на множестве натуральных чисел справедливо тождество:

(m2-n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2, т.е. x22+y22=z22, что соответствует теореме Пифагора. Это тождество строго фиксирует возможные значения величин m и n, а вслед за ними также значения x2, y2, z2 в целых числах. Несложно показать, что величины m и n определяются взаимно простыми числами разной четности, причем удается классифицировать тройки пифагоровых чисел по значению модуля разности катетов прямоугольных треугольников [3].

Необходимо отметить удивительную закономерность построения рядов пифагоровых троек в каждом из классов, а именно:

z2 k+1=6z2 k- z2 k-1, где z2 k+1 и z2 k-1 соответственно гипотенузы следующего и предыдущего z2 k прямоугольных треугольников в столбце.

Второй, не менее удивительной, закономерностью построения рядов пифагоровых троек в каждом из классов является:

(x2+y2)k+1=6(x2+y2)k-(x2+y2)k-1.

Это соотношение выполняется для суммы длин катетов и не выполняется для катетов в отдельности. Вместе с тем для катетов выполнимы следующие рекуррентные соотношения:

x2 k+1=5(x2 k+x2 k-1)-x2 k- y2 k+1=5(y2 k+y2 k-1)-y2 k-2.

Естественно, что каждому прямоугольному треугольнику с целочисленными значениями сторон x2, y2, z2 соответствуют определенные целочисленные значения m и n. Поскольку удается классифицировать прямоугольные треугольники по величине модуля разности между длинами катетов, то этому способу классификации соответствует определенный способ классификации значений m и n.

Поскольку ряды пифагоровых троек связаны строгими рекуррентными соотношениями, то аналогичными соотношениями должны быть связаны также ряды определяющих их величин m и n.

Записывая m как mk+1, а n как mk, имеем рекуррентное соотношение mk+1=2mk+ mk-1, не менее удивительное, чем предыдущее и определяющее ряды пифагоровых троек с определенным модулем разности между длинами катетов, причем, (mk+12-mk2)2+(2mk+1mk)2=(mk+12+mk2)2.

Необходимо отметить, что размеры прямоугольных треугольников в каждом из рядов интенсивно нарастают, причем они определяются взаимно простыми числами, среди которых часто встречаются простые, так что эти ряды являются генераторами взаимно простых и простых чисел. Это представляет практический интерес для задач криптографии.

Площадь прямоугольного треугольника S2=x2y2z2/2=mn(m2-n2)= nm3-n3m=mk+1mk(mk+12-mk2), так что это уравнение относится к классу эллиптических уравнений и является одним из уравнений Вейерштрасса. Очевидно, число целых решений этого уравнения бесконечно. Значения площадей прямоугольных треугольников однозначно определены величинами m и n и определяются рядами значений заданных разностью между длинами катетов. Расчет площадей прямоугольных треугольников в каждом ряду с соответствующим модулем разности между длинами катетов может осуществляться не только по приведенной выше формуле, но также в связи с рекуррентным соотношением:

S2 k+1=35(S2 k-S2 k-1)+S2 k-2, соответствующим каждому из рядов пифагоровых троек.

Вместе с тем, определенный интерес представляет выяснение числа решений полиномиального уравнения с большим числом переменных (большим двух) в целых числах. Такое уравнение в общем случае может быть записано в виде x22+(y22+…+yk2)=zk2.

Это уравнение отвечает метрике k-мерного собственноевклидового пространства.

Можно показать, что имеет место соотношение (m2+n2)+(((m2+n2)- 1)/ 2)2=(((m2+n2)+ 1)/ 2) 2.

Это соответствует теореме Пифагора x32+y32= (x22+y22)+y32=x22+(y22+y32)= z32, причем x22+((x22-1)/2)2=((x22+1)/2)2)= z Это соотношение позволяет найти для целочисленной правой части сумму квадратов трех целочисленных координат, т.е. можно вести разговор о четверках «пифагоровых» чисел. Они определяются двумя переменными m и n, причем для целочисленных значений пифагоровых четверок чисел имеют место целочисленные значения m и n. Приведенное выше соотношение строго фиксирует возможные значения величин m и n, а вслед за ними также значения x2, y2, y3, z3. Для примера в таблице 1 приведены по-парные значения m и n, занимающие бесконечный ряд чисел, классифицирующих прямоугольные треугольники по модулю разности между длинами двух таблице 2 – четверки соответствующих этим значениям «пифагоровых» чисел.

Необходимо отметить закономерность построения рядов «пифагоровых» четверок чисел в каждом из классов, а именно:

y3 n+1=35(y3 n-y3 n-1)+y3 n- z3 n+1=35(z3 n-z3 n-1)+z3 n-2.

Выясним теперь, какие целые числа могут быть объемами прямоугольных, трехгранных призм с целыми длинами ребер S3=t3=x2y2y3/2=(nm3-n3m)(( m2-n2)2+(2mn)2-1)/2, так что это уравнение относится к классу уравнений восьмой степени. Очевидно, число целых решений этого уравнения бесконечно. Значения объемов прямоугольных трехгранных призм однозначно определены величинами m и n и определяются рядами значений заданных модулем разности между длинами наименьших катетов.

Расчет объемов прямоугольных трехгранных призм в каждом ряду с соответствующим модулем разности между длинами наименьших ребер может осуществляться не только приведенной выше формуле, но также в связи с рекуррентным соотношением S3 k+1=(35(S2 k-S2 k-1)+S2 k-2)(35(y3 k-y3 k-1)+y3 k-2).

Для примеров в таблице 3 приведены результаты значений объемов прямоугольных трехгранных призм с целыми длинами ребер для верхней части пифагоровых четверок из таблицы 2. Таким образом, получен ответ на поставленный вопрос о решении полиномиальных уравнений второй степени с тремя переменными.

Для решения полиномиальных уравнений второй степени с большим числом переменных x2, y2, y3,…, yk можно воспользоваться тем обстоятельством, что при переходе от трехмерного пространства чисел к многомерному, каждая следующая компонента может быть рассчитана по формуле xk2+((xk2-1)/2)2=((xk2+1)/2)2, соответствующей формуле (m2+n2)+(((m2+n2)- 1)/ 2)2=(((m2+n2)+ 1)/ 2) 2, в которой положено xk2=m2+n2.

В этом случае, очевидно, yk+12=((yk2-1)/2)2, zk+12=((zk2+1)/2)2, так что имеют место рекуррентные соотношения yk+1=(yk2-1)/2, zk+1=(zk2+1)/2.

Для примера приведем значения одной из последовательности «пифагоровых» наборов целых чисел. Для x2=3 имеем последовательности для yk 4, 12, 84, 3612, … Вместе с тем некоторые из значений zk являются не простыми, а составными из произведений простых чисел. В этих местах имеют место раздвоения указанных последовательностей чисел. Приведем некоторые из них.

Для x2=3 имеем последовательности для yk 4, 12, 84, 3612, 6526884, … и для zk 5, 13, 85, 3613, 6526885, … Для x2=21 имеем последовательности для yk 20, 420, 88620, 3926840820, … и для zk 29, 421, 88621, 3926840821, … Такое разветвление последовательностей чисел напоминает цепную реакцию. Очевидно, что числа в последовательностях интенсивно нарастают, а нахождение их разложения на разность и сумму квадратов представляет серьезную трудность. Укажем, в связи с этим, простой способ нахождения разности и суммы квадратов составных чисел из произведений нечетных чисел. Он связан с таблицей умножения нечетных чисел, представленной в таблице 4. В таблице 5 представлено соответствующее разложение произведений нечетных чисел zk=akbk=ak2-bk2=(ak+bk)(ak-bk), при этом mk=(ak+bk)/2, и nk=(ak-bk)/ В качестве примера 209=1911, так что mk=(19+11)/2=15, а nk=(19-11)/2=4, в результате, 152Таблица 1.

7645370045 13979001969 20312633893 26646265817 18457556052 33748296142 49039036232 64329776322 44560482149 81475594253 118390706357 155305818461 107578520350 196699484648 285820448946 374941413244 259717522849 474874563549 690031604249 905188644949 627013566048 1146448611746 1665883657444 2185318703142 1513744654945 2767771787041 4021798919137 5275826051233 3654502875938 6681992185828 9709481495718 12736970805608 8822750406821 16131756158697 23440761910573 30749767662449 21300003689580 38945504503222 56591005316864 74236506130506 559819260 6256889112 27894511404 82603646424 559819261 6256889113 27894511405 82603646425 19017375312 212550044004 947592247824 2806092345012 19017375313 212550044005 947592247825 2806092345013 646030941360 7220444606844 32190241912512 95324536075164 646030941361 7220444606845 32190241912513 95324536075165 101959200 12736079928 253110424320 2219412522600 1.Николенко С. Проблемы 2000 года: Гипотеза Берча-СвиннертонДайера// Компьютерра.№ 47-48 [619-620].20 декабря 2005. (с.72-74).

2.Начала Евклида. Книги I-VI. М.-Л.: Гос. изд. техн.-теор. лит., 1950.

3.Коротков А.В. К нахождению решений полиномиальных уравнений второй степени в целых числах// см. настоящее издание, с.117-130.

ОСОБЕННОСТИ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ВТОРОЙ СТЕПЕНИ

С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Ответ таков: m-конгруэнтное число тогда и только тогда, когда число рациональных решений уравнения S2=t2=m3-p2m бесконечно. Это уравнение относится к классу эллиптических кривых, заданных одним из уравнений Вейерштрасса t2= m3+am+b.

Такие уравнения сейчас находят применение в криптологии (криптографии и криптоанализе).

Из [1] известно, что x2= m2-n2, y2=2mn, z2=m2+n2, где m, n – взаимно простые числа, а x2, y2, z2 – соответственно катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника.

В этом случае на множестве натуральных чисел справедливо тождество:

(m2-n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2, что соответствует теореме Пифагора. Это тождество строго фиксирует возможные значения величин m и n, а вслед за ними также значения x2, y2, z2 в целых числах (таблица 1). Несложно показать, что величины m и n определяются взаимно простыми числами разной четности, причем удается классифицировать тройки пифагоровых чисел по значению модуля разности катетов прямоугольных треугольников [2].

z2 k+1=6z2 k- z2 k-1, где z2k+1 и z2k-1 соответственно гипотенузы следующего и предыдущего z2k прямоугольных треугольников в столбце пифагоровых троек с одинаковым значением модуля разности катетов прямоугольных прямоугольников.

Площадь прямоугольного треугольника S2=x2y2/2= (m2-n2)(mn)=nm3-n3m=(mk+12-mk2)(mk+1mk), так что это уравнение относится к классу эллиптических уравнений и является одним из уравнений Вейерштрасса. Очевидно, число целых решений этого уравнения бесконечно. Значения площадей прямоугольных треугольников однозначно определены величинами m и n и определяются рядами значений заданных разностью между длинами катетов.

Таким образом, получен ответ на поставленный вопрос о решении полиномиальных уравнений второй степени с двумя переменными.

Вместе с тем, определенный интерес представляет выяснение числа решений полиномиального уравнения с большим числом переменных (большим двух) в целых числах, в частности, равное трем. Такое уравнение в общем случае может быть записано в виде x22+(y22+y32)=z32.

Это уравнение отвечает метрике трехмерного собственноевклидового пространства.

Решение полиномиальных уравнений второй степени с тремя переменными можно получить исходя из совпадающих значений второй и третьей строк таблицы 1. Так, например, число 25 встречается в третьей строке со значением m=4 и n=3 и во второй строке со значением k=12 и t=13. Таким образом, выполняется равенство 42+32=25=132-122, что равносильно равенству 32+42+122=132, то есть x22+y22+y32=z32. Число решений такого уравнения, очевидно, бесконечно. Их удобно представлять в виде таблицы 2. Фрагмент этой таблицы представлен ниже Очевидно, что сумма строк правого столбца равняется 2t2. Отметим, что среди чисел третьих строк таблицы 1 встречаются квадраты чисел в соответствии с теоремой Ферма.

Укажем на некоторые особенности решений уравнений второй степени с тремя переменными в целых числах. Во-первых, из таблицы 1 следует, что все нечетные числа представимы в виде разности квадратов двух целых чисел c=ab=((b+a)/2)2- ((b-a)/2)2.

Числа класса 1 сравнений по mod4 представимы также в виде суммы квадратов двух целых чисел. Числа класса 1 сравнений по mod4 представимы кроме того в виде произведения двух целых чисел класса 1 сравнений по mod4. В случае равенства одного из них единице, второе является простым числом.

Из таблицы 2 следует, что решения уравнений второй степени с тремя переменными в целых числах вида m2+n2+k2=t образуют для t класс нечетных чисел, включающий все нечетные числа кроме 1 и 5 (вырожденный случай). Из этой же таблицы следует, что каждое решение содержит два четных и два нечетных числа причем четные числа являются числами одного и того же класса вычетов по mod4. Это показано вплоть до t=59, что позволяет выдвинуть гипотезу аналогичную гипотезе Гольдбаха для четных чисел, то есть предположить, что квадрат каждого нечетного невырожденного числа t представим в виде суммы квадратов трех взаимно простых чисел с t. Более того, каждое нечетное число представимо в виде разности двух квадратов и, следовательно, квадрат нечетного числа представим в виде суммы четырех квадратов чисел. Из таблицы 2 следует также, что каждое решение содержит два четных и два нечетных числа причем четные числа являются числами одного и того же класса вычетов по mod4.

Из сказанного следуют соотношения (таблица 5) m2+n2+k2=t2=s2-r и, следовательно, s2=m2+n2+k2+r2.

Числа m, n, k, t, r, s образуют последовательности бесконечной протяженности в обе стороны. Кроме того, последовательным значениям чисел m соответствует одно и то же решение уравнения Диофанта, равное -1, а между рядами чисел nk, tk, tn имеют место одни и те же значения определителей.

Более того удается связать числа m, n, k и t друг с другом с помощью формул 4(m2+n2)(t-k)2+((m2+ n2)-(t-k ) 2)2=((m2+n2)+(t-k)2)2, 4(k2+m2)(t-n)2+(( k2+m2)-(t-n ) 2)2=((k2+m2)+(t-n )2)2, 4(n2 +k2)(t-m)2+(( n2+k2)-(t-m) 2)2=(( n2+k2)+(t-m)2)2.

Эти формулы для распространенного частного случая t-k=1 дают соотношение:

(m2+n2)+(((m2+n2)- 1)/ 2)2=(((m2+n2)+ 1)/ 2) 2.

Отметим также уникальную особенность решений полиномиальных уравнений второй степени с тремя переменными, заключающуюся в том, что как и в случае двух переменных, четверки чисел решений уравнения образуют периодическую зависимость, определяемую рекуррентным соотношением z2 k+1=6z2 k- z2 k-1, где в качестве z2 k+1, z2 k, z2 k-1 выступают три последовательных значения величин n, k и t при одном и том же значении величины m. Некоторые из последовательностей решений представлены в таблице 3.

Таким образом, решения полиномиальных уравнений второй степени с тремя переменными образуют бесконечные последовательности четверок целых чисел, так что число решений оказывается бесконечным.

Отметим также интересную особенность классификации пифагоровых четверок. Во-первых, пифагоровы четверки создают ряды бесконечной протяженности в обоих направлениях. Во-вторых, каждой диагонали параллелепипеда соответствует два ряда пифагоровых четверок. Так, например, число 13 встречается в последовательностях …, 425, 73, 13, 5, 17, 97, … и …, 305, 53, 13, 25, 137, 797, …, так что имеет место пересечение двух рассмотренных последовательностей в значении 13. Это относится ко всем остальным числам. В результате можно говорить не о рядах бесконечной протяженности в обоих направлениях, а о плоскостях формируемых перпендикулярно расположенными числовыми последовательностями с пересечением в данном числе. Таким образом, формируются уже не линейки чисел, а плоскости числовых последовательностей классифицируемых по определенному признаку. Фрагменты таких плоскостей чисел представлены в таблице 6. Необходимо помнить, что эти фрагменты представляют часть плоскости, которая может быть продлена до бесконечности во всех четырех направлениях. В горизонтальных направлениях действует рекуррентное соотношение zk+1=6zk- zk- (при постоянном значении первой координаты), а в вертикальных направлениях это соотношение корректируется на величину числа, указанного в верхней строчке над данным рядом чисел.

Отметим возможность формирования некоторых последовательностей чисел бесконечно й длины. Так ti2-2pi2=di2 и сi2-2zi2=-di2, т. е. di2+pi2+pi2=ti2 и -di2+zi2+zi2=ci2, а, также. (2ci)2-8zi2=-(2di) 2 и (2ti)2-8pi2=(2di) 2, т. е (2di)2+(2ci)2+zi2=(3zi)2 и -(2di)2+(2ti)2+pi2=(3pi)2.

Эти два способа формирования последовательностей чисел определяют для разных di бесконечное число последовательностей чисел бесконечной длины собственноевклидового и псевдоевклидового характеров, как показано в таблицах 7 и 8. Кроме того, как видно из таблиц 4 и 6 ими не завершается определение последовательностей чисел, например, отсутствует последовательность …,22,4,2,8,46,…. В таблицах 9 приведены иные способы формирования последовательностей бесконечной длины для чисел di соответствующих значениям 8k+1 и 8k-1, а также регулярным значениям определителей и уравнения Диофанта.

3,4,12,13 25 9,12,20,25 225 15,18,26,35 549 14,17,46,51 2,10,11,15 104 2,7,26,27 53 10,14,35,39 296 3,10,54,55 1,12,12,17 145 7,14,22,27 245 13,14,34,39 365 10,18,51,55 8,9,12,17 145 10,10,23,27 200 4,24,33,41 592 7,8,56,57 1,6,18,19 37 11,12,24,29 265 9,24,32,41 657 16,17,52,57 2,874,961,1299 763880 3,466.558,727 217165 2,705,1386,1555 2,4378,4019,5943 2,774,711,1051 2,266,247,363 2,822,771,1127 2,4666,4379, 2,1114,1979,2271 2,198,351,403 2,74,127,147 2,246,411,479 2,1402,2339, 3,8010,5246,9575 3,1416,928,1693 3, 486,322,583 3,1500,1004,1805 3,8514,5702, 3,1176,724,1381 3,210,130,247 3,84,56,101 3,294,206,359 3,1680,1180, 3,1890,2390,3047 3,336,424,541 3,126,154,199 3,420,500,653 3,2394,2846, 2,8714,10565,13695 2,1542,1869,2423 2,538,649,843 2,1686,2025,2635 2,9578,11501, 2,1166,1453,1863 2,210,261,335 2,94,113,147 2,354,417,547 2,2030,2389, 2,5450,5261,7575 2,966,933,1343 2,346,337,483 2,1110,1089,1555 2,6314,6197, 1. Начала Евклида. Книги I-VI. М.-Л.: Гос. изд. техн.-теор.

лит., 1950.

2. Коротков А. В., Чураков В. С. Теоретико-философские аспекты трехмерного и семимерного пространств (собственно евклидова и псевдоевклидова). – Новочеркасск:

УПЦ "Набла" ЮРГТУ (НПИ), 2007. 194с.

К НАХОЖДЕНИЮ РЕШЕНИЙ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ

В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Такие уравнения сейчас находят применение в криптологии (криптографии и криптоанализе).

Из [1] известно, что x2= m2-n2, y2=2(mn)1, z2=m2+n2, где m, n – взаимно простые числа, а x2, y2, z2 – соответственно катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника.

В этом случае на множестве натуральных чисел справедливо тождество:

(m2-n2)2+(2(mn)1)2=(m2+n2)2, что соответствует теореме Пифагора. Это тождество строго фиксирует возможные значения величин m и n, а вслед за ними также значения x2, y2, z2 в целых числах (таблица 1). Несложно показать, что величины m и n определяются взаимно простыми числами разной четности, причем удается классифицировать тройки пифагоровых чисел по значению модуля разности катетов прямоугольных треугольников [2].

z2 k+1=6z2 k- z2 k-1, где z2 k+1 и z2 k-1 соответственно гипотенузы следующего и предыдущего z2 k прямоугольных треугольников в столбце пифагоровых троек с одинаковым значением модуля разности катетов прямоугольных прямоугольников.

Площадь прямоугольного треугольника S2=x2y2/2= (m2-n2)(mn)1=nm3-n3m=(mk+12-mk2) (mk+1mk)1=S2k, так что это уравнение относится к классу эллиптических уравнений и является одним из уравнений Вейерштрасса. Очевидно, число целых решений этого уравнения бесконечно. Значения площадей прямоугольных треугольников однозначно определены величинами m и n и определяются рядами значений заданных разностью между длинами катетов.

Это уравнение отвечает метрике трехмерного собственноевклидового пространства.

Решение полиномиальных уравнений второй степени с тремя переменными можно получить исходя из совпадающих значений второй и третьей строк таблицы 1. Так, например, число 25 встречается в третьей строке со значением m=4 и n=3 и во второй строке со значением k=12 и t=13. Таким образом, выполняется равенство +32=25=132-122, что равносильно равенству 32+42+122=132, то есть x22+y22+y32=z32. Число решений такого уравнения, очевидно, бесконечно. Их удобно представлять в виде таблицы 2. Фрагмент этой таблицы представлен ниже Очевидно, что сумма строк правого столбца равняется 2t2..

Эти формулы для распространенного частного случая t-k=1 дают соотношение:

(m2+n2)+(((m2+n2)- 1)/ 2)2=(((m2+n2)+ 1)/ 2) 2.

Отметим, что среди чисел третьих строк таблицы 1 встречаются квадраты чисел в соответствии с теоремой Ферма.

Важным направлением задач алгебраической геометрии является также выяснение числа решений полиномиального уравнения третьей степени, т. е. выяснение того, какие числа прямоугольных треугольников могут быть функциями третьей степени.

Для выяснения этого вопроса необходимо найти способ определения сторон прямоугольных треугольников, соответствующих уравнению третьей степени. С этой целью рассмотрим стороны прямоугольных треугольников определяемых соотношениями x2= m3-n3, y2=2(mn)3/2, z2=m3+n3, где m, n – взаимно простые числа, а x2, y2, z2 – соответственно стороны прямоугольного треугольника.

В этом случае на множестве натуральных чисел справедливо тождество:

(m3-n3)2+(2 (mn)3/2)2=(m3+n3)2, т.е. x22+y22=z22, где y2=2(mn)3/2, что соответствует обобщению теоремы Пифагора на случай прямоугольных треугольников, определяемыми уравнением третьей степени. Это тождество строго фиксирует возможные значения величин m и n, а вслед за ними также значения x2, y2, z2 в целых числах (таблица 3).

Несложно показать, что величины m и n определяются взаимно простыми числами разной четности. Причем теперь не удается классифицировать тройки пифагоровых чисел по значению модуля разности катетов прямоугольных треугольников.

Естественно, что каждому прямоугольному треугольнику с сторонами x2, y2, z2 соответствуют определенные целочисленные значения m и n. Поскольку не удается классифицировать прямоугольные треугольники по величине модуля разности между длинами сторон, то этому способу классификации не соответствует найденный ранее способ классификации значений m и n, причем (mk+13-mk3)2+((2mk+1mk)3/2)2=(mk+13+mk3)2, что соответствует обобщению ранее найденной формулы на случай прямоугольных треугольников, определяемых уравнением третьей степени.

Для прямоугольного треугольника, определяемого уравнением третьей степени, имеет место соотношение x2y2/2= (m3-n3)(mn)3/2= (mk+13-mk3) (mk+1mk)3/2, так что это уравнение не относится к классу эллиптических уравнений и не является одним из уравнений Вейерштрасса. Очевидно, число решений этого уравнения бесконечно. Значения этой функции для прямоугольных треугольников однозначно определены величинами m и n.

Таким образом, полиномиальные уравнения третьей степени вполне разрешимы. Они характеризуют значения сторон прямоугольных треугольников.

Решение полиномиальных уравнений третьей степени с тремя переменными можно получить исходя из совпадающих значений второй и третьей строк таблицы 3. Так, например, число 91 встречается в третьей строке со значением m=4 и n=3 и во второй строке со значением k=5 и t=6. Таким образом, выполняется равенство +33=91=63-53, что равносильно равенству 33+43+53=63, то есть x23+y23+y33=z33. Число решений такого уравнения, очевидно, бесконечно. Их удобно представлять в виде таблицы 4. Фрагмент этой таблицы представлен ниже Очевидно, что сумма строк правого столбца равняется 2t3.

Более того удается связать числа m, n, k и t друг с другом с помощью формул 4(m3+n3)(t3/2-k3/2)2+((m3+ n3)-(t3/2-k3/2) 2)2=((m3+n3)+(t3/2-k3/2)2)2, 4(k3+m3)(t3/2-n3/2)2+((k3+ m3)-(t3/2-n3/2) 2)2=((k3+m3)+(t3/2-n3/2)2)2, 4(n3+k3)(t3/2-m3/2)2+((n3+ k3)-(t3/2-m3/2) 2)2=((n3+k3)+(t3/2-m3/2)2)2.

Отметим, что среди чисел третьих строк таблицы 3 не встречаются кубы чисел в соответствии с теоремой Ферма.

Важным направлением задач алгебраической геометрии является также выяснение числа решений полиномиального уравнения четвертой и более высоких степеней, т. е. выяснение того, какие числа прямоугольных треугольников могут быть функциями четвертой и более высоких степеней.

Для выяснения этого вопроса необходимо найти способ определения сторон прямоугольных треугольников, соответствующих уравнению четвертой степени. С этой целью рассмотрим стороны прямоугольных треугольников определяемых соотношениями x2= m4-n4, y2=2(mn)2, z2=m4+n4, где m, n – взаимно простые числа, а x2, y2, z2 – соответственно стороны прямоугольного треугольника.

В этом случае на множестве натуральных чисел справедливо тождество:

(m4-n4)2+(2(mn)2)2=(m4+n4)2, т.е. x22+y22=z22, где y2=2(mn)2, что соответствует обобщению теоремы Пифагора на случай прямоугольных треугольников, определяемыми уравнением четвертой степени. Это тождество строго фиксирует возможные значения величин m и n, а вслед за ними также значения x2, y2, z2 в целых числах (таблица 5).

Естественно, что каждому прямоугольному треугольнику с целочисленными значениями сторон x2, y2, z2 соответствуют определенные целочисленные значения m и n. Поскольку не удается классифицировать не прямоугольные треугольники по величине модуля разности между длинами сторон, то этому способу классификации не соответствует найденный ранее способ классификации значений m и n, причем (mk+14-mk4)2+((2mk+1mk)2)2=(mk+14+mk4)2, что соответствует обобщению ранее найденной формулы на случай прямоугольных треугольников, определяемых уравнением четвертой степени.

Для прямоугольного треугольника, определяемого уравнением четвертой степени, имеет место соотношение x2y2/2= (m4-n4)(mn)2= (mk+14 -mk4 )(mk+1mk)2, так что это уравнение не относится к классу эллиптических уравнений и не является одним из уравнений Вейерштрасса. Очевидно, число целых решений этого уравнения бесконечно. Значения этой функции для прямоугольных треугольников однозначно определены величинами m и n.

Таким образом, полиномиальные уравнения четвертой степени вполне разрешимы. Они характеризуют значения сторон прямоугольных треугольников.

Решение полиномиальных уравнений четвертой степени с тремя переменными можно получить исходя из совпадающих значений второй и третьей строк таблицы 5. Расчет значений таблицы 5 не выявил совпадающие значения во второй и третьей строках при значениях m, n, k, t вплоть до 700. Известно лишь одно число такого рода [3] m=2682440 и n=15365639 k=18796760 и t=20615673, так что выполняется равенство 26824404 +153656394=55796336382216426134042739041=206156734что равносильно равенству x24+y24+y34=z34. Число решений такого уравнения, очевидно, бесконечно. Их удобно представлять в виде таблицы. Фрагмент этой таблицы представлен ниже m= 2682440, n=15365639, k=18796760, t=20615673 = t4=180630077292169281088848499041 k4+m4=t4-n Очевидно, что сумма строк правого столбца равняется 2t4.

Более того удается связать числа m, n, k и t друг с другом с помощью формул 4(m4+n4)(t2-k2)2+((m4+ n4)-(t2-k2) 2)2=((m4+n4)+(t2-k2)2)2, 4(m4+n4)(t2-k2)2+((m4+ n4)-(t2-k2) 2)2=((m4+n4)+(t2-k2)2)2, 4(m4+n4)(t2-k2)2+((m4+ n4)-(t2-k2) 2)2=((m4+n4)+(t2-k2)2)2.

Отметим, что среди чисел третьих строк таблицы 5 не встречаются четвертые степени чисел в соответствии с теоремой Ферма.

Важным направлением задач алгебраической геометрии является также выяснение числа решений полиномиального уравнения более высокой степени (более четырех), т. е. выяснение того, какие числа прямоугольных треугольников могут быть функциями более высокой степени (более четырех).

Для выяснения этого вопроса необходимо найти способ определения сторон прямоугольных треугольников определяемых уравнениями высокой степени (более четырех). С этой целью рассмотрим стороны прямоугольных треугольников определяемых соотношениями x2= ml-nl, y2=2(mn)l/2, z2=ml+nl, где m, n – взаимно простые числа, а x2, y2, z2 – соответственно стороны прямоугольного треугольника.

В этом случае на множестве натуральных чисел справедливо тождество:

(ml-nl)2+(2(mn)l/2)2=(ml+nl)2, т.е. x22+y22=z22, где y2=2(mn)l/2, что соответствует обобщению теоремы Пифагора на случай прямоугольных треугольников определяемым уравнениями более высокой степени. Это тождество строго фиксирует возможные значения величин m и n, а вслед за ними также значения x2, y2, z2. Несложно показать, что величины m и n определяются взаимно простыми числами разной четности. Причем теперь не удается классифицировать тройки пифагоровых чисел по значению модуля разности катетов прямоугольных треугольников.

Естественно, что каждому прямоугольному треугольнику соответствуют определенные значения m и n. Поскольку не удается классифицировать прямоугольные треугольники по величине модуля разности между длинами сторон, то этому способу классификации не соответствует найденный ранее способ классификации значений m и n, причем (mk+1l-mkl)2+(2(mk+1mk)l/2)2=(mk+1l+mkl)2, что соответствует обобщению ранее найденной формулы на случай прямоугольных треугольников, определяемых уравнением степени l.

Для прямоугольного треугольника имеет место соотношение x2y2/2=(ml-nl)(mn)l/2=(mk+1l-mkl)(mk+1mk)l/2, так что это уравнение не относится к классу эллиптических уравнений и не является одним из уравнений Вейерштрасса. Очевидно, число решений этого уравнения бесконечно. Значения этой функции для прямоугольных треугольников однозначно определены величинами m и n.

3,4,12,13 25 9,12,20,25 225 15,18,26,35 549 14,17,46,51 2,10,11,15 104 2,7,26,27 53 10,14,35,39 296 3,10,54,55 1,12,12,17 145 7,14,22,27 245 13,14,34,39 365 10,18,51,55 8,9,12,17 145 10,10,23,27 200 4,24,33,41 592 7,8,56,57 1,6,18,19 37 11,12,24,29 265 9,24,32,41 657 16,17,52,57 3,4,5,6 91 29,34,44,53 63693 28,53,75,84 170829 45,69,79,97 3,10,18,19 1027 15,42,49,58 77463 20,54,79,87 7,14,17,20 3087 22,51,54,67 143299 26,55,78,87 4,17,22,25 4977 36,38,61,69 101528 38,48,79,87 18,19,21,28 12691 7,54,57,70 157807 21,43,84,88 11,15,27,29 4706 14,23,70,71 14911 25,31,86,88 2,17,40,41 4921 34,39,65,72 98623 17,40,86,89 6,32,33,41 32984 38,43,66,75 134379 25,38,87,90 16,23,41,44 16263 31,33,72,76 65728 58,59,69,90 3,36,37,46 46683 25,48,74,81 126217 32,54,85,93 27,30,37,46 46683 19,60,69,82 222859 19,53,90,96 1. Начала Евклида. Книги I-VI. М.-Л.: Гос. изд. техн.-теор.

лит., 1950.

УПЦ "Набла" ЮРГТУ (НПИ), 2007. 194с.

3. Николенко С. Проблемы 2000 года: Гипотеза БерчаСвиннертон-Дайера// Компьютерра. №47-48. 2005. (72с).

ДИСКРЕТНЫЕ АЛГЕБРЫ

(МНОГОМЕРНЫЕ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ АЛГЕБРЫ)

Есть серьезная проблема, связанная с квантованием пространства и с квантованием времени. Квантованные величины занимают не непрерывный, а дискретный ряд числовых величин со своим значением. Это говорит о том, что нужно построить алгебры, которые бы определялись не непрерывным рядом чисел, скажем действительными величинами, а дискретными, предположим, целыми числами. То, что используется в системах алгебра действительных чисел для построения векторных алгебр, определяется главным образом тем, что математики пытались создавать системы с делением системы комплексных чисел, кватернионов, октанионов – то есть системы с делением. Векторные алгебры – это системы без деления, а поэтому могут задействовать числа, лежащие в основе расширяемых систем, определяемыми системами без деления, например, рядом целых чисел или натуральных чисел. Это системы без деления, каждому целому числу нельзя сопоставить обратное целое число, например, двойке обратное число. 0,5 – это не целое число, поэтому необходимо строить также алгебры, векторные алгебры, которые бы базировались на системах не действительных чисел, а, например, на системах целых чисел, системах чисел без деления.

Это позволило бы создавать векторные алгебры для квантованных величин, в частности для квантованных пространственных величин и временных величин квантованного пространства- времени.

Если задействовать в векторных алгебрах целые числа, то, как не трудно видеть – понятие скалярного и векторного произведения векторов формируется за счет алгебраических сумм и произведений целых чисел, а, следовательно, эти величины также целые, как скалярное произведение векторов, так и векторное произведение двух векторов, а также нескольких векторов, определяется целыми значениями. Затруднения могут возникать только при нахождении модулей векторов, потому что модуль вектора связан с операцией извлечения квадратного корня из чисел, а извлечение квадратного корня из целых чисел не всегда дает целые числа. Это единственное затруднение. Если избегать применения понятия модуля, а пользоваться понятием квадрата модуля, квадрата интервала двух векторов, то это затруднение исключается, оно отпадает. Следовательно, такие алгебры могут быть построены для дискретного ряда значений числовых величин, то есть могут быть использованы для дискретизации пространственно- временных величин, а вслед за этим, и всех производных от них величин. Это – одно из направлений работы: создание квантованных векторных алгебр в рамках семимерной парадигмы [2;3].

Практическое применение результатов данного направления следующее. Физика сейчас рассматривает целый ряд квантованных значений, например, положение электрона в атоме водорода связано с рассмотрением орбит, которые квантованы и определяются целыми положительными значениями N, где N = 1, 2, 3, 4 и т. д.

Это фундаментальный физический результат. То есть величины – например, радиус орбит электронных оболочек в атоме квантован – а вслед за ним квантованы и такие понятия как энергия, момент импульса – это все квантованные величины. Это мы их рассматривали как непрерывные, а поэтому использовали алгебры непрерывные, но в принципе понятие квантования времени и пространства – это очень важное понятие, и физиками широко используется [1;6].

Это старая эпистемологическая проблема, занимавшая в свое время И.Канта: о соответствии математического описания физической реальности.

Развитие квантовой физики могло бы пойти по другому пути, и многих противоречий удалось бы избежать, если бы более точная модель пространства – времени была бы известна в начале XX в. – в момент начала исследований микромира [4,с.1], могли бы быть иными и основные философские вопросы фундаментальной физики начала XXI в.

В литературе повсеместно рассматриваются алгебры над полем действительных чисел [3]. Вместе с тем представляют определенный интерес алгебры над кольцами целых чисел и классов сравнений по модулю. Практическая значимость таких алгебр может быть в использовании указанных алгебр в физических приложениях, где дискретность величин приобретает существенное значение. В случае применения одномерных колец целых чисел или классов сравнений по модулю имеют место очевидные действия [5].

I. Определение одномерных чисел.

Одномерными числами а назовем элементы колец дискретных чисел а=(а0), для которых понятия равенства, суммы, произведения и отождествления некоторых чисел вводятся согласно следующим определениям (аксиомам):

1. Числа а=(a0) и b=(b0) считаются равными в том и только в том случае, когда равны их соответствующие компоненты.

2. Суммой чисел а=(a0) и b=(b0) называется число а+b=(a0+b0), т.е.

а+b=(a0)+(b0)= (a0+b0).

3. Произведением чисел а=(a0) и b=(b0) называется число аb=(a0b0), 4. Число (a0) отождествляется с числом a0, т.е. (a0)=а0.

При этом из аксиом 3 и 4 следует mа=(m)(a0)= ( ma0), где m-одномерное число.

II. Свойства действий.

1. Ассоциативность сложения:

(а+b)+с=((a0)+(b0))+(с0)=((a0+b0)+с0), а+(b+с)=(a0)+((b0)+(с0))=(a0+(b0+с0)), 2. Коммутативность сложения:

а+b=(a0)+(b0)=(a0+b0), b+а=(b0)+(a0)= (b0+a0 ), 3. Наличие нуля:

а+0=(a0)+(0)= (a0+0)=(a0), т.е. а+0= а, так что число (0) отождествляется с числом 0.

4. Наличие противоположного числа:

а+(-а)=(a0)+(-a0)=(a0-a0)=(0), т.е. а+(-а)=0, так что число (-a0) отождествляется с числом -а.

5. Ассоциативность умножения:

(аb)с=((a0)(b0))(с0)=(a0b0)(с0), а(bс)=(a0)((b0)(с0))=(a0)(b0с0), 6. Коммутативность умножения:

аb=(a0)(b0)=(a0b0), bа=(b0)(a0)=(b0a0), 7. Дистрибутивность:

(а+ b)с=((a0)+(b0))(с0)=(a0+b0)(с0)=((a0+b0)с0)), ас+bс =(a0с0)+(b0с0)=((a0+b0)с0)), 8. Наличие единицы:

а1=(a0)(1)=(a01)=(a0)=а.

Итак, одномерные числа составляют коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей.

В координатной форме записи операция умножения двух одномерных чисел может быть представлена в виде:

ab=(a0b0).

I. Определение двухмерных чисел.

Двухмерными числами а назовем упорядоченные пары а=(a0, a1) одномерных чисел аi, для которых понятия равенства, суммы, произведения и отождествления некоторых пар с одномерными числами вводятся согласно следующим определениям (аксиомам):

1. Пары одномерных чисел а=(a0, a1) и b=(b0, b1) считаются равными в том и только в том случае, когда равны их соответствующие компоненты.

В символической записи: а=b или (a0, a1)=(b0, b1)= 2. Суммой пар а=(a0, a1) и b=(b0, b1) называется пара а+b=(a0+b0, a1+b1), т.е.

а+b=(a0, a1)+(b0, b1)= (a0+b0, a1+b1).

3. Произведением пар а=(a0, a1) и b=(b0, b1) называется пара аb=(a0b0+b1a1, a0b1+b0a1), т.е. аb=(a0, a1)(b0, b1)=(a0b0+b1a1, a0b1+b0a1), где = ±1 или 0, причем = -1 соответствует собственнокомплексному, =1 – псевдокомплексному, а =0 – дуальнокомплексному расширению одномерных чисел [1].

4. Пара (a0, 0) отождествляется с одномерным числом a0, т.е.

(a0, 0)=а0.

В данном определении двухмерных чисел, составными частями которого являются определения их равенства, суммы и произведения, нет речи о каком-либо извлечении квадратного корня из отрицательных или положительных чисел, а также нуля. Все определения формулируются в терминах одномерных чисел и действий над ними.

При этом из аксиом 3 и 4 следует mа=(m, 0)(a0, a1)= ( ma0+a10, ma1+a00)=(ma0, ma1), где m – одномерное число.

Пары а=(a0, a1) и a =(a0, -a1), отличающиеся знаком второй компоненты, называются сопряженными. Умножив сопряженные пары а a = (a0, a1)(a0, -a1)=(a0а0-a1а1, a0а1- а0a1)=(a02 -a12, 0), так что их произведение равно одномерному числу, которое равно нулю, если: a02=а12=0 при = -1, a02=а12 при = 1, a02=0 при Двухмерные числа обладают следующими свойствами:

2. ab =(a0b0+b1a1, -(a0b1+b0a1)), b a = (b0, -b1) (a0, -a1)= (b0a0+a1b1, -(b0a1+a0b1)), 3. a+ a =(a0, a1)+(a0, -a1)=(a0+a0, 0), т.е. сумма сопряженных чисел является одномерным числом.

4. a b =(a0+ b0, -(a1+ b1))= (a0, -a1)+(b0,-b1)= a +b.

II. Свойства действий.

1. Ассоциативность сложения:

(а+b)+с=((a0, a1)+(b0, b1))+(с0, с1)=((a0+b0)+с0, (a1+b1)+с1), а+(b+с)=(a0, a1)+((b0, b1)+(с0, с1))=(a0+(b0+с0), a1+(b1+с1)).

В силу ассоциативности сложения одномерных чисел (а+b)+с=а+(b+с).

2. Коммутативность сложения:

а+b=(a0, a1)+(b0, b1)=(a0+b0, a1+b1), b+а=(b0, b1)+(a0, a1)= (b0+a0, b1+a1).

В силу коммутативности сложения одномерных чисел а+b=b+а.

3. Наличие нуля:

а+0=(a0, a1)+(0, 0)= (a0+0, a10)=(a0 a1), т.е. а+0= а, так что пара (0, 0) отождествляется с одномерным числом 0.

4. Наличие противоположного числа:

а+(-а)=(a0, a1)+ (-a0, -a1)= (a0-a0, a1-a1)= (0, 0), т.е. а+(-а)=0, так что пара (-a0, -a1) отождествляется с числом -а.

5. Ассоциативность умножения:

(аb)с=((a0, a1)(b0, b1))(с0, с1)=(a0b0+b1a1, a0b1+b0a1)(с0, с1)= =((a0b0+b1a1)с0+с1(a0b1+b0a1), (a0b0+b1a1)с1+с0(a0b1+b0a1)), а(bс)=(a0, a1)((b0, b1)(с0, с1))= (a0, a1)(b0с0+с1b1, b0с1+с0b1)= =(a0(b0с0+с1b1)+ (b0с1+с0b1)a1, a0(b0с1+с0b1)+ (b0с0+с1b1)a1).

В силу коммутативности умножения одномерных чисел (аb)с=а(bс).

6. Коммутативность умножения:

аb=(a0, a1)(b0, b1)=(a0b0+b1a1, a0b1+b0a1), bа=(b0, b1)(a0, a1)=(b0a0+a1b1, b0a1+a0b1).

В силу коммутативности умножения одномерных чисел аb=bа.

7. Дистрибутивность:

(а+ b)с=((a0, a1)+(b0, b1))(с0, с1)=(a0+b0, a1+b1)(с0, с1)= = ((a0+b0)с0+с1(a1+b1), (a0+b0)с1+с0(a1+b1)), ас+bс =(a0с0+с1a1, a0с1+с0a1)+(b0с0+с1b1, b0с1+с0b1)= = ((a0+b0)с0+с1(a1+b1), (a0+b0)с1+с0(a1+b1)), 8. Наличие единицы:

а1=(a0, a1)(1, 0)= (a01+0a1, a00+1a1)= (a0, a1)=а.

Итак, двухмерные числа составляют коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей.

В координатной форме записи операция умножения двух двумерных чисел может быть представлена в виде:

ab=(a0b0+b1a1, a0b1+ b0a1).

I. Определение четырехмерных чисел.

Четырехмерными числами а назовем упорядоченные пары а=(a0, a1) двухмерных чисел аi, для которых понятия равенства, суммы, произведения и отождествления некоторых пар с двумерными числами вводятся согласно следующим определениям (аксиомам):

1. Пары двумерных чисел а=(a0, a1) и b=(b0, b1) считаются равными в том и только в том случае, когда равны их соответствующие компоненты.

В символической записи: а=b или (a0, a1)=(b0, b1)= 2. Суммой пар а=(a0, a1) и b=(b0, b1) называется пара а+b=(a0+b0, a1+b1), т.е.

а+b=(a0, a1)+(b0, b1)= (a0+b0, a1+b1).

3. Произведением пар а=(a0, a1) и b=(b0, b1) называется пара аb=(a0b0+b1 a 1, a 0b1+b0a1), т.е. аb=(a0, a1)(b0, b1)=(a0b0+b1 a 1, a 0b1+b0a1), где = ±1 или 0, причем = -1 соответствует собственнокомплексному, =1 – псевдокомплексному, а =0 – дуальнокомплексному расширению двухмерных чисел [1].

4. Пара (a0, 0) отождествляется с двухмерным числом.

Пары а=(a0, a1) и a =( a 0, -a1), отличающиеся сопряжением первой и знаком второй компоненты, называются сопряженными.

Умножив сопряженные пары а a = (a0, a1)( a 0, -a1)=(a0 a 0-a1 a 1, - a 0а1+ a 0a1)=(|a0|2 -|a1|2, 0), т.е. а a = |a0|2 -|a1|2, так что их произведение равно одномерному числу, которое равно нулю, если: |a0|2=|а1|2=0 при = -1, |a0|2=|а1|2 при = 1, |a0|2=0 при Четырехмерные числа обладают следующими свойствами:

1. a = ( a0,a1 ) =( a 0, a1)= (a0, a1)= a, 2. ab =( a0b0 ab1 a1, -( a 0b1+b0a1))= =(b 0 a 0+a1 b 1, -( a 0b1+b0a1)), b a = (b 0, -b1) ( a 0, -a1)= (b 0 a 0+a1 b 1, -(b0 a1+ a 0b1)), 3. a+ a =(a0,, a1)+( a 0,,-a1)=(a0+ a 0, 0), т.е. сумма сопряженных чисел является одномерным числом.

4. a b =( a0 b0, -(a1+ b1))= ( a 0, -a1)+(b 0,-b1)= a + b.

II. Свойства действий.

1. Ассоциативность сложения:

(а+b)+с=((a0, a1)+(b0, b1))+(с0, с1)=((a0+b0)+с0, (a1+b1)+с1), а+(b+с)=(a0, a1)+((b0, b1)+(с0, с1))=(a0+(b0+с0), a1+(b1+с1)).

В силу ассоциативности сложения двухмерных чисел (а+b)+с=а+(b+с).

2. Коммутативность сложения:

а+b=(a0, a1)+(b0, b1)=(a0+b0, a1+b1), b+а=(b0, b1)+(a0, a1)= (b0+a0, b1+a1).

В силу коммутативности сложения двумерных чисел а+b=b+а.

3. Наличие нуля:

а+0=(a0, a1)+(0, 0)= (a0+0, a10)=(a0 a1), т.е. а+0= а, так что пара (0, 0) отождествляется с одномерным числом 0.

4. Наличие противоположного числа:

а+(-а)=(a0, a1)+ (-a0, -a1)= (a0-a0, a1-a1)= (0, 0), т.е. а+(-а)=0, так что пара (-a0, -a1) отождествляется с числом -а.

5. Ассоциативность умножения:

(аb)с=((a0, a1)(b0, b1))(с0, с1)=(a0b0+b1 a 1, a 0b1+b0a1)(с0, с1)= =((a0b0+b1 a 1)с0+с1( a 0 b1 b0 a1 ), ( a0b0 ab1 a1 )с1+с0( a 0b1+b0a1))= =((a0b0+b1 a 1)с0+с1(b 1a 0+ a 1 b 0), (b 0 a 0+ a1 b 1)с1+с0( a 0b1+b0a1)), а(bс)=(a0, a1)((b0, b1)(с0, с1))= (a0, a1)(b0с0+с1 b 1, b 0с1+с0b1)= (b0с0+с1 b 1)a1).

В силу коммутативности умножения двухмерных чисел (аb)с=а(bс).

6. Некоммутативность умножения:

аb=(a0, a1)(b0, b1)=(a0b0+b1 a 1, a 0b1+b0a1), bа=(b0, b1)(a0, a1)=(b0a0+a1 b 1, b 0a1+a0b1).

В силу несовпадения правых сторон равенств аb bа.

7. Дистрибутивность:

(а+ b)с=((a0, a1)+(b0, b1))(с0, с1)=(a0+b0, a1+b1)(с0, с1)= = ((a0+b0)с0+с1( a1 b1 ), ( a0 b0 )с1+с0(a1+b1))= = ((a0+b0)с0+с1( a 1+b 1), ( a 0+b 0)с1+с0(a1+b1)), ас+bс =(a0с0+с1 a 1, a 0с1+с0a1)+(b0с0+с1 b 1, b 0с1+с0b1)= = ((a0+b0)с0+с1( a 1+b 1), ( a 0+b 0)с1+с0(a1+b1)), 8. Наличие единицы:

а1=(a0, a1)(1, 0)= (a01+0 a 1, a 00+1a1)= (a0, a1)=а.

Итак, четырехмерные числа составляют некоммутативное, ассоциативное кольцо с единицей.

В координатной форме записи операция умножения двух четырехмерных чисел может быть представлена в виде:

ab=(a0b0+b1a1+b2a2–2 a3b3, I. Определение восьмимерных чисел.

Восьмимерными числами а назовем упорядоченные пары а=(a0, a1) четырехмерных чисел аi, для которых понятия равенства, суммы, произведения и отождествления некоторых пар с четырехмерными числами вводятся согласно следующим определениям (аксиомам):

1. Пары четырехмерных чисел а=(a0, a1) и b=(b0, b1) считаются равными в том и только в том случае, когда равны их соответствующие компоненты.

В символической записи: а=b или (a0, a1)=(b0, b1)= 2. Суммой пар а=(a0, a1) и b=(b0, b1) называется пара а+b=(a0+b0, a1+b1), т.е.

а+b=(a0, a1)+(b0, b1)= (a0+b0, a1+b1).

3. Произведением пар а=(a0, a1) и b=(b0, b1) называется пара аb=(a0b0+b1 a 1, a 0b1+b0a1), т.е.аb=(a0, a1)(b0, b1)=(a0b0+b1 a 1, a 0b1+b0a1), где = ±1 или 0, причем = -1 соответствует собственнокомплексному, =1 – псевдокомплексному, а =0 – дуальнокомплексному расширению четырехмерных чисел.

4. Пара (a0, 0) отождествляется с четырехмерным числом.

Пары а=(a0, a1) и a =( a 0, -a1), отличающиеся сопряжением первой и знаком второй компоненты, называются сопряженными.

Умножив сопряженные пары а a = (a0, a1)( a 0, -a1)=(a0 a 0-a1 a 1, - a 0а1+ a 0a1)=(|a0|2 -|a1|2, 0), т.е.а a = |a0|2 -|a1|2, так что их произведение равно одномерному числу, которое равно нулю, если: |a0|2=|а1|2=0 при = -1, |a0|2=|а1|2 при = 1, |a0|2=0 при Восьмимерные числа обладают следующими свойствами:

II. Свойства действий.

1. Ассоциативность сложения:

(а+b)+с=((a0, a1)+(b0, b1))+(с0, с1)=((a0+b0)+с0, (a1+b1)+с1), а+(b+с)=(a0, a1)+((b0, b1)+(с0, с1))=(a0+(b0+с0), a1+(b1+с1)).

В силу ассоциативности сложения четырехмерных чисел (а+b)+с=а+(b+с).

2. Коммутативность сложения:

а+b=(a0, a1)+(b0, b1)=(a0+b0, a1+b1), b+а=(b0, b1)+(a0, a1)= (b0+a0, b1+a1).

В силу коммутативности сложения четырехмерных чисел а+b=b+а.

3. Наличие нуля:

а+0=(a0, a1)+(0, 0)= (a0+0, a10)=(a0 a1), т.е. а+0= а, так что пара (0, 0) отождествляется с одномерным числом 0.

4. Наличие противоположного числа:

а+(-а)=(a0, a1)+ (-a0, -a1)= (a0-a0, a1-a1)= (0, 0), т.е. а+(-а)=0, так что пара (-a0, -a1) отождествляется с числом -а.

5. Альтернативность умножения:

(аb)b=((a0, a1)(b0, b1))( b0, b1)=(a0b0+b1 a 1, a 0b1+b0a1)(b 0, b1)= =((a0b0+b1 a 1)b0+b1( a 0 b1 b0 a1 ),( a0b0 ab1 a1 )b1+b0( a 0b1+b0a1))= =((a0b0+b1 a 1)b0+b1(b 1a0+ a 1 b 0),(b 0 a 0+a1 b 1)b1+b0( a 0b1+b0a1) а(bb)=(a0, a1)((b0, b1)( b0, b1))= (a0, a1)(b0b0+b1 b 1, b 0b1+b0b1)= =(a0(b0b0+b1 b 1)+(b 0b1+b0b1) a 1, a 0(b 0b1+b0b1)+(b0b0+b1 b 1)a1).

В силу равенств b b и b+ b одномерным числам (аb)b=а(bb).

6. Некоммутативность умножения:

аb=(a0, a1)(b0, b1)=(a0b0+b1 a 1, a 0b1+b0a1), bа=(b0, b1)(a0, a1)=(b0a0+a1 b 1, b 0a1+a0b1).

В силу несовпадения правых сторон равенств аb bа.

7. Дистрибутивность:

а1=(a0, a1)(1, 0)= (a01+0 a 1, a 00+1a1)= (a0, a1)=а.

Итак, восьмимерные числа составляют некоммутативное, альтернативное кольцо с единицей.

В координатной форме записи операция умножения двух восьмимерных гиперкомплексных чисел может быть представлена в виде:

ab=(a0b0+b1a1+b2a2–2a3b3 +b4a4–2a5b5–2a6b6+3b7a7, a0b1+ b0a1–b2a3+ a2b3 –b4a5+ a4b5+2a6b7–2b6a7, a0b2–b3a1+ b0a2+ a3b1 –b4a6+2a7b5+ a4b6–2b7a5, a0b3– b2a1+ b0a3+ a2b1 –b4a7+ a6b5+ a4b7– b6a5, a0b4–b5a1–b6a2+ 2a3b7 + b0a4+ a5b1+ a6b2–2b3a7, a0b5– b4a1+b6a3– a2b7 + b0a5+ a4b1– a6b3+ b2a7, a0b6+b7a1– b4a2– a3b5 + b0a6– a7b1+ a4b2+ b3a5, a0b7+ b6a1– b4a3– a2b5 + b0a7– a6b1+ a4b3+ b2a5).

Особенностью многомерных чисел является, в частности, то, что произведение двух чисел с одномерными значениями a0=b0= дает возможность получать скалярное и векторное произведения двух многомерных векторов:

ab= -(ab)+[ab], (ab)= -(a1b1+ a2b2-2 b3a3 +a4b4-2a5b5-2a6b6+3a7b7) и [ab]= ((a2b3-a3b2)+(a4b5-a5b4)-2(a7b6-a6b7), ((a4b6-a6b4)-2(a5b7-a7b5)+(a3b1-a1b3), ((a6b5-a5b6)- (a1b2-a2b1)+ (a4b7-a7b4), ((a5b1-a1b5)-2(a7b3-a3b7)+ (a6b2-a2b6), ((a7b2-a2b7)+ (a3b6-a6b3)- (a1b4-a4b1), ((a1b7-a7b1)- (a2b4-a4b2)+(a5b3-a3b5), ( -(a3b4-a4b3)- (a6b1-a1b6)- (a2b5-a5b2)) для семимерных векторных алгебр;

и [ab]= ((a2b3-a3b2), (a3b1-a1b3), -(a1b2-a2b1)) для трехмерных векторных алгебр;

для одномерных векторных алгебр.

В рассмотренных алгебрах все операции и результаты операций сформулированы в рамках целочисленных значений величин. Скалярное и векторное произведения двух векторов, а вслед за этим все операции над ними (например, смешанное и двойное векторное произведения) также целочисленные, что может представлять интерес для ряда разделов физики, а также для когнитологии [3], криптологии и вычислительной техники/информатики (включая нейросети, нейрокомьютеры, неройчипы и работы в области искусственного интеллекта) [3].

Итак, алгебры вообще и векторные алгебры в частности связаны с использованием полей действительных чисел. Т.е. рассматриваются над объектами непрерывной природы. Тем не менее, как уже указывалось во Введении, в физическом плане отмечена дискретность целого ряда величин. В частности, орбит движения (радиусов движения) электронов, т.е. радиусов электронных оболочек в атоме, молекулах и т.д. Это намекает на то, что целый ряд величин может быть дискретным. И стоит вопрос: а как ввести дискретность, интервал величин, изменение величин и т.д.?

В математическом плане это может быть обеспечено путем использования дискретных алгебр, то есть алгебр, которые используют не действительные поля, или поля вообще, а кольца, то есть, не рассматривая вопрос, связанный с делением. Такими кольцами могут быть кольца целых чисел, либо кольца в сравнении по модулю.

И те и другие кольца известны, широко используются, но в плане построения векторных алгебр не применялись. Если использовать эти кольца как объект для рассмотрения в векторных алгебрах, то очень многие величины векторных алгебр связаны с понятием сложения, вычитания и умножения величин, но не используют операцию деления величин.

Очень многие величины строятся именно так. К ним относятся такие понятия, как: скалярное произведение двух векторов, скалярный квадрат вектора, векторное произведение двух векторов, а также все объекты, связанные с комбинацией скалярного и векторного произведения. В частности, квадрат векторного произведения двух векторов, смешанное произведение двух векторов, двойное векторное произведение двух векторов, целый ряд иных величин, причем, это названы величины, относящиеся только к трехмерным векторным алгебрам.

Если же использовать семимерные векторные алгебры, то к этим величинам будет добавлен целый ряд других функций, таких как векторное произведение трех, четырех, пяти, шести векторов, смешанное произведение четырех, семи векторов, целый ряд других величин и функций. Все эти величины над полями, над кольцами целых чисел либо кольцами чисел в сравнении по модулю, классов в сравнении по модулю, оказываются целочисленными, то есть дискретизированными – таким образом, мы имеем дело с построением дискретных векторных алгебр.

Надо отметить, что дискретизация накладывает некоторые отпечатки и на векторные алгебры, в частности, теория вращения должна быть существенно изменена, поскольку в нее входят не дискретизированные величины – косинуса и синуса – тригонометрического либо гиперболического. В таком варианте эти величины должны быть также дискретизированы, то есть должен применяться не непрерывный ряд значений, а другой дискретизированный ряд значений, в том числе тригонометрических и гиперболических функций.

1. Вяльцев А.Н. Дискретное пространство-время. – М.: КомКнига, 2007.– 400с.

2.Коротков А.В. Элементы семимерного векторного исчисления. Алгебра. Геометрия. Теория поля. – Новочеркасск: Набла, 1996.– 244с.

3.Коротков А.В., Чураков В.С. Теоретико-философские аспекты трехмерного и семимерного пространства (собственно евклидова и псевдоевклидова).– Новочеркасск: УПЦ «Набла» ЮРГТУ (НПИ), 2007.–194с.

4. Рылов Ю.А. Птолемеевость традиционной программы исследований микромира и альтернативная исследовательская программа// Физическая мысль России. 2001. № 1.– (с.1-23).

5.Фадеев Д.К. Лекции по алгебре.– М.: Наука, 1984.– 416с.

6. Смолин Л. Атомы пространства и времени//В мире науки.2004.№4.– (с.48-57).

МНОГОЗНАЧНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ,

БУЛЕВЫ МНОГОМЕРНЫЕ АЛГЕБРЫ

И ДИСКРЕТНЫЕ (МНОГОМЕРНЫЕ

ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ) АЛГЕБРЫ

Основным недостатком булевой алгебры логики, получившей широкое распространение и применение – в том числе в вычислительной технике – с точки зрения идентификации и управления объектами, обладающими сознанием (интеллектом), является то, что данная логика одномерна, то есть описывает лишь действительные логические состояния и не учитывает иных, в том числе – мнимых, ввиду чего с XX в. начинают разрабатываться многомерные (например, воображаемая логика Н.А. Васильева [1] – и ее частичный анализ в монографии В.А. Смирнова [12]) и многозначные логики [7].

В работах А.А. Зиновьева [7] словосочетание «комплексная логика» встречается с 70-х гг. XX в., в частности, для обозначения связи лексики с формальным логическим аппаратом в рамках традиционной булевой (формальной/действительной) логики. Комплексная логика А.А. Зиновьева послужила прообразом для А.С.

Ионова и Г.А. Петрова – авторов из НГУ им. Ярослава Мудрого (они вкладывают в указанный термин принципиально иное содержание) [2]. Они занимались вопросами идентификации сложных технических систем, а начиная с середины 80-х гг. XX в. [3] приступили к разработке основ комплексной логики, названной по аналогии с комплексными числами и связывающей воедино действительные и мнимые части логических состояний объектов [4]. Ими была также сформулирована соответствующая комплексная интерпретация логических законов [4] и намечены подходы к описанию комплексной теории вероятностей для 4-значной комплексной логики [5]; введение в [6] понятий положительных, отрицательных и мнимых множеств позволило перейти к формированию основ алгебры 9-значной комплексной логики и ее применению к управлению системами с интеллектом. (В скобках следует отметить, что с т.з. системологии системы условно делятся на рефлексивные и нерефлексивные. Рефлексивные системы эффективны в стандартных ситуациях, на которые они заранее программируются, а нерефлексивные системы эффективны там, где нет однозначности действий, но допускается многозначность [14, c. 137].) Из вышесказанного понятно, что работы в данном направлении ведутся, и они имеют непосредственное практическое применение.

Зададимся вопросом: в чем разница между многозначными алгебрами логики и булевыми многомерными алгебрами [8; 9]? Дело вот в чем. Дело в том, что многозначность и многомерность – это разные понятия. Булева алгебра имеет два состояния в каждой переменной – нуль и один, то есть два знака, два значения: нуль и один. То есть булева алгебра двузначна. Небулева алгебра также двузначна. Это – двузначная алгебра как класс, собственно алгебр, как кольцо вычетов по модулю два. Там тоже два состояния – нуль и один. Хотя она и не булева, поскольку закон сложения отличается от законов сложения в булевой алгебре. Трёхзначные и четырёхзначные логики соответственно также одномерные – и они имеют три либо четыре состояния.

Например, были в свое время (в 60-е и 70-е гг. XX в.) элементы, которые давали значение нуль, значение единица, либо значение минус единица. Это были элементы, которые реализовывали трехзначную логику, но не было разработано алгебры для этой логики, не было законов сложения, законов умножения, свойств этих законов, то есть свойств алгебр. Итак, речь идет в данном случае об одномерных двузначных, трехзначных и четырехзначных логиках.

Многомерные логики или алгебры булевы либо небулевы многомерные отличаются тем, что в данном случае имеет место параллельное действие логических систем одномерных. Например, две одномерные системы можно увязать в одну двухмерную систему.

Это с одной стороны. Точно так, три одномерные системы можно увязать в одну трехмерную систему, либо n-одномерных можно увязать в одну n-мерную алгебру. Число представляется не одним разрядом, а многими разрядами, n-разрядами, причем в каждом разряде действует соответственно значности логики число состояний, в каждом разряде нуль – один, например, в булевой алгебре, а число разрядов может быть n-мерным.

Вот в чем принципиальное отличие. Принципиально это точно так же, как многомерные векторные алгебры могут быть построены с системой действительных чисел. Но там числа имеют неопределенную значимость, то есть могут иметь и нуль, и один, и два, и три, и пять, и тысячу, и миллион, и миллиард значений числа, то есть числа не дискретизированны. Кроме того, числа не обязательно целые и не обязательно рациональные, но числа действительные – это отличает кардинально алгебру дискретную (целочисленную) от алгебры непрерывных значений. Алгебры вообще и векторные алгебры в частности связаны с использованием полей действительных чисел. То есть они рассматриваются над объектами непрерывной природы. Тем не менее, в физическом плане отмечена дискретность целого ряда величин, в частности, орбит движения (радиусов движения) электронов, т.е. радиусов электронных оболочек в атоме, молекулах и т.д. Это намекает на то, что целый ряд величин может быть дискретным. И стоит вопрос: а как ввести дискретность, интервал величин, изменение величин и т.д.?

И те и другие кольца известны, широко используются, но в плане построения векторных алгебр не применялись (поэтому стоит ввести для их обозначения термин «дискретные (многомерные целочисленные) алгебры» [11]).

Если использовать эти кольца как объект для рассмотрения в векторных алгебрах, то очень многие величины векторных алгебр связаны с понятием сложения, вычитания и умножения величин, но не используют операцию деления величин. Очень многие величины строятся именно так. К ним относятся такие понятия, как: скалярное произведение двух векторов, скалярный квадрат вектора, векторное произведение двух векторов, а также все объекты, связанные с комбинацией скалярного и векторного произведения. В частности, квадрат векторного произведения двух векторов, смешанное произведение двух векторов, двойное векторное произведение двух векторов, целый ряд иных величин, причем это названы величины, относящиеся только к трехмерным векторным алгебрам.

Если же использовать семимерные векторные алгебры, то к этим величинам будет добавлен целый ряд других функций, таких как: векторное произведение трех, четырех, пяти, шести векторов, смешанное произведение четырех, семи векторов, целый ряд других величин и функций. Все эти величины над полями, над кольцами целых чисел либо кольцами чисел в сравнении по модулю, классов в сравнении по модулю, оказываются целочисленными, то есть дискретизированными, то есть мы имеем дело с построением дискретных векторных алгебр.

Надо отметить, что дискретизация накладывает некоторые отпечатки и на векторные алгебры, в частности, теория вращения должна быть существенно изменена, поскольку в нее входят не дискретизированные величины – косинуса и синуса – тригонометрического либо гиперболического. В таком варианте эти величины должны быть также дискретизированны, то есть должен применяться не непрерывный ряд значений, а другой дискретизированный ряд значений, в том числе тригонометрических и гиперболических функций.

Васильев Н.А. Воображаемая логика. Избранные труды. – М.:

Наука, 1980. – 264 с.

Ионов А.С., Петров Г.А. Алгебра 9-значной комплексной логики и ее применение [Электронный ресурс]. – URL : psilogic.shadanakar.org Ионов А.С. Комплексная логика для идентификации систем, учитывающих возможные ошибки. – 13 с.– Деп. в. ВИНИТИ, от 16.09.88. № 7018-В88.

Ионов А.С., Петров Г.А. Интерпретация логических законов комплексной логикой// Вестник Новг. гос. ун-та. Сер. Технические науки. – 2001. – № 17.

Ионов А.С., Петров Г.А. К построению основ теории вероятности комплексных логических событий//Вестник Новг. гос. унта, Сер. Технические науки. – 2004. – № 26.

Ионов А.С. Построение основ алгебры комплексной логики на базе расширения теории множеств// Вестник Новг. гос. ун-та.

Сер. Математика и информатика. – 2002. – № 22; Ионов А.С., Петров Г.А. Принципы построения гиперкомплексной логики// Искусственный интеллект 2004: сб. трудов Междунар. науч.

конф. Таганрог-Донецк, т. 1, 2004; Ионов А.С., Петров Г.А. Основы алгебры 9-значной комплексной логики // Вестник Новг.

гос. ун-та, Сер. Технические науки. – 2004. – № 28.

Зиновьев А.А. Комплексная логика//Зиновьев А.А. Очерки комплексной логики. – М.: Наука, 1970; М.: Эдиториал УРСС, 2000.; см. также: Зиновьев А.А. Философские проблемы многозначной логики/Вступ. ст. В.А.Лекторского. Изд. 2-е, испр. и доп. М.: Издательство ЛКИ, 2010. 144с. (Из наследия А.А.Зиновьева); Карпенко А.С. Развитие многозначной логики.

Изд.3-е, перераб. и доп. М.: Издательство ЛКИ, 2010. – 448с.;

Многозначные логики и их применения. В 2-х тт./Сост.

О.М.Аншаков, Д.В.Виноградов, В.К.Финн; Под ред.

В.К.Финна. М.: Издательство ЛКИ, 2008.

Коротков А.В. Многомерные булевы алгебры//Коротков А.В., Чураков В.С. Теоретико-философские аспекты трехмерного и семимерного пространств (собственно евклидова и псевдоевклидова). – Новочеркасск: УПЦ ЮРГТУ (НПИ), 2007. – Коротков А.В. Многозначные алгебры логики//Информационные системы и технологии. Теория и практика. – Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2008. – (С. 17–23).

Коротков А.В. Не Булевы алгебры логики // Информационные 10.

системы и технологии. Теория и практика. – Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2008. – (С. 23–29).

Коротков А.В. Многомерные целочисленные алгебры// Информационные системы и технологии. Теория и практика. – Шахты:

ГОУ ВПО «ЮРГУЭС», 2009. – (С. 6-15).

Логико-философские труды В.А. Смирнова/Под ред. В.И. Шалака. – М.: Эдиториал УРССС, 2001. – 592 с.

Прангишвили И.В., Пащенко Ф.Ф., Бусыгин Б.П. Системные 13.

законы и закономерности в электродинамике, природе и обществе. – М.: Наука, 2001. – 525 с.

МНОГОЗНАЧНЫЕ И МНОГОМЕРНЫЕ БУЛЕВЫ

И НЕБУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

В ИСКУССТВЕННОМ ИНТЕЛЛЕКТЕ

Логика искусственного интеллекта базируется на модели (вернее – моделях) естественного интеллекта – на том, как работает мозг человека. Поэтому ИИ может быть описан на основании работы человеческого мозга. (Поскольку представления о природе человеческого сознания, полученные в когнитивной психологии (и проецируемые на модели искусственного интеллекта), по замечанию И.З.Цехмистро, „не идут дальше выяснения функциональных сторон его деятельности: памяти, логико-вычислительных операций, способности к прогнозированию и т.п., которые с той или иной степенью достоверности могут быть смоделированы в различных кибернетических устройствах“ [11, с.4]).

Но – очень трудно установить алгебру логики, которую в реальности задействует мозг, а, следовательно, алгебра логики искусственных интеллектуальных систем пока ещё не окончательно построена. Поэтому булев вариант – весьма хороший вариант для построения логических устройств и систем ИИ, но он не единственный – могут быть и другие варианты. И в частности небулевы логические алгебры – для построения искусственных интеллектуальных систем.

Евклидова геометрия применима вплоть до атомных и молекулярных структур – это однозначно. Хотя бы по той причине, что теорема Пифагора, пифагоровы тройки как показано раннее, во многих работах – могут быть использованы для описания спектра атома водорода – т.е. атомной структуры [3]. Но если на уровне атома использована евклидова геометрическая схема, то почему она не может быть на более масштабном уровне – на уровне структуры мозга либо на уровне структуры галактик? Т.е. следует отметить: очень возможно, что мозг использует евклидовы геометрические преобразования. Но это неизученный в когнитилогии и нейронауке вопрос. Точно так же мозг мог задействовать неевклидову и псевдоевклидову геометрические схемы на ряду с использованием евклидовой геометрической схемы, потому что псевдоевклидовы алгебры повторяют свойства алгебр евклидовых, спинорные и изовекторные вычисления повторяют свойства алгебр спинорых и изовекторных евклидовых. И очень возможно, что псевдоевклидова схема используется в природе для построения античастиц [2], в то время как евклидова схема используется для построения теории частиц. Поскольку процессы мышления аниэнтропийны [6], то очень возможно, что эта схема используется мозгом (заметим в скобках, что при моделировании работы мозга всегда следует различать: термодинамику мозга (информационные и термодинамические процессы в психических структурах), информационные процессы сознания и мышления, физические модели психических процессов, психоинформационные структуры, а также изменённые состояния сознания).

Булева алгебра появилась ещё в XIX веке. В вычислительной технике она применяется с середины XX-го века. Булева алгебра двузначна и одномерна. Это числа с двумя состояниями, которые условно называют нуль и единица. Они дают соответствующие операции сложения и умножения этого числа, в результате булева алгебра обладает целым рядом полезных, очень важных свойств, позволивших широко применять ее на практике, в алгебре логики, а также самое главное – в технике логических, арифметических и преобразовательных устройств. Булева алгебра хорошо разработана и изложена, говорить о ней много не надо [1; 8; 9]. Необходимо отметить прецедент, который возникает в булевой алгебре.

Во-первых, наличие операций сложения не сопровождается операцией вычитания, то есть, отсутствует противоположность операции сложения. Булевому числу нельзя сопоставить противоположное число. В алгебре, например, действительных чисел, все обстоит иначе. Эта алгебра характеризует поле – математическое понятие, набор математических операций, одна из которых – операция вычитания. Так вот, имеется система в теории сравнений, которая может работать с классом вычетов по модулю. Эта теория хорошо разработана и изложена в литературе. Она имеет возможность построения чисел по модулю два классов сравнений и классов вычетов по модулю два. Это – та же система с двумя числами нуль и единица, но эта система не имеет уже операций вычитания, и в результате имеет отличающуюся от булевой алгебры операцию сложения, где единица плюс единица в этой алгебре есть нуль, в то время как в булевой алгебре единица плюс единица есть единица.

Это очень существенное отличие, позволяющее построить новую алгебру. Эта алгебра обладает целым рядом полезных свойств, теми же, что и, например, в алгебре действительных чисел, хотя она дополнена свойствами чисто логических систем. В этой алгебре А равняется нуль, а не А, как в булевой алгебре, если А – число.

Отличительные свойства этой небулевой одномерной алгебры от булевой одномерной алгебры характеризует целый ряд возможностей и создает целый ряд алгебр. Это в отношении одномерной алгебры булевой и небулевой.

Теперь в отношении многомерной алгебры. В принципе, булева алгебра может быть расширена до многомерного варианта, до N – мерного, где N – произвольное число, путем применения операции умножения. Умножение в этой алгебре прямое – умножение двух чисел. Эта работа была опубликована в одной из книг, там показано, что булева алгебра может быть N – мерна, то есть число может быть записано в N- мерной форме. Операнды в N- мерной форме есть результаты операций в N- мерной форме. Это создает возможности использования этой алгебры по ряду назначений, в частности, при построении логических многомерных устройств, либо логически-арифметических многомерных устройств. Однако, прямое произведение двух величин, все- таки, обладает некоторыми существенными недостатками, поэтому в практике действительных чисел используют не только прямое произведение двух величин, но и произведение многомерных величин, построенных не по способу прямого произведения. Такими числами, кроме действительных одномерных чисел, являются комплексные числа, например, двумерные числа, кватернионные четырехмерные числа, октанионы восьмимерные числа, а также числа, характеризующие векторные алгебры, одномерные векторные алгебры, трехмерные векторные алгебры, семимерные векторные алгебры. То есть в алгебре действительных чисел имеются целый ряд возможностей расширения, но уж, поскольку, система сравнений классов вычетов по модулю обладает свойствами, близкими к свойствам действительных чисел, в частности, обладает вычитанием, то можно строить алгебры логики многомерной, используя те же процедуры для произведения чисел, что и алгебры многомерной для действительных чисел. В частности, процедура удвоения Гамильтона может быть использована для построения двумерной алгебры логики и одномерной векторной алгебры. Та же процедура удвоения Гамильтона, примененная к комплексным, логическим числам даст четырехмерные логические числа и трехмерную векторную алгебру. Та же процедура удвоения Гамильтона, примененная к кватернионным числам, даст октанионную систему чисел – логических чисел и семимерную векторную алгебру логики, то есть, известная процедура умножения по отношению к числам классов вычетов по модулю дает возможность построить целый ряд совершенно новых алгебр.

Следовало бы отметить еще одно важное применение – речь идет о дискретных алгебрах с бесконечным модулем в данном случае, вернее, это – алгебра действительных чисел, но только расширена она до четырех восьмимерных (одно-трех и семимерный вариант).

Дело в том, что в векторных алгебрах, алгебрах кватернионов, комплексных чисел и октанионов используются операции сложения и умножения, а также операции скалярного произведения и векторного произведения двух векторов векторной алгебры. Если числа занимают чисто дискретный ряд значений, например, приобретают только целые значения, то результаты всех практических операций будут принимать целые значения. То есть, эта алгебра в значительной степени воспроизводит дискретную алгебру, если речь не идет об извлечении квадратного корня. Скалярное произведение, векторное произведение, смешанное произведение трех векторов, двойное векторное произведение трех векторов, – есть и другие многомерные операции, которые будут иметь целочисленные значения, многомерные целочисленные значения, это может иметь существенное применение для описания дискретных величин, которые, в последнее время, на протяжении уже, пожалуй, ста лет широко используется физиками.

Надо сказать, что алгебры булевой логики уже исполнилось двести лет и весь мир её широко задействует, изучает и получает знания в этой системе.

Если бы хотя бы частичку знаний прибавить вне булевых алгебр логики, то это было бы значительное достижение.

Многозначные логики были давно. Во второй половине XX века предпринимались попытки реализации многозначных логик в вычислительной среде электронно-вычислительных машин второго поколения феррито-диодных. (Впоследствии это привело к машинным арифметикам Н.П. Брусенцова и И.Я.Акушского).

Для этого необходимо создать соответствующую физическую среду.

На логических магнитных элементах пытались построить десятичную систему исчисления. Намагничивали железо ферритовые элементы небольшими «ступеньками». В результате уровень повышался. Но суть в том, что большое число разрядов вернее не разрядов, а позиций приводило к сбою в работе электронно-вычислительной машины. И это вынудило прекратить эксперименты подобного рода и обратиться к двузначной, а вернее двоичной алгебре логики булевой алгебре логики: 0 и 1. Это лучше в том плане, что обеспечивается высокая точность и надежность результатов вычислений. Это в отношении двоичной логики. Но двоичная логика, как выясняется, не единственная: алгебра Буля само собой, а, к примеру, алгебра логики вычетов по модулю два (mod=2) также само собой. Алгебру логики вычетов по модулю два, насколько нам известно, никто не рассматривал в том плане, поскольку считали, что это просто функция иного характера функция сложения по модулю два в булевой алгебре. Т.е. рассматривали это как функцию булевой алгебры, а не как самостоятельную алгебру. По крайней мере, нам такое рассмотрение неизвестно.

Там, например, в алгебре вычетов по модулю два видоизменяются законы де Моргана, и целый ряд других соотношений булевой алгебры. Это совсем другая алгебра, потому, что у неё иначе задана операция сложения. Все алгебры характеризуются набором основных операций: сложения и умножения. И в данном случае алгебра будет иной, нежели Булева, потому, что у неё совсем другой вариант сложения (операция сложения). В отношении троичной логики всё ещё более многообразно. Троичных логик масса. Но, например логика троичная соответствующая алгебре вычетов по модулю три (mod=3) пока что неизвестна: о ней никто ничего не говорит на научных конференциях и конгрессах, нет ничего в Интернете и в литературе. Т.е. собственно троичных логик много, в результате много троичных алгебр, но все алгебры разнятся, как это отмечалось выше, операциями сложения и умножения. Операция сложения по модулю три даёт совершенно новый вариант алгебры. Точно так же алгебры по модулю N (mod=N) это алгебры вычетов класс вычетов по модулю N. Таких алгебр много и все они отличаются модулем… но было бы замечательно использовать хотя бы трёхпозиционную алгебру! Толком до этого дело пока что не дошло, хотя трёхпозиционные алгебры изучались, но все они, как было отмечено выше, разнятся операциями сложения и умножения, а поэтому все различны и никто их не сводил в систему класса вычетов по модулю три.

Многозначные булевы и небулевы алгебры логики [4, с.17]. Многозначные алгебры логики это как раз алгебры логики, которые используют классы сравнения по модулю и это изложено, как мы полагаем, в достаточном объеме [4;5]. Сначала идет определение простейшего свойства различных многозначных алгебр логики, использующих классы сравнения по модулю 2, 3, 4, в частности. Показано, что, найденные свойства этих алгебр, причем это хорошо изученные свойства, и они есть в литературе. По крайней мере, двузначные алгебры логики вычетов по модулю два обладают основными свойствами линейных алгебр. Это ассоциативное сложение, коммутативное сложение, наличие нуля, наличие противоположных действий, дистрибутивность левое- правое, коммутативность умножения. Наличие единицы и наличие обратных элементов.

Кроме того, расписаны функции 2, 3, 4- значных алгебр логики классов сравнения по модулю 2, 3 и 4. В табл.1 [4, с.20] приведены свойства алгебр логики классов сравнения по модулю 2.

Это собственно классы чётных и нечётных чисел. Здесь показаны все 16 функций в табл.7, которые возникают в этой алгебре. Эти функции отличаются от булевых функций, но, тем не менее, они весьма близки, потому, что операция умножения сохраняется. И операция инверсирования тоже сохраняется. Т.е. уже это говорит о том, что данные алгебры логики могут быть реализованы с помощью одного элемента И-НЕ. И – операция умножения, НЕ – инверсия. Единственная сложность – это операция сложения. Операция сложения может быть также реализована с помощью элементов И – НЕ. Проблем при этом не возникает. Т.е. техническая реализация алгебр при построении логических устройств такого типа затруднений не вызывает. Достаточно одного функционального элемента И – НЕ, чтобы реализовать любую логическую задачу в этой алгебре.

Применимость новых логик в искусственных интеллектуальных системах В любом случае, следует исходить из стандартных описаний применения булевой алгебры, которые фигурируют от учебников дискретной математики до научных статей, то же самое верно и в применении к не булевым алгебрам логики. А вот применимость многозначных и многомерных алгебр небулевых в искусственных интеллектуальных системах, было бы, наверное, целесообразно рассмотреть.

Трехзначной логикой можно заниматься в двухзначной системе по классу сравнений модуля два. Почему? Потому, что там, в отличие от булевых алгебр, есть противоположный элемент. Т.е. используется операция минус единица – чего нет в булевой алгебре.

Т.о. получается, что алгебра сравнений по модулю два класса сравнений по модулю два имеет значения: 0, 1, -1. Т.е. три значения использованы. В булевой алгебре это ввести и использовать нельзя, потому что там нет противоположного элемента. А тут есть. Т.е. алгебра сравнений по модулю два, вообще говоря, трёхзначная, если используется операция вычитания. Т.е. она имеет не только операции сложения и умножения, но и противоположную операции сложения операцию вычитания. Она сразу реализует трёхзначную логику. Вот, собственно, «квазиквантовый» компьютер. (Следует заметить, что в истории электронно-вычислительных машин был прецедент: в 1958г. В СССР была создана Н.П.Бруснецовым первая и единственная в мире троичная ЭВМ «Сетунь» и том же году И.Я.Акушским была создана суперпроизводительная специализированная ЭВМ с использованием системы счисления в остатках. Для этого была использована специфическая машинная арифметика.

Реализовать ЭВМ на многозначных/многомерных булевых и небулевых алгебрах логики можно на любых физических и технологических принципах. Самый простой на феррит-диодных (от ферритового кольца можно сделать сколько угодно отводов-проводников), на полупроводниковых элементах, это также биомолекулярный компьютер (ДНК-компьютер), оптоэлектронный, оптический, на сверхпроводящих элементах, нейрооптические, нано во всех мыслимых вариантах и т.д. [7; 10]).

Многозначные и многомерные алгебры логики позволяют делать очень и очень много вещей, которые не позволяет булева алгебра. Достаточно сказать, что наличие операции вычитания в алгебре класса сравнений по модулю два, например, либо вообще по произвольному модулю даёт совершенно новые возможности. В частности, это позволяет построить собственно комплексные, собственно кватернионные, собственно октанионные алгебры – двумерные, четырёхмерные, восьмимерные алгебры логики – потому, что они задействуют наличие операции вычитания. Ничего подобного в булевой алгебре сделать невозможно. Т.е. тут расширяется класс используемых операций вычислений. Классы операций вычислений здесь уже совсем другие.

Кроме того, двумерная комплексная алгебра, кватернионно четырехмерная и восьмимерная октанионная алгебры – дискретны.

Pages: | 1 | 2 |

| 4 | 5 | ... | 6 |

Главная >> Монографии

[ СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ ДОКУМЕНТА .pdf ]

Похожие работы:

«Министерство образования и науки Российской Федерации Северный (Арктический) федеральный университет Н.А. Бабич, И.С. Нечаева СОРНАЯ РАСТИТЕЛЬНОСТЬ питомников ЛЕСНЫХ Монография Архангельск 2010 У Д К 630 ББК 43.4 Б12 Рецензент Л. Е. Астрологова, канд. биол. наук, проф. Бабич, Н.А. Б12 Сорная растительность лесных питомников: монография / Н.А. Бабич, И.С. Нечаева. - Архангельск: Северный (Арктический) феде ральный университет, 2010. - 187 с. I S B N 978-5-261-00530-8 Изложены результаты...»

«б 63(5К) А86 Г УН/' Ж. О. ЛртшШв ИСТОРИЯ КАЗАХСТАНА 30 бмрвевб а втбшвб Ж.О.АРТЫ КБАЕВ История Казахстана (90 вопросов и ответов) УДК 39(574) ББК63.5(5Каз) А82 Артыкбаев Ж.О. История Казахстана (90 вопросов и ответов) Астана, 2004г.-159с. ISBN 9965-9236-2-0 Книга представляет собой пособие по истории Казахстана для широкого круга читателей. В нее вошли наиболее выверенные, апробированные в научных монографиях автора материалы. Учащиеся колледжей в ней найдут интересные хрестоматийные тексты,...»

«Вестник Томского государственного университета. Биология. 2011. № 4 (16). С. 185–196 РЕЦЕНЗИИ, КРИТИКА, БИБЛИОГРАФИЯ УДК 581.524+581.55(571.1) Г.С. Таран Западно-Сибирский филиал Института леса им. В.Н. Сукачева СО РАН (г. Новосибирск) Г.Д. ДЫМИНА. КЛАССИФИКАЦИЯ, ДИНАМИКА И ОНТОГЕНЕЗ ФИТОЦЕНОЗОВ (НА ПРИМЕРЕ РЕГИОНОВ СИБИРИ) (НОВОСИБИРСК : ИЗД-ВО НГПУ, 2010. 213 с.)* Рецензируемая монография подводит итог работам Г.Д. Дыминой в Западной Сибири. Она состоит из 7 глав, включающих 46 таблиц и 30...»

«В.Ю. Кудрявцев, Б.И. Герасимов ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТОПЛИВНО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО КОМПЛЕКСА (НА ПРИМЕРЕ ТАМБОВСКОЙ ОБЛАСТИ) Научное издание КУДРЯВЦЕВ Вадим Юрьевич, ГЕРАСИМОВ Борис Иванович ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТОПЛИВНО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО КОМПЛЕКСА (НА ПРИМЕРЕ ТАМБОВСКОЙ ОБЛАСТИ) Монография Редактор З.Г. Ч ер нов а Компьютерное макетирование З.Г. Черново й Подписано в печать 07.07.2005. Формат 60 84 / 16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Тimes New Roman. Объем: 5,22 усл. печ. л.; 5,2...»

«Современная генетика MODERN GENETICS Francisco J. Ayala John A. Kiger, Jr. University of California, Davis SECOND EDITION Ф. АЙАЛА, Дж.КАЙГЕР генетика Современная В трех томах Том 1 Перевод с английского канд. физ.-мат. наук А. Д. Базыкина под редакцией д-ра биол. наук Ю. П. Алтухова МОСКВА МИР 1987 ББК 28.04 А37 УДК 575 Айала Ф., Кайгер Дж. Современная генетика: В 3-х т. Т. 1. Пер. с англ.:-М.: А37 Мир, 1987.-295 с, ил. Учебное издание по генетике, написанное известными американскими учеными...»

«П.И.Басманов, В.Н.Кириченко, Ю.Н.Филатов, Ю.Л.Юров Высокоэффективная очистка газов от аэрозолей фильтрами Петрянова Москва 2002 УДК 62-733 П.И.Басманов, В.Н.Кириченко, Ю.Н.Филатов, Ю.Л.Юров. Высокоэффективная очистка газов от аэрозолей фильтрами Петрянова. М.: 2002. - 193 стр. Монография посвящена основам широко используемых в России и других странах СНГ метода и техники высокоэффективной очистки воздуха и других газов от аэрозолей волокнистыми фильтрующими материалами ФП (фильтрами Петрянова)....»

«1 Дальневосточный Институт Управления МИГРАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В ДАЛЬНЕВОСТОЧНОМ РЕГИОНЕ РОССИИ: ОПЫТ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА МОНОГРАФИЯ Хабаровск 2013 2 УДК 325.1(571.6) ББК 60.723.5 М576 Авторский коллектив: Артемьева И.А. (гл.3, §3.2), Байков Н.М. (введение, заключение, гл.2, §2.2, гл.4, §4.1,), Березутский Ю.В., (введение, гл.4, §4.2), Говорухин Г.Э, (гл.5, §5.4), Горбунов Н.М. (гл.2, §2.1), Горбунова Л.И. (гл.1, §1.1, §1.2), Дудченко О.В. (гл.5, §5.4), Елфимова А.П. (гл.1, §1.1, §1.2),...»

«Ван Юй БЕНЧМАРКИНГОВЫЕ РЕЗЕРВЫ ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА ПРОДУКЦИИ ПРОМЫШЛЕННЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ КИТАЙСКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ Издательство ТГТУ Научное издание Ван Юй БЕНЧМАРКИНГОВЫЕ РЕЗЕРВЫ ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА ПРОДУКЦИИ ПРОМЫШЛЕННЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ КИТАЙСКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ Монография Редактирование и верстка М.А. Евсейчевой, З.Г. Черновой Подписано к печати 29.12.03. Формат 6084/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Times New Roman. Объем: 5,35 усл. печ. л.; 6,0 уч.-изд. л. Тираж 400 экз. С....»

«Междисциплинарные исследования А. Я. Аноприенко Археомоделирование: Модели и инструменты докомпьютерной эпохи Донецк УНИТЕХ 2007 УДК 004.383.4 А69 Аноприенко А. Я. Археомоделирование: Модели и инструменты докомпьютерной эпохи – Донецк: УНИТЕХ, 2007. – 318 с., ил. Anoprienko A. Archaeosimulation: Models and Tools of Precomputer Age. – Donetsk: UNITECH, 2007. – 318 p. ISBN 966-8248-00-7 Монография посвящена систематическому рассмотрению методов и средств вычислительного моделирования...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК В.О. Гладышев НЕОБРАТИМЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЗАДАЧАХ АСТРОФИЗИКИ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ Москва Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана 2000 УДК 530.1 ББК 22.31 Г52 Рецензенты: академик Академии транспорта РФ, профессор, доктор технических наук Е.Ю. Барзилович; профессор, доктор физико-математических наук А.Н. Морозов Гладышев В.О. Необратимые электромагнитные процессы в задачах Г52 астрофизики: физико-технические проблемы. – М.:Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,...»

«Е.И. Савин, Н.М. Исаева, Т.И. Субботина, А.А. Хадарцев, А.А. Яшин ВОЗДЕЙСТВИЕ МОДУЛИРУЮЩИХ ФАКТОРОВ НА ФОРМИРОВАНИЕ РАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОБРАТИМОГО ПАТОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА (ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ) Тула, 2012 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Е.И. Савин, Н.М. Исаева, Т.И. Субботина, А.А. Хадарцев, А.А. Яшин...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ, СТАТИСТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Сиротин В.П., Архипова М.Ю. ДЕКОМПОЗИЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ В МОДЕЛИРОВАНИИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ Москва, 2011 Моск 2 УДК 519.86 ББК 65.050 С-404 Рецензенты Нижегородцев Р.М. Доктор экономических наук, профессор Гамбаров Г.М. Кандидат экономических наук, доцент Сиротин В.П., Архипова М.Ю. Декомпозиция распределений в моделировании социально-экономических процессов. Монография. /...»

«Федеральное государственное унитарное предприятие СТАВРОПОЛЬСКИЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ГИДРОТЕХНИКИ И МЕЛИОРАЦИИ (ФГУП СТАВНИИГиМ) Открытое акционерное общество СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ИНСТИТУТ ПО ПРОЕКТИРОВАНИЮ ВОДОХОЗЯЙСТВЕННОГО И МЕЛИОРАТИВНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА (ОАО СЕВКАВГИПРОВОДХОЗ) Б.П. Фокин, А.К. Носов СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ПРИМЕНЕНИЯ МНОГООПОРНЫХ ДОЖДЕВАЛЬНЫХ МАШИН Научное издание Пятигорск 2011 УДК 631.347.3 ББК 40.62 Б.П. Фокин, А.К. Носов Современные проблемы применения...»

«Брянский государственный университет имени академика И. Г. Петровского Калужский государственный университет им. К. Э. Циолковского Институт управления, бизнеса и технологий Среднерусский научный центр Санкт-Петербургского отделения Международной академии наук высшей школы Аракелян С. А., Крутиков В. К., Зайцев Ю. В. Малый бизнес в региональном инновационном процессе Калуга 2012 УДК 334.012.64:332.1 ББК 65.292 А79 Рецензенты: Мерзлов А. В., доктор экономических наук, профессор Птускин А. С.,...»

«Федеральное государственное научное учреждение Институт развития образовательных систем Российская академия образования ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ САМООПРЕДЕЛЕНИЕ УЧИТЕЛЯ В ТРАДИЦИОННЫХ ДУХОВНЫХ ЦЕННОСТЯХ МОНОГРАФИЯ Томск - 2012 Печатается по решению Ученого совета ФГНУ ИРОС РАО (протокол № _от 2013 г.) УДК 371.135:316.752 Профессиональное самоопределение учителя в традиционных духовных ценностях: Коллективная монография / Под общей научной редакцией д-ра философ. наук Г.И. Петровой. – ФГНУ ИРОС РАО,...»

«Министерство образования и науки Государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования Башкирский государственный педагогический университет им. М.Акмуллы Н.И.Латыпова Э.Н.Хисамов Биохимические и морфологические изменения в крови животных и человека при действии бисамина Уфа 2011 УДК 5765.591.111 ББК 28.707+28.080.1 Л 51 Печатается по решению учебно-методического совета Башкирского государственного педагогического университета им. М.Акмуллы Латыпова Н.И., Хисамов Э.Н....»

«ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР ФИЗИОЛОГИИ И ПАТОЛОГИИ ДЫХАНИЯ СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РАМН ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВА ЗДРАВООХРАНЕНИЯ И СОЦИАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ В.П. Колосов, В.А. Добрых, А.Н. Одиреев, М.Т. Луценко ДИСПЕРГАЦИОННЫЙ И МУКОЦИЛИАРНЫЙ ТРАНСПОРТ ПРИ БОЛЕЗНЯХ ОРГАНОВ ДЫХАНИЯ Владивосток Дальнаука 2011 УДК 612.235:616.2 ББК 54.12 К 61 Колосов В.П., Добрых В.А., Одиреев А.Н., Луценко М.Т. Диспергационный и мукоцилиарный транспорт...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тамбовский государственный технический университет Н.В. ЗЛОБИНА КОНЦЕПТУАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ МЕНЕДЖМЕНТА КАЧЕСТВА ОРГАНИЗАЦИИ Рекомендовано НТС ГОУ ВПО ТГТУ в качестве монографии Тамбов Издательство ГОУ ВПО ТГТУ 2011 1 УДК 338.242 ББК У9(2)30 З-68 Рецензенты: Доктор экономических наук, профессор, заведующий кафедрой Менеджмент и управление...»

«Межрегиональные исследования в общественных науках Министерство образования и науки Российской Федерации ИНО-центр (Информация. Наука. Образование) Институт имени Кеннана Центра Вудро Вильсона (США) Корпорация Карнеги в Нью-Йорке (США) Фонд Джона Д. и Кэтрин Т. Мак-Артуров (США) Данное издание осуществлено в рамках программы Межрегиональные исследования в общественных науках, реализуемой совместно Министерством образования и науки РФ, ИНО-центром (Информация. Наука. Образование) и Институтом...»

«информация • наука -образование Данное издание осуществлено в рамках программы Межрегиональные исследования в общественных науках, реализуемой совместно Министерством образования и науки РФ, ИНОЦЕНТРом (Информация. Наука. Образование) и Институтом имени Кеннана Центра Вудро Вильсона, при поддержке Корпорации Карнеги в Нью-Йорке (США), Фонда Джона Д. и Кэтрин Т. МакАртуров (США). Точка зрения, отраженная в данном издании, может не совпадать с точкой зрения доноров и организаторов Программы....»

наверх

<< ГЛАВНАЯ | КОНТАКТЫ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА (Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

К НАХОЖДЕНИЮ РЕШЕНИЙ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ

С БОЛЬШИМ КОЛИЧЕСТВОМ ПЕРЕМЕННЫХ

В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

ОСОБЕННОСТИ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ВТОРОЙ СТЕПЕНИ

С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

К НАХОЖДЕНИЮ РЕШЕНИЙ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ

В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

ДИСКРЕТНЫЕ АЛГЕБРЫ

(МНОГОМЕРНЫЕ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ АЛГЕБРЫ)

МНОГОЗНАЧНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ,

БУЛЕВЫ МНОГОМЕРНЫЕ АЛГЕБРЫ

И ДИСКРЕТНЫЕ (МНОГОМЕРНЫЕ

ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ) АЛГЕБРЫ

МНОГОЗНАЧНЫЕ И МНОГОМЕРНЫЕ БУЛЕВЫ

И НЕБУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

В ИСКУССТВЕННОМ ИНТЕЛЛЕКТЕ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)