«Новочеркасск НОК 2011 1 УДК 512 ББК 87.21:72 М 73 Рецензенты: Галушкин Н.Е., доктор техн. наук, профессор; Кравченко П.Д., доктор техн. наук, профессор. М 73 Коротков А.В., Мешков В.Е., Чураков В.С., Бабкина Т.А., ...»

МНОГОЗНАЧНЫЕ И МНОГОМЕРНЫЕ

БУЛЕВЫ И НЕБУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

А.В. КОРОТКОВА И ПИФАГОРОВЫ

ЧИСЛА

В ИСКУССТВЕННОМ ИНТЕЛЛЕКТЕ

И КРИПТОГРАФИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Новочеркасск

«НОК»

2011

1

УДК 512

ББК 87.21:72

М 73

Рецензенты: Галушкин Н.Е., доктор техн. наук, профессор;

Кравченко П.Д., доктор техн. наук, профессор.

М 73 Коротков А.В., Мешков В.Е., Чураков В.С., Бабкина Т.А., Козоброд А.В., Прудий А.В. Многозначные и многомерные булевы и небулевы алгебры логики А.В. Короткова и пифагоровы числа в искусственном интеллекте и криптографических системах: монография.

(Серия «Семимерная парадигма А.В. Короткова в информатике, искусственном интеллекте и когнитологии». Вып.1). – Новочеркасск: Изд-во ‹‹НОК››, 2011. – 488с.

ISBN 978-5-8431-0211- В монографии показано, что разделы математического знания, применяемого в кибернетике, информатике, нейроинформатике и криптологии, могут иметь вариант, альтернативный по отношению к варианту, основанному на булевой алгебре логики, на которой построены все эти разделы наук. Появление многозначных и многомерных булевых и небулевых алгебр логики даёт совершенно новый способ определения этих разделов знания (в данном случае они разрабатываются в рамках семимерной парадигмы А.В.Короткова). Авторы определяют данную парадигму как открытую систему, т.е. любой и каждый может внести свой вклад в её развитие.

Монографию дополняют три приложения. Первое это машинные арифметики и их специфика, второе это статья Ю.И. Неймарка «Многомерная геометрия и распознавание образов», и третье приложение статья П.А. Флоренского «Пифагоровы числа».

Монография предназначена для научных работников, специалистов, преподавателей вузов, аспирантов, магистрантов и студентов вузов.

УДК ББК 87.21: © Коллектив авторов, 2011.

ISBN 978-5-8431-0211- © ВИС (филиал) ФБГОУ ВПО «ЮРГУЭС», 2011.

© Чураков В.С., составление и предисловие,

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие

Мешков В.Е., Чураков В.С. Программа исследований в области информационных технологий, искусственного интеллекта и когнитологии в рамках семимерной парадигмы А.В. Короткова........ Коротков А.В. Алгебры над кольцом чисел Пифагора

Коротков А.В. Многомерные алгебры полей сравнений по mod=2..... Коротков А.В. Многозначные алгебры логики

Коротков А.В. Многомерные булевы алгебры

Коротков А.В. Небулевы алгебры логики

Коротков А.В. N-позиционные алгебры

Коротков А.В. Пифагоровы числа и двойная (тройная) спирали......... Коротков А.В. Представление натуральных чисел в виде суммы восьми квадратов

Коротков А.В. Структура последовательностей пифагоровых чисел.. Коротков А.В. К нахождению решений полиномиальных уравнений второй степени в целых числах

Коротков А.В. К вопросу классификации пифагоровых чисел.......... Коротков А.В. К нахождению решений полиномиальных уравнений второй степени с большим количеством переменных в целых числах

Коротков А.В. Особенности полиномиальных уравнений второй степени с тремя переменными в целых числах

Коротков А.В. К нахождению решений полиномиальных уравнений третьей степени в целых числах

Коротков А.В., Чураков В.С. Дискретные алгебры (многомерные целочисленные алгебры)

Коротков А.В., Чураков В.С. Многозначные алгебры логики, булевы многомерные алгебры и дискретные (многомерные целочисленные) алгебры

Коротков А.В., Чураков В.С. Многозначные и многомерные булевы и небулевы алгебры логики в искусственном интеллекте

Коротков А.В., Чураков В.С. Замечание по статье В.В.Орлова ‹‹Структура памяти человека: голографическая модель››

Мешков В.Е., Чураков В.С. Многомерные алгебры А.В.Короткова для нейросетей и нейрокомпьютеров

Мешков В.Е., Чураков В.С. Пифагоровы числа в нейросетях.......... Мешков В.Е., Чураков В.С. Размышления об образе и его представлении в информатике

Мешков В.Е., Чураков В.С., Козоброд А.В. Сумматор на небулевых алгебрах (на классе вычетов чисел по модулю два)...... Мешков В.Е., Чураков В.С. О применении в криптографических системах многозначных и многомерных булевых и небулевых алгебр логики и пифагоровых чисел

Чураков В.С. Беседа с А.В.Коротковым о теоретическом и практическом применении семимерной парадигмы

Бабкина Т.А., Мешков В.Е. Сравнительный анализ нечетких логических систем

Бабкина Т.А. О трёх современных подходах к построению перспективных вычислительных систем

Бабкина Т.А. Моделирование основных логических элементов на основе многомерной булевой алгебры логики

Бабкина Т.А. Моделирование основных логических элементов на основе небулевой алгебры логики

Бабкина Т.А. Разработка основных устройств вычислительной машины на базе многомерной алгебры логики в рамках семимерной парадигмы А.В. Короткова

Мешков В.Е., Прудий А.В., Козоброд А.В. Синтез топологии вычислительной сети

ПРИЛОЖЕНИЕ I

Евстигнеев В.Г. Компьютерные арифметики.

Ретроспективный взгляд..

Евстигнеев В.Г. Недвоичные компьютерные арифметики.................. Брусенцов Н.П., Владимирова Ю.С. Троичное конструктное кодирование булевых выражений

Брусенцов Н.П. Упорядочение булевой алгебры

Брусенцов Н.П. Построение логических схем на магнитных усилителях с питанием импульсами тока

Брусенцов Н.П. Опыт разработки троичной вычислительной машины

Брусенцов Н.П., Жоголев Е.А., Веригин В.В., Маслов С.П., Тишулина А.М. Малая автоматическая цифровая машина «СЕТУНЬ»

Варшавский В.И. Трехзначная мажоритарная логика

ПРИЛОЖЕНИЕ II

Неймарк Ю.И. Многомерная геометрия и распознавание образов............ ПРИЛОЖЕНИЕ III

Флоренский П.А. Пифагоровы числа.

Сведения об авторах

ПРЕДИСЛОВИЕ

Каков порядок дальнейшего развития трёхмерных алгебр, семимимерных векторных алгебр, либо четырёхмерных и восьмимерных пространственно- временных структур евклидовых и псевдоевклидовых? Дело в том, что числа, используемые в этих алгебрах, действительные в каждой координате, то есть числовые системы, задействованные при построении алгебр это расширение действительных чисел, системы действительных чисел.

Однако есть серьезная проблема, связанная с квантованием пространства и с квантованием времени. Квантованные величины занимают не непрерывный, а дискретный ряд числовых величин со своим значением. Это говорит о том, что нужно построить алгебры, которые бы определялись не непрерывным рядом чисел, скажем действительными величинами, а дискретными, предположим целыми числами. То, что используется в системах алгебра действительных чисел для построения векторных алгебр, определяется главным образом тем, что математики пытались создавать системы с делением, системы комплексных чисел, кватернионов, октанионов, то есть стремились строить системы с делением.

Векторные алгебры – это системы без деления, а поэтому могут задействовать числа, лежащие в основе расширяемых систем, определяемыми системами без деления, например, рядом целых чисел или натуральных чисел. Это системы без деления, каждому целому числу нельзя сопоставить обратное целое число, например, двойке обратное число. 0,5 – это не целое число, поэтому необходимо строить также алгебры, векторные алгебры, которые бы базировались на системах не действительных чисел, а, например, на системах целых чисел, системах чисел без деления. Это позволило бы создавать векторные алгебры для квантованных величин, в частности для квантованных пространственных величин и временных величин квантованного пространства- времени.

Это одно из направлений работ.

Если задействовать в векторных алгебрах целые числа, то, как не трудно видеть – понятие скалярного и векторного произведения векторов формируется за счет алгебраических сумм и произведений целых чисел, а, следовательно, эти величины также целые, как скалярное произведение векторов, так и векторное произведение двух векторов, а также нескольких векторов, определяется целыми значениями. Затруднения могут возникать только при нахождении модулей векторов, потому что модуль вектора связан с операцией извлечения квадратного корня из чисел, а извлечение квадратного корня из целых чисел не всегда дает целые числа. Это единственное затруднение. Если избегать применения понятия модуля, а пользоваться понятием квадрата модуля, квадрата интервала двух векторов, то это затруднение исключается, оно отпадает. Следовательно, такие алгебры могут быть построены для дискретного ряда значений числовых величин, то есть могут быть использованы для дискретизации пространственно- временных величин, а вслед за этим, и всех производных от них величин. Вот это одно из направлений работы – создание квантованных векторных алгебр.

А применение… Физика сейчас рассматривает целый ряд квантованных значений, например, положение электрона в атоме водорода связано с рассмотрением орбит, которые квантованы и определяются целыми положительными значениями N, где N = 1, 2, 3, 4 и т. д.

Это фундаментальный физический результат. То есть величины – например, радиус орбит электронных оболочек в атоме квантован – а вслед за ним квантованы и такие понятия, как энергия, момент импульса – это всё квантованные величины. Это мы их рассматривали как непрерывные, а поэтому использовали алгебры непрерывные, но в принципе понятие квантования времени и пространства – это очень важное понятие, и физиками широко используется. Это старая эпистемологическая проблема, занимавшая в свое время И.Канта: о соответствии математического описания физической реальности.

Второе направление работ связано с алгебрами логики. Алгебры логики в частности, булева алгебра, строится на основе применения операции сложения и умножения, и вообще-то стоило бы говорить не об алгебре, как таковой, булевой, а о булевом линейновекторном пространстве, потому, что булева алгебра вообще-то одномерна и нет понятия векторного произведения двух векторов квантованных величин. Тогда как в алгебре действительных чисел есть процедура сложения чисел и процедура умножения чисел.

Так вот, в зависимости от того, какова процедура сложения и какова процедура умножения чисел, получаются те или иные значения, вернее свойства этих линейных векторных пространств. В булевой алгебре задействованы только два значения величин – ноль и один, и известны операции сложения и умножения. Операция сложения, лучше сказать операция умножения двух дискретных величин булевой алгебры определяется свойствами обычной операции умножения двух действительных чисел ноль на ноль ноль, ноль на один ноль, один на ноль ноль, один на один один. То есть, это значение определяется обычной операцией умножения чисел ноль и один, действительных чисел. А вот с операцией сложения двух булевых величин не все обстоит так гладко, потому что, хоть три первых значения ноль плюс ноль, ноль ноль плюс один, один плюс ноль есть один, а вот один плюс один есть один в булевой алгебре, и это не соответствует значениям действительных чисел, где для единицы плюс единицы есть двойка, то есть совсем другое число, нежели единица. Так вот, в дополнение к булевой алгебре можно привести также другую алгебру – алгебру, получаемую на основе теории сравнения чисел по определенному модулю, р-адические числа. При этом, если рассматривать алгебру в сравнении по модулю 2, то все числа, все целые числа разбиваются на два класса – класс целых четных чисел и класс целых нечетных чисел. Они имеют одно и то же значение остатка при делении на 2. Целые числа имеют остаток 0, нечетные числа, нецелые, а четные числа имеют остаток 0, а нечетные числа имеют остаток 1. То есть, все целые числа разбиваются на два класса – класс целых четных чисел, класс ноль и класс нечетных чисел класс один.

Так вот, если посмотреть теории сравнений по модулю 2, расположить все числа, то умножение чисел определяется также обычной алгеброй, обычной операцией умножения целых чисел – ноль на ноль ноль, ноль на один ноль, один на ноль ноль, один на один есть один. То есть, та же процедура, что и в булевой алгебре, а вот со сложением дело обстоит иначе – если класс ноль четные числа, а класс один включает нечетные числа, то четное плюс четное есть четное, то есть ноль плюс ноль есть ноль, четное плюс нечетное, ноль плюс один и один плюс ноль есть один, потому что четное плюс нечетное есть нечетное число, а вот четное, вернее нечетное, плюс нечетное, то есть один плюс один есть всегда число четное, то есть ноль, то есть, это говорит о том, что один плюс один в этой алгебре есть ноль. В отличие от булевой алгебры, где один плюс один есть один. А это совсем другая процедура умножения и сложения, то есть это совсем другая алгебра.

Это уже небулева алгебра, это алгебра также над нулем и единицей, но совсем другими свойствами обладающая. Эта алгебра может быть построена без проблем, она имеет также 16 функций двух переменных с двумя состояниями – нуль и один, но свойства алгебры совсем другие. В данном случае без особых проблем строятся все 16 функций, они строятся также, как в булевом варианте, но, все-таки, имеют другие функциональные значения. Например, не выполняются законы поглощения, не выполняются формулы Де Моргана, это совсем другая алгебра. Но также ассоциативная, дистрибутивная над нулем и единицей, с вектором. Соответствующей операции нет, то есть свойства алгебры близки свойствам булевой алгебры, но совершенно иные. Все-таки, иные. Это создает прецедент, алгебры логики могут быть вовсе не такими, как булевы алгебры логики. То есть, например, как работает мозг человека, и если он работает в дискретных величинах, как полагают специалисты в области нейронауки, нейроинформатики и нейрокибернетики, становится проблемным: в какой алгебре логики работает мозг? В какой алгебре должен и может работать компьютер? Либо, в какой алгебре логики целесообразно строить компьютерные средства. Это уже требует дополнительного рассмотрения и изучения. Вот второе направление работ. Оно связано с дискретными алгебрами, алгебрами логики. Первое для квантованных величин – это тоже, в принципе, дискретные значения, второе направление для квантованных логических величин, когда величины собираются в класс по определенному модулю. В данном случае модуль 1, либо 0, вернее модуль 2 алгебра с нулевым единичным значением. Могут быть и алгебры по модулю 4 и даже по другим модулям. По модулю 4 алгебра интересна тем, что пифагоровы числа собираются также в классы четных и нечетных чисел, но класс нечетных чисел разделяется на два класса – числа, представимые как разность квадратов двух величин, и числа, представимые как сумма квадратов двух величин.

Например, гипотенуза прямоугольного треугольника представима суммой квадратов двух величин, а катет представим только разностью квадратов двух величин. То есть, модуль 4 может быть интересен для алгебр, изучающих свойства пифагоровых чисел.

Группа статей в настоящем издании посвящена пифагоровым числам и их применению в искусственном интеллекте и в криптографических системах.

Статья «N-позиционная алгебра» c одной стороны, создаёт впечатление, что вариант таких чисел надуман, т.е. многомерные числа, многопозиционные числа это числа одной и той же алгебры в различных разрядах. Где такие числа могут найти применение? И что это за числа? В связи с этим стоит выделить два варианта чисел. Первый вариант обработка последовательности чисел n-мерных структур связана с банковскими, либо с биржевыми потоками информации. Дело в том, что на бирже каждой компании присваивается свой разряд числа. Так, «Газпром» имеет один разряд, «Бритиш Петролеум» другой разряд, «Лукойл» третий и.д. И все эти числа имеют свои позиции, т.е. можно говорить о многопозиционном числе одном. Это числа действительные, но это целый ряд чисел, массив чисел. Причём эти числа обрабатываются по одному и тому же алгоритму. Через каждую секунду поступает информация о том, что столько-то акций по каждой позиции куплено, столько-то продано и делается машинный пересчёт котировок акций и всяких прочих показателей различных биржевых потоков. Т.е. эти числа многопозиционные, но действительные в каждой позиции. Ещё сравнительно недавно таких чисел было мало, теперь же очень сильно возрастает значимость таких чисел. Это с одной стороны.

А с другой стороны, даже пифагоровы числа тройной спирали сформированы в цепочки чисел целых чисел. Причем, эти цепочки чисел имеют различные числовые позиции для различной размерности пространственно-временной структуры. Это может быть и 5 цепочек, и 6, и 7, и 8 и n, вообще говоря. Закон переработки чисел один и тот же. Но эти числа связаны между собой. Например, четвёрка чисел: z, c, p, t двойной спиральной структуры.

Это такая же композиционная алгебра, только уже целочисленная.

Поэтому А.В. Короткову пришлось рассмотреть вопросы построения n-позиционных алгебр вообще начиная от алгебр nпозиционных действительных чисел, n-позиционных алгебр целых чисел, а также принципы построения алгебр сравнения по модулю, алгебр вычетов и булевых алгебр. Все эти вопросы рассмотрены в данной статье. Мне представляется целесообразным выделить nпозиционные алгебры в отдельный разряд алгебраических систем для их всестороннего изучения. Надо отметить, что в каждой позиции этих алгебраических структур могут быть числа различного класса: действительные, целые, рациональные, вычетов, алгебр логики, логические числа. Но однако же, число позиций определяется одномерными алгебрами. Можно строить n-позиционные алгебры для многомерных структур той же троичной алгебры логики, векторной трёхмерной и семимерной алгебр, той же алгебры комплексных чисел кватернионов и октонионов, и т.д. Т.е. речь идёт о том, что n-позиционные алгебры могут иметь в каждой позиции не одно число, а набор чисел: это n-позиционные k-разрядные алгебры. При k=1, показано, как это сделать, а при k, равном большему числу, это сделать также нетрудно и можно. Например, слежение за объектами в трёхмерном пространстве: n-самолётов летает в трёхмерном пространстве надо оперативно отслеживать информацию по определению параметров всех n самолётов в трёхмерном пространстве (это верно и в отношении космических объектов, надводных кораблей, подводных лодок, беспилотников, вертолётов и прочих транспортных средств, а также прокси-серверов и других объектов).

Защита информации представлена группой статей «О решении полиноминальных уравнений». Это небольшие статьи в плане применения теоремы Пифагора, в продолжение раннее начатых работ. Они указывают на особенность – ту, что пифагоровы тройки чисел могут быть классифицированы не только по значениям гипотенуз прямоугольных треугольников, но также по значениям суммы катетов прямоугольных треугольников. Сумма катетов также находится в периодической зависимости и выражения икс плюс игрек эн плюс единица равняется шесть икс плюс игрек эн минус икс плюс игрек эн минус один применима в данном случае для сумм катетов.

Это говорит о том, что с каждым прямоугольным треугольником связана не только его нахождение в бесконечном ряду чисел, определяемых гипотенузой. Для данного значения модуля разности двух катетов, но также и в бесконечном ряду сумм катетов построенных по тому же аналогичному принципу. Эти выражения позволяют найти некоторые соотношения. В частности, соотношения для значений катетов и гипотенуз. Эти соотношения несколько отличаются от тех, которые применимы для теоремы Пифагора. В частности, теорема Пифагора икс квадрат плюс игрек квадрат равняется зет квадрат может быть использована для икс второго, равного икс первое плюс игрек первое в квадрате минус единица пополам игрек равняется игрек два равняется игрек один плюс икс один, зет равняется также как, икс два только плюс единица, а не минус единица.

Это говорит о том, что имеет место классификация пифагоровых троек по разности гипотенузы и одного из катетов, равное единице. Это совсем другой способ классификации это вторая последовательность для пифагоровых троек.

(Прежде всего, нельзя не обратить внимания на большое количество статей, связанных с эллиптическими уравнениями, решением уравнений Ферма, а, кроме того, применением их в криптографии – прежде всего эллиптических уравнений).

Необходимо отметить, что вопросы применения криптографических знаний связаны с вопросами шифрации-дешифрации сообщений. В частности, для криптографических шифрующих устройств с открытым ключом используются произведения двух простых чисел. Это легко сделать в виде выполнения процедуры произведения двух чисел, но обратная процедура – процедура нахождения двух простых чисел – по донному составному из них числу очень сложна. Но есть способы (хотя преждевременно об этом говорить) разложения составного числа на два простых числа.

Способы эти (из анализа литературы) раннее не применялись и могут найти применение для решения криптографических задач.

В частности, в работе под названием «Нахождение решений полиноминальных уравнений второй степени целых чисел» показан следующий интересный нюанс. А именно: таблица 1 позволяет построить системы чисел пифагоровых троек, классифицируемых по определенному признаку, например, по модулю разности двух катетов. Оказывается, что модуль разности двух катетов принимает строго определенные значения, например, один, семь, семнадцать и т.д. В статье об этом говорится. Так вот, если построить цепочку чисел соответствующей, например, модулю разницы между катетами, равными единице, то получается последовательность: 1, 5, 29, 169, 985, 5741 и т.д.– для гипотенуз прямоугольного треугольника с целочисленными значениями сторон, всех трех сторон.

Эта последовательность строгая и оказывается, что она связана следующим реккурентным соотношением – тройкой последовательных чисел. Третье число тройки равняется величине 6, второго числа тройки без первого числа, последовательных чисел гипотенузы в прямоугольных треугольниках. Например, 169 равняется 29 на 6 отнять 5. Эта последовательность выполняется для всех прямоугольных треугольников с разницей модуля – с модулем разницы катетов, равным единице. Но не только единице, но и 7, 17, 23 и т.д.

Что это дает?

Необходимо отметить, что гипотенузы прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами определяются нечетными числами класса 1 с вычетом по модулю 4. (Выше уже было сказано, что это означает). То есть 5, 29, 169 отличаются от числа делимого на 4 только одной единицей (класс один по модулю 4).

Во-вторых, среди этих чисел очень много простых чисел. Практически значительная часть чисел, определяющих гипотенузу простые числа. В-третьих, последовательность реккурентно настолько быстро возрастает, что уже где-то 18-ое число последовательности характеризуется, по крайней мере, 20-ю разрядами. Тридцатое число в этой последовательности содержит 24 разряда и число простое.

Его перечислил А.В.Коротков: 68480406462161287469. Вот такое число и оно уже возникает на тридцатом шагу. Таких чисел очень много в этих системах. А, как известно, в криптографии используют простые числа, т.е. произведение двух простых чисел дает возможность свободной публикации кода – и только тот, кто знает, как разложить эти числа на два множителя, может расшифровать эти коды (это шифры с открытым ключом). Т.е. эти последовательности могут найти применение в криптографии и в криптологических устройствах (криптотехнике).

Всё вышеизложенное является сутью семимерной (многомерной) парадигмы А.В.Короткова, включающей в себя квантованные логические величины, многомерные и многозначные булевы и небулевы алгебры логики (эти работы представлены в настоящей коллективной монографии), а также разработки на их основе.

(Стоит обратить внимание на ошибочное понимание некоторыми специалистами семимерной парадигмы (в особенности к приложениям всякого рода, в частности – поля) вроде следующего пассажа: "семимерное поле есть совокупность семи трехмерных полей", вообще не верно. Если рассматривать каждое из полей как трехмерное линейное пространство, то их ортогональная сумма будет 21мерной, а если они – подмножества обычного трехмерного пространства, то и их объединение остается трехмерным.

В действительности – составные алгебры, которые очень сложны, в векторных произведениях двух векторов, отличаются, и составные алгебры дают теорию составных полей – полей семимерных. Они отличаются как небо и земля от теории семимерных полей, но не составного характера, а простых).

Раннее печатавшиеся статьи для настоящего издания были доработаны и дополнены.

…Из всего комплекса многомерной парадигмы А.В. Короткова авторы разрабатывают только одно информационное направление на многомерных и многозначных булевых и небулевых алгебрах логики. А на остальные направления: на разработку квантованной (дискретной физики), применения в физике и топологии многомерных и многозначных булевой и небулевой алгебр, разработку многомерной физики (семи- и пятнадцати-мерной) и новые физики элементарных частиц на многомерной основе, сильного и слабого ядерного взаимодействий и гравитационной теории, теории поля также на многомерной основе, новые теории полей, новые аналитические геометрии, дифференциальные геометрии, новые квантовые теории поля, нам не по силам, средствам и времени. Поэтому авторы определяют данную парадигму как открытую систему, т.е. любой и каждый может внести свой вклад в её развитие.

Монографию дополняют три приложения. Первое приложение это машинные арифметики и их специфика, второе приложение это статья Ю.И.Неймарка «Многомерная геометрия и распознавание образов».

Третье приложение статья П.А.Флоренского «Пифагоровы числа».

ПРОГРАММА ИССЛЕДОВАНИЙ

В ОБЛАСТИ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ,

ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА И

КОГНИТОЛОГИИ В РАМКАХ СЕМИМЕРНОЙ

ПАРАДИГМЫ

Предлагаемая нами «Программа исследований» базируется на семимерной парадигме А.В.Короткова.

Анатолий Васильевич Коротков проблемой семимерного пространства (собственно евклидового и псевдоевклидового) занимается с 1988 г. В 2001 году А.В. Коротков защитил докторскую диссертацию на тему «Элементы семимерного векторного исчисления в задачах математического моделирования физических и технических объектов». Специальности: 05.13.01– системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям), 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы. Диссертационный совет рекомендовал Высшей Аттестационной Комиссии Российской Федерации включить в учебные программы основные сведения о семимерном векторном исчислении для студентов механикоматематических и физико-математических специальностей вузов.

Семимерная парадигма А.В.Короткова представляет собой семимерное пространство (собственно евклидово и псевдоевклидово). Оно обусловлено тем обстоятельством, что математики Новосибирской школы показали, что трёхмерная алгебра является подалгеброй только семимерной алгебры. Только семимерной алгебры – нужно было рассматривать семимерный вариант со скалярным и векторным произведением двух векторов, т.е. семимерную векторную алгебру – в философском отношении ‹‹истинной середины›› (следуя Мих. Лифшицу) – в отношении множества многомерных концепций пространства. (Следует обратить внимание на ошибочное понимание некоторыми специалистами семимерной парадигмы (в особенности к приложениям всякого рода, в частности – поля) вроде следующего пассажа: "семимерное поле есть совокупность семи трехмерных полей", вообще не верно. Если рассматривать каждое из полей как трехмерное линейное пространство, то их ортогональная сумма будет двадцатиодномерной, а если они – подмножества обычного трехмерного пространства, то и их объединение остается трехмерным.

В действительности – составные алгебры, которые очень сложны, в векторных произведениях двух векторов, отличаются, и составные алгебры дают теорию составных полей – полей семимерных. Они отличаются как небо и земля от теории семимерных полей, но не составного характера, а простых).

Кроме того, кватернионы организуют координацию векторизованных явлений в трёхмерном пространстве, в котором существует лишь семь различных систем координат. Это исходная эпистемологическая парадигма, которой мы будем следовать.

Основным недостатком булевой алгебры логики, получившей широкое распространение и применение прежде всего, в вычислительной технике – с точки зрения идентификации и управления объектами, обладающими сознанием (интеллектом), является то, что данная логика одномерна, то есть описывает лишь действительные логические состояния и не учитывает иных, в том числе – мнимых, ввиду чего с XX в. начинают разрабатываться многомерные и многозначные логики [3;4;7;8; 9;16].

На основе результатов, полученных в многолетних исследованиях по семимерной парадигме, в последние годы А.В.Коротков опубликовал работы, позволившие применить семимерную парадигму к информационным технологиям, искусственному интеллекту и когнитологии (в рамках семимерной парадигмы А.В.Коротков разработал: дискретные алгебры [многомерные целочисленные алгебры], многозначные алгебры логики и небулевы алгебры логики [7;8;9]), способные ещё более понизить конкурентную способность гипотетических квантовых компьютеров по отношению к универсальным электронным вычислительным машинам.

Разработки А.В.Короткова позволяют наполнить новым содержанием, прежде всего, два традиционных подхода: логический и структурный.

Логический подход. Основой для логического подхода служит булева алгебра. Булева алгебра появилась ещё в XIX веке (Свое дальнейшее развитие булева алгебра получила в виде исчисления предикатов, в котором она расширена за счет введения предметных символов, отношений между ними, кванторов существования и всеобщности)... В вычислительной технике она применяется с середины XX-го века. Булева алгебра двузначна и одномерна. Это числа с двумя состояниями, которые условно называют нуль и единица.

Они дают соответствующие операции сложения и умножения этого числа, в результате булева алгебра обладает целым рядом полезных, очень важных свойств, позволивших широко применять ее на практике, в алгебре логики, а также самое главное – в технике логических, арифметических и преобразовательных устройств булева алгебра хорошо разработана и изложена, говорить о ней много не следует (но попутно стоит отметить такое сравнительно новое направление, как нечеткая логика). Необходимо отметить прецедент, который возникает в булевой алгебре.

Во-первых, наличие операций сложения не сопровождается операцией вычитания, то есть, отсутствует противоположность операции сложения. Булевому числу нельзя сопоставить противоположное число. В алгебре, например, действительных чисел, все обстоит иначе. Эта алгебра характеризует поле – математическое понятие, набор математических операций, одна из которых – операция вычитания. Так вот, имеется система в теории сравнений, которая может работать с классом вычетов по модулю. Эта теория хорошо разработана и изложена в литературе. Она имеет возможность построения чисел по модулю два классов сравнений и классов вычетов по модулю два. Это – та же система с двумя числами нуль и единица, но эта система не имеет уже операций вычитания, и в результате имеет отличающуюся от булевой алгебры операцию сложения, где единица плюс единица в этой алгебре есть нуль, в то время как в булевой алгебре единица плюс единица есть единица.

Это очень существенное отличие, позволяющее построить новую алгебру. Эта алгебра обладает целым рядом полезных свойств, теми же, что и, например, в алгебре действительных чисел, хотя она дополнена свойствами чисто логических систем. В этой алгебре А равняется нулю, а не А, как в булевой алгебре, если А – число. Отличительные свойства этой небулевой одномерной алгебры от булевой одномерной алгебры характеризует целый ряд возможностей и создает целый ряд алгебр. Это в отношении одномерной алгебры булевой и небулевой.

Теперь в отношении многомерной алгебры. В принципе, булева алгебра может быть расширена до многомерного варианта, до N – мерного, где N произвольное число, путем применения операции умножения. Умножение в этой алгебре прямое – умножение двух чисел. В одной из публикаций показано, что булева алгебра может быть N – мерна, то есть число может быть записано в N- мерной форме. Операнды в N- мерной форме есть результаты операций в N- мерной форме. Это создает возможности использования этой алгебры по ряду назначений, в частности, при построении логических многомерных устройств, либо логически-арифметических многомерных устройств. Однако, прямое произведение двух величин, всё- таки, обладает некоторыми существенными недостатками, поэтому в практике действительных чисел используют не только прямое произведение двух величин, но и произведение многомерных величин, построенных не по способу прямого произведения.

Такими числами, кроме действительных одномерных чисел, являются комплексные числа, например, двумерные числа, кватернионные четырехмерные числа, октанионы восьмимерные числа, а также числа, характеризующие векторные алгебры, одномерные векторные алгебры, трехмерные векторные алгебры, семимерные векторные алгебры. То есть, в алгебре действительных чисел имеется целый ряд возможностей расширения, но уж, поскольку, система сравнений классов вычетов по модулю обладает свойствами, близкими к свойствам действительных чисел, в частности, обладает вычитанием, то можно строить алгебры логики многомерной, используя те же процедуры для произведения чисел, что и алгебры многомерной для действительных чисел. В частности, процедура удвоения Гамильтона может быть использована для построения двумерной алгебры логики и одномерной векторной алгебры. Та же процедура удвоения Гамильтона, примененная к комплексным, логическим числам даст четырехмерные логические числа и трехмерную векторную алгебру. Та же процедура удвоения Гамильтона, примененная к кватернионным числам, даст октанионную систему чисел – логических чисел и семимерную векторную алгебру логики, то есть, известная процедура умножения по отношению к числам классов вычетов по модулю дает возможность построить целый ряд совершенно новых алгебр.

Следовало бы отметить еще одно важное применение – речь идет о дискретных алгебрах с бесконечным модулем в данном случае, вернее, это – алгебра действительных чисел, но только расширена она до четырех восьмимерных (одно-трех и семимерный вариант). Дело в том, что в векторных алгебрах, алгебрах кватернионов, комплексных чисел и октанионов используются операции сложения и умножения, а также операции скалярного произведения и векторного произведения двух векторов векторной алгебры.

Если числа занимают чисто дискретный ряд значений, например, приобретают только целые значения, то результаты всех практических операций будут принимать целые значения. То есть, эта алгебра в значительной степени воспроизводит дискретную алгебру, если речь не идет об извлечении квадратного корня. Скалярное произведение, векторное произведение, смешанное произведение трех векторов, двойное векторное произведение трех векторов, есть и другие многомерные операции, которые будут иметь целочисленные значения, многомерные целочисленные значения, это может иметь существенное применение для описания дискретных величин, которые, в последнее время, на протяжении уже, более ста лет широко используется физиками.

Структурный подход – это ни что иное, как попытки построения ИИ путем моделирования структуры человеческого мозга. Одной из первых таких попыток был перцептрон Френка Розенблатта.

Основной моделируемой структурной единицей в перцептронах (как и в большинстве других вариантов моделирования мозга) является нейрон. Позднее возникли и другие коннекционисткие модели, которые большинству известны под термином нейронные сети (НС) и их реализации — нейрокомпьютеры. Эти модели различаются по строению отдельных нейронов, по топологии связей между ними и по алгоритмам обучения. Среди наиболее известных сейчас вариантов НС можно назвать НС с обратным распространением ошибки, сети Кохонена, сети Хопфилда, стохастические нейронные сети. В более широком смысле такой подход известен как коннективизм.

Различия между логическим и структурным подходом не столь принципиальны, как это может показаться на первый взгляд. Алгоритмы упрощения и вербализации нейронных сетей преобразуют модели структурного подхода в явные логические модели. С другой стороны, ещё в 1943 году Маккалок и Питс показали, что нейронная сеть может реализовывать любую функцию алгебры логики [10;

24].

На основании вышеизложенного, сформулируем программу исследований в области информационных технологий, искусственного интеллекта и когнитологии в рамках семимерной парадигмы А.В. Короткова.

В области информационных технологий в рамках семимерной парадигмы А.В.Короткова возможно решение следующих задач:

1.Разработка математических основ для создания многомерного булевого и небулевого логического базиса элементов и устройств вычислительной техники (включая нейрочипы, нейрокомпьютеры и нейросети).

2.Разработка принципиальных схем для реализации полного набора базовых элементов вычислительных устройств на основе многомерного булевого и небулевого логического базиса.

3.Разработка новых алгоритмов и программного обеспечения на основе многомерных булевых и небулевых логик.

4.В робототехнике возможно построение систем представления и анализа пространственных объектов в семимерном пространстве координат (трехмерные пространственные координаты X,Y, Z, цветовое восприятие, обоняние, осязание, аудиоинформация).

В области искусственного интеллекта в рамках семимерной парадигмы возможно решение следующих задач:

1.Разработка теоретических основ построения многомерных булевых и небулевых формальных логик.

2.Построение экспертных систем на базе многозначных и многомерных булевых и небулевых формальных логик.

3.Применение семимерной парадигмы при построении многовекторных систем управления базами данных (МСУБД).

4.Применение семимерной парадигмы для реализации поисковых систем с многовекторным индексированием гипертекста.

5.Применение семимерной парадигмы для формирования продукционных моделей предметных областей в интеллектуальных информационных системах.

6. Открывается возможность для следующих вариантов построения нейросетей [19]:

а) на небулевых алгебрах;

б) на многозначных алгебрах (булевых и небулевых);

в) на многомерных алгебрах (булевых и небулевых).

(Работы в этих направлениях уже начаты, см. [12;13;14] – в дополнение к ведущимся работам в области многозначных логик [3;4;16]).

А также построения ИИ на трехмерных логиках (стандартный ИИ) и построения ИИ высокого уровня – на алгебраических логиках более высокого порядка (ИИ высокого уровня должен быть социальным, примерно как это описано в романе Й.Макдональда «Река богов» [11], и многомерным/многозначным).

Поскольку представления о природе человеческого сознания, полученные в когнитивной психологии (и проецируемые на модели искусственного интеллекта), по замечанию И.З.Цехмистро, „не идут дальше выяснения функциональных сторон его деятельности:

памяти, логико-вычислительных операций, способности к прогнозированию и т.п., которые с той или иной степенью достоверности могут быть смоделированы в различных кибернетических устройствах“ [25, с.4], то в области когнитологии (когнитивного моделирования) в рамках семимерной парадигмы возможно:

1. Построение многомерной модели сознания на основе многомерных булевой и не-булевой алгебр А.В.Короткова [8]. (Открывается возможность построения [многомерной] топологии сознания, для чего лучше всего подходят работы: Л.Литвака «Жизнь после смерти»: предсмертные переживания и природа психоза. Опыт самонаблюдения и психоневрологического исследования» [17] и как демоверсия ‹‹Герменевтика смерти›› В.Никитаева [18]. Но для этого следует предварительно разработать топологии на мномерных и многозначных булевой и небулевой алгебрах).

2.Появляется возможность на основе пифагоровых чисел моделировать представление сознания и мышления, а также перейти от евклидовых представлений (моделирования работы мозга) – к неевклидовым, дополнительным к евклидовым. (А.А.Гриб в статье «Квантовая логика: возможные применения» пишет, что квантовую логику можно применить в психологии к проблеме взаимодействия психического и физического в мозге: «Если состояния системы нейронов описываются недистрибутивной решеткой, сознание же работает на дистрибутивной (булевой) логике, то согласно квантовой теории измерения, аппарат которой переносится на этот случай, при осознании (самосознания) различных дополнительных свойств мозга будет происходить изменение физического состояния мозга (редукция волнового пакета). Если нейронная структура такова, что А (ВС) (АВ) (АС), сознание же мыслит по дистрибутивной логике, то, задавая вопросы: я в состоянии А? я в состоянии В?

оно сопоставит некоммутирующие операторы А и В этим вопросам.

Если оно потом задаст третий вопрос: В в А? то ответ будет другой, чем в начале. Тем самым проявляется возможность самоизменения как следствие самосознания» [3, с.316-317]. Впрочем, это необязательно должна быть квантовая логика это может быть любая троичная система вычислений).

3. По новому можно подойти к проблеме формализации знаний.

Кроме того, данный подход можно применить к теории автоматов, в нечетком моделировании и управлении [20], прогнозировании [2;15], нейроинформатике, компьютерных играх, криптографии, биоинформатике, геоинформатике, в разработке новых вычислительных систем (биомолекулярный компьютер и т.д.), и использовать методы [булевой и небулевой, многозначной и многомерной] алгебры логики в математической физике [22].

Данный подход соответствует также программной статье Князевой Е. и Туробова А. «Познающее тело. Новые подходы в эпистемологии» [6], в которой внимание привлекается «к тому обстоятельству, что нельзя понять работу человеческого ума, когнитивные функции человеческого интеллекта, если ум абстрагирован от организма, его телесности, эволюционно обусловленных способностей восприятия посредством органов чувств (глаз, ушей, носа, языка, рук), от организма, включенного в особую ситуацию, экологическое окружение. «То, что познается и как познается, зависит от строения тела и его конкретных функциональных особенностей, способностей восприятия и движения в пространстве» [6], утверждают отечественные авторы» (Цит. по: [23]).

Следует отметить, что ведущиеся до сих пор исследования проводятся в марковской парадигме, согласно которой «Марковский процесс, это случайный процесс, для которого при известном состоянии системы в настоящий момент ее дальнейшая эволюция не зависит от состояния этой системы в прошлом» [1, с.94] и их следует отработать до конца, а собственно работы по искусственному интеллекту и ИИ высокого уровня проводить в рамках немарковской парадигмы [1; 26].

Предложенная выше исследовательская программа представляет собой, по сути, новое научное направление на многомерной математической базе, которое можно применить и в альтернативном подходе [5; 21] как в марковской, так и в немарковской парадигмах[1; 26].

Данная система является открытой, т.е. любой и каждый может принять участие в её развитии.

1.Азроянц Э.А., Харитонов А.С., Шелепин Л.А. Немарковские процессы как новая парадигма//Вопросы философии. 1999. №7.

(с.94-104).

2.Горбунов Е.А. Самоорганизация и прогнозирование военнополитических, экономических и социальных аспектов. Киев: Ника-Центр, 2005. 320 с.

3.Гриб А.А. Квантовая логика: возможные применения//Закономерности развития современной математики. Методологические аспекты/Отв. Ред. Д.ф.н. М.И. Панов. М.: «Наука», 1987. 336с.

4. Зиновьев А.А. Комплексная логика//Зиновьев А.А. Очерки комплексной логики. – М.: Наука, 1970; М.: Эдиториал УРСС, 2000.; см. также: Зиновьев А.А. Философские проблемы многозначной логики/Вступ. ст. В.А.Лекторского. Изд. 2-е, испр. и доп.

М.: Издательство ЛКИ, 2010. 144с. (Из наследия А.А.Зиновьева);

Ионов А.С., Петров Г.А. Алгебра 9-значной комплексной логики и ее применение [Электронный ресурс]. – URL : psilogic.shadanakar.org; Ионов А.С. Комплексная логика для идентификации систем, учитывающих возможные ошибки. – 13 с.– Деп. в.

ВИНИТИ, от 16.09.88. № 7018-В88; Ионов А.С., Петров Г.А. Интерпретация логических законов комплексной логикой// Вестник Новг. гос. ун-та. Сер. Технические науки. – 2001. – № 17; Ионов А.С., Петров Г.А. К построению основ теории вероятности комплексных логических событий//Вестник Новг. гос. ун-та, Сер. Технические науки. – 2004. – № 26; Ионов А.С. Построение основ алгебры комплексной логики на базе расширения теории множеств// Вестник Новг. гос. ун-та. Сер. Математика и информатика. – 2002. – № 22; Ионов А.С., Петров Г.А. Принципы построения гиперкомплексной логики// Искусственный интеллект 2004: сб. трудов Междунар. науч. конф. Таганрог-Донецк, т. 1, 2004; Ионов А.С., Петров Г.А. Основы алгебры 9-значной комплексной логики // Вестник Новг. гос. ун-та, Сер. Технические науки. – 2004. – № 28; Карпенко А.С. Развитие многозначной логики. Изд.3-е. перераб. и доп. М.:

Издательство ЛКИ, 2010. 448с.

5. Клименко А.В. Основы естественного интеллекта. Реккурентная теория самоорганизации. Версия 3.– Ростов-на-Дону: Издательство Ростовского университета, 1994. 304с.

6.Князева Е., Туробов А. Познающее тело. Новые подходы в эпистемологии//Новый мир. 2002. №11. – (с.136-154); 6а.

7.Коротков А.В. Многомерные булевы алгебры//Коротков А.В., Чураков В.С. Теоретико-философские аспекты трехмерного и семимерного пространств (собственно евклидова и псевдоевклидова).– Новочеркасск: УПЦ «Набла» ЮРГТУ (НПИ), 2007.– 194с.– (с.180Коротков А.В. Многозначные алгебры логики// Информационные системы и технологии. Теория и практика.– Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2008.– (c.17-23).

9. Коротков А.В. Не булевы алгебры логики//Информационные системы и технологии. Теория и практика.– Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2008. – (с.23-29).

10.Майнцер К. Сложносистемное мышление: Материя, разум, человечество. Новый синтез. Пер. с англ./Под ред. и с предисл.

Г.Г.Малинецкого. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. 464с.

11.Макдональд Й. Река Богов/Пер. с англ. С.Минкина.– М.:

АСТ: АСТ МОСКВА: Транзиткнига, 2006.– 669, [3]с.

12.Мешков В.Е., Чураков В.С. Многомерная модель сознания на основе многомерных булевой и не-булевой алгебр А.В.Короткова//Труды Международных научно-технических конференций «Интеллектуальные системы» (AIS’08) и «Интеллектуальные САПР» (CAD-2008). Научное издание в 4-х томах. Т.2. – М.:

Физматлит, 2008. – (с.159-161).

13.Мешков В.Е., Чураков В.С. Многомерные алгебры А.В.Короткова для нейросетей и нейрокомпьютеров//Труды Конгресса по интеллектуальным системам и информационным технологиям ‹‹AIS-IT‘09››. Научное издание в 4-х томах.– М.: Физматлит, 2009. Т.2. – 568с.– (с.112-114).

14.Мешков В.Е., Чураков В.С. Пифагоровы числа в нейросетях//Труды Конгресса по интеллектуальным системам и информационным технологиям ‹‹AIS-IT‘09››. Научное издание в 4-х томах.– М.: Физматлит, 2009. Т.2. –568с.– (с.115- 119).

15.Минаев Ю.Н., Филимонова О.Ю., Бенамеур Лиес. Методы и алгоритмы идентификации и прогнозирования в условиях неопределенности в нейросетевом логическом базисе. М.: Горячая линия Телеком, 2003. 205 с.: ил.

16. Многозначные логики и их применения: Т.1: Логические исчисления, алгебры и функциональные свойства/Сост.

О.М.Аншаков, Д.В.Виноградов, В.К.Финн; Под ред. В.К.Финна. – М.: Издательство ЛКИ, 2008. – 504с.; Многозначные логики и их применения: Т.2: Логики в системах искусственного интеллекта/Сост. О.М.Аншаков, Д.В.Виноградов, В.К.Финн;

Под.ред.В.К.Финна. – М.: Издательство ЛКИ, 2008. – 240с.

17..Литвак Л. «Жизнь после смерти»: предсмертные переживания и природа психоза. Опыт самонаблюдения и психоневрологического исследования. – Изд. 2-е, перераб. и доп./Под ред. и со вступит.

статьей Д.И. Дубровского.– М.: «Канон+», РООИ «Реабилитация», 2007.– 672с.

18. Никитаев В. Герменевтика смерти//Логос.№2 (47).2005.– (с.193-211).

19. Осовский С. Нейронные сети для обработки информации/Пер. с польского И.Д.Руденко. М.: Финансы и статистика, 2004.

–344с.: ил.

20. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление/Пер. с англ.– М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 798с.: ил.

21. Поликарпов В.С., Курейчик В.М., Поликарпова Е.В., Курейчик В.В. Философские проблемы искусственного интеллекта. – М.:

Физматлит, 2008.– 266с.

22. Рвачев В.Л. Методы алгебры логики в математической физике. Киев: «Наукова Думка», 1974. –212 с.

23. Режабек Е.Я. В поисках рациональности (статьи разных лет): научное издание. М.: Академический проект, 2007. 383с.

24.Солсо Р. Когнитивная психология.– 6-изд. – СПб.: Питер, 2006. – 589 с.: ил.

25.Цехмистро И.З. Поиски квантовой концепции физических оснований сознания. – Харьков: Вища школа. Изд-во при Харьк. унте, 1981. –176с.

26. Шелепин Л.А. Становление новой парадигмы//Философия науки. Вып. 7: Формирование современной естественнонаучной парадигмы. М., 2001. 270с. – (с.24-42).

АЛГЕБРЫ НАД КОЛЬЦОМ ЧИСЕЛ ПИФАГОРА

Множества целых чисел (включающие множества квадратов целых чисел, целочисленных квадратных корней, их сумм и произведений) будем называть пифагоровыми числами. Пифагоровы числа обеспечивают равенство квадратов чисел сумме квадратов целых чисел.

Рассмотрим свойства пифагоровых чисел по аналогии со свойствами гиперкомплексных и целых чисел [1], учитывая отсутствие операции деления, а также обратных величин. Рассмотрим линейные векторные пространства над кольцом пифагоровых чисел в которых кроме действий сложения и умножения на скаляры определено еще действие умножения, сопоставляющее каждой упорядоченной паре векторов третий вектор того же пространства. Естественно предполагать, что результат умножения векторов a и b линеен по каждому из множителей при фиксированном втором, т. е.

(c1a1+c2a2)b=c1a1b+c2a2b, a(c1b1+c2b2)=ac1b1+ac2b2.

Одномерные пифагоровы числа Одномерными пифагоровыми числами а являются числа а=(a0), где а0-пифагорово число, для которых понятия равенства, суммы, произведения и отождествления с другими числами вводятся согласно следующим определениям (аксиомам):

Числа а=(a0) и b=(b0) считаются равными в том и только в том случае, когда равны их компоненты a0 и b0.

В символической записи:

Суммой чисел а=(a0) и b=(b0) называется число а+b=(a0+b0), т.е.

а+b=(a0)+(b0)= (a0+b0).

Произведением чисел а=(a0) и b=(b0) называется число аb=(a0)(b0)=(a0b0).

4. Число (a0) отождествляется с целым числом a0, т.е. (a0)= a0.

В данном определении одномерных чисел, составными частями которого являются определения их равенства, суммы и произведения, нет речи о каком-либо делении и извлечении квадратного корня.

Все определения формулируются в терминах целых чисел и действий над ними.

При этом из аксиом 3 и 4 следует mа=(m)(a0)= (ma0), Число а=(a0) не имеет сопряженных чисел.

Умножив числа аа= (a0)(a0)=(a0а0)=(a02), т.е. аa= a02, так что их произведение равно целому числу, которое равно нулю, если: a02= 0.

Свойства действий.

1. Ассоциативность сложения:

(а+b)+с=((a0+b0))+(с0)=((a0+b0)+с0), а+(b+с)=(a0)+((b0+с0))=(a0+(b0+с0)).

В силу ассоциативности сложения целых чисел (а+b)+с=а+(b+с).

2. Коммутативность сложения:

а+b=(a0)+(b0)=(a0+b0), b+а=(b0)+(a0)= (b0+a0).

В силу коммутативности сложения целых чисел а+b=b+а.

3. Наличие нуля:

а+0=(a0)+(0)= (a0+0)=(a0), т.е. а+0= а, так что число (0) отождествляется с целым числом 0.

4. Наличие противоположного числа:

а+(-а)=(a0)+ (-a0)= (a0-a0)= (0), т.е. а+(-а)=0, так что число (-a0) отождествляется с числом –а.

5. Ассоциативность умножения:

(аb)с=(a0b0)(с0)=((a0b0)с0), а(bс)=(a0)(b0с0)=(a0(b0с0)).

В силу коммутативности умножения целых чисел (аb)с=а(bс).

6. Коммутативность умножения:

аb=(a0)(b0)=(a0b0), bа=(b0)(a0)=(b0a0).

В силу коммутативности умножения целых чисел аb=bа.

7. Дистрибутивность:

(а+ b)с=(a0+b0)(с0)=((a0+b0)с0,), ас+bс =(a0с0)+(b0с0)= ((a0+b0)с0), т.е.(а+b)с=ас+bс.

8. Наличие единицы:

а1=(a0)(1)= (a01)= (a0), т.е. а1=а.

Итак, одномерные пифагоровы числа составляют коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей.

9. Обратное число отсутствует. Отсутствует также операция деления.

В координатной форме записи операция умножения двух одномерных пифагоровых чисел может быть представлена в виде:

ab=(a0b0).

Двумерные пифагоровы числа Двумерными пифагоровыми числами а назовем упорядоченные пары а=(a0, a1) одномерных пифагоровых чисел аi, для которых понятия равенства, суммы, произведения и отождествления некоторых пар с одномерными числами вводятся согласно следующим определениям (аксиомам):

Пары пифагоровых чисел а=(a0, a1) и b=(b0, b1) считаются равными в том и только в том случае, когда равны их соответствующие компоненты a0=b0, a1=b1.

В символической записи Суммой пар а=(a0, a1) и b=(b0, b1) назовем пару а+b=(a0, a1)+(b0, b1)= (a0+b0, a1+b1) т.е. а+b=(a0+b0, a1+b1), 3. Произведением пар а=(a0, a1) и b=(b0, b1) называется пара аb=(a0b0-b1a1, a0b1+b0a1), т.е. аb=(a0, a1)(b0, b1)=(a0b0-b1a1, a0b1+b0a1), 4. Число (a0, 0) отождествляется с целым числом a0, т.е. (a0, 0)=(а0)=а0.

В данном определении двумерных чисел, составными частями которого являются определения их равенства, суммы и произведения, нет речи о делении и извлечении квадратного корня. Все определения формулируются в терминах целых чисел и действий над ними.

При этом из аксиом 3 и 4 следует mа=(m, 0)(a0, a1)= ( ma0-a10,ma1+a00)=(ma0,ma1), т.е. mа=(ma0,ma1).

Пары а=(a0,a1) и a =(a0,-a1), отличающиеся знаком второй компоненты, будем считать сопряженными. Умножив сопряженные пары а a = (a0, a1)(a0, -a1)=(a0а0+a1а1,-a0а1+а0a1)=(a02 +a12, 0), т.е.а a = a02 +a12, так что их произведение равно целому числу, которое равно нулю, только если: a02=а12=0.

Двумерные числа обладают следующими свойствами:

1. a = (a0,a1 ) =(a0, a1)= a, 2. ab =(a0b0-b1a1, -(a0b1+b0a1)), b a = (b0, -b1) (a0, -a1)= (b0a0-a1b1, -(b0a1+a0b1)), 3. a+ a =(a0, a1)+(a0, -a1)=(a0+a0, 0), т.е. сумма сопряженных чисел является целым одномерным числом.

4. a b =(a0+ b0, -(a1+ b1))= (a0, -a1)+(b0,-b1)= a + b.

Свойства действий.

1. Ассоциативность сложения:

(а+b)+с=((a0, a1)+(b0, b1))+(с0, с1)=((a0+b0)+с0, (a1+b1)+с1), а+(b+с)=(a0, a1)+((b0, b1)+(с0, с1))=(a0+(b0+с0), a1+(b1+с1)).

В силу ассоциативности сложения одномерных пифагоровых чисел (а+b)+с=а+(b+с).

2. Коммутативность сложения:

а+b=(a0, a1)+(b0, b1)=(a0+b0, a1+b1), b+а=(b0, b1)+(a0, a1)= (b0+a0, b1+a1).

В силу коммутативности сложения одномерных пифагоровых чисел вещественных чисел а+b=b+а.

3. Наличие нуля:

а+0=(a0, a1)+(0, 0)= (a0+0, a1+0)=(a0 a1), т.е. а+0= а, так что пара (0, 0) отождествляется с целым числом 0.

4. Наличие противоположного числа:

а+(-а)=(a0, a1)+ (-a0, -a1)= (a0-a0, a1-a1)= (0, 0), т.е. а+(-а)=0, так что пара (-a0, -a1) отождествляется с числом –а.

5. Ассоциативность умножения:

(аb)с=((a0, a1)(b0, b1))(с0, с1)=(a0b0-b1a1, a0b1+b0a1)(с0, с1)= =((a0b0-b1a1)с0-с1(a0b1+b0a1), (a0b0-b1a1)с1+с0(a0b1+b0a1)), а(bс)=(a0, a1)((b0, b1)(с0, с1))= (a0, a1)(b0с0-с1b1, b0с1+с0b1)= =(a0(b0с0-с1b1)-(b0с1+с0b1)a1, a0(b0с1+с0b1)+(b0с0-с1b1)a1).

В силу коммутативности умножения одномерных пифагоровых чисел (аb)с=а(bс).

6. Коммутативность умножения:

аb=(a0, a1)(b0, b1)=(a0b0-b1a1, a0b1+b0a1), bа=(b0, b1)(a0, a1)=(b0a0-a1b1, b0a1+a0b1).

В силу коммутативности умножения одномерных чисел аb=bа.

7. Дистрибутивность:

(а+ b)с=((a0, a1)+(b0, b1))(с0, с1)=(a0+b0, a1+b1)(с0, с1)= = ((a0+b0)с0-с1(a1+b1), (a0+b0)с1+с0(a1+b1)), ас+bс =(a0с0-с1a1, a0с1+с0a1)+(b0с0-с1b1, b0с1+с0b1)= = ((a0+b0)с0-с1(a1+b1), (a0+b0)с1+с0(a1+b1)), т.е.(а+b)с=ас+bс.

8. Наличие единицы:

а1=(a0, a1)(1, 0)= (a01+0a1, a00+1a1)= (a0, a1), Итак, двумерные пифагоровы числа составляют коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей.

9. Обратное число отсутствует. Отсутствует также операция деления.

В координатной форме записи операция умножения двух двумерных пифагоровых чисел может быть представлена в виде:

ab=(a0b0- b1a1, a0b1+b0a1).

Четырехмерные пифагоровы числа Четырехмерными пифагоровыми числами а назовем упорядоченные пары а=(a0,a1) двумерных чисел аi, для которых понятия равенства, суммы, произведения и отождествления некоторых пар с двумерными пифагоровыми числами вводятся согласно следующим определениям (аксиомам):

1. Пары двумерных чисел а=(a0, a1) и b=(b0, b1) считаются равными в том и только в том случае, когда равны их соответствующие компоненты a0=b0, a1=b1.

В символической записи:

2. Суммой пар а=(a0,a1) и b=(b0,b1) называется пара а+b=(a0+b0, a1+b1), т.е.

а+b=(a0,a1)+(b0,b1)= (a0+b0,a1+b1).

3. Произведением пар а=(a0,a1) и b=(b0,b1) назовем пару аb=(a0b0-b1 a 1, a 0b1+b0a1), т.е. аb=(a0,a1)(b0,b1)=(a0b0-b1 a 1, a 0b1+b0a1).

4. Число (a0, 0) отождествляется с двумерным пифагоровым числом.

Пары а=(a0,a1) и a =( a 0,-a1), отличающиеся сопряжением первой и знаком второй компоненты, назовем сопряженными. Умножив сопряженные пары а a = (a0,a1)( a 0,-a1)=(a0 a 0-a1 a 1,- a 0а1+ a 0a1)=(|a0|2+|a1|2,0), т.е.а a = |a0|2 +|a1|2, так что их произведение равно целому числу, которое равно нулю только, если: |a0|2=|а1|2=0.

Четырехмерные числа обладают следующими свойствами:

1. a = ( a0,a1 ) =( a 0, a1)= (a0, a1)= a, 2. ab =( a0 b0 - b1 a1, -( a 0b1+b0a1))= =(b 0 a 0-a1 b 1, -( a 0b1+b0a1)), b a = (b 0, -b1) ( a 0, -a1)= (b 0 a 0-a1 b 1, -(b0 a1+ a 0b1)), 3. a+ a =(a0,, a1)+( a 0,,-a1)=(a0+ a 0, 0), т.е. сумма сопряженных чисел является целым числом.

Свойства действий.

1. Ассоциативность сложения:

(а+b)+с=((a0, a1)+(b0, b1))+(с0, с1)=((a0+b0)+с0, (a1+b1)+с1), а+(b+с)=(a0, a1)+((b0, b1)+(с0, с1))=(a0+(b0+с0), a1+(b1+с1)).

В силу ассоциативности сложения двумерных чисел (а+b)+с=а+(b+с).

2. Коммутативность сложения:

а+b=(a0, a1)+(b0, b1)=(a0+b0, a1+b1), b+а=(b0, b1)+(a0, a1)= (b0+a0, b1+a1).

В силу коммутативности сложения двумерных чисел а+b=b+а.

3. Наличие нуля:

а+0=(a0,a1)+(0,0)= (a0+0, a10)=(a0,a1), т.е. а+0= а, так что пара (0, 0) отождествляется с одномерным числом 0.

4. Наличие противоположного числа:

а+(-а)=(a0,a1)+(-a0,-a1)=(a0-a0, a1-a1)= (0, 0), т.е. а+(-а)=0, так что пара (-a0, -a1) отождествляется с числом –а.

5. Ассоциативность умножения:

(аb)с=((a0,a1)(b0,b1))(с0,с1)=(a0b0-b1 a 1, a 0b1+b0a1)(с0, с1)= =((a0b0-b1 a 1)с0-с1( a 0 b1 b0 a1 ),( a0b0 ab1 a1 )с1+с0( a 0b1+b0a1))= =((a0b0-b1 a 1)с0-с1(b 1a 0+ a 1 b 0), (b 0 a 0-a1 b 1)с1+с0( a 0b1+b0a1)), а(bс)=(a0, a1)((b0, b1)(с0, с1))= (a0, a1)(b0с0-с1 b 1, b 0с1+с0b1)= =(a0(b 0с0-с1 b 1)-(b 0с1+с0b 1) a 1, a 0(b 0с1+с0b1)+(b0с0-с1 b 1)a1).

В силу коммутативности умножения двумерных чисел (аb)с=а(bс).

6. Не коммутативность умножения:

аb=(a0, a1)(b0, b1)=(a0b0-b1 a 1, a 0b1+b0a1), bа=(b0, b1)(a0, a1)=(b0a0-a1 b 1, b 0a1+a0b1).

В силу несовпадения правых сторон равенств аb bа.

7. Дистрибутивность:

(а+ b)с=((a0, a1)+(b0, b1))(с0, с1)=(a0+b0, a1+b1)(с0, с1)= = ((a0+b0)с0-с1( a1 b1 ), ( a0 b0 )с1+с0(a1+b1))= = ((a0+b0)с0-с1( a 1+b 1), ( a 0+b 0)с1+с0(a1+b1)), ас+bс =(a0с0-с1 a 1, a 0с1+с0a1)+(b0с0-с1 b 1, b 0с1+с0b1)= = ((a0+b0)с0-с1( a 1+b 1), ( a 0+b 0)с1+с0(a1+b1)), т.е.(а+b)с=ас+bс.

8. Наличие единицы:

а1=(a0, a1)(1, 0)= (a01-0 a 1, a 00+1a1)= (a0, a1)=а.

Итак, четырехмерные пифагоровы числа составляют некоммутативное, ассоциативное кольцо с единицей.

9. Обратное число отсутствует. Отсутствует также операция деления.

В координатной форме записи операция умножения двух четырехмерных пифагоровых чисел может быть представлена в виде:

ab=(a0b0 -b1a1. – b2a2- a3b3, a0b1+b0a1 + b2a3-a2b3, Восьмимерные пифагоровы числа Восьмимерными пифагоровыми числами а назовем упорядоченные пары а =(a0, a1) четырехмерных пифагоровых чисел аi, для которых понятия равенства, суммы, произведения и отождествления некоторых пар с четырехмерными пифагоровыми числами вводятся согласно следующим определениям (аксиомам):

Пары четырехмерных чисел а =(a0, a1) и b=(b0, b1) считаются равными в том и только в том случае, когда равны их соответствующие компоненты a0=b0, a1=b1.

В символической записи:

Суммой пар а=(a0, a1) и b=(b0, b1) назовем пару а +b=(a0+b0, a1+b1), т.е.

а+b=(a0, a1)+(b0, b1)= (a0+b0, a1+b1).

Произведением пар а =(a0, a1) и b=(b0, b1) называется пара аb=(a0b0-b1 a 1, a 0b1+b0a1), т.е.аb=(a0, a1)(b0, b1)=(a0b0-b1 a 1, a 0b1+b0a1), 4. Число (a0, 0) отождествляется с четырехмерным числом.

Пары а=(a0, a1) и a =( a 0, -a1), отличающиеся сопряжением первой и знаком второй компоненты, назовем сопряженными. Умножив сопряженные пары а a = (a0, a1)( a 0, -a1)=(a0 a 0+a1 a 1, - a 0а1+ a 0a1)=(|a0|+|a1|2, 0), т.е.а a = |a0| +|a1|2, так что их произведение равно целому числу, которое равно нулю, только если: |a0|2=|а1|2=0.

Восьмимерные числа обладают следующими свойствами:

= (b 0 a 0-a1 b 1, – ( a 0b1+b0a1)), b a = (b 0, -b1) ( a 0, -a1) = (b 0 a 0-a1 b 1, – (b0 a1+ a 0b1)), 3. a+ a =(a0,, a1)+( a 0,,-a1)=(a0+ a 0, 0), т.е. сумма сопряженных чисел является целым числом.

Свойства действий.

1. Ассоциативность сложения:

(а +b)+с =((a0, a1)+(b0, b1))+(с0, с1)=((a0+b0)+с0, (a1+b1)+с1), а +(b+с)=(a0, a1)+((b0, b1)+(с0, с1))=(a0+(b0+с0), a1+(b1+с1)).

В силу ассоциативности сложения четырехмерных чисел (а +b)+с = а +(b+с).

2. Коммутативность сложения:

а +b=(a0, a1)+(b0, b1)=(a0+b0, a1+b1), b +а=(b0, b1)+(a0, a1)= (b0+a0, b1+a1).

В силу коммутативности сложения четырехмерных чисел 3. Наличие нуля:

а+0=(a0, a1)+(0, 0)= (a0+0, a10)=(a0 a1), т.е. а+0= а, так что пара (0, 0) отождествляется с целым числом 0.

4. Наличие противоположного числа:

а +(-а)=(a0, a1)+ (-a0, -a1)= (a0-a0, a1-a1)= (0, 0), т.е. а +(-а)=0, так что пара (-a0, -a1) отождествляется с числом – а.

5. Альтернативность умножения:

(аb)b=((a0, a1)(b0, b1))( b0, b1)=(a0b0-b1 a 1, a 0b1+b0a1)(b 0, b1)= = ((a0b0-b1 a 1)b 0-b1( a 0 b1 b0 a1 ), ( a0 b0 - b1 a 1 )b1+b0( a 0b1+b0a1))= = ((a0b0-b1 a 1)b0-b1(b 1a 0+ a 1 b 0), (b 0 a 0-a1 b 1)b1+b0( a 0b1+b0a1)), а(bb)=(a0, a1)((b0, b1)( b0, b1))= (a0, a1)(b0b0-b1 b 1, b 0b1+b0b1)= = (a0 (b 0b0-b1 b 1)-(b 0b1+b0b 1) a 1, a 0(b 0b1+b0b1)+(b0b0-b1 b 1)a1).

В силу равенств b b и b+ b вещественным числам (аb)b= а(bb).

6. Не коммутативность умножения:

аb=(a0, a1)(b0, b1)=(a0b0-b1 a 1, a 0b1+b0a1), bа=(b0, b1)(a0, a1)=(b0a0-a1 b 1, b 0a1+a0b1).

В силу несовпадения правых сторон равенств аb bа.

7. Дистрибутивность:

(а + b)с =((a0, a1)+(b0, b1))(с0, с1)=(a0+b0, a1+b1)(с0, с1)= = ((a0+b0)с0-с1( a1 b1 ), ( a0 b0 )с1+с0(a1+b1))= = ((a0+b0)с0-с1( a 1+b 1), ( a 0+b 0)с1+с0(a1+b1)), а с +b с =(a0с0-с1 a 1, a 0с1+с0a1)+(b0с0-с1 b 1, b 0с1+с0b1)= = ((a0+b0)с0-с1( a 1+b 1), ( a 0+b 0)с1+с0(a1+b1)), т.е.(а +b) с = ас +bс.

8. Наличие единицы:

а 1=(a0, a1)(1, 0)= (a01-0 a 1, a 00+1a1)= (a0, a1)=а.

Итак, восьмимерные пифагоровы числа составляют некоммутативное, альтернативное кольцо с единицей.

9. Обратное число отсутствует. Отсутствует также операция деления.

В координатной форме записи операция умножения двух восьмимерных пифагоровых чисел может быть представлена в виде:

ab=(a0b0 -b1a1 –b2a2 -a3b3 -b4a4- a5b5- a6b6- b7a7, a0b1 +b0a1+b2a3 -a2b3 +b4a5- a4b5+a6b7- b6a7, a0b2 +b3a1+b0a2 -a3b1 +b4a6+a7b5- a4b6- b7a5, a0b3- b2a1+b0a3+a2b1 +b4a7- a6b5- a4b7+b6a5, a0b4 +b5a1+b6a2+a3b7 +b0a4- a5b1 – a6b2- b3a7, a0b5 -b4a1 –b6a3+a2b7 +b0a5+a4b1+a6b3- b2a7, a0b6 -b7a1 –b4a2+a3b5 +b0a6+a7b1+ a4b2-b3a5, a0b7 +b6a1 –b4a3 -a2b5 +b0a7- a6b1+a4b3+b2a5).

Особо отметим, что операцию умножения четырехмерных и, следовательно, восьмимерных пифагоровых чисел можно определить иначе, например, так:

произведением пар а=(a0, a1) и b=(b0, b1) можно назвать пару аb=(a0b0-b 1a1, a1 b 0+ b1a0), т.е. аb=(a0, a1)(b0, b1)= (a0b0-b 1a1, a1 b 0+ b1a0).

Особенностью и основным отличием пифагоровых чисел от гиперкомплексных чисел является то, что в качестве компонентов у них использованы целые числа, что определяет отсутствие обратных чисел и операции деления. Отсутствие деления, однако, позволяет получить не только 1, 2, 4, 8- мерные пифагоровы числа, но также 16, 32,…,2n- мерные числа. Это обеспечивает построение nмерных евклидовых геометрий высокой размерности. Кроме того пифагоровы числа обеспечивают равенство квадратов чисел сумме квадратов целых чисел.

Совершенно обособленно стоит операция умножения пифагоровых чисел, определяемая в случае двумерных чисел величиной аb=(a0b0+b1a1, a1b0-b1a0).

Такое произведение уже в двумерном случае определяет не коммутативность операций. Результат умножения при этом (как показано ниже) имеет тоже значение, но компоненты другие. Необходимость введения новых понятий для пифагоровых чисел связано с изучением многомерных геометрических величин, в частности, многомерных евклидовых геометрий.

В качестве примеров рассмотрим пифагоровы двойки, четверки и восьмерки чисел. В двумерном варианте пифагоровых чисел мы имеем дело с парой координат и гипотенузой прямоугольных треугольников, т.е. с тройками Пифагора, определяемых уравнением t2-( x12+ x22)=0, которое может быть представлено также в виде (m2+n2)2-((2m n)2+(m2-n2)2)=0, или, полагая n=m+k,- в виде (2m2+2mk+k 2)2-((2m2+2m k) 2+ (2mk+k2)) =0.

Где числа x1,x2,t характеризуют соответственно катеты и гипотенузу прямоугольных треугольников, причем гипотенуза t играет вспомогательную роль и может быть не указана, так что рассматриваются пары или тройки чисел без участия гипотенуз в операциях.

Обозначим через a, b и c значения пар пифагоровых чисел (катетов) в виде пар одномерных пифагоровых чисел a=(a0,a1), b=(b0,b1), c=(c0,c1).

Суммой и произведением пар а=(a0, a1) и b=(b0, b1) назовем пары а+b=(a0,a1)+(b0,b1)=(a0+b0,a1+b1) т.е. а+b=(a0+b0,a1+b1), и с=аb=(a0b0-b1a1, a0b1+b0a1), т.е. с=аb=(a0,a1)(b0,b1)=(a0b0+b1a1,a0b1+b0a1)=(c0,c1), или с=аb=(a0,a1)(b0,b1)=(a0b0-b1a1,a0b1+b0a1)=(c0,c1).

Приведем примеры сумм и произведений двумерных пифагоровых чисел, записанных в виде пифагоровых троек.

Операция сложения c=а+b=(a0+b0,a1+b1), продемонстрирована в таблицах 1 и 2. В них осуществлено попарное сложение всех трех составляющих двумерных пифагоровых чисел. Для упрощения результата сложения взята полусумма попарных сложений и их полуразность. При совпадении слагаемых чисел a и b результат вычитания равен нулю.

(4,3,5)+(8,15,17)=(2,6,9,11) (12,5,13)+(8,15,17)=(1,2,2,3) (4,3,5)+(24,7,25)=(2,14,5,15) (12,5,13)+(24,7,25)=(1,18,6,19) (8,15,17)+(24,7,25)=(8,16,11,21) (4,3,5)+(20,21,29)=(1,12,12, ) (12,5,13)+(20,21,29)=(4,16,13,21) (8,15,17)+(20,21,29)=(3,14,18,23) (4,3,5)+(12,35,37)=(4,8,19,21) (12,5,13)+(12,35,37)=(9,12,20,25) (8,15,17)+(12,35,37)=(2,10,25,27) Суммирование осуществляется совершенно аналогично операции суммирования вещественных чисел. Вместе с тем, как видно из таблиц 1 и 2 суммирование пифагоровых пар (a1,a2)+(b1,b2)=(с0,c1,c2) приводит к появлению пифагоровых троек чисел, поэтому пифагорову пару нужно рассматривать как пифагорову тройку чисел с нулевой первой координатой, а результат суммирования повышает размерность чисел. Суммирование последовательности пифагоровых троек осуществляется также попарно, причем принципиально важно иметь фиксированное положение четной и не четной координат пифагорового числа. В противном случае использование полусуммы и полуразности слагаемых недопустимо. Отметим, что операция суммирования приводит к евклидовому характеру результата т. е. квадрат значения результата определяется суммой квадратов теперь уже трех координат, а операция вычитания приводит к псевдоевклидовому характеру результата, т. е. квадрат значения результата определяется алгебраической суммой координат. Причем значение новой координаты равняется одной и той же величине c0=const.

Пифагоровы числа могут представлять собой пару пространственных координат (или катетов прямоугольных треугольников).

Особым образом фигурирует в пифагоровых тройках гипотенуза прямоугольного треугольника t и, как отмечалось выше, может не указываться. Очевидно, что имеют место два типа произведения.

Один из них- указанный тип представления пространственных координат (катетов) c=ab=(a0b0-b1 a 1, a 0b1+b0a1), произведения ab, а второй – отличается знаками слагаемых составляющих координаты ab. Это дает для произведения двух величин два различных c=ab=(a0b0+b1 a 1, a 0b1-b0a1).

Операции умножения продемонстрированы в таблице 2 и 3.

Умножение осуществляется в соответствии с этими операциями и результатом его является также двумерное пифагорово число. При умножении равных чисел в умножении второго типа координата c обращается в нуль. Аналогично при умножении сопряженных чисел в умножении первого типа координата c1 обращается в нуль. В этом случае координата c0 характеризует значение t. При умножении отличающихся чисел a и b координата c0 также характеризует значение t, однако, значение c1 для произведений двух типов различно. Значение t совпадает с произведением t=ta*tb.

Отметим, что данное представление операций сложения и умножения пифагоровых троек позволяет применить их к сложению и умножению не только чисел (таблица 4), но и их последовательностей. Некоторые из последовательностей чисел приведены в таблице 5. В этом случае осуществляется построчное суммирование или умножение пифагоровых троек c катетами x1, x2 и гипотенузой t.

65=5*13=(4,3,5)*(12,5,13) (4*12- (33,56,65) 85=5*17=(4,3,5)*(8,15,17) (4*8- (-13,84,85) 365=5*73=(4,3,5)*(48,55,7 (4*48- (27,364,365) -Для последовательностей чисел, характеризующих гипотенузы прямоугольных треугольников использовано рекуррентное соотношение tn+1=6tn-tn-1, а для последовательностей чисел, характеризующих катеты прямоугольных треугольников – соотношение tn+1=5(tn+tn-1)-tn-2, Таким образом, сложение и умножение пифагоровых троек осуществляются весьма своеобразными способами. При этом выполняется соотношение t2-( x12+ x22)=0.

Это уравнение соответствует двумерному уравнению Пифагора. Приведенное уравнение, однако, определяет частный случай соотношения для квадрата интервала трехмерного пространствавремени, используемого в теории поля и частной теории относительности t2-( x12+ x22)=±x02.

При этом один из знаков x0=const соответствует времени подобному, а другой пространственно подобному случаю. Если x0=0, то это соответствует уравнению «светового конуса» [2].

Естественно сразу возникает вопрос о свойствах чисел, характеризующих четырехмерное пространство-время.В двумерном варианте пифагоровых чисел мы имеем дело с парами (тройками чисел Пифагора). В трехмерном варианте пифагоровых чисел необходимо иметь дело уже с четверками чисел. Причем операция сложения добавляет одну координату a0=const, так что, можно писать a=(a0,a1,a2,a3,t), или еще проще a=(a0,a1,a2,a3) Эти числа, рассматриваемые как четверки одномерных пифагоровых чисел, можно представить умножением пар двумерных пифагоровых чисел в виде a=(a0,a1), b=(b0,b1), c=(c0,c1).

В этом случае c=(a0b0-b1 a 1, a 0b1+b0a1)= =((a0,a1)(b0,b1)-(b2,b3)( a 2,-a3),( a 0,-a1)(b2,b3)+(b0,b1)(a2,a3))= =((a0b0 –b1 a 1, a 0b1+b0a1)- (b2 a 2+a3 b3,-b2 a3+ a 2b3), ( a 0b2+b3a1, a 0b3 –b2a1)+(b0 a2 –a3 b 1, b 0a3+a2 b1))= =((a0b0-b1 a 1, a 0b1+b0a1)- (b2 a 2+a3 b3,-b2 a3+ a 2b3), ( a 0b2+b3a1, a 0b3 –b2a1)+(b0 a2 –a3 b 1, b 0a3+a2 b1)), c=(a0b0 –b1 a 1-b2 a 2-a3b3, a 0b1+b0a1+b2a3- a 2b3, a 0b2+b3a1+b0a2-a3 b 1, a 0b3 –b2a1+b 0a3+a2b1), т.е. c=(a0b0 – b1 a 1- b2 a 2 – a3b3, a 0b1+b0a1 +b2a3 – a 2b3, a 0b2+b3a1 +b0a2 – a3 b 1, a 0b3 – b2a1 +b 0a3 +a2b1)=(c0,c1,c2,c3).

Для одномерных пифагоровых чисел a =a и, следовательно, c=(a0b0 – b1a1-b2a2- a3b3, a0b1+b0a1+b2a3- a2b3, a0b2+b3a1+b0a2- a3b1, a0b3 – b2a1+b0a3+a2b1)=(c0,c1,c2,c3), Аналогично для произведения второго типа имеем c=(a0b0+b1a1+b2a2+a3b3, a0b1 – b0a1+b2a3 – a2b3, a0b2 +b3a1 – b0a2 – a3b1, a0b3 – b2a1 – b0a3 +a2b1)=(c0,c1,c2,c3).

Таким образом, определены операции умножения четырехмерных пифагоровых чисел. Пример выполнения операции умножения для последовательностей пифагоровых чисел приведен в таблице 6.

В этой таблице построчно умножаются пифагоровы четверки a=(a0,a1,a2,a3) и b=(b0,b1,b2,b3).

Результатом умножения являются также пифагоровы четверки c=(c0,c1,c2,c3) и d=(d0,d1,d2,d3), причем c относится к умножению первого типа, а d – к умножению второго типа. Очевидно, что все координаты чисел c и d различны, а результат совпадает т.е. c=d.

При этом выполняются соотношения с2-(c12+c22+c32),=±c02, d2-(d12+d22+d32),=±d а при c0=d0=0 эти уравнения обращаются в трехмерное уравнение Пифагора. Приведенное соотношение определяет квадрат интервала четырехмерного пространства-времени, используемого в теории поля и частной теории относительности. При этом один из знаков при c или d соответствует времени подобному, а другой пространственно подобному случаю. Если c0=d0=0, то это соответствует уравнению «светового конуса» [2].

Естественно сразу возникает вопрос о свойствах чисел, характеризующих восьмимерное пространство-время [3]. В двумерном варианте пифагоровых чисел мы имеем дело с парами (с учетом tтройками чисел Пифагора). В четырехмерном варианте пифагоровых чисел необходимо иметь дело уже с четверками (пятерками чисел Пифагора), а в восьмимерном варианте – с восьмерками (девятками чисел Пифагора) a=(a0,a1,…,a7,t), или еще проще a=(a0,a1,…,a7).

Эти числа, рассматриваемые как восьмерки одномерных пифагоровых чисел, можно представить умножением пар четырехмерных пифагоровых чисел в виде a=(a0,a1), b=(b0,b1), c=(c0,c1).

В этом случае c=(a0b0-b1 a 1, a 0b1+b0a1)= =((a0,a1)(b0,b1)-(b2,b3)( a 2,-a3),( a 0,-a1)(b2,b3)+(b0,b1)(a2,a3))= =((a0b0 –b1 a 1, a 0b1+b0a1)- (b2 a 2+a3 b3,-b2 a3+ a 2b3), ( a 0b2+b3a1, a 0b3 –b2a1)+(b0 a2 –a3 b 1, b 0a3+a2 b1))= =((a0b0-b1 a 1, a 0b1+b0a1)- (b2 a 2+a3 b3,-b2 a3+ a 2b3), ( a 0b2+b3a1, a 0b3 –b2a1)+(b0 a2 –a3 b 1, b 0a3+a2 b1)), c=(a0b0 –b1 a 1-b2 a 2-a3b3, a 0b1+b0a1+b2a3- a 2b3, a 0b2+b3a1+b0a2-a3 b 1, a 0b3 –b2a1+b 0a3+a2b1), a 0b1+b0a1 +b2a3 – a 2b3, a 0b2+b3a1 +b0a2 – a3 b 1, a 0b3 – b2a1 +b 0a3 +a2b1)=(c0,c1,c2,c3).

Для четырехмерных пифагоровых чисел a =( a 0,,-a1) и, следовательно, c= a0b0 -b1a1 -b2a2 -a3b3 – a4b4 –b5a5 –b6a6 –a7b7, a0b1+b0a1+b2a3 -a2b3+b4a5 –a4b5+a6b7 –b6a7, a0b2+b3a1+b0a2 -a3b1+ a6b4+b7a5-b4a6 +a7b5, a0b3 –b2a1 +b0a3+a2b3+ a4b7 -b6a5 –b4a7+a6b5, a0b4+b5a1+b6a2+a3b7+b0a4 -a5b1 –a6b2 -b3a7, a0b5 –b4a1 -b6a3+a2b7 +b0a5+a4b1+a6b3 -b2a7, a0b6 –b7a1 -b4a2+a3b5+b0a6+a7b1+a4b2 -b3a5, a0b7+b6a1 –b4a3 -a2b5+b0a7 -a6b1+a4b3+b2a5.

Аналогично для произведения второго типа имеем c= a0b0 +b1a1 +b2a2 +a3b3+b4a4+a5b5+a6b6+b7a a0b1-b0a1+b2a3 –a2b3+b4a5-a4b5+a6b7-b6a a0b2+b3a1-b0a2 –a3b +b4a6+a7b5-a4b6-b7a a0b3 –b2a1-b0a3+a2b3+ a4b7 –b6a5-b4a7+a6b5, a0b4+b5a1+b6a2+a3b7-b0a4-a5b1-a6b2-b3a7, a0b5-b4a1-b6a3+a2b7-b0a5+a4b1+a6b3-b2a7, a0b6-b7a1-b4a2+a3b5-b0a6+a7b1+a4b2-b3a5, a0b7+b6a1-b4a3-a2b5-b0a7-a6b1+a4b3+b2a5.

Таким образом, определены операции умножения восьмимерных пифагоровых чисел. Пример выполнения операции умножения для последовательностей восьмимерных пифагоровых чисел приведен в таблице 7.

В этой таблице построчно умножаются пифагоровы восьмерки a=(a0,a1,…,a7) и b=(b0,b1,…,b7).

Результатом умножения являются пифагоровы восьмерки c=(c0,c1,…,c7) и d=(d0,d1,…,d7), причем c относится к умножению первого типа, а d – к умножению второго типа. Очевидно, что все координаты чисел c и d различны, а результат совпадает, т.е. c=d=ab.

При этом выполняется соотношение с2-(c12+c22+,..,+c72),=±c02, а при c0=0 это уравнение обращается в восьмимерное уравнение Пифагора. Приведенное соотношение определяет квадрат интервала восьмимерного пространства-времени, используемого в теории поля и частной теории относительности. При этом один из знаков соответствует времени подобному, а другой пространственно подобному случаю. Если c0=0, то это соответствует уравнению «светового конуса» [2].

Четырехмерное пространство – время является частным случаем восьмимерного пространства – времени, которое получается из него пренебрежением четырьмя пространственными координатами.

Аналогичным образом, четырехмерные пифагоровы числа являются частным случаем восьмимерных пифагоровых чисел. Двумерные пифагоровы числа являются частным случаем четырехмерных и восьмимерных пифагоровых чисел. При этом также пренебрегаются значения четырех, либо шести координат.

1. Коротков А. В. Элементы псевдоевклидового трех- и семимерного векторных исчислений. Новочеркасск: Набла, 2004. – 79 с.

2. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теория поля. М: Наука, 1988. – 512 с.

МНОГОМЕРНЫЕ АЛГЕБРЫ ПОЛЕЙ СРАВНЕНИЙ

Алгебра одномерных полей сравнений Алгеброй одномерных полей сравнений по mod=2 назовем класс S объектов a=(a1), b=(b1), c=(c1), …, в котором определены две бинарные операции, обозначаемые как (логические) сложение и умножение, со следующими свойствами:

операция сложения операция умножения Для всех a=(a1), b=(b1), c=(c1), … из S имеют место 1) (замкнутость) S содержит (a1)+(b1)=(a1+b1);

(a1)(b1)=(a1b1);

2) (коммутативные законы) (a1)+(b1)=(b1)+(a1), т.е. a+b= b+a;

(a1)(b1)=(b1)(a1), т.е. ab= ba;

3) (ассоциативные законы) (a1)+((b1)+(c1))=((a1)+(b1))+(c1), т.е. a+(b+c)=(a+b)+c;

(a1)((b1)(c1))=((a1)(b1))(c1), т.е. a(bc)=(ab)c;

4) (дистрибутивные законы) (a1)((b1)+(c1))=(a1)(b1)+(a1)(c1), т.е. a(b+c)=(ab)+(ac);

5) (свойства идемпотентности) (a1)+(a1)=0, т.е. a+a=0, (a1)(a1)=a1, т.е. aa=a;

6) (свойства совместимости) – (не используются) 7) S содержит элементы 1=(1), 0=(0) такие, что для всякого элемента a=(a1) из S (a1)+(0)=(a1), т.е. a+0=a, (a1)(1)=(a1), т.е. a1=a, (a1)(0)=(0), т.е. a0=0, (a1)+(1)=( a 1), т.е. a+1=a ;

8)для каждого элемента a=(a1) класс S содержит элемент a =(a 1) (дополнение элемента a=(a1)) такой, что (a1)+( a 1)=1, т.е. a+ a =1, (a1)( a 1)=0, т.е. aa =0.

В алгебре одномерных полей сравнений имеют место:

9) законы поглощения (a1)((a1)+(b1))=(a1)+(a1)(b1)=(a1)((1)+(b1))=(a1)( b 1), т.е. a(a+b)= (a1)+((a1)(b1))=(a1)((1)+(b1))=(a1)( b 1), т.е. a+ab=ab ;

10) двойственность, (законы де Моргана) (a1 ) (b1 ) =( a 1)( b 1)+(a1)(b1), т.е. a b =a b +ab, 11) ( a 1)=(a1), т.е. a = a, (1 )=(0), т.е. 1=0, (0 )=(1), т.е. 0 =1;

12) (a1)( b 1)+( a 1)(b1)=(a1)+(b1), т.е. ab +a b=a+b, (a1)(( a 1)+(b1))=(a1)(b1), т.е. a(a +b)=ab.

Приведем таблицу истинности для полей вычетов по модулю 2.

В таблице 1 две переменные a и b с двумя состояниями 0 и 1 образуют четыре комбинации состояний и зависящие от них 16 функций двух переменных. Выполнение операций подтверждается таблицей истинности.

Алгеброй двумерных полей сравнений по mod=2 назовем класс S объектов a=(a1, a2), b=(b1, b2), c=(c1, c2), …, в котором определены две бинарные операции, обозначаемые как (логические) сложение и умножение, со следующими свойствами:

для всех a=(a1, a2), b=(b1, b2), c=(c1, c2), … из S имеют место 1) (замкнутость) S содержит (a1, a2)+(b1, b2)=(a1+b1, a2+b2)=a+b;

(a1, a2)(b1, b2)=(a1b1, a2b2)=ab;

2) (коммутативные законы) (a1, a2)+(b1, b2)= (a1+b1, a2+b2) (b1, b2)+(a1, a2)= (b1+a1, b2+a2), т.е. a+b= b+a;

(a1, a2)(b1, b2)= (a1b1, a2b2) (b1, b2)(a1, a2)= (b1a1, b2a2), 3) (ассоциативные законы) (a1, a2)+((b1, b2)+(c1, c2))= (a1+(b1+c1), a2+(b2+c2)), ((a1, a2)+(b1, b2))+(c1, c2)= ((a1+b1)+c1, (a2+b2)+c2), т.е. a+(b+c)=(a+b)+c;

(a1, a2)((b1, b2)(c1, c2))= (a1(b1c1), a2(b2c2)) ((a1, a2)(b1, b2))(c1, c2)= ((a1b1)c1, (a2b2)c2), т.е. a(bc)=(ab)c;

4) (дистрибутивные законы) (a1, a2)((b1, b2)+(c1, c2))=(a1(b1+c1), a2(b2+c2)), (a1,a2)(b1,b2)+(a1,a2)(c1,c2)=(a1b1+a1c1, a2b2+a2c2), т.е. a(b+c)=(ab)+(ac);

5) (свойства идемпотентности) (a1, a2)+(a1, a2)=(0, 0), т.е. a+a=0, (a1, a2)(a1, a2)=(a1, a2), т.е. aa=a;

6) (свойства совместимости) – (не используются);

(a1, a2)+(0, 0)=(a1, a2), т.е. a+0=a, (a1, a2)(1, 1)=(a1, a2), т.е. a1=a, (a1, a2)(0, 0)=(0, 0), т.е. a0=0, (a1, a2)+(1, 1)=( a 1, a 2), т.е. a+1=a ;

8) для каждого элемента a=(a1, a2) класс S содержит элемент a =( a 1, a 2) (дополнение элемента a=(a1, a2)) такой, что (a1, a2)+( a 1, a 2)=(a1+ a 1, a2+ a 2)=(1, 1), т.е. a+a =1, (a1, a2)( a 1, a 2)= (a1 a 1, a2 a 2)=(0, 0), т.е. aa =0.

В каждой алгебре двумерных полей сравнений по mod=2 имеют место:

9) (законы поглощения) (a1,a2)((a1,a2)+(b1,b2))=(a1(a1+b1),a2(a2+b2))=(a1 b 1,a2 b 2), т.е. a(a+b)=ab, (a1,a2)+((a1,a2)(b1,b2))=(a1+(a1b1),a2+(a2b2))=(a1 b 1,a2 b 2), т.е. a+ab=ab ;

10) (двойственность, законы де Моргана) = ( a 1 b 1+a1b1),(a 2 b 2+a2b2)=(a 1,a 2)( b 1, b 2)+(a1,a2)(b1,b2), =( a 1+ a1 b 1,a 2+a2 b 2)=( a 1,a 2)+(a1,a2)( b 1, b 2), = (a1+b1, a2+b2) = (a1,a2)+(b1,b2), т.е. ab +a b=a + b, (a1, a2)(( a 1,a 2)+(b1,b2)) = (a1( a 1+b1), a2(a 2+b2))= = (a1b1, a2b2) = (a1,a2)(b1,b2), т.е. a(a +b)=ab.

Алгеброй n-мерных полей сравнений по mod=2 назовем класс S объектов a=(a1,a2,…,an),b=(b1,b2,…,bn),c=(c1,c2,…,cn),…,в котором определены две бинарные операции, обозначаемые как (логические) сложение и умножение, со следующими свойствами:

для всех a=(a1,a2,…,an), b=(b1,b2,…,bn), c=(c1,c2,…,cn), … из S имеют место 1) (замкнутость) S содержит (a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn)=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)=a+b;

(a1,a2,…,an)(b1,b2,…,bn)=(a1b1,a2b2,…,anbn)=ab;

2) (коммутативные законы) (a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn)=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn) (b1,b2,…,bn)+(a1,a2,…,an)=(b1+a1,b2+a2,…,bn+an), т.е. a+b= b+a (a1,a2,…,an)(b1,b2,…,bn)=(a1b1, a2b2,…,anbn) (b1,b2,…,bn)(a1,a2,…,an)=(b1a1,b2a2,…,bnan), т.е. ab= ba;

3) (ассоциативные законы) (a1,a2,…,an)+((b1,b2,…,bn)+(c1,c2,…,cn))=(a1+(b1+c1),a2+(b2+c2),…, an+(bn+cn)) ((a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn))+(c1,c2,…,cn)=((a1+b1)+c1,(a2+b2)+c2,…, (an+bn)+cn), т.е. a+(b+c)=(a+b)+c (a1,a2,…,an)((b1,b2,…,bn)(c1,c2,…,cn))= (a1(b1c1),a2(b2c2),…,an(bncn)) ((a1,a2,…,an)(b1,b2,…,bn))(c1,c2,…,cn)= ((a1b1)c1,(a2b2)c2,…,(anbn)cn), т.е. a(bc)=(ab)c;

4) (дистрибутивные законы) (a1,a2,…,an)((b1,b2,…,bn)+(c1,c2,…,cn))=(a1(b1+c1),a2(b2+c2),…, an(bn+cn)) (a1,a2,…,an)(b1,b2,…,bn)+(a1,a2,…,an)(c1,c2,…,cn)= =(a1b1+a1c1, a2b2+a2c2,…,anbn+ancn), т.е. a(b+c)=(ab)+(ac);

5) (свойства идемпотентности) (a1,a2,…,an)+(a1,a2,…,an)=(0,0,…,0), т.е. a+a=0, (a1,a2,…,an)(a1,a2,…,an)=(a1,a2,…,an), т.е. aa=a;

6) (свойства совместимости) – (не используются);

7) S содержит элементы 1=(1,1,…,1) и 0=(0,0,...,0) такие, что для всякого элемента a=(a1,a2,…,an) из S (a1,a2,…,an)+(0,0,…,0)=(a1,a2,…,an), т.е. a+0=a (a1,a2,…, an)(1,1,…,1)=(a1,a2,…,an), т.е. a1=a (a1,a2,…,an)(0,0,…,0)=(0,0,…,0), т.е. a0= (a1,a2,…,an)+(1,1,…,1)=( a 1, a 2,…, a n), т.е. a+1=a ;

8) для каждого элемента a=(a1,a2,…,an) класс S содержит элемент a =(a 1,a 2,…, a n) (дополнение элемента a=(a1, a2,…, an)) такой, что (a1,a2,…,an)+( a 1,a 2,…, a n)=(a1+ a 1,a2+a 2,…,an+a n)=(1,1,…,1), (a1,a2,…,an)( a 1,a 2,…,a n)= (a1 a 1,a2a 2,…,an a n)=(0,0,…,0), В каждой алгебре n-мерных полей сравнений по mod=2 имеют место:

9) (законы поглощения) (a1,a2,…, an)((a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn))= =(a1(a1+b1),a2(a2+b2),…,an(an+bn))=(a1 b 1,a2 b 2,…,an b n), т.е. a(a+b)=ab, (a1,a2,…,an)+((a1,a2,…,an)(b1,b2,…,bn))= =(a1+(a1b1),a2+(a2b2),…,an+(anbn))=(a1 b 1,a2 b 2,…,an b n), т.е. a+ab=ab ;

10) (двойственность, законы де Моргана) =( a 1 b 1+a1b1,a 2 b 2+a2b2,…, a n b n+anbn)= =( a 1,a 2,…,a n)( b 1, b 2,…, b n)+(a1,a2,…,an)(b1,b2,…,bn), =( a 1+ a1 b 1,a 2+ a2 b 2,…, a n+ an b n)=( a 1,a 2,…, a n)+( b 1, b 2,…, b n), 11) (a1, a 2,...,a n ) = (a 1, a 2,...,a n ) =(a1, a2,…, an), т.е. a =a, (1, 1,...,1)=(1,1,…,1 )=(0, 0,…,0), т.е. 1 =0, ( 0, 0,...,0)=( 0, 0,…, 0 )=(1, 1,…,1), т.е. 0 =1;

(a1,a2,…,an)( b 1, b 2)+( a 1,a 2,…, a n)(b1,b2,…,bn)= =(a1 b 1+a 1b1,a2 b 2+a 2b2,…,an b n+a nbn)= =(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)=(a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn), т.е. ab +a b=a+b, (a1,a2,…,an)(( a 1,a 2,…, a n)+(b1,b2,…,bn))= =(a1(a 1+b1),a2(a 2+b2),…,an(a n+bn))= =(a1b1,a2b2,…,anbn)=(a1,a2,…,an)(b1,b2,…,bn), т.е. a(a +b)=ab.

Таким образом, свойства алгебр многомерных полей сравнений по mod=2 повторяют свойства алгебры одномерных полей сравнений по mod=2. Вместе с тем эти алгебры создают прецедент по отношению к булевым алгебрам в связи с изменением операции логического сложения, а, следовательно, требуют расширения понятий основ кибернетики, алгебры классов, теории множеств и топологии по отношению к операциям логического сложения (объединения), логического умножения (пересечения) и взятия дополнения. Тоже самое можно сказать и о сферах технического, физического, биологического и других применениях отмеченных алгебр.

a(a+b) a+ab a +a b a( a +b) 1. Коротков А. В. Не булевы алгебры логики// Информационные системы и технологии. Теория и практика: сб. науч. тр. под ред.

А. Н. Березы. Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2008. – 188 с. (с23А. В. КОРОТКОВ

МНОГОЗНАЧНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

Пусть m – данное натуральное число. Все целые числа по отношению к числу m естественно разбиваются [1] на m классов, если отнести к одному классу числа, дающие один и тот же остаток при делении на m. Так, если m=2, целые числа разбиваются на классы четных и нечетных чисел. Если m=4, классы в этом смысле составляют числа вида 4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3 при целых k и т. д. Числа, относящиеся к одному классу, называются сравнимыми, и изучение свойств классов носит название теории сравнений. Переходим к определениям относящихся сюда понятий.

1. Определение и простейшие свойства. Пусть m – натуральное число. Два целых числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если их разность а-b делится на m. Высказывание «а и b сравнимы по модулю m» записывается в виде а=b(mod m).

Предложение 1. а=a (mod m); далее, если а=b (mod m), то b=a (mod m); если a=b(mod m) и b= c (modm), то а=с (mod m).

Именно эти свойства сравнений позволяют заключить, что каждое целое число попадает в один и только один класс попарно сравнимых между собой целых чисел. Эти классы называются классами вычетов по модулю m или просто классами по модулю т.

П р е д л о ж е н и е 2. Каждое целое число сравнимо по модулю m с одним и только одним из чисел ряда 0, 1,..., m-1.

Каждый класс по модулю т действительно состоит из чисел, дающих один и тот же остаток при делении на т.

Любая совокупность чисел, взятых по одному из каждого класса по модулю т, называется полной системой вычетов по модулю m. Например, числа 0, 1,..., m-1 образуют полную систему вычетов.

П р е д л о ж е н и е 3. Если а1=a2(mod m) и b1=b2(mod m), то П р е д л о ж е н и е 4. Если а1=a2(mod m) и b1=b2(mod m), то a b1=a 2 b 2 (mod m).

В частности, если a1=a 2 (mod m) и с–любое целое число, то a1c=a2c(mod m).

Предложение 5. Если са 1 =са 2 (mod m) и число с взаимно просто с m, то а1 =a2(mod m).

Таким образом, обе части сравнения можно сократить на множитель, взаимно простой с модулем. Без предположения о взаимной простоте это, вообще говоря, делать нельзя. Так, 2=6 (mod 4), но 13(mod 4).

2. Действия над классами. Пусть m=4. Мы можем записать «суммы», «разности» и «произведения», руководствуясь сложением, вычитанием и умножением чисел (все равно каких), взятых из соответствующих классов.

То же самое имеет место при любом m. Для того чтобы указать класс, к которому принадлежит сумма, разность или произведение двух чисел, нам достаточно знать классы, к которым эти числа принадлежат, а как они выбраны внутри классов – на результате не сказывается. Это обстоятельство делает естественными следующие определения.

Суммой двух классов по модулю m называется класс по модулю m, к которому принадлежит сумма каких-либо чисел из слагаемых классов.

Произведением двух классов по модулю m называется класс по модулю m, к которому принадлежит произведение каких-либо чисел из перемножаемых классов.

В силу предложений 3, 4 эти определения корректны – какие бы числа из двух данных классов мы ни выбрали, их сумма и их произведение будут принадлежать вполне определенным классам, не зависящим от выбора чисел внутри данных классов.

Пример. Приведем таблицы сложения и умножения для классов по модулю 2, 3 и 4.

Символы 0, 1, 2, 3 в табл. 1-6 обозначают классы по модулю 2, 3 и 4, которым принадлежат числа 0, 1, 2, 3. Такими обозначениями мы будем пользоваться и впредь – символ а будет обозначать класс по модулю (который предполагается заданным), содержащий число а.

Отметим некоторые очевидные свойства действий над классами по модулю.

1 (a+b)+с = а+(b+ с) (ассоциативность сложения).

2. а+b = b+а (коммутативность сложения).

Класс 0 играет роль нуля при сложении: а+0=а при любом а.

Класс -а играет роль класса, противоположного классу а, именно, а + ( – а)= 0.

5'. (b+ с)а = bа+ ca (дистрибутивность).

а(bс) = (аb)с (ассоциативность умножения).

ab = bа (коммутативность умножения).

Свойства 3 и 4 очевидны. Свойства 2, 5, 6, 7 доказываются точно так же, как свойство 1, посредством перехода от классов к любым числам из этих классов, для которых соответствующие свойства действий имеют место.