«ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ В ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ С ПРИМЕНЕНИЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УНИТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ...»

9. Вопрос о распределении смеси на выходе линейного звена остается открытым, т.к. общая задача анализа преобразования распределения негауссовского случайного процесса в линейной динамической системе не имеет общего решения [37]. Как будет показано ниже, такую задачу можно решить аналитически для некоторых частных случаев, что необходимо для оценки помехоустойчивости некоторых алгоритмов приема сигналов.

ШРЁДИНГЕРА В ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

ПЕРЕДАЧИ

использованием аналоговых НФШ Рассмотрим приложения рассмотренной теории нелинейной обработки сигналов. Исследуем возможность применения компрессионных свойств нелинейных фильтров Шрёдингера (НФШ) для решения некоторых задач волоконной оптики.

Как было отмечено в первой главе, в современных волоконно-оптических линиях передачи (ВОЛП) существует ряд факторов, ограничивающих скорость передачи – дисперсия, нелинейные эффекты, шумы различного происхождения и т.д. Как хроматическая, так и поляризационная модовая дисперсия, порождают в оптических волокнах межсимвольную интерференцию (МСИ), которая, в свою очередь, приводит к увеличению вероятности ошибочного приема. Для уменьшения дисперсионных искажений в ВОЛП в настоящее время применяются различные методы, в том числе, и алгоритмы электронной компенсации дисперсии. Современные средства цифровой обработки сигналов позволяют для этого использовать не только простые алгоритмы частотной коррекции, но и более сложные – согласованную, винеровскую фильтрацию [77] или различные варианты инверсной фильтрации [43]. Все перечисленные методы обработки являются линейными и обладают рядом достоинств и недостатков.

В предыдущей главе были рассмотрены компрессионные свойства НФШ, заключающиеся во временной сжатии импульсных сигналов без внутриимпульсной угловой модуляции. На рисунках 3.1 и 3.2 приведены временные диаграммы входных (штриховая линия) и выходных (сплошная линия) сигналов на входах и выходах НФШ соответственно с логарифмической и квадратичной нелинейностью (без учета задержки).

Рис. 3.1 Сигналы на входе (пунктир) и выходе НФШ с оптимальной Рис. 3.2 Сигналы на входе (пунктир) и выходе НФШ с квадратичной Как будет показано ниже, для компенсации хроматической дисперсии в ВОЛП выгоднее использовать унитарные свойства НФШ. Рассмотрим возможность применения компрессионных свойств НФШ в линиях с относительно малой скоростью и пренебрежимо малыми нелинейными эффектами, например, в сетях доступа. Из представленных диаграмм сигналов следует, что в обоих случаях на выходе фильтра не только уменьшается длительность сигнала, но и растет его пиковая мощность. Этот эффект предлагается использовать для повышения помехоустойчивости приема сигналов в ВОСП без применения усилителей.

Рассмотрим простейший вариант ВОСП без регенераторов и оптических квантовых усилителей – рисунок 3.3.

Рис. 3.3 Структурная схема ВОСП без регенераторов и оптических На схеме используются следующие обозначения: «ЛД» – передающий оптический модуль, построенный на основе лазерного диода, «ОВ» – линейное оптическое волокно, «ФД» – фотодетектор (приемный оптический модуль), «Дем» – демодулятор двоичного сигнала, реализующий одноотсчетный алгоритм приема (прием стробированием). Здесь показаны также основные источники помех в системе:

(t ) – входной шум фотодетектора (ФД), n1 (t ) и n 2 (t ) – соответственно квантовый (дробовый) и собственный шум фотодетектора, включающий в себя несколько составляющих – темновой, шум предусилителя и др. [77]. Процесс n 2 (t ) является аддитивным и описывается общей гауссовской моделью. Шум n1 (t ) обусловлен квантовой природой света, поступающего на ФД, не является аддитивным и имеет, строго говоря, негауссовское распределение. При квадратичной характеристике детектирования ФД, огибающая смеси сигнала и квантового шума S описывается распределением вида [37]:

Даже при идеальном линейном детектировании она описывается законом Райса:

здесь I 0 – модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Несмотря на это, в силу относительно малой мощности квантового шума (его уровень приблизительно на 20 дБ ниже, чем у n 2 (t ) ), а также в силу схожести распределений (3.1) и (3.2) с гауссовским (при больших значениях сигнальной составляющей U ) совокупный шум N (t ) приемного устройства можно приближенно считать гауссовским [77].

Шум, поступающий на вход приемного оптического модуля из линии (оптического волокна) (t ), в общем случае, также содержит несколько составляющих – собственные шумы лазера, шумы, обусловленные оптической обратной связью, чирп-эффект, а также линейные шумы – перекрестные помехи, шумы синхронизации, шумы, обусловленные межсимвольной интерференцией (МСИ). В системе передачи достаточно высокого качества и с относительно низкой скоростью можно свести к минимуму многие из перечисленных видов помех – в первую очередь, можно обеспечить пренебрежимо малые МСИ и нелинейные эффекты. Поэтому в дальнейшем будем считать, что основным источником помех здесь являются случайные флуктуации амплитуды сигнала источника оптического излучения (лазера).

При этом хороший лазер может обеспечить отношение сигнал-шум порядка 40 – 50 дБ.

Таким образом, основным источником помех в рассматриваемой ВОСП является приемное устройство. Поэтому помехоустойчивость приема можно повысить путем включения на входе ФД некоторого пассивного устройства, которое можно назвать фильтром додетекторной обработки (ФДДО) оптического сигнала – рисунок 3.4.

';

Рис. 3.4 Структурная схема ВОСП с фильтром додетекторной обработки В качестве ФДДО предлагается использовать нелинейный фильтр Шрёдингера (НФШ), описанный в главе 2. Предположим, что НФШ можно реализовать на оптическом уровне (вопросы его реализации будут рассмотрены ниже). Задача данного исследования состоит в оценке и сравнительном анализе помехоустойчивости указанных алгоритмов приема – расположенного на выходе ФД и аналогичного алгоритма с НФШ в качестве ФДДО. Оценим помехоустойчивость алгоритмов путем аналитического расчета средней вероятности ошибочного приема.

Наиболее сложной в данном исследовании является задача определения условных распределений (функций правдоподобия) действительной огибающей отклика НФШ V (t ) на нестационарное негауссовское воздействие с огибающей Z (t ). Как было показано в главе 2, эта задача не имеет общего решения, что обусловлено негаусовской статистикой смеси сигнала и шума на выходе нелинейного звена НФШ. Поэтому рассмотрим частный случай такой задачи.

Известно, что флуктуации амплитуды лазерного излучения в общем случае описываются распределением вида [25] где C 0, q, и N – параметры распределения. Как показано в [25], при большом отрицательном q, что соответствует режиму ниже порога генерации лазера, распределение (3.3) становится близким к релеевскому, а при большом положительном q, что соответствует превышению порога генерации – к гауссовскому. Оба эти распределения можно объединить, используя распределение, более универсальное для радиотехнических задач – распределение Райса вида (3.2). Исходя из этого, распределение огибающей Z (t ) оптического импульса z (t ) на входе НФШ можно считать райсовским:

Во 2 главе показано, что распределение мгновенных значений отклика нелинейного звена НФШ y(t ) будет негауссовским. Задача определения распределения отклика линейного звена, т.е. НФШ в целом, на негауссовское воздействие может быть точно решена только для некоторых частных случаев [37]. Поэтому решим задачу для более простого случая, при наличии относительно слабых флуктуаций огибающей Z (t ). Для этого воспользуемся параметрическим методом, рассмотренным в [5], который использовался для оценки параметров импульсных помех, преобразованных в НФШ.

К сожалению НФШ с логарифмической нелинейностью на оптическом уровне реализовать невозможно, т.к. большинство нелинейных оптических сред обладают квадратичной (керровской) нелинейностью. Несмотря на это, рассмотрим сначала поставленную задачу именно для такого НФШ, т.к. она решается проще. Пусть на его вход поступает импульс, соответствующий передаче логической единицы, с огибающей гауссовской формы A = Z (0) – случайная амплитуда импульса. Ее флуктуации, также где описываются распределением Райса соответствующего передаче логической единицы. При этом пиковое значение отклика НФШ с логарифмической нелинейностью определяется выражением (см. (2.80)):

Рассмотрим частный случай относительно медленных флуктуаций. Это ограничение в ряде случаев допустимо. Например, если в системе используется одномодовый лазер с узкой шириной линии излучения, его энергетический спектр достаточно точно описывается гауссовской кривой:

здесь 0 – центральная частота излучения, соответствующая длине волны 0, G0 = G (0 ) – максимальная спектральная плотность, приходящаяся на эту частоту, – среднеквадратическая полуширина спектра на уровне G0 e.

Если обозначить через полную ширину линии излучения на уровне G (которой соответствует ) то выражение (3.8) примет вид:

Нетрудно показать, что интервал корреляции такого случайного процесса на уровне половины от максимума корреляционной функции определяется приближенно выражением где c = 3 108 м с – скорость света в вакууме. Если 0 = 1550 нм, а = 0,1 нм, то интервал корреляции составит приблизительно k 500 пс. При скорости передачи B = 10 Гбит с и величине тактового интервала T = 100 пс отношение Поэтому при такой скорости флуктуирующую амплитуду лазерного излучения можно считать случайной величиной, имеющей приблизительно постоянное значение в пределах тактового интервала. Следовательно, огибающая импульса на входе НФШ является достаточно стабильной по форме и будет описываться выражением (3.5). Поэтому высота пика также является случайной величиной:

Распределение величины (3.12) и представляет собой искомое условное распределение (функцию правдоподобия) w(V 1).

Очевидно, если длительность входного импульса не флуктуирует (в общем случае флуктуации могут иметь место из-за не идеальности оптического модулятора), то распределение w(V 1) совпадает по форме с (3.6) и отличается от него только масштабом.

Найдем значение пика отклика НФШ, преобразованного в квадратичном фотодетекторе (ФД) с характеристикой где k d – коэффициент передачи ФД. Сигнал на его выходе S (t ) имеет пик, приходящийся на момент стробирования Для определения плотности вероятности величины (3.14) найдем её характеристическую функцию:

Если совокупный гауссовский шум с огибающей N (t ) приемного устройства является аддитивным с дисперсией 2, то характеристическая функция смеси S (t ) и N (t ) на входе демодулятора V (t ) будет равна произведению где – характеристическая функция шума N (t ).

Необходимо отметить, что на выходе ФД обычно располагается фильтр нижних частот (ФНЧ). При использовании НФШ в качестве ФДДО этот фильтр необходимо исключить из приемного оптического модуля, чтобы исключить дополнительные искажения пика полезного сигнала (3.14), имеющего малую длительность.

Таким образом, искомая функция правдоподобия может быть найдена через обратное преобразование Фурье от характеристической функции V (i ) :

При передаче логического нуля на вход НФШ поступает постоянный уровень излучения U 0 относительно низкого уровня, флуктуации которого также описываются распределением Райса с регулярной составляющей U 0. На выходе НФШ огибающая не изменяется, следовательно Случайный отсчет на выходе ФД в момент стробирования определяется выражением а его характеристическая функция Характеристическую функцию V (i) и функцию правдоподобия w(V 0) можно найти аналогично, используя выражения (3.16) – (3.18).

Искомую среднюю вероятность ошибочного приема демодулятора находим следующим образом:

где P(0) и P(1) – априорные вероятности передаваемых двоичных символов, P (1' 0) и P (0' 1) – условные вероятности соответствующих ошибочных переходов; последние определяются выражениями:

где – порог вынесения решения демодулятора. Эту величину можно определить приближенно (точно задача оптимизации порога решается достаточно сложно):

Аналитическое вычисление интегралов (3.23) и (3.24) затруднено. Для этого целесообразнее использовать численные методы.

Рассмотрим теперь аналогичную задачу для НФШ с квадратичной нелинейностью нелинейного звена вида (2.89). Как показано в [5], пиковое значение отклика на детерминированное воздействие с гауссовской огибающей приближенно можно найти следующим образом:

Запишем (3.26) аналогично (3.12) где A и V – случайные величины. Далее задача определения средней вероятности ошибки демодулятора решается аналогично с использованием выражений (3.13) – (3.18) и (3.22) – (3.24).

Вычисление вероятности ошибки одноотсчетного алгоритма приема без использования НФШ производится аналогично. В отличие от рассмотренного в начале алгоритма здесь обычно используется ФНЧ, располагаемый на выходе ФД. Если пренебречь искажениями полезного сигнала в фильтре, то при расчетах его действие нужно учесть путем уменьшения дисперсии шума N (t ) в (3.17).

Описанный метод оценки помехоустойчивости алгоритмов приема был реализован на основе математического пакета «MatLab». При этом исследовались и сравнивались два приемных устройства, состоящих из блоков:

1) оптический фильтр – фотодетектор с фильтром нижних частот (ФНЧ) – одноотсчетный демодулятор;

2) оптический фильтр – НФШ – фотодетектор без ФНЧ – одноотсчетный демодулятор.

При численных расчетах задавались следующие параметры элементов ВОСП:

– скорость передачи B = 10 Гбит/с (тактовый интервал T = 100 пс);

– входной оптический фильтр Баттерворта 14 порядка с полосой 20 ГГц;

– отношение сигнал-шум на передаче 50 дБ;

– отношение дисперсий собственного шума ФД к дисперсии квантового шума 20 дБ;

– полоса собственного и квантового шумов Fш = 100…300 ГГц;

– фотодетектор – квадратичный;

– электрического фильтр Бесселя-Томсона с полосой – 10 ГГц;

– параметры НФШ: нелинейность квадратичная с коэффициентом нелинейности = 120; линейное звено – фазовый фильтр Френеля с параметрами = 5,7·10-25, = 1.

На рисунках 3.5 – 3.7 приведены зависимости вероятности ошибочного приема от отношения средней мощности сигнала на входе ФД к средней мощности совокупной помехи ФД для алгоритмов 1 (штриховая линия) и (сплошная линия) при Fш = 300, 200 и 100 ГГц соответственно. На рисунке 3.8 приведены те же зависимости при Fш = 100 ГГц, но при отношении сигнал-шум на передаче 40 дБ.

Рис. 3.5 Зависимости вероятности ошибки от отношения сигнал-шум для алгоритмов 1 (штриховая линия) и 2 (сплошная линия) при Fш = 300 ГГц Рис. 3.6 Зависимости вероятности ошибки от отношения сигнал-шум для алгоритмов 1 (штриховая линия) и 2 (сплошная линия) при Fш = 200 ГГц Рис. 3.7 Зависимости вероятности ошибки от отношения сигнал-шум для алгоритмов 1 (штриховая линия) и 2 (сплошная линия) при Fш = 100 ГГц Рис. 3.8 Зависимости вероятности ошибки от отношения сигнал-шум для алгоритмов 1 (штриховая линия) и 2 (сплошная линия) при Fш = 100 ГГц (отношение сигнал-шум на передаче 40 дБ) Из результатов моделирования можно сделать выводы:

1) При большом отношении сигнал-шум на передаче эффективность от применения НФШ растет с уменьшением ширины спектра шума приемного оптического модуля; выигрыш в отношении сигнал-шум практически не зависит от уровня вероятности ошибки.

2) Для Fш = 300, 200 и 100 ГГц выигрыш соответственно составляет 8, 10 и 12 дБ, что достаточно эффективно. Увеличение выигрыша можно объяснить снижением эффективности фильтрации шума первого алгоритма с помощью выходного ФНЧ.

3) При ухудшении отношения сигнал-шум на передаче эффективность от применения НФШ снижается, что можно объяснить ростом нелинейных искажений выходного сигнала НФШ.

В заключении хотелось бы затронуть вопросы реализации НФШ на оптическом уровне. Аналогичные устройства достаточно давно используются в оптике, в частности, при создании волоконно-оптических компрессоров, применяемых для получения сверхкоротких мощных лазерных импульсов [18].

При этом линейное звено, осуществляющее преобразование Френеля во временной области, можно реализовать различными способами, например, совокупностью дифракционных решеток отражательного типа или призм.

Основная трудность здесь заключается в реализации нелинейного звена.

В упомянутых компрессорах их реализуют на основе обычных кварцевых оптических волокон. Но нелинейные эффекты в них начинают проявляться только при больших мощностях входных сигналов, измеряемых десятками и сотнями ватт, в то время как, для решения представленной здесь задачи требуется снижение входной мощности до единиц микроватт.

В настоящее время многими исследователями ведутся работы по созданию нелинейных оптических сред с сильными нелинейными свойствами, что необходимо, например, в нанобиофотонике для генерации суперконтинуума – сверхширокополосного оптического сигнала [83]. В частности, сильными нелинейными свойствами обладают фотоннокристаллические оптические волокна с периодической структурной оболочкой типа «кагоме» – рисунок 3.9 (заимствовано из статьи [83]).

Рис. 3.9 Фотонно-кристаллическое оптическое волокно с периодической В таких волокнах нелинейные эффекты начинают проявляться при значительно меньших мощностях – десятках милливатт. Если указанную задачу удастся решить, то исследованный в этой работе алгоритм приема сигналов можно будет с успехом применить на практике в ВОСП.

3.2 Электронная компенсация нелинейной межсимвольной интерференции (НМСИ) в одноканальных ВОСП с применением НФШ Как было отмечено выше, в магистральных волоконно-оптических линиях передачи (ВОЛП) скорость передачи информации ограничивает не только дисперсия (хроматическая и поляризационная модовая), но и нелинейные эффекты. К ним относятся фазовая самомодуляция (ФСМ), фазовая кроссмодуляция (ФКМ), четырехволновое смешение (ЧВС) и др. Эти эффекты обусловлены зависимостью показателя преломления сердцевины волокна не только от частоты, но и от амплитуды A сигналов [44]:

здесь n2 – так называемый «нелинейный» показатель преломления. Указанные нелинейные эффекты заметно проявляются даже при относительно небольших мощностях сигналов.

интерференцию (МСИ), которая, в свою очередь, приводит к увеличению вероятности ошибочного приема сигналов. Для уменьшения влияния МСИ применяются различные подходы – компенсация дисперсии, помехоустойчивое кодирование («Forward Error Correction» – FEC), использование форматов модуляции, малочувствительных к МСИ и т.д. [28].

Большинство методов компенсации дисперсии относятся к классу линейных. Они делятся на оптические [10-12] и методы электронной компенсации [12,13,53-57]. Устройства компенсации могут располагаться как между линейным ОВ и приемным оптическим модулем, так и после него. Такие способы обработки сигнала принято называть соответственно додетекторной обработкой (ДДО) и последетекторной обработкой (ПДО).

До недавнего времени предпочтение отдавалось оптическим методам компенсации. Однако, с внедрением систем передачи со скоростью 100 Гбит/с и выше большие значения затухания и коэффициента поляризационной модовой дисперсии (ПМД) оптических компенсаторов, в частности, волокон, компенсирующих дисперсию («dispersion compensating fiber» – DCF), ограничили возможности их применения. Вместе с тем, с освоением промышленностью цифровой обработки сигналов появилась возможность реализации сложных алгоритмов ПДО и существенного повышения эффективности электронной компенсации дисперсии. Рассматриваемые ниже алгоритмы ПДО ориентированы именно на такую элементную базу, но, в отличие от известных решений, базируются на методах нелинейной обработки сигналов.

При наличии нелинейных эффектов характер МСИ в ОВ существенно усложняется, т.к. выходной сигнал не может быть представлен простой суммой откликов на каждый из входных. Это приводит к дальнейшему увеличению вероятности ошибки. Такое явление можно назвать нелинейной МСИ (НМСИ).

При этом в отличие от линейных каналов связи указанный рост не может быть скомпенсирован увеличением мощности передаваемого сигнала, т.к. это, в свою очередь, приведет к усилению действия нелинейных эффектов.

Процесс распространения сигналов по одномодовому ОВ достаточно точно может быть описан обобщенным нелинейным уравнением Шрёдингера (ОНУШ) [44]:

где = (, ) – комплексная огибающая оптического импульса, и – нормированные пространственная и временная координаты, 2 и 3 – дисперсионные коэффициенты 2 и 3 порядков, – затухание, = – параметр нелинейности ОВ, 0 – круговая частота оптической несущей, c – скорость света, Aэфф – эффективная площадь модового пятна, TR – параметр, характеризующий время запаздывания нелинейного отклика.

В современных высокоскоростных волоконно-оптических системах передачи (ВОСП) длительности импульсных сигналов измеряются десятками пикосекунд. При этом в (3.29) можно пренебречь третьим слагаемым, описывающим дисперсионные эффекты 3 порядка, а также последними двумя членами, которые учитывают нелинейные эффекты высших порядков [44]. В этом случае (3.29) приобретает более простой вид:

Если затухание ОВ пренебрежимо мало, то последнее уравнение приобретает вид:

Уравнение (3.31), описанное в главе 2, хорошо изучено в теории солитонов [44,45,52,99-102,104-107,130-135] и называется нелинейным уравнением Шрёдингера (НУШ). Это уравнение порождает оператор с унитарной нелинейностью [19], т.е. нелинейный оператор, для которого существует обратный, являющийся комплексно-сопряженным с исходным.

НУШ вида (3.31) может быть обобщено на случай произвольной нелинейности Уравнение, порождающее унитарный оператор (обратное НУШ), имеет вид:

нелинейным фазовым фильтром (НФФ) [5], подробно описанный во 2 главе, является фильтром с распределенными параметрами, который эквивалентен НУШ, а обратный фильтр (ОНФШ) – эквивалентен обратному НУШ.

Очевидно, что в силу унитарности оператора (3.32), произведение операторов (3.32) и (3.33) даст единичный оператор. В случае отсутствия шума фотодетектировании ОНФШ можно применить для последетекторной обработки сигналов с целью компенсации дисперсии и нелинейных эффектов, таких как ФСМ и др. Для этого ОНФШ, реализованный в цифровой форме (его можно назвать восстанавливающим НФШ – ВНФШ), необходимо включить на выходе приемного оптического модуля перед демодулятором – рисунок 3. (на рисунке использованы обозначения: «ПОМ» – передающий оптический модуль, «ПРОМ» – приёмный оптический модуль, «Д» – демодулятор).

Рис. 3.10 Структурная схема ВОСП с восстанавливающим НФШ импульсными характеристиками, ограниченными с помощью окон, указанное произведение операторов будет отличаться от единицы, т.к. ВНФШ будет соответственно отличной от константы функцией окна g 0 (t ) и отличной от нуля задержкой t0. Очевидно, что с ростом длины линии и, как следствие, числа эффективность работы описанной процедуры демодуляции оптических сигналов может быть проверена с помощью моделирования путем оценки коэффициента ошибки BER («bit error rate»). К сожалению, точные аналитические оценки помехоустойчивости указанного алгоритма получить сложно, что обусловлено негауссовской статистикой случайного процесса на выходе ВНФШ. Последнее обстоятельство, свою очередь, обусловлено нелинейными преобразованиями сигналов и помех в ВОЛП, приёмном оптическом модуле и ВНФШ.

Математические модели (3.29) – (3.31) являются упрощенными и не современной одноканальной ВОЛП, в которой сигналы передаются на одной оптической несущей, является обобщенное НУШ [45]:

здесь – дисперсионный параметр, зависящий от продольной координаты («дисперсионная карта»); эта зависимость имеет место в ВОЛП, если в ней применяются ОВ разных типов, например, совместно с линейным ОВ типа SMF («single mode fiber») используется компенсатор дисперсии, построенный на основе ОВ типа DCF («dispersion compensating fiber»);

– параметр нелинейности ОВ; он также в общем случае зависит от при наличии в линии разнотипных ОВ с разной площадью модового пятна Aэфф () ;

– функция, описывающая изменение вдоль параметров затухания = () и использовании разнотипных ОВ, вторая зависимость имеет место при любом типе усиления, как сосредоточенного, так и распределенного.

Используя метод расщепления по физическим факторам, описанный в главе 2, можно найти выражения характеристик НФШ и ВНФШ для уравнения (3.34). Для этого представим указанное уравнение совокупностью линейного и нелинейного уравнений:

Рассмотрим одиночный участок волокна малой длины, на котором функции d (), () и () практически не зависят от. Вычислим преобразование Фурье от левой и правой частей (3.38):

Приравнивая правые части (3.40) и (3.41) получим или Интегрируя левую и правую части на пространственном участке (, + ), получим:

или Таким образом, комплексный коэффициент передачи линейного звена имеет вид (обозначение G (i,) будет использоваться позже):

Нетрудно показать, что импульсная характеристика звена определится выражением:

здесь Для физической реализуемости ЛЗ импульсную характеристику (3.48) необходимо ограничивать с помощью функции окна и вводить задержку аналогично (2.36).

Передаточная функция и импульсная характеристика ЛЗ ВНФШ будут сопряженными с (3.47) и (3.48):

где Для определения коэффициента преобразования нелинейного звена представим (3.39) в виде значений сигнала по комплексной огибающей H (,) = H (,) = Характеристики звеньев ВНФШ будут иметь вид:

Оператор, порождаемый ОНУШ (3.34), не является оператором с унитарной нелинейностью. Поэтому обратный оператор нелинейного звена (3.61) не является сопряженным с (3.59). Несмотря на это, он может быть легко найден путем изменения знаков в показателях экспонент в (3.59).

Задача обращения нелинейного оператора не всегда может быть решена таким простым способом. Поэтому при решении рассмотренных задач исходный оператор можно привести к унитарной форме. Например, (3.34) приводят к ней подстановкой:

При этом ОНУШ (3.34) переходит в модифицированное НУШ (МНУШ), называемое также уравнением Габитова-Турицына [31]:

В (3.63) фигурирует функция называемая эффективным коэффициентом нелинейности.

Проводя описанные выше преобразования, можно найти характеристики звеньев НФШ, соответствующих (3.63):

Сопряженные характеристики звеньев ВНФШ определятся выражениями:

Передаточные функции линейных звеньев (3.65) и (3.67) совпадают соответственно с (3.47) и (3.51), а коэффициенты преобразования нелинейных звеньев (3.66) и (3.68) отличаются соответственно от (3.59) и (3.61). Поэтому НФШ и ВНФШ, построенные описанными двумя способами отличаются.

Поэтому второй вариант ВНФШ в чистом виде нельзя использовать для восстановления сигнала, прошедшего ВОЛП, описываемую ОНУШ (3.34). Для этого необходимо предварительно преобразовать сигнал (,) на ее выходе в сигнал A(,) в соответствии с подстановкой (3.62), а после фильтрации подвергнуть его обратному преобразованию. Поэтому, несмотря на более простой вид выражения (3.68), при практической реализации ВНФШ следует использовать выражение (3.61).

В целях апробации описанного алгоритма последетекторной обработки сигналов, предназначенной для компенсации НМСИ, было выполнено моделирование распространения сигналов в волоконно-оптической линии передачи, в том числе и с учетом ФСМ и ПМД, и их обработки на приеме.

Моделирование осуществлялось с использованием математического пакета «Matlab». Задачей моделирования являлась демонстрация возможности реализации рассмотренного выше нелинейного алгоритма компенсации хроматической дисперсии и сравнение его с известным линейным методом. Это рассматриваемом примере ограничиться малой протяженностью линии, низкой скоростью передачи и простейшим вариантом линейной компенсации хроматической дисперсии – включением DCF.

построенная на основе стандартного одномодового волокна SMF, а также линейный компенсатор дисперсии моделировались в виде многозвенных НФШ с характеристиками (3.47) и (3.59), а восстанавливающий ВНФШ – с характеристиками (3.60) и (3.61). На выходе усилительного участка моделировался усилитель с сосредоточенными параметрами (например, эрбиевого типа), компенсирующий затухание на этом участке.

следующими:

– длина ВОЛП: 120 км;

– длина усилительного участка: 120 км;

– строительная длина ОВ: 4 км;

– скорость передачи: 10 Гбит/с;

параметры передающего оптического модуля:

– уровень средней мощности: p0 = 0 дБм;

– длина волны несущей 0 = 1550 нм ;

– вид модуляции: модуляция интенсивности;

– линейный код: с возвратом к нулю (NRZ);

– коэффициент гашения мощности: 30 дБ;

параметры волокон SMF:

– километрический коэффициент затухания: = 0, 22 дБ км ;

– коэффициент хроматической дисперсии: D = 18 пс (нм км) ;

– дисперсия групповых скоростей: 2 = 20 пс 2 км = 2 1026 с 2 м ;

– параметр нелинейности: = 3 Вт -1 км -1 = 3 103 Вт -1 м-1 ;

– дисперсионная длина: LD 14 км ;

– нелинейная длина: LNL 25 км ;

параметры волокон DCF:

– километрический коэффициент затухания: = 0, 42 дБ км ;

– коэффициент хроматической дисперсии: D = 100 пс (нм км) ;

– дисперсия групповых скоростей: 2 = 110 пс2 км = 11 1026 с2 м ;

– параметр нелинейности: = 11 Вт -1 км -1 = 11 103 Вт -1 м -1 ;

– дисперсионная длина: LD 2, 5 км ;

– нелинейная длина: LNL 6, 82 км.

Кроме хроматической, в линии также учитывалась поляризационная модовая дисперсия (ПМД). Для этого отдельно моделировались тракты передачи двух ортогонально поляризованных мод с разными постоянными распространения строительной длине), распределенными по гауссовскому закону.

Приемный оптический модуль моделировался как двухканальный, каждый из каналов которого предназначен для обработки сигнала своей моды.

преобразовывался в две квадратурные компоненты с помощью квадратурного расщепителя, что необходимо для дальнейшей работы ВНФШ. За ним располагался блок вычисления модуля, а на выходе использовался демодулятор стробирующего типа.

Для оценки помехоустойчивости того или иного алгоритма по величине коэффициента ошибки BER в волоконной оптике обычно используется концепция Q-фактора [27,28]. В этом подходе предполагается, что смесь сигнала и шума на входе демодулятора имеет гауссовскую статистику.

Последнее приближение обусловлено относительно большим отношением предполагает, что передаваемые двоичные символы равновероятны.

Программа моделирования рассматриваемых здесь алгоритмов учитывает более общий случай произвольных априорных вероятностей символов P(0) и P(1). Кроме того, она позволяет учесть межсимвольную интерференцию от произвольного числа соседних сигналов, влияющих на прием i-го сигнала (моделировались импульсы с гауссовской огибающей). Например, при учете двух соседних сигналов средняя вероятность ошибочного приема центрального символа может быть найдена следующим образом:

p = P ( 000 ) P (1/ 000 ) + P ( 001) P (1/ 001) + P (100 ) P (1/ 100 ) + P (101) P (1/ 101) + где P bj/ bk bbm – условная вероятность приема символа bj при условии, что была передана произвольная комбинация bk, bi, bm. Коэффициент ошибки BER является оценкой вероятности (3.69) и поэтому определяется аналогично:

где оценки условных вероятностей P bj/ bk bbm находятся следующим образом (также в предположении гауссовской статистики смеси сигнала и шума):

здесь – функция ошибок. В выражении (3.71) использованы обозначения: – порог математического ожидания и дисперсии отсчета сигнала на входе блока стробирования.

Некоторые результаты моделирования представлены на рисунках 3.11 – 3.19. На рисунке 3.11 показана действительная огибающая сигнала на входе ВОЛП, соответствующая передаваемой двоичной комбинации «101»; каждой единице соответствует гауссовский импульс, нулю – постоянный уровень излучений, величина которого определяется коэффициентом гашения источника (30 дБ).

Рис. 3.11 Огибающая сигнала на входе ВОЛП, соответствующая На рисунке 3.12 изображена огибающая сигнала, прошедшего линию длиной 120 км при отсутствии аддитивного шума. Эта длина соответствует приблизительно 8,6 дисперсионным и 3,2 нелинейным длинам (при средней мощности сигнала передаче 1 мВт). Из-за НМСИ этот сигнал очень сильно отличается от переданного.

Рис. 3.12 Огибающая сигнала на выходе ВОЛП длиной 120 км при На рисунке 3.13 представлен сигнал, восстановленный с помощью ВНФШ. Очевидно, что он практически не отличается по форме от переданного.

Рис. 3.13 Сигнал, восстановленный с помощью ВНФШ На рисунках 3.14 и 3.15 приведены аналогичные диаграммы сигналов при наличии достаточно сильного шума (отношение средних мощностей сигнала и восстанавливает форму сигнала.

Рис. 3.14 Огибающая сигнала на выходе ВОЛП длиной 120 км при Рис. 3.15 Сигнал, восстановленный с помощью ВНФШ На рисунке 3.16 показана диаграмма сигнала с шумом на выходе линии, содержащей линейный компенсатор хроматической дисперсии. Очевидно, что качество восстановления формы сигнала линейным методом существенно хуже.

Рис. 3.16 Сигнал, восстановленный с помощью линейного компенсатора На рисунках 3.17 – 3.19 приведены аналогичные диаграммы для более высокой скорости передачи (100 Гбит/с) и линии большей длины – 1000 км.

Рис. 3.17 Огибающая сигнала на входе ВОЛП длиной 1000 км при скорости передачи 100 Гбит/с, соответствующая триплету «101»

Рис. 3.18 Огибающая сигнала на выходе ВОЛП при наличии аддитивного Рис. 3.19 Огибающая сигнала, восстановленного ВНФШ На следующих рисунках приведены результаты статистического моделирования рассмотренных алгоритмов приема. На рисунке 3.20 показаны зависимости коэффициента ошибки от отношения сигнал-шум (построенные в логарифмическом масштабе по оси ординат) при приеме двоичных сигналов в линии без компенсатора дисперсии с помощью одноотсчетного алгоритма (кривая 1) и алгоритма с предварительным восстановлением сигнала с помощью ВНФШ (кривая 2).

Рис. 3.20 Зависимости коэффициента ошибки BER от отношения сигналшум для одноотсчетного алгоритма (кривая 1) и алгоритма с ВНФШ (кривая 2) На следующих рисунках приведены аналогичные зависимости при наличии на выходе ВОЛП линейного компенсатора хроматической дисперсии (кривая 1) без учета ПМД (рис. 3.21) и с учетом ее влияния (рис. 3.22).

Рис. 3.21 Зависимости коэффициента ошибки BER от отношения сигналшум для линейного алгоритма (кривая 1) и алгоритма с ВНФШ (кривая 2) Рис. 3.22 Зависимости коэффициента ошибки BER от отношения сигналшум для линейного алгоритма (кривая 1) и алгоритма с ВНФШ (кривая 2) при Из полученных результатов можно сделать следующие выводы:

1) Даже при относительно короткой линии (120 км), из-за дисперсии и нелинейных эффектов простой одноотсчетный алгоритм не обеспечивает приемлемого качества приема сигналов – за счет нелинейной межсимвольной интерференции коэффициент ошибки даже при больших отношениях сигналшум остается приблизительно постоянным близким к 0,5.

2) Эффективность работы одноотсчетного алгоритма повышается при наличии на входе фотодетектора компенсатора хроматической дисперсии. Но эффективность работы ВНФШ при этом выше – выигрыш составляет приблизительно 7,5 дБ.

поляризационной модовой дисперсии, но, как и следовало ожидать, их эффективность снижается приблизительно на 0,8 – 1 дБ. Выигрыш от применения ВНФШ немного возрастает (приблизительно до 8,5 дБ), что обусловлено более высоким коэффициентом ПМД волокна DCF по сравнению с SMF.

высокоскоростных волоконно-оптических системах передачи со спектральным уплотнением (WDM-системах) Как было указано выше, ОНУШ (3.34) описывает преобразования сигналов в одноканальных ВОЛП. Поэтому рассмотренная обработка сигналов с помощью ВНФФ может применяться только на линиях относительно небольшой протяженности, в которых используется одна оптическая несущая.

многоканальными, в которых используется принцип волнового спектрального уплотнения – WDM-системы («Wavelength division multiplexing»). В отличие от одноканальных, в них, наряду с ФСМ, заметно проявляется фазовая кроссмодуляция (ФКМ), обусловленная нелинейным взаимодействием сигналов отдельных спектральных каналов. При этом ФКМ приблизительно в два раза превосходит по своему действию ФСМ [11,44]. Поэтому за счет ФКМ усиливается. Рассмотрим возможность создания НФШ и ВНФШ для таких систем.

Как указано в [84] процесс распространения по регулярному оптическому волокну N взаимосвязанных ортогональных мод может быть описан системой нелинейных уравнений шрёдингеровского типа:

соответственно дисперсию, затухание, относительную скорость взаимного смещения и нелинейность по каждой моде. Перепишем эту систему, используя обозначения, введенные выше и принятые в [44]; при этом учтем зависимость параметров затухания, дисперсии и нелинейности от продольной координаты по аналогии с (3.34):

Каждое из уравнений (3.73), так же как и ОНУШ (3.34), порождает нелинейный оператор, не обладающий свойством унитарности. Несмотря на это, характеристики звеньев НФШ и ВНФШ, предназначенных для обработки преобразованиям, использованным выше для ОНУШ.

Характеристики преобразования мгновенных значений для нелинейных звеньев могут быть получены тривиально из (3.59) и (3.61):

Передаточные функции и импульсные характеристики линейных звеньев необходимо вывести заново, что обусловлено отличием каждого уравнений (3.73) от (3.34) из-за вторых членов, содержащих первые производные функций m (, ) по времени, характеризующих различие групповых скоростей мод спектральных каналов. Запишем линейную часть (3.73), описывающую только дисперсию, и вычислим преобразование Фурье левой и правой частей:

Подставляя (3.77) и (3.78) в (3.76) получим:

Интегрируя левую и правую части (3.80) на интервале (, + ), получим:

Окончательно, искомая передаточная функция ЛЗ для НФШ определится выражением:

а для ВНФШ:

передаточной функцией (3.83):

Представим выражение в квадратных скобках в виде разности квадратов двух выражений:

Подставим (3.85) в (3.84):

Приведем второй интеграл в (3.86) к табличному [85]:

В этих выражениях использованы обозначения:

Таким образом, искомая импульсная характеристика имеет вид:

где Импульсная характеристика соответствующего ВНФШ, передаточная функция которого определяется выражением (3.83), имеет вид:

где Полученные формулы аналогичны по виду (3.48), (3.50), (3.52) и (3.53).

Отличие состоит в наличии в показателях экспонент выражений (3.87) и (3.89) (1m ()), вычитаемых из временной переменной. Эти члены членов приводят к появлению дополнительных сдвигов по времени импульсных характеристик фильтров, предназначенных для обработки разных спектральных каналов, относительно друг друга.

Необходимо отметить, что в высокоскоростных ВОЛП, со скоростями передачи превышающими 40 Гбит/с в расчете на одну оптическую несущую, в НУШ необходимо учитывать дисперсионные члены высших порядков (особенно, если сигнал передается на несущей, длина волны которой лежит вблизи точки нулевой хроматической дисперсии). В этом случае (3.73) перейдет в систему следующего вида [44,84]:

где N K – число спектральных каналов. При этом число оптических мод, равное возможность передачи в полосе частот каждого спектрального канала двух сигналов на оптических несущих одинаковой частоты с ортогональными плоскостями поляризации. Параметры 1m (), d rm (), m (), mk () – также относительно некоторой основной моды, дисперсию порядка r = 2, 3,...R, затухание совместно с усилением и нелинейность по каждой моде.

Дисперсионные параметры связаны с параметрами ДГС выражениями Аналогично можно показать, что каждому из уравнений (3.91) описываются выражениями:

Характеристики звеньев соответствующего восстанавливающего фильтра определятся выражениями:

Импульсные характеристики звеньев с передаточными функциями (3.94) и (3.96) аналитически вычисляются достаточно сложно. Поэтому при реализации нелинейных фильтров можно использовать непосредственно выражения (3.94) и (3.96) или найти импульсные характеристики численно.

Приведем результаты моделирования алгоритмов компенсации НМСИ оптических сигналов в WDM-системах. Рассмотренный многоканальный алгоритм обработки сигналов был смоделирован аналогично одноканальному, описанному в предыдущем параграфе. В отличие от него моделировалась двухканальная WDM-система. При этом рассматривались два значения длины линии – 120 и 600 км. Уровень средней мощности входного сигнала изменялся от 0 до +6 дБм. Один из спектральных каналов, работающий на оптической несущей с длиной волны 0 = 1550 нм рассматривался как основной, а второй, помехоустойчивости алгоритмов приема по величине коэффициента ошибки BER осуществлялась способом, аналогичным описанному в предыдущем параграфе. На рисунках 3.23 – 3.26 приведены некоторые качественные результаты моделирования. На рисунке 3.23 показана огибающая сигнала на входе ВОЛП, аналогичная рассмотренной при моделировании одноканальной ВОЛП.

Рис. 3.23 Огибающая сигнала на входе ВОЛП-WDM, соответствующая На рисунке 3.24 приведена диаграмма отклика линии без оптического компенсатора. Очевидно, что за счет совместного действия ФСМ и ФКМ искажения сигнала существенно возросли (по сравнению с рисунком 3.14).

Рис. 3.24 Огибающая сигнала на выходе ВОЛП-WDM длиной 120 км при Несмотря на это ВНФШ хорошо восстанавливает форму сигнала даже на фоне сильного шума (отношение сигнал-шум также составляет 20 дБ) – рисунок 3.25.

Рис. 3.25 Сигнал, восстановленный с помощью ВНФШ На рисунке 3.26 приведена диаграмма сигнала, восстановленного линейным компенсатором дисперсии. Очевидно, что такой компенсатор, также как и в одноканальной ВОСП, уменьшает только дисперсионные искажения сигнала, поэтому качество его восстановления заметно хуже.

Рис. 3.26 Сигнал, восстановленный с помощью линейного компенсатора Результаты статистического моделирования приведены на рисунках 3. – 3.31. На рисунке 3.27 показаны зависимости коэффициента ошибки BER от отношения сигнал-шум в линии длиной 120 км без компенсатора дисперсии для одноотсчетного алгоритма приема без ВНФШ (кривая 1) и при его наличии на входе демодулятора (кривая 2) (уровень входного сигнала p0 = 0 дБм).

Рис. 3.27 Зависимости коэффициента ошибки BER от отношения сигналшум для одноотсчетного алгоритма (кривая 1) и алгоритма с ВНФШ (кривая 2) На рисунке 3.28 приведены аналогичные зависимости при наличии в линии оптического компенсатора хроматической дисперсии, а на рисунке 3. представлены аналогичные кривые для повышенного уровня входного сигнала ( p0 = +6 дБм). На рисунке 3.30 представлены кривые для ВОЛП длиной 600 км (при этом задавался p0 = +3 дБм).

Рис. 3.28 Зависимости коэффициента ошибки BER от отношения сигналшум для линейного алгоритма (кривая 1) и алгоритма с ВНФШ (кривая 2) Рис. 3.29 Зависимости коэффициента ошибки BER от отношения сигналшум для линейного алгоритма (кривая 1) и алгоритма с ВНФШ (кривая 2) при повышенном уровне входного сигнала ( p0 = +6 дБм) Рис. 3.30 Зависимости коэффициента ошибки BER от отношения сигналшум для линейного алгоритма (кривая 1) и алгоритма с ВНФШ (кривая 2) для линии 600 км (уровень входного сигнала p0 = +3 дБм) Из полученных результатов статистического моделирования можно сделать следующие выводы:

1) При отсутствии компенсатора дисперсии в линии относительно небольшой протяженности (120 км) одноотсчетный алгоритм приема практически не работает даже при больших отношениях сигнал-шум, что обусловлено дисперсией и нелинейными эффектами (ФСМ и ФКМ).

2) ВНФШ в этой ситуации обеспечивает хорошее восстановление сигнала и, как следствие, приемлемое качество приема.

3) Включение на выходе линии компенсатора дисперсии существенно повышает качество приема при использовании одноотсчетного алгоритма, но использование ВНФШ более эффективно (энергетический выигрыш от его применения составляет примерно 12 – 13 дБ). При увеличении уровня входного сигнала до +6 дБм этот выигрыш возрастает до 14 – 15 дБ, что обусловлено эффективной компенсацией ФСМ и ФКМ с помощью ВНФШ.

4) При увеличении длины линии эффект от применения ВНФШ возрастает, особенно при большом уровне входного сигнала.

В заключении хотелось бы отметить, что в настоящее время вместо оптических компенсаторов дисперсии (в частности, построенных с использованием волокон DCF) успешно применяются электронные компенсаторы, построенные на базе быстродействующих цифровых фильтров [76]. Алгоритмы электронной компенсации НМСИ с применением ВНФШ, ориентированные на такую элементную базу, будут рассмотрены в следующем параграфе.

применением НФШ в когерентных многопозиционных ВОСП До недавнего времени в высокоскоростных цифровых волоконнооптических системах передачи (ВОСП) применялись методы модуляции, обеспечивающие относительно низкую помехоустойчивость. К ним относится упомянутая выше амплитудная модуляция с активной паузой («amplitude-shift keying» – ASK), которую чаще называют модуляцией интенсивности. Кроме того, на приемной стороне ВОСП обычно использовался простейший алгоритм демодуляции – одноотсчетный алгоритм (прием стробированием) – который также не обеспечивает высокое качество демодуляции по сравнению с оптимальными алгоритмами. Все это было обусловлено относительно низким быстродействием средств обработки сигналов, применяемых в волоконной оптике.

Современные технологии формирования и приема сигналов в ВОСП позволяют применять не только помехоустойчивые виды модуляции, как двоичную, так и многопозиционную, но и позволяют реализовать алгоритмы оптимального когерентного приема. Это дает возможность существенно повысить скорость и дальность передачи информации. В частности ведущему производителю телекоммуникационного оборудования, Российской компании «Т8», удалось передать цифровой сигнал на одной оптической несущей со скоростью 100 Гбит/с на расстояние 4000 км без использования оптических компенсаторов дисперсии [76]. Такую высокую скорость передачи удалось реализовать, во-первых, использованием двух оптических несущих с ортогональными плоскостями поляризации, и во-вторых, применением 4позиционной фазовой модуляции – ФМ («phase-shift keying» – PSK). За счет этого канальная скорость составляла 25 Гбит/с. Компенсация дисперсионных искажений осуществлялась в цифровой форме с помощью линейных алгоритмов электронной компенсации. Кроме того, использовался когерентный способ приема сигналов.

Столь высокое быстродействие современных процессоров обработки сигналов позволяет реализовать не только метод компенсации нелинейного взаимодействия сигналов, описанный выше, но и использовать его в системе с ФМ и когерентным демодулятором. При этом возникает общая задача синтеза алгоритма оптимального различения m-позиционных сигналов в нелинейном канале, описываемом моделью (3.91) по критерию минимума средней вероятности ошибочного приема [58,77].

описываемого уравнением вида была решена С.М. Широковым [5,6]. Задача решалась для случая, когда в линии отсутствуют оптические усилители, а на вход поступает случайный процесс с комплексной огибающей вида:

где u (b, ) – первичный сигнал, представляющий передаваемое дискретное сообщение b, () и () – комплексные огибающие флуктуирующего несущего колебания и аддитивного шума. Распределения вероятностей () и () принимались близкими к нормальным, с нулевыми средними и известными дисперсиями. Модель (3.98) является общей и описывает любые источники оптического излучения, как светоизлучающие диоды, так и лазеры.

Алгоритм оптимального различения m сигналов произвольной формы на выходе нелинейного канала имеет вид:

здесь имеет смысл логарифма отношения правдоподобия [77], первое слагаемое в фигурных скобках представляет собой нелинейный функционал где круглыми скобками обозначено скалярное произведение, b g и bo – цепочки передаваемых символов длиной n, вторая соответствует нулевой комбинации (число символов в цепочках n нечетное, общее число цепочек M = mn ), B-1 – матрицы, обратные корреляционной матрице процесса (3.98), – вектор отсчетов смеси Z сигнала и аддитивного шума n(t ), преобразованный оператором, обратным к (3.97). Второе слагаемое в (3.100) определяется как логарифм отношения определителей корреляционных матриц, упомянутых выше:

Таким образом, алгоритм приема сигналов С.М.Широкова состоит в обработке вектора принимаемой смеси Z с помощью нелинейного фильтра, осуществляющего преобразование (3.102), вычислению векторов отсчетов опорных сигналов где весовая матрица вычислению скалярных произведений (3.101), величин (3.103) и их сумм (3.100); эту операцию нужно проделать над всеми цепочками символов b g, затем найти максимальное значение Lg и вынести решение только в пользу символа b'j, находящегося в середине соответствующей цепочки.

Описанный алгоритм является нелинейной модификацией алгоритма приема в целом [8,15-17]. Его автор отметил, что наибольшая трудность в выполняющего преобразование (3.102), но не указал способ его реализации.

Очевидно, что это преобразование можно осуществить с помощью ВНФШ с характеристиками, аналогичными (3.95) и (3.96), заменяя все функции, зависящие от координаты, постоянными числами; кроме того, нужно заменить на.

В общем случае, описанный алгоритм является достаточно сложным в реализации. Его можно немного упростить для режима канала, близкого к солитонному, который сложно реализовать в реальной ВОЛП. Кроме того, этот алгоритм не является строго оптимальным по критерию минимума средней вероятности ошибки даже в условиях поставленной задачи (что отметил автор), т.к. при определении отношения правдоподобия с учетом сопровождающий параметров использовался не оптимальный байесовский подход, а решающее правило обобщенного максимального правдоподобия [77]. Алгоритм также не учитывает особенностей многих современных ВОЛП – наличие в них координаты, многоканальность и т.д.

Сложность описанного алгоритма обусловлена двумя факторами. Вопервых, здесь учитываются стохастические свойства источников оптического излучения, в первую очередь, огибающей несущего колебания (), в то время как современные одномодовые лазеры, применяемые в магистральных ВОСП, имеют достаточно стабильные параметры. Поэтому вполне допустимо считать несущее колебание источника близким к гармоническому. Такое допущение может существенно упростить задачу синтеза алгоритма приема в каналах, описываемых более общими моделями, такими как (3.91). Во-вторых, при синтезе алгоритма учитывалась негауссовость статистики случайного процесса на выходе НДК. Однако, чаще всего, в волоконной оптике принято считать распределение смеси сигнала и шума на входе приемного оптического модуля близким к гауссовскому, несмотря на нелинейность ОВ и некоторых других компонентов ВОЛП. Это допущение является практически всегда оправданным, что, в первую очередь, обусловлено большим отношением сигнал-шум на входе фотодетектора. Именно на этом допущении основана общепринятая концепция Q-фактора [27,28], которую используют при оценке коэффициента ошибки BER («bit error rate») ВОСП.

Несмотря на всё перечисленное, алгоритм С.М. Широкова можно взять за основу процедуры оптимизации предлагаемого способа обработки сигналов и, для его упрощения, решать поставленную задачу в гауссовском приближении.

Справедливость такого приближения подтверждает рисунок 3.31, на котором представлена гистограмма отсчета импульса гауссовской формы и шума, прошедшего ВОЛП и ВНФШ.

Рис. 3.31 Гистограмма отсчета импульса гауссовской формы и шума, на Очевидно, что распределение этой случайной величины близко к гауссовскому. Кроме того, проверка данной гистограммы по критерию Пирсона 2 [86] также подтверждает справедливость гипотезы о соответствии распределения отсчета гауссовскому закону.

Очевидно, что демодулятор сигнала одного канала, прошедшего ВОЛП, описываемую моделью (3.91), может быть построен следующим образом:

сначала необходимо устранить нелинейные и дисперсионные искажения с помощью ВНФШ, а затем полученную смесь сигнала и шума подать на классический демодулятор, оптимальный в канале с белым гауссовским шумом [58,77]. Для этого запишем отношение правдоподобия и соответствующий алгоритм:

здесь Si – векторы опорных сигналов ( i = 1,2...m ), форма которых должна совпадать с формой сигналов, ожидаемых на входе приемного устройства, без учета шума и искажений, Ei – константы, численно равные их энергиям, N 0 – спектральная плотность шума на входе демодулятора, F1 – оператор, обратный (3.91). Аналитически для модели (3.91) его представить сложно, что обусловлено сложностью аналитического определения импульсной характеристики линейного звена с передаточной функцией (3.96). Для иллюстрации представим его в интегральной форме с учетом дискретизации по пространственной переменной (т.е. замены на n = n), для частного случая одного канала с номером m, когда наивысший порядок дисперсионного члена R = 2, а временным смещением моды можно пренебречь ( 1m 0 ):

где Z m (t ) = Z m (0 = 0, t ) – комплексная огибающая сигнала и шума на входе демодулятора, которая является начальным условием для оператора F1.

При использовании в системе передачи сигналов с одинаковыми энергиями (например, ФМ-сигналов), алгоритм можно упростить:

Структурная схема демодулятора, реализующего алгоритм (3.107) приведена на рисунке 3.32.

Рис. 3.32 Структурная схема демодулятора, реализующего алгоритм Здесь используются обозначения: «КФД» – квадратурный фотодетектор, т.е. квадратурный расщепитель [58,77], реализованный на оптическом уровне, преобразующий смесь сигнала и шума Z (t ) в две квадратурные компоненты, что необходимо для дальнейшей цифровой обработки сигнала по комплексной огибающей; «АЦП» – аналого-цифровой преобразователь, «ВНФШ» – восстанавливающий нелинейный фильтр Шрёдингера, «БОС» – блоки обработки сигнала, число которых равно позиционности кода m, «РУ» – решающее устройство, выносящее решение в пользу символа b 'j по максимуму величины Li. Каждый из блоков обработки сигнала выполняет обычную корреляционную обработку сигнала в соответствии с (3.107). Его структурная схема приведена на рисунке 3.33:

Рис. 3.33 Структурная схема блока обработки сигнала (БОС) Схема содержит блоки: «Г» – генератор опорного сигнала si (t ), « » – перемножитель, « » – интегратор, « – » – вычитающее устройство.

Как уже было сказано, алгоритм можно упростить, для случая приема сигналов с одинаковыми энергиями. В этом случае алгоритм (3.107) переходит в (3.109). При этом из схемы блока обработки сигнала (рис. 3.30) можно исключить вычитающие устройства, а решение выносить непосредственно путем сравнения скалярных произведений, формируемых интеграторами.

Если алгоритмы (3.107) или (3.109) предстоит использовать для приема двух независимых сигналов с ортогональными линейно-поляризованными несущими, то для этого нужно иметь два описанных демодулятора, на входах которых необходимо включить поляризаторы c ортогональными плоскостями поляризации.

В настоящее время одной из главных проблем волоконной оптики является прием сигналов в условиях действия поляризационной модовой дисперсии (ПМД). Рассмотрим модификацию описанного алгоритма приема с учетом ПМД и других случайных параметров ВОЛП. Известно [37,58,77], что при синтезе алгоритма приема сигналов в канале со случайно изменяющимися параметрами оптимальным является байесовский подход, при котором вместо обычного отношения правдоподобия рассматривается усредненное отношение правдоподобия с учетом распределений этих параметров. Строго говоря, все рассмотренные выше параметры ВОЛП являются случайными, но наиболее существенным здесь является случайный характер параметра 1m для двух ортогонально поляризованных мод m-го спектрального канала. Вследствие этого, смесь сигнала и шума на выходе линии (входе ВНФШ), будет зависеть не только от времени, но и от указанного параметра – Z ( t, 1m ).

Применим байесовский подход для этого случая. Запишем выражение для усредненного отношения правдоподобия с учетом распределения 1m :

здесь w(1m ) – плотность вероятности указанного параметра, B – его область определения. Алгоритм приема (3.107) примет вид:

Распределение w(1m ) практически всегда можно считать гауссовским с известными математическим ожиданием и дисперсией.

Описанным способом можно модифицировать алгоритм приема с учетом любого параметра, изменяющегося во времени случайным образом. К сожалению, вычислить аналитически интеграл, входящий в (3.110), очень сложно, в первую очередь, из-за сложности выражения обратного оператора F1, в которое входит параметр 1m. Поэтому при цифровой реализации алгоритма (3.111) указанные интегралы необходимо вычислять приближенно, потребует существенных дополнительных вычислительных затрат. Поэтому результаты моделирования, описанные ниже, приводятся без учета ПМД.

Описанный алгоритм последетекторной обработки оптических сигналов также был смоделирован на основе математического пакета «Matlab». Он сравнивался с линейным методом электронной компенсации хроматической дисперсии (совместно с корреляционным демодулятором), аналогичным Качественное моделирование проводилось для волоконно-оптической линии передачи длиной 4200 км, состоящей из 35 усилительных участков по 120 км каждый, построенных на основе стандартного одномодового волокна SMF. На выходе усилительного участка располагался усилитель с сосредоточенными параметрами (например, эрбиевого типа) с идеальными характеристиками, компенсирующий затухание на участке.

следующими:

– длина ВОЛП: 4200 км;

– длина усилительного участка: 120 км;

– строительная длина ОВ: 4 км;

– информационная скорость передачи: 100 Гбит/с;

– канальная скорость передачи: 25 Гбод;

– отношение сигнал-шум на выходе линии: 30 дБ.

Параметры передающего оптического модуля:

– уровень средней мощности: p0 = +15 дБм;

– длина волны несущей 0 = 1550нм ;

– вид модуляции: ФМ-4;

– число каналов на одной оптической несущей: 2.

Параметры линейных волокон:

– километрический коэффициент затухания: = 0, 22 дБ км ;

– коэффициент хроматической дисперсии: D = 18 пс (нм км) ;

– дисперсия групповых скоростей: 2 = 20 пс 2 км = 2 1026 с 2 м ;

– параметр нелинейности: = 3 Вт -1 км -1 = 3 103 Вт -1 м -1.

Демодулятор, расположенный на выходе ВНФШ – корреляционного типа.

На рисунках 3.34, 3.35 и 3.36 представлены временные диаграммы соответственно квадратурной x-компоненты сигнала ФМ-4, соответствующего передаваемой комбинации четырехпозиционного кода «120», на входе ВОЛП, смеси сигнала и шума на ее выходе, смеси, восстановленной с помощью нелинейного фильтра.

Рис. 3.34 Временная диаграмма квадратурной x-компоненты сигнала ФМ- Рис. 3.36 Смесь сигнала и шума, восстановленная с помощью ВНФШ Очевидно, что качество восстановления исходного сигнала с помощью ВНФШ достаточно высокое. Для сравнения на рисунке 3.34 приведена диаграмма сигнала на выходе линейного восстанавливающего фильтра.

Рис. 3.37 Смесь сигнала и шума, восстановленная с помощью линейного Очевидно, что качество восстановления сигнала в этом случае существенно ниже.

На рисунках 3.38 и 3.39 приведены диаграммы сигналов на выходах соответственно линейного фильтра и ВНФШ при меньшем уровне сигнала на передаче – 0 дБм. В этом случае качество восстановления сигналов практически одинаковое, что обусловлено меньшим уровнем нелинейных искажений в сигнале на выходе ВОЛП.

Рис. 3.38 Смесь сигнала и шума на выходе линейного фильтра восстановленных ВНФШ при разных уровнях сигнала на передаче – соответственно 0 дБм, +12 дБм и +18 дБм при одном и том же отношении сигнал-шум на входе демодулятора (30 дБ).

При повышенном уровне передаваемого сигнала качество восстановления сигнала ВНФШ ухудшается, что обусловлено нелинейным взаимодействием сигнала и шума в линии.

На рисунках 3.43 – 3.46 представлены результаты статистического моделирования алгоритмов демодуляции сигналов ФМ-4 при различных уровнях сигнала на входе ВОЛП. Из-за больших затрат времени, статистическое моделирование проводилось на ВОЛП с аналогичными параметрами, но меньшей длины – 120 км (один усилительный участок).

Кривые представляют собой зависимости коэффициента ошибки на бит (BER) от отношения сигнал-шум SNR:

где PS и PN – средние мощности сигнала и шума соответственно. Кривые соответствует кривой потенциальной помехоустойчивости [37,58,77], кривые – корреляционному приему без восстанавливающих фильтров, кривые 3 – корреляционному приему с предварительным восстановлением сигнала линейным фильтром, кривые 4 – корреляционному приему с ВНФШ.

Рис. 3.43 Зависимости коэффициента ошибок BER от отношения сигналшум SNR (уровень сигнала на передаче 0 дБм) Рис. 3.44 Зависимости коэффициента ошибок BER от отношения сигналшум SNR (уровень сигнала на передаче +6 дБм) Рис. 3.45 Зависимости коэффициента ошибок BER от отношения сигналшум SNR (уровень сигнала на передаче +12 дБм) Рис. 3.46 Зависимости коэффициента ошибок BER от отношения сигналшум SNR (уровень сигнала на передаче +18 дБм) Из полученных результатов моделирования можно сделать выводы:

1) При отсутствии компенсаторов дисперсии даже в линии относительно небольшой протяженности (120 км) корреляционный алгоритм, оптимальный в канале с белым гауссовским шумом, практически не работает: даже при больших отношениях сигнал-шум имеет место несократимая вероятность ошибки на уровне 10-2 … 10-3, что не приемлемо для ВОСП.

2) При относительно низком уровне сигнала на передаче (0 дБм и ниже) как линейный, так и нелинейный алгоритм с ВНФШ обеспечивают практически одинаковое качество приема – на рисунке 3.43 кривые 3 и 4 практически помехоустойчивости составляет приблизительно 0,5 – 1 дБ на уровне коэффициента ошибки 10-10 … 10-12.

3) При повышении уровня сигнала на передаче до +6дБм алгоритм с ВНФШ обеспечивает выигрыш по сравнению с линейным алгоритмом: на уровне коэффициента ошибки 10-6 – 10-7 он составляет около 12 дБ.

4) При дальнейшем повышении уровня сигнала на передаче линейный алгоритм перестает работать, а алгоритм с ВНФШ обеспечивает приемлемое качество демодуляции. При этом, проигрыш по отношению к кривой потенциальной помехоустойчивости растет, что обусловлено нелинейным взаимодействием сигнала и шума.

5) Использование заведомо повышенных уровней передаваемых сигналов и нелинейных режимов передачи совместно с процедурой восстановления сигналов с помощью ВНФШ, позволяет увеличить как длину усилительного участка при фиксированной скорости, так и повысить скорость передачи (при многопозиционных сигналов. Кроме того, данный способ повышения информационной скорости без увеличения канальной, эффективен при наличии поляризационной модовой дисперсии.

В главе 3 рассмотрены некоторые приложения теории нелинейной фильтрации Шрёдингера для решения задач волоконной оптики. В следующей главе приводятся результаты аналогичной процедуры фильтрации для задач подавления негауссовских импульсных помех в телекоммуникационных системах.

ШРЁДИНГЕРА ДЛЯ ПОДАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫХ ВИДОВ

ПОМЕХ В ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ

4.1 Селекция сигналов и импульсных помех (ИП) с применением НФШ В главе 1 рассматривались известные методы подавления аддитивных помех в телекоммуникационных системах. В частности рассматривалась задача обеспечивающее максимум различия между сигналом и помехой в некоторой обобщенной спектральной области, в частности, в базисе Фурье.

Рассмотрим подробнее задачу выбора оптимального отображения при подавлении интенсивных негауссовских импульсных помех (ИП) в условиях действия и других видов помех – сосредоточенных и флуктуационных. При этом смесь сигнала и помех других видов имеет вид:

здесь s ( t ) – полезный сигнал, n ( t ) – флуктуационный шум, ( t ) – сосредоточенная помеха, u ( t ) – импульсная помеха.

Сопоставление представлений в различных базисах, проведенное в главе 1, показало, что наиболее перспективными из них для решения поставленной преобразованию Френеля. По физическим соображениям ясно, что искомое преобразование целесообразно выбирать таким образом, чтобы различие между преобразованная ИП, по сравнению с сигналом и другими видами помех, должна иметь минимальную длительность и максимальную амплитуду).

Очевидно, если выбранный оператор F сохраняет энергию, то достаточно максимизировать амплитуду ИП, т.к. остальными компонентами смеси по сравнению с ней можно пренебречь. Таким образом, используемый критерий оптимальности сводится к простому правилу, требующему максимизации показателя селективности где PU и P0 – усредненные по реализациям пиковые мощности ИП и смеси сигнала с другими видами помех в области отображений.

Искомое отображение должно быть нелинейным, т.е. зависеть от амплитуды или мгновенной мощности входной смеси z ( t ), чтобы отрезки полезного сигнала, имеющие ту же форму, что и ИП, но меньшую амплитуду, искажались бы оператором F в минимальной степени. С другой стороны, необходима простая и однозначная реализация обратного оператора F1. Этому требованию удовлетворяют унитарные операторы. Кроме того, следует учитывать, что в большинстве систем связи используются квазигармонические сигналы, поэтому целесообразно использовать, как наиболее общее и универсальное, представление сигналов и помех их комплексными огибающими.

Рассмотрим решение поставленной задачи для сигналов, заданных в непрерывном времени, т.е. рассматриваемых как элементы гильбертова пространства. В этом случае отображение F, удовлетворяющее поставленным двум требованиям, необходимо искать в классе операторов с унитарной нелинейностью на множестве комплексных функций, которые подробно рассматривались в главах 2 и 3. Как было указано, одним из наиболее простых операторов этого типа является отображение, описываемое классическим нелинейным уравнением Шрёдингера (НУШ) [44,45] где – нормированная переменная, представляющая реальное время, отсчитываемое от центра импульса, в масштабе T0 ; – нормированная переменная, представляющая продольную пространственную координату распределенного фильтра, реализующего это отображение, в масштабе L0 ;

(,t ) – нормированная комплексная огибающая смеси сигнала и помех;

f ( ) – нелинейная функция, – вещественный коэффициент, определяющий дисперсионные характеристики отображения. Уравнение (4.3) описывает преобразование комплексных огибающих импульсных воздействий в нелинейных диспергирующих средах различной физической природы, в частности, в оптических волокнах при достаточно большой мощности излучения. В частности, при определенном сочетании параметров сигналов и среды возникает эффект сжатия импульсов большой амплитуды вследствие их фазовой самомодуляции (ФСМ), развивающейся за счет нелинейных эффектов.

В то же время импульсы с меньшей амплитудой мало изменяются по форме.

Таким образом, в этом случае характер преобразования отвечает требованиям к искомому преселектирующему отображению смеси слабого сигнала и больших по амплитуде импульсных помех (ИП). Иначе говоря, такое преобразование смеси будет существенно увеличивать расстояние между ее составляющими в пространстве сигналов. Это аналогично адаптивному представлению сигнала и импульсной помехи, имеющих разные амплитуды, в различных базисах, о котором говорилось в главе 1.

Для восстановления первоначальной формы полезного сигнала, а также других составляющих принимаемой смеси, после оператора K сигнал после него должен подвергнуться преобразованию, обратному по отношению к (4.3).

Это обратное отображение F1 задается сопряженным уравнением Таким образом, обратный оператор совпадает с сопряженным что указывает на унитарность отображения F.

Как было показано в параграфе 2.1, операторы F и F1 могут быть реализованы с помощью нелинейных фильтров Шрёдингера, соответственно прямого и обратного, т.е. восстанавливающего (НФШ и ВНФШ). В простейшем случае НФШ содержит два звена – нелинейное и линейное (НЗ и ЛЗ) с характеристиками:

– коэффициент преобразования мгновенных значений НЗ, – передаточная функция ЛЗ, – его импульсная характеристика (физический смысл параметров звеньев и условие физической реализуемости ЛЗ были подробно описаны в параграфе 2.1). Соответствующий ВНФШ также состоит из двух звеньев с сопряженными характеристиками:

при этом, звенья должны быть расположены в обратном порядке.

Вид нелинейной функции НЗ f ( Z ), может быть различным. Как было отмечено выше, при описании физических процессов в диэлектрических волноводах оптического диапазона обычно используется простейшая, квадратичная функция [44]. Но при цифровой реализации фильтров она может иметь и другой вид (вопросы ее оптимизации в задаче подавления ИП будут рассмотрены в следующем параграфе).

Таким образом, в простейшем случае структурная схема алгоритма подавления импульсных помех с применением пары фильтров НФШ – ВНФШ будет иметь вид, показанный на рисунке 4.1.

Рис. 4.1 Алгоритм подавления ИП с использованием двухзвенных НФШ использоваться любое из известных безынерционных нелинейных преобразований (БНП) – ограничение, бланкирование, интерполяция и т.п.

Вопросы его оптимизации по различным критериям будут рассмотрены ниже.

Кроме того, как будет показано ниже, наличие обратного преобразования F необходимо не всегда, т.к., например, в системах передачи дискретных сообщений (СПДС) не обязательно восстанавливать форму полезного сигнала.

Схема обработки сигналов в этом случае упрощается – рисунок 4.2.

Необходимо иметь в виду, что описанные алгоритмы обработки сигналов, а также реализующие их устройства предназначены только для подавления импульсных помех (на входе демодулятора), поэтому остальные виды помех должны искажаться в процессе такой обработки как можно меньше.

Сосредоточенные помехи также необходимо подавлять до демодулятора любыми известными методами. Блоки обработки сигналов, предназначенные для раздельного подавления ИП и СП до демодулятора, будем называть в дальнейшем блоками додетекторной обработки (ДДО).

необходимо решить задачу оптимизации описанных алгоритмов их подавления, которая и будет рассмотрена в следующем параграфе.

4.2 Оптимизация алгоритмов обработки сигналов при подавлении негауссовских ИП с применением НФШ Рассмотрим сначала основные задачи и критерии оптимизации. В рассматриваемых здесь задачах оптимизации, как и в других аналогичных задачах синтеза алгоритмов обработки сигналов в каналах с шумом, конечной целью является достижение наилучшего качества приема сообщений по некоторому выбранному критерию. При различении сигналов на фоне помех в системах передачи дискретных сообщений основным показателем качества обычно является средняя вероятность ошибочного приема символа или другого элемента (кодовой комбинации, соответствующей знаку первичного алфавита, блока данных и т.п.) [58,77]. При аналогичной обработке сигналов в радиотехнических системах другого назначения (локации, навигации и т.п.) могут использоваться критерии Неймана-Пирсона, минимального среднего риска и др. [37,38,58,77].

Вопрос о выборе показателей качества приема непрерывных сообщений значительно сложнее и его решение существенно зависит от их конкретных видов. Для речевых сообщений используются различные показатели разборчивости, для изображений часто наиболее важно точно передать контуры элементов и т.п. [43,63,64,87].

Вследствие трудностей непосредственной оптимизации алгоритмов обработки сигналов по указанным прямым показателям качества вместо них обычно используют более простые и доступные для вычисления критерии, обычно называемые решающими правилами и лишь косвенно или при определенных условиях отражающие качество приема сообщений. Таковы известные правилам максимума апостериорной вероятности и максимума правдоподобия [36,58,77].

При оптимизации алгоритмов приема непрерывных сообщений наиболее часто применяется правило (критерий) минимума среднего квадрата ошибки (СКО) где s ( t ) - полезный сигнал, представляющий сообщение, s ( t ) - его оценка, норма определена в среднеквадратической метрике, а черта сверху обозначает усреднение по пространству реализаций.

Если оценивается переданный сигнал с учетом задержки в канале, то вместо (4.12) следует использовать формулу Наряду с этим иногда применяется критерий минимума квадрата максимальной ошибки оценивания (КМО) Эти критерии являются универсальными и используются при оценке качества приема различных непрерывных сообщений и сигналов (речевых, музыкальных, телевизионных и т.д.), так как величина СКО имеет прямой физический смысл – представляет собой среднюю мощность ошибки оценивания а 2 – ее пиковую мощность, усредненную по ансамблю реализаций. Кроме того, СКО интегрально характеризует степень отличия s ( t ) от s ( t ) не только за счет наличия остаточной помехи на выходе демодулятора, но и из-за искажений – как линейных, так и нелинейных.

В то же время оптимизация по таким критериям не всегда эквивалента Например, если величина (4.12) имеет большое значение из-за фазовых искажений, то на качестве приема речевых сообщений это практически не отражается, так как человеческий слух не чувствителен к искажениям подобного рода [87].

Использование описанных критериев для оптимизации алгоритмов обработки сигналов в целом при приеме непрерывных сообщений часто оказывается сложным. В частности, при негауссовских моделях сигналов и помех задача синтеза оптимального демодулятора решается (и то очень сложно) только для некоторых частных случаев. В общей постановке ее решение не доводится до конкретного алгоритма, а получается только в форме Стратоновича) [73].

описанных в предыдущем параграфе, при подавлении негауссовских помех целесообразно решать для каждого блока обработки по отдельности, при необходимости заменяя общий критерий оптимальности (4.12) или (4.14) более простыми, например (4.2).

Задача выбора оптимального по такому критерию преселектирующего преобразования F в виде нелинейного фильтра Шрёдингера (НФШ), при котором увеличивается различие между сигналом (вместе с СП и шумом) и ИП по амплитуде и длительности уже рассмотрена в параграфе 4.1. Поэтому здесь будет решаться только задача оптимизации параметров НФШ по тому же критерию. Кроме того, здесь будут рассмотрены вопросы оптимизации блока селекции (БС) непосредственно по критерию минимума СКО (4.12).

Пусть на вход двухзвенного НФШ поступает смесь (4.1) сигнала s ( t ), квазидетерминрованных импульсных помех здесь Ak, tk, k, k – случайные параметры импульсов помехи – соответственно амплитуда, момент прихода, длительность и начальная фаза.

последовательностей ИП в целом несущественны, рассмотрим реализацию одиночного импульса помехи u0 ( t ) с определенными значениями параметров Ak, k, k, совместив его появление с моментом начала отсчета времени t, т.е.

положив t ' = 0. Кроме того будем считать, что огибающая импульсов A = Ak значительно превосходит огибающую остальных составляющих смеси.

Задача оптимизации двухзвенного НФШ с целью максимизации пиковой мощности детерминированного импульса и минимизации его длительности, была решена в параграфе 2.2. При этом была найдена оптимальная нелинейная функция нелинейного звена (НЗ):

где действительную огибающую входного импульса. Было также показано, что такое оптимальное нелинейное преобразование, обеспечивает развитие внутри импульса строго линейную частотную модуляцию (ЛЧМ), а линейное звено (ЛЗ), имеющее импульсную характеристику в виде ЛЧМ-импульса другого знака, обеспечивает максимальное сжатие импульса во времени. В частности, гауссовский импульс сжимается наилучшим образом в звене с логарифмической нелинейностью:

При этом закон изменения мгновенной частоты импульса на выходе НЗ будет идеально линейным:

при квадратичной нелинейности приобретает изменение мгновенной частоты по закону а осциллирующий импульс по закону Соответствующие диаграммы импульсов различной формы на входе и выходе НФШ с двумя видами нелинейности, а также зависимости мгновенной частоты от времени показаны на рисунках 4.3 – 4.12.

на выходе НЗ НФШ с логарифмической нелинейностью Рис. 4.5 ИП на выходе НФШ с логарифмической нелинейностью Рис. 4.6 Закон изменения мгновенной частоты ИП на выходе НЗ НФШ с квадратичной нелинейностью Рис. 4.7 ИП на выходе НФШ с квадратичной нелинейностью Рис. 4.8 ИП осциллирующей формы на входе НФШ Рис. 4.9 Закон изменения мгновенной частоты ИП на выходе НЗ НФШ с логарифмической нелинейностью Рис. 4.10 ИП на выходе НФШ с логарифмической нелинейностью Рис. 4.11 Закон изменения мгновенной частоты ИП на выходе НЗ НФШ Рис. 4.12 ИП на выходе НФШ с квадратичной нелинейностью Рис. 4.13 Зависимости пиковой мощности ИП на выходе НФШ для логарифмической (1) и квадратичной (2) нелинейностях от ;

Рис. 4.14 Зависимости пиковой мощности ИП на выходе НФШ для логарифмической (1) и квадратичной (2) нелинейностях от ;

Из приведенных формул и графиков видно, что только для гауссовского импульса в НЗ с логарифмической нелинейностью обеспечивается идеальная ЛЧМ и достигается максимальное сжатие (и соответствующее увеличение пиковой мощности), в остальных случаях имеются только участки с ЛЧМ вблизи нуля. Как показывают дальнейшие расчеты и моделирование, это не препятствует использованию подобных близких к оптимальным режимов для селекции сигналов и импульсных помех. Это обусловлено главным образом тем, что реальные ИП, как правило, имеют случайные параметры и поэтому можно говорить только об оптимальных в среднем (для их реализаций) характеристиках НЗ. При этом отмеченные отклонения от оптимальности становятся мало существенными, и квадратическая нелинейность, как менее чувствительная к вариациям параметров входных импульсов, часто оказывается даже более предпочтительной.

Рассмотрим теперь оптимизацию блока селекции (БС). Как уже отмечалось, для селекции ИП и остальных компонент входной смеси после преселектирующего преобразования, обеспечивающего повышение эффективности этой операции, в принципе могут быть использованы различные алгоритмы: ограничение, бланкирование, бланкирование с интерполяцией и др. Первые два метода можно рассматривать как простейшие случаи интерполяции с помощью константы, но интерполяция более сложными функциями, как правило, оказывается и более эффективной.

использовать известные результаты, полученные для систем подавления ИП, не использующих преселектирующие преобразования [72]. В указанной работе проведено сравнение наиболее эффективных (по критерию минимума СКО) интерполяционных методов восстановления участков сигнала, пораженных ИП, с использованием полиномов степеней 0, 1 и 2, и широко применяемого на практике метода бланкирования. Качество подавления ИП при приеме сигналов многоканальной телефонии в системах подвижной радиосвязи оценено по критерию минимума СКО. Показано, что выигрыш в точности восстановления сообщения интерполяторами различного порядка зависит от отношения полосы пропускания преселектирующего фильтра к полосе частот сигнала а также от отношения средних мощностей сигнала и флуктуационного шума 0. В реальных радиоканалах, как было отмечено выше, для уменьшения влияния внеполосных СП необходимо уменьшать полосу преселектора, поэтому приведем количественные оценки для рассмотренного с статье минимального отношения ( F0 / FB = 4 ). При 0 < дБ наилучшим является интерполятор первого порядка, то есть линейный. При 0 = 30 дБ он дает выигрыш по СКО порядка 8 дБ по отношению к квадратичному и 10 дБ – к интерполятору нулевого порядка. Преимущество квадратичного интерполятора начинают проявляться при больших отношениях сигнал-шум ( 0 < 45 дБ), что имеет место в системах проводной и радиорелейной связи. Очевидно, что для каналов со сложной помеховой обстановкой, например радиоканалов декаметрового диапазона, предпочтительнее использование линейного интерполятора. Из приведенных в [72] кривых видно, что с уменьшением отношения F0 / FB выигрыш от использования линейного интерполятора по отношению к квадратичному уменьшается.

Следует отметить, что при тех же условиях метод бланкирования проигрывает по СКО даже интерполятору нулевого порядка приблизительно дБ, то есть интерполяционные методы существенно эффективнее методов, использующих безынерционные нелинейные преобразователи.

Преимущество линейного интерполяционного метода отмечается также в работе [88]. В ней показано, что оптимальная в среднеквадратическом смысле степень интерполирующего полинома должна быть на единицу больше, чем порядок дифференцируемости сообщения. В рассматриваемой здесь задаче в качестве сообщения выступает смесь сигнала, сосредоточенной помехи (СП) и флуктуационного шума. Очевидно, что поскольку последний в дискретном времени представляет собой некоррелированную последовательность отсчетов, то порядок дифференцируемости указанной смеси следует считать равным нулю. Кроме того, при передаче дискретных сообщений в канальных сигналах чаще всего имеют место скачки (разрывы первого рода) – например в системах, использующих противоположные сигналы или сигналы с пассивной паузой.

дифференцируемости сообщения также следует считать нулевым.

Следовательно, можно сделать вывод о том, что с точки зрения восстановления формы сообщения, что необходимо как при приеме дискретных, так и непрерывных сообщений при условии наличия СП, наилучшим блоком селекции является интерполятор первого порядка.

Для решения задачи аналитической оценки помехоустойчивости устройств приема сообщений с использованием описанных выше алгоритмов обработки сигналов необходимо исследовать статистические характеристики потоков ИП и их преобразования в смеси с сигналом и другими видами помех при такой обработке. В следующем параграфе рассматривается способ такого расчета и результаты такой оценки.

негауссовских импульсных помех Рассмотрим в начале задачу анализа вероятностных характеристик потока ИП, представленных квазидетерминированной моделью. Одна из основных причин сложности расчета характеристик импульсных случайных процессов – допущение возможности наложения произвольного числа элементарных импульсов uk (t ) в любой момент времени. Такое допущение в основном необходимо при анализе процессов типа дробового шума в электронных приборах, фотоприемных устройствах и т.п. В этих случаях расчет удается упростить благодаря тому, что все параметры отдельных импульсов, кроме момента появления t k, обычно являются детерминированными и известными.

При этих ограничениях моментные функции процесса определяются по формулам Кэмпбелла [89]. При анализе ИП такой подход оправдан лишь в том случае, когда априорно известны характеристики отдельных источников помех и необходимо учесть их совокупное действие. В задачах приема сигналов в феноменологический подход [90], согласно которому учитывают лишь результирующую ИП, ничего не зная об ее источниках, а результат наложения нескольких импульсов, если оно имеет место, рассматривают как один импульс со случайными параметрами. В рамках такой феноменологической модели ИП все элементарные импульсы в (4.16) предполагаются приближенно финитными и неперекрывающимися, а возможность их образования из нескольких исходных импульсов учитывается в законах распределения случайных параметров A,,.

Указанное ограничение позволяет записать выражение плотности вероятности смеси z (t ) сигнала, шума и ИП с использованием условных плотностей вероятности (аналогично параграфу 2.4):

где Q – множество моментов времени, в которые действуют импульсы помехи, – средняя вероятность принадлежности к этому множеству, z = ( z x, z y ) двумерный вектор квадратурных компонент комплексного процесса z (t ).

ориентированные на задачи синтеза алгоритмов приема, то множество должно определяться критерием, по которому устанавливается факт наличия импульса помехи при обработке сигналов в приемном устройстве. В данном исследовании использован один из наиболее распространенных критериев, согласно которому к классу ИП относятся выбросы помех, превышающие некоторый выбранный заранее пороговый уровень U скорректировать соответствующим образом закон распределения их амплитуд:

в этом случае он должен быть усеченным, т.е. w( A) = 0 при A < U 0. Далее в основном рассматривается усеченное логнормальное распределение где l ( A) – функция Хевисайда, C A – нормирующая константа.

При этом даже в тех случаях, когда для описания формы импульсов длительность реализации импульса помехи на уровне U 0 является конечной величиной tИ ( ), зависящей от вектора параметров. Соответствующая условная вероятность где n – среднее число импульсов на интервале T.

где R – область значений вектора параметров, а – средняя по реализациям длительность импульса помехи на уровне U 0.

При подавлении ИП в реальном канале они доступны наблюдению лишь в сумме с сигналом и другими компонентами входной смеси z (t ). При этом обнаружение ИП, т.е. определение множества моментов времени Q, когда действуют импульсы помехи, приходится осуществлять не по правилу (4.27), а по условию выполнение которого зависит не только от параметров ИП, но и от параметров реализаций остальных компонент входной смеси (сигнала, сосредоточенных и флуктуационных помех). Они должны быть включены в вектор параметров, по которому производится усреднение в (4.31).

Плотность вероятности смеси z (t ) на интервалах действия ИП может случайными параметрами wu 0 ( z ) и остальных компонент смеси z (t ), а плотность вне этих интервалов В частности, если импульсы финитные, пороговый уровень нулевой, а другие компоненты смеси z (t ) отсутствуют, то Рассмотрим подробнее расчет плотности вероятности одиночного импульса wu 0 ( u ) входящей в приведенные выше выражения. При когерентном приеме, как будет показано ниже, достаточно проанализировать лишь одну из квадратурных компонент смеси сигнала и помех. Синфазная компонента, поступающая с выхода синхронного детектора, т.е. вещественная часть комплексной огибающей для импульса колокольной (гауссовской) формы имеет вид Будем считать, что случайные параметры импульса имеют принятые выше распределения вероятностей: амплитуда A – усеченное логнормальное, длительность – усеченное нормальное, фаза – равномерное, момент появления t ' – равномерное на тактовом интервале.

Для расчета плотности вероятности wu 0 ( u ) отсчета одиночного импульса u x ( t ) вида (4.35) в произвольный момент времени t, (который без ограничения общности можно выбрать в центре тактового интервала, т.е. t = T / 2, найдем вначале распределение величины При условии, что параметр фиксирован, используя известные формулы расчета плотностей при нелинейных преобразованиях случайных величин, нетрудно найти, что После усреднения по 0 и ряда несложных преобразований получаем Функция, описывающая форму ИП, q = e a имеет плотность вероятности где – функция ошибок.

Окончательный результат, т.е. искомое распределение отсчета u x теперь можно рассчитать по формуле Поскольку аналитическое вычисление подобных интегралов затруднено, для расчетов целесообразно использовать численные методы. На рис. 4.15 и 4.16 представлены графики зависимостей wq ( q ) и w ( u x ), численный расчет которых был произведен на компьютере. Кроме того, на рис. 4.17 приведена условная плотность смеси гармонической СП (с постоянными амплитудой и частотой и равномерно-распределенной начальной фазой) и БГШ (4.34), а на рисунке 4.18 – всей смеси (4.33), которые также были найдены указанным способом.

Рис. 4.15 Распределение мгновенных значений Рис. 4.17 Условное распределение смеси СП и шума Рис. 4.18 Условное распределение смеси ИП, СП и шума Для оценки помехоустойчивости различных алгоритмов приема сообщений в каналах с ИП обычно (за исключением простейших алгоритмов решения по одному или нескольким отсчетам) необходимо знать не только плотности вероятностей мгновенных значений помех, способ расчета которых рассмотрен выше, но и законы распределения некоторых функционалов от помех, входящих в выражения достаточных статистик. В качестве последних в большинстве случаев используются корреляционные интегралы от принятой смеси. Если в ее составе присутствуют негауссовские помехи, расчет распределений вероятностей таких функционалов является нетривиальной задачей.

Если приближенно считать огибающую опорного сигнала постоянной на интервале действия импульса помехи (что обычно приемлемо, учитывая кратковременность последнего по сравнению с сигналом), то корреляционный интеграл от такого импульса пропорционален его площади.

Помимо использования при расчетах вероятностей ошибок, анализ преобразований распределений вероятностей площадей ИП при их подавлении самостоятельный интерес, так как позволяет косвенно оценить эффективность указанных алгоритмов при приеме не только дискретных, но и непрерывных сообщений.

Площадь одиночного импульса вида (4.35) После нормировки на площадь s1T под огибающей идеализированного полезного сигнала s1 ( t ) в виде прямоугольного импульса длительностью T, обычно используемой в такого рода расчетах [30], получаем Найдем распределение величины вначале при условии, что A и фиксированы. В этом случае оно представляет собой распределение величины cos со случайной фазой и амплитудой, указанной в выражении (4.42), известное как «распределение арксинуса» [91] Искомую плотность w ( ) найдем путем усреднения (4.43) по заданным распределениям A и (с учетом уже упоминавшегося их усечения), логарифмически нормальное распределение амплитуд w( A), с учетом усечения вида (4.28), и усеченно-нормальное распределение длительности w(). При этом в большинстве радиоканалов параметр указанного распределения амплитуд ИП >> A (обычно в десятки раз) [92], так что практически все реализации ИП будут удовлетворять оговоренному выше условию превышения порога U 0.

Подставляя в (4.44) указанные распределения, получаем На рис. 4.19 и 4.20 представлены графики зависимостей w ( ) для различных параметров, A, mT, T расчет которых был также произведен численно. Анализ полученных зависимостей будет рассмотрен ниже.

При решении ряда задач анализа и синтеза устройств приема дискретных и непрерывных сообщений необходимо знать корреляционную функцию потока ИП. Ее можно рассчитать следующим образом. Поскольку при равномерном распределении фаз k отдельные импульсы и процесс в целом имеют нулевое математическое ожидание, u (t ) = 0, то его корреляционная функция с учетом независимости параметров определяется равенством Если случайные амплитуды разных импульсов в (4.16) попарно не коррелированы, т.е. Ak Ai = 0 при k i то (4.46) приобретает вид Обозначив в (4.47) среднеквадратическое значение амплитуды, имеющее смысл средней по реализациям пиковой мощности импульса и корреляционную функцию отдельного импульса с единичной амплитудой можно записать (4.47) в виде Рис. 4.19 Распределения площадей ИП с параметрами:

Рис. 4.20 Распределения площадей ИП с параметрами:

Отсюда следует, что корреляционная функция суммы импульсов помехи представляет собой сумму корреляционных функций отдельных импульсов.

Заметим, что здесь условие, что импульсы взаимно не перекрываются, не является обязательным.

Функция Bk ( t1, t2 ) определяется согласно (4.49) путем усреднения по случайным параметрам k и t k Согласно принятой выше модели моменты появления ИП распределены равномерно на интервале анализа ( 0, T ). С учетом этого Полученная формула (4.50) для корреляционной функции ИП, где Bk ( t1, t2 ) определена (4.52), выведена для общего случая, когда отдельные импульсы в (4.16) могут иметь разную форму и различные законы распределения их параметров. Такая модель может потребоваться, например, для описания совокупной ИП, вызванной несколькими источниками с существенно разными характеристиками. Однако в большинстве случаев распределения параметров и форму, а различаются только реализациями параметров. При этом условии индекс k в выражениях (4.48) и (4.52) может быть опущен и все слагаемые суммы (4.50) будут одинаковы.

Для этого частного случая из (4.50) с учетом (4.52) после замены переменных и других элементарных преобразований для корреляционной функции получается известная формула Кэмпбелла [93] где t = t2 t1, а усреднение производится по распределению длительности w().

Из (4.53) следует формула для дисперсии ИП где – средняя энергия одиночного импульса помехи.

Как видно из (4.53), при принятых выше условиях ИП представляет собой стационарный в широком смысле случайный процесс. Применяя к (4.53) преобразование Фурье, нетрудно найти его энергетический спектр где Gq ( ) = Sq ( j) плотности функции q ( t, ).

Полученные формулы дают основу для рассматриваемого далее расчета преобразований вероятностных характеристик смеси сигнала и помех в блоках обработки сигналов.