«ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ В ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ С ПРИМЕНЕНИЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УНИТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ...»

4.4 Преобразование вероятностных, корреляционных и спектральных характеристик негауссовских импульсных помех в звеньях НФШ и блоках селекции Рассмотрим теперь непосредственно задачу анализа преобразований распределений вероятностей смеси сигнала и помех в в звеньях подавителя ИП – в НФШ и блоках селекции. Предложенные в параграфе 4.1 алгоритмы обработки сигналов, переданных по каналам со сложными помехами, предполагают раздельное решение задач подавления импульсных, сосредоточенных помех и демодуляции на фоне остаточного шума. Поскольку некоторые компоненты входной смеси z (t ) (как правило, импульсные, а часто и сосредоточенные помехи) представляют собой негауссовские случайные процессы, а в блоках додетекторной обработки (ДДО) осуществляются нелинейные операции, возникает вопрос о распределении вероятностей и других статистических характеристиках, которые имеет в итоге такой обработки смесь сигнала s(t ) с остаточной помехой поступающая на вход демодулятора.

Решение этого вопроса необходимо для синтеза алгоритма демодуляции, или, по крайней мере, его коррекции с учетом влияния указанной додетекторной обработки на статистические характеристики входной смеси, а также для аналитической оценки помехоустойчивости приема.

Алгоритмы додетекторной обработки сигналов, рассмотренные в параграфе 4.1, включают в себя селектирующее преобразование входной смеси, описываемое оператором K, или, согласно предлагаемому методу, такое же преобразование с предварительной селекцией в НФШ.

Рассмотрим особенности преобразования смеси сигнала и помех в блоках селекции (БС). Общей особенностью используемых при этом алгоритмов селекции является нелинейная зависимость процесса на выходе блока селекции от амплитуды входной смеси. Если эта зависимость описывается непрерывной и гладкой функцией, как например, при «мягком» ограничении, преобразование плотности вероятности в этом блоке легко рассчитывается по известным формулам [37]. Но если осуществляется пороговая обработка, т.е. процесс на выходе изменяется по сравнению с входным при условии z ( t ) > U 0, где U 0 – некоторое пороговое значение, то указанные формулы уже не применимы, так как функция селекции не имеет обратных функций.

Будем считать, что на вход поступает смесь полезного сигнала s(t ) с импульсной u (t ), сосредоточенной ( t ) и флуктуационной n(t ) помехами Все компоненты смеси статистически независимы, локально стационарны на интервале анализа и для них известны соответствующие двумерные плотности вероятностей квадратурных компонент wc(s), wu(u), wсп(v), wn(n) и корреляционные функции или энергетические спектры. Необходимо найти аналогичные характеристики случайного процесса на выходе блока селекции.

Рассмотрим вначале расчет плотности вероятности. Остальные характеристики – корреляционные и спектральные – анализируются ниже.

случайных процессов в системах, содержащих инерционные линейные и нелинейные элементы, как известно [37] может быть решена только с применением приближенных или численных методов. Однако, для отдельных частных видов таких систем, например, системы квадратичный детектор – фильтр, учитывая их специфику, удается получить сравнительно простые результаты [37]. Особенности рассматриваемых здесь преобразований также позволяют, как показано ниже, упростить расчет.

Как уже отмечалось выше, в блоке селекции могут быть реализованы различные алгоритмы пороговой обработки, большинство из которых можно рассматривать как тот или иной вид интерполяции сигнала на участках, пораженных ИП (определяемых по указанному выше признаку превышения порогового уровня), по соседним (неискаженным) отсчетам.

Из простейших алгоритмов интерполяции, описанных в параграфе 1.2, рассмотрим простейшую интерполяцию сигналом с постоянной амплитудой U И exp ( i ), которая реализуется, в частности, при ограничении (U И = U 0 ), бланкировании и экстраполяции нулевого порядка ( U И равен последнему отсчету сигнала, не пораженного ИП).

При такой интерполяции плотность вероятности процесса v 0 (t ) на выходе блока селекции (БС) можно рассчитать, используя условные вероятности, как это было сделано в параграфе 2.4 для входного процесса z ( t ).

Если преселектирующий НФШ на входе БС отсутствует, т.е. v ( t ) = z ( t ), то в этом случае плотность вероятности w v0 ( v0 ) процесса v0 ( t ) на выходе БС может быть найдена по формуле вида (4.26) с условием, что к множеству Q принадлежат все моменты времени, в которые z ( t ) превышает по амплитуде порог U 0 (независимо от того, вызваны эти превышения ИП или выбросами остальных компонент смеси):

где w0 ( v0 ) – плотность вероятности квадратурных компонент комплексной интерполирующей функции с постоянной амплитудой C и случайной фазой Ф, распределенной так же, как z ( t ) при t Q. Поскольку в эти моменты доминирует ИП, можно принять распределение w ( ) таким же как у ИП.

распределение вида где знак «–» ставится, если arcsin vx < / 2.

Как следует из параграфа 4.3, при отсутствии НФШ распределение w ( ) обычно считается равномерным. Тогда В случае бланкирования В остальные моменты времени процесс на выходе БС не отличается от входного и имеет ту же плотность вероятности Вероятность превышения порогового уровня плотностью вероятности вида (4.26) сложно, целесообразно в формуле (4.63) разбить множество Q на два подмножества: Q1, где ИП отсутствует, и Q 2, где ИП присутствует. Тогда где здесь r0 ( t ) – огибающая остальных компонент смеси z0 ( t ), для которой при использовании гауссовской модели справедливо распределение Релея или, вероятности pИ можно пренебречь остальными компонентами смеси z ( t ) по сравнению с ИП, т.е. положить в (4.66) z ( t ) u ( t ), так как эти компоненты приняты малыми по сравнению с ИП. Кроме того, такое допущение оправдано последующих блоков обработки сигналов, и для больших по амплитуде ИП режим усиления обычно оказывается нелинейным, близким к области насыщения. Поэтому на интервалах действия ИП разделение входной смеси на аддитивные компоненты вида (4.56) теряет физический смысл и принимаемое здесь и далее представление, что на этих интервалах действует только ИП, оправдано.

';

Тогда pИ рассчитывается по формулам (4.30) и (4.31), в которые в качестве следует подставлять выражение длительности реализации одиночного импульса помехи на уровне U 0.

В итоге, с учетом того, что обычно выбирается U И U 0, получаем общее выражение плотности вероятности процесса на выходе БС в виде Если выполняется исходное допущение о значительном превышении средней амплитуды ИП над остальной частью смеси z ( t ) и не учитываются остатки ИП после пороговой обработки, то в (4.67) можно пренебречь по сравнению с pИ, а wz ( v0 ) заменить более простым выражением плотности вероятности остальных компонент смеси wz 0 ( v0 ).

Таким образом, закон распределения амплитуд ИП влияет на плотность вероятности выходного процесса БС лишь косвенно, через их среднюю длительность на уровне U 0. Это значительно упрощает рассматриваемый ниже расчет преобразований входной смеси в преселектирующем НФШ.

Теперь рассмотрим преобразование смеси сигнала и помех в БС с НФШ.

Как было показано в параграфе 2.4 НФШ, поскольку он является нелинейным, изменяет статистику входной смеси даже при условии ее нормальности. К тому же из-за нарушения принципа суперпозиции выходной процесс НФШ уже не распадается на сигнал и помехи аналогично (4.62). Однако при выборе преселектирующего преобразования в параграфе 4.1 было поставлено условие, чтобы оно оказывало существенное влияние только на ИП, оставляя остальные компоненты входной смеси z0 ( t ), почти без изменения. Поэтому можно пренебречь изменениями плотности вероятности входной смеси на интервалах, где ИП отсутствует, принимая На интервалах действия ИП соответствующая условная плотность wz ( z | t Q ) изменяется в основном вследствие изменения длительностей импульсов помехи и может быть рассчитана по формуле (4.67), в которую вместо pИ следует подставлять новое значение pИ, найденное с учетом указанного изменения:

Кроме того, при расчете распределения вероятностей по формуле (4.67) в позволяющее учесть самомодуляцию фазы в НФШ.

преобразование ИП в НФШ. С учетом характеристик НЗ и ЛЗ запишем реакцию двузвенного НФШ на воздействие z ( t ) в виде:

В соответствии с квазидетерминированной моделью (4.16) реализация одиночного импульса помехи u0 ( t ) при условии совмещения начала отсчета времени с его центром описываются выражением Как уже отмечалось выше, специфика используемого нелинейного преобразования (4.70) такова, что на его результат практически не влияют малые составляющие входного воздействия. Поэтому с учетом принятого допущения о малости остальных компонент смеси z ( t ) по сравнению с импульсом помехи на интервале его действия можно считать z ( t ) u0 ( t ) и формула (4.70) принимает вид Представим эту реакцию в форме, аналогичной воздействию:

где A', ', ' – амплитуда, среднеквадратическая полуширина и фаза выходного импульса; функция q ' t, ' описывает его форму и нормирована так, что ее пик равен единице. В формуле (4.59) учтено, что в результате самомодуляции фаза выходного импульса ' ( t ) зависит от времени даже при постоянной фазе воздействия (4.71).

Соотношения (4.71) и (4.72) позволяют установить зависимости параметров выходного импульса A', ' и функции ' ( t ) от аналогичных параметров входного импульса A,,. Из них для расчета распределения (4.67) необходима только зависимость ' ( A,, ). В аналитическом виде ее можно получить лишь для некоторых простых видов функций q ( t, ) и f ( u ) в (4.71) и (4.72).

Рассмотрим такой расчет для импульса гауссовской формы, и степенной нелинейности в НФШ (такая аппроксимация является наиболее универсальной) где – параметр нелинейности.

Подставив (4.74) и (4.75) в (4.72) и приближенно заменяя (что допустимо вблизи центра импульса, где сосредоточена основная часть его энергии [19]) гауссовскую форму фазовой функции параболической, нетрудно вычислить интеграл (4.72). Результат интегрирования имеет вид где Из сравнения (4.76) с (4.73) видно, что где – начальная фаза и коэффициент ЛЧМ выходного импульса.

Как видно из (4.76) в рамках принятого приближения на выходе НФШ гауссовская форма огибающей ИП, но возникает самомодуляция фазы. С точки зрения задач оценки эффективности исследуемого метода подавления ИП из найденных выше преобразований параметров случайного импульса в НФШ наибольший интерес представляет изменение его длительности.

При определении длительностей входного и выходного импульсов на уровне U 0 необходимо иметь в виду, что реально они могут быть найдены только по условию превышения этого уровня всей смесью z ( t ), а не только импульсом помехи u0 ( t ) или v ( t ). Из других компонент этой смеси, как показывает более детальный анализ, достаточно учесть лишь полезный сигнал, а флуктуационная и сосредоточенная помехи вследствие их малой амплитуды и быстрых осцилляций по сравнению с сигналом влияют на указанную длительность незначительно.

С учетом сигнала s (который принят, как это оговорено выше, приблизительно постоянным на интервале действия ИП) длительности входного и выходного импульсов на уровне U 0, как можно показать, определяются выражениями Как видно из (4.85), при приеме двоичных противоположных сигналов U 0S ( ), а поэтому и t И не зависят от принимаемого символа, но изменяются в соответствии с флуктуациями фазы ИП. Как легко заметить из (4.85), эти изменения лежат в пределах U 0 ± s, и в случае слабого сигнала ими можно пренебречь, используя в дальнейших расчетах среднее по значение t И определяемое (4.84) при U 0 S ( ) = U 0. В других случаях при использовании распределения случайной длительности t И необходимо принимать во внимание ее зависимость от.

С учетом (4.79) и (4.80) выражение длительности импульса на выходе НФШ можно представить в виде последующего определения по ней плотности вероятности процесса на выходе БС согласно (4.69) необходимо подставить в формулу (4.33), найденную зависимость tИ ' ( ), а затем воспользоваться соотношением (4.31). Таким образом, где Если необходимо знать не только среднее значение, но и закон распределения длительности импульса помехи со случайными параметрами, то его можно найти следующим образом.

По известному (усеченному нормальному) распределению параметра t, с учетом формулы (4.84), связывающей t И с, нетрудно записать выражение условной плотности параметров вектора, получаем Для расчета w tИ ' | si воспользуемся формулой (4.86), связывающей t И ' где нелинейная функция ( A, ) для n = 2 в подробной записи имеет вид Воспользуемся для этого методом характеристической функции. Для этого фиксированных значениях параметров A и, а затем указанное условное распределение через преобразование Фурье от (4.93) распределениям A и аналогично (4.90).

Если решается задача, в которой необходимо принимать во внимание изменения полезного сигнала, то при усреднении необходимо учесть и его распределение вероятностей. При расчете плотности вероятности w0 ( v0 ) для подстановки ее в формулу (4.67) в соответствии с (4.59) необходимо знать распределение фазы выходного процесса БС на интервалах пороговой обработки, w(' ). Это распределение можно найти по заданным плотностям вероятностей w(A), w(), w() с учетом выражения (4.82), связывающего фазу с этими параметрами, по известным формулам для нелинейных преобразований случайных величин. При этом получаются громоздкие аналитические выражения, которые здесь опущены. Численный расчет показывает, что для большинства реализаций параметров набег фазы, вносимый НФШ, Поскольку при расчете плотности вероятности такие значения должны быть приведены к интервалу (, ), в итоге получается распределение, очень мало отличающееся от равномерного. Это позволяет использовать при расчете в качестве естественного приближения формулу (4.60).

Для ИП более сложных форм расчет с самого начала, с вычисления интеграла (4.72) целесообразно вести численным методом. На рисунках 4.21 – 4.26 в качестве примера показаны зависимости t И ', а также коэффициента сжатия Kt = tи / tи ', от параметров, A,, найденные описанными методами для ИП гауссовской (4.74) и осциллирующей форм ИП:

здесь k ф – коэффициент формы ИП. На рисунках 4.27 и 4.28 показаны соответственно характеристическая функция (4.93) и плотность вероятности w ( tИ ' | si ). Кроме того, здесь же изображено (штриховой линией) распределение длительности ИП на входе НФШ (4.90).

Рис. 4.21 Зависимости ширины (1) ИП колокольной формы на выходе НФШ и коэффициента сжатия (2) ИП от полуширины входной ИП Рис. 4.22 Зависимости ширины ИП гауссовской формы на выходе НФШ и коэффициента сжатия ИП от амплитуды входной ИП.

Рис. 4.23 Зависимости ширины ИП гауссовской формы на выходе НФШ и коэффициента сжатия ИП от параметра нелинейности.

Рис. 4.24 Зависимости ширины (1) ИП осциллирующей формы на выходе НФШ и коэффициента сжатия (2) ИП от полуширины входной ИП.

Рис. 4.25 Зависимости ширины (1) ИП осциллирующей формы на выходе НФШ и коэффициента сжатия (2) от амплитуды входной ИП.

Рис. 4.26 Зависимости ширины (1) ИП осциллирующей формы на выходе НФШ и коэффициента сжатия (2) от параметра нелинейности.

Рис. 4.27 Характеристическая функция длительности ИП Рис. 4.28 Распределение длительности ИП на входе (1) и Несмотря на то, что весь описанный расчет может быть выполнен численным методом, найденные аналитические зависимости представляют относительно характера преобразования импульсов в НФШ.

При отсутствии нелинейного звена ( = 0 ) в (4.78) и (4.79) всегда и, следовательно, A' < A, ' > т.е. амплитуда импульса уменьшается, а ширина представлениям о дисперсии процессов в линейных инерционных звеньях.

самомодуляция импульса, в результате которой его последующая дисперсия в Л3 при надлежащем выборе значения приобретает аномальный характер:

импульс не расширяется, а сжимается, о чем уже говорилось выше. Это видно из формул (4.78) – (4.81): при > 0 возможно выполнение условия при котором A' > A, ' <. С учетом (4.81) неравенство (4.97) подробнее записывается откуда следует, что оно выполняется при Подставляя это выражение в (4.129), после несложных преобразований получим С учетом замены t1 на t 2 при t2 < t1 окончательно получаем После усреднения по остальным параметрам получаем где 0 (, A, и ) определено (4.135). При усреднении необходимо учитывать зависимость и ' от A и и вида (4.86). Ввиду громоздкости получающихся при этом аналитических выражений целесообразно вести расчет интеграла (4.136) в численном виде.

Для расчета КФ процесса на выходе БС в целом необходимо учесть вероятности событий C1 и C2' : первая из них вторая, как легко показать, определяется выражением Подставляя найденные значения условных моментов и вероятностей в (4.124), получаем окончательное выражение КФ процесса на выходе БС:

где Bz ( t ) определено (4.117) или (4.118), а Из (4.139) видно, что процесс на выходе БС остается стационарным; в рамках принятых допущений, если ИП отсутствует ( v = 0 ), то Bv 0 ( ) = Bz ( ).

Энергетический спектр этого процесса определяется из (4.139) по формуле где Gz ( ) – энергетический спектр входной смеси, а G ( ) связан с функцией (4.140) преобразованием Фурье; его расчет целесообразно вести в численном виде.

Определим КФ и спектр процесса на выходе обратного НФШ. В соответствии с теоретическими положениями, изложенными выше, этот фильтр при отсутствии блоков БС в системе обработки обеспечивает полное восстановление входного воздействия z ( t ) после его преобразования в первом (прямом) НФШ. При наличии БС это не происходит, даже если ИП во входной смеси нет, так как ее выбросы, превышающие порог U 0, подвергаются нелинейной обработке подобно ИП.

4.5 Сравнительный анализ помехоустойчивости алгоритмов приема дискретных сообщений на фоне негауссовских помех Как следует из теоретических результатов предыдущих разделов, есть основание ожидать, что применение преселектирующих преобразований в виде НФШ при условии правильного выбора их структуры и оптимизации параметров позволяет более эффективно подавлять ИП при приеме всех видов сообщений по сравнению с известными методами.

Однако окончательные выводы относительно из преимуществ и недостатков можно количественной оценки соответствующих показателей помехоустойчивости.

Для систем передачи дискретных сообщений необходимо оценить и сравнить средние вероятности ошибочного приема при использовании разработанных и известных методов подавления ИП, для систем передачи непрерывных сообщений – СКО или другие аналогичные показатели качества. Ниже рассматриваются результаты теоретического анализа указанных показателей помехоустойчивости и оценки на основе результатов моделирования.

Рассмотрим задачу анализа вероятностей ошибок при приеме дискретных сообщений в каналах с ИП посредством аналитического расчета.

Как уже отмечалось, задачи данной работы ограничиваются анализом помехоустойчивости алгоритмов приема сигналов, основанных на принципе селективного подавления разных видов помех. Соответствующие блоки додетекторной обработки (ДДО), выполняющие преселектирующее и селектирующее преобразования их смеси с помехами, устанавливаются на входе основной части приемного устройства (демодулятора), которая оптимизирована для приема на фоне флуктуационного гауссовского шума.

Вследствие очевидных трудностей, связанных с непосредственной обработкой высокочастотных модулированных сигналов, на практике они обычно вначале подвергаются когерентному (синхронному) детектированию, в результате которого выделяются квадратурные компоненты z x ( t ) и z y ( t ) комплексной огибающей входной смеси над которыми и выполняются потом все последующие операции обработки.

Алгоритм оптимального когерентного приема двоичных сигналов на фоне белого гауссовского шума (БГШ) в канале без памяти (алгоритм записывается через квадратурные компоненты в виде [17] где sx ( t ) и s y ( t ) – квадратурные компоненты опорного сигнала равного разности комплексных огибающих ожидаемых сигналов в месте приема s1 ( t ) и s2 ( t ), – пороговый уровень.

С учетом (4.144) алгоритм (4.143) можно записать в виде где s (t ) – сигнал, комплексно сопряженный с (4.144). Оценим средние вероятности ошибочного приема двоичных сигналов по описанным алгоритмам в канале с ИП и БГШ при использовании разных методов ДДО, включая разработанный метод. Согласно известному общему подходу к расчету средней вероятности ошибки при приеме двоичных сигналов на фоне аддитивных помех [58,77] при принятых выше условиях она определяется по формуле где случайная величина а константа Согласно (4.148) где Величина n имеет гауссовское распределение с нулевым средним и дисперсией где N 0 – спектральная плотность шума n ( t ), Распределение и моменты величины u вследствие негауссовского распределения ИП u ( t ) найти значительно сложнее.

Рассмотрим вначале такой расчет для случая, когда принимаемая смесь сигнала с помехами z ( t ) не подвергается додетекторной обработке и поступает непосредственно на вход описанного выше демодулятора. Тогда в выражении (4.148) в соответствии с квазидетерминированной моделью (4.16) где qi ( t ti, i ) – функция известной формы, описывающая форму импульса помехи, – случайные параметры ИП с известными законами распределения w ( A ), w ( ), w ( ), не зависящими от номера импульса i, ti – случайные моменты появления импульсов, распределенные равномерно на интервале T, N – их число на этом интервале, распределенное по закону Пуассона. Будем считать, как это обычно и принимается при расчетах ИП [30], что интенсивность потока ИП настолько мала, что достаточно учесть только вероятность появления одного импульса P, а вероятностями появления двух и более импульсов P2, P3,... можно пренебречь.

Примем также обычное допущение, что tИ 1 и значения p становятся намного меньшими величины (4.186).

При наличии флуктуационной помехи она влияет не только на значение p n, но и на вторую составляющую формулы вероятности ошибки (4.178), так как от N 0 зависит r ( ). Поэтому с уменьшением h2 при неизменном T увеличиваются обе составляющие. На рисунках 4.33 и 4.34 приведены графики функций r ( ) в (4.178) и r2 ( ) в (4.181) для значения величины h0 2 = 10. Здесь же штриховыми линиями изображены соответственно распределения площади ИП на входе блоков ДДО – w ( ) (см. формулу (4.45)) и после преобразования в НФШ и БУ – w ( B | s2 ), вычисленную по формуле (4.114) с использованием (4.116). Из (4.178) и (4.181) и приведенных графиков видно, что «импульсная»

составляющая вероятности ошибки демодулятора зависит от площади пересечения весовой функции r ( ) и плотности w ( ) – чем она больше, тем больше и вероятность ошибки. Сравнивая между собой рисунки 4.33 и 4.34, можно сделать вывод о существенном снижении p0u при наличии блоков ДДО (более подробные количественные выводы о сравнении помехоустойчивости различных алгоритмов по результатам расчета будут приведены ниже).

Рис. 4.34 Весовая функция r2 ( ) – кривая 1, условное распределение площади ИП на выходе БУ с входным НФШ – W ( / S 2 ) – кривая 2.

Из формулы (4.178) видно, что независимо от выбора функции r ( ) обе составляющие вероятности ошибки, pon и pou, по разному зависят от интервала обработки T : pon, как обычно, возрастает при уменьшении T (за счет уменьшения h2 ), а pou, наоборот, снижается, т.к. уменьшается вероятность p попадания ИП в интервал обработки, т.е. может быть найден некоторый оптимальный интервал.

Прием по одному отсчету является особым случаем. В этом случае вероятность ошибки определяется распределением не площади ИП, как при корреляционном приеме, а ее мгновенных значений wu ( u ). Вид этой функции распределения найден в параграфе 4.4. Вероятность ошибки, как легко показать с помощью преобразований, аналогичных (4.147) – (4.151), выражается через нее по формуле где – пороговый уровень (для ФМ = 0, p u – вероятность наличия ИП в момент отсчета, wun ( u ) – свертка распределений wu ( u ) и wn ( u ).

В частности, при u 2 >> n 2 wun ( u ) wu ( u ) и с учетом формул параграфа 4. В общем случае получается формула, аналогичная (4.178):

где Полученные формулы для вероятности ошибки (4.178), (4.181) и (4.189) позволяют провести и более детальное исследование ее зависимостей от параметров сигналов и помех. Для этого необходимо знать конкретный вид плотности вероятности площади или мгновенных значений ИП. Метод их расчета рассмотрен в параграфе 4.4. Окончательные результаты из–за численном виде.

Если в канале помимо ФП и ИП присутствует сосредоточенная помеха (СП), то ее влияние можно учесть, введя соответствующую дополнительную компоненту в (4.148). Если СП имеет амплитуду U ( t ), мало изменяющуюся на интервале обработки, и частоту c 0, то ее комплексную огибающую можно записать в виде и величина в модифицированном варианте формулы (4.148) имеет дополнительную компоненту В частности, для сигнала в виде прямоугольного радиоимпульса, комплексная огибающая которого имеет только вещественную часть При случайных амплитуде и фазе (соответственно с релеевским и равномерным распределениями) V будет иметь гауссовское распределение с нулевым средним и дисперсией где V 2 – средний квадрат огибающей СП.

Поэтому ее действие проще всего учесть соответствующим изменением характеристик гауссовской компоненты шума и соответственно ввести вместо n также с нулевым матожиданием и дисперсией В общей постановке задачи СП можно считать узкополосным случайным корреляционной функцией BV ( t ). Тогда в частности, при постоянных сигналах В результате интегрирования СП нормализуется (независимо от ее исходного распределения) и тогда nv представляет собой гауссовскую случайную величину с суммарной дисперсией Зная энергетический спектр СП GV ( f ) и учитывая передаточную функцию фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом можно найти v 2 по формуле где F = / 2, из (4.182) и (4.183) получается (4.173).

Для количественной оценки помехоустойчивости различных алгоритмов был проведен численный расчет зависимостей вероятностей ошибок при различных методах приема от отношения средних мощностей сигнала и ИП при постоянных отношениях сигнал-шум и сигнал-СП. На рисунках 4.35 и 4. показаны эти зависимости, расчет которых также был выполнен на компьютере с помощью пакета «Mathcad», для следующих алгоритмов:

- корреляционный демодулятор (ДМ) без блоков ДДО;

- корреляционный ДМ с амплитудным ограничителем (АО);

- корреляционный ДМ с НФШ и АО;

- корреляционный ДМ с бланкирующим устройством (БУ);

- корреляционный ДМ с НФШ и БУ.

Рис. 4.35 Зависимости средних вероятностей ошибок от отношения Ps / Pu в канале с ИП, СП и БГШ для алгоритмов демодуляции:

Рис. 4.36 Зависимости средних вероятностей ошибок от отношения Ps / Pu в канале с ИП, СП и БГШ для алгоритмов демодуляции:

Параметры распределения амплитуды и интенсивности потока ИП матожидание длительности m.

По полученным графикам можно сделать следующие выводы. Наиболее эффективным из известных алгоритмов, использующих БНП, является бланкирование. Энергетический выигрыш от его использования в корреляционном ДМ составил около 38 дБ, что на 4 дБ эффективнее, чем при использовании АО (34 дБ). При использовании НФШ совместно с АО и БУ выигрыш увеличивается приблизительно на 2,5 – 3 дБ, в зависимости от уровня оценки вероятности ошибки, что довольно существенно. Если оценить выигрыш по вероятности ошибки, например для последних двух алгоритмов при отношении сигнал – ИП порядка 30 дБ, то он составит приблизительно полтора порядка, что также довольно существенно.

Качественный анализ всех кривых также позволяет сделать вывод о том, что при наличии ИП в каналах связи и при использовании на приеме корреляционного демодулятора, качество приема резко падает при достижении отношением сигнал-ИП некоторого порогового значения. Это происходит в том случае, когда площадь ИП в среднем начинает превышать площадь элемента сигнала. Этот пороговый эффект проявляется тем заметнее (то есть кривые будут спадать тем быстрее), чем меньше флуктуируют параметры ИП и чем меньше шум и СП в канале. Кроме того из рисунков видно, что при превышении отношением сигнал-ИП некоторого другого порогового значения вероятность ошибки практически не изменяется, что можно объяснить влиянием шума и СП.

На рисунках 4.37 и 4.38 приведены также зависимости вероятностей ошибок демодуляторов, использующих БУ, АО с НФШ и БУ с НФШ, от параметров – порога U 0 и величины. Их анализ позволяет сделать вывод о слабой чувствительности алгоритмов с НФШ к изменениям указанных параметров, в то время, как алгоритм использующий БУ оказывается достаточно критичным к U0, что также является существенным преимуществом алгоритмов с НФШ.

Поскольку описанный аналитический расчет помехоустойчивости выполнен с использованием ряда допущений, окончательный вывод о преимуществах новых методов подавления негауссовских помех может быть сделан только на основе прямого статистического моделирования, методы и результаты которого описаны в следующих подразделах.

Для проверки результатов численного расчета было проведено статистическое моделирование указанных алгоритмов в тех же условиях по методике, описанной в следующем параграфе. На рисунке 4.35 представлены зависимости полученных коэффициентов ошибок (см. кривые 4,5,6) от отношения сигнал-шум для уровня p 104. Различие результатов численного расчета и моделирования незначительно и составляет не более 2%, что подтверждает состоятельность проведенного расчета.

Рис. 4.37 Зависимости средних вероятностей ошибок от Рис. 4.38 Зависимости средних вероятностей ошибок от U u 4.6 Результаты статистического моделирования алгоритмов подавления негауссовских ИП с использованием НФШ В предыдущем параграфе рассмотрены результаты теоретического анализа помехоустойчивости алгоритмов приема дискретных сообщений с использованием различных методов подавления негауссовских помех по основному показателю качества приема – средней вероятности ошибки.

Результаты этого анализа позволяют сделать важные качественные выводы о потенциальных возможностях, преимуществах, недостатках и областях применения рассмотренных методов, однако получены с использованием ряда приближений и упрощающих допущений. Для уточнения этих результатов и сравнения реальной помехоустойчивости известных и новых, описанных в предыдущих разделах, алгоритмов приема дискретных сообщений в каналах связи с негауссовскими помехами и флуктуационным шумом, получения количественных оценок достижимых характеристик передачи целесообразно использовать прямое статистическое моделирование [95,96]. Хотя приводимые ниже результаты моделирования получены для систем передачи дискретных сообщений по каналам без памяти и замираний, их можно распространить и на более сложные виды каналов.

При моделировании варьировались вероятностные характеристики сигнала и ИП, а для шума и СП они задавались постоянными. Подавление импульсных, флуктуационных и сосредоточенных помех осуществлялось как по известным, так и по новым, описанным в параграфе 4.2 алгоритмам, основанным на использовании преселектирующих преобразований в следующих сочетаниях:

– корреляционный демодулятор (КДМ) без блоков додетекторной обработки (ДДО);

– КДМ в сочетании с бланкирующим устройством (БУ);

– КДМ в сочетании с двусторонним амплитудным ограничителем (АО);

– КДМ в сочетании с НФШ (с квадратической функцией f ( z ) ) и БУ;

– КДМ в сочетании с НФШ (с полиномиальной функцией f ( z ) ) и БУ;

– КДМ в сочетании с НФШ и АО;

– КДМ в сочетании с НФШ, БУ и обратным НФШ;

– КДМ в сочетании с НФШ, АО и обратным НФШ;

– КДМ в сочетании с линейным интерполятором (ЛИ);

– КДМ в сочетании с НФШ и ЛИ;

– КДМ в сочетании с НФШ, ЛИ и обратным НФШ.

На рисунках 4.39 – 4.42 приведены графики некоторых полученных зависимостей коэффициента ошибок от характеристик канала и алгоритмов приема. Задававшиеся значения параметров сигналов, помех и алгоритмов указаны на рисунках, где в соответствии с ранее принятыми обозначениями:

s – амплитуда входного сигнала;

– параметр усеченной логнормальной амплитуды ИП;

A – параметр амплитуды ИП;

m – математическое ожидание усеченно–нормальной длительности ИП;

– среднеквадратическое значение указанной длительности ИП;

k Ф – коэффициент формы осциллирующей ИП;

U h – среднее значение амплитуды квазигармонической СП;

U 0 – порог ограничения (бланкирования);

– параметр нелинейности НФШ.

Из полученных зависимостей видно, что применение преселектирующих преобразований в виде НФШ перед подавлением ИП с помощью всех известных методов, для большинства значений параметров сигналов и помех обеспечивает существенное уменьшение вероятности ошибки, т.е. повышение помехоустойчивости или соответствующий энергетический выигрыш по сравнению с известными алгоритмами. Он особенно заметен в каналах, где наряду с ИП действуют СП.

Оценим количественно результаты проведенного моделирования. Из полученных кривых видно, что в каналах без СП качество приема резко возрастает при достижении величины отношения средних мощностей сигнала и ИП ( Ps / Pu ) некоторого порогового значения, которое зависит от конкретного алгоритма. Из известных методов борьбы с ИП, использующих БНП, наилучшим является БУ, которое обеспечивает в зависимости от ширины ИП выигрыш в указанном отношении порядка 9 – 12 дБ по сравнению с использованием оптимальной демодуляции по алгоритму Котельникова без защиты от ИП.

Рис. 4.39 Зависимости коэффициентов ошибок от отношения Ps / Pu в канале с ИП колокольной формы и БГШ для алгоритмов демодуляции:

кривая 1 – КДМ без ДДО, кривая 2 – КДМ с БУ, кривая 3 – КДМ с НФШ (с квадратической f ( z ) ) и БУ, кривая 3’– КДМ с НФШ (с полиномиальной f ( z ) ) и БУ, кривая 4 – КДМ с НФШ + БУ + ОНФШ.

Параметры: = 1, a = 0.1, m = 3, = 0.1, = 1, = 55, U 0 = 0.5, h 2 = 10.

Рис. 4.40 Зависимости коэффициентов ошибок от отношения Ps / Pu в канале с ИП колокольной формы и БГШ для алгоритмов демодуляции:

кривая 1 – КДМ без ДДО, кривая 2 – КДМ с БУ, кривая 3 – КДМ с НФШ и БУ, кривая 4 – КДМ с НФШ + БУ + ОНФШ.

Параметры: = 1, a = 0.1, m = 1.5, = 0.05, = 1, = 20, U 0 = 0.5, h 2 = 10.

Рис. 4.41 Зависимости коэффициентов ошибок от отношения Ps / Pu в канале с ИП осциллирующей формы и БГШ для алгоритмов кривая 1 – КДМ без ДДО, кривая 2 – КДМ с БУ, кривая 3 – КДМ с НФШ и БУ, кривая 4 – КДМ с НФШ + БУ + ОНФШ.

Параметры: = 1, a = 0.1, m = 15, = 0.2, = 1, = 35, U0 = 0.5, h2 = 10.

Рис. 4.42 Зависимости коэффициентов ошибок от отношения Ps / Pu в канале с ИП осциллирующей формы и БГШ для алгоритмов превышает 2,5 дБ (т.е. проигрыш по отношению к БУ порядка 6,5 – 9,5 дБ).

Качество работы БУ, как видно из тех же зависимостей, можно существенно повысить, применяя НФШ, причем наилучшим является алгоритм НФШ в сочетании с БУ. Использование обратного НФШ в этом случае (т.е. без СП) нецелесообразно, т.к. он несколько ухудшает качество последующей демодуляции за счет неизбежного внесения искажений в сигнал.

Следует отметить, что вид нелинейной функции f ( z ), входящей в НФШ, существенно влияет на эффективность преселектирующего преобразования. В параграфе 4.2 обсуждались вопросы оптимизации этой функции по критерию максимума величины (4.2). Было показано, что для ИП гауссовской формы нелинейность является логарифмической – (4.20). Однако статистическое моделирование показало, что такая нелинейность при решении задачи селекции сигнала и ИП несколько хуже, чем простая квадратическая вида (4.22) – энергетический проигрыш при этом составил 6 – 7 дБ (см. рисунок 4.39).

Такое преимущество квадратической функции f ( z ) по сравнению с полиномиальной и логарифмической очевидно можно объяснить локальным характером ЛЧМ, возникающей в таком звене (см. параграф 4.2). В этом случае при прохождении смеси сигнала, шума и ИП через НФШ, последний оказывает существенное влияние только на ИП.

Применение НФШ также эффективно при совместном подавлении ИП и СП. При этом в качестве блока селекции целесообразно использовать более сложный алгоритм линейной интерполяции (ЛИ). Здесь обязательным является наличие обратного НФШ, восстанавливающего форму СП после подавления ИП. Выигрыш от использования НФШ совместно с ЛИ по сравнению с ЛИ без НФШ составил 2,5 дБ на уровне выигрыш уменьшается и составляет приблизительно 2 дБ на уровне p = 103.

При создании программы моделирования систем передачи непрерывных сообщений использовался тот же модульный принцип, поэтому подпрограммы формирования реализаций помех и алгоритмов подавления ИП и СП использовались те же, что и при моделировании систем передачи дискретных сообщений. Кроме того дополнительно были разработаны следующие подпрограммы:

– формирования отсчетов полезного непрерывного сигнала; в качестве него использовался марковский гауссовский процесс, реализации которого генерировались методом формирующих фильтров [73]; в качестве порождающего процесса использовался белый гауссовский шум (БГШ), а в качестве формирующего фильтра использовался RC-фильтр первого порядка;

фильтрация осуществлялась методом быстрой свертки [62];

– фильтра Колмогорова-Винера (ФКВ), предназначенного для оптимальной фильтрации случайного сигнала на фоне флуктуационного шума, а также подавления остатков ИП и СП после блоков ДДО; этот фильтр был также реализован методом быстрой свертки;

– оценки качества восстановления сигнала путем вычисления СКО и КМО (соответственно по формулам (4.12) и (4.14)).

Как известно [77], корреляционная функция моделируемого гауссовского марковского процесса является экспоненциальной, а его интервал корреляции равен постоянной времени интегрирующей RC-цепи. Поэтому, задавая ее значение, можно оперативно изменить корреляционные свойства сигнала. Для компенсации уменьшения дисперсии сигнала на выходе формирующего фильтра с увеличением постоянной времени цепи отсчеты выходного сигнала умножаются на нормирующий коэффициент, вычисляемый программно. Он учитывает также и необходимую величину огибающей.

На рисунках 4.43 – 4.46 приведены результаты статистического моделирования следующих алгоритмов подавления помех в системах передачи непрерывных сообщений:

- амплитудного ограничения (АО) импульсных помех с последующим подавлением сосредоточенной помехи узкополосным режекторным фильтром (РФ) и шума – с помощью фильтра Колмогорова-Винера (ФКВ) [77];

- бланкирования (БУ) ИП с РФ и ФКВ;

- линейной интерполяции (ЛИ) ИП с РФ и ФКВ;

- НФШ (с квадратической нелинейной функцией f ( z ) ) совместно с ЛИ и ОНФШ с РФ и ФКВ;

- НФШ (с полиномиальной f ( z ) ) совместно с ЛИ и ОНФШ с РФ и ФКВ.

При проведении моделирования снимались зависимости СКО и КМО фильтрации от отношения Ps / Pu и от параметров алгоритмов –,, U И.

Это отношение варьировалось путем изменения параметров (матожидания и дисперсии) ширины ИП.

количественные выводы. Из известных алгоритмов подавления ИП, исследовавшихся здесь, наилучшим, как уже указывалось, является метод линейной интерполяции (ЛИ), преимущества которого (по сравнению с методами, использующими БНП) проявляются как при наличии, так и отсутствии в принимаемой смеси СП. При заданных характеристиках сигнала и помех метод ЛИ по сравнению с АО дает выигрыш по СКО 15 – 20 дБ, а по КМО – 20 – 22 дБ. По сравнению с БУ эти величины несколько меньше – соответственно 9 – 12 дБ и 13 – 15 дБ (см. рисунок 4.43). Поэтому при исследовании эффективности применения НФШ основное внимание уделялось алгоритмам, использующим в качестве блока селекции именно линейный интерполятор. Из рисунка 4.43 видно, что, как и в случае приема дискретных сообщений, эффективность подавления ИП увеличивается только при применении НФШ с квадратичной нелинейной функцией f ( z ). Выигрыш по СКО алгоритма на его основе (по сравнению с ЛИ) составляет порядка 2 – 2, дБ, а по КМО – 4 – 6 дБ. Как и при приеме дискретных сообщений, выигрыш снижается при уменьшении длительности ИП (т.е. при увеличении отношения Ps / Pu ), что также говорит об эффективности сжатия длительных ИП в НФШ.

На рисунках 4.45 и 4.46 показаны зависимости СКО от параметров U И,,. Из этих графиков также можно сделать выводы о слабой чувствительности к изменению параметров алгоритма, использующего НФШ:

при отклонении параметра от оптимального на + 50% СКО изменяется в диапазоне ( – 3%... + 15%), а КМО – (–5 %... + 18 %). При аналогичном отклонении диапазон изменения СКО и КМО составляет соответственно +1,5% и +2%.

Рис. 4.43 Зависимости СКО (а) и КМО (б) фильтрации от Ps / Pu Рис. 4.44 Зависимости выигрыша в отношении сигнал – помеха с канале с ИП осциллирующей формы, СП и БГШ для алгоритмов:

Рис. 4.45 Зависимости СКО фильтрации непрерывного сигнала от порога U u в канале с ИП осциллирующей формы, СП и БГШ для Рис. 4.46 Зависимости СКО фильтрации непрерывного сигнала от параметров (а) и (б) НФШ в канале с ИП осциллирующей формы, 4.7 Выводы В целом проведенное исследование показывает, что метод подавления импульсных помех с использованием НФШ при надлежащем выборе их параметров может дать заметный выигрыш по сравнению с известными методами. На основании этого исследования может быть сделан ряд выводов по практическому использованию различных методов подавления негауссовских помех.

1. Полученные теоретические оценки вероятностей ошибок при приеме дискретных сообщений с использованием известных и новых алгоритмов обработки сигналов в каналах с ИП, а также результаты статистического моделирования показывают, что применение НФШ заметно повышает помехоустойчивость методов подавления ИП, использующих как БНП, так и интерполяционные методы.

2. При приеме дискретных сообщений на фоне ИП и флуктуационного шума (без СП), наиболее эффективны алгоритмы, использующие только прямой НФШ, поскольку восстановления формы полезного сигнала после преселектирующего преобразования в этом случае не требуется. При наличии СП, а также при приеме непрерывных сообщений (как с СП, так и без нее) ОНФШ необходим. Из различных алгоритмов селекции наиболее эффективна линейная интерполяция, однако при приеме дискретных сообщений без СП и при наличии относительно сильного флуктуационного шума достаточно использовать простое бланкирование.

3. Эффективность подавления ИП существенно зависит от выбора вида нелинейной фазовой функции максимума показателя (7.31), как показано в главе 8, является полиномиальная функция, статистическое моделирование показало, что такая нелинейность при решении задачи селекции сигнала и ИП несколько хуже, чем простая квадратичная. Это преимущество квадратичной нелинейности по сравнению с полиномиальной можно объяснить локальным характером ЛЧМ, возникающей в нелинейном звене НФШ. В этом случае при прохождении смеси сигнала, шума и ИП через НФШ, последний оказывает существенное влияние только на ИП.

4. Как уже отмечалось, вопрос о выборе критерия качества приема непрерывных сообщений существенно зависит от их конкретных видов, а субъективный характер восприятия этих сообщений человеком. Поэтому для окончательного вывода относительно эффективности применения нелинейных фазовых фильтров при приеме непрерывных сообщений необходимы экспериментальные исследования.

5. Что касается приема дискретных сообщений, то по результатам параграфов 4.5 и 4.6 можно сделать вывод об эффективности новых методов, использующих НФШ.

ГЛАВА 5. ПРИМЕНЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ

ФИЛЬТРОВ ШРЁДИНГЕРА ДЛЯ УЛУЧШЕНИЯ

ФОКУСИРОВКИ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ И ОПТИЧЕСКИХ

ИЗОБРАЖЕНИЙ

Шрёдингера в задаче улучшения резкости изображений Задачи повышения качества изображений, в том числе и полученных с космических летательных аппаратов, остаются на сегодняшний день актуальными, т.к. из-за не идеальности канала передачи, формирующих и регистрирующих систем изображение представляет собой искаженную (нечеткую) копию оригинала. Основными причинами искажений, являются ограниченная полоса частот канала передачи, расфокусировка, наличие искажающей среды (например, атмосферы), движение камеры по отношению к регистрируемому объекту и т.п. Уменьшение искажений с целью повышения резкости относится к задаче восстановления изображений.

Большинство каналов в первом приближении можно рассматривать как линейные и инвариантные к сдвигу. Изображения, сформированные такими системами, претерпевают линейные пространственно-инвариантные искажения, характеризующиеся тем, что механизм их возникновения один и тот же для всех точек ( x, y ). Линейные искажения чаще всего проявляются в ослаблении высокочастотных составляющих спектра исходного изображения.

Визуально это приводит к ухудшению его резкости. В процессе записи изображения искажаются также шумами, присутствующими в любом реальном физическом устройстве. В ряде практически важных случаев шум можно считать аддитивным и независящим от исходного изображения.

С учетом выше изложенного, наблюдаемое нерезкое изображение z ( x, y) можно представить как выход линейной системы, показанной на рисунке 5. [42], Рис. 5.1 Линейная модель формирования изображения.

Математическая модель процесса формирования изображения имеет вид:

Изображение s( x, y) при отсутствии шума, определяется интегралом свертки:

где – символ двумерной свертки, g ( x, y) – двумерная импульсная характеристика (или функция рассеяния точки – ФРТ) линейной искажающей системы. Таким образом, значение функции яркости u(, ) исходного изображения в точке с координатами (, ) «размазывается» в соответствии с видом ФРТ g ( x, y ) и искажается аддитивным шумом.

Для восстановления изображений применяются как линейные методы, такие как инверсная фильтрация, фильтрация Колмогорова-Винера, и т.д. [43], так и нелинейные, например, метод уравнивания энергетических спектров, являющийся частным случаем метода гомоморфной фильтрации [68]. Процесс искажения и восстановления изображений этими методами можно представить операторным уравнением:

где u – двумерный вектор отсчетов исходного изображения, s – вектор искаженного изображения без учета шума, n – вектор отсчетов аддитивного шума, G – оператор, описывающий преобразование (5.2), G 1 – оператор, восстановленного изображения. Оператор G 1 может быть различным в зависимости от типа восстанавливающего фильтра.

Аналогичный подход к обработке и изображений был предложен в [97] с целью решения задачи подавления импульсных помех на изображениях.

Предлагаемый алгоритм цифровой обработки основывался на двумерных нелинейных фазовых фильтрах (НФШ), одномерный аналог которых подробно рассматривался с предыдущих параграфах. Рассмотрим идею построения этих алгоритмов, а также возможность их применения в задачах обработки изображений с целью улучшения их фокусировки. Как было отмечено выше, нелинейные фильтры, являющиеся аналогами различных вариантов уравнений шрёдингеровского типа, не всегда являются фазовыми, а соответствующие операторы не относятся к классу операторов с унитарной нелинейностью.

Поэтому будем называть их в дальнейшем двумерными нелинейными фильтрами Шрёдингера (ДНФШ).

Очевидно, что если изображение является смазанным только по одной координате, то НФШ здесь можно использовать в том же виде, что и при обработке одномерных сигналов, обрабатывая изображение по строкам или столбцам.

Бльший интерес представляет двумерная реализация НФШ. Как показано в [98], в двумерной задаче уравнение Шрёдингера (2.3) примет вид где – оператор Лапласа по пространственным координатам x и y. При этом выражения для двумерных характеристик звеньев НФШ примут вид:

где k = (k x, k y ) – вектор волновых чисел, x 0 и y 0 – пространственные сдвиги импульсной характеристики ЛЗ по координатам x и y.

При цифровой реализации двумерное ЛЗ (двумерное дискретное преобразование Френеля), также как и в одномерном случае, удобнее реализовать используя алгоритмы прямого и обратного двумерных быстрых преобразований Фурье (БПФ).

Рассмотрим задачу оптимизации двумерного НФШ, по аналогии с одномерным, с целью пространственного сжатия элемента расфокусированного изображения. Пусть исходный элемент изображения представляет собой одиночную точку с единичной яркостью, т.е. двумерную дельта-функцию. Если ФРТ является гауссовской, то элемент расфокусированного изображения также будет описываться двумерной гауссовской функцией:

где x и y – среднеквадратическая полуширина ФРТ соответственно по координатам x и y, x1 и y1 – координаты центра элемента изображения.

Положим для простоты x = y =, x1 = 0, y1 = 0, т.е. элемент изображения будет иметь симметричную форму относительно начала координат. Тогда (5.8) примет вид:

здесь = ( x, y ) – вектор пространственных координат.

Запишем отклик НЗ на воздействие (5.9) Отклик двумерного ЛЗ на воздействие (5.10) найдем через двумерную свертку Для упрощения аналитического решения задачи рассмотрим простейший НФШ с окном, не зависящим от пространственных координат Отклик ЛЗ при этом будет иметь вид Как было показано в параграфе 2.2, задачу минимизации длительности импульса на выходе НФШ можно свести к задаче максимизации его пиковой мощности. Аналогично можно решить задачу минимизации размера элемента изображения на выходе двумерного НФШ. Этому будет соответствовать максимум модуля отклика (5.13) в центре элемента изображения Найдем максимум функционала (5.14) на множестве функций f (Z ) :

Для любой комплексной функции справедливо неравенство которое переходит в равенство при условии Поэтому Этот максимум достигается при условии Условие (5.19) можно записать в виде или Очевидно, что условие (5.20) выполняется, так же как и при решении одномерной задачи, при логарифмической нелинейности НЗ:

при условии Рассмотренная частная задача фокусировки элемента изображения с гауссовской ФРТ может быть обобщена на более общий случай с ФРТ произвольной формы.

5.2 Оптимизация параметров двумерных НФШ в задаче улучшения фокусировки точечных изображений В предыдущем параграфе была решена задача детерминированной оптимизации параметров ДНФШ с целью минимизации размера элемента постоянными, а флуктуируют случайным образом, возникает задача двумерной стохастической оптимизации параметров НФШ. Решим ее методом, описанным в [98].

В предыдущем параграфе показано, что для минимизации размера элемента изображения на выходе двумерного НФШ требуется обеспечить максимум модуля его отклика в центре элемента изображения Этот максимум достигается при условии или, вводя обычные пространственные координаты, Из (5.26) следует, что вид оптимальной нелинейной функции f (Z ) зависит от параметров ФРТ Z ( x, y ). Если они случайные, необходимо искать распределений. Удобнее решать эту задачу для квадрата величины (5.24), которая физически представляет собой пиковую мощность отклика в центре элемента изображения:

параметров, R – область их определения.

В этом случае задача оптимизации сводится к вариационной задаче поиска экстремума нелинейного функционала (5.27). Для практических целей можно ограничиться параметрической оптимизацией. Пусть искомая функция содержащим вектор неизвестных параметров. Подставляя указанное выражение в (5.27) и приравнивая к нулю его частные производные по параметрам k, получаем систему уравнений для их оптимальных значений где k = 1, 2…n; n – число параметров.

Одной из наиболее универсальных является аппроксимация искомой функции степенным полиномом:

Подставляя (5.30) в (5.29) и линеаризуя полученные уравнения путем разложения экспоненты в ряд, после ряда преобразований можно получить систему линейных алгебраических уравнений вида где В (5.32) и (5.33) входят моментные функции коэффициентов (5.32) и (5.33) возможны только для ФРТ простых форм (например, гауссовской), а в общем случае затруднено, поэтому для их определения необходимо использовать численные методы. Затем также путем численного решения системы линейных алгебраических уравнений (5.31), определяется вектор оптимальных параметров opt. Для решения этой задачи можно применить классический метод градиентного поиска максимума по формуле где i и i +1 - векторы коэффициентов нелинейной функции на предыдущей и последующей итерациях, в фигурных скобках – градиент функционала (5.27) на i - й итерации:

k (i ) - коэффициент, в общем случае зависящий от номера итерации. Для простоты в программе градиентного поиска этот коэффициент нужно выбрать постоянным и достаточно малым (например 0.1), что позволяет получить решение с необходимой точностью. Недостатком такого метода по сравнению с использованием адаптивного шага является некоторое увеличение времени вычислений, что не является существенным при использовании современных компьютеров.

Проверка рассмотренного алгоритма показала, что при вычислении величины (5.27) для логарифмической нелинейной зависимости проигрыш по сравнению с полиномиальной составил всего 15%. Это говорит о том, что логарифмическая нелинейность близка к оптимальной не только при детерминированном характере ФРТ, но и при наличии случайных флуктуаций ее параметров. Этот же вывод подтверждает и рисунок 5.2, на котором видна существенная близость графиков полиномиальной (при оптимальном векторе параметров opt ) и логарифмической нелинейных функциях.

при полиномиальной (1) и логарифмической (2) аппроксимациях Следует отметить, что вектор является оптимальным только по частному критерию максимума показателя селективности (5.27). Вывод о том, являются ли полученные параметры оптимальными по более общим критериям, например, минимума среднего квадрата ошибки (СКО), можно будет сделать только после статистического моделирования.

5.3 Моделирование алгоритмов обработки изображений с применением двумерных НФШ подпрограммы моделирования приведены в приложении. Опишем вкратце их назначение, работу и результаты обработки изображений.

изображений формата «tif» с применением ДНФШ с целью улучшения их фокусировки при размытии изображения по гауссовскому закону по одной координате (X). В начале программы считывается исходное трехслойное изображение «small_black.tif», представляющее собой черное поле.

Изображение разделяется на отдельные слои, и дальнейшая обработка накладываются точечные изображения в виде белых точек максимальной яркости (255 условных единиц), расположенных случайно на исходном черном поле (подпрограмма «IP_rand.m»). В программе также предусмотрена возможность генерации изображений в виде вертикальных полос шириной в одну точку, что необходимо как для отладки программ моделирования, так и с целью повышения наглядности оценки эффективности работы программы.

Размытие изображений по одной и двум координатам осуществляется с помощью подпрограмм «Kkp_gauss_fnch.m» и «Kkp_gauss_fnch_2D.m». Эти подпрограммы генерируют отсчеты комплексных коэффициентов передачи одномерного и двумерного фильтров нижних частот с импульсными характеристиками гауссовской формы, что необходимо для обеспечения гауссовских функций рассеяния точки (ФРТ). Процедура фильтрации использует функции быстрого преобразования Фурье (БПФ) – одномерного и двумерного, прямого и обратного – «fft.m», «ifft.m», «fft2.m», «ifft2.m». Между этими функциями осуществляется умножение отсчетов спектра на отсчеты комплексных коэффициентов передачи фильтров.

Аналогично, с использованием алгоритмов БПФ, реализованы и алгоритмы работы линейных звеньев (ЛЗ) НФШ, реализующих одномерное и двумерное преобразования Френеля (подпрограммы «Lp.m» и «Lp2.m»).

Нелинейные звенья (НЗ) с логарифмической и квадратичной нелинейностью реализованы подпрограммами «Npln.m», «Np2.m», «Npln_2D.m» и «Np2_2D.m».

При необходимости на размытые изображения накладывается аддитивный белый гауссовский шум, генерируемый подпрограммой «Noise_Gauss.m».

Некоторые результаты проверки эффективности работы алгоритмов улучшения фокусировки изображений приведены на рисунках 5.3 – 5.32. На рисунках 5.3 и 5.4 представлены одномерные диаграммы обработки отдельных строк изображений без шума и при наличии шума соответственно. Каждая исходная строка содержит по два точечных элемента. Диаграммы отсчетов строк до и после НФШ отмечены цифрами 1 и 2 соответственно.

Рис. 5.3 Диаграммы строк изображений до (1) Рис. 5.4 Диаграммы строк изображений до (1) и после Очевидно, что после НФШ объекты становятся различимыми в соответствии с критерием Релея [9] – согласно этому критерию импульсы одинаковой амплитуды считаются различимыми, если глубина «провала»

между ними I составляет не менее 50% от их амплитуды I max – рисунок 5.5.

Рис. 5.5 Оценка степени различимости импульсов Для улучшения визуального восприятия изображений после НФШ в процедуру восстановления был добавлен алгоритм пороговой обработки, обнуляющий отсчеты элементов изображений, значение которых лежит ниже заданного порога. Порог также можно изменять в программе с целью наилучшего восприятия полученного изображения. На рисунках 5.6 – 5. представлены некоторые результаты обработки изображений как без шума, так и при его наличии. Размеры искаженных изображений и изображений после НФШ превышают размеры исходных на длину импульсной характеристики искажающего фильтра.

Рис. 5.7 Изображение, размытое по строке по гауссовскому закону Рис. 5.8 Изображение, восстановленное с помощью алгоритма на основе одномерного НФШ без пороговой обработки Рис. 5.10 Изображение, размытое по строке по гауссовскому закону при Рис. 5.11 Изображение, восстановленное с помощью алгоритма на основе одномерного НФШ с последующей пороговой обработкой Рис. 5.13 Изображение, размытое по строке по гауссовскому закону Рис. 5.14 Изображение, восстановленное с помощью алгоритма на основе одномерного НФШ без последующей пороговой обработки Рис. 5.16 Изображение, размытое по строке по гауссовскому закону при Рис. 5.17 Изображение, восстановленное с помощью алгоритма на основе одномерного НФШ с последующей пороговой обработкой Рис. 5.19 Изображение, размытое по строке по гауссовскому закону при Рис. 5.20 Изображение, восстановленное с помощью алгоритма на основе одномерного НФШ с последующей пороговой обработкой Рис. 5.22 Изображение, размытое по двум координатам по гауссовскому закону Рис. 5.23 Изображение, восстановленное с помощью алгоритма на основе двумерного НФШ с последующей пороговой обработкой Рис. 5.25 Изображение, размытое по двум координатам по гауссовскому закону Рис. 5.26 Изображение, восстановленное с помощью алгоритма на основе двумерного НФШ с последующей пороговой обработкой Рис. 5.28 Изображение, размытое по двум координатам по гауссовскому закону Рис. 5.29 Изображение, восстановленное с помощью алгоритма на основе двумерного НФШ с последующей пороговой обработкой Рис. 5.31 Изображение, размытое по двум координатам по гауссовскому закону Рис. 5.32 Изображение, восстановленное с помощью алгоритма на основе двумерного НФШ с последующей пороговой обработкой 5.4 Выводы Из проведенных исследований можно сделать следующие выводы.

Качественный анализ восстановленных изображений показывает, что при сильно размытых изображениях точечные объекты, расположенные близко, практически полностью сливаются и становятся неразличимыми визуально, а также в соответствии с критерием Релея [9]. После нелинейной обработки одномерным или двумерным НФШ, совместно с пороговой обработкой, их различимость улучшается.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем.

1. Из материалов первой главы следует, что в некоторых областях физики (квантовая механика, нелинейная оптика и др.) используются нелинейные операторы (преобразования), обладающие свойством унитарности, которые в настоящее время практически не применяются для цифровой и аналоговой обработки сигналов в телекоммуникационных системах. Такие преобразования, обобщающие ортогональный базис Френеля, могут применяться для решения задач селекции сигналов и негауссовских импульсных помех большой длительности.

Описанные в этой главе методы аналоговой и цифровой обработки оптических сигналов в ВОЛП относятся к классу линейных, обладающих свойством унитарности. При наличии существенных нелинейных искажений форму сигнала на приемной стороне ВОЛП восстановить невозможно. Кроме того, если параметры линии, в частности ПМД, изменяются случайным образом во времени, а интервал корреляции этих параметров меньше, чем тактовый интервал, то адаптивный алгоритм компенсации дисперсии построить невозможно. В таких условиях необходимо решать задачу синтеза оптимальных и субоптимальных алгоритмов приема сигналов в нелинейном канале с дисперсией и случайными параметрами на основе методов статистической теории связи.

2. Из материалов второй главы следует, что нелинейные унитарные преобразования (операторы), порождаемые различными нелилейными уравнениями шрёдингеровского типа, могут быть реализованы в аналоговой и цифровой формах в виде нелинейных фильтров с распределенными параметрами – нелинейных фильтров Шрёдингера (НФШ). Они обладают компрессионными и унитарными свойствами, которые можно использовать для решения ряда задач обработки сигналов в телекоммуникационных системах. В этой главе приведены результаты исследования общих свойств НФШ с различными видами нелинейности. Показано, что нелинейное звено (НЗ) и НФШ в целом при любых видах нелинейности расширяет спектр любого сигнала – как периодического, так и непериодического; при увеличении степени нелинейности ширина спектра сигнала на выходе НФШ увеличивается;

НФШ с логарифмической нелинейностью при прочих равных условиях сильнее расширяет спектр, но при квадратичной нелинейности спектр преобразованного сигнала становится более равномерным; амплитудный спектр сигнала на выходе НФШ с оптимальной нелинейностью совпадает по форме с входным сигналом; распределение огибающей смеси сигнала и шума на выходе НЗ НФШ не изменяется при любом виде нелинейности, а фаза смеси на выходе НЗ будет иметь более сложное распределение; распределение мгновенных значений случайного процесса и его квадратурных компонент на выходе НЗ будет негауссовским.

3. Из материалов третьей главы следует, что компрессирующие свойства аналогового НФШ, реализованного на оптическом уровне, можно использовать не только для получения оптических импульсов сверхмалой длительности [24], но и для повышения помехоустойчивости приема сигналов в линейных ВОСП.

При большом отношении сигнал-шум на передаче эффективность от применения НФШ растет с уменьшением ширины спектра шума приемного оптического модуля; выигрыш в отношении сигнал-шум практически не зависит от уровня вероятности ошибки, и достигает величины 12 дБ, что достаточно эффективно. При ухудшении отношения сигнал-шум на передаче эффективность от применения НФШ снижается, что можно объяснить ростом нелинейных искажений выходного сигнала НФШ.

Кроме того, в третьей главе показано, что унитарные свойства НФШ можно использовать для совместной компенсации дисперсионных и нелинейных искажений сигналов, переданных по ВОЛП, работающей в нелинейном режиме. При этом, указанные искажения можно компенсировать с помощью восстанавливающего фильтра (ВНФШ) как в одноканальных, так и многоканальных ВОСП со спектральным уплотнением (в WDM-системах).

Моделирование процесса восстановления сигналов показывает, что применение ВНФШ обеспечивает приемлемое качество приема даже при больших уровнях сигналов на передающей стороне ВОСП. Эффективность демодуляции в одноканальной ВОСП повышается от применения ВНФШ приблизительно на 7,5 дБ по сравнению с линейным компенсатором хроматической дисперсии.

Выигрыш от применения ВНФШ в WDM-системе больше и составляет примерно 12 – 13 дБ что обусловлено эффективной компенсацией не только ФСМ, но и ФКМ.

Применение ВНФШ эффективно и в когерентных ВОСП, в которых используются не только двоичные, но и многопозиционные сигналы повышенной мощности. При повышении уровня сигнала на передаче при больших отношениях сигнал-шум алгоритм с ВНФШ обеспечивает выигрыш по сравнению с линейным алгоритмом: на уровне коэффициента ошибки 10-6 – 10-7 он составляет около 12 дБ. При дальнейшем повышении уровня сигнала на передаче линейный алгоритм перестает работать, а алгоритм с ВНФШ обеспечивает приемлемое качество демодуляции. При этом, проигрыш по отношению к кривой потенциальной помехоустойчивости растет, что обусловлено нелинейным взаимодействием сигнала и шума. Таким образом, использование заведомо повышенных уровней передаваемых сигналов совместно с процедурой восстановления сигналов с помощью ВНФШ, позволяет увеличить как длину усилительного участка при фиксированной скорости передачи, так и повысить скорость (при заданной длине и помехоустойчивости ВОЛП) за счет применения многопозиционных сигналов.

Кроме того, данный способ повышения информационной скорости без увеличения канальной, эффективен при наличии поляризационной модовой дисперсии.

4. Из материалов четвертой главы следует, что НФШ и ВНФШ, работающие совместно с известными блоками селекции импульсных помех (ИП), такми как ограничитель, бланкирующее устройство и интерполятор, могут существенно повысить эффективность подавления негауссовских ИП большой длительности. Показано, что в системах передачи дискретных сообщений наибольший выигрыш при подавлении ИП в каналах связи без сосредоточенных помех (СП) достигается при использовании алгоритма НФШ с последующей линейной интерполяцией (ЛИ), а при наличии СП – НФШ с ЛИ и ВНФШ. Выигрыш за счет применения НФШ особенно заметен (до 9 дБ) в условиях действия относительно длительных импульсов колокольной формы.

Качество приема непрерывных сигналов на фоне ИП, СП и шума различными методами также было исследовано путем статистического моделирования по критериям среднего квадрата ошибки (СКО) фильтрации и квадрата максимальной ошибки (КМО). Наилучшим из исследовавшихся является метод НФШ в сочетании с ЛИ и обратным НФШ. Выигрыш по СКО этого алгоритма (по сравнению с ЛИ без НФШ) составляет порядка 2-2,5 дБ, а по КМО несколько выше – 4-6 дБ.

5. Из материалов пятой главы следует, что могут быть реализованы и двумерные НФШ (ДНФШ) на основе двумерного НУШ. Их можно использовать для улучшения фокусировки точечных радиолокационных и оптических изображений. Принцип улучшения фокусировки основан на пространственном сжатии точечного изображения, расфокусированного по одной или двум координатам, по аналогии с процессом временного сжатия импульсных сигналов и ИП.

Рассмотренные алгоритмы улучшения фокусировки точечных изображений были использованы для обработки черно-белых изображений, содержащих точечные элементы, размытых как по одной, так и по двум координатам. Качественный анализ восстановленных изображений показал, что при сильно размытых изображениях точечные объекты, расположенные близко, практически полностью сливаются и становятся неразличимыми, а после нелинейной обработки одномерным или двумерным НФШ, совместно с пороговой обработкой, их различимость улучшается.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Направляющие системы электросвязи [Текст] : учеб. для вузов : в 2 т. Т. 1:

Теория передачи и влияния / В. А. Андреев [и др.]. - М.: Горячая линия – Телеком, 2010. - 424 с.

2. Андреев, В.А. Оптические волокна для оптических сетей связи [Текст] / В. А.

Андреев, В. А. Бурдин. – Электросвязь. – 2003. - № 11. – С. 50 – 54.

3. Бурдин, В. А. Основы моделирования кусочно-регулярных волоконнооптических линий передачи сетей связи [Текст] / В. А. Бурдин. – М. : Радио и связь, 2002. – 312 с.

4. Бурдин, B. A. Компенсация хроматической дисперсии на регенерационных участках линий передачи сетей связи [Текст] / В. А. Бурдин // Электросвязь. С. 7.

5. Григоров, И. В. Применение теории нелинейных волновых процессов в радиотехнике и телекоммуникациях [Текст] / И. В. Григоров, С. М. Широков. – М. : Радио и связь, 2006. – 351 с.

6. Широков, С. М. Различимость импульсов частично когерентного излучения в нелинейном оптическом канале [Текст] / С. М. Широков // Компьютерная оптика. – 1993. - Вып. 13. – С. 59-64.

7. Гроднев, И. И. Волоконно-оптические линии связи [Текст] / И. И. Гроднев. М. : Радио и связь, 1990. - 224 с.

8. Кловский, Д. Д. Передача дискретных сообщений по радиоканалам [Текст] / Д. Д. Кловский. - М. : Радио и связь, 1982. - 304 с.

9. Горячкин, О. В. Лекции по статистической теории систем радиотехники и связи [Текст] / О. В. Горячкин. – М. : Радиотехника, 2008. – 192 с.

10. Наний, О. Е. Основы цифровых волоконно-оптических систем связи [Текст] / О. Е. Наний // Lightwave Russian Edition. – 2003. - № 1. - С. 48-52.

11. Воронин, В. Г. Основы нелинейной волоконной оптики [Текст] : учеб.

пособие / В. Г. Воронин, О. Е. Наний. – М. : Университетская книга, 2011. – 12. Наний, О. Е. Методы компенсации хроматической дисперсии [Текст] / О. Е.

Наний, М. А. Гладышевский, Д. Д. Щербаткин // Волоконная оптика : сб. – М., 2001. - С. 52-81.

13. Наний, О. Е. Приемники цифровых волоконно-оптических систем связи [Текст] / О. Е. Наний // Lightwave Russian Edition. - 2004. - № 1. - С. 43.

14. Морозов, О. Г. Амплитудно-фазовое преобразование частоты в системах временной и частотной рефлектометрии волоконно-оптических информационных и измерительных сетей [Текст] / О. Г. Морозов // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2004. - Т. 7, № 1. - С. 63-70.

15. Карташевский, В. Г. Обработка пространственно временных сигналов в каналах с памятью [Текст] / В. Г. Карташевский. – М. : Радио и связь, 2000. с.

16. Карташевский, В. Г. Приём кодированных сигналов в каналах с памятью [Текст] / В. Г. Карташевский, Д. В. Мишин. – М. : Радио и связь, 2004. - 248 с.

17. Николаев, Б. И. Последовательная передача дискретных сообщений по непрерывным каналам с памятью [Текст] / Б. И. Николаев. - М. : Радио и связь, 1988. - 264 с.

18. Бурдин, А. В. Маломодовый режим передачи оптических сигналов по многомодовым волокнам: приложения в современных инфокоммуникациях [Текст] / А. В. Бурдин. – Самара : ПГУТИ, 2011. – 274 с.

19. Маслов, В. П. Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл Фейнмана [Текст] / В. П. Маслов. - М. : Наука, 1976. - 192 с.

20. Прохоров, А. М. Нелинейные явления в волоконных световодах [Текст] / А.

М. прохоров // Изв. АН СССР. Сер. физ. - 1983. - T. 47, N 10. - C. 1874 - 1879.

21. Сисакян, И. Н. Динамика интенсивных коротких импульсов в световоде [Текст] / И. Н. Сисакян, А. Б. Шварцбург // ДАН СССР. - 1983. - T. 269, № 1. C. 105-108.

22. Шварцбург, А. Б. Нестационарное распространение локализованных волновых полей в нелинейной диспергирующей среде [Текст] / А. Б.

Шварцбург // Нелинейные электромагнитные волны : сб. / под ред. П. Усленги.М. : Мир, 1983. - С.105-141.

23. Дианов, Е. М. Нелинейная волоконная оптика [Текст] / Е. М. Дианов, П. В.

Мамышев, А. М. Прохоров // Квант. Электроника. - 1988. - T. 15, № 1. - C. 5-29.

24. Ахманов, С. А. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов [Текст] / С. А.

Ахманов, В. А. Выслоух, А. С. Чиркин. - М. : Наука, 1988. - 312 c.

25. Ахманов, С. А. Введение в статистическую pадиофизику и оптику [Текст] / С. А. Ахманов, Ю. Е. Дьяков, А. С. Чиркин. - М. : Наука, 1981. – 640 с.

26. Гуляев, Ю. В. Модуляционные эффекты в волоконных световодах и их применение [Текст] / Ю. В. Гуляев, М. Я. Меш, В. В. Проклов. - М. : Радио и связь, 1991. – 150 с.

27. Федорук, М. П. Моделирование сверхскоростных телекоммуникационных линий связи [Текст] / М. П. Федорук // Фотон-экспресс. – 2011. – Т. 6 (94). – С. 113.

28. Использование оптических регенераторов для увеличения информационной емкости современных волоконно-оптических линий связи [Текст] / Ю. И.

Шокин [и др.] // Информационные технологии и вычислительные системы. – 2007. – № 1. – С. 13-19.

29. Шапиро, Е. Г. Подавление нелинейности в высокоскоростных DPSK линиях связи с оптическим фазовым сопряжением [Текст] / Е. Г. Шапиро, М. П.

Федорук // Фотон-экспресс. – 2011. – Т. 6 (94). – С. 124-125.

30. Штырина, О. В. Исследование новых модуляционных форматов передачи данных для высокоскоростных волоконно-оптических линий связи с дисперсионным управлением [Текст] / О. В. Штырина, М. П. Федорук, С. К.

Турицын // Квантовая электроника. – 2007. – Т. 37, № 9. - С. 885-890.

31. Turitsyn, S. K. Variational approach to optical pulse propagation in dispersion compensated transmission systems [Text] / S. K. Turitsyn, I. Gabitov // Opt.

Commun. - 1998. - Vol. 151. - P. 117-135.

32. Неганов, В. А. Метод расчета волноведущих полосково-щелевых структур с нелинейными пленками [Текст] / В. А. Неганов // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. - 1993. - № 4. - С. 16-25.

33. Глущенко, А. Г. Нелинейные стационарные импульсы в волноводных структурах [Текст] / А. Г. Глущенко // Радиотехника и электроника. - 1992. -Т.

37, № 4. – С. 744-747.

34. Стратонович, Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике [Текст] / Р. Л. Стратонович. - М. : Сов.радио, 1961. - 560 с.

35. Финк, Л. М. Теория передачи дискретных сообщений [Текст] / Л. М. Финк. М. : Сов.радио, 1970. - 727 с.

36. Коржик, В. И. Расчет помехоустойчивости систем передачи дискретных сообщений [Текст] / В. И. Коржик, Л. М. Финк, К. Н. Щелкунов. - М. : Радио и связь, 1981. - 232 с.

37. Левин, Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники [Текст] / Б. Р. Левин. - М. : Радио и связь, 1989. - 656 c.

38. Трифонов, А. П. Совместное различение сигналов и оценка их параметров на фоне помех [Текст] / А. П. Трифонов, Ю. С. Шинаков. – М. : Радио и связь, 1986. - 264 с.

39. Макаров, С. Б. Передача дискретных сообщений по радиоканалам с ограниченной полосой пропускания [Текст] / С. Б. Макаров, И. А. Цикин. - М. :

Радио и связь, 1988. - 304 с.

40. Сикарев, А. А. Оптимальный прием дискретных сообщений [Текст] / А. А.

Сикарев, А. И. Фалько. - М. : Связь, 1978. - 328 с.

41. Виттих, В. А. Обработка изображений в автоматизированных системах для научных исследований [Текст] / В. А. Виттих, В. В. Сергеев, В. А. Сойфер. - М.

: Наука, 1982. - 215 с.

42. Ярославский, Л. П. Цифровая обработка сигналов в оптике и голографии [Текст] / Л. П. Ярославский. М. : Радио и связь, 1987. – 296 с.

43. Василенко, Г. И. Теория восстановления сигналов [Текст] / Г. И. Василенко.

– М. : Советское радио, 1979. – 272 с.

44. Агравал, Г. Нелинейная волоконная оптика [Текст] / Г. Агравал. – М. : Мир, 1996.

45. Кившарь, Ю. С. Оптические солитоны: от волоконных световодов к фотонным кристаллам [Текст] / Ю. С. Кившарь, Г. П. Агравал. – М. :

Физматлит, 2005.

46 Нasegawa, A. Self-confinement of multimode optical pulse in a glass fiber [Text] / A. Hasegawa // Optics Letters. - 1980. - V. 5, № 13. - P. 416 - 420.

47. Kodama, Y. Soliton interaction in optical fibers [Text] / Y. Kodama, K. Nozaki // Opt. Letters. - 1987. - V. 12, № 2. - P. 1038-1040.

48. Yevick, D. Soliton analysis with the propagating beam method [Text] / D.

Yevick, B. Hermansson // Optics Comm. - 1983. - V. 47, № 2. - P. 101-106.

49. Favre, F. 20 Gbit/s soliton transmission over 19 Mm using sliding-freqency guiding filters [Text] / F. Favre, D. Le Guen // Electr. Lett. - 1995. - V.31, № 12. - P.

991-992.

50. Turitsyn, S. K. Variational approach to optical pulse propagation in dispersion compensated transmission systems [Text] / S. K. Turitsyn, I Gabitov // Opt.

Commun. - 1998. -V. 151. - P. 117-135.

51. Chernyak, V. M. PMD-Induced Fluctuations of Bit-Error Rate in Optical Fiber Systems [Text] / V. Chernyak [et al.] // Journal of lightwave technology. – 2004. -V.

22, № 4. - P. 1155-1186.

52. Калоджеро, Ф. Спектральные преобразования и солитоны [Текст] / Ф.

Калоджеро, А. Дегасперис. - М. : Мир, 1985. - 472 с.

53. Merker, T. Comparison of PMD-compensation techniques at 10 Gbit/s using an optical first-order compensator and electrical transversal filter [Text] / T. Merker, N.

Hahnenkamp, P. Meissner // Elsevier Optics Communications. – 2000. - № 182. – P.

135–141, 2000.

54. Le Nguyen, B. Optical Fiber Communications Systems: Theory and Practice with MATLAB® and Simulink® Models (Optics and Photonics) [Text] / B. Le Nguyen. CRC Press, 2010. - 560 p.

55. Singer, A. C. Electronic dispersion Compensation [Text] / A. C. Singer, Shanbhag N. R., Bae H.-M. // IEEE Signal Processing Magazine. – 2008. - № 11. - P.

119-130.

56. Faerbert, A. Application of Digital Equalization in Optical Transmission Systems [Text] / A. Faerbert // OFC 2006 : Conf. Proc., paper OTuE5. - 2006.

57. Electronic dispersion compensation by signal predistortion [Text] / R. L. Killey [et al.] // OFC 2006: Conf. Proc., paper OWB3. - 2006.

58. Прокис, Д. Цифровая связь [Текст] : пер. с англ. / Д. Прокис ; под ред. Д.

Д. Кловского. – М. : Радио связь, 2000. – 800 с.

59. Bello, P. A. The Effect of Inpulsive Noise on FSK Digital Communication [Text] / P. A. Bello, R. Esposito // Archiv fur Elektronik und Ubertrogentechik. B. 27, №1. - P. 25-29.

60. Conte, E. Error Probabilities Due to a Mixture of Impulsive and Gaussian Noise Communication System [Text] / E. Conte, E. Corti, L. Pescotori // Alta Frequenza. – 1972. - V. 41, № 4. - P. 263-270.

61. Атабеков, Г. И. Основы теории цепей [Текст] : учеб. для вузов / Г. И.

Атабеков. - М. : Лань, 2006ю - 432 с.

62. Рабинер, Л. Теория и применение цифровой обработки сигналов [Текст] / Л. Рабинер, Б. Гоулд. - М. : Мир, 1978. - 848 с.

63. Залманзон, Л. А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применения в управлении, связи и других областях [Текст] / Л. А. Залманзон. - М. : Наука, 1989. - 496 с.

64. Ахмед, Н. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов [Текст] / Н. Ахмед, К. Р. Рао. - М. : Связь, 1980. - 248 с.

65. Хармут, Х. Теория секвентного анализа [Текст] / Х. Хармут. - М. : Мир, 1980. - 576 с.

66. Гнеушев, А. Н. Локализация элементов лица путем оптимизации разложения изображения по базисным функциям Габора [Текст] / А. Н.

Гнеушев // Теорет. и прикладные задачи нелинейного анализа. - М. : ВЦ РАН, 2005. - С. 185-196.

67. Добеши, И. Десять лекций по вейвлетам [Текст] / И. Добеши. – Ижевск :

НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 464 с.

Э. Оппенгейма. – М. : Мир, 1980, – 552 с.

69. Кайлат, Т. Метод порождающего процесса в применении к теории обнаружения и оценки [Текст] / Т. Кайлат // ТИИЭР. - 1970. - Т. 58, № 5. - С.82Ширман, Я. Д. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех [Текст] / Я. Д. Ширман, В. Н. Манжос. - М. : Радио и связь, 1981.

- 416 с.

71. Методы обработки сигналов при наличии помех в линиях связи [Текст] / под ред. Е. Ф. Камнева. - М. : Радио и связь, 1985. - 224 с.

72. Быховский, М. А. Эффективность одного метода подавления импульсных помех [Текст] / М. А. Быховский // Электросвязь. - 1985. - № 3. - С.44-47.

73. Тихонов, В. И. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем [Текст] / В. И. Тихонов, В. Н. Харисов. - М. : Радио и связь, 1991. - 320 с.

74. Кловский, Д. Д. Оптимальный базис в задаче определения огибающей сигнала [Текст] / Д. Д. Кловский, С. Я. Шатских, С. М. Широков // Радиотехника и электроника. - 1980. - Т. 21, № 6. - С. 1203-1210.

75. Макс, Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях [Текст] / Ж. Макс. - М. : Мир, 1983. – Т. 2. - 256 с.

76. Производительность когерентных DWDM-систем с канальной скоростью 100 Гбит/с. [Текст] / Н. В. Гуркин [и др.] // Вестник связи. – 2013. - № 1. - С. 39Кловский, Д. Д. Теория электрической связи [Текст] / Д. Д. Кловский. – М. :

Радиотехника, 2009. – 647 с.

78. Рабинович, М. И. Введение в теорию колебаний и волн [Текст] / М. И.

Рабинович, Д. И. Трубецков. - М. : Наука, 1984. - 432 с.

79. Папулис, А. Теория систем и преобразований в оптике [Текст] / А. Папулис.

- М. : Мир, 1971. - 496 с.

80. Shirokov, S. M. Supression of impulsive noise at space-time signals and images processing with use of nonlinear phase filters [Text] / S. M. Shirokov, I. V. Grigorov // Proceedings of World Multiconference on Systemics, Cybernetics and Informatics.

– Orlando, Florida, USA, 2001. – V. XII. - P. 401-404.

81. Анго, А. Математика для электро- и радиоинженеров [Текст] / А. Анго. - М.

: Наука, 1965. - 780 с.

82. Маделунг, Э. Математический аппарат физики [Текст] / Э. Маделунг. - М. :

Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961. - 620 с.

83. Фотонно-кристаллические волноводы в биомедицинских исследованиях [Текст] : обзор / Ю. С. Скибина [и др.] // Квантовая электроника. – 2011. – Т.

41, № 4. – С. 284 – 301.

84. Широков, С. М. Приближенные параметрические модели динамики самовоздействия импульсов в нелинейных оптических средах с модовой дисперсией [Текст] / С. М. Широков // Компьютерная оптика. - 1995. Вып.14/15, ч. 2. - С. 117-125.

85. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений [Текст] / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. - М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1963. - 1108 с.

86. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей [Текст] / Е. С. Вентцель. – М. : Наука, 1969. - 576 с.

87. Акустика [Текст] : справ. / под ред. М. А. Сапожкова. - М. : Радио и связь. с.

88. Новоселов, О. Н. Основы теории и расчета информационно-измерительных систем [Текст] / О. Н. Новоселов, А. Ф. Фомин. - М. : Машиностроение, 1991. с.

приповерхностных объемных акустических волнах [Текст] / К. К. Кэмпбелл // ТИИЭР. - 1989. - Т. 77, № 10. - С. 5 - 41.

90. Кловский, Д. Д. Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений [Текст] / Д. Д. Кловский, В. Я.

Конторович, С. М. Широков. - М. : Радио и связь, 1984. - 248 с.

91. Горяинов, В. Т. Примеры и задачи по статистической радиотехнике [Текст] / В. Т. Горяинов, А. Г. Журавлев, В. И. Тихонов. - М. : Сов. радио, 1970. - 600 с.

92. Певницкий, В. П. Статистические характеристики индустриальных радиопомех [Текст] / В. П. Певницкий, Ю. В. Полозок. - М. : Радио и связь, 1988.- 420 с.

93. Тихонов, В. И. Оптимальный прием сигналов [Текст] / В. И. Тихонов. - М. :

Радио и связь, 1983. – 320 с.

94. Рытов, С. М. Введение в статистическую радиофизику [Текст]. Т. 1 / С. М.

Рытов. - М. : Наука, 1976. - 464 с.

95. Широков, С. М. Эффективность применения преселектирующих негауссовскими помехами [Текст] / С. М. Широков, И. В. Григоров // V РНТК ПГАТИ : тез. докл. - Самара, 1998. - С.13-14.

96. Широков, С. М., Григоров И.В. Сравнительный анализ эффективности различных методов селективного подавления негауссовских помех в цифровых системах связи [Текст] / С. М. Широков, И. В. Григоров // 53-я науч. сессия РНТОРЭС им. А. С. Попова : тез. докл. - М., 1998. - С. 218-219.

97. Grigorov, I. V. Adaptation of nonlinear phase filters to the bending around form of the signal at compensation of the dispersion in fiber optical transmission lines [Text] / I. V. Grigorov // Proceedings of SPIE – The International Society for Optical Engineering 6277 doi: 10.1117/12.692961. – 2006.

98. Широков, С. М. Метод подавления импульсных помех при обработке сигналов и изображений с использованием нелинейных фазовых фильтров [Текст] / С. М. Широков, И. В. Григоров // Компьютерная оптика. - 1996. - № 16. - С. 97-102.

99. Марченко, В. А. Нелинейные уравнения и операторные алгебры [Текст] / В.

А. Марченко. – Киев : Наукова думка, 1986.- 156 с.

100. Заславский, Г. М. Введение в нелинейную физику [Текст] / Г. М.

Заславский, Р. З. Сагдеев. - М. : Наука, 1988. - 368 с.

101. Долд Р. Солитоны и нелинейные волновые уравнения [Текст] / Р. Долд [и др.]. - М. : Мир, 1988. - 694 с.

102. Бхатнагар, П. Нелинейные волны в одномерных дисперсионных системах [Текст] / П. Бхатнагар. - М. : Мир, 1983. - 136 с.

103. Малахов, А. Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований [Текст] / А. Н. Малахов. - М. : Сов.радио, 1978. - 376 с.

104. Гурбатов, С. Н. Нелинейные случайные волны в средах без дисперсии [Текст] / С. Н. Гурбатов, А. Н. Малахов, А. И. Саичев. - М. : Наука, 1990. - 105. Выслоух, В. А. Нелинейное преобразование солитонов в волоконных световодах [Текст] / В. А. Выслоух, В. И. Серкин // Изв. АН СССР. Сер. физ. T. 48, № 9. - C. 1777-1781.

106. Essiambre, R. J. Control of soliton-soliton and soliton-dispersive wave interactions in high bit-rate communicatuion systems [Text] / R.J. Essiambre, G. P.

Agraval // Electr. Lett. – 1995. - V. 31, № 17. - P. 1461 - 1463.

107. Efficient soliton compression by fast adiabatic amplification [Text] / M. L.

Quiroga-Teixeiro [et. al.] // J. Opt. Soc. Amer. B. - 1996. - V. 13, № 4. - P. 687-692.

108. Шереметьев А.Г. Когерентная волоконно-оптическая связь. - М.: Радио и связь, 1991.- 192 с.

109. Волоконно-оптические системы передачи [Текст] / М. М. Бутусов [и др.] ;

под ред. Гомзина В. Н. - М. : Радио и связь, 1992. - 416 с.

110. Оптические системы передачи [Текст] / Б. В. Скворцов [и др.] ; под ред. В.

И. Иванова. - М. : Радио и связь, 1994. - 224 с.

111. Денисенко, А. Н. Теоретическая радиотехника [Текст] : справ. пособие. Ч.

1 / А. Н. Денисенко, О. А. Стеценко. – М. : Изд-во стандартов, 1993. – 215 с.

112. Оввян, П. П. К расчету помехоустойчивости солитонных ВОСП [Текст] / П. П. Оввян, В. И. Смирнов // Электросвязь. - 1992. - № 11. - C. 9-10.

113. Солитонные волоконно-оптические системы передачи [Текст] / Г. И.

Гордон [и др.] // Электросвязь. - 1992. - № 12. - C. 14-17; 1993. - № 2. - C. 11-13.

114. Заркевич, Е. А. Основные этапы развития ВОСП в России [Текст] / Е. А.

Заркевич // Электросвязь. - 1994. - № 3. - С. 11-13.

115. Mollenauer, L. F. Demonstration of soliton WDM transmission at 6 and 7& Gbit/s error free over transoceanic distances [Text] / L. F. Mollenauer, P. V.

Mamyshev, M. J. Neubelt // Electr. Lett. - 1996. -V. 32, № 5. - P. 471-473.

116. Mamyshev, P. V. Pseudo-Phase matched four-wavelenght-division multiplexing transmission [Text] / P.V. Mamyshev, L. F. Mollenauer // Opt. Lett. - 1996. - V. 21, № 6. - P. 396-398.

117. Mamyshev, P. V. Wavelenght-division multiplexing channel energy selfequalization in a soliton transmission line by guiding filters [Text] / P. V.

Mamyshev, L. F. Mollenauer // Opt. Lett. - 1996. - V. 21, № 20. - P. 1658-1660.

118. 60 Gbit/s WDM (20 Gbit/s & 3 unequally spaced channels) soliton transmission over 10000 km using in-line synchronous modulation and optical filtering [Text] / M. Nakasawa [et al.] // Electr. Lett. - 1996. - V. 32, № 18. - P. - 1688.

119. Favre, F. 40 Gbit/s 5&100 km span straight line soliton transmission experiment without in-line control [Text] / F. Favre, D. Le Guen // Electr. Lett. V. 32, № 12. - P. 1115-1116.

120. Saruvatori, M. Alloptical signal processing in ultra high optical transmission [Text] / M. Saruvatori // IEEE Comm. Mag. - 1994. - V. 32, № 9. - P. 98-105.

121. Ван Трис, Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции [Текст] / Г. Ван Трис. - М. : Сов. радио, 1972. – Т. 1. - 744 с. ; 1975. – Т. 2. - 343 с.; 1977. – Т. 3.

- 662 с.

122. Ярлыков, М. С. Применение марковской теории нелинейной фильтрации в радиотехнике [Текст] / М. С. Ярлыков. - М. : Сов.радио, 1980. - 360 с.

123. Фалькович, С. Е. Оптимальный прием пространственно-временных сигналов в радиоканалах с рассеянием [Текст] / С. Е. Фалькович, В. И.

Пономарев, Ю. В. Шкварко. - М. : Радио и связь, 1989. - 296 с.

124. Казаков, В. А. Кинетические уравнения для плотностей вероятностей немарковских процессов. Эволюция моментных и кумулянтных функций [Текст] / В. А. Казаков // Изв. вузов. Сер. Радиофизика. - 1987. - Т. 30, № 11. C. 1303-1320.

125. Сисакян, И. Н. Компьютерная оптика: достижения и проблемы [Текст] / И. Н. Сисакян, В. А. Сойфер // Компьютерная оптика : сб. - 1987. - Вып. 1. - С.

5-18.

126. Гончарский, А. В. Введение в компьютерную оптику [Текст] / А. В.

Гончаровский, В. В. Попов, В. В. Степанов. - М. : Изд. МГУ, 1991. - 312 с.

127. Ярославский, Л. П. Цифровая голография [Текст] / Л. П. Ярославский, Н.

С. Мерзляков. - М. : Наука, 1982. – 219 с.

128. Гардинер, К. В. Стохастические методы в естественных науках [Текст] / К. В. Гардинер. - М. : Мир, 1988. - 528 с.

129. Матвеев, А. Н. Оптика [Текст] : учеб. пособие для физ. спец. вузов / А. Н.

Матвеев. – М. : Высшая школа, 1985 – 351 с.

130. Маломед, Б. А. Контроль солитонов в периодических средах [Текст] / Б. А.

Маломед. – М. : Физматлит, 2009. – 192 с.

131. Диссипативные солитоны [Текст] / под ред. Н. Ахмедиева, А. Анкевича. – М. : Физматлит, 2008. – 504 с.

132. Скотт, Э. Нелинейная наука: рождение и развитие когерентных структур [Текст]. - М. : Физматлит, 2007. – 560 с.

133. Инфелд, Э., Роуландс Д. Нелинейные волны, солитоны и хаос [Текст] / Э.

Инфелд, Д. Роуландс. - М. : Физматлит, 2006. – 480 с.

134. Наянов, В. И. Многополевые солитоны [Текст] / В. И. Наянов. - М. :

Физматлит, 2006. – 272 с.

135. Ахмедиев, Н. Н. Солитоны [Текст] / Н. Н. Ахмедиев, А. Анкевич. - М. :

Физматлит, 2003. – 304 с.

136. Григоров, И. В. Моделирование нелинейной фильтрации сигналов в каналах связи [Текст] / И. В. Григоров // НТК ПИИРС : тез. докл. - Самара, 1994. - С. 5.

137. Широков, С. М. Метод оптимальных ортогональных преобразований в задачах фильтрации сигналов на фоне импульсных помех [Текст] / С. М.

Широков, И. В. Григоров // НТК ПИИРС : тез. докл. - Самара, 1995. - С. 6.

138. Григоров, И. В. Сравнительный анализ различных алгоритмов нелинейной обработки сигналов в каналах связи с импульсными помехами [Текст] / И. В.

Григоров // НТК ПИИРС : тез. докл. - Самара, 1995. - С. 7.

139. Широков, С. М. Фильтрация сигналов на фоне импульсных помех с применением нелинейных ортогональных преобразований [Текст] / С. М.

Широков, И. В. Григоров // Междунар. конф. и науч. сессия РНТОРЭС им. А.

С. Попова, посв. 100-летию изобретения радио : тез. докл. Ч. 2. - М.. 1995.- С.

180.

140. Широков, С. М. Методы оптимизации нелинейных фазовых фильтров для подавления импульсных помех [Текст] / С. М. Широков, И. В. Григоров // РНТК ПИИРС : тез. докл. - Самара, 1996. - С. 8-9.

141. Григоров, И. В. Анализ и моделирование метода подавления импульсных помех с применением нелинейных фазовых фильтров [Текст] / И. В. Григоров // АТИ : сб. тр. молодых учен. ПИИРС. - Самара, 1996. - С. 23-27.

142. Широков, С. М., Григоров И.В. Оптимизация нелинейных фазовых фильтров для подавления импульсных помех [Текст] / С. М. Широков, И. В.

Григоров // 51-я науч. сессия РНТОРЭС им. А. С. Попова : тез..докл. Ч. 2. - М., 1996. - С. 153-154.