«НЕЛАГРАНЖЕВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ СИСТЕМЫ: ГЕОМЕТРИЯ И КВАНТОВАНИЕ ...»

Томский государственный университет

физический факультет

На правах рукописи

Шарапов Алексей Анатольевич

НЕЛАГРАНЖЕВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ СИСТЕМЫ:

ГЕОМЕТРИЯ И КВАНТОВАНИЕ

01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Научный консультант:

доктор физ. - мат. наук, проф. С. Л. Ляхович.

Томск – 2007 г.

2 Оглавление Введение 7 1 Деформационное квантование виковского типа 1.1 Многообразия Федосова-Вика........................... Конструкция виковского -произведения..................... 1. 1.3 Эквивалентность вейлевских и виковских символов............... 1.4 Гамильтоновы системы со связями второго рода................. 1.5 Виковское квантование кокасательных расслоений............... 1.5.1 Формальная кэлерова структура..................... 1.5.2 Голоморфные координаты и сходимость................. 1.5.3 Класс Чженя виковской структуры.................... 1.5.4 Пространства постоянной кривизны и нелинейные сигма-модели... 1.6 Струна с некоммутативной геометрией мирового листа............. 1.6.1 Виковская деформация бозонной струны................. 1.6.2 Струнные инстантоны и голоморфные кривые............. 2 Деформационное квантование квазисимплектических многообразий 2.1 Квазисимплектические многообразия: определение и примеры........ 2.2 Симплектическое вложение и конверсия..................... 2.2.1 Симплектическое вложение......................... 2.2.2 Неабелева конверсия............................ 2.3 Квантование..................................... 2.3.1 Классический БРСТ-заряд......................... 2.3.2 Квантование расширенного фазового пространства........... Квантовые наблюдаемые и -произведение................ 2.3. 2.4 Факторизуемые скобки Пуассона общего вида.................. 3 Эффективные нелагранжевы модели в классической теории поля 3.1 Самодействие в линейных теориях........................ 3.2 Регуляризация классических источников..................... 3.3 Конкретные модели................................. 3.3.1 Минимально взаимодействующие браны................. 3.3.2 Браны с неминимальным взаимодействием................ 3.3.3 Сокращение расходимостей......................... 3.3.4 Электродинамика безмассовых частиц.................. 3.4 Реакция излучения и перенормировка в нелинейных моделях......... 4 Геометрические модели и квантование спиновых частиц 4.1 Пресимплектическое многообразие массивной релятивистской частицы со спином......................................... 4.2 Модель массивной спиновой частицы в пространстве-времени произвольной размерности..................................... 4.3 Квантование..................................... 4.4 Минимальное взаимодействие........................... 5 Гомологическая механика – гамильтонова версия 5.1 Слабая гамильтонова структура.......................... 5.2 БРСТ-вложение слабой гамильтоновой структуры............... 5.2.1 Расширенное антисимплектическое многообразие............ 5.2.2 Производящие мастер-уравнения..................... 5.2.3 Физические наблюдаемые.......................... Слабая пуассонова структура и P -алгебры 5.2.4.............. 5.3 Деформационное квантование........................... 5.4 Сигма-модельная интерпретация......................... 6.2.3 D-когомологии и точность лагранжевой структуры........... 6.3 Квантовые БРСТ-когомологии и средние физических величин........ 6.3.1 Обобщенное уравнение Швингера-Дайсона................ 6.3.2 Представление амплитуды вероятности континуальным интегралом. Приложение А. Координаты Морса......................... Приложение В. Асимптотическое разложение основного интеграла....... Введение Данная диссертация содержит изложение результатов исследований автора, посвященных разработке ковариантных методов квантования калибровочных теорий общего вида, включая нелагранжевы и негамильтоновы системы, а также приложению этих методов к ряду актуальных задач теоретической и математической физики. Прежде чем переходить собственно к постановке рассматриваемых проблем, отметим значение и место данной тематики в общем контексте развития современной теоретической физики фундаментальных взаимодействий.

Прогресс квантовой теории поля как математической основы физики фундаментальных взаимодействий был всегда неразрывно связан с разработкой общих методов квантования. Так, создание в конце 40-х – начале 50-х годов прошлого века квантовой электродинамики породило концепцию фейнмановского интеграла по траекториям [1–4], а открытие неабелевых калибровочных теорий и построение на их основе теоретико-полевых моделей сильного и электрослабого взаимодействий придало мощный импульс развитию общих методов квантования систем со связями [5]. Важным шагом на этом пути явилось определение Фаддеевым и Поповым континуального интеграла для полей Янга-Миллса [6], вовлекающего наряду с исходными полевыми переменными дополнительные нефизические поля (дхи), а также открытие Бекки, Руэ, Стора и Тютиным (БРСТ) глобальной фермионной симметрии [7–9], смешивающей калибровочные поля с дхами Фаддеева-Попова. Открыу тие БРСТ-симметрии стало прологом к разработке методов обобщенного канонического квантования Баталина-Вилковыского-Фрадкина [10–13] и лагранжевого квантования Баталина-Вилковыского [14–16], составляющих теперь основу общей БРСТ-теории [17,18].

В настоящее время БРСТ-теория является наиболее мощным и универсальным методом квантования калибровочных теорий. Помимо собственно задачи квантования данный метод оказывается эффективным в теории перенормировок, при анализе аномалий, а также как инструмент построения совместных взаимодействий в калибровочных моделях.

Заметен рост интереса к использованию БРСТ-методов и в ряде разделов математики, особенно в задачах, связанных с деформацией алгебраических структур (квантовые группы и алгебры, деформационное квантование и пр.). Практически все наиболее важные с современной точки зрения алгебраические структуры могут быть адекватно сформулированы или реинтерпретированы на языке производящих уравнений БРСТ-алгебры для подходящих калибровочных систем. Активное проникновение методов БРСТ-теории и связанной с ней гомологической алгебры в различные разделы теоретической и математической физики привело даже к появлению термина “когомологическая физика” [19].

Можно констатировать, что современный этап развития квантовой теории поля характеризуется все большим смещением акцента в сторону разработки непертурбативных методов анализа классической и квантовой динамики полей с нетривиальной геометрией фонового, конфигурационного или фазового пространства. Неудивительно, что движение в этом направлении сопровождается интенсивным применением самых современных идей и конструкций дифференциальной геометрии, гомологической алгебры, алгебраической топологии и их синтезом с методами БРСТ-теории. Среди наиболее востребованных методов, имеющих непосредственное отношение к задачам непертурбативной квантовой теории поля, следует выделить метод деформационного квантования.

Концепция деформационного квантования [20–23], возникшая в 70-х годах прошлого века как математически строгая и последовательная схема квантования гамильтоновых систем с нелинейным фазовым пространством, получила бурное развитие в течение последних двадцати лет и является в настоящее время активным полем исследований как математиков, так и физиков-теоретиков. Среди последних ярких достижений в этой области можно отметить конструкцию деформационного квантования Федосова симплектических многообразий [24, 25], а также общую схему деформационного квантования пуассоновых многообразий, предложенную Концевичем [26]. Помимо решения собственно проблемы квантования теорий с нелинейным фазовым пространством многие развиваемые в этой области идеи и методы находят применение и в других (существенно отличных по характеру) задачах теоретической и математической физики, в частности, являются эффективным инструментом построения новых физических моделей. Среди последних можно упомянуть виттеновскую формулировку полевой теории струн [28], калибровочные теории на некоммутативных пространствах [29, 30], модели взаимодействия полей высших спинов [33,34]. В этом своем аспекте теория деформационного квантования тесно переплетается с математическими конструкциями некоммутативной геометрии Коннэ [36], являющейся нетривиальным и многообещающим обобщением классического дифференциального исчисления на гладких многообразиях.

Следует заметить, что переход от механических к теоретико-полевым моделям, т. е.

системам с бесконечномерным фазовым пространством, приводит к необходимости решения ряда вопросов, выходящих за рамки формальной математической процедуры деформационного квантования. Наличие квантовых расходимостей, например, делает нетривиальным вопрос о выборе правильной схемы квантования даже для полей с простой геометрией фазового пространства. Считается общепринятым, что последовательное квантование теоретико-полевых моделей должно основываться на представлении операторов рождения-уничтожения, т. е. виковском символе для полевых операторов. К сожалению, для большинства физических моделей такое представление известно лишь на уровне свободных полей, а вклад взаимодействия учитывается пертурбативно. Несмотря на известные достижения пертурбативной теории поля, такое разложение на свободную часть и взаимодействие не всегда адекватно физической ситуации, так как может разрушать фундаментальные симметрии исходной классической модели. Важными примерами такого рода теорий могут служить нелинейные сигма-модели [37] и, в частности, струны в пространстве анти-де Ситтера. Стандартное разложение по методу ковариантного фонового поля над плоским фоном приводит к спонтанному нарушению симметрий сигма-модели, что делает, например, принципиально невозможным прямое отождествление спектра элементарных возбуждений струны с известным спектром элементарных частиц в пространстве анти-де-Ситтера, а также оставляет открытым вопрос о точном (непертурбативном) значении критических параметров теории. Класс виковских символов является, таким образом, выделенным с точки зрения квантовой теории поля и заслуживает дальнейшего развития в сторону непертурбативного учета глобальной геометрии полей в существенно нелинейных моделях и системах со связями. Решение этих задач, по-видимому, невозможно без глубокого синтеза методов деформационного квантования и БРСТ-теории [38, 39].

Еще одной выраженной тенденцией развития современной теоретической физики высоких энергий является все возрастающий интерес к калибровочным теориям, классические уравнения движения которых не допускают естественной вариационной формулировки, т.

е. не могут быть получены из принципа наименьшего действия. Среди наиболее фундаментальных моделей такого рода стоит отметить самодуальные поля Янга-Миллса, киральные бозоны, уравнения Дональдсона-Уленбека-Яу, различные многомерные конформные теории поля с расширенной суперсимметрией, уравнения Зайберга-Виттена, теории безмассовых полей высших спинов, а также уравнения, описывающие самосогласованную динамику частиц струн и бран во внешних динамических полях. Отсутствие вариационной формулировки для этих моделей делает принципиально невозможным непосредственное применение стандартных рецептов квантования (операторного БВФ или ковариантного БВ), поэтому обычный подход к квантованию таких теорий состоит в конверсии исходной нелагранжевой динамики в лагранжеву путем введения некоторой системы вспомогательных полей. Вспомогательные поля вводятся так, чтобы эффективная лагранжева теория была динамически эквивалентна исходной (нелагранжевой) теории (т. е. чтобы вспомогательные поля входили в теорию либо чисто алгебраически и исключались на уравнениях движения, либо оказывались чисто калибровочными модами). Хотя в некоторых простых случаях такой подход оказывается действительно эффективным, выбор вспомогательных полей, а также включение их в исходную (нелагранжеву) динамику до сих пор остается в большей степени искусством, нежели конструктивной процедурой. Показательным примером здесь может служить теория безмассовых полей высших спинов. Так, на свободном уровне состав вспомогательных полей и соответствующие лагранжианы были найдены еще в 70-x годах Фронсдалом [40]. В то же время идентификация полного набора вспомогательных полей для нелинейных уравнений высших спинов (уравнений Васильева [31–35]) до сих пор остается открытой проблемой. Указанные трудности делают актуальной разработку общих методов квантования нелагранжевых калибровочных теорий, которые выводили бы известные схемы БВ- и БВФ-БРСТ-квантований за рамки вариационной динамики.

Исходя из описанного выше общего контекста развития современной теоретической физики высоких энергий и имеющегося круга нерешенных проблем в данной диссертации были поставлены следующие конкретные цели и задачи: сформулировать ковариантную процедуру виковского квантования гамильтоновых систем с нелинейной геометрией фазового пространства и/или связями; обобщить схему деформационного квантования Федосова на широкий класс нерегулярных скобок Пуассона, ассоциированных с симплектическими алгеброидами Ли; разработать методы получения, исследования и перенормировки эффективных уравнений движения протяженных релятивистских объектов (бран) с учетом реакции излучения; построить и проквантовать релятивистские модели частиц высших спинов в пространстве-времени произвольной размерности; обобщить методы БРСТквантования на случай нелагранжевых и негамильтоновых калибровочных систем общего вида, а также отработать практику применения этих методов в ряде актуальных моделей теории поля; разработать теорию характеристических классов калибровочных систем как инструмента исследования глобальной геометрической структуры калибровочной динамики и квантовых аномалий.

Центральными разделами диссертации являются главы 5 и 6, посвященные обобщению методов деформационного квантования и БРСТ-теории на случай невариационных калибровочных систем общего вида. Мы называем это обобщение гомологической механикой, чтобы подчеркнуть особую роль гомологических методов [41] при построении соответствующего математического формализма. Как и обычная механика, основанная на принципе наименьшего действия, механика гомологическая допускает две эквивалентные формулировки – лагранжеву и гамильтонову. Данная терминология, однако, не имеет ничего общего с возможностью задания классической динамики на основе того или иного вариационного принципа, а относится лишь к способу описания пространства состояний механической системы. Гамильтонова картина соответствует прямому описанию состояний как точек фазового пространства, а динамики – как фазового потока. При этом, вообще говоря, не предполагается, что фазовое пространство несет какую-либо пуассонову структуру, согласованную с потоком. В лагранжевой картине исходным объектом является конфигурационное пространство всевозможных траекторий системы, а физические состояния отождествляются с подпространством истинных траекторий, т. е. траекторий, удовлетворяющих классическим уравнениям движения. В отсутствие калибровочных симметрий задание классических уравнений движения и начальных данных полностью фиксирует эволюцию системы; при этом совершенно неважно, могут ли эти уравнения быть получены на основе вариационного принципа или нет. Ясно, что между обоими картинами нет принципиальной разницы – каждый поток задается системой дифференциальных уравнений первого порядка по времени, а каждая система дифференциальных уравнений может быть представлена как фазовый поток путем введения вспомогательных переменных.

Хотя дифференциальные уравнения движения являются самодостаточными для формулировки классической динамики, переход к квантовомеханическому описанию требует привлечения дополнительных структур на конфигурационном/фазовом пространстве системы в зависимости от того, какой смысл вкладывается в слово “квантование”. В гамильтоновой картине естественным подходом к квантованию является уже упомянутый выше метод деформационного квантования, суть которого состоит в построении однопараметрической (по постоянной Планка ) ассоциативной деформации коммутативной алгебры функций на фазовом пространстве системы (так называемого -произведения).

Задание на множестве физических наблюдаемых -произведения, а также следовой меры позволяет сформулировать последовательное квантовомеханическое описание системы.

Центральным результатом теории деформационного квантования является утверждение о том, что каждая ассоциативная деформация коммутативной алгебры функций определяется в первом порядке по некоторой скобкой Пуассона и, наоборот, – по каждой скобке Пуассона можно построить некоторое ассоциативное -произведение в пространстве физических наблюдаемых. Если скобка Пуассона невырождена, т. е. фазовое пространство системы является симплектическим многообразием, соответствующие классические уравнения движения являются гамильтоновыми и могут быть получены на основе вариационного принципа. Замечательно, что метод деформационного квантования сохраняет свою работоспособность и в случае, когда пуассонова структура является вырожденной 1. При этом даже не требуется, чтобы фазовый поток задавался некоторым гамильтонианом – достаточно, чтобы он сохранял скобки Пуассона. Таким образом, применение метода деформационного квантования позволяет, в принципе, квантовать как вариационную, так и невариационную динамику в фазовом пространстве (по крайней мере, в отсутствие связей и калибровочных симметрий, о чем будет сказано ниже).

В лагранжевой картине в качестве физических наблюдаемых выступают функционалы траекторий системы или, более точно, их ограничения на подпространства истинных траекторий. Под квантованием при этом понимается построение квантовых средних физических величин путем их усреднения по всевозможным траекториям системы с некоторой весовой функцией – амплитудой вероятности. В случае обычной лагранжевой механики в качестве последней постулируется фейнмановская амплитуда вероятности, имеющая вид экспоненты от функционала действия, деленного на i. Исходя из формальной эквивалентности между лагранжевой и гамильтоновой картинами естественно задаться вопросом о том, что является лагранжевым аналогом вырожденной пуассоновой структуры в случае, когда уравнения движения системы не допускают вариационной формулировки.

Для нулевой скобки Пуассона, например, -произведение совпадает с обычным умножением функций, а квантовые уравнения движения – с классическими.

Условно возникающую ситуацию можно изобразить следующей диаграммой:

Вертикальные стрелки диаграммы символизируют переход от вариационной к невариационной динамике, S – функционал действия на пространстве траекторий, а H – функция Гамильтона на симплектическом многообразии с симплектической 2-формой (d = 0).

Наконец, нижний правый угол диаграммы содержит структуры, необходимые для последовательного квантовомеханического описания (невариационной) динамики в фазовом пространстве, а именно – Пуассонов бивектор и согласованное с ним векторное поле V ([, ] = 0, [, V ] = 0). Знак вопроса в левом нижнем углу соответствует гипотетической лагранжевой структуре, отвечающей за квантование в пространстве траекторий системы. По своему смыслу лагранжева структура должна: (i) содержать исходные уравнения движения, (ii) определять амплитуду вероятности на пространстве траекторий, (iii) быть лагранжевым аналогом вырожденной скобки Пуассона. Естественно также предположить, что аналогом нулевой скобки Пуассона должна быть классическая амплитуда вероятности, имеющая вид -функции, сосредоточенной на решениях уравнений движения.

На самом деле, верхний левый угол диаграммы не является полным. Известно, что в лагранжевой механике, как и в гамильтоновой, имеет место бинарная скобочная операция – так называемая антискобка Баталина-Вилковыского. Однако, в отличие от гамильтонового случая, эта скобка является нечетной и определяется не на пространстстве состояний и даже не на пространстве всех траекторий, а на нечетном кокасательном расслоении к пространству траекторий. Именно последнее обстоятельство делает ее присутствие и полезность не столь очевидными. Тем не менее, антискобка является необходимым ингредиентом БВ-квантования и, как будет показано ниже, ее роль далеко не ограничивается проблемой ковариантного квантования теорий с сингулярными лагранжианами. Добавление антискобки в левый верхний угол диаграммы восстанавливает зеркальную симметрию между гамильтоновой и лагранжевой картинами в случае вариационной динамики и подсказывает естественную кандидатуру на роль лагранжевой структуры. А именно: будет показано, что каждая лагранжева структура задается парой объектов – классическими уравнениями движения и согласованной с ними слабой антискобкой на расширенном пространстве траекторий. Термин “слабая” означает, что скобочное тождество Якоби может размыкаться вне поверхности уравнений движения или, как говорят, выполняться в слабом смысле. Если антискобка является невырожденной, то из условий ее согласования с уравнениями движения немедленно следует, что соответствующая динамика допускает вариационную формулировку. Однако, вся конструкция остается самосогласованной и без предположения о невырожденности.

Предыдущие рассуждения относились, в основном, к случаю динамических систем без связей и/или калибровочных симметрий. В противном случае условия согласованности динамики с (анти)пуассоновой структурой допускают дальнейшее нетривиальное обобщение. Суть этого обобщения состоит в том, чтобы потребовать выполнение тождества Якоби для (анти)скобки лишь в пространстве калибровочно-инвариантных величин и только на поверхности связей. (В лагранжевом случае роль связей играют классические уравнения движения.) Систематическое развитие этой концепции естественно приводит нас к понятиям P - и S -алгебр [282], являющихся сильно гомотопическими аналогами, соответственно, пуассоновых и антипуассоновых алгебр. Значок указывает на то, что каждая такая алгебра задается бесконечным набором n-арных скобочных операций на расширенном фазовом/конфигурационном пространстве системы, связанных обобщенными тождествами Якоби. При этом 1-скобка несет всю информацию о связях и калибровочных генераторах системы, 2-скобка определяется слабой (анти)скобкой, 3-скобка контролирует размыкание тождества Якоби для 2-скобок и т.д.

Будет показано, что вся иерархия скобочных структур, отвечающая невариационной калибровочной динамике со связями, допускает компактное БРСТ-описание в терминах производящих мастер-уравнений. Однако соответствующий БРСТ-комплекс существенно отличается от стандартных БВ- и БВФ-комплексов как спектром духовых переменных, так и структурой соответствующих БРСТ-генераторов. Производящее мастер-уравнение для P -структуры вовлекает, например, бозонное мастер-действие с духовым числом вместо классического БРСТ-заряда с духовым числом 1. Существенное расширение спектра духовых полей по сравнению с канонической БРСТ-теорией является отражением более богатой структуры калибровочной алгебры, имеющей место в случае невариационной динамики. Так, наличие у системы калибровочных симметрий вовсе не означает зависимости между ее уравнениями движения и наоборот, а наличие инволютивного набора связей на фазовом пространстве системы не порождает, вообще говоря, нетривиальных калибровочных преобразований. Таким образом, стандартные соответствия между генераторами калибровочных симметрий и тождествами Нетер в лагранжевом формализме (или связями первого рода в гамильтоновом) оказываются нарушенными для невариационных динамических систем. В соответствии с общей логикой БРСТ-теории это означает, что при построении БРСТ-вложения невариационной динамики в расширенное конфигурационное/фазовое пространство каждому из упомянутых выше объектов должна отвечать своя пара канонически сопряженных духов.

Замечательно, что классические БРСТ-комплексы, отвечающие невариационным динамическим системам, допускают естественную деформацию, индуцирующую квантование исходной динамики. В гамильтоновом случае существование такой деформации обеспечивается теоремой формальности Концевича, а результатом квантования является слабо ассоциативное -произведение на расширенном фазовом пространстве системы. Здесь “cлабая ассоциативность” означает ассоциативность в БРСТ-когомологиях, в частности, в подпространстве физических величин слабо гамильтоновой системы. В лагранжевой картине результатом квантования является квантовая амплитуда вероятности на пространстве траекторий системы. Не вдаваясь в дальнейшие подробности, отметим, что суть предлагаемого метода лагранжева квантования может быть выражена следующим тезисом.

Каждая классическая теория поля в d-мерном пространстве-времени эквивалентна некоторой лагранжевой топологической теории в (d + 1)-мерном пространстве, имеющем исходное пространственно-временное многообразие в качестве своей границы; конструкция продолжения (нелагранжевой) d-мерной теории в d + 1 измерение не является однозначной, но контролируется выбором лагранжевой структуры.

Применение стандартной процедуры БВ-квантования к топологической теории в (d + 1)-мерном пространстве индуцирует некоторое квантование исходной нелагранжевой динамики в d измерениях.

Глава Деформационное квантование виковского типа Концепция деформационного квантования, основы которой были заложены в работах Березина [20,21], а также французской группы математиков [22,23], получила бурное развитие в последние десятилетия, включая многочисленные приложения в различных разделах физики и математики (см., например, [27]). Вопрос о существовании ассоциативного -произведения на произвольном симплектическом многообразии был положительно решен де Вильдом и Лекомтом [42] и независимо Карасевым и Масловым [43, 44]. В работах [45–47] было показано, что с точностью до естественной эквивалентности все такие произведения классифицируются формальными рядами по с коэффициентами во второй группе когомологий де Рама симплектического многообразия. Явная геометрическая конструкция -произведения, а также следовой меры на -алгебре функций была предложена Федосовым [24,25].

Работа Федосова послужила толчком для многочисленных переосмыслений, обобщений и приложений конструкции деформационного квантования в различных задачах теоретической и математической физики [27, 38, 39, 48–52]. В частности, упомянутая выше классификация -произведений на симплектическом многообразии получила наиболее простое объяснение в рамках метода Федосова. А именно: формальные ряды со значением во вторых когомологиях де Рама естественным образом отождествляются с модулями плоских связностей Федосова. Непосредственное доказательство этого факта (что любое -произведение эквивалентно некоторому федосовскому -произведению) было дано Шу [53].

Наряду с общей теорией деформационного квантования определенный интерес представляет изучение специальных типов -произведений, удовлетворяющих дополнительным алгебраическим или геометрическим требованиям. Так, например, конструкция геометрического квантования и исчисление символов на кэлеровых многообразиях мотивировали изучение деформационного квантования многообразий, оснащенных парой трансверсальных поляризаций, которое может рассматриваться как естественное обобщение -алгебры виковских и qp-символов. Начиная с пионерских работ Березина [54, 55] по квантованию в однородных комплексных областях в настоящее время накоплено большое количество результатов, относящихся к деформационному квантованию на поляризованных многообразиях [56–65]. Следует, однако, подчеркнуть, что во всех перечисленных работах конструкция виковского -произведения основана на использовании специальных координат (разделенных переменных в терминологии работы [59]), что не является вполне адекватным для физических приложений, поскольку большинство физических теорий обладает общекоординатной инвариантностью. По этой причине представляется естественным связать виковскую поляризацию не с наличием адаптированной системы координат, а с некоторой дополнительной геометрической структурой на симплектическом многообразии, позволяющей строить виковское -произведение без апелляции к специальным координатам.

Такая геометрическая структура была найдена в работах [66, 67] и названа виковской структурой. Там же была предложена модификация метода Федосова, приводящая к явно ковариантному виковскому -произведению, а также сформулированы необходимые и достаточные условия, обеспечивающие глобальную эквивалентность вейлевского и виковского квантований (в том случае, когда последнее существует). Изложению этих результатов посвящены секции 1.1-1.3. В секции 1.4 рассматривается задача квантовой редукции виковской структуры для гамильтоновых систем со связями второго рода. Основным результатом этого раздела является нахождение необходимых достаточных условий, при которых (почти)виковская структура объемлющего фазового пространства индуцирует интегрируемую виковскую структуру на поверхности связей. В секции 1.5 решается задача о построении естественной виковской структуры на кокасательных расслоениях к римановым многообразиям, наделенным канонической симплектической структурой. Показывается, что каждая риманова метрика может быть продолжена c базы до некоторой виковской структуры на тотальном пространстве кокасательного расслоения в классе формальных рядов по импульсам, и дается явный рекуррентный алгоритм ее построения. Некоторые физически интересные примеры такого продолжения приведены в разделе 1.5.4. Наконец, в секции 1.6 конструкция виковского деформационного квантования используется для построения некоммутативного обобщения бозонной струны в формализме Полякова. Ключевым элементом конструкции является интерпретация 2-мерной метрики Полякова и ассоциированной с ней 2-формы объема как естественной виковской структуры на мировой поверхности струны. Эта структура затем используется для построения некоммутативного умножения струнных полей и следового функционала.

1.1 Многообразия Федосова-Вика Рассмотрим 2n-мерное вещественное многообразие M вместе с заданной на нем комплекснозначной билинейной формой (не обязательно симметричной или антисимметричной). В терминах локальных координат {xi } на M форма однозначно определяется своими компонентами ij = (i, j ), где i /xi. Используя форму, можно определить следующие два отображения из комлексифицированного касательного в комплексифицированное кокасательное расслоение:

Обозначим через ker и ker t, соответственно, правое и левое ядерные распределения.

Ясно, что dim ker = dim ker t. В дальнейшем нам также понадобится разложение на симметричную и антисимметричную части:

Определение 1.1.1. Назовем пару (M, ) почти федосовским многообразием виковского типа (почти ФВ-многообразием), если в каждой точке p M выполняются следующие условия:

i) = 1 ( t ) – вещественная невырожденная 2-форма, ii) dimC ker = 2 dim M.

Первое условие означает, что антисимметричная часть определяет на M почти симплектическую структуру. Из второго условия следует, что касательное пространство Tx : M в каждой точке x M натягивается на левое и правое ядерные распределения.

Заметим, что условие того, что векторное поле X (Y ) принадлежит левому (правому) ядерному распределению, т. е. (X, ·) = 0 ( (·, Y ) = 0), может быть записано в виде где поле автоморфизмов Ix : Tx M Tx M задается в локальных координатах матрицей Здесь ij – матрица, обратная к ij, ik kj = j. Векторы X и Y принадлежат различным собственным значениям (±1) автоморфизма I, а потому линейно независимы. Следовательно, ker ker t = 0. С учетом ограничения (ii) на размерность распределений это означает, что ker (x) ker t (x) = Tx M, x M. Отсюда также следует, что симметричC ная форма g не вырождена, а автоморфизм I инволютивен, т. е.

В дальнейшем будем называть I почти инволютивной структурой.

Отметим два важных частных случая почти инволютивной структуры (1.5). В первом случае тензор I имеет чисто мнимые компоненты в локальных вещественных координатах, а потому определяет почти комплексную структуру J = 1I. Во втором случае, когда его компоненты вещественны, I называется тензором почти паракомплексной структуры [68]. Легко видеть, что в первом случае форма антиэрмитова, t =, а во втором – вещественна, =.

Известно, что почти комплексная структура является комплексной, если она определяет структуру комплексного многообразия. Согласно теореме Ниренберга-Ньюлендера [69,70] последнее равносильно обращению в нуль тензора Нейенхейса, ассоциированного с J, что, в свою очередь, эквивалентно инволютивности векторных распределений, отвечающих собственным значениям ± 1 автоморфизма J. Аналогичные утверждения имеют место и в случае произвольной почти инволютивной структуры I.

Определение 1.1.2. Тензором Нейенхейса почти инволютивной структуры I называется гладкое поле кососимметричных билинейных отображений Nx : Tx M Tx M Tx M, которое может быть определено двумя эквивалентными способами:

i) для каждой пары гладких векторных полей X и Y где квадратные скобки означают коммутатор векторных полей;

ii) пусть – произвольная симметричная связность, тогда в локальных координатах {xi } тензор N имеет следующие компоненты:

Нетрудно видеть, что правые части соотношений (1.6) и (1.7) не зависят в действительности ни от производных векторных полей X, Y, ни от выбора симметричной связности и определяют один и тот же тензор N.

Определение 1.1.3. Почти ФВ-многообразие (M, ) называется ФВ-многообразием, если существует симметричная связность, согласованная с, т. е. = 0.

Очевидно, что форма ковариантно постоянна, если и только если ковариантно постоянны ее симметричная и антисимметричная части, т. е.

Поскольку существует только одна симметричная связность, согласованная с невырожденной симметричной формой g, то существование влечет ее единственность. С другой стороны, выделяя полностью антисимметричную часть тензорного уравнения i jk = 0, приходим к условию замкнутости d = 0. Таким образом, каждое многообразие ФедосоваВика является одновременно и симплектическим многообразием с симплектической 2формой.

Следующая теорема устанавливает простые критерии существования симметричной связности, согласованной с.

Теорема 1.1.4. Пусть (M, ) – почти ФВ-многообразие с замкнутой антисимметричной частью, тогда следующие условия эквивалентны:

i) форма определяет структуру ФВ-многообразия;

ii) тензор Нейенхейса N инволютивной структуры I равен нулю;

iii) векторные распределения ker и ker t инволютивны.

Замечание 1.1.1. В симплектическом случае d = 0 и тензор Нейенхейса принимает вид – единственная симметричная связность, согласованная с g. Тензор N может ингде терпретироваться как тензор кручения (несимметричной) связности = + 2 N, сохраняющей как g, так и. Действительно, В контексте кэлеровой геометрии Замечание 1.1.2. Легко видеть, что векторные распределения ker и ker t являются лагранжевыми по отношению к и, следовательно, задают пару трансверсальных поляризаций PR и PL симплектического многообразия (M, ). Концепция поляризации играет исключительно важную роль в конструкции геометрического квантования [71], так как позволяет сформулировать понятие состояния квантовомеханической системы. Геометрическое квантование симплектических многообразий, оснащенных парой трансверсальных поляризаций, хорошо изучено в двух предельных случаях: PR = P L, PR P L = 0. Первая возможность реализуется для кэлеровых многообразий с голоморфной-антиголоморфной поляризацией, а вторая приводит к паракэлеровым многообразиям, оснащенным парой трансверсальных лагранжевых слоений. Заметим, что в последнем случае каждый лист слоения, будучи лагранжевым подмногообразием по отношению к, является вполне геодезическим подмногообразием для псевдоримановой метрики g.

Конструкция виковского -произведения 1. Пусть (M, ) – многообразие Федосова-Вика размерности 2n. Воспользовавшись тем фактом, что форма разлагается в сумму невырожденных симметричной и антисимметричной форм (1.2), определим следующее контравариантное тензорное поле:

где тензоры ij и g ij являются обратными к ij и gij, соответственно. По построению, и ij – пуассонов бивектор. В дальнейшем будем называть ij тензором Вика.

Под деформационным квантованием ФВ-многообразия (M, ) понимается построение ассоциативной операции -произведения, являющегося однопараметрической деформацией поточечного умножения функций C (M ) и удовлетворяющего следующему “граничному условию”:

где – формальный параметр (“постоянная Планка”), а точки означают члены более высокого порядка по. Условие (1.13) является совместным с так называемым принципом соответствия между классической и квантовой механиками:

где {·, ·} – скобка Пуассона, отвечающая бивектору ij.

Помимо граничного условия (1.13) и ассоциативности, потребуем также, чтобы произведение функций удовлетворяло условию локальности Это условие в точности означает, что (на каждом компакте) все члены формального ряда по в (1.13) являются бидифференциальными операторами конечного порядка по аргументам a и b. Заметим, что исходная алгебра гладких функций C (M ) не замкнута по отношению к введенному -произведению, поскольку является формальным, а не числовым параметром. По этой причине вместо алгебры гладких функций рассматривается более широкая алгебра C (M )[[ ]], элементами которой являются формальные ряды вида Очевидно, что пространство C (M )[[ ]] уже замкнуто относительно -произведения и может трактоваться как алгебра квантовых наблюдаемых подобно тому, как пуассонова алгебра гладких функций C (M ) на симплектическом многообразии (M, ) отождествляется с алгеброй классических наблюдаемых.

В работе [66] было показано, что квантование ФВ-многообразий в указанном выше смысле может быть построено путем некоторой минимальной модификации деформационного квантования Федосова [24].

Определение 1.2.1. Формальной алгеброй виковских символов A = Am,n назыm,n= вается ассоциативная биградуированная алгебра над C, общий элемент которой дается выражением Коэффициенты разложения ak, i1...ip j1...jq (x)являются ковариантными тензорами на M, симметричными по индексам i1,..., ip и антисимметричными по индексам j1,..., jq,, а формальные переменные {y i } преобразуются как компоненты касательного вектора.

Общему члену ряда (1.16) приписывается бистепень (2k + p, q). Произведение двух элементов a, b A определяется по правилу где обозначает внешнее произведение дифференциальных форм.

Легко видеть, что произведение (1.17) ассоциативно и биградуированно, т. е. Am,n Ak,l Am+k,n+l. Естественная фильтрация по отношению к первой градуировке, определяет топологию и сходимость в пространстве формальныx степенных рядов ( 1.16).

Определим коммутатор двух однородных элементов a Am,n, b Ak,l, положив [a, b] = a b (1)nl b a, а также нильпотентный дифференциал : Am,n Am1,n+1 :

По отношению к введенным структурам алгебра A превращается в дифференциальную градуированную алгебру Ли. Заметим, что оператор является внутренним дифференцированием A:

Нетривиальные коциклы оператора образуют подпространство квантовых наблюдаемых C (M )[[ ]] A, элементы которого не зависят ни от y, ни от dx. На дополнительном подпространстве можно определить оператор стягивающей гомотопии 1 : Am,n Am+1,n1 :

где i(/xk ) означает свертку формы с координатным векторным полем /xk.

Доопределяя оператор 1 на C (M )[[ ]] нулем, приходим к “разложению Ходжа-де Рама” в дифференциальной алгебре A:

где (a) = a(x, 0, 0, ) – проекция a на C (M )[[ ]].

Используя связность, согласованную с тензором Вика, определим на A ковариантный дифференциал:

где k – символы Кристоффеля связности.

Формулируемое ниже утверждение является аналогом леммы 2.4 из [24] и доказывается прямыми вычислениями.

Лемма 1.2.2. Пусть Таким образом, квадрат ковариантной производной является внутренним дифференцированием A, и этот факт является ключевым моментом для построения деформационного квантования по методу Федосова.

Следуя Федосову, рассмотрим более общее дифференцирование алгебры A:

Будем предполагать, что r = ri (x, y, dx, )dxi A3 и ri (x, 0, dx, )dxi = 0. Простое вычисление показывает, что где Связность (ковариантная производная) (1.28) на алгебре A называется абелевой, если 2-форма не зависит от y, т. е. принадлежит центру алгебры A. В частности, связность D будет абелевой, если выполнено условие Ясно, что ядро абелевой ковариантной производной D является подалгеброй в A. Обозначим эту подалгебру через AD.

Следующие две теоремы, являющиеся ключом к построению виковского -произведения, доказываются совершенно аналогично теоремам 3.2 и 3.3 из [24].

Теорема 1.2.3. Существует единственный элемент r A3, удовлетворяющий уравнению (1.31), а также дополнительному условию r = 0.

Теорема 1.2.4. Для любой наблюдаемой a C (M )[[ ]] существует единственный элемент a AD такой, что (a) = a.

В качестве следствия из последнего утверждения заключаем, что проекция устанавливает изоморфизм линейных пространств AD и C (M )[[ ]], а также имеем Следствие 1.2.5. Формула задает ассоциативное -произведение на C (M )[[ ]].

Помимо факта существования, доказательство приведенных выше теорем дает явную рекуррентную процедуру построения отображения 1 путем итерирования связанной пары уравнений:

Поскольку оператор процедура для (1.33) сходится к единственному решению 1 (a), что позволяет вычислить -произведение двух функций в любом порядке по.

Заметим, что для антиэрмитова тензора Вика (случай кэлерова многообразия) построенное -произведение обладает следующим свойством вещественности:

Замечание 1.2.1. Как видно, ранговое условие, налагаемое на определением 1.1.1, является несущественным для построения ассоциативного -произведения (1.13). Единственное условие, которое было использовано в нашей конструкции, – это существование симметричной связности, согласованной с. Таким образом, данная конструкция может быть применена и в более общей ситуации, включая случай вырожденного тензора g. Полагая, например, g = 0 получаем обычное квантование Федосова.

Обсудим теперь структуру следового функционала на алгебре квантовых наблюдаемых (C (M )[[ ]], ). Обозначим через C0 (M )[[ ]] C (M )[[ ]] двусторонний идеал, порожденный гладкими функциями с компактным носителем. Линейный функционал на C0 (M )[[ ]] со значением в C[[ ]] называется следом, если он обращается в нуль на коммутаторах, т. е.

Пусть dµ = dµ0 + dµ1 +... – формальная мера на M, тогда интеграл по dµ определяет непрерывный линейный функционал вида C0 (M )[[ ]] a M a · dµ. Формальная мера называется следовой мерой для -произведения, если функционал M a · dµ является следом. В работе Неста и Цыгана [45] было доказано, что любой непрерывный следовой функционал определяется некоторой следовой мерой. Для ФВ-многообразий верно также следующее утверждение.

Теорема 1.2.6. C точностью до мультипликативной константы на любом ФВ-многообразии существует единственная следовая мера, ассоциированная с виковской алгеброй символов (C (M )[[ ]], ). Эта мера имеет следующую структуру:

где v = n /n! = | det g|dx1... dx2n – симплектический (риманов) объем M, а коэффициенты ti (x) являются полиномами от тензора кривизны и его ковариантных производных.

Доказательство. Эта теорема является аналогом теоремы 5.6.6 из [25] и может быть доказана с использованием принципа локализации. Кроме того, в следующем разделе будет приведена явная формула устанавливающая локальный изоморфизм между алгебрами виковских и вейлевских символов. Используя этот изоморфизм, можно выразить следовую меру на ФВ-многообразии (M, ) через следовую меру Федосова соответствующего симплектического многообразия (M, ).

Нетрудно видеть, что для однородных ФВ-многообразий, соответсвующая группа движений (очевидно конечномерная) определяет группу симметрии -произведения. В этом случае dµ = v.

В заключение отметим, что построенная выше схема виковского деформационного квантования допускает естественное продолжение на суперсимплектическое многообразие, ассоциированное с нечетным касательным расслоением T M многообразия ФедосоваВика (M, ). Обозначим через i нечетные координаты в слоях над некоторой тривиализующей координатной окрестностью в M. Используя входящую в определение ФВмногообразия метрику g, можно продолжить симплектическую 2-форму на M до следующей симплектической 2-формы на T M :

где Di di i k dxj. В соответствии с известной теоремой Ротштейна [75] о класjk сификации суперсимплектических многообразий, каждая симплектическая структура на T M может быть приведена подходящим диффеоморфизмом к виду (1.37). Кроме того, метрическая связность на M каноническим образом продолжается до симплектической связности на T M. Используя эти данные, можно построить -произведение, квантующее суперсимплектическую структуру (1.37) и обладающее естественной виковской поляризацией. Детали конструкции содержатся в [66]. Обобщение федосовского квантования на суперсимплектические многообразия общего вида было рассмотрено Бордеманном [52].

1.3 Эквивалентность вейлевских и виковских символов Богатая геометрия ФВ-многообразий позволяет применить к ним по крайней мере две схемы квантования – деформационное квантование Федосова, являющееся обобщением вейлевского квантования в линейных симплектических пространствах, и рассмотренное выше виковское квантование, вовлекающее наряду с симплектической структурой некоторую дополнительную симметричную форму. Естественно поставить вопрос о том, являются ли эти два квантования различными или же существует оператор, сплетающий соответствующие алгебры квантовых наблюдаемых.

Известно [25, 44, 46], что любые два -произведения на симплектическом многообразии локально эквивалентны, а препятствия к их глобальной эквивалентности лежат во второй группе когомологий де Рама многообразия. В этом разделе мы построим оператор, осуществляющий локальную эквивалентность вейлевского и виковского квантований, а также предъявим замкнутую 2-форму, чей класс когомологий препятствует установлению глобальной эквивалентности.

Чтобы отличать виковское квантование от вейлевского, будем использовать дополнительный индекс g у всех конструкций, связанных с виковским звездочка-умножением. В частности, послойное произведение (1.17) будет обозначаться g, в то время как будет использоваться для обозначения федосовского послойного умножения [24], получающегося из (1.17) полаганием g = 0.

Прежде всего заметим, что послойные произведения и g оказываются эквивалентными в следующем смысле.

Лемма 1.3.1. Для любых a, b A имеем где формально обратимый оператор G определяется так:

Другими словами, линейный автоморфизм G : A A устанавливает изоморфизм алгебр (A, ) и (A,g ).

Доказательство получается прямой подстановкой (1.39) в (1.38).

Далее легко проверяется, что имеют место соотношения Используя G, определим новую абелеву связность D = GDg G1, которая, ввиду (1.40), может быть переписана так:

(Квадратные скобки обозначают -коммутатор.) Элементы r и r удовлетворяют уравнениям Таким образом, имеются два звездочка-произведения и, отвечающие двум абелевым связностям D и D. Поскольку в общем случае D = D, то эквивалентность и g произведений (а, стало быть, и эквивалентность между и g ) не влечет автоматическое равенство =. Действительно, явное вычисление в низших порядках по дает:

где Два-форма замкнута вследствие тождества Бианки для тензора кривизны. Соотношения (1.43), (1.44) говорят о том, что второе звездочка-произведение является так называемой 1-раз-дифференциальной деформацией первого [27]. Известно, что такая деформация является тривиальной тогда и только тогда, когда 2-форма точна [27], [72].

Предположим теперь, что форма точна, и постараемся установить эквивалентность между и с помощью послойного сопряжения где U – некоторый обратимый элемент A•,0. Выберем U таким образом, чтобы при действии автоморфизма (1.46) связность D переходила в D, то есть или, что то же самое, где r = r r. Последнее условие означает, что где A•,1 принадлежит центру A. Иначе говоря, задается формальным рядом по с коэффициентами, являющимися 1-формами на M. Условие совместности уравнений (1.49), вытекающее из тождества D2 = 0, требует чтобы Аналогичное условие возникает, если вычесть друг из друга уравнения (1.42):

Сравнивая последние два соотношения, заключаем, что уравнение (1.48) непротиворечиво в том и только том случае, когда форма точна. Перепишем (1.49) как и применим оператор 1 к его правой и левой частям. Используя разложение (1.23) и полагая (U ) = 1, получим В [24, Теорема 4.3] было показано, что итерирование последнего уравнения дает единственное решение для (1.52). Данное решение определяет обратимый элемент U A•,0.

Искомое преобразование эквивалентности T : (C (M ), ) (C (M ), g ) задается теперь следующей последовательностью отображений:

то есть Основной результат этой секции может быть сформулирован в виде следующей теоремы.

Теорема 1.3.2. Для того, чтобы виковское деформационное квантование ФВ-многообразия (M, ) было эквивалентно его вейлевскому квантованию, необходимо и достаточно, чтобы замкнутая 2-форма = 8 Rijkl g ij dxk dxl определяла нулевой класс когомологий де Рама M.

Замечание 1.3.1. Поскольку любая замкнутая форма локально точна, оператор (1.54), построенный по локальной 1-форме, является оператором, устанавливающим локальную эквивалентность вейлевского и виковского звездочка-произведений.

Замечание 1.3.2. Для антиэрмитовой формы 2-форма является ничем иным, как формой Риччи кэлерова многообразия (M, ). В этом случае класс когомологий де Рама, будучи пропорционален первому классу Чженя c1 (M ), зависит только от выбора комплексной структуры на [73]. Поскольку, например, c1 (CP n ) = 0 и для любого кэлерова многообразия M топологическая эквивалентность M CP n влечет биголоморфную эквивалентность [74], то вейлевское и виковское квантования на CP n не являются эквивалентными ни при каком. Многообразия с нулевым первым классом Чженя известны в литературе как многообразия Калаби-Яу. Теорема 1.3.2 позволяет охарактеризовать многообразия Калаби-Яу как кэлеровы многообразия, для которых алгебры вейлевских виковских символов изоморфны.

1.4 Гамильтоновы системы со связями второго рода.

Пусть J – почти комплексная структура на M, согласованная с симплектической структурой. 1 Последнее означает, что для p M автоморфизм касательного пространства J(p) : Tp M Tp M оставляет инвариантной симплектическую 2-форму (p). Формула g(X, X) = (J(X), X) X Tp M определяет на M эрмитову метрику, а = g + i – эрмитову форму половинного ранга в комплексифицированном касательном расслоении T C M.

Таким образом, пара (M, ) является почти многообразием Федосова-Вика с замкнутой антисимметричной частью.

Рассмотрим теперь многообразие (M, ) как фазовое пространство гамильтоновой системы со связями второго рода и будем считать, что матрица попарных скобок Пуассона связей невырождена всюду на M. Тогда пара (, | ) задает симплектическое подмногообразие, отождествляемое с физическим фазовым пространством системы. Обозначим через {·, ·} соответствующую скобку Пуассона на. Одно из центральных наблюдений теории гамильтоновых систем со связями состоит в том, что скобка {·, ·} может быть продолжена с поверхности связей в объемлющее многообразие M. Это продолжение, известное как скобка Дирака, имеет вид:

где ( ) – матрица обратная к ( ). Так как ранг пуассонова бивектора постоянен, (1.58) определяет регулярную пуассонову структуру на M, для которой функции играют роль функций Казимира, т. е.

Соответствующее симплектическое слоение задается поверхностями уровня = c ; – поверхность нулевого уровня.

Основным достоинством скобки Дирака является то, что она позволяет изучать гамильтонову динамику без явного решения связей (что может быть проблематичным, особенно в нелинейных теоретико-полевых моделях).

Другой хорошо апробированный подход к описанию и квантованию гамильтоновой динамики со связями второго рода состоит в конверсии исходных связей второго рода в Как известно, такая структура существует на любом симплектическом многообразии [70].

связи первого рода на более широком фазовом пространстве [77–79]. Рассмотрим прямое произведение многообразий M = M R2m, оснащенное следующей симплектической 2формой [39]:

Здесь { } – линейные координаты в R2m. Соответствующая скобка Пуассона {·, ·}M определяется бивектором, дуальным к 2-форме. В терминах локальных координат ( A ) = (xi, ) имеем Как видно, левый верхний блок матрицы 1 дается бивектором (1.58), так что на подпространстве функций, независящих от, скобка {·, ·}M в точности совпадает со скобкой Дирака 2. В частности, связи 0, рассматриваемые как связи на расширенном фазовом пространстве M, оказываются в абелевой инволюции:

Гамильтонова редукция (M, {·, ·}M ) по связям первого рода 0 приводит к исходной физической динамике на (, {·, ·} ). Для того, чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что уравнения задают глобальные калибровки к связям :

так что совокупная система уравнений (1.56), (1.63) определяет симплектическое вложение Рассмотрим ограничение | эрмитовой формы на поверхность связей. Основной вопрос, ответ на который и составляет основное содержание этой секции, формулируется теперь так.

Пусть задана гамильтонова система со связями второго рода (M,, ). При каких условиях эрмитова форма на M (с замкнутой антисимметричной частью) индуцирует кэлерову структуру | на поверхности связей : = 0?

Чтобы не иметь дела с вырожденными билинейными формами типа дираковского бивектора, удобно проводить все вычисления в расширенном фазовом пространстве M = M R2m, а затем интерпретировать полученные результаты в терминах внутренней геометрии M. С этой целью оснастим M (псевдо-)римановой метрикой G = GAB d A d B вида Это наблюдение позволяет дать самое простое доказательство тождества Якоби для скобки Дирака – тождество Якоби выполняется вследствие замкнутости невырожденной 2-формы.

Для обратного метрического тензора находим следующее выражение:

где Введем также пару эрмитовых форм Следующее утверждение дает эффективные критерии того, что поверхность связей второго рода является кэлеровым многообразием Предложение 1.4.1 ( [80]). Следующие утверждения эквивалентны:

i) многообразие (, | ) – кэлерово;

ii) многообразие (M, W ) – кэлерово;

iii) существуют (комплексный) базис связей и голоморфные координаты в M, в которых матрица = (i ) принимает блочно-диагональный вид vi) rank() = m и – симметричная связность, согласованная с метрикой g, а Pji j + Jji.

Доказательство. Поскольку мнимые части эрмитовых форм | и W не вырождены, первые два утверждения справедливы тогда и только тогда, когда при условии, что правые и левые ядерные распределения этих форм интегрируемы. Доказательство эквивалентности условий (1.71) друг другу и алгебраической части iii) и iv) – простое упражнение в линейной алгебре.

Предполагая далее условия (1.71) выполненными, проверим интегрируемость почти кэлеровых структур W и |. Согласно теореме 1.1.4 условие интегрируемости эквивалентно обращению в нуль тензора Нейенхейса. Рассмотрим сначала случай (M, W ). Пусть D – симметричная связность, согласованная с метрикой G = GAB d A d b, задающаяся своими символами Кристоффеля A. Разбивая координаты A на две группы (xi, ), можно видеть, что символы Кристоффеля имеют только следующие ненулевые компоненты:

= + – симметричная связность, согласованная с g. Используя (1.9), находим, где что ненулевые компоненты тензора Нейенхейса TABC = AN TBC = DA BC даются выражением Заметим, что для кэлерова многообразия (M, ) первое слагаемое в (1.73) обращается в нуль. Ввиду рангового условия (1.71) форма W имеет ровно m + n левых нуль-векторов 2n из которых имеют вид /. Следовательно, существует n m дополнительных нульвекторов вида Y = i i, где удовлетворяет условию Последнее уравнение означает, что векторное поле Y (i) касается поверхности и (ii) аннулируется, а потому и |. Эти n m левых нуль-векторов натягивают половину комплексифицированного касательного пространства T C. Дополнительное распределение правых нуль-векторов получается отсюда комплексным сопряжением. Интегрируемость обоих распределений теперь очевидна (1.75).

Заметим, что ненулевые компоненты (1.72) символов Кристоффеля A допускают простую интерпретацию в терминах внутренней геометрии M. А именно: jk – суть символы Кристоффеля единственной симметричной связности, сохраняющей как вырожденный симметричный тензор g ij (верхний левый блок G1 ), так и их левые нуль-ковекторы d. Последнее свойство можно сформулировать еще и так. Дифференциальный идеал 1форм d задает оснащение симплектического слоения скобки Дирака (1.58), и связность согласована с этим оснащением. В частности, может быть ограничена на каждый симплектический лист M, где она совпадает с метрической связностью, построенной по ограничению g|. Что же касается M -тензоров, = 1,..., 2m, то они отождествляij ются с внешними кривизнами поверхности, т. е. характеризуют вложение в риманово многообразие (M, g). Действительно, если M = R2n и g – плоская метрика, то уравнения = 0 определяют 2(n m)-мерные плоскости R2n.

В заключение остановимся на вопросе о виковском квантовании гамильтоновой системы (M,, ). Если многообразие M = M R2m кэлерово, то соответствующее виковское квантование может быть построено по методу, изложенному в секции 1.2 (обобщение на почти кэлеров случай содержится в [62]). При этом инвариантность кэлеровой структуры относительно R2m -сдвигов поднимается до симметрии соответствующего -произведения так, что функции, постоянные на R2m M, образуют подалгебру относительно -умножения в M. Таким образом, при выполнении условий предложения 1.4. (почти )виковское -произведение на M индуцирует некоторое виковское -произведение на M. Можно показать, что алгебра (C (M )[[ ]], ) обладает нетривиальной центральной подалгеброй, порожденной связями второго рода, причем3 f = f ·. Факторизуя (C (M )[[ ]], ) по двустороннему идеалу, получаем алгебру наблюдаемых, ассоциируемую с квантованием физического фазового пространства (, | ).

1.5 Виковское квантование кокасательных расслоений Рассмотрим теперь вопрос о построении естественного виковского квантования кокасательных расслоений T Q. Как было показано выше, такое квантование предполагает наличие на фазовом пространстве (помимо симплектической связности) римановой или псевдоримановой метрики. Предположим, что на базовом многообразии Q такая метрика имеется и поставим задачу о естественном продолжении (подъеме) этой метрики с базы до кэлеровой метрики на тотальном пространстве расслоения T Q. Имеется несколько простых соображений, мотивирующих такую постановку вопроса.

(i) Фазовое пространство большинства физических систем имеет структуру кокасательного расслоения T Q над некоторым конфигурационным пространством Q. Зачастую конфигурационное пространство обладает некоторой естественной (псевдо-)римановой метрикой, входящей в само определение динамической системы (точечная частица в общей теории относительности, нелинейные сигма-модели и др.). Даже если эта метрика и не входит в определение исходной классической системы, она может вовлекаться (явно или неявно) на стадии квантования. Метрика на конфигурационном пространстве полей является, например, основным объектом в конструкции единого эффективного действия Вилковыского-Девита [81, 82]. В работах [83–86] было показано, что введение метрики на фазовом пространстве системы доставляет естественный способ доопределения и регуляризации соответствующих континуальных интегралов.

(iii) Как известно, последовательное квантовомеханическое описание и физическая интерпретация квантованного поля в терминах частиц достигается на основе использования В классическом пределе последнее свойство следует из того, что связи второго рода являются функциями Казимира скобки Дирака (1.58), а в высших порядках по – обеспечивается согласованностью пуассоновой связности с оснащением d. Более подробное обсуждение этого вопроса можно найти в [39], где аналогичная связность используется для построения вейлевского квантования скобок Дирака.

виковских символов операторов (представления операторов рождения-уничтожения). В предыдущем разделе было показано, что в основе любого виковского квантования лежит та или иная метрика на фазовом пространстве системы, согласованная с симплектической структурой. Если фазовое пространство является касательным расслоением T Q, то ограничение этой метрики на конфигурационное пространство Q наделяет последнее структурой риманового многообразия.

Оказывается, что последнее замечание допускает обращение. А именно: стартуя с некоторой римановой метрики g на конфигурационном пространстве Q, можно построить формальную кэлерову метрику на T Q так, чтобы соответствующая кэлерова 2-форма совпадала с канонической симплектической структурой на T Q и, кроме того, выполнялось “граничное условие” G|Q = g. Здесь (z, z ) – комплексные коi ординаты, адаптированные к кэлеровой структуре, а (x, pj ) – канонические координаты на кокасательном расслоении. В терминах вещественных координат формальность означает, что компоненты кэлеровой метрики G даются формальными степенными рядами по импульсам pi. Ниже мы также покажем, что для вещественно аналитического риманового многообразия (Q, g), эти ряды сходятся в некоторой трубчатой окрестности Q T Q и определяют на ней кэлерову структуру с нулевым классом Чженя c1.

Как только формальная кэлерова структура построена, к ней можно применить стандартную процедуру виковского квантования, изложенную в предыдущих разделах.

Отметим, что вейлевское деформационное квантование кокасательных расслоений было систематически изучено в работах [50, 51]. Основным моментом предложенной в этих работах конструкции вейлевского -произведения являлся подъем (продолжение) исходной аффинной связности на конфигурационном пространстве до некоторой однородной симплектической связности на тотальном пространстве кокасательного расслоения T Q.

При этом условие однородности сильно ограничивало произвол в продолжении связности, так что символы Кристоффеля поднятой связности оказывались не более чем линейными по импульсам. Излагаемая ниже конструкция формальной кэлеровой структуры на кокасательном расслоении [87] приводит к принципиально другому подъему для связности;

в общем случае, символы Кристоффеля кэлеровой связности даются бесконечными формальными рядами по импульсам и не могут быть приведены к полиномиальной форме за счет естественного произвола в их определении.

1.5.1 Формальная кэлерова структура Пусть (Q, g) – риманово многообразие. Для произвольной карты (U, {xi }), i = 1..., N = dim Q, будем обозначать (T U, {xi, pi }) стандартную карту в кокасательном расслоении, согласованную с (U, {xi }). Рассмотрим следующее естественное продолжение римановой метрики g в тотальное пространство кокасательного расслоения T Q:

где – ковариантный дифференциал симметричной связности и g ij = g 1. Пусть далее – симплектический потенциал и симплектическая 2-форма на T Q, соответственно. Положим Предложение 1.5.1. Эрмитова форма (0) задает почти кэлерову структуру на T Q.

Эта структура интегрируема (т. е. кэлерова) тогда и только тогда, когда (M, g) – плоское риманово многообразие.

Доказательство. Для доказательства первой части утверждения заметим, что N векторных полей образуют базис правого ядерного распределения тензора (0).

Согласно теореме 1.1.4 интегрируемость кэлеровой структуры означает инволютивность правого и левого ядерных распределений (0). Легко найти, что где – тензор Римана метрики g. Из уравнения (1.80) следует, что правое ядерное распределение интегрируемо тогда и только тогда, когда тензор Римана равен нулю. Наконец, в силу эрмитовости формы (0) левое ядерное распределение комплексно сопряжено правому, а потому инволютивность одного эквивалентна инволютивности другого.

Таким образом, анзац (1.76) для метрики на T Q определяет стандартную кэлерову (виковскую) структуру только для плоских римановых многообразий. Наша цель состоит в построении такого объекта G на кокасательном расслоении T Q к произвольному риманову многообразию (Q, g), что:

1) G является формальным рядом по {pi }:

в котором нулевой член задается (1.76);

2) каждый член формального ряда (1.82) является симметричным вещественным тензором второго ранга на T Q;

3) формальный тензор имеет инволютивное правое распределение. Под этим понимается следующее: на T Q существуют объекты такие, что уравнения выполняются тождественно в каждом порядке по {pi }.

Замечание 1.5.1. Симметричность и вещественность тензора G в условии (2) гарантирует, что формальная форма является эрмитовой. Поэтому правое и левое ядерные распределения формально сопряжены друг другу, и, следовательно, формальная инволютивность одного из них эквивалентна формальной инволютивности другого.

Как показывает следующее предложение, метрика G однозначно восстанавливается по известным векторным полям Vi, удовлетворяющим (1.85) и (1.86).

Предложение 1.5.2. Пусть имеется набор коммутирующих векторных полей {Vi } вида (1.84) таких, что тензоры Xki j1...jn на Q симметричны по перестановке индексов ki и j1... jn. Тогда поля Vi генерируют правое ядерное распределение эрмитовой формы = G + i, где Здесь матрица g ij формально обратна к gij.

Доказательство. Используя обозначения (1.88), можем написать Тогда выражения (1.87), (1.89) для G и Vi формально совпадают с аналогичными выражениями для G(0) и Vi.

Покажем, что уравнение (1.86) действительно имеет решение, удовлетворяющее всем перечисленным требованиям. Для этого рассмотрим несколько вспомогательных конструкций.

Обозначим через F суперкоммутативную алгебру формальных рядов по pi с коэффициентами во внешней алгебре дифференциальных форм на Q. Общий элемент алгебры F имеет вид Коэффициенты разложения fk1...kr j1...jq (x) составляют тензор типа (q, r), симметричный по верхним индексам и кососимметричный по нижним. Подпространства однородных элементов в F будем обозначать Fq, r F.

Рассмотрим далее алгебру дифференцирований F. Общий элемент алгебры дифференцирований D дается выражением в котором коэффициенты Y m k1...kr j1...jq и Ymk1...kr j1...jq составляют тензоры типа (q + 1, r) и (q, r + 1), соответственно. Каждому члену ряда (1.91) припишем бистепень (q, r) и обозначим через Dq, r D подпространство всех таких элементов. Суперкоммутатор двух однородных дифференцирований из D определяется по правилу:

В супералгебре Ли D имеется два выделенных элемента:

Легко видеть, что где Далее нам потребуется информация о когомологиях оператора. Для этого введем следующий оператор гомотопии 1 : Fq, r Fq+1, r1, действующий по правилу:

Как и, оператор 1 нильпотентен, ( 1 )2 = 0, и удовлетворяет тождеству где 0 f (x, p, dx) = f (x, 0, 0) – каноническая проекция на C (Q). Последнее тождество, аналогичное по своей структуре классическому разложению Ходжа-де Рама, позволяет сделать вывод о том, что пространство -когомологий совпадает с F0,0.

Заметим, что аналогичное разложение Ходжа-де Рама (1.96) имеет место и в супералгебре Ли D, если положить где 1 определяется по формуле (1.95), в которой f (x, p, dp) заменено на Y (x, p, dp).

Рассмотрим дифференцирование V D•,1 вида где Условия инволюции (1.86) эквивалентны тогда Ввиду очевидного тождества = = 0 условие симметрии Xki j1...jn = Xik j1...jn можно записать так:

Таким образом, для построения кэлеровой метрики G вида (1.82) достаточно найти векторные поля (1.97), удовлетворяющие уравнениям (1.99) и (1.100).

Теорема 1.5.3. Общее решение уравнения (1.99) дается рекуррентными соотношениями:

где – некоторый элемент из D•, 0.

Доказательство. Используя (1.93), находим где мы положили Применяя к обеим частям последнего уравнения оператор 1 и используя разложение (1.96) для супералгебры Ли D, получим Так как оператор 1 увеличивает степень p, а – сохраняет ее, уравнение (1.105) может быть решено итерациями; соотношения (1.101) как раз и реализуют соответствующий итерационный алгоритм.

Остается показать, что любое решение X уравнения (1.105) является также решением исходного уравнения (1.104) и удовлетворяет условию (1.102). Прежде всего заметим, что условие 1 X = a немедленно следует из (1.105) вследствие нильпотентности оператора 1 и разложения (1.96) для a. Обозначим V = i iX. Тогда и 1 (V 2 ) = 0. С другой стороны, из тождества Якоби (V )3 = 4 [V, [V, V ]] = 0 следует Используя теперь разложение (1.96) и условие 1 (V 2 ) = 0, находим Поскольку оператор (i + X) не уменьшает степень p, а 1 – повышает ее на единицу, уравнение (1.107) имеет единственное решение V 2 = 0.

Для обсуждения условия симметричности (1.100) удобно ввести векторное поле Лиувилля на T Q:

Теорема 1.5.4. Для того, чтобы векторное распределение (1.101) удовлетворяло условию симметричности (1.100), необходимо и достаточно, чтобы элемент определенный (1.102), аннигилировался векторным распределением, т. е.

Общее решение последнего уравнения дается рекуррентными формулами:

– произвольный элемент из F•, 0, начинающийся с третьего порядка по p.

Доказательство. Необходимо проанализировать импликацию Очевидно, что X (1) = 0 влечет (2) = 0 и соотношение (1.110) действительно имеет место в первом порядке по p. Эквивалентность уравнений (1.110) и (1.100) может быть установлена простой индукцией по n.

Используя (1.101) и тождество Бианки ( 1 R) = 0, можем написать или более явно Здесь все индексы поднимаются и опускаются с помощью g и gij.

Рассуждая по индукции, предположим, что равенство X (l) = 0 имеет место для всех l < n, т. е. Xkm = Xmk. Тогда уравнение (1.115) принимает вид Уравнение (1.102) означает, что Используя свойства симметрии тензоров X и a по верхним индексам, перепишем (1.117) в виде (n p)Xk jp+1 sjp+2...jn + Xk sjp+1 jp+2...jn = (n p + 1)ak sjp+1 jp+2...jn. (1.118) Подставляя (1.117) и (1.118) в (1.116) и используя тождество получим Сравнивая, наконец, последнее выражение с определением (1.109), находим:

Возвращаясь к уравнению (1.114), заключаем, что равенство X (n) = 0 эквивалентно (V a)(n) = 0 при условии, что X (l) = 0 для всех l < n. А это и означает (1.110).

1.5.2 Голоморфные координаты и сходимость Тензор Вика можно записать в форме, делающей очевидным существование у него правого (левого) ядерного распределения. По определению, локальные векторные поля (1.84) генерируют кэлерову поляризацию в кокасательном расслоении и, в частности, Это эквивалентно тому, что 1-формы порождают аннулятор интегрируемого векторного распределения {Vi }. По теореме Фробениуса аннулятор является дифференциальным идеалом в алгебре форм. Прямое вычисление дает В терминах базисных 1-форм (Zi, Zj ) эрмитова форма может быть записана теперь так Ввиду (1.120), имеем Zj (Vi ) = 0 и, следовательно, (·, Vi ) = (Vi, ·) = 0.

Таким образом, мы наделили кокасательное расслоение формальной кэлеровой структурой, согласованной как с римановой метрикой базового многообразия Q, так и с канонической симплектической формой кокасательного расслоения. Кэлерова структура является формальной в том смысле, что ее основные ингредиенты – тензор Вика (1.123) и базисы голоморфного и антиголоморфного векторных распределений (1.97) – даются формальными рядами по импульсам pi, сходимость которых требует отдельного рассмотрения.

Покажем, что в случае компактного Q построенная кэлерова структура действительно существует, по крайней мере, в некоторой трубчатой окрестности базы расслоения T Q.

Для этого мы установим, что для любой карты U Q в некоторой трубчатой окрестности T U существуют голоморфные координаты, адаптированные к кэлеровой структуре. Мы построим голоморфные координаты в виде формальных рядов по импульсам и увидим, что в специальном случае эти ряды являются решениями некоторых простых дифференциальных уравнений. Назовем формальный ряд формальной антиголоморфной функцией на некоторой координатной окрестности T Q, если Уравнение (1.125) может быть решено итерациями по импульсам, по аналогии с уравнениями (1.99) и (1.110). Решение уравнения (1.125) однозначно определяется граничным условием f |p=0 = f (0) (x), т. е. значением функции на базе расслоения, из рекуррентных соотношений Пусть теперь X удовлетворяет специальному условию 1 X = 0 (см. (1.102)). В этом случае второе слагаемое в правой части уравнения (1.126) равно нулю и, значит, для коплексного гамильтониана Следовательно, f (x, p) = f (x, p; 1), где f (x, p; t) – решение дифференциального уравнения с начальным условием f (x, p; 0) = f (0) (x). Если Q компактно, то, вследствие стандартных теорем о решениях ОДУ, функция f (x, p) существует “при достаточно малых pi ”, т. е. в некоторой трубчатой окрестности нулевого сечения T Q.

Пусть теперь f i (0) (x), i = 1,..., n – набор независимых функций на некоторой координатной окрестности U Q (например, f i (0) (x) = xi, i = 1,..., n – локальные координаты на Q). Решая дифференциальное уравнение (1.129) с соответствующими начальными условиями, находим n функций f i (x, p) z i (x, p), которые и являются антиголоморфными координатами, адаптированными к кэлеровой структуре на T Q.

1.5.3 Класс Чженя виковской структуры Пусть Q – компактное вещественно аналитическое многообразие c вещественно аналитической римановой метрикой g. Из результатов предыдущей секции следует, что формальный ряд по импульсам для кэлеровой метрики G на T Q cходится в некоторой трубчатой окрестности базы Q T Q. Обозначим эту трубчатую окрестность M. Поставим теперь вопрос о первом классе Чженя кэлеровой структуры |M.

Как было показано в разделе 1.3, этот класс представляет собой (единственное) препятствие к существованию эквивалентности между вейлевским и виковским квантованиями.

Напомним, что первый класс Чженя может быть определен как класс когомологий де Рама формы Риччи кэлерова многообразия. Кэлеровы многообразия с [] = 0 известны как многообразия Калаби-Яу.

Теорема 1.5.5. Первый класс Чженя кэлерова многообразия (M, |M ) равен нулю.

Доказательство. Поскольку M гомотопно Q, каноническое вложение i : Q M T Q индуцирует изоморфизм i : H(M ) H(Q) в когомологиях. В частности, 2-форма Риччи кэлеровой структуры на M определяет тривиальный класс когомологий, если и только если 2-форма i на Q является точной. В терминах локальных координат {xa } на M форма Риччи дается выражением где ab и Kabcd – суть компоненты пуассонового бивектора и тензора римановой кривизны кэлерова многообразия.

По определению, кэлерова метрика G|M дается сходящимся рядом (1.82) по координатам слоев кокасательного расслоения, а следовательно, сходящимися рядами будут задаваться и ассоциированные с ней тензоры K и. Форма i дается теми членами, которые не зависят ни от pi, ни от dpi. Прямое вычисление показывает, что где bljk – ведущий член ряда (1.112). Таким образом, [] = 0.

1.5.4 Пространства постоянной кривизны и нелинейные сигмамодели В этой секции мы проиллюстрируем изложенную выше методику построения формальной кэлеровой структуры двумя примерами, представляющими и самостоятельный интерес.

1. Пространства постоянной кривизны. Пусть (Q, g) – риманово многообразие с ковариантным тензором кривизны (случай положительной кривизны отвечает K > 0). Пространство (Q, g) может быть также охарактеризовано как риманово многообразие с максимальной симметрией. Действие группы изометрий естественным образом поднимается на касательное расслоение T Q;

при этом орбиты действия группы задаются как поверхности уровня геодезического гамильтониана h = g ij (x)pi pj = const, порождающего кольцо инвариантных функций на Рассмотрим специальный класс кэлеровых метрик на T Q, а именно – метрик, являющихся инвариантными относительно действий группы изометрий. В этом случае функция b(x, p), определяющая общее решение для метрики G, должна быть аналитической функцией от h, а векторные поля Vi, будучи построенными по формулам (1.101), имеют вид:

Здесь A(h) и B(h) – некоторые комплекснозначные функции h, причем A(0) = 1. Имеем где штрих означает производную по h. Таким образом, условие инволюции принимает вид При заданной функции B(h) это дает дифференциальное уравнение для A(h) с начальным условием A(0) = 1. На самом деле, функция B(h) однозначно строится по функции b(x, p) = f (h). Кэлерова метрика на T Q определяется уравнением (1.87) с gij = Re (A(h)gij + B(h)pi pj ), Считая для простоты функции A(h) и B(h) вещественными, находим:

Как видно, метрика (1.137) может иметь сингулярности лишь в точках, где A(h) = или A(h) + hB(h) = 0. Наличие сингулярностей означает конечный радиус сходимости степенных рядов по p для метрики G.

Рассмотрим три специальных случая, когда уравнение (1.135) может быть проинтегрировано явно.

При K > 0 метрика оказывается хорошо определенной на всем пространстве T Q, в то время, как при K < 0 имеется сингулярная поверхность h = K 1. Очевидно, что в обоих случаях радиус сходимости степенных рядов по p равен |K|1.

Ситуация противоположна предыдущей: метрика хорошо определена на всем многообразии T Q при K < 0, а при K > 0 возникает сингулярная поверхность h = K 1.

iii) Еще один интересный случай, когда уравнение (1.135) интегрируется в элементарных функциях, отвечает A+hB = 1. С точки зрения рекуррентной процедуры построения кэлеровой метрики это решение соответствует граничному условию 1 X = 0. Для K < находим Сингулярности метрики образуют поверхность h = 2 (4|K|)1. Решение с K > 0 получается из (1.140) простой заменой tg |K|h th Kh; возникающая в результате метрика уже не имеет сингулярностей.

2. Нелинейные сигма-модели. Рассмотрим гамильтониан “натуральной механической системы”, дающийся суммой кинетической и потенциальной энергий:

Как обычно, кинетический член вовлекает некоторую метрику на конфигурационном пространстве системы Q. Используя эту метрику, можно наделить фазовое пространство системы T Q некоторой кэлеровой структурой, следуя общим процедурам раздела 1.5.1, а именно, взяв h в качестве “затравочной” метрики g в (1.153). Такая возможность является, однако, не совсем естественной или, по крайней мере, не единственно возможной.

Простое сравнение с задачей квантования гармонического осциллятора показывает, что истинная виковская метрика должна вовлекать не только матрицу масс (в рассматриваемом случае ее роль играет (hij )), но и некоторую матрицу жесткости K, вид которой зависит от функции потенциальной энергии V. В общем случае естественный выбор для матрицы K не так уж очевиден и содержит изрядную долю произвола. Наиболее общий анзац, согласованный с условием общей ковариантности и гармоническим приближением, дается выражением Здесь i – ковариантная производная построенная по метрике h, а Oij включает всевозможные неминимальные структуры, зависящие от кривизны R и исчезающие в пределе R 0. Сравнение с гармоническим осциллятором показывает, что в качестве метрики конфигурационного пространства естественно выбрать g = h1 K.

Теоретико-полевые аналоги системы (1.141) известны как нелинейные сигма-модели [37]. Гамильтониан нелинейной сигма-модели имеет вид H = T + V, где i (x) – импульсы, канонически сопряженные полям i (x), {i (x), j (y)} = i j (x y).

Матрица масс, ассоциированная с функционалом кинетической энергии, имеет вид Как было отмечено выше простейший выбор для обобщенной матрицы жесткости K дается вторыми ковариантными производными потенциальной энергии V []. Поэтому положим Здесь – символы Кристоффеля, построенные по метрикам Mij (x, y) и hij (), соответственно.

Простое вычисление дает где есть ковариантная производная, а Rikjl () – тензор кривизны метрики hij (). Заметим, что в плоском пределе второй член с кривизной в (1.148) исчезает и может быть, в принципе, отнесен к неминимальным членам в (1.142).

1.6 Струна с некоммутативной геометрией мирового листа Переход от парадигмы точечных частиц к струнам сопровождается появлением нового масштабного фактора и связанной с ним деформации, в дополнение к обычной квантовомеханической деформации. Квантовые эффекты характеризуются постоянной Планка, в то время как струнные эффекты оказываются пропорциональными величине обратного натяжения струны, при этом оба этих параметра отвечают за некоторую деформацию классической геометрии фазового пространства и/или пространства вложения струны.

Хотя имеется множество убедительных аргументов в пользу того, что варьируя эти параметры можно интерполировать между пятью известными струнными моделями в D = 10, а также 11-мерной супергравитацией, приходится констатировать, что конструктивное определение полной теории в “промежуточной области”, известной как M -теория, в настоящее время отсутствует.

Что касается -деформации, то здесь имеется целый арсенал мощных методов квантования, позволяющих исследовать данную проблему во многих интересных случаях. (Заметим, что именно условие квантовой самосогласованности позволило идентифицировать пять известных струнных моделей.) В то же время математические структуры, лежащие в основе -деформации, остаются менее изученными. В этой связи особый интерес представляют матричные модели [88, 89] как возможные кандидаты для описания микроскопических степеней свободы гипотетической М-теории.

Подход матричных моделей эксплуатирует аналогию между алгебраическими свойствами скобки Пуассона и коммутатора матриц (линейных операторов). Исходным пунктом является следующая “пуассонова формулировка” бозонной струнны [90, 91]:

Здесь {X A } – координаты в пространстве Минковского, а { ·, · } – скобка Пуассона, ассоциированная с 2-формой объема на мировой поверхности струны M. Легко видеть, что на классическом уровне модель (1.150) эквивалентна струне Намбу-Гото с параметром = /2. Считая теперь координаты X A эрмитовыми N N -матрицами и делая в функционале (1.150) формальную замену приходим к действию ИККТ-матричной модели4 [90]:

Более точно, к ее бозонному сектору.

С точностью до постоянного члена этот функционал действия может рассматриваться как результат размерной редукции в точку теории Янга-Миллса с калибровочной группой U (N ). Предполагается, что в пределе больших N эта модель аппроксимирует действие бозонной струны (1.150) при условии, что распределения собственных чисел матриц X A достаточно гладкие. Для случаев 2-тора и сферы этот предел может быть прослежен явно [89].

В этом контексте представляется совершенно естественным интерпретировать операторы X A не как заданные априори, но возникающие в результате квантования скобки Пуассона, входящей в определение действия (1.150). В работах [92, 93] эта идея была впервые реализована с использованием виковского деформационного квантования, рассмотренного в предыдущих разделах. В результате была построена модель бозонной струны с некоммутативной геометрией мирового листа. Хотя с общей точки зрения данный подход аналогичен обычному подходу некоммутативной теории поля на пространстве Минковского (см., например, [91]), имеется два существенных отличия. Во-первых, некоммутативность геометрии мирового листа струны является динамической и управляется независимым полем (в отличие от постоянной пуассоновой структуры, использующейся в большинстве рассмотренных на сегодняшний день моделях некоммутативной теории поля). Второе замечание, тесно связанное с предыдущим, состоит в том, что последовательное деформационное квантование вовлекает наряду со скобкой Пуассона симметричную связность, согласованную с. В отличие от метрической связности, симплектическая связность не определяется однозначно в терминах симплектической 2-формы, а потому должна рассматриваться как независимое динамическое поле. Ключевое наблюдение работы [92] состояло в том, что в случае бозонной струны все необходимые пререквизиты деформационного квантования – симплектическая структура и согласованная с ней связность – уже содержатся в теории в виде метрики Полякова на мировой поверхности струны. А именно: симплектическая 2-форма может быть отождествлена с римановой формой объема, которая, очевидно, сохраняется метрической связностью.

Возвращаясь к вопросу о природе -деформации, затронутому в начале этого раздела, можно сказать, что в некоторых отношениях она имеет ту же математическую структуру и может быть изучена теми же методами, что и -деформация, т. е. методами деформационного квантования.

1.6.1 Виковская деформация бозонной струны Итак, будем трактовать мировую поверхность струны как 2-мерное псевдориманово многообразие M с метрикой gij, i, j = 1, 2, вложенное в d-мерное пространство Минковского Rd1,1 с координатами {X A }. Каноническая 2-форма объема псевдориманова многообразия задает на M симплектическую структуру = g du dv, g = |det(gij )|. Как любое 2-мерное псевдориманово многообразие, M является пара-кэлеровым многообразием с каноническим тензором Вика (1.2) Здесь g ij and ij – контравариантные тензоры, обратные к метрическому тензору и тензору 2-формы, соответственно. В каждой точке мировой поверхности струны правые и левые нуль-векторы задают изотропные направления (образующие светового конуса) в M.

В обычной (коммутативной) теории струн вложение мировой поверхности струны в объемлющее пространство задается полями X A (, ), образующими коммутативную алгебру относительно поточечного умножения функций на M. Некоммутативное обобщение теории получается в результате ассоциативной (но некоммутативной) деформации алгебры классических полей. А именно: вводится -произведение функций на M, являющееся виковской деформацией поточечного умножения. Используя явные рекуррентные формулы (1.33), можно найти следующее выражение для нескольких первых членов произведения:

Здесь – параметр деформации, а i и R – суть ковариантная производная и скалярная кривизна, ассоциированные с метрикой gij.

Следует отметить, что рассматриваемая здесь схема некоммутативной деформации, не является единственно возможной; существует множество других -произведений, строящихся исходя из заданной двумерной метрики. (Например, в определении можно было бы скомбинировать тензоры и g с произвольными комплексными коэффициентами.) В контексте теории струн выбор (1.153) обладает быть может тем преимуществом, что обеспечивает коммутативность правых и левых струнных мод. А именно: пусть x± (, ) – криволинейные координаты светового конуса, определенные равенствами тогда -произведение полей, зависящих только от одной из координат x±, совпадает с обычным произведением функций:

Для построения функционала действия некоммутативной бозонной струны необходимо также иметь выражение для следа на -алгебре функций. Напомним, что следом на алгебре (C (M )[[]], ) называется произвольный линейный функционал Tr : C (M )[[]] R[[]], обращающийся в нуль на -коммутаторе функций. Известно [25], что следовой функционал существует на любом симплектическом многообразии и дается интегралом где dµ – следовая мера. Следовая мера определена однозначно с точностью до умножения на константу и имеет вид формального ряда по с коэффициентами, зависящими от тензора кривизны и его ковариантных производных. В рассматриваемом случае с точностью до 2 имеем где – двумерный оператор Лапласа.

Действие некоммутативной бозонной струны дается следующим функционалом [92]:

Видно, что в нулевом порядке по, т. е. в отсутствие деформации, это действие совпадет с обычным действием бозонной струны (1.165). Коэффициенты при высших порядках по параметру деформации вовлекают высшие производные струнного поля X A (, ) и должны, таким образом, интерпретироваться как члены с жесткостью [94].

Помимо очевидной релятивистской инвариантности, действие (1.159) инвариантно относительно диффеоморфизмов мировой поверхности:

а также относительно следующих -автоморфизмов поля X A :

Здесь i и – калибровочные параметры. В коммутативном пределе, когда -коммутатор переходит в скобку Пуассона, преобразования (1.161) определяют подгруппу симплектоморфизмов в (1.160). По этой причине естественно называть соответствующие деформированные преобразования (1.161) квантованными симплектоморфизмами. Соответствующая им алгебра Ли известна как алгебра W -симметрии [95, 96].

Таким образом, мы видим, что хотя в коммутативном пределе модель (1.159) классически эквивалентна обычной струне Полякова, эти модели обладают различными (в некотором смысле дополнительными) калибровочными симметриями: конформные преобразования метрики g умножают симплектическую 2-форму на масштабный фактор, в то время как симплектоморфизмы сохраняют.

Варьируя действие (1.159), получим следующие уравнения движения:

По построению, эти уравнения инвариантны относительно квантовых симплектоморфизмов, однако только часть из них записана в явно инвариантной форме, а именно уравнение с двойным -коммутатором X A. Также видно, что в низшем порядке по уравнения (1.163) определяют лишь конформный фактор g метрики gij.

Как и в случае обычной струны Полякова, используя репараметризационную инвариантность (1.160), можно привести метрику к конформно плоскому виду В этой калибровке система уравнений (1.163) разбивается на две части. Следовая часть вариации по метрике позволяет выразить конформный фактор g через поля X A и их производные. Подстановка этого выражения в бесследову часть уравнения (1.163) приводит к двум дополнительным связям на поля X A. Подчеркнем, что в отличие от уравнений движения (1.162), эти дополнительные связи не имеют матричного аналога (1.152) и, как показано в [92], допускают ту же геометрическую интерпретацию, что и связи Вирасоро обычной бозонной струны в фоновых полях.

Интересно отметить, что система (1.162), (1.163) допускает решения, являющиеся деформацией обычной струнной динамики:

здесь R и – суть кривизна и оператор Лапласа, построенные по индуцированной метрике.

Рассмотрим более подробно структуру деформированного струнного лагранжиана (1.159). В каждом порядке по этот лагранжиан дается полиномом четвертой степени от производных струнного поля X A. Отождествляя параметр деформации с обратным значением параметра натяжения струны = /2, можно понимать функционал (1.159) как действие обычной бозонной струны в фоновых полях [97]; при этом все фоновые поля оказываются пропорциональными релятивистски-инвариантному тензору четвертого ранга AB CD. Теперь не трудно видеть, что наиболее общий функционал действия струнного поля X A (, ), инвариантный относительно калибровочных преобразований (1.160), (1.161), дается выражением где LA1 A2...Am – некоторые постоянные тензоры в пространстве Минковского, а Sg – произвольный функционал метрики5.

Разлагая лагранжиан L по степеням производных поля X A, можем написать Здесь тензоры G(f ) (X) играют роль фоновых полей, совместных с фундаментальными калибровочными симметриями модели, и их структура полностью определяется постоянными тензорами L. После перехода к безразмерным полям, X A X A, разложение (1.167) превращается в разложение по. Несколько первых членов этого разложения имеют вид Фоновые поля V, G, H, D отождествляются, соответственно, с полем тахиона, метрикой, антисимметричным тензором и дилатоном. Будучи построенными из одного и того же набора структурных тензоров L, эти поля не являются вполне произвольными, но удовлетворяют некоторому бесконечному набору соотношений. Например, Изложенная выше конструкция позволяет интерпретировать некоммутативность мировой поверхности струны, как результат ее взаимодействия со специальным спектром фоновых полей, связанных условиями W -симметрии.

1.6.2 Струнные инстантоны и голоморфные кривые Структурно, действие (1.159) вполне аналогично действию полей Янга-Миллса, и эта аналогия может быть продолжена, как будет показано ниже, на их уравнения движения. В обоих случаях прямой поиск точных решений уравнений движения оказывается безнадежной задачей. Тем не менее, имеется специальный случай, когда удается построить Заметим, что если опустить член Sg, то функционал (1.166) есть не что иное, как наиболее общая матричная модель [98], записанная в терминах -произведения и соответствующего следа. Это наблюдение указывает на еще одну взаимосвязь между алгеброй W -симметрии и интегрируемыми матричными моделями [98–101].

целый класс нетривиальных точных решений, а именно случай полей Янга-Миллса в четырехмерном евклидовом пространстве. В такой специальной геометрии лагранжиан Янга-Миллса можно представить как (евклидов) квадрат киральной части тензора напряженности и заменить исходные полевые уравнения второго порядка более сильным условием (анти)самодуальности тензора напряженности. Именно так получаются инстантонные решения уравнений Янга-Миллса в четырехмерном евклидовом пространстве. Ниже будет показано, что эта же “инстантонная философия” успешно работает и в случае (не)коммутативной струны.

Начнем с недеформированного действия бозонной струны в R4 :

(Обратим внимание на обратный знак перед вторым слагаемым по сравнению с (1.150).