«ПОДАВЛЕНИЕ КОЛЛЕКТИВНЫХ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ ПУЧКА В ЭЛЕКТРОН-ПОЗИТРОННЫХ НАКОПИТЕЛЯХ ...»

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ ИМЕНИ Г.И. БУДКЕРА

СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РАН

На правах рукописи

СМАЛЮК ВИКТОР ВАСИЛЬЕВИЧ

ПОДАВЛЕНИЕ КОЛЛЕКТИВНЫХ

НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ ПУЧКА

В ЭЛЕКТРОН-ПОЗИТРОННЫХ НАКОПИТЕЛЯХ

01.04.20 - физика пучков заряженных частиц и ускорительная техника

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант доктор физико-математических наук Левичев Евгений Борисович НОВОСИБИРСК- Содержание Введение................................. Коллективные эффекты динамики пучка..... Глава 1.

1.1. Wake-поля и импедансы..................... 1.2. Неустойчивости движения пучка............... Спектральный анализ колебаний........... Глава 2.

2.1. Дискретное преобразование Фурье.............. 2.2. Точность ДПФ...................... .... 2.3. Спектральные окна....................... 2.4. Алгоритмы уточнения ДПФ.................. 2.5. Практическое применение................... Расчет импедансов связи................ Глава 3.

3.1. Формулы для приближенных оценок............. 3.2. Численное моделирование wake-полей........... .. 3.3. Расчет импедансов для накопителя PETRA III....... 3.4. Бюджет импедансов накопителя ALBA............ Методы измерения импедансов............ Глава 4.

4.1. Продольный импеданс

4.2. Поперечный импеданс...................... 4.3. Азимутальное распределение импеданса.......... . 4.4. Импеданс скрепера с регулируемой апертурой........ Подавление неустойчивостей.............. Глава 5.

5.1. Расфазировка многосгустковая неустойчивость...... 5.2. Подавление TMC неустойчивости............... 5.3. Обратная связь......................... 5.4. Системы обратной связи ВЭПП-4М.............. Заключение................................ Литература................................ Введение Ускорители заряженных частиц являются основным инструментом фи зики высоких энергий науки о фундаментальных свойствах материи. Кро ме того, в мире работает и строится большое число источников синхротрон ного излучения специализированных электронных накопителей и лазе ров на свободных электронах. Ускорители заряженных частиц применяют ся также в промышленности и в медицинских целях.

Интенсивный пучок частиц, движущийся в вакуумной камере уско рителя, индуцирует электромагнитные поля (wake-поля), в свою очередь воздействующие на сам пучок. В частотной области взаимодействие пучка с компонентами вакуумной камеры посредством wake-полей описывается частотно-зависимыми импедансами связи. При выполнении резонансных условий малые отклонения положения или энергии пучка могут усиливать ся из-за его взаимодействия с wake-полями. Такая положительная обрат ная связь (ОС) приводит к неустойчивости колебаний и, как следствие, к потере пучка или снижению его качества. Основы теории коллективных эффектов, неустойчивостей и импедансов связи изложены в [1–5].

Значительный вклад в исследования коллективных эффектов и неустой чивостей пучка внесли сотрудники Института ядерной физики им. Будкера СО РАН. Среди самых первых работ, посвященных исследованию когерент ных неустойчивостей пучков заряженных частиц, следует отметить [6–8].

Динамика интенсивных пучков в накопителях с учетом коллективных эф фектов подробно описана в книге [3]. В ИЯФ разработана теория примене ния обратной связи для подавления head-tail неустойчивости [9–11].

Знание импедансов необходимо для оценки условий устойчивости дви жения пучка в проектируемом или уже работающем ускорителе. В насто ящее время обязательным условием проектирования вакуумной камеры ускорителя является минимизация импедансов связи. Импеданс ряда эле ментов вакуумной камеры может быть оценен с помощью аналитических формул, давая таким образом приближение первого порядка (см., напри мер, [12]). Более точный расчет wake-полей и импедансов в структурах со сложной геометрией производится с помощью программ трехмерного моде лирования wake-полей, таких как MAFIA [13] и GddL [14]. Автором был проведен расчет и оптимизация импедансов вакуумной камеры секций виг глеров-затухателей, произведенных в ИЯФ им. Будкера СО РАН для ис точника СИ PETRA III (DESY, Германия) [15], а также оценки импедансов и неустойчивостей для проекта источника СИ ALBA (Испания) [16].

Вычисление импедансов давно эксплуатируемых ускорителей, вакуум ная камера которых имеет большое число неоднородностей, является весь ма сложной и трудоемкой задачей. В таких случаях весьма актуальны экс периментальные исследования неустойчивостей и импедансов путем ана лиза движения пучка [17–19], для чего необходимы эффективные средства и методы диагностики. Автором разработаны алгоритмы спектрального анализа колебаний пучка [20, 21], которые впервые в России и одними из первых в мире были применены для экспериментального изучения динами ки пучка [22–29]. Проведены измерения импедансов связи электрон-пози тронного коллайдера ВЭПП-4М (ИЯФ им. Г.И.Будкера СО РАН) [30, 31] и источника СИ Elettra (Sincrotrone Trieste, Италия) [32, 33], предложен и реализован новый метод измерения азимутального распределения импедан сов [34, 35], обеспечивающий существенно лучшую точность по сравнению с ранее используемым [17].

Общепринятым способом борьбы с неустойчивостью движения пучка является введение отрицательной обратной связи. Современные ускори тельные установки оснащаются быстрыми системами ОС для пооборотного (turn-by-turn) подавления поперечных и продольных неустойчивостей. Раз витие цифровой техники позволяет создавать системы, управляющие дви жением каждого сгустка в многосгустковом режиме (bunch-by-bunch) [36– 39]. В системах продольной ОС входным сигналом является отклонение фазы пучка от равновесной, а в качестве кикеров используются широкопо лосные резонаторы [40, 41]. В последнее время развивается техника прямой оцифровки высокочастотного сигнала датчиков пучка [42], позволяющая избавится от сложной и дорогой аналоговой электроники для переноса сиг нала в низкочастотную область.

Большинство современных лептонных накопителей источников СИ и коллайдеров работают в многосгустковом режиме. Взаимодействие пуч ка с узкополосным импедансом может приводить к возникновению многос густковой неустойчивости. Продольная многосгустковая неустойчивость мо жет быть подавлена с помощью неравномерного заполнения ВЧ-сепара трис, когда в последовательности сгустков делается 510 %-й зазор и тем самым разрушаются условия резонансного возбуждения. Весьма эффек тивным механизмом подавления поперечной многосгустковой неустойчи вости оказалась расфазировка колебаний частиц в сгустке, вызывающая затухание когерентной моды [43, 44].

Неустойчивость поперечных связанных мод (transverse mode coupling, TMC или fast head-tail) является существенным фактором, ограничива ющим односгустковую интенсивность пучка в циклических ускорителях.

Для подавления TMC-неустойчивости впервые была предложена реактив ная схема обратной связи [45]. Согласно теории, реактивная обратная связь может быть использована для повышения порогового тока TMC-неустой чивости, в то время как резистивная обратная связь представлялась абсо лютно неэффективной [46]. Вариант реактивной системы обратной связи, предложенной в работе [10], был реализован на установке LEP в ЦЕРНе, с помощью такой системы было достигнуто некоторое увеличение (около 5%) порогового тока пучка [47] и значительно улучшена его стабильность.

На электрон-позитронном коллайдере ВЭПП-4М была разработана систе ма обратной связи с регулируемой фазой, позволяющая реализовать как реактивную, так и резистивную схемы. Экспериментально было обнаруже но, что резистивная обратная связь также является эффективной, при этом удалось вдвое превысить порог ТМС-неустойчивости [48].

Математическая модель head-tail-неустойчивости, вызванной электрон ными облаками, разработанная с учетом хроматизма магнитной структу ры, опубликована в работе [11]. С использованием такой же методики усло вия применимости реактивной, резистивной либо некоторой промежуточ ной схемы обратной связи для подавления TMC-неустойчивости были по дробно исследованы в работе [49], согласно которой резистивная обратная связь должна эффективно подавлять неустойчивость при большом отрица тельном хроматизме. Однако, новые эксперименты на ВЭПП-4М показали, что, напротив, обратная связь гораздо более эффективна при положитель ном хроматизме, чем при отрицательном. Была также обнаружена зависи мость от нелинейности магнитной структуры.

Ранее влияние хроматических и нелинейных эффектов на устойчи вость пучка было экспериментально обнаружено на накопителе ВЭПП-3 [50, 51]. Похожие эффекты наблюдались и на других установках: ESRF во Франции [52] и KEK Photon Factory в Японии [53]. Таким образом, для понимания механизмов возникновения и подавления TMC-неустойчивости в математических моделях должны одновременно учитываться как хрома тические, так и нелинейные эффекты.

Автор принимал непосредственное участие в исследованиях неустой чивостей пучка и разработке методов их подавления на электрон-позитрон ном коллайдере ВЭПП-4М [48, 54–56] и накопителе электронов источнике СИ Elettra [43, 44, 57, 58]. Диссертация основывается на работах, выпол ненных за период 19942009 гг., и посвящена аналитическому, численно му и экспериментальному исследованию коллективных эффектов, неустой чивостей и импедансов связи в лептонных накопителях. Часть материала диссертации изложена в монографиях, изданных на русском [59] и англий ском [60] языках, а также вошла в учебное пособие [61] для студентов ма гистратуры Новосибирского государственного университета.

В диссертации содержится 79 рисунков, в библиографии приведены 105 ссылок. Число опубликованных автором работ 75, из них по теме диссертации 33.

Коллективные эффекты динамики пучка 1.1. Wake-поля и импедансы Динамика частиц в пучке отличается от динамики одной частицы, движение которой определяется только ведущим полем. Взаимодействие интенсивного пучка заряженных частиц с электромагнитными полями, ин дуцированными им в вакуумной камере (wake-поля), приводит к различ ным коллективным эффектам динамики пучка, зависящим от количества частиц в пучке. Наиболее значительным следствием коллективных эффек тов является неустойчивость продольного или поперечного движения. Воз можны ситуации, когда малые отклонения положения или энергии частиц приводят к тому, что взаимодействие пучка и наведенных им электромаг нитных полей увеличивает эти отклонения. Такая положительная обратная связь приводит к нарастанию амплитуды колебаний и, как следствие, к по тере пучка или снижению его качества. Изучение коллективных эффектов и неустойчивостей представляет существенный интерес как при проекти ровании новых ускорителей, так и при исследованиях динамики пучка в существующих установках. Подробное описание теории коллективных эф фектов можно найти в [1–4].

Поскольку причиной коллективных эффектов является взаимодействие пучка с элементами вакуумной камеры, для их анализа очевидно необходи мо соответствующее описание как самого пучка, так и вакуумной камеры.

В частотной области каждая часть вакуумной камеры может быть пред ставлена как частотно-зависимый импеданс связи, представляющий собой Фурье-образ wake-потенциала точечного заряда [2]. Wake-потенциал опре делен как интеграл электромагнитных сил взаимодействия, взятый вдоль траектории пучка. Основной вклад в суммарный импеданс связи вакуум ной камеры циклического ускорителя вносят изменения поперечного сече ния камеры, конечная проводимостсь стенок, электромагнитные кикеры и пикапы на полосковых линиях, высшие моды ускоряющих ВЧ-резонато ров, электростатические пикап-электроды, фланцы, сильфоны, отверстия в камере для впуска-выпуска пучков, вывода СИ и т. д.

Определение импеданса связи Для описания взаимодействия релятивистских заряженных частиц с wake-полями используется понятие wake-функции, определенной как нор мированный интеграл силы Лоренца, действующей на пробный заряд e, ко торый движется на расстоянии s за точечным зарядом q, возбуждающим wake-поля. Скорость движения обоих зарядов полагается равной скорости света c. Wake-функция это функция отклика структуры на возбуждение точечным зарядом, она определяется только формой и электромагнитными свойствами структуры, и не зависит от распределения зарядов в пучке. В случае пучка с произвольным распределением плотности взаимодействие с wake-полями определяется wake-потенциалом V, представляющим собой свертку wake-функции W с нормированным продольным распределением плотности пучка (z) [2]:

где ось z направлена по движению пучка, а нормировка функции (z) определена как В большинстве практических случаев для анализа устойчивости дви жения пучка достаточно рассмотреть только монопольную продольную W и дипольную поперечную W wake-функции. Поскольку магнитное поле перпендикулярно траектории частицы и не влияет на продольное движе ние, продольная wake-функция получается интегрированием компоненты электрического поля, параллельной скорости v движения частиц [5]:

Дипольная поперечная wake-функция определена аналогично продольной, как интеграл поперечных электромагнитных сил с нормировкой на заряд q и поперечное смещение r, и представляет собой вектор, имеющий гори зонтальную и вертикальную компоненты:

Продольная и дипольная поперечная wake-функции связаны между собой теоремой Панофского-Венцеля [5]:

Часто представляется удобным описывать взаимодействие пучка с wake полями в частотной области, представляя компоненты вакуумной камеры в виде импедансов связи. Продольный Z и поперечный Z импедансы яв ляются Фурье-образами соответствующих wake-функций:

Каждый компонент вакуумной камеры представляет собой импеданс, являющийся комплексной и чаще всего сложной функцией частоты (ча стотной характеристикой). При отсутствии интерференции wake-полей, воз буждаемых пучком в разных компонентах вакуумной камеры (удаленные друг от друга компоненты или быстрозатухающие wake-поля), импедансы аддитивны при любых частотах. В этом случае импеданс всей вакуумной камеры может быть представлен суммой импедансов ее составных частей.

Для оценок устойчивости движения пучка удобно использовать инте гральные параметры взаимодействия пучка с импедансом продольный фактор когерентных потерь k (longitudinal loss factor) и поперечный kick фактор k, определенные как где V и V продольный и поперечный wake-потенциалы, соответствен но; (t) нормализованное продольное распределение плотности пучка. В частотной области loss-фактор и kick-фактор выражаются через соответ ствующие импедансы [2]:

где h() = () (), () Фурье-образ продольного распределения плот ности пучка (t). В частности, для пучка с гауссовским продольным рас пределением плотности частиц Величина когерентных потерь энергии пучка с зарядом q, взаимодей ствующего с продольным импедансом, пропорциональна продольному loss фактору:

Приращение поперечного импульса пучка (удар) за счет взаимодействия с поперечным импедансом пропорционально поперечному kick-фактору:

где E энергия пучка, x его поперечное смещение.

Широкополосный и узкополосный импеданс Практически для любого участка вакуумной камеры импеданс может быть представлен в виде эквивалентной RLC-цепи для каждой моды коле баний:

где R шунтовое сопротивление продольной (Ом) или поперечной (Ом/м) моды, r резонансная частота и Q добротность. Поскольку время за тухания резонансной моды равно = 2Q/r, высокодобротная (узкополос ная) мода является более долгоживущей чем низкодобротная (широкопо лосная). Пример широкополосного и узкополосного импедансов и соответ ствующих wake-потенциалов показан на рис. 1.1, графики построены на основании расчетов, сделанных программой трехмерного моделирования полей GddL [14].

Узкополосный импеданс приводит к взаимодействию нескольких сгуст ков между собой, в то время как широкополосный импеданс вносит вза имодействие частиц внутри сгустка. Таким образом, в принципе можно отдельно рассматривать узкополосный и широкополосный импедансы, в соответствии с видом связи между частицами пучка, вносимой тем или иным импедансом. Однако такое разделение, само по себе хорошо опреде ленное, является условным, если принять во внимание параметры пучка, и, ПV|| Рис. 1.1. Wake-потенциал (а) и импеданс связи (б ) следовательно, не может однозначно характеризовать реальный компонент вакуумной камеры. Это становится очевидным, если вспомнить, что спектр сгустка состоит из очень большого числа гармоник. В таком случае может оказаться, что один и тот же компонент проявляется как импеданс обоих типов, как узкополосный, так и широкополосный. Поэтому в данном случае более реалистично говорить об импедансе как о вкладе во взаимодействие с пучком на ширине полосы данного компонента вакуумной камеры, чем как о характеристике самого компонента. В качестве примера можно привести импеданс ВЧ-резонатора с множеством резонансных пиков (самих по себе узкополосных), которые, коллективно воздействуя на пучок, дают также небольшой широкополосный вклад, влияющий на движение частиц в том же сгустке, когда он пролетает в резонаторе.

Поскольку для большинства компонентов вакуумной камеры, внося щих вклад в широкополосный импеданс, таких как изменения попереч ного сечения, сильфоны, фланцы, пикапы и т. п., продольный импеданс на низких частотах можно приближенно полагать индуктивным, для оце нок устойчивости удобно использовать нормализованный продольный им педанс Z /n, где n номер гармоники частоты обращения n = /0. Мож но также представить n как отношение периметра кольца к длине волны возмущения, перемещающегося вдоль сгустка.

Вакуумная камера ускорителя в целом обычно представляется в ви де широкополосного импеданса, полученного суммированием широкопо лосных импедансов всех компонентов камеры. Широкополосный импеданс можно полагать аддитивным, поскольку wake-поля быстро затухают и ин терференцией wake-полей, возбуждаемых пучком в разных компонентах вакуумной камеры, практически можно пренебречь. Величина суммарного широкополосного импеданса используется для оценок устойчивости внут рисгусткового движения пучка (а также является мерой качества проекти рования и изготовления вакуумной камеры).

Для вакуумной камеры кругового сечения связь между продольным и поперечным дипольным импедансом описывается формулой (следствие теоремы Панофского-Венцеля (1.4)):

где b радиус камеры. Эта формула может также использоваться для гру бых оценок и в случае камеры переменного сечения, полагая b равным средней полувысоте камеры.

Модель широкополосного импеданса Во многих практически важных случаях для оценок устойчивости дви жения пучка частотная зависимость суммарного широкополосного эффек тивного импеданса ZBB вакуумной камеры может быть приближенно опи сана моделью низкодобротного резонатора [1, 49]:

теристическая частота. Эта частота определяет ширину полосы взаимо действия, ее величина зависит от размера области взаимодействия. Для коротких (z < b) сгустков c определяется характерным поперечным раз мером b вакуумной камеры: c = c/b. Если длина сгустка z значительно превышает размер b, то электромагнитные поля возбуждаются пучком в полосе частот, ограниченной спектром пучка (), и характеристическая частота модельного импеданса (1.14) может быть определена как c = c/z.

В случае электрон-позитронного коллайдера ВЭПП-4М эти две величины близки: b 30 мм, z 35 50 мм.

Вертикальный широкополосный импеданс ВЭПП-4М может быть оха рактеризован следующими параметрами модели низкодобротного резонато ра (1.14), полученными в результате измерений: Rs 1.1 МОм/м, Q = 1, c = c/z = 1.36 ГГц при z = 35 мм. На рис. 1.2 приведены графики дей ствительной (резистивной) ReZ и мнимой (реактивной) ImZ частей вер тикального импеданса ВЭПП-4М, а также спектр пучка (преобразование Фурье гауссовского продольного распределения с z = 35 мм).

Для анализа продольных неустойчивостей пучка часто используется Рис. 1.2. Модель широкополосного импеданса ВЭПП-4М эффективный импеданс Z /n, который является взвешенным импедан сом, усредненным по спектру частот пучка [62]. Существует приближенное соотношение между низкочастотным и эффективным импедансом, зави сящее от среднеквадратичной длины пучка. Для коротких сгустков, если среднеквадратичная длительность сгустка t = z /c значительно меньше величины 1/c, где c характеристическая частота импеданса, имеем:

1.2. Неустойчивости движения пучка Микроволновая неустойчивость При малых токах энергетический разброс релятивистского электрон ного пучка не зависит от его интенсивности. Взаимодействие пучка с широ кополосным продольным импедансом приводит к удлинению сгустка из-за искажения потенциальной ямы. Если ток пучка превышает некоторую по роговую величину, то возникает микроволновая неустойчивость продольно го движения. Амплитудное значение (peak current) порогового тока сгустка Ip для релятивистского пучка может быть оценено по формуле [12, 63]:

где Z /n нормализованный продольный импеданс; коэффициент рас распределения частиц по продольному импульсу, для ультрарелятивист ских пучков ( 1) равная энергетическому разбросу E/E.

Для сгустка с гауссовским распределением плотности и среднеквадра тичной длиной z амплитудное значение тока Ip связано со средним током Ib следующим соотношением:

где R средний радиус ускорителя. Средний пороговый ток микроволно вой неустойчивости определяется выражением [64]:

где Qs синхротронная частота (в единицах частоты обращения), z длина сгустка при нулевом токе пучка энергетический разброс.

Амплитуда продольных колебаний частиц пучка обычно ограничивает ся нелинейными эффектами, и микроволновая неустойчивость не приводит к потерям частиц, однако может ухудшить качество пучка, так как выше порога с ростом тока происходит увеличение размеров сгустка. На рис. 1. показана измеренная зависимость от тока длины электронного и позитрон ного пучков ВЭПП-4М, виден порог Ith микроволновой неустойчивости.

Рис. 1.3. Определение порога микроволновой неустойчивости пучка ВЭПП-4М TMC-неустойчивость (fast head-tail) Резонансное взаимодействие пучка и короткоживущих поперечных wake полей, характеризуемое поперечным широкополосным импедансом, являет ся причиной неустойчивости поперечных связанных мод (transverse coupling modes, TMC или fast head-tail). Короткоживущие wake-поля, наведенные головной частью сгруппированного пучка, воздействуют на частицы его хвостовой части (head-tail-эффект). Из-за синхротронных колебаний голо ва и хвост пучка периодически меняются местами, при выполнении резо нансных условий происходит неограниченное нарастание амплитуды бета тронных колебаний, проводящие к потерям частиц пучка.

На рис. 1.4 приведен пример пооборотных измерений тока (верхний график) и вертикальной координаты (нижний график) пучка, инжектиро ванного в электрон-позитронный коллайдер ВЭПП-4М. В режиме с увели ченной синхротронной частотой пороговый ток составляет около 10 мА.

Для увеличения синхротронной частоты повышалось напряжение на уско ряющих ВЧ резонаторах, а сокращение продольного размера пучка компен сировалось с помощью дипольной змейки. Видно, как с развитием неустой чивости происходят потери пучка до величины, ниже пороговой.

Поскольку TMC-неустойчивость является существенным фактором, ограничивающим интенсивность пучка в циклических ускорителях, в ряде ускорительных лабораторий проводились экспериментальные и теоретиче ские исследования с использованием как аналитических (двухчастичная модель, модель полого пучка, уравнение Власова и теория возмущений) так и численных методов [10, 11, 45, 49].

Двухчастичная модель неустойчивости поперечных связанных мод по дробно анализируется в книге [1]. Пучок представлен в виде двух макро частиц с зарядом q/2, где q = Ib /f0, Ib средний ток пучка, f0 частота обращения. Макрочастицы совершают противофазные синхротронные ко лебания с одинаковой амплитудой. Когда частица 1 движется перед ча стицей 2, wake-поля, наведенные частицей 1, воздействуют на частицу 2 и уравнения движения можно записать в виде:

где = 0 Q циклическая бетатронная частота, E энергия пучка. Че рез половину периода синхротронных колебаний частица 2 начинает опере жать частицу 1 и в уравнениях (1.18) надо поменять местами индексы 1 и 2.

Постоянная wake-функция W0, используемая в [1], может быть определена в терминах широкополосного импеданса как где Z1 низкочастотный поперечный импеданс, c характеристическая частота, бета-функция в местах локализации импеданса. В рамках мо дели низкодобротного резонатора (1.14) Z1 = ImZBB (0). Форм-фактор /c, зависящий от магнитной структуры, равен единице для аксиально симметричной модели ускорителя.

Анализ уравнений движения (1.18) позволяет сделать оценки устойчи вости движения пучка. В качестве критерия устойчивости в [1] использует ся безразмерный параметр, полученный путем приближенного решения задачи на собственные значения для системы (1.18):

где s = 0 Qs циклическая синхротронная частота. Множитель c/ в (1.20) соответствует бета-функции в аксиально-симметричном приближе нии. Если бета-функция в местах локализации импеданса известна, замена c/ на может дать более точные результаты. Бетатронные колебания устойчивы при малых и становятся неустойчивыми при > 2, соответ ствующем пороговому току TMC неустойчивости.

Как показано в [1], сдвиг бетатронной частоты при малых токах ( 1) линейно зависит от тока пучка:

Согласно двухчастичной модели, при достижении порогового тока TMC неустойчивости частота колебаний 0-й (когерентной) моды сдвигается на половину синхротронной частоты s /2. Пороговый ток может быть оценен по измеренному сдвигу (1.21) бетатронной частоты при малых токах:

Используя формулу (1.19) можно выразить пороговый ток неустойчи вости поперечных связанных мод через низкочастотный широкополосный импеданс ZBB (0). В случае пучка с гауссовским распределением плотно сти обычно используется множитель 2, следующий из определения ам плитудного значения тока пучка (1.16):

где ImZBB суммарный широкополосный реактивный импеданс, взве шенный по бета-функции. Пороговый ток TMC-неустойчивости может быть также выражен через интегральный поперечный kick-фактор k (1.7):

Приближенное аналитическое решение уравнений движения (1.18) поз воляет определить вид зависимости инкремента неустойчивости от тока пучка вблизи порога, т.е. при = 2 + ( 1):

Зависимость инкремента неустойчивости от тока пучка в широком диа пазоне исследовалась путем численного решения уравнений движения пуч ка в рамках двухчастичной модели [65]. Линейные продольные колебания 2-х макрочастиц описывались противофазными синусоидами постоянной амплитуды, бетатронные колебания с учетом wake-полей следующими дифференциальными уравнениями (выведенными из [1]):

где (x) функция Хевисайда.

Для ряда численных решений системы (1.26), полученных при различ ных значениях нормализованного тока пучка Ib /Itmci и синхротронной ча стоты Qs, вычислялась огибающая колебаний центра масс пучка (y1 + y2 )/2, аппроксимация которой экспоненциальной функцией exp(t/tmci ) дает ве личину инкремента. На рис. 1.5 представлены вычисленные таким образом значения инкремента для ВЭПП-4М при Qs = 0.0050.025 и Ib /Itmci = 110.

Как видно на рисунке, зависимость tmci (Ib /Itmci ) довольно хорошо описы Рис. 1.5. Инкремент TMC-неустойчивости, двухчастичная модель вается логарифмической функцией (сплошные линии на графике):

Теоретический анализ TMC-неустойчивости и связи head-tail мод, ос нованный на модели полого пучка без учета хроматических и нелинейных эффектов, изложен в работе [9]. Решается задача на собственные значения для уравнения момент пучка, Q сдвиг бетатронной частоты, пропорциональный ин тенсивности пучка и импедансу связи. В результате получено кубическое уравнение корни которого 0, 1 и +1 соответствуют комплексным частотам 0-й, бавлен в предположении гауссовского пучка для лучшего соответствия экс периментальным данным, полученным на ВЭПП-4М.

На рис. 1.6 показаны зависимости частот 0-й, 1-й и 1-й head-tail мод от тока пучка, рассчитанные по формуле (5.17) для двух значений синхро тронной частоты: Qs = 0.01 (а) и Qs = 0.018 (б ). Расчеты выполнены для ВЭПП-4М на энергии 1.8 ГэВ, точками на графики нанесены измеренные значения. Видно, что пороговый ток TMC-неустойчивости, определяемый по совпадению частот 0-й и 1-й head-tail мод, пропорционален синхро тронной частоте.

Q/Qs Рис. 1.6. Расчетная и измеренная зависимость частот 0-й, 1-й и 1-й head-tail мод Хроматический head-tail эффект При ненулевом хроматизме магнитной структуры возникает head-tail эффект, когда некоторые моды колебаний становятся неустойчивыми при любом токе пучка, без порога. Хроматический head-tail-эффект характери зуется head-tail фазой:

где коэффициент расширения орбит, а хроматизм определен как Двухчастичная модель дает широко используемую для оценок устой чивости приближенную формулу [1], применимую при условии 1:

где Ib ток пучка, Z1 низкочастотный поперечный импеданс. Когерент ная мода (колебания центра масс), характеризуемая временем +, затухает при / > 0 и нарастает при / < 0, в то время как некогерентная (поперечный размер пучка), характеризуемая, наоборот. Как было от мечено в [1], двухчастичная модель дает завышенные значения инкремен та/декремента.

Теория линейных когерентных колебаний пучка в накопителе подроб но изложена в книге [3]. Спектры колебаний пучка, взаимодействующего с внешними системами, рассчитываются с помощью метода усреднения, при мененного к решению уравнения Власова [7]. В частности, для инкремен тов/декрементов хроматического head-tail эффекта выведено общее урав нение [3]:

где функция Бесселя порядка n, F0 (a2 ) стационарное распределение по амплитудам колебаний a, gn (, ) Фурье-гармоника функции Грина, опи сывающей взаимодействие пучка с окружающими электродинамическими системами.

Полагая стационарное распределение F0 (a2 ) гауссовским и моделируя взаимодействие пучка с окружением с помощью широкополосного импедан са эквивалентного низкодобротного резонатора, из уравнения (1.33) можно вывести более точное, чем (1.32) выражение для инкремента/декремента n-й head-tail моды, аналогичное приведенному в [1]:

рокополосного импеданса.

Если при положительном хроматизме > 0 возбудить когерентные бетатронные колебания пучка с помощью импульсного кикера, то зави симость декремента 0-й head-tail моды от тока пучка может быть изме рена. На рис. 1.7 представлены графики нормированных на ток пучка инкрементов/декрементов (1.36) 0-й, 1-й и 2-й head-tail мод в зависимо сти от хроматизма, а также экспериментальные данные, полученные на ВЭПП-4М в 1997 и 2008 гг. Параметры модельного широкополосного импе Рис. 1.7. Инкременты/декременты низших мод хроматического head-tail-эффекта данса ZBB () (1.14) подобраны путем аппроксимации измеренных значе ний декремента 0-й head-tail моды формулой (1.36). Для сравнения показана зависимость (1.32), вычисленная в рамках двухчастичной модели.

Продольная многосгустковая неустойчивость В ускоряющих высокочастотных резонаторах кроме основной моды, энергия которой передается пучку для ускорения и компенсации потерь энергии на излучение и когерентных потерь из-за взаимодействия пучка с резистивным импедансом, возбуждаются также паразитные высшие моды.

Минимизация высших мод необходимое условие проектирования совре менных резонаторов, однако их полное подавление является практически невыполнимой задачей. На рис. 1.8 в качестве примера приведен расчетный спектр высших мод одного из ускоряющих ВЧ резонаторов электрон-пози тронного коллайдера ВЭПП-4М.

Рис. 1.8. Спектр высших мод ВЧ резонатора ВЭПП-4М Взаимодействие пучка с высшими модами ускоряющих резонаторов (узкополосный импеданс) приводит к возбуждению долгоживущих wake полей, которые, воздействуя на следующие сгустки, могут вызвать про дольную неустойчивость в многосгустковом режиме. Если Nb сгустков рав номерно распределены по периметру ускорителя, то n-я мода колебаний возбуждается при выполнении резонансного условия:

где m– целое число, Qs – синхротронная частота в единицах частоты обра щения.

Импеданс n-й продольной моды может быть записан в виде (1.12):

Поскольку импеданс каждой из высших мод характеризуется своими значе

HOM HOM

ниями резонансной частоты n, шунтового сопротивления Rn и доб ротности QHOM, время нарастания неустойчивости надо оценивать отдельно для каждой моды [67, 68]:

Здесь Ib ток одного сгустка.

Для устойчивого движения необходимо, чтобы характерное время s радиационного затухания продольных колебаний было меньше, чем время нарастания (1.38) любой моды в рабочем диапазоне тока пучка. В уско ряющих резонаторах предусматриваются механизмы изменения геометрии для перестройки высших мод. Чтобы стабилизировать продольное движе ние пучка в многосгустковом режиме необходимо обеспечить отстройку неустойчивой n-й моды колебаний от резонанса на величину не менее, чем В электрон-позитронном коллайдере ВЭПП-4М, несмотря на малое число сгустков (2 электронных и 2 позитронных), возможно возбужде ние продольной многосгустковой неустойчивости. Ускоряющие резонаторы ВЭПП-4М расположены вблизи паразитного места встречи и высокодоб ротные моды wake-полей, возбужденные электронным или позитронным сгустком, не успевают затухать до прилета сгустка противоположной по лярности. Таким образом создаются резонансные условия для возбуждения неустойчивости. На рис. 1.9 приведены осциллограммы продольного про филя электронного (нижние графики) и позитронного (верхние графики) пучков, измеренные с помощью диссектора [70] в стабильном режиме (а) и при возбуждении продольной многосгустковой неустойчивости (б ).

Рис. 1.9. Продольный профиль электронного (нижние графики) и позитронного (верх ние графики) пучков в стабильном (а) и неустойчивом (б ) режимах В ускорителях с большим количеством (десятки и сотни) сгустков довольно эффективным способом борьбы с продольной многосгустковой неустойчивостью является неравномерное заполнение ВЧ-сепаратрис, ко гда в последовательности сгустков делается 510 %-й зазор и тем самым разрушаются условия резонансного возбуждения.

Поперечная многосгустковая неустойчивость Поперечный узкополосный импеданс высших мод резонаторов может быть причиной возбуждения поперечной многосгустковой неустойчивости, время нарастания которой можно оценить с помощью формулы, аналогич ной (1.38) [68]:

где (zRFC ) бета функция в месте расположения резонатора, Rn шунтовое сопротивление n-й поперечной высшей моды, импеданс которой имеет вид (1.12):

HOM HOM

Для стабилизации поперечного движения пучка в многосгустковом ре жиме необходимо обеспечить отстройку неустойчивой n-й поперечной моды колебаний от резонанса на величину не менее где время затухания поперечных колебаний пучка по радиационному и другим механизмам.

Кроме высших мод резонаторов поперечная многосгустковая неустой чивость может возбуждаться при взаимодействии пучка с резистивным им педансом стенок вакуумной камеры (resistive wall) на частотах:

где Q бетатронная частота, p– целое число. Формула для оценки време ни нарастания этой неустойчивости имеет вид [69]:

Частотная зависимость импеданса стенок цилиндрической вакуумной ка меры радиуса b и длиной L описывается выражением:

на скин-слоя. Таким образом, наиболее опасным с точки зрения устойчиво сти пучка является низкочастотный импеданс.

На рис. 1.10 приведен пример развития многосгустковой неустойчиво сти горизонтального движения электронного пучка в специализированном накопителе источнике СИ Elettra (Италия) [44]. На графике показаны значения горизонтальной координаты центра масс пучка, измеренные дат чиком положения пучка на каждом обороте.

Рис. 1.10. Горизонтальная многосгустковая неустойчивость Ионные и электронные облака В электронных накопителях с интенсивными пучками многосгустко вые неустойчивости могут возбуждаться при взаимодействии частиц пучка с ионами остаточного газа. Для анализа этих неустойчивостей использует ся понятие эффективного импеданса ионного осциллятора [69]:

где e линейная плотность электронного пучка, i линейная плотность яме электронного пучка, Qi – добротность ионного осциллятора, x и y горизонтальный и вертикальный размеры пучка соответственно. Таким об разом ионы рассматриваются как источник wake-полей с характерной ча стотой i. Ионы могут быть причиной только многосгустковых неустой чивостей, поскольку величина c/i в большинстве установок превышает 10 м. С учетом нелинейности взаимодействия добротность в большинстве случаев невелика, Qi < 10.

Образование и накопление электронных облаков в позитронных и про тонных машинах может приводить к возбуждению как многосгустковых, так и односгустковых неустойчивостей, так как частота электронного ос раз, и длина волны wake-полей 2c/e сравнима с длиной сгустка. Эффек тивный импеданс электронного осциллятора может быть записан в виде:

где + линейная плотность пучка, e линейная плотность электронов в облаке.

Для практического изучения и подавления неустойчивостей необходи мы эффективные средства и методы диагностики колебаний пучка. Ме тоды спектрального анализа, востребованные в экспериментальных иссле дованиях как коллективных эффектов и неустойчивостей, так и других интересных аспектов динамики пучка, описаны в следующей главе.

Спектральный анализ колебаний Прецизионное измерение параметров колебаний пучка важно для ря да задач ускорительной физики, таких как исследование коллективных эффектов, нелинейной динамики пучка, эффектов встречи пучков в кол лайдерах и др. Выходные данные системы диагностики обычно представ ляют собой последовательность мгновенных выборок положения центра масс пучка на азимуте датчика, измеренных с фиксированным временным интервалом, в циклических ускорителях на каждом обороте. Общеприня тым методом обработки данных является дискретное преобразование Фу рье (ДПФ, DFT) и его модификация, позволяющая сэкономить компьютер ные ресурсы быстрое преобразование Фурье (БПФ, FFT).

Задача точного определения параметров колебаний по измеренным данным часто является нетривиальной из-за быстрого затухания или по тери когерентности колебаний. В случае малого количества выборок точ ность ДПФ оказывается недостаточной для анализа движения пучка, осо бенно если частота и амплитуда колебаний зависят от времени. Для реше ния этой проблемы необходимы алгоритмы обработки данных, обеспечива ющие точность, намного превосходящую ДПФ.

2.1. Дискретное преобразование Фурье Спектр сигнала, представляющего собой последовательность мгновен ных выборок непрерывной функции, вычисляется с помощью дискретного преобразования Фурье. Математически строго ДПФ выводится из извест ных формул Фурье-анализа непрерывных периодических функций [71, 72].

Непрерывная функция времени s(t), определенная на некотором ин тервале [0, T ), может быть представлена в виде где S(n) комплексный спектр в частотной области Определим дискретную функцию sk, представляющую собой последова тельность выборок функции s(t), как вая выборка k = 0 соответствует t = 0, размер массива выборок N = T /T0.

Дискретный спектр Sn связан с функцией sk парой соотношений представляющих собой прямое (2.4) и обратное (2.5) дискретные преобра зования Фурье.

2.2. Точность ДПФ Оценим погрешности ДПФ с помощью периодической тестовой функ ции. Непрерывная гармоническая функция, определенная на конечном ин тервале 0 t 3.72 м2.

Наблюдаемое движение отдельного сгустка выглядит хаотичным из за большого количества возбужденных мод колебаний, что затрудняет ана лиз движения в зависимости от силы гармонических секступолей. Опре деление времени нарастания колебаний отдельного сгустка является недо статочным для понимания механизма неустойчивости, так как движение сильно зависит от фазовых соотношений между модами, а также от того, какая из мод наиболее сильно влияет на движение в данный момент. В такой ситуации анализ временной эволюции амплитуд неустойчивых мод в зависимости от силы гармонических секступолей выглядит более предпо чтительным. Измеренные времена нарастания и затухания неустойчивых мод в зависимости от силы секступолей S1 показаны на рис. 5.11. Как вид но, в районе теоретического минимума модуля нелинейного коэффициен та |C11 | наблюдается концентрация неустойчивых мод с положительными временами нарастания. Там же, где расфазировка колебаний частиц, вне сенная секступольной нелинейностью, достаточна для подавления неустой чивости, видно, что большая часть мод затухает.

Таким образом, экспериментальное изучение поперечной многосгуст ковой неустойчивости пучка в накопителе Elettra показало, что неустой чивость может быть эффективно подавлена с помощью расфазировки ко лебаний частиц пучка, вносимой семейством гармонических секступолей S1. По эффективности подавления неустойчивости секступоли оказались сравнимыми с октуполями, обычно используемыми для регулирования ам плитудно-зависимого сдвига бетатронных частот, но отсутствующими в магнитной структуре накопителя Elettra. В результате исследований было определенно выяснено, что затухание вызывается разбросом частот коле баний частиц внутри сгустка и может быть эффективным как в случае многосгустковой, так и односгустковой неустойчивости.

Рис. 5.11. Времена нарастания и затухания неустойчивых мод в зависимости от силы гармонических секступолей 5.2. Хроматическое и нелинейное подавление TMC неустойчивости Неустойчивость поперечных связанных мод (TMC или fast head-tail) является существенным фактором, ограничивающим интенсивность пучка в циклических электронных ускорителях. Эта неустойчивость возникает, когда ток сгустка превышает пороговую величину, определяемую широко полосным импедансом вакуумной камеры. Экспериментальные и теорети ческие исследования TMC-неустойчивости проводились в ряде ускоритель ных лабораторий [10, 11, 45, 49].

Результаты теоретических исследований head-tail-неустойчивости с уче том хроматизма магнитной структуры опубликованы в работах [3, 11, 49].

При ненулевом хроматизме магнитной структуры возникает беспороговый head-tail-эффект, инкременты/декременты head-tail мод имеют ненулевые значения при любом токе пучка. Для расчета постоянных времени хромати ческого head-tail эффекта могут использоваться следующие формулы: для приближенных оценок при 1 формула (1.32), выведенная в рамках двухчастичной модели, или более точная формула (1.36) полученная с помощью метода усреднения, примененного к уравнению Вла сова, и требующая задания в явном виде частотной зависимости широкопо лосного поперечного импеданса ZBB (). Здесь = z /( R) head-tail фаза (1.30), хроматизм (1.31) Ib ток пучка, Jn функция Бесселя по рядка n, c характеристическая частота широкополосного импеданса.

Когерентная мода n = 0 затухает при положительном хроматизме и становится неустойчивой при отрицательном, высшие моды n наобо Рис. 5.12. Инкременты/декременты низших мод хроматического head-tail-эффекта рот. На рис. 5.12 приведены графики модуля инкрементов/декрементов 1/|Ib n | (1.36) шести низших head-tail мод (n = 0, 1,..., 5), нормирован ных на ток пучка, в зависимости от хроматизма. Видно, что постоянные времени быстро уменьшаются с ростом n и высшие моды практически не представляют опасности для устойчивости пучка. Таким образом, при до статочно большом положительном хроматизме наблюдается эффект быст рого затухания когерентных колебаний с характерным временем, обратно пропорциональным току пучка. При определенных условиях быстрое за тухание может подавлять TMC-неустойчивость, этот эффект наблюдался в ИЯФ им. Будкера на электрон-позитронных коллайдерах ВЭПП-2 [85] (Франция) [52].

Другим механизмом, подавляющим TMC-неустойчивость, может ока заться потеря когерентности колебаний из-за нелинейности магнитной струк туры. Анализ динамики когерентных бетатронных колебаний в ведущем магнитном поле с ненулевым хроматизмом и кубической нелинейностью приведен в работе [86]. При выполнении условий где a0 начальная амплитуда когерентных бетатронных колебаний, равновесный поперечный размер пучка, /a2 амплитудно-зависимый сдвиг частоты бетатронных колебаний, огибающая колебаний имеет вид:

где s = Qs а E /E среднеквадратичный энергетический разброс пучка. В формуле (5.3) первый экспоненциальный множитель соответствует потере когерент ности колебаний из-за нелинейности /a2, зависимость огибающей от времени имеет гауссовский вид. Второй множитель соответствует хрома тической модуляции когерентных колебаний, представляющей собой пери одический обмен энергией между когерентной и некогерентными модами.

Подавление неустойчивости возможно при выполнении условия 2/s.

Примеры измеренных вертикальных когерентных колебаний пучка, инжектированного в ВЭПП-4М с различными значениями хроматизма и нелинейности, представлены на рис. 5.13-5.16. Полагая процессы возбужде ния и подавления колебаний независимыми, огибающая колебаний вычис лена как произведение экспоненциальных множителей, представляющих быстрое затухание, вносимое хроматическим head-tail эффектом (1.36), и потери когерентности колебаний из-за хроматизма и нелинейности (5.3).

Рис. 5.13 иллюстрирует случай малых значений хроматизма = 4.1 и нелинейности Q /a2 = 386 м2, рис. 5.14 малый хроматизм = 4. и большая нелинейность Q /a2 = 885 м2, рис. 5.15 большой хрома тизм = 11 и малая нелинейность Q /a2 = 315 м2, рис. 5.16 боль шой хроматизм = 10 и большая нелинейность Q /a2 = 2019 м2.

Рис. 5.13. Колебания инжектируемого пучка: = 4.1, Q /a2 = 386 м Рис. 5.14. Колебания инжектируемого пучка: = 4.6, Q /a2 = 885 м Рис. 5.15. Колебания инжектируемого пучка: = 11, Q /a2 = 315 м Приведенные примеры дают надежду на то, что даже без обратной связи возможно превысить пороговый ток TMC-неустойчивости, повышая хроматизм и нелинейность магнитной структуры. Влияние хроматических Рис. 5.16. Колебания инжектируемого пучка: = 10, Q /a2 = 2019 м и нелинейных эффектов на устойчивость пучка экспериментально исследо валось в ИЯФ им. Будкера на накопителе ВЭПП-3 [50, 51]. Похожие эф фекты также наблюдались на KEK Photon Factory (Япония) [53]. Тем не менее, надо помнить, что очень большая нелинейность может приводить к другим нежелательным эффектам, таким как сокращение времени жизни, уменьшение динамической апертуры и т.д.

Многочастичная численная модель Для анализа устойчивости бетатронных колебаний, принимая во вни мание TMC-неустойчивость, хроматический head-tail-эффект, а также по терю когерентности колебаний за счет хроматизма и нелинейности, была разработана многочастичная численная модель [65, 66]. В этой модели пу чок представлен в виде ансамбля Np макрочастиц, имеющих гауссовское начальное распределение по амплитудам бетатронных и синхротронных колебаний и равномерное распределение по фазам. Бетатронное движение k-й частицы на каждом обороте определяется матричным преобразованием где n номер оборота, -функция полагается равной 1, Qk,n переменный набег бетатронной фазы данной частицы на одном обороте, включающий сдвиг бетатронной частоты, вносимый хроматизмом и нелинейностью:

где Q невозмущенная бетатронная частота, = E/E отклонение энер гии частицы от равновесной, Q /a2 нелинейный сдвиг бетатронной ча стоты, a2 = x2 + x2 квадрат амплитуды колебаний ( = 1).

Взаимодействие частиц друг с другом, приводящее к TMC-неустойчи вости и хроматическому head-tail эффекту, представлено в виде мгновен ного приращения комплексной амплитуды колебаний k-й частицы Ak = ak eik = xk + ixk, производимого суперпозицией wake-полей, индуци рованных всеми предыдущими частицами:

где head-tail фаза (1.30), xj поперечная координата jй частицы, ее заряд, c характеристическая частота и Q добротность модельного поперечного импеданса (1.14), tjk временной интервал меж ду jй и kй частицами. Использование комплексных величин отражает тот факт, что хроматический член сдвинут по фазе на /2 по отношению к резонансному члену, соответствующему TMC-неустойчивости [1].

Поскольку принимается во внимание только широкополосный импе данс, wake-поля считаются полностью затухающими за один оборот. Радиа ционное затухание моделируется на каждом обороте как экспоненциальный множитель exp(1/f0 rad ). Обратная связь представлена в виде мгновен ного удара, пропорционального поперечному импульсу xfb = Kfb x.

Стабильность поперечных колебаний пучка в зависимости как от хро матизма, так и от нелинейности исследовалась с помощью многочастич ного многооборотного трекинга на основе вышеописанной модели. Для за данных величин хроматизма и нелинейности производились расчеты с раз личными значениями тока пучка. Если в процессе трекинга какая-либо частица достигает пределов апертуры, она исключается из дальнейших расчетов, а ток пучка уменьшается на соответствующую величину. Таким образом можно построить наглядную диаграмму максимально возможно го тока пучка в одном сгустке в зависимости как от хроматизма, так и от нелинейности, с обратной связью или без нее. Пример такой диаграммы, рассчитанной для ВЭПП-4М на энергии инжекции 1850 МэВ, приведен на рис. 5.17. Ток пучка ВЭПП-4М нормирован на пороговый ток TMC-неустой чивости Itmci (1.23).

Рис. 5.17. Диаграмма максимального тока пучка ВЭПП-4М, рассчитанная с помощью многочастичной численной модели 5.3. Обратная связь Понятие обратной связи (ОС) широко используется в радиотехнике, теории управления, биологии, экономике и других областях науки и техни ки. В общем смысле обратной связью называется эффект влияния выход ного сигнала какой-либо динамической системы на процесс функциониро вания этой системы. Основные принципы обратной связи были разработа ны в 1930-х годах, применение обратной связи в радиотехнике позволило резко улучшить важнейшие параметры активных цепей, таких как усили тели, генераторы и т.п. В электронных схемах обратная связь реализуется путем подачи на вход активного четырехполюсника дополнительного сиг нала, являющегося функцией выходного сигнала. Так образуется замкну тый контур, называемый петлей обратной связи. Как активный элемент схемы, так и цепь обратной связи могут быть частотно-зависимыми, то гда и коэффициент усиления также будет иметь определенную частотную характеристику.

В общем виде структурная схема усилителя с линейной обратной свя зью приведена на рис. 5.18. Напряжение с выхода усилителя, имеющего коэффициент усиления K, подается на вход звена обратной связи с коэф фициентом передачи. Выходное напряжение звена обратной связи подается на вход усилителя, где алгебраически суммируется со входным напряжением. В результате напряжение на входе усилителя равно а выходное напряжение можно записать в виде:

Подставляя в данное выражение U (5.9) и UFB (5.8), получаем:

откуда коэффициент усиления KFB цепи с замкнутой обратной связью определяется следующим образом:

Простая формула (5.11) позволяет сделать некоторые важные выводы о свойствах цепей с обратной связью. Выражение в знаменателе 1 K называется глубиной обратной связи и показывает во сколько раз изменя ется коэффициент усиления под влиянием ОС. Входящее в формулу про изведение K обычно называют петлевым усилением, его знак определяет тип обратной связи. Отрицательное петлевое усиление K < 0 уменьшает коэффициент усиления. Особенностью отрицательной обратной связи яв ляется то, что при больших K петлевое усиление K 1 и коэффициент усиления цепи, охваченной отрицательной обратной связью определяется только свойствами звена ОС: KFB 1/. Это свойство обратной связи ча сто используется в схемах аналоговой электроники. Положительное петле вое усиление K > 0 указывает на наличие положительной обратной связи.

Нетрудно увидеть, что при этом происходит увеличение коэффициента уси ления. В случае положительной обратной связи, при K 1 KFB, возникают регенеративные процессы и цепь становится неустойчивой. В зависимости от свойств цепей, а также от вида входного воздействия воз можны различного вида автоколебания или релаксационные переходы в устойчивые нелинейные состояния.

В применении к ускорительной физике усилителем являются физи ческие эффекты, приводящие к отклонению частиц пучка от равновесия в продольном или поперечном направлениях. В ускорителе может возни кать положительная обратная связь за счет электромагнитных полей, на веденных пучком, и, в свою очередь, воздействующих на сам пучок. Такая положительная ОС может приводить к неустойчивости продольного или поперечного движения пучка. Стабилизировать движение пучка и подав лять неустойчивости возможно с помощью систем отрицательной обратной связи, в последнее время довольно широко использующихся в ускоритель ных установках.

Стабилизация параметров пучка Для обеспечения эффективной работы лептонных коллайдеров и ис точников синхротронного излучения традиционно предъявлялись высокие требования к стабильности параметров пучков. В настоящее время ста бильность пучка становится важнейшим условием работы существующих и проектируемых адронных и ионных ускорителей, причем не только для достижения оптимальных рабочих характеристик, но также и для защиты самих установок от повреждений, поскольку развитие ускорительной тех ники привело к значительному увеличению энергии, запасенной в пучке.

Возмущающими факторами, влияние которых может приводить к сни жению эффективности работы ускорителя, являются: отклонение полей в магнитах от расчетных значений, погрешности юстировки элементов маг нитной системы, сейсмические вибрации, тепловое расширение магнитов и ускоряющих резонаторов, температурный дрейф параметров, а также дру гие динамические эффекты. Полностью автоматизированное управление ключевыми параметрами пучка, такими как орбита, бетатронные частоты, связь колебаний, хроматизм, энергия и др., с непрерывной коррекцией воз мущений, вносимых вышеперечисленными факторами, становится практи чески неотъемлемой частью системы управления современным ускорите лем.

Разнообразие современных систем обратной связи определяется раз личными требованиями к параметрам ОС в ускорителях разных типов.

Так, требования к стабильности электронного пучка в источниках синхро тронного излучения определяются свойствами и качеством фотонных пуч ков, используемых в экспериментах. В зависимости от соотношения вре мени интегрирования экспериментальных данных и характерной частоты возмущения, колебания пучка как целого приводят либо к расплыванию эффективного эмиттанса, ухудшающему качество фотонного пучка, либо к увеличению погрешности измерений. Для минимизации эффективного эмиттанса практически на всех источниках СИ используются системы об ратной связи, стабилизирующие орбиту и энергию пучка.

Стабильность пучка в коллайдерах является необходимым условием для оптимизации светимости в экспериментах по физике высоких энергий.

Так же, как и в источниках СИ, стабилизация орбиты требуется для того, чтобы минимизировать эмиттанс и обеспечить устойчивое сведение пучков в местах встречи. Кроме орбиты, с помощью систем обратной связи стаби лизируются бетатронные частоты так, чтобы во время ускорения предот вратить пересечение бетатронных резонансов, которые могут вызвать по тери частиц пучка.

Одним из параметров, требующих стабилизации, часто является тем пература. Так, для экспериментов по физике высоких энергий, проводя щихся на комплексе ВЭПП-4 [80, 81], необходимо, чтобы энергия пучков, циркулирующих в электрон-позитронном коллайдере ВЭПП-4М, в процес се набора статистики поддерживалась постоянной с очень высокой точно стью. Относительная точность калибровки энергии пучка методом резо нансной деполяризации достигает рекордного значения 106 [27, 28]. Энер гия пучка зависит от температуры комбинированных магнитов полуколец ВЭПП-4М, так как тепловое расширение приводит к изменению магнитно го поля. Магниты охлаждаются дистиллятом, циркулирующим по замкну тому контуру и охлаждаемым в теплообменнике технической водой. Темпе ратура технической воды зависит от множества внешних факторов, таких как температура окружающей среды, влажность, условия охлаждения в градирне и т.п., и поэтому подвержена значительным суточным и сезонным колебаниям. Для поддержания температуры магнитов ВЭПП-4М в задан ных пределах вне зависимости от внешних факторов была разработана и введена в эксплуатацию система термостабилизации дистиллята [27, 28].

Температура дистиллята и технической воды на входе и на выходе теп лообменника измеряется прецизионными термодатчиками, информация о температуре передается посредством контроллера в компьютер, входящий в систему управления комплексом ВЭПП-4. Поток технической воды в теп лообменнике и, как следствие, эффективность теплообмена регулируется с помощью управляемого клапана, команда на открывание или закрывание которого поступает от управляющей программы, анализирующей измерен ные температуры.

Неустойчивости продольного или поперечного движения пучка с быст рыми временами нарастания (многосгустковые, TMC-неустойчивость) мо гут быть подавлены быстрыми системами обратной связи, время реакции которых сравнимо с периодом обращения пучка.

В процессе проектирования систем обратной связи часто оказывает ся удобным отдельно анализировать пространственную (space domain) схе му коррекции отклонений параметра пучка от требуемого значения при заданном постоянном возмущении и зависящие от времени (time domain) процессы, описывающие работу системы в режиме реального времени. Та кое разделение позволяет сделать работу системы более гибкой, особенно при возможных отказах отдельных элементов, когда требуется быстрая подстройка параметров обратной связи.

Расчет передаточных функций Анализ зависящих от времени (time domain) процессов, происходящих в системе стабилизации параметров пучка, позволяет оптимизировать ра боту системы в реальном времени. Типичная схема системы обратной связи с одним входом и одним выходом (single-input-single-output, SISO) изобра жена на рис. 5.19.

Рис. 5.19. Система обратной связи первого порядка Процесс характеризуется частотно-зависимой передаточной функцией G(s), устройство управления (регулятор) функцией D(s). Стабильность системы и ее чувствительность к возмущениям и шуму определяются сле дующими функциями:

где T (s) полная (номинальная) передаточная функция, Sd (s) номиналь ная чувствительность, определяющая подавление возмущений схемой ОС, чувствительность к входным возмущениям и Su (s) чувствитель Si (s) ность системы управления. Переменные состояния также обозначены на рис. 5.19. Чувствительность к шумам измерения равна номинальной пере даточной функции T0 (s).

Классический расчет обратной связи основан на исследовании нулей знаменателя в уравнениях (5.12) и (5.13) при одновременном выполнении ряда условий, таких как обеспечение необходимой ширины полосы частот, минимизация случайных выбросов в процессе регулирования, обеспечение широкого динамического диапазона корректирующих воздействий, а также достижение максимальной надежности по отношению к ошибкам измере ний и неточности модели. Для идеальных процессов, такой метод расчета дает адекватную модель регулятора, однако при наличии погрешностей, нелинейностей и шумов часто становится неэффективным. В работе [102] описан метод аффинной параметризации для оптимальных регуляторов, в основе которого лежит аналитическое обращение процесса. Преимуще ством этого метода является прямой расчет регулятора с целью достиже ния требуемых рабочих параметров системы с замкнутой обратной связью и обеспечения необходимой устойчивости.

Предельная эффективность системы обратной связи определяется сле дующим ограничением: улучшение подавления возмущений может быть достигнуто за счет ослабления устойчивости к шумам, и наоборот. Таким образом, на эффективность системы в большей мере влияет ширина по лосы и шумовая характеристика измерительной и корректирующей цепей, чем выбранная схема обратной связи. Для достижения оптимальной ста билизации параметров пучка необходим систематический и полный анализ цепей датчиков пучка и корректоров, используемых в системе обратной связи. Максимально возможная ширина полосы частот системы с замкну той обратной связью ограничена величиной корректирующего воздействия.

Например, в случае силовых преобразователей ограничение определяется максимально возможным напряжением.

Для обработки данных в системах обратной связи используются раз личные вычислительные платформы, такие как программируемые логиче ские матрицы (eld-programmable gate array, FPGA), цифровые сигналь ные процессоры (digital signal processor, DSP), а также компьютеры обще го назначения с операционной системой реального времени, встроенные в систему управления ускорительным комплексом. В сетях быстрой переда чи данных часто используется Ethernet с модифицированными драйверами низкого уровня.

Системы быстрой обратной связи В настоящее время большинство ускорительных установок оснащают ся быстрыми системами обратной связи для пооборотного (turn-by-turn) подавления поперечных и продольных неустойчивостей движения пучка.

Развитие цифровой техники позволяет создавать системы обратной свя зи, управляющие движением каждого сгустка в многосгустковом режиме (bunch-by-bunch) [37–39]. По своему устройству все цифровые системы об ратной связи похожи друг на друга. В качестве датчика положения пуч ка используются электростатические или полосковые пикапы, сигналы ко торых обрабатываются аналоговыми гибридными схемами, дающими на выходе сигналы, пропорциональные вертикальной и горизонтальной коор динатам пучка и его интенсивности. Затем эти сигналы детектируются и оцифровываются. Цифровые данные обрабатываются либо программируе мой матрицей логических элементов (FPGA) либо цифровым сигнальным процессором (DSP), который вычисляет силу удара по пучку импульсным кикером. Для обработки сигналов широко применяются фильтры с конеч ной импульсной характеристикой (FIR-фильтры).

В последнее время развивается техника прямой оцифровки высокоча стотного сигнала датчиков положения пучка [42]. Прямая оцифровка позво ляет избавится от сложной аналоговой электроники для переноса сигнала в низкочастотную область и его детектирования и таким образом упростить и удешевить систему, а также сделать ее настройку более удобной.

В системах продольной обратной связи входным сигналом является отклонение фазы пучка от равновесной, а в качестве кикеров используются широкополосные резонаторы [40, 41].

5.4. Системы обратной связи ВЭПП-4М Продольная обратная связь Для экспериментов по физике высоких энергий на электрон-позитрон ном коллайдере ВЭПП-4М реализован режим работы с двумя электрон ными и двумя позитронными сгустками, позволяющий значительно увели чить светимость. Побочным эффектом увеличения количества сгустков яв ляется возникновение неустойчивости продольного движения пучков, при водящей к фазовым колебаниям с большой амплитудой. Фазовые колеба ния приводят к резкому снижению светимости и времени жизни пучка. Бо лее того, высыпание частиц пучка на дрейфовую камеру детектора КЕДР может спровоцировать пробои высокого напряжения и повредить дрейфо вую камеру. Причиной неустойчивости является резонансное возбуждение пучком высших мод колебаний ускоряющих резонаторов.

Частотная характеристика ускоряющих ВЧ резонаторов ВЭПП-4М со держит большое количество паразитных высших мод. Импеданс n-й про дольной моды может быть записан в виде (1.12):

HOM HOM

добротность. При выполнении резонансного условия где m– целое число, Qs – синхротронная частота в единицах частоты обра щения, n-я мода колебаний становится неустойчивой с инкрементом (1.38):

где Nb число сгустков, Ib ток одного сгустка. С учетом радиационного затухания продольных колебаний можно оценить пороговый ток возбуж дения неустойчивости:

HOM HOM

где rad характерное время радиационного затухания. Для подавления высших мод в каждом из пяти резонаторов ВЭПП-4М предусмотрено по три управляемых механизма. Существуют области устойчивого движения пучка, соответствующие определенной настройке механизмов подавления высших мод. Однако при измерении температуры резонаторов происходит изменение его геометрических размеров, выводящее резонатор из области устойчивого движения пучка.

Рис. 5.20. Система продольной обратной связи ВЭПП-4М Для надежного подавления неустойчивости на ВЭПП-4М разработана и введена в эксплуатацию система продольной обратной связи [40]. Блок схема системы приведена на рис. 5.20, показан только один канал для од ного типа частиц (электронов или позитронов). Поскольку в накопителе циркулируют две пары сгустков (e+ и e ), система ОС должна подавлять четыре связанных моды колебаний две для электронов и две для пози тронов. Сигналы, пропорциональные продольной фазе каждого сгустка, получаются на каждом обороте пучка с помощью быстрого фазового де тектора, подключенного к датчику пучка. Для регистрации сигналов ис пользуется схема выборки-хранения, выходные сигналы которой оцифро вываются быстрым АЦП и записываются в оперативную память. Цифро вая информация считывается из памяти и преобразуется 4-мя цифро-ана логовыми преобразователями в 4 аналоговых сигнала, каждый из которых пропорционален мгновенной фазе соответствующего сгустка (2 e+ и 2 e ).

Суммарный сигнал каждой пары соответствует синфазной моде колеба ний, разностный сигнал противофазной. Эти сигналы используются для модуляции ВЧ напряжения, подаваемого на кикер, с помощью двух баланс ных модуляторов. В схему встроены два генератора несущей частоты, один настроен на четную 398-ю гармонику частоты обращения для подавления синфазной моды, второй на нечетную 397-ю гармонику для подавления противофазной моды. Выходные сигналы балансных модуляторов сумми руются и подаются на усилитель мощности.

Два высокочастотных кикера используются в системе, один для элек тронов, другой для позитронов. Каждый кикер состоит из пары резона торов, собственная частота которых fc = 325.5 МГц находится посредине между 397-й и 398-й гармониками частоты обращения. Расстояние меж ду резонаторами каждой пары выбрано равным четверти длины волны 230 мм. Частоты высших мод резонаторов кикера находятся выше критиче ской частоты вакуумной камеры (2500 МГц), что минимизирует возможные проблемы с wake-полями. Выходная мощность ВЧ усилителя разделяется с помощью направленного ответвителя и подается на резонаторы через ка бели равной длины. Резонаторы соединены так, что для частиц определен ной полярности (e+ или e ), движущихся в своем направлении, фаза ВЧ напряжения во втором резонаторе сдвинута на /2 относительно фазы в первом резонаторе. Таким образом, частицы данной полярности получают двойной удар, в то время как на частицы, движущиеся в противоположном направлении, кикер практически не оказывает воздействия.

Декремент, вносимый системой обратной связи, измерялся с помощью возбуждения вынужденных колебаний пучка, включая сигнал внешнего низкочастотного генератора в петлю обратной связи. Регулированием ча стоты НЧ генератора можно добиться довольно устойчивых колебаний. Из меряя время затухания колебаний сразу после выключения НЧ генератора с разомкнутой и замкнутой петлей обратной связи, можно оценить декре мент, вносимый системой ОС. Практические испытания системы обратной связи были проведены с реальной многосгустковой неустойчивостью, спе циально возбужденной путем подстройки высших мод ускоряющихся ВЧ резонаторов [56, 103].

Поперечная обратная связь Предельный ток пучка в электрон-позитронном коллайдере ВЭПП-4М на энергии инжекции, равной 1.8 ГэВ, ограничен неустойчивостью верти кальных бетатронных колебаний, обусловленной связью поперечных мод (transverse mode coupling или fast head-tail). TMC-неустойчивость возни кает вследствие электромагнитного взаимодействия пучка с окружающей структурой и характеризуется значительным когерентным сдвигом бета тронной частоты, пропорциональным току пучка.

Обратная связь является общепринятым способом подавления TMC неустойчивости. Впервые реактивная схема обратной связи была предло жена для предотвращения зависящего от тока пучка сдвига частоты коге рентной моды бетатронных колебаний, и, таким образом, для уменьшения связи head-tail-мод, приводящей к неустойчивости [45]. Согласно теории, разработанной с использованием как двухчастичной модели, так и уравне ния Власова, реактивная обратная связь может быть использована для по вышения порогового тока fast head-tail-неустойчивости, в то время как ре зистивная обратная связь представляется абсолютно неэффективной [46].

Вариант реактивной системы обратной связи, предложенной в работе [10], был реализован на установке LEP в ЦЕРНе (Швейцария). Было достигну то некоторое увеличение порогового тока пучка около 5 % (компьютерное моделирование предсказывало 10 %) [47].

Рис. 5.21. Система поперечной обратной связи ВЭПП-4М Для электрон-позитронного коллайдера ВЭПП-4М была разработана система обратной связи с регулируемой фазой [48], позволяющая реализо вать как реактивную, так и резистивную схемы. Блок-схема системы об ратной связи приведена на рис. 5.21. Полосковые линии с волновым сопро тивлением 50 Ом используются в качестве датчика, регистрирующего ко лебания пучка. Свойство направленности полосковых линий позволяет раз делить сигналы, наведенные электронным и позитронным пучками. Длина полосковых линий выбрана с целью обеспечения максимальной чувстви тельности в диапазоне 150 250 МГц. Сигналы с противоположных ли ний подаются на вычитающий трансформатор с согласованным входным сопротивлением, формирующий сигнал, пропорциональный поперечному смещению пучка.

Обработка сигнала осуществляется селективной схемой c преобразова нием частоты. Предварительная обработка сигналов производится на ча стоте (222 ± Q)f0, близкой к максимуму чувствительности пикапа, а фор мирование сигнала кикера на более низкой частоте Qf0. Здесь Q дробная часть бетатронной частоты, f0 частота обращения пучка. Раз ностный сигнал с выхода трансформатора пропускается через селективный фильтр, настроенный на частоту 222f0, и подается на преобразователь ча стоты. Сигнал гетеродина с частотой 222f0 поступает от ускоряющей ВЧ системы. Низкочастотная часть системы обратной связи включает в себя фильтр нижних частот с полосой пропускания 00.5f0, предусилитель, фазовращатель, аттенюатор и усилитель мощности. Диапазон регулирова ния фазы 02 обеспечивает возможность реализации как активной, так и реактивной обратной связи.

В качестве кикера используется пара полосковых линий длиной 1 м с волновым сопротивлением 50 Ом. Полосковый кикер обеспечивает раз дельное воздействие на электроны и позитроны. Пластины кикера подклю чены к выходу усилителя мощности последовательно, с использованием инвертора, максимальное напряжение ограничено мощностью выходного усилителя и составляет 400 В.

Исследовалось влияние обратной связи на эффективность инжекции пучка в ВЭПП-4М при небольшом положительном хроматизме. Экспери ментально было обнаружено, что резистивная обратная связь также явля ется эффективной. На рис. 5.22 показана зависимость тока, захваченного в ВЭПП-4М, от фазы обратной связи. Как видно, оптимальная фаза об ратной связи оказалась ближе к нулю (резистивная обратная связь), чем к 90 (реактивная обратная связь), при этом был достигнут ток пучка, более чем вдвое превышающий порог ТМС-неустойчивости [48].

Рис. 5.22. Ток захваченного пучка ВЭПП-4М в зависимости от фазы обратной связи Математическая модель head-tail-неустойчивости, вызванной электрон ными облаками, разработанная с учетом хроматизма магнитной структуры на основе многомодового анализа задачи на собственные значения, опубли кована в работе [11]. С использованием такой же методики условия приме нимости реактивной, резистивной либо некоторой промежуточной схемы обратной связи для подавления TMC-неустойчивости были подробно иссле дованы в работе [49]. Согласно [49], резистивная обратная связь должна эффективно подавлять неустойчивость при большом отрицательном хро матизме. Основная идея заключается в подавлении когерентной моды ко лебаний (центр масс пучка) с помощью обратной связи при стабильности высших мод за счет отрицательного хроматизма.

Взаимодействие пучка с поперечным импедансом приводит к тому, что на каждую частицу действуют электромагнитные поля, индуцированные всеми предыдущими частицами. Движение модельного пучка из N макро частиц, равномерно распределенных по фазам синхротронных колебаний, может быть описано системой дифференциальных уравнений:

где комплексная амплитуда бетатронных колебаний kй частицы, ция, Z широкополосный поперечный импеданс связи.

Система (5.16) неудобна для анализа, поскольку число уравнений рав но числу частиц N, которое должно быть достаточно большим для того чтобы получить разумные результаты. Более того, так как продольные ко ординаты частиц zk, zj явно зависимы от времени, система (5.16) является системой дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Как показано в [49], гораздо эффективнее анализировать движение, используя симметричное разложение по модам колебаний, так как суще ственны только несколько самых низших мод. Кроме того, такой подход позволяет избавиться от уравнений с переменными коэффициентами. Ис пользуя модель сплошной среды и уравнение Власова, задачу анализа ста бильности пучка можно свести к системе алгебраических уравнений:

комплексные амплитуды мод колебаний, n, n ных мод, k, k индексы продольных мод. Матричные элементы Ankn k яв ляются функциями широкополосного импеданса связи Z () и head-tail фазы (1.30). Обратная связь может быть введена в (5.17) как эквивалент ный поперечный импеданс ZFB. Система уравнений, описывающая движе ние с учетом обратной связи, имеет вид:

где Bnkk элементы матрицы обратной связи, зависящие от импеданса об ратной связи ZFB. Реальная система обратной связи, включающая датчики положения пучка и электромагнитные кикеры, может взаимодействовать только с колебаниями центра масс пучка, в (5.18) это выражено с помо щью произведения символов Кронекера n0 n 0. I безразмерный ток пуч ка, нормализованный таким образом, что коэффициент перед суммами в (5.18) равен единице:

Параметр обратной связи f является комплексным коэффициентом норми ровки элементов матрицы обратной связи Bnkk. Если B00 = 1, а все осталь ные Bnkk = 0, вклад обратной связи в комплексный сдвиг бетатронной ча стоты, выраженный в единицах синхротронной частоты, равен if I. В слу чае жесткого пучка, ток которого равен Ib = I · Ib0, декремент, вносимый резистивной обратной связью с параметром f, равен F B = f Is.

Анализ устойчивости проводится следующим образом: система (5.17) является алгебраической системой уравнений с нулевой правой частью, по этому она имеет нетривиальные решения, только если значения i сов падают с собственными значениями матрицы, связанной с ank. Поскольку система (5.17) является бесконечномерной, она должна быть урезана до необходимого числа мод. Для каждой моды колебаний это комплекс ный безразмерный сдвиг частоты, Re = /s относительный сдвиг бетатронной частоты, Im = 2/ s инкремент (Im < 0) или декремент (если Im > 0), нормализованный на синхротронную частоту. Таким обра зом, на основе анализа собственных значений системы (5.17), можно сде лать выводы об устойчивости: если хотя бы для одной моды Im < 0, то движение неустойчиво.

Рис. 5.23. Численное решение задачи на собственные значения На рис. 5.23 приведен пример численного решения задачи на собствен ные значения (5.18) для 10 низших мод, верхние графики отображают за фиков соответствует нулевому хроматизму = 0 без обратной связи f = 0, правая пара отрицательному хроматизму = 8 и резистивной обратной связи с параметром f = 5. В случае = 0, f = 0 видна связь первых двух мод, когда ток пучка превышает порог (около 11 мА), при этом же то ке Im принимает отрицательные значения, соответствующие инкременту неустойчивости. В случае же = 8, f = 5, отрицательные значения Im, соответствующие неустойчивости появляются, когда ток пучка превышает порог TMC-неустойчивости приблизительно в 4 раза (Ib > 40 mA).

На основе теории [49] спроектирована и изготовлена система обратной связи для подавления поперечной неустойчивости пучка в электрон-пози тронном коллайдере ВЭПП-4М [54–56]. Для обеспечения большей гибкости системы и возможного расширения ее функций была выбрана цифровая схема системы обратной связи [104]. Особенность данной системы состоит в том, что, в отличие от источников СИ, в коллайдере необходимо одновре менно стабилизировать движение электронных и позитронных сгустков, циркулирующих в противоположных направлениях. Для коррекции дви жения электронных и позитронных пучков используются одни и те же по лосковые пикапы и кикеры, но индивидуальные и однотипные электронные схемы. Благодаря свойству направленности полосковых линий положение всех сгустков измеряется одними и теми же полосковыми пикапами, но с разных выходов для разных типов частиц.

Рис. 5.24. Схема цифровой системы обратной связи ВЭПП-4М Блок-схема системы изображена на рис. 5.24. Сигналы с полосковых пикапов PS и PN подаются на суммо-разностное устройство, выходные сиг налы которого детектируются схемой выборки-хранения и оцифровывают ся быстрыми АЦП, синхронизуемыми от ВЧ-системы ускорителя. Оциф рованные данные передаются в цифровой сигнальный процессор (DSP), в котором производится вычисление удара, воздействующего на пучок. Полу ченные данные конвертируются в аналоговые сигналы с помощью четырех ЦАП на выходе цифрового блока и поступают на широкополосные уси лители мощности [105]. Полоса частот усилителя составляет 0.550 МГц, максимальная выходная мощность 200 Вт. Усиленные сигналы подают ся на 4 полосковых кикера (N1, N4, S1, S4 ), импульсное электромагнитное поле которых производит требуемую коррекцию движения сгустка.

Использование двух пикапов позволяет вычислять поперечное поло жение и импульс пучка на каждом обороте. Обозначим отклонение пучка от положения равновесия, измеренное первым пикапом как x1, а вторым пикапом как x2. В линейном приближении преобразование координаты участком магнитной структуры между пикапами имеет вид:

где x1,2, x1,2, 1,2, 1,2 значения координаты, импульса и структурных функ ций на первом и втором пикапах соответственно, 12 набег бетатронной фазы на участке. Преобразование (5.20) позволяет выразить поперечный импульс центра масс пучка на азимуте первого пикапа через измеренные обоими пикапами значения координат x1 и x2. Применив аналогичное пре образование, вычислим координату xK и импульс xK пучка в кикере:

Здесь набег бетатронной фазы на участке между первым пикапом и кике ром, K и K структурные функции на азимуте кикера.

Расчетное напряжение на кикере вычисляется как где ReKF B и ImKF B коэффициенты резистивной и реактивной обратной связи соответственно, E энергия пучка, L длина кикера и d расстоя ние между пластинами.

Итак, обработка сигнала должна состоять из следующих операций:

• задание коэффициентов обратной связи ReKF B и ImKF B ;

• измерение отклонения пучка в пикапах x1 и x2 ;

• расчет координаты xK и импульса xK пучка в кикере по формулам • расчет удара по формуле (5.23).

Следует отметить, что все величины, входящие в формулы, кроме x1 и x2, рассчитываются заранее, а сигнальный процессор используется для быст рого вычисления выражений вида ax + by.

Эффективность новой цифровой системы поперечной ОС исследова лась в режимах ВЭПП-4М с различными значениями вертикального хро матизма. В качестве исходного взят обычный рабочий режим ВЭПП-4М с энергией 1845.7 МэВ, вертикальный хроматизм y = 4, горизонтальный x = 2. Пороговый ток TMC-неустойчивости в этом режиме составляет око ло 5 мА.

На рис. 5.25 показаны пооборотные графики тока (левый верхний), вер тикальной (левый средний) и горизонтальной (левый нижний) координаты инжектированного пучка, измеренные пикапом в течение 1024 оборотов, на рисунке также указаны выпускаемый ток ВЭПП-3 IV3, начальный ток Iinj и ток через 1024 оборота I1024. На правом верхнем графике изображен спектр вертикальных колебаний пучка, на правом нижнем горизонтальных. Вид но, что система обратной связи подавляет вертикальные колебания менее, чем за 100 оборотов, при этом потери тока невелики.

File:data\WP05 19/11/07 14:58:39 IV3=160.380 Iinj=28.864 I1024=26. X, mm Сразу же после инжекции время жизни пучка сильно уменьшилось, скорее всего, из-за вакуума, поскольку средний вакуум в камере ВЭПП-4М ухудшился примерно на порядок. На рис. 5.26 представлены графики тока пучка и времени жизни а течение 12 минут после инжекции. Видно, что при уменьшении тока до 15 мА (примерно трехкратное превышение порога TMC-неустойчивости) время жизни практически восстановилось.

При включенной обратной связи происходит также шумовая раскач ка пучка, регистрируемая оптической системой диагностики как увеличе ние вертикального и горизонтального размеров пучка. Изменение напря жения ВЧ на +200/ 250 кВ, включение/выключение электростатических устройств разведения пучков, вертикальный удар по пучку электромагнит ным импульсом инфлектора с амплитудой до 2 кВ, а также коррекция орби ты не оказывают заметного влияния на устойчивость пучка. Выключение ОС приводит к быстрому сбросу тока до порогового значения около 5 мА.

Постепенное уменьшение хроматизма привело к возбуждению неустойчи вости и сбросу тока до 4.4 мА при y = 1.4.

Проведены измерения в режиме с отрицательным вертикальным хро матизмом y = 8, x = 2. На рис. 5.27 приведены измеренные значения Рис. 5.27. Ток пучка, захваченного в ВЭПП-4М; y = 8, x = инжектируемого тока Iinj, тока пучка через 1024 оборота I1024 и тока через 1 минуту I60 после инжекции в зависимости от фазы обратной связи.

При выключении ОС пучок сбрасывается до тока 300400 мкА.

При увеличении положительного хроматизма ситуация улучшается.

Было обнаружено, что в режиме с хроматизмом y = 6, x = 2 выключе ние обратной связи приводит не к быстрому сбросу пучка, а к ухудшению времени жизни, при этом вертикальный размер уменьшается до равновес ного значения 0.14 мм. Вертикальный удар по пучку электромагнитным импульсом инфлектора с амплитудой 2 кВ при выключенной ОС приво дит к сбросу тока до величины около 4 мА. При дальнейшем увеличении положительного хроматизма удается захватить больший ток.

Итак, эксперименты с новой системой поперечной ОС ВЭПП-4М по казали, что обратная связь более эффективна при положительном хрома тизме, чем при отрицательном. Была также обнаружена довольно сильная зависимость от нелинейности магнитной структуры. Таким образом, для понимания механизмов возникновения и подавления TMC-неустойчивости должны одновременно учитываться как хроматические, так и нелинейные эффекты.

На рис. 5.28 представлена диаграмма максимального тока ВЭПП-4М в зависимости от хроматизма и нелинейности, рассчитанная с помощью многочастичной численной модели при тех же условиях, что и диаграм ма, приведенная на рис. 5.17, но с идеальной обратной связью, моделиру емой мгновенным ударом, пропорциональным поперечному импульсу пуч ка xf b = Kfb x. Декремент обратной связи fb = f0 /50. Моделирование показывает увеличение максимального тока за счет воздействия обратной связи, причем при отрицательном хроматизме, несмотря на большое отно сительное приращение тока по сравнению с выключенной ОС (рис. 5.17), Рис. 5.28. Диаграмма максимального тока пучка ВЭПП-4М, рассчитанная с помощью многочастичной численной модели; ОС включена, fb = f0 / абсолютный максимальный ток все же меньше, чем при положительном хроматизме.

Диссертация посвящена разработке и развитию методов подавления коллективных неустойчивостей пучка в лептонных накопителях. Ниже пе речислены основные результаты диссертационной работы:

1. Разработаны эффективные методы спектрального анализа колебаний пучка, востребованные в экспериментальных исследованиях как кол лективных эффектов и неустойчивостей, так и других интересных аспектов динамики пучка. Разработанные алгоритмы обработки дан ных впервые в России и одними из первых в мире были примене ны для рутинной диагностики пучка. Установлено, что никакой алго ритм уточнения дискретного преобразования Фурье принципиально не может обеспечить абсолютно точного вычисления частоты колеба ний, представленных в виде дискретной последовательности выборок.

Причина неустранимой погрешности сдвиг максимума амплитудно го спектра из-за интерференции спектров соседних периодов. Вели чина погрешности может превышать величину 1/4N, где N длина последовательности выборок. Как показывает опыт, в реальных за дачах диагностики пучка улучшить точность дискретного преобра зования Фурье с помощью методов уточнения и спектральных окон возможно на 12 порядка, в зависимости от специфики задачи.

2. Разработан новый оригинальный метод измерения азимутального рас пределения импеданса связи, основанный на измерении искажения равновесной орбиты пучка локальным поперечным импедансом. По скольку шумовая погрешность датчиков положения пучка пропорци ональна квадратному корню из полосы частот, этот метод обеспечи вает существенно лучшее разрешение по сравнению с ранее использу емым методом, основанным на измерении набега бетатронной фазы, так как датчики положения пучка используются в узкополосном ре жиме (измерение орбиты), а не в широкополосном (пооборотные из мерения колебаний). Впервые в мире метод был успешно применен на комплексе ВЭПП-4 для измерения азимутального распределения им педанса циклического ускорителя, а также для измерения импеданса, вносимого скрепером с регулируемой апертурой, установленным на источнике СИ Elettra для обеспечения радиационной безопасности.

3. Впервые в мире экспериментально показано, что поперечная многос густковая неустойчивость пучка в накопителе электронов может быть эффективно подавлена с помощью расфазировки колебаний частиц пучка, вносимой как эффект второго порядка семейством гармони ческих секступолей, без использования октупольных линз. Как по казали эксперименты, проведенные на источнике СИ третьего поко ления Elettra, по эффективности подавления неустойчивости сексту поли оказались сравнимыми с октуполями, обычно используемыми для регулирования амплитудно-зависимого сдвига бетатронных ча стот, но отсутствующими в магнитной структуре накопителя Elettra (а также и ряда других установок). В результате исследований было определенно установлено, что затухание вызывается разбросом ча стот колебаний частиц внутри сгустка и может быть эффективным как в случае многосгустковой, так и односгустковой неустойчивости.

4. Две секции вигглеров-затухателей спроектированы и изготовлены в ИЯФ им. Будкера СО РАН для источника СИ PETRA III (DESY, Германия) с целью уменьшения эмиттанса электронного пучка. Ва куумная камера секций, имеющая сложное поперечное сечение из за наличия приемников излучения для поглощения беспрецедентно большой мощности СИ, не имеет аналогов в мире. Из-за сложной кон фигурации вакуумная камера вносит существенный вклад в суммар ный импеданс накопителя. Для оценок устойчивости пучка проведе ны расчет и оптимизация импедансов вакуумной камеры с помощью программ трехмерного моделирования wake-полей. Измерения, про веденные в процессе запуска в эксплуатацию накопителя PETRA III, подтвердили расчетные оценки коллективных эффектов, как и ожи далось, ухудшения качества пучка не произошло.

5. Проведено важное с практической точки зрения сравнительное иссле дование программ трехмерного моделирования wake-полей MAFIA и GddL, широко используемых для расчета wake-потенциалов и им педансов элементов вакуумной камеры проектируемых ускорителей.

Показано, что для простых структур, таких как цилиндрическая ка мера со скачкообразным изменением сечения и сглаженные переходы сечения в цилиндрической и прямоугольной камерах, обе программы дают результаты, согласующиеся с точностью не хуже, чем 10%.

6. Для анализа устойчивости бетатронных колебаний с учетом TMC неустойчивости, хроматического head-tail-эффекта, а также потери когерентности колебаний за счет хроматизма и нелинейности, была разработана многочастичная численная модель. Полученные резуль таты численного моделирования дают надежду на то, что даже без обратной связи возможно превысить пороговый ток TMC-неустой чивости, повышая хроматизм и нелинейность магнитной структуры.

На электрон-позитронном коллайдере ВЭПП-4М впервые в России получено более чем двукратное превышение порогового тока TMC неустойчивости без применения обратной связи, только за счет хро матического и нелинейного механизмов подавления неустойчивости.

7. Проведены исследования эффективности новой цифровой системы поперечной обратной связи ВЭПП-4М в режимах с различными зна чениями вертикального хроматизма. Измерения показали, что обрат ная связь более эффективна при положительном хроматизме, чем при отрицательном. Была также обнаружена довольно сильная за висимость от нелинейности магнитной структуры. Достигнуто более чем трехкратное превышение порогового тока TMC-неустойчивости, причем ограничение тока инжектированного пучка определялось бу стерным накопителем ВЭПП-3, а не системой обратной связи.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность своим пер вым учителям и наставникам на пути специалиста по ускорительной фи зике В.А. Киселеву и А.С. Калинину. Автор благодарит Н.С. Диканского, Р. Ванценберга и М. Зобова за плодотворные обсуждения тем, затронутых в диссертации. Отдельно хотелось бы поблагодарить Е.А. Переведенцева и Д.В. Пестрикова за чтение диссертации и полезные замечания. И нако нец, автор выражает глубокую признательность участникам и соавторам совместных работ, во многом определивших результаты, описанные в дис сертации: Е.Б. Левичеву, В.П. Черепанову, Д.П. Суханову, А.С. Медведко, Э. Каранцулису, Л. Тоси, Д. Булфоне, М. Лонца, Е.А. Симонову, Д.Н. Ша тилову, С.Е. Карнаеву, О.И. Мешкову, А.Н. Журавлеву, П.А. Пиминову, С.А. Никитину, Г.Я. Куркину, В.Н. Осипову, С.И. Мишневу, а также все му коллективу ускорительного комплекса ВЭПП-4 и многим сотрудникам объединенной лаборатории № 6 ИЯФ им. Будкера СО РАН за обеспечение возможности и активное участие в проведении экспериментов.

1. Chao A. Physics of Collective Beam Instabilities. New York: Wiley, 1993.

2. Zotter B.W., Kheifets S.A. Impedances and Wakes in High-Energy Particle Accelerators. Singapore: World Scientic, 1998.

3. Диканский Н.С., Пестриков Д.В. Физика интенсивных пучков в на копителях. Новосибирск: Наука, 1989.

4. Куренной С.С. Взаимодействие пучка с вакуумной камерой ускори теля. Методы вычисления импеданса связи // Физика элементарных частиц и атомного ядра, том 24, вып. 3 (1993) 878–927.

5. Kheifets S.A. Coupling Impedance in Modern Accelerators // Reviews of Modern Physics, Vol. 63, No. 3 (1991), p. 631–673.

6. Диканский Н.С., Скринский А.С. Поперечная когерентная неустойчи вость сгустка заряженных частиц // Атомная энергия, том 21, вып. (1966) 176–179.

7. Дербенев Я.С., Диканский Н.С. К теории когерентной попереч ной неустойчивости сгустка заряженных частиц // Атомная энергия, том 22, вып. 3 (1967) 191–194.

8. Диканский Н.С., Пестриков Д.В. Взаимодейстиве бунчированного пучка с вакуумной камерой с конечной проводимостью стенок // Препр. ИЯФ СО АН СССР 74-94. Новосибирск, 1974.

9. Danilov V.V., Perevedentsev E.A. Transverse feedback systems for the strong head-tail eect // CERN SL/92-58 (AP), Geneva, Switzerland, 1992.

10. Danilov V.V., Perevedentsev E.A. Feedback System for Elimination of the Transverse Mode Coupling Instability // CERN SL/93-38 (AP), Geneva, Switzerland, 1993.

11. Perevedentsev E. Head-Tail Instability Caused by Electron Cloud // Proc. of ECLOUD-2002, CERN-2002-001, Geneva, Switzerland, 2002, p. 171–194.

12. Chao A.W., Tigner M. Handbook of Accelerator Physics and Engineering. Singapore: World Scientic, 1999.

13. http://www.cst.com/Content/Products/MAFIA/Overview.aspx http://www.gddl.de/ 15. Smaluk V., Wanzenberg R. Geometrical Impedance of the PETRA III Damping Wiggler Section // ICFA Beam Dynamics Newsletter No. 45, (2008) p. 139–146.

16. Smaluk V., Einfeld D. Impedance Estimation for the ALBA Storage Ring // Proc. of RuPAC-2006. Novosibirsk, Russia, 2006.

17. Brandt D. et al. Measurement of Impedance Distributions and Instability Thresholds in LEP // CERN-SL-95-34 AP, Geneva, Switzerland, 1995.

18. Ieiri T., Akai K., Akasaka N. Measurement of Longitudinal Coupling Impedance at KEKB // Proc. Symp. Accel. Sci. Technol. Vol. 12 (1999) p. 409–411.

19. Marcellini F., Alesini D., Boni R., Gallo A. Ghigo A., Serio M., Beam Coupling Impedance Measurements of the DAFNE Vacuum Chamber Components // KEK Proc. Vol. 99, No 24 (2000) p. 139–145.

20. Smaluk V. Discrete spectral analysis of beam oscillation // Nucl. Instr.

and Meth. A 578 (2007) 306314.