«МЕТОД НЕОРДИНАРНЫХ СЕМЕЙСТВ В ТЕОРИИ БЭРОВСКИХ КЛАССОВ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛЯПУНОВА ...»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 517.926.4

ВЕТОХИН Александр Николаевич

МЕТОД НЕОРДИНАРНЫХ СЕМЕЙСТВ В ТЕОРИИ

БЭРОВСКИХ КЛАССОВ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛЯПУНОВА

01.01.02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант доктор физико-математических наук профессор И. Н. Сергеев Москва Содержание Введение 1 Постановки задач и обзор литературы............. 2 Формулировки основных результатов............. I Некоторые факты и результаты из бэровской классификации функций 1 Лебеговские множества бэровских функций.......... 2 Теоремы Р. Бэра, Л. В. Келдыш и следствия из них...... 3 Необходимые условия принадлежности остаточных показателей первому классу Бэра на пространстве линейных систем с равномерной топологией.................... 4 Критерий принадлежности остаточных показателей первому классу Бэра на пространстве линейных систем с компактнооткрытой топологией....................... 5 Бэровские классы показателей на пространстве линейных систем с равномерной и компактно-открытой топологиями.. 6 Достаточные условия ляпуновской эквивалентности линейных систем............................ II Бэровская классификация мажорант и минорант показателей Ляпунова 1 Уточнение бэровского класса показателей Ляпунова на пространстве линейных систем с равномерной и компактнооткрытой топологиями...................... 2 Точный бэровский класс мажорант показателей Ляпунова на пространстве линейных систем с компактно-открытой топологией............................... 3 Точный бэровский класс миноранты старшего показателя Ляпунова на пространстве линейных систем с компактнооткрытой топологией....................... 4 Точный бэровский класс нижнего центрального показателя Винограда на пространстве линейных систем с компактнооткрытой топологией....................... 5 Семейство линейных систем с пустым множеством точек полунепрерывности снизу минорант показателей Ляпунова.. 6 Минимальная мажоранта показателя Ляпунова среди всех его мажорант первого класса Бэра на пространстве линейных систем с равномерной топологией............... III Бэровская классификация некоторых вспомогательных показателей 1 Точный класс Бэра -показателей на пространстве линейных систем с равномерной и компактно-открытой топологиями. 2 Точный класс Бэра конструктивного показателя на пространстве линейных систем с равномерной и компактнооткрытой топологиями...................... 3 Точный класс Бэра сигма-показателей Изобова на пространстве линейных систем с равномерной и компактно-открытой топологиями........................... 4 Точный класс Бэра индекса условной экспоненциальной устойчивости на пространстве линейных систем с равномерной и компактно-открытой топологиями............... 5 Точный класс Бэра размерности векторных подпространств, определяемых показателями Ляпунова, на пространстве линейных систем с равномерной и компактно-открытой топологиями.............................. 6 Точный класс Бэра экспоненциального показателя Изобова на пространстве линейных систем с компактно-открытой топологией.............................. 7 Точный класс Бэра нижних вспомогательных показателей Миллионщикова на пространстве линейных систем с компактнооткрытой топологией....................... 8 Непринадлежность третьему классу Бэра верхних вспомогательных показателей Миллионщикова на пространстве линейных систем с компактно-открытой топологией...... IV Некоторые свойства показателей Ляпунова правильных линейных систем 1 Точный бэровский класс показателей Ляпунова на пространстве правильных линейных систем с равномерной и компактнооткрытой топологиями...................... 2 Критерий устойчивости всех показателей Ляпунова правильных линейных систем при равномерно малых возмущениях. 3 Точный дескриптивный тип множества неправильных систем в пространстве линейных систем с равномерной и компактнооткрытой топологиями...................... 4 Несовпадение двух подмножеств Миллионщикова...... V Некоторые свойства топологической энтропии липшицевых 1 Определение топологической энтропии непрерывного отображения компактного метрического пространства....... 2 Точный бэровский класс топологической энтропии на пространстве липшицевых отображений с равномерной топологией................................ 3 Точный бэровский класс топологической энтропии семейства Введение §1 Постановки задач и обзор литературы Одним из основных направлений качественной теории дифференциальных уравнений является изучение характеристических показателей, которые первоначально были введены А.М. Ляпуновым [75] в связи с исследованием устойчивости по первому приближению.

Развитие теории линейных систем привело к созданию целого ряда новых показателей: все они или определяются непосредственно через показатели Ляпунова, или являются их модификациями, а потому также могут, в широком смысле, называться ляпуновскими (во избежание путаницы для каждого из них, как правило, предусмотрено и свое собственное название).

Библиография по теории показателей Ляпунова в обзорах [61, 67] и книгах [14, 68] насчитывает более тысячи наименований.

I. Вопросы непрерывности ляпуновских показателей. Важное место в теории показателей Ляпунова занимает вопрос о характере их зависимости от коэффициентов системы.

Как показал О. Перрон [131] показатели Ляпунова не являются непрерывными функционалами на пространстве линейных однородных систем с равномерной топологией (на положительной полуоси времени). Он же предложил и первые достаточные условия на линейную систему, при которых она является точкой непрерывности показателей Ляпунова [132].

Впоследствии необходимые и достаточные условия, при которых линейная система является точкой полунепрерывности сверху показателей Ляпунова, были полностью изучены: сначала для старшего показателя Р.Э. Виноградом [55] и В.М. Миллионщиковым [79], а затем и для любого показателя И.Н. Сергеевым [113].

Критерии полунепрерывности снизу к настоящему времени гораздо менее изучены. Так, в работе [55] приведено достаточное условие полунепрерывности снизу младшего показателя Ляпунова, а в работе [79] доказана его необходимость. Далее, Н.А. Изобов [62] получил критерий полунепрерывности снизу старшего показателя Ляпунова в двумерном случае, а затем И.Н. Сергеев [114] указал критерий полунепрерывности снизу каждого из показателей Ляпунова в трехмерном случае.

В работах [15, 16, 78] найден критерий непрерывности одновременно всех показателей Ляпунова линейной системы. Кроме того, к задачам о нахождении достижимых границ подвижности этих показателей тесно примыкают работы о различных видах управления показателями Ляпунова [?], а также другими характеристиками асимптотического поведения решений линейных систем [110].

Рассматривая множества линейных систем, возникающих как системы в вариациях по начальным значениям (или параметрам) вдоль решений нелинейных систем, и изучая их показатели Ляпунова или другие ляпуновские показатели, нередко приходится отказываться от топологии равномерной сходимости коэффициентов на полупрямой. Действительно, поскольку теорема о непрерывной зависимости решений от начальных условий (или параметров) обеспечивает близость решений лишь на любых заранее заданных компактах оси времени, то только такая близость и гарантируется для соответствующих этим решениям линейных систем в вариациях.

Таким образом, на пространстве линейных систем, наряду с топологией равномерной сходимости, приходится рассматривать и более слабую компактно-открытую топологию (т. е. топологию равномерной сходимости коэффициентов на каждом компакте положительной полуоси).

Несомненный интерес вызывает и самая общая ситуация, когда коэффициенты системы, непрерывные на полуоси времени, еще и непрерывно (возможно, равномерно по времени) зависят от параметра из некоторого метрического пространства. Тогда ляпуновские показатели такой системы (точнее, семейства систем) можно рассматривать как функционалы, определенные на этом метрическом пространстве, и ставить вопросы об их непрерывности или полунепрерывности по параметру, а также о типичности точек такой непрерывности или полунепрерывности.

Существует несколько, не эквивалентных друг другу, подходов к тому, какие свойства называть типичными, а какие нет. В диссертации используется понятие типичности, введенное и изученное Р. Бэром [17, 128], а именно: свойство точки топологического пространства называется типичным по Бэру, если множество точек, обладающих этим свойством, содержит всюду плотное множество типа G (т. е. множество, представимое в виде счетного пересечения открытых подмножеств).

II. Классификация Бэра ляпуновских показателей. В 1980– гг. В.М. Миллионщиков в цикле своих работ [81]–[92] открыл новое направление в качественной теории дифференциальных уравнений: он предложил для описания зависимости ляпуновских показателей от параметров использовать классификацию Бэра разрывных функций [17].

В частности, он установил [81], что для любого семейства линейных систем, непрерывно зависящих от параметра из метрического пространства, показатели Ляпунова, рассматриваемые как функции на этом метрическом пространстве, принадлежат второму классу Бэра, т. е. представимы в виде двух поточечных пределов от непрерывных функций (более того, для вычисления значений этих функций достаточно иметь информацию о системе лишь на некотором конечном участке временной полуоси, своем для каждой функции [12, 116]).

В дальнейшем В.М. Миллионщиковым и его учениками были получены оценки сверху для номеров бэровских классов целого ряда ляпуновских показателей [3], [94]–[97], [99]–[101], [107], [119], [122]–[126]. В результате возник естественный вопрос о неулучшаемости полученных результатов, т. е. об адекватных оценках для тех же номеров бэровских классов снизу.

Первой работой в указанном направлении была, по всей видимости, работа М.И. Рахимбердиева [111, 1982 г.], в которой c помощью довольно тонких построений установлено, что показатели Ляпунова не принадлежат первому классу Бэра на пространстве линейных однородных систем c равномерной (а тем более и с компактно-открытой) топологией.

В дальнейшем, с помощью аналогичных построений, другими авторами была доказана непринадлежность первому классу Бэра еще некоторых ляпуновских показателей на пространстве линейных систем c равномерной топологией [107] или с компактно-открытой топологией [1, 2, 4]. Отметим, что для каждой характеристики приходилось изобретать свой способ доказательства непринадлежности первому классу Бэра.

Поэтому возникла необходимость в получении универсальных и сравнительно просто проверяемых условий, позволяющих доказывать непринадлежность показателей первому классу Бэра. Методы же доказательства непринадлежности показателей второму, третьему и т. д. классам Бэра некоторое время оставались неизвестными.

Функционалы, представимые в виде нескольких поточечных пределов от непрерывных функций, встречаются не только в теории показателей Ляпунова, но и в теории динамических систем. Одним из таких функционалов является топологическая энтропия [127] динамической системы, представляющая собой скорость экспоненциального роста числа отрезков орбит, различимых с произвольно хорошей, но конечной точностью. Можно сказать, что топологическая энтропия описывает одним числом полную экспоненциальную сложность орбитальной структуры.

Изучению свойств топологической энтропии, рассматриваемой как функционал на множествах отображений компактных метрических пространств и гладкий многообразий с различными топологиями, посвящено немало работ (см., например, книгу [70] или обзор [71]). В частности [70], имеет место полунепрерывность снизу топологической энтропии на пространстве непрерывных отображений отрезка, наделенном равномерной топологией, причем в общем случае этого нельзя утверждать.

III. Приложения теории Бэра. Опишем несколько возможных приложений теории Бэра к теории показателей Ляпунова.

Во-первых, для записи ляпуновских показателей обычно используется несколько предельных переходов. Поэтому возникает вопрос, можно ли уменьшить количество пределов в формуле для данного показателя. На этот вопрос помогает ответить бэровская теория разрывных функций, причем как раз в той части, которая связана с оценкой номера класса Бэра данного показателя снизу.

Во-вторых, в процессе развития теории дифференциальных уравнений уже введено в рассмотрение целое множество ляпуновских показателей, а со временем продолжают появляться все новые и новые. Поэтому не праздным оказывается вопрос, не совпадает ли новая характеристика с какойлибо из введенных ранее. Ответ на этот вопрос иногда может дать теория классов Бэра.

Например, минимальные полунепрерывные сверху мажоранты показателей Ляпунова на пространстве линейных систем с равномерной топологией принадлежат первому классу Бэра (на том же пространстве, в силу определения), а сами показатели Ляпунова не принадлежат первому классу Бэра, следовательно, эти характеристики асимптотического поведения решений заведомо различны.

В-третьих, если две функции принадлежат разным классам Бэра, то существует хотя бы одна точка, в которой эти функции принимают разные значения. Эту информацию можно использовать для доказательства существования объектов с определенными свойствами: скажем, из приведенного выше примера непосредственно вытекает существование линейной системы, которая не является точкой полунепрерывности сверху показателей Ляпунова (ни в равномерной, ни тем более в компактно-открытой топологии).

В-четвертых, принадлежность того или иного показателя конкретному классу Бэра позволяет гарантировать наличие у него определенных свойств. Например, если показатель принадлежит первому классу Бэра, то, в силу теоремы Бэра о функциях первого класса, в типичной по Бэру точке он непрерывен. Если показатель представим в виде поточечного предела от неубывающей (невозрастающей) последовательности функций первого класса Бэра, то в типичной по Бэру точке он полунепрерывен снизу (сверху). Если показатель принадлежит конечному (причем любому) классу Бэра, то найдется такое всюду плотное множество типа G, что его сужение на это множество есть непрерывная функция.

IV. Основные результаты диссертации. Остановимся подробнее на основных результатах автора, включенных в настоящую диссертацию.

Центральное место в предлагаемом исследовании занимает вопрос о принадлежности или непринадлежности конкретных ляпуновских характеристик тому или иному классу Бэра, причем основной акцент в диссертации сделан именно на доказательстве непринадлежности.

Благодаря проведенному исследованию, удалось получить окончательные ответы на целый ряд вопросов, поставленных В.М. Миллионщиковым на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в МГУ имени М.В. Ломоносова в 1991–1995 гг. (когда семинаром руководили профессора В.А. Кондратьев, В.М. Миллионщиков, Н.Х. Розов).

Метод диссертации. Основным методом работы является построение специальных семейств линейных систем, непрерывно (возможно, равномерно по независимой переменной) зависящих от параметра, с неординарным, иногда даже экзотическим, или уродливым, поведением ляпуновских показателей. С помощью таких семейств автору удалось установить, в частности, непринадлежность тех или иных показателей первому, второму или третьему классам Бэра на пространстве линейных систем с непрерывными и ограниченными на полуоси коэффициентами, наделенном компактно-открытой или равномерной топологией.

Мажоранты показателей Ляпунова и другие показатели.

В.М. Миллионщиков в одном из своих докладов [98, 1991 г.] поставил задачу о нахождении минимального бэровского класса, которому принадлежит минимальная полунепрерывная сверху мажоранта k-го показателя Ляпунова на пространстве линейных систем с компактно-открытой топологией (в равномерной топологии она, будучи полунепрерывной функцией, принадлежит первому классу Бэра). Позднее И.Н. Сергеев установил, что она принадлежит второму классу Бэра [118, 2002 г.].

В первой главе диссертации выделены простые условия, при выполнении которых ляпуновский показатель не принадлежит первому классу Бэра на пространстве линейных систем с компактно-открытой топологией [28]. С их помощью во второй главе диссертации доказано, что минимальная полунепрерывная сверху мажоранта k-го показателя Ляпунова не принадлежит первому классу Бэра на пространстве линейных систем с компактнооткрытой топологией [28], а также является наименьшей функцией первого класса Бэра на пространстве линейных систем с равномерной топологией, оценивающей k-й показатель Ляпунова сверху [38].

Кроме того, в первой главе диссертации получены простые условия, при выполнении которых ляпуновский показатель не принадлежит первому классу Бэра на пространстве линейных систем с равномерной топологией [18]. С их помощью в третьей главе доказана непринадлежность первому классу Бэра на этом пространстве -показателей [28], индекса условной экспоненциальной устойчивости решений линейной системы [20], конструктивного показателя Изобова [33] и сигма-показателя Изобова [32].

В то же время для любого семейства линейных дифференциальных систем, непрерывно зависящих от параметра из некоторого метрического пространства, в диссертации установлено, что все эти показатели, рассматриваемые как функционалы на этом метрическом пространстве, принадлежат второму классу Бэра, а в случае полноты этого пространства все они, за исключением индекса условной экспоненциальной устойчивости, в типичной по Бэру точке полунепрерывны сверху.

Миноранты показателей Ляпунова и другие показатели. В своем докладе [102, 1993 г.] В.М. Миллионщиков поставил задачу о нахождении минимального класса Бэра, которому принадлежит максимальная полунепрерывная снизу миноранта k-го показателя Ляпунова на пространстве линейных систем с компактно-открытой топологией (принадлежащая в равномерной топологии опять же первому классу Бэра). В.В. Быков и Е.Е. Салов установили, что она принадлежит третьему классу Бэра [13, 2003 г.] (ранее это было установлено И.Н. Сергеевым для трехмерного случая [115, 1995 г.]).

Используя результат Р. Бэра [129, 1909 г.], автор в первой главе диссертации установил необходимые условия принадлежности функции второму классу Бэра на произвольном метрическом пространстве. С помощью этих условий во второй главе диссертации доказано, что максимальная полунепрерывная снизу миноранта k-го показателя Ляпунова на пространстве линейных систем с компактно-открытой топологией не принадлежит второму классу Бэра [29], а в случае k = 1, 2 является наибольшей функцией первого класса Бэра на пространстве линейных систем с равномерной топологией, оценивающей k-й показатель Ляпунова снизу [34].

Также в третьей главе установлено, что размерность векторного подпространства, определяемого k-м показателем Ляпунова, на пространстве линейных систем, наделенном компактно-открытой или равномерной топологией, принадлежит третьему классу Бэра и не принадлежит второму [23].

Отметим, что доказательство непринадлежности минимальной полунепрерывной сверху мажоранты k-го показателя Ляпунова первому классу Бэра и непринадлежности максимальной полунепрерывной снизу миноранты k-го показателя Ляпунова второму классу Бэра на пространстве линейных систем с компактно-открытой топологией составляют содержание кандидатской диссертации автора [24, 1997 г.].

В докладе [102, 1993 г.] В.М. Миллионщиков, в предположении, что коэффициенты линейной системы непрерывно зависят от параметра из некоторого полного метрического пространства, поставил вопрос о типичности точек полунепрерывности снизу миноранты k-го показателя Ляпунова, рассматриваемой как функция этого параметра.

Во второй главе диссертации построено такое семейство линейных систем, непрерывно зависящее от вещественного параметра, что множество точек полунепрерывности целого ряда ляпуновских показателей, рассматриваемых как функционалы от этого параметра, пусто [51]. В частности, для этого семейства оказалось пустым (а значит, нетипичным) и множество точек полунепрерывности снизу максимальной полунепрерывной снизу миноранты k-го показателя Ляпунова.

Н.А. Изобов в работе [64, 1982 г.] ввел старший экспоненциальный показатель линейной системы, который является достижимой границей подвижности вверх старшего показателя Ляпунова при экспоненциально убывающих возмущениях исходной системы. В.Г. Агафонов по заданию В.М. Миллионщикова установил, что этот показатель не принадлежит первому классу Бэра [2, 1993 г.] и принадлежит третьему классу Бэра [3, 1994 г.] на пространстве линейных систем с компактно-открытой топологией.

В третьей же главе диссертации доказано, что старший экспоненциальный показатель не принадлежит на том же пространстве и второму классу Бэра [30].

Вспомогательные показатели Миллионщикова. Для исследования стохастической устойчивости показателей Ляпунова линейных систем В.М. Миллионщиков ввел верхние и нижние вспомогательные показатели [80, 1970 г.], старшие из которых совпадают с верхним центральным показателем, а младшие с нижним центральным показателем, введенными Р.Э. Виноградом [55, 1957 г.]. Тогда же В.М. Миллионщиков предположил, что промежуточный верхний и соответствующий ему нижний вспомогательный показатели совпадают. В дальнейшем О.Г. Илларионовой была построена трехмерная система, для которой промежуточные вспомогательные показатели не совпадают [69, 1988 г.].

В.Г. Феклин по заданию В.М. Миллионщикова установил [119, 1992 г.], что нижние вспомогательные показатели принадлежат третьему классу Бэра на пространстве линейных систем с компактно-открытой топологией (заметим, что старший вспомогательный показатель, совпадая с минимальной полунепрерывной сверху мажорантой старшего показателя Ляпунова, принадлежит даже второму классу Бэра). Затем К.Е. Ширяев установил [122, 1995 г.], что вспомогательные показатели не принадлежат первому классу Бэра на том же пространстве.

В третьей главе диссертации установлено, что все нижние вспомогательные показатели, кроме старшего, не принадлежат и второму классу Бэра на пространстве линейных систем с компактно-открытой топологией [26].

Используя результат Л.В. Келдыш [72, 74, 1945 г.], автор в первой главе диссертации получил необходимые условия принадлежности функции третьему классу Бэра (они могут быть обобщены и на произвольный конечный класс Бэра) на произвольном метрическом пространстве. С помощью этих условий в третьей главе диссертации установлена непринадлежность промежуточных верхних вспомогательных показателей третьему классу Бэра на пространстве линейных систем с компактно-открытой топологией [25], [35].

Отсюда, кстати попутно, вытекает, что никакие промежуточные верхние и нижние вспомогательные показатели не могут полностью совпадать друг с другом.

Правильные по Ляпунову системы. Один из важнейших классов линейных систем образуют правильные системы, которые были введены А.М. Ляпуновым в связи с исследованием экспоненциальной устойчивости неавтономной системы по первому приближению. Рассматривая семейства линейных систем, в которые параметр входит как множитель при матрице коэффициентов системы, а сама эта система правильна по Ляпунову, Ю.С. Богданов в 1980 г. поставил вопрос о пустоте множества (в дальнейшем будем называть его множеством неправильности данного семейства) тех значений параметра, при которых соответствующая система является неправильной.

Н.А. Изобов и Е.К. Макаров в работах [65, 77, 1988 г.] построили такие семейства систем, линейно зависящие от вещественного параметра, множества неправильности которых могут оказаться следующими: множеством значений произвольной бесконечной в обе стороны арифметической прогрессии, не содержащей нуля и единицы; объединением значений таких прогрессий, замыкание которого счетно; дополнение до R такой арифметической прогрессии; множество R \ {0, 1}.

В четвертой главе диссертации доказано, что для любого семейства систем, непрерывно зависящих от параметра из некоторого метрического пространства, множество неправильности является множеством типа G [21, 1995 г.], а также существуют такие полное метрическое пространство и семейство систем, непрерывно (равномерно по времени, при не менее чем двумерном фазовом пространстве) зависящих от параметра, что множество неправильности не является множеством типа F [31, 2000 г.].

В дальнейшем Е.А. Барабанов в работе [7, 2009 г.], в частности, доказал, что множество вещественной прямой тогда и только тогда есть множество неправильности некоторого семейства линейных дифференциальных систем, непрерывно зависящих от вещественного параметра, когда оно является множеством типа G.

В.М. Миллионщиков предложил два естественных расширения подмножества правильных линейных систем [103, 104, 105, 1993 г.]. Первое это подмножество линейных систем, у которых показатели Ляпунова инвариантны относительно экспоненциально убывающих возмущений. Второе подмножество линейных систем, которые обобщенными ляпуновскими преобразованиями приводимы к диагональным системам с упорядоченными диагоналями. В докладе В.М. Миллионщикова [106] установлено включение второго множества в первое и поставлен вопрос о его строгости.

В четвертой главе диссертации доказано, что это включение является строгим [48].

Топологическая энтропия. В книге [70, стр. 501] установлено, что топологическая энтропия, рассматриваемая как функционал на пространстве непрерывных отображений из [0; 1] в [0; 1] с равномерной топологией, является всюду полунепрерывной снизу функцией, а следовательно, принадлежит первому классу Бэра. В работе [130, 1973 г.] установлено, что в случае произвольного компактного риманова многообразия топологическая энтропия не является полунепрерывной ни снизу, ни сверху даже на пространстве диффеоморфизмов с C 1 -топологией, и поставлен вопрос о классе Бэра, которому принадлежит топологическая энтропия.

В пятой главе диссертации доказано, что топологическая энтропия на пространстве липшицевых отображений компактного метрического пространства с равномерной топологией принадлежит второму классу Бэра [39], и построено такое семейство липшицевых отображений, непрерывно зависящих от параметра из некоторого компактного метрического пространства, что топологическая энтропия не является функцией первого класса Бэра [44].

Кроме того, в пятой главе доказано, что для любого семейства липшицевых отображений, непрерывно зависящих от параметра из полного метрического пространства, в типичной по Бэру точке топологическая энтропия, рассматриваемая как функция на этом метрическом пространстве, полунепрерывна снизу [44], и предъявлен пример такого семейства, для которого утверждение о полунепрерывности снизу топологической энтропии нельзя заменить непрерывностью [43].

Автор глубоко признателен профессору В.М. Миллионщикову, профессору И.Н. Cергееву и доценту В.В. Быкову за постановки задач и полезное обсуждение работы, а также академику Н.А. Изобову за организационную и моральную поддержку.

§2 Формулировки основных результатов В. М. Миллионщиков в работе [81] для любого n N и k {1,..., n} установил, что k-ый показатель Ляпунова системы с непрерывной ограниченной оператор-функцией A : R+ End Rn, определяется формулой где Gk (Rn ) множество k-мерных векторных подпространств пространства Rn, XA (t, 0)|L сужение оператора Коши системы (1) на подпространство L Rn.

Обозначим через k (A) минимальную полунепрерывную сверху мажоранту k-го показателя Ляпунова системы (1), определяемую формулой непрерывное по µ M равномерно по t R+ ), для которого подмножество Wn не является множеством типа F в пространстве M.

В. М. Миллионщиков в работах [103, 104, 105] предложил два расширения множества правильных линейных систем. Первое EIn множество систем вида (1) таких, что для всякой непрерывной оператор-функции B K0 система y = (A(t) + B(t))y имеет те же показатели Ляпунова, что и система (1). Второе GRODn множество систем вида (1), которые дифференцируемая оператор-функция, удовлетворяющая условиям приводимы к диагональным системам с упорядоченной диагональю В докладе [106] утверждается справедливость включения GRODn EIn и поставлен вопрос о его строгости.

Теорема IX [48]. Пусть n 2, тогда GRODn = EIn.

Напомним определение топологической энтропии динамической системы [70, стр. 120]. Пусть X компактное метрическое пространство, а f:XX непрерывное отображение. Наряду с исходной метрикой d определим на X дополнительную систему метрик Обозначим через Bf (x,, n) открытый шар {y X : df (x, y) < }. Множеn ство E X называется (f,, n)-покрытием, если Пусть Sd (f,, n) обозначает минимальное количество элементов (f,, n)покрытия. Топологической энтропией динамической системы, порожденной непрерывным отображением f называется По метрическому пространству M и непрерывному отображению образуем функцию Изучим поведение функции (9) с точки зрения бэровской классификации.

Напомним, что свойство точки топологического пространства называется типичным по Бэру, если множество точек, обладающих этим свойством, содержит всюду плотное множество типа G, т. е. множество, представимое в виде счетного пересечения открытых подмножеств.

Теорема X [43]. Для любого метрического пространства M и каждого отображения (8), удовлетворяющего условию Липшица по x X при всяком фиксированном значении µ M, функция (9) принадлежит второму классу Бэра, а если M метризуемо полной метрикой, то в типичной по Бэру точке полунепрерывна снизу.

Теорема XI [44]. Существуют такие компактные метрические пространства M и X, что для любого K > 1 найдется такое отображение (8), удовлетворяющее условию Липшица с константой K по x X при всяком фиксированном значении µ M, что функция (9) не принадлежит первому классу Бэра.

Глава I Некоторые факты и результаты из бэровской классификации функций §1 Лебеговские множества бэровских функций Пусть M произвольное метрическое пространство. Напомним, что функциями нулевого класса Бэра на метрическом пространстве M называются непрерывные функции и для всякого натурального числа p функциями p-го класса Бэра называются функции, являющиеся поточечными пределами последовательностей функций (p 1)-го класса.

Более тонкой классификацией разрывных функций является классификация функций при помощи их лебеговских множеств [120, стр. 223– 224]. Пусть G, F две системы подмножеств метрического пространства M, а f {x M : f (x) > p} принадлежит системе G, то скажем, что функция f принадлежит классу (G, ); если множество {x M : f (x) p} принадлежит системе F, то функция f принадлежит классу (, F), если же f (G, ) (, F), то скажем, что функция f принадлежит классу (G, F).

Рассмотрим ситуацию, когда G система открытых подмножеств, а F система замкнутых подмножеств метрического пространства M, G система подмножеств метрического пространства M, которые можно представить в виде пересечения счетного числа множеств из системы G, F система подмножеств метрического пространства M, которые можно представить в виде объединения счетного числа множеств из системы F и т. д. Тогда [120, стр. 236] класс непрерывных функций (G, F) совпадает с нулевым классом Бэра на M, класс полунепрерывных снизу функций (G, ) с классом функций, являющихся поточечными пределами неубывающих последовательностей непрерывных функций, класс полунепрерывных сверху функций (, F) с классом функций, являющихся поточечными пределами невозрастающих последовательностей непрерывных функций, класс (F, G ) с первым классом Бэра на M. Аналогично [120, стр. 231], функции второго класса Бэра принадлежат классу (G, F ) и, возможно, какому-либо из классов (F, ), (, G ) и т. д.

Доказательства формулируемых ниже утверждений не приводятся, поскольку близкие утверждения содержатся, например, в [73] или [120].

1. Пусть функционал p-го класса Бэра на метрическом пространстве M. Тогда |E также является функционалом p-го класса Бэра, каково бы ни было подмножество E M [73, стр. 386].

2. Пусть отображение : B M метрических пространств B и M непрерывно, а функционал : M R принадлежит p-му классу Бэра. Тогда функционал ((·)) принадлежит p-му классу Бэра на B [73, стр. 386].

3. Пусть функционал : M R принадлежит p-му классу Бэра, а функция : R R первому классу. Тогда функционал ((·)) принадлежит p + 1-му классу Бэра на M [73, стр. 385].

4. Пусть {En } последовательность замкнутых подмножеств в M, такая, что M = E1 E2..., и пусть |En функция класса p 1 на En ; тогда функция класса p на M [73, стр. 385].

5. Для того, чтобы характеристическая функция некоторого множества F была функцией второго (третьего) класса Бэра, необходимо и достаточно, чтобы F было множеством типа G и F (типа F и G ) [73, стр. 382].

6. Если функционал принадлежит первому классу Бэра, то для любого замкнутого подмножества F R множество 1 (F ) является множеством типа G [73, стр. 382].

7. Если функционал принадлежит второму классу Бэра, то для любого замкнутого подмножества F R множество 1 (F ) является множеством типа F [73, стр. 382].

8. Если функционал принадлежит третьему классу Бэра, то для любого замкнутого подмножества F R множество 1 (F ) является множеством типа G [73, стр. 382].

9. Пусть M полное метрическое пространство, тогда для любого бэровского функционала найдется всюду плотное множество A типа G такое, что сужение |A непрерывно [73, стр. 409].

10. Любое замкнутое подмножество полного метрического пространства само является полным пространством (относительно индуцированной метрики) [73, стр. 419].

11. Пусть Q1, Q2,... всюду плотные подмножества типа G в полном метрическом пространстве, тогда Qi также является всюду плотным подмножеством типа G [73, стр. 428].

12. Если функционалы 1 и 2 принадлежат p-му классу Бэра, то функционалы max{1, 2 } и min{1, 2 } принадлежат тому же классу Бэра [120, стр. 224].

13. Если функционал полунепрерывен сверху, то существует последовательность непрерывных функционалов (m ) такая, что [120, стр. 237].

§2 Теоремы Р. Бэра, Л. В. Келдыш и следствия из них Напомним, что свойство точки топологического пространства называется типичным по Бэру, если множество точек, обладающих этим свойством, содержит всюду плотное множество типа G, т. е. множество, представимое в виде счетного пересечения открытых подмножеств.

Р. Бэр установил, в случае полного метрического пространства M, необходимое условие принадлежности функций первому классу Бэра.

Теорема I [120, стр. 241–242]. Если функционал : M R принадлежит первому классу Бэра, то в типичной по Бэру точке он непрерывен.

Выведем несколько следствий из теоремы I для некоторых функций второго класса Бэра.

Лемма 1 [6]. Пусть M полное метрическое пространство. Тогда любой функционал : M R, представимый в виде поточечного предела невозрастающей последовательности функций первого класса Бэра, в типичной по Бэру точке полунепрерывен сверху.

Доказательство. Поскольку функционал : M R представим в виде поточечного предела невозрастающей последовательности функций первого класса Бэра то, в силу теоремы I, множество Gn точек непрерывности каждой функции n является всюду плотным множеством типа G. Пересечение всех Gn снова является всюду плотным множеством типа G (см. п. 11 § 1 гл. I), каждая точка которого является точкой непрерывности всех функционалов n. Действительно, пусть µ0 Gn и > 0. При достаточно большом n окажется n (µ0 ) < (µ0 )+. Зафиксируем такое n, найдем O(µ0 ) окрестность точки µ0 такую, что для всякого µ O(µ0 ) будет n (µ) < (µ0 ) +.

Так как (µ) и вытекает утверждение леммы 1.

Аналогично доказывается следующая Лемма 2. Пусть M полное метрическое пространство. Тогда любой функционал : M R представимый в виде поточечного предела неубывающей последовательности функций первого класса Бэра, в типичной по Бэру точке полунепрерывен снизу.

Установим несколько необходимых условий принадлежности функций 1-му, 2-му и 3-му классу Бэра.

На множестве последовательностей {µ = (µ1, µ2,...) : µk {0, 1}} введем метрику Полученное компактное метрическое пространство обозначим через B [5, стр. 154].

Лемма 3. Пусть произвольный функционал на метрическом пространстве M. Если принадлежит первому классу Бэра, то для любой непрерывной функции : B M и всяких непересекающихся всюду плотных подмножеств P1, P2, содержащихся в B, пересечение замыканий множеств непусто.

Доказательство. Допустим противное. Пусть существует такая непрерывная функция : B M, что пересечение замыканий указанных в лемме множеств пусто. Пусть Z1 замыкание первого из этих множества, а замыкание второго из них. Следовательно, для любой точки µ0 B и любых двух последовательностей (n ) и (n ) таких, что верно неравенство Следовательно, каждая точка µ0 B является точкой разрыва функции ((·)). С другой стороны, функция ((·)) принадлежит первому классу Бэра на пространстве B,a следовательно, в силу теоремы I, в B найдется точка непрерывности функции ((·)). Полученное противоречие доказывает лемму 3.

Построим метрическое пространство B(N) [5, стр. 154] следующим образом: точками пространства B(N) являются, по определению, всевозможные (счетные) последовательности µ = (µ1,..., µm,...) натуральных чисел. Расстояние между двумя точками µ и определяется формулой Для любого натурального числа q обозначим через Pq множество тех последовательностей из B(N), у которых все члены, кроме, быть может, конечного числа, больше q. Обозначим через E пересечение всех множеств Pq, т. е.

множество тех последовательностей, которые стремятся к бесконечности.

Р. Бэр доказал [129], что характеристическая функция множества E не принадлежит второму классу Бэра на пространстве B(N). Используя этот результат, докажем следующую лемму (необходимое условие принадлежности функционала второму классу Бэра).

Лемма 4 [22]. Пусть произвольный функционал на метрическом пространстве M. Если принадлежит второму классу Бэра, то для любой непрерывной функции : B(N) M пересечение замыканий множеств непусто.

Доказательство. Допустим противное. Пусть существует такая непрерывная функция : B(N) M, что пересечение замыканий указанных в лемме множеств пусто. Пусть Z1 замыкание первого из этих множества, а Z2 замыкание второго. Так как отображение ((·)) принадлежит второму классу Бэра на пространстве B(N), то множества являются множествами типа F в B(N), а множества являются множествами типа G в B(N). Заметим, что а значит, множества E и B(N) \ E являются одновременно множествами типа F и G в пространстве B(N). Следовательно, в силу п. 5 § 1 гл. I, характеристическая функция множества E является функцией второго класса Бэра на пространстве B(N), что противоречит результату Р. Бэра. Лемма 4 доказана.

Обозначим через S множество тех последовательностей из B(N), у которых бесконечно много различных µi, каждое из которых повторяется бесконечное число раз. Л. В. Келдыш было установлено, что характеристическая функция множества S не принадлежит третьему классу Бэра на пространстве B(N) [72], [74]. Используя этот результат, докажем следующую лемму (необходимое условие принадлежности функционала третьему классу Бэра).

Лемма 5 [35]. Пусть – произвольный функционал на метрическом пространстве M. Если принадлежит третьему классу Бэра на M, то для любой непрерывной функции : B(N) M пересечение замыканий множеств непусто.

Доказательство. Допустим противное. Пусть существует непрерывная функция : B(N) M такая, что пересечение замыканий множеств пусто. Пусть Z1 замыкание множества ((S)), а Z2 замыкание множества ((B(N)\S)). Так как отображение ((·)) принадлежит третьему классу на пространстве B(N), то множества являются множествами типа G в B(N), а множества являются множествами типа F в B(N). Заметим, что а значит, множества S и B(N)\S являются одновременно множествами типа F и G в пространстве B(N). Следовательно, в силу п. 5 § 1 гл. I, характеристическая функция множества S является функцией третьего класса Бэра на пространстве B(N), что противоречит результату Л. В. Келдыш.

Лемма 5 доказана.

§3 Необходимые условия принадлежности остаточных показателей первому классу Бэра на пространстве линейных систем с равномерной топологией Для заданного натурального числа n рассмотрим линейное пространство Mn систем вида где A : R+ End Rn непрерывная ограниченная оператор-функция.

Обозначим через Mn метрическое пространство, точками которого являются системы вида (1) (или просто оператор-функции, которыми эти системы определяются), c метрикой которая определяет топологию равномерной сходимости коэффициентов на R+. Заметим, что, хотя метрика (2) зависит от нормы ·, которая определена в пространстве End Rn, но топология, задаваемая ею, не зависит от этой нормы. В дальнейшем, для определенности, будем считать, что норма в пространстве End Rn определена следующей формулой Для произвольной оператор-функции A обозначим через X(A) множество тех оператор-функций, которые совпадают c A на всей полуоси кроме, быть может, некоторого отрезка конечной длины, X(A) – замыкание мноu жества X(A) в пространстве Mn. Отметим, что множество X(A) допускает простое описание Лемма 6 [28]. Для всякой функции A Mn выполнено равенство Доказательство.

1. Докажем включение Пусть C X(A) и > 0, тогда существует функция B X(A) такая, и такое число T > 0, что A(t) = B(t) вне отрезка [0; T ], следовательно, Таким образом, 2. Докажем обратное включение Пусть C Mn : lim A(t) C(t) = 0. Построим последовательность Так как получаем Следовательно, последовательность (Am ) сходится к функции C в пространстве Mn.

Из пунктов 1 и 2 следует утверждение леммы 6.

Следуя [113], показатель : Mn R назовем остаточным, если для любой системы A и любой системы B X(A) выполнено равенство (A) = (B).

Теорема II [18]. Пусть остаточный показатель принадлежит первому классу Бэра на пространстве Mn. Тогда для любых двух функций A, B Mn, из условия вытекает равенство (A) = (B).

Доказательство. Допустим противное, что существуют две функции A, B Mn, удовлетворяющие условиям В силу леммы 1, функция B принадлежит множеству X(A).

Пусть C X(A). Построим последовательность функций (Bm ), где Так как получаем Следовательно, последовательность функций (Bm ) сходится к функции C в пространстве Mn и, в силу остаточности показателя, имеем (Bm ) = (B).

Аналогично построим последовательность функций (Am ) сходящуюm= ся к C такую, что (Am ) = (A). Таким образом, каждая точка C X(A) не является точкой непрерывности показателя |X(A).

С другой стороны, показатель принадлежит первому классу Бэра на пространстве Mn, следовательно, показатель принадлежит первому классу Бэра на множестве X(A). Так как множество X(A) является замкнутым, то его можно считать полным метрическим пространством с метрикой, инu дуцированной метрикой пространства Mn. В силу теоремы I § 2 гл. I, в этом пространстве должна существовать хотя бы одна точка непрерывности показателя |X(A). Полученное противоречие доказывает теорему II.

Отметим, что для полунепрерывных остаточных показателей результат аналогичный теореме II был установлен И. Н. Сергеевым в работе [112].

§4 Критерий принадлежности остаточных показателей первому классу Бэра на пространстве линейных систем с компактнооткрытой топологией Наделим пространство Mn системой полунорм которая определяет на пространстве Mn компактно-открытую топологию.

Получившееся топологическое пространство, обозначим через Mn. Отмеc тим, что топологическое пространство Mn можно превратить в полное метрическое пространство [73, стр. 221]. Заметим, что, хотя система полунорм (3) зависит от нормы топология, задаваемая ею, не зависит от этой нормы.

Установим критерий принадлежности остаточного показателя первому классу Бэра на пространстве Mn.

Теорема III [28]. Остаточный показатель принадлежит первому классу Бэра на пространстве Mn тогда и только тогда, когда для любых двух функций A, B Mn верно равенство (A) = (B).

Доказательство. Достаточность вытекает из того, что постоянная функция является остаточным показателем первого класса Бэра.

Докажем необходимость. Допустим противное, что существуют две функции A, B Mn, удовлетворяющие условиям Обозначим Пусть C E. Построим последовательность функций (Bm ) E, где Из определения последовательности (Bm ) получаем Следовательно, последовательность (Bm ) сходится к функции C в проm= странстве Mn и, в силу остаточности показателя, имеем (Bm ) = (B).

Аналогично, построим последовательность (Am ) E сходящуюся к C такую, что (Am ) = (A). Таким образом, каждая точка C E не является точкой непрерывности показателя |E.

С другой стороны показатель принадлежит первому классу Бэра на пространстве Mn, следовательно функционал принадлежит первому классу Бэра на множестве E.

Докажем, что множество E является замкнутым в пространстве Mn.

Пусть (Vm ) произвольная последовательность функций из E такая, что Докажем, что функция V0 принадлежит множеству E. Пусть t R+ и k > t. Так как, в силу (4), имеем то получаем, что функция V0 непрерывна в точке t и Таким образом, множество E является замкнутым. Следовательно, его можно считать полным метрическим пространством с метрикой, индуциc рованной метрикой пространства Mn. В силу теоремы I § 2 гл. I, в этом пространстве должна существовать хотя бы одна точка непрерывности показателя |E. Полученное противоречие доказывает теорему III.

§5 Бэровские классы показателей на пространстве линейных систем с равномерной и компактно-открытой топологиями Так как компактно-открытая топология слабее равномерной, то из приc надлежности функции p-му классу Бэра на пространстве Mn следует ее принадлежность тому же классу Бэра на пространстве Mn ; если же функu ция не принадлежит p-му классу Бэра на пространстве Mn, то она не приc надлежит этому классу на Mn.

В дальнейшем, будем часто рассматривать ситуацию, когда коэффициенты системы, непрерывные на полуоси времени, еще и непрерывно (возможно, равномерно по времени) зависят от параметра из некоторого метрического пространства. Тогда ляпуновские показатели такой системы (точнее, семейства систем) можно рассматривать как функционалы, определенные на этом метрическом пространстве.

Пусть M метрическое пространство, а отображение непрерывно по совокупности переменных и ограничено по t R+ при всяком фиксированном значении µ M.

Лемма 7. Отображение : M Mn, определяемое формулой (µ) = A(µ, ·), является непрерывным.

Доказательство. Пусть > 0, r N. В силу непрерывности отображения (5) для каждой точки t [0, r] найдется ее окрестность V(t) [0, r] и окрестность Ut (µ0 ) точки µ0 M такие, что для любой точки (µ, ) Ut (µ0 ) V(t) выполнено неравенство Из компактности отрезка [0, r] следует существование конечного набора точек (tk )m [0, r] такого, что Пусть Тогда для любого µ U(µ0 ) выполнено неравенство которое доказывает лемму 7.

Установим критерий принадлежности показателя p-му классу Бэра на пространстве Mn.

Теорема IV. Показатель : Mn R принадлежит p-му классу Бэра на пространстве Mn тогда и только тогда, когда для любого метрического пространства M и каждого отображения (5) функция µ (A(µ, ·)) принадлежит p-му классу Бэра на M.

Доказательство.

Достаточность. Пусть M = Mn. Рассмотрим отображение определяемое формулой P (A, t) = A(t). В силу определения, отображение P непрерывно по совокупности переменных и ограничено по второму аргументу при всяком фиксированном значении первого. В силу п. 2 § гл. I, функционал A (P (A, ·)) принадлежит p-му классу Бэра на проc странстве Mn. Так как для любой системы A Mn выполнено равенство (A) = (P (A, ·)), то функционал : Mn R принадлежит p-му классу Бэра на пространстве Mn.

Необходимость. Допустим, что существуют метрическое пространство M и отображение P0 вида (5) такие, что функция µ (P0 (µ, ·)) не принадлежит p-му классу Бэра на пространстве M.

В силу леммы 7, отображение 0 : M Mn, определяемое формулой 0 (µ) = P0 (µ, ·) является непрерывным, а следовательно сложная функция µ (0 (µ)) = (P0 (µ, ·)) принадлежит p-му классу Бэра на пространстве M. Полученное противоречие, доказывает теорему IV.

Пусть M метрическое пространство, а отображение является отображением вида (5) непрерывным по µ M равномерно по Лемма 8. Отображение : M Mn, определяемое формулой (µ) = U (µ, ·), является непрерывным.

Доказательство. Пусть > 0. В силу равномерной непрерывности по t R+ отображения (6), найдется окрестность U(µ0 ) точки µ0 M такая, что для каждого значения µ U(µ0 ) и любого t R+ выполнено неравенство Таким образом, для любого µ U(µ0 ) выполнено неравенство Лемма 8 доказана.

Установим критерий принадлежности показателя p-му классу Бэра на пространстве Mn.

Теорема V. Показатель : Mn R принадлежит p-му классу Бэра на пространстве Mn тогда и только тогда, когда для любого метрического пространства M и каждого отображения (6) функция µ (U (µ, ·)) принадлежит p-му классу Бэра на M.

Доказательство.

Достаточность. Пусть M = Mn. Рассмотрим отображение определяемое формулой U (A, t) = A(t). В силу определения, отображение U непрерывно по совокупности переменных, причем равномерно по t R+, и ограничено по второму аргументу при всяком фиксированном значении первого. В силу п. 2 § 1 гл. I, функционал A (U (A, ·)) принадлежит p-му классу Бэра на пространстве Mn. Так как для любой системы A Mn выполнено равенство (A) = (U (A, ·)), то функционал : Mn R принадлежит p-му классу Бэра на пространстве Mn.

Необходимость. Допустим, что существуют метрическое пространство M и отображение U0 вида (6) такие, что функция (U0 (µ, ·)) не принадлежит p-му классу Бэра на пространстве M.

В силу леммы 8, отображение 0 : M Mn, определяемое формулой 0 (µ) = U0 (µ, ·) является непрерывным, а следовательно функция µ (0 (µ)) = (U0 (µ, ·)) принадлежит p-му классу Бэра на пространстве M.

Полученное противоречие, доказывает теорему V.

Докажем теорему о непрерывной зависимости решений систем линейных уравнений от коэффициентов системы в удобной для дальнейшего использования форме. Для этого приведем (без доказательства) лемму Гронуолла-Беллмана [59, стр. 108].

Лемма 9. Пусть где p(t) неотрицательная непрерывная функция. Тогда Обозначим XA (t, ) оператор Коши системы (1). Пусть M метрическое пространство. По отображению (5), построим функцию Лемма 10. Пусть t 0. Тогда для любого отображения (5) функция (7) является непрерывной на пространстве M.

Доказательство. Пусть µ0, µ M. При помощи метода вариации произвольной постоянной для оператора Коши системы получаем Отсюда Используя оценку и лемму Гронуолла-Беллмана, получаем Представим систему в виде При помощи метода вариации произвольной постоянной для оператора Коши этой системы получаем Отсюда, используя оценку (8), имеем По лемме Гронуолла-Беллмана, имеем Из этого неравенства и формулы (9) следует Пусть число T > t. Из леммы 7 получаем Тогда, в силу (10), получаем Следовательно, функция (7) является непрерывной на пространстве M.

Лемма 10 доказана.

§6 Достаточные условия ляпуновской эквивалентности линейных систем Для заданного натурального числа n рассмотрим линейную систему вида где B : R+ EndRn кусочно-непрерывная ограниченная операторфункция. Напомним, что система (11) ляпуновски эквивалентна линейной дифференциальной системе (1), если существуют фундаментальные матрицы YB (t), XA (t) этих систем, для которых выполнено неравенство [58, стр. 227] В книге [76] приведен целый ряд достаточных условий ляпуновской эквивалентности линейных систем, но, для дальнейшего изложения, нам потребуется достаточное условие ляпуновской эквивалентности линейных систем в следующей форме.

Лемма 11. Если интеграл сходится, то системы (11) и (1) ляпуновски эквивалентны.

Доказательство. Обозначим что На пространстве Wt0 непрерывных ограниченных матричных функций, заданных на [t0, +), наделенном метрикой рассмотрим интегральный оператор где XA (t, 0) оператор Коши системы x = A(t)x.

Докажем, что оператор F, определяемый формулой (14), сжимает Wt0.

1. Покажем, что F : Wt0 Wt0. Используя оценки для любой функции Z Wt0, получаем Таким образом, функция F (Z(·)) непрерывна на R+. Следовательно 2. Покажем, что для любых Z1, Z2 Wt0 выполнено неравенство В силу неравенства (13), имеем Итак, мы доказали, что оператор F сжимает Wt0. Применяя принцип сжатых отображений, получаем, что уравнение имеет решение Z(t), непрерывное и ограниченное на полуоси [t0, +) и притом единственное.

Дифференцируя по t тождество XA (t, 0)Z(t) = XA (t, 0)( получаем, что матричная функция YB (t) = XA (t, 0)Z(t) является решением системы уравнений y = B(t)y. В силу оценок для любого t t0, получаем Таким образом, матричная функция YB (t) является фундаментальной матрицей для системы уравнений y = B(t)y.

Пусть = XA (t, 0)(E + Следовательно, имеем При t < t0, найдется такое C > 0, что Таким образом, из (16) и (17) следует Меняя в предыдущих рассуждениях системы A и B местами, получаем Лемма 11 доказана.

Следуя [113], показатель назовем ляпуновски инвариантным, если для любых двух ляпуновски эквивалентных систем A и B выполнено равенство (A) = (B).

Пусть M метрическое пространство, а отображение удовлетворяет двум условиям:

1. кусочно-непрерывно и ограничено по t R+ при всяком фиксированном значении µ M;

2. для любой точки µ M и любого T > 0 найдется такая окрестность U(µ ) точки µ, что для любого µ U(µ ) выполнено тождество B(µ, t)|[0,T ] B(µ, t)|[0,T ].

Лемма 12. Пусть ляпуновски инвариантный показатель. Тогда для любого метрического пространства M и отображения (18) существует такое отображение непрерывное по совокупности переменных и ограниченное по t при всяком фиксированном µ, что для любого µ M выполнено равенство (A(µ, ·)) = (B(µ, ·)).

Доказательство. По точкам разрыва (m ) кусочно-непрерывной функции B(µ, ·) и последовательности положительных чисел (m ) таm= кой, что построим функцию A(µ, ·) следующим образом A(µ, t) = Эта функция непрерывна по t R+. Действительно, в точках непрерывности функции B(µ, ·), которые не принадлежат объединению отрезm m, m + m ] функция A(µ, ·) совпадает с функцией B(µ, ·), а ков на любом из отрезков [m m, m + m ] график функции A(µ, ·) представляет собой отрезок прямой, который соединяет точку с координатами (m m, B(µ, m m )) и точку с координатами (m + m, B(µ, m + m )).

в силу леммы 11, то система y = A(µ, t)y ляпуновски эквивалентна системе x = B(µ, t)x, а следовательно для любого µ M верно равенство (A(µ, ·)) = (B(µ, ·)).

Рассмотрим отображение A : MR+ EndRn, определяемое формулой Это отображение непрерывно по совокупности переменных. Действительно, пусть > 0, (µ, t ) M R+ и m > t + 1. Возьмем такую окрестность U(µ ), что B(µ, t)|[0,m] = B(µ, t)|[0,m], а (0, 1) такое, что для любого t (t, t + ) выполнено неравенство Тогда для любой точки (µ, t) такой, что µ U(µ ) и |t t | <, в силу тождества A(µ, t)|[0,m1] A(µ, t)|[0,m1], выполнено неравенство Лемма 12 доказана.

Глава II Бэровская классификация мажорант и минорант показателей Ляпунова §1 Уточнение бэровского класса показателей Ляпунова на пространстве линейных систем с равномерной и компактнооткрытой топологиями Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с непрерывной и ограниченной на полупрямой t R+ оператор-функцией.

В работе [81], для любого k {1,..., n}, получены формулы для показателей Ляпунова где Gk (Rn ) множество k-мерных векторных подпространств пространства Rn, XA (t, 0)|L сужение оператора Коши системы (1) на подпространство L Rn. Из формулы (2) и леммы 10 § 5 гл. I получаем, что показатели Ляпунова принадлежат второму классу Бэра на пространствах Mn и Mn.

Более того, они представимы в виде поточечного предела невозрастающей последовательности функций (ak ), которые является функциями перm m= вого класса Бэра на пространствах Mn и Mn.

Докажем, что формула (2) является оптимальной не только количеству предельных переходов, но и по типу монотонности последовательности, от которой берется внешний предел.

Теорема I [37]. Пусть n k (·) : Mn R не может быть представлена в виде поточечного предела неубывающей последовательности функций первого класса Бэра на проu странстве Mn.

Доказательство. Допустим противное. Тогда, в силу леммы 2 § гл. I, для любой точки A Mn в типичной по Бэру точке множества X(A), рассматриваемого как полное метрическое пространство с метрикой, индуu цированной из Mn, функция k |X(A) полунепрерывна снизу. Из формулы (2) и леммы 1 § 2 гл. I следует, что в типичной по Бэру точке множества X(A) функция k |X(A) полунепрерывна сверху. Таким образом, для любой точки A Mn множество X(A) содержит хотя бы одну точку непрерывности функции k |X(A). Докажем, что для любой системы B X(A) выполнено равенство Допустим противное, что существуют две функции A, B Mn, удовлетворяющие условиям Пусть C X(A). Построим последовательность функций (Bm ), где Так как получаем Следовательно, последовательность (Bm ) сходится к функции C в проm= странстве Mn и, в силу остаточности функционала k, имеем k (Bm ) = k (B). Аналогично построим последовательность (Am ), сходящуюся к C, для которой выполнено равенство k (Am ) = k (A). Таким образом, каждая точка C X(A) не является точкой непрерывности функционала k |X(A). Полученное противоречие доказывает равенство (3).

С другой стороны, рассмотрим исходную систему с показателями Ляпунова и возмущенную систему Эта система имеет решения Рассмотрим две последовательности e2m 2 и e2m 3. Для любого справедливы неравенства Следовательно e2m Используя последнее неравенство, получаем Следовательно характеристический показатель решения xk+1 не менее возмущенной системы удовлетворяют соотношениям Так как то получаем противоречие с (3). Теорема I доказана.

В случае n = 1, для показателя Ляпунова системы (1) справедлива формула а следовательно функция 1 (·) : M1 R является непрерывной на проu странстве M1.

Так как компактно-открытая топология слабее равномерной, то из теои каждого k {1,..., n} функция ремы I следует, что для n k (·) : Mn R не может быть представлена в виде поточечного предела неубывающей последовательности функций первого класса Бэра на пространстве Mn. Установим этот факт для любого n N, не опираясь на теорему I.

ция k (·) : Mn R не может быть представлена в виде поточечного предела неубывающей последовательности функций первого класса Бэра на пространстве Mn.

Доказательство. Допустим противное. Тогда, в силу леммы 2 § гл. I, в типичной по Бэру точке множества рассматриваемого как полное метрическое пространство с метрикой, индуc цированной из Mn, функция k |E полунепрерывна снизу. Из формулы (2) и леммы 1 § 2 гл. I следует, что в типичной по Бэру точке множества E функция k |E полунепрерывна сверху. Таким образом, множество E содержит хотя бы одну точку непрерывности функции k |E. Докажем, что для любой системы B E выполнено равенство Допустим противное, что существуют две функции A, B E, удовлетворяющие условию Пусть C E. Построим последовательность функций (Bm ), где Для любого k < m выполнено равенство следовательно Таким образом, последовательность (Bm ) сходится к функции C в проm= странстве Mn и, в силу остаточности функционала k, имеем k (Bm ) = k (B). Аналогично построим последовательность (Am ), сходящуюся к C, для которой выполнено равенство k (Am ) = k (A). Следовательно, каждая точка C E не является точкой непрерывности функционала k |E.

Полученное противоречие доказывает равенство (4).

С другой стороны, рассмотрим две диагональные системы Для первой системы k = 1, а для второй k = 0. Таким образом, получаем противоречие с (4). Теорема II доказана.

§2 Точный бэровский класс мажорант показателей Ляпунова на пространстве линейных систем с компактно-открытой топологией Обозначим через k (A) минимальную полунепрерывной сверху мажоранту k-го показателя Ляпунова системы (1), определяемую формулой Пусть rT (t), RT (t) функции, определяемые равенствами В [62] доказано, что и супремум вычисляется по всем и, принадлежащим всякому k-му отрезку Пусть M метрическое пространство, а отображение непрерывно по совокупности переменных и ограничено по второму аргументу при всяком фиксированном значении первого.

Теорема IV. Если n (6) такое, что функция µ n (A(µ, ·)) всюду разрывна и не принадлежит второму классу Бэра.

Доказательство. Каждому µ = (µk ) B(N) поставим в соответk= ствие систему уравнений с кусочно-непрерывной функцией где Отметим несколько свойств разбиений (k ) и (tk ).

1. Для любого k = 1, 2,... выполнены неравенства 2. Аналогично получаем 3. Для любого m = 1, 2,... выполнены неравенства... ((m + 2s 1)2 + (m + 2s 1) min{m + 2s 1, µ[log2 (m+2s1)] })+ 4. Аналогично для любого m = 1, 2,..., получаем +((m + 2s + 1)2 + (m + 2s + 1) min{m + 2s + 1, µ[log2 (m+2s+1)] }) Для каждого µ B(N) вычислим 2 (U (µ, ·)). Пусть µ E, тогда существуют подпоследовательность (µ[log2 k ] )=1 и натуральное число q такие, что µ[log2 k ] = q. Возьмем произвольное число T > 2q. Пусть Можно считать k настолько большим, что tl tl1 > 2T при l {2k,..., 2k +1 }. Итак, если s {smin (k ),..., smax (k ) 1}, то имеем Для любого s N имеем Итак, из формулы (5), полагая = = smin (k )T, = t = smax (k )T, находим, что откуда получаем Пусть µ E. Рассмотрим систему У этой системы при всяком m = 1, 2,... показатели Ляпунова не превосходят 0. В самом деле, рассмотрим решение x1 (t) с начальным условием (1, 0). Это решение ведет себя следующим образом: при t < m оно идет по оси Ox и за время от m до tm оно поворачивается вокруг начала координат на угол (1)m, затем при tm < t < m+1 идет по оси Oy и за время от m+1 до tm+1 оно поворачивается вокруг начала координат на угол (1)m+1 (т.е. снова попадет на ось Ox), затем при tm+1 < t < m+ идет по оси Ox и и т. д. В результате Рассмотрим решение x2 (t) с начальным условием (0, 1). Это решение ведет себя следующим образом: при t < m оно идет по оси Oy и за время от m до tm оно поворачивается вокруг начала координат на угол (1)m, затем при tm < t < m оно идет по оси Ox и за время от m+1 до tm+1 оно поворачивается вокруг начала координат на угол (1)m+1 (т.е. снова попадает на ось Oy), затем при tm+1 < t < m+ идет по оси Oy и и т.д. В результате Итак, построены два линейно независимых решения системы с неположительными показателями, а значит, показатели Ляпунова системы не превосходят 0. Так как µ E, то для всякого > 0 существует k() такое, что при всяком m > k() выполнено неравенство Из определения следует, что Для отображения (µ, t) U (µ, t), в силу ляпуновской инвариантности показателя 2, существует такое отображение непрерывное по совокупности переменных и ограниченное по t при всяком фиксированном µ, что для любого µ B(N) выполнено равенство 2 (Q(µ, ·)) = 2 (U (µ, ·)) (см. лемму 12 § 6 гл. I).

Рассмотрим отображение A : B(N) R+ EndRn, определяемое формулой Из непрерывности по совокупности переменных отображения A, в силу леммы 7 § 5 гл. I, следует, что функция : B(N) Mn, определяемая формулой µ A(µ, ·), непрерывна.

Допустим, что функция µ n ((µ)) принадлежит второму классу Бэра. Тогда, в силу леммы 4 § 2 гл. I, замыкание множеств непусто.

С другой стороны Получили противоречие, следовательно функция µ n (A(µ, ·)) не принадлежит второму классу Бэра. Теорема IV доказана.

Из теоремы IV § 5 гл. I и теоремы IV получаем Следствие 2 [29]. Если n > 1, то функция n (·) : Mn R не принадc лежит второму классу Бэра на пространстве Mn.

§4 Точный бэровский класс нижнего центрального показателя Винограда на пространстве линейных систем с компактнооткрытой топологией Напомним [55], что нижний центральный показатель определяется формулой где XA (t, s) оператор Коши системы (1).

Пусть M метрическое пространство, а отображение непрерывно по совокупности переменных и ограничено по второму аргументу при всяком фиксированном значении первого.

Теорема V. Если n (8) такое, что функция µ (A(µ, ·)) всюду разрывна и не принадлежит второму классу Бэра.

Доказательство. Каждому µ B(N) поставим в соответствие систему уравнений x = U (µ, t)x с кусочно-непрерывной функцией Отметим два свойства разбиения (10), которые будут использоваться ниже.

1. Так как для k выполнено неравенство Получаем 2. Так как для t22k выполнены неравенства Для каждого µ B(N) вычислим (U (µ, ·)). Используя формулу (7), получим Так как оператор Коши системы (9) имеет вид Зафиксируем i N. Если µ E, то существует такое четное натуральное число h, что для любого k > + 1 выполнено неравенство µ[log2 (log2 k)] > i.

Вычислим d(µ, i, j) при j > h. Из определения функции u(µ, ·) получаем (при 2k > h) следовательно Пусть m 1 > h + 2, а pm максимальное четное число, удовлетворяющее неравенству tpm Так как то получаем, используя (11), Пусть µ E, тогда существует подпоследовательность и натуральное число q такие, что {µ[log2 (log2 k )] } q. Фиксируем произвольное i > q. В силу (12) существует такое k0, что для всех k k0 выполнено условие: дробь является четным натуральным числом. Тогда из (13) и определения функj · 2i < Tk +1, где ции u(µ, ·) заключаем, что d(µ, i, j) = 0 при Tk Tk = t22k. Таким образом, получаем откуда, в силу (12), Для отображения (µ, t) U (µ, t), в силу ляпуновской инвариантности показателя, существует такое отображение непрерывное по совокупности переменных и ограниченное по t при всяком фиксированном µ, что для любого µ B(N) выполнено равенство (Q(µ, ·)) = (U (µ, ·)) (см. лемму 12 § 6 гл. I).

Рассмотрим отображение A : B(N) R+ End Rn, определяемое формулой Из непрерывности отображения A, в силу леммы 7 § 5 гл. I, следует, что функция : B(N) Mn, определяемая формулой µ A(µ, ·), непрерывна.

Допустим, что функция µ ((µ)) принадлежит второму классу Бэра. Тогда, в силу леммы 4 § 2 гл. I, замыкание множеств непусто.

С другой стороны Получили противоречие, следовательно функция µ (A(µ, ·)) не принадлежит второму классу Бэра. Теорема V доказана.

Из теоремы IV § 5 гл. I и теоремы V получаем Следствие 3 [19]. Если n > 1, то функция : Mn R не принадлеc жит второму классу Бэра на пространстве Mn.

Пусть k {1,..., n 1}. Через k обозначим максимальную полунепрерывную снизу миноранту k-го показателя Ляпунова как функции на пространстве Mn, т. е.

существует отображение (8) такое, что функция µ k (A(µ, ·)) всюду разрывна и не принадлежит второму классу Бэра.

Доказательство. Рассмотрим отображение A : B(N) R+ EndRn, определяемое формулой где отображение Q из доказательства теоремы V.

В работе [79] доказано равенство Следовательно функция µ k (A(µ, ·)) всюду разрывна и не принадлежит второму классу Бэра. Теорема VI доказана.

Из теоремы IV § 5 гл. I и теоремы VI получаем Следствие 4 [22]. Если n > 1 и k {1,..., n 1}, то функция k : Mn R не принадлежит второму классу Бэра на пространстве Mn.

§5 Семейство линейных систем с пустым множеством точек полунепрерывности снизу минорант показателей Ляпунова Пусть M полное метрическое пространство. В. М. Миллионщиков установил [93], что для любого отображения непрерывного по совокупности переменных и ограниченого по второму аргументу при всяком фиксированном значении первого и любых n N и k {1,..., n} множество точек полунепрерывности сверху функции µ k (A(µ, ·)) содержит всюду плотное множество типа G в пространстве M. В данном параграфе построены примеры семейств линейных систем, с коэффициентами непрерывно зависящими от параметра, для которых множества точек полунепрерывности снизу функций µ k (A(µ, ·)), µ k (A(µ, ·)), µ k (A(µ, ·)) пусты, в частности, получен ответ на один из вопросов, поставленных в [102].

Для всякой непрерывной функции q : R+ R условимся обозначать через q ее верхнее среднее:

Лемма 1. Существует непрерывная и ограниченная функция q : B R+ [1, 1] такая, что множество полунепрерывности снизу функции, определенной формулой µ q(µ, ·) пусто.

Доказательство. Определим функцию a : B R+ [1, 1] следующим образом: положим Обозначим через K0, множество тех последовательностей из B, у которых все члены, начиная с некоторого, равны 0. Для всякого µ K0 найдется k такое, что функция при t k0. Следовательно, Для всякого µ K0 обозначим через (mk ) возрастающую последоваk= тельность номеров элементов последовательности µ, которые равны 1. Имеем цепочку неравенств Для произвольного элемента µ B. Построим последовательность {µ(s) } для которой выполнено свойство Таким образом, из (15) (17) имеем следовательно точка µ не является точкой полунепрерывности снизу функции µ a(µ, ·). В силу произвольности точки µ, получаем, что множество точек полунепрерывности снизу функции µ a(µ, ·) пусто.

Для отображения (µ, t) a(µ, t), существует такое отображение непрерывное по совокупности переменных и ограниченное по t при всяком фиксированном µ, что для любого µ B выполнено равенство a(µ, ·) = q(µ, ·) (см. лемму 12 § 6 гл. I). Лемма 1 доказана.

Теорема VII [49]. Для любого n N существует непрерывное отображение A : B R+ [1, 1] такое, что для любого k {1,..., n} и для каждой функции µ k (A(µ, ·)), µ k (A(µ, ·)), µ k (A(µ, ·)) множество точек полунепрерывности снизу пусто.

Доказательство. Определим отображение A : B R+ EndRn формулой где q функция, существование которой утверждается в лемме 1, а E единичная матрица. Непрерывность отображения Q вытекает из непрерывности функции q. Показатели Ляпунова, их миноранты и мажоранты системы (1) для всякого k {1,..., n} удовлетворяют неравенствам [14, стр. 164] где нижний центральный показатель, верхний центральный показатель, где XA (t, s) оператор Коши системы (1). Так как для системы (1) с матрицей (18) справедливы равенства то получаем для всякого k {1,..., n} (A(µ, ·)) = k (A(µ, ·)) = k (A(µ, ·)) = k (A(µ, ·)) = (A(µ, ·)) = q(µ, ·).

Теорема VII доказана.

Оказывается, для случая, когда пространство M является отрезком вещественной прямой, может быть построено отображение (14), для которого множество точек полунепрерывности снизу функций µ k (A(µ, ·)), µ k (A(µ, ·)), µ k (A(µ, ·)) пусто.

Теорема VIII [51]. Для любого n N существует непрерывное отображение A : [0; 1] R+ [1, 1] такое, что для любого k {1,..., n} и для каждой функции µ k (A(µ, ·)), µ k (A(µ, ·)), µ k (A(µ, ·)) множество точек полунепрерывности снизу пусто.

Доказательству теоремы предпошлем лемму.

Лемма 2. Существует непрерывная функция q : [0; 2 ] R+ [1, 1] такая, что множество полунепрерывности снизу функции, определенной формулой µ q(µ, ·) пусто.

Доказательство. Определим функцию a : [0; 2 ] [0; +) [1, 1] следующим образом: положим двоично рациональное число, т. е. существует такое k0 N, что Пусть µ При k > k0 и t [k! + 1, (k + 1)!] получаем Следовательно, имеем Пусть µ двоично иррациональное число, т. е.

и существует такая бесконечная последовательность номеров {s }, что ms +2 = 1, ms +1 = 0. Так как получаем Пусть k > 3n > 12, тогда следовательно, Таким образом, Итак, для произвольного числа µ [0; 3 ] построили такую последовательность (µ(n) ), что Таким образом, из (19) (21) имеем Следовательно, точка µ не является точкой полунепрерывности снизу функции µ a(µ, ·). В силу произвольности точки µ получаем, что множество точек полунепрерывности снизу функции µ a(µ, ·) пусто.

По кусочно-непрерывной функции a(µ, ·) и последовательности положительных чисел (m ) такой, что построим функцию q(µ, ·) следующим образом q(µ, t) = Эта функция непрерывна t R+. Действительно, в точках непрерывности функции a(µ, ·), которые не принадлежат объединению отрезков [m! m, m! + m ] функция q(µ, ·) совпадает с функцией a(µ, ·), а на любом из отрезков [m! m, m! + m ] график функции q(µ, ·) представляет собой отрезок прямой, который соединяет точку с координатами (m! m, a(µ, m! m )) и точку с координатами (m! + m, a(µ, m! + m )).

в силу леммы 11 § 6 гл. I, система y = q(µ, t)y ляпуновски эквивалентна системе x = a(µ, t)x, следовательно для любого µ [0; 2 ] верно равенство a(µ, ·) = q(µ, ·).

Рассмотрим отображение q : [0; 2 ] R+ R. Это отображение непрерывно по совокупности переменных. Действительно, пусть (µ, t ) [0; 2 ] R+ и > 0. Возьмем натуральное m настолько большим, чтобы t [0, m! 1], а 1 (0, 1) такое, что для любого t (t 1, t + 1 ) выполнено неравенство В силу непрерывности функций на отрезке [0; 3 ] найдется 2 (0, 1) такое, что для любого µ (µ 2, µ + 2 ) и каждого k {2,..., m} выполнено неравенство следовательно Тогда для любой точки (µ, t) такой, что |t t | < 1 и |µ µ| < выполнено Лемма 2 доказана.

Завершение доказательства теоремы VIII. Определим отображение A :

[0, 1] R+ EndRn формулой где q функция, существование которой утверждается в лемме, а E единичная матрица. Непрерывность отображения A вытекает из непрерывности функции q. Показатели Ляпунова, их миноранты и мажоранты системы (1) для всякого k {1,..., n} удовлетворяют неравенствам [14, стр. 164] где нижний центральный показатель, верхний центральный показатель, где XA (t, s) оператор Коши системы (1). Так как для системы (1) c матрицей (22) справедливы равенства получаем для всякого k {1,..., n} (A(µ, ·)) = k (A(µ, ·)) = k (A(µ, ·)) = k (A(µ, ·)) = (A(µ, ·)) = q(µ, ·).

Теорема VIII доказана.

§6 Минимальная мажоранта показателя Ляпунова среди всех его мажорант первого класса Бэра на пространстве линейных систем с равномерной топологией риваемые как функции на пространстве Mn, принадлежат второму классу Бэра, а в [111] доказано, что они могут не принадлежат первому классу Бэра. Найдем минимальную функцию первого класса Бэра на пространстве Mn, оценивающую k-й показатель Ляпунова сверху.

первого класса Бэра на Mn и для любой системы A Mn выполнены неравенства тогда (A) k (A).

Доказательство. В силу определения функционал k является остаu точным и принадлежит первому классу Бэра на пространстве Mn. В [113] доказана справедливость следующих равенств из которых вытекает, что функционал k является остаточным и принадu лежит первому классу Бэра на пространстве Mn.

Пусть остаточный функционал (·) : Mn R принадлежит первому классу Бэра на пространстве Mn и для произвольной системы A выполнены неравенства Докажем, что (A) k (A). Допустим, что существуют система A и число > 0, такие, что выполнено равенство (A) = k (A). В силу определения функционала k существует система B X(A), такая, что следовательно, Согласно теореме II § 3 9 гл. I, функционал не принадлежит первому классу Бэра на пространстве Mn. Получили противоречие, следовательно (A) k (A). Теорема IX доказана.

Для двух младших минорант показателей Ляпунова справедлива следующая функционал первого класса Бэра на Mn и для любой системы A Mn выполнены неравенства тогда (A) k (A).

Доказательство. В силу определения функционал k является остаu точным и принадлежит первому классу Бэра на пространстве Mn. В [117] доказана справедливость следующих равенств:

из которых вытекает, что функционал k является остаточным и принадu лежит первому классу Бэра на пространстве Mn.

Пусть остаточный функционал (·) : Mn R принадлежит первому классу Бэра на пространстве Mn и для произвольной системы A выполнены неравенства Докажем, что (A) k (A). Допустим, что существуют система A и число > 0, такие, что выполнено равенство (A) = k (A) +. В силу определения функционала k существует система B X(A), такая, что следовательно, Согласно теореме II § 3 гл. I, функционал не принадлежит первому классу Бэра на пространстве Mn. Получили противоречие, следовательно (A) k (A). Теорема X доказана.

Глава III Бэровская классификация некоторых вспомогательных показателей §1 Точный класс Бэра -показателей на пространстве линейных систем с равномерной и компактно-открытой топологиями Наряду с показателями Ляпунова линейной системы с непрерывной ограниченной оператор-функцией A : R+ End Rn, часто рассматривают следующие величины. Пусть D единичный шар в пространстве Rn. Этот шар под действием оператора Коши XA (t, 0) системы (1) переходит в эллипсоид. Пусть полуоси этого эллипсоида, которые совпадают с сингулярными числами оператора Коши XA (t, 0) [10, стр. 24]). В [108] введены следующие величины Для произвольной системы (1) показатели Ляпунова и показатели (2) удовлетворяют соотношениям Пусть M метрическое пространство. По функции непрерывной по совокупности переменных и ограниченной по t при всяком фиксированном значении µ, построим функцию Изучим свойства функции (4) с точки зрения бэровской классификации.

Теорема I. Для любого отображения (3) функция (4) принадлежит второму классу Бэра на пространстве M. Если же M полно, то в типичной по Бэру точке эта функция полунепрерывна сверху.

Доказательство. Формулу (2) перепишем в виде Из леммы 10 § 5 гл. I следует, что функция является непрерывной на пространстве M. Таким образом, в силу формулы (5), функция (4) принадлежит второму классу Бэра на пространстве M.

Из формулы (5) следует, что функция (4) является поточечным пределом невозрастающей последовательности функций (k ) первого класса Бэра. Следовательно, в силу леммы 1 § 2 гл. I, функция (4) в типичной по Бэру точке полунепрерывна сверху. Теорема I доказана.

В силу теоремы I и теоремы IV § 5 гл. I, получаем Следствие 1 [28]. Для любого k {1,..., n} функция k : Mn R принадлежит второму классу Бэра на пространстве Mn.

Так как компактно-открытая топология слабее равномерной, то из приc надлежности функции k второму классу Бэра на пространстве Mn следует ее принадлежность тому же классу Бэра на пространстве Mn.

Теорема II [28]. Если n первому классу Бэра на пространстве Mn.

Доказательство. Рассмотрим функцию и функцию значения f и g на [0, 1) не играют роли: для простоты считаем здесь f (t) = g(t) = 0. Для функции f имеем Рассмотрим две системы x = U1 (t)x и y = U2 (t)y, где Оператор Коши первой системы имеет вид а второй Для сингулярных чисел линейного оператора X справедливы равенства [10, стр. 24] где Gk (Rn ) множество всех векторных подпространств L Rn размерности k, XL его сужение на подпространство L. Из формулы (6) для системы x = U1 (t)x имеем Пусть tm = 22m и Tm = 22m+1. Тогда, согласно и определению f (t), имеем а для s [tm, Tm ] Далее Оценим последнее выражение снизу с помощью (7) и (8). Так как Таким образом, для системы x = U2 (t)x получаем По кусочно-непрерывным функциям Uk (·), k = 1, 2 и последовательности положительных чисел {m } таких, что построим функции Ak (·), k = 1, 2, следующим образом Эти функции непрерывны по t R+. Действительно, в точках непрерывности функции Uk (·), которые не принадлежат объединению отрезm m, 2m + m ], функция Ak (·) совпадает с функцией Uk (·), а ков на любом из отрезков [2m m, 2m + m ] график функции Ak (·) представляет собой отрезок прямой, который соединяет точку с координатами (2m m, Uk (2m m )) и точку с координатами (2m + m, Uk (2m + m )). Так как то в силу леммы 11 § 6 гл. I, система y = Ak (t)y ляпуновски эквивалентна системе x = Uk (t)x, следовательно Так как Докажем, что функция k : Mn R не принадлежит первому классу Бэра на пространстве Mn. Рассмотрим две блочно-диагональные системы Из формулы (2) получаем для первой системы а для второй системы В силу теоремы II § 3 гл. I, функции k : Mn R, k+1 : Mn R не приu надлежат первому классу Бэра на пространстве Mn. Теорема II доказана.

Так как компактно-открытая топология слабее равномерной, то из теоремы II, в случае n 2, следует непринадлежность функции k (·) первому классу Бэра на пространстве Mn. При n = 1 для любой системы (1) справедливо равенство 1 (A) = 1 (A), следовательно функция k (·) не принадc лежит первому классу Бэра на пространстве M1 и является непрерывной на пространстве M1.

§2 Точный класс Бэра конструктивного показателя на пространстве линейных систем с равномерной и компактнооткрытой топологиями Наряду с линейной системой (1), для фиксированного m > 1, рассмотрим возмущенную нелинейную систему c непрерывной по t 0 и непрерывной по вектор-функцией f : R+ U (f ) Rn, удовлетворяющей условию Введем обозначения: Fm множество всех вектор функций, удовлетворяющих условию (10), характеристический показатель решения y(t, y0 ) системы (9) с начальным условием y(0) = y0.

Рассмотрим величину которая оценивает сверху характеристические показатели всех решений системы (9) [56]. В работе [63] доказано, что в случае отрицательности величины (11), она совпадает с конструктивным показателем системы (1), который вычисляется по формуле жит первому классу Бэра на пространстве Mn.

Доказательство. Докажем, что для любой правильной по Ляпунову системы с отрицательным старшим показателем Ляпунова выполнено равенство m (A) = n (A). Так как система (15) правильная, то существует (см. [8] или [61, стр. 77]) оператор-функция Q(·) такая, что и оператор Коши системы (15) имеет вид Можно считать, что так как, в силу неравенства имеем Следовательно, для любого > 0 найдется такое C > 1, что для любого t 0 выполнены неравенства Таким образом, для для оператора Коши системы (15) имеем При помощи метода вариации произвольной постоянной для решения y(t, ·) системы (9) получаем Отсюда а следовательно, для получаем неравенство щем неравенству для нормы решения y(t, y0 ) получаем Следовательно, получаем В силу произвольности > 0, получаем n (A) = m (A).

Рассмотрим систему Установлено [14, стр. 187], что показатели Ляпунова системы A удовлетворяют равенствам Следовательно, система A является правильной. Верхний центральный показатель этой системы удовлетворяет равенству (A) = 1, а нижний ценравенству (A) = 3. Установлено [68, стр. 85], тральный показатель что существует система y = B(t)y такая, что В силу неравенства Ляпунова получаем следовательно, система y = B(t)y является правильной. Допустим, что функция m : Mn R принадлежит первому классу Бэра на пространu ствах Mn. Тогда, в силу теоремы II § 3 гл. I, получаем m (A) = m (B). С другой стороны, m (A) = n (A) = 2 и m (B) = n (B) = 1. Полученное противоречие доказывает теорему IV.

Так как компактно-открытая топология слабее равномерной, то из теоремы II, в случае n 2, следует непринадлежность функции m (·) перc вому классу Бэра на пространстве Mn. При n = 1 для любой системы (1) справедливо равенство 1 (A) = m (A), следовательно функция m (·) не принадлежит первому классу Бэра на пространстве M1 и является непреu рывной на пространстве M1.

§3 Точный класс Бэра сигма-показателей Изобова на пространстве линейных систем с равномерной и компактнооткрытой топологиями Пусть n (A) старший показатель Ляпунова линейной системы (1).

Для заданного > 0, сигма-показатель [60] отвечает за подвижность вверх старшего показателя Ляпунова при непрерывных возмущениях системы (1), принадлежащих множеству Пусть M метрическое пространство. По функции непрерывной по совокупности переменных и ограниченной по t при всяком фиксированном значении µ, построим функцию Изучим свойства функции (17) с точки зрения бэровской классификации.

Теорема V [50]. Для любого отображения (16) и > 0 функция (17) принадлежит второму классу Бэра. Если M метризуемо полной метрикой, то в типичной по Бэру точке эта функция полунепрерывна сверху.

Доказательство. В работе [60] приведен алгоритм вычисления сигмапоказателя через оператор Коши XA (t, s) системы (1) жит первому классу Бэра на пространстве Mn.

Доказательство. Показатель любого нетривиального решения диагональной системы равен Напомним, что коэффициент неправильности Гробмана [14, стр. 67] системы (1) определяется формулой где X(A) совокупность фундаментальных матриц системы (1), i [X] характеристический показатель Ляпунова ее i-ого столбца. Любая фундаментальная матрица системы x = V (t)x имеет вид следовательно характеристический показатель Ляпунова любого ее столбца равен. Так как то характеристический показатель Ляпунова любого столбца матрицы сигма-показатель системы совпадает со старшим показателем Ляпунова Пусть положительное 1 <. Рассмотрим систему с непрерывной функцией Докажем, что сигма-показатель системы (19) удовлетворяет неравенству >. Произвольное решение системы (19) определяется формулами Рассмотрим две последовательности где При [tm, tm ] справедливы неравенства Поэтому Так как при имеет место неравенство где Если положить t = tm e, то будет Рассмотрим решение x(·) системы (19) с начальными условиями Из формулы (20) для решений системы (19) и неравенства (21) получаем, что характеристический показатель этого решения не меньше чем +re.

Итак, у системы (19) уравнений есть решение с показателем, большим, а следовательно, получаем Для завершения доказательства теоремы VI рассмотрим систему x = A(t)x, где и систему x = B(t)x, где Для этих систем имеем Так как лежит первому классу Бэра на пространстве Mn. Теорема VI доказана.

Так как компактно-открытая топология слабее равномерной, то из теоремы VI, в случае n 2, следует непринадлежность функции (·) перc вому классу Бэра на пространстве Mn. При n = 1 для любой системы (1) принадлежит первому классу Бэра на пространстве M1 и является непреu рывной на пространстве M1.

§4 Точный класс Бэра индекса условной экспоненциальной устойчивости на пространстве линейных систем с равномерной и компактно-открытой топологиями Напомним, что система (1), называется условно экспоненциально устойчивой с индексом k {0, 1,..., n}, если существует такое k-мерное подпространство L Rn, что всякое решение рассматриваемой системы, удовлетворяющее условию x(0) L имеет отрицательный характеристический показатель считаем, что характеристический показатель нулевого решения равен.

Индексом условной экспоненциальной устойчивости indes (A) системы (1) назовем максимальное число k, для которого система (1) условно экспоненциально устойчива с индексом k.

Пусть M метрическое пространство. По функции непрерывной по совокупности переменных и ограниченной по t при всяком фиксированном значении µ, построим функцию Изучим свойства функции (23) с точки зрения бэровской классификации.

Теорема VII. Для любого отображения (22) функция (23) принадлежит второму классу Бэра.

Доказательство. Пусть k {0, 1,..., n}. Поскольку в формуле (2) для показателей Ляпунова последовательность функций (ak (·)) являm m= ется невозрастающей на пространстве Mn, то множество можно представить в виде Так как функции ak (·) : Mn R принадлежат первому классу Бэра на пространстве Mn, то множества {A Mn : ak (A) жествами типа G в пространстве Mn (см. п. 6 § 1 гл. I), следовательно множество является множеством типа G в том же пространстве. Множество {A Mn : indes (A) k} совпадает с множеством которое является множеством F. Следовательно функция indes (·) принадc лежит второму классу Бэра на пространстве Mn. Таким образом, в силу теоремы IV § 5 гл. I, функция (23) принадлежит второму классу Бэра на пространстве M. Теорема VII доказана.

В силу теоремы VII и теоремы IV § 5 гл. I, получаем Следствие 4 [23]. Функция indes (·) : Mn R принадлежит второму классу Бэра на пространстве Mn.

Так как компактно-открытая топология слабее равномерной, то из приc надлежности функции indes (·) второму классу Бэра на пространстве Mn следует ее принадлежность тому же классу Бэра на пространстве Mn.

Теорема VIII [20]. Пусть n {0,..., n} не принадлежит первому классу Бэра на пространстве Mn.

Доказательство. Для принадлежности функции первому классу Бэu ра на пространстве Mn, в силу теоремы II § 3 гл. I, необходимо, чтобы для любых систем A и B, удовлетворяющих свойству было выполнено равенство С другой стороны, как при доказательстве теоремы I § 1 гл. II, рассмотрим исходную систему с показателями Ляпунова и возмущенную систему c показателями, удовлетворяющими соотношениям Так как то получаем противоречие с (24). Таким образом, функция indes : Mn {0,..., n} не принадлежит первому классу Бэра. Теорема VIII доказана.

Так как компактно-открытая топология слабее равномерной, то из теоремы II, в случае n 2, следует непринадлежность функции indes (·) перc вому классу Бэра на пространстве Mn.

§5 Точный класс Бэра размерности векторных подпространств, определяемых показателями Ляпунова, на пространстве линейных систем с равномерной и компактно-открытой топологиями Пусть 1 (A)... n (A) показатели Ляпунова системы (1). Обозначим Dk (A) размерность пространства начальных значений тех решений системы (1), характеристические показатели которых не превосходят k (A), считаем, что характеристический показатель нулевого решения равен. Отметим, что имеет место равенство Dn (A) = n.

Пусть M метрическое пространство. По функции непрерывной по совокупности переменных и ограниченной по второму аргументу t при всяком фиксированном значении первого µ, построим функцию Изучим свойства функции (26) с точки зрения бэровской классификации.

Теорема IX. Для любого отображения (25) и каждого k {1,..., n1} функция (26) принадлежит третьему классу Бэра.

Доказательство. Рассмотрим функцию (·) : R R Эта функция принадлежит первому классу Бэра на R. Из определения функции Dk получаем Dk (A) = (1 (A) k (A)) +... + (n (A) k (A)).

Функции принадлежат второму классу Бэра на пространстве M [81], а следовательно, функция (26) принадлежит третьему классу Бэра на пространстве M (см. п. 3 § 1 гл. I). Теорема IX доказана.

В силу теоремы IX и теоремы IV § 5 гл. I, получаем Следствие 5 [20]. Для любого k {1,..., n 1} функция Dk (·) :

Mn R принадлежит третьему классу Бэра на пространстве Mn.

Так как компактно-открытая топология слабее равномерной, то из приc надлежности функции Dk (·) третьему классу Бэра на пространстве Mn следует ее принадлежность тому же классу Бэра на пространстве Mn.

Теорема X [23]. Если n Dk : Mn {0, 1,..., n} не принадлежит второму классу Бэра на Mn.

Доказательство. Допустим, что функция Dk (·) : Mn {1,..., n} принадлежит второму классу Бэра. Тогда для любого непрерывного отобu ражения : B(N) Mn композиция Dk ((·)) : B(N) {1,..., n} принадлежит второму классу Бэра.

Лемма 1. Существует непрерывная функция : B(N) M2 такая, что Доказательство. Рассмотрим следующую последовательность положительных чисел Каждому µ = (µ1, µ2,...) B(N) поставим в соответствие систему уравнений с кусочно-непрерывной функцией где Показатель любого нетривиального решения диагональной системы равен Напомним, что коэффициент неправильности Гробмана [14, стр. 67] системы (1) определяется формулой где X(A) совокупность фундаментальных матриц системы (1), i [X] характеристический показатель Ляпунова ее i-ого столбца. Любая фундаментальная матрицы системы x = V (µ, t)x имеет вид следовательно характеристический показатель Ляпунова любого ее столбца равен 1. Так как то характеристический показатель Ляпунова любого столбца матрицы (X 1 )T равен 1, а следовательно (V (µ, ·)) = 2.

Пусть µ E, т. е. lim µm =, тогда имеет место равенство а, значит, по [66] тогда существует бесконечная подпоследовательность {µm } {µm } и натуральное число q такие, что µm = q. Произвольное решение системы (27) определяется формулами Из определения функции u(µ, ·) имеем При [t ; tm ] справедливы неравенства Поэтому Так как при имеет место неравенство где то тем более Если положить Tm = tm e, то получим Рассмотрим решение x(·) системы (27) с начальными условиями Из формулы (28) для решений системы и неравенства (29) получаем, что характеристический показатель этого решения не меньше, чем 1 + re.

Итак, если µ E, то у системы уравнений x = U (µ, t)x есть решение с показателем большим 1. Таким образом, при µ E получаем По кусочно-непрерывной функции U (µ, ·) и последовательности положительных чисел (m ) такой, что построим функцию A(µ, ·) следующим образом A(µ, t) = Эта функция непрерывна по t R+. Действительно, в точках непрерывности функции U (µ, ·), которые не принадлежат объединению отрезtm m, tm + m ], функция A(µ, ·) совпадает с функцией U (µ, ·), ков а на любом из отрезков [tm m, tm + m ] график функции A(µ, ·) представляет собой отрезок прямой, который соединяет точку с координатами (tm m, U (µ, tm m )) и точку с координатами (tm + m, U (µ, tm + m )).

в силу леммы 11 § 6 гл. I, система y = A(µ, t)y ляпуновски эквивалентна системе x = U (µ, t)x, следовательно, для любого µ B(N) верны равенства Получили отображение : B(N) M2. Отображение является непрерывным. Действительно, пусть d(µ, ) = m+1, т. е.

Тогда получаем U (µ, t) = U (, t) на отрезке [0, tm ], а следовательно A(µ, t) = A(, t) на отрезке [0, tm 1]. Так как Лемма 1 доказана.

Завершение доказательства теоремы X. Рассмотрим отображение :

B(N) Mn, определяемое формулой где A(µ, ·) из леммы 1. Это отображение непрерывно и < k (P (µ, ·)) < k+1 (P (µ, ·)) < k+2 (P (µ, ·)) = n (P (µ, ·)) = 3, при µ E.

Следовательно Итак, функция Dk ((µ)) k совпадает с характеристической функцией множества E, а следовательно, не принадлежит второму классу Бэра на B(N). Полученное противоречие доказывает теорему X.

В силу теоремы X и теоремы V § 5 гл. I, получаем Следствие 6. Существует такое полное метрическое пространство M, что для любого n равномерно по t R+, для которого функция (26) не принадлежит второму классу Бэра.