«Численные методы исследования математических моделей геофизики и тепловой диагностики на основе теории обратных задач ...»

• программа численного решения обратной задачи гравиметрии на основе метода регуляризации А.Н. Тихонова.

3.1 Дискретные аналоги дифференциальных уравнений и алгоритмические конструкции Дискретные аналоги для уравнения теплопроводности Процесс нестационарной теплопроводности в декартовых координатах описывается дифференциальным уравнением где c — удельная теплоемкость среды, — плотность среды, T = T (x, t) — температура, t — время, x — пространственная координата, — коэффициент теплопроводности, S — источниковый член (удельная плотность тепловых источников).

Уравнение (3.1.1) может быть приведено к безразмерному виду, что удобно при проведении численных экспериментов. Выберем масштаб t0 по времени и l0 по пространственной координате, характерные значения T0 и T1 для температуры. Пусть 0 — некоторое известное значение для коэффициента теплопроводности. Введём безразмерные величины Определим критерий подобия (число Фурье):

Тогда получим уравнение При соответствующем выборе масштабов и характерных чисел безразмерные переменные принимают значения в пределах от 0 до 1:

Поскольку число Фурье является критерием скорости протекания тепловых процессов, то «масштаб» процесса определяется значением этого безразмерного комплекса.

Для дискретизации дифференциальных уравнений был использован метод контрольного объёма [77]. Основная идея метода контрольного объёма поддаётся прямой физической интерпретации.

Расчётную область разбивают на некоторое число непересекающихся контрольных объёмов таким образом, что каждая узловая точка содержится в одном контрольном объёме. Дифференциальное уравнение интегрируют по каждому контрольному объёму. Для вычисления интегралов используют кусочные профили, которые описывают изменение переменной (температуры, давления) между узловыми точками. В результате находят дискретный аналог дифференциального уравнения, в который входят значения переменной в нескольких узловых точках.

Полученный подобным образом дискретный аналог выражает соответствующий закон сохранения (энергии, массы и т.п.) для конечного контрольного объёма точно так же, как дифференциальное уравнение выражает закон сохранения для бесконечно малого контрольного объёма. Одним из важных свойств метода контрольного объёма является то, что в нём заложено интегральное сохранение таких величин, как масса, количество движения и энергия на любой группе контрольных объёмов и, следовательно, на всей расчётной области. Это свойство проявляется при любом числе узловых точек, а не только в предельном случае очень большого их числа.

Таким образом, даже решение на грубой сетке удовлетворяет точным интегральным балансам.

Для получения дискретного аналога дифференциального уравнения (3.1.1) использовано показанное на рис. 3.1 расположение узловых точек. В центре рассматриваемого контрольного объёма Рис. 3.1: Контрольный объём (одномерная задача) точка P, окружённая точками E и W (E — «восточная» сторона, т. е. расположенная справа, в положительном направлении оси x, W — «западная» сторона, т. е. расположенная слева, в направлении, противоположном направлению оси x. Границы контрольного объёма обозначены как e и w.

Следуя [77], составим дискретный аналог для уравнения (3.1.1), интегрируя в пределах контрольного объёма по координате x и по промежутку времени t.

Источниковый член представим в линеаризованном виде с постоянной составляющей SC и переменной составляющей SP T, зависящей от температуры, Первый из интегралов в правой части заменяется разностью потоков на границах:

С целью достижения устойчивости схемы использован полностью неявный аналог. Для аппроксимации производных применён кусочно-линейный профиль T.

TE TP TP TW

Обозначение TP относится к предыдущему временному шагу. TP, TE, TW — значения температуры на новом временном шаге. В результате получим Рис. 3.2: Интервалы, связанные с гранью e контрольного объёма В [77] рекомендуется в качестве эффективного приближения коэффициента теплопроводности граней брать среднее гармоническое значений в соседних точках.

Аналогично Если грани расположены посередине между соседними точками, тогда fe = fw = 0, 5. В этом случае для значений коэффициентов на границах будут верны равенства:

Для безразмерного уравнения (3.1.2) дискретный аналог имеет вид:

Пусть теперь исходное уравнение имеет вид где r — пространственная координата.

Умножим обе части равенства (3.1.5) на r и проинтегрируем по контрольному объёму и по промежутку времени t.

Рис. 3.3: Контрольный объём (осесимметричная задача) Таким образом получаем В результате имеем В силу равенства последнее уравнение приводится к виду Аналитическое решение стационарного уравнения даёт:

Интегрируя получаем или Тогда потоки на границах можно представить следующим образом:

Значения коэффициентов теплопроводности на границах контрольного объёма находим по формулам:

Дискретный аналог для осесимметричной задачи имеет вид:

Дискретный аналог для безразмерного уравнения осесимметричной задачи ( ) имеет вид:

Дискретный аналог для уравнения фильтрации Рассмотрим дифференциальное уравнение нестационарной фильтрации (1.1.1) [ ] Задаём масштаб t0 по времени и r0 по пространственной координате. Выбираем характерные значения p0 и p1 для давления, 0 — для коэффициента гидропроводности. Приводим уравнение к безразмерному виду где Здесь безразмерный комплекс является аналогом диффузионного числа Фурье.

';

При этом Чтобы не усложнять изложение решения, рассмотрим более простое по форме уравнение (1.1.1). На рисунке 3.3 изменятся только обозначения. Вместо r и r теперь следует читать и. Для получения дискретного аналога дифференциального уравнения фильтрации в осесимметричной задаче умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем по и t. В результате получаем или Далее решение аналогично решению уравнения (3.1.5). А именно, справедливы следующие равенства откуда или Таким образом, где Замечания об упрощении дискретного аналога и вычислении значений коэффициентов на гранях контрольного объёма, сделанные в предыдущем пункте, остаются справедливыми и в данном случае.

Граничные условия В силу особенностей рассматриваемых задач при численном моделировании использовались граничные условия второго или первого рода. При построении дискретного аналога для граничного контрольного объёма точка P располагалась на границе, а интегрирование велось по половинному контрольному объёму.

Например, для задачи расчёта поля поля температур (уравнение (3.1.1)) при заданном тепловом потоке qB на левой границе (условие второго рода) получим:

Решение прямой задачи для уравнений теплопроводности и фильтрации Применение дискретного аналога (задаваемого одним из равенств (3.1.3), (3.1.4), (3.1.6), (3.1.8), (3.1.10)) на группе N контрольных объёмов приводит к системе линейных уравнений где сеточная функция ui имеет смысл Ti или pi.

Решение (3.1.12) можно получить с помощью метода исключения Гаусса, приводящего к формулам прогонки (см. [81]):

Для дискретных аналогов, построенных методом контрольного объёма выполнены достаточные условия единственности решения и устойчивости метода (см. [81]):

Алгоритмы и итерационные методы решения вариационных задач В теории методов приближённого решения некорректных задач вопросу выбора параметра регуляризации уделяется значительное внимание. Наибольшее распространение получили: выбор параметра регуляризации по невязке, выбор по обобщённой невязке, квазиоптимальный выбор и т. д. Параметр регуляризации согласовывается с погрешностью входных данных, и чем меньше погрешность, тем меньше берется параметр регуляризации.

При выборе параметра регуляризации по невязке для некорректной задачи в качестве определяющего выступает равенство где u — правая часть уравнения (3.1.15), заданная с погрешностью : u u, z — некоторое приближённое решение соответствующее u, причём = ().

Невязка зависит некоторым образом от параметра регуляризации. Обозначим Тогда нахождение параметра регуляризации в соответствии с принципом невязки (3.1.16) состоит в решении уравнения В достаточно общих условиях функция () является неубывающей и уравнение (3.1.17) имеет решение.

Для приближённого решения уравнения (3.1.17) используются различные вычислительные процедуры. Например, задаётся последовательность и вычисления проводятся начиная с k = 0 до некоторого k = K, при котором равенство (3.1.17) с приемлемой точностью выполняется. При таком определении параметра регуляризации требуется K + 1 операция вычисления невязки.

Для приближённого решения уравнения (3.1.17) можно использовать и более быстро сходящиеся итерационные методы. Установлено, что функция () = (1/) является убывающей и выпуклой функцией. Поэтому для решения уравнения можно использовать итерационный метод Ньютона, когда Этот метод будет сходиться при любом начальном приближении 0 > 0. Применение подобных итерационных процедур позволяет сократить общие вычислительные затраты на определение параметра регуляризации.

В силу того, что оценки погрешности задания входных данных часто не известны и плохо контролируемы, использование хорошо апробированного и теоретически отработанного метода невязки затруднительно. Поэтому в вычислительной практике широкое распространение получил второй способ определения параметра регуляризации — квазиоптимальное значение параметра регуляризации. Такой выбор напрямую не связан с уровнем погрешностей.

Выбирается значение > 0, которое минимизирует Для нахождения квазиоптимального значения чаще всего используется последовательность (3.1.18). Минимизация на таких значениях параметра регуляризации соответствует поиску минимума Тем самым, необходимо проводить оценку лишь нормы разности приближённых решений на двух соседних итерациях.

Имеются и другие способы выбора параметра регуляризации.

Отметим лишь тот общий момент, что выбор параметра регуляризации приводит к существенному увеличению вычислительной работы и носит в той или иной степени итерационный характер. При каждом значении итерационного параметра решается обратная задача. Естественно, что при промежуточных значениях параметра регуляризации нет большого смысла в очень точном решении таких задач. Поэтому имеет смысл комбинировать нахождение решения обратной задачи с выбором параметра регуляризации. Близкая идея фактически реализована в итерационных методах решения некорректных задач за счёт объединения функций итерационного параметра и параметра регуляризации.

3.2 Программа численного исследования фильтрационной модели нефтяного пласта Рассмотрим в области T = [r0, r] [0, T ] краевую задачу Сформулируем обратную задачу следующим образом: требуется найти коэффициент () такой, что u(, t) удовлетворяет системе (3.2.1) – (3.2.5). Функции f (t), g(t), предполагаются известными.

Программа определяет коэффициент (), имеющий смысл коэффициента гидропроводности нефтяного пласта, из решения обратной задачи (3.2.1) – (3.2.5) для предложенной математической модели.

Задача сводится к задаче минимизации функционала (2.2.58) где > 0, > 0, пространства W2, U были определены ранее, u0, 0 — некоторые априорно известные приближения.

Программа состоит из отдельных модулей, обеспечивающих последовательное выполнение следующих функций:

1. ввод данных и выбор основных параметров решаемой задачи (выбор параметров расчётной сетки);

2. задание функции (коэффициента гидропроводности) в режиме моделирования процесса фильтрации к одиночной скважине;

3. решение прямой задачи с известным коэффициентом гидропроводности, формирование данных для обратной задачи гидропроводности: граничных условий (функции f (t), g(t)), представляющих забойное давление и дебит нефтяной скважины;

4. запись данных в файлы, чтение данных из файлов; данные функция позволяют проводить расчёты на основе экспериментальных данных;

5. расчёт по тестовым или экспериментальным данным задачи приближённых значений коэффициента гидропроводности на основе обобщённого метода L-регуляризации (как результат задачи минимизации целевого функционала).

Для минимизации функционала применён метод градиентного спуска.

Алгоритм метода градиентного спуска 1. Предполагаем, что получено приближение k на k-той итерации (начальное приближение 0 = 0 ).

2. Вычисляем значение функционала J( k ).

3. Если J( k ) или k не удовлетворяют заданным условиям остановки итераций, то вычисляем градиент функционала (аппроксимацию градиента) J( k )().

4. Выбираем параметр спуска dk.

5. Вычисляем следующее приближение функционала по формуле 6. Выбираем параметр спуска из нелинейного уравнения относительно dk :

Хорошей аппроксимацией (см. [46]) является параметр спуска dk, вычисляемый как результат одной итерации метода Ньютона с начальным приближением dk = 0, применённого к уравнению или 3.3 Программа математического моделирования процесса регистрации аномалии гравитационного поля Программа предназначена для определения формы области месторождения по данным регистрируемой гравитационной аномалии на поверхности земли. Определяется форма раздела двух сред на основе решения двумерной или трёхмерной обратной задачи гравиметрии.

Решение двумерной задачи Программа в режиме решения двумерной задачи обеспечивает выполнение следующих функций:

1. Ввод данных и задание границы раздела двух сред, области измерения гравитационной аномалии, предельной глубины границы раздела. Функция, определяющая границу раздела выбирается из числа представленных модельных примеров или задаётся пользователем в редактируемом поле в окне ввода данных. Возможно расширение списка модельных примеров, ограничений на их число нет.

2. Решение прямой задачи гравиметрии: вычисление значений гравитационной аномалии на дневной поверхности. Вычисленные значения сохраняются в текстовом файле.

3. Чтение данных о значениях гравитационной аномалии из текстового файла, интерпретация данных. Расчет по данным значениям аномалии и глубины рас-четной области приближённой границы раздела сред градиентными методами. В приведённом тексте программы использован метод наискорейшего спуска (МНС). Возможно использование программы для восстановления неизвестной границы раздела по экспериментальным данным (без решения прямой задачи).

Метод решения Для реализации алгоритма решения интегралы в (2.2.29) аппроксимировались посредством квадратурных формул прямоугольников.

При этом вариационная задача (2.1.48)) заменялась задачей где Итеративный метод градиентного типа В качестве основного метода для нахождения минимума функционала F (z) = Az f 2 + Lz2 был применён градиентный метод, подобный описанному в [24]. Использовалась итерационная схема с правилом останова по невязке:

где Условием останова итераций являлось выполнение для заданного уровня погрешности неравенства Выбор параметра k осуществлялся либо в соответствии с методом наискорейшего спуска (МНС) либо в соответствии с методом минимальной ошибки (ММО) Величина относительной невязки k служила также показателем качества решения задачи восстановления искомой границы.

Итеративно регуляризованный метод Ньютона В работах [6, 7, 23] для решения задачи применялся итеративно регуляризованный метод Ньютона. После аппроксимации интегрального оператора по квадратурным формулам уравнение (1.3.2) заменялась системой нелинейных уравнений При этом задача (3.3.1) заменяется на систему Для удобства применения данного метода внешний интеграл также брался по отрезку [l, l], соответственно получалось m = n.

Применив необходимое условие экстремума, получим систему уравнений После сокращения система приводится к виду Суммируем по i для каждого j, разделим на n:

К каждому j (z) применим итерационный метод Ньютона в виде:

где Метод сопряжённых градиентов [5] Перепишем систему (3.3.3) в векторном виде:

В случае при m = n для решения системы уравнений (3.3.4) используется итеративно регуляризованный метод Ньютона Нахождение очередного приближения z k+1 сводится к решению системы алгебраических уравнений Для решения (3.3.5) применялся итерационный метод сопряжённых градиентов (МСГ). Для этого система приводилась к виду с симметричной матрицей где > 0 — параметр регуляризации.

Полученная система (3.3.6) решалась методом сопряжённых градиентов:

где коэффициенты k и k вычислялись по формулам [?] и первое приближение z 1 находилось методом наискорейшего спуска В случае m > n для решения системы уравнений (3.3.4) используется итеративно регуляризованный метод Ньютона в виде Нахождение очередного приближения z k+1 сводится к решению системы где fm = Ak z k Am (z k ) fm + n+1 n Lm (zik ) — вектор-столбец размерности m. Для решения (3.3.8) методом сопряжённых градиентов (3.3.7) система приводится к виду Во всех методах итерационные процессы продолжались до тех пор, пока не выполнялось условие если была задана погрешность, или если погрешность в g отсутствовала.

Решение трёхмерной задачи гравиметрии Программа в режиме решения трёхмерной задачи обеспечивает выполнение следующих функций:

1. Ввод данных или задание границы раздела 2 сред в тестовом режиме.

2. Выбор основных параметров решаемой задачи и границ области измерения гравитационной аномалии.

3. Работу в тестовом режиме. В тестовом режиме решается прямая задача, и рассчитываются значения гравитационной аномалии. Вычисленные значения сохраняются в бинарных файлах.

4. Чтение данных о значениях гравитационной аномалии из бинарных файлов, интерпретация данных. Операция чтения данных из файлов выделена для удобства ввода данных, полученных по результатам гравиразведки.

5. Расчет по данным значениям аномалии приближённой границы раздела сред реализован на основе метода регуляризации А.Н. Тихонова. Для минимизации функционала применен метод градиентного спуска.

Постановка задачи Воспользуемся выражением потенциала силы тяжести где область T определена условиями Аномалия силы тяжести на поверхности Земли z = 0:

Уравнение гравиметрии для трёхмерной задачи:

где Уравнение (3.3.9) в операторной форме имеет вид:

где Оператор A действует из пространства L2 [a, a] [b, b] в пространство L2 (, +) (, +). Считаем функцию f известной, а z(, ) требуется найти.

Предположим, что при f (x, y) = f0 (x, y) уравнение (3.3.10) имеет решение, но точное значение f0 (x, y) нам неизвестно, а вместо него даны -приближение f (x, y) и уровень погрешности > такие, что Операторное уравнение (3.3.10) можно свести к вариационной задаче:

где и оператор L действует из пространства L2 [a, a] [b, b] в пространство L2 [a, a] [b, b] (, +) (, +).

Метод решения Применим метод конечномерных аппроксимаций к вариационной задаче (3.3.11). Пусть [a, a], [b, b]. Разобьём отрезки [a, a] и [b, b] соответственно на n и m равных частей:

шаг разбиения отрезка [b, b].

Бесконечные интервалы заменим конечными отрезками [s, s] и [t, t]. Отрезок [s, s] разобьем на n1 частей с шагом x =, а отрезок [t, t] — на m1 частей с шагом y =. Разбиение строим таким образом, чтобы точки разбиений совпадали с точками разбиений отрезков [a, a] и [b, b] соответственно.

Искомую границу z(, ) аппроксимируем кусочно-постоянными функциями где Методы решения трёхмерной задачи те же, что и для двумерной.

3.4 Программа математического моделирования процесса тепловой диагностики технических объектов Рассмотрим в области = [0, 1] [0, S] краевую задачу (1.2.33) – (1.2.36) к которой заменой переменных сводится задача (1.2.1) – (1.2.3). Условиям (1.2.4) – (1.2.5) соответствует уравнения Сформулируем обратную задачу следующим образом: требуется найти функцию z1 (s), определяющую тепловой поток на границе x = 1 в задаче тепловой диагностики. Функции f1 (s), f2 (s), g(s), предполагаются известными.

Для решения этой задачи может быть применён обобщённый метод L-регуляризации по аналогии с применением метода в обратной задаче гидродинамики. Задача сводится к задаче минимизации функционала где > 0 — параметр регуляризации, z1 (s) принадлежит классу корректности M, соответствующему классу корректности Mr исходной задачи.

Решение обратной граничной задачи теплопроводности методом регуляризации находилось с помощью вспомогательной функции плотности теплового потенциала (см. [8, 15]). Применив в задаче минимизации метод конечномерных аппроксимаций, разобьём отрезок [0, S] на n равных частей, шагов по времени. В результате получим разностный аналог вариационной задачи где y(s) = u(x2, s) — приближённое решение в точке расположения датчика температуры, qi — расчётные значения тепловых потоков.

Численная аппроксимация минимизируемого функционала приводит к задаче решения системы n алгебраических уравнений с нижней треугольной матрицей коэффициентов чувствительности (см. [8, 15]). Для решения системы использовались метод регуляризации по всей области и метод последовательной регуляризации, описанные в [15].

Для реализации алгоритма решения обратной граничной задачи была разработана программа в пакете MATLAB. Программа состоит из модулей, обеспечивающих выполнение следующих функций:

1. ввод данных и выбор основных параметров решаемой задачи (выбор параметров расчётной сетки);

2. задание функции z1 (s) теплового потока на границе x = 1;

3. решение прямой задачи нестационарной теплопроводности с известным граничным условием, расчёт поля температур в стенке, подверженной тепловой нагрузке;

4. формирование данных для обратной задачи теплопроводности — значений датчика температуры в точке x1 ;

5. расчёт по тестовым данным значений тепловых потоков в расчётной области = [0, 1] [0, S], получение приближённых значений приближённых значений граничного потока.

Для минимизации функционала применён метод градиентного спуска.

Заключение Перечислим основные результаты, приведённые в диссертационной работе.

1. Выполнена постановка задачи гидродинамического исследования нефтяных пластов как обратной коэффициентной задачи фильтрации. При математическом моделировании изучаемого процесса учтены особенности задач подземной гидромеханики.

Проведено исследование единственности решения соответствующей обратной задачи.

2. Рассмотрена задача тепловой диагностики технических объектов, подверженных тепловым нагрузкам, с подвижной границей. Исследована единственность решения соответствующей обратной граничной задачи для уравнения теплопроводности.

Получено приближённое решение и оценка его погрешности.

3. Изучена задача определения запасов полезных ископаемых в геологоразведке по регистрируемой аномалии гравитационного поля, вызванной неоднородностью горных пород. Смоделирована сопутствующая задача восстановления поверхности раздела двух сред как нелинейная обратная задача гравиметрии. Исследовано строение оператора, порождённого данной обратной задачей.

4. Предложен общий для всех указанных задач численный метод решения, в основе которого лежат методы L-регуляризации приближённых решений и конечномерной аппроксимации регуляризованных решений.

5. Проведено сравнение с точки зрения эффективности методов решения вариационной задачи. Для нахождения минимума функционала применялись градиентные, квазиньютоновские методы и метод сопряжённых градиентов. На основе этих методов разработаны алгоритмы решения рассмотренных обратных задач.

6. Разработан комплекс программ, реализующих предложенные алгоритмы решения нелинейных обратных задач.

7. С помощью разработанного программного обеспечения исследованы прикладные задачи гидродинамического прослушивания нефтяного пласта, тепловой диагностики технических объектов с подвижной границей и восстановления поверхности залегающих пород по аномалии гравитационного поля.

Список литературы 1. Агеев, А. Л. Алгоритмы конечномерной аппроксимации стабилизирующих добавок / А. Л. Агеев // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1991. — Т. 31, 2. Агеев, А. Л. Об одном свойстве оператора, обратного к замкнутому / А. Л. Агеев // Исследования по функциональному анализу. — Свердловск: Изд-во Уральского ун-та, 1978. — C. 3–5.

3. Агеев, А. Л. К вопросу о построении оптимального метода решения линейного уравнения 1 рода / А. Л. Агеев // Известия вузов. Математика. — 1983. № 3. — С. 61–68.

4. Агеев, А. Л. Регуляризация нелинейных операторных уравнений на классе разрывных функций / А. Л. Агеев // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1980. — Т. 20, № 4. — С. 516–531.

5. Акимова, Е. Н. Параллельные алгоритмы решения обратных задач гравиметрии и магнитометрии на МВС-1000 / Е. Н. Акимова // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. — 2009. — № 4. — C. 181—189.

6. Акимова, Е. Н. Решение обратных задач магнитометрии и гравиметрии о восстановлении разделяющей поверхности сред / Е. Н. Акимова, В. В. Васин, Г. Г. Скорик // Материалы 35-й сессии Международного семинара им. Д. Г. Успенского — Ухта: УГТУ, 2008. — С. 10–13.

7. Акимова, Е. Н. Регулярные методы решения обратной задачи гравиметрии / Е. Н. Акимова, Г. Г. Скорик // Сибирские электронные математические известия. — 2008. — Т. 5. — С. 509– 8. Алифанов, О. М. Обратные задачи теплобмена / О. М. Алифанов. — М.: Машиностроение, 1988. — 280 с.

9. Арсенин, В. Я. О разрывных решениях уравнений первого рода / В. Я. Арсенин // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1965. — Т. 5, № 5. — С. 922–926.

10. Бакушинский, А. Б. Один общий прием построения регуляризующих алгоритмов для линейных некорректных уравнений в гильбертовом пространстве / А. Б. Бакушинский // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1967. — Т. 7, № 3. — С. 672–677.

11. Бакушинский, А. Б. Оптимальные и квазиоптимальные методы решения линейных задач, порожденные регуляризующими алгоритмами / А. Б. Бакушинский // Известия Вузов. Математика. — 1978. — № 11. — С. 6–10.

12. Бакушинский, А. Б. Замечание о выборе параметра регуляризации / А. Б. Бакушинский // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1984. — Т. 24, № 8. — С. 1253–1259.

13. Бакушинский, А. Б. Некорректные задачи. Численные методы и приложения / А. Б. Бакушинский, А. В. Гончарский. — М.:

Изд-во МГУ, 1989. — 199 с.

14. Бакушинский, А. Б. Устойчивый градиентно-проекционный метод для обратной задачи гравиметрии / А. Б. Бакушинский, М. Ю. Кокурин, А. И. Козлов // Математическое моделирование. — 2003. — Т. 15, № 7. — С. 37–45.

15. Бек, Дж. Некорректные обратные задачи теплопроводности / Дж. Бек, Д. Блакуэлл, Ч. Сент-Клер, мл. — М.: Мир, 1989. — 16. Вайникко, Г. М. Методы решения линейных некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах / Г. М. Вайникко. — Тарту: ТГУ, 1982. — 110 с.

17. Васильев, Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф. П. Васильев. — М.: Наука, 1981. — 400 с.

18. Васин, В. В. Регуляризация нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных / В. В. Васин // Дифференциальные уравнения. — 1968. — Т. 4, № 12. — С. 2268–2274.

19. Васин, В. В. О связи некоторых вариационных методов приближенного решения некорректных задач / В. В. Васин // Математические заметки. — 1970. — Т. 7, № 3. — С. 265–372.

20. Васин, В. В. Регуляризация задачи численного дифференцирования / В. В. Васин // Математические записки. — 1969. — Т. 7, № 2. — С. 29–33.

21. Васин, В. В. Общая схема дискретизации регуляризующих алгоритмов в банаховых пространствах / В. В. Васин // ДАН СССР. — 1981. — Т. 256, № 2. — С. 271–275.

22. Васин, В. В. Некорректные задачи с априорной информацией / В. В. Васин, А. Л. Агеев. — Екатеринбург: Наука, 1993. — 261 с.

23. Васин, В. В. Методы решения обратной задачи магнитометрии / В. В. Васин, Е. Н. Акимова, Г. Я. Пересторонина, П. С. Мартышко, В. А. Пьянков // Сибирские электронные математические известия. — 2008. — Т. 5. — С. 620-631.

24. Васин, В. В. Решение нелинейной задачи гравиметрии методами градиентного типа / В. В. Васин, И. Л. Пруткин, Л. Ю. Тимерханова // Математическое моделирование. — 1999. — Т. 11, 25. Васин, В. В. Необходимые и достаточные условия сходимости проекционных методов для линейных неустойчивых задач / В. В. Васин, В. П. Танана // ДАН СССР. — 1974. — Т. 215, № 5. — С. 1032–1034.

26. Васин, В. В. Дискретная сходимость и конечномерная аппроксимация регуляризующих алгоритмов / В. В. Васин // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1979. — Т. 19, № 1. — С. 11–21.

27. Васин, В. В. Методы итеративной регуляризации для некорректных задач / В. В. Васин // Известия Вузов. Математика. — 1995. — № 11. — С. 402.

28. Васин, В. В. Устойчивая аппроксимация негладких решений некорректно поставленных задач / В. В. Васин // Докл.

РАН. — 2005. — Т. 402, № 5. — С. 1–4.

29. Васин, В. В. Приближенное решение операторных уравнений первого рода / В. В. Васин, В. П. Танана // Математические записки. — 1968. — Т. 6, № 4. — С. 27–37.

30. Винокуров, В. А. Об одном необходимом условии регуляризуемости по Тихонову / В. А. Винокуров // ДАН СССР. — 1981. — Т. 256, № 2. — С. 271–275.

31. Винокуров, В. А. Измеримость и регуляризуемость отображений, обратных к непрерывным линейным операторам / В. А. Винокуров, Ю. И. Петунин, А. Н. Пличко // Математические заметки. — 1973. — Т. 26, № 4. — С. 583–593.

32. Винокуров, В. А. Необходимые и достаточные условия линейной регуляризуемости / В. А. Винокуров, Л. Д. Менихес // ДАН СССР. — 1976. — Т. 229, № 6. — С. 1292–1294.

33. Власов, Л. П. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах / Л. П. Власов // УМН. — 1973. — T. 28, вып. 6 (174). — C. 3–66.

34. Гласко, В. Б. О восстановлении глубины и формы контактной поверхности на основе регуляризации / В. Б. Гласко, А. Х. Остромогильский, В. Г. Филатов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1970. — Т. 10, № 5. — С. 1292—1297.

35. Гончарский, А. В. Об одном регуляризующем алгоритме для некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором / А. В. Гончарский, А. С. Леонов, А. Г. Ягола // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1972. — Т. 12, № 6. — С. 1592–1596.

36. Гончарский, А. В. О регуляризуемости некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором / А. В. Гончарский, А. С. Леонов, А. Г. Ягола // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1974. — Т. 14, № 4. — С. 1022–1027.

37. Данилин, А. Р. Об оптимальных по порядку оценках конечномерных аппроксимаций решений некорректных задач / А. Р. Данилин // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1985. — Т. 25, № 8. — С. 1123–1130.

38. Данилин, А. Р. Необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций метода невязки / А. Р. Данилин // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1982. — Т. 22, № 4. — С. 824–839.

39. Денисов, А. М. Введение в теорию обратных задач / А. М. Денисов. — М.: Изд-во МГУ, 1994. — 208 с.

40. Иванов В. К. О линейных некорректных задачах / В. К. Иванов // ДАН СССР. — 1962. — Т. 145, № 2. — С. 270–272.

41. Иванов, В. К. О некорректно поставленных задачах / В. К. Иванов // Математический сборник. — 1963. — Т. 61, № 2. — С. 211–213.

42. Иванов, В. К. О равномерной регуляризации неустойчивых задач / В. К. Иванов // Сибирский математический журнал. — 1966. — Т. 7, № 3. — С. 546–558.

43. Иванов, В. К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода / В. К. Иванов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1966. — Т. 6, № 6. — С. 1089–1094.

44. Иванов, В. К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / В. К. Иванов, В. В. Васин, В. П. Танана. — М.: Наука, 1978. — 208 с.

45. Кабанихин, С. И. Обратные и некорректные задачи / С. И. Кабанихин. — Новосибирск: Сибирское научное издательство, 46. Кабанихин, С. И. Метод градиентного спуска для решения обратной коэффициентной задачи теплопроводности / С. И. Кабанихин, А. Гасанов, А. В. Пененко // Сибирский журнал вычислительной математики. — 2008. — Т. 11, № 1. — С. 41–54.

47. Камке, Э. Спpавочник по обыкновенным диффеpенциальным уpавнениям / Э. Камке. — М.: Наука, 1976. — 576 с.

48. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М.: Наука, 49. Кутузов, А. С. Точная по порядку оценка приближенного решения обратной задачи для уравнения теплопроводности на кольце / А. С. Кутузов // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия «Математика, физика, химия». –– 2007. –– № 19 (91). –– С. 30–36.

50. Кутузов, А. С. Оценка приближённого решения одной двумерной граничной обратной задачи тепловой диагностики методом квазиобращения / А. С. Кутузов // Вестник ЮжноУральского государственного университета. Серия: Математика, физика, химия. –– 2009. –– № 10 (143). –– С. 14–21.

51. Лаврентьев, М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики / М. М. Лаврентьев. — Новосибирск: Сибирское отделение АН СССР, 1962. — 92 с.

52. Лаврентьев, М. М. К вопросу об улучшении точности решения системы линейных уравнений / М. М. Лаврентьев // ДАН СССР. — 1953. — Т. XCII, № 5. — С. 885–886.

53. Лаврентьев, М. М. Об интегральных уравнениях первого рода / М. М. Лаврентьев // ДАН СССР. — 1959. — Т. 127, № 1. — С. 31–33.

54. Лаврентьев, М. М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений / М. М. Лаврентьев. — Новосибирск: Издво НГУ, 1973. — 71 с.

55. Лаврентьев, М. М. Некорректные задачи математической физики и анализа / М. М. Лаврентьев, В. Г. Романов, С. П. Шишатский. — М.: Наука, 1980. — 288 с.

56. Латтес, Р. Метод квазиобращения и его приложения / Р. Латтес, Ж.-Л. Лионс. — М.: Мир, 1970. — 224 с.

57. Левитан, Б. М. Введение в спектральную теорию. Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы / Б. М. Левитан, И. С. Саргсян. — М.: Наука, 1970. — 672 с.

58. Левитан, Б. М. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака / Б. М. Левитан, И. С. Саргсян. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

59. Леонов, А. С. Кусочно-равномерная регуляризация некорректных задач с разрывными решениями / А. С. Леонов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1982. — Т. 22, № 3. — С. 516–531.

60. Леонов, А. С. Решение некорректно поставленных обратных задач: Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрация в МАТЛАБ / А. С. Леонов. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 61. Леонов, А. С. О сходимости по полным вариациям регуляризующих алгоритмов решения некорректно поставленных задач / А. С. Леонов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2007. — № 47 (5). — С. 766–781.

62. Лионс, Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионс, Э. Мадженес. — М.: Мир, 1971. — 372 с.

63. Лисковец, О. А. Вариационные методы решения неустойчивых задач / О. А. Лисковец. — Минск: Наука и техника, 1981. — 64. Мартыненко, Н. А. Конечные интегральные преобразования и их применение к исследованию систем с распределенными параметрами / Н. А. Мартыненко, Л. М. Пустыльников. — М.:

Наука, 1986. — 304 с.

65. Мартышко, П. С. Технология разделения источников гравитационного поля по глубине. // П. С. Мартышко, И. Л. Пруткин // Геофизический журнал. — 2003. — Т. 25, № 3 — С. 159– 66. Менихес, Л. Д. Конечномерная аппроксимация в методе М. М. Лаврентьева / Л. Д. Менихес, В. П. Танана // Сибирский журнал вычислительной математики. — 1998. — Т. 1, № 1. — С. 56–66.

67. Менихес, Л. Д. О регуляризуемости некоторых классов отображений, обратных к интегральным операторам / Л. Д. Менихес // Математические заметки. — 1999. — Т. 65, № 2. — С. 222–229.

68. Менихес, Л. Д. Об одном достаточном условии регуляризуемости линейных обратных задач / Л. Д. Менихес // Математические заметки. — 2007. — Т. 82, № 2. — С. 242–247.

69. Менихес, Л. Д. К теории регуляризации неустойчивых задач / Л. Д. Менихес // Изв. Челяб. науч. центра УрО РАН. — 2002. — Вып. 3 (16). — С. 1–5.

70. Морозов, В. А. О решении методом регуляризации некорректно поставленных задач с нелинейным неограниченным оператором / В. А. Морозов // Дифференциальные уравнения. — 1970. — T. 6, № 8. — C. 1453–1458.

71. Морозов, В. А. Линейные и нелинейные некорректные задачи / В. А. Морозов // Математический анализ (Итоги науки и техники). — 1973. — Т. 11. — С. 129–178.

72. Морозов, В. А. Методы регуляризации неустойчивых задач / В. А. Морозов. — М.: Изд-во МГУ, 1987. — 216 с.

73. Морозов, В. А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации / В. А. Морозов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1966. — Т. 6, № 1. — С. 170–175.

74. Морозов, В. А. О регуляризации некоторых классов экстремальных задач / В. А. Морозов // Вычислительные методы и программирование: сб. науч. тр. — М.: Изд-во МГУ, 1969. — Вып. 12. — С. 24–37.

75. Морозов, В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач / В. А. Морозов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1966. — Т. 6, № 1. — С. 170–175.

76. Осипов, Ю. С. Основы метода динамической регуляризации / Ю. С. Осипов, Ф. П. Васильев, М. М. Потапов. — М.: МГУ, 77. Патанкар, С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости / С. Патанкар. — М.: Энергоатомиздат, 78. Романов, В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений / В. Г. Романов. — Новосибирск: НГУ, 1973. — 252 с.

79. Романов, В. Г. Обратные задачи математической физики / В. Г. Романов. — М.: Наука, 1984. — 251 с.

80. Романов, В. Г. Устойчивость в обратных задачах / В. Г. Романов. — М.: Научный мир, 2005. — 304 с.

81. Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. — М.: Наука, 1989. — 616 с.

82. Сидикова, А. И. Об одной переопределенной задаче тепловой диагностики / А. И. Сидикова // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. — 2011. — № 23 (240). — 83. Сидикова, А. И. Об оценке точности приближенного решения обратной граничной задачи для параболического уравнения / А. И. Сидикова // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. — 2013. — Т. 6, № 2. — С. 74–87.

84. Страхов, В. Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве / В. Н. Страхов // Дифференциальные уравнения. — 1970. — Т. 6, № 8. — С. 1490–1495.

85. Страхов, В. Н. Об алгоритмах приближенного решения линейных условно-корректныхзадач / В. Н. Страхов // ДАН СССР. — 1972. — Т. 207, № 5. — С. 1057–1059.

86. Страхов, В. Н. О построении оптимальных по порядку приближенных решений линейных условно-корректных задач / В. Н. Страхов // Дифференциальные уравнения. — 1973. — Т. 9, № 10. — С. 1862–1874.

87. Табаринцева, Е. В. Об оценке погрешности метода квазиобращения при решении задачи Коши для полулинейного дифференциального уравнения / Е. В. Табаринцева // Сибирский журнал вычислительной математики. — 2005. — Т. 8, № 3. — С. 259–271.

88. Табаринцева, Е. В. О решении одной граничной обратной задачи для параболического уравнения / Е. В. Табаринцева // Вестник Южно-Уральского государственного университета.

Серия: Математика. Механика. Физика. — 2010. — № 30 (206).

С. 21–28.

89. Табаринцева, Е. В. О решении граничной обратной задачи для параболического уравнения методом квазиобращения / Е. В. Табаринцева, Л. Д. Менихес, А. Д. Дрозин // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Физика. — 2012. — № 11 (270). — С. 8– 90. Танана, В. П. Об одном подходе к приближению разрывного решения некорректно поставленной задачи / В. П. Танана, Е. В. Табаринцева // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2005. — Т. VIII, № 1. — С. 129–142.

91. Танана, В. П. Об одном проекционно-итеративном алгоритме для операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором / В. П. Танана // ДАН СССР. — 1975. — Т. 224, № 5. — С. 1028–1029.

92. Танана, В. П. О решении операторных уравнений первого рода с многозначными операторами и их приложения / В. П. Танана // Изв. вузов. Математика. — 1977. — № 7. — C. 87–93.

93. Танана, В. П. О классификации некорректно поставленных задач и оптимальных методах их решения / В. П. Танана // Изв.

вузов. Математика. — 1977. — № 11. — С. 106–112.

94. Танана, В. П. Об оптимальных алгоритмах для операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором / В. П. Танана // Математический сборник. — 1977. — Т. 146, № 10. — С. 314–333.

95. Танана, В. П. Методы решения операторных уравнений / В. П. Танана. — М.: Наука, 1981. — 156 с.

96. Танана, В. П. Об оптимальности методов регуляризации линейных операторных уравнений с приближенно заданным оператором при условии неединственности решения / В. П. Танана // ДАН СССР. — 1985. — Т. 238, № 5. — С. 1092–1095.

97. Танана, В. П. Об аппроксимации регуляризованного решения нелинейного уравнения / В. П. Танана // Сиб. мат. журн. — 1997. — T. 38, № 2. — C. 417–423.

98. Танана, В. П. О сходимости регуляризованных решений нелинейных операторных уравнений / В. П. Танана // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2003. — Т. VI, № 3 (15). — С. 119–133.

99. Танана, В. П. О новом подходе к оценке погрешности методов решения некорректно поставленных задач / В. П. Танана // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2002.

– Т. 5, № 4. – С. 150–163.

100. Танана, В.П. Об оптимальности по порядку метода проекционной регуляризации при решении обратных задач / В.П. Танана // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2004. — Т. 7, № 2. — С. 117–132.

101. Танана, В. П. Об оптимальном по порядку методе решения одной обратной задачи для параболического уравнения / В. П. Танана // Докл. РАН. — 2006. — Т. 407, № 3. — С. 316–318.

102. Танана, В. П. О регуляризации обратной задачи фильтрации в неоднородном пласте / В. П. Танана // ДАН СССР. — 1985. — Т. 281, № 5. — С. 1061—1063.

103. Танана, В. П. Об оптимальности регуляризующих алгоритмов при решении некорректных задач / В. П. Танана, А. Р. Данилин // Дифференциальные уравнения. — 1976. — Т. 12, № 7. — С. 1323–1326.

104. Танана, В. П. О гарантированной оценке точности приближенного решения одной обратной задачи тепловой диагностики в неоднородной среде / В. П. Танана, А. И. Сидикова // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. — 2009. — № 17 (150). — С. 104–113.

105. Сидикова, А. И. Об оптимальности по порядку одного метода вычисления значений неограниченного оператора и его приложения / А. И. Сидикова // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2009. — Т. XII, № 3. — С. 130–140.

106. Танана, В. П. Решение обратной задачи для уравнения теплопроводности методом установления / В. П. Танана, Е. В. Худышкина // Известия Челябинского научного центра УрО РАН. — 2005. — Вып. 2 (28). — С. 1–3.

107. Танана, В. П. об оптимальности метода установления / В. П. Танана, Е. В. Худышкина // Вестник Челябинского государственного университета. — 2003. — Т. 3, № 1. — С. 165–173.

108. Танана, В. П. Об оптимальных по порядку методах решения условно-корректных задач / В. П. Танана, Н. М. Япарова // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2006. — Т. 9, № 4. — С. 353–368.

109. Танана, В. П. Об оптимальности метода невязки / В. П. Танана, Н. М. Япарова // Вестник Челябинского государственного университета. — 2003. — Т. 3, № 1. — С. 174–188.

110. Танана, В. П. Методы решения нелинейных некорректных задач / В. П. Танана, А. В. Танана. — Челябинск: Челяб. гос.

ун-т, 2006. — 102 с.

111. Тийман, А. О вычислении градиента функции стоимости для одной обратной задачи / А. Тийман // Учёные записки Тартуского университета. — 1985. — № 715. — С. 30–36.

112. Тихонов, А. Н. Об устойчивости обратных задач / А. Н. Тихонов // ДАН СССР. — 1943. — Т. 39, № 5. — С. 195–198.

113. Тихонов, А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации / А. Н. Тихонов // ДАН СССР. — 1963. — Т. 151, № 3. — С. 501–504.

114. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректно поставленных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. — М.: Наука, 1974. — 115. Тихонов, А. Н. Численные методы решения некорректно поставленных задач / А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степанов, А. Г. Ягола. — М.: Наука, 1990. — 232 с.

116. Тихонов, А. Н. Применение метода регуляризации в нелинейных задачах / А. Н. Тихонов, В. Б. Гласко // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1965. — Т. 5, № 3. — С. 463—473.

117. Федотов, А. М. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных / А. М. Федотов. — Новосибирск: Наука, 1982. — 190 с.

118. Цирульский, А. В. О решении обратной задачи гравиметрии для произвольных классов двумерных и трехмерных потенциалов / А. В. Цирульский, И. Л. Пруткин // Известия АН СССР.

Серия: Физика Земли. — 1981. — № 11. — С. 45–61.

119. Цирульский, А. В. О разрешимости обратной задачи логарифмического потенциала в конечном виде / А. В. Цирульский, Ф. И. Никонова // Известия АН СССР. Серия: Физика Земли. — 1975. — № 5. — С. 37–46.

120. Япарова, Н. М. О различных подходах к решению обратных граничных задач тепловой диагностики / Н. М. Япарова // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Серия: Математика. Механика. Физика. — 2012. — 121. Япарова, Н. М. Численное моделирование решений обратной граничной задачи теплопроводности / Н. М. Япарова // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. — 2013. — Т. 6, № 3. — С. 112–124.

122. Япарова, Н. М. Об оптимальном по порядку методе решения задачи параметрической идентификации при оценке собственного состояния средств измерения / Н. М. Япарова // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. — 2013. — Т. 18, № 5-2. — С. 2759–2761.

123. Franklin, J. N. On Tikhonov’s method for ill–posed problems / J. N. Franklin // Math. Comput. — 1974. — Vol. 28, № 128. — P. 889–907.

124. Gullum, J. Numerical dierentiation and regularization / J. Gullum // SIAM J. Numer. anal. — 1967. — Vol. 8, № 2.

125. Hadamar, J. Le problem de Cauchy et les equations aux derives partielles lineaires hyperboliques / J. Hadamar. — Paris: Herman, 126. Hadamar J. Sur les problems aux derivees partielles et leur signication physique // Bull. Univ. Princeton. 1902. 13.

127. Levinson, N. The inverse Sturm-Liouville problem / N. Levinson // Math. Tidsskr. Ser. B. — 1949. — P. 25–30.

128. Melkman, A. Optimal Estimation of Linear Operators in Hilbert Spaces from Inaccurate Data / A. Melkman, C. Miccelli // SIAM J. Num. Anal. 1979. Vol. 16, № 1. — P. 87–105.

129. Miller, K. Three circle therems in parcial dierential equations and applications to improperly posed problems / K. Miller // Arch.

Ration. Mech. Anal. 1964. Vol. 16, № 2. — P. 126–154.

130. Phillips, D. L. A technique for the numerical solution of certain integral equations of the rst kind / D. L. Phillips // J. Assoc.

Comput. Mach. — 1962. — Vol. 9, № 1. — P. 84–97.

Список публикаций автора 131. Боков, А. В. Об оценке точности приближенного решения одной обратной задачи тепловой диагностики с подвижной границей / А. В. Боков, В. П. Танана // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2010. — Т. 13, № 1 (41). — С. 133– 132. Боков, А. В. Особенности математического моделирования процесса гидродинамического исследования нефтяных пластов / А. В. Боков, В. П. Танана // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия «Математическое моделирование и программирование». — 2013. — Т. 6, № 3. — С. 95– 133. Bokov, A. V. On Estimating the Precision of Approximate Solutions to an Inverse Problem of Thermal Diagnostics with Moving Boundary / A. V. Bokov, V. P. Tanana // Journal of Applied and Industrial Mathematics. — 2011. — Vol. 5, № 1. — P. 104–109.

134. Боков, А. В. О единственности решения обратной задачи нестационарной фильтрации / А. В. Боков // Вестник ЮжноУральского государственного университета. Серия «Вычислительная математика и информатика». — 2012. — № 47 (306), вып. 2. — С. 12–21.

135. Боков, А. В. Регуляризация нелинейных операторных уравнений / А. В. Боков, В. П. Танана // Известия Челябинского научного центра УрО РАН. — 2003. — Вып. 1 (18). — С. 5–7.

136. Боков, А. В. О регуляризации нелинейных операторных уравнений / А. В. Боков, В. П. Танана // Вестник Челябинского государственного университета. — 2003. — Т. 3, № 1 (7). — С. 5– 137. Боков, А. В. О приближенном решении обратной задачи фильтрации / А. В. Боков, В. П. Танана // Известия Челябинского научного центра УрО РАН. — 2007. — Вып. 2 (36). — С. 10–15.

138. Боков, А. В. Об единственности решения обратной задачи нестационарной фильтрации / А. В. Боков, В. П. Танана; Челябинский государственный университет. — Челябинск, 1996. — 6 с. — Библ.: 2 назв. — Деп. в ВИНИТИ РАН 19.04.1996, № 1290–В1996.

139. Боков, А. В. Регуляризация нелинейных операторных уравнений / А. В. Боков, В. П. Танана // Обратные задачи: теория и приложения: тез. докл. Международ. школы-конф., ХантыМансийск, 2002. — С. 102.

140. Боков, А. В. О единственности решения обратной задачи нестационарной фильтрации / А. В. Боков // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: тез. докл. Международ.

конф., посвящён. памяти В. К. Иванова, Екатеринбург, 31 октября – 5 ноября 2011 года. — Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2011. — С. 122.

141. Боков, А. В. Метод конечномерных аппроксимаций в решении обратной задачи потенциала / А. В. Боков // Обратные и некорректные задачи математической физики: тез. докл. Международ. конф., посвящён. 80-летию со дня рождения М. М. Лаврентьева, Новосибирск, 5–12 августа 2012 года. — Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2012. — С. 176.

142. Боков, А. В. Свидетельство Роспатента о государственной регистрации программы для ЭВМ «Численное решение обратной задачи гравиметрии на основе метода регуляризации А.Н. Тихонова» № 2013661344 от 05.12.2013 г.

143. Боков, А. В. Свидетельство Роспатента о государственной регистрации программы для ЭВМ «Численное исследование фильтрационной модели нефтяного пласта для определения коэффициента гидропроводности» № 2014610695 от 16.01.2014 г.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Численные эксперименты Численное исследование фильтрационной модели нефтяного пласта для определения коэффициента гидропроводности При проведении численных экспериментов сначала в прямой задаче задавался коэффициент () и по нему и краевым данным вычислялся след решения на границу области = r0. Полученная функция использовалась в алгоритме решения обратной задачи в качестве дополнительной информации. Алгоритм метода градиентного спуска был реализован с помощью метода контрольного объёма при замене всех непрерывных элементов алгоритма, таких, например, как прямая и сопряжённая задачи, на их конечно-разностные аналоги. Работа программы проверялась для различных вариантов задания коэффициента гидропроводности. Рассмотрим работу программы для следующих функций.

1. () = 1 + 0, 5 sin(2);

В качестве модельных здесь приведены функции, встречавшиеся в работах других авторов, с возможностью сравнения результатов работы программы.

При решении обратной задачи известными считались начальные данные, которые выбирались нулевыми во всех экспериментах, и поток на границе = r0 g(t). Во всех экспериментах на границе = r полагалось выполнение условия непротекания. В качестве начального приближения для метода градиентного спуска выбиралась функция 0 () = (r0 )(1 /) + k()/.

Пример 3.4.1. Коэффициент гидропроводности задан функцией () = 1 + 0, 5 sin(2). Поток на границе = r0 определён функцией g(t) = 1 t. Расчёты проведены на сетке nt n = 100 100 (nt – число шагов по времени, n – число шагов по координате ).

На рис. 3.4 приведены результаты восстановления () по данным примера 3.4.1. Точному решению (заданной функции) соответствует кривая «Facts». Остальные кривые представляют приближённые решения, построенные на основании данных о граничном условии с погрешностями = 0%, = 2% и = 5% соответственно.

На рис. 3.5 представлены графики значений целевого функционала и относительной ошибки в зависимости от номера итерации. Начиная примерно с 300-ой итерации значение относительной ошибки не уменьшается. Все остальные расчёты проводились с условием ограничения максимального числа итераций i 400.

Пример 3.4.2. Коэффициент гидропроводности задан функцией () = 1 + 0, 15 0, 3e. Поток на границе = r0 определён функцией g(t) = t. Расчёты проведены на сетке nt n = 100100.

Полученные результаты хорошо согласуются с результатами, приведёнными в работе [46] для обратной задачи теплопроводности.

Значения параметра регуляризации во всех примерах выбирались в пределах 10 – 200. Большие значения ведут к росту числа итераций при несущественном влиянии на точность решения.

Рис. 3.4: Восстановление функции () (пример (3.4.1)) Рис. 3.5: Эволюция функционалов и относительных ошибок (пример 3.4.1) Рис. 3.6: Восстановление функции () (пример 3.4.2) Рис. 3.7: Эволюция функционалов и относительных ошибок (пример 3.4.2) Во всех расчётах представлены графики эволюции минимизируемых функционалов и относительных ошибок. Расчёты выполнялись с точными данными и с данными, в которые искусственно была внесена погрешность (псевдослучайная, имеющая нормальное распределение) в пределах 5 7%. Большие погрешности ведут к быстрому росту ошибки. В случае восстановления коэффициента по точным данным картины эволюции минимизируемых функционалов и относительных ошибок совпадает с приводимыми в работе [46].

Результаты тестирования говорят о вполне приемлемой точности восстановления коэффициента гидропроводности, эффективности алгоритма поиска и работоспособности программы.

Математическое моделирование процесса регистрации аномалии гравитационного поля Программа тестировалась для различных вариантов функций, задающих границу раздела сред.

Примеры функций, использованных в численных экспериментах для задания границы в двумерной задаче (1 1):

1. z () = 0, 25 max (0, sin 5, cos 5), Примеры функций, описывающих границу в случае трёхмерной задачи (10, 10):

1. z (, ) = 2, 5 sin(0, 25) cos(0, 25), H = 4;

Эти примеры приводились автором на конференции «Обратные и некорректные задачи математической физики» (г. Новосибирск, 2012 г.).

Для выбранной функции z, задающей границу раздела, находилось значение гравитационной аномалии g из уравнения (1.3.1) для двумерной задачи или из уравнения (3.3.9) для трёхмерной задачи. Для вычисления интегралов использовалась стандартная процедура MATLAB quad численного интегрирования адаптивным методом Симпсона. Найденные значения гравитационной аномалии использовались в качестве исходных данных при решении обратной задачи восстановления границы раздела сред. В эти данные искусственно вносились погрешности в пределах 5–10% от максимального значения |g|. Для генерирования значений «ошибки» использовалась функция MATLAB rand (функция возвращает матрицу псевдослучайных чисел, имеющих стандартное нормальное распределение).

Далее граница раздела восстанавливалось одним из перечисленных выше итерационных методов. В качестве начального приближения бралась постоянная функция z0, которая находилась итерационным методом Ньютона. В двумерной задаче следующее приближение для z0 () находилось по формулам В трёхмерной задаче для нахождения очередного приближения z0 (, ) использовались формулы Условием останова итерационного процесса служило выполнение неравенства При восстановлении границы итерационными методами интегралы аппроксимировались посредством составной формулы трапеций – использовалась процедура MATLAB trapz.

Точность приближённого решения двумерной задачи оценивалось на основе параметров В трёхмерной задаче для этой цели использовались аналогичные параметры:

Другие параметры: N – число итераций, – уровень погрешности. Параметр регуляризации принимался равным qg g 2 2, где число q выбиралось из множества {10, 5, 1, 0.5, 0.1, 0} при условии получения наилучшего приближённого решения.

Пример 3.4.3. Решалась двумерная задача. Все величины безразмерные. Граница задавалась уравнением Предельная глубина расположения границы H = 0, 5.

Расчёты проводились на сетках 50 50 (n 1 = 50, m 1 = 50), 100 100, 500 500. Уровень погрешности выбирался равным 1%, 5% и 10%.

Граница восстанавливалась тремя методами:

1. методом наискорейшего спуска, 2. итеративно регуляризованным методом Ньютона, 3. методом сопряжённых градиентов.

Рис. 3.8: Граница раздела и гравитационная аномалия (пример 3.4.3).

Обозначения на рисунках. «Surface» – точная граница раздела; «Gravity» – гравитационная аномалия; «Approx.1», «Approx.2», «Approx.3» – приближённые решения, построенные методом 1, методом 2 и методом 3; nx – число узлов расчётной сетки; N1, N2, N – числа итераций до останова при решении методами 1, 2 и 3 соответственно; 1, 2, 3 – величины невязок решений, полученных методами 1, 2 и 3 соответственно; – параметр регуляризации; – уровень погрешности данных.

Пример 3.4.4. Решалась двумерная задача. Граница задаваnx = 500; N1 = 52; N2 = 25; N3 = 4; = 9.2999e 008; = 1%;

Рис. 3.9: Восстановление границы раздела при = 1% (пример 3.4.3).

Рис. 3.10: Восстановление границы раздела при = 5% (пример 3.4.3).

Рис. 3.11: Восстановление границы раздела при = 10% (пример 3.4.3).

лась функцией Предельная глубина расположения границы H = 1. Расчёты проводились на сетке 100100. Результаты расчётов приведены на рисунке 3.12. Все графики приведены для уровня погрешности = 5%.

Пример 3.4.5. Решалась трёхмерная задача восстановления границы раздела (геологической границы). Граница задавалась функцией Рис. 3.12: Восстановление границы z() = Предельная глубина расположения границы H = 10. Расчёты проводились на сетке = 100 30, x y = 100 30.

Подобная модельная граница рассматривалась в работе [7], и приводилось решение, полученное методом Флетчера-Ривса для данных с добавлением случайного шума с уровнем погрешности 10%. В диссертации приведены результаты расчётов описанными ранее методами для того же уровня погрешности. Как и в указанной работе, правилом останова итераций было выполнение условия J (zk ) < 0, 01. В процессе счёта относительная норма невязки уменьшилась более чем в 10 раз (для всех трёх методов решения). Относительная погрешность приближённого решения составила 5%, что сопоставимо по точности с решением, представленном в [7]. Результаты расчётов приведены на рисунках 3.13–3.16.

Пример 3.4.6. Решалась трёхмерная задача. Для задания граРис. 3.13: Модельная граница и гравитационная аномалия (пример 3.4.5).

Рис. 3.14: Восстановление границы. Метод 1 (пример 3.4.5).

Рис. 3.15: Восстановление границы. Метод 2 (пример 3.4.5).

Рис. 3.16: Восстановление границы. Метод 3 (пример 3.4.5).

ницы использовались различные функции (из списка, приведённого ранее). Предельная глубина расположения границы H = 5. Расчёты проводились на сетке = 4040, xy = 4040. Результаты расчётов приведены на рисунках 3.17–3.20. Все графики приведены для уровня погрешности = 5%.

Рис. 3.17: Модельная граница z (, ) = 2, 5 sin(0, 25) cos(0, 25) (пример 3.4.6).

Численное исследование процесса тепловой диагностики технических устройств Для численного исследования применялась программа решения обратной граничной задачи теплопроводности, представляющая модификацию программы решения обратной задачи фильтрации. По данным датчика температуры, расположенного в стенке, подверженной тепловой нагрузке, восстанавливалась картина теплового нагружения внутренней стенки технического объекта.

Рис. 3.18: Восстановление границы z (, ) = 2, 5 sin(0, 25) cos(0, 25). Метод 3 (пример 3.4.6).

Рис. 3.19: Модельная граница z (, ) = 0, 0005 81 2 2 (пример 3.4.6).

Рис. 3.20: Восстановление границы z (, ) = 0, 0005 81 2 2. Метод (пример 3.4.6).

Порядок тестирования программы был следующим. На границе расчётной области задавалось граничное условие второго рода.

Решалась прямая задача, рассчитывалось поле температур внутри стенки. Эти данные использовались при решении обратной задачи.

Моделировалось присутствие в схеме датчика температур: указывалось расположение датчика в некотором узле расчётной сетки.

Найденные при решении прямой задачи данные о температуре в указанном узле рассматривались как показания датчика. По этим данным восстанавливался поток на внутренней стенке. Для этого решалась обратная задача. Поскольку обратная задача является некорректно поставленной, для её решения применяется обобщённый метод L-регуляризации, и задача сводится к вариационной.

Для отыскания минимума целевого функционала применялся градиентный метод наискорейшего спуска.

Программа тестировалась для различных вариантов функций, задающих тепловой поток на нагруженной границе.

Примеры функций, использованных в численных экспериментах для задания теплового потока:

2. q(t) = 100 0, 1 · t2 ;

Пример 3.4.7. Решалась задача восстановления функции потока на нагруженной внутренней стенке технического объекта. Для задания потока на границе использовались различные функции (из списка, приведённого выше). Расположение датчика во всех вариантах принималось равным 0,5 толщины стенки. Расчёты проводились на сетке x t = 100 100. Результаты расчётов представлены на рисунках 3.21–3.24. Расчёты проводились на основе точных данных датчика (рисунки 3.21, 3.23) и на основе данных с погрешностью измерений (рисунки 3.22, 3.24). Уровень погрешности принимался равным = 1%.

Рис. 3.21: Восстановление потока на границе. Точное решение: q(t) = t0, 1·t3.

(пример 3.4.7).

Рис. 3.22: Восстановление потока на границе. Точное решение: q(t) = t0, 1·t3.

(пример 3.4.7).

Рис. 3.23: Восстановление потока на границе. Точное решение: q(t) = 0, 1 · t2. (пример 3.4.7).

Рис. 3.24: Восстановление потока на границе. Точное решение: q(t) = 0, 1 · t2. Погрешность данных = 1% (пример 3.4.7).