«Численные методы исследования математических моделей геофизики и тепловой диагностики на основе теории обратных задач ...»

Информация о температуре и тепловом потоке в камере сгорания двигателя играет важную роль и позволяет эффективно управлять его работой. Ввиду очень высокой температуры внутри камеры её непосредственное измерение невозможно. Поэтому температурное поле измеряют внутри стенки камеры, а затем, решая обратную задачу теплопроводности, численно определяют температурные параметры внутри камеры.

Рассмотрим дифференциальное уравнение, описывающее процесс теплопроводности в стенке камеры, где t 0, y 0, h(t), h(0) = y0, h(t) = y1 при t t0 > 0, y1 y0, и функция h(t) непрерывная и строго убывающая на отрезке 0, t0. Пусть начальные и граничные условия имеют вид:

где k0 — заданное отрицательное число, где z(t) C 2 [0, ) и В данном диссертационном исследовании функция g(t) считается известной, а функцию z(t) требуется определить. Обратная задача (0.14) – (0.18) является некорректно поставленной задачей определения теплового потока на подвижной границе.

Замечание 0.0.1. В работах [49, 50] решалась обратная задача нахождения температуры на границе области. При этом в указанных работах рассматривалась область с неподвижной границей, а задача заключалась в нахождении температуры, а не теплового потока. Указанные различия обусловили достаточно существенные различия в методах решения задач, в частности в выборе классов корректности.

Считаем, что при точном значении g0 (t) L2 [0, ) существует решение T0 (y, t) задачи (0.14) – (0.16), (0.18) такое, что T0 (h(t), t) = корректности Mr, где Далее в работе будем полагать, что функция g0 (t) нам не известна, а вместо неё даны некоторое приближение g (t) и уровень погрешности > 0 такие, что Полученная в работе оценка точности по порядку приближённого решения z (t) имеет вид:

где (0, 0 ], а C7 > 0 — некоторое число, не зависящее от.

В параграфе 1.3 рассматривается задача математического моделирования процесса регистрации аномалии гравитационного поля, вызванной неоднородностью горных пород.

Пусть на поверхности Земли z = 0 измеряется изменение потенциала гравитационного поля, вызванное наличием в однородной среде плотности 0 области T погрешности измерений получение точных данных о возмущениях гравитационного поля невозможно, вместо них известны приближённые значения и погрешность приближения. Обратная задача состоит в получении наиболее точного представление о форме области T по полученным возмущениям гравитационного поля Земли.

В двумерном случае обратная задача гравиметрии сводится к решению нелинейного интегрального уравнения где T = {l l, H z H + z()} — область распределения источников гравитационного поля, вызывающих изменение соответствующего потенциала, z() L2 [l, l] — верхняя граница области T, g(x) L2 (, +) — измеряемая аномалия силы тяжести на поверхности z = 0.

Преобразуем уравнение (0.22) к виду где Оператор A действует из пространства L2 [l, l] в L2 (, +).

При этом считаем, что функция f (x) нам известна, а z() требуется найти.

Предположим, что при f (x) = f0 (x) уравнение (0.23) разрешимо, но точное значение f0 (x) нам неизвестно. Вместо него даны -приближение f (x) и уровень погрешности > 0 такие, что f f0. Требуется по исходной информации (f, ) определить множество приближённых решений M такое, что где M0 — множество точных решений z0 уравнения (0.23) при правой части f (x) = f0 (x) (определение -сходимости будет дано ниже). Используя подход, предложенный в работе [98] представим оператор A в виде суперпозиции двух операторов где B действует из L2 [l, l] (, +) в L2 (, +) и определяется формулой а оператор L действует из L2 [l, l] в L2 [l, l] (, +), имеет область определения и определяется формулой Таким образом, оператор A в уравнении (0.23) может быть представлен суперпозицией двух операторов, один из которых, B, определяемый формулой (0.26), линеен и ограничен, а второй, L, определяемый формулой (0.27), слабо-сильно замкнут (определение будет дано ниже) и имеет непрерывный обратный.

Во второй главе обосновываются численные методы решения обратных задач, рассмотренных в первой главе. Для каждой задачи разрабатывается алгоритм решения на основе конечномерных аппроксимаций регуляризованных решений.

В параграфе 2.1 для нелинейной обратной задачи даётся общая постановка метода регуляризации её решения. Рассматривается обобщённый метод L-регуляризации применительно к обратной задаче гидродинамики.

Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство, A — оператор с областью определения D(A) H и множеством значений R(A) H.

Определение 0.0.3. ( [97]) Оператор A будем называть слабо полузамкнутым, если из того, что un u, а Aun f следует, что существует элемент u D(A) такой, что A = f и Определение 0.0.4. ( [92]) Оператор A будем называть слабосл сильно замкнутым, если из того, что un u, а Aun f следует, Определение 0.0.5. ( [41]) Будем говорить, что последовательность множеств {Mn } из метрического пространства X -сходится к множеству M0 X, если (Mn, M0 ) 0 при n, где Введём обозначение для -сходимости множеств {Mn } к множеству M0 :

Рассмотрим операторное уравнение где u D(A), f H. Предположим, что при f = f0 оно разрешимо, но точное значение правой части f0 уравнения (2.1.1) нам не известно. Будем считать, что вместо f0 даны приближённое значение f и уровень погрешности > 0 такие, что f f0.

Требуется по исходным данным {f, } построить приближённое решение u, близкое к точному решению M0 = {0 : A0 = f0 } уравнения (2.1.1) при f = f0. Метод регуляризации заключается в сведении поставленной задачи к вариационной:

где > 0.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 0.0.2. Если оператор A слабо полузамкнут, то вариационная задача (0.29) разрешима.

В случае произвольного оператора вариационная задача (0.29) может не иметь решений. Тогда метод регуляризации к решению операторного уравнения (0.28) неприменим.

Обобщение метода регуляризации заключается в том, что вместо элементов, минимизирующих функционал в качестве приближённых решений уравнения (0.28) берутся элементы, на которых значение функционала (0.30) сколь угодно близко к нижней границе.

В дальнейшем приближённым решением уравнения (0.28), полученным методом обобщённой регуляризации, будем называть следующее множество M, :

Пусть U, F и G — сепарабельные гильбертовы пространства, а A и L — слабо замкнутые операторы с областями определения D(A), D(L) U и множествами значений R(A) F, R(L) G.

При этом предположим, что D(A) D(L) =.

Метод L-регуляризации заключается в сведении задачи (0.28) к вариационной:

Множество решений вариационной задачи (0.32) обозначим через ML () и будем называть приближённым решением уравнения (0.28), полученным методом L-регуляризации. Так как вариационная задача (0.32) при общих предположениях об операторах A и L может не иметь решения, множество приближённых решений M уравнения (0.28) определим формулой В работе обобщённый метод L-регуляризации был применён к решению обратной задачи гравиметрии и к решению обратной задачи (0.7) – (0.11). В частности, была доказана сходимость метода регуляризации в задаче определения коэффициента гидропроводности пласта при условии () L2 [r0, r].

В параграфе 2.2 изучаются вопросы конечномерной аппроксимации регуляризованных решений при численной реализации обратных задач.

Определение 0.0.6. Последовательность операторов {An } будем называть A-полной, если для любого элемента u D(A) найдётся последовательность {un } такая, что при всяком значении n Определение 0.0.7. Пару A, {An } будем называть слабо полузамкнутой, если из того, что последовательность {un } ограничена, а An un f следует, что существует элемент u D(A) такой, Определение 0.0.8. Пару A, {An } будем называть слабосл сильно замкнутой, если из того, что un u, а An un f, следует, что u D(A) и A = f.

Наряду с вариационной задачей для операторного уравнения (0.28) рассмотрим также вариационную задачу где > 0. Если предположить слабую полузамкнутость операторов A и An, то вариационные задачи (0.29) и (0.34) будут разрешимы. Обозначим решение задачи (0.34) через M.

раторов {An } является A-полной, а для любой подпоследовательности {Ank } пара A, {Ank } слабо полузамкнута и слабосильно замкнута. Тогда имеет место -сходимость аппроксиn маций M к регуляризованному решению M.

В случае применения обобщённого метода L-регуляризации при определённых условиях также имеет место сходимость аппроксимированных решений к регуляризованному. Согласно утверждению из работы [95], если = (), = () выбрать такими, что при 0, то будет иметь место -сходимость приближённых решений M к множеству точных решений M0 уравнения (0.28), отвечающих значению правой части f (t) = f0 (t):

Воспользуемся конечномерными аппроксимациями регуляризованных решений в задачах регистрации аномалии гравитационного поля и гидродинамического исследования пластов. Так, для решения задачи (0.23) – (0.24) сначала разобьём отрезок [l, l] на n равных частей l = 0 < 1 <... < n = l, с шагом =.

Обозначим отрезок разбиения i = [i, i+1 ]. В качестве конечномерного подпространства Un рассмотрим пространство кусочнопостоянных на [l, l] функций z Un z() = {zi при i, i = 0, 1,... n 1}. При этом, используя такую последовательность конечномерных подпространств Un пространства L2 [l, l], получаем выполнение следующего условия: D(L) Un = для любого n и Бесконечный интервал < x < + заменим конечным отрезком [s, s] и разобьем его на m равных частей (m n) с шагом x =, подобрав число s так, чтобы x =, и чтобы точки разбиения отрезка [s, s] совпадали с точками разбиения отрезка [l, l]:

Таким образом вариационная задача (0.32) сводится к конечномерной:

где f (x) f (x) при n.

Обозначим множество решений задачи (0.35) через M,n. Тогда, как следует из теоремы 0.0.3, для любого > 0 имеет место сходимость аппроксимаций M,n к регуляризованному решению Для реализации алгоритма решения интегралы в (0.35) аппроксимировались посредством квадратурных формул прямоугольников. При этом вариационная задача (0.35) заменялась задачей где Третья глава посвящена разработке комплекса программ численного решения описанного класса обратных задач математической физики. Обсуждаются вопросы построения разностных аналогов дифференциальных уравнений и вычисления специфических конструкций, необходимых для реализации алгоритмов решения обратных задач. Приводится структура программного комплекса и результаты проведённых численных экспериментов. Производится их сравнение с результатами других авторов.

В параграфе 3.1 даётся описание реализуемых алгоритмов и итерационных методов. Для численного решения задачи поиска минимума функционала применялись и сравнивались между собой с точки зрения эффективности и скорости сходимости градиентные, квазиньютоновские методы и методы сопряжённых градиентов.

В качестве основного метода для нахождения минимума функционала F (z) = Az f 2 +Lz2 в обратной задаче потенциала был применён градиентный метод, подобный описанному в [24]. Использовалась итерационная схема:

где Условием останова итераций являлось выполнение для заданного уровня погрешности неравенства Выбор параметра k осуществлялся в соответствии с методом наискорейшего спуска Величина относительной невязки k служила также показателем качества решения задачи восстановления искомой границы.

Результаты, полученные методом наискорейшего спуска сравнивались с приближёнными решениями, полученными другими методами. В работах [6, 7, 23] для решения задачи применялся итеративно регуляризованный метод Ньютона. После аппроксимации интегрального оператора по квадратурным формулам уравнение (0.23) заменялось системой нелинейных уравнений Вместо задачи (0.36) решается система К каждому уравнению системы применяется итерационный метод Ньютона.

Кроме того, при численном решении обратной задачи потенциала применялся метод [5], который является комбинацией метода сопряжённых градиентов и итеративно регуляризованного метода Ньютона.

Следующая часть главы посвящена разработке программ математического моделирования исследования нефтяных пластов, регистрации аномалий гравитационного поля, тепловой диагностики технических объектов, а также обсуждению численных экспериментов.

В заключении приводятся основные выводы по теме диссертации, обсуждаются перспективы применения полученных результатов в практических исследованиях и перспективы дальнейшей работы в выбранном направлении.

Глава Математическое моделирование процессов, описываемых обратными задачами 1.1 Математическое моделирование гидродинамического исследования нефтяных пластов 1.1.1 Гидродинамическое исследование скважин как обратная коэффициентная задача Оценка запасов нефти нового месторождения проводится специалистами геологических служб и нефтеразведочных экспедиций на основании геофизических, гидродинамических, дебитометрических и термодинамических исследований пластов.

При вводе в разработку нефтяного месторождения одна за другой выходят из консервации разведочные скважины, вступают в эксплуатацию вновь пробуренные. Многие скважины часто останавливаются для исследования или других целей. Производимые многочисленными пусками, остановками, сменами режима мощные возмущения пласта осложняют получение качественных результатов при обычных методах исследования. Возникает необходимость в таких методах исследования, применение которых не мешает работе других скважин, и которые, напротив, используют производимые ими возмущения.

Наиболее эффективными методами исследования нефтяных пластов, получившими широкое распространение на промыслах, являются методы гидродинамического исследования скважин, которые позволяют оценивать продуктивные и фильтрационные параметры пласта (пластовое давление, гидропроводность, проницаемость и т. д.) вблизи исследуемой скважины, а также в удалённой от неё зоне. Исследования проводят как на установившихся режимах (метод снятия индикаторных диаграмм), так и на неустановившихся режимах (метод кривой восстановления давления в эксплуатационных и нагнетательных скважинах, метод кривой восстановления уровней, гидропрослушивание, импульсные методы и др.). Применяемые методы в комплексе позволяют определить качественно и количественно гидродинамическую связь между скважинами и пластами и оценить неоднородность пласта.

Существующие методики зачастую направлены на определение гидропроводности нефтеносного пласта и продуктивности скважин по данным их кратковременной эксплуатации.

Исследование методом кривой восстановления давления заключается в регистрации изменения давления в одиночной скважине, которая была закрыта после кратковременной работы с известным дебитом (дебит — объём нефти, добываемой из скважины за единицу времени) или после установившегося отбора нефти из скважины.

Другим методом исследования скважин при неустановившемся режиме фильтрации, получившим широкое распространение на промыслах, является метод гидропрослушивания, который позволяет более правильно определить фильтрационные параметры пласта на значительном расстоянии от исследуемой скважины.

Метод гидропрослушивания заключается в наблюдении за изменением пластового давления или статического уровня в простаивающих (реагирующих) скважинах, происходящим при смене режима работы окружающих эксплуатационных (возмущающих или нагнетательных) скважин, пробуренных на один и тот же пласт. Скорость реагирования скважины в процессе прослушивания пласта зависит от литолого-физических свойств пласта и физико-химических характеристик жидкости. При пуске, например, нагнетательной скважины давление вокруг неё начинает увеличиваться. Процесс перераспределения давления распространяется от данной скважины во все стороны в виде импульса давления. Дойдя до простаивавшей (или действующей на установившемся режиме) скважины, эта волна повышает давление в районе, окружающем реагирующую скважину, что фиксируется регистрирующей аппаратурой. Возмущения в пласте возникают при изменении отбора жидкости (нефти) из скважины, то есть при изменении дебита скважины.

Существуют различные варианты проведения испытаний в рамках данного метода: однократное изменение дебита скважины на постоянную величину, однократное изменение дебита произвольным образом, многократное (гармоническое) изменение дебита.

По данным испытаний строятся кривые реагирования, которые затем обрабатываются графоаналитически или другими способами.

Для обработки результатов измерений используют различные методы, в частности те, которые основаны на численном решении прямых и обратных задач фильтрации. При решении задачи нахождения коэффициента гидропроводности численными методами необходимо учитывать особенности задач подземной гидромеханики. Эти особенности нужно учитывать при составлении математической модели рассматриваемого процесса и при разработке алгоритмов её численного решения.

Исходными для обработки данными, полученными в результате применения методов гидродинамического исследования, являются:

• графики работы скважин (дебит, продолжительность работы на режимах, продолжительность остановок);

• первоначальные и текущие пластовые давления, приведённые к единой отметке (начальному положению поверхности водонефтяного контакта, ВНК);

• продолжительность остановки скважины для замера текущего пластового давления.

Ряд условий позволяет сформулировать задачу определения коэффициента гидропроводности как обратную нелинейную задачу гидродинамики.

Процесс нестационарной фильтрации жидкости к одиночной скважине в осесимметричном случае описывается уравнением где p = p(, t) — давление в пласте, = () — коэффициент гидропроводности, t — время, — полярный радиус.

Решение уравнения (1.1.1), функцию p(, t), ищем в области изменения переменных (, t) : t 0, 0 < r0 r.

Сделаем следующие предположения:

а) известно начальное давление в пласте б) на границе пласта выполняется условие непротекания в) известно забойное давление Предположим, что коэффициент гидропроводности () удовлетворяет условию Задачу (1.1.1) – (1.1.4) называют прямой задачей фильтрации.

При известной функции (), удовлетворяющей условию (1.1.5), и при дополнительных предположениях о гладкости функций (), f1 (t) и p(, t) эта задача имеет единственное решение.

В данной работе обратная задача заключается в определении неизвестного коэффициента () в уравнении (1.1.1) по дополнительной информации о решении задачи (1.1.1) – (1.1.4).

Предположим, что нам известен дебит скважины где g(t) — ограниченная и непрерывная функция, t 0.

Так как при неизвестной функции () решение p(, t) задачи (1.1.1) – (1.1.4) также неизвестно, то обратную задачу сформулируем как задачу определения двух функций () и p(, t), удовлетворяющих условиям (1.1.1) – (1.1.6).

Замечание 1.1.1. Исследованию обратных коэффициентных задач посвящено большое количество работ. Особое внимание при этом уделяется доказательству сходимости метода решения и формулировке условий, обеспечивающих существование и единственность решения. Аналогичные задачи изучались, например, в работах А. М. Денисова [39], а также С. И. Кабанихина [45]). В [45] рассматривалось уравнение несколько более общего вида с коэффициентами k(x) и q(x), один из которых, q(x), требовалось определить при условии, что другой известен. В данном диссертационном исследовании неизвестна функция (), аналог k(x), что существенно отличает задачу (1.1.1) – (1.1.6) от указанных.

Сделав в уравнениях (1.1.1) – (1.1.6) замену переменной u(, t) = p(, t) p0, перейдем к новой задаче Будем предполагать, что функция f (t) C 2 [0, ) удовлетворяет условиям а функция () удовлетворяет условию (1.1.5) и Определение 1.1.1. Решением обратной задачи (1.1.7) – (1.1.11) назовем пару функций () и u(, t) таких, что u(, t) имеет непрерывные частные производные и удовлетворяет условиям (1.1.8) – (1.1.11), () удовлетворяет условиям (1.1.5) и (1.1.13), функции () и u(, t) удовлетворяют уравнению (1.1.7).

1.1.2 Единственность решения обратной задачи Поскольку в уравнении (1.1.7) не известны ни функция u(, t), ни коэффициент (), характеризующий гидропроводность пласта, задача становится «недоопределённой». Для получения замкнутой системы мы будем использовать дополнительное граничное условие (1.1.11). Это в реальных условиях исследования одиночной скважины соответствует регистрации дебита на доступной для измерений границе. Одна из границ оказывается «перегруженной» в плане информации.

Всё это усложняет исследование и затрудняет поиск решения.

Существенно важным здесь является доказательство единственности решения [132, 134, 138]. Оказывается, для того, чтобы решение задачи (1.1.7) – (1.1.11) было единственное, достаточно выполнения (1.1.12) для функции f (t) C 2 [0, ) и некоторых дополнительных ограничений на само решение, впрочем, совершенно естественных в данной постановке. Приведем необходимые доказательства этого утверждения.

1. Вспомогательные леммы.

Пусть () и u(, t) — решение обратной задачи (1.1.7) – (1.1.11), а функция f (t) C 2 [0, ) удовлетворяет требованиям (1.1.12).

Лемма 1.1.1. Если выполнены условия (1.1.7) – (1.1.12), и g(t) при t, тогда при t равномерно на отрезке [r0, r].

Доказательство. Ввиду того, что f (t) = 0 при t t0, функция u(, t) для t t0 является решением следующей задачи:

Используя для решения этой задачи разложение в ряд Фурье получим, что где n — собственные значения, и yn () — нормированные собственные функции задачи Штурма-Лиувилля Уравнение из (1.1.15) может быть приведено к виду подстановкой (см. [57, с.12]) причём Краевые условия из (1.1.15) могут быть переписаны в виде Укажем важные для доказательства леммы утверждения спектральной теории оператора Штурма-Лиувилля (см. [58]).

1. Собственные значения краевой задачи действительны.

2. Собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. В случае (1.1.15) собственные функции удовлетворяют соотношению ортогональности с весом (см. [47, с.263]):

3. Для рассматриваемых краевых задач имеет место теорема осцилляции Штурма, т.е. существует бесконечное множество собственных значений, которые могут быть расположены в виде неограниченно возрастающей монотонной последовательности.

4. Для рассматриваемых краевых задач все собственные значения неотрицательны. Для задачи (1.1.16), (1.1.19) это утверждение является прямым следствием теоремы осцилляции (см.

[58, с.24]). Кроме того для этой задачи можно доказать справедливость оценки: если q(z) m 0, то и все собственные значения µ m. Для собственной функции u(z), соответствующей произвольному собственному значению µ, Lu = µu.

Тогда С другой стороны, поэтому µu mu или µ m. Для задачи (1.1.15) получается аналогичная оценка.

5. Собственные функции образуют на отрезке [a, b] (или на отрезке [0, ]) полную ортогональную и нормированную систему.

6. Для любой функции, интегрируемой с квадратом на отрезке [a, b] (или на отрезке [0, ]) выполнено равенство Парсеваля где {vn }n – ортонормированная система собственных функций.

7. Для рассматриваемых краевых задач имеет место теорема Стеклова, т.е. всякая функция, удовлетворяющая краевым условиям (1.1.15) (или (1.1.19)) и имеющая непрерывную первую и кусочно непрерывную вторую производную, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям yn (или un ):

для задачи (1.1.15). Для задачи (1.1.16),(1.1.19) разложение аналогично.

8. Имеют место асимптотические формулы для собственных функций un и нормированных собственных функций vn задачи (1.1.16),(1.1.19):

Вернёмся к исходной краевой задаче (1.1.15).

Согласно п.4, верна оценка: n 0 Покажем, что все собственные значения n > 0 (n = 1, 2,...), 0 = 0 собственным значением не является.

Предположим противное, 0 = 0 есть собственное значение задачи (1.1.15). Тогда Из (1.1.20) следует, что и второе из условий (1.1.21) влечёт C1 = 0. Поэтому и значит, Используя первое из условий (1.1.21), получим, что C2 = 0, а y0 () 0, что противоречит условию нормировки собственных функций yn (). Таким образом, 0 = 0 в число собственных значений не входит, и n > 0 для n = 1, 2,....

Заметим, что ряд представляет собой разложение функции () C 1 [r0, r], удовлетворяющей краевым условиям задачи (1.1.15) по ортонормированной системе собственных функций. Поскольку () = u(, t0 ), можно считать, что () имеет кусочно-непрерывную вторую производную. Следовательно, согласно теореме Стеклова, этот ряд сходится абсолютно и равномерно по на [r0, r].

Тогда ряд (1.1.14) сходится абсолютно и равномерно на [r0, r] для любого t t0.

Ряд (1.1.14) можно почленно дифференцировать по t, так как составленный из производных ряд сходится равномерно на [r0, r] для любого t > t0 на основании признака Абеля (ряд n=1 cn yn () сходится равномерно, а последовательность {(n )en (tt0 ) } монотонна и ограничена).

Из положительности собственных значений n и равномерной сходимости рядов (1.1.14) и (1.1.23) следует равномерная сходимость С помощью подстановки (1.1.17)–(1.1.18) перейдём к задаче (1.1.16), (1.1.19). Представим разложением в ряд по ортонормированной системе собственных функций {vn } (1.1.19):

следовательно, Воспользуемся асимптотическим представлением для функций vn. Тогда Последний ряд сходится абсолютно и равномерно. Формально продифференцируем (1.1.25) по z:

Из (1.1.24) следует, что an 0 при n, а значит, последовательность {an } ограниченная: |an | M, M > 0.

Для любого t > t0 первый ряд в (1.1.26) сходится равномерно относительно z по признаку Вейерштрасса (мажорируется сходящимся числовым рядом). Второй ряд, числовой, сходится при том же условии. Следовательно, операция дифференцирования законна.

Тем самым доказана возможность представления производной от функции u по пространственной координате равномерно сходящимся рядом. В силу эквивалентности задач (1.1.15) и (1.1.16), (1.1.19), почленное дифференцирование ряда (1.1.14) по допустимо, получающийся ряд сходится абсолютно и равномерно по на [r0, r] для любого t > t0. При этом равномерно на [r0, r].

Умножение u (, t) на функцию () не влияет на равномерную сходимость. С учётом асимптотики собственных функций можно заключить, что повторным дифференцированием вновь получим равномерно сходящийся ряд. При этом равномерно на отрезке [r0, r].

Введём функцию V (, s), являющуюся преобразованием Лапласа от u(, t) по переменной t На основании леммы 1.1.1 из (1.1.7) – (1.1.10) следует, что для значений комплексного параметра s таких, что Re s s0 > 0, функция V (, s) является решением краевой задачи ряет дополнительному условию где µ(s) = Рассмотрим функцию W (, s), являющуюся решением задачи Коши для уравнения (1.1.27) c краевыми условиями Так как функции V (, s) и W (, s) являются решениями дифференциального уравнения (1.1.27) и V (, s) = W (, s), то они линейно зависимые, то есть Тогда из (1.1.29) и (1.1.32) следует, что а из (1.1.30) и (1.1.32) следует, что Из последнего равенства можно выразить C(s):

Лемма 1.1.2. При сформулированных выше условиях (1.1.7) – (1.1.12), множество нулей функции W (r0, s) не пересекается с множеством нулей функции W (r0, s).

Доказательство. Предположим противное, то есть найдется s такое, что Тогда W (, s0 ) является решением задачи Коши для уравнения (1.1.27) с начальными условиями (1.1.36). Следовательно, для любого [r0, r] получим W (, s0 ) = 0, что противоречит условию W (, s0 ) = 1.

Рассмотрим дифференциальное уравнение с краевыми условиями или Лемма 1.1.3. При сформулированных выше условиях (1.1.7) – (1.1.12), значения s = s0 и s = s0 являются, соответственно, нулями функций W (r0, s) и W (r0, s) тогда и только тогда, когда числа 0 = s0 и 0 = s0 являются собственными значениями задач Штурма-Лиувилля (1.1.37), (1.1.38) и (1.1.37), (1.1.39).

Доказательство. Так как функция W (, s0 ) является решением уравнения (1.1.27) с s = s0, то функция y0 () = W (, s0 ) является решением уравнения (1.1.37) с 0 = s0. Второе краевое условие в (1.1.38) для y0 () следует из (1.1.31), а первое из того, что s является нулём функции W (r0, s). Таким образом, y0 () является решением задачи (1.1.37), (1.1.38). Это решение нетривиальное, так как в силу (1.1.31) Следовательно, 0 является собственным значением задачи (1.1.37), (1.1.38).

Очевидно, что справедливо и обратное утверждение. Действительно, если 0 является собственным значением, а y0 () — собственной функцией задачи (1.1.37), (1.1.38), то на основании первого из условий (1.1.38) значение s0 = 0 является нулём функции W (r0, s).

Теперь предположим, что s = s0 является нулём функции W (r0, s). Тогда из того, что функция W (, s0 ) является решением уравнения (1.1.27) с s = s0, следует, что функция y0 () = W (, s0 ) является решением уравнения (1.1.37) с 0 = s0. Второе краевое условие в (1.1.39) следует из (1.1.31), а первое — из того, что s является нулём функции W (r0, s).

Таким образом, y0 () является решением задачи (1.1.37), (1.1.39).

Это решение нетривиальное, так как в силу (1.1.31) Следовательно, 0 является собственным значением задачи Штурма-Лиувилля (1.1.37), (1.1.39).

Обратно, если 0 является собственным значением, а y0 () — собственной функцией задачи (1.1.37), (1.1.39), то s0 = 0 на основании первого из условий (1.1.39) есть ноль функции W (r0, s).

Дальнейшие рассуждения проводятся в предположении, что функция () C 2 [r0, r], что оправдано с точки зрения практических приложений. Пусть дополнительно () удовлетворяет условию (1.1.5), и () = 0. Вернёмся к решению W (, s) задачи Коши для уравнения (1.1.27) с начальными условиями (1.1.31).

Лемма 1.1.4. При сформулированных выше ограничениях на () функции W (, s) и W (, s) для каждого фиксированного [r0, r] являются целыми функциями комплексного параметра s.

Доказательство. Применяя преобразование Лиувилля [64, с.35] к уравнению (1.1.27), заменим функцию W (, s) на функцию z(x, s), определяемую параметрически следующим образом:

а x — новая независимая переменная, и Подставляя выражения (1.1.40) – (1.1.42) в уравнение (1.1.27), приведём его к виду где c задаётся формулой (1.1.41), а где = (x) определена параметрически формулой (1.1.40) и равенством Теперь сделаем замену в краевых условиях (1.1.31):

Далее введём новую переменную = x и перейдём от функции z(x, s) к функции w(, s), которую определим формулой Используя (1.1.48), легко проверить, что функция w(, s) удовлетворяет уравнению При этом условия (1.1.46) и (1.1.47) для функции w(, s) будут выглядеть следующим образом:

Из теоремы [57, с. 14-15] следует, что для каждого фиксированного [0, ] функции w(, s) и w (, s) являются целыми функциями s, а из формул (1.1.42) и (1.1.48) будет следовать утверждение леммы.

Так как функция W (, s) представляет собой решение уравнения (1.1.27) с условиями (1.1.31), то из леммы 1.1.4 следует, что W (, s) и W (, s) при фиксированном являются аналитическими функциями комплексного переменного s во всей комплексной плоскости.

2. Основная теорема.

Учитывая сделанное выше замечание, будем предполагать, что () C 2 [r0, r], () = 0 и выполняется условие (1.1.5).

Пусть i () и ui (, t) (i = 1, 2) — решения обратной задачи (1.1.7) – (1.1.11). Обозначим через Vi (, s) преобразование Лапласа от ui (, t), а через Wi (, s) — решения задачи Коши для уравнения (1.1.27) с () = i () и начальными условиями (1.1.31). Для краткости (Wi (, s)) |=r0 будем обозначать Wi (r0, s).

Из (1.1.10) следует, что V1 (r0, s) = V2 (r0, s). Тогда, используя формулы (1.1.32) и (1.1.35), получим, что при Re s s0 > Из леммы 1.1.4 следует, что функции Wi (r0, s)/Wi (r0, s) при i = 1, 2 являются аналитическими функциями комплексного переменного во всей комплексной плоскости за исключением нулей Wi (r0, s), являющихся особыми точками.

Из равенства (1.1.53) следует, что нули и особые точки функций W1 (r0, s)/W1 (r0, s) и W2 (r0, s)/W2 (r0, s) совпадают.

Используя лемму 1.1.2, окончательно получим, что все нули функций W1 (r0, s) и W2 (r0, s) совпадают, и все нули функций W1 (r0, s) и W2 (r0, s) также совпадают.

Таким образом, на основании леммы 1.1.3 для любого n выполняются соотношения где {i } при i = 1, 2 — все собственные значения задачи Штурмаn Лиувилля (1.1.37) – (1.1.38) с () = i (), упорядоченные по возрастанию, а {i } — все собственные значения задачи (1.1.37), (1.1.39) с () = i (), также упорядоченные по возрастанию.

Теорема 1.1.1. Предположим, что функция f (t) удовлетворяет условиям (1.1.12). Тогда, если i () и ui (, t), i = 1, 2 — решения обратной задачи (1.1.7) – (1.1.11) такие, что а также то 1 () = 2 () и u1 (, t) = u2 (, t) для всех [r0, r] и Доказательство. Применяя к уравнению (1.1.37) преобразование Лиувилля (1.1.40), (1.1.41) и перейдём от функции yi (, ) к функции zi (x, ), удовлетворяющей уравнению где функции qi (x) = ai (x) определяются формулами (1.1.40), (1.1.41), (1.1.44), (1.1.45) и являются непрерывными на отрезке [0, ].

Сделав ещё одну замену получим уравнение для функции wi (, ) Теперь преобразуем граничные условия (1.1.38) и (1.1.39). Получим, что условиям (1.1.38) соответствует пара граничных условий Условиям (1.1.39) соответствуют граничные условия (1.1.60) и Таким образом, задача Штурма-Лиувилля (1.1.58) – (1.1.60) порождает возрастающую последовательность собственных значений {µi }. При этом из формулы (1.1.54) и условий теоремы следует, что для любого n Аналогично, задача Штурма-Лиувилля (1.1.58), (1.1.60) и (1.1.61) порождает возрастающую последовательность собственных значений {i } такую, что на основании (1.1.55) и условий теоремы следует, что для любого n Из теоремы, приведённой в [127], и равенств (1.1.62) и (1.1.63) следует, что для любого x [0, ] Таким образом, обозначив ai (x) через a(x) и воспользовавшись формулами (1.1.44) и (1.1.45), получим, что где Задача Коши (1.1.65) – (1.1.67) для линейного дифференциального уравнения второго порядка имеет единственное решение, и, следовательно, Используя формулу (1.1.45), получаем, что Но тогда и решения прямой задачи (1.1.7) – (1.1.10) при соответствующих ограничениях на функции ui (, t) и f (t) будут при любых значениях [r0, r] и t 0 удовлетворять условиям что и доказывает теорему.

1.2 Математическое моделирование тепловой диагностики технических объектов 1.2.1 Задача диагностики технических объектов, подверженных тепловым нагрузкам При проектировании технических объектов, подверженных значительным тепловым нагрузкам, очень важна оценка степени его теплового нагружения. При проведении стендовых испытаний энергетических установок, двигателей внутреннего сгорания, авиационных и ракетных двигателей, внутренние стенки подвергаются воздействию интенсивных тепловых потоков. Иногда работа таких объектов сопровождается плавлением или выгоранием стенок.

Для представления полной картины происходящих процессов необходимо максимально точное решение обратных граничных задач тепловой диагностики, а для контроля точности необходимо получение точных оценок погрешности решения этих задач.

Информация о температуре и тепловом потоке в камере сгорания двигателя играет важную роль и позволяет эффективно управлять его работой.

Ввиду очень высокой температуры внутри камеры её непосредственное измерение невозможно. Поэтому температурное поле измеряют внутри стенки камеры, а затем, решая обратную задачу теплопроводности, численно определяют температурные параметры внутри камеры.

Одной из важных проблем в этом направлении является оценка надёжности численных результатов. Одним из вариантов решения данной проблемы являются оценки точности получаемых приближённых решений обратной задачи.

В работе [100] был предложен метод проекционной регуляризации простейшей обратной задачи тепловой диагностики и получены точные по порядку оценки. В статье [131] дано обобщение обратной задачи, исследованной в [100]. Рассмотренная в [131] математическая модель более адекватно описывала процесс тепловой диагностики технических объектов. Для приближённого решения задачи получены точные по порядку оценки погрешности.

Рассмотрим дифференциальное уравнение в котором t 0, y 0, y0. Последнее условие может выполняться только в момент времени t = 0. В дальнейшем положение правой границы меняется и описывается уравнением h = h(t). При этом h(0) = y0, h(t) = y1 при t t0 > 0, y1 y0, и функция h(t) непрерывная и строго убывающая на отрезке 0, t0. Так что фактически при t > 0 расчётная область по координате определена условием y 0, h(t). Кроме того заданы условия где k0 — заданное отрицательное число, где z(t) C 2 [0, ) и Будем полагать, что функция g(t) нам дана, а функцию z(t) требуется определить.

Обратная задача (1.2.1) – (1.2.5) является некорректно поставленной. Поэтому предположим, что при точном значении g0 (t) L2 [0, ) существует решение T0 (y, t) задачи (1.2.1)–(1.2.3), (1.2.5) такое, что Проблема состоит в том, что функция g0 (t) нам не известна, а вместо неё даны некоторое приближение g (t) и уровень погрешности > 0 такие, что 1.2.2 Оценка точности приближённого решения обратной граничной задачи тепловой диагностики 1. Исследование скорости убывания при t решения T (y, t) прямой задачи (1.2.1) – (1.2.3), (1.2.5) Из (1.2.1) – (1.2.3), (1.2.5) и (1.2.6) следует, что функция T (y, t) удовлетворяет при t t0 следующим начальному и граничным условиям Используя то, что (y) C[0, y1 ], запишем решение задачи (1.2.1), (1.2.9) – (1.2.11) в виде ряда где {n } — полная ортонормированная система собственных функций соответствующей задачи Штурма-Лиувилля, а {n } — последовательность собственных значений этой задачи.

Из теоремы, сформулированной в [64, с. 37], следует существование чисел C1 > 0 и C2 > 0 таких, что для любого n а из (1.2.12) следует, что Исследуем поведение функций, определяемых формулами (1.2.12), (1.2.14) – (1.2.16) при t. Для этого оценим общий член в сумме (1.2.14)).

то из (1.2.13) и (1.2.14) следует существование числа C3 > 0 такого, что Учитывая (1.2.14), (1.2.17) и то, что существование числа C4 > 0 такого, что для любого t t0 + справедлива оценка sup T (y, t), [Tyy (y, t)], [Tt (y, t)], [Ty (y, t)] C4 (t t0 1)2.

y[0,y1 ] Из соотношения (1.2.18) и сходимости интеграла от мажорантной функции в пределах от t0 + 2 до следует выполнение всех условий, позволяющих применить к задаче (1.2.1) – (1.2.4) преобразования Фурье по t, в предположении, что 2. Преобразование задачи (1.2.1) – (1.2.4) Учитывая (1.2.19), в качестве рабочего пространства H возьмём комплексный вариант L2 [0, ) над полем действительных чисел.

Тогда пространство H будет гильбертовым, а преобразование F на нём определим формулой где i — мнимая единица, а Fc и Fs — соответствующие косинуси синус-преобразования.

Из теоремы Планшереля [48, с. 412], следует изометричность преобразования F, определяемого формулой (1.2.20).

Применяя к уравнению (1.2.1) преобразование F, получаем где T (y, ) = F [T (y, t), T (y, t)].

Для уравнения (1.2.21) поставим задачу, добавив условия где g ( ) = F [g(t), g(t)].

Решение уравнения (1.2.21) имеет вид Из (1.2.22) – (1.2.24) следует, что Обозначим функцию, стоящую в правой части формулы (1.2.25), через f ( ), тогда из (1.2.25) следует, что а из (1.2.22) и (1.2.26), что Применив к функциям T (0, ) и Ty (0, ) преобразование F обратное к F, получим на основании (1.2.26), (1.2.27) Таким образом, мы свели задачу (1.2.1) – (1.2.4) к задаче (1.2.1) – (1.2.2), (1.2.28) – (1.2.29).

3. Преобразование уравнения (1.2.1) Сделаем в уравнении (1.2.1) замену переменной и искомой функции Тогда уравнение (1.2.1) примет вид Сделаем ещё одну замену переменной в уравнении (1.2.30), положив s = b(t), где Используя (1.2.31), преобразуем функцию v(x, t):

Подставляя функцию u(x, s), определяемую формулой (1.2.32), в уравнение (1.2.30), получим а из (1.2.2), (1.2.28) и (1.2.29), будет следовать, что где функции f1 и f2 однозначно определяются из сделанных нами преобразований и соотношений (1.2.28) и (1.2.29).

4. Решение задачи (1.2.33) – (1.2.36) Из формул (1.2.8), (1.2.25) – (1.2.27) и изометричности преобразования F следует существование числа C5 > 0 такого, что где f1,0 и f2,0 — соответствующие точные значения, а f1, и f2, — их приближённые значения.

Из формулы (1.2.7) следует, что множество Mr в результате сделанных преобразований преобразуется в Mr1, Применив к уравнению (1.2.33) преобразование F по s, получим где u(x, ) = u(x, s)eis ds.

К уравнению (1.2.40) добавим условия () = 1 f1 (s)eis ds, а f2 () = 1 f2 (s)eis ds.

Решая задачу (1.2.40) – (1.2.42), получим Из (1.2.43) – (1.2.45) следует, что задачу (1.2.40) – (1.2.42) можно свести к задаче вычисления значений неограниченного оператора T в пространстве H H, В дальнейшем u(1, ) обозначим через u(), а ux (1, ) — через w().

Для решения задачи (1.2.46) в работе [131] был предложен метод проекционной регуляризации (см. [103]). Применим метод для получения оценки приближённого решения. Для этого введём регуляризующее семейство операторов {T : > 0}, Из принадлежности функции u(1, s) классу корректности Mr1, определяемому формулой (1.2.39), следует, что u() и w() удовлетворяют условию Из (1.2.46) и (1.2.47) следует, что Для выбора параметра регуляризации = () в формуле (1.2.47) используем схему М.М. Лаврентьева, описанную в [51]. Эта схема позволяет, учитывая соотношения (1.2.37), (1.2.38), (1.2.48) и (1.2.49), параметр () определять из уравнения Обозначим через () решение уравнения (1.2.50). Тогда из теоремы, сформулированной в [103], следует, что Из теоремы, сформулированной в работе [100], и соотношения (1.2.51) следует Воспользовавшись преобразованием F 1, обратным к F, и взяв его действительную часть, получаем решение задачи (1.2.33) – (1.2.36) Из (1.2.51) и (1.2.52) будет следовать существование числа C6 > 0 такого, что для любого (0, 0 ] справедлива оценка Сделав с функцией w (s) все необходимые замены переменной, получим приближённое решение z (t) задачи (1.2.1) – (1.2.5). Из (1.2.53) будет следовать существование числа C7 > 0 такого, что для любого (0, 0 ] будет справедлива оценка 1.3 Математическое моделирование процесса регистрации аномалии гравитационного поля Задача определения запасов полезных ископаемых в геологоразведке часто формулируется как обратная задача потенциала, то есть задача определения формы области залегания полезного ископаемого по его внешнему потенциалу.

Пусть на поверхности земли земли z = 0 измеряется изменение потенциала гравитационного поля, вызванное наличием в однородной среде плотности 0 области T с плотностью 1 = 0 [13].

В стандартной постановке предполагается, что на некоторой глубине (не ниже глубины H) есть область с плотностью 1 и неизвестной поверхностью раздела двух сред, которая и вызывает эти изменения. Из-за погрешности измерений получение точных данных о возмущениях гравитационного поля невозможно, вместо них известны приближённые значения и погрешность приближения.

Обратная задача состоит в получении наиболее точного представление о форме области T по полученным возмущениям гравитационного поля Земли.

определяется уравнением где r = Это уравнение связывает наблюдаемое изменение g(x, y) и форму области T.

Обратная задача состоит в определении формы области T по полученным данным об изменении силы тяжести на поверхности Земли g(x, y). Исходными данными считаются плотность 0 = const среды, плотность 1 = const области ( = 1 0 ) и глубина, выше которой область располагается. Считается, что искомая поверхность не достигает поверхности Земли.

В двумерном случае обратная задача гравиметрии сводится (см. [22]) к решению нелинейного интегрального уравнения где z() L2 [l, l] — определяемая верхняя граница области T, g(x) L2 (, +) — измеряемая аномалия силы тяжести на поверхности z = 0.

Область распределения источников гравитационного поля, вызывающих изменение потенциала гравитационного поля, задаётся условиями Рис. 1.1: Аномалия силы тяжести на поверхности z = Преобразуем уравнение (1.3.1) к виду где Оператор A действует из пространства L2 [l, l] в L2 (, +).

При этом считаем, что функция f (x) нам известна, а z() требуется найти.

Предположим, что при f (x) = f0 (x) уравнение (1.3.2) разрешимо, но точное значение f0 (x) нам неизвестно. Вместо него даны -приближение f (x) и уровень погрешности > 0 такие, что Требуется по исходной информации (f, ) определить множество приближённых решений M такое, что где M0 — множество точных решений z0 уравнения (1.3.2) при правой части f (x) = f0 (x) (точное определение -сходимости будет дано в начале второй главы).

Следующая часть пункта носит исключительно реферативный характер и посвящена описанию одного подхода, предложенного в работах [98] и [110]. В дальнейшем описанные ниже идеи будут использованы при разработке метода регуляризации и при создании алгоритма программы.

Представим оператор A в виде суперпозиции двух операторов где B действует из L2 [l, l] (, +) в L2 (, +) и определяется формулой а оператор L действует из L2 [l, l] в L2 [l, l] (, +), имеет область определения и определяется формулой Относительно операторов B и L, определяемых формулами (1.3.5) и (1.3.6), справедливы следующие утверждения.

Лемма 1.3.1. Оператор B, определяемый формулой (1.3.5), линеен и ограничен [110, с. 73].

Определение 1.3.1. Оператор A будем называть слабо-сильно замкнутым, если из того, что un u, а Aun f следует, что u D(A) и A = f (см. [92]).

Лемма 1.3.2. Оператор L, определяемый формулой (1.3.6), слабо-сильно замкнут [110, с. 73].

Лемма 1.3.3. Оператор L1 непрерывен на множестве R(L) значений оператора L, определяемого формулой (1.3.6) [110, с. 73].

Таким образом, оператор A в уравнении (1.3.2) может быть представлен суперпозицией двух операторов, один из которых, B, определяемый формулой (1.3.5), линеен и ограничен, а второй, L, определяемый формулой (1.3.6), слабо-сильно замкнут и имеет непрерывный обратный.

Глава Численные методы решения нелинейных обратных задач 2.1 Методы регуляризации нелинейных 2.1.1 Общая постановка нелинейных обратных задач и метод регуляризации их решения Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство, A — оператор с областью определения D(A) H и множеством значений R(A) H.

Определение 2.1.1. (см. [70]) Оператор A будем называть слабо замкнутым, если из того, что un u, а Aun f следует, что u D(A) и A = f.

Определение 2.1.2. (см. [97]) Оператор A будем называть слабо полузамкнутым, если из того, что un u, а Aun f следует, что существует элемент u D(A) такой, что A = f и Определение 2.1.3. (см. [41]) Будем говорить, что последовательность множеств {Mn } из метрического пространства X сходится к множеству M0 X, если где (Mn, M0 ) = sup (x, M0 ) : x Mn, и обозначать Из определений 2.1.1, 2.1.2 и 1.3.1 следует,что слабо замкнутый оператор является слабо полузамкнутым и слабо-сильно замкнутым (см. [136]). В той же работе показано, что обратное, вообще говоря, не верно, то есть слабо полузамкнутый и слабо-сильно замкнутый оператор может не быть слабо замкнутым. Кроме того, в [136] приводится пример слабо полузамкнутого оператора, не являющегося слабо-сильно замкнутым.

Рассмотрим операторное уравнение где u D(A), f H. Предположим, что при f = f0 оно разрешимо, но точное значение правой части f0 уравнения (2.1.1) нам не известно. При этом вместо f0 даны приближённое значение f и уровень погрешности > 0 такие, что f f0.

Требуется по исходным данным {f, } построить приближённое решение u, близкое к точному решению M0 = {0 : A0 = f0 } уравнения (2.1.1) при f = f0.

Метод регуляризации (см. [113]), заключается в сведении поставленной задачи к вариационной:

где > 0.

Теорема 2.1.1. Если оператор A слабо полузамкнут, то вариационная задача (2.1.2) разрешима.

Доказательство. Рассмотрим минимизирующую последовательность {un } такую, что {un } D(A) и Aun f +un inf Auf +u : u D(A). (2.1.3) Из соотношения (2.1.3) следует ограниченность последовательностей {un }, {Aun }, {Aun f }. Так как пространство H гильбертово, то соответствующие последовательности слабо компактны. Без ограничения общности можем считать, что Из слабой полузамкнутости оператора A и соотношений (2.1.4) и (2.1.5) следует существование элемента u D(A) такого, что По свойству нормы слабого предела из (2.1.6) следует, что Из (2.1.7) и (2.1.8) следует, что то есть элемент u является решением вариационной задачи (2.1.2).

Теорема доказана.

В дальнейшем множество решений задачи (2.1.2) будем обозначать через M и называть приближённым решением уравнения (2.1.1), полученным методом регуляризации.

Теорема 2.1.2. Пусть оператор A слабо полузамкнут и слабосильно замкнут. Тогда множество M решений вариационной задачи (2.1.2) замкнуто.

Доказательство. Пусть {un } M и un u. Тогда по определению множества M для любого n Aun f +un = inf Auf +u : u D(A). (2.1.9) Из соотношения (2.1.9) следует ограниченность последовательности {Aun f }, а поскольку пространство H гильбертово, то и её слабая компактность. Без ограничения общности будем считать, что Так как оператор A слабо полузамкнут, то из (2.1.10) следует существование элемента u такого, что Из (2.1.9), (2.1.11) и (2.1.12) следует, что а из (2.1.10) по свойству нормы слабого предела, что Из соотношений (2.1.13) и (2.1.14) следует, что а из (2.1.10) и (2.1.15), что Из соотношения (2.1.16) и слабо-сильной замкнутости оператора A следует, что u D(A) и а из (2.1.9), (2.1.16), (2.1.17) и того, что un u, имеем что и доказывает замкнутость множества M.

Обозначим через P многозначное отображение, которое каждому элементу f H ставит в соответствие множество M решений вариационной задачи (2.1.2) при f = f.

Определение 2.1.4. Многозначное отображение, действующее из метрического пространства X в метрическое пространство Y, будем называть H-полунепрерывным сверху, если для любого x X множество (x) не пусто и замкнуто, а условие xn x влечёт (xn ) (x) (см. [33]).

Теорема 2.1.3. Пусть оператор A слабо полузамкнут и слабосильно замкнут. Тогда отображение P является H-полунепрерывным сверху.

Доказательство. Тот факт, что для любого элемента f H множество P (f ) не пусто и замкнуто, доказан в теоремах 2.1.1 и 2.1.2.

Проверим -сходимость, когда из условия fn f следует Предположим противное, что найдутся число d > 0 и последоn вательность {n }, un M такие, что для любого n Пусть u M. Тогда для любого n справедливо соотношение Из того, что fn f, следует Из соотношений (2.1.13) и (2.1.14) получаем Из (2.1.21) следует слабая компактность последовательностей {n }, {An }, {An fn }.

Без ограничения общности можем считать, что Так как оператор A слабо полузамкнут, то из соотношений (2.1.22) и (2.1.23) следует существование элемента u такого, что Тогда из (2.1.24) и (2.1.25) по свойству нормы слабого предела будет следовать, что а из (2.1.26) и (2.1.27) Так как u M, то из (2.1.21) и (2.1.28) следует, что а из (2.1.25) – (2.1.27) и (2.1.29), что Таким образом, из (2.1.24) и (2.1.30) следует, что Учитывая слабо-сильную замкнутость оператора A и соотношения (2.1.22) и (2.1.31), получим, что u D(A), а Из (2.1.22) по свойству нормы слабого предела а из (2.1.25), (2.1.27) и (2.1.32) Таким образом, из (2.1.33) и (2.1.34) имеем, что а из того, что u M, из (2.1.21) и (2.1.35) получаем Из (2.1.33), (2.1.34) и (2.1.36) следует, что а из (2.1.22) и (2.1.37), что Так как из (2.1.1) и (2.1.16) вытекает то соотношение (2.1.38) противоречит (2.1.18), что и доказывает теорему.

Теорема 2.1.4. Пусть оператор A слабо полузамкнут и слабосильно замкнут. Тогда, если параметр регуляризации связать с уровнем погрешности исходных данных таким образом, (2.1.1).

Доказательство. Предположим противное. Пусть числа n образуют бесконечно малую последовательность: n 0 при n.

Тогда найдутся число d > 0 и последовательность {n } такие, что для любого n n 0 при n, и для любого n Пусть u0 M0. Тогда для любого n выполняется соотношение Так как A0 = f0, а f0 fn n, то из (2.1.40) следует, что для любых n справедливы неравенства На основании (2.1.42) заключаем, что а неравенство (2.1.41) влечёт ограниченность последовательности {n }. Без ограничения общности можем считать, что Из (2.1.41) получаем Тогда (2.1.43), (2.1.44) и (2.1.45) дают что противоречит соотношению (2.1.39).

В случае слабо-сильно замкнутого оператора A вариационная задача (2.1.2) может не иметь решений (см. [110, с. 30]). Метод регуляризации к решению операторного уравнения (2.1.1) в таком случае неприменим. Его обобщение, которое решает эту проблему, приводится в следующем параграфе.

2.1.2 Обобщённый метод L-регуляризации в обратной задаче гидродинамики Пусть U, F и G — сепарабельные гильбертовы пространства, а A и L — слабо замкнутые операторы с областями определения D(A), D(L) U и множествами значений R(A) F, R(L) G.

Далее предполагаем, что D(A) D(L) =.

Определение 2.1.5. Оператор A будем называть L-полузамкнутым снизу, если из того, что f R(A) и Aun f, а следует, что (un, M ) 0 при n, где M = {u : u D(A), Au = f }.

Замечание 2.1.1. Понятие L-полузамкнутого снизу оператора A обобщает понятия слабо замкнутого и слабо-сильно замкнутого операторов.

Рассмотрим операторное уравнение (2.1.1) где u D = D(A) D(L), f F. Будем предполагать, что при f = f0 существует точное решение u0 D уравнения (2.1.1), но вместо f0 нам известно приближённое значение f и уровень погрешности > 0 такие, что f f0.

Требуется по исходной информации {f, } построить множество приближённых решений M, близкое к множеству точных решений M0 D уравнения (2.1.1) при f = f0.

Обобщённый метод L-регуляризации заключается в сведении поставленной задачи к вариационной:

Так как вариационная задача (2.1.46) при общих предположениях об операторах A и L может не иметь решения, множество приближённых решений M уравнения (2.1.1) определим формулой Замечание 2.1.2. Очевидно, что множество M,, определяемое таким образом, не пусто. Имеет место утверждение, аналогичное теореме 2.1.4. А именно, в работе [110, с. 84] доказано, что если оператор A слабо-сильно замкнут, а параметр регуляризации связан с уровнем погрешности исходных данных и таким образом, что (, ) 0, ( 2 +)/(, ) 0 при, 0, то имеет место -сходимость приближённых решений M, к множеству точных решений M0 уравнения (2.1.1).

Замечание 2.1.3. Для того, чтобы для любого f0 D(A) множеству точных решений M0 уравнения (2.1.1) при условии, и достаточно, чтобы оператор A был L-полузамкнутым снизу (см. [110, с. 87]).

2.1.3 Применение обобщённого метода L-регуляризации в обратной задаче потенциала Применим к решению уравнения (1.3.2) с оператором, представленным в виде (1.3.4) обобщённый метод L-регуляризации. Так как для операторов A и L, определяемых формулами (1.3.3) и (1.3.6), выполняется соотношение то для уравнения (1.3.2), описывающего обратную задачу гравиметрии, применима теория регуляризации А. Н. Тихонова, то есть задача (1.3.2) – (1.3.3) может быть сведена к вариационной задаче [110, c. 75]:

где > 0, а операторы A и L определены формулами (1.3.3) и (1.3.6) соответственно.

Так как оператор A, определяемый формулой (1.3.3), не является L-слабо полузамкнутым (см. [110, c. 77]), то вариационная задача (2.1.48) может не иметь решения. Поэтому в качестве множества M приближённых решений уравнения (1.3.2) возьмём множество, на котором выполняется условие где > 0 достаточно мало. Согласно теореме [110, c. 69], если = (), = () выбрать такими, что () 0, () 0, 2 + () /() 0 при 0, то будет иметь место -сходимость M0 уравнения (1.3.3), отвечающих значению правой части f (t) = f0 (t):

Следуя [137] и [110], рассмотрим возможность применения обобщённого метода L-регуляризации к решению задачи определения коэффициента гидропроводности (1.1.7) – (1.1.11):

Пусть () — функция из пространства L2 [r0, r], удовлетворяющая условию где d и d1 — некоторые положительные числа. Последнее требование аналогично условию (1.1.5).

Определим оператор A, действующий из пространства L2 [r0, r] в L2 [r0, r], формулой с областью определения Тогда сопряжённый оператор A будет иметь вид с областью определения Таким образом, оператор A A будет отображать пространство L2 [r0, r] в L2 [r0, r] и иметь область определения D(A A) и множество значений R(A A), всюду плотные в пространстве L2 [r0, r].

Пусть T > 0, а H = L2 [r0, r]. Введем ещё одно гильбертово пространство Это пространство снабжено нормой Известно (см. [76]), что где C 0 ([0, T ]; H) — пространство непрерывных отображений отрезка [0, T ] в пространство H.

Теперь продолжим оператор A A на пространство W (0, T ), положив для функции u(, t) W (0, T ) Из формулы (2.1.58) следует, что оператор A A, продолженный на W (0, T ), будет иметь область определения D(A A), всюду плотную в W (0, T ). Кроме того, если рассматривать его действующим из пространства W (0, T ) в L2 [H; [0, T ]], то он будет замкнут.

Процесс фильтрации, следуя [102], описывается задачей где u W (0, T ), f L2 [0, T ] и является производной заданной функции f (t) такой, что f (0) = 0. Условие (1.1.11) удобней переписать в виде что вместе с использованием (2.1.59) и (2.1.60) приводит к уравнению Проинтегрировав равенство (2.1.59) по t и воспользовавшись условием (2.1.60), получим Теперь проинтегрируем равенство (2.1.63) по и воспользуемся условием (2.1.62):

Из (2.1.64) следует, что функция принадлежит пространству Соболева H 1 ([r0, r][0, T ]). Теперь проинтегрируем равенство (2.1.63) по и воспользуемся условием (2.1.62):

Для приближённого решения уравнения (2.1.64), с которым связана обратная задача фильтрации (2.1.59) – (2.1.62), введем исходные пространства и операторы.

2 () = () = 0. Для любого (r0, r) Предположим, что коэффициент () уравнения (2.1.64) принадлежит метрическому пространству Z, определяемому следующим образом:

в котором метрика dZ определяется как dZ (1, 2 ) = 1 2 L2.

Пусть оператор L действует из пространства L2 ([r0, r] [0, T ]) в пространство H 1 ([r0, r] [0, T ]) и определён формулой а оператор C действует из пространства Z L2 ([r0, r] [0, T ]) в L2 ([r0, r] [0, T ]) по формуле и имеет область определения Обозначим через B оператор, действующий из пространства Z L2 ([r0, r] [0, T ]) в пространство L2 ([r0, r] [0, T ]) и определяемый формулой Теперь уравнение (2.1.64) может быть переписано в операторном виде:

где f (t) и G(t) были определены ранее.

Теперь предположим, что при f (t) = f0 (t) и G(t) = G0 (t) существует точное решение (0, v0 ) уравнения (2.1.71), но вместо f0 (t), G0 (t) нам известны лишь их -приближения f и G G (0) = 0.

Требуется по исходной информации {f, G, } построить множество приближённых решений M D(B) такое, что имеется -сходимость множества M к множеству точных решений M0 D(B) уравнения (2.1.71) при 0.

Замечание 2.1.4. В [137] и [110] для различных случаев обратной задачи фильтрации доказывается теорема о L-полузамкнутости снизу оператора B. В частности, если операторы B и L определены формулами (2.1.67) – (2.1.70), то оператор B является Lполузамкнутым снизу. Таким образом,учитывая замечание 2.1.3, мы получаем полное обоснование сходимости метода регуляризации в задаче определения коэффициента гидропроводности пласта при условии () L2 [r0, r].

2.2 Аппроксимация регуляризованных решений 2.2.1 Аппроксимация регуляризованного решения операторного уравнения Определение 2.2.1. Последовательность операторов {An } будем называть A-полной, если для любого элемента u D(A) найдётся последовательность {un } такая, что при всяком значении n un D(A), un u, а An un Au при n (см. [26]).

Определение 2.2.2. Пару A, {An } будем называть слабо полузамкнутой, если из того, что последовательность {un } ограничена, а An un f следует, что существует элемент u D(A) такой, что A = f и lim un (см. [97]).

Определение 2.2.3. Пару A, {An } будем называть слабосл сильно замкнутой, если из того, что un u, а An un f следует, что u D(A) и A = f (см. [97]).

Наряду с вариационной задачей для операторного уравнения (2.1.1) рассмотрим также вариационную задачу где > 0.

Если предположить слабую полузамкнутость пары A, {An }, то вариационные задачи (2.1.2) и (2.2.1) будут разрешимы. Обозначим решение задачи (2.2.1) через M.

раторов {An } является A-полной, и для любой подпоследовательности {Ank } пара A, {Ank } слабо полузамкнута и слабосильно замкнута. Тогда имеет место -сходимость аппроксиn маций M к регуляризованному решению M.

Доказательство. Предположим противное, что найдутся число > 0 и подпоследовательность {unk }, unk M k такие, что для любого k Так как последовательность операторов {Ank } является A-полной, то для всякого элемента u M найдётся последовательность {k }, uk D(Ank ) такая, что Из (2.2.3) и (2.2.4) следует, что Учитывая, что unk M k, получим Таким образом, из (2.2.5) и (2.2.6) следует, что Из (2.2.7) следует слабая компактность последовательностей {unk }, считать, что Так как пара A, {Ank } слабо полузамкнута, то на основании (2.2.8) и (2.2.9) получим, что f R(A) и существует элемент u такой, что Из (2.2.10) и свойства нормы слабого предела следует, что Из (2.2.11) – (2.2.13) вытекает Так как u M, то Из соотношений (2.2.14) и (2.2.15) следует, что Из (2.2.7) и (2.2.16) следует, что Учитывая соотношения (2.2.11) – (2.2.13) и (2.2.17), получим, что Из (2.2.10), (2.2.11), и (2.2.18) следует, что Так как пара A, {Ank } слабо-сильно замкнута, то на основании (2.2.8) и (2.2.19) получим, что Из (2.2.8) – (2.2.10), (2.2.20) и (2.2.21) по свойству нормы слабого предела имеем, что Так как в силу u M, выполняется то из (2.2.7), (2.2.22) и (2.2.24) имеем Из (2.2.23) и (2.2.26) следует, что а из (2.2.8) и (2.2.27) следует, что Соотношения (2.2.25) и (2.2.28) противоречат (2.2.2), что и доказывает теорему.

2.2.2 Конечномерные аппроксимации при численном решении обратной задачи потенциала Для решения задачи (1.3.2) – (1.3.3) воспользуемся конечномерной аппроксимацией регуляризованного решения M.

Для этого разобьём отрезок [l, l] на n равных частей с шагом =. Обозначим отрезок разбиения i = [i, i+1 ].

Искомую границу z() представим в виде вектора В качестве конечномерного подпространства Un рассмотрим пространство кусочно-постоянных на [l, l] функций При этом, используя такую последовательность конечномерных подпространств Un пространства L2 [l, l], получаем выполнение следующего условия: для любого n D(L) Un = и Бесконечный интервал < x < + заменим конечным отрезком [s, s] и разобьем его на m равных частей (m n) с шагом x =, подобрав число s так, чтобы x =, и чтобы точки разбиения отрезка [s, s] совпадали с точками разбиения отрезка [l, l]:

Таким образом вариационная задача (2.1.48) сводится к конечномерной:

где f (x) f (x) при n.

Задача (2.2.29) разрешима (см. [110, c. 70]). Обозначим множество решений этой задачи через M,n. Тогда, как следует из теоремы 2.2.1, для любого > 0 имеет место -сходимость аппроксимаций M,n к регуляризованному решению M :

2.2.3 Конечномерные аппроксимации при решении обратной задачи гидродинамики С помощью замены переменной u(, t) = u(, t)f (t) сведем задачу (1.1.7) – (1.1.11) к задаче с однородными граничными условиями (для простоты сохраним прежнее обозначение, то есть вместо u будем по-прежнему писать u):

где 0 < r0 r, t 0. Условие, определяющее суммарный дебит скважины, может быть заменено равенством, аналогичным (2.1.62):

где G(t) = g1 ( ) d. Здесь g1 (t) определяется уравнением (2.1.61):

Введем некоторые пространства и операторы. Пусть M — множество допустимых коэффициентов ():

а V = Wp [r0, r]. Скалярное произведение в V зададим равенством Пространство V является гильбертовым.

Введем также гильбертово пространство H = h : h L2 [r0, r] со скалярным произведением Имеет место плотное и непрерывное вложение V H. Отождествляя H с его двойственным пространством H, получим также плотное и непрерывное вложение H V, где V — пространство, двойственное к V.

Рассмотрим пространство U = L2 (V, [0, T ]) с нормой Это пространство также является гильбертовым. Кроме того, оно плотно и непрерывно вкладывается в C 0 (H, [0, T ]).

Обозначим U0 = u : u U, u(0) = 0. В пространстве U рассмотрим множество Определим оператор : D M L2 [V ; 0, T ], ставящий в соответствие функциям u D и M элемент Лемма 2.2.1. Оператор, определяемый задачей (2.2.30) – (2.2.33), является слабо-замкнутым.

Доказательство. На множестве = {v : v C [r0, r], v(r0 ) = v () = 0}, всюду плотном в V, определим оператор A : V :

Очевидно, что данный оператор является линейным. Покажем, что он ограничен на множестве.

Для любых u V и v выполнено:

Продолжим оператор A по непрерывности на все пространство Согласно [62] задачу (2.2.30) – (2.2.33) можно переписать в виде где A(), A() — оператор A с коэффициентами () или ().

Из непрерывной дифференцируемости оператора следует, в частности, непрерывность на множестве D M Для доказательства того, что оператор слабо замкнутый, необходимо проверить выполнение следующих условий: из того, что следует, что f = (0, u0 ).

Действительно, по свойству норм слабо сходящейся последовательности следует существование такой константы k1, что для любого n или Учитывая слабую сходимость un в U, заключаем, что существует константа k2 такая, что для любого n Из соотношений (2.2.47) – (2.2.48) следует равномерная ограниченность последовательности в пространстве L2 (V, [0, T ]). Из равномерной ограниченности норм в гильбертовом пространстве L2 (V, [0, T ]) следует слабая компактность последовательности {A(n ) un }. Без ограничения общности считаем, что сама последовательность {A(n ) un } — слабо сходящаяся:

в L2 (V, [0, T ]).

Из слабой сходимости в L2 (V, [0, T ]) последовательностей {A(n )un } и {(n, un )} следует слабая сходимость как разности двух слабо сходящихся последовательностей.

Ввиду полноты пространства U оператор является линейным замкнутым, а значит, слабо замкнутым. тогда в L2 (V, [0, T ]) (в смысле слабой сходимости).

Из (2.2.48) по критерию слабой сходимости в L2 (V, [0, T ]) следует равномерная ограниченность последовательности {A(n ) un } и справедливость соотношения при n почти для всех t [0, T ].

Далее из слабой сходимости n () к 0 () следует равномерная сходимость на отрезке [r0, r] последовательности n () к 0 () Из un u0 с учётом непрерывности вложения пространства U в C 0 (H, [0, T ]) получим, что почти при всех t [0, T ] Так как последовательность n () равномерно ограничена в пространстве H и для неё выполняется соотношение (2.2.50), то по критерию слабой сходимости в пространстве L2 (H, [0, T ]) в L2 (H, [0, T ]).

Из линейности и непрерывности оператора, действующего из L2 (H, [0, T ]) в L2 (V, [0, T ]), следует его слабая непрерывность, а совместно с соотношением (2.2.52) Тем самым слабая замкнутость оператора доказана.

Формулировка задачи в терминах теории оптимального управления Пусть состояние системы определяется операторным уравнением где оператор, определённый соотношением (2.2.39), действует из пространства M U в пространство L2 (V, [0, T ]) и является непрерывно дифференцируемым и слабо замкнутым.

Функция f (t), являющаяся производной функции f (t), нам известна. Требуется определить () и u(, t).

Используем дополнительное условие (2.2.34), соответствующее заданию суммарного дебита скважины. Для этого введем оператор значения которого на множестве решений операторного уравнения с заданной функцией f (t) нам известны. Пусть оператор C определяется левой частью равенства (2.2.35) Правую часть равенства (2.2.35) обозначим как z(t).

Каждой паре функций () M и u(, t) D сопоставим целевую функцию J(, u) = C(, u) z(t)2 2 [0,T ] + (, u) f 2 2 (V,[0,T ]), (2.2.56) где z(t) L2 [0, T ], f L2 [0, T ]. Тогда задачу определения коэффициента () можно сформулировать как задачу оптимального управления системой с распределёнными параметрами Поскольку задача нахождения минимума функционала является неустойчивой, то с целью её регуляризации воспользуемся методом А. Н. Тихонова, то есть сведем её к задаче где > 0, 0 W2, u0 U, u0, 0 — некоторые априорно известные приближения.

Теорема 2.2.2. Задача (2.2.58) разрешима.

Доказательство. Обозначим минимизируемый функционал (2.2.58) через J (, u). Из (2.2.55), (2.2.58) следует, что этот функционал неотрицателен. Нижнюю грань функционала J на области его определения M D обозначим J. Из определения нижней грани следует существование последовательности {(n, un )} M D такой, что Из (2.2.55), (2.2.56), (2.2.58) следует, что последовательности {n }, {un }, {C(n, un )}, {(n, un )} ограничены в соответствующих пространствах.

Поскольку пространства W2 (r0, r), U, L2 [0, T ], L2 (V, [0, T ]) являются гильбертовыми, то указанные последовательности слабо компактны. Будем считать, что эти последовательности слабо сходятся Используя слабую замкнутость операторов C и, получим C = C(, u), = (, u). Тогда по свойству нормы слабого предела Сложив почленно (2.2.59) – (2.2.62) и воспользовавшись (2.2.58), получим Так как M, u D, а J — нижняя грань соответствующего функционала J на этих множествах, то условие (2.2.63) выполнено со знаком равенства.

Тем самым разрешимость задачи (2.2.58) доказана.

Конечно-разностные формулы нахождения целевого функционала Задача нахождения коэффициента гидропроводности была сформулирована как задача минимизации функционала (2.2.58):

где > 0, 0 W2, u0 U, u0, 0 — некоторые априорно известные приближения. С учётом (2.2.39), (2.2.54) – (2.2.56) J(, u) = а также Разобьём отрезок [0, T ] на m равных частей с шагом по времени ht =. Обозначим отрезок разбиения по оси времени ti = [ti, ti+1 ]. Разобьём отрезок [r0, r] на n равных частей с шагом по координате h =. Обозначим отрезок разбиеn ния по оси j = [j, j+1 ]. Получаем регулярную сетку с шагом ht по времени и с шагом h по оси. Искомую функцию u(, t) аппроксимируем сеточной функцией ui = u(j, ti ). Функцию коэфj фициента гидропроводности представим в виде вектора В качестве конечномерного подпространства Mn рассмотрим пространство кусочно-постоянных на [r0, r] функций Обозначим минимизируемый функционал в (2.2.58) через E.

Запишем его в виде:

Для упрощения записи формул для градиента целевого функционала введём ряд обозначений.

Задача сводится к многомерной задаче минимизации функционала (2.2.67).

С учётом независимости краевых условий от изменения () имеем:

Замечая, что найдём формулы для градиентов, входящих в сумму.

Аппроксимация градиента функционала Поиск минимума функционала (2.2.58) проводился итерационными методами градиентного типа. Вычисление градиентов E2, E3, E4 по формулам (2.2.77) – (2.2.80) особых сложностей не представляет. Аппроксимация градиента функционала, подобного приводилась в [46], [111]. Рассмотрим сопряжённую к (2.2.30) – (2.2.33) задачу где 0 < r0 r, t [0, T ], C — сопряжённый оператор к оператору наблюдения C(, u). Так как E1 () = 2 C(, u) z(t), C(, u ) L2 [0,T ] = то согласно [111] градиент функционала преобразуется к виду где – решение сопряжённой задачи. Для определения градиента функционала J(), необходимо решить прямую задачу (2.2.30) – (2.2.33) и сопряжённую задачу (2.2.81) – (2.2.84).

Глава Программный комплекс решения обратных задач геофизики и тепловой диагностики Разработанные модели, методы и алгоритмы были реализованы в виде программного комплекса в пакете MATLAB. Использовался пакет Math Works MATLAB версии r2010b. Программный комплекс разработан для решения обратных задач геофизики и тепловой диагностики и включает в себя следующие программы:

• программа численного исследования фильтрационной модели нефтяного пласта для определения коэффициента гидропроводности;

• программа математического моделирования процесса тепловой диагностики технических объектов;