«А. Исаков Физика Решение задач ЕГЭ 2013 Часть 2 Петропавловск-Камчатский 2013 УДК 50(075.8) ББК 20я73 И85 Рецензент доктор физико-математических наук, профессор Дальневосточного Федерального университета Стоценко Л.Г. ...»

2. Разрешим верхнее уравнение правой системы относительно напряжённости:

206. Заряженный шарик, подвешенный на невесомой шелковой нити, находится во внешнем однородном горизонтальном электрическом поле. Нить образует угол с вертикалью 1 = 450 На сколько изменится угол отклонения нити при уменьшении заряда на 30%?

1. По аналогии с решением предыдущей задачи:

207. Заряженная пылинка движется вертикально между двумя одинаковыми пластинами размером 5 см 5 см, расположенными друг против друга на расстоянии d = 0,5 см. Разность потенциалов между пластинами U = 300 В.

Кинетическая энергия пылинки при перемещении от одной пластины к другой изменяется на К = 1,5 мкДж. Определить заряд пылинки в нКл. Действием силы тяжести пренебречь.

1. Сопоставление размеров пластин и расстояния между ними позволяет считать поле между пластинами однородным.

2. Напряжённость электрического поля между пластинами:

2. Сила Кулона, действующая со стороны поля на заряженную пылинку:

3. В соответствие с теоремой об изменении кинетической энергии, изменение кинетической энергии пылинки при её перемещении между пластинами будет равно работе силы Кулона на этом перемещении:

208. Определить электрический потенциал Земли, приняв радиус R км, а напряжённость электрического поля на поверхности Е 130 В/м.

1. Напряжённость электрического поля, создаваемого сферической оболочкой и её заряд, связаны соотношениями:

2. Потенциал электрического поля на поверхности оболочки:

209. Сфера с центром в точке О равномерно заряжена. В центре сферы потенциал равен О = 100 В, а в точке А, расположенной на удалении r = 0,3 м от центра потенциал равен А = 50 В. Определить напряжённость электрического поля в точке А.

1. Разность потенциалов между заданными точками О и А:

2. Напряжённость электрического поля в точке А:

210. Проводящий шар радиусом R = 5 см заряжен до потенциала = 40 В.

Определить напряжённость поля на расстоянии х = 3 см от поверхности шара.

1. Заряд проводящего шара:

2. Напряжённость поля в заданной точке:

211. Определить электроёмкость батареи, состоящей из четырёх одинаковых конденсаторов, если электроёмкость каждого конденсатора С.

1. Ёмкость последовательного соединения конденсаторов:

2. Ёмкость параллельного соединения:

3. Ёмкость батареи:

212. Плоский конденсатор зарядили и отключили от источника тока. Как изменится энергия электрического поля внутри конденсатора, если увеличить в 2 раза расстояние между обкладками конденсатора? Расстояние между обкладками мало как в первом, так и во втором случае.

1. Ёмкость плоского воздушного конденсатора:

2. Энергия электрического поля внутри конденсатора при условии сохранения заряда конденсатора при раздвигании пластин:

213. Первый конденсатор ёмкостью С подключён к источнику с ЭДС, а второй такой же ёмкостью подключён к источнику с ЭДС равной 2. Определить отношение энергии электрического поля второго конденсатора к энергии поля первого конденсатора.

214. Определить величину заряда, проходящего через поперечное сечение проводника в течении = 14 с, если сила тока в проводнике линейно возрастала от 0 до 75 А.

215. Скорость направленного дрейфа электронов в электрической цепи уменьшилась в 2 раза. Как изменилась сила тока в цепи?

1. Проводники являются таковыми по причине наличия в них большого числа носителей заряда, способных относительно легко перемещаться в пределах рассматриваемого образца. Металлы, как правило, являются хорошими проводниками тепла и электрического тока именно благодаря свободным электронам.

2. Если металлический проводник (рис. 215.1) поместить в однородное электрическое поле напряr жённостью E, то на каждый свободный электрон (e 1,610 19 Кл, me 110 30 кг), в классическом представлении, будет действовать электрического заряда элементарная сила Кулона. Как и всякий материальный объект, электрон начнёт двигаться в направлении, противоположном направлению вектора напряжённости поля (элементарный заряд электрона принято считать отрицательным).

3. Если бы в распоряжении исследователей был маленький человечек, то он бы обнаружил, что через сечение проводника S, за которым он приставлен наблюдать, в одном направлении движутся электроны, что собственно и означает возникновение электрического тока. Направлением тока условились считать направление движения положительных зарядов. Таким образом, электрический ток есть направленное движение носителей зарядов. В металлах направление тока принимается противоположным движению электронов проводимости.

4. Линии, вдоль которых перемещаются носители заряда, по аналогии с гидромеханикой называются линиями тока (рис. 215.2). Совокупность линий тока образует трубку тока, которая позволяет качественно и количественно охарактеризовать направленное движение носителей заряда.

Рис. 215.3. Элементарный объём проводника определяется как где kB 1,410 23 Дж/К постоянная Больцмана, Т абсолютная температура, me масса электрона. В отличие от спонтанно направленной скорости тепловоr го движения скорость под действием силы Кулона u будет направленной, её называют средней дрейфовой скоростью.

6. Пусть в рассматриваемом металлическом проводнике в единице его объма содержится n электронов. Выделим далее элементарную площадку dS, перпендикулярную вектору дрейфовой скорости, являющуюся основанием цилиндра с высотой udt. Все носители заряда, содержащиеся внутри этого цилиндра, через площадку dS за время dt перенесут заряд 7. Пронормируем уравнение относительно площади и времени где j плотность тока, т.е. сила тока i = dq/dt, отнесённая к площади. Плотность тока величина векторная, что определяется направленными свойствами дрейфовой скорости u 8. Модуль плотности тока определяет величину заряда, переносимого электрическим полем в единицу времени через единицу площади. Направление вектора j совпадает с направлением дрейфовой скорости носителей заряда.

9. Уменьшение величины дрейфовой скорости вдвое приведёт к уменьшению в два раза величины плотности тока. При постоянстве площади поперечного сечения проводника это эквивалентно уменьшению в 2 раза силы тока в проводнике.

216. Стальная проволока имеет электрическое сопротивление R = 4 Ом.

Каким станет сопротивление этой проволоки, если её протянуть через специальный станок, увеличивающий длину в 2 раза?

1. Для большого класса проводящих веществ, в частности для металлов, плотность электрического тока j пропорциональна напряжённости электричеr ского поля E. Это обстоятельство составляет один из важных законов электродинамики, хотя он, по большому счёту и не рассматривается как фундаментальный. Он весьма значим для практических целей. Математически закон представляется следующим образом:

где постоянная величина для данного проводника, именуемая удельной проводимостью.

2. Уравнение выражает собой закон Ома в дифференциальной форме.

Удельная проводимость зависит от физических свойств проводника, а так же от внешних условий, таких как температура, давление и др. Величина обратная удельной проводимости называется удельным сопротивлением:

3. Закон Ома в интегральной форме получается из наличия разности потенциалов между отдельными его участками. Рассмотрим несложную электрическую схему, изображённую на рис. 216. Она состоит из цилиндрического проводника постоянного сечения с высоким удельным сопротивлением, например из вольфрама, аккумуляторной батареи, амперметра и чувствительного вольтметра, служащего для измерения разности потенциалов. Включив схему и перемещая скользящий контакт вдоль проводника из положения 1 в положение 2, обнаружим, что показания вольтметра увеличиваются по за- Рис. 216. К выводу закона Ома в 4. Если длину проводника обозначить через l, а напряжённость электрического поля в нём Е, то можно записать следующее уравнение:

5. При возникновении в проводнике тока он будет течь от большего потенциала 1 к меньшему потенциалу 2. Таким образом, для существования тока в проводнике необходимо поддерживать на его концах разность потенциалов, т.е. условие возникновения электрического тока определится как 6. Условие существования тока может быть обеспечено наличием замкнутой цепи, в которую последовательно с проводником включён источник тока.

При разомкнутой цепи на отрицательных клеммах источника имеется избыток электронов, а на положительных недостаток. Внутри источника действуют, так называемые сторонние силы, механического, химического, биологического и теплового типа, которые обеспечивают разделение зарядов.

7. Перемещение зарядов в замкнутой цепи осуществляется за счёт сил не электростатического происхождения, работа которых, как известно, по замкнутому контуру всегда должна быть равной нулю. Перемещение по проводнику носителей заряда осуществляется за счёт работы, производимой сторонними силами. Эта работа определяется в виде суммы работы, совершаемой против сил электрического поля внутри источника тока (АИст), а так же работы против сил сопротивления среды источника (АВнутр) 8. Электродвижущей силой (ЭДС) источника тока называется отношение работы сторонних сил к величине заряда, перемещаемого вдоль всей цепи, включая и источник тока:

9. Работа против сил электрического поля определится как:

10. В режиме холостого хода, когда клеммы источника разомкнуты А Внутр = 0, поэтому:

11. В соответствии со вторым законом Ньютона свободные носители заряда, в частности электроны, должны двигаться с ускорением:

т.е. скорость зарядов должна, вроде как, возрастать со временем, как и плотность тока:

12. Однако движение зарядов в проводнике происходит не в пустом пространстве. Движущиеся электроны в классическом представлении, являясь частицами, обременёнными массой покоя, при своём перемещении сталкиваются с элементами кристаллической решётки, в частности с ионами, которые более массивны и обладают гораздо большими размерами. Поэтому в уравнении плотности тока вместо неопределённого времени t, должно рассматриваться время между столкновениями отдельно взятого электрона и ионами. Уравнение скорости в этом случае уместно представить так 13. Таким образом, скорость электрона за время будет увеличиваться до некоторого максимума, затем при столкновении с ионом она становится равной нулю, в этой связи, в среднем скорость движения зарядов по проводнику принимается постоянной.

14. На участке проводника dl напряжённость электрического поля связана с потенциалом стандартным уравнением 15. Умножим и разделим правую часть уравнения на площадь поперечного сечения проводника S:

16. Проинтегрируем уравнение по длине проводника от точки 1 до точки (рис. 216):

17. Величина подынтегрального выражения не зависит от силы тока и разности потенциалов на концах проводника, оно определяется физическими свойствами металла и его геометрическими характеристиками. Оно называется электрическим сопротивлением 18. При увеличении длины проводника в 2 раза площадь поперечного сечения уменьшится тоже в два раза:

217. Сопротивление резистора увеличили в 2 раза, а приложенное напряжение уменьшили в два раза. Как изменилась сила тока, протекающего через резистор?

218. Как изменится сила тока, протекающего по проводнику, если напряжение на его концах и площадь поперечного сечения увеличить в 2,5 раза?

1. Увеличение площади поперечного сечения проводника в 2,5 раза приведёт к уменьшению его сопротивления в 2,5 раза, потому что:

2. В соответствии с законом Ома в интегральной форме:

219. Задана зависимость силы тока в проводнике от напряжения на его концах.

Чему равно сопротивление проводника?

220. К источнику тока с внутренним сопротивлением r = 2 Ом подключили реостат. Дан график зависимости силы тока в реостате от его сопротивления.

Чему равна ЭДС источника тока?

1. Закон Ома для полной цепи:

221. При замыкании элемента на резистор сопротивлением R1 = 1,8 Ом в цепи возникает ток силой I1 = 0,7 А, а при замыкании на резистор R2 = 2,3 Ом сила тока составила I2 = 0,56 А. Найти внутреннее сопротивление источника.

Рис. 222. Сопротивление цепи Рис. 223. Комбинированное соединение резисторов 224. Кипятильник нагревает V = 1,2 л воды от t1 = 12 0C до кипения за время = 10 мин. Определить силу тока, потребляемого кипятильником тока, если он включён в сеть напряжением u = 220 В. КПД кипятильника = 90%. Удельная теплоёмкость воды c 4200 Дж/(кгК).

1. Масса воды и разность температур:

2. Закон сохранения энергии при нагревании воды:

225. Какой силы ток потребляет электрический кипятильник ёмкостью V = 10 л, если при КПД = 80%, в нём нагревается вода от t = 20 0С до закипания за 30 мин. Напряжение питания кипятильника стандартное u = 220 В. Удельная теплоёмкость воды с = 4200 Дж/(кгК).

1. Масса воды и разность температур:

2. Закон сохранения энергии при нагревании воды:

226. Определить массу воды, которая должна пройти через плотину гидроэлектростанции высотой h = 20 м, чтобы обеспечить в течение = 1 ч дом, рассчитанный на напряжение u = 220 В при силе тока I = 120 А при КПД электростанции = 30%.

227. ЭДС источника = 2 В, внутреннее сопротивление r = 1 Ом. Определить силу тока в цепи, если КПД источника = 0,75.

1. Рассмотрим источник тока с заданной величиной ЭДС и внутренним сопротивлением r нагруженный на внешнее сопротивление R. В соответствии с законом Ома для полной цепи на сопротивлении будет выделяться активная электрическая мощность Nа:

2. Для выяснения величины максимально возможной активной мощности Na(max) будем изменять величину внешнего сопротивления до величины Rm. Математически это означает определение экстремума функции Na =f(R) путём её дифференцирования по сопротивлению и приравнивания производной к нулю, стандартная процедура нахождения экстремума 3. Так как R и r всегда положительные величины, то условие выполняется при r = Rm. Мощность, выделяемая во внешней цепи, достигает возможно большего значения при равенстве внутреннего источника тока и внешнего сопротивления. Сила тока в этом режиме составит:

4. Максимально возможная сила тока в цепи будет иметь место при R = 0, т.е. в режиме короткого замыкания клемм источника тока:

5. Наибольшее значение мощности из уравнения при этом составит:

6. Как видно из полученных выше уравнений часть мощности источника рассеивается на его внутреннем сопротивлении. Естественно, что при r = (идеальный источник тока) такой ситуации не возникает. Для реальных же источников целесообразно ввести, исходя из «не производственных» потерь, понятие коэффициента полезного действия. Если мощность, рассеиваемую на самом источнике определить как:

то полная мощность будет равна:

7. Коэффициент полезного действия источника тока при такой постановке вопроса определится традиционно:

8. Очевидно, что при r 0 КПД источника будет всегда меньше единицы.

Коэффициент полезного действия источника тока зависит от величины внутреннего и внешнего сопротивлений, его величину можно записать следующим образом:

9. Более строгий вывод уравнения = f(R,r) делается на основе анализа энергетических соотношений. Рассмотрим условия работы источника тока, замкнутого на внешнее сопротивление. Ток в цепи определяется законом Ома, умножим обе части этого уравнения на 10. Мощность, выделяющаяся на нагрузке, считается полезной Полная мощность, выделяемая источником 11. Коэффициент полезного действия источника тока определяется в виде отношения полезной мощности к полной мощности, т.е.

что подтверждает сделанные ранее предположения. Из уравнения очевидно, что величина определяется исключительно соотношением между внешним сопротивлением и внутренним сопротивлением.

12. На рис. 27.2 приведены зависимости: полной мощности (кривая 1), полезной мощности (кривая 2) и коэффициента полезного действия (кривая 3) в функции величины внешнего сопротивления. Полная мощность и сила тока имеют максимальное значение при R = 0, т.е. в режиме короткого замыкания. При этом равРис. 227.2. Параметры источника тока ны нулю полезная мощность и коэффициент полезного действия.

При R = r полная мощность и ток равны половине своих максимальных значений. Коэффициент полезного действия источника равен 0,5. Полезная мощность (кривая 2) достигает своего максимального значения.

13. Возвращаясь к условию задачи, воспользуемся уравнение КПД для определения внешнего сопротивления:

14. Подставим значение внешнего сопротивления в уравнение закона Ома для полной цепи:

228. Чему равен КПД источника при силе тока I = 2А, если известно, что ток короткого замыкания Imax = 10 А?

1. Образуем систему трёх уравнений с тремя неизвестными, r и R:

229. Определить силу тока короткого замыкания батареи, если при силе тока I1 = 1 А, она отдаёт во внешнюю цепь мощность N1 = 10 Вт, а при силе тока I2 = 2 А отдаёт во внешнюю цепь мощность N2 = 15 Вт.

1. Внешние сопротивления:

2. Внутреннее сопротивление источника:

3. ЭДС источника:

4. Сила тока короткого замыкания:

230. Определить сопротивление цепи, если все резисторы одинаковые и имеют каждый сопротивление R.

1. Полагая, что цепь рассматривается применительно к постоянному току, конденсатор можно исключить, т.е. он представляет разрыв цепи. В этом случае сопротивление определится как:

231. Расставить полюса на катушке электромагнита.

232. Приведена электрическая цепь электромагнита. Указано положение северного полюса. Определить знак заряда верхней клеммы.

233. Определить направление силы Ампера, действующей на прямолинейный проводник 3 4.

1. Направление силы Ампера определяется как результирующая векторного произведения:

на практике используется правило буравчика или правило левой руки: если четыре вытянутых пальца левой руки расположить по направлению тока, так чтобы вектор магнитной индукции входил в раскрытую ладонь, то отведённый в сторону большой палец укажет направление силы Ампера.

234. В пространство между полюсами постоянного магнита помещён прямолинейный проводник с током. Определить направление силы Ампера, действующей на проводник.

235. Проводник длиной l = 0,5 м и массой m = 0,1 кг, расположенный перпендикулярно вектору индукции магнитного поля, при пропуск4ании по нему тока силой I = 4 А приобрёл ускорение а = 5 м/с. Чему равна индукция магнитного поля. Силой тяжести пренебречь.

236. Горизонтальные рельсы находятся на расстоянии l = 0,4 м друг от друга. На рельсах лежит стальной стержень массой m = 0,5 кг. По стержню пропускают постоянный ток силой I = 50 А. Какой должна быть величина магнитной индукции перпендикулярного плоскости рельсов магнитного поля, чтобы при коэффициенте трения = 0,2 стержень пришел в движение?

237. Участок проводника длиной l = 0,2 м находится в магнитном поле с индукцией В = 2,510 2 Тл. Сила Ампера при перемещении проводника на х = 8 см в направлении своего действия совершает работу А = 410 3 Дж. Чему равна сила тока, протекающего по проводнику? Проводник расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции.

238. Участок проводника длиной l = 0,1 м находится в магнитном поле.

Сила тока, протекающего по проводнику, I = 10 А. При перемещении проводника на х = 8 см в направлении действия силы Ампера она совершила работу А = 410 3 Дж. Проводник расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции. Чему равна индукция магнитного поля?

239. С какой скоростью вылетает -частица из радиоактивного ядра, если она, попадая в однородное магнитное поле с индукцией В = 2 Тл перпендикулярно его силовым линиям, движется по дуге окружности r = 1 м? Масса частицы m = 6,710 27 кг, заряд -частицы q = 3,210 19 Кл.

240. Заряженная частица, двигаясь в магнитном поле по дуге окружности r = 2 см, прошла через свинцовую пластину, расположенную на пути частицы.

Вследствие потери энергии частицей радиус кривизны траектории стал равным r2 = 1 см. Во сколько раз уменьшилась кинетическая энергия частицы?

241. Протон движется по окружности в однородном магнитном поле с индукцией В = 110 3 Тл. Определить период обращения протона. Заряд протона равен qp 1,610 19 Кл, масса протона mp 1,6710 27 кг.

242. Как меняется радиус траектории электрона, движущегося в однородном магнитном поле перпендикулярно вектору магнитной индукции, при уменьшении его кинетической энергии в 4 раза?

243. Проволочная рамка с активным сопротивлением R = 2 кОм помещена в магнитное поле. Магнитный поток через рамку ФВ = 8 Вб равномерно меняется за t = 210 3 с. Чему равна сила тока в рамке?

244. В витке, выполненном из алюминиевого провода длиной l = 0,1 м и площадью поперечного сечения s = 1,410 6 м2, скорость изменения магнитного потока = 10 мВб/с. Определить силу индукционного тока. Удельное электрическое сопротивление алюминия R = 2,810 8 Омм.

245. Квадратная рамка со стороной l = 6,8 см, сделанная из медной проволоки с площадью поперечного сечения s = 10 6 м2, помещена в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Индукция магнитного поля равномерно изменяется на ФВ = 210 3 Тл за t = 0,1 с. Удельное сопротивление меди R = 1,710 8 Омм. Чему равна сила тока в рамке?

1. Две стороны рамки будут расположены перпендикулярно силовым линиям поля, а две другие параллельно, поэтому в них ЭДС индукции наводиться не будет:

246. Замкнутая катушка состоящая из N = 100 витков площадью s = 10 3 м помещена в однородное магнитное поле, перпендикулярно её оси. При изменении магнитного поля на В = 0,1 Тл за t = 0,1 с в катушке выделяется Q = 0,002 Дж тепла. Чему равно сопротивление катушки?

1. ЭДС индукции, возникающей в катушке:

2. Выделившееся тепло в соответствии с законом Джоуля Ленца:

247. Из провода длиной l = 2 м сделан квадрат, который расположен горизонтально. Какой электрический заряд пройдёт по проводнику, если его потянуть за две диагонально противоположные вершины, чтобы он сложился? Сопротивление провода R = 0,1 Ом. Вертикальная составляющая магнитного поля Земли В 510 5 Тл.

1. Изменение площади квадрата при его стягивания в линию:

2. ЭДС индукции, возникающей при изменении магнитного потока за счёт изменения площади контура:

248. Проводник длиной l = 0,5 м движется в однородном магнитном поле со скоростью v = 4 м/с перпендикулярно силовым линиям. Найти разность потенциалов, возникающую на концах проводника, если модуль вектора магнитной индукции В = 8 мТл.

1. ЭДС индукции в данном случае возникает вследствие изменения потока магнитной индукции при изменении площади воображаемого контура:

2. Значение ЭДС индукции (разности потенциалов на концах проводника):

249. Самолёт с размахом крыльев l = 15 м и мощностью двигателя N = МВт летит горизонтально с постоянной скоростью. Определить силу тяги двигателей, если между концами крыльев наводится ЭДС индукции i = 0,3 В. Вертикальная составляющая вектора индукции магнитного поля Земли составляет 1. Скорость самолёта:

250. ЭДС индукции на концах крыльев самолёта:

250. Круговой контур площадью s = 0,1 м2 помещён в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл. Плоскость контура перпендикулярна направлению магнитного поля. Сопротивление контура R = 2 Ом. Какой заряд протечёт по контуру при его повороте на = 1200?

1. Изменение площади контура при его повороте на угол :

2. ЭДС индукции, возникающая при поворачивании контура:

251. Определить максимальный магнитный поток через рамку, вращающуюся в однородном магнитном поле с частотой = 10 Гц, если максимальная ЭДС возникающая в рамке i = 3 В.

252. Круглая рамка вращается в однородном магнитном поле вокруг оси, проходящей через её диаметр и перпендикулярно вектору индукции. Найти максимальную величину ЭДС индукции m, возникающей в рамке, если её площадь s = 0,2 м2, угловая скорость рамки = 50 рад/с, а величина индукции магнитного поля В = 0,1 Тл.

тока от времени в электрической цепи, индуктивность которой L = 210 3 Гн. Определить модуль среднего значения ЭДС самоиндукции в интервале времени от t1 = 10 c Рис. 253. Зависимость i = f(t) тока в цепи не изменяется, поэтому:

254. Как изменится магнитный поток через катушку, если при увеличении индуктивности энергия магнитного поля увеличилась в три раза?

1. Магнитный поток, создаваемый током I в контуре индуктивностью L:

2. Энергия магнитного поля:

255. В катушке сила тока равномерно увеличивается со скоростью = А/с. При этом в ней возникает ЭДС самоиндукции si =20 В. Какова энергия магнитного поля катушки при силе тока I = 5 А?

1. Индуктивность катушки:

2. Энергия магнитного поля катушки:

256. На какое расстояние по горизонтали переместится частица массой m = 1 мг и заряд q = 2 нКл, за время = 3 с в однородном магнитном поле напряжённостью Е = 50 В/м, если начальная скорость частицы равна нулю? Действием силы тяжести пренебречь.

1. Ускорение частицы:

2. Пройденное из состояния покоя расстояние:

257. Пылинка, имеющая положительный заряд q = 10 11 Кл, влетела в горизонтальное электрическое поле вдоль его силовых линий с начальной скоростью v0 = 0,1 м/с и переместилась на расстояние х = 4 см. Чему равна масса пылинки, если её скорость увеличилась на v = 0,2 м/с при напряжённости поля Е = 105 В/м. Действием силы тяжести пренебречь.

1. Ускорение пылинки в электрическом поле:

2. Масса частицы:

258. Горизонтально расположенная, положительно заряженная пластина создаёт вертикально направленное однородное электрическое поле напряжённостью Е = 105 В/м. С высоты h = 0,1 м на пластину падает шарик массой m = 410 2 кг, имеющий отрицательный заряд q = 10 6 Кл и начальную скорость v0 = 2 м/с, направленную вертикально вниз. Какую энергию передаёт шарик пластине при абсолютно неупругом ударе?

1. Ускорение, с которым падает шарик на пластину:

2. Скорость шарика в момент касания пластины 3. Кинетическая энергия, переданная пластине при неупругом столкновении:

259. Три концентрические равномерно заряженные сферы радиусом 10, 20, и 30 см несут заряды +q, 0 и q, соответственно. В каждой сфере имеется маленькое по диаметру отверстие, которые расположены на одной прямой, проходящей через центр сфер О, перпендикулярно их поверхностям. Вдоль этой линии из точки А, расположенной на расстоянии 40 см от центра сферы летит электрон, пролетает сквозь отверстия и оседает на стенке в точке В. Указать в сантиметрах суммарную длину отрезка, на котором меняется скорость электрона при полёте из тоски А в точку В.

электрическое поле, напряжённость которого изменяется обратно пропорционально квадрату координаты, что будет менять скорость.

Рис. 259. Полёт электрона в заряженных сферах 4. Участок х3 характеризуется действием на электрон ускоряющего поля, скорость его будет увеличиваться.

5. На участке х4 напряжённость поля в точке О меняет соё направление, поэтому суммарное изменение скорости будет равно нулю.

6. Таким образом скорость изменяется на участках х1 и х3, суммарная протяжённость которых составит х = 20 см.

260. Точечный заряд q создаёт на расстоянии R электрическое поле напряжённостью Е0 = 62,5 В/м. Три концентрические сферы радиусами R, 2R и 3R несут равномерно распределённые по их поверхности заряды q1 = +2q, q2 = q, и q3 = +q, соответственно. Чему равна напряжённость поля в точке А, отстоящей от общего центра сфер на расстоянии RA = 2,5 R?

1. Напряжённость поля от заданного заряда, расположенного в центре сфер:

2. Поскольку заряд сфер сосредоточен на их поверхности, то сферы, проводящие и их можно рассматривать как соответствующие точечные заряды, расположенные в центре.

3. У проводящей сферы напряжённость Рис. 260. Заряженные сферы поля при r R равна нулю, поэтому внешняя сфера при дальнейшем рассмотрении может не учитываться.

4. В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей результирующая напряжённость в точке А определится в виде:

261. Проводящий шар радиусом r = 5 см с зарядом q = 4 нКл окружён сферической оболочкой из диэлектрика радиусом R = 10 см с диэлектрической проницаемостью вещества = 2. Найти напряжённости поля на внутренней (1) и внешней (2) поверхностей диэлектрика.

1. Напряжённость поля в точке 1, на поверхности заряженной сферы (точка лежит в диэлектрической среде):

2. Напряжённость поля в точке 2:

262. Конденсатор, заряженный до напряжения U1 = 200 В, соединяют разноимёнными обкладками с конденсатором такой же ёмкости, но заряженным до напряжения U2 = 400 В. Определить установившееся напряжение батареи.

263. Конденсатор, электрическая ёмкость которого С1 = 5 мкФ, заряжен так, что разность потенциалов между его пластинами U1 = 80 В. Второй конденсатор, электрическая ёмкость которого С2 = 10 мкФ, имеет разность потенциалов между пластинами U2 = 50 В. Разноимённо заряженные пластины попарно соединяют. Чему станет равен модуль разности потенциалов?

1. Заряды конденсаторов до соединения:

2. Заряд батареи после соединения клемм разноимёнными полюсами:

3. Электрическая ёмкость параллельно соединённых конденсаторов:

4. В соответствии с законом сохранения заряда:

264. Между двумя параллельными, вертикально расположенными диэлектрическими пластинами создано однородное электрическое поле, напряжённостью Е = 2105 В/м, направленное слева направо. Между пластинами помещён шарик на расстоянии d = 1,5 см от левой пластины и b = 2,5 см от правой пластины. Заряд шарика равен q = 0,2 нКл, масса шарика m = 20 мг. Шарик освобождают, и он начинает двигаться. На сколько успеет сместиться шарик по вертикали до удара об одну из пластин?

Рис. 264. Вертикальное смещение в электрическом поле 1. Так как шарик заряжен отрицательно, то он под действием силы Кулона | FK |= qE будет двигаться в направлении противоположном направлению векr тора напряжённости электрического поля E (рис. 264). До удара о левую пластину шарик пролетит расстояние d с ускорением:

2. Время полёта шарика до удара о пластину:

3. По вертикали шарик будет двигаться с ускорением свободного падения g, поэтому его координата за время изменится на величину y:

265. На сколько градусов нагреется вода, если через кипятильник пройдёт электрический заряд q = 100 Кл? Напряжение на нагревателе U = 210 В, масса воды m = 500 г, удельная теплоёмкость воды с = 4200 Дж/(кгК).

266. К однородному медному цилиндрическому проводнику длиной l = м приложили разность потенциалов U = 1 В. Определить промежуток времени, в течение которого температура проводника изменится на Т = 10 К. Изменения сопротивления проводника и рассеяние тепла при нагревании не учитывать. Плотность меди 1 = 8900 кг/м3, удельное электрическое сопротивление меди 2 = 1,710 8 Омм, удельная теплоёмкость меди с = 380 Дж/(кгК).

1. Масса проводника:

2. Сопротивление проводника:

3. Сохранение энергии применительно к нагреванию проводника:

267. При замыкании на сопротивление R = 5 Ом батарея даёт ток силой I1 = 1 А. Сила тока короткого замыкания I КЗ = 6 А. Какую наибольшую полезную мощность может дать батарея?

1. Наибольшее значение мощности (см. задачу 2.227) составит:

2. Ток короткого замыкания:

3. Максимальная полезная мощность:

268. Два вертикально расположенных стержня, имеющие длину L = 1 м и диаметр d = 1 см сопротивление на единицу длины = 110 5 Омм, подсоединены через идеальный амперметр к источнику ЭДС = 1,5 В и внутренним сопротивлением r0 = 0,05 Ом. Скользящие контакты соединены с сопротивлением R = 0,1 Ом, которое в поле тяжести g начинает соскальзывать вдоль них из верхней точки вниз без нарушения контакта, как показано на рисунке. В пренебрежении эффектами, связанными с магнитным полем, определить какое значение тока I покажет амперметр через время = 0,5 с после начала движения? Силу трения не учитывать.

Рис. 268. Скольжение сопротивления сопротивление за время 2. Определим электрическое сопротивление одного отрезка стержня длиной 3. Электрическая схема установки, таким образом представит собой три последовательно включенных внешних сопротивления: R0 = R + 2r и внутреннее сопротивление источника r0. Закон Ома для полной цепи в этом случае запишется так 269. К источнику с ЭДС = 9 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом подключили параллельно резистор с сопротивлением R = 8 Ом и плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого d = 210 3 м. Какова напряжённость электрического поля между пластинами конденсатора?

Рис. 269. Напряжённость электрического поля конденсатора 270. Найти электрический заряд конденсатора с С = 1 мкФ, если внутреннее сопротивление источника тока r = 2 Ом, его ЭДС = 24 В, R = 10 Ом 1. Сила тока, протекающего через резистор:

2. Падение напряжения на резисторе:

271. Конденсатор ёмкостью С = 2 мкФ присоединён к источнику постоянного тока с ЭДС = 3,6 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом. Внешняя цепь состоит из резисторов R1 = 4 Ом, R2 = 7 Ом, и R3 = 3 Ом. Каков заряд левой обкладки конденсатора?

1. Для постоянного тока конденсатор представляет собой разрыв цепи, поэтому сила тока через резисторы R1 и R3, включенные последовательно с источником тока, определится как:

2. Падение напряжения на резисторе R3:

3. Заряд пластин конденсатора:

272. Проволочный виток, имеющий площадь s = 10 см2, разрезан в некоторой точке, и в разрыв включён конденсатор ёмкостью C = 10 мкФ. Конструкция помещена в магнитное поле, силовые линии которого перпендикулярны плоскости витка. Индукция магнитного поля равномерно убывает за t = 0,2 с на В = 0,01 Тл. Определить заряд на конденсаторе.

5. Колебания и волны 273. Первый математический маятник совершает колебания с частотой = 6 Гц. Длина нити второго маятника больше длины первого в =3,24 раза. Чему равен период колебаний второго маятника?

1. Длина первого маятника:

2. Период колебаний второго маятника:

274. Тело массой m = 0,3 кг подвешено к двум параллельным пружинам с коэффициентами жёсткости k1 = 500 Н/м и k2 = 250 Н/м. Определить период собственных колебаний системы.

1. Пружины соединены параллельно, их деформация одинакова:

2. Сила, действующая на тело со стороны пружин, определится в виде суммы:

3. Период колебаний системы:

275. Пружинный маятник жёсткостью k = 2103 Н/м совершает гармонические колебания. Масса груза m = 510 2 кг. Максимальная скорость груза vm = 20 м/с. Определить амплитуду колебаний маятника.

1. Закон сохранения энергии для гармонически колеблющегося тела:

276. Задан график изменения кинетической энергии в функции времени колеблющегося гармонически тела. Чему равна полная механическая энергия в момент времени, соответствующий точке А графика?

1. Получим дифференциальное уравнение колебаний маятника на основе анализа движения с энергетических позиций. Это удобно сделать на примере частицы известной массы, находящейся в потенциальной яме.

2. Наглядной моделью такой системы может служить металлический шарик внутри криволинейной поверхно- Рис. 276.1. Энергия колебаний сти (рис.275.2). При смещении массы из состояния равновесия из положения 1 в положение 2 система приобретает запас потенциальной энергии. Если шарик считать материальной точкой, а положение статического равновесия 1 совместить с минимальным значением потенциальной энергии, то 3. Если далее шарик отпустить без начальной скорости, то он начнёт двигаться в сторону минимизации потенциальной энергии, причём по мере опускания шарика относительно нулевого уровня потенциальной энергии, будет происходить её трансформация в кинетическую энергию.

4. В точке 1 потенциальная энергия станет равной нулю, шарик будет обладать только кинетической энергией, которая затем снова начнёт преобразовываться в потенциальную энергию.

5. В точке 3 энергия шарика снова станет только потенциальной. Если пренебречь потерями на сопротивление и трение, то шарик будет бесконечно долго перемещаться внутри потенциальной ямы, совершая гармонические собственные незатухающие колебания.

6. Применительно к массе, скреплённой с горизонтальной пружиной, изменение потенциальной энергии определится уравнением:

величина х в конкретном случае зависит от положения массы, которая будет совершать движение в пределах потенциальной ямы. Потенциальную яму любой формы можно представить в виде функции смещения, аппроксимируя её степенным рядом:

При малых отклонениях х2 >>х3 >>х4, с учётом этого П(x ) ax2.

7. В рассматриваемом случае, при растяжении и сжатии пружины, её потенциальная энергия будет равна:

8. Проекция действующей силы для консервативных механических систем связана с потенциальной энергией известным соотношением:

9. Уравнение совпадает со значением возвращающей силы. Перепишем уравнение следующим образом:

или окончательно 10. Рассмотрим далее энергетические особенности гармонических незатухающих собственных колебаний.

Отметим, что упругая сила и сила тяжести относятся к консервативным силам, работа которых не зависит от вида траектории, а определяется только положением начальной и конечной точки, т.е. для массы, соединённой с горизонтальной пружиной можно записать 11. Полная энергия колеблющейся массы должна оставаться постоянной, т.е. справедлив закон сохранения энергии. В процессе колебаний происходит преобразование потенциальной энергии в кинетическую энергию. На дне потенциальной ямы масса обладает только кинетической энергией, которая имеет максимальной значение. В крайних положениях массы энергия имеет потенциальный характер 12. Установим закон изменения кинетической и потенциальной энергии в случае гармонического колебания, для этого запишем уравнения кинетической и потенциальной энергии:

13. Заменяя в уравнении потенциальной энергии k на m2, и складывая уравнения, получим:

14ю Периодичность изменения энергии установим, переписав уравнения кинетической и потенциальной энергии в соответствии с тригонометрическими правилами:

очевидно, что кинетическая и потенциальная энергии изменяются с частотой 2, в два раза превышающей частоту колебаний. В моменты амплитудного значения смещения кинетическая энергия обращается в нуль, а полная энергия колебаний равна наибольшему значению потенциальной энергии (рис. 276.3) 15. При прохождении системой положения равновесия при х = 0, полная энергия является кинетической 16. Разумеется, что в отсутствие сопротивления значение максимальной кинетической энергии совпадает со значением максимальной потенциальной энергии колебательной системы.

17. Средние значения кинетической < > равны половине полной энергии 18. Возвращаясь к рис. 276.1 отменим, что на основании приведенных выше сведений:

277. Приведена зависимость возвращающей силы установившихся колебаний маятника (резонансная кривая). Определить отношение амплитуды установившихся колебаний маятника на резонансной частоте к амплитуде колебаний на частоте = 0,5 Гц.

1. На практике часто требуется колебания поддерживать, что возможно при сообРис. 277.1. Резонансная кривая щении колебательной системе энергии от внешнего источника. Такие колебания классифицируются как вынужденные колебания.

2. Рассмотрим колебательную систему в виде массы, соединённой с вертикально расположенной пружиной (рис. 277.2). Помимо силы сопротивления к массе приложена внешняя периодическая сила F(t).

Уравнение движения в этом случае запишется следующим образом:

3. Рассмотрим случай, когда внешняя возбуждающая сила изменяется по гармоническому закону с частотой, например, по закону косинуса:

4. Уравнение движения в этом случае перепишется в виде:

5. Введём следующие обозначения:

что позволяет уравнение движения переписать в виде 5. Неоднородное дифференциальное уравнение имеет решение в виде суммы общего решения одноимённого однородного уравнения х1 и частного решения х2 неоднородного уравнения, причём:

6. Первый член уравнения x(t) характеризует свободные затухающие колебания. Постоянные интегрирования С1 и С2, как обычно, определяются путём подстановки начальных условий х(0) и x (0), имеющих место при t = 0. Второй член этого уравнения описывает стационарные вынужденные колебания, происходящие с частотой вынуждающей внешней силы с амплитудой, определяемой уравнением:

7. Сдвиг фазы колебаний относительно внешней силы равен:

особенности поведения амплитуды вынужденных колебаний в зависимости от соотношения частот возмущающей силы и собственных колебаний.

10. Целесообразно выделить три характерных диапазона частот:

Область низких частот: > 0. Начальная фаза в этом случае.

Колебания происходят в противофазе с вынуждающей силой. Амплитуда с ростом частоты убывает по закону:

Область резонанса: 0. В отсутствие сопротивления амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает. В реальных системах увеличение амплитуды будет ограничиваться диссипативными потерями.

11. Частоту вынужденных колебаний, при которой наблюдается явление резонанса, называют резонансной частотой:

при 2> 3.

14. Явление резонанса в одинаковой степени типично как для механических, так и для электрических и электромеханических колебательных систем и поэтому играет важную роль в самых разнообразных отделах физики и техники.

Рис. 277.6. Процесс установления вынужденных колебаний при 0 = 15. Характер резонанса зависит от свойств как самой колебательной системы, в которой происходит явление, так и от свойств внешней возмущающей силы, действующей на систему. Особенно сложный характер явление резонанса имеет в системах с распределёнными параметрами. Например, в струне, резонанс сохраняет свои типичные свойства, однако имеются и отличительные особенности. Система обладает множеством степеней свободы, т.е. целым набором собственных частот. Резонанс может наступать всякий раз, когда одна из гармоник внешней силы совпадает с одной из собственных частот.

16. Искомое отношение амплитуд по данным резонансной кривой, приведенной на рис. 277.1 определится как:

278. Через = 3 с после вспышки молнии наблюдатель услышал раскаты грома. На каком расстоянии от него ударила молния, если скорость звука в воздухе с1 = 330 м/с?

1. Свет распространяется в воздухе со скоростью с1 3108 м/с, с2 >> c1:

279. На расстоянии Х = 400 м от наблюдателя рабочие вбивают сваи с помощью копра. Каково время между видимым ударом молота о сваю и звуком удара, услышанным наблюдателем, если скорость звука с1 = 340 м/с?

1. Свет распространяется в воздухе со скоростью с1 3108 м/с, с2 >> c1:

280. На каком расстоянии от корабля находится айсберг, если ультразвуковой импульс гидролокатора, посланный с борта и распространяющийся в воде со скоростью v = 1500 м/с, вернулся через время = 0,4 с?

281. Амплитудное значение заряда на конденсаторе равно Qm = 2 мкКл.

Чему равно значение заряда на конденсаторе через время = Т/6 после достижения этого значения? Колебания протекают по синусоидальному закону и начальная фаза равна нулю.

282. Колебания напряжения на конденсаторе в цепи переменного тока описываются уравнением:

где все величины выражены в СИ. Найти напряжение на конденсаторе через время t = Т/6 c после начала колебаний.

283. Задан график зависимости силы тока в металлическом проводнике от времени. Определить частоту колебаний силы тока.

1. По заданному графику определяем период колебаний силы тока:

284. Во сколько раз изменится частота колебаний в LC-контуре, если расстояние между пластинами конденсатора заполнить жидкостью с диэлектрической проницаемостью = 9?

1. В случае плоского конденсатора:

2. В соответствии с уравнением Томсона для периода колебаний в LCконтуре:

3. Изменение частоты колебаний:

285. Во сколько раз изменится частота колебаний в LC-контуре, если зазор между пластинами воздушного плоского конденсатора увеличить в 4 раза?

1. В случае плоского конденсатора:

2. В соответствии с уравнением Томсона для периода колебаний в LCконтуре:

3. Изменение частоты колебаний:

286. Во сколько раз изменится собственная частота колебаний в колебательном контуре, если параллельно конденсатору подключить ещё три таких же конденсатора?

1. Ёмкости конденсаторов:

2. Отношение частот:

287. Заряд на пластинах LC-контура изменяется в соответствии с уравнением:

Записать уравнение зависимости силы тока от времени.

288. Изменения силы электрического тока в LC-контуре протекает по закону:

Чему равна частота колебаний заряда на конденсаторе контура?

289. В идеальном колебательном контуре ёмкость конденсатора С = 2 мкФ, амплитуда напряжения на нём um = 10 В. Определить максимальное значение энергии магнитного поля катушки.

290. Колебательный контур содержит конденсатор С = 8 пФ и индуктивность L = 0,2 мГн. Чему равно максимальное напряжение на обкладках конденсатора, если максимальная сила тока im = 40 мA?

291. Ёмкость конденсатора, включенного в цепь переменного тока С = мкФ. Уравнение колебаний напряжения на конденсаторе имеет вид:

Определить амплитуду силы тока.

292. Индуктивность катушки L = 0,15 Гн. Уравнение колебаний силы тока в катушке имеет вид:

Определить амплитуду напряжения на катушке.

293. Трансформатор понижает напряжение с U1 = 240 В до U2 = 120 В. Найти число витков во вторичной катушке, если первичная обмотка содержит N1 = 80 витков.

294. Трансформатор понижает напряжение с u1 = 240 В до u2 = 12 В. Во сколько раз действующее значения силы тока в первичной катушке отличается от действующего значения силы тока во вторичной обмотке?

295. Колебательный контур радиоприёмника настроен на радиостанцию, работающую на волне 1 = 100 м. Как нужно изменить ёмкость колебательного контура, чтобы он был настроен на длину волны 2 = 25 м? Индуктивность остаётся неизменной.

296. Контур радиоприёмника настроен на волну = 15 м. Как нудно изменить индуктивность катушки колебательного контура приёмника, чтобы он стал настроенным на волну с = 30 м при неизменной ёмкости конденсатора контура?

297. Колебательный контур радиоприёмника содержит конденсатор, ёмкостью С = 10 нФ. Какой должна быть индуктивность контура, чтобы обеспечить приём волны длиной = 300 м? Скорость распространения электромагнитных волн принять равной с 3108 м/с.

298. Период колебаний математического маятника в неподвижном лифте Т1 = 1 с. С каким ускорением движется лифт вниз, если период колебаний маятника стал равным Т2 = 1,1с?

299. При какой скорости поезда маятник с длиной нити подвеса l = 1 м, подвешенный в вагоне, раскачивается наиболее сильно, если длина рельса Х = 30 м?

1. Маятник будет раскачиваться наиболее сильно, когда частота собственных колебаний маятника будет совпадать с частотой внешней возмущающей силы, возникающей при прохождении стыков (см. зад. 277):

300. Максимальный заряд конденсатора в колебательном контуре qm = мкКл. Индуктивность катушки L = 3 мГн, электроёмкость конденсатора С = мкФ. В некоторый момент сила тока в колебательном контуре i = 0,024 А. Определить заряд конденсатора в этот момент времени.

1. Максимальное значение энергии колебательного контура:

2. Магнитная составляющая энергии при заданном значении силы тока 3. Энергия электрического поля конденсатора для этого момента времени:

301. В идеальном колебательном контуре амплитуда колебаний силы тока в катушке индуктивности im = 5 мА, а амплитуда напряжения на конденсаторе um = 2 В. Определить напряжение на конденсаторе в тот момент времени, когда сила тока i = 3 мА, 1. На основании закона сохранения энергии для идеального колебательного контура:

2. Отношение L/C определим, воспользовавшись условием равенства максимальных значений электрической и магнитной составляющей энергии:

3. Напряжение на конденсаторе в заданный момент времени:

302. Заряд конденсатора идеального колебательного контура состоящего из катушки индуктивности L = 25 мкГн и конденсатора, при свободных колебаниях изменяется по закону:

Определить максимальную энергию конденсатора.

1. Амплитудное значение силы тока в контуре:

2. Из условия равенства максимальных значений магнитной и электрической составляющих энергии в идеальном колебательном контуре:

303. Определить период электромагнитных колебаний в LC-контуре, если амплитуда силы тока im, а амплитуда электрического заряда на пластинах конденсатора qm.

304. Пружинный маятник совершает гармонические колебания с амплитудой А = 2 см. Полная энергия колебаний Е = 0,3 Дж. При каком смещении от положения равновесия на шарик будет действовать возвращающая сила F = 22,5 Н?

1. Возвращающей силой для пружинного маятника является сила упругости пружины:

2. Смещение при заданном значении возвращающей силы:

305. Электрическая лампочка, соединённая с пружиной совершает вертикальные колебания с постоянной частотой = 1 Гц и амплитудой А = 20 см.

При нахождении лампочки в крайнем нижнем и крайнем верхнем положении кажется, что она вспыхивает ярче, несмотря на то, что через нить накала течёт постоянный по величине ток. Почему?

1. Запишем уравнения смещения и скорости при гармонических свободных колебаниях и построим графики этих зависимостей 2. Из системы уравнений видно, что в Рис. 305. Колебания лампочки на пружине момент времени 1 отклонение лампочки от положения равновесия будет максимальным, в то время как скорость лампочки (точка 2* нижнего графика) будет равна нулю, другими словами, у наблюдателя будет создаваться впечатление что, лампочка на некоторое мгновение останавливается. В окрестностях точек 1*, 3* скорость лампочки будет иметь относительно малое значение.

3. Вычислим максимальное значение скорости 4. Когда смещение лампочки будет достигать значений х(t) = 0,95 А скорость лампочки будет равна 0,2 м/с.

6. Оптика 306. К потолку комнаты высотой Н = 4 м прикреплено светящееся панно лампа в виде круга диаметром d = 2 м. На высоте h = 2 м от пола параллельно ему расположен непрозрачный квадрат со стороной а = 2 м. Центр панно и центр квадрата лежат на одной вертикали. Найти минимальный линейный размер тени на полу.

1. Светящееся панно является протяженным источником света, поэтому в соответствии с принципом Ферма (свет распространяется из одной точки в другую по пути, для прохождения которого требуется минимальное время) на квадрат будет падать параллельный световой поток, поэтому минимальный размер тени на полу от квадрата будет равен размерам квадрата, т.е. х = а = 2 м.

307. Точечный источник света S находится над круглой непрозрачной пластиной на расстоянии а = 1 м от неё. Расстояние от пластинки до экрана b = 0,8 м, а диаметр тени на экране составляет d = 2,7 м. Определить радиус пластинки.

Рис. 307. Размер экрана 308. Какой наименьшей высоты h должно быть вертикальное плоское зеркало, чтобы мадам могла, не изменяя положения головы, видеть в нём себя в полный рост H? На каком расстоянии s от пола должен находиться нижний край зеркала? Зависит ли размер зеркала от расстояния между зеркалом и мадам?

Рис. 308. Отражение мадам в зеркале 3. Верхний край зеркала разместим на одной прямой с точкой С. Луч из С на зеркало перпендикулярен, т.е. отражение точки С в зеркале будет постоянным.

4.Минимальная высота зеркала, обеспечивающая отражение точки D будет иметь место, исходя из закона отражения, при 5. Из проведенных построений видно, что нижний край зеркала будет находиться от пола на расстоянии 6. При изменении расстояния L будет изменяться только угол падения и угол отражения, на размер зеркала этот параметр не влияет.

309. Наблюдатель приближается к плоскому зеркалу перпендикулярно его поверхности со скоростью v = 0,5 м/с. С какой скоростью приближается изображение к зеркалу? С какой скоростью изображение приближается к наблюдателю?

1. Построим изображение источника s, совместив его с глазом наблюдателя. Один луч направим перпендикулярно зеркалу mn, а второй под произвольным углом. Получим мнимое изображение s*, расположенное на расстоянии, равном расстоянию от зеркала до источника. Таким образом, изображение находится на расстоянии 2х от наблюдателя.

2. Пусть наблюдатель за время t переместится в направлении зеркала на расстояние х, скорость при этом определится как 3. Изображение при этом переместится на в два раза большее расстояние Другими словами, к зеркалу изображение приближается со скоростью v = 0,5 м/с, а к наблюдателю изображение приближается со скоростью v* = 1 м/с.

310. Какая часть изображения стрелки видна глазу?

1. Проводим луч из центра глаза через нижнюю кромку зеркала.

2. Строим луч отражённый от зеркала, который пересечёт стрелку на четверти её длины в точке S.

3. Глаз будет видеть изображение S* которое соответствует четверти длины стрелки, отсчитываемой от её начала. Рис. 310. Стрелка в зеркале Рис. 311. Преломление света 2. Угол падения луча равен углу его отражения, поэтому:

312. Расстояние от предмета до экрана l = 0,9 м. На каком расстоянии от предмета следует расположить линзу, оптическая сила которой D = 5 дптр, чтобы на экране получилось чёткое изображение предмета?

1. Введём обозначение где а искомое расстояние от предмета до линзы, b расстояние от линзы до экрана.

2. Запишем формулу линзы и выполним следующие преобразования 3. Введём в последнее уравнение величину l и разрешим полученное уравнение относительно расстояния а:

313. Предмет расположен на расстоянии а = 0,4 м от линзы с оптической силой D = 2 дптр. Определить расстояние b от линзы до изображения.

1. Из формулы тонкой собирающей линзы непосредственно следует:

314. Собирающая линза с фокусным расстоянием F = 0,1 м формирует мнимое изображение на расстоянии f = 0,15 м. На каком расстоянии l от этого изображения находится предмет?

1. Запишем формулу собирающей линзы для случая мнимого изображения 2. Разрешим это уравнение относительно искомого расстояния d потому что изображение предмета будет мнимым и увеличенным.

315. Главное фокусное расстояние рассеивающей линзы равно F = 12 см.

Изображение предмета находится на расстоянии f = 9 см от линзы. Чему равно расстояние от предмета до линзы?

316. Мнимое изображение предмета в рассеивающей линзе находится на расстоянии в два раза меньшем, чем расстояние от линзы до предмета. Найти расстояние от линзы до изображения, если фокусное расстояние F = 50 см.

317. Расстояние от предмета до экрана, где получается чёткое изображение предмета l = 4 м. Изображение в 3 раза больше самого предмета. Найти фокусное расстояние линзы.

318. На экране с помощью тонкой линзы с фокусным расстоянием F = см получено чёткое изображение предмета с пятикратным увеличением. На каком расстоянии d от линзы находится предмет?

319. Высота изображения человека ростом h = 160 см на матрице профессионального полноформатного цифрового фотоаппарата равна H = 2 см. Найти оптическую силу объектива фотоаппарата, если человек сфотографирован с расстояния d = 9 м.

320. В стекле с показателем преломления n1 = 1,52 имеется сферическая полость радиусом R = 3 см, заполненная водой (n2 = 1,33). На полость падает параллельный пучок света. Определить радиус светового пучка, проникающего внутрь полости.

Рис. 320. Световой пучок в полости 321. На боковую грань равнобедренной призмы падает луч, параллельный основанию призмы. При каком условии, луч, пройдя призму, не изменит своего направления?

2. Закон отражения позволяет записать:

3. Если точка отражения от основания будет расположена на его середине, то вышедший луч не только сохранит направление вошедшего луча, но и будет лежать на его продолжении.

4. Определим, при каких значениях показателя преломления материала призмы такое явление будет возможным. Полное внутреннее отражение происходит при 5. Запишем соотношения между углами 6. Чтобы последнее соотношение выполнялось необходимо, чтобы:

7. Если использовать призму с = 90о, что чаще всего и делается на практике, то:

8. Последнее условие выполняется практически для всех сортов стекла. Поворотные призмы, они именно так называются, широко применяются в оптических устройствах, где необходимо переворачивать изображение, например в Рис. 3212.. Зеркальная фотокамера зеркальных фотокамерах и биноклях.

322. Дифракционная решётка имеет 120 штрихов на 1 мм. Найти длину волны монохроматического света, падающего на решётку, если первый максимум наблюдается под углом, причём sin = 0,06.

323.. Во сколько раз увеличится расстояние между соседними интерференционными полосами на экране в опыте Юнга, если зелёный светофильтр (1 = 500 нм) заменить красным фильтром (2 = 650 нм)?

2. В данном случае расстояния между полосами и ширина полос будут одинаковыми, поэтому 3. Расстояния между интерференционными полосами при использовании зелёного и красного светофильтра определятся как:

3. Количество штрихов, приходящихся на единицу длины 325. Какое число штрихов N0 на единицу длины имеет дифракционная решётка, если зелёная линия ртути ( = 546,1 нм) в спектре первого порядка наблюдается под углом = 19о8?

1. Запишем уравнение дифракционной решётки 2. Перепишем формулу с учётом взаимосвязи периода решётки d и числа штрихов, приходящихся на единицу длины откуда величина N0 определится как 326. На узкую щель шириной а = 20 мкм нормально падает параллельный пучок света ( = 500 нм). Найти ширину А изображения щели на экране, удалённом от неё на расстояние L = 1 м. В качестве ширины изображения принять расстояние между первыми дифракционными минимумами, по обе стороны от главного максимума освещённости.

1. Как видно из рис. 17. 2. При достаточной малости угла, а этому есть основания при сравнении а и L, можно тангенс заменить синусом 3. Запишем условие максимума интенсивности Imax и выразим sin при k = 4. С другой сторны 327. Безоблачным солнечным деньком, расположившейся на дне водолаз ростом h = 1,7 м увидел на спокойной поверхности воды отражение всех участков дна, расположенных от него на расстоянии х = 10 м и более. Определить глубину водоёма.

1. Рассмотрим луч падающий на поверхность раздела сред (вода воздух) под углом 0 полного отражения 2. Расстояние от водолаза до границы видимого участка дна определится как:

3. После преобразований:

328. Луч света направлен так, что испытывает полное внутренне отражение на границе воды и воздуха. Сможет ли этот луч выйти в воздух, если на поверхность воды налить прозрачное масло?

1. Показатель преломления воды принимается обычно равным n1 = 1,33, а показатель преломления, например, подсолнечного масла равен n3 = 1,47, т.е. угол т.е. если при заданном угле луч на проникает в воздух, то при покрытии поверхности воды слоем масла, луч из воды не проникнет в воздух, потому что 329. На дне сосуда, наполненного водой до высоты h, находится точечный источник света S. На поверхности воды плавает диск так, что его центр О находится над точечным источником света. При каком минимальном радиусе диска ни один луч не выйдет через поверхность воды? Показатель преломления воды n.

3.Если высоту слоя воды обозначить как h, а радиус диска через R, то из прямоугольного треугольника SOA следует, что:

4. Последнее уравнение представляет собой математическое условие не выхода луча в воздух 330. Высота сваи железнодорожного моста H = 10 м. Глубина водоёма h = 6 м. Какова длина тени сваи на дне водоёма, если солнечные лучи света падают под углом 40о к горизонту?

1. Угол падения лучей относительно нормали к поверхности воды 2. Поиск длины тени в данном случае сводится к определению длины отрезков х1 и х2.

Величину х1 можно определить из прямоугольного треугольника АОС в котором известен один из катетов и угол 3. Запишем далее закон преломления и определим величину угла преломления 4. Из прямоугольного треугольника ВОD определим величину х 5. Длина тени на дне водоёма 331. В дно озера и на берегу вбиты две вертикальные сваи высотой h = 1,5.м. Определить: а) зависимость между длинами их теней, образуемых солнечными лучами; б) длину тени на дне озера. Лучи Солнца падают на поверхности под углом = 30о. Глубина озера превышает длину сваи.

1. Длину береговой тени определим из прямоугольного треугольника ABC 2. Определим угол преломления 3. Определим длину тени в воде 4. Отношение длин теней в воздухе и воде 7. Специальная теория относительности 332. В результате аннигиляции электрона массой m и позитрона массой m образуется квант электромагнитного излучения. Какова максимальная энергия этого кванта?

1. В соответствии с уравнением Оливера Хевисайда:

333. При проведении опытов учёные обнаружили явление образования пар «электрон и позитрон». Чему равна минимальная суммарная энергия пар?

Энергия покоя электрона составляет Еe = 0,5 МэВ.

1. Позитрон является античастицей электрона: заряд +е, m 110 30 кг, поэтому позитрон имеет такую же энергию покоя, как и электрон.

2. Минимальная энергия пары будет равна суммарной энергии покоя частиц, т.е.

334. Звезда каждую секунду испускает излучение с суммарной энергией около = 181026 Дж/с. В результате этого масса звезды уменьшается на = Х1010 кг. Определить значение Х.

335. Куб ребро которого L0 = 1 м, движется по отношению к земному наблюдателю со скоростью v = 0,75c. Вектор скорости перпендикулярен двум противоположным граням куба. Определить объём куба относительно земного наблюдателя.

1. Основой современной теории относительности, в отличие от принципов относительности Галилея, является постулирование постоянства скорости света, как максимально возможной в Природе. Знаменитый Советский физик А.И.

Китагородский, предваряя изложение теории относительности, написал: «На первый взгляд принцип постоянства скорости света противоречит «здравому смыслу». Поэтому желательно, прежде чем мы начнем выводить следствия из теории относительности, указать непосредственные опытные доказательства его справедливости».

2. Вопрос необходимости доказательств поставлен Китайгородским вполне уместно, потому что, несмотря на доступность, свет как объект физического исследования является далеко неизученным в своих многочисленных нюансах, одни из которых является его скорость распространения.

3. Теория относительности, представленная на суд научной общественности Альбертом Эйнштейном, являлась, по сути, симбиозом работ двух знаменитых учёных, Лоренца и Пуанкаре.

4. В 1905 г. неизвестный до того в научных кругах Эйнштейн опубликовал работу «К электродинамике движущихся тел», объединившую идеи Лоренца и Пуанкаре. Основополагающим стержнем развиваемой теории был постулат о неизменности скорости света, в независимости от относительного движения систем отсчёта. Там говорилось: «… свет в пустоте всегда распространяется с определённой скоростью, не зависящей от движения, излучающего его тела». В соответствии с этим постулатом скорость света с 3108 м/с не должна зависеть от скорости источника и приёмника.

5. Такой постулат содержит одновременно два утверждения. Первое скорость света обладает определённой величиной. Второе скорость света не подчиняется классическому закону сложения скоростей 6. И если первое утверждение, с методологической точки зрения, не является необычным, то второе требует особого рассмотрения.

7. Дело в том, скорость, являясь одной из основных мер движения материальных объектов, по сути своей, представляет собой величину относительную.

Как следует из повседневного опыта, на что впервые обратил внимание Галилео Галилей, величина скорости зависит от режима движения системы отсчёта.

Другими совами, скорость одного и того же объекта может быть различной, будучи измеренной в разных системах отсчёта. Каждый замечал, что скорость встречного автомобиля несколько больше, чем скорость обгоняющего авто, при прочих равных условиях. Пассажир любого транспортного средства имеет нулевую скорость относительно системы отсчёта, связанной с движущимся прямолинейно и равномерно самолётом, автомобилем и т.д. Без указания системы отсчёта определение скорости теряет здравый смысл.

8. Отметим, что постоянной считается скорость, при которой наблюдаемый объект за равные промежутки времени имеет одинаковые перемещения. Закон геометрического сложения скоростей распространяется не только на тела, но и на другие материальные объекты. Так, например, скорость звука в неподвижной среде равна, примерно, 340 м/с, в случае движения источника упругих волн, скорость звука будет уже иной. Это очевидно и широко используемо в рамках классических представлений.

9. По не вполне понятным причинам, для скорости света сделано исключение. В эйнштейновском постулате предписывается считать скорость света с = 3108 м/с постоянной для любых систем отсчёта движущихся равномерно и прямолинейно.

10. При таком раскладе скорость света определена как некое философическое понятие безотносительно к чему-либо материальному, перемещающемуся в трёхмерном пространстве.

11. Такое утверждение противоречит самому определению скорости, которая с физической точки зрения является не самостоятельной, а производной величиной от длины и времени, действительно, мгновенная скорость математически определяется как:

В теории же относительности скорость поставлена в разряд основных величин, а расстояния и времена приобретают свойства зависимых величин.

12. Теория относительности, как таковая обязана электродинамике Максвелла, Герца, Хевисайда. Электродинамические уравнения Максвелла, Герца, Хевисайда выглядят в интегральной форме следующим образом:

где E 13. Записанные в интегральной форме уравнения наделали много шума в физическом мире своей необычностью и новизной. В момент их появления многие обратили внимание на то, что для этих, изначально 22 уравнений Максвелла, не выполняется закон сохранения энергии. Патриарх классической электродинамики Гельмгольц был одним из первых, кто подверг уравнения Максвелла жёсткой критике и поручил своему аспиранту Генриху Герцу провести серию экспериментов, с целью положить конец теоретическим изыскам относительно юного англичанина. Наука тоже не была лишена национального соперничества.

14. Герц провёл серию совершенно гениальных экспериментов, открыв электромагнитные волны. Оказалось, что часть потерянной в уравнениях энергии уносится этими новыми необычными волнами. Справедливость закона сохранения энергии восторжествовала. Используя математический аппарат, разработанный Оливером Хевисайдом, Герцу удалось систему уравнений Максвелла свести к четырём лаконичным уравнениям, записанным выше.

15. В уравнениях было много чего необычного, кроме непоняток с законом сохранения энергии. В них отсутствовали параметры среды, хотя в прочих уравнениях, например, волновом уравнении для упругих волн в явном виде присутствовала скорость распространения волны v, которая определяется параметрами среды Где Е модуль упругости среды, плотность среды. Для электромагнитных волн на основании уравнений Максвелла, Герца, Хевисайда получались следующие волновые уравнения где i, j, k единичные векторы, (x,y,z) координаты, Е напряжённость электрического поля, Н напряжённость магнитного поля, 0 8, Кл2/м2Н, 0 1,257 Нс2/Кл2 электрическая и магнитная постоянные.

16. Сравнивая волновые уравнения для упругих и электромагнитных волн, логично предположить, что 17. Комбинация двух констант давала константу, которая с высокой степенью точности совпадала с измеренными значениями скорости света. Получалось, что электромагнитные волны могли распространяться в отсутствии среды со скоростью света.

18. Лоренц, исследуя уравнения Максвелла, Герца, Хевисайда обнаружил, что если в уравнениях сделать подстановку то суть и форма уравнений после подстановки не изменялась. Сейчас эти уравнения называются преобразованиями Лоренца.

19. Французский исследователь Пуанкаре, исследуя преобразования Лоренца в совокупности с уравнениями Максвелла, Герца, Хевисайда пришёл к выводу, что все физические законы не должны изменяться от преобразований Лоренца и математически это доказал. Он был виртуозным математиком классической школы.

20. Этими откровениями гениев и воспользовался Эйнштейн, опубликовав, разрекламированную в мировом масштабе впоследствии, работу, названную им и последователями теорией относительности. Это был первый и самый грандиозный пиар в науке, который таки увенчался неслыханным успехом. Кто в простонародии знает Максвелла, Герца, Хевисайда, Лоренца и Пуанкаре? А Эйнштейна знают все. Гений вех времён и одного народа.

21. Исходя из преобразований Лоренца и заключений Пуанкаре, появилась возможность проанализировать на новом уровне знаний законы классической механики. Основной закон динамики Ньютона предполагает массу постоянной величиной. Из преобразований Лоренца следовало, что масса должна меняться со скоростью (чтобы уравнения Максвелла, Герца, Хевисайда были справедливы) где m0 масса покоя (масса неподвижного объекта), с 3108 м/с скорость света в вакууме. Из уравнения Лоренца видно, что поправка к массе станет заметной при движении исследуемого объекта со скоростями, соизмеримыми со скоростью света, во всех других случаях m0 = m. Так, например, для электрона с массой m0 110 30 кг, разогнанного электрическим полем до скорости v = 0,01 с 3106 м/с соотношение масс примет вид 22. Из преобразований Лоренца, придуманных им для электромагнитного поля, следовало, что ели допустить движение материального тела с около световыми скоростями, то размеры этого тела в направлении перемещения изменяться где L0 размер покоящегося тела, L размер того же тела в направлении движения.

23. Изменение геометрических размеров при сохранении неизменной скорости света должно накладывать определённые условия на течение времени.

Из преобразований Лоренца следовало, что 24. Запишем далее основное уравнение динамики в виде Поскольку в рассматриваемом случае масса не является величиной постоянной, а изменяется в зависимости от скорости движения объекта то уравнение импульса необходимо трансформировать Записанное уравнение представляет собой модифицированное преобразованиями Лоренца уравнение импульса в классическом варианте Ньютона.

25. Напомним, что в классическом варианте механики, базирующейся на законах Ньютона, импульс пропорционален скорости. Требование постоянства скорости света делает необходимым пересмотреть и уточнить эту закономерность. Дело в том, что при скоростях меньших скорости света классические закономерности сохраняются, а при приближении скорость объекта к скорости света знаменатель в уравнении импульса стремится к нулю 26. Из уравнений Ньютона следует, в частности, что если на некий материальный объект неопределённо долго воздействовать постоянной силой, то не никаких причин, препятствующих возрастанию скорости этого объекта до бесконечного значения, по крайней мере, теоретически. Иное дело при рассмотрении действия силы с позиций преобразований Лоренца. Скорость объекта не может превышать скорости света, потому, что она постулирована, как предельная постоянная величина. По Лоренцу получается, что, в принципе, при действии силы возрастает не сама скорость, а импульс тела. Другими словами, действие силы сказывается не столько на росте скорости, сколько на увеличении массы.

27. Если во времени рассматривать изменение скорости, т.е. ускорение, достигает некоторого постоянного значения, а импульс тем временем продолжает увеличиваться за счёт изменения массы. Проявление подобных эффектов регистрируется в ускорителях элементарных заряженных частиц, где разгон последних осуществляется за счёт взаимодействия внешнего магнитного поля и собственного поля ускоренно движущейся частицы. Энергии, необходимые для изменения состояния быстро движущихся частиц превышают величины, рассчитанные по уравнениям Ньютона и следствиям из них. Обратим внимание, что релятивистские эффекты проявляются при взаимодействии электромагнитных полей, поля внешнего и собственного поля частицы.

5. Масса и скорость входят в ещё одну заглавную величину классической механики, комбинация этих величин, полученная преобразованием основного уравнения динамики, приводит к понятию работы и кинетической энергии 28. Уравнение теоремы об изменении кинетической энергии получено в предположении постоянства массы. В соответствие с развиваемыми релятивистскими представлениями, при движении со скоростями соизмеримыми со скоростью света, необходимо ввести в рассмотрение два вида энергии: энергию покоя и энергию движения.

29. Ричард Фейнман в своих знаменитых лекциях прибегает к такому примеру. Если газ, содержащийся в закрытом объёме подвергнуть нагреванию, то по всем классическим законам скорости молекул увеличатся, потому что:

где средняя квадратичная скорость молекулы, R универсальная газовая постоянная, Т абсолютная температура, m0 масса покоя молекулы газа.

Суммарная кинетическая энергия молекул увеличится. Это увеличение предлагается рассматривать в виде 30. Далее, для того чтобы преобразования Лоренца были справедливы не только в кинематике но и в динамике, стало необходимым приписать каждому материальному объекту энергию Кстати, идея формально снабдить материальный объект с энергией Е = mс принадлежит Оливеру Хевисайду, который записал её в своих дневниках за лет до возникновения шумихи по поводу теории относительности. Биографы Хевисайда полагают, что идея возникла у Хевисайда после знакомства по просьбе Герца с уравнениями Максвкелла. Ни о какой относительности, надо думать, Хэвисайд не размышлял. Это откровение появилось при совмещении уравнений Максвелла и преобразований Лоренца.

31. Преобразования Лоренца потребовали изменить правило сложения скоростей. Было необходимо получить такое уравнение, которое бы при сложении двух скоростей независимо от взаимного направления и величин давало бы результат не превосходящей скорости света. Напомним ещё раз, что преобразования Лоренца и уравнения Максвелла описывали только поведение электромагнитного поля, и не более того.

32. Уравнение для сложения скоростей в релятивистском случае представилось следующим образом 33. Предположим, что некий объект движется со скоростью v1 = с, внутри этого объекта начинает движение походу второй объект тоже со скоростью v2 = с, подставим эти значения скоростей в уравнение v 34. Таким образом, при движении куба по гипотезе относительности его размеры должны меняться в направлении движения (ещё раз подчеркнём, что уравнения Максвелла, Герца, Хевисайда и их обобщения сделанные в работах Пуанкаре, Лоренца были посвящены исключительно электромагнитному полю, ни о каких объектах, обладающих массой покоя, речи там не шло). Размер куба в направлении движения определится, теоретически, как:

336. При какой скорости электрона его релятивистская масса больше массы покоя в два раза?

337. Во сколько раз увеличивается масса частицы, которая движется со скоростью v = 0,8c?

338. С какой скоростью должно двигаться тело, чтобы для неподвижного наблюдателя его масса покоя была равна m0 = 3 кг, а релятивистская масса m = 5 кг?

339. С какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его масса увеличилась на 200%?

340.Время жизни нестабильного мюона, входящего в состав космических лучей, измеренное земным наблюдателем, относительно которого мюон двигался со скоростью, составляющей 95% скорости света, оказалось равным t = 6,4 мкс. Определить время жизни мюона t0, покоящегося относительно наблюдателя.

341. Во сколько раз увеличивается время жизни нестабильной частицы, если она движется со скоростью, составляющей 99% скорости света?

342. Космический корабль, стартовав с Земли, вышел в открытый космос, при этом ход корабельных часов замедлился в 2 раза для земного наблюдателя. Чему будет равна площадь квадрата со стороной L0 = 1 м для того же наблюдателя, если вектор скорости корабля параллелен одной из сторон квадрата?

1. По замедлению времени установим скорость космического корабля:

2. Измерение длины стороны квадрата, расположенной вдоль вектора скорости корабля 3. Площадь квадрата для земного наблюдателя:

343. Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы t = 10 нс.

Какой путь пролетит эта частица до своего распада в лабораторной системе отсчёта, где время её жизни t0 = 20 нс?

1. Скорость частицы:

2. Путь пройденный частицей в лабораторной системе отсчёта:

344. Определить релятивистский импульс электрона, который имеет массу покоя m0 и движется со скоростью v = 3c 2.

345. Электрон движется со скоростью v = 0,75 с. Определить, во сколько раз его релятивистский импульс больше импульса, рассчитанного по классической формуле?

346. При какой скорости кинетическая энергия электрона равна его энергии покоя?

1. Кинетическая энергия частицы 2. По условию задачи E = E0 = mc2, в этом случае:

347 Полная энергия частицы, вышедшей из ускорителя Е = 10,210 14 Дж, а её импульс р = 210 22 кгм/с. Определить скорость частицы.

348. Какую работу нужно совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой покоя m0 от v1 = 0,6с до v2 = 0,8с?

1. В соответствии с теоремой об изменении кинетической энергии:

8. Квантовая физика 349. Поверхность золотой пластины освещают ультрафиолетовым излучением с длиной волны = 270 нм. Красная граница фотоэффекта составляет К = 285 нм. Какова максимальная скорость выбиваемых электронов? Массу электрона принять равной me = 9,110 31кг.

1. Работа выхода электронов из золота:

2. Уравнение фотоэффекта, открытого Остроградским и исследованного Герцем:

350. Красная граница фотоэффекта для цезия К = 660 нм. Найти максимальную скорость фотоэлектронов, выбитых при облучении цезия светом с длиной волны = 400 нм.

351. Определить максимальную скорость фотоэлектронов при освещении металла с работой выхода А = 4 эВ ультрафиолетовым излучением с частотой = 1,21015 Гц.

352. Детектор полностью поглощает падающий на него свет с частотой = 61014 Гц. За время = 5 с на детектор падает N = 3105 фотонов. Какова поглощаемая детектором мощность?

1. Энергия поглощённых за указанное время фотонов:

2. Мощность, поглощённая детектором:

353. Ртутная лампа имеет мощность Р = 125 Вт. Сколько квантов света ежесекундно испускается при излучении волн с = 5,7910 7 м?

354. Задана диаграмма энергетических уровней атома. Какой из отмеченных стрелками переходов между энергетическими уровнями сопровождается испусканием кванта минимальной частоты?

1. Несмотря на то, что модель атома Резерфорда инициировала целый поток идей о строении атома и особенностях устройства электронных составляющих, этой модели были присущи принципиальные недостатки.

2. Наиболее наглядно это наблюдается на примере самого простого атома водорода, который по представлениям РеРис. 354.1. Минимальная частота кванта зерфорда содержит на орбите один единственный электрон, компенсирующий положительный заряд ядра, равный по модулю заряду электрона. Электрон, совершая вращение вокруг ядра по круговой или эллиптической орбите, ввиду специфики криволинейного движения обладает центростремительным ускорением an (рис. 534.2). В соответствие с классической электродинамикой такой ускоренно движущийся электрон неми- Рис. 354.2. Атом водорода по Резерфорду нуемо должен излучать электромагнитную волну, следовательно, движение его будет не круговым или эллиптическим, а спиралевидным, т.е. в конце концов, эта спираль должна, закончится на ядре.

3. Кроме того, модель атома Резерфорда не объясняла, почему атомы излучают только определённые частоты. Кода Резерфорд вершил судьбы мировой науки, поблизости, в статусе ученика обретался молодой датский студент Нильс Бор, которому все эти атомно-ядерные разговоры были чрезвычайно интересны. Наслушавшись научных диспутов между Дж. Дж. Томсоном, Резерфордом и другими титанами физики и ознакомившись с работами Макса Планка, Нильс Бор заподозрил, что между квантовой гипотезой Планка и устройством атома должна быть взаимосвязь, коль квантовая теория так убедительно работает на чёрном теле и фотоэффекте. Бор подозревал, что квантовые представления могли объяснить стабильность атомов. Последовательность рассуждений Нильса Бора была примерно такова.

4. Для начала Бор предположил, что электрон, вопреки классической электродинамике, находясь на стационарной орбите, не излучает. Сила Кулона со стороны ядра удовлетворяет закону обратных квадратов, как и гравитационная сила Ньютона т.е. в классическом варианте задача о движении электрона аналогична задаче о движении планет вокруг Солнца, почему, собственно, Резерфорд и пришёл к планетарной модели атома. Потенциальная энергия, обусловленная силой Кулона, определяется как где Ze заряд ядра, принятый Бором как материальная точка. Нормальное ускорение электрона при линейной скорости движения v равно 5. Условие нахождения электрона на стационарной орбите запишется в виде равенства силы Кулона и силы инерции, так же как при рассмотрении планет, вращающихся вокруг Солнца, с той разницей, что гравитационная сила заменяется силой Кулона 6. Далее было записано уравнение для суммарной энергии электрона на орбите и уравнение угловой скорости и кинетического момента, направленного перпендикулярно плоскости движения электрона 7. Таким образом, движение электрона описывалось пятью переменными {r, v, W,, L}, которые связаны четырьмя уравнениями. Если в качестве известной величины взять одну из этих переменных, то остальные можно выразить через неё. Предположим, что известной величиной является кинетический момент L, тогда 8. Далее Нильс Бор предположил, что кинетический момент не может принимать произвольных значений, а подчиняется правилу квантования Макса Планка, т.е.

где n = 1, 2, 3, …., поскольку с L связаны все остальные переменные, то они тоже становятся квантованными 9. Первое уравнение системы позволяет ближайшую к ядру атома орбиту охарактеризовать радиусом, который в системе СИ представится как и называется Боровским радиусом. Энергетический масштаб оценивается постоянной Ридберга 10. В качестве энергии в 1 эВ принимается энергия электрона, прошедшего разность потенциалов в 1 вольт, 1эВ 1,6 1019 Дж. Число n в квантовой механике называется главным квантовым числом.

11. Бор постулировал, что поглощение и излучение энергии электроном происходит скачкообразно, только при переходе из одной разрешённой орбиты на другую, причём скачкообразное перемещение с высокой орбиты Wn на,более энергетически низкую орбиту Wn-1 сопровождается испусканием кванта энергии, т.е. фотона.

Естественно предположить, что таким же образом электрон меняет орбиту при поглощении кванта энергии. Причём падающий фотон должен иметь такую же величину энергии, чтобы она компенсировала разность энергий между двумя разрешёнными уровнями. Состояние электрона с n = 1 принято за основное, в котором не происходит излучения энергии.

Атомы веществ в естественном состоянии находятся в большинстве своём в стационарном состоянии. Чтобы подняться на более высокий энергетический уровень, электрон должен захватить подходящий фотон. Все состояния с n > являются нестабильными.

11. Введя таким образом в ядерную модель атома Резерфорда квантовые представления, Нильс Бор сформулировал два постулата (два основных положения).

• Электроны могут находиться в атоме только на определённых орбитах, причём, несмотря на ускоренное движение, излучения электромагнитных волн не происходит. Орбиты, соответствующие стационарным состояниям определяются условием • Атом излучает или поглощает квант электромагнитной энергии при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое (рис.

Рис. 354.3. Излучение фотона возведём её в квадрат и подставим в уравнение скорости, которое разрешим относительно радиуса 13. Как следует из уравнения радиусы разрешённых электронных орбит пропорциональны n2. Если уравнение разрешить для главного квантового числа n = 1, то получится Боровский радиус r1 5,2810 11 м. Если ядро атома считать неподвижным, то электрон на орбите можно описать следующими энергетическими соотношениями, выраженными в системе СИ 14. Минимальной энергией обладает электрон при n = 1. Энергия в произвольном разрешённом состоянии определится как 15. В отличие от модели атома Резерфорда, постулаты Бора и записанные выше уравнения смогли объяснить линейчатые спектры атомов, в частотности атома водорода. Согласно второму постулату Бора излучаемый или поглощаемый квант энергии определяется условием 16. Уравнение можно записать для частоты и длины волны 17. Сомножитель последнего уравнения оказался совпадающим в первом приближении со значением постоянной Ридберга, полученной первоначально экспериментальным путём что рассматривается, как одно из подтверждений справедливости квантовой модели атома Бора. Бор показал, что для более точного вычисления постоянной Ридберга необходимо внести корректировки в уравнения, связанные с подвижностью ядра.

18. Теория водородоподобного атома Нильса Бора позволила объяснить его линейчатые спектры, обусловленные переходами электрона из одного стационарного состояния в другое, с меньшей энергией. Каждая, регистрируемая экспериментально спектральная линия является свидетельством акта испускания фотона определённой длины волны, при переходе электрона на низший энергетический уровень.

19. Таким образом, переход 4 на рис. 354.1 отображает испускание фотона с минимальной энергией, следовательно, и с минимальной частотой.

355. Дана диаграмма энергетических уровней атома. Какой из отмеченных стрелками переходов между энергетическими уровнями сопровождается поглощением кванта минимальной длины волны?

1. Энергия кванта:

2. Энергия кванта при изменении энергетического уровня атома:

3. Минимальная длина волны соответстРис. 355. Квант минимальной вует максимальной частоте, поэтому минидлины волны мальная длина волны соответствует переходу 6.

356. Дан график зависимости числа распавшихся ядер изотопа ртути от времени. Чему равен период полураспада этого изотопа?

1. В соответствии с законом радиоактивного распада где Т период полураспада, т.е. время, в течение которого число радиоактивных ядер уменьшается примерно вдвое.

«Примерно» потому что закон имеет вероятностный смысл, определяет наи- Рис. 356. Закон радиоактивного распада большую вероятность регистрируемой величины.

2. Половина ядер N1/2 251023, поэтому период полураспада заданного изотопа 190 Hg :

Рис. 357. Период полураспада ядер уменьшается примерно вдвое. «Примерно» потому что закон имеет вероятностный смысл, определяет наибольшую вероятность регистрируемой величины.

2. Таким образом, за два периода полураспада распадётся 0,75 от общего исходного числа радиоактивных ядер:

358. Задан график зависимости числа N не распавшихся ядер радиоактивного изотопа от времени. Через какой промежуток времени останется половина первоначального числа ядер?

ядер уменьшается примерно вдвое. «Примерно» потому что закон имеет вероятностный смысл, определяет наибольшую Рис. 358. Закон радиоактивного распада половина ядер N0/2 610 распадётся за время полураспада т.е. за 5 с.

359. Определить дефект масс ядра гелия 2 He, если масса протона mp 1,0073 а.е.м., масса нейтрона mn 1,0087 а.е.м., масса ядра гелия m = 4, а.е.м., 1 а.е.м. 1,6610 27 кг.

1,0073 а.е.м., масса нейтрона mn 1,0087 а.е.м., масса ядра азота m = 14, а.е.м., 1 а.е.м. 1,6610 27 кг.

361. Определить энергию связи ядра лития 6 Li, если масса протона mp 1,0073 а.е.м., масса нейтрона mn 1,0087 а.е.м., масса ядра лития m = 6, а.е.м., 1 а.е.м. 1,6610 27 кг, скорость света с = 3108 м/с.

m = [(3 1,,0073 + 3 1,0087) 6,0151] 3,29 102 а.е.м. 5,46 1029 кг;

1,0073 а.е.м., масса нейтрона mn 1,0087 а.е.м., масса ядра лития m = а.е.м., 1 а.е.м. 1,6610 27 кг, скорость света с = 3108 м/с.