«А. Исаков Физика Решение задач ЕГЭ 2013 Часть 2 Петропавловск-Камчатский 2013 УДК 50(075.8) ББК 20я73 И85 Рецензент доктор физико-математических наук, профессор Дальневосточного Федерального университета Стоценко Л.Г. ...»

Камчатский государственный технический университет

А. Исаков

Физика

Решение задач ЕГЭ 2013

Часть 2

Петропавловск-Камчатский

2013

УДК 50(075.8)

ББК 20я73

И85

Рецензент

доктор физико-математических наук,

профессор Дальневосточного Федерального университета Стоценко Л.Г.

Исаков Александр Яковлевич Физика. Решение задач ЕГЭ 2013. Часть 2.: КамчатГТУ, 2013.

И85 230 с.

Приведены решения задач части С, предлагаемых для подготовки к ЕГЭ по физике в 2013 г. Тексты задач соответствуют изданию О.Ф. Кабардин, С.И. Кабардина, В.А. Орлов, С.Б. Бобошина, О.И. Громцева «ЕГЭ 2013. Физика», Экзамен, М., 2013.

Сборник предназначен, прежде всего, для школьников старших классов, намеревающихся овладеть методиками решения задач в рамках современного ЕГЭ. Приведенные материалы могут быть так же полезными студентам первых курсов, изучающих общую физику в университетском объёме по техническим программам подготовки, в качестве повторительного материала. Особенно это относится к студентам заочной формы образования, когда программа осваивается самостоятельно и имеется перерыв в систематических занятиях предметом.

Оглавление 1. Механика

2. Молекулярная физика

3. Термодинамика

4. Электричество и магнетизм

5. Колебания и волны

6. Оптика

7. Специальная теория относительности

8. Квантовая физика

9. Варианты заданий части С

1. Механика 1. Задан график движения автобуса из пункта А в пункт В и обратно. Пункт А находится в точке х = 0, а пункт В в точке х = 48 км. Чему равна скорость автобуса на пути из А в В?

Решение 1. Перемещение автобуса на заданном маршруте:

x = 48 км;

2. Время заданного перемещения:

t = 0,5 часа;

3. Средняя скорость перемещения:

Рис. 1. Скорость автобуса x км v= = 96 ;

t ч 2. Пловец пересекает реку шириной H = 225 м. Скорость течения реки v1 = 1,2 м/с, скорость пловца относительно воды v2 = 1,5 м/с. Скорость пловца направлена перпендикулярно к вектору скорости течения. На какое расстояние будет снесён пловец к тому моменту, когда он достигнет противоположного берега?

Решение 1. Из векторов заданных скоростей получим прямоугольный треугольник DKG, который будет подобен прямоугольному треугольнику АВС, с катетами H (ширина реки) и L (расстояние на которое снесёт течение пловца).

2. Составим пропорцию и определим величину сноса пловца:

Hv1 225 1, ния между берегами.

2. Скорость пловца относительно берега определится из прямоугольного треугольника, построенного на векторах скоростей:

3. Время пересечения реки:

4. Самолёт следует маршрутом Москва Мурманск, следуя строго на север со скоростью v1 = 250 м/с относительно Земли строго на север. По всему пути следования дует западный ветер со скоростью v2 = 30 м/с относительно Земли. Определить скорость самолёта относительно воздуха.

1. Скорости самолета и ветра взаимно перпендикулярны:

5. Пассажир поезда, идущего со скоростью v1 = 72 км/ч, видит грузовой поезд, движущийся в том же направлении, в течение = 26 с. С какой скоростью движется грузовой поезд, если его длина составляет L = 130 м? Скорость грузового поезда меньше, чем скорость пассажирского поезда.

1. Обозначим относительную скорость пассажирского поезда через v, тогда:

2. Скорость грузового поезда:

6. В течение какого времени скорый поезд длиной Х1 = 300 м, идущий со скоростью v1 = 54 км/ч, будет проходить мимо товарного встречного поезда длиной Х2 = 600 м, идущего со скоростью v2 = 36 км/ч?

1. Время прохождения пассажирского поезда мимо грузового:

7. Координата тела изменяется с течение времени согласно уравнению:

Составить уравнение проекции перемещения тела.

1. Перемещением называется направленный отрезок (вектор), соединяющий начальное и конечное положение движущегося объекта в заданный промежуток времени.

2. Начальное положение тела определится из условия t = 0:

3. Модуль проекции перемещения тела:

8. Чему равна проекция перемещения материальной точки за время = 2 с, прямолинейное движение которой описывается уравнением:

9. Координата тела изменяется с течением времени согласно уравнению:

Определить модуль перемещения тела через = 3 с.

10. Движение тела описывается уравнением:

Определить проекцию скорости тела через = 3 с после начала движения.

1. Скорость тела рана первой производной по времени координат его движения:

11. Тело движется вдоль оси ОХ. проекция скорости меняется во времени согласно графику. Определить путь, пройденный телом за первые = 2 с движения.

Рис. 11. Скорость тела 12. Задана графическая зависимость скорости тела, движущегося вдоль оси ОХ от времени. Какое перемещение совершит тело к моменту времени = 1. В течение двух первых секунд тело двигалось в положительном направлении оси ОХ, затем в течение секунды остановилось и начало двигаться в обратном направлении, причём:

поэтому перемещение в течение первых 5 с движения определится как:

13. Задан график изменения координаты тела с течением времени. Как изменялась скорость тела в промежуток времени от 0 до 5 с?

1. Поскольку скорость определяется в виде первой производной координаты по времени, геометрическим смыслом которой является касательная, то изменение тангенса угла наклоРис. 13. Координаты тела на касательной позволяет судить об изменении скорости 2. В данном случае угол наклона касательной со временем уменьшается, становясь при = 5 с равным нулю, т.е. к концу пятой секунды тело останавливается т.к. его координата далее не меняется. Следовательно, скорость на заданном промежутке времени уменьшается от некоторой величины до нуля.

14. Какой путь пройдёт свободно падающее тело за пятую секунду полёта при нулевом значении начальной скорости?

1. Скорость тела к концу четвёртой секунды полёта 2. Путь, проходимый телом, в течение пятой секунды движения:

15. За какую секунду свободного падения тело проходит путь s = 65 м, при старте из состояния покоя?

1. Скорость тела к началу искомой секунды:

2. Путь пройденный телом за искомую секунду движения:

16. Пеликан охотится за рыбкой, падая свободно с высоты 25 м. Если у рыбки есть = 0,15 с времени, то она может уклониться от прожорливой птицы. На какой высоте над поверхностью воды рыбка должна заметить пеликана, если она плавает у поверхности?

3. Найдём расстояние ОА, т.е. расстояние которое пролетит пеликан 4. Искомая безопасная для рыбки высота определится в виде разности 17. Сосулька падает без сопротивления с крыши дома, пролетая первую половину пути за время t1 = 1 c.

обстоятельства, что первую половину пути она пролетела Рис. 18. Сосулька 3. Определим время полного падения 4. Время пролёта сосулькой второй половины пути определится в виде разности Как видно из полученного результата, вторая половина пути пролетается сосулькой быстрее первой за счёт того, что к концу первого участка сосулька приобретает скорость v1 = 10 м/с.

18. Определить линейную скорость вращения Земли вокруг соей оси, приняв радиус Земли R 6400 км.

1. Линейная скорость тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется уравнением Леонарда Эйлера:

2. Период собственного вращения Земли 3. Линейная скорость экваториальных точек планеты:

19. Линейная скорость конца минутной стрелки Кремлёвских курантов vm = 6 мм/с. Определить длину минутной стрелки.

1. Линейная скорость тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется уравнением Леонарда Эйлера:

2. Период обращения минутной стрелки 3. Линейная скорость экваториальных точек планеты:

20. Точка равномерно движется по окружности радиусом r = 1,5 м с угловой скоростью = 3 рад/с. Определить линейную скорость стрелки.

21. Как изменится центростремительное (нормальное) ускорение an, если угловая скорость увеличится в 5 раз?

22. Во сколько раз увеличится нормальное (центростремительное) ускорение точек обода колеса, если период обращения колеса вокруг собственной оси вращения уменьшится в два раза?

23. С башни высотой h = 80 м горизонтально брошен камень. Через какое время он упал на землю?

1. Плоское движение камня можно разложить на две составляющие: равномерное движение с начальной скоростью по горизонтальной оси и ускоренное движение с ускорением g по вертикальной оси:

24. Глыбу льда сбрасывают с крыши с высоты h = 45 м со скоростью v0 = м/с. На каком расстоянии от дома упадёт глыба?

1. Время полёта глыбы до земли:

2. Расстояние, на котором упадёт лёд от дома:

25. Пуля вылетает из ствола в горизонтальном направлении со скоростью v0 = 800 м/с. На сколько снизится пуля во время полёта, если щит с мишенью расположен на расстоянии Х = 400 м от среза ствола?

1. Время полёта пули до мишени:

2. Изменение вертикальной координаты пули за время полёта :

26. Тело брошено со скоростью v0 = 10 м/с пол углом = 600 к горизонту.

Определить скорость тела в верхней точке траектории.

1. Тело, брошенное в поле земного тяготения с начальной скоростью v0, направленной под углом к горизонту будет двигаться по криволинейной траектории, лежащей в плоскости, перпендикулярной поверхности земли. Существенно отметить, движение протекает при постоянном по модулю и направлеr нию ускорении g. Это даёт возможность разложить криволинейное движение на два более простых: равномерное вдоль горизонтальной оси т.к. gx = 0 и ускоренное по вертикальной оси, где проявляется двояко ускорение свободного падения.

2. Движение исследуемого тела относительно вертикальной оси из начальной точки О в точку С равнозамедленное, а из точки С в точку В равноусr коренное с ускорением свободного падения g. В начальный момент времени при t = 0 имеем: х0 = 0, у0 = 0, v0x = v0cos, v0y = v0sin, ax = 0, ay = g.

3. Для проекций скорости в любой момент времени, например в точке М, движения можно записать следующие уравнения 4. Модуль вектора скорости определится как 5. Положение вектора скорости определим, используя свойства прямоугольного треугольника, построенного на векторе скорости и его проекциях 6. Уравнения движения запишем, используя особенности равномерного перемещения точки по горизонтали и равноускоренного по вертикали 7. Время подъёма тела в верхнюю точку траектории С определим, используя второе уравнение системы (1) при условии: vy = 8. Определим далее полное время полёта 9. При подстановке времени полёта в первое уравнение системы (3.38) получим максимальную дальность броска 10. Из последнего уравнения, в частности, следует, что при прочих равных условиях максимальная дальность броска будет иметь место при = 450, т.к. в этом случае 2 = /2, sin 2 = 1.

11. Максимальная высота подъёма определится путём подстановки времени из уравнения (6) во второе уравнение системы (4) 12. Уравнение траектории получается при исключении времени из уравнений (4). Из первого уравнения при подстановке этого значения t во второе уравнение, получим 13. Если ввести обозначения: tg = a, g 2v 0 cos 2 = b, то уравнение траектории примет более классифицируемый вид 14. Проведенный выше анализ показывает, что в верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости обращается в ноль, т.е. vC = vx 27.Спортсмен толкает ядро с начальной скоростью v0 = 15 м/с под углом = 450 к горизонту. Определить время полёта ядра и время его подъёма в высшую точку траектории.

28. Диск, брошенный под углом = 450 к горизонту, достиг наибольшей высоты h = 15 м. Определить дальность полёта диска.

1. Время полёта диска:

2. Начальная скорость диска:

3. Дальность полёта диска:

29. Найти высоту подъёма сигнальной ракеты, выпущенной со скоростью v = 20 м/с под углом = 600 к горизонту.

30. Камень, брошенный под углом к горизонту, достиг наибольшей высоты h = 45 м. Найти время полёта камня.

31. Масса бетонного блока, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, равна m1 = 6 кг. Какой будет масса блока, если первую его сторону увеличить в два раза, вторую в 1,5 раза, а третью уменьшить в 3 раза?

32. Два кубика изготовлены из одинакового материала. Сторона второго кубика в 2 раза больше, чем второго. Сравнить массы кубиков.

33. Лыжник массой m = 60 кг, имеющий в конце спуска с горы скорость v0 = 10 м/с, останавливается через = 20 с после спуска. Определить, пренебрегая сопротивлением воздуха, величину силы трения.

1. Ускорение лыжника во время его движения после спуска:

2. При движении от конца спуска до остановки на лыжника действует в направлении движения одна внешняя сила сила трения, которая и обеспечивает торможение. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на горизонтальную ось:

34. Автомобиль массой m = 1800 кг, двигаясь из состояния покоя по горизонтальному пути, через = 10 с достигает скорости v = 30 м/с. Определить, пренебрегая сопротивлением движению, силу тяги автомобиля.

1. Ускорение автомобиля при разгоне:

7. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на направление движения:

35. Тело массой m = 100г движется вдоль оси ОХ, изменение проекции скорости во времени задано графически. Определить значение силы, действующей на тело в момент времени = 2 с.

36. Определить величину и направление равнодействующей двух равных по модулю сил F1 = F2 = 5H, линии действия которых составляют угол = 1200.

1. Модуль равнодействующей:

37. Силы F1 = 6 Н и F2 = 8 Н приложены к одному телу. Угол между линиями действия сил составляет = 900. Масса тела m = 2 кг. Определить ускорение с которым движется тело.

1. Равнодействующая сил:

2. Ускорение тела:

38. Брусок спускается с наклонной плоскости, длиной L = 15 см в течение = 0,26 с. Определить равнодействующую всех сил, действующих на брусок массой m = 0,1 кг во время его движения, если начальная скорость бруска равна нулю.

1. Ускорен6ие бруска:

2. Равнодействующая действующих на брусок сил:

39. Снаряд массой m = 2 кг вылетает из ствола орудия в горизонтальном направлении со скоростью v = 400 м/с. Определите значение равнодействующих всех сил, считая её постоянной, если длина ствола L = 2,5 м.

1. Время движения снаряда в стволе орудия:

2. Равнодействующая сил:

40. Два шара радиусами R1 = 0,2 м и R2 = 0,3 м соприкасаются друг с другом. Во сколько раз изменится сила тяготения между шарами, если один из шаров отодвинуть на х = 100 см?

41. Расстояние между планетой Нептун и Солнцем в 30 раз больше, чем расстояние между Землёй и Солнцем, масса Нептуна в 15 газ больше массы Земли. Во сколько раз сила притяжения Солнца к Земле больше, чем Солнца к Нептуну?

42. Как изменится сила тяжести, действующая на ракету при её вертикальном подъёме на высоту, равную двум радиусам планеты?

43. Как изменится сила тяжести, действующая на космический корабль, если сначала он был на расстоянии трёх земных радиусов от поверхности планеты, а мотом только одного радиуса?

44. Определить ускорение свободного падения на планете, масса которой больше массы Земли на 200%, а радиус на 100% больше земного. Ускорение свободного падения на Земле принять g 10 м/с2.

45. Предположим, что радиус Земли уменьшился в 3 раза. Как при этом должна измениться масса Земли, чтобы ускорение свободного падения на её поверхности осталось прежним?

46. Космический корабль движется вокруг Земли по круговой орбите радиусом R = 3107 м. Массу Земли принять равной М = 61024 кг. Определить скорость космического корабля.

47. Первая космическая скорость для спутника Марса, летающего на небольшой высоте, v = 3,5 км/с. Определить массу планеты Марс, если её радиус R = 3,38106 м.

48. Как изменится первая космическая скорость, если радиус планеты увеличить в 9 раз?

49. Массу спутника увеличили в 4 раза. Как изменится величина его первой космической скорости?

1. Условие нахождения спутника на круговой стационарной орбите:

2. Масса спутника в уравнение первой космической скорости не входит.

50. Каков период обращения низкоорбитального спутника Меркурия, масса которого М = 3,261023 кг, а радиус R = 2,42106 м?

Рис. 51. Последовательные пружины пружин их деформация будет разной при одинаковой действующей силе, это обстоятельство позволяет определить общую жёсткость пружин следующим образом:

52. Определить жёсткость системы двух пружин жёсткостью k1 = 200 Н/м и k2 = 400 Н/м при их параллельном соединении.

Рис. 52. Параллельное соединение пружин 2. Сила, действующая на массу со стороны пружин, определится в виде суммы 53. К двум последовательно соединённым пружинам параллельно присоединена третья пружина. Какова жёсткость системы, если все пружины имеют одинаковую жёсткость k1 = k2 = k3 = 600 Н/м?

1. Жёсткость последовательного соединения:

3. Жёсткость системы трёх пружин:

54. Под действием груза проволока удлинилась на х = 1 см. Этот же груз подвесили к такой же длины проволоке, но имеющей в 2 раза большую площадь сечения. Каким будет удлинение проволоки?

55. На шероховатой горизонтальной поверхности лежит тело массой m = кг. Коэффициент трения пела о поверхность = 0,1. Определить силу трения между телом и поверхностью при действии на тело силы F = 0,5 Н.

1. Значение силы трения при начале движения:

следовательно, сила трения по модулю равна действующей на покоящееся тело силе.

56. Тело массой m = 1 кг движется по горизонтальной плоскости. На тело действует сила F = 10 Н, направленная под углом = 300 к горизонту. Коэффициент трения скольжения равен = 0,4. Определить модуль силы трения.

57. Груз поднимают на верёвке: один раз равномерно, во второй раз с ускорением а = 20 м/с2. Во сколько раз натяжение верёвки больше во втором случае, чем в первом случае?

58. Парашютист массой m1 = 80 кг спускается на парашюте с установившейся скоростью v = 5 м/с. Какой будет установившаяся скорость, если на том же парашюте будет спускаться мальчик массой m2 = 40 кг, считая, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости парашюта FR v?

59. Автобус, масса которого с полной загрузкой составляет m = 15 т, трогается с места с ускорением а = 0,7 м/с2. Определить силу тяги автобусного двигателя FT, если коэффициент сопротивления движению r = 0,03.

1. Второй закон Ньютона в проекции на направление движения:

Какой величины вертикальную силу нужно приложить к бруску, чтобы поднимать его с ускорением а = Рис. 60. Ускоренный подъём 3. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на направление движения:

61. Лыжник в начале спуска имел скорость v0 = 2 м/с. Спустившись с горки, образующей с горизонтом угол = 300, увеличил скорость до v1 = 12 м/с. Какова длина склона. Сопротивлением движению пренебречь.

1. Ускорение лыжника:

2. Кинематика спуска:

62. Тело соскальзывает с наклонной плоскости высотой h = 3 м и длиной L = 5 м. Чему равно его ускорение, если коэффициент трения = 0,5?

1. Угол наклона плоскости к горизонту:

2. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на направление движения:

63. Автомобиль массой m = 4 т движется в гору с ускорением а = 0,2 м/с2.

найти силу тяги, если синус угла наклона горы sin = 0,02, а коэффициент трения = 0,04.

1. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на направление движения F = 4 103 0,2 + 4 103 0,2(0,04 + 0,02) ;

64. Человек массой m = 70 кг находится в лифте, опускающемся со скоростью v = 1,2 м/с, с ускорением а = 2 м/с2, направленным вверх. Определить вес человека.

65. Некто поднимает себя вверх. Он принимается тянуть за веревку так, что сила его давления на пол люльки уменьшилась до 400 Н. Масса люльки кг, масса гуманоида 72 кг. Чему равно ускорение люльки? Чему равна сила натяжения троса, на котором подвешен легкий блок?

Рис. 65. Натяжение 3. Натяжение троса, на котором подвешена люлька, определится как:

4. Сила натяжения троса, на котором подвешен блок, будет равна удвоенному натяжению Т 66. Автомобиль массой m = 5 т движется с постоянной по модулю скоростью v = 36 км/ч по выпуклому мосту радиуса R = 100 м. Определить вес автомобиля при прохождении им верхней точки траектории.

67. Для измерения массы космонавта на орбитальной станции используется подвижное сиденье известной массы m0, прикрепленное к пружине. При одной и той же начальной деформации (сжатии) пружины пустое сиденье возвращается в исходное положение через время t0, если же на сиденье находится космонавт через время t> t0. Какова масса космонавта?

1. Предполагается, очевидно, что на орбитальной станции создаётся искусственное тяготение, путём ращения станции вокруг собственной оси с некоторой угловой скоростью. Если испытательное кресло соединено с пружиной, то по её деформации можно судить о исследуемой массе. При фиксироРис. 67. «Взвешивание»

ванных значениях массы и частоты вращения станции состояние равновесия наступит при равенстве силы упругости силе инерции. В этом случае второй закон Ньютона для пустого кресла и кресла с космонавтом можно записать так:

2. После очевидных сокращений получим:

3. Деля уравнения, друг на друга, и разрешая полученный результат относительно массы космонавта, придём к окончательному соотношению:

68. Найдите ускорение грузов массами m1 и m2, а так же силы натяжения невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через идеальный блок.

1. Поскольку нить нерастяжима и невесома, то её натяжение во всех точках будет одинаковым, т.е. Т1 = Т2 = Т, кроме того, грузы за одинаковое время проходят одинаковые расстояния т.е. движутся с одинаковыми ускорениями а1 = а2.

2. Второй закон Ньютона для движущихся тел Рис. 68. Ускорение грузов запишется следующим образом 3. Поделив уравнения системы одно на другое, получим 4 Подставим далее значение ускорения в первое уравнение системы и разрешим его относительно натяжения Т 69. Диск вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью = 2 рад/с. На каких расстояниях от оси вращения тело, расположенное на диске, не будет соскальзывать, если коэффициент трения между телом и диском = 0,2?

Рис. 69. Тело на вращающемся диске 3. Условие отсутствия скольжения тела по диску:

70. Автомобиль массой m = 1000 кг движется со скоростью v = 16,7 м/с по дороге, профиль которой показан на рис. 2.171. Определить силу давления Р автомобиля на дорогу в точках A, B, C, D, если R = 200 м, = 30о. Какова должна быть скорость автомобиля v0, чтобы он не оказывал давления на дорогу в точке D?

Рис. 70. Давление, оказываемое автомобилем 2. В точке В, когда автомобиль движется по закругленному участку траектории радиуса R к реальным силам добавится сила инерции, обусловленная возникновением нормального ускорения an 3. В точке С вектор ускорения свободного падения g составляет угол с направлением вектора нормального ускорения a n, поэтому:

4. В точке D вектор нормального ускорения совпадает по направлению с вектором ускорения свободного падения:

5. В точке D давление автомобиля на дорогу будет равно нулю при условии:

71. Если нажимать пальцем на шариковую ручку, опирающуюся на твердую поверхность, одновременно наклоняя ее, то, пока ручка образует малый угол с перпендикуляром к поверхности, она будет послушно следовать за пальцем руки. Как только угол наклона ручки превысит некоторое максимальное значение max, она выскользнет из-под пальца, как бы сильно или слабо ни нажимать на нее. Проведите эксперимент со своей ручкой и оцените коэффициент трения между шариком ручки и поверхностью, на которую она опирается.

1. Для анализа условий равновесия ручки рассмотрим шарик, к которому приложены все действующие силы и реакции связи. Будем полагать далее, что F >> mg, это позволит силу тяжести в дальнейших расчётах не учиты- Рис. 71. Устойчивость шариковой ручки вать. Сила трения в данном случае определится как 2. Условие равновесия, в проекции на горизонтальную ось, примет вид 3. Как видно из уравнения, скольжение шарика по бумаге, зависит от угла наклона ручки и коэффициента трения. Если лист бумаги положить на ровную горизонтальную поверхность, то скольжение начинается при 200, коэффициент трения при этом равен 0,36.

72. Однородная лестница массой m и длиной L опирается о стену, образуя угол с горизонтом. Найти момент силы трения FТр, относительно точки О.

1. Сила трения относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа, имеет отрицательный момент, т.к. он стремится вращать лестницу вокруг моментной точки по часовой стрелРис. 72. Момент силы трения ке.

2. Плечом силы является кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой, относительно которой определяется момент силы:

73. Балку длиной L = 10 м и массой m = 900 кг поднимают горизонтально на двух параллельных тросах. Найти силу натяжения тросов Т1 и Т2, если один из них укреплён на конце балки, а другой на расстоянии х = 1 м от другого конца.

Рис. 73. Подъём балки тросами 74. Вода массой m = 100 кг в водопаде скользит вдоль отвесной скалы, соприкасаясь с поверхностью s = 3 м2. Какое давление оказывает вода?

75. Цилиндр массой стоит вертикально на пружине в закрытом пенале, создавая давление на крышку N1 =20 H. Когда пенал перевернули, цилиндр стал давить на крышку с силой N2.= 40 H. Какова масса цилиндра?

будем рассматривать цилиндр как свободную точку (все три силы имеют одну и ту же линию действия и являются скользящими векторами). Целесообразно все три силы прикладывать в центре масс Рис. 75. Цилиндр в пенале цилиндра и рассматривать условия именно его равновесия. Запишем уравнения равновесия на вертикальную ось для случаев a и b 2. Сложим уравнения и определим массу цилиндра 76. В жидкости находится прямоугольная призма, размеры которой показаны на рисунке. Найдите сумму сил, действующих на переднюю и нижнюю грани призмы, если давление жидкости равно 2105 Па. Чему равна сумма сил, действующих на призму?

1. Ввиду незначительных размеров призмы по сравнению с предполагаемой глубиной погружения (Р = gh = 2105 Па) давление принимается постоянным по высоте призмы, т.е.

модуль равнодействующей этих, перпендикулярных сил определится теоремой Пифагора 2. В соответствии с законом Блеза Паскаля давление на элементарную площадку, находящуюся в жидкости не зависит от её ориентации. Применительно к призме, это означает, что сумма сил, действующих на грани должна быть равной нулю. Действительно, призма ведь неподвижна, поэтому 77. Изменится ли производимое при помощи гидравлического пресса давление, если воду заменить более тяжёлой жидкостью, например, ртутью?

1. Принцип действия гидравлического пресса так же основан на проявлении закона Блеза Паскаля. Если между двумя поршнями, большим и малым поместить жидкость и прикладывать к поршням силы, оставляя систему Рис. 77. Гидравлический пресс в равновесии, то вследствие закона Паскаля т.е. действие малой силы на больший по площади поршень, способно инициировать большую силу на поршне с малой площадью.

2. Как видно из последних соотношений, плотность жидкости в уравнения не входит, поэтому замена жидкости на параметры пресса не повлияет.

3. Уравнение Бернулли лежит в основе действия гидравлических тормозов современных автомобилей, состоящих из относительно большого по площади поршня, привод которого соединён с педалью тормоза и одного или нескольких малых поршней, прижимающих фрикционные элементы к колодкам или дискам.

78. Будет ли разница в действии гидравлического пресса на Земле и на Луне?

1. Земля и Луна ввиду неодинаковости масс и размеров отличаются величинами ускорения свободного падения, которое в уравнение пресса не входит что указывает на то, что разницы в параметрах пресса не возникнет.

поперечными сечениями наполнены водой. Площадь поперечного сечения узкого сосуда в n = Рис. 79. Два сосуда рассматривать как гидравлический пресс 80. Какая сила давления может быть получена на гидравлическом прессе, если к длинному рычагу, передающему давление на малый поршень, приложена постоянная сила F0 = 10 Н? Соотношение плеч рычага n = 9. Площади поршней равны: s1 = 5 см2; s2 = 500 см2; коэффициент полезного действия устройства = 0,9.

1. Сила, приложенная через рычаг к малому поршню 2. Используем далее уравнение гидравлического пресса с учётом КПД устройства 81. Гидравлическим прессом с отношением площадей поршней n =100 поднимают груз массой m = 1105 кг. Определить число ходов малого поршня за время = 60 с, если за один ход он опускается на расстояние h = 0,2 м. Мощность приводного двигателя N = 5103 Вт, КПД пресса = 0,8.

1. Работа, совершаемая при подъёме груза на высоту h 2. Энергия, затрачиваемая приводом 3. Уравнение гидравлического пресса в энергетическом представлении 82. Моторная лодка массой m и катер массой 2m движутся с одинаковыми скоростями v навстречу друг другу. Определить импульс катера в системе отсчёта, связанной с моторной лодкой.

83. Два одинаковых бильярдных шара движутся с одинаковыми по модулю скоростями v в перпендикулярном направлении. Чему равен импульс первого шара в системе отсчёта, связанной со вторым шаром?

84. На подножку вагонетки массой М = 240 кг, которая движется по рельсам с постоянной скоростью v = 5 м/с, прыгает человек массой m = 60 кг в направлении перпендикулярном движению вагонетки. Определить скорость вагонетки вместе с человеком.

1. Закон сохранения импульса в проекции на направление движения вагонетки:

85. Платформа с установленным на ней танком общей массой М = 200 m движется со скоростью v1 = 2,5 м/с. Из орудия танка выпущен снаряд массой m со скоростью v2 = 800 м/с относительно платформы. Определить скорость платформы после выстрела, если: а) выстрел произведён по направлению движения платформы; б) выстрел произведён под углом = Рис. 85. Выстрел танка с платформы 60о к направлению движения.

1. Запишем закон сохранения импульса для системы платформа, танк снаряд в случае выстрела по ходу движения платформы Отрицательный знак у результирующей скорости указывает на то, что платформа с танком после выстрела станет двигаться в сторону противоположную первоначальной.

2. В случае выстрела под углом = 60о к горизонту, уравнение закона сохранения импульса примет вид:

86. Какую работу совершает человек, поднимая груз массой m = 2 кг на высоту h = 1,5 м с ускорением а = 3 м/с2?

87. Автомобиль массой m = 1 т, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, за = 10 с отъезжает на s = 200 м. Определить работу силы тяги, если коэффициент трения = 0,05.

1. Ускорение автомобиля:

2. Работа силы тяги на заданном перемещении автомобиля:

88. Тело движется вдоль оси ОХ под действием силы, зависящей от координаты. Дана графическая зависимость проекции силы от координаты. Определить работу силы на пути s = 4 м.

89. Время разгона автомобиля до vm = 90 км/ч составляет = 5 с (круто!?).

Определить мощность, развиваемую двигателем к концу пятой секунды, если масса автомобиля m = 1200 кг.

1. Мощность в зависимости от скорости движения, без учёта сил сопротивления:

2. Ускорение автомобиля:

3. Сила тяги, обеспечивающей такое ускорение:

4. Развиваемая мотором мощность:

90. Тело движется в положительном направлении оси ОХ. На тело действует сила, проекция которой на ось зависит от координаты х (рис. 3.131). Определить работу силы к тому моменту времени, когда тело из начала координат переместится в точку с координатой: а) х1 = 4 м;б) х2 = 8 м.

1. В данном случае зависимость силы от координаты задана графически, в связи, с чем целесообразно всю функции разбить на пять прямолинейных участков, соответствующих пяти перемещениям 2. Работа на перемещениях х1 = 4 м и х2 = 8 м 91. Мяч брошен под углом = 600 к горизонту. Во сколько раз начальная кинетическая энергия мяча больше той, которую он имеет в верхней точке траектории?

92. Скорость свободно падающего тела массой m = 20 кг на некотором пути увеличилась от v1 = 2 м/с до v2 = 14 м/с. Определить работу силы тяжести на этом пути.

1. В природе существует многообразие форм движений: механическое, тепловое, электромагнитное и т.д. Одной из основных количественных характеристик всех форм движения служит энергия. Во всех канонах механики эпохи Ньютона отсутствует понятие энергии, понятие которое замыкает практически все современные физические теории, понятие, играющее роль великого судьи над новыми идеями и методами изучения Мира.

2. Проще всего об энергии можно сказать, что это некое универсальное представление, объясняющее почти всё в физике, химии и даже в биологии.

Отчасти это так и есть. Действительно, энергия и наша жизнь представляют такие хитросплетения, что часто создаётся впечатление их тождественности. В самом деле, основа всей нашей цивилизации топливо, вещества способные выделять энергию. В частности, хлеб наш насущный тоже представляет собой своеобразное топливо, в определённом смысле, такое же, как нефть, уголь, Солнце.

3. Следуя «жизненной логике» мы неминуемо приходим к сопоставлению понятий энергии и работы. «По жизни» известно, что для совершения работы надо обладать энергией. Это, казалось бы, становится очевидным с первого человеческого вздоха. Чтобы впервые наполнить лёгкие воздухом, надо совершить работу, увеличивая их объём. А наше сердце, этот неутомимый маленький насос, от его энергетических возможностей зависит благополучие всего организма, включая мозг.

4. Остаётся загадкой, почему Ньютон не пришёл к понятию энергии? А может быть он, опередивший в своих мыслях на многие годы остальных людей и оценивший человека, как такового, не захотел дарить этот мощнейший инструмент энергетический анализ законов, явлений и процессов. Кто теперь это сможет установить? Хотя до понятий энергии и работы, формально было подать рукой, они следовали из, всё того же основного закона динамики.

5. Запишем уравнение полной работы силы F на криволинейном перемещении L и второй закон Ньютона, выраженный через вектор импульса 6. Совместим уравнения:

7. Чтобы вычислить криволинейный интеграл необходимо установить зависимость между скоростью материальной и её импульсом. Эта очевидная взаимосвязь следует из уравнения работы. Проинтегрируем это уравнение работы:

8. Скалярная всегда положительная величина называется кинетической энергией материальной точки. Из уравнения работы, которое является математическим выражением теоремы об изменении кинетической энергии, следует: изменение кинетической энергии материальной точки на данном перемещении численно равно работе, производимой на этом перемещении внешними силами.

93. Автомобиль массой m = 2 т при торможении уменьшил скорость с v1 = 90 км/ч до v2 = 36 км/ч. Какую работу совершила сила трения?

94. Тело массой m 2 кг брошено с поверхности земли со скоростью v0 = 20 м/с под углом = 450 к горизонту. Какую работу произвела сила тяжести за время полёта тела от момента броска до момента падения на горизонтальную поверхность?

Рис. 94.1. Работа постоянной силы 2. Умножим правую и левую части уравнения на бесконечно малое переr мещение d r 3. Величина, Fd r называется элементарной работой силы F на перемещеr нии d r где угол между вектором силы и вектором перемещения. Из уравнения следует, что элементарная работа, определяемая скалярным произведением векторов, так же является скалярной величиной.

4. Введение в рассмотрение элементарной работы обусловлено необходимостью вычислений работы при движении точки по криволинейным траекториям, когда невозможно однозначно определить угол между перемещением и силой. В этом случае участок траектории, например 1 2, rразбивается на бесконечное число элементарных участков протяжённостью d r каждый, для которых угол легко определяется ввиду их прямолинейности. На каждом участке вычисляется элементарная работа, а затем работы суммируются Рис. 94.2. Работа силы при разных значениях угла интегралу 6. Этот криволинейный интеграл даёт возможность определять работу А силы F при перемещении точки по траектории L.Таким образом, работа в общем случае зависит от вида кривой.

7. Так, например, при перемещении точки по траекториям 1а2 и 1b2 одной и той же силой будут производиться разные работы. Численно, полная работа, исходя из геометрического смысла интеграла, равна площади, ограниченной кривой и горизонтальной осью, поэтому в рассматриваемом случае разность работ A1a 2 A1b 2 будет равна разности площадей соответствующих криволинейных трапеций.

8. В природе, в ряде случаев, встречаются Рис. 94.3. Полная работа силы, работа которых не зависит от вида траектории, а определяется только конечным и начальным положением точки. Такие силы называются потенциальными или консервативными.

9. Работа потенциальной силы на любой замкнутой траектории рана нулю 10. Если сила постоянна во времени, то уравнения для вычисления работы упростятся, причём для практического использования целесообразно перейти к координатной форме их записи.

11. Так как то уравнение работы можно переписать в координатной форме 11. Воспользуемся уравнением для вычисления работы силы тяжести. Пусть точка известной массы перемещается по произвольной траектории в плоскости {ox y } из начального положения 1 в конечное положение 2. Определим проекцию силы тяжести на координатные оси 12. Если криволинейную траекторию аппроксимировать большим количеством вертикальных и горизонтальных прямых, то очевидно что элементарная работа силы тяжести Рис. 94.4. Работа силы тяжести на горизонтальных перемещениях будет равна нулю, т.е. на перемещении вдоль оси ох от х1 до х2 суммарная работа так же будет нулевой.

13. Подставляя значение проекций силы тяжести в уравнение работы, получим:

14. Как видно из полученного уравнения, работа силы тяжести не зависит от того, по какой траектории перемещается точка, а определяется исключительно значением h = y 2 y1, другими словами сила тяжести является потенциальной.

15. В рассматриваемом случае при движении тела из точки О в точку С будет совершаться работа против силы тяжести (cos > /2), т.е. работа будет отрицательной, а при движении тела из точки С в А, (cos < /2), работа совершается силой тяжести, т.е. она положительна, Другими словами:

95. Сначала тело поднимают из шахты, глубина которой равна половине радиуса Земли h1 = 0,5R, а затем поднимают над поверхностью на высоту h2 = h1= 0,5R. Определите, в каком отношении будут находиться совершённые работы.

что позволяет интеграл работы записать следующим образом 3. Гравитационная сила и её работа на втором этапе подъёма на высоту h тела будут равны 4. Определим отношение работ на первом и втором этапах подъёма:

Рис. 96. Подъём бревна 1. Подъём бревна, по сути, является вращением вокруг оси Z, которая проходит через точку О перпендикулярно плоскости чертежа, уравнение моментов относительно этой оси можно записать следующим образом:

откуда:

2. Условие равновесия бревна в проекции на горизонтальную ось 3. Работа при постановке бревна в вертикальное положение численно будет равна изменению потенциальной энергии центра масс бревна, который будет находиться на его середине:

97. Однородная балка массой М подвешена на двух пружинах разной жёсткости k1 и k2 соответственно. К балке повешен груз m. Пружины в свободном состоянии имеют одинаковую длину. Найти силы упругости пружин при горизонтальном положении балки?

1. Условие горизонтального расположения балки 2. Уравнение равновесия балки в проекции на вертикальную ось откуда 3. Найдём силы упругости 98. На шероховатой горизонтальной поверхности лежит доска длиной L и массой М. Коэффициент трения между доской и поверхностью. Какую работу совершает горизонтальная сила при повороте доски на угол = 360о вокруг вертикальной оси, проходящей через её середину?

1. К концам доски необходимо приложить пару сил, момент которой компенсировал бы момент, возникающий вследствие проявления сил трения. Работа при повороте тела на угол вокруг неподвижной оси Z определяется уравнением:

2. Момент действующей силы должен быть равен моменту силы трения относительно вертикальной неподвижной оси Z 3. Работа при повороте на угол = определится как:

99. Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы забить гвоздь длиной L = 0,05 м? Сила сопротивления со стороны доски пропорциональна глубине его погружения F = kx, где k = 104 Н/м. Всем гвоздя можно пренебречь.

1. Поскольку сила сопротивления при забивании гвоздя изменяется от нудя до некоторого максимального значения, пропорционального длине L, то работа силы сопротивления запишется следующим образом:

100. Нить длины L с привязанным к ней шариком массы m отклонили на 90° от вертикали и отпустили. На каком наименьшем расстоянии под точкой подвеса нужно поставить гвоздь, чтобы нить, налетев на него, порвалась? Нить выдерживает силу натяжения Т.

1. Шарик маятника первоначально движется по окружности радиуса L, а после касания нити подвеса гвоздя по окружности радиуса L-x. Нормальное ускорение an = v2/L будет максимальным в точке В, когда вся потенциальная энергия преобразуется в кинетическую. Натяжение нити запишется в виде 2. Скорость шарика в точке В определим, используя закон сохранения энергии 3. Подставим значение скорости в первое равенство и разрешим полученное уравнение относительно искомого расстояния х 101. Угол наклона плоскости к горизонту = 300. Вверх по этой плоскости тащат ящик массой m = 90 кг, прилагая к нему силу F =600 Н, направленную параллельно плоскости. Найти коэффициент полезного действия плоскости.

102. С помощью рычага длиной l = 150 см подняли груз на высоту h = см. Какая работа при этом была совершена, если КПД устройства = 0,95?

103. Теплоход длиной L = 100 м движется прямым курсом в неподвижной воде со скоростью v1 = 10 м/с. Катер, имеющий скорость v2 = 15 м/с, проходит расстояние от кормы движущегося теплохода до его носа и обратно. Сколько времени затратит катер на этот маневр?

104. При скорости v1 = 90 км/час легковой автомобиль начинает обгон трейлера, движущегося со скоростью v2 = 72 км/час. Обгон начинается когда расстояние между автомобилями равно s1 = 20 м, легковушка возвращается после обгона в свой ряд, когда удаляется от трейлера на расстояние s2 = 15 м. Определить время обгона, если длина легкового автомобиля составляет L1 = 4 м, а длина трейлера L2 = 16 м 1.Поскольку автомобили движутся в одном направлении, то их относительная скорость определится как 2. В общей сложности маневр обгона займёт расстояние 3. Время, необходимое для обгона 105. По гладкой наклонной плоскости пустили снизу вверх груз с начальной скоростью v0 = 0,6 м/с, после чего он за время 1 = 1 с переместился на расстояние L = 0,4 м от точки старта. Через какое время после начала движения груз снова попадёт в это положение?

Рис. 105. Движение по наклонной плоскости 3. Время движения от точка А до точки В до остановки 4. Время спуска из В в А равно времени подъёма из А в В 5. Искомое время движения:

106. По одному направлению из одной точки с интервалом времени t = 6 с начали двигаться два тела: одно со скоростью v1 = 5 м/с, а другое равноускоренно без начальной скорости с ускорением а = 2 м/с2. Через какое время второе тело догонит первое тело?

1. Условие равенства координат тел:

107. Теплоход длиной L = 300 м движется прямолинейно по глади озера со скоростью v1. Катер, имеющий скорость v2 = 90 км/час проходит расстояние от носа до кормы движущегося теплохода и обратно за время t = 37,5 с. Какова скорость теплохода?

1. Запишем уравнение для общего времени движения катера вокруг теплохода:

2. Преобразуем полученное уравнение следующим образом:

3. Разрешим последнее уравнение относительно искомой скорости v1:

108. Два спортсмена тренируются на беговой дорожке длиной L = 400 м.

Первый бегун проходит круг за t1 = 50 c, а второй за t2 = 60 c. Сколько раз спортсмены встретятся при забеге на L0 = 4 км при одновременном старте и беге в одном направлении.

1. Определим скорости бега спортсменов:

2. Найдём время пробега заданной дистанции L0:

3. Разница времени прохождения заданной дистанции:

4. Расстояния, пробегаемые спортсменами за время t:

5. Разность проходимых дистанций:

6. Поскольку s < L, то первый спортсмен обгонит второго на заданной дистанции только один раз.

109. За легковым автомобилем, движущимся по трассе со скоростью v1 = 54 км/час, на расстоянии s1 = 20 пристроился автобус, несущийся со скоростью v2 = 90 км/час. С каким минимальным ускорением легковушка должна пойти в отрыв, чтобы интервал между бамперами машин оставался не менее s2 = 5 м? Считать движение автобуса равномерным, а легкового автомобиля равноускоренным.

1. Запишем уравнения движения легкового автомобиля с учётом необходимости сохранения расстояния 2. Выразим из уравнения скорости время t и подставим это значение в уравнение пути 110. Мимо поста доблестной ДПС пронёсся джип с постоянной скоростью v1 = м/с. ровно через время t = 120 c от поста ДПС отправляется в том же направлении другой автомобиль, который в течение t1 = 25 с движется равноускоренно, а по достижении скорости v2 = 25 м/с продолжает движение с постоянной скоростью. На каком расстоянии, отсчитываемом от времени начала движения второго автомобиля, он нагонит первый автомобиль и сколько времени для этого потребуется?

1. Автомобиль, движущийся всё время с постоянной скоростью v1 за время относительно времени старта второго автомобиля до места их встречи пройдёт расстояние 2. Второй автомобиль, с двумя режимами движения до места встречи пройдёт расстояние 3. Величину ускорения второго автомобиля, стартующего без начальной, скорости определим из уравнения для скорости равноускоренного движения 4. Подставим значение ускорения в уравнение движения второго автомобиля 5. Из условия равенства координат в момент времени tB, когда второй автомобиль догонит первый автомобиль, можно записать откуда 6. Решая последнее уравнение относительно tB, получим 7. Место встречи определится уравнением 111. Аэростат поднимается с земли с ускорением а = 2 м/с2 вертикально вверх без начальной скорости. Через t = 20 с после начала движения из него выпал предмет. На какой максимальной высоте побывал выпавший предмет?

1. Высота, на которой выпал предмет:

2. Выпавший предмет в момент отрыва от аэростата имеет начальную скорость:

3. Время подъёма предмета в высшую точку своей траектории:

3. Высота подъёма предмета в свободном полёте 4. Максимальная высота подъёма:

112. В течение = 20 с ракета поднимается с постоянным ускорением а = м/с2, после чего двигатели выключаются. На какой максимальной высоте побывала ракета?

1. Скорость ракеты в момент выключения двигателей:

2. Высота подъёма ракеты на двигателях:

3. Время движения ракеты с выключенными двигателями (по инерции):

4. Высота подъёма ракеты после выключения двигателей:

5. Максимальная высота подъёма ракеты:

113. Из брандспойта, расположенного около поверхности земли, вырывается струя воды со скоростью v0 = 10 м/с. Брандспойт медленно вращается вокруг вертикальной оси. Одновременно с этим меняется угол его наклона к земле. Определить максимальную площадь, которую может оросить брандспойт.

1. Максимальная дальнобойность будет иметь место при угле наклона к горизонту = 2. Максимальная площадь орошения:

114. Зная ускорение свободного падения на поверхности Земли (g м/с2) и радиус планеты R 6400 км, определить среднюю плотность планеты.

115. Известно, что Солнце притягивает любую точку на поверхности Земли сильнее чем Луна. При этом явление приливов и отливов вызвано главным образом действием Луны, а не Солнца. Почему?

определится уравнением:

3. Сила взаимодействия водного слоя нашей планеты с Луной:

4. Соответствующие нормальные (центростремительные) ускорения:

т.к. r >> R, то уравнение разности центростремительных ускорений можно упростить:

5. Значение r для Луны составляет, примерно, r 60R, в то время как для Солнца r 25000R. Величина r3 для Солнца будет больше, чем для Луны в 7,5107 раз, в то время, как масса Солнца больше массы Луны всего в 2, раз. Другими словами действие Луны почти в три раза больше действия Солнца, отсюда и превалирование приливного действия именно Луны.

116. Ракета поднимает тело на высоту h = 5105 м над поверхностью Земли. Каково ускорение свободного падения на этой высоте? С какой скоростью нужно бросить тело перпендикулярно земному радиусу, чтобы оно описало окружность вокруг Земли? Каков при этом период обращения тела?

1. Запишем уравнение для силы тяжести для тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли 2. Чтобы тело описало круговую траекторию вокруг планеты и не свалилось не её поверхность, нормальное ускорение этого Рис. 116. Искусственный спутник тела должно обеспечивать силу инерции, компенсирующую силу притяжения 3. Период обращения такого спутника 117. По одной из гипотез геофизиков Земля состоит из железоникелевого ядра и каменной оболочки. Плотность ядра 0 8103 кг/м3, плотность оболочки 1 3103 кг/м3. Найти примерный радиус предполагаемого ядра.

1. Двухслойная модель строения Земли предполагает, что силу притяжения можно рассматривать в виде суммы притяжений ядра и оболочки:

где М1 масса ядра, М2 масса оболочки, m масса тела, R радиус Земли. Суммарная сила притяжения представится в виде:

или, полагая вес тела примерно равным силе притяжения, получим:

2. Выразим массы ядра и оболочки через их плотности и размеры:

откуда:

118. Какой высоты колокольню необходимо построить на экваторе Земли, чтобы тела на её вершине были невесомыми?

экваторе помимо прочего определяется величиной нормального ускорения, возникающего вследствие вращения Земли вокруг собственной оси. В рассматриваемом Рис. 118. Башня на экваторе 119. Радиус земной орбиты при вращении вокруг Солнца составляет r 1,51011 м, радиус Солнца R 7108 м. Определить по этим данным среднюю плотность Солнца.

3. Совмещая уравнения для нормального ускорения, получим:

120. Спутник движется в околоземном пространстве по круговой орбите, радиус которой вдвое больше земного радиуса. Зная массу Земли М кг, найти период обращения спутника.

1. Условие нахождения спутника на круговой орбите 121. На экваторе некой планеты тела весят в два раза меньше, чем на полюсах. Период собственного вращения равен Т. Определить величину средней плотности вещества планеты, считая её однородным шаром.

1. Вес тела на полюсах планеты обусловлен исключительно гравитационными эффектами 2. На экваторе планеты необходимо учитывать её вращение, которое приводит к появлению нормального ускорения и центробежной силы инерции 3. По условию задачи Р1 = Р0/2, а масса планеты M 4R 3, тогда 122. Зная расстояние от Земли до Солнца L 1,51011 м и параметры движения Земли, определить массу Солнца.

1. Условие нахождения Земли на круговой орбите 2. Найдём угловую скорость движения Земли вокруг Солнца 3. Определим массу Солнца 123. Определить массу груза, который нужно выбросить с аэростата, опускающегося равномерно вниз, чтобы он стал с такой же по модулю скоростью подниматься вверх. Общая масса аэростата и груза М = 1100 кг. Сила Архимеда, действующая на аэростат, равна FA = 10 кН. Сила сопротивления при подъёме и спуске одинакова.

1. Разность сил, действующих на аэростат:

2. Условие безразличного равновесия аэростата:

3. Условие подъёма аэростата с прежней скоростью:

124. С вершины наклонной плоскости высотой h = 5 м, наклонённой под углом = 450 к горизонту, начинает соскальзывать тело. Определить скорость тела в конце спуска, если коэффициент трения скольжения тела о плоскость равен = 0,19.

1. Протяжённость спуска:

2. Работа, производимая силой трения на спуске:

3. Закон сохранения энергии:

125. Телу толчком сообщили скорость, направленную вверх вдоль наклонной плоскости. Найти величину ускорения тела, если высота наклонной плоскости h = 4 м, а её длина L = 5 м, коэффициент трения = 0,5.

1. Угол наклона плоскости к горизонту:

2. Уравнение второго закона Ньютона на направление движения тела:

126. С какой наибольшей скоростью может двигаться автомобиль на повороте радиусом R = 10 м, чтобы не возникло его заноса (проскальзывания), если коэффициент трения шин об асфальт равно = 0,8?

1. При проходе автомобилем поворота радиуса R, возникает нормальное ускорение a n, направленное к оси вращения, проходящей перпендикулярно плоскости через точку О. Сила инерции, имеющая противопоr ложное a n направление, появляется не как результат взаимодействия тел, а как специфика криволинейного движения. Это проис- Рис. 126. Автомобиль на повороте ходит вследствие изменения направления вектора скорости, тем не менее, условие отсутствия движения юзом можно записать следующим образом:

127. Байк движется без заноса по горизонтальному закруглению, отклонившись от вертикали на угол = 23о. Оценить возможные значения коэффициента трения шин мотоцикла о поверхность дороги.

1. Если массу движущегося мотоцикла вместе с байкером обозначить как m, а радиус описываемой в горизонтальной плоскости криволинейной траектории как r, коэффициент трения шин, то можно выr делить следующие силы: силу тяжести mg, нормальную реакцию связи N, силу трения FR, которая в данном случае по модулю должна быть равна фиктивной силе инерции Fi = mv2 r.

2. Так как то условие движения без заноса представится следующим образом 3. Чтобы мотоцикл не упал, линия действия равнодействующей должна проходить через центр масс мотоцикла, при этом 128. Нить, перекинутая через блок с неподвижной осью, пропущена через щель. На концах нити подвешены грузы, масса которых m1 и m2. Определите ускорения грузов и натяжение нити, если при движении нити на нее со стороны щели действует постоянная сила трения Ft.

1. Ввиду невесомости и не растяжимости нити, а так же, идеальных свойств блока (отсутствие потерь и малый вес) задачу Рис. 128. Блок 3. Совместное решение системы уравнений (2) даёт следующую величину ускорения 4. Подстановка ускорения в первое уравнение системы позволяет определить натяжение нити 129. На вершине наклонной плоскости с углом наклона = 300 установлен неподвижный идеальный блок, через который переброшена нить, к концам которой прикреплены грузы. Груз массой m1 = 5 кг скользит по гладкой наклонной плоскости, а другой груз, массой m2 = 3 кг движется по вертикали. Определить ускорение грузов.

3. Выражая из второго уравнения системы силу натяжения и подставляя это значение в первое уравнение, получим:

130. Определить угловую скорость конического маятника с нитью подвеса длиной L = 5 см, когда нить образует угол = 600 с вертикалью.

1. Треугольники АОВ и АСD подобны, из чего следует:

131. Гирька массой m = 0,1 кг, привязанная к резиновому шнуру, вращается с угловой скоростью = 10 рад/с по круговой траектории в горизонтальной плоскости так, что шнур с коэффициентом упругости k = 40 Н/м составляет с вертикалью угол = 600. Определить длину нерастянутого шнура.

1. Из подобия треугольников ОВА и ACD:

2. Натяжение шнура численно равно силе упругости:

3. Длина растянутого силой инерции шнура:

4. Радиус круговой траектории определится из условия:

5. Длина нерастянутого шнура:

132. К стене под углом = 450 прислонена лестница массой m = 15 кг.

Центр тяжести лестницы находится на расстоянии 1/3 длины от верхнего её конца. Какую горизонтальную силу нужно приложить к середине лестницы, чтобы верхний её конец не оказывал давления на стену?

1. Так как изначально лестница находится в покое, то сумма моментов приложенных к ней сил относительно произвольной оси должна быть равна нулю:

Рис. 132. Лестница у стены 133. Определить силу давления жидкости плотностью = 800 кг/м3 на боковую стенку закрытого кубического сосуда объёмом V = 8 м3, полностью заполненного жидкостью.

1. Высота столба жидкости:

2. Давление на стенку сосуда:

3. Сила давления на вертикальную стенку:

134 Почему сосиски и сардельки, изготовленные из натуральных продуктов, при помещении их в кипяток лопаются преимущественно вдоль, а не поперек?

ходит вследствие повышения давления p внутри оболочки. Рассмотрим цилиндрическую часть сосиски. Цилиндр можно представить как прямоугольник АВСD с площадью s1 = L2R. Сила, отнесённая к единице длины цилиндрической части сосиски определится как:

3. Определим аналогичную силу, действующую на единичную длину полусфер 4. Таким образом, за концы сосиски можно не переживать, для их разрыва нужна в два раза большая сила, чем для цилиндрической части.

5. Рассмотрим далее два элементарных слоя цилиндрической поверхности сосиски шириной x при L 10 cм и R 0,7 см. Один слой расположен вдоль образующей цилиндра, а второй по круговому периметру. Длина окружности при выбранных размерах составляет l = 2R = 4,76см, в то время как L = см. Другими словами, сила, отнесённая к единице длины вдоль сосиски, будет в 2.1 раза меньше, чем сила в поперечном сечении, потому и лопнет вдоль, а не поперёк.

135. Чему равна плотность керосина 1, если плавающий в нём сплошной деревянный куб, плотностью 2 = 700 кг/м3, с длиной ребра х = 8 см выступает над поверхностью жидкости на х = 1 см?

1. Условие плавания кубика в керосине:

136. Какой наибольший груз может перевозить по воде бамбуковый плот площадью s = 10 м2 и толщиной h = 0,5 м, если плотность бамбука 1 = кг/м3, а плотность воды 2 = 103 кг/м3?

137. Космический корабль массой М = 3000 кг в глубоком космосе начал разгон в межпланетном пространстве, выбрасывая из сопла ракетного движителя = 3 кг/с газов со скоростью v = 600 м/с. Какова будет скорость корабля через = 20 с после начала разгона? Изменением массы корабля и влиянием гравитационных сил пренебречь.

1. Всё началось в Древнем Китае. В 682 г. н.э. китайский алхимик Сунн Сымяо впервые описал горючую смесь, состоящую из селитры, серы и опилок. По сути это было описание пороха, который успешно использовался при организации фейерверков.

2. В 808 г. другой китайский химик Цинь Сюйцзы предложил опилки заменять древесным углем, что, по мнению автора, повышало эффективность полёта развлекательных «ракет». Известно, что принцип реактивного движения использовался за долго до упомянутых описаний, естественно, без каких бы то ни было теоретических интерпретаций.

3. В Китае до VI в. н.э. существовали специализированные мастерские по производству пороховых ракет. Полёт бамбуковых цилиндров с горючей смесью, с позиций современных представлений можно представить как движение тела с переменной массой. На рис. 137.1 приведены примеры некоторых движущихся объектов, масса которых изменяется в процессе движения.

4. Эта разновидность движения, распространённая в живой природе, заинтересовала механиков-теоретиков относительно недавно, при попытках описания реактивных принципов движения. Эти принципы используются кальмарами, осьминогами, каракатицами, наутилусами и ещё целым рядом подводных обитателей.

5. Когда в классической механике говорят о переменной массе, то подразумевают, что изменение массы происходит не как следствие движения, а как процесс, обеспечивающий это движение.

6. При рассмотрении движения объектов со скоростями соизмеримыми со скоростью света (с 3108 м/с), например, в теории относительности, полагается, что масса находится в зависимости от скорости, причём изменения массы происходят не за счёт притока или оттока вещества. Далее будут рассматриваться движения, происходящие со скоростями значительно меньшими скорости света. Изменение массы в виде потерь и приобретений происходит за счёт изменения во времени количества вещества.

7. Получим на основе второго закона Ньютона уравнение движения материальной точки с переменной массой, используя в качестве модели реактивный принцип движения, например ракету. В ракетном двигателе обеспечиваются условия выброса с большой скоростью продуктов сгорания топлива в направлении противоположном движению аппарата.

8. На основании третьего закона Ньютона к ракете будет приложена сила, противоположная силе, возникающей при истечении из сопла продуктов сгорания топлива высокоскоростного газового потока. Ракета, при этом будет получать ускорение. Во многих случаях реактивного движения ракету можно рассматривать как замкнутую материальную систему, импульс которой не изменяется во времени. Эта концепция и положена в основу дальнейших рассуждений.

9. Следует заметить, что такая постановка вопроса не совсем корректна, потому что главный вектор внешних сил, приложенный к ракете или к реактивному самолёту не эквивалентен нулю. На эти аппараты действуют силы гравитации и силы сопротивления. Однако для выяснения принципиальных принципов реактивного движения этим можно поступиться.

10. Рассмотрим в качестве примера горизонтально летящий реактивный самолёт (рис. 6.22), обладающий массой m(t), которая изменяется во времени за счёт сгорания топлива.

11. В произвольный момент времени t самолёт имел скорость v, а его p 0 = mv. Через бесконечно малый промежуток времени dt Мааса и скоРис. 137.2. Реактивное движение рость самолёта получают приращения dm и dv, причём масса имеет отрицательный знак, т.к. связана со сгоранием некоторого количества топлива. Импульс самолёта через время dt представится следующим образом 12. Для записи уравнения закона сохранения импульса к уравнению необходимо добавить импульс газов, образовавшихся за время dt 13. Из суммарного импульса самолёта и газов, при записи уравнения закона изменения импульса системы, самолёт газы необходимо вычесть начальный импульс самолёта в момент времени t 14. При раскрытии скобок в уравнении следует иметь в виду, что произведение dmdv представляет собой бесконечно малую величину высшего порядка, ей можно пренебречь. Следуя далее принципу сохранения массы, можно записать Это обстоятельство позволяет исключить из уравнения массу газов dmg, с друr vr гой стороны величина v отн = v g v представляет собой относительную скорость истечения газов. С учётом этих предпосылок уравнение закона сохранения импульса перепишется в более простом виде:

15. Полученное уравнение совпадает с известной формой записи второго закона Ньютона, правда, здесь имеет место масса, зависящая от времени. Кроr ме того, к внешней силе F добавляется ещё одна величина, имеющая размерность силы, имеющая смысл реактивной силы тяги, т.е. силы с которой газы действуют на самолёт. Уравнение впервые было получено Иваном Васильевичем Мещерским, профессором Ленинградского политехнического института в 1902 г. Применим к уравнению Мещерского закон сохранения импульса, полаr гая F = 16. В проекции на направление движения самолёта уравнению можно придать скалярную форму 17. Дифференциальное уравнение легко интегрируемо в предположении постоянства скорости истечения газов, в этом случае разделяются переменные 18. Постоянную интегрирования С определим, используя начальные условия: предположим, что при старте самолёта его масса m0, а скорость равна нулю откуда Подставим далее значение постоянной интегрирования С:

или 19. Уравнение впервые предложил Константин Эдуардович Циолковский и использовал его для вычисления необходимого запаса топлива для сообщения ракетам необходимой скорости. Если ракете необходимо сообщить первую космическую скорость v1 8 км/с, то при истечении газов со скоростью vотн = 1 км/с отношение масс в уравнении Циолковского m0/m 2980, т.е. вся масса ракеты, практически приходится на топливо.

20. В современных ракетных технологиях относительная скорость истечения газов не превосходит величины vотн 5 км/с, что делает ракеты на химическом топливе совершенно не пригодными для путешествий к звёздам, если предполагать ещё и возвращение экипажа.

21. Уравнение Циолковского позволяет получить величину скорости, максимально достижимую ракетой где m0 стартовая масса ракеты, mт масса топлива.

22. Применительно к условиям данной задачи уравнение закона сохранения импульса системы ракета истекающие из сопла газы принимает вид:

138. Боеголовка ракеты разрывается в наивысшей точке траектории на расстоянии L по горизонтали от пусковой установки на два одинаковых фрагмента. Один из них вернулся к месту запуска по первоначальной траектории.

Где упал второй фрагмент?

1. Чтобы фрагмент ракеты вернулся в точку О необходимо, в отсутствие сопротивления сообщить ему ту же скорость, с которой к точке С подлетел снаряд, но с обратным знаком, т.е. первый фрагмент должен после разрыва полететь горизонтально в направлении обратном первоначальному, до разрыва.

Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось позволят в данном случае сразу определить скорость второго осколка, которая обязана быть направлена по направлению первоначального полёта снаряда в точке С откуда 2. Как известно из кинематических соотношений, время падения тел зависит, без учёта сопротивле- Рис. 138. Разделение боеголовки ния, только от высоты, т.е.

3. Вдоль оси ох движение любого тела брошенного горизонтально, а именно этот тип движения имеет место после разрыва снаряда, происходит с постоянной скоростью 4. Таким образом, от места старта второй осколок упадёт на расстоянии 139. Артиллерист стреляет из пушки ядром массы m так, чтобы оно упало в неприятельском лагере. На вылетевшее из пушки ядро вскакивает небезызвестный барон Мюнхгаузен, масса которого составляет 5m. Какую часть пути до неприятельского лагеря барону придётся идти пешком?

1. Предположим, что барон оседлает ядро сразу после его вылета из пушки, при этом скорость ядра v уменьшится до величины v2 вследствие увеличения массы. Закон сохранеРис. 139. Полёт на пушечном ядре ния импульса в проекции на горизонтальную ось запишется так:

2. Запишем далее кинематические соотношения для дальности полёта ядра х1 и ядра с бароном х2, считая их телами, брошенными под углом к горизонту 3. Перепишем уравнение для х2 с учётом значения скорости 4. Если дальность полёта ядра без барона принять за единицу, то пешую часть пути в общем виде можно представить следующим образом:

140. Груз массой m = 0,1 кг привязан к невесомой нерастяжимой нити длиной l = 1м. Нить с грузом отклоняют на угол 1 = 900. Определить модуль центростремительного ускорения в момент, когда нить будет составлять с вертикалью угол 2 = 1. Закон сохранения энергии позволяет определить скорость груза в заданной точке траектории:

2. Нормальное (центростремительное) ускорение груза:

141. Труба газопровода имеет диаметр R = 0,9 м. С верхней точки трубы А соскальзывает льдинка. В некоторой точке трубы В льдинка отрывается от поверхности. Какова разность высот h точек А и В?

3. За нулевой уровень потенциальной энергии примет середину трубы, т.е.

точку, отстоящую от А на расстоянии R. В соответствии с законом сохранения энергии в точке B сумма кинетической и потенциальной энергии частицы должна быть равна её потенциальной энергии в верхней точке полусферы:

4. Из геометрических соображений:

2. Молекулярная физика. Газовые законы 142. В озеро, имеющее глубину h = 10 м и площадь поверхности s = 20 км2, бросили кристаллик поваренной соли массой m1 = 0,01 г с молярной массой = 0,0585 кг/моль. Сколько молекул этой соли оказалось бы в напёрстке вместимостью V2 = 2 см3, зачёрпнутой из озера, если полагать, что соль, растворившись, равномерно распределилась во всём объёме воды.

1. Количество молекул соли в озере:

2. Определим концентрацию молекул соли в озере:

3. Количество молекул соли в напёрстке:

143. В баллоне содержится m = 80 г газа при температуре Т1 = 240 К. Какую массу газа нужно удалить из баллона, чтобы при нагревании газа до температуры Т2 = 360 К, давление в баллоне осталось неизменным?

1. Процесс изменения состояния газа изохорный V = const, причём р1 = р2:

144. Некоторое количество водорода находится при давлении р1 = 400 Па и температуре Т1 = 200 К. Газ нагревают до температуры Т2 = 104 К, при которой происходит диссоциация молекул и весь молекулярный водород переходит в атомарное состояние. Определить давление газа, если его объём и масса не изменяются. Молярная масса водорода = 0,002 кг/моль.

1. По окончании процесса диссоциации молекул число структурных элементов в объёме удваивается:

Рис. 145. Изотермическое сжатие Рис. 146.Изохорный процесс 147. При уменьшении объёма газа в 2 раза давление изменилось на р = 120 кПа, абсолютная температура возросла на 10%. Каково первоначальное давление газа?

148. Когда объём, занимаемый газом, уменьшили на = 40%, а температуру понизили на t = 84 0С, давление возросло на 20%. Определить начальную температуру газа.

149. В изохорном процессе давление идеального газа увеличивается на р = 50 кПа. На сколько при неизменной массе газа увеличится температура, если первоначальное давление составляло р1 = 200 кПа, а первоначальная температура Т1 = 300 К?

150. При постоянной температуре давление идеального газа уменьшилось в 9 раз. Что при этом произошло с объемом газа?

1. Изотермический процесс удовлетворяет уравнению:

т.е. объём газа увеличится в 9 раз.

151. Два сосуда соединены тонкой трубкой с краном. В первом сосуде объмом V1 = 15 дм3 находится газ под давлением р1 = 2 атм., во втором сосуде такой же газ под давлением р2 = 10 атм. Если кран открыть, то в обоих сосудах устанавливается давление р0 = 4 атм. Найти в дм3 объём второго сосуда, считая температуру постоянной.

152. Под каким давлением надо наполнить воздухом баллон ёмкостью V1 = 10 л, чтобы при соединении его с баллоном ёмкостью V2 = 30 л, содержащим воздух при давлении р2 = 100 кПа, установилось давление р0 = 200 кПа Процесс протекает при постоянной температуре.

153. В помещении при относительной влажности = 0,6 парциальное давление водяного пара составляет pп =2400 Па. Определить давление насыщенного пара при данной температуре.

154. Определить абсолютную влажность воздуха при температуре t = 15 0С и относительной влажности = 0,8. Плотность насыщенного пара при данной температуре составляет нп = 12,8 г/м3.

155. Воздушный шар имеет газонепроницаемую оболочку массой М = кг и содержит m = 100 кг гелия. Какой груз он может удерживать на высоте, где температура воздуха t = 17 0С и давление р = 105 Па? Молярная масса воздуха 1 = 0,029 кг/моль, молярная масса гелия 2 = 0,004 кг/моль. Считать, что оболочка шара не оказывает сопротивления изменению объёма.

1. Объём воздушного шара:

2. Плотность воздуха при заданных условиях:

3. Условие равновесия шара на заданной высоте:

156. Воздушный шар с газонепроницаемой оболочкой массой М = 400 кг заполнен гелием. На высоте, где температура окружающего воздуха составляет t = 17 0С и давление р = 105 Па, шар может удерживать массу mx = 225 кг.

Какова масса гелия m в оболочке шара? Молярная масса воздуха 1 = 0, кг/моль, молярная масса гелия 2 = 0,004 кг/моль. Считать, что оболочка шара не оказывает сопротивления изменению объёма.

1. Объём воздушного шара:

2. Плотность воздуха при заданных условиях:

3. Условие равновесия шара на заданной высоте:

157. Воздушный шар объёмом V = 2500 м3 с массой оболочки М = 400 кг имеет внизу отверстие, через которое воздух в шаре нагревается горелкой.

Какую максимальную массу может поднимать шар, если воздух в нём нагреть до температуры t2 = 77 0C при температуре окружающего воздуха t1 = 7 0C и при плотности окружающего воздуха 1 = 1,2 кг/м3. Оболочку шара считать нерастяжимой.

1. Давление на заданных высоте и температуре:

2. Плотность нагретого воздуха внутри шара:

3. Масса нагретого воздуха 4. Условие равновесия шара в заданных условиях:

158. Воздушный шар объёмом V = 2500 м3 имеет внизу отверстие, через которое воздух в шаре нагревается горелкой. Если температура окружающего воздуха t1 = 7 0С, а его плотность 1 = 1,2 кг/м3, то при нагревании воздуха в шаре до температуры t2 = 77 0С шар поднимает груз с максимальной массой mx = 200 кг. Какова масса оболочки? Оболочку шара считать нерастяжимой.

1. Давление на заданных высоте и температуре:

2. Плотность нагретого воздуха внутри шара:

3. Масса нагретого воздуха 4. Условие равновесия шара в заданных условиях:

159. В цилиндре под поршнем площадью s = 100 см2 находится m = 28 г азота при температуре Т1 = 273 К. Цилиндр нагревают до температуры Т2 = 373 К. На какую высоту поднимется поршень массой M = 100 кг? Атмосферное давление р0 = 105 Па, молярная масса азота = 2,810 3 кг/моль.

давление под поршнем будет оставаться постоянным, потому что будет изменяться объём. Для Рис. 159. Азот под поршнем 3. Разность объёмов представится следующим образом:

160. Температура воздуха в цилиндре t1 = 7 0С. На сколько переместится поршень при нагревании воздуха на Т = 20 К, если вначале расстояние от дна цилиндра до поршня было равным h1 = 0,14 м?

161. В цилиндре под поршнем площадью s = 10 cм2 находится газ. Чтобы поршень оставался в покое при увеличении температуры газа в 2 раза на поршень нужно поставить дополнительный груз массой m = 10 кг. Чему было равно начальное давление?

162. Газ находится в вертикальном цилиндре массой M = 5 кг и площадью s = 10 3 м2. Груз какой массы нужно положить на поршень, чтобы он оставался в том же положении при увеличении температуры газа в 2 раза. Внешнее атмосферное давление нормальное.

находится столбик ртути длиной h. Если трубку поставить вертикально, то ртуть сместится на расстояние 1. При горизонтальном положении трубки давление по обе стороны ртути одинаково и равно р, объём трубка с ртутью 3. Для нижней части трубки:

4. Условие равновесия столбика ртути при вертикальном положении трубки:

5. Подставим значение объёмов и давлений в уравнение p1V1 = p 2 V2 неизвестных величин р1 и р2:

узлами и посредствам длинной с одним открытым торцом стеклянной трубки, внутренняя поверхность которой покрывалась растворимой в воде краской. На какую глубину H, Рис. 164. Измеритель глубины 2. Считая температуру воздуха при погружении неизменной, получим:

3. Термодинамика 165. Задан график зависимости температуры твёрдого тела от полученного им количества тепла. Масса тела m = 8 кг. Какова удельная теплоёмкость вещества этого тела?

166. Задан график зависимости температуры твёрдого тела от отданного им количества теплоты. Масса тела m = 4 кг. Какова удельная теплоёмкость вещества этого тела?

167. В кастрюлю, где находится вода объёмом V1 = 2 л при температуре t = 25 0С, долили V2 = 3 л кипятка. Какая температура воды установится после полного смешения.

168. Удельная теплоёмкость воды равна с = 4200 Дж/кгК. Для измерения температуры воды массой m = 10 г используют термометр, который показывал температуру воздуха в помещении t1 = 20 0С, а после погружения в воду стал показывать t2 = 41 0С. Определить действительную температуру воды, если теплоёмкость термометра С = 2 Дж/К.

169. В фарфоровую чашку массой m1 = 0,1кг при температуре Т1 = 293 К влили m2 = 0,2 кг кипятка с Т2 = 373 К. Окончательная температура оказалась равной = 366 К. Удельная теплоёмкость воды с2 = 4200 Дж/кгК. Определить удельную теплоёмкость фарфора.

Рис. 170. Плавление алюминия 2. Количество тепла, полученного алюминием:

171. Сосуд, содержащий некоторое количество азота при нормальных условиях, движется со скоростью v = 100 м/с. Какой будет максимальная температура азота при внезапной остановке сосуда? Удельная теплоёмкость азота с = 745 Дж/(кгК).

1. В момент остановки все молекулы азота будут иметь скорость сосуда и вся запасённая ими кинетическая энергия перейдёт в тепло:

172. На сколько градусов температура воды у основания водопада высотой h = 20 м больше, чем у его вершины? Полагать, что вся механическая энергия воды трансформируется в тепло. Удельная теплоёмкость воды с = Дж/(кгК).

173. Свинцовый шар, падая с некоторой высоты, после удара о землю нагрелся на Т = 4,5.К. Удельная теплоёмкость свинца с = 130 Дж/(кгК). Считая, что при ударе на нагрев пошла половина механической энергии, определить скорость шара перед ударом.

174. С какой наименьшей высоты должны падать дождевые капли, чтобы при ударе о землю от них не осталось бы и «мокрого места»? В момент падения капель на землю их температура Т1 = 293 К, удельная теплоёмкость воды с = 4200 Дж/(кгК), удельная теплота парообразования r = 2,26 МДж/кг. Сопротивление воздуха отсутствует, ускорение свободного падения неизменно.

175. Какое количество дров потребуется, чтобы вскипятить m = 50 кг воды, имеющей температуру Т1 = 283 К, если КПД нагревателя = 0,25, удельная теплота сгорания дров q = 10 МДж/кг.

176. Какое количество каменного угля необходимо для нагревания от Т1 = 283 К до Т2 = 323 К кирпичной печи массой m = 1200 кг, если КПД печи = 0,3?

Удельная теплоёмкость кирпича с = 750 Дж/(кгК), удельная теплота сгорания каменного угля q = 30 МДж/кг.

177. В электрический кофейник налили V = 0,16 л воды при температуре Т = 30 0С и включили нагреватель. Через какое время после включения выкипит вся вода, если мощность нагревателя N = 1 кВт, КПД нагревателя = 0,8.

Удельная теплоёмкость воды с = 4200 Дж/(кгК), удельная теплота парообразования воды = 2256 кДж/К.

178. Идеальный одноатомный газ переводят из первого состояния с р1 = 220 кПа, V1 = 110 3 м3 во второе состояние с р2 = 40 кПа, V2 = 210 3 м3. Определить работу, совершаемую газом.

Рис. 180. Сравнение работ 181. Одноатомный идеальный газ в количестве = 4 моль поглощает Q = кДж теплоты, при этом его температура повышается на Т = 20 К. Какая работа совершается газом в этом процессе?

182. Один моль инертного газа сжали, совершив работу А = 600 Дж, в результате чего температура газа повысилась на Т = 40 К. Какое количество теплоты отдал газ?

183. Тепловая машина имеет КПД = 0,25. Средняя мощность передачи теплоты холодильнику в ходе её работы составляет NХ = 3 кВт. Какое количество теплоты получает машина от нагревателя в течение = 10 с?

184. КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно = 0,2. Во сколько раз абсолютная температура нагревателя больше температуры холодильника?

185. В сосуд, содержащий m1 = 8 кг воды при температуре t1 = 15 0С, положили лёд, имеющий температуру t2 = 40 0С. В результате теплообмена установилась температура = 3 0С. Удельная теплоемкость воды с1 = Дж/(кгК), удельная теплоёмкость льда с2 = 2100 Дж/(кгК), удельная теплота плавления льда = 3,3105 Дж/кг. Определить массу льда mx.

1. Величина установившейся температуры свидетельствует о том, что вся масса воды превратилась в лёд, следовательно, вода вначале была охлаждена до 0 0С, а потом заморожена и всё это за счёт изменения внутренней энергии льда.

2. Тепло, необходимое для доведения воды до температуры, соответствующей тройной точке, когда вода одновременно находится в трёх фазовых состояниях:

3. Количество тепла, требующееся для переведения воды из жидкого состояния в твёрдое состояние:

4. Количество тепловой энергии, отданное льдом:

5. Уравнение теплового баланса (закона сохранения энергии):

186. Ванну вместимостью M = 85 л необходимо заполнить водой, имеющей температуру = 30 0С, используя воду с температурой t2 = 80 0C и лёд при температуре t3 = 20 0C. Удельная теплоёмкость воды с1 = 4200 Дж/(кгК), удельная теплоёмкость льда с2 = 2100 Дж/(кгК), удельная теплота плавления льда = 3,36105 Дж/К. Определить какую массу льда mx необходимо добавить в воду.

1. Количество тепла, отданного горячей водой:

2. Количество тела, необходимого для нагревания льда до температуры плавления:

3. Количество тепла, требующееся для превращения льда в воду 4. Количество тепла, необходимое для нагревания растаявшей воды до температуры :

5. Уравнение теплового баланса:

187. В воду массой m1 = 0,5 кг, находящуюся при температуре t1 = 16 0C, впустили m2 = 7,510 2 кг водяного пара, имеющего температуру t2 = 100 0C.

Удельная теплота парообразования воды r = 2,3106 Дж/кг. Определить установившуюся температуру воды.

1. Уравнение теплового баланса с учётом конденсации пара:

188. В калориметр налили m1 = 2 кг воды с температурой T1 = 278 К и положили кусок льда массой m2 = 5 кг при температуре Т2 = 233 К. Определить установившуюся температуру. Удельная теплоёмкость воды с1 = Дж/(кгК), удельная теплоёмкость льда с2 = 2100 Дж/(кгК), удельная теплота плавления льда = 3,3105 Дж/кг.

1. Возможны четыре варианта развития событий:

• весь лёд растает, и температура станет равной = 273 оК;

• растает часть льда, температура будет = 273 оК;

• вся вода замёрзнет и температура смеси будет < 273 оК;

• замёрзнет только часть воды, = 273 оК.

2. При охлаждении воды до = 273 оК вода отдаёт тепло в количестве:

3. При нагревании лёд поглотит тело в количестве:

4. Поскольку Q2 > Q1, то возможны только случаи полного или частичного замерзания воды. Если замёрзнет вся вода, то 5. Поскольку Q1 + Q3 > Q2, то тепловое равновесие отсутствует, т.е. в калориметре имеет место последний случай, когда температура установится на уровне = 273 оК и лёд растает частично. Уравнение теплового баланса, соответствующее данной ситуации будет иметь вид:

189. Вода, как известно, может находиться в метастабильном состоянии.

Очищенную воду можно переохладить до Т1 263 К. Сколько льда образуется из такой воды массой m0 = 1 кг, если в неё поместить центр кристаллизации в виде кусочка льда?

1. Пусть в переохлаждённой воде образовался лёд массой m2, при этом внутренняя энергия молекул уменьшится на величину 2. При кристаллизации лёд выделит тепло, вследствие чего вода нагреется, что приведёт к изменению её внутренней энергии где с1 удельная теплоёмкость воды, с2 удельная теплоёмкость льда, Т0 = 3. По закону сохранения энергии U1 = U 190. Для определения температуры t1 печи нагретый в ней стальной цилиндр с массой m1 = 0,3 кг бросили в медный сосуд с массой m3 = 0,2 кг, содержащий m2 = 1,27 кг воды при температуре t2 = 15 оС, при этом температура воды в сосуде повысилась до = 32 оС. Определить температуру печи.

1. Количество теплоты, отданной цилиндром, по закону сохранения энергии должно быть равно количеству тепла полученного водой и медным сосудом калориметром. Уравнение теплового баланса запишется следующим образом:

где m1 масса цилиндра, с1 460 Дж(кгК) удельная теплоёмкость стали, t начальная температура цилиндра, средняя установившаяся в калориметре температура, m2 масса воды, m3 масса калориметра, с2 4200 Дж/(кгК) теплоёмкость воды, с3 385 Дж/(кгК) удельная теплоёмкость меди.

2. Решим уравнение теплового баланса относительно начальной температуры цилиндра, которая одновременно принимается и за температуру печи 191. На сколько изменится масса и внутренняя энергия воздуха в комнате при повышении температуры от t1 = 10 oC до t2 = 50 oC? Давление р = 105 Па, Объём комнаты V = 100 м3.

1. Выразим массу из уравнения Клапейрона-Менделеева 2. Изменение массы 3. Изменение внутренней энергии определится из условия уменьшения количества молекул в связи с уменьшением массы воздуха 192. Найти концентрацию молекул идеального одноатомного газа в сосуде вместимостью V = 210 3 м3 при температуре Т = 300 оК, если его внутренняя энергия и этом состоянии равна U = 300 Дж.

1. Запишем уравнения состояния идеального газа, давления и внутренней энергии 2. Совместное решение уравнений даёт:

193. Какое количество теплоты подведено к двум молям идеального газа при осуществлении процесса 1 2 3, если начальная температура его была равна Т0 = 300 К?

1. Температура газа в состоянии 2:

2. При переходе газа 1 2 производится работа и изменяется внутренняя энергия газа, т.к. изменяется температура и объём газа:

4. Количество подведенной к газу теплоты:

194. Определить КПД тепловой машины, использующей в качестве рабочего тела одноатомный идеальный газ и работающей по замкнутому циклу, состоящему из двух изохор и двух изобар.

1. КПД замкнутого цикла:

где A* работа, совершаемая идеальным газом за один цикл работы, Q количество теплоты, получаемое газом за один цикл.

2. Работа численно равна площади внутри графика циклического процесса, построенного в p V координатах:

3. Газ получает тепло на этапах 1 2 и 2 3, в этой связи:

4. Для определения Q12 и Q23 необходимо определить соотношение абсолютных температур Т1, Т2 и Т3, что можно сделать, воспользовавшись уравнениями Клапейрона Менделеева:

5. Количество теплоты, полученное идеальным одноатомным газом:

6. КПД цикла:

195. Задан замкнутый цикл для одноатомного идеального газа. Определить КПД цикла.

Рис. 195. КПД замкнутого цикла внутри графика циклического процесса, построенного в p V координатах:

3. Газ получает тепло только на этапе 1 2, где происходит его расширение и нагревание, т.е. A1 2 > 0, U1 2 > 0 :

4. Ра бота A1 2 численно равна площади трапеции:

5. Изменение внутренней энергии на этапе 1 2:

6. Полученное за цикл тепло:

7. Коэффициент полезного действия цикла:

4. Электричество и магнетизм 196. Во сколько раз уменьшится сила кулоновского отталкивания двух маленьких бусинок с одинаковыми по модулю зарядами, если, не изменяя между ними расстояния, 2/3 заряда с одной бусинки перенести на другую?

197. Потенциал поля точечного заряда на расстоянии r1 равен 1 = 16 В, а на расстоянии r2 потенциал равен 2 = 100 В. Каков потенциал поля этого заряда на расстоянии, равном среднему геометрическому r1 и r2 r = r1r2 ?

198. Потенциал поля точечного заряда на расстоянии r = 0,1 м равен = 300 В. Какой будет напряжённость поля в этой точке?

1. Уравнения потенциала и напряжённости точечного заряда на расстоянии r от него:

2. Величина заряда:

3. Модуль напряжённости электростатического напряжения на удалении r от точечного заряда:

Рис. 199. Результирующая сила Рис. 200. Результирующая напряжёнr 201. Определить результирующую напряжённость электрического поля в точке А.

Рис. 201. Напряжённость поля трёх электрических зарядов 202. Определить результирующий потенциал электрического поля трёх зарядов в точке А.

203. Определить полную потенциальную энергию системы трёх электрических зарядов, расположенных на одной линии.

204. Определить полную потенциальную энергию системы трёх зарядов, расположенных в вершинах правильного треугольника.

205. В горизонтальное 0днородное электрическое поле помещён шарик массой m = 1 г, подвешенный на шёлковой нити. Шарику сообщён заряд q = 1 мкКл. Определить значение напряжённости поля, если нить отклонилась от вертикали на угол = 600.

1. Представим условие равновесия шарика в виде уравнений второго закона ньютона в проекциях на оси декартовой системы координат: