«Щуров Илья Валерьевич Решения-утки в быстро-медленных системах на торе 01.01.02 – дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Диссертация на соискание ученой степени кандидата ...»

3. u (u2, u3). По мере перемещения начального условия от u2 к u траектория проводит больше времени в окрестности неустойчивого участка DG за счет неустойчивого участка ED. Производная увеличивается и достигает своего максимума в точке u3.

4. u > u3. По мере удаления от u3, траектория проводит меньше времени в окрестности неустойчивого участка DG за счет устойчивого участка G G+. Производная уменьшается вплоть до экспоненциально малой величины.

Нетрудно видеть, что если для траектории, проходящей через u1, производная P больше 1, а для траектории, проходящей через u2, она меньше 1, то найдутся четыре точки, в которых эта производная обращается в 1.

Действительно, на концах интервала J + эта производная экспоненциально мала, поскольку соответствующие траектории проводят почти все время вблизи устойчивых участков медленной кривой. С другой стороны, вблизи точки u3 она экспоненциально велика, поскольку траектория проводит почти все время вблизи неустойчивых участков медленной кривой. Таким образом, на каждом из интервалов 1–4, описанных выше, найдется нейтральная точка. Это условие является необходимым и достаточным для выполнения утверждений лемм 2.3 и 2.4 в данном случае.

Как будет показано ниже (см. лемму 2.6 в следующем параграфе), логарифмическая производная отображения Пуанкаре определяется суммой интегралов вида (2.4) по соответствующим дугам медленной кривой, вблизи которых проходит траектория. Таким образом, условия, сформулированные в предыдущем абзаце, переформулируются в виде условий балансировки в теореме 2.4.

2.4.2 Предельное поведение траекторий и оценки производных В этом параграфе мы проведем некоторые необходимые построения и сформулируем несколько вспомогательных утверждений об оценке производных отображения Пуанкаре. Они позволят формализовать эвристическое описание, приведенное в предыдущем параграфе.

Пусть y [y(G+), y(G). Рассмотрим траекторию, проходящую через точку w := (x, y ) M. Пусть она задется уравнением x = x(y; w). В обратном (прямом) времени эта траектория за время порядка O() притягивается к какому-то неустойчивому (соотв., устойчивому) участку медленной кривой M, после чего медленно движется вдоль этого устойчивого участка влево (вправо) до окрестности точки срыва в силу нормальной формы 1.13 (глава 1).

Если достигнутая точка срыва не совпадает с G+ (соотв., G ), после обратного (прямого) срыва траектория притягивается к какому-то другому неустойчивому (устойчивому) участку медленной кривой и далее процесс продолжается до достижения окрестности G+ (соотв., G ). Затем после обратного (прямого) срыва траектория уходит из окрестности медленной кривой, и, совершая большое число оборотов, достигает трансверсали = {y = } = {y = } в точке с координатой x0 = x(; w) (соотв., P (x0)). В терминах предыдущего параграфа, данная траектория претерпевает уточный срыв в точке w.

Описанная динамика траектории, выпущенной из некоторой точки, мотивирует следующее определение:

Определение 2.4. Пусть точка w = (x, y ) не лежит на медленной кривой. Выпустим из w вертикальные лучи в направлении быстрого движения и в обратном направлении до пересечения с медленной кривой M.

Обозначим точки пересечения через F =: F (w) и F + =: F + (w) соответственно; знак () здесь и далее соответствует прямому времени, знак обратному. Рассмотрим дугу медленной кривой M от точки F (соотв., F + ) до точки прямого (соотв., обратного) срыва. Обозначим второй Рис. 2.7: Контур точки w для системы со сложной невыпуклой медленной кривой конец этой дуги через G± =: G± (w). Будем обозначать эту дугу через [F, G (соотв., [G+, F + )), ориентация является положительной относительно направления оси y. Назовем контуром Z(w), соответствующим точке w, набор дуг M:

где Используя традиционную терминологию (см. [22]) можно сказать, что это объединение невертикальных частей соответствующей синконтур гулярной траектории. Контур Z (w) (соотв., Z + (w)) состоит из дуг M, вблизи которых траектория, выпущенная из точки w, проводит почти всё время до прямого (соотв., обратного) срыва в точках G (соотв., G+ ). Положим:

Определение 2.5. Значение функции (Z(w)) назовем интегралом контура Z(w). Контур Z(w) с нулевым интегралом ((Z(w)) = 0) назовем нейтральным конутром.

Ниже будет показано (см. лемму 2.8), что производная отображения Пуанкаре может быть близкой к 1 тогда и только тогда, когда соответствующая траектория проходит вблизи нейтрального контура. Чтобы формализовать это утверждение, потребуется ввести дополнительное определение, которые мотивируются следующим наблюдением: значение (w) не меняется, если точка w движется по вертикальному отрезку, не пересекая медленной кривой M.

Рассмотрим множество G точек срывов (прямых и обратных). В силу условий невырожденности (2.2), оно является конечным дискретным множеством.

Наложим на систему дополнительное условие невырожденности:

Иными словами, уточные срывы нейтральных контуров не лежат над точками срывов.

Напомним, что U = {x | P (x) [1/2, 2]}. Напомним также, что вертикальная полоса между двумя главными точками срывов := S 1 [y(G+ ), y(G)] называется базовой полосой. Для каждой точки срыва, за исключением главных, рассмотрим также максимальный вертикальный интервал, содержащей эту точку, и не пересекающий M в других точках. Рассмотрим объединение M с этими интервалами, и дополнение базовой полосы до этого объединения (см. рис. 2.8):

где под интервалом (F +(g), F (g)) подразумевается та из двух дуг, которая не содержит точек M, отличных от g.

Отметим, что в силу условий невырожденности (2.2), множество имеет конечное число компонент связности. Зафиксируем также некоторое малое и возьмем –окрестность множества. Положим:

Потребуем, чтобы была выбрана достаточно малой, чтобы пересечение каждой компоненты связности c W было непустым, и пересекало бы любую вертикальную окружность y = const по отрезку (либо пустому множеству).

Отождествим в точки (x, y) и (x, y) тогда и только тогда, когда [x, x {y}M =. Полученное множество обозначим через V. Введем на нем топологию, индуцированную из T, и обозначим множество компонент связности через V. Это конечное множество в силу условий невырожденности.

Нетрудно видеть, что пара G = (G, V ) является плоским графом, если считать, что точки g1, g2 G соединены ребром v V тогда и только тогда, когда существует представитель v, являющийся гладкой кривой, соединяющий указанные точки. Тем самым, данный граф допускает естественные вложения в T. Зафиксируем такое вложение (см. рис. 2.8), потребовав от него, чтобы любое непустое пересечение любой компоненты связности /2 с вертикальным отрезком содержало точку из соответствующей дуги графа. Нетрудно видеть, что граф G, вложенный таким образом в T, является естественной областью определения функции (w).

Лемма 2.5. Для любой точки w справедливо следующее. Траектория, выпущенная из этой точки, в прямом (обратном) времени за ограниченное сверху время попадает в /2, и не покидает её вплоть до выхода из полосы.

Рассмотрим траекторию, проходящую через точку x. Пусть траектория пересекает. В этом случае она также пересекает некоторое ребро v V в некоторой точке z /2. По лемме 2.5, а также по свойствам влоРис. 2.8: Граф G в простейшем невыпуклом случае жения ребер V, эта точка единственна для достаточно малых. Обозначим её через z(x). Функция z(x) может быть не определена, если траектория не покидает иначе, чем через границы полосы.

Лемма 2.6. Для некоторого > 0 справедливы следующие представления для производных отображений Пуанкаре в точках, соответствующих траектории, проходящей через w = (x, y ) :

где O( ) оценивается равномерно по w.

Лемма 2.7. Рассмотрим точки w1, w2 и пусть траектории, проходящие через них, в обратном времени пересекают трансверсаль в точках x1, x2 соответственно. Положим:

Тогда справедливо:

то есть соответствующие расстояния асимптотически ограничены указанными экспоненциально малыми выражениями сверху и снизу. Соответствующие оценки равномерны по w1, w2.

Лемма 2.8. Для всякого x U определено z(x) и найдется такая точка zn := zn (x) на некотором ребре графа G, что (zn) = 0 и Лемма 2.9. Для всякого x U выполняется равенство:

Иными словами, знак второй производной отображения Пуанкаре в нейтральных точках определяется направлением уточного срыва.

Все сформулированные леммы будут доказаны ниже (см. раздел 2.6).

2.4.3 Нейтральные точки В этом параграфе мы докажем утверждения 1, 3–6 леммы 2.3 по модулю лемм, сформулированных в предыдущем параграфе.

Нетрудно видеть, что контур Z(z) непрерывно меняется при движении точки z по некоторому ребру v графа G. Из этого вытекает, что функция (z) непрерывна на ребрах графа. Более того, (z) монотонна относительно y(z). Таким образом, на каждом ребре v существует не более одного нуля (z), или, иными словами, не более одного нейтрального контура, пересекающего v. Вместе с леммой 2.9, доказывающей, что каждый нейтральный контур соответствует в точности одной нейтральной точке, это дает утверждения 1 и 3 леммы 2.3. Утверждение 4 следует из утверждений 2 и 3 леммы о графике, поскольку вне K производная отображения Пуанкаре экспоненциально мала или велика.

Для доказательства утверждения 5 рассмотрим нейтральные точки 1 = (x1, P(x1)), 2 = (x2, P (x2)) на графике отображения Пуанкаре и положим (см. лемму 2.8):

Будем без ограничения общности считать, что x2 > x1. В силу леммы 2.7, (1) (2) = где последнее равенство выполняется в силу (2.23).

Отсюда следует, что знак (1) (2) определяется знаком I (zn, zn ) + I +(zn, zn ). Тем самым, утверждение 5 выполняется, если наложить на систему конечное число дополнительных условий невырожденности:

для всех пар нейтральных точек zi = zj.

Утверждение 6 доказывается аналогично. Рассмотрим интервал J + =: [p, q, пересекающий неустойчивую часть медленной кривой M вблизи точки срыва G+. Рассмотрим траекторию, проходящую через его нижнюю точку p. Отметим, что контур Z + (p) состоит из одной дуги неустойчивой части медленной кривой, которая может быть сделана сколь угодно малой выбором J +. Рассмотрим также произвольную нейтральную точку и положим zn = zn (). Аналогично (2.25), имеем:

причем второе слагаемое доминирует, поскольку показатель экспоненты в первом слагаемом может быть сделан сколь угодно малым.

Аналогично доказывается утверждение для второго конца q отрезка J +.

Утверждение 6 доказано. Это завершает доказательство всех утверждений леммы 2.3, кроме утверждения 2. Последнее будет доказано в следующем параграфе.

2.4.4 Оценка сверху на число нейтральных контуров Для оценки числа нейтральных контуров, то есть нулей функции (z), необходимо исследовать вопрос о глобальной непрерывности этой функции на всей области её определения. Как было замечено в предыдущем параграфе, (z) непрерывна на ребрах графа G. Интерес представляет продолжение этой функции до непрерывной на всей области определения.

Вернемся к простейшему примеру, разобранному в параграфе 2.4.1.

Нетрудно видеть, что когда начальное условие x совершает оборот по вертикальной окружности, точка уточного срыва z(x) соответствующей траектории совершает обход графа G, проходя по каждому ребру один раз, но заходя в каждую из точек срыва (за исключением главных) по два раза.

Функция (z) меняется непрерывно при этом обходе, но может принимать, вообще говоря, разные предельные значения в одной и той же точке срыва. Таким образом, чтобы иметь возможность работать с (z) как с непрерывной функцией, необходимо расклеить граф G в окружность в соответствии с указанным обходом. Эта окружность является естественной областью определения функции (z), на которой функция непрерывна. Это наблюдение мотивирует следующее построение.

Рис. 2.9: Контуры, близкие к сквозному (слева) и опорному (справа) предельным контурам точки срыва G.

Нетрудно видеть, что все точки срыва, кроме главных, принадлежат одному из четырех классов, в зависимости от типа срыва (прямой/обратный) и направления движения после срыва (вверх/вниз), см. рис. 2.10. Рассмотрим точку срыва G, изображенную на рис. 2.9 (это одна из четырех возможных конфигураций, другие рассматриваются аналогично, см. ниже), и часть графа G, расположенную в окрестности этой точки. Обозначим ребра графа, входящие в G, через N, W, S, E, как показано на рисунке.

При приближении точки z к срыву G по ребру E, предельное положение соответствующего контура Z(z) не содержит дуг медленной кривой из окрестности G. К этому же предельному положению контур Z(z) стремится при приближении z к G вдоль ребра S. Такой предельный контур назовем сквозным контуром точки G, а пару ребер E–S сквозной парой.

(На рисунке слева.) Напротив, когда z стремится к G вдоль ребра N, предельное положение контура Z(z) содержит всю неустойчивую дугу, входящую в G. К этому же положению Z(z) стремится при движении z вдоль ребра W. Такой предельный контур назовем опорным контуром для точки G, а пару ребер N -W опорной парой. (На рисунке справа.) Нетрудно показать, что для других типов точек срыва ситуация аналогична: ребра графа G, входящие в точку срыва, разбиваются на две пары с одинаковым предельным положением соответствующего контура. На рис. 2.10 показаны пары ребер для всех четырех конфигураций: если оба ребра в паре лежат по одну сторону от вертикальной прямой, проходящей через точку срыва, пара является опорной, иначе сквозной. При естественном обходе графа, описанном в начале параграфа, точка z входит в вершину по одному из парных ребер, и выходит по другому.

Произведем следующую модификацию графа G. Заменим каждую вершину G, отличную от главных точек срыва, на пару вершин Gt и Gp. Будем считать, что вершина Gt соединена со сквозной парой ребер, входящих в G (будем называть её сквозной вершиной), а вершина Gp с опорной парой ребер (опорная вершина). Получающийся при этом граф обозначим через Продолжая значение функции (z) в точки Gt и Gp по непрерывности, Рис. 2.10: Сквозные и опорные пары ребер для различных типов точек срыва получаем функцию, непрерывную на всем графе G. Можно показать (хотя мы не будем этого делать, поскольку этот факт не требуется для доказательства), что получившийся граф G связен, и следовательно является топологической окружностью.

Нетрудно видеть, что функция (z), монотонная на ребрах G, монотонна также и в сквозных вершинах G (поскольку (z) монотонно возрастает при возрастании y(z)), и имеет локальные экстремумы в опорных точках, а также в главных точках срыва. Поскольку общее число опорных точек и главных точек срыва равно общему числу точек срыва исходной системы, а между любыми двумя опорными точками функция (z) монотонна, число нулей (z) ограничено числом точек срыва, что доказывает утверждение леммы 2.3, а вместе с ним теорему 2.3.

Отметим, что условия балансировки в формулировке теоремы 2.4 переформулируются следующим образом:

1. Интеграл опорного контура, соответствующего точке срыва E (см.

рис. 2.1), положителен.

2. Интеграл опорного контура, соответствующего точке срыва D, отрицателен.

Поскольку интеграл опорного контура, соответствующего G+, всегда отрицателен (этот контур содержит лишь устойчивые участки медленной кривой), а интеграл опорного контура, соответствующего G, всегда положителен, функция в этом случае имеет 4 точки экстремума с чередующимися знаками, а значит она имеет ровно 4 нуля. Это доказывает лемму 2.4, а вместе с ней и теорему 2.4.

2.4.5 Бассейны притяжения В этом параграфе мы напомним и докажем предложение 2.1.

Из леммы 2.1 следует, что неподвижные точки отображения Пуанкаре, соответствующие уточным циклам, лежат на экспоненциально узком интервале. Бассейнами притяжения притягивающих точек (на трансверсали ) являются интервалы между двумя отталкивающими точками, соседними с данной притягивающей. Таким образом, для всех притягивающих точек, за исключением одной, меры её бассейнов притяжения экспоненицально малы. (Аналогичное утверждение можно сделать для отталкивающих точек и их бассейнов отталкивания.) Иначе обстоит дело на всем торе: мера бассейнов притяжения (отталкивания) соответствующих уточных циклов на всём торе отделена от нуля.

Действительно, для каждого, нейтральные траектории делят фазовое пространство на непересекающиеся области. Между двумя последовательными нейтральными срывами может находиться не более чем один уточный цикл. При этом сами нейтральные срывы проходят вблизи различных нейтральных контуров, и мера областей между ними отделена от нуля. Из этого следует, что любой притягивающий уточный цикл имеет хотя бы один соседний отталкивающий цикл, такой, что мера области между ними (входящая в бассейн притяжения) отделена от нуля.

Это рассуждение доказывает предложение 2.1.

2.5 Максимальное число уточных циклов В этом разделе доказывается теорема 2.2 о существовании открытого множества систем, обладающих максимальным числом уточных решений.

Напомним, что каждому нейтральному контуру соответствует нейтральная точка на графике отображения Пуанкаре, при прохождении которой через диагональ D происходит рождение или уничтожение пары циклов-уток (см. параграф 2.2.3). Тем самым, общее число уточных решений не превосходит общего числа нейтральных точек, и при этом оно является максимальным в том случае, если сначала происходит последовательно N рождений (через D проходят нейтральные точки, в которых график является выпуклым вверх), а затем N уничтожений (в соответРис. 2.11: Система с максимальным числом уточных решений при N = 3 (сверху) и примерный график отображения Пуанкаре (снизу, увеличен фрагмент) ствующих точках график является выпуклым вниз). Иными словами, это означает, что необходимыми и достаточными условиями существования максимального числа уточных циклов являются:

1. Число 2K нейтральных контуров максимально и равно числу 2N складок медленной кривой.

2. Рассматривая окружность S, на которую тор T2 проецируется отображением, имеем: S разбивается в объединение двух непересекающихся дуг, на одной из которых лежат образы всех рождающих нейтальных точек, а на другой образы всех уничтожающих нейтральных точек. Это условие эквивалентно тому, что при движении по окружности происходит N рождений, а затем N уничтожений пар уточных предельных циклов.

Первое условие эквивалентно наличию 2N нулей функции (z) на графе G, которое в свою очередь эквивалентно тому, что знаки (z) чередуются в опорных вершинах графа G (см. параграф 2.4.4). Иными словами, это условие задается системой строгих неравенств. Второе условие, в силу утверждения 5 леммы 2.3 и его доказательства (см. стр. 105), также эквивалентно системе строгих неравенств на интегралы по некоторым дугам M.

Отсюда следует, что множество систем, обладающих максимальным числом уточных решений, является открытым (как решение системы строгих неравенств). Остается доказать, что оно непусто. Для этого для каждого N достаточно построить конкретный пример системы, обладающей искомым свойством. Остаток этого раздела посвящен такому построению.

Нетрудно видеть, что для выполнения условия 2 достаточно, чтобы все нейтральные точки (кроме одной) лежали на одной экспоненциально узкой дуге, и высота и ширина ступенек на графике отображения Пуанкаре последовательно уменьшалась: ширина ступеньки меньше её высоты, а высота следующей меньше ширины предыдущей, причем отрезки между двумя последовательными нейтральными точками стремятся к вертикальным/горизонтальным (см. рис. 2.11 снизу). В этом случае диагональ с наклоном 1, проходящая через самую высокую ступеньку (на рисунке это точка 3), пройдет над всеми рождающими нейтральными точками и под всеми уничтожающими, поскольку расположение каждой следующей нейтральной точки (над или под диагональю) будет определяться суммой знакочередующегося ряда, в котором каждый следующий член по модулю больше предыдущего. Сумма членов такого ряда также чередуется.

Мы построим систему, график отображения Пуанкаре которой обладает таким свойством.

Рассмотрим систему, обладающую 2N складками. Обозначим их в порядке обхода медленной кривой M по часовой стрелке через G (главная точка срыва), G+ (главная точка обратного срыва), G, G+,...,G, G+.

(Эти обозначения в данной ситуации удобнее, чем обозначения параграфа 2.4.2, поэтому мы перейдем к ним.) Потребуем, чтобы складки располагались таким образом, чтобы выполнялись следующие соотношения (см. рис. 2.11 сверху):

где все неравенства накладываются на координаты точек на фундаментальном квадрате, целиком содержащем M.

Проведем некоторую вертикальную окружность, лежащую между G+ и G. Обозначим точки пересечения с медленной кривой M следуN N ющим образом (перечисление снизу вверх): H1, H1,..., HN, HN. Обозначим контур любой точки, расположенной на интервале (Hi, Hi ), через Zi, и контур любой точки на интервале (Hi, Hi+1), через Zi+1 (см. рис. 2. сверху). Мы потребуем, чтобы все эти контуры были нейтральными. Обозначим соответствующие нейтральные точки графика отображения Пуанкаре через i и i. Во избежание путаницы, вторая координата точек обозначается через p (таким образом, (x(), p())).

Для каждой точки срыва G±, i = 2,..., N, рассмотрим соответствуюi щую точку падения, и обозначим её через Fi1.

Из леммы 2.7 следует, что высота ступеньки i+1 есть экспоненциально малая величина, причем показатель экспоненты пропорционален интегралу ((Zi) Zi+1) (напомним, что верхний индекс + (соотв., ) у контура Z означает левую (правую) половину контура относительно точки уточного срыва w, см. определение 2.4 и (2.10)):

где hi := ((Zi) Zi+1) > 0 Аналогично для ширины ступенек:

где wi = ((Zi)+ Zi+) > 0. Для выполнения искомых соотношений, достаточно потребовать:

или, что эквивалентно для достаточно малого :

Покажем, что мы можем добиться выполнения этого соотношения, подходящим образом выбирая значения интегралов по дугам M. Для этого положим:

Нетрудно видеть, что откуда что мгновенно влечет справедливость (2.32).

Остается показать, что контуры Zi и Zi можно сделать нейтральными.

Положим дополнительно:

Рассмотрим контур Zi, i = 1,..., N 1:

Таким образом, (Zi) = wi+1 + (Fi+Hi ) + (HiFi ) hi = Аналогично можно показать, что (Zi) = 0 для i = 1,..., N 1. Также аналогичная прямая проверка показывает, что (ZN ) = 0 и (ZN ) = 0.

Наклон отрезков [i, i+1] стремится к бесконечности, поскольку расстояние x(i+1) x(i) экспоненциально мало по сравнению c p(i+1) p(i) (что легко показать применением леммы 2.7 к соответствующим полуконтурам). Аналогично можно показать, что наклон отрезков [i, i] стремится к нулю.

Теорема доказана.

2.6 Нелинейные эффекты В этом разделе мы докажем технические леммы, сформулированные в параграфе 2.4.2.

2.6.1 Сингулярные траектории Доказательство леммы 2.5. Достаточно доказать только утверждение леммы, соответствующее прямому времени. Доказательство для обратного времени проводится теми же аргументами, применными к системе с обращенным временем.

Рассмотрим контур Z (w) и дополним его вертикальными отрезками, соединяющими w с F (w) и далее точки срывов g с соответствующими точками падения F (g). Получим непрерывную кривую, начало которой жащую внутри области для любого > 0. Данная кривая называется сингулярной траекторией системы, обозначим её через Z (w). Хорошо известно (см. [22, стр. 54]), что при выполнении условий невырожденности, перечисленных в разделе 2.1, истинная траектория быстро-медленной системы, проходящая через точку w, равномерно стремится к соответствующей сингулярной траектории при 0. (Это можно показать, явно построив сколь угодно малую захватывающую окрестность сингулярной траектории.) Таким образом, двигаясь вблизи сингулярной траектории, для достаточно малых, траектория не может покинуть окрестность / вплоть до выхода из полосы.

2.6.2 Экспоненциальное сжатие Для дальнейшего нам потребуется сформулировать две классические теоремы, описывающие поведение истинной медленной поверхности вблизи точки срыва.

Теорема 2.6 ([22], с. 119). Пусть система вида (2.1) имеет невырожденную точку срыва в начале координат. Существует такое малое r > 0, что для всякого µ (0, 1/3) для истинной медленной кривой x = s(y, ) над отрезком [r, µ] выполняется равенство:

Для вывода этой теоремы из формулы (16.10) указанной работы достаточно произвести тривиальную замену координат.

Теорема 2.7 (там же, см. также [19]). В условиях предыдущей теоремы, продолжение истинной медленной кривой s(y, ) за точку срыва пересекает горизонтальное сечение x = const в точке с координатой y = O(2/3).

Лемма 2.10. Рассмотрим некоторый вертикальный отрезок пересекающий устойчивый участок медленной кривой M и не пересекающий –окрестность никакой неустойчивой точки M. (В частности, J отделен от точек срыва.) Очевидно, что контур Z = Z (w) не зависит от выбора точки w J при фиксированном J. Тогда для некоторого > 0 справедливо следующее представление для производной отображения Пуанкаре:

где остаточный член O ( ) оценивается через C, причем C зависит только от, но не зависит от выбора интервала J и точки x.

y = y(x; w, ), проходящую через w. Зафиксируем некоторое достаточно малое > 0.

Далее для каждой дуги медленной кривой [Fj, Gj, входящей в контур Z, мы определим несколько вертикальных окружностей, которые будут задаваться своей y–координатой: i = {y = yj } (см. рис. 2.12; часть из этих окружностей будут зависеть от ):

Обозначим Ai := [Fj, Gj i. В силу теоремы 1.4 главы 1, вблизи дуги [Fj, A3 действует нормальная форма 1.13 (глава 1). Определим следуюj щую область Uj :

где x нормализующая координата в соответствующей области.

Пусть траектория попадает в окрестность Uj в точке Bj (т.е. |x(Bj )| = b;

если j = 1, и точка w уже лежит в области U1, будем считать B1 = w).

Положим yj := y(Bj ).

Для каждого срыва Gj, входящего в контур Z (w), но не являющегося главным срывом G, зафиксируем некоторый горизонтальный отрезок Рис. 2.12: Участок траектории; справа увеличенный фрагмент области U1, в нормализованных координатах j, пересекающий интервал срыва (Gj Fj+1) (из двух вертикальных дуг с концами в данных точках берется та из них, которая не пересекает M в своих внутренних точках), отстоящий от точек медленной кривой M на расстояние не меньше. Пусть траектория пересекает j в точке Ej (будем считать, что E0 := w). Положим yj = y(Ej ).

j = 1,..., m и для некоторого > 0 справедливо представление При взятии производной в (2.53) разложение (2.52) считается фиксированным. Для доказательства (2.53), представим в свою очередь каждое из отображений P )j в виде композиции:

Далее мы оценим логарифмическую производную каждого из отобраi i+ Поскольку точка Ej лежит вне окрестности неустойчивой части медленной кривой, траектория системы попадает из Ej в фиксированную окрестность Uj+1 устойчивого участка медленной кривой за ограниченное сверху время. Из этого следует, что и лемма 1.4 (глава 1) дает:

для некоторой универсальной константы C, не зависящей от w.

В силу нормальной формы (1.13) (глава 1), отображение Pj2 является линейным в подходящей системе координат, и его производная считается явным интегрированием нормальной формы. Имеем:

Из теоремы 2.7 следует, что yj yj = O(2/3). Вместе с (2.56), имеем также:

yj yj = O(2/3). В силу гладкости интеграла по пределам интегрирования, из этого вытекает представление ([A2, A3 ) = ([Fj, A3 ) + O(2/3), где оценка остаточного члена не зависит от выбора точки w.

Заметим, что отображение Pj2 является экспоненциальным сжатием, которое может быть сделано сколь угодно сильным по сравнению с возможным растяжением на интервале 3 4 выбором достаточно малого.

(Это следует, в частности, из оценки леммы 1.4 из главы 1.) Это означает, что траектория пересекает 3 в точке, экспоненциально близкой к точке пересечения истинной медленной кривой с 3, после чего следует экспоненj циально близко к истинной медленной кривой на протяжении всего интервала 3 4. Из уравнения в вариациях, в обозначениях теоремы 2. имеем:

В силу соотношения yj+1 yj = O(1/4), производная отображения Pj допускает оценку с помощью леммы 1.4 из главы 1:

Производная отображения Pm оценивается с помощью теоремы 2.5:

для некоторого > 0.

Используя правило дифференцирования сложной функции и складывая представления, полученные для логарифмических производных функций Pji, а также функции Pm, получаем искомое представление (2.53).

Оценка остаточного члена равномерна по точке w. Лемма доказана.

Доказательно леммы 2.6. Равенство (2.17), прямо следует из леммы 2.10.

Равенство (2.18) доказывается аналогично, применением указанной леммы к системе с обращенным временем, а (2.19) следует из двух предыдущих и правила дифференцирования сложной функции.

Доказательство леммы 2.7. Достаточно доказать соотношение (2.22).

Рассмотрим крайнюю левую точку Fj0 пересечения контуров Z (w1) Z (w2). В силу условия невырожденности (2.3), один из контуров Z (w1), Z (w2) содержит дугу, на которой лежит точка Fj вместе с некоторой окрестностью медленной кривой M. Без ограничения общности, будем считать, что это дуга [Fk,2, G1 Z (w2).

Рассмотрим интервал Jj20, лежащий на окружности 20 для контура Z (w1) (см. доказательство леммы 2.10 в предыдущем параграфе) и пересекающий устойчивую часть медленной кривой. Траектория x = x1(y, ), проходящая через точку w1, пересекает этот интервал в точке с фиксированной координатой b = 0 в нормализующей карте. Траектория x = x2 (y, ), проходящая через точку w2, проходит вблизи дуги [Fk,2, G1, и к моменту пересечения с Jj20 успевает экспоненциально притянуться к истинной медленной кривой: x2(yj0, ) = O(eC/). Вводя обозначение I := [x1(yj0, ), x2(yj0, )] Jj20, имеем оценку:

номерную оценку на производную, и из теоремы Лагранжа о линейных 2.6.3 Нейтральные траектории и нейтральные контуры Доказательство леммы 2.8. Напомним, что в условиях леммы x U, то есть P (x) [1/2, 2]. Предположим, что значение z(x) не определено, т.е.

соответствующая траектория не покидает область иначе, чем через границы полосы. В этом случае траектория проходит вблизи некоторых дуг устойчивой и неустойчивой части медленной кривой, причем переключение между дугами происходит в результате прямых и обратных срывов, либо уточного срыва, проходящего вблизи точек складок медленной кривой. Нетрудно видеть, что траектория может лишь один раз перейти с неустойчивой части медленной кривой на устойчивую, и далее будет двигаться вблизи устойчивой. При этом траектория проходит близко к предельному контуру Z0 (опорному, если уточных срывов не происходит, и сквозному, если происходит).

Представим в виде объединения:

где через M обозначена -окрестность медленной кривой M, а через V объединение -окрестностей вертикальных отрезков, проходящих через точки срыва (см. (2.14)). При движении в области M \V, траектория проходит на расстоянии не более чем от дуг, входящих в контур Z0. Её динамика при этом задается нормальной формой (1.13) из главы 1. Время движения в V ограничено величиной 2N /, где 2N общее число точек складок.

В силу уравнений в вариациях, а также теоремы 2.5, производная отображения Пуанкаре в точке x имеет следующее представление:

где (x) пересечение отрезка траектории x = u(y), проходящей через точку x, с полосой. В силу приведенных соображений, а также леммы 1. (глава 1), при интегрировании можно заменить кривую (x) на контур Z0 :

Выбирая достаточно малое, мы можем добиться того, что первое слагаемое в числителе будет доминировать, и производная P будет экспоненциально мала или велика, вопреки предположению P (x) [1/2, 2]. Противоречие доказывает, что функция z = z(x) определена во всех точках Соотношение (2.23) в этом случае является прямым следствием лемd мы 2.6 и условия dy (z) = 0, где y = y(z), следующего из условия невырожденности fx (x, y, 0) = 0, справедливого для любой точки (x, y) M, отличной от точек складок (см. (2.1)).

2.6.4 Оценка второй производной Доказательство леммы 2.9. Рассмотрим траекторию с начальным условием x U. Положим z = z(x) и zn = zn (x) (см. лемму 2.8) и рассмотрим контур Z = Z(zn (x)). Рассмотрим точки срыва G± := G± (z). Пусть вертиd кальный отрезок I + (соотв., I ) отстоит от точки срыва G+ (соотв., G ) на расстояние, пересекает неустойчивую (соотв., устойчивую) часть медленной кривой, и не пересекает устойчивую (соотв., неустойчивую) часть медленной кривой (см. рис. 2.13). Положим y ± = y(I ±). Представим отображение Пуанкаре в окрестности точки x в виде композиции:

Из правила дифференцирования сложной функции следует, что В силу монотонности логарифма, для доказательства леммы достаточно определить знак (2.68). Мы покажем, что второй член в этом разложении доминирует, и найдем его знак.

Оценим третий член выражения (2.68). Из уравнения в вариациях следует, что где x = (y, ; x) задает траекторию с начальным условием x. Дифференцируя, имеем:

Пусть Z + = Z + (zn ) и G+ множество точек (обратных) срывов, входящих в контур Z + (то есть множество точек обратных срывов, вблизи которых проходит рассматриваемая траектория). Определим множество W следующим образом:

где U (y(G)) = [y(G), y(G) +.

Нетрудно видеть, что при y W, для точки w(y) = ((y, ; x), y) выполняются условия леммы 2.10 и справедливо представление, следующее из (2.47) (для системы с обращенным временем):

Оценим X(y; x) для y W. Пусть y U (y ), где y = y(G) для некоторого G G+. Из правила дифференцирования сложной функции следует, что Первый сомножитель оценивается через (2.72). Второй сомножитель грубо оценивается с помощью уравнения в вариациях (см. лемму 1.4, глава 1):

Таким образом, для y W, справедлива оценка:

причем можно считать, что O ( ) + O() = O().

Поскольку (Z +(w(y))) монотонно возрастает по y, правые части (2.72) и (2.75) не превосходят величины Подставляя полученную оценку в интеграл (2.70) и учитывая, что |fxx | < C в силу гладкости f и компактности фазового пространства, имеем:

Аналогичными рассуждениями, учитывая, что (Z (w(y))) убывает по y, нетрудно получить оценку Обозначим через Z часть контура Z, лежащую левее I :

Представляя первое слагаемое в (2.68) в виде и оценивая производную P R(x) = P с помощью леммы 2.10, имеем:

Оценим второе слагаемое в (2.68) снизу. Теорема о производной сложной функции и соотношение (2.72), примененное в точке y = y +, дают представление:

ln P (x). Вблизи участков медленной кривой (устойчивого и Оценим dx неустойчивого) между интервалами I ± действует нормальная форма (1.13) (глава 1). Обозначим нормализованную координату вблизи неустойчивой части медленной кривой через, а вблизи устойчивой через. Пусть отображение P : I + I задается в нормализующих координатах как Уточный срыв в точке z может происходить в одном из двух направлений вверх или вниз в зависимости от знака f (z, 0). Рассмотрим случай, когда уточный срыв происходит в направлении вниз (т.е.

f (z, 0) < 0; противоположный случай рассматривается аналогчно). В этом случае < 0 (то есть траектория проходит ниже соответствующей истинной медленной поверхности, и срывается вниз).

Рассмотрим окрестности устойчивой и неустойчивой части медленной кривой, которые задаются соотношением || < b и || < b для некоторого фиксированного b > 0. Пусть траектория покидает окрестность неустойчивой части медленной кривой в точке ( = b, y = y0 ) и попадает в окрестность устойчивой части медленной кривой в точке ( = b, y = y0 ). Очевидно, y0 = y0 +O(). Из леммы 2.8 также следует, что y0 = y(zn )+O( ).

Пусть L+ дугая неустойчивого участка медленной кривой, лежащая между I + и y0 и L дуга устойчивого участка медленной кривой, лежащая между y0 и I. Пусть также L+ дуга неустойчивого участка медленной кривой, лежащая между I + и y(zn ) и L дуга устойчивого участка медленной кривой, лежащая между y(zn ) и I.

Как показано в [15] (для общего случая см. (1.58) в главе 1), причем из нормальной формы (1.13) (глава 1) следует, что Таким образом, имеем оценку:

где C = 1/b > 0. Переход к нормализующим координатам имеет равномерно ограниченные по производные и поэтому может лишь изменить константу C.

Нетрудно видеть, что контур Z +(w(y +)) дополняется дугой L+ до контура Z + (wn). Тем самым, подставляя (2.85) в (2.82), имеем:

Очевидно, (Z +(wn )) > (Z +(w(y +))) (поскольку в контур в правой части добавилась дуга L+ неустойчивой части медленной кривой) и (Z +(wn)) > (Z) (поскольку в контур в правой части добавилась дуга L устойчивой части медленной кривой). Следовательно можно выбрать настолько малое, чтобы показатель экспоненты в (2.86) был больше, чем в (2.77) и (2.81). Это доказывает, что знак второй производной отображения Пуанкаре P в рассмотренном случае (траектории срываются вниз) положителен. Теми же рассуждениями можно показать, что при f (zn, 0) > 0, знак отрицателен. Это доказывает лемму.

Литература [1] Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. 2-е [2] В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. Динамические системы 5. ВИНИТИ, Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 5, 1986.

[3] O. Anosova, On Invariant Manifolds in Singulalry Perturbed Systems, J. Dyn. Control. Sys., 1999, 5:4, 501–507.

[4] O. Anosova, Invariant Manifolds in Singularly Perturbed Systems, Proceedings of the Steklov Institue of Mathematics, 236 (2002),19–24.

[5] E. Beno J. F. Callot, F. Diener, M. Diener. Chasse au canard.

Collectanea Mathematica, 31–32 (1981), 37–119.

[6] Бутузов В.Ф., Нефедов Н.Н., Шнайдер К.Р. Дифференциальные уравнения. Сингулярные возмущения // Итоги науки и техн. Сер. соврем. матем. и ее прилож. Тематич. обзоры. М.: ВИНИТИ, 2003. Т.

109. С. 1–144.

[7] M. Diener, The canard unchained or how fast/slow dynamical systems bifurcate, The Mathematical Intelligencer 6 (1984), 38–48.

[8] A. Denjoy. Sur les courbes dnies par des quations direntielles ` la surface du tore. J. Math. Pure et Appl, 11 (1932), 333–375.

[9] А. А. Дородницын, Асимптотическое решение уравнения Ван-дерПоля, Прикл. матем. и механ., 11:3 (1947), 313– [10] F. Dumortier and R. Roussarie, Canard cycles and center manifolds, Mem.

Amer. Math. Soc., 121:577 (1996).

[11] W. Eckhaus, Relaxation oscillations including a standard chase on French ducks, in Asymptotic Analysis II, Springer Lecture Notes Math. (1983), 449–494.

[12] Haag J. Etude asymptotique des oscillations de relaxation. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 60 (1943).

[13] Haag J. Examples concrets d’etude asymptotique d’oscillations de relaxation. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 61 (1944).

[14] N. Fenichel, Geometric singular perturbation theory for ordinary dierential equations, J. of Di. Eq., 31 (1979), pp. 53–98.

[15] J. Guckenheimer, Yu. S. Ilyashenko, The Duck and the Devil: Canards on the Staircase, Moscow Math. J., 1:1, (2001), 27–47.

[16] Железцов Н. А., Родыгин Л. В. К теории симметричного мультивибДокл. АН СССР, 81:3 (1951), 391–392.

ратора.

[17] Железцов Н. А., К теории разрывных колебаний в системах второго порядка. Изв. высших учебных заведений. Радиофизика 1:1 (1958), [18] А. Ю. Колесов, Е. Ф. Мищенко. Явление затягивания Л. С. Понтрягина и устойчивые циклы-утки многомерных релаксационных систем с одной медленной переменной. Математический сборник, 181:5 (1990), 579-588.

[19] M. Krupa, P. Szmolyan, Extending geometric singular perturbation theory to nonhyperbolic points fold and canard points in two dimensions, SIAM J. Math. Anal., 33:2, 286–314.

[20] Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. Москва, Физико-математическая литература, [21] Е. Ф. Мищенко, Л. С. Понтрягин, Вывод некоторых асимптотических оценок для решений дифференциальных уравнений с малым параметром при производных, Изв. АН СССР. Сер. матем., 23:5 (1959), 643– [22] Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов, Дифференциальные уравнения малым параметром и релаксационные колебания, Москва, Наука, 1975.

[23] J. Moehlis, Canards in a Surface Oxidation Reaction. J. of Nonlinear Sci.

12:4, 319-345.

[24] Нейштадт А. И. Асимптотическое исследование потери устойчивости равновесия при медленном прохождении пары собственных чисел через мнимую ось. Успехи мат. наук, 1985, 40:5, 190– [25] van der Pol, B., On relaxation-oscillations, The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. and J. of Sci., 2:7 (1927), 978– [26] Л. С. Понтрягин, Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных, Изв. АН СССР. Сер. матем., 21:5 (1957), 605– [27] A. Schwartz, A generalization of Poincar-Bendixon theorem to closed two dimensional manifolds. Amer. J. Math., 85 (1963), 453-458.

[28] Шишкова М. А. Рассмотрение одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных. Докл.

АН СССР, 1973, 209:3, 576–579.

[29] I. V. Schurov. Ducks on the torus: existence and uniqueness. J. of Dynamical and Control Systems 16:2 (2010), 267 300. (E-print:

arXiv:0910.1888v1).

[30] Щуров И. В. О притягивающих уточных циклах в быстро-медленных системах на двумерном торе. Деп. в ВИНИТИ 22.03.2010, №174-В2010, [31] Martin Wechselberger, Canards, Scholarpedia, 2(4):1356 (2007), http://www.scholarpedia.org/article/Canards.