МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

УДК 517.984.68, 515.168.5

Толченников Антон Александрович

Спектральные свойства оператора Лапласа

на декорированных графах

и на поверхностях с дельта-потенциалами

01.01.04 геометрия и топология Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор А.И. Шафаревич Москва 2009 Оглавление Введение Глава 1. Предварительные сведения 1.1 Оператор Лапласа на отрезке..................... 1.2 0 - оператор Лапласа-Бельтрами, ограниченный на функции, которые зануляются на наборе точек................ Глава 2. Ядро оператора Лапласа на многообразии с потенциалом нулевого радиуса 2.1 Вычисление (xy y) для стандартной сферы Sa.......... Глава 3. Ядро оператора Лапласа на декорированных графах 3.1 Размерность ядра........................... 3.2 Расширение с условиями непрерывности.............. 3.3 Ядро расширения с условиями непрерывности........... 3.4 Пример, в котором оценка достигается................ Глава 4. След экспоненты оператора Лапласа на декорированном графе. Глава 5. След квадрата резольвенты для оператора с условиями непрерывности Глава 6. Cпектр оператора Лапласа с потенциалом, сходящимся к дельта-функции 6.1 Окружность.............................. 6.2 Сфера.................................. 6.3 Диск................................... Глава 7. Стягивающийся тор Список литературы Введение Использование потенциалов нулевого радиуса в квантовой механике имеет более чем 70-летнюю историю. Изучая движение нерелятивистского электрона в жесткой кристаллической решетке, Р. де Л. Крониг и В.Г. Пенни в году [1] одними из первых стали использовать точечные потенциалы. В году Ф.А. Березин и Л.Д. Фаддеев [2], используя теорию самосопряженных расширений, дали строгое математическое обоснование этого метода и предложили использовать резольвентную формулу М.Г. Крейна для получения резольвент возмущений. Дальнейшее исследование подобных моделей атомной физики проводилось в работах Ю.Н. Демкова и В.Н. Островского [17], П.Б. Курасова и Б.С. Павлова [18], [19], [20].

Та же техника расширений операторов используется в еще одном вопросе, касающемся операторов Лапласа-Бельтрами на декорированных графах, т.е.

топологических пространствах, полученных отождествлением концов ребер графа с точками на замкнутых ориентируемых римановых многообразиях размерности 1, 2 или 3. Актуальность этой темы заключается в том, что подобными операторами возможно моделировать гамильтониан заряженной частицы в массиве фуллеренов. Подобные объекты впервые появились в работе Б.С. Павлова [20], где изучалось движение электронов в однородных кристаллах из точечных атомов.

Среди работ на эту тему можно отметить диссертацию И.С. Лобанова [4], в которой изучались спектральные свойства операторов Шредингера на периодических декорированных графах, работу Й. Брюнинга и В. Гейлера [7], в которой изучались свойства операторов на замкнутых многообразиях с прикрепленными полупрямыми, а также работы [5], [6].

Очевидно, что размерность ядра оператора Лапласа на замкнутом римановом многообразии равна числу компонент связности этого многообразия. Цель главы 3 диссертации - дать описание ядра оператора Лапласа-Бельтрами на декорированном графе. Ограничение на размерность многообразий (не больше чем 3), при помощи которых происходит декорация, связано с тем, что применяемая техника использует краевые условия в точках склейки; тем самым, область определения оператора Лапласа D() = H 2 (M ) (второе пространство Соболева) должна вкладываться в C(M ). При работе с операторами на таких пространствах применяются методы теории самосопряженных расширений (см. [4],[7]). Именно, L2 пространство на декорированном графе - это прямая сумма L2 -пространств на ребрах графа и на многообразиях. Оператор Лапласа-Бельтрами определяется из тех соображений, что на функциях, носитель которых лежит в M \ {q1,.., qs } (где M - замкнутое многообразие, либо отрезок, а {q1,.., qs } - точки cклейки), он должен совпадать с обыкновенным оператором Лапласа-Бельтрами. Также от этого оператора надо потребовать, чтобы он был самосопряжен. Таким образом, оператор Лапласа-Бельтрами - это самосопряженное расширение оператора H0 – прямой суммы обычных операторов Лапласа-Бельтрами, ограниченных на функции, которые зануляются в точках склейки. Далее, пользуясь тем, что имеется биекция H между лагранжевыми плоскостями в C4n C4n (где n - число ребер графа) и самосопряженными расширениями оператора H0, можно получить (п. 3.1), что ker H L, где L - фиксированная лагранжева плоскость. Таким образом, размерность ядра может меняться в пределах от 0 до 4n, причем в случае общего положения плоскости ядро тривиально.

Более содержательный результат получается, если фиксировать расширение. Для этого в п. 3.2 вводится специальная лагранжева плоскость 0, заданная условиями типа непрерывности. Центральный результат главы 3 доказательство неравенства (теорема 5), выполненного для оператора H на декорированном графе (полученном декорацией графа G):

где 0 - количество компонент связности графа G, 1 - количество независимых циклов графа G. Приведен пример, в котором указанная оценка достигается (п. 3.4), и показано, что сколь угодно малым изменением длин ребер можно добиться равенства dim ker H 0 = 0. Также показано, что величина 1 (G) dim ker H 0 не убывает при добавлении новых ребер и многообразий.

Техника, применяемая при описании операторов на декорированных графах, возникает и в более простой ситуации (представляющей самостоятельный интерес) операторов Лапласа-Бельтрами на многообразиях с потенциалом нулевого радиуса. Это самосопряженное расширение оператора ЛапласаБельтрами, ограниченного на функции, зануляющиеся на наборе точек {qi }n. В определении таких операторов замечается сходство с определением операторов Лапласа-Бельтрами на декорированных графах. Описанию ядра такого оператора посящена глава 2, где доказывается равенство (теорема 4) ker H L, где L - фиксированная лагранжева плоскость в Cn Cn, которая может быть явно задана (утверждение 3).

Связь характеристик многообразия со спектром оператора Лапласа, построенного по римановой метрике многообразия, проявляется наиболее явно в асимптотических формулах следа для квадрата резольвенты ( + z 2 )2 (z ) и экспоненты оператора et (t 0). Для компактного риманова многообразия M (см. [15]) где ak = ak (x)dwx, ak (x) - полиномиальные выражения от компонент тенM зора кривизны и их ковариантных производных. В частности, a0 (x) = 1, и 6a1 (x) - скалярная кривизна.

Отсюда, применяя преобразование Меллина, мы можем найти след квадрата резольвенты. Например, при dim M = 2:

Обобщением этих формул на случай декорированных графов посвящена диссертация С.В. Рогановой [8]. Для этих целей использовалась формула Крейна, выражающая разность резольвент двух дизъюнктных расширений (т.е. области определений которых пересекаются по области определения того оператора, от которого берутся расширения) через граничные операторы (i) (см.

[7]). В отличие от классического случая риманова многообразия, формула для следа квадрата резольвенты оператора Лапласа на декорированных графах содержит в качестве коэффициентов при степенях z рациональные функции от ln z. Получается т.н. псевдоасимптотическое разложение, разложение по z n lnm z, n, m N {0}. Такое разложение, если существует, единственно.

С.В. Рогановой было вычислено псевдоасимптотическое разложение для расширений специального вида с условиями локальности (граничные условия в точке склейки содержат только значения функций, производных и коэфффициенты при особенностях в этой точке). Это означает, что граничные условия имеют вид (2) = (1), где - блочно-диагональная матрица.

В главе 4 мы вычисляем след экспоненты описанных операторов, для чего применяем пребразование Лапласа к каждому члену псевдоасимптотического разложения T r(H + p)2 (утверждение 7) и даем оценку остаточного члена (утверждение 8). В теореме найдены первые члены разложения T r(t etH ).

В главе 5 мы, используя технику С.В. Рогановой, вычисляем T r(H 0 + z 2 )2 для оператора Лапласа с введенными в п. 3.2 условиями непрерывности H 0. Для этих целей необходимо изменить операторы граничных условий и сравнивать резольвенту с резольвентой для H0 - прямой суммы операторов Лапласа на многообразиях и операторов Лапласа на отрезках с условием Дирихле. Доказательство теоремы 8 за исключением прямых вычислений дословно повторяет доказательство теоремы 6 из [8]. В теореме 8 найдены первые члены псевдоасимптотического разложения.

Оказывается, что в разложении T r(H 0 +z 2 )2 слагаемые, не содержащие логарифмических членов, дают разложение для следа квадрата резольвенты прямой суммы операторов Лапласа на многообразиях и на отрезках с условиями Неймана. В то время, как в разложении следов операторов, рассматриваемых С.В. Рогановой, присутствуют ненулевые добавки к степенным членам (см. теорему 6).

В главе 6 изучается следующий вопрос: что происходит со спектром оператора Лапласа при добавлении обычного потенциала, зависящего от малого параметра и сходящегося к дельта-функции? Будет ли он сходиться к спектру оператора с дельта-потенциалом, введенным в главе 2 ?

Вопрос о дельта-потенциалах и их аппроксимациях для евклидовых пространств предельно подробно разбирался в монографии С.Альбеверио, Ф.Гестези, Р.Хэг-Крона и Х. Хольдена [3]. Для случая оператора на прямой имеет место следующий результат. Рассмотрим семейство операторов H,y = + 1 V ( ·y ), где V L1 (R). Тогда H,y сходится в равномерном резольвентном смысле к оператору,y, где = RV (x)dx (это параметр, определяющий расширение,y оператора Лапласа, ограниченного на функции, которые зануляются в точке y). При < 0 отрицательная часть спектра H,y состоит из одного простого собственного значения, сходящегося к единственному собственному значению оператора,y. Если > 0, то при достаточно малых отрицательная часть спектра H,y отсутствует и у,y нет отрицательных собственных значений. При = 0 H,y имеет не более одного отрицательного собственного значения, погружающегося в существенный спектр [0; ).

В пункте 6.1 рассматривается семейство операторов на окружности вида = + 1 V ( x ). Имеет место сходимость собственных собственных значений оператора к собственным значениям,0 (теорема 9). Здесь,0 - расширение оператора Лапласа, ограниченного на функции, которые зануляются в точке 0. Где = V (x)dx - параметр, равный отношению односторонних производных в точке 0 для функций из области определения расширения.

Для двумерной плоскости имеет место следующее утверждение (см. [3]).

Пусть семейство операторов имеет вид:

Тогда H,y сходится в равномерном резольвентном смысле к оператору,y. Где - параметр расширения, который находится следующим образом:

В противном случае H,y сходится в равномерном резольвентном смысле к.

Техника, применяемая в монографии [3], не обобщается на случай операторов на компактных многообразиях, имеющих дискретный спектр. Нами разбирается задача о сходимости спектра оператора Лапласа на сфере с кусочно-постоянным потенциалом, сходящимся к дельта-функции (без нормировки логарифмом). Эта задача является модельным примером. В п. 6. доказывается теорема, утверждающая, что ограниченные непрерывные собственные значения сходятся к точкам спектра обычного оператора Лапласа на сфере, т.е. к числам вида n(n + 1). Уравнение на спектр получается из склейки собственных функций на границе, где потенциал терпит разрыв. А поскольку собственные функции выражаются через функции Лежандра, то, используя стандартные утверждения теории специальных функций, можно получить оценки на часть уравнения, зависящую от, а отсюда получить предельные значения собственных чисел.

Еще одна, разбираемая в п.6.3 задача рассматривает оператор Лапласа на единичном диске с кусочно-постоянным потенциалом, терпящим разрыв на границе диска радиуса и сходящимся к дельта-функции. Здесь имеет место аналогичное утверждение о сходимости ограниченных непрерывных собственных значений к точкам спектра оператора Лапласа на диске (с граничными условиями Дирихле), т.е. к нулям функций Бесселя. Техника доказательства здесь такая же, как и в предыдущей теореме.

Еще одна затрагиваемая тема - сходимость спектра оператора Лапласа на поверхности, которая стягивается вдоль одного из направлений. Подобным задачам посвящены статьи [9], [21], [22]. В работе П. Экснера и О. Поста [9] рассматривается "графоподобная" двумерная поверхность M в R3, стягивающаяся к некоторому конечному графу G. Ограниченные по собственные значения оператора Лапласа на графоподобных поверхностях сходится к спектру оператора Лапласа на метрическом графе, причем граничные условия в вершинах графа зависят от способа перехода к пределу. В частности, ими построено такое семейство графоподобных поверхностей M, для которых все ограниченные собственные значения k (M ) оператора Лапласа сходятся либо к нулю, либо к собственным значениям прямой суммы операторов Лапласа с условиями Дирихле на ребрах графа G. В главе 7 рассматривается задача о сходимости спектра оператора Лапласа на двумерном торе вращения, радиус меридиана которого стремится к нулю. Теорема 12 вычисляет асимптотики собственных значений, аналитически зависящих от n, m N {0}.

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [23] [26].

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Андрею Игоревичу Шафаревичу за постановку задач, внимание к работе и ценные советы.

Глава Предварительные сведения Пусть H - гильбертово пространство, S - линейный оператор, область определения DS которого всюду плотна в H.

Определение 1 График GS линейного оператора S - это множество пар Определение 2 Если GS1 GS2, то оператор S2 называется расширением оператора S1 (обозначается S1 S2 ).

Определение 3 Оператор S1 называется замыканием оператора S, если GS1 = GS (оператор S1 обозначается S). Оператор S называется замкнутым, если GS - замкнутое подмножество в H H.

Пусть g H таков, что ему можно поставить в соответствие элемент g H таким образом, что для всех f DS :

В силу плотности DS, элемент g определен однозначно.

(Sf, g) = (f, S g) справедливо для всех f DS, задает некоторый оператор S, называемый сопряженным к S оператором.

Отметим очевидное свойство : если S T, то T S.

Определение 5 Оператор S называется симметрическим, если (f, Sg) = (Sf, g) ( f, g DS ).

Определение 6 Оператор S называется самосопряженным, если S = S, Как описывать самосопряженные расширения? Поскольку для любого самосопряженного расширения S S1 выполнено S1 S, то надо уметь описывать оператор S.

Определение 7 Дефектное подпространство Nz оператора S - это ортогональное дополнение в H к образу оператора S z I, где z C.

Теорема 1 [10] 1) Подпространства Nz являются собственными подпространствами оператора S, отвечающими собственным значениям z;

2) n+ = dim Nz постоянно при изменении z в верхней полуплоскости, и n = dim Nz постоянно при изменении z в нижней полупоскости (числа n+ и n - называются индексами дефекта);

3) S обладает самосопряженными расширениями тогда и только тогда, когда n+ = n ;

4) S - самосопряжен тогда и только тогда, когда n+ = n = 0.

Теорема 2 [10] Если S - замкнутый симметрический оператор, то подпространства DS, Nz, Nz трансверсальны, и Определение 8 Тройка (G, (1), (2) ), где G - евклидово пространство, (j) : D(S ) G - линейные операторы, называется пространством граничных значений, если отображение x x = ((1) x, (2) x) G G сюрьективно и для любых x, y D(S ) выполнено условие:

Определение 9 Пусть G - евклидово пространство. Рассмотрим косоэрмитову форму на G G: [x, y] = (x1, y2 ) (x2, y1 ). Подпространство G G называется лагранжевым, если оно совпадает со своим косоортогональным дополнением.

Теорема 3 [7] Пусть S - симметрический оператор с совпадающими индексами дефекта (n = n+ ) и пусть (G, (1), (2) ) - пространство граничных значений для S. Для любого лагранжевого подпространства G G множество {x D(S ) | x } (где = ((1), (2) ) ) является областью определения самосопряженного расширения H оператора S. Более того, это соответствие H является биекцией.

Далее следуют важные примеры нахождения самосопряженных расширений симметрических операторов.

1.1 Оператор Лапласа на отрезке.

Определим оператор S как замыкание оператора dx2 c областью определения C0 ([0, 1]) в пространстве L2 ([0, 1]). Этот оператор симметрический, но не самосопряженный. Найдем оператор S, найдем индексы дефекта и построим пространство граничных значений для S.

По определению 4, f D(S ) если существует h L2 ([0, 1]) такая, что (f, Sg) = (h, g) для всех g D(S). В нашем случае для всех g C0 ([0, 1]):

А это означает, что f имеет вторую обобщенную производную из L2, то есть D(S ) = H 2 ([0, 1]) и S f = f. Теперь найдем Ni = Ker(S i):

Таким образом, n = n+ = 2. Теперь покажем, что пространство граничных значений имеет вид: (C2, (1), (2) ), где (i) : D(S ) C2 определены так:

Действительно, для любых f, g D(S ):

f (1)g(1) f (0)g(0) + f (0)g (0) f (1)g (1) = ((1) f, (2) g) ((2) f, (1) g).

Самосопряженные расширения оператора S задаются лагранжевыми плоскостями в C2 C2. Например, плоскости = { |, C} соответствует расширение Неймана, то есть оператор второй производной с граничными условиями вида f (0) = f (1) = 0:

1.2 Оператор Лапласа-Бельтрами, ограниченный на функции, которые зануляются на наборе точек.

Везде далее считаем, что M - гладкое замкнутое связное риманово многообразие, dim M 3. Пусть - оператор Лапласа-Бельтрами, то есть замыкание оператора определенного на C (M ). Оператор самосопряжен, и его область определения D() = H 2 (M ) (второе пространство Соболева). А при сделанном предположении на размерность dim M 3 будет выполнено H 2 (M ) C(M ).

Зафиксируем теперь набор точек {qi }n на M, и рассмотрим следующий симметрический оператор Для описания дефектных подпространств оператора 0 и для определения пространства граничных значений нам понадобятся некоторые свойства функции Грина оператора, то есть интегрального ядра оператора ( z)1 (z из резольвентного множества):

Имеет место следующая Лемма 1 [7] Зафиксируем точку q, тогда в окрестности этой точки функция G(x, q; z) имеет разложение:

где F0 не зависит от z и имеет следующий вид (где d(x, q) - геодезическое расстояние):

Функция F1 непрерывна, а функция R имеет следующий вид при x q:

Лемма 2 [11] Пусть z C \ R, тогда функции {G(·, qi ; z)}n образуют базис в дефектном подпространстве Nz = Ker( z). Оператор 0 замкнут.

Из лемм 1,2 и теоремы 2 следует, что любая функция f D( ) имеет следующее асимптотическое разложение в окрестности точки qj :

где aj (f ), bj (f ) C. Коэффициент aj (f ) мы будем называть коэффициентом при особенности в точке qj, а bj (f ) мы будем называть значением регулярной части в точке qj.

Определим функцию, которая нам понадобится в следующем пункте:

Лемма 3 [7] Положим G = Cn (со стандартным скалярным произведением) и определим операторы (1), (2) : D( ) G:

Тогда тройка (G, (1), (2) ) – пространство граничных значений для оператора 0.

Глава Ядро оператора Лапласа на многообразии с потенциалом нулевого радиуса Пусть M - гладкое замкнутое связное многообразие, dim M 3. Как придать операторный смысл в L2 (M ) формальному выражению вида H = следующим образом. Рассмотрим Dq = { D() | (qj ) = 0 j = 1,.., n}.

По определению умножения обобщенной функции на непрерывную для функции Dq имеем qj (x) = 0. Таким образом, должно быть выполнено H|Dq = |Dq, откуда получаем, что H - самосопряженное расширение оператора 0 = |Dq. Согласно теореме 3 и лемме 3, любое самосопряженное расширение оператора 0 задается лагранжевой плоскостью Cn Cn.

Это расширение будем обозначать как.

Утверждение 1 Функция f ker( ) однозначно определяется всеми коэффициентами при особенностях и значением регулярной части в одной точке.

Доказательство. Пусть существуют две таких функции: f и f. Тогда f f ker() и f f обращается в ноль в одной точке, т.е. f f = 0.

Утверждение 2 Пусть dim M = 2. Для существования функции f (1,..., n ) удовлетворяли системе A+ + + A = 0, где (ab, c)± = lim(Q(a, c; z) Q(b, c; z)) Q(a, c; ±i) + Q(b, c; ±i) Доказательство. Пусть f ker( ), тогда Поскольку из замкнутости графика и компактности резольвенты оператора (см. [12]) следует, что Im() - замкнутое множество, то критерий существования такой функции f0 D() - это ортогональность правой части константам, а именно:

(это дает последнюю строчку матриц A± ). Осталось найти условие на коэффициенты, при котором f0 D(0 ), т.е. f0 (qj ) = 0 (j = 1,.., n). Достаточно найти условие, при котором f0 (qj ) = f0 (qn ) при j = 1,..., n 1 (поскольку функция f0 (x) определена с точностью до константы, то потом вычтем из полученной функции f0 (qn )).

Разложим f0 (x) и G(x, y; z) по базису из собственных функций {fs } оператора :

Тогда получим:

Приравнивая коэффициенты при базисных функциях, получим при s = 0:

Поскольку max |fs (x)| < C s 4 (см. [13]) и поскольку s C(d)(s/V ol(M ))2/d (где d = dim M), то при условии d = 2 ряд для f0 (x) сходится равномерно, а поэтому:

Найдем для коэффициентов при j другое выражение через функцию функции от z при каждых фиксированных x, y и поскольку и P (x, y; i) = 0, то P (z) = Q(z) Q(i). Отсюда, Таким образом, s: s = Аналогично:

s: s = Таким образом, условие f0 (qk ) = f0 (qn ) для любого k = 1,.., n1 перепишется в таком виде:

Доказательство. Непосредственно из определения отображения следует, что L = (ker ) - изотропная плоскость, т.е. [x, y] = 0 x, y L. А поскольку из утверждения 2 следует, что dim ker n (это, очевидно, будет верно и для случая dim M = 3 ), и поскольку из утверждения 1 следует, что |ker - инъекция, то dim L n. Значит L - лагранжева плоскость.

Поскольку, то:

Таким образом, ограничивая изоморфизм : ker L на 1 (), мы получаем изоморфизм : ker L.

Заметим, что поскольку множество лагранжевых подпространств, трансверсальных к некоторой фиксированной плоскости L, является открытым, всюду плотным подмножеством в множестве всех лагранжевых плоскостей, то в случае общего положения ядро тривиально.

Следующее предложение позволяет по значению коэффициентов при особенностях во всех точках и по значению регулярной части в одной точке функции f ker( ) определить значения регулярной части во всех остальных точках. При помощи этого предложения можно получить явную параметризацию для плоскости L = (ker ).

где Доказательство. Поскольку Поскольку + + = (1) f, то (A A+ )+ = A (1) f. Заметим, что A A+ = S(T + T ) где A± (n 1 n) матрица, полученная из матрицы A± отбрасыванием последней строки, Поскольку (2) f = (T + T )+ + T (1) f, то S(2) f = (A + ST )(1) f. Это и доказывает требуемое равенство.

2.1 Вычисление (xy y) для стандартной сферы Известно (см. [7]), что где t(z) = 1 1 + 4a2 z, (x) - логарифмичекая производная гамма-функции, Pa (z) - функция Лежандра. Тогда Воспользуемся правилом Лопиталя, для этого найдем производную (Pu (z)) |u=0. Зафиксируем z (1; 1) и воспользуемся представлением Pu (z) в виде ряда (см. [14]):

Поскольку для производной k-го члена Lk (u) этого ряда выполняется неравенство (при u [, ] (|| < 1)):

то ряд из производных сходится равномерно на [, ]. Значит Окончательно получаем:

Глава 3.

Ядро оператора Лапласа на декорированных графах Определение 10 Рассмотрим набор отрезков {Ii = [0, li ]}n, а также наi= бор гладких, замкнутых, связных, римановых многообразий {Mi }m с услоi= вием dim Mi 3. Отождествим концы отрезков с точками на многообразиях, причем так, чтобы разным концам отрезков соответствовали разные точки на многообразиях. Полученное топологическое пространство X будем называть декорированным графом.

Положим Обозначим m(i), m (i) - номера многообразий, к которым примыкает i-ый отрезок. Обозначим qi Mm(i), qi Mm (i) - точки примыкания i-го отрезка.

Пусть i (i = 1,.., m) - самосопряженные операторы Лапласа-Бельтрами на Mi, i+m (i = 1,.., n) - самосопряженный оператор dx2 на Ii с условиями Неймана. Определим операторы 0,i i (i = 1,.., m + n):

D(0,i ) = {f D(i )| f (q) = 0, если q точка примыкания отрезка к Mi } Обозначим H0 = i=1 0,i - это симметрический оператор с конечными равными индексами дефекта (4n, 4n).

Определение 11 Всякое самосопряженное расширение H оператора H0 будем называть оператором Лапласа-Бельтрами на X.

Для того, чтобы описать самосопряженные расширения оператора H0, определим пространство граничных значений: (C4n, (1), (2) ). Линейные операторы (j) : D(H0 ) C4n (j = 1, 2) определены равенством Где fi (1 i m) - ограничение f на Mi, fm+j (1 j n) - ограничение f на Ij Как и ранее, самосопряженное расширение задается лагранжевой плоскостью в C4n C4n.

3.1 Размерность ядра Поскольку H H0, то найдем для начала ядро оператора H0. Очевидно, что H0 = i=1. Ядро (i = 1,..m) уже описывалось в главе 2.

Найдем ядро (i = m+1,.., m+n). Согласно п. 1.1, D( ) = H 2 ([0, 1]).

Поэтому линейные функции лежат в ядре. Но других функций там быть не может, поскольку (см. [10]) размерность ядра не превосходит индекса дефекта этого оператора (а он равен 2).

Таким образом, dim ker H0 = 4n и имеет место утверждение, абсолютно аналогичное теореме 4:

где L - лагранжева плоскость в C4n C4n.

3.2 Расширение с условиями непрерывности Вот два естественных соображения, которые позволяют фиксировать лагранжеву плоскость, задающую оператор Лапласа-Бельтрами H на X.

1 условие. Потребуем, чтобы все непрерывные функции на X из D(H0 ) (с условиями Неймана на отрезках) лежали в D(H ). Это приводит к следующему условию на плоскость : K, где K - 2n-мерная плоскость в C4n C4n вида:

2 условие. Потребуем, чтобы все функции из D(H ) имели совпадающие значения регулярных частей в точках склейки (но функциям разрешается иметь сингулярности в этих точках). То есть Это условие означает, что S, где S - 6n-мерная плоскость в C4n C4n вида:

Лемма 4 [7] Всякая лагранжева плоскость в Ck Ck трансверсальна некоторому координатному подпространству, то есть линейной оболочке векторов {aj |j } {bj |j {1,.., k} \ }, где aj = (ej, 0), bj = (0, ej ), {1,.., k}.

Утверждение 4 Существует единственная лагранжева плоскость 0, удовлетворяющая условию K 0 S, где K и S - введенные выше плоскости.

Доказательство. Из леммы 4 следует, что существуют {1,.., 4n}, и {aj }4n такие, что плоскость 0 можно записать в координатах следующим i i,j= образом (i -произвольные параметры):

Покажем, что || = 2n. Допустим, что || > 2n. Это значит, что количество параметров i плоскости 0 в левой части C4n C4n больше чем 2n.

Для того, чтобы найти пересечение 0 с K, нужно все эти параметры положить равными нулю (поскольку для любого вектора принадлежашего K выполнено: x1 = 0 для любого i = 1,.., 4n), поэтому dim(0 K) < 2n. А т.к. dim K = 2n, то K не может содержаться в 0. Теперь допустим, что || < 2n. Это значит, что количество параметров плоскости 0 в правой части C4n C4n больше чем 2n. Но для векторов плоскости S (а значит и для 0 ) выполнено: x2 = x 0 в правой части C4n C4n не может быть больше, чем 2n.

Далее, поскольку для координат векторов плоскости 0 выполнено: x2 = j+2n ( j = 1,.., 2n), то набор {1,.., 4n} \ для любого i {1,.., 2n} должен содержать только один из индексов: i или i + 2n. Рассмотрим отображение C4n C4n в себя : (x1, x2 ) (x1, x2 ), где - перестановка, которая меняет местами i и i + 2n, если i {1,.., 2n}. При отображении плоскости S и K не изменятся, и лагранжевы плоскости перейдут в лагранжевы.

Плоскость 0 имеет вид:

где T, U, Q, W - некоторые матрицы 2n2n. Из условия 0 S получаем, что Q = I, W = 0. А из условия K 0 получаем, что T = 0. При каком условии на U эта плоскость будет лагранжевой? Возьмем два вектора V1, V2 0, которые заданы параметрами X1, Y1 и X2, Y2 :

Если 0 - лагранжева, то для любых X1, Y1, X2, Y2 C2n должно быть выполнено:

Откуда U = I. Полученная плоскость инвариантна относительно преобразования 1. То есть лагранжева плоскость, удовлетворяющая условию K 0 S единственна:

3.3 Ядро расширения с условиями непрерывности Утверждение 5 Для f ker H 0 выполнено:

Доказательство. Пусть на i-ом ребре fi+m (x) = Ax + B (см. п. 3.1).

Поскольку (f ) 0, то Отсюда получаются требуемые равенства.

Теорема 5 1) Для оператора H 0 на декорированном графе (полученном декорацией конечного графа G) выполнено следующее неравенство:

где i = dim Hi (G, C).

2) Сколь угодно малым изменением длин ребер можно добиться того, чтобы dim ker H 0 = 0.

3) Если связный декорированный граф X получен преклеиванием к связному декорированному графу X новых ребер и многообразий, G и G - их соответствующие графы, d и d - размерности ядер операторов Лапласа с условиями непрерывности на X и X, то выполнено следующее неравенство:

Доказательство. 1) Достаточно доказать это предложение для случая связного графа G. Нижняя оценка выполняется в силу того, что константы лежат в ядре оператора H 0. Докажем верхнюю оценку. Переобозначим точки p1 = q1, p2 = q1,.., p2n1 = qn, p2n = qn. Рассмотрим отображение (f ) = (ap1 (fm(1) ), ap2 (fm (1) ),.., ap2n1 (fm(n) ), ap2n (fm (n) )).

Образ Im P, где P - подпространство в C2n = (x1,..., x2n ), удовлетворяющее следующим условиям: 1) если точки pi и pj соединены ребром, то xi = xj (по утверждению 5.A); 2) если точки {pi }i лежат на одном многообразии, то xi = 0 (по предложению 2). Покажем, что dim P = 1.

Действительно, рассмотрим отображение из пространства одномерных цепей (с коэффициентами из C) в C2n, сопоставляющее ребру с началом в точке pi и с концом в pj вектор c координатами xk = 0 при k не равном i или j, xi = 1, xj = 1. Поскольку образ пространства замкнутых цепей при этом отображении - это в точности пространство P, то dim P = 1.

Покажем, что функция f ker H 0 однозначно определяется по вектору (f ) и по одному значению регулярной части bp1 (fm(1) ). Выделим в графе G максимальное дерево G. Рассмотрим многообразие M1, соответствующее корню этого дерева. Тогда, в силу предложения 1, однозначно определяется f1. Далее, по утверждению 5.B, определяются значения регулярных частей в точках многообразий, соединенных ребрами с M1, а значит, определены и функции fi на этих многообразиях. Двигаясь дальше по ребрам G, мы определим функцию f на всем декорированном графе. Таким образом, верхняя оценка установлена.

Однако, вектор (f ) не может быть произвольным, для компонент этого вектора должна выполняться система уравнений, каждое из которых - это условие (из утверждения 5.B) согласования значений регулярных частей в точках, соединенных не входящими в G ребрами. Уравнений будет n(v 1) = 1 (v - количество вершин графа G). Таким образом, мы имеем nv +1 уравнений на n v + 2 неизвестных. Рассмотрим не входящие в G ребра (соответствующие им циклы обозначим 1,.., nv+1 ) и зададим на них произвольным образом ориентацию. В качестве неизвестных выберем коэффициенты при особенностях в точках, соединенных этими ребрами; причем, если началу ребра соответствует коэффициент a, то концу ребра будет соответствовать коэффициент a.

Пользуясь описанным выше правилом составления уравнений и способом нахождения значений регулярных частей (утверждение 3), несложно понять, что i, j-ый элемент матрицы системы линейных уравнений на эти неизвестные находится следующим образом: это сумма длин ребер, по которым пересекаются циклы i и j, плюс сумма по всем вершинам P, по которым пересекаются эти циклы, выражений wP, определенных ниже. Зададим ориентацию на G таким образом, чтобы ребра были направлены "от корня".

Пусть степень вершины P равна k, тогда концы всех ребер, сходящихся в P мы занумеруем так, чтобы номер k получило входящее ребро максимального дерева, а в случае, если P - корень G, то занумеруем так, чтобы номер k поP P лучило одно из исходящих ребер G. Обозначим q1,... qk - соответствующие точки на многообразии. Пусть цикл i имеет в вершине P ребра с номерами s и t, а цикл j ребра с номерами r и l. Тогда

P PP P PP P

где wu,v = (qu qk qv ) (qu qk qk ), и u,v = 0 если один из индексов равен k; если же u = k, v = k, то u,v = 1 в случае, если оба ребра с индексами u и v являются либо входящими либо выходящими, и u,v = 1 в противном случае. Заметим, что мы получили самосопряженную матрицу, поскольку Q(y, x; z ) = Q(x, y; z), а значит, wu,v = wv,u.

Понятно, что длины не входящих в G ребер будут присутствовать только в диагональных элементах получившейся матрицы системы. А это означает, что сколь угодно малым изменением длин ребер можно добиться невырожденности этой системы, т.е. пункт 2 доказан.

Чтобы доказать пункт 3, выберем максимальное дерево в G и дополним его до максимального дерева в G. Тогда матрица пересечений для декорированного графа X будет выделяться блоком в матрице пересечений для декорированного графа X. Оценка пункта 3 следует из того, что ранг блока не превосходит ранга всей матрицы.

3.4 Пример, в котором оценка достигается.

Пусть декорированный граф получен декорацией цикла (с длинами ребер l1,..., ln ) многообразиями {Mi }n. Тогда, пользуясь утверждением 3, легко показать, что критерий двумерности ядра оператора H 0 - это выполнение следующего равенства:

где точки xi, yi Mi. Например, если Mi = Sai, то получается следующее равенство:

где rj = r(xj, yj ). Таким образом, подобрав соответствующие длины ребер, можно построить декорированный цикл, для которого dim ker H 0 = 2. Еще один пример, в котором приведенная выше оценка будет достигаться, можно построить следующим образом: возьмем дерево и к некоторым вершинам степени один прикрепим только что построенные циклы (для которых dim ker H 0 = 2), получим граф. Продолжая заданную на цикле функцию из ker H 0 на весь декорированный граф константой (равной значению этой функции в точке прикрепления цикла) мы получим функцию из ядра оператора Лапласа на всем декорированном графе. Такие функции будут образовывать пространство размерности 0 () + 1 ().

Глава След экспоненты оператора Лапласа на декорированном графе.

Диссертация С.В. Рогановой (см. [8]) была посвящена псевдоасимптотичеследа квадрата резольвенты T r(H + p)2 опескому разложению по pn lnm p ратора H.

Теорема 6 [8] Рассмотрим декорированный граф, состоящий из двумерных многообразий Mi и ребер {Li }n с длинами li. Рассмотрим оператор Лапласа-Бельтрами H, задаваемый граничными условиями вида (1) f = (2) f, где - состоящая из четырех диагональных блоков матрица:

Пусть ak,i - коэффициенты разложения следа эспоненты обычного оператора Лапласа-Бельтрами на многообразии Mi. Тогда след квадрата резольвенты R(p) = (H + p)1 имеет следующее p-псевдоасимптотическое разложение при p :

где cn - рациональные функции, которые имеют следующие ln p-разложение:

Наша цель - дать разложение для следа экспоненты оператора tH при t 0. Для этого мы будем использовать преобразование Лапласа использовать тот факт, что Утверждение 6 Пусть a 1, |p| > 1. Тогда при t 0.

Доказательство. Покажем, что Действительно, Очевидно, что двойной интеграл абсолютно сходится и можно поменять пределы интегрирования:

Далее интегрируем по частям (значения на бесконечности не будет, т.к. (y) = (y) Интегрируя по частям в последнем интеграле (и используя то, что (y) = O( y ) (см. [14])), получаем нужное утверждение.

Утверждение 7 Пусть p > 1, a > 1, b N, b > 1. Тогда Доказательство. Эта формула получается b 1 – кратным интегрированием по a формулы из утверждения 6. Например, для b = 2:

Очевидно, что тройной интеграл абсолютно сходится, и можно поменять местами интеграл по t и, тогда Так же, как и в утверждении 6, интегрируя по частям сначала во внутреннем интеграле, а потом во внешнем, получим требуемое утверждение.

Утверждение 8 Пусть a > 1, b N, b > 2, тогда Доказательство. Непосредственно из формулы Меллина (где F (p) - аналитическая и стремящаяся к нулю при |p| в полуплоскоc+i сти функция, для которой Таким образом, если то, пользуясь тем, что произведение изображений есть изображение свертки оригиналов, при t 0 получим:

где g(t). Таким образом, используя утверждение 7, получаем:

Из всех 3-х предложений получаем:

Окончательно, получаем:

Теорема 7 В условиях теоремы 6:

где sn - функции, которые имеют следующее ln t-разложение:

Глава След квадрата резольвенты для оператора с условиями непрерывности Теорема где ck - рациональные функции Доказательство. Найденную С.В. Рогановой формулу нельзя применить к этому оператору, поскольку она дает ответ только для операторов H дизъm+n юнктных с i=1 i (где {i }m - операторы Лапласа на многообразиях, {i }i=m+1 - операторы Лапласа на отрезках с условием Неймана), то есть для которых выполняется D(H) D(m+n i ) = D(H0 ).

Однако, если поменять пространство граничных значений, то есть вместо (C4n, (1), (2) ) рассматривать (C4n, 0, 0 ), где то расширение с условиями "непрерывности" запишется в следующем виде:

Причем это расширение будет дизъюнктным с m+n i (где {i }m - операi= торы Лапласа на многообразиях, {i }m+n - операторы Лапласа на отрезках с условием Дирихле).

При вычислении следа квадрата резольвенты С.В. Роганова использовала формулу Крейна где (z) = ((1) )1, Q(z) = (2) (z). Поскольку мы изменили отображения (i), то необходимо найти соответствующие отображения Q(z), (z). В качестве базиса в дефектном подпространстве для оператора S (на отрезке [a, b]) из п. 1.1 выберем функции где GD - функция Грина оператора Лапласа с условием Дирихле:

Тогда, если мы будем рассматривать один отрезок в отдельности, то для него где означает, что компоненты матриц отличаются экспоненциально малыми членами. T r(R0 A) имеет вид где G(x, y; z) - функция Грина оператора Лапласа на многообразии или функция Грина оператора Лапласа на отрезке с условием Дирихле. И G (y, q; z) - функцция Грина оператора Лапласа на многобразии, если q Mk, либо G (y, q; z) = f1 (y), если q - начало отрезка, либо f2 (y), если q - конец отрезка.

Непосредственно вычисляя интегралы, находим, что если qi = qj - точка отрезка, то Если же qi = qj, то этот интеграл экспоненциально мал. При qi, qj Mk интеграл равен (см. [8]) Таким образом, Теперь рассмотрим слагаемое Таким образом, это слагаемое эквивалентно 4z 2 T r(Gz [Q(z) ]1 )2, где где (Fi )z - диагональная матрица N N (N = 2n), Fi = F (qi, qi ; z) - регулярная часть функции Грина. И поскольку то все слагаемое эквивалентно Найдем первые члены псевдоасимптотического разложения T r(2R0 A + A2 ).

где bk = (k)ak, ak - коэффициенты теплопроводности многообразия, которому принадлежит точка qi. Обозначим A = 2, B = 4, тогда В результате получаем Таким образом, часть разложения, не содержащая логарифмы (содержащая степени z), совпадает с разложением квадрата резольвенты для прямой суммы операторов Лапласа на многообразиях и операторов Лапласа с условиями Неймана на отрезках, т.е. c Глава Cпектр оператора Лапласа с потенциалом, сходящимся к дельта-функции 6.1 Окружность Теорема 9 Рассмотрим задачу на окружности, параметризованной x [0, 1): y + 1 V ( x )y = y, где V (x) - интегрируемая функция с носителем [0, 1]. Для каждой точки 0 вида (2k)2 (k N) или решения уравнения = ctg (где M = 0V (x)dx) существует единственное собственное значение (), т.ч. () 0. Других собственных значений нет.

Доказательство. Сначала рассмотрим это уравнение на [0, ] и напишем фундаментальную систему решений. Делаем замену переменных x x.

Тогда получаем задачу y + V (x)y = 2 y на [0, 1]. Раскладываем y(x) в ряд по : y = y0 + y1 + 2 y2 +.... Тогда получаем уравнения:

Построим такие разложения для фундаментальной системы решений y 1 (x), y 2 (x). Причем потребуем, чтобы y 1 (0) = 1, (y 1 ) (0) = 0 и y 2 (0) = 0, (y 2 ) (0) = 1. Для y 1 (x) получаем:

сходится равномерно при ограниченном.

Тогда Рассматривая уравнения на остальной части окружности x [, 1), получаем фундаментальную систему:

Требуя гладкости от глобального решения, получаем два условия в точке Пользуясь найденными выше разложениями, легко показать, что равенство определителя этой системы нулю имеет вид:

где f (, t) - гладкая на (0, 0 ) (0, ) функция, и f (, t) = o() при условии ограниченности t.

Для всех непрерывных решений () этого уравнения выполнено () 0, где 0 - решение уравнения для каждого 0 существует единственное решение (), т.ч. () 0.

6.2 Сфера.

Теорема 10 Рассмотрим задачу на нахождение собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на стандартной двумерной Тогда каждая непрерывная и ограниченная функция () сходится при 0 к числу вида n(n + 1), n Z.

Доказательство. После разделения переменных и замены z = cos поeim um (z), где лучим собственную функцию u = 1) Пусть m > 0. Решения этого уравнения Pn (z) и Qm (z) (n(n + 1) = в окрестности z = 1, n(n + 1) = 2 в окрестности z = 1) имеют следующие асимптотики:

при z 1, Pn (z) 2 2 sin(n)(m)(1 + z) 2, Qm (z) 2 2 1 (m) cos(n)(1 + z) при z 1. Можно выбрать базис в пространстве решений {w1, w2 } таким образом, чтобы в окрестности особой точки z0 = 1 решения имели вид: w1 = (1 + z) 2 a1 (z), w2 = Cw1 ln(1 + z) + (1 + z) 2 a2 (z), где a1, a2 - аналитические функции. Поэтому чтобы решение в окрестности т. -1 не имело особенностей, оно должно быть пропорционально Потребовав гладкости решения, получаем уравнение на спектр:

Или Для нахождения ограниченных решений найдем асимптотику правой части уравнения по в предположении, что принадлежит конечному промежутку.

Поскольку (см. [16], стр. 144) Легко показать, что ряд для F(n+, n+ +1, 1m; sin2 2 ) сходится равномерно по, и где Jm - функция Бесселя. Поэтому Числитель правой части уравнения (*) эквивалентен Знаменатель же необходимо вычислить с дополнительной поправкой по.

Явный вид функции Qm (x) (см. [16], c.150):

2Qm (x) = Pn (x) ln А) Рассмотрим случай m > 1. Тогда первые два главных члена в разложении для Qm (cos ) и (Qm ) (cos ) появляются из второго слагаемого:

Теперь найдем уточненные разложения для Pn+ (cos ) и (Pn+ ) (cos ). Обозначим A = C, тогда где Получаем В этих обозначениях:

Таким образом, знаменатель дроби (*) имет асимптотическое разложение то правая часть уравнения (*) равномерно по ограниченному эквивалентна Если же Jm+1 (A) = 0, то знаменатель дроби (*) принимает следующий вид:

и вся дробь есть O(2m2 ).

Б) Рассмотрим случай m = 1, тогда знаменатель (*) имеет вид:

Если A таково, что = A2 J0 (A) =, то правая часть (*) есть O(2 ). Если же J0 (A) = 0, то + = 2J1 (A)A = 0, т.к. у J0 и J1 нет общих нулей. И правая часть (*) есть O( ln ).

2) Пусть m = 0. Тогда Pn (x) и Qn (x) имеют асимптотики:

Уравнение на спектр остается тем же самым, однако Значит, если J1 (A) = 0, то правая часть (*) есть ln. В противном случае J0 (A) = 0, и правая часть есть O(2 ).

6.3 Диск.

Теорема 11 Рассмотрим задачу f +V (r)f = f на круге радиуса 1. Здесь - оператор Лапласа (положительный) с условием Дирихле на границе Тогда каждая непрерывная и ограниченная функция () сходится при 0 к собственному значению, т.е. к нулю функции Бесселя Jm (z).

Доказательство. Разделяем переменные f = R(r)eim и получаем уравнение на R(r):

При r < решение, не имеющее особенности в нуле - Jm решение есть линейная комбинация Jm ( r) Ym ( ) Jm ( ) Ym ( r) (где Ym (z) - функция Ханкеля). Требуя гладкости решения при r =, получаем:

или Jm () Покажем, что правая часть (*) равномерно по ограниченному сходится к нулю при 0.

Поскольку при m > 0:

то числитель (*) есть O(m ).

1) Разберем случай m = 1 :

(см. [14] 17.61, стр. 211) Обозначим A = C. Знаменатель дроби (*) имеет вид Если J1 (A) + J1 (A)A = 0, то правая часть (*) есть O(2 ). Если же J1 (A) + J1 (A)A = 0, то J1 (A) J1 (A)A = 0, т.к. нули функции Бесселя простые.

Тогда правая часть (*) есть O( ln ).

2) В случае m > 1 дробь есть O(2m ) если J1 (A) J1 (A)A = 0, и O(2m2 ) в противном случае.

3) Если m = 0, то J0 (z) = 1 + O(z 2 ), J0 (z) = z + O(z 3 ) и числитель (*) равен J0 (A)A + O(). Поскольку то знаменатель (*) принимает вид Отсюда следует, что дробь (*) есть либо O( ln ), либо O().

Глава Стягивающийся тор Теорема 12 Рассмотрим оператор Лапласа (отрицательный) на поверхности, полученной вращением окружности (x 1)2 + y 2 = 2 вокруг оси oy.

Если () - аналитически зависящее от собственное значение, то n = 1), где n, m N {0}.

Доказательство. Разделяя переменные в уравнении на собственные значения оператора Лапласа, получаем для u() уравнение с коэффициентами, аналитически зависящими от :

Раскладываем u() в ряд u = u0 + u1 + 2 u2 +.... Получаем уравнение на u0 : u0 = 0 u0. То есть Уравнение на u1 :

u1 + n2 u1 = 1 (C1 ein + C2 ein ) + (C1 ei(n+1) C1 ei(n1) C2 ei(n1) + Из условия разрешимости этого уравнения получаем, что 1 = 0.

u1 = C3 ein + C4 ein +(частное решение).

Уравнение на u2 :

При n = 1 условие разрешимости будет иметь вид:

При n = 1 получаем систему:

Откуда 2 = { В правой части этого уравнения коэффициенты при ein и ein равны C и C2 3. Откуда 3 = 0.

Литература [1] Kronig R. de L., Penney W.G. Quantum mechanics of electrons in crystal latices. // Proc. Roy. Soc. A. – 1931. – V.130. – P.499 - 513.

[2] Березин Ф.А., Фаддеев Л.Д. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом. // Докл. Акад. Наук СССР. – 1961.– Т. 137. – С. 1011 - 1014.

[3] Альбеверио С., Гестези Ф., Хеэг-Крон Р., Хольден Х. Решаемые модели в квантовой механике. - М.: Мир. – 1991.

[4] И.С. Лобанов. Спектральные свойства гамильтонианов явнорешаемых моделей мезоскопических структур: декорированные квантовые графы и квантовые точки. Кандидатская диссертация, 2005.

[5] Брюнинг Й., Гейлер В.А. Геометрическое рассеяние на компактных римановых многообразиях. // Доклады Академии Наук. – 2003.– Т. 389, N.

3. – С. 310-313.

[6] Брюнинг Й., Гейлер В.А., Лобанов И.С. Спектральные свойства операторов Шредингера на декорированных графах. // Математические заметки. –2005. –Т. 77, N.6. – С. 932-934.

[7] J.Bruning, V.Geyler. Scattering on compact manifolds with innitely thin horns.// J.Math.Phys. –2003. – Vol.44. – pp.371-405.

[8] S. Roganova. Direct and inverse spectral problems for hybrid manifolds.

Dissertation, Humboldt Universitat zu Berlin. – 2007.

[9] Exner P., Post O. Convergence of spectra of graph-like thin manifolds.// Journal of Geometry and Physics. – 2005. – V.54. – P. 77-115.

[10] М.А. Наймарк. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, [11] В.А. Гейлер, В.А. Маргулис, И.И. Чучаев. Потенциалы нулевого радиуса и операторы Карлемана.// Сибирский математический журнал. – 1995.– [12] Х. Цикон, Р. Фрезе, В. Кирш, Б. Саймон. Операторы Шредингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. М.: Мир, [13] H. Donnelly. Eigenfunctions of the Laplacian on compact Riemannian manifolds.// Asian J. Math. – 2006. – V. 10(1)– pp. 115-125.

[14] Э. Уиттекер, Дж. Ватсон. Курс современного анализа, ч.2. Издательство физико-математической литературы, 1963.

[15] S. Rosenberg. The Laplacian on a Riemannian manifold. // London Mathematical Society Student Texts. –1997. – Vol. 31. – Cambridge.

[16] Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. т.1. М.: Наука, 1965.

[17] Демков Ю.Н., Островский В.Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975.

[18] Курасов П.Б., Павлов Б.С. Электрон в однородном кристалле из точечных атомов с внутренней структурой. II. // Теоретическая и математическая физика. – 1987. – Т.74, N. 1. – С. 82-93.

[19] Павлов Б.С. Теория расширений и явнорешаемые модели. // Успехи матем. наук. – 1987. – Т.42, N 6. – С. 99-131.

[20] Павлов Б.С. Электрон в однородном кристалле из точечных атомов с внутренней структурой. // Теоретическая и математическая физика. – 1987. – Т. 72, N 3.– С. 403-415.

[21] Kuchment P., Zheng H. Convergence of spectra of mesoscopic systems collapsing onto a graph. // J. Math. Anal. Appl. – 2001. – V. 258, N.2.

– P.671-700.

[22] Saito Y. The limiting equation for Neumann Laplacians on shrinking domains. // Electron. J. Dier. Equ. – 2000. – V.31 – P. 1-25.

[23] А.А. Толченников. О ядре операторов Лапласа-Бельтрами с потенциалом нулевого радиуса и на декорированных графах.// Математический сборник. – 2008. – Т. 199, N7. – с. 123-138.

[24] A.A. Tolchennikov. Kernel and Trace Formula for the Exponential of the Laplace-Beltrami Operator on a Decorated Graph. // Russian Journal of Mathematical Physics. – 2008. – Vol. 15, No. 1. – pp.128-139.

[25] А.А. Толченников. Тезисы конференции "Дни дифракции 2009". Изд-во СПбГУ. – 2009. – с. 88.

[26] А.А. Толченников. Воронежская зимняя математическая школа С.Г.

Крейна - 2008. Тезисы докладов. Изд-во ВорГУ. – 2008. – с. 136.