«В. М. Кадец КУРС ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Харьков 2006 УДК 517.98 517.51 ББК 22.162 К 13 Рекомендовано к печати ученым советом механико-математического факультета Харьковского национального университета имени В. Н. ...»

Доказательство. Функции двух переменных g1 ( x, y ) = x + y, g 2 ( x, y ) = xy непрерывны, равно как и функции max{x, y} и min{x, y}. Согласно п. 3 только что доказанного следствия, это даёт измеримость функций f + g, fg, max{ f, g} и min{ f, g}. Непрерывность функций | t |, t +, t и t в совокупности с п. 2 предыдущего следствия обеспечивают измериКурс функционального анализа мость f, f +, f и f. Измеримость функции signf следует из п. 1 того же следствия и измеримости по Борелю функции sign t. Наконец, если f нигде не обращается в ноль, то 1 f представима как композиция измеримой функции f : R \ {0} (где R \ {0} наделено -алгеброй борелевских множеств) и непрерывной, а следовательно, и измеримой по Борелю функции 1 t : R \ {0} R.

Теорема 3. Пусть последовательность f n измеримых функций сходится поточечно к функции f, то есть t f n (t ) f (t ). Тогда f измеримая функция.

Доказательство. Зафиксируем число a R. Значение функции f в точке t будет больше, чем a, в том и только том случае, если существуют такое рациональное число r Q и такой номер n N, что для любого m > n выполнено неравенство f m (t ) > a + r. Переведя это утверждение на язык теории множеств, получаем, что f > a = Применив последнюю теорему к последовательности частных сумм ряда, получаем такое следствие.

Следствие. Если ряд из измеримых функций сходится поточечно, то его сумма измеримая функция.

Упражнения 1. Докажите напрямую, что если функции f и g измеримы, то при любом a R множество ( f + g )> a принадлежит. Согласно критерию из предыдущего параграфа, этим будет дано другое доказательство измеримости суммы двух измеримых функций.

2. Запишите выражения для множеств (max{ f, g})> a и (min{ f, g})> a через аналогичные множества для функций f и g.

3. Если функции f и g измеримы, то измеримы множества тех t, где 4. Пусть f n поточечно ограниченная последовательность измеримых функций. Тогда измеримы также функции f = sup f n и g = lim f n.

5. Пусть A множество всех точек дифференцируемости непрерывной функции f на оси (см. упражнение 13 п. 2.1.2). Тогда производная f измерима по Борелю на A.

6. Отождествим поле C комплексных чисел стандартным образом с плоскостью R 2 и наделим C -алгеброй B2 борелевских подмножеств плоскости. Измеримое отображение f : C будем называть измеримой комплекснозначной функцией. Докажите, что отображение Глава 3. Измеримые функции f : C измеримо в том и только том случае, если измеримы вещественнозначные функции Re f и Im f.

7. Докажите следующие свойства комплекснозначных измеримых функций:

(1) если функции f и g измеримы, то функция f + g также измерима;

(2) если f измерима, то f измерима для любого C ;

(3) если функции f и g измеримы, то и их произведение fg измеримо;

(4) если функция f измерима, то f это измеримая вещественнозначная функция.

3.1.3. Характеристическая функция множества Пусть A подмножество выделенного множества. Характеристической функцией множества A называется функция 1A на, равная 1 на A и нулю вне множества A. Другие принятые в литературе обозначения для характеристической функции множества A это A и I A. Последнее обозначение чаще всего используется в теории вероятностей, где характеристическая функция множества называется индикатором множества, а термин «характеристическая функция» используется для совсем другого объекта. Конечно, было бы разумным в обозначении для характеристической функции как-то учитывать не только множество A, но и. Скажем, одно и то же множество A вещественных чисел в одной ситуации может рассматриваться как подмножество отрезка, а в другой оси. В первом случае 1A будет определена на отрезке, во втором на оси, а символ для обозначения используется один и тот же. Это небольшое несогласование обычно не вызывает неудобств: здесь, как и во многих других случаях, функцию, определённую на подмножестве, по умолчанию доопределяют на более широкое множество нулём.

Перечисленными в нижеприведенных упражнениях 1-5 свойствами мы будем пользоваться. Поэтому настоятельно рекомендуем читателю обратить на эти упражнения внимание.

Упражнения 1. Пусть (, ) множество с заданной на нём -алгеброй, A. Функция 1A будет измеримой в том и только том случае, если измеримо множество A.

2. 1A B = max{1A,1B }.

3. 1A B = min{1A,1B } = 1A 1B.

4. Если множества A и B не пересекаются, то 1A B = 1A + 1B.

Курс функционального анализа 5. Пусть A = 6. Пусть An некоторая последовательность множеств. Тогда lim 1An это характеристическая функция некоторого множества A, называемого верхним пределом последовательности множеств An. Найдите выражение множества A через An с помощью обычных операций объединения и пересечения множеств.

7. Рассмотрим множество 2 N всех подмножеств натурального ряда в топологии, описанной в упражнении 7 п. 1.4.4. Проверьте, что последовательность множеств сходится в этой топологии к некоторому множеству в том и только том случае, если характеристические функции поточечно сходятся к соответствующей характеристической функции.

3.1.4. Простые функции. Лебеговская аппроксимация измеримой функции простыми. Измеримость на пополнении пространства Пусть (, ) множество с заданной на нём -алгеброй. Функция f на называется простой функцией, если она представима в виде f= где An дизъюнктная последовательность множеств, а сходится поточечно, а более того, для любого t все слагаемые указанного ряда равны нулю, за исключением, быть может, одного (с тем номером n, для которого t An ). На каждом из множеств An функция f равна константе an, и f (t ) = 0 за пределами объединения всех An. Простые функции ещё называют счётнозначными функциями, или, более подробно, счётнозначными измеримыми функциями. Обоснованием этого термина служит следующее утверждение.

Теорема 1. Функция f будет простой функцией в том и только том случае, если f измерима и множество всех её значений не более чем счётно.

проверить непосредственно (прообраз любого множества будет конечным или счётным объединением каких-то из An ), а можно сослаться на измеримость суммы ряда измеримых функций. Далее, f () {an }=1 {0}, отn куда вытекает не более чем счётность множества всех значений функции.

Обратно, пусть f измерима и множество M всех её значений не более Глава 3. Измеримые функции чем счётно. Тогда для любого t M множество f 1 (t ) измеримо и Если множество значений простой функции конечно, функция называется конечнозначной функцией.

Теорема 2. Классы конечнозначных и счётнозначных функций устойчивы по отношению к операциям суммы, произведения, взятия максимума и минимума двух функций.

Доказательство. То, что эти операции сохраняют измеримость, нам уже известно. Теперь пусть f и g две функции на, M и N их мноN счётны то счётны. Утверждение теоремы следует из того, что образы и M N соответственно.

Измеримые функции могут быть устроены довольно сложно. Поэтому для облегчения исследования их структуры используют приближение измеримой функции простыми.

Теорема 3. Пусть f измеримая функция на. Тогда для любого > 0 существует простая функция f f, во всех точках отличающаяся от f не больше чем на. При этом если f 0, то f может быть также выбрана неотрицательной, а если f ограничена, то в качестве f может быть выбрана конечнозначная функция.

Доказательство. Для любого целого n определим числа t n = n и отрезки n = [tn, tn +1 ). Через An обозначим f 1 ( n ). Какие-то из An могут быть и пустыми. В частности, если f 0, то пустыми будут все An с номерами, меньшими нуля. Если же f ограничена по модулю некой константой C, то все An с | n |> C + 1 будут пустыми. Множества An попарно не пересекаются, в объединении дают всё множество, и на An значения функции f подчиняются неравенству tn f (t ) < tn +1. Функцию f определим так, чтобы на An она равнялась соответствующему tn :

Такая функция будет подчиняться всем условиям теоремы. Так, на каждом из An выполнена оценка tn = f (t ) f (t ) < tn +1, то есть будет принимать отрицательных значений tn : множества An, соответствующие отрицательным tn, будут пустыми. Если же f ограничена, то Курс функционального анализа пустыми будут все An, за исключением конечного числа, и f будет конечнозначной.

Следствие. Для любой измеримой функции f существует неубывающая последовательность f1 f 2... простых функций, равномерно сходящаяся к f. При этом если f неотрицательна (ограничена), то f n могут быть выбраны неотрицательными (конечнозначными).

Доказательство. Воспользуемся предыдущей теоремой и выберем простую функцию f1 так, чтобы она подчинялась условию 0 f f1 1.

Функция f f1 будет измеримой неотрицательной функцией, и, по предыдущей теореме, существует неотрицательная простая функция g1, удовлетворяющая неравенствам 0 f f1 g1 1 2. Положим f 2 = f1 + g1.

Имеем f1 f 2 и 0 f f 2 1 2. Функция f f 2 снова будет измеримой неотрицательной функцией, и снова её можно приблизить некоторой простой функцией g 2 : 0 f f 2 g 2 1 3. Функцию f 3 определим как f 2 + g 2. Продолжив этот процесс, получим возрастающую последовательность простых функций с условием 0 f f n 1 n, обеспечивающим равномерную сходимость. Удовлетворить дополнительные требования неотрицательности или конечнозначности, указанные в формулировке следствия, также не представляет труда.

Доказательство следующей теоремы опирается на возможность аппроксимации измеримой функции простыми.

Теорема 4. Пусть (,, ) пространство с мерой, (,, ) его пополнение. Тогда для любой функции f на, измеримой по отношению к -алгебре, существует -измеримая функция g, совпадающая с f почти всюду.

Доказательство. Вначале докажем это утверждение для случая проan 1An, An и дизъюнктны. В каждом из An стой функции. Пусть f = выберем по подмножеству Bn, с ( An \ Bn ) = 0 (см. упражнение п. 2.1.5). Тогда g = будет требуемой функцией. Теперь пусть f произвольная -измеримая функция, f n последовательность простых -измеримых функций, поточечно сходящаяся к f, g n -измеримые функции, почти всюду совпадающие с соответствующими f n. Пусть A то пренебрежимое множество, за пределами которого f n = g n, n = 1,2,.... Согласно определению пренебрежимого множества, существует -измеримое множество B нулевой меры, содержащее A. Рассмотрим множество полной меры C = \ A. Функции g n 1C образуют последоваГлава 3. Измеримые функции тельность -измеримых функций, сходящуюся на C к f, а за пределами множества C равных 0. То есть g n 1C стремятся поточечно к функции g = f 1C, и, согласно теореме 3 п. 3.1.2, эта предельная функция измерима. Остаётся заметить, что g = f почти всюду, так как множество B, где это равенство может быть не выполнено, пренебрежимо.

1. Функция f из формулировки теоремы 3 может быть выбрана так, что 2. Пусть X метрическое пространство, наделённое -алгеброй борелевских множеств, f : X измеримое отображение. Тогда следующие условия эквивалентны:

для любого > 0 существует счётнозначное измеримое отображение множество f () сепарабельно.

3. В условиях предыдущего упражнения эквивалентны следующие условия:

для любого > 0 существует конечнозначное измеримое отображение множество f () предкомпакт.

4. Отображение f в предыдущих двух упражнениях может быть выбрано удовлетворяющим условию f () f ().

5. Докажите, что для любой измеримой по Лебегу функции f на отрезке найдётся равноизмеримая с ней убывающая функция f (определение равноизмеримости см. упражнение 17 п. 3.1.1). Такая функция f называется убывающей перестановкой функции f.

3.2. Основные виды сходимости В этом разделе (,, ) будет неким фиксированным пространством с конечной мерой, функции f, f n и все остальные функции, если не оговорено противное, будут по умолчанию считаться определенными на, измеримыми и принимающими вещественные значения.

3.2.1. Сходимость почти всюду Последовательность функций f n называется почти всюду сходящейся к функции f (обозначение: f n п f ), если множество тех t, где f n (t ) не стремится к f (t ), пренебрежимо. Отметим простейшие свойства Курс функционального анализа сходимости почти всюду, проверку которых оставим читателю в качестве упражнения.

то G ( f n, g n ) п G ( f, g ). Отсюда вытекают, в частности, теоремы о пределе суммы и произведения.

Сходимость почти всюду играет важную роль в теории интеграла Лебега. При относительно необременительных дополнительных предположениях (см. раздел 4.4) интеграл предельной функции можно вычислять как предел интегралов. При этом сходимость почти всюду гораздо удобнее во многих отношениях обычной поточечной сходимости. Во-первых, это более общий вид сходимости, поэтому такую сходимость легче проверять.

Далее, здесь, как и вообще при работе со свойствами, выполняющимися почти всюду, можно не обращать внимания на поведение функций на пренебрежимых множествах. Скажем, для кусочно-непрерывной или для монотонной функции можно вообще не определять значения в точках разрыва на сходимости почти всюду это никак не скажется! Однако у сходимости почти всюду есть один существенный недостаток: эта сходимость не порождается никакой метрикой или топологией, и поэтому нет естественного способа определить «скорость сходимости». Приведём пример задачи, где этот недостаток даёт себя почувствовать.

Определение. Пусть X, Y два семейства измеримых функций на. Будем говорить, что X п.в.-плотно в Y (плотно в смысле сходимости почти всюду), если для любого f Y существует такая последовательность f n элементов семейства X, что f n. f.

Теорема. Пусть X п.в.-плотно в Y, Y п.в.-плотно в Z, тогда X п.в.плотно в Z.

Это естественное свойство важно не только с точки зрения внутренней стройности теории сходимости почти всюду, но и с точки зрения приложений. Так, на нём основывается вывод п.в.-плотности семейства непрерывных функций на отрезке в множестве всех измеримых по Лебегу функций на том же отрезке. Хотя эти результаты и можно доказать, опираясь только на определение сходимости почти всюду, придумать такие доказательства совсем не просто (предлагаем читателю попробовать свои силы!).

А ведь если бы сходимость задавалась какой-то топологией, задача была бы совсем тривиальной (см. упражнение 4 п. 1.2.1). К счастью, тут приходит на выручку более изысканная идея. Оказывается, существует тополоГлава 3. Измеримые функции гия на пространстве измеримых функций, для которой понятие плотности подмножества в точности совпадает с п.в.-плотностью, хотя сходимость (так называемая сходимость по мере) и не совпадает со сходимостью почти всюду. К изучению этой топологии и соответствующей сходимости мы и переходим сейчас.

3.2.2. Сходимость по мере. Примеры Пусть a и строго положительные числа, f измеримая функция.

Через U a, ( f ) обозначим множество тех измеримых функций g, для которых (| g f |>a ) <. (Здесь, как и раньше, символ h> a означает множество всех t, для которых h (t ) > a ). Топологией сходимости по мере на пространстве всех измеримых функций на называется топология, в которой базу окрестностей каждой функции f образуют множества U a, ( f ), a, > 0. Соответственно, последовательность функций f n называется сходящейся по мере к функции f (обозначение: f n f ), если для любого a> Теорема 1. Сходимость по мере обладает следующими свойствами:

Доказательство. Первое и третье свойства очевидны. Докажем второе но доказать, что ( An ) = 0 при всех n. Для любого k N в каждой точке множество точек, где | f (t ) f k (t ) |> обозначить через Bn, k, а точек, где димости по мере, при фиксированном n и k меры множеств Bn, k и Cn, k стремятся к 0. Таким образом, ( An ) может быть только нулевой.

Теорема 2. Пусть X некоторое семейство измеримых функций на. Тогда каждая точка замыкания множества X в топологии сходимости Курс функционального анализа по мере будет пределом некоторой сходящейся по мере последовательности элементов множества X.

Доказательство. Мы будем пользоваться идеей упражнения 6 п. 1.2.1.

Пусть f точка замыкания множества X. Отметим, что окрестность U a, ( f ) увеличивается как с ростом a, так и с ростом. Рассмотрим окрестности U n = U1 n,1 n ( f ). Ясно, что U1 U 2... и окрестности U n образуют в совокупности базу окрестностей для f (если U a, ( f ) произвольная окрестность функции f, то U a, ( f ) U n при n > max{ a, 1 }). По определению замыкания, все множества X U n не пусты. Выделим в каждом из X U n по элементу f n. Последовательность f n и будет требуемой последовательностью элементов множества X, сходящейся к f по мере.

Пример (скользящий горб). Выделим на отрезке [0,1] подотрезки I n, k = [ n, n ], n = 0,1, 2,…, k = 1,…,2 n. При фиксированном n отрезки I n, k, k = 1,...,2 n, покрывают весь отрезок [0,1]. Рассмотрим следующую последовательность функций:

больше a, либо пусто (если a 1 ), либо совпадает с I n, k. Поскольку длины отрезков I n, k стремятся к нулю при k, последовательность f n стремится к нулю по мере (в смысле меры Лебега). В то же время последовательность f n не стремится к нулю ни в одной точке, так как каждая точка отрезка [0,1] принадлежит бесконечному числу отрезков I n, k. Этот пример, с одной стороны, позволяет почувствовать смысл сходимости по мере, а с другой – доказывает, что сходимость по мере не эквивалентна сходимости почти всюду.

Упражнения 1. В вышеприведенном примере найдите подпоследовательность последовательности f n, стремящуюся к 0 в каждой точке.

2. Почему множества | f n f |> a в определении сходимости по мере измеримы?

3. Проверьте, что мы дали правильное определение сходимости по мере, то есть что сходимость в топологии сходимости по мере действительно эквивалентна выписанному в определении условию.

Глава 3. Измеримые функции 5. На отрезке [0,1] рассмотрим последовательность функций g n ( x ) = x n.

Докажите, что g n 0 (в смысле меры Лебега). Будет ли эта последовательность сходиться поточечно к нулю? Почти всюду?

6. Восстановите подробности доказательства теоремы 2.

функций f, g, h и любого a > 0.

9. По определению, последовательность f n будет последовательностью Коши в смысле сходимости по мере, если (| f n f m |> a ) стремится к нулю при n, m. Докажите, что каждая сходящаяся по мере последовательность будет последовательностью Коши в указанном смысле.

10. Последовательность функций sin(nx ) на [0,1] не стремится по мере ни к какой функции и, более того, не содержит сходящихся по мере подпоследовательностей.

11. Пусть f n возрастающая последовательность функций, f n f.

12. Выражение ( f, g ) = inf {a + ( f g > a )} это псевдометрика, заa( 0, + ) дающая топологию сходимости по мере.

13. Другой пример: псевдометрика d ( f, g ) = inf{a > 0 : ( f g > a ) a} также задаёт топологию сходимости по мере.

14. Пусть (,, ) пространство с конечной мерой и мера чисто атомарна. Тогда для функций на сходимость по мере совпадает со сходимостью почти всюду. Если же не чисто атомарна, то эти два вида сходимости не эквивалентны.

Определение 1. Верхним пределом последовательности множеств Естественность применения здесь термина «верхний предел» становится ясной после решения упражнения 6 п. 3.1.3.

Лемма 1 (лемма о верхнем пределе множеств). Пусть An, A = limAn. Тогда Курс функционального анализа (ii) Если ку Bn образуют убывающую цепочку множеств, то Для доказательства утверждения (i) остаётся заметить, что Bn An, соотAn ) <, верждение (ii).

Теорема 1. Из сходимости почти всюду следует сходимость по мере.

Более подробно: если f, f n измеримые функции на и f n. f, то Доказательство. По условию, множество D всех точек, где f n не стремится к f, пренебрежимо. Зафиксируем a > 0. Рассмотрим множества An =| f n f |> a и A = limAn. По определению верхнего предела, бого n N существует k > n, при котором | f n (t ) f (t ) |> a. Таким образом, A D и ( A ) = 0. По предыдущей лемме, ( An ) 0, то есть Лемма 2. Пусть f n измеримые функции, an и n положительные Доказательство. Введём обозначения: D это множество всех точек, Пусть t произвольная точка, где f n (t ) не стремится к нулю. Для любого n N существует k n, при котором f k (t ) > a k, то есть t Bn. Таким образом, D Bn при всех n и D A. В то же время, по условию, Глава 3. Измеримые функции ( An ) < n <. Применим часть (ii) леммы о верхнем пределе множеств: ( D ) ( A ) = 0.

Теорема 2. Любая последовательность измеримых функций, сходящаяся по мере, содержит подпоследовательность, сходящуюся почти всюду.

Доказательство. Пусть f n f. Зафиксируем an, n > 0, удовлетворяющие условию предыдущей леммы, и выберем возрастающую последовательность индексов mn так, что | f mn f |> a n < n. Согласно Теорема 3 (критерий сходимости по мере). Последовательность измеримых функций f n сходится по мере к функции f в том и только том случае, если любая подпоследовательность последовательности f n, в свою очередь, содержит подпоследовательность, сходящуюся к f почти всюду.

Доказательство. Пусть f n f. Тогда каждая подпоследовательность последовательности f n также сходится по мере и, согласно предыдущей теореме, содержит подпоследовательность, сходящуюся к f почти всюду. Обратно, пусть f n не сходится по мере к f. Тогда существуют такие a, > 0 и такая подпоследовательность g n последовательности f n, что ни одна из функций g n не лежит в окрестности U a, ( f ). Тогда подпоследовательность g n не содержит сходящихся по мере к f подпоследовательностей, а следовательно, согласно теореме 1, не содержит и сходящихся почти всюду к f подпоследовательностей.

Следствие 1. Если G : R g n g, то G ( f n, g n ) G ( f, g ). Отсюда следует, в частности, что Доказательство. Нужно воспользоваться предыдущим критерием и соответствующим свойством сходимости почти всюду.

Следствие 2 (теорема п. 3.2.1). Пусть X,Y и Z множества измеримых функций на ; X п.в.-плотно в Y, Y п.в.-плотно в Z, тогда X п.в.плотно в Z.

Доказательство. Согласно теореме 1, X плотно в Y и Y плотно в Z в топологии сходимости по мере. Следовательно (упражнение 4 п. 1.2.1), X плотно в Z в топологии сходимости по мере. Следовательно, по теореме 2 п. 3.2.2, X будет и секвенциально плотным в Z в смысле сходимости по мере, то есть для любого f Z существует такая последовательность Курс функционального анализа f n элементов множества X, что f n f. Остаётся воспользоваться теоремой 2.

Упражнения 1. Решите упражнение 4 п. 3.2.2, опираясь на результаты настоящего параграфа.

Пусть f n это последовательность Коши в смысле сходимости по мере (см. упражнение 9 п. 3.2.2). Тогда она содержит подпоследовательность, сходящуюся почти всюду.

Если последовательность измеримых функций это последовательность Коши в смысле сходимости по мере, то она имеет предел в том 4. Пусть в каком-то пространстве X измеримых функций на некотором пространстве с мерой сходимость почти всюду совпадает со сходимостью в какой-то топологии на X. Тогда в X сходимость почти всюду совпадает со сходимостью по мере.

5. Сходимость почти всюду в пространстве всех измеримых функций на отрезке нельзя задать никакой топологией.

6. Подмножество всех непрерывных функций п.в.-плотно в пространстве всех измеримых функций на отрезке.

Пусть An убывающая последовательность множеств. Тогда 8. Для возрастающей цепочки множеств An также lim An = lim ( An ), 9. Приведите пример, где lim An lim ( An ).

3.2.4. Теорема Егорова Функции g n ( x ) = x n на отрезке [0,1] представляют собой типичный пример последовательности, сходящейся в каждой точке, но не сходящейся равномерно. В то же время сходимость можно улучшить, убрав сколь угодно малую окрестность точки 1: на оставшемся отрезке [0,1 ] сходимость уже будет равномерной. Аналогичная ситуация возникает в теории степенных рядов: ряд сходится к своей сумме равномерно не во всём круге сходимости, но в любом круге чуть меньшего радиуса. Эти эффекты служат частными случаями следующего весьма общего результата.

Теорема Егорова. Пусть f n f почти всюду на. Тогда для любого > 0 существует множество A = A с ( A) <, на дополнении к которому последовательность f n равномерно сходится к f.

Глава 3. Измеримые функции множества Bm, n образуют убывающую по m цепочку множеств, и стве множестве D всех точек, где f n не стремится к f ). Следовательно, (Bm, n ) 0. Для каждого n выберем такой индекс mn, что (Bm n, n ) < n. Докажем, что A = Bmn, n и будет требуемым множеством.

Во-первых, ( A) n <. Далее, \ A \ Bmn, n, то есть для любого k > mn множество Ak, n =| f k f |> a n не содержит точек множества \ A.

Следовательно, sup | f k (t ) f (t ) | a n при k > mn. Это и означает требуеt \ A мую равномерную сходимость на \ A.

Упражнения 1. Из упражнения 6 предыдущего пункта и теоремы Егорова выведите следующую теорему Лузина: для любой измеримой по Лебегу функции f на отрезке [a, b] и любого > 0 существует такое измеримое множество A с ( A) <, что ограничение функции f на [a, b] \ A непрерывно.

2. В формулировке теоремы Лузина множество A можно выбрать открытым.

3. Можно ли в формулировке теоремы Егорова условие ( A) < заменить условием ( A) = 0 ? Аналогичный вопрос для теоремы Лузина.

4. Можно ли в формулировке теоремы Егорова последовательность f n, сходящуюся почти всюду, заменить последовательностью, сходящейся по мере?

5. Где в доказательстве теоремы Егорова сыграла свою роль измеримость участвующих в формулировке функций?

3.3. Комментарии к упражнениям Параграф 3.1. Упражнение 2. Обозначим супремум значений функции f на [a, b] через a. Тогда множество точек максимума функции f совпадает с f = a.

Упражнение 3. Выпишем все интервалы с рациональными концами в последовательность (an, bn ), n N, а множество точек «настоящего» макКурс функционального анализа симума функции f на (an, bn ) обозначим M n. Искомое множество точек локального максимума функции f совпадает с Упражнение 12. Взять в качестве (1,1 ) отрезок [0,1], наделённый -алгеброй измеримых по Лебегу множеств, в качестве ( 2, 2 ) тот же отрезок с -алгеброй борелевских множеств, а в качестве f тождественное отображение.

Упражнение 13. а) Не должно (даже для функциии g ( x ) = x ).

б) Не должно. Пусть g это лестница Кантора (п. 2.3.6), продолженная на (,0) нулём, а на (1,+) единицей. Пусть B [0,1] – какое-то неизмеримое по Лебегу множество. Не нарушая общности, можно считать, что B состоит только из иррациональных чисел (иначе заменим B на B \ Q ). В качестве требуемого A возьмём g 1 ( B ). A подмножество канторова множества, следовательно, ( A) = 0, то есть A измеримо по Лебегу. При этом f ( A) = B неизмеримо.

в) Может. Для построения примера нужно придумать непрерывную строго монотонную функцию, переводящую некоторое множество положительной меры в множество меры 0.

Упражнение 14. Нужно представить A в виде объединения последовательности компактов, а образ компакта при непрерывном отображении снова компакт.

Упражнение 15. Может. Простого примера автор не знает. Множество, являющееся образом борелевского при непрерывном отображении, называется аналитическим множеством, или проективным множеством класса 1. Существование аналитического множества, не являющегося борелевским, это частный случай теоремы VI § 38 гл. 3 учебника [Kur], т. 1.

Параграф 3.2. Упражнение 6. Непрерывными функциями можно приблизить характеристические функции отрезков; линейными комбинациями характеристических функций отрезков характеристические функции открытых множеств; характеристическими функциями открытых множеств характеристические функции любых измеримых по Лебегу множеств, линейными комбинациями характеристических функций измеримых множеств (то есть конечнозначными функциями) простые функции, а простыми любые измеримые. В гораздо более общей ситуации аналогичное утверждение будет доказано в п. 8.3.3.

Параграф 3.2. Упражнение 1. В более общей ситуации теорема Лузина будет доказана в п. 8.3.3.

Глава 4. Интеграл Лебега 4. Интеграл Лебега 4.1. Сходимость по направленности. Разбиения 4.1.1. Направленности нием порядка, если оно подчиняется следующим условиям:

1. g g для любого g G (рефлексивность);

2. Если g 2 g1 и g1 g 2, то g1 = g 2 (антисимметричность);

3. Если g 2 g1 и g 3 g 2, то g 3 g1 (транзитивность).

Множество G с введённым на нём бинарным отношением называется направленным множеством или направленностью, если выполнены следующие аксиомы:

(a) g g для любого g G;

(c) для любых двух элементов g1, g 2 G существует элемент g 3, следующий за ними обоими: g 3 g1 и g 3 g 2.

Отметим, что часто в определении направленного множества требуют, чтобы отношение было отношением порядка, в нашем же определении направленность может не подчиняться аксиоме 2 отношения порядка.

Упражнения В каких из нижеперечисленных примеров отношение на множестве Z целых чисел будет отношением порядка? В каких примерах (Z, ) будет направленным множеством?

g1, g 2 G эквивалентными (g1 ~ g 2 ), если g 2 g1 и g1 g 2.

7. Проверьте, что отношение «» будет отношением эквивалентности.

4.1.2. Предел по направленности. Критерий Коши Пусть (G, ) направленное множество, f : G R некоторая функция. Число a R называется пределом функции f по направленности (G, ), если для любого > 0 существует такой элемент g G, что Курс функционального анализа для любого g1 g выполнено неравенство f (g1 ) a <. Обозначения:

a = lim f, или, если направленность понятна из контекста, a = lim f ( g ).

Функция f : G R называется сходящейся по направленности (G, ), если существует lim f.

Отметим простейшие свойства предела по направленности:

1. Если a = lim f, то для любого g G и любого > 0 существует такой 2. Если a = lim f и b = lim f, то a = b (единственность предела).

3. Пусть для функций f1, f 2 существует такое g G, что f1 ( h ) = f 2 ( h ) для любого h g. Тогда если одна из этих функций сходится по направленности (G, ), то и другая сходится, и lim f1 = lim f 2. Поэтому для опреG, ) (G, ) деления предела функция не обязана быть определённой на всём G.

Достаточно, чтобы функция была определена для всех h, следующих за некоторым фиксированным элементом g G.

4. Пусть f1 f 2 и пределы функций f1 и f 2 по направленности G существуют. Тогда lim f1 lim f 2.

5. Пусть a1 = lim f1, a 2 = lim f 2 и функция двух переменных F : R непрерывна в точке ( a1, a 2 ). Тогда lim F ( f1 ( g ), f 2 ( g )) существует и раg 6. Для любого скаляра t R, если существует lim f, то существует lim tf Докажем для примера свойство 5 (кстати, свойства 6 и 7 следуют из F ( a1, a 2 ) F (b1, b2 ) <. Так как a1 = lim f1, то существует такое g G, что для любого h g выполнено неравенство f1 ( h ) a1 <. Поскольку a 2 = lim f 2, то по первому из вышеперечисленных свойств существует таG, ) кой элемент g1 g, что f 2 ( h ) a 2 < для любого h g1. Тогда для любого h g1 одновременно выполняются оба неравенства f1 ( h ) a1 < и Глава 4. Интеграл Лебега F (a1, a2 ) F ( f1 (h ), f 2 ( h )) <, что и требовалось доказать.

Теорема (критерий Коши сходимости по направленности). Для того, чтобы функция f : G R сходилась по направленности (G, ), необходимо и достаточно, чтобы для любого > 0 существовал такой элемент Доказательство. Необходимость. Пусть f сходится по (G, ) и lim f ( g ) = a. По определению предела, для любого > 0 существует такой Достаточность. Воспользуемся вначале условием с = 1. Пусть g1 G такой элемент, что f ( g1 ) f ( h ) < 1 для любого h g1. Теперь воспользуемся условием с = 1 2. Обозначим через g 2 такой элемент, что g 2 g1 и f ( g 2 ) f ( h ) < 1 2 для любого h, следующего за g 2. Продолжая это рассуждение, получим такую последовательность g1 g 2 g 3..., что для любого h g n выполнено неравенство f ( g n ) f ( h ) < 1 n. В частности, f ( g n ) f ( g m ) < 1 n для любых m, n N, m > n. Таким образом, числовая последовательность f ( g n ) подчиняется условию Коши и, следовательно, сходится. Обозначим lim f ( g n ) через a. Докажем, что lim f ( g ) = a. Действительно, для любого > 0 существует такой номер n0, лучаем, что для любого n > n0 и любого h g n 0 выполнена оценка Перейдя в полученном неравенстве Упражнения Курс функционального анализа 1. Зададим на R естественную направленность: a b, если a b. Проверьте, что предел функции по этой направленности совпадает с пределом при t +.

2. Опишите другие известные из курса анализа примеры пределов ( lim, lim, lim, lim ) как пределы по соответствующим направленностям.

3. Интеграл Римана определяется как предел интегральных сумм. Запишите этот тип пределов также как предел по некоторой направленности.

4. Пусть N f семейство всех конечных подмножеств множества натуральных чисел. Будем считать, что конечное множество A следует за конечным множеством B, если A B. Проверьте, что в таком отношении порядка N f направленное множество.

5. Пусть an произвольная числовая последовательность. Определим функцию s : N f R формулой s ( A) = an. Докажите, что у функции если ряд 6. Определить предел по направленности для функций со значениями в произвольном топологическом пространстве. Доказать, что для функций со значениями в полных метрических пространствах выполнен критерий Коши сходимости по направленности.

4.1.3. Разбиения Начиная с этого момента и вплоть до конца раздела 4.5, (,, ) будет фиксированным пространством с конечной мерой, A будет измеримым подмножеством в (то есть A ). Функции f, f n, если не оговорено противное, определены на A и принимают вещественные значения.

Пусть A произвольное непустое множество. Разбиением множества A называется конечный или счётный набор D попарно непересекающихся непустых измеримых подмножеств k A, k = 1,2,…, дающих в объединении всё A. Чтобы не разбирать каждый раз отдельно случаи конечного и счётного числа элементов в разбиении, в дальнейшем мы будем записывать разбиения как наборы счётного числа измеримых подмножеств, подразумевая, что случай конечного числа также возможен.

Глава 4. Интеграл Лебега Разбиение D = { k }=1 множества A назовём допустимым для функk ции f, если для каждого элемента k D ненулевой меры sup f (t ) < и k =1t k вами, D следует, что 1k содержится в 2j.

Теорема 1. Если разбиение D = { k }=1 множества A допустимо для пустимо.

Доказательство. Сгруппируем множества 1k, попавшие на один и тот же элемент разбиения D :

Теорема доказана.

Следующие свойства допустимых разбиений предлагаем читателю проверить самостоятельно.

1. Пусть разбиение D допустимо для функции f, a R произвольный скаляр. Тогда разбиение D допустимо для функции af.

2. Пусть разбиение D допустимо одновременно для двух функций f и g.

Тогда это разбиение D допустимо для функции f + g.

Пусть D = { k }=1 разбиение множества A. Последовательность T = {tk }1 называется набором отмеченных точек для D, если tk k для любого k N. Пусть (D1,T1 ) и (D2,T2 ) разбиения с соответствующими наборами отмеченных точек. По определению, пара (D1,T1 ) следует за парой (D2,T2 ), если D1 следует за D2.

Упражнения Курс функционального анализа следующие условия эквивалентны:

(b) для любого k N существует такое j N, что 1k 2j ;

(c) для любого j N существует такое подмножество индексов 2. Проверьте, что введённое отношение на множестве всех разбиений множества A есть отношение порядка.

3. Пусть D1 = 1k k =1 и D2 = 2 k =1 разбиения множества A. Опредеk лим разбиение D3, выписав в последовательность все непустые множества вида 1k 2j, k, j N. Докажите, что D3 следует как за D1, так и за D2, то есть семейство всех разбиений множества A образует направленность.

4. Пусть D1, D2 и D3 разбиения из предыдущего упражнения. Покажите, что если разбиение D следует одновременно за D1 и D2, то 5. Докажите, что множество всех пар вида (D, T ) разбиений с выделенными точками, образует направленность.

4.2. Интегрируемые функции 4.2.1. Интегральные суммы D = { k }=1 допустимое разбиение множества A, T = {t k }1 набор отмеk ченных точек. Интегральной суммой функции f по множеству A, соответствующей паре (D, T ), называется число S A ( f, D, T ) = f (tk ) ( k ).

Отметим, что допустимость разбиения D гарантирует абсолютную абсолютная сходимость нужна для того, чтобы интегральная сумма зависела от самого разбиения с выделенными точками, а не от того, в каком порядке выписаны элементы этого разбиения.

Следующие свойства интегральных сумм предлагаем читателю проверить самостоятельно.

Глава 4. Интеграл Лебега Если на множестве A функция f тождественно равна некоторой константе a, то любое разбиение D допустимо для f и 6. Если на множестве A выполнена оценка a f, то a ( A) S A ( f, D, T ).

7. Если на множестве A выполнена оценка f b, то S A ( f, D, T ) b ( A).

По аналогии с интегральными суммами Римана можно ввести верхние и нижние интегральные суммы для разбиений общего вида.

Определение 2. Пусть f : A R некоторая функция на измеримом множестве A, D = { k }=1 допустимое разбиение множества A. Верхней интегральной суммой функции f по разбиению D называется число Замечание. Согласно определению допустимого разбиения, для каждого k D ненулевой меры sup f (t ) <. Поэтому все слагаемые sup [ f (t ) ( k )] и inf [ f (t ) ( k )] в определении вехней и нижней интеt k гральной суммы конечны. Конечными будут и сами суммы ввиду условия sup [ f (t ) ( k )] <. В дальнейшем при записи верхних и нижних интеk =1t k гральных сумм мы будем учитывать, что слагаемые, соответствующие k D с ( k ) = 0, сами равны нулю. Остальные же слагаемые можно записывать в виде sup f (t ) ( k ) и inf f (t ) ( k ), не опасаясь получить неt k определённое выражение вида 0.

Лемма. Пусть D = { k }=1 допустимое для функции f разбиение множества A. Тогда (1) для любого выбора T (2) Пусть, далее, D Курс функционального анализа Наконец, Доказательство следует требуемая оценка.

(2) Пусть D1 = 1k k =1. Сгруппируем множества 1k, попавшие на один и тот же элемент разбиения D :

Аналогично проверяется и неравенство S A ( f, D ) S A ( f, D1 ).

(3) Чтобы доказать равенство S A ( f, D ) = sup S A ( f, D, T ), для любого > что ввиду произвольности доказывает требуемое соотношение. Равенство S A ( f, D ) = inf S A ( f, D, T ) выводится аналогично.

Упражнения 1. Вообще говоря, сумма ряда может изменяться при перестановке слагаемых. Почему мы имели право перегруппировывать слагаемые в оценках из доказательства леммы?

ждой точке множества A выполнены неравенства f 1 f 2 f 2 f1.

4.2.2. Определение и простейшие свойства интеграла Лебега Определение 1. Пусть A измеримое множество, f : A R некоторая функция на A. Число a R называется интегралом (интеграГлава 4. Интеграл Лебега лом Лебега) функции f на множестве A по мере (обозначение:

a = fd ), если для любого > 0 существует такое допустимое разбиение D множества A, что для любого разбиения D, следующего за D, и любого выбора отмеченных точек T для D, a S A ( f, D, T ). Функция f : A R называется интегрируемой на множестве A по мере, если для неё существует соответствующий интеграл.

Другими словами, функция f интегрируема на A, если, начиная с некоторого разбиения, интегральные суммы определены и существует предел интегральных сумм по направленности разбиений с отмеченными точками, описанной в п. 4.1.3. Этот предел называется интегралом Лебега и обозначается fd.

Следующие утверждения об интеграле Лебега непосредственно вытекают из соответствующих свойств интегральных сумм и свойств предела по направленности.

1. Пусть f : A R интегрируемая функция, R. Тогда функция f также интегрируема и fd = fd.

2. Если функции f и g интегрируемы на A, то f + g также интегрируема и ( f + g )d = fd + gd.

3. Если интегрируемая функция f больше или равна нуля на множестве функции g, подчиняющиеся неравенству 0 g f, также интегрируемы на A с gd = 0.

6. Пусть a R некоторая константа. Тогда ad = a ( A).

7. Пусть f : A R интегрируемая функция, a R и f a на A. Тогда Теорема 1. Для функции f : A R, A, следующие условия эквивалентны:

Курс функционального анализа (1) функция интегрируема и (2) для любого > 0 существует такое допустимое разбиение D множества A, что при любом выборе T отмеченных точек a S A ( f, D, T ) < ;

(3) для любого > 0 существует такое допустимое разбиение D множества A, что соответствующие верхняя и нижняя интегральные суммы функции f приближают a с точностью до : a S A ( f, D ) и Доказательство. Импликация (1) (2) очевидна. Импликация (2) (3) вытекает из леммы, доказанной в предыдущем параграфе (п. (3) леммы).

Действительно, по условию все интегральные суммы S A ( f, D, T ) лежат на S A ( f, D ) = sup S A ( f, D, T ) лежат на том же отрезке. Из той же леммы вытеT кает и импликация (3) (1). А именно, пусть D разбиение из условия (3). Согласно отмеченной лемме, для любого разбиения D, следующего за D, имеют место оценки Пример 1. Пусть {Ak }1 разбиение множества A на измеримые подмножества, f = ak 1A k счётнозначная измеримая функция и ряд ak ( Ak ) сходится абсолютно. Тогда функция f интегрируема на A и Действительно, если в качестве разбиения D взять разбиение множества A на {Ak }1, то S A ( f, D ) = S A ( f, D ) = a k ( Ak ). Остаётся применить условие (3) теоремы 1 с D = D.

Согласно критерию Коши сходимости по направленности, функция f : A R интегрируема на множестве A в том и только том случае, если для любого > 0 существуют такое допустимое разбиение D множества Глава 4. Интеграл Лебега A и такой выбор T отмеченных точек, что S A ( f, D, T ) S A ( f, D, T ) < для любого D D и любого выбора T отмеченных точек разбиения D.

Так как по лемме предыдущего пункта все возможные значения сумм вида S A ( f, D, T ) заполняют отрезок [S A ( f, D ), S A ( f, D )], получаем следующую полезную переформулировку критерия Коши.

Теорема 2. Функция f : A R интегрируема на множестве A в том и только том случае, если для любого > 0 существует такое допустимое разбиение D множества A, что соответствующие верхняя и нижняя интеотличаются меньше чем на :

гральные суммы функции f Теорема 3. Пусть f : A R интегрируемая функция. Тогда f также интегрируем.

Доказательство. Пусть > 0, а D = { j }=1 разбиение из предыj дущей теоремы для функции f. Тогда Итак, для любого > 0 мы доказали существование разбиения D с S A (| f |, D ) S A (| f |, D ) <. По теореме 2 этим доказана интегрируемость функции f.

Следствие 1. Пусть f : A R интегрируемая функция. Тогда функции f иf также интегрируемы.

Доказательство. Напомним, что, по определению, f + (t ) совпадает с f (t ) для тех t, где f (t ) > 0 ; для тех же t, где f (t ) 0, f + (t ) = 0. Аналоf (t ) = f (t ) в точках, где f (t ) 0, в остальных же точках гично, f (t ) = 0. Ввиду равенств f + = ( f + f ) и f = ( f f ) требуемое утверждение следует из предыдущей теоремы и уже отмеченных свойств интеграла.

Следствие 2. Пусть f и g две интегрируемые функции. Тогда функции max{ f, g } и min{ f, g } тоже интегрируемы.

Курс функционального анализа Доказательство.

4.2.3. Упражнения 1. Докажите импликацию (1) (2) теоремы 1 п. 4.2.2.

2. Докажите теорему 2 п. 4.2.2.

3. Почему в доказательстве теоремы 3 п. 4.2.2 D допустимое разбиение для функции f ?

max{ f, g } = ( f + g + f g ) и min{ f, g } = ( f + g f g ) из доказательств двух последних следствий.

5. Пусть A множество меры 0. Докажите, что любая функция f на A интегрируема и fd = 0.

6. Пусть f и g две функции, заданные на измеримом множестве A и совпадающие почти всюду. Тогда, если f интегрируема, то g также интегрируема и gd = fd.

7. Пусть функции f и g интегрируемы на A и f g почти всюду. Тогда 8. Пусть -алгебра измеримых по Лебегу подмножеств отрезка [a, b], мера Лебега на отрезке, f : [a, b] R интегрируемая по Риману функция. Опираясь на теорему 1 п. 4.2.2, докажите, что функция f буb 9. Более общий результат. Пусть F : [a, b] R монотонно неубывающая функция Стилтьеса, соответствующая борелевская мера, порождённые F как функцией распределения (см. п. 2.3.5). Тогда каждая интегрируемая по Стилтьесу функция f : [a, b] R интегрируема на [a, b] Глава 4. Интеграл Лебега 10. Пусть A [a, b] плотное на отрезке множество лебеговской меры ноль. Докажите, что функция 1A не интегрируема по Риману, но интегрируема по Лебегу на [a, b]. Чему равен 1A d ?

11. Докажите, что функция f ( x ) = 1 x неинтегрируема по мере Лебега на отрезке (0,1].

12. Докажите следующую переформулировку теоремы 2 п. 4.2.2: функция f : A R интегрируема на множестве A в том и только том случае, если для любого > 0 и любого разбиения D множества A существует такое допустимое разбиение D D, что соответствующие верхняя и нижняя интегральные суммы функции f отличаются меньше чем на 13. Приведите пример двух счётнозначных интегрируемых функций, произведение которых не интегрируемо.

14. Пусть мера на N, описанная в упражнении 5 п. 2.1.4. Тогда функция f : N R интегрируема на N по мере в том и только том слуf (n )bn 15. Определение интеграла сохраняет смысл и для функций, принимающих комплексные значения. Проверьте выполнение свойств fd = fd, плекснозначных функций и комплексных скаляров.

16. Пусть f комплекснозначная функция на A, f1 и f 2 соответственно вещественная и мнимая части функции f. Докажите, что f интегрируема в том и только том случае, если f1 и f 2 интегрируемы, и 17. Проверьте для комплекснозначных функций выполнение эквивалентности (1) (2 ) теоремы 1, выполнение критерия интегрируемости счётнозначной функции (пример 1), а также утверждение теоремы (все – из п. 4.2.2).

4.2.4. Интеграл как функция множества Курс функционального анализа Теорема 1. Пусть f : A R интегрируемая функция на A; B измеримое подмножество в A. Тогда функция f интегрируема на B.

Доказательство. По теореме 2 параграфа 4.2.2 для любого > 0 существует такое допустимое разбиение D = { j }=1 множества A, что соj ответствующие верхняя и нижняя интегральные суммы функции f отличаются меньше, чем на : S A ( f, D ) S A ( f, D ) <. Рассмотрим множество K тех индексов k, для которых k пересекается с B. Тогда множества 1k = B k, k K образуют допустимое разбиение множества B. Обоsup f (t ) sup f (t ), значим это разбиение через D. Отметим, что Мы доказали, что для любого > 0 существует разбиение множества B, верхняя и нижняя интегральные суммы которого отличаются меньше, чем на. По теореме 2 п. 4.2.2 этим доказана интегрируемость функции f на B.

Теорема 2. Пусть A1, A2 непересекающиеся множества и функция f интегрируема как на A1, так и на A2. Тогда f интегрируема на A1 A2 и Доказательство. Обозначим условием (2) теоремы 1 параграфа 4.2.2. Зафиксируем > 0 и выберем такие допустимые разбиения D1 и D2 множеств A1 и A2, что при любом выборе T1,T2 отмеченных точек ai S Ai ( f, Di, Ti ) <, i = 1,2. Образуем разбиение D множества A1 A2, взяв в качестве элементов этого разбиения все элементы разбиений D1 и D2. Пусть T произвольный выбор отмеченных точек для D. Через Ti, i = 1,2 обозначим часть T, попавшую на соГлава 4. Интеграл Лебега ответствующее Ai. Тогда S A1 A2 ( f, D, T ) = S A1 ( f, D1, T1 ) + S A2 ( f, D2, T2 ) и, соответственно:

Ввиду произвольности мы находимся в условиях уже упомянутого критерия интегрируемости.

Следствие 1. Если функция f интегрируема и неотрицательна на A, то функция множества G ( B ) = fd будет конечно-аддитивной мерой на семействе A = {B : B A}.

Теорема 3. Пусть функция f принимает на A только неотрицательные значения, {Ak }1 некоторое разбиение множества A на измеримые подмножества. Пусть, далее, на каждом из Ak функция f интегрируема и ряд Доказательство. Будем рассуждать по аналогии с предыдущим доказательством. Обозначим fd через ak, k = 1, 2,.... Зафиксируем > 0 и такие допустимые разбиения Dk множеств Ak, k = 1, 2,..., что при любом a k S Ak ( f, Dk, Tk ) < k. Образуем разбиение D = { j }=1 множества A, взяв в качестве элементов этого разбиения все элементы разбиений Dk, k = 1, 2,.... Для любого T набора отмеченных точек, соответствующего D, обозначим через Tk, k = 1, 2,..., часть набора T, попавшую на соответствующее Ak. Имеем Мы доказали, что разбиение D допустимо. Далее, Ввиду пункта 2 теоремы 1 параграфа 4.2.2 наша теорема этим доказана.

Курс функционального анализа Следствие 2. В условиях следствия 1 функция множества G ( B ) = fd будет не только конечно-аддитивной, но и счётноB аддитивной мерой на A.

Доказательство. Пусть {Bk }1 разбиение некоторого множества B на измеримые подмножества. Ввиду уже доказанной конечной аддидля любого n N даем в условия предыдущей теоремы. Применяя теорему, получаем, что Теперь мы готовы доказать основной результат параграфа:

Теорема 4. Пусть {Bk }1 последовательность попарно непересекающихся измеримых множеств и A = Bk. Тогда функция f будет интегриk = руемой на A в том и только том случае, если f интегрируема на каждом из Bk и ряд Доказательство. В случае f 0 результат вытекает из теоремы 3 и вершения доказательства остаётся применить формулы Следствие 3. Пусть {Bk }1 разбиение множества A на измеримые подмножества, f = bk 1Bk счётнозначная измеримая функция. Для того чтобы функция f была интегрируемой на A необходимо и достаточbk (Bk ) Глава 4. Интеграл Лебега Пример 1. Пусть {Ak }1 последовательность попарно непересекаюAk = [0,1]. Рассмотрим щихся подмножеств ненулевой меры отрезка [0,1], Bn = A2 n 1 A2 n. Тогда {Bn }1 снова последовательность попарно непеBn = [0,1].

ресекающихся подмножеств ненулевой меры отрезка [0,1], Отметим, что на каждом из Bn функция f интегрируема и Следовательно, ряд абсолютно сходится. Итак, сходимость (и даже абсолютная сходимость) ряда из интегралов на подмножествах не влечёт, вообще говоря, интегрируемости функции на объединении этих множеств.

Замечание 1. Пусть функция f определена почти всюду на множестве A, то есть существует такое множество B A меры ноль, что f определена на A \ B. Как легко следует из упражнения 5 п. 4.2.3, следующие условия эквивалентны:

(a) функция f интегрируема на A \ B;

(b) функцию f можно так продолжить на всё A, чтобы она стала интегрируемой на A;

(c) при любом продолжении на всё A функция f интегрируема на A.

Также очевидно, что значение интеграла не изменится, если значения функции изменить на каком-то пренебрежимом подмножестве. Поэтому в рамках теории интеграла можно рассматривать функции, определённые почти всюду. Это оказывается весьма удобным при рассмотрении функций, и т. д.: мы можем не заботиться о том, как доопределить типа функцию в точке разрыва.

Упражнения 1. Не противоречит ли утверждение теоремы 4 примеру 1?

2. Пусть A. Обозначим через A семейство всех элементов алгебры, являющихся подмножествами множества A, 1 : A R Курс функционального анализа ограничение меры на A (то есть 1 (B ) = (B ) для любого B A ).

Проверьте, что ( A, A, 1 ) снова пространство с мерой.

3. Пусть A, f определена и интегрируема на A. Доопределим на \ A функцию f нулём. Проверьте, что так доопределённая функция f будет интегрируема на всём.

4. Как мы уже отмечали (упражнения 15-17 п. 4.2.3), определение интеграла имеет смысл и для функций, принимающих комплексные значения. Проверьте для комплекснозначных функций выполнение теорем 1, 4.3. Измеримость и интегрируемость 4.3.1. Измеримость интегрируемой функции Следующая простая оценка оказывается весьма полезной при работе с интегралом Лебега.

Лемма (неравенство Чебышева). Пусть a > 0 некоторая константа, g интегрируемая функция на A, g 0, B A такое измеримое подмножество, что g (t ) a для любого t B. Тогда (B ) gd.

Теорема. Если пространство с мерой полно, то каждая интегрируемая на множестве функция измерима на этом множестве.

Доказательство. Пусть f интегрируемая функция на A. Выберем измельчающуюся последовательность допустимых разбиений чечно невозрастает и ограничена снизу функцией f. Следовательно, у f j существует поточечный предел при j, который мы обозначим f.

Аналогично, обозначим через f поточечный предел функций f j при j. Функции f и f измеримы (как пределы последовательностей изГлава 4. Интеграл Лебега меримых функций), f f f. Если мы докажем, что f = f почти всюду, то получим, что f = f = f почти всюду, и, следовательно, функция f измерима (здесь мы пользуемся полнотой меры). Обозначим через B множество тех точек, где f f, а через Bn множество тех точек, где f f >. Поскольку B = Bn, нам достаточно доказать, что (Bn ) = при любом n. Отметим, что f j f j f f для любого j N, следовательно, на Bn выполнена оценка f j f j >. По неравенству Чебышева, нечности, получим требуемое равенство (Bn ) = 0.

Замечание. Если (,, ) неполное пространство с мерой, (,, ) его пополнение, то интегрируемая функция на (,, ) может не быть измеримой, но обязательно будет -измеримой. Как мы знаем, эти два вида измеримости не сильно отличаются: для каждой -измеримой функции существует почти всюду совпадающая с ней -измеримая функция. Чтобы не задерживаться каждый раз на этом несущественном отличии, в рамках теории интегрирования мы, если не оговорено противное, будем предполагать полноту рассматриваемых пространств с мерой. Поэтому в дальнейшем все интегрируемые функции будут предполагаться измеримыми.

Другой чаще всего встречающийся в литературе приём на неполных пространствах с мерой рассматривать только измеримые интегрируемые функции, то есть измеримость считать необходимой частью определения интегрируемости.

Упражнения 1. Обоснуйте существование последовательности разбиений D j из доказательства последней теоремы.

2. В доказательстве использовалась полнота меры в утверждении, что если f = g и f измерима, то g измерима. Проверьте это утверждение! Можно ли здесь обойтись без полноты?

Функции f j, f j и, соответственно, f и f в каких-то точках могут принимать бесконечные значения. При определении интегрируемой функции мы не учитывали такую возможность (хотя, в принципе, это можно сделать без большого труда). Таким образом, теорема по сути доказана в дополнительном предположении существования последовательности разКурс функционального анализа биений D j, для которых не только S A ( f, D j ) S A ( f, D j ) <, но и соотj ветствующие функции f j и f j принимают всюду конечные значения. Это затруднение в доказательстве можно обойти, доказав, что такой выбор D j действительно возможен. Однако это можно сделать проще в духе замечания 1 п. 4.2.4, решив следующие упражнения.

3. Опираясь на определение верхней и нижней интегральных сумм, докажите, что при каждом j N функции f j, f j почти всюду принимают конечные значения.

4. Докажите, что в A существует такое подмножество E меры ноль, что на G = A \ E все функции f j, f j, j N принимают конечные значения. Докажите, что функция f измерима на G, и, следовательно, измерима на всём множестве A.

Из измеримости интегрируемой функции и доказанной в начале параграфа леммы легко вытекает следующее полезное утверждение.

на нулю.

4.3.2. Теорема о равномерном пределе Теорема. Пусть последовательность функций f n равномерно сходится на множестве A к функции f. Тогда если все функций f n интегрируемы на A, то и f интегрируема на A, и fd = lim f n d.

Доказательство. Введём обозначение a n = f n d. ПоследовательA ность an фундаментальна:

Обозначим предел последовательности an через a. Пусть произвольное положительное число. Ввиду равномерной сходимости последовательности f n к f существует такой номер N = N ( ), что для любого n > N и an a <. Воспользовавшись интегрируемостью функции f n, построим Глава 4. Интеграл Лебега такое допустимое разбиение D = { k }=1 множества A, что при любом выk боре T = {t k }1 отмеченных точек a n S A ( f n, D, T ) < Ввиду неравенства f n (t ) f (t ) < разбиение D допустимо и для любого выбора T = {t k }1 отмеченных точек По критерию (2) теоремы 1 п. 4.2.2, функция f интегрируема и fd = a. Для завершения доказательства остаётся вспомнить, что через a был обозначен lim 4.3.3. Условие интегрируемости измеримой функции Теорема. Если для измеримой функции f существует интегрируемая мажоранта, то и сама функция f интегрируема. Более подробная формулировка: пусть на множестве A функция f измерима, f g и функция g интегрируема. Тогда функция f также интегрируема.

Доказательство. Вначале разберём частный случай, когда f счётнозначная функция, то есть функция f имеет вид f = ak 1Ak, где Ak последовательность попарно непересекающихся измеримых множеств.

Неравенство f g означает, что a k g (t ) при t Ak. Следовательно, ряд гласно примеру 1 п. 4.2.2, функция f интегрируема.

Общий случай мы выведем из двух уже известных результатов: теоремы о приближении измеримой функции счётнозначными и теоремы о равномерном пределе. Итак, пусть f измерима, f g и g интегрируема.

Построим такую последовательность f n измеримых счётнозначных функКурс функционального анализа ций, что sup f n (t ) f (t ) < 1 n. Тогда f n g + 1 n, и по уже доказанному частному случаю настоящей теоремы f n интегрируемы. Итак, мы смогли представить функцию f как предел равномерно сходящейся последовательности интегрируемых функций. Этим доказана интегрируемость функции f.

Доказанное условие интегрируемости измеримой функции бывает полезным во многих ситуациях. Дело в том, что измеримость сохраняется при всех обычных операциях над функциями: сумме, произведении, предельном переходе и т. д. Поэтому проверка измеримости какой-либо конкретной функции обычно не составляет большого труда. Найти же интегрируемую мажоранту проще, чем проверять интегрируемость, исходя из определения.

Пусть f измеримая функция и f интегрируем. Тогда f интегрируема.

Пусть для измеримой функции f существует допустимое разбиение.

Тогда f интегрируема.

3. Каждая ограниченная измеримая функция интегрируема.

4. Произведение ограниченной измеримой функции на интегрируемую снова интегрируемо.

5. Опишите те пространства с мерой, на которых каждая измеримая функция интегрируема.

Пусть (,, ) пространство с конечной мерой, E линейное пространство всех измеримых скалярных функций на, F подпространство в E, состоящее из всех функций, равных почти всюду нулю.

Через L0 (,, ) обозначим факторпространство E / F. Для упрощения терминологии принято говорить, что элементами пространства L0 (,, ) служат измеримые функции на, но при этом функции, равные почти всюду, отождествляют между собой. Пусть задаёт метрику на L0 (,, ), причём сходимость в этой метрике совпадает со сходимостью по мере.

4.4. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла В разделе 4.2 мы познакомились с определением интеграла Лебега и увидели, что, хотя интеграл Лебега и является более общим понятием, чем интеграл Римана, но сохраняет по-прежнему все удобные свойства интеграла, знакомые нам из курса анализа. Теперь же мы переходим к изучеГлава 4. Интеграл Лебега нию преимуществ интеграла Лебега перед интегралом Римана. Мы убедимся, что для интеграла Лебега выполнена не только теорема о равномерном пределе, но и гораздо более общие и удобные в применениях теоремы о предельном переходе под знаком интеграла.

4.4.1. Лемма Фату Теорема (лемма Фату). Пусть на множестве A задана последовательность f n неотрицательных интегрируемых функций; последовательность f n сходится почти всюду к некоторой функции f, и интегралы функций f n ограничены в совокупности: f n d C <. Тогда f интегA рируема и Доказательство. Воспользуемся теоремой Егорова (п. 3.2.4). Выделим в A измеримое подмножество A1 с ( A \ A1 ), на котором f n равномерно сходятся к f. Обозначим A \ A1 через B1. Снова воспользовавшись теоремой Егорова, выделим в B1 измеримое подмножество A2 с (B1 \ A2 ), на котором f n также равномерно сходятся к f. Обозначим B1 \ A2 через B2. Продолжив этот процесс, получим последовательность An попарно непересекающихся измеримых множеств и убывающую последовательность множеств Bn, An +1 Bn, Bn +1 = Bn \ An +1, (Bn ) n, обладающие тем свойством, что на каждом из A j последовательность f n равномерно сходится к f.

По теореме о равномерном пределе, на каждом из A j функция f интегрируема. Далее, для любого N N выполнена оценка Курс функционального анализа A \ Ak = Bk = lim (Bn ) = 0. Следовательно, f интегрируема Замечание. Условие неотрицательности функций f n в формулировке леммы Фату можно несколько ослабить: достаточно потребовать, чтобы все f n были больше или равны некоторой интегрируемой функции g.

Действительно, в этом случае функции f n g неотрицательны, и к ним можно применить лемму Фату в первоначальной формулировке. То есть функция f g интегрируема (а, следовательно, интегрируема и оценку Упражнения 1. Если измеримая функция f положительна и интегралы всех меньших интегрируемых функций ограничены в совокупности, то f интегрируема.

2. На примере ступенчатых функций f n = n 1( 0,1 n ), заданных на A = [0,1], 3. Приведите пример, показывающий, что в условиях леммы Фату может не существовать lim f n d.

4. Докажите, что условие неотрицательности функций f n в формулировке леммы Фату можно заменить условием f n 0 почти всюду.

5. Пусть {Ak }1 последовательность попарно непересекающихся подмножеств ненулевой меры отрезка [0,1]. Рассмотрим последовательность инk 1.

функций равны 0 (и, следовательно, ограничены в совокупности), схоk интегрируема. Какое из условий леммы Фату здесь не выполнено?

Глава 4. Интеграл Лебега 4.4.2. Теорема Лебега о мажорированной сходимости Теорема. Пусть на множестве A задана последовательность f n интегрируемых функций, сходящаяся почти всюду к некоторой функции f.

Пусть, далее, у последовательности f n есть интегрируемая мажоранта g (то есть f n g при всех n ). Тогда предельная функция f интегрируема и Доказательство. Все функции f n ограничены снизу интегрируемой функцией g, и интегралы функций f n ограничены в совокупности:

f n d gd <. Согласно замечанию, приведенному после доказательA A ства леммы Фату, отсюда следует, что функция f интегрируема и fd lim f n d. Применив то же самое рассуждение к функциям f n, f n d fd lim f n d. Но в каком случае верхний предел послеlim довательности может оцениваться сверху нижним пределом этой же последовательности? Только если у последовательности есть настоящий предел. Таким образом, из двустороннего неравенства lim f n d fd lim f n d следует, что существует lim f n d, и fd равен этому пределу.

Упражнения 1. Опираясь на теорему Лебега и упражнение 14 п. 4.2.3, докажите следующую теорему о мажорированной сходимости для рядов. Пусть задана бесконечная матрица {a n, m }, m =1, каждый столбец которой сходитn ся к соответствующему числу a m : lim a n, m = a m. Пусть, далее, сущестn рующая все строки матрицы: a n, m bm при всех n, m N. Тогда ряд 2. Сформулируйте и докажите аналог леммы Фату для рядов.

Курс функционального анализа 3. Докажите, что условие f n g в формулировке теоремы Лебега о мажорированной сходимости можно заменить условием f n g почти всюду.

4.4.3. Теоремы Лви о последовательностях и рядах Теорема Лви о монотонных последовательностях. Пусть f1 f 2 f 3 … неубывающая последовательность интегрируемых функций на A, и интегралы функций f n ограничены в совокупности некоторой константой C <. Тогда последовательность f n стремится почти всюду к некоторой интегрируемой функции f, и fd = lim f n d.

Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что все f n 0 (общий случай сводится к этому частному случаю введением вспомогательных функций f n f1 ). Ввиду монотонности в каждой точке t A последовательность f n (t ) стремится либо к конечному пределу, либо к +. Обозначим через B множество тех t A, где f n (t ) +. Докажем, что B множество нулевой меры. Для любых n, m N положим Bn, m ство тех точек t A, где все f n, начиная с некоторого, больше числа m.

Соответственно, B = Bm. По неравенству Чебышева (лемма из п. 4.3.1), f n d m. Поскольку при фиксированном m множества Bn, m возрастают с ростом n, (Bm ) = lim (Bn, m ). В свою очередь, множеC ства Bm убывают с ростом m, то есть (B ) = lim (Bm ) lim = 0.

Теперь определим функцию f на B произвольным образом (скажем, положим f = 0 на B ), а на A \ B, где, по построению, в каждой точке существует конечный предел f n (t ), положим f (t ) = lim f n (t ). При таком определении последовательность f n сходится почти всюду к f, и, по лемме Фату, функция f интегрируема. Далее, f служит интегрируемой мажорантой для всех f n, и для завершения доказательства нам остаётся применить теорему Лебега о мажорированной сходимости.

Глава 4. Интеграл Лебега Теорема Лви о рядах. Пусть на множестве A задана последовательf n d <. Тогда ность f n неотрицательных интегрируемых функций и fn сходится почти всюду к некоторой интегрируемой функции f, Доказательство. Достаточно заметить, что последовательность частfn ных сумм ряда подчиняется условиям теоремы Лви о монотонных последовательностях.

Упражнения 1. Докажите, что условие f n f n +1, n N в формулировке теоремы Лви о монотонных последовательностях можно заменить условием «при 2. Запишите подробнее доказательство теоремы Лви о рядах.

3. Используя представление функции в виде разности её положительной и отрицательной частей, докажите следующее усиление теоремы Лви о рядах: пусть функции f n интегрируемы на множестве A и ся этим утверждением ниже в п. 6.3.2 при доказательстве полноты пространства L1.

4. Выведите решение упражнения 5 п. 4.3.1, применив теорему Лви о монотонных последовательностях к последовательности f n = n f.

4.4.4. Теорема о монотонном классе функций Определение. Пусть (,, ) пространство с конечной мерой. Семейство E интегрируемых на функций называется монотонным классом функций, если оно подчиняется следующим аксиомам:

Курс функционального анализа если f1, f 2,..., f n,... E, f n образуют неубывающую последовательность, сходятся в каждой точке к некоторой функции f, и Отметим, что переходом от f n к f n легко получить ещё одно свойство монотонного класса:

(2) если f1, f 2,..., f n,... E, f n образуют невозрастающую последовательность, сходятся в каждой точке к некоторой функции f и inf f n d >, Теорема. Пусть (,, ) пространство с конечной мерой, полученное, как описано в разделе 2.2, продолжением меры с некоторого полукольца с единицей, E монотонный класс функций, содержащий характеристические функции всех элементов полукольца. Тогда E совпадает с множеством всех интегрируемых на функций.

Доказательство. Обозначим через семейство всех множеств, характеристические функции которых принадлежат E. это монотонный класс множеств, содержащий в качестве подкласса. По теореме о монотонном классе множеств (п. 2.2.4), =. Следовательно, классу E принадлежат характеристические функции всех измеримых подмножеств.

Ak, и по линейности все такие функции лежат в E. Любая неотрицаak 1Ak, значных и, следовательно, также лежит в E. Любую интегрируемую неотрицательную функцию можно представить в виде предела неубывающей последовательности неотрицательных счётнозначных интегрируемых функций, и, наконец, любая интегрируемая функция f представима в виде разности f = f + f двух неотрицательных интегрируемых функций.

Глава 4. Интеграл Лебега функции g, подчиняющиеся неравенству g f, также лежат в E.

2. Докажите независимость аксиом монотонного класса. Другими словами, приведите примеры семейств интегрируемых функций, подчиняющихся двум аксиомам монотонного класса, но не подчиняющихся оставшейся аксиоме. Скажем, пример семейства, подчиняющегося аксиомам (1) и (3), но не подчиняющегося аксиоме (2), и т. д.

4.5. Кратный интеграл 4.5.1. Произведение пространств с мерой = 1 2. Следуя п. 2.1.3, прямоугольниками в назовем множества вида A1 A2, где A1 1, A2 2. Через обозначим семейство всех прямоугольников в.

Теорема 1. Семейство всех прямоугольников в образует полукольцо с единицей.

Доказательство. Пусть A = A1 A2 и B = B1 B2 произвольные прямоугольники. Тогда A B = ( A1 B1 ) ( A2 B2 ), то есть снова является прямоугольником. Далее, \ A = ((1 \ A1 ) 2 ) ( A1 ( 2 \ A2 ) ), то есть дополнение к прямоугольнику представимо в виде дизъюнктного объединения двух прямоугольников. Наконец, всё также прямоугольник.

Теорема 2. Мера на счётно-аддитивна.

Доказательство. Пусть A = A1 A2, Bn = A1, n A2, n, прямоугольники Bn попарно не пересекаются и в объединении дают прямоугольник A. Для любого t A1 обозначим через N (t ) множество тех индексов n, для которых A1, n содержит t. Тогда семейство множеств A2, n, n N (t ) дизъюнктA2. Введём в рассмотрение вспомогательные функции на A1: f n = 2 ( A2, n )1A1, n. Эти функции интегрируемы по мере 1, и интегралы равны ( Bn ). Отметим, что для любого t A1 выполнены соотношения Курс функционального анализа Остаётся проинтегрировать обе части равенства, что возможно по тереме Лви о рядах, чтобы получить требуемое равенство ( Bn ) = ( A).

Применим схему продолжения мер, описанную в разделе 2.2, к мере на. Полученное пространство с мерой (,, ) называется произведением пространств (1, 1, 1 ) и ( 2, 2, 2 ). Для меры используют обозначение 1 2, а элементы полученной -алгебры называют ещё 1 2 -измеримыми множествами. Ясно, что -алгебра включает как подсистему наименьшую -алгебру, содержащую все прямоугольники (последнюю мы обозначали 1 2 ).

Замечание 1. Пусть ( k, k, k ), k = 1, 2,..., n конечный набор проn ся множество вида Ak, Ak k. Положим Ak = ( Ak ). Можно доказать, что параллелепипеды образуют полукольцо с единицей и что счётно-аддитивная мера на этом полукольце. Снова применив процедуру продолжения, получим пространство с мерой, являющееся произведением пространств ( k, k, k ). Однако, чтобы не повторять в случае n сомножителей рассуждения, уже проведённые для n = 2, удобнее произведение конечного числа пространств с мерой определять индукцией по числу сомножителей. То есть вначале перемножить первые два пространства, затем полученное произведение умножить на третье пространство, затем ещё на одно и т. д. Второй путь удобнее ещё и тем, что и теоремы, полученные для произведения пары пространств с мерой, можно затем по индукции переносить на любое конечное число сомножителей.

Замечание 2. Пока что мы дали лишь формальное определение произведения пространств с мерой. Глубже прочувствовать содержание этого понятия читатель сможет после изучения следующего параграфа. В частности, этому поможет упражнение 1 п. 4.5.2, где дана явная формула для вычисления меры, аналогичная формуле площади криволинейной трапеции. Однако можно вполне успешно оперировать с произведением мер и без этой формулы, пользуясь только счётной аддитивностью, полнотой меры и формулой для меры прямоугольника.

Упражнения Рассмотрим единичный квадрат K как произведение отрезков [0,1] [0,1] и плоскую меру Лебега на K определим как произведение обычных линейных мер Лебега на отрезке.

Глава 4. Интеграл Лебега 1. Проверьте, что диагональ квадрата это множество плоской меры ноль.

2. Пусть множество A [0,1] имеет линейную меру ноль. Докажите, что множество тех x = ( x1, x2 ) K, для которых x1 x 2 A, имеет плоскую меру ноль.

3. Пусть A подмножество в K, имеющее площадь. Проверьте, что ( )( A) совпадает с площадью множества A.

4. Пусть f произвольная измеримая функция на [0,1]. Докажите, что функция g : K R, определяемая равенством g ( x1, x 2 ) = f ( x1 ), измерима на K.

5. Докажите, что функция g ( x1, x 2 ) = x1 x 2 измерима на K.

6. Докажите, что функция из предыдущего упражнения обладает следующим свойством: для любого измеримого по Лебегу множества A [0,1] множество f 1 ( A) измеримо по мере Лебега на квадрате.

7. Пусть f произвольная измеримая функция на [0,1]. Докажите, что функция g : K R, определяемая равенством g ( x1, x 2 ) = f ( x1 x 2 ), измерима на K.

8. Рассмотрим функцию g ( x1, x2 ) = x1. Через D обозначим главную диагональ квадрата K. Зададим на -алгебре B борелевских подмножеств квадрата K меру следующим образом: ( A) = (g ( A D )). Проверьте, что счётноаддтитивная мера на -алгебре B, что значения мер и совпадают на прямоугольниках вида [a, b] [0,1] и [0,1] [a, b], но на квадратах вида [a, b] [a, b] значения этих мер уже отличаются.

9. Докажите, что B это наименьшая -алгебра подмножеств квадрата K, содержащая все прямоугольники вида [a, b] [0,1] и [0,1] [a, b]. Этот факт вместе с предыдущим примером показывает, что две счётноаддитивные меры могут совпадать на семействе подмножеств, порождающем данную -алгебру, но при этом не совпадать на всей алгебре.

4.5.2. Повторный интеграл и теорема Фубини Начиная с этого момента и до конца параграфа 4.5.3, (1, 1, 1 ) и ( 2, 2, 2 ) будут пространствами с конечными мерами, а через (,, ) будет обозначено произведение этих пространств. Каждый элемент множества имеет вид (t1, t2 ), где t1 1, t2 2. Поэтому каждую функцию f, определённую на, естественно рассматривать как функцию двух переменных f (t1,t 2 ), а интеграл fd по аналогии с тем, как это делалось в курсе анализа, естественно называть двойным интегралом. При Курс функционального анализа рассмотрении интеграла по одной из переменных при фиксированной второй переменной мы будем использовать выражения типа f (t1, t2 )d1 (t1 ), где условное обозначение d1 (t1 ) подчёркивает, по какой переменной идёт интегрирование.

Определение. Для функции f : R существует повторный интеf (t1, t 2 )d1 (t1 ) d 2 (t 2 ), если для почти всех значений переменграл ной t2 2 функция f (t1,t 2 ) интегрируема на 1 по мере 1 как функция переменной t1 и функция g (t 2 ) = f (t1, t 2 )d1 (t1 ) интегрируема на 2 по мере 2 как функция переменной t2.

Теорема Фубини. Если функция f : R интегрируема на по совокупности переменных (то есть существует fd ), то для f существует повторный интеграл, и двойной интеграл равен повторному:

Доказательство. Будем говорить, что функция f : R принадлежит классу Фубини ( f Fub( ) ), если f интегрируема по мере на, для f существует повторный интеграл, и двойной интеграл равен повторному: fd = f (t1, t 2 )d1 (t1 ) d 2 (t 2 ). Нам требуется доказать, что класс Фубини совпадает с классом всех функций, интегрируемых по совокупности переменных. Поскольку класс Фубини содержит характеристические функции всех прямоугольников, нам достаточно показать (см. п.

4.4.4), что класс Фубини является монотонным классом. Первая из аксиом монотонного класса линейность проверяется совсем просто. Проверка же второй и третей аксиом требует некоторых усилий.

Нам нужно доказать следующие два утверждения.

A. Если f1, f 2,..., f n,... Fub ( ), f n образуют неубывающую последовательность, сходятся в каждой точке к некоторой функции f и Глава 4. Интеграл Лебега Начнём с утверждения A. Обозначим По условию, функции g n определены почти всюду и интегрируемы на 2 ;

реме Леви, последовательность g n почти всюду на 2 сходится к некоторой интегрируемой функции g, и Обозначим через D множество тех точек t2 2, для которых определены g n (t 2 ) и g (t 2 ), f n (t1, t 2 )d1 (t1 ) = g n (t 2 ), g n (t 2 ) не убывают с ростом n и сходятся к g (t 2 ). По построению, 2 ( 2 \ D ) = 0. В каждой точке t 2 D функции f n интегрируемы по переменной t1, не убывают с ростом n и сходятся к функции f. Кроме того, выполнены соотношения f n (t1, t2 )d1 (t1 ) = g n (t2 ) g (t2 ) <. Снова применяя теорему Леви, но теперь уже по переменной t1, получаем, что для любого t 2 D (то есть для почти всех значений переменной t2 ) функция f интегрируема по t1, и Наконец, теорема Леви, применённая к функциям f n на (то есть по совокупности переменных), даёт равенство lim f n d = fd. Сопоставn ляя соотношения (1), (2) и последнее равенство, получаем, что то есть f Fub( ).

Теперь докажем утверждение B. Во-первых, из соотношений 0 g f и fd = 0 следует, что Курс функционального анализа Далее, обозначим 2 равна нулю (уверен, уважаемый читатель справился с упражнением п. 4.3.1). Обозначим через D множество тех точек t2 2, для которых h (t 2 ) = 0. Дополнение к множеству D в 2 имеет нулевую меру, и при каждом фиксированном t 2 D функция f (t1,t2 ) интегрируема на 1 по каждом фиксированном t 2 D для почти всех t1 1 значение f (t1,t2 ) равно нулю. Но ввиду неравенства 0 g f в тех точках, где f (t1, t 2 ) = 0, там и g (t1, t 2 ) = 0. Следовательно, при каждом фиксированном t 2 D для почти всех t1 1 значение g (t1,t 2 ) равно нулю. Таким образом, при t 2 D (то есть для почти всех значений переменной t2 ) функция g интегg (t1, t2 )d1 (t1 ) = 0. Сопоставив последнюю запись с рарируема по t1, и венством (3), получаем требуемую принадлежность функции g классу Фубини.

Замечание 1. Поскольку переменные t1 и t2 в условии теоремы Фубини равноправны, то можно поменять их ролями и в утверждении теоремы. Следовательно, если существует двойной интеграл, то определены повторные интегралы в обоих возможных порядках интегрирования, и оба эти интеграла равны двойному интегралу. Таким образом, если существует двойной интеграл, то можно менять порядок интегрирования в повторном интеграле: f (t1, t2 )d1 (t1 ) d 2 (t 2 ) = f (t1, t 2 )d 2 (t 2 ) d1 (t1 ). Именно в этой форме теорема Фубини чаще всего встречается в применениях.

Упражнения 1. Пусть A измеримое подмножество в = 1 2. Для любого t обозначим через At1 множество тех t2 2, для которых (t1, t 2 ) A.

Докажите, опираясь на теорему Фубини, что At1 2 для почти всех Глава 4. Интеграл Лебега 2. Пусть в условиях предыдущего упражнения функция двух переменных 3. Пусть A1 неизмеримое по Лебегу подмножество отрезка [0,1]. Определим подмножество A [0,1] [0,1] как объединение множеств A1 [0, 1 2] и ([0,1] \ A1 ) (1 2, 1]. Покажите, что для функции f = 1A вен? Покажите, что интеграл Будет ли функция f интегрируема по совокупности переменных? Измерима?

4. Приведите пример функции на квадрате, для которой повторные интегралы существуют, но отличаются между собой.

5. Приведите пример функции на квадрате, для которой повторные интегралы существуют, совпадают между собой, но по совокупности переменных функция не интегрируема.

4.5.3. Обратная теорема Фубини Как показывают вышеприведенные упражнения, изменять порядок интегрирования в повторном интеграле можно не всегда. Условие, при котором это можно делать, интегрируемость функции по совокупности переменных звучит, конечно, приятно, но как-то уж слишком абстрактно.

Действительно, как определить для конкретной функции, скажем двух вещественных переменных, интегрируема ли она по совокупности переменных? Насколько проще было бы обращаться с повторным интегралом, если бы, убедившись, что он существует для какой-то функции в одном порядке, можно было бы быть уверенным, что эта функция интегрируема и в другом порядке, да и как функция двух переменных тоже. Но, увы, не всё в жизни так просто. Впрочем, как показывает следующая теорема, особых оснований жаловаться на жизнь (по крайней мере, по этому поводу) нет.

Теорема. Пусть f измеримая неотрицательная функция на, для гда для f существует двойной интеграл, и, следовательно, Курс функционального анализа Доказательство.

An = {t : f (t ) n} и функции f n = f 1An. Каждая функция f n измерима и ограничена на, следовательно, интегрируема по совокупности переменных (см. 4.3.3). Далее, f n d ограничены сверху константой, не зависящей от n. Накото есть нец, f n образуют неубывающую последовательность и стремятся поточечно к f. Для завершения доказательства остаётся применить теорему Леви.

Если функция измерима, то её интегрируемость эквивалентна интегрируемости её модуля. Получаем:

Следствие. Для измеримой функции f на следующие условия эквивалентны:

f интегрируема на по совокупности переменных, (1) ( k, k, k ) ( n, n, n ), результаты последних двух параграфов без труда переносятся на случай кратного интеграла.

Замечание 2. Как мы уже отмечали, для неполных пространств с мерой интегрируемость функции не обязательно означает измеримость: для получения измеримости нужно ещё удалить некоторое множество меры 0.

Произведение пространств с мерой полно по построению, но сами сомножители в принципе могут быть и неполными пространствами. В этом случае, если по какой-либо причине нужна измеримость функции двух переменных по первой или второй переменной, следует ограничиться 1 2 измеримыми функциями. Предлагаем читателю самому проверить, что в Глава 4. Интеграл Лебега этом случае функция f при каждом фиксированном значении одной переменной измерима по другой переменной. Для доказательства разумно вначале рассмотреть характеристические функции множеств (см. упражнение 6 п. 2.1.3), а затем воспользоваться аппроксимацией измеримой функции счётнозначными.

Упражнения 1. Докажите, что если функция f на [0,1] [0,1] интегрируема как функция двух переменных по Риману, то она интегрируема и по Лебегу как функция двух переменных.

2. Докажите формулу перехода к полярным координатам для интеграла Лебега.

4.6. Интеграл Лебега на отрезке и на оси 4.6.1. Интеграл Лебега и несобственный интеграл на отрезке Как уже было отмечено в упражнении 8 п. 4.2.3, из условия (2) теоремы 1 п. 4.2.2 с очевидностью следует, что каждая интегрируемая по Риману функция f : [a, b] R интегрируема и по Лебегу. Более того, по теореме п. 4.3.3, интегрируемыми по Лебегу будут все ограниченные измеримые функции на отрезке.

Если функция интегрируема по Риману, то она должна быть ограниченной. Поэтому в курсе математического анализа подробно изучался несобственный интеграл как способ определения интеграла для некоторых неограниченных на отрезке функций. Чтобы лучше почувствовать природу интеграла Лебега, ниже мы разберём связь между несобственным интегралом и интегралом Лебега.

Теорема 1. Пусть функция f : [a, b] R непрерывна всюду кроме точки a и интегрируема по Лебегу на [a, b]. Тогда у f существует несобb ственный интеграл, и этот несобственный интеграл равен соответa ствующему интегралу Лебега Доказательство. Пусть a n [a, b], a n a. Введём в рассмотрение вспомогательные функции f n = f 1[a n,b ]. Функции f n образуют почти всюду сходящуюся к f последовательность интегрируемых (как по Риману, так и по Лебегу) функций, причём f служит интегрируемой мажоранf n d = fd Курс функционального анализа fd. Но, по определению несобственного интеграла, это и означает, что [a, b] у f существует несобственный интеграл, равный Теорема 2. Пусть функция f : [a, b] R непрерывна всюду кроме точки a и неотрицательна. Тогда если у f существует несобственный интеграл, то f интегрируема по Лебегу на [a, b].

Доказательство. Пусть an и f n те же, что и в доказательстве предыдущей теоремы. Последовательность f n не убывает и стремится почти всюду к функции f. Далее, по определению несобственного интеграла, монотонных последовательностях.

Из курса математического анализа читателю хорошо известны примеры функций, для которых существует несобственный интеграл, но модуль которых не интегрируем даже в несобственном смысле. Такие функции будут неинтегрируемыми по Лебегу, поскольку у интегрируемой по Лебегу функции модуль также должен быть интегрируем по Лебегу.

В дальнейшем если функция интегрируема по Лебегу на отрезке, то для интеграла Лебега мы будем использовать как обозначение f (t )d, так и более привычное по курсу анализа Упражнения Какие из нижеперечисленных функций f интегрируемы по Лебегу на отрезке [a, b]?

4. f (t ) = sin t 2, [a, b] = [0,1].

5. f (t ) = sin 2 t, [a, b] = [0,1].

6. f (t ) = t, [a, b] = [0,1].

7. f (t ) =, [a, b] = [ 1,1].

Какие из нижеперечисленных функций на квадрате [0,1] [0,1] интегрируемы, а какие нет по отношению к плоской мере Лебега?

Глава 4. Интеграл Лебега рируема на [0,1] [0,1]?

4.6.2. Интеграл по -конечной мере В разделах 4.2 4.5 мы изучали теорию интеграла Лебега на пространстве (,, ) с конечной мерой. Чтобы успешно определить интеграл Лебега на оси или, скажем, на неограниченном подмножестве плоскости, нам нужно рассмотреть и случай счётно-аддитивных мер, принимающих на каких-то элементах -алгебры значение +. Такие меры будем называть бесконечными.

Итак, пусть (,, ) пространство с бесконечной мерой. Подмножество A называется множеством -конечной меры (другой термин мера -конечна на A), если A можно представить в виде объединения счётного числа множеств конечной меры. -Конечные меры уже упоминались нами в п. 2.3.7. Если мера -конечна на A, то A можно записать ресекались. Отметим также, что счётное объединение множеств конечной меры снова будет множеством -конечной меры.

Для функций, определенных на множестве A -конечной меры, можно ввести разбиения множества A на подмножества конечной меры.

Можно также ввести интегральные суммы и интеграл Лебега точно таким же образом, как мы это делали выше для множеств конечной меры. Читатель может самостоятельно проверить, что доказательства основных свойств интеграла сохраняют свою силу и в этом случае. Единственным затруднением, которое приходится преодолевать при распространении свойств интеграла со случая конечной на случай -конечной меры это неинтегрируемость постоянной на A функции. Мы настоятельно советуем читателю пройтись ещё раз по всей вышеизложенной схеме построения интеграла Лебега с тем, чтобы самостоятельно построить по уже имеющеКурс функционального анализа муся образцу теорию интеграла на множестве -конечной меры. В настоящем же параграфе будет предложен обходной путь, позволяющий с помощью некоторого искусственного приёма свести интегрирование по конечной мере к уже разобранному случаю интеграла по конечной мере.

Это позволит свести свойства интеграла по -конечной мере к уже известным нам результатам.

Пусть A множество -конечной меры. Зафиксируем некоторое представление множества A в виде A = Понятие интеграла на каждом множестве конечной меры, в частности на каждом из An, нам уже знакомо. Отталкиваясь от этого, можно ввести следующее определение:

Определение 1. Назовём функцию f интегрируемой на A по конечной мере, если f -интегрируема на каждом из Ak и Введём обозначение a n = 2 n ( An ). Определим на семействе A всех измеримых подмножеств множества A новую меру 1 формулой пространством с конечной мерой. Зададим на A функцию g = интегрируемой на B по мере в том и только том случае, если функция f g интегрируема на B по мере 1. При этом hd = hgd1.

каждое из них содержится в своём An. Так как на B по условию не только 1, но и конечна, мы можем применить теорему 4 п. 4.2.4 о счётной аддитивности интеграла как функции множества к интегралу на B как по 1, Глава 4. Интеграл Лебега так и по, и составить наше утверждение из уже доказанных утверждений на подмножествах B An.

Лемма 2. Функция f интегрируема на A по мере в том и только том случае, если функция f g интегрируема на A по мере 1. При этом fd = fgd1.

Доказательство. Нужно применить лемму 1 к каждому из множеств Ak, воспользоваться определением 1 и применить теорему 4 п. 4.2.4 к мере 1.

Ввиду леммы 2 линейность интеграла, возможность интегрирования неравенств, измеримость интегрируемой функции, критерий интегрируемости измеримой функции, лемма Фату, теорема Лебега о мажорированной сходимости, теоремы Леви все эти свойства для интеграла по мере с очевидностью вытекают из соответствующих свойств для интеграла по мере 1.

Следующее свойство интеграла по -конечной мере означает, что интеграл не зависит от выбора представления множества A в виде A = An (этот вопрос наверняка возник у читателя по прочтении определения 1).

ли f интегрируема на каждом из Bn и Доказательство. Пусть 1 конечная мера из лемм 1 и 2. Воспользовавшись леммой 2 и применив теорему 4 п. 4.2.4 к конечной мере 1, получаем, что функция f интегрируема на A по мере тогда и только тогда, когда функция f g интегрируема на каждом из Bn по 1 и сходится ряд ва остаётся применить лемму 1 на множествах Bk, что возможно ввиду конечности меры на каждом из этих множеств.

Курс функционального анализа Упражнения Всюду в нижеприведенных упражнениях An и 1 взяты из определения 1 и леммы 1.

1. Пусть B An при каком-то n. Тогда 1 (B ) = (B ) a n.

2. Пусть D разбиение множества A на подмножества An. Тогда для 1. Следовательно, fd можно определить как предел интегральных сумм, и по лемме 2 это определение будет эквивалентно исходному.

3. Докажите, что для множества B A условия (B ) = 0 и 1 (B ) = 0 эквивалентны.

4. Для последовательности функций f n на A следующие условия эквивалентны: f n f почти всюду в смысле меры ; f n f почти всюду в смысле меры 1 ; f n g fg почти всюду в смысле меры 1.

5. Пусть мера Лебега на оси. Измеримая функция f на оси интегриf d < и 6. Опираясь на уже доказанные теоремы о предельном переходе под знаком интеграла для интеграла по конечной мере, докажите лемму Фату, теорему Лебега о мажорированной сходимости, теоремы Леви о последовательностях и рядах для случая -конечной меры.

7. (Внимание!) Теорема о равномерном пределе для интеграла по конечной мере не выполняется. Покажите это на следующем примере:

стремится равномерно к нулю, но интегралы всех этих функций равны единице.

8. Докажите теорему 1 без дополнительного предположения (Bn ) <.

9. Пусть (1, 1, 1 ), ( 2, 2, 2 ) пространства с -конечными мерами, множества конечной меры. Тогда прямоугольники {Ak B j }k, j =1 образуют разбиение декартова произведения 1 2 на подмножества конечной меры. Используя это разбиение, докажите теорему Фубини для произведения пространств с -конечными мерами.

10. Можно определить интеграл на множествах, не являющихся множествами -конечной меры, но это определение не расширяет существенно наших представлений об интеграле. Напомним, что носителем функции f : A R называется множество supp f = {t A : f (t ) 0}. Назовём функцию f интегрируемой на A, если supp f является множеством -конечной меры и f интегрируема на supp f. По определению, fd = fd. Проверьте, что основные свойства интеграла по мноsupp f жеству -конечной меры распространяются и на этот более общий случай.

11. Докажите, что невозможно распространить понятие интеграла на функции, носители которых не являются множествами -конечной меры, с сохранением основных свойств интеграла, а именно, с сохранением свойств (a) если f g на множестве A, f и g интегрируемы и любого измеримого множества A конечной меры.

4.6.3. Свёртка Определение. Для функций f и g на оси определена свёртка, если для почти всех t R функция f ( )g (t ) интегрируема по мере Лебега на R как функция переменной. В этом случае свёрткой функций f и g называется функция f g, определённая для почти всех t R равенством Понятие свёртки оказывается важным в теории вероятностей (плотность распределения суммы двух независимых случайных величин равна свёртке плотностей распределения исходных величин) и в теории преобразования Фурье (преобразование Фурье свёртки двух функций равно произведению преобразований Фурье исходных функций). В настоящем параграфе будет доказан следующий полезный результат.

Теорема. Если функции f и g интегрируемы на оси по мере Лебега, то для них определена свёртка. Далее, функция f g интегрируема на оси Курс функционального анализа Доказательство. Прежде всего, напомним, что произведение интегрируемых функций не обязано быть интегрируемым, то есть при каких-то значениях параметра t функция f ( )g (t ) вполне может быть и неинтегрируемой по переменной. Попробуем вспомнить, где у нас уже встречалось утверждение типа «для почти всех значений первой переменной функция интегрируема по второй переменной»? Ну, конечно же, в теореме Фубини! Именно к теореме Фубини мы и будем сводить наше утверждение.

Отметим, что функции f ( ), g (t ), а следовательно, и их произведение f ( )g (t ) измеримы как функции двух переменных (см. упражнения 3, 6 п. 4.5.1). Чтобы доказать интегрируемость f ( )g (t ) на R R, согласно критерию интегрируемости измеримой функции (п. 4.3.3), достаточно доказать интегрируемость положительной функции f ( )g (t ).

Для этого же, в свою очередь, достаточно (см. п. 4.5.3) проверить существование повторного интеграла.

По условию, функция g интегрируема, следовательно, функция g (t ) интегрируема по t при любом значении. Имеем Теперь легко можно вычислить повторный интеграл: