«В. М. Кадец КУРС ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Харьков 2006 УДК 517.98 517.51 ББК 22.162 К 13 Рекомендовано к печати ученым советом механико-математического факультета Харьковского национального университета имени В. Н. ...»

Данная книга создавалась на протяжении ряда лет, и на разных стадиях её написания многие преподаватели и студенты участвовали в обсуждении курса и помогали автору советом. Мне хотелось бы поблагодарить всех слушателей этого курса, особенно моих бывших студентов Ю.

Забелышинского и И. Рудя, предоставивших в моё распоряжение записанный ими конспект лекций; моих коллег А. Вишнякову и Л. Безуглую, использовавших черновой вариант учебника при чтении курса функционального анализа и своими замечаниями способствовавших улучшению текста, а также многих студентов, пользовавшихся учебником при изучении функционального анализа и сообщавших мне о замеченных опечатках. Я глубоко признателен В. Маслюченко, А. Пличко, М. Попову и В. Романову, приславшим рецензии на данный учебник, и Т. Банаху, высказавшему ряд полезных замечаний, учтённых мною при работе над рукописью.

Настоящая электронная версия книги отличается от оригинала исправлением опечаток, замеченных за прошедшее после издания время.

Последнее обновление 07.07.2010.

Курс функционального анализа 1. Метрические и топологические пространства Топологические и особенно метрические пространства неоднократно упоминались и использовались в курсах математического анализа, линейной алгебры (где разбирался один из важнейших примеров метрического пространства конечномерное евклидово пространство), дифференциальной геометрии (где изучались геодезические кривые и внутренняя метрика поверхности), а также, само собой разумеется, в курсе топологии. Поэтому мы лишь бегло напомним общеизвестные определения и факты, обсудим принятую в этой книге терминологию и систему обозначений, а более подробно остановимся на вопросах, возможно не освещавшихся в других курсах.

1.1. Множества и отображения При изложении функционального анализа предполагается знакомство читателя с понятием множества и простейшими операциями над множествами объединением и пересечением конечного или бесконечного числа множеств, разностью, дополнением, симметрической разностью, декартовым произведением множеств, равно как и с понятиями отношения, функции, графика отношения или функции, классов эквивалентности; такими терминами, как счётность или несчётность множества и т. д. Мы не будем пользоваться в основной части курса техникой трансфинитных чисел и трансфинитной индукции; но читатель, безусловно, окажется в выигрыше, ознакомившись с элементами теории трансфинитных чисел, скажем, по учебнику Келли [Kel], где в «Добавлении» даётся строгое формальное изложение теории, или по книге Натансона [Nat], где изложение не столь формально, но зато хорошо понятно. Некоторые тонкие вопросы теории меры и функционального анализа требуют владения методом трансфинитной индукции. Мы будем касаться таких вопросов только в упражнениях и комментариях к ним (впрочем, довольно редко).

Множества, как правило, будут обозначаться большими латинскими буквами, а элементы множеств маленькими буквами. Термины «совокупность», «набор» будут использоваться в том же смысле, что и термин «множество». Приведём расшифровку некоторых терминов и обозначений.

A \ B (теоретико-множественная) разность множеств A и B : A \ B состоит из всех элементов, принадлежащих A, но не принадлежащих B.

Другое, эквивалентное определение: AB = ( A U B ) \ ( A I B ).

A B = {(a, b) : a A, b B}. То есть декартово произведение множеств Глава 1. Метрические и топологические пространства A и B это множество упорядоченных пар, где первая координата принадлежит A, а вторая B.

Ak = {(a1,..., a n ) : a k Ak }. Формально операция декартова произвеk = дения не ассоциативна. Скажем, ( A B ) C в качестве элементов имеет ((a, b), c ), и (a, (b, c) ) естественно отождествить с тройкой (a, b, c). Если условиться о таком отождествлении, то операция декартова произведения станет ассоциативной, и будет выполняться формула 2 A совокупность всех подмножеств множества A.

R множество всех вещественных чисел (другое название вещественная ось).

Q множество всех рациональных вещественных чисел.

Z множество всех целых вещественных чисел.

N множество всех натуральных чисел.

C множество всех комплексных чисел.

R n n -мерное координатное пространство: декартово произведение n экземпляров вещественной оси.

В упражнениях, приведенных ниже, собраны некоторые соотношения между множествами, применяющиеся нами в дальнейшем в тех или иных рассуждениях. Обычно подобные соотношения будут использоваться без доказательства: проверка их носит чисто технический характер и требует лишь небольшого навыка манипулирования с логическими выражениями и перебора случаев.

Упражнения Курс функционального анализа Для любого отображения f : X Y и любых подмножеств A, B X выполнено соотношение f ( A U B ) = f ( A) U f (B ). Далее, Отображение f : X Y будет инъективным в том и только том случае, если для любых подмножеств A, B X выполнено соотношение 10. Пусть { An }nM некоторый набор подмножеств множества. Тогда имеют место следующие формулы де-Моргана: \ I An = U ( \ An ) 1.2. Топологические пространства 1.2.1. Терминология Семейство подмножеств множества X называется топологией, если оно подчиняется следующим аксиомам:

1. Как пустое множество, так и само X принадлежат.

2. Объединение любого набора множеств семейства снова лежит в.

3. Пересечение любого конечного числа множеств семейства принадлежит.

Множество, наделённое топологией, называется топологическим пространством. Если на множестве рассматривается только одна топология, соответствующее топологическое пространство мы будем обозначать той же буквой, что и само множество. В случае, если выбор топологии нуждается в уточнении, для топологического пространства будет применяться обозначение вида ( X, ). Множества, принадлежащие семейству, называются открытыми в топологии (или просто открытыми, если понятно, о какой топологии идёт речь).

Простейший пример топологии на произвольном множестве X это дискретная топология 2 X, где открытыми считаются все подмножества.

Другой стандартный пример топологического пространства это вещестГлава 1. Метрические и топологические пространства венная ось R, где открытыми множествами считаются конечные или счётные объединения открытых интервалов.

Пусть X топологическое пространство, x X. Подмножество U X называется открытой окрестностью точки x, если U открыто и x U. Подмножество U называется окрестностью точки x, если оно содержит открытую окрестность точки x. Топологическое пространство X называется отделимым по Хаусдорфу, или хаусдорфовым, если оно подчиняется следующей аксиоме отделимости:

4. Для любых x, y X, x y, существуют окрестности U и V точек x и y соответственно, не пересекающиеся между собой.

В дальнейшем мы будем рассматривать, как правило, отделимые по Хаусдорфу пространства.

Пусть X топологическое пространство, x X. Семейство подмножеств U называется базой окрестностей точки x, если все элементы семейства U окрестности, и для любой окрестности U точки x существует окрестность V U, целиком содержащаяся в U.

Топологию можно определять локально, то есть начиная не со всей системы открытых множеств, а с баз открытых окрестностей. Пусть для каждой точки x множества X задано непустое семейство подмножеств U x, обладающее следующими свойствами:

Тогда существует единственная топология на X, для которой семейства U x будут базами окрестностей соответствующих точек. Эта топология задаётся следующим образом: точка x называется внутренней точкой множества A, если некоторая окрестность U U x точки x содержится в A;

множество A называется открытым, если все его точки внутренние. Другими словами, множество открыто в том и только том случае, если вместе с каждой своей точкой оно содержит и некоторую окрестность этой точки.

Пусть A подмножество топологического пространства X. Множество A называется замкнутым, если его дополнение X \ A открыто. Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто; пересечение любого числа замкнутых множеств снова замкнуто. Замыканием множества A называется множество A, равное пересечению всех замкнутых множеств, содержащих A. A это наименьшее по включению замкнутое множество, содержащее A. Точка x X называется предельной для множества A, если каждая окрестность точки x содержит точку множества A, отличную от x. Замыкание множества A состоит из точек самого множества A и всех его предельных точек. Множество A называется плотным в Курс функционального анализа множестве B, если A B. Множество A называется плотным, если оно плотно во всём пространстве. Топологическое пространство X называется сепарабельным, если в X есть счётное плотное подмножество.

Пусть x n последовательность элементов топологического пространства X. Точка x X называется пределом последовательности xn, если для любой окрестности U точки x все члены последовательности, начиная с некоторого, содержатся в U. Точка x называется предельной для последовательности xn, если любая окрестность U точки x содержит бесконечное число членов последовательности.

Функция f, действующая из топологического пространства X в топологическое пространство Y, называется непрерывной, если для любого открытого множества A в Y его прообраз f 1 ( A) открытое множество в X. Непрерывность можно переформулировать на языке окрестностей:

функция непрерывна, если для любой точки x X и любой окрестности U точки f (x ) существует такая окрестность V точки x, что f (V ) U.

Функция f : X Y называется гомеоморфизмом, если она биективна, непрерывна и обратная функция f 1 : Y X непрерывна. Два пространства называются гомеоморфными, если между ними существует гомеоморфизм.

Пусть на множестве X задано две топологии: 1 и 2. По определению, топология 1 сильнее топологии 2 (или, эквивалентно, 2 слабее 1 ), если каждое множество, открытое в топологии 2, открыто и в топологии 1. Другими словами, топология 1 сильнее топологии 2, если тождественное отображение x a x непрерывно как функция, действующая из топологического пространства ( X, 1 ) в топологическое пространство ( X, 2 ). Отношение « 1 сильнее 2 » записывают 1 f 2.

Если множество замкнуто, то оно замкнуто и в любой более сильной топологии. Соответственно, замыкание любого множества в более слабой топологии содержит замыкание этого множества в более сильной топологии. Предельная точка множества остаётся предельной при замене топологии на более слабую. Если последовательность x n сходится к x в топологии 1 и 1 f 2, то x n сходится к x и в топологии 2.

Пусть A подмножество топологического пространства X. Множество B A называется открытым в A, если B можно представить как пересечение множества A с некоторым открытым подмножеством пространства X. Открытые в A подмножества задают на A топологию, называемую индуцированной топологией. Подмножество топологического пространства X, наделённое индуцированной топологией, называется подпространством топологического пространства X. Например, множество целых чисел Z, наделённое дискретной топологией, подпространство Глава 1. Метрические и топологические пространства пространства R, а R, в свою очередь, подпространство пространства C всех комплексных чисел. Индуцированную топологию называют ещё ограничением топологии пространства X на подмножество A.

Упражнения 1. В хаусдорфовом пространстве каждая точка это замкнутое множество.

2. Пусть топологическое пространство X подчиняется следующей аксиоме отделимости: каждая точка образует замкнутое множество в X.

Пусть, далее, точка x X предельная для множества A. Тогда каждая окрестность точки x содержит бесконечное число точек множества A.

3. Пусть топологическое пространство X содержит несчётное число непересекающихся открытых множеств. Тогда X несепарабельно.

4. Пусть A, B, C подмножества топологического пространства X, A плотно в B, а B плотно в C. Тогда A плотно в C.

5. Если система окрестностей точки x имеет счётную базу, то существует убывающая по включению последовательность окрестностей, образующая базу окрестностей этой точки.

6. Пусть A подмножество топологического пространства X, x предельная точка множества A и система окрестностей точки x имеет счётную базу. Тогда существует последовательность элементов множества A, сходящаяся к x.

7. Пусть f : X Y непрерывная функция, A плотное подмножество 8. Пусть f : X Y непрерывная функция, A плотное подмножество 9. Пусть f : X Y непрерывная функция, A плотное подмножество в X, B замкнутое подмножество в Y. Тогда если f ( A) B, то и 10. Привести пример непрерывной функции f : [0,1] [0,1] и плотного подмножества A [0,1], для которых f 1 ( A) не плотно в [0,1].

11. Могут ли два плотных подмножества топологического пространства не пересекаться?

12. Две непрерывные функции, действующие из топологического пространства X в хаусдорфово топологическое пространство Y и совпадающие на плотном подмножестве X 1 X, совпадают всюду на X.

13. Внутренностью множества A называется множество всех внутренних точек множества A. Показать, что внутренность открытое множество.

14. Пусть множество A X пересекается со всеми плотными подмножествами пространства X. Тогда A имеет непустую внутренность.

15. Композиция двух непрерывных функций непрерывна.

Курс функционального анализа 16. Рассмотрим следующую топологию на R : для каждого числа x в качестве базы окрестностей возьмём семейство всех множеств вида {x} U (( x a, x + a ) I Q ), a > 0. Докажите, что построенное пространство ( R, ) сепарабельно, но содержит несепарабельное подпространство.

1.2.2. Произведение двух топологических пространств Пусть X 1, X 2 топологические пространства. Определим на декартовом произведении X 1 X 2 этих пространств топологию, задав для каждой точки x = ( x1, x 2 ) X 1 X 2 базу окрестностей U x, состоящую из всех множеств вида U1 U 2, где U 1 окрестность точки x1 в X 1, а U 2 окрестность точки x 2 в X 2. Описанная топология называется топологией произведения, а множество X 1 X 2, наделённое топологией произведения, называется произведением топологических пространств X 1 и X 2.

Рассмотрим отображения Pj : X 1 X 2 X j, j = 1,2, ставящие элементу x = ( x1, x 2 ) в соответствие его j -ю координату: P1 ( x ) = x1, P2 ( x ) = x2. Эти отображения называются координатными проекторами.

1. Координатные проекторы непрерывны.

Среди всех топологий на X 1 X 2, в которых непрерывны координатные проекторы, топология произведения самая слабая.

Обычная топология на плоскости R 2 = R R совпадает с соответствующей топологией произведения.

Пусть x, xn X 1 X 2. Докажите, что сходимость последовательности x n к элементу x в топологии произведения эквивалентна одновременной сходимости последовательности P1 ( x n ) к P1 ( x ) и P2 ( x n ) к P2 ( x ).

Этим будет обосновано ещё одно название топологии произведения:

«топология покоординатной сходимости».

f ( x ) = ( f1 ( x ), f 2 ( x ) ). Тогда функция будет непрерывной в том и только том случае, если непрерывны обе функции f 1 и f 2.

Функции ( x, y ) a x + y и ( x, y ) a x y непрерывны как функции, действующие из R 2 в R.

7. Из предыдущих двух упражнений и теоремы о непрерывности композиции непрерывных функций выведите теоремы о непрерывности суммы и произведения функций, действующих из топологического пространства в R.

Глава 1. Метрические и топологические пространства 8. Выведите теоремы о пределе суммы и произведения сходящихся числовых последовательностей из упражнений 3, 4 и 6.

9. Обозначим через [0,1] отрезок в обычной топологии, а через [0,1] d тот же отрезок в дискретной топологии. Опишите топологию произведения на X 1 X 2, если X 1 = X 2 = [0,1];

X 1 = [0,1], X 2 = [0,1]d.

10. Произведение хаусдорфовых пространств хаусдорфово.

11. Координатные проекторы это открытые отображения: образ открытого множества под действием координатного проектора снова открытое множество.

1.2.3. Компакты Хаусдорфово топологическое пространство X называется компактом, если оно непусто и из любого открытого покрытия пространства X можно выделить конечное подпокрытие. Подробнее: X компакт, если для любого семейства U открытых множеств, дающих в объединении всё X, существует конечное число U 1,..., U n элементов семейства U, попрежнему дающих в объединении всё X. Подмножество A топологического пространства X называется компактным множеством, если A компакт в индуцированной топологии. Другими словами, A компактное множество, если для любого семейства U открытых множеств в X, объединение которых содержит A, существует конечное число U 1,..., U n элементов семейства U, объединение которых по-прежнему содержит A.

Любое компактное подмножество хаусдорфова топологического пространства замкнуто; замкнутое подмножество компакта само компактно.

Пусть X, Y хаусдорфовы пространства, функция f : X Y непрерывна и X компакт. Тогда f ( X ) компактное подмножество в Y (эта теорема легко следует из определения). В частности, при непрерывном отображении компакта K в хаусдорфово пространство Y образ любого замкнутого подмножества X замкнут. Следовательно, если отображение f : K Y не только непрерывно, но и биективно, то и f 1 : Y K непрерывно, то есть f гомеоморфизм. Последнее утверждение формулируют ещё таким образом: пусть на X заданы две отделимые топологии 1 f 2 и в топологии 1 X компакт. Тогда 1 = 2.

Семейство множеств W называется центрированным, если пересечение любого конечного набора множеств из W не пусто.

Курс функционального анализа Теорема 1. Хаусдорфово топологическое пространство K является компактом в том и только том случае, если любое центрированное семейство замкнутых подмножеств пространства K имеет общую точку.

Доказательство. Пусть K компакт, W центрированное семейство замкнутых подмножеств K. Предположим, что у элементов этого семейства нет общей точки, то есть I W пусто. Перейдя к дополнениям, K \ W образуют покрытие компакта K. Выберем конечное подпокрытие:

K \ W1,..., K \ Wn, Wi W, U ( K \ Wi ) = K. Но последнее условие означает, что пусто. Противоречие с центрированностью семейства W.

Обратно, предположим, что любое центрированное семейство замкнутых подмножеств пространства K имеет общую точку, и докажем, что K компакт. Пусть семейство U открытых множеств образует покрытие пространства K. Тогда дополнения к элементам семейства U это система W замкнутых множеств с пустым пересечением. По условию W не может быть центрированным семейством множеств, следовательно, существует конечный набор W1,..., Wn W, имеющий пустое пересечение. Тогда U ( K \ Wi ) = K, K \ Wi U, то есть из покрытия U можно выбрать конечное подпокрытие. Теорема доказана.

Теорема 2. Любое бесконечное подмножество компакта имеет предельную точку.

Доказательство. Пусть A бесконечное подмножество компакта K, Рассмотрим семейство W всех таких замкнутых подмножеств W компакта K, что разность A \ W содержит конечное число точек. Семейство W центрировано, следовательно существует точка x, принадлежащая всем элементам семейства W. Эта точка x будет предельной для A. Действительно, если U произвольная открытая окрестность точки x, то дополнение K \ U не содержит x и, следовательно, не лежит в W. То есть A \ ( K \ U ) = A I U состоит из бесконечного числа точек.

Приведём без доказательства лемму Урысона о функциональной отделимости множеств и теорему Титце о продолжении. Доказательство этих общеизвестных фактов (даже в несколько более общей формулировке) можно найти, скажем, в учебнике Куратовского [Kur], т. 1, с. 132-135.

Глава 1. Метрические и топологические пространства Лемма Урысона. Пусть A и B непересекающиеся замкнутые подмножества компакта K. Тогда существует непрерывная функция f : K [0,1], равная 0 на A и равная 1 на B.

Теорема Титце. Любая непрерывная вещественная функция, заданная на замкнутом подмножестве компакта, продолжается до непрерывной функции, заданной на всём компакте.

Упражнения 1. Пусть K компакт, x K, A замкнутое подмножество компакта K, x A. Тогда в K существуют такие непересекающиеся открытые подмножества U и V, что x U и A V, 2. Пусть A и B непересекающиеся замкнутые подмножества компакта K. Тогда в K существуют такие непересекающиеся открытые подмножества U и V, что A U и B V.

Свойства компактов, сформулированные в предыдущих двух упражнениях, можно рассматривать как усиления аксиомы отделимости Хаусдорфа (п. 1.2.1, аксиома 4). Топологические пространства, где любые непересекающиеся замкнутые подмножества можно разделить непересекающимися окрестностями (как в упражнении 2), называются нормальными пространствами. Лемма Урысона верна не только для компактов, но и для любых нормальных пространств. Читатель сможет самостоятельно восстановить доказательство этого факта, разобрав следующие упражнения.

3. Пусть A и B непересекающиеся замкнутые подмножества K, рез D обозначим множество m : m = 1,2,...; 1 n < 2 m всех двоичнорациональных точек отрезка (0,1); и, наконец, для любого r D определим Fr = f 1 [r,1]. Тогда множества Fr обладают следующими свойствами:

(1) все Fr замкнуты;

(2) для любых r1 < r2 существует открытое множество G = Gr1,r2, подчиняющееся условию Fr1 G Fr2 ( в частности, Fr1 Fr2 );

4. Пусть некоторое семейство множеств Fr обладает вышеперечисленными свойствами (1) (3). Зададим функцию f : K [0,1] равенством f ( x ) = sup{r D : x Fr } (в этом равенстве если множество пусто, то его супремум полагают равным нулю). Тогда функция f непрерывна, Курс функционального анализа 5. Пусть K нормальное топологическое пространство, F замкнутое, а G открытое множество в K, F G. Тогда существуют такие множества F и G в K, что F замкнутое, G открытое множество и 6. Пусть A и B непересекающиеся замкнутые подмножества нормального топологического пространства K. Тогда существует семейство множеств Fr, r D, обладающее свойствами (1) (3). (Множества Fr нужно строить в такой последовательности: вначале F1 2, затем F1 4 и F3 4 и т. д., следя за выполнением на каждом шаге свойств (1) (3).) 1.2.4. Полунепрерывные функции Функция f : X R, заданная на топологическом пространстве X, называется полунепрерывной снизу, если для любого a R множество f 1 ( a,+) открыто. Другими словами, функция f полунепрерывна снизу, если для любой точки x X и любого a R, из условия f ( x ) > a следует существование целой окрестности элемента x, на которой все значения функции f также больше чем a. Функция f называется полунепрерывной сверху, если функция f полунепрерывна снизу. Функция f будет полунепрерывной сверху в том и только том случае, если для любого a R множество f 1 (, a ) открыто. Функция f : X R непрерывна тогда и только тогда, когда она одновременно полунепрерывна снизу и сверху.

Множество полунепрерывных снизу вещественных функций на X обозначим LSC ( X ), полунепрерывных сверху через USC ( X ), а множество непрерывных вещественных функций на X обозначим C ( X ) (от lower semicontinuous, upper semicontinuous и continuous соответственно).

Пример. Пусть A X произвольное подмножество, (такая функция называется характеристической функцией множества A ).

Функция 1A будет полунепрерывной снизу в том и только том случае, если множество A открыто, и полунепрерывной сверху в том и только том случае, если A замкнуто.

Теорема 1. Класс LSC ( X ) обладает следующими свойствами:

3. Если f LSC ( X ), [0,+), то f LSC ( X ).

Глава 1. Метрические и топологические пространства 4. Супремум любого числа полунепрерывных снизу функций снова лежит в LSC ( X ). Подробнее: пусть S LSC ( X ) и функция f : X R задана равенством f ( x ) = sup{g ( x ) : g S}. Тогда f LSC ( X ).

Доказательство.

1. Для любого a R множество ( f + g ) 1 (a,+) представимо в виде объединения открытых множеств:

Следовательно, это множество само открыто.

2. Следует из предыдущего пункта, так как g C ( X ) LSC ( X ).

4. Супремум числового набора будет больше, чем a, в том и только том случае, если хотя бы одно из чисел этого набора больше, чем a. Поэтому прообраз f 1 ( a,+ ) представим в виде объединения открытых множеств U g 1 ( a,+) и, следовательно, является открытым множеством.

5. min( f, g ) 1 ( a,+ ) = f 1 ( a,+ ) I g 1 ( a,+), а пересечение двух открытых множеств открыто.

Теорема 2. Любая полунепрерывная снизу функция на компакте ограничена снизу.

Доказательство. Пусть f LSC ( X ) и X компакт. Рассмотрим множества An = f 1 ( n,+ ), n = 1,2,... Эти множества возрастают с ростом n и образуют открытое покрытие компакта X. Следовательно, существует n0 N, при котором An 0 = X, и, соответственно, f (t ) > n 0 во всех точках.

Теорема 3. Пусть X компакт и f LSC ( X ). Тогда f совпадает с супремумом семейства всех непрерывных функций, мажорируемых этой функцией f. Другими словами, для любого x X и любого > 0 существует такая функция g C ( X ), что g f во всех точках, и g ( x ) f ( x ).

Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать функцию f неотрицательной: ввиду предыдущей теоремы этого можно добиться, прибавив к f достаточно большую константу. Зафиксируем точку x X и обозначим f (x ) через a. Если a 0, то g 0 будет удовлетворять всем условиям теоремы. Поэтому можем считать a > 0. Применив лемму Урысона к паре непересекающихся замкнутых множеств A = f 1 (, a ] и B = {x}, получим существование непрерывной функции h : X [0,1], равКурс функционального анализа ной 0 на A и равной 1 на B. Проверим, что g = ah будет требуемой функцией. Действительно, в точках t X, где g (t ) = 0, неравенство 0 g (t ) f (t ) очевидно. Те же точки, где g (t ) 0, лежат в X \ A, то есть в этих точках f (t ) > a g (t ).

Упражнения 1. Пусть X компакт, f LSC ( X ). Тогда существует точка x X, в которой f ( x ) = min f (t ).

Пусть X топологическое пространство, f : X R, а U x система окрестностей точки x X. Нижним пределом функции f в точке x называется число lim f (t ) R U {}, определяемое формулой lim f (t ) = 2. Функция f : X R на топологическом пространстве X будет полунепрерывной снизу в том и только том случае, если для любого x X выполнено неравенство f ( x ) lim f (t ).

3. Пусть f : X R произвольная ограниченная функция на топологическом пространстве X. Функция f ( x ) = min f ( x ), lim f (t ) называется нижней огибающей функции f, а f ( x ) = max f ( x ), lim f (t ) называется верхней огибающей функции f. Проверьте полунепрерывность снизу нижней огибающей и полунепрерывность сверху верхней огибающей.

4. Пусть f : X R произвольная функция, g LSC ( X ) и g f. Тогда 1.3. Метрические пространства 1.3.1. Метрика. Последовательности и топология Функция двух переменных : X X R + называется метрикой на множестве X, если она обладает следующими свойствами:

Если ( x, y ) = 0, то x = y (невырожденность).

Глава 1. Метрические и топологические пространства Невырожденность, симметричность и неравенство треугольника это аксиомы метрики. Для величины ( x, y ) используют ещё термин расстояние (или дистанция) между элементами x и y. Множество с введённой на нём метрикой называется метрическим пространством.

Подмножество метрического пространства X, наделённое метрикой из X, называется подпространством метрического пространства X.

Пусть X метрическое пространство, x0 X, r > 0. Символом B X ( x 0, r ) (или B ( x0, r ), если понятно, о каком пространстве идёт речь) B X ( x 0, r ) = { x X : ( x, x 0 ) < r }. Топология метрического пространства задаётся с помощью шаров: шары с центром в x 0 образуют базу окрестностей точки x0. Другими словами, подмножество A метрического пространства X называется открытым, если вместе с любой своей точкой множество A содержит и некоторый шар с центром в этой точке:

x A r > 0 : B X ( x, r ) A. Последовательность x n элементов метрического пространства сходится к элементу x, если ( xn, x ) n 0. Поскольку метрическое пространство является одновременно и топологическим, в метрических пространствах определены все основные топологические понятия. Особенностью же метрических пространств служит возможность эквивалентного определения топологических понятий через сходимость последовательностей (секвенциальные определения). Некоторые из таких определений приведены ниже.

Пусть A подмножество метрического пространства X. Точка x X называется предельной для A, если существует последовательность элементов x n A \ {x}, сходящаяся к x. Подмножество A X называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Подмножество A X называется открытым, если его дополнение X \ A замкнуто.

Таким образом, в метрических пространствах сходимость последовательностей однозначно определяет топологию. По другому этот же факт можно пояснить, дав секвенциальные определения непрерывности и гомеоморфизма. Пусть X, Y метрические пространства. Функция f : X Y называется непрерывной, если она переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся: x n, x X ( x n x ) ( f ( x n ) f ( x ) ).

Понятия же гомеоморфизма и гомеоморфных пространств определяются через непрерывность (см. п. 1.2.1). И ещё одно определение. Отображение f : X Y называется изометрией, если оно биективно и сохраняет метрику: ( x1, x 2 ) = ( f ( x1 ), f ( x 2 ) ) для любых x1, x2 X. Метрические пространства X и Y называются изометричными, если между ними существует изометрия.

Курс функционального анализа 1.3.2. Упражнения 1. В метрическом пространстве система окрестностей любой точки имеет счётную базу.

2. Показать эквивалентность для метрических пространств вышеприведенных секвенциальных определений определениям топологическим.

3. Для подмножеств метрического пространства расстоянием принято называть нижнюю грань попарных расстояний между элементами:

( A, B ) = inf (a, b). Покажите, что такое «расстояние» не подчиa A, bB няется ни аксиоме невырожденности, ни неравенству треугольника.

4. Пусть X, Y метрические пространства. На декартовом произведении X Y определим метрику равенством ( ( x1, y1 ), ( x2, y2 ) ) = ( x1 , x2 ) + + ( y1, y2 ). Проверьте аксиомы метрики для этого выражения. Покажите, что эта метрика задаёт топологию на X Y, совпадающую с обычной топологией произведения. В частности, сходимость в этой метрике совпадает с покоординатной сходимостью: ( x n, y n ) ( x, y ) в Пусть X, Y метрические пространства, f : X Y непрерывная функция. Тогда график ( f ) = { ( x, f ( x )) : x X } функции f замкнут в X Y. Результат этого упражнения переносится на отделимые топологические пространства. Отделимость какого из пространств X, Y здесь важна, а какого нет?

Приведите пример разрывной функции f : R R с замкнутым графиком.

Покажите, что график непрерывной функции f : X Y гомеоморфен пространству X.

Пусть Y подпространство метрического пространства X. Тогда на Y есть топология, индуцированная из пространства X, а есть топология, задаваемая метрикой пространства Y. Докажите совпадение этих топологий.

9. Замкнутым шаром радиуса r с центром в x 0 метрического пространства X называется множество B X ( x0, r ) = { x X : ( x, x0 ) r }. На примере метрического пространства, состоящего из двух точек:

X = {0,1}, (0,1) = 1 – покажите, что замыкание открытого шара может не быть соответствующим замкнутым шаром. На примере метрического пространства, состоящего из трёх точек {0,1,2} с естественной метрикой, покажите, что шар большего радиуса может строго содержаться в шаре меньшего радиуса (конечно, центры шаров при этом совпадать не должны). Каким может быть соотношение радиусов у строго вложенных замкнутых шаров?

Глава 1. Метрические и топологические пространства 10. На пространстве R всех числовых последовательностей введём метxn y n ментов x и y соответственно. Проверьте аксиомы метрики. Докажите, что сходимость в этой метрике совпадает с покоординатной сходимостью.

11. Другая метрика на R, задающая ту же топологию, это метрика 12. Подпространство сепарабельного метрического пространства сепарабельно. (Для общих топологических пространств это не так: см. упражнение 16 п. 1.2.1.) 13. Какие из известных Вам метрических пространств сепарабельны, а 1.3.3. Расстояние от точки до множества Расстоянием от точки x метрического пространства X до подмножества A X называется точная нижняя грань расстояний от x до элементов множества A : ( x, A) = inf ( x, a ). Отметим, что точка x принадлежит замыканию множества A в том и только том случае, если ( x, A) = 0.

Утверждение. Функция ( x, A) непрерывна по x.

Доказательство. Пусть x, y X. По неравенству треугольника Следовательно, ( x, A) ( y, A) ( x, y ). Ввиду равноправия точек x и Таким образом, мы доказали не только непрерывность, но и выполнение условия Липшица с единичной константой.

Упражнения 1. Дистанцией Хаусдорфа между двумя замкнутыми подмножествами A и B метрического пространства X называется величина Покажите, что дистанция Хаусдорфа действительно задаёт метрику на семействе всех ограниченных замкнутых подмножеств метрического пространства X (для сравнения см. упражнение 3 п. 1.3.1).

Курс функционального анализа A1 = {x X : ( x, A) < ( x, B )} и B1 = {x X : ( x, A) > ( x, B )}. Проверьте, что A1 и B1 это непересекающиеся открытые окрестности множеств A и B соответственно. Этим будет доказано, что любое метрическое пространство это нормальное топологическое пространство (см. упражнения п. 1.2.3).

3. Пусть A и B непересекающиеся замкнутые подмножества метричеx X 0 на A, 1 на B и принимающая всюду значения из отрезка [0,1]. Этим будет дано простое доказательство леммы Урысона в метрических пространствах (см. п. 1.2.3). Более того, в отличие от общей леммы Урысона, построенная выше функция f равна 0 только в точках множества A и 1 только в точках множества B.

4. Пусть A замкнутое подмножество метрического пространства X, f : A [0,1] непрерывная функция. Доопределим функцию f на нии функция f будет непрерывна на всём X. Выведите отсюда теорему Титце (п. 1.2.3) для случая метрических пространств.

1.3.4. Полнота Последовательность x n элементов метрического пространства X называется фундаментальной, если ( xn, xm ) n, m 0. Более подробно:

последовательность x n фундаментальна, если для любого > 0 существует такой номер N, начиная с которого все попарные расстояния между элементами x n становятся меньше. Фундаментальные последовательности называют ещё последовательностями Коши. Если последовательность ( xn, xm ) ( xn, x ) + ( x, xm ) n, m 0. Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в X имеет предел. Как известно из курса анализа, пространства R, C и, более того, любое конечномерное евклидово пространство полны.

Напомним некоторые факты.

Глава 1. Метрические и топологические пространства Теорема 1. Замкнутое подпространство полного метрического пространства само полно; полное подпространство любого метрического пространства замкнуто.

Доказательство. Пусть A замкнутое подмножество метрического пространства X, x n A фундаментальная последовательность. Поскольку X полно, последовательность x n имеет некоторый предел x X.

Так как A замкнуто, этот предел лежит в A. Полнота подпространства A доказана.

Обратно, пусть A полно, а последовательность x n A имеет некоторый предел x X. Тогда эта последовательность фундаментальна. Ввиду полноты у x n есть предел в A, а ввиду единственности предела этот предел совпадает с x. То есть x A. Замкнутость множества A, а с ней и теорема доказаны.

Пусть A подмножество метрического пространства X. Диаметром множества A называется величина diam ( A) = sup ( x, y ).

Теорема 2 (принцип вложенных множеств). Пусть A1 A2 A3...

убывающая цепочка замкнутых подмножеств полного метрического пространства X и diam An n 0. Тогда из одной точки.

Доказательство. Выделим в каждом из An по точке a n. Пусть N некоторое натуральное число, k, j > N. Тогда ввиду убывания последовательности множеств An точки a k и a j принадлежат множеству AN. Следовательно, (a j, a k ) diam AN 0, то есть a n образуют фундаN ментальную последовательность. Обозначим предел этой последовательности через a. Для любого N и любого k > N точка a k лежит в AN. Следовательно, и a = lim a k также лежит в AN. Мы показали, что a AN для любого N, то есть пересечение множеств An не пусто. Заметим, что AN при любом N, следовательно, Множество нулевого диаметра не может содержать более одной точки.

Теорема доказана.

1.3.5. Упражнения Курс функционального анализа 1. Пусть последовательность Коши x n в метрическом пространстве X содержит сходящуюся подпоследовательность. Тогда и сама последовательность x n сходится.

2. Метрическое пространство X будет полным в том и только том слуx n, x n +1 ) < 3. Рассмотрим куб со стороной единица и шар единичного радиуса в трёхмерном евклидовом пространстве. Какая из этих фигур имеет больший диаметр? Изменится ли ответ, если аналогичные фигуры рассмотреть в четырёхмерном пространстве? В пятимерном? (Единичный куб в R n это множество тех векторов, все координаты которых лежат между 0 и 1, единичный шар это множество тех векторов, сумма квадратов координат которых не превосходит единицы.) 4. Показать, что в неполном пространстве принцип вложенных множеств выполняться не может.

5. Привести пример убывающей цепочки A1 A2 A3... замкнутых подмножеств вещественной оси с пустым пересечением.

6. Построить гомеоморфизм между открытым отрезком (0,1) и вещественной осью R. Этим будет доказано, что полнота это метрическое, а не топологическое свойство: неполное и полное пространства могут быть гомеоморфны.

7. Проверить, что если X, Y полные метрические пространства, то декартово произведение X Y в метрике из упражнения 4 п. 1.3.2 также 8. Проверить полноту пространства R из упражнения 10 п. 1.3.2.

9. В евклидовом пространстве диаметр шара равен удвоенному радиусу.

Распространяется ли это утверждение на шары в произвольном метрическом пространстве?

10. Доказать, что на евклидовой плоскости любое множество единичного диаметра может быть заключено в круг радиуса (теорема Юнга).

11. Доказать, что на евклидовой плоскости любое множество единичного диаметра может быть разбито на 3 части диаметра, меньшего единицы (теорема Борсука).

Упражнения 10 и 11 относятся к направлению математики, называемому комбинаторной геометрией. Комбинаторная геометрия изучает задачи взаимного расположения фигур, оптимальные покрытия, разбиения на меньшие части и т. д. Несмотря на кажущуюся простоту формулировок, такие задачи часто оказываются весьма нетривиальными; многие естественные вопросы до сих пор остаются нерешёнными. Примером может служить проблема Борсука: любое ли множество единичного диаметра в Глава 1. Метрические и топологические пространства четырёхмерном евклидовом пространстве может быть разбито на 5 частей диаметра, меньшего единицы? Подробнее об этой проблеме и других задачах комбинаторной геометрии см. монографии [B-H], [Gru] и [H-D].

12. Замкнутое подмножество топологического пространства называется совершенным множеством, если оно не имеет изолированных точек (другими словами, если каждая точка множества предельная для самого множества). Доказать, что в полном метрическом пространстве мощность любого совершенного множества не меньше мощности континуума.

13. Показать, что метрическое пространство сепарабельно в том и только том случае, если для любого > 0 оно может быть покрыто счётным числом шаров радиуса.

14. Пусть A несчётное подмножество полного сепарабельного метрического пространства X. Точка x X называется точкой конденсации множества A, если пересечение множества A с любой окрестностью точки x несчётно. Доказать, что множество Ac точек конденсации множества A не пусто, совершенно и разность A \ Ac не более чем счётна.

1.3.6. Равномерная непрерывность. Теорема о продолжении Определение. Пусть X, Y метрические пространства. Отображение f : X Y называется равномерно непрерывным, если для любого > 0 существует такое = ( ) > 0, что для любых двух элементов x1, x 2 X с ( x1, x 2 ) < расстояние между их образами не превосходит Отметим, что любое равномерно непрерывное отображение непрерывно, но из непрерывности равномерная непрерывность, вообще говоря, не следует. Пример функция 1 x на открытом отрезке (0,1).

Лемма. Пусть f : X Y равномерно непрерывное отображение метрического пространства X в метрические пространство Y. Тогда для любой фундаментальной последовательности x n элементов пространства X её образ f ( x n ) фундаментальная последовательность в Y.

Доказательство. Для любого > 0 возьмём ( ) из определения равномерной непрерывности. По определению последовательности Коши, существует такой номер N = N ( ), начиная с которого все попарные расстояния между элементами x n становятся меньше ( ), то есть для любых n, m > N имеем ( xn, xm ) < ( ). Но тогда для любых n, m > N выполнено и неравенство ( f ( xn ), f ( xm ) ).

Курс функционального анализа Теорема. Пусть X 1 подпространство метрического пространства X, X 1 замыкание множества X 1 в X, а Y полное метрические пространство. Тогда любое равномерно непрерывное отображение f : X 1 Y продолжается единственным образом до равномерно непрерывного отображения f : X 1 Y.

Доказательство. Для любой точки x X 1 существует последовательность элементов xn X 1, сходящаяся к x. Ввиду полноты пространства Y, по предыдущей лемме последовательность f ( x n ) имеет предел. Более того, этот предел не зависит от выбора последовательности xn, а зависит только от элемента x. Действительно, если x n, y n X 1 две разные последовательности, сходящиеся к x, то «перемешанная» последовательность x1, y1, x 2, y 2,... также сходится к x. Следовательно, последовательность образов f ( x1 ), f ( y1 ), f ( x 2 ), f ( y 2 ),... стремится к некоторому пределу, и, следовательно, подпоследовательности f ( x n ) и f ( y n ) должны иметь один и тот же предел. Обозначим через f (x ) этот общий предел для всех последовательностей вида f ( xn ), где x n X 1 и xn x.

Если x X 1, то в качестве x n можно взять последовательность ( x, x, x,...). Поэтому в этом случае f ( x ) = f ( x ). Этим доказано, что отображение f продолжение отображения f. Проверим равномерную непрерывность отображения f. Возьмём произвольное > 0 и покажем, что = ( ) из определения равномерной непрерывности отображения f будет подходить и для отображения f. Пусть x, y X 1 любые элементы с больших n. Следовательно, при больших n имеем оценку ( f ( xn ), f ( y n ) ). Переходя к пределу при n, получаем требуемое Упражнения Количественной характеристикой равномерной непрерывности отображения служит величина (условимся здесь считать, что супремум пустого множества равен 0).

1. Функция f будет равномерно непрерывной в том и только том случае, 2. Для функции f на отрезке или на прямой модуль непрерывности полуаддитивен: ( f, 1 + 2 ) ( f, 1 ) + ( f, 2 ) при всех 1, 2 > 0.

Глава 1. Метрические и топологические пространства 3. Приведите пример метрического пространства X и вещественнозначной функции f на X, для которой модуль непрерывности не будет полуаддитивным.

4. Пусть отображение f : X Y подчиняется условию Липшица ( C > x1, x 2 X ( f ( x1 ), f ( x 2 ) ) C ( x1, x 2 ) ). Тогда f равномерно непрерывно. Оцените снизу модуль непрерывности отображения.

5. Вычислите модуль непрерывности изометрии.

1.3.7. Псевдометрика и ассоциированное метрическое пространство.

Пополнение метрического пространства Функция двух переменных : X X R + называется псевдометрикой на множестве X, если она подчиняется аксиомам 1, 3 и 4 метрики (аксиоме симметричности и неравенству треугольника), но, возможно, не подчиняется аксиоме 2 (аксиоме невырожденности). Множество с псевдометрикой называется псевдометрическим пространством. Топология на псевдометрическом пространстве задаётся так же, как и на метрическом пространстве, с помощью шаров. Основное отличие псевдометрических пространств от метрических это неотделимость топологии, задаваемой псевдометрикой. Покажем, что «склеив» те точки псевдометрического пространства, которые нельзя отделить друг от друга, можно естественным образом получить метрическое пространство.

Пусть ( X, ) псевдометрическое пространство. Элементы x, y X назовем -эквивалентными ( x y ), если ( x, y) = 0.

Теорема. Отношение это отношение эквивалентности на X. Если A, B классы эквивалентности, a A, b B произвольные представители этих классов, то величина ( A, B ) = ( a, b) не зависит от выбора представителей классов эквивалентности и задаёт метрику на множестве X / всех классов эквивалентности, порождённых отношением.

Доказательство. Симметричность отношения очевидна. Далее, отметим, что Действительно, по неравенству треугольника, ( x, y) ( x, z) + ( z, y) = транзитивность отношения. Независимость величины ( a, b) от выбора представителей a A, b B классов эквивалентности A, B также с очевидностью вытекает из соотношения (i). Симметричность и неравенство треугольника для величины на X / следуют из соответствующих свойств исходной псевдометрики на X. Наконец, невырожденность Курс функционального анализа метрики на X / это результат произведённого «склеивания»: если A, B X / классы эквивалентности, для которых ( A, B ) = 0, то существуют представители a A, b B, для которых ( a, b) = 0. То есть a b, и, следовательно, классы A и B это один и тот же класс эквивалентности.

Описанное пространство X / называется метрическим пространством, ассоциированным с псевдометрическим пространством X.

Так же, как и для метрического пространства, последовательность x n элементов псевдометрического пространства X называется фундаментальной, или последовательностью Коши, если ( xn, xm ) n, m 0.

Псевдометрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в X имеет предел. Отображение F : X X /, ставящее элементу в соответствие его класс эквивалентности, сохраняет расстояния и, следовательно, сохраняет фундаментальность и сходимость последовательностей. Поэтому псевдометрическое пространство X будет полным в том и только том случае, если полно метрическое пространство X /.

Определение. Пусть X неполное метрическое пространство. Метрическое пространство Y X называется пополнением пространства X, если Y полное пространство, ограничение метрики пространства Y на X совпадает с исходной метрикой пространства X (то есть X подпространство пространства Y ) и X плотное подмножество в Y.

Решив нижеприведенную цепочку упражнений, читатель докажет существование пополнения у любого неполного пространства и единственность этого пополнения с точностью до изометрии.

Упражнения Пусть X метрическое пространство. Определим пространство X как пространство всех последовательностей Коши в X. Пусть x, y X, что величина ( x, y ) корректно определена для любых x, y X и задат псевдометрику на X.

Докажите, что X это полное псевдометрическое пространство.

3. Обозначим через X метрическое пространство, ассоциированное с псевдометрическим пространством X. Каждый элемент x пространства X отождествим с классом эквивалентности последовательности Коши ( x, x, x,...). Проверьте, что при таком отождествлении X это подпространство пространства X.

X это пополнение пространства X.

Глава 1. Метрические и топологические пространства 5. Единственность пополнения: пусть Y1,Y 2 два пополнения метрического пространства X. Тогда существует биективная изометрия S : Y1 Y2, оставляющая элементы пространства X на месте ( S ( x ) = x для любого x X ). То есть, с точки зрения их метрической структуры, пространства Y1 и Y2 не различимы.

6. Используя существование пополнения, распространите результат упражнения 14 п. 1.3.5 на неполное сепарабельное пространство.

1.3.8. Множества первой категории и теорема Бэра Подмножество A топологического пространства X называется нигде не плотным, если оно не плотно ни в одном непустом открытом множестве в X. Другими словами, подмножество A нигде не плотно, если его замыкание не содержит ни одного открытого множества. Поскольку в метрическом пространстве у любой точки замкнутые шары ненулевого радиуса образуют базу окрестностей, для случая метрического пространства определение можно переформулировать так: подмножество A нигде не плотно, если в любом шаре B X ( x0, r ), r > 0 найдётся меньший замкнутый шар ненулевого радиуса, не содержащий ни одной точки множества A.

Типичные примеры нигде не плотных множеств: канторово множество на отрезке (см. п. 1.4.4), спрямляемая кривая на плоскости. Следует обратить внимание, что, говоря о нигде не плотном множестве, необходимо указывать, как подмножество какого пространства его рассматривают.

Скажем, отрезок будет нигде не плотным множеством на плоскости, но не на прямой; A = {0} нигде не плотно на оси, но во множестве натуральных чисел то же самое A будет открытым.

Теорема Бэра. Полное метрическое пространство не может быть покрыто счётным числом своих нигде не плотных подмножеств.

Доказательство. Пусть X полное метрическое пространство, A1, A2,... нигде не плотные подмножества в X. Нам требуется доказать, что U An не совпадает с X. Поскольку A1 нигде не плотно в X, существует замкнутый шар B1 = B X ( x1, r1 ) с 0 < r1 < 1 2, не пересекающий A1.

Поскольку A2, в свою очередь, нигде не плотно (в частности, A2 не плотно в B1 ), существует шар B2 = B X ( x2, r2 ), 0 < r1 < 1 4, содержащийся в B и не пересекающийся с A2. Продолжая это рассуждение, получим убывающую цепочку B1 B2 B3... замкнутых шаров со стремящимися к нулю радиусами, причем каждый из Bn не пересекается с соответствующим An. Согласно принципу вложенных множеств (п. 1.3.4), у множеств Bn есть общая точка. Обозначим эту точку через x. Поскольку x Bn при Курс функционального анализа любом n, а Bn не пересекается с An, получаем, что x не принадлежит ни одному из An, Мы показали, что существует точка x X \ U An, то есть множества An не покрывают всего пространства X.

В связи с доказанной теоремой Бэром была введена следующая терминология. Подмножество A топологического пространства X называется множеством первой категории в X, если A можно представить как счётное объединение нигде не плотных в X подмножеств. Подмножество в X, не являющееся множеством первой категории, называется множеством второй категории в X. В этих терминах теорема Бэра утверждает, что полное метрическое пространство множество второй категории в себе.

Упражнения Проверьте, что дополнение к плотному открытому множеству это нигде не плотное множество.

2. Покажите, что любое открытое подмножество полного метрического пространства X это множество второй категории в X.

3. Покажите, что для неполного метрического пространства утверждение теоремы Бэра может не выполняться.

4. Проверьте следующие свойства: подмножество множества первой категории снова имеет первую категорию, конечное или счётное объединение множеств первой категории множество первой категории; если множество содержит подмножество второй категории, то оно само имеет вторую категорию.

5. Верно ли, что пересечение двух множеств второй категории имеет вторую категорию?

6. Докажите теорему Кантора о несчётности отрезка [0,1], опираясь на теорему Бэра.

Покажите, что одноточечное подмножество A = {x} топологического пространства X будет нигде не плотным в том и только том случае, если x предельная точка в X. Отсюда и из теоремы Бэра легко вывести следующую ослабленную версию упражнения 12 п. 1.3.5: любое совершенное множество в полном метрическом пространстве несчётно.

8. Пусть бесконечно дифференцируемая функция f на отрезке [0,1] обладает следующим свойством: для любой точки t [0,1] существует такой номер n = n(t ), что n -я производная функции f в точке t равна нулю. Используя множества An = t [0,1] : f ( n ) (t ) = 0 и теорему Бэра, покажите, что на некотором отрезке [a, b] [0,1] функция f полином.

9. В условиях предыдущего упражнения покажите, что функция f полином на всём отрезке [0,1].

Глава 1. Метрические и топологические пространства 10. Подмножество A топологического пространства X называется множеством первой категории в точке x X, если существует окрестность U точки x, для которой A I U это множество первой категории в X. Подмножество A имеет вторую категорию в точке x, если оно не является множеством первой категории в этой точке. Пусть X метрическое пространство. Докажите, что для любого множества A второй категории в X существует такой шар B, что A имеет вторую категорию в каждой точке множества A I B.

11. Докажите следующий аналог теоремы Бэра: компактное топологическое пространство это множество второй категории в себе.

1.4. Компактные множества в метрических пространствах 1.4.1. Предкомпакты Пусть X метрическое пространство, A, C X, 0. Множество C называется -сетью для A, если U B( x, ) A. Другими словами, для любого a A существует x C с ( x, a ) <. Ещё одна переформулировка: множество C будет -сетью для A в том и только том случае, если для любого a A ( a, C ) <. Из неравенства треугольника следует, что если C -сеть для A и D -сеть для C, то D 2 -сеть для A. Например, центр открытого шара радиуса r будет r -сетью для этого шара, множество C = {, } будет -сетью для отрезка (0,1). Множество C называется конечной -сетью для A, если C -сеть для A и C состоит из конечного числа элементов.

Лемма 1. Если для множества A существует конечная -сеть, то для A существует конечная 2 -сеть, состоящая из элементов множества A.

Доказательство. Пусть C конечная -сеть для A. В каждом шаре B( c, ), c C, если только этот шар пересекается с A, выберем по элементу x B( c, ) I A. Полученное конечное множество элементов и будет требуемой 2 -сетью.

Подмножество A метрического пространства X называется предкомпактом, если для любого > 0 у A существует конечная -сеть. Согласно предыдущей лемме, можно требовать, чтобы -сеть в определении предкомпакта состояла из элементов самого множества A.

Отметим очевидные свойства предкомпактов: если A B и A предкомпакт, то и B предкомпакт; объединение конечного числа предкомпактов предкомпакт. Каждый предкомпакт ограниченное множество, то есть содержится в некотором шаре конечного радиуса (для этого Курс функционального анализа достаточно даже существования конечной -сети при каком-то одном фиксированном значении ). Множество в R n будет предкомпактом в том и только том случае, если оно ограничено.

Лемма 2. Пусть для любого > 0 множество A обладает предкомпактной -сетью. Тогда A предкомпакт.

Доказательство. Выберем для A предкомпактную 2 -сеть B, а для B конечную 2 -сеть C. Тогда C будет конечной -сетью для A.

Теорема 1. Пусть A подмножество метрического пространства X.

Тогда следующие условия эквивалентны:

1. A предкомпакт.

2. Для любого > 0 из любой последовательности элементов множества A можно выделить подпоследовательность, все попарные расстояния между элементами которой не превосходят.

3. Из любой последовательности элементов множества A можно выделить фундаментальную подпоследовательность.

Доказательство. 1. 2. Пусть A предкомпакт, {a n }nN A. Покроем множество A конечным числом шаров радиуса 2. Хотя бы один из этих шаров содержит бесконечную подпоследовательность последовательности a n.

2. 3. Пусть {a n }nN A. Применяя последовательно условие 2 с = 1. = 1 2, = 1 3,..., получим бесконечные множества индексов N1 N 2 N 3..., для которых diam{a n }nN k 1 k. Образуем возрастающую последовательность индексов M, выбрав первый элемент в N1, второй в N 2, третий в N 3 и т. д. Подпоследовательность {a n }nM будет последовательностью Коши, так как для любого k N все попарные расстояния между членами этой последовательности, начиная с k -го, не превосходят 1 k.

3. 1. Предположим, что множество A не является предкомпактом.

Тогда существует такое > 0, что ни одно конечное множество не служит -сетью для A. Докажем существование последовательности {an }nN A, у которой все попарные расстояния между элементами больше или равны. У такой последовательности не может быть подпоследовательностей Коши. Построение осуществляется следующим образом. В качестве a возьмём произвольный элемент множества A. Множество C1 = {a1 } не образует -сети, следовательно, существует a 2 A с ( a 2, C1 ). У множества C 2 = {a1, a 2 } попарные расстояния между элементами больше или равны. C 2 не образует -сети, следовательно, существует a 3 A с Глава 1. Метрические и топологические пространства (a3, C2 ). Пусть уже построены элементы a1,..., a n требуемой последовательности с попарными расстояниями не меньшими. Множество C n = {a1,..., a n } конечно и, следовательно, не служит -сетью для A. Точку a n +1 A выберем так, чтобы расстояние от a n +1 до C n было не меньше, чем. Продолжив описанный процесс неограниченно, получим требуемую последовательность.

В полных пространствах результат может быть усилен.

Теорема 2. Пусть A замкнутое подмножество полного метрического пространства X. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. A компактное множество.

2. A предкомпакт.

3. Из любой последовательности элементов множества A можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Эквивалентность 2. 3. следует из предыдущей теоремы; импликация 1. 3. из наличия предельной точки у любого подмножества компакта, в частности у любой подпоследовательности. Осталось доказать импликацию 2. 1. Для этого заметим вначале, что для любого центрированного семейства W подмножеств замкнутого предкомпакта и любого > 0 существует такое замкнутое подмножество B этого предкомпакта, что семейство W 1 = {V I B : V W } будет снова центрированным семейством и diam( B ) <. Действительно, достаточно покрыть предкомпакт конечным числом замкнутых подмножеств диаметра меньшего ; тогда хотя бы одно из этих подмножеств можно взять в качестве B.

Докажем теперь, что любое центрированное семейство W замкнутых подмножеств нашего предкомпакта A имеет общий элемент. По теореме п. 1.2.3 это будет означать компактность множества A.

Итак, A предкомпакт, W центрированное семейство, следовательно, существует такое замкнутое подмножество B1 A с diam( B1 ) < 1, что семейство W 1 = {V I B1 : V W } будет снова центрированным. B снова предкомпакт, следовательно, существует такое замкнутое подмножество B2 B1 с diam( B2 ) < 1 2, что семейство W 2 = {V I B2 : V W } будет центрированным. Продолжая этот процесс, получим убывающую цепочку B1 B2 B3... замкнутых подмножеств с diam( Bn ) 0, для каждого из которых семейство {V I Bn : V W } центрировано. В частности, все пересечения V I Bn, V W, n N не пусты. Согласно принципу вложенных множеств (п. 1.3.4), I Bn не пусто и состоит ровно из одной точки, которую мы обозначим буквой x. Рассмотрим произвольный элемент V W и покажем, что x V, то есть x будет требуемой общей точКурс функционального анализа кой всех множеств семейства W. Действительно, поскольку для любого n N пересечение V I Bn не пусто и x Bn, то ( x,V ) < diam( B n ) при всех n. То есть ( x, V ) = 0.

Упражнения 1. Любое компактное метрическое пространство сепарабельно.

2. Декартово произведение предкомпактов в метрике из упражнения п. 1.3.2 снова предкомпакт, а компактов компакт.

3. Пусть K, X метрические пространства, f : K X непрерывная функция и K компакт. Тогда f равномерно непрерывна.

Для подмножества A метрического пространства X через n A (r ) обозначим наибольшее возможное число попарно непересекающихся шаров радиуса r с центрами в точках множества A. Покажите, что:

4. A предкомпакт в том и только том случае, если n A (r ) конечно при любом r.

5. Функция n A (r ) не возрастает с ростом r.

6. Функция n A (r ) ограничена (в окрестности нуля) в том и только том случае, если множество A конечно.

7. Пусть A ограниченное множество с непустой внутренностью в R m.

Тогда n A (r ) имеет тот же порядок роста в нуле, что и r m. То есть n A (r ) можно использовать для определения размерности множества A.

Отметим, что точные значения n A (r ) бывает нелегко посчитать даже для относительно простых множеств, как, скажем, для шара в R 3. Классическая задача о наиболее плотной упаковке шаров в R 3 была решена лишь в 1998 году! Задача же о по возможности точной оценке чисел n A (r ) для множеств в R m имеет важное прикладное значение. Скажем, если сигнал, состоящий из m числовых компонент, отождествить с точкой в R m, то расстояние характеризует лёгкость распознавания этих сигналов. Соответственно, вопрос о возможном числе распознаваемых сигналов данной мощности сводится к поиску возможно большего числа попарно непересекающихся шаров радиуса r в фиксированном шаре.

1.4.2. Пространство непрерывных функций. Теорема Арцела Пусть некоторое множество, а X метрическое пространство.

На множестве всех ограниченных функций, определённых на и принимающих значения в X, зададим метрику равенством Глава 1. Метрические и топологические пространства ( f, g ) = sup ( f (t ), g (t )). 1 Полученное метрическое пространство ограt K ниченных функций обозначается l (, X ). Метрика этого пространства называется равномерной метрикой, и сходимость в l (, X ) совпадает с равномерной сходимостью.

Теорема 1. Если X полное метрическое пространство, то l (, X ) также полно.

Доказательство. Пусть f n произвольная последовательность Коши в l (, X ). Тогда для любого t значения f n (t ) также образуют последовательность Коши в X : ( f n (t ), f m (t )) ( f n, f m ) n 0. Поскольку пространство X полно, у последовательности f n (t ) существует предел, который мы обозначим f (t ). Чтобы доказать, что f n сходится к f равномерно, распишем подробнее определение последовательности Коши:

> 0 N N n, m > N выполнено неравенство ( f n, f m ). Расписав определение расстояния в l (, X ), получаем, что для любого > 0 существует такое N N, что для любых t и любых n, m > N имеет место оценка ( f n (t ), f m (t )). Перейдя в последнем неравенстве к пределу при m, получим, что ( f n (t ), f (t )) для всех t. Из последнего соотношения и ограниченности функции f n следует ограниченность функции f, то есть f l (, X ). Далее, при n > N возьмём в неравенстве ( f n (t ), f (t )) супремум по t и получим, что ( f n, f ) для любого n > N. Таким образом, f n f в метрике пространства l (, X ), чем и доказана полнота этого пространства.

Пусть K компактное топологическое пространство, а X метрическое пространство. Множество непрерывных функций, действующих из K в X, наделённое равномерной метрикой, называется пространством непрерывных функций и обозначается C ( K, X ). Расстояние в C ( K, X ) можно выразить формулой ( f, g ) = max ( f (t ), g (t )). Согласно известной из курса анализа теореме о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций, C ( K, X ) замкнутое подмножество пространства l ( K, X ). Поэтому если X полное метрическое пространство, то C ( K, X ) также полно.

Буква в последней формуле используется в двух разных смыслах: слева как расстояние в l (, X ), а справа как расстояние в X. Устранить эту нечёткость можно, обозначив метрику пространства X через X.

Курс функционального анализа Напомним также, что любая функция f C ( K, X ) равномерно непрерывна (как непрерывная функция на метрическом компакте).

Лемма 1. Если X предкомпакт, а множество конечно, то l (, X ) предкомпакт.

Доказательство. Пусть A конечная -сеть для X. Тогда множество l (, A) всех функций, действующих из в A, будет конечной -сетью для l (, X ).

Лемма 2. Пусть семейство G непрерывных функций образует предкомпакт в C ( K, X ). Тогда множество G ( K ) = U f ( K ) предкомпакт в X.

Доказательство. Пусть G1 G конечная -сеть для G. Рассмотрим G1 ( K ) = U f ( K ). Так как каждое из множеств f (K ) компактно (образ компакта при непрерывном отображении), то G1 ( K ) компактно как конечное объединение компактов. В то же время G1 ( K ) образует -сеть для G (K ).

Согласно лемме 2 предыдущего пункта 1.4.1, G (K ) предкомпакт в X.

Определение. Пусть K, X метрические пространства. Семейство G функций, действующих из K в X, называется равностепенно непрерывным, если для любого > 0 существует такое > 0, что для любой функции f G и любых точек t1, t 2 K с (t1, t 2 ) < расстояние между образами этих точек не превосходит : (t1, t2 ) < ( f (t1 ), f (t2 )).

Лемма 3. Пусть K, X метрические пространства, K компакт и семейство G непрерывных функций предкомпакт в C ( K, X ). Тогда семейство G равностепенно непрерывно.

Доказательство. Зафиксируем > 0 и выберем G1 G конечную -сеть для G. Так как каждая функция g G1 равномерно непрерывна и этих функций конечное число, существует такое > 0, что для любой функции g G1 и любых точек t1, t 2 K с (t1, t 2 ) < выполнена оценка ( g (t1 ), g (t2 )). Пусть f G. Согласно определению -сети, существует g G1 с ( f, g ) <. По неравенству треугольника, для любых t1, t 2 K Ввиду произвольности равностепенная непрерывность семейства G доказана.

Глава 1. Метрические и топологические пространства Теорема Арцела. Пусть K, X метрические пространства, K компакт и G C ( K, X ). Для того, чтобы семейство функций G было предкомпактом, необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия: 1) G равностепенно непрерывно и 2) образы функций семейства G содержатся в некотором предкомпакте Y X, общем для всех функций семейства G.

Доказательство. Необходимость уже доказана в вышеприведенных леммах 2 и 3. Докажем достаточность. Зафиксируем > 0 и соответствующее ему = ( ) из определения равностепенной непрерывности семейства G. Выберем конечную -сеть в K. Рассмотрим отображение ограничения F : G l (, Y ), ставящее в соответствие каждой функции f G её ограничение на. Согласно лемме 1, всё l (, Y ) предкомпакт, следовательно, F (G ) – также предкомпакт. Таким образом, существует конечное множество G1 G, для которого F (G1 ) -сеть в F (G ).

Докажем, что это множество G1 будет 3 -сетью для G.

Действительно, пусть f G произвольная функция. Согласно определению множества G1, существует элемент g G1 с ( F ( f ), F ( g )) <.

Расшифровав определение отображения F и метрики в l (, Y ), получаем, что ( f (t ), g (t )) < для любого t. Далее, для любого x K существует t с ( x, t ) < ( это -сеть в K ). Вспомнив, наконец, что было взято из определения равностепенной непрерывности, имеем:

Поскольку неравенство имеет место для всех x K, то и Итак, у G для любого > 0 есть конечная 3 -сеть. Теорема доказана.

Следствие. Если в условиях теоремы Арцела пространство X полно, то для компактности множества G C ( K, X ) необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись три условия: 1) G равностепенно непрерывно, 2) образы функций семейства G содержатся в некотором предкомпакте Y X, общем для всех функций семейства G, и 3) G замкнутое подмножество пространства C ( K, X ).

В наиболее важных частных случаях, когда пространство значений X это R, C или R n, предкомпакты в X это просто ограниченные множества. Условие 2 теоремы Арцела в этом случае может быть сформулировано проще: семейство G равномерно ограничено, то есть sup (0, f (t )) <. Что же касается равностепенной непрерывности, f G, tK Курс функционального анализа приведём одно простое, но весьма удобное в применении достаточное условие: если все функции семейства G подчиняются условию Липшица с то G равностепенно непрерывно.

Упражнения 1. Почему расстояние между двумя элементами пространства C ( K, X ) конечно?

2. Почему в определении равномерной метрики в C ( K, X ) можно писать 3. Проверьте аксиомы метрики для равномерной метрики.

4. Если C ( K, X ) полное метрическое пространство, то X также полно.

Обозначим через C[0,1] метрическое пространство C ([0,1], R ).

5. Ни одно непустое открытое множество в C[0,1] не будет равностепенно непрерывным. В частности, в C[0,1] есть ограниченные, но в то же время не предкомпактные множества.

Для следующих множеств в C[0,1] проверьте, будут ли они a) ограниченными, b) открытыми, c) замкнутыми, d) равностепенно непрерывными, e) предкомпактными, f) компактными:

8. Множество A3 тех функций из A2, для которых 12. A7 = A1 I A4.

13. Множество A8 всех выпуклых функций из A1.

1.4.3. Приложение: изопериметрическая задача Изопериметрической задачей на плоскости называется задача об отыскании среди всех замкнутых выпуклых кривых данной длины кривую, ограничивающую максимальную возможную площадь. Эта классическая заГлава 1. Метрические и топологические пространства дача, рассматривавшаяся ещё древними греками 2, имеет многочисленные обобщения, играющие важную роль в геометрии выпуклых тел (см. замечательную старую книгу Бляшке [Bla]) и функциональном анализе (см. небольшую, но весьма насыщенную идеями и результатами монографию В. Мильмана и Г. Шехтмана [M-S]).

В предположении существования решения изопериметрической задачи можно доказать элементарными методами, что требуемой оптимальной кривой может быть только окружность. Некоторые из этих элементарных доказательств, скажем, четырёхшарнирный метод Штейнера (§1 книги Бляшке), настолько просты и изящны, что их нередко включают в программу школьных математических кружков. Доказательство же существования решения оказалось весьма непростым и было впервые получено Вейерштрассом в 70-х годах XIX века. С тех пор математика в своём развитии прошла большой путь, и мы, вооружённые такими мощными средствами, как теория компактов и, в частности, теорема Арцела, способны доказать упомянутую теорему Вейерштрасса без особых усилий.

f (0) = f ( 2 ) = 0, удовлетворяющих условию Липшица с константой 1 и для которых f ([0,2 ]) выпуклая кривая (т.е. функции из G это параметрически заданные выпуклые кривые). Каждую выпуклую кривую длины не большей 2, начинающуюся и заканчивающуюся в нуле, можно отождествить с некоторой функцией из G. Для этого достаточно рассмотреть естественную параметризацию кривой, то есть в качестве параметра взять длину отрезка кривой от нуля до данной точки. Для каждой функции g G через s (g ) обозначим площадь, ограниченную кривой f ([0,2 ]).

Теорема. Семейство функций G представляет собой компакт в C[0,2 ]; s непрерывная функция на G, и, следовательно, s достигает своей верхней грани на G.