«В. М. Кадец КУРС ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Харьков 2006 УДК 517.98 517.51 ББК 22.162 К 13 Рекомендовано к печати ученым советом механико-математического факультета Харьковского национального университета имени В. Н. ...»

Таким образом, произведение f ( )g (t ) интегрируемо как функция двух переменных. Применяя теорему Фубини, получаем, что для почти всех t R функция f ( )g (t ) интегрируема по мере Лебега на R как функция переменной и функция ( f g )(t ) = f ( )g (t )d ( ) интегриR руема по переменной t, то есть свёртка определена и интегрируема. Требуемое же неравенство f g d f d g d непосредственно следует из формулы (1).

Упражнения 1. Операция свёртки коммутативна, то есть f g = g f для любых интегрируемых функций f и g.

Как мы уже отмечали выше, для комплекснозначных функций определение и свойства интеграла ничем существенным не отличаются от соответствующих определений и свойств в вещественном случае. Одним из разделов математики, где постоянно используется интегрирование комплексноГлава 4. Интеграл Лебега значных функций, является гармонический анализ: теория рядов Фурье, интеграла Фурье и связанных с этим вопросов. В нашем курсе мы будем многократно обращаться к тем или иным вопросам гармонического анализа для демонстрации идей и методов применения изучаемого нами материала.

2. Пусть f комплекснозначная интегрируемая функция на R. Докажите, что при любом t R функция f ( )eit интегрируема на R как функция переменной.

3. Преобразованием Фурье интегрируемой функции f на оси называется функция f на R (другое обозначение: F ( f ) ), задаваемая формулой f (t ) = f ( )e it d ( ). Докажите, что функция f ограничена на R.

4. Докажите, что функция f непрерывна и на бесконечности стремится к нулю.

6. Пусть функции f и g 2 -периодические функции на оси, интегрируемые на отрезке [0,2 ]. Свёрткой функций f и g на отрезке [0,2 ] называется функция f g, определённая для почти всех t [0,2 ] равенством ( f g )(t ) = f ( )g (t )d1 ( ), где 1 = 2 нормированная мера Лебега на отрезке. Докажите, что, как и в случае свёртки на оси, свёртка интегрируемых функций на отрезке корректно определена, 7. Напомним, что коэффициентами Фурье интегрируемой функции f на отрезке [0,2 ] называются числа f n = f (t )e i nt d1, n Z. В условиях предыдущего упражнения докажите, что коэффициенты Фурье функции f g на отрезке [0,2 ] равны произведениям соответствующих коэффициентов Фурье функций f и g.

8. Докажите, что fn 0 при n.

4.7. Комментарии к упражнениям Параграф 4.2. Упражнение 8. Интегрируемая по Риману функция подчиняется условию (2) теоремы 1 п. 4.2.2, причём, по определению интеграла Римана, в Курс функционального анализа качестве разбиения можно взять любое разбиение на конечное число достаточно мелких отрезков.

Параграф 4.3. Упражнение 5. По неравенству Чебышева (п. 4.3.1), все множества f >1 n = t A : f (t ) > имеют меру ноль. Значит, их объединение множество тех точек, где f (t ) 0, имеет меру ноль.

Параграф 4.6. Упражнения 3-5. См. раздел 14.2.

Упражнение 8. См. следствие 1 п. 10.4.3.

Глава 5. Линейные пространства 5. Линейные пространства, линейные функционалы и теорема Хана Банаха 5.1. Линейные пространства 5.1.1. Основные определения Пусть K некоторое поле. Множество X с заданными на нём операциями сложения элементов и умножения на элементы из K называется линейным пространством над K, если X является абелевой группой по сложению и для любых, из K и любых x, y из X выполнены следующие соотношения, связывающие умножение на элементы из K со сложением:

В курсе функционального анализа рассматриваются линейные пространства над полем вещественных или комплексных чисел. В дальнейшем мы будем использовать символ K для обозначения поля, если рассуждение применимо в равной степени как для вещественных, так и для комплексных чисел. Элементы поля K мы будем называть также числами или скалярами, для элементов же линейного пространства будем использовать также термин «векторы».

Пусть A подмножество линейного пространства X. Элемент x X называется линейной комбинацией элементов множества A, если он представим в виде где k K, x k A. Множество всех линейных комбинаций элементов множества A называется линейной оболочкой множества A и обозначается Lin A. Отметим, что, даже если множество A бесконечно, при составлении линейных комбинаций используются лишь конечные (хотя и сколь угодно большие) наборы элементов из A.

Подмножество Y линейного пространства X называется линейным подпространством, если для любых, из K и любых x, y из Y линейная комбинация x + y также лежит в Y. Линейная оболочка множества A это наименьшее линейное подпространство, содержащее A.

Подмножество A линейного пространства X называется полным, если LinA = X ; A называется линейно независимым, если для любого Курс функционального анализа конечного набора элементов x k A, k = 1, 2,..., n, равенство может быть выполнено, только если все коэффициенты k равны 0.

Полное линейно независимое подмножество называется базисом Гамеля.

Если в пространстве X существует конечный базис Гамеля, пространство называется конечномерным, в противном случае пространство называется бесконечномерным. В отличие от линейной алгебры, функциональный анализ изучает в основном бесконечномерные пространства.

Упражнения 1. Вспомните, как доказывается то, что в конечномерном пространстве X число элементов любого базиса Гамеля одно и то же (это число dim X называется размерностью пространства X ). Докажите, что:

если в линейном пространстве существует бесконечное линейно независимое множество, то пространство бесконечномерно;

если в линейном пространстве существует конечная полная система векторов, то пространство конечномерно;

если в линейном пространстве существует счётная полная система векторов, то любой базис Гамеля не более чем счётен;

если в линейном пространстве существует счётная линейно независимая система векторов, то любой базис Гамеля содержит, по крайней мере, счётное число элементов;

если в линейном пространстве существует счётный базис Гамеля, то любой другой базис Гамеля этого пространства также счётен.

Решите предыдущие три упражнения с заменой счётности на любую другую фиксированную мощность.

2. Докажите, что следующие пространства бесконечномерны:

пространство P всех многочленов от одной переменной;

пространство C [a, b] непрерывных скалярнозначных функций на отрезке [a, b];

пространство всех интегрируемых по Лебегу скалярнозначных функций на отрезке [a, b].

3. Описать те компакты K, для которых пространство C (K ) конечномерно. Для каких пространств с мерой будет конечномерным пространство всех интегрируемых по Лебегу скалярнозначных функций на (,, )?

5.1.2. Упорядоченные множества и лемма Цорна Пусть (, ) упорядоченное множество, то есть множество с заданным на нём отношением порядка. Если для элементов a, b выполнено соотношение b a, мы будем говорить, что элемент a Глава 5. Линейные пространства мажорирует элемент b. Если при этом a b, мы говорим, что a строго мажорирует b. Подмножество A называется ограниченным, если в существует элемент, мажорирующий все элементы множества A. Такой элемент называется верхней гранью подмножества A. Подмножество A называется цепью или линейно упорядоченным подмножеством, если любые два элемента a, b A сравнимы, то есть или a b, или b a.

Элемент a называется максимальным элементом множества, если в не существует элемента, строго мажорирующего a. Упорядоченное множество называется индуктивным, если и каждая цепь в ограничена.

Следующее утверждение, хотя и носит исторически сложившееся название «лемма», в наши дни часто принимается в качестве одной из аксиом теории множеств. По сути, эта аксиома служит для несчётных множеств заменой принципа математической индукции.

Лемма Цорна. Каждое индуктивное упорядоченное множество имеет максимальный элемент.

Упражнения 1. На координатной плоскости R 2 рассмотрим такое упорядочение:

Привести пример множества в R 2, у которого в данном упорядочении нет максимального элемента.

Привести пример множества, имеющего два максимальных элемента в данном упорядочении.

Привести пример множества, имеющего в данном упорядочении бесконечно много максимальных элементов.

2. Доказать, что в любом упорядоченном множестве каждая конечная цепь содержит наибольший элемент: a b b a. Верно ли это утверждение для бесконечных цепей?

5.1.3. Теорема существования базиса Гамеля Теорема. В любом линейном пространстве существует базис Гамеля.

Доказательство. Пусть X линейное пространство. Рассмотрим семейство всех линейно независимых подмножеств пространства X и зададим на естественное отношение порядка: подмножество A мажорирует подмножество B, если A B. Докажем, что упорядоченное множество индуктивно. Для этого выделим произвольную цепь 1 и покажем, что множество M = A объединение всех множеств, являющихся элементами цепи 1, будет верхней гранью в цепи 1.

Ввиду того, что M мажорирует все элементы цепи 1, нам только Курс функционального анализа требуется доказать, что M. Другими словами, нам нужно показать, что M линейно независимое множество. Пусть A = {a1, a 2,..., a n } произвольное конечное подмножество в M ; Bk, k = 1, 2,..., n соответствующие элементы цепи 1, содержащие ak : a k Bk. Так как множества Bk попарно сравнимы, одно из них (скажем, B j ) содержит все остальные. То есть A B j, B j линейно независимо, следовательно, и A линейно независимо. Мы доказали, что любое конечное подмножество множества M линейно независимо, следовательно, и M линейно независимое множество.

Согласно лемме Цорна, в существует максимальный элемент A.

Покажем, что A и есть требуемый базис Гамеля. Свойством линейной независимости обладает любой элемент семейства, в частности, и множество A. Докажем полноту множества A. Пусть Lin A X. Выберем произвольный элемент x X \ Lin A. Тогда A {x} будет линейно независимым множеством, строго мажорирующим A, что противоречит максимальности A.

Упражнения 1. Доказать, что любое линейно независимое множество в линейном пространстве можно дополнить до базиса Гамеля.

2. Пусть X 1 подпространство линейного подпространства X. Доказать, что существует подпространство X 2 X со следующими свойствами:

3. Укажите базис Гамеля в пространстве P всех многочленов от одной переменной. 5.1.4. Линейные операции над подмножествами Пусть A1 , A2 подмножества линейного пространства X, 1, скаляры. Через 1 A1 + 2 A2 обозначим множество всех элементов вида Упражнения 1. 0 A1 A2 в том и только том случае, если A1 и A2 пересекаются.

2. Если A1 и A2 подпространства, то 1 A1 + 2 A2 также будет подпространством.

3. Если A1 и A2 подпространства, то Lin ( A1 A2 ) = A1 + A2.

Интересно, что, несмотря на теорему существования, ни одного явного примера базиса Гамеля в более сложных бесконечномерных пространствах (скажем, в C[0,1] ) не известно.

Глава 5. Линейные пространства 4. Если A1 и A2 подпространства и A1 A2 = {0}, то любой элемент x A1 + A2 имеет единственное представление в виде x = a1 + a 2, где a1 A1, a 2 A2. В этом случае, чтобы подчеркнуть единственность представления, используют символ прямой суммы: вместо A1 + A 5. Подмножество Y линейного пространства X будет подпространством в том и только том случае, если 1Y + 2Y Y для любых скаляров 1 и 2.

6. Пусть A1 и A2 замкнутые отрезки на плоскости. Какой геометрической фигурой будет A1 + A2 ? В каком случае A1 + A2 будет отрезком?

7. Пусть A замкнутое множество на плоскости. Доказать, что A + A = 2 A в том и только том случае, если A выпукло.

5.2. Линейные операторы 5.2.1. Инъективность и сюръективность Пусть X, Y линейные пространства над полем скаляров K.

Отображение T : X Y называется линейным оператором, если для любых x1, x2 X, 1, 2 K выполнено соотношение T ( 1 x1 + 2 x2 ) = = 1T ( x1 ) + 2 T ( x2 ). В случае, если Y = K, линейный оператор T ( 1 x1 + 2 x2 ) = = 1T ( x1 ) + 2 T ( x2 ). называется линейным функционалом.

Оператор T : X Y называется инъективным, если его ядро Ker T = T 1 (0 ) состоит только из нуля. Оператор называется сюръективным, если его образ Im T = T ( X ) совпадает со всем пространством Y. Наконец, оператор называется биективным, или обратимым, если он одновременно инъективен и сюръективен. Другими словами, если уравнение Tx = b имеет решение при любой правой части b Y, то оператор T сюръективен; если из разрешимости уравнения Tx = b при данной правой части следует единственность решения, то оператор T инъективен. Биективность же означает существование и единственность решения при любой правой части.

Упражнения 1. Проверить, что ядро и образ линейного оператора это линейные подпространства.

2. Пусть X, Y линейные пространства, X 1 подпространство в X.

Доказать, что любой линейный оператор T : X 1 Y можно продолжить до линейного оператора, действующего из X в Y.

3. Пусть X, Y, Z линейные пространства, U : X Y и V : Y Z линейные операторы, T = V U. Доказать, что если T инъективен, то Курс функционального анализа Выполняются ли обратные утверждения?

5.2.2. Факторпространство Пусть X линейное пространство, X 1 подпространство в X.

Введём следующее отношение эквивалентности на X : x ~ y, если x y X 1. Классом эквивалентности элемента x будет, как нетрудно заметить, множество [ x ] = x + X 1 = {x + y : y X 1 }. Множество таких классов эквивалентности, наделённое операциями, описанными в п. 5.1.4, называется факторпространством пространства X по подпространству X 1 и обозначается X X 1. Отметим простейшие свойства линейных операций на факторпространстве, из которых следует в частности, что факторпространство является линейным пространством.

1. Класс эквивалентности нуля есть нулевой элемент факторпространства:

С факторпространством тесно связан оператор q факторотображение пространства X на X X 1 : q( x ) = [ x ]. Линейность оператора факторотображения вытекает из только что выписанного свойства 2.

Оператор факторотображения сюръективен.

Важный пример факторпространства возникает естественным образом в теории интегрирования. Пусть (,, ) пространство с мерой факторпространство пространства X всех измеримых скалярнозначных функций на по подпространству X 1 функций, имеющих пренебрежимые носители. В этом примере соответствующее отношение эквивалентности это хорошо знакомое читателю равенство почти всюду.

Глава 5. Линейные пространства 5.2.3. Инъективизация линейного оператора Пусть X, Y линейные пространства, T : X Y линейный оператор, вообще говоря, не инъективный. Инъективизацией оператора T эквивалентности [x ] элемента x X элемент Tx : T ([ x ]) = Tx.

Упражнения Проверить корректность определения оператора T, а именно, что если у элементов x1 и x2 совпадают классы эквивалентности, то Tx1 = Tx 2.

Другими словами, T ([ x ]) не зависит от выбора представителя в классе эквивалентности [x ].

Проверить линейность и инъективность оператора T.

Проверить, что T = T q, где q : X X / Ker T оператор факторотображения. Таким образом, любой оператор можно разложить в композицию сюръективного и инъективного операторов. Сравните с упражнением 3 п. 5.2.1.

Пусть X линейное пространство, X 1 подпространство в X, X пространство всех линейных функционалов на X. Аннулятором в X подпространства X 1 называется множество X 1 всех f X, для которых Ker f X 1. Для каждого функционала g на X / X 1 определим функционал Ug X равенством Ug ( x ) = g ([ x ]). Другими словами, Ug это композиция функционала g с факторотображением.

U это линейный инъективный оператор.

U ( X / X ) = X, то есть X это линейное подпространство, 5.3. Выпуклость Функциональный анализ в основном имеет дело с аналитическими объектами функциями, последовательностями, пределами и т. д., но подход к этим объектам существенно отличается от подходов математического анализа. Вместо изучения индивидуальных функций или последовательностей с тем или иным свойством вводят в рассмотрение соответствующие пространства, подпространства или подмножества.

Благодаря такому подходу многие вопросы анализа удаётся свести к задачам о взаимном расположении или свойствах множеств в тех или иных пространствах. Скажем, вопрос о возможности приближения непрерывной функции многочленом сводится к вопросу о плотности в некоторой метрике множества многочленов в пространстве непрерывных функций;

вопрос об определении интеграла для неинтегрируемых по Риману Курс функционального анализа функций можно сформулировать как задачу распространения линейного функционала на более широкое пространство; задача Коши дифференциального уравнения превращается в задачу поиска неподвижной точки отображения. Такой подход позволяет при поиске решения использовать геометрическое воображение, делать наброски, разбирать примеры, где моделью бесконечномерных множеств будут плоские или пространственные фигуры. Однако для успешного применения в задачах функционального анализа своей геометрической интуиции необходимо приобрести некий опыт. Нужно научиться отличать существенные свойства модели от специфики плоского рисунка, научиться переводить идеи, навеянные рисунком, на язык строгих математических рассуждений. Для этого, в частности, нужно корректно определить, там, где это возможно, бесконечномерные аналоги понятий и построений, используемых обычно в геометрических рассуждениях. В этом разделе мы введём такие аналоги для понятий прямой, отрезка, выпуклого множества, а также аналог разбиения пространства плоскостью на два полупространства.

5.3.1. Определения и свойства Пусть X линейное пространство, x, y X, x y. Прямой, проходящей через точки x и y, называется множество всех элементов вида x + (1 ) y, где пробегает вещественную ось. Отрезком, соединяющим x и y, называется множество элементов вида x + (1 ) y, где [0,1]. Подмножество A X называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя своими точками содержит весь соединяющий их отрезок.

Упражнения Прямая и отрезок это выпуклые множества.

2. Пересечение любого числа выпуклых множеств выпукло.

3. Объединение двух выпуклых множеств может быть невыпуклым.

Пусть X, Y линейные пространства, U : X Y линейный оператор. Проверить, что для любого A выпуклого подмножества в X множество U ( A) также выпукло. Проверить, что если B выпуклое подмножество в Y, то U 1 ( B ) выпукло.

Какие из нижеприведенных множеств в пространстве s всех вещественных числовых последовательностей будут выпуклыми?

Глава 5. Линейные пространства Какие из нижеприведенных множеств в пространстве всех вещественных функций на отрезке [0,1] будут выпуклыми?

9. Множество всех непрерывных функций.

10. Множество всех разрывных функций.

11. Множество всех бесконечно дифференцируемых функций.

12. Множество всех нигде не дифференцируемых функций.

Пусть A подмножество линейного пространства X. Доказать, что:

14. Если A выпукло, то A + A = 2 A.

5.3.2. Выпуклая оболочка Пусть {x k }n =1 произвольный конечный набор элементов линейного неотрицательные числа и Утверждение. Пусть A выпуклое множество в линейном пространстве X, {x k }n =1 A. Тогда любая выпуклая комбинация элементов xk лежит в A.

Доказательство. Доказательство будем проводить индукцией по n числу элементов, участвующих в выпуклой комбинации. Из определения выпуклого множества сразу следует база индукции случай n = 2.

Рассмотрим переход от n 1 к n. Пусть {k }n =1 неотрицательные числа, комбинацией n 1 элемента, то есть x A по предположению индукции.

Рассмотрим случай ненулевых комбинация n 1 элемента из A. Ввиду равенства x = y + n x n элемент x представим в виде выпуклой комбинации двух элементов из A, то есть Пусть A произвольное подмножество линейного пространства X.

Множество всех выпуклых комбинаций элементов из A называется выпуклой оболочкой множества A и обозначается conv( A) или conv A.

Курс функционального анализа Упражнения В условиях предыдущего определения проверить, что:

1. conv( A) это выпуклое множество.

2. conv( A) это наименьшее среди всех выпуклых множеств, содержащих A.

3. Если A состоит из двух точек, то conv( A) это отрезок, соединяющий указанные точки.

Доказать, что:

4. Выпуклая оболочка множества на плоскости, состоящего из трёх точек, это треугольник с вершинами в этих точках.

5. Выпуклая оболочка любого множества A на плоскости это объединение всех треугольников с вершинами в точках множества A.

Будет ли утверждение предыдущего упражнения выполнено для множеств в трёхмерном пространстве?

5.3.3. Гиперподпространства и гиперплоскости Подпространство Y линейного пространства X называется гиперподпространством, если существует такой вектор e X \ Y, что Lin{e, Y } = X.

Утверждение. Для подпространства Y линейного пространства X следующие условия эквивалентны:

1. Y гиперподпространство в X ;

2. dim X / Y = 1;

3. Существует ненулевой линейный функционал f на X, для которого Доказательство. 1. 2. Пусть Y гиперподпространство в X, e X \ Y такой элемент, что Lin{e, Y } = X. Рассмотрим [e] X / Y класс эквивалентности элемента e. [e] 0, так как e Y. В то же время Lin [e] = X / Y, то есть в X / Y существует базис из одного элемента.

U : X / Y K нашего факторпространства и поля скаляров. Определим функционал f = U q, где q факторотображение пространства X на X / Y. Для этого функционала Ker f = Y.

3. 1. Пусть f функционал из п. 3. Выберем элемент e X, для которого f ( e) = 1. Очевидно, e X \ Y. Докажем, что Lin{e, Y } = X. Для этого возьмём произвольный вектор x X и представим его в виде x = f ( x )e + ( x f ( x )e ). В этой записи второе слагаемое x f ( x )e лежит в Ker f = Y, то есть мы представили элемент x в виде ae + y, где a K, Подмножество A линейного пространства X называется гиперплоскостью, если оно является сдвинутым гиперподпространством.

Глава 5. Линейные пространства Другими словами, гиперплоскость в X это множество вида x + Y, где x X, а Y гиперподпространство в X.

5.3.4. Упражнения 1. Пусть f ненулевой линейный функционал в пространстве X, a произвольное число. Доказать, что линия уровня f a = {x X : f ( x ) = a} функционала f образует гиперплоскость в X.

2. Доказать, что любая гиперплоскость в X есть линия уровня некоторого ненулевого линейного функционала.

3. Пусть Y гиперподпространство в X. Доказать, что Lin{e,Y } = X для 4. Пусть ядра двух линейных функционалов совпадают. Доказать, что эти функционалы линейно зависимы.

5. Пусть Y гиперплоскость в вещественном пространстве X. На X \ Y введём следующее отношение эквивалентности: x1 ~ x 2, если отрезок, соединяющий эти точки, не пересекает эту гиперплоскость. Проверить, что так введённое отношение действительно будет отношением эквивалентности. X \ Y распадается на два класса эквивалентности.

Эти классы эквивалентности называются полупространствами, порождёнными гиперплоскостью Y.

6. Пусть гиперплоскость это линия уровня f a функционала f в вещественном пространстве X. Проверить, что полупространствами, 7. Почему в двух предыдущих упражнениях важна вещественность пространства?

Определение. Подпространство Y линейного пространства X имеет коразмерность n ( codim X Y = n ), если размерность факторпространства X / Y равна n.

8. codim X Y n в том и только том случае, если существуют n векторов 9. codim X Y n в том и только том случае, если Y имеет ненулевое пересечение с любым подпространством Z в X размерности большей 10. codim X Y = n в том и только том случае, если существует подпространство Z в X такое, что dim Z = n, Z Y = {0}, Z + Y = X.

Курс функционального анализа 12. Для любых подпространств Y, Z пространства X выполнены соотношения:

13. codim X Y = dim Y.

14. codim X Y n в том и только том случае, если на X существует такой набор из n линейных функционалов, что пересечение их ядер содержится в Y.

15. codim X Y = n в том и только том случае, если на X существует такой линейно независимый набор из n линейных функционалов, что пересечение их ядер совпадает с Y.

5.4. Теорема Хана Банаха о продолжении линейного функционала 5.4.1. Выпуклые функционалы Вещественнозначная функция p, заданная на линейном пространстве X, называется выпуклым функционалом, если она подчиняется следующим условиям:

p(x ) = p( x ) для любого вектора x X и любого неотрицательного числа (положительная однородность) и p( x + y ) p( x ) + p( y ) для любых x, y X (неравенство треугольника).

Упражнения 1. Пусть t > 0, p выпуклый функционал. Тогда tp также выпуклый функционал.

2. Модуль выпуклого функционала выпуклый функционал.

3. Пусть p1 и p2 выпуклые функционалы. Тогда p1 + p2 и max( p1, p 2 ) также выпуклые функционалы.

4. Каждый линейный функционал на вещественном пространстве будет выпуклым функционалом. Проверить, что если p и p выпуклые функционалы, то p линейный функционал.

5. Пусть p выпуклый функционал, x X фиксированный элемент, Какие из перечисленных ниже выражений задают выпуклые функционалы в пространстве C[0,1] непрерывных функций на отрезке [0,1] ?

Глава 5. Линейные пространства последовательностей?

10. p5 ( x ) = x5 ;

13. p8 ( x ) = lim xn ;

(В последних четырёх упражнениях x это последовательность Существует тесная связь между выпуклыми функционалами и выпуклыми множествами. Описанию этой связи посвящён следующий параграф.

5.4.2. Функционал Минковского поглощающим, если для любого x X существует такое n N, что x A для любого t > n. Отметим, что поглощающее множество A обязано содержать нулевой элемент пространства и nA = X.

Пусть A выпуклое поглощающее множество в X. Функционалом Минковского множества A называется вещественная функция, заданная на X формулой Функционал A связан с множеством A следующими очевидными соотношениями:

Курс функционального анализа Утверждение. Пусть A выпуклое поглощающее множество в X.

Тогда A ( x ) выпуклый функционал, принимающий неотрицательные значения.

Доказательство. Докажем вначале положительную однородность функционала. Пусть > 0, x X. Тогда (в последней цепочке равенств было использовано переобозначение Теперь проверим неравенство треугольника. Пусть x, y X. Докажем, что A ( x + y ) A ( x ) + A ( y ). Очевидно, для этого достаточно показать, что для любых a > A (x ), b > A ( y ) выполнено неравенство доказано.

Упражнения уравновешенным, если для любого скаляра, 1 выполнено включение 1. Пусть A выпуклое уравновешенное множество. Тогда Y = nA это линейное подпространство в X и A поглощающее множество в Y.

Пусть p выпуклый функционал, принимающий неотрицательные значения. Положим A = {x X : p ( x ) < 1}. Проверить, что:

2. A выпуклое поглощающее множество.

3. Для любого x A существует такое > 0, что (1 + )x A.

Пусть A, B выпуклые поглощающие множества. Проверить, что:

Глава 5. Линейные пространства 5.4.3. Теорема Хана Банаха в аналитической форме Теорема Хана Банаха о продолжении линейного функционала, которую мы докажем в этом параграфе (другое название теорема Хана Банаха в аналитической форме), это одна из самых важных теорем курса функционального анализа. Она часто используется как в рамках самого предмета, так и в применениях функционального анализа к широкому кругу смежных дисциплин. Некоторые из таких применений читатель найдёт в нашем курсе. Традиционно теорему Хана Банаха относят к «основным принципам функционального анализа». К этим «основным принципам» относят также теорему Хана Банаха в геометрической форме (п. 9.2), теоремы Банаха об обратном операторе, открытом отображении и замкнутом графике, а также теорему Банаха Штейнгауза (см. главу 10).

Теорема. Пусть на вещественном линейном пространстве X задан выпуклый функционал p ; Y подпространство в X, f линейный функционал на Y и f ( y ) p( y ) для любого y Y. Тогда f можно продолжить до линейного функционала g, заданного на всём X, с сохранением условия мажорации: g ( x ) p( x ) для любого x X.

Доказательство. Вначале разберём частный случай, когда Y гиперподпространство в X. Пусть e X \ Y такой вектор, что Lin{e, Y } = X. Любой элемент пространства X однозначно представим в виде x = e + y, где y Y, а вещественный скаляр. Поэтому требуемый функционал g продолжение с Y функционала f g (e + y ) = g (e ) + f (y ). Для выполнения условия мажорации число g (e ) должно подчиняться требованию При = 0 это требование выполнено по условию. При положительном требование () переписывается в виде а для отрицательных = требование () переписывается в виде Таким образом, для существования требуемого продолжения необходимо и достаточно выполнения неравенства Курс функционального анализа Проверим это соотношение. Пусть, > 0; y, v Y. Перенося члены, содержащие f, в левую, а содержащие p в правую часть, неравенство сведём к неравенству Последнее же следует из условия мажорации для f :

Итак, частный случай подпространства коразмерности 1 нами разобран. Доказанный факт можно сформулировать так: линейный функционал f, заданный на Y и подчиняющийся условию мажорации, можно продолжить на линейную оболочку подпространства Y и произвольного одного элемента с сохранением условия мажорации.

Применяя это утверждение ещё раз, затем ещё и ещё раз, мы можем получить продолжение функционала f на линейную оболочку подпространства Y и произвольного конечного числа векторов. К сожалению, ввиду бесконечномерности пространства X подобным рассуждением не всегда удаётся получить продолжение на всё пространство. Поэтому для завершения рассуждения нам предстоит воспользоваться леммой Цорна стандартным способом организации индуктивных рассуждений в случае несчётного числа требуемых шагов.

Рассмотрим семейство всех пар вида (Z, h ), где Z подпространство в X, содержащее Y, а h линейный функционал на Z, совпадающий на Y с f и подчиняющийся на Z условию мажорации. По сути, элементы семейства это продолжения функционала f. Нам нужно доказать, что среди элементов (Z, h ) существует такой, что Z = X. Введём на отношение порядка: (Z 1, h1 ) (Z 2, h2 ), если Z1 Z 2 и ограничение функционала h1 на Z 2 совпадает с h2. Легко видеть, что упорядоченное множество индуктивно. Следовательно, по лемме Цорна, в существует максимальный элемент (Z 0,h0 ). Если бы Z 0 не совпадало со всем X, мы могли бы, по уже доказанному частному случаю теоремы Хана Банаха, продолжить h0 с сохранением условия мажорации на подпространство вида Lin{e, Z 0 }, строго содержащее Z 0. Существование такого продолжения противоречило бы максимальности пары (Z 0,h0 ), то есть Z0 = X, что и требовалось доказать.

Замечание. В теореме Хана Банаха утверждается существование продолжения, но это продолжение может быть и не единственным Глава 5. Линейные пространства (приведите пример в случае двумерного X и одномерного Y ).

Соответственно, во всех приложениях теоремы Хана Банаха, которые будут у нас встречаться в дальнейшем, утверждается существование того или иного объекта, но единственности может и не быть.

Упражнения 1. Где в формулировке и доказательстве вышеприведенной теоремы Хана Банаха играет роль вещественность рассматриваемых пространств и, следовательно, функционалов?

2. Попробуйте придумать и доказать какое-нибудь обобщение теоремы Хана Банаха на комплексный случай.

3. В случае, если факторпространство X / Y имеет конечный или счётный базис Гамеля, теорему Хана Банаха можно доказать без использования леммы Цорна. Как?

5.5. Некоторые приложения теоремы Хана Банаха 5.5.1. Инвариантное среднее на коммутативной полугруппе Пусть G коммутативная полугруппа; полугрупповую операцию на G будем обозначать знаком +. Рассмотрим линейное пространство l (G ) всех ограниченных вещественнозначных функций на G. Каждый элемент g G порождает оператор сдвига S g : l (G ) l (G ), действующий по правилу называется инвариантным средним на G, если он подчиняется следующим условиям:

среднее значение для F );

(инвариантность относительно сдвигов).

В этом параграфе мы покажем, что инвариантное среднее существует на любой коммутативной полугруппе G.

по всем конечным наборам g k G, возможно, с повторениями.

Утверждение. p выпуклый функционал на l (G ), удовлетворяющий для любой функции F l (G ) и любого g G условиям:

(1) Курс функционального анализа (2) (условия (1) и (2) вместе, согласно упражнению 5 параграфа 5.4.1, означают равенство нулю оцениваемых выражений).

Доказательство. Положительная однородность здесь очевидна, проверим неравенство треугольника. Пусть F1, F2 l (G ), > 0. Выберем такие элементы g 1, k = 1,2,..., n1 и g k, k = 1,2,..., n 2 полугруппы G, что Воспользуемся тем, что супремум суммы не превосходит суммы супремумов, и продолжим оценку:

что, ввиду произвольности, доказывает требуемое неравенство треугольника.

Проверим теперь условие (1).

Устремив в последнем неравенстве n к бесконечности, получим требуемую оценку. Неравенство (2) доказывается аналогичным образом.

Обозначим функцию, равную на G тождественной единице, через 1.

Отметим ещё два очевидных свойства функционала p :

• p (1) = 1 ;

• если функция F всюду меньше или равна нуля, то p (F ) 0.

Теорема. На любой коммутативной полугруппе G существует инвариантное среднее.

Определим функционал на Y равенством f (c 1) = c. Очевидно, что функционал f линеен и f p. Воспользуемся теоремой Хана Банаха и продолжим f на всё l (G ) до линейного функционала I с сохранением условия мажорации. Докажем, что I будет инвариантным средним.

Вначале отметим свойство монотонности функционала I : если F1, F2 l (G ), F1 F2 во всех точках, то I (F1 ) I (F2 ). Действительно, при Глава 5. Линейные пространства I (F1 ) I (F2 ) = I (F1 F2 ) p (F1 F2 ) 0. Из монотонности функционала I получаем, что если функция F оценивается сверху и снизу константами:

c11 F c2 1, то I (F ) оценивается теми же константами: c1 I ( F ) c2.

Таким образом, мы доказали первое условие определения инвариантного среднего. Второе условие инвариантность относительно сдвигов сразу следует из условия мажорации и свойств (1), (2) функционала p :

Замечание. Коммутативность полугруппы не является необходимым условием существования инвариантного среднего. Подробнее о группах, допускающих инвариантное среднее, можно прочитать в монографии [Pat].

5.5.2. Грубая задача теории меры Напомним, что мы доказывали ранее (п. 2.3.4) неразрешимость так называемой тонкой задачи теории меры: построения инвариантной относительно сдвига счётно-аддитивной вероятностной меры, определённой на всех подмножествах отрезка [0,1). Отсюда мы выводили существование неизмеримых по Лебегу множеств: если бы каждое подмножество отрезка было измеримым по Лебегу, то мера Лебега была бы решением тонкой задачи теории меры. В то же время аналогичная задача с заменой счётной аддитивности на конечную аддитивность (грубая задача теории меры) уже разрешима.

Теорема (Банах). Существует конечно-аддитивная мера, определённая на всех подмножествах отрезка [0,1), с ([0,1) ) = 1 и инвариантная относительно сдвигов (то есть ( A + t ) = (A) для любого подмножества A [0,1) и любого t R, таких, что A + t [0,1) ).

Доказательство. Наделим отрезок [0,1) операцией сложения по модулю 1: сумма чисел a и b по модулю 1 это дробная часть числа g.

Зафиксируем I инвариантное среднее на этой группе. Мера, определённая равенством ( A) = I (1A ), где 1A характеристическая функция множества A, и будет требуемой мерой.

Интересно, что построить аналогичную меру на сфере трёхмерного евклидова пространства (то есть конечно-аддитивную вероятностную меру, определённую на всех подмножествах сферы и инвариантную относительно изометрий сферы) уже невозможно (Хаусдорф [Hau], 1914).

Причиной этого служит сложная структура группы изометрий сферы. Читателю, заинтересовавшемуся вопросами существования инвариантных мер, предлагаем посмотреть монографию [Wag] и обзор [Las], где рассказывается об эффектах в духе знаменитого парадокса Банаха Тарского, когда Курс функционального анализа сфера разрезается на конечное число «кусков», из которых удаётся сложить две новые сферы того же размера. Возможность такого разрезания, разумеется, приводила бы к противоречию, если бы «куски» можно было «померять» с помощью конечно-аддитивной инвариантной меры.

5.5.3. Упражнения Пусть мера, а I инвариантное среднее из предыдущей теоремы.

Хотя мы показали, что эти объекты существуют, никаких правил вычисления мы не предъявили. Более того, инвариантное среднее (и, соответственно, инвариантная мера) на отрезке не единственно. Тем не менее, для некоторых функций инвариантное среднее можно вычислить, опираясь на определение этого объекта.

1. Доказать, что ([0, 1 n ) ) = 1 n.

2. Пусть m < n. Доказать, что ([0, m n ) ) = m n.

3. Пусть [a, b) [0,1). Доказать, что ([a, b)) = b a.

4. Пусть f кусочно-постоянная функция на [0,1). Тогда I ( f ) = f (t )dt.

5. Доказать, что I ( f ) = f (t )dt для любой интегрируемой по Риману функции на отрезке.

Для интегрируемых по Лебегу ограниченных функций I ( f ) может и не совпадать с интегралом Лебега. Тем не менее, если провести доказательство теоремы существования инвариантного среднего (п. 5.5.1) для случая отрезка, взяв в качестве подпространства Y не подпространство констант, а подпространство ограниченных интегрируемых по Лебегу функций, то можно показать, что:

6. Существует такое инвариантное среднее I на отрезке, что I ( f ) = f (t )d для любой интегрируемой по Лебегу ограниченной функции.

7. Опираясь на существование инвариантной меры на отрезке, выведите существование конечно-аддитивной инвариантной относительно сдвигов меры на оси, определённой на всех подмножествах, и такой, что мера любого отрезка равна его длине. Разумеется, этой мере позволяется принимать и бесконечные значения.

Рассмотрим полугруппу N натуральных чисел по сложению.

Функции на N это последовательности; инвариантное среднее на N называется обобщённым банаховым пределом и обозначается значком Lim. Проверить, что:

8. Обобщённый банахов предел любой ограниченной последовательности лежит между её верхним и нижним пределами.

Глава 5. Линейные пространства 9. Если последовательность x = ( x1, x2,..., xn,...) имеет предел, то 10. Если последовательность x = ( x1, x2,..., xn,...) равномерно сходится 11. На примере последовательности x = (1, 0, 1, 0,...) убедиться, что обобщённый банахов предел последовательности может не быть предельной точкой этой последовательности.

12. На примере последовательностей x = (1, 0, 1, 0,...) и y = (0, 1, 0, 1,...) убедиться, что обобщённый банахов предел не является мультипликативным функционалом: Lim ( xy) может не равняться произведению Lim x на Lim y.

5.6. Комментарии к упражнениям Параграф 5.3. Упражнение 4. Обозначим рассматриваемые функционалы через f и g, а Ker f = Ker g через Y. Y это гиперподпространство в X. Следовательно, существует такой вектор e X \ Y, что Lin{e, Y } = X. Числа a = f (e) и b = g(e) не равны 0, так как e Y. Функционал ag bf линейная комбинация функционалов f и g равен нулю как на Y, так и в точке e. Следовательно, функционал ag bf равен 0 на всём X = Lin{e, Y }, то есть функционалы f и g линейно зависимы.

Параграф 5.5. Упражнение 10. К этому утверждению есть в некотором смысле обратное, доказанное в 1948 году Лоренцем [Lor]: если любой обобщенный банахов предел ограниченной числовой последовательности x = ( x1, x2,..., xn,...) равен одному и тому же числу s, то последовательность равномерно сходится по Чезаро к s.

Курс функционального анализа 6. Нормированные пространства 6.1. Нормированные пространства, подпространства и факторпространства 6.1.1. Понятие нормы. Примеры Пусть X линейное пространство. Отображение x x, ставящее каждому элементу пространства X в соответствие неотрицательное число, называется нормой, если оно подчиняется следующим аксиомам:

если x = 0, то x = 0 (невырожденность);

(1) (2) x + y x + y (неравенство треугольника).

(3) Условия (2) и (3) показывают, что норма это частный случай выпуклого функционала. В связи с этим советуем читателю снова вернуться к упражнениям п. 5.4.1 и посмотреть, какие из свойств 1 5 выпуклых функционалов выполнены и для норм, а также какие из функционалов pi упражнений 6 14 будут нормами.

Определение 1. Линейное пространство X, наделённое нормой, называется нормированным пространством.

Отметим, что если на линейном пространстве X ввести какую-то одну норму, то это будет одно нормированное пространство, а если на том же линейном пространстве ввести другую норму, то это будет уже другое нормированное пространство. Ниже мы приведём некоторые примеры нормированных пространств, которые неоднократно будут встречаться у нас в дальнейшем. Проверку аксиом нормы для этих примеров оставляем читателю в качестве упражнения.

1. Пусть K компактное топологическое пространство. Через C (K ) обозначается нормированное пространство непрерывных скалярных функций на K с нормой f = max{ f (t ) : t K }. Важный частный случай пространства C (K ) это пространство C [a, b] непрерывных функций на отрезке [a,b].

2. l1 это пространство числовых последовательностей вида x = x1, x 2,..., x n,..., подчиняющихся условию x = x n. Поскольку каждую последовательность можно рассматриГлава 6. Нормированные пространства вать как функцию, заданную на множестве N натуральных чисел, пространство l1 это частный случай пространства L1 (,, ), изучаемого ниже в п. 6.1.3: = N, семейство всех подмножеств в N, это считающая мера множества.

3. l это пространство всех ограниченных числовых последовательностей с нормой x = sup x n.

4. c0 это пространство всех стремящихся к нулю последовательностей.

Норма на c0 задаётся тем же выражением, что и на l.

Определение 2. Отображение x p(x ), ставящее каждому элементу пространства X в соответствие неотрицательное число, называется полунормой, если оно подчиняется аксиомам (2) и (3) нормы.

Упражнения 1. Приведите пример полунормы на R 2, не являющейся нормой.

2. Приведите пример выпуклого функционала на R 2, не являющегося полунормой.

3. Пусть B выпуклое, поглощающее множество в линейном пространстве X. Пусть, далее, B уравновешенное множество, то есть для любого скаляра, 1, выполнено включение B B. Тогда функционал Минковского множества B (см. п. 5.4.2) это полунорма.

6.1.2. Метрика нормированного пространства и сходимость.

Пусть X нормированное пространство. Расстоянием между элеx1, x ( x1, x 2 ) = x 2 x1. Из аксиом нормы следует, что действительно задат метрику на X. Таким образом, любое нормированное пространство является одновременно и метрическим пространством, и все понятия, определённые для метрических пространств, открытые и замкнутые множества, компакты, предельные точки, полнота и т. д. имеют смысл и для пространств нормированных. В частности, последовательность x n элементов нормированного пространства сходится к элементу x, если x n x n 0. Существенное отличие в терминологии нормированных и метрических пространств проявляется в определении изометрии: в нормированном случае добавляется требование линейности соответствующего отображения.

Линейный оператор T, действующий из нормированного пространства X в нормированное пространство Y, называется изометрическим вложением, если Tx = x для любого x X. Биективное изометрическое Курс функционального анализа вложение называется изометрией. Пространства X и Y изометричны, если между ними существует изометрия.

Упражнения 1. Пусть последовательность x n элементов нормированного пространства сходится к элементу x. Покажите, что x n n x.

пишите в явном виде координаты элементов x1 и x 2. Чему равны нормы этих элементов? Вычислите x n при произвольном n.

3. Покажите, что сходимость в C (K ) это равномерная сходимость на K. В частности, сходимость в C [a, b] это равномерная сходимость на [a,b], вид сходимости, хорошо знакомый из курса математического анализа.

4. При любых a < b пространство C [a, b] изометрично пространству 5. Если компакты K1 и K 2 гомеоморфны, то C ( K1 ) изометрично C ( K 2 ).

Обратно, если C ( K1 ) изометрично C ( K 2 ), то K1 и K 2 гомеоморфны (вторая часть утверждения отнюдь не тривиальна).

6. Покажите, что в l1 из сходимости последовательности векторов ( )k=1 к вектору ( )k=1 следует покоординатная сходимость:

x n n x k, k = 1, 2,.... В то же время из покоординатной сходимоk сти сходимость в l1 не следует.

7. Последовательность x n из упражнения 2 может рассматриваться как последовательность в l1, а может как последовательность в c0. Чему равны x n в c0 ? Покажите, что последовательность x n сходится покоординатно к 0, сходится в c0 к 0, но не сходится в l1.

8. Пусть X некоторое пространство последовательностей. Положительным конусом в X назовём множество тех векторов из X, все координаты которых неотрицательны. Рассмотрите три случая: X = c 0, X = l1 и X = l. В каждом из этих трёх случаев докажите замкнутость и выпуклость положительного конуса, опишите его внутренность и границу.

6.1.3. Пространство L Пусть (,, ) пространство с мерой (конечной или бесконечной), E линейное пространство всех интегрируемых по мере скалярных Глава 6. Нормированные пространства функций на, F подпространство в E, состоящее из всех функций, равных почти всюду нулю. Через L1 (,, ) обозначим факторпространство E / F. Аналогичное факторпространство L0 (,, ) упоминалось в п.

5.2.2. Для упрощения терминологии принято говорить, что элементами пространства L1 (,, ) служат интегрируемые функции на, но при этом функции, равные почти всюду, отождествляют между собой. Норма на L1 (,, ) задаётся формулой f = f (t ) d. Важный частный случай пространства L1 (,, ) это пространство L1 [a, b] интегрируемых по Лебегу функций на отрезке [a,b]. В этом случае = [a,b], семейство всех измеримых по Лебегу подмножеств отрезка, а мера Лебега.

Упражнения 1. L1 (,, ) нормированное пространство.

2. При любых a < b пространство L1 [a, b] изометрично пространству 3. Пространство L1 [0,1] изометрично пространству L1 (,+).

4. Пространство L1 [0,1] изометрично пространству L1 ([0,1] [0,1]).

5. Из сходимости последовательности функций в L1 (,, ) следует сходимость по мере, но если мера не чисто атомарна (типичный пример L1 [a, b] ), то из сходимости в L1 (,, ) не следует сходимость почти 6. Если (,, ) пространство с конечной мерой и последовательность интегрируемых функций сходится равномерно на, то эта последовательность сходится и в L1 (,, ).

7. Покажите, что какую бы норму в L1 [a, b] мы ни ввели, сходимость по этой норме не может совпадать со сходимостью по мере. (Сравните с упражнением 6 п. 4.3.3.) 8. Рассмотрим положительный конус в L1 (,, ) : множество G всех функций из L1 (,, ), больших или равных нуля почти всюду. Докажите, что G замкнутое выпуклое множество, не имеющее внутренних точек.

9. По аналогии с предыдущим упражнением рассмотрим положительный конус в C (K ). Докажите выпуклость и замкнутость этого множества, опишите его внутренность и границу.

Пусть p полунорма на линейном пространстве X. Ядром полунормы p называется множество Ker p тех x X, для которых p( x ) = 0.

10. Ker p линейное подпространство в X.

11. Выражение ( x1, x 2 ) = p ( x 2 x1 ) задаёт псевдометрику на X.

Курс функционального анализа 12. Для любого x X и любого y Ker p имеем p( x + y ) = p( x ).

13. Выражение [ x ] = p( x ) задаёт норму на факторпространстве X Ker p.

Поскольку величина p ( f ) = пространстве E всех интегрируемых по мере скалярных функций на, F = Ker p подпространство в E, состоящее из всех функций, равных почти всюду нулю, то приведенное выше определение пространства L1 (,, ) это частный случай построения, описанного в упражнениях 10 13.

6.1.4. Подпространства и факторпространства Линейное подпространство Y нормированного пространства X, наделённое нормой из X, называется подпространством нормированного пространства X. Таким образом, подпространство нормированного пространства это снова нормированное пространство.

Пусть Y замкнутое подпространство нормированного пространства X, x X произвольный элемент, [ x ] = x + Y соответствующий элемент факторпространства X /Y. Определим следующую величину:

[ x ] = inf x + y. Другими словами, [x ] это расстояние в X от 0 до множества x + Y. Поскольку Y подпространство и, следовательно, Y = Y, следующее определение эквивалентно исходному:

[ x ] = inf x y. Геометрический смысл этого определения: [x ] это расстояние в X от x до подпространства Y.

Утверждение. Введённая выше величина задаёт норму на пространстве X /Y.

Доказательство. Проверим аксиомы нормы.

1. Пусть [ x ] = 0. Тогда inf x y = 0, и, следовательно, x это предельyY ная точка подпространства Y. Поскольку Y замкнуто, x Y и 2. Поскольку Y подпространство, Y = Y для любого ненулевого скаляра 3. Пусть x1, x 2 X, > 0. В соответствии с определением инфимума суx1 + y1 < [ x1 ] + Глава 6. Нормированные пространства что ввиду произвольности означает требуемое неравенство треугольника.

В дальнейшем всегда будет предполагаться, что факторпространство нормированного пространства наделено описанной выше нормой.

Пример. Пусть (,, ) пространство с мерой, X пространство всех ограниченных измеримых функций на, наделённое нормой f = sup | f (t ) |, Y подпространство в X, состоящее из функций, равных нулю почти всюду. Соответствующее факторпространство X / Y обозначается L (,, ).

Упражнения 1. Докажите следующую формулу для нормы в L (,, ) :

3. Докажите, что f равна инфимуму множества тех констант c, для коп.в.

4. В пространстве C [a, b] рассмотрим подпространство Y, состоящее из констант (постоянных функций). Показать, что норма элемента [ f ] в факторпространстве C [a, b] Y вычисляется по формуле 5. Пространство l1 можно рассматривать как линейное подпространство в c0, хотя нормированным подпространством в c0 оно не будет: норма, заданная в l1, не совпадает с нормой из c0. Доказать, что l1 незамкнуто и плотно в c0. Доказать, что l1 как подмножество в c0 принадлежит классу F.

6. Доказать, что подпространство c0 всех стремящихся к нулю последовательностей замкнуто в l.

Курс функционального анализа 7. Показать, что норма элемента [a ] в факторпространстве l c 0 вычисляется по формуле [a ] = lim a n, где a n это координаты элемента 6.2. Связь между единичным шаром и нормой пространства.

Пространства L p 6.2.1. Свойства шаров в нормированном пространстве Пусть X нормированное пространство, x 0 X, r > 0. Символом B X ( x 0, r ) обозначается, как обычно, открытый шар радиуса r с центром в Единичным шаром B X пространства X называется открытый шар единичного радиуса с центром в нуле: B X = { x X : x < 1 }. Аналогичным образом вводятся единичная сфера S X и замкнутый единичный шар B X :

Отметим простейшие свойства введённых объектов. Доказательства этих свойств оставляем читателю.

Единичный шар открытое множество, замкнутый единичный шар и единичная сфера замкнутые множества.

B X это выпуклое поглощающее множество (см. упражнение 2 п.

5.4.3).

B X уравновешенное множество, то есть для любого скаляра, Для любых x 0 X, r > 0 линейная оболочка шара B X ( x 0, r ) совпадает со всем пространством X.

Упражнения 1. Докажите, что замыкание открытого шара B X ( x 0, r ) в нормированном пространстве совпадает с B X ( x0, r ). Сравните с упражнением 9 п. 1.3.2.

В советское время в одной из харьковских газет статья о перевыполнении плана передовиками производства называлась «Норма не предел!». Последнее упражнение можно рассматривать как контрпример к данному утверждению.

Глава 6. Нормированные пространства 2. Пространство числовых строк x = ( x1, x 2,..., x n ) с нормой x = x n обозначается l1 ;

обозначается l.

пространств l1 и l. Постройте на координатной плоскости единичные шары пространств l1 и l. Найдите изометрию между этими двумя пространствами.

3. Постройте в трёхмерном координатном пространстве единичные шары пространств l1 и l. Докажите, что эти пространства не изометричны.

4. (Принцип вложенных шаров.) Пусть X полное нормированное пространство, Bn = B X ( x n, rn ) убывающая по включению последовательBn принципа вложенных множеств, здесь не предполагается стремление диаметров к нулю, но и не утверждается одноточечность пересечения.) 5. Приведите пример полного метрического пространства, где утверждение предыдущего упражнения не выполнено.

6.2.2. Определение нормы с помощью шара. Пространства L p Пусть B выпуклое, поглощающее множество в линейном пространстве X. Напомним (п. 5.4.2), что функционалом Минковского множества Теорема 1. Пусть B выпуклое, поглощающее, уравновешенное множество в линейном пространстве X, подчиняющееся следующему условию алгебраической ограниченности: для любого x X \ {0} существует такое a > 0, что ax B. Тогда функционал Минковского задаёт норму на X.

Доказательство. То, что B это выпуклый функционал, уже было есть B полунорма. Наконец, если x X \ {0}, то ввиду алгебраической ограниченности существует такое a > 0, что ax B. Соответственно, B ( x ) > 0, чем доказана невырожденность функционала Минковского.

Курс функционального анализа Пусть (,, ) пространство с мерой (конечной или бесконечной), p [1, ) фиксированное число. Через L p (,, ) обозначается подмножество в пространстве L0 (,, ) всех измеримых скалярных функций на, состоящее из функций, для которых существует функции, равные почти всюду, считают в L p (,, ), так же как и в L0 (,, ), одним и тем же элементом. Для f L p (,, ) положим Доказательство. Рассмотрим множество B p L p (,, ), состоящее скольку функция | x | выпукла на R, для любого t имеет место чиp рируя это неравенство, получаем, что f + (1 ) g B p, то есть B p выпуклое множество. Легко проверить, что B p уравновешено и алгебраически ограничено. Из выпуклости и уравновешенности множества B p и очевидного равенства L p (,, ) = следует, что L p (,, ) линейnB p ное пространство и B p поглощающее множество в L p (,, ) (упражнение 1 п. 5.4.2). Следовательно, функционал Минковского множества B p определён на L p (,, ) и задаёт норму в этом линейном пространстве.

случае, если t >|| f || p, то есть || f || p = B p ( f ).

В дальнейшем L p (,, ) будет рассматриваться как нормированное странства L p [a, b] (то есть случай = [a, b] с мерой Лебега) и пространстГлава 6. Нормированные пространства ва l p, где в роли выступает N, = 2 N, а это считающая мера (мера множества равна числу его элементов). Поскольку каждую функцию, заданную на множестве N натуральных чисел, можно воспринимать как последовательность, пространство l p обычно определяют как пространство числовых последовательностей вида x = ( x k ) kN, подчиняющихся услоpp Упражнения B2 единичные шары этих норм. Тогда B1 B2 в том и только том случае, если на всём X выполнено неравенство 1 2.

3. l p, рассматриваемое как множество, увеличивается с ростом p, а величина x при фиксированном x убывает с ростом p.

4. Множество l0 обрывающихся последовательностей (то есть таких, что, начиная с некоторого номера, все координаты равны 0) плотно в l p при 5. Если p1 < p, то множество l p1 плотно в пространстве l p.

6. Пусть B выпуклое, поглощающее, уравновешенное алгебраически ограниченное множество в линейном пространстве X. Зададим норму на X как функционал Минковского множества B. Для того, чтобы единичный шар этой нормы совпадал с B необходимо и достаточно, чтобы B обладало следующим свойством: любого x B существует 7. При 1 p < множество ограниченных функций плотно в L p [a, b].

8. При 1 p < множество непрерывных функций плотно в L p [a, b].

9. При 1 p < множество всех многочленов плотно в L p [a, b].

10. При 1 p < множество непрерывных функций, удовлетворяющих условию f (0 ) = 0 плотно в L p [0,1].

11. В L [a, b] множество непрерывных функций не плотно.

Курс функционального анализа 6.3. Банаховы пространства и абсолютно сходящиеся ряды Банаховым пространством называется полное нормированное пространство, то есть нормированное пространство, где каждая последовательность Коши сходится. Банаховы пространства это наиболее важный класс нормированных пространств: именно эти пространства чаще всего встречаются в приложениях, и именно вокруг понятия банахова пространства сгруппированы наиболее важные результаты функционального анализа 2.

6.3.1. Ряды. Критерий полноты пространства в терминах абсолютной Пусть x n последовательность элементов нормированного пространn ства X. Частными суммами ряда сходящимся, а элемент x называется суммой ряда. Равенство его сумма равна x ». Ряд называется абсолютно сходящимся, если Утверждение 1 (критерий Коши сходимости ряда). Для того чтобы ряд элементов банахова пространства X сходился, необходимо и достаточно, чтобы Доказательство. Сходимость ряда эквивалентна сходимости последовательности sn частных сумм. В свою очередь, в полном пространстве По крайней мере, так считает автор этих строк, специализирующийся в теории банаховых пространств.

Глава 6. Нормированные пространства сходимость последовательности равносильна её фундаментальности. Остаm ётся заметить, что s m s n = абсолютно сходится. Тогда вершения доказательства воспользуемся утверждением 1.

Утверждение 3. Пусть X неполное нормированное пространство.

Тогда в X существует абсолютно сходящийся, но при этом расходящийся ряд.

Доказательство. Ввиду неполноты пространства существует фундаментальная последовательность v n X, не имеющая предела. По определению последовательности Коши, v n v m 0. Следовательно, существует такое n1 N, что v n v m < для всех n, m n1. Аналогично выберем такое n 2 n1, что v n v m < для всех n, m n 2. Продолжив рассуждение, получим такую возрастающую последовательность индексов n j, что v n v m < j для всех n, m n j. Тогда для подпоследовательности v n j имеем v n2 v n1 <, v n3 v n2 <,..., v n j +1 v n j < j,.... Заxj следующим образом: x1 = v n1, x 2 = v n2 v n1,...

дадим требуемый ряд (см. упражнение 1 п. 1.3.5) образуют расходящуюся последовательность.

Утверждения 2 и 3 вместе дают следующую характеризацию полных нормированных пространств.

Курс функционального анализа Теорема. Для полноты нормированного пространства X необходимо и достаточно, чтобы каждый абсолютно сходящийся ряд в X сходился.

6.3.2. Полнота пространства L Начнём с доказательства одной переформулировка теоремы Лви, по сути сформулированной выше в упражнении 3 п. 4.4.3.

некоторой интегрируемой функции f и f Доказательство. Согласно определению нормы в L1, абсолютная сходимость означает, что gd = f n d. Обозначим через A множество меры 0, за пределами которого ряд f n (t ) сходится абсолютно к какому-то числу f (t ). Таким образом, мы определили на \ A (то есть почти всюду на ) функцию f, и ряд сходится к f во всех точках множества \ A. Доопределим на A функцию f нулём. Функция f измерима на \ A как поточечный предел последовательности измеримых функций, и у f есть интегрируемая мажоf Глава 6. Нормированные пространства Теорема. Пространство L1 банахово пространство.

Доказательство. Воспользуемся теоремой из предыдущего пункта критерием полноты в терминах абсолютной сходимости. Пусть ряд дится почти всюду к некоторой интегрируемой функции f. Докажем, что ряд Упражнение Докажите самостоятельно полноту пространства L p.

Полнота пространства L p будет доказана из косвенных соображений ниже в главе 14. Тем не менее, читателю будет полезно найти прямое доказательство этого факта.

6.3.3. Подпространства и факторпространства банахова пространства Пусть X банахово пространство. Линейное подпространство Y X, наделённое нормой из X, называется подпространством банахова пространства X, если Y замкнуто в X. Таким образом, подпространство банахова пространства это снова банахово пространство. Как читатель уже наверняка заметил, смысл термина «подпространство» зависит от того, где это подпространство рассматривается. Так как банахово пространство одновременно является также метрическим, линейным и нормированным пространством, термин «подпространство» оказывается несколько перегруженным. Поэтому ещё раз обращаем внимание читателя на то, что по умолчанию в банаховых пространствах подпространствами мы будем называть только замкнутые линейные подпространства. Если же нам по какой-либо причине потребуется рассмотреть незамкнутое линейное подпространство, мы будем специально отмечать его незамкнутость.

Теорема. Пусть X банахово пространство, Y подпространство в X. Тогда факторпространство X / Y также банахово пространство.

Курс функционального анализа Доказательство. Пусть x n X таковы, что соответствующие классы эквивалентности образуют абсолютно сходящийся ряд: [ x n ] <. Нам же, в соответствие с критерием полноты, нужно доказать, что ряд [ x n ] сходится к некоторому элементу факторпространства. Для этого в каждом классе [ x n ] выберем по такому представителю y n, что y n [ x n ] + n.

Тогда y n это абсолютно сходящийся ряд в X, что ввиду полноты пространства означает, что y n сходится в X к некоторому элементу x.

Покажем, что [ x n ] = [ x ].

6.3.4. Упражнения 1. Пусть X банахово пространство, x n X фиксированная последовательность ненулевых векторов. Введём пространство E всех числовых последовательностей a = (a n )1, для которых ряд Наделим пространство E нормой a = sup a n x n : N = 1,2,.... Проверить, что E банахово пространство.

Пусть X банахово пространство, Y нетривиальное подпространство в X (то есть Y замкнуто и Y X ). Доказать, что Y нигде не плотно 3. Доказать, что банахово пространство не может быть представлено как объединение счётного числа нетривиальных подпространств.

4. Доказать, что базис Гамеля бесконечномерного банахова пространства несчётен.

Пусть P пространство всех полиномов (сколь угодно большой степени) с вещественными коэффициентами, наделённое нормой a 0 + a1t +... + a n t n = a 0 +... + a n. Будет ли это пространство полным?

e1 = (1, 0, 0,...), e2 = (0,1, 0,...),.... Доказать, что для любого a = ( an ) Глава 6. Нормированные пространства 7. Рассмотрим в l последовательность {en }1 из предыдущего упражнеen ?

диться к элементу x = (1,1,...) l ? Опишите те a = (a n )1 l, для коa n en сходится к 8. Докажите полноту пространства L (,, ).

9. Докажите в каждом из пространств L p (,, ), 1 p, плотность подмножества конечнозначных измеримых функций.

10. Пространства l p при 1 p < сепарабельны, а l не сепарабельно.

6.4. Пространство непрерывных линейных операторов 6.4.1. Критерий непрерывности линейного оператора Определение. Пусть X, Y нормированные пространства. Линейный оператор T : X Y называется ограниченным, если ограниченные последовательности он переводит в ограниченные последовательности. Другими Основная цель настоящего параграфа доказать равносильность непрерывности и ограниченности линейного оператора.

Теорема. Пусть X, Y нормированные пространства. Для линейного оператора T : X Y следующие условия эквивалентны:

(1) T непрерывен;

(2) T переводит стремящиеся к нулю последовательности в стремящиеся к (3) T переводит стремящиеся к нулю последовательности в ограниченные;

(4) T ограничен.

Доказательство. Импликации (1) (2) (3) ( 4) очевидны: условие (2) непрерывность оператора в нуле, это частный случай условия (1); третье условие следует как из второго, так и из четвёртого ввиду того, что стремящиеся к нулю последовательности ограничены. Докажем теперь обратные импликации.

(2) (1). Пусть последовательность векторов x n X сходится к Курс функционального анализа Tx n Tx = T ( x n x ) 0. То есть из сходимости x n к x следует схоn димость Tx n к Tx.

(3) (2). Будем рассуждать методом «от противного». Пусть условие (2) не выполнено: существует последовательность x n X, стремящаяся к 0, образ Tx n которой к нулю не стремится. Тогда из x n можно выделить подпоследовательность v n, для которой inf Tv n = > 0. Определим векторы wn = v n. Последовательность wn по-прежнему стремится к 0, но (3) (4). Пусть условие (4) не выполнено: существует ограниченная последовательность x n X, для которой sup Tx n =. Тогда из x n можно выделить подпоследовательность v n, для которой Tv n. Определим векторы wn = v n. Такая последовательность wn уже стремится к 0, но Twn = Tv n, что противоречит предположению (3).

Упражнения 1. Пусть X, Y нормированные пространства, T : X Y непрерывный линейный оператор. Тогда KerT замкнутое линейное подпространство в X. N.B.! Это простой, но важный факт, который в дальнейшем будет использоваться без дополнительных пояснений.

2. Образ непрерывного оператора может быть незамкнутым. Разберите это на примере оператора интегрирования:

6.4.2. Норма оператора Нормой линейного оператора T, действующего из нормированного пространства X в нормированное пространство Y, называется величина Утверждение 1. Пусть T <. Тогда для любого x X выполняется неравенство Tx T x.

Глава 6. Нормированные пространства Доказательство. Для x = 0 неравенство выполнено. Рассмотрим слуx Tx = x T T x, что и требовалось доказать.

Утверждение 2. Пусть X, Y нормированные пространства. Для линейного оператора T : X Y следующие условия эквивалентны:

(1) T ограничен;

(2) существует такая константа C > 0, что для любого x X выполнена (3) Доказательство. (1) (2). Пусть T =. Тогда для любого натурального числа n существует вектор x n S X, для которого Tx n > n. Последовательность x n ограничена, а образы её членов стремятся по норме к бесконечности. Мы получили противоречие с условием (1).

То, что условие (2) влечёт (3), доказано в утверждении 1 (с C = T ).

Осталось проверить импликацию (3) (1). Пусть x n X ограниченная последовательность, x n не превосходят некой константы K. Тогда, по условию (3), Tx n CK при всех n. Таким образом, оператор T переводит ограниченные последовательности в ограниченные, что и требовалось доказать.

Замечание 1. Если выполнено условие (3) предыдущего утверждения, T C. Этим соображением часто пользуются при оценке нормы оператора.

Замечание 2. В литературе можно встретить ещё целую серию эквивалентных определений нормы оператора:

Курс функционального анализа T это инфимум всех таких констант C 0, что неравенство Tx C x выполняется для всех x X.

Проверку эквивалентности этих определений исходному мы оставляем читателю в качестве упражнения.

Через L( X, Y ) будем обозначать пространство всех линейных непрерывных операторов, действующих из нормированного пространства X в нормированное пространство Y. На L( X, Y ) естественным образом вводятся линейные операции: если T1, T2 L( X, Y ) операторы, 1, 2 скаляры, то оператор 1T1 + 2 T2 L(X, Y ) действует по правилу (1T1 + 2T2 )x = 1T1 x + 2 T2 x. Выше мы описали, как вводится норма на L( X, Y ) норма оператора, но ещё не проверили, что эта норма действительно подчиняется аксиомам нормы.

Утверждение 3. Пространство операторов L( X, Y ) это нормированное пространство.

Доказательство. Проверим аксиомы нормы (п. 6.1.1).

1. Пусть T = 0. Тогда оператор T равен 0 во всех точках единичной сферы пространства X, что ввиду линейности оператора означает равенство нулю на всём X.

3. Пусть T1, T2 L( X, Y ), x X. Воспользуемся утверждением 1:

По предыдущему замечанию отсюда вытекает требуемое неравенство треугольника: T1 + T2 T1 + T2.

Норма оператора это важное понятие, часто используемое в нашем курсе. Поэтому настоятельно рекомендуем читателю, не имевшему ранее опыта работы с этим математическим объектом, уделить серьёзное внимание приводимым ниже упражнениям.

6.4.3. Упражнения T1 L( X, Y ), T2 L(Y, Z ). Докажите мультипликативное неравенство треугольника для композиции операторов: T2 T1 T2 T1.

Глава 6. Нормированные пространства 4. Пусть X банахово пространство, {x n }1 ограниченная последовательность в X, {en }1 канонический базис пространства l1 (см. упражнение 6 п. 6.3.4). Определим оператор T : l1 X формулой Ta = a n x n, где a = (a n )1 произвольный элемент пространства l1.

Доказать, что T непрерывный линейный оператор, Ten = x n и T = sup x n. Доказать, что любой непрерывный линейный оператор T : l1 X может быть записан указанным выше способом.

5. Пусть X нормированное пространство, X 1 подпространство в X.

Доказать, что факторотображение q пространства X на X X 1 (см.

п. 5.2.2) это непрерывный линейный оператор. Вычислить q. Доказать, что q( B X ) = B X / X1.

6. Пусть X, Y нормированные пространства, T : X Y линейный оператор. Проверить, что инъективизация T оператора T (см. п. 5.2.3) это непрерывный линейный оператор и || T ||=|| T ||.

7. Пусть в условиях предыдущего упражнения T (B X ) = BY. Доказать, что в этом случае T это биективная изометрия пространств X Ker T и 8. Пусть P пространство полиномов из упражнения 5 п. 6.3.4, Dm : P1 P1 оператор взятия m -й производной. Проверить, что Dm линейный оператор и вычислить его норму. Будет ли Dm непрерывным оператором?

9. Теперь на линейном пространстве P всех полиномов рассмотрим норn ванное пространство через P1. Будет ли оператор Dm : P1 P1 взятия m -мой производной непрерывным? Чему равна его норма?

10. В пространстве C[0,1] рассмотрим функционал F, действующий по x S C [0,1] F ( x ) < 1. Этот пример показывает, что супремум в определении нормы оператора может не достигаться.

11. Пусть X, Y нормированные пространства, T : X Y биективный линейный оператор. Оператор T будет изометрией в том и только том Курс функционального анализа 6.4.4. Поточечная сходимость Теорема 1. Пусть X, Y нормированные пространства, Tn : X Y линейные операторы и для любого x X существует lim Tn x. Тогда отоn бражение T : X Y, задаваемое равенством T ( x ) = lim Tn x, будет линейn ным оператором.

Доказательство. T ( ax1 + bx2 ) = lim Tn ( ax1 + bx2 ) = a lim Tn ( x1 ) + Определение. Последовательность линейных операторов Tn : X Y называется поточечно сходящейся к оператору T : X Y, если Tx = lim Tn x для всех x X.

Теорема 2. Пусть последовательность операторов Tn L( X, Y ) поточечно сходится к оператору T : X Y и sup || Tn ||= C <. Тогда Доказательство.

|| Tx ||= lim || Tn x || C || x ||.

Теорема 3. Если последовательность операторов Tn L( X, Y ) сходится к оператору T по норме пространства L( X, Y ), то она сходится к T и поточечно.

Упражнения 1. Пусть X = C[0,1], Y = R и операторы Tn L( X, Y ) действуют по правилу Tn ( f ) = f (0) f (1 n ). Вычислить нормы операторов Tn.

2. Из поточечной сходимости не следует сходимость по норме. Пример:

последовательность операторов из предыдущего упражнения стремится к 0 поточечно, но не стремится по норме.

3. Известен общий факт (Josefson-Nissenzweig, [Jos] & [Nis], см. также [Beh]): на любом бесконечномерном нормированном пространстве существует последовательность непрерывных линейных функционалов, сходящаяся к 0 поточечно, но не сходящаяся по норме. Приведите такие примеры во всех известных Вам бесконечномерных нормированных пространствах.

Глава 6. Нормированные пространства 4. В условиях теоремы 2 докажите, что || T || lim || Tn ||. Другими словаn ми, норма на L( X, Y ) полунепрерывна снизу по отношению к поточечной сходимости.

5. Введите на L( X, Y ) такую топологию, чтобы сходимость в этой топологии совпадала с поточечной сходимостью.

6.4.5. Полнота пространства операторов. Сопряжённое пространство Теорема. Пусть X нормированное, а Y банахово пространство.

Тогда L( X, Y ) банахово пространство.

Доказательство. Будем опираться на определение. Пусть операторы Tn L( X, Y ) образуют фундаментальную последовательность:

Tn Tm n,m 0. Тогда в каждой точке x X значения операторов лежат в полном пространстве Y и образуют последовательность Коши:

Tn x Tm x Tn Tm x 0. Следовательно, для любого x X существует предел последовательности Tn x. Определим оператор T : X Y равенством Tx = lim Tn x. По теореме 1 предыдущего параграфа 6.4.4, оператор T линеен. Так как каждая фундаментальная последовательность ограничена, то, по теореме 2 того же параграфа, T L( X, Y ).

Нам осталось проверить, что T = lim Tn в норме пространства L( X, Y ).

Ввиду фундаментальности последовательности Tn для любого > 0 существует такой номер N ( ), что T N T M < для любого M > N > N ( ).

Тогда для любой точки x S X единичной сферы при M > N > N ( ) также выполнена оценка T N x TM x <. Перейдя в последнем неравенстве к пределу при M, получим, что T N x Tx <. Если в левой части этого неравенства взять супремум по x S X, мы получим, что T N T при N > N ( ). То есть T = lim Tn, что и требовалось доказать.

Сопряжённым пространством к нормированному пространству X называется пространство X * всех непрерывных линейных функционалов на X, наделённое нормой f = sup f ( x ). Другими словами, если X вещественное пространство, то X = L( X ; R ), если же X комплексное пространство, то X * = L( X ; C ). Поскольку и R, и C полные пространства, то ввиду только что доказанной теоремы пространство X * полно независимо от того, полно или же неполно пространство X.

Курс функционального анализа Так же, как для нормы оператора (см. замечание 2 п. 6.4.2), для нормы функционала есть другие стандартные определения. Выпишем одно из тех, где играет роль то, что речь идёт именно о функционалах, а не об операторах общего вида.

Замечание. Пусть X вещественное нормированное пространство, Доказательство. Воспользуемся симметричностью сферы: x S X в том и только том случае, если x S X. Следовательно, sup f ( x ) = sup f ( x ). Соответственно, 1. Пусть X вещественное нормированное пространство, f X *. Тогда 2. Пусть X комплексное нормированное пространство, f X *. Тогда 3. На пространстве l всех ограниченных числовых последовательностей вида x = ( x1, x 2,...), наделённом нормой x = sup x n, зададим функционал f формулой f ( x ) = 6.5. Продолжения операторов В этом разделе мы рассмотрим некоторые простые, но полезные условия возможности продолжения непрерывного оператора с подпространства нормированного пространства на всё пространство.

Глава 6. Нормированные пространства 6.5.1. Продолжение по непрерывности Теорема 1. Пусть X 1 плотное подпространство нормированного пространства X ; Y банахово пространство, T1 L( X 1, Y ). Тогда оператор T1 продолжается единственным образом до оператора T L( X, Y ).

Доказательство. Ввиду плотности подпространства X 1 для любого x X существует последовательность x n X 1, стремящаяся к x. Тогда T1 x n образуют в Y последовательность Коши:

Обозначим предел этой последовательности через T (x ). Тогда Отметим, что T (x ) действительно зависит только от x и не зависит от выбора x n : если x 1 X 1 это какая-то другая стремящаяся к x последоваn делы у T1 x n и T1 x 1 совпадают. Проверим линейность оператора T. Пусть Ввиду уже доказанного неравенства T ( x ) T1 x оператор T непрерывен, то есть T L( X, Y ). Таким образом, мы доказали существование продолжения. Единственность следует из того, что две непрерывные функции, совпадающие на плотном множестве, совпадают всюду.

Упражнения 1. В вышеприведенном рассуждении мы опустили проверку того, что оператор T служит продолжением оператора T1. Проверьте это самостоятельно.

2. Докажите, что в условиях предыдущей теоремы T T1.

3. Пусть X, Y нормированные пространства, X 1 X произвольное подпространство, T L( X, Y ) это продолжение оператора 4. Сопоставив упражнения 2 и 3, докажите, что в условиях теоремы 5. Приведите пример непрерывной функции, заданной на плотном подмножестве отрезка [0,1], но не продолжающейся на весь отрезок с сохранением непрерывности.

Курс функционального анализа 6. Проверьте, что непрерывный линейный оператор это равномерно непрерывное отображение. Выведите основную теорему этого параграфа из теоремы п. 1.3.6 о продолжении равномерно непрерывного отображения. При этом линейность продолженного оператора можно вывести из единственности продолжения.

6.5.2. Проекторы и продолжение с замкнутого подпространства Пусть X 1 подпространство нормированного пространства X. Оператор P L( X, X ) называется проектором на X 1, если P( X ) X 1 и Px = x для любого x X 1.

Теорема. Для подпространства X 1 нормированного пространства X следующие условия эквивалентны:

(1) в X существует проектор на X 1 ;

(2) для любого нормированного пространства Y каждый оператор T1 L( X 1, Y ) продолжается до оператора T L( X, Y ).

Доказательство. (1) ( 2). Определим T L( X, Y ) формулой Tx = T1 ( Px ).

(2) (1). Возьмём Y = X 1 и определим T1 L( X 1, Y ) по правилу T1 x = x.

Пусть T L( X, Y ) продолжение оператора T1. Поскольку в нашем случае Y X, мы можем рассматривать T как оператор, действующий из X в X. Имеем: T ( X ) Y = X 1, и для любого x X 1 выполнены равенства Tx = T1 x = x. То есть T и есть требуемый проектор на X 1.

Упражнения 1. Распишите подробнее доказательство импликации (1) ( 2) последней теоремы.

2. Пусть X 1 подпространство нормированного пространства X, P L( X, X ) проектор на X 1. Тогда P( X ) = X 1 = Ker ( I P ) и подпространство X 1 замкнуто в X.

3. Пусть в условиях предыдущего упражнения X 1 {0}. Тогда P 1.

4. Для подпространства X 1 нормированного пространства X следующие условия эквивалентны:

в X существует проектор P на X 1 с P = 1;

для любого нормированного пространства Y каждый оператор 5. Пусть X = l1 (определение см. в п. 6.2.1, упражнение 2), X 1 подпространство, состоящее из всех элементов с нулевой суммой координат.

Докажите, что в X не существует проектора P на X 1 с P = 1.

Глава 6. Нормированные пространства 6.6. Комментарии к упражнениям Параграф 6.1. Упражнение 5. См. п. 18.2.1.

Параграф 6.2. Упражнение 3. См. теорему 2 п. 14.1.2.

Упражнение 7. Пусть g L p [a, b]. Рассмотрим последовательность срезок g n = min{n, max{ f,n}}. Последовательность функций стремится почти всюду к нулю и имеет интегрируемую мажоранту g.

Следовательно, по теореме Лебега о мажорированной сходимости, Упражнение 8. По предыдущему упражнению, достаточно доказать, что любая ограниченная функция f L p [a, b] может быть приближена непрерывными в метрике L p. Согласно упражнению 6 п. 3.2.3, существует последовательность f n непрерывных функций, сходящаяся к f почти всюду. Не нарушая общности, можем считать, что все f n ограничены по модулю той же константой C, что и f (иначе заменим f n срезками f n = min{C, max{ f n,C}}). Сходимость f n f p к 0 следует из теоремы Лебега о мажорированной сходимости.

Параграф 6.3. Курс функционального анализа 7. Абсолютная непрерывность мер и функций. Связь производной и интеграла 7.1. Заряды. Теоремы Хана и Радона Никодима Семейство всех конечных мер на фиксированной -алгебре не образует линейного пространства: их можно складывать, но уже разность двух мер может принимать отрицательные значения и, следовательно, не быть мерой. Это создаёт определённые неудобства, и, чтобы их избежать, вводят обобщение понятия меры, позволяя ей принимать не только положительные, но и отрицательные значения. Такую обобщённую меру называют зарядом.

В этом разделе (, ) будет множеством с заданной на нём алгеброй. Все функции будут, если не оговорено противное, считаться определёнными на, а меры и заряды будут определены на.

7.1.1. Теорема об ограниченности заряда Отображение : R называется зарядом, если оно подчиняется условию счётной аддитивности: для любой последовательности попарно Сразу заметим, что из определения следует сходимость ряда при всех перестановках слагаемых, то есть абсолютная сходимость. Многие свойства мер переносятся на заряды без изменения доказательств. Так, заряд пустого множества равен нулю (взять в определении счётной аддитивности все An = ); заряд конечно аддитивен (положить An = для всех n > N ). В частности, мы будем пользоваться следующими утверждениями: если A1, A2,..., An,... возрастающая цепочка множеств, то Ak = lim ( Ak ) ; если же цепочка множеств A1, A2,..., An,... убыk вает, то Ak = lim ( Ak ). Однако при работе с зарядами следует проk =1 k являть и некоторую осторожность: скажем, вполне может случиться, что ( A) > ( B ) для каких-то множеств A B ситуация, совершенно невозможная для мер.

Глава 7. Абсолютная непрерывность Для зарядов определены естественные операции сложения и умножения на скаляр: (a1 1 + a2 2 )( A) = a1 1 ( A) + a2 2 ( A), а также неравенства:

качестве B можно взять, в частности, пустое множество, + ( A) 0.

ми, подчиняется условию счётной аддитивности.

с Bn An : достаточно положить Bn = B An. Имеем Лемма 2. Пусть ( A) = +. Тогда для любого n N существует измеримое множество B A с + (B ) = + и ( B ) > n.

Доказательство. Выберем B1 A с ( B1 ) > n + | ( A) | и положим бесконечна. Соответствующее Bi и возьмём в качестве требуемого B.

Теорема 1. + это конечная счётно-аддитивная мера на.

Доказательство. Счётная аддитивность уже доказана в лемме 1. Докажем конечность. Пусть существует A с + ( A) = +. По лемме 2, существует A1 A с + ( A1 ) = + и ( A1 ) > 1. Применим лемму 2 ещё раз к множеству A1 с n = 2 и получим множество A2 A1 с + ( A2 ) = + и ( A2 ) > 2. Продолжая этот процесс, получим убывающую последовательность множеств A1, A2,..., An,... с ( An ) > n, что противоречит условию Ak = lim ( Ak ), отмеченному нами в начале параграфа.

Следствие (ограниченность заряда). Для любого заряда существуют такие константы C1,C2 R, что C1 ( A) C2 для любого A.

Курс функционального анализа Доказательство. Достаточно взять C2 = + ( ), C1 = ( ) + ().

Определение. Мера + называется положительной частью заряда ;

мера = ( ) + называется отрицательной частью заряда ; мера = + + называется вариацией заряда.

Теорема 2. Для любого заряда имеет место разложение Жордана (Jordan): = +. Следовательно, любой заряд представим в виде разности двух мер.

Доказательство. Для любого A \ B = C. Когда B пробегает A, C также пробегает всё A. Соответственно, 5. Проверьте, что для зарядов и даже для более общих функций множества сохраняет силу упражнение 4 п. 2.1.4: пусть конечно-аддитивная функция множества, заданная на -алгебре и принимающая значения в нормированном пространстве X. Пусть для любых A1, A2,..., An,..., образующих убывающую цепочку множеств с пустым пересечением, lim ( Ak ) = 0. Тогда это счётно-аддитивная функция множества.

6. Проверьте, что выражение = () задаёт норму в пространстве M (, ) всех зарядов на. Докажите полноту нормированного пространства M (, ).

7.1.2. Теорема Хана о множествах положительности и отрицательности Лемма. Для любого заряда на существует множество + с Глава 7. Абсолютная непрерывность Доказательство. Зафиксируем последовательность n > 0 с Положим + = lim An. Согласно пункту (i) леммы о верхнем пределе множеств (лемма 1 п. 3.2.3), применённому к мере +, из оценки (1) вытекает, что + ( + ) lim + ( An ) = + (). Пункт (ii) той же леммы, но применённый к, даёт равенство ( + ) = 0 : тут помогает оценка (2).

Теорема Хана. Для любого заряда существует разложение множества в дизъюнктное объединение измеримых множеств + и, обладающее тем свойством, что для любого подмножества в + заряд больше или равен нуля, а для любого подмножества в заряд меньше или равен нуля. Такое разложение единственно с точностью до -эквивалентности.

Доказательство. Возьмём в качестве + соответствующее множество из предыдущей леммы. Поскольку ( + ) = 0, заряд ни одного подмножества в + не может быть отрицателен. Положим = \ +. Поскольку + ( ) = + () + ( + ) = 0, заряд ни одного подмножества в не может быть положителен. Этим доказано существование разложения. Перейдём к вопросу единственности. Пусть 1 1 другое разложение с теми же свойствами. Тогда (1 ) = 0, ( + ) = 0 и, следовательно, Аналогично, Но 1 = 1 (симметрическая разность множеств совпадает с симметрической разностью их дополнений), поэтому также + (1 + ) = 0 и Множества + и называются соответственно множеством положительности и множеством отрицательности заряда, а представление = + разложением Хана.

Упражнения 2. Решите упражнение 3 п. 7.1.1, опираясь на предыдущее упражнение.

Курс функционального анализа По аналогии с п. 2.1.6, атомом заряда назовём такое подмножество Если у заряда есть атомы, заряд называется атомарным, если же атомов нет, то безатомным. Заряд называется чисто атомарным, если можно представить в виде объединения конечного или счётного числа непересекающихся атомов заряда. Докажите, что:

3. Атомы заряда совпадают с атомами меры. Заряд будет безатомным в том и только том случае, если это безатомная мера.

4. Любой заряд однозначно представляется в виде суммы чисто атомарного и безатомного зарядов.

В нормированном пространстве M (, ) (см. упражнение 6 п. 7.1.1) рассмотрим подмножества M at (, ) чисто атомарных зарядов и M n at (, ) безатомных зарядов. Докажите, что:

5. M at (, ) и M n at (, ) это замкнутые подпространства в M (, ) и Так же, как и в случае мер, определим допустимые разбиения (такие, : S A ( f, D, T, ) = f (tk ) ( k ). Интегрируемость и интеграл функции по заряду также определим через предел интегральных сумм.

8. Измеримая функция f будет интегрируемой по отношению к заряду на множестве A в том и только том случае, если f интегрируема по 9. Измеримая функция f будет интегрируемой по отношению к заряду на множестве A в том и только том случае, если f интегрируема на A 10. Измеримая функция f будет интегрируемой по отношению к заряду на множестве A в том и только том случае, если f интегрируема на A по мере.

11. Докажите линейность выражения счётную аддитивность по A.

Глава 7. Абсолютная непрерывность 12. Докажите неравенство 7.1.3. Абсолютно непрерывные меры и заряды Пусть заряд, а счётно-аддитивная мера на. Заряд называется абсолютно непрерывным по отношению к мере (обозначение:

| | ( A). Применив это условие с = n, получим существование множеств An с ( An ) < n и | | ( An ). Тогда для множества B = lim An имеем | | ( B ) и ( B ) = 0, что противоречит условию | | 0, следовательно, | | ( A) < для всех > 0. Таким образом, | | ( A) = 0, и, соответственно, ( A) = 0.

1. Пусть g (t ). Тогда, с одной стороны, f g > 0 на A и, с другой стороны, Отметим ещё одну простую, но полезную переформулировку теоремы Лви.

Глава 7. Абсолютная непрерывность Теорема 3. Пусть f n L1 (,, ) образуют возрастающую последовательность, и f n v при всех n. Тогда последовательность f n сходится -почти всюду к некоторой функции f L1 (,, ), и f v.

Упражнения 2. Проверьте, что отображение f f это линейное изометрическое вложение пространства L1 (,, ) в M (, ).

3. Найдите + и для заряда f.

Напомним, что в упражнениях 8-12 п. 7.1.2 было введено определение интеграла функции по заряду.

4. Измеримая функция g на будет интегрируемой по заряду f в том и только том случае, если функция gf интегрируема по мере. При этом Последнее упражнение записывают в виде условного равенства d f = f d, означающего, что под знаком интеграла одно из этих выражений можно заменять другим.

7.1.5. Строгая сингулярность Пусть 1, 2 заряды на. Заряд 1 называется строго сингулярным по отношению к заряду 2 (обозначение: 1 2 ), если существует такое разбиение множества в объединение непересекающихся множеств сосредоточены на двух разных, непересекающихся между собой множествах: 1 на A1, а 2 на A2. Как видно из определения, отношение строгой сингулярности симметрично: 1 2 2 1. Пример: + для любого заряда.

Для пары, мер на введём в рассмотрение семейство F (, ) интегрируемых неотрицательных измеримых функций f, для которых f. Далее, введём величину m(, ) = sup fd : f F (, ). Отметим одно очевидное свойство введённых понятий: если 0 1 2, то Курс функционального анализа Лемма. Следующие условия для пары мер, эквивалентны:

Доказательство. Если, то существует разбиение = A1 A2, с следовательно, Обратно, пусть m(, ) = 0. Рассмотрим вспомогательные заряды зуют требуемое разбиение = A есть Далее, A1 n, то есть ( n )( A1 ) 0 при всех n. Следовательно, и Упражнения 1. Если и 0 существует такое = ( ) > 0, что на любом конечном наборе непересекающихся открытых подотрезков ( ak, bk ) [a, b], k = 1,2,..., n, с Отметим, что каждая абсолютно непрерывная функция непрерывна (применить определение, взяв в качестве набора отрезков один отрезок длины, меньшей, и любая линейная комбинация абсолютно непрерывных функций также абсолютно непрерывна.

Теорема. Пусть f абсолютно непрерывная функция на отрезке [a, b]. Тогда f это функция ограниченной вариации. Более того, функции f1 (t ) = Vat ( f ) и f 2 (t ) = Vat ( f ) f (t ) также абсолютно непрерывны, то есть f представима в виде разности f1 f 2 двух возрастающих абсолютно непрерывных функций.

Доказательство. Возьмём = ( ) > 0 из определения абсолютной непрерывности. Пусть [c, d ] [a, b] и d c. Тогда для любого конечного набора непересекающихся открытых подотрезков ( ak, bk ) [c, d ], k = 1, 2,..., n, сумма длин отрезков не превосходит, следовательно, Курс функционального анализа f (bk ) f ( ak ). Взяв супремум по всем таким наборам, получим оценку Все утверждения теоремы вытекают из этой оценки. Действительно, разобьём [a, b) в конечное число непересекающихся подотрезков [ck, d k ) [a, b], k = 1, 2,..., m, длина каждого из которых не превосходит.

риации. Далее, согласно (), если d c, то f1 ( d ) f1 ( c). Этим доказана непрерывность функции f1, а с ней и f 2.

Упражнения 1. Пусть последовательность f n функций на [a, b] сходится поточечно к функции f. Тогда Vab ( f ) sup Vab ( f n ).

2. Обозначим через bv[a, b] линейное пространство функций ограниченной вариации на [a, b]. Проверить, что Vab это полунорма на bv[a, b] (определение полунормы см. в упражнениях п. 6.1.3).

3. Доказать, что ядро полунормы Vab состоит из констант.

4. Рассмотрим факторпространство пространства bv[a, b] по подпространству X констант. Определим норму любого класса эквивалентности [ f ] bv[a, b] / X равенством [ f ] = Vab ( f ). Проверить корректность такого определения.

5. Полученное нормированное пространство bv[a, b] / X обозначается V [a, b].

6. Определим оператор T : V [a, b] L1[a, b] равенством Tf = f (оператор взятия производной). Проверить, что T непрерывный линейный оператор.

7. Опираясь на предыдущее упражнение, докажите теорему Фубини о дифференцировании ряда (упражнение 3 п. 2.3.3).

8. V [a, b] банахово пространство.

Через AC[a, b] обозначим подмножество пространства V [a, b], образованное классами эквивалентности абсолютно непрерывных функций.

9. AC[a, b] замкнутое подпространство пространства V [a, b].

Глава 7. Абсолютная непрерывность 7.2.5. Абсолютно непрерывные функции и абсолютно непрерывные борелевские заряды Теорема. Для функции распределения F борелевской меры на отрезке [a, b] следующие условия эквивалентны:

A. F абсолютно непрерывна и F (a ) = 0 ;

B. Мера абсолютно непрерывна по отношению к мере Лебега.