«В. М. Кадец КУРС ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Харьков 2006 УДК 517.98 517.51 ББК 22.162 К 13 Рекомендовано к печати ученым советом механико-математического факультета Харьковского национального университета имени В. Н. ...»

Доказательство. Как отмечено в конце предыдущего параграфа, наличие общей константы Липшица означает равностепенную непрерывg G (0, g (t )) = ( g (0), g (t )) | t | 2 ; то есть семейство G равномерно ограничено. Равномерный (и даже поточечный) предел функций, удовлетвоС изопериметрической задачей связана легенда о царице Дидоне основательнице Карфагена. Когда колонисты прибыли на новое место, туземцы приняли их не очень любезно. В ответ на просьбу выделить участок для строительства города был дан фактический отказ, сформулированный так: «Вам позволено занять под свой город столько места, сколько можно отгородить одной бычьей шкурой». Однако Дидона не растерялась. Она приказала разрезать шкуру на тонкие ремешки и, связав их вместе, обозначить границу будущего поселения. При этом, разумеется, желательно было получить площадь побольше, то есть решить изопериметрическую задачу.

Курс функционального анализа ряющих условию Липшица с константой 1, снова подчиняется условию Липшица с той же константой. Выпуклость также не нарушается при таком предельном переходе, то есть семейство G замкнуто. Итак, компактность семейства G доказана. Осталось проверить непрерывность функции s. Пусть f1, f 2 G, обозначим фигуры на плоскости, ограниченные этими кривыми, через F1 и F2 соответственно, а ( f 1, f 2 ) обозначим через.

Через F1, обозначим множество всех точек, находящихся от F1 на расстоянии, не превосходящем. Выберем на отрезке [0,2 ] -сеть t1,..., t n с n < 2. Ввиду условия Липшица, множество f 1 (t1 ),..., f 1 (t n ) будет сетью на кривой f1 ([0,2 ]). С центром в каждой из точек f 1 (t k ) построим круг радиуса 2. Объединение этих n кругов и множества F1 будет покрывать всё множество F1, и, следовательно, будет покрывать множество F2. Имеем s ( f 2 ) s( f1 ) + 4n 2 s( f1 ) + 8 2. Учитывая равноправность функций f 1 и f 2, то есть что в вышеприведенном рассуждении их можно = 8 2 ( f 2, f1 ), то есть отображение s не просто непрерывно, а даже подчиняется условию Липшица.

Упражнения 1. Докажите выпуклость множества F1, из доказательства предыдущей теоремы.

2. Докажите включение F1, F2.

3. Восстановите подробности доказательства замкнутости семейства G в 4. Докажите, что супремум площадей всех выпуклых фигур заданного периметра l совпадает с супремум площадей всех фигур, ограниченных спрямляемыми кривыми длины l. Другими словами, условие выпуклости в изопериметрической задаче несущественно.

1.4.4. Канторово множество Троичным разложением числа x [0,1] называется представление числа в виде x = 1 + 2 + 3 +..., где цифры разложения x k это 0, или 2. Сокращённая запись x = (0. x1 x2...) 3. Некоторые числа имеют по два троичных разложения. Например, (0.10000...) 3 = (0.02222...) 3. По определению, канторово множество это подмножество K отрезка [0,1], состоящее из чисел, имеющих хотя бы одно разложение в троичную дробь, не содержащее цифры 1. Структуру канторова множества проще понять, рассмотрев его дополнение. Так, числа, чьи троичные разложения обязаГлава 1. Метрические и топологические пространства тельно имеют 1 в качестве первой цифры, образуют интервал 1 = ( 1, 3 ).

Числа, у которых первая цифра не равна 1, а вторая обязательно равна 1, вместе образуют два интервала 2 = ( 9, 9 ) и 2 = ( 9, 9 ). Такое рассуждение даёт описание всго дополнения к K. Соответственно, K можно представить себе как результат следующего построения: на первом шаге из отрезка [0,1] выбросим его среднюю треть отрезок ( 3, 3 ). Останутся два отезка [0, ] и [ 3,1]. В каждом из оставшихся отрезков выбросим его среднюю треть. Останутся уже четыре отрезка. Снова в каждом из оставшихся отрезков выбросим среднюю треть. То, что останется по окончании такого бесконечного процесса это и есть канторово множество K.

Упражнения 1. Канторово множество K замкнуто.

2. K совершенное множество, то есть не имеет изолированных точек.

3. Мощность канторова множества равна мощности континуума.

4. Опишите скорость роста в нуле величины n K (r ) для канторова множества (определение см. в упражнениях п. 1.4.1).

5. Канторово множество нигде не плотно на отрезке.

6. Для любого компактного метрического пространства X существует сюръективное непрерывное отображение f : K X.

7. Рассмотрим множество 2 N всех подмножеств натурального ряда в следующей топологии: базу окрестностей подмножества A N образуют семейства подмножеств U n ( A) = {B N : B I {1,2,..., n} = A I {1,2,..., n}}.

Проверьте, что 2 N в этой топологии гомеоморфно канторову множеству.

Курс функционального анализа 2. Теория меры 2.1. Системы множеств и меры 2.1.1. Алгебры множеств Пусть в фиксированном множестве выделено некоторое семейство подмножеств A. Семейство A называется алгеброй множеств на, если оно подчиняется следующим аксиомам:

Читатель легко убедится, что если A это алгебра множеств, то пересечение любого конечного числа множеств из A снова лежит в A;

объединение двух множеств из A снова лежит в A (здесь поможет тот факт, что дополнение к объединению есть пересечение дополнений);

объединение любого конечного числа множеств из A снова лежит в A;

разность и симметрическая разность множеств из A снова принадлежит семейству A.

Введём одно полезное обозначение. Пусть множества A1, A2,... дизъюнктны (то есть попарно не пересекаются). Тогда их объединение будем обозначать значком дизъюнктного объединения:

употребляем где-либо знак дизъюнктного объединения, это означает, что мы требуем дизъюнктность входящих в объединение множеств. Скажем, запись C = A B следует понимать так: A и B дизъюнктны и Утверждение 1. Для любой последовательности A1, A2,... элементов алгебры A существуют такие A1, A2,... A, что Ak Ak при всех k, и Доказательство. Требуемые попарно не пересекающиеся множества Ak можно, в принципе, строить разными способами. Простейший удалить из каждого множества точки, принадлежащие предыдущим множестk вам, то есть положить A1 = A1 и Ak = Ak \ A j при k > 1.

Глава 2. Теория меры Ясно, что последнее утверждение выполнено как для счётных, так и для конечных последовательностей множеств.

Примером алгебры множеств может служить семейство 2 всех подмножеств множества. Другие, менее тривиальные примеры приведены в упражнениях.

Теорема 1. Пусть некоторое семейство подмножеств множества. Тогда среди всех алгебр множеств, содержащих в качестве подсемейства, существует наименьшая по включению.

Доказательство. Определим A как пересечение всех алгебр на, содержащих. Другими словами, множество A принадлежит A в том и только том случае, если A принадлежит всем алгебрам множеств, содержащим в качестве подсемейства. Очевидно, любая алгебра множеств, содержащая, содержит и A. В то же время для семейства множеств A легко проверяются аксиомы алгебры множеств:

1. принадлежит всем алгебрам множеств, содержащим, следовательно, A.

2. Если A A, то A принадлежит всем алгебрам множеств, содержащим. Следовательно, \ A принадлежит всем алгебрам множеств, содержащим, и \ A A.

3. Если A1, A2 A, то оба множества лежат во всех алгебрах множеств, содержащих. Следовательно, A1 A2 принадлежит всем алгебрам множеств, содержащим, и A1 A2 A.

Наименьшая алгебра A = A ( ), содержащая, называется алгеброй, порождённой семейством. В этом случае говорят также, что порождает алгебру A. Конструктивное описание алгебры, порождённой данным семейством, можно найти ниже в упражнении 6.

Упражнения 1. Каким из аксиом алгебры множеств не подчиняется семейство всех конечных подмножеств отрезка [0,1] ? Семейство всех бесконечных подмножеств отрезка?

Опишите наименьшую алгебру множеств на [0,1], содержащую все одноточечные подмножества.

3. Проверьте, что следующее семейство множеств является алгеброй на [0,1] :, [0, ], ],1], [0,1].

Подотрезками отрезка [0,1] будем называть любые открытые, замкнутые или полуоткрытые отрезки, лежащие в [0,1]. Проверьте, что множества, составленные из конечных объединений подотрезков, образуют Курс функционального анализа алгебру на [0,1]. Будет ли эта алгебра порождаться системой всех открытых подотрезков? Системой всех полуоткрытых подотрезков?

5. Проверьте, что пересечение любого набора алгебр на множестве снова алгебра.

6. Пусть некоторое семейство подмножеств множества, содержащее в качестве элемента. Покажите, что множества, получаемые из элементов семейства конечным числом операций пересечения и перехода к дополнению, вместе образуют алгебру. Эта алгебра будет совпадать с алгеброй, порождённой семейством.

7. Пусть A семейство подмножеств множества, подчиняющееся аксиомам 1 и 2 алгебры и устойчивое относительно операции объединения пары множеств. Тогда A алгебра.

2.1.2. -Алгебры множеств. Борелевские множества Семейство подмножеств множества называется -алгеброй, если оно является алгеброй множеств и устойчиво относительно операции счётного объединения: для любой последовательности An элементов алгебры их объединение также элемент алгебры. Переходом к дополнениям сразу получаем, что -алгебра устойчива и относительно операции счётного пересечения (формулы де-Моргана: п 1.1, упражнение 10).

Из утверждения 1 предыдущего параграфа следует, что если семейство образует алгебру множеств, то проверку того, что это -алгебра, достаточно осуществлять не для всех счетных объединений, а лишь для счетных объединений попарно не пересекающихся множеств.

Проверка корректности следующего определения осуществляется таким же образом, как доказательство теоремы 1 п. 2.1.1.

Определение 1. Пусть семейство подмножеств множества.

Наименьшая -алгебра, содержащая, называется -алгеброй, порождённой семейством. совпадает с пересечением всех -алгебр на, содержащих.

Перефразируем определение в виде следующего утверждения:

Утверждение 1. Если некоторая -алгебра 0 содержит семейство, то 0 содержит и всю -алгебру, порождённую семейством.

Пусть топологическое пространство. -Алгебра B, порождённая семейством всех открытых подмножеств, называется -алгеброй борелевских множеств на. Элементы -алгебры B называются борелевскими множествами.

К сожалению, в общем случае для -алгебры, порождённой семейством множеств, и, в частности, для системы борелевских подмножеств тоГлава 2. Теория меры пологического пространства, нет хорошего конструктивного описания, аналогичного упражнению 6 предыдущего пункта. Тем не менее, некоторое представление о борелевских множествах можно составить, исходя из следующих соображений. Семейство B содержит все открытые подмножества пространства. Поскольку B алгебра, B содержит и дополнения ко всем открытым множествам, то есть все замкнутые множества. Как -алгебра, B содержит все счётные объединения замкнутых множеств (такие множества называются множествами класса F ). Также B содержит все счётные пересечения открытых множеств множества класса G. Счётные объединения множеств класса G называются множествами класса G ; счётные пересечения множеств класса F называются множествами класса F ; счётные объединения множеств класса F образуют класс F ; аналогичным образом вводятся борелевские классы G, F и так далее до бесконечности. Все эти классы множеств содержатся в -алгебре борелевских множеств, но даже борелевские множества на отрезке не исчерпываются множествами вышеперечисленных борелевских классов. 1 Подробно о борелевских классах можно прочитать в учебнике Куратовского [Kur], гл. 2, §30. Важность изучения борелевских множеств обусловлена тем, что множества, естественно возникающие в задачах анализа, множества точек непрерывности, точек гладкости, точек сходимости и т. д., как правило, являются борелевскими множествами, причём не очень далёких борелевских классов.

Следующее полезное утверждение служит иллюстрацией того, что одна и та же -алгебра может порождаться различными системами множеств.

Утверждение 2. Совокупность множеств вида (a,+ ), a R порождает -алгебру B борелевских множеств на оси.

Доказательство. Обозначим -алгебру, порождённую семейством множеств (a,+ ), a R, через 1. Нам нужно доказать, что 1 = B. Поскольку B содержит все открытые множества, B, в частности, содержит и множества вида (a,+ ). По утверждению 1 это означает, что 1 B. Согласно тому же утверждению 1, для доказательства обратного включения достаточно показать, что все открытые множества лежат в 1. Пусть b R произвольное число. Замкнутая полуось [b,+) представима в виде счётЧтобы получить все борелевские множества, нужно определить классы G … и F … не только для случая, когда индекс … конечная последовательность, но и для любых счётных ординалов. Тут мы сталкиваемся с одним из вопросов теории меры, где нужно знание порядковых чисел и трансфинитной индукции.

Курс функционального анализа ного пересечения множеств вида (a,+ ) : [b, +) = (b, +). Следоваn тельно, [b, + ) 1. Также в 1 лежат все открытые отрезки:

(a, b) = (a, +) \ [b, +). Поскольку каждое открытое множество на оси есть объединение не более чем счётного числа открытых отрезков, все открытые множества служат элементами -алгебры 1. Утверждение доказано.

Определение 2. Ограничением семейства подмножеств на подмножество A называется совокупность A всех пересечений элементов семейства с множеством A: A = {A B : B }.

Упражнения Определим семейство подмножеств отрезка [0,1] следующим образом: множество принадлежит семейству, если либо оно само, либо его дополнение не более чем счётно. Будет ли семейство алгеброй?

Будет ли семейство счётных объединений подотрезков отрезка [0,1] алгеброй?

Пусть X топологическое пространство, A борелевское подмножество в X. Рассмотрим A как подпространство в X. Докажите, что каждое подмножество B A, борелевское в подпространстве A, будет борелевским множеством и в исходном пространстве X.

Образуют ли множества первой категории на отрезке [0,1] -алгебру?

Опишите наименьшую -алгебру множеств на отрезке [0,1], содержащую все подмножества первой категории.

Опишите наименьшую -алгебру множеств на отрезке [0,1], содержащую все подмножества второй категории.

Пусть A плотное множество класса G в полном метрическом пространстве X. Тогда X \ A множество первой категории в X.

8. Пересечение конечного или счётного числа плотных множеств класса G в полном метрическом пространстве снова плотное множество Пусть A множество класса G в полном метрическом пространстве X. A замыкание множества A. Тогда A \ A множество первой категории в X.

10. Приведите пример убывающей цепочки счётных плотных подмножеств отрезка с пустым пересечением.

Глава 2. Теория меры 11. Счётное плотное подмножество отрезка не может принадлежать классу 12. Пусть f вещественнозначная функция на отрезке. Докажите, что множество dc( f ) всех точек разрыва функции f множество класса 13. Выпишем все открытые отрезки с рациональными концами в последовательность (an, bn ), n = 1,2,…, и рассмотрим An = (, an ] [bn, +). В Определение. Функция f :[0,1] R называется функцией первого класса, если f можно представить в виде поточечного предела последовательности непрерывных функций f n C[0,1].

Подробно о функциях первого класса см. [Kur], гл. 2, § 31.

14. Пусть f :[0,1] R функция первого класса. Тогда f 1 ([ a, b]) G для любого замкнутого отрезка [a, b].

15. Для функции f первого класса множество dc( f ) множество первой категории, и, следовательно, у f есть точки непрерывности.

16. Докажите, что множество всех точек дифференцируемости непрерывной функции на отрезке борелевское множество. Какому борелевскому классу оно принадлежит?

17. Пусть f n последовательность непрерывных вещественных функций на отрезке. Проверьте, что множество всех точек сходимости последовательности f n борелевское множество. Какому борелевскому классу оно принадлежит?

18. Докажите, что любое открытое подмножество метрического пространства принадлежит классу F и, соответственно, любое замкнутое классу G. В общих топологических пространствах это утверждение, вообще говоря, неверно.

19. Докажите, что классы F и G на отрезке не совпадают.

20. Докажите, что в сепарабельном метрическом пространстве -алгебра, порождённая семейством всех открытых шаров, совпадает с алгеброй борелевских множеств.

21. Сохраняется ли утверждение предыдущего утверждения в силе, если отказаться от условия сепарабельности?

22. Докажите, что -алгебра борелевских множеств на оси порождается неким счетным набором множеств (такие -алгебры называются счётно-порождёнными).

Курс функционального анализа 23. Докажите, что мощность любой счётно-порождённой -алгебры не превосходит мощности континуума. Докажите, что, в частности, существует ровно континуум борелевских множеств на оси.

2.1.3. Произведение -алгебр Пусть (1,1 ), ( 2, 2 ) множества с заданными на них алгебрами. «Прямоугольниками» в 1 2 назовём множества вида A1 A2, где A1 1, A2 2. Определим -алгебру 1 2 на декартовом произведении 1 2 как наименьшую -алгебру, содержащую все «прямоугольники».

Упражнения Пусть B1,B 2 борелевские -алгебры на топологических пространствах X 1 и X 2 соответственно, B -алгебра борелевских множеств Произведение -алгебр борелевских множеств на двух сепарабельных метрических пространствах X 1 и X 2 совпадает с -алгеброй борелевских множеств на X 1 X 2. В частности, произведение -алгебр борелевских множеств на оси совпадает с -алгеброй борелевских множеств на плоскости.

3. Сохраняется ли утверждение предыдущего утверждения в силе, если отказаться от условия сепарабельности?

2.1.4. Меры: конечная и счётная аддитивность Читатель уже встречался с понятием меры, хотя, возможно, и без упоминания этого термина. Скажем, число элементов множества это мера на семействе N f всех конечных подмножеств натурального ряда; площадь это мера на семействе плоских фигур, имеющих площадь; длина спрямляемой кривой, объём, масса это всё примеры мер. В п. 2.3.1 будет построен центральный в рамках теории меры пример мера Лебега на отрезке.

Определение 1. Пусть множество с заданным на нём семейством подмножеств. Функция множества : R называется конечноаддитивной мерой, если она подчиняется следующим требованиям:

1. ( A) 0 для любого A ;

Глава 2. Теория меры 2. Если A1, A2,..., An, множества Ak попарно не пересекаются, и непустые множества нулевой меры.

Если областью определения конечно-аддитивной меры служит некоторая алгебра множеств, то условие 2 можно переформулировать проще:

2'. Для любой пары непересекающихся множеств A1, A2 мера их объединения равна сумме мер: ( A1 A2 ) = ( A1 ) + ( A2 ).

Отметим некоторые свойства конечно-аддитивных мер:

Утверждение 1. Пусть конечно-аддитивная мера на некоторой алгебре A подмножеств множества. Тогда b) Если A1, A2 A, и A2 A1, то ( A2 ) ( A1 ). В частности, если Доказательство.

b) прямое следствие пункта a): ( A1 ) ( A2 ) = ( A1 \ A2 ) 0.

c) Если ( A2 ) = 0, то и ( A2 A1 ) = 0. Остаётся применить пункт а).

d) Запишем A1 A2 как объединение трёх непересекающихся множеств:

e) выводится индукцией по n из d).

Наиболее изученными и полезными в приложениях конечноаддитивными мерами являются счётно-аддитивные меры, то есть меры, подчиняющиеся, наряду с аксиомами 1 и 2 определения 1, следующей аксиоме счётной аддитивности:

Курс функционального анализа Счётно-аддитивные меры называют ещё -аддитивными.

Для меры, заданной на -алгебре, проверка счётной аддитивности несколько упрощается: если A1, A2,..., An,..., то автоматически и Счётно-аддитивная мера, заданная на -алгебре подмножеств множества, называется вероятностной мерой, если () = 1.

Утверждение 2. Пусть счётно-аддитивная мера, заданная на алгебре подмножеств множества. Тогда 1. Если A1, A2,..., An,... возрастающая цепочка множеств (то есть 2. Если A1, A2,..., An,... убывающая цепочка множеств (то есть Доказательство. Обе части утверждения доказываются аналогично, более того, одну часть можно вывести из другой переходом к дополнениям. Докажем, для примера, первое из утверждений. Итак, пусть An образуют возрастающую цепочку множеств. Положим A : = Ak. Рассмотрим множества Bn = An +1 \ An. Последовательность множеств A1, B1, B2, B3,...

дизъюнктна (то есть множества попарно не пересекаются), A1 Bk = An +1, A1 Bk = A. Воспользуемся условием счётной аддитивности и определением суммы ряда:

Утверждение доказано.

Ещё пара чрезвычайно простых, но тем не менее полезных замечаний.

Утверждение 3. Пусть счётно-аддитивная мера, заданная на алгебре подмножеств множества, An, n = 1,2,… Тогда Глава 2. Теория меры тающую по n цепочку множеств, согласно п. 1 утверждения 2, мы имеем право в неравенстве Ak ( Ak ), доказанном в утверждении 1, пеk =1 k = рейти к пределу при n, стремящемся к бесконечности.

могательные множества Ak ' уже не пересекаются между собой. Так как ваться счётной аддитивностью.

Упражнения 1. Докажите вторую часть утверждения 2.

Если счётно-аддитивная мера задана на -алгебре, то ( An ) Пусть конечно-аддитивная мера, заданная на -алгебре подмножеств множества и для любой возрастающей цепочки множеств выполнено соотношение Ak = lim ( Ak ). Тогда мера счётноk =1 k аддитивна.

Счётная аддитивность меры, заданной на -алгебре, эквивалентна следующему условию: для любых A1, A2,..., An,..., образующих убывающую цепочку множеств с пустым пересечением, lim ( Ak ) = 0.

множестве N всех натуральных чисел рассмотрим -алгебру 2N всех Курс функционального анализа подмножеств. Определим для любого A 2N меру ( A) равенством ( A) = bm. Проверить, что это счётно-аддитивная мера.

6. Докажите, что в предыдущем упражнении описан общий вид счётноаддитивной меры на 2N.

7. Привести пример конечно-аддитивной, но не счётно-аддитивной меры на некоторой алгебре подмножеств натурального ряда.

8. Привести пример конечно-аддитивной, но не счётно-аддитивной меры на -алгебре 2N всех подмножеств натурального ряда.

9. Докажите пункт e) утверждения 1 и утверждение 3, опираясь на утверждение 1 п. 2.1.1.

10. Пусть на некоторой алгебре подмножеств множества задана коn n Сохранится ли утверждение в силе при замене n на + ?

11. Пусть в условиях предыдущего упражнения для некоторого k N каждая точка множества A принадлежит по крайней мере k различным множествам A j, 1 j n (так называемое k -кратное покрытие). Тогда 2.1.5. Пространства с мерой. Полнота. Пополнение -алгебры по мере Тройка (,, ), где множество с заданной на нём -алгеброй, а счётно-аддитивная мера на, называется пространством с мерой.

Если к тому же вероятностная мера ( () = 1 ), то (,, ) называется вероятностным пространством. В теории вероятностей множество называется пространством элементарных событий, элементы -алгебры событиями, а ( A) вероятностью выполнения события A. Измеримые функции, рассматриваемые в следующей главе, в рамках теории вероятностей называются случайными величинами, интеграл случайной величины математическим ожиданием. Хотя мы и не будем пользоваться вероятностной терминологией, многие из изучаемых в ближайших главах вопросов играют роль и в теории вероятностей.

Определение. Пространство с мерой (,, ) называется полным (другой термин полна по отношению к мере ) при выполнении следующего условия: для любого A с ( A) = 0, если B A, то B.

Если -алгебра не полна по отношению к мере, то можно естественным образом доопределить на более широкую -алгебру ', котоГлава 2. Теория меры рая уже будет полна по отношению к. Эта описанная ниже процедура доопределения называется пополнением -алгебры по мере. Итак, пусть (,, ) неполное пространство с мерой. Подмножество B назовём пренебрежимым, если существует такое A, что ( A) = 0 и B A. Отметим следующие очевидные свойства пренебрежимых множеств:

если множество B пренебрежимо и B, то ( B) = 0;

если множество B пренебрежимо, то и все его подмножества пренебрежимы;

объединение конечного или счётного семейства пренебрежимых множеств пренебрежимо (следует из утверждения 3 п. 2.1.4).

Два множества A1, A2 назовём эквивалентными ( A1 ~ A2 ), если их симметрическая разность A1 A2 пренебрежима. Отношение ~ рефлексивно и симметрично (очевидно), а также транзитивно: если A1 ~ A2, A2 ~ A3, то симметрическая разность A1 A3 ( A1 A2 ) ( A2 A3 ) пренебрежима, то есть A1 ~ A3. Отметим ещё несколько свойств.

2. Если An ~ Bn, n M, где M конечный или счётный набор индексов, ( \ A)( \ B) = AB, второй из соотношений Докажем третий пункт. Поскольку ( B1B2 ) = 0, множества B1 \ B2 и B2 \ B1 имеют нулевую меру. Имеем ( B1 ) = ( B1 B2 ) + ( B1 \ B2 ) = Определим семейство множеств ' следующим образом: A ', если существует такое B, что A ~ B.

Теорема 1. Семейство множеств ' содержит -алгебру и, в свою очередь, образует -алгебру на.

Мы советуем читателю отнестись к утверждениям, доказываемым в этом параграфе, как к упражнениям, и попробовать найти доказательства самостоятельно.

Курс функционального анализа Доказательство. Если A, то A ' : достаточно в определении взять B = A. Проверим теперь для ' выполнение аксиом -алгебры.

2. Если A ', то и \ A '. Действительно, по определению, существует такое B, что A ~ B. Но тогда \ B и ( \ A) ~ ( \ B ).

3. Пусть множества An принадлежат семейству ', Bn, An ~ Bn, Доопределим меру до меры ', заданной уже на '. Пусть A ', B и A ~ B. Положим ' ( A) = ( B). Это определение корректно ввиду п. 3 леммы, то есть ' ( A) зависит только от A и не зависит от выбора B.

Теорема 2. Мера ' счётно-аддитивна.

Доказательство. Пусть An ' дизъюнктная последовательность множеств, Bn и An ~ Bn. Поскольку для любых i, j N пересечение Ai A j пусто, а Bi B j ~ Ai A j, то (Bi B j ) = 0. Воспользуемся пунктом 2 утверждения 3 предыдущего параграфа и соотношениями An ~ Bn, Построенное пространство с мерой (, ', ' ) называется пополнением пространства с мерой (,, ). Часто меру ' обозначают той же буквой, что и. Это не приводит к недоразумениям, так как по построению ' = Пополнение пространства с мерой это полное пространство.

2. Пространство с мерой полно тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим пополнением.

Пусть (, ', ' ) пополнение пространства с мерой (,, ), A.

Покажите, что A ' в том и только том случае, если существуют такие B, C, что A ' в том и только том случае, если существуют такое B и такое пренебрежимое множество C, что A = B C.

Пусть (,, ) пространство с мерой. Покажите, что выражение ( A, B) = ( AB) задаёт псевдометрику на.

Глава 2. Теория меры 5. Пусть An и ряд последовательность An сходится к множеству A = Ak.

6. (, ) полное псевдометрическое пространство.

2.1.6. Операции над мерами. -Мера. Атомы, чисто атомарны е Пусть множество с заданной на нём -алгеброй. Для мер на определены естественным образом операции сложения и умножения на положительный скаляр: (1 + 2 )( A) = 1 ( A) + 2 ( A); (a )( A) = a ( A).

Предлагаем читателю самостоятельно проверить, что описанные операции над счётно-аддитивными мерами не выводят за пределы класса счётноаддитивных мер.

Определение. Атомом меры называется такое подмножество Если у меры есть атомы, мера называется атомарной, если же атомов нет, то безатомной. Мера называется чисто атомарной, если можно представить в виде объединения конечного или счётного числа непересекающихся атомов.

Типичным примером чисто атомарной меры служит -мера. Пусть x произвольная точка множества. -Мерой, сосредоточенной в точке x, называется мера x, определённая правилом: x ( A) = 1, если x A, и Напомним, что множества A1, A2 называются эквивалентными ( A1 ~ A2 ), если ( A1A2 ) = 0. Скажем, для меры x её атом эквивалентен одноточечному множеству {x}.

Решив нижеприведенные упражнения, читатель получит, в частности, доказательства следующих теорем:

Теорема 1. Любая счётно-аддитивная мера на -алгебре может быть представлена в виде суммы чисто атомарной и безатомной мер, причём такое представление единственно.

Теорема 2. Пусть сепарабельное метрическое пространство, -алгебра содержит все борелевские множества, счётно-аддитивная мера на. Тогда каждый атом меры эквивалентен некоторому одноточечному множеству.

Упражнения Курс функционального анализа 1. Если множество эквивалентно атому, то оно само является атомом.

2. Если атомы A1, A2 меры не эквивалентны, то ( A1 A2 ) = 0.

3. Пусть A1, A2,..., An,... конечная или счётная последовательность попарно не эквивалентных атомов меры. Тогда существует такая дизъюнктная последовательность A1 ', A2 ',..., An ',... атомов меры, что Ak ' ~ Ak, k = 1,2,... (воспользуйтесь утверждением 1 п. 2.1.1).

4. Меры всех представителей одного класса эквивалентности совпадают.

В связи с этим мерой класса эквивалентности будем называть меру представителя этого класса.

5. Класс эквивалентности атома будем называть атомарным классом.

Сумма мер любого конечного числа попарно различных атомарных классов не превосходит ().

6. Существует не более чем счётное число различных атомарных классов.

7. Существует такая конечная или счётная дизъюнктная последовательность A1, A2,... атомов меры, что любой атом меры эквивалентен одному из An.

8. В условиях предыдущего упражнения положим A : = Ak и опредеk = 2 ( A) = ( A \ A ). Проверьте, что 1 и 2 будут счётно-аддитивными мерами, = 1 + 2, мера 1 чисто атомарна и 2 безатомна. Этим будет доказано существование разложения в теореме 1.

9. Пусть = 1 '+ 2 ' какое-то разложение на чисто атомарную и безатомную меры, B атом меры. Тогда B атом для 1 ' и ( B ) = 1 ' ( B ). Обратно, каждый атом меры 1 ' эквивалентен некоторому атому меры.

10. В условиях предыдущего упражнения мера 1 ' совпадает с мерой из упражнения 8. Этим будет доказана единственность разложения в теореме 1.

11. Пусть и из формулировки теоремы 2, A. Тогда множество A можно разбить на не более чем счётное число попарно не пересекающихся множеств из, с диаметрами, не превосходящими.

12. В условиях теоремы 2 для каждого атома A меры и для любого > 0 существует атом A1 A (автоматически эквивалентный атому 13. В условиях теоремы 2 пусть A атом меры. Воспользовавшись A A1 A2... An... атомов с diam ( An ) < 1 n. Докажите, что пересечение этой цепочки множеств состоит из одной точки и что полуГлава 2. Теория меры ченное одноточечное множество будет атомом. Этим будет доказана теорема 2.

14. Пусть -алгебра на [0,1] из упражнения 1 п. 2.1.2. Положим ( A) = 0, если A не более чем счётно, и ( A) = 1, если дополнение к A не более чем счётно. Проверить, что отрезок [0,1] будет атомом этой меры, но не будет эквивалентен какой бы то ни было точке.

15. Пусть счётно-аддитивная безатомная мера на -алгебре. Тогда для любого A и любого (0,1) существует подмножество B A 2.2. Продолжения мер Часто меры первоначально определены естественным образом на каком-то относительно узком классе множеств, и, прежде чем начать ими пользоваться, их нужно доопределить на множествах более широкого класса. Такая ситуация встречается даже в школьном курсе математики:

площадь определяется вначале для прямоугольников, затем для треугольников, потом через разбиение на меньшие части для произвольных многоугольников. Через приближение круга многоугольниками определяется площадь круга. Аналогичный путь нужно пройти для определения объёма. В настоящем разделе мы изучим общую схему продолжения мер и применим её для построения самого важного для нас примера меры Лебега на отрезке.

2.2.1. Продолжение меры с полукольца множеств на порождённую Определение 1. Семейство подмножеств множества называется полукольцом с единицей, если 3. Для любого множества A его дополнение \ A может быть представлено как объединение конечного числа попарно не пересекающихся элементов семейства.

Для множества A базовым представлением назовём представn ление в виде A = Ak, где Ak. Разумеется, могут найтись множества, и не имеющие базового представления.

Теорема 1. Пусть полукольцо с единицей. Тогда семейство A всех множеств, имеющих базовые представления, образует наименьшую алгебру A ( ), содержащую.

Курс функционального анализа Доказательство. Докажем, что A алгебра множеств. Пусть Тогда A B = семейство A устойчиво по отношению к операции пересечения конечного числа множеств.

Теперь докажем, что семейство A устойчиво по отношению к операn {Ak }n =1. По аксиоме 3 полукольца с единицей все множества \ Ak также принадлежит A. Таким образом, A алгебра. Осталось заметить, что любая алгебра множеств, содержащая все элементы полукольца, обязана содержать и все их конечные объединения, то есть все элементы семейства A. Этим доказано, что A = A ( ).

Теорема 2. Любая конечно-аддитивная мера, заданная на полукольце с единицей, единственным образом продолжается до конечноаддитивной меры, заданной на алгебре A ( ), порождённой семейством.

Доказательство. Начнём с единственности. Пусть ' некоторое вольного элемента алгебры A ( ). Тогда ' ( A) = ' ( An ) = ( An ). Таким образом, ' ( A) определяется однозначно мерой.

Покажем теперь, что полученное выше выражение ' ( A) = ( An ) действительно задаёт конечно-аддитивную меру на A ( ). Начнем с проверки корректности такого определения, то есть с того, что ' ( A) определяется множеством A, а не выбором его базового представления. Пусть Глава 2. Теория меры A A ( ). Введём в рассмотрение множества Ci, j = Ai B j. Эти множестn Корректность определения обоснована. Конечная же аддитивность меры B j, i = 1,..., n, j = 1,..., m в совокупности образуют базовое представление Теорема 3. Если счётно-аддитивная мера на полукольце с единицей, то её продолжение ' на алгебру A = A ( ), порождённую полукольцом, также будет счётно-аддитивным.

ление множества принадлежат полукольцу. Ввиду счётной аддитивноmk Курс функционального анализа Определение 2. Пусть семейство множеств, : R +. Функция множества называется счётно полуаддитивной, если для любых Теорема 4 (критерий счётной аддитивности). Пусть конечноаддитивная мера на полукольце с единицей, подчиняющаяся условию счётной полуаддитивности. Тогда счётно-аддитивна.

аддитивности достаточно доказать неравенство продолжение меры на алгебру A ( ), построенное в теореме 2. Из устремить n к бесконечности.

Упражнения 1. На каком основании в доказательстве теоремы 3 мы позволили себе перегруппировывать слагаемые в бесконечной сумме? Вообще говоря, сумма ряда может изменяться в результате такой процедуры. Почему этого не могло произойти в данном случае?

2. Приведите пример такого семейства множеств на отрезке и такой конечно-аддитивной меры на, что любое продолжение меры на алгебру, порождённую, не будет конечно-аддитивной мерой.

3. Пусть семейство множеств, конечно-аддитивная меры на. Может ли быть так, что существует более одного продолжения меры на алгебру, порождённую, с сохранением конечной аддитивности?

4. Обоснуйте равенство Ai = Cij из доказательства теоремы 2. Где анаj = логичное соотношение использовалось в доказательстве теоремы 3?

5. Пусть полукольцо с единицей. Докажите, что.

Глава 2. Теория меры 6. Пусть семейство всех треугольников на плоскости (треугольники рассматриваются вместе с внутренностью). Для каждого A через r ( A) обозначим радиус вписанного в треугольник A круга. Проверить, что функция множества r счётно полуаддитивна на. Будет ли r конечно-аддитивной мерой на ?

2.2.2. Внешняя мера Пусть множество с заданной на нём алгеброй подмножеств A и счётно-аддитивной мерой. Как мы уже упоминали, наиболее естественной областью определения для счётно-аддитивной меры была бы не алгебра, а -алгебра множеств. Поэтому было бы очень хорошо уметь доопределять счётно-аддитивную меру на -алгебру, порождённую алгеброй A.

Первая приходящая на ум идея такого продолжения действовать по аналогии с теоремой 2 предыдущего параграфа. А именно, рассмотреть дизъюнктные счётные объединения множеств из A. Если все такие множества снова лежат в A, то мы с самого начала имеем дело с -алгеброй. В противном случае меру таких объединений определим как сумму мер составных частей. Можно обосновать корректность такого определения, но в отличие от упомянутой теоремы 2 класс множеств, на который мы продолжим таким образом меру, ещё не будет -алгеброй. Более того, он будет неустойчив по отношению к операции перехода к дополнению, то есть даже перестаёт быть алгеброй! Следовательно, дальше нужно как-то определить меру на дополнениях полученных множеств. А что тогда делать с объединениями этих дополнений? Хотя эту идею в принципе и можно реализовать (некоторые замечания на эту тему см. ниже в п. 2.2.4), многих технических трудностей позволяет избежать другой подход, базирующийся на понятии внешней меры. Изобретением этого подхода мы обязаны Лебегу (H. Lebesgue).

Определение. Пусть A произвольное множество. Внешней мерой множества A называется величина Внешняя мера определена уже на всех подмножествах множества, но на таком широком классе множеств она не обладает даже конечной аддитивностью. В следующем параграфе будет построена -алгебра множеств A, на которой * будет счётно-аддитивной мерой, чем будет решена задача продолжения меры. В настоящем же параграфе мы проведём некоторую подготовительную работу.

Свойства внешней меры:

1. Монотонность: если A B, то * ( A) * ( B).

Курс функционального анализа 2. Полуаддитивность: для любых 3. Счётная полуаддитивность: если A 5. Если A A, то * ( A) = ( A), то есть * это продолжение меры.

Доказательство. 1. Для * ( A) инфимум в определении берётся по более широкому семейству наборов превосходит инфимума по более узкому.

2. Опять вместо инфимума по всем покрытиям рассмотрим инфимум по более узкому классу:

3. Здесь аргументация та же, что для 2.

inf ( Bk ) : Bk A, A Bk через ( A). Согласно утверждению определении ( A) берётся по более узкому классу множеств, чем в определении внешней меры.

Глава 2. Теория меры таким наборам { } получаем неравенство ( A) * ( A). Обратное неAk 1, равенство получим, если в определение внешней меры подставим следующий конкретный набор {Ak }1 : A1 = A, а в качестве остальных Ak возьмём пустые множества.

По аналогии с упражнениями 4-6 п. 2.1.5 введём на семействе всех подмножеств множества псевдометрику, порождённую внешней мерой: ( A, B ) = * ( AB ).

Свойства псевдометрики :

1. Для любых A, B, C выполнено неравенство треугольника:

( A, C ) ( A, B) + ( B, C ) (этим обосновывается законность употребления термина «псевдометрика» по отношению к ).

мера непрерывна по отношению к.

3. ( A, B ) = ( \ A, \ B ), то есть переход к дополнению это изометрия.

5. ( An, Bn ) ( An, Bn ) для любых конечных или счётных наnM боров множеств An, Bn.

Доказательство. Для каждого из перечисленных свойств выпишем соотношения, из которых оно следует:

3. ( \ A)( \ B ) = AB;

Упражнения 1. Восстановите подробное доказательство счётной полуаддитивности внешней меры.

Курс функционального анализа ров множеств An, Bn.

3. Функция ( A, B ) A B непрерывна как функция двух переменных по отношению к псевдометрике.

Множество A называется -пренебрежимым, если ( A, ) = 0.

Выведите следующие свойства пренебрежимых множеств:

4. A является -пренебрежимым в том и только том случае, если 5. Если A B и B -пренебрежимо, то A также -пренебрежимо;

6. Конечное или счётное объединение -пренебрежимых множеств пренебрежимо.

2.2.3. Продолжение меры с алгебры на -алгебру Пусть, как и в предыдущем пункте, множество с заданной на нём алгеброй подмножеств A и счётно-аддитивной мерой. Множество A назовём измеримым, если оно принадлежит замыканию по семейства A. Семейство всех измеримых подмножеств множества обозначим через. Более подробно: A в том и только том случае, если для любого > 0 существует такое B A, что ( A, B) <. Очевидно, A. Отметим, что класс измеримых множеств зависит не только от исходной алгебры A, но и от меры. Если нужно подчеркнуть, что рассматриваемые измеримые множества порождены именно мерой, их называют не просто измеримыми, а - измеримыми.

Пример. Если множество A -пренебрежимо (то есть ( A,) = или, эквивалентно, * ( A) = 0 ), то A измеримо.

Лемма 1. Пусть A и для любого > 0 существует такое B, Доказательство. Можно просто сослаться на то, что замыкание множества это замкнутое множество. Можно расписать и подробнее. Выберем B с ( A, B ) <. По определению измеримого множества для этого Лемма 2. Объединение счетного числа элементов алгебры A измеримо.

Глава 2. Теория меры Доказательство. Пусть An A дизъюнктная последовательность, случай произвольной последовательность множеств An A к уже разобранному, достаточно применить утверждение 1 п. 2.1.1.

Теорема 1. Семейство всех измеримых подмножеств множества образует -алгебру.

Доказательство. Во-первых,, так как A. Далее, пусть A, а An A последовательность, аппроксимирующая A:

( \ A, \ An ) = ( A, An ) 0. То есть \ A. Осталось проверить устойчивость по отношению к операции счётного объединения. Пусть Теорема 2. Ограничение внешней меры * на -алгебру счётноаддитивно.

Доказательство. Докажем вначале конечную аддитивность внешней меры на. Пусть A1, A2 дизъюнктная пара, > 0. По определению ( A1, B1 ) + ( A2, B2 ) <. Множества B j могут пересекаться между собой, но это пересечение не может быть большим. Действительно, по свойству псевдометрики Воспользуемся теперь свойствами 2 и 5 функции :

Курс функционального анализа Ввиду произвольности равенство * ( A1 A2 ) = * ( A1 ) + * ( A2 ), а с ним и конечная аддитивность доказаны.

Для завершения доказательства воспользуемся теоремой 4 п. 2.2.1:

конечно-аддитивная мера на полукольце с единицей (а значит, и на алгебре, так как -алгебра тоже полукольцо), подчиняющаяся условию счётной полуаддитивности, автоматически счётно-аддитивна. Итак, мы построили продолжение меры до счётно-аддитивной меры, заданной на -алгебре A. Таким образом, одновременно доказано существование такого продолжения на -алгебру, порождённую алгеброй A. Соединив это с результатами предыдущего параграфа, получаем следующее утверждение.

Теорема 3. Любая счётно-аддитивная мера, заданная на полукольце с единицей, продолжается до счётно-аддитивной меры, заданной на алгебре, порождённой этим полукольцом.

Полученное продолжение меры на -алгебру -измеримых множеств мы будем обозначать той же буквой, что и исходную меру. То есть, по определению, ( A) = * ( A) для A. Единственность продолжения и другие полезные свойства описанной конструкции читатель найдёт в нижеприведенных упражнениях.

1. Пусть множество с заданной на нём алгеброй подмножеств A и счётно-аддитивной мерой ; 1 -алгебра, порождённая алгеброй A, 1 некоторое счётно-аддитивное продолжение меры на 1. Тогда 2. Пусть на некоторой алгебре множеств заданы две конечноаддитивные меры 1 и 2, 1 ( ) = 2 ( ) и 1 ( A) 2 ( A) для любого A. Тогда меры 1 и 2 совпадают.

3. Из предыдущих двух упражнений вывести единственность счётноаддитивного продолжения с алгебры на порождённую ею -алгебру.

Отсюда вывести единственность продолжения в теореме 3.

4. Докажите единственность продолжения на любую -алгебру, лежащую Если математик в понедельник нашёл пустой чайник, набрал воду, закипятил её и заварил чай, то во вторник для приготовления чая он вначале выльет всю воду из чайника, чтобы свести задачу к предыдущей. Мы действовали похожим образом. Мера уже задана на -алгебре. Чтобы получить счётную аддитивность, мы сводим к критерию, где мера задана на полукольце и где в доказательстве нужно продолжать меру с полукольца на алгебру.

Глава 2. Теория меры 5. Пополнение пространства с мерой (, 1, *) совпадает с пространством 6. Пусть (, A, ) полное пространство с мерой. Показать, что семейство измеримых подмножеств, построенное для (, A, ) по описанной в настоящем параграфе схеме, будет совпадать с A.

2.2.4. Теорема о монотонном классе множеств В настоящем параграфе мы углубим наше представление об устройстве измеримых множеств и докажем одну теорему, которая пригодится нам в п. 4.4.4.

Пусть (,, ) пространство с конечной мерой, полученное, как описано выше, продолжением меры с некоторого полукольца с единицей. То есть по полукольцу была построена порождённая им алгебра A ( ), по алгебре внешняя мера *, по внешней мере класс измеримых множеств (это и есть наше ) и мера на определена равенством ( A) = * ( A). Обозначим через 1 семейство всех множеств, представимых в виде объединения конечного или счётного дизъюнктного набора элементов полукольца. Через 2 обозначим семейство всех множеств, представимых в виде пересечения убывающей последовательности множеств семейства 1. Поскольку семейство измеримых множеств это - алгебра, 1 и 2 состоят из измеримых множеств.

Утверждение 1. Класс множеств 1 устойчив по отношению к операции пересечения конечного числа множеств и к операции объединения конечного или счётного дизъюнктного набора множеств.

элемента семейства 1, записанные как соответствующие счётные объединения дизъюнктных наборов элементов полукольца (чтобы избежать отдельного рассмотрения конечных представлений, напомним, что какието из множеств Ak, Bk могут быть пустыми). Тогда пересечение множеств A и B также записывается как счётное дизъюнктное объединение элементов полукольца : A B = ( Ak B j ) 1.

Далее, пусть An = An,k 1 записаны как соответствующие дизъk = юнктные объединения и сами дизъюнктны. Тогда Курс функционального анализа Утверждение 2. Для любого множества A Доказательство. Каждый элемент алгебры A как конечное дизъюнктное объединение элементов полукольца это элемент семейства 1.

Следовательно, и счётное дизъюнктное объединение элементов алгебры A лежит в 1. Остаётся воспользоваться свойством 4 внешней меры (п. 2.2.2), с заменой Утверждение 3. Для любого множества A существует такое множество B 2, что A B и * ( A) = ( B ).

Доказательство. По предыдущему утверждению для любого n N существует Bn 1, Bn A с ( Bn ) < * ( A) + 1 n. Не нарушая общности, можно считать, что Bn образуют убывающую цепочку множеств (иначе заменим Bn на Bn = Bk ). Пересечение этой убывающей цепочки и будет требуемым множеством.

Определение. Пусть (,, ) пространство с мерой. Семейство называется монотонным классом множеств, если оно подчиняется следующим аксиомам:

Если A1, A2,..., An,... возрастающая цепочка множеств, то Отметим, что из аксиомы A следует, что монотонный класс устойчив относительно операции объединения конечного числа попарно непересекающихся множеств. Отсюда, применив D, выводим, что монотонный класс устойчив относительно объединения счётного дизъюнктного набора множеств.

Теорема (теорема о монотонном классе множеств). Пусть (,, ) пространство с мерой, полученное, как описано в разделе 2.2, продолжением меры с некоторого полукольца с единицей. Пусть, далее, монотонный класс множеств, содержащий все элементы полукольца. Тогда =.

Глава 2. Теория меры Доказательство. Поскольку, то по аксиоме B монотонного класса вместе с каждым своим элементом A класс содержит и дополнение \ A. Перейдя в аксиоме D к дополнениям, получаем устойчивость класса к операции пересечения убывающей цепочки множеств.

Введённые в начале параграфа семейства 1 и 2 лежат в. Согласно утверждению 3, для любого множества A меры 0 существует такое множество B 2, что A B и ( B ) = 0. Следовательно, по аксиоме C, любое множество A меры 0 это элемент класса. Наконец, рассмотрим произвольное A. Снова воспользуемся утверждением 3 и множество меры 0; следовательно, C. Осталось применить аксиому B и получить, что A = B \ C.

Упражнения Класс 1 это семейство всех множеств, представимых в виде объединения конечного или счётного (не обязательно дизъюнктного) набора элементов алгебры A.

Класс 1 это семейство всех множеств, представимых в виде объединения конечного или счётного (не обязательно дизъюнктного) набора элементов полукольца.

Класс множеств 1 устойчив по отношению к операции объединения конечного или счётного числа множеств (возможно, пересекающихся).

Класс множеств 2 устойчив по отношению к операции пересечения конечного или счётного числа множеств.

Обоснуйте включение 2 в доказательстве последней теоремы.

6. Где при завершении доказательства теоремы использовалось условие A (то есть измеримость)? Нельзя ли таким же способом доказать, что любое подмножество A принадлежит ?

На отрезке [0,1] рассмотрим полукольцо (точнее, даже алгебру) множеств, состоящую из конечных множеств и дополнений к ним. Докажите, что класс 1 в этом случае не будет алгеброй множеств.

Опишите в условиях предыдущего упражнения класс 2. Докажите, что в этом случае 2 будет -алгеброй множеств.

9. Пусть множество, состоящее из четырёх точек, = 2, мера множества определяется как количество элементов этого множества («считающая мера»). Докажите, что семейство всех подмножеств, состоящих из чётного числа элементов, это монотонный класс, не совпадающий с. Не противоречит ли этот пример последней теореме?

10. Докажите следующий вариант теоремы о монотонном классе множеств: пусть (,, ) пространство с мерой, полукольцо с Курс функционального анализа единицей, порождающее -алгебру. Пусть, далее, 2 монотонный класс множеств, содержащий все элементы полукольца. Тогда.

2.3.1. Мера Лебега на отрезке Как мы уже упоминали, длина это мера на семействе отрезков. В настоящем параграфе мы применим общую теорию продолжения меры к этому исторически первому и базовому для всей теории меры примеру.

Пусть = (1, 2 ) это конечный открытый невырожденный отрезок. Подотрезком отрезка будем называть любой открытый, замкнутый или полуоткрытый отрезок, лежащий в, то есть любое подмножество вида [a, b], [a, b), (a, b) или (a, b], содержащееся в. В частности, пустое множество, равно как и все одноточечные множества, это подотрезки.

Семейство всех подотрезков отрезка образует полукольцо множеств, которое мы, как обычно, обозначим буквой. Для любого подотрезка через () обозначим его длину. То есть ( ) = b a, где a и b соответственно левый и правый концы отрезка.

Теорема 1. это счётно-аддитивная мера на полукольце.

Доказательство. Согласно критерию счётной аддитивности (теорема 4 п. 2.2.1), нам нужно проверить конечную аддитивность и счётную полуаддитивность меры.

Конечная аддитивность. Пусть k, k = 1, 2,..., n непересекающиеся подотрезки, выписанные в порядке возрастания, a k, bk концы соответn ствующих k и пусть концы отрезка, а a k, bk концы соответствующих k. Зададимся произвольным > 0 и, немного отступив от концов исходных отрезков, введём вспомогательные отрезки ' и k ' k так, чтобы ' был замкнутым, а k ' были открытыми подмножествами отрезка, и Глава 2. Теория меры то есть чтобы концы были передвинуты не слишком сильно.

но теперь это включение уже несёт другую смысловую нагрузку: это так хорошо нам знакомое открытое покрытие компакта! Выберем конечное подпокрытие, то есть возьмём такое конечное множество индексов N N, что ( ) ( k ) +. Ввиду произвольности счётная полуаддитивность доказана.

Применив к мере схему продолжения мер, изложенную в разделе 2.2, мы получим такую счётно-аддитивную меру (будем её тоже обозначать буквой ), заданную на -алгебре, что (( a, b) ) = b a для любого отрезка (a, b). Элементы -алгебры называются множествами, измеримыми по Лебегу, а построенная мера на называется мерой Лебега.

Пока что определение меры Лебега дано в несколько зашифрованном виде, с отсылкой к общей схеме продолжения мер. Цель нижеперечисленных замечаний расписать это определение максимально подробным и понятным способом.

2. Множество, состоящее из одной точки, измеримо и имеет нулевую меру Лебега. Следовательно, мера Лебега любого конечного или счётного множества также равна нулю.

3. Внешняя мера любого множества A может быть вычислена по Курс функционального анализа чуть большим открытым отрезком так, чтобы сумма длин изменилась сколь угодно мало. То есть в вышеприведенной формуле могут с тем же успехом использоваться вместо замкнутых открытые отрезки:

5. По определению, подмножество A отрезка измеримо по Лебегу, если для любого > 0 существует такое множество B, имеющее вид конечного объединения отрезков, что * ( AB ) <.

6. Для любого измеримого по Лебегу множества A, по определению продолжения меры, ( A) = * ( A).

7. Внешняя мера и, следовательно, мера Лебега множества A не зависят от отрезка A, с которого начиналось построение. Поэтому в дальнейшем мы можем не уточнять, на каком именно отрезке рассматриваются все множества.

8. Мера Лебега множества сохраняется при параллельном переносе множества.

9. Если * ( A) = 0, то A измеримо по Лебегу, и ( A) = 0 (пример в начале п. 2.2.3). Такие множества называют пренебрежимыми, или множествами меры 0.

10. Поскольку любое открытое множество на отрезке измеримо по Лебегу, то и любое борелевское подмножество отрезка измеримо по Лебегу ( это -алгебра, содержащая все открытые множества, а B, по определению, наименьшая -алгебра, содержащая все открытые множества). В частности, все замкнутые множества, множества классов G, F и т. д. измеримы по Лебегу.

Теорема 2. Множество A измеримо по Лебегу в том и только том случае, если оно представимо в виде разности B \ C множества B класса G и множества C B с * (C ) = 0.

Доказательство. Поскольку множества класса G, равно как и пренебрежимые множества, измеримы, разности таких множеств также измеримы. Поэтому в доказательстве нуждается только обратное утверждение.

Итак, пусть подмножество A измеримо по Лебегу. По определению, ( A) = * ( A). Согласно формуле (2) для внешней меры, для любого n N существует открытое множество Bn A с ( Bn ) < ( A) + 1 n. ПоГлава 2. Теория меры ложим B = Bn. Множество B, как и требуется, принадлежит классу G положить C = B \ A.

Переходом к дополнениям получаем следующее:

Следствие. Множество A измеримо по Лебегу в том и только том случае, если оно представимо в виде дизъюнктного объединения множества класса F и пренебрежимого множества.

Так как борелевские множества на отрезке измеримы по Лебегу, к ним также можно применять предыдущую теорему и следствие из неё. Получаем, что, хотя борелевские подмножества отрезка и не исчерпываются множествами классов F и G, они не сильно отличаются от множеств этих классов. Более того, сами множества классов F и G могут быть получены друг из друга добавлением или вычитанием пренебрежимых множеств.

Отмеченные выражения измеримых множеств через борелевские классы и пренебрежимые множества дают полезную информацию об устройстве меры Лебега и множеств, измеримых по Лебегу. Однако не следует чрезмерно обольщаться кажущейся простотой полученной картины:

пренебрежимыми множествами можно пренебрегать с точки зрения меры, но во многих других смыслах они могут быть устроены весьма непросто.

Пример. Множество нулевой меры, имеющее мощность континуума.

Напомним, что канторово множество это замкнутое подмножество K отрезка [0,1], состоящее из чисел, чьи разложения в троичную дробь либо вообще не содержат цифры 1, либо содержат её только в качестве последней цифры разложения. Построить канторово множество можно с помощью следующей процедуры пошагового выбрасывания из отрезка [0,1] лишних частей. На первом шаге выбрасывается множество 1 = ( 3, 3 ).

Обозначим K1 = [0,1] \ 1. Множество K1 состоит из двух отрезков длины 1 3. На каждом из этих отрезков отступим от концов на одну треть их длины и выбросим получившиеся в середине подотрезки 2 = ( 9, 9 ) и 2 = ( 9, 9 ). Обозначим K 2 = K1 \ ( 2 2 ). На n -ном шаге множество K n будет состоять из 2 n отрезков длины 1 3n, и для получения K n +1 из середины каждого из составляющих K n отрезков удаляется его треть. КантоКурс функционального анализа рово множество совпадает с составляющих его отрезков, то есть ( K n ) = 2 n 3n, что стремится к нулю Континуальность канторова множества можно доказывать поразному. Вот один из простейших способов. K подмножество отрезка, следовательно, card K не превосходит мощности континуума. Для доказательства обратного неравенства построим инъективное отображение множества континуальной мощности в K. Каждой двоичной дроби x (0,1) поставим в соответствие троичную дробь f (x ), оставив нули дроби x без изменения, а единицы заменив двойками. Функция f и будет требуемым инъективным отображением. Другим доказательством континуальности K будет упражнение 12 п. 1.3.5.

Упражнения 1. Вычислите меры Лебега следующих множеств:

A. [1,3] [5,6];

B. ( 2,4) \ ([1,3] [5,6]);

C. (( 2,4) \ [1,3]) [5,6];

D. [1,4][2,6];

G. Множества рациональных чисел на отрезке [0,1];

H. Множества иррациональных чисел на отрезке [0,1].

2. Пусть A [0,1] и дополнение к A имеет нулевую меру. Тогда A плотно в [0,1].

f ( x ) = * ( A [0, x ]). Докажите непрерывность функции f.

4. Постройте на отрезке [0,1] нигде не плотное множество, имеющее положительную меру Лебега.

5. Постройте множество второй категории на отрезке, имеющее нулевую меру.

6. Мера Лебега атомарна или безатомна?

Глава 2. Теория меры 7. Если измеримое множество имеет ненулевую меру Лебега, то его мощность равна мощности континуума.

8. Мощность семейства пренебрежимых множеств на отрезке равна мощности семейства всех подмножеств отрезка. Следовательно (см. упражнение 23 п. 2.1.2), существуют не борелевские пренебрежимые множества.

9. Каждое пренебрежимое множество содержится в пренебрежимом множестве класса G.

( A) = sup{ ( B ) : B A и B замкнуто}. Докажите, что:

11. Множество A измеримо по Лебегу в том и только том случае, если ( A) = * ( A).

2.3.2. Ещё немного терминологии. Смысл термина «почти всюду»

Пусть (,, ) пространство с мерой. Элементы -алгебры будем называть измеримыми множествами. Если же на рассматривается одновременно несколько -алгебр и нужно уточнить, о какой именно алгебре идёт речь, то элементы -алгебры будем называть измеримыми множествами. Скажем, на отрезке наряду с измеримыми по Лебегу множествами есть ещё -алгебра B борелевских множеств. В соответствии с введённой терминологией, борелевские множества можно называть ещё B-измеримыми, или измеримыми по Борелю.

Напомним, что множество A называется пренебрежимым (см. п.

2.1.5), если A содержится в измеримом множестве нулевой меры. Если (,, ) полное пространство с мерой (как, скажем, отрезок с мерой Лебега), то определение упрощается: термины «пренебрежимое множество»

и «множество меры 0» становятся синонимами. Множество называется множеством полной меры, если его дополнение пренебрежимо.

Предложение P, касающееся точек множества, называется выполненным для почти всех t, или выполненным почти всюду, если множество тех t, где предложение P не выполнено, пренебрежимо. Например, функция f : R равна нулю почти всюду (сокращённая запись f = 0 ), если множество тех t, где f (t ) 0, пренебрежимо. f g, если множество тех t, где f (t ) < g (t ), пренебрежимо, и т. д. Рассуждения и оценки, проводимые почти всюду, гораздо удобнее обычных поточечных рассуждений. Так, на отрезке (а отрезок по умолчанию мы предполагаем наделённым мерой Лебега), если у функции конечное или счётное число Курс функционального анализа точек разрыва, в этих точках мы часто можем не определять функцию или определять наиболее удобным нам в данный момент способом, ведь для почти всех значений аргумента это никак не скажется на функции.

Отметим два важных свойства, вытекающих непосредственно из свойств пренебрежимых множеств (п. 2.1.5).

Пусть предложение P1 влечёт предложение P2, и P1 выполнено почти всюду. Тогда и P2 выполнено почти всюду.

Пусть Pj, j M конечный или счётный набор предложений, а P предложение, состоящее в одновременном выполнении всех предложений Pj. Тогда если все Pj выполнены почти всюду, то предложение P выполнено почти всюду.

Упражнения 1. Докажите два последних утверждения.

2. Распишите, в чём заключается отрицание утверждения f g. Будет ли это отрицание совпадать с утверждением f < g ?

3. Могут ли одновременно выполняться утверждения f g и f < g ?

5. Если f g и одновременно f g, то f = g.

6. Пусть две непрерывные функции на отрезке совпадают почти всюду по мере Лебега. Тогда эти функции совпадают во всех точках.

7. Сохраняется ли предыдущее утверждение в силе при замене меры Лебега на произвольную счётно-аддитивную меру, заданную на борелевских подмножествах отрезка?

2.3.3. Теорема Лебега о дифференцируемости монотонной функции Для доказательства теорем существования нередко используется следующая идея: вместо того, чтобы конструировать требуемый объект явно, доказывают, что таких объектов в том или ином смысле «много». Ну а уж если их много, то они точно существуют. Так, простейшее доказательство существования трансцендентных чисел получается из соображений мощности: алгебраических чисел счётное число, следовательно, трансцендентные не просто существуют, а составляют «основную массу» всех чисел. В упражнении 12 п. 2.1.2 показано, как таким же образом для доказательства теорем существования (в данном случае для доказательства существования точек непрерывности у поточечного предела последовательности непрерывных функций) можно использовать множества первой и второй категории. В каждом таком рассуждении главное это правильно выбрать, Глава 2. Теория меры каким понятием «малости» следует воспользоваться. В настоящем параграфе в качестве первого неочевидного приложения теории меры будет доказано существование точек дифференцируемости у любой монотонной функции. Точнее, будет доказано больше.

Теорема. Каждая монотонная функция на отрезке дифференцируема почти всюду, то есть множество точек, где функция не дифференцируема, это множество лебеговой меры 0.

Чтобы читатель мог по достоинству оценить глубину и изящество данного результата, мы настоятельно советуем отложить на время книжку и подумать над этим утверждением хотя бы пару дней. Честно признаюсь, что, хотя в своё время меня эта задача крепко «зацепила», решить самостоятельно мне её не удалось. Зато потом у меня был хороший стимул для изучения теории меры, и преподавателю не нужно было меня убеждать в важности этой науки.

Определение. Пусть g вещественная функция, заданная на отрезке = [1, 2 ]. Внутренняя точка x отрезка называется невидимой справа для функции g, если существует такое t > x, t, что g ( x ) < g (t ).

Лемма 1 (лемма Ф. Рисса о светотени). Пусть g полунепрерывная сверху функция на. Тогда множество A всех точек, невидимых справа для функции g, открыто. Более того, если A записать каноническим образом как дизъюнктное объединение подотрезков k = ( a k, bk ), то g ( a k + 0) g (bk ). (Под g ( ak + 0) понимается верхний предел функции g (t ) при t ak + 0. ) Доказательство. Если x0 точка, невидимая справа, t 0 > x 0 и g ( x0 ) < g (t0 ), то ввиду полунепрерывности у точки x0 есть целая окрестность, где g ( x ) < g (t0 ). Вся эта окрестность будет состоять из точек, невидимых справа. Итак, A открытое множество. Пусть теперь = (a, b) один из отрезков, составляющих A, то есть (a, b) A, a, b A. Предположим, что утверждение неверно. Тогда существует точка x0, для которой g ( x 0 ) > g (b). Рассмотрим множество D тех x [ x 0, b), для которых g ( x ) g ( x0 ). D это непустое замкнутое ограниченное множество. Обозначим самую правую точку множества D через x1. Так как x1 невидима справа, в найдётся точка t 0 > x1 с g (t0 ) > g ( x1 ). Ясно, что t0 не может лежать правее точки b, иначе b была бы также невидимой справа:

g ( t0 ) > g ( x1 ) g ( x 0 ) > g (b). Следовательно, t0 ( x1, b). Но тогда t0 D, то есть x1 это не самая правая точка множества D. Противоречие.

Отметим, что по симметрии аналогичное утверждение выполнено для точек, невидимых слева (точка x невидима слева, если существует t < x, Курс функционального анализа t, для которого g ( x ) < g (t ) ), только в концах интервалов, составляющих множество точек, невидимых слева, будет выполнено противоположное условие g ( a k ) g (bk 0).

Лемма 2 (критерий пренебрежимости). Пусть множество A обладает следующим свойством: существует такое (0,1), что * ( A (a, b) ) (b a ) для любого подотрезка (a, b). Тогда A пренебрежимо.

ство, содержащее A, k составляющие это множество открытые подотрезки (в конечном или счётном числе). Согласно условию, таким B, получаем неравенство * ( A) * ( A), которое может быть выполнено только при * ( A) = 0.

Перед началом доказательства основной теоремы ещё несколько вводных замечаний. Термин «возрастающая функция» мы будем использовать в том же смысле, что и «неубывающая функция», то есть мы не будем требовать строгого возрастания. Теорему достаточно доказывать для возрастающих функций: убывающие получаются умножением на минус единицу. Пусть = [1, 2 ], f : R возрастающая функция. Для любой внутренней точки x отрезка определим четыре величины, конечные, или равные + :

Для доказательства теоремы нам нужно показать, что все перечисленные производные числа почти всюду равны между собой и конечны. Для этого, в свою очередь, достаточно доказать, что для любой возрастающей функции f на отрезке выполнены соотношения:

(1) Глава 2. Теория меры (2) Действительно, применив (2) к вспомогательной функции g ( x ) = f ( x ) и вернувшись к исходной функции, получаем условие L( x ) r ( x ). Сопоставив эти условия с очевидными неравенствами самом деле являются равенствами.

Доказательство теоремы Лебега. Пусть f : [1, 2 ] R возрастающая функция. Так как у монотонной функции разрывы только первого рода, мы для нашего удобства можем считать функцию полунепрерывной сверху. Для этого достаточно переопределить функцию в точках разрыва, положив f (t ) = lim f ( x ). Проверьте сами, что при таком переопределении множество точек дифференцируемости не изменится, а производные числа изменятся не более чем в счётном числе точек (в точках разрыва f ), то есть почти всюду останутся теми же.

R>C = {x (1, 2 ) : R ( x ) > C }. Чтобы доказать соотношение R ( x ) <, нам нужно оценить сверху нулём внешнюю меру множества R тех точек интервала (1, 2 ), где R( x ) =. Поскольку R R> C, нам достаточно показать, что * ( R>C ) 0 при C.

Пусть x R> C. Тогда существует точка t > x, для которой R> C состоит из точек, невидимых справа для функции g ( x ) = f ( x ) Cx.

По лемме о светотени, R> C содержится в открытом множестве Отрезки ( f ( a k ), f (bk ) ) это непересекающиеся подотрезки отрезка ( f (1 ), f (2 0) ). Следовательно, Последнее выражение стремится к 0 при C.

Курс функционального анализа Перейдём к доказательству соотношения R ( x ) l ( x ). Обозначим через D множество тех x (1, 2 ), где R( x ) > l ( x ). Далее, для любой пары рациональных чисел (C, c) с 0 < c < C через D(C, c) обозначим множество тех x (1, 2 ), где одновременно l ( x ) < c и R( x ) > C. Поскольку пар рациональных чисел счётное число, то и выделенных множеств D(C, c) счётное число. Множество D это объединение указанных множеств D(C, c), следовательно, для доказательства пренебрежимости множества D достаточно проверить, что все D(C, c) имеют нулевую меру. При этой проверке мы будем опираться на критерий пренебрежимости, доказанный в лемме 2, с =.

Итак, пусть (a, b) произвольный интервал, x D (C, c ) ( a, b).

f ( x ) cx < f (t ) ct, то есть x точка, невидимая слева для функции g ( y ) = f ( y ) cy на отрезке (a, b). Применив ещё раз лемму о светотени, получаем, что множество D (C, c ) ( a, b) содержится в конечном или счётном дизъюнктном объединении отрезков ( k, k ) ( a, b), k N, и в концах этих отрезков выполнено неравенство f ( k 0) f ( k ) c( k k ).

Условие (3) было доказано для возрастающей функции на любом отрезке. Вспомним, что D (C, c ) R> C, и применим условие (3) к функции Остаётся воспользоваться тем, что по построению и счётной полуаддитивностью внешней меры:

Мы попали в условия критерия пренебрежимости, следовательно, Упражнения 1. Приведите пример непрерывной монотонной функции с плотным множеством точек недифференцируемости.

Глава 2. Теория меры 2. Докажите измеримость по Борелю всех множеств, встречавшихся в доказательстве теоремы о дифференцируемости монотонной функции (множества R> C, множества D тех x (, ), где R( x ) > l ( x ), и т. д.) 3. Докажите следующую теорему Фубини о дифференцировании ряда:

если ряд возрастающих функций на отрезке сходится в каждой 4. Пусть A измеримое по Лебегу подмножество отрезка [a, b]. Плотностью множества A в точке x [a, b] называется предел (если он суx, x + ] A) что для почти всех точек множества A плотность существует и равняется 1. (Теорема Лебега о точках плотности.) 2.3.4. Тонкая задача теории меры. Существование неизмеримых по Лебегу множеств Тонкая задача теории меры заключается в построении -аддитивной меры с ([0,1]) = 1, определённой на семействе всех подмножеств отрезка [0,1] и инвариантной относительно сдвигов: если как множество A, так и его сдвиг A + t лежат на отрезке, то ( A) = ( A + t ). В этом параграфе будет показана неразрешимость этой задачи, то есть что не существует меры с указанными свойствами. Излагаемая конструкция принадлежит Витали (G. Vitali).

План рассуждения будет естественным. Мы предположим существование такой меры, изучим её свойства и прийдём в результате к противоречию. Вначале отметим, что мера любого одноточечного множества равна 0. Действительно, точки получаются друг из друга сдвигами, значит, их меры равны между собой и равны некоторому числу. Если бы было строго больше нуля, то мера всего отрезка была бы бесконечной: на отрезке ведь бесконечно много точек. Следовательно, = 0. Поэтому мы можем отождествить точки 0 и 1: на мерах множеств это не скажется. Таким образом, отрезок можно представлять себе свёрнутым в окружность.

Введём на отрезке операцию + 1 суммы по модулю 1: a + 1 b равно дробной части числа a + b. На окружности этой операции соответствует поворот точки 2a против часовой стрелки на угол 2b. Если A [0,1], t [0,1], то вместо обычного сдвига A + t удобнее рассматривать сдвиг A +1 t, соответствующий повороту на окружности, так как здесь не нужно следить, не Курс функционального анализа выпала ли часть множества за пределы отрезка. Очевидно, есть множество A разбивается на две части, одна из которых переносится вправо, а другая влево по отрезку [0,1].

Введём на [0,1] следующее отношение эквивалентности: a ~ b, если a b Q (через Q, как обычно, обозначается множество рациональных чисел). В каждом классе эквивалентности выберем по одному элементу.

Полученное множество выбранных элементов обозначим буквой E. Отметим, что все множества E +1 t, t Q [0,1) попарно не пересекаются.

Действительно, если E + 1 t пересекается с E + 1 в точке x, t, Q [0,1), то элементы x 1 t и x 1, лежащие в одном классе эквивалентности, оба принадлежат E, что невозможно по построению. Множеств вида E +1 t бесконечно много, они получаются друг из друга сдвигами и дизъюнктны, значит, их меры равны между собой и равны нулю. Но [0,1] = (E +1 t ), следовательно, ([0,1]) = 0. Противоречие.

Теорема. Существуют неизмеримые по Лебегу подмножества отрезка [0,1].

Доказательство. Если бы все подмножества отрезка были измеримы по Лебегу, то мера Лебега была бы инвариантной относительно сдвигов аддитивной вероятностной мерой, определённой на семействе всех подмножеств отрезка [0,1]. Мы же только что доказали, что меры с такими свойствами не существует.

Упражнения 1. Найдите место в доказательстве неразрешимости тонкой задачи теории меры, где использовалась аксиома выбора.

2. Приведите пример счётно-аддитивной вероятностной меры, определённой на всех подмножествах отрезка. (Разумеется, она не будет инвариантной относительно сдвигов!) 3. Докажите, что отрезок [0,1] можно представить в виде объединения двух непересекающихся множеств A, B с * ( A) = * ( B ) = 1. Покажите, что оба эти множества должны быть неизмеримы. Этим будет дано другое доказательство существования неизмеримых множеств.

4. В условиях предыдущего упражнения * ( A C ) = * ( B C ) = (C ) для любого измеримого по Лебегу множества C.

5. Отрезок [0,1] можно представить в виде объединения континуального числа непересекающихся множеств, имеющих единичную внешнюю меру.

Глава 2. Теория меры 2.3.5. Функция распределения и общий вид борелевской меры Борелевской мерой на топологическом пространстве X называется счётно-аддитивная мера, заданная на -алгебре всех борелевских подмножеств пространства X. Скажем, ограничение меры Лебега на систему борелевских подмножеств отрезка = [1, 2 ] будет борелевской мерой на отрезке. В этом параграфе мы установим взаимно-однозначное соответствие между борелевскими мерами на отрезке и возрастающими непрерывными справа функциями на этом отрезке.

Определение. Пусть борелевская мера на отрезке = [1, 2 ].

Функцией распределения меры называется функция F : R +, определяемая равенством F (t ) = ([1, t ]).

Теорема 1. Функция распределения борелевской меры на отрезке это (нестрого) возрастающая непрерывная справа функция.

Доказательство. Если 1 a < b 2, то [1, a ] [1, b], и, соответственно, F ( a ) = ([1, a ]) ([1, b]) = F (b). Перейдем к доказательству непрерывности справа. Пусть t n убывающая последовательность, стремящаяся к t. Тогда [1, t n ] это убывающая последовательность Теорема 2. Пусть F : R + возрастающая непрерывная справа функция на отрезке = [1, 2 ]. Тогда существует единственная борелевская мера на [, ], для которой F будет функцией распределения.

Доказательство. Рассуждение будет идти по аналогии с построением меры Лебега. Пусть полукольцо всех подотрезков отрезка. Определим меру на следующими равенствами: ([1, a ]) = F ( a ), ([a, b]) = F (b) F (a 0) при a > 1 (эти две формулы объединяются в одну, если условиться, что F (1 0) = 0 ); (( a, b]) = F (b) F ( a ), Эти соотношения выбраны не случайно: именно так должны быть связаны борелевская мера и её функция распределения. Конечная аддитивность так построенной меры проверяется без труда. Для проверки счётной полуаддитивности (откуда будет вытекать и счётная аддитивность) нужно вначале заметить, что мера любого подотрезка совпадает с супремумом мер содержащихся в нём замкнутых подотрезков и с инфимумом мер соКурс функционального анализа держащих его открытых подотрезков. Дальше нужно использовать лемму о конечном покрытии таким же образом, как это делалось при доказательстве теоремы о счётной полуаддитивности меры Лебега на (теорема 1 п.

2.3.1). Для завершения доказательства остаётся воспользоваться теоремой существования и единственности продолжения меры с полукольца с единицей на порождённую им -алгебру (теорема 3 и упражнения 1-3 п.

2.2.3).

Выпишем цепочку простых упражнений, решив которые, читатель самостоятельно получит важную теорему об устройстве монотонных функций: теорему о представлении в виде суммы непрерывной функции и функции скачков.

Упражнения 1. Отображение, ставящее каждой борелевской мере на отрезке в соответствие её функцию распределения, аддитивно, то есть переводит сумму мер в сумму соответствующих функций распределения.

Пусть M конечное или счётное подмножество отрезка [, ], : M R + функция, ( x ) <. Функция скачков, соответствуюxM 2. Чтобы понять термин «функция скачков», постройте график функции f M, на отрезке [0,3] для M = {1,2}, (1) = ( 2) = 1.

3. Пусть чисто атомарная борелевская мера на отрезке [, ]. Тогда её функция распределения будет иметь вид функции скачков.

4. Пусть борелевская мера на отрезке [, ], F её функция распределения, < t. Тогда ({t}) = F (t ) F (t 0), ({ }) = F ( ).

5. Борелевская мера на отрезке [, ] безатомна в том и только том случае, если её функция распределения непрерывна и в точке равна нулю.

6. Из представления меры в виде суммы безатомной и чисто атомарной следует, что любая неотрицательная непрерывная справа возрастающая функция на отрезке [, ] однозначно представляется в виде суммы непрерывной возрастающей функции, равной нулю в точке, и некоторой функции скачков.

7. Любая непрерывная справа возрастающая функция на отрезке [, ] представляется в виде суммы непрерывной возрастающей функции и некоторой функции скачков. Такое представление единственно с точностью до постоянного слагаемого. То есть к одному слагаемому можно добавить, а из другого вычесть одно и то же число, и сумма не изменится; а других причин неединственности нет.

Глава 2. Теория меры 8. Любая возрастающая функция на отрезке [, ] однозначно представляется в виде суммы непрерывной справа функции и функции, отличающейся от нуля не более чем в счётном множестве точек.

9. Любая возрастающая функция f на отрезке [, ] однозначно с точностью до постоянного слагаемого представляется в виде суммы таких трёх слагаемых: f1 непрерывной функции, f 2 функции скачков и f функции, отличающейся от нуля не более чем в счётном множестве точек.

2.3.6. Канторова лестница и мера, равномерно распределённая на канторовом множестве Данное в предыдущем пункте описание борелевских мер на отрезке может вызвать впечатление, что все такие меры очень похожи на меру Лебега (по крайней мере после удаления атомов). В каком-то смысле это впечатление верно, но всё-таки картина выглядит не настолько простой, как это может показаться на первый взгляд. Ниже мы построим безатомную вероятностную борелевскую меру на отрезке [0,1], сосредоточенную на канторовом множестве: дополнение к канторову множеству будет пренебрежимым с точки зрения этой меры. То есть, с некоторой точки зрения, эта мера будет противоположна по свойствам мере Лебега, ведь мера Лебега канторова множества равна нулю, а дополнения к канторову множеству единице. Эта мера и её функция распределения канторова лестница будут в дальнейшем источником важных примеров.

Как обычно, канторово множество будем обозначать через K, а отрезки длины 1 3n, выбрасываемые из [0,1] на n -ном шаге построения канторова множества, через nj, j = 1,2,...,2 n 1. При фиксированном n отрезки nj будем нумеровать в порядке возрастания: 1 = ( 3, 3 ), 2 = ( 9, 9 ), Основная идея построения требуемой меры определить её функцию распределения F так, чтобы меры всех отрезков nj были равными нулю, а меры симметричных частей множества K были равны между собой. Так, K = K [0, ] K [,1], причём части K [0, ] и K [,1] симметричны между собой, поэтому их меры естественно положить равными.

По тем же соображениям симметрии, меры множеств K [0, ], Курс функционального анализа функцию распределения F определим следующим образом: положим F (t ) =,.... Мы уже определили функцию распределения на плотном множестве дополнении к K. Легко видеть, что эта функция равномерно непрерывна на [0,1] \ K : если | x y |< n, то | F ( x ) F ( y ) | n. Следовательно, F единственным образом продолжается до непрерывной функции на всём отрезке. Полученная монотонная непрерывная функция называется лестницей Кантора и обозначается FK. Борелевская мера K на [0,1], для которой эта функция будет функцией распределения, называется мерой, равномерно распределённой на канторовом множестве.

Упражнения 1. Чтобы понять происхождение термина «канторова лестница», сделайте набросок графика этой функции.

2. Запишите явное выражение значения FK (t ) через троичное разложение числа t.

3. Докажите, что образ канторова множества под действием функции FK это весь отрезок [0,1].

4. Пусть 1 множество, (,, ) пространство с мерой, f : 1 сюръективное отображение. Тогда семейство множеств 1 f 1 ( A) = ( A) задаёт счётно-аддитивную меру 1 на 1. Если (,, ) полное пространство с мерой, обязано ли пространство с мерой (1, 1, 1 ) быть полным?

5. Для функции f : [0,1] [0,1] точку x [0,1] назовём точкой слипания, если f 1 ( x ) состоит более чем из одной точки. Докажите, что у монотонной функции может быть не более счётного числа точек слипания.

6. Пусть f : [0,1] [0,1] возрастающая функция. Тогда для любого набора подмножеств An [0,1], n M симметрическая разность множеств 7. Пусть f : [0,1] [0,1] возрастающая функция. Тогда семейство тех подмножеств A [0,1], для которых f ( A) борелевское множество, это -алгебра, содержащая все отрезки.

Глава 2. Теория меры 8. Из предыдущего упражнения следует, что образ борелевского множества под действием монотонной функции борелевское множество.

9. Пусть безатомная борелевская мера на [0,1], F её функция распределения, мера Лебега. Тогда ( A) = (F ( A) ) для любого борелевского множества A [0,1].

2.3.7. -Конечные меры и мера Лебега на оси Во многих задачах бывает разумным позволять мере принимать не только конечные положительные значения, но на каких-то множествах и значение +. Одним из таких обобщений служит понятие -конечной меры.

Определение. Пусть -алгебра подмножеств множества. Отображение : [0,+] называется -конечной мерой, если оно подчиняется следующим аксиомам:

1. Счётная аддитивность: Ak = ( Ak ) для любых Ak.

Типичный пример -конечной меры это мера Лебега на оси.

Определение. Множество A R называется измеримым по Лебегу, если его пересечение с любым конечным отрезком измеримо по Лебегу как подмножество этого отрезка. Мера Лебега множества A определяется через меры его пересечений с конечными отрезками:

Тройка (,, ), где множество с заданной на нём -алгеброй, а -конечная мера на, называется пространством с -конечной мерой. Обычное пространство с мерой называют ещё пространством с конечной мерой, если нужно подчеркнуть её конечность.

Упражнения 1. Измеримые по Лебегу подмножества вещественной оси образуют алгебру, а мера Лебега на оси это -конечная мера.

2. Каждое борелевское множество на оси измеримо по Лебегу.

3. Для измеримого подмножества вещественной оси применимы следующие формулы вычисления меры Лебега:

Курс функционального анализа 4. Мера Лебега открытого множества на оси равна сумме длин составляющих его отрезков.

5. Мера Лебега измеримого по Лебегу множества A на оси совпадает с его внешней мерой * ( A) = inf { ( B ) : B открыто, и B A}.

6. Каждое измеримое по Лебегу подмножество оси представимо как объединение борелевского множества и множества меры ноль.

7. Пусть M некоторое индексное множество, ( n, n, n ), n M пространства с конечной мерой и n попарно не пересекаются. Положим = n, -алгебру определим как семейство всех множеств вида (,, )будет пространством с -конечной мерой? Пространством с конечной мерой?

8. Пусть (,, ) пространство с -конечной мерой. Тогда для любой возрастающей последовательности измеримых множеств 9. Для конечных мер мы отмечали следующее свойство (утверждение п. 2.1.4): если A1, A2,..., An,... убывающая цепочка множеств (то мере меры Лебега на оси, что для -конечных мер это утверждение неверно: существует убывающая цепочка измеримых множеств An с ловии конечности мер множеств An утверждение выполнено и в пространствах с -конечной мерой.

2.4. Комментарии к упражнениям Параграф 2.1. An A и, следовательно, плотны. Соответственно X \ A = множества X \ An замкнуты и нигде не плотны (см. упражнение 1 п. 1.3.9).

Упражнение 8. Перейти к дополнениям и воспользоваться предыдущим упражнением.

Глава 2. Теория меры Упражнение 9. Согласно упражнению 7, A \ A множество первой категории в A.

Упражнение 11. Счётное подмножество отрезка множество первой категории, а плотное G второй.

ждое из множеств t : f (t ) f (t ) замкнуто.

Упражнение 14. Пусть f n непрерывны и в каждой точке сходятся к f. Тогда f Упражнение 15. Воспользоваться упражнениями 13, 9 и 14.

Упражнение 19. Воспользоваться упражнением 11.

Параграф 2.1. Упражнение 1. Зафиксируем открытое множество U X 1 и рассмотрим семейство тех подмножеств V X 2, что U V B. это алгебра, содержащая все открытые множества, следовательно, B 2. То есть борелевскими будут все множества вида U V, где U X 1 открыто, а V B 2. Теперь зафиксируем V B 2 и рассмотрим семейство тех подмножеств U X 1, что U V B. это -алгебра на X 1, содержащая все открытые множества, следовательно, B1. Таким образом, все «прямоугольники» A1 A2, где A1 B1, A2 B 2 лежат в B. Значит, Упражнение 2. Для любого x = ( x1, x 2 ) X 1 X 2 произведение B1 B 2 содержит все окрестности вида B ( x1, r1 ) B ( x 2, r2 ) точки x, то есть базу окрестностей точки. Ввиду сепарабельности, любое открытое множество в X 1 X 2 представимо как счётное объединение множеств вида B ( x1, r1 ) B ( x 2, r2 ). Поэтому B1 B 2 содержит все открытые множества, следовательно, и все борелевские множества на X 1 X 2.

Упражнение 5. Ответ зависит от аксиоматики теории множеств (скажем, какая версия континуум-гипотезы считается выполненой). Как нам сообщил недавно Т. Банах, из результатов Д. Фремлина (1996 г.) следует, что в одной из аксиоматик эти семейства множеств не совпадают.

Курс функционального анализа Упражнение 6. Зафиксируем t1 1 и рассмотрим семейство тех A 1 2, для которых At1 2. это -алгебра, содержащая все «прямоугольники». Поэтому 1 2.

Параграф 2.1. Упражнение 2. Пусть ( A1 A2 ) 0. Поскольку A1 атом, то для любого подмножества множества A1 ненулевой меры его дополнение в A имеет меру 0. Следовательно, ( A1 \ ( A1 A2 ) ) = 0. По той же причине ( A2 \ ( A1 A2 ) ) = 0. Таким образом, и ( A1A2 ) = 0.

Параграф 2.2. Упражнение 6. Данное утверждение, согласно теореме автора [Kad3], cохраняет силу в гораздо более общей ситуации: для выпуклых тел в гильбертовом пространстве и вписанных шаров, вместо треугольников на плоскости и кругов. Забавно, но для плоского случая нам неизвестно, существует ли доказательство, отличающееся по своей идее от бесконечномерной теоремы, доказанной в [Kad3].

Параграф 2.3. Упражнение 4. Требуемое множество A можно строить аналогично канторову множеству с тем отличием, что удаляемые отрезки нужно выбирать «маленькими»: с суммарной длиной меньшей 1. При этом можно добиться, чтобы ( A) было сколь угодно близко к 1.

с ( An ) 1 1 n, получим множество первой категории с ( A) = 1. Дополнение к A будет требуемым множеством.

Параграф 2.3. Упражнение 3. См. [R-Se], с. 21-22.

Упражнение 4. См. [R-Se], с. 22-23. Другое, более естественное решение будет следовать из результатов п. 7.2.2.

Параграф 2.3. Упражнение 3. Чтобы * ( A) = * ( B ) = 1, необходимо и достаточно, чтобы и A, и B пересекались со всеми замкнутыми множествами ненулевой меры. Поскольку существует только континуум замкнутых подмножеств отрезка, можно выписать замкнутые подмножества положительной меры в трансфинитную последовательность K, < c, где c наименьший ординал континуальной мощности. Теперь для каждого < c выберем две различные точки a,b K \({a } < {b } < ). Возможность такого выбора обосновывается тем, что на каждом шаге множество K континуальГлава 2. Теория меры но, а множество {a } < {b } < уже выбранных точек имеет мощность (см. п. 2.1.2) множества вида (a,+), a R в совокупности порождают алгебру B борелевских множеств на оси, получаем следующий удобный критерий измеримости:

Следствие 1. Функция f : R измерима в том и только том случае, если все множества f > a, a R, измеримы.

Следствие 2. Пусть (, ), (1,1 ) и ( 2, 2 ) множества с заданными на них -алгебрами подмножеств. Наделим, как обычно, декартово произведение 1 2 -алгеброй 1 2 (см. п. 2.1.3). Тогда для любых измеримых отображений f1 : 2 и f 2 : 2 отображение f : 1 2, действующее по правилу f (t ) = ( f1 (t ), f 2 (t ) ), также измеримо.

Доказательство. По определению, -алгебра 1 2 порождена Взяв в качестве топологическое пространство, а в качестве алгебру B борелевских множеств на, получаем частный случай измеримости измеримость по Борелю:

Определение 3. Функция f на топологическом пространстве называется измеримой по Борелю, если прообраз f 1 ( A) любого борелевского множества A вещественной оси снова является борелевским множеством.

В качестве примера измеримой по Борелю функции можно взять любую непрерывную функцию. Действительно, для непрерывной функции f все множества f > a открыты, а значит, принадлежат -алгебре B борелевских множеств, то есть выполнен вышеприведенный критерий измеримости.

Для произвольного множества A можно рассмотреть -алгебру A всех измеримых подмножеств множества A. Если ограничение функКурс функционального анализа ции f на подмножество A измеримо по отношению к -алгебре A, то функцию называют измеримой на подмножестве A.

Упражнения 1. Если функция f измерима, то для любого a R измеримы множества 2. Пусть f измеримая по Борелю функции на отрезке [a, b]. Тогда множество точек максимума функции f борелевское множество.

3. Множество точек локального максимума борелевской функции на оси борелевское множество.

4. Пусть (1,1 ) и ( 2, 2 ) множества с заданными на них алгебрами подмножеств и 1 2 наделено -алгеброй 1 2. Докажите измеримость координатных проекторов P и P2, ставящих элементу (t1, t2 ) 1 2 координаты t1 и t2 соответственно.

5. Докажите утверждение, обратное к следствию 2: если отображение также измеримы.

6. Приведите пример разрывной измеримой по Борелю функции на R.

7. Любая монотонная функция на оси измерима по Борелю.

8. Пусть f измеримая функция на. Докажите, что f, sign f, f + и f измеримые функции.

9. Если функция f измерима, то f измерима для любого R.

10. Пусть f измеримая функция на. Тогда f измерима на каждом подмножестве A.

11. Пусть представлено в виде объединения своих измеримых подмножеств A и B; функция f : R измерима как на A, так и на B. Тогда f измерима на.

12. Приведите пример биективного измеримого отображения f : 1 2, обратное к которому неизмеримо.

13. Пусть g : R R непрерывная функция, A измеримое по Лебегу множество в R.

а) Должно ли g ( A) быть борелевским множеством?

б) Измеримым по Лебегу?

в) Может ли g 1 ( A) быть неизмеримым по Лебегу?

14. Пусть g : R R непрерывная функция, A открытое множество в R. Тогда g ( A) борелевское множество. Более того, g ( A) множество класса F.

Глава 3. Измеримые функции 15. Пусть g : R R непрерывная функция, A борелевское множество в R. Может ли g ( A) не быть борелевским множеством?

16. Две измеримые функции f и g на называются равноизмеримыми, равноизмеримы, то ( f 1 ( A)) = ( g 1 ( A)) для любого борелевского множества A вещественных чисел.

3.1.2. Элементарные свойства измеримых функций Теорема 1. Пусть (1, 1 ), ( 2, 2 ) и ( 3, 3 ) множества с заданными на них -алгебрами подмножеств, отображения f : 1 2 и g : 2 3 измеримы. Тогда композиция g f : 1 3 также будет измеримым отображением.

Доказательство. Пусть A 3. Тогда g 1 ( A) 2, и, следовательно, Следствия 1. Пусть функция f : R измерима, а g : R R измерима по Борелю.

Тогда композиция g f этих функций также измерима.

2. В частности, если f : R измерима, а g : R R непрерывна, то g f измерима.

3. Пусть функции f1, f 2 : R измеримы, а функция двух переменных g : R 2 R непрерывна. Тогда функция f (t ) = g ( f1 (t ), f 2 (t )) измерима.

Доказательство. В доказательстве нуждается только третий пункт.

Рассмотрим плоскость R 2 = R R, наделённую -алгеброй борелевских множеств или, что то же самое, произведением -алгебр борелевских множеств на оси. Согласно следствию 2 предыдущего параграфа, отображение F : R 2, действующее по правилу F (t ) = ( f1 (t ), f 2 (t ) ), измеримо. Остаётся заметить, что f = g F и применить последнюю теорему.

Теорема 2. Класс измеримых функций на (, ) обладает следующими свойствами: если функции f и g измеримы, то измеримы функции f + g, fg, max{ f, g} и min{ f, g}. Также будут измеримы функции f, не обращается в ноль, то измерима функция 1 f.