«В. М. Кадец КУРС ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Харьков 2006 УДК 517.98 517.51 ББК 22.162 К 13 Рекомендовано к печати ученым советом механико-математического факультета Харьковского национального университета имени В. Н. ...»

2. Докажите следующую теорему Каратеодори: если K R компакт, то любой элемент x K имеет представление вида x = 3. Опираясь на сформулированную выше теорему Шоке, докажите, что если выпуклый метризуемый компакт K имеет счётное число крайних 4. Если отказаться от требования счётности множества крайних точек, то утверждение предыдущего упражнения может уже не выполняться.

Приведите соответствующий пример.

Глава 18. Теорема Крейна – Мильмана и её приложения 18.2. Некоторые приложения 18.2.1. Связь между свойствами компакта K и пространством C(K) Пространство C (K ) удобнее для изучения, чем компакт K, поскольку элементами пространства функций можно манипулировать свободнее, чем элементами топологического пространства. Действительно, в отличие от элементов компакта K функции можно складывать, умножать на число;

топология на C (K ) задаётся нормой, и можно говорить о последовательностях Коши, полноте, сходимости рядов и т. д. Однако все эти преимущества обесценивались бы, если бы при переходе от K к C (K ) терялась бы часть информации об исходном компакте. Ниже будет показано, что такой потери не происходит и все свойства компакта K можно восстановить по свойствам пространства C (K ).

Будем, как обычно, непрерывные функционалы на C (K ) отождествлять с регулярными борелевскими зарядами, их порождающими.

В частности, x (вероятностная мера, сосредоточенная в точке x ), рассматриваемая как функционал на C (K ), действует следующим образом:

функционалом «значение в точке x ».

И ещё немного терминологии. Носителем регулярного борелевского заряда называется носитель меры (см. параграф 8.1.2). Как и для мер, носитель заряда обозначается символом supp. Очевидно, supp x = {x}, и если supp = {x}, то = x, где ненулевой скаляр.

Для любой измеримой по Борелю ограниченной функции g на K и любого борелевского заряда через g обозначим борелевский заряд, принимающий следующие значения: ( g )( A) = gd. Функционал, порождаемый зарядом g, действует по правилу Введённая операция обладает естественными свойствами умножения:

g ( + ) = g + g. Наконец, норма заряда g вычисляется по Теорема 1. Множество крайних точек единичного шара пространства C (K )* совпадает с множеством зарядов вида x, где x K и = 1.

Курс функционального анализа Доказательство. Докажем вначале, что заряды вида x крайние точки множества BC ( K ) *. Ввиду уравновешенности шара отсюда будет следовать, что при 1 ({x}), 2 ({x}) не превосходят 1 по модулю, это означает, что 1 ({ x}) = 2 ({x}) = 1. Это, в свою очередь, означает, что за пределами точки x заряды 1, 2 обращаются в ноль, так как иначе их нормы были бы строго больше единицы. То есть 1 = 2 = x.

Теперь докажем, что если заряд BC ( K )* не сосредоточен в какойто одной точке компакта K, то он не может быть крайней точкой единичного шара. Действительно, пусть supp содержит две различные точки x y. Окружим эти точки непересекающимися окрестностями U и V. По определению носителя, (U ) и (V ) ненулевые числа. Введём же время не может быть крайней точкой единичного шара.

Пусть дано некоторое банахово пространство X, о котором сказано, что X = C (K ) для некоторого компакта K. Однако что это за компакт, нам не сказано. Можно ли восстановить K по пространству X ? Предыдущая теорема подсказывает, что такого восстановления следует рассмотреть крайние точки шара B X *.

Введём некоторые определения и обозначения. Множество ext B X * будем рассматривать как подпространство топологического пространства X *, X *, X, то есть наделим ext B X * слабой со звёздочкой топологией.

Введём на ext B X * следующее отношение эквивалентности: x * ~ y *. если x * = y *, где единичный по модулю скаляр. Классом эквивалентности Глава 18. Теорема Крейна – Мильмана и её приложения элемента x * ext B X * в вещественном случае будет пара точек ± x *, а в комплексном окружность, проходящая через x*: [ x * ] = x * : = 1.

Множество классов эквивалентности, на которые разбивается ext B *, * K ( X ). Наделим K ( X ) сильнейшей топологией, в которой q : ext B отображение q слабо со звёздочкой непрерывно. То есть открытыми в K ( X ) будем называть те множества A K ( X ), что q 1 ( A) слабо со звёздочкой открыто в ext B X *. Отметим, что K ( X ) хаусдорфово топологическое пространство. Действительно, если x *, y * ext B и [ x * ] [ y * ], то функционалы x *, y * линейно независимы. Поэтому между ядрами этих функционалов нет включения ни в одну, ни в другую сторону.

Следовательно, существует x Ker y * \ Ker x *. Домножением элемента x коэффициент можно добиться, что x * ( x ) = 1. Тогда точки [ x * ], [ y * ] K ( X ) могут быть разделены следующими окрестностями:

Теорема 2. Пусть X = C (K ) для некоторого компакта K. Тогда компакт K гомеоморфен построенному выше топологическому пространству K ( X ).

Доказательство. Зададим отображение : K ext B X * формулой (t ) = t. Для любой функции f C (K ) имеем (t ), f = f (t ), что непрерывно зависит от t. Так как ext B X * наделено слабой со звёздочкой топологией, это означает, что отображение непрерывно. Тогда непрерывным, как композиция непрерывных отображений, будет и следующее отображение j : K K ( X ) : j = q. Поскольку j (t ) = [ t ], теорема 1 гарантирует биективность отображения j. Биективное непрерывное отображение компакта в хаусдорфово пространство это гомеоморфизм.

Следствие. Пусть для компактов K1, K 2 пространства C ( K1 ), C ( K 2 ) изометричны. Тогда компакты K1, K 2 гомеоморфны.

Теорема 3. Пространство C (K ) сепарабельно в том и только том случае, если компакт K метризуем.

Курс функционального анализа Доказательство. Предположим, что C (K ) сепарабельно. Тогда (следствие 4 п. 17.2.4) слабая со звёздочкой топология метризуема на шаре наделённого слабой со звёздочкой топологией (гомеоморфизмом будет отображение t t ). Следовательно, K метризуем.

Обратно, пусть K метрический компакт. Тогда для каждого n N существует покрытие компакта K шарами U n,1, U n,2,…, U n, m ( n ) радиуса подчинённое покрытию U n,1, U n,2,…, U n, m ( n ) (см. п. 15.1.3). Докажем полноту в C (K ) системы элементов { n, j }n =1,m=1 ). Существование полной счетной системы элементов даст требуемую сепарабельность пространства C (K ).

Итак, пусть f C (K ). Для любого > 0 выберем n N так, что для выберем по точке tn, j и рассмотрим линейную комбинацию f функций f f <. Действительно, для любого t K имеем f (t ) = Соответственно, В последней сумме если n, j (t ) 0, то t U n, j, и, следовательно, Замечание. Забегая вперёд, скажем, что сепарабельность пространства C (K ) в последней части доказательства теоремы 3 легко следует из теоремы Стоуна Вейерштрасса. Однако предложенная явная процедура аппроксимации функции с помощью разложения единицы поучительна, на наш взгляд, и сама по себе.

1. Проверить, что для любой измеримой по Борелю ограниченной функции g на K и любого регулярного борелевского заряда, заряд g будет регулярным (указание: вначале рассмотреть случай g = 1A, Глава 18. Теорема Крейна – Мильмана и её приложения затем случай конечнозначной функции, а потом воспользоваться аппроксимацией ограниченной функции конечнозначными).

2. Проверить все перечисленные в начале параграфа свойства операции g умножения ограниченной борелевской функции на регулярный борелевский заряд.

3. Если пространства C ( K1 ), C ( K 2 ) изоморфны, это ещё не означает, что компакты K1, K 2 гомеоморфны. Пример: K1 = [0,1], K 2 = [0,1] {2}.

Теорема Стоуна Вейерштрасса 18.2.2.

В этом параграфе мы познакомимся с необычайно красивым и одновременно весьма полезным обобщением теоремы Вейерштрасса о приближении функции многочленами. Это обобщение, придуманное Стоуном (M. H. Stone), применимо к функциям не только на отрезке, но и на любом компакте. Доказательство, приводимое ниже, принадлежит де Бранжу (L. de Branges, 1959). Применение этой же идеи доказательства к ещё более общему результату теореме Бишопа (E. Bishop) можно найти в книге [Rud].

Теорема. Пусть линейное подпространство X пространства C (K ) обладает следующими свойствами:

(a) 1 X ;

(b) если f, g X, то fg X (другими словами, X подалгебра алгебры принадлежит X ;

(d) для любых t1, t2 K, t1 t 2 существует f X с f (t1 ) f (t 2 ) (то есть X разделяет точки компакта K ).

Тогда подпространство X плотно в C (K ).

Доказательство. Предположим, что утверждение не выполнено и подпространство X не плотно в C (K ). Тогда аннулятор X C (K )* состоит не только из нуля. Напомним, что X это слабо со звёздочкой замкнутое подпространство в C ( K )*, следовательно, по теореме Алаоглу, B X = BC ( K ) * X это слабый со звёздочкой компакт. Согласно теореме Крейна – Мильмана, у шара B X существует крайняя точка. Очевидно, борелевского заряда и убедимся, что они внутренне противоречивы.

Курс функционального анализа Вначале несколько полезных замечаний о свойствах множеств X и (ii) Если f X, X, то f X, где операция, определённая в предыдущем параграфе. Действительно, для любого g X произведение fg также принадлежит X и, следовательно, аннулируется зарядом.

(iii) Если X, то supp содержит по крайней мере 2 две различные точки. Действительно, если supp = {t}, то = a t с a C \ {0}. Тогда точки шара B X. Воспользуемся свойством (iii). Пусть t1, t 2 supp и t1 t 2. Согласно условию (d), существует f X с f (t1 ) f (t2 ). Тогда или Re f ( t1 ) Re f (t2 ), или Im f (t1 ) Im f (t2 ). Согласно (i), Re f, Im f X.

Соответственно, f можно считать вещественнозначной функцией: иначе заменим её на Re f или Im f. Далее, прибавив к f большую положительную константу, можно добиться положительности функции, а умножив на маленький положительный коэффициент, получим функцию, все значения которой лежат на отрезке (0,1). Итак, существует f X с f (t1 ) f (t2 ), подчиняющаяся условию 0 < f (t ) < 1 для всех t K.

равны нулю, так как, по построению, функции f и 1 f не обращаются в ноль. Далее, 1 + 2 = d = 1. Выпишем очевидное равенство 1 + 2 2 =. Геометрический смысл этого равенства таков: вектор B X есть внутренняя точка отрезка, соединяющего векторы 1 B X Выражение «по крайней мере» тут никак не связано с крайними точками множества мер, которые также естественно было бы называть «крайними мерами».

Глава 18. Теорема Крейна – Мильмана и её приложения B X (принадлежность зарядов 1, 2 подпространству X вытекает из (ii)). Так как по нашему предположению крайняя точка частности, 1 = 1, то есть ( f 1 ) = 0. Вспомнив формулу для нормы заряда, имеем f 1 d = 0. Ввиду непрерывности функции f последнее равенство означает, что f (t ) = 1 для всех t supp (теорема 2 п. 8.1.2). Мы пришли к противоречию с условием f (t1 ) f (t2 ).

Упражнения Выведите из теоремы Стоуна Вейерштрасса:

1. Плотность множества многочленов в C (K ), где K компакт в R (в частности, для C[a, b] ). Напомним, что этот факт нами использовался в п.

13.1.3 при построении функций от самосопряжённого оператора.

2. Плотность множества многочленов от n переменных в C (K ), где K компакт в R n.

3. Плотность множества «двусторонних» многочленов вида n N, в пространстве C (T ) непрерывных функций на окружности T = {z C : z = 1} (этот факт использовался нами при построении функций от унитарного оператора).

Рассмотрим полуось [0,+] компактификацию полуоси [0,+ ).

Окрестности конечных точек полуоси определяются как обычно, а окрестностями точки + служат дополнения к ограниченным множествам. Проверьте, что:

4. [0,+] компакт в этой топологии.

5. Пространство C[0,+] совпадает с пространством всех непрерывных функций f (t ) на [0,+ ), имеющих предел при t.

6. Множество экспонент вида e at, где a [0,+) это полная в C[0,+ ] система элементов.

Курс функционального анализа 18.2.3. Вполне монотонные функции Бесконечно дифференцируемая вещественная функция f на [0,+) называется вполне монотонной, если ( 1) n f ( n ) (t ) 0 при всех n = 0,1, 2,… и всех t [0,+). В частности, чтобы быть вполне монотонной, функция должна быть неотрицательной ( f (t ) 0 ), невозрастающей ( ( 1) f (t ) 0 ) и выпуклой вниз ( f (t ) 0 ). Типичный пример вполне монотонной функции f (t ) = e t. Знаменитая теорема С. Н. Бернштейна 3 утверждает, что любую вполне монотонную функцию можно единственным образом представить в виде где конечная регулярная борелевская мера на полуоси. Другими словами, вполне монотонная функция в некотором смысле является комбинацией экспонент. Дифференцированием под знаком интеграла легко убедиться, что каждая функция вида (1) вполне монотонна, так что теорема Бернштейна даёт полное описание вполне монотонных функций.

Представление (1) вызывает естественные ассоциации с теоремой Крейна – Мильмана в интегральной форме. Первым доказательство теоремы Бернштейна, опирающееся на такую аналогию, предложил Шоке.

Ниже приведен довольно подробный план этого доказательства, реализацию которого мы предлагаем читателю. Детальное изложение можно прочитать в брошюре [Phe], глава 2.

представление вида (1), где конечная регулярная борелевская мера, то это представление единственно.

Доказательство. Рассмотрим как функционал на C[0,+ ].

Формула (1) означает, что нам даны значения этого функционала на экспонентах e at:, e at = f ( a ). Согласно упражнению 6 п. 18.2.2, множество экспонент вида e at, где a [0,+ ), полно в C[0,+ ], следовательно, непрерывный функционал однозначно определяется значениями на этом множестве.

В Харькове работало много известных математиков. Сергей Натанович Бернштейн не просто какое-то время работал в Харькове, а провёл здесь существенную часть своей жизни и оказал неоценимое влияние на формирование Харьковской математической школы.

Глава 18. Теорема Крейна – Мильмана и её приложения В пространстве C (0,+) бесконечно дифференцируемых функций на открытой полуоси со стандартной топологией, порождённой полунормами pn ( f ) = max f ( n 1) (t ), n N, рассмотрим множество K всех вполне монотонных функций, ограниченных сверху единицей.

Отметим, что функции f K определены на открытой полуоси, но ввиду монотонности и ограниченности они имеют пределы в 0 и +, так что их можно считать определёнными и в этих двух точках.

Теорема 2. K это выпуклый компакт в C (0,+).

Доказательство.

непосредственно. Так как C (0,+) пространство класса Монтеля (п.

16.3.5), для компактности достаточно доказать ограниченность.

Ограниченность вытекает из следующего факта, доказать который любого a (0,+) и любого n = 0,1, 2,….

удовлетворяет для любых x, y (0,+ ) функциональному уравнению Тогда f это показательная функция вида f ( x ) = a x.

Доказательство. В качестве a возьмём f (1). Подставляя в (2) x = 1, y = 1, получаем последовательно получим равенства f ( n ) = a n. Подставив в (2) x = y = n 2, получим, что подставляя x = y = n 2 k, докажем формулу f ( x ) = a x для всех двоичнорациональных чисел. На все остальные положительные вещественные x равенство f ( x ) = a x продолжается по непрерывности.

Теорема 4. Множество крайних точек введённого выше компакта K состоит из функций вида e at, a [0,+ ), и нулевой функции.

Доказательство. Пусть f ext K. Зафиксируем y > 0 и рассмотрим вспомогательную функцию u ( x ) = f ( x + y ) f ( x ) f ( y ). Предлагаем читателю доказать, что f 1 = f + u и f 2 = f u принадлежат множеству K.

Так как крайняя точка f представлена в виде f = 1, заключаем, что u = 0. Этим доказано, что f подчиняется функциональному уравнению Курс функционального анализа (2), то есть f принадлежащая множеству K, это или 0, или функция вида e at.

Докажем теперь, что все указанные в формулировке функции действительно принадлежат ext K. Принадлежность ext K функций 0 и вытекает из условия 0 f (t ) 1, наложенного нами на все f K. Далее, хотя бы одна из функций вида e a 0 t с 0 < a 0 < крайняя точка. Иначе множество ext K состояло бы только из двух функций 0 и 1 и, ввиду теоремы Крейна Мильмана, компакт K = conv ext K состоял бы только констант. Далее, для любого b (0,1) линейный оператор T, ставящий каждой функции f ( x ) в соответствие функцию f (bx ), биективно переводит K в K. Следовательно, крайние точки оператор T переводит в крайние точки, и, в частности, функция e a 0 bt крайняя точка. Ввиду произвольности b этим доказано, что e at ext K при 0 < a <.

Для завершения доказательства теоремы Бернштейна зададим следующее биективное отображение F : [0,+ ] ext K :

F ( + ) = 0 и F (a ) = e at при 0 < a <. Читатель легко проверит непрерывность данного отображения. Поэтому ext K замкнутое множество, как образ компакта при непрерывном отображении. F это непрерывное биективное отображение компакта в компакт, то есть гомеоморфизм.

Пусть f вполне монотонная функция. Не нарушая общности, можно считать, что f K : этого легко добиться умножением на коэффициент. По теореме Крейна – Мильмана в интегральной форме, существует такая регулярная вероятностная борелевская мера на ext K, что Рассмотрим меру на [0,+] прообраз меры при отображении F :

( A) = ( F ( A)). Замена переменных в (3) даёт нам равенство f = F (t ) d (t ). Так как F ( +) = 0, точку + можно удалить из области равенства функционалом x «значение в точке» получаем требуемое интегральное представление (1):

Глава 18. Теорема Крейна – Мильмана и её приложения 18.2.4. Теорема Ляпунова о векторной мере Начнём с «детской» задачи о разрезании пирога. Коля и Вася хотят честно разделить пирог. Проблема состоит в том, что разные части пирога представляют разную гастрономическую и эстетическую ценность: где-то марципан, в другом месте цукат, шоколадная фигурка и т. д. Ещё большую проблему составляет индивидуальность детей: они могут оценивать достоинства одного и того же кусочка по-разному. Стандартный способ решения проблемы состоит в следующем: Коля делит пирог на две равные, с его точки зрения, части, а Вася выбирает себе ту из частей, которая ему больше понравится. При таком способе Коля уверен, что получил ровно половину пирога, а Вася что не меньше половины. Этот способ вполне удовлетворителен, если только Вася не начнёт хвастаться, что ему досталась гораздо лучшая часть, а Коля не позавидует и не полезет в драку. Чтобы избежать подобных неприятностей и сохранить мир между друзьями, желательно разделить пирог на две части так, чтобы части были в точности равными как с точки зрения Васи, так и Коли. Возможно ли это? Для ответа на этот вопрос, задача нуждается во «взрослой»

формулировке. Пусть множество (наш пирог), -алгебра подмножеств (части, на которые можно резать пирог), 1, 2 конечные счётноаддитивные меры (для любого A величина 1 ( A) это «ценность»

приписываемая Колей, а 2 ( A) Васей куску пирога A ) 5. Вопрос заключается в следующем: существует ли A, для которого 1 ( A) = 1 (), а 2 ( A) = 2 (). На меры 1, 2 нужно наложить ещё условие безатомности: если какая-то часть пирога не разрезаема на меньшие куски и обоим детям очень нравится именно эта часть, то задача не разрешима.

Следующая теорема А. А. Ляпунова (1940 г.) показывает, что задача имеет решение, причём в случае не только двух, а любого конечного числа лиц, делящих пирог. Ценность теоремы, естественно, не исчерпывается возможностью справедливого дележа пирога, несмотря на всю важность и Замена Коли на Николая Петровича, а Васи на Василия Никифоровича в данном случае недостаточна, чтобы формулировка стала «взрослой».

В принципе, 1, 2 могут быть и зарядами, если какие-то куски кому-то явно неприятны, то есть имеют отрицательную ценность.

Курс функционального анализа прикладной характер этой задачи. Приводимое доказательство, использующее крайние точки, было предложено Линденштрауссом в году.

Теорема. Пусть 1, …, n счётно-аддитивные безатомные вещественные заряды на -алгебре. Определим векторную меру : R n равенством ( A) = (1 ( A),…, n ( A) ). Тогда множество () всех значений векторной меры это выпуклый компакт в R n.

Доказательство. Определим числовую меру = 1 + + n, по отношению к которой все k абсолютно непрерывны. Воспользуемся g k L1 (,, ) и k ( A) = g k d для любого A. Рассмотрим оператор T : L (,, ) R n, действующий по правилу Tf = fg1d,…, fg n d.

Интересующее нас множество () всех значений векторной меры совпадает с образом под действием оператора T множества функций вида Пространство L (,, ) будем рассматривать как сопряжённое к L1 (,, ). Тогда каждое из выражений fg k d это слабо со звёздочкой непрерывный по f функционал на L (,, ), и, следовательно, оператор T слабо со звёздочкой непрерывен. Рассмотрим в L (,, ) множество W функций f, подчиняющихся условию 0 f 1 почти всюду по мере.

Множество W совпадает с замкнутым шаром с центром в f 1 2 и радиуса 1 2. По теореме Алаоглу, W это слабый со звёздочкой компакт.

Кроме того, множество W выпукло. Следовательно, T (W ) это выпуклый компакт в R n. Докажем, что T (W ) = (). Этим будет доказана и вся теорема.

Так как функции вида 1A, A лежат в W, а значения меры это векторы вида T (1A ), то () T (W ). Докажем обратное включение.

Пусть x T (W ) произвольный элемент. T 1 ( x ) это слабо со звёздочкой замкнутое подмножество, следовательно, T 1 ( x ) W слабый со звёздочкой компакт. Пусть f ext T 1 ( x ) W. Докажем, что f почти всюду принимает значения 0 или 1, то есть f = 1A для некоторого A.

Глава 18. Теорема Крейна – Мильмана и её приложения Тогда ввиду равенства включение T (W ) ().

Рассмотрим множество A = {t : 0 < f (t ) < 1}. Нам нужно доказать, An = t : < f (t ) < 1. По нашему предположению, объединение этих множеств не пренебрежимо, следовательно, ( An ) 0 при каком-то n N. Тогда подпространство L ( An ) L (,, ) функций с носителями в An будет бесконечномерным (здесь единственный раз во всём рассуждении играет роль безатомность меры ). Так как T конечномерный оператор, он не может быть инъективным на бесконечномерном пространстве. Следовательно, существует ненулевой элемент g S L ( An ) с Tg = 0. Тогда оба элемента f ± g лежат в T ( x ) W, чего не может быть, так как f крайняя точка множества.

Как видно из следующего примера, прямое распространение теоремы Ляпунова на меры со значениями в бесконечномерном пространстве невозможно.

Пример 1. На отрезке [0,1] зададим борелевскую меру со значениями в L2 [0,1] формулой ( A) = 1A. Эта мера безатомна и счётноаддитивна. В то же время множество (B) всех значений векторной меры не выпукло: 0, 1 (B), а функция, тождественно равная 1 2, множеству значений уже не принадлежит.

Используя существование для любого бесконечномерного банахова пространства X инъективного оператора T : L2 [0,1] X, легко доказать существование X -значной безатомной борелевской меры на [0,1] с невыпуклым множеством значений. Такая мера может быть задана формулой ( A) = T (1A ). Тем не менее, бесконечномерные аналоги теоремы Ляпунова существуют, только в ослабленном виде: утверждается в таких обобщениях выпуклость не самого множества значений (), а его замыкания ().

Определение. Банахово пространство X обладает свойством Ляпунова, если для любого множества, любой -алгебры и любой безатомной счётно-аддитивной меры : X множество () выпукло.

Тот же пример 1 показывает, что гильбертово пространство не обладает свойством Ляпунова. В то же время (см. [K-S]) пространства c0 и Курс функционального анализа l p при p [1,2) ( 2,+ ) свойством Ляпунова обладают. Так что с этим свойством возникает парадоксальная ситуация: гильбертово пространство, с точки зрения этого свойства, оказывается хуже, чем (довольно плохое для других задач и, в частности, нерефлексивное) пространство c0.

При дополнительных ограничениях на меру круг пространств, на которые распространяется ослабленный аналог теоремы Ляпунова, расширяется. Например, если рассматривать только меры ограниченной вариации, то, согласно теореме Ула (см. последнюю главу книги [D-U], а также статью [K-P]), выпуклость множества () будет иметь место для безатомных мер со значениями в любом пространстве со свойством Радона Никодима (класс банаховых пространств, включающий в себя, в частности, все рефлексивные пространства).

18.3. Комментарии к упражнениям Параграф 18.1. Упражнение 6. См. [L-P]. Как показано в [B-K], множество крайних точек замкнутого единичного шара рефлексивного пространства не просто несчётно, а не может обладать «свойством маленьких шаров» (об этом свойстве в упражнениях п. 11.2.1).

Упражнение 7. См. [B-L] Corollary 5.12 и Proposition 5.13.

Упражнение 9. См. [Phe] с. 15.

Упражнение 10. Данное решение нам сообщил Dirk Werner. Пусть для какого-то T L( X ) имеем I ± T 1. Тогда I * ± T * 1, и для любого x * ext B X * имеем x * ± T * x * 1. По определению крайней точки, это означает, что T * x * = 0. Мы доказали, что T * переводит в 0 все крайние точки шара B X *, следовательно, T * = 0. Значит, и T = 0.

Упражнение 11. Воспользоваться упражнением 6 п. 11.1.1.

Параграф 18.2. Упражнение 3. Согласно теореме Милютина (см. монографию [Pel]), если K1 и K 2 несчётные метризуемые компакты, то C ( K1 ) и C ( K 2 ) изоморфны.

Литература.

Учебники и монографии [Ban] Банах С. Курс функціонального анализу. К.: Рад. школа, 1948.

[B-D1] Bonsall F.F., Duncan J. Numerical Ranges of Operators on Normed Spaces and of Elements of Normed Algebras. London Math. Soc.

Lecture Note Series 2, Cambridge, 1971. 142 c.

[B-D2] Bonsall F.F., Duncan J. Numerical Ranges II. London Math. Soc.

Lecture Note Series 10, Cambridge, 1973.

[Bea] Beauzamy B. Introduction to operator theory and invariant subspaces.

Amsterdam: North-Holland, 1988.

[B-H] Болтянский В. Г., Гохберг И. Ц. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. М.: Наука, 1965. 108 c.

[B-L] Benyamini Y., Lindenstrauss J. Geometric Nonlinear Functional Analysis. Vol. 1. Colloquium Publications no. 48. Amer. Math. Soc., [Bla] Бляшке В. Круг и шар. М: Наука, 1967. 232 c.

[BUS] Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ. К.: Вища школа, 1990. 600 с.

[Day] Дэй М. М. Нормированные линейные пространства. М.: Изд-во иностр. литер., 1961. 232 с.

[Die] Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств. Избранные главы.

К.: Вища школа, 1980. 216 с.

[D-S] Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. – Т. 1. М.: Изд-во иностр. литер., 1962; т. 2. М.: Мир, 1966; т. 3. М.: Мир, 1974.

[D-U] Diestel J., Uhl J. J. Vector Measures // Math. surveys of the A.M.S., 15, [Edw] Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении. – М.:«Мир», [Gru] Грюнбаум Б. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. М.: Наука, 1971. 96 c.

[HAL] Халмош П. Теория меры. М.: Издательство иностранной литературы, 1953. 291 с.

[HAND] Johnson W. B., Lindenstrauss J. (Editors) Handbook of the geometry of Banach spaces, vol. 1. Amsterdam: Elsevier Science B.V., 2001.

[H-D] Хадвигер Г., Дебрунер Г. Комбинаторная геометрия плоскости.

М.: Наука, 1965. 172 c.

[H-R] Хьюит Э., Росс, К. Абстрактный гармонический анализ. М.: Наука, Курс функционального анализа [K-A] Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.:

[Kel] Келли Дж. Л. Общая топология. М.: Наука, 1968. 384 c.

[K-F] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. 624 с.

[K-K] Kadets, M. I., Kadets,V. M. Series in Banach spaces. Conditional and unconditional convergence. Basel: Birkhuser, 1997 (Operator Theory Advances and Applications, vol. 94) 156 p.

[Kur] Куратовский К. Топология. – Т. 1 М.: Мир, 1966; т. 2 М.: Мир, [Le] Levinson N. Gap and density theorems. New York: Amer. Math. Soc.

coll. Publications, 1940.

[Lev] Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1956. 632 c.

[L-S] Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа.

[L-T] Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces I and II. Berlin:

SpringerVerlag, 1996.

[M-S] Milman V. D., Schechtman G. Asymptotic Theory of Finite-Dimensional Normed Spaces // Lecture Notes in Math. – Vol. 1466. Berlin:

SpringerVerlag, 1986.

[Nat] Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.:

[Pat] Paterson A. L. T. Amenability // Mathematical Surveys and Monographs No. 29. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, [Pel] Пелчиньский А. Линейные продолжения, линейные усреднения и их применения к линейной топологической классификации пространств непрерывных функций. М.: Мир, 1970.

[Phe] Фелпс Р. Лекции о теоремах Шоке. М.: Мир, 1968. 112 c.

[R-R] Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967. 258 c.

[R-Sa] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. – Т. 1: Функциональный анализ. М.: Мир, 1977.

[R-Se] Рисс Ф., Сёкефальви–Надь Б. Лекции по функциональному анализу.

[Rud] Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.

[Sin1] Singer I. Bases in Banach Spaces. – Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1970.

[Sin2] Singer I. Bases in Banach Spaces. – Vol. 2. Berlin: Springer-Verlag, 1981.

[T-A] Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. – Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Наука, 1979.

Литература.

[Tit] Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980.

[Wag] Wagon S. The Banach Tarski paradox. Cambrige Univ. Press, 1985.

[Wer] Werner D. Funktionalanalysis. 2. Auflage. Berlin: SpringerVerlag, [AAB] Abramovich Y. A., Aliprantis C. D., Burkinshaw O. The invariant subspace problem: some recent advances // Rend. Inst. Mat. Univ. Trieste.

[Beh] Behrends E. New proofs of Rosenthal's l1 theorem and the Josefson Nissenzweig theorem // Bull. Pol. Acad. Sc. 1995. 43, No. 4.

[B-K] Behrends E., Kadets V. Metric spaces with the small ball property // Studia Math. 2001. 148, No. 3. Р. 275 – 287.

[BLM] Banakh T., Lyantse W. E., Mykytyuk, Ya. V. -Convex sets and their applications to the proof of certain classical theorems of functional analysis // Matematychni Studii. 1999. 11, No.1. Р. 83-84.

[CGK] Connor J., Ganichev M., Kadets, V. A characterization of Banach spaces with separable duals via weak statistical convergence // J. Math. Anal.

Appl. 2000. 244, No.1. Р. 251-261.

[Eid] Eidelheit M. Zur Theorie der Systeme linearer Gleichungen // Studia [Enf] Enflo P. A counterexample to the approximation property in Banach spaces // Acta Math. 1973. 130. Р. 309-317.

[Hau] Hausdorff F. Bemerkung ber den Inhalt von Punktmengen // Math. Ann.

[Jos] Josefson B. Weak sequential convergence in the dual of a Banach space does not imply norm convergence // Ark. Mat. 1975. 13. Р. 79-89.

[Kad1] Кадец В. М. К теореме о выделении -линейно-независимых подпоследовательностей // Теория функций, функ. анализ и их [Kad2] Kadets V. M. Some remarks concerning the Daugavet equation // Quaestiones Mathematicae. 1996. 19. Р. 225-235.

[Kad3] Kadets V. Coverings by convex bodies and inscribed balls // Proceedings of the Amer. Math. Soc. – 2005. – 133 (5). – P.1491-1495.

Курс функционального анализа [Kad4] Kadets V. Weak cluster points of a sequence and coverings by cylinders // Математическая физика, анализ, геометрия (МАГ). 2004. 11, [K-P] Kadets V. M., Popov M. M. On the Liapunov convexity theorem with applications to sign-embeddings // Ukrainian Math. J. 1992. 44, no. 9.

[K-S] Kadets V. M., Schechtman, G. The Liapunov convexity theorem for l p valued measures // St. Petersburg Math. J. 1993. 4, no. 5. Р. 961-965.

[KSSW] Kadets V., Shvidkoj R., Sirotkin G., Werner, D. Banach spaces with the Daugavet property // Trans. Amer. Math. Soc. 2000. 352.

[K-T] Kadets V., Tseytlin L. M. On “integration” of non-integrable vectorvalued functions. // Математическая физика, анализ, геометрия [KMP] V. Kadets V., Martin M., Paya R. Recent progres and open questions on the numerical index of Banach spaces // Rev. R. Acad. Cien. Serie A.

Mat, Vol. 100 (1-2). 2006, P. 155 - 182.

[Las] Laszkovich M. Paradoxical Decompositions: A Survey of Recent Results // The first European Congress of Mathematics, v. 2. Basel: Birkhuser, [Lom] Ломоносов В. И. Об инвариантных подпространствах семейства Функциональный анализ и его прил. 1973. 7, № 3. С. 55-56.

[Lor] G. Lorentz. A contribution to the theory of divergent sequences // Acta Math. – 1948 – 80. – P.167-190.

[L-P] Lindenstrauss J., Phelps R. R. Extreme point properties of convex bodies in reflexive Banach spaces // Israel J. Math. 1968. 6. Р. 39-48.

[L-T1] Lindenstrauss J., Tzafriri L. On the complemented subspaces problem // Israel J. Math. 1971. № 9. Р. 263-269.

[Mak] Макаров Б. М. О проблеме моментов в некоторых функциональных пространствах // Докл. АН СССР. 1959. 127. – № 5. С. 957-960.

[Nik] Никольский Н. К. Инвариантные подпространства в теории операторов и теории функций // Итоги науки и техники.

Современные проблемы математики. – Т. 12. Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1974.

[Nis] Nissenzweig A. w* sequential convergence // Israel J. Math. 1975. 22.

[Rob] Roberts J. W. A compact convex set with no extreme points // Studia [Yud] Yudin V.A., On Fourier sums in L p. // Proc. Steklov Inst. Math. 1989.

Именной указатель Именной указатель Адамар (J. Hadamard), 14.3.1 Какутани (S. Kakutani), 8.4.2, Аренс (R. Arens), 17.1.6 Кантор (G.Cantor), 1.4.4, 2.3.1, Арцела (C. Arzel), 1.4.2, 15.3.2 17.2. Банах С. (S. Banach), 5.4.3, 5.5.2, Канторович Л. В., 8.4.3, 18.1. 5.5.3, 6.3.1, 9.1.2, 9.3.2, 10.1.3, Каратеодори (C.Carathodory), 10.2.210.4.1, 10.4.2, 10.5.1, 10.5.2, 18.1. 15.1.1, 16.2.5, 16.3.1, 17.1.5, 17.2.1 Кнастер (Knaster B.), 15.1. Бессага (C. Bessaga), 16.3.4 6.3.1, 12.1.2, 15.2.1, 16.2. Бессель (F. W. Bessel), 12.3.2 Крейн М. Г., 18.1.2, 18.1. Бишоп (E. Bishop), 18.2.2 Куратовский (K. Kuratowski K.), Борель (E. Borel), 2.1.2, 3.1.1, 3.1.2 15.1. Брауэр (L. E. J. Brouwer), 15.1.2 Лебег (H. Lebesgue), 2.2.2, 2.3.1, Буняковский В. Я., 12.1.2 2.3.3, 2.3.7, 4.2.2, 4.4.2, 4.6. Бурбаки (N. Bourbaki), 17.1.5 Левинсон (N. Levinson), 9.2. Вейерштрасс (K.T.W. Weierstrass), 7.2. Вернер (Dirk Werner), 18.3 Линделёф (E. Lindelf), 14.3. Витали (G. Vitali), 2.3.4 Линденштраусс (J. Lindenstrauss), Гамель (Hamel), 5.1.1, 5.1.3, 6.3.4 12.2.2, 18.1.2, 18.2. Гёльдер (Hlder), 14.1.1 Липшиц (Lipschitz), 1.3.3, 1.4. Гильберт (D. Hilbert), 11.1.7, 12.1.3, Лиувилль (J. Liouville), 11.1. Голдстайн (H. H. Goldstine), 17.2.2 Лоренц (G.Lorentz), 5. Данфорд (N. Dunford), 17.2.6 Ляпунов А. А., 18.2. де Бранж (L. de Branges), 18.2.2 Мазуркевич (S. Mazurkiewicz), Джозефсон (B. Josefson), 17.2.1 Макаров Б. М., 16.3. Дини (U. Dini), 10.4.4, 14.2.1 Макки (G. W. Mackey), 17.1. Жордан (Jordan), 7.1.1, 12.5 Мильман Д. П., 18.1.2, 18.1. Курс функционального анализа Минковский (H. Minkowski), 5.4.2, Фурье (J. Fourier), 4.6.3, 10.4.3, Монтель (P. Montel), 16.3.5 14.2.3, 14.2.4, 14.2.5, 14.3. Нахбин (I. Nachbin), 9.3.4 Хан (H. Hahn), 5.4.3, 7.1.2, 9.1.2, Ниссенцвайг (A.Nissenzweig), Хаусдорф (F. Hausdorff), 1.2.1, Ньютон (I. Newton), 7.2, 7.2.1, 7.2.6 Хелли Э., 9.3.4, 17.2. Парсеваль (M. A. Parseval), 12.3.3 Цафрири (L.Tzafriri), 12.2. Пелчиньский (A. Pelczyski), 16.3.4 Чебышев П. Л., 4.3. Петтис (B. J. Pettis), 17.2.6 Чезаро (Cesaro), 5.5. Планшерель (M. Plancherel), 14.2.5 14.3.3, 15.1. Рисс М. (M. Riesz), 14.3.2, 14.3.3 Шмульян В. Л., 17.2. Рисс Ф. (F. Riesz), 2.3.3,, 8.4.2 8.4.6, Шоке (G. Choquet), 18.1.3, 18.2. Стилтьес (T. J. Stieltjes), 4.2.3, 8.3.2, Эберлейн (W. F. Eberlein), 17.2. Страус (E. G. Straus), 16.3.4 Эрдеш (P. Erds), 16.3. Тарский (A. Tarski), 5.5.2 Эрмит (Ch. Hermite), 14.2. Титце (H. Tietze), 1.2.3, 1.3.3 Юнг (H. W. E. Jung), 1.3. Тихонов А. Н., 16.1. Торин (G. O. Thorin), 14.3. Ул (J. J. Uhl, Jr), 18.2. Урысон П. С., 1.2.3, 1.3. Фату (P. Fatou), 4.4. Фелпс (R. R. Phelps), 18.1. фон Нейман (J. von Neumann), 12.5, 15.2.2, 15.3.3, 17.2. Фрагмен (E. Phragmn), 14.3. Фредгольм (I. Fredholm), 11.3. Фреше (M. Frchet), 16.1. Фубини (G. Fubini), 2.3.3, 4.5.2, 4.5. Предметный указатель Предметный указатель абсолютная непрерывность вариация функции, 7.2. заряда, 7.1.3, 7.2.5 векторная мера, 13.4. меры, 7.1. абсолютно выпуклая комбинация, 17.1. оболочка, 17.1. абсолютно непрерывная функция, 7.2.4, 7.2. алгебра множеств, 2.1. порождённая семейством множеств, 2.1. -алгебра множеств, 2.1. B борелевских множеств, выпуклое множество, 5.3.1, 9.3.1, 2.1.2, 3.1. аннулятор, 5.2.3, 9.2.2, 17.1. аппроксимативная единица, 11.2. аппроксимативное собственное число, 11.1. атом заряда, 7.1. меры, 2.1. база конуса, 15.1. окрестностей точки, 1.2. счётная, 1.2. фильтра, 16.1. базис Гамеля, 5.1.1, 5.1.3, 6.3. канонический, 6.3.4, 10.5. Шаудера, 10.5.1, 14.3. банахова алгебра, 11.1. банахово пространство, 6.3, 6.3.1, 10, 17. безусловно сходящийся ряд, 12.3. биективный оператор, 5.2.1, 10.2. билинейная форма, 12.4.1, 12.4. биполяра, 17.1. борелевская мера, 2.3.5, 8.1. борелевский заряд, 7.2. бэровская -алгебра, 8.1. вариация заряда, 7.1.1, 7.2. Курс функционального анализа единичная сфера, 6.2.1 канторова лестница, 2.3.6, 7.2.1, задача Коши дифференциального канторово множество, 1.4.4, 2.3.1, замена переменной, 7.2.7 квадрат суммы, 12.1. замыкание множества, 1.2.1 квадратичная форма оператора, измеримая функция, 3.1.1, 3.1.2, класс функций USC ( X ), 1.2. измеримое отображение, 3.1.1, 3.1.2 LSC ( X ), 1.2.4, 8.2. изометрическое вложение, 6.1. изометричные пространства, 1.3.1, 6.1. изометрия, 1.3.1, 6.1.2, 6.4. изоморфизм, 10.2.1, 10.2. гильбертовых пространств, 12.3. изоморфное вложение, 10.2. изопериметрическая задача, 1.4. инвариантная метрика, 16.2. инвариантное подпространство, 11.1.6, 12.4.8, 15.2. инвариантное среднее, 5.5.1, 15.3. индуктивное упорядочение, 5.1. интеграл комплекснозначной функции, 4.2. интеграл Лебега, 4.2. Лебега на отрезке, 4.6. по -конечной мере, 4.6. производной, 7.2. Римана, 4.2. Стилтьеса, 4.2.3, 8.3.2, 8.4. функции по заряду, 7.1.2, 7.1.4, координатные функционалы, 10.5. функции по мере, 4.2.2 коэффициенты Фурье, 4.6.3, 10.4.3, интегрируемая функция, 4.2.2, 4.3.1 крайнее подмножество, 18.1. инъективизация, 5.2.3, 6.4.3, 10.2.3 крайняя точка, 18.1. инъективное пространство, 9.3.4 критерии компактности множеств, Предметный указатель Коши сходимости ряда, 6.3. открытости отображения, 10.1. полноты системы, 9.2. поточечной сходимости, 10.4. пренебрежимости, 2.3. слабой со звёздочкой сходимости, 17.2. лемма о малом возмущении единичного элемента, 11.1.2 пренебрежимые, 2.1.5, 2.3. лемма Урысона, 1.2.3, 1.3.3 измеримые по Лебегу, 2.3. Ф. Рисса о светотени, 2.3.3 множество второй категории, 1.3. линейная комбинация, 5.1.1 открытое, 1.2. -линейная независимость, 16.3.4 первой категории, 1.3.8, 2.1. линейная оболочка, 5.1.1 поглощающее, 5.4.2, 6.2. линейное подпространство, 5.1.1 пренебрежимое, 2.1. линейное пространство, 5.1.1 уравновешенное, 5.4.2, 6.2.1, линейный оператор, 5.2.1, 6.4.1, 16.2.1, 16.2. 16.2. локально выпуклое пространство, монотонный класс множеств, 2.2. 16.3. матрица оператора, 11.1.7 мультипликативный функционал, вероятностная, 2.1.4 натягивающий базис, 17.2. -конечная, 2.3.7, 4.6.2 неравенство Бесселя, 12.3. конечно-аддитивная, 2.1.4 Гёльдера, 14.1. счётно-аддитивная, 2.1.4 Чебышева, 4.3. порожденная интегралом, 8.3. метод исчерпания, 7.1. метризуемость, 16.2.2, 17.2. Курс функционального анализа нильпотент, 11.1. произведением, 12.1. нормальная структура, 15.3. нормальный оператор, 12.4.5, 13.2.3 ограниченный снизу, 10.2. нормированное пространство операторы частных сумм, 10.5. конечномерное, 9.2.1, 10.2.1 опорный функционал, 9.2. нормирующие множество, 17.2.4 ортогонализация по Граму – носитель меры, 8.1.2 ортогональное дополнение, 12.2. обобщённый банахов предел, 5.5.3 ортогональность, 12.1. образ оператора, 5.2.1, 6.4.1, 10.2.3 ортогональный ряд, 12.3. обратимость в подалгебре, 11.1.3 ортонормированная система, 12.3. обратимость слева, 11.1.3 ортонормированный базис, 12.3.3, обратная теорема Фубини, 4.5.3 ортопроектор, 12.2.2, 12.4. ограниченное множество в основное тождество для топологическом векторном спектральной меры, 13.4. ограниченный оператор, 6.4.1, открытое отображение, 1.2.2, 10.1, окрестность нуля, 16.2.1, 17.1.1 открытый оператор, 10.1, 10.1. окрестность точки, 1.2.1 отношение порядка, 4.1.1, 5.1. I T, где T компактный, пара пространств в двойственности, 11.3. оператор гильберт-шмидтовский, 11.1.7, 12.4.3, 12.4.5, 12.4. оператор Данфорда Петтиса, 17.2. оператор интегрирования, 10.2.4, 11.1. с ядром, 11.3.1, 11.3.3, 12.4.5, 14.1. оператор конечного ранга, 11.2. Рисса, 14.3. Предметный указатель нетривиальное, 6.3.4 равномерной ограниченности, нормированного пространства, 10.4. 6.1. топологического пространства, Шаудера, 15.1. поликруг, 18.1. полная система элементов, 9.2.3 подпространства, 15.2. полное пространство с мерой, 2.1.5 оператора, 6. полное топологическое векторное проектор, 6.5.2, 10.3. пространство, 16.2.3 произведение -алгебр, 2.1. положительная часть заряда, 7.1.1, пространств с мерой, 4.5. положительный конус, 6.1.2,, 6.1.3, производная Радона – Никодима, положительный оператор, 12.4.6, пространства полуупорядоченные, полувариация меры, 13.4.2 пространство R, 1.3. полугруппа, 5.5. полукольцо множеств, 2.2. полунорма, 6.1.1, 16.3. поляра, 17.1. полярное разложение, 13.2.1, 13.2.3 C (T ), 10.4.3, 11.1. пополнение пространства с мерой, A(T ), 10.4.4, 11.1. 2.1.5, 3.1. последовательность Коши, 1.3.4, 16.2. фундаментальная, 1.3. поточечная ограниченность, 10.4.1 X **, 17.2. почти всюду, 2.3.2, 3.2. предел по направленности, 4.1. по Чезаро, 5.5. последовательности, 1.2. предкомпакт, 1.4.1, 1.4.2, 11.2.1, 16.2. преобразование Фурье, 4.6.3, 14.2.2, 11.2.3, 15.3.1, 17.2.1, 17.2.6, 18.2. 14.2.3, 14.2.4, 14.2. принцип вложенных множеств, 17.2.4, 18.1. 1.3. Курс функционального анализа l1, 6.1.1, 6.1.4, 6.4.3, 10.1.2, равномерно непрерывное 10.5.3, 11.1.1, 11.1.7, 15.3.1, 17.2.1, 17.2. C (K ), 6.1.1, 8, 11.1.1, 17.2.3, 17.2.4, 17.2.6, 18.2. l, 6.1.1, 9.3.4, 10.3.3, 10.5.1, 10.5.3, 16.1.6, 17.2.4 размерность гильбертова L1 [a, b], 6.1.3, 11.2.3, 15.3.1, пространства, 13.2. l p, 6.2.2, 10.5.1, 11.2.3, 14.1.2, 14.1.3, 17.2.1, 17.2.6, 18.2. L p (,, ), 6.2.2, 14.1, 17.2.6 регулярная точка, 11.1. L p [a, b], 6.2.2, 17.2.3, 18.1.1 регулярный борелевский заряд, 8.4. M (, ), 7.1.1, 7.1.2, 7.1. банахово, 6.3, 6.3.110, 17.2 абсолютно сходящийся, 6.3.1, псевдометрическое, 1.3.7, 2.1.5 14.3. рефлексивное, 17.2.6, 18.1.2 самосопряженный оператор, 12.4.4, с базисом, 10.5.2, 10.5.3, 11.1.7 13.1.2, 13.1. сепарабельное, 1.2.1, 1.3.2, свойство Ляпунова, 18.2. 1.3.5, 6.3.4, 8.4.4, 10.1. простые функции, 3.1. прямая сумма операторов, 13.1.5 секвенциальные определения, 1.3. подпространств, 10.3.2, 12.2.2, секвенциальный компакт, 16.1.8, 13.1. псевдометрика, 1.3. 2.2. сходимости по мере, 3.2. равенство Даугавета, 11.3. параллелограмма, 12.1. Парсеваля, 12.3. Предметный указатель слабая топология, 16.3.3, 17.1.1, собственное число оператора, Банаха – Штейнгауза, 10.4.1, 11.1.6, 11.3.6, 12.4.8, 13.1.5 10.4.2, 17.2. собственный вектор, 11.1.6, 12.4.8, Бессаги – Пелчиньского, 16.3. совершенное множество, 1.3.5, 1.4.4 Брауэра, 15.1. сопряженный оператор, 9.4.1, 10.2.1, 10.2.4, 10.3.3, 11.3.2, 12.4.2, 17.1. сопряжённый показатель, 14.1. спектр оператора, 11.1. компактного оператора, 11.3. самосопряжённого оператора, 12.4. элемента алгебры, 11.1.4, 11.1. спектральная мера, 13.4.3, 13.4. спектральные проекторы, 13.4.3, 13.4. спектральный радиус, 11.1. статистический фильтр, 16.1. стоун-чеховская компактификация, 16.1. строгая выпуклость, 12.2.1, 18.1. строгая сингулярность заряда, 7.1. строгое неравенство треугольника, 12.2. сходимость по мере, 3.2.1, 3.2.3, 18.1. поточечная, 6.4.4, 9.2.2, 10.4.2 Ломоносова, 15.2. почти всюду, 3.2.1, 3.2.3, 3.2.4, Лузина, 3.2.4, 8.3. слабая со звёздочкой, 17.2.1 18.2. счётная полуаддитивность, 2.2.1, Мюнца, 9.2. счётнозначная функция, 3.1.4 о замкнутом графике, 10.3. сюрективный оператор, 5.2.1, 10.1.3 о малом возмущении теорема Адамара о трёх прямых, обратимого элемента, 11.1. 14.3. Курс функционального анализа о наилучшем приближении, Хелли, 9.3.4, 17.2. 12.2.1, 18.1. о непустоте спектра, 11.1.5 Эйдельгейта, 16.3. о неявной функции, 15.1.1 Эрдеша – Страуса, 16.3. о равномерном пределе, 4.3.2 Юнга, 1.3. об общем виде линейного теоремы Левинсона, 9.2. оператора на L, 14.1. теорема об общем виде линейного функционала в LP, 14.1. в c0, 10.5. в L, 14.1. в гильбертовом пространстве, 12.2. теорема об общем виде элементарного интеграла, 8.3. теорема об отображении спектра, 13.1.1, 13.1.4, 13.3. теорема Пеано, 15.2. Пикара, 15.2. Пифагора, 12.1. Радона – Никодима, 7.1. Рисса – Торина, 14.3. Стоуна Вейерштрасса, 18.2. Титце, 1.2.3, 1.3. Тихонова, 16.1.7 тривиальный ультрафильтр, 16.1. Ф. Рисса – А. Маркова – ультрафильтр, 16.1. С. Какутани, 8.4.2 универсальное пространство, 17.2. Фредгольма, 11.3.5 унитарный оператор, 13.2. Фубини о дифференцировании уравновешенное множество, 5.4.2, Хана – Банаха, 5.4.3, 9.1.2, Липшица, 1.3.3, 1.4. геометрической форме, 9.3. Предметный указатель факторотображение, 5.2.3, 6.4.3, характеристическая функция факторпространство, 5.2.2, 9.4.2 центрированное семейство банахова пространства, 6.3.3, множеств, 1.2. 10.3. нормированного пространства, топологического векторного шарообразное множество, 10.1. пространства, 16.2. Фреше, 16.1. формальная сходимость, 13.3. формула Ньютона – Лейбница, 7.2, 7.2.1, 7.2. обращения, 11.1.2, 11.1. Планшереля, 14.2. Фурье, 14.2. формулы обращения, 14.2. де-Моргана, 1.1, 2.1. функции Эрмита, 14.2. функционал интегрирования с весом, 14.1. функционал Минковского, 5.4.2, 6.1.1, 6.2. функция вполне монотонная, 18.2. множества, 4.2. ограниченной вариации, 7.2. от самосопряженного оператора, 13.1.3, от унитарного оператора, 13.3. первого класса, 2.1. полунепрерывная сверху, 1.2. полунепрерывная снизу, 1.2.4, 8.2. распределения, 2.3. измеримая по Борелю 3.1.1, 3.1.