«Ярославль 2005 Оглавление Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX столетия Тихомиpов В.М. Некотоpые пpоблемы школьного и унивеpситетского математического обpазования.... 5 Демидов С.С. Рождение ...»

Пусть s = n + 1. По построению вывода D из класса An+1 для выводов U и Y из пп. 2.1 и 2.2 определения 3 при их вхождениях в вывод D теорема 1 доказана по гипотезе индукции.

Докажем теперь теорему 1 для пары Е,D этого вывода D из класса An+1.

Следуя определениям 3 и 4, осталось рассмотреть п. 2.2 определения 3 задания вывода D. Доказательство проведем методом от противного.

Предположим, что в правиле МР из п. 2.2 определения 3 посылка TE является Выделенной формулой – правило МР есть Тогда по п. 1 определения 4 в выводе D имеем [ТЕ,Y]=q, q есть (RR), где R - формула логики высказываний, и теорема в D для пары TE,Y ложна. Однако по гипотезе индукции теорема 1 доказана для всех пар вывода Y и для пары TE,Y в D, являющейся парой ТЕ,Y в Y по п. 2.2 определения 3.

Получили противоречие: теорема 1 для пары TE,Y в D одновременно является ложной и истинной.

Поэтому вторая посылка TE правила МР в п. 2.2 определения 3 не может быть Выделенной формулой.

Следовательно, в соответствии с п. 2 определения 4, имеем [ТЕ,Y]=q и [Е,D]=q. Формула q выводима в логике высказываний, поэтому теорема 1 истинна для пары Е,D и, следовательно, для всех пар F,В вывода D.

Таким образом, теорема 1 доказана для всех элементов (выводов) класса An+1, n 0.

Итак, исследование постулатов в выводах из множества М закончено; показано: предложение (1) верно для всех пар F,В каждого вывода множества М; в М нет выводов с правилом МР.

Теорема 1 (о редукции множества М всех выводов теории К в логику высказываний L) доказана.

Теорема 2. Теория К непротиворечива.

Доказательство. Теорему 2 докажем от противного. Допустим, что теория К противоречива. Тогда в К выводима каждая формула языка теории К; в частности, выводимы формулы S и SC, где SC есть Выделенная формула, поэтому применение правила МР к S и SC дает в множестве М вывод, кончающийся правилом МР, что невозможно в силу теоремы 1.

Кузичев А.С. Колмогоровские основания математики Теорема 2 о непротиворечивости теории К доказана.

Таким образом, каждая известная аксиоматическая теория первого порядка, редуцируемая по Колмогорову в логику высказываний и построенная на пути Фреге, доказуемо непротиворечива. Доказательство получено комбинаторными средствами с помощью теоретико-множественной перестройки по Колмогорову каждой такой теории. Теоремы Геделя о неполноте, доказанные на фрегевском пути, в перестроенной теории не являются ограничительными, поскольку все известные теории строятся и исследуются автором (в частности, доказывается их непротиворечивость) на теоретико-множественном пути Колмогорова.

В [15], в частности, объясняется, почему результаты [15] и настоящей работы стали возможны только в XXI веке.

Дело в том, что гений Колмогорова опережал время; современники далеко не всегда и не вполне понимали его. Так, в свое время многими была не понята и подвергнута критике колмогоровская реформа школьного математического образования. В частности, попытки Андрея Николаевича включить в школьный курс математики некоторые элементы теории множеств и логики (см., к примеру, [17, 18]) встретились с неприятием и сопротивлением. Колмогорова ругали за “чуждый нашему обществу” “идеалистический” (!) теоретико-множественный подход. Несостоятельность критики проявилась позднее, когда “изгнание слова “множество” и соответствующих атрибутов из школьного курса не дало ожидаемого эффекта” ([19. C. 130]). Более того, именно теоретико-множественный подход позволяет разрешить многие проблемы оснований наук, исключить из оснований всякие рассуждения о парадоксах и доказать (на примере предлагаемой и других работ автора этих строк), что теоретико-множественная математика в ее целостности имеет доказуемо непротиворечивую формализацию, естественно неаксиоматическую.

Я убежден, что многие непонятые при жизни Колмогорова его идеи – это, в сущности, идеи XXI века, реализовывать которые предстоит его ученикам и последователям.

О вкладе А.Н. Колмогорова в математическое образование см., например, [19–21].

Результаты данной работы могут и должны быть внедрены в учебный процесс – преподавать основания наук целесообразно не по Фреге с ограничительными теоремами Геделя о неполноте, как это делается в настоящее время, а теоретико-множественно по Колмогорову без ограничений, ибо только на колмогоровском пути впервые найдено доказательство непротиворечивости всех известных (на пути Фреге) теорий первого порядка, редуцируемых в логику высказываний. Доказательство получено для каждой такой неполной (по Геделю) теории известными школьными комбинаторными средствами.

Я благодарен всем, кто явно или неявно содействует становлению и развитию колмогоровского направления в основаниях наук. Особенно я признателен Юрию Васильевичу Прохорову, представившему в ДАН мои статьи [13, 22, 23], Анатолию Тимофеевичу Фоменко, опубликовавшему мою работу [15], а также всем сотрудникам механико-математического и философского факультетов МГУ и других научных организаций России и зарубежья, обсуждавшим мои результаты.

1. Крайзель Г. Биография Курта Геделя. УМН, 1988. Т. 43. Вып. 2.

С. 175–216; Т. 43. Вып. 3. С. 203–238.

2. Тьюринг А. Может ли машина мыслить? (С приложением статьи Дж. фон Неймана “Общая и логическая теория автоматов”). М.: Физматгиз, 1960. 112 с.

3. Кузичев А.С. Арифметические теории, строящиеся на основе конверсии // Доклады Академии наук. 1981. Т. 261. № 4. C. 792– 4. Кузичев Арифметически непротиворечивые 5. Кузичев А.С. Аксиоматические теории в комбинаторно полных системах // ДАН. 1982. T. 264. № 3. C. 538–542.

6. Кузичев А.С. О представлении теорий первого порядка в бестиповых комбинаторно полных системах // ДАН. 1982. T. 266.

№ 1. C. 23–27.

Кузичев А.С. Колмогоровские основания математики 7. Кузичев А.С. Арифметически непротиворечивые -теории бестиповой логики // ДАН. 1983. T. 268. № 2. C. 288–292.

8. Кузичев А.С. Теория множеств в бестиповых комбинаторно полных системах // Вестник Московского университета. Матем., механ. 1983. № 3. C. 36–42.

9. Кузичев А.С. Непротиворечивость системы NF Куайна // ДАН. 1983. Т. 270. № 3. C. 537–541.

10. Кузичев А.С. Арифметическая полнота бестиповой логики // ДАН. 1983. T. 270. № 6. C. 1323–1327.

11. Кузичев А.С. Об одной арифметически непротиворечивой теории // Zeitschr. f. math. Logik und Grundlagen d. Math. 1983.

Bd. 29. S. 385–416.

12. Кузичев А.С. Теорема о непротиворечивости системы ZF Цермело-Френкеля // ДАН. 1983. T. 273. № 5. C. 1053–1057.

13. Кузичев А.С. Колмогоровская редукция и непротиворечивость // ДАН. 1999. T. 367. № 2. C. 161–163.

14. Колмогоров А.Н. О принципе Tertium non datur // Математический сборник. 1925. Т. 32. № 4. C. 646–667.

15. Кузичев А.С. О негеделевской перестройке арифметики и других аксиоматических теорий первого порядка по Колмогорову.

Доказательство их непротиворечивости. М.: Изд-во механикоматематического ф-та МГУ, 2004. 36 с.

16. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1984. 320 с.

17. Колмогоров А.Н. Замечания о понятии множества в школьном курсе математики // Математика в школе. 1984. № 1. C. 52–53.

18. Колмогоров А.Н. Элементы логики в современной школе // Математика в школе. 1971. № 3. C. 91–92.

19. Абрамов A.M. О педагогическом наследии Колмогорова // Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове. М.: Фазис, 1999.

C. 99–147.

20. Ершов А.П. Компьютеризация школы и математическое образование // Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове. М.:

Фазис, 1999. C. 148–152.

21. Черкасов Р.С. Андрей Николаевич Колмогоров и школьное математическое образование // Колмогоров в воспоминаниях. M.:

Физматлит, 1993. C. 583–605.

22. Кузичев А.С. Вариант формализации канторовской теории множеств // ДАН. 1999. T. 369. № 6. C. 740–742.

23. Кузичев А.С. Решение проблемы Гильберта по Колмогорову // ДАН. 2000. № 3. C. 303–306.

О стандарте математического образования в школе им.

А.Н. Колмогорова В.В. Вавилов В школу им. А.Н. Колмогорова Специализированного Учебнонаучного центра Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова поступают на конкурсной основе старшеклассники из различных регионов страны, которые уже проявили интерес к изучению одной из наших профильных дисциплин – к математике, информатике, физике, химии, биологии. За более чем сорокалетний период работы школы в ней сложились собственные концепции и традиции при постановке основных профилирующих курсов и организации внеклассной работы.

Само понятие стандарта обучения может базироваться только на тех целях и задачах, которые школа сама ставит перед собой, и которые, в свою очередь, диктуются всем развитием социальноэкономической системы в стране и лучшими схемами и традициями в преподавании, сложившимися во всей системе математического образования в средней и высшей школе. Нужно иметь также в виду, что школа является университетским структурным подразделением, и подавляющее большинство преподавателей школьных профильных дисциплин являются, по основному месту работы, сотрудниками соответствующих факультетов. Кроме того, большинство выпускников школы становятся студентами университета, в стенах которого они в качестве своих научных руководителей выбирают зачастую и своих бывших школьных преподавателей.

Вавилов В.В. О стандарте математического образования в школе им.

А.Н. Колмогорова Основные цели в преподавании математики в нашей школе направлены, в первую очередь, на развитие интеллекта и на подготовку учащихся к обучению в вузе. С этими положениями общего порядка трудно не согласиться и они практически ни у кого не вызывают возражений. Критике иногда подвергается вторая из этих целей, но и то только потому, что ее иногда понимают слишком узко – подготовку к вступительным экзаменам в вузы. В первые годы работы школы акцент был смещен в сторону первого из этих положений, и в наших публикациях о школе мы это неоднократно подчеркивали – школа не является подготовительными курсами для поступающих в вузы (см. [1]; в этой брошюре в качестве приложения помещены выдержки из положения о школе, на основании которого мы и проработали вплоть до 1986 года). Для соответствующей возможности постановки и организации всех математических курсов были все предпосылки, главной из которых было то, что вся система школьного математического образования в стране довольно эффективно работала, и нам удавалось набрать в школу (через олимпиады и летнюю школу для наших абитуриентов) действительно увлеченных и хорошо подготовленных детей. Сейчас ситуация в стране в деле образования молодежи явно изменилась, причем к худшему, и не без специальных усилий наших “правителей” самого различного уровня. Ныне продвигаемая и здравствующая государственная доктрина в образовании (как бы это ни камуфлировалось) – подготовка людей – ремесленников (“homo faberov”) – нацелена только на репродуктивный процесс обучения со всеми вытекающими отсюда последствиями: уменьшение учебных часов, “разгрузка программ”, система ЕГЭ, немыслимый для думающих людей предлагаемый и обсуждаемый стандарт школьного математического образования. Кроме того, все это сильно замешено на так называемых “рыночных отношениях”, на идее платного обучения, и не только в частных школах. Целью статьи не является обсуждение всех этих скорбных дел, да и мы не генеральная прокуратура, которой давно пора самой обнародовать попытки многих желающих создать “РАО Образование”. Но нам теперь приходится и принимать к себе учеников по другим экзаменационным схемам, и увеличивать долю учебных дел, направГлава 4. История и философия математики ленных на ликвидацию у учащихся черт формального образования (имеются в виду итоги однобокого использования дидактической триады “знания, умения, навыки” без рассмотрения и получения ответов на вопросы “Почему?”) и расширять рамки целевой подготовки к вступительным экзаменам в вузы.

Наш стандарт математического образования в школе зависит, конечно, от содержания курсов, которых у нас три (по три часа в неделю): геометрия, алгебра, математический анализ. Но важно иметь в виду, что само содержание наших учебных программ далеко не является копией общепринятых программ профильной школы. И они, в первую очередь, ориентированы на воспитание тех ценных качеств личности, для которых изучение математики является одним из наилучших признанных полигонов. Одним из важнейших таких качеств нашего учащегося и будущего студента является умение ставить и решать задачи. Обучение постановкам и решениям задач является важной составной частью всех наших математических (и других) курсов. Можно сказать и более прямолинейно: постановка и решение задач – цель и средство обучения математике в нашей школе. Уместно здесь привести высказывание известного математика П. Халмоша: “Задачи – сердце математики, и мы должны подчеркивать все более и более в классе, на семинарах, в книгах и статьях, которые мы пишем, чтобы наши ученики стали лучшими постановщиками и решателями задач, чем мы сами”. Решение задач, как отмечалось многими крупнейшими учеными и педагогами, – та столбовая дорога в математику, шире которой нет и, видимо, другого способа привить интерес к математике и полюбить эту мудрую науку не существует. Все наши школьники (за очень редким исключением) будут использовать математику и ее методы в своей будущей профессии или вообще станут профессиональными математиками-исследователями. В частности, именно поэтому мы здесь говорим не только о решении задач, но и о постановках задач в ходе семинарских занятий по инициативе преподавателей, и, что более важно, – по инициативе самих школьников. Вся школьная жизнь пропитана решениями задач и их обсуждениями: обычные занятия, самостоятельные и контрольные работы, коллоквиумы, зачеты и экзамены, олимпиаВавилов В.В. О стандарте математического образования в школе им.

А.Н. Колмогорова ды и конкурсы решения задач, кружки, собственные исследования школьников и т.д.

Под стандартом математического образования мы понимаем тот список задач, который должны уметь решать школьники.

Здесь хотелось бы написать – все учащиеся школы, но этого реально достичь невозможно. Во-первых, у нас много специализаций: физико-математическая, компьютерно-информационная, химическая, биологическая. Во-вторых, имеется два одиннадцатых класса с одногодичным периодом обучения. В-третьих, как следствие первых двух причин, таких единых списков задач просто нет.

Поэтому ниже, в этой статье, речь идет о физико-математических классах двухгодичного потока, где я многие годы работаю. Нужно сказать, что эти списки задач не есть что-то фиксированное раз и навсегда – они могут отличаться даже в параллельных классах. Их насыщение зависит от многих обстоятельств: и от уровня подготовки ученика, и от уровня подготовки учителя, и от многого другого. Основная “задачная нагрузка” школьника состоит из решения задач в классе и из выполнения домашних заданий. Задачный материал подбирается и разрабатывается под руководством ведущих преподавателей, дозируется, и именно на этой основе формируются календарные планы обучения. Важное место отводится организации контроля над ходом учебного процесса. Лектор, совместно с другими преподавателями, разрабатывает тематические списки задач (иногда крупные, чаще – не очень), часть из которых изучается на уроках, часть – в ходе самостоятельной работы (такой системы придерживаются и некоторые другие специализированные школы; см. например, [5, 6]). Дальше схема раздваивается:

либо контроль за выполнением заданий происходит, в основном, на занятиях, либо, в основном, на специальных коллоквиумах. В своих классах я отдаю предпочтение коллоквиумам, не исключая, конечно, и традиционной формы работы в классе. Все учащиеся без исключения должны сдать тот или иной тематический список задач преподавателю на соответствующем коллоквиуме (на занятиях, на зачете), предъявив тетрадь с полными записями решений задач и доказательствами теорем. При этом, неукоснительным требованием является система оформления: четкие чертежи (выГлава 4. История и философия математики полненные циркулем и линейкой с применением различных цветов), полнота аргументации в решениях задач, ясные ссылки на теоремы и ранее решенные задачи. Если есть возможность проводить такие коллоквиумы после уроков, то мы проводим их там, а если такой возможности нет, то они проводятся во время обязательных часов. Эта система довольно эффективна, так как на коллоквиум требуется, во-первых, принести тетрадь с тщательно оформленными записями (что само по себе уже важно и дисциплинирует учащихся), не тратится время на подробный разбор домашних заданий в классе (при такой схеме – обычных поурочных домашних заданий или вообще нет, или их немного), школьники привыкают к правильному оформлению решений и к полноте необходимой аргументации – “писанию и чистописанию”, да и индивидуальная устная беседа с учителем по решенным и нерешенным задачам приносит неоценимую помощь обучающемуся. Еще один важный плюс при такой схеме контроля состоит в том, что нет особой нужды “в текущем опросе учащихся с выставлением оценки”, что сильно экономит драгоценное время на текущих уроках.

Бытующее мнение (но не у нас в школе) о том, что для сдачи коллоквиума школьники занимаются списыванием решений задач друг у друга не выдерживает серьезной критики, да мы и не препятствуем взаимным консультациям учащихся; опытный учитель всегда легко оценит качество изученного материала и практически всегда определит реальные источники написанных решений задач.

Отметим, что ничего страшного нет в том, что на коллоквиуме предъявлены решения не всех задач из списка; общая же организационная схема такова – прием заданий проходит только два раза, во время второй попытки отличную оценку получить нельзя. Еще одной важной компонентой такой работы является то, что в такие списки зачастую включаются задачи исследовательского плана (математические проекты), требующие значительного времени на их продумывание, а это практически невозможно на текущих занятиях. Кроме того, сюда включаются так называемые “задачи на доказательство теорем”, которые представлены в виде цепочки вспомогательных задач. По ходу такой работы как бы сама собой решается и “проблема накопляемости оценок”, решеВавилов В.В. О стандарте математического образования в школе им.

А.Н. Колмогорова ние которой при обычной схеме ориентировано не на весь класс – многие школьники “отдыхают” или начинают заниматься другим делом, а в это время у доски “страдает” вызванный к ней учащийся (а это уже – неэффективно использованное учебное время). Такой методики придерживаются, конечно, не все преподаватели нашей школы, да и не всегда хватает желания, терпения и трудолюбия на такую большую деятельность (намного проще: 5–7 задач в классе, столько же – на дом, разбор домашнего задания, 5–7 задач в классе,... ). Проблема домашних заданий, а точнее, их выполнения, – проблема, к которой нужно очень серьезно относиться всем преподавателям, а не только преподавателям математики. Простой подсчет показывает, что в семестр наши школьники только по основным математическим курсам должны решать около 500 задач, не считая задач на контрольных работах, на зачетах и др. А это колоссальная нагрузка для учащихся, имеющих кроме математики еще много дисциплин и, тем самым, много других домашних заданий и практикумов. Система математических коллоквиумов помогает четче и более планово организовать изучение той или иной темы и контроль за ее усвоением учащимися.

Приведем здесь примеры некоторых (из многих существующих;

см.[3, 4]) тематических списков заданий, которые выносились на текущие коллоквиумы. При их отборе мы хотели показать не совсем стандартные темы и задачи к ним, которые не всегда используются в специализированных классах и школах, хотя они этого явно заслуживают. До проведения коллоквиума на лекциях и на практических занятиях, естественно, изучались основные фрагменты соответствующих теорий, теоремы и задачи (иногда даже из материалов будущего коллоквиума). Довольно часто, список заданий для коллоквиума содержит намного больше задач, чем требуется оформить для его сдачи преподавателю; в этом случае, школьники получают конкретные задания к коллоквиуму, а остальные задачи “расходуются” на классных занятиях и на домашние задания в текущей работе. Библиографические указания и замечания исторического характера по теме специально каждый раз обсуждается с учащимися и с довольно обширными комментариями.

Бесконечные периодические десятичные дроби.

0, 515049... 1110987654321.

2. Доказать, что дроби 2nn+1, n2 +n+1 имеют чисто периодичеn ские десятичные разложения.

3. Доказать, что десятичное разложение числа 1/3n имеет период длины 3n2, n 2.

4. Найти все натуральные n < 31, для каждого из которых десятичное разложение числа n/31 имеет те же цифры, что и период десятичного разложения числа 1/31.

5. Пусть n – натуральное число, 0 < n < 73. Доказать, что десятичное разложение дроби n/73 не содержит двух подряд идущих одинаковых цифр.

6. Найти знаменатель обыкновенной дроби 1/n, десятичное разложение которой имеет период длины 2.

7. Пусть числа A и A – периоды десятичных разложений дробей 1/n и 1/m, где n, m – натуральные числа. Найти наименьшие n и m такие, что T(n) = T (m) и (A, B) = 10989.

8. Найти последние 1000 цифр числа 1 + 50 + 502 +... + 50999.

9. Решить числовые ребусы (каждая буква обозначает некоторую цифру и различным буквам соответствуют различные цифры):

b) aba/cdc = 0, (f ghk).

10. Каково наименьшее натуральное число n, для которого десятичное разложение дроби m/n содержит блок 501, т.е. m/n = A,... 501...?

11. Доказать, что период десятичного разложения дроби 1/ содержит а) не менее 20 последовательных равных цифр;

b) последовательность 123456789;

с) любую последовательность из 46 цифр.

12. Доказать, что в десятичном разложении дроби 1/p, p > 5 – простое, сумма всех цифр в периоде кратна 9.

13. Пусть p – простое число и 1/p = 0, (a1 a2... ak ), k 2.

Вавилов В.В. О стандарте математического образования в школе им.

А.Н. Колмогорова Доказать, что если k = 2m, то a1 a2....am + am+1 am+2...ak = 99...9.

14. Известно, что длина периода десятичного разложения для дроби 1/59 равна 58. Имеется калькулятор, который все результаты вычислений выдает с шестью верными знаками. Применяя только такой калькулятор, найти период этого десятичного разложения.

15. а) Найти все простые числа p, для которых десятичные разложения дробей 1/p в своем десятичном разложении содержат цифры 1,2,3,4,5,6.

b) Определить (составить таблицу) длины периодов десятичных разложений дробей 1/p для всех простых p, 1 < p < 100.

16. Пусть m, n – натуральные числа, m = n. Доказать, что десятичное разложение дроби a) 1/(10n 1) имеет период длины n;

b) (10m 1)/(10n 1) имеет период длины n, 1 m < n.

17. Пусть T (k) – длина периода десятичного разложения дроби 1/k.

Доказать, что а) T ([m, n]) = [T (m), T (n)];

b) T ((m, n)) делит (T (m), T (n)).

18. Пусть n и m – натуральные числа. Доказать, что десятичное разложение дроби имеет период длины [m, n].

Следующие две задачи не являются обязательными и адресованы тем, кто заинтересовался данной тематикой.

19. Построить теорию “Бесконечные периодические дроби в системе счисления по заданному основанию”. Как формулируются в этой теории основные теоремы и, в частности, задачи из этого списка?

20. Как связаны между собой длины периодов (и предпериодов) десятичных представлений суммы и произведения двух рациональных чисел и самих этих чисел? Рассмотрите произвольную систему счисления.

Принцип Дирихле.

При решении самых различных задач часто бывает полезен так называемый “принцип Дирихле”, названный в честь немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле (1805–1859); подругому этот принцип еще называют “принципом ящиков” или “ принципом голубятни”.

Более общая форма принципа Дирихле такова:

Если (kn + 1) кролик помещен в n клетках, то в одной из клеток находятся не менее (k + 1) кролика; или в эквивалентной форме – нельзя посадить (kn + 1) кролика в n клеток так, чтобы в каждой клетке находилось не более k кроликов.

1. В Москве (Нью-Йорке) более 10, 1 млн. жителей, на голове у каждого не больше 100000 волос. Докажите, что имеются, по крайней мере, 100 человек с одинаковым числом волос на голове.

2. Докажите, что из любых двенадцати натуральных чисел можно выбрать два, разность которых делится на 11.

3. (Ленинградская олимпиада.) Можно ли в клетках квадратной таблицы 5 5 расставить числа 0, +1, 1 так, чтобы все суммы в каждом столбце, в каждой строке и на каждой из двух диагоналей были различны?

4. В ряд выписано пять натуральных чисел: a1, a2, a3, a4, a5.

Докажите, что либо одно из них делится на 5, либо сумма нескольких рядом стоящих чисел делится на 5.

5. Имеется шесть точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Тем самым, имеется C6 = 15 отрезков, которые эти точки соединяют попарно. Предположим, что все пятнадцать отрезков окрашены либо в красный, либо в синий цвет.

Докажите, что найдется, по крайней мере, один хроматический треугольник, т.е. такой, все стороны которого окрашены в один цвет.

Замечание. Задачу 5 можно интерпретировать и так: в любой компании из шести человек можно выделить трех, которые между собой знакомы, или таких, которые между собой не знакомы.

6. На каждой стороне выпуклого четырехугольника, как на диаметре, построен круг. Докажите, что эти четыре круга полностью Вавилов В.В. О стандарте математического образования в школе им.

А.Н. Колмогорова покрывают четырехугольник.

7. Равносторонний треугольник ABC и квадрат M N P Q вписаны в окружность длины S. Ни одна из вершин треугольника не совпадает с вершинами квадрата. Их вершины делят окружность на семь частей. Докажите, что, по крайней мере, одна из них не больше S/24.

8. (Ленинградская олимпиада.) Треугольник разрезан на несколько выпуклых многоугольников. Докажите, что среди них либо есть треугольник, либо есть два многоугольника с одинаковым числом сторон.

9. В каждую вершину правильного стоугольника помещено одно из чисел {1, 2, 3,..., 49}. Докажите, что существуют четыре вершины A, B, C, D данного стоугольника, которые образуют параллелограмм ABCD, и такие, что a + b = c + d, где a, b, c, d числа, стоящие соответственно в вершинах A, B, C и D.

10. Основание пирамиды – выпуклый девятиугольник. Каждая диагональ основания и все боковые ребра окрашены в красный или синий цвет. Оба цвета использованы (заметим, что стороны основания не окрашиваются). Докажите, что существует хроматический (одноцветный) треугольник.

11. В квадрате со стороной 1 отметили 51 точку. Докажите, что три из них можно покрыть кругом диаметра 1/7.

12. Несколько дуг окружности покрашены в красный цвет. Сумма длин окрашенных дуг меньше половины длины окружности.

Докажите, что существует диаметр, оба конца которого не окрашены.

13. В квадрате со стороной 1 м расположено несколько окружностей с суммой их длин, равной 1 м. Докажите, что существует прямая, параллельная сторонам квадрата, которая пересекает не менее трех окружностей.

14. (Ленинградская олимпиада, Турнир городов.) Докажите, что любой выпуклый многоугольник с четным числом сторон имеет диагональ, которая не параллельна ни одной из сторон многоугольника.

15. (Международная олимпиада.) В системе из p уравнений с q = 2p неизвестными коэффициенты aij {1, 0, 1}. Докажите, что существует решение (x1, x2,..., xq,) такое, что:

а) все xj – целые;

(1 j q).

16. (Ленинградская олимпиада.). Доказать, что для всякого простого числа p, не равного 2 или 5, существует натуральное число k такое, что pk записывается в десятичной системе одними единицами.

17. Докажите, что в выпуклом многограннике есть две грани с одинаковым числом сторон.

18. В правильном двадцатиугольнике отметели 9 вершин. Докажите, что найдется равнобедренный треугольник с вершинами в отмеченных точках.

19. Верно ли, что из ста произвольных целых чисел всегда можно выбрать: а) 15; б) 16 таких, у которых разность любых двух делится на 7?

20. Имеется 17 точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Они попарно соединены между собой отрезками. Все отрезки покрашены в один из цветов: красный, синий или белый. Докажите, что существует, по крайней мере, один хроматический (одноцветный) треугольник. (В этой задаче число – наименьшее. Почему?) 21. Выберем любым способом 5 человек. Докажите, что, по крайней мере, двое из них имеют одинаковое число знакомых среди выбранных.

Докажите то же самое, если выбрано не 5, а 100 человек, n человек.

22. а) В квадрате со стороной 1 см расположены несколько окружностей, сумма радиусов которых равна 0,6 см (окружности Вавилов В.В. О стандарте математического образования в школе им.

А.Н. Колмогорова могут пересекаться или совпадать). Докажите, что найдется прямая, параллельная одной из сторон квадрата, имеющая общие точки, по крайней мере, с двумя окружностями.

б) В круге радиуса 1 см расположены несколько окружностей, сумма радиусов которых равна 0,6 см (окружности могут пересекаться или совпадать). Докажите, что найдется окружность, концентрическая с данной окружностью радиуса 1 см, которая не имеет общих точек с другими окружностями.

23. (Ленинградская олимпиада) В квадрат со стороной 1 см поместили 1979 многоугольников, сумма площадей которых равна 1978,5 см2. Докажите, что все многоугольники имеют общую точку.

24. (Международная олимпиада) Международное общество состоит из представителей шести различных стран. Список членов общества состоит из 1978 фамилий, занумерованными числами 1, 2,..., 1978. Докажите, что существует хотя бы один член общества, номер которого равен сумме номеров двух членов из его страны или удвоенному номеру некоторого члена из его страны.

25. В круге радиуса 3 см произвольным образом помещено несколько кругов, сумма радиусов которых равна 25 см. Докажите, что найдется прямая, которая пересекает не менее 9 из этих кругов.

26. (Ленинградская олимпиада) Сумма 100 чисел, меньших 100, равна 200. Докажите, что из этих чисел можно выбрать несколько, сумма которых равна 100.

27. Принцип Дирихле позволяет доказать ряд важнейших теорем из теории чисел. Попробуйте их доказать.

Теорема Кронекера 1. Пусть – действительное число.

Тогда для любого положительного числа найдутся два целых числа m и n такие, что Почти аналогично устанавливается более общий результат.

Теорема Кронекера 2. Пусть 1, 2,..., k – действительные числа. Тогда для любого положительного числа найдутся натуральное число m и целые числа n1, n2,..., nk такие, что Другими словами, найдется такое натуральное число m, что каждое из чисел mi отличается от целого менее, чем на т.е.

или, другими словами, для набора чисел 1, 2,..., k любой длины при некотором натуральном m числа mi одновременно отличаются от целых меньше, чем на.

Теорема Дирихле. Для любого числа найдется бесконечно много дробей p/q таких, что Принцип включения-исключения.

Наряду с методом математической индукции, принципом Дирихле, принцип (формула) включений и исключений является важнейшим математическим инструментом и, особенно, в комбинаторике, когда, зная число элементов в каждом из конечных данных множеств, нужно найти число элементов другого множества, которое составлено из данных множеств при помощи некоторых операций (объединений, пересечений и т.д.).

1. Сколько существует целых чисел от 1 до 16500, которые а) не делятся на 5;

б) не делятся ни на 5, ни на 3;

в) не делятся ни на 5, ни на 3, ни на 11?

2. Сколько существует целых чисел от 1 до 1000000, которые не являются ни полным квадратом, ни полным кубом, ни четвертой степенью?

3. Рассмотрим множество объектов и четыре свойства,,,.

Напишите формулу для числа объектов, которые имеют свойство, но не имеют ни одного из свойств,,.

Вавилов В.В. О стандарте математического образования в школе им.

А.Н. Колмогорова 4. Пусть имеется n подмножеств A1,..., An конечного множества E и j – характеристические функции этих множеств, то есть Докажите, что при этом (x) – характеристическая функция множества A = A1... An, связана с функциями 1 (x),..., n (x) формулой 1 (x) = (1 1 (x))... (1 n (x)).

5. (Формула Эйлера). Одним из проявлений формулы включений и исключений в теории чисел является красивое выражение для функции Эйлера (n), которая по своему определению равна количеству натуральных чисел, не превосходящих n и взаимно простых с n; при этом, предполагается, что (1) = 1. Так, например, (10) = 4, так как в ряду чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, взаимно простыми с 10 будут четыре числа 1, 3, 7, 9. С другой стороны (11) = 10, т.к. число 11 простое и все числа, меньшие 11, будут взаимно простыми с 11. Ясно, что (p) = p 1 для любого простого числа p, p 2.

Докажите, что если n = p1 p2...pk – каноническое разложеk ние натурального числа на простые множители, то Из этой формулы, например, для числа 5256 = 23 · 32 · 73 имеем:

(5256) = 5256(1 1/2)(1 1/3)(1 1/73) = 1728.

6. Каждая сторона в треугольнике ABC разделена на 8 равных отрезков. Сколько существует различных треугольников с вершинами в точках деления (точки A, B, C, не могут быть вершинами треугольников), у которых ни одна сторона не параллельна ни одной из сторон треугольника ABC?

7. (Из творчества известного детского писателя и математика Льюиса Кэрролла, автора книг “Алиса в стране чудес” и “Алиса в Зазеркалье”, давно уже ставших достоянием мировой культуры.) В ожесточенном бою более 70 из 100 пиратов потеряли один глаз, более 75 – одно ухо, более 80 – одну руку и более 85 – одну ногу. Каково наименьшее количество пиратов, потерявших одновременно глаз, ухо, руку и ногу?

8. (Московская олимпиада, 1968). а) В квадрате 22 размещены 7 многоугольников, каждый из которых имеет площадь 1. Доказать, что найдутся два многоугольника, площадь пересечения которых больше, чем 1/7.

б) В прямоугольнике площади 5 размещены 9 многоугольников, каждый из которых имеет площадь 1. Доказать, что найдутся два многоугольника, площадь пересечения которых не меньше, чем 1/9.

9. На экзамене по математике были предложены три задачи:

одна по алгебре, одна по геометрии, одна по математическому анализу. Из 1000 участников экзамена задачу по алгебре решили 800, по геометрии – 700, по анализу – 600 человек. При этом, задачи по алгебре и геометрии решило 600 человек, по алгебре и анализу – 500, по геометрии и анализу – 400. А 300 экзаменующихся решили все задачи. Сколько человек не решили ни одной задачи?

10. В комнате площадью 6 м2 постелили 3 ковра произвольной формы площадью 3 м2 каждый. Докажите, что какие-либо два из них перекрываются по площади, не меньшей 1 м2.

11. Из 100 студентов университета английский язык знают человек, немецкий – 30, французский – 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 10, немецкий и французский – 5;

все три языка знают 3 студентов. Сколько студентов не знают ни одного из этих трех языков?

12. В многоугольнике площадью единица расположены 5 фигур площадью большей или равной 1/2. Доказать, что если площадь пересечения любых двух фигур больше или равна 1/4, то существуют такие 3 фигуры, площадь пересечения которых больше или равна 3/40.

13. (Московская олимпиада, 1956). На столе прямоугольной формы лежат 15 журналов, которые закрывают его полностью.

Доказать, что можно убрать 7 журналов таким образом, что оставшиеся 8 закроют, по крайней мере, 8/15 поверхности стола.

Вавилов В.В. О стандарте математического образования в школе им.

А.Н. Колмогорова 14. В классе 30 учеников. Сколькими способами они могут пересесть так, чтобы ни один ученик не сел на свое место?

15. (Число беспорядков). Несколько человек подбросили в воздух свои шляпы во время взятия футбольных ворот. Шляпы вернулись этим же людям (по одной – каждому), но в произвольном порядке. Какова вероятность того, что каждый получит чужую шляпу?

Под вероятностью понимается отношение числа возможностей распределения шляп указанным способом к числу всех возможностей.

16. (Чешская олимпиада, 1970). На прямой даны n2 + 1 отрезков. Доказать, что можно выбрать n+1 отрезков, которые попарно не пересекаются, или существуют n+1, которые имеют общую точку.

17. (Олимпиада Великобритании, 1976). Из элементов конечного множества X составили 50 его подмножеств A1, A2,..., A так, что каждое из них содержит более половины всех элементов из X. Доказать, что существует такое подмножество B X, которое имеет не менее 5 элементов и которое имеет по крайней мере один общий элемент с каждым из подмножеств A1, A2,..., A50.

18. (Бельгийская олимпиада, 1979). Множество X имеет n элементов. Найти наибольшее число его подмножеств, состоящих из трех элементов таких, что любые два из выбранных подмножеств имеют ровно один общий элемент.

19. (Олимпиада США, 1979). Из множества с n 5 элементами выбрали n+1 различных подмножеств, каждое из которых состоит из трех элементов. Доказать, что среди выбранных подмножеств существует два, которые имеют ровно один общий элемент.

20. (Олимпиада С.-Петербурга, 1999). Пусть множество M можно представить в виде объединения его непересекающихся подмножеств следующими способами причем для всех i, j, k = 1, 2,..., n (где |X| – число элементов множества X). Доказать, что 1. Колмогоров А.Н., Вавилов В.В., Тропин И.Т. Физикоматематическая школа при МГУ // М.: Знание, 1981. 85 с.

2. Вавилов В.В. Школа им. академика А.Н. Колмогорова Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова // Сборник статей ко дню рождения А.Н. Колмогорова. М.:

Научно-технический центр “Университетский”, 2003. C. 3–41.

3. Вавилов В.В. Школа математического творчества // М.:

РОХОС, 2004. 72 с.

4. Вавилов В.В. Математические коллоквиумы // М.: Школа им. А.Н. Колмогорова. “VVV”, 2003. 78 с.

5. Еременко С.В., Сохет А.М., Ушаков В.А. Элементы геометрии в задачах. М.: МЦНМО, 2003. 168 с.

6. Задачи по математике, предлагавшиеся ученикам математического класса 57 школы (выпуск 2004 года, класс “Д”) / Под ред.

В. Доценко. М.: МЦМНО, 2004. 224 с.

О некоторых результатах леонарда эйлера по дифференциальной геометрии И.В. Игнатушина Дифференциальная геометрия – раздел математики, в котором геометрические образы (кривые, поверхности, а также их семейства) изучаются методами математического анализа. Ее можно Игнатушина И.В. О некоторых результатах леонарда эйлера по дифференциальной геометрии условно разделить на три части: первая изучает свойства кривых на плоскости; вторая – свойства пространственных кривых; третья – поверхности.

Дифференциальная геометрия возникла в XVIII в., когда в математике уже широко применялись созданные Исааком Ньютоном (1643–1727) и Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646– 1716) дифференциальное и интегральное исчисление. Однако она имеет длительную предысторию.

Первые исследования, связанные с изучением касательных и нормалей к немногим простейшим плоским кривым (преимущественно коническим сечениям) и нахождением площадей и объемов, встречаются еще в древнегреческой математике. Например, в сочинении Архимеда (ок. 287–212 до н.э.) “О спиралях” предложен метод нахождения касательной к спирали, который ретроспективно может быть оценен как дифференциальный. Суть этого метода заключается во введении достаточно малого треугольника, играющего роль дифференциального треугольника.

В работах ученых XVII в. Рене Декарта (1596–1650), И. Ньютона, Г.В. Лейбница, Христиана Гюйгенса (1629–1695), братьев Бернулли, Якоба (1654–1705) и Иоганна (1667–1748), и др. были решены многие конкретные вопросы теории плоских кривых.

Так, Декарт в своей “Геометрии” (1637) опубликовал способ проведения касательных и нормалей к алгебраическим кривым, разработанный им в 1629 г. в связи с занятиями оптикой. Прием Декарта опирался на аппарат аналитической геометрии, созданный им одновременно с Пьером Ферма (1601–1665). Для определения положения нормали в данной точке M кривой Декарт описывал окружность из предполагаемой точки N пересечения нормали с осью абсцисс и для отыскания этой точки N требовал, чтобы две точки пересечения окружности и кривой сливались в одну в точке M. Это требование накладывало определенные условия на коэффициенты уравнения, служащего для отыскания координат точек пересечения кривой и окружности (корни должны быть здесь кратными), и позволяло найти абсциссу точки N. Однако эти чисто алгебраические методы были весьма громоздкими и не годились для трансцендентных или, как тогда говорили, “механиГлава 4. История и философия математики ческих” кривых. Поэтому для построения касательной к циклоиде Декарт предложил новый кинематический прием, опирающийся на то, что нормаль к этой кривой проходит через точку касания порождающей циклоиду окружности с прямой, по которой эта окружность катится.

Другой частный кинематический метод построения касательной был предложен Жилем Робервалем (1602–1675) и Эванджелистой Торричелли (1608–1647).

Гюйгенс, отыскивая кривую, по которой должен двигаться конец маятника, чтобы выполнялось условие изохронности, пришел к теории эволют и эвольвент и фактически ввел понятие радиуса кривизны. Кроме того, при решении некоторых задач оптики он вплотную подошел к понятию огибающей.

В работах Ньютона, Лейбница и братьев Бернулли кривые на плоскости рассматривались в связи с определением касательных, экстремумов, выпуклостей, вогнутостей и точек перегиба, а также при изучении роговидных углов. Ньютону принадлежат термины “центр” и “радиус кривизны”.

Итак, к началу XVIII в. были решены некоторые вопросы из первого раздела дифференциальной геометрии – теории плоских кривых, и начаты исследования пространственных кривых и поверхностей.

В XVIII в. наиболее значительные результаты в формирующейся дифференциальной геометрии были достигнуты Леонардом Эйлером (1707–1783), Гаспаром Монжем (1746–1818) и Алексисом Клодом Клеро (1713–1768). Настоящая статья посвящена творчеству Эйлера, которое сыграло основополагающую роль в указанной области геометрии.

К рассмотрению вопросов дифференциальной геометрии Эйлера привели два пути: первый связан с формированием математического анализа и рассмотрением его приложений к геометрии (т.е. вызванный внутренним развитием математической теории), а второй – с решением задач картографии и геодезии (т.е. с потребностями практики).

Исследования по дифференциальной геометрии Эйлер начал в 1728–1732 гг. с изучения геодезических линий. Эту проблему в Игнатушина И.В. О некоторых результатах леонарда эйлера по дифференциальной геометрии 1728 г. поставил перед ним в своем письме И. Бернулли, после чего, молодой петербургский ученый вывел дифференциальное уравнение геодезических линий:

где P и Q определяются из дифференциального уравнения поверхности P dx = Qdy + Rdt. Полученный результат Эйлер сообщил И. Бернулли в ответном письме 18 февраля 1729 г. Кроме вывода общего уравнения, Эйлер подробно рассмотрел геодезические линии на цилиндрических, конических поверхностях и поверхностях вращения. Впоследствии он неоднократно возвращался к этой проблеме. Во втором томе “Механики, или науки о движении, изложенной аналитически” (1736) он доказал, что точка, движущаяся по поверхности при отсутствии действующих сил, перемещается по геодезической линии; при этом было показано, что главная нормаль к геодезической в каждой ее точке совпадает с нормалью к поверхности.

Многие работы Эйлера по дифференциальной геометрии связаны с задачей о траекториях семейств кривых, т.е. об определении кривых, пересекающих кривые данного семейства под постоянным углом или под углом, изменяющимся по определенному закону; в первом случае траектории называются изогональными, а в случае, когда угол прямой, – ортогональными. Задачей о разыскании траекторий, также поставленной И. Бернулли в 1697 г., занимался и Николай II Бернулли (1695–1726, сын Я. Бернулли).

Этой проблеме были посвящены некоторые ранние работы Эйлера: “Метод нахождения алгебраических взаимных траекторий” (1727) [8], “Решение задачи о взаимных траекториях” (1727) [9], “О спрямляемых алгебраических кривых и взаимных траекториях” (1730) [10]. Здесь рассматривается задача: найти такое семейство параллельных кривых y = f (x) + C, чтобы кривые симметричного ему по отношению к оси Oy семейства y = f (x) + c явились изогональными траекториями. Эйлер отыскивает простейшие алгебраические кривые, обладающие таким свойством.

В работе “Соображения об ортогональных траекториях” (1769) [11] Эйлер продолжает начатое исследование и решает задачу по отысканию однопараметрических кривых, пересекающихся под Ортогональные семейства линий могут быть получены этими преобразованиями из ортогональных семейств прямых T = const и V = const. Преобразование (1) является конформным, а функции, задающие его, аналитическими. В конце указанной работы Эйлер доказывает, что дробно-линейная функция комплексного переменного преобразует прямые в окружности.

Таким образом, Эйлер впервые ввел в рассмотрение функции комплексной переменной, применил их для конформных отображений и положил начало способу отыскания изометрических сеток координат.

Первый, кто перенес методы, использовавшиеся для исследования кривых на плоскости, на трехмерный случай, был А.К. Клеро. Он рассмотрел касательные и нормали к пространственным кривым, ввел касательную плоскость к поверхности, содержащей данную кривую. В его работе “Исследования о кривых двоякой кривизны” (1731) впервые встречается формула элемента длины пространственной кривой в виде ds = dx2 + dy 2 + dz 2. Однако решение рассмотренных им задач в основном требовало простой замены двух переменных тремя.

Изучению дифференциальной геометрии пространственных кривых посвящен мемуар Эйлера “Легкий способ исследовать все свойства кривых линий, не расположенных в одной плоскости” (1782) [12]. Здесь он рассмотрел координаты (x, y, z) точки кривой как функции длины дуги s и направляющих коэффициентов p, q, r подвижного триедра, а кроме того, доказал первую формулу Ж. Френе: ds = kn, где k – кривизна кривой.

К рассмотрению пространственных задач дифференциальной геометрии Эйлера привели и проблемы картографии. Результаты изучения вопроса о развертывающихся поверхностях Эйлер опубликовал в мемуаре “О телах, поверхность которых можно разверИгнатушина И.В. О некоторых результатах леонарда эйлера по дифференциальной геометрии нуть на плоскость” (1771) [13]. Здесь впервые было введено и само понятие развертывающейся поверхности, т.е. поверхности, которая может быть наложена на плоскость без складок и разрывов. Эйлер исходил из того, что бесконечно малый треугольник на такой поверхности должен быть конгруэнтен соответствующему треугольнику на плоскости, на которую он развертывается. Он представляет координаты x, y, z точки на поверхности как функции от двух переменных t и u, где t и u являются координатами соответствующей точки на плоскости. Таким образом Эйлер ввел так называемые Гауссовы (или изотермические) координаты.

Точкам (t + dt, u) и (t, u + du) плоскости соответствуют точки поверхности, координаты которых имеют вид:

Наряду с применением параметрического представления поверхности, Эйлер вводит в рассмотрение линейный элемент ds поверхности (т.е. дифференциал дуги линий на ней), как средство исследования тех свойств поверхности, которые впоследствии были названы внутренними и которые могут быть исследованы с помощью измерений на ней самой, без обращения к пространству, ее содержащему. Эта идея получила дальнейшее глубокое развитие лишь начиная с Гаусса (1827).

Условие развертывания (или условие наложимости), полученное Эйлером, может быть сформулировано как условие совпадеГлава 4. История и философия математики ния линейного элемента развертывающейся поверхности ds2 = dx2 +dy 2 +dz 2 с линейным элементом плоскости ds2 = dt2 +du2, т.е.

при любых du, dt расстояние между точками (t + dt, u) и (t, u + du) должно равняться расстоянию между соответствующими точками развертывающейся плоскости:

Раскрыв скобки, получим:

dt2 + du2 = l2 dt2 2ldtdu + 2 du2 + m2 dt2 2mµdtdu+ Отсюда получаем условия наложимости:

С современной точки зрения, это условия единичности и ортогональности векторов, координаты которых равны частным производным радиус-вектора точки поверхности по координатам t, u.

В этой работе Эйлер сформулировал и доказал теорему о том, что всякая развертывающаяся поверхность является либо цилиндром, либо конусом, либо образована касательными к некоторой пространственной кривой.

Полученные результаты Эйлер применил в работах по картографии [7]: “Об изображении сферической поверхности на плоскости” (1777), “О географической проекции сферической поверхности” (1777), “О географической проекции Делиля, принятой для общей карты Российской империи” (1777).

В первой из них он доказал невозможность конгруэнтно отобразить кусок сферы на плоскость. Здесь же рассмотрены такие отображения, при которых меридианы и параллели переходят во взаимно-перпендикулярные прямые, а также конформные отображения (т.е. сохраняющие углы) и эквивалентные отображения (т.е.

сохраняющие площади).

Игнатушина И.В. О некоторых результатах леонарда эйлера по дифференциальной геометрии Во второй из указанных работ Эйлер рассматривает стереографическую проекцию сферы на плоскость, а затем при помощи функции комплексной переменной конформно деформирует ее в плоскости и получает так называемую косую стереографическую проекцию.

В третьей работе подробно разбирается практический вопрос о проекции Николая Делиля (1688–1768), принятой в то время при вычерчивании карт Российской империи. Эта проекция равнопромежуточная, сохраняющая главный масштаб по меридианам, причем параллели, на которых сохраняется главный масштаб, берутся на равных расстояниях от средней и крайних параллелей изображенной территории. Эйлер исследовал искажения в проекции Делиля и предложил свою проекцию, в которой параллели сечений выбираются с условием, чтобы разности длин дуг на поверхности земного эллипсоида и его проекции были на крайних широтах изображаемой территории одинаковы и равнялись разности длин дуг на карте и в действительности для средней широты.

В мемуаре 1760 г. “Исследования о кривизне поверхностей” [14] содержатся существенно новые и важные результаты по теории поверхностей, а также из области трехмерной дифференциальной геометрии. До Эйлера было установлено только существование касательной плоскости в данной точке поверхности. Эйлер сделал определенный шаг вперед и пришел к теореме о кривизне поверхностей, теперь носящей его имя. Называя “главным сечением” поверхности z = f (x, y) нормальное сечение, перпендикулярное к плоскости xOy, и изменяя угол между плоскостью произвольного нормального сечения и плоскостью главного сечения, он нашел, что в каждой точке поверхности имеются нормальные сечения с максимальным радиусом кривизны f и с минимальным g. Эти сечения, как доказал Эйлер, перпендикулярны друг другу. Далее, обозначая через угол между плоскостью произвольного нормального сечения и плоскостью нормального сечения с максимальным радиусом кривизны, он показал, что радиус кривизны r произвольного нормального сечения выражается через f и g по формуле:

Полвека спустя Шарль Дюпен (1784–1873), преобразуя выражение (2), дал более употребительную ныне формулу для обратной величины радиуса кривизны, т.е. для кривизны нормального сечения:

В указанном мемуаре [14] Эйлер предложил следующее интересное построение радиуса кривизны r для сечения данного направления. Он строит отрезок AB = f +g и на нем, как на большой оси, полуэллипс с фокусом в точке O, тогда, если угол AOC = 2, то r = OC есть искомый радиус.

Здесь же показано, что несмотря на все разнообразие поверхностей, искривленность регулярных поверхностей может быть всего лишь нескольких определенных типов.

Решение задачи о нахождении семейства поверхностей, ортогональных к данному однопараметрическому семейству поверхностей, представлено в его мемуаре 1782 г. “Об обобщении задачи об ортогональных траекториях на поверхности” [15].

Содержание мемуаров Эйлера, посвященных вопросам дифференциальной геометрии, рассматривалось во вводных статьях А. Шпайзера [17] к соответствующим томам полного собрания сочинений Л. Эйлера (“Leonhardi Euleri opera omnia”). Анализ некоторых из полученных им результатов дан в работах Г. Вилейтнера [1], М.Я. Выгодского [2], Б.Н. Делоне [3], В.В. Котека [4], В. Коммереля [16], Б.А. Розенфельда [5], Д.Дж. Стройка [6] и др.

Но даже беглый просмотр работ Эйлера по дифференциальной геометрии, содержащихся в тт. 27–29 “Leonhardi Euleri opera omnia” показывает, что его роль в разработке этой области математики освещена недостаточно полно. Поэтому в дальнейшем мы планируем сначала подробно изучить его опубликованные работы (свыше 40) по данной тематике, а затем рассмотреть переписку Игнатушина И.В. О некоторых результатах леонарда эйлера по дифференциальной геометрии и неопубликованные материалы из записных книжек ученого, где тоже содержатся результаты по дифференциальной геометрии.

1. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия / Пер. с нем. и ред. А.П. Юшкевича. М.: Наука, 1966. 507 с.

2. Выгодский М.Я. Возникновение дифференциальной геометрии // Г. Монж. Приложение анализа к геометрии / Пер. с фр. В.А. Гуковской. М.-Л.: ОНТИ, 1936. С. 1–70.

3. Делоне Б.Н. Эйлер как геометр // Леонард Эйлер. Сборник статей в честь 250-летия со дня рождения, представленных Академии наук СССР / Под ред. М.А. Лаврентьева, А.П. Юшкевича, А.Т. Григорьяна. М.: Академия наук СССР, 1958.

С. 133–181.

4. Котек В.В. Геометрия // История отечественной математики с древнейших времен до конца XVIII в. / Под ред. И.З. Штокало.

Киев: Наукова думка, 1968. Т. 1. Гл. VIII. Труды Леонарда Эйлера в области дифференциальных уравнений в частных производных, вариационного исчисления, геометрии, теории вероятностей и теории чисел. С. 277–284.

5. Розенфельд Б.А. Геометрия // История математики. Математика XVIII столетия / Под ред. А.П. Юшкевича. М.: Наука, 1972. Т.3. Гл. V. С. 153–221.

6. Стройк Д. Дж. Очерки истории дифференциальной геометрии до XX столетия. М.-Л.: ОГИЗ, 1941. 80 с.

7. Эйлер Л. Избранные картографические статьи.Три статьи по математической картографии / Пер. Н.Ф. Булаевского. Ред.

и вступ. ст. Г.В. Багратуни. М.–Л.: Геодезическая литература, 1959. 79 с.

8. Euler L. Methodus inveniendi trajectorias reciprocas algebraicas [1727] // Leonhardi Euleri Opera omnia. Ser. I. Opera mathematica / Ed. A. Speiser. Turici (Zrich), 1954. Vol. 27. S. 1– 9. Euler L. Problematis trajectoriarum reciprocarum solutio [1729] // Leonhardi Euleri Opera omnia. Ser. I. Opera mathematica / Ed.

A. Speiser. Turici (Zrich), 1954. Vol. 27. S. 6–23.

10. Euler L. De curvis recticabilibus algebraicis atque trajectoriis reciprocis algebraicis [1738] // Leonhardi Euleri Opera omnia.

Ser. I. Opera mathematica / Ed. A. Speiser. Turici (Zrich), 1954.

Vol. 27. S. 24–28.

11. Euler L. Considerationes de trajectoriis orthogonalibus [1770] // Leonhardi Euleri Opera omnia. Ser. I. Opera mathematica / Ed.

A. Speiser. Turici (Zrich), 1955. Vol. 28. S. 99–119.

12. Euler L. Methodus facilis omnia symptomata linearum curvarum non in eodem plano sitarum investigandi [1786] // Leonhardi Euleri Opera omnia. Ser. I. Opera mathematica / Ed. A. Speiser. Turici (Zrich), 1955. Vol. 28. S. 348–381.

13. Euler L. De solidis quorum superciem in planum explicare licet [1772] // Leonhardi Euleri Opera omnia. Ser. I. Opera mathematica / Ed. A. Speiser. Turici (Zrich), 1955. Vol. 28.

S. 161–186.

14. Euler L. Recherches sur la courbure des surfaces [1767] // Leonhardi Euleri Opera omnia. Ser. I. Opera mathematica / Ed.

A. Speiser. Turici (Zrich), 1955. Vol. 28. S. 1–22.

15. Euler L. De problemate traiectoriarum orthogonalium ad supercies translato [1820] // Leonhardi Euleri Opera omnia.

Ser. I. Opera mathematica / Ed. A. Speiser. Turici (Zrich), 1956.

Vol. 29. S. 276–308.

16. Kommerell V. Analytische Geometrie der Ebene und des Raumes // M. Cantor. Vorlesungen uber Geschichte des Mathematik. Leipzig, 1908. B. IV. S. 453–576.

17. Speiser A. Ubersicht uber die im Bnde 27, 28, 28 der ersten Serie enthaltenen abhandlungen // Leonhardi Euleri Opera omnia.

Ser. I. Opera mathematica / Ed. A. Speiser. Turici (Zrich), 1954.

Vol. 27. S. VII–XLVI; 1955. Vol. 28. S. VII–XLIV; 1956. Vol. 28.

S. VII–XLII.

Зубова И.К. Об опыте чтения курса истории математики на физико-математическом факультете оренбургского университета Об опыте чтения курса истории математики на физикоматематическом факультете оренбургского университета И.К. Зубова Понятие “университетское образование студента” предполагает не только наличие определенной суммы знаний в его профессиональной области, но и широкий кругозор, достаточную эрудицию, некоторое представление о науке в целом и о том, какое место занимают точные науки в жизни современного общества. Именно поэтому в учебном плане физико-математического факультета целесообразно предусмотреть чтение гуманитарных курсов, в том числе курса истории математики.

Нередко случается, что студент, даже неплохо справляющийся с требованиями учебной программы, с трудом применяет на практике имеющиеся у него знания, особенно когда в рамках одного предмета сталкивается с проблемой, требующей привлечения сведений из другой дисциплины. Историко-научное образование помогает успешно преодолевать такого рода недостатки, укрепляя межпредметные связи.

Читая в течение многих лет в техническом вузе курсы высшей математики и математического анализа, автору приходилось замечать, что изложение любой сложной темы можно сделать намного доступнее, если во введении или заключении к ней дать обзор истории формирования изучаемой теории. Такие обзоры можно включить и в курс истории математики, если представляется возможность прочитать его параллельно с курсом математического анализа.

В Оренбургском государственном университете, созданном в 1996 году на базе политехнического института, лекции по истории математики читаются с 2003 года. Особенность этого курса состоит в том, что он включен в учебный план первого или второго семестра, тогда как обычно этим курсом завершается образование студентов-математиков. В нашем учебном заведении будущие программисты, изучающие основные математические дисциплины – алгебру, геометрию, математический анализ – в течение первых трех семестров, параллельно знакомятся с историей этих дисциплин. Курс традиционно называется “История математики и техники”, но точнее было бы назвать его “Историческое введение в высшую математику”. Из нескольких вариантов построения курса наиболее удачным оказался тот, где на него отводилось 68 часов во втором семестре. Распределение материала по лекционным и семинарским занятиям зависит от подготовленности студентов. В сильных группах, как правило, всегда находятся желающие выбрать тему для самостоятельного изучения и подготовить по ней сообщение, которое затем обсуждается и дополняется на семинарском занятии. В более слабых группах целесообразнее больше времени отвести на лекции.

Первое занятие мы начинаем обычно с беседы об элементарной математике и о тех разделах высшей, с которыми студент уже начал знакомиться в университете. Приходится, к сожалению, констатировать, что во втором семестре студент – первокурсник нередко затрудняется при ответах на вопросы, связанные с основными понятиями математического анализа, хотя в это время уже знаком с основами дифференциального исчисления функции одной переменной. Для того, чтобы систематизировать имеющиеся у него знания, мы знакомим его с периодизацией развития математики, предложенной академиком А.Н. Колмогоровым, которая положена в основу построения всего курса.

Выделив основные черты первого этапа развития математической науки (период зарождения математики), мы останавливаемся на формировании понятия числа, системах счисления, а затем – на математике и технике Древнего Египта и Вавилона. На обсуждение этих тем отводится шесть часов.

Следующие шесть часов посвящаются началу второго этапа развития математики (период математики постоянных величин), общей характеристике математики Древней Греции, школам Фалеса (624–548 до н.э.) и Пифагора (ок. 570–500 до н.э.), геометрической алгебре древних греков и трем знаменитым задачам древности.

Далее десять часов отводятся математике эпохи эллинизма.

Здесь целесообразно выделить следующие темы:

Зубова И.К. Об опыте чтения курса истории математики на физико-математическом факультете оренбургского университета 1) аксиоматическое построение курса геометрии в “Началах” Евклида (ок. 340–287 до н.э.);

2) возникновение теории конических сечений в трудах Архита (ок. 428–365 до н.э.), Менехма (IV в. до н.э.), Аполлония (вторая половина III в. до н.э.–первая половина II в. до н.э.);

3) жизнь и научное творчество Архимеда (ок. 287–212 до н.э.).

Обсуждая первую из этих тем, мы вспоминаем изученную в средней школе элементарную геометрию – планиметрию и стереометрию. Особое внимание обращаем на постулаты Евклида. Поскольку курс геометрии на нашем факультете не включает подробных сведений о неевклидовых геометриях, мы делаем попытку дать некоторое представление о них в связи с пятым постулатом Евклида.

Лекцию о конических сечениях Аполлония целесообразно прочитать, если к этому времени в курсе геометрии студенты уже познакомились с кривыми второго порядка. Здесь представляется удобный случай напомнить им об основных свойствах указанных кривых и показать связь этих свойств с эллиптической, гиперболической и параболической задачами геометрической алгебры, объяснив при этом происхождение названий – “эллипс”, “гипербола”, “парабола”.

Жизни и творчеству Архимеда посвящается семинар, который обычно проходит при большой активности студентов. Но, поскольку в курсе математического анализа они к этому времени еще не подошли к понятию определенного интеграла, занятие имеет скорее общеобразовательный, чем математический характер. К интеграционным методам Архимеда мы возвращаемся позже, рассматривая вопрос о возникновении понятия интеграла в XVII в.

Следующие восемь часов посвящаются математике средневекового Востока. Особое внимание уделяем здесь важнейшим моментам истории арифметики и алгебры – началу широкого применения десятичной позиционной системы счисления с нулем и решению алгебраических уравнений второй степени. В лекции о Самаркандской школе Улукбека (1394–1449) сообщаются сведения об астрономических инструментах дотелескопического периода.

Далее следует беглый обзор математики средневековой Европы и эпохи Возрождения. Эти два занятия (лекционные или семинарские) носят в основном общеобразовательный характер.

Шесть следующих часов посвящены истории развития алгебры. Вначале на семинарском занятии студентам поручается выделить основные этапы формирования этой науки до XVI века, а затем читается лекция, посвященная решению уравнений третьей и четвертой степеней Сципионом дель Ферро (1465–1526), Никколо Тартальей (1499–1557), Джироламо Кардано (1501–1576) и Луиджи Феррари (1526–1565).

Для того, чтобы завершить исторический обзор развития алгебры, приходится, временно отказавшись от хронологического принципа изложения материала, рассказать о попытках разрешения в радикалах алгебраических уравнений более высоких степеней, поисках условий разрешимости этих уравнений и возникшей в связи с этим теорией Эвариста Галуа (1811–1832). Затем дается краткий обзор истории алгебраической символики.

XVII век в истории математики – это начало периода математики переменных величин. Основные темы следующей лекции – общая характеристика науки этого столетия, жизнь и творчество величайших ученых XVII в., предпосылки возникновения дифференциального исчисления. Здесь студентам приходится основательно вспомнить материал курса математического анализа первого семестра.

Далее мы переходим к предпосылкам возникновения интегрального исчисления, начиная с идей Архимеда. К этому времени в курсе математического анализа уже начато ознакомление с понятиями интеграла Ньютона-Лейбница, сумм Дарбу, интеграла Римана, потому полезно проследить предысторию этих понятий. Всего на математику XVII века, предысторию и формирование дифференциального и интегрального исчисления отводится восемь часов.

Математику XVIII века проанализировать не удается, прежде всего из-за недостаточности знаний у студентов, которые к этому моменту еще не знакомы ни с теорией рядов, ни с дифференциальными уравнениями. Поэтому оставшиеся восемнадцать часов можно использовать для лекций и семинаров общеобразовательного характера, посвятив их общей характеристике науки XVIII веБогун В.В. Математические и астрономические модели архитектуры пирамид Гизы ка, событиям, происходившим в это время в России, биографиям выдающихся математиков столетия. Сведения об их научной деятельности имеет смысл перенести в третий семестр, в завершающую часть курса математического анализа. Последнюю его лекцию можно закончить кратким обзором математики первой половины XIX века, а затем – характеристикой начала периода современной математики. При этом мы создадим у слушателей некоторое предварительное представление о тех математических курсах, которые будут читаться в следующих семестрах – “Дифференциальные уравнения”, “Функциональный анализ” и другие.

Математические и астрономические модели архитектуры пирамид Гизы В.В. Богун Изобразительное искусство и архитектура Древнего Египта тесно связаны с заупокойным культом, при этом характерным архитектурным геометрическим элементом того времени является правильная четырехугольная пирамида.

Идея подобной геометрической интерпретации принадлежит зодчему Имхотепу, спроектировавшему ступенчатую пирамиду для фараона Джосера в Саккаре. Форма пирамиды характеризуются двумя основными элементами: квадратным в плане основанием и схождением боковых граней в одной вершине.

Гениальная по своей простоте пирамидальная форма отражает как суть древнеегипетского общества (уменьшение количества представителей с повышением касты начиная с большого количества рабов, заполняемых основание пирамиды, и заканчивая одним единственным обожествляемым фараоном, царственно восседающим на ее вершине), так и принцип жизненного пути каждого человека (изначальное получение большого количества информации теоретического и практического плана с последующим уменьшением области интересов для получения определенных навыков и умений с окончательным выбором профессии узкого профиля), то есть геометрическая форма правильной пирамиды характеризует последовательный переход определенных количественных характеристик на новый качественный уровень.

О геометрических и астрономических интерпретациях наиболее известных представителей – пирамидах долины Гизы (Хеопса, Хефрена и Микерина) – написано множество книг и статей, однако в большинстве случаев либо не имеющих строгих математических выкладок, либо имеющих расхождения с реальными аналогами.

Бесспорно, в геометрии пирамид долины Гизы, бесподобных по своей красоте, грандиозности и изысканности, таится огромное количество соотношений, основанных на золотой пропорции, числах e и. Однако важно построить четкую математическую теорию, отражающей не только пропорции, заложенные в каждой из пирамид, но и взаимосвязь между ними, а также возможность выражения как можно более точных, а главное, логичных, характерных размеров (математические модели), при этом необходимо проанализировать взаимосвязь полученных расчетов пирамид с определенными соотношениями в Солнечной системе (астрономические модели).

На протяжении этой статьи исследуются математических взаимосвязи между пирамидами Хеопса, Хефрена и Микерина, золотой пропорцией и геометрией Солнечной системы, а также рассматриваются геометрические свойства равнобедренных треугольников и правильных четырехугольных пирамид.

В нашем исследовании будут неоднократно использоваться введенные автором следующие определения:

Поперечный треугольник – равнобедренный треугольник, получаемый при рассечении правильной четырехугольной пирамиды фронтальной плоскостью, проходящей через ее вершину и середины противоположных сторон основания.

Граневый треугольник – равнобедренный треугольник, совпадающий с гранью правильной четырехугольной пирамиды.

Диагональный треугольник – равнобедренный треугольник, получаемый при рассечении правильной четырехугольной пирамиды фронтальной плоскостью, проходящей через ее вершину и противоположные вершины сторон основания.

Определение известной с древних времен золотой пропорции, Богун В.В. Математические и астрономические модели архитектуры пирамид Гизы названной по имени знаменитого древнегреческого скульптора Фидия, заключается в следующем:

Если разделить отрезок С на отрезки А и В таким образом, что это будет отражать золотую пропорцию, то А, деленное на В, будет равно С, деленному на А, или 1, 618033989... (рис. 1) или C/A=A/B= 1, 6180339, где – золотое число и коэффициент пропорциональности (2 1 = 0).

На основании проведенных автором исследований золотой пропорции и геометрических свойствах равнобедренных треугольников и правильных четырехугольных пирамид получены следующие геометрические фигуры:

Золотой треугольник 1-го рода – равнобедренный треугольник, в котором отношение боковой стороны к половине основания равно золотому числу (рис. 2).

В данном треугольнике центр вписанной окружности делит основную высоту в золотом отношении.

Золотая пирамида – правильная четырехугольная пирамида, углы при основаниях поперечного и граневого треугольников которой образуют в сумме прямой угол (рис. 3).

Граневый треугольник золотой пирамиды является золотым треугольником 1-го рода.

В качестве базиса для построения и исследования геометрических моделей пирамид Хеопса, Хефрена и Микерина использоваБогун В.В. Математические и астрономические модели архитектуры пирамид Гизы лись основные известные математические сведения о рассматриваемых пирамидах:

1. Пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина являются правильными четырехугольными пирамидами.

2. Золотая пропорция представлена в пирамиде Хеопса отношением между апофемой и половиной стороны основания (Г. Ребер, 1855 г.).

3. Квадрат высоты пирамиды Хеопса равен площади каждой из её боковых граней (Геродот).

4. Периметр основания пирамиды Хеопса равен длине окружности с радиусом, равным высоте пирамиды.

5. Тангенсы углов наклона граней пирамид Хефрена и Микерина равны 4/3 и 5/4 соответственно.

В ходе расчетов получено, что геометрическое преобразование поперечного треугольника пирамиды Хефрена в аналогичный треугольник пирамиды Микерина происходит по принципу преобразования поперечного треугольника пирамиды Хеопса в равный себе треугольник: если построить две правильные четырехугольные пирамиды на общем основании, поперечные треугольники которых построены на общем основании и описываются одной и той же окружностью, то если один из двух исследуемых треугольников является поперечным треугольником одной пирамиды, то второй треугольник является граневым треугольником второй пирамиды (рис. 4, 5).

Рис. 4. Геометрическое преобразование золотого треугольника 1-го Богун В.В. Математические и астрономические модели архитектуры пирамид Гизы Рис. 5. Геометрическое преобразование поперечного треугольника модели пирамиды Хефрена в поперечный треугольник модели Таким образом, можно сделать вывод о том, что наличие именно трех основных пирамид в Гизе является необходимым и достаточном условием для выполнения описанных выше преобразований.

С другой стороны, геометрическая взаимосвязь между геометрическими моделями пирамид Хеопса и Хефрена выражается в виде двух последовательных шагов, каждый из которых состоит в нахождении равнобедренного треугольника, в котором центр вписанной в него окружности совпадает с центром описанной вокруг исходного треугольника окружности при общей высоте (рис. 6):

1. Граневый треугольник пирамиды Хеопса (BEF ) квадробедренный треугольник (основная высота равна основанию) (BGH).

2. Квадробедренный треугольник (BGH) поперечный треугольник пирамиды Хефрена (ABC).

Рис. 6. Геометрическое преобразование граневого треугольника модели пирамиды Хеопса в поперечный треугольник модели пирамиды Расчет реальных размеров пирамид Гизы осуществлялся на основе математического анализа комбинаций имеющих место геометрических пропорций и царского локтя (ц.л.), который являлся основной единицей измерения в Древнем Египте:

До настоящего времени размеры пирамид выражались через числа, кратные царскому локтю и никаких внятных объяснений о взаимосвязи между размерами трех пирамид выше, не высказывалось.

Если посчитать тангенсы углов при основании поперечных треугольников пирамид Хеопса, Хефрена и Микерина, исходя из изБогун В.В. Математические и астрономические модели архитектуры пирамид Гизы вестных данных о размерах высот и сторон основания данных пирамид, и сравнить их с геометрическими пропорциями пирамид, то получим значительные расхождения, что доказывает факт несостоятельности выражения размеров пирамид через числа, кратные царскому локтю.

На рис. 7 ниже показана основная пирамида Гизы, связывающая царский локоть с одним из характерных размеров пирамид Хеопса и Хефрена, то есть для нее справедливо следующее утверждение: если поперечные треугольники правильной четырехугольной пирамиды являются золотыми треугольниками 1-го рода, а величина радиуса вписанного в пирамиду шара равен ста царским локтям, то высота данной пирамиды равна усеченной высоте пирамиды Хеопса, а стороны основания – сторонам основания пирамиды Хефрена.

Рис. 7. Модель пирамиды, отображающей проект, заложенный в В книге [1] показано, что пирамида Хеопса и основная пирамида Гизы имеют идентичные геометрические модели, при этом высоты пирамид равны по значениям полной и усеченной высотам пирамиды Хеопса соответственно с разницей между собой в царских локтей, стороны оснований соответственно равны сторонам оснований пирамид Хеопса и Хефрена, причем сторона основания пирамиды Хеопса равна 232 метрам с точностью до 6 знака, а радиус вписанного в основную пирамиды Гизы шара равен по значению 100 царским локтям и меньше аналогичного параметра пирамиды Хеопса ровно на 4 метра.

Сторона основания пирамиды Хефрена определяется исходя из значения тангенса угла при основании и определенного выше значения высоты, тогда как для пирамиды Микерина рассчитывается значение высоты исходя из значения стороны основания (половина аналогичного параметра пирамиды Хефрена) и тангенса угла при основании.

Рассчитанные на основе геометрических моделей размеры пирамид Хеопса, Хефрена и Микерина реально согласуются с результатами, полученными в ходе замеров пирамид различными исследователями, археологами и египтологами.

Что касается внутренней архитектуры пирамиды Хеопса, то для ее поперечного треугольника по результатам расчетов получаем расположение центра вписанной в него окружности на уровне камеры царя, а центра описанной вокруг него окружности – на уровне камеры царицы (рис. 8).

Богун В.В. Математические и астрономические модели архитектуры пирамид Гизы Рис. 8. Поперечный разрез пирамиды Хеопса (версия автора) Сторона основания пирамиды Хеопса, помноженная на 6 миллионов, даст значение диаметра Солнца с абсолютной погрешностью около 1 км, тогда как значение величины, полученной перемножением полной и усеченной высоты пирамиды Хеопса на сторону основания пирамиды и на число e (основание натурального логарифма), отличается от экваториального диаметра Земли менее чем на 10 м!

На рис.9 ниже показана схема, согласно которой, вероятнее всего, древние египтяне зашифровали расположение Венеры, Земли и Марса относительно Солнца в геометрии модели пирамиды Хеопса (поперечном и граневом треугольниках).

Суть схемы основывается на принципе последовательного преобразования равнобедренных треугольников, для которых имеет место равенство отношения основной высоты первого треугольника к половине его основания отношению диаметра описанной вокруг второго треугольника окружности к его основной высоте (диаметр описанной вокруг второго треугольника окружности равен основной высоте первого треугольника), причем преобразования треугольников происходят в следующей последовательности:

1. Отношение средних радиусов орбит Марса и Земли – отношение средних радиусов орбит Земли и Венеры (A3 B3 C3 ).

2. Отношение средних радиусов орбит Земли и Венеры – граневый треугольник геометрической модели пирамиды Хеопса (A2 B2 C2 ).

3. Граневый треугольник геометрической модели пирамиды Хеопса – поперечный треугольник пирамиды Хеопса (A1 B1 C1 ) (рис. 9).

Рис. 9. Геометрическая интерпретация поперечного и граневого треугольников пирамиды Хеопса через расположение Венеры, Земли и Таким образом, геометрия пирамиды Хеопса является своеобразной отправной точкой для построения схемы, показывающей взаимосвязь между средними радиусами орбит Венеры, Земли и Богун В.В. Математические и астрономические модели архитектуры пирамид Гизы Марса, причем, согласно данной схеме, мы получаем так называемый парад трех вышеуказанных планет и Солнца, что, возможно, указывает на дату такого парада планет, зашифрованную в комплексе пирамид Гизы, и несущую необходимую для нас информацию относительно комплекса пирамид, расположенных на плато Гиза, Египет.

1. Богун В.В. Геометрия древнего Египта. М.: Компания Спутник+, 2003. 203 с.

2. Богун В.В., Колескин В.Н. Исследование золотой пропорции.

Социальные и гносеологические проблемы общества: Сб. науч.

тр. / Под общ. ред. д-ра техн. наук, проф. Л.П. Размолодина.

Ярославль: Изд-во: “Еще не поздно!”, 2004. C. 126 – 135.

3. Богун В.В. Взаимосвязь геометрии пирамиды Хеопса со средними радиусами орбит Венеры, Марса и Земли. Proc. Of JISC “New Geometry of Nature”, 2003. Kazan University Press. Vol. 3, P. 38–45.

4. Богун В.В. Геометрические свойства равнобедренных треугольников. Ярославский педагогический вестник. Ярославль: Издво ЯГПУ, 2002. C. 119–124. № 2.

Глава История математического образования О некоторых задачах двойственности Г.И. Синкевич История математики знает немало примеров двойственных задач, наиболее известная – это обнаруженная Исааком Барроу двойственность между задачами о нахождении касательной к кривой и о нахождении площади под кривой, что привело к открытию связи между дифференцированием и интегрированием. Конец девятнадцатого – начало двадцатого века характеризовались появлением большого количества математических наблюдений, новых математических объектов, формированием новых теорий.

Польский математик В. Серпинский, создавая теоретическую платформу польской школы, видел необходимость упорядочения аксиоматики теории множеств относительно аксиомы выбора и гипотезы континуума. В период с 1914 по 1918 гг. Серпинский жил в Москве и общался с математиками Московского университета:

Б.К. Млодзеевским, Д.Ф. Егоровым и Н.Н. Лузиным. В беседах с Лузиным у Серпинского появляется критический взгляд на гипотезу выбора и природу континуума. Вообще говоря, Лузин не был сторонником применения аксиомы выбора. Его интересы лежали в области эффективных множеств, но при построении примеров совместно с Серпинским он осознанно пользуется аксиомой выбора.

Заметим, что в некоторых ранних работах Лузина часто встречается произвольный выбор. Из девяти работ Лузина, в которых явно используется аксиома Цермело, три работы написаны совместно, одна является письмом к Серпинскому, а остальные (кроме одной) содержат обращение к работам Серпинского, либо ссылку на беседы с ним. Это показывает влияние идей Серпинского на творчество Лузина. Правда в конце третьего десятилетия XX века, видимо под влиянием Бореля, позиция Лузина меняется, хотя Синкевич Г.И. О некоторых задачах двойственности он не отказывается от аксиомы выбора окончательно. Приведем здесь высказывание Лузина 1933 г., достаточно полно характеризующее его позицию: “Я рассматриваю вопросы существования с точки зрения натуралистов, как это делает Борель – великий натуралист нашего времени. С этой точи зрения нет никакой разницы между применением рассуждения Цермело во всей его полноте и употребления так называемой “гипотезы континуума”. Все эти вещи одинаково нереальны.

Если я трачу время на рассмотрение этих вещей, то не потому, что считаю их действительно серьезными, а потому, что через множество чисто словесных “существований”, слишком легких, чтобы принимать их всерьез, я вижу слабый свет настоящей интуиции, могущей привести нас к совершенно неожиданным фактам, которые мы обнаружим, если следовать другому пути” [1. Т. 2. C. 707].

Но в период 1914–1918 гг. Лузин не был столь осторожен, и немалую роль в этом сыграл Серпинский. Результаты, полученные ими совместно, во многом послужили основой для дальнейших разработок Серпинского и ученых полькой школы; таковым было, например множество Лузина. Это название в литературе имеют несколько объектов; мы будем иметь в виду несчетное множество первой категории на всяком совершенном множестве, расположенном в сегменте. Это множество было построено Лузиным в 1914 г.

в работе “Об одной проблеме Бэра” [1. Т. 2. C. 683–685].

Благодаря Лузину Серпинский стал требовательней к строгости доказательств. В 1918 г. им был предложен новый способ доказательства – так называемый принцип минимума. Впервые Серпинский использовал его в статье “Аксиоматическое определение множеств, измеримых B” [2. Т. 2. C. 187–191].

Другая проблема, поставленная Лузиным и также увлекшая Серпинского – это сохранение свойств Бэра и измеримости при суперпозиции функции. Относительно измеримых функций Лебег установил только, что сумма и предел сходящейся последовательности измеримых функций, есть измеримая функция, отсюда измеримы все бэровские функции. Серпинский завершил цикл работ по инвариантности, измеримости и свойству Бэра перед Второй мировой войной, а начал его в московский период. Много своих работ посвятил Серпинский связи аксиомы выбора с гипотезой континуума и исследованию множества Лузина, которое он использует во многих своих работах, в том числе, в одной из центральных своих работ по мере и категории “Двойственность между первой категорией и мерой ноль”.

И Серпинский, и Лузин формировали свою методологию при разработке общих проблем. Лузин тяготеет к конструктивности, анализу свойств существующих объектов. Серпинского же интересует наличие отображений, логически двойственные объекты. Эти тенденции впоследствии проявятся ярко в творчестве каждого из них.

Наиболее значительным из всех исследований Серпинского, после работ по упорядочению основ теории множеств, является цикл работ двадцатых и тридцатых годов ХХ века по мере и категории.

При этом Серпинский пользовался довольно широким понятием функции – как функции множества, а не как функции точки, различая ее поведение на различных подмножествах области определения.

Смещение приоритета от функции точки к функции области обусловлено работами Лебега, Бэра, Бореля и Цермело. В методе интегрирования Лебега область определения функции подвергается перегруппировке точек для удобства интегрирования, то есть в понятии функции уже не столь важным становится закон соответствия, сколько множества определения и изменения функции.

При этом, наряду с представлением о функции как конструктивном объекте (для которого прежде всего устанавливается, как осуществляется соответствие), возникает неэффективное представление (свое начало оно берет, видимо с определения Дирихле, согласно которому совершенно не важно, как осуществляется это соответствие).

В работах Серпинского и его современников образ функции одного аргумента – это одномерное множество таких точек y, для которых y = f (x), а график такой функции – это плоское множество таких точек (x, y), для которых y = f (x). Лузин, например, в журнале “Fundamenta mathematicae” ставит вопрос так: любая ли функция, образ которой обладает свойством Бэра, будет обладать Синкевич Г.И. О некоторых задачах двойственности свойством Бэра?

Функция обладает свойством Бэра, если она непрерывна для некоторого совершенного множества P, кроме, может быть, множества первой категории. (У Бэра условие сформулировано так:

“Если функция точечно разрывна на любом совершенном множестве, кроме, может быть, множества первой категории”.) Работа Серпинского “Функции, обратные функциям, удовлетворяющим условию Бэра” (1939 г.) [2. Т. 3. C. 409–410], посвященная вопросу о сохранении свойства Бэра при отображениях, была написана им уже после открытия им двойственности между мерой и категорией. Необходимость ее была вызвана тем, что, доказав существование взаимнооднозначного соответствия между множествами меры нуль и множествами первой категории и исследовав, на основании предыдущих работ, свойства отображающей функции, Серпинский задался вопросом о существовании обратного отображения и его свойствах. Можно предположить, что если бы не вскоре начавшаяся война, он решил бы проблему обратного отображения полностью.

В 1934 г. Серпинским была написана работа, занимающая центральное место среди исследований этого цикла. Она носит название “Дуальность между первой категорией и мерой нуль” [3].

Постановка вопроса такова. Известно много теорем о множестве первой категории, которые остаются верными и для множества меры нуль, и наоборот. С помощью гипотезы континуума доказывается теорема, объясняющая эту двойственность: если верна гипотеза континуума, то существует такое взаимно однозначное отображение f (x) множества X всех действительных чисел на себя, что когда есть подмножество множества X первой категории, тогда f1 (E) есть множество меры нуль; когда же есть подмножество множества X меры нуль, тогда P (E) будет множеством первой категории. Серпинский отмечает, что остается открытым следующий вопрос: существует ли преобразование f (X), которое удовлетворяет условиям теоремы и такое, что если E – множество меры нуль из X, то f (E) будет первой категории, а если E – множество первой категории из X, то f 1 (E) – множество меры нуль?

Иными словами, существует ли взаимно однозначное отображение прямой на себя, которое переводит все множества первой категории во все множества меры нуль и все множества меры нуль во все множества первой категории? Серпинский приложил немало усилий для решения этого вопроса, но окончательный ответ на него дал венгерский математик П. Эрдёш.

Серпинский первым привел случай неприменимости теоремы о двойственности. Позднее Хаусдорф выделил пространства, где эта двойственность имеет место, назвав их пространствами меры, согласованной с категорией.

Зависимости теоремы дуальности от гипотезы континуума и характера функции, осуществляющей это преобразование, посвящена работа Серпинского “О некоторых взаимно однозначных преобразованиях прямой на себя”. Серпинский утверждает, что функция, осуществляющая указанную связь, не может быть измеримой. С помощью множества Лузина и множеств, названных позднее множествами Серпинского, он формулирует следующую теорему: “В предположении гипотезы континуума существует функция f (x), которая преобразует взаимно однозначным образом прямую на себя и одновременно преобразует множество меры нуль во множество первой категории и каждое множество первой категории во множество меры нуль. Тем не менее, отмечает здесь же Серпинский, даже допуская гипотезу континуума, пока невозможно решить проблему существования функции, преобразующей взаимно однозначно прямую на себя, обратная к которой преобразует каждое множество первой категории во множество меры нуль и каждое множество меры нуль во множество первой категории.

В 1943 г. венгерский математик П. Эрдёш опубликовал статью “Некоторые замечания по поводу теории множеств” [4], первая часть которой посвящена доказательству указанной теоремы.

Наложив условие на функцию f (x), Эрдёш получает требуемое утверждение:

“Существует ли функция, которая имеет указанное свойство и также еще такое свойство – она отображает множества первой категории во множества меры нуль, а обратная к ней отображает множества меры нуль во множества первой категории? Мы докажем, что такая функция существует. Наше доказательство анаСинкевич Г.И. О некоторых задачах двойственности логично доказательству Серпинского: мы, конечно, полагаем, что гипотеза континуума выполняется.” Окстоби в своей книге “Мера и категория” [5], высоко оценивая значение этой теоремы и отмечая, что Эрдёш лишь слегка усовершенствовал доказательство Серпинского, предлагает такой вариант теоремы (теперь она носит название теоремы СерпинскогоЭрдёша):

Пусть P – утверждение, в которое входят понятия множества меры нуль, множества первой категории и понятия чистой теории множеств. Пусть P – утверждение, полученное из P взаимной заменой всех терминов “нуль-множество” и “множество первой категории”. Тогда каждое из утверждений P и P следует из другого при условии, что справедлива гипотеза континуума.

Итак, несмотря на то, что окончательный вариант результата принадлежит Эрдёшу, Серпинский сделал большую часть исследования: поставил и решил проблему одностороннего отображения, поставил проблему одновременного отображения, охарактеризовал функцию, осуществляющую отображение, рассмотрел зависимость теоремы от гипотезы континуума, а также показал ограниченность действия теоремы.

Теорема Серпинского-Эрдёша имеет методологический характер и в позднейшей литературе часто называется “методом двойственности”.

Можно предположить, почему Серпинскому не удалось доказать желаемую теорему. Он искал наиболее общий вид функции, описал некоторые ее свойства. Эрдёш удовлетворился частным случаем, не заботясь о степени общности.

В польской школе труды Серпинского по методу категорий были развиты К. Куратовским, С. Банахом, Э. Марчевским, В. Орличем и другими.

Преимуществом метода категорий перед конструктивным методом является то, что он не требует значительных построений.

С. Хартман [6] отмечает ту особенность теории категории и меры, что она позволяет доказать чисто теоретико-множественные теоремы о несуществовании универсальной меры, что было разработано К. Куратовским, С. Банахом, Э. Марчевским, С. Уламом.

Принцип двойственности широко применяется и в доказательстве теорем существования.

1. Лузин Н.Н. Собрание сочинений в трех томах. М., 1953–1959.

2. Sierpinski W. Oeuvres choisies. Warszawa: Panstowe wydwnictwo Naukowe. T. 1. 1974. 500 s. T. 2. 1975. 780 s. T. 3. 1976. 686 s.

3. Sierpinski W. Sur la dualite entre la premiere categorie et la mesure nulle // Fundamenta mathematicae. Vol. 22, p. 276–280.

4. Erdos P. Some remarks on set theory // Ann. Of math. 1943.

Vol. 44. № 4. p. 643–646.

5. Oxtoby J.C. Measure and category N.Y. Heidelberg, B. Springer, 1971. Окстоби Дж. Мера и категория. М.: Мир, 1974.

6. Hartman S. Merure et categorie. Congruence des ensembles // В кн. [3. V. 2. P. 20–25].

Из истории международного движения за реформу математического образования в конце XIX – начале ХХ века Р.З. Гушель Как известно, в 1908 году на IV Международном математическом конгрессе в Риме была создана Международная комиссия по преподаванию математики (МКПМ). Среди целей ее создания было обобщение богатого опыта педагогов разных стран Европы и Северной Америки в деле модернизации школьного математического образования и координация их работы в этом направлении.