«Ярославль 2005 Оглавление Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX столетия Тихомиpов В.М. Некотоpые пpоблемы школьного и унивеpситетского математического обpазования.... 5 Демидов С.С. Рождение ...»

3. EUR-ACE критерии и процедуры аккредитации программ в области техники и технологии. М.: Ассоциация инженерного образования России, Аккредитационный центр. 2005. 15 с.

4. Качество образования. Достижения. Проблемы. Материалы IV Международной научно-методической конференции / Под ред.

А.С. Вострикова. Новосибирск: НГТУ, 2001. 433 с.

5. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года. Сoncepcia.rtf. 28 с.

6. Кларин М.В. Педагогическая технология в учебном процессе.

Анализ зарубежного опыта. М.: Знание, 1989. 89 с.

Епишева О.Б. Технологический подход к обучению в профессиональном учебном заведении 7. Кларин. М.В. Технологический подход к обучению // Школьные технологии. № 5. 2003. С. 3–22.

8. Монахов В.М. Технологические основы проектирования и конструирования учебного процесса. Волгоград: Перемена, 1995.

9. Поташник М.М. Качество образования: проблемы и технологии управления (В вопросах и ответах). М.: Педагогическое общество России, 2002. 352 с.

10. Стратегия модернизации содержания общего образования: Материалы для разработки документов для обновления общего образования. М.: ООО “Мир книги”, 2001. 66 с.

11. Чернилевский Д.В., Филатов О.К. Технология обучения в высшей школе: Учеб. издание / Под ред. Д.В. Чернилевского. М.:

“Экспедитор”, 1996. 288 с.

12. Шадриков В.Д. Психология деятельности и способности человека: Учеб. пособие. М.: “Логос”, 1996. 320 с.

Глава История и философия математики Арифметическая техника и развитие математики Г.А. Зверкина Нумерация и техника счета в древности Математика на всем протяжении своей истории практически всегда использовала числа или их обобщения. Геометрический объект имеет размер и (или) положение в пространстве, что задается числами; алгебраические теории предполагают возможность выполнения неких операций, прототипом которых были арифметические действия. Функции, являющиеся отображением из области определения в множество чисел (действительных, комплексных, p-адических... ), – это тоже числа, которые можно складывать и умножать.

Подразумевая повсеместное использование в математике чисел, современный исследователь не задумывается о том, каким образом можно практически выполнить те арифметические действия, которые он использует в своих теоретических рассуждениях. Вопрос о практическом исполнении арифметических действий рассматривается только в школе. Даже вычислительная математика при описании алгоритмов численного решения задач не касается вопроса их практического воплощения: сейчас вычислительная техника позволяет об этом не задумываться. Причем уверенность в практической осуществимости любых вычислительных действий, упоминающихся в теоретических рассуждениях, была присуща математикам не только нашего времени, но и последних трех столетий. То, как записываются числа и то, как производятся над ними арифметические операции, на протяжении нескольких сотен лет не оказывало 1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 03-06а) и CNRS (проект “Les instruments du calcul savant”).

Зверкина Г.А. Арифметическая техника и развитие математики практически никакого влияния на развитие математики. Но всегда ли так было?

Возникновение отвлеченного (абстрактного) числа в человеческой практике сопровождалось представлением о числе как о неком мистическом, божественном даре: не отделявший ранее числительного от перечисляемых объектов, человек был поражен тем, что одними и теми же словами можно указывать количество объектов различной структуры. Числам приписывались различные магические, сакральные качества, – это сохранялось, например, в нумерологии1. Системы нумерации практически всех известных древних цивилизаций основывались на числах 5, 10 и 20. Однако это не означает, что одновременно автоматически создавалась соответствующая позиционная система записи чисел.

Первые обозначения чисел – черточки и точки – с появлением письменности заменялись новыми символами. Сначала они объединялись в группы, а со временем превратились в пиктограммы.

В некоторых случаях эти пиктограммы содержали в себе некую информацию о составе числа, что существенно усложняло их вид.

Однако экономическое развитие древнего общества требовало умения выполнения арифметических операций с большими числами, и делать это, пересчитывая десятки черточек, было неудобно.

Возникли первые обозначения чисел, практически всегда это были пиктограммы, в иероглифической письменности превратившиеся затем в иероглифы, а в алфавитной они в ряде случаев заменялись буквами или их комбинациями. При этом для одинакового количества единиц, десятков, сотен, тысяч и т.д. применялись различные значки. Иногда (Китай, Египет) письменная нумерация соответствовала устному названию числа (например, 500=пять сотен, ve hundred, cinq cents и т.д.); в ряде случаев это приводило к формированию аддитивно-мультипликативной нумерации, которая была удобнее для записи результатов вычислений, чем, например, алфавитная. Естественно, арифметические операции в иероглифической и алфавитной нумерации требовали больших усилий.

1 Так, пифагорейцы из того, что разные народы Средиземноморья использовали естественный для человека счет десятками, выводили множество замечательных свойств числа 10.

Счет на пальцах (и др. частях тела) и счетном материале (мелких предметах) в ряде случаев привел к созданию первых счетных приспособлений – абаков. При этом нельзя представлять себе абак исключительно как специально изготовленную размеченную доску или даже рамку со стержнями и надетыми на них счетными костями (русские счеты или китайский суаньпань): при необходимости сложных расчетов человек мог просто расчертить на любой гладкой поверхности таблицу, на которой можно было разложить счетный материал и, перекладывая его, производить вычисления.

Распространенность практики счета на абаках привела некоторые цивилизации к формированию позиционной системы нумерации. У инков роль абака играли кипу – узелковые записи, что, очевидно, способствовало возникновению у них позиционной десятичной нумерации1.

При этом можно предположить, что количество счетного материала на одной линии абака должно было соответствовать основанию формировавшейся системы нумерации. То есть, например, в математике майя можно предположить использование пятеричного абака; при этом двадцатеричная система нумерации трансформировалась в пятерично-двадцатеричную.

В Китае, несмотря на использование ориентированного на пятеричность суаньпаня2, возникла десятичная нумерация – здесь, скорее всего, оказала влияние также и древняя аддитивно-мультипликативная нумерация. Запись 710000+51000+6100+910+ естественно трансформируется в 75696 (здесь, видимо, сыграла свою роль и иероглифичность записи, когда, следуя словесному обозначению, число 600 или “шесть сотен”, например, записывалось знаком “6” и знаком “100” 3). Единственно, чего здесь не хватает – знака 0. Однако этот знак использовался при обозначении на бумаге пустой клетки счетной таблицы, в ячейках которой расНечто подобное узелковому счету инков использовалось и в Японии.

2 Впрочем, сложно сказать, что появилось раньше – позиционная нумерация или суаньпань.

3 В Китае сформировалось две системы записи чисел – “научная”, использовавшая кружок 0 в качестве 0 и 9 знаков из черточек, где горизонтальная черта соответствовала 5, а вертикальная – 1, и “бытовая” иероглифическая.

Зверкина Г.А. Арифметическая техника и развитие математики кладывались счетные палочки.

Казалось бы, использование абаков и естественной для человека десятичной (устной) нумерации должно было привести к формированию позиционных систем нумерации во всех развивающихся цивилизациях. Однако этого не произошло. В Азии десятичная система стала использоваться в Индии, видимо, она была, заимствована из Китая. Написание индийских чисел, как и везде, возникло сначала в виде различных значков для всех разрядов, затем были попытки ввести слоговую (подобную греческой алфавитной) нумерацию, и лишь в середине I тысячелетия н.э. в Индии появилась десятичная нумерация. При этом форма цифр в разных регионах Индии имеет сходство и, по-видимому, имеет общий источник.

Однако в цивилизациях Средиземноморья такого прогресса в системах нумерации не случилось. В древней Месопотамии возникшая было десятичная почти позиционная (без знака 0) система нумерации была скомбинирована с шестеричной системой, происхождение которой неизвестно1. Вавилонская нумерация не была полноценной позиционной нумерацией (такой, какой она позднее стала в работах греческих астрономов и арабских ученых), и из-за сложности записи чисел в этой системе она была мало пригодна для сложных арифметических расчетов.

Также и в Египте, несмотря на достаточно высокое развитие техники и экономической системы, нумерация оставалась иероглифической (при этом она не содержала специальных знаков для чисел первого десятка), что не способствовало развитию арифметической техники. Причиной этого, видимо, была монополизация права на проведение расчетов небольшой части населения – касты жрецов и писцов – схожая ситуация была и в Месопотамии.

Мистический ореол чисел привел к формированию во многих древних цивилизациях мнения об избранности тех, кто может заниматься расчетами. Человек, научившийся читать, писать и считать, был обеспечен твердым заработком; попасть в касту избранных, допущенных к обучению арифметическим расчетам, было 1 Возможно, она произошла из неких национальных традиций, подобно тому, как некоторые племена Папуа-Новой Гвинеи обзавелись развитой одиннадцатеричной (устной) системой счета.

непросто и в Месопотамии, и в Египте. Естественно, забота о сохранении своих доходов препятствовала демократизации счета. Сложность системы расчета, особенно в части определения дробных долей величин, служила надежным препятствием распространению среди широких масс математических знаний. Важной особенностью счета в Египте и Месопотамии была необходимость использования многочисленных таблиц; видимо, обладание такими таблицами было привилегией определенного слоя населения.

Интересно, что, в противоположность египетской практике, в Китае в глубокой древности возникла практика сдачи экзаменов для занятия места чиновника; сдавать такие экзамены имели право практически все, и в программу экзамена входила математика в достаточно большом объеме. Таким образом, в Китае все чиновники умели производить достаточно сложные арифметические расчеты, и, кроме того, еще большее количество людей, пытавшихся сдать экзамены, но безуспешно, в той или иной степени были знакомы с математикой. Математические знания были широко распространены в Китае, что и привело к демократизации арифметических знаний, и способствовало становлению позиционной нумерации.

Итак, в Средиземноморье сформировалось несколько систем нумерации (иероглифическая, алфавитная и шестидесятеричная, представлявшая собой комбинацию десятичной и шестеричной), а в Китае и позднее в Индии была принята к использованию позиционная десятичная. Анализ дальнейшего развития систем нумерации приводит к выводу о том, что развитие математических знаний ведет к упрощению нумерации и тяготеет к позиционному принципу систем записи чисел. Так, в Египте времен Новой Империи нумерация в демотических текстах схожа с китайской, а в поздней Византии числа иногда записываются в позиционном виде. До того в Греции Архимедом и Аполлонием Пергским делались попытки построить позиционную нумерацию с основанием 108 или 104.

Естественно, в случае алфавитной, иероглифической или позиционной нумерации с большим основанием имелись трудности с записью дробных чисел, в то время как в позиционной системе Зверкина Г.А. Арифметическая техника и развитие математики были достаточно быстро введены десятичные дроби (китайцы они умели записывать числа от 10128 до 10128 – см. [4, 5]). Поэтому и в вычислениях естественным образом возникали различные алгоритмы.

Так, в Месопотамии был изобретен так называемый метод Герона для вычисления приближенных значений квадратных корней.

Если A a0, то лучшим приближением будет A a1 = 2 a0 + a0 ; эта процедура повторяется необходимое число раз, и таким образом получалась последовательность приближений A, которая затем заменялась шестидесятеричной дробью. Например, для 2 с начальным приближением 2 1 получается последовательность приближений В Китайской математике при вычислении корня использовали так называемую схему Горнера, фактически подбирая десятичные знаки искомого числа по достаточно простому алгоритму, основанному на формуле квадрата суммы. При этом часто умножали подкоренное выражение на 102n для того, чтобы результат вычислений поделить затем на 10n и получить десятичную дробь.

Например, 2 = 210, и 200000000 = 2.00.00.00. 10000. Для подбора второй цифры ищем такое a, чтобы (10 + a) 200; a=4. Теперь ищем такое a, чтобы (140 + a)2 20000; a=1. Далее ищем такое a, чтобы (1410 + a)2 2000000; a=4. И, наконец, ищем такое a, чтобы (14140 + a)2 200000000; a = 2. Действительно, 141422=199996164, т.е. 2 1, 4142.

На первый взгляд, применение вавилонской схемы проще. Но мы судим об этом, имея в своем распоряжении вычислительную технику (в которой, кстати, “запаян” метод Герона для вычисления корней). Однако, получив число из последовательности (*), древний вычислитель в Вавилоне был должен представить это выражение шестидесятеричной дробью, что было непросто. Еще сложнее приходилось египетским писцам: любую дробь они записывали в виде суммы долей – аликвотных дробей, т.е. дробей с числителем 11. Проделать такого сорта преобразования и сейчас, имея в распоряжении десятичную систему, непросто.

Итак, уже простой пример показывает, что использовавшаяся система нумерации влияла на численные методы. Но оказывала ли она более глубокое влияние на развитие математики?

Геометрия или алгебра? Выбор языка науки Широко известно, что в Египте практиковались измерения и разметка местности с помощью веревки; этим занимались “арпедонапты”, или “натягивающие веревку”. Такими методами пользовались во всех древних земледельческих цивилизациях. В Египте, превосходившем своих соседей по уровню развития техники, письменности и культуры, практика арпедонаптов позднее преобразовалась в геометрические построения на плоскости с помощью циркуля и линейки и развилась потом до высочайшего уровня в древней Греции.

“Греческое чудо” – возникновение аксиоматико-дедуктивной системы математических знаний – возникло именно благодаря исследованию геометрических свойств плоских фигур.

Простейшие, “очевидные” геометрические факты сначала не доказывались, а “объяснялись”: таковы приписываемые Фалесу объяснения равенства вертикальных углов [10]; таково архаичное рассуждение о причинах равенства углов при основании равнобедренного треугольника, изложенное Аристотелем [1]. (Этот факт был первым отвлеченным знанием, полученным греками от египтян:

египтяне использовали треугольный уровень-ватерпас, да и при строительстве четырехугольных пирамид этот факт был важен – см.[3]).

Видимо, до исследований Гиппократа Хиосского греческая математика удовлетворялась наглядными объяснениями геометричеПричиной этого, видимо, была невозможность представления отношения двух целых чисел как одной величины: египтяне, а за ними и греки мыслили в терминах “долей”, т.е. равных частей при делении целого. Только в начале новой эры мы встречаем у греков в явном виде рациональные числа – дроби.

Зверкина Г.А. Арифметическая техника и развитие математики ских фактов, и лишь тогда, когда Гиппократ в попытках квадрировать круг отысканием квадрируемых луночек начал использовать достаточно сложные логические построения, математика столкнулась с необходимостью не только наглядного, но и логически безукоризненного объяснения (доказательства) геометрических фактов1.

Но почему греки (а перед ними египтяне и вавилоняне) ориентировались на геометрические построения в математике, почему они изобрели то, что теперь называется геометрической алгеброй древних и почему они пытались свести алгебраическую задачу к геометрическому построению? Почему они пытались квадрировать (т.е. сопоставить с равным по площади квадратом) различные фигуры? И почему в качестве инструментов геометрических построений они выбрали только циркуль и линейку? Почему при решении алгебраических задач третьего порядка они строили специальными инструментами отличные от окружности и прямой кривые, а не вычисляли решения с необходимой точностью, как это делали на Востоке?

Почему в одних случаях в древней математике основной акцент делался на геометрические методы, а в других – на алгебраические? Рассмотрим два примера.

Теорема Пифагора.

Греческое доказательство. Доказательство этого, одного из самых древних математических фактов, известного всем древним цивилизациям, в “Началах” Евклида, естественно, геометрическое (“Начала”, Книга 1, Предложение 47). Доказательство чрезвычайно наглядно и строится на рассматривании подходящим образом построенного чертежа.

Китайское доказательство 1 из сочинения “Чжоу би суань цзин” (“Канон расчета чжоуского гномона”) построено, наоборот, на алПозднее, после исследований Аристотеля по логике, математика оформилась в строгую аксиоматико-дедуктивную науку, основанную на аксиомах и правилах доказательства. Но это – не тема данной статьи.

1 Принято считать, что доказательств в негреческой математике не было.

Действительно, тех доказательств, которые были в греческой математике, в математике других древних цивилизаций не встречалось. Но были другие доказательства, основанные на логических рассуждениях. Не было в явном виде гебраических преобразованиях и арифметической технике определения одинаковых площадей на разграфленном чертеже (Рис. 11).

Главную роль здесь играет не наглядность чертежа, а скрупулезное выискивание одинаковых геометрических фигур и их подсчет.

Это, скорее, не доказательство теоремы Пифагора, а доказательство прямоугольности треугольника со сторонами 3, 4, 5, основанное на факте: 32 +42 =52.

Позднее это рассуждение трансформировалось в широко известные в индокитайской математике доказательства теоремы Пифагора уже в общем виде. В обоих случаях доказательство основано на правиле возведения в квадрат суммы или разности (бином Ньютона). При этом в рассуждениях роль аксиом (очевидных фактов) играли именно алгебраические правила.

Надо отметить, что математическое образование в Индии и Китае включало в себя заучивание наизусть правил арифметических действий с различным образом представленными величинами. Они включали в себя то, что мы сейчас называем правилами раскрытия скобок, сокращенного умножения, операции с величинами, имеющими разные знаки. Эти правила заучивались наизусть, часто в виде стихов, и, как мы видим, на них были основаны доказательства геометрических фактов.

И здесь мы переходим к другому примеру.

Алгебраические формулы. Алгебраические формулы в юговосточной математике (Индия, Китай, Япония, Корея) не доказывались – они входили с систему образования и предназначались для заучивания. Происхождение их следует искать в вычислительной практике. Как мы видели, позиционная система, возникшая в этом регионе, позволяла производить достаточно сложные вычисления без чрезмерных усилий.

Не так обстояло дело в греческой математике.

Значительная часть “Начал” Евклида посвящена именно доказательству алгебраических формул. Вот как, например, доказывалась одна из простейших формул – бином Ньютона.

представлено системы аксиом, но доказательства опирались на факты, представлявшиеся древним математикам (и нам) очевидными.

Зверкина Г.А. Арифметическая техника и развитие математики Те правила, которые в Индии и Китае были результатом многочисленных практических вычислений, в Греции требовали доказательства. Почему? Неужели греки были так слабы в искусстве счета?

Ответ на этот вопрос – это сложность греческой нумерации для выполнения многочисленных вычислений, требовавшихся на практике. Так, надо было знать, фактически, таблицу умножения не только единиц, но и единиц на десятки, единиц на сотни, десятков на десятки и пр. Например, вместо одной формулы 23=6 греческому вычислителю надо было запомнить много формул:

Следуя египетской традиции, греки все дробные величины представляли в виде долей или аликвотных дробей. Долгое время выражение вида m называлось не числом, но отношением величин.

Простая в десятичной нумерации процедура сравнения или упрощения дробей в алфавитной нумерации требовала сложных вычислений.

Если вспомнить, что арифметические операции – это не самоцель математики, а средство решения различных технических проблем, то станет понятно, с какими сложными проблемами сталкивались древние инженеры Египта, Месопотамии и Греции.

1 Известный эксперимент французского исследователя П.Таннери, научившегося арифметике в греческой алфавитной нумерации, некорректен: как бы современный человек ни пытался поставить себя на место древнего вычислителя, с ним всегда останется знание арифметики в десятичной нумерации.

И, умножая, например, сотни на десятки, он всегда в уме держит результат этой операции в десятичной системе и переводит ее потом на язык древней нумерации.

Но нуждались они не в записи числа, а в конкретном размере конкретного сооружаемого объекта. То есть им был важен не записанный числами результат, а то, какой размер надо отмерить на той или иной детали или на местности.

И здесь на помощь древнему инженеру пришла геометрия.

Если, к примеру, надо было построить квадрат, равновеликий данной площади, то вместо вычисления этой площади можно было, измерив линейные размеры исходной площади, путем геометрических построений на местности разметить нужный квадрат.

Самый простой случай – исходная площадь прямоугольна. Отложив стороны этого прямоугольника a и b, легко найти сторону нужного квадрата.

Несколько сложнее решаются и другие технические задачи, которые сейчас сводятся к алгебраическим уравнениям первого и второго порядков. Общим для этих задач является их разрешимость с помощью циркуля и линейки, т.е. простейших инструментов, всегда имевшихся в распоряжении древнего инженера.

Когда же задача не могла быть решена с помощью простейших геометрических инструментов (циркуля и линейки), изобретались инструменты для вычерчивания новых кривых, с помощью которых задача могла быть решена. Или же создавались механические инструменты, решавшие задачу. О некоторых таких инструментах сохранились достаточно ясные упоминания в древнегреческих текстах; прочие же могут быть реконструированы на основании сохранившихся отрывочных упоминаний.

Использование кривых и специальных инструментов для их вычерчивания, а также стремление как можно более точно решить задачу (т.е. стремление построить как можно более точный чертеж) привело греческих математиков к формированию понятия идеальной (не имеющей толщины) кривой.

Сам же чертеж в греческой математике представлял собой аналог современной формулы для решения задачи. Это был алгоритм, следуя которому и проявляя достаточную аккуратность в геометрических построениях, можно было построить сколь угодно точное решение задачи.

Вторая книга “Начал” Евклида посвящена представлению люЗверкина Г.А. Арифметическая техника и развитие математики бой прямолинейной фигуры (многоугольника) равновеликим квадратом. Что было причиной стремления греков квадрировать различные фигуры? Видимо, в рамках геометрических представлений решения алгебраических задач построение равновеликого фигуре квадрата соответствовало вычислению площади этой фигуры.

Для решения этой задачи Евклид во второй книге “Начал” доказывает ряд алгебраических тождеств, в т.ч. теоремы о “приложении площадей”, которые сейчас следовало бы интерпретировать как правило выделения полного квадрата в равенствах x(a x) = b2 и x(a + x) = b2. Затем это правило применяется к решению (геометрическими методами) квадратного уравнения;

способ решения уравнения соответствует нашему решению квадратного уравнения с помощью дискриминанта.

Интересно, что, если бы греческие математики изначально рассматривали решение квадратного уравнения как геометрическую задачу, то вряд ли они решали бы уравнение x(a x) = b2 с помощью метода, эквивалентного решению с помощью дискриминанта.

Действительно, поскольку b есть среднее геометрическое между x и (a x), решение легко найти с помощью простого чертежа.

Таким образом, геометрическая алгебра есть не самостоятельная дисциплина, происходящая из геометрических рассуждений, а средство решения алгебраических задач в терминах отрезков с помощью геометрических методов в ситуации, когда неудобная система нумерации и отсутствие эффективной техники счета не позволяют достаточно быстро находить решения алгебраических задач с достаточной степенью точности.

C другой стороны, отсутствие удобной позиционной нумерации для записи дробных чисел привело греков к идее выражать все отношения величин как отношения целых чисел. Отсюда происходит открытие ими несоизмеримости.

Этого не было и, видимо, не могло случиться в позиционной математике (по крайней мере, на первом этапе ее развития). В арифметической технике позиционной нумерации любое число могло быть вычислено с любой степенью точности. И лишь по прошествии некоторого времени математики заметили бы, что в одном случае решение представляется периодической десятичной дроГлава 4. История и философия математики бью, а в другом – непериодической, т.е. была бы открыта иррациональность.

Итак, мы приходим к выводу, что именно удобство или неудобство системы нумерации для арифметики, или, что то же самое, эффективность или неэффективность используемой техники вычислений, определяет направление развития математики в начальный период ее становления. А именно: более эффективной технике вычислений следует развитие алгебраических методов, а менее эффективной – геометрических. Развитие алгебраических методов базируется на системе правил алгебраических преобразований (полученных эмпирически), и при исследовании любых задач, в т.ч. геометрических, эти правила используются в логических рассуждениях, фактически заменяя собой систему аксиом. В противном случае алгебраические задачи решаются геометрическими методами, и здесь уже правила алгебраических преобразований есть результат геометрического доказательства, базирующегося на системе геометрических аксиом.

Другие цивилизации: подтверждение гипотезы. Однако к изложенному выводу мы пришли, анализируя математику Средиземноморья и Индокитая.

Как же обстояло дело в других древних цивилизациях?

Обратимся сначала к тем странам, где использовалась алфавитная нумерация. По большей части это были страны, находившиеся под влиянием Византии (Древняя Русь, Грузия, Армения), а также финикийцы, копты и евреи. Последние три этноса не имели сколь-нибудь развитой математики. В Грузии и Армении уровень развития технических знаний был достаточно высок, но судить об их достижениях в области математики мы можем лишь по сведениям о сочинениях Анания Ширакаци, что крайне мало для нашего анализа.

Несколько лучше обстоит дело с Древней Русью.

Древнерусская нумерация, как известно, была создана по подобию греческой алфавитной, однако была еще менее удобна для вычислений, поскольку обозначения чисел высших разрядов несли в себе некоторые признаки иероглифичности, и, кроме того, сначала сами разряды формировались по мультипликативному приЗверкина Г.А. Арифметическая техника и развитие математики знаку (103, 106, 1012 и т.д.), что затрудняло при счете переход из разряда в разряд.

Известно, что при проектировании и постройке храмовых комплексов древнерусские зодчие практически не вели каких-либо письменных расчетов. Однако при этом пропорции зданий были однотипны.

Достигалось это использованием, во-первых, стандартных шкал размеров (эталонов), подобно тому, как это делалось в Египте. Сохранилось изображение зодчего Хасиры (Сира-ха), держащего в руках несколько жезлов эталонной длины, имеющих отношение длин между собой, равное, в частности, 2 и отношению золотого сечения.

Древнерусские зодчие также использовали шкалу эталонов для разметки строящихся объектов. Это были сажени разных наименований (прямая, косая, морская, и т.п.), общим числом до 6 разных размеров, разделенные каждая на 4 локтя (также различной длины). Отношение длин разных саженей друг к было равно отношению квадратных корней из целых чисел ( 2, 3, 2, 5,... );

отмерялись эти сажени при помощи несложного чертежа (геометрическое построение! – см. подробнее [6, 7]).

Еще один инструмент древнерусских зодчих – т.н. “Вавилон” – система подобных прямоугольников с общим центром, напоминающая план древневавилонского зиккурата – башни. Пропорции прямоугольников (длина относится к высоте как 2:1, площадь каждого последующего прямоугольника в два раза меньше площади предыдущего) подобраны таким образом, что отрезки, соединяющие определенные точки “Вавилона”, представляют собой стороны правильных фигур, имеющих заданное отношение площадей. “Вавилон” позволял не только строить равновеликие правильные многоугольники с разным числом сторон, но и “раздваивать”и “растроивать” квадраты, а также строить приближенную квадратуру круга. И все это без утомительных вычислений, используя только нужным образом построенный чертеж.

Другим геометрическим инструментом, использовавшимся для разметки сооружаемой конструкции, было “мерило” – шест с нанесенными на трех гранях разными шкалами, находившимися в заданном отношении. При этом каждая шкала делилась, в частности, на 21 часть, что позволяло использовать эти шкалы и для разметки круглых объектов (учитывая архимедово приближение 22/7). Практика древнерусского зодчества подтверждает гипотезу о связи неудобства системы нумерации с развитием геометрических методов.

Рассмотрим другой пример. Как известно, в древнеиндийском трактате “Шульба-сутра” (“Правила веревки”) последовательно излагаются приемы геометрической алгебры вплоть до решения квадратных уравнений [8].

Но и нумерация, которой пользовался автор Шульба-сутры Апастамба, была иероглифической (для единиц, десятков, сотен использовались различные значки нумерации “брахми”). И здесь наша гипотеза подтверждается!

Что же касается цивилизаций, использовавших позиционные системы нумерации с маленьким основанием, то математические интересы там были смещены в область арифметических и алгебраических фактов. Так, майя и индийцы интересовались суммированием прогрессий, индийцы искали решения диофантовых уравнений, в частности, уравнения Пелля-Ферма x2 Ay 2 = 1, которое возникало при поиске наилучшего рационального приближения A. В области геометрии, зная ряд основных геометрических фактов о треугольниках и простейших четырехугольниках, алгебраическая математика легко решала возникавшие в практике геометрические задачи, используя алгебраические преобразования геометрических величин.

Дальнейшее развитие математики. Развитие математики в Греции и в юго-восточной Азии шло по разным направлениям:

геометрические методы греческих ученых существенно отличались от алгебраических воззрений индо-китайской науки. Оба этих направления объединились в арабоязычной математике средневековья. Имея в своем распоряжении удобную десятичную нумерацию и, в дополнение к ней, “научную” шестидесятеричную, арабские математики изучали геометрические методы греческой математики, но на практике их не применяли: кубические и квадратные уравнения они решали численно, используя вычисление квадратных Зверкина Г.А. Арифметическая техника и развитие математики корней в позиционной нумерации или итерационные процедуры.

Интересно, что и философия в древности и в средневековье претерпевала изменения в соответствии с господствовавшим в математике отношением к числу. Так, на заре развития философии, когда человек еще не привык к обыденности чисел, казавшихся ему божественным даром, пифагорейцы строили свою философию как “числовую”, искавшую причину всего в числе и числовых закономерностях. Однако с изменением математики и геометризацией знания и философия начинает опираться на геометрические рассуждения (Платон).

Много позднее, когда в Европе стала обиходной позиционная нумерация, математика вновь алгебраизируется и философия вслед за ней.

В развитии математики в Новое время существовавшая техника вычислений также оказывала существенное влияние на развитие науки. Так, формирование теории рядов и осознание возможности вычисления любой функции со сколь угодно высокой точностью способствовало развитию теории функций и свободному применению логарифмов.

В наше время, когда вычислительная техника позволяет не только обрабатывать большие массивы данных, но и быстро производить большие объемы точных вычислений, новую жизнь получили давно изобретенные численные методы. Так, метод Эйлера интегрирования дифференциальных уравнений развился в методы Рунге-Кутта различных порядков.

А, например, методы численного интегрирования, такие, как метод Монте-Карло, вообще не имели бы без наличия вычислительной техники права на существование.

Развиваются новые методы комбинаторной и дискретной математики, которые в полном виде не реализуемы без использования вычислительной техники.

Описывающие реальные процессы системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных практически никогда не допускают полного математического анализа. Однако, не имея возможности установить условия существования и единственности решения, современные исследователи получают численными методами достаточно точные решения задач. Точно так же исследование стохастических процессов, описывающих поведение сложных систем, проводится с помощью компьютерного моделирования.

Постепенно меняется подход к методам доказательства математических фактов. Так, решение задачи о раскраске карты было сделано с использованием машинного перебора большого количества вариантов структуры карты. Возможно, уже в ближайшее время получит право на законное существование доказательство, состоящее из текста программы и распечатки результата ее работы.

Содержание представленной статьи обсуждалось с профессором И.Г. Башмаковой. Автор также выражает признательность за ценные советы и содержательное обсуждение вопроса проф.

А.С. Братусю, И.Х. Сигалу, Р.З. Гушель и участникам семинара по истории математики МГУ.

1. Аристотель. Первая Аналитика // Сочинения в трех томах.

М., 1978. Т. 2.

2. Брестед Д., Тураев Б. История древнего Египта. Мн., 2003.

3. Бычков С.Н. Египетская геометрия и греческая наука // Историко-математические исследования. М., 2001. Вып. 6(41).

С. 277–284.

4. Жаров В.К. О “Введении” к трактату “Чжу Шицзе Суань сюе ци Мэн” // ИМИ. М., 2001. Вып. 6(41). С. 347–353.

5. Жаров В.К. Развитие методов преподавания традиционной китайской математики. М., 2002.

6. Рыбаков Б.А. Архитектурная математика древнерусских зодчих // Б.А. Рыбаков. Из истории культуры древней Руси. Исследования и заметки. Изд-во Московского университета, 1984.

С. 82–104.

Локоть Н.В. Годы и судьбы: русский институт в Белграде 7. Рыбаков Б.А. Мерило новгородского зодчего XIII в. // Б.А. Рыбаков. Из истории культуры древней Руси. Исследования и заметки. Изд-во Московского университета, 1984. С. 105–118.

8. Bibhutibhusan Datta. The Science of the Sulba. 1932.

9. Ifran G. Histoire universelle des chires. T. 1–2. Paris, 1994.

10. Proclus. A commentery on the rst book of the Euclid’s Elements.

Transl. By G.N.Morrow. Princeton, 1970.

Годы и судьбы: русский институт в Белграде Н.В. Локоть Восемьдесят пять лет в жизни человека – это почти все отведенное ему земное существование; восемь с половиной десятков лет в жизни цивилизации – это миг, но порой этот миг перестраивает судьбы людей и стран. В этом году среди знаменательных дат была еще одна, которую нужно вспомнить: ровно 85 лет назад в Париже была образована Русская Академическая группа, в состав которой вошли ученые-эмигранты из России.

Через некоторое время после революции правительство большевиков, по существу, начало высылку интеллигенции из страны.

Огромное число ученых разных научных направлений вынуждено было покинуть родину “легально” или “нелегально”. Одни уезжали с глубочайшей горечью и, порой, непониманием происходящего:

почему их труд на поприще науки, образования, культуры не нужен России. Другие, осознанно владея ситуацией, понимали необходимость выезда, но все равно, еще надеясь на что-то, пытались наладить подобие прежней жизни на “островках”, где еще не было большевиков.

Вот пример одной из многих тысяч судеб, характерный для того времени: Федор Васильевич Тарановский (1875–1936) – уроженец Плоцка, воспитанник юридического факультета Варшавского университета; получил в 1917 году кафедру в Петроградском университете, но в связи с начавшимся террором и гонениями работать не смог и вместе с рядом столичных ученых бежал на юг, долго скитался, уклоняясь от предложенного ему поста министра в гетьманском правительстве. Затем “... он принял звание члена Украинской АН, возглавляемой тогда В.И. Вернадским, и деятельно участвовал в попытке сохранить или наладить настоящую академическую работу в Киеве, Полтаве, Харькове, Екатеринославе и Симферополе. После крушения белого движения он без колебания предпочел горечь изгнания рабскому прозябанию под игом большевиков. В 1920 году Ф.В. эмигрирует с семьей из России. За рубежом ему представилась возможность получить кафедру в Варшаве, Софии, Белграде. Он предпочел Белград. В течение 16 лет, до смерти он оставался профессором Белградского университета по пустовавшей до него в течение 17 лет кафедре истории права славянских народов. За это время он проявил совершенно исключительную научную производительность... Внешним выражением признания его ученых заслуг было звание члена трех академий и председателя РНИ в Белграде... он стал исключительным по ширине горизонта историком права в европейском ученом мире” [3. C. IX–XI]. Примерно то же самое можно сказать о биографиях многих русских ученых, волею судеб оказавшихся за пределами России. История русской научной эмиграции сложна, запутана и очень мало изучена. Но ведь уже сложившиеся к началу XX века русские школы в математике, естествознании, медицине, гуманитарных науках, имеющие свои традиции, свои направления, методологию исследований, не могли не повлиять на развитие науки в странах, принявших русскую интеллигенцию. Тема эта находится еще в стадии становления в связи с появлением некоторого доступа к документам рассматриваемой эпохи. История русской математической эмиграции достойна изучения и анализа, особенно в наше сложное для науки время. Цель данной статьи – попытка рассмотреть малую толику обозначенной проблемы. В русском журнальном фонде РНБ сохранились “Записки Русского научного института в Белграде (1930– )” (РНИ), которые содержат ценнейшие документы той эпохи [2].

Сведениям об истории создания таких институтов за рубежом мы обязаны историку Е.В. Спекторскому :

“Русские ученые, не принявшие ига большевиков и покинувшие Локоть Н.В. Годы и судьбы: русский институт в Белграде родину, не ограничились приисканием себе заработка на чужбине.

Начиная с 1920 года, по примеру Белградского Общества русских ученых и Парижской Академической группы, они образовали в разных странах профессиональные объединения. На первом зарубежном академическом съезде, состоявшемся в 1921 году в Праге, эти объединения учредили Союз русских академических организаций за границей” [3. C. 3]. Возникающие организации были призваны решать три основные задачи: 1) правозащитную, 2) помощь эмигрантской молодежи в получении образования, 3) сохранение и углубление традиций русской науки, дальнейшее изучение собственного отечества.

“В связи с этою последнею задачею явилась мысль об основании особых русских научных институтов на чужбине. Во исполнение этой мысли и в связи со вторым академическим съездом в 1922 году в Праге был открыт Русский институт, преследующий цель поддержания изучения наук, искусства, литературы, права, хозяйства, истории и природных сил России.... Второй научный институт был основан в Берлине, третий в Белграде” [3. C. 4].

Идея создании такого института возникла еще в 1922 году. В речи на открытии РНИ в Праге его первый председатель – П.И. Новгородцев – говорил о том, что “... есть еще один славянский народ и одно государство, среди которого также возможно сейчас же основание такого института”, имея в виду Сербию, Хорватию и Словению. Это заявление не было голословным: известно, что правительство Югославии пыталось многое сделать, чтобы облегчить чужестранцам тяготы жизни, создав так называемую Державную Комиссию, призванную заботиться об удовлетворении материальных и учебных нужд русских эмигрантов в Югославии. Председателем комиссии был А.И. Белич, президент Сербской АН, питомец Московского университета. Кроме того, под покровительством короля Александра I “была образована особая Культурная Комиссия, поставившая себе задачею содействие русской науке и искусству... Первое организационное собрание Института состоялось 23 июня 1928 г. Торжество открытия Института было приурочено к первому заседанию четвертого съезда русских ученых в Белграде, 16 сентября 1928 г., в большой физической аудитории нового здания университета”.

В торжественной речи председатель РНИ четко определил задачу и направления будущей работы:

“Задача... двоякая – исследовательская и просветительская.

Работа... предполагается в трояком направлении: разработка общих вопросов науки с применением традиций и методов русской науки, изучение прошлого и настоящего России,... и, наконец, изучение страны, гостеприимством которой мы пользуемся....

В задачу института входит также подготовка молодых ученых и печатание научных трудов” [3. C. 6].

Первоначально состав РНИ был немногочислен, на проекте его устава всего 21 подпись, дальнейшее пополнение института происходило путем избрания. Согласно Уставу, члены РНИ делились на почетных, действительных и сотрудников: почетными могли стать лица, оказавшие крупные услуги институту или пользующиеся известностью, благодаря своим выдающимся научным трудам”,... действительными... только лица, занимавшие прежде кафедры в высших учебных заведениях России или состоящие ныне ординарными или экстраординарными профессорами университета Югославии, членами-сотрудниками –... лица, принимающие участие в научных исследованиях” [3. C. 9]. В году Устав был немного изменен: действительными членами РНИ могли быть все занимавшиеся преподаванием в югославских университетах, а также магистры и доктора российских университетов. Институт до 1932 года мог себе позволить приглашать ученых и деятелей искусства и культуры из других стран, давать стипендии молодым ученым, как проживающим в Югославии, так и приглашенным (например, впоследствии известный геометр В.Х. Даватц – стипендиат РНИ). Институт был организован по русским академическим традициям и управлялся Советом. Первым председателем института был избран философ Е.В. Спекторский (1928– 1930), затем его сменил историк права Ф.В. Тарановский (1930– 1936), о жизненном пути которого упоминалось в начале статьи;

в 1936–37 гг. руководил РНИ историк церкви А.П. Добросклонский, с 1938 по 1939 – профессор медицины А.И. Игнатовский. В октябре 1928 года в институте было образовано пять отделений:

Локоть Н.В. Годы и судьбы: русский институт в Белграде философское, языка и литературы, общественных и исторических наук, естественных, агрономических и медицинских наук, математических и технических наук.

У института была своя небольшая библиотека; Народная библиотека Белграда и книгохранилище Сербской Королевской Академии предоставляли свои фонды РНИ, но русскими изданиями ученых обеспечивала, в основном, университетская библиотека Гельсингфорса В институте проводились торжественные публичные собрания, посвященные знаменательным датам и юбилеям, а также закрытые – для бесед с приезжавшими в Белград учеными и писателями (З. Гиппиус, Д. Мережковский, К. Бальмонт (1928);

С. Маслов (1930); И. Северянин, А. Алехин, И. Лапшин (1931)).

Для ознакомления интересующихся и особенно начинающих ученых с методами научной работы, с современным положением отдельных научных дисциплин были организованы семинарии, которыми руководили 17 членов института, читался ряд систематических курсов.

Председателем интересующего нас отделения в 1928–1933 гг.

был инженер-механик Г.Н. Пио-Ульский.

Георгий Николаевич Пио-Ульский (1864–1938) родился в Пскове, окончил Морское Инженерное Училище в Кронштадте (1884) и Николаевскую Морскую Академию по механическому отделению (1890). С 1891 года преподавал в Кронштадтском инженерном училище, затем в институте инженеров путей сообщения, политехническом институте, после революции в Донском и Кубанском политехникумах, а после эвакуации (1920) – в Белградском университете, где являлся ординарным, а после выхода на пенсию в 1928 году – гонорарным профессором. “Специальностью [его] были паровые турбины и термодинамика, по этим наукам Г.Н.

напечатал целый ряд научных трудов и учебников на русском, сербском и иностранных языках. Г.Н. не ограничился преподавательской деятельностью, а, оставаясь в России (до 1919 г.) на действительной службе во флоте (где он достиг чина генералмайора корпуса инженеров-механиков флота), проводил и провел в жизнь применение паровых турбин на военном флоте.... На техническом факультете БУ [он] организовал музей машин и оставил наилучшую память как энергичный организатор, отличный профессор и отзывчивый коллега” [3. C. II–III].

С 1933 года деятельность отделения математики и механики связана с именем выдающегося, но почти не известного в России математика – Николая Николаевича Салтыкова.

“Салтыков Никола (25.9.1872–28.9.1961) – югославский математик. Проф. ун-та в Белграде. Осн. труды по теории дифференциальных уравнений в частных производных. С 1921 года опубликовал ок. 300 работ” – это дословная запись из справочника [1. C. 458]. Именно при изучении вклада Салтыкова в развитие теории дифференциальных уравнений возникла идея рассказать о Русском научном институте в Белграде.

Николай Николаевич Салтыков родился в Вышнем Волочке, учился в Харьковском университете (1891–1895), после его окончания был оставлен для приготовления к профессорскому званию, в Харькове защитил магистерскую (1899) и докторскую (1907) диссертации. В Белград он приехал в 50-летнем возрасте зрелым ученым, имея уже более 20 лет научного стажа и более полусотни опубликованных научных работ по теории дифференциальных уравнений в частных производных, теоретической механике, методике преподавания математики и др.

Будучи уже ординарным профессором Белградского университета, Салтыков входил в первоначальный состав РНИ, участвовал в работе редакционной комиссии, в 1933 году возглавил отделение математики и механики, руководил семинариями, читал курсы лекций для русскоязычных студентов. В белградский период у него появилось еще более 150 научных публикаций. Сербская АН, учитывая огромные заслуги Николая Николаевича в развитии математики, издала в 1947 году его объемную монографию “Методы интегрирования дифференциальных частных уравнений 1 порядка одной неизвестной функции”, в которой были изложены наиважнейшие результаты многолетней работы.

По своему историческому подходу, по методам изложения, по содержанию книга имеет характер энциклопедии: она разошлась по 700 странам, издана на многих языках, а русского издания до сих пор нет!

Локоть Н.В. Годы и судьбы: русский институт в Белграде Основание русских научных организаций за рубежом давало возможность издавать свои труды: многие “русские ученые в эмиграции получили возможность печатать свои научные труды на всевозможных языках до японского включительно и по всем дисциплинам от богословия до радиотехники” [3. C. 24]. Тем не менее, сложности в издательской деятельности научной продукции на русском языке у руководства РНИ были огромны. Спекторский при водит примеры о том, что “на одной из выставок в Праге находилось математическое исследование Н.Я. Подтягина, который домашним способом собственноручно набрал и переплел свою работу... Совершенно готовые к печати труды третьего съезда русских ученых в Праге в 1924 году доныне [1938 г.!] остаются в рукописи. Прекратилась издательская деятельность русских ученых в Берлине. Молодые ученые, желающие получить от русских академических организаций степень магистра или доктора, принуждены представлять свои исследования в рукописном виде... ” [3. C. 24].

На II съезде в Праге (1922) была образована комиссия по изданию трудов русских ученых на родном языке, но за недостатком средств все разработанные ею планы изданий остались на бумаге.

В Белграде же все сложилось иначе. Благодаря “сочувственному отношению Культурной комиссии Югославии”, осенью года в РНИ было утверждено Положение об издании трудов, которое предусматривало “... печатание диссертаций, монографий, в случае возможности – курсов наук, преподаваемых в высших школах, если они представляют известную оригинальность, а также Записок, содержащих научные и критико-библиографические статьи...” [3. C. 25]. Из-за недостатка средств Положение было выполнено частично, но Институту удалось напечатать два тома “Трудов четвертого съезда русских академических организаций за границей” (2-ой том посвящен математическим, техническим и естественным наукам, в нем 13 статей – по математике, технике, физике), первый выпуск “Материалов для библиографии русских научных трудов за рубежом” (1930), четырнадцать выпусков “Записок Русского научного института” (в них 77 из 163 статей посвящены математике и естеГлава 4. История и философия математики ственным наукам). Отметим, что в “Записках РНИ” помещались работы не только его членов и авторов, проживающих в Югославии, но и русских ученых из Франции, Германии, Чехословакии, Америки, что придает этому изданию “характер ученого органа всей русской эмиграции” [3. C. 25].

По случаю празднования десятилетия РНИ Совет постановил издать II выпуск библиографических “Материалов”, а также “собрать автобиографии членов Института с их фотографическими карточками. Институт вступает во второе десятилетие своего существования с верою, что ему и впредь удастся работать в том направлении, которое определилось в течение первого десятилетия.

Будущие историки русской эмиграции выяснят, какова культурная ценность этой работы” [3. C. 27].

1. Бородин А.И., Бугай А.С. Выдающиеся математики. Киев: Радяньска школа, 1987.

2. Записки Русского научного института в Белграде. 1930–1939.

Вып. 1–14.

3. Спекторский Е.В. Десятилетие Русского научного института в Белграде // Записки Русского научного института в Белграде.

1939. Вып. 14. С. 3–35.

4. Локоть Н.В. Забытые имена: Николай Николаевич Салтыков (1872-1961) // История науки в вузе и школе. Мурманск, 1996.

Вып. III. С. 14–40.

О профессиональной направленности курса истории математики в педвузе Г.Н. Никитина Один из выдающихся математиков ХХ века, А.Н. Колмогоров выделил четыре периода в истории развития математики: первый период – зарождение математики (от глубокой древности до VI– V вв. до н.э.); второй период – период элементарной математики Никитина Г.Н. О профессиональной направленности курса истории математики в педвузе (от VI–V вв. до н.э. до XVI в.); третий период – период создания математики переменных величин (от XVI в. до середины XIX в.) и четвертый период – современная математика (от середины XIX в.

и до наших дней).

Для нас особенно важным является второй период. Этот период является периодом математики постоянных величин, периодом создания глубокой научной теории. Именно в этот период были разработаны все традиционные разделы современной школьной математики. Поэтому читаемый нами курс истории математики в основном посвящен данному периоду.

Это в некоторой мере обеспечивает соблюдение принципа профессионально-педагогической направленности при обучении истории математики студентов в педвузе. Основным условием профессиональной направленности в обучении является, как известно, мотивационное обеспечение всей учебной работы и каждой отдельно взятой темы изучаемой дисциплины.

Существуют различные подходы к чтению курса истории математики в педвузе. Мы апробировали два их них: горизонтальный – по основным цивилизациям (Древний Египет, Вавилон, Древняя Греция, Эллинистические страны, Китай, Индия, страны ислама) и вертикальный – по содержательно-методическим линиям школьного курса математики. Остановимся более подробно на втором подходе.

Перечень основных содержательно-методических линий школьного курса математики регламентируется программой для общеобразовательной школы, в соответствии с которой рассматриваются следующие содержательные линии:

– числа и величины;

– выражения и преобразования;

– уравнения и неравенства;

– функции;

– геометрические фигуры и их свойства; измерение геометрических величин.

Знакомство студентов с историей развития каждой содержательнометодической линии школьного курса математики и является, на наш взгляд, важной предпосылкой создания положительной мотиГлава 4. История и философия математики вации к учению, а также развитию у студентов интереса не только к истории математики, но и к самой математике.

Опыт работы показывает, что эффективным средством профессиональной направленности в обучении истории математики является обогащение методической копилки будущего учителя математики интересными историческими задачами и их реконструкциями. Проиллюстрируем это на примерах.

При изложении истории развития содержательно-методической линии “Числа и величины” мы подробно останавливаемся на системах счисления и вычислительной технике у разных народов. Так, на первый взгляд кажется, что рисование египетских иероглифов, таких как мерная палка, путы для стреноживания коров, веревка для обмера полей, цветок лотоса, указательный палец, лягушка, удивленный человек и, наконец, солнце, которые соответствуют числам 10n, где n {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, является потерей бесценного времени. Однако, как оказалось, именно этот материал во время активной педагогической практики студенты наиболее часто используют на кружковых занятиях по математике с учащимися среднего звена. У учащихся 5–6 классов вызывают интерес не только способы написания чисел у разных народов, но и их вычислительная техника: умножение и деление по-египетски, вавилонские таблицы умножения, индийский алгоритм умножения многозначных чисел и др. При этом учащиеся знакомятся с различными принципами записи чисел: аддитивным, субстрактивным и мультипликативным. Они узнают о различных системах счисления: непозиционных и позиционных, в том числе и о первой в истории науки позиционной вавилонской шестидесятеричной системе счисления. Вместе с тем они знакомятся с историей так называемой арабской системы счисления, которой пользуются в настоящее время большинство народов.

Что касается техники вычислений, то индийский алгоритм умножения никого не оставляет равнодушными: ни студентов, ни учащихся. Напомним этот алгоритм.

Счетную доску, на которой работали индийцы, расчерчивали на сетку прямоугольников, каждый из которых делился пополам диагональю. По сторонам сетки записывали сомножители, промеНикитина Г.Н. О профессиональной направленности курса истории математики в педвузе жуточные произведения писали в треугольниках и затем складывали их по диагоналям. В приведенной ниже таблице умножаются числа 12 538 и 345.

Итак, 12538 · 345 = 4325610.

Содержание данной методической линии также позволяет с исторической точки зрения более глубоко взглянуть на многие математические проблемы. Так изучение истории развития теории действительного числа от Евдокса (IV в. до н.э.), Евклида (III в.

до н.э.), О. Хайяма (XII в.) и ат-Туси (XIII в.) до Р. Дедекинда и К. Вейерштрасса (XIX в.), сравнительный анализ этих теорий, установление аналогий между теориями Евдокса и Дедекинда может служить материалом курсового сочинения. История формирования абстрактного понятия отрицательного числа от математиков Древнего Китая (II в. до н.э.) до Р. Декарта и П. Ферма (XVII в.) также является хорошим материалом для курсовых сочинений по методике преподавания математики.

Другой содержательно-методической линией школьного курса математики, богатой для приложений в будущей профессиональной деятельности, является геометрическая. Опыт работы показывает, что только конкретный фактический материал из курса истории математики дает возможность студенту применить это знание в школе. Начиная с геометрии древних египтян, мы даем студентам не только исторические задачи и их реконструкции с целью подтверждения тех или иных гипотез о математических результатах математиков древности, но и различные гипотезы получения ими всевозможных математических формул. Проиллюстрируем это на гипотезах открытия египтянами точного способа вычисления объема усеченной пирамиды с квадратным основанием:

Как известно, о получении этой формулы в папирусах ничего не сказано. Однако трудно предположить, что она была получена эмпирически. Очевидно, что это можно сделать только логическим путем с использованием геометрических и арифметических рассуждений.

Немецкий историк математики О. Нейгебауэр предложил вывод этой формулы (для усеченной пирамиды частного вида с боковым ребром, перпендикулярным плоскости основания), основанный на разбиении данной пирамиды на четыре многогранника: на параллелепипед, две равных между собой треугольных призмы и четырехугольную пирамиду (рис. 1).

При такой реконструкции следует постулировать умение египтян выполнять некоторые алгебраические преобразования, например, знать формулу (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2. Между тем, явных подтверждений того, что они этим владели, в источниках нет.

Профессор Мордовского университета А.Е. Раик предположила, что этот замечательный результат получен гораздо проще. А именно, разбиением усеченной пирамиды данного вида на четыре пирамиды (рис. 2).

Очевидно, что обе гипотезы являются очень интересными способами решения одной и той же геометрической задачи.

Большой интерес вызывает у студентов история теоремы Пифагора и ее многочисленные применения в задачах математиков Древнего Вавилона, Греции, Китая. Различные способы доказаНикитина Г.Н. О профессиональной направленности курса истории математики в педвузе тельства этой теоремы, в том числе, изящное, красивое доказательство по Евклиду, также часто используются студентами на уроках математики во время их педагогических практик. По отзывам самих студентов привлечение исторического материала на уроках математики вызывает живой интерес у учащихся, а у самих студентов чувство удовлетворенности и радости первых успехов в педагогической деятельности.

Данная содержательно-методическая линия также содержит много проблем, которые можно вынести на рассмотрение в курсовых сочинениях. К ним относятся:

– история теории параллельных линий от III в. до н.э. до XIX в.

(Евклид, ибн-Корра, ал-Хайсам, О. Хайям, ат-Туси, К. Гаусс, Я. Больяи, Н.И. Лобачевский);

– история классических задач на построение: об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга; история числа ;

– теория конических сечений Аполлония и ее роль в математике и математическом естествознании.

Заметим, что изучение “Начал” Евклида, одного из самых знаменитых произведений античных авторов, нами вынесено на семинарское занятие по истории математики. При этом каждый студент, работая с первоисточником, готовит по индивидуальному заданию сообщение на 5–7 минут. Наиболее интересные и полезные с профессиональной точки зрения вопросы выносятся на обсуждение во время занятия. К таким вопросам относятся: постулаты Евклида, первые три предложения “Начал”, конструктивные задачи абсолютной геометрии, золотое сечение, золотой треугольник, построение правильного пятиугольника, вписанного в круг и др.

По содержательно-методической линии “Функции” особый интерес вызывают у студентов интегральные и дифференциальные методы в трудах Архимеда. Подробное рассмотрение примера на вычисление площади первого витка спирали (спирали Архимеда) убедительно показывает, что Архимед фактически строил верхние и нижние интегральные суммы, которые мы сейчас называем суммами Римана и Дарбу. Из работы Архимеда “О спиралях” очевидно следует, что он стоял у истоков дифференциального исчисления, и, по-видимому, о нем говорил в XVII веке один из творцов маГлава 4. История и философия математики тематического анализа И. Ньютон: “Я видел дальше, потому что стоял на плечах гигантов”.

При изучении таких содержательно-методических линий, как “Выражения и преобразования”, “Уравнения и неравенства” также имеется богатейший материал для методических копилок будущих учителей математики. Это и красивые геометрические доказательства основных алгебраических тождеств, и история происхождения и развития многих математических терминов и математической символики, популярные задачи на арифметические и геометрические прогрессии у математиков Древнего Египта и Вавилона. Особый интерес у студентов вызывают различные методы решения уравнений и систем уравнений у разных народов. В том числе китайский метод “Фан-чэн” решения систем уравнений с числом неизвестных n 2, который по существу является хорошо известным методом Гаусса с той лишь разницей, что в процессе решения китайским методом осуществляется процедура преобразования столбцов матрицы, а не ее строк.

Интересен пример решения индийского математики Бхаскары II уравнения x4 2x2 400x = 9999. Прибавляя к обеим частям данного уравнения выражение 400x + 1 + 4x2, он приходит к уравнению (x2 + 1)2 = (2x + 100)2.

По истории развития данных содержательно-методических линий хорошим материалом для курсовых сочинений является изучение по первоисточнику геометрической теории кубических уравнений арабских математиков, в том числе О. Хайяма, а также открытия итальянскими математиками С. Ферро, Н. Тарталья и Д. Кардано (XVI в.) алгоритма решения кубических уравнений в радикалах.

Как известно, первое в истории математики, дошедшее до нас, изложение основ буквенной алгебры содержится в произведении Диофанта “Арифметика” (III в.). Этому произведению также посвящено отдельное семинарское занятие, в процессе подготовки к которому студенты знакомятся не только с началами буквенной символики, но и с методами решения неопределенных уравнений.

Опыт работы показывает, что изложение курса истории математики по содержательно-методическим линиям школьного курса Щетников А.И. К реконструкции итерационного метода решения кубических уравнений у ал-Бируни и Леонардо Пизанского математики с наполнением его содержания конкретными историческими задачами, их решений и реконструкциями этих решений, а также с показом различных точек зрения, различных способов доказательства одной и той же задачи или теоремы, является важным средством осуществления одного из ведущих принципов обучения в педвузе – принципа профессионально-педагогической направленности. Следование этому принципу способствует решению одной из важных задач курса истории математики: создание благоприятствующего эмоционального фона в отношении студентов к профессии учителя математики.

К реконструкции итерационного метода решения кубических уравнений у ал-Бируни и Леонардо Пизанского А.И. Щетников Абу-р-Райхан ал-Бируни при вычислении тригонометрических таблиц в 3 главе III книги “Канона Мас‘уда” (ок. 1030) выполняет приближенное построение правильного девятиугольника [1. Ч. 1.

C. 260] и по ходу этого построения отыскивает приближенные решения кубических уравнений Свой метод отыскания решений он никак не разъясняет. Для уравнения (1.1) найденное приближенное значение положительного корня в шестидесятеричных дробях равно 1;52,45,47,13. Уравнение (1.2) имеет два положительных корня. Исходя из геометрических соображений, Бируни ищет меньший из них – тот, который близок к 1/3 = 0; 20. Найденное им приближенное значение корня равно 0;20,50,16,01. О существовании второго положительного корня, близкого к 3/2, Бируни ничего не говорит, поскольку этот корень его не интересует.

Из истории средневековой математики известно также, что Леонардо Пизанский, известный также под прозвищем Фибоначчи, в трактате “Цветок” (1225) исследовал кубическое уравнение предложенное ему Иоанном Палермским на математическом состязании при дворе императора Фредерика II (см. [2. T. 1. C. 266]).

Сам Иоанн Палермский почти наверняка заимствовал это уравнение из трактата Омара Хайяма “О доказательствах задач алгебры” (1074), где оно приводится как пример одного из видов в классификации кубических уравнений [3. C. 107]. Леонардо Пизанский исследовал уравнение (2) и решил его численно. Найденное им значение корня равно 1;22,07,42,33,04,40. Подобно Бируни, он не разъясняет своего метода. Правдоподобно будет предположить, что Леонардо научился этому методу у математиков Востока во время своих путешествий.

В настоящей статье делается попытка восстановить методы и воспроизвести результаты Бируни и Леонардо. Сразу же сообщим, что реконструированные нами итерационные формулы по виду совпадают с формулами так называемого метода Ньютона (он же – метод касательных). Однако в качестве рабочих средств для их получения мы будем пользоваться не алгебраическими выражениями, раскладываемыми по порядкам малости, как это делал сам Ньютон в “Анализе уравнений с бесконечным числом членов” (1669), но традиционными для античной и средневековой математики плоскими и телесными фигурами “геометрической алгебры”.

Ньютон имеет дело с алгебраическими символами; когда он говорит об отбрасывании членов по их сравнительной малости, эти члены мыслятся им как числа, которыми можно пренебречь в вычислениях по сравнению с другими числами. Математики средневековья, в отличие от Ньютона, мыслили свои уравнения телесно; и их соображения об отбрасывании малых членов должны отсылать не к числовым оценкам, но к геометрической интуиции, согласно которой пространственное тело, его тонкий поверхностный слой (“лист бумаги”), узкая граница этого слоя (“волос”) и короткий конец этой границы (“песчинка”) образуют иерархию последовательно убывающих порядков малости.

При чтении статьи читателю рекомендуется постоянно помнить Щетников А.И. К реконструкции итерационного метода решения кубических уравнений у ал-Бируни и Леонардо Пизанского о том, что мы записываем квадратные и кубические уравнения в привычной нам алгебраической символике, а математики средних веков формулировали эти уравнения словесно. К примеру, уравнения (1.1) и (1.2) у Бируни формулируются так: “единица в сумме с тремя вещами равна кубу вещи” и “куб вещи в сумме с единицей равны трем вещам” [1. Ч. 1. C. 260]. Такие словесные описания сами по себе не могут служить субстратом алгебраических преобразований, и потому они отсылают к изображениям плоских (в случае квадратных уравнений) или телесных (в случае кубических уравнений) фигур, которые и играют роль действительного оперативного материала алгебры.

Надо понимать и то, что для нас кубические уравнения (1.1) и (1.2) представляют собой два варианта одного и того же уравнения, тем более, что одно из них преобразуется в другое заменой x x. Но для средневековых математиков эти два уравнения были существенно различными, поскольку они изображались и решались с помощью разных чертежей, как это будет показано ниже. Само собой разумеется, отрицательные корни уравнений в расчет не принимались, поскольку неизвестное в исходных формулировках выступало как отрезок, сторона квадрата, ребро куба. Точно так же и суммарные величины, стоявшие в правой и левой частях уравнения, изначально считались положительными, поскольку они представляли собой некоторые площади в случае квадратного уравнения и объемы в случае кубического уравнения.

Рассмотрим кубическое уравнение (1.1), которое решал Бируни:

Начнем процесс решения с подбора “вручную” такого x0, чтобы при x = x0 численные значения правой и левой частей не сильно отличались друг от друга. Удобно положить x0 = 2, при этом в левой части получается 8, а в правой части 7, и левая часть превышает правую на 1. Нетрудно понять, что начальное приближение x0 = 2 оказалось завышенным по сравнению с точным значением корня, и его надо уменьшить на некоторую величину.

Будем мыслить это “уменьшение подбираемой вещи” геометриГлава 4. История и философия математики чески: со стоящего в левой части “куба вещи” надо снять гномон толщины, а со стоящего в правой части “тела” с площадью основания 3 и высотой x надо снять пластину объемом 3. Основная идея решения состоит в том, что при вычислении объема гномона мы будем приближено считать, что он складывается из трех квадратных пластин площадью x2 и толщиной ; тем самым объем гномона приближенно равен 3x2 = 12. Величину нужно подобрать так, чтобы объем гномона 12 оказался на единицу больше объема пластины 3:

откуда = 1/9 = 0; 06, 40. Тем самым очередное приближенное значение “вещи” Каждая следующая итерация будет приводить к уравнению для определения толщины гномона, имеющему вид откуда получается итерационная формула Вычисления по этой формуле дают результат Бируни уже на третьем шаге:

Для уравнения (1.2) соответствующая итерационная формула строится аналогичным образом; она имеет вид Щетников А.И. К реконструкции итерационного метода решения кубических уравнений у ал-Бируни и Леонардо Пизанского Стартуя с x0 = 1/3 = 0; 20, мы получаем результат Бируни уже на втором шаге:

Если стартовать с x0 = 3/2 = 1; 30, итерационный процесс будет сходиться ко второму положительному корню уравнения (2.1):

Зададимся теперь вопросом: если Бируни и в самом деле пользовался описанным выше методом, то как он производил оценку точности полученных результатов? На каждой итерации имеет смысл оставлять в результате только верные шестидесятеричные знаки, чтобы не делать лишних вычислений. Но как узнать, сколько найденных знаков являются точными, не выполняя следующей итерации? Возможно, что здесь применялся эмпирически установленный на многих примерах факт удвоения числа верных знаков с каждой следующей итерацией.

Применим этот алгоритм к отысканию положительного корня кубического уравнения (2), которое решал Леонардо Пизанский.

Пусть приближение xn, подставленное в левую часть уравнения (2), дает результат, отличный от 20. Получившаяся разница может быть представлена как x3 + 2x2 + 10xn 20. С другой стороны, мы представляем ее как суммарный объем гномонов всех тел, из которых составляется левая часть уравнения (2). Если пренебречь столбиками сечением 2 и кубиком 3, эта сумма будет приближенно равна (3x2 + 4xn + 10). Отсюда Стартуя с x0 = 1; 30, мы вновь получаем требуемую точность уже на третьем шаге:

Весомым доводом в пользу того, что Бируни и Леонардо могли пользоваться описанным выше методом, служит совпадение результатов вычислений, проведенных в две или три итерации без какого-либо специального подбора начального приближения, с теми результатами, которые сообщают сами эти математики.

С другой стороны, во всей этой истории имеется одна существенная проблема: по нашему методу последовательные приближенные значения должны подходить к корню уравнения (2) снизу, а сам Леонардо получил завышенное приближенное значение корня. Расхождение нашего результата с результатом Леонардо составляет 3 единицы в шестом знаке; при этом истинное значение корня лежит примерно посередине между этими двумя приближениями. И конечно, желательно было бы показать, откуда у Леонардо могло возникнуть отклонение в другую сторону от точного значения.

Ранее попытка реконструировать итерационный метод Леонардо Пизанского была сделана С. Глушковым. В работе [4] им было выдвинуто предположение, что Леонардо вычислял приближенное значение корня, пользуясь методом линейной интерполяции (в средние века этот метод называли правилом двух ложных положений). В соответствующих вычислениях результат Леонардо достигается на 18-й итерации. Думается, что третий шаг итерационного процесса, на котором требуемая точность достигается в нашей реконструкции, является достаточно сильным аргументом в пользу ее большего правдоподобия по сравнению с реконструкцией Глушкова.

Другая реконструкция итерационного метода Леонардо Пизанского описана Б.Л. Ван дер Варденом [5. C. 34]. Он предполагает, что Леонардо мог строить последовательные приближения по схеме Горнера. (Отметим, что сама эта схема для извлечения квадратных и кубических корней была описана под названием “метода Щетников А.И. К реконструкции итерационного метода решения кубических уравнений у ал-Бируни и Леонардо Пизанского небесных элементов” в древнекитайском трактате “Математика в девяти книгах” (II в. до н.э.), а китайские математики Цзу Чунчжи (V в.) и Ван Сяо-тун (VII в.) решали этим методом кубические уравнения [2. T. 1.C. 171].) Так, для уравнения на первом шаге устанавливается, что 1 < x < 2. Затем полагается x = 1 + y/60, что после раскрытия скобок приводит к кубическому уравнению (коэффициенты записаны в шестидесятеричной системе), для которого подбором устанавливается, что 22 < y < 23 (при подборе удобно двигаться сверху, вычитая одну за другой единицы из приближения 7, 00 : 17 24). На следующем шаге точно так же кладется y = 22 + z/60, получается новое кубическое уравнение и отыскиваются целочисленные границы, внутри которых заключено значение z; и так далее.

Проблемная точка у этой реконструкции та же самая, что и у нашей: если бы Леонардо находил приближенные значения корня по этой схеме, то на шестой итерации он неминуемо получил бы результат 1;22,07,42,33,04,38, а у него в шестом шестидесятеричном знаке стоит 40.

В целом вопрос, конечно, нельзя считать окончательно решенным; для его дальнейшего прояснения было бы желательно применить реконструированный в настоящей статье метод к какимнибудь другим уравнениям, решавшимся в средневековой математической литературе. В частности, большой интерес представляли бы примеры численного решения алгебраических уравнений степени выше третьей, так как для них описанная выше процедура “снятия гномона” уже не допускает наглядной геометрической интерпретации и требует формальных алгебраических рассуждений, основанных на использовании таблицы биномиальных коэффициентов.

1. Беруни Абу Райхан. Канон Мас‘уда // Беруни Абу Райхан.

Избранные произведения. Ташкент: Фан, 1973–76. T. 5. Ч. 1–2.

2. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. М.: Наука, 1970. В 3 т.

3. Хаййам ‘Омар. Трактаты. М.: Изд. вост. лит., 1964.

4. Glushkov S. On approximation methods of Leonardo Fibonacci.

Historia Mathematica. 1976. V. 3. P. 291–296.

5. Van der Waerden B.L. A history of algebra: From al-Khwвrizmо to Emmy Noeter. Berlin a. o., Springer, 1985.

Колмогоровские основания математики А.С. Кузичев В основаниях математики выделяются два пути построения теорий (исчислений) первого порядка, формализующих различные разделы математики: хорошо известный путь Фреге и новый путь Колмогорова. Путь Колмогорова характеризуется использованием наивной теории множеств при определении основных (исходных) понятий каждого исчисления; в этой связи ниже выделяется определение 3, вводящее бесконечные классы, бесконечное число которых представляет новый параметр для исследования исчислений (см.

ниже доказательство теоремы 1). Поэтому мы и говорим о колмогоровских (теоретико-множественных) основаниях математики.

Обсуждая с автором проблемы оснований математики, А.Н. Колмогоров не только отметил, что его редукция 1925 года позволяет, используя теоретико-множественную общность, значительно упростить построения и доказательства в основаниях математики, сделав их общепонятными и общедоступными, но и впервые обратил внимание на правила вывода теорий, два этажа (посылки и заключение) которых могут быть основой упрощений. Важно при этом выбрать среди всех эквивалентных выводимых формул подходящие аксиомы для каждой теории.

Эта идея Андрея Николаевича о двухэтажности правил вывода теорий нашла свое выражение ниже в определении 4 перевода (0Кузичев А.С. Колмогоровские основания математики перевода) всех формул каждого фиксированного вывода теории в формулы логики высказываний.

Различные постулаты (аксиомы и правила вывода) всех теорий (исчислений) сформированы на фрегевском пути.

Автором предложена и осуществлена к концу XX века теоретикомножественная колмогоровская перестройка основных понятий, уже построенных по Мендельсону на пути Фреге исчислений.

Следуя А.Н. Колмогорову, центральным понятием каждой теории является бесконечный класс выводов, а не конечный вывод, как принято, начиная с Г. Фреге (1848–1920).

На колмогоровском теоретико-множественном пути впервые найдено доказательство непротиворечивости всех известных (на пути Фреге) теорий первого порядка (редуцируемых по Колмогорову в логику высказываний). Доказательство получено для каждой такой неполной (по Геделю) теории известными школьными комбинаторными средствами.

Результаты работы могут и должны быть внедрены в учебный процесс – преподавать основания наук целесообразно не по Фреге с ограничительными теоремами Геделя о неполноте, как это делается в настоящее время, а теоретико-множественно по Колмогорову без ограничений.

Проблема доказательства непротиворечивости известных аксиоматических теорий первого порядка и схема ее решения на новом колмогоровском направлении в основаниях наук К числу известных аксиоматических теорий относятся формульные исчисления гильбертовского типа, например, арифметика FA Пеано, теории множеств ZF Цермело-Френкеля, теории множеств NBG Неймана-Бернайса-Геделя, теории множеств NF Куайна.

Эти теории, естественно, создавались как непротиворечивые на фрегевском пути оснований математики: для каждой теории все ее постулаты (аксиомы и правила вывода) выбраны так, что множество всех ее выводимых формул не совпадает, как уверены создатели теории, с множеством всех формул ее языка.

Однако доказательство непротиворечивости большинства этих теорий пока не найдено, а для таких, как исчисление FA арифметики Пеано, доказательства весьма громоздки, в них применяются понятия и методы (например, фрагменты теории счетных порядковых чисел), очевидно не формализуемые средствами исчисления FA. Доказательства непротиворечивости исчисления FA получены Г. Генценом (1936, 1938), П.С. Новиковым (1941), К. Шютте (1951) и другими авторами.

Для каждой теории предложить доказательство непротиворечивости – весьма трудная проблема.

Многочисленные попытки ее решения для различных теорий осуществляются и по сегодняшний день на, как думают, “единственном”, фрегевском пути в основаниях математики.

Автор предлагает ее решение для всех известных аксиоматических теорий (редуцируемых по Колмогорову в логику высказываний), благодаря теоретико-множественной перестройке по Колмогорову каждой такой теории (с сохранением всех выбранных на фрегевском направлении ее постулатов), на новом колмогоровском пути в основаниях математики. Предлагается единый алгоритм такой перестройки каждой теории.

Доказательство непротиворечивости теории К осуществляется в два этапа:

первый этап – доказывается теорема 1 о редукции теории К (перестроенной по Колмогорову) в логику высказываний, при этом (в случае доказательства теоремы 1) сама теория К называется редуцируемой (в логику высказываний);

второй этап – доказывается теорема 2 о непротиворечивости теории К.

Теорема 2 доказывается от противного как следствие теоремы 1. Теорема 1 доказывается последовательно по построению всех бесконечных классов A0, A1, A2,... выводов исследуемой теории – непосредственно проверяем индукцией по n (с использованием метода от противного), что в каждом классе an, n 0, нет выводов с правилом МР.

Заметим: если теорема 1 опровергается, то соответствующее множество всех выводов не образует “известную” теорию и не рассматривается.

Кузичев А.С. Колмогоровские основания математики Предлагаемое доказательство непротиворечивости теории К синтаксическое. Выбор постулатов теорий связан и с хорошо известной классической семантикой, прежде всего, логических операторов, логических аксиом и правил вывода каждой теории К.

О роли теорем Геделя о неполноте в основаниях математики В основаниях математики (на фрегевском пути) широко известны теоремы Геделя 1931 года о неполноте богатых по выразительным возможностям теорий первого порядка. Из них, в частности, следует, что доказательство непротиворечивости каждой такой теории К должно использовать невыразимые в К идеи или методы.

Д. Гильберт, все авторы и исследователи этих теорий уверены в их непротиворечивости. Но ее доказательство для многих известных теорий пока не найдено, а для таких, как исчисление FA арифметики Пеано, доказательства весьма громоздки, используют теоретико-множественную индукцию.

Теоремы Геделя и следствие из них полностью обоснованы (доказаны). Никаких сомнений, казалось, нет. Более того, у многих сомневавшихся находились конкретные ошибки.

Я был потрясен, когда узнал, что А.Н. Колмогоров относит себя к сомневающимся в теоремах Геделя о неполноте. Нет, он не оспаривал результаты Геделя, относящиеся к конкретным исследуемым теориям, но он не верил в распространение этих теорем без доказательства на все известные теории при любых их построениях. Он так и говорил мне: “А где доказательство?” Действительно, нет доказательства, что теоремы Геделя распространяются всеобъемлющим образом на все основания математики. А без доказательства Колмогоров не мог признать истинным обобщение этих теорем на все теории.

Надо сказать, что и сам Гедель выражал некоторое сомнение в величии и универсальности своих результатов о неполноте, особенно следствий из них [1].

Биограф Геделя Г. Крайзель пишет, что “вопреки усилиям...

представить результаты Геделя как сенсацию, эти результаты не оказали революционизирующего влияния ни на представление больГлава 4. История и философия математики шинства работающих математиков о своей науке, ни тем более на их практическую деятельность. Во всяком случае, их влияние намного меньше, чем влияние внутреннего развития самой математики” [1. Вып. 2(260). C. 175]; выделено мною – А.С.К.

А как мы преподаем основания не только математики, но и всех наук, особенно теоретических? Принято почти в самом начале соответствующих курсов или семинаров ссылаться на теоремы Геделя о неполноте (часто даже не формулируя их) как на ограничительные – запрещающие многое сделать в рассматриваемой области знания (как будто эти запреты в них доказаны или доказуемо следуют из них). Так, А. Тьюринг восклицает: “Может ли машина мыслить?” И отвечает, по существу ссылаясь на теоремы Геделя, что человек такую мыслящую машину (даже теоретически) создать не может (см., например, работу А. Тьюринга [2]).

Взгляды Колмогорова на теоремы Геделя о неполноте перевернули всю мою жизнь, особенно учитывая догматическую веру в эти теоремы моих ближайших родственников, коллег, учеников и подавляющего большинства математиков.

В нашей педагогической практике такая догматическая вера в теоремы Геделя и следствия из них по существу навязывается всем учащимся; доказательства, весьма громоздкие и сложные, разбираются лишь на узкоспециальных занятиях с небольшим числом заинтересованных студентов, да и в основном, как я сейчас глубоко убежден, занятия эти проводятся фактически с целью не разобрать все возможные случаи (что малореально), а только усилить веру в результаты Геделя и их обобщения.

Взгляды Колмогорова относительно теорем Геделя были мало известны. Они никогда им не публиковались (хотя, возможно, запечатлены в рукописных архивах). Под руководством Колмогорова я работал с января 1980 по октябрь 1987 года, когда Андрей Николаевич заведовал кафедрой математической логики механикоматематического факультета МГУ (я был сотрудником этой кафедры). По поводу теорем Геделя я спорил с Андреем Николаевичем, однако, следуя его рекомендациям, изучал различные теории, прежде всего теоретико-множественные.

В результате мною впервые были найдены доказательства непроКузичев А.С. Колмогоровские основания математики тиворечивости многих известных теорий – доказательство непротиворечивости каждой теории строится секвенциально по Генцену на основе неразрешимого алгоритмического (но не логического!) аппарата одного из комбинаторно полных исчислений Шейнфинкеля-Карри-Черча, представляющего бестиповым образом неограниченное теоретико-множественное свертывание Кантора; многим такие доказательства кажутся (без предъявления серьезных математических обоснований), особенно в силу их длиннот, очевидно противоречащими теоремам Геделя о неполноте.

Мои результаты после обсуждений А.Н. Колмогоров представлял в печать – работы опубликованы в Докладах Академии наук и других изданиях [3–12] (см. библ. 4–12 в [13] и библ. 33, 38–44 в [11]).

Андрей Николаевич подчеркивал значимость полученных результатов. Он не только отмечал при этом, что его редукция 1925 года (см. [14]) позволяет, используя теоретико-множественную общность, значительно упростить построения и доказательства, сделав их общепонятными и общедоступными, но и впервые обратил внимание на правила вывода теорий, два этажа (посылки и заключение) которых могут быть основой упрощений. Важно при этом выбрать среди всех эквивалентных выводимых формул подходящие аксиомы для каждой теории.

Только к концу XX века я понял, что А.Н. Колмогоров был прав в своих сомнениях относительно роли теорем Геделя в основаниях наук. Я не только понял, но и в [15] и настоящей работе излагаю вариант теоретико-множественной перестройки по Колмогорову каждой известной теории К (с сохранением выбранных ее постулатов), предложенный мною в соответствии с идеями и рекомендациями Андрея Николаевича. Изложение результатов в [15] ведется на примере классической формальной арифметики FA, сформулированной в [16] по Мендельсону.

В целом математика развивается теоретико-множественно. Ее разделы формализуются в виде аксиоматических теорий первого порядка. Однако в основе каждой теории лежит конечный объект – вывод. Такой путь исследования теорий восходит к трудам Готлоба Фреге.

Что будет, если центральным понятием теории считать не конечный, а бесконечный объект – класс выводов? Ответ на этот вопрос получаем, следуя идеям и рекомендациям А.Н. Колмогорова:

становится возможным доказать непротиворечивость всех аксиоматических теорий первого порядка (редуцируемых по Колмогорову в логику высказываний).

Доказательство непротиворечивости каждой известной аксиоматической теории К первого порядка, построенной в [15, 16] на фрегевском пути по Мендельсону и редуцируемой по Колмогорову в логику высказываний Настоящая работа содержит для теории К принципиально новые определения, формулировки и доказательства предложений из [15], а также комментарии к ним. Эти предложения, как и в [15], рассматриваются так же детально с целью убедить читателей в важности нового колмогоровского направления в основаниях современной науки.

Определение 1. Каждую формулу (языка теории К) вида x1...(xn ((A A))...), где n 0, назовем W-формулой.

Определение 2. Каждую формулу (языка теории К) вида T H назовем Выделенной формулой, если T не является Wформулой, а Н есть W-формула.

Замечание о выборе собственных аксиом теории К:

Если С есть Выделенная формула языка теории К, то в качестве собственной аксиомы теории К (не уменьшая общности) объявляется не она, а эквивалентная ей формула С, не являющаяся Выделенной.

Очевидно, что число всех аксиом теории К бесконечно и выбраны они на фрегевском пути по Мендельсону (см. [15]).

В [15] приведены все постулаты исчисления формальной арифметики; вообще, по форме теории различаются синтаксически только собственными аксиомами (см. [16]).

Лемма 1. Каждая аксиома (Собственная или Логическая) теории К не является ни W-формулой, ни Выделенной формулой.

Кузичев А.С. Колмогоровские основания математики Доказательство. Лемму 1 доказываем непосредственно, исследуя строение каждой аксиомы теории К и сравнивая ее как слово в алфавите языка теории К с W-формулами и Выделенными формулами теории К.

Лемма 1 доказана.

Подчеркнем, что предложения, аналогичные лемме 1, в литературе ранее автору не встречались.

Лемма 1 доказана комбинаторно на фрегевском пути. Но именно она (см. ниже п. 1 определения 3), по существу, характеризует теоретико-множественную колмогоровскую перестройку основных понятий (прежде всего,введение нового понятия – класса выводов) теории К. Перестройка теории К осуществлена в следующем определении 3.

Определение 3. Индуктивно определим бесконечные классы A0, A1, A2,..., построив (определив) все их элементы – (конечные) выводы теории К так, что каждый вывод D формулы Е входит только в один класс Ak, k 0, в D укажем все его пары.

1. Если Е – аксиома теории К, то считаем: вывод D состоит только из одной формулы Е, и D принадлежит классу A0. В классе A0 других элементов (выводов), кроме всех так введенных, нет.

Парой указанного вывода D из класса A0 считается единственная пара Е, D.

2. Пусть классы A0,..., An определены, n 0. Определим класс An+1.

2.1. Если вывод U формулы Т принадлежит классу An, то считаем, что вывод D формулы = xT, являющийся продолжением вывода U по правилу Gen, принадлежит классу An+1.

Парами вывода D считаются пара Е,D и все пары вывода U.

2.2. Пусть вывод U формулы Т и вывод Y формулы T E хотя бы один принадлежит классу An, а другой принадлежит одному из классов A0,..., An.

Считаем, что вывод D формулы Е, являющийся продолжением выводов U и Y по правилу МР, принадлежит классу An+1.

Парами вывода D считаются (называются) пара Е,D и все пары выводов U и Y. Например, пара,Y в D есть по этому определению пара T E,Y в Y.

Вместо МР пишем МР, если вторая посылка T E правила МР является Выделенной формулой.

2.3. Вывод J формулы S принадлежит классу An+1 тогда и только тогда, когда J определен в п. 2.1 либо в п. 2.2.

3. Считаем, что в множестве М всех выводов теории К других элементов (выводов), кроме указанных в пп. 1 и 2, нет.

Классы A0, A1, A2,... состоящие только из выводов теории К (построенных в пп. 1 и 2), определены.

По заданию каждый из классов A0, A1, A2,... очевидно бесконечен.

Множество М (всех выводов теории К) есть объединение всех классов A0, A1, A2,...

Определение 3 закончено.

Определение 4. Пусть J – фиксированный вывод из множества М всех выводов теории К.

Каждой паре F,В вывода J, по его построению (см. определение 3), сопоставим формулу [F,В] языка L логики высказываний, которую назовем 0-переводом (формулы F из J):

1) в случае каждого правила МР из J, например, вида, указанного в п. 2.2 (определения 3), если МР есть МР, то для пар T E,Y и Е, D в J положим где q есть (R R), R – фиксированная формула языка L логики высказываний;

2) для каждой пары F,В вывода J, для которой 0-перевод в п. 1) не указан, положим Определение 4 закончено.

Далее иногда вместо выражения “формула [F,В] выводима в исчислении L логики высказываний” будем писать (см. теорему 1):

“предложение (1) < F, B > верно”.

Отметим, что в множестве М каждая пара F,В любого вывода J теории К в соответствии с определением 3 есть пара F,В вывода В теории К.

Кузичев А.С. Колмогоровские основания математики Заметим, что в каждом выводе J из множества М, следуя определению 3 (п. 2.2), пара TE,Y в D для указанного в этом определении вывода D (из J) вводится однозначно как пара ТЕ,Y в Y.

Здесь вывод Y принадлежит классу Ak, 0 k n, вывод D принадлежит классу An+1, вывод J принадлежит классу Ar, r n + 1, причем вывод D формулы Е построен продолжением по правилу МР выводов U и Y формул Т и TЕ соответственно, вывод U принадлежит классу At, 0 t n; хотя бы один из двух выводов U и Y обязательно принадлежит классу An.

В фиксированном выводе J не путать указанную пару TE,Y с формулой [TE,Y] логики высказываний, вводимой определением 4 и сопоставляемой указанной паре TE,Y из J (формула [ТЕ,Y] есть по определению 4 либо q, либо q)!

Редукция теории К в логику высказываний L на колмогоровском пути доказана в следующей теореме 1 на основе определений и 4, леммы 1 с использованием метода от противного.

Теорема 1. (о редукции М в L). Предложение (1) < F, B > верно для всех пар F,В каждого вывода из множества М; в М нет выводов с правилом МР *.

Доказательство. Теорему 1 докажем непосредственно по построению выводов (элементов) в множестве М, следуя пп. 1–3 определения 3, то есть теорему 1 докажем индукцией по числу s бесконечных классов A0,..., As (базис: s = 0; шаг индукции: от s = n 1. Прежде всего теорему 1 доказываем для всех выводов из класса A0 при всех их вхождениях в элементы (выводы) из М (s = 0), поскольку на основании леммы 1 аксиомы теории К не являются ни W-формулами, ни Выделенными формулами, их 0переводы q =(R R) выводимы в исчислении L логики высказываний. Базис индукции по s доказан.

2. Шаг индукции. Обратимся к п. 2 определения 3, предполагая теорему 1 уже (по гипотезе индукции) доказанной для всех выводов из классов A0, ..., An, n 0.