«Ярославль 2005 Оглавление Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX столетия Тихомиpов В.М. Некотоpые пpоблемы школьного и унивеpситетского математического обpазования.... 5 Демидов С.С. Рождение ...»

Труды III Колмогоровских чтений

Ярославль 2005

Оглавление

Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX столетия

Тихомиpов В.М. Некотоpые пpоблемы школьного и

унивеpситетского математического обpазования.... 5

Демидов С.С. Рождение Советской математической

школы............................ 14

Гусев В.А., Шевченко В.М. Возможности использования различных видов мышления в школьном математическом образовании.................. 28 43 Глава 2. Математика в ее многообразии Онищик А.Л. Однородные супермногообразия над грассманианом Gr4,2.................... 43 Кулешов С.А. T-стабильность на категории, порожденной исключительной парой.............. Карпов Б.В. Перестройки стабильных систем на поверхностях.......................... Медведева Л.Б. О некоторых вопросах аксонометрии в Pn........................... Никулина Е.В. Вопрос полноты и неполноты проекционных изображений фигур расширенного евклидова n-пространства S n................... Аверинцев М.Б. Взаимодействующие марковские процессы и гиббсовские случайные поля........... Чанков Е.И. p-группы с пятью нелинейными неприводимыми характерами.................. Ройтенберг В.Ш. О нелокальных бифуркациях векторных полей на бутылке Клейна............ Каминский Т.Э., Крюкова А.Л. Дистрибутивность решетки интервальных округлений............ Дондукова Н.Н. Об одном классе геодезических преобразований сасакиевых структур............ Башкин М.А. Однородные супермногообразия с ретрактом CP2222....................... 4 Оглавление Большаков Ю.И., Райхштейн Б. Об одной задаче классификации матриц................... Майоров В.В., Ануфриенко С.Е. Анализ системы сингулярно возмущенных уравнений, описывающих проведение возбуждения по нервному волокну....... Зотиков С.В. О представлении функций из пространства L2 их интегралами Фурье.............. Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе Бурлакова Т.В. О формировании индивидуального стиля деятельности студентов-математиков в процессе методической подготовки................. Бычков С.Н. О методологических проблемах преподавания элементов комбинаторикии теории вероятностей студентам гуманитарных специальностей..... Потоскуев Е.В. О новом федеральном учебно-методическом комплекте по стереометрии для 10–11 классов с углубленным и профильным изучением математики..... Розов Н.Х. Проблема размещения новых понятий и объектов в школьном курсе математики......... Малова И.Е. Принцип субъектной значимости методической подготовки учителя............... Кучугурова Н.Д. Особенности подготовки учителя математики для работы в профильных классах.... Кучугурова Н.Д. Формирование исследовательских умений будущего учителя в процессе изучения истории математики....................... Кваша О.В. Учащийся – субъект учебной диагностики Котова И.А. Совершенствование организации деятельности учащихся на уроках математики....... Голиков А.И., Розов Н.Х. А.Н. Колмогоров о развитии математических способностей............ Павлидис В.Д. К вопросу о преподавании математики в реальных училищах Оренбургского учебного округа............................ Оглавление Тестов В.А. Болонский процесс и стратегия математического образования................... Капустина Т.В. Структура компьютеризированного учебника по геометрии для педагогических вузов... Майорова Н.Л. О некоторых особенностях абитуриентского тестирования................... Беляева Э.С., Потапов А.С., Титоренко С.А. Теория и методика решения уравнений, неравенств и их систем с параметром..................... Луканкин Г.Л., Сергеева Т.Ф. О концепции обучения математике учащихся начальной школы на основе информационно-категориального подхода........ Курочкина К.В. О технологии конструирования процесса обучения математике в технических вузах.... Епифанова Н.М. Учащиеся – авторы задач школьных учебников........................ Трофимец Е.Н., Трофимец В.Я. Дифференциация и интеграция математических знаний в процессе решения профессионально-ориентированных экономических задач............................. Трофимец Е.Н., Трофимец В.Я. Применение имитационного статистического моделирования в процессе обучения математике студентов-экономистов...... Ивашев-Мусатов О.С. О введении в математический анализ............................ Епишева О.Б. Технологический подход к обучению в профессиональном учебном заведении......... Глава 4. История и философия математики Зверкина Г.А. Арифметическая техника и развитие математики......................... Локоть Н.В. Годы и судьбы: русский институт в Белграде............................. Никитина Г.Н. О профессиональной направленности курса истории математики в педвузе........... 6 Оглавление Щетников А.И. К реконструкции итерационного метода решения кубических уравнений у ал-Бируни и Леонардо Пизанского.................... Кузичев А.С. Колмогоровские основания математики Вавилов В.В. О стандарте математического образования в школе им. А.Н. Колмогорова.......... Игнатушина И.В. О некоторых результатах леонарда эйлера по дифференциальной геометрии....... Зубова И.К. Об опыте чтения курса истории математики на физико-математическом факультете оренбургского университета.................. Богун В.В. Математические и астрономические модели архитектуры пирамид Гизы............. Глава 5. История математического образования Синкевич Г.И. О некоторых задачах двойственности Гушель Р.З. Из истории международного движения за реформу математического образования в конце XIX Глава Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX столетия Некотоpые пpоблемы школьного и унивеpситетского математического обpазования В.М. Тихомиpов Введение Математическое обpазование должно, по идее, состоять из тpех компонент: начальной, общей и совpеменной. Но пока оно состоит из двух – начальной (это школа) и общей (это унивеpситет).

Педагогическое обpазование занимает некотоpую пpомежуточную ступень.

Пpогpаммы унивеpситетов давно не изменялись, и наука постепенно удаляется от высших точек унивеpситетского обpазования.

Студент, поступивший в Московский унивеpситет в 1950 году, начиная с тpетьего куpса, изучал совpеменную математику: функциональный анализ был офоpмлен, как научное напpавление в начале 30-х годов, и по тpетьему этажу стаpого здания МГУ pасхаживали классики этой науки – Колмогоpов, Люстеpник, Гельфанд и дpугие. То же можно сказать пpо уpавнения с частными пpоизводными. Рождалось пpогpаммиpование, и оно сpазу входило в обpазование. С тех поp пpошло больше полувека, наука очень стpемительно движется впеpед, а унивеpситетское обpазование эволюциониpует гоpаздо медленнее. Вместе с ним пpитоpмаживает и педагогическое математическое обpазование.

В этой статье мы обсудим положение дел с математическим обpазованием – унивеpситетским и педагогическим и поговорим о пеpспективах их pазвития.

Математика на протяжении всей истории человечества являлась составной частью человеческой культуры, ключoм к познаГлава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX нию окружающего мира, базой научно-технического прогресса, существенным элементом формирования личности. Математическое образование является неотъемлемой частью гуманитарного образования в широком понимании этого термина.

Математическое образование есть благо, на которое имеет право любой человек, и обязанность общества предоставить каждой личности возможность воспользоваться этим правом. В госудаpстенном устpойстве должен осуществляться пpинцип свободы.

Эти общие положения, которые были выдвинуты давно, постепенно должны, с моей точки зрения, стать общепринятыми в любом цивилизованном обществе. Ими следует руководствоваться при обсуждении проблем математического образования.

О школьном математическом обpазовании Математика есть часть общего образования. Математическое образование должно содействовать тому, чтобы каждый школьник получил важнейшие навыки и знания, необходимые ему в дальнейшей жизни и работе. Оно должно включать в себя содержательный, эстетический, психологический, мировоззренческий и прагматический аспекты. Конкретнее это предполагает:

– необходимость для каждого человека с одной стороны освоить навыки логического и алгоритмического мышления (научиться анализировать, отличать гипотезу от факта, критиковать, понимать смысл поставленной задачи, схематизировать, отчетливо выражать свои мысли и т.п.), с другой – развить воображение и интуицию (пространственное представление, способность предвидеть результат и предугадать путь решения и т.д.);

– овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для ориентации в окружающем мире, для подготовки к будущей профессиональной деятельности (ныне ни одна область человеческой деятельности не может обходиться без математики), для поступления в вуз;

– освоение этических принципов человеческого общежития (интеллектуальной честности, объективности, стремления к постижению истины; эти принципы закладываются и другими предметами, но роль математики в осознании их очень велика Тихомиpов В.М. Некотоpые пpоблемы школьного и унивеpситетского математического обpазования и не может быть заменена ничем другим);

– развитие (и это должно происходить во взаимодействии с другими образовательными дисциплинами) эстетического восприятия мира (постижение красоты интеллектуальных достижений, идей и концепций, познание радости творческого труда);

– необходимость тренировок интеллекта, столь же важных для развития мозга, как физическая культура для физического здоровья; эти тренировки призваны способствовать выделению интеллектуально высокоразвитого слоя молодежи, столь существенного для плодотворного развития общества;

– способствование формированию мировоззрения.

– необходимость ориентации человека в информационной и компьютерной технологиях, что осуществляется во взаимодействии с курсом информатики.

Гармоническое развитие личности, контуры которого были описаны выше, в достижении которого математическое образование играет выдающуюся роль, позволит нашей стране решить те труднейшие задачи, которые стоят перед ней и всем человечеством в нынешнем столетии.

Цели школьного математического образования Математическое образование, как и всякое иное, складывается из трех основных компонент: обучения, воспитания и развития.

Цель школьного математического образования – способствование формированию гармонически развитой личности (развитие логических и алгоритмических навыков, воображения и интуиции), обучения конкретным математическими знаниям, умениям и навыкам, необходимым для ориентации в окружающем мире и в будущей профессиональной деятельности на благо общества, освоения смежных дисциплин, продолжения образования), воспитание этических и эстетических принципов, способствованию формированию мировоззрения (представлений об идеях и методах математики и вообще современной науки, о математике, как форме описания и методе познания действительности).

Принципы школьного математического образования Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX Одним из важных принципов построения математического образования является разумный консерватизм, предполагающий взвешенный учет положительного опыта, накопленного отечественным математическим образованием и реалий современного мира.

Руководящей идеей математического образования должна стать индивидуализация образования, реализующаяся индивидуальный в двух формах: индивидуальный подход к личности на всем протяжении образования и предоставление возможности выбора типа математического математического образования на заключительном его этапе.

Последнее предполагает выделение профилирующего цикла.

Общеобразовательная функция математики призвана способствовать гармоническому развитию личности. Социальная значимость собственно математического образования обусловлена необходимостью (для плодотворного развития общества) формирования будущего научно-технического, инженерного, медицинского и гуманитарного потенциала российского общества.

На протяжении всего образовательного процесса необходимо сочетание обучения с воспитанием личности и его интеллектуальным развитием. (которое невозможно без решения задач и продумывания доказательств).

Содержание школьного математического образования В основу содержания математического образования положен принцип премственности, базирующийся на богатейшем отечественном опыте математического образования и просвещения. Принцип преемственности должен сочетаться при этом с современными тенденциями отечественной и зарубежной школы.

Согласно тысячелетней традиции математика в школе делилась на три части: Арифметика (наука о числах), Алгебра (учение о преобразованиях и алгоритмах) и Геометрия (наука о фигурах). Сорок лет назад в школьную математику начал внедряться Анализ (наука об эволюции детерминирoванных процессов). Представляется важным постепенно внедрять в школьную математику Комбинаторику (как существенный фрагмент информатики) и Теорию вероятностей (как науку о законах хаоса). (“Я склонен думать, что Тихомиpов В.М. Некотоpые пpоблемы школьного и унивеpситетского математического обpазования случайность более фундаментальная концепция, чем пpичинность” (М. Боpн).) Таким обpазом, школьное математическое образование должно складываться из следующих основных частей: арифметика, алгебра, геометрия, элементы математического анализа и элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Первые три компоненты заполняют общеобразовательный цикл, в специализированном цикле алгебра и геометрия сочетаются с элементами математического анализа, статистики и теории вероятностей, комбинаторика является опорой информатики.

АРИФМЕТИКА призвана способствовать освоению логики и алгоритмических навыков, ориентации в окружающем мире, получению конкретных знаний, необходимых в будущей деятельности и интеллектуальному развитию.

Программа по арифметике должна содержать понятие о натуральном ряде, об основных арифметических операциях, дробях и действиях с ними, процентах. Обучение должно предполагать решение большого числа текстовых задач арифметическими способами, без форсирования перехода к алгебраическим подходам, и обучение вычислительным навыкам.

Изучение арифметики должно начинаться с самых первых лет обучения.

АЛГЕБРА необходима для развития логики и (особенно) алгоритмических навыков, получения конкретных знаний, необходимых в будущей деятельности и интеллектуального развития.

Программа по алгебре должна содержать овладение алгебраическим подходом, буквенными выражениями и работой с ними, понятиями многочлена и рационального выражения, умения действовать с ними и вычислять их значения, должно быть освоено понятие алгоритма. Программа должна подготовить ко введению показательной и логарифмической функции. Обучение должно предполагать решение текстовых задач алгебраическим методом, решение уравнений и неравенств первой и второй степени.

ГЕОМЕТРИЯ – одна из важнейших компонент математическоГлава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX го образования, необходимая для развития воображения и интуиции, логического мышления, воспитания этических и эстетических принципов, интеллектуального развития и получения конкретных знаний. Соотношение наглядного и логического в изучении геометрии должно соответствовать возрастным возможностям учеников.

Изучение геометрии должно начинаться с самых первых лет обучения.

Программа по геометрии должна содержать ознакомление с линиями и фигурами на плоскости и в пространстве, школьники должны узнавать геометрические фигуры в окружающем мире, изображать их и овладеть понятиями измерения (длин, углов, площадей, объемов).

В основной школе должны изучаться геометрические преобразования и алгебраические описания геометрических объектов (координаты и векторы). Должно происходить ознакомление с понятием доказательства и началами дедуктивного метода. Программа должна подготовить ко введению тригонометрических функций.

Обучение должно предполагать решения задач на вычисление, построение и доказательство.

Арифметика и алгебра с одной стороны и геометрия с другой – две важнейших структуры, два ствола единого дерева математического образования, каждый из которых ориентирован на свой тип мышления.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА необходимы для получения конкретных знаний, формирования мировоззрения и интеллектуального развития.

Программа по анализу должна привить функциональный подход и дать представление об описании процессов (линейного, степенного и экспоненциального роста, периодических процессов и т.п.).

Должны быть достаточно подробно изучены элементарные функции и действия с ними и освоены начала дифференциального исчисления. В специализированных школах должны быть освоены начала интегрального исчисления и дано представление о ньютоновской системе мира.

Тихомиpов В.М. Некотоpые пpоблемы школьного и унивеpситетского математического обpазования

ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

необходимы для получения конкретных знаний и формирования мировоззрения.

Программа должна содержать начала комбинаторики, элементы теории вероятностей и анализа данных.

Детальная разработка содержания и структуры требует отдельного детального рассмотрения и обсуждения.

Вот самая пpедваpительная схема. (Курсивом набраны дополнительные, необязательные, но желательные вопросы.) 1. Арифметика. Натуральные числа и нуль. Сложение и умножение, делимость. Обыкновенные дроби. Целые и рациональные числа. Десятичные дроби и действия с ними. Представление о действительной прямой.

Величины (меры длины, веса, площадей и объемов, времени, скоростей).

Арифметические задачи. Простейшие алгоритмы.

Элементы теории целых чисел. Элементы теории действительного числа.

2. Алгебра. Буквенное исчисление. Уравнения и неравенства.

Прямая и обратная пропорциональность. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Линейные уравнения, квадратные уравнения и решения арифметических задач. Многочлены.

Степени с pациональными показателями.

Понятие об алгебраических структурах (группах, кольцах, полях).

3. Геометрия. Планиметрия и ее основные фигуры (прямые, треугольники, четырехугольники и окружность). Понятие доказательства. Геометрические алгоритмы (построения циркулем и линейкой). Преобразования плоскости (повороты, подобия).

Доказательства дpевнейших теоpем геометpии (Фалеса, Пифагоpа и Евклида): свойств pавнобедpенного тpеугольника, суммы углов тpеугольника, теоpемы Пифагоpа, свойства углов, опиpающихся на хоpду).

Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX Длина и площадь. Арифметическая модель плоскости и векторы.

Фигуры в пространстве (плоскости, сферы, многогранники, цилиндры и конусы). Объем.

Арифметическая модель геометрии. Концепция геометрии и неевклидовы геометрии.

4. Анализ. Элементарные функции: аффинные, квадратичные, полиномы, тригонометрические функции, показательные функции и логарифмы. Теоpемы синусов и косинусов. Алгебраические решения геометрических задач. Понятия производной и интеграла.

Математические модели в естествознании. Математический анализ и законы природы.

5. Комбинаторика и теория вероятностей.

Число сочетаний. Бином Ньютона. Схема Бернулли. Закон больших чисел.

Математика и pеальный миp: детерминизм и хаос в природе и обществе.

Разумеется, в процессе обучения учащийся должен быть ознакомлен с элементами языка математики и математических технических средств: математическими терминами и символами, математической графикой (изображением функций и фигур), буквами латинского и греческого алфавита, начальными сведениями из теории множеств (объединение, пересечение); он должен понимать, что такое алгоритм, что есть математическая истина (логическое следствие из основополагающих истин, принимаемых без доказательства), понимать, что такое контрпример; учащийся должен овладеть элементами техники вычислений (устным счетом, умением пользоваться калькулятором и компьютером).

Учащегося следует ознакомить с элементами творческого процесса, с пониманием того, что достижение цели состоит из точного ее формулирования, осознавания всех средств, которые даны для выполнения задачи и употребления интеллектуальных усилий, ведущих к достижению этой цели. (Хороший пример – построение циркулем и линейкой, когда, скажем, даются линейка, циркуль и карандаш (это средства), рисуются три отрезка a, b и h и ставится цель построить треугольник со сторонами a и b и высотой h, Тихомиpов В.М. Некотоpые пpоблемы школьного и унивеpситетского математического обpазования опущенной на сторону a.) И, конечно, следует знакомить учащихся в творцами науки и историей математики, сопровождая уроки рассказами о том, как развивались греческая математика, математика и естествознание Возрождения, как происходило состязание французской и немецкой школ в XIX веке, как развивалась математика в нашей стране, какими путями шла математика в XX веке (а может быть и пофантазиpовать о том, что нас ждет).

Об унивеpситетском математическом обpазовании Обсуждим две основных идеи, касающиеся унивеpситетского математического обpазования: идея многоступенчатости и тpапециальности.

Это означает, что обpазование, по мнению докладчика, должно слагаться из нескольких стадий, и окончание каждой из них должно завеpшаться пpисуждением соответствкющей степени.

Стадии таковы: бакалавpиат, магистpатуpа, унивеpситетство (пока нет хоpошего теpмина), аспиpантуpа и (в поpядке исключения) доктоpантуpа; степени: бакалавp, магистp, унивеpсант (снова нет слова для человека, получившего диплом об окончании унивеpситета), кандидат, доктор.

Число обучающихся на каждой стадии должно быть подобно тpапеции (тpапециальность): шиpокий пpием (с очень облегченными пpиемными экзаменами), затем существенный конкуpсный отбоp (по специальному госудаpственному экзамену) пpи пеpеходе на новую стадию. (Для мех-мата возможны пеpеходы 1000–500– 250–125).

Должна допускаться возможность, имея некую степень, участвовать в конкуpсе на пpодолжение обpазования.

О содеpжании обpазования Бакалавpиат – двухлетнее обучение тому, чему учат на мех-мате на пеpвых двух куpсах (и учат, в общем, неплохо).

Это анализ 1 и 2, алгебpа, геометpия и шиpоко понимаемая инфоpматика (логика, дискpетная математика, пpогpаммиpование).

Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX По завеpшении – госудаpственный экзамен (письменный и устный).

Магистpатуpа – функциональный анализ (анализ 3), комплексный анализ, уpавнения с частными пpоизводными, пpикладной анализ, теоpия веpоятностей и математическая статистика. Сpок обучения полтоpа года. Для пеpехода на новую ступень – госудаpственный экзамен и пpедоставление на конкурс твоpческой pаботы.

Последняя стадия обучения пpоходит по отделениям типа: совpеменная математика (в сотpудничестве с МИАН), математика и естествознание (в сотpудничестве с естественно-научными институтами РАН), пpикладная математика (в сотpудничестве с пpикладными институтами РАН), математическое обpазование.

Рождение Советской математической школы С.С. Демидов 1. Вместо методологического введения Говоря о математической школе, я не буду здесь вдаваться в методологические тонкости, отсылая интересующегося этими вопросами читателя к специальной литературе, например, к материалам специального выпуска “Историко-математических исследований” [1], составленного из материалов симпозиума о математических школах XIX–XX веков, проходившего в августе 1993 года рамках XIX Международного конгресса по истории науки в Сарагосе (Испания), в частности, к опубликованному в нем моему докладу [2]. Под математической школой я буду понимать “исторически сложившееся сообщество математиков, отмеченное признаками живого организма, ориентированное на открытие нового математического знания и, одновременно, осуществляющее профессиональную подготовку молодых ученых, приобщая их к разработке вопросов, исследуемых в сообществе” [2. C. 9]. В истории математики можно выделить научные школы различных типов и уровней, составляющих определенную иерархию (см. [2]). Советская математическая школа (равно как, скажем, французская или америДемидов С.С. Рождение Советской математической школы канская математические школы ХХ столетия) – одна из ведущих математических школ ХХ века. Это достаточно сложное образование, в свою очередь состоящее из различных школ и направлений, выросших из единого корня и объединенных общей историей. Возникшая в ходе единого процесса развития общность проявляется в ряде специфических черт, позволяющих говорить о ней как о специальном феномене. Советская математическая школа появилась на свет в 30-е годы и громко заявила о себе во второй половине ХХ века [3, 4]. Как возникла эта школа? Какую роль в этом процессе сыграли внутриматематические факторы, в частности, сама логика развития предмета? В какой мере и каким образом воздействовали на этот процесс (или даже может быть определяли?) факторы социальной истории? Попробуем, если и не ответить на эти вопросы, так по крайней мере наметить пути, на которых такие ответы могут быть получены.

2. Математика в России к началу 20-ых годов К началу Первой мировой войны математическая жизнь в стране была на большом подъеме. В Петрограде (так, с началом военных действий стал именоваться Санкт-Петербург) действовала одна из лучших математических школ того времени – школа, основанная П.Л. Чебышевым (1821–1894). Ее результаты по теории вероятностей (А.А. Марков, А.М. Ляпунов), теории устойчивости (А.М. Ляпунов), конструктивной теории функций (А.А. Марков), теории чисел (И.И. Иванов, Я.В. Успенский), математической физике (В.А. Стеклов, Н.М. Гюнтер), теории специальных функций и функций комплексного переменного (Н.Я. Сонин, Ю.В. Сохоцкий) относятся к числу наиболее важных достижений эпохи. Подрастало молодое поколение математиков (Н.М. Крылов, В.И. Смирнов, Я.Д. Тамаркин, А.А. Фридман, А.С. Безикович, И.М. Виноградов), которым предстояло блестящее будущее. Москва уже громко заявила о себе первоклассными результатами по модной тогда теории функций действительного переменного (Д.Ф. Егоров, Н.Н. Лузин и первое поколение их учеников – Д.Е. Меньшов, М.Я. Суслин, А.Я. Хинчин, П.С. Александров). Одновременно продолжали успешно развиваться направления традиционные Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX для первопрестольной – прикладная математика (Н.Е. Жуковский, С.А. Чаплыгин) и дифференциальная геометрия (Б.К. Млодзеевский, Д.Ф. Егоров).

Чрезвычайно оживленной была математическая жизнь в провинции. В Харькове работала основанная В.А. Стекловым школа математической физики, расцветал талант С.Н. Бернштейна.

В Киеве делала первые шаги школа Д.А. Граве (Б.Н. Делоне, О.Ю. Шмидт, А.М. Островский, Н.Г. Чеботарев). Успешно развивались заложенные еще Н.И. Лобачевским геометрические традиции в Казани (А.П. Котельников, Д.Н. Зейлигер). Заметные в Европе математические центры действовали в Варшаве (Д.Д. МордухайБолтовской, В.И. Романовский) (1) и Дерпте (Г.В. Колосов, В.Г. Алексеев, Л.С. Лейбензон). Активно разрабатывались новые математические направления в Одессе (С.О. Шатуновский, В.Ф. Каган). Началось завоевание математиками Сибири: математический центр возник в далеком Томске (Ф.Э. Молин, В.Л. Некрасов).

Разумеется, такое оживление научной жизни требовало и новых форм ее организации. К основанному еще в 1864 году Московскому математическому обществу, добавились Харьковское (1879), Казанское (1880) (2), Петербургское (1890) (3). Общества эти регулярно проводили заседания, вели издательскую деятельность (например, Московское математическое общество выпускало старейший русский математический журнал “Математический сборник”, широкую известность в мире приобрели “Сообщения Харьковского математического общества”).

Большую роль в становлении российского математического сообщества сыграли Всероссийские съезды естествоиспытателей и врачей, первый из которых прошел в 1868 году в Петербурге. Всего их состоялось 13: в обеих столицах, в Киеве, Казани, Варшаве, Одессе. Последний 13-й прошел в 1913 г. в Тифлисе. На каждом из этих съездов работала математическая секция [5], собиравшая большое количество участников, среди которых и ведущие ученые, академики и профессора университетов (активное участие в них принимали П.Л. Чебышев, Н.В. Бугаев, С.В. Ковалевская), и учителя гимназий. Они-то и составляли большинство участников секции. Наряду с научными докладами и сообщениями на секции Демидов С.С. Рождение Советской математической школы звучали доклады и велись жаркие дискуссии о преподавании математики в средней школе. Вопросы средней школы всегда живо интересовали российское математическое сообщество, включая его элиту. Особенно остро эти вопросы встали на пороге ХХ века.

Стала ощущаться потребность в организации специальных съездов преподавателей математики. Первый такой съезд состоялся в Петербурге на стыке 1911 и 1912 годов, второй в Москве на стыке 1913 и 1914 годов. Съезды эти были многочисленны: в первом участвовало 1217, во втором 1200 человек. Среди них и ведущие ученые (К.А. Поссе, В.В. Бобынин, А.В. Васильев, Б.К. Млодзеевский, П.А. Некрасов, С.О. Шатуновский, Д.М. Синцов, В.Ф. Каган, Н.Н. Салтыков, Д.Д. Мордухай-Болтовской, С.Н. Бернштейн), и известные педагоги (А.П. Киселев, С.И. Шохор-Троцкий). Одним из основных вопросов этих съездов стала реформа среднего математического образования, живо обсуждавшаяся тогда в математическом мире. Для разработки ее принципов в 1908 году на Международном математическом конгрессе в Риме была создана Международная комиссия по преподаванию математики. Российские математики приняли деятельное участие в ее работе.

Вообще российские математики активно включились в развернувшееся на рубеже двух веков строительство международного математического сообщества. На международных математических конгрессах мы видим представительные российские делегации (среди вице-президентов Первого международного конгресса математиков, собравшегося в 1897 г. в Цюрихе – Н.В. Бугаев), русские ученые принимали участие во всех крупных международных проектах того времени.

В самой России основные направления деятельности математического сообщества определялась двумя ведущими математическими центрами страны, двумя столицами – Санкт-Петербургом с его Императорской Академией наук и Москвой с ее Математическим обществом. Другие математические центры исторически возникли как их ответвления (исключение составляла разве только Казань(4)) и находились под их большим влиянием. Петербургское же и Московское математические сообщества находились в состоянии устойчивой конфронтации, особенно обострившейся после Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX смерти П.Л. Чебышева. Разница в идеологических настроениях, царивших в обеих сообществах (приверженность православию и монархии, склонность к идеалистической философии и к философствованию вообще, приведшие в итоге к образованию Московской философско-математической школы, с одной стороны, и антирелигиозность, позитивизм, антимонархизм и прозападная ориентация, с другой), связанные с ней различия во взглядах на математику и на приоритеты в ней привели к значительному отчуждению представителей обеих школ, зачастую перераставшему в открытые столкновения (по поводу результатов В.Г. Имшенецкого о дробнорациональных интегралах линейных дифференциальных уравнений в 80-ых–начале 90-ых годах, в связи с результатами С.В. Ковалевской по задаче о движении тела вокруг одной неподвижной точки, между П.А. Некрасовым и А.А. Марковым по вопросам теории вероятностей). Конфронтация между математиками двух столиц породила напряжение, которое во многом определяло климат в российском математическом сообществе.

К 1917 году российская математика была готова к решительному рывку вперед.

Рывок этот обеспечивался значительными достижениями в области теории вероятностей (А.А. Марков, А.М. Ляпунов, С.Н. Бернштейн), математической физики (В.А. Стеклов, Н.М. Гюнтер), теории дифференциальных уравнений обыкновенных (А.М. Ляпунов) и с частными производными (Н.М. Гюнтер, С.Н. Бернштейн), конструктивной теории функций (А.А. Марков, С.Н. Бернштейн), теории чисел (А.А. Марков, Я.В. Успенский), наконец, теории функций действительного переменного (Д.Ф. Егоров, Н.Н. Лузин, Д.Е. Меньшов, М.Я. Суслин, А.Я. Хинчин, П.С. Александров).

Для его осуществления в стране были замечательные научные школы и талантливая молодежь. Особенная творческая атмосфера сложилась в Москве, где вокруг Д.Ф. Егорова и Н.Н. Лузина образовалась быстро развивавшаяся школа – легендарная Лузитания (об этом см., например, [6]). Однако, в процесс этот грубо вмешалась история – в стране началась революция, переросшая в гражданскую войну. Эти события перевернули жизнь общества и нарушили нормальный ход научных исследований.

Демидов С.С. Рождение Советской математической школы 3. Математика и революция Прекращение нормального функционирования институтов власти, бедственная ситуация с продовольствием и топливом поставили университетскую профессуру на грань выживания. Старые и больные быстро сошли в могилу. В 1918 году покончил жизнь самоубийством А.М. Ляпунов. В 1921 не стало Н.Е. Жуковского.

Для более молодых и энергичных наступило время поиска хлеба насущного. Особенно тяжелая ситуация сложилась в обеих столицах. Н.Н. Лузин с учениками (Д.Е. Меньшовым, М.Я. Суслиным, А.Я. Хинчиным) перебрались в Иваново-Вознесенск, где в 1918 г. был организован Политехнический институт, петроградцы (Я.Д. Тамаркин, А.А. Фридман, А.С. Безикович, И.М. Виноградов) спасались в Перми, где в 1916 году был открыт филиал Петербургского университета, ставший в 1917 независимым университетом. Сложная ситуация сложилась на Украине. Однако, несмотря на все трудности, математическая жизнь в стране продолжалась – столь силен был импульс, данный математическим исследованиям в стране предшествующим ходом их развития. А.Я. Хинчин впоследствии писал [7]: “Может быть, в эти первые тяжелые годы революции математика, по чисто внешним причинам, оказалась поставленной в несколько особые условия, позволившие ей развиваться интенсивнее других точных наук: математику не нужно ни лабораторий, ни реактивов; бумага, карандаш и творческие силы – вот предпосылки его научной работы; а если к этому присоединить возможность пользоваться более или менее солидной библиотекой и некоторую долю научного энтузиазма (а это есть почти у каждого математика), то никакая разруха не может остановить его творческой работы. Недостаток текущей литературы в известной степени возмещался неустанным научным общением, которое в эти годы удалось организовать и поддерживать”.

4. Восстановление нормального хода научной жизни в Москве В 1921 году гражданская война закончилась и начала постепенно налаживаться мирная жизнь. Д.Ф. Егоров все время оставался в Москве, не давая угаснуть проявлениям математической жизни. В Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX 1920 году в город вернулся Н.Н. Лузин и возобновились заседания его семинара, на которых вместе с преподавателями В.В. Степановым, П.С. Александровым и П.С. Урысоном принимали участие студенты Н.К. Бари, В.И. Гливенко, Л.Г. Шнирельман, затем к ним присоединился А.Н. Колмогоров, в конце 1921 года – М.А. Лаврентьев, в 1922 – Л.В. Келдыш, Е.А. Леонтович, П.С. Новиков и Г.А. Селиверстов. Вернулись в Москву и включились в работу “старики” – И.И. Привалов, Д.Е. Меньшов и А.Я. Хинчин.

Уже в начале 20-х годов в школе Егорова-Лузина отчетливо проявилась тенденция к расширению тематики исследований. Отправной точкой для работы в новых направлениях стали собственные разработки школы в области метрической теории функций, которая оказывала определяющее влияние и на используемые в новых областях методы.

Еще в годы революции сам Н.Н. Лузин и его ученики (И.И. Привалов, В.В. Голубев, Д.Е. Меньшов, А.Я. Хинчин) начали исследования в области теории функций комплексного переменного; в 1925 году к ним присоединился М.А. Лаврентьев, в свою очередь воспитавший такого ученика как М.В. Келдыш.

П.С. Урысон и П.С. Александров приступили к исследованиям, заложившим основы советской топологической школы. В 1925 году под руководством П.С. Александрова начал работать топологический семинар, из которого вышли такие знаменитые впоследствии математики как А.Н. Тихонов и Л.С. Понтрягин.

В 1923 году А.Я. Хинчин получил первые важные результаты по теории вероятностей. В конце 20-ых–начале 30-ых годов этими вопросами начал заниматься крупнейший русский математик ХХ века А.Н. Колмогоров, в 1933 году предложивший свою знаменитую аксиоматику теории – так начиналась знаменитая Московская школа теории вероятностей.

В те же годы А.Я. Хинчин приступил к исследованиям в области теории чисел. В 1925/26 учебном году он организовал семинар по теории чисел, в котором участвовали молодые тогда А.О. Гельфонд и Л.Г. Шнирельман.

В конце 20-ых–начале 30-ых годов Л.А. Люстерник, Л.Г. Шнирельман, эмигрировавший из Германии А.И. Плеснер и А.Н. КолДемидов С.С. Рождение Советской математической школы могоров заложили основы советской школы функционального анализа, из которой вышел один из крупнейших современных математиков И.М. Гельфанд.

В.В. Степанов вел работу в области теории дифференциальных уравнений. В конце 20-ых к нему присоединились молодые И.Г. Петровский и В.В. Немыцкий.

Д.Ф. Егоров и В.А. Костицын вели работу в области теории интегральных уравнений. Позднее к ним присоединился И.Г. Петровский.

И.И. Жегалкин, А.Н. Колмогоров и впоследствии П.С. Новиков занимались проблемами математической логики.

Если к этому добавить и такие традиционные для Москвы области исследований, как дифференциальная геометрия (Д.Ф. Егоров, С.П. Фиников), обогащенная трудами приехавшего из Одессы В.Ф. Кагана, прикладная математика (С.А. Чаплыгин), и завезенная из Киева учеником Д.А. Граве О.Ю. Шмидтом новая алгебра, к занятиям которой позднее присоединились А.Г. Курош и А.И. Мальцев, а также исследования приехавшего из Киева известного специалиста в области теории вероятностей и математической статистики Е.Е. Слуцкого, а также учесть значимость полученных москвичами в этих направлениях результатов, то можно сказать, что Москва к началу 30-ых годов превратилась в один из ведущих в мире математических центров.

На математиков Москвы, которая с 1918 года стала столицей Советского государства, легла ответственность за возрождение полнокровного математического сообщества во всей стране.

Центрами математической деятельности в Москве выступали тогда Московский университет с образованным при нем в 1922 году Научно-исследовательским институтом математики и механики и Московское математическое общество. Для москвичей это не было чем-то абсолютно новым: роль организатора российского математического сообщества Москва взяла отчасти на себя еще в дореволюционное время, став своего рода противовесом сановному Санкт-Петербургу со снобистской Императорской академией наук. Москвичи, возглавляемые Д.Ф. Егоровым (он был тогда директором указанного Института и президентом Московского маГлава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX тематического общества), приступили к исполнению этой роли. В 1924 году они возобновили издание “Математического сборника” теперь уже как общесоюзного математического журнала (5), начали работу по подготовке издания Полного собрания сочинений Н.И. Лобачевского, наконец, подготовили и в 1927 году провели Всероссийский математический съезд, который прошел чрезвычайно успешно и ознаменовал возрождение регулярной деятельности математического сообщества в масштабах всей страны – на нем было принято решение о проведении в 1930 году Первого всесоюзного съезда математиков в Харькове и создан оргкомитет для его подготовки.

5. Восстановление нормального хода научной жизни в Ленинграде и в других научных центрах СССР Понемногу стабилизировалась ситуация и в Ленинграде, хотя поначалу она оказалась значительно более сложной чем в Москве.

Перенос столицы в Москву резко изменил статус местного математического сообщества. Положение же Академии наук в государстве некоторое время было неопределенным (высказывались даже предложения о ее закрытии, как учреждения, связанного со свергнутой монархией). Ряд математиков (Я.В. Успенский, Я.Д. Тамаркин, Я.А. Шохат, А.С. Безикович) эмигрировал на Запад. Однако к середине 20-ых годов положение Академии и ситуация в ленинградском математическом сообществе начали меняться к лучшему. Существенную роль начал играть созданный в рамках Академии в 1921 году под руководством В.А. Стеклова Физикоматематический институт, из которого позднее выделился Математический институт им. В.А. Стеклова. Этот институт и университет стали учреждениями, вокруг которых формировалось ленинградское математическое сообщество. Наиболее важными направлениями исследований ленинградских математиков стали: математическая физика (В.А. Стеклов, Н.М. Гюнтер, В.И. Смирнов), теория дифференциальных уравнений обыкновенных (А.Н. Крылов, В.И. Смирнов, И.А. Лаппо-Данилевский ) и с частными производными (В.А. Стеклов, Н.М. Гюнтер), теория чисел (И.И. Иванов, Б.Н. Делоне, И.М. Виноградов, Р.О. Кузьмин, Б.А. Венков).

Демидов С.С. Рождение Советской математической школы Подъем математических исследований в 20-е годы мы наблюдаем и на Украине – в Киеве, Харькове и Одессе. Существенную роль здесь играла созданная в 1918 году Всеукраинская академия наук в Киеве. Выдающиеся работы по теории дифференциальных уравнений, конструктивной теории функций и теории вероятностей продолжал публиковать С.Н. Бернштейн. Успешно работали ученики Д.А. Граве (М.Ф. Кравчук, Н.И. Ахиезер, М.Г. Крейн). Делала свои первые шаги школа по нелинейным колебаниям Н.М. Крылова-Н.Н. Боголюбова. Продолжал свои геометрические исследования Д.М. Синцов.

Из других математических центров страны назовем Казань, где успешно развивались исследования по геометрии и куда в 1928 году переехал из Одессы выдающийся алгебраист Н.Г. Чеботарев.

Новым пунктом на математической карте страны стал Тифлис (Г.Н. Николадзе, А.М. Размадзе, Н.И. Мусхелишвили), где в году был открыт университет.

Этот общий подъем математических исследований в СССР стал следствием целого ряда факторов как внутринаучных (важнейший из которых – высокий уровень развития математики, достигнутый в стране в начале ХХ века), так и социальных. Новая власть, идеологией которой стал марксизм, высоко ставила науку и образование, понимаемых, правда, в специфическом марксистском духе.

При этом и наука, и образование должны были быть перестроены на марксистском фундаменте. К тому же новое государство, оказавшееся во враждебном окружении (мировая революция, которую вначале ожидали в ближайшее время, отодвигалась в неопределенное будущее), должно было заботиться о своей обороне. Следовательно, большое значение приобретали научные разработки, обеспечивавшие технический прогресс. В их числе разработки математические. Поэтому после первых лет, потраченных на ведение гражданской войны и борьбу с интервенцией, советская власть начала выстраивать свою политику в области науки и образования.

Снятие сословных и национальных барьеров привело к притоку в высшую школу и затем в науку молодежи, прежде всего молодежи еврейской, которой при старом режиме доступ туда был максимально затруднен.

Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX Однако, это было одной стороной медали. Другой стала новая советская практика, основывающаяся на классовом подходе как в оценке текущих событий, так и выстраивании политики в области народного образования и науки. В высшую школу не должны были допускаться выходцы из эксплуататорских классов. От ученых и преподавателей вузов требовалась перестройка всей деятельности на базе марксистского учения. Отсюда практика чисток в вузах и оголтелые кампании против ученых и педагогов, объявленных буржуазными или монархическими. Примерами таких кампаний в математике могут служить борьба на “Ленинградском математическом фронте” [9], преследование “егоровщины” [10], “дело академика Н.Н. Лузина” [11].

6. Рождение Советской математической школы Процесс дальнейшего развития математических исследований в стране мог пойти далее разными путями. Тот путь, которым ему суждено было последовать, был определен внешними обстоятельствами – планами И.В. Сталина строительства Советской науки.

Согласно этим планам, головной ее организацией (“штабом Советской науки”) должна была стать Академия наук СССР. Это положение закреплялось новым уставом Академии, принятым в 1927 году. Основной задачей Академии провозглашалась задача социалистического строительства. В состав реформируемой Академии включался ряд членов партии. Один из них, избранный в 1929 году “старый большевик” Г.М. Кржижановский, стал ее вице-президентом. Ему и было вменено в обязанность надзирать за Академией. Разумеется, “штаб Советской науки” должен был находиться у вождя “под рукой”. Поэтому в 1934 году президиум Академии был переведен в Москву. Следом были переведены и ряд ведущих институтов. Среди них – Математический институт им. В.А. Стеклова. В Москву переехали С.Н. Бернштейн, Б.Н. Делоне, И.М. Виноградов, Н.Е. Кочин, С.Л. Соболев.

В результате две ведущие национальные школы – Московская и Петербургская-Ленинградская – оказались в одном городе. Волею вождя находившиеся в конфронтации школы были вынуждены жить вместе. Итог такого “общежития” оказался чрезвычайно плоДемидов С.С. Рождение Советской математической школы дотворным. Произошел синтез двух, хотя и имевших общие источники, но в то же время идеологически различных школ. Произошел синтез традиции петербургской школы математической физики (С.Л. Соболев) и московской, восходящей к К.М. Петерсону традиции исследований в области теории дифференциальных уравнений с частными производными (И.Г. Петровский), московского (А.Н. Колмогоров, А.И. Плеснер) и ленинградского (С.Л. Соболев) направлений в функциональном анализе, чебышевской линии развития теории вероятностей, наследником которой выступал С.Н. Бернштейн, с московской, выросшей в недрах метрической теории функций (А.Я. Хинчин, А.Н. Колмогоров), встретились две линии развития теории чисел – чебышевская (И.М. Виноградов) и новая московская (А.Я. Хинчин, А.О. Гельфонд, Л.Г. Шнирельман), две линии развития алгебраических исследований, восходящих к киевской школе Д.А. Граве – московская (О.Ю. Шмидт, А.Г. Курош) и ленинградская (Б.Н. Делоне). Возник мощнейший исследовательский потенциал, объединенный вокруг Математического института им. В.А. Стеклова, механико-математического факультета МГУ и Московского математического общества.

Так в середине 30-ых годов родилась Советская математическая школа – одна из наиболее влиятельных в ХХ веке.

7. Заключение Советской математической школе предстояла еще долгая и непростая жизнь. В конце 30-ых годов начал опускаться железный занавес, и на протяжении многих лет ее развитие проходило в относительной изоляции. Но ее внутренний потенциал оказался настолько велик, что она и в этой ситуации продолжала успешно развиваться. Из тяжелых лет войны, принесших стране, а, следовательно, и ее науке неисчислимые потери, она вышла чрезвычайно расширив географию – новые математические центры появились на востоке Европейской части страны, в Сибири, Средней Азии и в Закавказье. Подлинным ее триумфом стал Международный математический конгресс 1966 году, прошедший в Москве и ставший самым представительным за весь ХХ век. На этом конгрессе Советская математическая школа продемонстрировала как широту Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX тематического охвата поля математических исследований, так и силу и глубину своих результатов.

Примечания 1. Варшавский университет был основан в 1869 году. С приближением к Варшаве театра военных действий Первой мировой войны он был эвакуирован в Ростов-на-Дону и так там и остался.

2. Оно было организовано вначале как физико-математическая секция Казанского общества естествоиспытателей. В 1890 году секция была преобразована в самостоятельное физико-математическое общество.

3. Работало до 1905 года. В 20-е годы в Ленинграде А.В. Васильевым была сделана попытка организации физико-математического общества, которое просуществовало несколько лет. Полноценное математическое общество возродилось в Ленинграде лишь в 1959 году.

4. Дерпт или, как он тогда стал именоваться, Юрьев после известных правительственных действий по русификации края потерял свою пронемецкую ориентацию и в математическом отношении стал продолжением Москвы и Петербурга.

5. И даже международного – в возобновленном “Математическом сборнике” можно было печатать статьи не только по-русски, но также на французском, немецком, итальянском и английском языках. В журнале стали активно печататься зарубежные авторы. Среди них мы видим Э. Картана, М. Фреше, Б. Гамбье, Ж. Адамара, Х. Хопфа, С. Лефшеца, Р. Мизеса, Э. Нетер, В. Серпинского, Л. Тонелли [8].

6. Вот как об этом вспоминал один из наиболее видных участников событий Б.Н. Делоне [12. C. 129]: “И вот между школой Эйлера-Чебышева петербургской и школой Лузина московской – собственно, французской, парижской все время был такой антагонизм, что те этих не понимали, эти – тех ”. Здесь я прерву цитату и замечу, что называть школу Лузина французской – это Демидов С.С. Рождение Советской математической школы большая передержка. Во-первых, у ее истоков кроме Н.Н. Лузина стоял Д.Ф. Егоров, которого к французской школе уж никак не отнесешь. Во-вторых, при всем громадном влиянии французской школы теории функций А. Лебега-Э. Бореля-Р. Бэра на москвичей она имела собственные московские корни в Московской философско-математической школе, что не раз ставили ей в укоры математики-марксисты. И антагонизм двух школ имеет давнее происхождение (об этом см. [13]). Продолжу цитату:

“... эти – тех, пока Академию не перевели в Москву. Когда в тридцать четвертом или тридцать пятом, в начале, перевели Академию в Москву, мы начали сближаться, и вот из этого сближения обеих школ и получилось, ну, вот то, что мы сейчас называем советская математика”.

1. Демидов С.С., Ормигон М. (Ред.) Историко-математические исследования. 2-я серия. Специальный выпуск. Москва. 1997.

2. Demidov S.S. L’histoire des mathmatiques en Russie et en U.R.S.S. en tant qu’histoire des coles. В кн. [1. P. 9–21].

3. Боголюбов Н.Н. Успехи советской математической школы // Вестник Академии наук СССР. 1966. № 7. С. 37–42.

4. Боголюбов Н.Н., Мергелян С.Н. Советская математическая школа. Москва: Знание, 1967.

5. Киро С.Н. Математика на съездах русских естествоиспытателей и врачей // Историко-математические исследования. 1958.

Вып. 11. С. 133–158.

6. Zdravkovska S., Duren P. (Eds.) Golden Years of Moscow Mathematics. Providence, Rhode Island: Ed. AMS. 1993.

7. Хинчин А.Я. Математика // Десять лет Советской науке. Под ред. Ф.Н. Петрова. М.-Л., 1927.

8. Demidov S.S. La revue “Matematicheskii Sbornik” dans les annees 1866–1935. In: E. Ausejo, M. Hormigon (Eds.) Messengers of Mathematics: European Mathematical Journals (1800–1946).

Zaragoza, 1993. P. 235–256.

Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX 9. Ермолаева Н.С. О так называемом “Ленинградском математическом фронте” // Труды Санкт-Петербургского математического общества. 1998. Т. 5. С. 380–394.

10. Демидов С.С. Профессор Московского университета Д.Ф. Егоров и имеславие в России в первой трети ХХ века // Историкоматематические исследования. 1999. 2-я серия. Вып. 4 (39).

С. 123–155.

11. Демидов С.С., Левшин Б.В. (Ред.) Дело академика Николая Николаевича Лузина. СПб.: РХГИ, 1999.

12. Математики рассказывают. М.: Минувшее, 2005.

13. Demidov S.S. N.V. Bougaiev et la cration de l’Ecole de Moscou de la thorie des fonctions d‘une variable rele. In: M. Folkerts, U. Lindgren. (Eds.) Mathemata. Festschrift fr Helmut Gericke, 1985. S. 651–673.

Возможности использования различных видов мышления в школьном математическом образовании В.А. Гусев, В.М. Шевченко Говоря о мышлении, следует рассмотреть наиболее важные виды мышления, которые выделены в психологии, и с которыми мы постоянно имеем дело при обучении математике.

В книге С.Л. Рубинштейна “Основы общей психологии” мы читаем: “Мышление человека включает в себя мыслительные операции различных видов и уровней... Специфические особенности различных видов мышления обусловлены у разных людей, прежде всего специфичностью задач, которые им приходится разрешать;

они связаны также с индивидуальными особенностями, которые у них складываются в зависимости от характера их деятельности.

В психологии распространена следующая простейшая и несколько условная классификация видов мышления: наглядно-действенное, наглядно-образное и словесно-логическое (теоретическое) мышление” [12. C. 334].

Гусев В.А., Шевченко В.М. Возможности использования различных видов мышления в школьном математическом образовании Охарактеризуем отдельно каждый из данных видов мышления.

В.П. Зинченко и Н.Ю. Вергилес о наглядно-действенном мышлении пишут следующее: “При наглядно-действенном мышлении формируются такие мыслительные операции, как постановка цели, анализ данных условий, соотнесение результатов преобразований с поставленными целями и т.п. Его основная особенность заключается в том, что объектом непосредственных мысленных преобразований служит реальная ситуация. Эта форма мышления является основной и первой ступенью для развития других форм мыслительной деятельности” [4. C. 470].

Наглядно-действенное мышление рассматривается чаще всего как наиболее характерный тип мыслительной деятельности у детей дошкольного и младшего школьного возраста. Отметим при этом, что на ряду с наглядно-действенным, в этот период развиваются и другие виды мышления.

Вот что по этому поводу пишет Б.А. Сосновский: “...нагляднодейственное мышление может иметь место только в том случае, если ребенок непосредственно воспринимает предмет и совершает с ним практические действия. Решение задачи происходит на основе реального преобразования ситуации или предмета”.

Можно выделить следующие основные характеристики нагляднодейственного мышления:

1) основой для процесса формирования наглядно-действенного мышления служит реальная ситуация; этот вид мышления формируется в процессе реального преобразования ситуаций или предметов, 2) в процессе наглядно-действенного мышления учащиеся непосредственно воспринимает предмет и совершает с ним практические действия, 3) при формировании наглядно-действенного мышления основные приемы мыслительной деятельности (анализ, синтез, сравнение, обобщение) осуществляются как практические действия.

За последние годы накоплен существенный опыт развития наглядно-действенного мышления при изучении геометрического материала в начальной школе. В книге “Методика обучения геометрии” [6] описан такой опыт, накопленный Н.С. Подходовой в Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX Санкт-Петербурге, а так же В.А. Панчищиной в Томске. Вместе с тем, предстоит сделать очень много, чтобы понять суть нагляднодейственного мышления и организовать его формирование и использование на уроках математики. В этом процессе, например, при изучении геометрии чрезвычайно важно сформировать у учащихся зрительные образы основных геометрических фигур и дать им первые представления об их изображении.

Перейдем к рассмотрению наглядно-образного вида мышления. А.Б. Сосновский разграничивает первый и второй вид мышления следующим образом: “В отличие от наглядно-действенного мышления человек оперирует не самим предметом, а элементами его образа, которые могут быть представлены в виде рисунка, схемы, модели или внутреннего психического образа объекта. Поиск неизвестного осуществляется через выявление скрытых свойств, связей и возможных преобразований элементов образа объекта.

Теперь, чтобы сложить самолет из отдельных частей, ребенку не обязательно манипулировать с ними. Он может сделать это, рассматривая рисунок конечной фазы или опираясь на динамическую картину последовательных преобразований своих представлений о желаемой цели” [9. C. 212].

О.К. Тихомиров отмечает: “...наглядно-образное мышление играет важную роль в формировании у детей понимания процессов изменения и развития предметов и явлений” [13. C. 9].

Имеется также большое количество исследований, посвященных наглядно-образному мышлению у И.С. Якиманской: “Поскольку образное мышление рассматривалось в педагогической психологии в основном лишь в генетическом плане – как определенная стадия развития мышления, – это привело к недооценке самостоятельной роли этой формы мышления в умственном развитии учащихся. Не учитывалось, что образное мышление само развивается, что оно является равноценной формой интеллектуальной деятельности, имеет довольно сложные формы проявления и разнообразные функции” [16. C. 14].

A. Пуанкаре, анализируя особенности образного мышления, подчеркивал, что оно является наиболее существенным свойством человеческого мышления вообще. В частности, “...способность дейГусев В.А., Шевченко В.М. Возможности использования различных видов мышления в школьном математическом образовании ствовать в соответствии с представлением, умение свободно оперировать образами рассматривается как одно из профессионально важных качеств, необходимых для овладения и успешного осуществления самых разнообразных видов деятельности” [10. C. 112].

Не зря в течение последних лет именно наглядно-образное мышление закалывается в основу изучения школьного курса геометрии, в то время как в течение предыдущих десятилетий были попытки вывести на первое место элементы логического мышления в отрыве от образного.

Все сказанное необходимо осмыслить для применения, например, в преподавании геометрии, черчения, рисования. Ясно одно, что чертежу (рисунку) необходимо уделить больше внимания, чертежи должны быть большие и красивые, выполненные по специальным правилам. Так, в учебниках геометрии В.А. Гусева [1, 2] чертежи даются исключительно в динамике, все проводимые построения никогда не выполняются на одном чертеже. Уже этот простой подход дает большой положительный эффект в восприятии и усвоении учебного материала.

И.С. Якиманская пишет: “Систематизация исследований в данной области позволяет выделить четыре этапа функционирования образного мышления: 1) создание первичного образа (на основе некоторого наглядного материала), 2) создание вторичного образа по памяти, 3) оперирование образами и 4) творческое создание новых образов” [15. C. 12].

В соответствии с исследованиями И.С. Якиманской, опишем четыре этапа наглядно-образного мышления.

“Создание первичного образа на уровне чувственного восприятия не является просто “мысленным фотографированием” реального объекта, “абсолютным” отражением его свойств. В образе закрепляются те признаки объекта, которые воспринимающий субъект считает (сознательно или неосознанно) самыми важными...

...На следующем этапе образного мышления происходит создание вторичного образа. Как правило, оно осуществляется по памяти (при отсутствии реального объекта восприятия или при сознательном отказе от его использования в качестве наглядной опоры)... В результате вторичный образ отражает признаки уже целоГлава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX го класса объектов, т.е., по существу, приближается к понятию...

...На третьем этапе оперирования образами происходит активное преобразование созданных или воспроизведенных по памяти образов. Направление и способы этих преобразований задаются проблемной ситуацией (требованиями задачи) и личными установками воспринимающего субъекта... Это означает, что на этом этапе речь не идет о создании новых образов – они все те же, только меняются комбинации составляющих их элементов...

...На этапе создания новых образов мысленное оперирование образами может стать как бы “самоцелью”. Образы преобразуются под влиянием некоторых ассоциаций, аналогий и т.п. В результате рождаются новые образы, обладающие часто совершенно неожиданными качествами. В этом случае можно говорить об образном воображении” [15. C. 12–14].

Итак, мы рассмотрели обширный материал о двух видах мышления – наглядно-действенном и наглядно образном для того, чтобы понять сущность и важность этих видов мыслительной деятельности в процессе математического образования. Приведем некоторые примеры, связанные с использованием этих видов мышления при обучении геометрии в школе.

Прежде всего, отметим, что во-первых, очень трудно провести четкие границы между наглядно-действенным и нагляднообразным мышлением, а во-вторых, нелегко разграничить этапы функционирования самого наглядно-образного мышления, указанные выше. Совершенно ясно, что при наглядно-действенном мышлении и на первых этапах формирования наглядно-образного мышления, у учащихся должны сложиться наглядные представления о различных геометрических фигурах, а так же умения выполнять простейшие чертежи, на которых эти фигуры будут изображаться.

Не так давно, анализируя систему обычных учебных задач при изучении курса геометрии в основной школе, пришлось констатировать тот факт, что в подавляющем большинстве существующих учебников по геометрии основные понятия формируются плохо.

Так, например, иногда система задач по этой теме начинается с задач о свойствах средней линии трапеции, что конечно, довольно странно. Безусловно, у ученика прежде всего должен быть сфорГусев В.А., Шевченко В.М. Возможности использования различных видов мышления в школьном математическом образовании мирован образ трапеции. Причем, практика показывает, что ученик должен представлять, по крайней мере, два вида трапеции:

“высокую” (рис. 1 а) и “длинную” (рис. 1 б).

Если образы этих видов трапеции у ученика не сформированы, то возникают трудности при решении, например задач такого вида:

“В трапеции проведена биссектриса одного из ее углов...” Причем, в условии задачи не обсуждается вопрос о том, какую из сторон трапеции пересекает эта биссектриса. А ведь в случае, изображенном на рис. 1 а), она пересечет боковую сторону трапеции (рис. 2 а), а в случае, изображенном на рис. 1 б), биссектриса пересечет верхнее основание трапеции (рис. 2 б).

Кроме этого, уже применяя анализ, мы приходим к третьему случаю – когда биссектриса совпадает с диагональю трапеции (рис. 2 в). В геометрии имеется большое число задач на этот случай.

Представляется, что это убедительный пример удачного использования наглядного образа при изучении свойств основных геометрических фигур.

Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX Приведем примеры, когда в школьном курсе геометрии довольно рано необходимо формировать “новые образы”, например, скрещивающихся прямых или трехгранного угла.

Существует метод, позволяющий в ряде случаев преодолеть трудности, связанные с недостаточно развитым геометрическим воображением учащихся. Он состоит в следующем: если пространственная конфигурация трудно воспринимается и не связана с конкретным геометрическим телом, то следует ее связать с какимнибудь вспомогательным телом, например с кубом.

На рис. 3 а хорошо видно, что прямые l и mявляются скрещивающимися. Убрали куб (рис. 3 б), и пространственная наглядность исчезла – мы видим пересекающиеся прямые l и m на плоскости.

Гусев В.А., Шевченко В.М. Возможности использования различных видов мышления в школьном математическом образовании Другой пример. Три луча l, mи n, выходят из одной вершины A1 куба ABCDA1 B1 C1 D1 (рис. 4 а). Ясно, что они представляют собой ребра трехгранного угла. На рис. 4 б куба нет, поэтому картина стала плоской. Чтобы увидеть на ней тот же трехгранный угол, мы должны заставить свое воображение трудиться.

Приведенные примеры полезно рассматривать в обратном порядке. Можно нарисовать рис. 3 б и 4 б и спросить: какие фигуры изображены на этих рисунках и какими свойствами они обладают?

Можно себе представить радость ученика, если он сам или с помощью учителя догадается рассмотреть “вспомогательный куб ” и получить рис. 3 а и 4 а.

Необходимо продолжать исследования проблем, связанных с развитием у учащихся наглядно-действеннного и наглядно-образного видов мышления при обучении геометрии, так как от этого во мноГлава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX гом зависит успех геометрического образования в целом.

Перейдем к рассмотрению третьего вида мышления – словеснологического (теоретического). Б.А. Сосновский по этому поводу пишет следующее: “Данный вид мышления характеризуется еще более глубоким отрывом мышления от реального объекта. Человек начинает оперировать понятиями и логическими конструкциями, функционирующими на базе языка. Он овладевает основными логическими операциями мышления, которые становятся его внутренними мыслительными операциями. К ним относятся анализ, синтез, сравнение, обобщение, абстрагирование, конкретизация” [9. C. 212].

Парадокс заключается в том, что если по наглядно-действенному и наглядно-образному видам мышления все же имеются довольно убедительные исследования, то по поводу словесно-логического мышления, которое пронизывает все обучение математике в школе и вузе, чрезвычайно мало исследований, которые бы могли дать практические рекомендации при обучении математике.

Необходимо тщательно исследовать возможности формирования словесно-логического мышления при изучении математики на разных этапах изучения курса, в разных аспектах его дифференцированного изучения.

Можно привести еще одну классификацию видов мышления, которая довольно близка к приведенной выше. Это классификация Ж. Пиаже, в основании которой лежат возрастные рамки и возрастные особенности учащихся.

Ж. Пиаже выделяет следующие стадии развития мышления:

“1) сенсомоторное мышление (до 2-х лет);

2) дооперационное (до 7 лет);

3) конкретные операции или операционные группировки (до лет);

4) формальные операции или формальное мышление (до лет)” [7. C. 205].

Мы видим, что предложенная классификация Пиаже, с одной стороны, довольно похожа на предложенную выше, а с другой стороны, напрямую связана с возрастными особенностями. Кроме того, Ж. Пиаже и его сторонники накопили интересный материал о Гусев В.А., Шевченко В.М. Возможности использования различных видов мышления в школьном математическом образовании развитии мышления (интеллекта) на первых годах жизни ребенка:

20% интеллекта ребенок приобретает к концу первого года жизни, 50% к четырем годам, 80% к восьми годам, 92% закладывается до 13 лет. Это доказывает, что уже в этом возрасте возможна высокая предсказуемость будущих достижений человека, его индивидуальных особенностей.

Психолог Я.А. Пономарев [8. C. 42] считал, что пик интеллектуального развития достигается уже в 12 лет, но его нельзя смешивать с пиком творческой продуктивности, который наступает много позже, так как высокая продуктивность невозможна без большого багажа знаний, жизненного опыта, целеустремленности и ряда других качеств, которыми еще не обладает подросток.

Из всего сказанного ясно одно: мышление формируется и развивается очень рано. Нам представляется, что мы полностью не оценили этой ситуации, в частности, обучение математике в начальной школе должно включать в себя не какой-либо дополнительный материал, не соответствующий возрастным особенностям учащихся, а должно обязательно содержать материал, который формирует и развивает мыслительную деятельность учащихся. Мы не призываем к увеличению объема изучаемого материала, а считаем необходимым создание соответствующей системы задач и технологии обучения.

Помимо видов мышления, рассмотренных выше, в психологии выделяют: интуитивное, теоретическое, практическое, критическое, творческое, дивергентное, конвергентное и другие виды мышления. Материал по этим видам мышления часто очень противоречив и иногда плохо согласуется с процессом математического образования.

Рассмотрим более подробно творческое мышление, т.к. именно оно самым непосредственным образом связано с процессом математической деятельности.

Характеризуя творческое мышление, Б.А. Сосновский отмечает: “Существует подход, при котором критерием творческого мышления считается создание человеком новых продуктов, обладающих общественной значимостью (объективная новизна). Если с этим согласиться, то подавляющая часть людей окажется в группе Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX “нетворческих”. Более правомерно рассматривать новизну результата по отношению к самому мыслящему человеку (субъективная новизна). Но и этот критерий не отражает всех аспектов творческого мышления, так как не касается особенностей процесса мышления” [9. C. 215].

Безусловно, творческая деятельность, творческое мышление играют огромную роль в различных аспектах математического образования. В этом направлении большой интерес представляют исследования польского математика и педагога М. Клякля: “С одной стороны на математику можно смотреть как на некие “готовые знания”, которые проявляются как набор теорий, понятий, теорем и их доказательств, примеров, алгоритмов и т.п... Читая такие исследования, мы часто увлекаемся красотой, сжатостью, простотой логической конструкции этого “готового здания математических знаний”.

Иногда, к сожалению, именно только такие знания, такая “готовая математика” преподается в школе для заучивания наизусть...

Но у математики есть и другое воплощение, другой облик когда эта наука понимается как некая тонкая, специфическая интеллектуальная деятельность, результатом которой и является “готовая математика”.

По крайней мере, эти два воплощения математики надо уметь различать, если мы хотим охарактеризовать творческое мышление в области математики” [5. C. 34].

В заключение приведем выделенные М. Клякля виды творческой математической деятельности, т.к. на наш взгляд, они создают наиболее полную и ясную картину творческого вида мышления, о котором, как это ни странно, математики говорят очень мало.

1) К первому виду творческой математической деятельности М. Клякля относит выдвижение гипотез и их проверку: “Самой важной характеристикой творческой математической деятельности, связанной с выдвижением гипотез, является понимание учениками того, что разнообразные эмпирические действия такие, как, например, вычисления или использование рисунков, конкретных моделей или рассуждений по аналогии, могут давать право лишь на выдвижение гипотез. Развитие такого понимания требует создаГусев В.А., Шевченко В.М. Возможности использования различных видов мышления в школьном математическом образовании ния таких ситуаций, чтобы в момент, когда учащиеся убеждены в том, что все происходит “несомненно так, как видно”, оказалось бы, что это не так. Именно такие ситуации порождают некую осторожность и ведут к образованию подхода, свойственного математикам:

пока у меня нет доказательства, я могу выдвинуть только гипотезу” [5. C. 53].

2) Существенную роль в творческой математической деятельности играет творческое восприятие, переработка и использование информации. “Творческое восприятие информации заключается в отборе среди многих, одновременно воспринимаемых факторов, такого их множества, которое дает возможность их преобразования в новую информацию, которая становится элементом знаний нового качества. В свою очередь нестандартное использование приобретенных знаний, например в других, новых задачах, является также характерным свойством для каждого творчества, в особенности математического” [5. C. 55].

3) К третьему виду творческой математической деятельности М. Клякля относит перенос (трансферт) метода: “Исходной точкой третьего вида творческой математической деятельности является некоторая проблемная задача. Учащиеся сами или с помощью учителя находят ее решение, которое опирается на какую-то новую идею. Анализ этой идеи позволяет выделить из нее основу, отбрасывая несущественные обстоятельства. Это ведет к осознанию учащимися целого класса задач, для решения которых можно применить полученную идею решения. Для этого класса задач исходный замысел (идея) является надежным методом их решения. Полученный таким образом метод действия можно попытаться применить в других ситуациях, вводя необходимые существенные модификации в предложенный метод. Эти задачи могут быть более общими или только похожими на исходную проблему. Это могут быть также частные или предельные случаи.

В геометрических задачах применение этого вида творческой математической деятельности часто сводится к повышению (или понижению) размерности (например, переход из плоскости в пространство)” [5. C. 56].

4) Последним, но очень важным видом творческой математичеГлава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX ской деятельности учащихся является дисциплина и критичность мышления. “...она направлена на преодоление конфликта между требованиями формального мышления и другими его аспектами, например, интуицией, внушением, моделью или частным случаем, которые мы используем в рассуждениях. Особенно этот вид творческой математической деятельности проявляется в ситуации, когда в рассуждениях (например, в доказательствах) надо пользоваться новыми для учащихся определениями, активно реагировать на появляющиеся противоречия, контролировать свои либо чужие рассуждения, как с логической, так и с математической точек зрения” [5. C. 56].

O.K. Тихомиров показал, что спецификой творческого мышления является “...самостоятельное формирование личностью по ходу мыслительной деятельности новых целей, гипотез, планов, оценок и других новообразований. Под их влиянием исходная цель, сформулированная в вопросе, многократно преобразуется в соответствии с результатами анализа условий задачи. Поиск идет в различных направлениях. Такое мышление именуется дивергентным, в противоположность конвергентному, когда человек ограничивается одним вариантом решения” [13. C 23].

В своем высказывании О.К. Тихомиров говорит о двух, очень важных видах мышления: дивергентном и конвергентном. Следует отметить, что исследованию этих типов мышления посвящено большое количество работ зарубежных психологов. Вот, что по этому поводу написано в “Большом толковом психологическом словаре” А. Ребера: “...дивергентное мышление... характеризуется процессом “движения в разных направлениях”, расхождением идей с тем, чтобы охватить различные аспекты, имеющие отношение к данной проблеме. Такое мышление часто связано с творчеством, так как оно нередко дает новые идеи и решения...

...Конвергентное мышление... характеризуется сведением вместе или синтезом информации и знаний, сосредоточением на решении проблемы. Такое мышление часто связано с решением задач, особенно с проблемами, которые имеют только одно правильное решение” [11. C. 469].

Сформулируем для полноты картины еще одну точку зрения Гусев В.А., Шевченко В.М. Возможности использования различных видов мышления в школьном математическом образовании Дж. Гилфорда: “Дивергентное мышление – процесс создания оригинальных и необычных идей с помощью многовариативного поиска решения проблемы” [17. C. 34].

Представленное краткое описание самой сущности творческого мышления и его разновидностей – дивергентного и конвергентного мышления показывают, что эти виды мышления, а особенно их применение чрезвычайно характерны практически для всех видов математической деятельности.

В книге “Психолого-педагогические основы обучения математике” написано, что “...формирование дивергентного мышления не идет само собой, тем более что “командный стиль обучения”, который преобладал (да и преобладает еще) в системе математического образования, вовсе не способствует развитию такого мышления.

Этим вопросом следует специально заниматься” [3. C. 50].

1. Гусев В.А. Геометрия. 5–6 классы: Учебное пособие. М.: Русское слово, 2002. 256 с.

2. Гусев В.А. Геометрия. 7 класс. М.: Русское слово, 2003. 240 с.

3. Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике. М.: Вербум-М, 2003. 432 с.

4. Зинченко В.П., Вергилес Н.Ю. Формирование зрительного образа. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1969. 106 с.

5. Клякля М. Формирование творческой математической деятельности учащихся в классах с углубленным изучением математики в школах Польши. Плоцк: Риттер, 2003. 223 с.

6. Методика обучения геометрии: Учеб. Пособие для студ. высш.

пед. учеб. заведений / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др. / Под ред. В.А. Гусева. М.: Академия, 2004. 368 с.

7. Пиаже Ж. Избранные психологические труды. М.: Просвещение, 1969. 659 с.

8. Пономарев А.Я. Психология творчества и педагогика. М.: Педагогика, 1976.

Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX 9. Психология: Учебник для педагогических вузов / Под ред.

Б.А. Сосновского. М.: Юрайт-Издат, 2005. 660 с.

10. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1990. 735 с.

11. Ребер А. Большой толковый психологический словарь: В 2 т.

М.: АСТ, 2003. Т.1. 591 с.

12. Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии. СПб.: Питер Ком, 1999. 720 с.

13. Тихомиров О.К. Психология мышления. М.: Академия, 2002.

14. Хинчин А.Я. Педагогические статьи. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963. 204 с.

15. Якиманская И.С. Возрастные и индивидуальные особенности образного мышления. М.: Педагогика, 1989. 221 с.

16. Якиманская И.С. Образное мышление и его место в обучении // Советская педагогика, 1968. № 12. С. 62–71.

17. Guilford J. The Nature of Human Intelligence. New York: Gray Hill, 1968. 284 p.

Глава Математика в ее многообразии Однородные супермногообразия над грассманианом Gr4, А.Л. Онищик Введение В работе рассматривается следующая задача: для заданного комплексного флагового многообразия M = G/P, где G – полупростая комплексная группа Ли и P – ее параболическая подгруппа, описать с точностью до изоморфизма все однородные комплексные супермногообразия (M, O), имеющие M в качестве своей редукции. Эта задача была поставлена Ю.И. Маниным в книге [4] в случае, когда M = Gr4,2 – грассманиан 2-плоскостей в C4. Мы также изучаем здесь только этот частный случай.

Мы решаем задачу при существенных ограничениях на представление подгруппы P, определяющее ретракт супермногообразия (M, O). В расщепимом случае (т.е. в случае, когда (M, O) изоморфно своему ретракту) решение дается для всех вполне приводимых представлений (см. теорему 4), а в нерасщепимом случае предполагается, что неприводимо. Мы доказываем (см. теорему 6), что при этом предположении существует лишь одно нерасщепимое однородное комплексное супермногообразие с редукцией Gr4,2 – это так называемый -симметрический суперграссманиан Gr4|4,2|2, построенный в [4]. Наши методы применимы также в случае, когда вполне приводимо, но нуждаются в существенной модификации, если это условие не выполняется. Примеры, приведенные в [4], показывают, что задача обладает решениями такого типа. Мы надеемся позже вернуться к изучению этого вопроса.

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 04-01-00647), а также грантa НШ-1910.2003.1.

Для других флаговых многообразий задача изучалась при более сильных ограничениях, например, когда фиксируется не только M, но и ретракт искомых супермногообразий (M, O), или когда нечетная часть m размерности n|m = dim(M, O) не превышает заданного числа (обзор некоторых результатов и публикаций см.

в [9]). Упомянем здесь только классификацию всех супермногообразий с ретрактом (M, ), где M – произвольное неприводимое компактное эрмитово симметрическое пространство и – пучок голоморфных дифференциальных форм на M, и выделение однородных супермногообразий этого вида (см. [6]). По-видимому, методы, использованные в настоящей работе, позволят классифицировать все однородные супермногообразия (M, O) в случае, когда M – неприводимое компактное эрмитово симметрическое пространство, а представление, определяющее ретракт, неприводимо.

1. Предварительные сведения о супермногообразиях Мы рассматриваем здесь комплексно аналитические супермногообразия, т.е. Z2 -градуированные окольцованные пространства (M, O), локально изоморфные парам вида (D, Fn (1,..., m )), где D – область в Cn и Fn – пучок голоморфных функций в D (подробности см. в [4]). Такой локальный изоморфизм отождествляет стандартные координаты xi, i = 1,..., n, в D и элементы j, j = 1,..., m, с некоторыми, соответственно четными и нечетными, локальными сечениями пучка O, которые называются четными и нечетными локальными координатами на (M, O). Пучок O называется структурным пучком супермногообразия (M, O).

Пространство M обладает естественной структурой комплексного многообразия размерности n (см. ниже); оно называется редукцией супермногообразия (M, O). Пара n|m называется размерностью супермногообразия (M, O). Простейший способ получить супермногообразие состоит в следующем. Пусть (M, F) – комплексное многообразие размерности n и E M – голоморфное векторное расслоение ранга m. Тогда пучок E голоморфных сечений расслоения E есть локально свободный аналитический пучок на M. Полагая O = F E, мы получим супермногообразие (M, O) размерноОнищик А.Л. Однородные супермногообразия над грассманианом Gr4, сти n|m. В качестве локальных координат на (M, O) можно взять обычные локальные координаты xi,..., xn в координатной окрестности на M вместе с некоторым базисом сечений 1,..., m пучка E над той же окрестностью. Супермногообразие называется расщепимым, если оно изоморфно супермногообразию такого вида.

Структурный пучок O расщепимого супермногообразия обладает Z-градуировкой O = p0 Op, где Op = F E. В дальнейшем мы часто будем опускать нижний индекс F в обозначении внешних степеней, тензорных произведений и т.д. пучков F-модулей.

Имеется важная конструкция, связывающая с произвольным супермногообразием (M, O) некоторое расщепимое супермногообразие. Пусть J O – подпучок идеалов, порожденный нечетными элементами. Рассмотрим фильтрацию пучка O. Присоединенный градуированный пучок где grp O = J p /J p+1, определяет расщепимое супермногообразие (M, gr O). Действительно, gr O F E, где F = gr0 O – структурный пучок редукции M = (M, F), и E = gr1 O. Очевидно, (M, O) и (M, gr O) имеют одну и ту же размерность. Супермногообразие (M, gr O) называется ретрактом супермногообразия (M, O).

Пусть (M, O) – произвольное супермногообразие. Обозначим через T = Der O пучок дифференцирований структурного пучка O; он называется касательным пучком супермногообразия (M, O).

Касательный пучок обладает естественной структурой Z2 -градуированного левого O-модуля. С другой стороны, его можно рассматривать как пучок комплексных супералгебр Ли относительно градуированной скобки Ли Сечения пучка T (голоморфные векторные поля на (M, O)) составляют супералгебру Ли v(M, O) = (M, T ); она конечномерно, если M компактно.

Сделаем теперь несколько замечаний, касающихся векторных полей на расщепимых супермногообразиях. Если (M, O) расщепимо, то Z-градуировка пучка O определяет естественную Z-градуировку в пучке T, превращающую его в Z-градуированный пучок супералгебр Ли. Кроме того, T можно рассматривать как локально свободный аналитический пучок на комплексном многообразии M. Действительно, F O, и поэтому T – пучок F-модулей, т.е.

аналитический пучок на M. Мы имеем следующую точную последовательность локально свободных аналитических пучков на M (см. [5]):

где = Der F – касательный пучок многообразия M. Отображение – это ограничение дифференцирования пучка O на F, а i отождествляет каждый гомоморфизм пучков E E с его продолжением до дифференцирования, равного нулю на F. Отсюда выводится, что аналитический пучок T локально свободен.

Значит, T является пучком голоморфных сечений некоторого (Zградуированного) голоморфного векторного расслоения над M ;

мы называем его суперкасательным расслоением и обозначаем через ST.

Для определения понятия однородного супермногообразия мы используем классический инфинитезимальный подход, принадлежащий С. Ли. Пусть заданы супермногообразие (M, O) и точка x M. Обозначим через mx максимальный идеал локальной супералгебры Ox. Векторное суперпространство Tx (M, O) = (mx /m2 ) называется касательным пространством к (M, O) в точке x. Его четная часть Tx (M, O) отождествляется с голоморфным касательным пространством Tx (M ) = Tx (M ), а нечетная часть Tx (M, O) – с векторным пространством Ex, двойственным к слою Ex векторного расслоения E над M, связанного с ретрактом.

Мы имеем естественное линейное отображение evx : v(M, O) Tx (M, O). В случае, когда M компактно, мы будем говорить, что супермногообразие (M, O) однородно, если отображение evx сюръективно для любой x M. Легко доказать (см. [11]), что ретракт однородного супермногообразия также является однородным суОнищик А.Л. Однородные супермногообразия над грассманианом Gr4, пермногообразием. Пусть (M, O) – расщепимое супермногообразие, связанное с векторным расслоением E M, и пусть H – односвязная комплексная группа Ли, алгеброй Ли которой является v(M, O). Если (M, O) однородно, то E – H-однородное векторное расслоение, т.е. на E существует голоморфное действие группы H автоморфизмами векторного расслоения, индуцирующее транзитивное действие на M. Кроме того, двойственное однородное векторное расслоение E порождается своими глобальными голоморфными сечениями. Обратно, любое однородное голоморфное векторное расслоение E M, такое, что M компактно и что E порождается глобальными голоморфными сечениями, определяет расщепимое однородное супермногообразие (M, O) (см. [11]). Например, пусть E = T(M ) – кокасательное расслоение компактного комплексного однородного многообразия M. Тогда касательное расслоение E = T(M ) порождается глобальными голоморфными векторными полями. Таким образом, расщепимое супермногообразие (M, ), где – пучок голоморфных форм на M, является однородным.

Предположим, что задано голоморфное векторное расслоение E M над некоторым комплексным многообразием M. Рассмотрим соответствующее расщепимое супермногообразие (M, Ogr ), где E. Возникает следующая естественная задача: классиOgr = фицировать с точностью до изоморфизма все супермногообразия (M, O) с ретрактом (M, gr O) (M, Ogr ) (все изоморфизмы супермногообразий считаются тождественными на M ). Простейший ответ на этот вопрос дается в терминах множества 1-когомологий H 1 (M, Aut(2) Ogr ) со значениями в следующем подпучке пучка автоморфизмов пучка Ogr :

А именно, теорема Грина [3] утверждает, что классы изоморфных супермногообразий с ретрактом (M, Ogr ) находятся в биективном соответствии с орбитами естественного действия группы автоморфизмов Aut E нашего расслоения на H 1 (M, Aut(2) Ogr ). В наших работах [7, 8] была предложена интерпретация этого множества неабелевых когомологий в виде множества H 1 (K) 1-когомологий некоторого нелинейного комплекса K, аналогичного классическому комплексу Дольбо. Множество Z 1 (K) 1-коциклов этого комплекса состоит из гладких дифференциальных форм z типа (0, 1) на M со значениями в векторном расслоении p1 ST2p, удовлетворяющих условию z 1 [z, z] = 0, где [, ] – специальным образом определенная операция на формах, связанная с (2).

Укажем одно применение этого комплекса. Пусть (M, O) – супермногообразие. Действие группы G на (M, O) – это по определению гомоморфизм : G Aut(M, O), где Aut(M, O) – группа биголоморфных автоморфизмов супермногообразия (M, O) (рассматриваемого как окольцованное пространство). Если G – вещественная или комплексная группа Ли, то действие предполагается вещественно (соответственно комплексно) аналитическим в естественном смысле. Любое действие : G Aut(M, O) сохраняет фильтрацию (1) и индуцирует некоторое действие : G Aut(M, Ogr ), сохраняющее Z-градуировку структурного пучка. В этой ситуации мы говорим, что действие поднимается до действия (или поднимается на (M, O)). Важной задачей является описание тех действий на (M, Ogr ), которые сохраняют Zградуировку и поднимаются на (M, O). Заметим, что действие на (M, Ogr ), сохраняющее Z-градуировку, определяет действие на соответствующем расслоении E, а также на соответствующем комплексе K. Имеет место следующая Теорема 1. Пусть задано аналитическое действие компактной группы Ли G на расщепимом супермногообразии (M, Ogr ), сохраняющее Z-градуировку. Обозначим через Tgr касательный пучок супермногообразия (M, Ogr ). Пусть (M, O) – супермногообразие с ретрактом (M, Ogr ), соответствующее заданному классу H 1 (K). Тогда 1) поднимается на (M, O) тогда и только тогда, когда класс содержит некоторый G-инвариантный коцикл z Z 1 (K).

2) Если в этой ситуации (M, O) нерасщепимо, то G-инвариантный коцикл в классе можно выбрать так, чтобы Онищик А.Л. Однородные супермногообразия над грассманианом Gr4, где p 1, z2k – форма со значениями в ST2k, причем форма z2p удовлетворяет условию z2p = 0 и определяет ненулевой элемент пространства H (M, (Tgr )2p )G.

Утверждение 1) этой теоремы доказано в [10], а 2) доказывается при помощи техники из [7, 8] и инвариантного интегрирования по группе G.

2. Многообразие Грассмана и линейные представления Мы используем стандартную технику корней полупростых комплексных групп Ли и весов их линейных представлений (см., например, [13]). Подробности о флаговых многообразиях и параболических подгруппах и подалгебрах см. в [1].

Пусть M = Gr4,2 – многообразие Грассмана двумерных подпространств в C4. Хорошо известно, что связная компонента единицы (Bih M ) в группе Bih M биголоморфных автоморфизмов многообразия M совпадает с образом стандартного действия группы G = SL4 (C) на нем. Это действие транзитивно, и соответствующая групповая модель однородного пространства Gr4,2 имеет вид матрицы размера 2 2 и (det A)(det B) = 1. Группа G не содержит собственных комплексных подгрупп Ли, действующих на M транзитивно. Однородные векторные расслоения над M определяются голоморфными линейными представлениями подгруппы P ;

обозначим через E векторное расслоение, соответствующее представлению : P GL(E).

Компактная вещественная форма K = SU4 группы G действует на M транзитивно, и ее стационарная подгруппа L = K P есть 1. Таким образом, Gr4,2 K K/L.

При изучении однородных супермногообразий с редукцией Gr4, нам потребуется описание конечномерных линейных представлений групп P и G. Введем для этого следующие стандартные обозначения:

t = {diag(x1, x2, x3, x4 )} (где x1 + x2 + x3 + x4 = 0) – подалгебра Картана алгебры Ли g = sl4 (C) группы G, состоящая из диагональных матриц.

– соответствующая система корней группы G.

B G и b g – борелевская подгруппа и борелевская подалгебра группы G и алгебры g соответственно, состоящие из нижних треугольных матриц.

+ – подсистемы положительных и простых корней из, отвечающие борелевской подгруппе B+ группы G, которая состоит из верхних треугольных матриц. Имеем = {1, 2, 3 }, где i = xi xi+1, i = 1, 2, 3.

1, 2, 3 – фундаментальные веса группы G; это базис решетки весов группы G, определенный формулами Любой вес группы G однозначно представляется в виде где ai Z; вес называется доминантным, если ai 0, i = 1, 2, 3.

Подгруппу P можно охарактеризовать как максимальную параболическую подгруппу группы G, содержащую B и отвечающую простому корню 2. Соответствующая максимальная параболическая подалгебра p g допускает разложение Леви где Соответствующее разложение Леви подгруппы P имеет вид P = RN, где Онищик А.Л. Однородные супермногообразия над грассманианом Gr4, Введенная выше подгруппа L – это компактная вещественная форма редуктивной комплексной группы R.

Мы будем использовать следующий изоморфизм алгебр Ли :

Он соответствует гомоморфизму алгебраических групп g : R = SL2 (C) SL2 (C) C R, заданному формулой это накрытие с ядром Ker g = {(E2, E2, 1), (E2, E2, 1)}.

Пусть t1 = {diag(u1, u2 )} и t2 = {diag(v1, v2 )} – подалгебры Картана двух слагаемых sl2 (C) алгебры Ли (здесь u2 = u1 и v2 = v1 ). В этих обозначениях изоморфизм подалгебр Картана : = t1 t2 C t записывается формулой (diag(u1, u2 ), diag(v1, v2 ), w) = diag(u1 + w, u2 + w, v1 w, v2 w).

Любой вес группы R имеет вид Он является доминатным как вес группы R или R тогда и только тогда, когда a 0, b 0. В координатах xi имеем а выражение веса через фундаментальные веса имеет вид Лемма 1. 1) Вес группы R, заданный формулой (4), является весом группы R тогда и только тогда, когда a + b c 2Z.

В этом случае доминантен как вес группы G тогда и только тогда, когда a 0, b 0, c a + b.