«Ярославль 2005 Оглавление Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX столетия Тихомиpов В.М. Некотоpые пpоблемы школьного и унивеpситетского математического обpазования.... 5 Демидов С.С. Рождение ...»

Определение 4. Решить уравнение f (x; a) = 0 с параметром а – это значит, для каждого действительного значения а Беляева Э.С., Потапов А.С., Титоренко С.А. Теория и методика решения уравнений, неравенств и их систем с параметром найти все решения данного уравнения или установить, что их нет.

Договоримся все значения параметра а, при которых f (x; a) не имеет смысла, включать в число значений параметра, при которых уравнение не имеет решений.

Определение 5. Уравнения f (x; a) = 0 и (x; a) = 0 равносильны при фиксированном значении a = a0, если уравнения без параметра f (x; a0 ) = 0 и (x; a0 ) = 0 равносильны.

Пример. Найдите все значения параметра a, при которых уравнения (a 1)x = a 2 и (a 1)x = 3a 8 равносильны.

Решение.

1. При a = 1 оба уравнения решений не имеют, а потому равносильны.

2. Если a = 1, то x = a1 – решение первого уравнения, x = 3a a1 – решение второго уравнения.

Найдем значения a, при которых эти решения равны.

Определение 6. Уравнение f (x; a) = 0 является следствием уравнения (x; a) = 0 при некотором значении a = a0, если множество решений уравнения (x; a0 ) = 0 содержится среди множества решений уравнения f (x; a0 ) = 0.

Пример. При каких значениях a неравенство 2x > a (1) является следствием неравенства 3x + 2 2a (2)?

Решение. Решаем каждое из неравенств:

А теперь достаточно решить неравенство Ответ: a (4; +).

294 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе 2. Широко используется координатная прямая параметра, которая служит не только для иллюстрации аналитического решения, но является инструментом работы. Это помогает снять проблему записи ответа (он легко считывается с оси). Завершение заполнения координатной прямой параметра обычно служит сигналом окончания решения (если задание не содержит дополнительных условий).

При решении тригонометрических уравнений и неравенств применяется и вторая модель множества действительных чисел – единичная окружность.

Пример. Решите уравнение ax+1 = 2a + 1.

Решение.

О.О.У.:

Исследование.

ний нет.

a = 2, то решений нет.

3. Графическая интерпретация ответа, особенно в начале работы с параметром, помогает лучше увидеть связь переменной и параметра в уравнении (неравенстве), а также глубже понять природу параметра.

Пример. Решите уравнение |3 2x| = 2a 1.

Решение.

Беляева Э.С., Потапов А.С., Титоренко С.А. Теория и методика решения уравнений, неравенств и их систем с параметром О.О.У.:

3. a < 1 : решений нет.

Проиллюстрируем ответ в системе координат (aOx).

4. Разработанные содержание и методика решения уравнений и неравенств с параметром позволяет знакомить учащихся с параметром, начиная с 7 класса (и даже раньше), а затем продолжать далее по мере изучения основных видов функций и соответствующих им классов уравнений и неравенств (без увеличения количества часов).

5. Все пособия [8–11] содержат необходимый справочный материал, который предшествует изложению заданий с параметром.

Цель такого раздела – систематизация основных сведений по видам функций; построение теории равносильности уравнений и неравенств и ее применение при решении базисных типов уравнений и неравенств без параметра, а затем и с параметром.

6. Почти все разделы, посвященные уравнениям и неравенствам с параметром, начинаются с подготовительных упражнений, котоГлава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе рые помогут ученику перейти к более сложным заданиям, являясь как бы своеобразным “переходным мостиком”. А слабым учащимся, возможно, будет достаточно овладеть приемами решения хотя бы только таких уравнений (неравенств).

7. Базисные упражнения пункта решаются авторами с подробным объяснением, а для закрепления читателю предлагается решить серию аналогичных заданий. Такое построение пособий позволяет использовать их и для самостоятельного изучения материала.

8. Сложность задач возрастает постепенно. Завершается каждый раздел более трудными упражнениями, в том числе и олимпиадными. Объем изучаемой информации можно определять в соответствии с уровнем подготовленности обучаемых, т.е. осуществлять дифференцированный подход.

9. Авторы отдают предпочтение аналитическому методу решения уравнений, неравенств и их систем с параметром, как более богатому своими дидактическими возможностями. Но активно привлекается и графический метод решения в системах координат (xOy), (aOx), (xOa) там, где он более эффективен.

10. Значительная часть упражнений решается несколькими способами, что позволяет обобщить и систематизировать более обширный теоретический и практический материал.

1. Математический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. 1988. С. 451.

2. Фрид Э. и др. Малая математическая энциклопедия. Будапешт:

Изд-во Академии наук Венгрии, 1976. С. 84.

3. Красносельский М.А., Забрайко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1979. С. 512.

4. Горштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. Киев: РИА “Текст”, МП “ОКО”, 1992.

5. Амелькин А.А., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами. Справочное пособие по математике. Минск: “Асар”, 1996.

Луканкин Г.Л., Сергеева Т.Ф. О концепции обучения математике учащихся начальной школы на основе информационно-категориального подхода 6. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы. М.: Просвещение, 1988.

7. Беляева Э.С., Потапов А.С. Уравнения и неравенства с параметром первой степени и к ним сводимые: Учебное пособие.

Воронеж: ВГПУ, 2001. 80 с.

8. Беляева Э.С., Потапов А.С., Титоренко С.А. Уравнения и неравенства второй степени с параметром и к ним сводимые:

Учебное пособие. Воронеж: ВГПУ, 2001. 191 с.

9. Беляева Э.С., Потапов А.С. Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром: Учебное пособие. Воронеж: ВГПУ, 2001. 179 с.

10. Беляева Э.С., Потапов А.С., Титоренко С.А. Иррациональные уравнения и неравенства с параметром: Учебное пособие. 2-е издан., перераб., испр. и доп. Воронеж: ВГПУ, 2004. 239 с.

11. Беляева Э.С., Потапов А.С. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства с параметром: Учебное пособие.

Воронеж: ВГПУ, 2002. 256 с.

О концепции обучения математике учащихся начальной школы на основе информационно-категориального подхода Г.Л. Луканкин, Т.Ф. Сергеева Современный мир, включая Россию, вступил в XXI – век образования. Общество будущего – это общество с востребованным образованием. Поэтому важнейшая задача настоящего этапа модернизации системы образования состоит в создании условий для развития знаний и умений, формирования навыков и достижения учащимися необходимого уровня компетентности. Настоящий этап развития социума характеризуется его вступлением в новую фазу – “информационное общество”. Уже сегодня можно предвидеть, что главным общественным продуктом, обеспечивающим интенсификацию всех сфер экономики, интеллектуализацию основных видов человеческой деятельности, станет информация.

298 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе Создание условий, позволяющих личности адаптироваться в условиях возрастания информационной емкости мира, быть способной мобильно осваивать новые технологии получения, переработки и распространения информации, и составляет, на наш взгляд, главную цель образования. Именно ему принадлежит в этом процессе ведущая роль, поскольку в образовательном пространстве начинают свое формирование социальные, психологические и профессиональные предпосылки информатизации общества в целом.

Этот процесс потребует переосмысления существующих подходов к обучению с точки зрения их адекватности сложившимся реалиям, а также разработки новых.

Предлагаемый информационно-категориальный подход призван, прежде всего, обеспечить универсальность образования, что позволяет сделать первый шаг в достижении этой цели. Основные концептуальные идеи отражены в следующих положениях:

1. Универсальность содержания образования может быть достигнута, если создать систему, включающую спектр образовательных областей, каждая из которых была бы представима в форме языка познания и отражения окружающего мира, и разработки внутри каждой из них содержания обучения, основанного на выделении определенных категорий (обобщенных понятий, формирующих “язык” данной образовательной области, что позволяет проводить описание предметов, явлений и процессов во внешней среде).

2. Одновременно с формированием системы категорий должно осуществляться обучение способам деятельности, как специальных – для того или иного предмета, так и универсальных, что в совокупности составит основу информационной культуры как одной из составляющих общей культуры человека.

3. Обеспечение универсальности образования предполагает создание условий для сохранения самобытности каждой личности, развития ее интересов и способностей.

Данные концептуальные идеи могут стать основой для построения образовательной программы, основными компонентами коЛуканкин Г.Л., Сергеева Т.Ф. О концепции обучения математике учащихся начальной школы на основе информационно-категориального подхода торой являются познание окружающего мира (внешняя среда) и самопознание (внутренний мир). Каждый из этих процессов проходит несколько этапов (см. схему 1).

Информационная Универсальное Процесс познания окружающего мира начинается с перевода его объектов и явлений в понятия определенной предметной области. При этом происходит овладение мыслительными операциями сравнения, анализа, синтеза, обобщения, абстрагирования и др.

Следующий этап – выстраивание иерархии понятий, в результате чего образуется совокупность категорий, которая, в свою очередь, становится основой универсального знания.

Параллельно с освоением содержания образования продолжается работа, направленная на формирование у обучаемых способов деятельности, важнейшими из которых выступают кодирование, алгоритмизация и моделирование.

Особое внимание должно быть уделено формированию личности учащегося, которое также проходит несколько стадий: от опреГлава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе деленных психических процессов (памяти, мышления, восприятия, воображения и т.д.) к воспитанию познавательного интереса и активности и далее - к диагностике и развитию индивидуальных способностей.

Принципы отбора категорий, составляющих предметное содержание, заключаются в следующем:

1. Каждая категория – фундаментальное понятие, определяющее “язык” данной предметной области и обладающее широким прикладным значением.

2. Категория может быть адаптирована к данному этапу обучения.

3. Категории, составляющие основу содержания одной предметной области, могут быть интегрированы в любую другую.

Информационное пространство действия каждой категории складывается из понятий, свойств, операций и моделей. Процесс трансляции объектов окружающего мира в предметное содержание отражен на схеме 2.

В соответствии с приведенными в первой главе работы концептуальными идеями система категорий, составляющих основу начального курса математики может быть представлена следующим Луканкин Г.Л., Сергеева Т.Ф. О концепции обучения математике учащихся начальной школы на основе информационно-категориального подхода образом (см. таблицу 1).

302 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе Точка, прямая, кривая, ломаная, угол, мноФорма гоугольник (и его разновидности), круг, овал, куб, прямоугольный параллелепипед, Пространство Понятия, описывающие расположение предметов на листе бумаги и в пространстве:

а) относительно выбранного ориентира;

Пересекающиеся и параллельные прямые. Числовой луч и числовая прямая.

Расположение чисел на числовой прямой.

Множество, элементы множества. Число.

Величина Цифра. Целые неотрицательные числа. Отрицательные числа. Масса, длина, емкость, площадь, объем. Мера. Измерение. Единица измерения длины, массы, емкости, площади Объединение, пересечение множеств. ВыдеМодель ление подмножества из множества. Удаление части множества. Сложение, вычитание, умножение, деление. Знаки и компоненты арифметических действий. Числовые и буквенные выражения. Уравнения. Неравенства. Задача и ее компоненты.

Каждая категория в совокупности с соответствующей системой понятий составляет содержание определенного раздела программы по математике. Так, категории “форма” и “пространство” – геометрического, “величина” – арифметического и “модель” – алгебраического и текстовых арифметических задач. Категория изменение пронизывает все разделы программы начального курса математики и потому не выделяется в отдельную систему.

Процесс формирования информационной культуры при изуЛуканкин Г.Л., Сергеева Т.Ф. О концепции обучения математике учащихся начальной школы на основе информационно-категориального подхода чении основных разделов начального курса математики можно условно разделить на несколько этапов.

Первый этап заключается в том, что в объектах, предметах и явлениях окружающего мира выделяются признаки или свойства, подлежащие описанию на языке математики (например, количество, длина и др.). Основной задачей этого этапа является научить учащихся выявлять существенные признаки и свойства предметов и абстрагироваться от несущественных.

Второй этап характеризуется переводом уже собственно математических понятий на язык математических символов, т.е. происходит процесс кодирования информации, обучение которому проходит, в свою очередь, несколько стадий: от условных обозначений с помощью геометрических фигур до использования буквенной символики.

Следующий этап – знакомство с известными алгоритмами, обучение их исполнению и овладение умениями составлять собственные алгоритмы решения задач на основе известных. Следует отметить, что существует достаточно большой круг вопросов начального курса математики, которые поддаются алгоритмизации (в частности, приемы вычислений, решение уравнений и др.).

Четвертый этап – работа с математическими моделями или их конструирование. Надо сказать, что этот этап может в некоторых случаях отсутствовать. Наиболее характерной иллюстрацией такой работы может служить следующие задания: составьте задачу по данному уравнению, подберите к данному чертежу соответствующее числовое выражение и др.

Концепция информационно-категориального подхода позволяет успешно реализовать в обучении так же компетентностный подход.

На основе концепции авторами подготовлен учебно-методической комплект по математике для начальной школы, который прошел экспериментальную проверку. В настоящее время начата работа по созданию курса математики для неполной средней школы.

304 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе О технологии конструирования процесса обучения математике в технических вузах К.В. Курочкина Изменения, происходящие в образовании, относятся как к педагогике в целом, так и к конкретным педагогическим технологиям.

Эти изменения носят противоречивый и разнонаправленный характер. С одной стороны, потребности общества в качественном и доступном высшем образовании, рост числа вузов и количества студентов, развитие разнообразных форм обучения, увеличение объемов и сложности учебной информации обусловили новые высокие требования к качеству подготовки специалистов.

С другой стороны – негативные тенденции: сокращение количества часов, недостаточность и неоднородность подготовки абитуриентов, нехватка методического обеспечения, кадровые проблемы и другие.

Эти процессы обусловили повышение требований к научной организации учебного процесса, его моделированию и технологичности.

Одним из направлений теоретических и практических исследований является создание таких моделей учебного процесса, которые позволяют оптимальным образом конструировать процессы обучения различным дисциплинам для одной или нескольких специальностей технических вузов, ввести качественные и количественные оценки его эффективности, а также обеспечить регулярный контроль со стороны организующих и контролирующих органов.

Тем не менее, большинство имеющихся моделей и технологий конструирования учебного процесса относятся к отдельным дисциплинам и не носят универсального характера. В то же время повышение требований к математической подготовке специалистов, введение новых Государственные общеобразовательных стандартов, предусматривающие обучение разделам математики, ранее не изучавшимся в технических вузах, дифференциация математических дисциплин по группам специальностей, делают особенно акКурочкина К.В. О технологии конструирования процесса обучения математике в технических вузах туальной разработку научного обоснованных и практически реализуемых моделей и технологий конструирования процессов обучения математическим дисциплинам.

В связи с этим при создании рабочих программ и практической реализации процесса обучения математике необходима общая и достаточно гибкая технология.

Так как в педагогической литературе отсутствуют единые определения, уточним конкретный смысл понятий “технология”, “интеграция”, “блочно-модульный метод”. Теме доклада наиболее полно соответствуют определения В.М. Монахова: “Технология – это проект определенной педагогической системы, реализуемый на практике”, М.П. Сибирской “интегративность – взаимовозникающая проблемная, методологическая, терминологическая связь в содержании курсов” и идея блочно-модульного метода Ф.У. Тейлора и Г. Форда: выделение автономной единицы – модуля в том или ином образовательном комплексе или процессе, которая затем может быть введена в формируемый комплекс или процесс (блок). При этом модули в зависимости от исследуемой проблемы, могут быть связаны между собой различным образом. Несмотря на распространенность и широкую применимость, блочно-модульные технологии не лишены существенных недостатков. Все они не допускают естественных количественных и качественных оценок сконструированных с их помощью образовательных процессов. Для совершенствования блочно-модульного подхода нами предлагается воспользоваться основами теории графов, частным случаем которой, является блочно-модульный подход.

Сформулируем основные требования, предъявляемые к разрабатываемой модели учебного процесса и отвечающие общедидактическим принципам вузовского обучения:

– наглядность структурно-логического построения процесса обучения;

– возможность оптимизации структуры процесса обучения;

– возможность оценок оптимальности процесса обучения;

– технически простая корректировка процесса;

– возможность учета межпредметных связей;

– простота контроля процесса обучения со стороны кафедры, 306 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе деканатов, учебной части.

Чтобы решить эту проблему необходимо разработать такую модель учебного процесса, которая позволяет отразить его различные стороны.

Из определения процесса обучения, данное академиком А.М. Новиковым – “педагогический процесс представляет собой совокупность последовательных и взаимосвязанных действий педагогов и учащихся, направленных на сознательное и прочное усвоение системы знаний, навыков и умений, формирование способности применять их на практике” выделим ключевую часть фразы. То есть подчеркнем, что педагогический процесс является процессом направленным, последовательным, накопительным и конечным.

По идейной сущности за основу модели любого образовательного процесса нами предлагается принять граф процесса последовательного сложения нескольких чисел, изображенный на нижеприведенном рисунке.

При конструировании учебного процесса числа обозначают так называемые события, а стрелки – логические связи, последовательно связывающие эти события. События представляют собой факт завершения какого-либо процесса, получение определенного результата. Например, процессы завершения изучения отдельных элементов учебного материала (модулей). Таким образом, в основании модели будут указываться номера элементов знаний, навыков и умений по теме определенного учебного материала, а стрелки характеризуют связь между этими элементами. Модель в ходе Курочкина К.В. О технологии конструирования процесса обучения математике в технических вузах конструирования учебного процесса может трансформироваться и наклонная прямая может отражать не только накопление знаний, умений и навыков, но в зависимости от наполнения модулей и их смысла и другие компоненты.

Составление предложенной модели учебного процесса по математическим дисциплинам желательно подчинить разработанным и апробированным на практике правилам:

1. Преподаватель, составляющий рабочую программу по предмету, должен с необходимой для выполнения целей обучения полнотой представлять себе курс в целом, видеть большинство внутрипредметных связей между различными темами предмета. Иметь значительный опыт чтения лекций различных типов, проведения практических занятий различных форм, владеть традиционными методами контроля. При этом он должен ориентироваться на ГОС по дисциплине, базовый уровень подготовки студентов, уровень наличия компонентов наполнения учебного модуля.

2. В основании графа должны находиться события, имеющие самостоятельно значение. При необходимости или целесообразности их можно менять местами, дробить на более мелкие части, исключать или вводить новые – то есть моделировать практически любые особенности процесса обучения.

3. При проектировании графа необходимо избегать кратных дуг или петель. Несоблюдение этого правила может сподвигнуть неопытного преподавателя на дублирование материала или к проведению занятий на разные темы с группой студентов в одной аудитории несколькими преподавателями сразу (хотя такое принципиально и возможно в случае наличия группы квалифицированных преподавателей, проводящих занятия в компьютерном классе). Лучше занятия с необходимыми повторами материала включать в граф в виде отдельной вершины.

4. В силу того, что при выполнении данных правил построения получается граф, у которого все вершины и все дуги различны, можно ввести количественную характеристику графа и назвать ее по аналогии с теорией графов “длиной маршрута”, или его (маршрута) части. Эта длина определяется однозначно длиной дуг в порядке их прохождения. Для определения длины дуги, то есть 308 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе расстояния между вершинами, нами вводится единица измерения, равная количеству учебных аудиторных часов, требующихся для изучения какого-либо раздела или всего предмета в целом. (Расширяя границы применения модели, можно проставлять, например, часы самостоятельной работы студентов или и то, и другое).

5. Контрольные и курсовые работы, работы по дипломному проектированию, зачеты, экзамены и т.д. следует включать в граф отдельной вершиной в полном соответствии с очередностью в учебном процессе, то есть после завершения определенного этапа обучения или всего процесса в целом.

В силу того, что при выполнении данных правил построения получается граф, у которого все вершины и все дуги различны, можно ввести количественную характеристику графа и назвать ее по аналогии с теорией графов “длиной маршрута”, или его (маршрута) части. Эта длина определяется однозначно суммой длин дуг в порядке их прохождения. Для определения длины дуги, то есть расстояния между вершинами, вводится единица измерения, равная количеству учебных аудиторных часов, требующихся для изучения какого-либо раздела или всего предмета в целом. (Расширяя границы применения модели, можно проставлять, например, часы самостоятельной работы студентов или и то, и другое).

Для сравнительной оценки количественных характеристик структурной сложности образовательного процесса может быть использована степень (или сложность) графа, определяемая как отношение удвоенного числа дуг к числу всех вершин графа.

При реализации модели были обобщены способы построения матриц связей. Это касается введения единой структуры матриц связи и единых – принятых в математике правил их построения при подготовке рабочей программы по предмету или специальности в целом.

Наличие единообразно составленных матриц как внутрикафедрального, так и межкафедрального использования позволяет – пределить правильную последовательность изучения предметов в процессе обучения и приблизиться к верному варианту изложения тем и разделов предмета;

– более глубоко понять логическое и структурное построение Курочкина К.В. О технологии конструирования процесса обучения математике в технических вузах процесса обучения и мировоззренческих особенностей предмета;

– при необходимости установить структурные особенности корректировки процесса обучения;

– с достаточной полнотой выявить межпредметные связи при обучении как предмету, так и по специальности в целом;

– определить комплектность и очередность оснащения учебного процесса методической и учебной литературой.

Предлагаемая технология конструирования состоит из нескольких этапов.

1. Организация принятия директивного документа о совместной работе по отбору и структурированию материала специалистов выпускающих и смежных кафедр. Вопрос о совместной работе обычно плохо решается. Такое положение хорошо соотносится с известными энергетическими принципами естествознания и социально-психологической “теорией Х” Дугласа Мак Грегора [2].

2. При отборе содержания реального интеграционного учебного процесса, связанного с изучением любой математической дисциплины, на практике необходимо учитывать следующие факторы:

неоднородность физико-математической подготовки студентов не только различных специальностей, но и различных форм обучения; содержательную наполненность изучаемого курса применительно к специальным знаниям будущего инженера; полноту содержания материала в пределах отведенного времени изучения;

преемственность содержания курса с комплексным восприятием ранее полученных знаний о научной картине мира, целостности представлений о нем; единство и дифференциацию эмпирической и теоретической информаций, относящихся к сущностным характеристикам объектов и процессов, характерных для конкретной специализации обучающегося.

Действия желательно выполнять в следующей последовательности.

1.1. Содержание соответствующего конкретной специальности центрального (предметного) блока предлагается определять на основе анализа материала на предмет дублирования и обеспечения преемственности на межпредметных уровнях, точнее – уровне специальных знаний. При этом нужно учитывать временную корреГлава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе ляцию, и выявлять пересекающиеся по содержанию разделы. На этом основании делается заключение о целесообразности включения той или иной информации в массив содержания предмета, не нарушая при этом фундаментальности самой науки. Это позволяет не только избежать дублирования, уменьшить количество отводимых часов для изучения того или иного раздела, но и придать курсу большую обобщенность и мировоззренческую корректность.

2.2. Отбор содержания учебного процесса предполагает анализ массива содержания в плане обеспечения всех целей обучения.

За основные компоненты, которым, кроме перечисленных, должен удовлетворять этот массив, желательно принимать: полноту содержания и его внутреннюю целостность; полноту системы основных идей и концепций той или ной дисциплины; соответствие знаний задачам профессиональной деятельности обучаемого.

2.3. Как понятия, так и основное содержание математики и смежных дисциплин выпускающей кафедры, рекомендуется располагать в последовательности, обеспечивающей постепенное и более глубокое изучение материала. Для обеспечения усвоения знаний в ходе работы по внедрению в учебный процесс предложенной технологии перерабатывалось содержание каждого изучаемого раздела математики по специальности со специалистами смежных и выпускающей кафедр.

Тем самым установливаливаются межпредметные связи, благодаря которым учебная программа разгружается от дублирования, а эффективность усвоения знаний значительно повышается, достижение чего является не только актуальной, но и исключительно трудной задачей. При таком подходе приходится увязывать принципиальные вопросы, используя понятия и идеи как из разделов математики, так и из курсов по специальности.

3. При тщательно выполненной работе, перечисленной выше, структурирование содержания обучения практически вызывает лишь субъективные трудности. Связаны они с определением необходимого для обучения тому или иному разделу математики (модулю) количества часов аудиторной работы, а также с установлением выражающихся в этих же часах количестве и видах форм контроля (контрольные работы для заочной формы обучения, коллоквиКурочкина К.В. О технологии конструирования процесса обучения математике в технических вузах умы, зачеты и экзамены) и переносе вычислений в компьютерные классы.

На практике предложения по количеству аудиторных часов, отводимых на аудиторное обучение, целесообразно готовить с помощью учебно-методической комиссии и утверждать на заседании кафедры.

4. Предполагается, что остальные этапы конструирования учебного процесса: определение требований к знаниям и умениям по каждой теме; планирование лабораторных, практических и контрольных работ; определение объема и содержания самостоятельной работы студентов; определение параметров курсового проекта;

рекомендации по рациональному выбору форм организации обучения - выполняются на основе традиционных технологий.

Примером, иллюстрирующим простоту и полезность составления графа предложенного вида, может служить граф предмета “методы оптимизации”, в настоящее время широко введенного на факультетах “Управление и информатизация” и “Технологический менеджмент” МГУТУ (Московский государственный университет технологий и управления). Отдельные модули этого предмета входят также в программу обучения некоторым специальностям факультета “Экономика и предпринимательство”. При этом программы обучения для большинства специальностей отличаются друг от друга содержанием, количеством часов самостоятельной и аудиторной работы, методами контроля, временем обучения и ориентацией на форму обучения. Для всех специальностей, в программу обучения которых входит данный предмет, определена своя структура стандарта по предмету. Для его создания использовалась предлагаемая технология. Общее количество модулей превышает двадцать. Рабочие программы по данному курсу составлялись нами после отбора модулей, необходимых для той или иной специальности (работа проводилась совместно с представителями выпускающих кафедр), а также учета межпредметных связей с дисциплинами, входящими в Государственный стандарт по соответствующей специальности. Неотъемлемой частью рабочей программы являлся граф процесса обучения. В обозначениях работы [3] для студентов-технологов полной заочной формы обучения спеГлава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе циальностей 2701, 2703, 2704, 2705 граф изображен на нижеприведенном рисунке.

В блок предмета входят следующие модули (приводятся только названия, являющиеся для математика ключевыми словами):

“Вводный” – 1; “Классическое вариационное исчисление” – 2; “Корреляционный и регрессионный анализ” – 4; “Исследование операций (методы выработки качественно обоснованных рекомендаций по принятию решений)” – 7; “Линейное программирование” – 10. В качестве форм контроля предусмотрены контрольная работа и зачет.

В нижней строке графа его восемь вершин соответствуют трем запланированным лекциям, трем практическим занятиям, контрольной работе и зачету. Цифры в вершинах соответствуют номерам модулей, на основе которых построены четырехчасовые лекции или практическое занятие. Индексы в обозначении практического занятия Пi,j указывают на тематику практического занятия.

Количество индексов при необходимости может быть увеличено.

Если j=0, это означает, что занятие посвящено одной теме, соответствующей номеру i. На дугах графа указана длина маршрута в аудиторных часах (контрольная работа выполняется в межсессиКурочкина К.В. О технологии конструирования процесса обучения математике в технических вузах онный период; количество аудиторных часов, отводимых на контрольную работу и зачет зависит от численности потока студентов). Для определенности в рассматриваемом случае оно принято за 0,5 часа соответственно. Вершины наклонной, суммирующей, линии отражают ход учебного процесса, суммарное число аудиторных часов, отводимых на изучение курса, то есть, в конечном счете, динамику процесса обучения.

Из анализа структуры графа видно, что лишние учебные элементы отсутствуют.

Практика работы показывает: организованный процесс обучения может быть выполнен лишь при активной работе и студентов и преподавателей. Незначительное отступление от заданной программы при условии, что средний уровень усвояемости знаний потока студентов по базовому курсу математики не выходит за границы между “удовлетворительно” и “хорошо”, создает и преподавателю, и студентам значительные трудности в процессе обучения, которые могут быть восполнены упорной самостоятельной работой студентов и активным использованием времени текущих консультаций.

На нижеприведенных рисунках изображены графы, составленные по действующим до недавнего времени в МГУТУ тематическим планам первого курса двух различных специальностей ( – “Биоэкология” (тематический план полностью совпадает с тематическим планом специальности 3117 – “Водные биоресурсы и аквакультура”) и 0702 – “Техника и физика низких температур” заочной форм обучения). Количество аудиторных часов (22 часа лекций и 28 часов практики), отведенное на аудиторные занятия для студентов этих специальностей одинаковое. На дугах графа приведено в цифрах общее количество часов аудиторных занятий.

314 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе Под цифрами понимаются следующие модули: 1 – линейная алгебра; 2 – векторные и линейные отображения; 3 – аналитическая геометрия; 4 – теория пределов; 5 – дифференциальное исчисление (функция одной переменной); 5.1 – численное дифференцирование;

6-интегральное исчисление; 6.1 – приближенное вычисление интегралов; 8 – последовательности и ряды; 16 – основы теории функций комплексного переменного; 22 – функции многих переменных (согласно Госстандартам для всех специальностей МГУТУ было выделено 42 различных модуля. Многие из них являются укрупненными, т.е. содержат несколько подмодулей. Каждому модулю был присвоен порядковый номер).

Из анализа графов видно, что в случае специальности 0135 интеграционные факторы не учитывались вовсе, а при составлении Курочкина К.В. О технологии конструирования процесса обучения математике в технических вузах тематического плана по специальности 0702 требования выпускающей кафедры учтены.

Таким образом, из-за отсутствия совместной работы с представителями выпускающих кафедр по специальностям 0135 и не решены вопросы о включении в образовательные программы по математике таких тем, присутствующих в Госстандартах, как элементы математической логики; основы математического моделирования; основы планирования эксперимента, методы математической статистики и другие.

Для специальности 0702 сомнение вызывает отсутствие раздела “основы теории поля”, в частности темы “векторные поля”, изучение которого принесло бы существенную пользу для профессионального образования студента данной специальности. Этот раздел имеет практическую связь со специальными знаниями. Также вызывает сомнение модуль 16. Изложить основные понятия комплексных чисел за 3 часа аудиторного времени возможно, но дать при этом еще и основы теории функций комплексного переменного реальным не представляется.

При утвержденных на заседании кафедры тематике модулей и необходимого на их изучение количестве аудиторных часов, данные тематические планы не прошли бы утверждения в учебной части, если бы к этому моменту была внедрена предложенная в докладе методика.

Таким образом, основным результатом проведенной работы является создание и апробирование технологии конструирования процесса обучения математике. В настоящее время эта технология внедрена в практику нашего вуза при организации процесса обучения по всем математическим дисциплинам.

1. Новиков А.М. Образование и классовое расслоение общества.

М.: Специалист, № 3, 2004.

2. McGregor D.M. The Human Side of Enterprise. N.Y.: McGrow-hill, 1960.

316 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе 3. Малакеева К.В. Конструирование учебного процесса по предмету “Методы оптимизации” как пример инновационной технологии направленный на повышение качества образования. Сб.

ст. “Проблемы управления качеством подготовки специалистов в системе непрерывного профессионального образования”. М.:

Изд-во МГУТУ, 2003. C. 137– 4. Малакеева К.В. Применение элементов теории графов к планированию образовательных процессов. “Специалист”. № 3. М., 2004.

Учащиеся – авторы задач школьных учебников Н.М. Епифанова Известно много случаев яркого проявления математических способностей в детском и юношеском возрасте. Исторический опыт свидетельствует о том, что подростки “порой способны найти исключительно простое и остроумное решение задачи, которое нередко ускользает от умственного взора взрослого человека” [2]. Но исключительно редко можно столкнуться с таким явлением, чтобы задача, составленная подростком, вошла в популярные сборники задач и школьные учебники математики.

Об одном уникальном случае проявления математических способностей и будет рассказано в данной статье.

Журнал “Вестник Опытной Физики и Элементарной Математики” (издавался с 1886 по 1918 год), предназначавшийся, по мнению первого редактора журнала Э.К. Шпачинского, “для воспитания в наших учебных заведениях юношества” и “разъяснения различных педагогических вопросов” [2], был популярен среди учителей средних учебных заведений и учащихся, интересующихся, как правило, отделом задач.

Редактор отдела задач Е.Л. Буницкий вел систематическое наблюдение, “как юноша начинает сначала решать предлагаемые задачи, затем начинает сам предлагать задачи, пока не вырастает до уровня других отделов журнала” [2].

Епифанова Н.М. Учащиеся – авторы задач школьных учебников В статье, посвященной двадцатипятилетию журнала, редакционная коллегия с гордостью отмечала, что первый импульс к серьезным занятиям математикой на страницах журнала “получили:

ученик Екатеринославской гимназии В. Каган (приват-доцент, редактор данного журнала), ученик одесской гимназии Ю. Рабинович (приват-доцент в Казани), М. Зимин из Ельца (приват-доцент в Новочеркасске), И. Александров (Москва )... ” [2].

В каждом номере журнала “Вестник Опытной Физики и Элементарной Математики” в разделе “Задачи” помещались:

– несколько задач с указанием фамилии приславшего ту или иную задачу и места его жительства;

– решения предлагавшихся ранее задач, с указанием фамилии и места жительства читателя (ученика, преподавателя), приславшего свое решение;

– “Задачи на премию” (авторы лучшего решения получали книги по выбору на сумму 10 рублей).

По этому отделу особенно видно, что “Вестник” был действительно всероссийским журналом. Например, в № 505 тексты и решения задач были присланы читателями из Киева, Казани, Уфы, Козлова, Варшавы, Винницы, Шацка, Одессы, Ярославля, Пинеги, Стерлитамака, Санкт-Петербурга, Самары.

В “Вестнике” за первое полугодие 1910 года (№ 505–516) в разделе “Задачи” наиболее часто мелькает фамилия – Л. Богданович (Ярославль). За указанный период этим читателем были присланы правильные решения 31 задачи и были предложены 5 авторских задач для решения подписчикам журнала.

Вызывают восхищение – необыкновенная работоспособность автора (в каждый номер (в течение года выходит 24–30 номеров) им присылается верное решение 3–5 задач);

– широкий математический кругозор автора (при решении задач автор свободно пользуется знаниями по тригонометрии, планиметрии, стереометрии, комбинаторике, дифференциальному исчислению... );

– умение составлять задачи и упражнения разнообразного математического содержания. (В период с 1910 по 1913 годы (№ 505– 318 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе 588) им были предложены для решения читателям журнала оригинальные авторские задачи.) Оказалось, что данный автор (Л. Богданович) был родным братом Максима Богдановича, выдающегося белорусского поэта, почти всю жизнь прожившего на берегах Волги – сначала в Нижнем Новгороде, затем в Ярославле.

Удивительна судьба старших братьев талантливой семьи Богдановичей!

В семье учителя Минского приходского училища и земского деятеля Адама Егоровича Богдановича и Марии Афанасьевны Мякото было три сына: Вадим (1889 г.), Максим (1891 г. – будущий выдающийся белорусский поэт), Лев (родился в городе Гродно в 1893 г.).

Раннее детство братьев было счастливым. Благоприятная атмосфера в доме, прогулки в лес, лето в деревне у бабушки, музыка, чтение книг. Дети росли в семье, в которой все способствовало пробуждению и развитию способностей детей. Прабабушка и бабушка были талантливыми сказительницами, хорошо знавшими бесконечное количество песен, сказок, легенд и народных преданий. Отец, Адам Богданович, был личностью значительной в белорусской культуре: выдающийся этнограф, фольклорист, краевед, общественный деятель, замечательный педагог. Мать, Мария Афанасьевна Мякото (из рода священников, дочь губернского секретаря), обладала большим литературным и музыкальным дарованием.

В октября 1896 года семью постигает большое горе: от скоротечной чахотки, ускоренной рождением четвертого ребенка (дочери Нины), умирает мать. Адама Егоровича переводят по службе в Нижний Новгород, где он вскоре женится на Александре Павловне Волжиной, родной сестре Екатерины Павловны Пешковой, жены Максима Горького.

В Нижнем Новгороде старшие дети (Вадим, Максим, Лев) пошли в гимназию. Именно в этом городе началась литературная деятельность Максима: появился его первый рассказ “Музыка” (“Скрипач”), который был напечатан в белорусской газете “Наша нива” в 1907 году. Но семью вновь постигает несчастье. От чахотки Епифанова Н.М. Учащиеся – авторы задач школьных учебников умирает старший сын – Вадим.

В 1908 году Адама Богдановича переводят на службу в Ярославль, где он работает в должности “непременного члена крестьянского земельного банка”, затем управляющим этого банка.

Дети посещают Ярославскую мужскую гимназию (ныне здание ЯрГУ на Красной площади).

Большая семья постоянно испытывала денежные затруднения.

(У Адама Богдановича от третьего брака (он был женат на родной сестре своей первой жены – Александре Афанасьевне Мякото) родились еще пятеро сыновей.) Поэтому Максим давал уроки детям фабриканта Дунаева; Лев, проявлявший незаурядные математические способности, был постоянным участником конкурсов задач, объявляемых журналом “Вестник Опытной Физики и Элементарной Математики”, получая за участие вознаграждение, позволявшее частично оплачивать учебу в гимназии.

После окончания гимназии Максим хотел поступать в Петербургский университет, куда он был рекомендован белорусскими издателями журнала “Наша нива” в надежде, что талантливый юноша в дальнейшем займет кафедру белоруссоведения. Но отец не отпустил сына в Петербург, ссылаясь на нездоровый климат (в старших классах гимназии у Максима были обнаружены признаки туберкулезного процесса в легких) и невозможность содержать двух студентов (на будущий год предстояло поступать в университет младшему сыну Льву). Максиму пришлось остаться в Ярославле. В 1911 году он поступил в Демидовский юридический лицей. В 1913 году в Ярославле им был подготовлен сборник стихов “Венок”, написанный на белорусском языке (единственный прижизненный сборник).

Окончив Демидовский лицей, Максим в 1916 году уехал работать в Минск. Напряженная деятельность в Минском губернском продовольственном комитете, Белорусском комитете помощи жертвам войны, материальные лишения тяжелого военного времени, бытовая неустроенность привели к обострению болезни, и сослуживцы отправили его в Ялту. Лечение не помогло. Максим Богданович умер в Ялте 25 мая 1917 года в возрасте 26 лет. Отец передал рукописи сына, чуть не сгоревшие в 1918 году во время 320 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе белогвардейского мятежа в Ярославле, Белорусской академии. В 1927 году в Минске вышло первое двухтомное собрание сочинений Максима Богдановича.

Лев Богданович, младший брат Максима, весьма способный математик, в 1912 году, окончив гимназию “с отличными успехами в науках, в особенности же в математике”, поступил на математический факультет Московского университета. Учился отлично, в Ярославль приезжал на каникулы. Когда началась Первая мировая война, Лев оставляет университет, поступает в Александровское военное училище и добровольцем идет в действующую армию.

Во время Брусиловского прорыва в 1917 году под Тернополем был ранен в ногу, отправлен сначала во фронтовой госпиталь, затем переведен в офицерский госпиталь в Киев. Трагически погиб в возрасте 25 лет в августе 1918 года. (Со слов денщика, Лев Адамович вместе с другими офицерами был выброшен большевиками в окно.) Остальные дети в семье также были не лишены таланта: Алексей был способным художником пейзажистом (умер в 27 лет от туберкулеза); Павел, человек всесторонне образованный, оригинальный, принципиальный, весьма способный математик, долгие годы работал в Ярославле преподавателем математики в школе, располагавшейся в бывшей мужской гимназии, которую окончили его талантливые братья (умер в 1967 году).

Большая и дружная семья поддерживала тесные связи со своими многочисленными родственниками. Вместе с Максимом учился в Демидовском лицее и его двоюродный брат Петр Гапанович, оставивший воспоминания о жизни братьев Максима и Льва Богдановичей. Двоюродная сестра Нюта (Анна Гапанович) увлекалась математикой и так же, как Лев, посылала решения конкурсных задач в журнал “Вестник Опытной Физики и Элементарной Математики”. (В журнале за 1910 год 9 раз можно встретить подпись – “Нюта (Нижний Новгород)”. Это единственное женское имя, встречающееся в перечне читателей, приславших решения в раздел “Задачи”.) Письма свидетельствуют, что сестра поддерживала тесные отношения со Львом даже тогда, когда он был студентом университета.

Епифанова Н.М. Учащиеся – авторы задач школьных учебников Левушка! Не будешь ли ты бесконечно любезен, не сделаешь ли одну из задач. У меня получаются ужасныя формулы, так что я в отчаяние прихожу. Из знакомых мне (... ) нижегородского математического мира никто сделать не может. Я была бы безконечно благодарна.

1. Гипотенуза равна 5 м.; биссектор большаго из острых углов равен 25. Найдите катеты.

2. В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ=АС=а. Через точку А проведена хорда АК=в, которая пересекает ВС в точке М. Найдите АМ. Ответ a2 /в.

Сам Адам Егорович Богданович, являясь довольно колоритной личностью для Ярославля той поры (этнограф, библиограф, в 1920–1931 годах – заведующий научной библиотекой Ярославского государственного музея, один из организаторов секции краеведения ЯЕИКО), был и прекрасным отцом, заботящимся о здоровье своих детей, следящим за их духовным развитием. Его письма к детям дышат любовью и уважением.

Милый Лева! Вот видишь – и простудился. А что я тебе говорил?

Впредь будь осторожнее. Сожалею, что университет не доставил тебе такого удовольствия, какого хотелось бы. Что делать. Старайся использовать с наибольшей выгодой то, что он дает: иначе жалко было бы времени, здоровья, средств. Плохо то, что ты, как говоришь, меньше занимаешься, чем дома. Если этому виной особенности твоей квартиры, то ищи другую: время у тебя есть.

Дорогой сынок! Твоя болезнь меня сильно опечалила. Особенно простуда, одевайся потеплее, носи шерстяные носки и фуфайку. Купи себе на завтрак и ужин масло и грудинку. Я тебе прибавлю на этот расход рублей пять. Далеко ли до столовой?

... Лессинга читай: важны его принципы искусства, а примеры хотя он берет из неведомых тебе произведений, но приводит полностью.

Лед у нас сломало, но затор образовался. Жаворонок. Тоже хорошая погода.

Сынок! Меня удивляет твой отзыв о переводе Мицкевича. Ты просто не умеешь читать стихов и не понимаешь красоты такого проГлава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе изведения, как Пан Тадеуш. Ну, не беда; все придет в свое время. Ты ведь вообще развивался своеобразно: односторонне, а потому в других отношениях медленно.

Адам Егорович умер в 1942 году, похоронив 9 из 12 своих детей.

Имя Максима Богдановича принадлежит истории. Его знаменитая “Лявониха” стала уже белорусской народной песней. Гимн Белоруссии также принадлежит перу поэта.

Имя Льва Богдановича тоже не должно быть забыто, так как задачи, придуманные девятнадцатилетним юношей, входят во многие математические сборники.

Например, в 1913 году в 582 номере журнала “Вестник Опытной Физики и Элементарной Математики” на странице 172 под номером 96 была напечатана за подписью “Л. Богданович” следующая задача: доказать справедливость неравенства ha + hb + hc 9r, где ha, hb, hc, r – суть высоты и радиус вписанного круга некоторого треугольника.

В сборнике В.В. Прасолова [3] в главе 10 под номером 10. приводится текст аналогичной задачи: докажите, что ha +hb +hc 9r.

Интересно сравнить решения данной задачи, предложенные авторами. Решение В.В. Просалова более изящно. Решение, предложенное Львом Богдановичем, – позволяет, закономерность (неравенство (1)), увиденную автором, использовать применительно к другим элементам треугольника;

– свидетельствует о прекрасном знании им алгебраического и геометрического материала курса математики, а также о владении гимназистом основными приемами исследовательской и творческой деятельности (умением последовательного, правильного расчлененного логического рассуждения; умением ставить новые вопросы; умением сопоставлять выводы; умением анализировать;

умением вычленять и устанавливать зависимости между различными элементами чисел и геометрических фигур; точно, сжато, словесно ясно выражать мысли).

Епифанова Н.М. Учащиеся – авторы задач школьных учебников Задачи, предложенные юным автором в 1910–1912 годах читателям журнала “Вестник Опытной Физики и Элементарной Математики”, по теме “Вневписанная окружность” вошли во многие современные сборники олимпиадных задач. Например:

1. Доказать следующее предложение: если в треугольнике ra r = 2R, где ra, r, R суть радиусы кругов вневписанного, вписанного и описанного, то это треугольник прямоугольный.

2. Доказать тождество, где ra, r, R суть радиусы кругов вневписанного, вписанного и описанного треугольника, а p – полупериметр данного треугольника:

Вызывают восхищение – лаконичность, строгость выводов в приводимых автором решениях задач по темам “Ряды”, “Комбинаторика”, “Тригонометрия”;

– важность подмеченных гимназистом, студентом 1–2 курсов университета математических закономерностей;

– редкое умение “сочинять задачи”. (В 1910 году автором было предложено для решения читателям журнала 20 оригинальных задач, в 1911 году 26 задач... ) “До какого совершенства дошли бы его способности, если бы он получил образование и имел случай чаще упражнять их”, – писал о своем сыне Адам Егорович.

Нерукотворным памятником этому талантливому юноше служат его задачи, решаемые нынешним поколением школьников.

1. Астафьев А.В., Астафьева Н.И. Писатели Ярославского края.

Ярославль, 1990. 400 с.

324 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе 2. Вестник Опытной Физики и Элементарной Математики. Одесса, 1910–1913.

3. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии: В 2-x ч. Ч. 1: Учеб.

пособие. 3-е изд., стер. М.: Наука, Физматлит, 1995. 320 с.

Дифференциация и интеграция математических знаний в процессе решения профессионально-ориентированных экономических задач Е.Н. Трофимец, В.Я. Трофимец В современных условиях рыночной экономики существенно возросли требования к качеству подготовки выпускников экономических специальностей вузов, которые должны уметь решать не только типовые задачи учетно-расчетного характера, при решении которых доминирующую роль играет операционная составляющая, но также и сложные задачи аналитического характера, при решении которых доминирующую роль играет интеллектуальная составляющая, базирующаяся на умении анализировать текущее и прогнозировать будущее состояние экономических объектов и процессов, мыслить и действовать в изменяющихся условиях, моделировать и находить оптимальные решения, основанные на применении современных математических моделей и методов. Наиболее известными, из последних являются: оптимизационные модели и методы (в частности ассортиментная задача Канторовича, транспортная задача, задача о назначениях и др.), балансовые модели (в частности модель межотраслевого баланса Леонтьева, модель соотношения национальных доходов стран), модели теории вероятности и математической статистики.

Данное обстоятельство нашло свое отражение в Государственном образовательном стандарте, где определены достаточно высокие требования к уровню математической подготовки современного специалиста финансово-экономического профиля. При этом изучение математических дисциплин призвано раскрыть не только содержание собственно математических знаний, но и установить тесные интегративные связи со специальными дисциплинаТрофимец Е.Н., Трофимец В.Я. Дифференциация и интеграция математических знаний в процессе решения профессионально-ориентированных экономических задач ми, особенно с теми, изучение которых сопровождается решением профессионально-ориентированных задач с использованием экономико-математических методов и моделей. Основная интегративная роль здесь принадлежит математике. Поэтому первоочередной задачей математической подготовки в вузах на экономических специальностях, на наш взгляд, является обучение будущего специалиста умению разрабатывать или обоснованно выбирать математические модели и применять математические методы для решения практических задач будущей профессиональной деятельности.

Анализ современного состояния проблемы интеграции математических знаний позволяет констатировать, что в настоящее время заметно усилился интерес ученых к исследованию данной проблемы и ряду смежных вопросов. При этом исследования проводятся, главным образом, в рамках следующих научных направлений: реализация внутри- и межпредметных связей, разработка интегрированных курсов, формирование прикладной направленности в обучении математике, укрупнение дидактических единиц, разработка форм и средств интеграции математических знаний, наглядномодельное исследования учебно-познавательной деятельности.

На основе проведенного анализа научных трудов, Государственного образовательного стандарта, учебных и рабочих программ было установлено что:

а) к настоящему времени еще не достаточно разработаны педагогические условия, методы и формы реализации интегративной направленности обучения математике при моделировании экономических процессов и явлений;

б) в теории и практике обучения математике еще не сформировалось понимания сущности, характеристик и критериев интеграции математических знаний на основе наглядного моделирования.

Это, в свою очередь, порождает противоречие между органически целостной структурой и сущностью математического знания и наличием традиционно формализованной на данный момент системы обучения математике студентов экономических специальностей вузов.

Технология наглядного моделирования применяется в процесГлава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе се обучения математике студентов экономических специальностей Ярославского государственного технического университета (ЯГТУ), Международного университета бизнеса и новых технологий (института) (МУБиНТ) Ярославского филиала Московской финансово-юридической академии (ЯФ МФЮА) при решении профессионально-ориентированных экономических задач (ПОЭЗ).

Для решения некоторых ПОЭЗ необходимо использовать сложные наукоемкие экономико-математические методы, требующие проведения большого объема вычислительной работы. Для решения подобного рода задач целесообразно использовать компьютер, а занятия проводить в аудиториях, оснащенных средствами вычислительной техники.

Рассмотрим более подробно одну из таких профессиональноориентированных задач, для объяснения решения которой используется табличный процессор Microsoft Excel. Предлагаемая задача связана с оценкой рисков инвестиционных проектов и имеет важную прикладную направленность. Для решения задач по оценке рисков в современной финансово-экономической практике используются различные методы, которые рекомендованы такими организациями как UNIDO (Организация объединенных наций по промышленному развитию), Министерство финансов, Министерство экономики, Госстрой. Одним из наиболее эффективных, но одновременно и одним из наиболее сложных методов является метод имитационного статистического моделирования (или метод МонтеКарло), который используется в процессе решения рассматриваемой задачи.

Постановка задачи. Для производства некоторой продукции “Х” планируется привлечение инвестиций из внебюджетных источников. В процессе предварительного анализа выявлены параметры проекта, часть из которых экспертами-аналитиками была отнесена к детерминированным, а часть – к случайным (стохастическим), см. рис. 1. Для случайных параметров проекта определен возможный интервал их вариации (прогнозируемые max и min значения).

Трофимец Е.Н., Трофимец В.Я. Дифференциация и интеграция математических знаний в процессе решения профессионально-ориентированных экономических задач Требуется ответить на вопрос, следует ли принимать данный проект к реализации и какова вероятность того, что проект окажется убыточным?

Прежде чем переходить к демонстрации решения задачи в среде табличного процессора Microsoft Excel, рассмотрим, какое место занимают процессы дифференциации и интеграции математических знаний в ходе её решения.

Следует отметить, что ввиду того, что задача имеет сложный междисциплинарный характер, то при её решении наблюдается несколько уровней дифференциации.

Первый уровень дифференциации происходит на уровне учебных дисциплин, так как для решения задачи требуются знания из различных дисциплин, основными из которых являются: экономическая теория, математика, финансово-экономические расчеты, эконометрика, информатика.

328 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе Второй уровень дифференциации связан с особенностью решения задачи методом Монте-Карло. Для реализации этого метода необходимо разработать три модели: модель воздействий случайных факторов, модель экономической системы и модель статистической обработки. На этом этапе модели пока имеют только самое общее (абстрактное) представление и не реализованы в виде конкретных математических моделей. Для построения таких моделей необходимо отобрать соответствующие математические знания, что ведет к третьему уровню дифференциации.

Третий уровень дифференциации – дифференциация на уровне математических знаний. Так, базовыми знаниями, которые необходимы для построения модели воздействий случайных факторов являются: понятие случайной величины; вероятностные законы распределения; предельные теоремы теории вероятности; методы моделирования случайных величин. Базовыми знаниями, которые необходимы для построения модели экономической системы являются: схема наращения; схема дисконтирования; геометрическая прогрессия; логарифмы; количественные методы оценки инвестиционных проектов. Базовыми знаниями, которые необходимы для построения модели статистической обработки, являются: методы статистического оценивания числовых характеристик случайных величин; методы проверки статистических гипотез.

Последовательное изучение и применение отобранных знаний в соответствии с логикой решения задачи определяют суть процесса интеграции математических знаний. В рассматриваемой задаче результатом процесса интеграции математических знаний являются математические модели, которые, в отличие от абстрактных моделей 2-го уровня дифференциации, имеют конкретное наполнение в виде совокупности математических выражений. Таким образом, можно сказать, что в процессе интеграции математических знаний происходит трансформация абстрактных моделей в математические модели, которые в рассматриваемой задаче представляют собой:

1) модель воздействий случайных факторов – это модель (поле) имитации стохастических параметров инвестиционного проекта;

2) модель экономической системы – это модель оценки эффекТрофимец Е.Н., Трофимец В.Я. Дифференциация и интеграция математических знаний в процессе решения профессионально-ориентированных экономических задач тивности инвестиционного проекта по показателю NPV (net present value – чистая современная стоимость);

3) модель статистической обработки – модель статистической оценки стохастических параметров проекта.

Разработанные модели должны быть объединены в единую комплексную модель, что можно рассматривать как 2-ой уровень интеграции. Работа с комплексной моделью, в общем-то, и позволяет решить рассматриваемую задачу.

Следует отметить, что здесь также можно выделить и третий уровень интеграции – интеграцию на уровне дисциплин, так как полученные знания могут в последующем использоваться обучаемыми при изучении таких дисциплин, как финансовый анализ, управление проектами, ценные бумаги, инвестиции, бизнеспланирование.

Таким образом, весь процесс решения рассматриваемой задачи распадается на ряд последовательных этапов дифференциации и интеграции, ключевыми из которых являются этапы дифференциации и интеграции математических знаний.

Разработанные на уровне интеграции математических знаний модели достаточно легко реализуются программным образом в среде табличного процессора Microsoft Excel.

1. Макарова Н.В., Трофимец В.Я. Статистика в Excel. М.: Финансы и статистика, 2002. 365 с.

2. Монахов В.М. Технологические основы проектирования и конструирования учебного процесса. Волгоград, 1995. 152 с.

3. Подготовка учителя математики: Инновационные подходы:

Учеб. пособие / под ред. В.Д. Шадрикова. М.:Гардарики, 2002.

4. Трофимец Е.Н. Наглядное моделирование экономических явлений и процессов как средство интеграции математических знаний в процессе обучения математике студентов экономических специальностей вузов. Дисс.... канд. пед. наук. Ярославль, 2004. 194 с.

330 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе Применение имитационного статистического моделирования в процессе обучения математике студентов-экономистов Е.Н. Трофимец, В.Я. Трофимец Современный специалист в области экономики немыслим без активного владения методами и средствами информатики и такой специалист не может быть подготовлен без систематического использования ЭВМ в учебном процессе.

Информатизация высшего образования – это реализация комплекса мер, направленных на повышение уровня подготовки специалистов путем расширения сферы использования вычислительной техники и компьютерных технологий в учебной и научноисследовательской работе, в управлении учебным процессом.

Информатизация создает дополнительные возможности для стимулирования у студентов творческого мышления, усиливает значимость их самостоятельной работы. Упрощаются контроль и самоконтроль самостоятельной работы студентов. Повышается уровень индивидуальной работы преподавателя, изменяется соотношение между интеллектуальной и рутинной составляющими в учебной работе. Естественный шаг в компьютеризации учебного процесса – передача компьютеру некоторых функций преподавателя. Реализовать этот процесс можно с помощью обучающих компьютерных программ, которые естественно рассматривать как средства обучения, дополняющие традиционные формы преподавания.

Что касается роли компьютера в совершенствовании навыков моделирования, то его использование на занятиях математики определяется как обращение к задачам прикладного и исследовательского характера, задачам, возникающим на стыке различных дисциплин, требующим для своего решения владения приёмами математического моделирования. Это позволит в дальнейшем совершить плавный переход к обучающим программам моделирования конкретных экономических ситуаций в курсе специализированных математических дисциплин, допускающих наличие случайных факторов, то есть создаст почву для овладения навыками Трофимец Е.Н., Трофимец В.Я. Применение имитационного статистического моделирования в процессе обучения математике студентов-экономистов имитационного моделирования.

В контексте вышесказанного проведем характеристику и демонстрацию имитационного статистического моделирования конкретной экономической ситуации в среде табличного процессора Microsoft Excel.

Постановка задачи рассматривалась в статье: “Дифференциация и интеграция математических знаний в процессе решения профессионально-ориентированных экономических задач” настоящего сборника научных трудов, поэтому целесообразно сразу же перейти к разработке модели экономической системы.

1. Разработка модели экономической системы. В качестве критерия эффективности инвестиционного проекта в предлагаемой модели используется показатель NPV (net present value – чистая современная стоимость), идея которого заключается в том, чтобы найти разницу между инвестиционными затратами и будущими доходами, выраженную в скорректированной во времени (как правило, к началу реализации проекта) денежной величине где PV – современная стоимость денежного потока; I0 – сумма первоначальных инвестиций.

Для расчета современной стоимости денежного потока используются формулы:

При разработке модели было принято допущение, что генерируемый проектом поток платежей имеет вид аннуитета.

Не вдаваясь в детальное рассмотрение, следует только отметить, что если N P V > 0, то проект приносит доход, в противном случае убыточен (чем больше N P V, тем лучше, при незначительном положительном NPV, по всей видимости, также нет смысла рисковать капиталом).

332 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе Ключевые математические формулы, использованные для расчета NPV приведены на листе “Исходные данные”.

При разработке модели принято допущение, что генерируемый проектом поток платежей имеет вид аннуитета.

2. Разработка модели воздействий случайных параметров проекта. Модель воздействий случайных параметров проекта разработана на листе “Поле имитации”. Принято допущение, что все случайные параметры имеют равномерное распределение.

Случайные числа генерировались с использованием функции СЛЧИС(). В учебных целях модель реализована в нескольких вариантах, отличающихся размерностью (от 100 до 5000 элементов).

Зная, что распределения равномерные, казалось бы можно легко посчитать среднее значение NPV без всякого моделирования.

Действительно это так. Но без моделирования вероятность риска рассчитать не удастся. Более того, ниже будет показано, что полученное среднее значение окажется излишне оптимистичным (завышенным). При принятии решения следует опираться на наиболее вероятное (модальное) значение, которое окажется меньше среднего.

3. Разработка модели статистической обработки. Данная модель достаточна сложна и фрагментарно представлена на нескольких листах. О ней будет сказано ниже на этапе статистического анализа.

4. Имитационное статистическое моделирование экономической системы. Имитационное статистическое моделирование проекта заключается в прогонах разработанных моделей (F9).

Так как модель имеет существенную размерность (до 5000), то можно ограничиться несколькими прогонами (в нашем случае 10, для размерности 5000 получаем 50000 испытаний). На листе “Поле имитации” убыточные проекты (N P V < 0) отображаются кирпичным цветом. Чтобы сгладить возможные отклонения (см. примеры выше), модель прогонялась 10 раз и рассчитывалось среднее по прогонам (лист “Результаты прогонов”).

Ниже представлена таблица и графики рассчитанной доверительной вероятности – можно пропустить.

Трофимец Е.Н., Трофимец В.Я. Применение имитационного статистического моделирования в процессе обучения математике студентов-экономистов Лист “Диаграмма 5 прогонов” показывает, что с ростом числа генерируемых точек (проектов) оценки стабилизируются вокруг среднего (математического ожидания), т.е. наступает стационарный процесс.

Лист “Дисперсия прогонов” показывает, что “нужно вовремя остановиться”, т.е. последующий существенный рост размерности модели приводит к несущественному увеличению точности результатов.

5. Статистический анализ результатов моделирования.

На листе “Результаты моделирования” рассчитаны выходные параметры проекта (для размерности модели 5000). Важнейшими являются – “Среднее NPV ” (около 4600, что говорит о хорошей эффективности проекта – 150% от первоначальных вложений за 3 года) и “Вероятность N P V < 0” (около 7%, что свидетельствует о незначительном риске).

Тем не менее, последующий анализ, основанный на построении функции плотности распределения NPV (детали опускаем) показывает (лист “Распределение NPV )”, что распределение NPV имеет правостороннюю асимметрию, поэтому наиболее вероятное (модальное) значение NPV меньше среднего (около 3700). При принятии решения следует ориентироваться на модальное значение NPV.

Чтобы узнать о параметрах проекта можно воспользоваться автофильтром на листе “Поле имитации” (лучше для размерности модели 5000). Например, рассмотрим проекты с NPV, близкими к модальному, т.е. от 3690 до 3710 – получим около 10–15 проектов). Некоторые из отобранных проектов, по всей видимости, могут быть исключены из последующего рассмотрения, как не в полной мере соответствующие на данный момент конкретным сложившимся внутренним и внешним обстоятельствам.

Заметим также, что помимо рассмотренной прикладной задачи, табличный процессор Microsoft Excel используется также для проведения занятий по теоретическим основам метода Монте-Карло, в частности для демонстрации основных принципов имитационного моделирования и экспериментального подтверждения ряда предельных теорем теории вероятности, в частности, теорем ЧебышеГлава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе ва, Бернулли, Ляпунова.

1. Макарова Н.В., Трофимец В.Я. Статистика в Excel. М.: Финансы и статистика, 2002. 365 с.

2. Монахов В.М. Технологические основы проектирования и конструирования учебного процесса. Волгоград, 1995. 152 с.

3. Подготовка учителя математики: Инновационные подходы:

Учеб. пособие / под ред. В.Д. Шадрикова. М.:Гардарики, 2002.

4. Трофимец Е.Н. Наглядное моделирование экономических явлений и процессов как средство интеграции математических знаний в процессе обучения математике студентов экономических специальностей вузов. Дисс.... канд. пед. наук. Ярославль, 2004. 194 с.

О введении в математический анализ О.С. Ивашев-Мусатов При изложении теории пределов все мы находимся под гипнозом математиков. Но студентами нематематических специальностей (особенно слабыми в математике) все это воспринимается как пустая схоластика и не формирует никаких реальных образов. Для этого контингента изучение математического анализа удобнее начинать с наблюдения, которое всем понятно: есть линии, которые можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги. Таковы окружность, ломаная, прямая, траектория движущейся точки и т.п. Когда рисуются эти линии движение карандаша не прерывается. Поэтому такие линии принято называть непрерывными.

I. История развития науки и техники показала, что непрерывные линии играют фундаментальную роль. Например, температура в комнате изменяется со временем t вполне определенным образом, т.е. переменная есть функция переменной t : = (t).

Ивашев-Мусатов О.С. О введении в математический анализ Автомат-самописец, записывающий изменения температуры с течением времени t, выдаст на ленте непрерывную линию (поскольку температура не изменяется мгновенно). Эта линия – график функции (t). Поэтому про функцию (t) говорят – “непрерывная функция”.

Аналогичное положение с давлением p воздуха – это функция времени t, т.е. p = p(t). Ясно, что p(t) – непрерывная функция. И подобное наблюдается повсеместно.

Таким образом возникло понятие о непрерывной функции: функцию f называют непрерывной, если ее график – непрерывная линия, т.е. его можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги.

Уже такое наглядное представление о непрерывной функции позволяет уяснить ее простейшие свойства. Так, если функция f непрерывна на отрезке [a, b], т.е. ее график можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, начиная с точки (a, f (a)) и кончая точкой (b, f (b)) (рис. 1), то:

1) если числа f (a) и f (b) разных знаков, то f (x) = 0 хотя бы при одном x из интервала (a, b). На рис. 1 таких точек три: x1, x2, x3 ;

2) на отрезке [a, b] функция f имеет наибольшее и наименьшее значения: на рис. 1 число f (a) – наименьшее значение f на отрезке [a, b], число f (x4 ) – наибольшее значение f на отрезке [a, b], т.е. при любом x из отрезка [a, b] выполнены неравенства f (a) f (x) 336 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе f (x4 ).

II. Эти наглядно ясные факты конечно требуют строгого доказательства. Но такое доказательство можно дать только после того, как понятию непрерывности функции будет дано полное математическое определение. Чтобы получить его,надо провести средствами математики анализ наглядных соображений, приведенных выше. Коротко говорят: проведем математический анализ подмеченного. При этом будет удобно воспользоваться приближенными вычислениями.

В общем случае положение аналогично. Пусть фушсция f непрерывна на интервале (т.е. ее график над этим интервалом можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги), и надо вычислить f (a) для числа a из этого интервала. Для этого берут x a и считают, что f (x) f (a). При этом непрерывность функции вселяет уверенность в том, что чем точнее приближенное равенство x a, тем точнее приближенное равенство f (x) f (a), и точность последнего может быть получена любой при повышении точности Геометрически это ясно из рис. 2, где приведен график функции f и процесс вычисления f (a) и f (x).

Точность приближенного равенства x a есть число |xa|. Это длина отрезка [x, a], выделенного на оси Ox. Аналогично, точность приближенного равенства f (x) f (a) есть число |f (x) f (a)|.

Это длина отрезка, выделенного на оси Oy – отрезок [f (x), f (a)].

Ивашев-Мусатов О.С. О введении в математический анализ Из рисунка видно: чем короче отрезок [x, a], тем короче отрезок [f (x), f (a)], и его длину можно сделать как угодно малой за счет уменьшения длины отрезка [x, a]. В терминах приближенных вычислений это означает: приближенное равенство f (x) f (a) можно получить с любой точностью за счет повышения точности приближенного равенства x a.

Коротко говорят: если функция f непрерывна в точке a, то f (x) f (a) с любой точностью при x a.

III. Вот это свойство непрерывной функции было принято за основу определения после придания наглядной формулировке этого свойства математического содержания. Для этого вспомним:

точность приближенного равенства характеризуется положительным числом (с точностью до 0,001 или с точностью до 0,00001 и т.п.). В приведенной формулировке есть два приближенных равенства. Точность приближенного равенства x a характеризуется одним положительным числом, которое по традиции обозначают греческой буквой “дельта”. Точность приближенного равенства f (x) f (a) характеризуется другим (как правило) положительным числом, которое по традиции обозначается греческой буквой “эпсилон”. При этом: точность приближенного равенства f (x) f (a) мы хотим получить любой, т.е. число > 0 задается любым (у инженеров и вычислителей указывается в задании – в вычислениях гарантировать точность 0,001 и т.п.), а число > надо подобрать так в зависимости от заданного (точки a и функции f ), чтобы выполнялось условие: если точность приближенного равенства x a меньше, то точность приближенного равенства f (x) f (a) должна быть меньше.

Итак, мы подошли к определению непрерывности функции в точке: функция f непрерывна в точке a, если для любого положительного числа можно подобрать такое положительное число, что при любом x из неравенства |xa| < о следует неравенство |f (x) f (a)| <.

Добавим к этому определению: при любых x, удовлетворяющих неравенству |x a| <, функция определена, т.е. функция f должна быть определена в некоторой окрестности точки a.

338 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе Пример.1 Линейная функция f (x) = kx + b непрерывна в любой точке a R.

При доказательстве фиксируем любую точку a R. Для произвольно взятого числа > 0 число > 0 подбираем следующим образом:

Из полученного неравенства видно: если взять = |k|+1, то при любом x из неравенства |x a| < следует неравенство |f (x) f (a)| <. Таким образом доказано, что для любого числа > можно подобрать число > 0 (в этом примере = |k|+1 > 0) так, что выполнены условия, указанные в определении. Непрерывность линейной функции в выбранной точке a R доказана. Отсюда получаем непрерывность в любой точке a R.

Пример 2. Функция синус непрерывна в любой точке a R.

Фиксируем любое число a. Для произвольно взятого числа > 0 число > 0 подбираем, пользуясь определением синуса числа:

длина дуги (рис. 3) BM = t, длина дуги BN = a, тогда отрезка [sin t, sin a] на оси Oy, этот отрезок – проекция хорды M N, которая короче дуги M N.

Ивашев-Мусатов О.С. О введении в математический анализ Отсюда видно, что можно взять =. Тогда для любого числа t из неравенства |ta| < будет следовать неравенство | sin tsin a| <.

Непрерывность синуса в точке a доказана. Точка же a была взята любой из множества R.

В процессе разбора примеров и доказательства теорем постепенно осваивается определение непрерывности функции в точке.

Используя логические символы, определение непрерывности функции в точке может быть записано так:

Буквы def над указывают на то, что это определение (def – сокращение английского слова denition – определение), т.е. знак def заменяет слова “по определению, тогда и только тогда”.

Развитие науки и техники показало, что большую роль играет понятие предела функции, которое можно трактовать как обобщение понятия непрерывности функции в точке.

Начну с наглядного примера. Здравый смысл подсказывает, что малая дуга окружности и ее хорда почти совпадают (рис. 4), т.е.

AB 1 с любой точностью при малой дуге AB.

340 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе Если центральный угол дуги AB равен 2x радиан, то AB = R · 2x, AB = 2R sin x и потому sin x 1 с любой точностью при малых x. Это же можно заметить и по таблицам.

Проведем теперь полное математическое доказательство сделанного утверждения. Зафиксируем число x R. На рис. 5 проведена дуга окружности радиуса R с центром O, касательная к ней, A – точка касания.

Сравнивая площади двух треугольников и сектора окружности получаем: SOAB < Sс.OAB < SOAC 2 R2 sin x < 1 R2 x < 2 R tg x, откуда следует:

Все члены последнего неравенства – четные функции. Поэтому оно Ивашев-Мусатов О.С. О введении в математический анализ x = 0. Для таких x в силу неравенства (2) получаем:

Отсюда видно: sin x 1 с любой точностью при x 0 и x = 0.

В самом деле, если |x| < 0, 01, то sin x 1 < 0,0001, если |x| < 0, 001, то sin x 1 < 0,000001 и т.д. Это очень похоже на непрерывность функции y = sin x в нуле, если бы она была там определена и имела значение 1. Но она в 0 не определена. Поэтому говорить о ее непрерывности в 0 нельзя. Вместо этого говорят:

“функция y = sin x при x, стремящемся к 0, имеет предел, равный 1” и пишут Говорят также: “функция y = sin x стремится к 1 при x, стремяx щемся к 0” и пишут sin x 1 при x 0. Здесь (и выше) знак “” заменяет слово “стремится”.

Оказалось, что при решении многих задач (нахождение мгновенной скорости, ускорения и пр.) возникает аналогичная ситуация: для функции f можно подобрать такое число A, что f (x) A с любой точностью при x a и x = a. Тогда число A называют пределом функции f при x, стремящемся к a, и пишут:

Это положение сходно с тем, что привело к определению (1), только f (a) надо заменить числом A и сделать оговорку x = a.

Итак, мы подошли к определению предела функции в точке:

(Оговорка x = a учтена неравенством 0 < |x a|.) Таким образом, о пределе функции в точке a (или при x a) можно говорить только в том случае, когда функция определена в окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a.

342 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе Сравнивая (1) и (5) получаем:

После (1), (5) и (6) обычным образом формулируются и доказываются теоремы о пределах и непрерывных функциях. Это есть в любых учебниках и нет нужды здесь на этом останавливаться.

Технологический подход к обучению в профессиональном учебном заведении О.Б. Епишева Одним из условий достижения основной цели модернизации российского образования – его современного качества [5, 10], как показано во многих педагогических исследованиях [1, 2, 6–8, 11], является теоретическая разработка и внедрение в практику работы учебных заведений педагогической технологии. Технология обучения является развитием традиционной методики обучения и, в отличие от нее, дает инструментарий достижения планируемых целей образования. Это объясняется тем, что она представляет собой такой уровень методики, который трансформирует ее теоретические закономерности в систему совместной практической деятельности всех участников учебно-воспитательного процесса, в проект методической системы, содержащий описание процесса достижения планируемых результатов обучения (В.П. Беспалько, В.М. Монахов) и процедур совместной деятельности учителя (преподавателя) и учащихся (студентов).

В профессиональном образовании проблема достижения высокого уровня подготовки компетентного специалиста обострилась и в связи с намерениями вхождения России в мировое образовательное пространство и повышением уровня требований к стандартам инженерного образования. В качестве примера приводим разработанный Ассоциацией инженерного образования России вариант стандартов для аккредитации инженерных программ двух циклов – первого (FCD) и второго (SCD). Эти стандарты представляют собой адаптированные и модифицированные версии формулировок Епишева О.Б. Технологический подход к обучению в профессиональном учебном заведении требований к выпускникам, используемых в существующих системах аккредитации европейских стран и в странах Вашингтонского соглашения. Результаты обучения по этим программам (как умения выпускника) описываются в терминах задач и видов деятельности разного уровня сложности, которые выпускники должны решать (табл. 1 и 2), применимы ко всем инженерным программам и должны быть дополнены специальными требованиями в зависимости от дисциплин [3].

344 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе Академические результаты обучения 1. Знания в Применять знания ма- Применять знания маобласти тематики, естествен- тематики, естественинже- ных, общеинженерных ных, общеинженерных нерных и специальных наук в и специальных наук наук инженерной практике, для разработки консистемах, процессах цепций инженерных 2. Анализ Определять, форму- Определять, формупроблем лировать проблему, лировать проблему, 3. Проекти- Находить решения для Находить решения рование задач средней слож- для сложных задач /выра- ности и участвовать и проектировать сиботка в проектировании си- стемы, их компоненты решений стем, их компонентов или процессы с учетом или процессов с уче- вопросов здравоохратом вопросов здраво- нения и безопасности, охранения и безопасно- культурных, социальсти, культурных, соци- ных, экологических Епишева О.Б. Технологический подход к обучению в профессиональном учебном заведении 4. Проведе- Проводить исследо- Проводить исследование вания задач средней ния сложных задач, исследо- сложности, система- в том числе, путем ваний тизировать, находить проектирования экспеи выбирать необхо- риментов, анализа и и специализированной для получения обоснолитературы; проекти- ванных выводов эксперименты для получения обоснованных 5. Использо- Выбирать и использо- Создавать, выбирать вание вать соответствующие и использовать соотсовре- ресурсы, современные ветствующие ресурсы, менных методики и оборудова- современные методики методов ние, включая прогно- и оборудование, вклюзирование и моделиро- чая прогнозирование Личностные результаты обучения 1. Индивиду- Эффективно работать Эффективно работать команде разнотипных команд в качестве лидера или 346 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе 2. Общение Эффективно общаться Эффективно общаться способным понимать, писать рабочие отчеписать рабочие от- ты, вести документачеты, разрабатывать цию, делать содержадокументацию, де- тельные презентации, 3. Взаимо- Демонстрировать по- Демонстрировать подействие нимание социальных, нимание социальных, обще- вопросов здравоохра- вопросов здравоохраством нения и безопасности и нения и безопасности и осознание ответствен- осознание ответственности за последствия ности за последствия 4. Этика Понимать ответствен- Понимать ответственность и следовать эти- ность и следовать этике и нормам инженер- ке и нормам инженерной деятельности ной деятельности 5. Окружа- Понимать влияние ин- Понимать влияние инющая женерных решений в женерных решений в среда и социальном контексте социальном контексте Епишева О.Б. Технологический подход к обучению в профессиональном учебном заведении 6. Управле- Демонстрировать осве- Демонстрировать освение домленность и понима- домленность и понимапроек- ние в сфере менедж- ние в сфере менеджтами и мента и бизнеса, такие мента и бизнеса, такие финансы как риск, возможные как риск, возможные турные ональной среде с по- интернациональ-ной компе- ниманием культурных, среде с пониманием 8. “Обучение Осознавать необходи- Осознавать необходичерез мость и иметь способ- мость и иметь способвсю ность самостоятельно ность самостоятельно Традиционная дидактическая система, которой исполнилось уже 350 лет, в настоящее время уже недостаточна для решения задач модернизации образования, что объясняется такими ее особенностями, как а) ведущая роль теоретических знаний в содержании обучения, б) преобладание объяснительно-иллюстративного способа обучения, в) как следствие – ориентация учебного процесса на деятельность учителя (например, цели обучения выражены в действиях учителя – “ознакомить учащихся с...”, “решить с учащимися задачи” и т.п.), г) как следствие – отсутствие акцента на учебную деятельность обучаемых, и д) как результат, – доминирование у них памяти над мышлением, низкий уровень самостоятельности и результативности учебной деятельности.

“Традиционность” существующей дидактической системы в вуГлава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе зе и привычка к ней преподавателей не позволяет сегодня получить существенно лучшие результаты образования. Педагогика высшей школы сегодня исходит из того, что методы обучения в вузе, ориентированные на объяснение педагога, формируют интеллектуальную пассивность и ограничивают творческие способности студента; таким образом, время их обучения используется неэффективно.

Основной технологической процедурой является проектирование образовательных целей, которые являются ключом к проектированию всей технологии (всех ее технологических процедур).

Это соответствует и стратегии модернизации образования, которая говорит о необходимости положить в основу обновления образования планируемые цели (характеристики результата “на выходе”) и только после этого формировать само содержание образования “на входе” [10. C. 15]. Цели образования должны быть представлены не в объектно-знаниевой, а в деятельностной форме (выражены в действиях ученика или эталонах этих действий), что определяет деятельностный характер образовательного стандарта и содержания образования [10. C. 25]. При этом можно проектировать три традиционные группы образовательных целей: 1) учебные цели (а не обучающие, т.к. они являются целями не учителя, а ученика, целями его учебной деятельности); 2) цели развития (развивающие цели) и 3) цели воспитания (воспитательные цели). В психолого-педагогических исследованиях давно показано, что эффективность достижения учебных (обучающих) целей образования в значительной степени зависит от достижения развивающих и воспитательных целей, а в новой концепции и стратегии модернизации образования последние являются приоритетными, т.к. их достижение определяет так называемую “обучаемость” ученика, т.е.

его способность к усвоению изучаемого материала. Если цели образования определены и сформулированы неверно, то по результатам их достижения ни о каком качестве не может идти речь [9. C. 21].

При конкретизации целей обучения в профессиональном учебном заведении их необходимо также соотнести с особенностями будущей профессии (специальности). Результаты исследований сущности профессиональной деятельности показывают, что ее психологическая основа как система, имеет такую же структуру, как Епишева О.Б. Технологический подход к обучению в профессиональном учебном заведении и учебная деятельность. Это – мотивы, цели, программа деятельности, информационная основа деятельности, принятие решений, подсистема профессионально важных качеств и способностей личности; при этом профессиональные способности рассматриваются как общие способности, приобретшие черты оперативности под влиянием деятельности, что может быть ориентиром для проектирования целей развития и воспитания в этом вузе [12]. Цели профессионального образования должны быть компонентами профессиональной компетентности специалиста и стандартов инженерного образования (табл. 1 и 2).

Вторая технологическая процедура – проектирование на основе полученных целей содержания обучения в деятельностной форме, которое получается переводом спроектированных целей в адекватные им предметные (математические, технические и т.д.) и учебные задачи. Эти задачи предъявляются обучаемым в виде учебных заданий во всех видах учебной деятельности; они должны составлять постоянно пополняемый банк учебных заданий, из которого, в частности, формируется и тестовый фонд.

Согласно правительственной стратегии обновления образования – усилению деятельностного подхода к обучению, проектирование всех остальных компонентов системы обучения осуществляется также на основе этого подхода. В частности, необходима “деятельностная формулировка ключевых компетентностей” [10. C. 20], проектирование всего хода учебного занятия, оценка текущих результатов, коррекция обучения, направленная на достижение обучаемыми запланированных целей [7].

После диагностики готовности обучаемых к учебной деятельности (входной контроль) проектируется учебный процесс – его структура (этапы), содержание и методический инструментарий (методы, формы и средства его организации, контроля, коррекционной работы и оценки результатов обучения), организующий учебную деятельность учащихся (студентов) с подготовленным учебный материалом, направленную на достижение запланированных результатов обучения. Выбор как структуры учебного процесса, так и методического инструментария определяется целями и содержанием изучаемого материала; уровнями его сложности и 350 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе подготовленности обучаемых к его усвоению; сравнительной характеристики возможностей, сильных и слабых сторон различных методов, форм и средств обучения; особенностей самого преподавателя; возможностей учебно-материальной базы вуза; регламента учебного времени.

Таким образом, технологический подход к обучению позволяет не только декларировать, но и, как показывают научные исследования и опыт их внедрения в педагогическую практику, на деле достигать более высокого уровня качества обучения при условии овладения преподавателем обязательными технологическими процедурами. Использование педагогической технологии и процесса проектирования технологических процедур сокращает время овладения преподавателем процессом формирования собственной методики (технологии) обучения своей дисциплине.

1. Бахусова Е.В., Коростелев А.А., Монахов В.М. и др. Технологии В.М. Монахова – дидактический инструментарий модернизации образования: Учеб. пособие. М.-Тольятти: Волжский ун-т им. В.Н. Татищева, 2004. 60 с.

2. Епишева О.Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 2003.