«МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИСПЕРСИОННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СВЧ, КВЧ СТРУКТУР, ОПИСЫВАЕМЫХ НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ ...»

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е. Алексеева

На правах рукописи

Малахов Василий Алексеевич

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИСПЕРСИОННЫХ ЗАДАЧ

ДЛЯ СВЧ, КВЧ СТРУКТУР, ОПИСЫВАЕМЫХ

НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

Специальность 05.12.07 – Антенны, СВЧ устройства и их технологии Диссертация на соискание учёной степени доктора технических наук

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Раевский Алексей Сергеевич Нижний Новгород – 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава

ОСОБЕННОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ РЕШЕНИЙ ДИСПЕР-СИОННЫХ

ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СТРУКТУР, ОПИСЫВАЕМЫХ

НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

1.1 Введение

1.2 Виды краевых задач электродинамики

1.2.1 Самосопряженные и несамосопряженные краевые задачи

1.2.2 Присоединенные краевые задачи электродинамики

1.3 Определение типа оператора для структур, рассматриваемых в диссертации

1.3.1 Определение типа оператора для экранированных направляющих структур

1.3.2. Определение типов операторов, описывающих открытые направляющие структуры

1.4 Особенности методов поиска комплексных решений дисперсионных уравнений

1.4.1 Использование метода бисекции для поиска комплексных решений

1.4.2 Использование метода Мюллера для поиска комплексных решений дисперсионных уравнений

1.4.3 Использование метода вариации фазы для поиска комплексных решений дисперсионных уравнений

1.4.4 Комбинированный метод поиска комплексных решений дисперсионных уравнений

1.5 Оценка корректности найденных решений краевых задач прикладной электродинамики с использованием комбинированного метода поиска комплексных корней

1.6 Особенности программы поиска комплексных решений дисперсионных уравнений

1.7 Выводы

Глава

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НАПРАВЛЯЮЩИХ

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СТРУКТУР БЕЗ ПОТЕРЬ

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЧО

2.1 Введение

2.2 Экранированная микрополосковая линия

2.2.1 Постановка и решение краевой задачи

2.2.2 Критерии корректности алгоритма расчета дисперсионных характеристик ЭМПЛ

2.2.3 Графический метод построения структуры электромагнитного поля на основе алгоритма Эйлера

2.2.4 Согласующая нагрузка для прямоугольного волновода

2.3 Волноводно-щелевая линия

2.3.1 Постановка и решение краевой задачи

2.3.2 Оценка корректности постановки и решения краевой задачи по нулевому потоку мощности комплексных волн ВЩЛ................. 2.3.3 Расчет фильтра на основе нерегулярной ВЩЛ

2.4 Круглый экранированный двухслойный диэлектрический волновод............ 2.5 Выводы

Глава

НАПРАВЛЯЮЩИЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ С

РЕЗИСТИВНЫМИ ПЛЕНКАМИ

3.1 Введение

3.2 Экранированная микрополосковая линия с резистивными пленками........... 3.2.1 Постановка краевой задачи

3.2.2 Экранированная МПЛ с резистивной пленкой расположенной между слоями диэлектрической подложки

3.2.3 Расчет характеристик аттенюатора на базе экранированной МПЛ с резистивными пленками

3.3 Круглый открытый диэлектрический волновод, покрытый резистивной пленкой

3.4 Выводы

Глава

ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ПРИСОЕДИНЕННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ ДВУХСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ НАПРАВЛЯЮЩИХ

СТРУКТУР

4.1 Введение

4.2 Первый вариант решения краевых задач для двухслойных цилиндрических направляющих структур

4.3 Второй вариант решения краевой задачи.

Присоединенная краевая задача

4.3.1 Круглый экранированный двухслойный волновод

4.3.2 Круглый открытый диэлектрический волновод

4.4 О кратности собственных значений одного из видов краевых задач на уравнении Гельмгольца

4.5 Выводы

Глава

ПЛАЗМОН-ПОЛЯРИТОННЫЕ ВОЛНЫ В МЕТАЛЛИЧЕСКИХ

НАНОСТРУКТУРАХ НА ОПТИЧЕСКИХ ЧАСТОТАХ

5.1 Введение

5.2 Плазмон-поляритонные волны в тонкой металлической пленке

5.3 Плазмон-поляритонные волны в структуре металл-диэлектрик-металл

5.4 Плазмон-поляритонные волны в цилиндрических направляющих структурах

5.4.1 Плазмон-поляритонные волны в круглом металлическом наностержне

5.4.2 Плазмон-поляритонные волны в круглом открытом диэлектрическом волноводе с металлической нанопленкой

5.5 Выводы

Глава

ОПТИЧЕСКИЕ УСТРОЙСТВА НА БАЗЕ

БРЕГГОВСКИХ ВОЛОКОННЫХ РЕШЕТОК

6.1 Введение

6.2 Постановка задачи расчета характеристик брэгговских волоконных решеток

6.3 Аналитический синтез полосно-заграждающего фильтра на основе неоднородной БВР

6.4 Синтез полосно-заграждающего фильтра и компенсатора дисперсии на основе неоднородной БВР с использованием метода Мюллера

6.5 Расчета характеристик распространения волн волоконных световодов произвольного профиля показателя преломления

6.6 Выводы

Глава

РЕШЕНИЕ ДИФРАКЦИОННЫХ ЗАДАЧ ПРОЕКЦИОННЫМИ

МЕТОДАМИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ БАЗИСА ГАУССА-ЛАГЕРРА

7.1 Введение

7.2 Постановка дифракционной задачи на торцевой границе полубесконечного ОДВ со свободным пространством

7.3 Результаты расчета дифракционной задачи

7.4 Результаты расчета дифракционной задачи на открытом конце серебряного наностержня

7.5 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Современная техника предъявляет повышенные требования к компонентам, входящим в состав отдельных узлов и блоков радиоаппаратуры СВЧ и КВЧ диапазонов. Создание надежных узлов, удовлетворяющих низким массогабаритным показателям, с расширенными функциональными возможностями, непосредственно связано с необходимостью разработки новых методов и алгоритмов численного расчета, которые позволят не только улучшить характеристики приборов, но и откроют новые возможности в освоении более высокочастотных диапазонов частот в частности терагерцового и оптического диапазонов, которые интенсивно осваиваются в настоящие время[1-3].

Актуальность и степень разработанности темы исследования. Широкое освоение СВЧ и КВЧ диапазонов [4] ставит перед разработчиками задачи создания новой функциональной базы, использующей неоднородные по поперечному сечению и продольно-нерегулярные направляющие структуры. Физические явления, происходящие в таких структурах, представляют собой довольно сложные процессы, для математического описания которых необходимо составлять корректные математические модели и алгоритмы с привлечением точного электродинамического подхода, основанного на уравнениях Максвелла. Сложность математического аппарата, адекватно описывающего физические процессы в исследуемых структурах, приводит к тому, что решение поставленных задач невозможно без привлечения современных компьютерных технологий с использованием получивших широкое распространение персональных компьютеров. С этой целью необходимо создавать пакеты программ расчета базовых элементов, ориентированных на работу с имеющимися персональными компьютерами.

Одним из основных вопросов, решаемых при исследовании любой электродинамической структуры, является получение информации о спектре ее волн. Исчерпывающая информация о спектре волн необходима для решения дифракционных задач, на которых, как правило, основывается строгий расчет всех СВЧ и КВЧ устройств [1, 5–10]. Если для регулярных однородно заполненных направляющих структур на основе достаточно простого математического аппарата получена исчерпывающая информация о спектральном составе собственных волн [11–14], то в неоднородных по поперечному сечению и продольно-нерегулярных направляющих структурах хорошо изучены свойства лишь распространяющихся и реактивно-затухающих волн[15–20].

В силу того, что краевые задачи для таких структур являются, как правило, несамосопряженными[21], в спектре должны присутствовать волны с комплексными волновыми числами – комплексные волны(КВ)[22–24], которые существуют в системах без диссипации энергии. Данный класс волн является наиболее общим [25], поэтому исследование свойств комплексных волн (КВ) должно дать новый толчок к пониманию моделирования физических процессов, происходящих в электродинамических структурах, и созданию функциональных узлов, действующих на новых физических принципах. Кроме того, информация о наличии в рабочем диапазоне частот комплексных волн необходима для корректной постановки дифракционных задач, т.к. не учет КВ при решении указанных задач может приводить к получению неверных результатов[26, 27].

Наряду с распространяющимися, реактивнозатухающими и комплексными волнами в электродинамических структурах, описываемых несамосопряженными операторами, в точках жордановой кратности волновых чисел нормальных волн могут возникать так называемые присоединенные волны[23]. Наличие присоединенных решений в точках жордановой кратности восстанавливает полноту спектра волн, рассматриваемой структуры.

Из всего выше сказанного можно сделать вывод, что исследование структур, направляющих волны с комплексными волновыми числами, создание алгоритмов и программ для расчета этих структур с использованием вычислительной техники, является актуальным, что не раз подчеркивалось в печати, отмечалось на научных конференциях и семинарах. Актуальность исследования неоднородных по поперечному сечению и продольно-нерегулярных электродинамических структур возрастает с развитием интегральной СВЧ и КВЧ техники и технологии объемных и планарных интегральных схем [28], а так же в связи разработкой принципиально новых устройств, например на основе плазмы [29, 30].

Цель работы и программа исследований. Цель диссертации – создание методов решения дисперсионных задач волн электродинамических структур СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов; исследование трансформации спектров волн с комплексными волновыми числами неоднородных и нерегулярных электродинамических структур, получивших достаточно широкое распространение при производстве СВЧ, КВЧ устройств, разработка программных пакетов для машинного проектирования СВЧ, КВЧ компонентов, используемых в радиоэлектронике (аппаратура связи, радиоизмерительная и диагностическая аппаратура и др.), что приведет к сокращению материально-временных затрат на производство указанных компонентов.

Программа исследований состоит из следующих этапов, необходимых для достижения поставленной цели:

формулировка теоретических положений, необходимых для определения типов решаемых краевых задач; априорное определение возможности существования в исследуемых структурах комплексных и присоединенных волн путем анализа краевых задач, описывающих эти структуры;

разработка метода поиска комплексных решений дисперсионных задач, а также метода проверки корректности составленных алгоритмов расчета характеристик электродинамических структур, описываемых несамосопряженными операторами[31–32];

разработка метода поиска решений дисперсионной задачи присоединенных волн;

разработка графического метода построения электромагнитных полей;

исследование численных результатов решения дисперсионного уравнения, полученного в результате постановки присоединенной краевой задачи для цилиндрических направляющих структур;

расчет спектра волн базовых электродинамических структур таких как:

волноводно-щелевая линия (ВЩЛ), экранированная микрополосковая линия (ЭМПЛ), круглый экранированный двухслойный диэлектрический волновод, а также направляющие структуры с резистивными и металлическими пленками;

анализ трансформации спектра плазмон-поляритонных волн (включая КВ) рассматриваемых в диссертации направляющих структур при изменении параметров и частоты;

создание основы для разработки программного пакета машинного проектирования;

приложение полученных результатов к расчету функциональных узлов СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов;

Научная новизна. В результате выполнения работы:

разработан комбинированный метод поиска комплексных корней дисперсионного уравнения на основе метода Мюллера и метода «Вариации фазы»[32];

предложены критерии оценки корректности результатов полученных с использованием МЧО, предложен новый критерий оценки корректности математических моделей, использующих МЧО, по потоку мощности КВ;

получены численные решения дисперсионного уравнения, соответствующие присоединенным волнам;

разработан графический метод построения силовых линий электрического и магнитного полей на основе алгоритма Эйлера.

исследованы особенности собственных волн, включая КВ, базовых электродинамических структур: ЭМПЛ, ВЩЛ экранированный двухслойный ДВ, рассмотрены особенности их трансформации при изменение параметров структуры, рассчитан поток мощности комплексной волны;

показано существование комплексной волны в структуре с металлической нанопленкой без диссипации энергии в металле;

исследована трансформация дисперсионных характеристик плазмонполяритонных волн в направляющих электродинамических структурах с металлическими нанопленками с учетом комплексности диэлектрической проницаемости металла;

разработаны алгоритмы и программы для расчета ряда базовых электродинамических структур, широко применяемых при разработке радиоэлектронной аппаратуры.

Методы исследования При расчете характеристик исследуемых в диссертации электродинамических структур использовались строго обоснованные методы расчета такие как:

метод частичных областей (МЧО) и метод поверхностного тока (МПТ) 21,28, 30-35.

Практическая значимость. Исследования, проведенные при выполнении работы, и полученные результаты позволили получить информацию о поведении распространяющихся, реактивно затухающих и комплексных волн ряда базовых направляющих структур, необходимую для решении дифракционных задач, связанных с расчетом СВЧ устройств; были созданы модели, алгоритмы и программы для проектирования функциональных узлов СВЧ и КВЧ техники.

Результаты, полученные при выполнении диссертационной работы внесены в библиотеки стандартных программ ОАО «ФНПЦ «ННИПИ «Кварц»

им. А.П. Горшкова», ФГУП «ФНПЦ НИИИС им. Ю.Е. Седакова», «ИХВВ РАН им. Г.Г. Девятых», ФГБОУ ВПО «НГТУ им. Р.Е. Алексеева».

Обоснованность и достоверность результатов работы. Теоретические результаты, представленные в диссертации, получены на основе строгого электродинамического подхода с применением метода частичных областей и метода поверхностного тока. Проверка корректности полученных результатов осуществлялась: исследованием внутренней сходимости разработанных алгоритмов; с помощью предельных переходов, на основе которых полученные результаты, сравнивались с тестовыми, приведенными в литературе; контролем выполнения граничных условий и закона сохранения энергии; сравнением с результатами эксперимента.

Публикации и апробация работы. По результатам диссертации опубликовано 80 печатных работ, в том числе 18 в журналах, рекомендованных ВАК и 6 свидетельств о государственной регистрации программы для ЭВМ. Сделаны доклады: на Всероссийской конференции «Высокие технологии в радиоэлектронике», посвященной 100-летию Нижегородской промышленно-художественной выставки 1896 года; на научно-технической конференции факультета информационных систем и технологий НГТУ «ФИСТ–99», Н.Новгород, 1999 год; на Международных конференциях: «Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ», Самара, 1999 год, «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, 2001, 2008, 2011), «Информационные системы и технологии» (Н. Новгород, 2000, 2001, 2003, 2004, 2005, 2010, 2011, 2012, 2013), «Физика и технические приложения волновых процессов» (Челябинск, 2010), «Физика и технические приложения волновых процессов» (Екатеринбург, 2012), «Излучение и рассеяние электромагнитных волн» (2013, Дивноморское, Краснодарский край).

Положения, выносимые на защиту 1. Модифицированный метод поиска комплексных корней дисперсионных 2. Метод оценки корректности результатов решения дисперсионных задач, поставленных в незамкнутой форме, по нулевому среднему потоку мощности собственной комплексной волны.

3. Графический метод расчета структуры электромагнитного поля на основе 4. Доказательство существования и метод поиска присоединенных решений несамосопряженных краевых задач.

5. Метод поиска глобального минимума целевой функции на основе метода Мюллера в применении к расчету устройств на основе БВР.

6. Проекционный метод решения дифракционной задачи в неограниченном пространстве с использованием базиса Гаусса-Лагерра.

7. Разработка основы для создания пакета программ для расчета характеристик базовых электродинамических структур.

8. Результаты исследования трансформации полного спектра волн(включая комплексные волны) экранированных направляющих структур: ЭМПЛ, 9. Результаты исследования трансформации полного спектра волн электродинамических структур с резистивными анизотропными пленками:

а) ЭМПЛ с двухслойной подложкой и резистивной пленкой между слоями;

б) Круглый открытый диэлектрический волновод, покрытый резистивной 10. Результаты расчета характеристик плазмон-поляритонных волн(включая КВ) в электродинамических структурах с металлическими слоями в оптическом диапазоне частот.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении определена цель диссертационной работы, показаны ее актуальность и практическая значимость, определена новизна полученных результатов, сформулирована программа исследований, обоснована достоверность полученных результатов, представлены основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе формулируется общий подход к определению типа электродинамического оператора краевой задачи. Обозначаются условия, при которых краевая задача будет самосопряженной или несамосопряженной, что позволяет получить априорную информацию о существовании в структурах описываемых, несамосопряженными операторами, различных типов волн.

Производится определение типов операторов краевых задач для исследуемых в диссертационной работе электродинамических структур. Делается вывод о наличии в спектрах ВЩЛ, ЭМПЛ, круглых открытого и экранированного двухслойных ДВ, волн с комплексными волновыми числами.

Приводится постановка присоединенной краевой задачи на примере цилиндрических направляющих структур. Делается предположение о наличие в электродинамических структурах, описываемых несамосопряженными операторами решений соответствующих присоединенным волнам.

Предлагается новый модифицированный метод поиска комплексных решений дисперсионной задачи на основе метода Мюллера и метода «Вариации фазы». Предлагаемый метод обладает быстродействием метода Мюллера и корректностью идентификации корней дисперсионного уравнения метода «Вариации фазы» [32].

Описывается методика проверки физичности решении дисперсионного уравнения, полученного на основе МЧО. Вводится новый метод оценки корректности математических моделей, использующих МЧО, по среднему за период потоку мощности собственной КВ через поперечное сечение направляющей структуры.

Описываются структурная и функциональная схемы программы, разработанной с использованием языка С++, для расчета базовых электродинамических структур. Разбираются особенности построения и работы данной программы.

Во второй главе диссертации решаются краевые задачи для электродинамических структур без потерь(ЭМПЛ, ВЩЛ, экранированный и открытый круглые двухслойные диэлектрические волноводы) с использованием метода частичных областей, и приводятся результаты исследования спектра волн направляющих структур. Описывается методика поиска решений дисперсионного уравнения для краевых задач, поставленных в незамкнутой форме. Проводится анализ поведения дисперсионных кривых собственных волн (включая комплексные) при различных параметрах исследуемых структур.

Показывается, что в таких структурах при определенных параметрах, имеются частотные диапазоны существования комплексных волн, дисперсионные характеристики которых образуются в точках слияния дисперсионных кривых гибридных волн, а их средний поток мощности через поперечное сечение структуры равен нулю.

На примере расчета дисперсионных характеристик МПЛ и ВЩЛ, для которых краевые задачи ставятся в незамкнутой форме, демонстрируется процедура оценки корректности решений поставленных задач.

Предлагается графический метод построения картины силовых линий электромагнитных полей электродинамических структур на основе метода Эйлера.

Приводятся результаты расчета характеристик согласующего устройства для прямоугольного волновода на базе прямоугольного коаксиального волновода и волноводного фильтра нижних частот, выполненного на основе продольнонерегулярной ВЩЛ.

В третьей главе исследуются характеристики поперечно-неоднородных структур с резистивными пленками: ЭМПЛ с двухслойной подложкой и резистивными пленками между слоями диэлектрической подложки и в области микрополоска и круглый открытый ДВ с резистивной пленкой. В записи граничных условий для тангенциальных компонент магнитного поля проводимость пленок во взаимно перпендикулярных направлениях в рассматриваемых структурах берется различной по значению, то есть, вводится анизотропия.

В главе исследовано влияние пленок с различной проводимостью и анизотропией на частотные характеристики собственных волн исследуемых электродинамических структур. Показано, что резистивные пленки с различной анизотропией оказывают селективное влияние на определенные моды направляющей структуры в зависимости от величины тангенциальной составляющей электрического поля на границе двух областей между которыми расположена анизотропная резистивная пленка.

В данной главе делается вывод о возможности создания фильтров мод на базе исследуемых структур с анизотропными резистивными пленками.

В третьей главе также производится расчет характеристик аттенюатора на базе экранированной МПЛ с резистивными пленками.

В четвертой главе приводится постановка присоединенной краевой задачи для цилиндрических направляющих структур: экранированный круглый двухслойный ДВ и открытый круглый ДВ. Описывается метод решения дисперсионной задачи присоединенных волн путем совместного решения трех детерминантных уравнений.

Решения присоединенной краевой задачи на однородном уравнении Гельмгольца где r,, z – цилиндрические координаты, могут быть найдены в виде:

где R r и f r присоединенные решения.

Функции, входящие в решение присоединенной краевой задачи, должны удовлетворять уравнениям:

где поперечное и продольное волновые числа связаны соотношениями:

Объединяя решения четырех дифференциальных уравнений, окончательно получаем векторы Герца в виде:

Подстановка полученного решения в выражения для тангенциальных компонент магнитного и электрического полей, а затем в граничные условия приводит к получению двух систем линейных алгебраических уравнений(СЛАУ) относительно неизвестных амплитудных коэффициентов: однородной и неоднородной. Однородная СЛАУ получается путем приравнивания в выражениях, полученных из граничных условий, членов, пропорциональных z. Она имеет нетривиальные решения, если главный определитель системы равен нулю. Неоднородная СЛАУ получена путем приравнивания в выражениях, полученных из граничных условий, членов не пропорциональных z. Главный определитель неоднородной СЛАУ совпадает с главным определителем однородной системы. Неоднородная СЛАУ имеет совместные решения с однородной системой, если равны нулю два дополнительных определителя неоднородной СЛАУ.

Решения дисперсионной задачи, соответствующие присоединенным волнам, находятся при совместном решении трех детерминантных уравнений (первое получено из условия равенства нулю главного определителя однородной СЛАУ, два других уравнения, получены из равенства нулю дополнительных определителей неоднородной СЛАУ) и уравнений, связывающих волновые числа.

Совместные решения трех детерминантных уравнений были найдены и представлены в четвертой главе диссертации. Доказано, что решения дисперсионного уравнения, соответствующие присоединенным волнам, находятся в точках жордановой кратности волновых чисел нормальных волн.

В четвертой главе было также показано существование кратных собственных значений краевых задач на однородном уравнении Гельмгольца.

В пятой главе рассматриваются особенности характеристик поверхностных плазмон-поляритонных волн (ППВ). Поверхностные ППВ образуются при взаимодействии фотонов с коллективными колебаниями свободных электронов в металлической нанопленке толщиной, сравнимой с величиной скин-слоя в металле, из которого изготовлена пленка. Например, для серебра толщина скин-слоя в оптическом диапазоне порядка 20-30 нм.

В главе рассматриваются особенности дисперсионных характеристик поверхностных ППВ, возникающих в металлической нанопленке, окруженной диэлектриком, в структуре металл-диэлектрик-металл, в металлическом наностержне и в открытом диэлектрическом волноводе с металлической нанопленкой.

Показано, что без учета потерь в металлической пленке в таких структурах существуют решения дисперсионной задачи, соответствующие четным и нечетным ППВ, а также имеются комплексные решения, соответствующие КВ.

В оптическом диапазоне частот действительная и мнимая часть диэлектрической проницаемости металла выглядят следующим образом[36]:

где p 4nee2 / me 1.43 1016 c 1 – плазменная частота электронного газа, r 0 – константа, учитывающая межзонные переходы в металле, обычно варьируется от 1 до 10, Г – коэффициент затухания учитывающий радиационные потери ( 1014 с 1 ), i 0 0. Особенностью металлов в оптическом диапазоне частот является то, что действительная часть диэлектрической проницаемости будет меньше нуля.

В пятой главе диссертационной работы было показано, что дисперсионные характеристики поверхностных ППВ, рассчитанные с учетом комплексности диэлектрической проницаемости металлов, имеют существенные отличия от дисперсионных характеристик поверхностных ППВ рассчитанных без учета потерь в металле. В частности, наблюдается наличие максимумов дисперсионных характеристик поверхностных ППВ, рассчитанных с учетом комплексности диэлектрической проницаемости металла. У дисперсионных характеристик ППВ, рассчитанных без учета потерь в металле, максимумы отсутствуют.

В данной главе также был произведен расчет и сравнение спектров ППВ металлического наностержня и открытого ДВ с металлической нанопленкой. Было показано, что в металлическом наностержне и в открытом ДВ с металлической нанопленкой существуют объемные и поверхностные ППВ.

В шестой главе диссертации рассматриваются алгоритмы расчета функциональных узлов оптического диапазона на основе брегговских волоконных решеток (БВР). БВР являются базовым элементов для различных устройств, работающих в оптическом диапазоне частот таких как: мультиплексоры и демультиплексоры, компенсаторы дисперсии, датчики физических величин, узкополосные фильтры и т.д[37-41].

В настоящей главе, используя методику расчета спектральных характеристик БВР с применением теории связанных мод[37], предлагается метод поиска оптимального набора параметров функциональных узлов по заданным характеристикам на базе метода Мюллера. Применяя метод оптимизации на основе метода Мюллера, в главе были рассчитаны частотные характеристики полосового фильтра и компенсатора дисперсии на основе БВР.

Для записи БВР применяют ультрафиолетовое излучение, которое воздействует на фоточувствительную сердцевину и изменяет ее показатель преломления[42, 43]. Для получения требуемых характеристик БВР необходимо знать характеристики волоконного световода, из которого будут изготавливать БВР. В шестой главе описывается алгоритм расчета дисперсионных характеристик волоконного световода, получаемого из заготовки, профиль показателя преломления которой измерен на установке “Р-102” фирмы York Technology.

В седьмой главе рассматривается дифракционная задача на открытом конце полубесконечного круглого открытого диэлектрического волновода (ОДВ), излучающего в свободное пространство. В качестве дифракционного базиса открытого пространства предлагается использовать функции Гаусса-Лагерра[44]. Известно, что если распространяющийся волновой пучок имеет узкий угловой спектр, справедливо параболическое приближение теории дифракции, в котором медленно меняющаяся амплитуда волны А удовлетворяет уравнению[45] Здесь оператор Лапласа по поперечным координатам; k 0.

Решение данного уравнения представляет набор гауссовых мод, образующих гауссовой пучок, характеризующий излучаемое с торца электромагнитное поле.

В настоящей главе рассмотрена дифракция волны HE11 на стыке полубесконечного круглого ОДВ со свободным пространством и дифракция плазмонполяритонной волны на стыке круглого серебряного наностержня со свободным пространством. Результаты исследования сходимости коэффициента отражения основной волны и коэффициента основной гауссовой моды показали, что расчет дифракционного поля на торце полубесконечного ОДВ и серебряного наностержня может быть произведен с использованием базиса мод Гаусса-Лагерра в свободном пространстве. Поле излучения было рассчитано по известному полю на торце ОДВ с использованием метода Гюйгенса-Кирхгофа[13].

Приведены распределения электрических полей на торце рассматриваемых структур и на некотором расстоянии от торца.

В заключении к диссертации перечислены основные результаты, полученные в процессе ее выполнения.

ОСОБЕННОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ РЕШЕНИЙ

ДИСПЕРСИОННЫХ ЗАДАЧ

ДЛЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СТРУКТУР,

ОПИСЫВАЕМЫХ

НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

С развитием функциональной базы радиоэлектронной аппаратуры (РЭА) СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов, а также в связи с огромным интересом к тонкопленочным технологиям, позволяющим минимизировать размеры узлов РЭА, большое внимание уделяется изучению неоднородных электродинамических структур, которые составляют основу современных СВЧ и КВЧ узлов, датчиков, антенн, интегральных схем планарного и объемного типов [9, 46–51].

Если при проектировании однородно заполненных направляющих структур и устройств на их основе ограничиваются рассмотрением характеристик распространяющихся и реактивно затухающих волн, то при анализе неоднородно заполненных структур приходится учитывать наличие в них комплексных волн(КВ) - волн с комплексными волновыми числами при отсутствии диссипации энергии [9, 21, 23, 32, 52–55].

Полная информация о спектре волн базовых направляющих структур РЭА СВЧ и КВЧ диапазонов позволяет правильно ставить и решать дифракционные задачи, к которым, как правило, приводит расчет различных СВЧ устройств. Поскольку волны с комплексными волновыми числами соответствуют наиболее общему классу решений краевых задач[55], их всестороннее изучение необходимо для получения исчерпывающей информации о физических процессах, происходящих в исследуемых электродинамических структурах. Неучет комплексных волн может привести к неадекватному моделированию создаваемых СВЧ узлов.

Поэтому при разработке функциональных узлов РЭА необходимо иметь информацию о возможном существовании КВ в рабочем диапазоне частот создаваемой аппаратуры. Априорно такую информацию можно получить из анализа оператора краевой задачи. Если краевая задача описывается несамосопряженным оператором[56], то можно говорить о наличии в исследуемой структуре КВ [31, 32, 57,58], если краевая задача описывается самосопряженным оператором, то КВ в исследуемой структуре быть не может. Под электродинамическим оператором понимается совокупность дифференциального уравнения и системы граничных условий. Наличие в рассматриваемых электродинамических структурах КВ необходимо учитывать в дифракционных задачах[59, 60].

Широкое изучение за последние десятилетия свойств материалов и создание адекватных математических моделей, учитывающих их свойства, а также развитие компьютерных технологий позволяют создавать алгоритмы расчета тех или иных узлов РЭА, в которых используются реальные характеристики материалов, применяемых в том или ином устройстве. В общем случае электродинамические свойства материалов описываются комплексными диэлектрической и магнитной проницаемостями, поэтому решения краевых задач будут также лежать на плоскости комплексных чисел.

Совершенствование технологии производства элементов РЭА, открытие новых физических явлений, развитее вычислительной техники и программного обеспечения ставят перед разработчиками РЭА следующие задачи:

1. Всестороннее использование новых физических эффектов;

2. Создание адекватных моделей, описывающих свойства структур и материалов, используемых при создании тех или иных узлов РЭА;

3. Расчет узлов и компонентов РЭА, в частности, использующих нанопленки [61, 62] и содержащие области с комплексной диэлектрической проницаемостью[63], с использованием современных средств разработки программного обеспечения и систем автоматизированного проектирования;

4. Использование современной экспериментально-измерительной базы, необходимой для проверки полученных результатов расчетов и измерения характеристик материалов с комплексной диэлектрической и магнитной проницаемостями.

В первой главе дается формулировка прямой краевой задачи и задачи ей сопряженной. Формулируются условия, которые должны выполняться для того, чтобы оператор был самосопряженным.

Для рассматриваемых в диссертации экранированных и открытых электродинамических структур определяются тип оператора и классы ожидаемых решений, на основании чего делается вывод о возможности существования в той или иной структуре комплексных волн.

Приводится постановка и решение присоединенной краевой задачи на примере двухслойных цилиндрических направляющих структур. Делается вывод о кратности собственных значений краевой задачи на уравнении Гельмгольца.

Так как комплексные решения дисперсионных уравнений соответствуют наиболее общим решениям несамосопряженных краевых задач, в главе рассматриваются их особенности и методы поиска.

Виды решений дисперсионной задачи напрямую зависят от того, является краевая задача самосопряженной или несамосопряженной. Решения дисперсионного уравнения, полученного в результате постановки несамосопряженной краевой задачи, в общем случае будут комплексными. Комплексные решения дисперсионного уравнения для направляющих электродинамических структур без диссипации энергии соответствуют комплексным волнам, которые возникают в точке жордановой кратности волновых чисел, и их средний за период поток мощности через поперечное сечение электродинамической структуры равен нулю[23, 31, 32, 57].

Кроме решений, соответствующих нормальным волнам электродинамических структур, описываемых несамосопряженными операторами, существуют так называемые присоединенные решения. Присоединенные решения – это особый вид решений краевых задач, которые соответствуют присоединенным волнам, имеющим линейную зависимость поля от продольной координаты[23]. Характеристики присоединенных волн более подробно будут рассмотрены в параграфе 1.2.2 настоящей главы.

Для присоединенных волн решения дисперсионного уравнения находятся в точках жордановой кратности решений дисперсионного уравнения[64], которые одновременно являются точками возникновения комплексных волн. Два решения краевой задачи на уравнении Гельмгольца, для электродинамических направляющих структур, соответствующих одним и тем же собственным значениям, говорят о кратности собственных значений несамосопряженных краевых задач. Можно утверждать, что существование присоединенных решений является достаточным условием наличия в данной структуре комплексных волн.

Следовательно, определение вида краевой задачи дает нам информацию о наличие тех или иных решений, в том числе и решений присоединенной краевой задачи.

1.2.1 Самосопряженные и несамосопряженные краевые задачи В понятие оператора любой краевой задачи входят дифференциальное уравнение и система граничных условий, конкретизирующих особенности физического процесса, описываемого этим уравнением.

Однородная краевая задача задается дифференциальным выражением вида [56]:

и системой граничных условий Uq=0; q=1,2, …, N; n – порядок дифференциального уравнения, f – функции независимых переменных.

При решении задач, связанных с расчетом электромагнитных полей в направляющих структурах, оператор образуется уравнением Гельмгольца, которое можно записать как (в общем случае различные области поперечного сечения вписываются в различные системы координат), и –граничными условиями: где q=1,2, …, N.

Таким образом, оператор краевой электродинамической задачи, описывающий взаимную направляющую структуру, образуется дифференциальным уравнением второго порядка и определенным числом граничных условий, количество которых зависит от особенностей рассматриваемой структуры.

Сопряженная краевая задача задается в общем случае [56] дифференциальным выражением где черта над f означает комплексную сопряженность, и системой граничных условий:

где q число интервалов, на которое разбивается область определения функции u.

Задача, сопряженная краевым задачам, связанным с расчетом электромагнитных полей в направляющих структурах (1.2), образуется уравнением:

и N* граничными условиями: V * 0, где * 1,2,...,N*.

Произведя деление поперечного сечения структуры на частичные области, представим, в общем случае, решение краевой задачи и задачи, ей сопряженной, в виде:

Подставляя, решения (1.5) краевой задачи и ей сопряженной в выражение (1.2) и (1.4), получаем уравнения вида:

где Pi,k=u1(x1k) u2(x2k) u3(x3k); Qi= v1(x1k) v2(x2k) v3(x3k); (ki).

Если коэффициенты С и С представимы в виде: C Ci xik ;

C * Ci* xik, то в уравнениях (1.6) и (1.7) можно произвести разделение пеi ременных, после чего получаем дифференциальные уравнения:

где вид коэффициентов: Ai, Ai зависит от системы координат, в которую вписывается конкретная частичная область поперечного сечения.

Однородная краевая задача называется [21, 23] самосопряженной, если выполняются условия:

Для одномерной краевой задачи, определенной на целом интервале число краевых условий для сопряженной задачи N* находится [21, xi[a,b], 23] по формуле:

Для краевой задачи, определенной на интервалах xi[a,b1],[b1,b2],… …, [bq-1,bq] число N* следует находить [21] как:

Если хотя бы одно из условий (1.10) и (1.11) не выполняются, то однородная краевая задача является несамосопряженной.

В регулярных и периодически-нерегулярных направляющих структурах под u и v можно понимать продольные компоненты векторов Герца.

В поперечно- неоднородной направляющей структуре, при использовании МЧО для решения краевой задачи для каждой частичной области поперечного сечения можно в уравнениях типа (1.6), (1.7) произвести разделение переменных в одной из ортогональных систем координат. Далее, используя рассмотренную выше методику, можно установить тип оператора одномерной краевой задачи для каждой области и определить, является ли краевая задача несамосопряженной.

Если краевая задача является несамосопряженной то, как было сказано выше, можно поставить присоединенную краевую задачу и найти соответствующие ей решения дисперсионного уравнения.

1.2.2 Присоединенные краевые задачи электродинамики В качестве примера присоединенная краевая задача будет рассмотрена для цилиндрических направляющих структур. В дальнейшем в главе 4 для этих структур будут приведены присоединенные решения дисперсионного уравнения.

Для краевых задач:

(L – дифференциальный оператор, U=0 – система граничных условий, =1,2,3 … n), к которым приводит разделение переменных в уравнении Гельмгольца, можно [23] сформулировать присоединенные краевые задачи, состоящие из дифференциальных уравнений:

где q=1,2 …k, и краевых условий Функции q в (1.14), (1.15) называются присоединенными к функции 0.

Они удовлетворяют уравнениям (1.14) и граничным условиям (1.15) при собственном значении =0. 0 – решение краевой задачи (1.13).

Решения присоединенных краевых задач описывают так называемые присоединенные волны [64]. В [65] отмечалось, что эти решения возникают в точках жордановой кратности волновых чисел нормальных волн. Их возникновение восстанавливает полноту системы нормальных волн, нарушающуюся в указанных точках. Характерной особенностью присоединенных волн является наличие линейной зависимости их амплитуд от продольной координаты.

Восстановление полноты системы нормальных волн играет решающую роль при решении дифракционных задач, связанных с расчетом функциональных узлов СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов волн. Полнота дифракционных базисов определяет корректность решения краевых дифракционных задач проекционными и прямыми вариационными методами.

Присоединенные волны, по всей видимости, влияют на характеристики комплексного резонанса [21, 23, 66], возникающего в направляющих структурах при парном возбуждении в них комплексных волн. В полосовых фильтрах [67], работающих на основе явления комплексного резонанса(КР), присоединенные волны могут играть определяющую роль в обеспечении заданной крутизны фронтов частотных характеристик фильтров.

В [68-70] приведены, по-видимому, первые конкретные сведения о результатах решения краевых задач для присоединенных волн в слоистых цилиндрических направляющих структурах.

Рассмотрим двухслойную цилиндрическую направляющую структуру с соосными слоями. Это либо двухслойный экранированный волновод (рисунок 1.1, а), либо круглый диэлектрический волновод(ДВ) в неограниченной однородной среде (рисунок 1.1, б). Такие структуры составляют технологическую базу для построения широкого класса функциональных устройств СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов волн. Современное проектирование этих устройств основано на решении различных дифракционных задач, алгоритмизация которых требует полной информации о спектрах волн базовых структур.

Поля волн рассматриваемых направляющих структур описываются продольными компонентами электрического и магнитного векторов Герца, которые удовлетворяют уравнению Гельмгольца, записываемому в данном случае в цилиндрической системе координат:

где r,, z – цилиндрические координаты.

Решение уравнения (1.16), описывающее присоединенные волны, ищем в виде:

Функции, входящие в (1.17), удовлетворяют уравнениям:

где поперечное и продольное волновые числа связаны соотношением:

Уравнения (1.19) и (1.20) являются [56] присоединенными к уравнениям (1.18) и (1.21), соответственно.

В рассматриваемом случае функция R(r) – либо функция Бесселя, если она описывает радиальную зависимость поля во внутреннем слое направляющей структуры, либо комбинация цилиндрических функций 1-го и 2-го рода, обеспечивающая удовлетворение граничных условий задач Дирихле или Неймана на экране, для двухслойного экранированного волновода, либо функция Ханкеля, если она описывает поле во внешней области открытого ДВ.

Векторы Герца (1.17) записываются [23] в виде:

где q – номер слоя; Rnq q r - соответствующие решения уравнения (1.18);

является присоединенным общим решением уравнения (1.19); J и Y - цилиндрические функции 1-го и 2-го рода.

Функция (1.22) является решением присоединенного уравнения Гельмгольца, в правой части которого стоит выражение:

Она удовлетворяет обычному уравнению Гельмгольца при условии, что nq q r является решением присоединенного уравнения:

функция Из граничных условий:

получаем систему функциональных уравнений, в которые входят функции, зависящие от продольной координаты. Приравнивая в них члены, имеющие линейную зависимость от координаты z, получаем систему линейных однородных алгебраических уравнений:

относительно коэффициентов: Dn1,2 ; Dn1,2.

Члены в указанных функциональных уравнениях, не имеющие координатной зависимости, при условии (1.23) дают систему линейных неоднородных алгебраических уравнений:

относительно коэффициентов: Cn1,2 и Cn1,2.

Главные определители систем (1.25) и (1.26) совпадают. Будучи приравненными нулю, они дают дисперсионные уравнения нормальных волн двухслойных цилиндрических направляющих структур: круглого двухслойного экранированного волновода и открытого ДВ.

Нетривиальные решения системы уравнений (1.25) (коэффициенты Dn1,2 ) подставляются в систему уравнений (1.26), которая решается относительно коэфe,m фициентов Cn1,2.

Поскольку для присоединенных волн должны выполнятся граничные условия (1.24), необходимо, чтобы системы уравнений (1.25) и (1.26) имели совместные решения. Система уравнений (1.25) имеет нетривиальные решения только при равенстве нулю ее определителя. Поскольку главный определитель системы (1.26) совпадает с определителем системы (1.25), система уравнений (1.26) может иметь решения, соответствующие присоединенным волнам, только при равенстве нулю ее дополнительных определителей.

Таким образом, волновые числа присоединенных волн определяются как совместные решения трех уравнений:

совпадающего с дисперсионным уравнением нормальных волн рассматриваемых направляющих структур, и двух дополнительных В уравнениях (1.27), (1.28) использованы обозначения:

Каждое из уравнения (1.27), (1.28а) и (1.28б) решается совместно с уравнениями:

Присоединенным волнам соответствуют решения, удовлетворяющие одновременно всем трем уравнениям: (1.27), (1.28а), и (1.28б).

Из граничных условий (1.24) получаем:

Соотношения (1.30) при условии (1.23) позволяют исключить из уравнений (1.28 а,б) коэффициенты, виду. В результате поиск волновых чисел, соответствующих присоединенным волнам, сводится к совместному решению трех трансцендентных уравнений:

(1.27) и (1.28 а,б). При этом волновые числа связаны соотношением (1.29).

Dn1 Dn 2 1, решение (1.21) удовлетворяет обычному уравнению Гельмгольца.

Как показывают численные исследования, результаты которых будут приведены в четвертой главе диссертации, такой вариант может иметь место.

Необходимо также отметить, что одной из основных особенностей присоединенных волн, как и комплексных волн, является равенство нулю среднего за период потока мощности через поперечное сечение электродинамической структуры[23], что будет численно показано в главе 4. Кроме того в настоящей главе равенство нулю среднего потока мощности за период через поперечное сечение электродинамической структуры комплексных и присоединенных волн будет предложено как один из критериев оценки корректности решений электродинамических задач.

1.3 Определение типа оператора для структур, 1.3.1 Определение типа оператора для экранированных В настоящей диссертации рассматриваются следующие экранированные электродинамические структуры: экранированная микрополосковая линия (рисунок 1.2 а), экранированная микрополосковая линия с двухслойной подложкой резистивной пленкой между слоями подложки (рисунок 1.2 б), круглый экранированный двухслойный волновод (рисунок 1.3 а), волноводно-щелевая линия (рисунок 1.3 б). Чтобы обозначить виды ожидаемых решений для рассматриваемых экранированных структур, необходимо определить тип оператора (краевой задачи) для каждой из указанных структур.

Рассмотрим экранированную микрополосковую линию с резистивной пленкой (рисунок 1.2 б). В силу симметрии структуры относительно оси оy (полагая, что этой плоскости соответствует магнитная стенка) рассматриваем только область поперечного сечения ЭМПЛ в интервале x[0, a]. В качестве частичных областей выделенной части поперечного сечения выбираются области, находящиеся в интервале y[0, b1] – 1-я область ( слой с диэлектрической проницаемостью 1), в интервале y[ b1, b2] – 2-я область (слой с диэлектрической проницаемостью 2), в интервале y[ b2, b3] – 3-я область, которая представляет собой часть микрополоска x[0, a1] и воздушный слой x[a1, a], и 4-я область – область с воздушным заполнением y[ b3, b]. Принимая во внимание, что толщина резистивной пленки много меньше толщины скин-слоя, ее наличие учитывается введением разрывных граничных условий для тангенциальных компонент магнитного поля (метод поверхностного тока (МПТ)) [34, 35]. Покажем, что краевая задача для ЭМПЛ даже в отсутствие резистивной пленки является несамосопряженной.

Краевая задача образуется дифференциальным уравнением Гельмгольца относительно электрических и магнитных векторов Герца и системой граничных условий:

при y=b1:

при y= b2:

при y= b3:

Представим неизвестное решение П, используя метод разделения переменных, в виде произведения функций декартовых координат.

Учитывая, что u1-3 – функции разных аргументов, приходим к трем независимым уравнениям.

Постоянные разделения связаны соотношением k 2 2 2 2.

Анализ показывает, что для наиболее распространенных систем координат (прямоугольной, цилиндрической, эллиптической), используемых при расчете направляющих электродинамических систем, при отсутствии потерь (и действительные числа) условие самосопряженности оператора (1.10) выполняется.

Действительно, для сопряженной краевой задачи в нашем случае на основании (1.3) можно записать дифференциальное уравнение в виде:

Представим неизвестное решение V в виде произведения функций зависящих от декартовых координат V(x,y,z)=v1(x)v2(y)v3(z), а (C * ) 2 C x2 C y C z2. Применяя процедуру разделения переменных, аналогично рассмотренной выше, получаем следующие независимые уравнения:

Сравнивая (1.36) и (1.38) и принимая во внимание, что в рассматриваемой электродинамической структуре диэлектрическая и магнитная проницаемости слоев являются чисто действительными величинами, приходим к выводу, что условие (1.10) выполняется. В случае комплексных иусловие (1.10) выполнятся не будет.

В подавляющем большинстве случаев для систем без диссипации энергии исследование оператора краевой задачи на его самосопряженность или несамосопряженность сводится к проверке выполнения равенства (1.11). Проверим выполнение этого равенства для анализируемой структуры.

Условие (1.11) может быть выполнено только в том случае, когда на границе раздела между областями на вектор Герца налагается лишь два граничных условия. Рассматриваемая ЭМПЛ имеет три границы раздела между слоями, на каждой из которых компоненты электромагнитного поля, связаны с векторами Герца выражениями:

где 2 2 2, П e и П m – продольные составляющие электрического и магнитноx y z z го векторов Герца, должны удовлетворять граничным условиям (1.14–1.16). Таким образом, на любой границе, на один вектор Герца накладывается три граничных условия. Следовательно, принимая во внимание выражения (1.12), приходим к выводу, что условие (1.11) не выполняется, и краевая задача является несамосопряженной даже без резистивной пленки. При введении резистивной пленки между областями 1 и 2 граничные условия для тангенциальных компонент магнитного поля становятся разрывными:

и краевая задача остается несамосопряженной из-за невыполнения условия (1.12).

На рисунке 1.3 изображена волноводно-щелевая линия, в которой диэлектрическая пластина 2 расположена параллельно узкой стенке прямоугольного волновода, ширина щели равна 2b1. Данная структура обладает симметрией поперечного сечения относительно оси ох, в результате чего можно рассматривать только область в интервале y[ 0, b2], которая разбивается на четыре частичные области.

Краевая задача образуется уравнением Гельмгольца(1.31) относительно векторов Герца и системой граничных условий. Для сопряженной краевой задачи получаем уравнение вида (1.37).

Производя в дифференциальных уравнениях прямой и сопряженной краевых задач процедуру разделения переменных, приходим к уравнениям вида (1.36, 1.38). В том случае, когда в данной структуре и действительные величины (отсутствует диссипация энергии), условие (1.10) выполняется.

ВЩЛ имеет три границы раздела между слоями, на каждой из которых выражения для компонент электромагнитного поля, записываемых в виде (1.39), должны удовлетворять граничным условиям:

при x = –a2 :

при x = a3:

при x = a4:

Таким образом, на каждой границе, на один вектор Герца накладывается три граничных условия. Учитывая выражение (1.12) приходим к выводу, что условие (1.11) не выполняется и краевая задача является несамосопряженной.

Таким образом для рассмотренных экранированных структур электродинамические операторы являются несамосопряженными, следовательно, в них наравне с распространяющимися и реактивно затухающими волнами могут существовать комплексные волны.

1.3.2 Определение типов операторов, описывающих открытые Краевую задачу для открытых направляющих цилиндрических структур (рисунок 1.1 б) удобно решать в цилиндрической системе координат. Прямая краевая задача задается дифференциальным уравнением:

или и системой граничных условий, рассмотренных далее.

Решение дифференциального уравнения можно представить в виде П(x,y,z)=u1(r)u2()u3(z). Подставляем решение в выражение (1.44), производим разделение переменных, получаем два независимых уравнения:

где k2 –2.

Уравнение (1.46) в свою очередь, разделяется на два независимых уравнения Сделав в (1.48) замену u1 ( r ) u* ( r ) / r, окончательно получаем:

Для сопряженной краевой задачи вид дифференциального уравнения будет следующий:

Выполняя разделение переменных, приходим к уравнениям вида:

Анализируя выражения (1.45, 1.47, 1.49) и (1.51,1.52,1.53), видим, что в рассмотренном случае равенство (1.10) так же, как и в случае с ЭМПЛ и ВЩЛ, выполняется. Проверим выполнение равенства (1.11). Выражения для компонент поля записываются в виде:

Для круглого открытого диэлектрического волновода можно сформулировать несколько краевых задач[21]. Рассмотрим их.

Если поле не имеет угловой зависимости (симметричные волны) и не стрепри r, учитывая, что система мится к нулю на бесконечности, т.е. n=0; u состоит из двух областей r a и r a, получаем следующие граничные условия:

непрерывность тангенциальных компонент поля на поверхности волновода и ограниченность поля при r=0. Таким образом, число граничных условий N для прямой краевой задачи равно трем, а число граничных условий для сопряженной задачи N*=5. Следовательно, краевая задача является несамосопряженной.

Если поле не имеет угловой зависимости(симметричные волны), но ограничено на бесконечности: n=0, u 0 при r, на границе раздела сред имеем два граничных условия для вектора Герца и условия ограниченности поля при r= r, т.е. на основании (1.12) имеем N=4 и N*=4. В результате краевая заи дача является самосопряженной.

В случае несимметричных волн с неограниченным на бесконечности полем имеем пять граничных условий для каждого вектора Герца N=5. На основании (1.12) число граничных условий для сопряженной задачи N*=3. Таким образом, условие (1.11) не выполняется и краевая задача является несамосопряженной.

Для несимметричных волн с ограниченным на бесконечности полем получаем шесть граничных условий: четыре граничных условия для тангенциальных составляющих поля при r=a, условие ограниченности при r=0 и условие ограниченности поля на бесконечности. Следовательно, для векторов Герца число граничных условий N=6, а N*=2. Условие (1.11) не выполняется, краевая задача является несамосопряженной.

1.4 Особенности методов поиска комплексных решений Для поиска решений дисперсионных задач используют всевозможные численные методы, позволяющие получить приближенное решение дисперсионного уравнения с заданной точностью.

В настоящем параграфе рассматриваются методы, которые наиболее часто используются для поиска комплексных корней дисперсионного уравнения, проводится их сравнительный анализ и предлагается новый метод поиска, обладающий быстротой и точностью обнаружения комплексного корня.

1.4.1 Использование метода бисекции для поиска Дисперсионное уравнение представляет собой уравнение вида:

которое решается относительно продольного волнового числа. Поиск чисто действительных или чисто мнимых решений дисперсионного уравнения, при котором осуществляется перебор параметра поиска только по действительной или только по мнимой оси может осуществляться методом половинного деления (метод бисекции). При использовании метода половинного деления[71] производится изменение с определенным шагом h параметра поиска, продольного волнового числа i+1=i+h и определение перехода функции F() через ноль (рисунок 1.4.), где i – действительная или мнимая часть продольного волнового числа. Далее шаг уменьшается в n – раз и снова осуществляется поиск решения. Вычисления производятся до тех пор, пока не будет выполнено условие h>1, то Таблица 2. увеличением n должны стремиться к нулю выражения ( A2 n i A2 n ), ( iB2 n B 2 n ), что обеспечивает сходимость сумм в записи векторов Герца, а, следовательно, и представлений компонент поля. При этом, несмотря на то, что каждый из амплитудных коэффициентов с увеличением n растет по абсолютной величине (таблица 2.4), в целом в области 2 решение сходится, т.к. значения амплитудных На рисунках 2.12, 2.13 приведены результаты проверки выполнения граничных условий, соответственно, для составляющих Ez1,2 и Ex1,2 на границе у = b областей 1 и 2 ( ~ = 9.6; а =0.3а; b = 0.4b; k b = 0.5). По вертикальной оси на рисунках отложено относительное расхождение компонент поля по разные стороны от границы. Сплошная кривая построена в приближении n=2, а пунктирная – при n=4. Из рисунков 2.12, 2.13 видно, что максимальная погрешность “сшивания” не превышает 0,15 % для Ez1,2 и 0,5 % для Eх1,2.

Вблизи полоска для Eх1,2 "сшивание" несколько хуже. Это можно объяснить по аналогии с известным явлением Гиббса. Дело в том, что при х [ 0; а1 ] Eх 0 с увеличением числа m собственных функций области I, а Eх2 в точке х = а заведомо не равно нулю (это следует из аналитической записи данной компоненты поля). С увеличением номера приближения погрешность «сшивания»

уменьшается.

Таким образом, можно сделать вывод, что в данной постановке задача дает равномерную сходимость как по постоянным распространения волны, так и по амплитудным коэффициентам векторов Герца. В итоге наблюдается хорошее выполнение граничных условий.

Рисунок 2.12.

Рисунок 2.13.

дополнительную возможность проверки корректности полученных результатов.

Предлагается следующий дополнительный критерий оценки адекватности используемой математической модели физическому процессу.

Как было показано в главе 1 одним из признаков КВ является то, что ее суммарный поток мощности через поперечное сечение рассматриваемой структуры в среднем за период равен нулю[23]:

Полный поток мощности складывается из потоков мощности в областях 1, 2, 3 в отдельности.

Продольный поток мощности в каждой из областей записывается как:

Подставляя компоненты поля в (2.8), получаем следующие выражения для PZ, PZ, PZ – продольных потоков мощности, соответственно, в 1-ой, 2-ой, 3-ей областях поперечного сечения:

В (2.9) использованы обозначения:

V5m 1 A1m 1m B1m ;

где d=a–a1.

В таблице 2.5 приведены значения продольного волнового числа =1+i для комплексной волны ( 1 1 и 2 b1 ), величина действительной части потока мощности для каждой из областей и суммарное значение потока мощности через поперечное сечение ЭМПЛ при следующих параметрах: 1= 9.6; а1=0.3а; b1= 0. b; при k0b1 = 0.8.

Таблица 2. Из таблицы 2.5 видно, что поток мощности в первой области – комплексной волны [23, 25]. Суммарный поток мощности через поперечное сечение ЭМПЛ с увеличением номера приближения стремится к нулю, что является подтверждением корректности полученных комплексных решений.

Таким образом, для электродинамических структур, в которых могут существовать КВ, предлагается использовать дополнительный критерий оценки корректности постановки задачи: по равенству нулю потока мощности, переносимого КВ в среднем за период.

2.2.3 Графический метод построения структуры электромагнитного При исследовании характеристик направляющих и колебательных электродинамических систем полезно знать структуры электромагнитных полей их собственных волн(колебаний). Для построения силовых линий электрического и магнитного полей волн(колебаний) используются уравнения вида:

где Еx,y и Hx,y – тангенциальные к плоскости поперечного сечения компоненты электрического и магнитного полей.

Расчет силовых линий электромагнитного поля сводится, таким образом, к решению дифференциальных уравнений первого порядка. Окончательную запись данного решения не всегда удается выразить в аналитической форме, поэтому используются численные методы, в частности метод Рунге – Кутты[72]. В данном параграфе рассмотрен графический метод построения полей на основе алгоритма Эйлера[72]. Метод Эйлера является частным случаем метода Рунге – Кутты.

Метод Эйлера и метод Рунге – Кутты относятся к одношаговым методам расчета.

Многошаговые методы расчета, такие как метод Адамса[72], неудобны тем, что невозможно начать расчеты по одному известному начальному значению функции.

Метод Эйлера является методом первого порядка точности решения обыкновенных дифференциальных уравнений, а метод Рунге – Кутты и его модификации могут иметь более высокий порядок точности: второй, третий и так далее. Наиболее часто используется метод Рунге – Кутты четвертого порядка.

Использование этого метода приводит к значительной загрузке ЭВМ, особенно при расчете полей в задачах, решаемых в незамкнутой форме (например, с бесконечными суммами в представлении векторов Герца (2.1) – (2.3) для ЭМПЛ).

В большинстве случаев для построения картины электромагнитного поля не требуется большой точности и достаточно бывает применения метода Эйлера с некоторыми изменениями, что значительно повышает быстродействие при построении картины поля.

Предлагаемый в данной главе графический метод основан на замене всех производных их конечноразностными аналогами, то есть на переходе [99, 100] от волнового числа Используя его, находим в определенной точке (x, y) значениякомпонент поля Ex, Ey, Hx, Hy, и, подставляя их в выражения (2.10), (2.11), получаем значения коэффициентов k1 и k2. Приняв x=x*=1, находим значения Координаты следующей точки, в которой производится расчет компонент поля, определяются выражениями:

соответственно (рисунок 2.14).

Отличие данного метода от метода Эйлера заключается в том, что нам априорно известны величины и направления электрических и магнитных составляющих полей, что позволяет при построении линий на экране выбирать шаг смещения по координатам в зависимости от соотношения компонент поля, что является важным фактором, для ускорения построения картины полей. Кроме того, знание величины компонент поля позволяет избежать неопределенности при нахождении коэффициентов k1 и k2 при равенстве нулю одной из составляющих.

В этом случае, если, например, Ex=0, Ey0, то принимается x=0, y =1, т.е.

силовая линия идет горизонтально. y и x, равные 1, взяты для определенности:

в ходе построения силовой линии они могут быть любыми, исходя из её(линии) кривизны.

На основе данного метода была составлена программа на языке С++, которую можно использовать для построения картин электромагнитных полей в различных электродинамических структурах. Данная программа построения картины полей входит в виде дополнительного блока в основную программу расчета экранированной микрополосковой линии.

Силовые линии магнитного и электрического поля строятся отдельно друг от друга, а именно, перемещая указатель мыши по экрану (на экране находится изображение поперечного сечения исследуемой электродинамической структуры), определяется, с какого места необходимо строить электрическую или магнитную силовую линию.

После этого нажатием правой клавиши мыши начинается построение магнитной силовой линии, а нажатием левой клавиши мыши осуществляется построение электрической силовой линии. Силовая линия строится сначала в одну сторону (сплошная линия рисунок 2.14 ), а затем при достижении ею экрана направляющей структуры или границы специально заданной области (например, области, где находится микрополосок) силовая линия строится в другую сторону(пунктирная линия рисунок 2.14). Значение x выбирается автоматически в зависимости от кривизны силовой линии. Минимальное значение, которое принимает x, в ходе выполнения программы, задается в начальных данных, в зависимости от того, с какой точностью мы хотим построить картину электромагнитного поля. Направление силовых линий на экране компьютера отображается их цветом.

Для проверки работоспособности подпрограммы построения полей с использованием метода Эйлера на рисунке приведена картина электромагнитного поля волны Н11 прямоугольного волновода, построенная с применением данного метода.

На рисунках 2.16, 2.17, 2.18 приведены картины электромагнитных полей квази-Т волны ЭМПЛ при следующих параметрах 1= 9.6; а1=0.3а; b1= 0.4b;

толщина полоска 0.02 мм (при k0b1=0.05, k0b1=0.2, k0b1=0.5, соответственно). Из рисунков видно, что с увеличением частоты происходит втягивание поля в подложку и концентрация его в подполосочной области, а при k0b1=0.5 возникает продольная составляющая электрического поля (точка А, рисунок 2.18).

Рисунок 2. Рисунок 2. Рисунок 2. Рисунок 2. 2.2.4 Согласующая нагрузка для прямоугольного волновода Прямоугольные волноводы являются одной из основных базовых структур для функциональных узлов СВЧ и КВЧ диапазонов[11-13, 15, 101]. На их основе выполняются такие устройства, как направленные ответвители, смесители, умножители частоты, аттенюаторы и т.д. Одним из важнейших вопросов, которые приходится решать при построении на основе прямоугольных волноводов различных функциональных узлов указанных диапазонов, является вопрос их согласования на конечных участках тракта. Широко распространенным видом согласующих нагрузок являются экранированные полосковые линии (рисунок 2.19, а), нагруженные диссипативными вставками. В настоящем параграфе рассматривается согласующая нагрузка, образуемая стыком прямоугольного волновода с прямоугольной коаксиальной линией (рисунок 2.19, б) в которую вырождается экранированная полосковая линия при симметричном расположении внутреннего проводника и при однородном диэлектрическом заполнении.

В качестве согласованной нагрузки для прямоугольного волновода нагруженный на диссипативную вставку[102].

прямоугольным коаксиалом, необходимо рассчитать коэффициент стоячей волны (КСВ) стыка этих электродинамических структур в рабочем диапазоне основной волны прямоугольного волновода H10.

Для расчета КСВ стыка в одноволновом приближении необходимо знать прямоугольного коаксиала на основной волне.

рассчитывается[102] по формуле:

Для нахождения волнового сопротивления прямоугольного коаксиала, используется алгоритм расчета характеристик дисперсии и затухания экранированной микрополосковой линии рассмотренный ранее в параграфе 2.2. настоящей главы. Для моделирования прямоугольного коаксиала – полосок помещается в центре, а относительная диэлектрическая проницаемость подложки приравнивается к единице.

Полученные из дисперсионного уравнения волновые числа, входящие в соотношения (2.6), используются для нахождения амплитудных коэффициентов, зная которые находим электрические и магнитные компоненты поля. Найденные компоненты поля используются для расчета напряжения и продольного потока мощности через поперечное сечение прямоугольного коаксиала. Формулы для расчета мощности приведены в параграфе 2.2.2 настоящей главы.

электрического поля по координате у (рисунок 2.19) при х=0:

Полученные значения напряжения и мощности подставляем в формулу для расчета волнового сопротивления прямоугольного коаксиала Корректность предложенного алгоритма расчета волнового сопротивления прямоугольного коаксиала была проверена с помощью «предельного» перехода от экранированной микрополосковой линии к прямоугольному волноводу. Этот относительная диэлектрическая проницаемость всех слоев устремляется к единице.

сопротивление ЭМПЛ(черные треугольники), рассчитанное по формуле (2.14), (прямоугольники), рассчитанные по формуле (2.12), с точностью 0,5% (размер экрана 5.2 2.6 мм, =1).

КСВ(кружочки) и экспериментальные данные(квадратики) для стыка прямоугольного волновода, размером 5.2 2.6 мм, с прямоугольным коаксиалом с размерами центральной жилы 2.3 0.48 мм. Из рисунка 2.21 видно, что различие между теоритическими и экспериментальными данными в частотном диапазоне 35 - 55 ГГц составляет от 1.25% до 8.2%.

теоретические (квадраты) характеристики для размеров экрана 115.5 мм и размеров центральной жилы прямоугольного коаксиала 80.95 мм (нижние графики) и для размеров центральной жилы 81.5 мм (верхние графики). Расчеты, выполненные при измененных параметрах электродинамических структур показали, что различие между экспериментальными и теоретическими характеристиками составляет не более 4%.

Из анализа результатов исследования, проведенного в одноволновом приближении, можно заключить, что при соответствующем выборе геометрических параметров прямоугольного коаксиала следует ожидать его достаточно хорошего согласования с прямоугольным волноводом. При совпадении волновых сопротивлений двух указанных направляющих структур получается малый коэффициент отражения от их стыка, что обеспечивает, при хорошем согласовании прямоугольного коаксиала с оконечной поглощающей нагрузкой, КСВ, близкий к единице.

Большое распространение в последнее время получили волноводные структуры, обладающие селективными свойствами и представляющие собой цепочки связанных отрезков регулярных волноведущих структур с различными параметрами [103-106], в частности, фильтры на основе нерегулярных волноводно-щелевых линий(ВЩЛ) [81, 107-110].

Для расчета характеристик данных устройств необходима предварительная информация о спектре собственных волн регулярной ВЩЛ при различных параметрах структуры.

Поперечное и продольное сечения ВЩЛ изображены на рисунке 2.23.

Диэлектрическая подложка расположена параллельно узкой стенке прямоугольного волновода(в Е-плоскости). Ширина щели равна 2b1.

Краевая задача для рассматриваемой структуры решается методом краевых задач Дирихле и Неймана на уравнении Гельмгольца относительно продольных составляющих электрического e и магнитного m векторов Герца записываются в виде:

Граничные условия для тангенциальных компонент электрического и магнитного полей на границах раздела частичных областей имеют вид Подставляя компоненты электрического и магнитного поля, выраженные через векторы Герца (2.15–2.18), в граничные условия(2.19–2.21), получаем систему двенадцати функциональных уравнений, содержащих неизвестные ортогональности собственных функций краевых задач для частичных областей, приходим к системе однородных алгебраических уравнений бесконечно высокого порядка относительно коэффициентов: A1m, A1m, A 2n, A 2n, B2n, B2n, A3k, A3k, B3k, B3k, A 4, A 4. Выражая коэффициенты разложения полей областей 1,2,4, через амплитудные коэффициенты области 3, и приходим к однородной системе линейных алгебраических уравнений СЛАУ:

В выражениях (2.22) использованы обозначения:

Ф7n Ф15n b 2 2f 4n Ф11n ;

Ф18n 2f3n Ф8n ;

при n=k=0 I1nk=2b1;

при n=k=0 I2nk=0;

Решение СЛАУ осуществляется методом редукции: заменой бесконечного количеством функций в (2.17), область 3. Для того, чтобы система (2.22) имела нетривиальное решение, необходимо, чтобы ее определитель равнялся нулю, что приводит к дисперсионному уравнению собственных волн ВЩЛ. Полученное дисперсионное уравнение решается совместно с уравнениями, связывающими волновые числа:

в комплексной плоскости продольного волнового числа.

В таблице 2.6 приведены результаты сходимости решения дисперсионной задачи по продольному волновому числу, в общем случае комплексному:

1 i2 ( 1 1 / k0 – для распространяющихся, 2 =b2– для реактивно затухающих волн) для собственных волн ВЩЛ на частоте 80 ГГц, при a3=0.085a1, b1=0.5b2, a4–a3=0.005a1, 2=6.

Таблица 2. HE(2) HE(3) HE(4) HE(5) HE(6) HE(7) HE(8) НЕк(3) Из таблицы 2.6 видно, что с ростом приближения n наблюдается хорошая сходимость продольного волнового числа, уже при n=3 абсолютное приращение составляет менее 1%. В силу того, что волны ВЩЛ являются гибридными, они обозначены как НЕ(n), где n =1,2,3…. по порядку следования критических частот, комплексные волны обозначены как НЕк(n).

Для волны НЕ(1), производилось сравнение полученных результатов с результатами, приведенными в [83]. Отличие не превышает 0.5%.

На рисунке 2.24 приведены дисперсионные кривые волн ВЩЛ, при следующих параметрах структуры: а1=2.3мм, b2=1.мм, a5=a1, a2=0.085a1, a3=0.085a1, b1=0.5b2, a4–a3=0.005a1, 2=6. Из рисунка видно, что в широком частотном диапазоне существуют: КВ – НЕк(4), образующаяся в точке слияния характеристик гибридных волн НЕ(4) и НЕ(5), и НЕк(3), образующаяся в точке слияния характеристик гибридных волн НЕ(9) и НЕ(10). Волна НЕ(4) образует КВ – НЕк(3), объединяясь с волнами НЕ(5) и НЕ(7), аналогичным образом возникает КВ – НЕк(2), в результате объединения характеристики волны НЕ(9) с характеристиками волн НЕ(10) и НЕ(11).

Наличие комплексных решений дисперсионного выражения подтверждает выводы, сделанные в главе 1, о том, что, если структура описывается несамосопряженным оператором, то в ней могут существовать КВ.

При увеличении ширины щели до размера b1=0.75b2 происходит уменьшение диапазонов частот, в которых существуют КВ. Волны, обозначенные на рисунке 2.24 как НЕк(1), НЕк(2), НЕк(4), исчезают, возникает КВ в точке слияния характеристик НЕ(2) и НЕ(4) (НЕк(1), рисунок 2.25), и происходит увеличение частотного диапазона существования КВ, образованной в точке слияния характеристик волн НЕ(9) и НЕ(10) (НЕк(2), рисунок 2.25).

При дальнейшем увеличении ширины щели происходит уменьшение диапазона частот, в котором существуют КВ НЕк(1) и НЕк(2) (рисунок 2.25), а при ширине щели b1=0.99b2 (рисунок 2.26) ширине щели полученную структуру можно рассматривать как прямоугольный волновод с диэлектрической пластиной. Краевая задача для такой структуры является самосопряженной [23]. В структурах, описываемых самосопряженными операторами, КВ не существуют. Однако, поскольку ширина щели все же не равна ширине экрана (b1=0.99b2), оставшиеся небольшие металлические выступы оказывают влияние на спектр волн направляющей структуры. Этим можно объяснить существование КВ – НЕк(2).

При уменьшении диэлектрической проницаемости второй области, влияние металлических выступов ослабевает и диапазон существования КВ НЕк(2) уменьшается. На рисунке 2.27 приведены характеристики для ~ =2, b =0.99b, a2=0.085a1, a3=0.085a1, b1=0.5b2, a4–a3=0.005a1, a5=a1, а1=2.3мм, b2=1.0мм.

При дальнейшем уменьшении диэлектрической проницаемости КВ НЕк(2) исчезает, а дисперсионные характеристики обычных волн приближаются к дисперсионным характеристикам, соответствующим волнам однородно заполненного прямоугольного волновода с воздушным заполнением.

На рисунке 2.28 представлены характеристики собственных волн при следующих значениях параметров структуры: ~ =1.1, b =0.99b, a =0.085a, a3=0.085a1, b1=0.5b2, a4–a3=0.005a1, a5=a1, а1=2.3мм, b2=1.0мм. При данных значениях параметров характеристики волн НЕ(9) и НЕ(10) сливаются, что соответствует вырожденным волнам Н31, Е31 в прямоугольном волноводе.

Дальнейшие уменьшение ~2 до 1 приводит к тому, что кривые волн НЕ(4) и НЕ(5), а также НЕ(7) и НЕ(8) сливаются, и их характеристики соответствуют вырожденным волнам прямоугольного волновода Н11, Е11 и Н21, Е21 (рисунок 2.29).

Обозначения волн (рисунок 2.29) приняты аналогично волнам однородно заполненного прямоугольного волновода. Проведенный предельный переход к однородно заполненному волноводу с воздушным заполнением и полученные при этом результаты могут служить подтверждением корректности разработанного алгоритма и правильности работы созданной программы.

Уменьшение ширины щели приводит к тому, что волна, обозначенная на рисунке 2.24, как НЕ(4), смещается в область более высоких частот и становится шестой по порядку следования критических частот при ширине щели b1=0.2b2(рисунок 2.30, другие параметры те же, что для рисунка 2.24).

В точке слияния характеристик данной волны с характеристикой волны НЕ(7) образуется КВ НЕк(1). Другая КВ, обозначенная на рисунке 2.30 как НЕк(2), образуется в точке слияния дисперсионных характеристик гибридных волн НЕ(10) и НЕ(11).

Области существования комплексных волн при уменьшении ширины щели смещаются в сторону более высоких частот. При дальнейшем уменьшении ширины щели происходит уменьшение диапазона частот, в котором существуют КВ НЕк(1) и НЕк(2) (рисунок 2.31, b1=0.05b2). ВЩЛ трансформируется в два прямоугольных волновода, один с воздушным заполнением, а другой двухслойный. Так как щель оказывает влияние на спектр волн, КВ, по всей видимости, могут существовать до момента полной трансформации ВЩЛ в прямоугольный волновод. Кроме того, при уменьшении ширины щели наблюдается эффект вырождения некоторых волн. Так характеристики волны НЕ(8) и НЕ(9) сближаются (рисунок 2.30) и при b1=0.05b2 (рисунок 2.31), полностью совпадают. Данное вырождение, по всей видимости, также связано с тем, что происходит переход от ВЩЛ к двум прямоугольным волноводам.

диэлектрического слоя. Так уменьшение толщины этого слоя до a2+а3=0.086a приводит к тому, что КВ, образовавшиеся в точке слияния гибридных волн НЕ(4), НЕ(5) и НЕ(9), НЕ(10) (см. рисунок 2.24) исчезают. При этом возникает КВ в точке слияния характеристик НЕ(7) и НЕ(8) (рисунок 2.32). Дальнейшее уменьшение толщины диэлектрического слоя до a2+а3=0.04a1 приводит к тому, что КВ – НЕк(1) (рисунок 2.33) исчезает, и ни одна из первых десяти волн высших типов не переходит в комплексную волну.

(рисунок 2.34, a5=a1, b1=0.5b2, a4–a3=0.005a1, ~2 =6, а1=2.3мм, b2=1.0мм), многие характеристики волн в запредельной области приобретают продолжение в виде участков комплексных волн. Следовательно, увеличение толщины диэлектрической подложки приводит к увеличению числа КВ в спектре ВЩЛ.

Увеличение диэлектрической проницаемости также дает увеличение числа комплексных решений дисперсионного уравнения. При этом возникают участки, на которых волны переходят из реактивно затухающих в комплексные, образуя характеристики в виде петли (рисунок 2.35: ~ =30, a =a, a =0.085a, a =0.085a, b1=0.5b2, a4–a3=0.005a1, а1=2.3мм, b2=1.0мм). Аналогичное этому явление наблюдается в круглом двухслойном экранированном волноводе [23, 111], и можно ожидать, что такое же явление будет наблюдаться и в других неоднородных в поперечном сечении электродинамических структурах.

Приведенные результаты показывают, что несмотря на отсутствие диссипации энергии, дисперсионные характеристики гибридных волн при тех или иных параметрах в запредельной области имеют ветви комплексных решений, которые существуют в значительной части частотного диапазона.

Наличие их в рабочем диапазоне частот может оказать существенное влияние на функциональные возможности СВЧ узлов.

2.3.2 Оценка корректности постановки и решения краевой задачи по нулевому потоку мощности комплексных волн ВЩЛ Одним из признаков КВ является то, что ее суммарный поток мощности через поперечное сечение направляющей структуры в среднем за период равен нулю[23]:

Это свойство было предложено использовать в качестве физического критерия корректности постановки и решения краевых задач, формулируемых в незамкнутой форме[82, 112].

Полный поток мощности, переносимой волной ВЩЛ, складывается из потоков мощности в областях 1, 2, 3,4 в отдельности:

Продольный поток мощности в каждой из областей записывается как:

записываются в виде:

для области 1 (рисунок 2.23):

где для области 2:

где для области 3:

где для области 4:

где Подставляя компоненты поля в (2.25), получаем выражения для вычисления потоков мощности комплексной волны в областях 1,2,3,4:

В таблице 2.7 приведены значения нормированных составляющих действительной части потока мощности для каждой из областей и суммарное значение потока мощности через поперечное сечение ВЩЛ при следующих параметрах: ~2 = 6; а1=0.3а; b1= 0.2b; b1= 0.4b; на частоте 80 ГГц.

Таблица 2. Из таблицы 2.7 видно, что суммарный поток мощности через поперечное сечение ВЩЛ с увеличением номера приближения стремится к нулю, что отражает один из основных признаков КВ недиссипативной направляющей структуры и является подтверждением корректности полученных комплексных решений.

Расчет характеристик фильтра осуществляется на основе строгого электродинамического подхода, использующего аппарат обобщенных матриц рассеяния. Фильтр выполнен в виде каскадного соединения отрезков регулярных ВШЛ с различными значениями ширины щели (рисунок 2.36), поэтому необходимо решить задачу нахождения S–матрицы стыка двух ВЩЛ.

Используя метод частичных областей, представим поле в каждой области в виде суперпозиции падающих и отраженных волн:

1e2m 1e2m (x, y), 1e2m 1e2m (x, y) – потенциальные функции; C и R, T и R – амплитудные коэффициенты падающей и отраженной волн 1-ой и 2-ой областях, соответственно; и – индексы волн областей 1 и 2, 1 и – продольные волновые числа волн первой и второй областей полученные при решении дисперсионной задачи, рассмотренной в параграфе 2.2.1.

электрического и магнитного полей на стыке первой и второй области:

Подставляя в граничные условия (2.27–2.30) выражения для компонент поля, приходим к системе функциональных уравнений относительно неизвестных амплитуд падающих и отраженных волн областей 1 и 2.

С целью исключения координатной зависимости по x и y применяем метод энергетической ортогональности[13, 113]. Уравнения, полученные из граничных условий (2.27), (2.28), домножаем на H y 2 и H x 2, соответственно, а затем интегрируем по поперечному сечению S2 2-ой области, а затем вычитаем из первого уравнения второе.

Уравнения, полученные из граничных условий (2.29), (2.30), домножаем, соответственно, на Е y1 и Е x1, интегрируем по поперечному сечению S1 1-ой области, а затем вычитаем из одного уравнения другое. В результате получаем следующие уравнения:

где H y 2 и H x 2, Е y1 и Е x1 – компоненты поля с единичными амплитудами.

Подставляем компоненты поля в выражения (2.31) и (2.32) и, производя интегрирование по площадям поперечного сечения S1 и S2, получаем систему из двух уравнений относительно амплитудных коэффициентов C и Rпадающих и отраженных волн первой области, T – амплитудных коэффициентов падающих волн области 2. Считая амплитуды падающих волн первой области заданными, обобщенную S – матрицу стыка. S – матрицу фильтра получаем, используя формулу для S – матрицы каскадного соединения.

Полученные при решении дисперсионной задачи для ВЩЛ значения волновых чисел использовались для расчета S – параметров фильтра, приведенные на рисунке 2.37. АЧХ построена при следующих параметрах фильтра а2=а3=1мм; а1=а5=11,5а2; а4–а3=0.05а2; ~2 2.0 ; (рисунок 2.23) 1= 2= … n =3.5мм; b1=0.2b2; b1 0.81b2 ; b2=5мм(рисунок 2.36).

Из рисунка 2.37 видно, что величина ослабления в полосе заграждения (ПЗ) и крутизна фронта АЧХ увеличиваются с увеличением числа ячеек V.

Однако при данных параметрах характеристики устройства в полосе пропускания (ПП) неудовлетворительны: ослабление ~ (-2 – -3) дБ; КстU 3. Ослабление в ПЗ также недостаточно хорошее. Поэтому была проведена оптимизация параметров с использованием методов оптимизации, основанных на нахождении экстремума целевой функции [114–116], характеризующей степень отклонения расчетной АЧХ от заданной. С помощью программы поиска глобального экстремума определены оптимальные параметры фильтров на базе прямоугольного волновода сечением 23х10 мм.

На рисунке 2.38 представлены АЧХ фильтров при разных значениях V.

Видно, что с увеличением числа ячеек ослабление в ПЗ возрастает и при V= становится ~30 дБ. В ПП ослабление не превышает 0,2 дБ. Максимальное значение КстU=1,6.

Для проверки результатов расчета АЧХ фильтра был проведен эксперимент. ВЩЛ, изготовленная на базе прямоугольного волновода сечением 23х10 мм, имела следующие параметры: плата из фторопласта ( ~ 2.0 ), расположенная в Е-плоскости, толщиной 2 мм с металлизацией (рисунок 2.39), b1=1мм, b1 =3.5мм, 1= 4.5мм, 2=4.35мм, 3=3.9мм,4= 3.95мм, 5=3.8мм, 6=3.8, 7=4.1 мм, 8=4 мм,9= 4.05мм, 10=3.9мм, 11=4 мм.

Измерения АЧХ проводились на панорамном измерителе ослабления и К стU по схеме «на проход» (рисунок 2.40). Погрешность измерений вычисленная по формуле: А изм А пр А приборе Р2-108А. А пр – погрешность прибора, А рас – погрешность из-за рассогласования.

Погрешность рассогласования определяется[117] по формуле:

где Гг – коэффициент отражения тракта со стороны генератора, Гс – коэффициент отражения тракта со стороны нагрузки; Г1,2 – коэффициенты отражения исследуемого объекта со стороны генератора и нагрузки, соответственно;

К 10 20 – коэффициент передачи исследуемого объекта.

Общая погрешность эксперимента обусловлена погрешностью установки А изм и погрешностью разброса параметров ячеек А доп. Формула для нахождения общей погрешности эксперимента имеет следующий вид:

Используя программу расчета фильтра, можно оценить влияние разброса параметров ячеек. Так отклонение параметров на 1% дает отклонение в расчете ослабления в ПП, равное 2,3%, в ПЗ – 4%.

Следовательно, при данном разбросе параметров погрешность ослабления в ПП составляет 0,2 дБ, в ПЗ 1 дБ. Общая погрешность эксперимента в ПП составит 0,7 дБ, ПЗ 2.8 дБ.

На рисунке 2.41 приведены АЧХ описываемого фильтра: пунктиром измеренная характеристика, сплошная линия – расчетная.

Из рисунка 2.41 видно, что ширина ПП и ПЗ и их местоположение на теоретической и расчетной характеристиках совпадают с точностью до 1%.

Измеренное ослабление фильтра несколько выше расчетного.

Это, по-видимому, можно объяснить следующим образом:

1. Не учитывались активные потери;

2. Не учитывалось отражение на стыках прямоугольного волновода и ВЩЛ, т.к. в реальном устройстве вводился трансформатор согласования Т (рисунок 2.39).

Анализируя полученные результаты можно сделать вывод, что отличие теоретических и экспериментальных результатов лежит в пределах обоснованной погрешности измерений. При расчете фильтра комплексные волны не учитывались, так как при данных параметрах структуры в интересующем нас частотном диапазоне их нет.

Круглый экранированный двухслойный диэлектрический волновод – направляющая структура, которая давно нашла широкое применение в различных узлах РЭА[21]. Кроме того достаточно хорошо изучены и представлены в печати характеристики собственных волн(в том числе и комплексных) экранированного двухслойного, а также многослойных диэлектрических волноводов[23]. Целью данного раздела является подтверждение существования частотных участков комплексных волн в данной структуре, как структуре, описываемой несамосопряженным оператором, и возможности существования присоединенных решений краевой задачи для рассматриваемого волновода. Также проверяется корректность комплексных решений в точке образования КВ путем проверки одного из признаков КВ, а именно равенство нулю потока мощности через поперечное сечение направляющей структуры в среднем за период Эти сведения необходимы для представления целостной картины нахождения комплексных решений для структур разного вида, рассматриваемых в данной работе.

Рассмотренная в данном параграфе краевая задача – это первый (классический) двухслойных цилиндрических направляющих структур, который подробно описан в [21, 23, 57]. В четвертой главе диссертации будет приведен второй вариант постановки краевой задачи для данной структуры, и будут введены новых понятия: «присоединенная краевая задача» и «присоединенные волны».

На рисунке 2.42 изображен двухслойный экранированный волновод, радиус внутреннего слоя – a, радиус экрана – b, диэлектрические проницаемости слоев 1, 2 соответственно.

относительно продольных компонент электрического и магнитного векторов Герца для областей (рисунок 2.42) имеют вид:

где 1,2 – поперечные волновые числа первой и второй области, связанные с продольным волновым числом соотношением:

Jn и Yn – функции Бесселя и Неймана, а J n 2 b и Yn2b – их первые производные, взятые по всему аргументу.

Выражая компоненты поля через векторы Герца (2.34) и подставляя их в граничные условия, получаем систему 4-х линейных однородных алгебраических нетривиальности ее решений (приравнивая нулю главный определитель), получаем [23] дисперсионное уравнение волн рассматриваемых направляющих структур:

числа (2.35).

На рисунке 2.43 приведены дисперсионные характеристики высших типов волн двухслойного экранированного волновода для следующих параметров На рисунке 2.44 изображены дисперсионные характеристики для На рисунках 2.43, 2.44 буквами К1 и К2 обозначены комплексные волны, образующиеся в точках соединения дисперсионных характеристик собственных волн двухслойного экранированного волновода (точки: А, В). Наличие комплексных решений подтверждает существование КВ в многослойных круглых экранированных структурах без диссипации энергии.

Проверим выполнение критерия (2.33). Средний за период поток мощности волны HE11 (рисунок 2.43) через поперечное сечение направляющей структуры.

характеристики волны HE11 к точке В образования комплексной волны(последняя строка). Во второй колонке приведены значения нормированного продольного волнового числа, в третей, четвертой и пятой колонках – действительной части среднего потока мощности в первом(центральном) слое, во втором и суммарный, соответственно.

Таблица 2.8.

Видно, что при движении вдоль дисперсионной характеристики волны HE к точке В суммарный средний поток мощности(P=P1+P2) стремится к нулю. В работе [23] равенство нулю суммарного среднего потока мощности было доказано аналитически. В главе 4 будет показано, что в этой точке могут быть найдены решения присоединенной краевой задачи.

Результаты исследований, представленные в данной главе, опубликованы в [24, 81, 82, 88, 99, 102, 112].

1. Подтверждено наличие КВ в структурах без потерь, описываемых несамосопряженными операторами.

2. Произведены исследования влияния параметров экранированной МПЛ на полный (включая комплексные волны) спектр собственных волн.

3. Сформулированы критерии оценки корректности результатов полученных с использованием МЧО.

4. Предложен графический метод построения электромагнитных полей.

5. Произведен расчет характеристик согласующего устройства для прямоугольного волновода.

6. С применением МЧО решена задача о расчете спектра собственных волн 7. Осуществлен анализ трансформации спектра собственных волн ВЩЛ в зависимости от параметров структуры.

8. Показано, что в спектре ВЩЛ существуют волны с комплексными постоянными распространения – комплексные волны.

9. Произведен расчет характеристик фильтра на основе нерегулярной ВЩЛ.

10. Показано, что в спектре круглого экранированного двухслойного диэлектрического волновода при определенных параметрах структуры существуют комплексные волны.

НАПРАВЛЯЮЩИЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

С РЕЗИСТИВНЫМИ ПЛЕНКАМИ

Исследования направляющих структур, покрытых поглощающими пленками, проводятся достаточно давно [6, 21, 34, 118-120]. Устройства с резистивными пленками используются при создании аттенюаторов [118], согласованных нагрузок [119], направленных ответвителей [6], фильтров типов мод [120]. Устройства с фоточувствительными диэлектрическими пленками могут быть использованы как элементы датчиков излучений [121]. На оптических частотах сверхтонкие металлические пленки поддерживают около себя поверхностные (плазмонные) волны [122]. Пленки (в основном, жидкостей) могут выпадать на поверхности волноводов в результате изменения параметров среды (например, температуры). При этом изменяются передающие свойства направляющей структуры [123]. На таком принципе работают датчики температуры точки росы [124].

Созданию устройств на основе тонких поглощающих пленок, как правило, предшествует расчет, позволяющий получить априорную информацию о потенциальных возможностях проектируемого изделия в диапазоне частот.