«БУСТОВЫ МОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ И РОЖДЕНИЕ ПАР ...»

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЯДЕРНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ МИФИ

На правах рукописи

Гельфер Евгений Григорьевич

БУСТОВЫ МОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ И

РОЖДЕНИЕ ПАР

Специальность 01.04.02 теоретическая физика

Диссертация на соискание учной степени

е кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

д. ф.-м. н.

профессор Нарожный Н. Б.

Москва 2011 2 Оглавление Введение 1 Бустовы моды свободных полей. 1.1 Бозонное поле........................... 1.2 Массивное фермионное поле.................. 1.3 Безмассовое фермионное поле................. 1.4 Заключительные замечания к главе 1............. 2 Анализ квантования Унру в случае фермионного поля. 2.1 Квантование Унру и исключение нулевой бустовой моды... 2.2 Функция Вайтмана и квантование Унру на языке сглаженных бустовых мод......................... 2.3 Заключительные замечания к главе 2............. 3 Бустовы моды в электрическом поле. 3.1 Траектории бустовых частиц.................. 3.2 Решения уравнения КФГ во внешнем поле........... 3.3 Бустовы in и out моды в электрическом поле.......... 3.4 Коэффициенты Боголюбова................... 3.5 Предельный переход к случаю свободного поля........ 3.6 Рождение бустовых пар...................... 3.7 Заключительные замечания к главе 3.............. 4 Метод квантового кинетического уравнения 4.1 Квантовое кинетическое уравнение: иллюстрация с помощью модели одномерного осциллятора................ 4.2 Рождение скалярных и фермионных пар............ 4.3 Заключительные замечания к главе 4............. Заключение A Приложение. Вычисление нормировки бустовых мод во внешнем электрическом поле. B Приложение. Явный вид бустовых мод. C Приложение. Явное решение кинетического уравнения. D Приложение. Условие нормировки для фермионной задачи. Литература Введение Задача о рождении в вакууме электрон–позитронных пар внешним сильным электромагнитным полем впервые была рассмотрена в 1931 году Заутером [1] в контексте парадокса Клейна [2]. В 1936 году Гейзенберг и Эйлер в работе [3] вычислили эффективный лагранжиан постоянного электромагнитного поля и поправки, которые вносит в уравнения Максвелла поляризация вакуума. В этих же работах была впервые введена критическая напряженность поля квантовой электродинамики (КЭД), т.е. такого поля, которое совершает работу, равную энергии покоя электрона, на расстоянии комптоновской длины волны Здесь me и e – масса и заряд электрона, c – скорость света, – постоянная Планка.

В работе [4] Швингер повторил результат Гейзенберга и Эйлера [3] для эффективного Лагранжиана с помощью оригинального метода для вычисления матричных элементов оператора эволюции и вывел выражение для функции Грина электрона в интенсивном внешнем поле. Также в [4] для случая постоянного электрического поля была вычислена вероятность перехода вакуум–вакуум, т.е. вероятность того, что не родится ни одна частица где Sef f – эффективное действие, после чего эффект рождения пар внешним полем часто называют эффектом Швингера. Отметим, что широко распространенное убеждение в том, что величина 2ImSef f является вероятностью рождения пары в единице объема в единицу времени, верно только в случае слабых полей E ES.

Рис. 1. Рост интенсивности лазерных систем. Пунктиром показаны лазеры высокой мощности, которые строятся в настоящее время. Использован Рис. 1 из [5].

Вероятность рождения пары w очень резко зависит от напряженноES сти поля, w e E [4]. Поскольку напряженность критического поля (1) составляет ES = 1.3 · 1016 В/см, а соответствующая ей интенсивность поc о рождении пар электромагнитным полем в вакууме вызывал сугубо теоретический интерес, так как возможности лазерных систем не позволяли задумываться об экспериментальной проверке этого эффекта. Однако бурный прогресс, связанный, прежде всего, с технологией Chirped Pulse Amplication (CPA) [6] и развитой на ее основе Optical Parametric Chirped Pulse Amplication (OPCPA) [7], см. Рис. 1, дает возможность достичь интенсивностей всего на несколько порядков меньших критической IS в течение ближайших лет [5, 8]. В настоящее время уже получена интенсивность I = 2 · 1022 Вт/см2 [9], и строятся две установки, на которых эффект рождения пар из вакуума в принципе может быть проверен экспериментально:

High Power laser for Energy Research (HiPER) в Великобритании [10, 11] и Extreme Light Infrastructure (ELI) [12, 13], которая будет располагаться в Чехии, Венгрии и Румынии.

Пиковая интенсивность этих лазеров должна будет достигать I = 102628 Вт/см2. Это все еще значительно меньше критической интенсивности IS. Тем не менее в [14–16] было показано, что рождение пар одним сфокусированным циркулярно поляризованным лазерным импульсным можно экспериментально наблюдать уже при интенсивности порядка I = Вт/см2. Это объясняется очень большим значением предэкспоненциального множителя в формуле для числа рожденных пар, который имеет порядок отношения 4-объема фокусной области лазерного импульса, в которой рождаются пары, к комптоновскому 4-объему, т.е. (/C )4, где – длина волны лазера, C – комптоновская длина волны электрона. Более того, было показано, что использование нескольких сталкивающихся импульсов в определенной геометрии позволяет еще существеннее снизить пороговую интенсивность, необходимую для рождения пар. Так, для двух сталкивающихся импульсов пороговая интенсивность составляет порядка I(2) = Вт/см2 [15], а для 24 импульсов пороговая интенсивность снижается до I(24) = 5 · 1025 Вт/см2 [17]. Такие значения интенсивности должны быть достигнуты на HiPER и ELI в течение нескольких лет.

Кроме того, в [18] было показано, что единственная рожденная лазерным импульсом из вакуума пара при достаточной интенсивности импульса инициирует квантовоэлектродинамический каскад рождений новых пар. Это связано с тем, что возникшие электрон и позитрон очень быстро ускоряются лазерным полем до релятивистских энергий и излучают жесткие фотоны, которые рождают новые пары. Этот эффект уже наблюдался в эксперименте на Стенфордском линейном ускорителе [19]. Однако случаи рождения там были единичными, и каскад не развивался из-за недостаточной интенсивности лазерного поля. При интенсивности порядка I 2.7 · 1026 Вт/см2 суммарная энергия частиц в каскаде становится сравнимой с энергией лазерного поля, что приводит к разрушению импульса [18]. Получается, что эффект рождения пар ограничивает максимально возможную напряженность фокусированного лазерного импульса, и значения порядка критической напряженности ES не могут быть достигнуты в принципе1 [16].

Таким образом, изучение вопросов, связанных с рождением пар интенсивным внешним полем представляется сейчас очень актуальной задачей.

Среди основных подходов к изучению эффекта рождения пар следует отметить 1. Вычисление мнимой части действия [3, 4], упоминавшееся выше.

2. Построение квантовой теории во внешнем классическом поле [21–25].

3. Квазиклассические методы, которые рассматривают рождение пары внешним полем как туннелирование через потенциальный барьер шириной z = 2 m2 + p2 /eE, где p – импульс частицы в поперечном полю направлении [26–29], 4. Метод квантового кинетического уравнения [30–34].

Обзоры подходов 1–3 и некоторых других содержатся, в частности, в монографиях [35–37], подход 4 начал развиваться сравнительно недавно. В настоящей диссертации мы сосредоточимся преимущественно на методах 2 и 4.

Как известно, процедура квантования в квантовой теории поля состоит в разложении оператора поля по полному набору мод, которые являются решениями соответствующих классических полевых уравнений – КлейнаФока-Гордона (КФГ) для бозонов и Дирака для фермионов. Поэтому поиск точных решений этих уравнений является одной из центральных проблем квантовой теории во внешнем классическом поле. Для решения дифференциальных уравнений в частных производных часто помогает использование свойств симметрии физической системы, которая описывается этими уравнениями. Согласно теореме Нетер [38], каждому непрерывно зависящему Интересно отметить, что это утверждение было сделано еще Нильсом Бором, см., например § главы IV в книге [20].

от одного параметра преобразованию, оставляющему инвариантным действие физической системы, соответствует закон сохранения.Оказывается возможным так выбрать переменные в уравнении, что изменение одной из них является преобразованием симметрии. Поскольку генератор преобразования симметрии коммутирует с дифференциальным оператором уравнения, можно отделить соответствующую переменную. Если существуют другие генераторы симметрий уравнения, которые, к тому же, коммутируют друг с другом, задача может быть сведена к решению обыкновенного дифференциального уравнения второй степени. Полученные решения нумеруются собственными значениями генераторов симметрий, и их набор является полным.

Все наиболее важные и широко используемые решения релятивистских квантовых уравнений во внешних классических полях были получены именно таким образом. В качестве примеров можно привести кулоново поле, см., например, [39], постоянное магнитное [39] и электрическое [21–23] поля, поле плоской электромагнитной волны [40], а также некоторые другие более сложные конфигурации внешнего поля [22, 41].

В частности, в однородном, т.е. не зависящем от координат и времени, электрическом поле E, направленном вдоль оси z, с дифференциальным оператором KE уравнения2 КФГ где Aµ – 4-потенциал поля, µ = 0, 1, 2, 3, {xµ } = {t, x, y, z}, коммутируют операторы Pz = iz + eAz eEt и Pt = it eAt eEz [21, 22].

Квантование скалярного и фермионного полей во внешнем однородном электрическом поле в базисе собственных функций этих операторов и их линейных комбинаций Pv = vPt Pz было развито в работах [21–25]. Было показано, что несмотря на то, что поле присутствует во всем пространстве-времени Минковского (ПМ), пары с определенными значениями квантовых чисел рождаются только в ограниченных хотя бы по Здесь и далее, как правило, используются единицы = c = 1.

Рис. 2. Разбиение пространства Минковского на правый (R), левый (L), прошлый (P) и будущий (F) секторы. Штриховкой обозначены in и out области, T.

одной из координат областях. Поэтому становится возможным определить in (t ) и out (t ) области ПМ (см. Рис. 2), в которых рождения пар не происходит, и решения уравнения (3) могут быть однозначно классифицированы на описывающие частицы и античастицы. Таким образом, в in и out областях может быть построена последовательная квантовая теория поля. Коэффициенты преобразования Боголюбова между in и out операторами рождения и уничтожения позволяют вычислить число пар, рождаемых электрическим полем из вакуума в каждой моде, и полное число частиц, рожденных в единице объема в единице времени [23, 25].

Во всех упомянутых выше случаях [21–23, 39–41] решения уравнений КФГ и Дирака во внешних полях являлись собственными функциями линейных комбинаций генераторов временных и пространственных сдвигов или пространственных поворотов и нумеровались значениями 4импульса или момента импульса соответственно. Между тем, с оператором KE Клейна-Гордона-Фока во внешнем однородном электрическом поле коммутирует также любой из генераторов лорецевых поворотов, в частности генератор буста вдоль оси z Бустовая симметрия достаточно редко используется для квантования поля. Прежде всего, это связано с тем, что генератор буста не коммутирует с гамильтонианом, и поэтому бустовое квантовое число и энергия не могут входить ни в какой полный набор наблюдаемых величин одновременно.

Тем не менее, бустовы моды могут быть крайне полезны для квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени или в случае, если однородность ПМ по времени и/или пространству нарушена присутствием внешнего классического поля. В этих случаях бустова симметрия может оказаться единственной для квантованного поля. Примерами такой ситуации являются дилатонная [42] и обобщенная дилатонная [43] гравитация в двух измерениях, а также двумерная метрика Шварцшильда. Здесь же можно упомянуть продольное хромоэлектрическое поле, возникающее при столкновении тяжелых ионов [44].

Таким образом, метод бустового квантования, сформулированный для случая достаточно хорошо изученного внешнего электрического поля, может быть применен в задачах дилатонной гравитации и квантовой хромодинамики. В частности, аналогом эффекта Хокинга [45] в дилатонной теории гравитации [46] и рождения частиц при столкновении тяжелых ионов [44] является рассмотренный в данной работе эффект рождения бустовых пар во внешнем электрическом поле.

Различные попытки квантования в базисе бустовых мод во внешнем однородном электрическом поле предпринимались и ранее [44, 47–50], однако их нельзя признать вполне удовлетворительными, поскольку последовательной квантовой теории поля на базе бустовых мод, основанной на методе вторичного квантования, не было построено до сих пор. В работах [44, 47, 49, 50] квантование проводилось в каждом из четырех секторов ПМ (см. Рис. 2) по отдельности, т.е. каждый сектор рассматривался как замкнутое пространство, после чего делались достаточно произвольные предположения о связях между секторами. В таком подходе не может быть и речи о глобальных in и out вакуумных состояниях и вторичном квантовании. Более того, различные авторы получили разные результаты при подсчете количества рожденных бустовых пар (ср. [47, 49, 50] и [44]).

В работе [48] была предпринята попытка построить бустовое квантование в глобально определенных in и out областях. Однако приведенные в этой статье бустовы моды3 вообще не являются решениями уравнения КФГ (3) в ПМ. Это становится особенно ясным, если произвести предельный переход E 0. Так, например, в этом случае мода (см. формулу (6.13) в [48]) отлична от нуля только в будущем секторе ПМ. Поэтому она не удовлетворяет свободному уравнению КФГ, а является решением уравнения КФГ с источниками на световом конусе.

Самостоятельный интерес представляют бустовы моды свободного поля. Впервые они были рассмотрены Унру в работе [51] в 1976 году, однако явный вид этих функций в [51] получен не был. Различные свойства бустовых мод изучались в работах [52–54] для бозонов и в [35, 55] для фермионов. В частности, в [54] были получены следующие важные свойства бустовых мод свободного массивного скалярного поля:

1. Нулевая бустова мода (т.е. собственная функция генератора буста с собственным значением 0) с точностью до постоянного множителя совпадает с положительно частотной функцией Вайтмана.

2. Бустовы моды, как функции бустового квантового числа, обладают дельта-функционной особенностью на поверхности светового конуса.

Рассмотренные в настоящей работе бустовы моды свободного фермионного поля (как массивного, так и безмассового) устроены еще более интересно. На световом конусе они имеют особенности вида ( ± i/2) – дельтафункций комплексного аргумента [56] ( – бустово квантовое число), ранее не встречавшихся в теоретической физике. Дополнительной мотивацией к изучению бустового квантования фермионного поля в двух измерениях является возможность рассмотрения безмассового случая. Как известно [57], двумерные безмассовые бозоны не существуют даже как математический объект.

С квантованием свободного поля на бустовых модах тесно связан так Бустовы моды в работе [48] называются модами Унру [51].

называемый эффект Унру, который состоит в следующем: пусть произвольный детектор движется с постоянным собственным ускорением a в вакууме пространства Минковского. Согласно Унру [51], в этом случае детектор будет вести себя так, как если бы находился в термостате с определенной зависящей только от его ускорения температурой, называемой температурой Девиса-Унру где – постоянная Планка, c – скорость света, kB – постоянная Больцмана. Другими словами, с точки зрения ускоренного детектора вакуумное состояние ПМ является смешанным состоянием, описываемым тепловой матрицей плотности с температурой (5).

Заметим, что в самом по себе отклике ускоренного в вакууме ПМ детектора нет ничего необычного, поскольку его ускоряет некоторая внешняя сила, которая может возбуждать в том числе и его внутренние степени свободы. Суть эффекта Унру заключается именно в его универсальности, независимости от устройства детектора.

Эффект Унру вызывает значительный интерес у теоретиков в том числе и потому, что в ряде работ [35, 36, 51, 58–66] этот эффект связывают с эффектом Хокинга [45], считая рассмотрение Унру моделью испарения вечной черной дыры с температурой Бекенштейна-Хокинга где g – поверхностная гравитация черной дыры, аналог ускорения свободного падения на поверхности Земли.

Вечная черная дыра является частью максимально расширенного многообразия Крускала [67], которое описывается метрикой где M – масса черной дыры. Диаграмма Пенроуза для максимально расширенного двумерного пространства-времени Крускала изображена на Рисунке 3а. Для наблюдателя, находящегося в области I область III является черной дырой, область IV белой дырой, а область II параллельной вселенной. Линии u = 0, v = 0 являются горизонтом событий. Существование горизонта делает невозможным сообщение между вселенными I и II. Жирные горизонтальные линии изображают точку r = 0 в прошлом и будущем.

В этой точке метрика Крускала имеет особенность.

Рис. 3. Диаграммы Пенроуза максимально расширенного пространства Крускала (а) и пространства Минковского (б).

Аналогия между эффектом Унру и эффектом Хокинга для вечной черной дыры строится на том основании, что часть метрики (7), содержащая dd, везде, кроме точки r = 0, конформно эквивалентна метрике двумерного пространства Минковского где x± = t ± z координаты светового конуса, и диаграмма Пенроуза пространства Крускала на рисунке 3а топологически эквивалентна диаграмме Пенроуза пространства Минковского, изображенной на Рисунке 3б. Поскольку равноускоренный наблюдатель все время своего движения находится в правом секторе ПМ, то для него в рамках этой аналогии будущий сектор является черной дырой, прошлый белой дырой, а левый недоступной параллельной вселенной. При этом световой конус (штриховые линии на Рис. 3б) играет роль горизонта событий (подробнее см., например, в [61]).

Следует отметить, что связь между эффектами Унру и Хокинга не является бесспорной. Прежде всего, пространство Минковского, в отличие от пространства Крускала не содержит сингулярностей. Поэтому наличие или отсутствие эффекта Унру не может служить доказательством наличия или отсутствия эффекта Хокинга.

Существует два основных подхода к рассмотрению эффекта Унру.

В первом из них изучаются различные модели детекторов и анализируется отклик этих детекторов в случае, когда они движутся равноускоренно [51, 68], см. также обзоры [64, 69]. Второй подход, основанный на построении специальной схемы квантования свободного поля в ПМ, был впервые представлен в оригинальной работе Унру [51]. Поскольку универсальность в поведении равноускоренного детектора не может быть связана с его структурой или способом ускорения, а должна являться следствием свойств квантованного поля в ПМ, мы сосредоточимся на анализе второго подхода. Отметим однако, что в [70] был приведен пример равноускоренного детектора, который не подчиняется универсальному поведению, предсказанному Унру.

Рис. 4. Траектории равноускоренного детектора в ПМ.

Траектория равномерно ускоренного классического детектора полностью лежит в правом секторе пространства Минковского, и множество всех траекторий целиком покрывает этот сектор (см. Рис. 4). Следовательно, такому детектору доступна информация только о событиях, происходящих в R-секторе. В 1973 году Фуллинг рассмотрел [71] задачу о квантовании скалярного поля в пространстве Риндлера4 (ПР). Он получил решения уравнения КФГ в ПР, и вакуум ПМ оказался смешанным состоянием в базисе этих решений. Однако, делать из этого вывод о том, что детектор представляет вакуумное состояние ПМ, как смешанное, неправильно, т.к.

квантования свободного поля в ПМ и ПР унитарно неэквивалентны. В частности, решения Фуллинга соответствуют полю в ПМ, имеющему источники на световом конусе.

Чтобы обойти эту трудность, в 1976 году Унру рассмотрел [51] аналитические продолжения решений Фуллинга во все пространство Минковского и получил набор бустовых мод свободного скалярного поля. Квантование в базисе бустовых мод (см, например, [54]) является корректным квантованием свободного поля в пространстве Минковского и не имеет существенных отличий от стандартного квантования в базисе плоских волн. Здесь b+ и b – операторы рождения и уничтожения скалярного поля в ПМ, |0M – вакуум ПМ.

Для описания поведения детектора Унру предложил рассмотреть такие линейные комбинации R(x) и L(x) положительно и отрицательно частотных бустовых мод, что R моды равны 0 в левом секторе ПМ, а в правом совпадают с модами Фуллинга, а L моды равны 0 в правом секторе.

Свободное скалярное поле было проквантовано в базисе R и L функций, и были введены соответствующие им операторы рождения и уничтожения правых (r) и левых (l) частиц. Затем, усреднив по степеням свободы, Пространством Риндлера называется пространство, состоящее из внутренности правого сектора пространства Минковского.

соответствующим l частицам (они недоступны для равномерно ускоренного наблюдателя) и отождествив r частицы с частицами Фуллинга, Унру пришел к выводу, что вакуумному состоянию ПМ соответствует матрица плотности r частиц с температурой (5).

Описанная процедура квантования Унру содержит, однако, серьезные ошибки, подробно рассмотренные в [54,72,73], см. также дискуссию [74,75].

Прежде всего, разделение полного набора бустовых мод на правые и левые исключает из рассмотрения бустову моду с параметром, равным нулю (нулевую бустову моду). Однако, как было отмечено выше, на световом конусе скалярные бустовы моды имеют по переменной особенность вида (). Поэтому исключение нулевой бустовой моды, соответствующее переходу к интегралу в смысле главного значения в интегралах по, критически влияет на свойства квантованного поля. В частности, в этом случае главное значение интеграла (9) равно 0. Более того, поскольку функция Вайтмана в скалярном случае пропорциональна нулевой бустовой моде [54], исключение нулевой бустовой моды также приводит к обращению в 0 функции Вайтмана. Однако, функция Вайтмана играет определяющую роль в квантовой теории, так как в силу теоремы реконструкции [76] с ее помощью можно построить все остальные величины, которые фигурируют в теории.

Кроме того, в [54] было показано, что для того, чтобы возможно было отождествить правые частицы Унру и частицы Фуллинга, необходимо выполнение условия Ясно, что поле, на которое наложено граничное условие в вершине светового конуса, уже не является свободным в ПМ.

На основе этих соображений в [54,72,73] было показано, что в случае скалярного поля схема квантования Унру приводит к квантовой теории поля в двойном риндлеровском клине, т.е. объединении правого и левого секторов в разбиении пространства Минковского световым конусом, см.

Рис. 2. Это означает, что квантование Унру приводит лишь к независимым правым и левым частицам Фуллинга-Унру, так что о термолизации вакуума говорить не приходится.

Однако, в последнее время в связи с бурным развитием лазерной техники появляются предложения по экспериментальной проверке [77–82] эффекта Унру при взаимодействии электронов с интенсивными ультракороткими электромагнитными импульсами, а также о реализации на его основе запутанных состояний как бозонов, так и фермионов [83–87]. Поэтому рассмотрение задачи Унру в контексте фермионных полей не только принципиально важно, но и своевременно.

Поскольку лоренцево вращение выделяет в пространстве Минковского двумерную плоскость, мы обсуждаем специфические свойства бустового квантования в главах 1–3 на примере 1+1-мерного пространства-времени.

При этом удобно использовать координаты светового фронта Переход к четырем измерениям в скалярном случае осуществляется заменой где p – сохраняющийся поперечный к направлению поля импульс. Всюду ниже, если не оговорено обратное, используются единицы = c = kB = 1.

В последнее время появился еще один подход к изучению эффекта рождения пар во внешнем поле [30–34], который основан на уравнениях, подобных кинетическим уравнениям, широко применяющихся в физике плазмы и других неравновесных задачах. Следуя авторам этих работ, будем называть такие уравнения квантовыми кинетическими уравнениями (ККУ).

Среди очевидных преимуществ ККУ следует отметить удобство для применения в численных расчетах, а также возможность естественного учета обратной реакции рожденных пар на внешнее поле [88]. С другой стороны, существует также ряд недостатков такого подхода, например, ограниченность только однородными внешними полями, кажущуюся калибровочную неинвариантность, невозможность найти аналитическое решение даже в тех случаях, когда оно может быть получено другими методами и, как мы покажем ниже, нетривиальность интерпретации физического смысла основных величин, входящих в ККУ. Тем не менее очевидно, что синтез различных подходов может быть очень полезен для дальнейшего развития теории.

ККУ были строго получены из первых принципов квантовой электродинамики (КЭД) в частном случае однородного зависящего от времени электрического поля, рождающего как бозонные [32, 34], так и фермионные [31, 33] пары. Следовательно, этот подход должен быть эквивалентен всем остальным точным методам, перечисленным выше. Тем не менее, до сих пор не предпринималось усилий доказать эту эквивалентность, за исключением недавней работы [89]. Более того, следует отметить попытки противопоставить результаты, полученные с помощью ККУ, результатам, полученным с помощью более традиционных методов, перечисленных выше [90], а также работу [91], в которой с помощью S-матричного подхода выводится другой вид правой части ККУ. Что касается работы [89], несмотря на то, что в ней впервые была показана вышеупомянутая эквивалентность, строгое доказательство было проведено только в случае скалярного поля, причем в форме, не лучшим образом подходящей для практического применения (например, для проверки численных алгоритмов на известных точных решениях).

Данная диссертация посвящена теоретическому исследованию формализма бустовых мод в квантовой теории поля и задач о рождении пар внешним полем из вакуума.

В связи с этим в ней рассмотрены следующие вопросы:

1. Построение бустовых мод свободного фермионного поля (как массивного, так и безмассового) и исследование их свойств как обобщенных функций координат и бустового квантового числа.

2. Поиск бустовых in и out мод скалярного поля, находящегося во внешнем постоянном однородном электрическом поле. Построение квантования в этом базисе в in и out областях и вычисление количества бустовых частиц, рождаемых полем из вакуума в каждой моде и полного числа рожденных частиц 3. Критический анализ квантования Унру для фермионного поля.

4. Развитие формализма квантового кинетического уравнения и установление соответствия этого метода другим подходам к задачам о рождении пар внешним полем.

Диссертация состоит из четырех глав.

Первая глава посвящена получению и изучению свойств бустовых мод свободных полей. Для построения бустовых мод использовались функции Вайтмана. Положительно и отрицательно частотные функции Вайтмана свободных полей полностью определяются (с точностью до постоянного множителя) трансляционной и лоренц инвариантностью теории [92]. Верно и обратное: из функций Вайтмана, используя симметрию поля, можно построить любой полный набор положительно и отрицательно частотных решений уравнений КФГ и Дирака. Это является прямым следствием теоремы реконструкции Вайтмана [76, 93]. В §1.1, основываясь на трансляционной и лоренц инвариантности ПМ, были построены плоские волны и бустовы моды свободного бозонного поля из функции Вайтмана. В §1.2 и §1.3 таким же образом строятся, соответственно, бустовы моды массивного и безмассового фермионного поля. Поскольку эти моды являются обобщенными функциями бустового квантового числа, для них был изучен класс основных функций, т.е. допустимых волновых пакетов, на которых они определены. В конце §1.3 явно проведен предельных переход m 0 от массивных бустовых мод к безмассовым. В §1.4 приведены заключительные замечания к первой главе.

Во второй главе анализируется квантование Унру для фермионного поля. В §2.1 показано, что, как и в случае скалярного поля [54], квантование Унру предполагает исключение из полного набора бустовых мод нулевой моды. В связи с этим исследуется вопрос о допустимости исключение какой-либо точки из полного набора бустовых мод с учетом того, что, как было показано в первой главе, бустовы моды являются обобщенными функциями переменной. В §2.2 рассматривается вопрос о том, как влияет сглаживание бустовых мод по пространственной и временной переменной на результаты, полученные в §2.1 и дается качественное объяснение особой роли бустовой нулевой моды в скалярном случае. В §?? приведены заключительные замечания ко второй главе.

В третьей главе строятся бустовы in и out моды скалярного поля, находящегося во внешнем однородном постоянным электрическом поле и вычисляется количество пар частиц и античастиц с определенным значением бустового квантового числа, которые рождаются полем из вакуума.

Бустовая симметрия позволяет получить решения уравнения КФГ во внешнем поле в каждом из четырех секторов ПМ по-отдельности. Однако для построения мод необходимо еще правильно классифицировать их на положительно и отрицательно частотные в in и out областях, а также вывести правила продолжения через световой конус при переходе из одного сектора в другой, которые не совпадают с полученными в свободном случаем [54] из-за рождения пар. Классификация решений на соответствующие частицам и соответствующие античастицам производится по знаку вклада, которые они вносят в нормировку в in и out областях (положительный для частиц и отрицательный для античастиц). А условие, что коэффициенты Боголюбова во всех секторах ПМ должны быть одинаковыми дает систему уравнений, из которой можно получить правила продолжения мод из одного сектора в другой. В §3.1 рассмотрены траектории классических бустовых частиц во внешнем электрическом поле и вычислена квазиклассическая вероятность рождения бустовой пары. В §3.2 представлены бустовые решения уравнения КФГ. В §3.3 построены in и out бустовы моды. В §3. найдены коэффициенты Боголюбова и явный вид правил продолжения мод через световой конус. В §3.5 рассмотрен предельный переход к случаю свободного поля. В §3.6 вычислены квазиклассическая вероятность рождения бустовой пары, количество пар, рожденных полем из вакуума в каждой моде и полное число рожденных частиц. В §3.7 приведены заключительные замечания к третьей главе. В приложении A вычислена нормировка, а в приложении B приведен явный вид бустовых мод во внешнем поле.

В четвертой главе рассмотрен метод квантового кинетического уравнения в применении к задаче о рождении пар из вакуума внешним однородным, но зависящем от времени электрическим полем. В §4.1 на примере модели параметрического возбуждения одномерного квантового гармонического осциллятора с меняющейся во времени частотой вводятся основные величины и приводится вывод ККУ. Показывается, каким образом может быть получено точное решение ККУ для осциллятора из точного решения уравнения Шредингера. В §4.2 выводится связь точных решений ККУ для бозонов и фермионов с точными решениями уравнений КФГ и Дирака во внешнем поле. В частном случае постоянного электрического поля, когда решения ККУ могут быть получены в явном виде, результаты сравниваются с ответами для числа рожденных пар, полученными другими методами. Также в §4.2 анализируется физический смысл величин, входящих в ККУ. В §?? приведены заключительные замечания к четвертой главе. В приложении C приводится явное решение ККУ для осциллятора, а в приложении D выводится условие нормировки решения уравнения Дирака во внешнем поле.

На защиту автором выносятся следующие положения 1. Новый метод построения полных наборов решений свободных уравнений Клейна-Фока-Гордона и Дирака, основанный на использовании функции Вайтмана.

2. Построение бустовых мод свободного фермионного поля и доказательство того, что на световом конусе они являются дельтафункциями в комплексной плоскости бустового квантового числа.

3. Недопустимость исключения какой-либо моды из полного набора бустовых мод фермионного поля и вывод о некорректности квантования Унру в пространстве Минковского в фермионном случае. Доказательство того, что это утверждение остается верным и для сглаженных бустовых мод.

4. Построение полного набора бустовых мод уравнения Клейна-ФокаГордона во внешнем постоянном однородном электрическом поле, а также вычисление количества частиц, характеризующихся определенным значением бустового квантового числа, рождаемых внешним полем из вакуума в каждой моде, и полного числа рожденных частиц.

5. Доказательство эквивалентности метода квантового кинетического уравнения другим походам к задаче о рождении пар внешним полем в вакууме. Явное решение ККУ в постоянном электрическом поле.

Результаты исследований, изложенные в диссертации, опубликованы в ведущих российских и международных научных журналах из списка ВАК (ЖЭТФ, Письма в ЖЭТФ, Physical Review D) [94–96], докладывались на следующих конференциях:

• Научная сессия МИФИ-2006, Москва, Январь 23–27, 2006, • Научная сессия МИФИ-2011, Москва, Февраль 1–5, 2011, и опубликованы в трудах конференций [97, 98].

1.1. Бозонное поле В этом разделе будет рассмотрено свободное массивное скалярное поле в двумерном пространстве Минковского. Положительно частотная функция Вайтмана (+) (x), x = (t, z) скалярного поля, которая в свободном случае совпадает с положительно частотной частью коммутатора двух операторов поля (функция Паули-Йордана в случае четырех измерений), удовлетворяет свободному уравнению КФГ содержит только положительные частоты и является инвариантной относительно лоренцевых поворотов (4) Эти условия определяют (+) (x) с точностью до постоянного множителя.

Действительно, любое положительно частотное решение уравнения КФГ может быть записано в виде где (p) – произвольная функция 2-вектора p = {p0, p1 }. Сделав замену переменных где q – быстрота, и проинтегрировав по µ, получим уравнение Условие (1.2) выполняется только в том случае, когда (q) = const, поскольку Выбрав f (q) = i/2, приходим к стандартному выражению для (+) (x), см., например, [38] где подразумевается, что t содержит бесконечно малую отрицательную мнимую добавку [54]. Возвращаясь к переменным (p, p), получаем другое представление для (+) (x) см., например, [57]. Здесь и далее для упрощения обозначений мы будем опускать индекс у пространственной компоненты p1 вектора p.

Теорема реконструкции Вайтмана [76] гласит, что двухточечная функция Вайтмана однозначно определяет квантовую теорию свободного поля. В частности, из нее можно восстановить любой полный ортонормированный набор решений полевого уравнения. Действительно, рассмотрим функцию Вайтмана с произвольно сдвинутым аргументом Из трансляционной инвариантности теории следует, что она также является решением уравнения КФГ. При этом функции (1.8) образуют переполненный набор мод, поскольку характеризуются двумя независимыми непрерывными параметрами 0 и 1. В любом случае, всякий полный набор Fa (x) ортонормированных положительно частотных решений (1.1) может быть представлен в виде Так как набор (1.8) переполнен, коэффициенты fa () не могут быть вычислены однозначно. Для определения fa () требуется наложить некоторые ограничения на, которые могут быть выбраны из соображений симметрии.

Для начала проиллюстрируем этот метод в тривиальном случае плоских волн p (x), которые являются собственными функциями генератора пространственных сдвигов В этом случае удобно ограничить семейство (+) (x ) только такими функциями, аргументы которых сдвинуты относительно друг друга только по пространственной координате. Это означает, что коэффициенты fp () принимают вид fp () = (0 )p (1 ), то есть Подставляя это выражение в уравнение (1.12), интегрируя левую часть по частям и учитывая, что функция Вайтмана (+) (t, z) экспоненциально быстро стремится к нулю при |z|, можно проинтегрировать левую часть получившегося уравнения по частям, приходим к уравнению откуда p (1 ) = const exp(ip1 ). Подставив теперь p (1 ) в (1.13) и используя (1.7), получим после интегрирования по где нормировочная константа определяется условием (1.10).

Функции p (x) удовлетворяют соотношению откуда можно сделать вывод, что набор (1.14) полон.

Более интересен для нас набор бустовых мод, являющихся собственными функциями оператора буста BK Отметим, что функция Вайтмана совпадает с нулевой бустовой модой 0 (x), что следует из уравнений (1.16) и (1.2).

Для того, чтобы получить из нее полный набор бустовых мод зафиксируем на некоторой орбите ортохронной группы Лоренца т.е. f () (2 2 ). Выбрав для определенности верхний знак в (1.17), положим и представим уравнение (1.11) в виде Подставив (1.19) в уравнение (1.16) и воспользовавшись соотношением которое может быть легко получено с помощью представления (1.6), получим уравнение на g (q) Отсюда g (q) = const eiq, и из (1.19) имеем В итоге с учетом условия нормировки (1.10) находим представление для положительно частотных бустовых мод которое ранее было получено в работах [52, 54] другим способом. Отрицательно частотные моды (x) имеют вид [54] Следует подчеркнуть, что бустовы моды (1.21), (1.22) являются обобщенными функциями не только по пространственным переменным x = (t, z), но также и и по спектральному параметру. Они определены на классе гладких достаточно быстро убывающих при || функций.

Бустовы моды (1.21) образуют полный набор, поскольку удовлетворяют соотношению и, следовательно, могут служить базисом для квантования нейтрального скалярного поля в ПМ [54]. Так как знак энергии частицы является лоренцевым инвариантом, вакуумные состояния в бустовой и плосковолновой схемах квантования являются идентичными. Следовательно, эти две схемы квантования унитарно эквивалентны, см. [54].

Самой интересной особенностью бустовых мод является их поведение на световом конусе. Нетрудно видеть, что в вершине светового конуса, t = z = 0, бустовы моды (1.21) обладают дельта-функционной особенностью В работе [54] было показано, что (x) содержит дельта-функционную особенность также и на всем световом конусе, т.е. на прямых x± = 0. Таким образом, вклад единственной спектральной точки = 0 в значения физических величин, являющихся интегралами по спектральному параметру, может быть конечным. Мы проиллюстрируем это утверждение в следующей главе при обсуждении эффекта Унру.

Пока же отметим, что вследствие трансляционной инвариантности выражение (1.23) может быть записано в виде Воспользовавшись (1.24), получим т.е. интеграл по в (1.25) полностью определяется точкой = Следует отметить, что существует еще одно представление для бустовых мод (1.21). С учетом того, что к t имеется бесконечно малая отрицательная мнимая добавка t t i, с помощью замены q = ln u положительно (1.21) и отрицательно частотные бустовы моды можно записать в виде Выше мы отмечали, что формула (1.26) с точностью до постоянного множителя следует из (1.2) и (1.16).

из справочника [99], получаем где Ki (w± ) – функции Макдональда, а обобщенные функции определены в [56], (x) – ступенчатая функция Хевисайда. С помощью (1.29) получаем представление бустовых мод в отдельных секторах ПМ см. [53, 54], где выражения для бустовых мод в прошлом (P), правом (R), будущем (F) и левом (L) секторах ПМ соответственно. Здесь Hi (w) – функции Ганкеля.

Используя уравнения (1.24) и (1.28), можно получить еще одно представление для функций Вайтмана (±) (x), В частности, для положительно частотной функции Вайтмана имеем левом, см. Рис. 1.1а,б. Свободные бустовые частицы с данным движутся по регулярным траекториям (1.36), которые являются касательными к соответствующим ветвям гипербол (1.37). Следует отметить, что классические частицы с положительным не могут проникнуть за левую ветвь гиперболы в левый сектор, а частицы с отрицательным за правую ветвь гиперболы в правый сектор.

Траектории частиц с = 0 имеют вид Все они проходят через вершину светового конуса, см. Рис. 1.1в, и любая траектория, проходящая через вершину конуса, принадлежит этому семейству.

1.2. Массивное фермионное поле Ортонормированный набор положительно (отрицательно) частотных решений {Fa (x)} уравнения Дирака в двумерном пространстве Минковского ( 0,1 – двумерные матрицы Дирака) полон, если выполняется соотношение [92] где положительно (+) и отрицательно () частотные функции Вайтмана фермионного поля равны а (+) (x) определена в (1.6). Выбрав двумерные матрицы Дирака в виде, удобном для предельного перехода m 0 в дальнейшем, 0 = 1, 1 = i ( 1 0 = 0 1 = 3 ), i – матрицы Паули, получим из следующее явное выражение для функций Вайтмана Вновь предполагается, что к t имеется бесконечно малая отрицательная (положительная) мнимая добавка в выражении для положительно (отрицательно) частотной функции Вайтмана.

Любой полный набор фермионных мод {Fa (x)} может быть построен из набора матриц {S (±) (x )} в полной аналогии с бозонным случаем.

В частности, нетрудно проверить, что функции (q определены в (1.18)) являются собственными функциями фермионного оператора буста если f (q) удовлетворяет дифференциальному уравнению Решениями этого уравнения являются спиноры где C = – произвольный постоянный двухкомпонентный спинор.

Воспользовавшись соотношением для бустовых мод массивного фермионного поля получим представление Так же, как и для скалярных бустовых мод, (1.28), выражение (1.48) можно переписать в виде (1.29), можно выписать явные выражения для бустовых мод через цилиндрические функции в четырех секторах ПМ, аналогичные (1.30), (1.31).

(x) =(x+ )(x ) )(±) (x) + (x+ )(x ) где в прошлом секторе )(+) (x) = в правом секторе (R)(±) в будущем секторе и, наконец, в левом секторе (L)(±) Отметим, что впервые попытка получить выражение для бустовых мод в форме (1.51) – (1.54) была предпринята в [35]. В этой статье было выбрано отличное от нашего представление гамма матриц, и поэтому напрямую результаты сравнить нельзя. Тем не менее, нетрудно заметить, в выражеx+ работе эти выражения были получены путем аналитического продолжения решений уравнения Дирака в пространстве Риндлера (внутренность правого сектора ПМ) во все ПМ. Однако авторами [35] не было принято во внимание, что при переходе от риндлеровских координат z = cosh, t = sinh к декартовым следует также произвести преобразование фермионной волновой функции Набор бустовых мод ортонормирован полон в смысле (1.40), и поэтому может быть выбран в качестве базиса для квантования массивного фермионного поля в ПМ где b и – операторы уничтожения фермионных частиц и античастиц соответственно, подчиняющиеся стандартным коммутационным соотношениям и определяющие вакуумное состояние ПМ Как и в бозонном случае, бустово квантование фермионного поля унитарно эквивалентно квантованию на плоских волнах где Нетрудно проверить, что бустовы моды (1.48) связаны с плоскими волнами (1.60) следующим интегральным преобразованием Моды p (x) и (x) являются обобщенными функциями переменных p и. Это значит, что они определяют линейные функционалы на некоторых наборах основных функций g(p) и h() соответственно. Такие функционалы естественно появляются, например, при вычислении матричных элементов операторов поля (1.57), (1.59) между вакуумным состоянием |0M и состояниями, представляющими собой волновые пакеты частиц или античастиц Физически реализуемые одночастичные состояния должны быть ортонормированны Таким образом, g(p) и h() являются квадратично интегрируемыми функциями переменных p и. Отсюда следует, что матричные элементы (1.62) и (1.63) являются квадратично интегрируемыми функциями x. Ясно, что функционалы (1.62) и (1.63) принадлежат одному и тому же функциональному пространству. Поэтому существует взаимно однозначное соответствие между функциями g(p) и h() где быстрота q = arsh(p/m). Для определенности мы ограничимся рассмотрением таких g(p), которые принадлежат к классу кусочно-гладких функций, убывающих быстрее |p|1 при |p|. Эти ограничения гарантируют, в частности, конечность энергии одночастичного состояния |1a (1.64) Для выяснения свойств основных функций h() воспользуемся соотношением (1.61).

Для начала мы покажем на простом примере, что, в отличие от функционала (1.62), в случае (1.63) нам необходимо знать поведение основных функций h() не только на действительной оси, но также и в комплексной плоскости. Рассмотрим основную функцию которая заведомо удовлетворяет сформулированным выше условиям на g(p). С помощью (1.61) получаем, что Отсюда непосредственное вычисление интеграла (1.63) в точке x = 0 приводит к выражению Таким образом, оказывается, что значение функционала (1.63) в вершине светового конуса определяется значениями основной функции h() в мнимых точках = ±i/2.

Вернемся теперь к соотношению (1.66). После замены переменной p = m sinh q оно может быть переписано в виде преобразования Фурье функции Из ограничений, наложенных нами на функции g(p) следует, что при |q|. Поэтому по теореме Пэли-Винера [100] основные функции h() (1.71) являются аналитическими в полосе Проинтегрируем (1.71) по частям. Поскольку основные функции g(q) непрерывны и экспоненциально убывают при |q|, см. (1.72), внеинтегральный член будет равен нулю. Поэтому функции h() в области их аналитичности (1.73) убывают по крайней мере как 2 при ||. Это означает, что путь интегрирования в (1.63) можно деформировать в пределах полосы (1.73).

Рассмотрим функционал (1.63) в точке x = 0. Сдвинув контур интегрирования для верхней компоненты на i/2 вверх, а для нижней компоненты на i/2 вниз, получим Уравнение (1.74) обобщает формулу (1.70) на класс основных функций h(), являющихся аналитическими в полосе (1.73) и достаточно быстро убывающих при ||.

Этот результат позволяет записать фермионные бустовы в вершине светового конуса через дельта-функцию комплексного аргумента (ср. с скалярными бустовыми модами (1.24)) где Покажем, что это утверждение полностью согласуется с определением дельта-функций комплексного аргумента, данным в [56] посредством теоремы Коши где L – любой замкнутый контур, заключающий внутри себя точку 0.

Обобщенные функции (1.77) были определены в [56] на классе Z целых функций f (). Рассматриваемый нами класс основных функций, аналитических в полосе (1.73), не совпадает с Z. Поэтому не все свойства дельта-функций, введенных Гельфандом, справедливы для наших дельтафункций. Обратное утверждение, тем не мене, верно: все свойства введенных нами дельта-функций справедливы для дельта-функций Гельфанда.

Явный вид для (0) может быть легко получен из (1.49). Положив в этой формуле x+ = x = 0 и воспользовавшись разложением в ряд для функции Макдональда [101], получим Рассмотрим теперь интеграл Рис. 1.2. Контуры интегрирования для верхней (a) и нижней (b) компонент F() (h, 0).

по контуру Ca, изображенному на Рис. 1.2а и состоящему из действительной оси, прямой Im = 1/2 + /2, и двух вертикальных отрезков при |Re |. Очевидно, что интегралы по вертикальным отрезкам равны нулю. Интеграл по верхней границе контура пропорционален,и поэтому стремится к нулю при 0. Следовательно, интегрирование по действительной оси в этом случае эквивалентно интегрированию по всему замкнутому контуру Ca. Точно таким же образом нетрудно показать, что для аналогичного интеграла с нижней компонентой (1.78) интегрирование по действительной оси эквивалентно интегрированию по контуру Cb, изображенному на Рис. 1.2б.

Таким образом, на классе основных функций, аналитических в полосе (1.73), имеем еще одно представление для дельта-функции комплексного аргумента Покажем, что бустовы моды (1.48), (1.49) обладают дельтафункционными особенностями не только в вершине светового конуса, но и на прямых x± = 0. Поскольку вблизи поверхности светового конуса аргумент K – функций в (1.49) мал, |z± | 1, воспользовавшись разложением функции Макдональда в ряд [101], получим где 0. Таким образом, на поверхности светового конуса бустовы моды содержат особенности вида ( i/2) при x+ = 0 в верхней и ( + i/2) при x = 0 в нижней компонентах.

В предыдущем разделе было показано, что функции Вайтмана массивного скалярного поля (±) (x) полностью определяются нулевыми бустовыми модами 0 (x), см. (1.26). Это следует из трансляционной инвариантности и наличия дельта-функционных особенностей на световом конусе в (x). Подобный результат может быть получен и для функций Вайтмана массивного фермионного поля. Действительно, вследствие трансляционной инвариантности, имеем Воспользовавшись (1.75), получим следующий результат для матричных элементов S (x) функции Вайтмана (1.82) где, (x) – -компоненты бустовых мод (1.48), (1.49). Таким образом, тральными точками Воспользовавшись (1.49), можно записать функцию Вайтмана (1.83) в виде, подобном (1.32), где w± определено в (1.28).

1.3. Безмассовое фермионное поле Рассмотрим теперь случай безмассового поля. Функцию Вайтмана S0 (x) безмассового фермионного поля проще всего получить из представления (1.84) предельным переходом m 0. Получим Аналогично случаям, рассмотренным выше, из функций S0 (x ) можно получить любой полный набор ортонормированных решений уравнения Дирака. В частности, для бустовых мод, поскольку (1.46) не зависит от m, так же, как и в массивном случае (1.43), имеем где C = произвольных двухкомпонентный столбец. Отсюда нетрудно получить, что где а e, = ± – собственные векторы матрицы Паули 3, 3 e± = ±e±. Видно, что из-за антидиагональности функции Вайтмана (1.85) спецификой безмассового случая2 является то, что верхняя и нижняя компоненты волновой функции (1.87) становятся независимыми. Это связано с появлением в безмассовом случае нового закона сохранения – сохранения хиральности, см., например, [102]. По этой причине решения уравнения Дирака (1.39) Детальный предельный переход переход m 0 для бустовых мод массивного фермионного поля см. ниже.

Бустовы моды (1.88) ортонормированы по норме (1.56) и образуют полную систему и поэтому безмассовое фермионное поле может быть квантовано в пространстве Минковского в этом базисе:

Бустовы моды (1.88) и плоские волны (1.89) связаны друг с другом преобразованием Меллина Поэтому, если считать, что обобщенные функции p (x ) определены на том же классе основных функций g(p), что и в массивном случае, обобщенные функции (x ) снова будут определены на классе основных функций h(), аналитичных в полосе (1.73) и убывающих при || в этой полосе. Это полностью согласуется с общим утверждением для обратного преобразования Меллина [103].

Следовательно, в выражении для бустовых мод (1.88) можно воспользоваться формулой (1.80), и, аналогично массивному случаю, бустовы моды безмассового фермионного поля на световом конусе являются дельтафункциями комплексной переменной, а именно:

Наконец, рассмотрим, каким образом можно получить бустовы моды (1.88) безмассового поля из мод (1.48) предельным переходом m 0. В этом пределе бустовы моды массивного поля равны где m 0 и 0 (см. (1.81)). Наличие сингулярной фазы приводит к тому, что верхняя и нижняя компоненты бустовой моды становятся независимыми друг от друга. Для того, чтобы оператор поля (1.57) имел смысл, необходимо, ввести операторы рождения безмассовых фермионов b, связанные с операторами рождения массивного поля формальным равенством Поэтому в бустовых модах (1.88) безмассового поля опущены фазовые мноm ±i жители, которые поглощаются операторами уничтожения и не сказываются на результатах вычисления физических величин.

1.4. Заключительные замечания к главе В настоящей главе явно продемонстрировано, что любой полный набор полевых мод может быть построен из функции Вайтмана свободного поля как в случае бозонного, так и фермионного полей. В частности, таким образом были построены бустовы моды. При этом была исправлена ошибка, допущенная в [35] для бустовых мод массивного фермионного поля, а бустовы моды безмассового фермионного поля были получены впервые.

Бустовы моды, как функции бустового квантового числа, имеют сингулярности на световом конусе. Вероятной физической причиной такого поведения является сингулярность преобразований Лоренца при v = c.

Так, в скалярном случае бустовы моды на световом конусе пропорциональны дельта-функции Дирака (x)|x± =0 () [54].

Сингулярность фермионных бустовых мод существенно выше. Было показано, что на поверхности светового конуса они являются дельтафункциями комплексного аргумента (x)|x± =0 ( i/2). Дельтафункция комплексного аргумента была впервые введена Гельфандом и Шиловым в [56] и определена в этой монографии на классе Z целых функций. Рассматриваемая нами дельта-функция определена на классе основных функций, аналитических в полосе (1.73) и быстро убывающих при || в этой полосе. Подчеркнем, что ширина полосы определяется физическими требованиями. Наш выбор гарантирует квадратичную интегрируемость и конечность энергии одночастичных волновых пакетов. Если потребовать конечность квадрата энергии, необходимо расширить полосу, в которой основные функции аналитичны, до Дальнейшее ужесточение требований к допустимым физическим состояниям приводит к соответствующему увеличению ширины полосы аналитичности основных функций. Поэтому имеет смысл обобщить понятие дельтафункции комплексного аргумента и ввести обобщенную функцию s () определенную на классе основных функций f (), аналитических в полосе причем 0 лежит внутри полосы. В этих обозначениях дельта-функция, введенная в разделе 1.2 будет выглядеть, как 1/2 (), дельта-функция из [56], как (), а обычная дельта-функция Дирака, как 0 ().

2. Анализ квантования Унру в случае фермионного 2.1. Квантование Унру и исключение нулевой бустовой моды.

Рассмотрим процедуру квантования Унру для массивного фермионного поля. Следуя [35, 51], сконструируем из бустовых мод (1.51) – (1.54) правые моды Унру – функции, тождественно равные нулю в левом секторе ПМ, и левые моду Унру – функции, тождественно равные нулю в правом секторе ПМ, Эти функции ортонормированы.

Чтобы построить квантование поля по Унру, требуется применить специальный прием. А именно, перейти в интеграле в операторе поля (1.57) к интегралу в смысле главного значения Обращая равенства (2.1), (2.2) и подставляя вместо бустовых мод их выражения через моды Унру, получаем Здесь rµ и rµ (lµ и µ ) – операторы уничтожения правых (левых) фермионов и антифермионов Фуллинга-Унру, являющиеся линейными комбинациями операторов рождения и уничтожения бустовых частиц Они подчиняются стандартным перестановочным соотношениям и определяют вектор состояния |0U :

Аналогичный результат для скалярного поля интерпретировался Унру [51] как существование в пространстве Минковского двух различных вакуумов |0M и |0U, отвечающих различным фоковским представлениям пространства состояний. В рамках этой интерпретации среднее число правых частиц Фуллинга-Унру с квантовым числом µ в состоянии вакуума Минковского |0M можно вычислить по формуле Стандартным образом представляя дельта-функцию в виде где = /g – собственное время, g – собственное ускорение равноускоренного наблюдателя, – полное время наблюдения и вводя = gµ, получаем среднее количество частиц, регистрируемых детектором за единицу собственного времени Если рассматривать как энергию кванта, то подынтегральное выражение в (2.9) выглядит как тепловой спектр фермионов с массой, равной нулю, находящихся при температуре Девиса–Унру (5). Подчеркнем, что он является бесщелевым, несмотря на то, что мы рассматриваем массивное поле.

Это характерная особенность квантования Унру.

Однако, схема квантования Унру и следующий из нее вывод о существовании эффекта Унру являются ошибочными. Действительно, при переходе от оператора свободного поля (1.57) к оператору (2.5) был использован прием Унру (2.4), заключающийся, как нетрудно заметить, в исключении из спектра точки = 0. Такая процедура безболезненна только для полей вне светового конуса, x± = 0, поскольку, как было показано выше, бустовы моды на световом конусе (1.81) содержат слагаемые вида ( ± i/2).

В скалярном случае, в связи с тем, что бустова мода в вершине светового конуса (1.24) пропорциональна (), процедура Унру приводит [54] к исключению дельта-функционных вкладов из интегралов для оператора поля и связанных с ним. В частности, поскольку функция Вайтмана (1.6) пропорциональна нулевой бустовой моде, в результате квантования Унру, она оказывается равной нулю [54].

В фермионном случае особенности бустовых мод (1.24) лежат в комплексной области в точках = ±i/2. Поэтому, казалось бы, исключение из интеграла единственной точки = 0 не должно повлиять на свойства квантованного поля. Однако это совершенно не так. Более того, в отличие от скалярного случая, в фермионном из интеграла не может быть выброшена никакая спектральная точка, а не только = 0. Рассмотрим функционал (1.76) с выколотой точкой = a (для определенности выберем верхний знак) Поскольку основные функции h() аналитичны в области (1.73), дельтафункция комплексного аргумента является аналитической обобщенной функцией и может быть представлена рядом В то же время, при |a| < для (2.10) имеем т.е. в зависимости от выбора произвольной точки b можно получить различные результаты для значения функционала (2.10). Таким образом, этот функционал а, следовательно, и оператор фермионного поля в представлении Унру являются бессмысленными выражениями, т.е. из интеграла (1.76) нельзя выкалывать никакую точку из области < <, в частности, точку 0.

Чтобы расширить эту область, рассмотрим разложение которое сходится при | b a| < 1/2 +. Тогда т.е. получаем, что из интеграла (1.76) нельзя выбрасывать никакую точку из области 1/2 < < 1/2. Разлагая в ряд (n+m) ( b a) и рассуждая аналогичным образом, получаем, что игнорирование в интеграле (1.76) любой спектральной точки < < приводит к бессмысленному выражению.

К такому же заключению можно прийти и путем исследования функционала (1.63) в вершине светового конуса с произвольной выколотой точкой 0, используя явное выражение для бустовых мод (1.81). Рассмотрим интеграл Для вычисления верхней компоненты этого выражения рассмотрим контур C, изображенный на Рис. (2.1). Интегралы по верхней прямой Im = 1/2 + было при вычислении (1.79) равны нулю. Интегралы по косым отрезкам, очевидно, взаимно компенсируются. Следовательно, верхняя компонента F(±) (h, 0) равна интегралу по незамкнутой окружности C радиуса < /2 с центром в точке = i/2.

После замены переменной интегрирования = i ei, интеграл (2.17) можно записать в виде Аналогичный результат получается и для нижней компоненты (2.16).

Из (2.19) очевидно следует, что результат вычисления U Fup (h, 0) зависит от порядка переходов к пределам 0 и 0. Порядок 0, 0 означает, что от U Fup (h, 0) (2.17) мы возвращаемся обратно к функционалу Fup (h, 0) (1.63). Неудивительно, что в этом случае выражение (2.19) воспроизводит (1.74). Обратный порядок 0, 0, отвечающий вычислению функционала (2.17), приводит к бессмысленному выражению.

Это означает, что в фермионном случае недопустимо выбрасывание любой точки из интеграла по действительной оси. Другими словами, набор бустовых мод (1.48) уже не является полным после исключения из спектра одной единственной произвольной точки.

Очевидно, что приведенные аргументы справедливы также и для безмассового фермионного поля, поскольку и в этом случае бустовы моды на световом конусе (1.94) представляют собой дельта-функции комплексного аргумента. В качестве еще одной иллюстрации ошибочности квантования Унру рассмотрим прямое вычисление функции Вайтмана безмассового фермионного поля. В результате процедуры Унру матричный элемент S01 (x, x ) примет вид Вследствие трансляционной инвариантности ПМ Используя (1.88), получаем где v± = 1/ Предел в правой части этого равенства очевидно не существует, и мы снова убеждаемся, что прием Унру является некорректным, и набор бустовых мод после исключения нулевой моды становится неполным.

Запишем выражение для положительно частотной бустовой моды массивного фермионного поля в виде s = 1/2. Интересно отметить, что если рассматривать величину s в (2.24) как непрерывный параметр, то скалярные бустовы моды (1.21) получаются из интеграла (2.24) предельным переходом s 0. При этом полоса (1.73) вырождается в вещественную ось комплексной плоскости, а пространство основных функций Z, аналитических в этой полосе и быстро убывающих при Re, превращается в пространство S быстроубывающих функций вещественного переменного. Именно на пространстве S определены являющиеся обобщенными функциями переменной скалярные бустовы моды (1.21). На вещественную ось, а именно в точку = 0, садятся и особенности бустовых мод, ранее расположенные на мнимой оси в точках = ±is. Это и объясняет почему процедура Унру в скалярном и фермионном случаях приводит к различным последствиям, например, при вычислении функции Вайтмана. В скалярном случае (0) (), и выкалывание из спектра всего одной точки = 0 зануляет функцию Вайтмана.

У бустовых мод в фермионном случае нет особенностей при вещественных, и казалось бы, выкалывание одной точки спектра не должно изменить значение интеграла. Однако, как мы видели раньше, разрыв контура интегрирования и выбрасывание = 0 приводит к бессмысленным расходящимся выражениям. Разумеется, несмотря на это различие, результат один и тот же: прием Унру делает набор бустовых мод неполным. То же самое утверждение справедливо и для любого другого набора, состоящего из их произвольных комбинаций, в том числе и для набора мод Унру.

2.2. Функция Вайтмана и квантование Унру на языке сглаженных бустовых мод.

Как было отмечено выше, бустовы моды являются обобщенными функциями, как по переменной, так и по пространственной и временной переменным. Следовательно, и функции Вайтмана (±) (x, x ) (1.6), (1.7) и S (±) (x, x ) (1.42) являются обобщенными функциями переменных x и x, определенными на гладких основных функциях с компактным носителем.

По этой причине авторы работы [104], соглашаясь с тем, что функция Вайтмана, вычисленная в соответствии с рецептом Унру, становится неопределенной, если x или x находится на световом конусе, тем не менее утверждают, что сглаживание ее соответствующими основными функциями позволяет решить проблему. По их мнению сглаживание устраняет нефизические особенности на световом конусе, и квантование Унру на сглаженных модах оказывается корректным во всем ПМ. Мы покажем, что это утверждение не соответствует действительности1.

Рассмотрим для начала случай скалярного поля. Из (1.23) нетрудно получить выражение для сглаженной функции Вайтмана где сглаженная бустова мода. Видно, что, несмотря на сглаживание, как и раньше вклад в интеграл для функции Вайтмана вносит единственная Частный случай сглаживания гауссовскими функциями уже рассматривался в [75], где было показано, что такое сглаживание не решает проблем квантования Унру.

спектральная точка = 0. Следовательно, исключение ее из спектра снова приводит к обращению функции Вайтмана в тождественный ноль.

Особая роль точки = 0 может быть проиллюстрирована на языке классических траекторий свободных скалярных бустовых частиц, изображенных на Рис. 1.1. Видно, что исключение из спектра = 0 эквивалентно выбрасыванию всех классических траекторий, проходящих через вершину светового конуса. Другими словами, процедура Унру приводит к выкалыванию точки x = 0 из ПМ.

Остальные точки, лежащие на поверхности светового конуса требуют отдельного рассмотрения. Прямые z = ±t не могут быть траекториями массивных частиц, но они являются асимптотами гипербол (1.37) при 0. Из Рис. 1.1а,б следует, что все регулярные траектории (1.36) за исключением z = /m также стремятся к прямым z = ±t в пределе 0. То есть при 0 траектории накапливаются вблизи z = ±t. Возможно, это рассуждение может служить объяснением наличия дельта-функционных особенностей у бустовых мод на световом конусе.

В случае фермионного поля (например, безмассового, хотя это, конечно, не играет роли) сглаженная функция Вайтмана в результате процедуры Унру (2.4) примет вид Если предположить, что процедура Унру является законной, то вследствие однородности ПМ U S0 (x, x ) должна быть трансляционно инвариантной.

В таком случае, для сглаженной функции Вайтмана имеем Ясно, что, если f (x) и g(x) являются произвольными гладкими функциями с компактным носителем, выражение (2.28) остается, как и (2.23), лишенным смысла.

2.3. Заключительные замечания к главе Итак, было установлено, что вследствие того, что бустовы моды на световом конусе являются дельта-функциями комплексного аргумента по бустовой переменной, выбрасывание любой (а не только нулевой, как в скалярном случае [54]) моды из полного набора бустовых мод приводит к бессмысленным выражениям для оператора поля и функций Вайтмана. Из этого, в частности, следует некорректность квантования Унру для свободного фермионного поля в пространстве Минковского и отсутствие эффекта Унру для фермионов.

Для устранения этой некорректности необходимо сделать набор бустовых мод несингулярным. Поскольку их особенности сосредоточены на световом конусе, набор бустовых мод без 0 (x) в массивном случае или 0± (x) в безмассовом может быть полон только в ПМ без светового конуса (четыре несвязанных сектора ПМ). Во всем пространстве Минковского совокупность правых и левых мод Унру не полна, а значит квантование Унру не может привести к последовательной квантовой теории. В этом смысле наши выводы согласуются с результатами анализа квантования Унру в бозонном случае [54].

Поскольку левое и правое пространства Риндлера в случае исключения из ПМ светового конуса становятся абсолютно независимыми, то на основе эффекта Унру невозможно конструировать перепутанные состояния и рассматривать вопросы квантовых сообщений между риндлеровским и инерциальным наблюдателями. Такие задачи следует формулировать и решать в рамках стандартной квантовой теории поля в пространстве Минковского.

То же самое касается и эффектов взаимодействия релятивистских электронов с интенсивными лазерными пучками. В частности, предложенное в работах [79, 80] в качестве подписи эффекта Унру излучение электроном в сильном лазерном поле пар скореллированных друг с другом фотонов был ранее предсказан и изучен стандартными методами, например, в работе [105], и в действительности не имеет к эффекту Унру никакого отношения.

3. Бустовы моды в электрическом поле.

3.1. Траектории бустовых частиц Обсудим свойства траекторий бустовых частиц1 и античастиц в однородном электрическом поле, которые существенны для классификации решений уравнения КФГ во внешнем поле2 (3). Согласно методу собственного времени Фока [106] интеграл действия можно представить в виде где x = dx/d – производная по независимой переменной и выбрана калибровка Лоренц-инвариантность функции Лагранжа обеспечивает закон сохранения буста где собственное ускорение частицы При этом в первично квантованной теории является квантовым числом – собственным значением генератора буста (1.2). Действительно, из (3.1) обобщенные импульсы равны В данной главе заряд частицы принят положительным, e > 0, античастицы – отрицательным, e < 0.

Напомним, что мы рассматриваем двумерное пространство-время, и поэтому в (3) µ = 0, 3, {xµ } = {t, z}.

Выражая через них t и z и подставляя в (3.3), получаем что после стандартной подстановки pt = H = it, pz = iz совпадает с (1.2). Заметим, наконец, что, поскольку в обычных единицах то в квазиклассическом приближении, Уравнения Лагранжа дают Проинтегрировав их по, имеем где знак + относится к траекториям частиц, а знак к траекториям античастиц. Вследствие закона сохранения (3.3) константы интегрирования u± и v± связаны соотношением где ES – критическое поле квантовой электродинамики (1).

Поскольку функция Лагранжа (3.1) не зависит явно от переменной, то сохраняется энергия, H = const. Полагая эту константу равной нулю, получаем условие т.е. независимая переменная становится собственным временем, а уравнения (3.8) – стандартными уравнениями движения заряженной частицы в электрическом поле E [106, 107].

Выбрав начало отсчета собственного времени так, чтобы точке поворота траектории отвечало = 0, получим уравнение траектории Рис 3.1. Траектории бустовых частиц: а) 2 > 1 б) 2 < 1. Гиперболы (3.13) показаны штриховой линией. Стрелками указано направление движения частиц.

Эти соотношения для каждого значения задают семейство гипербол, точки поворота которых t0 = t(0), z0 = z(0) сами располагаются на гиперболах Траектории движения бустовых частиц и античастиц изображены на Рис.

3.1 и 3.2.

Решения уравнения КФГ во внешнем поле можно классифицировать согласно тому, описывают они частицу или античастицу в in и out областях пространства Минковского, т.е. при T, см. Рис. 2. Поскольку поле ускоряет частицы в положительном направлении оси z, при фиксированном траектории частиц могут лежать в левом секторе ПМ лишь в течение некоторого ограниченного интервала времени. Следовательно, в in области бустовы частицы могут находиться в прошлом и правом секторах, а в out области – в будущем и правом. Аналогично античастицы в in области могут находиться в левом и прошлом секторах, а в out области – в левом и будущем.

Рис 3.2. Траектории бустовых античастиц: а) 2 < 1 б) 2 > 1. Гиперболы (3.13) показаны штриховой линией. Стрелками указано направление движения античастиц.

3.2. Решения уравнения КФГ во внешнем поле.

Рассмотрим решения двумерного уравнения КФГ во внешнем поле (x± = t ± z – координаты светового фронта) во внешнем однородном электрическом поле E с калибровкой (3.2), являющиеся собственными функциями генератора буста (1.2) со стандартным скалярным произведением Уравнение (3.14) имеет два линейно независимых решения, аналитических в каждом из секторов пространства Минковского [50], которые можно выЗдесь и далее считаем, что e > 0 – заряд частицы.

разить через две функции Здесь (a, c, ) – функция Трикоми [108].

При этом в прошлом секторе, x± < 0, решения уравнения (3.14) имеют вид в будущем секторе, x± > 0, Решения в правом секторе, x+ > 0, x < 0, выражаются через (3.17) следующим образом а в левом, соответственно, Постоянные в функциях (3.17) выбраны таким образом, чтобы в пределе E 0 решения (3.18)–(3.21) переходили в бустовы моды свободного поля (x) и (x), см. (1.31).

Для классификации этих решений уравнения КФГ во внешнем поле установим соответствие между ними и классическими траекториями частиц и античастиц с заданным бустовым параметром, см. Рис. 3.1 и 3.2.

Для этого вычислим нормы (3.16) этих решений в широких in и out областях каждого из секторов ПМ, не включающих окрестности границ между секторами, x+ x = 0. Окрестности светового конуса, где происходит накопление траекторий частиц и античастиц, см. Рис. 3.1 и 3.2, также вносят вклад в нормировку (см. Приложение А). Однако мы не будем пока учитывать эти вклады, т.к. они не влияют на классификацию решений в широких in и out областях.

Для (x) в прошлом секторе имеем4, см. Приложение A.

Норма второго линейно независимого решения в прошлом секторе равна Поэтому решение (x) с положительной нормой соответствует частицам, которые движутся в in области против направления поля, а решение (x) с отрицательной нормой – античастицам, движущимся в in области по полю, см. Рис. 3.1 и 3.2. Для решений в будущем секторе получаем т.е. здесь частицам, движущимся в out области по полю, отвечает (x) с положительной нормой, а решение (x) с отрицательной нормой соответствует античастицам, которые движутся в out области против направления поля.

Иная ситуация возникает в секторах R и L. В in области правого сектора имеем где последнее равенство означает, что при T норма стремится к нулю, оставаясь все время положительной, см. Приложение А. В out области имеем Из равенств (3.25), (3.26) следует, что в in и out областях правого сектора нет античастиц, но есть два потока частиц: существующий только в in Здесь и далее интегрирование в (3.16) идет в in или out области, т.е. при T, см. Рис. 2, только внутри соответствующего сектора.

области падающий поток частиц, который описывается решением (x) и существующий только в out области уходящий поток частиц, который описывается решением (x).

В in области левого сектора тогда как в out области Поэтому в in и out областях левого сектора нет частиц, но есть падающий поток античастиц в in области – решение (x) и уходящий поток в out области – решение (x).

3.3. Бустовы in и out моды в электрическом поле.

Построим систему положительно и отрицательно частотных5 бустоP ) (R) (F ) (L) вых in мод ± = {±, ±, ±, ± }, т.е. решений, описывающих одну частицу + или античастицу в in области, выразив сужения ±, a = P, R, F, L этих мод на прошлый, правый, будущий и левый секторы ПМ через решения (3.18)–(3.21) уравнения КФГ в электрическом поле E.

Рассмотрим положительно частотное решение в in области. Следуя проведенной в предыдущем разделе классификации решений, в прошлом секторе имеем где Cin – нормировочная константа, поскольку второе линейно независиP ) мое решение (x) в прошлом секторе относится к античастицам. Для продолжения решений из одного сектора ПМ в другой через особенности x± = 0 существует, вообще говоря, много способов, являющихся комбинаТак как генератор буста не коммутирует с оператором t, то моды, отвечающие заданному значению, не обладают определенным значением частоты. Однако знак частоты является лоренцевым инвариантом, и поэтому бустовы моды, соответствующие частицам при T ±, являются суперпозицией только положительных частот, а моды, соответствующие античастицам, – только отрицательных.

цией двух линейно независимых. Первый использует подстановку и в случае отсутствия внешнего поля отвечает аналитическому продолжению положительно-частотного решения уравнения КФГ (1.31), см. также [54]. Второй способ в отсутствие поля отвечает продолжению комплексно сопряженного отрицательно-частотного решения.

Поскольку в in области левого сектора не должно быть античастиц, при продолжении моды (3.29) через особенность x = 0 полагаем Таким образом, так же, как и в свободном случае годится только продолL) жение (3.30) – второе решение (x) представляет собой падающий поток античастиц.

Отметим, что этот способ отвечает стандартной замене t t i, 0, т.е. отрицательной бесконечно малой мнимой добавке ко времени t, см. (1.28). Действительно, используя обобщенные функции (1.29), имеем Cin (x+, x + i) = Cin {(x+ )(x )(P ) (x) + (x+ )(x )(L) (x)}.

Второй способ аналитического продолжения (3.31) отвечает замене t t+i, как и полагается для комплексно сопряженных решений в отсутствие электрического поля.

В правом секторе оба решения (3.20) относятся к частицам. Поэтому нужно рассмотреть некоторую линейную комбинацию способов (3.30) и (3.31) продолжения через особенность x+ = 0, которая, конечно, давала бы правильное аналитическое продолжение в случае свободного поля. По аналогии с (3.33) рассмотрим выражение где амплитуда смешивания in – некоторая подлежащая определению комплексная константа, которая стремится к нулю при выключении электрического поля, E 0. Так как аргумент переменной = ieE(x+ )(x )/ функции Трикоми, входящей в (x) после подстановки x+ x+ ei становится равным 3/2, то требуется продолжение этой функции через разрез где = sign(Im), см. формулы 6.8(17) и 6.7(7) справочника [108]. Тогда для положительно частотной бустовой моды в правом секторе окончательно получаем Поскольку при продолжении решения из прошлого сектора в правый и левый, мы определили правила пересечения особенностей x+ = 0 и x = 0, нетрудно получить положительно частотную in моду в будущем секторе + (x) in+ (L) (x+ ei x+ ) + (1 in )+ (L) (x+ ei x+ ) = Таким образом, в будущем секторе мода + (x) содержит как решение (x), описывающее частицы, так и (x), описывающее античастицы.

Это является следствием рождения пар электрическим полем.

С помощью подобных рассуждений нетрудно составить in моды, отвечающие античастицам. В прошлом и правом секторах ПМ имеем В левом секторе с учетом (3.35) получаем и, наконец, в будущем секторе Точно так же получаются положительно частотные бустовы out моды (x) = {+, +, +, + }, которые в будущем секторе не должны содержать решения (x), описывающего античастицу, а в левом секторе уходящего потока античастиц (x):

В правом секторе имеем + (R) и, наконец, в прошлом секторе ПМ Бустовы out моды (x) = {,,, }, соответствующие античастицам, равны в будущем и правом секторах, Мы используем значок тильда для констант, относящихся к античастицам.

в левом секторе и в прошлом секторе ПМ. Явный вид бустовых мод с учетом полученных в следующем разделе значений для амплитуд смешивания и нормировочных констант приведен в Приложении B.

3.4. Коэффициенты Боголюбова Чтобы завершить построение бустовых in и out мод, необходимо определить амплитуды смешивания in (), in (), out () и out (), а также коэффициенты нормировки Cin (), Cin (), Cout () и Cout (). Поскольку как in моды, так и out моды образуют полные наборы решений уравнения КФГ, то справедливо разложение которое выполняется во всех мировых точках ПМ. Следовательно, выписав его в каждом из четырех секторов ПМ, получим по два уравнения на коэффициенты при линейно независимых решениях (3.18) – (3.21) уравнения КФГ. Таким образом, имеем в прошлом секторе в левом секторе в правом секторе и, наконец, в будущем секторе Решая эту систему, для амплитуд смешивания получаем Как и предполагалось выше, амплитуды смешивания стремятся к 0 в отсутствие внешнего поля7.

Рассмотрим теперь нормировку бустовых мод. Из (3.29) и (3.22), а также (3.36) и (3.25) находим вклад в нормировку (+, + ) положительно частотных in мод от прошлого и правого секторов (вклад от левого сектора равен 0) Помимо этого, следует также учесть вклады I+ и I, которые дают в нормировку окрестности светового конуса (I – окрестность x = 0 и I+ – окрестность x+ = 0). Для положительно частотных in мод они вычислены в Приложении A, см. (A.14), (A.16).

Таким образом, из условия получаем значение нормировочной константы положительно частотных in мод Аналогично получаются и остальные нормировочные константы Как и следовало ожидать, в отсутствие электрического поля, = 0, все они равны единице.

Предельный переход E 0 подробно обсуждается в следующем разделе.

Для коэффициентов Боголюбова и, например, из (3.49) можно получить, что причем автоматически выполняется соотношение Боголюбова Это подтверждает полноту построенных наборов бустовых in и out мод.

3.5. Предельный переход к случаю свободного поля Для построенных бустовых мод рассмотрим предельный переход к случаю свободного поля E 0. Поскольку решения уравнения КФГ (x) и (x), a = P, R, L, F, см. (3.18) – (3.21), при выключении электрического поля переходят в свободные бустовы моды, то, как видно из Таблицы B.1 из приложения B, нетривиальным такой переход является лишь для положительно частотных in и out мод в правом секторе ПМ и для отрицательно частотных in и out мод в левом. Действительно, в этом случае решения (x) и (x), b = R, L, умножаются на экспоненциально растущие при E 0 коэффициенты.

Так, например, положительно частотные in моды в правом секторе равны Хотя при E 0 функции (x) и e (x) обе стремятся к положительно частотной бустовой моде (x), см. (1.31), и разность в квадратных скобках стремится к нулю, эта разность умножается на растущую при выключении поля экспоненту e 2. Поэтому необходимо найти поправку к разности (x) e (x) при E 0.

Итак, в этом пределе имеем Здесь 2 = (x )x+ и введено обозначение Рис 3.3. Контуры интегрирования в (3.5) (сплошная линия и короткие штрихи), (3.5) (сплошная линия и жирные длинные штрихи) и (3.5) (пунктир).

Воспользовавшись для функций Трикоми интегральным представлением 6.5.2 из справочника [108], получаем где в первом интеграле интегрирование идет по нижнему берегу разреза, а во втором – по верхнему, см. Рис. 3.3. Сделав в первом интеграле замену 1+u = ei s, приводим выражение (3.5) к виду где интегрирование идет по верхним берегам разрезов, изображенных на Рис. 3.3. Добавив интегрирование по отрезку 1 s 0, замкнув контур интегрирования в верхней полуплоскости s и сделав замену переменной s = ei v, v > 0, получим Тогда в соответствии с (3.5) окончательно получаем Таким образом, при выключении внешнего электрического поля положительно-частотная бустова мода + (x) в правом секторе стремится к положительно частотной бустовой моде свободного поля (1.31). Это же справедливо и для всех остальных in и out бустовых мод.

3.6. Рождение бустовых пар.

Сначала вычислим вероятность рождения бустовой пары внешним однородным электрическим полем квазиклассически, воспользовавшись траекториями бустовых частиц и античастиц (3.12). Поскольку в постоянном электрическом поле буст сохраняется, если частица рождается в моде, то античастица – в моде. Рождение пары наиболее вероятно, если пороговая скорость рожденных частиц равна нулю [27–29]. Это означает, что процесс идет в окрестности точки поворота классической траектории Поскольку в начале процесса рождения пары полная энергия каждой из частиц равна нулю, этот процесс имеет характер подбарьерного туннелирования [27–29] и запрещен в классической электродинамике. Тем не менее он может быть квазиклассически описан на языке траекторий, если в соответствии с методом мнимого времени [109,110] собственное время подбарьерного движения считать мнимым = i. Обозначив начальный момент такого движения = i, когда полная энергия частиц равна нулю, имеем t( ) = 0.

Рассмотрим фиксированную траекторию частицы с данным и соответствующую ей траекторию античастицы со значением, для которых точки поворота отвечают одному и тому же моменту времени t0, что дает v+ = v = v в (3.9). Поскольку пара может рождаться в окрестности любой точки пространства, и вероятность процесса в силу однородности поля не зависит от ее координат, расстояние между точками поворота, т.е.

эффективная ширина барьера, не может зависеть от параметров u±. Следовательно, u+ = u = u, и, в силу (3.13), центр области образования пар находится на гиперболе Таким образом, экстремальные траектории [109,110] частицы и античастицы, дающие вклад в суммарный интеграл действия и минимизирующие его мнимую часть, удовлетворяют условиям которые приводят к уравнениям где – полное мнимое собственное время подбарьерного движения частицы и античастицы; верхние знаки отвечают частице, а нижние – античастице. Заметим, что в отличие от релятивистской теории ионизации тяжелых ионов [111,112], в рассматриваемой задаче время t = sin w не является чисто мнимым.

Вероятность W рождения пары с бустовым параметром равна произведению вероятностей рождения частицы и античастицы, которые определяются мнимой частью действия, вычисленного вдоль экстремальной траектории (3.72) Отсюда с экспоненциальной точностью имеем Таким образом, квазиклассическая экспонента и, следовательно, спектр рождения однородным полем бустовых частиц не зависят от бустового квантового числа.

Как известно, последовательная физическая интерпретация уравнения КФГ, как, впрочем, и уравнения Дирака, может быть реализована в рамках вторично квантованной теории. Поэтому рассмотрим вторично квантованный оператор комплексного скалярного поля, удовлетворяющий уравнению КФГ в электрическом поле (1.1), Входящие сюда in и out операторы рождения и уничтожения бустовых частиц подчиняются стандартным перестановочным соотношениям для бозонных операторов и, в силу разложения (3.47), связаны преобразованиями Боголюбова Среднее число рожденных электрическим полем бустовых пар равout out состоянии in вакуума N =< 0in |outb† outb |0in >=< 0in |out† out |0in >= | |2 (0) = e (0).

Актуальная бесконечность (0) обязана своим появлением тому, что пары рождаются в окрестности любой точки пространства-времени, и их полное количество с данным квантовым числом, вообще говоря, расходится, поскольку электрическое поле отлично от нуля во всем ПМ. Значение этой бесконечности трактуется стандартным образом. Поскольку электрическое поле однородное, не ограничивая общности, рассмотрим, например, правый сектор ПМ, который покрывается риндлеровскими координатами где – характерный для процесса наблюдения промежуток риндлеровского времени. Отметим, что = w, где – собственное время частицы.

При вычислении полного числа рожденных пар возникает вторая актуальная бесконечность. Для ее интерпретации вспомним, что бустовы пары рождаются в областях, центры которых лежат на гиперболах (3.70), т.е.

Поскольку согласно (3.77) среднее число пар N не зависит от квантового числа, получаем где 2 – двумерный объем в плоскости (t, z), в котором происходит наблюдение. Среднее число пар, отнесенное к этому объему, равно Первая степень электрического поля в предэкспоненте обязана двумерию.

Действительно, в четырехмерном случае, учитывая замену (12), имеем где 2 – площадь поверхности в плоскости (x, y), а 4 = 2 2 – объем области пространства Минковского, в которой происходит наблюдение.

Окончательно, для среднего числа пар, рождающихся в единице объема в единицу времени, получаем что полностью совпадает с результатом [21–24].

3.7. Заключительные замечания к главе 3.

В данной главе было рассмотрено квантование скалярного поля во внешнем постоянном однородном электрическом поле в базисе бустовых мод. Были глобально определены in и out области двумерного пространства Минковского, в которых не происходит рождения бустовых пар частиц и античастиц из вакуума электрическим полем. В этих областях классифицированы на положительно и отрицательно частотные решения уравнения КФГ во внешнем поле, обладающие бустовой симметрией. Впервые построены полные наборы положительно и отрицательно частотных бустовых in и out мод и на их основе проведено последовательное квантование комплексного скалярного поля в присутствии внешнего постоянного однородного электрического поля.

Вычислены коэффициенты Боголюбова с данным бустовым квантовым числом и среднее число бустовых пар, рожденных электрическим полем из вакуума. Показано, что распределение количества рожденных пар, так же, как и в [21–24], не зависит от квантового числа. Полное число рожденных пар совпадает с результатом, полученным в [21–24], что подтверждает самосогласованность полученных результатов.

На основе предложенного подхода возможно, по-видимому, перейти к решению различных задач, в которых внешнее поле обладает бустовой симметрией. К таким задачам, в частности, относятся рождение пар при столкновении тяжелых ионов [44] и эффект Хокинга в дилатонной теории гравитации [46].

4. Метод квантового кинетического уравнения 4.1. Квантовое кинетическое уравнение: иллюстрация с помощью модели одномерного осциллятора.

Рассмотрим теперь альтернативный подход к задаче о рождении пар во внешнем электрическом поле, основанный на решении квантового кинетического уравнения (ККУ). Вывод ККУ в контексте рождения пар всесторонне обсуждался в литературе [31,33,34,89]. Тем не менее, для удобства и для введения обозначений приведем краткий вывод ККУ для простой модельной задачи – параметрического возбуждения одномерного квантового осциллятора с меняющейся во времени частотой (t) [113–116]. Гамильтониан такого осциллятора имеет вид где Q и P – операторы координаты и импульса, подчиняющиеся стандартным коммутационным соотношениям.

Рассмотрим приближенное квазиклассическое решение осцилляторного уравнения Q + 2 (t)Q = 0 (пользуемся гейзенберговской картиной), и зависящие от времени операторы a(t), a† (t), определенные таким образом, что соотношения выполняются точно. Эти операторы нетрудно выразить через исходные операторы Q и P Они зависят от времени и подчиняются одновременному коммутационному соотношению [a(t), a† (t)] = 1.

Учитывая уравнения движения для осциллятора, получим Следовательно, временная зависимость данных операторов вызвана исключительно изменением частоты осциллятора.

a† (t)a(t). С учетом (4.4) можем записать где мы ввели обозначение V (t) = e2i(t) a2 (t). Производная по времени от V (t) равна Очевидно, что средние значения N (t), V(t), операторов N (t) и V (t) в данном квантовом состоянии осциллятора подчиняются тем же уравнениям (4.5) и (4.6). Отметим, что все операторные уравнения (4.4) – (4.6) могут быть записаны в виде O = i[H, O], где новый гамильтониан H равен H = i(/)(a2 a† ).

Следует подчеркнуть, что введенный выше оператор мгновенного числа возмущений N (t), вообще говоря, не является истинным оператором числа частиц в смысле квантовой теории поля. Ниже мы проиллюстрируем это утверждение с помощью соотношения неопределенностей для задачи о рождении пар. Тем не менее, на временных промежутках, когда постоянно, N (t) приобретает обычный физический смысл оператора числа возбуждений. Предположим, что в начальный момент времени (т.е. при t ), частота постоянна и осциллятор находится в некотором стационарном состоянии |n. Это, в частности, означает, что операторы a и a† представляют собой обычные понижающий и повышающий операторы, действующие на лестницу стационарных состояний, а аномальное среднее V() равно нулю. С таким начальным условием уравнение (4.6) может быть проинтегрировано. Получим Аналог ККУ для нашей простой модели получается подстановкой уравнения (4.7) в (4.5). В случае, если частота постоянна при t +, значение N (+) отвечает среднему числу возбуждений осциллятора после его параметрического возмущения или, в контексте квантовой теории поля, числу рожденных пар.

Покажем, как интегро-дифференциальное уравнение (4.8) или, что эквивалентно, система дифференциальных уравнений (4.5), (4.6) могут быть преобразованы обратно в исходное осцилляторное уравнение. Пусть (t) – точное положительно частотное решение уравнения Исходя из наших предположений, это означает (с точностью до постоянного фазового множителя), что (t) (t) при t.

Операторы координаты и импульса осциллятора могут быть выражены через это решение где операторы, † не зависят от времени. Эти операторы подчиняются обычному коммутационному соотношению [, † ] = 1, обеспечивающему нормировку (t) и имеют смысл in-операторов (т.е. определяют лестницу начальных состояний системы). Усредняя следующие из уравнения (4.3) операторные соотношения по начальному состоянию |n = († )n |0 / n! (где |0 = 0) получим, что Нетрудно проверить прямой подстановкой, что формулы (4.12), (4.13) действительно определяют точное решение уравнений (4.5), (4.6) и, следовательно, уравнения (4.8) с начальными условиями N () = n, V() = 0, см. также приложение C.

4.2. Рождение скалярных и фермионных пар.

Рассмотрим заряженное скалярное поле (t, r), взаимодействующее с линейно поляризованным однородным зависящим от времени электрическим полем, направленным вдоль оси z. В этом разделе мы для простоты будем предполагать, что в начальный момент времени поле находится в вакуумном состоянии. После разделения переменных уравнение КФГ (3) для функции (t, r) = (2)3/2 p (t)eipr принимает вид (4.9), причем Несмотря на то, что функция (t, r) в отличие от Q(t) является комплекснозначной, ККУ для скалярного поля принимает тот же вид (4.8), что и для осциллятора [32, 34]. Поэтому его решение, как и раньше, имеет вид (4.12), (4.13) с тем отличием, что np = 0 из-за выбранных нами начальных условий.

Разница между решениями для параметрического осциллятора и скалярного поля заключается только в смысле величин N и V. Действительно, если ap и bp – операторы уничтожения для частиц1 и античастиц соответственно, то Np = vac|a† ap |vac – это мгновенное среднее число чаp стиц (или пар), тогда как аномальное среднее теперь определено как Vp = e2ip (t) vac|ap bp |vac. Отметим, что такого рода аномальные средние также играют важную роль в задачах конденсированного состояния вещества. В частности, они входят в уравнения Блоха в теории полупроводников [117].

Рассмотрим теперь случай фермионного (спинорного) поля. Уравнение Дирака во внешнем поле для функций вида где 0 3 u± = ±u± после перехода к квадрированной форме принимает вид а (t) определена в (4.14).

Квантовое кинетическое уравнение для фермионного случая отличается от уравнения (4.8) [31,33], а уравнения, аналогичные (4.5), (4.6) принимают вид Функции N и V определены таким же образом, как и для скалярного поля, но несут дополнительный спиновый индекс, который может принимать В данной главе заряд частицы принят за e, а заряд античастицы за e два значения. Поскольку коэффициенты в ККУ не зависят от этого индекса, мы для удобства записи формул опускаем его вместе с импульсным индексом p.

В фермионном случае, в отличие от скалярного, сведение уравнений (4.18), (4.19) к (4.16), несколько менее тривиально, прежде всего, из-за другого статистического веса – множителя 12N в правой части уравнения.

Как бы то ни было, оно все равно может быть проведено, например, путем прямого вывода ККУ для фермионов. Здесь мы представим результат, который может быть проверен прямой подстановкой. Имеем:

где функции (±) являются решениями (4.16) с верхним или нижним знаками соответственно и удовлетворяют условию нормировки см. приложение D. По существу, любая из функций (±) может быть использована для вычисления N и V.