«Степанов Родион Александрович ГЕНЕРАЦИЯ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ ТУРБУЛЕНТНЫМИ ПОТОКАМИ ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЫ 01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук ...»

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

На правах рукописи

Степанов Родион Александрович

ГЕНЕРАЦИЯ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ ТУРБУЛЕНТНЫМИ

ПОТОКАМИ ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЫ

01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант Пермь 2009 Содержание Введение 6 1 Кинематическая генерация магнитного поля средним потоком 16 1.1 Уравнения магнитной гидродинамики............ 1.2 Винтовое динамо в реальных условиях........... 1.2.1 Двухмерная постановка задачи............ 1.2.2 Результаты численного решения........... 1.3 Динамо в нестационарном и неоднородном поле скорости. 1.3.1 Численное решение в цилиндрической геометрии.. 1.4 Винтовое динамо в торе.................... 1.4.1 Постановка задачи и метод решения......... 1.4.2 Результаты....................... 1.5 Динамо в канале в форме листа Мёбиуса.......... 1.5.1 Математическая постановка.............. 1.5.2 Результаты расчетов.................. 1.6 Выводы по главе........................ 2 Турбулентная электродвижущая сила 2.1 Турбулентная электродвижущая сила в винтовом потоке. 2.1.1 Структура средней электродвижущей силы... 2.1.2 Вычисление средней электродвижущей силы... 2.2 Влияние турбулентности на винтовое динамо........ 2.2.1 Оценка эффектов турбулентности.......... 2.2.2 Влияние турбулентности на порог генерации.... 2.3 Выводы по главе........................ 3 Мелкомасштабное динамо 3.1 Каскадные модели МГД-турбулентности.......... 3.2 МГД-турбулентность при малых значениях магнитного числа Прандтля.......................... 3.3 Нелокальные взаимодействия в МГД-турбулентности... 3.3.1 Построение модели................... 3.3.2 Потоки энергии..................... 3.4 Сценарий насыщения турбулентного динамо........ 3.5 МГД-турбулентность в условия высокой перекрестной спиральности............................ 3.5.1 Феноменологические представления......... 3.5.2 Каскадная модель МГД-турбулентности с новым определением спиральности................ 3.5.3 Численные результаты................. 3.6 Каскад гидродинамической спиральности.......... 3.6.1 Феноменология..................... 3.6.2 Численные эксперименты............... 3.7 Каскад магнитной энергии под действием эффекта Холла 3.8 Оптимизация процедуры численного решения....... 3.9 Выводы............................. 4 Комбинированные модели астрофизического динамо 4.1 2 –динамо............................ 4.1.1 Сопряжение крупномасштабных и мелкомасштабных переменных.................... 4.1.2 Результаты численного решения........... 4.1.3 Нелинейная стабилизация динамо.......... 4.1.4 Роль магнитной составляющей в -эффект..... 4.1.5 2 -динамо при малых числах Рейнольдса...... 4.2 -динамо........................... 4.2.1 Сопряжение средних и турбулентных полей..... 4.2.2 Проблема алайнмента................. 4.2.3 Численные результаты................. 4.3 Выводы............................. 5 Интерпретация данных радионаблюдений 5.1 Анализ анизотропных структур............... 5.1.1 Анизотропный корреляционный вейвлет-анализ.. 5.1.2 Спиральные рукава в распределениях пыли, газа и магнитного поля в галактике M51.......... 5.2 Вейвлет-томография...................... 5.2.1 Дифференцирующий вейвлет............. 5.2.2 Mетоды численного дифференцирования...... 5.2.3 Галактическое магнитное поле............ 5.3 Статистический метод обнаружения магнитной спиральности в межзвездной среде.................... 5.3.1 Модель межзвездной среды.............. 5.3.2 Корреляционный анализ................ 6 Экспериментальные исследования элементов динамо-цикла 6.1 Адвективное вращение внешнего магнитного поля..... 6.1.1 Экспериментальная установка и измерения..... 6.2.1 Тороидальное наложенное поле............ Введение Объект исследования и актуальность проблемы.

Магнитные поля существуют не только у компактных астрофизических объектов, таких как планеты и звезды, они также наблюдаются повсюду во Вселенной, в межзвездном пространстве, и могут быть свойственны галактикам и галактическим кластерам. Речь идет о магнитном поле, возникающем в процессе эволюции системы, которая имеет в своем составе сплошную электропроводящую среду, такую как жидкий металл или плазма. Описание генерации космических магнитных полей остается важнейшей фундаментальной проблемой магнитной гидродинамики (МГД). Большой интерес к этой проблеме объясняется особой ролью магнитных полей в формировании ионосферы Земли, изменениях солнечной активности, звездообразовании в галактических дисках и многих других процессах и явлениях. Затрагиваемый круг проблем находится в очень широком диапазоне: от проектирования жидкостных систем охлаждения ядерных реакторов до создания космологических теорий Вселенной.

Происхождение и эволюция космических магнитных полей в основном объясняется теорией динамо, систематическое изложение которой можно найти в монографиях Паркера и Моффата. Важной особенностью магнитногидродинамических систем, в которых возможно самовозбуждение магнитного поля, является турбулентный характер движения проводящей среды. Именно турбулентность совместно с факторами открытых границ системы и существенной трехмерности явления динамо делает задачу не решаемой в общей постановке. Фундаментальным шагом в развитии науки о природе магнитных полей гидродинамических систем послужило создание теории среднего поля в электродинамике (Краузе и Рэдлер). Аналогично подходу Рейнольдса в гидродинамике, магнитное поле раскладывалось на крупномасштабную составляющую, которая описывалась уравнениями для осредненных переменных, и мелкомасштабную составляющую, влияние которой учитывалось через эффективные турбулентные коэффициенты. В результате такого подхода был открыт так называемый -эффект – механизм генерации крупномасштабного поля за счет мелкомасштабной МГД-турбулентности. В последние десятилетия был достигнут значительный прогресс в построении теоретических моделей динамо, прямом численном моделировании, экспериментальном подтверждении основ теории динамо и интерпретации астрофизических наблюдений. Одновременно с этим обозначился ряд трудностей применения теории среднего поля для решения определенного круга актуальных проблем.

На начальных этапах построения теории особое внимание привлекало изучение условий возникновения динамо-эффекта, а именно влияние параметров системы на порог генерации. Среднее поле скорости способно самостоятельно вызвать неустойчивость крупномасштабного магнитного поля без учета турбулентности. Однако количественная оценка критических характеристик в значительной степени зависит от всех деталей задачи. Наиболее актуальна эта проблема при планировании, проведении и анализе результатов динамо-экспериментов.

Генерация магнитного поля за счет -эффекта является далеко не единственным механизмом. Неоднородность турбулентности совместно с общим вращением и сдвиговыми средними потоками среды также влияют в среднюю турбулентную электродвижущую силу. Для определения преобладающего механизма необходим анализ всех даже самых экзотических возможностей. При равных вкладах двух механизмов генерации в динамо-процесс они могут приводить к усилению или же ослаблению друг друга. Тогда доминирующим может стать изначально более слабый эффект, который и будет определять условия генерации и структуру магнитного поля.

Использование результатов теории среднего поля при построении динамо-моделей разнообразных космических объектов требует соответствующих количественных оценок турбулентных коэффициентов. Даже в самых простых случаях необходимо знать статистические характеристики мелкомасштабного поля. Как правило, колмогоровские представления о развитой гидродинамической турбулентности обобщаются на МГД. Однако в реальности магнитное поле, обладая собственным интегралом движения – магнитной спиральностью, делает процессы переноса энергии и спиральности по спектру значительно более сложными для анализа. Экспериментальная верификация соотношений теории среднего поля наряду с возможностями численного моделирования МГДтурбулентности является актуальной задачей.

По мере того как теория динамо продвигалась от решения задач об условиях возникновения динамо-процесса к задачам о заключительном состоянии, стало понятно, что необходимо учитывать обратное действие крупномасштабного магнитного поля на мелкомасштабные поля. Возникшая трудность описания насыщения генерации и стабилизации магнитного поля обусловлена существенной нелинейностью этих процессов.

Если воздействие магнитного поля на среднее поле скорости может быть определено в рамках уравнений среднего поля, то для описания воздействия на мелкомасштабное поле необходимо введение мелкомасштабных переменных и их динамической связи с крупномасштабными. Таким образом, актуальной проблемой является построение самосогласованных определяющих соотношений, которые позволят сформулировать адекватную математическую модель динамо-процесса.

Использование теоретических результатов для объяснения характера и структуры магнитных полей в реальных астрофизических объектах предполагает наличие достоверных наблюдательных данных. Однако измерение космических магнитных полей в большинстве случаев возможно только косвенным путем. К примеру, сравнительный анализ существующих работ по интерпретации данных наблюдений магнитного поля нашей Галактики показывает расхождения не только в количественных оценках, но и в выводах относительно общей геометрической структуры. В получаемых результатах определяющую роль играет выбор данных и техники обработки. Для проведения объективного анализа необходимо использовать методы, которые не содержат большого числа подгоночных параметров и позволяют получать результаты, устойчивые к вариации данных наблюдений. Очевидно, что развитие методов и подходов обработки наблюдательных данных и их интерпретации должно идти встречным курсом с развитием теории.

Цель работы состоит в формировании самосогласованных представлений об условиях и характере процессов генерации магнитных полей в условиях турбулентности с использованием единой основы – построение теоретических и численных моделей, интерпретация экспериментальных измерений и астрофизических наблюдений.

Задачи диссертационной работы состоят в:

а) определении зависимости порога генерации магнитного поля в среднем винтовом потоке проводящей жидкости, организованном в тороидальном канале, от проводимости окружающей среды и пространственно-временных характеристик среднего поля скорости;

б) выводе соотношений теории среднего поля для турбулентной электродвижущей силы, возникающей в условиях общего вращения и произвольного тензора градиента среднего поля скорости;

в) исследовании характера совместного действия генерационных механизмов винтового поля скорости и мелкомасштабной турбелентности;

г) развитии аппарата каскадных моделей МГД-турбулентности с целью описания динамики мелкомасштабных кинетических и магнитных полей, потоков энергии по спектру, роли нелокальных взаимодействий, а также нелинейных сценариев насыщения мелкомасштабного динамо;

д) построении и численном анализе комбинированной модели динамо, описывающей взаимодействие крупномасштабных и мелкомасштабных полей;

е) разработке методов обработки и интерпретации наблюдательных данных галактических магнитных полей;

ж) планировании и теоретическом подготовке экспериментальных исследований элементов динамо, компьютерной обработке проведенных измерений и их физической оценке;

Методы исследований. Основу используемых математических моделей составляют уравнения магнитной гидродинамики. Влияние мелкомасштабной турбулентности на эволюцию крупномасштабного магнитного поля описывается через турбулентную электродвижущую силу. Турбулентные эффекты устанавливаются в рамках теории среднего поля с помощью корреляционного анализа в приближении второго порядка.

Определяющие соотношения обратной реакции крупномасштабных полей на свойства мелкомасштабных переменных получены из "первых принципов" – законов сохранения для МГД-системы. Динамика мелкомасштабных полей в широком спектральном диапазоне описана с использованием каскадных моделей турбулентности. Решения поставленных задач были получены численно. Ресурсозатратные расчеты выполнены на многопроцессорных вычислительных комплексах. Основным математическим методом обработки данных экспериментальных измерений и астрофизических наблюдений является спектрально-временной анализ сигналов, базирующийся на непрерывном прямом и обратном вейвлетпреобразовании.

Научная новизна заключается в следующем:

а) получены характеристики винтового динамо в замкнутом канале с учетом основных факторов, влияющих на генерацию;

б) впервые получено полное аналитическое выражение для средней турбулентной электродвижущей силы, возникающей при наличии общего вращения и произвольного сдвигового среднего потока в условиях однородной и неоднородной турбулентности;

в) впервые показан характер изменения критического значение магнитного числа Рейнольдса при малых значениях магнитного числа Прандтля и нелокальный характер взаимодействий структур различных масштабов при больших значениях магнитного числа Прандтля. Предложено феноменологическое описание процесса насыщения мелкомасштабного динамо;

г) построена новая комбинированная модель 2 - и -динамо, описывающая динамическое взаимодействие крупномасштабных и мелкомасштабных полей на основе "первых принципов" магнитной гидродинамики;

д) разработаны и применены новые методы обработки и подходы к интерпретации наблюдательных данных;

е) впервые получены экспериментальные результаты генерации магнитных полей в турбулентных потоках проводящих металлов, согласующиеся с положениями теории среднего поля;

Обоснованность и достоверность полученных в работе результатов обеспечена строгой математической постановкой задач, применением математически обоснованных методов решения, проверкой численных алгоритмов на задачах имеющих точные решения, детальным анализом тестовых примеров, сравнением с результатами, полученными другими авторами.

Научно-практическое значение полученных результатов. Все решенные задачи являются фрагментами единого методологического подхода к описанию процесса генерации магнитного поля в турбулентной многомасштабной среде. Предложенные методы моделирования динамо-процессов могут использоваться для широкого круга задач. Проведен комплекс вычислительных работ, результаты которых обосновывают возможность проведения уникального динамо-эксперимента в винтовом потоке в тороидальном канале. Предложенные методы обработки данных и их интерпретаций могут применяться для анализа хаотического поведения различных систем. По данным самого крупного международного каталога научных публикаций "Web of Science" опубликованные результаты диссертационной работы имеют более 130 цитирований.

Апробация работы. По теме диссертации опубликовано 49 печатных работ, в том числе 28 статей в изданиях, рекомендованных ВАК, 20 – в прочих научных изданиях и в трудах международных и российских научных конференций, а также получен 1 патент РФ. Основные результаты диссертации изложены в работах [1-29], список которых приведен в конце автореферата.

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на российских и международных конференциях: "European Turbulence Conference" (2004, 2007, 2009); "Оптические методы измерения потоков" (2009); "Fluxes and Structures in Fluids: Physics of Geospheres" (2009);

"Зимняя школа по механике сплошных сред" (1995, 1997, 1999, 2003, 2005, 2007, 2009); "Fundamental and applied MHD" (2000, 2002, 2005, 2008); VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (2001), "Mode Conversion, Coherent Structures and Turbulence" (2004).

На защиту выносятся теоретические положения, связанные с разработкой новых математических моделей генерации магнитных полей в условиях турбулентности, а также методы обработки экспериментальных и наблюдательных данных и результаты их интерпретации.

Личный вклад автора. Автору диссертации принадлежит разработка математических моделей рассматриваемых явлений, выбор и отладка численных алгоритмов решения задач. Лично автором или при его непосредственном участии поставлены задачи диссертации, определены методы решения, получены основные теоретические и экспериментальные результаты, а также выполнена их интерпретация. Из работ в соавторстве на защиту выносятся результаты, в получении которых автор принимал непосредственное участие. Личным достижением автора является последовательное проведение комплексного исследования, включающего теоретические, численные и экспериментальные работы, направленные на решение поставленных задач. Выводы по диссертации сделаны лично автором.

Связь исследований с научными программами. Работы по тематике диссертации проводились при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 99-01-00362-а, 01-01-96482-рурал-а, 03-02-04031-ННИО-а, 06-01-00234-а, 07-01-92160-НЦНИ-а, 07-01- 96007-р-урал-а), Американского фонда гражданских исследований и развития (грант молодым ученым №Y2-P-09-02), Программы поддержки молодых ученых (грант Президента РФ MK-4338.2007.1), Фонда содействия отечественной науке.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Список использованных источников содержит 240 наименований. Общий объем диссертации составляет 340 страниц, включая 7 таблиц и 54 рисунка, которые размещены по месту ссылок внутри основного текста. Первая глава диссертации содержит решения ряда задач составляющих теоретическую основу планируемого динамо-эксперимента. Во второй главе проводится построение турбулентной электродвижущей силы возникающей в винтовом потоке при наличие фоновой неоднородной турбулентности. В третьей главе исследуются свойства МГД-турбулентности. Для описания процессов генерации и переноса мелкомасштабного магнитного поля мелкомасштабной турбулентностью используется каскадные модели МГД-турбулентности. Четвертая глава просвещена разработке комбинированных моделей динамо, состоящих из уравнений среднего поля, каскадных уравнений МГД-турбулентности и соотношений, определяющих сопряжение крупно и мелкомасштабных полей. Пятая глава содержит описание предложенных методов обработки и интерпретации наблюдений космических магнитных полей. Шестая глава содержит обсуждение экспериментальных результатов, направленных на прямое измерение средней турбулентной электродвижущей силы и индукционных механизмов динамо-цикла.

Глава Кинематическая генерация магнитного поля средним потоком Крупномасштабная составляющая поля скорости является в большинстве случаев необходимым элементом механизма генерации магнитного поля. При достаточной электрической проводимости среды даже ламинарное специально организованное течение способно дать эффект динамо. Начиная с того момента, как Лармором [1] была выдвинута концепция объяснения магнетизма Земли и Солнца, начался поиск таких специальных течений. В первую очередь заслуживали внимания модели динамо, которые могли бы быть применимы для объяснения глобальных магнитных полей астрофизических объектов или воспроизведены в лабораторном эксперименте. В реальности жидкие среды обладают такой проводимость, что эффект динамо может ожидаться только в интенсивных турбулентных потоках. Тем не менее средняя составляющая такого течения может приводит к генерации магнитного поля.

Динамо Пономаренко [2] послужило прототипом динамо-экспериментов в Риге [3] и в Перми [4, 5]. В своей задаче Пономаренко рассматривал винтовое движение бесконечно длинного цилиндра в неподвижной проводящей среде. При достижении определенной интенсивности движения на поверхности цилиндра возбуждалась бегущая динамо-волна. Привлекательной особенностью данного типа динамо являлось то, что он характеризуется низким порогом генерации. Данная глава содержит решения ряда задач, составляющих теоретическую основу динамо-эксперимента, предложенного в [4]. Идея эксперимента заключается в создании винтового течения жидкого натрия в замкнутом тороидальном канале, которое обеспечит возбуждение магнитного поля. Необходимая интенсивность потока получается за счет резкого торможения предварительно раскрученного канала. Винтовая структура навязывается в результате прохождения натрия под действием сил инерции через жестко установленные внутри канала диверторы (см. рис. 1.1а). Для экспериментальной реализации вопрос о величине порога возникновения эффекта имеет принципиальное значение. Количественные оценки критических параметров, которые можно найти из точного решения задачи Пономоренко (динамо-прототип), не применимы в силу существенных отличий в условиях эксперимента, а именно в электрических и магнитных свойствах окружающей среды и в характере винтового потока. Оценка порога генерации в реальных условиях, поиск путей оптимизации параметров экспериментальной установки требует построения адекватной математической модели и её численного исследования.

1.1 Уравнения магнитной гидродинамики Движение проводящей сплошной среды в магнитном поле приводит к индукции электрических токов. С одной стороны, сила, действующая со стороны магнитного поля на эти токи, может существенно изменить Рисунок 1.1: (a) Схема экспериментальной установки. (б) Сечение канала. Канал < 0 заполнен жидким натрием с электрической проводимостью fl, твердая стенка электрически непроводящая среда (I).

характер движения среды. С другой стороны, сами токи создают магнитные поля. В результате возникает сложный нелинейный процесс взаимодействия гидродинамических и магнитных явлений, который описывается в рамках раздела электродинамики сплошных сред [6] — магнитной гидродинамики (МГД).

Уравнения магнитной гидродинамики включают в себя уравнения движения жидкости и уравнения индукции магнитного поля. Движение несжимаемой изотермической жидкости описывается уравнением НавьеСтокса с учетом пондеромоторной силы, действующей со стороны магнитного поля где U – поле скорости, – давление, j – плотность электрического тока, B – вектор магнитной индукции, – плотность, – динамическая вязкость жидкости, F – внешняя сила.

Уравнения Максвелла в нерелятивистском приближении (пренебрегается током смещения) дополненные законом Ома с учетом силы Лоренца можно преобразовать в уравнение индукции магнитного поля в движущейся среде где = (0 )1 – магнитная вязкость, E – напряженность электрического поля, и – магнитная проницаемость и электрическая проводимость среды. Уравнения МГД в отсутствии внешних сил можно удобно записать в симметричной форме Следующий шаг заключается в введении безразмерных величин. Проведем обезразмеривание уравнений (1.5), выбрав за единицы измерения длины, скорости, времени, давления и индукции магнитного поля величины,, /, 2 и (0 )1/2 соответственно:

Здесь Re = / – гидродинамическое число Рейнольдса, а Rm = / – магнитное числом Рейнольдса. Эти два параметра связаны магнитным числом Прандтля Pm = Rm/Re = /.

Физический смысл влияния движения среды на магнитное поле состоит в адвективном переносе и растяжении магнитных силовых линий, описываемых вторым и третьим слагаемыми левой части (1.7), соответственно. В свою очередь магнитное поле воздействует на движение посредством магнитного давления и вызванных натяжением магнитных силовых линий напряжений [7], которые представлены в (1.6) добавкой к гидродинамическому давлению и третьим слагаемым в левой части, соответственно. Магнитное число Рейнольдса Rm характеризует отношение индукционных механизмов к диссипационным. Эффект динамо может рассматриваться как неустойчивость тривиального решения для магнитного поля при заданном поле скорости, которая возникает при достижении некоторого критического значения магнитного числа Рейнольдса Rm*. При Rm > Rm* начинается экспоненциальный рост B до тех пор, пока пондермоторная сила не станет достаточно большой, чтобы снизить интенсивность течения или изменить его структуру. Это приведет к снижению Rm или росту Rm* и, как следствие, к остановке роста B – переходу от линейного режима к нелинейному режиму эволюции МГД-системы. В задачах о нахождении порога генерации, как правило, используется кинематическое приближение, в котором поле скорости считает заданным.

Для решения МГД-задач практическую значимость имеет введение векторного потенциала магнитного поля A такого, что A = B.

Условие соленоидальности (1.9) удовлетворяется автоматически. Тогда B можно выразить через A и переписать уравнение индукции (1.4) в виде где – скалярный электрический потенциал. Магнитное и электрическое поля инвариантны по отношению к преобразованию Калибровка = d приводит к = 0 и, как следствие, последнее слагаемое в (1.10) может быть опущено. На практике в случае однородной проводимости можно принять · A =, что дает существенно упрощенный вид уравнения индукции К преимуществам такой записи следует отнести отсутствие градиентов поля скорости. Это позволяет рассматривать негладкие поля U.

1.2 Винтовое динамо в реальных условиях К основным отличительным факторам экспериментальной реализации винтового динамо в реальных условиях следует отнести следующее:

Стенки канала имеют отличную электрическую проводимость и магнитную проницаемость. Окружающая среда представляет собой диэлектрик.

Структура среднего винтового течения в канале будет существенно отличаться от твердотельного вращения. Условие прилипания на стенке приведет к формированию гладкого турбулентного профиля.

В силу характера проведения эксперимента поле скорости будет неоднородным и нестационарным.

Задача состояла в расчете порога генерации магнитного поля винтовыми потоками проводящей жидкости в цилиндрическом канале. На этапе моделирования необходимо было выполнить оригинальные расчеты, обосновывающие предложенную схему эксперимента и необходимые для оптимизации конструкции экспериментальной динамо-установки. При этом следовало учитывать ограничения, накладываемые прочностными свойствами устройства. Задача решалась в несколько этапов, на каждом из которых принимались некоторые допущения с целью отдельного детального изучения вышеперечисленных фактора.

Ранее влияние проводящей стенки на винтовое динамо рассматривалось в [8]. Задача о винтовом динамо с гладким профилем рассчитывалось в [9, 10]. Нелинейная задача о винтовом динамо была рассмотрена в [11], где было показано, что насыщение генерации происходит за счет изменения профиля скорости под воздействие магнитного поля.

Математическая модель, позволяющая определить порог генерации магнитного поля, строилась в рамках кинематического приближения магнитной гидродинамики, где магнитное поле B(x, ) в электрически проводящей жидкости подчиняется уравнению индукции (1.7), записанному с учетом неоднородной проводимости и магнитной проницаемости в виде где Up = ln - эффективная скорость парамагнитной «накачки».

Область генерации представляет собой замкнутый тороидальный канал, имеющий в сечении окружность (рис. 1.1б). Важными геометрическими параметрами являются радиус трубы 0, толщина стенки = 1 0.

К физическим параметрам относятся электрические проводимости fl и относительные магнитные проницаемости fl жидкости, а параметры стенки sh и sh, соответственно. Винтовое течение характеризуется соотношением интенсивности продольной и угловой скорости. Именно эти параметры системы определяют условия возникновения динамо-эффекта.

Криволинейностью канала можно пренебречь в случае «тонкого» тора, т.е. отношение 0 к внешнему радиусу тора много меньше единицы [12].

1.2.1 Двухмерная постановка задачи Рассмотрим эволюцию магнитного поля в винтовом потоке внутри бесконечного цилиндрического канала со стенкой конечной толщины, окруженной диэлектрической средой. Будем использовать цилиндрические координаты (,, ) и представим осесимметричное винтовое течение в виде U() = [0, (), ()]. Различие магнитной диффузии и проницаемости в жидкости и стенке описывается двумя способами. Первый заключается в введении ступенчатых функций = () и = ().

Второй состоит в наложении условий непрерывности на границе раздела тангенциальной компоненты напряженности электрического поля и магнитного поля H = B/(0 ) и непрерывности нормальной компоненты электрического тока и магнитной индукции.

Решение кинематического динамо может быть представлено в виде суперпозиции отдельных мод с экспоненциальной скоростью роста. Так как коэффициенты уравнения (1.14) зависят только от, можно искать решение в форме бегущей волны где является собственным значением, в общем случае комплексным.

Действительная часть определяет затухание B ( < 0) или рост ( > 0). Для заданной моды можно определить критическое значение числа Рейнольдса Rm*, при котором меняет знак. Минимальное значение дает порог генерации Rm*.

Подставляя (1.15) в уравнение индукции(1.14), получаем – оператор лаплассиановского типа. Уравнения (1.16) и (1.17) записаны в безразмерной форме: единица пространства – 0, единица скорости – продольная скорость ( = 0), магнитная вязкость () измеряется в единицах fl, время – в 0 /fl. Тогда магнитное число Рейнольдса вводится как Соответственно, вводится относительная магнитная вязкость стенки sh = fl fl /sh sh.

В уравнения (1.16) и (1.17) продольная компонента поля не входит, так как, зная и из условия соленоидальности (1.9), можно получить (отметим, что = 0 для растущих мод).

В непроводящей среде > 1 электрический ток равен нулю B = 0 и поэтому B может быть выражено через скалярный потенциал Соленоидальность B дает уравнение для потенциала и ввиду симметрии задачи решение для (,,, ) может быть записано в форме Уравнения (1.22) и (1.23) приводят к Решение (1.24), ограниченное при, имеет вид Граничное условие при = 1 получается из условия непрерывности, /(0 sh ) и /(0 sh ). Уравнения (1.15), (1.21), (1.23) и (1.25) вместе дают уравнения где () ()/, () – модифицированная функция Бесселя второго рода. Исключение (1 ) из уравнений (1.20) и (1.27) в конечном счете дает Внутренние граничные условия следуют из условия регулярности b при = 0 и записываются в виде Система (1.16), (1.17) вместе с граничными условиями (1.26), (1.28) и (1.29) определяет несамосопряженную задачу на собственные значения.

Динамо-процесс возникает при > 0. Для численного нахождения собственных чисел и мод уравнения записывались в конечных разностях с использованием 200–800 узлов сетки. Собственные значения полученной матрицы находились с использованием QR-алгоритма.

Радиальный профиль продольной скорости параметризовывался семейством функций а угловая скорость вводиться как где, и – свободные параметры. отвечает за гладкость профиля и позволяет варьировать его от ламинарного пуазейлевского ( 0) до твердотельного ( ). Экспериментально измеренный турбулентный профиль соответствует 18 [5].

1.2.2 Результаты численного решения Рисунок 1.2 показывает результаты расчетов зависимости критического магнитного числа Рейнольдса для четырех значений толщины проводящей стенки трубы. Напомним, что толщина стенки выражена в единицах внутреннего радиуса трубы, то есть значение = 1 соответствует трубе, у которой толщина стенки равна внутреннему радиусу. Все кривые на рисунке 1.2 соответствуют случаю, когда проводимость стенки равна проводимости жидкости (sh = 1). Результаты указывают на качественное отличие зависимостей порога возбуждения от вида профиля = 1(квадраты). Все кривые даны при скорости при различной толщине проводящей стенки. При отсутствии проводящего слоя ( = 0) или наличии тонкой стенки ( = 0.1) рост параметра сопровождается монотонным ростом критического значения Rm*. При достаточно толстой проводящей стенке (на рисунке показан случай = 1) тенденция меняется на противоположную: теперь по мере приближения профиля скорости к твердотельному порог генерации монотонно снижается. На промежуточных значениях толщины стенки возникают кривые с минимумом. Так, для приведенного на графике случая = 0.3 минимальное значение Rm* наблюдается при 5.

На рисунках 1.3 и 1.4 показана зависимость порога генерации от толщины стенки при различной ее электрической проводимости. Все кривые вычислены для одинакового профиля скорости ( = 18 - сплошные линии). Для фиксированных значений толщины стенки рассчитывалась зависимость критического магнитного числа Рейнольдса от проводимости. При толстой стенке = 0.3 относительная проводимость должна быть не менее 1.5. С позиции эксперимента желательно обеспечить низкое критическое число Рейнольдса (менее 30) при минимальной толщине стенки. Одним из приемлемых вариантов представляется стенка толщиной = 0.15. В этом случае относительная проводимость должна быть порядка 5, что соответствует проводимости медной стенки при использовании в качестве рабочей жидкости натрия. Однако здесь необходимо отметить важный факт, заключающийся в том, что использование толстой стенки гораздо предпочтительнее, чем тонкой. Это обосновываться существующей неопределенностью в толщине турбулентного погранслоя, т.е параметре. Как мы видели из рис. 1.2, именно при толстой стенке критическое магнитное число Рейнольдса менее всего подвержено негативному изменению при вариации.

Критическое магнитное число Рейнольдса может быть снижено за счет увеличения магнитной проницаемости среды. Для изменения fl могут быть использованы ферромагнитные частички [13]. При предельно допустимой концентрации они повышают магнитную проницаемость в 2 раза. Зависимость этого фактора на Rm* показана на рис. 1.5а. Видно, что Rm* может быть снижено в 1.5 раза. Изменение sh в тысячи Рисунок 1.4: Зависимость порога генерации магнитного поля от толщины стенки при различной ее относительной электрической проводимости. Толщина стенки выражена в процентах от радиуса sh = 4), = 0.3, б) оболочки sh при различной ее толщине (треугольники – = 0.15, квадраты – раз возможно при использовании ферромагнитных материалов для изготовления оболочки. Однако сильное увеличение sh не дает адекватного снижения Rm* (см. рис. 1.5б). При sh 10 эффект применения ферромагнетика практически исчезает. Более того, ферромагнитная оболочка делает совершенно невозможными измерения вне канала, что существенно снижает привлекательность этой идеи.

Прототипом исследуемого процесса является динамо Пономаренко.

Оно дает Rm* = 17.7 при = 0.77. При таком угле закрутки, как = 1.3, течение будет очень быстро затухать. В предыдущих вычислениях использовалось = 1, что соответствовало углу разворота лопаток дивертора под 45 градусов. При этом продольное волновое число = дает наибольшую скорость роста. На рис. 1.6 изображена зависимость от и. Видно, что уменьшение ведет к снижению скорости роста.

1.3 Динамо в нестационарном и неоднородном поле В случае нестационарного и неоднородного поля скорости решение в виде бегущей волны (1.15) неприменимо. Поэтому будем искать решение уравнения индукции (1.14) в полной трехмерной нестационарной постановке, записанное через векторный потенциал A в виде Уравнение (1.32) соответствует калибровке, в которой A и скалярный электрический потенциал связаны соотношением U, r0 [m/s] Рисунок 1.7: Изменение структуры поля скорости со временем. (a) Зависимость от во входящем и исходящем потоке (прерывистая и прерывистая с пунктиром линии, где постоянный параметр 0 является произвольным и выбирается для удобства равным магнитной диффузии жидкости fl.

Основной проблемой точного воспроизведения экспериментальных условий является параметризация пространственно-временной зависимости поля скорости. Для радиальных профилей и используются соотношения (1.30) и (1.31). Основу для математического описания зависимости от времени и продольной координаты составляют результаты эксперимента [5]. Совместно с упрощенной гидродинамической моделью удалось построить параметризацию поля скорости, показанную на рис. 1.7. Максимум интенсивности продольной компоненты скорости получается в момент полной остановки тора. Завихренность, которая генерируется дивертором, устанавливается неоднородно вдоль канала. Лишь к моменту времени = 0.16 возникает однородное распределение.

Для простоты численных расчетов радиальный профиль магнитной диффузии () сглаживается так, что распределение имеет вид представленный на рис. 1.8. Используя результаты оптимизации электрических свойств оболочки, принимем отношение sh /fl равным 0.2. Цилиндр погружается в область с большей магнитной диффузией, что моделирует непроводящую среду =. Проводимость окружающей среды ext = 5 fl соответствует приемлемым параметрам численного решения и дает достаточную точность аппроксимации вакуумных граничных условий, аналитическая постановка которых была выполнена в разделе 1.2.1.

Постановка граничных условий в задачах динамо представляет собой собственную отдельную проблему. В общем случае можно утверждать только, что вдали от источников электрического тока магнитное поле затухает, т.е. B 0 на бесконечности. На практике граничные условия ставятся на границе расчётной области, достаточно удалённой от источников магнитного поля. На ней можно использовать условие перпендикулярности B к границе, что соответствует условиям на нормальную и касательную к границе составляющую A где / означает производную по нормали. Условия (1.34) позволяют аппроксимировать раздел между проводником и вакуумом, где справедливо условие непротекания электрического тока через границу. По оси вдоль цилиндра задаются периодические граничные условия. С начальными условиями дело обстоит проще. Поскольку заранее пространственная структура критического возмущения неизвестна, начальное распределение должно содержать весь спектр возмущений. Случайное равномерное распределение хорошо подходит для этой цели.

Интегрирование по времени выполнялось с использованием явной схемы Рунге-Кутта-Фельтберга с коэффициентами Кэша-Карпа 5-го порядка точности с адаптивным выбором шага [14]. Пространственные производные аппроксимированы центральными разностями 6-го порядка точности. Для того чтобы обойти особенности решения на оси цилиндра, мы используем декартову систему координат. Для задания граничных условий применялись три ряда фиктивных узлов, что позволило применять однотипные шаблоны конечных разностей для всех внутренних узлов сетки без потери точности аппроксимации. В расчётах использовались сетки с разрешением до 60 60 120 узлов. Разрешение сетки по пространству было = = 0.011, = 0.024. Точность вычислительной схемы определялась сравнением с точным решением динамо Пономаренко. Численно определенные параметры генерируемой динамо волны отличались от точных не более, чем на 2%. Эффективным инструментом для решения трехмерных задач подобного масштаба являются многопроцессорные вычислительные комплексы. Численная схема была адаптирована для выполнения параллельных вычислений с использованием библиотеки MPI. При запуске задачи на 16 вычислительных ядрах, эффективность использования кластера составляла порядка 75%, что соответствует ускорению в 12 раз по сравнению со временем вычисления на одном процессоре.

1.3.1 Численное решение в цилиндрической геометрии Все расчеты проводились при заданных геометрических параметрах цилиндра: радиус канала 0 = 0.12 м, длина цилиндра = 2.5 м (соответствует радиусу тора 0.4 м), внешний радиус оболочки 1 = 0.16 м, начальная угловая скорость (перед торможением) 0 = 310 с1, коэффициенты магнитной диффузии sh = 0.016 м2 /с, ext = 0.4 м2 /с. Варьироr [m] Рисунок 1.8: Радиальный профиль магнитной диффузии, используемый в численных определяет оболочку, и представляет среду с низкой проводимостью, аппроксимирующую изолятор снаружи канала.

вался коэффициент магнитной диффузии жидкости fl и время торможения. Основной характеристикой эффективности работы динамо рассматривался общий коэффициент роста, который может быть определен как На рис. 1.9a показана временная зависимость средне квадратичного значения магнитного поля в расчете Run 1 в сравнении с «оптимистическим» и «пессимистическим» режимом: «пессимистический» режим получен путем использования входящего потока из дивертора для всех, в то время как «оптимистический» соответствует исходящему потоку принятому для всему каналу. Для 0 < < b = 0.1 с, начальное поле затухает в виде простой крупномасштабной структуры. В течении временного интервала 0.1 с < < 0.2 с, результирующая моде перестраивается в моду с волновыми числами = 1 и = 3, которая достаточно быстро нарастает. Соответствующие значения для запуска Run 1 таковы:

net = 87, max = 4.4103 (см. таблицу 1.1).

Эволюция пространственной структуры магнитного поля показана на Brms(t)/Brms(0) Рисунок 1.9: Зависимость среднеквадратичное значение магнитного поля от времени. Для сравнения приводятся решения для независящей от скорости, соответствующих «оптимистическиому» и «пессимистический» режимам. a) Run 1, случайное начальное поле. б) Run 1b, начальная мода с Таблица 1.1: Параметры запусков и результаты, полученные в разделе 1.3.1. Коэфnet max продольной компоненты магнитного поля ( и Линии визуализируют силовые линии. Дивертор расположен внизу, и в его направление движется общий поток.

рисунке 1.10, где изоповерхности магнитного поля |B| даны для восьми различных моментов времени. Отметим, что начальная мода = 1, = 0, затухающая медленнее остальных, трансформируется в моду с Данные моды в различными волновыми числами развиваются практически независимо друг от друга (хотя некоторая связь все же присутствует, так как течение зависит от ). Это означает, что поле с = 2, которое выделяется при = 0.15 не является хорошим затравочным полем для последующей, наиболее быстро растущей моды = 3. Это особо важное замечание для выбора конфигурации затравочного поля в планируемом эксперименте. Для последующего анализа этой проблемы на рис. 1.9b показаны кривые роста для расчета Run 1b, начальные условия в котором взяты из расчета Run 1 в момент времени = 1.5 с. В начале до момента = 0.15 с поле затухает, поскольку течение не является винтовым во всем канале. После = 0.15 с мода = 3 начинает расти до уровня 2.1104 (максимальное усиление) и дает общее коэффициент роста 1.2103. Таким образом, выбор начального магнитного поля может существенно влиять на фактор усиления поля в процессе генерации.

Увеличение магнитной проницаемости и медленное торможение тора Для парамагнитных или ферромагнитных жидкостей что дает возможность увеличить Rm за счет увеличения r. Как уже отмечалось, этого можно добиться путем добавления ферромагнитных частиц [13].

Для оценки последствий увеличения Rm были проведены расчеты Рисунок 1.11: Зависимость среднеквадратичного значение магнитного поля от времени для расчета Run 2. Для сравнения приводятся решения для независящей от скорости, соответствующие «оптимистическиому» и «пессимистический» режимам.

Run 2 с fl = 2 (при этом sh и ext зафиксировано с прежними значениями). Рисунок 1.11 показывает, что общий коэффициент роста увеличивается на три порядка. Основной эффект состоит не в том, что увеличивается скорость роста, а в том, что уменьшается скорость затухания начального поля и, как результат, течение является надкритическим более длительное время.

Для оценки эффекта динамо при медленном торможении были проведены расчеты с b = 0.2 с. Результат представлен на рис. 1.12a для fl = 1 (Run 3) и на рис. 1.12b для fl = 2 (Run 4). В случае жидкого натрия без добавления ферромагнитных частичек максимальный рост ограничивается уровнем порядка 100 и общим коэффициентом роста 1, т.е. в конце эксперимента магнитная энергия будет меньше, чем та, что была в начале. Только с увеличением магнитной проницаемости r = рост поля стал сравнимый с тем, что было получено в Run 1, но заметно ниже, чем в результатах расчета Run 2. Таким образом, время торможения играет решающую роль и существенно влияет на время существования надкритического течения. В таких условия может быть поставлена Brms(t)/Brms(0) Рисунок 1.12: Аналогично рис. 1.9, но для других параметров. a) Подобно Run 1, задача об управлении интенсивностью торможения, с тем чтобы оптимально расходовать запасенную кинетическую энергию на поддержание надкритичности и не допущения избыточной диссипации в момент полной остановки канала.

Исследования генерации магнитного поля при винтовом движении в тороидальном канале показали, что в пределе тонкого тора задача сводится к хорошо изученному случаю винтового динамо в цилиндре [12].

В толстом торе становятся существенными два фактора: дискретность спектра возбуждаемых волновых мод, приводящая к немонотонности нейтральной кривой, и кривизна области генерации, нарушающая симметрию генерируемого магнитного поля. Влияние этих факторов на порог генерации предлагается исследовать в постановке, максимально приближенной к классической задачи Пономаренко о динамо при винтовом движении цилиндра в бесконечной проводящей среде. Отличие состоит Рисунок 1.13: Угловой сектор тора и система координат.

лишь в том, что цилиндр заменяется тором. Необходимость описания сложной криволинейной поверхности требует большого разрешение расчетной сетки. Влияние границ приводит к большим размерам расчетной области.

1.4.1 Постановка задачи и метод решения Рассмотрим тор конечной проводимости, находящийся в бесконечной среде с такими же свойствами. Тор характеризуется внешним радиусом – расстоянием от внешней оси тора до внутренней оси (пунктирная линия на рис. 1.13) – и внутренним – радиусом кругового сечения в вертикальной плоскости. Для описания поля скорости в торе используется тороидально-цилиндрическая система координат {,, }, показанная на рис. 1.13. Прототипом поля скорости является винтовое движение, при котором среда движется вдоль внутренней оси тора и вращается вокруг неё. Поле скорости должно удовлетворять условию несжимаемости и задаётся следующим способом:

где = / – безразмерный параметр кривизны, а – параметр, характеризующий степень закрученности поля скорости. Множитель 1 + нормирует поле скорости так, чтобы скорость на границе канала ( = 1) была порядка.

При заданных управляющих параметрах задачи Rm, и уравнение индукции (1.13) решалось численно двумя способами. В первом подходе тор погружался в прямоугольную сеточную область со сторонами (рис. 1.14а). Размер обрасти выбирался из тех соображений, что граница не должна оказывать влияния на полученное решение. Это достигалось выбором = 2( + 4) и = 8. Такой подход является достаточно эффективным при умеренных значениях, соответствующих толстому тору. Однако при 1 тор становится тонким и слишком протяжённым в пространстве, так что большинство узлов сетки попадает в область, где нет генерации. К тому же количество узлов, необходимое для сохранения разрешения внутри канала, растет как 2. Второй подход заключался в переходе к расчётной области вокруг тора, заданной в цилиндрической системе координат (рис. 1.14б). В случае нахождения решения, периодического вдоль канала, расчётная область представляла собой угловой сектор. Подобный выбор сетки и системы координат позволяет избежать сложностей поиска решения на внешней и внутренней оси тора.

1.4.2 Результаты Решение такой задачи находится численно с использованием раннее разработанного пакета программ, реализующего сеточный численный алгоритм, адаптированный для параллельных вычислительный систем Рисунок 1.14: Схема расчетных областей для толстого и тонкого тора.

[15]. Метод разделения на подобласть используется для распределения вычислений между процессорами. Обмен данными в перекрытиях этих подобластей может приводит к существенным временным потерям [16].

На рис. 1.15 показан зависимость времени вычисления по отношению к теоретическому пределу от числа использованных процессоров. Стандартная схема, при которой обмен выполняется после полного завершения шага численного метода, приводит к снижению полезной загрузки на 70% при использовании 256 процессоров. Если на каждом шаге по времени разбить вычисления значений переменных на два этапа: расчет во внутренних и граничных узлах, то можно совместить передачу перекрытий с расчетом во внутренних узлах. Это дает многократное ускорении счета при большом числе используемых процессорах (см. пунктир на рис. 1.15). Показанное сравнение проведено на сетке 643 узлов.

Винтовое динамо представляет собой гармоническую волну, бегущую вдоль канала и вращающуюся вокруг него. Динамо-волна характеризуется волновым числом, инкрементом роста и фазовой скоростью /.

Для задачи Пономаренко, где рассматривается винтовое движение бесконечного цилиндра, для заданного параметра закрутки существует Рисунок 1.15: Эффективность использования многопроцессорного вычислителя ( – время вычислений на процессорах): несовмещенный обмен – сплошная, совмещенный – пунктир.

свое критическое значение магнитного числа Рейнольдса Rm*, которому соответствует единственное критическое значение волнового числа *. Так, например, для случая = 1 и Rm* 19 генерируется волна * 0, 56. В случае тора решение должно быть периодическим по, следовательно, вдоль тора должно укладываться целое число волн, т.е.

спектр волновых чисел в торе является дискретным. Это означает, что при фиксированном возможна генерация динамо-волн только с волновыми числами = /, где – натуральные числа. Поскольку данная последовательность может не включать в себя *, критической оказывается динамо-волна с другим волновым числом, что приводит к нетривиальной зависимости Rm* (). На рис. 1.16 показаны результаты расчёта, полученные для цилиндрической области с периодическими граничными условиями (в этом случае определяет длину цилиндра). Толстая линия показывает порог генерации, изломы линии соответствуют смене числа В надкритической области Rm > Rm* волна c заданным доминирует только в ограниченном диапазоне магнитных чисел Рейнольдса. Пункдля = Рисунок 1.16: Области существования динамо-волн с различным числом (решение для цилиндра с периодическими граничными условиями). Толстой линией выделен порог генерации. Тонкой линией показан порог генерации для случая 1.3.

тирные линии на рис. 1.16 разделяют область параметров на подобласти, где доминирует волна с указанной модой. Полученные результаты показывают, что порог генерации особенно чувствителен к значению в случае толстого тора (малые ). Однако при экспериментальной реализации выбор в большей степени обусловлен конструктивными особенностями установки. Изменения положения максимумов и минимумом на критической кривой можно добиться, варьируя степень закрученности винтового движения. На рис. 1.16 тонкой линией показана зависимость Rm* () для = 1.3. Видно, что в этом случае в интервале 2 < < порог генерации существенно ниже, чем при = 1. В эксперименте можно изменить за счет увеличения или уменьшения наклона лопаток дивертора, который задает вращение потока.

На порог генерации влияет не только дискретность спектра, но и криРисунок 1.17: Зависимость порога генерации от кривизны. Кружками показаны результаты моделирования в тонком торе, квадратами - в толстом торе. Линия соответствует результатам для цилиндра с условием периодичности.

визна тора. Это влияние иллюстрирует рис. 1.17, на котором полученная выше в цилиндрической постановке нейтральная кривая показана вместе с результатами расчета тороидальной задачи для случая толстого (рис. 1.14а) и тонкого (рис. 1.14б) тора. Полученные критические значения Rm* () существенно отходят от нейтральной кривой для цилиндра.

Расхождение тем сильнее, чем больше кривизна тора (меньше ). Значения, при которых происходит смена числа для доминирующей волны, смещаются к меньшим значениям по сравнению с тонким тором. Результаты расчетов в приближении тонкого тора согласуются с результатами расчетов в толстом торе для > 4.

Детального рассмотрения заслуживает пространственная структура генерируемых мод. При небольшой надкритичности в толстом торе (малые ) возбуждается волна с = 1. На рис. 1.18 показана структура магнитного поля для случая Rm = 28, = 2 и = 1: объемные изоповерхности магнитного поля (слева) и распределение магнитного поля в вертикальном сечении (справа). Изоповерхности представляют собой две трубки, внутри которых магнитная энергия достигнет максимума. Отличие между ними состоит в том, что составляющая магнитного поля имеет в них противоположные направления. Это хорошо видно на распределении магнитного поля в вертикальном сечении, где направление в плоскости показано стрелками, а цвет отображает перпендикулярную компоненту (белый цвет - максимум, черный - минимум). Две окружности соответствуют границе тора. Как и для динамо в цилиндре, максимум поля наблюдается на границе тора, где сдвиг скорости максимален.

Однако в толстом торе появляется горизонтальное магнитное поле, не затухающее при приближении к его внешней оси. Напряженность поля на оси достаточно велика и составляет 35% от максимального по всему объему значения. Если для тонкого тора, как и для цилиндра, характерным масштабом магнитного поля является диаметр сечения, то для моды = 1 в толстом торе масштаб поля становится порядка максимального геометрического размера тора ( 2 ). Крупномасштабное поле возникает в результате того, что диаметрально противоположные части тора генерируют магнитные поля, согласованные по пространственной структуре. Отметим, что такая особенность может наблюдаться только для = 1, так как из соображений симметрии для всех прочих значений, включая = 0 (осесимметричный случай), горизонтальная компонента поля на оси должна быть равна нулю.

При увеличении Rm в толстом торе, как и в цилиндре, лидирующей модой становится динамо волна с = 2. Порог генерации этой моды показан на рис. 1.17 пустыми квадратами – видно, что он существенно выше, чем полученный для цилиндрической задачи. Структура магнитного поля для этого случая показана на рис. 1.19. Изоповерхности переплетаются более сложным образом, а магнитное поле вблизи внешней оси затухает.

Рисунок 1.20 показывает эволюцию структуры магнитного поля при увеличении параметра (тор становится тоньше). Магнитное число Рейнольдса имеет значение Rm = 38 (как и на рис. 1.19), но = 3. Лидирующей модой становится мода = 3. Распределение поля в вертикальRm = 38, = 3.

Рисунок 1.20: Магнитное поле в торе ном сечении свидетельствует о том, что поле практически не достигает внешней оси тора, то есть поле перестает испытывать влияние диаметрально противоположной части тора, хотя фактор кривизны остается существенным до 4.

1.5 Динамо в канале в форме листа Мёбиуса Использования диверторов в значительной степени тормозят поток и ограничивают время наблюдения динамо-эффекта. Представляет интерес рассмотрение вопроса о возможности динамо-процесса в течении, созданном в канале, который имеет форму листа Мёбиуса. Предполагается, что полученное значение Rm будет достаточно малым, что позволит реализовать такой вид динамо в рамках планируемого динамоэксперимента в тороидальном канале [5]. Винтовой характер движения проводящей жидкости в канале с переменным сечением будет навязываться формой самого канала, а не диверторами. Данная геометрия ранее в МГД-задачах не рассматривалась, за исключением работы [17], где рассчитывался электрический ток, протекающий по листу Мёбиуса.

/ = 4, / = 2. Координатные линии и соответствуют линиям тока. Вставка при демонстрирует определение координат и Поверхность построена при 1.5.1 Математическая постановка Семейство поверхностей, подобных листу Мёбиуса, обычно параметризуется в декартовых координатах следующим образом:

где – внешний радиус листа, < – полуширина листа, - число полных оборотов листа вокруг себя. Лист Мёбиуса соответствует = 1/2.

Поверхность получается односторонней или двухсторонней соответственно при нечетном или четном значении 2. Переменные и могут рассматриваться как криволинейные переменные вдоль канала. С увеличением поверхность поворачивается по часовой стрелке при > 0 и против при < 0.

Трехмерный объект, воспроизводящий канал в форме листа Мёбиуса с эллиптическим сечением, показан на рисунке 1.21 и задается выражениями (слева). Меридиональное течение (, ) показано векторами, а угловая скорость отображается изолиниями.

где 0 < 2, 0 < 2 и < /, а и – полуоси эллиптического сечения. Данная поверхность получается в результате одновременного вращения эллипса вокруг собственного центра и вокруг оси, находящейся на расстоянии от центра эллипса. За один полный оборот вокруг оси, эллипс делает оборотов вокруг своего центра.

Переменные (,, ) задают правостороннюю, неортогональную, криволинейную систему координат, где - азимутальный угол (tan = /), - полярный угол в эллиптической плоскости и - аналог безразмерного радиус-вектора (см. вставку на рис. 1.21). Плоскость (, ) всегда перпендикулярна плоскости (, ).

Соленоидальное поле скорости, касательное к поверхности канала, вводится в виде где = (,, ), = (0, 0, 0 /) - контрвариантные компоненты скорости в криволинейной системе координат = (,, ), - в декартовой системе координат, 0 = const и = + ( cos cos sin sin ) есть расстояние текущей точки до оси. Предполагается, что среда снаружи канала покоится (U = 0). Течение в канале имеет положительную спиральность U · U > 0. Поле скорости (1.40) строго соленоидально, так как · U = ||1/2 (||1/2 ), где = det ( ) = ()2 ( - метрический тензор) и в силу · U = (0 ) 0. Нормальная скорость на поверхности канала всегда равна нулю, так как по построению линии тока есть координатные линии = const, = const, а поверхность канала есть координатная поверхность = const. Течение в сечении канала, показанное на рис. 1.22, имеет постоянную азимутальную скорость, так Определение порога генерации сводится к поиску при заданных параметрах канала минимального значения магнитного числа Рейнольдса, определенного по самой малой оси эллипса, которое обеспечивает экспоненциально растущее решение уравнения индукции (1.13). Это уравнение дополняется ранее обсужденной постановкой начальных и граничных условий и решается численно.

1.5.2 Результаты расчетов Варианты проведенных расчетов и их результаты приведены в таб. 1.2.

Частота осцилляции доминирующей динамо-волны указана в безразмерных единицах /2. Последняя колонка иллюстрирует геометрию сечения канала, показанную при = 0 и расположении оси слева. Проведенные вычисления подтверждают возможность динамо в предложенной геометрии течения. Поскольку максимальный сдвиг скорости возникает на границе канала, напряженность магнитного поля также имеет максимум в этой же области. Изоповерхности энергии магнитного поля образуют связанные спиральные трубки, изображенные на рис. 1.23. По Таблица 1.2: Параметры и результаты проведенных расчетов.

своей сути найденные решения схожи со структурой магнитного поля, генерируемой динамо Пономаренко, где доминирующая мода имеет азимутальное волновое число = 1. Однако лидирующая мода в нашем случае при = 1/2 имеет симметрию, соответствующую = 2, т.е.

в каждом сечении = const имеется четыре экстремума (две пары с противоположным направлением по оси, см. рис. 1.23a).

Симметрия доминирующей моды может быть объяснена по аналогии с динамо Пономаренко. Для этого мы введем локальные цилиндрические координаты (,, ) с осью, параллельной оси канала ( = 0). Эти переменные соответствуют криволинейным координатам следующим образом:,,. В кинематическом динамо Пономаренко с U = (0,, ) наиболее быстро растущая мода B exp ( + ) имеет / /. По аналогии можно ожидать / / для динамо в канале в форме листа Мёбиуса, где и - компоненты линейной и азимутальной скорости вдоль продольной оси канал = 0 и есть волновое число по переменной. Отметим, что поле скорости в эллиптическом канале зависит от, а магнитное поле не пропорционально. Если сечение канала делает полных оборотов в то время, как меняет на 2, то получается 2/c = 2/ и период сечения канала вокруг продольной оси канала c = /. Применяя c в качестве характерного значения, получаем / /. 2-периодичность поля B по координате дает = /, где целое число. В результате приходим к связи волновых чисел где квадратные скобки означают целую часть числа. В случае канала, имеющего форму листа Мёбиуса ( = 1/2), получаем = 2 и = равно 1/3 от максимального значения для растущего магнитного поля, генерируемого при параметрах задачи (а) вар. 1, (б) вар. 3 и (в) вар. 8 из таблицы 1.2. В трубках с разными оттенками основное направление магнитного поля противоположно, т.е.

темному оттенку).

в соответствии с численными результатами. Из таблицы 1.2 можно видеть, что (1.41) выполняется для всех динамо мод, найденных при больших значениях. Канал, соответствующий решению, показанному на рис. 1.23a, делает полуоборот, = 1/2, а силовые линии могут замкнуться только после полного оборота. Поэтому B имеет периодичность 4 по и, соответственно, симметрию = 2. Как следует из (1.41), = 1 при = 1, если = 3/2. Эта мода показана на рис. 1.23b и примечательна тем, что магнитные линии и изоповерхности 2 делают полный оборот на 2 в то время, как сам канал вращается на 3. Это означает, что магнитные линии сдвигаются в направлении при увеличении. Для моды, показанной на рис. 1.23c, вращение канала и магнитных линий совпадает и равно 4.

Численно исследовался целый ряд геометрий канала, параметры которых представлены в таб. 1.2. Варианты 1–3 и 8 имеют одинаковую геометрию, но отличаются числом полных оборотов. Каналы, подобные листу Мёбиуса (варианты 1, 4, а так же 5), генерируют моду = 2, как отмечалось выше, в то время как при = 1 (вар. 2) и = 3/ (варианты 3, 6, 7, 9, 10 и 11) получается = 1. Минимальное значение Rm* порядка 16 получается в вариантах 3, 10 и 11, благодаря тому что отношение / близко к оптимальному для винтового течения. В вариантах 1 и 4 каналы имеют аналогичную геометрию сечения, но Вар.

4 характеризуется меньшим значением радиуса. Это усиливает динамо, давая Rm* 88, которое меньше чем в Вар. 1. Более вытянутые сечения канала (варианты 5 и 10), которые проходят вплотную от оси, дают еще более низкий порог генерации. Канал с меньшим / имеет меньшее значение Rm*, очевидно, благодаря более сильному сдвигу поля скорости в области, где сечения с противонаправленными скоростями близки друг к другу.

Динамо в тороидальном канале (варианты 6 и 7) дает порог генерации на 25–50% больше, чем в близком по параметрам Вар. 3. С эллиптическим сечением большее отношение /, как в Вар. 7, по-видимому мешает динамо процессу. В вариантах 3 и 9 значение Rm* получается меньше, возможно, благодаря тому, что канал достигает меньшего расстояния до оси. Другая возможная причина состоит в тот, что площадь сечения в вариантах 3 и 9 больше и эффективное число Рейнольдса для этих каналов будет больше. Течение с = 3/2 дает меньшее значения Rm*, даже чем динамо Пономаренко (стоит отметить, однако, что здесь Rm обезразмерено на наименьшую размерность канала).

Подобно динамо Пономаренко, во всех рассмотренных вариантах генерируется осциллирующее магнитное поле, т.е динамо волна, бегущая в и -направлениях. Изоповерхности 2 вращаются в том же направлении, что и течение (рис. 1.23), так что токовая спиральность B · B имеет тот же знак, что и спиральность течения U · U в областях, где есть сильное магнитное поле. Частота осцилляций дана в таб. 1.2. Для сравнения, частота наиболее быстровозбуждаемых мод динамо Пономаренко равна 0.41. Отметим, что частоты для мод с минимальными Rm* близки к этому значению.

Предложенная геометрия течения для возникновения динамо эффекта имеет ряд привлекательных особенностей с точки зрения лабораторной реализации. Наиболее подходящим был бы тороидальный канал, используемый в планируемом динамо-эксперименте [5, 18], в котором в результате резкой остановки возникает инерционное течение жидкого натрия, а для создания винтового характера движения внутри канала устанавливаются диверторы. Форма канала в виде листа Мёбуса могла бы быть реализована путем установки в тороидальный канал вставки соответствующего профиля. Для сравнения каналов с круговым и эллиптическим сечением необходимо перенормировать Rm, умножая его на /.

Тогда, эффективно для Вар. 3 получим Rm* = 32, что дает большее значение, чем Rm* = 20 для Вар. 6 (динамо в торе). Однако поддерживать винтовое течение в тороидальном канале сложнее. Локально установленные диверторы создают неоднородное течение. Среднее значение начинает возникать только после остановки канала и растет заметно медленнее, чем, и, как результат, достигает максимума существенно позже. Закрученный канал сам действует в роли дивертора. Винтовое течение нарастает однородно по всему каналу и будет затухать медленнее в виду отсутствия диверторов, создающих сильное лобовое сопротивление. Поэтому можно ожидать, что течение с эллиптическим сечением станет суперкритическим раньше и будет оставаться таковым дольше, в сравнение с течением, создаваемым диверторами в канале с круговым сечением. Более того такой дизайн экспериментальной установки позволит оптимизировать режим торможения с цель продлить время существования суперкритического режима и тем самым добиться большего коэффициента усиления. Так же очевидно, что в отсутствии дивертов течение будет существенно менее турбулезованным и будет затухать медленнее.

1.6 Выводы по главе Полученные результаты подтверждают оценки, что планируемый динамо эксперимент в Перми может быть осуществлен и ожидаемый коэффициент роста может составить 103 или больше. Тонкая проводящая оболочка играет ключевую роль в процессе генерации и ее влияние тщательно изучено. Короткая остановка модели необходима для реализации динамо и планируемое время торможения b = 0.1 с будет достаточным.

Увеличение магнитной проницаемости добавлением ферромагнитных частиц в жидкий натрий может повысить коэффициент усиления. Это особенно критично при медленном торможении b = 0.2 c, увеличение r необходимо, чтобы получить заметное усиление поля.

Конечный коэффициент усиления зависит от конфигурации начального магнитного поля и максимален при наличии определенного наложенного поля. Например, фоновое земное магнитное поле является плохим выбором, так оно более или менее однородно и содержит только моды с = 0, = ±1 и = 1, = 0, в то время как хорошее начальное магнитное поле должно содержать максимальную магнитную энергию в оптимальной для динамо моде = 1, = 3. Постоянные магниты, расположенных вдоль канала, способны создать требуемое затравочное поле, но необходимо, чтобы индуцированные токи проникали во внутреннюю область.

Прямые численные исследования генерации магнитного поля при винтовом движении в торе подтвердили, что в пределе тонкого тора при > 4 задача сводится к хорошо изученному случаю винтового динамо в цилиндре. В толстом торе (малые ) становятся существенными два фактора: дискретность спектра возбуждаемых волновых мод, приводящая к немонотонному виду нейтральной кривой, и кривизна области генерации, нарушающая симметрии генерируемого магнитного поля.

Принципиально новое для винтовых динамо решение появляется в толстом торе при генерации моды = 1. В этом случае возникает «глобальное» магнитное поле, не затухающее на внешней оси тора и имеющее масштаб максимального геометрического размера тора. Важным представляется вывод о возможности понижения порога генерации магнитного поля в толстом торе путем изменения параметра закрутки потока.

Течение в замкнутом канала, закрученном в форме листа Мёбиуса, может служить модель для динамо процесса. Механизмы генерации в этом случае аналогичны механизмам винтового динамо. Отмечен ряд достоинств предлагаемой геометрии, которые могут быть использованы в лабораторном эксперименте.

Глава Турбулентная электродвижущая сила Теория среднего поля для турбулентной среды следует из электродинамики, описываемой уравнениями Максвелла. Турбулентность проявляется в качестве эффективной электродвижущей силы, входящей в закон Ома и, как следствие, в уравнение индукции магнитного поля. Эта сила, называемая турбулентной, является принципиальным объектом исследований в теории космических магнитных полей и теории динамо во всех ее приложениях. Расчеты турбулентной электродвижущей силы были выполнены в серии работ [19–26] при различных формах задания турбулентности, а также при предположении отсутствия среднего движения или же твердотельного вращения. В некоторых случаях эффект среднего движения принимался во внимание [27, 28]. Попытки построения общих выражений для электродвижущей силы были предприняты в работах [19]. Применение этих выражений, однако, требует дополнительного изучения. При этом наиболее свежие результаты работ [29–31] и [32] не находятся в убедительном согласии. По этой причине представляется значимым получит согласованное описание турбулентной электродвижущей силы в условиях общего вращения турбулентного потока и существования неоднородного среднего движения. Первоочередной причиной, стимулирующей рассмотрение этой проблемы, является необходимость оценки эффекта турбулентности в планируемом динамоэксперименте в тороидальном канале [4, 5, 33, 34]. Более того, эта задача представляет большой интерес в контексте астрофизических приложений. Например, вопрос о возможности действия -динамо [32, 35] до сих пор не получил однозначного ответа.

2.1 Турбулентная электродвижущая сила в винтовом потоке Для описания эволюции магнитного поля используется уравнение индукции (1.4). Аналогично базовой идее теории турбулентности, в электродинамике среднего поля также вводятся и, являющиеся средними полями по пространственным или временным масштабам, которые больше масштабов турбулентности. Величины и будем рассматривать как флуктуации и обозначим и, соответственно. Далее применяем правила осреднения Рейнольдса к уравнению (1.4) и получаем уравнение индукции среднего поля где – средняя электродвижущая сила, вызванная пульсациями магнитного поля и поля скорости, 2.1.1 Структура средней электродвижущей силы Уравнение для, которое может быть получено из (1.4) и (2.1) (см. ниже), позволяет сделать вывод, что может рассматриваться как функция, и. Именно определение зависимости от средних полей и статистических свойств турбулентности представляет основную задачу теории среднего поля в электродинамике. В заданной точке пространства и времени зависит не только от самих значений, и, но и от их поведении в некоторой окрестности. Далее делается предположение о том, что медленно меняется в окрестности этой точки, так что линейно зависит от компонент и его пространственных производных.

Таким образом, может быть представлена в форме где тензоры и есть средние величины, зависящие от и. Разложенное на симметричные и кососимметричные части выражение (2.3) эквивалентно записи в векторном виде [22, 28] где и – симметричные тензоры второго ранга, и – векторы, – тензор третьего ранга зависят только от и. Далее ()() является симметричной частью тензора градиента, т.е. () = 2 ( / + / ). Обозначение типа используется в смысле свертки ( ) =, а ()(), в свою очередь, означает ( ()() ) = Слагаемое с в (2.4) описывает –эффект, который в общем случае является анизотропным, а слагаемое с соответствует эффективному переносу за счет турбулентности. Слагаемые с и могут интерпретироваться как эффекты турбулентной диффузии, которые в общем случае также анизотропны. Слагаемое с не имеет особо выделенной роли, но необходимо для полноты разложения.

Величины,,, и связаны с и следующим образом Переход в движущуюся систему отсчета Общее вращение среды можем учесть, переходя во вращающуюся систему отсчета, введением силы Кориолиса в уравнение движения (1.1).

Пренебрегая обратным воздействием магнитного поля на движение среды, изменение несжимаемой жидкости будем описывать уравнениями где – угловая скорость вращения, а – сила, поддерживающая турбулентность.

Турбулентная электродвижущая сила рассматривается в некоторой выделенной точке. Полагая среднее поле скорости независящим от времени, перейдем в систему отсчета, в которой = 0 в этой точке. Так же примем, что в окрестности выделенной точки поле меняется медленно и может быть записано в виде =, где – константы, а (1, 2, 3 ) – декартовы координаты во вращающейся системе отсчета с началом координат в выделенной точке.

Однородная турбулентность Рассмотрим турбулентные пульсации, отличающиеся по своим свойствам от однородных, изотропных и зеркально-симметричных, как результат действия сила Кариолиса, определяемой, и градиента среднего поля скорости, задаваемого выражением ( ) = /, или ( ) =. Для удобства раскладывается на симметричную и антисимметричную части. Симметричная часть является тензором скорости деформации, определяемая как = 1 ( / + / ).

и описывающая деформирующее движение в окрестности рассматриваемой точки. Благодаря условию несжимаемости · = 0 справедливо = 0. Антисимметричная часть определяется выражением = / ) и описывает твердотельное вращение в окрестности рассматриваемой точки. Антисимметричная часть также может быть представлена как = 1 с использованием вектора Для определения структуры = используются соображения симметрии уравнений (1.4) и (2.6), которые определяются полями и. Если эти уравнения удовлетворяются полями,,, и, то они также должны быть удовлетворены другими полями,,, и, полученными из начальных вращением относительно некоторой оси, проходящей, например, относительно точки = 0. Аналогично уравнения должны быть удовлетворены полями,,, и, полученными из начальных в результате отражения относительно некоторой плоскости, содержащей, например, точку = 0. Эти два свойства инвариантности подобным образом применимы ко все последующим выкладкам, в особенности к уравнениям, описывающих поведение и.

Инвариантность к вращению приводит к выводу, что тензоры и, возникающие в (2.3),,,, и могут содержать только элементы изотропных единичных векторов и, векторов и и тензора. Отметим, что сила, которая создает однородную изотропную турбулентность не может вводить другой независимой изотропной величины. При рассмотрении инвариантности к отражению часто используются понятия о полярных (,, и ), и ( и ) аксиальных векторных полях. В отличии от полярных векторов аксиальные вектора меняют направление при отражении системы координат. В дальнейшем будут использоваться термины «реальный» и «псевдо» скаляр, вектор или тензор для полярных и аксиальных величин, соответственно. Тогда и должны быть псевдотензорами, что означает, и – псевдовеличины, а и - реальные.

Рассмотрим сначала и. Упомянутые конструкционные элементы,,, и не позволяют построить псевдотензор второго ранга или реальный вектор. Это означает, что Для величин, и обнаруживается семь ненулевых независимых комбинаций, линейных по, и. Соответствующие выражения имеют вид где (0), (), (), · · · – коэффициенты, определяемые полем, но независящие от, и. В силу условия · = 0 слагаемое в, содержащее, не может давать вклада и поэтому в дальнейшем будет опущено.

Как следствие (2.7) и (2.8) можно получить где () – тензор третье ранга, определяемый как = +.

Величины, подобные (0), (), · · · (), в дальнейшем будут называться транспортными или эффективными коэффициентами.

Слагаемые (0) и () в (2.9) в условиях турбулентности описывают эффективную диффузию, которая отличается от исходной омической диффузии в проводящей жидкости. Благодаря слагаемому (0), полная диффузия становится равной + (0), а слагаемое () делает ее анизотропной. Слагаемых () и ( ) также могут рассматриваться как диффузионные, но они дают кососимметричную составляющую диффузии.

В контексте динамо-процессов эффект, описываемый слагаемым (), называется « –эффект». Было показано, что этот эффект совместно с дифференциальным вращением ( зависит от ) может приводить к возникновению динамо-процесса [36–39]. Слагаемое ( ) описывает так называемый « –эффект», аналогичный –эффекту, и изучается сравнительно недавно [32]. Он может наблюдаться и в отсутствии силы Кориолиса как следствие сдвига поля скорости.

Неоднородная турбулентность В реальных экспериментах условие однородности зачастую нарушается вблизи стенок, ограничивающих течение жидкости. Поэтому особый интерес представляет возможность принять в рассмотрение вектор в направлении градиента интенсивности турбулентности, задаваемый выражением 2 = 2, где – амплитуда турбулентных пульсаций.

Тогда необходимо дополнить (2.9) соответствующими слагаемыми. Для простоты предложим, что влияние мало и ограничимся рассмотрением вклада первого порядка по. В результате, получаем а (2.8) остается без изменений.

Соответственно, имеет вид где (, ) – симметричный тензор, определяемый выражением = 2.1.2 Вычисление средней электродвижущей силы Базовые соотношения и предположения Детальное определение требует нахождения коэффициентов 1, 2, · · ·, () в зависимости от интенсивности и других параметров турбулентного течения. Для вычисления этих коэффициентов рассмотрим уравнение индукции (1.4) и уравнение движения в форме (2.6) в ранее описанной подвижной системе отсчета. Из уравнения (1.4) и его среднеполевой версии (2.1), а также из (2.6) и соответствующего осредненного выражения можно получить уравнения, описывающие эволюцию магнитных и кинетических пульсаций, в следующем виде Для вычисления в выделенной точке = 0 в движущейся системы отсчета необходимо рассмотреть малую окрестность вокруг этой точки.

Используя ранее высказанное предположение о слабой вариации полей и в пространстве и времени, примем, что и, и являются константами, удовлетворяющими условию = Также мы ограничимся вычислениями при условии слабого влияния силы Кориолиса и сдвига поля скорости среднего течения на и. В этом случае можно рассмотреть разложение где (0) и (0) не зависят от, и, а (1) и (1) – слагаемые первого порядка относительно этих величин и так далее. Тогда можно использовать соответствующее разложение в виде В силу сделанных предположений ограничимся случаем, в котором является линейной функцией, и, так что в разложении остаются только слагаемые (0) и (1).

Предположение о малости и является базовым для построения корреляционного приближения второго порядка (SOCA), которое наиболее часто используется для вычисления транспортных коэффициентов в контексте теории динамо. Применяя это условие из (2.12) получим Поле (0) считается заданным при нулевой силе Кориолиса и нулевом сдвиге поля скорости. При выводе (2.16) предполагалось, что сила не зависит от, и, и значит не имеет другого вклада, кроме как (0). Следуя традиционному пути SOCA, пульсациями ((0) (0) ) пренебрегаем в сравнении с (0). В том же духе пренебрегаем слагаемым (((0) · )(1) ) + (((1) · )(0) ) в сравнении с ( · )(0) + ((0) · ) 2 (0) и слагаемым ((0) (1) ) + ((1) (0) ) в сравнении с (1) + (1) (0). Эти допущения проверяются в каждом конкретном случае их применения.

В рамках SOCA условие того, что не имеет вкладов независимых от, удовлетворяется автоматически. Также по определению исключается любое влияние МГД-турбулентности. В пределе малых магнитных пульсаций турбулентность остается чисто гидродинамической.

Представление Фурье Предстоящие вычисления выполняются в фурье-пространстве. Преобразование Фурье определим в виде где интегрирование проводится по всем и.

Рассмотрим двухточечный корреляционный тензор двух векторных полей и в следующей форме Здесь и далее обозначение используется в том же смысле, что и.

Следуя [40], рассмотрим как функцию переменных и запишем В результате имеем В дополнении к (2.19) введем определения и получаем вместе с Для последующих вычислений (2.20) определим и обозначим аналогично соответствующие величины и. Продолжим эти определения для случая, где заменяется на, а или · (0) = 0, получаем Если как в (2.26) и являются аргументами, то должно пониматься как /.

Предварительные вычисления Возвращаясь к, отметим сначала, что подвергаются преобразованию Фурье, что дает алгебраические уравнения для, ^ и ^. В дополнение, применяя оператор () = с обозначениями величин, и, которые определяются выражениями Вычисление (0) Рассмотрим в величины и при = 0 и = 0. Опущенные аргументы и будут означать использование = 0 и = 0. Как ранее уже отмечалось, при сделанных допущениях содержит только слагаемые (0) и (1), входящие в разложение (2.15). По построению величина (0) и соответствующие вклады и в и не зависят от, и. В первую очередь рассмотрим составляющую в.

Возьмем (, ) при произвольных и, а затем найдем предел 0 и положим = 0. Введем обозначения где обозначает произвольную функцию. Тогда получаем Для вычисления этого и подобных интегралов два соотношения представляют особый интерес. Введем обозначения На основе правила интегрирования по частям находим и аналогичное соотношение с заменой [· · ·]+ на [· · ·] и наоборот.

Используя (2.31) и (2.34), получаем В заключении имеем В силу предположения слабой вариации средних величин в окрестности можно разложить [ ], входящее в (2.36), в ряд по и оставить слагаемые только первого порядка, положив при этом = 0. Слагаемое первого порядка содержит под интегралами множители, которые соответствуют применению оператора i к функциям, определяемым этими интегралами без. Выполняя предельный переход 0 и 0, записывая для простоты вместо (0, 0) и вспоминая определение (,,, ), в результате находим где * означает комплексное сопряжение (, ), что эквивалентно (, ).

Отметим, что * зависит только от, которое есть модуль. Для функций такого типа используем обозначение = /. Также и сокращения для (0, 0,, ) и ( (, 0,, ))=0, соответственно.

Стартуя с (2.37), для (, ) можно провести аналогичные вычисления. Однако, поскольку связана с производными от, [] и [( )/ ] заменяются их значениями при = 0 и = 0, что означает игнорирование производных от. Таким образом, приходим к выражению Слагаемые пропорциональные в не входят, в силу условия · = 0. Результаты (2.38) и (2.39) согласуются с известными соотношениями теории среднего поля, полученными, например, в [20].

Вычисление (1) Рассмотрим (1) и соответствующие вклады и в и. (1) состоит из трех слагаемых. Первое линейно и однородно по, а второе и третье линейно и однородно по и, соответственно. Аналогично и содержат три группы слагаемых, которые линейны и однородны по, или. Соответствующие вклады в и обозначаются как,,,, и. Вычисление этих величин проводится аналогичным способом, как это было сделано для и. Чтобы полученный результат не выглядил слишком громоздко, разделим на симметричную и антисимметричную часть и используем то, что симметричная часть четна по, а антисимметричная – нечетна Это справедливо для любой однородной турбулентности, а также и для неоднородной турбулентности в форме, которая будет рассмотрена позже.

Результат вычисления и имеет следующий вид Как и ранее, и означают (0, 0,, ) и ( (, 0,, ))=0, соответственно. Аналогично, является сокращением (, ), а * – обозначает комплексное сопряжение. Так же, как и с, вклад в отсутствует.

Выражения общего вида также были получены для,, и имеют вид Результаты для со специальным видом корреляционного тензора поля скорости Зададим корреляционный тензор (,,, ) в виде, в котором он отличается от однородной, изотропной и зеркально симметричной турбулентности наличием статистически постоянного градиента интенсивности пульсаций. Это можно сделать следующим способом:

где () = ( / 2 ), а (,,, ) – результат фурье-преобразования величины ( + /2, + /2) · ( /2, /2) по переменным Обоснованность такого определение подробно обсуждается в [28]. Укажем лишь на то, что (2.48) удовлетворяет ранее рассмотренным соотношениям (2.26) и (2.41). Забегая вперед, отметим, что (,,, ) может быть факторизовано так, что первый множитель (0) зависит от крупномасштабных координаты и времени, а второй – от и. Тогда можно определить через соотношение и интерпретировать как (0) /(0).

Определим теперь,, · · ·, которые заданы выражениями (2.38), (2.39), (2.42), (2.43) и (2.44) - (2.47) при использовании вида (2.48) для. Для проведения необходимых преобразований использовались соотношения где функция зависит только от. Интегрирование выполняется по всем.

Коэффициенты (0), (0), 1, · · · (), обозначенные в общем как, имеют следующий вид где для соответствующих коэффициентов (0), (0), 1, · · · () определяется выражениями где обозначает 2, а – 2. Отметим, что не только (0), (0) не зависят от, но так же и ( ). Если для (0) и (0) эта независимость вполне естественна, то для ( ) этот результат является неожиданным.

Следующим шагом является конкретизация коэффициентов (0), (0), 1, 2, · · · (), описываемых выражениями (2.52) и (2.53) с помощью параметризации статистических свойств турбулентности. Допустим, что для вынужденной фоновой турбулентности справедливо Множитель 2, используемый вместо (0), имеет смысл интенсивности турбулентных пульсаций в отсутствие силы Кориолиса и среднего течения. Их статистические свойства характеризуются корреляционной длиной и корреляционным временем. Далее предполагается, что и не зависят от и. В силу (2.49) соотношение (2.55) эквивалентно В последующих выкладках будут использоваться следующие безразмерные комплексы Величина есть отношение характерного времени магнитной диффузии к корреляционному времени и будет использоваться для рассмотрения предельных случаев низкой проводимости 0 и высокой проводимости. Аналогично, предельные значения величины будут соответствовать ситуации с высокой проводимостью, если 0, и низкой, если. Будем использовать магнитной число Рейнольдса Rm, и гидродинамические число Рейнольдса Re и число Струхаля St, определенные через параметры турбулентности следующим образом:

где = 2. Для реалистичных течений St близко к единице, а значит и близки к Rm и Re соответственно.

Транспортные коэффициенты, входящие в (2.11), могут быть представлены в виде, удобном для использования в задачах динамо в условиях низкой проводимости, например в условия лабораторного эксперимента Функции 1, 1, · · · () определены таким образом, что стремятся к единице при 0 и Pm = 1. В соответствии с (2.52) и (2.53) справедливо (0) = (0) и () = (). На рис. 2.1 показана зависимость изменения кривых.

Для астрофизический приложений особый интерес представляет предел высокой проводимости. Для этого случая модифицированные выражения для коэффициентов имеют вид () определены так, что их значения для = 1 стремятся к единице при. Отметим, что 2 2 = 2 2, а в соответствии с (2.52) и (2.53), · · · () показан на рис. 2.2.

Полученные результаты воспроизводят ранее известные составляющие в условиях однородной турбулентности и общего вращения [19,25– 27, 41, 42]. Рассмотрение произвольного значительно расширяет набор турбулентных эффектов. Даже в отсутствии общего вращения имеют место слагаемые пропорциональные, которые могут приводить в действие -эффект [29,30]. Роль этого эффекта остается под вопросом, так как найденная в диссертационной работе количественная оценка не совпадает с ранее полученными результатами в работах [28, 32]. В этих работах используется -приближение, которое работает в другом диапазоне управляющих параметров, что, по всей видимости, объясняет возникающее различие. Новым результатом является вклад неоднородной турбулентности (слагаемые пропорциональные ). В сочетании со сдвигом поля скорости градиент турбулентных пульсаций может приводить к возникновению -эффекта. Такая возможность исследуется экспериментально в разделе 6.2.

2.2 Влияние турбулентности на винтовое динамо В главе 1 получен рад решений задачи о винтовом динамо, возникающее в результате винтового потока в проводящей среды. Его реализация в динамо-эксперименте потребует Re 105, а, следовательно, течение жидкости будет существенно турбулентным. Действие турбулентности на динамо происходит в двух направлениях. Во-первых, она влияет на профиль среднего течения, а во-вторых, вызывает действие мелкомасштабных индукционных эффектов. В особенности эффективная турбулентная диффузия может заметно поднять порог генерации. В силу винтового характера среднего течения можно ожидать действие -эффекта наряду с прочими эффектами. Их влияние может сводится к подавлению или усилению процессов генерации. Оценка влияния турбулентности на винтовое динамо является необходимым этапом подготовки, проведения и анализа результатов планируемого эксперимента. Кроме того, интерес для астрофизических приложений представляет рассмотрение и других ситуаций, которые могут возникнуть при генерации магнитных полей в космических объектах, где средний поток и турбулентные пульсации являются неотъемлемыми составляющими механизмов динамо.

Эволюцию магнитного поля в турбулентном потоке будем рассматривать в раках подхода теории среднего поля. Уравнение индукции среднего поля (2.1) включает в явном виде эффективную электродвижущую силу, описывающую влияние турбулентности. Ее структура была получена в разделе 2.1 в общем виде. Конкретизируем выражение (2.9).

Для этого рассмотрим аппроксимацию поля скорости винтового потока, использованного для решения задач в разделе 1.2. В цилиндрической системе координат (,, ) поле скорости имеет вид Перейдем в систему отсчета, связанную с точкой = 0. В этой движущейся системе отсчета поле скорости будет иметь вид В вращающейся системе отсчета возникает сила Кориолиса, которая определяется угловой скоростью, задаваемой выражением где – единичный вектор в направлении.

Следуя (2.64), получим и в специальном виде. Ненулевыми компонентами являются = d /d и = d/d, а имеет – радиальный вектор. В этом случае тензор имеет специфическую координат имеет вид где и определены во вращающейся системе отсчета. Все диагональные элементы равны нулю, а значит магнитное поле в направлении не создает электродвижущей силы в направлении или.

В рамках планируемого динамо-эксперимента были проведены исследования на модели, но существенно меньшего размера, чем динамо-установки.

Наблюдения за возникающими потоками в торе с водой в качестве рабочей жидкости показали существование интенсивных спиральных мелкомасштабных структур [33]. Это дает основание рассматривать возможность экспериментальной реализации –эффекта. Полный –эффекта должен создавать электродвижущую силу в направлении наложенного магнитного поля. Однако проведенный анализ не предсказывает проявления этого эффекта. Существование спирального течения еще не гарантирует возникновение полного –эффекта [43]. Результаты экспериментальной работы, изложенной в разделе 6.2, также подтверждают эти выводы.

2.2.1 Оценка эффектов турбулентности Сделаем несколько оценок турбулентных эффектов, ожидаемых в планируемом динамо-эксперименте в тороидальном канале, которые были определены в форме (2.11) турбулентной электродвижущей силой, соотношениями (2.59) и (2.60), а также численными значениями, приведенными в таб. 2.2. Жидкий натрий характеризуется = 0.1м2 /с и Pm = 105. Для оценки типичного значения средней скорости используем = 50м/с. Параметры турбулентной составляющей можно оценить как = 1м/с, = 0.01 м и = 0.05 с. Это дает = 0.1 и = 0.02. Далее || оценивается величиной 1/, где = 0.12м – радиус сечения канала. Аналогично ||, | | и || оцениваются величиной /, а пространственные производные – величиной /. Вклад –эффекта интерпретируется как эффективная магнитная диффузия, которая складывается с омической диффузией, и которая в теории среднего поля определяется в общем случае тензором ij = (+ (0) ) + (). Тогда относительное значение (0) -эффекта есть (0) / = (0) 103. Соответствующий вклад () -эффекта оценивается как () / = () ( /) ( /)2 1.3· 102.

Сравнение действия -эффекта более естественно проводить с адвективным переносом магнитного поля средним потоком. Тогда относительный вклад (0) -эффекта оценивается как (0) / = (0) (/ ) 105. Аналогично для (), ( ) и () -эффектов соответствующие отношения () /2, ( ) /2 и () /2 не превышают 4 · 104.

() /2, · · ·. Тогда значения 1 /2, 2 /2, · · · () /2 не превышают 6·104. Вклад 1 и 1 -эффектов равен нулю по определению, так как перпендикулярно к и. Далее справедливо ( ) /2 < () / 7 · 106 и максимум среди (), · · · () /2 не превышает порядка 2 · 104.

Таким образом, можно заключить, что вклад в индукционные процессы будет достаточно мал. Сложно ожидать, что турбулентность способна повлиять на характер винтового динамо, предполагаемого получить в эксперименте с жидким натрием.

2.2.2 Влияние турбулентности на порог генерации Рассмотрим численное решение задачи о винтовом динамо с учетом влияния турбулентности. Основной интерес представляет характер изменения порога генерации под воздействием того или иного турбулентного эффекта или группы эффектов. Обезразмерим уравнение индукции среднего поля (2.1), используя соотношения где 0, 0 и 2 – характерные значения, и 2 при = 0, а, и – безразмерные функции от. Возьмем в качестве единицы длины, а 2 / – единицы времени. Тогда безразмерная форма (2.2) имеет вид с параметрами = 0.15, sh = 5, = 18.

, и – единичные вектора в направлении, и. Постановка граничных условий, определение профиля скорости и метод решения полностью идентичны тем, которые использовались в разделе 1.2. Все вычисления проводятся при = 105 и = 0.02.