ФГБОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА»

На правах рукописи

ВАСИЛЬЕВ АНТОН НИКОЛАЕВИЧ

ВЕРХНИЕ ОЦЕНКИ РАЦИОНАЛЬНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

СУММ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.06 – математическая логика, алгебра и теория чисел Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: Д. Ф.-М. Н., ПРОФЕССОР

ЧУБАРИКОВ ВЛАДИМИР НИКОЛАЕВИЧ

МОСКВА – 2013 2 Оглавление Введение

Глава 1. Верхние оценки полных рациональных полиномиальных тригонометрических сумм

Глава 2. Оценка среднего квадратического модулей рациональных тригонометрических сумм по обобщенным числам Фибоначчи

Глава 3. Арифметические приложения

Заключение

Список литературы

Введение Актуальность темы Область исследования диссертации относится к разделу теории чисел, занимающемуся оценками тригонометрических сумм. В работе доказываются верхние оценки рациональных тригонометрических сумм специального вида и их арифметические приложения.

Тригонометрической суммой называется сумма вида 2, =, где - конечное подмножество, а : - функция.

Такую сумму можно оценить сверху тривиально:

,, где - количество элементов.

Но интерес представляют только такие верхние оценки, в которых присутствует понижающий множитель, то есть оценки вида,, где 0 < 1 - понижающий множитель.

Рациональной тригонометрической суммой называется сумма вида,, =, где : - функция, а - натуральное число.

Тригонометрические суммы впервые появились в работах К. Гаусса. В дальнейшем ими занимались Г. Вейль, Г. Харди и Д. Литтлвуд, Л. Морделл и многие другие.

После работ И. М. Виноградова [6], посвященных решению проблем Варинга и Гольдбаха, в которых был значительно развит и усовершенствован аппарат тригонометрических сумм, интерес к этой тематике многократно возрос. В частности, появилось много работ и о рациональных тригонометрических суммах.

Полной рациональной тригонометрической суммой называется сумма вида где : 1,2, …, - функция.

Важным частным случаем являются полные рациональные полиномиальные тригонометрические суммы (частный случай сумм Г.Вейля), когда в показателе экспоненты стоит многочлен с целыми коэффициентами.

Хуа Ло Кен доказал следующий результат [17, 20]:

для любого натурального и любого многочлена = 1 + 2 2 + +, у которого 1, 2, …,, = 1, причем постоянная в знаке зависит только от.

В 1948 году А. Вейль [25] получил оценку для сумм с простым знаменателем, в этом специальном случае значительно улучшающую оценку Хуа Ло Кена.

Он доказал, что для любого простого и любого многочлена = 1 + 2 2 + +, у которого, = 1.

Этот результат, простой и удобный в применении, не дает, тем не менее, нетривиальной оценки в большом числе случаев, а именно, при + 1.

Поэтому было бы полезным получить оценки в случае «больших». Однако, как правило, получить оценку для общего случая «больших» не удается, а улучшение оценки А. Вейля производится только на некоторых классах многочленов.

Выделим две такие работы.

В 1965 году Н. М. Акулиничев доказал [1] следующую оценку для двучленов:

где = + - многочлен с целыми коэффициентами, у которого В работе А. А. Карацубы 1967 года [10] было доказано несколько оценок полных рациональных полиномиальных тригонометрических сумм, в том числе такая оценка для двучленов:

где = + - многочлен с целыми коэффициентами, у которого В первой главе данной диссертации получены аналоги результатов Н. М.

Акулиничева и А. А. Карацубы для многочленов более общего вида.

Обратимся теперь к другому типу рациональных тригонометрических сумм, а именно, к суммам с рекуррентно заданной последовательностью в числителе, то есть где - последовательность целых чисел, заданная целыми значениями начальных членов 1, …, и рекуррентным соотношением -го порядка + = 1 +1 + + 0 с целыми коэффициентами 1, …, 0, а и – натуральные числа.

Одним из первых такими оценками стал заниматься Постников А. Г. [14].

Оценки сумм этого типа можно найти также в работах Бояринова Р. Н. и Чубарикова В. Н. [4, 5], Минеева М. П. [13].

В монографии Н. М. Коробова [11] приводятся оценки таких сумм в общем случае, однако, в этом виде оценки получаются достаточно грубыми.

В частных случаях, когда – показательная функция от (или, что то же, рекуррентно заданная последовательность первого порядка), указанные оценки можно улучшить. Эти улучшенные (или уточненные) оценки для показательной функции и для суммы показательной и линейной функций можно найти, например, в той же монографии Н. М. Коробова [11], а также в работах С. В. Конягина и И. Е. Шпарлинского [21].

Отдельно отметим следующий «статистический» результат Бояринова Р. Н. и Чубарикова В. Н. о рациональных тригонометрических суммах по числам Фибоначчи.

Теорема [5]: Пусть где условиями 0 = 1, 1 = 2, +1 = + 1 задаются числа Фибоначчи, причем + и как функция от удовлетворяет условиям = + и log, где =. Тогда справедливо соотношение Во второй главе данной диссертации в специальном случае доказывается верхняя оценка для среднего квадратического модулей рациональных тригонометрических сумм по обобщенным числам Фибоначчи.

Наконец, отметим, что большая часть верхних оценок рациональных тригонометрических сумм имеют арифметические приложения.

Во-первых, это оценки для количества решений сравнения (в нашем случае – полиномиального) по простому модулю. Подобные взаимосвязи хорошо описаны, например, в книге З. И. Боревича и И. Р. Шафаревича [3], а также в работе Н. М. Акулиничева [1]. В третьей главе этой диссертации приводятся соответствующие теоремы для многочленов из теорем первой главы.

Во-вторых, рациональные тригонометрические суммы устроены таким образом, что хорошо «улавливают» арифметические свойства функции в показателе. Поэтому они могут быть полезны и в других задачах, в том числе в задачах аддитивной теории чисел.

В 1934 году Н. П. Романов [16] получил теорему о положительной плотности (в смысле плотности по Шнирельману) суммы множества простых чисел и множества степеней фиксированного натурального числа, большего единицы. Позже, в 1951 году П. Эрдеш доказал [19] аналог теоремы Романова, заменив степень фиксированного натурального на значение фиксированного многочлена с целыми коэффициентами от степени фиксированного натурального.

В. Н. Чубариковым была поставлена задача получения аналога теоремы Романова для чисел Фибоначчи. В своей работе К. Ли [22] приводит доказательство этого аналога, опираясь на результаты Шинцеля [23] и Зомера [24]. В опубликованной совсем недавно работе А. Дубицкас [18] обобщает результат К. Ли.

В третьей главе диссертации приводится новое доказательство аналога теоремы Романова для обобщенных чисел Фибоначчи.

Целью работы является получение новых верхних оценок модуля полной рациональной полиномиальной тригонометрической суммы в специальных случаях, верхней оценки среднего квадратического модулей рациональных тригонометрических сумм по обобщенным числам Фибоначчи в специальном случае, оценки количества решений некоторых полиномиальных сравнений по простому модулю и решение одной аддитивной задачи, связанной с обобщенной последовательностью Фибоначчи.

В работе используются методы элементарной и аналитической теории чисел.

Теоретическая и практическая ценность работы Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты представляют интерес для специалистов в области аналитической теории чисел.

Диссертация содержит следующие новые результаты:

А) в специальных случаях получены верхние оценки модуля полной рациональной полиномиальной тригонометрической суммы где = 1 + 2 2 + + - многочлен с целыми коэффициентами, а - простое число, не делящее ;

Б) в специальном случае получена верхняя оценка среднего квадратического модулей рациональных тригонометрических сумм по обобщенным числам Фибоначчи где - обобщенная последовательность Фибоначчи, задающаяся по правилу:

а и - натуральные числа;

В) получены оценки для количества решений некоторых полиномиальных сравнений по простому модулю и альтернативное доказательство одного аддитивного результата, связанного с обобщенной последовательностью Фибоначчи.

Результаты диссертации неоднократно докладывались на научноисследовательском семинаре кафедры математических и компьютерных методов анализа МГУ «Аналитическая теория чисел» под руководством проф. В. Н. Чубарикова и проф. Г. И. Архипова в 2012-2013 гг.

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

11-я Международная научная конференция «Алгебра и теория чисел:

современные проблемы и приложения» (СГУ имени Н. Г. Чернышевского, Саратов, 9-14 сентября 2013 г.);

Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009» (Астана, 10-12 апреля 2009 г.).

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в трех работах, список которых приведен в конце введения. Работ в соавторстве нет.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии (28 наименований). Общий объем диссертации составляет страницы.

Первая глава «Верхние оценки полных рациональных полиномиальных тригонометрических сумм» состоит из трех параграфов. В первом параграфе доказываются следующие теоремы:

Теорема 1: Имеет место оценка где 3 - простое число,,,, – натуральные числа, 2 1,, Теорема 2: Справедлива оценка Во втором параграфе доказываются следующие теоремы:

Теорема 3: Имеет место оценка где 7 - простое число, 3 4,,, - натуральные числа, Теорема 4: Справедлива оценка + - такие многочлены с целыми коэффициентами, что 1 > В третьем параграфе доказывается Теорема 5: Имеет место оценка целое и, = 1.

Во второй главе «Оценка среднего квадратического модулей рациональных тригонометрических сумм по обобщенным числам Фибоначчи» исследуется величина где - обобщенная последовательность Фибоначчи, задающаяся по правилу:

- натуральное число, - бесквадратное (не делящееся ни какой квадрат простого) натуральное число, взаимно простое с числами 1, 2 и 1 + 1222. Получена следующая Теорема 6. Справедлива оценка где, при задается таким образом:

а - обычная последовательность Фибоначчи, задающаяся по правилу:

Третья глава «Арифметические приложения» содержит два параграфа.

В первом приводятся доказываемые с помощью классического приема оценки количества решений полиномиальных сравнений по простому модулю (теоремы 7-11), являющиеся следствиями теорем, полученных в первой главе.

Во втором параграфе приводится альтернативное доказательство следующего аналога теоремы Романова (этот результат обобщает теорему в работе К. Ли [22], но является частным случаем теоремы из работы А.

Дубицкаса [18], вышедшей в одно время с работой автора):

Теорема. Справедливо соотношение то есть множество натуральных чисел, представимых в виде суммы простого и обобщенного числа Фибоначчи, имеет положительную плотность (в смысле плотности по Шнирельману).

[1] Васильев А. Н. Оценки полных рациональных тригонометрических сумм с простым знаменателем, Вестник МГУ, Сер. 1, Математика. Механика, 2014, №2, с. 56-60.

[2] Васильев А. Н. Об арифметических свойствах обобщенной последовательности Фибоначчи и их следствиях, Известия СГУ, Нов. Сер.

Математика. Механика. Информатика, 2013, Т. 13, вып. 4, ч. 2, с. 34-41.

[3] Васильев А. Н. Оценки полных рациональных тригонометрических сумм, сборник докладов международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009» (Астана, 10-12 апреля 2009 г.), с. 19-20.

Глава 1. Верхние оценки полных рациональных полиномиальных тригонометрических сумм Прежде всего, отметим два классических соотношения при работе с рациональными тригонометрическими суммами, которые мы в дальнейшем будем часто использовать без объяснения.

А) Значение «разрывного множителя»:

Б) Преобразование квадрата модуля суммы:

полиномиальные тригонометрические суммы с простым знаменателем где = 1 + 2 2 + + – многочлен с целыми коэффициентами, Такие суммы можно оценить тривиально:

но тривиальные оценки не имеют практической ценности в приложениях.

Поэтому встает задача нетривиальной оценки, то есть оценки вида где - понижающий множитель, 0 < 1.

Самой известной нетривиальной оценкой полиномиальной суммы является классический результат Вейля [25]:

В случае, когда на, коэффициенты (а, возможно, и на ) наложены некоторые дополнительные условия, то можно получить оценки, которые будут лучше оценки Вейля.

Это сделано, например, Карацубой А.А. [10].

Теорема (Карацуба А. А.): Пусть Следующие две теоремы получены схожим образом. В них содержатся оценки сумм для других классов многочленов.

Теорема 1: Имеет место оценка где 3 - простое число,,,, – натуральные числа, 2 1,, Доказательство: Обозначим, 1 =. Имеем где - число решений системы сравнений Пусть =. Тогда = 1 + 2, где 1 - число решений системы а 2 - число решений системы Заметим, что Действительно, зафиксируем 1. Если 1 =, то 2 =. Если же 1, то 2 может принимать ровно различных значений.

Аналогично с 1 и 2.

Оценивая 2, фиксируем 1, 2 с условием 1 2. Таких пар, как мы показали, ровно 2 1 + 1. Тогда, если то 2 + 1 и второе уравнение системы переписывается в виде Имеем 1 от 1. По известной теореме Лагранжа такой многочлен имеет не более 1 корней в поле вычетов. Далее, для каждого корня этого многочлена имеется не более значений для 1 и не более значений для 2.

Получаем Отсюда что и требовалось.

Теорема 2: Справедлива оценка Доказательство: С помощью рассуждений, аналогичных рассуждениям из доказательства теоремы 1, получаем где N - число решений системы сравнений Пусть - -я степенная сумма, а - -ый элементарный симметрический многочлен.

Используем формулы Ньютона [12, с. 225]:

при >.

Зафиксируем 1, 2, …, +1 (таких наборов +1 штук).

Выражаем через 1, 2, …, +1 элементарные симметрические многочлены от 1, 2, …, +1 (они определяются однозначно):

Нетрудно увидеть, что при + 1 выражение есть многочлен степени относительно со старшим коэффициентом ± + 1.

1, 2, …, +1 значения 1, 2, …, +1 определяются однозначно с точностью до перестановки. Отсюда получаем оценку Следовательно, при !, откуда при !.

При < ! оценка становится хуже тривиальной. Теорема доказана.

В работе [1] Акулиничевым Н.М. были получены следующие оценки:

Две следующие теоремы получены в духе результатов Н. М. Акулиничева.

Теорема 3: Имеет место оценка где 7 - простое число, 3 4,,, - натуральные числа, Доказательство: Обозначим Тогда Имеем:

отсюда следовательно, Пусть 1 - множество пар 1, 2, таких, что 1 2, а - множество всех остальных пар.

Тогда Заметим, что 1, 2 2 тогда, и только тогда, когда 2, 1 2, причем Далее, если 1, 2 2, то 1 2 - квадратичный вычет тогда, и только тогда, когда 2 1 - квадратичный невычет, поскольку 3 4 (т. е.

1 - квадратичный невычет).

Поэтому для 1, 2 2 имеем:

Действительно, один из 1 2 и 2 1 - квадратичный вычет, другой – квадратичный невычет.

Нетрудно показать, что где - квадратичный вычет, а - квадратичный невычет.

Следовательно, Замечаем, что если нечетно, то 1 =, если же четно, то 1 = 2.

Отсюда что нам и хотелось доказать.

Теорема 4: Справедлива оценка + - такие многочлены с целыми коэффициентами, что 1 > Доказательство: Обозначим Доказательство проведем индукцией по.

При = 1 имеем:

Обозначим следовательно, Далее воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем квадратическом:

условия 1,, 1 = 1).

Разобъем 2 на два множества:

где Имеем:

(здесь мы применили известную оценку Вейля к каждой из сумм).

Отсюда следовательно, Для = 1 оценка доказана.

Пусть теперь она доказана для некоторого 1, 2. Докажем ее для.

Пусть, как и ранее, Аналогично рассуждая, получаем:

следовательно, откуда значит, что и требовалось доказать.

И. М. Виноградовым [2] была получена следующая оценка для сумм Следующая теорема уточняет эту оценку в специальном случае.

Теорема 5: Имеет место оценка целое и, = 1.

Доказательство: Имеем:

где - число решений сравнения 1 2 ( ), то есть = 1 + 1.

Далее, Пусть - первообразный корень по модулю. И пусть +, где - целое, 0,1, …, 1. Введем обозначения При одинаковых (и разных ) суммы одинаковы. Суммы и одинаковы по модулю, причем у и разные (т. к. из 1 Тогда откуда что и требовалось.

Глава 2. Оценка среднего квадратического модулей рациональных тригонометрических сумм по обобщенным Здесь мы рассмотрим обобщенную последовательность Фибоначчи и докажем верхнюю оценку для среднего квадратического модулей рациональных тригонометрических сумм по обобщенным числам Фибоначчи.

В определенном смысле эта оценка отражает ряд арифметических свойств указанной последовательности, а именно, распределение ее членов по модулю любого бесквадратного числа.

Последовательность Фибоначчи, как известно, задается следующим образом:

Обобщенная последовательность Фибоначчи задается тем же рекуррентным соотношением и двумя начальными натуральными членами, то есть:

где, – натуральные числа. Вторую последовательность на протяжении всей главы будем считать наперед заданной.

Пусть, на протяжении всей главы, – бесквадратное (не делящееся ни на какой квадрат простого) натуральное число, большее 1 и взаимно простое с числами, и с числом 2 + 2 (это «экзотическое» условие будет мотивировано позже). Через будем обозначать, как обычно, простое число.

Здесь это будут простые, взаимно простые с числами, и с числом 2 + Введем малый период последовательности Фибоначчи и большой период последовательности Фибоначчи Фибоначчи есть (периодичность по любому модулю доказывается просто).

Аналога малого периода может не существовать (например, если = Выделим необходимые нам свойства последовательности Фибоначчи в следующую лемму (часть из приведенных свойств можно найти в [8] и [9]):

Лемма 1:

Доказательство: Свойства А, Б, В1, B2, Г, Д хорошо известны [8, 9].

Докажем два оставшихся свойства. Начнем с Е1. По свойству Б имеем:

поэтому из сравнений Из, согласно свойству В1, следует, что, а из +1 +1, согласно свойству В2, следует, что, откуда, согласно свойству Теперь докажем свойство Е2. Пусть = 1 2 …. Из сравнений для любого следуют сравнения откуда для всякого по свойству Е1 имеем:, что, согласно свойству Д, означает, что. Лемма доказана.

Теперь докажем некоторые свойства обобщенной последовательности Фибоначчи (часть из них общеизвестны).

Лемма 2:

Доказательство: Первое соотношение хорошо известно, соотношение Б доказывается тривиально. Соотношение Г следует из соотношений Б, В и соотношения Г леммы 1. Соотношение Д2 вытекает из соотношения Д1.

Докажем пункт Д1. Используя соотношение А, имеем:

Далее используем соотношение Б леммы 1:

, что преобразуется к виду:

откуда:

Отсюда либо, что, согласно пункту В1 леммы 1 означает, что, либо что преобразуется к виду и приводится с помощью правила Крамера в поле вычетов по модулю к (поскольку 2+ ( ), то, по свойству Д2,.

Лемма доказана.

членов конечной последовательности 1, 2, …,, сравнимых с по модулю. Используя аппарат тригонометрических сумм, нетрудно вывести Следующая теорема является конечной целью этой главы. Пусть, для Доказательство: Для удобства разобьем доказательство на несколько шагов.

1. Зафиксируем, 1.

Пусть Обозначим Тогда Пусть – все различные числа, встречающиеся в последовательности 1, …, 1.

Имеем:

2. Зафиксируем.

Пусть - все индексы, такие, что =.

Согласно пункту Д2 леммы 2, поскольку Следовательно, и, значит, 3. Итак, имеем:

Пусть теперь - количество таких, что =.

Поскольку все различны, то откуда С другой стороны, поэтому 4. а) Рассмотрим случай, когда < + 1.

Рассмотрим все пары индексов 1, 2, такие, что Если среди них найдутся две различные пары 1, 2, 1, 2, для которых то, согласно пункту Д2 леммы 2, откуда - противоречие.

Значит, все разности индексов в таких парах различны. А теперь посчитаем количество всех таких пар, и, соответственно, всех разностей значений разности индексов в указанном промежутке ровно 1.

Следовательно, откуда б) Теперь рассмотрим случай, когда + 1.

Тогда все откуда Далее, отсюда и, значит, Получаем для всякого :

Имеем:

Согласно свойству Г леммы 2, И, наконец, если > ’, то, исходя непосредственно из определения,, получаем:

Теорема доказана.

- многочлен с целыми коэффициентами, - натуральное число, - простое число.

Обозначим через,, количество решений сравнения в множестве Используем следующую лемму [1]:

Лемма. Пусть Тогда где – вещественное число, 1.

Доказательство: Имеем:

Следовательно, Отсюда где 1.

Известна оценка Поэтому где 1, что и требовалось. Лемма доказана.

На основании этой леммы и оценок из первой главы тривиально получаются следующие теоремы.

Теорема 7. Пусть 3 - простое число,,,, – натуральные числа, Тогда где 1.

– многочлен с целыми коэффициентами, 1 < 1, + 1, Тогда где 1.

Теорема 9. Пусть 7 - простое число, 3 4,,, - натуральные Тогда где 1.

Теорема 10. Пусть 3 - простое число, - такие многочлены с целыми коэффициентами, что 1 > и где 1.

Теорема 11. Пусть 3 – простое число,, - натуральные числа, причем Тогда где 1.

В 1934 году Н.П. Романов доказал [16], что сумма множества простых чисел и множества натуральных степеней фиксированного целого числа 2 образует множество положительной плотности (в смысле плотности по Шнирельману), иными словами, (через обозначено количество элементов множества ).

В дальнейшем были получены некоторые аналоги этой теоремы.

Например, в 1951 году П. Эрдеш [19] заменил в теореме Романова степени значениями многочлена с целыми коэффициентами от степени, то есть, где – не равный константе многочлен с целыми коэффициентами.

В.Н. Чубариковым была поставлена задача получения аналога теоремы Романова для чисел Фибоначчи. В своей работе К. Ли [22] приводит доказательство этого аналога. В декабре 2013 года (одновременно со статьей автора на близкую тематику) вышла статья А. Дубицкаса [18], в которой результат К. Ли обобщается на случай линейных рекуррент второго порядка специального вида.

Здесь мы приводим альтернативное доказательство аналога теоремы Романова на случай обобщенной последовательности Фибоначчи, используя оценку, полученную во второй главе. Доказательство в духе работы К. Ли [22] несколько более общей теоремы можно найти в статье А. Дубицкаса [18].

Теорема: Сумма множества простых чисел и множества членов наперед заданной обобщенной последовательности Фибоначчи имеет положительную плотность (по Шнирельману), то есть Альтернативное доказательство: Наше доказательство будет проведено в духе доказательства теоремы Романова, приведенном на стр. 191-197 в [15].

Сформулируем несколько лемм из [15], которые нам понадобятся.

Лемма [15, с. 60]: Пусть - четное целое ненулевое число. Имеет место оценка Здесь константа 1 - абсолютная, то есть не зависит от.

Лемма [15, с. 28]: Существует такая константа 2 > 0, что Лемма (следствие из предыдущей леммы): Пусть – -ое простое число.

Тогда Лемма: Обозначим Если существует такая константа 3, что для всех 0 (то есть начиная с какого-то фиксированного 0 ) справедливо неравенство неравенство Доказательство (аналогично рассуждениям, приведенным в [15] на стр.

192): Имеем:

откуда из неравенства о среднем арифметическом и среднем квадратическом Лемма доказана.

Лемма 2.5: Ряд где > 0, сходится. означает суммирование по бесквадратным числам.

Доказательство (аналогично рассуждениям, приведенным в [15] на стр.

196):

Имеем:

Пусть